VERİ, SAYMA ve OLASILIK . ÜNİTE 6. ÜNİTE 6

. ÜNİTE
VERİ, SAYMA ve OLASILIK
6. ÜNİTE
6. ÜNİTE
6. ÜNİTE
VERİ – SAYMA
1. Kazanım : Merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri
Aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer, en büyük değer, en küçük değer ve açıklık
kavramları hatırlatılır.
Bir veri grubuna ait alt çeyrek, üst çeyrek, çeyrekler açıklığı ve standart sapma tanımlanır.
2. Kazanım : Verilerin grafikle gösterilmesi
Gerçek hayat durumunu yansıtan veri gruplarını uygun grafik türleri ile temsil ederek
yorumlar.
Serpme grafiğini açıklar, iki nicelik arasındaki ilişkiyi serpme grafiği ile gösterir ve yorumlar.
Kutu grafiğini açıklar, bir veri grubuna ait kutu grafiğini çizerek yorumlar ve veri gruplarını karşılaştırmada kutu grafiğini kullanır.
OLASILIK
3. Kazanım : Basit olayların olasılıkları
Örnek uzay, deney, çıktı, bir olayın tümleyeni, ayrık ve ayrık olmayan olay kavramlarını
açıklar.
4. Kazanım : Tümleyen, ayrık ve ayrık olmayan olaylar ile ilgili olasılıkları hesaplar.
6. ÜNİT
VERİ ve SAYMA
VERİ
Yorumlamak ve sunmak amacı ile toplanmış, çözümlenmiş ve özetlenmiş gerçeklere veriler denir. Veriler ölçüm,
sayım, deney, gözlem veya araştırma yoluyla elde edilirler.
Verileri iki ana grup altında toplayabiliriz.
Veri
Sayısal
Kategorik (‹simsel)
Marka, kanal adı,
ders adı, ülke,
Kesikli
Sürekli
flehir v.b. gibi
Kardefl sayısı, yafl,
Boy, a¤›rl›k,
araç sat›fl adedi v.b. gibi
s›cakl›k v.b. gibi
MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ
Gözlenen verilerin düzenlenerek, tablolarla, grafiklerle sunulması çoğu durumda yeterli olmaz. Genel durumu yansıtacak bir takım ölçülere gereksinim vardır. Bu ölçüler merkezi eğilim ölçüleri olup en çok kullanılanları;
x
ortalama ( aritmetik ortalama )
x
ortanca ( medyan )
x
tepe değeri (mod)
olmak üzere üç grupta toplanabilir.
ORTALAMA
Merkezi eğilim ölçülerinin en sık kullanılanıdır. Aritmetik ortalamayı ifade eder. Eldeki veriler toplamının veri sayısına bölümüdür. x ile gösterilir.
Veri değerleri x 1, x 2, ...., x n olan n tane veri için, x =
ÖRNEK 1
7, 6, 7, 8, 10, 12, 6
veri grubundaki sayıların ortalaması kaçtır?
Çözüm
562
x 1 + x 2 + ... + x n
n
dir.
ÖRNEK 2
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5
veri gurbundaki sayıların ortalaması kaçtır?
Çözüm
Veri, Sayma ve Olasılık
ORTANCA (Medyan)
ÖRNEK 3
Bir sayı dizisinin medyanını bulmak için, sayılar küDers
Not
Kredi
Matematik
84
4
Fizik
72
3
Kimya
65
2
Biyoloji
70
2
çükten büyüğe doğru sıralanır.
¬
Dizinin terim sayısı tek ise ortadaki terim ortancadır.
¬
Dizinin terim sayısı çift ise ortadaki iki terimin
aritmetik ortalaması ortancadır.
Başka bir deyişle, n terimli bir sayı dizisinde
¬
n tek ise ortanca : x n + 1
¬
n çift ise ortanca :
2
Furkan’ın sayısal derslerinden aldığı yıl sonu notları
ve bu derslerinin haftalık kredileri yukarıda tablo
xn + xn +1
2
2
2
dir.
halinde verilmiştir. Furkan’ın sayısal karnesinin not
ortalamasını, kredi ağırlığına göre bulunuz.
ÖRNEK 6
Çözüm
3, 2, 2, 1, 4, 5, 5, 7, 4
verilerinin ortancası (medyan) kaçtır?
ÖRNEK 4
Ö¤renci say›s›
5
12
8
3
0
0
1
Kardefl say›s›
1
2
3
4
5
6
7
ESEN YAYINLARI
Çözüm
29 öğrenci bulunan bir sınıftaki öğrencilere, kardeş
sayıları sorulmuş ve verilen cevaplara göre yukarıdaki tablo oluşturulmuştur. Buna göre, bu sınıfta
bulunanların ortalama kardeş sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 7
2, 7, 2, 5, 3, 4, 4, 1
verilerinin ortancası (medyan) kaçtır?
ÖRNEK 5
Çözüm
a, a + 1, a + 3, a + 5, a + 7, a + 8
veri grubunun ortalaması 8 olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm
563
Veri, Sayma ve Olasılık
TEPE DEĞERİ (Mod)
ÖRNEK 11
Bir veri grubundaki en çok ( en sık) tekrarlanan de-
7, 19, 11, 3, 3, 5, 7, 6, 7, 1, 19
ğere tepe değeri ( mod) denir. Tekrar sayıları frekans
verilerinin tepe değeri kaçtır?
olarak adlandırılır.
Çözüm
ÖRNEK 8
5, 11, 4, 13, 7, 6, 11
verilerinin tepe değeri kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 12
Bir veri grubunda birden fazla tekrar eden değer
yoksa, bu veri grubunun tepe değeri yoktur.
1, 2, 3, 4, 5, 6
veri grubunun tepe değeri yoktur.
3, 3, 3, 3, 3, 3
veri grubunun tepe değeri yoktur.
1, 1, 2, 2, 3, 3
veri grubunun tepe değeri yoktur.
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 9
Meyve suyu üreten bir fabrikada, rastgele seçilen 15
şişe meyve suyunun bozulma süreleri ay olarak aşağıdaki gibi tespit edilmiştir.
Bir veri grubunda aynı sayıda tekrar eden birden
fazla değer varsa, tepe değeri değeri de birden
fazla olabilir. Fakat, tüm değerler eşit sayıda tekrar
ediyorsa tepe değeri yoktur.
ÖRNEK 10
1, 3, 5, 2, 4, 3, 7, 9, 5
sayı dizisinin tepe değeri kaçtır?
Çözüm
564
18, 20, 21, 22, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 27, 30, 30, 31, 32
Bu süreler için merkezi eğilim ölçüleri olan;
ortalama, ortanca ve tepe değerleri nelerdir?
Çözüm
Veri, Sayma ve Olasılık
MERKEZİ YAYILMA (DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ
ÖRNEK 13
Merkezi eğilim ölçüleri, birimlerin kendi aralarında
Bazı özelliklerde Türkiye’nin dünya sıralamasındaki
yeri aşağıdaki tablo ile belirtilmiştir.
Özellik
nasıl bir dağılım ( yayılım) gösterdiklerini ifade etmede yetersiz kalırlar. Örneğin;
Dünya Sıralamasındaki Yeri
VER‹LER
Nüfus sayısı
17
X
Yüzölçümünün büyüklüğü
36
Kentli nüfus oranı
13
Ekonomik büyüme
16
Kişi başına düşen milli gelir
21
1
Altın ve toryum üretimi
2
Cıva, mermer ve jeotermal
enerji üretimi
7
Fındık, incir ve kiraz üretimi
1
Çelik üretimi
9
Çimento üretimi
2
Kömür üretimi
15
İlaç üretimi
18
Koyun, keçi sütü üretimi
Dış satım (ihracat )
1
30
Z
22
2
7
23
25
9
24
30
11
25
31
13
26
32
80
x, y ve z verilerinin ortalamaları eşit ( x = y = z = 24 )
olduğu halde verilerin dağılımları oldukça farklıdır.
Bu nedenle verilerin ortalamaya göre veya kendi aralarında nasıl bir dağılım gösterdiklerini incelemek için
merkezi dağılım ölçüleri kullanılır. Bunlar,
Açıklık – Çeyrekler Açıklığı – Standart Sapma
olarak ifade edilirler.
ESEN YAYINLARI
Bor ve krom üretimi
Y
AÇIKLIK (Aralık – Ranj )
Bir veri kümesinde bulunan en büyük ve en küçük
değer arasındaki farktır ve genellikle R ile gösterilir.
R = En Büyük Değer – En Küçük Değer
Tekstil ihracatı
3
Çimento ihracatı
2
ÇEYREKLER AÇIKLIĞI (Q)
Mermer ihracatı
8
Bir veri grubundaki terimler küçükten büyüğe doğ-
En çok tatil yapılan ülkeler
3
ru sıralandığında ilk terime en küçük, son terime en
büyük, bunların ortasındaki terime de ortanca denir.
Tablodan elde edilen verilerin tepe değeri, medyanı
Ortancadan küçük terimlerin ortancasına alt çeyrek
ve ortalamasını bulunuz.
(Q1 ) denir.
Çözüm
Ortancadan büyük terimlerin ortancasına üst çeyrek
(Q3 ) denir.
Bir başka ifade ile veri kümesinin ilk % 50 lik kısmının
ortancasına Q1 , sonraki % 50 lik kısmının ortancasına da Q3 denir.
Çeyrekler açıklığı = Üst çeyrek – Alt çeyrek
Q = Q3 – Q1
Çeyrekler açıklı¤›
%0
En küçük
de¤er
% 25
Q1
% 50
Ortanca
% 75
Q3
% 100
En büyük
de¤er
565
Veri, Sayma ve Olasılık
STANDART SAPMA
ÖRNEK 14
Standart sapma, verilerin ortalama etrafında nasıl
7, 3, 4, 9, 2, 7, 5
bir yayılma gösterdiğinin ölçüsüdür. Düşük standart
veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz.
sapma değeri, bir araya toplanmış ve ortalamaya
Çözüm
daha yakın verilerin çok olduğunun ölçüsüdür. n tane
verinin aritmetik ortalaması x olmak üzere, bu veri
grubunun standart sapması (s)
s=
( x1 – x )2 + ( x2 – x )2 + … + ( xn – x )2
n–1
dir.
ÖRNEK 17
5, 3, 7 veri grubunun standart sapması kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 15
16, 18, 30, 4, 6, 10, 8, 8, 12, 17, 20, 24, 36, 22, 28
veri grubunun çeyrekler açıklığını bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 18
Yıl
Frekans
1–5
21
6 – 10
15
11 – 15
19
16 – 20
6
ÖRNEK 16
1, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 20
Araç aküsü üreten bir firmanın ürettiği 61 akünün
dayanma sürelerine ait frekans tablosu yukarıda
veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz.
verilmiştir. Akülerin ortalama ömürleri ve dayanma
Çözüm
sürelerinin standart sapması nedir?
Çözüm
566
Veri, Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 19
ÖRNEK 20
Gün
Alper
Burak
A
B
C
1
4
3
12
18
24
2
2
3
13
21
14
3
5
4
12
15
14
4
3
5
14
13
22
5
4
5
11
16
25
20
18
16
6
6
4
16
18
11
Bir pazarlama şirketi Alper ve Burak isminde iki
A, B ve C oyuncularının son 7 maçta attıkları basket
elemandan birisini 6 günlük deneme süresi sonunda
sayıları yukarıdaki tabloda verilmiştir.
işe alacaktır. Bu elemanların 6 günlük satışları yuka-
a. Bu tablo yardımıyla A, B ve C basketçilerine ait
merkezi eğilim ve yayılma ölçülerini bulunuz.
rıdaki gibidir. Buna göre, bu şirketin daha istikrarlı bir
eleman almak için Alper ve Burak’tan hangisini tercih
etmesini gerektiğini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
b. Bu oyunculara sahip basketbol takımının koçusunuz ve önünüzdeki maçı çok farklı bir şekilde kazanmanız gerekiyor. Aksi takdirde takımınız elenecek. A, B ve C oyuncularından birini seçerek
maça başlamak istiyorsunuz. Hangi basketçiyi
seçersiniz?
Çözüm
567
Veri, Sayma ve Olasılık
ETKİNLİK
1 TL, 7 TL, 8 TL, 9 TL, 10 TL, 13 TL, 50 TL
Bir lokantadaki 7 masada 13.00 – 14.00 saatleri arasında ödenen
hesaplar yukarıdaki gibi olsun.
Bu verilerden yararlanarak sonraki 1 saatlik dilim içinde gelen
yeni bir müşterinin yaklaşık ne kadar hesap ödeyeceğini tahmin
etmeye çalışalım ve hangi ölçülerin bize nasıl bir bilgi verebileceğini inceleyelim.
1 + 7 + 8 + 9 + 10 + 13 + 50
= 14
7
Ödenen hesapların birçoğu ortalamadan çok uzakta olduğu için ortalama çok faydalı bir gösterge değildir.
Ortalama: x =
Tepe Değeri: Tepe değeri bulunmadığından incelemeye katkısı yoktur.
Ortanca: a 1, 7, 8, 9 , 10, 13, 50 k
Aşırı uç değerlerden ( 1 ve 50 ) etkilenmediği için medyan iyi bir göstergedir.
Yani gelecek olan bir müşterinin ortalama 9 TL hesap ödeyeceği beklentisi oldukça gerçekçidir.
Standart Sapma:
s=
(1– 14) 2 + (7 – 14) 2 + (8 – 14) 2 + (9 – 14) 2 + (10 – 14) 2 + (13 – 14) 2 + (50 – 14) 2
≅
7–1
x – s = 14 – 16 = –2 ,
265 ≅ 16
x + s = 14 – 16 = 30
Yeni gelecek bir müşterinin –2 TL ile 30 TL arasında bir hesap ödeyebileceği tahmini bize katkı sağlayan bir
ölçü değildir. Ortalamaya göre kıyaslandığında oranı çok yüksek olduğu için standart sapmayı göz önüne alarak yapılan tahmin oldukça riskli olacaktır.
Şimdi de 1 TL ve 50 TL lik hesapların genellikle olmadığını düşünerek bu sapan değerleri veri grubundan
çıkararak tahminde bulunmaya çalışalım. 7 TL , 8 TL , 9 TL , 10 TL , 13 TL
Ortalama: x =
7 + 8 + 9 + 10 + 13 47
=
, 9.2
5
5
Sapan değerler veri grubundan atılarak elde edilen bu değer öncekine göre daha gerçekçidir.
Ortanca: Ortanca 9 TL olup bu durumda da iyi bir hesap tutarı tahmini yansıtmaktadır.
Standart Sapma:
s=
(7 – 9) 2 + (8 – 9) 2 + (9 – 9) 2 + (10 – 9) 2 + (13 – 9) 2
=
5–1
x – s = 9.2 – 2.3 = 6.9 ,
22
=
4
5, 5 ≅ 2,3
x + s = 9.2 + 2.3 = 11.5
Yeni gelecek müşterilerin ortalama 6.9 TL ile 11.5 TL arasında bir hesap ödeyecekleri beklentisi gerçekçidir.
Standart sapma değeri öncekine göre daha düşük çıktığı için veriler birbirine daha yakın olup tahminlerde
yanılma payı daha azdır.
568
Veri, Sayma ve Olasılık
STANDART PUANLAR
ÖRNEK 22
z puanı: z-puanı bir verinin ortalamadan kaç standart
Öğrenci
sapma kadar uzakta olduğunu gösterir. Verilen puan-
Puanı
ları; ortalaması 0, standart sapması 1 olan puanlara
Melis
30
dönüştürür.
Zeynep
50
Ham puan – Aritmetik ortalama
X–x
=
Standart sapma
s
formülü ile hesaplanır. Herhangi bir kişinin almış oldu-
Burcu
90
Ezgi
70
ğu puanı z puanına dönüştürerek, verilen bir puanın
Efe
40
standart sapmaya göre ortalamanın ne kadar altında
Mesut
80
z puanı =
veya üstünde kaldığı belirlenebilir.
Tabloda 6 öğrencinin kimya dersi I. yazılı sınavından
z puanının ( – ) veya sıfır (0 ) çıkması mümkündür.
aldığı notlar (standart puanlar) verilmiştir.
T puanı: T puanı verilen puanları ortalaması 50,
Melis ve Ezgi’nin bu sınav için aldıkları kimya notları-
standart sapması 10 olan puanlara dönüştürür. z pu-
nın z ve T puanlarını bulalım.
anlarından T punlarına geçiş T = 50 + 10.z formülü
Çözüm
ile elde edilir.
3 kişinin katıldığı bir sınavda puanlar hesaplanırken;
I.
Her öğrenciye 100 taban puan verilmektedir.
II. En yüksek puan alan öğrencinin puanı 500 e çekilerek diğer puanların dağılımı buna göre yapıl-
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 21
maktadır.
III. Test farkı gözetilmeksizin her sorunun puan getirisi eşit kabul edilmektidir.
Aşağıdaki tablodaki verileri kullanarak Aybars’ın puanını hesaplayalım.
Ö¤renci
Matematik
Neti
Fen
Neti
Türkçe
Neti
Sosyal
Neti
Ecem
28
32
30
24
Aybars
34
36
30
26
Gizem
39
36
35
30
Çözüm
569
ALIŞTIRMALAR -
1.
6.
12, 12, 13, 14, 14, 15 ( saniye )
10 öğrencinin matematik dersinden aldıkları
6 kişilik bir sporcu grubunun 100 metreyi koşma
notlar,
süreleri yukarıdaki gibidir. Buna göre, bu spor-
25, 30, 30, 45, 45, 50, 60, 60, 60, 85
cuların 100 metreyi koşma süreleri ortalama kaç
şeklindedir. Bu veri grubunun,
saniyedir?
2.
1
I.
7, 9, 6, 8, 9, 4, 2
II. 1, 4, 3, 2, 1, 5, 5, 3
a. Ortancasını
b. Tepe değerini
c. En küçük değerini
d. En büyük değerini
e. Alt çeyrek değerini
f. Üst çeyrek değerini
g. Çeyrek açıklığını
h. Açıklığını
bulunuz.
Yukarıda verilen I ve II nolu sayı dizilerinin
ortancalarının toplamı kaçtır?
7.
8, 9, 11, 11, 7, 8, 6, 13, 6, 6, 4
Yukarıda verilen sayı dizisinin tepe değeri ile
ortancasının toplamı kaçtır?
Yukarıda, bir sınıfta bulunan herhangi 6 öğ-
ESEN YAYINLARI
3.
rencinin geometri sınavından aldıkları puanlar
verilmiştir. Bu puanların standart sapmasını
bulunuz.
8.
4.
puanlarını bulunuz.
verilenlerin açıklığı kaçtır?
4, 5, 8, 12, x , x + 1
sayı dizisinin aritmetik ortalaması 9 olduğuna
göre, tepe değeri kaçtır?
570
Sınav ortalaması 60, standart sapması 4 olan
bir sınavda 40 alan Ali ile 100 alan Barış’ın z
14, 17, 10, 12, 19, 21, 9, 24
5.
50, 54, 58, 60, 66, 72
9.
Sınav ortalaması 70, standart sapması 8 olan
bir sınavda 60 alan Fatma’nın T standart puanı
kaçtır?
VERİLERİN GRAFİKLE GÖSTERİLMESİ
GRAFİKLER
Verilerin veya karşılaştırılması yapılacak değişkenlerin çizgi, tablo, nokta veya şekillerle ifade edilmesine grafik
denir. Grafikler verilerin sunumuna görsellik katararak daha kolay yorumlanmasını sağlar. Veri türlerine ve istenen
amaca göre çizilebilecek çeşitli grafik türleri vardır. Bunlar;
x
x
x
x
Çizgi grafiği
Serpilme grafiği
Sütun grafiği
x
Daire grafiği
Kutu grafiği
başlıkları altında ifade edilebilir.
ÇİZGİ GRAFİĞİ
Verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların çizgilerle birleştirilmesi sonucunda
elde edilen grafikler çizgi grafikleridir. Özellikle bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini (artma, azalma) incelemek için kullanılan en uygun grafiktir.
ÖRNEK 23
Yanda bir hareketlinin belli zaman aralığında aldığı yolu
Zaman (dk)
Yol (m)
1
100
2
150
3
175
4
175
5
200
gösteren tablo verilmiştir. Bu tablodan yararlanarak hareketlinin aldığı yolu zamana göre ifade eden çizgi grafik
aşağıda çizilmiştir.
Yol (m)
200
Á
Hareketin toplam süresi 5 dakikadır.
175
Á
Hareket süresince alınan toplam yol 200 metredir.
Á
1. dakikanın sonunda alınan yol 100 metredir.
Á
2. ve 3. dakikalar arasında alınan yol
150
125
100
175 – 150 = 25 metredir.
75
Á
50
25
0
3. ve 4. dakikalar arasında yol alınmamıştır.
Yani bu zaman diliminde hareketli durmuştur.
1
Á Hız =
2
3
4
5
6
7
Zaman (dk)
yol
olduğundan, hareketlinin en yüksek hıza sahip olduğu aralık 0-1 dakika aralığıdır.
zaman
Bu aralıktaki hızı V =
100 – 0
= 100 m/d k dır.
1– 0
Á En çok yol aldığı aralık 0-1 dakikalar arasıdır. Bu aralıkta 100 metre yol almıştır.
Á 2. ve 3. dakikalar arasında aldığı yol, 4. ve 5. dakikalar arasında aldığı yola eşittir (25 m).
Aynı süre içinde ( 1 dk ) aldığı yollar eşit olduğundan bu aralıklarda hızları da eşittir.
571
Veri, Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 24
ÖRNEK 25
Ö¤renci Say›s›
Yakıt miktarı (litre)
60
10
8
0
6
Alınan yol (km)
Deposu 60 litre yakıt alan bir aracın, şehirler arası
yolda bir depo benzinle alabildiği yol 600 km dir. Bu
durum yukarıdaki grafikle ifade edilmiştir. Buna göre,
4
2
0
600
1
2
3
4
5
Notlar
a.
Bu araç 1 L benzinle kaç km yol alabilir?
b.
Şehir içinde, % 20 daha fazla yakıt tükettiğine
Yukarıdaki grafik bir sınıftaki tüm öğrencilerin ma-
göre aynı araç bir depo yakıt ile şehir içinde kaç
tematik dersinden aldığı notları gösterdiğine göre,
km yol alabilir?
aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır?
I.
II.
c.
3 alan 9 kişi vardır.
kaldığında uyarı ışığı yandığına göre, deposun-
En düşük geçme notu 2 ise matematik dersinden
da kaç litre benzin kaldığında uyarı ışığı yanar?
kalan öğrenci yoktur.
IV. Sınıf mevcudu 27 kişidir.
1 ve 3 alan öğrenci sayılarının toplamı sınıfın yarısından azdır.
VI. Sınıfın
Çözüm
572
1
ünün notu 3 tür.
3
Çözüm
ESEN YAYINLARI
III. 2 alanların sayısı 5 alanların sayısına eşittir.
V.
Aracın deposunda 50 km lik yola yetecek yakıt
Veri, Sayma ve Olasılık
SÜTUN GRAFİĞİ
Bu grafik türünde toplanan bilgiler sütun şeklindeki grafiklerle gösterilir. Sütun grafiğinde iki eksen vardır. Yatay ve
düşey eksende ölçülen değerlerin birbirine göre durumları sütunlarla (çubuklarla) belirtilir.
Çiftli sütunlar halinde çizildiğinde farklı iki veri kümesinin karşılaştırılmasını da sağlarlar. İsimsel veriler için zorunlu
bir sıralama koşulu yoktur.
ÖRNEK 26
ÖRNEK 27
Ülke
Ö¤renci sayısı
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Üretim Miktarı ( ton )
İspanya
3.500.000
İtalya
2.700.000
Yunanistan
2.100.000
Türkiye
1.800.000
Tunus
1.000.000
Yukarıdaki tablo ile verilmiş olan verilere ilişkin çubuk
grafiğini oluşturunuz.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Çözüm
Notlar
Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin matematik
dir. Buna göre, sınıfın yüzde kaçı 9 almıştır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
dersinin 1. yazılısından aldıkları notları göstermekte-
ÖRNEK 28
Göl
Yüzölçümü (km2 )
Eğirdir
470
İznik
300
Manyas
170
Tuz
1500
Van
3700
Ülkemizdeki tanınmış 5 gölün yüzölçümleri ( yaklaşık) yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere
ilişkin çubuk grafiğini çizelim.
Çözüm
573
Veri, Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 29
ÖRNEK 30
Ülke
Sınır Uzunluğu (km )
Brezilya
15.000
Rusya Federasyonu
20.000
Çin
22.000
Hindistan
14.000
A.B.D.
12.000
20 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin, matematik dersindeki I. yazılı sınav sonuçları;
24, 28, 32, 36, 38, 40, 44, 46, 48, 52, 54, 60, 60, 64,
70, 78, 82, 86, 92, 94
olarak verilmiştir. Bu notları çubuk grafiği ile gösterelim.
Dünyada en uzun kara sınırlarına sahip ülkelerle ilgili
Çözüm
bilgiler yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere
ilişkin çubuk grafiği çizelim.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Bazı çubuk grafiklerinin çiziminde aşağıdaki yollar
takip edilir.
5 Veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır.
5 Grup genişliği (aralık ) bulunur. Bu aralık en büyük veri ile en küçük verinin farkıdır.
5 Verilerin kaç alt grupta toplanacağına karar verilir. Tespit edilen sayı grup genişliğine bölünerek
alt grup genişliği bulunur. Bu sayı ondalık bir sayı
ise yuvarlanarak tam sayı tespit edilir.
Bazen işlemi kolaylaştırmak için alt grup sayısını bulduğumuz sayının yakınındaki başka sayı ile
değiştirebiliriz.
574
Veri, Sayma ve Olasılık
DAİRE GRAFİĞİ
ÖRNEK 32
Eldeki verilerin daire dilimleri biçiminde sunulmasıdır.
Değişkenlerin bir bütün içerisindeki oranları, yüzde
veya merkez açı ölçüleri gösterilerek hazırlanır. Her
bir dilimin içine veya dilimin yakınındaki bir yere, o
değişkenin adı ve yüzdelik dilimi yazılır. Eğer merkez
açılar kullanılacaksa her bir değişkene düşen merkez
açılar ve bunların toplamları 360° olacak şekilde daire
dilimlere ayrılır. Bu grafik türüne pasta grafiği de de-
Bir önceki örnekteki tabloya karşılık gelen daire grafiğini merkez açılar kullanarak gösteriniz.
Çözüm
nilmektedir. Kesikli veriler için uygundur.
ÖRNEK 31
Üretim Miktarı ( Bin ton )
870
Çin
650
Kenya
300
Sri Lanka (Seylan )
280
Endonezya
150
Türkiye
135
Toplam
2385
Dünya çay üretiminde en büyük paya sahip 6 ülke ve
üretim miktarları yukarıda tablo şeklinde verilmiştir.
Bu tabloya karşılık gelen daire grafiğini oluşturunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Ülke
Hindistan
575
Veri, Sayma ve Olasılık
SERPİLME GRAFİĞİ
ÖRNEK 33
Ezgi, sınıfındaki 20 arkadaşına TRT 1, Kanal D,
Show TV, ATV kanallarından hangisini daha çok izlediğini sormuş ve sonuçları aşağıdaki daire grafiğinde göstermiştir.
İki değişkenin bir arada incelenmesi için çizilen grafiklerdir. Değişkenlerden birinin değerleri yatay, diğer
TRT 1
% 40
Kanal D
% 25
Show TV
% 20
değişkenin değerleri de düşey eksende gösterilir.
ÖRNEK 34
ATV
% 15
Aşağıda 5 öğrencinin matematik ve fizik derslerinden
aldıkları notlar sırasıyla verilmiştir.
Matematik Notu : 30, 40, 50, 65, 75
Fizik Notu : 20, 40, 45, 70, 80
Grafikteki verileri kullanarak aşağıdaki tabloyu doldurunuz.
TV
kanalı
İzleyici
sayısı
Bu verilere ait grafiği oluşturalım.
Daire dilimindeki merkez
açının ölçüsü
Fizik Notu (Y)
80
TRT 1
60
Kanal D
40
Show TV
20
ATV
Toplam
20
360°
0
ESEN YAYINLARI
Çözüm
20
40
60
80
100
Matematik
Notu (X)
Noktaların dağılımına bakarak, matematik notu yüksek olan öğrencilerin fizik notu da yüksektir sonucunu çıkarabiliriz. Başka bir deyişle, notlar arasında
doğru orantı vardır diyebiliriz.
ÖRNEK 35
Aynı yayın saatinde farklı kanallarda yayınlanan iki
TV dizisi için 6 defa izlenme ölçümü yapılmış ve
izlenme oranları zamana göre sıralı olarak aşağıdaki
serpilme grafiğinde verilmiştir.
B dizisinin izlenme oranı
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
A dizisinin izlenme
oranı
Grafikten yararlanarak elde edilen aşağıdaki bilgileri
inceleyiniz.
576
¬
A dizisinin izlenme oranı arttıkça B dizisinin
izlenme oranı azalmıştır.
¬
İki dizinin izlenme oranları ters orantılıdır.
¬
Dizilerin yayına başladığı ilk zamanlarda B dizisini izleyenlerin oranı daha fazladır.
¬
B dizisinin izlenme oranı sürekli azalmıştır.
Veri, Sayma ve Olasılık
ETKİNLİK
Yıllar
Bir araba galerisindeki 4 yıllık otomobil satışları
yandaki tablo ile verilmiştir.
Araç markaları ve satışları ile ilgili aşağıdaki
grafikler oluşturulabilir.
®
2007
2008
2009
2010
A
60
45
55
50
B
40
20
30
40
C
25
20
25
30
Toplam
125
85
110
120
Marka
Üç markanın yıllara göre satış adetlerini incelemek için çizgi grafiği ile sütun grafiğinden yararlanabiliriz.
Bu grafikler aşağıda çizilmiştir.
Satıfllar (Adet)
A:
B:
C:
Satıfllar (Adet)
70
70
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
B
C
10
0
®
A
2007
2008
2009
2010
0
Yıllar
Sadece A markasının yıllara göre satış adet-
®
2007
2008
2009
2010
Yıllar
B markasının satışlarını, toplam satış adetle-
lerini incelemek için çizgi ve sütun grafiğini
ri ile kıyaslamak için sütun grafiğinden yarar-
bir arada ifade edebiliriz. Bunlar aşağıda çi-
lanabiliriz. Bu grafik aşağıda çizilmiştir.
zilmiştir.
Satıfllar (Adet)
Sat›fllar (Adet)
60
40
®
Toplam
100
20
0
B
150
50
2007
2008
2009
2010
Yıllar
0
2007
2008
2009
2010
Y›llar
A
% 41,7
2010 yılı satış adetlerinin üç marka için hangi
oranda olduğunu kolay bir şekilde incelemek
için daire grafiğinden yararlanabiliriz.
C
% 25
B
% 33,3
Bu grafik yanda çizilmiştir.
577
Veri, Sayma ve Olasılık
KUTU GRAFİĞİ
Bir değişkenin sıklık dağılımını göstermek için kullanılan kutu grafikleri, dağılımın şekli, merkezi eğilimi ve değişkenlerin yayılım düzeyini göstermesi açısından kullanışlıdır. Kutu grafiği, veri için çeyreklere dayalı grafiksel
gösterimlerdir. Kutu grafiğinin çizimi için;
En küçük değer, alt çeyrek ( Q1 ), ortanca, üst çeyrek (Q3 ) ve en büyük değer bulunur.
Kutu gösteriminde;
Á
Kutunun uç noktaları Q1 ve Q3 tedir.
Á
Kutunun uzunluğu Q3 – Q1 dir. Bu fark, verilerin ortadaki yarısının yayılma ölçüsüdür.
Á
Ortanca, kutunun içinde çizgi ile işaretlenir.
Á
Kutu dışındaki iki çizgi, alt uç değer ve üst uç değere kadar uzatılır.
Kutu grafiğinde, dağılımın merkezi, verilerin yayılma genişliği ve uç değerleri kolaylıkla görülür.
Alt
Çeyrek
En Küçük
De¤er
Üst
Çeyrek
Ortanca
ÖRNEK 36
En Büyük
De¤er
ÖRNEK 37
Bir sınıftaki öğrencilerin bir dakikalık zaman dilimi
1, 2, 5, 10, 5, 6, 7, 12, 6, 4, 7, 9, 1, 8, 3, 3, 4, 7
içerisinde nabızlarını saymaları istenmiştir. Ölçüm
veri grubu için en küçük değeri, alt çeyrek, ortanca,
sonuçları cinsiyet değişkenine göre aşağıdaki tablo-
üst çeyrek ve en büyük değeri bularak kutu grafiği
ya aktarılmıştır.
ile gösteriniz.
Çözüm
Erkek
56
60
66
76
96
Kız
60
68
74
80
110
Tabloya karşılık gelen kutu grafiği aşağıdaki gibidir.
Cinsiyet
Erkek
Kız
55 60 65 70 75 65 80 85 90 95 100 105 110
Nabız Sayısı
Bu grafik üzerinden kızlarla erkeklerin nabız sayılarını, farklı açılardan (ortanca, en büyük ve en küçük
değerler, çeyrekler) karşılaştırabiliriz.
578
ESEN YAYINLARI
En Büyük
En Küçük
Alt
Üst
Ortanca
De¤er
De¤er
Çeyrek
Çeyrek
Veri, Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 38
Bir okulun 11– K ve 11– L şubelerindeki öğrencilerin, fizik
dersinde uygulanan aynı sınavın sonucunda aldıkları
puanlar yanda verilmiştir.
11 – K
70
40
50
50
80
60
40
90
60
11 – L
80
20
40
30
50
70
40
50
80
Bu notlara ait kutu grafiğini oluşturalım ve sınıfların fizik notlarını yorumlayalım.
Çözüm
Grafik Türünün Seçimi ve Avantajları
Çizgi
Bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini incelemek için en uygun grafik türüdür.
Birden çok sürekli veri grubunun kıyaslanması kolaylıkla görülebilir.
Grafiği
•
Sütun
•
•
•
Grafiği
Daire
Grafiği
Kutu
Grafiği
Serpilme
Grafiği
Görselliği kuvvetlidir.
2 veya 3 veri grubu kolaylıkla kıyaslanabilir.
Her bir kesikli veri ayrı sütunda gösterildiği için incelenmesi kolaydır ve verinin gerçek değeri kolaylıkla görülebilir.
Bir değişkenin bir bütün içerisindeki oranını belirlemek için en uygun grafik türüdür.
• Göze hoş gelen bir sunumu vardır.
•
Her bir kategorinin toplam içindeki payı çok rahat anlaşılır.
Verilerin genişliğini, yığılımını öğrenmek için en uygun grafik türüdür.
• Uç değerleri ve sapan değerleri görmek çok kolaydır.
• Veri sayısı çok olduğunda bile kolaylıkla gösterilebilir.
• Dağılımın şekli, merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri hakkındaki bilgileri çok rahat sunar.
İki değişken arasındaki ilişkiyi göstermek için en uygun grafik türüdür.
Veriler arasındaki ilişkiyi ( doğru orantılı, ters orantılı, ilişki yok gibi) açıklamak için çok uygundur.
Verilerin gerçek değerleri göz önündedir.
•
•
579
ALIŞTIRMALAR -
1.
4.
Ö¤renci sayısı
2
Aşağıdaki grafik bir otobüsteki yolcuların mesleklerine göre dağılımını göstermektedir.
8
7
6
Kifli sayısı
5
4
14
3
13
2
12
1
11
0
4
3
2
1
5
10
Alınan Not
9
8
Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin tarih
7
dersinin sınavından aldıkları notları göstermek-
6
5
tedir. 2 ve üzeri not alanlar başarılı olduğuna
4
göre, bu sınıfın yüzde kaçı tarih dersinden
3
başarılıdır?
2
2.
ESEN YAYINLARI
Benzin (L)
25
20
a.
‹flçi
Esnaf
Memur
0
Ö¤retmen
1
Meslek
Otobüsteki yolcular mesleklerine göre bir daire
grafiğiyle gösterildiğinde öğretmenleri gösteren
15
daire diliminin merkez açısının ölçüsü kaç dere-
10
ce olur?
5
0
1
2
3
4
5
6
Zaman (gün)
Yukarıdaki grafik, bir aracın benzin tüketimini
b.
Bu otobüsten x sayıda yolcu inip otobüse x sayıda yolcu binerse otobüste her meslek grubun-
göstermektedir. Buna göre, bu aracın hangi
dan eşit sayıda yolcu oluyor. Buna göre, x en az
günler arasında benzin tüketim hızı en fazladır?
kaçtır?
c.
Otobüsten belirli sayıda işçi inip otobüse işçi olmayan 8 kişi binerse otobüsteki işçilerin sayısı,
3.
3, 4, 4, 6, 6, 7, 9
veri grubuna ait kutu grafiğini çiziniz.
580
tüm yolcuların sayısının % 25’i oluyor. Buna göre, otobüsten inen işçilerin sayısı kaçtır?
Veri, Sayma ve Olasılık
5.
8.
a, a + 2, a + 6, a + 8, a + 9, a + 10, a + 12
veri grubunun alt çeyreği ile üst çeyreğinin
Di¤er
% 45
Kira
% 30
toplamı 24 olduğuna göre,
Yiyecek
a. Bu veri grubunun ortancasını bulunuz.
b. Bu veri grubunun çeyrekler açıklığını bulunuz.
Şekilde verilen grafik birailenin aylık harcamalarını göstermektedir. Bu ailenin aylık kira gideri
450 TL olduğuna göre, aylık yiyecek gideri kaç
TL dir?
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9.
10.
35
80
70
50
60
80
90 100 65
70
Kimya 40
75
70
55
50
90
70 100 60
80
Mat
8.
Bir sınıfdaki 10 öğrencinin matematik ve kimya
notları yukarıdaki tabloda verilmiştir. Bu verilere
9.
uygun serpilme grafiğini çiziniz.
Sınıf
7.
Ders
Kimya
ESEN YAYINLARI
B
A
A¤ırlık
60 62 64 66 68 70 72 74 76
Fizik
(kg)
Bir okulun A ve B sınıflarındaki öğrencilerin
ağırlıkları ile ilgili kutu grafiği verilmiştir. Buna
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Puan
Şekilde bir sınıftaki kimya ve fizik derslerinin
puanlarından oluşan veri grubunun kutu grafikleri verilmiştir. Buna göre, aşağıdaki soruları
cevaplandırınız.
a. Fizik dersinden elde edilen veri grubunun
ortancası kaçtır?
göre,
a. A sınıfındaki öğrencilerin ağırlıklarının ortancası kaçtır?
b. B sınıfındaki öğrencilerin ağırlıklarının ortancası kaçtır?
c. A sınıfındaki öğrencilerinin ağırlıklarının
çeyrek açıklığı kaçtır?
b. Kimya dersinden elde edilen veri grubunun
açıklığı kaçtır?
c. Fizik dersinden elde edilen veri grubunun
d. B sınıfındaki öğrencilerin ağırlıklarının çeyrek açıklığı kaçtır?
çeyrekler açıklığı kaçtır?
581
OLASILIK
OLASILIK
ÖRNEK 40
Olasılık, sonucu kesin olmayan olayları sayılarla ifade
Bir madeni paranın arka arkaya 2 kez (veya iki made-
eder. Olasılık teorisi günümüzde şans oyunlarının
ni paranın birlikte) atılması deneyinde örnek uzayını
yanısıra, ekonomi, spor, siyaset, bilimsel tespitler,
bulunuz.
meteoroloji, sigortacılık, bankacılık ve milli savunma
Çözüm
gibi pek çok uygulama alanında kullanılmaktadır.
Deney ve Çıktı
Yeni bilgi kazanmak ve olayların gelişimini incelemek
için yapılan deneme ve testlere deney denir. Bir
deneyin mümkün olan her türlü sonucuna çıktı adı
verilir. Düzgün bir zemine bir madeni paranın atılması
bir deneydir. Yazı gelmesi ve tura gelmesi ise bu
deneyin çıktılarıdır. Aynı şekilde bir tavla zarının
atılması bir deneydir. 1 gelmesi, 2 gelmesi, 3 gelmesi,
çıktılarıdır.
Örnek ( Örneklem ) Uzayı
Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın
her bir elemanına ise örnek nokta denir.
ESEN YAYINLARI
4 gelmesi, 5 gelmesi ve 6 gelmesi ise bu deneyin
ÖRNEK 41
Üç madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını
yazınız.
Çözüm
Olay
Örnek uzayın her bir alt kümesine bir olay denir. E
örnek uzayına kesin olay, boş kümeye ise olanaksız
(imkansız ) olay denir. Bir örnek uzaya ait iki olayın
ara kesitleri ( kesişimleri ) boş küme ise bu iki olaya
ayrık ( bağımsız ) olaylar denir.
ÖRNEK 39
Bir madeni paranın atılması deneyinin;
çıktıları: Y ( yazı) ve T (tura) dır.
Örnek uzayı: E = { Y, T } dir.
Buna göre, bir madeni paranın atılması sonucu, yazı
veya tura gelmesi olayına (örnek uzaya) kesin olay
denir. Paranın dik gelmesi olayı ise olanaksız olaydır.
582
Art arda yapılan madeni para atma deneyinde,
para n kez atıldığında örnek uzayın eleman sayısı
s(E ) = 2n olur.
Veri, Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 42
ÖRNEK 44
İçinde 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan torbadan bir
çekilişte 2 bilye çekme deneyindeki;
Bir tavla zarının atılması deneyindeki örnek uzay
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } dir.
Üste gelen sayının;
tek gelmesi olayı, {1, 3, 5 }
a.
Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır?
b.
Çekilen bilyelerin aynı renkte olması olayının
eleman sayısı kaçtır?
çift gelmesi olayı { 2, 4, 6 }
Çözüm
asal sayı gelmesi olayı {2, 3, 5}
en az dört gelmesi olayı {4, 5, 6}
en çok üç gelmesi olayı {1, 2, 3} dir.
ÖRNEK 43
İki tavla zarının birlikte atılması deneyindeki örnek
uzayı yazınız.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 45
3 kız, 4 erkek öğrencinin bir sıraya yan yana oturma
deneyindeki;
a.
Örnek uzayının eleman sayısı kaçtır?
b.
Kızların bir arada olması olayının eleman sayısı
kaçtır?
c.
Erkeklerin bir arada olması olayının eleman
sayısı kaçtır?
Çözüm
583
Veri, Sayma ve Olasılık
AYRIK – AYRIK OLMAYAN OLAYLAR
OLASILIK FONKSİYONU
Birlikte ortaya çıkmayan iki olaya ayrık olay denir.
E örnek uzuyanın iki alt kümesi A ve B olmak
üzere, tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme K ise
Başka bir deyişle A ve B ayrık olaylar ise
P : K → [0, 1] fonksiyonuna olasılık fonksiyonu P(A)
A ∩ B = ∅ dir.
görüntüsüne de A olayının olasılığı denir.
ÖRNEK 46
Bir zarın atılması deneyinde meydana gelebilecek üç
olay aşağıda verilmiştir.
A = Tek sayı gelmesi = {1, 3, 5}
B = Çift sayı gelmesi = {2, 4, 6}
x
0 ≤ P(A) ≤ 1
x
P(E) = 1
x
P(∅) = 0
x
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
x
A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) dir.
x
A′ = E – A olmak üzere P(A) + P(A′) = 1 dir.
C = Asal sayı gelmesi = {2, 3, 5}
A, B ve C olaylarının ayrık olaylar olup olmadığını
ÖRNEK 47
tespit ediniz.
E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A′) =
Çözüm
P( B) =
1
3
1
ve P(A ∩ B) 1 ise P(A ∪ B) kaçtır?
6
4
ESEN YAYINLARI
Çözüm
P(A) + P(A′) = 1 ⇒ P(A) +
1
= 1 ⇒ P(A) = 1 –
3
ÖRNEK 48
E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A) =
1
3
3
1
ve P(A ∩ B) =
olduğuna göre aşağı5
4
daki olasılıkları hesaplayınız.
P( B) =
a. P(A ∪ B)
Çözüm
584
b. P(A′ ∩ B′)
Veri, Sayma ve Olasılık
Eş Olumlu Örnek Uzay
ÖRNEK 52
Örnek uzayı E = {a1, a2, ...., an } olan P olasılık fonk-
Bir madeni paranın arka arkaya üç kez atılması sonu-
siyonu için,
cu en az iki yazı gelmesi olasılığı kaçtır?
P(a1 ) = P(a2 ) = .... = P(an )
Çözüm
ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay denir.
P (A) =
s (A) ‹stenen durumlar›n say›s›
dır.
=
s (B)
Tüm durumlar›n say›sı
ÖRNEK 49
E = {1, 2, 3, 4, 5 } eş olumlu örnek uzay ise
P(2) + P(5) toplamı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 53
Bir madeni paranın arka arkaya 5 kez atılması sonu-
ÖRNEK 50
Bir madeni paranın düzgün bir zemine atılması deneyinde, yazı ( Y ) ve tura ( T ) olmak üzere,
ESEN YAYINLARI
cu 2 tura, 3 yazı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
E = { Y, T } olup s ( E) = 2 dir. Buna göre,
P( Y ) =
s (Y) 1
s (T) 1
ve P( T ) =
=
= olur.
s (E) 2
s (E) 2
P( Y ) = P( T ) =
1
olduğundan bu deneydeki örnek
2
uzay, eş olumlu örnek uzaydır.
ÖRNEK 54
ÖRNEK 51
Bir tavla zarı bir kez atıldığında üst yüze gelen sayıİki madeni paranın düzgün bir zemine atılması sonu-
nın asal sayı olma olasılığı kaçtır?
cu ikisinin de tura gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
585
Veri, Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 55
ÖRNEK 58
Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze
gelen sayıların aynı olma olasılığı kaçtır?
Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan
rastgele 2 bilye çekildiğinde, bilyelerin farklı renkte
olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 59
ÖRNEK 56
Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan
arka arkaya 2 bilye çekildiğinde, çekilen birinci bilyenin kırmızı, ikinci bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır?
Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze
gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 57
Bir torbada 3 sarı, 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır.
Torbadan bir bilye çekildiğinde, bu bilyenin kırmızı
olma olasılığı nedir?
Çözüm
ÖRNEK 60
Bir torbada 5 siyah ve 3 beyaz bilye vardır. Torbadan
rastgele 3 bilye çekildiğinde ikisinin siyah, birinin
beyaz olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
586
Veri, Sayma ve Olasılık
ÖRNEK 61
ÖRNEK 62
5 doktor ve 6 hemşire arasından 3 kişilik bir ekip
oluşturulacaktır. Bu ekipte en az 2 doktor bulunma
olasılığı kaçtır?
7 kız ve 5 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta kızların 3 ü, erkeklerin 2 si gözlüklüdür. Sınıftan rastgele
seçilen iki öğrencinin,
a.
İkisinin de kız olma olasılığı,
b.
İkisinin de gözlüklü olma olasılığı,
c.
Birisinin kız diğerinin erkek olma olasılığı,
d.
İkisinin de gözlüklü ve kız olma olasılığı,
e.
İkisinin de gözlüklü veya ikisinin de kız olma ola-
Çözüm
sılığını hesaplayınız.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 63
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilen 4 basamaklı ve rakamları farklı
sayılardan bir tanesi seçiliyor. Seçilen bu sayının 5 ile
bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
587
Veri, Sayma ve Olasılık
BAĞIMSIZ OLAYLAR
ÖRNEK 66
İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşme-
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın
mesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa
tura veya zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
bu iki olaya bağımsız olaylar denir.
Çözüm
P ( A ∩ B ) = P (A).P (B)
Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı
olaylar denir.
A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı
P ( A ∩ B ) demektir.
A veya B olaylarının meydana gelme olasılığı
P ( A ∪ B ) demektir.
ÖRNEK 67
Bir topluluktaki 12 bayanın 7 si gözlüklü ve 9 erkeğin
6 sı gözlüklüdür. Bu topluluktan seçilen bir kişinin
erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır?
ÖRNEK 64
A ve B bağımsız olaylardır.
P(A) = 2
3
ve P( B) =
Çözüm:
1
6
Çözüm
®
A ve B bağımsız olaylar olduğundan,
ESEN YAYINLARI
ise P(A ∩ B) ve P(A ∪ B) kaçtır?
ÖRNEK 68
Bir sınava giren Ali’nin sınavı geçme olasılığı 3 ve
5
1
Barış’ın aynı sınavı geçme olasılığı
tür. Buna göre,
3
ÖRNEK 65
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın
tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
588
a.
Her ikisinin de sınavı geçme olasılığı kaçtır?
b.
Sadece Ali’nin sınavı geçme olasılığı kaçtır?
Çözüm
ALIŞTIRMALAR -
1.
5.
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş
3
Bir çift zar atıldığında üste gelen sayıların
kutulara “D ” yanlış olanlar için “Y ” yazınız.
a.
Bir para üst üste 4 kez atılırsa örnek
Aynı olma olasılığını
uzayı 16 elemanlı olur.
Bir zar üst üste 3 kez atılırsa örnek uzayı
216 elemanlı olur.
5 para atıldığında örnek uzayı 25 ele-
b. Farklı olma olasılığını
manlı olur.
Bir A olayının olasılığı P(A) ise
–1 ≤ P(A) ≤ 1 dir.
A kesin olay ise P(A) = 1 dir.
İki madeni para atıldığında en çok bir yazı
gelmesi olasılığı kaçtır?
3.
ESEN YAYINLARI
2.
c.
Toplamlarının 9 olma olasılığını
d. Birinin tek, diğerinin çift sayı olma olasılığını
e.
Toplamlarının 13 olma olasılığını
f.
Toplamlarının en az 2 olma olasılığını bulu-
Bir madeni para art arda 3 kez atıldığında, 2 kez
yazı 1 kez tura gelme olasılığı kaçtır?
nuz.
6.
4.
4 kız, 5 erkek arkadaş yanyana fotoğraf çek-
Bir madeni para art arda 5 kez atıldığında, 2 kez
tireceklerdir. Kızların bir araya gelme olasılığı
yazı 3 kez tura gelme olasılığı kaç olur?
kaçtır?
589
Veri, Sayma ve Olasılık
7.
Aynı büyüklükte 5 kırmızı ve 3 beyaz bilyenin
10. 5 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden her-
bulunduğu bir torbadan, rastgele 3 bilye çekili-
hangi 2 tanesi rastgele alındığında ikisinin de 3
yor. Çekilen bilyelerin,
elemanlı olma olasılığı kaç olur?
a.
Üçünün de beyaz olma olasılığını
b. Üçünün de kırmızı olma olasılığını
11. E örneklem uzayına ait iki olay A ve B olmak
c.
üzere, P (A ) =
Üçünün de aynı renk olma olasılığını
7
1
, P ( B′) =
8
4
ve
P (A ∩ B ) = 1 ise P(A ∪ B) kaçtır?
16
e.
8.
En az birinin kırmızı olma olasılığını bulunuz.
4321132 sayısının rakamları yer değiştirilerek
oluşturulan 7 basamaklı sayılardan biri rastgele
alındığında bunun 4 ile başlayıp 3 ile biten bir
ESEN YAYINLARI
d. İkisinin beyaz, birinin kırmızı olma olasılığını
12. 20 kişilik bir sınıfta bulunan öğrencilerin 12 si
erkektir. Erkeklerin 4 ü, kızların 3 ü gözlüklü
olduğuna göre, sınıftan rastgele seçilen bir
öğrencinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı
kaç olur?
sayı olma olasılığı kaçtır?
9.
Bir torbada, aynı büyüklükte 4 sarı, 3 lacivert ve
5 beyaz bilye vardır. Torbadan geri atılmamak
13. İki madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor.
koşuluyla art arda 3 bilye çekildiğinde birincisinin
Paraların birinin yazı, diğerinin tura ve zarın çift
sarı, ikincisinin lacivert, üçüncüsünün beyaz
sayı gelme olasılığı kaç olur?
olma olasılığı kaç olur?
590
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
4.
İçinde 3 mavi, 4 sarı, 2 beyaz bilye bulunan
bir torbadan rastgele seçilen 3 bilyeden sadece
Düzgün bir madeni para 6 kez atıldığında en az
4 kez yazı gelme olasılığı kaç olur?
ikisinin sarı olma olasılığı kaçtır?
2.
6 noktadan 2 tanesi A ve B dir. Bu noktaların
5.
Duru, Ecem ve Gizem’in sınıflarını geçme olası2 1
3
lıkları sırasıyla ,
tür. Üçünden en az
ve
5 2
4
birinin sınıfını geçme olasılığı kaçtır?
6.
5 elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinden
herhangi üçü doğrusal değildir. Bu noktalarla
oluşturulan tüm üçgenlerden iki tanesi rastgele
[ AB ]
olma
olasılığı kaçtır?
3.
24 futbolcu ve 16 basketbolcunun bulunduğu
ESEN YAYINLARI
seçilirse ikisinin de bir tabanının
bir sporcu grubunda futbolcuların 6 sı, bas-
rastgele 2 tanesi seçildiğinde birinin 2 eleman-
ketbolcuların 4 ü yeşil gözlüdür. Bu gruptan
lı diğerinin 3 elemanlı olma olasılığı kaçtır?
rastgele alınan birinin futbolcu veya yeşil gözlü
olma olasılığı kaçtır?
591
Veri, Sayma ve Olasılık
7.
9.
Bir torbada eşit sayıda sarı ve mavi bilyeler
Ortalaması 50 ve standart sapması 6 olan bir
vardır. Bu torbadan geri konulmamak üzere, art
öğrenci notu grubunda, notu 68 olan bir öğrenci-
arda çekilen iki bilyenin de mavi olma olasılığı
nin standart z notu kaçtır?
8.
Matematik Geometri Edebiyat
Aritmetik Ort. ( x )
77
60
80
Mod
75
70
90
Medyan
80
70
70
Standart Sapma ( s )
2
6
4
Bir sınıfa uygulanan üç dersle ilgili istatistikler
ESEN YAYINLARI
5
ise torbada kaç bilye vardır?
22
10. Aşağıdaki grafik, bir şirketin 2008, 2009, 2010
ve 2011 yıllarında giyim ve gıda alanında yaptığı
ihracat tutarlarını göstermektedir.
Bin TL
Giyim
Gıda
2009
2010
400
200
150
yukarıdaki tabloda verilmiştir. Bu sınıftaki bir
öğrenci matematikten 80, geometriden 72 ve
0
2008
2011
Yıl
edebiyattan 84 aldığına göre, bu öğrencinin
standart z puanları arasındaki sıralama nedir?
Buna göre, bu şirketin yıllara göre toplam ihracatının daire grafiğiyle gösterimini yapınız.
592
TEST 1.
1
Veri – Sayma
5.
2, 2, 3, 4, 5, 12, 1, 3
veri grubunun aritmetik ortalaması kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
Linyit
E) 7
Kok
Taflkömürü
Bir ülkede üretilen kömür miktarlarının cinslerine
göre oranları yukarıdaki grafikte verilmiştir.
Yalnızca bu grafikten yararlanarak aşağıdaki bilgilerden hangisine kesinlikle ulaşılabilir?
2.
A) Üretim miktarı az olduğu için en pahalı kö-
10 sayının aritmetik ortalaması 12 dir. Bu sa-
mür koktur.
yıların herbirinden 2 çıkarılırsa yeni aritmetik
ortalama kaç olur?
A) 8
B) 9
B) Linyit üretim miktarı, toplam kömür üretim
C) 10
D) 11
miktarının yarısından azdır.
E) 12
C) Bu ülkedeki kömür üretiminde taşkömürünün maddi değeri en yüksektir.
ESEN YAYINLARI
D) Kok ve taşkömürü üretim miktarları toplamı,
3.
linyit üretim miktarından azdır.
E) Kok kömürünün elde edilmesi daha masraflı
bir süreçtir.
4, 3, 3, 2, 5, 6, 6, 5, 8
6.
veri grubunun ortancası kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Ö¤renci say›s›
12
10
8
6
4
2
0
50-55 56-61 62-67 68-73 74-79 80-85
A¤›rl›k (kg)
Yukarıdaki grafikte 12 – C sınıfındaki öğrencile4.
rin ağırlıkları gösterilmiştir. 68-73 kg aralığında
8, 4, 5, 10, 8, 3, 6
kalan öğrenci sayısı, tüm sınıfın % 10 u olduğu-
veri grubunun çeyrekler açıklığı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
na göre, sınıfın mevcudu kaç kişidir?
E) 6
A) 36
B) 38
C) 40
D) 42
E) 44
593
Veri, Sayma ve Olasılık
7.
10.
Bir sınıfta bulunan 15 öğrenciye ayakkabı numa-
Nüfus (milyon kifli)
raları sorulmuş ve aşağıdaki çetele elde edilmiş-
40
tir.
30
Kad›n
Erkek
20
38 :
39 :
10
40 :
0
41 :
1995
2000
2005
2010
Y›llar
Grafikte bir ülkedeki kadın-erkek nüfusunun 4
Bu veriler için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
nüfus sayımına göre değişimi gösterilmiştir.
A ) Tepe değeri 41 dir.
I.
B ) Ortancası 40 tır.
2000 yılı sayımında erkek nüfusu bir önceki
sayıma göre artmamıştır.
C ) Aritmetik ortalaması 40 tan küçüktür.
II. Toplam nüfustaki artış oranı en yüksek 2000-
D) Açıklığı 2 dir.
2005 yılları arasında olmuştur.
E ) Alt çeyrek değeri 39 dur.
III. Kadın sayısı, erkek sayısını hiç geçmemiştir.
IV. 2010 yılındaki kadın / e rkek sayıları oranı
1995 yılındaki orana eşittir.
Yukarıdaki ifadelerin Doğru(D ) ve Yanlış (Y)
ESEN YAYINLARI
olarak sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?
8.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
A) D – D – D – Y
B) D – Y – D – Y
C) D – Y – D – D
D) Y – Y – D – Y
E) D – D – D – D
9 10 11 12 13 14
Yukarıda kutu grafiği verilen, veri gurubu aşağı-
11. Bir işyerinde çalışan 8 kişi A ve B diye iki gruba ayrılmıştır. Bu kişilerin isimleri ve maaşlarını
dakilerden hangisi olabilir?
gösteren tablo aşağıda gösterilmiştir.
A ) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14
B ) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 12, 14
C ) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 14
D ) 1, 2, 4, 5, 5, 8, 10, 14
E ) 2, 3, 4, 5, 5, 8, 10, 10
A grubu
Maaş
( TL )
B grubu
Maaş
( TL )
Hülya
1.800
Derya
1.400
Ümit
1.600
Selma
1.800
İlhami
3.200
Fatma
1.500
Turan
2.600
Soner
2.100
A ve B gruplarındaki hangi iki kişi yer değiştirirse
gruplardaki maaşların ortalaması eşit olur?
9.
6, 4, 8
veri grubunun standart sapması kaçtır?
A) 1
594
B) v2
C) 2
D) v5
E) 3
A) İlhami ile Soner
B) Turan ile Derya
C) Hülya ile Derya
D) İlhami ile Selma
E) Turan ile Selma
TEST 1.
3
Veri – Sayma
4.
Aşağıdakilerden kaç tanesi merkezi eğilim ölçüsüdür?
I. Açıklık
II. Aritmetik ortalama
0
III. Ortanca
40
80
120
160
200
240
280
320
IV. Standart sapma
Yukarıdaki grafikte bir veri grubuna ait kutu grafi-
V. Tepe değeri
ği verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
yanlıştır?
E) 5
A) En küçük değer 40 tır.
B) Ortanca 160 tır.
C) Açıklığı 280 dir.
2.
D) Üst çeyrek değeri 280 dir.
10 kişilik bir öğrenci grubundaki her bir öğrenci-
E) Çeyrekler açıklığı 160 tır.
nin ağırlığı (kg)
72, 56, 68, 64, 54, 68, 55, 65, 62, 73
olarak belirlenmiştir. bu veri grubuna göre, aşaESEN YAYINLARI
ğıdakilerden hangileri doğrudur?
I. Alt çeyrek değeri 56 dır.
II. Ortanca değeri 64,5 tir.
III. Açıklık 19 dur.
IV. Tepe değeri 73 tür.
A) Yalnız II
5.
Para (bin TL)
100
Gelir
Gider
80
B) I, II, IV
D) II, III, IV
C) I, II, III
E) I, II
60
40
20
0
3.
Hız (m/s)
A
14
ları arasındaki gelir-gider durumları gösterilmiştir. Buna göre, bu işletme için aşağıda verilen bilgilerden hangisi yanlıştır?
4
A) 2008 yılında kâr etmemiştir.
10
Zaman (s)
B) En yüksek kârı 2010 yılında yapmıştır.
Şekilde A ve B araçlarına ait hız-zaman grafiği
verilmiştir. Kaçıncı saniyede hızları farkı 10 m/s
C) 2006 yılında, 2005 e göre geliri artmamış fakat kârı artmıştır.
D) 2008-2009 arasında zarar etmiştir.
olur?
A ) 40
Y›llar
Aşağıdaki grafikte bir işletmenin 2005-2010 yılB
8
0
2005 2006 2007 2008 2009 2010
B ) 35
C ) 30
D ) 25
E) 20
E) Bu yıllar içindeki toplam kârı 140 bin TL dir.
597
Veri, Sayma ve Olasılık
6.
A
2r
r
O
4
E
D
r
3
)
Şekilde BCD , O merkezli yarım çemberdir.
0
1
2 3
4
5
6
Günler
7
–2
A noktasından harekete başlayarak,
A → B → C → D noktalarından E noktasına ge-
Ankara’da Mart ayının ilk haftasına ait günlük
len hareketlinin, hareketi süresince O noktasına
hava sıcaklıkları grafikte gösterilmiştir. Bu haf-
uzaklığını gösteren grafik aşağıdakilerden han-
taya ait hava sıcaklığı ortalaması 3°C olduğuna
gisidir?
göre, grafik 7. gün hangi noktadan geçer?
A)
B)
X
X
3r
3r
2r
2r
r
r
A) A
t
C)
D)
X
B) B
C) C
X
9.
2r
2r
altta bulunan silindirinin
r
r
yarıçapı 2r, yüksekliği h
t
X
3r
2r
ESEN YAYINLARI
3r
h
r
tır. Üstteki silindirinin ise
yarıçapı r, yüksekliği h tır.
h
Sabit debili A musluğu
açıldıktan sonra tanktaki
2r
su seviyesini zamana kar-
r
şı gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir?
t
A)
120 öğrencinin katıldığı 1. YGS deneme sınavında öğrencilerin matematik netlerinden oluşan
tablo aşağıda verilmiştir.
B)
Su seviyesi (m)
Su seviyesi (m)
2h
2h
h
h
t
C)
t
2t 3t 4t 5t
Zaman (dk)
D)
Su seviyesi (m)
Öğrenci Sayısı
2h
2h
0 – 10
10
h
h
11 – 20
20
21 – 30
60
31 – 40
30
t
Bu verilerle oluşturulan dairesel grafikte, 31- 40
net yapan öğrenci sayısına karşılık gelen daire
t
2t 3t 4t 5t
Zaman (dk)
E)
2t 3t 4t 5t
Zaman (dk)
Su seviyesi (m)
Matematik Netleri
2t 3t 4t 5t
Zaman (dk)
Su seviyesi (m)
2h
h
diliminin merkez açısının ölçüsü kaç derecedir?
A ) 30
598
E) E
A
Yandaki silindirik tankın
3r
E)
D) D
t
t
7.
A
B
C
D
E
6
B
2r
Sıcaklık (°C)
8.
C
B ) 36
C ) 60
D ) 90
E) 108
t
2t 3t 4t 5t
Zaman (dk)
TEST 1.
4
Olasılık
5.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
zı, birinin tura gelme olasılığı kaçtır?
kümesinin elemanlarından biri rastgele seçilirse
bunun asal sayı olma olasılığı kaç olur?
5
A)
7
4
B)
7
3
C)
7
2
D)
7
4 madeni para aynı anda atıldığında 3’ünün ya-
A) 1
4
1
E)
7
6.
B) 1
8
C) 3
8
D) 1
16
E) 3
16
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin alt kümelerinden biri rastgele seçildi-
2.
ğinde bu kümenin elemanları arasında "1" in bu-
Bir tavla zarı atıldığında üste gelen sayının 3 ten
lunma olasılığı kaç olur?
büyük olma olasılığı kaçtır?
5
6
B)
2
3
C)
1
2
D)
1
3
E)
A)
1
6
1
32
B)
1
16
C)
1
8
D)
1
4
E)
1
2
ESEN YAYINLARI
A)
7.
ÖNDER sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirilerek oluşturulan 5 harfli sözcüklerden biri rast-
3.
gele seçildiğinde bu sözcüğün D harfiyle başla-
Bir para iki kez üst üste atıldığında birinin yazı
ma olasılığı kaçtır?
diğerinin tura gelme olasılığı kaç olur?
A)
1
4
B)
1
3
C)
1
2
D)
3
4
E)
A) 1
2
4
5
8.
4.
İçinde 2 kırmızı 3 beyaz bilye bulunan bir torbadan bir çekilişte 2 bilye çekme deneyinde örnek
uzay kaç elemanlıdır?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
B) 2
5
C) 1
5
D) 1
6
E) 1
8
Bir torbada üzerinde 1 den 10 a kadar numaralar
bulunan 10 top vardır. Bu torbadan seçilecek üç
topun üzerindeki sayıların toplamının çift olma
olasılığı nedir?
A)
2
3
B)
1
2
C)
1
3
D)
1
4
E)
599
1
5
Veri, Sayma ve Olasılık
9.
13. Bir torbadaki özdeş bilyelerin 9 tanesi beyaz,
E örnek uzayında iki olay A ve B olsun.
P(A) =
6 tanesi kırmızı, 7 tanesi mavi, 10 tanesi sarıdır.
1
1
1
, P′(B) =
ve P(A ∩ B) =
ise
4
3
2
Bu torbadan en az kaç bilye alınmalıdır ki kalan
P(A ∪ B) kaçtır?
A)
1
3
B)
5
12
bilyelerin renklerine göre çekilme olasılıkları eşit
C)
1
2
D)
7
12
E)
olsun?
2
3
A) 6
olasılığı kaçtır?
kimyadan başarılı ise rastgele seçilen 1 öğren-
A) 3
4
cinin matematik veya kimyadan başarılı olması
olasılığı kaçtır?
B) 2
3
C) 2
5
D) 1
3
15. Bir yarışı A nın kazanma olasılığı
B nin kazanmama olasılığı 1 tür.
3
11. Bir sınıfta 5 siyah 4 kırmızı 3 beyaz elbiseli öğrenci vardır. Rastgele seçilen iki öğrencinin ikisi-
tır?
A) 2
5
B) 1
6
C) 1
7
D) 1
10
E) 1
11
12. Bir çember üzerinde bulunan 5 nokta ile oluşturulmuş, çokgenlerden biri rastgele seçildiğinde
bunun üçgen olma olasılığı kaçtır?
A) 1
2
600
B) 5
8
C) 3
4
D) 4
5
E) 7
8
2
5
A ve B den sadece birinin kazanma olasılığı kaç-
nin de kırmızı elbiseli olma olasılığı nedir?
A) 1
5
E) 1
4
E) 2
5
ESEN YAYINLARI
D) 3
5
E) 10
gele bir kişi seçildiğinde kız veya gözlüklü olma
muştur. 10 öğrenci de hem matematik hem de
C) 4
5
D) 9
4 ü erkeklerin 6 sı gözlüklüdür. Bu sınıftan rast-
matematikten, 20 tanesi kimyadan başarılı ol-
B) 7
10
C) 8
14. 24 kişilik bir sınıfta 10 kız öğrenci vardır. Kızların
10. 40 mevcutlu bir sınıftaki öğrencilerin 14 tanesi
A) 3
10
B) 7
B) 7
15
C) 8
15
D) 3
5
E) 2
3
16. Kız ve erkeklerden oluşan 7 kişilik bir grup yanyana bir sıraya oturduğunda kızların bir araya
gelme olasılığı 1 ise bu grupta kaç erkek var7
dır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
TEST 1.
6
Olasılık
5.
Üç madeni para atıldığında en çok ikisinin yazı
gelme olasılığı kaç olur?
A)
7
8
B)
1
2
C)
3
8
36 kişilik bir sporcu grubunda 25 kişi futbol veya basketbol oynuyor. 20 kişi futbol, 4 kişi her iki
D)
1
4
E)
oyunu oynamaktadır. Rastgele seçilen bir spor-
1
8
cunun basketbol oynuyor olması olasılığı kaçtır?
A) 1
5
6.
2.
B) 1
4
C) 1
3
D) 1
2
E) 2
3
5 kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir grupta
Bir çift zar atıldığında üste gelen sayıların topla-
3 ve 4 kişilik iki ayrı grup oluşturulacaktır. Grup-
mının 8 olma olasılığı kaçtır?
larda kızların ve erkeklerin bir araya gelmeme
5
36
B)
1
6
C)
2
9
D)
1
4
E)
5
18
olasılığı kaçtır?
A) 1
42
B) 1
21
C) 17
42
D) 31
42
E) 41
42
ESEN YAYINLARI
A)
3.
2 mavi, 3 kırmızı bilyenin bulunduğu bir torbadan
7.
samaklı sayılardan bir tanesi rastgele seçilirse
iki bilye alındığında ikisininde kırmızı olma olası-
bu sayının 1 ile başlayıp 4 ile bitme olasılığı kaç
lığı kaçtır?
A)
1
5
B)
3
10
C)
2
5
D)
1
2
E)
olur?
3
5
A) 2
5
8.
4.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
112334 sayısının rakamları ile oluşturulan 6 ba-
B) 3
10
C) 1
5
D) 1
10
E) 1
15
A = {x : 0 < x < 100, x ∈ N} kümesinin elemanları olan sayıların herbirinin rakamları tek tek ke-
kümesinin alt kümelerinden biri rastgele alındı-
silerek birer karta yazılıyor. Bu kartlardan rast-
ğında bunun 3 elemanlı bir küme olma olasılığı
gele biri alındığında kartın üstünde yazan sayı-
kaç olur?
nın 5 olma olasılığı kaçtır?
A)
3
16
B)
1
4
C)
5
16
D)
3
8
E)
7
16
A) 14
189
B) 17
189
C) 4
63
D) 7
62
E) 20
189
603
Veri, Sayma ve Olasılık
9.
13. Bir atıcı hedefe arka arkaya üç atış yapacaktır.
Bir torbada 6 kırmızı ve 4 beyaz bilye vardır.
Torbadan rastgele seçilen 4 bilyeden en az biri-
I. atışında hedefi vurma olasılığı % 25
nin kırmızı olma olasılığı kaçtır?
II. atışında hedefi vurma olasılığı % 40
A) 139
210
B) 203
210
C) 103
105
D) 104
105
III. atışında hedefi vurma olasılığı % x
E) 209
210
Bu atıcının hedefi üçünde de vurmama olasılığı
9
olduğuna göre x kaçtır?
25
A) 10
B) 18
C) 20
D) 24
E) 30
10. Bir kapıyı açmak için denenen 5 anahtardan yalnız biri bu kapıyı açabilmektedir. Anahtarlar sı-
14.
rayla denerek kapı açılmaya çalışılırsa en çok
A
B
C
D
E
F
ikinci denemede kapının açılması olasılığı kaçtır?
K
B) 4
25
C) 3
5
D) 2
5
M
E) 1
5
L
Şekildeki yarım çemberin çapı [AF] dir.
ESEN YAYINLARI
A) 9
25
Verilen noktalardan rastgele seçilen üç noktanın
bir üçgenin köşeleri olma olasılığı nedir?
A) 41
42
11. Ali ve Barış bir madeni para ile oyun oynuyorlar.
B) 37
42
C) 11
14
D) 16
21
E) 29
42
Tura atan oyunu kazanacaktır. Parayı ilk kez Ali
atacağına göre, oyunu Barış’ın kazanma olasılığı kaçtır?
A) 2
3
B) 1
2
C) 1
3
D) 1
4
E) 1
8
15.
D
C
1
1
1
A 1
12. 1 den 100 e kadar ( 1 ve 100 dahil ) olan sayılar
arasından seçilen iki sayıdan birinin diğerinin iki
katı olması olasılığı kaçtır?
A) 1
9
604
B) 1
99
C) 3
25
1
1
1
1 B
Üsteki şekilde alanı 1 br2 olan 15 tane kare vardır. Buna göre, şekilde oluşan dikdörtgenler içinden rastgele birisi boyanırsa, bu boyalı dikdörtgenin kare olma olasılığı kaçtır?
D) 4
17
E) 5
8
A) 1
5
B) 2
9
C) 11
45
D) 4
15
E) 13
45
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1990 – ÖYS
A
4.
B
C
D
1998 – ÖYS
Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane yeşil mendil var-
E
dır. Bu torbadan, geri atılmamak koşulu ile iki
kez birer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birincisinde mavi, ikincisinde de yeşil mendil çekme
olasılığı kaçtır?
Şekildeki A, B, C, D, E noktaları bir doğru ve ay-
A) 70
12
rıca C, D noktaları bir çember üzerindedir.
B) 20
49
C) 10
45
D) 10
21
E) 5
21
Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki noktadan yalnız birinin çembere ait olma olasılığı
kaçtır?
A) 2
3
B) 2
5
C) 3
5
D) 5
6
E) 7
10
2.
1992 – ÖYS
Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye
ESEN YAYINLARI
5.
Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri eşkenar
üçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yüzünde de T harfleri yazılıdır. Bu düzgün dörtyüzlü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, sırasına ve
vardır. Aynı anda çekilen 2 bilyeden birinin be-
yönüne bakılmaksızın A, T, A harflerinin görül-
yaz öbürünün siyah olma olasılığı kaçtır?
me olasılığı kaçtır?
A) 1
6
B) 1
11
C) 2
11
D) 4
33
A) 1
2
E) 5
33
6.
3.
1999 – ÖSS
B) 1
3
C) 2
3
D) 1
4
E) 3
4
2007 – ÖSS
1995 – ÖYS
A = {–2, –1, 0, 1}
Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır.
B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} kümeleri veriliyor.
Bu torbadan rasgele çekilen 3 bilyeden birinin
A x B kartezyen çarpımından alınan bir elema-
beyaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır?
nın (a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır?
A) 3
10
A) 1
4
B) 3
19
C) 4
15
D) 5
14
E) 5
13
B) 1
6
C) 1
8
D) 1
12
E) 5
24
605
Veri, Sayma ve Olasılık
7.
2008 – ÖSS
9.
2010 – YGS
Bir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve 1 sarı bilye
vardır. Torbadan rastgele 4 bilye alındığında torbada kalan bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı
Yukarıdaki yedi nokta, eş karelerin köşeleri üze-
kaçtır?
rinde bulunmaktadır.
A)
Bu yedi noktadan rastgele seçilen üç noktanın
1
2
B)
2
3
C)
3
4
D)
2
5
E)
3
5
bir üçgen oluşturma olasılığı aşağıdakilerden
hangisidir? ( Aynı doğru üzerindeki üç noktanın
bir üçgen oluşturmadığı kabul edilecektir.)
A) 32
35
B) 27
35
C) 24
35
D) 5
7
E) 3
7
8.
2009 – ÖSS
Bir mağazadan belirli miktarın üzerinde alışveriş
yapan müşteriler, 4 eş parçaya ayrılmış birinci
çarkı iki defa çevirmektedir. Bu iki çevirişte ge-
ESEN YAYINLARI
10. 2010 – LYS
A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { –2, –1, 0 }
olmak üzere A x B kartezyen çarpım kümesinden alınan herhangi bir (a, b) elemanı için
a + b toplamının sıfır olma olasılığı kaçtır?
A)
1
4
B)
1
5
C)
1
6
D)
1
7
E)
2
7
len iki sayının toplamı 6 ya da 6 dan büyükse 6
eş parçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek çıkan
hediyeyi almaktadır.
ütü
1
2
3
4
çamafl›r
makinesi
kahve
makinesi
ütü
ütü
tost
makinesi
I. çark
II. çark
11. 2011 – LYS
Buna göre, birinci çarkı çevirmeyi hak eden bir
6 kız ve 7 erkek öğrencinin bulunduğu bir grup-
müşterinin çamaşır makinesi kazanma olasılığı
tan 2 temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilciden
kaçtır?
birinin kız, diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır?
A)
606
1
14
B) 1
16
C)
5
24
D) 3
28
E)
5
32
A)
3
4
B)
3
8
C)
2
13
D)
7
13
E)
9
13
Veri, Sayma ve Olasılık
12. 2012 – YGS
15. 2013 – YGS
Boyları farklı dört öğrenci bir çizgi boyunca rast-
Aşağıdaki grafikte, beş kişinin boyları ile ilgili bazı
gele sıraya giriyor. Buna göre, en kısa ve en
bilgiler verilmiştir.
uzun boylu öğrencilerin uçlarda olma olasılığı
Boy (cm)
kaçtır?
1
A)
2
174
1
B)
3
1
C)
4
1
D)
6
1
E)
12
Kifli
Bu kişilerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
•
Ayşe ve Kemal aynı boydadır.
•
Bora, Kemal'den 2 cm kısadır.
•
Elif, Mehmet'ten 6 cm uzundur.
•
Mehmet, Ayşe'den 3 cm uzundur.
Buna göre, bu kişilerin boy ortalaması kaç cm
dir?
13. 2012 – LYS
Bu torbadan aynı anda rastgele 3 bilye çekildiğinde her bir renkten en fazla 2 bilye olma
olasılığı kaçtır?
A)
2
3
B)
3
4
C)
5
6
D)
7
8
E)
B) 165
C) 166
D) 167
E) 168
ESEN YAYINLARI
A) 164
Bir torbada 5 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır.
8
9
14. 2013 – YGS
Bir torbada 1 den 10 a kadar numaralandırılmış
10 top bulunmaktadır.
Bu torbadan rastgele çekilen iki topun numaraları
toplamının 15 olduğu bilindiğine göre, 7 numaralı
topun çekilmiş olma olasılığı kaçtır?
A) 2
3
B) 2
5
C) 2
7
D) 1
2
E) 1
3
607
ESEN YAYINLARI
Veri, Sayma ve Olasılık
608