Fonksiyon - Limit ve Süreklilik.qxp
advertisement
Bireysel Yetenek Yayınları: 02
LYS Konu Özetli Fonksiyonlar – Limit ve Süreklilik Fasikülü
Namık KARAYANIK – Alper ÇALIŞKAN – Murat KARABİBER
Bireysel Yetenek Yayınları © 2012
Kapak
Faruk YILMAZ
Dizgi
Özen ÇOLAK
Baskı
Bry Matbaacılık
Tel: 0212 886 93 45
ISBN: 978-605-87284-1-7
BİREYSEL YETENEK
www.bireyselyetenek.com
info@bireyselyetenek.com
Bu kitapçık 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kısmen ya da tamamen basılamaz,
dolaylı dahi olsa kullanılamaz, teksir, fotokopi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz.
Her hakkı saklıdır, ARDA Tic. Ltd. Şti.’ne aittir.
FONKSÝYONLAR – LÝMÝT ve SÜREKLÝLÝK
Fonksiyonlar
Konu Özeti
Fonksiyonun Tanýmý
Fonksiyon Grafiði
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A nın her bir ele-
f: A B, y = f(x) fonksiyonu için
manını B de yalnız bir elemanla eşleyen f bağıntısına
f = 7(x, y): y = f(x) , x A , y B?
A dan B ye bir fonksiyon denir.
kümesine analitik düzlemde karşılık gelen noktalar küme-
f
f: A B ya da A B biçiminde gösterilir.
sine f fonksiyonunun grafiği denir.
Burada A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de
fonksiyonun değer kümesi denir.
y
y = f(x) fonksiyonu veril-
Tanım kümesindeki bir x elemanı, değer kümesinde-
y = f(x)
m
miştir. A R ve B R
e
dir. Şekle göre,
ki bir y elemanına f ile bağlı ise bu durum;
[a, b] tanım kümesi
[d, m] görüntü kümesi
(b, m) f olduğun-
(x, y) f, f: x y ya da f(x) = y biçiminde gösterilir.
Yandaki şekilde f: A B,
A kümesinin bütün elemanlarının f ile B de eşlendiği
c
0
a
b
x
d
dan f(b) = m , f(0) = e , f(c) = d yazılır.
tüm değerlerin kümesine, A nın f altındaki görüntüsü
denir ve f(A) ile gösterilir.
f(A) = 7f(x): x A? , f(A) B
A
x
f
B
y
f(A)
görüntü
kümesi
fonksiyon grafiğidir. Paralel doğrular, grafiği birden
fazla noktada kesiyorsa fonksiyon grafiği değildir.
Her fonksiyon bir bağıntıdır. Ancak her bağıntı
fonksiyon değildir. Fonksiyon özel bir bağıntıdır.
f(A)
Taným kümesi
Bir bağıntının grafiğinde y eksenine çizilen paralel
doğrular grafiği en fazla bir noktada kesiyor ise grafik
Bireysel Yetenek
kümesi f fonksiyonunun görüntü kümesidir.
Yandaki grafik
Deðer kümesi
3
Fonksiyonun tanım
2
kümesi ve değer kü-
tısının fonksiyon olabilmesi için:
mesi reel sayılardır.
f(1) = 3, f(0) = 2,
Tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
y = f(x)
fonksiyonuna aittir.
Fonksiyon tanımına göre, A dan B ye bir f bağın-
I.
y
f: R R , y = f(x)
5
3
1
0
x
2
f(–3) = 0, f(–5) = –2 dir.
x A için (x, y) f olacak biçimde en az bir
y B vardır.
Fonksiyon Çeþitleri
II. Tanım kümesindeki her elemanın yalnız bir görüntüsü olmalıdır. Yani tanım kümesindeki bir
1.
eleman değer kümesinde birden fazla elemanla
Bire Bir Fonksiyon
f: A B fonksiyonu verilsin. A tanım kümesindeki
eşlenemez.
her farklı elemanın görüntüsü farklı ise bu tip fonksiyona
x A için (x, y) f ve (x, z) f ise y = z dir.
bire bir fonksiyon denir.
3
Fonksiyonlar
2.
Konu Özeti
x1, x2 A için x1 x2 f(x1) f(x2) ya da
Fonksiyon Sayýsý
f(x1) f(x2) x1 x2 olmalıdır.
s(A) = n ve s(B) = m olmak üzere,
Örten Fonksiyon
1.
A dan B ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısı mn dir.
Değer kümesi ile görüntü kümesi eşit olan fonksi-
2.
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyon sayısı:
yonlara örten fonksiyon denir.
f: A B ye f örten f(A) = B dir.
3.
Ýçine Fonksiyon
P(m, n)
3.
A dan B ye tanımlanabilecek sabit fonksiyon sayısı:
s(B) = m dir.
Görüntü kümesi, değer kümesine eşit olmayan fonksiyonlara denir.
m!
dir.
(m n)!
4.
A dan A ya tanımlanabilecek (A da) bire bir ve örten
fonksiyon sayısı: n! dir.
f: A B ye y = f(x) ile tanımlı f fonksiyonu içine
fonksiyon olması için f(A) B ve f(A) B olmalıdır.
5.
A dan A ya tanımlanabilecek içine fonksiyonların sayısı: nn – n! dir.
4.
Birim (Özdeþ) Fonksiyon
6.
f: A A fonksiyonu verilsin. Her elemanı kendisi ile
A dan B ye tanımlanabilecek fonksiyon olmayan bağıntı sayısı: 2m.n – mn dir.
eşleyen fonksiyona birim (özdeş) ya da etkisiz fonksiyon
: A A ye (x) = x veya f(x) = x fonksiyonu birim
fonksiyondur.
5.
Sabit Fonksiyon
Bireysel Yetenek
denir. Genellikle ile gösterilir.
Tanım kümesinin her elemanının görüntüsü aynı ve bir
reel sayıya eşit ise bu tür fonksiyonlara sabit fonksiyon de-
x A için f(x) = c (c R) ise f sabit fonksiyondur.
Bir sabit fonksiyonda c = 0 ise yani her elemanı sıfı-
f: A B , f(x) = y fonksiyonu bire bir ve örten olsun.
f –1: B A , f –1(y) = x fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir ve f –1 ile gösterilir.
nir. Sabit fonksiyonda f(A) görüntü kümesi bir elemanlıdır.
Bir Fonksiyonun Tersi
fonksiyon bire bir ve örten olmalıdır.
ra eşleyen fonksiyona sıfır fonksiyonu denir.
f: A B , f(x) = y f –1(y) = x
Bir fonksiyonun tersinin tersi kendisine eşittir.
f: A B , x A için f(x) = 0 oluyorsa f sıfır fonksi-
(f –1)–1 = f dir.
yonudur.
ax b
a
b
f(x)
sabit fonksiyon ise
dir.
cx d
c
d
Bir fonksiyon ile tersinin grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.
ax 2 bx c
a
b
c
sabit fonksiyon ise
f(x)
2
d
e
f
dx ex f
Kuralı verilen bir fonksiyonun tersini bulmak için, verilen eşitlikte x yalnız bırakılır. Daha sonra x yerine y
ve y yerine x yazılarak ters bulunmuş olur.
6.
Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için
Doðrusal Fonksiyon
Bir fonksiyonun tersini kısa yoldan aşağıdaki bağıntıları kullanarak bulabiliriz.
a, b R , a 0 olmak üzere, f: R R , f(x) = ax + b
şeklindeki birinci dereceden fonksiyona doğrusal fonksiyon denir. Bu fonksiyonların grafiği analitik düzlemde bir
doğru belirtir.
4
I.
f(x) = ax + b ise f 1(x)
II.
f(x)
x b
dır.
a
ax b
dx b
ise f 1(x)
dır.
cx d
cx a
Fonksiyonlar
Konu Özeti
Fonksiyonlarda Bileþke Ýþlemi
Permütasyon fonksiyonların bileşkesi:
f: A B , f(x) = y ve g: B C , g(y) = z ise gof: A C,
1 2 3 4
1 2 3 4
ve g
f
2 4 1 2
4 2 1 3
(gof)(x) = g •f(x)œ = z kuralı ile tanımlı fonksiyona f ile g nin
fonksiyonları verilsin. Buna göre,
bileşke fonksiyonu denir. Tanıma ait şemayı çizelim.
1 2 3 4 1 2 3 4
fog
o
3 4 1 2 4 2 1 3
A, B ve C boş olmayan kümeler olmak üzere,
A
f
g
B
x
y
C
1 2 3 4
olur.
2 4 3 1
z
Fonksiyon Grafiðinin Okunmasý
gof
y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde, grafik üzerindeki
her nokta fonksiyona ait olduğundan fonksiyonun denkle-
(gof)(x) = g •f(x)œ = g(y) = z dir.
mini sağlar. (a, b) f ise f(a) = b olup a değeri x ekseni
üzerinde, b değeri y ekseni üzerindedir.
f –1(c) = d ise f(d) = c olduğundan y ekseninde c de-
Bileþke Ýþleminin Özellikleri
1.
ğerine karşılık, x ekseninde d değeri gelir.
Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği
yoktur. fog gof tur.
I.
Birleşme özelliği vardır. (fog)oh = fo(goh) tır.
3.
Bileşke işleminin etkisiz elemanı (x) = x birim fonksiyonudur. fo = of = f dir.
4.
Bir fonksiyonla tersinin bileşkesi birim (etkisiz) fonksiyona eşittir.
fof –1
=
f –1of
= dır.
5.
Bileşkenin tersi: (fog)–1 = g–1of –1 dir.
6.
fog = h ise f = hog–1 ve g = f –1oh tır.
3
Buna göre,
2
f(–1) = 1, f –1(3) = 1,
1
2
f(2) = –1, f(0) = 2 dir.
1
(fof)(–1) = f •f(–1)œ = f(1) = 3 tür.
II.
Yandaki şekilde f(x)
ve g(x) fonksiyonlarının grafiği verilmiştir.
Permütasyon Fonksiyonu
0
x
1
1
y = f(x)
y
g(x)
3
2
Buna göre,
Boş olmayan bir A kümesi üzerinde tanımlanan bire bir
f(2) tanımsızdır.
ve örten fonksiyonların her birine A da bir permütasyon fonk-
g(2) = 3, f(4) = –2,
siyonu denir. Örneğin A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı;
f –1(–2) = 4, g(1) = 2 dir.
f = 7(1, 5), (2, 3), (3, 1), (4, 2), (5, 4)?
fonksiyonu bir permütasyon fonksiyondur. Bu fonksiyon;
1 2 3 4 5
f
biçiminde gösterilir. Burada 1 in gö5 3 1 2 4
4
0
1
2
2
x
3
f(x)
(fog)(2) = f •g(2)œ = f(3) = 0 dır.
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Tanım: A R ve f: A B , y = f(x) fonksiyonu verilsin.
rüntüsü 5, 4 ün görüntüsü 2 dir. Yani; f(1) = 5, f(2) = 3,
x1, x2 A için x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) oluyorsa,
f(3) = 1, f(4) = 2, f(5) = 4 tür.
y
fonksiyonuna aittir.
Bireysel Yetenek
2.
Şekildeki grafik y = f(x)
f fonksiyonuna A aralığında artan fonksiyon denir.
x1, x2 A için x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) oluyorsa,
Permütasyon fonksiyonunun tersi:
a b c d
a b c d
1
f
dir.
ise f
b d a c
c a d b
f fonksiyonuna A aralığında azalan fonksiyon denir.
x1, x2 A için x1 < x2 iken f(x1) = f(x2) oluyorsa,
f fonksiyonuna A aralığında sabit fonksiyon denir.
Yani f(a) = c olduğundan f –1(c) = a dır.
5
Fonksiyonlar
Konu Özeti
y
y
f(x1)
3.
Köklü fonksiyonların en geniş tanım kümesi:
f(x) 2n g(x) fonksiyonun en geniş tanım kümesi,
g(x) 0 koşulunu sağlayan x noktalar kümesidir.
f(x2)
f(x1)
a
x1
x2
b
x
f(x2)
a x1
x2
b
f, (a, b) aralýðýnda
f, (a, b) aralýðýnda
artan fonksiyondur.
azalan fonksiyondur.
f(x) 2n1 g(x)
fonksiyonu g(x) in tanımlı olduğu
tüm reel sayılarda tanımlıdır.
x
4.
f(x) = logh(x) •g(x)œ biçimindeki logaritma fonksiyonlarının en geniş tanım kümesi:
h(x) > 0 , h(x) 1 ve g(x) > 0 koşullarını sağlayan ortak noktalar kümesidir.
Tek ve Çift Fonksiyonlar
Özel Tanýmlý Fonksiyonlar
Tanım: f: [–a, a] R , y = f(x) fonksiyonu verilsin.
1.
Parçalý Fonksiyonlar
x [–a, a] için f(–x) = – f(x) oluyorsa, f fonksiyoTanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer kuralla ta-
nuna tek fonksiyon denir.
nımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyonlar denir.
x [–a, a] için f(–x) = f(x) oluyorsa, f fonksiyo-
g(x) , x a
f: R R , f(x)
h(x) , x a
Polinom şeklindeki tek fonksiyonlarda çift dereceli terimlerin katsayıları sıfırdır.
Polinom şeklindeki çift fonksiyonlarda tek dereceli terimlerin katsayıları sıfırdır.
Bireysel Yetenek
nuna çiftk fonksiyon denir.
fonksiyonu parçalı fonksiyondur. Burada alt aralıkların
uç noktası olan x = a noktasına fonksiyonun kritik noktası denir.
Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken, tanım aralığı-
Tek fonksiyonların grafikleri orjine göre simetriktir.
nın her alt aralığındaki farklı kuralla tanımlanmış fonk-
Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simet-
siyonların grafikleri ayrı ayrı çizilerek grafik belirlenir.
riktir.
2.
tek veya çift fonksiyon olmayabilir.
f(x) , f(x) 0
| f(x) |
f(x) , f(x) 0
Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi
1.
biçiminde tanımlanan y = |f(x)| fonksiyonuna mutlak
Polinom fonksiyonların en geniş tanım kümesi:
xn – 1 + ... + a x + a biçimindeki
P(x) = a xn + a
değer fonksiyonu denir. Mutlak değerin içini sıfır ya-
polinom fonksiyonlar tüm reel sayılarda tanımlıdır.
siyonun kritik noktaları denir.
n
2.
Mutlak Deðer Fonksiyonu
Bir fonksiyon hem tek hem de çift olabileceği gibi,
n–1
1
pan yani f (x) = 0 şartını sağlayan x değerlerine fonk-
0
Rasyonel fonksiyonların en geniş tanım kümesi:
f(x)
f(x) ve g(x) polinom fonksiyon olmak üzere, h(x)
g(x)
fonksiyonu g(x) = 0 şartını sağlayan x değerlerinde
Mutlak değer fonksiyonunun grafiği:
y = |f(x)| in grafiği çizilirken önce y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilir. Daha sonra x ekseninin altında kalan kısmın x eksenine göre simetriği alınır. Dolayı-
tanımsızdır. O halde en geniş tanım kümesi,
sıyla fonksiyon kritik noktalarında kırılma ya da kıv-
R – 7x: g(x) = 0? dır.
rılma yapar. Aşağıdaki şekilleri inceleyiniz.
6
Fonksiyonlar
Konu Özeti
y
2.
y
2
2
y=x 1
y = |x 1|
1
1
0
1
x
1
0
x
1
f: R R , f(x) = | ax – b | – | mx – n | , (m a) fonksib
yonunun grafiği, mutlak değer içlerini sıfır yapan
a
n
ve
değerlerinde kırılma yapar. Bu değerlerden
m
küçük olanına x1 ve büyük olanına x2 diyelim. Grafik, aşağıdaki üç farklı durumlarda oluşabilir.
1
1
y
Mutlak değer içleri f(x) = ax + b biçiminde olan, iki
y
x1
mutlak değer toplamından oluşan fonksiyonların grafik-
0
x
x2
x1
0
x2
x
leri aşağıda verilen şekillerdeki gibi oluşur. İnceleyiniz.
1.
f: R R,
y
Minimum ve maksimum
Maksimum deðeri vardýr.
deðer yoktur.
f(x) = | x – a| + | x – b| fonksiyonunun grafiği x = a ve x = b
y
|a b|
de kırılma yapan ve minimum
değeri f(a) = f(b) = |a – b| olan
a
0
x
b
x1
0
2.
f: R R,
Bireysel Yetenek
yandaki şekli çizer.
y
f(x) = | ax – b | + | mx – n |,
m a grafiği, mutlak değer
n
b
içlerini sıfır yapan
ve
m
a
değerlerinde kırılma yapar.
f(x2)
f(x1)
0
Bu değerlerden küçük ola-
x1
x
Minimum deðeri vardýr.
O halde f(x) = | ax – b | – | mx – n | fonksiyonunun minimum veya maksimum değeri (varsa) kritik noktala-
x
x2
x2
rın birinde oluşur.
nına x1 ve büyük olanına x2 diyelim. Fonksiyonun
f(x1) ya da f(x2) de bir minimum değeri oluşur. Fonkf(x) = |ax – b| – |mx – n| biçimindeki fonksiyonların
siyonun grafiği yanda görüldüğü gibidir.
grafiklerini çizmek için, aşağıdaki aşamalar izlenmelidir.
Mutlak değer içleri f(x) = ax + b biçiminde olan, iki
mutlak değer farkından oluşan fonksiyonların grafikleri aşağıda verilen şekillerdeki gibi oluşur. İnceleyiniz.
Kritik noktalar ve görüntüleri bulunur.
Soldaki kritik noktanın solunda bir nokta seçilip bu
noktanın görüntüsü bulunur. Bu iki nokta birleştirilip
1.
f: R R,
grafiğin sol kısmı çizilir.
y
f(x) = | x – a| – | x – b| fonk-
|a b|
siyonunun grafiği x = a ve
a
x = b de kırılma yapar. Bu
0
b
x
İki kritik nokta birleştirilir.
Sağdaki kritik noktanın sağında bir nokta seçilip bu noktanın görüntüsü bulunur. Bu iki nokta birleştirilip grafiğin
noktaların birinde minimum
değer, diğerinde maksi-
sağ kısmı çizilir. Böylece grafik tamamlanmış olur.
|a b|
mum değer oluşur. Şekilde,
f(a) = –|a – b| (minimum değer)
f(b) = |b – a| = |a – b| (maksimum değer) dir.
7
Limit
Konu Özeti
y
Limit
f(x)
Soldan ve Saðdan Yaklaþma
y
f(x)
L1
x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorL2
sa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve
x
a–
biçiminde gösterilir.
sa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve
lim f(x) = L1
x
Saðdan
yaklaþma
a
x
a
0
lim f(x) = L2
x ® a
x a+ biçiminde gösterilir.
Soldan
yaklaþma
x
a
0
x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyor-
x ® a+
y = f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki soldan ve
sağdan limitleri aynı reel sayıya eşit ise limit vardır,
eşit değil ise limit yoktur.
x
y
Tanım: x değerleri bir a sayısına soldan ve sağdan
y
y = f(x)
f(a)
y = f(x)
f(a) = L2
yaklaşırken f(x) değerleri de bir L reel sayısına yaklaL
şıyorsa, L reel sayısına f fonksiyonunun x = a nokta-
L1
sındaki limiti denir ve lim f(x) L biçiminde gösterilir.
xa
Bireysel Yetenek
Yanda grafiği verilen
y
y = f (x) fonksiyonunun x = a
y = f(x)
noktasındaki limiti,
lim f(x) L dir.
x a
L
0
a
x
a
0
L1 = L2 = L olduðundan
x
a
0
L1 ¹ L2 olduðundan
lim f(x) = L dir.
lim f(x) yoktur.
x®a
x®a
f(a), tanýmlý olup f(a) ¹ L dir.
f(a) = L2 dir.
Aralýðýn Uç Noktalarýndaki Limit
x
f: (a, b] R , y = f(x) fonksiyonunun tanım aralığının uç noktalarındaki limiti:
Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o nok-
y
tada tanımlı olması gerekmez.
f(b) = n
Soldan ve Saðdan Limit
y = f(x)
m
x değerleri a dan küçük değerlerle artarak soldan
a
a ya yaklaşırken, f(x) ler de bir L1 reel sayısına yak-
0
b
x
laşıyorsa; L1 reel sayısına f fonksiyonunun x = a
noktasındaki soldan limiti denir ve lim f(x) L1
biçiminde gösterilir.
x a–
f fonksiyonunun a noktasında sadece sağdan limiti
vardır. Çünkü fonksiyon a nın sol tarafında tanımlı
x değerleri a dan büyük değerlerle azalarak sağdan
değildir. lim f(x) m dir.
x a
a ya yaklaşırken, f(x) ler de bir L2 reel sayısına yak-
laşıyorsa; L2 reel sayısına f fonksiyonunun x = a
f fonksiyonunun b noktasında sadece soldan limiti
noktasındaki sağdan limiti denir ve lim f(x) L2
vardır. Çünkü fonksiyon b nin sağ tarafında tanımlı
biçiminde gösterilir.
değildir. lim f(x) f(b) n dir.
x a+
x b
8
Limit
Konu Özeti
Limit Özellikleri
Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Limiti
f ve g, x = a noktasında limitleri olan iki fonksiyon olsun.
1.
c R için, lim c c
g(x) , x a
f: R R , f(x)
fonksiyonu verilsin.
h(x) , x a
x a
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x)
x a
x a
x a
lim [f(x).g(x) ] lim f(x). lim g(x)
x a
x a
Limiti sorulan nokta kritik nokta ise, yani x = a noktasında limit sorulduğunda soldan ve sağdan limitler
x a
c R için, lim [c.f(x)] c. lim f(x)
g(x) 0 ve lim g(x) 0 için,
x a
incelenir. Bunların eşitliği durumunda, x = a da limit
vardır. Ancak sol ve sağ limitler farklı ise kritik nok-
x a
tada limit yoktur.
x a
Limiti sorulan nokta kritik nokta değilse yani x a
lim f(x)
lim
lim f(x) lim f(x)
x a
2.
n
x a
f(x) n lim f(x)
x a
x R , f(x) > 0 olmak üzere,
lim [log f (x) ] log lim f(x)
x a
x a
f: R R , lim | f(x)| in bulunuşunda;
n tek veya çift pozitif tam sayı olmak üzere,
lim
lim [f(x) ] lim f(x)
x a
c
c
x = a noktası kritik nokta ise (f(a) = 0) soldan ve sağdan limitler incelenir. Bunların eşitliği durumunda,
x = a da limit vardır. Ancak sol ve sağ limitler farklı
ise kritik noktada limit yoktur.
Limiti sorulan nokta kritik nokta değilse (f(a) 0) fonksiyonun o noktadaki görüntüsü limitine eşittir.
x a
UYARI
Polinom fonksiyonların x = a noktasındaki limiti, fonksiyonun bu noktadaki görüntüsüne eşittir.
xn – 1 + ... + a x + a olmak üzere,
P(x) = a xn + a
n
n–1
1
y = f(x) fonksiyonunun x = a noktasında limiti hesap-
0
lanırken;
lim P(x) P(a) dır.
x = a noktası, f(x) fonksiyonu için bir kritik nokta de-
x a
Mutlak Değer Fonksiyonun Limiti
x a
x a
rüntüsü limitine eşittir.
x a
Bireysel Yetenek
için limit sorulduğunda fonksiyonun o noktadaki gö-
f(x)
x a
g(x)
lim g(x)
x a
Parçalı Fonksiyonların Limiti
ğilse soldan ve sağdan limite bakmaya gerek yoktur. Fonksiyonun o noktadaki görüntüsü limitine
eşittir. lim f(x) f(a) dır.
x – ya da x + için polinom fonksiyonların limiti bulunurken, derecesi büyük olan terime bakılarak
karar verilir. Yani, n N olmak üzere,
lim (anxn an – 1xn – 1 ... a1x a0) = lim anxn dir.
x
xa
x = a noktası, f(x) fonksiyonu için bir kritik nokta
x
ise, soldan ve sağdan limitler incelenmelidir.
Rasyonel fonksiyonların kritik noktası paydayı sıfır
Trigonometrik Fonksiyonlarýn Limiti
yapan x değerleridir.
a R olsun.
lim sin(x) sina
xa
lim cos(x) cosa
xa
lim tan(x) tana
xa
lim cot(x) cota
xa
Geniþletilmiþ Reel Sayýlar Kümesinde Limit
(cosa 0)
Reel sayılar kümesine – ve + ifadelerinin eklen-
(sina 0)
mesiyle elde edilen yeni kümeye genişletilmiş reel sayılar
kümesi denir. Sonsuzluk kavramı reel sayı değildir.
9
Limit
Konu Özeti
Sonsuz Ýçin Limit
y
3.
1.
y = f(x)
y
lim f(x)
x a
lim f(x)
x a
lim f(x)
x a
m
x
0
y = f(x)
y
y
Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde, x de-
f(x) = 1
x
ğerleri artarak büyüdükçe, y değerleri m sayısına
yaklaşmaktadır. Bu durumda, lim f(x) m yazılır.
f(x) = 12
x
x
0
x
2.
x
a
0
x
0
y
n
I
x
lim
1
,
x
x 0
lim
1
0
x
x
x 0
y = f(x)
Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde, x değerleri azalarak küçüldükçe, y değerleri n sayısına
yaklaşmaktadır. Bu durumda, lim f(x) n yazılır.
Bireysel Yetenek
0
x
x
y
y = f(x)
lim
x 0
1
x2
1
0
x
1
x
1
yoktur.
lim
x
x
0
1
lim
x 0 x
x 0
lim
a
1
,
x2
lim
x 0
0
lim
x 0
x 0
lim
lim f(x)
x a
lim f(x) yoktur.
x a
lim f(x)
x a
, lim
1
x
UYARI
Sonsuz Limit
1.
lim
II
1
x2
1
lim 2
x
0
1
x
x2
Şekil II deki durum farklıdır. Çünkü x değerleri sol-
x
dan ve sağdan sıfıra yaklaşırken fonksiyon aynı
1
x2
1
yazılır. Ancak lim 2 yazılışı sembolik olup
x 0 x
limitin var olduğu anlamına gelmez. Çünkü x değer-
yönde sonsuza gitmektedir. O halde lim
x 0
y
2.
lim f(x)
lim f(x)
x a
lim f(x)
x a
x a
leri her iki taraftan da sıfıra yaklaştıkça, y değerleri
0
a
bir reel sayıya yaklaşmadığı gibi istenildiği kadar bü-
x
yümektedir.
y = f(x)
10
Limit
Konu Özeti
Limitte Belirsizlik Durumlarý
0
Belirsizliği
0
Bu belirsizlik
lim f(x) 0 ve lim g(x) 0 ise, lim
x a
0. Belirsizliği
x a
x a
belirsizliklerinden birine
0
ya da
0
dönüştürülerek limit hesaplanır.
f(x)
0
be
g(x)
0
lirsizliği oluşur. Bu durumda f(x) ve g(x) fonksiyonları
1 Belirsizliği
lim [1 f(x)] g(x) ifadesinde,
(x – a) çarpanına sahiptir. Her iki fonksiyon (x – a)
x
çarpan parantezine alınarak,
lim f(x) 0 , lim g(x) ve lim [f(x).g(x) ] k ise
x
(x a) .f1(x)
f (a)
f(x)
1
lim
lim
elde edilir.
g1(a)
x a g(x)
x a (x a) .g1(x)
lim
x 0
lim [1 f(x)] g(x) e k dır.
sin x
sin ax
a
sin ax
a
, lim
1 , lim
x
b x 0 sinbx
b
x 0 bx
Özel olarak,
x
1
a
lim 1 e , lim 1
x
x
x
mx n
tan x
tan ax
a
tan ax
a
lim
, lim
1 , lim
x
b x 0 tanbx
b
x 0
x 0 bx
n
lim
x
an x ... a1x a 0
bmxm ... b1x b 0
0
, n m
an
bm
, nm
Bireysel Yetenek
m, n N olmak üzere,
bx c
e
dir.
sin x
cos x
0 , lim
0 dır.
x
x
x
a R ve a 0 olmak üzere,
|a| < 1 ise lim a x 0
x
a > 1 ise lim a x
x
a –1 ise lim a x yoktur.
x
veya , n m
Bir Dizinin Limiti
x + için rasyonel fonksiyonların limit hesabında
pay veya payda xx, 3x, x!, ... gibi terimlere sahipse,
(an) bir dizi olsun. n için an bir a sayısına yakla-
aşağıdaki sıralamaya göre işlem yapılır. Daha hızlı
şıyor ise (an) dizisinin limiti a dır denir ve lim (an) a
büyüyen terimlerin yanında ondan daha küçük kalan
biçiminde gösterilir.
n
terimler ihmal edilir.
f(x), [1, ] aralığında tanımlı bir fonksiyon ve (an) genel
xx > x! > 3x > 2x > x3 > x2 > logx > sinx
terimi an = f(n) olan bir dizi olsun.
lim f(x) mevcutsa, lim (an) lim f(x) dir.
x
a.b
m
–1 sinx 1 ve –1 cosx 1 olduğundan,
lim
Belirsizliği
x
x
x
x
n
x
– Belirsizliği
Bu belirsizlik genellikle
belirsizliklerin0
ya da
0
Sonsuz Geometrik Dizi
den birine dönüştürülerek limit hesaplanır. Ayrıca bu
(an) geometrik bir dizi olsun.
(an) = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
n=1
belirsizliğin oluştuğu köklü fonksiyon sorularında; a > 0
olmak üzere, lim
x
ax 2 bx c lim
x
a x b
2a
ifadesine sonsuz geometrik dizi toplamı denir.
bağıntısı kullanılır.
11
Limit – Süreklilik
Konu Özeti
3.
a1.r n1 sonsuz geometrik dizi toplamı;
lim f(x) L
y
x a
f(x)
lim f(x) f(a) olduğundan
n 1
x a
| r | 1 ise bir reel sayıya yaklaşır.
f, x = a noktasında sürek-
| r | 1 ise bir reel sayıya yaklaşmaz.
sizdir.
f(a)
| r | 1 olmak üzere,
L
0
a1.r n1 a1. 1 1 r
a
x
dir.
n 1
Genel olarak,
k.r n k.r p. 1 1 r
dir.
lim f(x) lim f(x) f(a) dır.
n p
x a
| r | 1 olmak üzere,
n.r
n1
2
3
1 2r 3r 4r ...
n 1
Kısaca, f fonksiyonu x = a noktasında sürekli ise,
1
dir.
(1 r)2
x a
Grafiği verilen bir fonksiyon sürekli olduğu aralıkta el
kaldırmadan çizilebilir. Yani grafik kesintisiz çizgidir.
P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 biçimindeki
polinom fonksiyonlar tüm reel sayılarda süreklidir.
Süreklilik
Tanım: A R ve a A olmak üzere, f: A R , y = f(x)
fonksiyonunda, lim f(x) = f(a) ise f fonksiyonu x = a
Süreksizlik
Bireysel Yetenek
xa
noktasında süreklidir denir.
Bu tanıma göre, f fonksiyonunun x = a noktasında sürekli olabilmesi için;
f fonksiyonu x = a noktasında tanımlı olmalıdır.
f fonksiyonunun x = a noktasında limiti olmalıdır.
yonu için; lim f(x) f(a) ise f fonksiyonu x = a nokx a
tasında süreksizdir.
f fonksiyonunun x = a noktasında limiti, fonksiyonun
A R , a A olmak üzere, f: A R , y = f(x) fonksi-
Rasyonel fonksiyonlar paydayı sıfır yapan değerlerde süreksizdir. h(x)
bu noktadaki görüntüsüne eşit olmalıdır.
f(x)
fonksiyonu g(x) = 0 şarg(x)
tını sağlayan x değerlerinde süreksizdir.
Aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
1.
f(a) = L
y
f(x)
lim f(x) f(a) L
SONUÇ
x a
olduğundan, x = a noktasın-
Bir fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada sü-
L = f(a)
reksizdir.
da f fonksiyonu süreklidir.
a
0
x
Bir fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada süreksizdir.
2.
lim f(x) L
y
x a
Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, ta-
f(x)
f, x = a noktasında tanımsızdır. Çünkü a nın görüntüsü
nım değeri limit değerinden farklı ise bu noktada süreksizdir.
L
yoktur. Bu nedenle f fonksiyonu, x = a noktasında süreksizdir.
0
a
Köklü fonksiyonlar ve logaritma fonksiyonları tanım-
x
lı olduğu aralıklarda süreklidir.
12
Bilgi – Kavrama
Fonksiyonlar
1.
Test No: 1
5.
2x 1
3
I. f: R Z , f(x)
II. g: Z Z , g(x)
+
3
f: A B
f(x)
x2
fonksiyonu veriliyor.
III. h: N Z , h(x) = 2x2 + 3x – 5
f(A) = {–1, 2, 5}
IV. k: Z Z+ , k(x) = |5x – 5|
olduğuna göre, A kümesi aşağıdakilerden hangi-
Yukarıdaki bağıntılardan kaç tanesi fonksiyondur?
A) 0
B) 1
C) 2
3x 1
5
D) 3
sidir?
E) 4
A) {–2, 3, 5}
B) {–5, 3, 8}
D) {0, 1, 2}
2.
C) {–2, 3, 8}
E) {–1, 2, 5}
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi birebir ve örtendir?
6.
f: A [–5, 4)
3
A) f: N Z , f(x) x
5
f(x) = 3 – 2x
B) f: Z Q , f(x) x2 – 2x + 4
fonksiyonu birebir ve örten olduğuna göre, A kü-
C) f: R R , f(x)
mesi aşağıdakilerden hangisidir?
– 2x + 4
Bireysel Yetenek
x2
D) f: R R , f(x) x2 + 1
+
E) f: R R , f(x) 3x – 5
3.
2
C) , 4
3
1
B) , 4
2
A) (–2, 1)
3
D) , 1
2
1
E) , 4
2
A = {a, b, 3} ve B = {1, 2, c}
kümeleri veriliyor.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin tersi bir
7.
fonksiyon değildir?
f(x) = 3.f(x – 2) ve f(5) = 6
olduğuna göre, f(1) değeri kaçtır?
A) 7(a, 1), (b, 2), (3, c)?
B) 7(3, 1), (b, c), (a, 2)?
C) 7(1, a), (2, 3), (c, b)?
D) 7(a, 2), (b, 2), (3, 2)?
E) 7(3, 1), (b, 2), (a, c)?
4.
A)
A = {1, 2} ve B = {a, b, c}
1
2
B)
3
4
C)
2
3
D) 2
3.f(x) x.f(x 1) ve f(5)
8.
E) 3
9
16
kümeleri veriliyor.
B den A ya fonksiyon olmayan kaç bağıntı tanım-
olduğuna göre, f(2) nin değeri kaçtır?
lanabilir?
A) 55
B) 56
C) 58
D) 59
A)
E) 60
13
3
4
B) 2
C)
2
3
D)
3
2
E)
1
2
Bilgi – Kavrama
Fonksiyonlar
9.
Test No: 1
f(x + y) = f(x).f(y) ve f(4) = 2
13.
olduğuna göre, f(12) kaçtır?
A) 2
B) 3
olduğuna göre, f(2) + f(3) toplamı kaçtır?
C) 6
f(3x 1)
10.
D) 8
E) 16
A) –2
x2 5
2
x 2 2x 5
3
x 2 2x 46
18
E)
C)
A) –5
x 2 3x
18
f(x)
A)
1 f(x)
3 f(x)
B)
toplamının değeri kaçtır?
D)
C) 43
D) 50
x
x2
f(x) 1
2f(x)
f(x)
f(x) 2
E)
C)
2f(x) 3
1 f(x)
1 f(x)
f(x) 2
f(x2 – 3x) = 5 + 6x – 2x2
16.
olduğuna göre, f(3) + f –1(–3) toplamı kaçtır?
fonksiyonu veriliyor.
f(0) = a ve f(3) = 14 olduğuna göre, a kaçtır?
B) 7
E) 5
E) 55
f(x + 1) = f(x) + 2x
A) 6
D) 4
aşağıdakilerden hangisidir?
2g
3 3f ( 1) f( 5)
12.
C) 3
olduğuna göre, f(x + 1) in f(x) türünden değeri
fonksiyonları veriliyor.
B) 39
E) 5
4x 7
ve f(a 1) 3
x2
B) – 4
15.
g(x) x 2 2x
A) 32
D) 4
x 2 2x 13
20
x 2 2x 5 , x 2
f(x)
, x 2
4 3x
11.
C) 3
olduğuna göre, a kaçtır?
Bireysel Yetenek
D)
B)
B) 0
f(2x 3)
14.
olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 2x 1
f(2x – 1) + f(x + 2) = 9x – 7
C) 8
D) 10
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
E) 14
14
1–B
2–E
3–D
4–B
5–C
6–E
7–C
8–E
9–D
10–D
11–B
12–C
13–E
14–B
15–A
16–B
Bilgi – Kavrama
Fonksiyonlar
1.
Test No: 2
5.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi örtendir?
f: N R
f(x) = f(x – 1) + 3x
A) f1: Z Z , 2y = 1 + 3x
B) f2: R R , y = x2 + 3
fonksiyonu veriliyor.
C) f3: N N , y = 2x + 5
f(4) = 25 olduğuna göre, f(24) kaçtır?
D) f4: Z Z , y – x = 2
E) f5: Z Z , 3y – 2x – 5 = 0
2.
A) 350
6.
A = {m, n, r} ve B = {1, 2, 3, 4, 5}
B) 675
C) 845
D) 895
E) 900
f: R R
f(x) = (m – 2)x2 + (2n + 3)x – 2p – 6
kümeleri veriliyor.
A dan B ye kaç tane birebir fonksiyon tanımlana-
fonksiyonu birim fonksiyon ise m + n + p topla-
bilir?
mı kaçtır?
B) 60
C) 81
D) 125
E) 243
A) –2
B) –1
C) 0
D) 2
E) 4
Bireysel Yetenek
A) 45
3.
f: N R
fonksiyonu sabit fonksiyon ise f(2012) değeri
f(2x + 1) = f(2x – 1) + x
kaçtır?
fonksiyonu veriliyor.
f(1) = 2 ise f(49) değeri kaçtır?
A) 36
4.
f(x) = (2a – 4)x2 + (3a – b)x + a + 2b
7.
B) 64
C) 120
A) 0
D) 300
B) 6
C) 8
D) 10
E) 14
E) 302
f: R R
8.
f birim fonksiyon olmak üzere,
f(5a + 2) = 2a – 4
f(2x) = 2f(x) – 5
f(–32) = 25
ise f(a + 1) kaçtır?
olduğuna göre, f(– 4) kaçtır?
A) –1
A) 15
B) 10
C) 9
D)
15
2
E)
5
2
15
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Bilgi – Kavrama
Fonksiyonlar
9.
Test No: 2
f: R – {3} R
f(x)
1 a 3x
2x 6
B) 10
C) 13
D) 15
E) 16
A) –14
f(1) = –1 ve f –1(7) = 3
D) –20
E) –22
f(x2 + 5ax – 2) = 2 – 3x
f(12) = 8 olduğuna göre, a kaçtır?
D) 4
A) –3
E) 15
f(x) = 2x + 1
olduğuna göre, f(3x) in f(x) türünden eşiti aşağı-
Bireysel Yetenek
C) –9
11.
C) –18
fonksiyonu veriliyor.
olduğuna göre, f(–3) kaçtır?
B) –17
B) –16
14.
10. f(x) doğrusal fonksiyon,
A) –20
b
kaçtır?
a
fonksiyonu sabit fonksiyon ise
fonksiyonu sabit fonksiyon ise a kaçtır?
A) 8
x 2 6x b 6
(a 2)x 2 2x 8
f(x)
13.
B) –2
15.
C) –1
D) 0
E) 2
f(3x – 2) = 2x + 5
olduğuna göre, f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
dakilerden hangisidir?
A)
A)
[f(x)]
3
2
[f(x)]
2
B)
3
x5
2
B)
D)
[f(x)]
4
C)
3x 19
2
C) [f(x)]3
D)
3
x2
3
3x 7
5
E)
3x 5
7
E) 2[f(x)]3
12. f: N R
f(x) = 32x – 1 + 5
16.
f(x 1)
olduğuna göre, f –1(32) kaçtır?
3f(x) 2
3
A) –5
B) 2
C) 3
D) 5
E) 10
fonksiyonu veriliyor.
f(3) = 2 olduğuna göre, f(45) kaçtır?
A) 15
B) 20
C) 24
D) 28
E) 30
16
1–D
2–B
3–E
4–D
5–D
6–A
7–E
8–A
9–B
10–B
11–D
12–E
13–C
14–C
15–C
16–B
Uygulama – Analiz
Fonksiyonlar
1.
Test No: 3
4.
Uygun koşullarda tanımlanan
f(x)
6 5x
ax 2
f(x)
f(2) = f –1(1) olduğuna göre, a kaçtır?
7
3
B)
4
3
C)
7
3
D)
mx 2
7x 3
fonksiyonunun tersi kendisine eşit olduğuna göre, f(1) kaçtır?
fonksiyonu veriliyor.
A)
Tanımlı olduğu aralıkta
4
3
E)
A)
1
3
5.
1
3
1
2
B)
C)
2
3
4
3
D)
E)
5
3
f: [4, ) [–6, )
f(x) = x2 – 8x + 10
olduğuna göre, f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
Uygun koşullarda tanımlanan f(x) fonksiyonu için
x
3f(x) 5
2f(x) 1
A)
bağıntısı veriliyor.
Buna göre, f –1(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x 5
2x 3
B)
x2
3
C)
D)
B) 4 x 6
x6 4
E)
C)
x6 4
x6
3x 5
2x 1
2x 1
x 1
f
3x 3 2x 1
6.
3x 5
E)
7
5
D)
2x 1
x 10
8
Bireysel Yetenek
2.
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x
2
B)
x2
3
C)
3x
2
D)
1
3x
E) 3x
2x 9 3x 1
f
x 2 2x 4
3.
g(x + 3) = f –1(2x + 1)
7.
olduğuna göre, f –1(5) kaçtır?
olduğuna göre, (fog) –1(9) kaçtır?
A) 3
B) 4
C)
8
3
D)
19
7
E) 5
A) –2
17
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
Uygulama – Analiz
Fonksiyonlar
8.
Test No: 3
f: R – {–3} R – {4}
f = 7(a, 3), (b, 4), (c, 5)?
g = 7(4, 9), (3, 5), (5, 6)?
13.
f(x)
mx 1
2x n
fonksiyonları veriliyor.
fonksiyonu birebir ve örten olduğuna göre, m – n
kaçtır?
Buna göre, (gof) fonksiyonunun görüntü kümesi
A) 6
A) {a, b, c}
B) 8
C) 10
D) 12
aşağıdakilerden hangisidir?
E) 14
B) {3, 4, 5}
D) {5, 6, 7}
C) {4, 5, 6}
E) {5, 6, 9}
5x 2 , x 3
f(x)
4x 1 , x 3
9.
olduğuna göre, f(–1) + f –1(3) toplamı kaçtır?
14. Uygun koşullarda tanımlanan f(x) fonksiyonu için
A)
13
2
B) –6
C) 6
D) 7
E) 8
x
f(x) 1
2f(x) 3
Bireysel Yetenek
bağıntısı veriliyor.
10. f: R R
f(x)
5x m 2
mx 3
Buna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
2x 5
x 3
olduğuna göre, f –1(6) kaçtır?
A) – 4
B) 3
C) 0
B)
D)
D) 2
3x 2
x 3
1 3x
2x 1
C)
E)
3x 1
2x 1
3x 1
1 2x
E) 5
f(x + 2) = f –1(3x – 7)
11.
15. f: R R ve g: R R
olduğuna göre, (fof)(4) kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 3
D) 4
f(x)
E) 5
3x 2
mx 1
ve g(x)
4
2
fonksiyonları veriliyor.
(fog1)(3)
12.
f(2x + 3) = x + 2
g(x – 5) = 2x – 7
11
8
olduğuna göre, m kaçtır?
olduğuna göre, (fog)(4) kaçtır?
A) –7
B) –3
C) 0
D) 4
2
3
B)
10–A
11–B
A)
E) 6
1
2
C) 2
D)
7
3
E) 4
18
1–A
2–C
3–A
4–B
5–D
6–D
7–D
8–E
9–B
12–E
13–E
14–E
15–C
Sentez – Deðerlendirme
Fonksiyonlar
1.
Test No: 4
Yanda f, g ve h fonksiyonları
şema ile gösterilmiştir.
Buna göre, f fonksiyonu
f: Z Z
B
h
3x 1 , x tek sayı ise
f(x)
2x 3 , x çift sayı ise
f
aşağıdakilerden hangisine
C
eşittir?
olduğuna göre, (fofofofof)(1) kaçtır?
B) g–1oh
A) goh
D) hog
2.
5.
g
A
C) goh–1
E)
A) 128
B) 125
C) 120
D) 104
E) 101
h–1og–1
f: A B, g: B C ve A = {–1, 0, 2} olmak üzere,
6.
f: R2 R2
f(x) = 2x + 1
f(x, y) = (x + y , x – 2y)
g(x) = 3x – 1
olduğuna göre, (fof)(x, y) aşağıdakilerden hangi-
olduğuna göre, (gof)(x) fonksiyonunun görüntü
sidir?
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B) {– 4, 2, 14}
D) {–2, 4, 14}
3.
C) {–2, 2, 14}
E) {– 4, –2, 14}
A) (x – y , 2x – 4y)
B) (2x + y , x – y)
C) (x + y , x – y)
D) (x, y)
E) (2x – y , –x + 5y)
Bireysel Yetenek
A) {– 4, 2, 12}
f ve g reel sayılarda tanımlı fonksiyonlardır.
7.
f ve g reel sayılarda tanımlı fonksiyonlar olmak
üzere,
f(x) = 4x – 1
g(x) = 3x + 2
f(x) = x + 4
(fog–1)(x) = 3x – 2
olduğuna göre, (fog)(x + 1) fonksiyonu aşağıda-
olduğuna göre, g(3) kaçtır?
kilerden hangisidir?
A) 12x – 10
B) 12x + 4
D) 12x + 19
4.
A) 0
C) 4x + 12
8.
D) 6
E) 9
f ve g uygun koşullarda tanımlı fonksiyonlar olmak
üzere,
f(x) = 2x + 3
olduğuna göre, f ‡2.f(x – 1) – 1 fonksiyonu aşağı-
f(x)
dakilerden hangisidir?
B) 16x – 3
D) 4x + 12
C) 5
E) 3x + 19
f reel sayılarda tanımlı bir fonksiyon olmak üzere,
A) 4x + 3
B) 3
3x 1
5x 1
ve (gof 1)(x)
x5
x 3
olduğuna göre, g(–10) kaçtır?
C) 8x + 12
E) 8x + 5
A) –10
19
B) –5
C) –1
D) 0
E) 4
Sentez – Deðerlendirme
Fonksiyonlar
9.
Test No: 4
f ve g reel sayılarda tanımlı fonksiyonlar olmak
13. f ve g doğrusal fonksiyonlardır.
üzere,
f(x) = ax + ab + 3
g(x) = 4x + 1
g(x) = bx + 4x + a
(g–1of)–1(x) = 8x + 3
(fog)(x) birim fonksiyon olduğuna göre, f(5) kaçtır?
olduğuna göre, f(7) kaçtır?
A) 1
A) 0
B) 1
C) 3
D) 5
B) 3
C) 6
D) 9
E) 12
E) 7
14. f ve g tanımlı olduğu aralıklarda,
f(x) = x + 4
(fog)(x + 2) = (gof)(x – 3)
10. f ve g reel sayılarda tanımlı olduğu aralıklarda,
olduğuna göre, g(10) – g(2) farkının değeri kaçtır?
f(x) = 3x + 5
(f –1ogof)(x)
= 2x + 4
A) –32
olduğuna göre, g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
B) –28
C) –24
D) –8
E) – 4
hangisidir?
A) 3x + 5
B) x + 10
C) 6x + 7
15. A = {a, b, c, d} kümesinde tanımlı f ve g permüE) 2x + 7
Bireysel Yetenek
D) 2x + 10
(f 1og1)(x)
a b c d
a b c d
f
ve fog1
b c d a
c d b a
olduğuna göre, g fonksiyonu aşağıdakilerden han-
11. f ve g tanımlı olduğu aralıklarda,
(fogof )(x)
tasyon fonksiyonları
gisidir?
x3
2x 1
a b c d
a b c d
a b c d
A)
B)
C)
a c d b
b c a d
d a b c
x 1
2
a b c d
a b c d
D)
E)
c a b d
c a d b
olduğuna göre, f(3) kaçtır?
A)
1
3
B)
2
3
C)
4
3
D) 2
E)
7
3
16. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı f ve g permütasyon fonksiyonları
(fof)(x) = 9x + 16
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
f
, g
2 1 5 3 4
5 3 4 2 1
olduğuna göre, f(2) nin alabileceği değerler top-
(fog1of 1)(x 1) 3
12.
lamı kaçtır?
A) –9
olduğuna göre, x kaçtır?
B) – 4
C) –2
D) 5
E) 10
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
20
1–D
2–B
3–D
4–E
5–A
6–E
7–B
8–A
9–C
10–E
11–C
12–B
13–C
14–A
15–D
16–B
Uygulama – Analiz
Fonksiyon Grafikleri
Test No: 5
1.
4.
y
y
y = g(x)
y = f(x + 1)
1
3
1
3
0
2
x
2
2
1
3
0
4
x
5
Şekilde y = f(x + 1) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f(–1) – f(–2) + f –1(–1) işleminin sonu-
Yukarıda y = g(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
cu kaçtır?
A) 0
f(x + 3) = 5 – x ve (gof)–1(x + 2) = f(5)
B) 1
C) 2
D) 3
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 14
A) 1
y
y
f1(x)
5.
3
2
2
0
x
3
Şekildeki grafikler y =
5 4
f –1(x)
0
C) 3
D) 4
E) 5
g(x)
y
3
x
ve y = g(x) fonksiyonla-
rına aittir.
f •g–1(m – 3)œ = 9
4
Bireysel Yetenek
2.
B) 2
x
0
y = f(x)
2
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
g(mx + 1) = 4x + 1 ve (g–1ofof)(3) = 7
eşitliğini sağlayan m reel sayısı kaçtır?
olduğuna göre, m kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 3
E) 5
A) –4
3.
B) –6
C) –8
D) –10
E) –12
y
y = f(x)
4
2
1
0
6.
y
y = g(x)
y = f(x)
x
4
4
6
0
x
9
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Yukarıda y = f(x) ve y = g(x) doğrusal fonksiyonları-
f(f(x) – 1) = 0
nın grafikleri verilmiştir.
olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı değer
Buna göre, (fog–1)(2) + g(3) + f(–14) kaçtır?
vardır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
A) –7
E) 6
21
B) –2
C) 0
D) 4
E) 6
Uygulama – Analiz
Fonksiyon Grafikleri
7.
Test No: 5
Şekilde y = f(2x + 1)
y
10. Yanda y = f(x) fonksiyo-
y
y = f(2x + 1)
fonksiyonunun grafiği
nunun grafiği verilmiştir.
4
verilmiştir.
4
Buna göre,
2
Buna göre,
(fofofo...of)(3)
123
1
(fof )(1)
f(7) f 1(1)
2
0
1
2
26 tane bileşke işlemi
x
3
0
x
4
ifadesinin değeri kaçtır?
y = f(x)
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
3
2
1
2
B)
C) 0
2
3
D)
E)
A) –1
3
4
B) 0
C) 1
D) 2
11. Yanda y = f(x) ve y = g(x)
E) 3
y
y = g(x)
fonksiyonlarının grafikleri
6
verilmiştir.
Buna göre,
8.
3
y
(f 1og)(3) (fog 1)(3)
y = f(3x + 2)
g1(0) f(4)
2
0
2
4
1
0
Şekilde y = f(3x + 2) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
f(a + 2) = 0 eşitliğini sağlayan a nın alabileceği
A) –9
B) –6
C) –3
D) 3
C) 8
D) 9
E) 6
y
nunun grafiği verilmiştir.
y = f(x)
2
Buna göre, 1 – f(–2 – x)
B) 6
x
4
3
y = f(x)
12. Yanda y = f(x) fonksiyo-
değerler toplamı kaçtır?
A) 3
2
ifadesinin değeri kaçtır?
x
Bireysel Yetenek
3
2
fonksiyonunun grafiği
E) 15
aşağıdakilerden hangi-
0
x
2
1
sidir?
A)
B)
y
y
1
9.
y
0
1
3
y = f(x)
C)
3
0
1
4
x
1
x
0
1
D)
y
4 3
x
y
1
4
x
0
2
1
3
0
1
x
2
E)
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
3
x.f(x) < 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının
toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
1
C) 3
D) 4
4 3
E) 5
0
x
22
1–D
2–E
3–C
4–A
5–C
6–D
7–B
8–D
9–B
10–C
11–A
12–D
Uygulama – Analiz
Fonksiyonlarýn En Geniþ Taným Kümesi
(x 2 2x 3).(4 x 2)
f(x)
1.
Test No: 6
x3 x 2 6x
x x2
x3 1
f(x) log | x 2 | 3
5.
fonksiyonunu tanımsız yapan kaç x tam sayı de-
fonksiyonunun tanım kümesinde olmayan tam
ğeri vardır?
sayılar toplamı kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
E) 4
A) –3
B) –2
C) –1
f(x)
6.
16 x 2
x2 4
f(x)
2.
D) 3
D) 0
E) 1
x! (x 2)!
4x
fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların
fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların
toplamı kaçtır?
toplamı kaçtır?
A) 5
B) –2
C) 0
D) 2
f(x) 7 | 2x 1| 3
3.
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
E) 4
Bireysel Yetenek
A) – 4
1
x 3
7.
Aşağıda verilen fonksiyon çiftleri için,
I. f(x) log a ve g(x) 2logxa (a R+)
Lx
II. f(x) ln|x – 2| ve g(x)
fonksiyonunun en geniş tanım aralığında kaç
x2 1
4 2x
III. f(x) = 2 logx ve g(x) logx2
tam sayı değeri vardır?
hangilerinin en geniş tanım kümeleri birbirine
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
eşittir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
4.
C) I ve II
E) I, II ve III
f: R – {a} R olmak üzere,
f(x)
fonksiyonu için
4x 1
x2 x b
f(x) x 2 mx 11
8.
a
kaçtır?
b
fonksiyonunun tüm reel sayılarda tanımlı olması
için m nin alabileceği kaç doğal sayı değeri vardır?
A)
1
4
B)
1
2
C)
1
2
D) 2
E) 4
A) 4
23
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Uygulama – Analiz
Fonksiyonlarýn En Geniþ Taným Kümesi
9.
Test No: 6
y
f(x)
g(x) f(x)
5
3
f(x)
fonksiyonu için,
5
7
y
12. Yanda şekli verilen f(x)
4
0
1
13 x
4
fonksiyonunu tanımsız
x
0
2
x
yapan küme aşağıdakilerden hangisidir?
3
A) (–2, 4) {13}
f(x) 1
f(x) 2
g(x)
fonksiyonunu tanımsız yapan kaç reel sayı vardır?
B) 2
C) 3
D) 4
f(x)
10.
4
2
f(x) x 9
2
3 x
13.
E) 5
, xa
, xa
fonksiyonunu tanımsız yapan bir tam sayı değe-
Bireysel Yetenek
A) 1
E) [– 4, 2] {13}
D) {– 4, 2, 13}
Yukarıda şekli verilen f(x) fonksiyonu için,
C) (– 4, 2) {13}
B) [– 4, 2]
ri olduğunda a nın alabileceği tam sayı değerleri
toplamı kaçtır?
A) 7
B) 3
C) 0
D) –1
E) – 4
5 3x
| 2x a | 7!
fonksiyonunu tanımsız yapan değerler toplamı
6 olduğuna göre, a kaçtır?
A) – 4
B) –2
14.
C) 0
D) 6
y
5
E) 12
4
f(x)
5
f(x)
11.
2
0
1
1
3
x
x 2 2x 9
k
k x2 3
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun tanım ve
görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
fonksiyonunun tanım kümesindeki üç farklı tam
sayı değeri toplamı en çok kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
A) f: [–5, 3] [–1, 5]
B) f: (–5, 1) [0, 5)
C) f: (–2, 3] (–1, 5]
D) f: (–5, 3] [–1, 5)
E) f: (–5, –2) (2, 3] [–1, 5)
E) 6
24
1–D
2–C
3–C
4–D
5–C
6–A
7–C
8–D
9–C
10–D
11–E
12–C
13–B
14–D
Uygulama – Analiz
Artan ve Azalan Fonksiyonlar – Tek ve Çift Fonksiyonlar
1.
4.
Aşağıda grafiği verilen fonksiyonlardan hangisi
f(x) reel sayılarda tanımlı tek fonksiyonu için,
tek fonksiyondur?
A)
2f(x) = f(–x) + 6x3 + (a – 2)x2 + (a + 1)x
B)
y
olduğuna göre, f(3) kaçtır?
y
A) 8
0
6
C)
6
x
1
D)
y
0 2
D) 57
E) 84
x
x
5.
3
E)
C) 24
2
3
x
0 1
B) 16
y
2
0
Test No: 7
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi çift fonksiyon
değildir?
y
A) y = - | x | – 2 C) y = ln| x |
D) y = sin| x | + | sinx |
E) y = x.cosx
x
Bireysel Yetenek
0
B) y = x3.sinx
2.
I. y = cosx
6.
f(x) reel sayılarda tanımlı çift fonksiyonu için,
II. y = | x + 2 |
x.f(–x) + f(x) = (a + 2)x3 + 4x2 – 3x + b – 1
III. y = x.sinx
olduğuna göre, f(a + b) kaçtır?
IV. y = (x – 1)2 + 2x – 3
Yukarıda tanımlanan fonksiyonlardan hangileri
A) 4
çift fonksiyondur?
A) I ve II
B) I ve III
D) I, III ve IV
3.
D) –3
E) –6
E) I, II, III ve IV
g(x) = f(x + a)
fonksiyonları için g(x) fonksiyonunun grafiği y ek-
olduğuna göre, f(b) kaçtır?
C) 6
f(x) = x2 + 6x – 7
7.
f(x) = (2a – 8)x2 + (a – 1)x + b – 3
B) 8
C) 0
C) I, II ve IV
f(x) reel sayılarda tanımlı tek fonksiyondur.
A) 14
B) 2
senine göre simetrik ise a kaçtır?
D) 0
E) –8
A) –8
25
B) –3
C) 3
D) 6
E) 8
Uygulama – Analiz
Artan ve Azalan Fonksiyonlar – Tek ve Çift Fonksiyonlar
8.
f: R R tanımlanan f(x) fonksiyonu için,
Test No: 7
12. [a, b] aralığında tanımlı sıfırdan farklı f(x) çift fonksiyonu ile g(x) tek fonksiyonu için,
I. y = f‡| x | çift fonksiyondur.
II. y = f(x3 + x) tek fonksiyondur.
I. f(a) + f(b) = 0
III. y = - f(x) - çift fonksiyondur.
II. g(a).g(b) < 0
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
III.
A) Yalnız I
ifadelerinden hangileri doğrudur?
B) Yalnız II
D) II ve III
C) I ve II
f(a) b
0
f(b) a
E) I, II ve III
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
C) I ve III
E) I, II ve III
f(x) = 3x2 + 1 ve g(x) = sinx
9.
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre,
13.
I. (fog)(x) çift fonksiyondur.
y
II. (gof)(x) çift fonksiyondur.
6
III. (fof)(x) tek fonksiyondur.
V. (f.g)(x) tek fonksiyondur.
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Bireysel Yetenek
IV. (gog)(x) çift fonksiyondur.
8
6
3
2
0
x
5
f(x)
4
Yukarıdaki şekilde reel sayılarda tanımlanan f(x)
ax 2 , x 0
f(x)
3x b 1 , x 0
10.
fonksiyonunun artan olduğu aralıkta aldığı tam
sayı değerleri toplamı kaçtır?
A) –18
fonksiyonu çift fonksiyon olduğuna göre, f(a) + b
B) –14
C) 9
D) 11
E) 12
kaçtır?
A) –12
B) –10
C) –8
D) – 4
E) –3
14. Aşağıda tanımlanan fonksiyonlar için hangisinde verilen bilgi yanlıştır?
11. f(x) çift fonksiyon ve g(x) tek fonksiyonu için,
–f(2) = –5
A) f: R+ R , f(x) logx artan fonksiyondur.
g(–5) = 3
B) f: R R , f(x) 7 – 2x azalan fonksiyondur.
olduğuna göre, (gof)(a) + a = 1 eşitliğini sağlayan
C) f: R R , f(x) 3–x – 1 artan fonksiyondur.
a kaçtır?
D) f: N+ R , f(x)
A) –5
B) –3
C) –2
D) 2
3x 1
artan fonksiyondur.
x2
E) f: R+ – {1} R , f(x) logx10 azalan fonksiyondur.
E) 3
26
1–E
2–D
3–C
4–D
5–E
6–D
7–B
8–A
9–C
10–C
11–C
12–D
13–C
14–C
Bilgi – Kavrama
Parçalý Fonksiyonlar
Test No: 8
5.
3x 2 , x 1 (mod 3)
f(x) x 2 2 , x 2 (mod 3)
x 5 , x 0 (mod 3)
1.
f: R R
x 2 , x 0
f(x)
3
x , x 0
olduğuna göre, f(8) + f(9) + f(10) ifadesinin değe-
fonksiyonu için,
ri kaçtır?
I. f fonksiyonu bire birdir.
II. f fonksiyonu örtendir.
A) 94
B) 98
C) 102
D) 109
E) 117
III. f fonksiyonu içinedir.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
2.
A) Yalnız I
f: A x A A ve A = {2, 4, 6, 8} olmak üzere,
B) Yalnız III
D) I ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
max(x, y) , x y 10
f(x, y)
min(x, y) , x y 10
olduğuna göre, f(6, 4) + f(2, 4) + f(8, 6) ifadesinin
eşiti kaçtır?
3.
B) 14
C) 16
D) 18
6.
E) 20
f: [–5, 5] R
x 2 9 , x 2 x 6
f(x)
2
x 3 , x x 6
f: R A
x3 1 , x 1
f(x)
2
x 1 , x 1
Bireysel Yetenek
A) 12
fonksiyonu örten olduğuna göre, A kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [–1, )
fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden
B) (–2, )
D) (–1, 0]
C) [0, )
E) (–, 0]
hangisidir?
A) [–3, 9]
B) (–5, 16]
D) [–3, 16]
C) [0, 6]
E) [9, 16]
7.
4.
f: R R
x 8 , x 2
f(x)
2x a , x 2
x 2 3x 1 ,
x 1
2x
f(x) 3
, 1 x 2
3
x 1
,
x2
fonksiyonu bire bir olduğuna göre, a reel sayısı-
fonksiyonunda apsisi ordinatına eşit olan nokta
nın bulunduğu en geniş tanım kümesi aşağıdaki-
aşağıdakilerden hangisidir?
f: R R
lerden hangisidir?
A) (–, –6]
B) (–, –5]
D) [–6, )
A) (1, 1)
C) [–5, )
E) (–, 0]
D)
27
B) (–1, –1)
é, é
‰
C)
E) (–2, –2
‰
ê, ê
Bilgi – Kavrama
Parçalý Fonksiyonlar
Test No: 8
11. Reel sayılarda tanımlı aşağıdaki parçalı fonksi-
x , x 2
f(x) 2
x , x 2
8.
yonlardan hangisinin tersi vardır?
g(x) 2x 3
x 5 , x 5
A) f(x)
2x , x 5
fonksiyonlarının analitik düzlemde kesiştiği nok-
x 4 , x 0
B) f(x)
5
x , x 0
ta aşağıdakilerden hangisidir?
A) (1, 5)
B) (0, 0)
D) (–1, 1)
C) (2, 4)
x 3 , x 2
C) f(x)
x 3 , x 2
E) (–2, –1)
x2
1 , x 1
D) f(x) 2
x3 1 , x 1
x , x 0
E) f(x)
x , x 0
9.
f: Z Z
(fof )(a) 18
olduğuna göre, a kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 2
D) 3
E) 4
Bireysel Yetenek
2x 4 , x tek ise
f(x)
4x 1 , x çift ise
12.
x3 1 ,
x0
f(x) 2x 5 , 0 x 4 ve g(x) x 1
2
,
x4
x
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, (fog)(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisidir?
x 3 3x 2 3x ,
x0
A) (fog)(x)
2x 3
, 0x4
2
x4
x 2x 1 ,
x 2 2x 1
, x 6
f(x)
3
2
x 3x 3x 1 , x 6
10.
x 3 3x 2
,
x 1
B) (fog)(x) 2x 3
, 1 x 5
2
x5
x 2x 1 ,
olduğuna göre, f(1 – x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
2
x , x 6
A) f(1 x)
3
x , x 6
2
x , x 5
B) f(1 x)
3
x , x 5
2
x , x 7
C) f(1 x)
3
x , x 7
2
x , x 5
D) f(1 x)
3
x , x 5
x 1
x3 3x 2 3x ,
C) (fog)(x)
2x
3
,
1
x 5
x 3 3x 2 3x ,
x 1
D) (fog)(x)
2x 3
, 1 x 5
2
x
2x
1
,
x5
x 2 , x 5
E) f(1 x)
3
x , x 5
E) (fog)(x) 2x 3
28
1–C
2–B
3–B
4–D
5–B
6–B
7–C
8–D
9–C
10–E
11–A
12–D
Uygulama – Analiz
Parçalý Fonksiyonlar
1.
Test No: 9
f: R R
x 2 3 , x 0
f(x)
x 1 , x 0
3.
x , x 0
f(x)
3 , x 0
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, y = f(x) fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
A)
B)
y
4
3
3
1
C)
3
x
0
D)
y
3
4
3
3
x
C)
D)
y
4
3
2
0
x
1
x
1
E)
1
Bireysel Yetenek
x
0
B)
y
3x 1 , x 2
3x 1 , x 2
, x2
f(x) 2 , x 2 ve g(x) 3
2
2
4 x , x 2
x 2 , x 2
4.
olduğuna göre, (f + g)(x) fonksiyonunun grafiği
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
2
x
0
1
2
C)
x
0
D)
C)
y
2
x
1
2
0
x
1
0
2
E)
y
2
2
1
0
2
x
y
x
2
2
y
1
D)
y
0
2
E)
0
2
1
1
0
x
2
2
2
1
y
2
1
2
2
y
1
0
B)
y
2
1
1
x
x
1 0 1
2 , x 1
f(x) 1 , x 1
2 , x 1
A)
2
y
3
2.
0
4
3
y
3
y
3
1
3
x
0 1
2
3
0
E)
x
y
4
0
3
1
x
1 0 1
0
y
4
3
y
3
B)
y
0
x
2
29
2
x
2
x
Uygulama – Analiz
Parçalý Fonksiyonlar
5.
Test No: 9
x 2 6x 10
, x 3
f(x)
ve g(x) x 3
3
2
x 9x 27x 27 , x 3
x 2 2x 3
x 1
f(x)
2
x x
x 1
7.
, x0
, x0
olduğuna göre, (fog)(x) fonksiyonunun grafiği
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
2
1
2
C)
D)
x
1
0
C)
2
1
x
01
2
x
1
1
1
01
01
B)
y
3
x
y
A)
D)
x
0
4
y
C)
3
4
2
2
x
0
D)
y
0
3
2
x
4
y
4
2
y
2
2
x
E)
0
2
x
y
4
x
0
y
4
x
0
E)
B)
y
2
3
x
x
4
0
y
1
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
3
0
x
max(x 2, 4x 4) , x 2
f(x)
2
, x2
2
min(x , 4x 4) , x 2
8.
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
C)
3
y
0
1
1
Bireysel Yetenek
x
f(x) = max(3, x)
3
0
4
3
f: R – {3} R
0
3
E)
2
A)
y
x
3
1
6.
x
1
3
y
2
0
D)
8
E)
1
x
1
y
3
2
1
8
4
3
1
y
2
1
2
2
8
y
y
4
3
0
8
B)
y
1
2
x
01
A)
y
2
0
2
x
30
1–A
2–D
3–E
4–B
5–C
6–A
7–B
8–B
Bilgi – Kavrama
Mutlak Deðer Fonksiyonu
1.
Test No: 10
f: R R
5.
f: R R
f(x) = | 7 – x | + 2
f(x) = | x2 – 4x + 1 |
fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden
fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
hangisidir?
A) (–, 5]
B) (–, 2]
D) [7, )
2.
C) [2, )
B) [0, )
A) [0, 1]
E) [5, )
C) [1, )
D) [3, )
|x – 2| + |x + 3| = 7
6.
E) [5, )
f(x) = | x – 7 | – | x + 4 |
denklemini sağlayan x in alabileceği değerler top-
fonksiyonunun görüntü kümesindeki farklı tam
lamı kaçtır?
sayı değerleri toplamı kaçtır?
B) –1
C) 0
D) 3
E) 7
A) –15
B) –10
Bireysel Yetenek
A) – 4
3.
f(x) = | x – 3 | – | x |
C) –6
D) 0
E) 11
f(x) = - | x – 2 | – 1-
7.
fonksiyonu ile y = a doğrusunun yalnız bir nok-
fonksiyonunun grafiği ile g(x) = 4 fonksiyonunun
tada kesişmesi için, a nın alabileceği kaç farklı
grafiğinin kesim noktalarının apsisleri toplamı
tam sayı değeri vardır?
kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
A) 0
, x 3
x
f(x)
x 6 , x 3
4.
B) 1
C) 3
D) 4
E) 8
4 2x , x 2
f(x)
2x 4 , x 2
8.
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi ile ifade edi-
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi ile ifade edi-
lebilir?
lebilir?
A) f(x) = | x – 3 | – 3
B) f(x) = | x | – 6
A) f(x) = | x – 2 |
B) f(x) = | x + 2 | – 2
C) f(x) = | x + 3 | – 3
D) f(x) = | 3 – x | + 3
C) f(x) = | x | – 2
D) f(x) = 2| 2 – x |
E) f(x) = | x + 3 | – 6
E) f(x) = | 2x | – 4
31
Bilgi – Kavrama
Mutlak Deðer Fonksiyonu
9.
Test No: 10
y
f(x)
12.
f(x)
24
| x 1| | 6 2x|
2
fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?
1
5 4
3
x
5
0
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
3
Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonu için,
13.
f(x) = | x – 1| + 2
tanım aralığında |f(x)| = 2 eşitliğini sağlayan kaç
fonksiyonunun grafiği ile g(x) = 5 doğrusunun
farklı x değeri vardır?
grafiğinin kesim noktalarının apsisleri çarpımı
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
kaçtır?
E) 7
A) 6
10.
B) 2
C) –1
D) –6
E) –8
f(x) = | 2x + 6 | – | 14 – 2x |
fonksiyonunun tersinin de fonksiyon olmasını sağlayan en geniş tanım kümesindeki tam sayıların
A) 0
B) 4
C) 9
D) 15
E) 22
Bireysel Yetenek
14. Yanda grafiği verilen
toplamı kaçtır?
y
f(x)
f(x) fonksiyonu için
y = - f(x)- fonksiyonunun grafiği aşağıda-
2
kilerden hangisidir?
0
4
x
1
11. f: R R olmak üzere,
2
f(x) = | x – 3 | + 1
A)
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y
2
2
y
4
3
B)
y
3
4
2
0
x
1
x
2 1 0
1
0
C)
x
1
0
D)
y
3
4
1
1
x
E)
C)
0
D)
y
y
4
0
x
3
y
2
4
2
0
2
x
1
1 0
2
4
x
x
3
E)
y
y
1
0
3
x
2
4
4
0
1
x
2
32
1–C
2–B
3–B
4–C
5–B
6–D
7–D
8–D
9–C
10–E
11–D
12–C
13–E
14–C
Uygulama – Analiz
Mutlak Deðer Fonksiyonu
1.
Test No: 11
x, y R olmak üzere,
5.
|x – 2| + |y + 1| = 1
|x + y| 2
bağıntısının koordinat düzlemindeki görüntüsü
+ y| x | 1
aşağıdakilerden hangisidir?
eşitsizliklerinin koordinat düzleminde belirttiği
A)
bölgenin alanı kaç birim karedir?
B)
y
y
1
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
1
E) 16
0
1
x
1
0
1
1
f(x) = - | 2x – a | – b -
2.
C)
1
0
lerden hangisi olmalıdır?
B) –2
D) 2
2
E)
1
x
2
3
x
1
2
D) 18
E) 25
f: Z R olmak üzere,
Bireysel Yetenek
4.
C) 15
2
y
0
genin alanı kaç birim karedir?
B) 9
0
2
E) 3
bağıntısının koordinat düzleminde belirttiği böl-
A) 6
1
x
1
|x – 2| + |y – a| 3 , a R
3.
x
y
1
C) –1
2
1
grafiğinin üç noktada kesişmesi için b aşağıdaki-
A) –3
D)
y
fonksiyonunun grafiği ile g(x) = 2 fonksiyonunun
1
6.
f: R – {0} R olmak üzere,
x2 | x |
x
f(x)
f(x) = | 6 – 3x | – | x – 2 |
fonksiyonunun koordinat düzlemindeki görüntü-
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
sü aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
A)
y
B)
y
y
1
4
4
0
2
2
C)
x
0
0
D)
y
4
2
2
0 1 2 3 4
E)
1
x
0
0 1 2 3 4
C)
D)
y
y
1
1
0
x
1
x
0
1
E)
y
y
4
1
1
3 2 0
2
3
x
x
y
4
x
1
0 1
1
x
33
x
1
1
x
Uygulama – Analiz
Mutlak Deðer Fonksiyonu
7.
Test No: 11
f: R R olmak üzere,
9.
f: R R olmak üzere,
f(x) = | x2 – 4x | + | x2 + 4 |
f(x) x. x 2 4x 4 2x
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
A)
B)
y
y
4
B)
y
20
4
20
4
4 2
C)
x
0
4 2
0
C)
y
4
4 2
x
0
D)
y
0
4
x
4
0
D)
y
20
4
1
x
4 2 1
0
4
x
4
y
y
20
4
4
8.
x
2
0
Bireysel Yetenek
0
4
x
4
0
E)
E)
x
4
y
20
4
x
y
f: R R ve g: R R olmak üzere,
f(x) = |x| – 2
x
4
10. Yandaki şekilde grafiği
y
verilen bağıntı aşağı3
dakilerden hangisidir?
1
g(x) = x + 4
fonksiyonları tanımlanıyor.
3 2 1
1
Buna göre, - fog(x – 1) - fonksiyonunun grafiği aşa-
1
2 3
x
ğıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
C)
B) | x – y | = 3
C) | x | – | y – 1 | = 2
D) | x – 1 | + | y | = 2
E) x – | y – 1 | = 2
2
1
5 3
y
A) | x – 2 | + | y | = 1
2
x
01
5 4 3
0
D)
y
x
11. Yandaki şekilde grafiği
y
verilen bağıntı aşağıda-
y
kilerden hangisidir?
3
2
3
5
1
x
1 0
3
5
1
1 0
2
x
1
2
E)
0
y
x
1
4
1
0
x
3
A) | x – 2 | + | y | = 1
B) | x – y | = 1
C) x + | y – 1 | = 2
D) x + | y – 2 | = 1
E) x – | y – 2 | = 1
34
1–C
2–D
3–D
4–D
5–E
6–D
7–A
8–D
9–C
10–C
11–D
Sentez – Deðerlendirme
Mutlak Deðer Fonksiyonu
1.
Test No: 12
Analitik düzlemde çözüm kümesi yandaki
denklemini sağlayan kaç farklı x reel sayısı vardır?
2
grafikte verilen eşitsizlik sistemi aşağıda-
2
kilerden hangisidir?
A) 0
x
0
2
| 2–x – 2 | = | x2 – 9 |
3.
y
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
2
4.
A) | x | + | y | 2
B) | x | – | y | 2
|x| 1
| x.y | 0
C) | x + y | 2
D) | x + y | 2
x .y 0
x .y 0
| x | + | –y | = 2x
bağıntısının grafiği koordinat düzleminde aşağıdakilerden hangisini belirtir?
A) Paralelkenar
B) Eşkenar dörtgen
E) | x + y | 2
C) Paralel iki doğru parçası
x.y 0
D) Birbirine dik iki ışın
E) Orjinde kesişen iki doğru
Yanda grafiği verilen
y
5.
f(x + 3) fonksiyonu
f(x + 3)
için,
y
f(x) f 2(x)
2
4
1
0
x
2
Yanda grafiği verilen
y
f(x) fonksiyonunun eşi-
Bireysel Yetenek
2.
f(x)
ti aşağıdakilerden hangisi olabilir?
1
0
1
2
x
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y
A) f(x) = - | x | – 2 -
B) f(x) = | x – 1 | – 1
C) f(x) = - 2 | x – 1 | – 1 -
D) f(x) = - | x – 1 | – 1 -
E) f(x) = | x – 2 | + | x + 1 |
4
1 0
2
x
4
1 0
2
x
6.
C)
D)
y
Yanda grafiği verilen
y
bağıntının eşiti aşa-
y
ğıdakilerden hangisi
olabilir? (e, irrasyonel sayılardır.)
1 0
2
5
x
1 0
E)
2
5
0
x
x
y
7
4
1 0
x
A) | x | – | y | = 2
B) | x .y | = e –
C) | x |.| y | = 2
D) | x – 1|.| y | = | x |
E)
35
x
1
y
Sentez – Deðerlendirme
Mutlak Deðer Fonksiyonu
7.
Test No: 12
Yanda grafiği verilen
9.
y
f(x) fonksiyonu için
f(x)
2
y = f ‡|x| fonksiyonunun grafiği aşağıda-
y f(x)
x
2
0
B)
y
C)
x
2
2
A)
0
2
C)
2
0
2
x
2
0
2
B)
2
y
1
x
3
0
D)
y
0
1
1
0
x
3
3
x
y
1
x
2
E)
x
1
1
x
y
2
2
1
3
y
0
D)
y
0
ğıdakilerden hangisidir?
2
0
x 3
x 3
y
2
2
f(x)
fonksiyonunun grafiği aşa-
2
A)
y
fonksiyonu için,
2
kilerden hangisidir?
Yanda grafiği verilen f(x)
3
x
1
y
E)
y
2
3
0
8.
0
2
Yanda grafiği verilen f(x)
Bireysel Yetenek
2
x
y
fonksiyonu için,
1
10. Aşağıda verilen grafik ve fonksiyon eşleştirmelerinden hangisi yanlış verilmiştir?
3
y = - f ‡| x | - + 2
A)
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
0
B)
y
3
0
5
x
0 1
0
D)
y
5
2
2
x
1
E)
C)
x
1
D)
y
2
y
5
0
1
y
x
4
2
2
4
0 1
E)
y
2
0
x
f: R ® R , f(x) = |x2 4| + 2
f: R ® R , f(x) = x2 + |4x|
x
x
6
0 2
4
6
f: R ® R , f(x) = x 2|x 3|
f: R ® R , f(x) = |x + 4| |x|
2
2 3
6
4
2
C)
x
0
y
5
1
y
4
x
1
B)
y
4
A)
x
y
5
2p
0
x
p
0
f: [2p, 2p] ® R , f(x) =
p
2p
x
|sinx| + sin|x|
2
36
1–E
2–D
3–D
4–D
5–D
6–C
7–A
8–A
9–D
10–C
Bilgi – Kavrama
Limit Tanýmý ve Özellikleri
Test No: 13
lim (3x 2)
1.
x
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 0
olduğuna göre, a kaçtır?
C) 5
3
x 1
D) 25
E) 125
2x 3 3x 3
ifadesinin değeri kaçtır?
C) –1
D) 2
E) 3
A) –5
B) – 4
C) –3
D) –2
E) 2
D) 2
E) 3
D) 3e
E) e
Bireysel Yetenek
B) –2
B) 1
lim
6.
x a
A) –3
2
3
ifadesinin değeri kaçtır?
lim (5 2x) 11
2.
lim (5 6x 4 )
5.
x2
lim (x 2 2x 1).(ax 7) 12
3.
x 3
1
2
B)
4
3
C)
2
3
D)
1
5
A) –
E) 0
lim (3x 4 4x 3 2x 1) 5
4.
C) 32
C) 0
lim (x1ln 2 )
xe
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
B) 1
B)
8.
x 1
A) –1
x 2
x 2 2x 8
x2
ifadesinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
A)
lim
7.
D) 64
A) e2
E) 243
37
B) e3
C) 2e
Bilgi – Kavrama
Limit Tanýmý ve Özellikleri
9.
Test No: 13
Tanımlı olduğu aralıkta,
13.
y
x2
f 1(x) log3
3
3
2
1
olduğuna göre, lim f(x) kaçtır?
x 2
3 2
A)
2
3
B)
5
3
C) 0
D)
1
2
E)
0
2
3
x
4
y = f(x)
2
3
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
I.
f(x) = 2x + 3 ve g(x) = x2 + 3
10.
II.
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
III.
lim f(x) 8
I.
x 2
IV.
lim (gof )(x 2) 28
II.
x 1
V.
x2
Bireysel Yetenek
lim f(x) lim g(x)
III.
x 2
IV. lim 3.f(x 2) 4.g(x 1) 15
x 1
A) 0
B) 1
C) 2
lim
11.
x
3
D) 3
lim f(x) 0
x 3
lim
x 2
f(x) 2
lim f(x) 1
x 0
lim f(x) 1
x 2
lim f(x) 2
x2
Buna göre, yukarıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 4
2cos x tan x
x
sin sin x
2
14.
y
3
2
ifadesinin değeri kaçtır?
y = f(x)
1
A) 0
B) 1
C) 2
D) L 3
E) L 3 – 1
3
lim (x 4 4x 3 6x 2 4x 2) A
12.
E) 5
1
0
1
2
3
4
x
Yukarıda f: (–3, 4] R, y = f(x) fonksiyonunun gra-
x 29
fiği verilmiştir.
olduğuna göre, A doğal sayısının rakamları top-
Buna göre, (–3, 4) aralığındaki tamsayılarda var
lamı kaçtır?
olan limitler toplamı kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
A) 4
E) 10
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
38
1–D
2–A
3–B
4–C
5–B
6–D
7–C
8–C
9–B
10–D
11–C
12–E
13–C
14–C
Uygulama – Analiz
Soldan ve Saðdan Limit – Sonsuz Ýçin Limit ve Sonsuz Limit
lim
1.
x 3
2 5x
x 3
B) –
x 1
D) 1
A) –3
E) –5
x 1
1 x2
I.
II.
III.
IV.
V.
lim
5
x4
lim
1
x
x 4
x 0
1
2
D)
E) –
7.
I.
II.
III.
lim (2 x 3x 5)
IV.
x
lim
E)
2
lim
x 0
A) –1
2 x 13
lim
7 7
x
x 3
x 5
D) –
C) 0
1
53 x
ifadesinin değeri kaçtır?
Bireysel Yetenek
3.
C)
B) 0
B) –2
6.
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –1
x 3
ifadesinin değeri kaçtır?
C)
lim
2.
4x 2
x 2 6x 9
lim
5.
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
Test No: 14
6x 1
x 5
V.
lim
x2
B)
2
5
C)
2
3
D) 0
E) Yoktur
5x 2
(x 2)2
1
lim 3 x 5 x 2x 4 3
x 0
lim (1 3x 2x 3 )
x
lim
2x 7
ln x
lim
x 5
1 log3 x
x 0
x 3
Yukarıdaki eşitliklerden kaç tanesi doğrudur?
Yukarıdaki eşitliklerden kaç tanesi doğrudur?
A) 1
A) 1
B) 2
C) 3
lim
4.
x2
D) 4
E) 5
x 2 2x 5
x2
B) 1
C) –
C) 3
D) 4
E) 5
1
lim x 2 7 2 x 3 x 5x 1
x2
8.
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
B) 2
D)
A) 4
E) Yoktur
39
B) 3
C) 0
D) –
E)
Uygulama – Analiz
Soldan ve Saðdan Limit – Sonsuz Ýçin Limit ve Sonsuz Limit
9.
Test No: 14
11.
y
y
f(x)
f(x)
3
2
A
O
4
x
B
1
x
0 1
2
Yukarıdaki şekilde, f(x) = x2 – 6x + 4a – 3 fonksiyoYukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
nunun grafiği verilmiştir.
|OB| = 3.|OA| olduğuna göre, lim f(x) kaçtır?
lim f(x) lim f(x) lim [f(x) 2x m]
x 1
x a
A) 45
B) 50
C) 52
D) 60
x 4
olduğuna göre, m reel sayısı kaçtır?
E) 72
A) –1
10.
x 1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
3
Bireysel Yetenek
y
f(x)
2
1
3
2
0
1
2
3
4
x
1
2
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
12.
y
5
I. lim f(x) lim f(x) f(2)
2
x 3
x 1
II.
III.
IV.
V.
3
2
lim f(x) lim f(x) 1
x 1
x2
y = f(x)
1
lim f(x) lim f(x) 2
x 0
x 3
3
1
0
1
2
3
4
x
lim f(x)
x 4
lim f(x)
x
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
VI.
lim f(x) 0
x
lim [k.f(x) 1] lim f(x) lim f(x) f(3)
x 1
x 1
x 3
Grafikte verilenlere göre, yukarıdakilerden kaç
tanesi doğrudur?
A) 2
B) 3
olduğuna göre, k reel sayısı kaçtır?
C) 4
D) 5
E) 6
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
40
1–C
2–E
3–D
4–E
5–E
6–B
7–C
8–A
9–A
10–C
11–C
12–E
Bilgi – Kavrama
Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Limiti
Test No: 15
2x 5 , x 3
f(x)
4 2x , x 3
1.
4.
fonksiyonu veriliyor.
lim f(x) lim f(x)
C) 4
D) 5
E) 6
A)
D) 9
Bireysel Yetenek
x 2
C) 7
x 1
x 2
7
3
C)
6
5
D)
23
5
E)
34
5
x 2 ax 3 ,
x 2
f(x) 3 2x
, 2 x 5
x 2b
,
x 5
a + b toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 2
E) 3
,
x 1
2x 5
2
f(x) x mx 1 , 1 x 3
,
x 3
2n x
6.
fonksiyonu veriliyor.
B)
fonksiyonunun x R için limiti olduğuna göre,
E) 10
, x 2
3x 1
f(x)
8
, x 2
2
x 2x 3 , x 2
3.
3
5
5.
göre, lim f(x) ifadesinin değeri kaçtır?
B) 4
, x 1
nin değeri kaçtır?
fonksiyonunun x = 1 noktasında limiti olduğuna
A) 3
3x
2x 1
x 2
4x 3 , x 1
f(x)
3ax 10 , x 1
2.
, x 1
Buna göre, lim f(x) lim f(x) lim f(x) ifadesi-
x 5
toplamının değeri kaçtır?
B) 3
4x 3
x 1
fonksiyonu veriliyor.
x 3
A) 2
f(x)
fonksiyonu veriliyor.
lim f(x) 5 olduğuna göre, aşağıdakilerden han-
Buna göre, lim f(x) ifadesinin değeri kaçtır?
x 3
x 2
gisi yanlıştır?
A) –2
B) 3
C) 5
D) 8
E) Yoktur
A) m n 1
B) lim f(x) 5
x2
D) lim f(x) 2
x 4
41
C) lim f(x) 3
x 1
E) f(–2) –9
Bilgi – Kavrama
Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Limiti
Test No: 15
lim | x 2 2x 4 |
7.
x 3
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
x2
D) 2
E) Yoktur
A) –10
C) –12
D) 6
E) 12
, x5
, x 5
fonksiyonu veriliyor.
ifadesinin değeri kaçtır?
B) –1
B) –11
x 5
f(x) | x 5 |
4
13.
x2
A) –2
8 x3
| x 2|
ifadesinin değeri kaçtır?
lim | 4 2x |
8.
lim
12.
C) 0
D) 2
Buna göre, lim f(x) lim f(x) ifadesinin değeri
x 5
E) Yoktur
x 5
kaçtır?
3x 2
|2x|
lim
9.
x2
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –2
C)
B) 0
D) –
E) Yoktur
Bireysel Yetenek
A) –5
x 3
lim
2x 1
| x 3|
x 3
B) 5
C) 6
B) –2
B) 9
C) 10
lim
x
D) 11
E) 12
1 cos2 x
sin x
ifadesinin değeri kaçtır?
D) 10
E) Yoktur
A) –1
B) 0
lim
16.
x
2
C) 1
D) 2
E) Yoktur
cos x
sin x cot x
|
cos
x
|
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –3
E) 2
4x | x 4 | | x 3 |
x 3
15.
| x 1|
x 2 2x
lim
x 1 x 1
11.
D) 0
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 4
C) –2
lim
14.
A) 8
10.
B) –3
C) –1
D) 0
A) –3
E) 1
B) –2
C) 0
D) 2
E) 3
42
1–D
2–B
3–C
4–E
5–A
6–D
7–C
8–C
9–C
10–E
11–B
12–E
13–C
14–D
15–A
16–B
Sentez – Deðerlendirme
Grafik – Limit Ýliþkisi
1.
Test No: 16
3.
y
y
3
2
f(x)
2
1
3
2
0
1
1
2
4
x
5
0
x
4
1
f(x)
2
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun
Buna göre, lim (fof)(x) değeri kaçtır?
x 4
kaç farklı noktada soldan ve sağdan limitleri eşit
değildir?
A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
2.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
E) 5
Bireysel Yetenek
A) 1
4.
y
y
4
3
f(x)
1
3
1
0
1
3
2
x
0
x
2
f(x)
4
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre,
lim
x
3
2
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
f 2 (x 2)
f | x | lim
x 3 (fof )(x)
lim (fof )(x) a
x 2
lim (fof )(x) b
x 2
toplamı kaçtır?
f
3
A)
2
9
B)
4
C) 3
15
D)
4
21
E)
4
lim
x 2
f(x) c
olduğuna göre, a – b + c kaçtır?
A) 1
43
B) 2
C) 8
D) 9
E) 12
Sentez – Deðerlendirme
Grafik – Limit Ýliþkisi
5.
Test No: 16
7.
y
y
2
2
1
0
x
3
2
1
0
2
x
3
f(x)
f(x)
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
f(3x)
Buna göre, lim 1
ifadesinin değeri kaçtır?
x f (x)
Buna göre, lim
2
3
B)
3
2
6.
C)
3
2
D)
4
3
E)
9
4
A)
Bireysel Yetenek
A)
x 3
y
3
1
2
f(x 4)
ifadesinin değeri kaçtır?
f(5 x)
B) 1
C) 2
8.
D)
2
3
E)
3
2
y
3
2
2
1
f(x)
2 1
0
x
2
3 2
0 1
1
2
x
3
1
f(x)
2
2
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
lim f(x) lim f(x) m
x
x 0
I.
lim f(x) lim f(x) n
x 2
x
II.
olduğuna göre, m – n farkı kaçtır?
III.
A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
E) 2
IV.
V.
A) 1
lim f(x 2 ) 1
x 0
lim x 2.f(x 4) 2
x 1
lim
x2
x
2
f(x 1)
lim f(x).f(x 3) 2
x2
lim f(x) 3
x 3
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
44
1–B
2–E
3–D
4–D
5–D
6–B
7–A
8–B
Bilgi – Kavrama
Limitte Belirsizlik Durumlarý
lim
1.
x 1
Test No: 17
x3 1
x 1
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –2
B) 1
lim
x2
D) 2
E) 3
A)
x 2 5x 6
x 2 2x
B)
1
2
C)
3
2
B)
1
6
C)
lim
x 0
1
8
D)
1
32
E)
sin 5x
3x
ifadesinin değeri kaçtır?
1
2
D)
3
2
E)
5
2
A) 0
B) 1
C)
5
3
D) –
E)
Bireysel Yetenek
3
2
1
2
6.
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
2
x 4
ifadesinin değeri kaçtır?
C) 0
2.
x 2
x 16
lim
5.
lim
3.
x 1
x3 x 2 x 3
2x 2 5x 3
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –12
B) –8
m n
D) 2
E) 3
A) 1
m4 n 4
m3 n 3
4
3
B) 0
C) 1
sin x.sin 2x. tan 3x
2x 3
B) 2
C) 3
lim
8.
x 0
D) 4
E) 6
x
tan3x
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
x 0
ifadesinin değeri kaçtır?
C) –6
lim
4.
lim
7.
D)
4n
3
A) –1
E) 4n
45
B) 0
C) 1
D) 3
E)
1
3
Bilgi – Kavrama
Limitte Belirsizlik Durumlarý
lim
9.
x
Test No: 17
x 4 3x 2 2x
5 x2
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –3
B) –1
x
D) –
E)
A) 0
4x 2 12x 3 1
3x 3 4x 2 5
x 2 4x 3
C) 5
E)
D) 7
4.3 x 7.5 x
3.5 x 1 3 x 2
lim
x
ifadesinin değeri kaçtır?
C) 0
D) 1
E) 4
A)
7
3
4
3
B)
C) 4
D)
4
9
E)
35
3
Bireysel Yetenek
B) –3
B) 2
14.
ifadesinin değeri kaçtır?
A) – 4
x
ifadesinin değeri kaçtır?
C) 0
lim
10.
x 5
lim
13.
lim
11.
x
7x 2 3x 2
5x 3 1
B)
7
5
D) –
C) –2
E)
A)
1
6
lim
2
x 3 x 3
x 9
12.
1
2
B)
1
6
C)
1
5
2
5
B)
C)
5
2
2
lim 1
3x 5
x
16.
D) 2
E) 5
6x 4
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
x
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
2
x
lim . sin
x
5
15.
1
3
D)
1
6
E)
A) 0
B) 1
C) e2
D) e3
E) e4
46
1–E
2–B
3–C
4–D
5–E
6–C
7–C
8–E
9–D
10–A
11–A
12–B
13–D
14–E
15–B
16–E
Uygulama – Analiz
Limitte Belirsizlik Durumlarý
x 5 32
x2
lim
1.
Test No: 18
x2
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 80
B) 64
C) 32
x 3
E) 1
A) 0
D) –1
E) –2
3
x 8
1
24
B)
3
2
C)
x 2
x 2 64
lim
4.
x 3
1
6
x 4
B) –1
1
4
B)
3
7
C)
D)
1
32
E)
x2
1
192
A)
8.
1
12
B) –2
lim
1
9
E)
E) 9
sin(2 x)
x3 8
C) –1
D) 1
E)
1
12
a, b R için
x2
D)
D) 5
ifadesinin değeri kaçtır?
x 6 3
x 3 27
1
162
C) 1
lim
7.
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
x 2 mx 20
9
8
x 2 16
lim
A) –2
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
E)
olduğuna göre, m kaçtır?
C) 0
lim
3.
D) –
C) 3
Bireysel Yetenek
B) 1
B) 1
6.
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
2x 1 3
x 4
ifadesinin değeri kaçtır?
2x 3 3x
x 3
lim
2.
D) 16
x4
lim log3
5.
x a 1
b
x2
olduğuna göre, b – a farkı kaçtır?
1
27
A)
47
1
2
B)
1
2
C)
2
3
D)
3
2
E)
1
5
Uygulama – Analiz
Limitte Belirsizlik Durumlarý
lim
9.
x 0
Test No: 18
1 cos 2x
x 2 x.sin x
B) 2
C) 3
lim
10.
x 1
D) 4
E) 5
A) 0
sin(3 3x)
2
(x 1)
3
4
x 0
3
8
3
4
D)
A) –7
E)
1 cos x
3x
1
3
B)
C) 2
D) –
(a 2)x 5 ax 3 a 5
(a 1)x 3 ax 2
x
A) –
E)
b
B) 2
C)
D) –
E) 1
x 2 3x 1 7x
x 4 x 2 5x
C) – 4
4x 2 3x 1 4x 2 5x
8
3
D) 1
B) 2
C) 5
2x 5
lim
x 2x 3
D) 8
4 3x
E) 10
a
olduğuna göre, lna kaçtır?
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
2
3
x
16.
lim
E)
ifadesinin değeri kaçtır?
12. a, b R için
A)
B) –5
lim
15.
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
x
2
D)
ifadesinin değeri kaçtır?
C)
lim
11.
lim
Bireysel Yetenek
B)
sin x
x2
C)
B) 2
14.
2
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –
x2
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1
lim
13.
A) –5
E)
B) –3
C) 1
D)
1
e3
E) e3
4
3
48
1–A
2–C
3–E
4–C
5–B
6–C
7–A
8–D
9–A
10–E
11–A
12–E
13–C
14–C
15–B
16–B
Uygulama – Analiz
Limitte Belirsizlik Durumlarý
lim
1.
x 5
Test No: 19
5x 5
3x 14x 5
1
2
B)
1
2
lim
2.
5
16
C)
D)
1
32
E)
1
5
A) –
x3 3x 2 x 3
3
x 3
B) 0
C)
3
2
D)
2
3
E)
x 1
ifadesinin değeri kaçtır?
C) 0
D) 12
A) 0
E) 24
B) 1
C) 3
D) 4
E) 12
Bireysel Yetenek
B) –1
sin3x
2x
4
lim (x 2 x 2) .
tan(x 1)
6.
x 2 1
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –3
x
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
lim
5.
2
lim
3.
x 0
x.sin x
1 cos x
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
B) 1
lim
x
2
D) –1
E) –2
A) 0
cos 3x
2x
3
2
B)
1
2
C)
B) 1
D) 4
E)
D) 12
E)
C) 3
lim
8.
n
C(n, 1).C(n, 3)
C(n, 0).C(n, 4)
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
x 0
ifadesinin değeri kaçtır?
C) 0
4.
4 sin 2x.tan 3x
lim 2 .
6 cos 2x
x
7.
5
2
D)
1
9
A) 4
E) 0
49
B) 5
C) 6
Uygulama – Analiz
Limitte Belirsizlik Durumlarý
Test No: 19
2
lim (3x 2 2x 5) .
2
1 2x
9.
B) –2
C) –1
D) 3
E) 4
A) –
4x 2 3x 1 5x
lim
10.
2x 1 x x
3
2
1
2
C)
D) 6
E)
6
24
lim
2
x 4
x2
x2
7
3
D) –3
A)
E) –7
3
2
B)
1
2
C)
5
2
D)
1
9
E) 0
Bireysel Yetenek
B)
C) – 4
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
B) –6
14.
2
x
x
x 2 4x 1 3 x 3 12x 2 x 6
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –3
lim
13.
x
lim
11.
x
4x 2 ax 5 4x 2 x 1
7
4
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 0
B) 2
D) 5
A) –
E) 6
2x 9x 2 7x 1
x
x x2 x 4
B) 3
C)
3
2
B) 0
C) 1
D) 2
x 2 3x 5
lim 2
x x 2x 3
16.
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
x 0
ifadesinin değeri kaçtır?
C) 3
lim
12.
1
1
lim
sin x
tan x
15.
E)
x 2
ifadesinin değeri kaçtır?
D)
5
2
E)
A)
3
2
B) 1
C) e–5
D) e–3
E) e5
50
1–D
2–E
3–A
4–A
5–B
6–E
7–D
8–A
9–A
10–C
11–E
12–D
13–D
14–A
15–B
16–C
Sentez – Deðerlendirme
Limitte Belirsizlik Durumlarý
lim
1.
x2
Test No: 20
3x 2 mx n
11
4
x2 4
B) –9
C)
D)
1
5
A) 2
E) 12
2x 2 15x 8
lim
2.
1
2
x 8
3
x 2
2
3
C)
lim
x 0
2
6
D)
3
2
E) 1
3x tan3x
x 2 sin 2x
ifadesinin değeri kaçtır?
C) 72
D) 168
A) 1
E) 204
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
25
2
E)
D) 1
E)
Bireysel Yetenek
B) 64
B)
6.
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 56
x 0
ifadesinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) –11
1 cos x
sin 3x
lim
5.
lim
3.
x2
x 3x 2
5x 6 4
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
7
3
B)
1
2
C)
lim
4.
x
1 cos 5x
x2
lim
7.
x 0
ifadesinin değeri kaçtır?
2
5
D)
2
7
E)
3
5
A) –5
1 cos 2x
sin 2x
B) 0
C)
lim
8.
x
4
5
2
D)
cos 2x
1 sin 2x
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
B)
2
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
A) 2
51
B)
2
2
C)
2
Sentez – Deðerlendirme
Limitte Belirsizlik Durumlarý
sin x
cos 2x
x
x2
lim
9.
Test No: 20
x 0
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
8
3
B)
11
6
C) 1
D)
2
7
A) – 4
E) 2
B)
1
2
C) 1
lim
x
E)
D) 2
5.e x 2 3. x1
2. x 7.e x
ifadesinin değeri kaçtır?
C)
1
2
D)
3
4
E)
5
4
3
2
A)
B)
2
3
C)
3
2
5e
7
D)
E)
5e2
7
Bireysel Yetenek
3
2
B) 0
14.
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
x
5 x 4x 3 2x
x (x 3)!
ifadesinin değeri kaçtır?
1
1
lim
x 3
x 3 ln(x 2)
10.
lim
13.
cos 5x
3x 2
lim
11.
x
B) 0
C)
5
3
D)
5
2
A) –5
E)
B) 0
C)
B) –2
x 5 x
C) 0
D) 2
E) 5
D) e6
E) e8
lim (3x e x ) x
16.
x 0
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –
2
sin 3x 7x 4
lim
2x 1
x
12.
x
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –
lim
15.
3
2
D)
7
2
B) e2
A) 1
E)
C) e3
52
1–A
2–E
3–C
4–B
5–C
6–C
7–D
8–A
9–B
10–C
11–B
12–D
13–B
14–E
15–C
16–E
Sentez – Deðerlendirme
Limitte Belirsizlik Durumlarý
Test No: 21
1
1 ... 1
1
lim
x
8
16
32
2
1.
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
B)
1
4
E)
D) 1
A) – 4
B) –3
C) 0
D)
1
2
E)
2
3
sin 2x 1 cos 4x
k R
sin 4x
lim
6.
5x 4x 3 7x
lim
2.
x 0
ifadesinin değeri kaçtır?
1
2
C)
sin 2x tan 2x
lim
x3
5.
x
x
2x 3
x
olduğuna göre, (2k – 1) kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –2L 2
5
2
B)
7
2
10
2
C)
D)
3
2
C) L 2
D) 2
E) 4
E) 1
Bireysel Yetenek
A)
B) –L 2
x
lim
7.
x
(x k)2
k 1
3
2x x 1
lim ( 2x).tan 3x
3.
x
2
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
2
3
1
2
B)
C)
A)
2
3
D)
3
2
E)
1
6
B)
1
3
2
3
C)
D)
3
4
E)
5
6
3
5
8.
f(x) = 3x2 – 5x + 1 fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
5
lim
4.
(x m) 120
m 2
x 0
lim
x
x
f 2 (2x 1)
f(2x 2 )
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 26
B) 58
C) 132
D) 154
A)
E) 160
53
1
2
B)
3
2
C) 9
D) 12
E)
Sentez – Deðerlendirme
Limitte Belirsizlik Durumlarý
Test No: 21
5x 2 3x 2
(m 3)x n 2
lim
2
x
4x x
9.
B) –3
C) 2
lim
10.
x 3
D) 4
E) 7
sin( x)
x 3
3
E)
D) 1
2
A)
ifadesinin değeri kaçtır?
C) e2
D) e5
E) e10
Bireysel Yetenek
x 0
B) 1
E)
D) 1
E)
1 cos x 2
2
2
B)
C) 0
n
n.
k2
k 1
Sn
13 23 3 3 ... n 3
15.
olduğuna göre, S3 lim (Sn ) değeri kaçtır?
n
A)
12.
D) 3
1 cos x
x 0
5
A) 0
C) 0
lim
14.
lim (1 sin 2x) x
11.
1
7
B)
ifadesinin değeri kaçtır?
C)
B) –
1
2
A)
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –
x
3 x 2x 1
x 3 4x 7
ifadesinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) –5
lim
13.
7
6
4
3
B)
C)
5
2
D)
7
2
E)
E
D
P
16. Şekilde R R ye ta-
x
A
C
B
O
y
nımlı f ve g fonksiyonla-
A(2, 4)
rı verilmiştir. f(x) doğru-
4
g(x)
su, A(–2, 4) noktasında
g(x) parçalı fonksiyonuna teğettir.
Yukarıdaki şekilde yarıçapı 1 birim olan çemberin
Buna göre,
lim
[EO] [AC] , |OD| = 3|BPø | ve m(POWB) = x radyan
x 2
olduğuna göre, lim | OC | değeri kaçtır?
x 0
A) 0
B)
0
2
merkezi O dur.
1
2
C)
3
2
D) 3
1
(gof)(x) 4
f(x) 4
2
x
f(x)
değeri kaçtır?
E)
A)
4
3
B) 0
C) 1
D)
4
3
E) 4
54
1–B
2–C
3–C
4–D
5–A
6–B
7–A
8–D
9–D
10–B
11–E
12–C
13–E
14–B
15–C
16–B
Uygulama – Analiz
Dizilerde Limit
Test No: 22
12n 5
3n 1
(an )
1.
(an )
5.
( 1)n.(5n 1)
2n 1
dizisi veriliyor.
dizisi veriliyor.
Buna göre, lim (an ) değeri kaçtır?
Buna göre, lim (an ) değeri kaçtır?
n
A) –5
B)
3
5
5
3
C)
n
D) 4
A)
E) 12
5
(an ) (2n 5).tan
3n
2.
1
2
B)
5
2
(an )
6.
C)
5
2
D) –
2n 4 cos 3n 1
sin 2n 7n
dizisi veriliyor.
dizisi veriliyor.
Buna göre, lim (an ) değeri kaçtır?
Buna göre, lim (an ) değeri kaçtır?
n
n
2
3
B)
5
3
(an )
3.
C)
10
3
D)
4n2 n 2n
6
5
A)
E)
Bireysel Yetenek
A)
C)
3
7
D)
3
2
E) 4
3
(an ) (5 2n).sin
n
Buna göre, lim (an ) değeri kaçtır?
n
B)
2
7
B)
dizisi veriliyor.
Buna göre, lim (an ) değeri kaçtır?
1
4
2
3
7.
dizisi veriliyor.
A)
E) Yoktur
1
2
n
C) 2
D)
3
2
E)
A) –6
B)
2
3
C)
3
2
D) 6
E)
n
(an )
4.
(2k)
k 1
2
n2 2n 2
(an )
2
n 1
8.
2n 3n 1
3n 1
dizisi veriliyor.
dizisi veriliyor.
Buna göre, lim (an ) değeri kaçtır?
Buna göre, lim (an ) değeri kaçtır?
n
A)
1
4
B)
1
2
C) 2
D)
n
2
3
E)
A) 1
55
B) 2
C) e
D) e3
E) e6
Uygulama – Analiz
Dizilerde Limit
Test No: 22
(an )
9.
n
4n 3
dizisi veriliyor.
B)
4n n2(3n 1)!
Buna göre, lim (an ) değeri kaçtır?
n
1
4
(3n 1)! 5 n n 2
dizisi veriliyor.
Buna göre, lim (an ) değeri kaçtır?
A)
(an )
13.
n
1
3
10.
C) 1
D) 2
E)
A) 0
(an) = 0,5333...3
1
2
B)
C) 5
(an )
14.
D) 9
E)
16n2 n 1 2n
4n 9n2 n 3
dizisi veriliyor.
dizisi veriliyor.
Buna göre, (an) dizisinin limiti kaçtır?
A) 0
1
B)
3
1
C)
5
Buna göre, lim (an ) değeri kaçtır?
n
8
E)
15
5
D)
3
Bireysel Yetenek
A)
11. (an) yakınsak bir dizi ve n N+ için,
1
2
B)
2
7
C)
D)
3
2
E)
5
2
(n 2)! (n 1)!
(n 2)! n!
(an )
15.
4
3
5.an + 4 = 4 + 3.an
dizisi veriliyor.
olduğuna göre, lim (an ) değeri kaçtır?
n
Buna göre, lim (an ) değeri kaçtır?
n
A)
5
4
B)
5
3
C) 1
D) 2
E)
A) 0
12. Genel terimi,
B)
1
2
C) 1
D) 2
16. Genel terimi,
an
n
k 1
1
k 9k 20
an
2
2n1 3n1
3n 2 2n 2
olan dizi veriliyor.
olan dizi veriliyor.
Buna göre, lim (an ) değeri kaçtır?
Buna göre, lim (an ) değeri kaçtır?
n
n
A) 0
B)
E)
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E)
5
4
A)
1
4
B)
2
3
C) 8
D)
3
2
E) 27
15–C
16–E
56
1–D
2–C
3–A
4–B
5–E
6–B
7–A
8–E
9–C
10–E
11–D
12–D
13–D
14–B
Uygulama – Analiz
Sonsuz Geometrik Dizi
Test No: 23
3
1.
2
n1
n 1
B)
2
3
olduğuna göre, b R kaçtır?
D) 2
A)
E) 3
n 0
1
5
B)
25
4
C)
125
8
D)
125
42
A)
E)
1
3
C)
1
4
D)
3
4
E) 3
1
3
B)
n
3n 2
9
2
C)
1
9
D)
1
12
1
27
E)
Dikildiğinde 40 cm olan bir bitkinin boyu bir yıl sonra
Buna göre bitkinin boyu en fazla kaç cm olabilir?
A) 220
9.
[(1)n.23n ]
4.
E) –6
2 metre oluyor. Bitki bundan sonraki her yıl bir önce1
ki yıldaki uzama miktarının
i kadar uzuyor.
5
Bireysel Yetenek
sonsuz geometrik dizisinin değeri kaçtır?
B)
D) –3
toplamının değeri kaçtır?
8.
A) –3
n 1
1 1
1
1 ...
3 9 27 81
3.
4
3
C)
B) –1
7.
toplamının değeri kaçtır?
A)
2
3
1 2n
5
2
2.
1
3
C)
5
3n
n 1
toplamının değeri kaçtır?
A) –3
2n b
6.
B) 240
C) 260
D) 280
E) 300
Bir top h metre yükseklikten bırakılıyor. İlk zıplayışında 6 metre, daha sonraki her zıplayışında bir ön2
ceki yüksekliğinin
ü kadar zıplıyor.
3
n2
toplamının değeri kaçtır?
Durduğunda dikeyde 50 metre yol aldığına göre,
A)
2
3
B) 1
C)
4
3
D)
8
3
E)
h kaçtır?
16
9
A) 14
5.
Bir top 40 m yükseklikten bırakılıyor. Top yere her
3
çarptığında bir önceki düştüğü yüksekliğin
ü ka4
dar yükseliyor.
B) 12
C) 10
D) 9
E) 8
10. |3a| < 1 olmak üzere,
1 + 3a + 9a2 + 27a3 + ... + (3a)n – 1 + ... = 2
olduğuna göre, a kaçtır?
Buna göre, topun duruncaya kadar dikey olarak
aldığı toplam yol kaç metredir?
A) 120
B) 160
C) 200
D) 240
A)
E) 280
57
1
3
B)
1
6
C)
1
9
D)
1
6
E)
1
3
Uygulama – Analiz
Sonsuz Geometrik Dizi
Test No: 23
1
4x
fonksiyonunun grafiği ve-
14. Yandaki şekilde y
11.
rilmiştir. Bir köşesi y
16
y
1
4x
y=
1
4x
fonksiyonunun grafiği üze0
rinde bulunan ve bir kena-
1
2
3
4
x
5
rının uzunluğu 1 birim olan dikdörtgenler sonsuza
Yukarıda verilen d1 ve d2 doğrularının oluşturduğu
kadar oluşturuluyor.
açının ölçüsü 30° dir. İlk olarak, d1 doğrusu üzerin-
Buna göre, oluşan tüm dikdörtgenlerin alanları
de alınan A1 noktasından d2 doğrusuna A1B1 dikme-
toplamı kaç birim kare olur?
si iniliyor. Sonra B1 noktasından d1 doğrusuna B1A2
dikmesi ve A2 dikme ayağından da d2 doğrusuna
A)
A2B2 dikmesi inilerek bu işleme devam ediliyor.
1
3
B)
1
2
C)
2
3
D) 1
E)
4
3
|A1B1| = 16 cm olduğuna göre, d2 doğrusuna bu
şekilde inilen tüm dikmelerin uzunluklarının toplamı olan |A B | + |A B | + |A B | + ... kaç cm dir?
1 1
2 2
3 3
15. Yandaki şekilde bir keA) 32
B) 36
C) 48
D) 56
A
narı 12 cm olan ABC eş-
E) 64
kenar üçgeni verilmiştir.
Üçgenin kenar orta nokD
E
C
|AD| = 12 cm
|AB| = 16 cm
olan şekildeki dikdört-
F
H
genin orta noktaları birleştirilerek bir dörtgen
A
G
F
talarının birleştirilmesiyle
Bireysel Yetenek
12. Kenar uzunlukları
K
D
L
yeni bir eşkenar üçgen
elde ediliyor. Bu işlem el-
B
M
E
C
de edilen her üçgene uygulanarak iç içe sonsuz tane üçgen elde ediliyor.
B
Buna göre, elde edilen tüm üçgenlerin alanları
oluşturuluyor. Aynı işlem bu dörtgene uygulanıp daha
toplamı kaç cm2 dir?
küçük bir dörtgen oluşturuluyor.
A) 9
Bu işleme sonsuza kadar devam edilirse oluşan
B) 36
C) 36L 3
D) 48L 3
E) 64
tüm dörtgenlerin çevreleri toplamı kaç cm olur?
A) 152
B) 162
C) 192
D) 224
E) 244
16.
13.
Şekildeki dıştan teğet yarım dairelerin alanları topla-
Şekilde dıştan teğet çizilmiş sonsuz çokluktaki daire-
mı 18 cm2 dir.
lerden her birinin yarıçapı bir öncekinin yarıçapının
3
i kadardır.
5
Her bir dairenin yarıçapı bir öncekinin yarıçapı1
nın
ü olduğuna göre, en büyük yarım daire3
nin yarıçapı kaç cm dir?
A) L 3
C) 3L 2
B) 2
D) 4
Bu dairelerden en büyük olanın yarıçapı 8 cm ise
tüm dairelerin alanları toplamı kaç cm2 dir?
E) 4L 2
A) 160
B) 140
C) 120
D) 100
E) 80
58
1–E
2–D
3–C
4–C
5–E
6–E
7–D
8–B
9–A
10–D
11–E
12–C
13–E
14–A
15–D
16–D
Bilgi – Kavrama
Süreklilik
Test No: 24
ax 1 , x 2
f(x) b 2
, x2
5ax 15 , x 2
1.
f(x)
5.
2 sin x cos x
1 tan x
fonksiyonu [0, 2] aralığında kaç farklı noktada
biçiminde tanımlı f(x) fonksiyonunun x = 2 nok-
süreksizdir?
tasında sürekli olması için b kaç olmalıdır?
A) 5
A) 7
B) 4
C) –1
2x 3
f(x) x 3
3x 1
2.
D) –2
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
E) –3
, x4
2x a , x 3
f(x) 5
, x 3
x b , x 3
6.
, x4
fonksiyonunun sürekli olduğu küme aşağıdaki-
fonksiyonu x = 3 için sürekli olduğuna göre, b – a
lerden hangisidir?
kaçtır?
B) R – [3, 4]
D) R – {3}
C) R
E) {3, 4}
x2 1
, x 1
f(x) x 1
3m 7 , x 1
3.
A) –2
Bireysel Yetenek
A) R – {3, 4}
B) –3
C) 3
D) 4
E) 5
f(x) 5 | x 1|
7.
fonksiyonunu sürekli yapan x tam sayı değerleri
fonksiyonu x R için sürekli ise m kaçtır?
toplamı kaçtır?
A) 0
A) –6
B) 1
C) 2
3x 2
f(x) x 2 x 6
4 2x
4.
D) 3
E) 4
, x2
B) 2
C) 3
f(x) 3
8.
, x2
D) 4
C) 2
D) 7
E) 11
x2
x2 1
| x2 9 |
x 1
x 2 5x
fonksiyonu x in kaç farklı değeri için süreksizdir?
fonksiyonu x in kaç farklı değeri için süreksizdir?
A) 1
B) 0
A) 2
E) 5
59
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Bilgi – Kavrama
Süreklilik
Test No: 24
f(x) x 2 4x 3
9.
fonksiyonunun sürekli olduğu küme aşağıdaki-
x2 x 9
x x 2 16x 16
3
fonksiyonunu süreksiz yapan x değerlerinin top-
lerden hangisidir?
lamı kaçtır?
A) (–, 1] [3, )
B) (–, )
D) [–3, –1]
C) [3, )
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) [1, 3]
x 1
2x 2 4x 5
f(x)
10.
f(x)
13.
x 2 10x 25
f(x)
x 5
kx 14
14.
, x5
, x5
fonksiyonunu süreksiz yapan x değerlerinin topfonksiyonu R de sürekli ise k reel sayısı kaçtır?
lamı kaçtır?
B) 3
C) 4
D) 5
x2 3
f(x)
a 10x x 2
11.
A) 8
E) 6
fonksiyonunun daima sürekli olabilmesi için a
hangi aralıkta bulunmalıdır?
Bireysel Yetenek
A) 2
B) 5
C) 3
D) 1
E) –3
3
x 1
x3 ,
f(x)
2x 1 , 1 x 5
x 14 ,
x 5
15.
kuralı ile tanımlı f (x) fonksiyonu kaç farklı noktada sürekli değildir?
A) a < –36
B) a < –25
D) a > 10
C) a > –10
A) 1
E) a > 36
12.
B) 2
C) 3
16.
y
D) 4
E) 5
y
3
4
3
y = f(x)
2
2
1
4
3
1
0
3
5
x
2
1
0
1
2
x
3
1
y = f(x)
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu (–5, 6)
(–3, 4) aralığında süreksiz olduğu x tam sayıları-
aralığında kaç farklı tam sayıda süreklidir?
nın toplamı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
60
1–A
2–C
3–D
4–B
5–D
6–C
7–E
8–B
9–E
10–A
11–B
12–D
13–A
14–E
15–B
16–A
Uygulama – Analiz
Süreklilik
Test No: 25
1 x
f(x) log x 2
x 5
1.
sin x
cos x
cos x 2 2 sin x 1
fonksiyonunun sürekli olduğu küme aşağıdaki-
fonksiyonu [0, 2] aralığında kaç farklı açı değe-
lerden hangisidir?
rinde süreksizdir?
A) (1, 5) – {3}
B) (2, 5) – {3}
D) (5, )
2.
f(x)
5.
A) 5
C) (1, 5)
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
E) R – [1, 5]
f: R R
x2 4
| x 2|
f(x)
a2
3x b
x 2 mx 12
x3 3x 2 5x 15
f(x)
6.
, x2
fonksiyonu x = a noktasında süreksizdir.
, x2
lim f(x) = n R olduğuna göre, m + n toplamı
, x 2
x a
kaçtır?
kuralı ile verilen f(x) fonksiyonu R de sürekli olduğuna göre, a + b kaçtır?
B) –10
C) –12
x2 9
f(x) 3 x
2a 3
3.
D) –14
E) 8
Bireysel Yetenek
A) –6
A)
, x3
1
2
B)
1
2
D)
7
9
E)
7
15
x2 1
3x 2
f(x)
7.
5
2
C)
, x3
fonksiyonunun sürekli olduğu küme aşağıdakifonksiyonunun x = 3 noktasındaki süreksizliğini
lerden hangisidir?
kaldırabilmek için, a reel sayısı kaç olmalıdır?
A) (–, –1) (1, )
1
A)
2
3
B)
2
1
C)
2
(x 1)5 1
f(x) x 2
3m 2
4.
3
D)
2
5
E)
2
D) [–1, 1] –
, x2
, x 2
C) 3
D) 4
aA
9
C) [1, )
aA
9
E) R – (–1, 1)
3x 2 2x 1
x (2m 3)x m 2 6
2
fonksiyonu sadece bir noktada süreksiz olduğuna göre, m kaçtır?
göre, m kaçtır?
B) 2
f(x)
8.
fonksiyonu x = 2 noktasında sürekli olduğuna
A) 1
B) R –
A)
E) 5
61
1
2
B)
3
2
C)
3
2
D)
3
4
E)
5
4
Uygulama – Analiz
Süreklilik
Test No: 25
13.
x2 4
2
x ax 4
f(x)
9.
y
3
2
fonksiyonu R de sürekli olduğuna göre, a hangi
1
aralıkta bulunmalıdır?
A) (–, – 4) (4, )
B) (4, )
D) (16, )
0
3 2 1
4
C) (– 4, 4)
1
3
2
1
2
E) (–6, 6)
x
4
f(x)
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu, [–4, 4]
aralığında kaç farklı tam sayıda limiti olduğu halde
süreksizdir?
f(x)
10.
3x 4
x 2 3x 10
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
fonksiyonu veriliyor.
14.
y
Buna göre, f(x + 2) fonksiyonunun süreksiz oldu3
ğu küme aşağıdakilerden hangisidir?
2
B) [–4, 3]
D) {– 4, 3}
E) {–2, 5}
f(x)
11.
C) {–2, 3}
y = f(x)
1
Bireysel Yetenek
A) (–4, 3)
3
1
0
1
2
x
4
3
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu, [–3, 4]
aralığında kaç farklı tam sayıda sürekli olmadığı
2
9x
log( x)
halde limiti vardır?
A) 6
fonksiyonunun sürekli olduğu kümede kaç farklı
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
tam sayı vardır?
15.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
y
E) 6
3
2
1
x
cos x 1 ,
2
f(x)
x
a sin x b ,
2
x
cos 5x 3a ,
12.
4
C) 1
D) 0
0
2
3
x
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
g(x)
rekli olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
B) 3
2 1
1
kuralı ile tanımlı f (x) fonksiyonu x R için sü-
A) 4
y = f(x)
3
3x 2
olduğuna göre, g(x) fonksiyonu kaç
f(x) 2
farklı noktada süreksizdir?
E) –2
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
62
1–B
2–C
3–B
4–A
5–D
6–A
7–E
8–E
9–C
10–D
11–A
12–B
13–B
14–D
15–D
