YGS-MATEMATİK-PDF

YGS // MATEMATİK
KÜMELER
Küme Tanımı, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
Kümelerde İşlemler
hhKÜMELER
FÖY NO
01
Örnek 2:
hh Birbirinden farklı iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna
küme denir.
hh Kümedeki her bir eleman küme içerisine bir kez yazılır.
hh Küme içerisindeki elemanların yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez.
hh A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.
"M Ü K E M M E L "
kelimesinin harflerinin oluşturduğu kümeyi liste yöntemi ile yazınız ve eleman sayısını bulunuz.
Cevap: 5
Kümenin adı A olsun
A = {M, Ü, K, E, L} ve s(A) = 5 bulunur.
hh x, A kümesinin elemanı ise x ∈ A ile gösterilir.
hh x, A kümesinin elemanı değil ise x ∉ A şeklinde gösterilir.
Kümenin elemanlarının kapalı bir eğri içerisine başlarına nokta
konularak yazılması ile oluşan gösterim türüne "Venn Şeması
Yöntemi denir.
Örnek 1:
A = {1, 2, 3, 4, {1, 4}}
Örnek 3:
kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) s(A) = 5
2. Venn Şeması Yöntemi
B) 1 ∈ A
D) 6 ∉ A
Altıdan büyük rakamların kümesini Venn şeması ile
gösteriniz.
C) {2} ∈ A
E) {4, 5} ∉ A
s(A) = 5, 1 ∈ A, 6 ∉ A, {4, 5} ∉ A
Cevap: C
ifadeleri doğru {2} ∈ A yanlıştır.
A
7
8
9
hhKümelerin Gösterimi
1. Liste Yöntemi
Kümeye ait olan elemanların { } parantezi içerisine birbirinden
ayrılmaları için virgül kullanılarak yazılması ile oluşan gösterim
türüdür.
3. Ortak Özellik Yöntemi
Kümenin elemanlarının var olan ortak özellikleri yardımıyla ifade edilmesine "Ortak Özellik Yöntemi" denir.
hh A = {x| f(x)} biçiminde gösterilir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
KÜMELER / Küme Tanımı, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
hhKüme Çeşitleri
Örnek 4:
A = {x| 1 < x < 15, x = 2n, n ∈ N}
Yukarıda ortak özellik yöntemiyle gösterilen kümeyi liste yöntemi ile yazınız.
Cevap: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
1 < x < 15 aralığında 2 ile tam bölünebilen doğal sayılardan oluşan kümedir.
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} elde edilir.
1. Boş Küme
Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. { } veya ∅
biçiminde gösterilir.
Örnek 8:
A = {x: x2 < 0, x ∈ Z}
kümesini liste yöntemini kullanarak yazınız.
Örnek 5:
B = { x: x3 < 72, x ∈ N}
Cevap: A = { }
olduğuna göre, s(B) kaçtır?
x3 < 72 koşulunu sağlayan doğal sayıların kümesi
Karesi sıfırdan küçük olan herhangi bir tam sayı olmadığından küme boş kümedir. A = { }
Cevap: 5
B = {0, 1, 2, 3, 4} olduğundan s(B) = 5 bulunur.
2. Sonlu ve Sonsuz Küme
Örnek 6:
Eleman sayısı sonlu olan kümelere sonlu küme , eleman sayısı sonlu olmayan (sonsuz olan) kümelere sonsuz küme denir.
C = {x| |x – 1| < 3, x ∈ Z}
kümesinin eleman sayısı kaçtır?
|x – 1| < 3 ⇒ –3 < x – 1 < 3
⇒ –3 + 1 < x < 3 + 1
⇒ –2 < x < 4
Cevap: 5
Örnek 9:
I. A = {x: x > 3, x ∈ Z}
II. B = {x: 1 < x < 10, x ∈ N}
C = {–1, 0, 1, 2, 3} olduğundan s(C) = 5 bulunur.
III. C = {1, 3, 5, 7, 9 ...}
Yukarıda verilen kümelerin hangileri sonlu kümedir?
Örnek 7:
A = {x: 0 < x < 5, x ∈ Z}
B = {y: y = x + 1, x ∈ A, y ∈ Z}
A = {4, 5, 6, 7 ...}
olduğuna göre, B kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?
Cevap: A ve C
B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
C = {1, 3, 5, 7, 9 ...}
A ve C kümelerinin eleman sayıları sonlu olmadığından sonsuz kümeler, B nin
eleman sayısı sonlu olduğundan sonlu kümedir.
A = {1, 2, 3, 4}
Cevap: 14
y = x + 1 ⇒ x = 1 için y = 2
x = 2 için y = 3
x = 3 için y = 4
x = 4 için y = 5 olur.
B = {2, 3, 4, 5}
3. Eşit Küme
Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir. A ve B kümeleri eşit olduğunda A = B biçiminde gösterilir.
A = {x : 12 ≤ x < 312, x = 6n, n ∈ Z}
olduğuna göre, s(A) kaçtır?
51
1............ 12 ............. 312
1
311 6
- 306 51
5
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Öğretmen
Sorusu
2 + 3 + 4 + 5 = 14 bulunur.
11 6
-6 1
5
s(B) = 51 - 1 = 50
KÜMELER / Küme Tanımı, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
Not
Örnek 10:
A = {x| x > 0, x ∈ Z}
kümesi aşağıdaki sayı kümelerinden hangisine eşittir?
A) Z
B) N
C) N+
n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n dir.
E) Z–
D) R
Cevap: C
A = {1, 2, 3, 4, ...}
N+
kümesi ile
= {1, 2, 3, 4, ...} kümesinin bütün elemanları aynı olduğundan
eşit kümelerdir.
Örnek 13:
A = {1, 2, a, b, c}
kümesinin
4. Alt Küme
a) Alt küme sayısı kaçtır?
A ve B gibi iki kümeden A kümesinin bütün elemanları B kümesinin de elemanları ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir
denir ve A ⊂ B veya A ⊆ B şeklinde gösterilir. Aynı durum için B
kümesi A kümesini kapsar denir ve B ⊃ A veya B ⊇ A şeklinde
gösterilir.
a) Alt küme sayısı = 2s(A) = 25= 32 dir.
B
b)Alt kümelerinin kaç tanesinde "1" eleman olarak bulunur?
b) 1 elemanı oluşacak alt kümelerde bulunmak zorunda olduğundan "1"
elemanı yok sayılmalıdır.
A
c)Alt kümelerinin kaç tanesinde "a" eleman olarak bulunmaz?
Örnek 11:
c) a
elemanı oluşacak alt kümelerde bulunmayacağından geriye kalan
elemanlar kullanılarak
A = {a, b, c}
kümesinin bütün alt kümelerini yazınız.
∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}
d) oluşacak alt kümelerin içerisinde a bulunur 2 bulunmaz ise a ve 2 dışındaki elemanlar kullanılarak
A = {a, b, {a, b}, c, {a, b, c}}
kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
D) b ⊂ A
B) {a, b} ∈ A
25 – 1 = 24 = 16 bulunur.
d)Alt kümelerinin kaçında "a" eleman olarak bulunur
ancak "2" eleman olarak bulunmaz?
Örnek 12:
A) a ∈ A
25 – 1 = 24 = 16 bulunur.
C) {a} ⊂ A
25 – 2 = 23 = 8 bulunur.
e)Alt kümelerinin kaçında "b" ve "c" birlikte bulunur?
E) A ⊇ {c}
Cevap: D
Bir eleman herhangi bir kümenin alt kümesi olamaz. Yani b ⊂ A ifadesi yanlıştır. Doğru ifade {b} ⊂ A olmalıdır.
e) A
kümesinin b ve c dışında 3 elemanı vardır. Bu üç elemanla 23 = 8 tane
alt küme yazılır.
Cevap: 32, 16, 16, 8, 8
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
KÜMELER / Küme Tanımı, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
Not
Örnek 15:
hh n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı
n
n!
d n = C (n, r) =
(n - r) !.r!
r
kadardır.
hh c n m = 1, cn m = 1, c n m = n, c n m = n
n- 1
n
0
1
hh n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı
n
n
n
n
d n + d n + d n g + d n = 2 n dir.
0
1
2
n
Örnek 14:
"Ç ö z ü m "
kelimesinin harfleri ile oluşturulan bir kümenin
a) Alt kümelerinin kaçında z veya m bulunur?
(Tüm alt küme sayısı) - (z ve m'nin bulunmadığı alt küme sayısı)
a) 25 – 23 = 32 – 8 = 24
b)3 elemanlı alt kümelerinin kaçında z veya m bulunur?
5
3
3
3
b) d n - d n =
A = {1, 2, a, 3, 5, 7}
5.4.3 3.2.1
= 10 - 1 = 9
3.2.1 3.2.1
kümesinin
Cevap: 24, 9
a) 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Not
6
6!
= 6.5 = 15
a) e o = −
(6 2) !.2! 2.1
2
b)en az 5 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
6
6
b) e o + e o = 6 + 1 = 7
5
6
n
n
c m= c m
r
m
ise r = m veya n = r + m
dir.
c) en çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Örnek 16:
6
6
6
c) e o + e o + e o = 1 + 6 + 6.5 = 1 + 6 + 15 = 22
2!
0
1
2
d) 4
elemanlı alt kümelerinin kaçında "3" eleman olarak bulunur?
d) "3" elemanı kümede 1 yer kaplayacağından kalan 5 elemanın 3 ü seçilir.
5
. 4.3
=
e o 5=
10
3!
3
e)3 elemanlı alt kümelerinin kaçında "3" ve "a" bulunmaz?
e) "3" ve "a" bulunmayacğından kalan 4 elemanın 3 ü seçilir.
4
. 3.2
=
e o 4=
4
3!
3
4 elemanlı alt küme sayısı 7 elemanlı alt küme sayısına
eşit olan bir kümenin en az 2 elemanlı alt küme sayısı
kaçtır?
n
n
c m = c m & n = 4 + 7 = 11
4
7
11
11
11
11
11
11
d n + d n + d n + d n + ... + d n = 2
0
1
2
3
11
1 + 11 + d 11n + d 11n + ... + d 11n = 2 11
2
3
11
11 + 11 + ... + 11 = 2 11 - 12
d n d n
d n
2
3
11
= 2036
Cevap: 2036
Öğretmen
Sorusu
Cevap: 15, 7, 22, 10, 4
{1, 2, 3} ⊂ A ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
koşulunu sağlayan kaç farklı A kümesi yazılabilir?
A kümesi içerisinde {1, 2, 3} elemanları olmak zorunda olduğundan {4, 5, 6, 7} kümesinin alt küme sayısı olan 24 = 16
tane A kümesi yazılabilir.
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
KÜMELER / Küme Tanımı, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
1.
Konu Testi - 1
5.
A = {x: –2 ≤ x < 4 ve x tam sayı}
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) 0 ∈ A
B) s(A) = 6
D) 4 ∉ A
A = {x: 2x + y = 10, x ∈ N, y ∈ N}
olduğuna göre, A kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
C) –2 ∈ A
A) 128
E) –3 ∈ A
B) 64
C) 32
D) 16
E) 8
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} olduğundan alt küme sayısı 26 = 64 tür.
A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3} olduğundan –3 ∈ A yanlıştır.
2.
6.
A = {x: 4 < 2x < 12, x ∈ N}
A) {13532 sayısının rakamları}
olduğuna göre, s(A) kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
B) {Yılın E ile başlayan ayları}
D) 5
E) 6
C) {x: 1 < x < 10, x ∈ R}
D) {x: x < 7, x ∈ N}
4
12
4 < 2x < 12 ⇒ 2 < x < 2 ⇒ 2 < x < 6
A = {3, 4, 5}
E) {x: x = 2n, n bir rakam}
s(A) = 3
1 < x < 10 aralığında sonsuz sayıda reel sayı olduğundan C seçeneğindeki
küme sonsuz kümedir.
7.
3.
Aşağıdakilerden hangisi sonsuz kümedir?
A = {x: x.y = 12, x ∈ N ve y ∈ N}
kümesinin alt kümelerinden biri aşağıdakilerden hangisi olamaz?
kümesinin liste biçiminde yazılışı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {3, 4, 6}
B) {1, 2, 3}
D) {2, 3, 4, 6, 12}
A = {ö, z, g, ü, r}
A) {ö, z}
C) {1, 2, 3, 4}
B) {z}
D) {g, ü, r}
C) { }
E) {k, ü, r}
E) {1, 2, 3, 4, 6, 12}
k ∉ A olduğundan {k, ü, r} ⊄ A dır.
x ∈ N, y ∈ N ve x.y = 12 koşulunu sağlayan (x, y) sıralı ikilileri (1, 12), (2, 6),
(3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1) olduğundan A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} dir.
8.
A
B
4.
A = {x: 1 < x < 115 ve x = 10 n, n ∈ Z}
kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
6
E) 12
A = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110}
s(A) = 11 bulunur.
Ya da 115 10 olduğundan 1 ile 115 arasında 11 tane 10 sayısının katı
11
vardır.
5
2
1
C
3
7
4
Yukarıdaki şemada verilenlere göre aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
A) s(A) = 7
D) 5 ∈ A
B) s(B) = 3
C) s(C) = 3
E) 1 ∉ B
Şemaya göre 1 ∈ B dir. 1 ∉ B yanlıştır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
KÜMELER / Küme Tanımı, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
9.
Konu Testi - 1
A kümesinin kendisi hariç 255 tane alt kümesi olduğuna göre, s(A) kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
13.
A = {1, 2, 3, a, b, c}
B = {2, a, n, 5, 1, 7}
E) 10
kümelerinin alt kümelerinin kaç tanesi eşit kümelerdir?
s(A) = n olsun 2n – 1 = 255
2n = 256
n = 8 dir.
A) 64
B) 32
C) 16
D) 8
E) 4
Ortak eleman olan {1, 2, a} nın oluşturduğu 23 = 8 tane küme eşit kümedir.
14.
10. 10 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı
kaçtır?
A) 144
B) 120
C) 100
D) 96
E) 72
A = {x: 1 < x2 < 27, x ∈ Z}
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde
"3" eleman olarak bulunmaz?
A) 15
B) 21
C) 28
D) 35
E) 42
A = {–5, –4, –3, –2, 2, 3, 4, 5}
3 eleman olarak bulunmayacağından kalan 7 elemanın 3 ü seçilir.
10
.9.8
=
=
e o 10
3.2.1 120
3
7
.6 .5
=
e o 73=
.2.1 35
3
15. Bir A kümesinin 3 elemanlı alt küme sayısı 2 elemanlı alt
küme sayısına eşittir.
11. A ve B eşit kümelerdir.
A kümesinin alt küme sayısı 32 olduğuna göre, B kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Buna göre, A kümesinin en çok 1 elemanlı alt küme
sayısı kaçtır?
A) 28
A) 2
D) 15
E) 10
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde "k" eleman
olarak bulunur "a" eleman olarak bulunmaz?
E) 32
A) 37
D) 40
E) 41
8
8
8
8
8
8
e o+e o+e o = e o+e o+e o
6
7
8
2
1
0
= 28 + 8 + 1
= 37 bulunur.
5. B
6. C
7. E
8. E
9. C
10. B
11. E
12. B
13. D
14. D
15. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
C) 39
A = {a, e, ı, i, u, ü, o, ö}
k ve a dışında kalan 3 eleman ile 23 = 8 tane alt küme oluşturulur.
16. A
6
B) 38
4. D
D) 24
kümesinin en az 6 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
3. E
C) 16
E) 6
16. Alfabemizin sesli harfleri kullanılarak oluşturulan A
2. B
B) 8
D) 5
5
5
d n+d n = 5 + 1 = 6
0
1
A = {k, a, l, e, m}
A) 4
C) 4
n
n
s(A) = n olsun e o = e o ise n = 3 + 2 = 5 tir.
3
2
A = B ise s(A) = s(B) = n dir.
5
.4
2n = 32 ise n = 5 olur. e=
o 52=
.1 10
2
12.
B) 3
1. E
C) 20
Cevaplar
B) 21
KÜMELER / Küme Tanım, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
1.
Konu Testi - 2
4.
A = {1, 3, 5, 7, 10}
B = {5, 7}
C = {5, 3, 7, 10, 1}
Bir kümenin eleman sayısı 3 artırılınca alt küme sayısı 112
artıyor.
Buna göre, bu kümenin ilk durumdaki eleman sayısı
kaçtır?
kümeleri için,
A) 2
I. B ⊆ A
II. A = C
ifadelerinden hangileri doğrudur?
B) Yalnız II
D) I ve III
C) 4
D) 5
E) 6
2n + 3 – 2n = 112 ⇒ 2n(23 – 1) = 112
⇒ 2n = 16
⇒n=4
III. A ⊃ C
A) Yalnız I
B) 3
C) I ve II
E) I, II ve III
B ⊆ A, A = C ve A ⊃ C dir.
5.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde sadece tek
sayılar bulunur?
A) 64
2.
B) 48
C) 32
D) 16
E) 15
n bir tam sayı olmak üzere
{1, 3, 5, 7} elemanları ile 24 = 16 tane küme oluşur.
Boş kümede tek sayı bulunmayacağından 16 – 1 = 15 olur.
A = {x: 3 < x < n, x = 4m, m ∈ Z}
kümesinin eleman sayısı 6 olduğuna göre, n en fazla
kaçtır?
A) 25
B) 26
C) 27
D) 28
E) 30
s(A) = 5 ise A = {4, 8, 12, 16, 20, 24} dir. Kümenin en büyük elemanı 24
olduğunda n en fazla 28 olur.
6.
Çember ve oklar ile oluşturulan şemanın kuralları aşağıda
verilmiştir.
A
3.
n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 23n – 12 dir.
Bu kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
A) 8
B) 10
C) 15
2n = 23n – 12 ⇒ 3n – 12 = n ⇒ n = 6 dır.
6
.5
e=
o 62=
.1 15
2
D) 18
E) 21
Yukarıdaki şekilde birinci çember içerisine bir A kümesinin
elemanları yazılıyor.
Bir önceki çemberde bulunan kümenin alt kümeleri ok ile
gösterilen çember içerisine küme biçiminde yazılıyor. Bu
işlem son çembere kadar devam ediyor.
Buna göre A = {1, 2, 3} kümesi için son çember içerisinde bulunan kümenin elemanlarının sayısı kaçtır?
A) 64
B) 128
C) 256
D) 512
E) 1024
2. çemberin eleman sayısı 23 = 8
3. çemberin eleman sayısı 28 = 256 olur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
KÜMELER / Küme Tanım, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
7.
n elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı 36
olduğuna göre n kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
Konu Testi - 2
10.
A = {m, n, p, r, s, t}
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde
"m" ya da "n" eleman olarak bulunur?
E) 11
n
n ( n − 1)
= 36 & n (n − 1) = 72
e o = 36 &
2
2
n ^n − 1h = 9.8
A) 12
B) 15
C) 16
D) 18
E) 21
4
içinde sadece m bulunanlar e o = 6
2
n=9
4
içinde sadece n bulunanlar e o = 6
2
"m" ya da "n" bulunanlar 6 + 6 = 12 dir.
11.
8.
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinin eleman sayısı
tek sayıdır?
A = {–1, 0, 1, 2, 3, 4}
A) 28
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin tüm elemanlarının toplamı kaçtır?
A) 90
B) 84
A = {1, 2, a, b, c, d}
C) 80
D) 72
C) 32
D) 36
E) 48
6
6
6
6
e o + e o + e o = 6 + 63..52..41 + e o
1
3
5
1
= 6 + 20 + 6
= 32
E) 64
5
.4
o 52=
içerisinde –1 bulunan üç elemanlı alt küme sayısı e=
.1 10 dur.
2
B) 30
12. Aşağıdaki A, B ve C kümelerinin elemanları
{2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} kümesinin elemanlarından oluşmaktadır.
Yani her bir elemandan kümeler içerisinde 10 ar tane vardır.
(–1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4).10 = 90
B
C
5
6
8
A
9.
A = {1, 3, 4, 5, 6, 7}
5, 6 ve 8 sayıları kümelere yerleştirilmiştir. Bu kümelerin
her birinin elemanlarının toplamı 30 dur.
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesi {3, 4} kümesini
kapsar?
Şekildeki her bir nokta o bölgede bulunan eleman sayısını gösterdiğine göre A kümesinin elemanları çarpımı kaçtır?
E) 64
{3, 4} ⊂ B ⊂ A koşulunu sağlayan B kümeleri 24 = 16 tanedir.
A) 3400
B) 3540
B
A
5. E
6. C
7. C
8. A
9. C
10. A
11. C
12. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2
6
C
D) 3800
E) 3840
o hâlde 2 . 4 . 10 . 6 . 8 = 3840 olur.
8
4
4. C
10
8
7
9
5
C) 3600
3. C
D) 32
2. D
C) 16
1. E
B) 8
Cevaplar
A) 4
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
hhEVRENSEL KÜME
Not
Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan en dar kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle "E" harfi
ile gösterilir.
A
E
B
A kümesi E evrensel kümesinin alt kümesi ise
s(A) + s(A′) = s(E) dir.
Örnek 18:
A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.
s(A) + s(B′) = 37
s(A′) + s(B) = 23
olduğuna göre evrensel kümenin eleman sayısı kaçtır?
A ⊂ E ve B ⊂ E
s(A) + s(B′) = 37
+
s(A′) + s(B) = 23
Cevap: 30
s(A) + s(A′) + s(B) + s(B′) = 60
hhBir Kümenin Tümleyeni
A evrensel kümenin bir alt kümesi olmak üzere evrensel kümeye ait fakat A kümesine ait olmayan elemanların kümesine A
–
nın tümleyeni denir. A nın tümleyeni A veya A′ ile gösterilir.
E
s(E) + s(E) = 60
s(E) = 30 olur.
Örnek 19:
I. Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir.
II. Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir.
III. Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir.
A
A′
ifadelerinden hangileri doğrudur?
^Alhl= A, El = Q, Ql = E olduğundan hepsi doğrudur.
A' = {x| x ∉ A ve x ∈ E}
hhKümelerde İşlemler
Örnek 17:
1. Kümelerin Kesişimi
E evrensel küme olmak üzere
A ve B kümelerinin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye kesişim kümesi denir. A ∩ B şeklinde gösterilir.
E = {x: 2 < x < 10, x ∈ N}
A = {4, 7, 9}
A
olduğuna göre, A′ kümesini liste yöntemini kullanarak
oluşturunuz.
E = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Cevap: I, II, III
B
A∩B
A ∩ B = {x| x ∈ A ve x ∈ B}
Cevap: A′ = {3, 5, 6, 8}
A′ = {3, 5, 6, 8} olur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
Örnek 23:
Örnek 20:
A = {1, 2, 3, {1, 2}, 4, 5}
A = {x: 2 < x < 100, x = 3 k, k ∈ Z}
B = {1, 3, a, 4, 5, 7}
B = {y: 5 < y < 120, y = 2m, m ∈ Z}
olduğuna göre, A ∩ B kümesini venn şeması kullanarak
bulunuz.
olduğuna göre, A ∩ B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
0
2
{1, 2}
1
3
4
100 6
96 16 ⇒ s(A ∩ B) = 16
4
1 ................. 5 ................. 100
B
A
16
a
Cevap: 216
A ∩ B = {x: 5 < x < 100, x = 6n, n ∈ Z}
Alt küme sayısı 216 dır.
Not
7
5
Kesişimleri boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir.
A
B
Örnek 21:
2. Kümelerin Birleşimi
A = {x: 1 < x < 20, x tek tam sayı}
B = {x: x < 10, x ∈ N}
kümeleri için A ∩ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
A ve B kümelerinin ortak olan veya ortak olmayan elemanlarının oluşturduğu kümeye birleşim kümesi denir. A ∪ B şeklinde gösterilir.
A
B
Cevap: 4
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A ∩ B = {3, 5, 7, 9}
s(A ∩ B) = 4
A ∪ B = {x| x ∈ A veya x ∈ B}
Örnek 24:
Örnek 22:
Aşağıda verilen kümelerin birleşim kümelerini bulunuz.
A = [3, 10)
a) A = {3, 4, 5, a} ve B = {1, 3, b}
B = [4, 12]
A ∪ B = {1, 3, 4, 5, a, b}
olduğuna göre, A ∩ B kümesini bulunuz.
b) C = (–2, 30] ve D = [3, 40]
3
12
30
Cevap: [4, 10)
–2
4
3
A ∪ B = (–2, 40]
A ∩ B = [4, 10) olur.
Cevap: A ∪ B = {1, 3, 4, 5, a, b},
A = {x : x asal sayı}
B = {y : y = 2a . 3b . 5c . 7d, a, b, c, d ∈ N}
olduğuna göre A ∩ B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
a
0
0
0
1
24 = 16
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
40
b
0
0
1
0
c
0
1
0
0
d
1
0
0
0
y
7
5
3
2
A∩B
7
5
3
2
A ∪ B = (–2, 40]
Öğretmen
Sorusu
10
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
3. İki Kümenin Farkı
Örnek 27:
A ve B iki küme olmak üzere A kümesinde olup B kümesinde
olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A \ B
veya A – B şeklinde gösterilir.
A
(A ∪ B) – (A ∩ B)
fark kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B
A\B
Herhangi A ve B kümeleri için
B\A
A) A ∩ (A – B)
B) A ∪ (A – B)
C) (A – B) ∪ (B – A)
D) (A – B) ∩ (B – A)
E) (A ∪ B) – (A – B)
(A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)
A \ B = {x: x ∈ A ve x ∉ B}
B \ A = {x: x ∈ B ve x ∉ A}
Cevap: C
hhKümelerde İşlemlerin Özellikleri
Örnek 25:
1. Değişme Özelliği
A = {1, 2, {1, 2}, 3, {2, 3}, 4}
B = {{1, 2}, {2, 3}, 5, 6}
hh A ∪ B = B ∪ A
olduğuna göre, A – B ve B – A kümelerini liste yöntemini kullanarak yazınız.
A – B = {1, 2, 3, 4}
Cevap: {1, 2, 3, 4}, {5, 6}
B – A = {5, 6}
hh A ∩ B = B ∩ A
2. Tek Kuvvet Özelliği
hh A ∪ A = A
hh A ∩ A = A
Örnek 26:
3. Dağılma Özelliği
B
C
hh A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
hh A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
4. s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
A
5. A – B = A ∩ B′
Yukarıda verilen A, B ve C kümelerinin şemalarına göre
taralı alanı belirten ifadeyi bulunuz.
(A ∩ B) – C
Cevap: (A ∩ B) – C
6. A ∪ A′ = E, A ∩ A′ = ∅
7. De Morgan Kuralı
hh (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
hh (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
Örnek 28:
Örnek 32:
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için
s(A – B) = 10
3 s(A – B) = 6 s(A ∩ B) = s(A ∪ B)
s(B – A) = 15
olduğuna göre, s(B – A) aşağıdakilerden hangisi olabilir?
B) 8
A) 7
C) 10
3s(A – B) = 6s(A ∩ B) = s(A ∪ B) = 6k olsun
D) 12
E) 14
olduğuna göre, s(A – B') kaçtır?
Cevap: D
s(A – B) = 2k, s(A ∩ B) = k, s(A ∪ B) = 6k
A
B
2k
k
3k
s(A ∪ B) = 30
s(A ∪ B) = s(A – B) + s(B – A) + s(A ∩ B)
s(B – A) = 3k olduğundan s(B – A) = 12 olur.
Örnek 29:
30 = 10 + 15 + s(A ∩ B)
s(A ∩ B) = 5
Örnek 33:
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5}
A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
A ∩ C = {3, 4, 5, 6, 7}
s(A) = 20
olduğuna göre, A ∩ (B ∪ C) kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Cevap: 5
s(A′ ∪ B′) = 24
s(E) = 30
Cevap: 7
olduğuna göre, s(A – B) kaçtır?
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
s(A ∩ (B ∪ C)) = 7
Örnek 30:
A′ ∪ B′ = (A ∩ B)′
s(A ∩ B) + s((A ∩ B)′) = s(E)
A ∪ B = {1, 2, a, b, c}
s(A ∩ B) + 24 = 30 ⇒ s(A ∩ B) = 6
A ∪ C = {0, 1, 2, 3, a}
s(A – B) = s(A) – s(A ∩ B)
olduğuna göre, A ∪ (B ∩ C) kümesinin alt küme sayısı
kaçtır?
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Cevap: 8
= {1, 2, a}
alt küme sayısı 23 = 8 dir.
= 20 – 6 = 14
Örnek 34:
A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
s(A ∩ B′) = 7
s(E) = 20
Örnek 31:
s(A′ ∩ B′) = 3
A ve B birer küme olmak üzere
olduğuna göre, s(B) kaçtır?
s(A) = 13
s(B) = 17
s(A ∩ B′) = s(A \ B) = 7
A ∩ B kümesinin alt küme sayısı 8 olduğuna göre,
s(A ∪ B) kaçtır?
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 13 + 17 – 3
s(A ∪ B) = 27
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 10
s(A ∪ B) + s((A ∪ B)′) = s(E)
s(A ∪ B) + 17 = 20 ⇒ s(A ∪ B) = 17
A
2s(A ∩ B) = 8 ⇒ s(A ∩ B) = 3
Cevap: 14
B
Cevap: 27
s(B) = 10
7
3
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
1.
Konu Testi - 3
5.
A = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {x: x çift rakamlar}
olduğuna göre, A ∩ B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
Buna göre, A ∪ B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
A) 16
E) 16
6.
A = {2, 3, 7, 10, a}
B) 6
C) 10
D) 15
C) 64
D) 128
E) 256
s(A ∪ B) = 4 + 5 – 3 = 6
alt küme sayısı 26 = 64
s(A) = 6
s(B) = 7
olduğuna göre, A ∪ A kümesinin 2 elemanlı alt küme
sayısı kaçtır?
A) 4
B) 32
2s(A) = 16 ⇒ s(A) = 4
2s(B) = 32 ⇒ s(B) = 5
2s(A ∩ B) = 8 ⇒ s(A ∩ B) = 3
A = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {0, 2, 4, 6, 8}
A ∩ B = {4, 6, 8} olduğundan alt küme sayısı 23 = 8 dir.
2.
A kümesinin alt küme sayısı 16, B kümesinin alt küme sayısı 32, A ve B kümelerinin ortak elemanlarının oluşturduğu kümenin alt küme sayısı 8 dir.
s(A ∪ B) = 11
olduğuna göre, s(A ∩ B) kaçtır?
E) 21
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A ∪ A = A (Tek kuvvet)
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
11 = 6 + 7 – s(A ∩ B)
s(A ∩ B) = 2
5
.4
e=
o 52=
.1 10
2
3.
7.
Z tam sayılar kümesini göstermek üzere
A ve B kümeleri aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.
s(A) = 13
A = {x: –1 ≤ x < 3, x ∈ R}
s(A′) = 12
olduğuna göre, A ∩ Z kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
s(B) = 10
E) 6
olduğuna göre, s(B′) kaçtır?
A) 11
A ∩ Z = {–1, 0, 1, 2}
s(A ∩ Z) = 4
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
D) 8
E) 9
s(A) + s(A′) = s(E) ⇒ s(E) = 25
s(B) + s(B′) = s(E) ⇒ s(B′) = 15
4.
8.
A = {4, a, 5, b, 6, c, 7}
A ⊂ B olmak üzere
s(A) = 5
B = {1, 2, 5, 6, a}
s(B) = 12
olduğuna göre, A – B kümesinin iki elemanlı alt küme
sayısı kaçtır?
A) 3
B) 6
C) 8
D) 10
olduğuna göre, s(B – A) kaçtır?
A) 5
E) 12
7
A – B = {4, b, c, 7}
5 A
B) 6
B
C) 7
s(B – A) = s(B) – s(A)
= 12 – 5 = 7
4
.3
e=
o 42=
.1 6
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
9.
Konu Testi - 3
13. A kümesinin alt küme sayısı 16 dır.
A = {1, 2, 4, a, 7}
s(A Ç B) = 3
B = {3, 2, 5, 1, b}
olduğuna göre, s(A Ç B¢) kaçtır?
C = {5, 4, 3, 7, a, b}
A) 1
olduğuna göre, (A È C) – (B Ç C) kümesinin alt küme
sayısı kaçtır?
A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
E) 5
(B Ç A¢) È (A Ç B)
kümesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
s(E) = 40
A) E
s(A¢ È B¢) = 24
C) 15
B) A
C) B
D) A ∪ B
olduğuna göre, s(A Ç B) kaçtır?
B) 16
D) 4
14. A ve B birer küme olmak üzere
10. A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
A) 18
C) 3
s(A ∩ B′) = s(A – B) = s(A) – s(A ∩ B)
=4–3
=1
E) 64
A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, a, b}
B ∩ C = {3, 5, b}
(A ∪ B) – (B ∩ C) = {1, 2, 4, 7, a}
alt küme sayısı 25 = 32
B) 2
2s(A) = 16 ⇒ s(A) = 4
D) 14
E) A′ ∪ B
B ∩ A′ = B – A
(B – A) ∪ (A ∩ B) = B
E) 12
s(A′ ∪ B′) = s((A ∩ B)′)
s((A ∩ B)′) + s(A ∩ B) = s(E)
24 + s(A ∩ B) = 40 ⇒ s(A ∩ B) = 16
15. A ve B ayrık kümelerdir.
s(A – B) = 5
11.
A = {1, 2, 3}
s(B – A) = 6
A – B = {1, 2}
olduğuna göre, s(A È B) kaçtır?
A È B = {1, 2, 3, 4, 5}
A) 1
olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {5}
B) {4, 5}
1
4
3
2
A
B = {3, 4, 5}
E) 12
6
s(A ∪ B) = 5 + 6 = 11
5
16.
12.
D) 11
B
5
E) {1, 3, 5}
B
C) 9
C) {3, 4, 5}
D) {3, 4}
A
B) 7
A
B
C
A = [5, 13)
B = (3, 7]
olduğuna göre, A – B kümesinin tam sayı elemanlarının toplamı kaçtır?
D) 53
Şekildeki taralı bölgeyi ifade eden küme aşağıdakilerden hangisidir?
E) 54
5
7
13
A – B = (7, 13)
8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 50
B) A ∪ (B ∩ C)
C) (B – C) ∪ (A ∩ B)
D) (A – B) ∪ (B ∩ C)
E) (A ∩ B) ∪ (C – B)
(A ∩ B) ∪ (C – B)
4. B
5. C
6. B
7. E
8. C
9. D
10. B
11. C
12. A
13. A
14. C
15. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3. C
16. E
14
A) A ∩ (B ∪ C)
2. C
3
C) 52
1. D
B) 51
Cevaplar
A) 50
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
1.
Konu Testi - 4
4.
A = {2, 3, 4}
Pozitif tam sayılardan oluşan
A = {x: x < 100, x = 2n, n Î Z+ }
A È B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {x: x < 121, x = 5n, n Î Z+}
olduğuna göre, bu şartları sağlayan kaç değişik B kümesi yazılabilir?
kümeleri veriliyor.
A) 32
Buna göre, s(A È B) kaçtır?
B) 16
C) 12
D) 10
E) 8
A) 64
{1, 5, 6, 7, 8} elemanları B kümesinde mutlaka bulunmalıdır. Ancak {2, 3,
4} elemanları A kümesinde zaten bulunduğundan keyfi elemandır. O hâlde 23 = 8 tane alt kümenin her birine {1, 5, 6, 7, 8} elemanları eklenerek
B kümeleri oluşturulur.
2.
A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere
B) 65
C) 66
D) 67
E) 68
A = {2, 4, 6, ... , 98} ise s(A) = 49
B = {5, 10, 15, ... , 120} ise s(B) = 24
A ∩ B = {x: x < 100, x = 10n, n ∈ Z+}
A ∩ B = {10, 20, 30, ... , 90} ise s(A ∩ B) = 9
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 49 + 24 – 9 = 64
5.
A = {x: 30 < x < 300, x = 4n, n Î N}
B = {x: 20 < x < 350, x = 6n, n Î N}
C = {x: 40 < x < 250, x = 8n, n Î N}
s(E) = 12
s(A – B) = 4
olduğuna göre, s(A Ç B Ç C) kaçtır?
s(A′ Ç B′) = 3
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 6
A ∩ B ∩ C = {x: 40 < x < 250, x = 24n, n ∈ N}
A ∩ B ∩ C = {48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, 240}
E) 7
s(A′ ∩ B′) = s[(A ∪ B)′]
s(A ∪ B) + s[(A ∪ B)′] = s(E) ⇒ s(A ∪ B) + 3 = 12
⇒ s(A ∪ B) = 9
s(A ∪ B) = s(B) + s(A – B)
9 = s(B) + 4
s(B) = 5
s(A ∩ B ∩ C) = 9
6.
3.
Aşağıdaki şema A, B ve C kümelerinin bölgelerindeki eleman sayısını göstermektedir.
A
E
B
1
8
7
2
3
4
5
C
B) 12
C) 13
6
Al + (B + C)l = (A , (B + C))l
s (A , (B + C))l = 3 + 5 + 6 = 14
D) 14
1
2
3
4
5
6
...
A
...
B
...
99
100
Bu desende A satırında 3 ün tam sayı katına B satırında
2 nin tam sayı katına karşılık gelen sütunlardaki kareler
boyalıdır.
Buna göre, A′ Ç (B′ È C′) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 10
2 x 100 lük bir kareli kâğıt üzerindeki bazı kareler boyanarak bir kısmı aşağıdaki şekilde gösterilen bir desen oluşturuluyor.
E) 16
Buna göre, bu desende yer alan sütunların kaç tanesinin A veya B satırındaki kareler boyalıdır?
A) 71
B) 70
C) 69
D) 68
E) 67
A = {3, 6, 9, 12, ... , 99} ise s(A) = 33
B = {2, 4, 6, 8, ... , 100} ise s(B) = 50
A ∩ B = {6, 12, 18, ... , 96} ise s(A ∩ B) = 16
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 67
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
7.
Konu Testi - 4
10. Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için
s (A - B) 2
=
s (A , B)
7
(A – B) È B = A
olduğuna göre,
s (A , B)
5
=
s (B - A) 3
I. B ⊂ A
II. A ∩ B = ∅
olduğuna göre, A Ç B kümesinin iki elemanlı alt küme
sayısı en az kaçtır?
III. A ∪ B = B
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
a
E
c
b
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
s(A ∪ B) = 7.5.k = 35k
ise s(A – B) = 10 k ve s(B – A) = 21 k dır.
A
B
E) II ve III
B
A
A) 4
C) I ve II
10 k
4k
21 k
d
(A – B) ∪ B = A ⇒ {a} ∪ {b, c} = {a, b}
{a, b, c} = {a, b}
c = ∅ olmalıdır.
o hâlde B ⊂ A dır.
E evrensel küme olmak üzere
11. A Ë B ve B Ë A olmak üzere
s(E) = 9
s(A) = 10
s(A Ç B) = 3
s(B) = 12
s(A È B) = 6
olduğuna göre, s(A È B) en az kaçtır?
s(B) = 4
A) 12
olduğuna göre, s(A')kaçtır?
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
6 = s(A) + 4 – 3
s(A) = 5
s(A) + s(A') = s(E) ⇒ s(A') = 4
E evrensel küme olmak üzere (A – B) È (B – A) kümesinin
alt küme sayısı 128 dir.
12.
C = {Sınıftaki erkek öğrenciler}
s(E) = 17
D = {Sınıftaki kız öğrenciler}
olduğuna göre "Sınıftaki sarışın olmayan, gözlüklü erkek
öğrenciler" cümlesini aşağıdakilerden hangisi ifade
eder?
D) 4
E) 5
B) (A ∩ D) ∪ (B ∩ C)
C) (A \ B) ∪ (B ∪ C)
D) (A \ D) \ (B ∪ C)
E) (A ∪ D) \ (B ∩ C)
(C ∩ A) \ (B ∪ D)
4. A
5. B
6. E
7. A
8. A
9. C
10. B
11. B
12. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
A) (C ∩ A) \ (B ∪ D)
3. D
C) 3
2s((A – B) ∪ (B – A)) = 128 ⇒ s((A – B) ∪ (B – A)) = 7
s(A ∪ B) = s(A – B) + s(B – A) + s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 7 + 7 = 14
s[(A ∪ B)′] = s(E) – s(A ∪ B) = 17 − 14
s[(A ∪ B)′] = 3
16
A = {Sınıftaki gözlüklü öğrenciler}
s(A Ç B) = 7
B) 2
E) 21
B = {Sınıftaki sarışın öğrenciler}
olduğuna göre, s[(A È B)′] kaçtır?
A) 1
D) 17
2. C
9.
C) 14
1. E
A) 4
B) 13
s(A ∩ B) = 9 seçilir ise
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 10 + 12 – 9
s(A ∪ B) en az 13 olur.
Cevaplar
8.
k = 1 için s(A ∩ B) = 4 olduğundan alt küme sayısı en az
4
.3
e=
o 4=
2! 6 dir.
2
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
02
KÜMELER
Küme Problemleri, Kartezyen Çarpım
hhKÜME PROBLEMLERİ
Örnek 1:
Aşağıdaki Venn şemasında Almanca, İngilizce ve Fransızca
dillerini konuşabilenlerin ve bu dilleri konuşamayanların sayıları
verilmiştir.
A
Matematik
f
a
d
3
3
5
Fizik
Yukarıdaki şemada bir sınıfta Matematik, Kimya ve Fizik
derslerinden geçen öğrencilerin sayıları gösterilmektedir.
e
h
c
2
8
b
g
4
7
İ
Kimya
Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
F
A) Matematikten geçen 16 öğrenci vardır.
B) Yalnız kimyadan geçen 3 öğrenci vardır.
A = Almanca konuşabilenler
C) Bu derslerin yalnız ikisinden geçen 12 öğrenci vardır.
İ = İngilizce konuşabilenler
D) Matematik veya kimyadan geçen öğrenci sayısı 24 tür.
F = Fransızca konuşabilenler
E) Bu derslerin en çok ikisinden geçen 25 öğrenci vardır.
olduğuna göre aşağıdaki boşlukları doldurunuz.
a+d+g+f
1. Almanca konuşabilenlerin sayısı ....................................
b+f+g+e
2. İngilizce konuşabilenlerin sayısı .....................................
Cevap: E
Bu derslerin en çok ikisinden geçen 30 öğrenci vardır. E yanlıştır.
d+g+e+c
3. Fransızca konuşabilenlerin sayısı .................................
f+g
4. Almanca ve İngilizce konuşabilenlerin sayısı ..................
g+e
5. İngilizce ve Fransızca konuşabilenlerin sayısı .................
a+b+c
6. Yalnız bir dil konuşabilenlerin sayısı ...............................
h
7. Bu üç dilide konuşamayanların sayısı .........................
f+d+e
8. Sadece iki dil konuşabilenlerin sayısı ...............................
g
9. Üç dili de konuşabilenlerin sayısı ...................................
a+b+c+d+f+e+g
10. En az bir dil konuşabilenlerin sayısı ...............................
f+d+g+e
11. En az iki dil konuşabilenlerin sayısı ................................
h+a+b+c
12.En çok bir dil konuşabilenlerin sayısı ..............................
h+a+b+c+f+d+e
13. En çok iki dil konuşabilenlerin sayısı ..............................
Örnek 2:
Bir sınıfta, hentbol oynayanların sayısı 20, futbol oynayanların sayısı 15 tir.
Her iki sporuda yapanların sayısı 10 olduğuna göre, bu
sınıfta hentbol veya futbol oynayanların sayısı kaçtır?
s(H) = 20, s(F) = 15 ve s(H ∩ F) = 10 dur.
Cevap: 25
s(H ∪ F) = s(H) + s(F) – s(H ∩ F)
s(H ∪ F) = 20 + 15 – 10
s(H ∪ F) = 25 olur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
KÜMELER / Küme Problemleri
Örnek 3:
Örnek 6:
40 kişilik bir sınıfta futbol oynayanların sayısı 24, basketbol
oynayanların sayısı 20 dir.
Bir topluluğun %40 ı İngilizce, %50 si Almanca bilmektedir.
Bu topluluğun %5 i her iki dili de bilmektedir.
Her iki sporu da yapanların sayısı 7 olduğuna göre, futbol veya basketbol oynamayan kaç öğrenci vardır?
Her iki dili de bilmeyen 30 kişi olduğuna göre, sadece
Almanca bilen kişi sayısı kaçtır?
Cevap: 3
S
B
F
17
7
İ
x + 13 + 17 +7 = 40
x + 37 = 40
x=3
13
Topluluktaki kişi sayısı = 100 x
Cevap: 90
15x = 30
A
x=2
35x
5x
45x
x
45x = 45.2 = 90
15x
Örnek 4:
Örnek 7:
30 kişilik bir grupta İngilizce ve Almanca bilen 4 kişi, yalnız
Almanca bilen 6 kişi vardır. Yalnız İngilizce bilenlerin sayısı
hiçbirini bilmeyenlerin sayısının 4 katıdır.
İngilizce ve Matematik derslerinin en az birinden geçenlerin bulunduğu bir sınıfta öğrencilerin %70 i İngilizce %50 si
Matematik dersinden geçmiştir.
Buna göre, İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır?
Buna göre, sınıfın % kaçı her iki dersten geçmiştir?
A
E
İ
6
4
4x
x
5x = 20
Sınıf mevcudu 100x olsun
70
s(İ) = 100x.
= 70x
100
x=4
s(M) = 100x.
x + 4x + 6 + 4 = 30
Cevap: 20
Cevap: %20
50
= 50x
100
s(İ ∪ M) = s(İ) + s(M) – s(İ ∩ M)
s(İ) = 4 + 4.4 = 20
100x = 70x + 50x – s(İ ∩ M)
s(İ ∩ M) = 20x
%20 si her iki dersten geçmiştir.
Örnek 5:
Bir sınıfta Japonca veya Çince dillerinden en az birini bilen
öğrenciler bulunmaktadır. Yalnız Japonca bilenlerin sayısı,
yalnız Çince bilenlerin sayısının 3 katı, her iki dili de bilenlerin sayısının 2 katıdır.
Bu sınıfta toplam 44 öğrenci olduğuna göre, Japonca
bilen kaç kişi vardır?
Örnek 8:
30 kişilik bir sınıfta 17 erkek öğrenci vardır.
10 gözlüklü öğrenciden 6 sı erkek öğrenci olduğuna
göre, gözlüksüz kız öğrenci sayısı kaçtır?
Cevap: 9
J
Ç
6x
3x
2x
6x + 3x + 2x = 44
11x = 44
x=4
s(J) = 9x = 9.4 = 36
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Erkek
Kız
Gözlüklü
6
4
Gözlüksüz
11
9
Cevap: 36
KÜMELER / Küme Problemleri
Örnek 9:
Örnek 12:
Sarışın ve esmer öğrencilerin bulunduğu bir sınıfta sarışın
erkek sayısı, esmer kız sayısının 2 katıdır.
Voleybol, futbol ve basketbol sporlarından en az birini yapan sporculardan oluşan 60 kişilik bir sporcu kafilesinde
her üç sporu da yapanların sayısı 6 dır. Sadece voleybol,
sadece futbol ve sadece basketbol oynayanların sayıları
birbirine eşittir. Bu sporlardan herhangi ikisini yapanların
sayıları eşittir.
Bu sınıfta 10 kız öğrenci ve 17 sarışın öğrenci bulunduğuna göre, sarışın erkek öğrenci sayısı kaçtır?
Cevap: 14
Erkek
Kız
2x
10 − x
Sarışın
Esmer
x
10 – x + 2x = 17
10 + x = 17
x=7
V
Sarışın erkek = 2x = 2.7 = 14
İngilizce, Fransızca ve Türkçe dillerinden en az birini
konuşabilen bir toplulukta İngilizce ve Fransızca bilen
10 kişi, İngilizce ve Türkçe bilen 14 kişi, Türkçe ve Fransızca bilen 22 kişi, Türkçe bilen 36 kişi, İngilizce bilen
30 kişi Fransızce bilen 28 kişi ve her üç dili de bilen 6
kişi olduğuna göre topluluk kaç kişidir?
İ
F
4
8
6
F
y
x
Topluluk 54 kişidir.
Cevap: 54
2
Cevap: 24
3x + 3y + 6 = 60
x + y = 18
x
6
y
Örnek 10:
12
Buna göre, voleybol oynayanların sayısı en az kaçtır?
s(V) = x + 2y + 6
y
y = 0, x = 18 için
B
x
s(V) = 24
Örnek 13:
50 kişilik bir grupta herkes Voleybol oynuyor. 18 kişi ayrıca
Futbol ve Basketbol oynuyor.
Bu grupta sadece Voleybol oynayan 14 kişi olduğuna
göre, sadece iki spor yapan kaç kişi vardır?
16
T
6
F
B
a
18
V
a + b + 18 + 14 = 50
a + b = 18
b
Örnek 11:
Cevap: 18
14
Voleybol ve judo sporlarından en az birini yapanların
bulunduğu bir sınıfta
Voleybol oynayanların sayısı judo yapanların sayısının
4 katıdır.
Örnek 14:
Sadece voleybol oynayanların sayısı sadece judo yapanların sayısının 6 katıdır.
Gitar, bağlama veya keman sazlarından yalnız birinin çalındığı bir grupta gitar çalamayan 20, bağlama çalamayan 12,
keman çalamayan 16 kişi vardır.
Buna göre, voleybol oynayanların sayısı en az kaçtır?
Buna göre, bu grupta kaç kişi vardır?
V
6x
J
y
x
6x + y = 4.(x + y)
2x = 3y
G
B
K
x
y
z
x = 3k
y = 2k
s(V) = 6x + y = 6.3k + 2k = 20 k
k = 1 için s(V) en az 20 dir.
Cevap: 20
Cevap: 24
y + z = 20
x + z = 12
+ x + y = 16
2(x + y + z) = 48
x + y + z = 24
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
KÜMELER / Küme Problemleri
Örnek 15:
Örnek 18:
Herkesin İngilizce konuşabildiği bir toplulukta Fransızca konuşabilen herkes Almanca da konuşabilmektedir. Bu toplulukta sadece iki dil konuşan 15 kişi, en çok iki dil konuşan
20 kişi vardır. Her üç dili de konuşabilenlerin sayısı yalnızca
birini konuşabilenlerin sayısının 4 katıdır.
200 kişilik bir topluluğun %40 ı Almanca dilini, %30 u Rusça
dilini bilmektedir.
Buna göre bu dillerden hiçbirini bilmeyen en az kaç kişi
vardır?
Buna göre, bu toplulukta kaç kişi vardır?
A
5
15
Cevap: 40
İ
A
80
R
0
60
Toplulukta 5 + 15 + 20 = 40 kişi bulunur.
s(A) = 200.
40
= 80
100
s(R) = 200.
30
= 60
100
60
20 F
Cevap: 60
200 − 60 − 80 = 60
Örnek 16:
Örnek 19:
Bir sınıfta Matematik ve Geometri derslerinin sınavlarından
en çok birinden geçenlerin sayısı 26, en az birinden geçenlerin sayısı 25 tir.
44 kişilik bir sınıfta fizik dersinden kalanların sayısı 30, matematik dersinden kalanların sayısı 20 dir.
Bu derslerden yalnız birinden geçenlerin sayısı 20 olduğuna göre, bu sınıfta kaç kişi vardır?
Her iki dersten de geçenlerin sayısı 8 olduğuna göre
sadece matematik dersinden geçenlerin sayısı kaçtır?
Geçenlerin kümesi oluşturulursa
M
E
G
a + c + d = 26
Cevap: 31
M
F
b
c
a
a + c = 20
d
E
a + c = 30
b + c = 20
a + b + c = 25
a
Cevap: 16
8
b
ise d = 6
c
a + b + c + d = 25 + 6 = 31
a + b + c + 8 = 44
a + b + c = 36
20
a = 16
Örnek 17:
Örnek 20:
40 kişilik bir sınıfta Futbol oynayanların sayısı 24, Basketbol oynayanların sayısı 18, bu iki spordan en çok birini oynayanların sayısı 30 dur.
8
i matematikten geçmiştir. Mate15
1
matikten geçenlerin de ü fizikten geçmiştir.
4
Buna göre, bu sınıfta bu iki oyunu da oynamayan kaç
kişi vardır?
F
a + b + c + d = 40
B
Cevap: 8
a + b = 24
a
b
c
b + c = 18
d
4
a + c + d = 30
ise b = 10, c = 8, a = 14, d = 8
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Bir sınıftaki öğrencilerin
Buna göre bu sınıfta hem fizik hem de matematikten
geçen en az kaç kişi vardır?
Sınıf mevcudu 15x olsun
8
s(M) = 15x.
= 8x
15
1
s(M ∩ F) = 8x.
= 2x
4
x = 1 için s(M ∩ F) en az 2 dir.
Cevap: 2
KÜMELER / Küme Problemleri
1.
Konu Testi - 1
Aşağıdaki venn şemasında Futbol, Voleybol ve Hentbol
oynayanların sayısı gösterilmiştir.
F
4.
• Atletizm sporunu yapanların sayısı her iki sporu yapanların sayısının 5 katıdır.
V
5
7
3
4
72 kişilik bir toplulukta atletizm ve yüzme sporlarından en
az biri yapılmaktadır.
• Yüzme sporunu yapanların sayısı her iki sporu yapanların sayısının 8 katıdır.
H
2
Buna göre, bu toplulukta yalnız atletizm sporunu yapan kaç kişi vardır?
5
8
A) 21
Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
B) 24
A
A) Yalnız futbol oynayan 5 kişi vardır.
Y
4x
B) Her üç sporu da oynayan 4 kişi vardır.
x
7x
C) 25
D) 28
E) 12
4x + x + 7x = 72
x=6
s(A \ Y) = 4x = 4.6 = 24
C) Yalnız voleybol ve hentbol oynayan 2 kişi vardır.
D) Yalnız voleybol oynayan 7 kişi vardır.
E) En az iki spor yapan 18 kişi vardır.
Yalnız voleybol oynayan 3 kişi vardır.
2.
Bir sınıfta soyut cebir ve analiz derslerinin sınavına
girenler ile ilgili,
Pilav veya kavurmanın dağıtıldığı bir düğünde gelen
davetlilerin;
• Soyut cebir sınavına giren 15 kişi vardır.
• %60 ı kavurma yemiştir.
• Analiz sınavına giren 13 kişi vardır.
• %20 si pilav ve kavurma yemiştir.
• Her iki sınava giren 7 kişi vardır.
• Sadece pilav yiyen kişi sayısı 240 dır.
bilgileri biliniyor.
Buna göre, düğüne gelen davetli sayısı kaçtır?
Buna göre, bu sınıfta soyut cebir veya analiz derslerinin sınavlarına giren kaç kişi vardır?
A) 600
A) 10
B) 15
C) 17
Soyut cebir
8
3.
5.
D) 21
E) 24
Her iki dili de bilenlerin sayısı 8 olduğuna göre, bu iki
dili de bilmeyen kaç kişi vardır?
B) 5
C) 6
A
9
D) 7
F
8
D) 900
E) 1000
8 + 7 + 6 = 21
6
30 kişilik bir toplulukta Farsça bilenlerin sayısı 15, Arapça
bilenlerin sayısı 17 dir.
A) 4
C) 800
Davetli sayısı 100x olsun. s(P ∩ K) = 20x ve s(K) = 60x olur.
K
40x = 240
P
x=6
100x = 100.6 = 600
40x
20x
40x
Analiz
7
B) 700
s(A ∪ F)
7
6
=6
E) 8
6.
40 kişilik bir sınıfla ilgili olarak şunlar bilinmektedir.
• Gitar çalabilen erkek sayısı, gitar çalabilen kız sayısının 2 katıdır.
• Kızların sayısı erkeklerin sayısına eşittir.
• Gitar çalamayan erkek sayısı 8 dir.
Buna göre, bu sınıfta gitar çalabilen kaç öğrenci vardır?
A) 18
B) 16
Gitar çalabilen
Gitar çalamayan
C) 15
Erkek
2x
8
D) 14
Kız
x
E) 12
2x + 8 = 20
x=6
x + 2x = 3x = 3.6 = 18
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
KÜMELER / Küme Problemleri
7.
Konu Testi - 1
Kimya ve Türkçe derslerinin en çok birinden geçenlerin bulunduğu bir sınıfta
10. Herkesin YGS savına girdiği bir toplulukta KPSS sınavına
giren herkes ALES sınavına da girmiştir.
• Kimyadan geçenlerin sayısı 12 dir.
Bu toplulukta
• Türkçeden geçemeyenlerin sayısı 19 dur.
• Sadece iki sınava giren 10
Buna göre, bu sınıfta Kimya ve Türkçe derslerinden
geçemeyenlerin sayısı kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
K
D) 8
T
12
• En çok iki sınava giren 15
• Her üç sınava da giren 7
E) 9
kişi vardır.
Buna göre, bu toplulukta kaç kişi vardır?
12 + y = 19
y=7
x
A) 19
5
10
y
8.
İ
b
A) 10
c
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
E) 5
a + b + c = 13
a + c = 12
a + b + c = 13 ⇒ b + 12 = 13
ise b = 1,
F
a
5 + 10 + 7 = 22
Buna göre, her üç sporu da yapan kaç kişi vardır?
Buna göre, her iki dili de bilen kaç kişi vardır?
D) 4
E) 23
en az biri yapılmaktadır. Karate ve güreş yapan 30, karete
ve judo yapabilen 15, judo ve güreş yapan 25, karate yapan 50, judo yapan 45, güreş yapan 65 kişi vardır.
• İngilizce ve Fransızca dillerinden sadece birini bilen 12
kişidir.
C) 3
D) 22
11. 100 kişilik bir toplulukta karate, judo ve güreş sporlarından
• İngilizce ve Fransızca dillerinden en az birini bilen 13
B) 2
C) 21
7 KPSS
Bir grupta İngilizce veya Fransızca dillerini bilenler veya
bilmeyenler bulunmaktadır.
A) 1
B) 20
YGS
ALES
s(K ∪ G ∪ J) = s(K) + s(G) + s(J) – s(K ∩ G) – s(K ∩ J) – s(G ∩ J) + s(K ∩ J ∩ G)
100 = 50 + 45 + 65 – 30 – 15 – 25 + s(K ∩ J ∩ G)
s(K ∩ J ∩ G) = 10
d
Matematik ve Türkçe kurslarından en az birine katılanların
bulunduğu bir sınıfın
12. Almanca veya İspanyolca konuşulan bir turist kafilesinde
4
• si Matematik
7
13
•
ü Türkçe
14
kursuna katılmaktadır.
• Sadece Almanca konuşabilen kişilerin oluşturduğu kümenin alt küme sayısı 512 dir.
• Sadece İspanyolca konuşabilen kişilerin oluşturduğu
kümenin alt küme sayısı 128 dir.
Her iki kursa katılan öğrenci sayısı 21 olduğuna göre,
sınıf mevcudu kaçtır?
kafilede 20 kişi olduğuna göre, her iki dili konuşabilen
kişi sayısı kaçtır?
A) 28
A) 1
E) 45
Sınıf mevcudu 14x olsun
s(M) = 8x
s(T) = 13x
s(M ∪ T) = s(M) + s(T) – s(M ∩ T)
14x = 8x + 13x – 21 ⇒ x = 3
⇒ 14x = 42
İ
x
5. A
6. A
7. C
8. A
9. D
10. D
11. A
12. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
C) 3
A
y
z
4. B
6
B) 2
D) 4
E) 5
2x = 512 ⇒ x = 9
2y = 128 ⇒ y = 7
x + y + z = 20 ise z = 4
3. C
D) 42
2. D
C) 40
T
1. D
B) 35
M
Cevaplar
9.
KÜMELER / Küme Problemleri
1.
Konu Testi - 2
200 öğrencinin bulunduğu bir okulun %50 si Matematik
%40 ı Fizik kursuna katılmaktadır.
4.
Okulun %20 si her iki kursa katıldığına göre bu kurslara katılmayan kaç öğrenci vardır?
A) 40
B) 50
M
60
C) 60
Yalnızca Almanca bilenler ile her iki dili de bilmeyenlerin sayısı eşit olduğuna göre, grup kaç kişidir?
E) 100
A) 20
50
= 100
100
40
s(F) = 200.
= 80
100
s(M) = 200.
F
40
D) 80
40
s(M ∩ F) = 200.
60
20
= 40
100
5.
Aşağıdaki tablo bir dans okulunda açılan tango ve vals
kurslarına katılan öğrenci sayılarını göstermektedir.
3x + 4
Vals
2x – 1
B) 17
C) 16
D) 15
Buna göre, yalnız radyo dinleme özelliği bulunan kaç
çeşit cep telefonu vardır?
A) 17
B) 18
R
E) 14
a
6.
Bir toplulukta Almanca veya Portekizce bilenler vardır. Almanca bilenlerin sayısının 5 katı ile Portekizce bilenlerin
sayısının 2 katının toplamı 23 tür.
Buna göre, bu topluluktaki kişi sayısı en çok kaçtır?
A) 14
B) 13
C) 12
5.s(A) + 2s(P) = 23
s(A) = 1 ve s(P) = 9 için
s(A ∪ P) = s(A) + s(P) – s(A ∩ P)
s(A ∪ P) = 1 + 9 – 0 = 10 olur.
D) 11
E) 32
36 çeşit cep telefonunun özellikleri incelenmiş ve şu sonuçlara ulaşılmıştır.
C) 19
F
b
c
s(T ∪ V) = s(T) + s(V) – s(T ∩ V)
74 = 3x + 4 + 2x – 1 – (x + 1)
74 = 4x + 2
x = 18
3.
D) 28
• Bu telefonlardan 15 i fotoğraf çekme, 28 i de radyo dinleme özelliğine sahiptir.
Kurslara katılan toplam öğrenci sayısı 74 ve her iki
kursa katılan öğrenci sayısı x + 1 olduğuna göre, x
kaçtır?
A) 18
C) 25
• Her bir cep telefonu fotoğraf çekme ya da radyo dinleme özelliklerinden en az birine sahiptir.
Öğrenci Sayısı
Tango
B) 24
a + c = 10
A
İ
a + b + c = 15
a + c + d = 19
a
b
c
a=d
a + c + d = 19 ⇒ 10 + d = 19
d
ise d = 9, a = 9, c = 1, b = 5
a + b + c + d = 24
200 − 60 − 40 − 40 = 60
2.
Bir turist grubunda İngilizce ve Almanca dillerinden yalnız
birini bilen 10 kişi, en az birini bilen 15 kişi, en çok birini
bilen 19 kişi vardır.
E) 10
D) 20
E) 21
a + b + c = 36
b + c = 15
a + b = 28
a + b + c = 36 ⇒ 28 + c = 36
ise c = 8, b = 7, a = 21
Bir sınıftaki öğrenciler tarih ve kimya derslerinin en az birinden başarılıdır. Bu öğrencilerin %50 si yalnız tarih dersinden, %30 u da yalnız kimya dersinden başarılıdır.
Her iki dersten de başarılı olan öğrenci sayısı 12 olduğuna göre, yalnız tarih dersinden başarılı olan öğrenci
sayısı kaçtır?
A) 30
B) 36
C) 40
D) 44
E) 50
Sınıf 100 x olsun
T
50x
K
12
30x
50x + 30x + 12 = 100x
12
20x = 12 ⇒ x =
⇒ x = 0,6
20
s(T \ K ) = 50x
s(T \ K ) = 30
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
KÜMELER / Küme Problemleri
7.
Konu Testi - 2
Almanca, Türkçe ve İspanyolca dillerinden en az birini
bilenlerin oluşturduğu bir sınıfla ilgili
10. Futbol veya voleybol sporlarından en az birini yapanların bulunduğu bir sınıf ile ilgili aşağıdaki ifadeler bilinmektedir.
• Almanca bilen herkes Türkçe bilmektedir.
• Üç dili de bilenlerin sayısı 4 tür.
• Yalnız bir spor yapanların kümesinin kendisi hariç alt
küme sayısı 255 dir.
• Yalnız bir dil bilenlerin sayısı yalnız iki dil bilenlerin sayısının 3 katıdır.
• Her iki sporu da yapanların kümesinin iki elemanlı alt
küme sayısı 6 dır.
bilgileri bilinmektedir.
Buna göre, sınıf mevcudu kaç kişidir?
Buna göre, sınıf mevcudu aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A) 15
A) 15
B) 16
T
A
a
8.
C) 18
d
4
E) 30
c
N
D) 12
E) 11
2x – 1 = 255 ⇒ x = 8
y
c m = 6 ⇒ y(y – 1) = 12
2
y=4
s(F ∪ V) = x + y = 12
x
Aşağıdaki şemada Ahmet ve Barış isimli iki kardeşe ait
arsalar gösterilmektedir.
A
D
E
C) 13
V
y
d + c = (a + b).3
SM = a + b + c + d + 4
SM = a + b + 3(a + b) + 4
SM = 4.(a + b) + 4
a + b = 3 için SM = 16 olur.
İ
b
D) 22
B) 14
F
11. Ali, Burcu, Ceyda, Deniz, Elif, Fatma, Gönül ve Hasan
sekiz kişilik bir sınıfın öğrencileridir. Öğretmenleri bir şiir
yarışması yapmak amacıyla bu öğrencileri dörder kişilik 2
kümeye ayırmıştır. Bunun ile ilgili,
• Deniz 1. kümededir.
L
• Burcu ve Ceyda aynı kümededir.
• Gönül ve Fatma aynı kümededir.
• Ali ve Hasan farklı kümededir.
C
ifadeleri bilinmektedir.
Buna göre aşağıdakilerden hangisinin hangi kümede
olduğu kesin olarak bilinmektedir?
K
• Taralı bölgenin alanı 30 km2 dir.
A) Ali
• ABCD dörtgeni Ahmet'e ait olan arsayı EFKL dörtgeni
Barış'a ait olan arsayı göstermektedir.
Buna göre, ortak arsaları kaç km2 dir?
B) 8
C) 9
D) 10
9.
E) 11
A(EMCN) = 9 km2 dir.
Türkçeden geçenlerin sayısı, felsefeden geçenlerin
sayısından 4 fazla olduğuna göre, bu sınıfta felsefeden geçen kaç kişi vardır?
Buna göre, matematikten geçen erkek sayısı matematikten geçenlerin % kaçıdır?
B) 14
C) 18
D) 26
A) 8
E
14x
46x
7. B
8. C
9. E
10. D
11. C
12. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
10 – x
6. A
8
K
36x
4x
B) 9
T
E) 28
Sınıf 100x olsun
Kızlar = 40x
Erkekler = 60x
Geçenler = 50x
14x
% =
.100 = 28
50x
Geçen
Kalan
Deniz
rin sayısı 5, Türkçe veya felsefe derslerinin en az birinden
geçenlerin sayısı 15 tir.
Matematikten geçenlerin ve kalanların bulunduğu bir sınıfta sınıfın %60 ı erkektir. Sınıfın %50 si matematikten
geçmiştir. Matematikten kalan kızların sayısı, kızların sayısının %10 udur.
A) 12
E) Hasan
12. Bir sınıfta hem Türkçe hem felsefe derslerinden geçenle-
5. E
A) 7
A(ABMFKLND) = A(ABCD) + A(EFKL) – A(EMCN)
30 = 20 + 19 – A(EMCN) ⇒
C) Elif
Burcu ve Ceyda ikilisi ile Gönül ve
Fatma ikilisi farklı
2. küme
kümededir. Ali ve
Hasan farklı kümede olacağından 1. küme bu kişiler ile dolacaktır. Dolayısıyla Elif 2. kümede olacaktır.
1. küme
5
F
C) 10
D) 11
E) 12
(15 – x) = (x + 5) + 4
2x = 6 ⇒ x = 3
s(F) = 5 + 3 = 8
x
4. B
• EMCN ortak arsaları ve A(ABCD) = 20
A(EFKL) = 19 km2 dir.
D) Gönül
km2
3. E
B) Burcu
2. A
F
1. C
M
Cevaplar
B
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
hhKARTEZYEN ÇARPIM
Not
Sıralı İkili
A boş kümeden farklı bir küme olmak üzere
m ve n sayılarının sıra belirterek (m, n) biçiminde yazılması ile
elde edilen elemana sıralı ikili denir.
A x A = A2
A x A x A = A3
biçiminde gösterilir.
Not
(m, n) sıralı ikilisinde m ye birinci bileşen, n ye ikinci
bileşen denir.
Örnek 22:
A = {a, b}
B = {1, 2, 3}
Sıralı İkililerin Eşitliği
kümeleri için aşağıda verilen kartezyen kümelerini liste
biçiminde yazınız.
(m, n) ve (a, b) sıralı ikililer olmak üzere (m, n) = (a, b) ise
m = a ve n = b dir.
a) A x B
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
b) B x A
B x A = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}
Örnek 21:
(a + b – 3, b – 2) = (6, 1)
olduğuna göre, a.b çarpımının değeri kaçtır?
a+b–3=6⇒a+b=9
Not
Cevap: 18
b–2=1⇒b=3
A ve B boş kümeden ve birbirinden farklı kümeler ise
A x B ≠ B x A dır.
o hâlde a + 3 = 9 ⇒ a = 6 olur a.b = 6.3 = 18
Kartezyen Çarpım
A ve B boş olmayan herhangi iki küme olsun. Birinci bileşeni
A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen B kümesi denir.
A x B şeklinde gösterilir.
A x B = {(x, y): x Î A ve y Î B}
Örnek 23:
A x B = {(1, 3), (1, 5), (1, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7)}
B x C = {(3, 5), (3, 6), (5, 5), (5, 6), (7, 5), (7, 6)}
olduğuna göre, A x C kümesini bulunuz.
A = {1, 3}, B = {3, 5, 7}, C = {5, 6}
A x C = {(1, 5), (1, 6), (3, 5), (3, 6)}
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
Örnek 24:
b) s((A È B) x (A Ç C)) kaçtır?
A = {1, 3, 5}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10}
A ∩ C = {1, 2, 4, 7}
s((A ∪ B) x (A ∩ C)) = 8.4 = 32
olduğuna göre A x A kümesi için aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Cevap: 32
a) Eleman sayısı kaçtır?
A x A = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}
s(A x A) = 9
Örnek 27:
b) İki elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
A ve B kümeleri için
9
.8
o 92=
s(A x A) = 9 olduğundan e=
.1 36 olur.
2
s(A) = 4
s(B – A) = 3
Cevap: 9, 36
Kartezyen Çarpımının Özellikleri
olduğuna göre, s((A È B) x A) ifadesinin değeri kaçtır?
Boş kümeden farklı A, B ve C kümeleri için
s(A x B) = s(B x A) = s(A).s(B)
A
A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)
B
4
A x (B È C) = (A x B) È (A x C)
Cevap: 28
s((A ∪ B) x A) = s(A ∪ B).s(A)
3
= 7.4
= 28
dir.
Örnek 25:
s(A) = 4, s(B) = 5 ve s(C) = 6
olduğuna göre, s(A x C) + s(B x C) toplamının değeri
kaçtır?
s(A x C) + s(B x C) = s(A).s(C) + s(B).s(C) = 4.6 + 5.6 = 54
Cevap: 54
Örnek 28:
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için
s(A x B) = 12
Örnek 26:
A = {1, 2, 4, 7, 10}
olduğuna göre, s(B x B) aşağıdakilerden hangisi olamaz?
B = {1, 3, 5, 7, 9}
A) 144
B) 36
C) 16
D) 9
E) 6
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
olduğuna göre
s(A)
1
2
3
4
6
12
a) ( A Ç B) x (B Ç C) kartezyen çarpımının eleman sayısı
kaçtır?
s(B)
12
6
4
3
2
1
s(B x B)
122
62
42
32
22
12
A ∩ B = {1, 7} ve B ∩ C = {1, 3, 5, 7} ise
s((A ∩ B) x (B ∩ C)) = s(A ∩ B).s(B ∩ C) = 2.4 = 8
Cevap: E
s(B x B) 6 olamaz.
a ve b tam sayılardır.
2 < a < 80
5 < b < 50
eşitsizliklerini sağlayan (a, b) sıralı ikililerinden kaç tanesinde a + b toplamı üç basamaklıdır?
a = 51 için b = 49
a = 52 için b = 49, 48
a = 53 için b = 49, 48, 47
.
..
a = 79 için b = 49, 48, ..., 21
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1 + 2 + 3 + ... +29
29 . 30
= 435
2
Öğretmen
Sorusu
Cevap: 8
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
Kartezyen Çarpım Grafikleri
Örnek 29:
A ve B boş kümeden farklı olmak üzere koordinat düzleminde
apsisi A kümesinden, ordinatı B kümesinden alınarak oluşturulan sıralı ikililerin kümesine A x B kartezyen çarpımının grafiği
denir.
s(B – A) = 4
s(A ∩ B) = 2
s(A – B) = 3
olduğuna göre, s((A x B) ∪ (A x A)) ifadesinin değeri
kaçtır?
Cevap: 45
A
B
3
2
4
s((A x B) ∪ (A x A)) = s(A x (B ∪ A))
= s(A).s(B ∪ A)
= 5.9 = 45
Örnek 31:
A = {1, 2, 3}
B = {2, 3, 4}
olmak üzere, A x B kümesinin grafiğini çiziniz.
Örnek 30:
A x B = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (3, 3)}
B
A = {1, 2, 3, 4, a, b}
4
B = {3, 5, a, c, d}
3
C = {1, 4, a, d, c}
2
olduğuna göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız.
A
1
a) (A x B) Ç (A x C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A = {1, 2, 3}
s(A x (B ∩ C)) = s(A).s(B ∩ C)
B = {x: 1 < x ≤ 3, x Î R}
= 6.3 = 18
olmak üzere, A x B kartezyen çarpım kümesinin grafiğini çiziniz.
b) s((A x C) È (B x C)) ifadesinin değeri kaçtır?
A
(A x C) ∪ (B x C) = (A ∪ B) x C ve
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, a, b, c, d} olduğundan
3
s((A x C) ∪ (B x C)) = s(A ∪ B).s(C)
= 9.5 = 45 bulunur.
1
Öğretmen
Sorusu
Cevap: 18, 45
s(A) = 5, s(B) = 7 ve s(C) = 6 olduğuna göre
(A X B) ∩ (C X B)
kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır?
3
Örnek 32:
(A x B) ∩ (A x C) = A x (B ∩ C) ve B ∩ C = {a, c, d} olduğundan
A, B ve C aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.
2
1
2
3
B
s((A X B) ∩ (C X B)) = s((A ∩ C) X B)
= s(A ∩ C).s(B)
=5.7
= 35
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
Örnek 36:
Örnek 33:
A = {–1, 0, 1, 2}
A = {x: 1 < x < 4, x Î Z}
B = {x: –1 ≤ x ≤ 4, x Î R}
B = {x: 2 ≤ x < 4, x Î R}
olmak üzere, B x A kartezyen çarpımının grafiğini çiziniz.
olduğuna göre, A x B kartezyen çarpımının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
A
2
2
2
1
0
B
4
–1
C)
A
4
D)
B
4
2
3
2
3
A
B
3
2
1
Örnek 34:
B
4
1
–1
B)
B
4
2
A
4
A ve B gerçek sayılar kümesinin alt kümesidir.
E)
A = [1, 4)
A
B
3
B = (–2, 1]
2
olmak üzere, A x B nin grafiğini çiziniz.
2
4
A
B
Cevap: B
A = {x: 1 < x < 4, x ∈ Z} = {2, 3} olduğundan A X B nun grafiği B seçeneğindedir.
1
1
A
4
–2
Örnek 37:
Örnek 35:
A
6
A = {x: 2 ≤ x ≤ 6, x Î R}
olmak üzere A x A kartezyen çarpım kümesinin elemanlarını içine alan en küçük çemberin yarıçapı kaç
birimdir?
1
0
A
Cevap:
6
Çemberin çapı 4 2 yarıçapı
2 2 birimdir.
4
4 2
2 2
2
Buna göre, A È B kümesini bulunuz.
Cevap: {x: 1 ≤ x < 8, x ∈ R}
2
12
A = {x: 1 ≤ x ≤ 6, x ∈ R}
4
6
A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B
Yukarıda B x A kartezyen çarpımının grafiği verilmiştir.
B = {x: 2 ≤ x < 8, x ∈ R}
2
8
olduğundan A ∪ B = {x: 1 ≤ x < 8, x ∈ R} olur.
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
1.
Konu Testi - 3
5.
(x – 1, y + 2) = (4, 6)
A ve B boş olmayan ayrık kümelerdir.
s(A) = 4
olduğuna göre, x.y çarpımının değeri kaçtır?
A) 30
B) 24
x–1=4⇒x=5
y+2=6⇒y=4
2.
C) 20
D) 18
s(B) = 2
E) 16
olduğuna göre, s(A x (A È B)) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 16
x.y = 5.4 = 20
B) 18
C) 20
D) 21
E) 24
A ve B ayrık ise A ∩ B = ∅
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) = 6 dır.
s(A x (A ∪ B)) = s(A).s(A ∪ B)
= 4.6 = 24
A = {1, 2, 3, 4}
6.
B = {2, 3, 4}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A x B kümesinin elemanı değildir?
A) (2, 2)
B) (4, 4)
D) (4, 3)
olduğuna göre, A x B kümesinin elemanlarının kaç tanesinde birinci bileşen "a" dır?
C) (1, 1)
A) 4
E) (2, 4)
s(A) = 4
7.
s(B) = 5
B) 28
C) 24
C) 6
D) 7
D) 20
E) 8
7 tanedir.
{x: 1 ≤ x < 4, x Î Z}
olduğuna göre, A x A kümesinin iki elemanlı alt küme
sayısı kaçtır?
olduğuna göre, s(A x B) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 30
B) 5
(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5), (a, 6), (a, 7)
1 ∉ B olduğundan (1, 1) ∉ A x B dir.
3.
A = {a, b, c, d, e}
E) 18
A) 44
s(A x B) = s(A).s(B)
s(A x B) = 4.5
s(A x B) = 20
B) 36
C) 32
D) 30
E) 28
A = {1, 2, 3}
s(A x A) = s(A).s(A) = 3.3 = 9
9. 8
9
d n = 2.1 = 36
2
4.
s(A) = 6
8.
s(A x B) = 30
A ve B kümeleri için
A x B = {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (3, 1), (3, 4)}
olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
kümesi tanımlanıyor.
A) {1, 2, 3}
Buna göre, A Ç B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
B) {1, 3, 5, 7}
D) {a, b, c, d, e}
s(A x B) = s(A).s(B) = 30
6.s(B) = 30
s(B) = 5
o hâlde {a, b, c, d, e} olabilir.
C) {a, b}
E) {a, b, c, 1, 2, 3}
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
A = {1, 2, 3} ve B = {1, 4}
A ∩ B = {1} ⇒ s(A ∩ B) = 1
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
9.
Konu Testi - 3
13.
A = {1, 2, 3, 4}
A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
B Ç C = {2, 3, 4, 5, 6}
olduğuna göre, (A x B) Ç (A x C) kümesinin eleman
sayısı kaçtır?
olduğuna göre, A x B kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde (1, a) eleman olarak bulunur?
A) 15
A) 6
B) 18
C) 20
D) 21
E) 24
{(1, a), –, –}
{(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2)}
kümesinde hangi eleman olmasaydı bir kartezyen çarpım elde edilirdi?
A) (1, 2)
B) (1, 3)
E) 21
5. 4
5
d n = 2.1 = 10
2
s(A x B) = 30
olduğuna göre, s(A) nın alabileceği kaç farklı değer
vardır?
E) (3, 2)
A) 2
(3, 2) elemanı olmasaydı küme kartezyen çarpım olur.
11.
D) 15
14. A ⊆ B olmak üzere
C) (2, 2)
D) (2, 3)
C) 12
s(A x B) = s(A).s(B) = 3.2 = 6
(A x B) ∩ (A x C) = A x (B ∩ C)
s(A x (B ∩ C)) = s(A).s(B ∩ C)
= 4.5 = 20
10.
B) 10
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A ⊆ B ise s(A) ≤ s(B) dir.
s(A).s(B) = 30 ise
s(A) → 1, 2, 3, 5 değerlerini alabilir.
A x B = {(1, 1), (1, 2), (3, 1), (3, 2)}
B x C = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}
olduğuna göre, A x C kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
15.
A = {1, 2, 4, 9}
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C = {0, 2, 4, 6}
A) {(2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3)}
olduğuna göre (A x B) ∪ (A x C) kümesinin eleman
sayısı kaçtır?
B) {(1, 2), (3, 2), (1, 3), (3, 3)}
C) {(1, 2), (3, 2), (3, 1), (3, 3)}
D) {(1, 2), (2, 2), (1, 3), (3, 3)}
A) 20
B) 21
C) 24
E) {(1, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}
(A x B) ∪ (A x C) = A x (B ∪ C)
D) 28
E) 32
B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ise s(A x (B ∪ C)) = 4.8 = 32
A = {1, 3} ve C = {2, 3}
A x C = {(1, 2), (3, 2), (1, 3), (3, 3)}
16. A ve B boş olmayan iki kümedir.
12. A, B ve C kümeleri için
s(A x (A ∪ B)) = 45
s(A x B) = 7
olduğuna göre, A Ç B kümesinin eleman sayısı en çok
kaçtır?
E) 16
s(AX(A ∪ B)) = 45 ⇒ s(A) . s(A ∪ B) = 45
s(A) = 5 ve s(A ∪ B) = 9 için
s(A ∩ B) en çok 5 tir.
8. B
9. C
10. E
11. B
12. A
13. B
14. C
15. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7. B
16. E
14
6. D
s(A).s(B) = 7 ve s(A).s(C) = 12 ise s(A) = 1, s(B) = 7, s(C) = 12 olur.
s(A) + s(B) + s(C) = 20
5. E
D) 17
4. D
C) 18
C) 3
3. D
B) 19
B) 2
D) 4
E) 5
A
B
0
2. C
A) 20
A) 1
5
1. C
olduğuna göre, s(A) + s(B) + s(C) toplamı kaçtır?
4
Cevaplar
s(A x C) = 12
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
1.
Konu Testi - 4
4.
A = {x: 8 < x < 53, x = 5n, n Î Z}
Buna göre,
B = {x: 13 < x < 52, x = 6m, m Î N}
I. A x B ≠ B x A
olduğuna göre, A x B kartezyen çarpımının eleman sayısı kaçtır?
A) 60
B) 56
C) 54
D) 52
A ve B boş kümeden farklı kümelerdir.
II. s(A x B) = s(B x A)
III. s(A x B) = s(A)s(B)
E) 50
ifadelerinden hangileri daima doğrudur?
A = {10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}
B = {18, 24, 30, 36, 42, 48}
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
s(A x B) = s(A).s(B) = 9.6 = 54
C) I ve II
E) I, II ve III
A = B durumunda A x B = B x A olacağından A x B ≠ B x A daima doğru
değildir.
s(A x B) = s(A)s(B) daima doğru değildir.
s(A x B) = s(B x A) daima doğrudur.
2.
5.
A ve B kümeleri için
A boş kümeden farklı bir kümedir.
Sayma sayıları kümesinde tanımlı
s(A x B) = 42
n = s(A x A x A ... x A)
n tane
olduğuna göre, A È B kümesinin eleman sayısı en çok
kaçtır?
A) 13
B) 14
C) 23
D) 36
fonksiyonu için
s(A)
E) 43
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
s(A).s(B) = 42
s(A) = 1, s(B) = 42 ve s(A ∩ B) = 0 için s(A ∪ B) en çok 1 + 42 – 0 = 43 tür.
A) 256
s(A)
B) 216
C) 144
D) 64
E) 16
= s(A x A x A ... x A)
s(A) tane
s(A)
= s(A).s(A).s(A) ... s(A) = s(A)s(A) olur.
s(A) tane
s(A) = 4 için 44 = 256 olabilir.
3. A ve B boş kümeden farklı iki kümedir.
6.
s(A – B) = 3
s(A) = 7
s((A È B) x B) = 70
olduğuna göre, B – A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
A
D) 4
E) 5
B
3
4
A = {3, 4, 5, 6}
olduğuna göre, A x A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaçında (3, 3), (4, 4) eleman olarak bulunur ancak
(5, 5) eleman olarak bulunmaz?
x
A) 60
B) 64
C) 66
D) 72
E) 78
s(A x A) = s(A).s(A) = 4.4 = 16
13.12
{(3, 3), (4, 4), –, –} ise d 13 n = 2.1 = 78
2
s(A ∪ B).s(B) = 70 ⇒ (x + 7).(x + 4) = 70
⇒ x + 7 = 10 ve x + 4 = 7
⇒x=3
⇒ S(B – A) = 3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
7.
Konu Testi - 4
9.
A = {1, 2, 3}
A = {a, b, c, d}
B = {–3, –2, –1}
B = {x: x = 2n, n Î Z}
C = {y: y asal sayı}
olduğuna göre, A x B kartezyen çarpımın grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B
1
2
B)
3
B
A
–1
–1
–2
–2
–3
–3
C)
D)
B
B
3
2
1
2
3
A
A) 4
1
2
3
B
y
CxD 6
1
2
3
A
4
–2
–1
A x B = {(1, –1), (1, –2), (1, –3), (2, –1), (2, –2), (2, –3), (3, –1), (3, –2), (3, –3)}
olduğundan cevap B dir.
B
5
A
3
3
A) 26
1
Tüm Alan = (4.4) + (5.4) – 2.2
= 16 + 20 – 4
= 32 br2
4
3
1
1
4
C
Yukarıda A x B ve C x D kartezyen çarpımlarının grafikleri
verilmiştir.
6
x
Buna göre, şekildeki tüm taralı bölgenin alanı kaç br2
dir?
D
2
AXB
2
–3
1
E) 12
verilmiştir.
–1
8.
D) 10
10. Aşağıda A x B ve C x D kartezyen çarpımlarının grafiği
–3
E)
C) 8
A
–2
A
–3 –2 –1
B) 6
(A x B) ∩ (A x C) = A x (B ∩ C)
B ∩ C = {2}
s(A x (B ∩ C)) = s(A).s(B ∩ C)
= 4.1 = 4
–1
1
olduğuna göre, (A x B) Ç (A x C) kümesinin eleman
sayısı kaçtır?
11.
B) 28
C) 30
D) 32
E) 36
A = {–3, 1, 2, 3}
B = {–4, 1, 3, 4}
Buna göre
(B È C) x (D È C)
kartezyen çarpımının grafiğinin belirttiği kapalı bölgenin alanı kaç br2 dir?
olduğuna göre, koordinat düzleminde A x B kümesinin noktalarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir?
A) 8
A) 4
D) 15
E) 18
4
Taralı Alan = 4.3 = 12
3
1
4
–3
B∪C
5. A
6. E
7. B
8. C
9. A
10. D
11. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
E) 6
–4
4. B
16
5
3. C
1
A
1 2 3
D) 5
R2 = 62 + 82
R2 = 100
R = 10
R =5
2
2. E
1
C) 2 6
B
B = [4, 5], C = (1, 4], D = [1, 3)
B ∪ C = (1, 5] ve D ∪ C = [1, 4]
D∪C
B) 2 5
1. C
C) 12
Cevaplar
B) 10
YGS // MATEMATİK
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Gerçek Sayılar, Temel Kavramlar
FÖY NO
03
hhGERÇEK SAYILAR
hhSayı Kümeleri
Rakam
1. Doğal Sayılar
Sayıları ifade etmeye yarayan
N = {0, 1, 2, 3, ...} kümesinin elemanlarına doğal sayı denir. N
sembolü ile gösterilir.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
N+ = {1, 2, 3, 4, ...} kümesinin elemanlarına pozitif doğal sayı
sembollerine rakam denir.
veya sayma sayıları denir. N+ sembolü ile gösterilir.
Örnek 1:
2. Tam Sayılar
a, b ve c birbirinden farklı rakamlardır.
Z = { ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} kümesinin elemanlarına tam
Buna göre
sayı denir. Z sembolü ile gösterilir.
3a + b – 2c
ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri
bulunuz.
a = 9, b = 8, c = 0 için 3a + b – 2c
Cevap: –17
en büyük 3.9 + 8 – 2.0 = 35 tir.
Z+ = {1, 2, 3, 4, ...} kümesinin elemanlarına pozitif tam sayı
denir. Z+ sembolü ile gösterilir.
Z– = {..., –3, –2, –1} kümesinin elemanlarına negatif tam sayı
denir. Z– sembolü ile gösterilir.
a = 0, b = 1, c = 9 için 3a + b – 2c
en küçük 3.0 + 1 – 2.9 = –17 dir.
3. Rasyonel Sayılar
x
biçiy
minde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Q sembolü ile
x ve y birer tam sayı ve y sıfırdan farklı olmak üzere
Örnek 2:
a ve b rakam olmak üzere
gösterilir.
2a + b = 17
eşitliğini sağlayan kaç farklı a değeri vardır?
4. İrrasyonel Sayılar
Cevap: 5
Eşitliği sağlayan (a, b) sıralı ikilileri (4, 9), (5, 7), (6, 5), (7, 3), (8, 1) olduğundan 5 farklı a değeri vardır.
x
biçiminde yazılamayan sayılara
y
irrasyonel sayı denir. Q′ sembolü ile gösterilir.
Rasyonel olmayan yani
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Gerçek Sayılar
5. Reel (Gerçek) Sayılar
2. Çarpma ve Bölme İşlemleri
Rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar kümelerinin birleşimi ile
oluşan sayı kümesine Reel (Gerçek) Sayılar kümesi denir. R
sembolü ile gösterilir.
hh Aynı işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü pozitiftir.
Z
N
R
Q
hh Ters işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü negatiftir.
+ . + = +
+¸+=+
+.– = –
+¸–=–
ve
– . + = –
–¸+=–
– . – = +
Q′
–¸–=+
Örnek 4:
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını yanlarında bulunan kutulara yazınız.
hhDoğal ve Tam Sayılar Kümelerinde
İşlemler
1. Toplama ve Çıkarma İşlemleri
hh (–3).(–4) =
+12
hh 5.3 =
15
hh (–4).(+7) =
–28
hh 6.(–3) =
–18
–10
hh 24 : 6 =
4
hh 30 : (–3) =
hh (–42) : (–7) =
6
hh (–12) : (–12) =
1
hh a ve b pozitif tam sayılar ise a + b toplamı da pozitiftir.
hh a ve b negatif tam sayılar ise a + b toplamı da negatiftir.
hh a ve b den biri negatif biri pozitif ise bu iki sayının farkının
işareti bu sayılardan mutlak değerce büyük olanın işaretidir.
Örnek 5:
–3 + 4 -
işleminin sonucunu bulunuz.
Örnek 3:
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını yanlarında bulunan kutulara yazınız.
hh 7 + 4 =
16 24
- (- 5)
4 -4
11
hh –4 + 8 =
4
hh –12 – 10 = –22
hh –10 + 3 = –7
hh 15 – 7 =
hh 10 – 17 =
8
–7
+1 –4 – (–6) + 5
Cevap: 8
–3 + 6 + 5
–3 + 11
8
3. Tam Sayıların Kuvvetlerinin İşaretleri
hh Pozitif tam sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
hh Negatif tam sayıların tek kuvvetleri negatif , çift kuvvetleri pozitiftir.
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Gerçek Sayılar
Örnek 9:
Örnek 6:
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını yanlarında bulunan kutulara yazınız.
 23 =
8
 (–2)2 =
1
(–3)3
5 – [4 – (7 – (4 – 6))]
işleminin sonucu kaçtır?
4
5 – [4 – (7 – (–2))] = 5 – [4 – (7 + 2)]

70 =
 54 =
625

=
 (–1)101 =
–27
Cevap: 10
⇒ 5 – [4 – 9] = 5 – (–5) = 5 + 5 = 10
–1
Örnek 10:
(–2)3.(–4) – 4 : (–2)
işleminin sonucu kaçtır?
Örnek 7:
–(–2)3 + [4 – (32)]0 + (–1)21
(–8).(–4) – (–2)
işleminin sonucu kaçtır?
–(–8) + [4 – 9]0 + (–1)
Cevap: 34
32 + 2 = 34
Cevap: 8
8 + (–5)0 – 1
Örnek 11:
8+1–1=8
x = –2 için
x5 + x2 – 2x + 3
Not
işleminin sonucu kaçtır?
Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin iç içe
olduğu bir işlemde,
(–2)5 + (–2)2 –2(–2) + 3
Cevap: –21
–32 + 4 + 4 + 3
1. Parantez içi
–32 + 11
2. Üslü sayılar
–21
3. Çarpma ve bölme
4. Toplama ve çıkarma
Örnek 12:
sıralamasına göre işlem yapılır.
Aşağıda verilen harfli ifadelerin düzenlenmiş hâllerini
yanlarında bulunan kutucuklara yazınız.
Örnek 8:
(6 – (–2)) : (–4 + 2)
 3x + 2x =
5x
 7x – 3x =
4x
 –4x + 2x =
–2x
 –5x – 4x =
–9x
 2a + b =
2a + b
 a + 3a + b – 2b =
 x2 + 2x – x =
x2 + x
 x2 – 3x2 + 4x + x = –2x2 + 5x
 (–6a) : 2a =
–3
4a – b
işleminin sonucu kaçtır?
(6 + 2): (–2)
8 : –2 = –4
Cevap: –4
 (–3a).(–2b) =
6ab
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Gerçek Sayılar
Örnek 13:
Örnek 17:
7x – [2x – (3x – 5x)]
64 2 - 32 2
96
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucunu bulunuz.
7x – [2x – (–2x)] = 7x – [2x + 2x]
= 7x – 4x
= 3x
Cevap: 3x
(64 - 32) (64 + 32) 32.96
= 96 = 32
96
Cevap: 32
Örnek 14:
x2 – x.(x + 3) – 2(1 – x)
Örnek 18:
işleminin sonucu kaçtır?
x2 – x2 – 3x – 2 + 2x
x = 2016 ve y = 2012 için
Cevap: –x – 2
x2 + y2 – 2xy
ifadesinin sonucu kaçtır?
–x – 2
Örnek 15:
(x – y)2 = (2016 – 2012)2 = 42 = 16
x.(x – y) – (y – x).y – x2
işleminin sonucu kaçtır?
x2 – xy – y2 + xy – x2
–y2
Not
Cevap: –y2
x2 + ax + b
ifadesinde b = m . n ve a = m + n ise
Not
x2 – y2 = (x – y).(x + y)
ifadesine iki kare farkı denir.
Not
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
ifadelerine tam kare açılımları denir.
x2 + ax + b = (x + m) (x + n) dir.
Örnek 19:
Aşağıda verilen ifadeleri çarpanlara ayırınız.
 x2 – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1)
 x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)
 x2 + 4x – 5 = (x + 5)(x – 1)
 x2 – 6x + 5 = (x – 5)(x – 1)
 2x2 – 3x + 1 = (2x – 1) (x – 1)
Örnek 16:
Aşağıda verilen ifadelerin açılımlarını yapınız.
 x2 – 32 = (x – 3) (x + 3)
 x2 – 16 = (x – 4) (x + 4)
Örnek 20:
x2 – 7x + 6 = 0
denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.
 25 – 4x2 = (5 – 2x)(5 + 2x)
2
 (x – 2)2 = x – 4x + 4
2
 (x + 4)2 = x + 8x + 16
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
(x – 6) (x – 1) = 0
x–6=0⇒x=6
x–1=0⇒x=1
Cevap: 16
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Gerçek Sayılar
1.
Konu Testi - 1
5.
143 132
11 - 12
işleminin sonucu kaçtır?
-3+
A) 21
B) 20
C) 19
(–2)3 : (–2)2 – (–5)2.3
işleminin sonucu kaçtır?
D) 18
A) –77
E) 17
B) –72
C) –70
D) –64
E) –60
D) –1
E) –2
D) 4
E) 5
D) 13
E) 12
(–8) : 4 – 25.3 = –2 – 75 = –77
–3 + 13 – (–11) = 10 + 11 = 21
2.
8 : 2 + 6.(–2) + 10 : 5 – 2
6.
işleminin sonucu kaçtır?
A) –9
B) –8
C) –7
işleminin sonucu kaçtır?
D) –6
E) –5
A) 2
4 – 12 + 2 – 2
- 32 . 9
+ ^- 1h . ^- 2h . ^- 3h
12 - 8
B) –5
C) –4
D) –3
işleminin sonucu kaçtır?
E) –2
A)
-8 9
- = 9 - = - =3 . -8 6 3 6 3 6 3
4.
–40 : [–2 + 6] = –40 : 4 = –10
C) –8
B) 3
C)
10
3
^- 4h2 - 2 2 + 43 0
^- 1h10 + ^- 1h11 + ^- 1h12
8.
işleminin sonucu kaçtır?
B) –5
8
3
6 - ^6 + 1 - 21h 6 - ^- 14h 20 10
=
=
=
6
3
2 + ^4h
2 + ^2 - ^- 2hh
–40 : [–2 – (–2).3]
A) –2
C) 0
6 - ^6 + 5: 5 - 21h
2 + 62 - ^2 - 4h@
7.
işleminin sonucu kaçtır?
A) –6
B) 1
2 – [3 – (–1)] = 2 – [3 + 1] = 2 – 4 = –2
–8 + 0 = –8
3.
2 – [3 – (4 – 5)]
D) –9
E) –10
işleminin sonucu kaçtır?
A) 16
B) 15
C) 14
16 - 4 + 1 = 13 =
1 13
1-1+1
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Gerçek Sayılar
9.
Konu Testi - 1
13. x = –2 ve y = 2 için
x2 – 3x + 4x – (x2 – 2x)
x3 + y3 – xy + x + y
işleminin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 2 – 3x
B) 3x
D) 2x 2 + 3x
işleminin sonucu kaçtır?
C) –3x
E) –xy
A) 1
x2 – 3x + 4x – x2 + 2x
x + 2x
3x
10.
C) 3
D) 4
E) 5
D) 143
E) 152
(–2)3 + 23 –(–2).2 + (–2) + 2
–8 + 8 + 4 – 2 + 2
4
14. a = 112 olmak üzere
5x – [6x – (–7x – 10x)]
a 2 - 3a - 4
a- 4
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 12x
B) 2
B) 18x
C) 20x
D) –18x
işleminin sonucu kaçtır?
E) –21x
5x – [6x – (–17x)] = 5x – [6x + 17x]
⇒ 5x – 23x = –18x
A) 113
B) 121
^a - 4h^a + 1h
= a+1
a-4
C) 132
& 112 + 1 = 113
11.
15. a = 3453 olmak üzere
x.(x – y + 2) + x(y – x)
2a - 4a: ^- ah - 3a
4- a
işleminin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x
B) –xy + x
D)
x2
– xy
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
C) –xy + 2x
E) –xy
A) –6472
B) –12
C) 1
D) 12
E) 6472
2a + 4 - 3a 4 - a
= - =1
4-a
4 a
x2 – xy + 2x + xy – x2 = 2x
16.
(x + y)2 – (x – y)2
işleminin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2xy
D) x 2 + 4xy + y2
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
E) x2 – y2
(x2 + 2xy + y2) – (x2 – 2xy + y2)
x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2
4xy
8. D
9. B
10. D
11. A
12. B
13. D
14. A
15. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7. C
16. B
6
6. E
x2 + xy – xy – y2 + y2 = x2
5. A
D) y2
4. E
C) –y2
3. D
B) x2
E) x 2 – 4xy + y2
2. B
A) –x2
C) x 2 – 4xy
B) 4xy
1. A
(x – y).(x + y) +
Cevaplar
12.
y2
GERÇEK SAYILAR / Gerçek Sayılar
1.
Konu Testi - 2
^- 4h3 12 2
.
^- 4h2 2.3
işleminin sonucu kaçtır?
A) –96
B) –84
x2 - y2
+ x+ y
x+ y
4.
ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
C) –80
D) –72
A) 2x + y
E) –64
B) x + 2y
D) 2y
- 64 144
= ^- 4h .24 = - 96
16 . 6
^ x - yh.^ x + yh
x+y
5.
2.
3.(x – 2) + 2.(x + 5) – 5.(x – 3)
B) 19
+ x + y = x - y + x + y = 2x
24 : 6 . (–2)
A) –8
C) 6x + 10
D) 17
E) 2x
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 4
C) 0
B) –6
C) –2
D) 4
E) 6
24 ^- h = ^- h = 8
6 . 2 4. 2
E) x + 19
3x – 6 + 2x + 10 – 5x + 15
5x + 4 – 5x + 15
19
3.
Aritmetik işlemlerin yer aldığı bir oyunda oklar ve çemberlerden oluşmuş şekiller kullanılıyor.
Her şekilde okun yanında belirtilen işlem uygulanıp elde
edilen sonuç okla gösterilen çember içerisine yazılıyor.
´3
Doğrular ve Çemberler kullanılarak oluşturulan bu sayı
oyunu ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
• Şekildeki çemberler üzerine 1 den başlanarak çember
adedine kadar olan doğal sayılar yazılır.
• Çemberler üzerindeki sayılar birbirinden farklıdır.
• Aynı doğru üzerinde bulunan çemberler üzerinde bulunan sayıların toplamı bu doğru yanına yazılan sayıya
eşittir.
6
+2
6.
¸2
A
X
E
B
Buna göre, x kaçtır?
A) 36
^6 + 2h .3
2
B) 24
=
3
C) 18
D) 12
E) 10
D
C
8. 3
=
2 12
10
6
8
Buna göre, B kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A = 1, B = 3, C = 5, D = 4, E = 2 dir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
GERÇEK SAYILAR / Gerçek Sayılar
7.
Konu Testi - 2
10.
x = 24 ve y = –30 olmak üzere
3
5
.x - .y
4
6
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
işleminin sonucu kaçtır?
A) 47
[(–1).(–2) + (–2).(–3)] : [50 + (–1)4]
B) 46
C) 45
D) 44
E) 43
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
D) 2
E) 3
[2 + 6] : [1 + 1] = 8 : 2 = 4
3
- 5 ^- h
4 .24 6 . 30
3.6 - 5. ^- 5h = 18 + 25 = 43
8.
(x – 2).(x + 3) – x2
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) x
B) x – 1
D) x – 6
C) x – 4
11. 2a – 1 = 7 olduğuna göre
E) x – 8
a3 - 1
a + a+ 1
x2 + 3x – 2x – 6 – x2 = x – 6
2
işleminin sonucu kaçtır?
A)
9.
1 den 9 a kadar olan doğal sayılar, her çembere bir sayı
gelecek şekilde yerleştirilecektir. Bu yerleştirmede okun
çıktığı çemberdeki sayıya okun yanındaki işlem uygulanıp
okun gösterdiği çemberin içine yazılacaktır.
1
3
B)
1
2
C) 1
2a - 1 = 7 & 2a = 8 & a = 4
43 - 1
63
=
=3
4 2 + 4 + 1 21
A
–4
¸2
´5
´3
¸2
+1
12. Birinci terimi 1 olan bir sayı dizisinin diğer terimleri, verilen
kurala göre belirlenmektedir.
´3
–1 ´3
–1
1, 3, 5, 4, 12, 14, 13, ...
Buna göre, A harfinin olduğu çembere hangi sayı gelir?
B) 121
C) 122
D) 363
E) 365
x5
1, 3, 5, 4, 12, 14, 13, 39, 41, 40, 120, 122
+1
6
7. E
8. D
9. A
10. D
11. E
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6. C
8
A) 120
5. A
2
Buna göre, bu sayı dizisinin 12. terimi kaçtır?
4. E
9
÷2
5
E) 5
3. D
x3
4
÷2
1
D) 4
2. B
3
–4
8
C) 3
1. A
7
B) 2
+2
Cevaplar
A) 1
+2
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
hhGERÇEK SAYILAR
Örnek 24:
Temel Kavramlar
x ve y sayma sayılarıdır.
2x + 3y = 24
olduğuna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı (x,y) sıralı
ikilisi vardır?
Örnek 21:
2x + 3y = 24
x ve y doğal sayılar olmak üzere
Cevap: 3
6, 4, 2
x + y = 24
3, 6, 9
olduğuna göre, x.y çarpımının alabileceği en büyük ve
en küçük değerin toplamı kaçtır?
olduğundan (3, 6), (6, 4), (9, 2) olmak üzere 3 sıralı ikili vardır.
Örnek 25:
x = y = 12 için x.y en büyük 12.12 = 144
Cevap: 144
x = 0, y = 24 için x.y en küçük 0.24 = 0
a ve b pozitif doğal sayılardır.
3a + b = 124
144 + 0 = 144 tür.
olduğuna göre, b en çok kaçtır?
Örnek 22:
x ve y doğal sayılar olmak üzere
b'nin en çok olması için 3a en az olmasıdır.
x.y = 45
Cevap: 121
a = 1 için 3 + b = 124 den b en çok 121 dir.
olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği en büyük
ve en küçük değerin toplamı kaçtır?
Örnek 26:
İki basamaklı üç doğal sayının toplamı 74 tür.
x = 9, y = 5 veya x = 5, y = 9 için x + y en küçük 14 olur.
Cevap: 60
x = 1, y = 45 veya x = 45, y = 1 için x + y en büyük 46 olur.
Buna göre, en büyük sayı en çok kaçtır?
14 + 46 = 60 bulunur.
a, b ve c iki basamaklı doğal sayılar olsun.
Örnek 23:
Cevap: 54
a + b + c = 74 olur. a = 10, b = 10 için c en çok 54 olur.
x bir reel sayı, A ve B doğal sayılardır.
Örnek 27:
A = 16 – x
B = 14 + x
olduğuna göre, A.B çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
A + B = 16 – x + 14 + x
İki basamaklı birbirinden farklı 3 doğal sayının toplamı 250
dir.
Buna göre, en küçük sayı en az kaçtır?
Cevap: 225
Cevap: 53
A + B = 30 dur.
a, b ve c iki basamaklı doğal sayılar olsun a + b + c = 250 dir. a = 99,
A = B = 15 için A.B en büyük 225 olur.
b = 98 için c en az 53 olur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
Örnek 28:
Örnek 31:
İki basamaklı birbirinden farklı 3 doğal sayının toplamı 240
dır.
a ve b pozitif tam sayılardır.
Buna göre,
a) En büyük sayı en az kaçtır?
12
+ b = 20
a
olduğuna göre, b nin alabileceği kaç farklı değer vardır?
b) En küçük sayı en çok kaçtır?
Sayılar birbirlerine yakın seçilir ise
79, 80, 81
a) en büyük sayı en az 81 dir.
b) en küçük sayı en çok 79 dur.
Cevap: 81, 79
12 + b = 20
a
Cevap: 6
8, 14, 16, 17, 18, 19
1, 2, 3, 4, 6, 12
b nin 6 farklı değeri vardır.
Örnek 32:
x ve y tam sayılardır.
Örnek 29:
x = 3+
x, y ve z birer pozitif tam sayıdır.
olduğuna göre, bu koşula uygun kaç farklı (x, y) sıralı
ikilisi vardır?
2x + 3y – z = 94
olduğuna göre, x sayısının alabileceği en küçük değer
kaçtır?
z = 1 için 2x + 3y = 95 olur.
10
y
Cevap: 1
y en çok 31 olduğundan x sayısının en küçük değeri
Cevap: 8
x = 3 + 10
y
1, 2, 5, 10, –1, –2, –5, –10
13, 8, 5, 4, –7, –2, 1, 2
8 farklı (x, y) ikilisi vardır.
2x + 3.31 = 95 ⇒ x = 1 olur.
Örnek 33:
x ve y doğal sayılardır.
Örnek 30:
x=
a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
olduğuna göre, y nin alabileceği kaç farklı değer vardır?
Buna göre;
4 8 13
+ +
a b
c
ifadesinin en büyük tam sayı değeri kaçtır?
c = 1, b = 2 ve a = 4 için ifadenin en büyük tam sayı değeri
4 + 8 + 13 =
4 2 1 18 olur.
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2y + 20
y- 2
x=2+
Cevap: 18
24
y–2
2y + 20
2y – 4
24
y – 2 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
y → 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14, 26
8 farklı y değeri vardır.
y–2
2
Cevap: 8
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
Örnek 34:
Örnek 37:
a ve b tam sayılardır.
a, b ve c pozitif tam sayılardır.
2a = 7b
a.b = 12
olduğuna göre, a + b toplamının iki basamaklı doğal
sayı değeri en az kaçtır?
2a = 7b ise k ∈ Z olmak üzere
b.c = 16
olduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaçtır?
Cevap: 18
a = 7k ve b = 2k o hâlde a + b = 9 k dır.
Cevap: 29
Her iki denklemin ortak elemanı olan b en az 1 seçilir ise a = 12, b = 1,
c = 16 olur.
k = 2 için a + b en az 18 dir.
a + b + c en çok 29 bulunur.
Örnek 35:
a, b ve c pozitif tam sayılardır.
2a = 3b
Örnek 38:
5b = 3c
a, b ve c negatif tam sayılardır.
olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır?
a.b = 32
Cevap: 25
2a = 3b
5b = 3c
b, hem 2 hem de 3 ün katı olmak zorunda olduğundan en
az 6 olur.
a.c = 20
olduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaçtır?
2a = 3.6 ⇒ a = 9
Cevap: –17
5.6 = 3c ⇒ c = 10
Her iki denklemin ortak elemanı olan a en az –4 seçilir ise a = –4, b = –8,
c = –5 olur.
a + b + c = 9 + 6 + 10 = 25
a + b + c en çok –17 bulunur.
Örnek 36:
a, b ve c negatif tam sayılardır.
a 2
=
b 5
c
1
=
a 3
Örnek 39:
olduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaçtır?
x, y ve z pozitif tam sayılardır.
a 2=
c 1
=
b 5 ve a 3
Cevap: –23
a hem 2 hem de 3 ün katı olmak zorunda olduğundan en çok –6 dır.
x–y=1
x–z=4
olduğuna göre, x + y + z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
-6
2
= 5 & b = - 15
b
c
1
-6 = 3 &c=- 2
z = 1 seçilir ise x = 5 ve y = 4 olur.
a + b + c = –6 – 15 – 2 = –23 olur
x + y + z toplamı en küçük 10 dur.
Cevap: 10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
Örnek 40:
Örnek 43:
a, b ve c birer tam sayıdır.
x, y ve z rakam olmak üzere
Buna göre,
x.y.z = 70
olduğuna göre, x + y + z toplamının değeri kaçtır?
3a + 2b – 4c
ifadesinde
x = 7, y = 5, z = 2 için x + y + z = 14 tür.
a sayısı 4 arttırlır
Cevap: 14
b sayısı 6 azaltılır
c sayısı 2 azaltılır
ise ifadenin sonucu kaç artar?
a, 4 artırılır ise a = +4
b, 6 azaltılır ise b = –6
c, 2 azaltılır ise c = –2 alınır.
3a + 2b – 4c = 3.4 + 2.(–6) – 4.(–2)
= 12 – 12 + 8
=8
ifade 8 artar
Cevap: 8
Örnek 44:
xy – 2x – 3y – 10 =0
denklemini sağlayan kaç farklı (x,y) tam sayı ikilisi vardır?
Örnek 41:
y(x – 3) = 2x + 10
x, y ve z birer tam sayıdır.
olduğuna göre, x + y + z toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
B) 15
C) 17
x+y=z⇒x+y+z
z+z
2z
2x + 10
x-3
16
y = 2+ x 3
y=
x+y–z=0
A) 11
Cevap: 10
xy – 3y = 2x + 10
D) 20
x - 3 ∈ {1,2,4,8,16,–1,–2,–4,–8,–16}
x ∈ {4,5,7,11,19,2,1,–1,–5,–13} olmak üzere 10 tanedir.
E) 23
Cevap: 20
o hâlde x + y + z = 20 olabilir.
Örnek 45:
Örnek 42:
a ve b pozitif gerçek sayılardır.
x ve y tam sayılar olmak üzere
y
hh
tam sayıdır.
x
hh 0 < x < y < 5 dir.
olduğuna göre, a + b toplamı aşağıdakilerden hangisi
olamaz?
Buna göre, x in alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 4
4 4 3 2 olmak üzere 2 farklı x vardır.
1, 2 , 1, 1
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
a . b = 10
Cevap: 2
B)
41
C) 7
D) 2 13
E) 8
Cevap: 4
a = b = 10 için a + b en az 2 10 olur. 4 < 2 10 olduğundan a + b =
4 olamaz.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
1.
Konu Testi - 3
5.
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
a, b ve c pozitif tam sayılardır.
a.b = 13
A) En küçük rakam sıfırdır.
b.c = 12
B) Sıfır pozitif tam sayıdır.
C) En büyük negatif tam sayı –1 dir.
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
D) İki basamaklı en büyük doğal sayı 99 dur.
A) 23
B) 24
C) 25
D) 26
E) 27
E) Sıfır bir doğal sayıdır.
b = 1, a = 13, c = 12 olduğundan a + b + c = 26 dır.
Sıfırın işareti yoktur.
2.
6.
a ve b birbirinden farklı rakamlardır.
a, b ve c birer doğal sayı olmak üzere
a.b = 18
Buna göre
a.c = 12
7a + 5b
ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 101
B) 103
C) 107
D) 110
olduğuna göre, b + c – a ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
E) 117
A) 28
B) 29
C) 30
D) 31
E) 32
a = 9 ve b = 8 için 7a + 5b en büyük 7.9 + 5.8 = 103 tür.
a = 1, b = 18 ve c = 12 için b + c – a ifadesinin en büyük değeri
18 + 12 – 1 = 29 dur.
7.
3.
x, y ve z birer doğal sayıdır.
x = 3y + 4
x ve y birer doğal sayıdır.
y=z+5
x + y = 13
olduğuna göre, x.y çarpımının en büyük değeri kaçtır?
olduğuna göre, x sayısının en küçük değeri kaçtır?
A) 35
A) 19
B) 36
C) 42
D) 52
E) 54
Bir ABCD dikdörtgeninin alanı 36 cm2 dir.
8.
Buna göre, ABCD dikdörtgeninin çevresinin uzunluğu
en az kaç cm dir?
A) 19
B) 24
x.y = 36 ise
2(x + y) en az
x = 6 ve y = 6 için
2(6 + 6) = 24 cm dir.
C) 26
D) 30
A
E) 32
x
y
x
D) 22
E) 23
a ve b sayma sayıları olmak üzere
12a = 16 b
olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük
değer kaçtır?
A) 5
D
y
B
C) 21
z = 0 için y = 0 + 5 ⇒ y = 5
y = 5 için x = 3.5 + 4 = 19 olur.
x = 7, y = 6 veya x = 6, y = 7 için x.y en büyük 7.6 = 42 olur.
4.
B) 20
B) 7
C) 16
D) 28
E) 34
12a = 16b ⇒ 3a = 4b olur.
k ∈ Z için a = 4k ve b = 3k dır. a + b = 7k
k = 1 için a + b en küçük 7 olur.
C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
9.
Konu Testi - 3
13. a ve b pozitif tam sayılardır.
a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere
a
+ b = 10
8
5a = 7b
5b = 3c
olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 57
B) 58
5a = 7b
5b = 3c
C) 59
D) 60
E) 61
olduğuna göre, a en çok kaçtır?
A) 56
B) 60
C) 64
D) 72
E) 80
b en az 1 olduğundan a en çok
a+ =
a=
=
8 1 10 & 8 9 & a 72 dir.
olduğundan b en az 15 olur. b = 15 ise a = 21, c = 25
a + b + c = 15 + 21 + 25 = 61 olur.
14. x ve y birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
5x + 6y = 120
10. a ve b pozitif doğal sayılardır.
olduğuna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı x sayısı
vardır?
5a + b = 43
olduğuna göre, b en çok kaçtır?
A) 23
B) 33
C) 38
A) 2
D) 40
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
5x + 6y = 120
E) 41
15, 10, 5
6, 12, 18
a en az 1 olduğundan b en çok
5 + b = 43 ⇒ b = 38 bulunur.
olduğundan 3 farklı x sayısı vardır.
15. a ve b pozitif tam sayılardır.
11. Birbirinden farklı iki basamaklı dört doğal sayının toplamı
100 dür.
Buna göre, en büyük sayı en çok kaçtır?
A) 67
B) 66
C) 65
D) 64
b = 10 -
olduğuna göre, a'nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 1
E) 63
En büyük sayı x olsun
10 + 11 + 12 + x = 100
x = 67 olur.
16
a
B) 2
b = 10 –
16
a
C) 3
D) 4
E) 5
1, 2, 4, 8, 16
–6, 2, 6, 8, 9
a nın alabileceği 4 pozitif tam sayı değeri vardır.
16. x ve y tam sayılardır.
12. Birbirinden farklı iki basamaklı dört doğal sayının toplamı
320 dir.
Buna göre, en küçük sayı en az kaçtır?
C) 27
D) 28
A) 10
E) 29
En küçük sayı x olsun
x + 97 + 98 + 99 = 320
x + 294 = 320
x = 26 olur.
x=1+
B) 9
15
y
C) 8
D) 7
E) 6
1, 3, 5, 15, –1, –3, –5, –15
16, 6, 4, 2, –14, –4, –2, 0
3. C
4. B
5. D
6. B
7. A
8. B
9. E
10. C
11. A
12. B
13. D
14. B
15. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2. B
16. C
14
olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı değer vardır?
1. B
B) 26
y + 15
y
Cevaplar
A) 25
x=
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
1.
Konu Testi - 4
4.
a, b ve c tam sayılar olmak üzere
x ve y sayma sayılarıdır.
3a = 4b = 5c
xy + y = x + 21
olduğuna göre, 3a – 2b – c ifadesinin alabileceği iki
basamaklı kaç doğal sayı değeri vardır?
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A) 5
A) 34
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
5.
a.b = 24
olduğuna göre, 5a + 2b ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
a–c=4
olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
C) 10
D) 9
E) 38
a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere
a–b=7
B) 11
D) 37
x + 1 → 1, 2, 4, 5, 10, 20
x → 0, 1, 3, 4, 9, 19
1 + 3 + 4 + 9 + 19 = 36
a, b ve c birer rakam olmak üzere
A) 12
C) 36
x + 21
y ^ x + 1h = x + 21 & y = x + 1
20
&y = 1+ x+1
3a = 4b = 5c = 60 k olsun
a = 20k, b = 15k, c = 12k olur.
3a – 2b – c = 60k – 30k – 12k = 18 k dır.
O hâlde {18, 36, 54, 72, 90} olmak üzere 5 değer vardır.
2.
B) 35
A) 100
E) 7
B) 110
C) 120
D) 122
E) 132
a = 24, b = 1 için 5a + 2b en büyük 5.24 + 2.1 = 122 olur.
b = 0 için a = 7
a = 7 için c = 3 olduğundan a + b + c nin en küçük değeri 7 + 0 + 3 = 10 dur.
3.
Birbirinden farklı beş doğal sayı için aşağıdaki bilgiler veriliyor.
• Her biri 20 den büyük 90 dan küçüktür.
6.
Aşağıdaki tabloda bir restoranda bulunan masalar ile ilgili
bilgiler verilmiştir.
Masa Kapasitesi
• İki tanesi 70 den büyüktür.
Masa Adedi
• Bir tanesi 30 dan küçüktür.
4 kişi
6 kişi
8 kişi
a
b
c
Buna göre, bu sayıların en büyüğü en çok kaçtır?
• Bu restoranda hiç boş yer kalmayacak ve hiç kimse
ayakta kalmayacak şekilde 80 kişi bu masalara oturuyor.
A) 74
• Her kapasitedeki masadan en az bir tane vardır.
• Beş sayının toplamı 236 dır.
B) 75
En büyük sayı x olsun
21 + 30 + 31 + 71 + x = 236
153 + x = 236
x = 83 olur.
C) 78
D) 81
E) 83
Buna göre, masa adedi en çok kaçtır?
A) 24
B) 22
C) 21
D) 18
E) 15
4a + 6b + 8c = 80
c = 1, b = 2 için a = 15 olur.
a + b + c en çok 18 dir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
7.
Konu Testi - 4
10. a, b ve c birbirinden farklı rakamlardır.
a ve b pozitif tam sayılardır.
Buna göre
2a + 3b = 22
a+b+c
olduğuna göre, a.b çarpımı en çok kaç olabilir?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?
E) 20
A) 23
B) 22
C) 20
D) 19
E) 18
a = 5 ve b = 4 için a.b en çok 20 dir.
a + b + c en az 0 + 1 + 2 = 3 en çok 7 + 8 + 9 = 24 ise
a + b + c ∈ {3, 4, 5, ... 24} olur
22 farklı değeri vardır.
8.
a, b ve c pozitif tam sayılardır.
11. a, b, c ve d negatif tam sayılardır.
a b c
+ + = 20
3 4 5
a.b.c.d = 840
olduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaçtır?
olduğuna göre, a + b + c + d toplamı en çok kaçtır?
A) 88
A) –18
B) 91
C) 95
D) 97
E) 102
a = 3, b = 4 için
B) –19
C) –20
D) –21
E) –22
a = –7, b = –6, c = –5, d = –4 için
a + b + c + d en çok –22 olur.
3+4+c
=
=
3 4 5 20 & c 90 olur.
a + b + c en çok 97 olur.
12. Aşağıdaki Tablo bir ilçede bulunan dört devlet dairesindeki
9.
çalışan memur sayısını göstermektedir. Grafikteki her kişi
1 den büyük bir tam sayıyı göstermektedir. Her bir kişinin
gösterdiği tam sayı birbirinin aynıdır. Farklı kişiler farklı
tam sayılar göstermektedir.
Aşağıdaki şekilde çember üzerindeki kare ve dairelerin içine 3 ten büyük tam sayılar yazılacaktır.
Daire Adı
Her karenin içindeki sayı, kendisine komşu olan iki dairenin içindeki sayıların çarpımına eşittir.
Emniyet
Milli Eğitim
36
Vergi Dairesi
Maliye
Emniyet ve Maliyede bulunan memur sayısı Milli Eğitim ve
Vergi dairesinde bulunan memur sayısına eşittir.
48
Buna göre, boş kare içerisindeki sayı en çok kaçtır?
Buna göre, bu dört Devlet dairesinde bulunan memur
sayısı en az kaçtır?
A) 72
A) 80
D) 172
E) 192
Boş dairelerde bulunan sayılar a, b, c olsun
a.b = 36 ve b.c = 48 ise a.c en çok 9.12 = 108 olur.
D) 150
E) 180
İnsan simgelerinin temsil ettiği tam sayılar a ve b olsun.
5a + 4a = 3b + 2b ⇒ 9a = 5b ise a en az 5, b en az 9 olur.
9a + 5b = 45 + 45 = 90 olur.
3. E
4. C
5. D
6. D
7. E
8. D
9. C
10. B
11. E
12. B
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
C) 120
2. C
16
B) 90
1. A
C) 108
Cevaplar
B) 96
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
04
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
Ardışık Tam Sayılar
hhTEK VE ÇİFT TAM SAYILAR
Örnek 1:
hh İkinin tam katı olan tam sayılara çift sayı denir. n bir tam
sayı olmak üzere 2n ile gösterilir.
Aşağıda verilen sayıların tek ya da çift olma durumlarını yanlarındaki kutulara yazınız.
hh İkinin tam katı olmayan tam sayılara tek sayı denir. n bir
tam sayı olmak üzere 2n + 1 ile gösterilir.
 21 =
Tek
 5214 =
Çift
 18 =
Çift
 4,02 =
Ne tek
ne çift
 3417 =
Tek
Çift Sayılar = {..., –4, –2, 0, 2, 4, ..., 2n, ...}
Tek Sayılar = {..., –5, –3, –1, 1, 3, 5, ..., 2n + 1, ...}
T = Tek sayılar, Ç = Çift sayılar olmak üzere
T ± T = Ç
T .T = T
T ± Ç = T
T .Ç = Ç
ve
Ç ± Ç = Ç
hh n bir doğal sayı olmak üzere
hh n bir pozitif tam sayı olmak üzere
Ne tek
ne çift
Aşağıda verilen sayıların tek ya da çift olma durumlarını yanlarındaki kutulara yazınız.
dir.
Çn = Ç
5
=
6
Örnek 2:
Ç .Ç = Ç
Tn = T

dir.
Not
hh Ardışık iki tam sayının çarpımı çifttir.
hh Ardışık iki tam sayının toplamı tektir.
hh Çarpımları tek sayı olan tam sayıların hepsi tek sayıdır.
hh Çarpımları çift sayı olan tam sayıların en az biri çift
sayıdır.
 317 + 215 =
Çift
 345 . 213 =
Tek
 345 + 1234 =
Tek
 728 . 511 =
Çift
 932 + 516 =
Çift
 514 . 216 =
Çift
Örnek 3:
Aşağıda verilen sayıların tek ya da çift olma durumlarını yanlarındaki kutulara yazınız.
 512 =
Tek
 5–2 =
–
 1214 =
Çift
 140 =
Tek
 12137 =
Tek
 34 + 57 =
Çift
 3! =
Çift
 0! =
Tek
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
GERÇEK SAYILAR / Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
Örnek 4:
Örnek 8:
Aşağıdaki ifadelerden hangisi çift sayıdır?
a bir tam sayı olmak üzere
B) 912 + 147
A) 4! + 11
E)
D) 13!
A) Ç + T = T
B) T + Ç = T
D) Ç
C) 243 + 5
3a + 2
152 . 173
tek tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi
çift sayıdır?
C) Ç + T = T
Cevap: D
E) T.T = T
B) a.(a + 2)
C) a + 10
E) a2 – 2a + 1
D) 5a
Cevap: E
3a + 2 = tek ⇒ 3a = tek ⇒ a = tek
Örnek 5:
a = 1 seçeneklere yazılırsa
A) tek
x bir tek tam sayıdır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır?
A) 3x + 5
B) 4x
C) Çift
E) Tek
D) tek
E) çift
a.b
=9
3
Cevap: E
D) Çift
C) tek
a ve b pozitif tam sayıları için
E) 5x + 4
x = 1 seçilip seçeneklere yazılırsa
B) Çift
B) tek
Örnek 9:
C) 12x – 2
D) x 2 + x + 4
A) Çift
A) a100
olur.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift
sayıdır?
A) a + 2b
B) 2a + b
E) ab
D) a – b
Örnek 6:
C)
a
b
Cevap: D
a.b = 27 a = tek ve b = tek olur
x bir çift tam sayıdır.
A) tek
B) tek
C) bilinemez
D) çift
E) tek
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi çift sayıdır?
A) x3 + 1
C) 7x 2 + x
B) 3x + 3
Örnek 10:
E) x + 1
D) 2x + 7
Cevap: C
x = 2 seçilip seçeneklere yazılırsa
A) Tek
B) Tek
C) Çift
D) Tek
E) Tek
a, b ve c pozitif tam sayılardır.
2a + b
=c
2
olur.
olduğuna göre,
I. a çift sayıdır.
Örnek 7:
II. b çift sayıdır.
III. c tek sayıdır.
x bir tam sayıdır.
ifadelerinden hangileri daima doğrudur?
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çifttir?
A) x + 3
D)
B) 3x + 4
x2
+x
C) 2x + 3
2a + b = 2c ⇒ çift + b = çift
E) 5x
Cevap: D
x2 + x = x(x + 1) ardışık iki tam sayının çarpımı olduğundan daima çifttir.
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
⇒ b = çift
Cevap: II
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
Örnek 11:
hhGerçek Sayılarda İşaret İncelenmesi
a, b ve c pozitif tam sayılardır.
hh Sıfırdan büyük olan sayılara pozitif sayılar sıfırdan küçük
olan sayılara negatif sayılar denir.
b . (a + 1) = 2c + 1
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) a tek sayıdır.
B) b çift sayıdır.
C) c tek sayıdır.
D) a çift sayıdır.
a < 0 ve n Î Z olmak üzere
Cevap: D
b = tek
a + 1 = tek ⇒ a = çift
a2n > 0
a2n + 1 < 0 dır.
Örnek 14:
Örnek 12:
n bir doğal sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çifttir?
B) 2n
A) 3n
a > 0 olmak üzere an > 0 dır.
hh Negatif sayıların çift sayı kuvvetleri pozitif, tek sayı kuvvetleri negatiftir.
E) c çift sayıdır.
b.(a + 1) = tek ⇒
hh Pozitif sayıların bütün reel sayı kuvvetleri pozitiftir.
Aşağıdakilerden hangisi negatiftir?
A) (–2) 4
B) –(–2)3
D) –(–2) 6
C) n!
C) 3 4
E) (1 – 2) 4
E) n + 2
D) (n + 2)!
A) 16
B) 8
C) 81
D) –64
E) 1
Cevap: D
Cevap: D
n sayısı tek ya da çift olma durumu bilinmediğinde 3n, n + 2 bilinemez
n = 0 için 2n tektir.
0! = 1 olduğundan n! bilinemez (n + 2)! daima çifttir.
Örnek 15:
Örnek 13:
a pozitif bir sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi negatiftir?
5n + 3
çift olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek
A) a–2
B) –(–a)3
C) –a–3
D) a –1
E) (–a)2
sayıdır?
A) n
B) n + 2
D) 5n + 6
C) 3n + 4
E) 7n + 3
a > 0 ise a = 1 seçilir ise
A) 1
5n + 3 = çift ⇒ 5n = tek olur.
Cevap: D
B) 1
C) –1
Cevap: C
D) 1
E) 1
olur –a–3 negatifdir.
n bir tam sayı olmadığında 5n tek olarak alınır 5n + 6 tek sayıdır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
GERÇEK SAYILAR / Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
Örnek 16:
Örnek 19:
a < 0 ve n bir rakam olmak üzere
x < y < 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima
pozitiftir?
an < 0
olduğuna göre, n sayısının alabileceği değerler toplamı
A) x + y
kaçtır?
an < 0 ise n tek sayıdır o hâlde
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 bulunur.
Cevap: 25
B) 2x + 3y
x
D)
y
C) x – y
E) x + 4
Cevap: D
x < 0 ve y < 0 ise
x + y < 0, 2x + 3y < 0, x – y < 0,
x
y > 0,
x + 4 > 0 veya x + 4 < 0 dır.
Örnek 20:
Örnek 17:
a<b<0
a2 . b < 0
a+c>0
b.c > 0
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitif-
a.c<0
tir?
olduğuna göre, a, b ve c sayılarının işaretlerini bulunuz.
a2.b < 0
ise b < 0 dır.
b < 0 ise c < 0 dır.
c < 0 ise a > 0 dır.
a, b ve c sayıları sırasıyla +, – , – işaretlidir.
Cevap: +, –, –
A) a . c
B)
D)
b+ c
b- a
olabilir?
olduğuna göre, a, b, ve c sayılarının işaretlerini bulunuz.
A) –a4 – b6 – c2
D) (c –
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B)
olduğuna göre aşağıdakilerden hangisinin sonucu sıfır
a+c<0
a, b ve c sayıları sırasıyla –, +, – işaretlidir.
Cevap: D
a<b<0<c
b3 . c < 0
a < 0 ise b > 0 ve c < 0 olur.
a+ c
b
Örnek 21:
a .b < 0
a + c < 0 eşitsizliğini sağlamadığından a > 0 değildir.
E)
a- b
c- a
a+ b a- b C) c - a = + = c = + =b+ c +
a+ c +
E) b = - = D) b - a = + = +
Örnek 18:
a > 0, b < 0, c > 0 olur ancak a > 0 ve c > 0
C)
a < 0, b < 0, c > 0 ve |c| > |a| dır. O hâlde
A) a.c = - . + = -
a > 0 kabul edilirse
a+ b
c
b)3
B) (a – b)2 + c 6
–a
Cevap: –, +, –
E) (a –
C) b – a + c
b)7
+ c2
Cevap: E
Sıfırdan farklı a, b ve c sayıları ile sonucun sıfır olması için ifade içerisinde
+ ve – ler birlikte bulunmalıdır. Yani çıkarma işlemi olmalıdır.
(a - b)7 + c2 olduğundan sıfır olabilir.
–
+
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
1.
Aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır?
A) 375 . 214
B) 410 + 8
D) 714 + 93
5.
Konu Testi - 1
a bir tam sayı olmak üzere
a3 + 24
C) 510 + 1
E) 610 – 3
çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi çift
sayıdır?
A) T.Ç = Ç
B) Ç + Ç = Ç
C) T + T = Ç
D) T + T = Ç
E) Ç – T = T
A) a4 + 1
B) a + 3
D) 3a + 5
E) a + 4
a3 + 24 = çift ⇒ a = çift
a = 2 için ⇒ A) tek
2.
a bir tam sayı olmak üzere aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
A) a + 1
B) 2a + 3
D) 3a + 4
6.
C) 2a – 7
C) 2a + 3
B) tek
C) tek
D) tek
x ve y çift sayılardır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır?
E) 6a + 4
A)
6a + 4 = Ç + Ç = Ç olur
x
2
B)
y
2
C)
x+ y
4
D)
x+ y
2
n, m ∈ Z için x = 2n ve y = 2m olsun
m+n
A) n
B) m
C) 2
D) m + n
olduğunda 2m.n kesinlikle çift sayıdır.
3.
E) çift
E)
x.y
2
E) 2n.m
x ve y tek sayılar olmak üzere
I. x . y + x
II. x + y + 3
7.
III. 2x + y
x + y = z.(z + 1)
ifadelerinden hangileri tek sayıdır?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
I.
II.
III.
4.
x, y ve z sayma sayılarıdır.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
x
A) x . y
B) 2x + y
C)
y
D) 3x + 5y
E) xy
C) Yalnız III
E) II ve III
T.T + T = T + T = Ç
T+T+T=T
Ç+T=T
x + y = z.(z + 1) ⇒ x + y = çift
x = tek, y = tek veya x = çift, y = çift
her iki ihtimaldede çift olan 3x + 5y dir.
Aşağıdaki tablo a, b ve c tam sayılarının çarpımının tek
veya çift olma durumunu göstermektedir.
.
a
a
b
b
c
x, y ve z negatif tam sayılardır.
Çift
2x = 3y
Tek
5z = 7y
c
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır?
A) a + b
8.
B) c2
D) b2 + c
a.b = tek ⇒ a = tek ve b = tek
a.c = çift ⇒ tek.c = çift ⇒ c = çift
b2 + c = tek + çift = tek
C) (a – b)3
E) 3a + b
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
A) x
B) x + y
D) z
C) x + z
E) 2y + x
y = 5.2 k = 10k ⇒ x = 15k ve z = 14k
ise y = cift, z = cift x bilinemez o hâlde z daima çifttir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
9.
I. n bir doğal sayı ise 3n daima tek sayıdır.
13.
II. Ardışık iki tam sayının çarpımı tek sayıdır.
A)
ifadelerinden hangileri doğrudur?
B) Yalnız II
D) I ve II
a<b<0<c<d
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi negatiftir?
III. Ardışık iki tam sayının toplamı çift sayıdır.
A) Yalnız I
Konu Testi - 1
a+ b
a
D)
C) Yalnız III
E) I, II ve III
A) - = +
B) d – c
a.d
c- b
B) +
C)
E)
C) - = +
b- d
c- d
c- a
d- a
D) + = -
+
E) + = +
n ∈ N için 3n tek sayıdır. Ardışık iki tam sayının toplamı tek, çarpımı çifttir.
14. a tek, b çift tam sayılardır.
x = (–2)a
y = (–3)b
z = (–4)a + b
olduğuna göre x, y ve z nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
10. Aşağıdaki sayılardan hangisi negatiftir?
B) (–2)10
A) (–4).(–7)
D) (–2) –3
C) (–3) –4
A) +, +, +
E) (2) –1
B) +, +, –
D) –, +, –
C) –, –, –
E) –, –, +
a tek ⇒ x = (–2)a < 0
–3 tek sayı olduğundan (–2)–3 negatiftir.
b çift ⇒ y = (–3)b > 0
a + b tek ⇒ z = (–4)a + b < 0 dır. –, +, –
15. a ve b tam sayılardır.
11.
a<0<b<c
(3a + 1).(5b + 2)
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitiftir?
c
A) a.b
B) a.c
C)
a
D) c – a
E) a + b
A) a.b < 0
c
B) a.c < 0 C) a < 0
D) c – a > 0
tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi çifttir?
A) b
B) a + b
D) a + 2
E) a + b = ?
3a + 1 = tek ⇒ a = çift
5b + 2 = tek ⇒ b = tek
A) tek
B) tek
16.
C) b + 2
E) 2a + 3
C) tek
D) çift
E) tek
a2.b > 0
b.c > 0
a3.c5 < 0
[(–3).(–4) – 4.5]n
pozitif bir tam sayı olduğuna göre, n aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
E) 13
D) –, +, –
C) –, –, +
E) –, +, +
dır.
a, b, c → –, +, + dir.
5. E
6. E
7. D
8. D
9. A
10. D
11. D
12. D
13. D
14. D
15. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B) +, +, +
a2 > 0 ⇒ b > 0 ⇒ c > 0 ⇒ a < 0
[12 – 20]n = [–8]n > 0 ise n çift doğal sayıdır o hâlde n = 12 olabilir.
16. E
6
A) –, –, –
4. D
D) 12
3. E
C) 5
2. E
B) –10
1. E
A) –12
olduğuna göre, a, b ve c nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
Cevaplar
12.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
1.
4.
a ve b pozitif tam sayıları arasında
a + b = 2012
Konu Testi - 2
x ve y tam sayıları için x + 2y = 11 olduğuna göre,
I. x tek sayıdır.
bağıntısı vardır.
II. x sayısı y'den büyüktür.
Buna göre,
III. x ve y nin her ikisi de pozitiftir.
I. a tek sayı ise b çift sayıdır.
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
II. a çift sayı ise b de çift sayıdır.
A) Yalnız I
III. b çift sayı ise a tek sayıdır.
B) Yalnız III
D) I ve III
C) I ve II
E) II ve III
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız III
D) Yalnız II
I.
II.
III.
2.
x + 2y = 11 ⇒ x + çift = tek ⇒ x = tek
I.
ifade doğrudur.
II. kesin bir yorum yok
III. kesin bir yorum yok
C) I ve II
E) II ve III
tek + b = çift ⇒ b = tek
çift + b = çift ⇒ b = çift
a + çift = çift ⇒ a = çift
x ve y tam sayıları için
I. x ve y aynı işaretlidir.
x
= 5 olduğuna göre,
y
II. y tek sayı ise x de tek sayıdır.
III. x çift sayı ise y tek sayıdır.
ifadelerinden hangisi her zaman doğrudur?
A) Yalnız I
B) I ve II
D) II ve III
C) I ve III
E) I, II ve III
5.
Aşağıda bir üçgen biçiminde yerleştirilmiş çemberlerin
içine aşağıda verilen kurallara göre sayılar yazılarak sayı
üçgenleri oluşturuluyor.
• Önce üst satırdaki dört çemberin içine sağdan sola
doğru azalan tek sayılar yazılıyor.
• Sonra yan yana olan iki sayının toplamı çizgilerin birleştirdiği alt satırdaki çembere yazılarak sayı üçgeni
tamamlanıyor.
21
x = 5y olduğundan x ile y aynı işaretlidir. y tek sayı ise x de tek sayıdır. x
çift sayı ise y her zaman tek sayı olmaz.
24
3.
36
x, y ve z gerçel sayıları için,
x
y>0
x–y>z
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman
doğrudur?
A) x > z
B) x > y
D) x > 0
C) y < z
Buna göre, x kaçtır?
A) 154
7
B) 148
17
D) 136
E) 132
21
E) z > 0
24
x–y>z⇒x–z>y
y>0⇒x–z>0⇒x>z
19
C) 144
36
60
40
76
x
⇒ x = 136
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
6.
A, B ve C doğal sayıları aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır.
9.
• A tek sayıysa B ve C nin her ikisi de çift sayıdır.
• B ve C den en az biri tek sayıdır
Buna göre, bu sayılardan hangileri çifttir?
B) Yalnız B
D) A ve B
A
1. durum tek
2. durum çift
3. durum çift
B
C
çift çift
çift çift
çift tek
• İç kısımda bulunan çemberlerden ardışık olan iki
çemberin içindeki sayıların çarpımı bu çemberlere teğet olan dıştaki çember içerisine yazılıyor.
C) Yalnız C
E) B ve C
B ve C den en az biri tek olduğundan 3.
durum geçerlidir.
A ve B çifttir.
Buna göre, dışta bulunan çemberler içerisindeki sayıların en çok kaç tanesi tek sayıdır?
A) 9
Bir matematik öğretmeni 10 öğrencisinden 28 er adet tam sayı
seçmesini istiyor ve bu sayıların tek ve çift olma durumunu inceliyor. Öğrencilerdeki toplam çift sayı adedini 47 olarak saptıyor.
Bu çocukların seçtikleri sayılar ile ilgili şunlar biliniyor.
Barış'ın 7 sayısı çifttir.
•
Didem ve Eda'nın hiç çift sayısı yoktur.
•
Geriye kalan 5 çocuğun çift sayı adetleri birbirlerine eşittir.
C) 7
D) 6
E) 5
10. Öğrencilere işaret bulma konusunu anlatmak isteyen bir
matematik öğretmeni aşağıdaki sayı oyununu oluşturuyor.
Arda, Barış ve Can'ın seçtikleri tam sayıların kendi aralarındaki çarpımı çifttir ve bu üçünün toplam çift sayı adedi 17
dir.
•
B) 8
Sayıların çarpımı çift ise en az bir çift sayı içerlerinde bulunur. Bir çift
sayı 8 tek sayı seçilir iç çemberlere yazılır ise dıştaki çemberlerin en çok
7 tanesi tek sayı olur.
7. ve 8. soruları aşağıdaki bilgilere göre cevaplayınız.
•
Aşağıda verilen çemberlerden oluşmuş şekil içerisine
18 tam sayı yerleştiriliyor.
• İç kısımda bulunan çemberler içerisindeki sayıların çarpımı çift sayıdır.
• A çift sayıysa B de çift sayıdır.
A) Yalnız A
Konu Testi - 2
B
–3 + 4
–16
–4
(–15):(–1)3
–8 + 5
–(–2)5
(–2)3
(–3).(4)
(–3)2
52
|–3|
7.
Buna göre, çift sayı adetleri eşit olan çocukların her
birinin kaç çift sayısı vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
A
• Oyun A kutucuğunda başlayıp B kutucuğundan son
buluyor.
E) 8
• Bir bölmeden yalnız bir kez geçilebiliyor.
A B C D E
Diğer 5 çocuk
x 7 y 0 0
a+a+a+a+a
x + 7 + y + 5a = 47
17 + 5a = 47 ⇒ a = 6
• Herhangi bir bölmede bulunurken bu bölmeye komşu
olarak bulunan bölmeye hareket edilebiliyor.
• Bölmelerin tümünden geçmek zorunlu değildir.
• Geçilen tüm karelerdeki sayıların toplamı yarışmacının
puanıdır.
Buna göre, bir öğrenci en fazla kaç puan alabilir?
Buna göre, Can'ın en fazla kaç sayısı çifttir?
A) 100
E) 8
x + y + 7 = 17 ⇒ x + y = 10
Arda, Barış ve Can'ın sayılarının çarpımı çift ise en az bir sayıları çifttir. O
hâlde x = 1 için y en çok 9 dur.
6. D
7. C
8. D
9. C
10. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5. D
8
B) 90
C) 80
D) 78
E) 75
Öğrenci sırasıyla
− 16
| -3| → 52 → –3 + 4 → − → –(–2)5 → (–15) : (–1)3 bölmelerini gezme4
lidir. Puanı 3 + 25 + 1+ 4 + 32 + 15 = 80 olur.
4. A
D) 9
3. A
C) 10
2. B
B) 11
1. D
A) 12
Cevaplar
8.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
hhARDIŞIK TAM SAYILAR
Örnek 24:
hh Aralarındaki farklı 1 olan tam sayılara ardışık sayılar denir.
a < b < c < d olmak üzere a, b, c ve d ardışık çift sayılardır.
x bir tam sayı olmak üzere
Buna göre,
..., x – 1, x, x + 1, ...
sayıları ardışık tam sayılardır.
(c - a) . (a - d)
işleminin sonucu kaçtır?
c-d
Cevap: 12
a = 2, b = 4, c = 6, ve d = 8 için
( c - a) ( a - d ) 4. ( - 6)
= = 12 bulunur.
c- d
( 2)
hh x bir tek tam sayı olmak üzere
Örnek 25:
..., x – 4, x – 2, x, x + 2, x + 4, ...
sayılarına ardışık tek sayılar denir. Ardışık iki tek sayı arasındaki fark 2 dir.
c1 +
2
2
2
9
m . d1 + n . c1 + m =
7
x
y
z
olduğuna göre, y kaçtır?
hh x bir çift tam sayı olmak üzere
..., x – 4, x – 2, x, x + 2, x + 4, ...
x = n, y = n + 2, z = n + 4 olsun
sayılarına ardışık çift sayılar denir. Ardışık iki çift sayı arasındaki fark 2 dir.
Örnek 22:
a ve b ardışık tek sayılardır.
2x + 7 ile x + 4 sayıları ardışık tek sayılardır.
olduğuna göre, a – b farkı kaçtır?
Buna göre, x in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Cevap: –2
2x + 7 – (x + 4) = 2
⇒ a – b = –2 dir.
x + 3 = 2
x = –1
Örnek 23:
x + 4 – (2x + 7) = 2
x = –5
Örnek 27:
a<b<c
olduğuna göre, (a – b).(c – a).(b – c) işleminin sonucu
kaçtır?
Ardışık iki tek sayının toplamı 60 olduğuna göre büyük
sayı kaçtır?
n tek sayı olmak üzere
(a – b).(c – a).(b – c) = (–1).(2).(–1) = 2 olur.
Cevap: –6
–x – 3 = 2
–1 + (–5) = –6
a, b ve c ardışık tam sayılardır.
a = 2, b = 3 ve c = 4 için
Cevap: 23
2 =9
a1 + 2n k . a1 + +2 k . a1 + +
k 7
n 2
n 4
+
+
+
n 2 n 4 n 6=9
n .n+2.n+4 7
n+6 = 9
+ =
=
n
7 & 7n 42 9n & n 21
y = 21 + 2 = 23
Örnek 26:
a<b
a<b⇒b =a+2 ⇒b–a=2
x < y < z ardışık tek sayılar olmak üzere
Cevap: 2
Cevap: 31
n + (n + 2) = 60 ⇒ n = 29
⇒ n + 2 = 31
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
Örnek 28:
Örnek 31:
a ve b ardışık tam sayılardır.
Ardışık 7 tam sayının toplamı 140 dır.
Buna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?
a<b
3a + 2b = 122
olduğuna göre, a kaçtır?
Cevap: 24
a = n ise b = n + 1 dir.
140
7 = 20
17, 18 , 19, 20, 21, 22, 23
Cevap: 23
3.n + 2(n + 1) = 122
5n = 120
n = 24
Örnek 32:
Örnek 29:
Bir sokakta, yolun üst tarafındaki evler ardışık tek sayılarla,
alt tarafındakiler ise ardışık çift sayılarla numaralandırılmış-
Ardışık 11 tek sayının toplamı 363 tür.
Buna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır?
tır. Numaralar soldan sağa doğru artmaktadır.
tekler
A
363
11 = 33
23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43
Cevap: 23
C
Sol
Sağ
B
D
Örnek 33:
çiftler
Ardışık 8 çift sayının toplamı 136 olduğuna göre, bu sa-
A ve B evlerinin numaraları için A – B = 15 olduğuna
yıların en büyüğü ile en küçüğünün çarpımı kaçtır?
göre, C ve D evlerinin numaraları için C – D farkı kaçtır?
A) 9
B) 11
C) 13
D) 15
A + 2 = C ve B + 6 = D dir.
E) 17
Cevap: B
136/8 = 17
Cevap: 240
10, 12, 14, 16, 17, 18, 20, 22, 24
10 . 24 = 240
A – B = 15 ⇒ (C – 2) – (D – 6) = 15
C – D = 11
Örnek 30:
Ardışık pozitif dört tam sayının çarpımı bu sayıların en bü-
Not
yüğü ile en küçüğünün çarpımının 90 katıdır.
Ardışık sonlu dizilerde
Buna göre, bu ardışık tam sayıların toplamı kaçtır?
Sayılar n, n + 1, n + 2, n + 3 olsun.
n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) = 90.n(n + 3)
(n + 1)(n + 2) = 90
(n + 1)(n + 2) = 9.10
n+1=9⇒n=8
8 + 9 + 10 + 11 = 38
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 38
Terim Sayısı =
(Son Terim – İlk Terim)
Ortanca Terim =
+ 1
Artış Miktarı
İlk Terim + Son Terim
2
Ardışık Toplam = (Terim sayısı).(Ortanca terim)
olarak bulunur.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
Örnek 34:
Örnek 38:
3 ile tam bölünen 100 den küçük kaç sayma sayısı var-
Aşağıda verilen ardışık sonlu sayı dizilerinin toplamla-
dır?
rını bulunuz.
A 1 + 5 + 9 + ... + 41
{3, 6, 9, ... 99}
99 - 3
Terim sayısı =
3 + 1 = 33
Cevap: 33
A 1 + 2 + 3 + ... + 39
1 + 41 a 41 - 1
k
4 +1
2 .
= 21.11
A Ardışık Toplam =
Cevap: 231, 780
= 231
Örnek 35:
1 + 39 a 39 - 1
k
1 +1
2 .
= 20.39
A Ardışık Toplam =
5 ile bölündüğünde 2 kalanı veren iki basamaklı kaç do-
= 780
ğal sayı vardır?
{12, 17, 22, ..., 97}
97 - 12
+ 1 = 18
Terim sayısı =
5
Cevap: 18
Örnek 39:
102 ve 353 arasında bulunan ve 5 ile kalansız bölünebilen sayıların toplamı kaçtır?
A) 9875
Örnek 36:
B) 10100
D) 11250
C) 10350
E) 11375
A = {x: 213 < x < 717, x = 10n, n Î Z}
kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Cevap: E
105 + 110 + 115 + ... + 350
{220, 230, 240, ..., 710}
710 - 220
+ 1 = 50
Terim sayısı =
10
Cevap: 50
Örnek 37:
105 + 350 a 350 - 105
+ 1k
.
5
2
455
2 .50 = 11375
Örnek 40:
7 + 16 + 25 + ... + 367
3 + 5 + 7 + ... + n = 80
toplamındaki her bir terim 2 artırılırsa toplam kaç artar?
367 - 7
+ 1 = 41
9
Toplam = 41.2 = 82 artar.
Terim sayısı =
Cevap: 82
olduğuna göre, n kaçtır?
n+
2
n+
2
3 an - 3
. 2 + 1k = 80
Cevap: 17
3 n- 1
. 2 = 80
(n + 3).(n – 1) = 320
(n + 3)(n – 1) = 20.16
n + 3 = 20 ⇒ n = 17
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
Not
Örnek 42:
n (n + 1)
2
n 12
1 + 3 + 5 + 7 + ... + n = c + m
2
1 den x doğal sayısına kadar olan doğal sayıların toplamı a,
1 + 2 + 3 + ... + n =
4 den x'e kadar olan doğal sayıların toplamı b dir.
a + b = 104
olduğuna göre, b kaçtır?
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + x = a
6+b=a
Cevap: 49
b
a + b = 104 ⇒ b + b + 6 = 104 ⇒ b = 49 olur.
Örnek 41:
Örnek 43:
A = 2.4 + 5.7 + 8.10 + ... + 20.22
Masa
toplamı için aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Her bir terimin ikinci çapanı 1 artırılırsa A kaç artar?
+
Yukarıdaki şekilde, tamamı eş kare motiflerle işlenmiş bir
masa örtüsünün masadan sarkan parçası gösterilmiştir. Bu
parçanın yan kenarlarında bulunan karelerin içi dolu, diğer-
B – A = 2.1 + 5.1 + 8.1 + ... + 20.1
20 + 2 a 20 - 2
k
B–A=
2 .
3 + 1 = 11.7 = 77
b) Her bir terimin birinci ve ikinci çarpanı 3 artırılırsa A
kaç artar?
lerininki ise boştur.
Sarkan parçadaki dolu karelerin sayısı 21 olduğuna
göre, boş karelerin sayısı kaçtır?
A) 81
B) 84
C) 100
D) 105
dolu kareler 21 tane ise
E) 121
–/ A = 2.4 + 5.7 + 8.10 + ... + 20.22
B = 2.5 + 5.8 + 8.11 + ... + 20.23
+
–/ A = 2.4 + 5.7 + 8.10 + ... + 20.22
B = 5.7 + 8.10 + 11.13 + ... + 20.22 + 23.25
B – A = 23.25 – 2.4
B – A = 567
Cevap: C
Cevap: 77, 567
1 + 2 + 2 + ... + 2 = 21 ⇒ n = 10
n
10 sıra boş kare vardır.
A = 4.6+5.8+6.10+...+17.20
olduğuna göre
5.7+6.9+7.11+...+18.21
toplamının A cinsinden eşiti nedir?
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
(4 + 1).(6 + 1) + (5 + 1)(8 + 1)+...+(17 + 1)(20 + 1)
4 . 6 + 11 + 5 . 8 + 14 + 6 . 10 + 17 + ... +17 . 20 + 38
A + 11 + 14 + 17+ ... +38
11 + 38 a 38 - 11 + k
49
A+
1 = A + 2 .10 = A + 245
2 .
3
Öğretmen
Sorusu
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
1.
Konu Testi - 3
Ardışık iki tam sayının toplamı 47 olduğuna göre, büyük sayı kaçtır?
A) 24
B) 23
C) 22
D) 21
5.
E) 20
A) 10
n + n + 1 = 47 ⇒ n = 23
⇒ n + 1 = 24
2.
6.
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
x, y ve z ardışık tek sayılardır.
olduğuna göre,
A) 4
7.
1
2
C) 0
C) 6
E) 9
D)
1
2
a < b < c ardışık pozitif tek sayılardır.
olduğuna göre, a + c toplamı kaçtır?
A) 14
E) 2
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
a.b.c = 63.11
a.b.c = 7.9.11 ⇒ a + c = 7 + 11 = 18
x - y -2 -1
=
=
2 bulunur.
z-x 4
8.
x < y < z ardışık çift sayılardır.
x + y + z = 120
Ardışık iki çift sayıdan küçük olanın 3 katı, büyük olanın 2
katının 14 fazlasına eşittir.
Buna göre, küçük sayı kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
B) 44
B) 5
a.b.c = 693
x- y
oranının değeri kaçtır?
z- x
x = 1, y = 3 ve z = 5 için
A) 46
D) 8
1
1
4
m . c1 + m =
a
b
3
a+1 b+1
ve b = a + 1
a . b
a+1 a+2 = 4 a+2 = 4
a .a+1 3 & a
3
&a=6
x<y<z
4.
E) 30
olduğuna göre, a kaçtır?
b – a = 2 ya da b – a = –2 dir.
B) –
D) 26
a ve b ardışık tam sayılardır.
• c1 +
b–a
A) –1
C) 21
• a<b
Buna göre
3.
B) 15
n bir tam sayı olmak üzere
n = 5 için n.(n + 1) = 30 olabilir.
a ve b ardışık çift sayılardır.
A) 0
Aşağıdakilerden hangisi ardışık iki tam sayının çarpımı olabilir?
C) 42
x = n, y = n + 2, z = n + 4 olsun
n + n + 2 + n + 4 = 120 ⇒ n = 38
x = 38 bulunur.
A) 12
D) 40
B) 16
C) 18
D) 24
E) 28
E) 38
Ardışık sayılar n ve n + 2 olsun
3.n = 2.(n + 2) + 14
3n = 2n + 18
n = 18 olur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
9.
Konu Testi - 3
13. a iki basamaklı bir doğal sayı, b sayma sayısıdır.
Ardışık 9 tek tam sayının toplamı 207 dir.
a 3
=
b 5
Buna göre, küçük sayı kaçtır?
A) 11
B) 13
C) 15
D) 17
E) 19
olduğuna göre, a kaç farklı değer alabilir?
207 =
23
9
A) 30
15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31
göre, en küçük sayı kaçtır?
B) 29
C) 30
D) 31
14.
15.
1 + 2 + 3 + ... + 20 =
C) 200
B) 50
C) 51
D) 52
E) 53
–1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – ... – 99 + 100
1 + 1 + 1 ...
+ 1 = 50
50 tane
toplamının değeri kaçtır?
B) 180
E) 37
–1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – ... – 99 + 100
A) 48
1 + 2 + 3 + ... + 20
A) 150
D) 36
işleminin sonucu kaçtır?
E) 32
325 =
10 32, 5
28, 29, 30, 31, 32, 32,5, 33, 34, 35, 36, 37
11.
C) 33
a = 3k ve b = 5k olduğundan
a ∈ {12, 15, 18, ..., 99}
99 - 12 +
Terim Sayısı =
1 = 30
3
10. Ardışık 10 pozitif tam sayının toplamı 325 olduğuna
A) 28
B) 32
D) 210
T = 12 + 22 + 32 + ... + 102
toplamında her bir terimin tabanındaki sayı 1 arttırılırsa T kaç artar?
E) 240
A) 120
1 + 20 a 20 - 1 + k
1
2 . 1
21
= 2 .20
= 210
B) 121
C) 122
D) 123
E) 124
–/ T = 12 + 22 + 32 + ... + 102
+ B = 22 + 32 + 42 + ... + 102 + 112
B – T = 112 – 12 = 120
2 + 4 + 6 + ... + 60
16. Aşağıdakilerden hangisi ardışık 21 tek sayının toplamı
toplamının sonucu kaçtır?
A) 328
2 + 60 a 60 - 2 + k
1
2 . 2
= 31.30
= 930
C) 336
D) 350
E) 357
Toplam 21 ile bölündüğünde sonuç tek sayı çıkmalıdır.
357
O hâlde 21 = 17 olur.
6. C
7. C
8. C
9. C
10. A
11. D
12. E
13. A
14. B
15. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B) 330
5. E
16. E
14
E) 930
4. E
D) 900
3. B
2 + 4 + 6 + ... + 60 =
C) 880
2. C
B) 840
1. A
A) 810
olabilir?
Cevaplar
12.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
1.
Konu Testi - 4
4.
A = 5 + 9 + 13 + ... + 101
B = 7 + 11 + 15 + ... + 103
hh a < b < c
hh (a – c)2 + (c – b).(a + c) = 72
olduğuna göre, B – A farkı kaçtır?
A) 50
B) 51
C) 52
D) 53
E) 54
olduğuna göre, c kaçtır?
A) 12
B – A = (7 – 5) + (11 - 9) + (15 – 13) + ... + (103 – 101)
B – A = 2 + 2 + 2 + ... + 2
(Terim sayısı) tane
101 - 5
B – A = 2. a 4 + 1k = 50
2.
a, b ve c ardışık çift doğal sayılardır.
B) 14
D) 16
E) 18
a = n, b = n + 2, c = n + 4 olsun
(a – c)2 + (c – b).(a + c) = 72
(–4)2 + 2.(2n + 4) = 72
4n + 24 = 72
n = 12 ve c = 16
Ardışık 23 tane tek sayı küçükten büyüğe doğru sıralandığında ortadaki sayı 15 oluyor.
5.
Buna göre, bu sayıların toplamı kaçtır?
A) 330
B) 335
C) 340
D) 345
a < b < c olmak üzere a, b ve c ardışık tek sayılardır.
hh 2 < a < 64
E) 350
hh 50 < b < 100
Ardışık toplam = (ortanca terim).(terim sayısı)
Ardışık toplam = 15.23
Ardışık toplam = 345
hh 40 < c < 90
olduğuna göre, c nin alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 6
a
3.
C) 15
a, b, c, d ve e isimli 5 sütunu bulunan bir tabloya, pozitif
tam sayılar aşağıdaki gibi 1 den başlanarak sırayla ve her
hücreye bir sayı gelecek şekilde yazılacaktır. Bu yazma işleme ilk satırdan başlayıp şekildeki gibi dönüşümlü olarak
bir satır soldan sağa bir sonraki satır sağdan sola şeklinde
ilerleyecektir.
a
b
c
d
e
1
2
3
4
5
10
9
8
7
6
11
12
13
14
15
Buna göre, 100. sayı tabloya yerleştirildiğinde b sütunundaki sayıların toplamı kaç olur?
A) 1010
B) 1020
D) 1040
C) 1030
E) 1050
100. sayı a sütununa yazılır o hâlde b sütununun son elemanı 99 olur.
2 + 9 + 12 + 19 + 22 + 29 + ... + 99
(2 + 12 + 22 + ... + 92) + (9 + 19 + 29 + ... + 99)
94 a 92 - 2 + k + 108 a 99 - 9 + k
1
1
2 . 10
2 . 10
B) 7
49
51
C) 8
53
55
D) 9
57
59
E) 10
61
63
b
51
53
55
57
59
61
63
65
c
53
55
57
59
61
63
65
67
8 farklı değer vardır.
6.
• Bir tam sayının karesi olan sayılara karesel sayı denir.
• 1 den n ye kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı
olan sayılara üçgensel sayı denir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi hem karesel hem
de üçgensel sayıdır?
A) 27
B) 36
C) 49
D) 56
E) 64
27 ve 56 tam kare olmadığından karesel sayı değildir.
n (n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n =
üçgensel sayıdır.
2
8. 9 =
n = 8 için 2
36 hem üçgensel hem de karesel sayıdır.
470 + 540 = 1010
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
7.
Konu Testi - 4
Üzerinden 1 den 20 ye kadar olan doğal sayıların yazdığı
20 adet top ile oynanan bir oyunda kurallar söyledir.
9.
• Toplar bir makinenin içerisine atılmakta ve üzerindeki
sayılar küçükten büyüğe doğru olacak şekilde sırayla
düşmektedir.
Aşağıda verilen şekiller merdiven imalatı yapan bir firmanın eş uzunlukta çelik çubuk kullanarak yapmak istediği
iskelenin gün gün tamamlanış sürecini göstermektedir.
• Düşen ilk topu Özgür, sonraki düşen topu Ozan almaktadır. Bu durum sıra bozulmadan toplar bitene kadar
devam etmektedir.
1. gün
Bu paylaşım esnasında bir karışıklık oluyor ve Özgür'ün
alması gereken bir topu Ozan, Ozan'ın alması gereken bir
topu Özgür alıyor.
B) 14
C) 16
D) 18
A) 130
B) 136
C) 144
D) 156
E) 160
E) 20
1. gün + 2. gün + 3. gün + ... + 10. gün
4 + 22
4 + 6 + 8 + ... + 22 = 2 .10 = 130
Özgür'ün toplarının toplamı normal şartlarda
1 + 3 + 5 + ... + 19 = 100 olmalıdır.
119 – 100 = 19 ise Özgür'ün 1 nolu topu yerine 20 nolu topu almıştır.
8.
3. gün
Bu iskelenin yapımı 10 gün sonunda tamamlandığına göre, iskelenin tamamında toplam kaç çelik çubuk
kullanılmıştır?
Bu durum sonucunda Özgür'ün elindeki topların numaraları toplamı 119 olduğuna göre Özgür'ün yanlışlıkla aldığı topun numarası kaçtır?
A) 12
2. gün
1
2
3
4
5
6
Sağ Sütun
Sol Sütun
Bir bilgisayar oyunu, aşağıdaki şekilde olduğu gibi sol sütun, sağ sütun ve satırdan oluşmaktadır.
10. Aşağıda bazı kutucukları doldurulmuş şeklin kutucuklarına 1 den 31 e kadar olan tek sayılar aşağıdaki kurala göre
yerleştirilecektir.
• Her kutucukta farklı sayı olmalıdır.
• Her bir sütundaki sayıların toplamı aynı olmalıdır.
Satır
• Sütundaki sayılar yukarıdan aşağıya doğru artmalıdır.
• Sol sütun 1 den başlayan ardışık tek sayılar ile doldurulmaktadır.
1
• Sağ sütun 2 den başlayan ardışık çift sayılar ile doldurulmaktadır.
13
Buna göre, 1 ve 3 ile aynı satırda bulunan diğer iki
sayının çarpımı kaçtır?
5. C
6. B
7. E
8. B
9. A
10. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
3
9
13
11
15
23
17
19
21
31
29
27
25
4. D
16
5
D) 45
E) 85
1 + 3 + 5 + ... + 31 = 16.16 = 256
256
olduğundan her sütuna 4 = 64 düşer.
5.7 = 35
3. A
E) 1996
Sol sütun ile satırın ortak kutusunda bulunan sayı n = 15 için 2.15 – 1 = 29.
sağ sütun ile satırın ortak kutusunda bulunan sayı 2.55 = 110 dur.
Satır elemanların toplamı
29 + 110
29 + ... + 110 =
.28 = 1946
2
28 tane
1
C) 35
2. D
C) 1956
B) 28
1. A
A) 21
Cevaplar
Buna göre, satırda bulunan kutucuklardaki sayıların
toplamı kaçtır?
D) 1982
21
31
• Sol sütun 15 kutudan, sağ sütun 55 kutudan, satır ise
28 kutudan oluşmaktadır.
B) 1946
11
23
• Satırda bulunan kutular içerisinde bulunan sayılar sabit olarak artmaktadır.
A) 1823
3
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
05
TARAMA
1.
A = {1, {2, 3}, 4, 5, 6}
B = {1, 2, {3, 4}, 5, 6}
işleminin sonucu kaçtır?
kümeleri için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) s(A) = s(B)
B) 4 ∈ A
D) A ⊂ B
A) 26
C) {3, 4} ∈ B
E) {1, 5} ⊂ (A ∩ B)
5.
işleminin sonucu kaçtır?
B) 4
C) 5
D) 8
C) 16
D) 10
E) 4
4
(–1)4.(–2)3 + (–6).(–2)
A) 2
B) 24
11  5 12  12 16 0
10  6  3  12  4   9
 40
s(A) = s(B) = 5, 4 ∈ A, {3, 4} ∈ B dir.
A ∩ B = {1, 5, 6} olduğundan {1, 5} ⊂ (A ∩ B) dir.
A ⊂ B değildir.
2.
66: 6 - 35: (- 7) 12 - (- 4) .(- 3)
+
(- 20):(- 2) - 6
3 + 4.(- 3)
4.
a ve b tek sayılar olmak üzere aşağıdakilerden hangisi
tek sayıdır?
A) a + b
E) 10
C) a2 + b
B) a.b + b
E) a2.b2 + a
D) a.b + 2a
1.(–8) + 12 = –8 + 12 = 4
a = 1 ve b = 3 için
A) 4
B) 6
3.
Aşağıda verilen altı evin kapı numaraları ile ilgili aşağıdaki
bilgiler veriliyor.
6.
C) 4
D) 5
E) 10
dir.
Ardışık 5 çift tam sayının toplamı –10 dur.
Buna göre, en küçük sayı kaçtır?
A) –16
• Evlerin kapı numaraları {1, 2, 3, ..., 20} kümesinin elemanlarından altısıdır.
B) –14
C) –10
D) –8
E) –6
–10/5 = –2 ise –6, –4, –2, 0, 2 olur
• Evlerin kapı numaralarının çarpımı tek sayıdır.
• Evlerin kapı numaraları soldan sağa doğru artmaktadır.
7.
A bir küme olmak üzere
• a ∈ A, b ∈ A ve c ∈ A dır.
• Ardışık iki ev arasındaki kapı numaraları farkı sırasıyla
soldan sağa doğru 2, 4, 6, 2 ve 4 tür.
• A kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin 12 tanesinde
eleman olarak a ve b bulunur ancak c bulunmaz.
Buna göre, kapı numaraları toplamı aşağıdakilerden
hangisidir?
Buna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 68
A) 12
B) 66
C) 64
D) 60
E) 58
Kapı numaraları {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} olabilir.
ilk evin son evin kapı numaraları arasında 2 + 4 + 6 + 2 + 4 = 18 fark
olacağından en küçük kapı numarası 1 dir.
1, 3, 7, 13, 15, 19 olur toplamları 58 dir.
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
s(A) = n olsun
e
n3
o  12 ⇒ n – 3 = 12 ⇒ n = 15
1
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
Tarama
8.
x, y, a ve b birbirlerinden farklı pozitif tam sayılardır.
11. a, b ve c tam sayıları için
x.y = 30
a.b < 0
a.b = 72
a+c=0
olduğuna göre, x – a farkı en az kaçtır?
A) –74
B) –70
C) –30
D) 70
b+c<0
E) 72
olduğuna göre, a, b ve c sayılarının işaretleri sırasıyla
aşağıdakilerden hangisidir?
A) –, –, +
x, y, a ve b birbirinden farklı olduğundan
b = 1 ve y = 15 için a = 72 ve x = 2 olur.
x – a = 2 – 72 = –70
B) –, +, –
C) –, +, +
D) +, –, –
E) +, +, –
a.b < 0 ⇒ a → +, b → – veya a → – , b → + dır.
a + c = 0 ⇒ a → + ise c → – veya a → – ise c → + dır.
b + c < 0 ⇒ b ve c negatif olmalıdır.
a, b, c → +, –, – dir.
9.
a bir tam sayı olmak üzere
2a + a + 7
ifadesi bir çift tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) a tek sayıdır.
B) a + 4 tek sayıdır.
C) a2 + a + 1 tek sayıdır.
D) a3 + a tek sayıdır.
E) a7 + 2 tek sayıdır.
2a + a + 7 = çift ⇒ a = tek olur.
a = 0 için de ifade çift olduğundan A, B, D ve E seçenekleri daima doğru
değildir.
a2 + a + 1 daima tek sayıdır.
12. Ardışık 4 pozitif tek sayının toplamı ardışık 3 pozitif çift sayının toplamına eşittir.
Tek sayıların en büyüğü 21 olduğuna göre, çift sayıların en küçüğü kaçtır?
A) 18
B) 20
C) 22
D) 24
E) 26
Ardışık çift sayılar n, n + 2, n + 4 olsun
15 + 17 + 19 + 21 = n + n + 2 + n + 4
72 = 3n + 6 ⇒ n = 22 olur.
13. Aşağıdaki şekilde beş kümeden oluşturulan dokuz bölge
harflerle gösterilmiştir.
E
A
10. Aşağıdaki şekil siyah ve beyaz altıgenlerden oluşmuştur.
D
B
H
F
K
G
C
• Bu küme sisteminde her bölgede bir eleman bulunmaktadır.
Şekilde beyaz altıgenler içerisine 1'den başlanarak ardışık
doğal sayılar her bir beyaz altıgene bir sayı gelecek şekilde yazılıyor.
Şekilde 20 tane siyah altıgen olduğuna göre, beyaz altıgenlerdeki sayıların toplamı kaçtır?
A) 528
B) 530
C) 536
D) 544
E) 560
20
Toplam 20 tane siyah altıgen varsa toplam 2 .3 + 2 = 32 tane beyaz
altıgen vardır.
32.33
1 + 2 + 3 + ... + 32 = 2 = 16.33 = 528
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
• Her bir kümenin elemanlarının toplamı birbirine eşittir.
• Bu küme sistemlerinin elemanları sıfır hariç tüm rakamlardır.
• B, D, F ve H bölgelerine yazılan sayılar toplamı 10 dur.
Buna göre, her bir çemberin içindeki sayıların toplamı
kaçtır?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
B, D, F ve H toplamı 10 ise bu bölgeler 1, 2, 3, 4 yazılar o hâlde
A = 9, B = 2, C = 5, D = 4, E = 6, F = 1, G = 7, H = 3, K = 8 olur.
Her bir çemberin elemanları toplamı 11 dir.
Tarama
17. A ve B kümeleri için,
45
64
^5x + 2h ^4x - 3h
9
16
14.
A = {x: 2 < x < 74, x Î R}
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5x + 1
B) 12x – 20
D) –2
C) 23
B = {x: x = 2n + 1, n Î Z}
olduğuna göre, s(A Ç B) kaçtır?
E) –7
A) 34
4(5x + 2) – 5(4x – 3)
20x + 8 – 20x + 15
23
B) 35
C) 36
D) 37
E) 38
A ∩ B = {x: 2 < x < 74, x = 2n + 1, n ∈ Z}
A ∩ B = {3, 5, 7, ... 73}
73  3
Terim sayısı = 2  1  36
18. a ve b birer tam sayı olmak üzere
15. a, b ve c tam sayılardır.
I. a + b tek ise a.b çifttir.
a 3 .b + 1
=c
2
II. a + b çift ise 3a + 5b çiftir.
olduğuna göre, a, b ve c den hangileri daima tek sayıdır?
III. a.b tek ise a – b tektir.
A) a
ifadelerinden hangileri doğrudur?
B) b
C) a ve b
D) b ve c
A) Yalnız II
E) a ve c
D) I ve III
a3.b + 1 = 2c ⇒ a3.b = 2c – 1
⇒ a.b = tek ise a ve b tek sayılardır.
toplamı o satırın sağında her sütunda bulunan sayıların
çarpımı ise o sütunun altında yazılı olarak veriliyor.
–22
2
E) I, II ve III
15
19. a, b ve c ardışık pozitif tam sayılar ve a < b < c olmak
üzere
3c
2b - a
işleminin sonucu kaçtır?
A
A) 1
–1
C) I ve II
a + b = tek ⇒ a ve b den biri çift a.b çifttir.
a + b = çift ⇒ 3a + 5b = çifttir.
a.b = tek ⇒ a = tek ve b = tek a – b = çifttir.
16. Aşağıdaki 3 x 3 lük tabloda her satırda bulunan sayıların
–3
B) Yalnız III
–(–5)
z
x
(–1)4
12
A
y
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
B
a = n, b = n + 1, c = n + 2 olsun
3 ( n  2)
3 (n  2)
3
2 ( n  1)  n  n  2 
Buna göre, x + y + z toplamının değeri kaçtır?
A) 77
B) 78
C) 79
(–3) + –22 + 15 = A ⇒ A = 8
(–1) + 2 + (–(–5)) = B ⇒ B = 6
(–3).(–1).z = 12 ⇒ z = 4
(–22).2.x = 8 ⇒ x = –1
15.(–(–5)).(–1)4 = y ⇒ y = 75
x + y + z = –1 + 75 + 4 = 78
D) 80
E) 81
20. x, y ve z birer pozitif tam sayıdır.
x.y.z = 48
olduğuna göre, x + y + z ifadesinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?
A) 72
B) 70
C) 68
D) 61
E) 56
x = 1, y = 1 ve z = 48 için x + y + z en çok 50, x = 4, y = 4 ve z = 3 için x + y
+ z en az 11 dir. 50 + 11 = 61
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
Tarama
21. a, b ve c negatif tam sayılardır.
25. Aşağıda verilen şekilde bir geometri sorusu verilmiştir.
• 2a = 3b
ABCD dikdörtgen, M ve N kümelerdir.
• 3a + 2b = c
|AD| = 10 cm ve |AB| = 8 cm
A
olduğuna göre, c aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) –60
B) –72
C) –195
D) –196
2a = 3b ⇒ k ∈ Z olmak üzere a = 3k, b = 2k dır.
3a + 2b = c ⇒ 9k + 4k = c ⇒ c = 13 k olur.
c = –195 olabilir.
B
22. Yaşları birbirinden farklı olan beş kardeş için aşağıdaki bil• Kardeşlerin yaşları toplamı 180 dir.
• (N' ∩ M')' \ (N ∩ M') ifadesi ile belirtilen bölgenin alanı
40 cm2 dir.
• Kardeşlerin iki tanesinin yaşı 30 dan küçüktür.
• M ∩ N ifadesi ile belirtilen bölgenin alanı 8 cm2 dir.
Buna göre, en büyük kardeş en az kaç yaşındadır?
B) 48
C) 57
D) 60
Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir?
E) 62
A) 20
28, 29, a, b, c olsun
28 + 29 + a + b + c = 180 ⇒ a + b + c = 123
a = 40, b = 41, c = 42 için en büyük kardeş 42 yaşındadır.
• A = {1, 2, 3, 5, 7, 9} kümesinin alt kümelerinin oluşturduğu küme K kümesidir.
• B = {1, 3, 5, 7, 10, 12} kümesinin alt kümelerinin oluşturduğu küme M kümesidir.
Buna göre, K Ç M kümesinin eleman sayısı kaçtır?
B) 8
C) 16
D) 32
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
(N ∩ M′) ∪ (N ∩ M) = N
(N′ ∩ M′)′ \ (N ∩ M′) = (N ∪ M) \ (N \ M) = M
Alan(N ∪ M) = Alan(N) + Alan(M) – Alan(N ∩ M)
Alan(N ∪ M) = 24 + 40 – 8 = 56
Taralı bölge = 80 – 56 = 24 cm2
23. A ve B kümeleri için
A) 4
C
• (N ∩ M') ∪ (N ∩ M) ifadesi ile belirtilen bölgenin alanı
24 cm2 dir.
giler veriliyor.
A) 42
M
N
E) –198
D
E) 64
K ∩ M kümesinin eleman sayısı A ∩ B kümesinin alt küme sayısına eşittir.
A ∩ B = {1, 3, 5, 7} ise s(K ∩ M) = 24 = 16 dır.
26.
x = 1501.1499
y = 1505.1495
z = 1612.1388
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) x < y < z
B) x < z < y
D) y < z < x
C) y < x < z
E) z < y < x
Çarpım durumunda verilen sayıların toplamları 3000 dir. O hâlde sayıların birbirine yakınlığına göre z < y < x dir.
27. x bir negatif gerçek sayı olmak üzere
24. a bir pozitif tam sayıdır.
I. –x2
Buna göre
II. (–x)–1
2a + 4
a
III. (–x)3
ifadesinin 3 katını tam sayı yapan kaç tane a sayısı vardır?
A) 8
B) 7
C) 6
2a  4 6a  12
12
 6 a
a 
a
a → 1, 2, 3, 4, 6, 12
3.
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) 4
E) 3
ifadelerinden hangileri negatiftir?
A) Yalnız I
D) II ve III
x < 0 ⇒ –x2 < 0 dır.
x < 0 ⇒ (–x)–1 > 0 dır.
x < 0 ⇒ (–x)3 > 0 dır.
B) Yalnız II
C) I ve III
E) I, II ve III
Tarama
28. Aşağıdaki tabloda a, b, c ve d negatif tam sayılarıyla yapılan çarpma işlemlerinden bazılarının sonuçları verilmiştir.
a
b
a
c
d
doğru artarak aşağıda verilen şekildeki gibi numaralandırılıyor.
15
4
c
27
18
Pencere
d
Buna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır?
A) –18
B) –19
b2 = 4 ⇒ b = –2
b.d = 18 ⇒ d = –9
c.d = 27 ⇒ c = –3
a.c = 15 ⇒ a = –5
29.
C) –20
D) –21
E) –22
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
a + b + c + d = –19
Bu trende koridorun sağında bulunan 3, 7, 11 ... nolu
koltukların son koltuk numarası 79 olduğuna göre sol
pencere kenarında bulunan koltuk numaralarının toplamı sağ pencere kenarında bulunan koltuk numaralarının toplamından kaç eksiktir?
K = {S, İ, N, E, M, A}
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde A harfi bulunur ama N harfi bulunmaz?
3, 7, 11, 15, ..., 79
A) 14
Terim sayısı = 79 4- 3 + 1= 20
B) 16
Pencere
b
Koridor
x
31. Bir trendeki koltuklar 1 den başlayarak ve soldan sağa
C) 18
D) 24
E) 32
A harfi bulunacağından, N harfi bulamayacağından hesaba dahil edilmezler. O hâlde 24 = 16 alt küme vardır.
A) 56
B) 60
C) 72
D) 80
E) 84
3 + 3 + 3 + ... + 3 = 60
20 tane
32. A ve B kümeleri için
30. a, b ve c tam sayılardır.
• A \ B kümesinin alt küme sayısı 64 tür.
• a + b tek sayı
• A ∩ B kümesinin kendisi hariç alt küme sayısı 3 tür.
• b.c çift sayı
• B \ A kümesinin alt küme sayısı 8 dir.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
Buna göre, A È B kümesinin en az 10 elemanlı alt küme
sayısı kaçtır?
A) a + c
A) 12
B) a.c
D) a.b
C) b + c
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
E) a.b + c
A
a + b = tek ve b.c çift ise
a = tek, b = çift, c = tek
a = tek, b = çift, c = çift
a = çift, b = tek, c = çift o hâlde a.b çifttir.
B
6
2
3
s(A ∪ B) = 11 ⇒ e
2s(A\B) = 64 ⇒ s(A\B) = 6
2s(A∩B) – 1 = 3 ⇒ s(A ∩ B) = 2
2s(B\A) = 8 ⇒ s(B\A) = 3
11
11
11
o  e o  e o  1  11  1  12
10
11
1
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
Tarama
33. a, b, c ve k gerçel sayıları için
36.
A = {–3, –2, –1, 0, 3, 4, 5, 6}
b.k > 0
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde
elemanlar çarpımı negatiftir?
c.k < 0
A) 18
a.k < 0
a + b.c = 0
B) +, –, –
D) –, +, –
C) 20
E) 22
C) +, +, –
E) –, +, +
k > 0 ise a < 0, b > 0, c < 0 olur. Ancak a + b.c = 0 olamaz o hâlde
k < 0 dır. a > 0, b < 0, c > 0 ⇒ +, –, + olur.
37. Bir postanede bulunan çok bölmeli iki posta kutusu aşağıda verilmiştir.
1
3
5
………
2
4
6
………
195
197
• İki posta kutusunun bölme sayıları birbirine eşittir.
34. 50 kişinin bulunduğu bir sporcu grubunda
• Birinci posta kutusuna bölmelerden birincisine 1, ikincisine 3 üçüncüsüne 5 ve bu şekilde devam ederek
son bölmesine 197 mektup atılmaktadır.
• Erkek sporcuların sayısı 20 dir.
• Sarışın sporcuların sayısı 15 dir.
• İkinci posta kutusuna bölmelerden birincisine 2, ikincisine 4 ve bu şekilde devam ederek bütün bölmelere
mektup atılmaktadır.
• Bayan sporcuların en az bir tanesinin , erkek sporcuların en az üç tanesinin sarışın olduğu bilinmektedir.
Buna göre, sarışın olmayan bayan sayısının en büyük
değeri sarışın olan erkek sporcu sayısının en büyük
değerinden kaç fazladır?
Buna göre, ikinci posta kutusuna atılan toplam mektup
sayısı kaçtır?
A) 15
A) 9400
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
B) 9600
D) 9900
s(Bayan) = 50 – 20 = 30 en az bir sarışın bayan olduğundan sarışın olmayan bayan sayısının en büyük değeri 29 dur. Sarışın olan erkek sporcu
sayısının en büyük değeri 15 – 1 = 14 dür. 29 – 14 = 15 bulunur.
35. a – b, b ve a + b küçükten büyüğe doğru sıralanmış ardışık
C) 9800
E) 10000
Bölme sayıları eşit olduğunda
197  1
Terim sayısı =
2  1 = 99 dır.
2 + 198
2 + 4 + 6 + ... + 2.99 =
2 .99 = 9900
38.
A = [–3, 5)
üç tam sayıdır.
B = (–4, 7]
Buna göre, a.b çarpımının değeri kaçtır?
C = {x: x < 8 , x = 2n, n Î Z+}
A) 5
B) 4
C) 3
a+b–b=1⇒a=1
b – (a – b) = 1 ⇒ b – 1 + b = 1 ⇒ b = 1
a.b = 1.1 = 1
6
D) 21
3 4
3
e oe o  e o  3.6  1  19
1 2
3
olduğuna göre, a, b, c sayılarının işaretleri sırasıyla
aşağıdakilerden hangisidir?
A) +, –, +
B) 19
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) 2
E) 1
olduğuna göre, aşağıdaki elemanlardan
(A È C) Ç B kümesinin elemanıdır?
A) –5
B) –4
C) 5
A ∪ C = [–3, 5) ∪ {6}
(A ∪ C) ∩ B = [–3, 5) ∪ {6}
olduğundan 6 kümenin elemanıdır.
D) 6
hangisi
E) 7
Tarama
39.
42. a, b ve c ardışık çift sayılar ve a < b < c olmak üzere
a2 < a
a+b<0
a + b + c = 12(b – a).(c – a)
olduğuna göre, b kaçtır?
b.c < 0
eşitsizliklerini sağlayan a, b ve c gerçek sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) –, +, –
B) +, +, +
D) +, –, +
a2 < a ⇒ a → +
a+b<0⇒b→–
b.c < 0 ⇒ c → +
C) +, +, –
E) +, –, –
A) 30
B) 32
C) 34
D) 36
E) 38
a = n ise b = n + 2, c = n + 4 dür.
n + n + 2 + n + 4 = 12(n + 2 – n)(n + 4 – n)
3n + 6 = 12.2.4
3n + 6 = 96 ⇒ n = 30 ⇒ b = 32 olur.
a, b, c → +, –, +
40. a, b ve c iki basamaklı tam sayılardır.
• a, b ve c sayılarının toplamı 7 dir.
• a, b ve c den biri negatif ikisi pozitiftir.
• Pozitif olan iki sayıdan biri 3 katına diğeri iki katına çıkartılıp toplanıyor ve toplamın sonucuna T deniliyor.
43. Asya ve Barış'ın sayı doğrusu kullanarak oynadığı bir
oyunda kurallar şöyledir.
Asya Barış
Buna göre, T en fazla kaçtır?
A) 310
B) 308
C) 273
D) 216
-¥
E) 200
a + b + c = 7 ise a =–99 alınırsa
b + c = 106 olur. b = 10 ve c = 96 için
T = 3c + 2b toplamı en fazla T = 3.96 + 10.2 = 308 olur.
0
• Oyuna iki oyuncuda başlangıç (0) noktasından başlayacaktır.
• Sırasıyla birbirlerine soru sormaktadırlar. Sorunun sonucu negatif çıkar ise negatif yönde, pozitif çıkar ise
pozitif yönde çıkan sonuç kadar ilerlemektedirler.
•
41.
x2 + y2 > (x + y)2
olduğuna göre
I. x < 0, y > 0
+¥
Asya'nın sorduğu sorular Barış'ın sorduğu sorular
–(–2)3
–(–3)2
40
+ 2 (- 2)
- (- 5)
(–2)(–5) – 7
(–24) : 8 + 4
(–2)n + 5
Asya ve Barış bütün sorulara doğru cevap vermiştir.
II. x.y < 0
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
Sorulan üçer soru sonucunda Asya ile Barış arasında
19 birimden fazla mesafe olduğuna göre, n doğal sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) Yalnız I
A) 2
III. x > 0, y > 0
D) I ve III
x2 + y2 > x2 + y2 + 2xy
0 > 2xy ⇒ x.y < 0 dır.
B) Yalnız II
C) I ve II
B) 3
C) 4
D) 0
E) 1
E) I, II ve III
Barış, 8 + 4 + 1 = 13 birim sağa gider. Aralarındaki mesafe 19 birimden
fazla ise n'nin en az olması için Asya sola doğru 6 birimden fazla gitmelidir.
–9 + 3 = –6 olduğundan (–2)n + 5 negatif olmalıdır. n, 3 olabilir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
Tarama
44. A kümesi B kümesinin alt kümesi olmamak üzere
47. Bir kutuda 1 den 20 ye kadar numaralandırılmış 20 top var-
dır. Bu kutudan rastgele 3 top çekiliyor. Çekilen toplardan
birinin 6 numaralı top olduğu ve kutuda kalan topların numaralarının toplamının 165 olduğu biliniyor.
s(A Ç B) = 5
s((A x C) È (B x C)) = 30
olduğuna göre, s(C) nin alabileceği en büyük değer
kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
Buna göre, kutudan çekilen toplardan büyük olanının
numarası kaçtır?
E) 10
A) 12
B) 15
C) 17
D) 19
E) 20
Çekilmeden önce topların toplamı
20.21
1 + 2 + 3 + ... + 20 = 2 = 210 dır. Son toplam 165 ise çekilen üç topun
toplamı 210 – 165 = 45 dir. O hâlde sayılar 6, 19, 20 dir.
s((A ∪ B) x C) = 30 ⇒ s(A ∪ B).s(C) = 30
s(A ∪ B) en az 6 ise s(C) en fazla 5 olur.
48. Aşağıda verilen şekilde koyu renkle belirtilmiş kare içeri-
sinde yazılan sayı bu karenin üstünde ve sağında bulunan
karelerde bulunan sayıların toplamına eşittir.
45. Ardışık 3 pozitif tek sayı ile ardışık 3 pozitif çift sayının toplamı 75 dir.
Buna göre, tek sayıların en büyüğü en fazla kaç olabilir?
A) 17
B) 19
C) 21
D) 23
E) 25
5
Ardışık tek sayılar a, a + 2, a + 4
Ardışık çift sayılar b, b + 2, b + 4 olsun
a + a + 2 + a + 4 + b + b + 2 + b + 4 = 75
3a + 3b = 63 ⇒ a + b = 21 olur.
Tek sayıların en büyüğü en fazla a = 19 için 23 olur.
3
1
6
4
2
• Üstteki kutulara ardışık tek sayılar ve alttaki kutulara
ardışık çift sayılar yazılıyor.
• Kutularda bulunan sayılar yukarıya doğru artmaktadır.
5 + 10 + 15 + ... + 5n = 330
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 30
E) 12
D) 39
26. E
25. E
14. C
13. C
2. B
1. D
27. A
15. C
3. E
28. B
16. B
4. E
29. B
17. C
5. D
42. B
30. D
18. C
6. E
43. B
31. B
19. C
7. D
44. B
32. A
20. D
8. B
45. D
33. A
21. C
9. C
46. D
34. A
22. A
10. A
47. E
35. E
23. C
11. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
C) 36
E) 42
Cevaplar
5(1 + 2 + 3 + ... + n) = 330
n (n + 1)
= 66 ⇒ n(n + 1) = 132 ⇒ n = 11 olur.
2
48. B
36. B
24. C
12. C
8
B) 33
Koyu renkli kutular
3 + 7 + 11 + ... + n = 253
n3 n3
2 . a 4  1k  253
(n + 3).(n + 1) = 253.8 ⇒ (n + 3)(n + 1) = 46.44
⇒ n = 43
43  3
Koyu renkli kutu sayısı = 4  1  11
Toplam kutu sayısı 3.11 = 33
41. B
D) 11
40. B
C) 10
39. D
B) 9
38. D
A) 8
37. D
46.
Koyu renkli kutular içerisinde bulunan sayıların toplamı 253 olduğuna göre şekilde bulunan toplam kutu
sayısı kaçtır?
YGS // MATEMATİK
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Faktöriyel - Asal Sayılar - Aralarında Asal Sayılar
Sayı Basamakları
hhFAKTÖRİYEL
FÖY NO
06
Örnek 3:
1 den n doğal sayısına kadar olan doğal sayıların çarpımına faktöriyel denir ve "n!" şeklinde gösterilir.
6! - 4!
6! + 4!
işleminin sonucu kaçtır?
hh n! = n.(n – 1).(n – 2) ... 3.2.1
hh 0! = 1
6.5.4!  4! 4! (30  1) 29
6.5.4!  4!  4! (30  1)  31
Cevap:
29
31
Örnek 1:
Aşağıda verilen toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız.
A 0! + 1! + 3! + 4! = 1 + 1 + 6 + 24 = 32
Örnek 4:
n ≠ 0 olmak üzere,
(n + 1)! – n! = 120.n
A 6! + 3.6! – 2.6! = 6! (1 + 3 – 2) = 2.6!
olduğuna göre, n kaçtır?
(n + 1).n! – n! = 120.n
n!(n + 1 – 1) = 120.n
n!.n = 120.n
n! = 5.4.3.2.1
A 7! + 6!.3 = 7 . 6! + 6! . 3 = 6! (7 + 3) = 10.6!
Cevap: 5
⇒
n=5
Cevap: 32, 2.6!, 10.6!
Örnek 2:
Örnek 5:
Aşağıda verilen bölme işlemlerini yapınız.
A
(n - 2) !
= 30
(n - 4) !
5! 7! 5.4! 7.6!
= 4!  6!  5  7  12
+
4! 6!
olduğuna göre, n kaçtır?
7! 4! 7! 4! 7.6.5.4!
A = 4!  4!  4!  1  7.6.5  1  209
4!
( n  2) ( n  3) ( n  4) !
 30
( n  4) !
(n – 2).(n – 3) = 6.5
Cevap: 12, 209
Cevap: 8
n–2=6
n=8
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Faktöriyel - Asal Sayılar - Aralarında Asal Sayılar
Örnek 10:
Örnek 6:
x ve y doğal sayılar olmak üzere
(x + 1).x! = 72.7!
23! = x.2y
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, y en çok kaçtır?
Cevap: 8
(x + 1).x! = 9.8.7!
(x + 1)! = 9!
23 2
11 2
5 2
2 2
1
x=8
Cevap: 19
11 + 5 + 2 + 1 = 19
Örnek 7:
Örnek 11:
x ve y doğal sayılar olmak üzere
x ve y doğal sayılar olmak üzere
x! = 30.y!
y=
olduğuna göre, x + y toplamı en az kaçtır?
olduğuna göre, x en çok kaçtır?
Cevap: 10
y = 29 için x! = 30.29! ⇒ x! = 30!
x + y = 29 + 30 = 59
y = 4 için x! = 6.5.4! ⇒ x! = 6!
x + y = 6 + 4 = 10 olur.
Örnek 8:
6 asal olmadığından 6 = 3.2 şeklinde yazıp içerindeki 3 çarpanlarına bakılır.
27 3
9 + 3 + 1 = 13
9 3
3 3
1
Cevap: 13
Örnek 12:
15! – 7.14!
n bir pozitif tam sayıdır.
sayısı aşağıdakilerden hangisi ile tam bölünemez?
B) 13
A) 7
27!
6x
C) 21
D) 36
E) 38
Buna göre,
21!
4n
Cevap: E
15.14! – 7.14! = 14!(15 – 7) = 8.14!
38 = 19.2 dir. Ancak 8.14! içerisinde 19 yoktur. 38 sayısını tam bölmez.
Örnek 9:
0! + 1! + 2! + 3! + ... + 100!
ifadesini tam sayı yapan kaç farklı n değeri vardır?
Cevap: 9
21!
21 2
⇒
⇒10 + 5 + 2 + 1 = 18
10 2
2 2n
5 2
2 2
1
2n = 18 ⇒ n = 9, n en çok 9 olacağından n = {1, 2, 3, ..., 9} dokuz farklı n
değeri vardır.
Örnek 13:
sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
43! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Cevap: 4
0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + ... + 100!
sayının 10 ile bölümünden kalan birler basamağındaki rakam olduğundan
1 + 1 + 2 + 6 + 24 + 0 + 0 + 0 + ... + 0 = 34
rakam 4 tür.
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
43! = a.10b ifadesinde b en çok kaçtır
10 = 5.2 ⇒ 43 5
8 5
1
⇒8+1=9
Cevap: 9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Faktöriyel - Asal Sayılar - Aralarında Asal Sayılar
hhAsal Sayılar
Örnek 14:
47! – 1
hh 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan 1 den büyük
sayısının sondan kaç basamağı dokuzdur?
doğal sayılara asal sayılar denir.
Cevap: 10
47! içerisindeki sıfır adedi kadar, 47! – 1 in sonunda dokuz vardır.
47 5
⇒ 9 + 1 = 10
9 5
1
Örnek 15:
Aşağıda verilen ifadelerin sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulunuz.
hh Asal sayılar kümesi {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...}
hh 2 den başka çift asal yoktur.
Örnek 16:
Aşağıda verilen sayılardan hangisi asal değildir?
A) 43
B) 67
C) 91
D) 101
E) 127
A 53.17!
17 5
3
17! içerisinde 3 tane 53 içerisinde 3 tane 5 olduğundan
3 + 3 = 6 dır.
A
Bir x sayma sayısı x in yaklaşık değerinden küçük olan asal sayılara tam
bölünmez ise sayı asal sayıdır.
91 , 9, 2 ise 2, 3, 5, 7 asal sayılardır 7 ile tam bölündüğünden asal değildir.
A 10!.15!
15 5
3
Cevap: C
15! içerisinde 3 tane, 10 5 10! içerisinde 2 tane 5 çarpanı
2
olduğundan 3 + 2 = 5 olur.
Örnek 17:
x, y ve z asal sayılardır.
60!
25!
x.y.z = 110
60 5
12 5
2
25 5
5 5
1
60! içerisinde 14, 25! içerisinde 6 tane 5 çarpanı olduğundan 14 – 6 = 8 dir.
olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
x = 2, y = 5, z = 11 için x + y + z = 18 dir.
Cevap: 18
A 50! + 19!
19 5
3
olduğundan sondan 3 basamağı sıfırdır.
Örnek 18:
a, b, c asal sayılardır.
a = 13.(b – c)
A 44! + 43!
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
44.43! + 43!.1 = 43!.45
43 5
8 5
1
ve 45 = 32.5
mağı sıfırdır.
olduğundan toplamın sondan 9 + 1 = 10 basa-
Cevap: 6, 5, 8, 3, 10
Öğretmen
Sorusu
Cevap: 18
b= 3, c = 2 için a = 13 tür.
13! + 5 < x < 13! + 20
olduğuna göre, kaç farklı x asal sayısı vardır?
a + b + c = 18 dir.
13! + 6 → 6 ile
13! + 14 → 2 ile
13! + 7 → 7 ile
13! + 15 → 3 ile
13! + 8 → 8 ile
13! + 16 → 2 ile
h
13! + 18 → 2 ile
13! + 13 = 13 ile tam bölündüğü için asal değildir. 13! + 17 ve 13! + 19
asaldır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Faktöriyel - Asal Sayılar - Aralarında Asal Sayılar
Örnek 19:
Örnek 21:
x < y < z ve x, y, z asal sayılar olmak üzere
Aşağıdakilerden hangisi aralarında asal değildir?
A) 1 ile 6
x + y + z = 128
B) 2 ile 27
D) 4 ile 9
olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: 2
C) 3 ile 20
E) 10 ile 15
Cevap: E
10 ile 15 in ortak böleni 5 olduğundan aralarında asal değildir.
üç tek asal sayının toplamı tek sayıdır. 128 çift olduğuna göre bu sayılardan biri çiftir o hâlde x = 2 dir.
Örnek 22:
x ile y aralarında asal sayılardır.
Örnek 20:
x.y = 24
x ve y doğal sayılardır.
olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı değer vardır?
x2 – y2 = 23
Cevap: 4
olduğuna göre, x kaçtır?
Denklemi sağlayan (x, y) sıralı ikilileri (1, 24), (3, 8), (8, 3), (24, 1) olduğundan 4 tane x değer vardır.
Cevap: 12
(x – y)(x + y) = 23 ⇒ x – y = 1
+ x + y = 23
Örnek 23:
x – 2 ve x + y aralarında asal sayılardır.
x = 12
Buna göre, aşağıdaki eşitliklerdeki x ve y değerlerini
bulunuz.
hhAralarında Asal Sayılar
hh Birden başka pozitif ortak böleni olmayan pozitif tam sayılara aralarında asal sayılar denir.
hh x ile y aralarında asal sayılar ve
olmak üzere
a
sadeleşemeyen kesir
b
x a
= ⇒ x = a ve y = b dir.
y b
a)
x- 2
7
=
x + y 12
x–2=7⇒x=9
x + y = 12 ⇒ 9 + y = 12 ⇒ y = 3
b)
x - 2 16
=
x + y 36
x2 4
xy  9
x–2=4⇒x=6
x+y=9⇒6+y=9⇒y=3
x – y – 2 ve 2x – y – 1 aralarında asal sayılardır.
3x + 2y + 9 = 0
olduğuna göre, x kaçtır?
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
x- y- 2
5
= & –/ x – y = 7
2x - y - 1 7
+ 2x – y = 8
______________
x=1
Öğretmen
Sorusu
Cevap: 9, 3, 6, 3
GERÇEK SAYILAR / Faktöriyel - Asal Sayılar - Aralarında Asal Sayılar
1.
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) 0! = 1
B) 2! + 3! = 8
D) 10! = 10.9.8!
C) 5! – 3! = 2!
Konu Testi - 1
n!
+ 0! = 4!
(n - 1) !
5.
olduğuna göre, n kaçtır?
E) 2!.3! = 12
A) 6
5! – 3! = 5.4.3! – 3! = 3!(20 – 1) = 3!.19
olduğundan C seçeneği yanlıştır.
B) 156
C) 144
D) 23
E) 24
D) 5
E) 6
(n + 1) ! - (n - 1) !
= 120
n2 + n - 1
6.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 162
C) 15
n ( n  1) !
1 24 ⇒ n + 1 = 24 ⇒ n = 23
(n  1) !  
13!
11!
2.
B) 7
D) 132
olduğuna göre, n kaçtır?
E) 120
A) 2
13.12.11!
= 13.12 = 156
11!
B) 3
C) 4
(n  1) .n. (n  1) !  (n  1) !.1
 120
n2  n  1
( n – 1) ! ( n 2  n  1 )
 120 & (n  1) !  5! & n  6
n2  n  1
3.
10! + 9!
toplamının sonucu 9! sayısının kaç katıdır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
7.
a! = 24
b! = 720
E) 11
olduğuna göre, (a + b)! in sondan kaç basamağı sıfırdır?
10.9! + 9!.1 = 9!.11
toplamın sonucu 9! in 11 katıdır.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
a = 4 ve b = 6 ise a + b = 10 olduğundan 10 5 sondan 2 basamağı
sıfırdır.
2
4.
5!.7!
sayısı aşağıdaki sayılardan hangisi ile tam bölünemez?
A) 7
B) 10
C) 12
D) 25
E) 49
5!.7! içerisinde
7, 2.5, 3.4, 5.5 bulunduğundan A, B, C ve D seçeneklerine tam bölünür.
Ancak ifade içerisinde iki tane 7 olmadığında 49 a tam bölünmez.
8.
a bir pozitif tam sayıdır.
50!
3a
ifadesi tam sayı olduğuna göre, a en fazla kaçtır?
A) 21
50 3
16 3
5 3
1
B) 22
C) 23
D) 24
E) 25
16 + 5 + 1 = 22
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Faktöriyel - Asal Sayılar - Aralarında Asal Sayılar
9.
13. x asal y pozitif tam sayıdır.
a ve b pozitif tam sayılardır.
100! =
a.35b
x.(y + 3) = 14
olduğuna göre, b en fazla kaçtır?
A) 20
B) 18
35 = 5.7 olduğundan
C) 16
100 7
14 7
2
olduğuna göre, y kaçtır?
D) 15
E) 14
A) 1
14 + 2 = 16 dır.
C) 3
D) 4
E) 5
14. x ve y aralarında asal sayılardır.
12x = 16y
22!
= a.9 b
22
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
olduğuna göre, b en fazla kaçtır?
B) 5
B) 2
x = 2 için y + 3 = 7 ⇒ y = 4 tür.
10. a ve b pozitif tam sayılardır.
A) 4
Konu Testi - 1
C) 6
A) 5
D) 7
E) 8
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
x
16
x
4
y = 12 & y = 3 ⇒ x = 4 ve y = 3
21 3
22.21!
2
⇒7+2=9
22 = 21! ve 9 = 3 olduğundan
7 3
⇒
2b = 9
2
⇒ b = 4
⇒x+y=7
15. n bir asal sayı iken 2n – 1 sayısı da asal sayı ise 2n – 1
sayısına Mersen asalı denir.
11. a, b ve c doğal sayılar olmak üzere
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi mersen asalı değildir?
13! = 2a.5b.c
olduğuna göre, a + b toplamı en fazla kaçtır?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
13 2
6 2
3 2
1
ve 13 5 olduğundan a + b = 10 + 2 = 12
2
A) 3
E) 16
B) 7
C) 31
D) 127
E) 141
141 sayısı 2n – 1 biçiminde elde edilemediğinden mersen asalı değildir.
16. İki asal sayının toplamı 69 olduğuna göre, bu sayıların
12. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
farkı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 41 asal sayıdır.
A) 65
B) 5 ile 12 aralarında asal sayılardır.
C) 29 asal sayıdır.
B) 56
C) 43
D) 32
E) 17
Asal sayılar 2 hariç tektir toplam tek sayı olduğuna göre bu asallardan
biri 2 dir.
2 + 67 = 69 ⇒ 67 – 2 = 65 olur.
D) 21 ile 45 aralarında asal sayılardır.
E) 1 ile 13 aralarında asal sayılardır.
21 ile 45 in her ikisi de 3 ile bölündüğü için aralarında asal değildir.
1. C
2. B
3. E
4. E
5. D
6. E
7. B
8. B
9. C
10. A
11. A
12. D
13. D
14. C
15. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16. A
6
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Faktöriyel - Asal Sayılar - Aralarında Asal Sayılar
1.
4.
(7!)2 – (5!)2
a bir sayma sayısı olmak üzere
18!
2a
sayısının en büyük asal çarpanı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 51
B) 47
C) 43
D) 41
Konu Testi - 2
ifadesi bir çift tam sayı olduğuna göre, a en fazla kaçtır?
E) 37
A) 18
(7! –5!).(7! + 5!)
(7.6.5! – 5!).(7.6.5! + 5!)
5!.41.5!.43
en büyük asal çarpan 43
B) 16
18 2
9 2
4 2
2 2
1
5.
C) 15
D) 14
E) 12
⇒ 9 + 4 + 2 + 1 = 16 tane 2 vardır. Sayının çift olması için bir tane 2 bırakılmalı a en fazla 15 dir.
a, b ve x sayma sayılarıdır.
x! = a.5b
ifadesinde b nin alabileceği en büyük değer 6 olduğuna göre, x en fazla kaçtır?
7.8! - 6.7!
5.6!
2.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 42
B) 50
C) 56
A) 32
D) 64
E) 70
B) 30
C) 29
D) 27
E) 25
x 5
olmalıdır. O hâlde x en fazla 29 dur.
5 5
1
7.8! 6.7! 7.8.7.6! 6.7.6!
5. 6!  5. 6!  5. 6!  5. 6!
392  42 350

 5  70
5
6.
Bir sayma sayısının karesi olan sayılara karesel sayı denir.
Üzerlerinde 900 e kadar olan karesel sayıların yazılı olduğu zarflar aşağıdaki dört posta kutusuna atılıyor.
NO: 1
3.
NO: 2
NO: 3
NO: 4
x ve m birer sayma sayısı olmak üzere
m
x = x.(x – 1).(x – 2) ... (x – m + 1)
eşitliği veriliyor.
• Zarflar,
üzerlerinde yazan sayılar küçükten büyüğe
doğru olacak şekilde posta kutularına atılacaktır.
Buna göre
10
14
10 . 15
• Zarflar, posta kutularına birinci zarf 1 nolu, ikinci zarf 2
nolu, üçüncü zarf 3 nolu, dördüncü zarf 4 nolu, besinci
zarf 1 nolu, altıncı zarf 2 nolu ...şeklinde sırayla atılıyor.
işleminin sondan kaç basamağı sıfırdır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
10
10 = 10.9.8...2.1 = 10!
14
15 = 15.14.13....3.2 = 15!
10!.15! sayısı için 10 5 ve 15 5 sondan 2 + 3 = 5 basamağı sıfırdır.
3
2
Buna göre, 4 nolu posta kutusunda biriken zarfların
üzerlerinde yazan sayılar çarpımı aşağıdaki sayılardan
hangisini içerisinde çarpan olarak bulundurmaz?
A) 220
B) 228
C) 232
D) 236
E) 240
Karesel sayılar 12, 22, 32, 42, ... 302 dir.
Buna göre 4 nolu posta kutusunda bulunan zarf numaraları çarpımı
42.82.122... 282 = (4.8.12...28)2 = (47.1.2.3...7)2
414.7!2 = 228 .7! 2 olur. 7! içerisinde 4 tane 2 olduğundan ifade
228.24.24 = 236 tane 2 çarpanı vardır. 240 olmaz.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Faktöriyel - Asal Sayılar - Aralarında Asal Sayılar
10.
a ve b sayma sayılarıdır.
a!
= 156
b!
ifadesinin son üç basamağının rakamları toplamı kaçtır?
olduğuna göre, a + b toplamının en küçük değeri kaçtır?
A) 24
B) 23
40! – (5! + 2!)
C) 22
D) 21
A) 17
E) 20
–
a! = 156.b! veya a! = 13.12.b! o hâlde b = 11 için a! = 13.12.11! = 13!
a + b en küçük 11 + 13 = 24 olur.
8.
100.99.98...51
B) 15
C) 14
D) 13
E) 25
... 00000 ise 8 + 7 + 8 = 23 olur.
122
...99878
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
E) 12
A) 6
B) 7
C) 10
D) 11
E) 13
7(2x – 1) = 9(3y + 4)
2x  1 9
= ⇒ 2x – 1 = 9 ve 3y + 4 = 7
3y  4 7
x = 5 ve
y=1
O hâlde sayının sondan 24 – 12 = 12 basamağı sıfırdır.
Yanyana duran 6 çember ve içlerindeki altı sayı ile ilgili
aşağıdakiler bilinmektedir.
12. Bir üniversitenin futbol takımı seçmelerine 30 kişi katılıyor. Takım antrenörü seçmeye katılan adayların yakasına
1 den 30'a kadar olan doğal sayılar ile numaralandırıyor.
Seçmeye katılan adayların yeteneklerini birbirine yakın gören antrenör takıma katılacak kişileri seçmek için şöyle bir
yöntem kullanıyor.
• Çemberlerin içlerinde bulunan sayılar {2, 4, 5, 6, 7, 8,
12, 13} kümesinin elemanlarıdır.
Önce yaka numarası asal olan adayları eliyor.
• Çemberler içerisinde bulunan sayılar birbirinden farklıdır.
Daha sonra yaka numarası 2 ile aralarında asal olan adayları eliyor.
• Ardışık iki çember içinde bulunan sayılar aralarında
asaldır.
Geriye kalan adaylar takıma alınıyor.
Buna göre, seçmeye katılan adayların kaç tanesi takıma seçilmiştir?
• Sayılar soldan sağa doğru artmaktadır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi çemberler içerisinde bulunan sayılar toplamı olamaz?
A) 12
A) 41
Önce 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 nolu adaylar daha sonrada 1, 9, 15,
21, 25, 27 nolu adaylar eleniyor.
E) 49
4. C
5. C
6. E
7. A
8. E
9. E
10. C
11. A
12. B
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) 17
E) 20
Seçilen adaylar 30 – 16 = 14 tür.
3. B
D) 47
C) 15
2. E
C) 45
B) 14
1. C
B) 43
Sayılar sırasıyla 2, 5, 6, 7, 8, 13 - 2, 5, 6, 7, 12, 13 - 4, 5, 6, 7, 8, 13 - 4,
5, 6, 7, 12, 13 olabilir. O hâlde sayılar toplamı 41, 45, 43, 47 olabilir 49
olamaz.
8
D) 24
14x – 27y = 43
100!
100 5
ve 50 5
dür.
50! ise
20 5
10 5
4
2
9.
C) 23
11. 2x – 1 ile 3y + 4 aralarında asal sayılardır.
çarpımının sondan kaç basamağı sıfırdır?
A) 16
B) 21
Cevaplar
7.
Konu Testi - 2
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Sayı Basamakları
hhSAYI BASAMAKLARI
Örnek 27:
a, b, c ve d birer rakam ve a ≠ 0 olmak üzere abcd dört basa-
Rakamları toplamı 17 olan üç basamaklı bir doğal sa-
maklı sayısının çözümlenmesi
yının en büyük ve en küçük değerinin toplamı kaçtır?
abcd = 1000a + 100b + 10c + d
birler basamağı
onlar basamağı
yüzler basamağı
binler basamağı
Cevap: 1159
980 + 179 = 1159
Örnek 28:
şeklindedir.
A = {1, 2, 3, 5, 7, 9}
kümesinin elemanları ile her eleman bir defa kullanılmak
şartıyla 2 tane üç basamaklı doğal sayı yazılıp toplanıyor.
Örnek 24:
Aşağıda verilen sorularda boşlukları doldurunuz.
hh İki basamaklı en büyük tam sayı 99 dur.
Buna göre, toplamın sonucu en çok kaçtır?
Cevap: 1683
9 5 2
+ 7 3 1
hh Üç basamaklı en küçük doğal sayı 100 dür.
1 6 8 3
hh Üç basamaklı en küçük tam sayı –999 dur.
hh İki basamaklı rakamları farklı en büyük doğal sayı 98 dir.
hh Üç basamaklı rakamları farklı en büyük negatif tek sayı
–102 dür.
Örnek 29:
130 sayfalık bir kitabın sayfalarını numaralandırmak
için kaç tane rakam kullanılır?
Örnek 25:
1, 2, 3, ..., 9
→ 9.1
Rakamları farklı en küçük dört basamaklı doğal sayı ile
10, 11, 12, ..., 99 → 90.2
en küçük iki basamaklı tam sayının toplamı kaçtır?
100, 101, ..., 130 → 31.3
+
282
1023 + (–99) = 924
Cevap: 282
Cevap: 924
Örnek 30:
xy iki basamaklı doğal sayıdır.
Örnek 26:
İki basamaklı rakamları farklı bir tek doğal sayı ile iki
basamaklı bir çift tam sayının farkının mutlak değeri en
3x = y
olduğuna göre, xy sayılarının toplamı kaçtır?
çok kaçtır?
|97 – (–98)| = |97 + 98| = 195
Cevap: 195
xy → 13
26
39
+
78
Cevap: 78
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Sayı Basamakları
Örnek 31:
Örnek 34:
abc üç basamaklı doğal sayıdır.
Aşağıda verilen sayıların çözümlemesini yapınız.
a–c=7
olduğuna göre, kaç farklı abc sayısı yazılabilir?
a
b
c
7
0, 1, 2, ... 9
0
8
0, 1, 2, ... 9
1
9
0, 1, 2, ... 9
2
Cevap: 30
AA 234 =
2.100 + 3.10 + 4
AA AB =
10A + B
AA ABC =
100A + 10B + C
AA AB + BA = 11A + 11B
AA AB – BA = 9A – 9B
AA ABC – BAC = 90A – 90B
10 + 10 + 10 = 30
Örnek 32:
AA A çift sayı
Örnek 35:
AA C tek sayı
aa ve bb iki basamaklı sayılardır.
AA A > B > C
aa + bb = 110
koşullarını sağlayan üç basamaklı ABC sayılarından en
olduğuna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
büyük sayı, en küçük sayıdan kaç fazladır?
Cevap: 10
10a + a + 10b + b = 110
11a + 11b = 110
En büyük sayı = 8 7 5
Cevap: 454
En küçük sayı = 4 2 1
–
454
11(a + b) = 110
a + b = 10
Örnek 33:
Örnek 36:
1, 3, 6, 7, 9 rakamlarını kullanarak yazılan rakamla-
İki basamaklı ab doğal sayısı rakamları toplamının 7 katıdır.
rı birbirinden farklı beş basamaklı KMPTS sayısında
Buna göre, a + b toplamı aşağıdakilerden hangisi ola-
K + M = T + S dir.
maz?
Bu koşulları sağlayan kaç tane beş basamaklı KMPTS
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
E) 15
sayısı vardır?
A) 8
B) 7
19673
91637
91673
73691
ve
D) 5
E) 4
ab = 7(a + b)
Cevap: 8
10a + b = 7a + 7b
3a = 6b ⇒ a = 2b dir.
73619
ab sayıları 21, 42, 63, 84 olur.
37691
a + b = 15 olamaz
37619 olmak üzere 8 tanedir.
İki basamaklı bir sayının rakamları toplamına oranı en fazla
kaçtır?
ab
10a + b
b
=
= 10 - 9+
a+b
a+b
a b
b = 0 için oran en fazla 10 olur.
10
Cevap: E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Öğretmen
Sorusu
19637
C) 6
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Sayı Basamakları
Örnek 37:
Örnek 40:
AB iki basamaklı doğal sayısı x ile gösterilirse aşağıda-
İki basamaklı bir doğal sayının rakamlarının yerleri değiş-
ki ifadelerin x cinsinden eşitlerini bulunuz.
tiriliyor.
AA 3AB = 300 + AB = 300 + x
Buna göre, ilk sayı ile son sayı arasındaki fark aşağıda-
AA AB3 = AB0 + 3 = 10 . AB + 3 = 10x + 3
kilerden hangisi olamaz?
AA AB52 = AB00 + 52 = 100 . AB + 52 = 100x + 52
A) 9
AA 5AB4 = 5004 + AB0 = 10AB + 5004 = 10x + 5004
B) 18
C) 36
D) 54
E) 61
Cevap: E
ab – ba = 9(a – b)
o hâlde sayı dokuzun katıdır 61 olamaz.
Örnek 41:
Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı bir doğal sayının
yüzler ve birler basamağındaki rakam yer değiştirilirse sayı
693 azalmaktadır.
Örnek 38:
Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç tane üç basamaklı
AB7 üç basamaklı AB iki basamaklı sayılardır.
sayı vardır?
AB7 = 7.AB + 88
Cevap: 24
abc – cba = 693
olduğuna göre, A + B toplamının değeri kaçtır?
99(a – c) = 693
Cevap: 9
AB0 + 7 = 7.AB + 88
10.AB – 7.AB = 81
3.AB = 81 ⇒ AB = 27 ⇒ A + B = 9
a–c=7
a
b
c
7
1, 2, ...6, 8, 9
0
8
0, 2, 3, ...6, 7, 9
1
9
0, 1, 3, 4... 7, 8
2
8 + 8 + 8 = 24
Örnek 42:
Örnek 39:
abc üç basamaklı doğal sayıdır.
Üç basamaklı 4AB sayısı, iki basamaklı BA sayısının 13
a.y = 1,4
katından 7 fazladır.
b.y = 0,6
Buna göre, BA sayısı kaçtır?
A) 19
B) 25
C) 27
4AB = 13.BA + 7
400 + 10A + B = 130B + 13A + 7
393 = 129B + 3A
B = 3 ve A = 2 ⇒ BA = 32 olur.
D) 29
E) 32
c.y = 1
olduğuna göre, abc.y çarpımının sonucu kaçtır?
Cevap: 32
(100a + 10b + c)y = 100ay + 10by + cy
= 100.1,4 + 10.0,6 + 1
= 140 + 6 + 1
= 147
Cevap: 147
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Sayı Basamakları
Örnek 43:
Örnek 45:
Her biri üç basamaklı olan 5 doğal sayı toplanıyor. Bu 5
Aşağıda verilen çarpma işlemlerinde sağdaki çarpmada
doğal sayıdan her birinin birler basamağı 6 azaltılıyor, onlar
kaydırma hatası yapılmıştır.
basamağı 2 arttırılıyor, yüzler basamağı ise 4 arttırılıyor.
Buna göre, bu sayıların toplamı ilk duruma göre kaç
artar?
Her bir sayı 4.100 + 2.10 – 6.1 = 414 artar
Buna göre, mnp ve xyz üç basamaklı sayılarını bulunuz.
i)
×
Cevap: 2070
5 doğal sayının toplamı 5.414 = 2070 artar.
+
mnp
3a
ii)
×
651
7378
xyz
32
+
1170
i) mnp.3 = 651 ⇒ mnp = 217
Cevap: 217, 234
ii) 2.xyz + 3.xyz = 1170 ⇒ xyz = 234
Not
a basamaklı bir doğal sayı ile b basamaklı bir doğal sayının
çarpımı
en az
a+b –1
en çok a + b
basamaklıdır.
Örnek 44:
Örnek 46:
abcd ve badc dört basamaklı sayılardır.
Beş basamaklı bir sayı ile altı basamaklı bir sayının
abcd
çarpımının basamak sayısının en büyük ve en küçük
+ badc
değerlerini bulunuz.
12166
olduğuna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır?
en az 5 + 6 – 1 = 10
Cevap: 10, 11
en çok 5 + 6 = 11 basamaklıdır.
d + c = 6 ve a + b = 11 dir.
Cevap: 17
abc ve bac üç basamaklı doğal sayılardır.
abc – bac
farkının sonucu bir doğal sayının karesi olduğuna göre bu
koşulları sağlayan kaç farklı cba üç basamaklı sayısı vardır?
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
abc – bac = x2 ⇒ 90 . (a – b) = x2
a–b=0
a = 1, b = 1 için c = {1, 2, 3, ...9}
a = 2, b = 2 için c = {1, 2, 3, ...9}
.
..
a = 9 b = 9 için c = {1, 2, 3, ...9}
9 . 9 = 81 tane yazılabilir.
Öğretmen
Sorusu
a + b + c + d = 17 olur.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Sayı Basamakları
1.
Konu Testi - 3
34725 beş basamaklı sayısının onlar basamağındaki
rakam ile binler basamağındaki rakamın toplamı kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
5.
a ve b rakamları için
2a + b = 13
olduğuna göre, iki basamaklı ab doğal sayılarının toplamı kaçtır?
E) 10
A) 185
2+4=6
B) 190
C) 195
D) 225
E) 230
29 + 37 + 45 + 53 + 61 = 225
6.
2.
İki basamaklı en büyük negatif tam sayı ile iki basamaklı rakamları farklı en küçük tam sayının çarpımının
değeri kaçtır?
A) –990
B) –980
C) –100
D) 100
1 den 172 ye kadar olan tam sayılar soldan sağa doğru
yan yana yazılarak
A = 12345...9101112...99100...172
sayısı elde ediliyor.
Buna göre, A sayısı kaç basamaklıdır?
E) 980
A) 383
B) 392
C) 396
D) 400
E) 408
(–10)(–98) = 980
1, 2, 3 ... 9
→ 9.1
10, 11, 12 ... 99 → 90.2
100, 101, ... 172 → 73.3
+
408
7.
3.
ab ve ba iki basamaklı sayılardır.
ab - ba
=5
a+ b
0, 1, 2, 3, 4, 5 rakamları birer kez kullanılarak yazılan iki
basamaklı iki farklı doğal sayının farkı en çok kaçtır?
A) 38
B) 43
C) 44
D) 45
olduğuna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
E) 50
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
54 – 10 = 44
10a + b – 10b – a = 5a + 5b
4a = 14b
2a = 7b ⇒ a = 7 ve b = 2 ⇒ a + b = 9
4.
Rakamlarının sayı değerleri çarpımı 36 olan üç basamaklı kaç doğal sayı vardır?
A) 10
B) 12
C) 15
Sayılar 491, 419, 149, 194, 941, 914
292, 229, 922
433, 343, 334
661, 616, 166
362, 326, 236, 263, 632, 623
olmak üzere 21 tanedir.
D) 18
E) 21
8.
Aşağıda üç basamaklı üç doğal sayının toplamının sonucu
verilmiştir.
abc + cab + bca = 1443
Buna göre, abc sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 472
B) 462
C) 363
D) 357
E) 284
111a + 111b + 111c = 1443
111(a + b + c) = 1443
a + b + c = 13
o hâlde abc 472 olabilir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Sayı Basamakları
9.
+
Konu Testi - 3
13. Üç basamaklı ABC sayısı iki basamaklı AB sayısından 232
5A
B6
C43
fazladır.
Buna göre, A + B + C toplamının değeri kaçtır?
Yukarıdaki toplama işlemine göre, A + B + C toplamının
değeri kaçtır?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
Rakamlarının yerleri değiştirildiğinde elde edilen sayı
ilk sayıdan 9 eksik olduğuna göre, ilk sayı kaçtır?
C) 47
D) 56
C) 16
D) 15
E) 14
14. AA ve BB iki basamaklı doğal sayılardır.
10. İki basamaklı bir sayının rakamlarının toplamı 11 dir.
B) 38
B) 17
ABC – AB = 232 ⇒ AB0 + C – AB = 232
⇒ 10.AB + C – AB = 232 ⇒ 9.AB + C = 232
C = 7 için AB = 25 ⇒ A + B + C = 14
A = 7 için B + 5 toplamına bir elde aktarılır.
5 + B + 1 = C4 C = 1 ve B = 8 olur.
A + B + C = 16
A) 29
A) 18
E) 65
AA.BB = 1452
olduğuna göre, bu koşula uygun kaç farklı iki basamaklı AB sayısı yazılabilir?
A) 4
ilk sayı xy olsun x + y = 11 olur
xy – yx = 9 ⇒ 9(x – y) = 9 ⇒ x – y = 1
x + y = 11
x = 6 ve y = 5 ⇒ xy = 65 dir.
x–y=1
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
11A.11B = 1452 ⇒ 121.A.B = 1452
⇒ A.B = 12
AB sayıları 26, 62, 34, 43 dört tanedir.
15. ABC üç basamaklı bir sayı olmak üzere
11.
AB
× 4A
3C0
+ 2A0
2CC0
20.ABC
Yukarıdaki çarpma işleminde A, B ve C sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakam olduğuna göre, A kaçtır?
A) 9
B) 6
C) 5
D) 4
E) 2
çarpımında ABC sayısının yüzler basamağındaki rakam 2 azaltılır, onlar basamağındaki rakam 3 artırılır,
birler basamağındaki rakam 5 artırılırsa çarpımın sonucu kaç azalır?
A) 2800
B) 3000
C) 3100
D) 3200
E) 3300
ABC sayısı –200 + 30 + 5 = –165 yani 165 azaldığında çarpım
20.165 = 3300 azalır.
A.AB = 3C0 ve 4.AB = 2A0
olduğundan B = 5, A = 6 ve C = 9 olur.
16. A, B ve C birbirinden farklı rakamlar ve
A–B=3
12. A, B, C ve D birbirinden farklı rakamlar olmak üzere
C–A=4
A+D=B+C
olduğuna göre,
koşulunu sağlayan dört basamaklı ABCD sayıları oluşturuluyor.
CB
– AA
?
Buna göre, rakamlarının toplamı 6 olan kaç tane ABCD
sayısı oluşturulabilir?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 5
A) 32
6. E
7. C
8. A
9. B
10. E
11. B
12. B
13. E
14. A
15. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) 37
E) 38
A = 4 için B = 1 ve C = 8 olduğundan
CB – AA = 81 – 44 = 37 olur.
5. D
16. D
14
C) 35
4. E
A + D = B + C = 3 olacağından ABCD sayıları 1032, 1302, 2031, 2301,
3210, 3120 dir.
B) 33
3. C
E) 9
2. E
D) 8
1. B
C) 7
Cevaplar
B) 6
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Sayı Basamakları
1.
Konu Testi - 4
4.
İki basamaklı AB ve BA doğal sayıları için
A, B ve C birer rakam olmak üzere
7.BA = 4.AB
A<B<C
olduğuna göre, AB sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 25
B) 26
C) 63
D) 69
A+B=C
koşulunu sağlayan en büyük üç basamaklı ABC sayısı,
en küçük üç basamaklı ABC sayısından kaç fazladır?
E) 84
A) 357
70B + 7A = 40A + 4B
66B = 33A ⇒ A = 2B
AB en fazla 84 tür.
Üç basamaklı ABC ve DEF doğal sayılarının toplamı 931
dir.
10.D + E = 27
E) 277
C) 12
D) 11
Yan yana gelen rakamların farklı olması koşuluyla 1, 2, 3
rakamlarının her biri ikişer kez kullanılarak altı basamaklı
doğal sayılar yazılacaktır.
A) 2
olduğuna göre, A + F toplamının değeri kaçtır?
B) 13
D) 314
Buna göre, bu koşullara göre yazılabilecek sayılardan
kaç tanesi 321312 sayısından büyüktür?
10.B + C = 54
A) 14
C) 324
459 – 123 = 336
5.
2.
B) 336
E) 10
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
321312 den büyük sayılar
321321 ve 323121 dir.
BC = 54, DE = 27 ⇒ ABC + DEF = 973
A54 ⇒ F = 7 ve A = 6 dır. A + F = 13
+ 27F
931
3.
A, B, C ve D sıfırdan farklı birer rakam ve ABCD dört basamaklı bir doğal sayı olmak üzere, ⇒ , ⇐ , ⇔ sembolleri
kullanılarak
6.
Beş çubuğu olan abaküsün 1, 2, 3, 4, ve 5 nolu çubukları
sırasıyla doğal sayının on binler, binler, yüzler , onlar ve
birler basamağını ifade etmektedir.
Bu abaküsün çubuklarının her birine en fazla 9 tane boncuk dizilerek sayılar oluşturuluyor. İstenilen çubuk boş bırakılıyor.
⇒
ABCD = DBCA
⇐
ABCD = ACBD
⇔
ABCD = DCBA
Örneğin,
eşitlikleri tanımlanıyor.
⇒
⇐
⇔
E325 + 456F = 3899
1
2
3
4
5
2
1
0
3
4
olduğuna göre, E + F toplamı kaçtır?
A) 10
B) 11
532E + 465F = 9983
9970 + E + F = 9983
E + F = 13
C) 12
D) 13
E) 14
Buna göre, boş abaküse 12 boncuk dizilerek oluşturulabilen bir sayının rakamlarının çarpımı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 0
B) 18
C) 54
D) 64
E) 70
Beş basamaklı sayının rakamları toplamı 12 ise sayılar 40224, 61113,
22224, 33123 olabileceğinden çarpım 0, 18, 64, 54 olabilir. 70olamaz.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Sayı Basamakları
1 den 20 ye kadar olan doğal sayılar her sayı kendisi kadar
yan yana yazılarak
10. x en çok dört basamaklı bir doğal sayı olmak üzere
T(x) : x sayısının rakamlarının toplamı
A = 1223334444...2020
Ç(x): x sayısının rakamlarının çarpımı
sayısı elde ediliyor.
olarak tanımlanıyor.
Buna göre, bu sayının soldan 43. basamağındaki rakam kaçtır?
C) 7
D) 8
yapan en küçük dört basamaklı x sayısı için T(x) kaçtır?
E) 9
A) 11
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 5.9 = 45
olduğundan 45. basamakta dokuz adet 9 un sonuncusu bulunur o hâlde
43. basamakta 9 vardır.
basamaklı yx sayısı rakamları toplamının 2a – 1 katına
eşittir.
olduğuna göre, (AB)2 – (BA)2 ifadesinin değeri kaçtır?
C) 1920
D) 1980
Buna göre, a kaçtır?
E) 2000
A) 2
(AB – BA).(AB + BA)
9(A – B).11(A + B) = 99.(A2 – B2)
= 99.20 = 1980
+
E) 6
xy = a.(x + y)
yx = (2a – 1).(x + y)
9
4
2
7
6
5
3
8
C) 6
D) 7
B
C
D
1. kişi
5
1
7
6
2. kişi
1
5
7
6
3. kişi
7
6
5
1
4. kişi
1
7
5
6
Buna göre, bu sayının binler ve onlar basamağının yerleri değiştirilirse sayı kaç artar veya azalır?
A) 4950 artar
B) 4950 azalır.
C) 3650 artar
D) 3650 azalır
E) 8
E) 2450 artar
ABCD = 6517 dır yer değiştirildiğinde
CBAD = 1567 olur.
sayı 6517 – 1567 = 4950 azalır.
6. E
7. E
8. D
9. C
10. C
11. C
12. B
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
A
İkinci kişi bu sayının sadece B rakamını bilmiş, diğer üç kişi
ise hiçbir rakamı bilememiştir.
5. A
1
rulan dört basamaklı ABCD doğal sayısı yazılıyor. Bu sayıyı bulmak isteyen dört kişinin yaptıkları tahminler aşağıda
verilmiştir.
125, 127, 194, 197, 219, 253, 273, 276, 279, 352, 372, 376, 379, 386,
467, 468, 491, 497 ... onlar basamağında 6 var.
16
D) 5
12. Bir kâğıda 1, 5, 6, 7 rakamları birer kez kullanılarak oluştu-
Buna göre, bu kurala göre yazılabilecek üç basamaklı
sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında baştan
15. sıradaki sayının onlar basamağındaki rakam kaçtır?
B) 5
C) 4
11(x + y) = (x + y)(a + 2a – 1)
3a – 1 = 11 ⇒ a = 4
Aşağıdaki tabloda herhangi bir rakamdan başlayıp çapraz
gitmeden ve çember atlamadan yalnızca yatay ve dikey
doğrultuda istenilen çember kadar ilerlenerek ve geçilen
çemberlerdeki rakamlar geçiş sırasıyla soldan sağa doğru
yan yana yazılarak sayılar oluşturuluyor.
A) 4
B) 3
4. B
9.
E) 15
en küçük x sayısı 1138 olur.
T(1138) = 1 + 1 + 3 + 8 = 13 bulunur.
A2 – B2 = 20
B) 1860
D) 14
11. İki basamaklı xy sayısı rakamları toplamının a katına, iki
AB ve BA iki basamaklı doğal sayılardır.
A) 1820
C) 13
3. D
8.
B) 12
2. B
B) 6
1. E
A) 5
Ç(x) = 24
Cevaplar
7.
Konu Testi - 4
YGS // MATEMATİK
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Rasyonel Sayılar
hhRASYONEL SAYILAR
a ve b tam sayılar ve b ≠ 0 olmak üzere
sayılara rasyonel sayı denir.
Q={
FÖY NO
07
Örnek 2:
a
biçiminde yazılabilen
b
a
: a Î Z ve b Î Z, b ≠ 0 }
b
Aşağıdaki ifadelerde a nın hangi değeri için b hesaplanamaz?
 b =
2a - 3
a- 4
a–4=0⇒a=4
Örneğin;
2 3
1
- , , 4, - 2, , ...
5 7
2
 a =
b- 1
b- 3
ab – 3a = b – 1 ⇒ ab – b = 3a – 1
⇒ b(a – 1) = 3a – 1
3a - 1
⇒ b =
a- 1
⇒ a – 1 = 0 ⇒ a = 1
Not
b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere
Cevap: 4, 1
hh
0
=0
b
hh
b
= tanımsız
0
Bir Kesrin Sadeleştirilmesi ve Genişletilmesi
hh
0
= belirsizlik
0
k sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere
dir.
a a.k
=
b b.k
işlemine genişletme
a a: k
=
b b: k
işlemine sadeleştirme
denir.
Örnek 1:
Örnek 3:
a- 4
=0
b- 2
210.320
1600
olduğuna göre, a kaçtır?
a–4=0⇒a=4
ifadesinin sonucu kaçtır?
Cevap: 4
2
210 .320 21. 32
= = 21.2 = 42
1600
16
Cevap: 42
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Rasyonel Sayılar
Örnek 4:
b) Basit ve Bileşik Kesir
a ve b pozitif tam sayılar ve b > 73 tür.
hh Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesirlere basit kesir denir.
a 3
=
b 4
hh Payı paydasından mutlak değerce büyük veya eşit olan kesirlere bileşik kesir denir.
olduğuna göre, a + b toplamı en az kaçtır?
a 3=
.19 a 57
=
b 4.19 & b 76
a + b en az 57 + 76 = 133 tür.
Cevap: 133
hh |a| < |b| ise
a
basit kesirdir.
b
a
|a| ≥ |b| ise bileşik kesirdir.
b
Örneğin,
Kesir Çeşitleri
1
4 3
5 ...
gibi sayılar basit kesir
, - ,
, 0,
2
7 10
12
a) Denk Kesir
3 5 10
13 17 ...
gibi sayılar bileşik kesirdir.
, ,
, - ,
2 4 9
5
3
Sadeleştirildiklerinde birbirlerine eşit olan kesirlere denk kesir
denir.
Örnek 7:
Örnek 5:
a tam sayı ve b doğal sayıdır.
Pay ve paydası sırasıyla 30 ve 42 den küçük doğal sa30
kesrine denk olan kaç kesir yazılabilir?
yılar olan
42
a
b
kesri basit kesir, bileşik kesir olduğuna göre, a – b
4
5
farklı en çok kaçtır?
Cevap: 5
5
5 10 15 20 25
Kesir 7 ye denktir. O hâlde kesirler 7 , 14 , 21 , 28 , 35 olmak üzere 5 tanedir.
Örnek 6:
a = {3, 2, 1, 0, –1, ...}
Cevap: –2
b = {5, 6, 7, 8, ...}
a – b en çok 3 – 5 = –2 bulunur.
Örnek 8:
4
kesrine denk olan bir kesrin payına 4 eklenir paydasın5
8
dan 5 çıkarılırsa kesir e denk oluyor.
5
Buna göre, bu kesrin payı kaçtır?
4x
4x + 4 8
5x & 5x - 5 = 5
⇒ 20x + 20 = 40x – 40
I. Tam sayılar kümesinde basit kesir olan sayı "0" dır.
II. x bir basit kesir ise –1 < x < 1 dir.
IIII. x bir pozitif bileşik kesir ise x ≥ 1 dir.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
Cevap: 12
verilen üç ifade de doğrudur.
⇒ 20x = 60
H
2 22 222
222....2
+
+
+ ... +
9 99 999
999....9
\
n tane
n tane
işleminin sonucunun basit kesir olması için n en çok kaç
olmalıdır?
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2 + 2 + 2 + + 2 2n
=
9 9 9 ... 9 9
14444244443
n tane
9
2n < 9 ⇒ n < 2 ise n en çok 4 olur.
Öğretmen
Sorusu
⇒ x = 3 ⇒ 4x = 12 olur.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Rasyonel Sayılar
Rasyonel Sayılarda Dört İşlem
c) Tam Sayılı Kesir
a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere a
re tam sayılı kesir denir.
a
b
biçimindeki kesirlec
Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için
b a.c + b
b
= a+ =
c
c
c
paydaların eşit olması gerekir. Paydaları eşit değilse paydalar
eşitlenir.
a c a"c
" =
b b
b
a
c
ad " bc
A
" =
b
d
bd
Örnek 9:
A
Aşağıda verilen tam sayılı kesirleri bileşik kesire çevi-
(d)
riniz.
A 2
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
+
4
A 5 = 5 + 54 = 5.55 4 = 29
5
5
1 1
A +
5 3
1
1
3+ 5
8
5 + 3 = 15 = 15
1 - a + 1 k = - 2.4 + 1 = - 9
= 2 4
4
4
4
(3)
Cevap: 14
Örnek 10:
(5)
1 5
A 1 3 4
4
5
16 - 15
1
3- 4 =
12 = 12
(3)
Aşağıda verilen bileşik kesirleri tam sayılı kesirlere çe-
(4)
viriniz.
1
1 1
1 2 1
A - c - m- c + - m
2
2 3
2 3 6
A 19
3
1 1 1 1 2 1
2- 2+ 3- 2- 3+ 6
1
1 1 -3- 2+ 1
4
2
- 2- 3+6=
=-6 =- 3
6
19 3
19
1
18 6 ⇒ 3 = 6 3
1
(3)
27
A 5
Örnek 13:
1
3
Cevap: 6 , - 5
Örnek 11:
201
2
5
A=
nedir?
işleminin sonucu kaçtır?
113
100
201 + 213 + 3 + 213
213
204 + 213 = 205
64
27
17
27
işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: 205
8
1
2
,
, 15 12
3
3 4 5
+ +
4 5 6
olduğuna göre,
113
100
+3
213
213
1 29
+
+
11 14
67 13
11 14
(2)
Cevap:
27 5
27
2
- 5 =- 55
25 5 ⇒
2
Öğretmen
Sorusu
(b)
Örnek 12:
1
2$3+1 7
= 3 = 3
3
A - 2
a) Toplama - Çıkarma
9 1 1
+ + toplamının A cinsinden eşiti
4 5 6
Cevap: B = 5 – A
3 4 5
A= 4+5+6
9 1 1
+ B= 4+5+6
12 5 6
A+ B = 4 + 5 + 6 & A+ B = 5 & B = 5- A
1 + 29 + 64
11 14 27
1
29
64
6 + 11 + 14 - 3 + 27 - 3
1 + 29 + 64
11 14 27 = 1
1 + 29 + 64
11 14 27
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Rasyonel Sayılar
b) Çarpma
c) Bölme
Rasyonel sayılarda kesirler çarpılırken pay ile pay, payda ile
Rasyonel sayılarda bölme işleminde birinci kesir aynen alınıp,
payda çarpılır.
ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.
a
a c
a d a.d
b
| =
= $ =
b d
c
b c b.c
d
a c a.c
$ =
b d b.d
Örnek 14:
Örnek 16:
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
2 4
 $
3 3
12 3
 |
15 5
2 4=8
3.3 9
12=
5 4=
5 4
15 . 3 5 . 3 3
32 50
 $
48 60
3
1
 5 +
2 3
2=
5 10
= 5
3 . 6 18 9
3 1 + 1 = 3 + 1 = 9 + 10 = 19
5 . 2 3 10 3
30
30
1
1 1 1
 1 $ 1 $ 1 g1
49
2 3 4
(3)
1
2
3
 +
1
1
4
2
3 4 5 50 50
= = 25
2 . 3 . 4 ... 49
2
Not
8 5
, , 25
9 9
Cevap:
x
x

kesrinin toplama işlemine göre tersi –
dir.
y
y
2+
Örnek 15:
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2-
4
3-
1
3
4 = +
4
= + 4
4 2
3 2
3
2− 8
2 − 4. 8
2− 2
3
4
2
& 2 + 1 = 2 + 4. 1 = 2 + 8 = 10
2
2+
Buna göre, a.b + b işleminin sonucu kaçtır?
Cevap:
4
işleminin sonucu kaçtır?
3
kesrinin toplama işlemine göre tersi a, çarpma işlemine
4
göre tersi b dir.
olduğuna göre a + b + c + d toplamı kaçtır?
4 19 26
,
,
3 30 3
Örnek 17:
y
x

kesrinin çarpma işlemine göre tersi
dir.
x
y
a, b, c ve d pozitif tam sayılardır.
1
163
a+
=
1
30
b+
1
c+
d
1 2 + 4 = 2 + = 2 + 3.8 = 26
3
3
3 . 1 2. 1 3 8
1
3
163 = + 13 = + 1 = + 1
4
30 5 30 5 30 5
2 + 13
13
⇒5 +
1
1
+
1 =5
1 & a + b + c + d = 14
2 + 13
2+
1
3+ 4
4
Cevap: 10
Öğretmen
Sorusu
Cevap:
3
4
a = − 4 ve b = 3 olduğundan
4 -3+ 4 1
3 4 4
= 3
a.b + b = - 4 . 3 + 3 = - 1 + 3 =
3
(10)
GERÇEK SAYILAR / Rasyonel Sayılar
Konu Testi - 1
5.
120
96
1.
x bir doğal sayı olmak üzere
x+ 2
7
kesrinin sadeleşmiş hâli aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
4
B)
1
2
C) 1
D)
5
4
E)
basit kesir olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin
toplamı kaçtır?
3
2
120
= 60
= 30 = 5
96
48 24 4
A) 6
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
x+2<7⇒x<5
0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10
a- 2
=0
b- 3
2.
6.
olduğuna göre
b+ 4
a + 2b
ifadesini tanımsız yapan b değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
1
1
1
+
+
5 10 15
işleminin sonucu kaçtır?
A)
E) 2
7
30
B)
2
15
C)
3
10
D)
1
3
E)
11
30
D)
21
19
E)
17
15
1 + 1 + 1 = 6 + 3 + 2 = 11
5 10 15
30
30
(6)
(3)
(2)
a–2=0⇒a=2
b+4
⇒ 2b + 2 = 0 ⇒ b = –1
2b + 2
3.
a
2 37
=
b
5
işleminin sonucu kaçtır?
6
5
B)
19
15
olduğuna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
A)
A) 12
5 - 2 = 25 - 6 = 19
15
15
3 5
B) 15
C) 18
D) 19
E) 21
(5)
37 5
2
2
35 7 ⇒ a b = 7 5 & a + b = 7 + 5 = 12
2
4.
4 5 2 7
$ - $
3 4 7 5
7.
a ve b tam sayılardır.
x < 15 olmak üzere
x
7
bileşik kesir olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı
doğal sayı değeri vardır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
C)
4
3
(3)
1
2- 5
1 10
7
8.
işleminin sonucu kaçtır?
A)
1
5
B)
1
2
C) 1
D) 2
E) 3
1 7-1=7-1 6
= =
2$1 2 2 2 2 3
x ≥ 7 ve x < 15 ise
7, 8, 9, ..., 14 olmak üzere 8 tane doğal sayı vardır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
GERÇEK SAYILAR / Rasyonel Sayılar
Konu Testi - 1
1
1
c 2 - 3 m $ 12
3
2
9.
c2 +
13.
işleminin sonucu kaçtır?
A) –14
işleminin sonucu kaçtır?
C) –10
D) –8
E) –6
A)
a 73 - 72 k $ 12 = 73 $ 12 - 72 $ 12
5
2
1
2+
5
3
A) 4
C)
5
4
D)
7
5
E)
B) 2
C) 1
D)
1
2
E)
1
4
6
5
D)
5
7
E)
3
7
1 = +
1
= +1=6
3 1 5 5
2 1
2+ 2
2 + 2. 2
3
;4 +
2 + (- 3 + 4) - 10
7 3
|
10 5
işleminin sonucu kaçtır?
A)
işleminin sonucu kaçtır?
B) –4
C) –1
D) 1
V
R
S1 + 1 W
3
S
W
16.
+4
S
1W
S1 - 3 W
X
T
işleminin sonucu kaçtır?
1
1
1
m $ c1 - m $ c1 - m
2
3
4
B)
3
2
C)
1
3
5
8
C)
5 7 11 5
= 8 $ 11 $ 7 = 8
işleminin sonucu kaçtır?
D)
4
3
E)
1
4
A)
1
3
B)
1
2
C) 2
D) 4
E) 6
4
3 +4 = 4.3 +4 = 2+4 = 6
3 2
2
3
7. B
8. E
9. A
10. E
11. A
12. E
13. B
14. A
15. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6. E
1 2 3=1
2.3.4 4
5. C
1
2
7
8
4. D
c1 -
B)
5 11 + - D 11 : 5 7 D 11
: $
= $ 11 $ 7
8 7 4 4 $ 7
8
E) 3
2 + 1 - 10 = - 7 = - 7
6
7 5
7 1 7 = –7 . 7 = –6
$
$
10 3
2 3 6
12.
9
8
3. A
A) –6
5 11
11
| - 4E $
8 7
7
2. B
11.
16. E
6
7
6
4
4
32 + 7 - a 24 + 7 k 32 - 24
=
=4
2
2
1$ 1
15.
A)
E)
1. D
1+
4
3
11
4
işleminin sonucu kaçtır?
2
1
13
B)
D)
4
4
32 - 24
7
7
1
1|
2
işleminin sonucu kaçtır?
A)
7
3
C)
(3)
14.
1+
11
2
2.3 + 5 1 + 1 = 11 4 = 11 6 = 11
3 :e 2 6 o 3 : 6 3 . 4 2
=7.4–7.6
= 28 – 42 = –14
10.
B)
Cevaplar
B) –12
5
1 1
m|c + m
3
2 6
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Rasyonel Sayılar
1.
Konu Testi - 2
4.
a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere
1-
b
225
=
a 1000
7
2
1
2
işleminin sonucu kaçtır?
A) 10
A)
B) 20
C) 40
D) 60
E) 80
b
a+
12
=
3
5
3
4
2
3
C)
D)
1
3
E)
1
2
A) 24
B) 11
1
1
1
1
13
m $ c1 + m $ c1 + m g c1 + m =
6
7
8
x
3
olduğuna göre, x tam sayısı kaçtır?
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 12
B)
c1 +
5.
a ve b birer rakamdır.
1
1
6
1
1
2 = 2 =1
7
3 3
2–2 2
a en az 40 olur.
C) 10
D) 9
B) 25
C) 26
D) 27
E) 28
7 8 9 x + 1 13 x + 1 13
=
=
3 & 6
3
6 . 7 . 8 ... x
E) 8
⇒ 3x + 3 = 78 ⇒ 3x = 75 ⇒ x = 25
1
= 1 = 1 = 1
5
2
8
b
a + 12 3 1 + 3 1 + 12
a = 1 ve b = 8 ise a + b = 9 dur.
6.
3.
1-
olduğuna göre, a nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
b =
225
9
=
a 1000 40
2.
1
2
1
Aşağıdaki şekiller eş parçalardan oluşan bir bütündür.
Aşağıdaki eşitsizliklerden hangisinde (+) ve (:) işaretlerinin yerleri birbiriyle değiştirildiğinde eşitlik elde
edilir?
A)
taralı alanlara karşılık gelen kesirler sırasıyla a, b ve c dir.
1 1 1 1
+ ! |
4 2 8 4
Buna göre,
1 1 1 1
B)
+ ! |
3 4 6 2
1- a b
| +1
a
c
C)
1 1 1 1
+ ! |
6 3 8 4
işleminin sonucu kaçtır?
D)
1 1 2 2
+ ! |
5 4 3 15
A) 5
E)
1 1
1
1
|
+ !
7 2 21 14
1 1= 2+ 2
5 : 4 3 15
(5)
4 = 12 4 = 4
5 15 & 5 5
olduğundan
B)
16
3
C)
17
3
D) 6
E)
19
3
1
3
4
a = 4 , b = 8 ve c = 6 ise
1 3
1- 4 8
3 4 3 6 +
+
1 : 4 1 = a 4 $ 1 k: a 8 $ 4 k 1
4 6
9
16
16
19
= 3 : 16 + 1 = 3 $ 9 + 1 = 3 + 1 = 3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Rasyonel Sayılar
Konu Testi - 2
a
kesri ile ilgili olarak şunlar biliniyor,
b
1
• Payına 5 eklendiğinde kesrine denk oluyor.
2
1
• Paydasından 1 çıkartılınca kesrine denk oluyor.
5
Buna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
7.
A) 19
B) 18
C) 17
D) 16
1
3 7
6
| ;c | m | E
2
4 8
5
10.
işleminin sonucu kaçtır?
A)
3
10
B)
1
2
C)
7
10
D)
9
10
E)
11
10
1 : 3 8=
5 D 1=
5
1 7 = 7
2 : a 4 . 7 k. 6
2 : a 7 k 2 . 5 10
E) 15
a+5 1
= & b = 2a + 10
2
b
a
1
= & b = 5a + 1
b-1 5
2a + 10 = 5a + 1 ⇒ a = 3 ve b = 16, a + b = 19 olur.
8.
1|
1
1 2
- |2
3
3
4
1
1
1
B)
C)
6
3
2
4 1
3 1 1
1: - : 2 = 1 $ - $
D)
A)
9.
2
3
E)
5
6
1
1
1
1
m $ c1 - m $ c1 m g c1 - m
4
9
16
81
işleminin sonucu kaçtır?
A)
4 6 2
3 6
3 - 1 9-1 = 8 = 2
& 4 12 = 12
12 3
(3)
c1 -
11.
işleminin sonucu kaçtır?
5
9
B)
2
3
C)
7
9
D)
8
9
E) 1
a1 - 21 ka1 + 21 ka1 - 31 k $ a1 + 31 k ... a1 - 91 ka1 + 91 k
(1)
a1 - 21 k $ a1 - 31 k ... a1 - 91 k $ a1 + 21 k $ a1 + 31 k ... a1 + 91 k
1 2 3 8 3 4 5 10
2 $ 3 $ 4 ... 9 $ 2 $ 3 $ 4 ... 9
Aşağıdaki şekilde kutucuklar içerisine birer sayı yazılıp yan
yana olan iki kutucukta bulunan sayılara ok üzerinde bulunan işlem uygulanıp okun gösterdiği kutucuğa yazılıyor.
1
8
1
4
12
5
.
÷
1 10 5
=
9$ 2 9
sol
sağ
–
12. Bir n doğal sayısının şanslı sayı olup olmadığını belirlemek
x
için şöyle bir yöntem uygulanıyor.
Ok çıkarma işlemini gösterdiğinde okun solundaki sayıdan
sağındaki sayı çıkarılacaktır.
• Toplamları n ye eşit olan üç pozitif tam sayı seçiliyor.
• Bu üç pozitif tam sayının çarpmaya göre tersleri bulunuyor ve bu sayılar toplanıyor.
Ok bölme işlemini gösterdiğinde okun solundaki sayı sağındaki sayıya bölünecektir.
• B
u toplam 1 e eşit oluyorsa n sayısının şanslı bir sayı
olduğuna karar veriliyor.
Buna göre, x kaçtır?
1
5
D)
1
12
E)
1
20
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi şanslı sayıdır?
A) 5
1 1
1 12
1 4 3
x = a 8: 4 k - a 4 $ 5 k = 8 $ 1 - 5
1 3 5-6
1
& 2 - 5 = 10 = - 10
(2)
D) 11
E) 13
olduğundan şanslı sayıdır.
7. A
8. D
9. A
10. C
11. A
12. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6. E
8
C) 7
1 1 1
2 + 3 + 6 = 11 için 2 + 3 + 6 = 1
5. B
(5)
B) 6
4. D
C)
3. D
1
5
2. D
B) -
1. C
1
10
Cevaplar
A) -
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Rasyonel Sayılar
hhONDALIKLI SAYILAR
Örnek 20:
Paydası 10 un pozitif kuvvetleri olarak yazılabilen sayılara on-
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını ondalıklı cinsten bu-
dalıklı sayılar denir.
lunuz.
 0
,43 + 0,13
Örnek 18:
Aşağıdaki kesirli ifadeleri ondalıklı sayılara çeviriniz.
5
 =
10
0,5
2
 =
5
4 =
10 0, 4
213

=
100
2,13
1
 =
4
25 =
100 0, 25
23
 =
1000
0,023
1
8 =

=
1000 0, 008
125
0,43
+ 0,13
0,56
 12,06 – 7,4
12,06
– 7,40
4,66
 0,2 + 0,03 + 0,004
0,200
0,030
+ 0,004
0,234
Örnek 19:
Aşağıdaki ondalıklı sayıları kesirli hâle çeviriniz.
 0
,4=
4 =2
10 5
 1
,2 =
12 = 6
10 5
b) Çarpma
Çarpılan ondalıklı sayılar virgül yokmuş gibi çarpılır. Çıkan so-
 0, 24 =
24 = 6
100 25
 0,025 =
25 = 1
1000 40
 3.10–2 =
3
0, 03 = 100
nuca çarpılan ondalıklı sayıların toplam virgül adedi kadar virgül konulur.
12
3
 12.10–3 = 0=
=
, 012 1000
250
Örnek 21:
Aşağıda verilen çarpma işlemlerinin sonuçlarını bulu-
Ondalıklı Sayılarda Dört İşlem
a) Toplama ve Çıkarma
Verilen ondalıklı sayılar toplanır veya çıkarılırken virgüller alt
nuz.
 1
,2 . 7 =
 0,12 . 0,5 = 0,060 = 0,06
8,4
 0,6 . 0,8 =
0,48
 0,03 . 0,12 =
0,0036
 0
,003 . 102 =
alta getirilir. Bu işlemler sırasında virgülün sağında eksik kalan
Öğretmen
Sorusu
basamaklar sıfır olarak alınır.
 0,21 . 103 =
0,3
210
0,9999994 . 0,10000006
ondalıklı çarpma işleminin sonucunda oluşan ondalıklı sayının rakamları toplamı kaçtır?
(1 – 0,0000006) . (1 + 0,0000006)
1 – (0,0000006)2 = 1 – (6.10–7)2
⇒ 1 – 36 . 10–14 = 0,99999999999964
9 . 12 + 6 + 4 = 118
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Rasyonel Sayılar
c) Bölme
Örnek 25:
Ondalıklı sayılarda bölme işlemi yapılırken sayıları virgülden
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
kurtarmak için pay ve paydada bulunan sayılarda eşit sayıda
virgül kaydırılır.

0,0312 . 0,2 = 0,00624
Örnek 22:
Aşağıda verilen bölme işlemlerinin sonuçlarını bulu-

nuz.
1
 =
0, 1

0, 4
=
12
0,0312 . (0,9 – 0,7)
10 =
1 10
4 = 1
120 30
 15 =
0, 5
0, 03

=
0, 002
0, 3
0, 1
0, 04
+
0, 05 0, 02 0, 005
30 10 40
5 + 2 - 5 = 6+ 5- 8 = 3
150 =
30
5

30 =
2 15
2
0, 4 0, 9 5, 4
|
+
0, 2 4, 4 9, 9
3
20
4 9
54
1 11 18
2 + 44 : 99 - 30 = 10 + 11 . 1 - 10
= 10 + 1 - 1, 8
= 11 - 1, 8
= 9, 2
Örnek 23:

0, 02 + 0, 0x 1
=
0, 3 - 0, 06
2
57 + 13 - 10 60
= 20 = 3
20
olduğuna göre, x kaçtır?
Her bir terimden 2 virgül silinirse
2+ x
1
= 2 & 2x + 4 = 24 & x = 10 olur.
30 - 6
0, 57 + 0, 13 - 0, 10
0, 20
Cevap: 10

2.10 - 5 + 0, 3.10 - 4
10 - 4 - 95.10- 6
Her bir terimden 6 virgül silinirse
20 + 30
50
= 5 = 10 olur.
100 - 95
Örnek 24:
Cevap: 0,00624, 3, 9,2, 3, 10
x bir pozitif gerçel sayı ve
x+
Devirli Ondalık Sayılar
5
8
toplamı pozitif bir tam sayı olduğuna göre, x sayısı en
az kaçtır?
5 5=
.125 625 =
=
8 8.125 1000 0, 625
x + 0,625 ∈ Z+ ise x en az 0,375 olur.
Bir devirli ondalık sayı kesirli hâle
(Sayının tamamı) – (Devretmeyen kısım)
Cevap: 0,375
sağ kısmı için devreden kadar 9
Virgülün
devretmeyen kadar "0" yazılır.
formülüyle çevrilir.
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Rasyonel Sayılar
Örnek 26:
Rasyonel Sayılarda Sıralama
Aşağıdaki devirli ondalık sayıları kesirli ifadelere dö-
a) P
ozitif rasyonel sayılarda paydaları eşit olan kesirlerden payı
büyük olan kesir daha büyüktür.
nüştürünüz.

–
0, 3 =

–
3,6 =

–
3,04 =

–
2,9 = 29 - 2 = 3 ya da 2, 9 = 2 + 1 = 3
9

–
2,1 + 3,2 + 4, 6 =

3=1
9 3
36 - 3 33 11
9 = 9 = 3
 0,12 =
12 = 4
99 33
–
 0,03 =
3 = 1
90 30
Aşağıda verilen a, b ve c sayılarını küçükten büyüğe
304 - 30
274 137
= 90 = 45
90
3,12 – 2,13 =
Örnek 29:
doğru sıralayınız.

–
a=
10
14
7
, b=
, c=
23
23
23
c<a<b
9,9 = 10

312 - 3 213 - 2 98
99 - 99 = 99
a=
4
3
7
, b= , c=
5
4
12
4
3
7
a = 5 , b = 4 , c = 12
(12)
Örnek 27:
(15)
(5)
48
45
35
a = 60 , b = 60 , c = 60 & c < b < a
x = 0,6 + 0,06 + 0,006 + ...
Cevap: c < a < b, c < b < a
y = 0,21212121...
b)Pozitif rasyonel sayılarda payları eşit olan kesirlerden pay-
olduğuna göre, x – y farkının değeri kaçtır?
6
2
x = 0, 6666... = 0, 6 = 9 = 3
21
7
y = 0, 21 = 99 = 33
2
7
22 - 7
15
5
x - y = 3 - 33 = 33 = 33 = 11
(11)
"
dası büyük olan kesir daha küçüktür.
Cevap: 2 , 5
3 11
Örnek 30:
Aşağıda verilen a, b ve c sayılarını küçükten büyüğe
(1)
doğru sıralayınız.
Örnek 28:

x ve y sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere
olduğuna göre, y kaçtır?
Öğretmen
Sorusu
A=
2
2
2
+
+
+ ...
10 10 3 10 5
B=
5
5
5
+
+ 6 + ...
2
4
10
10
10
olduğuna göre A + B toplamının değeri kaçtır?
17
17
17
, b=
, c=
13
10
9
a<b<c
0, x
3, 6
+
= 3, y
0, xx 1, 2
36 - 3
3y - 3
0, xxx...
9
0, xxx... + 12 - 1 =
9
9
33 3y - 3
1 + 11 =
9
3y - 3
4=
9 & 3y = 39 & y = 9 olur.
a=

Cevap: 9
a=
5
20
40
, b=
, c=
4
23
33
5
20
40
a = 4 , b = 23 , c = 33
(8)
(2)
(1)
40
40
40
a = 32 , b = 46 , c = 33 & b < c < a
Cevap: a < b < c, b < c < a
A = 0,2 + 0,002 + 0,00002 +
+ B = 0,05 + 0,0005 + 0,000005 + ...
A + B = 0,252525 + ... = 0, 25
25
= 99
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Rasyonel Sayılar
d)Negatif rasyonel sayılar sıralanırken sayılar pozitif gibi dü-
Örnek 31:
şünülür ve bulunan sıralamanın tersi alınır.
a = 3,234
b = 3,234
Örnek 34:
c = 3,234
olduğuna göre a, b ve c yi büyükten küçüğe doğru sı-
Aşağıda verilen a, b ve c sayılarını küçükten büyüğe
ralayınız.
doğru sıralayınız.
a = 3, 2343434...
b = 3, 2342342...
Cevap: c > a > b

c>a>b
1
2
1
a=- , b=- , c=4
3
5
1
2
1
a = 4, b = 3, c = 5
c = 3, 2344444
(2)
(1)
(2)
2
2
2
a = 8 , b = 3 , c = 10
c < a < b & b < a < c dir.
Örnek 32:

11
101
1001
a=
, b=
, c=
10
100
1000
olduğuna göre a, b ve c sayılarını küçükten büyüğe
a=-
4
17
3
, b=- , c=
15
30
10
4
17= =
8
17
=
=
a 15
, b 30
& a 30 , b 30
a < b ⇒ b < a dır o hâlde b < a < c dir.
doğru sıralayınız.
Cevap: b < a < c, b < a < c
Cevap: c < b < a
a = 1, 100 b = 1,010, c = 1, 001
c<b<a
hhSonsuz Rasyonel İfadeler
c)
Pozitif rasyonel sayılarda pay ve payda arasındaki fark eşit ise
hh Basit kesirli ifadelerde payı büyük olan daha büyüktür.
hh Bileşik kesirli ifadelerinde payı küçük olan daha büyüktür.
Örnek 35:
Aşağıda verilen sonsuz rasyonel ifadelerin sonuçlarını
bulunuz.

3+
3+
2
i
2
x
i
3+ 2
= x & 3 + x = x & 6 + x = 2x & x = 6
3+
2
2
Örnek 33:
Aşağıda verilen a, b ve c sayılarını küçükten büyüğe
doğru sıralayınız.

2+
2+

4
23
104
a= , b=
, c=
7
26
107
a<b<c

21
33
77
a=
, b=
, c=
17
29
73
c<b<a
8
2+
8
2+
8
j
8
jx
= x & 2+ 8 = x
x
⇒ x2 – 2x – 8 = 0
⇒ (x – 4) (x + 2) = 0
⇒x=4
a, b ve c pozitif reel sayılar olmak üzere,
a+b=
4
5
b+c=
3
10
a+c=
2
3
olduğuna göre a, b ve c sayılarını küçükten büyüğe doğru
sıralayınız.
4 3 2 24 9 20
9
20 24
5 , 10 , 3 & 30 , 30 , 30 & 30 < 30 < 30
en büyük sonuçta olmayan c en küçük,
en küçük sonuçta olmayan a en büyük sayıdır.
c<b<a
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Öğretmen
Sorusu
Cevap: 6, 4
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Rasyonel Sayılar
1.
Konu Testi - 3
5.
Aşağıda verilenlerden hangisi yanlıştır?
A)
1
= 0, 5
2
D)
B)
1
= 0, 25
4
1
= 0, 125
8
E)
C)
1
= 0, 2
5
52
25
B)
43
20
C)
87
40
D)
101
40
E)
A) 0,6
B)
841
30
C)
97
3
D)
971
30
E)
D) 14
E) 50
A) 40
B)
3
4
125 5x = x
x=
.1, 25 x=
. 100
4
4
5
B) 44
C) 404
D) 440
E) 444
D) 5
E) 7,2
4400 + 44 = 4444 =
404
11
11
Bir sayının 1,25 ile çarpımı o sayının kaça bölümüne
eşittir?
2
3
C) 10,2
işleminin sonucu kaçtır?
973
30
8.
A)
B) 4,1
0, 44 + 0, 0044
0, 0011
7.
3243 - 324 = 2919 = 973
90
90
30
4.
E) 0,01
12 + 50 = + =
5 4 10 14
3
sayısına denk olan kesir aşağıdakilerden hangisidir?
721
30
D) 0,1
işleminin sonucu kaçtır?
111
40
–
32,43
A)
C) 10
0, 12
0, 5
+
0, 03 0, 05
6.
2525 = 101
1000 40
3.
B) 50
1
=
1 0=
, 01.x & 0, 01 x & x = 100
2,525 sayısına denk olan kesir aşağıdakilerden hangisidir?
A)
A) 100
0, 2. 5 = 1
1
= 0, 3
6
1
1=
6 sayısı 6 0, 16 devirli ondalıklı sayıdır, 0,3 e eşit değildir.
2.
0,2 nin 5 katı olan sayı 0,01 sayısının kaç katıdır?
C)
4
5
D)
7
5
E)
5
8
[(0,2)2 + (0,2)3] .102
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2
B) 2,4
C) 4,8
[0,04 + 0,008].100
0,048.100
4,8
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Rasyonel Sayılar
Konu Testi - 3
3, 09
x
=
1, 03 0, 4
9.
13. Aşağıdaki sayılardan hangisi 2 sayısına en yakındır?
A)
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1,2
B) 1,4
C) 1,5
D) 1,6
E) 1,8
9,8 + x = 19,7
x = 19,7 – 9,8
C) 9,9
D) 10,1
30
A)
23
E) 10,9
15.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 36
15
B)
11
C) 3,06
23
12
E)
47
24
3
C)
2
3
D)
5
3
E)
60
17
A) 1,25
B) 1,35
0,05 + 1,5 ⇒
0,05
+ 1,50
1,55
C) 1,4
D) 1,55
E) 1,6
E) 0,036
1, 5
1
3
$c
m
2, 1 2, 5 0, 5
16. k pozitif gerçel sayısı için
13
-k
4
işleminin sonucu kaçtır?
B) –4
D)
5.10–2 + 15.10–1
0,030 + 0,006 . 1
0,030 + 0,006
0,036
A) –5
15
8
işleminin sonucu kaçtır?
B) 3,6
D) 3,36
12.
C)
4 30 15 3 5 60 60 60 60 60 60 60
3 ; 23 , 11 , 2 , 3 , 17 " 45 ; 46 , 44 , 40 , 36 , 17
4
30
3 sayısından küçük olan sayı 23 tür.
19,7
– 9,8
x = 9,9
–
(0,2 . 0,15) + 0,006 . 0,9
11.
11
6
14. Aşağıdaki sayılardan hangisi 4 sayısından küçüktür?
10. 9,8 sayısına hangi sayı eklenirse toplam 19,7 olur?
B) 8,9
B)
7 11 15 23 47
42 44 45 46 47
4 , 6 , 8 , 12 , 24 " 24 , 24 , 24 , 24 , 24
47
2 sayısına en yakın olan sayı 24 tur.
309 =
x
x = =
=
103 0, 4 & 3 0, 4 & x 3.0, 4 1, 2
A) 8,1
7
4
C) –0,2
D) 1
işleminin sonucu pozitif bir tam sayıya eşit olduğuna
göre, k sayısı en az kaçtır?
E) 2
15 10 - 30
21 $ a 25 5 k
5 2 - 30 = 5 - 28 = 4
7a5 5 k 7 5
A) 0,1
B) 0,12
C) 0,15
D) 0,225
E) 0,25
.25 325 =
13 13
=
=
4
4.25 100 3, 25
3,25 – k ∈ Z+ ise k en az 0,25 olur.
1. E
2. D
3. E
4. C
5. A
6. D
7. C
8. C
9. A
10. C
11. E
12. B
13. E
14. A
15. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16. E
14
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Rasyonel Sayılar
1.
A=
Konu Testi - 4
–
a = 2,9.3,99
0, 5
b=
0, 05
–
–
–
c = (0,2 + 0,3).17,9
4.
1, 5
| 0, 2
2, 5
B = 0,2 . 0,3 – 0,04
C=
0, 3 0, 4
$
0, 02 0, 2
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
sayıları için doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
A) A < B < C
B) A < C < B
D) B < C < A
A) a < b < c
C) B < A < C
D) b = c < a
E) C < A < B
=
a 3=
.4 12, =
b
15 1 3=
5
A = 25=
:5 5.1 3
B = 0,06 – 0,04 = 0,02
B) a = b < c
C) a < b = c
E) b < a < c
5
5 90 =
9
=
5
9 . 5 10
90
5
=
c 0=
, 5 .18 9 .18 = 10
30 4
C = 2 . 2 = 30
b=c<a
olduğundan B < A < C dir.
5.
A)
0, 04 + 0, 4
3 - 0, 3
+
0, 05 + 0, 35 1 - 0, 97
2.
B) 10,1
C) 91,1
D) 100
9
4
B)
29
12
C)
5
2
D)
8
3
E)
31
12
3
7
36
56
2 < x < 3 & 24 < x < 24
54
58
60
64
62
A) 24 B) 24 C) 24 D) 24 E) 24
9 sayılar arasındadır.
4
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1,1
3
7
ile sayıları arasındadır?
2
3
Aşağıdakilerden hangisi
E) 101
4 + 40 + 300 - 30 44 + 270 11
=
=
3
10 + 90 = 90 + 1,1 = 91,1
5 + 35 100 - 97 40
6.
Aşağıda verilen sayı doğrusunda her tam sayı aralığı farklı
sayıda eşit aralıklara bölünüyor.
x
10
3.
y
x < y < z olmak üzere
a+b=x
b+c=y
c+a=z
3
4
z
–6
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) a < b < c
12
B) a < c < b
D) b < c < a
C) b < a < c
E) c < a < b
E n büyük toplamda olmayan b en küçük, en küçük toplamda olmayan c
en büyük sayıdır.
b<a<c
–3
Yukarıda üç farklı sayı doğrusunda gösterilen x, y ve z
sayıları için (x, y, z) sıralı üçlüsü aşağıdakilerden hangisidir?
A) (10.25, 3.5, –3.2)
B) (10.75, 3.6, –4.5)
C) (10.6, 3.5, –3.6)
D) (10.25, 3.6, –3.5)
E) (10.75, 3.6, –3.5)
2
x = 10 + 3 . 8 = 10 + 0,75 = 10,75
1
y = 3 + 3 . 5 = 3 + 0,6 = 3,6
3
z = –6 + 5 . 6 = –6 + 2,5 = – 3,5
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Rasyonel Sayılar
7.
a=
Konu Testi - 4
10. a ve b devirli ondalık sayılardır.
3
30
33
, b=
, c=
4
44
40
–
a = 1, 6
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) c < b < a
B) c < a < b
D) b < a < c
b = 0, 12
a
işleminin sonucu kaçtır?
b
27
25
B)
C) 13
D)
E) 12
2
2
olduğuna göre,
C) b < c < a
A)
E) a < b < c
55
4
16 − 1 = 15 = 5
9
9
3 a = 5 . 33 = 55
4b 3 4 4
12
4
b = 99 = 33
30 30
40 > 44 & a > b
30 33
40 < 40 & a < c
a=
b<a<c
3
2
6
x=- , y=- , z=8
5
7
8.
11.
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) x < y < z
B) x < z < y
D) y < z < x
x+
x+
5
i
5 =3
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1,2
C) y < x < z
B) 1,6
C) 2
D) 2,4
E) 2,8
i
x+ 5
3
= 3 & x+ 5 = 3
x+
5
3 12 24
& x = 3 - 5 = 5 = 10 = 2, 4
E) z < y < x
3
2
6
x = 8, y = 5, z = 7
6
6
6
x = 16 , y = 15 , z = 7
x<y<z&z<y<x
9.
b1, b2, b3 ... birer rakam olmak üzere
3, b1b2b3...
23
sayısı
6
12. Özgür ile Barış bir oyun oynamaktadır. Bu oyuna göre Öz-
gür iki tane ondalıklı sayı söylüyor. Barış sayıları en yakın
tam sayıya yuvarlayarak topluyor ve sonucu Özgür'e söylüyor. Barış sayıları en yakın tam sayıya yuvarlarken sayının ondalıklı kısmına bakıyor ve bu sayı 0,5 ya da 0,5 den
büyükse sayıyı tam kısmın bir fazlasına, 0,5 den küçük ise
sayıyı tam kısma yuvarlıyor.
biçiminde yazılıyor.
Buna göre,
b13 + b14 + b15
toplamının değeri kaçtır?
A) 9
B) 12
C) 15
D) 18
Özgür, 34,23 ve 23,51 sayılarını söylerse Barış'ın yuvarlama yaparak bulduğu toplam ile gerçek toplam
arasındaki fark kaç olur?
E) 21
23 6
23
18 3,833 ⇒ 6 = 3, 83
⇒ b13 = b14 = b15 = 3
50
48
⇒ b13 + b14 + b15 = 9
20
18
2
A) 0,14
B) 0,16
C) 0,11
D) 0,26
E) 0,32
Yuvarlanma ile toplama = 34 + 24 = 58
Gerçek toplam = 34,23 + 23,51 = 57,74
Toplamlar aralarındaki fark = 0,26
1. C
2. C
3. C
4. D
5. A
6. E
7. D
8. E
9. A
10. A
11. D
12. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
08
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Birinci Dereceden Denklemler
hhBİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
Örnek 3:
hh a ve b reel sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere
Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
ax + b = 0
denklemine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem

5x + 3x + 9 = 25
denir.
8x = 16
hh Denklemi sağlayan x değerine denklemin kökü denir.
hh Denklemin köklerinin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi
denir.
x = 2 ⇒ Ç.K. = {2}

Aşağıda verilen denklemlerin köklerini bulunuz.
2x – 1 = 7
x=4

x
+ 3 = 10
2
2(x – 3) + 3(x + 1) = 2(x – 1) – 2(x + 1)
2x – 6 + 3x + 3 = 2x – 2 – 2x – 2
x =
=
2 7 & x 14

11
3
32
32
x = 3 ⇒ Ç.K. = { 3 }
2x = 8

5(x – 3) – 4(x – 2) =
11
5x – 15 – 4x + 8 = 3
11
x–7= 3
11
x= 3 +7
Örnek 1:

5x + 3(x + 3) = 25
5x – 3 = –4
5x - 2
=6
3
5x = –1
1
1
x = − 5 ⇒ Ç.K. = { − 5 }
5x – 2 = 18
5x = 20
x=4
Örnek 4:
Cevap: 4, 14, 4
Örnek 2:
0, 3x + 0, 4 1
=
0, 6x - 0, 2 3
olduğuna göre, x kaçtır?
5x - 1 2x + 4
=
2
3
olduğuna göre, x kaçtır?
0,9x + 1,2 = 0,6x – 0,2
3(5x – 1) = 2(2x + 4)
15x – 3 = 4x + 8
11x = 11 ⇒ x = 1
Cevap: " 2,, ' 32 1, '- 1 1
3
5
Cevap: 1
0,3x = –1, 4
Cevap: - 14
3
1, 4
14
x = − 0, 3 ⇒ x = − 3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Birinci Dereceden Denklemler
Örnek 5:
Örnek 8:
6x - 1
=2
5 (x - 2) - 4
x - 3 2x + 1 5x - 11
+
=
2
3
6
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
6x − 1 = 2
& x− =
x−
5x − 14 1 6 1 2 (5 14)
& 6x − 1 = 10x − 28
Cevap: 27
4
27 = 4x
27
x= 4
x − 3 + 2x + 1 = 5x − 11
2
3
6
(3)
(2)
Cevap: –2
(1)
3x – 9 + 4x + 2 = 5x – 11
7x – 7 = 5x – 11
2x = –4
x = –2
Örnek 9:
Örnek 6:
4-
2
(2x - 3) - 4 = x
3
3 5
= - 12
x x
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
2 (2x − 3 ) x + 4
=
1
3
4x – 6 = 3x + 12
Cevap: 18
8
1
16x = 8 & x = 16 = 2
x = 18
Örnek 7:
Örnek 10:
x - 1 7 17
+ =
2
3
6
a (b + c)
a
+c=
x
bx
olduğuna göre, x kaçtır?
(2)
(1)
3x – 3 + 14 = 17
3x = 17 – 11
3x = 6
x=2
c1 +
2
2
2
2
m $ c1 +
m $ c1 +
m ... c1 +
m= 5
x
x+ 2
x+ 4
x + 50
olduğuna göre, x kaçtır?
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: 2
a + c = a ( b + c)
x
1
bx
(b)
Cevap: a
b
(bx)
ab + cbx = ab + ac
cbx = ac
ac a
x = bc = b
x + 2 x + 4 x + 6 x + 52
x $ x + 2 $ x + 4 ... x + 50 = 5
x + 52 =
5 & x + 52 = 5x
x
⇒
⇒x
4x = 52
= 13
Öğretmen
Sorusu
x − 1 + 7 = 17
2
3
6
(3)
Cevap: 1
2
3 5
4 + 12 = x + x
16 = 8
x
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Birinci Dereceden Denklemler
Örnek 11:
Örnek 14:
x- 2
4
6
+
= 2+
x+ 4 x+ 1
x+ 4
olduğuna göre, x kaçtır?
Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
-

3x – 4 = 2x – 5
3x – 2x = 4 – 5
4 = + x−2 + 6
2
x+1
x+4 x+4
4 = + x+4
2
x+1
x+4
4 = 2+1
1
x+1
x = –1
Cevap: 1
3
Ç.K. = {–1}, bir elemanlı

3x - 4
= x- 1
3
3x –4 = 3x – 3
1
3x + 3 = 4 & 3x = 1 & x = 3
3x – 3x = 4 – 1
0=1
x değerleri kaybolduğunda kalan eşitlik yanlış olduğundan Ç.K. = ∅ dir.

Örnek 12:
x + 1 + x − 2 = 7x − 2
4
3
12
(4)
a bir reel sayıdır.
(2)
(1)
7x – 7x = 2 – 2
0=0
denkleminin bir kökü 2 olduğuna göre, a kaçtır?
3 +a+2 = 1
1
2
3
(3)
4x + 4 + 3x – 6 = 7x – 2
x+ 1 a+ x
+
=1
x
x+ 1
(3)
x + 1 x - 2 7x - 2
+
=
3
4
12
x değerleri kaybolduğunda kalan eşitlik doğru olduğundan Ç.K. = R dir.
Cevap: - 7
2
(6)
Cevap: {–1}, ∅, R
Not
9 + 2a + 4 = 6
2a = –7
Denklem çözülürken bilinmeyenler yok oluyor ise kalan
-7
a= 2
eşitliğe bakılır kalan eşitlik doğru ise Ç.K. = R, yanlış ise
∅ dir.
Örnek 13:
5+
4+
Not
12
x - 4 = 10
2
a ve b reel sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 denkleminde
olduğuna göre, x kaçtır?
hh a ≠ 0 için çözüm kümesi bir elemanlıdır.
12
4+ −4
x
= 5 & 4 + 12 = 10 & 12 = 6
2
x−4
x−4
& x−4 = 2 & x = 6
Cevap: 6
hh a = 0 ve b ≠ 0 için çözüm kümesi boş kümedir.
hh a = 0 ve b = 0 için çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Birinci Dereceden Denklemler
Örnek 15:
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler
a ve b reel sayılar olmak üzere
a, b ve c reel sayılar ve a ≠ 0, b ≠ 0 olmak üzere
ax + by + c = 0
(a – 4)x + b – 6 = 0
denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
denkleminin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
hh Çözüm kümesi sıralı ikililerden oluşur.
Buna göre, a.b çarpımının değeri kaçtır?
Örnek 18:
a – 4 = 0 ve b – 6 = 0
Cevap: 24
1
1
- 3a = + 3b
8
2
a = 4 ve b = 6 ⇒ a.b= 24
olduğuna göre, a + b kaçtır?
A)
B)
5
6
C)
1
8
D)
5
8
4
E) 9
1− 1 =
+
2 8 3a 3 b
Örnek 16:
(4)
Cevap: C
(1)
3=
+
+ =1
8 3 ( a b) & a b 8
a ve b reel sayılar olmak üzere
ax + b – 1 = 4x + 3
Not
denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.
a ve b reel sayılar olmak üzere
Buna göre, a + b toplamı kaç olamaz?
x ler yok olduğunda kalan eşitlik yanlış olacak
3
4
ax + by = 0
Cevap: 8
a = 4 ⇒ 4x + b – 1 = 4x + 3
b–1≠3
denkleminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı (her (x, y) ikilisi için sağlayan) ise a = b = 0 dır.
Örnek 19:
b≠4
a + b toplamı 4 + 4 = 8 olamaz.
(a – 4)x + (b + 3)y = 0
denklemi her (x, y) sıralı ikilisi için sağlanıyor.
Buna göre, a.b çarpımının değeri kaçtır?
Örnek 17:
Cevap: –12
a–4=b+3=0
a ve b reel sayılar olmak üzere
a = 4 ve b = –3 ⇒ a.b = –12
(2a – 1)x + b – 1 = 7x + 5
Örnek 20:
denkleminin çözüm kümesi tek elemanlıdır.
Buna göre, a kaç olamaz?
(a – 2)2 +
b - 4 + |c – 7| = 0
olduğuna göre, a.b.c çarpımının değeri kaçtır?
2a – 1 ≠ 7 ⇒ 2a ≠ 8 ⇒ a ≠ 4
Cevap: 4
a – 2 = 0, b – 4 = 0, c – 7 = 0
Cevap: 56
a = 2, b = 4, c = 7
x ≠ 1 olmak üzere
3 - xy x + 3
=
xy + 1 1 - x
denklemini sağlayan y değeri kaçtır?
(3 – xy)(1 –x) = (xy + 1) . (x + 3)
3 - 3x - xy + x 2 y = x 2 y + 3xy + x + 3
–4xy = 4x
4xy + 4x = 0
4x(y + 1) = 0
y = –1
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Öğretmen
Sorusu
a.b.c = 56
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Birinci Dereceden Denklemler
1.
Konu Testi - 1
5.
3x – (–2) = 4 – (–2).(8)
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 3
B) 4
olduğuna göre, x kaçtır?
C) 5
D) 6
E) 7
A) 1
3x + 2 = 4 + 16
3x = 18
x=6
2.
6.
15
2
B) 7
C)
15
2
D) 8
3- x 1
=
a+ x 3
denkleminin çözüm kümesi eşit kümelerdir.
Buna göre, a kaçtır?
A) –8
C) 5
D) 6
D) –5
E) –4
D) 38
E) 40
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 7
A) 30
5x – 5 + 2 = 4.8
5x – 3 = 32
5x = 35
35
x= 5 =7
B) 32
C) 36
x + x = 21
1
3 4
(4)
(12)
(3)
4x + 3x = 21.12
3
7x = 21.12 & x =
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
B) –1
C) –2
4−x = 1−x
− = −
1 & 4 x 2 2x
2
2x − x = 2 − 4
x =− 2
21.12
= 36
7
x+ 2 1 3
+ =
2
4 8
8.
4- x
= 1- x
2
A) 1
C) –6
x x
+ = 21
3 4
7.
olduğuna göre, x kaçtır?
B) 4
B) –7
2x – 6 + 5x + 10 = 32
7x + 4 = 32 ⇒ 7x = 28 ⇒ x = 4
o hâlde x = 4 için
3−4 = 1 − = +
& 3 a 4 & a = − 7 olur.
a+4 3
5 (x - 1) + 2
=8
4
4.
E) 5
a bir reel sayı olmak üzere
E) 9
39 13
x= 6 = 2
A) 3
D) 4
denkleminin çözüm kümesi ile
3x − 12 = 15
− =
1
2 & 6x 24 15
6x = 39
3.
C) 3
2(x – 3) + 5(x + 2) = 32
olduğuna göre, x kaçtır?
13
2
B) 2
4 + 2x – 6 – 4x + 8 = x
6 – 2x = x
6 = 3x
x=2
3 (x - 4) =
A)
4 + 2(x – 3) – 4(x – 2) = x
A) –1
D) –3
E) –4
B) -
5
4
C) -
3
2
D) -
7
4
E) -
7
5
x+2 + 1 = 3
4 8
2
(4)
(2)
(1)
4x + 8 + 2 = 3
4x = − 7
7
x =− 4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Birinci Dereceden Denklemler
Konu Testi - 1
13.
x
1
2x
2
=
x+ 2 x+ 3 x+ 3 x+ 2
9.
A: 4x – 3 = 4x – 7
B: 2x – 1 = 2x – 1
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 5
B) 4
C: 2x – 3 = x – 4
C) 3
D) 2
E) 1
denklemleri için
x + 2 = 2x + 1
x+2 x+2 x+3 x+3
x + 2 = 2x + 1 2x + 1 =
1
& +
x+2 x+3
x 3
& 2x + 1 = x + 3
I. A denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.
II. B denkleminin çözüm kümesi reel sayılardır.
III. C denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.
ifadelerinden hangisi veya hangileri doğrudur?
x=2
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
olduğuna göre, 3a + 2b ifadesinin değeri kaçtır?
A) 24
E) II ve III
A: 4x – 3 = 4x – 7 ⇒ 0 = –4 Ç.K. = ∅
B: 2x – 1= 2x – 1 ⇒ 0 = 0 Ç.K. = R
C: 2x – 3 = x – 4 ⇒ x = –1 Ç.K. = {–1}
a b
+ =4
2 3
10.
C) I ve II
B) 21
C) 20
D) 18
14. a ve b reel sayıları için
E) 16
(2a – 3)x + (3b – 1)y = 0
a + b = 4
1
2 3
denklemi her (x, y) sıralı ikilisi için sağlandığına göre,
a.b çarpımının değeri kaçtır?
3a + 2b = 24
A)
(3)
(6)
(2)
1
4
B)
1
2
C) 1
D) 2
E) 4
D) 8
E) 9
D) 2
E) 3
3
2a − 3 = 0 & a = 2
3 1 1
4 a. b = 2 . 3 = 2
1
3b − 1 = 0 & b = 3
24
=6
15
3+
x
olduğuna göre, x kaçtır?
C) 4
D) 5
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 6
A) 3
24 =
15 =
+ 15 =
15 3 & 3 x 8 & x 5
3+ x
&x=3
B) 6
–
–
–
–
0,9x = 0,6x + 3
0,9x – 0,6x = 3
–
0,3x = 3 ⇒=
x
4 (3m + 1) m - 2
=
3
2
D) –2
5
E) 2
A) –2
C)
3
2
x2 + x = x2 + x + 2x + 2
x = 3x + 2
2x = –2 ⇒ x = –1
8. D
9. D
10. A
11. B
12. A
13. C
14. B
15. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7. C
16. B
6
B) –1
x(x + 1) = (x + 2)(x + 1)
8(3m + 1) = 3(m – 2)
24m + 8 = 3m - 6
21m = – 14
14
2
m = − 21 = − 3
6. B
B) –1
olduğuna göre, x kaçtır?
4
C) 3
5. B
2
A) 3
x+ 1 x+ 1
=
x+ 2
x
16.
olduğuna göre, m kaçtır?
3 =
3
9
=
3=
.3 9
0, 3 3
9
4. C
12.
C) 7
3. E
B) 3
2. A
A) 2
0, 3x
1
=
0, 6x + 3 3
15.
1. D
3+
Cevaplar
11.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Birinci Dereceden Denklemler
1.
Konu Testi - 2
4.
x – [2x – (x – (2x – 2))] = 3x – 8
a ve b birbirinden farklı birer reel sayı olmak üzere
ax + b2 = bx + a2
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 5
D) 6
denklemini sağlayan x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
E) 7
A) a – b
x – [2x – (x – 2x + 2)] = 3x – 8
x – [2x – (–x + 2)] = 3x – 8
x – [2x + x – 2] = 3x – 8
–2x + 2 = 3x – 8
5x = 10
x=2
D) b
C) a.b
D) a + b
E) a – b
6.
Aşağıdaki şekilde a, b, c ve d sıfırdan farklı birer gerçek
sayıdır.
b
d
(6)
a c- d
b
a
• S
atışlar hafta içi yapılmaktadır ve her satıcı haftanın bir
günü tek başına çalışmaktadır.
1
2
D) 4
3
1 = 9 − 4 − 2x 4 − 2 x =
1 = 2 − 2−x
4
3 &2 2
3 & 3
2 1
3
2
4 – 2x = 12
–2x = 8
⇒ x = –4
⇒
⇒
+6
÷5
Matematik öğretmeni bir haftada yapılan satışları gösteren
yukarıdaki şekli oluşturuyor ve cuma günü yapılan satışın
çarşamba günü yapılan satıştan 18 adet az olduğunu görüyor.
x
C) 2
÷2
1
3
olduğuna göre, x kaçtır?
(12)
–3
2
B) –2
(3)
Emekli bir matematik öğretmeni beş kişiden oluşan bir satış-pazarlama ekibi kuruyor. Bu ekibin çalışma sistemini şu
biçimleri oluşturuyor.
biçiminde tanımlanıyor.
A) –4
(4)
• D
aire içerisinde bulunan sayıya okun üstünde yazan
işlem uygulandığında ok ile gösterilen daire içerisindeki
sayıyı vermektedir.
N sayısı;
3
2
E) 52
• A
şağıda verilen şekilde her bir daire içerisinde sayı sırasıyla haftanın pazartesi, salı, çarşamba, perşembe
ve cuma günleri yapılan satış miktarını göstermektedir.
N
N=
D) 50
25x = 1200
1200
x = 25 = 48
& x = a.b
c
C) 48
12x + 6x + 4x + 3x = 12.100
(a)
a
B) 45
x + x + x + x = 100
1 2 3 4
1
(2)
& x ( a + b ) = a . b ( a + b)
3.
x x x
+ + = 100
2 3 4
A) 40
x + x = +
ax + bx = +
a b
a b a b & a.b
(b)
x+
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?
B) b
E) a
x(a – b) = (a – b)(a + b)
x=a+b
a ve b sıfırdan farklı reel sayılardır.
x
x
- a = ba
b
A) a
C) b + 1
ax – bx = a2 – b2
5.
2.
B) a + b
E) 6
Buna göre, pazartesi günü kaç satış yapılmıştır?
A) 51
B) 52
C) 53
D) 54
E) 55
x-3 +
6
x-3 x-3 +
6 " 25
x"x 3" 2 " 2
( x - 3)
-a x 3 + 6k $ 1 +
= 18
5
2
2
4 (x - 3) 192
(x - 3) (x - 3) 6
- =
=
10
2
10 5 18 & 10
x = 51
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Birinci Dereceden Denklemler
7.
Konu Testi - 2
10.
(3x – 4)3 = (x + 12)3
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 6
B) 7
denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.
C) 8
D) 9
Buna göre, a kaçtır?
E) 10
3x – 4 = x + 12
2x = 16
x=8
A) 4
1
4
B)
1
3
C)
1
2
D) 1
E) 8
denkleminin köklerinden biridir?
E) 2
A) –2
B)
1
2
C) 1
D) 2
E) 3
1
x = –2, x = 2 , x = 1, x = 3 kesirlerin paydalarını sıfır yaptığından kök olamaz o hâlde kök x = 2 olabilir.
1
a 2 − 3a + 2 = a 2 + 3a & 6a = 2 & a = 3
Asya ve Ekin'in aralarında oynadığı bir oyun şöyledir. Asya
aklından bir sayı tutuyor ve sırasıyla aşağıdaki işlemleri
uyguluyor. İşlemler sonunda bulduğu sayıyı Ekin'e söylüyor. Ekin'de Asya'nın aklında tuttuğu sayıyı tahmin etmeye
çalışıyor.
12. Aşağıda verilen tabloda x ve y birer tam sayı olmak üzere
a, b ve c kentleri arasındaki uzaklıklar x ve y cinsinden
verilmiştir.
a
• 2 kat artır.
a
• 3 ekle
b
• 2 ye böl
c
• 5 çıkart
aklından tuttuğu sayıyı ekle
b
c
x - 10 x
2
4
x.y
2x + y
x.y
2 (y - 1) - 16
y+ 1
2x + y
Asya bu işlemler sonucunda sonucu 39 bulduğuna
göre Ekin'in doğru tahmin ettiği bu sayı kaçtır?
a, b ve c şehirleri doğrusal olduğuna göre, en solda ve
en sağda bulunan şehirler arasındaki uzaklık en çok
kaç birimdir?
A) 14
A) 210
C) 16
D) 17
E) 19
B) 220
C) 229
D) 230
E) 242
x − 10 − x =
x − 10 = x
=
− =
4 0& 2
4 & 4x 40 2x & x 20
2
2 (y − 1) − 16
= 0 & 2y − 18 = 0 & y = 9
y+1
ac = 180 br, bc = 49 br
c
a & 49 + 180 = 229
W W
4. B
5. C
6. A
7. C
8. B
9. D
10. E
11. D
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
180
3. A
49
5x = 85x & x = 17
2. C
b
1. A
(x + 2x) + 3
− 5 + x = 39
2
3x + 3 = −
44 x
2
3x + 3 = 88 − 2x
Cevaplar
B) 15
Aklında tuttuğu sayı x olsun
8
D) 7
3
6
4
1
+
+
+
=5
x - 1 2x - 1 x + 2 x - 3
x + y = a olsun
a−1 = a+3
a
a−2
9.
C) 6
11. Aşağıdakilerden hangisi
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
A)
B) 5
3ax – 2a – 24x + 4 = 0
x(3a – 24) + 4 – 2a = 0
3a – 24 = 0 ⇒ a = 8
x+ y- 1 x+ y+ 3
=0
x+ y
x+ y- 2
8.
a(3x – 2) + 4(1 – 6x) = 0
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Birinci Dereceden Denklemler
hhBirinci Dereceden İki Bilinmeyenli
Örnek 22:
Denklem Sistemleri
2x – 3y = 2
3x + y = 14
a, b, c, d, e, f gerçek sayılar olmak üzere
denklem sisteminin çözüm kümesini yerine koyma metodunu kullanarak bulunuz.
ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0
ifadesine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi
denir.
Cevap: {(4, 2)}
3x + y = 14 ⇒ y = 14 – 3x
2x – 3y = 2 ⇒ 2x – 3(14 – 3x) = 2
⇒ 11x = 44 ⇒ x = 4
y = 14 – 3x y = 14 – 3.4 = 2
Birinci Dereceden Denklem Sistemlerinin
Çözüm Yöntemleri
Örnek 23:
a- 1
=
b
a
=
c- 2
a) Yerine Koyma Metodu
Denklemlerde verilen iki bilinmeyenden herhangi biri yalnız bırakılarak diğer denklemde yerine yazılır.
⇒ Ç.K. = {(4, 2)}
c
a
b+ 3
a- 1
olduğuna göre, 3c – 2b ifadesinin değeri kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 6
a2 – a = bc
D) 3
E) 4
Cevap: 6
a2 – a = (b + 3).(c – 2)
b.c = bc – 2b + 3c – 6
Örnek 21:
0 = –2b + 3c – 6
6 = 3c – 2b
y = 2x + 1
x + y = 13
olduğuna göre, x kaçtır?
x + y = 13
x + 2x + 1 = 13
Öğretmen
Sorusu
3x = 12 ⇒ x = 4
b) Yok Etme Metodu
Cevap: 4
Verilen iki denklemde bulunan iki bilinmeyenden biri seçilir. Bu
bilinmeyenin katsayısı mutlak değerce eşit olan zıt işaretli iki
sayıya dönüştürülür. Sonra denklemler taraf tarafa toplanarak
iki bilinmeyenden biri yok edilerek diğeri bulunur. Bulunan bilinmeyen her iki denklemden birinde yazılarak diğer bilinmeyen
bulunur.
a ve b sayma sayılarıdır.
1
1
+
=
2a – b – 4 a + b – 6 1
olduğuna göre a kaçtır?
2a – b – 4 = 2
a +b – 6 = 2
}
2a – b = 6
⇒ a+b=8
+
3a = 14
14
a= 3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Birinci Dereceden Denklemler
Örnek 24:
Örnek 27:
x–y=4
2a + 3b = 3
x+y=6
3a + b = 6
olduğuna göre, denklem sisteminin çözüm kümesini
bulunuz.
x–y=4
+ x+y=6
2x = 10 ⇒ x = 5
x+y=6⇒5+y=6⇒y=1
Ç.K. = {(5, 1)}
Cevap: {(5, 1)}
olduğuna göre,
a
oranının değeri kaçtır?
b
2a + 3b = 3
3a + b = 6
–4a – 6b = –6
+ 3a + b = 6
–a – 5b = 0
a
a = –5b ⇒ b = − 5
–2
Cevap: –5
Örnek 25:
3x + y = 13
2x + y = 10
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek 28:
3x + y = 13
+ 2x + y = 10
x=3
2x + y = 10 ⇒ 6 + y = 10 ⇒ y = 4
Ç.K. = {(3, 4)}
Cevap: {(3, 4)}
–2
3−4=
x y 6
2−2=
x y 2
Cevap: - 1
2
3−4=
x y 6
− 4 + 4 =− 4
x y
+
1
− x = 2 & 2x = − 1 & x = − 1
2
4x + 3y = 11
3x + 4y = 10
olduğuna göre, x kaçtır?
4x + 3y = 11
3x + 4y = 10
16x + 12y = 44
–9x
– 12y = –30
+
7x = 14 ⇒ x = 2
4
=6
y
2
=2
y
olduğuna göre, x kaçtır?
Örnek 26:
4
3
x
2
x
Cevap: 2
1
x
1
b= +
x
a=
1
y
1
y
olduğuna göre x + y toplamının a ve b cinsinden değeri
nedir?
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1 1_
a = x - y bb
2
2
a+b 1
1 1
1 b-a
`a + b = x & x = a + b x + y = b & 2 + y = b & y = 2
1 1
b = x + yb
2
a
&y= b a
+
+
2
b
a
2
b
a
(
)
(
)
2
2
x+y= a+b + - =
b a
b2 - a2
4b
= 2 2
b -a
Öğretmen
Sorusu
–3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Birinci Dereceden Denklemler
Örnek 29:
Örnek 32:
k ve m gerçel sayılar olmak üzere
2x – y = 5
2kx – ym = 5
x + 2y = 10
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
3kx + 2ym = 4
denklem sisteminin çözüm kümesi {(2, 1)} olduğuna
göre, k.m çarpımının değeri kaçtır?
4k – m = 5
6k + 2m = 4
8k – 2m = 10
+ 6k + 2m = 4
14k = 14 ⇒ k = 1
6k + 2m = 4 ⇒ 6 + 2m = 4
⇒ m = –1
k.m = –1
2
Cevap: –1
Örnek 30:
Not
2x + y = 7
a, b, c, d, e ve f gerçek sayılar olmak üzere
4x + 2y = 3
d1: ax + by + c = 0
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
2x + y = 7
4x + 2y = 3
–4x – 2y = –14
+ 4x + 2y = 3
0 = –11
Ç.K. = ∅
–2
d2: dx + ey + f = 0
Cevap: ∅
a b
c
= ] d e
f
d1
d2
ise doğrular birbirine paraleldir ve paralel iki doğrunun ke-
x + 2y = 4
sişim noktası olamadığından sistemin çözüm kümesi boş
3x + 6y = 12
kümedir.
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
x + 2y = 4
3x + 6y = 12
–3x – 6y = –12
+ 3x + 6y = 12
0=0
Ç.K. = R
denklem sisteminin çözümünde üç durum söz konusudur.
I. Durum
Örnek 31:
–3
Cevap: {(4, 3)}
2x – y = 5
+ x + 2y = 10
5x = 20 ⇒ x = 4
x + 2y = 10 ⇒ 4 + 2y = 10 ⇒ y = 3
Ç.K. = {(4, 3)}
2
Cevap: R
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Birinci Dereceden Denklemler
Not
Örnek 35:
II. Durum
a b c
= = d e
f
3x + 4y = 12
d1
d2
ax + 12y = 12
denklem sisteminin çözüm kümesi tek elemanlıdır.
ise doğrular çakışıktır ve çakışık iki doğru sonsuz noktada
Buna göre, a kaç olmamalıdır?
birbirlerini kestiğinden çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
Yani çözüm kümesi Reel sayılardır.
3
4
a ] 12 & 4a ] 36 & a ! 9
III. Durum
a
b
] d
e
d1
Cevap: a ≠ 9
d2
ise doğrular kesişir ve kesişen iki doğru bir noktada kesiş-
Örnek 36:
tiğinden çözüm kümesi tek elemanlıdır.
2x – 3y – 4 = 0
x – 4y + 3 = 0
doğrularının kesişim noktasının koordinatları toplamı
kaçtır?
Örnek 33:
m bir reel sayı olmak üzere
(m – 2)x + 6y + 3 = 0
mx + 3y + 4 = 0
–2
+
denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.
Cevap: 7
5y = 10 ⇒ y = 2
x – 4y + 3 = 0 ⇒ x – 8 + 3 = 0 ⇒ x = 5
Buna göre, m kaçtır?
m−2 = 6
m
3 ⇒ 3m – 6 = 6m
⇒ –3m = 6
⇒ m = –2
2x – 3y = 4
x – 4y = –3
5+2=7
Cevap: –2
Örnek 37:
2x – y = 4
Örnek 34:
3x + 2y = 6
a ve b gerçek sayılar olmak üzere
ax + y = 14
(a – 1)x + (b – 2)y – 6 = 0
denklem sisteminin çözüm kümesi tek elemanlı olduğuna göre, a kaçtır?
3x + 5y – 3 = 0
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
Buna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
2
+
a − 1 = b − 2 = −6
−3
5
3
a−1 =
2&a=7
3
4a + b = 19
b−2 =
= 12
b
&
2
5
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 19
2x – y = 4
3x + 2y = 6
Cevap: 7
7x = 14 ⇒ x = 2
2x – y = 4 ⇒ 4 – y = 4
⇒y=0
kesişim noktası olan (2, 0), ax + y = 14 ü sağlamak zorunda olduğundan
2a + 0 = 14 ⇒ a = 7 olur.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Birinci Dereceden Denklemler
1.
Konu Testi - 3
5.
x + y = 16
5x + 4y = 24
x–y=6
2x + 3y = 11
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 13
B) 12
C) 11
olduğuna göre, x + y toplamının değeri kaçtır?
D) 10
E) 9
A) 3
x + y = 16
+ x–y=6
2x = 22 ⇒ x = 11
2.
6.
C) 6
D) 7
C) 3
D) 4
D) 5
E) 4
D) 10
E) 12
a–
A) 8
E) 5
B) 7
C) 6
b
a– 3 =4
+ a+b=8
4a = 20 ⇒ a = 5
x + y = 2
+ 3x – 2y = 6
5x = 10 ⇒ x = 2
3
2
8.
3x + 2y = 13
1
+
x
1
x
2x + 3y = 12
olduğuna göre, x.y çarpımının değeri kaçtır?
C) 8
3x + 2y = 13
2
+ 2x + 3y = 12
–5x = –15 ⇒ x = 3
2x + 3y = 12 ⇒ 6 + 3y = 12 ⇒ y = 2
x.y = 6
–3
E) 4
olduğuna göre, a kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
B) 6
D) 3
b
=4
3
a+b=8
7.
3x – 2y = 6
A) 4
C) 2
–
x+y=2
4.
B) 1
4x + 2y = 19
2x + 4y = 13
+
2x – 2y = 6
2(x – y) = 6 ⇒ x – y = 3
m + n = 10
+ m – n = –2
2n = 12 ⇒ n = 6
B) 2
4x + 2y = 19
A) 0
E) 8
–
A) 1
E) 7
olduğuna göre, x – y farkının değeri kaçtır?
olduğuna göre, n kaçtır?
3.
D) 6
2x + 4y = 13
m – n = –2
B) 5
C) 5
5x + 4y = 24
+ 2x + 3y = 11
7x + 7y = 35
7(x + y) = 35 ⇒ x + y = 5
m + n = 10
A) 4
B) 4
D) 10
E)12
1
=
y
1
=
y
1
2
1
3
olduğuna göre, y kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
1+1= 1
x y 2
1
–
−1=1
+ x y 3
2 = 1−1
y 2 3
2=1
=
y 6 & y 12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Birinci Dereceden Denklemler
Konu Testi - 3
x y
+ =4
2 3
x–y=3
3x + y = 16
olduğuna göre, y kaçtır?
D) 4
E) 5
A) 2
x+y=
2 3 4
x−y = 3
2y
5y
=− 5 & y = 3
− − y =− 5 &−
3
3
14.
B) 7
C) 8
D) 9
ax + 2y = 7
A) 1
E) 10
x y
=
2 3
15.
x + y = 25
D) 144
A) –3
E) 150
denkleminin çözüm kümesindeki elemanlardan biri
(a, a – 1) olduğuna göre, a kaçtır?
D) 4
E) 5
D) 1
E) 2
2
=2
y
2
y+ = 3
x
x
oranı kaçtır?
y
2
3
4
B)
C)
D)
3
4
5
olduğuna göre,
1
2
x.y + 2 = 2y
xy + 2 = 3x
x=2
y 3
6. D
7. D
8. E
9. C
10. C
11. E
12. C
13. B
14. C
15. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
C) –1
x+
A)
2a + 3(a – 1) = 12
5a – 3 = 12
a=3
16. B
14
E) 6
2x – y = 4
+ x + y = –13
3x = –9 ⇒ x = –3
2x + 3y = 12
C) 3
B) –2
E)
5
6
4 2y = 3x
5. C
C) 132
16.
B) 2
D) 4
(2x – y – 4)2 + (x + y + 13)2 = 0
4. B
B) 120
2y 2 y
x = 3 & 3 + y = 25
5y
& 3 = 25 & y = 15
2.15
x = 3 = 10 & x.y = 150
A) 1
C) 3
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x.y çarpımının değeri kaçtır?
12.
B) 2
a + 2.3 = 7 ⇒ a = 1
1 + 3b = 10 ⇒ b = 3
a.b = 3
x = 2y
2x + y = 40 ⇒ 2(2y) + y = 40
5y = 40
y=8
A) 100
E) 8
denklem sisteminin çözüm kümesi {(1, 3)} olduğuna
göre, a.b çarpımının değeri kaçtır?
olduğuna göre, y kaçtır?
11.
D) 6
x + by = 10
2x + y = 40
A) 6
C) 5
x+y
= 2 ⇒ x + y = 2y ⇒ x = y
y
3x + y = 16 ⇒ 3y + y = 16 ⇒ y = 4
x
=2
y
10.
B) 4
3. B
+
C) 3
2. C
–2
B) 2
olduğuna göre, y kaçtır?
1. C
A) 1
x+ y
=2
y
13.
Cevaplar
9.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Birinci Dereceden Denklemler
1.
(2x – y – 3).a + (x + y).b = 0
eşitliği her a, b için doğru olduğuna göre, y kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
Konu Testi - 4
4.
E) 2
2x – y = 3
+ x+y=0
–3y = 3 ⇒ y = –1
A) 5
–2
2.
5.
b – 1 = 3c
C) 7
D) 18
E) 9
B) a = c + 6
D) 35
E) 40
D) 3a = 2c
3x = 5y
1 1
1
+ =
x y 15
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, a ile c arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 20
C) 2a = 3c
a+2
2
a+2 − =
a
=
−
1 3c & 2 = 3c
b 1 3c & 2
& a = 6c
(3)
6.
Aşağıda verilen
d1: 2x – y + 4 = 0
d2: x – 2y – 2 = 0
B) 25
C) 30
3x
1 1
1
y = 5 & x + 3x = 15
5
1+ 5 = 1
8 = 1
=
=
x 3x 15 & 3x 15 & 3x 120 & x 40
E) a = 6c
a + 2 = 2b & b =
3.
B) 6
5
2 5 2
3 y + x = 4 y − x & x + x = 4y − 3y
7
& x =y
& x. y = 7
a + 2 = 2b
A) a = c – 4
5
x =2
1
2y x
olduğuna göre, x.y çarpımının değeri kaçtır?
3y +
(1)
Aşağıda verilen sayı merdiveninde A ve B sayıları kullanılarak 1 nolu işlem yapılır. Bu işlemin sonucuyla C sayısı
kullanılarak 2 numaraları işlem yapılır. Bu işlemin sonucuyla B sayısı kullanılarak 3 nolu işlem yapılır. Bu işlemin
sonucuyla A sayısı kullanılarak 4 nolu işlem yapılır. Yapılan
son işlemin sonucu sayı merdiveninin değeridir.
1
2
d3: 2x – 4y – 4 = 0
doğruları için,
A
I. d1 ve d2 doğruları bir noktada kesişir.
II. d1 ve d3 doğruları birbirine paraleldir.
III. d2 ve d3 doğruları çakışıktır.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
D) I ve III
B) Yalnız II
C) Yalnız III
E) II ve III
2
1
d1 ve d2; 1 ! − 2 olduğundan bir noktada kesişirler
2 −1
d1 ve d3; 2 ! − olduğundan bir noktada kesişirler
4
1 = −2 = −2
d2 ve d3; 2 −
olduğundan çakışıktır.
4 −4
B
C
4
3
Yukarıdaki şekilde 1, 2, 3 ve 4 nolu işlemleri sırasıyla +, –,
+, + işlemleridir.
B = 6 için sayı merdiveninin değeri 5 ve A + C = –2 olduğuna göre, A kaçtır?
A) –3
B) –2
[(A + 6) – C] + 6 + A = 5 ⇒
C) –1
D) 1
E) 3
2A – C = –7
+ A + C = –2
A = –3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Birinci Dereceden Denklemler
7.
Konu Testi - 4
9.
x başlangıç sayısı, y bir katsayı olmak üzere iki sayı seçiliyor ve aşağıdaki işlemler uygulanıyor.
• T
oplama işlemi y ile toplama, çıkarma işlemi y ile çıkarma işlemi istenildiği kadar uygulanıyor.
• B
aşlangıç sayısına ilk işlem uygulandıktan sonra ikinci
işlem ilk işlemin sonucuna uygulanıyor ve bu şekilde devam ediyor.
x
Yukarıda verilen hesap makinesi ile ilgili aşağıdaki bilgiler
veriliyor.
+y
23
+y
+y
+y
• Bu hesap makinesi sadece toplama yapabilmektedir.
• B
ir çocuk hesap makinesindeki toplama tuşu dışındaki iki
x
tuşa toplam 14 defa basıyor.
–7
–y
–y
• Bu iki tuştan birine her bastığında toplama tuşuna basan
çocuk sonucu 34 buluyor.
Yukarıdaki iki sayı dizisine göre, x kaçtır?
Bu iki tuşun sayı değeri toplamı 4 olduğuna göre çocuk bu iki tuştan birine en fazla kaç kez basmıştır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
x + 4y = 23
2
+ x – 2y = –7
3x = 9 ⇒ x = 3
E) 12
Tuşlar 1 ve 3 tür. 1 e x, 3 e y defa bassın
x + 3y = 34
+ x + y = 14
2y = 20 ⇒ y = 10 ve x = 4 olur.
–
10.
(m + 2)x + 6y + n + 2 = 0
3x + 2y + n – 1 = 0
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, m.n çarpımının değeri kaçtır?
A)
= 15
Yukarıda belirli işlem özellikleri ile tanımlanmış olan işlemler için;
x
+
y
=8
x
–
y
= 22
B) 3
lamı 80 dir. Bu sayıların en küçüğü a olmak üzere a nın b
ve c sayılarının her birine olan uzaklıkları toplamı 20 dir.
C) 4
Buna göre, a kaçtır?
D) 5
E) 6
A) 15
Kural: Kenar sayısı.içerideki sayı
3 3x + 4y = 8
2
+ 4x – 6y = 22
17x = 24 + 44
17x = 68
x=4
B) 16
b
7. D
8. C
9. C
10. A
11. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
a
6. A
16
29
2
11. Sayı doğrusu üzerinde işaretlenmiş a, b, c sayılarının top-
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 2
E)
5
6n − 6 = 2n + 4 & n = 2
35
m.n = 2 olur.
5. E
3
4. C
= 16
D) 16
m+2 = 6 = n+2
3
2 n−1
2m + 4 = 18 & m = 7
C) 18
c
D) 20
E) 24
c – a + b – a = 20
c + b = 20 + 2a
a + b + c = 80
a + (20 + 2a) = 80
3a = 60
a = 20
3. D
4
33
2
2. E
=6
C)
1. B
2
B) 17
Cevaplar
8.
35
2
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
09
TARAMA
1.
İki basamaklı 3 farklı asal sayının toplamı en çok kaçtır?
A) 269
B) 270
C) 271
D) 273
4.
E) 275
c1 -
1 1
11
| m+
3 2
3
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
97 + 89 + 83 = 269
2 11
9
a1 - 31 . 21 k + 11
3 = 1- 3 + 3 = 1+ 3 = 4
2.
Rakamları asal sayı olan üç basamaklı en küçük tek
doğal sayı ile rakamları farklı iki basamaklı en küçük
çift tam sayının toplamı kaçtır?
A) 2
B) 7
C) 111
D) 125
5.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 5
E) 127
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
2x + 8 – 8 = 4 – 3x + 6
2x = 10 – 3x
5x = 10 ⇒ x = 2
223 + (–98) = 125
3.
2(x + 4) – 8 = 4 – 3(x – 2)
Asal sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıp ilk 16 asal
sayı verilen şekle sayılar yukarıdan aşağıya ve soldan
sağa artacak şekilde yerleştiriliyor.
6.
1
2
3
40
Özge elinde bulunan sınırlı sayıda şekeri yukarıda 1, 2, 3
... 40 doğal sayıları ile numaralandırdığı çocuklara aşağıdaki kurallara uyarak dağıtıyor.
AA Her çocuğa en çok bir şeker verilecektir.
x
AA Hem 3 hemde 5 ile aralarında asal numaralı çocuklara
y
şeker verilmeyecek, geriye kalanlara şeker verilecektir.
Buna göre, y – x farkı kaçtır?
A) 22
B) 21
C) 20
D) 19
E) 18
Bu dağıtım sonunda Özge'nin elinde şeker kalmadığına göre, Özge'nin şeker sayısı kaçtır?
A) 16
2
3
5
7
11 13 17 19
23 29 31 37
y – x = 53 – 31
=22
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
3 ve 5 ile aralarında asal sayılar elendiğinde geriye 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15,
18, 20, 21, 24, 25, 27, 30, 33, 35, 36, 39, 40 numaralı çocuklar kalır. Her
çocuğa 1 şeker verildiğinden 19 şeker vardır.
41 43 47 53
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
1
Tarama
7.
a ve b birer rakamdır.
Buna göre,
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
a2 = b
A) –4
koşulunu sağlayan kaç farklı ab iki basamaklı sayısı
vardır?
A) 2
2
$ x + 2 | (x + 2 ) = 3
x+ 2
10.
B) 3
C) 4
D) 5
B) –3
E) 6
1
1
-2 |4+ 2$
2
3
işleminin sonucu kaçtır?
B)
1
12
C)
D) 7
E) 8
64
111
olduğuna göre, a kaçtır?
0,a76a76a76... =
A) 4
1
10
E) 2
&x=- 4
11.
A)
D) 0
2x
2
+
=
x+ 2 x+ 2 3
2x + 2
= 3 & 2x + 2 = 3x + 6
x+ 2
a = 1 ⇒ b = 1 ⇒ ab = 11
a = 2 ⇒ b = 4 ⇒ ab = 24
a = 3 ⇒ b = 9 ⇒ ab = 39
olmak üzere 3 tane ab vardır.
8.
C) –1
1
16
D)
1
18
E)
1
24
B) 5
C) 6
64
a76
64
0, a76 = 111 & 999 = 111
⇒ a76 = 9.64
⇒ a76 = 576
⇒a=5
5
2
5 2
1
- 2 : 4 + 3 = - 8 + 3 = 24
12. Aritmetik işlemlerle ilgili bir bilgisayar oyununda oklar ve
çemberlerden oluşmuş şekiller kullanılmaktadır. Her şekilde birer okun yanında belirtilen işlemin yapılması ve
elde edilen sonucun okun gösterdiği çemberlerin içine
yazılması gerekmektedir.
c1 +
1
m  0,75 = 2
4
1
0,3  3 = 1
3
9.
0,4  0,02 = 20
Yukarıda verilen üç işlemde kullanılan ,  ve  geometrik şekilleri " . ", " + ", " – " ve " : " işlemlerinden üçünün
yerine kullanılmıştır.
.4
–4
x
.2
–2
x
Buna göre
y
.3
1242
işleminin sonucu kaçtır?
13
A)
2
B) 7
15
C)
2
75 5
5
3
4  100 = 4  4 = 2 &  = +
3
10
.
=
10  3 1 &  =
4
2
=
10  100 20 &  = : dir.
1
17
1 : 2 + 4. 2 = 2 + 8 = 2
2
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
D) 8
÷6
+12
17
E)
2
olduğuna göre, y kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
(x – 4).4 = 2.x ⇒ 4x – 16 = 2x ⇒ x = 8
8
10
3
30
18
D) 5
E) 6
Tarama
13. a asal sayı ve b tam sayıdır.
16. Birbirinden farklı 21 sayma sayısının toplamı 312 dir.
Buna göre, bu sayıların en büyüğü en çok kaçtır?
a.b – a = 70
olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 13
b=
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
70 + a = + 70
1 a
a
A) 32
B) 38
C) 84
D) 96
E) 102
1 + 2 + 3 + ... + 20 + x = 312
20 $ 21 +
x = 312
2
x = 312 – 210
x = 102
a = 2, a = 5 ve a = 7 olur.
2 + 5 + 7 = 14 bulunur.
14. a ve b pozitif tam sayılardır.
17. A, B ve C kümeleri için
a+ 1
+ 5,6 = 6
b
I. A ∩ B = C ∩ B ise A = C dir.
II. A ⊂ B ve B ⊂ A ise A = B dir.
olduğuna göre, a + b toplamının en küçük değeri kaçtır?
III. (A ∪ B′)′ ∩ A = ∅
A) 4
ifadelerinden hangileri daima doğrudur?
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
a+1
b = 6 – 5,6
A) Yalnız I
B) Yalnız III
D) II ve III
a+1
a+1 = 4 = 2
= 0, 4 &
10 5
b
b
a + 1 = 2 ve b = 5
a + b = 6 olur.
15. Bir sayıdaki soldan sağa doğru iki rakam ile bu iki rakam
arasında kalan rakam adedinin çarpımına bu iki rakamın
komşuluk değeri denir. Sayıdaki rakamlardan oluşan rakam çiftlerinin hepsi için komşuluk değerleri hesaplanıp
toplandığında bulunan değere sayının komşuluk değeri
denir.
C) I ve II
E) I, II ve III
I. A = {1, 2} , B = {2} ve {2, 3}
kümelerini ele aldığımızda
A ∩ B = B ∩ C olduğu halde A = C olmadığı görülür.
II. A ⊂ B ve B ⊂ A ise A = B dir.
III. A′ ∩ B ∩ A = ∅ dir.
18. Aşağıda verilen şekil eş parçalara bölünmüş bir bütündür.
Örneğin,
132 sayısı (1, 3), (1, 2), (3, 2) rakam çiftlerinin komşuluk değerleri şöyle hesaplanır.
• 1 ile 3 arasında rakam bulunmadığından bu çift için
komşuluk değeri 1.3.0 = 0 dır.
• 1 ile 2 arasında 1 adet rakam bulunduğunda bu çift için
komşuluk değeri 1.2.1 = 2 dir.
• 3 ile 2 arasında rakam bulunmadığından bu çift için
komşuluk değeri 3.2.0 = 0 dır. • 132 sayısını komşuluk değeriyse 0 + 2 + 0 = 2 dir.
Taralı bölgenin alanına karşılık gelen kesir x dir.
5
Buna göre, 0, 6.x + ifadesinin değeri aşağıdakilerx
den hangisidir?
49
4
47
4
3A46 sayısının komşuluk değeri 66 olduğuna göre A
kaçtır?
A)
A) 2
5
5
5
6 5
12
x = 12 & 0, 6. 12 + 5 = 10 . 12 + 5. 5
12
1
= 4 + 12
49
= 4
B) 3
C) 4
(3, A) için 3.A.0 = 0, (3, 4) için 3.4.1 = 12
(3, 6) için 3.6.2 = 36, (A, 4) için A.4.0 = 0
(A, 6) için A.6.1 = 6A, (4, 6) için 5.6.0 = 0
12 + 36 + 6A = 66 ⇒ A = 3
D) 5
E) 6
B) 12
C)
D)
23
2
E)
45
4
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
3
Tarama
19.
A = {1, 2, 3}
kümesinin kendisi hariç alt kümelerini eleman olarak
kabul eden B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
A) 8
B) 16
C) 32
D) 64
22.
1
0, 003
(0, 2 $ 0, 3 - 0, 03 $ 0, 5) $
işleminin sonucu kaçtır?
A) 40
E) 128
B) 25
C) 20
D) 18
1
1
45
(0, 060 - 0, 015) $ 0, 003 = 0, 045. 0, 003 = 3 = 15
S(B) = 23 – 1 = 7
B nin alt küme sayısı 27 = 128
3x x + 1 1
+
=
2
6
3
23.
20. • a, b ve c tam sayılardır.
• b sayısı c sayısının 3 katından küçüktür.
olduğuna göre, x kaçtır?
• a + b + c = 14
A) 0,1
• c<0
3x x + 1
1
2 + 6 = 3 & 9x + x + 1 = 2
olduğuna göre, a sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 19
B) 20
E) 15
C) 21
D) 22
(3)
B) 0,2
(1)
C) 0,3
D) 0,4
E) 0,5
(2)
1
& x = 10 = 0, 1
E) 23
c = –1 için
b < 3c ⇒ b < –3 ⇒ b = –4 olur.
a + b + c = 14
a – 4 – 1 = 14
a = 19 olur.
21. 1 den 9 a kadar olan rakamlar elektronik ortamda gizlilik
amacıyla aşağıdaki gibi kodlanıyor.
Sayı
Kod
1
.
2
..
3
–
4
.–
5
–.
6
––
7
8
9
.– – – – . – .–
24. Aşağıda verilen dört işlem ve eş karelerle oluşturulan
şekilde her satır veya sütunda bulunan işleminin sonucu
satır veya sütunun yanlarında gösterilmiştir.
a
÷
Sayılar kodlanırken iki rakam arasında " / " sembolü kullanılıyor. Bu sembolün unutulması durumunda kodlar, birden fazla sayıya karşılık geliyor.
3
biçiminde oluşturulan kod aşağıdaki sayılardan hangisine karşılık gelmez?
A) 1133111331311 B) 2332133151
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
A) 8
C) 2624551
E) 23324451
23324451 sayısının kodu
"⋅⋅– –⋅⋅⋅ –⋅– – ⋅⋅"
olduğundan koda karşılık gelmez.
4
.
a
=c
=
6
Buna göre, b + c toplamının değeri kaçtır?
".. – – ... – – . – .."
D) 1452851
–
=
b
" / " sembolü unutularak
= 12
+
+
B) 9
a + x = 12
x–a=6
x = 9 ve a = 3
C) 10
⇒ 3÷3=b⇒b=1
3.3 = c ⇒ c = 9
b + c = 10
D) 11
E) 12
Tarama
25.
28. a ve b aralarında asal iki pozitif tam sayıdır.
3x – 9y + a = 0
(a – 2).(b + 6) = 18
2x – by + 4 = 0
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı
olduğuna göre, a + b kaçtır?
A) 14
B) 13
C) 12
D) 11
olduğuna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
A) 6
E) 10
29.
–
–
–
0, a + a, a = 10, 9
B) 8
C) 7
D) 9
E) 10
D) 6
E) 7
7! – x.5! = 38.5!
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 9
C) 8
(a – 2).(b + 6) = 2.9
a–2=2⇒a=4
a + b = 7 olur.
b+6=9⇒b=3
3 -9 a
2 = -b = 4
3 9
2 = b & b = 6 a + b = 12
4
3 a
2= 4&a= 6
26. a bir rakam olmak üzere
B) 7
A) 3
D) 6
B) 4
C) 5
E) 5
a aa - a
aa
9 + 9 = 11 & 9 = 11
7.6.5! – x.5! = 38.5!
5!(42 – x) = 38.5!
42 – x = 38
x=4
& aa = 99
&a= 9
30. Arif ve Fatih'in oynadığı bir sayı oyununun kuralları şöyle27. Bir elmanın ağırlığı, bir kayısının ağırlığından 2 gram fazla, bir eriğin ağırlığından 3 gram fazladır.
dir.
AA Arif sayma sayılarını küçükten büyüğe doğru 1 den
başlayarak içinden söylemeye başlıyor.
AA Fatih istediği zaman Arif'e dur diyor ve Arif'ten söylediği
sayıları toplamasını istiyor.
AA Daha sonra Arif bulduğu toplamı Fatih'e söylüyor ve
Aynı tür meyvelerin ağırlıkları aynı ve terazi dengede
olduğuna göre, bir elmanın ağırlığı kaç gramdır?
A) 7
elma
x
B) 6
erik
x–3
C) 5
kayısı
x–2
x + x – 2 + 2(x – 3) = 2x + x – 3
4x –8 = 3x – 3
x = 5 gram
D) 4
E) 3
Fatihten söylediği bütün sayma sayılarını çarpmasını
istiyor.
Fatih'in bulduğu çarpma işlemi içerisinde 8 tane 3
çarpanı bulunduğuna göre, Arif'in bulduğu toplam en
az kaçtır?
A) 171
B) 184
C) 190
D) 210
E) 253
Arif x sayma sayısında durmuş olsun Fatihin bulduğu çarpım
1.2.3...x = x! olur. x içerisinde 8 tane 3 çarpanı varsa
18 3
⇒ 6 + 2 = 8 olduğundan x en az 18 olur.
6 3
18.19
1 + 2 + 3 + ... + 18 = 2 = 9.19 = 171
2
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
5
Tarama
31.
34. ab ve cd iki basamaklı doğal sayılardır.
A= {2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7}
ab.cd = 575
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi
olduğuna göre, a + b + c + d toplamının değeri kaçtır?
(A ∩ B) x (A – B)
A) 14
kartezyen çarpımının bir elemanıdır?
A) (4, 7)
B) (2, 5)
D) (5, 2)
C) (3, 6)
E) (5, 4)
B) 13
C) 12
D) 11
E) 10
ab.cd = 23.25
a + b + c + d = 2 + 3 + 2 + 5 = 12
A ∩ B = {4, 5}
A – B = {2, 3}
o halde (5, 2) kartezyen çarpımın bir elemanıdır.
35. a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere
32. x bir rakam olmak üzere
a2 + 4b2 + 5c2
0, 36
4, 2
0, x
+
+
0, 036 1, 4 0, 00x
ifadesi çift sayıdır.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 303
B) 213
C) 120
Buna göre,
D) 113
E) 13
I. a . b
II. a + c
III. a + b + c
360 42 x00
36 + 14 + x = 10 + 3 + 100 = 113
ifadelerinden hangileri kesinlikle çift sayıdır?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
a2 + 4b2 + 5c2 çift ise a2 + 5c2 çift a + c çifttir.
o halde a + c çifttir.
33. Altıgenler ve karelerden oluşan aşağıdaki şekilde altıgen
içerisinde bulunan sayının faktöriyelinin birbirinden farklı
asal çarpanlarının adedi sol karenin içerisine, sondan kaç
basamağı sıfır ise sağ karenin içerisine yazılıyor.
36. a ve b rasyonel sayılar olmak üzere
• a.b çarpımının sonucu basit kesir ise
a
a
Buna göre, en sağda bulunan kutucuğun içerisinde
bulunan sayı en az kaçtır?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
İçinde 11 tane asal çarpanı bulunduran sayı en az 31!, 31! sayısının
sondan 7 basamağı sıfırdır. İçinde 7 tane asal çarpan bulunduran sayı
en az 17!, 17! sayısının sondan 3 basamağı sıfırdır. İçinde 3 tane asal
çarpan bulunduran sayı en az 5!, 5! sondan 1 basamağı sıfırdır.
6
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
= a.b + a – 1
• a.b çarpımının sonucu bileşik kesir ise
11
A) 1
b
b
Buna göre,
A) 0,2
= a.b – b dir.
10
9
B) 0,16
36
25
ifadesinin sonucu kaçtır?
C) 0,15
D) 0,1
10 36
8
a.b = 9 . 25 = 5 bileşik kesir.
10 36
10 36 36
8 36
4
16
9 25 = 9 . 25 - 25 = 5 - 25 = 25 = 100 = 0, 16
E) 0,05
Tarama
37. xy iki basamaklı bir sayıdır.
40. a ve n pozitif tam sayılardır.
2! . 3! . 4! ... 22! = a . 13n
(xy)!
sayısı iki basamaklı en büyük doğal sayıyı içerisinde
barındırdığına göre, x + y toplamı en az kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 7
E) 10
(xy)! içerisinde 99 = 9.11 varsa xy en az 11 olur. x + y en az 1 + 1 = 2 dir.
olduğuna göre, n sayısı en çok kaçtır?
A) 14
B) 13
C) 12
D) 11
E) 10
13!, 14!, 15!, ..., 22! sayıları içerisinde 13 sayısı birer tane vardır. O hâlde n en çok 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 10 dur.
10
41. Bir öğrenci üç basamaklı abc ve xyz sayılarını alt alta
toplamak isterken sayıları hizalamamış ve aşağıdaki iki
toplama işlemi yapmıştır.
abc
xyz
+
2463
abc
xyz
+
1464
Buna göre, a + b + c + x + y + z toplamının sonucu
kaçtır?
A) 12
38. b ve c doğal sayılardır.
olduğuna göre,
A = c.2b
ifadesinde b en çok kaçtır?
B) 20
C) 22
C) 14
D) 15
E) 16
c = 3, z = 4, a = 1 dir.
c = 3 ise y = 3
z = 4 ise b = 2
x = 2 ve y = 3
a + b + c + x + y + z = 15 olur.
A = 2.4.6.8...24
A) 18
B) 13
D) 24
E) 26
42. Aşağıdaki şekil sayılar ve çemberlerden oluşan bir dairesel yolu göstermektedir.
A = 2.2.2...2. 1.2.3 ... 12
12 tane
A = 212.12!
12! içerisinde 10 tane 212 ifa12 2
desinde 12 tane 2 çarpanı ol6 2
mak üzere b en çok 22 dir.
3 2
1
1
9
2
3
8
4
7
6
5
• B
ir çocuk bu çemberler üzerine basarak bu yol boyunca hareket etmektedir.
• Çocuk herhangi bir çemberden başlamak üzere her
hamlesinde ya bulunduğu çemberin komşu çemberine
ya da bulunduğu çemberin sağında veya solunda bulunan 2. çembere basmaktadır.
39. AB4 ve 1AB üç basamaklı doğal sayılardır.
AB4 – 1AB = 57
olduğuna göre, A – B farkının değeri kaçtır?
A) –2
B) –3
C) –4
100A + 10B + 4 – 100 – 10A – B = 57
90A + 9B = 153
10A + B = 17
A – B = 1 – 7 = –6
D) –5
E) –6
• Çocuğun ilk bastığı, ikinci bastığı ve üçüncü bastığı
çemberler üç basamaklı bir sayının sırasıyla birler, onlar ve yüzler basamağındaki rakamı göstermektedir.
Buna göre, bu kuralla yazılabilecek en büyük üç basamaklı sayı ile yüzler basamağı 6 olan en küçük üç
basamaklı sayının toplamı kaçtır?
A) 1631
B) 1431
C) 1100
D) 1050
E) 1010
en büyük sayı 989
en küçük sayı 642
+
1631
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
7
Tarama
1 1 1
+ =
x a b
43.
46.
olduğuna göre, x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
a- b
ab
B)
D)
a+ b
ab
a- b
a
C)
E)
ab
a+ b
3a - 4
a
a+ 2
,
ve
2a - 7 5a - 11
4a - 13
ifadelerini tanımsız yapan değerler sırasıyla x, y ve z dir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) y < x < z
ab
a- b
B) y < z < x
D) x < z < y
1 1 1 1 a- b
x = b - a & x = ab
C) x < y < z
E) z < y < x
7
11
13
x = 2, y = 5 , z = 4
70
44
65
x = 20 , y = 20 , z = 20
ab
& x = a- b
y <z <x
0, 3
a=
0, 7
0, 04
b=
0, 09
0, 006
c=
0, 011
44.
47.
x + y = 14
olduğuna göre, x.y çarpımının sonucu kaçtır?
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) a < b < c
3x – 2y = 12
B) a < c < b
D) c < a < b
A) 48
C) b < a < c
E) c < b < a
2
+
3
4
6
a = 7 , b = 9 , c = 11
12
12
12
a = 28 , b = 27 , c = 22
B) 45
C) 42
D) 40
E) 36
3x – 2y = 12
x + y = 14
5x = 40 ⇒ x = 8 ve y = 6
⇒ x.y = 48
a <b <c
45. Üç basamaklı doğal sayılar karşılaştırılıyor ve bu sayıların
48.
1+
basamak değerlerinin her biri için yüzler basamağı Y veya
y, onlar basamağı O veya o, birler basamağı B veya b
olarak harfleri ile sembolleniyor.
24
= 13
8
6
1+
3- x
1+
2
• A
BC üç basamaklı sayısında A, B ve C rakamlarından
hangisi en büyük olan ise basamak değeri büyük harfle diğer ikisi küçük harfle gösteriliyor.
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
• Eğer A, B ve C den ikisi birden en büyük ise o iki harfin
basamak değeri de büyük harfle diğer rakamın basamak değeri küçük harfle gösteriliyor.
6
= 2 & 1+
=4
6
3- x
+
1
3- x
2
1+ 2
3- x
6
= 3 & 1+ 2 = 2 & 3- x = 2 & x = 1
&
3- x
1+ 2
Örneğin,
173 = yOb, 732 = Yob, 549 = yoB, 772 = YOb
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
8
1+
AB7 = Yob ve B4C = yOb olduğuna göre, koşullara
uygun kaç farklı ABC üç basamaklı sayısı yazılabilir?
A) 24
B) 28
C) 32
D) 36
E) 40
AB7 = Yob ⇒ A > 7 ⇒ A = {8, 9}
B4C = yOb ⇒ b< 4 ve C < 4 ⇒ B = {1, 2, 3} ve C = {0, 1, 2, 3}
ABC = 2.3.4 = 24 tane sayı vardır.
Cevaplar
34. C
18. A
17. D
2. D
1. A
35. B
19. E
3. A
36. B
20. A
4. B
37. A
21. E
5. D
38. C
22. E
6. D
39. E
23. A
7. B
40. E
24. C
8. E
41. D
25. C
9. E
42. A
26. A
10. A
43. E
27. C
11. B
44. A
28. B
12. B
45. A
29. B
13. B
46. B
30. A
14. C
47. A
31. D
15. B
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
33. A
48. D
32. D
16. E
8
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
10
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Eşitsizlikler
hhEŞİTSİZLİKLER
Örnek 1:
a ve b reel sayılar olmak üzere
Aşağıda verilen kümelerin eleman sayılarını bulunuz.
hh ax + b < 0

A = {x: –3 < x < 4, x Î Z}
A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}, s(A) = 6
hh ax + b > 0
hh ax + b ≤ 0

hh ax + b ≥ 0
B = {x: x Î [–1, 2), x Î Z}
B = {–1, 0, 1}, s(B) = 3
ifadelerine birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir.

C = {x: 1 ≤ x ≤ 10, x Î Z}
C = {1, 2, 3, 4 ... 10}, s(C) = 10
hhGerçek Sayı Aralıkları
a ve b gerçek sayılar olmak üzere

D = {x: –1 < x ≤ 4, x Î R}
s(D) = ∞
hh a < x < b ise x sayısının değer aralığı (a, b) şeklinde gösterilir.
a
Cevap: 6, 3, 10, ∞
b
Örnek 2:
hh a ≤ x < b ise x sayısının değer aralığı [a, b) şeklinde gösterilir.
-
5
7
<x <
4
3
eşitliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
a
b
hh a ≤ x ≤ b ise x sayısının değer aralığı [a, b] şeklinde gösterilir.
a
A) –2
B) –1
C) 0
7
5
- 4 = - 1, 25 ve 3 , 2, 3
olduğundan –1 + 0 + 1 + 2 = 2 olur.
D) 1
E) 2
Cevap: E
b
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Eşitsizlikler
Örnek 3:
Örnek 5:
Aşağıda verilen kümeleri aralık biçiminde gösteriniz.
Aşağıda sayı doğrusu üzerinde gösterilen kümeleri
aralık biçiminde yazınız.

A = {x: –2 < x < 4, x Î R}

(–2, 4)

–4
6
–5
–1

(–4, 6]
C = {x: 2 ≤ x ≤ 7, x Î R}
[2, 7]

5
(3, 5)
B = {x: –3 ≤ x < 5, x Î R}
[–3, 5)

3

D = {x: x ≥ 4, x Î R}
[–5, –1]
[4, ∞)


(4, ∞)
(–∞, –2)

Örnek 4:
A = [–2, 5)

–10
B = [–3, 4] ise A ∩ B yi bulunuz.
–3
–7
–5
1
(–10, –7] ∪ [–5, 1)
–2

5
(–∞, 5]
Aşağıda verilen soruları cevaplayınız.

4
E = {x: x < –2, x Î R}
4
5
A ∩ B = [–2, 4]
hhEşitsizliklerin Özellikleri
A = [–1, 3) ve B = (4, 7] ise A Ç B yi bulunuz.
1.Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir ya da çıkartılır
ise eşitsizliğin yönü değişmez.
–1
3
4
7
A∩B=∅

a < b ⇒ a – n < b – n
A = (–3, 2) ve B = [1, 5) ise A ∪ B yi bulunuz.
1
–3
2.Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir reel sayı ile çarpılır ya da
bölünür ise eşitsizliğin yönü değişmez.
2
5
A ∪ B = (–3, 5)
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
n bir pozitif tam sayı olmak üzere
a < b ⇒ a.n < b.n
Cevap: [–2, 4], ∅, (–3, 5)
2
a < b ⇒ a + n < b + n
a < b ⇒
a b
<
n n
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Eşitsizlikler
3.Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir reel sayı ile çarpılır ya da
bölünürse eşitsizliğin yönü değişir.
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
n negatif reel sayı olmak üzere

a < b ⇒ a.n > b.n
a < b ⇒
Örnek 8:
2<x–1≤8⇒3<x≤9
Ç.K. = (3, 9]
a b
>
n n
Örnek 6:

Aşağıda verilen eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.

x 1
1< - #4
2
2#
1 - 3x
<5
5
10 ≤ 1 – 3x < 25
9 ≤ –3x < 24
–3 ≥ x > –8 ⇒ –8 < x ≤ –3
x–4<6
Ç.K. = (–8, –3]
x < 10 ⇒ Ç.K. = (–∞, 10)

Cevap: (3, 9], (–8, –3]
2x + 1 > 7
Örnek 9:
2x > 6 ⇒ x > 3 ⇒ Ç.K. = (3, ∞)

3x – 4 ≤ 5x + 4
4x + 1
<5
5
eşitsizlik sistemini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
x- 3
#4
2
x – 3 ≤ 8 ⇒ x ≤ 11 ⇒ Ç.K. = (–∞, 11]

1 - 3x
$5
2
⇒ x ≥ –4
1 – 3x ≥ 10 ⇒ –3x ≥ 9 ⇒ x ≤ –3 ⇒ Ç.K. = (–∞, –3]

Cevap: 10
3x – 5x ≤ 4 + 4 ⇒ –2x ≤ 8
4x + 1 < 25 ⇒ 4x < 24 ⇒ x < 6
2x + 5
<- 3
-4
–4 ≤ x < 6 olmak üzere {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} 10 tanedir.
7
7
2x + 5 > 12 ⇒ 2x > 7 ⇒ x > 2 ⇒ Ç.K. = ( 2 , ∞)
Örnek 7:
7
Cevap: (–∞, 10), (3, ∞), (–∞, 11], (–∞, –3], c , 3 m
2
Örnek 10:
x- 1
>2
4
1 – 2x < 7
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.

3x – 2 ≤ x – 12
3x – x ≤ –12 + 2
2x ≤ –10
x ≤ –5
Ç.K. = (–∞, –5]

x- 2
$ 2x + 6
3
x – 2 ≥ 6x + 18
x – 6x ≥ 2 + 18
–5x ≥ 20 ⇒ x ≤ –4
Ç.K. = (–∞, –4]
Öğretmen
Sorusu
Cevap: (–∞, –5], (–∞, –4]
eşitsizlik sistemini sağlayan en küçük x tam sayı kaçtır?
x–1>8⇒x>9
Cevap: 10
–2x < 6 ⇒ x > –3
(x > 9) ∩ (x > –3) = x > 9 olduğundan x en az 10 dur.
a . b3 < 0
a2 . b > 0
olmak üzere
3x - 1 - 16
#
a
a
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
a < 0 ve b > 0 dır.
a.
3x - 1 - 16
$
.a
a
a
3x - 1 $ - 16
x $ - 5 & 6- 5, 3h
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Eşitsizlikler
4.a < b < c eşitsizliğinin çözümü yapılırken a < b ve b < c eşitsizlik sisteminin çözümü yapılır.
Örnek 14:
a ve b gerçek sayılardır.
a ≥ 12
Örnek 11:
3a + 4b = 16
olduğuna göre, b sayısının alabileceği en büyük tam
sayı değeri kaçtır?
3x – 1 < x + 3 < 2x – 3
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Cevap: –5
16 - 4b
3
16 - 4b
a $ 12 &
$ 12 & 16 - 4b $ 36
3
a=
3x – 1 < x + 3 ⇒ 2x < 4 ⇒ x < 2
Cevap: ∅
x + 3 < 2x – 3 ⇒ –x < –6 ⇒ x > 6
& - 4b $ 20
(x < 2) ∩ (x > 6) = ∅
& b #- 5
b en büyük –5 olur.
Örnek 15:
Örnek 12:
x ve y tam sayılardır.
–1 < x < 4 olmak üzere
4≤x<7
7 – 3x
2x + y = 10
ifadesinin alabileceği değer aralığını bulunuz.
Cevap: –5 < 7 – 3x < 10
–1 < x < 4 ⇒ 3 > –3x > –12 ⇒ 10 > 7 – 3x > –5 ⇒ –5 < 7 – 3x < 10
olduğuna göre, y sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Cevap: 0
x = 4 için 8 + y = 10 ⇒ y = 2
x = 5 için 10 + y = 10 ⇒ y = 0
x = 6 için 12 + y = 10 ⇒ y = –2
+
0
Örnek 13:
5.a ile b aynı işaretli olmak üzere 1 < 1 < 1 ise a > x > b dir.
1<x≤5
x+y=2
olduğuna göre, y sayısının değer aralığını bulunuz.
y=2–x
a
Örnek 16:
Cevap: –3 ≤ y < 1
1 < x ≤ 5 ⇒ –1 > –x ≥ –5 ⇒ 1 > 2 – x ≥ –3 ⇒ 1 > y ≥ –3 ⇒ –3 ≤ y < 1
x
b
1
1
1
<
<
14 x - 2 5
olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Cevap: 8
14 > x – 2 > 5
⇒ 16 > x > 7
1
1
1
<
<
4 x- 1 6
olduğuna göre, x in alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı
kaçtır?
-
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
x<1
1
1
- <
4 x-1
–4 > x – 1
–3 > x
x < –3
1
x>1
1
1
<
x-1 6
x–1>6
x>7
... –8 –7 –6 –5 –4 + 8 + 9 + 10 ... = –22
Öğretmen
Sorusu
x ∈ {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} olmak üzere 8 tane tam sayı vardır.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Eşitsizlikler
1.
Konu Testi - 1
5.
[–2, 4)
aralığında kaç tane tam sayı vardır?
A) 5
B) 6
C) 7
Çözüm aralığı mavi renk ile gösterilmek üzere,
2x – 4 < 2
D) 8
eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
E) 9
{–2, –1, 0, 1, 2, 3} olmak üzere 6 tanedir.
A)
B)
3
C)
D)
3
E)
2.
[3, 5]
3
3
2x < 6 ⇒ x < 3
aralığında kaç tane sayı vardır?
A) 1
0
3
B) 2
C) 3
3
D) 6
E) ∞
[3, 5] aralığında sonsuz eleman vardır.
x- 1 1
$
3
2
6.
olduğuna göre, x in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
A) 1
3.
2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2x – 2 ≥ 3 ⇒ 2x ≥ 5
5
⇒x≥ 2
x en küçük 3 olur.
9
Yukarıda sayı doğrusunda gösterilen sayıların kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) [2, 9)
B) [2, 9]
C) (2, 9]
D) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
x+ 1 x 1
- $
3
2 4
7.
eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır?
E) {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
(2, 9] aralığıdır.
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
x+ 1 x
1
3 - 2 $ 4 & 4 x + 4 - 6x $ 3
(4)
(6)
(3)
- 2x $ - 1
1
x#2
x en büyük 0 olur.
4.
A = [–10, 10) ve B = (0, 12]
olduğuna göre, A Ç B kümesinin tam sayı elemanlarının toplamı kaçtır?
A) 45
B) 42
C) 40
–10
0
A ∩ B = (0, 10)
9.10
1 + 2 + 3 + ... + 9 = 2 = 45
D) 36
10
E) 30
12
8.
7 ≤ 5x – 3 < 17
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
7 ≤ 5x – 3 < 17 ⇒ 10 ≤ 5x < 20
2≤x<4
2+3=5
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Eşitsizlikler
9.
Konu Testi - 1
3x – 1 < 5
x+4≥3
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı
kaçtır?
A) –2
9 6 4
< <
16 x 5
13.
B) –1
C) 0
D) 1
A) 25
B) 27
C) 30
D) 35
E) 39
16 x 5 96
30
9 > 6 > 4 & 9 >x > 4
32
15
& 3 >x > 2
E) 2
3x < 6 ⇒ x < 2
x + 4 ≥ 3 ⇒ x ≥ –1
–1 ≤ x < 2 olur. –1 + 0 + 1 = 0
8 + 9 + 10 = 27
14. Aşağıda x sayısının değer aralığı sayı doğrusu yardımıyla
verilmiştir.
10.
3x – 7 < 4x + 2 < 3x + 5
4
eşitsizliğini sağlayan x doğal sayılarının toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
x
=y
0, 25
E) 7
12
olduğuna göre, y nin değer aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
3x – 7 < 4x + 2 ⇒ –x < 9 ⇒ x > –9
4x + 2 < 3x + 5 ⇒ x < 3
o hâlde –9 < x < 3 ve 0 + 1 + 2 = 3 bulunur.
A) (1, 3)
B) (4, 8)
D) (12, 36)
11.
-1<
E) (16, 48)
25
x = 0,25.y ⇒ x = 100 .y ⇒ y = 4x
4 < x < 12 ⇒ 16 < 4x < 48
⇒ 16 < y < 48
⇒ (16, 48)
x- 1
#3
2
olduğuna göre, 2x + 1 ifadesinin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) [3, 7]
C) (4, 12)
B) [–7, 1]
D) (2, 15]
C) (–1, 7]
15. x ve y birer tam sayıdır.
1 < x < 4
E) (–1, 15]
x.y = 24
–2 < x – 1 ≤ 6 ⇒ –1 < x ≤ 7
–2 < 2x ≤ 14 ⇒ –1 < 2x + 1 ≤ 15
⇒ (–1, 15]
olduğuna göre, y değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
x = 2 ⇒ 2y = 24 ⇒ y = 12
x = 3 ⇒ 3y = 24 ⇒ y = 8
12 + 8 = 20
12. 4 < x ≤ 10 olmak üzere
3x – 2y = 4
olduğuna göre, y nin alabileceği kaç farklı tam sayı
değeri vardır?
A) 10
B) 9
3x – 2y = 4 ⇒ x =
4<
2y + 4
3
C) 8
D) 7
E) 6
16.
-
1
1
1
G
<4 m+ 1
6
olduğuna göre, m nin alabileceği kaç farklı tam sayı
değeri vardır?
2y + 4
3 # 10 & 12 < 2y + 4 # 30
A) 1
& 8 < 2y # 26
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
–4 ≥ m + 1 > –6
–5 ≥ m > –7 ⇒ m = –5 ve m = –6 olmak üzere 2 tanedir.
& 4 < y # 13 & 5, 6, 7...13
ise 9 tanedir.
1. B
2. E
3. C
4. A
5. A
6. C
7. B
8. D
9. C
10. A
11. E
12. B
13. B
14. E
15. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16. B
6
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Eşitsizlikler
1.
Konu Testi - 2
4.
2 – 3(1 – 2x) ≤ 2x – (15 – 3x)
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (–∞, –7]
B) (–∞, –9]
D) (–∞, –12]
Aşağıda 1, 2, 3, 4, 5 çanaklarından ve A, B, C, D isimli
çıkış yollarından oluşan sayı makinesi verilmiştir.
C) (–∞, –10]
+2
1
x3
2
E) (–∞, –14]
2 – 3 + 6x ≤ 2x – 15 + 3x
6x – 1 ≤ 5x – 15
x ≤ –14
(–∞, –14]
÷4
4
D
5
A
+3
–10
3
C
B
2.
Bu sayı makinesine üzerinde bir sayı yazılı olan top ok
yönünde atılmakta ve hangi çanaktan geçiyorsa topun
üzerindeki sayıya o çanaktaki işlem uygulanmaktadır. Topun üzerindeki sayı her bir çanaktan çıkıp başka çanağa
geçtiğinde değişmekte ve A, B, C, D çıkışlarından birinden
çıkmaktadır. Toplar her zaman aşağıya doğru hareket etmektedir.
x, y ve z negatif tam sayılar ve
4 4 4
< <
x y z
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) x < y < z
B) x < z < y
D) z < x < y
Top sırasıyla 1 4 2 5 yolunı izleyerek C çıkışından çıktığında üzerinde yazan sayı, 1 2 3 yolunu izleyerek B çıkışından çıktığında üzerinde yazan sayıdan daha büyüktür.
C) y < x < z
E) z < y < x
4 4 4 1 1 1
x <y <z & x <y <z
Buna göre, üzerinde yazan sayı kaç olabilir?
& x >y >z
A) 3
& z <y <x
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
sayı x olsun
x+ 2
4 .3 + 3 > (x + 2) .3 - 10
3x + 6 + 12
> 3x - 4
4
3x + 18 > 12x - 16
3.
34 > 9x
34
x < 9 & x = 3 olabilir.
Arda ve Caner isimli iki çocuğun bilyeleri ile ilgili şunlar
bilinmektedir.
• Arda'nın bilye sayısı 10 dan az değil 30 dan çok değildir.
• Caner'in bilye sayısı Arda'nın bilye sayısının 3 katından 10 fazladır.
Buna göre, Caner'in bilye sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 99
B) 101
C) 105
D) 107
E) 110
Arda'nın A tane Caner'in C tane bilyesi olsun C = 3A + 10 dur.
10 ≤ A ≤ 30 ⇒ 30 ≤ 3A ≤ 90
⇒ 40 ≤ 3A + 10 ≤ 100
o hâlde C = 99 olabilir.
a- b
=3
b
5.
15 < a + b < 40
olduğuna göre, b nin alabileceği kaç farklı tam sayı
değeri vardır?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
a- b
= 3 & a = 4b
b
15 < 4b + b < 40
15 < 5b < 40
3<b<8
4, 5, 6, 7 dört tane
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Eşitsizlikler
Konu Testi - 2
^x 2 + 7h $ c 2x - 4 m < 0
5
eşitsizliğini sağlayan kaç tane x doğal sayısı vardır?
6.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
x x 1
- >
2 8 4
9.
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
E) 5
A) c 3, -
2x - 4
x2 + 7 > 0 ⇒
5 <0
⇒ 2x – 4 < 0 ⇒ x < 2
0, 1 iki tane
2
m
3
1
C) c , 3 m
2
B) (2, ∞)
2
D) c- 3, m
3
2
E) c , 3 m
3
x
x 1
2 - 8 > 4 & 4x - x > 2
(4)
(1)
(2)
2
& x >3
7.
2
Ç.K. = a 3 , 3k
[–1, n)
aralığında 5 ile tam bölünebilen 12 tane tam sayı vardır.
A) 55
B) 59
1 1
<
x 2
10.
Buna göre, n en çok kaçtır?
C) 60
D) 62
E) 65
eşitsizliğini sağlayan x değerlerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
{0, 5, 10, ..., 55}
o hâlde n en çok 60 dır.
A)
1
7
B)
4
9
C)
5
7
D)
3
2
E)
5
2
x 2
x > 0 ise 1 > 1 ⇒ x > 2 olur.
Ç.K. = x < 0 veya x > 2 dir.
5
x = 2 olabilir.
Gerçek sayılar kümesi üzerinde   ve   sembolleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
11. Bir babanın boyu 3x + 4 ve çocuğunun boyu 2x + 7 dir.
Babanın boyu 58 den küçük ve baba daha uzun olduğuna göre, x in en geniş değer aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
• A bir tam sayı ise
 A  = A = a
• A bir tam sayı değilse
A) (5, 17)
D) (3, 15)
A = A dan küçük en büyük tam sayı,
1<x<5
1<y<6
olduğuna göre, 2x – 3y ifadesinin alabileceği en
büyük değer kaçtır?
C) 7
D) 8
12. Bir ABC üçgeninin iç açılarının ölçüleri a°, b° ve c° dir.
E) 9
4c – b ≤ a
olduğuna göre, c en çok kaçtır?
1 < x < 5 ⇒ 2 < 3x < 10
1 < y < 6 ⇒ 3 < 3y < 18
2x en çok 9,3 = 9
3y en az 3,2 = 4
9–4=5
A) 25
B) 30
C) 36
D) 42
E) 45
a + b + c = 180 ⇒ a + b = 180 - c
4c ≤ a + b ⇒ 4c ≤ 180 - c ⇒ 5c ≤ 180
⇒ c ≤ 36
c en çok 36
3. A
4. A
5. D
6. B
7. C
8. A
9. E
10. E
11. E
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2. E
8
E) (3, 18)
1. E
B) 6
C) (2, 18)
3x + 4 < 58 ⇒ 3x < 54 ⇒ x < 18
2x + 7 < 3x + 4
3<x⇒x>3
3 < x < 18 ⇒ (3, 18)
A = A dan büyük en küçük tam sayıdır
A) 5
B) (2, 15)
Cevaplar
8.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Eşitsizlikler
hhEşitsizliklerin Özellikleri
Örnek 18:
6.Yönleri aynı olan eşitsizliklerde sadece taraf tarafa toplama
x ve y reel sayılar olmak üzere
işlemi yapılabilir.
2<x≤4
x<y
x≥y
x≤y
a<b
a>b
a≤b
x+a>y+b
x+a≤y+b
x+a<y+b
1<y≤2
olduğuna göre, x + 2y toplamının alabileceği en büyük
tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı
kaçtır?
Örnek 17:
2<x≤4
2
x ve y gerçek sayılar olmak üzere
Cevap: 13
1<y≤2
2<x≤4
2 < 2y ≤ 4
–1 ≤ x < 4
4 < x + 2y ≤ 8
8 + 5 = 13
2<y≤7
olduğuna göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız.

x + y toplamının en geniş aralığını bulunuz.
–1 ≤ x < 4
2<y≤7
x ve y tam sayılar olmak üzere
1 < x + y < 11 ⇒ (1, 11)

Örnek 19:
–1 < x < 7
2x + 3y toplamının en geniş aralığını bulunuz.
2
–1 ≤ x < 4
3
2<y≤7
3≤y≤5
olduğuna göre, 3x – 2y ifadesinin alabileceği en büyük
ve en küçük değerin çarpımı kaçtır?
–2 ≤ 2x < 8
6 < 3y ≤ 21
4 < 2x + 3y < 29 ⇒ (4,29)

Cevap: –120
x – y farkının en geniş aralığını bulunuz.
–1 ≤ x < 4
x = 6 ve y = 3 için 3x – 2y en büyük 3.6 – 2.3 = 12 olur.
x = 0 ve y = 5 için 3x – 2y en küçük 3.0 – 2.5 = – 10 olur.
12.(–10) = –120
–2 > –y ≥ –7
–1 ≤ x < 4
7.
–7 ≤ y < –2
–8 ≤ x – y < 2 ⇒ [–8, 2)

• Bir eşitsizlikte her iki tarafın tek kuvveti alınırsa sıralama değişmez.
x.y çarpımının en geniş aralığını bulunuz.
–1
4 ⇒ –7 ≤ x.y < 28 ⇒[–7, 28)
2
–2
8
7
–7
28
• Sınırdaki sayıların aynı işaretli olduğu aralıkta çift kuvvet alınırsa çıkan sonuçlar sıraya konur.
• Sınırdaki sayıların zıt işaretli olduğu aralıkta çift kuvvet alınırsa en küçük değer sıfır olur.
Cevap: (1, 11), (4,29), [–8, 2), [–7, 28)
Öğretmen
Sorusu
x < y ise x2m + 1 < y2m + 1
• –1 < x ≤ 4
• –2 < y < 5
• 2x – 3y + z = 20
olduğuna göre z tam sayısı en az kaçtır?
–2 < 2x ≤ 8
+
–15 < –3y < 6
–17 < 2x – 3y < 14
2x – 3y tam sayı olarak en çok 13 tür. 13 + z = 20 ⇒ Z en az
7 olur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Eşitsizlikler
8.a bir gerçek sayı olmak üzere
Örnek 20:
Aşağıda verilen eşitsizliklere göre kutucukların içlerine
gelecek sayıları bulunuz.
< x3 <
1
8

1 < x < 2 ise

–2 < x < –1 ise –32 < x5 < –1

2 < x < 5 ise

–4 ≤ x < –2 ise

–3 < x ≤ 2 ise

–2 < x2 ≤ 4 ise
Örnek 23:
< x2 < 25
4
4
0
0
<
x2
a2 < a olmak üzere
≤ 16
≤ x2 <
x=a
y = a2
9
z = a3
≤ x2 ≤ 16
olduğuna göre, x, y ve z sayılarını küçükten büyüğe
doğru sıralayınız.
Örnek 21:
x ve y reel sayılar olmak üzere
–6 ≤ x ≤ –2
–2 < y < 5
olduğuna göre, x2 + y2 toplamının alabileceği en büyük
tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı
kaçtır?
1
a2 < a ise 0 < a < 1 dir. a = 2 için
1
x= 2
1
y= 4
1
z= 8
Cevap: z < y < x
z < y < x dir.
Cevap: 64
4 ≤ x2 ≤ 36
0 ≤ y2 < 25
a2 < a ise 0 < a < 1 dir.
60 + 4 = 64
4 ≤ x2 + y2 < 61
Örnek 24:
Örnek 22:
a2 < a olmak üzere
b + 4a = 7
–2 ≤ b ≤ 2
olduğuna göre, a2 + b3 ifadesinin değeri hangi aralıktadır?
A) [–17, 17]
B) [–13, 8]
D) [–7, 7]
C) [–8, 17]
E) [–7, 1]
0 ≤ a2 ≤ 9
Cevap: [–8, 17]
–8 ≤ b3 ≤ 8
–8 ≤ a2 + b3 ≤ 17 ⇒ [–8, 17]
–4 < x < 4 olmak üzere
x2 – 4x
ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
olduğuna göre, b nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
a2 < a ise 0 < a < 1 dir.
7- b
b + 4a = 7 ise a = 4
7- b
0 < 4 <1
Cevap: 6
0 < 7 – b < 4 ⇒ –7 < – b < –3
⇒3<b<7
b en büyük 6 dır.
x2 – 4x + 4 – 4 = (x – 2)2 – 4
–6 < x – 2 < 2 ⇒ 0 ≤ (x – 2)2 < 36
⇒ –4 ≤ (x – 2)2 – 4 < 32
x2 – 4x ∈ {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ..., 31} olmak üzere 36 değer
vardır.
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Öğretmen
Sorusu
–3 ≤ a ≤ 1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Eşitsizlikler
9.a ve b birer sayma sayısı olmak üzere
Örnek 27:
xa < xb eşitsizliğinde
x<y<0<z
x pozitif basit kesir ise a > b dir.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
x pozitif bileşik kesir ise a < b dir.
A) y + z < 0
B) x – z > 0
D) x.z > 0
Örnek 25:
C) x 2 < y2
E) x + z < y + z
Cevap: E
x < y eşitsizliğinin her iki tarafına z eklenirse eşitsizliğin yönü değişmez.
3 2x - 3 3 3x - 10
<c m
c m
5
5
x + z < y + z dir.
eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır?
2x – 3 > 3x – 10
Cevap: 6
Örnek 28:
x<y
2x – 3x > –10 + 3
–x > –7
x.z > y.z
x<7
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
x en büyük 6 olur.
A) z < 0
B) y < 0
D) z > 0
C) x > 0
E) x.y < 0
Cevap: A
x < y eşitsizliği z ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştiğinden z < 0 dır.
Örnek 26:
55x ≥ 52x + 12
eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam sayısı kaçtır?
5x ≥ 2x + 12
3x ≥ 12
x≥4
x en küçük 4 olur.
Cevap: 4
Örnek 29:
a2 < a
a.b < b
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) b > 0
D) a > 0
a2 < a ⇒ 0 < a < 1
B) b < 0
C) a < 1
E) –1 < a < 0
Cevap: A
ab – b < 0 ⇒ b(a – 1) < 0
⇒b>0
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Eşitsizlikler
Örnek 30:
Örnek 33:
a < 0 < b olmak üzere
x liraya alınan bir mal y liraya satılmaktadır.
a+ b
a
y = 6x – 1800
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) –1
B)
3
2
C) 2
D) 3
a b a
+ = +
b b b 1
a
a
+
olmalıdır.
b <0 & b 1 <1
o hâlde –1 olabilir.
E) 4
olduğuna göre, bu satıştan kâr elde edilebilmesi için x
in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
y > x ⇒ 6x – 1800 > x
Cevap: A
Cevap: 361
⇒ 5x > 1800
⇒ x > 360
x en küçük 361 olur.
Örnek 31:
a < b < 0 olmak üzere
c=
2a + b
b
olduğuna göre, c nin değer aralığı nedir?
a b
a
c = 2 b + b = 2. b + 1
a
a
a < b & b > 1 & 2. b > 2
a
& 2. b + 1 > 3
Cevap: c > 3
Örnek 34:
x saat sonra bir aracın deposunda kalan benzin miktarı b
litre olmak üzere
& c >3
x ile b arasında
5x + b = 120
Örnek 32:
bağıntısı vardır. Aracın deposundaki benzin 30 litrenin altına düştüğünde depoya benzin eklenmelidir.
x, y ve z negatif gerçek sayılardır.
3x.y = 2y.z = 4x.z
olduğuna göre, x, y ve z yi küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Buna göre, araca en erken kaçıncı saatta benzin eklenmelidir?
5x + b = 120 ⇒ b = 120 – 5x
b < 30 ⇒ 120 – 5x < 30
3xy = 2yz = 4xz = 12
Cevap: y < z < x
xy = 4, yz = 6, xz = 3 ⇒ y < z < x
Sayıları pozitif gibi ele alırsak en büyük çarpımda olmayan x en küçük, en
küçük çarpımda olmayan y en büyüktür.
x < z < y sayılar negatif olduğundan y < z < x dir.
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
⇒ 90 < 5x
⇒ 18 < x
o hâlde en erken 19. saatte benzin alınır.
Cevap: 19
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Eşitsizlikler
1.
Konu Testi - 3
5.
a2 < a
a ve b gerçek sayılardır.
koşulunu sağlayan sayılardan biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) –
1
2
B)
1
2
C)
3
2
D) 2
E)
a>4
b < –2
7
3
olduğuna göre, a – b farkının alabileceği en küçük tam
sayı değeri kaçtır?
1
a2 < a ⇒ 0 < a < 1 dir. a = 2
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
a>4
–b > 2
a – b > 6 ise en az 7 dir.
2.
x ve y tam sayılardır.
2<x<4
–4 < y < –2
6.
olduğuna göre, x.y çarpımının değeri kaçtır?
A) –9
B) –10
C) –12
D) –15
–4 ≤ x < 5
olduğuna göre, x2 nin değer aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
E) –16
A) [1, 25)
x = 3 ve y = –3 için x.y = -9 olur.
B) [1, 16)
D) [0, 25)
C) [16, 25)
E) [0, 16)
0 ≤ x2 < 25 veya [0, 25)
3.
x ve y tam sayıları için
7.
–3 < x < y < 7
olduğuna göre, x3 + 4 ün alabileceği en büyük tam
sayı değeri kaçtır?
olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği en büyük
değer kaçtır?
A) 13
B) 12
C) 11
D) 10
A) 3
E) 9
2<x<5
olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği en küçük
tam sayı değeri kaçtır?
A) 5
B) 6
2<x<5
3<y≤8
C) 8
D) 12
E) 13
C) 5
D) 6
E) 7
1 x- 1
17
$c m
c m
3
3
8.
3<y<8
B) 4
(–3)3 < x3 ≤ (–1)3 ⇒ –27 < x3 ≤ –1
⇒ –23 < x3 + 4 ≤ 3
en büyük tam sayı değeri 3 tür.
x = 5 ve y = 6 için x + y en büyük 11 olur.
4.
–3 < x ≤ –1
olduğuna göre, x in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
x–1≤7⇒x≤8
x en büyük 8 olur.
5 < x + y < 13
x + y en az 6 dır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Eşitsizlikler
Konu Testi - 3
1 1 1
< <
4 x 2
–3 < y < 5
9.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
olduğuna göre, 3x + 2y ifadesinin alabileceği kaç farklı
tam sayı değeri vardır?
A) 19
B) 20
C) 21
D) 22
A) x < 0
B) y > 0
x
D) < 0
y
E) 23
6 < 3x < 12
3/ 2 < x < 4
2/ –3 < y < 5
1 1
<
ve x > y
x y
13.
C) x.y > 0
E) y < 0
eşitsizlik takla attırıldığında eşitsizlik yön değiştirdiğinden x ile y aynı
işaretlidir.
x.y > 0 dır.
–6 < 2y < 10
0 < 3x + 2y < 22
1, 2, 3 ... 21 olmak üzere 21 tanedir.
10.
14.
a2 < a
–2 < x < 6
3<y<5
b>0
olduğuna göre, x.y nin alabileceği en küçük tam sayı
değeri kaçtır?
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
a
A) a – b < 0
B) a.b < 0
C) < 0
b
a
D) > 0
E) a + b > 2
b
A) –11
a2 < a ⇒ 0 < a < 1 dir.
B) –10
.
–2
6
3
–6
18
5
–10
30
C) –9
D) –8
E) –6
–10 < x.y < 30
x.y en küçük –9 olur.
b > 0 ise
a
olur daima doğrudur.
b>0
15.
–3 < y < 5
11. 0 < a < b olmak üzere
olduğuna göre, x2 + y ifadesinin alabileceği en büyük
tam sayı değeri kaçtır?
a + 3b
b
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?
A) 2
B)
5
2
–2 < x < 4
C) 3
D)
7
2
A) 16
E) 5
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
0 ≤ x2 < 16
–3 < y < 5
a + 3b a
= +3
b
b
a
a
0 < a < b & 0 < b < 1 & 3 < b + 3 < 4 olur
7
o hâlde ifade 2 olabilir.
–3 < x2 + y < 21 ise x2 + y en büyük 20 olur.
16. x, y ve z gerçek sayılar olmak üzere
y>0
12. x ve y tam sayılardır.
x–y>z
–2 < x < 5
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman
doğrudur?
1<y≤4
olduğuna göre, 3x2 + y2 ifadesinin en büyük değeri
kaçtır?
E) 60
x–y>z⇒x–z>y
y > 0 ⇒ x – z > 0 ⇒ x > z dir.
6. D
7. A
8. D
9. C
10. D
11. D
12. D
13. C
14. C
15. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5. C
16. A
14
4. B
x = 4 ve y = 4 için 3.42 + 42 = 64 olur.
3. C
D) 64
E) z < 0
2. A
C) 68
D) x > 0
C) z > y
1. B
B) 72
B) x > y
Cevaplar
A) 76
A) x > z
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Eşitsizlikler
1.
Konu Testi - 4
4.
a, b ve c gerçek sayıları için
a, b ve c tam sayılardır.
b<0<a+b<b+c
a>3
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) a < b < c
B) a < c < b
D) b < c < a
b<3
a – b + c = 12
C) b < a < c
olduğuna göre, c sayısının alabileceği en büyük değer
kaçtır?
E) c < b < a
A) 8
a+b<b+c⇒a<c
b < 0 ⇒ b < a < c dir.
a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
a
>3
b
a
<8
c
olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
x y z
< <
2 6 4
a+ c a
< +1
b
b
b+ c
D)
>0
a
B)
a+ b
a
c. c <` c + 1j .c
a+b<a+c
b < c daima doğrudur.
E) 8
x, y ve z birbirinden farklı pozitif tam sayılar ve
Ali, Barış, Can, Derya ve Elif isimli öğrencilerin boylarının
uzunlukları sırasıyla a, b, c, d ve e cm dir.
e < 4d < c < 4b < a
olduğuna göre,
olduğuna göre, x + y + z toplamının en küçük değeri
kaçtır?
B) 10
E) 12
a, b ve c birer reel sayı olmak üzere a < 0 < b < c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
a+ b a
< +1
c
c
a+ c
C)
< 0 b
b c
E) - > 1
c
6.
A) 8
D) 11
A)
b = 1 için a > 3 ise a = 4
4
c < 8 ise c = 2 olur.
a+b+c=7
3.
C) 10
a en az 4, b en çok 2 olacağından c en fazla 4 – 2 + c = 12 ⇒ c = 10 olur.
5.
2.
B) 9
C) 12
y z
x y z
2 < 6 < 4 & x < 3 < 2 olur.
x = 1, y = 4 ve z = 3 ⇒ x + y + z = 8
D) 14
E) 16
I. Ali en uzun öğrencidir.
II. Elif en kısa öğrencidir.
III. Barış, Derya'dan daha uzundur.
ifadelerinden hangileri daima doğrudur?
A) Yalnız I
D) II ve III
B) Yalnız II
C) I ve III
E) I, II ve III
Eşitsizliğe bakıldığında Ali'nin en uzun öğrenci olduğu görülmektedir.
Ancak Elif en kısa öğrenci olmayabilir çünkü e d nin 4 katından küçüktür
d den değildir.
4d < 4b ⇒ d < b Derya Barış'tan kısadır.
I ve III doğrudur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Eşitsizlikler
7.
Konu Testi - 4
10. Bir iş yerinde çalışanlar
x ve y birer tam sayı olmak üzere
1≤x<3
A seçeneği; Aylık ¨ 800
–2 < y < 10
B seçeneği; A
ylık ¨ 400 ve buna ek olarak her birim
mal satışından ¨ 17
eşitsizlikleri veriliyor.
Buna göre,
olmak üzere iki tip ücret seçeneğinden birini seçmektedirler.
A) 11
Aynı tarihte işe başlayan Ali A seçeneğini, Barış B seçeneğini tercih etmiştir.
y
kesrinin alabileceği kaç farklı tam sayı
x
değeri vardır?
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
İlk ayın sonunda Barış, Ali den daha fazla ücret aldığına göre Barış en az kaç birim mal satmıştır?
x = 1 için y ∈ {–1, 0, 1, 2, 3, ... 9}
x = 2 için y ∈ {0, 2, 4, 6, 8}
y
x " 0, 1, 2, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8, 9
o hâlde 11 farklı değer vardır.
8.
A) 21
B) 22
C) 23
D) 24
E) 25
x birim mal satmış olsun
400
400 + 17x > 800 ⇒ 17x > 400 ⇒ x > 17 ⇒ x > 23,5
x en az 24 olur.
x < y < z olmak üzere
1 1 1 1
+ + =
x y z 5
olduğuna göre, z nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
11. a bir negatif gerçel sayıdır.
2a = 3b
E) 17
4c = 5b
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
x = y = z için
1 1 1 1 3 1
y+y+y= 5&y= 5
y = 15 olur.
o hâlde z en küçük 16 dır.
A) a < b < c
B) a < c < b
D) b < c < a
C) b < a < c
E) c < a < b
b = 4k ⇒ 2a = 3.4k ⇒ a = 6k
4c = 5.4k ⇒ c = 5k
a<0⇒a<c<b
9.
(a, b) aralığında b – a farkına aralığın genişliği denir.
a ve b reel sayılar ve
4<
a2
12. x, y ve z pozitif gerçek sayılardır.
x$y
y$z x$z
=
=
4
6
12
< 16
0 ≤ b2 < 25
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
olduğuna göre, a + b toplamının aralık genişliği en çok
kaçtır?
A) y < x < z
A) 13
x.y
y.z
x.z
4 = 6 = 12 = 1 olsun.
x.y = 4, y.z = 6, x.z = 12
en büyük çarpımda olmayan y en küçük, en küçük çarpımda olmayan z
en büyüktür.
y<x<z
D) z < y < x
7. A
8. D
9. B
10. D
11. B
12. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6. C
16
5. A
–5 < b < 5
–9 < a + b < 3
a + b ∈ (–9, 3) genişlik 3 – (–9) = 12
4. C
–4 < a < –2
E) x < z < y
3. A
E) 9
2. D
D) 10
1. C
4 < a2 < 16 ⇒
0 ≤ b2 < 25 ⇒
C) 11
C) x < y < z
Cevaplar
B) 12
B) y < z < x
YGS // MATEMATİK
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Mutlak Değer
hhMUTLAK DEĞER
11
Not
x bir gerçek sayı olmak üzere sayı doğrusu üzerindeki x sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığına x sayısının mutlak
değeri denir ve |x| şeklinde gösterilir.
|−x|
0
–x ,
x<0
ise
0 ,
x=0
ise
x , x>0
ise
|x| =
|x|
−x
FÖY NO
Mutlak değer içerisinde bulunan ifade negatif ise mutlak
değerin dışına (–1) ile çarpılarak çıkar, ifade pozitif ise
mutlak değerin dışına aynen çıkar.
x
Örnek 1:
Sayı doğrusu üzerindeki, –4 sayısının başlangıç noktasına uzaklığı ile 4 sayısının başlangıç noktasına uzaklığının toplamı kaçtır?
|–4|
–4
Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulunuz.

|–2| + |0| + |5| = 2 + 0 + 5 = 7

|14| – |–12| = 14 – 12 = 2

|–23| + |–3| = |–8| + |–3| = 8 + 3 = 11
Cevap: 8
|4|
0
Örnek 4:
4
|–4| + |4| = 4 + 4 = 8
Cevap: 7, 2, 11
Örnek 2:
Sayı doğrusu üzerindeki 5 sayısının 12 sayısına olan
uzaklığını bulunuz.
Cevap: 7
|5 – 12| = |12 – 5|
5
Örnek 5:
Aşağıda verilen soruları cevaplayınız.

|3| + |–4| + |2|
12
3+4+2=9
|5 – 12| = |–7| = 7

Örnek 3:
Sayı doğrusu üzerindeki 3 sayısına uzaklığı 5 birim
olan sayıları veren denklemi yazınız.
Sayı x olsun
|x – 3| = 5 veya |3 – x| = 5
|4 – 1| + |–1 – 3| + |–2 + 4| değeri kaçtır?
Cevap: 5
x = –3 için |x + 2| – |x – 4| ifadesinin değeri kaçtır?
|–3 + 2| – |–3 – 4|
|–1| – |–7|
1 – 7 = –6
Cevap: 9, –6
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Mutlak Değer
Örnek 6:
Örnek 10:
x < 0 olmak üzere
x2 < x olmak üzere
|–x| + |x – 2|
||x – 1| – |–2||
ifadesinin eşitini bulunuz.
ifadesinin eşitini bulunuz.
Cevap: 2 – 2x
Cevap: x + 1
x = –2 değeri için –x in pozitif x – 2 nin negatif olduğu anlaşılır.
x2 < x ⇒ 0 < x < 1 için x = 0,5 seçilirse x – 1 in negatif olduğu anlaşılır.
|–x| + |x – 2| = –x – x + 2 = 2 – 2x
||x – 1| – |–2|| = |–x + 1 – 2 |
= |–x – 1|
=x+1
Örnek 11:
Örnek 7:
x < y < 0 olmak üzere
x > 0 olmak üzere
|x – y| + |–3x – y| = 12
|x| + |–x – 2| + |x + 3|
olduğuna göre, x kaçtır?
ifadesinin eşitini bulunuz.
Cevap: –3
Cevap: 3x + 5
x = 3 değeri için x in pozitif, –x – 2 nin negatif, x + 3 ün pozitif olduğu
anlaşılır.
x = –2 ve y = –1 için x – y nin negatif, –3x – y nin pozitif olduğu anlaşılır.
|x – y| + |–3x – y| = 12
–x + y – 3x –y = 12
–4x = 12 ⇒ x = –3
|x| + |–x – 2| + |x + 3| = x + x + 2 + x + 3 = 3x + 5
Örnek 12:
x bir gerçek sayı olmak üzere
Örnek 8:
|x – 2| = x – 2
1 < x < 2 olmak üzere
|x – 5| = 5 – x
|x – 3| + |2 – x|
olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
ifadesinin eşitini bulunuz.
Cevap: 5 – 2x
x = 1,5 değeri için x – 3 in negatif, 2 – x in pozitif olduğu anlaşılır.
x – 2 dışarı aynen çıktığından x – 2 ≥ 0 dır.
|x – 3| + |2 – x| = – x + 3 + 2 – x
x – 5 dışarı –1 ile çarpılarak çıktığında x – 5 ≤ 0 dır.
x–2≥0⇒x≥2
= 5 – 2x
Cevap: 4
x–5≤0⇒x≤5
x ∈ {2, 3, 4, 5} dört tane tam sayı vardır.
Örnek 9:
Örnek 13:
x < 0 < y olmak üzere
|x| > x
|x| + |y| + |y – x|
|y| = –y
ifadesinin eşitini bulunuz.
z < z2 < |z|
Cevap: 2y – 2x
x = –1 ve y = 2 değerleri için x in negatif, y nin pozitif, y – x in pozitif olduğu
anlaşılır.
|x| + |y| + |y – x| = –x + y + y – x
2
= 2y – 2x
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
olduğuna göre, x, y ve z nin işaretlerini bulunuz.
Cevap: –, –, –
|x| > x ise x < 0
|y| = –y ise y < 0
z < z2 < |z| ise –1 < z < 0
x, y, z → –, –, –
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Mutlak Değer
Not
Örnek 16:
m bir pozitif tam sayı olmak üzere
|2x – 3y|
hh m tek sayı ise
m
ifadesinin alabileceği en küçük değer için
nın değeri kaçtır?
x m = x dir.
hh m çift sayı ise
m
x+y
oranıx
Cevap: 5
3
|2x – 3y| = 0 ⇒ 2x – 3y = 0 ⇒ 2x = 3y
x m = x dir.
⇒ x = 3k ve y = 2k olur.
x+ y
3k + 2k
5k
5
=
= 3
x =
3k
3k
Örnek 14:
Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini yanlarında bulunan kutucuklara yazınız.
3

23 =

4 = |2| = 2

3


2
4
- 27 =
–3

x5 =
x
4
x4 =
|x|
(2 -
5)2 =
|x – 3| + 4
ifadesinin alabileceği değerlerin en geniş aralığını bulunuz.
Cevap: [4, ∞)
x – 3 = 0 ⇒ x = 3 için ifadenin alabileceği en küçük değer
(a - b) 2 =

(- 3) 4 = |–3| = 3 
5
Örnek 17:
|3 – 3| + 4 = |0| + 4 = 4 olduğundan değerlerin en geniş aralığı [4, ∞) dur.
|a – b|
2-
5 =
5-2
Örnek 18:
|x – 3| + |2x – 4|
Örnek 15:
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
x < 0 < y olmak üzere
x2
+
x
3
Cevap: 1
x = 3 için |0| + |6 – 4| = 2
y3
y
x = 2 için |2 – 3| + |0| = 1
olduğundan ifade en küçük 1 olur.
ifadesinin sonucunu bulunuz.
Cevap: 0
x
y
x y
x + y =- x + y =- 1+ 1 = 0
Örnek 19:
|x – 5| – |x + 2|
ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Not
Mutlak değerli bir ifadenin alabileceği en küçük değer "0"
dır.
Öğretmen
Sorusu
|x| ≥ 0
x = 5 için |0| + |7| = –7
Cevap: 15
x = –2 için |–7| – |0| = 7
–7 ≤ |x – 5| –|x + 2| ≤ 7
–7, –6, –5, ..., –1, 0, 1, 2, ... 7 olmak üzere 15 tanedir.
0 < x < y olmak üzere
x 2 + 2xy + y 2 -
y2 = 4
olduğuna göre, y aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
(x + y) 2 -
y 2 = 4 ⇒ |x + y| – |y| = 4
⇒x+y–y=4
⇒ x = 4 olur. y > x olduğundan y > 4 tür.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Mutlak Değer
Not

|x| + |y| = 0
x + 2x + 3x + 4x
- 5x
x +2 x +3 x +4 x
10 x
=
=2
5 x
5 -x
denkleminin sağlanması için x = y = 0 olmalıdır.
Cevap: 2
Örnek 20:
|x – y – 4| + |2x + y – 8| = 0
olduğuna göre, x . y çarpımının değeri kaçtır?
x–y–4=0
Cevap: 0
+ 2x + y –8 = 0
3x – 12 = 0
x = 4 ⇒ 4 – y – 4 = 0 ⇒ y = 0 olur.
x.y = 0 dır.
3. y sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak
x
üzere yx = y dir.
Örnek 23:
hhMutlak Değerin Özellikleri
|x| = a, |y| = b ve |z| = c
1.|x| = |–x| veya |x – y| = |y – x| dir.
Örnek 21:
x
olduğuna göre,
ifadesinin a, b ve c türünden eşiy.z
tini bulunuz.
x
a
=
b .c
y . z
Cevap: a
b.c
a- 2
a
+
2- a
-a
ifadesinin eşitini bulunuz.
Cevap: 2
a
a-2
+
= 1+1 = 2
a
a-2
4. n bir tam sayı olmak üzere |xn| = |x|n
ve |x2n| = x2n dir.
2. |x|.|y| = |x.y|
Örnek 22:
Örnek 24:
Aşağıda verilen ifadelerin sonuçlarını bulunuz.
^ x - 5 h (x + 5)
x- 5
x2 - x
x -1
ifadesinin eşitini bulunuz.
x- 5 x+ 5
=
= x+ 5
x- 5
Cevap: |x + 5|
x2 - x
x 2- x
x ^ x - 1h
=
=
= x
x -1
x -1
x -1
|x + y| < |x| + |y| eşitsizliği için
I. x < 0 ise y > 0 dır.
II. x > 0 ise y < 0 dır.
III. x > 0 ise y > 0 dır.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
|x + y| < |x| + |y|
ise x . y < 0 dır.
I, II doğrudur.
Cevap: |x|
Öğretmen
Sorusu
A
x 2 - 25
x- 5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Mutlak Değer
1.
Konu Testi - 1
5.
|–1| + |–2| + |2 – 3| – |–1 – 4|
a < 0 < b olmak üzere
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0
B) –1
|–a + b| + |3a| + |b|
C) –2
D) –3
E) –4
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4a – b
B) b – 4a
D) 4b – 2a
C) b – a
E) 2b – 4a
1 + 2 + |–1| – |–5|
3 + 1 – 5 = –1
a = –2 ve b = 3 için
–a + b > 0, 3a < 0 ve b > 0 dır.
|–a + b| + |3a| + |b| = –a + b – 3a + b = 2b – 4a
2.
4 + 4 (- 2) 4 - 3 - 27
6.
a < b < 0 < c olmak üzere
işleminin sonucu kaçtır?
A) 11
B) 10
|a + b| + |b – c| + |c – a|
C) 9
D) 8
E) 7
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2a – 2b
2
2 2 + 4 (- 2) 4 - 3 (- 3) 3
B) 2c – 2a
D) 2c + 2a – 2b
|2| + |–2| – (–3)
2+2+3=7
C) 2c – 2b
E) 2c – 2a – 2b
a = –2, b = –1 ve c = 3 için
a + b < 0, b – c < 0 ve c – a > 0 dır.
|a + b| + |b – c| + |c – a| = –a – b – b + c + c – a
= 2c – 2a – 2b
3.
7.
x < 0 olmak üzere
x
-x
+
x
-x
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
|x – 4| = x – 4
koşulunu sağlayan kaç tane x rakamı vardır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
E) 2
x–4≥0⇒x≥4
4, 5, 6, 7, 8, 9 olmak üzere 6 tanedir.
-x
x
-x -x
x + -x = x + -x =- 1+ 1 = 0
4.
x > 0 olmak üzere
8.
|–|2 + |x|||
3 < x < 7 olmak üzere
||x – 2| + x|
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –x + 2
D) –x – 2
B) x – 2
C) x + 2
E) 2x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x
B) x – 2
D) –2
C) 2x – 2
E) 2
|–|2 + x|| = |–(2 + x)| = |–x – 2| = x + 2
3 < x < 7 ⇒ x – 2 > 0 ve 2x – 2 > 0 dır.
||x – 2| + x| = |x – 2 + x| = |2x – 2| = 2x – 2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Mutlak Değer
9.
Konu Testi - 1
13. x ve y gerçek sayılar olmak üzere
x < y < 0 olmak üzere
x
x2 + y2
x+ y
-x
+
x- y
x+ y
+
y- x
-x- y
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisine eşittir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
A) –3
B) –x – y
C) 1
D) x + y
B) –2
C) 0
D) 1
E) 3
E) 2
|x| = |–x|, |x – y| = |y – x|, |x + y| = |–x – y| dir.
-x- y
x + y
=- - =1
x y
x+ y
x
x- y
x+ y
+
+
= 1+ 1+ 1 = 3
-x
-x- y
y- x
14. x sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere
10. 0 < a < b olmak üzere
x 2 - 4x
x
(a - b) 2 - 3 b 3
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –a
A) |x|
B) –b
C) a
D) b
E) a – 2b
B) |x + 4|
D) x
(a - b) 2 - 3 b 3 = a - b - b
=- a+ b- b
C) x – 4
E) |x – 4|
x . x- 4
x ( x - 4)
=
= x- 4
x
x
=- a
11. 2 < x < 8 olmak üzere
|x – 2| + |x – 8| = a – 1
15.
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 7
B) 6
|2x – 4| + |x + y – 10| = 0
olduğuna göre, x . y çarpımının değeri kaçtır?
C) 5
D) 4
E) 3
A) 18
B) 16
C) 15
2 < x < 8 ⇒ x –2 > 0 ve x – 8 < 0 dır.
2x – 4 = 0 ⇒ x = 2
|x – 2| + |x – 8| = a – 1
x + y – 10 = 0 ⇒ 2 + y – 10 = 0 ⇒ y = 8
x–2–x+8=a–1
x.y = 16
D) 12
E) 10
6=a–1
a=7
12.
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) |10x|
B) 10x
D) 5|x|
x y
+2
2 5
16.
|x| + |–2x| + |3x| + |–4x|
ifadesinin değerini en küçük yapan x ve y değerleri
x
oranı kaçtır?
için
y
C) –10x
E) –10|x|
A)
|x| + 2|-x| + 3|x| + 4|-x|
1
5
B)
2
5
C)
3
5
D)
5
2
E) 3
y
x y
x
x
2
2- 5= 0& 2= 5& y = 5
|x| + 2|x| + 3|x| + 4|x|
10|x| = |10x|
1. B
2. E
3. C
4. C
5. E
6. E
7. D
8. C
9. C
10. A
11. A
12. A
13. E
14. E
15. B
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16. B
6
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Mutlak Değer
1.
Konu Testi - 2
4.
a sıfırdan farklı bir gerçek sayıdır.
a, b ve c pozitif tam sayılar ve
1 1 1
< <
c a b
|a| = –a
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi negatiftir?
A) a –3
B) (–a) 4
D) (–a) –5
olduğuna göre, |c – a| – |a – c| + |b – a| işleminin değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
C) (–a) –6
E) –(–(–a)2)
A) b – a
B) a – b
C) b – c
D) c – a
|a| = –a ⇒ a < 0 dır. O hâlde a = –1 için
A) –1
a-3 negatiftir.
2.
B) 1
C) 1
D) 1
c>a>b
E) 1 olur.
|c – a| – |a – c| + |b – a| = c – a + a – c – b + a = a – b
+
–
–
5.
Sıfırdan farklı a ve b gerçek sayıları için
E) c – b
|3x – 12| + |4x –20|
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
|a . b| = a . b
A) 1
eşitliği sağlanıyor.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
D
E
Buna göre,
I. a pozitif ise b pozitiftir.
3x – 12 = 0 ⇒ x = 4
II. b pozitif ise a negatiftir.
4x – 20 = 0 ⇒ x = 5
x = 4 için |0| + |16 -20| = 4
III. a negatif ise b negatiftir.
x = 5 için |15 – 12| + |0| = 3
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) Yalnız III
C) I ve III
E) I, II ve III
6.
a.b ≥ 0 olduğundan I ve III doğrudur.
A
3.
Sayı doğrusu üzerinde bulunan x sayısı ile ilgili aşağıdaki
bilgiler veriliyor.
• x sayısı 2 den küçük değil, 5 ten büyük değildir.
• x sayısının sırasıyla –1, 6 ve 7 sayılarına uzaklıkları
toplamı 10 dur.
Buna göre, x sayısı kaçtır?
A)
7
3
B)
5
2
C) 3
D)
9
2
B
Yukarıda A, B, C, D ve E ağaçlarının konumları sayı doğrusu üzerinde modellenerek gösterilmiştir.
• Sayı doğrusunun başlangıç noktası C ve D ağaçları
arasındadır.
• A, B, C, D ve E ağaçları sayı doğrusunda sırasıyla a,
b, c, d, ve e sayılarına karşılık gelmektedir.
• |b| = 10, |e| = 12, |a – e| = 36 dır.
Buna göre, |a – b| değeri kaçtır?
E) 4
A) 20
B) 18
C) 16
10
2≤x≤5
|x –(–1)| + |x – 6| + |x – 7| = 10
C
a
b
x + 1 – x + 6 – x + 7 = 10
D) 14
E) 12
12
0
c
d
e
36
–x + 14 = 10
|a – b| + 10 + 12 = 36
x=4
|a – b| = 14
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Mutlak Değer
7.
Konu Testi - 2
A
10. 0 < x < y < 1 olmak üzere
|x – y – 2| + |x + y + 1|
c
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2x – 1
B) –2x + 1
D) –2y + 3
C) 2y + 3
B
E) 2x + 2y – 1
a
C
W ) < m (B
W ) olduğuna göre,
şekildeki üçgende m (W
A) < m ( C
|b – a| + |a – c| + |b + c|
x = 0, 2 ve y = 0, 3 için
x – y – 2 < 0 ve x + y + 1 > 0
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
|x – y – 2| + |x + y + 1| = –x + y + 2 + x + y + 1
b
A) 2a
= 2y + 3
B) 2b
D) 2a – 2b – 2c
C) 2c
E) 2c + 2b – 2a
a < c < b dir.
|b – a| + |a – c| + |b + c| = b – a – a + c + b + c = 2c +2b – 2a
+
–
+
24
x+ 2 + x- 4
8.
ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 12
11.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
x = –2 için |0| + |–2 – 4| = 6
x = 4 için |6| + |0| = 6
A) x + y < 0
24
24
en büyük 6 = 4
x+2 + x-4
olduğundan |x + 2| + |x – 4| en az 6,
x+y < x + y
ise x.y < 0 dır.
Her bir beşgenin içine yazılan sayı kendisine komşu
olan iki çember içine yazılan sayıların farkının mutlak değerine eşit olmalıdır.
Bu dört sayı ile ilgili,
• a sayısı mutlak değeri en büyük olan sayıdır.
• a ve b sayılarının toplamlarının mutlak değeri mutlak
değerlerinin toplamından küçüktür.
Yukarıdaki şekle göre,
boş beşgenin içine yazılabilecek en küçük sayı
kaçtır?
• Toplamlarının mutlak değeri en büyük olan a ve c ikilisidir.
• d sayısı mutlak değeri en küçük olan sayıdır.
Buna göre, a + b + c + d toplamı en fazla kaçtır?
C) 14
E) x . y < 0
göre tam sayılar yazılıyor.
kümesinin elemanlarından dördü seçilip a, b, c ve d olarak
isimlendiriliyor.
B) 13
C) y < 0
12. Aşağıdaki şekilde çember ve beşgenlerin içine şu kurala
{–7, –4, –2, 0, 1, 2, 4, 6, 9}
A) 12
B) x + y > 0
D) x . y > 0
tür.
9.
|x + y| < |x| + |y|
D) 15
A) 4
B) 5
C) 6
12
18
D) 7
E) 8
E) 16
12
0
|a| en büyük ise a = 9
|a + b| < |a| + |b| ise a ve b zıt işaretlidir. b negatiftir. b en fazla – 2 olur.
18
|a + c| en büyük ise c = 6 dır.
12
6
18
|d| en küçük d = 0 dır. a + b + c + d = 13
1. A
2. C
3. E
4. B
5. C
6. D
7. C
8. C
9. B
10. E
11. E
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
8
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Mutlak Değer
hhMutlak Değerli Denklemler
Örnek 28:
|x – 2| = 1000!
n ≥ 0 ve n bir gerçek sayı olmak üzere
olduğuna göre, x sayısının alabileceği farklı değerler
toplamı kaçtır?
|f(x)| = n
ise f(x) = n veya f(x) = –n dir.
x – 2 = 1000! veya x – 2 = –1000!
Cevap: 4
x = 2 + 1000! veya x = 2 – 1000!
Örnek 25:
2 + 1000! + 2 – 1000! = 4
|2x – 1| = 7
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
2x – 1 = 7 veya 2x – 1 = –7
Cevap: 12
2x = 8 veya 2x = –6
Not
b ≥ 0 olmak üzere
|x – a| = b
denkleminin köklerinin toplamı 2 . a dır.
x = 4 veya x = –3
4.(–3) = –12
Örnek 29:
Örnek 26:
Sayı doğru üzerindeki 2 sayısına uzaklığı 7 birim olan
sayıların çarpımının değeri kaçtır?
|5x – 1| = –2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Cevap: –45
Sayı x olsun
|5x – 1| = –2 ⇒ ÇK = ∅
Cevap: ∅
|x – 2| = 7
x – 2 = 7 veya x – 2 = –7
x = 9 veya x = –5
9.(–5) = –45
Örnek 27:
|x – 1| = 4
|y + 1| = 3
olduğuna göre, 2x – 3y farkının alabileceği en büyük
değer kaçtır?
Öğretmen
Sorusu
x – 1 = 4 veya x –1 = –4
Cevap: 22
Örnek 30:
||x – 1| – 3| = 4
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x = 5 veya x = –3
|x – 1| – 3 = 4 veya |x – 1| – 3 = –4
y + 1 = 3 veya y + 1 = –3
|x – 1| = 7 veya |x – 1| = –1
y = 2 veya y = –4
x – 1 = 7, x – 1 = –7 veya ∅
2x – 3y en büyük 2.5 – 3.(–4) = 22 dir.
x = 8, x = –6
x- 4 =- y- 2
olduğuna göre xy ifadesinin değeri kaçtır?
Cevap: {-6, 8}
Ç. k = {-6, 8}
x - 4 $ 0 olduğundan
y- 2 = 0
& y= 2
x- 4 = 0
x= 4
4 2 = 16
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Mutlak Değer
Örnek 34:
Örnek 31:
|2x – 1| = x + 4
|x – 4| + |4 – x| = 12
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
|x – 4| = |4 – x|
Cevap: 8
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
2x – 1 = x + 4 veya 2x – 1 = –x – 4
Cevap: 4
x = 5 veya x = –1
|x – 4| + |x – 4| = 12 ⇒ 2|x – 4| = 12
x = 5 veya x = –1 için x + 4 > 0 olduğundan her ikisi de denklemin köküdür.
5 + (–1) = 4
⇒ |x – 4| = 6
Değerler toplamı 2.4 = 8
Örnek 32:
Örnek 35:
|x| + |2x| + |–3x| = 24
olduğuna göre, x sayısının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
|x| + 2|x| + 3|–x| = 24
Cevap: –16
|x| + 2|x| + 3|x| = 24
a bir gerçek sayı olmak üzere, sayı doğrusu üzerinde a nın
1'e olan uzaklığı 2a + 8 birimdir.
Buna göre, |a| kaçtır?
|a – 1| = 2a + 8
6|x| = 24 ⇒ |x| = 4
a – 1 = 2a + 8 veya a – 1 = –2a – 8
⇒ x = 4 veya x = –4
Cevap: 7
3
–a = 9 veya 3a = –7
7
a = –9 veya a = - 3
7
7
7
a = - 3 için 2a + 8 > 0 olduğundan köktür. - 3 = 3
4.(–4) = –16
Örnek 33:
|x – 2| + |6 – 3x| = 8
denklemini sağlayan x değerlerinin farkının mutlak değeri kaçtır?
Not
|f(x)| = |g(x)|
ise f(x) = g(x) veya f(x) = –g(x) dir.
|x – 2| + 3|2 – x| = 8
Cevap: 4
|x – 2| + 3|x – 2| = 8
|x – 2| = 2
x – 2 = 2 veya x – 2 = –2
x = 4 veya x = 0
|4 – 0| = 4
Not
|f(x)| = g(x)
ise f(x) = g(x) veya f(x) = –g(x) dir. Ancak bulunan kökler
g(x) ≥ 0 koşulunu sağlamak zorundadır.
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Örnek 36:
|x – 6| = |2x – 3|
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
x – 6 = 2x – 3 veya x – 6 = –2x + 3
–x = +3 veya 3x = 9
x = –3 veya x = 3
(–3).3 = –9
Cevap: –9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Mutlak Değer
Örnek 37:
Örnek 41:
Sayı doğrusu üzerindeki 4 sayısına olan uzaklığı, 6 sayısına olan uzaklığına eşit olan reel sayıları bulunuz.
x+ 3 + x- 2 = 5
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Cevap: 5
Sayı x olsun
|x – 4| = |x – 6|
x – 4 = x – 6 veya x – 4 = –x + 6
0 = –2 veya
2x = 10
∅
veya
x=5
Cevap: [–3, 2]
x – 2 = 0 ⇒ x = 2 ve x + 3 = 0 ⇒ x = –3
–3
Örnek 38:
x2 – 2|x| – 15 = 0
2
–x – 3 – x + 2 = 5
x+3–x+2=5
x + 3 + x + –2 = 5
–2x = 6
5=5
2x = 4
x = –3
(–3, 2)
x=2
ÇK : [–3, 2]
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
|x|2 – 2|x| – 15 = 0
(|x| – 5)(|x| + 3) = 0
|x| = 5 veya |x| = –3
x = 5 veya x = –5 veya ∅
ÇK = {–5, 5}
Cevap: {–5, 5}
hhMutlak Değerli Eşitsizlikler
a > 0 ve a gerçek sayı olmak üzere
hh |f(x)| < a ise –a < f(x) < a dır.
Örnek 39:
hh |f(x)| > a ise f(x) > a veya f(x) < –a dır.
|x2 – 2x – 3| = |x – 3|
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek 42:
Cevap: {–2, 0, 3}
x 2 - 2x - 3 = x - 3 veya x 2 - 2x - 3 = - x + 3
x 2 - 3x = 0
veya x 2 - x - 6 = 0
^
h
=
x x 3 0
veya ^ x - 3h^ x + 2h = 0
=
=
=
x 0, x 3, x 3, x = - 2
Ç . k = " - 2, 0 , 3 ,
|x – 1| ≤ 5
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
Cevap: 11
–5 ≤ x – 1 ≤ 5
–4 ≤ x ≤ 6
Örnek 40:
{–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere 11 tanedir.
|x – 2| + |x – 5| = 7
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x - 2 = 0 ⇒ x = 2 ve x - 5 = 0 ⇒ x = 5
2
-x + 2 - x + 5 = 7
- 2x + 7 = 7
- 2x = 0
Örnek 43:
Cevap: {0,7}
5
x-2-x+5 = 7
3=7
∅
x-2+x-5 = 7
2x = 14
x=7
x=0
Öğretmen
Sorusu
ÇK : {0, 7}
Sayı doğrusu üzerinde 4 sayısına olan uzaklığı 5 birimden küçük olan tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevap: 36
|x – 4| < 5
–5 < x – 4 < 5
–1 < x < 9
0 + 1 +2 + 3 + ... + 8 = 36
|x + 3| < 4
x–y=5
olduğuna göre, y nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri
vardır?
–4 < x + 3 < 4 ⇒ –7 < x < 1 dir.
x = y + 5 ⇒ –7 < y + 5 < 1
⇒ –12 < y < –4
y ∈ {–11, –10, –9, ..., –5} olmak üzere 7 tanedir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Mutlak Değer
Not
Örnek 44:
|f(x)| > |g(x)| veya |f(x)| < |g(x)|
4
2
>
x- 4 3
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
tipindeki eşitsizliklerde mutlak değeri ortadan kaldırmak
için eşitsizliğin her iki tarafının karesi alınır.
f2(x) > g2(x) veya f2(x) < g2(x)
Cevap: 40
x- 4
4
2
3
>3 &
< 2 & x - 4 <6
4
x- 4
⇒ –6 < x – 4 < 6 ⇒ –2 < x < 10
–1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 40
Örnek 48:
|x + 1| < |x – 2|
Örnek 45:
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
|2x – 1| > 5
2x – 1 > 5 veya 2x – 1 < –5
x2 + 2x + 1 < x2 – 4x + 4
Cevap: (– ∞, –2) ∪ (3, ∞)
6x < 3
1
x <2
x > 3 veya x < –2
ÇK = (– ∞, –2) ∪ (3, ∞)
1
ÇK: a- 3, 2 k
Örnek 46:
Örnek 49:
x 2 - 4x + 4 + 2 - x $ 6
|x – 2| < x
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
x 2 - 4x + 4 + 2 - x $ 6
1
Cevap: c- 3, m
2
(|x + 1|)2 < (|x – 2|)2
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Cevap: –10
|x – 2| + |x – 2| ≥ 6
eşitsizliğinin çözüm kümesi (A, ∞) aralığıdır.
Buna göre, A kaçtır?
Cevap: 1
(|x – 2|)2 < x2
|x – 2| ≥ 3
x2 – 4x + 4 < x2
x – 2 ≥ 3 veya x – 2 ≤ –3
–4x < –4 ⇒ x > 1 ise A = 1
x ≥ 5 veya x ≤ –1
... –6 –5 –4 –3 –2 –1 + 5 + 6 + 7 + ... = –10
Örnek 50:
|x – 2| + |x – 6| < 12
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek 47:
Cevap: (–2, 10)
4 < |x – 2| < 7
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
4 < x – 2 < 7 veya 4 < –x + 2 < 7
6 < x < 9 veya 2 < –x < 5
–5 < x < –2
7 + 8 + (–4) + (–3) = 8
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 8
2
6
–x + 2 – x + 6 < 12
x – 2 – x + 6 < 12
x – 2 + x – 6 < 12
–2x < 4
4 < 12
2x < 20
x < 10
x > –2
(–2, 2)
[2, 6]
(6, 10)
ÇK: (–2, 2) ∪ [2, 6] ∪ (6, 10) = (–2, 10)
x'ler yok olduğunda kalan eşitsizlik doğru olduğundan aralığın tamamı sağlar.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Mutlak Değer
1.
Konu Testi - 3
5.
|x – 4| = 5
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin mutlak değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
||x – 1| – 2| = 5
denklemini sağlayan kaç farklı x değeri vardır?
A) 0
E) 8
C) 2
D) 3
E) 4
|x – 1| – 2 = 5 veya |x – 1| – 2 = –5
|x – 4| = 5
|x – 1| = 7 veya |x – 1| = –3
x – 4 = 5 veya x – 4 = –5
x = 9 veya
x – 1 = 7 veya x – 1 = –7 veya ∅
x = –1
x = 8 ve x = –6, iki tane x vardır.
|9| + |–1| = 10
6.
2.
B) 1
|3x – 4| = –|2|
|4 – |2 – x|| = 2
denklemini sağlayan kaç tane x gerçek sayısı vardır?
denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımının sonucu kaçtır?
A) 0
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
B) 4
C) 6
|3x – 4| = –2 ⇒ ÇK = ∅
4 – |2 – x| = 2 veya 4 – |2 – x| = –2
0 tane x vardır.
|2 – x| = 2 veya |2 – x| = 6
D) 8
E) 12
2 – x = 2, 2 – x = –2 veya 2 – x = 6, 2 – x = –6
x = 0,
x = 4,
x = –4,
x=8
0.4.(–4).8 = 0
3.
|x| = 5
7.
|y| = 2
3|x| – x = 12
|z| = 4
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
olduğuna göre, x – y – z ifadesinin en küçük değeri
kaçtır?
A) –12
B) –11
x gerçek sayısı için
C) –10
D) –9
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
E) –8
3|x| = x + 12
x = 5 veya x = –5, y = 2 veya y = –2
3x = x + 12 veya 3x = –x – 12
z = 4 veya z = –4 bulunur.
x = 6 veya x = –3
x – y – z en küçük –5 – 2 – 4 = – 11 olur.
6 + (–3) = 3
4.
8.
(x - 4) 2 = 1243
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 1251
E) 2490
|5x – 2| = x – 4
denklemini sağlayan kaç tane x değeri vardır?
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
5x – 2 = x – 4 veya 5x – 2 = –x + 4
|x – 4| = 1243
değerler toplamı 2 . 4 = 8
4x = –2 veya 6x = 6
1
x = - 2 veya x = 1
1
x = - 2 , x = 1 değerleri için x – 4 < 0 olduğundan ÇK = ∅ dir. 0 tane x
değeri vardır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Mutlak Değer
9.
Konu Testi - 3
Aşağıdaki denklemlerden hangisinin çözüm kümesi a
ve b ye eşit uzaklıkta olan reel sayılardır?
A) |x – a| = b
B) |x + a| = b
D) |x – a| = |x – b|
13.
|3x – 4| ≤ 5
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x rakamı vardır?
C) |x – a| = |x + b|
A) 2
E) |x + a| = x + b
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
–5 ≤ 3x – 4 ≤ 5 ⇒ –1 ≤ 3x ≤ 9
1
⇒- 3 ≤x≤3
|x – a| = |x – b| dir.
0, 1, 2, 3, olmak üzere 4 tane x rakamı vardır.
10.
14.
|2x| = |x – 2|
denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?
A) –2
B) -
4
3
C) –1
D)
1
3
E)
eşitsizliğini sağlayan x rakamlarının toplamı kaçtır?
4
3
A) 36
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
3
3
A) c , 3 m - " 2,
B) (4, ∞)
C) c- 3, m
2
2
C) 0
D) 5
E) 10
3
D) c , 4 m
2
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin çarpımının
sonucu kaçtır?
B) 21
E) (4, 7)
x- 1
>1 & x - 1 > x - 2 & ( x - 1 )2 >( x - 2 )2
x- 2
x 2 - 2x + 1 > x 2 - 4x + 4
3
3
3
Ç. K = a 2 , 3 k - " 2 ,
2x > 3 & x > 2 & a 2 , 3k ve x - 2 ! 0 & x ! 2
|x – 5| + |2x – 10| + |15 – 3x| = 12
A) 24
E) 55
x- 1
>1
x- 2
15.
|x| + |x| = 10 ⇒ |x| = 5
⇒ x = 5 veya x = –5
–5 + 5 = 0
12.
D) 45
x ≥ 1 veya x ≤ –5
olduğuna göre, x değerlerinin toplamı kaçtır?
B) –2
C) 42
1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45
|x| + |–x| = 10
A) –5
B) 40
x + 2 ≥ 3 veya x + 2 ≤ –3
2x = x – 2 veya 2x = –x + 2
2
x = –2 veya x = 3
2
4
( - 2) . 3 = - 3
11.
|x + 2| ≥ 3
C) 20
D) 18
16.
|x – 1| < 2
y≥8
olduğuna göre, x + y toplamının en küçük değeri kaçtır?
E) 15
A) 11
B) 9
C) 8
|x – 5| + 2|x – 5| + 3|5 – x| = 12
–2 < x – 1 < 2 ⇒ –1 < x < 3
|x – 5| + 2|x – 5| + 3|x – 5| = 12
y≥8
⇒ + 8≤y<∞
7<x+y<∞
|x – 5| = 2
D) 7
E) 6
x + y en küçük 8 dir.
x – 5 = 2 veya x – 5 = –2
x = 7, x = 3 ise 7.3 = 21
1. C
2. A
3. B
4. C
5. C
6. A
7. A
8. E
9. D
10. B
11. C
12. B
13. C
14. D
15. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16. C
14
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Mutlak Değer
1.
Konu Testi - 4
4.
x gerçek sayısı için
–2 < |x – 4| < 4
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
|x + 1| < 1
olduğuna göre,
A) 15
B) 14
C) 10
D) 8
E) 7
|x + 3| + |x – 1|
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
|x – 4| < 4 ⇒ –4 < x – 4 < 4
A) 4
⇒ 0 < x < 8
B) 6
D) 2 – 2x
C) 2x + 2
1, 2, 3, ... ,7 olmak üzere 7 tanedir.
E) –4
–1 < x + 1 < 1 ⇒ –2 < x < 0 dır.
|x + 3| + |x – 1| = x + 3 – x + 1 = 4
2.
5.
4- x- 3
|x – 2| . |x + 1| = |x + 1|
ifadesinin tanımlı olmasını sağlayan x tam sayılarının
toplamı kaçtır?
denkleminin çözüm kümesinde bulunan elemanların
çarpımı kaçtır?
A) 24
A) –3
B) 26
C) 27
D) 28
E) 30
B) –2
C) 0
4 – |x – 3| ≥ 0 ⇒ |x – 3| ≤ 4
|x – 2|.|x + 1| – |x + 1| = 0
⇒ –4 ≤ x – 3 ≤ 4 ⇒ –1 ≤ x ≤ 7
|x + 1|(|x – 2| – 1) = 0
–1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27
|x + 1| = 0, |x – 2| = 1
D) 2
E) 6
x = –1, x – 2 = 1 veya x – 2 = –1
x = –1, x = 3, x = 1 ⇒ (–1).3.1 = –3
3.
Sayı doğrusu üzerinde işaretlenen a, 6 ve b gerçek sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
6.
Aşağıda verilen helikopter ve uçak ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
• En küçük sayı a, en büyük sayı ise b dir.
• 6 sayısının diğer iki sayıya olan uzaklıkları toplamı 19
dur.
• b sayısının diğer iki sayıya olan uzaklıkları toplamı 29
dur.
• Helikopterin zaman(t),yükseklik(h) fonksiyonu
Buna göre, b + a toplamının değeri kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
h = |t – 2| + 3t dir.
E) 15
• Uçağın zaman(t), yükseklik(h) fonksiyonu
h = 2t + 4 tür.
a
6
b
1 → |a – 6| + |b – 6| = 19 ⇒ 6 – a + b – 6 = 19
2 → |b – a| + |b – 6| = 29 ⇒ b – a + b – 6 = 29
1 den b – a = 19
2 den 19 + b – 6 = 29
b = 16 ve a = –3 o hâlde a + b = 13 tür.
Buna göre, aynı anda havalandıktan kaç dakika sonra
uçak ve helikopter aynı yükseklikte bulunur?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
|t – 2| + 3t = 2t + 4
|t – 2| = 4 – t
t – 2 = 4 – t veya t – 2 = –4 + t
t=3
∅
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Mutlak Değer
7.
Konu Testi - 4
10.
x ve y birer gerçek sayı olmak üzere
|2x + |x|| = 12
|x + 3| = |x – 5|
denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?
|y + 2| = |6 – y|
A) –60
B) –56
C) –52
D) –48
E) –44
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
x<0
D) 6
E) 7
x + 3 = x – 5 veya x + 3 = –x + 5
veya
∅
x=0
x>0
|2x – x| = 12
|2x + x| = 12
|x| = 12
|3x| = 12
–x = 12
3x = 12
x = – 12
x=4
x=1
y + 2 = 6 – y veya y + 2 = –6 + y
y=2
(–12).4 = –48
∅
x+y=3
8.
x + |x + 4| < 8
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (2, ∞)
B) (–1, 2)
D) (2, 4)
11.
|x – 4| + |x – 12| = 16
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
C) (1, 2)
A) 10
E) (–∞, 2)
B) 14
C) 16
D) 18
4
|x + 4| < 8 – x ⇒ (x + 4)2 < (8 – x)2
⇒ x2 + 8x + 16 < x2 – 16x + 64
⇒ 24x < 48
⇒ x < 2 ⇒ (–∞, 2)
E) 20
12
–x + 4 – x + 12 = 16
x – 4 – x + 12 = 16
x – 4 + x – 12 = 16
–2x = 0
8 = 16
2x = 32
x=0
∅
x = 16
0 + 16 = 16
9.
4
8
Yukarıda mavi, siyah ve kırmızı renklerle boyanmış sayı
doğrusu ile ilgili,
"Sayı doğrusu üzerindeki hangi sayının 4 sayısına olan
uzaklığı ile 8 sayısına olan uzaklığı toplamı 4 tür?"
Sorusuna cevap veren bir kişinin bulduğu sayı,
I. mavi bölge,
12. x ve y tam sayılar olmak üzere
|x| + |y| = 2
II. siyah bölge,
eşitliğini sağlayan kaç tane (x, y) sıralı ikilisi vardır?
III. kırmızı bölge
bölgelerinden hangisinde olabilir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
C) Yalnız III
E) II ve III
(x, y) sıralı ikilileri
(2, 0), (0, 2), (–2, 0), (0, –2)
(1, 1), (1, –1), (–1, 1), (–1, –1)
8
olmak üzere 8 tanedir.
3. C
4. E
5. A
6. C
7. A
8. E
9. B
10. D
11. C
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2. C
16
1. A
|x – 4| + |x – 8| = 4 olur. Siyah bölge olabilir.
Cevaplar
x
4
YGS // MATEMATİK
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Üslü Sayılar
hhÜSLÜ SAYILAR
= x . x . x . ... . x
(x – 2)(x – 4) = 1
denklemini sağlayan x sayılarının toplamı kaçtır?
x – 2 = 1 ⇒ x = 3
n tane
hh Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri
pozitiftir.
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a pozitif bir gerçek sayı ise
23 = 2.2.2 = 8

(–2)4 = (–2).(–2).(–2).(–2) = 16

(–1)5 = (–1).(–1).(–1).(–1).(–1) = –1

=
Cevap: 7
Not
Örnek 1:
–52
x–4=0⇒x=4
x – 2 = –1 ⇒ x = 1 ancak x = 1 için x – 4 çift değil o hâlde 3 + 4 = 7
biçiminde gösterilir.

12
Örnek 3:
x bir gerçek sayı ve n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n tane x
sayısının çarpımına x nin n. kuvveti denir.
xn
FÖY NO
(–a)2n + 1 = –a2n + 1
(–a)2n = a2n
(–a)2n ≠ –a2n
–5.5 = –25
Not
Örnek 4:
n bir tam sayı olmak üzere
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
hh n tek sayı ise (–1)n = –1 dir.

32 + (–2)3 + (–4)2
9 – 8 + 16 = 17
hh n çift sayı ise (–1)n = 1 dir.

hh (1)n = 1
–42 – (–3)3
–16 – (–27) = –16 + 27 = 11
hh x sıfırdan farklı ise x0 = 1 dir.
hh 00 belirsizliktir.
Cevap: 11
Örnek 5:
Örnek 2:
x = –2 ve y = –3 için
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.

(1)7 + (–1)4 – (–1)3 = 1 + 1 – (–1) = 1 + 1 + 1 = 3

(–2)0 + 30 – 40
x . y + yx + 4 + x3
ifadesinin değeri kaçtır?
= 1+1–1=1
(–2).(–3) + (–3)–2 + 4 + (–2)3
Cevap: 3, 1
Cevap: 7
6 + (–3)2 + (–2)3
6+9–8=7
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Üslü Sayılar
hhÜslü Sayıların Özellikleri
Örnek 8:
1. Toplama ve Çıkarma
Aşağıda verilen ifadelerin sonuçlarını bulunuz.
Üslü sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yaparken tabanı ve
üssü aynı olan sayılar toplanır veya çıkartılır.
hh x + x + x + ... + x = x . n
n tane

27 . 210 . 24

5x . 5x + 2 . 5–2x = 5x + x + 2 – 2x = 52

27 . 37 . 57
= (2.3.5)7 = 307

4 x 9 x
c m $c m
3
4
4 9
= a3 $ 4k = 3x
hh xa + xa + xa + ... + xa = n . xa
hh
b . xn
+
–
x
Örnek 9:
n tane
a . xn
= 27 + 10 + 4 = 221
c . xn
=
xn(a
+ b – c)
Aşağıda verilen ifadeleri ayrıştırınız.

3x + 2
=
3x.32
Örnek 6:

2x – 2
=
2x.2–2
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.

6x
=
(3.2)x = 3x.2x

(3ab)4 =
2 + 2 + 2 + ... + 2

= 2.15 = 30
15 tane
34.a4.b4
34 + 34 + 34 + ... + 34 = 10.34

10 tane
5 . 710 + 4 . 710 – 3 . 710 = 710(5 + 4 – 3) = 6.710

Örnek 10:
1513 + 6 . 1513 + 8 . 1513
Örnek 7:
işleminin sonucu kaçtır?
45 + 45 + 45 + 45
3 7 + 3 7 .4
+
4.4.4.4.4
5.3 7 - 4.3 7
işleminin sonucu kaçtır?
7
4 5 . 4 3 ( 1 + 4)
= 4+ 5 = 9
5 + 7
4
3 ( 5 - 4)
1513(1 + 6 + 8) = 1513.151 = 1514
Cevap: 1514
Cevap: 9
Örnek 11:
x ve y gerçek sayı olmak üzere
hh Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken kuvvetler toplanır.
2x – 2–y(2x + y – 2)
ifadesinin sonucunu bulunuz.
xa . xb = xa + b
hh Üsleri aynı olan üslü ifadeler çarpılırken tabanlar çarpılır.
xa . ya = (x . y)a
Cevap: 2–y + 1
2x – 2–y.2x + y + 2–y.21
2x – 2x + 2–y + 1 = 2–y + 1
41.4 2 .4 3 ...4 n
2 n .2 n .2 n ...2 n
144424443
n + 1 tane
işleminin sonucu kaçtır?
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2.n^n + 1h
41 + 2 + 3 + ... + n 2 2
= n^n + 1h = 1
2
^2 nhn + 1
Öğretmen
Sorusu
2. Çarpma
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Üslü Sayılar
Not
Örnek 12:
2x = 5
m
olduğuna göre,
2x + 2
n
hh (an) = (am) = am.n
ifadesinin değeri kaçtır?
2x + 2 = 2x.22 = 5.4 = 20
Cevap: 20
Örnek 17:
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.

Örnek 13:
3
(34)
 (–34)3
2x = a

312
=
–3
(5–2)

((–2)2)3 =
26
4
=
–312
 164
= (24) = 216
=
56
 (–33)4
=
312
3x = b
olduğuna göre, 6x + 1 ifadesinin a ve b türünden eşitini
bulunuz.
6x + 1 = 6x.61 = (2.3)x.6 = 2x.3x.6 = 6ab
Cevap: 6ab
Örnek 18:
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
Örnek 14:
30x
1

= 12
olduğuna göre, 5x . 2x + 2 . 3x + 1 ifadesinin değeri kaçtır?
5x.2x.22.3x.31
(22)
Cevap: 144

(5.2.3)x.4.3 = 30x.12 = 12.12 = 144
1
4 2 + (–8) 3
1
2
+ ((–2)3)
–4
(252)
1
3
= 21 + (–2)1 = 0
5
. (125–2)
(52)–8.(53)–10 = 5–16.5–30 = 5–46
Örnek 15:

317 – 316 + 315
Cevap: 7.315
Cevap: 0, 5–46, –a2
315(9 – 3 + 1) = 7.315
Örnek 19:
Örnek 16:
3x + 1 = 12
3n + 2 + 3n
3n + 2 - 3n
işleminin sonucu kaçtır?
n
5
3 n .3 2 + 3 n 3 (9 + 1) 10
= n
= 8 = 4
3 n .3 2 - 3 n 3 (9 - 1)
–3
a2.a6.–a–6 = –a2 + 6 – 6 = –a2
işleminin sonucu kaçtır?
315.32 – 315.31 + 315.1
2
(–a)2 . (–a3) . (–a2)
olduğuna göre, 32x + 1 ifadesinin değeri kaçtır?
Cevap: 5
4
3x.31 = 12 ⇒ 3x = 4
Cevap: 48
32x + 1 = (3x)2.31 = 42.3 = 48
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Üslü Sayılar
3. Bölme
Örnek 20:
hh Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
2x = a
3x = b
olduğuna göre, 72x ifadesinin a ve b cinsinden değerini
bulunuz.
72 x = ^9.8hx = 9 x .8 x = ^3 x h . ^2 x h
= b 2 .a 3
2
3
Cevap: b2 . a3
an
= an - m
am
hh Üsleri aynı olan üslü ifadeler bölünürken tabanları birbirine
bölünür.
Örnek 21:
an
a n
=b l
n
b
b
254 . 806
sayısı kaç basamaklıdır?
Cevap: 18
58.86.106 = 58.218.106
Örnek 23:
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
= 58.28.210.106
= 108.106.210
2 4 .4 5
83

= 1024.1014
sayı 18 basamaklıdır.
2 4 .2 10
= 2 4 + 10 - 9 = 2 5
29
Not
a ve b sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere
1
hh a–1 =
a
1
hh a–n = n
a
a -n
b n
hh b l = c m dir.
b
a

6412 sayısının
(2 6) 12 $
Örnek 24:
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.

+
10–2
+
1
2 72
= 5 = 2 67
25
2
Cevap: 25, 267
Örnek 22:
10–1
1
si kaçtır?
32
(0, 02) 5 .4 2
(0, 01) 5
işleminin sonucu kaçtır?
10–3
a 0, 01 k $ 2 4 = 2 5 .2 4 = 2 9
0, 02
1
1
1
10 + 100 + 1000 = 0, 1 + 0, 01 + 0, 001 = 0, 111
5
Cevap: 29
2

1 -3
c- m
8
(–8)
2
3
= (–2)
3.
2
3
= (–2)2 = 4
2 30 - 2 6
^2 - 1h . ^2 6 + 1h . ^212 + 1h
6
işleminin sonucu kaçtır?
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2 24 .2 6 - 2 6
_^2 6h2 - 1i . ^212 + 1h
2 6 ^2 24 - 1h
12
^2 - 1h^212 + 1h
2 6 ^2 24 - 1h
= 2 6 = 64
2 24 - 1
Öğretmen
Sorusu
Cevap: 0,111, 4
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Üslü Sayılar
1.
Konu Testi - 1
5.
(–3)2 – 2 . (–1)7
c
işleminin sonucu kaçtır?
A) 11
B) 10
C) 9
D) 8
işleminin sonucu kaçtır?
E) 7
A) 10
-1
işleminin sonucu kaçtır?
1
2
B)
1
3
C)
1
6
D)
1
8
E)
1
12
A) 1
7.
C) 4
D) 6
8.
3. 2 9
-7
E) 16
B) 36
C) 2.36
D) 37
E) 2.37
C)
- 5. 2 6 - 7 = 3. 4 - 5. 2 -1
5 19
= 12 - 2 = 2
21
2
D) 9
E) 10
43 . 254
sayısı kaç basamaklıdır?
işleminin sonucu kaçtır?
B) 10
D) 8
35.3 = 36
2–7 . (3 . 29 – 5 . 26)
19
2
C) 4
35 + 35 + 35
A) 2.35
E) 7
1 + [256 – 27]0 = 1 + 1 = 2
A)
B) 2
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
4.
2 -1 50
= a 50 k = 2 = 25
-
0
B) 2
E) 50
26
-6 - (- 8)
= 2 -6 + 8 = 2 2 = 4
- = 2
28
(–1)2 + [(–4)4 + (–3)3]
A) 1
D) 40
işleminin sonucu kaçtır?
1 1
4- 3 1
4 $ a 3 - 4 k = 4 $ 12 = 3
3.
1
2. - 2
C) 25
2- 6
4- 4
6.
4 . (3–1 – 4–1)
A)
B) 20
4
2
a 2500
k 2 = a 50
k
9 – 2.(–1) = 9 + 2 = 11
2.
1
0, 04 - 2
m
25
D) 11
E)
23
2
A) 6
B) 7
C) 8
26.58 = 26.56.52 = 25.106
25000000 sayı 8 basamaklıdır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Üslü Sayılar
9.
Konu Testi - 1
13.
3.10 6 + 5.10 6
4.10 5
işleminin sonucu kaçtır?
A) 25
B) 24
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) 20
D) 15
E) 10
A) 1
B)
1
2
C) 2x
1
2x
D) 22x
E)
D) 328
E) 329
(2 .4) x
8x
= x=1
x
8
8
10 6 (3 + 5)
8
= 10 6 - 5 $ 4 = 10.2 = 20
10 5 .4
10.
2 x .4 x
8x
x = 54 + 55
14.
olduğuna göre,
94 . 275 . 34
işleminin sonucu kaçtır?
56 + 57
ifadesinin x türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 325
A) 10x
(32) .(33) .34 = 38.315.34 = 327
B) 25x
C) 20x
D) x + 5
4
B) 326
C) 327
5
E) x + 10
52(54 + 55)
25.x
15.
5x = a
2x = b
C) 9
D) 16
E) 27
E) 10a + b
ifadesinin değeri kaçtır?
E) 24
A) 16
8. C
9. C
10. B
11. C
12. E
13. A
14. C
15. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B) 32
C) 64
D) 128
E) 256
23
6
- = 2 = 64
23
7. B
D) 18
6. C
C) 12
2014
(9 - 1 )
3 2014 .3 2 - 3 2014 .1 3
=
= 3.8 = 24
2013
3
3 2013
16. C
6
D) 10ab
a.b
10
2a - b
2b - a
işleminin sonucu kaçtır?
B) 6
C)
16. a – b = 3 olduğuna göre,
3 2016 - 3 2014
3 2013
A) 3
B) a . b
10x.10 = 5x.2x.10 = 10ab
x+1 2
a 2 (3 )
3 2x + 2
=
= 2x = 3 2x + 2 - 2x = 3 2 = 9
b
9x
3
12.
a
b
5. C
B) 6
A)
4. A
A) 3
a2
ifadesinin değeri kaçtır?
b
3. B
olduğuna göre,
olduğuna göre, 10x + 1 in a ve b cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
2. B
b=
9x
1. A
a=
Cevaplar
11.
3x + 1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Üslü Sayılar
1.
c1 -
Konu Testi - 2
4.
13
13
1 3
m . c1 - m . c1 - m
2
3
4
olduğuna göre, x kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 4–1
B) 4–2
C) 4–3
D) 4–5
A) 13
E) 4–6
a 21 k . a 23 k . a 34 k = a 21 . 23 . 34 k
3
3
3
6410 + 1616 = x . 430
3
(26)
10
B) 14
+ (24)
16
= x.(22)
C) 15
D) 16
E) 17
30
260 + 264 = x.260
1 3
= a 4 k = 4 -3
260(1 + 24) = x.260
x = 17
4- 2 - 9- 2
(6 - 2) 2
2.
5.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 65
B) 50
C) 48
D) 45
E) 40
1
1
16 - 81 = a 1 - 1 k 6 4 = 6 4 - 6 4
-4
16 81 $
24 34
6
4
4
6
6
& a 2 k - a 3 k = 3 4 - 2 4 = 81 - 16 = 65
3.
26n + 2 sayısı 43n – 2 sayısının kaç katıdır?
A) 210
B) 29
2 6n + 2 = x . 4 3n
-2
&x=
C) 28
D) 27
E) 26
2 6n + 2
6n + 2 - ^6n - 4h
= 26
- = 2
2 6n 4
Tam sayılar kümesinde tanımlı
6.
b
x
= x + x + x + ... + x
a
b – a + 1 tane
Ahmet isimli bir adamın, Barış, Can, Deniz, Emre isimli
dört çocuğu vardır.
Bu dört çocuktan,
• Barış'ın 4 çocuğu vardır.
bağıntısı veriliyor.
• Can'ın 2 çocuğu vardır.
Buna göre,
• Deniz'in 8 çocuğu vardır.
25
1
5
• Emre'nin 5 çocuğu vardır.
4
Ahmet'in toplam değeri 1288 ¨ olan mirasını dört çocuğu
eşit olarak paylaşıyor. Bu dört kişi de kendilerine düşen
paylarını çocuklarına eşit olarak paylaştırıyor.
. 52 . 53
–3
1
0
işleminin sonucu kaçtır?
A) 510
B) 512
C) 514
4 – 0 + 1 = 5 tane
4
53 = 53 + 53 + 53 + ... + 53 = 53.5 = 54
0
25 – 1 + 1 = 25 tane
25
52 = 52 + 52 + 52 + ... + 52 = 52.25 = 54
1
D) 515
E) 517
Buna göre, Can'ın bir çocuğuna düşen pay Deniz'in
bir çocuğuna düşen paydan kaç ¨ fazladır?
A) 3.253
D) 252
Can'a ve Deniz'e
B) 3.252
C) 253
E) 3.251
128 8
2 56
54
4 = 2 2 = 2 ¨ şer para düşer.
2 54 2 54
53
51
51 2
51
2 - 8 = 2 - 2 = 2 ( 2 - 1 ) = 3. 2
1 – (–3) + 1 = 5 tane
1
5 = 5 + 5 + 5 + ... + 5 = 5.5 = 52
–3
52.54.54 = 510
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Üslü Sayılar
7.
Konu Testi - 2
10.
3x = 5
olduğuna göre, 8x + 1 ifadesinin değeri kaçtır?
3y = 2
olduğuna göre, 34x + 4y ifadesinin değeri kaçtır?
A) 105
4x = 9
B) 104
C) 9.103
D) 310
A) 216
B) 208
C) 196
D) 180
E) 169
E) 510
22x = 32 ⇒ 2x = 3
4
34x.34y = (3x) .(3y)
3
8x.8 = (2x) .8 = 33.8 = 27.8 = 216
4
= 54.24 ⇒ 104
11.
a = 2x – 1
b = 3x – 2
8.
c = 7x – 1
a = 710 + 7–10
olduğuna göre, 42x in a, b ve c türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
b = 710 – 7–10
olduğuna göre, a2 – b2 ifadesinin değeri kaçtır?
A) 4
B) 7
C) 14
D) 49
A) 126abc
E) 70
B) 120abc
D) 108abc
C) 111abc
E) 98abc
2x
a = 2 x . 2 1 & a = 2 & 2 x = 2a
(a – b)(a + b) = (2.7 –10).(2.710)
= 4.70
3x
b = 3 x . 3 2 & b = 9 & 3 x = 9b
=4
7x
c = 7 x . 7 1 & c = 7 & 7 x = 7c
42x = 2x.3x.7x = 126abc
12.
a, b ve c doğal sayı olmak üzere
23 + 23 + 23 + ... + 23 = A
128 tane
c
(ab) = 236
23 . 23 . 23 . ... . 23 = B
olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
olduğuna göre,
E) 15
A) 2182
5. E
a = 4, b = 6 ve c = 3 için a + b + c toplamı en küçük 13 tür.
6. E
7. B
8. A
9. D
10. A
11. A
12. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
C) 2184
D) 2185
E) 2186
(2 3) 64
B
2 192
2 192
182
A = 2 3 .128 = 2 3 .2 7 = 2 10 = 2
ab.c = 236 = 418
8
B
oranı kaçtır?
A
B) 2183
4. E
D) 13
3. A
C) 11
2. A
B) 10
1. C
A) 9
64 tane
Cevaplar
9.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Üslü Sayılar
hhÜslü Denklemler
Örnek 28:
1. Üslü bir eşitlikte tabanlar aynı ise üslerde aynıdır.
25 4 .125 3
1
= x
5 30
5
olduğuna göre, x kaçtır?
xa = xb ⇒ a = b
Cevap: 13
5 8 .5 9
1
= x & 5 8 + 9 - 30 = 5 -x
5
5 30
Örnek 25:
-
-
& 5 13 = 5 x
& - 13 = - x & x = 13
2x – 2 = 16
olduğuna göre, x kaçtır?
2x – 2 = 24 ⇒ x – 2 = 4 ⇒ x = 6
Cevap:6
Örnek 26:
Örnek 29:
9x – 1 = 38
5x – 1 . 5x + 3 = 252
olduğuna göre, x kaçtır?
(32)x – 1 = 38 ⇒ 32x – 2 = 38
olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: 5
⇒ 2x – 2 = 8
5x – 1 + x + 3 = 54 ⇒ 2x + 2 = 4
Cevap: 1
⇒ x = 1
⇒ x = 5
Örnek 27:
24 . 46 . 82
Örnek 30:
=
4x
3 . 2 x + 2 + 4 . 2x = 8
olduğuna göre, x kaçtır?
24.212.26 = 22x
Cevap: 11
Öğretmen
Sorusu
222 = 22x ⇒ 2x = 22 ⇒ x = 11
12 x + 20 x 27
=
64
9 x + 15 x
olduğuna göre
olduğuna göre, x kaçtır?
x+ 5
ifadesinin eşiti nedir?
x+ 4
3.2x.22 + 4.2x = 8
1
2x(12 + 4) = 8 ⇒ 2x = 2 ⇒2x = 2–1
⇒ x = –1
Cevap: –1
4 x ^3 x + 5 xh
3 3
=c m
x
x
x
4
3 ^3 + 5 h
4 x
4 -3
c m =c m
3
3
x=- 3
x+ 5 -3+ 5
=
=2
x+ 4 -3+ 4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Üslü Sayılar
Örnek 31:
c
Örnek 35:
6x = 3x + 1
0, 036 x + 2
1
= x
m
0, 012
9
olduğuna göre, 4x ifadesinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
a 36
12 k
x+2
=
1
& 3 x + 2 = 3 2x
3 2x
& x + 2 = - 2x
2
&x=- 3
Cevap: - 2
3
3x.2x = 3x.31 ⇒ 2x = 3
Cevap: 9
4x = (2x)2 = 32 = 9
Örnek 32:
14 a + 14 a
= 32
7 + 7a + 7a + 7a
a
olduğuna göre, a kaçtır?
2.14 a
7 a .2 a
= 32 &
= 32
4. 7 a
2. 7 a
& 2 a = 64 & 2 a = 2 6 & a = 6
Cevap: 6
Örnek 36:
15x + 1 = 3x + 2
2
3
olduğuna göre, c mx değeri kaçtır?
5
Örnek 33:
15 x .15 = 3 x .3 2 & 5 x .3 x .15 = 3 x .9
9
3
5 x = 15 & 5 x = 5
a
=3
b
2
Cevap: 25
a 53 kx = ^5 x hx = 5 x. x = 5 2 = 25
1
n
b
c m = 27
a
2
2
olduğuna göre, n kaçtır?
1
n
1
a ab k = 27 & a 31 kn = 27
&3
-1
n
Cevap: - 1
3
1
1
= 33 & - n = 3 & n = - 3
Örnek 37:
a ve b pozitif tam sayılardır.
Örnek 34:
2a+4 + 22a - 1 = 2b-2
1 den farklı a ve b pozitif gerçek sayıları için
olduğuna göre, b kaçtır?
a . b = ab
a
= a2b
b
2 a + 4 . ^1 + 2 a 5h = 2 b 2
=
=
a 5 0 & a 5
olduğuna göre, b kaçtır?
a.b = ab
a
= a2b
x b
2
a2 = a3b ⇒ 3b = 2 ⇒ b = 3
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2 9 .2 = 2 b
Cevap: 2
3
-2
& b - 2 = 10 & b = 12
Cevap: 12
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Üslü Sayılar
Örnek 38:
Örnek 40:
12a = 2
a ve b birer tam sayıdır.
6b = 3
5a + b – 7 = 11a – b – 5
olduğuna göre, 12(1 – a)2b ifadesinin değeri kaçtır?
A) 15
B) 16
C) 9
D) 8
olduğuna göre, a . b çarpımının değeri kaçtır?
E) 4
Cevap: 6
a+b–7=0
+ a–b–5=0
2b
2b
^12.12 -ah2b = a 12a k = a 12 k
2
Cevap: C
12
2a – 12 = 0 ⇒ a = 6 ⇒ b = 1
a.b = 6
2
" ^6 bh = 3 2 = 9
4. xa = xb eşitliğinde c Î R olmak üzere
a
2. Üsler eşit ise kuvvetleri tek ya da çift olma durumuna bakılır.
b
x c = x c veya xa.c = xb.c dir.
• a2n + 1 = b2n + 1 ⇒ a = b
• a2n = b2n ⇒ a = b veya a = –b
Örnek 41:
x bir reel sayıdır.
Örnek 39:
x2 = 27
1
Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

(4x – 11)3 = (2x + 7)3
4x – 11 = 2x + 7
2x = 18 ⇒ x = 9
ÇK = {9}

olduğuna göre, x 3 ifadesinin değeri kaçtır?
1
1
x2 = 33 için c = 6 seçilirse
x
1
2. 6
=3
1
3. 6
1
Cevap: 3 2
1
& x 3 = 3 2 olur.
(3x – 1)4 = (2x – 4)4
3x – 1 = 2x – 4 veya 3x – 1 = –2x + 4
x = –3 veya x = 1
ÇK = {–3, 1}
Örnek 42:
2x = 3y
x
Cevap: {9}, {–3, 1}
olduğuna göre, 4 y ifadesinin değeri kaçtır?
x
x
y
y
Cevap: 9
2 = 3 & 2y = 3y
x
3. Üslerde tabanlarda eşit değilse kuvvetler sıfıra eşitlenir.
ax = by ⇒ x = y = 0 dır.
& 2y = 3
2
4 y = `2 y j = 3 = 9
x
x 2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Üslü Sayılar
xa = yb
5.
6. ax < ay eşitsizliğinde
• 0 < a < 1 ise x > y
xc = yd
denklem sisteminde
a b
dir.
=
c d
• a > 1 ise x < y dir.
Örnek 46:
Örnek 43:
3x
3y
Aşağıda verilen eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
=8

= 16
olduğuna göre,
3y = 2
a 21 k
2x - 2
x
oranının değeri kaçtır?
y
3 x = 23
3
x
4& y = 4
4
1 x+4
>a 2 k
2x – 2 < x + 4 ⇒ x < 6
ÇK = (–∞, 6)
Cevap: 3
4

16x+2 < 32x – 2
24x + 8 < 25x – 10
4x + 8 < 5x – 10 ⇒ 18 < x
ÇK = (18, ∞)
Örnek 44:
Cevap: (–∞, 6), (18, ∞)
3x = 125
Örnek 47:
5y = 81
Aşağıda verilen a, b ve c sayılarını küçükten büyüğe
olduğuna göre, x . y çarpımı kaçtır?
3 x = 53 x
3
4 4 = y & x.y = 12
4
y
3 =5
1 x - 1 -x - 4
>2
c m
4
doğru sıralayınız.
Cevap: 12

2a = 3, 3b = 10, 5c = 128
a ∈ (1, 2), b ∈ (2, 3), c ∈ (3, 4)
a<b<c
Örnek 45:

2x = 18
a = 220, b = 221, c = 224
3y = 12
olduğuna göre, x in y cinsinden değerini bulunuz.
_
2x
b x-1
2
2 = 9b 2 = 3 4 x - 1 = 2
`22 = 3y-1 2
y- 1
y
3
b
3 = 4a
y+ 3
4
4
& x- 1 = y- 1 & x = y- 1+ 1 = y- 1
a = 410, b = 87, c = 166
Cevap: y + 3
y- 1

a<b<c
a = 260, b = 350, c = 530
10
10
a = (26) , b = (35) , c = (53)
a = 6410,
10
b = 24310, c =12510
a<c<b
Cevap: a < b < c, a < b < c, a < c < b
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Üslü Sayılar
1.
Konu Testi - 3
5.
3x – 1 = 27
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
a0,5 = 4
olduğuna göre, a2 kaçtır?
D) 4
E) 5
A) 128
5
3x – 1 = 33 ⇒ x – 1 = 3 ⇒ x = 4
B) 225
2
1
a 10 = 2 & a 2 = 2
1
6.
64x = 2
1
12
B)
1
8
C)
1
6
D)
1
3
E)
1
2
.4
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
E) 3
⇒ 32x = 34 ⇒ x = 2
7.
23 . 32x = 273
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
C) 10
8
2
1 x
c m = 46
2
B) –12
2
& a = 2 = 256
(3x) – 12 = 80 ⇒ 32x = 81
x
A) –13
2.4
(3x – 1)(3x + 1) = 80
A) 1
(26) = 21 ⇒ 26x = 21 ⇒ 6x = 1
1
⇒ x = 6
3.
E) 512
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
A)
D) 400
2
& a2 = 2
2.
C) 256
D) 12
A) 12
E) 13
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
x
23.(25) = 273 ⇒ 23.25x = 273
x
6
(2–1) = (22) ⇒ 2–x = 212 ⇒ x = –12
⇒ 25x + 3 = 273 ⇒ 5x + 3 = 73
⇒ 5x = 70 ⇒ x = 14
4.
8.
0,000123 = 1,23.10x
x ve y gerçek sayılar olmak üzere,
4x + y = 32
olduğuna göre, x kaçtır?
A) –5
B) –4
C) –3
D) 3
9x – y = 27
E) 4
olduğuna göre, x kaçtır?
123.10–6 = 123.10–2.10x
10–6 = 10x – 2
–6 = x – 2 ⇒ x = –4
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 4
5
x+y= 2
3
32(x – y) = 33 ⇒ x – y = 2
+
22(x + y) = 25 ⇒
2x = 4
x=2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Üslü Sayılar
9.
Konu Testi - 3
13.
25x + 25x + 25x = 375
43 + 43
=2
8a
olduğuna göre, x kaçtır?
A)
3
2
B) 2
C)
5
2
D) 3
E)
7
2
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
D) 7
E) 8
3.25x = 375
25x = 125 ⇒ 52x = 53 ⇒ 2x = 3
3
⇒ x = 2
3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 351
14.
olduğuna göre, x kaçtır?
B) 2
olduğuna göre, x kaçtır?
C) 3
D) 4
E) 5
A) 4
3x + 3x.3 + 3x.32 = 351
64 + 64 + 64 + ... + 64 = 8x
15. a ve b pozitif tam sayılardır.
3 . 124 = 2a . 3b
32 tane
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
10
D)
3
C) 3
11
E)
3
A) 10
x
64.32 = 8x ⇒ 26.25 = (23)
⇒ 211 = 23x
11
⇒ 11 = 3x ⇒ x = 3
16.
2m = 3
E) 6
olduğuna göre, m . n çarpımının değeri kaçtır?
A) 2
B) 3
3n = 26
1
3 =2
C) 4
D) 6
E) 8
n
6
4 1 = m & n. m = 6
6. C
7. C
8. D
9. A
10. C
11. E
12. C
13. D
14. C
15. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
m
5. C
D) 5
4. B
C) 4
3. 2 a
8
2 a 16
=
& a = 81
3
2.3 a 27
2 a
2 4
a3k = a3k & a = 4
16. D
14
E) 14
3n = 64
3. B
B) 3
D) 13
a = 8, b = 5 ⇒ a + b = 13
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 2
C) 12
3.(4.3)4 = 3.44.34 = 35.28 = 2a.3b
2a + 2a + 2a
8
=
27
3a + 3a
12.
B) 11
2. C
8
B)
3
⇒ 2x = 64 ⇒ x = 6
3x.13 = 351 ⇒ 3x = 27 ⇒ x = 3
A) 2
C) 6
(2x – 4)7 = (60)7 ⇒ 2x – 4 = 60
3x(1 + 3 + 9) = 351
11.
B) 5
1. D
A) 1
(2x – 4)7 = (60)7
Cevaplar
10.
2.43 = 2.8a ⇒ 26 = 23a ⇒ 6 = 3a ⇒ a = 2
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Üslü Sayılar
1.
Konu Testi - 4
4.
1 x
c m =6
6
16 x .2 y = 1
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, y kaçtır?
A) 1
6
+ 2 x = 32
21 - x
B) 2
C) 3
A) 2
D) 4
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
E) 5
6.2x – 1 + 2x = 32
a 61 k = a 61 k & x = - 1
-1
x
2y =
6.2x.2–1 + 2x = 32
6
2x a 2 + 1k = 32 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 3
1
1
y
& 2y =
- & 2 = 16
16 x
16 1
&y= 4
(2 x) x
=8
2 2x
5.
eşitliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
8 -2
c m = x3
27
2.
A) 1
olduğuna göre, x kaçtır?
2
A)
3
3
B)
4
4
C)
5
C) 3
D) 4
E) 5
2x
2
= 8 ⇒ 2x – 2x = 23
2 2x
2
x – 2x = 3 ⇒ x2 – 2x – 3 = 0
2
9
D)
4
9
E)
8
(x – 3)(x + 1) = 0 ⇒ –1 + 3 = 2
aa 23 k k = x 3 & x 3 = a 23 k
3 -2
B) 2
-6
6
3
2 -3
2 -2
9
x3 = a3k & x = a3k & x = 4
6.
Çokgenlerden ve sayılardan oluşan aşağıdaki denklemde
çokgen kaç kenarlı ise içindeki sayının o kadar kuvveti alınıyor.
3 x
4 2x - 1
c m =c m
2
9
3.
.
2
4
.
8
=
512
olduğuna göre, x kaçtır?
A)
1
5
B)
a 32 k = :a 32 k D
x
-2 2x - 1
2
5
C)
3
5
3 x
3 - 4x + 2
& a2k = a2k
& x = - 4x + 2
2
& 5x = 2 & x = 5
D)
4
5
E) 1
Denklemine göre, 8 sayısını içinde bulunduran çokgen kaç kenarlıdır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
23.46.8x = 5125
23.212.23x = (29)
5
23x + 15 = 245 ⇒ 3x + 15 = 45 ⇒ x = 10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Üslü Sayılar
10.
(|x – 1|)4 = (2x – 3)4
1 3x
1 x+ 5
c m >c m
2
4
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
B)
11
3
C) 4
D) 7
E)
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinde bulunan tam
sayıların toplamı kaçtır?
15
2
A) 38
(|x – 1|)4 = (2x – 3)4 ⇒ (x – 1)4 = (2x – 3)4
a 21 k >a 21 k
C) 20
D) 18
E) 15
2
A=
2
3
3 (2 )
2 (3 )
2 (2 )
, B = 3 2, C = 2 3
2 2
(3 )
(2 )
(2 )
B) B < C < A
D) A < B < C
C) C < A < B
E) A < C < B
34
29
28
A = 4 = 1, B = 6 = 2 3 = 8, C = 6 = 2 2 = 4
3
2
2
A <C <B
5x.2x.10 = 5x.125
125
25
2 x = 10 & 2 x = 2 & 2 x + 1 = 25
9.
G
A
B
C
D
E
F
2
3
4
5
6
m
12. Aşağıda basamakları 1 den başlanarak ardışık doğal sayılar
ile numaralandırılmış bir merdiven gösterilmiştir.
Başlangıç noktasında
bulunan bir çekirge 3
ün kuvvetleri olan basamaklara basarak yukarıya
çıkmaktadır.
Çekirgenin en son bastığı basamak numarası
ile bir önceki bastığı
basamağın numarası
arasındaki fark 2.314
tür.
Yukarıdaki şekilde bir müzenin birbirine bağlı A, B, C, D,
E, F ve G odaları ve birbirlerine açılan kapıları modellenmiştir. Bu müzede her odanın giriş ücreti birbirinden farklıdır ve fiyat hesaplanırken oda fiyatı odanın altında yazan
doğal sayı kadar çarpılarak bir sonraki odanın giriş ücreti
belirlenmektedir. Her odanın giriş ücreti birer tam sayıdır.
Örneğin; A odasının giriş ücreti 2 ¨ ise B odasının giriş
ücreti 2.2 = 4 ¨ dir.
Bu müzede G odasının giriş ücreti 64240 ¨ olduğuna
göre, A odasının giriş ücretinin alabileceği kaç farklı
değer vardır?
C) 4
D) 5
4
3
2
1
Başlangıç
Çekirge merdivenin
son basamağına bastığına göre, bu merdiven kaç basamaklıdır?
E) 6
A) 215
B) 314
C) 315
D) 317
E) 319
Merdiven son basamağı 3x olsun bir önceki basamak 3x – 1 olur.
Giriş ücreti x ¨ olsun.
1
3 x - 3 x 1 = 2.3 14 & 3 x a1 - 3 k = 2.3 14
2
& 3 x . 3 = 2.3 14
6 m
(((((x2)3)4)5) )
= 64240 ⇒ x720m = 4720
⇒ xm = 4
x ∈ {2, 4} olmak üzere 2 tanedir.
4. B
5. B
6. C
7. A
8. A
9. A
10. B
11. E
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
& 3 x = 3 15 & x = 15 tir.
o hâlde 315 basamaklıdır.
3. B
16
& 3x < 2x + 10 & x < 10
A) B < A < C
10x.10 = 5x.53
B) 3
E) 42
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
olduğuna göre, 2x + 1 ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
D) 41
o hâlde x ∈ (3, 10), 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 39
11.
B) 24
2x + 10
3x
10x + 1 = 5x + 3
A) 25
C) 40
52x – 1 > 5x + 2 ⇒ 2x – 1 > x + 2 ⇒ x > 3
x – 1 = 2x – 3 veya x – 1 = –2x + 3
4
4 10
x = 2 veya x = 3 & 2 + 3 = 3
8.
B) 39
2. D
10
3
1. D
A)
52x – 1 > 5x + 2
Cevaplar
7.
Konu Testi - 4
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Köklü Sayılar
hhKÖKLÜ SAYILAR
Örnek 3:
n bir pozitif tam sayı olmak üzere xn = m denklemini sağlayan x
sayısına m nin n. dereceden kökü denir ve x = n m şeklinde
gösterilir.
x - 2y + 4 x + y - 12 = 0
olduğuna göre, x kaçtır?
Örnek 1:
x + y – 12 = 0 ⇒ 2y + y – 12 = 0
Aşağıda verilen denklemlerin x değerlerini bulunuz.
⇒ 3y= 12
⇒y=4⇒x=8
2

x2 = 3
x= 3 = 3
....................................................

x3 – 1 = 4
....................................................
x3 = 5 & x =
3
5
hhKöklü Sayıların Özellikleri
1. Köklü Sayıların Üslü Sayılara Çevrilmesi
Not
n bir pozitif tam sayı olmak üzere
Bir köklü sayının gerçek sayı belirtmesi için
n
hh Kök derecesi tek sayı ise tüm gerçek sayılar köklü ifadeyi gerçek sayı yapar.
2m + 1
2n
Aşağıda verilen ifadelerin gerçek sayı yapan x değerlerinin aralıklarını bulunuz.
x- 2+ 4 6- x
x – 2 ≥ 0 ve 6 – x ≥ 0
m
dir.
Aşağıda verilen köklü ifadeleri üslü ifadeye dönüştürünüz.

x &x$0
Örnek 2:

m
x = xn
Örnek 4:
x &xdR
hh Kök derecesi çift sayı ise kök içerisi negatif olamaz dolayısıyla sıfırdan büyük veya eşit gerçek sayılar köklü
ifadeyi gerçek sayı yapar.
Cevap: 8
x – 2y = 0 ⇒ x = 2y

4
2
[2, 6]
4 =
3
2
2
2 = 23
Aşağıda verilen üslü ifadeleri köklü ifadelere dönüştürünüz.
1
3
7

7 3 = 
2 2 = 1
x ≥ 2 ve x ≤ 6
3

Örnek 5:
x- 5 + 3 x- 4
x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5 ⇒ [5, ∞)
1
2 = 2
2
1
–2
 3
31=
=
5
 x4 =
4
1
3
x5
Öğretmen
Sorusu
Cevap: [5, ∞), [2, 6]
x- 3+ 3 x- 2
3- x + x
gerçek sayısının değeri kaçtır?
x – 3 ≥ 0 ve 3 – x ≥ 0
x ≥ 3 ve x ≤ 3
x = 3 tür.
0+3 1
1
= 3
0+3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Köklü Sayılar
Örnek 6:
3
-
1
2.
Örnek 9:
3
27
B) 8
-1 2
-1
3
3 2.
C)
3
3-1
2
3 = 3 2 .3 2 = 3 2
9
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 3
4 + 19 -
D) 3 3
3
E)
3
3
3
4+
19 - 3 =
3
4+ 4 =
3
Cevap: 2
8=2
Cevap: A
=3
Örnek 10:
Örnek 7:
4
3
3 3x + 6 =
3
3
3x + 6
-
7)3 -
( 7 - 3) 2
işleminin sonucu kaçtır?
9x- 1
olduğuna göre, x kaçtır?
4
(3 +
2x - 2
Cevap: –26
3 3x + 6 = 3 2x 2 & 3 4 = 3 3
3x + 6
2x - 2
4 =
3 & 9x + 18 = 8x - 8
3+
7-
7-3
3+
7 - (3 -
Cevap: 2 7
7) = 3 +
7 - 3+
7 =2 7
& x = - 26
2. Bir Gerçek Sayıyı Kök Dışına Çıkarma
m bir pozitif tam sayı olmak üzere
hh
2m + 1
hh
2m
x < 0 < y olmak üzere
(x - y) 2 +
x 2m + 1 = x
x 2m = x
Örnek 11:
x2 + 3 y3
ifadesinin eşitini bulunuz.
dir.
|x – y| + |x| + y = –x + y – x + y = 2y – 2x
Cevap: 2y – 2x
Örnek 8:
Aşağıda verilen ifadelerin eşitlerini bulunuz.

4
3
4 = 2

8 = 2

(- 5) =
3
5
-8 =

4
81 = 3


6
64 = 2

1, 44 =
D) 16
E) 17
- 243 =
Örnek 12:
|5| = 5
Aşağıda verilen köklü ifadeleri kök dışına çıkarınız.
3
( - 2) 3 = - 2

8
= 4. 2 = 2 2

5
( - 3) 5 = - 3

75 = 25.3 = 5 3

3
48
=
16
=
16.3 = 4 3
3
16 =
3
8. 2 = 2 3 2
144
12
100 = 10 = 1, 2
255.257 + 1
sayısının değeri kaçtır?
A) 13
B) 14
C) 15
255 = a ⇒ 4 a (a + 2) + 1 = 4 a 2 + 2a + 1 = 4 (a + 1) 2 =
=
4
4
16 4
= 16
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
256 2
Öğretmen
Sorusu

2
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Köklü Sayılar
3. Köklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma
Derecesi ve içi birbiriyle aynı olan köklü sayılar toplanır veya
çıkarılır.
n
n
n
a. x + b. x - c x =
n
x . (a + b - c)
3+2 3=

3 23
a
b
x =
a
c
b
xc =
a.c
x
b.c
dir.
Aşağıda verilen denklemlerdeki x değerlerini bulunuz.
Aşağıda verilen ifadelerin sonuçlarını bulunuz.

a
a, b, ve a.c birer tam sayı olmak üzere
c
Örnek 16:
Örnek 13:

4.Bir Köklü Sayının Derecesini Genişletip
Daraltma

3 3
2+5 2=
7 2
3 + 23 2 + 3 3
x = 12 2 8
3
x =
15

23 3 + 23 2
3
15
12
4
8
24 & 3 x =
x=
5
x =
5.3
2
3
2 &x= 4
3
3 3 & 15 x =
15
27 & x = 27
Cevap: 4, 27
Örnek 14:
Örnek 17:
Aşağıda verilen ifadelerin sonuçlarını bulunuz.
27 =

12 +

48 - 108 =
32 + 50 +

4. 3 +
Aşağıda verilen a, b ve c değerlerini küçükten büyüğe
doğru sıralayınız.
9 .3 = 2 3 + 3 3 = 5 3
16.3 -

36.3 = 4 3 - 6 3 = - 2 3
200 =
a=
6
5, b =
3
a=
12
52, b =
12
24, c =
12
33
a=
12
25 , b =
12
16 , c =
12
27
2, c =
4
3
b <a <c
16.2 +
25.2 +
100.2 = 4 2 + 5 2 + 10 2 = 19 2
x=


3
3
16 + 3 54 - 3 128 =
8. 2 +
3
27.2 -
3
64.2 = 2
3
2+3
3
2-4
3
2=
3
3
x=
3
x=
60
4, y =
22,
2 40 ,
2
4
8, z =
y=
4
y=
60
5
16
23,
z=
2 45 ,
z=
5
60
3
2
Cevap: b < a < c, x < y < z
Örnek 15:
3 8+2 2-^ 8+
5. Köklü Sayılarda Çarpma ve Bölme
2h
işleminin sonucu kaçtır?
2
B) 2 2
C) 3 2
D) 4 2
E) 5 2
Kök dereceleri aynı olan köklü ifadeler çarpılıp bölünebilir, kök
derecesi aynı olmayan köklerin kök dereceleri eşitlenir.
hh
3 4. 2 + 2 2 - ^ 4 .2 +
Öğretmen
Sorusu
6 2+2 2-2 2-
2 48
x <y <z
Cevap: 5 5 , - 2 3 , 19 2 ,
A)
24
2h
2=5 2
a ve b rasyonel sayılardır.
3a + b 28 + 6 = a 7 + 2b + 14
olduğuna göre a kaçtır?
Cevap: E
hh
n
a .n b =
n
a
=
b
n
n
n
a.b
a
b
3a + 6 + 2b 7 =
a=
3a + 6 =
6b + 6 =
4b =
a 7 + 2b + 14
2b
2b + 14
2b + 14
8
b = 2, a = 4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Köklü Sayılar
Örnek 18:
Örnek 22:
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
2. 8 =

2 . 8 = ......................................................................

2 = 49 = 7
98
= .........................................................................
2
98

4-
3 . 4+
(4 -
3 ) (4 +
3) =

0, 81
0, 03 =
3
42 -
3
2
3 = .................................................
=
3
3
81
3 =
3
16 - 3 =
13
olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır?
Cevap: 6
a = 2 3 - 2 2 = 2^ 3 -
2h
a.b = 2 ^ 3 -
2 h = 6. ^ 3 -
b = 3 3 + 3 2 = 3^ 3 +
2 h .3 ^ 3 +
2h
2
2
2 h
= 6. ^3 - 2h = 6
27 = 3
0, 81
= ....................................................................
0, 03
3
a = 12 - 8
b = 27 + 18
16 = 4
Örnek 23:
x bir gerçek sayı olmak üzere
Örnek 19:
^ 7 + 3h = 4
x
olduğuna göre, ^ 7 - 3 h ifadesinin x cinsinden değerini bulunuz.
0, 48 - 0, 27
1, 47
x
işleminin sonucu kaçtır?
48
27
16.3
9. 3
100 - 100 =
100 - 100
147
49.3
100
100
4 3 3 3
- 10
3 10
1
= 10 .
=7
& 10
7 3
7 3
10
Cevap: 1
7
^ 7^ 7+
^^ 7 -

5
+
10
9
+
10
6
10
2 =
10
11
10
11 = 1
10
3
2. 3
6
2 2 .6 3 3 =
Cevap: 1

3
6
3 hh = 4a
x
15
işleminin sonucu kaçtır?
4 = 8 + 2 = 10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
4.27 =
6
108
8
2
83
=
22
29
=
22
6
6
27
6
108 ,
6
2
7
Örnek 25:
10 ^ 6, 4 + 0, 4 h
0, 4 . 10
6
Cevap:
Örnek 21:
4
3 h.^ 7 +
x
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
6
64 +
3 h = a .4
x
Örnek 24:
işleminin sonucu kaçtır?
10 . 6, 4 +
3 h .^ 7 -
Cevap: 4x–1
4x
a = 4 = 4x 1
2, 5 + 3, 6
8, 1 + 0, 4
36
10 =
4
10
x
^7 - 3hx = 4a
Örnek 20:
25
10 +
81
10 +
3 h = a olsun
x=
3
2 .5 3
olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: 10
15
x =
15
2 5 . 15 3 3
15
x =
15
32.27
x = 32.27 = 864
Cevap: 864
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Köklü Sayılar
1.
Konu Testi - 1
5.
0, 014 + 0, 076
1+
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0,1
B) 0,2
C) 0,3
D) 0,4
B)
6
5$
6.
112 - 63
işleminin sonucu kaçtır?
B)
A) 2 3
3.
3
1
2
+ 125
D) 2 7
E)
7
7
125 =
9.5 +
7+
1
3
3
D) 2 2
E) 2 3
B) 3
28 -
7+
28 -
7+ 2 =
C) 6 5
D) 7 5
E) 8 5
D) 4
E) 8
D) 2
E)
D) 1,2
E) 2
2
3
2+ 2
C)
1
4
43 = 4
(- 2) 3 + 4 (- 2) 4 + 16
(- 3) 2 -
B)
3
8.
3
(- 1) 3
4
3
C)
5
3
7
2
0, 016
0, 002
işleminin sonucu kaçtır?
D) 5
E) 6
A) 0,1
3
25 = 5
1
4
-2+ -2 + 4 -2+ 2+ 4 4
=
= 4=1
3+ 1
- 3 - ( - 1)
2+ 3 8
C) 4
3
A) 1
25.5
28 - 3 =
1 -1
m
64
6 5 4
5$4$3 =
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2
c
B) –
64 =
7.
=3 5+5 5=8 5
28 -
4
3 =
3
3
1
2
B) 5 5
A) 4 5
4.
C)
2
5
4$
A) –4
işleminin sonucu kaçtır?
45 +
1+
işleminin sonucu kaçtır?
C) 3 7
9. 7 = 4 7 - 3 7 =
45
1
$
4
9
3
100 = 10 = 0, 3
0, 090 =
16.7 -
1+
çarpımının sonucu kaçtır?
E) 0,5
A) 1
2.
1
$
5
0, 016
0, 002 =
B) 0,3
3
16
2 =
C) 1
3
8=2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Köklü Sayılar
9.
Konu Testi - 1
13.
4, 8 . 8, 4
0, 07
olduğuna göre, y kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 12
B) 16
5x - y + 4 x - 3 = 0
C) 20
D) 24
A) 25
E) 28
B) 24
C) 20
D) 15
E) 12
x–3=0⇒x=3
4, 8. 8, 4
0, 07 =
48.84
7 =
4.12 2 = 2.12 = 24
4.12.12 =
&
10.
4
5x – y = 0 ⇒ 5.3 – y = 0 ⇒ y = 15
48.12
14.
3 .3 2
a=6 7
b= 4 5
c=3 2
çarpımının sonucu kaçtır?
A)
12
B)
37
D)
4.3
3 4.3
3 .
12
4
12
12
C)
74
E)
432
2 =
=
12
27 .
12
24
24
312
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
432
A) b < c < a
D) c < b < a
16
B) 4
5 . 3, 2 +
D) 6
5.3, 2 +
16 +
=
12
72 =
12
b=
12
53 =
12
c=
12
24 =
12
3
E) 7
A) –
5. 1, 8
1
3
1
2
&3
3
= 3x
3
x
-1
6
1
6
D)
1
3
E)
1
6
x
3
3
işleminin sonucu kaçtır?
A) (–4, 0]
6^ 7 -
E) (–∞, 4]
=3
C) –
^ 7 - 3 h .^ 7 + 3 h
A) 16
C) [0, 4]
1
4
x
1
= 3 &x=-6
ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için x in alabileceği
en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
B) [0, ∞)
1-1
2
= 3 & 33
16.
x- 4+ 3 x
D) [4, ∞)
_
49 b
b
125 ` c < a < b
bb
16 a
B) –
1
33
9 = 4+ 3 = 7
3
12.
E) c < a < b
olduğuna göre, x kaçtır?
C) 5
5 . 1, 8 =
a=
15.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 3
C) a < b < c
432
5 ^ 3, 2 + 1, 8 h
11.
B) b < a < c
B) 32
3 h.^ 7 +
C) 64
3
2
3 h@ = 6 7 -
D) 16 3
E) 16 7
2
3 @
3
= ^7 - 3h3 = 4 3 = 64
x – 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4 ⇒ [4, ∞)
1. C
2. E
3. E
4. D
5. B
6. D
7. A
8. E
9. D
10. D
11. E
12. D
13. D
14. E
15. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16. C
6
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Köklü Sayılar
1.
6
Konu Testi - 2
4.
24 + 24 + 24 + 24
5
34 + 34 + 34
2
B)
3
0, 16
olduğuna göre, x kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1
A)
3
x. 0, 09 + 3 0, 001 =
C) 3
A) 1
D) 4
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) 5
9
1
16
3
100 +
1000 = 100
3x
1
4
10 + 10 = 10 & 3x + 1 = 4
x.
6
5
4. 2 4
=
3. 3 4
6
26
2
= 3
35
5
&x= 1
5.
2.
x2y - x2y3
x y
olduğuna göre, 2x ifadesinin değeri kaçtır?
1
A)
6
1
B)
4
1
C)
3
1
D)
2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
E) 3
A) x – 1
1
& 2x = 3
x
6.
2
27
B) –2
^2 - 3 3 h 2
C) –1
D) 1
27 = 2 - 3 3 - 3 3
= 3 3 - 2- 3 3
=- 2
y
- x y + xy y
x y
x y (- 1 + y)
=
= y- 1
x y
=
1 den itibaren pozitif tam sayılar karekökleri kadar tekrarlanarak bir sayı dizisi oluşturuluyor.
• Sayının karekökü tam sayı değil ise bu sayının karekökünün yaklaşık değeri bulunuyor. Sayı, bu değerin tam
kısmı kadar tekrar ediliyor
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –3
y - xy
x y
C) 1 – y
x+ y
E)
x- 1
• Sayının karekökü tam sayı ise bu tam sayı kadar tekrarlanıyor.
x = ^2 - 3 3 h olduğuna göre,
x-
B) y – 1
x+ y
D)
x+ 1
^2 x + 1h2 = 2 & 2 x + 1 = 2 & 2 x .2 = 2
3
3
3
3.
x < 0 < y olduğuna göre,
2
4x+ 1 =
3
E) 2
Örneğin,
1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, ...
oluşacak bu sayı dizisinin baştan 38. terimi kaçtır?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12,
13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Köklü Sayılar
7.
Konu Testi - 2
10.
x3 = –27
y5 = 32
x 2 + 8y ifadesinin değeri kaçtır?
B) 5
3
3
x = (- 3) & x =
5
5
y = 2 &y=
x 2 + 8y =
8.
a=
5
C) 6
3
D) 7
A) 2
E) 8
x
52 = 5
3
( - 3) & x = - 3
2 &y= 2
(- 3) 2 + 8. 2 =
9 + 16 =
11.
1
14
^ 2 + 1h^ 2 - 1h
=
^ 2 + 4h^ 2 - 4h
9.
D) –1
E) –2
x
x- 1
&2= 4
x- 2+
A) 0
C) -
1
12
D) -
1
10
E) -
1
6
2- x +
x + 10
B) 2
C)
D) 2 3
3
E) 4
x- 2 $ 0 & x $ 2
4 & x = 2 dir.
2- x $ 0 & x # 2
0 + 0 + 12 = 4.3 = 2 3
2
2 - 12
1
1
=
= - 14
2
2 - 4 2 - 14
Köklü sayıların kökden dışarıya çıkartılması ile ilgili bir
sözlü sınav yapan matematik öğretmeni önünde bulunan
hesap makinesi ile kökün yaklaşık değerini hesaplayabilmektedir. Öğretmen tahtaya kalkan öğrencisine kendisine
bir soru sorma hakkı tanıyor.
12. Bir x pozitif tam sayısının karekökü yaklaşık olarak aşağıdaki yöntemle bulunuyor.
hh x sayısından küçük en büyük tam kareyle x sayısından büyük en küçük tam kare bulunuyor. Bu sayılardan ilki a, ikincisi b olarak adlandırılıyor.
Öğrencisine,
hh x sayısının karekökü
x- a
b- a
formülüyle bulunuyor
10800
x . a+
sayısının yaklaşık değerini soran öğretmen öğrencisinin hangi sorusuna cevap verirse öğrenci sayının
yaklaşık değerini doğru hesaplayabilir?
A)
2 nin yaklaşık değeri kaçtır?
B)
3 ün yaklaşık değeri kaçtır?
C)
5 in yaklaşık değeri kaçtır?
D)
7 nin yaklaşık değeri kaçtır?
E)
11 in yaklaşık değeri kaçtır?
10800 =
x-1
4
C) 0
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
işleminin sonucu kaçtır?
B) -
B) 1
25 = 5
2 + 1 olduğuna göre,
1
16
5x- 1
& 4x = 2x - 2 & 2x = - 2 & x = - 1
5
a. (a - 2)
(a + 3) (a - 5)
A) -
4
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre,
A) 4
5x =
108.100 =
Buna göre, bu yöntemle 37 sayısının karekökü kaç
olarak bulunur?
A)
79
13
B)
80
13
C)
81
13
D)
82
13
E)
83
13
a = 36, b = 49
37 - 36
1
79
37 . 36 + 49 - 36 = 6 + 13 = 13
3.36.100
= 6.10 3
= 60 3
3 ün yaklaşık değerini sormalıdır.
1. B
2. C
3. B
4. A
5. B
6. D
7. B
8. B
9. B
10. D
11. D
12. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
8
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Köklü Sayılar
hhKÖKLÜ SAYILAR
Örnek 28:
6. Kuvvet Kullanarak Kökten Kurtulma
y=
x+ y- 1
olduğuna göre, x . y çarpımı kaçtır?
n bir pozitif tam sayı olmak üzere
^n x hn = x dir.
A)
1
3
Aşağıda verilen denklemlerdeki x değerlerini bulunuz.
x-2= 0
x = 2 & ^ x h = 22 & x = 4
1
4
B)
^ x-
Örnek 26:

x-
3
4
C)
D)
y h = ^ x + y - 1h
2
2
5
E)
4
5
Cevap: B
2
x + y - 2 xy = x + y - 1
- 2 xy = - 1
1
1
xy = 2 & x.y = 4
2

3
3

5
7. İç İçe Sonlu Kökler
x - 1- 2 = 2
3
x - 1 = 4 & ^3 x - 1 h = 4 3
n ve m pozitif tam sayılar olmak üzere
n m
& x - 1 = 64
hh
& x = 65
hh a n x =
29 + 3 x - 3 = 2
hh a n
_ 5 29 + 3 x - 3 i = 2 5
n.m
x =
m
n
x =
x
a n .x
n m
a n.m .x
dir.
5
Örnek 29:
29 + 3 x - 3 = 32
3
3
x - 3 = 3 & ^3 x - 3 h = 3 3
& x - 3 = 27
Aşağıda verilen ifadeleri tek bir kök hâline dönüştürünüz.
& x = 30

Cevap: 4, 65, 30
Örnek 27:
8x - 12 + 18x - 27 = 35

4
2
2 = ....................................
3
4
24
3
3 = ....................................
2

2 .3
12
2 3 = ....................................

3 .2 = 54
3 3 2 = ....................................

3
2
3
=
3
3
3
6
6
7
2 .2
2
2 = ....................................
=
olduğuna göre, x kaçtır?
4 ^2x - 3h +
9 ^2x - 3h = 35
2 2x - 3 + 3 2x - 3 = 35
5 2x - 3 = 35
2x - 3 = 7 & 2x - 3 = 7 2
& 2x = 52
& x = 26
Cevap: 26
Örnek 30:
2 2 2
işleminin sonucu kaçtır?
2 4 .2 2 .2 =
8
27
Cevap:
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
8
2
9
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Köklü Sayılar
Örnek 31:
3
Örnek 34:
m3 m
2 2 =
9- 4 5
işleminin sonucu kaçtır?
olduğuna göre, m kaçtır?
3
3
2 2 .2 =
6
23 =
6
Cevap:
m 3 .m
4
8
9 - 2 2 2 .5 =
m4 & 23 = m4
&m=
4
8
25 x =
3
8+
2 .5 3
5
15
2 5 .x =
2 .x =
15
5
3
5
5
15
5-2
Cevap:
7+1
9 - 2 20
=
5-
4
=
5-2
2 5 . 15 3 3
5
2 .3
Cevap: 33
8+
4. 7 =
3
2 . x = 2 .3 & x = 3
28
işleminin sonucu kaçtır?
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?
3
Cevap:
Örnek 35:
Örnek 32:
3
9 - 2. 2 5
8+ 2 7
=
7+
=
7+1
1
3
Örnek 36:
8. x " 2 y Biçimindeki İfadelerin Kökten
Dışarı Çıkarılması
a ve b pozitif reel sayılar olmak üzere
y = a . b ve x = a + b ise
hh
x+ 2 y =
a+ b
hh
x- 2 y =
a - b ^a > bh dir.
2+
3+
2-
3
işleminin sonucu kaçtır?
Cevap:
2_
2+
2
3+
2-
3i=
=
=
6
4+ 2 3 + 4- 2 3
2
3+ 1+ 3- 1
2
2 3
=
2
2
2 . 3
=
2
6
Örnek 37:
Örnek 33:
Aşağıda verilen ifadelerin sonuçlarını bulunuz.

2+ 1= 2+1
3 + 2 2 = ..................................................................

3- 1= 3-1
4 - 2 3 = ..................................................................

6- 2 8 +
2a + 2 a 2 - 4 =
7+
3
olduğuna göre, a kaçtır?
a+ 2 +
a- 2 =
7+
3
Cevap: 5
a+ 2 = 7
4 - 2 + 4 + 2 = 2+ 2 = 4
6 + 2 8 = .............................................
4 17 - 2 72 x 2 - x
=
olduğuna göre, x kaçtır?
17 - 2 72 = x ^ 2 - 1h
9-
8 = x ^ 2 - 1h
3 - 2 2 = x ^ 2 - 1h
2 - 1 = x ^ 2 - 1h & x = 1
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Öğretmen
Sorusu
a= 5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Köklü Sayılar
9. Paydayı Rasyonel Yapmak
Örnek 39:
Bir rasyonel ifadede
Aşağıda verilen ifadelerin paydalarını rasyonel hâle getiriniz.
hh Paydada
eşleniği
x
hh Paydada
n
x varsa pay ve payda
n
hh Paydada
x m varsa pay ve payda
hh Paydada
n
n
x n - m ile çarpılır.
xn - m
x " y varsa pay ve payda
eşleniği
x" y
3
x ! y ile çarpılır.
x+
3
x-3 y
3
y
1
2
2
2
= ............................................................................
=
= 2
2. 2
4
2

12
12 3
12 3
= ............................................................................
= 3 =4 3
3
3 3

2 3
2 3. 5
2 15
= .........................................................................
= 5
5. 5
5
1
5+ 2
5+ 2
5+ 2
= ..................................................................
=
2
2 =
3
5- 2
^ 5 - 2 h^ 5 + 2 h
5 - 2

x! y
x " 3 y varsa pay ve payda
3
x 2 + 3 y 2 ! 3 xy

ile çarpılır.
3

x
eşleniği
xm
x ile çarpılır.
3
3
3
1
9+3 4+3 6
9+3 4+3 6
= ..................................................................
= 3
3
3
3 - 3 2 ^3 3 - 3 2 h^3 9 + 3 4 + 3 6 h
^ 3 h - ^3 2 h
=
eşleniği
3
x +
eşleniği
3
x 2 + 3 y 2 + 3 xy
2
3
2
y -
3
3
9+3 4+3 6
xy
Örnek 40:
6
3
Örnek 38:
Öğretmen
Sorusu
Aşağıda verilen ifadelerin eşleniklerini yanlarında bulunan kutucuklara yazınız.

2
→ 2


7
→ 7


3-
2 → 3 + 2
3
→ 1 + 3
3
→
3
32
5
x2
→
5
x3


1-

3
3 + 3 2 → 3 9 + 3 4 - 3 6

3
7-3 3 →
3
3
 4+
49 + 3 9 + 3 21
5+ 2+3
5- 2+1
işleminin sonucunu bulunuz.
3 →
7+
2
→
74-
2
3+1
işleminin sonucu kaçtır?
2 ^ 3 - 1h
6. 3
3 3 ^ 3 + 1h^ 3 - 1h
6 3 2 ^ 3 - 1h
3 - 3 2 - 1 2 = 2 3 - ^ 3 - 1h = 2 3 = 3+1
Cevap:
3+1
3+1
3
2
Örnek 41:
8
8
+
4- 2 2 4+ 2 2
işleminin sonucu kaçtır?
8 ^4 + 2 2 h 8 ^4 - 2 2 h
2+ 2
2
4 2 - ^2 2 h
4 - ^2 2 h
8 ^4 + 2 2 h 8 ^4 - 2 2 h
+
= 4+ 2 2 + 4- 2 2 = 8
8
8
2 + ^ 5 + 2 h^ 5 - 2 h
5- 2+1
^ 5 + 2 h^ 5 - 2 + 1h
= 5+
5- 2+1
Cevap: 8
5+
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Köklü Sayılar
Örnek 42:
10. İç İçe Sonsuz Kökler
Aşağıdakilerden hangisi bir rasyonel sayıdır?
İç içe sonsuz köklerde belki bir kurala göre hareket eden kökleri
inceleyeceğiz.
A)
2 +1
B) 2 2 – 1
2
2+1
D)
C)
1
2
2 2-2
E)
3 2-3
Cevap: E
Köklü ifade içeren sayılar irrasyonel, köklü sayı içermeyen sayılar rasyonel
sayılardır.
2 ^ 2 - 1h 2
=
rasyoneldir.
3 ^ 2 - 1h 3
hh
n
x. n x. n x... =
hh
n
x | n x | n x... =
n- 1
x
n+ 1
x
hh
x. (x + 1) +
x (x + 1) +
x (x + 1) ... = x + 1
hh
x (x + 1) -
x (x + 1) -
x (x + 1) ... = x
Örnek 43:
12
+ 10 5-1
Örnek 46:
45
Aşağıda verilen iç içe sonsuz köklerin sonuçlarını bulunuz.
işleminin sonucu kaçtır?
12 ^ 5 + 1h
+ 10 - 45
2
5 - 12
12 ^ 5 + 1h
+ 10 - 3 5 = 3 5 + 3 + 10 - 3 5 = 13
4
Cevap: 13

Örnek 44:
5-1
5+1
5+1
+
5-1

2
3
4=2
4. 3 4. 3 4... = ............................................................
5
64 2
64 | 5 64 | 5 64... = .................................................
6
=
7
42... = ................................................

42 +
42 +

30 -
5
30 - 30... = .................................................
işleminin sonucu kaçtır?
^ 5 + 1h^ 5 + 1h
2
2
+
^ 5 - 1h^ 5 - 1h
2
Cevap: 3
2
5 -1
5 -1
5 + 2 5 + 1 + 5 - 2 5 + 1 12
= 4 =3
4
Örnek 47:
Örnek 45:
x+ 1+
2
2
2
12
x+ 1+
x + 1... = 4
olduğuna göre, x kaçtır?
1+
x+ 1+
işleminin sonucu kaçtır?
x + 1 + x + 1... = 4
1444442444443
4
Cevap: 11
x+ 1+ 4 = 4
^ 3 + 2h
2x - 4
^1 + 2 h
2
1+ 2+ 2 2
= 2
=- 3- 2 2
2 =
-1
2
1 - 2
2
=^ 3-
x + 5 = 42
x = 11
2h
x- 8
olduğuna göre x kaçtır?
12
Cevap: - 3 - 2 2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
=
3- 2
3+
2
2x - 4
x- 8
1
= ^ 3 - 2h
n
3- 2
2x 4
x 8
^ 3 - 2 h- + = ^ 3 - 2 h - 2x + 4 = x - 8 " 3x = 12 " x = 4
d
Öğretmen
Sorusu
2 2
1+ 2
1+
=
2 2
11- 2
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Köklü Sayılar
1.
x
Konu Testi - 3
5.
81 = 9
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
B) 2
4
5x - 2 =
3
olduğuna göre, x kaçtır?
C) 3
D) 4
E) 5
A) 2
B)
11
5
C)
^4 5x - 2 h = ^ 3 h
4
x
x= 2
6.
2 2
3
B)
2
2 2 .2 =
6
3
8=
C)
4
6
23 =
6
16
5
4
3
x2 <3
eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A)
E)
5x - 2 = _^ 3 h i & 5x - 2 = 3 2 & 5x = 11
11
&x= 5
x
3
D) 3
2 2
9 2 = 9 & ^x 9 2 h = 9 x & 9 2 = 9 x
2.
12
5
4
D)
6
6
E)
12
A) 4
8
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
D) 8 3
E) 10 3
D) 4 5
E) 6 5
^3 x 2 h < 3 3 & x 2 < 27 & x < 27
3
2
x en fazla 5 tir.
3.
2+
1
3-2
2+
B) – 3
3+2
= 2+
2
3 - 22
C)
4.
x=
D)
2
3+2
-1 = 2=-
4
3+2
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2
12
+
3
7.
3
A) 6
E) 2
B) 8
C) 6 3
12 3 4 ^ 3 - 2h
4 3-8
-1
3 + 3 2 - 22 = 4 3 +
=4 3-4 3+8
3-2
3
=8
8.
5-3
9 + 2 20 -
9 - 2 20
olduğuna göre, x2 + 6x + 10 ifadesinin değeri kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 4
A) 2
B) 5
C) 6
^ 5 - 3h + 6 ^ 5 - 3h + 10
2
5 + 9 - 6 5 + 6 5 - 18 + 10 = 6
D) 7
E) 8
9 + 2 20 4+ 5
5+
C) 4
B) 2 5
9 - 2 20
4. 5
4-^ 5-
4h =
5 + 2-
5+2= 4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Köklü Sayılar
9.
Konu Testi - 3
2 ^ 5 - 1h
5+1
13.
5- 2 6
sayısının çarpmaya göre tersi kaçtır?
A)
3+
B)
2
D)
3-
E)
5+1
1
=
5- 2 6
1
3-
C)
2
3+
2
3 -
=
2
işleminin sonucu kaçtır?
5-1
2
2 =
2
3+
1
B) 3 5
A) 2 5
6-1
D) 3 +
2
=
3+
C) 2 +
E) 3 –
5
2 ^ 5 - 1h
2 ^5 + 1 - 2 5 h 6 - 2 5
=
=
2
4
2
5 - 12
2 ^3 - 5 h
=
2
2
^ 7 - 3 h . 10 + 2 21
14.
B) 2
^ 7-
C) 3
3 h.^ 7 +
4
23
D) 4
24
A)
E) 5
3h =
7 -
3
B)
192
D)
2
5
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
çarpımının sonucu kaçtır?
A) 1
5
2
= 3-
10.
5
3
24
24
C)
182
E)
152
24
24
180
124
2
= 7- 3
4
3
2 6 .3 =
24
192
=4
)
D) 2
A) 1
E) 4
x
4. 3 +
4.3 + ...
3. 2 -
3. 2 -
3.2 - ...
16.
2 5 4 = 15 2 x
2 5 .2 2 =
15
2 x & 15 2 7 =
D) 8
15
A) a < b < c
2x
8. C
9. A
10. D
11. B
12. C
13. E
14. A
15. B
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
4
= 2=2
B) a < c < b
D) b < c < a
& 27 = 2 x & x = 7
16. A
14
E) 6
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
E) 9
2
a=
2 .3 =
b=
3 2 .2 =
c=
21
7. B
5
C) 7
6. B
3
B) 6
D) 4
a= 2 3
b= 3 2
c = 21
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 5
C) 3
4. 3 +
C) b < a < c
E) c < a < b
_
12 b
b
18 ` a < b < c
bb
a
5. B
3
B) 2
4. C
12.
6 - ...
3. B
1
x
C) –2
3 = 3 (2 ) & 3 16 = 3 (2 )
1
& 2 x = 16 & 2 x = 2 4 & x = - 4
16
6-
2. A
B) –4
6-
işleminin sonucu kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) –8
12 + 12 + 12 + ...
15.
x
1. B
3 = 3 (2
Cevaplar
11.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Köklü Sayılar
1.
a=
b=
3
3
4.
3-1
3+1
olduğuna göre,
A)
Konu Testi - 4
B)
2
3
C)
D) 2 3
x-2=
5
10 -
4
işleminin sonucu kaçtır?
a.b
ifadesinin değeri kaçtır?
a+b
1
3
5
A) 144
E) 3 3
B) 121
C) 100
D) 81
E) 64
x - 2 = 10 - 2
x = 10 & x = 100
^ 3 - 1h^ 3 + 1h
3 - 1+
3+1
2
=
3 - 12
2
1
3
=
=
= 3
2 3
2 3
3
5.
x ve y gerçek sayıları için
x- y +
12
2.
4
x
=
2
6
2 2
B) 64
A)
C) 48
12
x
12
=6
2 2 .2 &
23
x
& 8 = 8 & x = 64
x
8 =
12
12
D) 32
E) 16
1
2
^ x- y +
x + y h = ^ 2x + y h
2
_2 x 2 - y 2 i = y 2
2
4 (x 2 - y 2) = y 2
Asya ile Ozan arasında bir sayı oyunu şöyle oynanıyor.
6.
x2 5
= 4
y2
Konu: Köklü Sayılar
hh Asya 1 den 50 ye kadar olan doğal sayılardan birini
aklında tutuyor.
Adı: Asya Ekin
hh Tuttuğu sayının 2 katının 1 fazlasının karekökünün 7
den küçük olduğunu Ozan'a söylüyor.
Numarası: 1
hh Söylediği kuralın yetersiz olduğunu anlayan Asya
tuttuğu sayının karekökünün rasyonel olduğunuda
Ozan'a söylüyor.
Buna göre, Asya'nın tuttuğu sayının kaç farklı değeri
vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Tuttuğu sayı x olsun
2x + 1 < 7 & ^ 2x + 1 h < 7 2
2
⇒ 2x + 1 < 49 ⇒ 2x < 48 ⇒ x < 24
1,
4,
9,
2
x - y + x + y + 2 x 2 - y 2 = 2x + y
8
4x 2 = 5y 2 &
3.
2x + y
2
x
ifadesinin değeri kaçtır?
y2
2
3
5
5
B)
C)
D)
E)
3
4
4
6
olduğuna göre,
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 128
x+ y =
16 rasyonel olduğundan 4 farklı değer vardır.
Soyadı: Balcı
Doğru
1.
2.
3.
4.
3 . 5 . 12 = 6 5
^ 7 - 2h^ 7 + 2h = 5
3 - 8 . 4 (- 3) 4 - 6
=
1
2-1
5.
Yanlış
8|
+
8|
1
2+1
= 2 2
8: ... = 2
Yukarıda bir matematik öğretmeninin öğrencisine uyguladığı mini bir doğru - yanlış sınavı gösterilmiştir.
Her sorunun doğru cevabı 20 puan olduğuna göre, bu
öğrenci sınavdan kaç puan almıştır?
A) 20
B) 40
C) 60
D) 80
E) 100
1., 2., 3., 5. soruları doğru cevapladığından 80 puan almıştır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Köklü Sayılar
7.
Konu Testi - 4
10.
3. 6. 8
7-1
x2 + 1 +
olduğuna göre
işleminin sonucu kaçtır?
A)
x2 + 1 -
B) 2
2
D)
x2 - 3 = 8
C)
7
ifadesinin değeri kaçtır?
E) 2 7 + 2
7+2
x2 - 3
A)
12. ^ 7 + 1h
3. 6. 8
144
=
=
2
7-1
7-1
7 - 12
12 ^ 7 + 1h
=2 7+2
&
6
1
3
B)
^ x2 + 1 +
1
2
C) 1
x 2 - 3 h.^ x 2 + 1 -
x 2 + 1 - ^ x 2 - 3 h = 8a
2
2
D) 2
E) 3
x 2 - 3 h = 8a
x 2 + 1 - x 2 + 3 = 8a
4 = 8a
1
a= 2
24
24
11.
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
B)
5+
3-
E)
2
3+
2
3-1
5
ifadesinin değeri kaçtır?
x
A) 6
C) 8
5+
24 =
=
5+ 2 6
3+
2
A=
B=
3-
3
2
B) 6
D) 4
E) 6
2. 4 2. 4 2....
x+
x + ... = A.B
olduğuna göre, x kaçtır?
C) 8
D) 10
E) 12
A) 1
12 ^2 3 + 3h
12
6
-8 3=
-8 3=
-8 3
2
2 3-3
2 3-3
^2 3 h - 3
2
12
= 3 ^2 3 + 3h - 8 3
A=
4, B =
3
C) 3
2 & A.B =
3
4. 2 = 2
x + x + ... = 2
144424443
2
x+ 2 = 2 & x+ 2 = 4 & x = 2
6. D
7. E
8. C
9. E
10. B
11. A
12. B
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B) 2
3
x+
= 8 3 + 12 - 8 3 = 12
16
4
x+
işleminin sonucu kaçtır?
A) 4
4 | 4 | 4 | ...
olmak üzere
-8 3
5. D
6
E) 10
= 5+ 1 = 6
12.
9.
D) 9
5
x+ x
x
x
+
= x+
= x+
x
x
x
x
= x+ x + 1
x+
24 24
24 =
B) 7
4. C
D)
C)
3+1
olduğuna göre, x +
3. A
2+1
x=5
2. B
A)
x+
1. A
5+
Cevaplar
8.
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
14
TARAMA
1.
4.
2x
x
-3> +1
3
2
a b
+ = 10
4 7
eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır?
A) –25
B) –24
C) –23
D) –22
a ve b pozitif tam sayılardır.
olduğuna göre a + b toplamının alabileceği en küçük
değer kaçtır?
E) –21
A) 36
-x
x 2x
2 - 3 >4 & 6 >4
C) 43
D) 47
E) 50
a 7
b = 7 için 4 + 7 = 10
a
4 = 9 & a = 36
& - x > 24
& x <- 24
x en büyük –25 dir.
a + b = 36 + 7 = 43
5.
2.
B) 39
19, 6 + 3, 6
x . y2 < 0
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisi ile çarpılır
ise bir rasyonel sayı olur?
x .y < 0
A) 2
x ve y reel sayılar olmak üzere
olduğuna göre, |2y – x| – |–x| ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2x
B) 2y
D) 2y – 2x
196
10 +
C) –2y
&
E) 2y – x
B)
2
36
14
10 = 10 +
C)
5
D)
10
E)
12
6
20
=
10
10
20 10
10 = 2 10
10 ile çarpılırsa 2 10 . 10 = 2.10 = 20 rasyoneldir.
x < 0 ve y > 0 dır.
|2y – x| – |–x| = 2y – x + x = 2y
3.
6.
işleminin sonucu kaçtır?
B) 12
C) 14
1
5
a 10
k + a 10
k = 10 + a 10
5k
-1
-2
2
A
<
B
B
>
C
C
≤
D
Yukarıda verilen şekilde sol kutuda bulunan sayının sağ
kutuda bulunan sayıya göre durumu daire içerisinde "<",
">", "≤" eşitsizlikleri ile verilmiştir.
(0, 1)–1 + (0, 5)–2
A) 6
A, B, C ve D birbirinden farklı iki basamaklı doğal sayılardır.
D) 16
E) 18
Buna göre, A + B + C + D toplamının sonucu en az
kaçtır?
A) 45
B) 46
C) 47
D) 48
E) 49
= 10 + 2 2 = 14
A < B, B > C, C ≤ D ise
A = 10, B = 12, C = 11, D = 13 olur.
A + B + C + D en az 46 dır.
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
1
Tarama
7.
11. x ve y sayma sayılarıdır.
0 < x < y olmak üzere
2
x - 2xy + y
3
(x - y)
(2 + 4 + 6 + ... + 20) . 9! = x! . y
2
olduğuna göre, x + y toplamı en az kaçtır?
3
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
3
8.
B) 1
C) x – y
D) x + y
E) x
- (x - y)
x- y
(x - y) 2
= - =
=- 1
x y
x- y
(x - y) 3
A) 10
B) 12
2 + 4 + 6 + ... + 20 =
C) 15
D) 21
E) 119
2 + 20 a 20 - 2 + k
1
2 $
2
= 11 . 10
11 . 10 . 9! = x! . y
11! . 1 = x! . y
x + y = 12
• a ve b ardışık tek sayılardır.
1 1
1
• - =
a b 143
2
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 9
B) 11
C) 13
D) 15
E) 17
12. x ve y reel sayılar olmak üzere
|x + 4| = y – 3
a=n
denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.
b=n+2
Buna göre, |4 – y| – |y – 7| ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1- 1
2
n n + 2 = 143
A) –3
2
= 2
n (n + 2) 143 & n(n + 2) = 11 . 13
⇒
n = 11
⇒
a = 11
D) y – 4
C) 7 – 2y
E) 3
ÇK = ∅ ise y – 3 < 0 ⇒ y < 3
|4 – y| – |y – 7| = 4 – y + y – 7 = –3
+
–
54 - 24
2
9.
B) 2y – 7
işleminin sonucu kaçtır?
A)
B)
2
C)
3
6. 9 - 4. 6
3 6-2 6
=
=
2
2
6
6
=
2
D) 2
6
2 =
E) 3
3
13. Aşağıdaki çarpma işleminde her nokta bir rakam göstermektedir.
10. a, b ve c tam sayılardır.
...
a . b + b . c = 605
x 47
. . .
olduğuna göre,
+ 508
.. . .
I. b tek a ve c çift sayıdır.
II. a, b ve c tek sayılardır.
Buna göre çarpma işmeminin sonucu kaçtır?
III. a tek ise b tek c çifttir.
A) 5669
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) Yalnız III
b.(a + c) = 605
b = tek, a + c = Tek
2
D) 5869
C) I ve II
E) II ve III
47 ile çarpılan sayı abc olsun.
abc . 4 = 508
abc = 127
127 . 47 = 5969
(III doğru)
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
B) 5739
C) 5849
E) 5969
Tarama
23.10 3 + 77.10 3
10 6
14.
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 103
B) 102
D) 10–1
C) 10
A) 2
E) 10–2
10 3 ^23 + 77 h 10 3 .100
=
10 6
10 6
15.
19.
5 <x < 6
olduğuna göre, x rasyonel sayısı aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A)
1
3
4
3
B)
C)
5
4
D)
7
3
E)
15
4
6 , 2, 4
7
2, 1 < x < 2, 4 & x = 3 olabilir.
1-
1
1-
B)
7
3
1
x
7
2
E) 4
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0,1
B) 0,2
C) 0,3
D) 0,4
E) 0,5
64
1 8
2
= 4 $ 10 = 10 = 0, 2
100
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
C)
8
3
D) 3
E)
10
3
23 - 2 = 21 = 7
9
9 3
1
1
- 1
1
1 =1 - 1 =1 - 1
1
1 4
1- 7
3
1- 3
1-7
7
4 7
1
1
1- 7 = 1- - = 1+ 3 = 3
3
1- 4
4
x=
17.
D)
x+ y x+ z
<
y
y
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
C) 3
20. x, y ve z birer negatif reel sayıdır.
–
16. x = 2, 3 olduğuna göre,
1
5
2
1
$ 0, 64
16
1
$
16
5 b 2, 1,
1-
B)
5 x ^25 - 5 + 1h 21 7
5 x .5 2 - 5 x .5 + 5 x
= 6 = 2
=
5 x .5 + 5 x
5 x ^5 + 1h
10 3 .10 2
= 10 3 + 2 - 6 = 10 -1
10 6
&
5x+ 2 - 5x+ 1+ 5x
5x+ 1+ 5x
18.
A) x > z
B) y > z
D) y < z
C) x < z < y
E) x . y > 2
x+ y
x+ z
y .y > y .y & x + y > x + z
y >z
21. a, b, c, d ve e birbirinden farklı doğal sayıdır.
x + 2 ≤ 10 < 2x + 4
7! = a . 2b . 3c . 5d . 7e
olduğuna göre, x in en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre a en fazla kaçtır?
A) (0, 3]
A) 2
B) (–2, 3]
D) (–2, 2]
x + 2 ≤ 10 ⇒ x ≤ 8
10 < 2x + 4 ⇒ 6 < 2x ⇒ x > 3
C) (–3, 8]
B) 6
C) 8
D) 14
E) 21
E) (3, 8]
7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = a . 2 b . 3c . 5d . 7e
e = 0, d = 1, c = 2, b = 3 için a en fazla 14 olur.
ÇK = (3, 8]
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
3
Tarama
22.
3–x = a
olduğuna göre, 32x + 3 aşağıdakilerden hangisine eşittir?
27
a2
A)
B)
a
a2
C)
2
a
9
D)
2
a
27
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
E) 27a2
A) 324
1
3 x = a & 3x = a
3 .3 = ^ 3
2x
3
4
23.
x h2
27.
2 .4 2 .4 2 .4 2
2. 2
4
1
4
B)
2.2.2.2
=
2. 2
4
1
2
B) 326
C) 328
D) 330
E) 336
1
1
1
1
= 24 $ 9 30 = 24 $ 3 60 = 3 36
|
3 24 9 30
3
3
27
.27 = 2
a
74 – x ≤ 1 ≤ 1010 – x
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
işleminin sonucu kaçtır?
A)
1 24
1 30
c- m : c- m
3
9
26.
A) 4
C) 1
D) 2
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
E) 4
74 – x ≤ 1 ⇒ 74 – x ≤ 70 ⇒ 4 – x ≤ 0
⇒ x ≥ 4
24
2
= 2=1
22
1 ≤ 1010 – x ⇒ 100 ≤ 1010 – x ⇒ 10 – x ≥ 0
⇒ x ≤ 10
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 olmak üzere 7 tanedir.
x
> 5+4
5-4
24.
28. İnternet üzerinden satış yapan bir alışveriş sitesini ziyaret
edenlerin sayısı bir günde 10 ile 30 arasında değişmektedir. (10 ile 30 dahil)
eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır?
A) –16
B) –15
C) –14
D) –13
Buna göre, yukarıdaki durumu ifade eden denklem
aşağıdakilerden hangisidir?
E) –12
x
. ^ 5 - 4h <^ 5 + 4h^ 5 - 4h
5-4
x < 5 - 16
A) |x – 1| ≤ 0
B) |x – 20| ≤ 10
D) |x – 20| < 10
x <- 11
x en büyük – 12 dir.
C) |x – 10| > 10
E) |x – 10| ≤ 20
|x – 20| ≤ 10
–10 ≤ x – 20 ≤ 10
10 ≤ x ≤ 30 olur.
25.
x2 – x(x + 4) + 3 (x – 2)
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) –4x – 6
D) –x – 6
B) 4x – 6
C) 3x – 6
E) x – 6
x2 – x2 – 4x + 3x – 6
–6 – x
29.
3
x
.9
A) 36
x
32
B) 28
x
= 3 12 & 3 3
3 x = 12 &
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
= 27 4
olduğuna göre, x kaçtır?
3
4
x
C) 25
x
= 3 12
x = 4 & x = 16
D) 16
E) 12
Tarama
30. abcd dört basamaklı, cd iki basamaklı doğal sayılar olmak
üzere
33. A ve B gerçek sayıların birer alt kümesidir.
A′ = [–2, 4)
a+ b+
c=
cd
B = [1, 5]
koşulunu sağlayan abcd sayılarına köksel sayı denir.
olduğuna göre A ∩ B′ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
944x
sayısı köksel sayı olduğuna göre, x kaçtır?
A) 5
B) 6
9+
4+
4=
C) 7
D) 8
A) [–2, 5]
D) R – [1, 5]
E) 9
B′ = R – [1, 5]
4x = 49 & x = 9
–2
7=
C) R – [4, 5]
E) R – [–2, 5]
A = R – [–2, 4)
4x
4x
3+ 2+ 2 =
B) (–∞, 4)
4x
1
4
5
A ∩ B′ = (–∞, –2) ∪ (5, ∞)
= R – [–2, 5]
31.
4x – 1 . 9x – 2 = 25
olduğuna göre, 6x değeri kaçtır?
A) 36
B) 48
-
C) 60
D) 80
E) 90
34.
23 . 4x . 82x = 32x . 22x + 1
olduğuna göre, x değeri kaçtır?
-
4 x .4 1 .9 x .9 2 = 25
x
36
= 25 & 36 x = 5 2 .2 2 .9 2
4.9 2
A) –3
2
& ^6 x h = ^5.2.9h2
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
23.22x.26x = 25x.22x + 1
6 x = 90
28x + 3 = 27x + 1 ⇒ 8x + 3 = 7x + 1 ⇒ x = –2
32. Beş kişinin boyları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
• Ali, Burcu'dan 5 cm uzundur.
• Burcu, Can'dan 6 cm kısadır.
• Deniz, Ali'den 3 cm uzundur.
• Emre, Can'dan 2 cm kısadır.
• Burcu, Can ve Emre'nin boylarının uzunlukları toplamı,
diğer iki kişinin uzunlukları toplamından en az 20 cm
fazladır.
Buna göre, Burcu'nun boyunun uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 24
B) 22
C) 21
A
B
C
D
E
x+5
x
x+6
x+8
x+4
D) 20
E) 19
5^ 2 +
35.
3 h - 10 ^1 -
6h
işleminin sonucu kaçtır?
A)
3
10 +
B) 2 2
15 -
10 +
C)
60 =
10
D) 2 15
E) 3 15
15 + 2 15 = 3 15
x + x + 6 + x + 4 ≥ x + 5 + x + 8 + 20
3x + 10 ≥ 2x + 33
x ≥ 23
Burcunun boyu 24 cm olabilir.
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
5
Tarama
36.
A = {x : –2 < x < 3, x∈ R}
40.
B = {x : 0 < x < 4, x ∈ R}
olduğuna göre (AxA) ∩ (BxB) bölgesinin alanı kaç birim karedir?
A) 4
B) 8
4
C) 9
D) 12
E) 15
(AXA) (BXB) nin alanı 3 . 3 = 9 br2 dir.
3
–2
3
7 3
9 4
4
7
9 16
işleminin sonucu kaçtır?
2
2
A)
B)
28 - 27
36
=
64 - 63
144
1
2
C) 1
D)
2
E) 2
1
1
36 = 6 = 1 . 12 = 2
1
6 1
1
12
144
4
–2
37. Ardışık beş pozitif tam sayının toplamı biçiminde yazılabilen sayılara "beşli sayı" denir.
41. Bir matematik öğretmeni sınıfında geçecek ya da kalacak
öğrencileri bir soru ile belirlemektedir.
Soru: "237 sayısı asal mıdır?"
Buna göre, iki basamaklı kaç tane beşli sayı vardır?
A) 13
B) 15
C) 16
D) 17
E) 19
en küçük beşli sayı: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
• Soruya kızların %80'i "Evet, Erkeklerin %60'ı "Hayır" cevabını vermiştir.
en büyük beşli sayı: 17 + 18 + 19 + 20 + 21 = 95
95 – 15 + =
15, 20, 25, … ,95 ⇒
1 17 tanedir.
5
38.
• Soruya tüm öğrenciler "Evet" ya da "Hayır cevabı vermiştir.
• Soruya verilen doğru cevapların sayısı yanlış cevapların
sayısına eşittir.
–2 ≤ x < 3
Buna göre, bu sınıfta matematik dersinden geçen erkek öğrenci sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
–3 < y ≤ 4
A) 12
olduğuna göre, x3 + y2 ifadesinin alabileceği değerlerin en geniş aralığı içerisinde kaç tane tek tam sayı
vardır?
A) 28
B) 27
C) 26
D) 25
E) 24
Evet
Hayır
B) 15
Kız
80x
20x
C) 21
Erkek
40y
60y
D) 24
E) 27
Kız = 100x, Erkek = 100y olsun
80x + 40y = 20x + 60y
y = 3x
3
3
x = 20 için 60y = 60 . 3x = 180x = 180 . 20 = 27
–8 ≤ x3 < 27
+ 0 ≤ y2 ≤ 16
–8 ≤ x3 + y2 < 43
–7, –5, –3, –1, 1, 3, 5, ... 41 olmak üzere
41 - 1
4 + 2 + 1 = 25 tanedir.
42. a ve b birbirinden farklı gerçek sayılardır.
39. 3a = 7 olduğuna göre,
|a| = |b|
|a – 3| + |a + 1| + |a – 1|
olduğuna göre,
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) a – 1
B) 2a – 3
D) a + 3
C) a – 3
E) 2a + 3
3a = 7 ⇒ a ∈ (1, 2)
–a + 3 + a + 1 + a – 1 = a + 3
6
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
A) 8
B) 4
3a - 5b
ifadesinin değeri kaçtır?
a + 2b
C) –1
a = b & a = b veya a = - b
3a - 5b - 3b - 5b
8b
= - +
==- 8
b 2b
b
a + 2b
D) –4
E) –8
Tarama
43.
(3x – 20)6 = (2x + 5)6
denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?
A) 24
B) 30
C) 45
D) 60
47.
23 2 = 2 x
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 75
A)
3x – 20 = 2x + 5 veya 3x – 20 = –2x – 5
3
x = 25 veya 5x = 15 ⇒ x = 3
1
6
B)
2 3 .2 =
48.
44.
B) 5
D) 7
2
3
E)
5
6
|x| > 2
2 + 2+
D) R – (–2, 2)
2=4
E) R
^ 5 - 1h^ 5 + 5h
49.
işleminin sonucu kaçtır?
A)
olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
D) 56
C) R – [–2, 2]
|x| > 2 ⇒ x > 2 veya x < –2
⇒ (–∞, –2) ∪ (2, ∞) = R – [–2, 2]
6 b
=
a 6
C) 52
B) [–2, 2]
E) 8
45. a ve b aralarında asal doğal sayılardır.
B) 50
D)
24 = 2 = 2x
2
&x= 3
A) ∅
C) 6
2 ^2 - 2 h 2 ^2 + 2 h
2 +
2
22 - 2
22 - 2
2 ^2 - 2 h 2 ^2 + 2 h
+
= 22
2
A) 46
1
2
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 4
C)
4
6
6
25.3 = 75
2
2
+
2+ 2 2- 2
1
3
B) 3 5
5
D)
E) 60
5 +1
5. 5 + 5 5 5+ 5 5 -
a . b = 36
C) 4 5
E) 2 5 – 5
5-5
5-5= 4 5
a + b → 1 + 36, 4 + 9
37 + 13 = 50
50.
46.
|x – 1| < 4
|x + 2| ≤ 2
|2x – 6| = x
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı
kaçtır?
A) 7
A) –5
B) 8
C) 9
2x – 6 = x veya 2x – 6 = –x
x = 6 veya 3x = 6 ⇒ x = 2
6+2=8
D) 10
E) 11
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1
–4 < x – 1 < 4 ⇒ –3 < x < 5
–2 ≤ x + 2 ≤ 2 ⇒ –4 ≤ x ≤ 0
ÇK = (–3, 0] ⇒ (–2) + (–1) + 0 = –3
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
7
Tarama
51. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere
a=
3
55.
24x = 6x . 64
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
12.b
eşitliği veriliyor.
A) 1
B) 2
C) 3
Buna göre, a nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
6x.4x = 6x.64
A) 2
4x = 64 ⇒ 4x = 43 ⇒ x = 3
a=
3
B) 3
C) 6
D) 8
E) 10
3. 2 2 . b
b = 2.3 2 için a =
3
E) 5
16 + 6 7
56.
2 3 . 3 3 = 2. 3 = 6
D) 4
16 - 6 7
işleminin sonucu kaçtır?
ra elde edilen her iki parça üst üste konulup tekrar orta
noktasından ikişer eşit parçaya ayrılıyor.
16 + 2 3 2 .7
=
16 + 2 3 2 .7
B) 29
C) 210
D) 212
^3 +
C)
7
D) 8 – 4 7
Bu işlem 10 kez yapıldığında toplamda kaç parça oluşur?
A) 20
B) 4 +
A) 8 + 3 7
52. Bir karton önce ortasından kesilerek iki eşit parçaya, son-
E) 8 –
9+
9-
3+
7
=
37
7 +3
7
7
7
7h
16 + 6 7
= 8+ 3 7
2 =
2
3 - 7
E) 220
2
2
1. işlemde 2 = 21, ikinci işlemde 4 = 22, üçüncü işlemde 8 = 23, ... 10.
işlemde 210 parça oluşur.
57. a ve b pozitif tam sayıları için
a = 2b
53.
ba = 336
x–y=5
olduğuna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
|x + y| = 11
A) 36
olduğuna göre, y nin alabileceği değerlerin çarpımı
kaçtır?
A) –30
B) –28
C) –24
D) –20
B) 35
b 2b = 3 36 & b
E) –18
2b
2
=3
C) 32
36
2
D) 27
E) 25
& b b = 3 18
9
& b b = ^3 2h & b b = 9 9 & b = 9 ve a = 18
a + b = 27
x=y+5
|x + y| = 11 ⇒ |2y + 5| = 11
2y + 5 = 11 veya 2y + 5 = –11
58.
y = 3 veya y = –8 ⇒ 3.(–8) = –24
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
9
25 5
+
16 36 4
A) a < b < c
D) b < c < a
işleminin sonucu kaçtır?
D)
1
3
E)
1
2
a2 = 10 + 3 + 2 30 = 13 + 2 30
b2 = 15 + 2 + 2 30 = 17 + 2 30
c2 = 6 + 5 + 2 30 = 11 + 2 30
c<a<b
32. A
17. E
16. B
2. B
1. A
33. E
18. D
3. C
34. B
19. B
4. C
35. E
20. B
5. D
36. C
21. D
6. B
37. D
22. A
7. A
53. C
38. D
23. C
8. B
54. A
39. D
24. E
9. B
55. C
40. E
25. D
10. D
56. A
41. E
26. E
11. B
57. D
42. E
27. D
12. A
58. E
43. E
28. B
13. E
44. A
29. D
14. D
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
52. C
45. B
30. E
15. D
8
31. E
2
2
1
a 65 - 34 k = 65 - 34 = 24
= 12
Cevaplar
1
4
51. C
C)
50. C
1
6
49. C
B)
E) c < a < b
48. C
1
12
C) b < a < c
47. D
A)
B) a < c < b
46. B
54.
a = 10 + 3
b = 15 + 2
c= 6+ 5
YGS // MATEMATİK
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Oran-Orantı
hhORAN-ORANTI
Örnek 3:
A. Oran
3, 5 ve 6 nın dördüncü orantılısı kaçtır?
Birimleri aynı olan a ve b gibi iki reel sayının bölümüne oran
denir.
a ve b reel sayılarından b sıfırdan farklı olmak üzere
ne a nın b ye oranı denir.
a
ifadesib
a c
= l içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.
b d
Yani a . d = b . c dir.
ifadesinde b
=
20
30
=
2
Cevap:
3
2
3
Örnek 4:
0, 01 0, 4
=
0, 3
x
Örnek 2:
olduğuna göre, x kaçtır?
a 2
=
b 3
x.0,01 = 0,4.0,3
a+b
oranının değeri kaçtır?
b-a
a 2
=
=
=
b 3 & a 2k ve b 3k dir.
a + b 2k + 3k
5k
=
=
=5
b - a 3k - 2k
k
Cevap: 5
Örnek 5:
a+ b 3
=
a- b 2
İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.
a c
= = k ikili orantısında k ya orantı sabiti denir.
b d
hh Bütün orantılar bir orantı sabitine eşittir.
hh a, b, c nin dördüncü orantılısı x ise
Cevap: 12
0, 12
x.0,01 = 0,12 ⇒ x = 0, 01 = 12
B. Orantı
hh
a:b = c:d
dışlar
Buna göre, satılmış ürünlerin, satılmamış olan ürünlere
oranı kaçtır?
olduğuna göre,
Cevap: 10
Orantı Özellikleri
1.
Bir mağazada ürünlerin 20 tanesi satılmış, 30 tanesi satılmamıştır.
Satılmış ürün adeti
15
içler
Örnek 1:
Satılmamış ürün adeti
Dördüncü orantılı x olsun
3 6
5 = x & 3x = 30 & x = 10
FÖY NO
a c
= dir.
b x
olduğuna göre,
2a + 2b = 3a – 3b
a
oranının değeri kaçtır?
b
Cevap: 5
a = 5b
a
=
b 5
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Oran-Orantı
Örnek 6:
a+ b
=2
a
b+ c
=4
a
olduğuna göre,
Örnek 9:
a 2
b 2
ve =
=
b 3
c 5
a + b + c = 100
c
oranının değeri kaçtır?
a
olduğuna göre, a kaçtır?
Cevap: 3
a + b = 2a ⇒ b = a
a + b + c = 100 ⇒ 4k + 6k + 15k = 100 ⇒ 25k = 100 ⇒ k = 4 ⇒ a = 4k = 4.4 = 16
c
b + c = 4a ⇒ a + c = 4a ⇒ c = 3a ⇒ a = 3
a c
b d 1
= = k ise
= =
b d
a c k
3.
2.
Cevap: 16
b = 6k ⇒ a = 4k ve c = 15 k
dır.
Örnek 10:
a c
= =k
b d
a c 2
= =
b d 3
orantısında a = b . k ve c = d . k dır.
olduğuna göre,
Örnek 7:
a+b d-c
ifadesinin değeri kaçtır?
|
a
d
Cevap: 15
2
a b c
= =
4 2 6
3a – b + c = 8
a aa + ab k | a d - c k = a1 + ab k | `1 - c j = a1 + 32 k | a1 - 23 k = 52 $ 31 = 15
2
d d
d
olduğuna göre, c kaçtır?
Cevap: 3
a b c
4 = 2 = 6 = k ⇒ a = 4k, b = 2k, c = 6k
1
1
3a – b + c = 8 ⇒ 12k – 2k + 6k = 8 ⇒ 16k = 8 ⇒ k = 2 & c = 6k = 6. 2 = 3
4.
a c
= = k orantısında
b d
a+ c
= k dır.
b+ d
hh
hh n ve m sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere
a.n c.m
an + cm
= k dır.
=
= k ise
b.n d.m
bn + dm
Örnek 8:
Örnek 11:
2a = 3b = c
Aşağıda verilen ifadelerde boşlukları doldurunuz.
olduğuna göre, a kaçtır?
2a = 3b = c = 6k ⇒ a = 3k, b = 2k, c = 6k
Cevap: 9
a – b + c = 21 ⇒ 3k – 2k + 6k = 21 ⇒ 7k = 21 ⇒ k = 3 ⇒ a = 3k = 3.3 = 9
ax = by = cz = 20
1 1 1 1
+ + =
x y c 2
olduğuna göre, a + b + c toplamının değeri kaçtır?
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü

a c 2
a+ c
ise
= =
b d 3
b+ d

1
a c
1
2a + c
= ..........................................
ise
= =
3
b d 3
2b + d

x a c
2x + a + 3c
4
= .............................
= = = 4 ise
y b d
2y + b + 3d
2
= ..........................................
3
20
20
20
x= a, y= b, z= c
1 1 1 1
1
1
1
1 a+ b+ c
1
= 2 ⇒ a + b + c = 10
x + y + z = 2 & 20 + 20 + 20 = 2 &
20
a
c
b
Öğretmen
Sorusu
a – b + c = 21
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Oran-Orantı
Örnek 15:
Örnek 12:
a d 1
= =
b c 2
olduğuna göre,
a, b ve c pozitif gerçek sayılardır.
a
b c
= =
3 4
2
b+c
değeri kaçtır?
a+d
a2 + b2 + c2 = 108
olduğuna göre, a kaçtır?
a+ d
1 b+ c
= 2& + =2
b+ c
a d
Cevap: 2
a2 b2
c2
2
2 = 9 = 16 = k
Cevap: 2 2
a2 = 2k2, b2 = 9k2, c2 = 16k2
a2 + b2 + c2 = 108 ⇒ 2k2 + 9k2 + 16k2 = 108 ⇒ 27k2 = 108
⇒k=2⇒ a=
Örnek 13:
2k & a = 2 2
a c
1
= =
b d 5
3a + c = 2
olduğuna göre, 3b + d kaçtır?
3a + c
1
2
1
= 5&
= 5 & 3b + d = 10
3b + d
3b + d
Cevap: 10
6.
a c e
= = = k orantısında
b d
f
hh
a c
$ = k2
b d
hh
a c e
$ $ = k3
b d f
eşitlikleri vardır.
Örnek 14:
x a
= =
y b
3x + a +
3y + b +
c
d
c
=2
d
olduğuna göre,
Örnek 16:
d
oranı kaçtır?
c
x
a
c
3x + a + c
olduğundan
y = b = d = 3y + b + d
x
a
c
d
1
y = b = d = 2 & c = 2 dir.
Öğretmen
Sorusu
5.
a c
an cn
= = k ise n = n = k n
b d
b
d
Cevap: 1
2
a b c
= = =2
b c d
a
olduğuna göre,
oranı kaçtır?
d
Cevap: 8
a b c
a
= 3
=
b$c$d 2 &d 8
dir.
2a + b 2c + b a + b + c
=
=
a+ b
b+ c
a+ c
a
olduğuna göre oranının değeri kaçtır?
b
2a + b 2c + b a + b + c 2a + b + 2c + b + a + b + c
= + =
=
a+b
b c
a+c
a+b+b+c+a+c
+ +
= 3a + 3b + 3c
2a 2b 2c
=3
2
2a + b 3
=
a + b 2 ⇒ 4a + 2b = 3a + 3b
⇒a=b
a
⇒ b =1
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Oran-Orantı
Örnek 19:
1. Doğru Orantı
Bir işçi özdeş 10 duvarı 24 günde örebiliyor ise 15 duvarı kaç günde örer?
hh k > 0 olmak üzere
hh
y
x
= k biçiminde gösterilir.
y
artar
10 duvar
24 günde
15 duvar
x günde
Cevap: 36
10.x = 15.24
15.24
x = 10 = 36
Örnek 20:
x
=k
y
240 adet kitap üç öğrenciye 2, 3 ve 5 sayıları ile orantılı
olacak şekilde dağıtılıyor.
Buna göre, en çok kitap alan öğrenci kaç adet kitap
alır?
x
artar
hh a, b ve c sayıları sırasıyla x, y ve z sayıları ile doğru orantılı
veya orantılı ise
DO
artış
x ve y'nin büyüklükleri herhangi bir sabitle birbirine bağlı olsun.
Eğer x artarken y de artıyor, x azalırken y de azalıyorsa x ile y
doğru orantılıdır denir.
artış
hhOrantı Çeşitleri
a b c
veya a : b : c = x : y : z dir.
= =
x y z
a b
c
2= 3= 5=k
a = 2k, b = 3k, c = 5k
Cevap: 120
a + b + c = 240
2k + 3k + 5k = 240 ⇒ k = 24
⇒ c = 5.k = 5.24 = 120
Örnek 17:
Örnek 21:
a + 2 ve b – 2 sayıları doğru orantılıdır.
Aşağıdaki doğrusal grafiklerden birincisinde kabuklu fındıktan elde edilen iç fındık miktarı, ikincisinde ise iç fındıktan
elde edilen fındık yağı miktarı gösterilmiştir.
a = 4 için b = 3
olduğuna göre, b = 4 için a kaçtır?
İç fındık (kg)
Fındık yağı (lt)
Cevap: 10
4
3
Kabuklu
fındık (kg)
5
Örnek 18:
a, b ve c sayıları sırasıyla 2, –3 ve 4 ile doğru orantılıdır.
2a – b + c = 33
A) 2,5
A, B, C, D ve E partilerinin katıldığı bir seçimde partililerin aldıkları oy sayıları sırasıyla 4, 5, 2, 6 ve 10 sayıları ile orantılıdır.
Buna göre partilerin aldıkları oy sayıları daire grafiği ile gösterilir ise D partisinin aldığı oyları gösteren daire diliminin
merkez açısı kaç derece olur?
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B) 3
6 kg iç fındık
Cevap: 6
İç fındık
(kg)
Buna göre, 5 kg kabuklu fındıktan kaç litre fındık yağı
elde edilir?
olduğuna göre, a kaçtır?
a
b
c
2 = - 3 = 4 = k ⇒ a = 2k, b = –3k, c = 4k
2a – b + c = 33 ⇒ 4k + 3k + 4k = 33 ⇒ k = 3 ⇒ a = 2k = 6
6
DO
3 kg iç fındık
C) 2
4 lt yağ
D) 1,5
E) 1
Cevap: C
x
6.x = 3.4 ⇒ x = 2
A=B=C =D= E =
4 5 2 6 10 K
A = 4k, B = 5k, C = 2k, D = 6k, E = 10k
D.O
27k
360°
6k
x
x = 360 . 6k
= 80°
27k
Öğretmen
Sorusu
a+ 2
=
b- 2 k
6
a = 4 ve b = 3 için 1 = k ⇒ k = 6 olur.
a+ 2
a+ 2
+ =
=
=
=
b - 2 6 & 4 - 2 6 & a 2 12 & a 10 dur.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Oran-Orantı
1.
Konu Testi - 1
5.
x 3
=
y 5
olduğuna göre,
A) 4
x+y
oranının değeri kaçtır?
2x - y
B) 5
C) 6
D) 8
olduğuna göre,
A)
E) 10
x+ y
3 k + 5k
8k
x = 3k ve y = 5k & 2x - y = 6k - 5k = k = 8
2.
a c e 1
= = =
b d
f
3
1
9
B)
1
3
6.
x = 2y = 3z
olduğuna göre, x + y toplamı aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
olduğuna göre,
A) –20
A) 2
D) –12
E) –6
7.
x- y
=5
y
A)
8
7
B)
x+y
oranının değeri kaçtır?
x
7
6
C)
6
5
B)
x2 - z2
oranının değeri kaçtır?
xy - yz + xz
15
8
C)
4
3
D)
5
4
E)
9
8
x2 - z2
36k 2 - 4k 2
32k 2 4
=
=
=
xy - yz + xz 18k 2 - 6k 2 + 12k 2 24k 2 3
x + y = –20 olabilir.
olduğuna göre,
E) 9
x = 2y = 3z = 6k ⇒ x = 6k, y = 3k, z = 2k dır.
x = 3k ve y = 2k ⇒ x + y = 5k dır.
3.
D) 3
Sıfırdan farklı x, y ve z gerçek sayıları için
2x = 3y
C) –13
C) 1
1 3 3
a d f
= 3$1$1= 3
b$c $e
x ve y tam sayılardır.
B) –17
a.d.f
ifadesinin değeri kaçtır?
b.c.e
D)
5
4
E)
4
3
a, b ve c birer pozitif tam sayı olmak üzere
a b
ve 3b = 4c
=
4 5
olduğuna göre, a, b ve c nin küçükten büyüğe doğru
sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) a < b < c
B) b < a < c
D) b < c < a
x – y = 5y ⇒ x = 6y
x + y 6y + y 7y 7
x = 6y = 6y = 6
C) a < c < b
E) c < a < b
b hem 5 in 4 ün katı ise b = 20 k olsun
a 20k
b = 20 k ⇒ 4 = 5 ⇒ a = 16 k
3.20k = 4c ⇒ c = 15 k
c<a<b
x y z
= =
2 3 7
4.
8.
a ve b sayıları sırasıyla 3 ve 5 sayıları ile doğru orantılıdır.
x + y = 20
3a + 5b = 16
olduğuna göre, z kaçtır?
A) 8
B) 12
C) 16
olduğuna göre, a kaçtır?
D) 24
E) 28
A) 9
B) 12
C) 15
D) 16
y
z
x
2 = z = 7 = k ⇒ x = 2k, y = 3k, z = 7k
x + y = 20 ⇒ 2k + 3k = 20 ⇒ k = 4
a = 3k, b = 5k
9k + 25k = 16 & 3 k + 5 k = 16 &
z = 7k ⇒ z = 7.4 = 28
a = 3k & a = 12
E) 18
k = 2&k= 4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Oran-Orantı
9.
Konu Testi - 1
13. a ve b sayıları doğru orantılıdır.
x a
1
= =
y b 25
olduğuna göre,
1
25
A)
B)
x+ a
1
=
y + b 25 &
10.
a = 12 iken b = 4
y+b
ifadesinin değeri kaçtır?
x+a
1
5
C) 1
y+ b
=
x+ a
D) 5
olduğuna göre, a = 18 iken b kaçtır?
A) 2
E) 25
25 = 5
Buna göre, en uzun parçanın uzunluğu kaç cm dir?
C) 3
D) 4
A) 60
E) 6
B) 72
D) 96
E) 108
c = 6k = 6.14 = 84 cm
⇒k=2⇒a=k=2
x y 2x + y
= =
3 n
10
15. Hamur (kg)
10
olduğuna göre, n kaçtır?
B) 3
C) 84
a b
c
4 = 5 = 6 ⇒ a = 4k, b = 5k, c = 6k
a + b + c = 210 ⇒ 15k = 210 ⇒ k = 14
a b c
1 = 2 = 3 = k ⇒ a = k, b = 2k, c = 3k
a2 + b2 + c2 = 56 ⇒ k2 + 4k2 + 9k2 = 56 ⇒ k2 = 4
A) 2
E) 8
doğru orantılı olacak şekilde üç parçaya ayrılıyor.
olduğuna göre, a nın pozitif değeri kaçtır?
11.
D) 6
14. Uzunluğu 210 cm olan bir demir çubuk 4, 5 ve 6 sayıları ile
a2 + b2 + c2 = 56
B) 2
C) 4
a
12
=
= k&k= 3
b k& 4
a
18
=
= 3&b= 6
b 3& b
a : b :c = 1 :2 :3
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Un (kg)
4
2x + y
2x + y
y
2x
6 = n = n + 6 = 10 ⇒ n + 6 = 10 ⇒ n = 4
Yukarıdaki grafiğe göre, 20 kg undan kaç kg hamur
elde edilir?
A) 30
B) 40
4 kg un
DO
20 kg un
C) 50
D) 60
E) 80
10 kg hamur
x
4.x = 20.10 ⇒ x = 50
12. Bir işçi 26 dakikada 2 m2 halı dokuyabiliyorsa 20 m2
halıyı kaç dakikada dokur?
C) 12
D) 15
E) 18
K
E
K
E
K
E
0, 16 = 0, 24 & 16 = 24 = 2 = 3 = 1
2.x = 26.20
26.20
x = 2 = 260 dk
K = 2, E = 3 & 2 + 3 = 5
7. E
8. B
9. D
10. B
11. C
12. E
13. D
14. C
15. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6. C
16. A
6
B) 10
5. D
x dk
A) 5
4. E
20 m2
Buna göre, bu sınıfın mevcudu en az kaçtır?
E) 260
3. B
26 dk
D) 230
2. A
2 m2
C) 180
1. D
DO
B) 150
0,16 ve 0,24 sayıları ile doğru orantılıdır.
Cevaplar
A) 130
16. Bir sınıfta bulunan kız ve erkek öğrencilerin sayısı sırasıyla
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Oran-Orantı
1.
Konu Testi - 2
4.
a, b ve c sıfırdan farklı gerçek sayılardır.
|3a – 4b| + |2b – 5c| = 0
a
olduğuna göre, oranı kaçtır?
c
10
11
A)
B)
C) 4
D) 5
3
3
• A
sya ve Ekin'in paraları sırasıyla 7 ve 4 ile doğru orantılıdır.
• Asya, Ekin'e ¨ 20 verdiğinde son durumda paraları sırasıyla 6 ve 5 sayıları ile orantılı oluyor.
16
E)
3
Buna göre, Asya'nın başlangıçta kaç ¨ si vardır?
a 4
3 a - 4 b = 0 & 3a = 4 b & b = 3
b 5
2b - 5c = 0 & 2b = 5c & c = 2
a b 4 5 a 10
= 3$2& c = 3
b$c
A) 60
A)
1
3
B)
6ab + 7 = 12b
6ab + 7 = 6a
1
2
5.
D) 2
E) 3
4 & 12b = 6a
B) 120
Kız sayısı = 7x
C) 150
12 x
360°­
7x
a
12xa = 7x.360 ⇒ a =
6.
Bir eczacı A, B ve C maddelerini
A 7
=
B 3
B) 50
7.360
12 = 210°
Un (kg)
Buna göre, eczacı 300 gramlık ilaç hazırlamak için kaç
gram B maddesi kulanmalıdır?
C) 60
D) 70
E) 240
Aşağıda doğrusal grafiklerden birincisi buğdaydan elde
edilen un miktarını, ikincisi ise undan elde edilen ekmek
miktarını göstermektedir.
B 3
=
C 5
oranlarında karıştırarak bir ilaç hazırlayacaktır.
D) 210
Sınıf mevcudu = 12x
Erkek sayısı = 5x
DO
A) 40
E) 140
Bir okuldaki kız öğrencilerin sayısının, erkek öğrencilerin
7
sayısına oranı dir.
5
A) 100
a 12
&b= 6 =2
3.
D) 120
Buna göre, öğrencilerin sayısı bir daire grafiği ile gösterildiğinde, kız öğrencilerin sayısını gösteren daire
diliminin merkez açısı kaç derece olur?
a
oranı kaçtır?
b
C) 1
C) 100
Asya = 7x – 20 ve Ekin = 4x + 20 olduğunda
7x - 20
4x + 20
=
⇒ 35x – 100 = 24x + 120
5
6
⇒ x = 20
⇒ Asya = 7x = 140
2a +
olduğuna göre,
B) 80
Asya = 7x ise Ekin = 4x
7
=4
3b
7
3b +
=3
2a
2.
Asya ve Ekin'in paraları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
Ekmek (tane)
4
15
20
E) 80
Buğday
(kg)
2
Un (kg)
Buna göre, 10 ekmek kaç kg buğdaydan elde edilir?
B = 3k, A = 7k ve C = 5k dır.
A + B + C = 300
15k = 300
k = 20 ⇒ B = 3k = 60
A) 6
B)
4 ekmek
20
3
2 kg un
C) 7
15 kg
D) 8
E) 10
20 kg buğday
y
x
DO 5 kg
DO 10 ekmek
20
4.x = 20 ⇒ x = 5 kg un
15.y = 20.5 ⇒ y = 3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Oran-Orantı
7.
Konu Testi - 2
Bir iş yerinde çalışan kadın işçilerin sayısı erkek işçilerin
sayısından fazladır.
10.
Bu iş yerine eşit sayıda kadın ve erkek işçi alınırsa
aşağıdakilerden hangisi gerçekleşir?
a+ b b+ c
a+ c
=
=
a+ c a+ b b+ c
orantısının orantı sabiti kaçtır?
A)
A) Kadınların tüm işçilere oranı artar.
B) Erkeklerin tüm işçilere oranı artar.
1
3
B)
1
2
C) 1
D) 2
E) 3
a+ b b+ c
a+ c
= + = + =k
a+ c
a b b c
a+ b+ b+ c+ a+ c
=
a+ c+ a+ b+ b+ c k
2a + 2b + 2c
= =
2c + 2b + 2c 1 k
C) Erkeklerin tüm işçilere oranı aynı kalır.
D) Kadınların tüm işçilere oranı aynı kalır.
E) Erkeklerin kadınlara oranı değişmez.
İş yerinde 4 erkek 8 kadın olsun ve 4 kadın ve 4 erkek işçi işe alınıyor
olsun.
4
1
İlk durumda erkeklerin tüm işçilere oranı = 12 = 3
8
2
Son durumda erkeklerin tüm işçilere oranı = 20 = 5
1 2
3 < 5 olduğundan erkeklerin tüm işçilere oranı artar.
8.
Bir lokantaya giden Ahmet'in ¨ 20 si, Burcu'nun ¨ 30 si,
Cansu'nun ¨ 40 si vardır.
11. a, b ve c sayıları sırasıyla 1, 2 ve 4 sayıları ile orantılıdır.
a . b . c = 216
Bu üç arkadaş, gelen ¨ 81 lik hesabı paralarıyla doğru
orantılı paylaşırlarsa Burcu kaç ¨ öder?
A) 10
B) 12
C) 18
D) 27
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 15
E) 36
B) 16
C) 18
D) 21
A
B
C
A B C
20 = 30 = 40 & 2 = 3 = 4 = k
A = 2k, B = 3k, C = 4k
a b c
1 = 2 = 4 = k ⇒ a = k, b = 2k, c = 4k
a.b.c = 216 ⇒ 8k3 = 216 ⇒ k3 = 27 ⇒ k = 3
A + B + C = 81 ⇒ 9k = 81 ⇒ k = 9
a + b + c = 7k = 7.3 = 21
E) 24
B = 3k = 27
9.
Şekildeki daire grafiği bir ailenin aylık giderleri içinde kira,
yakıt, giyim, gıda ve eğitim harcamalarının payını göstermektedir.
Gıda
12. Bir miktar bilye üç kardeşe şu şekilde dağıtılıyor.
• En küçük kardeş 3 ile, ortanca kardeş 5 ile en büyük
kardeş 6 ile orantılı olacak biçimde bilyeleri paylaşıyor.
• En büyük kardeş 30 bilye alıyor.
Giyim
Yakıt
42° 36°
90°Eğitim
120°
Bu bilyelerin bir kısmı bu üç kardeşe 2, 3 ve 4 ile orantılı olacak biçimde dağıtılsaydı dağıtılmayan bilye sayısı en az kaç olurdu?
Kira
A) 4
Bu ailenin aylık giyim harcamaları ¨ 200 olduğuna
göre, toplam gideri kaç ¨ dir?
A) 1200
B) 1500
D) 2000
36°
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
a b
c
3 = 5 = 6 ve c = 30 ise a = 15, b = 25 ve c = 30 olur. Toplam bilye
sayısı 70 dir.
y
x
z
2 = 3 = 4 = k ⇒ x = 2k, y = 3k, z = 4k
C) 1800
E) 2400
x + y + z = 9 k olur. k = 7 için x + y + z = 63 dağıtılmayan bilye en az 7 olur.
¨ 200
x
DO 360°
36.x = 200.360 ⇒ x = 2000
1. A
2. D
3. C
4. E
5. D
6. B
7. B
8. D
9. D
10. C
11. D
12. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
8
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Oran-Orantı
2. Ters Orantı
Örnek 24:
x ve y nin büyüklükleri herhangi bir sabitle birbirine bağlı olsun.
Eğer x artarken y azalıyor, x azalırken y artıyor ise x ile y ters
orantılıdır denir.
Eşit kapasiteli 8 işçinin 20 günde bitirebildiği bir işi,
aynı kapasitedeki 20 işçi kaç günde bitirebilir?
8 işçi
hh k > 0 olmak üzere x . y = k biçiminde gösterilir.
hh
y
azalıyor
→
20 günde
Cevap: 8
x günde
TO 20 işçi →
20.x = 8.20 ⇒ x = 8
x .y = k
Örnek 25:
x
hh a, b ve c sayıları sırasıyla x, y ve z ile ters orantılı ise
Bir baba elindeki 390 tane cevizi yaşları 4, 6 ve 8 olan üç
çocuğuna yaşları ile ters orantılı olacak şekilde dağıtmak
istiyor.
Buna göre, en büyük kardeş kaç ceviz alır?
artıyor
a .x = b .y = c .z
dir.
4a = 6b = 8c = 24 k
Örnek 22:
a = 6k, b = 4k, c = 3k
a + b + c = 13k = 390 ⇒ k = 30
(2x – 1) sayısı (3y + 2) sayısı ile ters orantılıdır.
⇒ c = 3k = 90
x = 4 için y = 2
olduğuna göre, x = 2 için y kaçtır?
(2x – 1)(3y + 2) = k
7.8 = k ⇒ k = 56
Cevap: 90
Cevap: 50
9
50
x = 2 için 3.(3y + 2) = 56 ⇒ 9y + 6 = 56 ⇒ y = 9
Örnek 26:
Aşağıdaki grafikte eşit kapasitedeki musluk sayıları ve bu
muslukların belirli bir havuzu doldurma süreleri verilmiştir.
Musluk sayısı
Örnek 23:
14
a, b ve c sayıları sırasıyla 3, 4 ve 2 sayılarıyla ters orantılıdır.
m–2
2a – b – c = –6
2
14 musluk
Cevap: 24
a = 4k, b = 3k, c = 6k
2a – b – c= 8k – 3k – 6k = –6
⇒ –k = –6 ⇒ k = 6 ⇒ a = 4k = 24
Öğretmen
Sorusu
Zaman (saat)
Buna göre, m kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
3a = 4b = 2c = 12k
m+1
→
Cevap: 6
2 saat
TO m – 2 musluk → m + 1 saat
(m – 2)(m + 1) = 2.14
(m – 2)(m + 1) = 28
4
7
m–2=4⇒m=6
Bir ABC üçgeninin yükseklikleri 3, 4 ve 6 sayıları ile orantılıdır.
Üçgenin çevre uzunluğu 36 cm olduğuna göre uzun kenarı
kaç cm dir?
Yükseklik ile kenar uzunluğu ters orantılıdır.
3a = 4b = 6c = 12k
a = 4k, b = 3k, c = 2k
4k + 3k + 2k = 36 ⇒ k = 4 ⇒ a = 4k = 16 cm
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Oran-Orantı
3. Bileşik Orantı
Örnek 29:
İçerisinde hem doğru hem ters orantı bulunduran orantılara bileşik orantı denir.
Eşit kapasiteli 12 işçi 6 m2 halıyı 4 saatte dokuyabilmektedir.
hh a sayısı, b ile doğru c ile ters orantılı ise
a.c
= k dır.
b
hh a, b ve c sayıları sırasıyla x ve y ile doğru z ile ters orantılı
ise
Buna göre, bu işçilerle aynı kapasitedeki 3 işçi, 16 saatte kaç m2 halı dokuyabilir?
Cevap: 6
6
x
6
x
4.12 = 3.16 & 48 = 48 & x = 6
a b
= = c.z dir.
x y
Örnek 27:
(x – 1) sayısı, y ile doğru, z – 2 ile ters orantılıdır.
Örnek 30:
x = 4 ve y = 3 için z = 8
olduğuna göre, x = 7 ve y = 11 için z kaçtır?
( x - 1) ( z - 2)
3. 6
= k& 3 = k&k= 6
y
6. ( z - 2)
= 6 & z - 2 = 11
x = 7, y = 11 &
11
Cevap: 13
Bir fabrika %72 kapasiteyle ve günde 15 saat çalıştırıldığında 10 günde ürettiği miktardaki ürünü, %90 kapasiteyle ve günde 12 saat çalıştırılırsa kaç günde üretir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
& z = 13
A
A
72.15.10 = 90.12.x & 72.15.10 = 90.12.x
72.15.10
& x = 90.12 = 10
Örnek 28:
Cevap: E
420 adet balon üç çocuk arasında 3 ve 2 ile doğru, 4 ile ters
orantılı olacak şekilde paylaştırılıyor.
Buna göre, en çok balon alan kaç balon almıştır?
a b
3 = 2 = 4c = 4k
a = 12k, b = 8k, c = k
Cevap: 240
a + b + c = 21k = 420 ⇒ k = 20
⇒ a = 12k = 240
Not
Bir bileşik orantı probleminde
I. iş
II. iş
=
Diğer verilerin çarpımı Diğer verilerin çarpımı
eşitliği vardır.
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Örnek 31:
Özgür elindeki bilyelerin tamamını üç kişiye 2, 3 ve 4 ile
hem doğru hem de ters orantılı olarak dağıtılabiliyor.
Buna göre, Özgür'ün elindeki bilye sayısı en az kaçtır?
a b c
2 = 3 = 4 ⇒ a = 2k, b = 3k, c = 4k
Tüm bilye sayısı = 9k
2a = 3b = 4c = 12m ⇒ a = 6m, b = 4m, c = 3m
Tüm bilye sayısı = 13m
sayı hem 13 e hem de 9 a bölünmeli o hâlde en az 117 dir.
Cevap: 117
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Oran-Orantı
Ortalamalar
Örnek 35:
1. Aritmetik Ortalama
Aritmetik ortalaması 12 olan 8 sayının toplamı kaçtır?
Verilen bir sayı dizisindeki sayıların toplamının veri adedine bö-
Toplam = 12.8 = 96
Cevap: 96
lümüne aritmetik ortalama denir.
hh x1, x2, x3, ... xn sayılarının aritmetik ortalaması
Örnek 36:
x + x 2 + x 3 + ... + x n
dir.
AO = 1
n
15 sayının aritmetik ortalaması 12 dir. Bu sayılara toplamları 90 olan 3 sayı daha ekleniyor.
Örnek 32:
Buna göre, yeni oluşan sayı grubunun ortalaması kaçtır?
4, 5, 7, 12, 22
Toplam = 15.12 = 180
180 + 90
270
Yeni A.O = 15 + 3 = 18 = 15
sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?
Cevap: 15
Cevap: 10
4 + 5 + 7 + 12 + 22 50
= 5 = 10
5
Örnek 33:
Örnek 37:
Ardışık dört tek sayının aritmetik ortalaması 36 dır.
Toplamları 166 olan 28 sayma sayısının bir kısmının ortalaması 7 diğer sayıların ortalaması 5 tir.
Buna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır?
Buna göre, ortalaması 7 olan kaç sayı vardır?
Cevap: 33
n + ( n + 2) + ( n + 4) + ( n + 6)
= 36
4
4n + 12 = 144 ⇒ 4n = 132 ⇒ n = 33
Cevap: 13
AO sı 7 olan sayı adedi x, diğerleri 28 – x olsun
7.x + 5(28 – x) = 166 ⇒ 7x + 140 – 5x = 166 ⇒ 140 + 2x = 166 ⇒ x = 13
Örnek 34:
Aşağıdaki tabloda beş şubesi olan bir dersin dört şubesindeki öğrenci sayıları verilmiştir.
Şubeler
A
B
C
D
Öğrenci Sayısı
20
24
36
42
E
Şubelerdeki ortalama öğrenci sayısı 40 olduğuna göre,
E şubesindeki öğrenci sayısı kaçtır?
20 + 24 + 36 + 42 + x
= 40 & 122 + x = 200
5
Not
Cevap: 78
& x = 78
Not
Aritmetik ortalaması x olan bir sayı grubundaki her bir sayıdan a çıkartılır ise ortalama x – a, a eklenir ise ortalama
x + a olur.
Örnek 38:
Yaşları toplamı 240 olan bir ailenin 5 yıl sonraki yaş ortalaması 45 dir.
Buna göre, bu aile kaç kişiden oluşmuştur?
a tane sayının aritmetik ortalaması b ise bu sayıların toplamı a . b dir.
Cevap: 6
AO =
Yaş Toplamı
Kişi Sayısı
⇒ 40 =
240
Kişi Sayısı
⇒ Kişi sayısı = 6
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Oran-Orantı
2. Geometrik Ortalama
Not
n tane pozitif sayının çarpımının n. kuvvetten köküne geometrik
ortalama denir.
Aritmetik ortalaması, geometrik ortalamasına eşit olan sayılar birbirine eşittir.
x1, x2, x3, ... xn sayılarının geometrik ortalaması
GO =
n
x 1.x 2 .x 3 ...x n
Örnek 42:
a ile b sayılarının aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşittir.
Örnek 39:
Aşağıda verilen sayıların geometrik ortalamalarını bulunuz.

5 2 - 1, 5 2 + 1
GO =

(5 2 - 1) (5 2 + 1) =
(5 2 ) 2 - 1 2 =
3
Cevap: 400
3a + 2b = 100 ⇒ 3a + 2a = 100 ⇒ a = b= 20
a.b = 20.20 = 400
2.4.27 =
3
2 3 .3 3 = 2.3 = 6
Cevap: 7, 6
Örnek 40:
3, 2 ve x sayılarının orta orantılısı 6 olduğuna göre, x
kaçtır?
3
olduğuna göre, a . b kaçtır?
a=b
49 = 7
2, 4, 27
GO =
3a + 2b = 100
3.2.x = 6 & ^3 6x h = 6 3
3
Cevap: 36
3. Harmonik Ortalama
x1, x2, x3, ... xn sayılarının harmonik ortalaması
HO =
& 6x = 216
n
1
1
1
1
+
+
+ ... +
x1 x 2 x 3
xn
dir.
& x = 36
Örnek 41:
Örnek 43:
a ve b sayılarının aritmetik ortalaması 6, geometrik ortalaması 3 tür.
Buna göre, a2 ve b2 sayılarının aritmetik ortalaması
kaçtır?
B) 65
C) 63
D) 61
a+ b
2 = 6 & a + b = 12
ab = 3 & a.b = 9
(a + b) 2 = 12 2 & a 2 + b 2 + 2ab = 144
& a 2 + b 2 = 144 - 2.9 = 126
AO =
a2 + b2
= 63
2
9
x
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
4x +
3
3
HO = 1 1 1 = 3 + 2 + 1 = 3
+
+
2 3 6
6
E) 57
Cevap: C
Not
Bir veri dizisinde
HO ≤ GO ≤ AO
dır.
AO ≥ GO
&
9
4x + x
2 $
9
4x + x $ 2 $ 6
9
4x + x $ 12
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 3
9
4x $ x
ise en az 12 dir.
Öğretmen
Sorusu
A) 67
2, 3 ve 6 sayılarının harmonik ortalaması kaçtır?
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Oran-Orantı
1.
Konu Testi - 3
5.
1, 3, 3, 9
Aşçı
sayılarının aritmetik ortalaması, geometrik ortalamasından kaç fazladır?
A) 1
B) 2
C) 3
AO =
1+ 3+ 3+ 9
=4
4
GO =
4
4
1.3.3.9 =
D) 4
E) 5
Bankacı
Camcı
Kişi Sayısı
3
2
5
Yaş
40
35
20
Yukarıdaki tabloda bir grupta bulunan aşçı, bankacı ve
camcı sayıları ve yaşları verilmiştir.
Buna göre, bu grubun yaş ortalaması kaçtır?
34 = 3
A) 25
4- 3 = 1
B) 26
C) 27
D) 28
E) 29
3.40 + 2.35 + 5.20 120 + 70 + 100
=
= 29
10
3+ 2+ 5
2.
40, 60 ve x sayılarının aritmetik ortalaması 50 olduğuna göre, x kaçtır?
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
6.
Buna göre, a ve b sayılarının harmonik ortalaması kaçtır?
E) 70
40 + 60 + x
= 50 & x + 100 = 150
3
A)
& x = 50
3.
C) 5
D) 4
7.
E) 3
1
2
C)
2
3
D) 1
_ ^ x + 2h^ x - 3h i = ^ x - 1h2
2
Bir dönemde eşit kredili 5 ders alan bir öğrenci dönem
sonu not ortalamasının 100 üzerinden en az 65 olmasını
hedefliyor.
A) 69
x 2 - x - 6 = x 2 - 2x + 1
x= 7
B) 71
C) 73
D) 75
E) 77
60 + 52 + a + b + c
= 65 & a + b + c = 213
5
a+ b+ c
= 71
&
3
a ile b sayılarının aritmetik ortalaması 28
a ile c sayılarının aritmetik ortalaması 29
b ile c sayılarının aritmetik ortalaması 33
8.
a, b ve c sayıları sırasıyla 4, 6 ve 8 ile doğru orantılıdır.
Buna göre, a, b ve c sayıları sırasıyla aşağıdakilerden
hangisi ile ters orantılıdır?
olduğuna göre, a, b ve c sayılarının aritmetik ortalaması
kaçtır?
A) 6, 4, 3
A) 24
a b
c
a
b
c
4 = 6 = 8 & 4 .24 = 6 .24 = 8 .24
B) 26
E) 2
Bu öğrenci 1. dersten 60, 2. dersten 52 aldığına göre,
hedefine ulaşması için diğer üç dersinin ortalaması en
az kaç olmalıdır?
( x + 2) ( x - 3 ) = x - 1
4.
B)
a. b = 2 & a. b = 4
2
2
2
2
HO = 1 1 = a + b = 12 = 3
+
a b
4
ab
sayılarının geometrik ortalaması x – 1 olduğuna göre,
x kaçtır?
B) 6
1
3
a+ b
2 = 6 & a + b = 12
x + 2 ve x – 3
A) 7
a ve b sayılarının aritmetik ortalaması 6, geometrik ortalaması 2 dir.
C) 28
D) 30
E) 32
B) 6, 3, 2
D) 3, 4, 8
C) 3, 4, 6
E) 6, 8, 4
& 6a = 4b = 3c
a + b = 56
& 6, 4, 3
a + c = 58
+ b + c = 66
2(a + b + c) = 180 ⇒
a+ b+ c
= 30
3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Oran-Orantı
9.
Konu Testi - 3
13. a – b, b ve c sayıları sırasıyla 2 ve 3 ile doğru orantılı 4 ile
(a + 5) sayısı b ile doğru (a + b – 1) ile ters orantılıdır.
ters orantılıdır.
a = 3 iken b = 2
a + b + 2c = 3400
olduğuna göre, a = 7 iken b kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 14
olduğuna göre, c kaçtır?
E) 18
A) 100
^a + 5h^a + b - 1h
8. 4
= k & 2 = k & k = 16
b
12. ^6 + bh
= 16 & 12b + 72 = 16b
a = 7 iken
b
& b = 18
B) 140
C) 150
D) 210
E) 240
a- b b
2 = 3 = 4c = 4k
c = k, b = 12k, a – b = 8k ⇒ a = 20k
a + b + 2c = 34k = 3400 ⇒ k = 100
⇒ c =100
10. Bir işçi bir işi 12 günde bitirebilmektedir.
Eğer işçinin kapasitesi %40 azaltılır ise aynı işi kaç
günde bitirebilir?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 24
E) 25
14. Bir işi eş güçte 20 işçi günde 4 saat çalışarak 5 günde bitiriyor.
Buna göre, aynı işi aynı iş gücüne sahip 25 işçi günde
2 saat çalışarak kaç günde bitirebilir?
A) 4
%100 →
TO
%60
→
x günde
C) 8
D) 9
E) 10
A
A
20.5.4 = 25.2.x & 400 = 50x
60.x = 100.12 ⇒ x = 20
&x= 8
15. Birbirini çeviren üç çarktaki toplam diş sayısı 171 dir. Birin-
11. Bir üçgenin iç açıları sırasıyla 3, 4 ve 6 ile ters orantılıdır.
Buna göre, bu üçgenin en büyük iç açısı kaç derecedir?
A) 30
B) 6
12 günde
B) 40
C) 60
D) 80
ci çark 3 devir yapınca ikinci çark 4, üçüncü çark 6 devir
yapabilmektedir.
Buna göre, birinci çarktaki diş sayısı kaçtır?
E) 90
A) 57
B) 76
C) 84
D) 96
E) 108
3a = 4b = 6c = 12k
a= 4k, b = 3k, c = 2k
3Ç1 = 4 Ç2 = 6 Ç3 = 12k
a + b + c = 180 ⇒ 9k = 180 ⇒ k = 20
Ç1 = 4k, Ç2 = 3k, Ç3 = 2k
Ç1 + Ç2 + Ç3 = 171 ⇒ 9k = 171 ⇒ k = 19
⇒ a = 4k = 80
Ç1 = 4k = 76
12. Bir çocuk 620 tane bilyesini üç arkadaşına 2 ile doğru, 3 ve
4 ile ters orantılı olacak şekilde paylaştırıyor.
16. Dört arkadaş bir miktar fındığı sırasıyla 1 ve 2 ile ters, 3 ve
4 ile doğru orantılı olarak paylaşıyor.
Buna göre, en az bilye alan çocuk kaç bilye almıştır?
Buna göre, dağıtılan fındık adedi kaç olabilir?
A) 40
A) 32
D) 130
E) 170
B) 48
C) 72
D) 85
a
2 = 3b = 4c = 12k
a = 24k, b = 4k, c = 3k
c d
1.a = 2.b = 3 = 4 = 2k
a = 2k, b = k, c = 6k, d = 8k
a + b + c = 620 ⇒ 31k = 620 ⇒ k = 20
⇒ c = 3k = 60
a + b + c + d = 17k ise fındık miktarı 85 olabilir.
3. A
4. D
5. E
6. C
7. B
8. A
9. E
10. C
11. D
12. B
13. A
14. C
15. B
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2. C
16. D
14
E) 94
1. A
C) 80
Cevaplar
B) 60
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Oran-Orantı
1.
Konu Testi - 4
Bir marketten alınan 4 paket pul biber tartılmış ve aşağıdaki değerler bulunmuştur.
4.
Bir traktörün ön tekerleğinin yarıçapı 5, arka tekerleğinin
yarıçapı 3 ile ters orantılıdır.
Traktör bir miktar yol aldığında ön tekerlek ile arka tekerlek toplam 160 devir yaptığına göre, arka tekerlek
kaç devir yapmıştır?
• 1. paket: 210,7 gram
• 2. paket: 211,6 gram
• 3. paket: 212,4 gram
• 4. paket: 214,1 gram
A) 40
Buna göre, bu dört paketin ağırlıklarının ortalaması
kaç gramdır?
Ön = 5k ve arka = 3k devir yapar
A) 211,4
5k + 3k = 160 ⇒ k = 20 arka teker 3.20 = 60 devir yapar.
B) 211,7
C) 212
D) 212,2
B) 50
C) 60
D) 70
E) 80
E) 213
210, 7 + 211, 6 + 212, 4 + 214, 1 848, 8
= 4 = 212, 2
4
2.
Aşağıdaki grafikte bir dersin sınavından alınan puanların
öğrenci sayısına göre dağılışı verilmiştir.
5.
a, b ve c gerçek sayıları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir.
• a
ile b nin aritmetik ortalaması b ile c nin aritmetik ortalamasından 8 fazladır.
Öğrenci Sayısı
12
• a ile c nin aritmetik ortalaması b ye eşittir.
10
• a, b ve c sayılarının toplamı 60 dır.
8
6
Buna göre, c kaçtır?
4
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
2
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
Puan
a+ b b+ c
2 = 2 + 8 & a = c + 16
a+ c
2 = b & a + c = 2b
Bu sınavdan 60 ve üzeri puan alanların dersten başarılı olduğu kabul edildiğine göre, bu dersten başarılı
olmayan öğrencilerin sınavdan aldıkları puanların ortalaması kaçtır?
A) 38
B) 39
C) 40
D) 41
a + b + c = 60 & b + 2b = 60 & b = 20
a + c = 40
4 & a = 28, c = 12 dir.
a - c = 16
E) 42
2.10 + 20.2 + 30.2 + 40.6 + 50.8 760
= 20 = 38
2+ 2+ 2+ 6+ 8
3.
Terimleri birbirinden farklı birer doğal sayı olan
7, 8, 12, a, b, 15, c
sayı dizisi için
• Terimler soldan sağa doğru artmaktadır.
6.
Eni 6 metre boyu 8 metre olan bir halıyı 10 işçi günde 8
er saat çalışarak 12 günde bitirir ise eni 12 metre boyu
12 metre olan başka bir halıyı aynı nitelikteki 15 işçi
günde 4 er saat çalışarak kaç günde bitirir?
A) 36
• Terimlerin aritmetik ortalaması 15 dir.
B) 42
C) 48
D) 56
E) 64
olduğuna göre, c kaçtır?
A) 33
B) 34
C) 35
D) 36
a = 13, b = 14 dir.
7 + 8 + 12 + 13 + 14 + 15 + c
= 15 & c + 69 = 105
7
E) 37
Birinci halı 6.8 = 48 m2, ikinci halı 12.12 = 144 m2 dir.
48
144
144.10.8.12
10.8.12 = 15.4.x & x = 48.15.4
& x = 48
& c = 36
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Oran-Orantı
a, b ve c gerçek sayıları için aşağıdaki bilgiler veriliyor.
1 1
1
• a, b ve c sayıları sırasıyla ,
sayılarıyla ters
ve
5 7
10
orantılıdır.
• Daha sonra oluşan b nin yarısı c ye ekleniyor.
A) 2
• En sonunda oluşan c nin yarısı a ya ekleniyor.
Buna göre, son durumda a, b ve c aşağıdaki sayılardan
hangisiyle sırasıyla doğru orantılıdır?
B) 24, 16, 25
C) 64, 36, 47
E) 79, 38, 59
a b
c
5 = 7 = 10 = 8k olsun a = 40k, b = 56k, c = 80k önce a = 20k, b = 76k,
c = 80k Daha sonra a = 20k, b = 38k, c = 118k. En sonunda a = 79k, b =
38k, c = 59k olur. O halde 79, 38, 59 olur.
B) 3
Aşağıda daireler ve sayılardan oluşan şekilde kurallar şöyledir.
• Her daire içerisinde bulunan sayı etrafında bulunan üç
okun yanlarında bulunan üç sayı ile ters orantılı olacak
şekilde parçalanıyor ve parçalama sonucunda oluşan
her bir sayı okun gösterdiği daire içerisine yazılıyor.
10. Yaşlarının ortalaması 12 olan 3 kardeş, ¨ 720 yi yaşlarıyla
doğru orantılı olarak paylaşıyor.
En büyük kardeşin payına ¨ 260 düştüğüne göre, en
küçük kardeş kaç yaşındadır?
18
39 sayısı 2, 3 ve 4 ile ters orantılı olarak sırasıyla 18, 12 ve
9 a bölünüp okla gösterilen daireler içerisine yazılıyor.
Bu derslerin kredileri aşağıda verilmiştir.
3
D) 300
E) 320
A) 40
3a = 4b = 6c = 12k ⇒ a = 4k, b = 3k, c = 2k
B) 45
4. C
5. B
5.120 = 2x ⇒ x = 300
6. C
7. E
8. D
9. C
10. C
11. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Türkçe
3
C) 50
D) 55
E) 60
Yasin'in notlarının 5 lik sistemdeki karşılığı verilen sıraya göre 4, x ve 0
4. 5 + 4. x + 0. 3
= 3 & x = 4 O hâlde notu 80-89 arasında olmalı
olsun
12
notunu en az 40 puan artırmalıdır.
9k = 360, k = 40 b = 3k = 120
16
Fizik
4
Yasin'in, ortalamasının 3 olması için, fizik dersinden
aldığı notu 100 lük sistemde en az kaç artırmalıdır?
3. D
C) 280
Matematik
5
2. A
B) 240
Türkçe
40
Bir öğrencinin bu üç dersinin ortalamasını bulmak için öğrencinin her bir dersten aldığı notun 5 lik sistemdeki karşılığı ile dersin kredisi çarpılmakta elde edilen bu çarpım
sonuçları toplanıp toplam krediye bölünmektedir.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 200
Fizik
40
5 lik sistemdeki karşılığı 0
1
2
3
4
5
Not
0-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-100
Ders
Kredi
2
5
E) 13
11. Aşağıdaki tabloda üniversitede okuyan Yasin'in matema-
x
360 4
6
D) 12
Bu üniversitede 100 lük not sistemine verilen notlar aşağıdaki tablo ile 5 lik sistemdeki karşılıklarına dönüştürülmektedir.
12
3
C) 11
Matematik
80
3
9
B) 10
Yaşlar Toplamı
= 12 ⇒ Yaşlar Toplamı = 36 dır.
3
720
1 yaşa =
= ¨ 20 düşer.
36
1 yaş
¨ 20
x
¨ 260
DO
x = 13 ⇒ en büyük 13 yaşında ise en küçük 11 dir.
2
39
E) 6
tik, fizik ve Türkçe derslerinden aldıkları notlar 100 lük not
sisteminde gösterilmiştir.
Örneğin:
4
D) 5
Son sınav hariç notları toplamı x, bütün sınavlarının sayısı y olsun
_
x + 60
b
y = 72 & x + 60 = 72y b & y = 4 olur.
`
x + 72
b
y = 75 & x + 72 = 75y a
A) 9
8.
C) 4
1. D
D) 79, 59, 27
Ali girdiği son sınavdan 60 alırsa tüm sınavdan aldığı puanların ortalaması 72, son sınavdan 72 alırsa puanlarının
ortalaması 75 olacaktır.
Buna göre, Ali son sınav dahil toplam kaç sınava girmiştir?
• Önce a nın yarısı b ye ekleniyor.
A) 7, 12, 16
9.
Cevaplar
7.
Konu Testi - 4
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
16
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Sayı Problemleri, Kesir Problemleri
hhSAYI PROBLEMLERİ
Örnek 3:
Bir sayı problemini çözerken yapılması gereken işlemler
Herhangi iki x ve y sayısı için aşağıda verilen soruları
cevaplayınız.
I. Problemde verilenler ve istenilenler belirlenir.
II. Verilenler matematiksel ifadeye çevrilir ve elde edilen ifadeler denklem çözme metotlarından yararlanılarak çözülür.
III. Bulunan sonucun problemde istenilen sonuç olup olmadığı
kontrol edilir.

Bu iki sayının toplamı:

Bu iki sayının farkı:

Bu iki sayının kareleri toplamı:

Bu iki sayının kareleri farkı:
Örnek 1:

Bu iki sayıdan biri diğerinden 6 fazla: x = y + 6 veya y = x + 6
Herhangi bir x sayısı için aşağıda verilen soruları cevaplayınız.

Bu iki sayıdan biri diğerinin 2 katı:

Bu iki sayıdan biri diğerinin 2 katından 5 fazla:
şeklindedir.

Sayının 2 fazlası:
x+2

Sayının 4 eksiği:
x–4

Sayının 5 katı:
5x

Sayının 2 katının 3 fazlası:
2x + 3

Sayının 2 fazlasının 7 katı:
(x + 2)7

Sayının 10 katının 4 eksiği:
10x – 4

Sayının 5 eksiğinin 3 katı:
(x – 5)3

Sayı 3 katına çıkartılırsa:
3x

Sayı 5 kat artırılırsa:

Sayının karesinin 5 fazlası:
x2 + 5

Sayının 2 fazlasının karesi:
(x + 2)2

Sayının küpünün 2 katının 7 eksiği:
2x3 – 7
Öğretmen
Sorusu
x2 – y2 veya y2 – x2
y = 2x veya x = 2y
Bir sayının 2 katının 7 eksiği aynı sayının 3 katının 10 eksiğine eşittir.
Buna göre, bu sayı kaçtır?
2x – 7 = 3x – 10 ⇒ x = 3
Cevap: 3
Örnek 5:
Toplamları 82 olan üç reel sayı ile ilgili şunlar bilinmektedir.

Birinci sayı ikinci sayının 4 katına eşittir.

İkinci sayı, üçüncü sayının 2 fazlasına eşittir.
Buna göre, ikinci sayı kaçtır?
Hangi sayının 12 katından, aynı sayının 2 eksiğinin 4
katı çıkartılır ise sonuç 40 olur?
Cevap: 4
Ardışık üç doğal sayıdan ortancanın 4 katının 4 eksiği, küçük ile
Buna göre bu sayıların en büyüğü kaçtır?
x2 + y 2
Örnek 4:
Örnek 2:
büyüğün toplamının üçte birinin 36 fazlasına eşittir.
x – y veya y – x
x = 2y + 5 veya y = 2x + 5
x + 5x = 6x
12x – (x – 2).4 = 40 ⇒ 12x – 4x + 8 = 40 ⇒ 8x = 32 ⇒ x = 4
x+y
I
II
4(x + 2) x + 2
III
Cevap: 14
x
4(x + 2) + x + 2 + x = 82
6x + 10 = 82 ⇒ x = 12 ⇒ II = x + 2 = 14
x, x + 1, x + 2
( x + x + 2)
+ 36
4(x + 1) – 4 =
3
2x + 2 + 108
4x =
3
12x = 2x + 110
x = 11
x + 2 = 13
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Sayı Problemleri
Örnek 6:
Örnek 10:
İki sayıdan biri diğerinin 2 katının 7 fazlasına eşittir.
40 kişilik bir sınıfta kız öğrencilerden her birinin kız arkadaşlarının sayısı erkek arkadaşlarının sayısının 2 katından
6 eksiktir.
Bu iki sayının toplamı 67 olduğuna göre, küçük sayı
kaçtır?
x = 2y + 7
x + y = 67 ⇒ 2y + 7 + y = 67 ⇒ 3y = 60 ⇒ y = 20
Cevap: 20
Buna göre, bu sınıfta kaç erkek öğrenci vardır?
Kız
Erkek
40 – x
x
Cevap: 15
39 – x = 2x – 6 ⇒ 3x = 45 ⇒ x = 15
Örnek 7:
Asya'nın parası Cansu'nun parasının 8 katıdır. Asya, Cansu'ya ¨ 140 verdiğinde paraları birbirine eşit oluyor.
Buna göre, Cansu'nun başlangıçta kaç ¨ si vardır?
Asya Cansu
8x
Cevap: 40
x
8x – 140 = x + 140 ⇒ 7x = 280 ⇒ x = 40
Örnek 11:
Bir parkta 5 ve 6 kişilik olmak üzere toplam 22 tane çardak
vardır.
Bu parkta toplam 124 kişilik oturma yeri olduğuna göre,
5 kişilik çardak sayısı kaçtır?
5 kişilik
x
6 kişilik
Cevap: 8
22 – x
5.x + 6(22 – x) = 124
132 – x = 124
Örnek 8:
x=8
Bir yolcu gemisinde bulunan bayanların sayısı erkeklerin
sayısının 3 katıdan 2 fazladır. Bu yolcu gemisine 10 evli
çift daha bindiğinde bayanların sayısı erkeklerin sayısının
2 katı oluyor.
Buna göre, gemide ilk durumda kaç erkek yolcu vardır?
Bayan
Erkek
3x + 2
x
3x + 12
x + 10
Cevap: 8
Örnek 12:
Bir top kumaş 12 eşit parçaya ayrılıyor. Kumaş 10 eşit parçaya ayrılsaydı her bir parçanın uzunluğu 6 metre daha
uzun olacaktı.
Buna göre, kumaşın uzunluğu kaç metredir?
x
3x + 12 = 2(x + 10) ⇒ 3x + 12 = 2x + 20 ⇒ x = 8
Cevap: 360
x+6
12.x = 10.(x + 6) ⇒ 2x = 60 ⇒ x = 30
Kumaş = 12.30 = 360 metredir.
Örnek 9:
Örnek 13:
Toplamları 50 olan iki sayının her birinden 5 çıkartılırsa sayılardan biri diğerinin 3 katı oluyor.
Bir merdivenin basamaklarını ikişer ikişer çıkıp, üçer üçer
inen bir kişinin çıkarken attığı adım sayısı inerken attığı
adım sayısından 10 fazladır.
Buna göre, küçük sayı kaçtır?
Küçük
Büyük
x
50 – x
x–5
45 – x
3(x – 5) = 45 – x ⇒ 4x = 60 ⇒ x = 15
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 15
Buna göre, merdiven kaç basamaklıdır?
Merdiven x basamaklı olsun
x x
x
2 - 3 = 10 & 6 = 10 & x = 60
Cevap: 60
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Sayı Problemleri
Örnek 14:
Örnek 17:
Sabit olarak duran 160 cm uzunluğundaki bir telin sol ucundan 20 cm si kesilip atılıyor.
Bir bilet kuyruğunda Özgür baştan 12. sırada, sondan 15.
sıradadır.
Buna göre, kalan telin orta noktası, ilk orta noktaya
göre kaç cm ve hangi yöne doğru kayar?
Buna göre, kuyrukta toplam kaç kişi vardır?
Cevap: 10 cm sağa doğru kayar
Bir telin orta noktası kesilen kısmın tersi yönde kesilen miktarın yarısı
kadar kayar.
20
2 = 10 cm sağa doğru kayar.
12
15
Cevap: 26
Ö
Kişi sayısı = 12 + 15 – 1 = 26
Örnek 18:
Örnek 15:
Bir antrönör oyuncularını düz bir çizgi üzerinde 8 adım ileri
4 adım geri şeklinde koşturuyor.
Buna göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a)Bir sporcu 249 adım attığında olduğu yerden kaç
adım uzaklaşmış olur?
249 12
240 20
9
Bir bilet kuyruğunda Özge baştan 14. sırada, Seydi sondan
15. sıradadır.
Özge ile Seydi arasında 7 kişi olduğuna göre, aşağıdaki
soruları cevaplayınız.
a)Gişeye daha yakın olan Özge olduğuna göre, kuyruktaki kişi sayısı kaçtır?
Gişe
14
15
Ö
4 + 4 + 4 + ... + 4 + 7 = 4.20 + 7 = 87
20 tane
S
Kişi sayısı = 14 + 15 + 7 = 36
b)Bir sporcu olduğu yerden 40 adım ilerleyebilmesi
için en az kaç adım atmalıdır?
b)Gişeye daha yakın olan Seydi olduğuna göre, kuyruktaki kişi sayısı kaçtır?
Gişe
Son adımlarında 8 adım ileri atıp geriye atacak adım hakkı kalmamış
olsun
14 – 9 = 5
15
S
4 + 4 + 4 + ... + 4 + 8 = 8.12 + 8 = 104
8 tane
Ö
14
Kişi Sayısı = 15 + 5 = 20
Cevap: 87, 104
Örnek 19:
Örnek 16:
Bir sınıftaki öğrenciler sıralara 3 er 3 er otururlarsa 6 kişi
ayakta kalıyor. 4 er 4 er otururlarsa 3 sıra boş kalıyor.
Buna göre, sınıf mevcudu kaçtır?
Sıra sayısı x olsun
Cevap: 36, 20
Bir bilgi yarışmasında kurallara göre yarışmacılar her doğru
cevaptan 40 puan kazanıyor, her yanlış cevaptan 50 puan
kaybediyor.
30 soruya cevap veren bir yarışmacı 300 puan kazandığına göre, doğru cevapların sayısı kaçtır?
Cevap: 60
Sınıf mevcudu = 3x + 6
Sınıf mevcudu = 4(x – 3)
Doğru
Yanlış
3x + 6 = 4x – 12 ⇒ x = 18
x
30 – x
Sınıf Mevcudu = 4(18 – 3) = 60
Cevap: 20
40.x – (30 – x).50 = 300
40x – 1500 + 50x = 300 ⇒ 90x = 1800 ⇒ x = 20
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Sayı Problemleri
Örnek 20:
Örnek 23:
4 yanlışın bir doğruyu götürdüğü bir sınav ile ilgili aşağıdakiler biliniyor.
Bir fabrikada üretilen iş makinelerinin sayısı kayıt altına alınıyor. Tutulan kayıtlar o günle birlikte o günden önce üretilmiş olan iş makinelerinin toplam sayısıdır. Beş iş gününde
tutulan kayıtlar aşağıda verilmiştir.

Sınavda toplam 40 soru vardır.

Her doğru cevabın değeri 2 puandır.
Pazartesi ve öncesi : 20
Öğrenci sınavdaki bütün soruları işaretleyip 60 puan almıştır.
Salı ve öncesi : x
Çarşamba ve öncesi: 90
Buna göre, bu öğrencinin doğru işaretlediği soru sayısı
kaçtır?
Doğru
Yanlış
x
40 – x
Perşembe ve öncesi: 140
Cuma ve öncesi: y
Cevap: 32
Cuma ve öncesinde üretilen iş makinelerinin sayısı, salı ve
öncesinde üretilenlerin dört katıdır. Ayrıca Cuma günü üretilenlerin sayısı salı günü üretilenlerin iki katıdır.
40 - x
5x - 40
= 30 & 5x = 160
2. a x - 4 k = 60 &
4
& x = 32
Buna göre, Çarşamba günü üretilen iş makinelerinin
sayısı kaçtır?
B) 40
A) 60
C) 30
D) 45
E) 55
Örnek 21:
3 kalem ve 2 silgi 500 lira, 2 kalem ve 3 silgi 480 lira
olduğuna göre, bir kalem bir silgiden kaç lira pahalıdır?
3K + 2S = 500
+
–/
Cevap: 20
Salı
Çarşamba
Perşembe
Cuma
x – 20
90 – x
50
y – 140
Cevap: 40
y = 4x ve y – 140 = 2(x – 20)
4x – 140 = 2x – 40 ⇒ x = 50
⇒ 90 – x = 40
2K + 3S = 480
K – S = 20
Örnek 22:
Örnek 24:
Bir öğrenci elindeki parasıyla 10 tam ile 8 öğrenci bileti ya
da sadece 12 tam bilet alabiliyor.
İçinde bir miktar su bulunan bir havuza her günün sonunda
içindeki suyun 2 katı kadar su ilave edilmektedir.
Buna göre, bu parayla kaç tane öğrenci bileti alabilir?
4. günün sonunda havuzda 216 litre su olduğuna göre,
2. günün sonunda havuzda kaç litre su vardır?
Cevap: 48
8 Öğrenci = 2 Tam
4 Öğrenci = Tam
Tüm parayla 12.4 öğrenci = 48 öğrenci bileti alınır.
20 şut çekme hakkının verildiği bir yarışmada gol olan her şut
için 4 puan verilmekte, gol olmayan her şut için 1 puan silinmekte ve ıskalanan şutlar için puan verilmemektedir.
Yarışmanın sonunda Ahmet 38, Osman 50 puan almıştır.
Buna göre Ahmet'in gol olan şutlarının sayısı ile Osman'ın
gol olmayan şutlarının toplamı en çok kaçtır?
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2. gün sonu
3. gün sonu
4. gün sonu
x
3x
9x
Cevap: 24
9x = 216 ⇒ x = 24
Ahmet'in en çok 11 şutu gol olmuş, 6 şutu gol olmamıştır. 3 şutu
ıskalamıştır.
Osman'ın en çok 14 şutu gol olmuş 6 şutu gol olmamıştır.
11 + 6 = 17
Öğretmen
Sorusu
10 Tam + 8 Öğrenci = 12 Tam
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Sayı Problemleri
1.
Konu Testi - 1
Hangi sayının 5 katının 11 fazlası aynı sayının 5 eksiğinin 2 katına eşittir?
A) –8
B) –7
C) –6
D) –5
5.
Bir kargo şirketi taşıdığı paketlerden
• 320 grama kadar olan ağırlık için ¨ 4,
• 3
20 gramdan sonraki her gram için ¨ 0,04 ücret almaktadır.
E) –4
Buna göre, taşıma ücreti ¨ 6 olan paketin ağırlığı kaç
gramdır?
5x + 11 = (x – 5)2
5x + 11 = 2x – 10 ⇒ 3x = –21
A) 420
x = –7
B) 400
C) 390
D) 380
E) 370
320 gramın üslü x gram olsun
2
200
0,04.x = 2 ⇒ x = 0, 04 = 4 = 50
Paket 320 + 50 = 370 gramdır.
2.
5 katı ile 4 katının toplamı 108 olan sayı 2 kat artırılırsa
sayı kaça eşit olur?
A) 56
B) 52
C) 48
D) 36
6.
E) 32
Bir restoranda hesap isteyen bir grup arkadaş kişi başı ¨ 10
ödüyor. Eğer 2 kişi para vermezse diğer kişiler ¨ 2 fazla para
ödüyor.
Buna göre, bu topluluk kaç kişidir?
A) 8
5x + 4x = 108 ⇒ 9x = 108 ⇒ x = 12
⇒ 12 + 24 = 36
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Kişi sayısı x olsun
10.x = (x – 2).12 ⇒ 10x = 12x – 24
⇒ 2x = 24 ⇒ x = 12
3.
Farkları 4 olan iki sayıdan büyük olan küçük olanın 2 katından 6 eksiktir.
7.
Yanlışların doğruları götürmediği bu sınavda tüm soruları yanıtlayan bir öğrenci 15 puan aldığına göre, bu
öğrenci kaç yanlış yapmıştır?
Buna göre, küçük sayı kaçtır?
A) 7
B) 9
Büyük
Küçük
x+4
x
C) 10
D) 12
30 soruluk bir sınavda doğrular 3 puan getirmekte, yanlışlar 2 puan götürmektedir.
E) 14
A) 16
Doğru
x + 4 = 2x – 6 ⇒ x = 10
30 – x
B) 15
C) 14
D) 13
E) 12
Yanlış
x
3.(30 – x) – 2.x = 15
90 – 3x - 2x = 15
75 = 5x ⇒ x = 15
4.
Bir toplantı için bir araya gelen 8 kişinin tümü birbirleriyle
birer kez el sıkışıyorlar.
Toplantıda toplam kaç el sıkışması olmuştur?
A) 28
B) 30
C) 32
D) 35
n kişilik bir grup kendi içerisinde
n
n ^n - 1h farklı şekilde birer kez el sıkışır.
e o=
2
2
8
e o = 82.7 = 28
2
E) 36
8.
Bir nakliye firmasının 3 ton ve 5 ton yük kapasiteli toplam
20 kamyonu vardır.
Bu nakliye firması tek seferde en çok 80 ton yük taşıyabildiğine göre, 3 ton kapasiteli kaç kamyon vardır?
A) 8
3 ton
x
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
5 ton
20 – x
3x + 5(20 – x) = 80 ⇒ 3x + 100 – 5x = 80
⇒ 100 – 2x = 80 ⇒ x = 10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Sayı Problemleri
9.
Konu Testi - 1
Bir sınıftaki öğrenciler sıralara üçer üçer oturunca 8 öğrenci ayakta kalıyor. Dörder dörder oturunca 3 sıra boş kalıyor
bir sıraya da 1 kişi oturuyor.
Buna göre, sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır?
A) 64
B) 68
C) 72
D) 77
E) 80
Buna göre, hediyenin fiyatı kaç ¨ dır?
A) 10
3x + 8 = 4.(x – 4) + 1
x = 23
Mevcut= 3.23 + 8 = 77
C) 14
D) 16
E) 18
dan 17. sıradadır.
Asya ile Barış arasında x kişi, kuyrukta en çok 47 kişi
olduğuna göre, x kaçtır?
B) 11
16
Ali
Barış
Cemile
x–5
x–4
x–6
x – 5 + x – 4 + x – 6 = x + 5 ⇒ 3x – 15 = x + 5 ⇒ x = 10
10. Asya bir bilet kuyruğunda baştan 16. sırada Barış ise son-
C) 12
D) 13
14. Bir kargo şirketinde bulunan kamyonla 24 koli, kamyonetle
8 koli taşınabilmektedir. Belirli bir mesafe için kamyonla taşımanın ücreti ¨ 50, kamyonetle taşımanın ücreti ¨ 20 dir.
Buna göre, 400 koli en ucuz kaç ¨ ye taşınır?
A) 816
E) 14
B) 840
C) 850
D) 900
E) 912
24 koli kamyon ile ¨ 50, kamyonet ile ¨ 60 ye tanışdığından ekonomik olan
kamyon fazla kullanılır. 2 kamyonet, 16 kamyon ile taşınır ise en ucuz
17
x
B) 12
Hediye ¨ x olsun
3x + 8 = 4x – 15
A
rasından ¨ 5, Barış'ın parasından ¨ 4 ve Cemile'nin parasından ¨ 6 fazladır.
Üçü paralarını birleştirdiğinde hediyeyi almaktadırlar ve ¨5
paraları artmaktadır.
Sıra sayısı x olsun. 1 kişilik sırayı da boş sayalım.
A) 10
13. Ali, Barış ve Cemile'nin almak istediği bir hediye Ali'nin pa-
B
2.20 + 16.50 = ¨ 840 ye taşınır.
16 + x + 17 = 47 ⇒ x = 14
11. 10 çift çorap bir çekmecede karışık olarak durmaktadır.
15. İki masa saatinden birincisi normal çalışmakta ikincisi ise
Buna göre, çekmeceye bakmadan en az kaç çorap
alınmalı ki kesinlikle bir çift çorap elde edilsin?
her saat 10 dakika geri kalmaktadır. Her iki masa saati de
saat 16.00 da çalışmaya başlıyor.
A) 1
Buna göre, birinci masa saati 22.00 gösterdiğinde ikinci masa saati kaçı gösterir?
B) 2
C) 10
D) 11
E) 20
Çekilen 10 çorapta çift olmayan tek çoraplar olsun çekilecek 11. çorap
kesinlikle bir çift çorap elde edilir.
A) 20.00
B) 20.40
D) 21.10
C) 20.50
E) 21.00
Normal saat 6 saat çalıştığından ikinci saat 6.10 = 60 dk geri kalır saat
21.00 olur.
12. 3 kapak getirene 1 gazoz verilen bir kampanyada 60
gazoz satın alan bir çocuk en çok kaç gazoz içebilir?
C) 88
D) 89
E) 90
Buna göre, kaç yıl sonra okulların öğrenci sayıları birbirine eşit olur?
60
60 gazozu içip 3 = 20 gazoz daha alır.
20 gazozu içip 6 gazoz alır. 2 kapak elinde kalır.
A) 4
6 gazozu içip 2 kapak alır toplam 4 kapakla 1 gazoz daha alır.
C) 6
D) 7
E) 8
x yıl sonra eşitlensin
60 + 20 + 6 + 2 + 1 = 89
600 – 30x = 300 + 20x ⇒ 50x = 300 ⇒ x = 6
3. C
4. A
5. E
6. E
7. B
8. C
9. D
10. E
11. D
12. D
13. A
14. B
15. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2. D
16. C
6
B) 5
1. B
B) 87
makta, 300 öğrencisi olan başka bir okulun öğrenci sayısı
her yıl 20 artmaktadır.
Cevaplar
A) 86
16. 600 öğrencisi olan bir okulun öğrenci sayısı her yıl 30 azal-
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Sayı Problemleri
1.
Konu Testi - 2
Aşağıdaki tabloda Arda, Burcu, Canan, Deniz ve Emel
adındaki beş arkadaşın bir yıl öncesi ağırlıkları gösterilmiştir.
4.
50 kişilik bir sınıfta sınıf temsilciliği için beş aday vardır.
Sınıftaki her öğrenci bir oy kullanmak koşuluyla kurallar
şöyledir.
Arda
Burcu
Canan
Deniz
Emel
• Her aday en az bir oy almıştır.
x kg
54 kg
44 kg
64 kg
50 kg
• Oyların 8 tanesini 4. aday almıştır.
Bu beş arkadaşın her birinin ağırlığı yıl içinde ±10 kg değişim gösteriyor.
• 1. ve 5. aday eşit oy almıştır.
Bugünkü ağırlığı en az olan kişinin Arda olmadığı bilindiğine göre, x aşağıdakilerden hangisi olamaz?
• Oyların en azını 3. aday almıştır.
A) 60
A) 13
B) 65
C) 70
D) 75
• Oyların en fazlasını 2. aday almıştır.
Buna göre, 2. aday en az kaç oy almıştır?
E) 80
B) 15
C) 21
D) 23
x – 10 > 44 + 10
1: 2. aday > 1. aday = 5 aday > 4. aday > 3. aday
x > 64 olmalıdır. x = 60 olamaz
3. aday = 7, 4. aday = 8, 1. aday = 5. aday = 11
E) 25
O hâlde 2. aday en az 13 oy alır.
2.
Aşağıdaki tabloda üç öğrencinin A, B, C, D ve E olmak
üzere beş seçenekli beş soruya verdikleri cevaplar ve doğru cevap sayıları verilmiştir.
1
2
3
4
5
Doğru Cevap Sayısı
1. öğrenci
C
A
B
E
D
3
2. öğrenci
C
D
E
A
B
3
3. öğrenci
B
D
A
E
B
0
5.
Bir çiftlikte toplam 40 tane tavşan ve tavuk vardır.
Bu çiftlikte tavşan ve tavukların toplam ayak sayısı 124
olduğuna göre, tavukların sayısı kaçtır?
A) 10
B) 14
C) 18
Tablodaki bilgilere göre, bu beş soruya sırasıyla A, A,
E, E, D yanıtlarını veren bir öğrencinin doğru cevap sayısı kaçtır?
Tavuk x, tavşan 40 – x olsun
A) 0
–2x + 160 = 124 ⇒ 2x = 36 ⇒ x = 18
B) 1
Doğru Cevap
C) 2
D) 3
2
3
4
5
C
A
E
A
D
E) 26
2.x + 4(40 – x) = 124
E) 4
1
D) 22
O hâlde A, A, E, E, D cevaplarını veren 3 soruyu doğru cevaplar.
3.
İki devrede oynanan bir futbol maçında takımlar ikinci yarının başında kaleleri karşılıklı olarak değiştirmektedir. Birinci takımın 5, ikinci takımın 1 gol attığı bu maçta her iki
kaleye iki devrede atılan toplam gol sayısı eşittir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi maçın ilk devresinde kalelerden birine atılan gol sayısı olamaz?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
6.
Ahmet ve Burcu isimli iki arkadaşın birlikte yaptığı bir kahvaltı ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
• Ahmet, Burcu'dan 2 bardak fazla çay içmiştir.
• B
ir bardak çaya Ahmet 3 şeker, Burcu 2 şeker atmaktadır.
• İki arkadaş içtikleri çaylara toplam 46 şeker atmıştır.
Buna göre, Burcu kaç bardak çay içmiştir?
A) 7
Toplam atılan golün yarısı ilk yarıda yarısı ikinci yarıda atıldığından bir
yarı da en çok 3 gol atılmıştır. O hâlde 4 olamaz.
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Burcu x, Ahmet x + 2 bardak çay içsin
2x + 3(x + 2) = 46
5x + 6 = 46 ⇒ x = 8
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Sayı Problemleri
7.
Konu Testi - 2
Bir okul tatil gezisi için 2 tane otobüs tutmuştur. Bu otobüslerdeki yolcular ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
10. Açılış ücreti ¨ 1 olan bir taksimetre gidilen her 100 metre
yol için 12 kuruş yazmaktadır.
Bu taksimetre ¨ 4 yazdığı an kaç metre yol gidilmiştir?
• 1
. otobüste bayanların sayısı, erkeklerin sayısının 3 katıdır.
A) 1250
• 2
. otobüste bayanların sayısı, erkeklerin sayısının 4 katıdır.
B) 1500
C) 1250
D) 2000
E) 2500
¨ 3 lik yol alındığında
• 1
. otobüsteki erkeklerin sayısı, 2. otobüsteki erkeklerin
sayısının 2 katıdır.
12.x = 300 ⇒ x = 25
Alınan yol 25.100 = 2500 metredir.
Bu iki otobüste toplam 78 yolcu bulunduğuna göre, 2.
otobüsteki bayanların sayısı kaçtır?
A) 20
B) 22
C) 24
Erkek
Bayan
1. otobüs
2x
6x
2. otobüs
x
4x
D) 26
E) 28
11.
A
B
C
Aşağıdaki tabloda aynı yol üzerinde ve yukarıda verilen
sırada bulunan A, B, C ve D trafik denetleme şubeleri arasındaki uzaklıklardan bazıları km olarak gösterilmiştir.
2x + 6x + x + 4x = 78
13x = 78
x=6
4x = 24
A
x
B
100
8.
C
170
210 metre uzunluğundaki bir yapay nehire aşağıdaki özelliklere uyacak şekilde ve mümkün olan en çok sayıda özdeş köprüler inşa ediliyor.
120
A) 110
B) 120
A
• N
ehirdeki ilk köprünün nehirin başlangıç noktasına
uzaklığı 2 metredir.
C) 130
50
B
50
C
100
70
x = |AB| = 50, y = |CD| = 70
A) 9
x + y = 120 dir.
E) 13
…
2
6
208 18
198 11
10
12
6
12
6
12
6
12
6
6
D) 140
E) 150
D
Buna göre, bu yapay nehire kaç köprü inşa edilmiştir?
D) 12
D
170
• Köprülerin aralarında 12 metre boşluk vardır.
C) 11
y
Buna göre, x + y toplamının değeri kaçtır?
• Köprülerin her biri 6 metre genişliğindedir.
B) 10
D
4
12. Menekşe ve güllerden polen toplamak için yola çıkan 40
arılık bir sürü ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
⇒ 11 köprü ve kalan 10 metre üzerine 1 köprü bulunursa
12 köprü inşa edilir.
• A
rılar menekşelerden 2 adet, güllerden 5 adet polen
toplamaktadır.
• Sürü içerisindeki bir arı bir insanı sokarsa ölmektedir.
• Kovana dönebilen arılar toplam 150 polen getirmiştir.
Bir marketteki dört karton kutuda sırasıyla 16, 20, 25 ve 27
adet 1 kg lık şeker torbaları vardır.
• Getirilen polenlerin en az biri menekşe veya güldendir.
Her karton kutuda eşit sayıda şeker torbası bulunması
için en az kaç torbanın yeri değiştirilmelidir?
Buna göre, ölen arı sayısı en çok kaçtır?
C) 7
D) 6
A) 7
E) 5
16 + 20 + 25 + 27 =
22
4
C) 9
D) 10
E) 11
Menekşe = x, Gül = y olur.
2x + 5y = 150
Her kutuda 22 tane torba olmalıdır. O hâlde 27 den 5 tane, 25 den 3 tane
alınıp diğerlerine verilmelidir. 5 + 3 = 8
4. A
5. C
6. B
7. C
8. D
9. B
10. E
11. B
12. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
x = 5 için y = 28 olur. O Halde en çok 7 arı ölmüştür.
3. E
8
B) 8
2. D
B) 8
1. A
A) 9
• Her arı sadece bir çiçekten polen alabilmektedir.
Cevaplar
9.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kesir Problemleri
hhKesİr Problemlerİ
Örnek 27:
Kesir problemleri çözülürken sayı problemlerindeki işlemler uy-
Hangi sayının 15 fazlasının
gulanarak denklemler kurulur ve bu denklemler çözülüp sonucu
ulaşılır.
4
ünün 12 eksiği 36 dır?
3
4
4x + 60
= 48
(x + 15) 3 - 12 = 36 &
3
Cevap: 21
& 4x + 60 = 144
Örnek 25:
& 4x = 84 & x = 21
Herhangi bir x sayısı için aşağıdaki kutuları doldurunuz.
1
x
3x = 3
1
'ü :
3

Sayının

Sayının yarısı:

Sayının
3
'ü:
4

Sayının
1
'ünün 2 fazlası:
4
x
4+2

Sayının
3
'ünün 3 eksiği:
5
3x
5 -3

Sayının 5 fazlasının

2
Sayının 2 eksiğinin 'si:
7
1
'i:
5
Örnek 28:
Hangi sayının
3
1
ile
ünün toplamı 51 dir?
5
4
1
x
2x = 2
Sayı 20 x olsun
3
1
20x. 5 + 20x. 4 = 51
3
3x
4x = 4
12x + 5x = 51 & 17x = 51 & x = 3
1
^ x + 5h 5 =
Cevap: 60
Sayı = 20x = 20.3 = 60
Örnek 29:
1
sı kadardır. Damla
6
Ozan'a ¨ 25 verince paraları eşit oluyor.
Ozan'ın parası Damla'nın parasının
x+ 5
5
Buna göre, Ozan'ın başlangıçtaki parası kaç ¨ dir?
Ozan
2 2x - 4
^ x - 2h 7 =
7
x
Cevap: 10
Damla
6x
x + 25 = 6x – 25
5x = 50 ⇒ x = 10
Örnek 30:
4
si suyla doludur. Depodaki suyun yarı7
sı kullanıldığında geriye 20 litre su kalıyor.
Örnek 26:
Hangi sayının
Bir su deposunun
3
'ünün 2 fazlası 14 tür?
4
3x
3x
4 + 2 = 14 & 4 = 12 & 3x = 48 & x = 16
Buna göre, deponun hacmi kaç litredir?
Cevap: 16
4
Depo 7 x litre olsun. Depo içinde 7x. 7 = 4x su vardır.
1
4x 2 = 20 & x = 10 & 7x = 70 olur.
Cevap: 70
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kesir Problemleri
Örnek 31:
Örnek 34:
2
i dolu olan bir süt kabına 3 litre daha süt eklenince kabın
5
yarısı dolmuştur.
1
1
Bir öğrenci harçlığının önce
ü sonra da kalanın
ini
3
5
harcıyor.
Buna göre, kap tam dolu iken kaç litre süt alır?
Bu öğrenci toplam ¨ 126 harcadığına göre, öğrencinin
harçlığı kaç ¨ dir?
A) 15
B) 18
C) 24
D) 27
2
Kabın tamamı 10x olsun. Kabda 10x. 5 = 4x süt vardır.
1
4x + 3 = 10x $ 2
10x
E) 30
Cevap: E
Cevap: 270
1
1
15x 3 = 5x , 10x 5 = 2x
x= 3
4x
Parası 15x olsun
5x + 2x = 126 ⇒ x = 18
10x = 30 dur.
⇒ 15x = 15.18 = 270
Örnek 32:
Örnek 35:
1
1
Bir futbol takımı oynadığı maçların
ünde galibiyet,
4
3
ünde yenilgi alıyor.
1
1
ü ile toka, kalan parasının
ü ile küpe,
3
4
geriye kalanıyla da 5 yüzük almıştır.
Ayşe parasının
Bu takımın 20 maçı berabere bittiğine göre, bu takım
toplam kaç maç yapmıştır?
Yaptığı toplam maç 12 x olsun.
Yüzüklerin fiyatı eşit olduğuna göre, Ayşe'nin parasının
tamamıyla bu yüzüklerden kaç tane alınabilir?
Cevap: 48
1
1
12x 4 + 12x 3 + 20 = 12x
Parası 12x olsun
3x + 4x + 20 = 12x
5x = 20 & x = 4 & 12x = 48
Cevap: 10
Toka
Küpe
5 yüzük
4x
2x
6x
6x
12x
1 yüzük = 5 ise 6x = 10 yüzük alınır.
5
Örnek 33:
Özge bir kitabın sayfalarının
Örnek 36:
1
si
2

1. gün

1
2. gün ünü
4

3. gün
1
Yağ dolu bir şişenin ağırlığı 732 gramdır. Yağın
ü boşal4
tıldığında şişe 613 gram gelmektedir.
1
ini
5
Buna göre, şişe kaç gram yağ almaktadır?
okuyor.
Kitabın okunmayan 30 sayfası kaldığına göre, Özge birinci gün kitabın kaç sayfasını okumuştur?
Cevap: 300
Kitap 60x sayfa olsun.
Cevap: 476
Şişenin ağırlığı x gram, içindeki yağ kapasitesi 4V
gram olsun
4V
1. gün 2. gün 3. gün
30x
15x
12x
x
30x + 15x + 12x + 30 = 60x
57x + 30 = 60x ⇒ x = 10
1. gün 30x = 30.10 = 300 sayfa okumuş
10
4V + x = 732
30
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
+
–/
3V + x = 613
V = 119
4v = 4.119 = 476
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kesir Problemleri
Örnek 37:
Örnek 40:
1
Bir kavanozun ağırlığı boşken a gram,
ü su ile dolu iken
3
b gramdır.
5
olan iki parçaya ayrılıyor.
12
1
sı küçük parçanın kaçta
Buna göre, büyük parçanın
6
kaçıdır?
Buna göre, bu kabın tamamı su ile doluyken ağırlığının
a ve b cinsinden eşiti nedir?
1
3V 3 + a = b
Cevap: 3b – 2a
V+ a = b
3V
Küçük parça 5x, büyük parça 12 x olsun
1
12x. 6 = 5x.a
Cevap: 2
5
2 x = 5 x. a
2
a= 5
V = b- a
a
Bir tel uzunlukları oranı
3V + a = 3 ( b - a) + a
= 3b - 2a
Örnek 38:
Örnek 41:
Bir su tankının içinde bir miktar su vardır. Tanka 200 litre su
3
i doluyor. Tanka su eklemeyip 100
eklendiğinde tankın
8
1
litre su boşaltılırsa tankın i dolu olarak kalıyor.
8
Bir üretici pazara bir sandık elma getiriyor. Bunun yarısını
Buna göre, tankın tamamı kaç litre su alır?
satıyor. Sonra bir arkadaşına da 10 tane elma veriyor. Geri4
ye tüm elmaların u kalıyor.
9
Başlangıçta sandıkta kaç elma vardır?
Sandıkta 18x elma olsun
Tankın tamamı 8V su alsın. İçinde x lt su olsun
3
x + 200 = 8V. 8 ⇒
x + 200 = 3V
1
x – 100 = 8V. 8 ⇒ –/ x – 100 = V
+
300 = 2V
V = 150
Cevap: 1200
9x - 10 = 8x
x = 10
18x = 180
8V = 8.150 = 1200
Örnek 42:
Örnek 39:
1
ini, daha
5
sonra da günde 6 sayfa okuyarak kalan kısmı bitiriyor.
Cemil, önce günde 5 sayfa okuyarak kitabın
Cemil kitabı 26 günde okuduğuna göre, kitap kaç sayfadır?
Öğretmen
Sorusu
Kitap 5x sayfa olsun
1
5x
4x
Birinci kısmı 55 günde, İkinci kısmı 6 günde okur.
x 2x
5 + 3 = 26
13x
15 = 26 & x = 30 & 5x = 150
Buna göre trende başlangıçta kaç yolcu vardır?
Tren istasyonuna gelen bir trenden 84 yolcu iniyor, trene 75
2
1
yolcu biniyor. İnen yolcuların ü kadın, binen yolcuların
3
3
ü erkektir.
Trende son durumda 70 kadın yolcu olduğuna göre,
trende başlangıçta kaç kadın yolcu vardır?
Cevap: 150
1
ü kadarı birinci duraktan biniyor,
3
3
ikinci durakta 20 kişi iniyor, üçüncü durakta yolcuların ü inince
4
trende 120 yolcu kalıyor.
Bir trende bulunan yolcuların
Cevap: 180
1
4
18x 2 - 10 = 18x 9
İnen
Binen
Kadın
2
84. 3 = 56
2
75. 3 = 50
Erkek
1
84. 3 = 28
1
75. 3 = 25
Cevap: 76
x + 50 – 56 = 70
x = 76
Başlangıç : 3x
1. durak : x kişi biniyor.
2. durak : 20 kişi iniyor.
1
(4x – 20) . 4 = 120 ⇒ 4x – 20 = 480
x = 125
3x = 375
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kesir Problemleri
Örnek 43:
Örnek 46:
Bir sepette bir miktar elma vardır. A, B ve C kişileri elmaları
aşağıdaki gibi paylaşıyor.
1
si kadar uzamaktadır. Dikildiği
2
andan itibaren üçüncü yılın sonunda bu fidanın boyu 108
• A elmaların yarısından 1 fazla elma,
cm oluyor.
• B kalan elmaların yarısından 1 fazla elma,
Buna göre, fidanın ilk boyu kaç cm dir?
Bir fidan her yıl boyunun
• C kalan elmaların yarısından 1 fazla elma alıyor.
paylaşımından sonra sepette elma kalmadığına göre,
başlangıçta kaç elma vardır?
ilk boy
x
1. yıl
3x
2
2. yıl
9x
4
27x
8 = 108 & x = 32 cm
3. yıl
27x
8
Cevap: 32
Cevap: 14
C elmaların yarısından 1 fazla aldığında elma kalmıyor ise elma 2 tanedir.
B elmaların yarısında bir fazla aldığında 2 elma kalıyorsa elma sayısı 6 dır.
A elmaların yarısından bir fazla aldığında 6 elma kalıyorsa elma sayısı
14 tür.
Örnek 44:
Örnek 47:
Uzunlukları aynı olan iki mum aynı anda yanmaya başladığında biri 2 saatte diğeri 3 saatte tamamıyla yanıp bitmektedir.
Belirli bir yükseklikten yere bırakılan bir top yere her vu2
u kadar
ruşundan sonra bir önceki düşüş yüksekliğinin
9
yükselmektedir.
Top yere üçüncü vuruşundan sonra 8 cm yükseldiğine
göre, başlangıçta kaç cm den bırakılmıştır?
A) 621
B) 628
C) 720
D) 729
E) 738
Cevap: D
9 9 9
x = 8. 2 . 2 . 2 = 729
x
Buna göre, bu iki mum aynı anda yandıktan kaç saat
1
sonra birinin boyu diğerinin boyunun ü olur?
3
Cevap: 12
7
6
Mumların boyları 6 cm olsun. O hâlde saatte 1. mum 2 = 3 cm, 2. mum
6
=
2
cm
yanar
t
saat
sonra
3
1
^6 - 3t h = ^6 - 2t h $
3
8
12
18 - 9t = 6 - 2t & 7t = 12 & t = 7
Örnek 48:
Örnek 45:
7
tür. Bu kesrin payına 2 eklenip payda3
sından 6 çıkarıldığında kesrin değeri 3 oluyor.
Bir kesrin değeri
Buna göre, bu kesrin payı paydasından kaç fazladır?
7x + 2
=
3x - 6 3 ⇒ 7x + 2 = 9x – 18 ⇒ x = 10
⇒ 70 – 30 = 40 fazladır.
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 40
İki şişeden büyüğünün hacmi küçüğünün hacminin 2 katı1
2
dır. Küçük şişenin ü büyük şişenin i boştur.
3
5
3
Küçük şişedeki sıvının i büyük şişeye boşaltılırsa bü5
yük şişenin kaçta kaçı boş kalır?
Cevap: 1
5
Küçük şişe 15V büyük şişe 30V olsun. Küçük şişenin 5V si boş 10V si do3
ludur. Büyük şişenin 12V si boş 18V si doludur. 10V $ 5 = 6V büyüğüne
6V
1
boşaltılırsa 24V dolu olur. 30V = 5 boş kalır.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kesir Problemleri
1.
Hangi sayının
A) 48
Konu Testi - 3
3
i 18 dir?
5
B) 45
C) 42
5.
D) 40
E) 30
1
1
sini ikinci gün parasının
2
3
1
ünü, üçüncü gün kalan parasının ini harcıyor.
5
Mert'in başlangıçta 240 ¨ si olduğuna göre, geriye kaç ¨
Mert birinci gün parasının
si kalmıştır?
3
x. 5 = 18 & 3x = 90 & x = 30
A) 28
B) 32
C) 35
D) 36
E) 40
1
1
240. 2 = 120, 240. 3 = 80 olduğundan geriye kalan ¨ 40 dir.
1
40. 5 = 8 ise Mert'in 40 – 8 = ¨ 32 si kalır.
2.
3 eksiğinin yarısının 10 fazlası 30 olan sayı kaçtır?
A) 53
B) 48
C) 43
D) 38
6.
E) 33
1
1
Toplamları 70 olan iki sayıdan birinin
ü diğerinin
üne
3
4
eşittir.
Buna göre, büyük sayı kaçtır?
x- 3
x- 3
2 + 10 = 30 & 2 = 20
A) 32
B) 36
C) 40
D) 44
E) 48
& x - 3 = 40
& x = 43
Büyük sayı x olsun, küçük sayı 70 – x dir.
1
1
x. 4 = ^70 - x h . 3
3x = 280 - 4x & 7x = 280 & x = 40
3.
1
1
1
1
ünün
si ile
sinin
ünün toplamı 24 olan sayı
3
2
2
3
kaçtır?
A) 108
B) 96
C) 84
D) 72
7.
3
ini koşuyor ve 45 metre daha koşunca
8
yolu tamamlanmış oluyor.
Bir atlet bir yolun
Buna göre, bu yolun uzunluğu kaç metredir?
E) 64
A) 90
1 1
1 1
x. 3 . 2 + x. 2 . 3 = 24
2x
x x
6 + 6 = 24 & 6 = 24 & x = 72
B) 88
C) 84
E) 72
Yol = 8x olsun
3
8x. 8 + 45 = 8x ⇒ 3x + 45 = 8x ⇒ 5x = 45
⇒x=9
⇒ 8x = 72
4.
D) 80
Buna göre, Özge'nin parasının tamamı kaç ¨ dir?
1
1
ü sonra ü satılıyor.
3
4
Geriye 50 metre kumaş kaldığına göre, kumaşın tamamı kaç metredir?
A) 28
A) 150
4
Özge harçlığının
si ile tanesi ¨ 2 olan kalemlerden 6
7
tane alıyor.
B) 24
C) 21
4
x. 7 = 2.6 & 4x = 12.7 & x = 21
D) 20
E) 18
8.
Bir top kumaşın önce
B) 144
C) 132
D) 120
E) 100
Kumaş 12 x olsun
1
1
12x. 3 + 12x. 4 + 50 = 12x
4x + 3x + 50 = 12x
50 = 50x
x = 10 ⇒ 12x = 120
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kesir Problemleri
9.
Konu Testi - 3
2
si dolu olan bir su kabına 12 litre daha su ilave edilince
7
kabın yarısı dolmuş oluyor.
B) 50
C) 52
D) 56
lınca sürahinin ağırlığı y gram olmaktadır.
3
Buna göre, boş sürahinin ağırlığı kaç gramdır?
Buna göre, kap tam dolu iken kaç litre su alır?
A) 48
13. Su dolu bir sürahinin ağırlığı x gramdır. Suyun 1 ü boşaltı-
A) 2y – x
E) 64
B) 2x – y
D) 2x – 3y
Kap 14x su alsın
1
2
14x. 7 + 12 = 14x. 2
C) 3x – y
E) 3y – 2x
Sürahinin boş ağırlığı a, tüm su ağırlığı 3b olsun.
4x + 12 = 7x
3x = 12 ⇒ x = 4 ⇒ 14x = 56
+
2/
a + 3b = x
–3/
a + 2b = y
–a = 2x – 3y ⇒ a = 3y – 2x
10. Bir sınıftaki öğrencilerin 1 ünün 3 fazlası kız öğrencidir.
4
Bu sınıfta 18 erkek öğrenci olduğuna göre, sınıf mevcudu kaçtır?
A) 21
B) 24
C) 28
D) 30
E) 32
atte tamamen yanıp bitmektedir.
Buna göre, kaç saat sonra birinin boyu diğerinin boyunun 2 katı olur?
A) 2
Sınıf mevcudu 4x olsun
a 4x. 41 + 3k + 18 = 4x
x + 21 = 4x
B)
11
5
C)
12
5
D)
13
5
E) 3
Boyları 12 cm olsun. O hâlde biri saatte 4 cm, diğeri saatte 3 cm yanar.
2(12 – 4t) = 12 – 3t
24 – 8t = 12 – 3t
12
5t = 12 ⇒ t = 5
3x = 21 ⇒ x = 7 ⇒ 4x = 28
11. Cihan bir yolun 4 unu yürüdükten sonra 35 metre daha
9
2
yürüyünce geriye yolun i kalıyor.
5
Buna göre, bu yolun tamamı kaç metredir?
A) 350
14. Uzunlukları aynı olan iki mumdan biri 3 saatte diğeri 4 sa-
B) 320
C) 300
D) 250
15. Bir deponun 5 i mazot doludur.
8
2
Bu depoda bulunan mazotun ü kadar daha mazot ko3
nulduğunda deponun kaçta kaçı kadar mazot taşar?
A)
E) 225
1
24
B)
1
12
C)
1
8
D)
1
6
E)
1
4
2
5
Depo 24x olsun. Depo içnde 24x $ 8 = 15x mazot var 15x $ 3 = 10x
Yolun tamamı 45x olsun
4
2
45x. 9 + 35 + 45x. 5 = 45x
20x + 35 + 18x = 45x
x
1
daha mazot koyarsak 25x – 24x = x mazot taşar. 24x = 24 taşar.
35 = 7x
x = 5 ⇒ 45x = 225
12. Bir lastik çekildiğinde boyu 1 oranında uzamaktadır.
4
Buna göre, çekilmiş hâlde boyu 250 cm olan lastiğin
çekilmeden öncesi boyu kaç cm dir?
E) 225
A)
5
6
C)
8
9
D)
12
13
E)
14
15
5
12x $ 6 = 10x kullanılırsa geride 2x kalır.
2x
1
14
Deponun 30x = 15 i dolu 15 i boş olur.
4. C
5. B
6. C
7. E
8. D
9. D
10. C
11. E
12. B
13. E
14. C
15. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B)
2
Deponun tamamı 30x olsun. İçindeki su 30x $ 5 = 12x olur.
Lastiğin boyu 4x olsun
1
4x + 4x. 4 = 250 ⇒ 5x = 250 ⇒ x = 50 ⇒ 4x = 200
16. E
14
2
3
3. D
D) 220
2. C
C) 210
5
Depodaki suyun
sı kullanılırsa deponun kaçta kaçı
6
boş olur?
1. E
B) 200
5
Cevaplar
A) 180
16. Bir deponun 2 i suyla doludur.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kesir Problemleri
1.
Konu Testi - 4
Bir sitede kuzey cephedeki dairelerin fiyatı güney cephe3
dekilerin fiyatının si kadardır.
7
Bu sitede kuzey cephede bulunan 35 daire fiyatına güney cepheden kaç daire alınabilir?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 15
4.
A) 5
E) 18
a = 15
3
Bir kamyondaki kumun
ü inşaat alanına dökülmüştür.
4
5
Dökülen kumun i harç yapımında kullanılmıştır.
8
Harç yapımında kullanılan kum 105 kg olduğuna göre,
5.
başlangıçta kamyonda kaç kg kum vardır?
B) 222
C) 224
D) 226
1
3
D)
E)
1
4
3A
B
A + B = A - 20 + B + 4
3A B
20 = 4
A 5
B= 3
35.3x = 7x.a
A) 220
A
oranı kaçtır?
B
5
5
B)
C)
3
4
Buna göre,
Güney Cephe = 7x ise Kuzey Cephe = 3x olur.
2.
3
1
oranında azaltılıp B sayısı
20
4
oranında arttırıldığında toplamın değeri aynı kalmaktadır.
A + B toplamındaki A sayısı
E) 228
1
ü erkektir. Sınıftan 5 erkek, 3
4
kız öğrenci ayrıldığında, erkek öğrenci sayısı kızların sayı1
sının si olmuştur.
7
Buna göre, başlangıçta sınıfta kaç öğrenci vardır?
Bir sınıftaki öğrencilerin
A) 24
B) 28
C) 32
D) 36
E) 40
Sınıf = 4x olsun
3 5
x. 4 . 8 = 105 & x = 32.7 = 224
Erkek
x
x–5
Kız
3x
3x – 3
1
x – 5 = (3x – 3) 7 ⇒ 7x – 35 = 3x – 3
⇒ 4x = 32
3.
Bir apartmanın her katında satılık daireler bulunmaktadır. Bu
daireleri pazarlayan satış ofisinin satış koşulları şöyledir.
6.
• Birinci kattaki bir dairenin fiyati ¨ 200 bin dir.
• H
er bir kattaki dairelerin fiyatı, bir alt kattaki dairenin
1
fiyatının i kadar fazladır.
5
1
• oranında peşinat verildiğinde kalan borca 48 ay taksit
2
yapılmaktadır.
1
• oranında peşinat verildiğinde kalan borca 60 ay taksit
4
yapılmaktadır.
2. kattan bir daire alan müşteri iki türlü taksit tutarını da
hesaplıyor.
Buna göre, aylık taksitler arasındaki fark kaçtır?
A) 400
B) 500
C) 600
D) 700
1
2. katta daire 200 + 200. 5 = 240 bin ¨ dir.
1
3
240000. 2
240000. 4
=
= 3000
2500
,
48
60
3000 – 2500 = 500 ¨
E) 800
x
y
z
Şekildeki x, y ve z kaplarında bulunan 45 bilye ile ilgili şunlar bilinmektedir.
Başlangıçta kapların her birinde farklı sayıda bilye vardır.
1
• x kabındaki bilyelerin ü y kabına konuyor.
3
1
• x kabında kalanların si de z kabına konuyor.
7
• B
u işlemler sonucunda x ve y kaplarındaki bilye sayıları
birbirine eşit oluyor.
X kabında başlangıçta 21 bilye olduğuna göre, başlangıçta z kabındaki bilye sayısı kaçtır?
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
x, y, z kaplarında sırasıyla 21, b ve c bilye olsun
son durumda
2 6
21. 3 . 7 = 12
b+7
c+2
b + 7 = 12 ⇒ b = 5
21 + 5 + c = 45
c = 19
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kesir Problemleri
7.
Konu Testi - 4
¨ 660 üç kişi arasında paylaşılıyor. Bu paylaşmada birincinin aldığı para, ikincinin aldığı paranın yarısı, üçüncünün
3
aldığının sidir.
2
Buna göre, payı en az olan kaç ¨ almıştır?
A) 100
I.
6x
II.
12x
B) 120
C) 150
D) 160
10. Meyve suyu servisi yapılan bir davette, katılanların 1 sı
6
1
ü ikişer bardak, kalan davetliler ise dörder
3
bardak meyve suyu içmiştir.
üçer bardak,
Bu davette toplam 114 bardak meyve suyu içildiğine
göre, davete kaç kişi katılmıştır?
E) 200
III.
4x
A) 30
6x + 12x + 4x = 660 ⇒ x = 30 ⇒ 4x = 120
8.
5
uyla kazak, ¨ 5 siyle de çorap almıştır.
9
Bu harcamalardan sonra Ahmet'in kalan parası baş1
langıçtaki parasının ü olduğuna göre, Ahmet'in baş3
langıçta kaç ¨ si vardır?
B) 60
C) 54
D) 50
E) 45
C) 40
D) 42
E) 45
Davette 18x kişi olsun
1
1
18x 6 = 3x, 18x 3 = 6x
3x.3 + 6x.2 + 9x.4 = 114
Ahmet parasının
A) 64
B) 36
57x = 114
x = 2 ⇒ 18x = 36
11. Bir marangoz bir çıtanın bir ucundan 1 sini kestiğinde çıtanın orta noktası 5 cm sağa kayıyor.
Ahmet'in parası 9x olsun
7
Buna göre, marangoz, çıtanın hangi ucundan kaç cm
kesmiştir?
1
5
9x - :9x. 9 + 5D = 9x. 3
4x – 5 = 3x ⇒ x = 5 ⇒ 9x = 45
9.
A) Sağdan 5 cm
B) Soldan 5 cm
D) Soldan 10 cm
Üst zemin
C) Sağdan 10 cm
E) Soldan 15 cm
Çıta x cm olsun
1
x. 7
x
2 = 5 & x = 70 & 7 = 10 cm
Soldan 10 cm kesilir.
Alt zemin
Yukarıda verilen merdivende Asya alt zeminde, Özge üst
zeminde bulunuyor.
1
• Asya önce merdivendeki basamak sayısının
ü sonra
4
1
kalan basamak sayısının i kadar yukarıya çıkıyor.
5
1
u son• Özge önce merdivendeki basamak sayısının
10
1
ra kalan basamak sayısının ü kadar aşağıya iniyor.
3
• B
u işlemler sonucunda Özge ve Asya'nın ilk kez buluşmaları için aralarında 36 basamak kalıyor.
12. Bir toptancı, sattığı bir ürün için aşağıdaki gibi iki farklı
kampanya düzenlemiştir.
1. Kampanya: "100 adet ve üzeri alışverişte 10 tanesi be1
dava, geri kalan ürünler oranında indirimli"
5
2. Kampanya: "150 adet ve üzeri alışverişte tüm ürünler
1
oranında indirimli"
4
Bir müşteri bu toptancıdan 150 den fazla ürün almıştır.
Müşterinin ödeyeceği ücret her iki kampanyaya göre hesaplanmış ve hesaplanan değerlerin eşit olduğu görülmüştür.
Buna göre, merdiven kaç basamaklıdır?
A) 120
B) 150
C) 180
D) 200
E) 240
Buna göre, müşteri kaç adet ürün almıştır?
Merdiven 60x basamaklı olsun.
1 +
1D +
1
1
:60x $ + 45x $ D + :60x $
=
5
4
10 54x $ 3 36 60x
24x + 24x + 36 = 60x
A) 160
4
C) 168
D) 172
E) 180
3
^ x - 10h . 5 = x.
4
12x = 36
B) 164
16x – 160 = 15x ⇒ x = 160
x=3
60x = 180
1. D
2. C
3. B
4. B
5. C
6. C
7. B
8. E
9. C
10. B
11. D
12. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
17
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Yaş Problemleri, İşçi ve Havuz Problemleri
hhYAŞ PROBLEMLERİ
Örnek 2:
hh Ay hesabı gözetmeksizin bir kişinin yaşı
Ozan, Arda'dan 4 yaş küçük, Cansu'dan ise 17 yaş büyüktür.
Yaş = (Yaşanılan Yıl) – (Doğum Yılı)
Arda bugün 36 yaşında olduğuna göre, 2 yıl sonra Ozan
ile Cansu'nun yaşları toplamı kaç olacaktır?
olarak bulunur.
hh Bir kişi doğduğunda "0" yaşındadır.
Cevap: 51
hh Yaşı x olan bir kişinin
• a yıl sonraki yaşı x + a,
Ozan
Arda
Cansu
32
36
15
34
38
17
2 yıl sonra →
• a yıl önceki yaşı x – a dır.
Ozan + Cansu = 34 + 17 = 51
hh Yaşı x olan bir kişi,
• a yıl sonra doğsaydı yaşı x – a,
• a yıl önce doğsaydı yaşı x + a olur.
hh Bugünkü yaşları toplamı x olan n kişinin,
• a yıl sonraki yaşları toplamı x + a . n,
Örnek 3:
• a yıl önceki yaşları toplamı x – a . n dir.
Bugünkü yaşı 24 olan Levent'in x yıl önceki yaşının 3 katı
x + 2 yıl sonraki yaşının 2 katına eşittir.
hh İki kişinin yaşları farkı yıllara göre değişmez.
hh "Ahmet, Mehmet'in yaşında iken." soru cümlesinde yaşı büyük olan Ahmet'tir.
hh "Cüneyt'in yaşı Berk'in yaşına geldiğinde" soru cümlesinde
yaşı büyük olan Berk'tir.
hh a yaşındaki bir kişinin b yaşındaki bir kişinin yaşına gelmesi
için aradan b – a yıl geçmelidir.
Buna göre x kaçtır?
Cevap: 4
(24 – x) . 3 = (24 + x + 2) . 2
72 – 3x = 52 + 2x
5x = 20
x=4
hh a yaşındaki bir kişinin yaşı b yaşındaki bir kişinin yaşında
iken şu andaki yıldan a – b yıl önceydi.
Örnek 4:
Ela'nın bugünkü yaşı 15, annesinin ise 40 dır.
Örnek 1:
Özge'nin 2 yıl önceki yaşı 42, Özgür'ün 5 yıl sonraki yaşı
27 dir.
Buna göre Özge, Özgür'den kaç yaş büyüktür?
Özge 44, Özgün 22 yaşında olduğundan 44 – 22 = 22 dir.
Cevap: 22
Buna göre kaç yıl sonra Ela ile annesinin yaşları toplamı Ela'nın bugünkü yaşının 5 katı olur?
(15 + x) + (40 + x) = 5 . 15
2x + 55 = 75
x = 10
Cevap: 10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Yaş Problemleri
Örnek 5:
Örnek 8:
1
Seydi ile babasının bugünkü yaşları oranı , 5 yıl sonraki
3
3
yaşları oranı dir.
7
Buna göre, Seydi bugün kaç yaşındadır?
Bir annenin yaşı kızının yaşının 4 katıdır. 10 yıl sonra annenin yaşı kızının yaşının 2 katı olacaktır.
Seydi
Babası
x
3x
x+5
3x + 5
Cevap: 10
Buna göre, annenin bugünkü yaşı kaçtır?
Anne
Kızı
4x
x
4x + 10
x + 10
Cevap: 20
4x + 10 = 2(x + 10)
2x = 10
x = 5 ⇒ 4x = 20
x+5
3
=
+ = +
3x + 5 7 & 7x 35 9x 15
2x = 20
x = 10
Örnek 9:
Örnek 6:
Önder 37, Saadet 13 yaşındadır. Önder 1 yıl geç doğsaydı
yaşı a, Saadet 5 yıl erken doğsaydı yaşı b olacaktı.
a
Buna göre
oranı kaçtır?
b
Cevap: 2
a = 37 – 1 = 36
Yaşları 8 den büyük olan 7 kardeşin bugünkü yaşları toplamı 70 dir.
Buna göre bu kardeşlerin 8 yıl önceki yaşları toplamı
kaçtır?
Cevap: 14
70 – 7 . 8 = 70 – 56 = 14
b = 13 + 5 = 18
a 36
=
=
b 18 2
Örnek 10:
Bir babanın yaşı iki çocuğunun yaşları toplamından 33 büyüktür.
Örnek 7:
2
katıdır. Fatih 14 yıl er11
ken, Hüseyin 13 yıl geç doğsaydı yaşları birbirine eşit olacaktı.
Fatih'in yaşı, Hüseyin'in yaşının
Buna göre, Fatih bugün kaç yaşındadır?
Fatih
Hüseyin
2x
11x
2x + 14 = 11x – 13
9x = 27
x=3
Fatih bugün 6 yaşındadır.
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 6
3 yıl sonra babanın yaşı çocukların yaşları toplamının 2
katı olacağına göre, baba bugün kaç yaşındadır?
Baba
Çocukların yaşları toplamı
x + 33
x
x + 36
x+6
x + 36 = 2(x + 6)
x + 36 = 2x + 12
x = 24
x + 33 = 57
Cevap: 57
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Yaş Problemleri
Örnek 11:
Örnek 14:
Bir babanın yaşı 4 er yıl arayla doğmuş dört çocuğunun
şimdiki yaşları toplamına eşittir.
Vural'ın bugünkü yaşı 8, kardeşinin yaşı ise a dır. Vural 28
yaşına geldiğinde kardeşi 6.a yaşında olacaktır.
En küçük çocuk doğduğunda baba 45 yaşında olduğuna göre, en büyük çocuk şimdi kaç yaşındadır?
Buna göre, a kaçtır?
Cevap: 19
Baba
C1
C2
C3
C4
4x + 24
x
x+4
x+8
x + 12
3x + 24
0
4
8
12
20
Vural
Kardeşi
8
a
28
6a
Cevap: 4
5a
20 = 5a
a=4
3x + 24 = 45
x=7
x + 12 = 19
Örnek 15:
Emre kardeşinin bugünkü yaşındayken kardeşi bugünkü
yaşının yarısı yaştaydı.
Örnek 12:
i Arif, Can ve Burak'ın yaşları toplamı 92 dir.
i Arif doğduğunda Can 4 yaşındaydı ve Burak'ın doğma-
Emre 60 yaşında olduğuna göre, kardeşi bugün kaç yaşındadır?
sına 2 yıl vardı.
Buna göre, Arif kaç yaşındadır?
Arif
Can
Burak
x
x+4
x–2
Cevap: 30
Kardeşi
60
2x
2x
x
60 – 2x
Cevap: 40
2x – x
60 – 2x = x
3x = 60
x = 20
2x = 40
x + x + 4 + x – 2 = 92
3x + 2 = 92
x = 30
Örnek 13:
Örnek 16:
Bir babanın yaşı çocuklarının yaşları farkının 4 katına eşittir. 20 yıl sonra babanın yaşı çocukların yaşları farkının 6
katı olacaktır.
Özge'nin yaşının 5 katı, Özgür'ün yaşının 3 katına eşittir.
Özge, Özgür'ün yaşına geldiğinde yaşları toplamı 72 olacaktır.
Buna göre, baba şimdi kaç yaşındadır?
Buna göre, Özge kaç yaşındadır?
Baba
Çocukların yaşları farkı
4x
x
4x + 20
x
4x + 20 = 6 . x
2x = 20
x = 10
4x = 40
Öğretmen
Sorusu
Emre
2007 yılında a yaşında olan bir kişi,
1983 yılında b, 2016 yılında a + b yaşındadır.
Buna göre, bu kişinin doğum yılı nedir?
Cevap: 40
2x
Özge
Özgür
3x
5x
5x
7x
Cevap: 18
2x
5x + 7x = 72
12x = 72
x=6
3x = 18
1983 → b
2007 → a
2016 → a + b
a + b – a = 2016 – 2007
b=9
a – b = 2007 – 1983
a – 9 = 24
a = 33
D. Yılı = 2007 – 33 = 1974
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Yaş Problemleri
Örnek 17:
Örnek 20:
Bir babanın yaşı 3 çocuğunun yaşları toplamının 4 katına
eşittir. Çocukların yaşları toplamı babanın şimdiki yaşına
geldiğinde baba 75 yaşında olacaktır.
Aslı, Hakan ve Tolga'nın bugünkü yaşları toplamı 72 dir.
Aslı, Hakan'ın bugünkü yaşına geldiğinde, Tolga'nın yaşı
da Hakan'ın yaşının iki katı olacaktır.
Buna göre, baba bugün kaç yaşındadır?
Buna göre Hakan'ın bugünkü yaşı kaçtır?
Çocuklar
4x
x
5x
4x
Cevap: 60
B) 16
x yıl
sonra
A
5x = 75
x = 15
4x = 60
b – a yıl sonra
C) 18
H
D) 24
E) 32
Cevap: C
T
a
b
c
b
2b – a
c+b–a
c + b – a = 2(2b – a)
a + c = 3b
a + b + c = 72 ⇒ 4b = 72
⇒ b = 18
Örnek 18:
Bir baba ile oğlunun yaşları toplamı 60 dir. Baba oğlunun
yaşındayken oğlunun doğmasına 12 yıl vardı.
Buna göre, oğlu doğduğunda baba kaç yaşındadır?
Baba
Oğlu
60 – x
x
x
–12
Cevap: 28
Buna göre bu konuşma hangi yılda yapılmıştır?
B) 2001
C) 2002
D) 2003
E) 2004
Cevap: B
Örnek 22:
Ahmet ile Hasan'ın bugünkü yaşları toplamı 56 dır. Hasan,
kendisinden daha yaşlı olan Ahmet'in yaşına geldiğinde ise
yaşları toplamı 88 olacaktır.
Buna göre Ahmet'in bugünkü yaşı kaçtır?
Özgür, Arda'ya yaşını sorduğunda "Ben senin yaşında iken
yıl 1970 idi. Sen benim yaşıma geldiğinde yıl 2016 olacaktır." cevabını alıyor.
A) 18
B) 27
C) 36
D) 45
İkisinin yaşları toplamı 32 arttıysa yaşları farkı 16 dir.
Buna göre, bu iki kişinin yaşları farkı kaçtır?
Cevap: 23
Birinin diğer kişinin yaşına gelmesi için yaşları farkı kadar yıl geçmesi gerektiğinden,
2016 – 1970 = 2(Yaşlar farkı)
23 = Yaşları farkı
Asya x + 20 yaşında iken Nuray(y + 5) yaşındaydı. Asya, Nuray'dan yaşça daha büyüktür. Asya, Nuray'ın yaşında iken Nuray x yaşında idi.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1977 yılında doğan bir matematikçi yaşını soran arkadaşına, "Bugünkü yaşım doğum yılının rakamlarının toplamına
eşittir." yanıtını veriyor.
1977 + (1 + 9 + 7 + 7) = 2001
Örnek 19:
Buna göre Nuray, Asya'dan kaç yaş küçüktür?
Örnek 21:
A) 2000
(60 – x) – x = x + 12
60 – 2x = x + 12
3x = 48
x = 16
44 – 16 = 28
4
A) 12
Ahmet
Hasan
x + 16
x
E) 54
Cevap: C
x + x + 16 = 56
x = 20
x + 16 = 36
Asya
Nuray
x + 20
y+5
y+5
x
x + 20 – (y + 5) = y + 5 – x
x – y + 15 = y – x + 5
y–x=5
y + 5 – x = y – x + 5 = 5 + 5 = 10
Öğretmen
Sorusu
x yıl
sonra
Baba
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Yaş Problemleri
1.
Konu Testi - 1
Yaşları farkı 2 olan iki kardeşin, 3 yıl sonraki yaşları
farkı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
5.
Buna göre, Aslı'nın bugünkü yaşı kaçtır?
E) 6
A) 6
Yaşları farkı değişmez 2 dir.
Yaşları toplamı 17 olan üç kişinin 2 yıl sonraki yaşları
toplamı kaçtır?
A) 19
B) 21
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
x + 3 = 2(x – 3)
x + 3 = 2x – 6
x=9
6.
2.
Aslı'nın 3 yıl sonraki yaşı, 3 yıl önceki yaşının 2 katıdır.
C) 23
D) 25
Ceren ve Demir'in bugünkü yaşları sırasıyla 4 ve 5 sayıları
ile orantılıdır. 3 yıl sonra yaşları toplamı 87 olacaktır.
Buna göre, Ceren'in bugünkü yaşı kaçtır?
A) 27
E) 27
17 + 2 . 3 = 23
B) 30
Ceren
C) 36
D) 42
E) 45
Demir
4x
5x
4x + 3
5x + 3
4x + 3 + 5x + 3 = 87
9x = 81
x = 9 ⇒ 4x = 36
3.
2011 yılında 12 yaşında olan bir kişi 2032 yılında kaç
yaşındadır?
A) 32
B) 33
C) 34
D) 35
7.
Buna göre, kaç yıl sonra Cem'in yaşı oğlunun yaşının
4 katı olur?
E) 36
A) 2
2032 – 2011 = 21 yıl sonra
12 + 21 = 33 yaşındadır.
4.
Cem'in bugünkü yaşı 28, oğlunun yaşı 4 tür.
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
28 + x = 4(4 + x)
x + 28 = 4x + 16
3x = 12
x=4
3
Bugünkü yaşları oranı
olan iki kardeşin yaşları farkı 24
7
tür.
8.
Yaşları farkı 3 olan iki kardeşin 4 yıl önceki yaşları toplamı
25 tir.
Buna göre, küçük kardeş bugün kaç yaşındadır?
Buna göre, küçük kardeşin bugünkü yaşı kaçtır?
A) 12
A) 13
B) 14
B) 15
C) 18
Küçük kardeş
Büyük kardeş
3x
7x
7x – 3x = 24 ⇒ x = 6
⇒ 3x = 18
D) 24
E)30
K1
K2
x+3
x
x–1
x–4
C) 15
D) 16
E) 17
x – 1 + x – 4 = 25 ⇒ 2x = 30 ⇒ x = 15
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Yaş Problemleri
9.
Konu Testi - 1
13. Bir grup öğrencinin bugünkü yaşları toplamı 270, dört yıl
Bir annenin yaşı kızının yaşının 6 katıdır.
9 yıl sonra annenin yaşı kızının yaşının 3 katı olacağına
göre, anenin bugünkü yaşı kaçtır?
önceki yaşları ortalaması 26 dır.
A) 30
A) 6
B) 32
C) 36
Anne
Kızı
6x
x
6x + 9
x+9
D) 40
Buna göre, bu grupta kaç öğrenci vardır?
E) 42
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
270
270
x = 26 + 4 & x = 30 & x = 9
6x + 9 = 3(x + 9) ⇒ 3x = 18 ⇒ x = 6
⇒ 6x = 36
14. Bir baba 5 yıl arayla doğmuş iki çocuğundan 7 yaşındaki
10. Bir annenin yaşı iki çocuğunun yaşları toplamının iki katıdır.
kızına "Sen doğduğunda benim yaşım ağabeyinin yaşının
6 katıydı." diyor.
10 yıl sonra çocukların yaşları toplamının annenin ya-
Buna göre, babanın bugünkü yaşı kaçtır?
4
şına oranı
olacağına göre, anne kaç yaşındadır?
5
A) 30
B) 32
Anne
C) 36
D) 40
A) 33
E) 44
Çocuklar
2x
x
2x + 10
x + 20
B) 34
C) 35
Baba
Ç1
Ç2
x
7
12
x–7
0
5
D) 36
E) 37
x – 7 = 6 . 5 ⇒ x = 37
x + 20
4
=
+
= +
2x + 10 5 & 5x 100 8x 40
x = 20
2x = 40
15. Merve ve Canberk'in 5 yıl sonraki yaşları toplamı 80, 5 yıl
önceki yaşları farkı 10 dur.
11. Musa'nın bugünkü yaşı 30 dur. Musa ablasının bugünkü
yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 81 olacaktır.
Buna göre, yaşı büyük olan Merve'nin yaşı kaçtır?
Buna göre, bu iki kardeşin yaşları farkı kaçtır?
A) 1
B) 2
Musa
C) 3
D) 5
A) 25
E) 7
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
M + C = 70
Ablası
M – C = 10
30
x
2M = 80
x
81 – x
M = 40
30 – x = x – (81 – x) ⇒ 30 – x = 2x – 81
3x = 111
x = 37
37 – 30 = 7
12. Oğuz, babasından 25, annesinden ise 22 yaş küçüktür.
16. Burcu "Kardeşimden 8 yaş büyüğüm" derken kardeşi " Be-
Oğuz, annesinin yaşına geldiğinde babası 67, yaşında
olacaktır.
nim yaşımın 3 katı ile ablamın yaşının toplamı 48 ediyor."
diyor.
Buna göre Oğuz'un bugünkü yaşı kaçtır?
C) 22
D) 24
E) 25
A) 10
A
B
x
x + 22
x + 25
Burcu
Kardeşi
x + 22
x + 44
x + 47
x+8
x
9. C
10. D
7.
8.
9.
8. C
11. E
6.
10.
7. C
12. B
13. D
14. E
15. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5.
11.
6. C
4.
12.
5. D
3.
13.
4. C
2.
E) 24
3x + x + 8 = 48 ⇒ x = 10 ⇒ x + 8 = 18
14.
15.
3. B
1.
D) 20
16.
2. C
16. C
6
C) 18
O
x + 47 = 67 ⇒ x = 20
Cevaplar
B) 14
17.
1. A
22
B) 20
18.
19.
20. ?
Cevaplar
A) 19
Buna göre, Burcu'nun yaşı kaçtır?
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Yaş Problemleri
1.
Konu Testi - 2
Bir baba ve üç çocuğu ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
hh Baba 72 yaşındadır.
4.
şının
hh Çocukların yaşları toplamı babanın yaşına eşittir.
A) 4
Buna göre, büyük çocuğun yaşı kaçtır?
B) 28
C) 30
D) 32
Baba
C1
C2
C3
3x – 3
x – 10
x
x+7
1
ine eşittir.
5
1
1
ü Cemil'in yaşının üne, Ergin'in ya4
3
Engin, Cemil'den 4 yaş büyük olduğuna göre, Burcu
kaç yaşındadır?
hh Ortanca çocuk büyüğünden 7 yaş küçük, küçüğünden
ise 10 yaş büyüktür.
A) 25
Burcu'nun yaşının
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
B C E
4= 3 = 5=k
B = 4k, C = 3k, E = 5k
5k – 3k = 4 ⇒ k = 2
⇒ B = 4k = 8
E) 35
3x – 3 = 72 ⇒ x = 25
⇒ x + 7 = 32
5.
2.
1982 yılında doğan Canan'ın 2007 yılındaki yaşı x, 2010
yılında 15 yaşında olan Bilge'nin doğum yılı y dir.
 Bir yıl önce babanın yaşı oğlunun yaşının 9 katı idi.
Buna göre baba bugün kaç yaşındadır?
Buna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 2020
B) 2022
C) 2025
 Bir babanın şimdiki yaşı oğlunun şimdiki yaşının karesine eşittir.
D) 2027
A) 36
E) 2030
x = 2007 – 1982 = 25
y = 2010 – 15 = 1995
x + y = 2020
B) 49
Baba
Oğlu
x2
x
x2 – 1
x–1
C) 64
D) 81
E) 100
x2 – 1 = 9(x – 1)
3.
x2 – 9x + 8 = 0
x = 8 ⇒ x2 = 64
Ali, Bekir, Can, Deniz ve Ercan isimli beş kardeşin yaşları
ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
hh Kardeşlerin ikisi ikizdir.
hh Ali, Bekir'in yaşına geldiğinde hepsinin yaşları toplamı
55 oluyor.
hh Bekir, Can'ın yaşına geldiğinde hepsinin yaşları toplamı 60 oluyor.
hh Deniz, Ercan'ın yaşına geldiğinde hepsinin yaşları
toplamı 75 oluyor.
hh İkiz olan kardeşlerden biri Can'dır ve hepsinin şimdiki
yaşları toplamı 50 dir.
En büyük kardeş Ercan olduğuna göre, Bekir'in bugünkü yaşı kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
A
B
C
D
E
x
x+1
x+3
x+3
x+8
x + x + 1 + x + 3 + x + 3 + x + 8 = 50
5x + 15 = 50 ⇒ x = 7 ⇒ x + 1 = 8
6.
a, b, c, d ve e sırasıyla Arif, Barış, Cengiz, Dilek ve Engin
isimli 5 kişinin yaşlarını göstermek üzere,
hh a – b = b – c = c – d = d – e
hh Bu beş kişinin 7 yıl sonraki yaşları toplamı 95 dir.
hh En büyük kişi en küçük kişiden 8 yaş büyüktür.
Buna göre, Arif'in yaşı, Engin'in yaşına geldiğinde bu
beş kişinin yaşları toplamı kaç olur?
A) 90
B) 96
C) 100
D) 110
E) 120
a – b = b – c = c – d = d – e ise a, b, c, d, e ardışık sayılar demektir.
a + b + c + d + e = 95 – 7 . 5
a + b + c + d + e = 60
5 . c = 60
c = 12
a = 8, b = 10, c = 12, d = 14, e = 16
O halde yaşlar toplamı 8 yıl sonra 60 + 5 . 8 = 100 olur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Yaş Problemleri
7.
Konu Testi - 2
Burcu'nun yaşı ile Cüneyt'in yaşının 7 yıl önceki çarpımı 13
tür.
10. Bir ailede iki çocuğun yaşları a ile b, baba ve annenin yaşları ise sırasıyla ikişer basamaklı ab ile ba sayılarıdır.
Buna göre yaşlarının 2 yıl sonraki toplamı kaçtır?
A) 30
B) 32
C) 34
D) 36
Babanın yaşı annenin yaşından çocukların yaşları toplamı kadar büyük olduğuna göre, babanın yaşı kaçtır?
E) 38
A) 65
(B – 7) (C – 7) = 13
B – 7 = 1, C – 7 = 13
B = 8, C = 20 olur.
8 + 2 + 20 + 2 = 32
8.
B) 6
B
x
3x
3x
25
E) 45
tedir.
hh Çocuklar 3 er yıl arayla doğmuştur.
C) 10
D) 12
hh Annenin yaşı küçük ve büyük çocuğun yaşları farkının
6 katıdır.
E) 15
hh Annenin yaşı çocukların yaşları toplamının 2 katının 6
fazlasıdır.
⇒ 3x – x = 25 – 3x
x=5
Buna göre, küçük çocuk kaç yaşındadır?
A) 1
9.
D) 54
11. Bir anne ve üç çocuğunun yaşlarıyla ilgili şunlar bilinmek-
Buna göre, Cömert'in bugünkü yaşı kaçtır?
C
C) 56
ab = ba + a + b
10a + b = 10b + a + a + b
10b = 8a
5b = 4a
ab = 54
Cömert ve Bülent'in yaşlarıyla ilgili şunlar bilinmektedir.
1
hh Cömert'in yaşının Bülent'in yaşına oranı tür.
3
hh Cömert'in yaşı Bülent'in yaşına geldiğinde Bülent'in
yaşı 25 olacaktır.
A) 5
B) 63
Aşağıdaki şekilde gösterilen düzenek birbirine lastikle bağlanmış içlerinde Ali, Bekir, Canan, Demir ve Ertuğrul isimli
öğrencilerin yaşları yazılı toplardan oluşmuştur.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A
Ç1
Ç2
Ç3
y
x
x+3
x+6
y = 6 . 6 = (3x + 9)2 + 6 ⇒ 36 = 6x + 24 ⇒ x = 2
B
C
A
12. Dokuz kardeşten oluşan bir toplulukta kardeşler yanyana
sıralanmış ve yakalarına rastgele 1 den 9 a kadar numaralar takılmıştır.
E
Bu kardeşler küçük üçüzler, ortanca üçüzler ve büyük
üçüzler şeklinde isimlendirilmiştir.
D
Bu düzenekteki topların yeri lastikler koparılmadan değiştirildiğinde aşağıdaki düzenleme oluşmuştur.
hh 3 nolu kardeş ortanca üçüzlerdendir.
hh 1 ve 6 nolu kardeşler aynı üçüz gruba aittir.
4
hh Büyük üçüzlerin numaraları tek sayılardır.
9
7
Buna göre aşağıdakilerden hangisi küçük üçüzlerden
birinin numarası olamaz?
15
A) 1
E) 5
6.
8. A
9. B
10. D
11. B
12. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5.
7.
7. B
4.
8.
9.
6. C
3.
10.
11.
5. C
2.
B
4
3
12.
4. C
8
1.
E) 8
5
B
6
7
B
8
9
1 ve 6 nolu kardeşler aynı üçüz gruba ait olduğundan 5, 7, 9 nolu kardeşler büyük ücüzlerdir.
Buna göre 7 nolu kardeş küçük ücüz olamaz.
A = 7, B = 10, C = 9, D = 15, E = 4
Demir Ali'nin yaşında iken yani 8 yıl önce Bekir 10 – 8 = 2 yaşındaydı.
Cevaplar
2
13.
14.
3. D
D) 4
O
1
15.
16.
2. A
C) 3
D) 7
17.
1. D
B) 2
C) 4
Ortanca üçüzler "O" küçük üçüzler "k", büyük üçüzler "B" ile gösterilmiştir.
Buna göre, Demir'in yaşı Ali'nin yaşında iken Bekir'in
yaşı kaçtır?
A) 1
B) 2
18.
19.
20. ?
Cevaplar
10
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / İşçi – Havuz Problemleri
hhİşçİ ve Havuz Problemlerİ
Örnek 24:
İşçi veya havuz problemlerinin çözümünde birim zamanda yapılan iş miktarından faydalanılır.
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
2
Bir işin tamamını 12 günde bitirebilen bir işçi işin ünü
3
kaç günde bitirebilir?

hh Ali bir işin tamamını tek başına a saatte Burak aynı işin tamamını tek başına b saatte yapsın.
1
1
dır.
a
1
• Burak'ın bir saatte bitirdiği iş miktarı dir.
b
• Ali'nin bir saatte bitirdiği iş miktarı
• Ali ile Burak birlikte bir saatte bu işin
x
2
x = 12 . 3 = 8
1 1
+ sini yapar.
a b
4
Bir işçi işin sini 8 günde yaparsa tamamını kaç günde
7
yapar?

• Ali ile Burak birlikte işin tamamını x saatte yaparsa;
1 1
x . c + m = 1
a b
bağıntısı elde edilir.
4
7
8
D.O 1
x
4
7
x . 7 = 8 & x = 8 . 4 = 14
Örnek 23:
Bir işin tamamını Aylin 20 günde, Burcu 40 günde yapabilmektedir.
Cevap: 8, 14
Not
Bir işin
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

12
2
D.O 3
x.
Aylin 1 günde işin kaçta kaçını yapar?
1
20
a
sini x günde yapan bir işçi aynı işin tamamını
b
b
günde yapar.
a

Burcu 1 günde işin kaçta kaçını yapar?
1
40

Aylin 1 gün, Burcu 2 gün çalışırsa işin kaçta kaçı biter?
1
1
1
1
2
1
20 + 2 . 40 = 20 + 20 = 20 = 10

Aylin ve Burcu ikisi birlikte çalışmaya başladıktan 4 gün
sonra işin kaçta kaçı biter?
Örnek 25:
Önder bir işin tamamını 12 saatte, Cansu aynı işin tamamını 24 saatte yapabiliyor.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

İkisi birlikte işin tamamını kaç saatte yapar?
1
1
3
e 12 + 24 o . x = 1 & 24 . x = 1
(2)
1
1
1
1
3
20 . 4 + 40 . 4 = 5 + 10 = 10
x
& 8 = 1& x = 8
(2)

Aylin 5 gün, Burcu 8 gün çalışırsa işin kaçta kaçı kalır?

1
1
1 1
9
5 . 20 + 8 . 40 = 4 + 5 = 20 si yapılır.
9
11
⇒ 1 - 20 = 20 si kalır.
İkisi birlikte işin
1
ünü kaç saatte yapar?
4
1
1
1
e 12 + 24 o . x = 4 & (2 + 1) . x = 6
(2)
(1)
(6)
x=2
Öğretmen
Sorusu
Cevap: 8, 2
Bir motorsikletin 2 kullanılan ve 1 yedek lastiği vardır. Lastiklerin
üçü de kullanılmamıştır. Bu lastikler ön lastik olarak kullanıldığında 45 km, arka tekerlek olarak kullanılırsa 36 km yol gidebiliyor.
Buna göre, yedek lastikte kullanılarak bu motorsiklet ile en
fazla kaç km yol gidilebilir?
x $f
1
1
+
=1
45 36 p
(4)
x$
(5)
9
=1
180
x = 20
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / İşçi – Havuz Problemleri
Örnek 26:
Örnek 30:
x
x
günde, Seydi aynı işi günde bitirmektedir.
3
4
İkisi birlikte aynı işi 3 günde bitirebildiklerine göre, x kaçtır?
Murat ile Gökhan bir işi sırasıyla 4 ve 12 günde tamamlamaktadır. Beraber işe başlayıp 1 gün çalıştıktan sonra Murat işi bırakıyor.
Özgür bir işi
1 1
3 4
3 $ f x + x p = 1 & 3a x + x k = 1
3 4
21
& x = 1 & x = 21
Cevap: 21
Buna göre, kalan işi Gökhan kaç günde yapar?
1
1
1
1
1 $ e 4 + 12 o + 12 $ x = 1
(3)
(1)
(1)
Cevap: 8
(12)
(3 + 1) + x = 12
x=8
Örnek 27:
Deniz bir işin tamamını 20 günde, Deniz ve Engin aynı işin
tamamını 15 günde yapıyor.
Buna göre, Engin aynı işin tamamını kaç günde yapar?
1
1
15 15
15
3
15 $ a 20 + a k = 1 & 20 + a = 1 & a = 1 - 4
15 1
& a =4
Cevap: 60
Örnek 31:
Ayşe ile Bülent bir işi birlikte çalışarak 20 saatte yapabiliyor. Birlikte işe başlayıp 5 saat çalıştıktan sonra Canan işe
başlayıp üçü birlikte 10 saat çalıştıktan sonra işi bitiriyorlar.
Buna göre, Canan işin tamamını kaç saatte yapar?
& a = 60
1
1
1
20 $ 5 + a 20 + x k $ 10 = 1
3
15 10
10
20 + x = 1 & x = 1 - 4
10 1
& x =4
Örnek 28:
1
1
Arda bir işin
sini 6 saatte, Berk aynı işin
ünü 4 saatte
2
3
yapabiliyor.
Cevap: 40
& x = 40
Buna göre ikisi birlikte aynı işin tamamını kaç saatte
yapar?
2
Arda işin tamamını 1 . 6 = 12 saatte yapar.
3
Berk işin tamamını 1 . 4 = 12 saatte yapar.
1
1
2
x $ a 12 + 12 k = 1 & x $ 12 = 1 & x = 6
Cevap: 6
Örnek 32:
Kapasiteleri eşit 3 işçinin 12 günde yapabildiği bir işi
aynı kapasiteli 4 işçi kaç günde yapar?
3 işçi → 12 günde
T.O 4 işçi → x
Cevap: 9
4x = 3 . 12 ⇒ x = 9
Örnek 29:
Ceren ile Pelin bir işi birlikte 12 günde bitirebilmektedir. Ce2
ren 6 gün, Pelin 4 gün çalışırsa işin i bitmektedir.
5
Buna göre, Ceren bu işin tamamını tek başına kaç günde bitirebilir?
–4
1 1
1
c + p = 12
6 4 2
c+p=5
2 -1 2
2
1
c = 3 + 5 & c = 15 & c = 30
(5)
10
(3)
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 30
Örnek 33:
Asya bir işi 6 saatte yapabilmektedir.
Asya çalışma hızını 2 katına çıkarırsa aynı işi kaç saatte
yapar?
T.O
V → 6 saat
2V → x
6v = 2V . x ⇒ x = 3
Cevap: 3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / İşçi – Havuz Problemleri
Örnek 34:
Örnek 37:
Kapasiteleri eşit olan üç işçi 2 şer saat arayla çalışmaya
başlayarak işin tamamını 7 saatte bitirebiliyor.
Ahmet bir işi 12 günde, Yasin 18 günde tamamlıyor.
1
oranında azaltılır, Ahmet'in ça4
lışma hızı % 50 artırılırsa, ikisi birlikte bu işi kaç günde
tamamlar?
Yasin'in çalışma hızı
Bu işçilerden biri bu işi tek başına kaç saatte bitirebilir?
Cevap: 15
1
1 1
1 1 1
x $ 2 +ax + xk$ 2 +ax + x + xk$ 3 = 1
2 4 9
15
x + x + x = 1 & x = 1 & x = 15
V
→ 18 günde
100 → 12 günde
3V
T.O 4 → x
T.O 150 → y
150y = 100 . 12 ⇒ y = 8
3V
x $ 4 = 18V & x = 24
4
1
1
e 24 + 8 o $ t = 1 & 24 $ t = 1 & t = 6
Örnek 35:
(3)
Arif'in çalışma hızı, Fatih'in çalışma hızının 4 katıdır. İkisi
birlikte bir işi 20 günde yapıyor.
hhHAVUZ PROBLEMLERİ
A
Buna göre, Fatih tek başına kaç günde yapar?
A
Cevap: 100
F
4V
V
$ Çalışma hızları
x
4x
$ Bitirme süreleri
B
a 1x + 41x k $ 20 = 1 & 45x $ 20 = 1 & x = 25
i A musluğu boş bir havuzu tek başına a saatte dolduruyor ise
& 4x = 100
Örnek 36:
i
Bir işi 5 kadın işçi 20 günde, 5 erkek işçi ise 30 günde bitiriyor.
Buna göre, 2 kadın ve 2 erkek işçi aynı işi birlikte kaç
günde bitirir?
B) 30
C) 45
1
sını doldurur.
a
B musluğu dolu bir havuzu tek başına b saatte boşaltıyor
1
ise 1 saatte havuzun sini boşaltır.
b
A ve B muslukları birlikte açılırsa boş havuzun tamamını t
saatte dolduruyor ise
1 saatte havuzun
i
A) 50
Cevap: 6
D) 40
E) 20
1
1
c - m . t = 1
a
b
bağıntısı elde edilir.
Örnek 38:
Bir havuza açılan iki musluktan birincisi boş havuzu 4 saatte
dolduruyor. İkinci musluk dolu havuzu 12 saatte boşaltıyor.
5 kadın → 20 günde
T.O 2 kadın → x
2x = 100 ⇒ x = 50
5 erkek → 30 günde
T.O 2 erkek → y
Cevap: B
2y = 150 ⇒ y = 75
1
1
5
e 50 + 75 o $ t = 1 & 150 $ t = 1 & t = 30
Öğretmen
Sorusu
(3)
(2)
Havuz boş iken iki musluk aynı anda açıldığında havuz
kaç saatte dolar?
Cevap: 6
1
1
2
e 4 - 12 o $ t = 1 & 12 $ t = 1
(3)
(1)
&t=6
Bir işi iki işçiden biri tek başına 9 günde ikinci işçi tek başına 6
günde bitirebilmektedir.
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + =1
6 9 6 9 6 9 6
Önce ikinci işçi işe başlayarak 1 gün arayla biri çalışıp diğeri dinlenirse bu iş kaçıncı günün sonunda biter?
7. gün sonunda biter.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / İşçi – Havuz Problemleri
Örnek 39:
Örnek 43:
Bir havuzu dolduran A ve B muslukları sırasıyla saatte 12
litre ve 18 litre su akıtıyor. Havuzun dibindeki C musluğu ise
havuzdan saatte 10 litre su boşaltıyor.
Aşağıda verilen havuzlarda muslukların yanında yazan
sayılar o musluğun havuzu doldurabileceği veya boşaltabileceği kısmını kaç saatte doldurup veya boşaltacağını
göstermektedir.
Buna göre 800 litre hacmindeki bir havuz boşken üç
musluk aynı anda açılırsa havuz kaç saatte dolar?
(12 + 18 – 10) . t = 800 ⇒ 20t = 800 ⇒ t = 40
Cevap: 40
Buna göre havuzlar kaç saatte dolar?

A
4
B
Örnek 40:
12
Boş bir havuzu A ve B muslukları dolduruyor, havuzun dibindeki C musluğu ise dolu havuzu boşaltıyor. A, B ve C
musluklarından birim zamanda akan su miktarları sırasıyla
3, 4 ve 2 sayıları ile doğru orantılıdır.
Üç musluk aynı anda açıldığında havuz 12 saatte dolduğuna göre, A musluğu boş havuzu kaç saatte doldurur?
A
3V
B
4V
C
2V
Cevap: 20
Havuzun tamamı 48 litre olsun. A musluğundan saatte 12 litre su
24
havuza akar. B musluğundan saatte 12 = 2 litre su dışarı atılır.
24
24
12 + 12 - 2 = 2 + 2, 4 = 4, 4

A
6
4
C
B
(3V + 4V – 2V) . 12 = 60V havuzun hacmi
60V
A musluğu havuzu 3V = 20 saatte doldurur.
12
Havuzun bir bölmesi 12 litre olsun.
Örnek 41:
Bir musluk boş bir havuzu 15 saatte doldurmaktadır.
Musluktan birim zamanda akan su miktarı % 25 azaltılırsa boş havuz kaç saatte dolar?
100 → 15 saat
75 → x
T.O
Cevap: 20
Örnek 44:
75x = 15 . 100
x = 20
Şekildeki I. havuz fıskiyeden akan,
diğerleri de üstteki havuzdan taşan
su ile dolmaktadır. Havuzların hacmi sırasıyla V, 2V ve 6V dir.
Örnek 42:
Boş bir havuzu özdeş iki musluk beraber 12 saatte dolduruyor.
Birinci musluğun kapasitesi değiştirilmeden ikinci
musluğun kapasitesi 2 katına çıkarılırsa bu iki musluk
boş havuzu kaç saatte doldurur?
Muslukların kapasiteleri V olsun.
Havuzun hacmi
(V + V) . 12 = 24V dur.
I
II
V
2V
(V + 2V) . t = 24V ⇒ t = 8
12
A musluğu saatle 36 = 6 litre
6
24
B musluğu saatle 12 = 2 litre
36
C musluğu saatle 4 = 9 litre akıtır.
12
24
12 24 4 24 172
+
=
+
= +
= 65
9 + 6 9 + 6 - 2 15 13 5 13
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
I. havuz 2 saatte dolduğuna
göre, fıskiyeden 10 saat su aktığında III. havuzun kaçta kaçı
dolmuştur?
Cevap: 8
Cevap: 4, 4, 172
65
I
II
III
Cevap:
I. havuz 10 litre, II. havuz 20 litre, III. havuz 60 litre olsun. Fıskiyeden 1
10
saatte 2 = 5 su akmaktadır. 10 saatte 10 . 5 = 50 litre su akar yukarıdan
aşağıya doğru pay edilirse 10, 20, 20 litre olur.
20 1
60 = 3 ü doludur.
1
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / İşçi – Havuz Problemleri
1.
Konu Testi - 3
4
Bir işin tamamını 36 günde bitirebilen bir işçi işin
9
unu kaç günde bitirir?
A) 24
B) 21
1
C) 20
D) 18
5.
E) 16
A) 36
x
T.O
4
x = 9 $ 36 = 16
Gönül bir işin
te yapar?
A) 20
B) 35
C) 32
D) 30
E) 28
36 günde
4
D.O 9
2.
Bir musluk boş bir havuzu 24 saatte doldurmaktadır.
1
Musluktan akan su miktarı
oranında azaltılırsa boş
4
havuz kaç saatte dolar?
1
24 saat
3
4
x
3x
4 = 24 & x = 32
1
sını 5 saatte yaparsa yarısını kaç saat6
B) 18
C) 16
D) 15
6.
Baran bir işin tamamını 4 saatte, Derya aynı işin tamamını
12 saatte yapabilmektedir.
Buna göre, ikisi birlikte aynı işi kaç saatte yapabilir?
E) 12
A) 1
1
6
İşin tamamı 1 $ 5 = 30 saatte yarısı 30 $ 2 = 15 saatte yapılır.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1
1
4
e 4 + 12 o $ x = 1 & 12 $ x = 1 & x = 3
(3)
3.
Arif bir işin tamamını 10 günde, Can aynı işin tamamını 30
günde yapabilmektedir.
7.
İki musluk aynı anda açıldığında havuzun tamamı 6 saatte dolduğuna göre B musluğu boş havuzu kaç saatte
doldurur?
Buna göre Arif 1 gün, Can 2 gün çalışırsa işin kaçta
kaçı biter?
A)
1
12
B)
1
6
C)
1
4
D)
1
3
E)
5
12
A) 4
1
1
1
1
5
1
10 $ 1 + 30 $ 2 = 10 + 15 = 30 = 6
(3)
A musluğunun boş havuzu doldurma süresi B musluğunun
boş havuzu doldurma süresinin 3 katıdır.
A
3x
(2)
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
B
x
1 1
6 2
8
6 a x + 3x k = 1 & x + x = 1 & x = 1
&x=8
4.
1
1
ünü 4 günde, Aslı aynı işin ünü 3 günde
3
4
yapabilmektedir.
Aylin bir işin
Buna göre birer gün çalışırlarsa işin kaçta kaçı yapılmış olur?
A)
1
12
B)
1
6
3
Aylin → 1 $ 4 = 12
4
Aslı → 1 $ 3 = 12
1
1
2
1
12 + 12 = 12 = 6
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
8.
Boş bir havuza açılan iki musluktan birincisi boş havuzu 6
saatte doldurmakta havuzun dibinde bulunan ikinci musluk
dolu havuzu 24 satte boşaltmaktadır.
Buna göre, iki musluk aynı anda açıldığında havuzun
1
ü kaç saatte dolar?
4
3
5
A) 1
B)
C) 2
D)
E) 3
2
2
1
1
1
e 6 - 24 o $ t = 4
(4)
3
1
24 $ t = 4 & t = 2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / İşçi – Havuz Problemleri
9.
Konu Testi - 3
13. Ali bir işin 1 ünü yaptıktan sonra, aynı hızla 6 gün daha
Asya bir işi 10 saatte yapmaktadır.
3
Buna göre, Asya'nın çalışma hızı 4 kat arttırılırsa aynı
iş kaç saatte yapılır?
A) 1
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
çalışarak kalan işin
Buna göre, Ali işin tamamı aynı çalışma hızıyla kaç
günde yapar?
E) 3
V → 10 saat
5V → x
T.O
1
sini yapmıştır.
2
A) 30
5Vx = 10V ⇒ x = 2
B) 24
C) 21
D) 18
E) 16
1
2
1
Ali 3 ünü yaparsa geriye 3 ü kalır. Kalan işin yarısı olan 3 ünü 6 günde
3
yapıyor ise tamamını 1 $ 6 = 18 günde yapar.
14. Anıl bir işin tamamını 6 günde, Ecrin aynı işin tamamını 18
10. Bir musluk dolu bir su deposunu 16 saatte tamamen bo-
günde yapabiliyor. İkisi birlikte 3 gün çalıştıktan sonra Anıl
işi bırakıyor.
şaltmaktadır.
Musluktan birim zamanda akan su miktarı % 20 azaltılırsa dolu su deposu kaç saatte boşalır?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 20
Buna göre, kalan işi Ecrin kaç günde bitirir?
A) 2
E) 24
C) 4
D) 6
E) 8
1
1
1
e 6 + 18 o $ 3 + 18 $ x = 1
100 → 16
80 → x
T.O
B) 3
(3)
x
12
18 + 18 = 1 & x + 12 = 18 & x = 6
80 . x = 100 . 16 ⇒ x = 20
15. Bir işi Damla 15 saatte, Ozan 12 saatte yapabilmektedir.
Ozan işe başladıktan 6 saat sonra Damla işe başlıyor ve
beraber işi bitiriyorlar.
11. Eşit kapasiteli 20 işçinin 8 günde yapabildiği bir işi eşit
kapasiteli 16 işçi kaç günde yapar?
B) 8
C) 10
Buna göre, işin tamamı kaç saatte bitmiştir?
D) 12
E) 15
A)
B) 10
C)
32
3
20 işçi → 8 günde
16 işçi → x
1
1
1
12 $ 6 + e 12 + 15 o $ x = 1
16 . x = 20 . 8 ⇒ x = 10
1 9
2 + 60 x = 1
3x 1
10
10
28
20 = 2 & x = 3 & 3 + 6 = 3
(5)
12. Bir işi Doğuş 2x günde, Bekir ise aynı işi x günde bitirebil-
C) 7
D) 8
A) 6
E) 9
C) 10
D) 12
9.
8. C
9. C
8.
10.
7. D
10. D
7.
11.
6. C
11. C
6.
12.
5. C
12. E
13. D
14. D
15. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5.
13.
4. B
4.
14.
15.
3. B
3.
16.
2. D
2.
B) 8
E) 14
1
1 1
x $ 2 +ax + xk$ 4 = 1
2 8
x+x =1
10
x = 1 & x = 10
&x=9
1.
(4)
Buna göre bir işçi işin tamamını kaç saatte bitirebilir?
1
1
2x $ 8 + x $ 5 = 1
4 5
9
x+x =1 & x =1
16. C
Cevaplar
35
3
işi toplam 6 saatte bitirmektedir
Buna göre, x kaçtır?
B) 6
E)
16. Eşit kapasideki iki işçi bir işe 2 şer saat arayla başlayarak
mektedir. Doğuş 8 gün, Bekir 5 gün çalıştığında işin tamamı bitmektedir.
A) 4
D) 11
17.
1. E
T.O
14
28
3
18.
19.
20. ?
Cevaplar
A) 6
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / İşçi – Havuz Problemleri
1.
Konu Testi - 4
Özge ve Mehmet isimli iki işçi ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir.
4.
Emre'nin 4 günde yaptığı bir işi, Kaan 6 günde yapabilmektedir.
hh Özge'nin çalışma hızının 2 katı, Mehmet'in çalışma
hızının 3 katına eşittir.
Emre ile Kaan bu işi birlikte 60 gün çalışarak bitirebildiğine göre, aynı işi Emre tek başına kaç günde bitirir?
hh İkisi birlikte işin tamamını 30 günde bitirmektedir.
A) 60
B) 75
Buna göre, işin tamamı Özge kaç günde bitirir?
A) 32
B) 40
C) 45
Özge
Mehmet
3V
2V
D) 50
E) 75
kapasite →
150V
Özge işin tamamını 3V = 50 günde bitirir.
5.
Bir terzi atölyesinde çalışan bir usta ve bir çırak ile ilgili
aşağıdakiler bilinmektedir.
Buna göre 84 ceket siparişini 1 usta ve 1 çırak toplam
kaç günde dikebilir?
C) 40
D) 42
A) 5
4 3 2
x+x+x+
1 tane
T.O 2 tane
6.
Soru (adet)
Cemil
180
Demir
60
Saat
2,5
Bu iki öğrenci aynı anda soru çözmeye başladığından
kaç saat sonra toplam 1020 soru çözebilirler?
2,5 saat
D.O 1 saat
C) 10
180 soru
x
5
2 x = 180 & x = 72
C) 6
D) 6,5
E) 7
D) 12
2 saat
E) 14
60 soru
D.O 1 saat
y
2y = 60 ⇒ y = 30
4
x = 1 & x = 13
→ 13 saat
→a
2a = 13 ⇒ a = 6,5
Aşağıdaki grafikte zamana bağlı olarak Cemil ve Demir
isimli iki öğrencinin çözebildikleri soru sayıları verilmiştir.
B) 8
B) 5,5
a 1x + 1x + 1x + 1x k $ 1 + a 1x + 1x + 1x k $ 1 + a 1x + 1x k $ 1 + 1x $ 4 = 1
& x = 40
A) 6
Boş bir havuzu dolduran 4 musluk için aşağıdaki bilgiler
verilmektedir.
Buna göre musluklardan 2 tanesi aynı havuzun tamamını kaç saatte doldurur?
E) 48
42
a 64 + 53 k $ x = 84 & 20
$ x = 84
2
2V
hh Havuzun tamamı bu koşullarla 7 saatte dolmaktadır.
6
Bir usta 1 günde 4 ceket,
3
Bir çırak 1 günde 5 ceket dikebilmektedir.
3.
3V
hh Muslukların tamamı açıldıktan sonra her saatin sonunda bir musluk kapanmaktadır. Ve son musluk kaldığında havuz dolana kadar açık kalmaktadır.
hh Çırak 5 günde 3 ceket dikebilmektedir.
B) 36
Kaan
6 gün
E) 120
hh Musluklar özdeştir.
hh Usta 4 günde 6 ceket dikebilmektedir.
A) 32
Emre
4 gün
D) 100
olur.
300V
(3V + 2V) . 60 = 300V işin tamamı ise Emre tek başına 3V = 100 günde bitirir.
(3V + 2V) . 30 = 150V işin tamamıdır.
2.
C) 80
Bir fabrikada üretilen bir ürün beş aşamada meydana gelmektedir. Aşağıdaki tabloda, her bir aşamanın bir işçi tarafından bitirme süresi gösterilmiştir.
Aşama
1.
2.
3.
4.
5.
Süre (gün)
3
8
8
12
16
Bir ürünü bir işçi tek başına yapmaya başlamış ve 1. aşamayı bitirmiştir. Daha sonra bu işçiye üç işçi daha katılmış
ve kalan aşamaları birlikte bitirmişlerdir.
Buna göre, bu ürün toplam kaç günde meydana gelmiştir?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
Aşama
1.
2.
3.
Bitiş süresi
3
8
4=2
8
4=2
4.
E) 17
5.
Toplam
12
16
4 =3 4 =4
14
(72 + 30) . t = 1020 ⇒ t = 10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / İşçi – Havuz Problemleri
7.
Konu Testi - 4
Bir kova 5 dakikada a litre su akıtan bir muslukla 4 dakikada, a dakikada 5 litre su akıtan başka bir muslukla ise 16
dakikada dolmaktadır.
10. 8 işçi günde 9 saat çalışarak bir işi 10 günde tamamlı-
yorsa 4 işçi günde 12 saat çalışarak aynı işi kaç günde
tamamlar?
Buna göre, kova kaç litre su almaktadır?
A) 4
B) 5
C) 6
A) 12
D) 7
E) 8
a
5 dakikada a litre akıyor ise 1 dakikada 5 litre, a dakikada 5 litre akıyor
5
ise 1 dakikada a litre su akar.
a
5
2
5 $ 4 = a $ 16 & a = 100 & a = 10
10
Kovanın hacmi 5 $ 4 = 8 litredir.
8.
B) 15
C) 16
D) 18
E) 20
İşin tamamı 8 . 9 . 10 = 720 saatlik bir iştir. O halde
720 = 4 . 12 . x
x = 15 olur.
11. B ve C muslukları kapalı iken A musluğu boş havuzu 8 saatte dolduruyor. A musluğu kapalı iken dolu havuzu dibindeki C musluğu tek başına 24 saatte boşaltıyor. Havuzun
yarısında bulunan B musluğu tek başına kendi seviyesine
kadar 7 saatte boşaltıyor.
Makina ve insan gücü olmak üzere iki aşamada üretilen bir
otomobil ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
hh Üretim kısmındaki her bir işçi çalıştığı her saat için 30
dolar ücret almaktadır.
A
hh Üretim kısmındaki her bir makine çalıştırıldığı her saat
için 200 dolar masraf çıkarmaktadır.
B
hh Üretim kısmındaki eşit kapasiteli her bir işçi bir otomobili tek başına 240 saatte üretmektedir.
C
hh Üretim kısmındaki eşit kapasiteli her bir makine bir
otomobili tek başına 48 saatte üretebilmektedir.
Bu üç musluk aynı da açıldığında boş olan bu havuz
kaç saatte dolar?
hh Bir otomobilin üretim maliyeti işçilik hariç 15.000 dolardır.
A) 40
Buna göre 2 makina ve 2 işçi aynı anda birlikte işe başlayarak ürettikleri 1 otomobilin fabrikaya maliyeti kaç
dolardır?
B) 42
C) 46
D) 48
E) 50
Havuzun bir bölmesi 168 litre olsun. 1 saatte akan su miktarları
336
168
336
A " 8 = 42, B " 7 = 24, C " 24 = 14
168
168
+
= + =
42 - 14 42 - 24 - 14 6 42 48
A) 18 000 B) 20 000 C) 24 000 D) 24 200 E) 25 200
1
1
1
1
12
a 240
+ 240 + 48 + 48 k $ t = 1 & 240 $ t = 1 & t = 20
15.000 + 20 . 30 + 20 . 30 + 20.200 + 20.200 = 24200
Bir kurumda çalışan iki memur ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
12. Şekildeki I nolu kabın
hacmi II nolu kabın hacminin 6 katıdır. I nolu kabın tamamını A musluğu
30 dakikada, II nolu kabın tamamını ise B musluğu 20 dakikada boşaltıyor.
hh Birinci memur dakikada 6 dosya, ikinci memur dakikada 4 dosya onaylamaktadır.
hh Bu iki memur gelen dosyaları eşit bölüşüp aynı anda
çalışmaya başlamıştır.
hh Birinci memur onaylama işlemini 14 dakika önce bitirmiştir.
E) 360
6.
8. D
9. A
10. B
11. D
12. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5.
7.
7. E
4.
8.
9.
6. B
3.
10.
11.
5. D
2.
12.
4. D
16
1.
B) 7
C)
22
3
D)
23
3
E) 8
II nolu kabın hacmi 20 L olsun. I nolu kabın hacmi 120 L olur. O halde A
musluğundan dakikada 4 L su akar. B musluğundan dakikada 1 litre su
akar. O halde II nolu kap
20
(4 – 1) . t = 20 ⇒ t = 3 dakikada dolar.
t . 6 = (t + 14).4
6t = 4t + 56
t = 28
Toplam dosya sayısı = 2 . 6 . 28 = 336
Cevaplar
20
3
13.
14.
3. C
D) 352
A)
15.
16.
2. C
C) 340
B
II
17.
1. D
B) 338
A
I nolu kabın tamamı dolu iken tüm musluklar açılırsa II
nolu kap kaç dakikada dolar?
Buna göre, bu iki memur toplam kaç dosya onaylamıştır?
A) 336
I
18.
19.
20. ?
Cevaplar
9.
YGS // MATEMATİK
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Hız Problemleri
FÖY NO
18
hhHIZ PROBLEMLERİ
Örnek 3:
Hareket problemleri; hareket eden bir aracın veya hareketlinin
Bir araç 120 km/saat hızla 15 dakikada kaç km yol alır?
sabit hızla belirli sürede aldığı yol miktarının hesaplanması esasına dayanır.
Cevap: 30
15 1
15 dakika = 60 = 4 saat
1
x = 120 $ 4 = 30 km
Bu hesaplama
X: Yol
V: Hız
t: Zaman (süre)
olmak üzere,
Yol = Hız . Zaman
X=V.t
formülü ile gerçekleşir.
Örnek 4:
Hareket problemlerinde birimler birbirinden farklı ise
Yol
1 km = 1000 metre
Hızı saatte 1200 metre olan bir aracın 240 dakikada aldığı yol kaç km dir?
Zaman
1 saat = 60 dakika
1 cm = 10 milimetre
Cevap: 4,8
1200 metre = 1,2 km
1 metre = 100 santim 1 dakika = 60 saniye
240 dakika = 4 saat
1 saniye = 60 salise
x = 1,2 . 4 = 4,8 km
tablosundan faydalanarak birim dönüşümleri yapılır.
Örnek 1:
Saatteki hızı 120 km olan bir araç A dan B ye 5 saatte gidiyor.
Buna göre A ile B arasındaki uzaklık kaç km dir?
|AB| = 120 . 5 = 600 km
Cevap: 600
Örnek 5:
i Bir araç saatte 60 km hızla hareket ederse tam zamanında buluşma noktasında oluyor.
i Aynı araç saatte 80 km hızla hareket ederse buluşma
Örnek 2:
noktasına 5 saat erken varıyor.
Bir araç 6 saatte 240 km yol aldığına göre, 5 saatte kaç
km yol alır?
240 = V . 6 ⇒ V = 40
x = 40 . 5 = 200
Cevap: 200
Buna göre, aracın bulunduğu nokta ile buluşma noktası arasındaki uzaklık kaç km dir?
x = 60 . t
x = 80 . (t – 5)
60t = 80t – 400 ⇒ 20t = 400
t = 20 ⇒ x = 60 . 20 = 1200 km
Cevap: 1200
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Hız Problemleri
Not
Örnek 6:
Bir araç iki kent arasındaki yolu saatte ortalama 40 km hızla
gidip, hiç mola vermeden saatte ortalama 30 km hızla dönerek yolculuğu toplam 14 saatte tamamlıyor.
Harekete başlama zamanları aynı olan iki hareketli herhangi bir noktada karşılaşıyor ise karşılaşma anına kadar
geçen süreler birbirine eşittir.
Buna göre, bu iki kent arasındaki uzaklık kaç km dir?
x
x=V.t⇒ t=V
Cevap: 240
Örnek 9:
x
x
3x + 4x
40 + 30 = 14 ⇒ 120 = 14
(3)
(4)
⇒ 7x = 120 . 14
60 km/saat
⇒ x = 240
80 km/saat
A
Örnek 7:
1
Bir araç gideceği yolun
ünü gittikten sonra 75 km daha
4
yol aldığında gitmesi gereken yolun yarısını gitmiş oluyor.
Buna göre, bu yolu 30 km/saat hızla kaç saatte alır?
Yol 4x olsun.
C
Şekildeki gibi A ve B noktalarından hızları sırasıyla
60 km/saat ve 80 km/saat olan iki hareketli birbirlerine doğru hareket ederek C noktasında karşılaşıyorlar.
Buna göre,
AC
AB
oranı kaçtır?
Cevap: 10
2x
x
AC
CB
60 = 80 &
75
B
AC
60 3
= 80 = 4
CB
Cevap: 3
7
|AC| = 3x ve |CB| = 4x ise
2x = x + 75 ⇒ x = 75 ⇒ 4x = 300 olur.
300 = 30 . t ⇒ t = 10 saat
AC
3x 3
= 7x = 7 olur.
AB
Örnek 10:
Örnek 8:
90 km/saat
60 km/saat
Bir bisikletli gideceği yolun
i 1 ünü 10 km/saat hızla
A
3
i 1 sini 5 km/saat hızla
i Kalan yolu 2 km/saat hızla gidiyor.
Bu bisikletli yolun tamamını 13 saatte aldığına göre, yolun tamamı kaç km dir?
Yol 6x olsun.
Cevap: 60
1
1
6x $ 3 = 2x, 6x $ 2 = 3x ve kalan x olur.
C D
B
4V km/sa
İki araç A ve B noktalarından aynı anda oklar yönünde hareket
ettiklerinde C noktasında karşılaşıyor. B den çıkan aracın hızı
3V km/sa olsaydı D noktasında karşılaşacaktı.
Buna göre |AB|, |CD| nin kaç katıdır?
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
&
AC
90 3
= 60 = 2
BC
Cevap: 1
2
AC
BC
AC
AD
DB
AD
3
&
&
=
= &
=
=2
6V
4V
2
6
V
3
V
BC
DB
|AC| = 6k, |BC| = 4k ise |CD| = x için
2k
6k + x
= 2 & 3x = 2k & x =
3
4k - x
2k
|AB| = a . |CD| ⇒ 10k = a $
⇒ a = 15
3
Öğretmen
Sorusu
2x + 6x + 5x
13x
= 13 & 10 = 13 & x = 10 & 6x = 60
10
6V km/sa
AC
BC
90 = 60
AB
x
1
= 2x = 2
BC
(5)
A
İki araç ilk kez C noktasında yanyana geldiğine göre,
AB
oranı kaçtır?
BC
|AC| = 3x ve |BC| = 2x ise |AB| = x olur.
2x 3x x
10 + 5 + 2 = 13
(2)
C
A ve B den aynı anda ve aynı yönde hareket eden iki aracın
saatteki hızları sırasıyla 90 km/saat ve 60 km/saat dir.
2
(1)
B
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Hız Problemleri
Örnek 11:
A
30
Örnek 13:
C
20
B
x
D
Aşağıda üzerinde iki koşucu bulunan dikdörtgen biçimindeki ABCD koşu pisti verilmiştir ve |DC| = 2|AD| dir.
D
C
E
Şekilde gösterilen A ve B noktalarından aynı anda hareket
eden iki araç birbirine doğru gittiklerinde C de, aynı yöne
doğru gittiklerinde ise D de buluşuyorlar.
Verilen uzunluklara göre x kaç km dir?
V
2
A
Cevap: 100
VA 3
30 20
VA = VB & VB = 2
x + 50
x
x + 50 VA x + 50 3
x = VB & x = 2
VA = VB &
& x = 100
B
V
A köşesindeki iki koşucudan biri B ye doğru saatte V km
V
km hızla aynı anda koşhızla, diğeri D ye doğru saatte
2
maya başlıyorlar. Koşucular ilk kez E noktasında karşılaşıyorlar.
|EC| = 90 km olduğuna göre, |BC| kaç km dir?
|BC| = x ise |DC| = 2x ve |DE| = 2x – 90 dir.
3x + 90 3x - 90
3x + 90 6x - 180
=
=
&
V
V
V
V
2
3x + 90 = 6x - 180
Örnek 12:
Bilge, otobüse binerek okuluna gitmek istiyor. Bilge'nin 1.
2
durağa olan uzaklığının 2. durağa olan uzaklığına oranı
3
tür.
3x = 270 & x = 90
Not
Aralarında x km mesafe bulunan iki hareketli V1 ve V2 hızlarıyla aynı anda, aynı yönde hareket ediyor.
V1
V2
A
V=30 km/sa
Cevap: 90
1. durak
Bilge
2. durak
Otobüsün geldiğini gören Bilge, duraklardan hangisine
doğru yürürse yürüsün, saatteki hızı 30 km olan otobüsle aynı anda o durakta bulunduğuna göre, Bilge'nin
yürüme hızı saatte kaç km dir? (Bilge 2. durağa doğru yürüdüğünde, otobüsün 1. durakta durmadığı varsayılacaktır.)
Cevap: 6
Otobüsün 1. durağa uzaklığı x, Bilge'nin 1. durağa uzaklığı 2a, 2. durağa
olan uzaklığı 3a olsun.
x
2a
x + 5a 3a
30 = V ve
30 = V
xV = 60a ve xV + 5aV = 90 a ⇒ 60a + 5aV = 90a ⇒ V = 6
x
B
hh V1 < V2 ise yakalama olmaz.
hh V1 > V2 ve t saat sonra yakalama olur ise
(V1 – V2) . t = x dir.
Örnek 14:
75 km/sa
55 km/sa
A
B
120 km
C
Aralarında 120 km mesafe bulunan A ve B kentlerindeki iki
aracın hızları ve yönleri yukarıda verilmiştir.
Buna göre, hızlı olan araç yavaş olan aracı kaç saat
sonra yakalar?
(75 – 55) . t = 120
20t = 120
t = 6 saat
Cevap: 6
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Hız Problemleri
Örnek 15:
Örnek 17:
V
30
A
B
C
Aralarında 80 km mesafe bulunan A ve B noktalarından
aynı anda aynı yönde harekete başlayan iki hareketlinin
hızları yukarıda verilmiştir.
A dan harekete eden B den hareket edeni 4 saat sonra
yakaladığına göre, V kaçtır?
Cevap: 50
(V – 30) . 4 = 80 ⇒ V – 30 = 20 ⇒ V = 50
Dairesel bir pist üzerindeki A noktasından saatteki hızları 50 km ve
35 km olan iki araç aynı anda aynı
noktadan aynı yöne doğru hareket
ediyor.
A
50 km/sa
35 km/sa
Pistin çevresi 225 km olduğuna
göre, hızlı olan yavaş olanı kaç
saat sonra yakalar?
225 = (50 – 35) . t
225 = 15 . t
t = 15 saat
Cevap: 15
Örnek 18:
Sabit hızla hareket eden A ve B araçların yol - zaman grafiği
aşağıda verilmiştir.
Örnek 16:
70 km/sa
Yol (km)
50 km/sa
A
60
A
100 km
B
C
Buna göre, A noktasındaki araç B noktasındaki aracı
kaç saat sonra yakalar?
4 saat sonra aralarındaki mesafe 100 + 4 . 50 = 300 km olur.
300 = (70 – 50) . t ⇒ t = 15
Cevap: 15
B
40
Aralarında 100 km mesafe bulunan iki araçtan B noktasındaki araç hareket ettikten 4 saat sonra A noktasındaki araç
da harekete başlıyor.
2
4
Zaman (saat)
Bu iki araç dairesel bir pistte aynı noktadan aynı anda ve
aynı yönde grafikteki hızlarıyla hareket ettiklerinde 4 saat
sonra hızlı olan yavaş olanı yakalıyor.
Buna göre, pistin çevresi kaç km dir?
60
40
VA = 2 = 30, VB = 4 = 10
Pist = (30 – 10) . 4 = 80 km
Not
Araçlar dairesel pist üzerinde aynı noktadan aynı anda ve
aynı yöne doğu hareket ettiklerinden t saat sonra ilk kez
yanyana geliyor iseler
V2
A
V1
Örnek 19:
Şekildeki dairesel pistin
çevresi 270 metredir.
A ve B den şekildeki hız
ve yönlerde aynı anda haA
rekete başlayan iki araçtan hızlı olan yavaş olanı 38 m/dk
kaç dakika sonra yakalar?
360°
V1 > V2 ve pistin uzunluğu x olmak üzere
x = (V1 – V2) . t dir.
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 80
D.O 300°
x=
60°
270 metre
225 = (53 – 38) . t
x
225 = 15 . t
270.300
360 = 225
t = 15 dakika
B
53 m/dk
Cevap: 15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Hız Problemleri
1.
Konu Testi - 1
Bir araç saatte 40 km hızla A kenti ile B kenti arasını 4 saatte almaktadır.
5.
Buna göre, A ve B kentleri arası kaç km dir?
A) 100
B) 110
C) 120
D) 160
E) 200
x = 40 . 4 = 160 km
A ile B kenti arası 240 km dir. Bir araç A kentinden B kentine 4 saatte gitmiştir.
1
1
Buna göre araç yolun
ünü başlangıçtaki hızını
3
3
oranında azaltarak kaç saatte gider?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
240 = V . 4 ⇒ V = 60
1
1
240 $ 3 = a60 - 60 $ 3 k $ t
80 = 40 . t
t=2
2.
Bir araç 120 km uzunluğundaki bir yolu dakikada 1 km
hızla kaç saatte alır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
6.
Bir araç 480 km lik yolu 8 saatte gitmektedir.
Buna göre, aracın aynı yolu 6 saatte gitmesi için hızı
saatte kaç km arttırılmalıdır?
1 dakikada 1 km 60 dakikada 60 km yol alır.
120 = 60 . t
t=2
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 30
480 = V1 . 8 ⇒ V1 = 60
480 = V2 . 6 ⇒ V2 = 80
80 – 60 = 20
3.
Bir araç V km/saat hızla 6 saatte aldığı yolu, (V + 15) km/saat
hızla 5 saatte almaktadır.
7.
Buna göre, V kaçtır?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 75
Hızlı olan aracın hızı saatte 75 km olduğuna göre, yavaş olanın hızı saatte kaç km dir?
E) 90
x = V . 6 ve x = (V + 15) . 5
6V = 5V + 75
V = 75
4.
A) 35
B) 3
B) 40
C) 45
D) 50
E) 55
300 = 75 . t ⇒ t = 4
300 = Vyavaş . (4 + 2) ⇒ Vyavaş = 50
A ile B kentleri arasındaki uzaklık 280 km dir.
1
Bir araç A ile B kentleri arasındaki yolun
ünü saatte
4
35 km hızla, kalan yolu saatte 70 km hızla giderse A ile
B kentleri arasını toplam kaç saatte gider?
A) 2
A ve B kentleri arasındaki uzaklık 300 km dir. İki araç aynı
anda A kentinden B kentine doğru hareket ediyor ve hızlı
olan araç yavaş olandan 2 saat önce B kentine varıyor.
C) 4
280
4 = 70 km ve geriye kalan 210 km ise
70 210
35 + 70 = 2 + 3 = 5 saat
D) 5
E) 6
8.
A kentinden B kentine 3 saatte gidip 4 saatte dönen bir
aracın gidiş ve dönüşteki hızları toplamı 210 km/saat dir.
Buna göre, A ile B arası kaç km dir?
A) 300
B) 320
C) 360
D) 400
E) 450
x
x = V .t & V = t
x x
7x
3 + 4 = 210 & 12 = 210 & x = 360
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Hız Problemleri
9.
Konu Testi - 1
13. A ve B şehirlerinden aynı anda aynı yönde hareket eden iki
Bir araç A ve B kentleri arasındaki bir yolu 5 saatte gitmektedir. Bu araç saatteki hızını 10 km azaltılırsa aynı yolu 7
saatte gitmektedir.
aracın hızları sırasıyla saatte 120 km ve 80 km dir.
80
120
Buna göre, A ve B kentleri arasındaki yol kaç km dir?
A) 225
B) 200
C) 190
D) 180
E) 175
C
x = 5 . V = 7 . (V – 10)
5V = 7V – 70
2V = 70 ⇒ V = 35
x = 5 . 35 = 175
B
Bu iki hareketli C noktasında yan yana geldiğine göre,
AC
oranı kaçtır?
AB
A) 3
10.
20 km/sa
C) 350
C)
3
2
D) 1
AC = 3x, CB = 2x & AB = x olur.
A noktasından aynı anda şekildeki yön ve hızlarla hareket eden iki aracın arasındaki uzaklık 6 saat sonra
kaç km olur?
B) 320
B) 2
D) 360
A köşesinden iki hareketli şekilde gösterilen hız ve
yönde aynı anda harekete
başlıyor.
E) 380
11.
B
A ve B noktaları arasındaki uzaklık 80 km dir. A ve B den
aynı anda ve aynı yönde hareket eden iki aracın hızları
sırasıyla saatte 60 km ve 30 km dir.
A)
B) 60
C) 80
D) 120
1
4
B)
C)
1
2
B
V2
D) 2
E) 3
V1 1
x
3x
V2 = V1 & V2 = 3 olur.
E) 160
|BC| = x km olsun.
x + 80
x
60 = 30 & 30x + 2400 = 60x
15. Bir dairesel pistin aynı noktasından aynı yönde dakikada
32 metre ve 24 metre hızlarıyla koşan iki atletten hızlı olan
yavaş olana 10 dakika sonra yetişiyor.
30x = 2400
Buna göre, pistin çevresi kaç metredir?
x = 80
A) 40
B) 60
C) 80
D) 100
E) 120
Pistin çevresi = (32 – 24) . 10 = 8 . 10 = 80 metre
12.
16. Bir aracın saatte 50 km hızla 12 saatte aldığı yolu 10
C
saatte alabilmesi için hızını % kaç artırmalıdır?
A ve B noktalarından saatteki hızları sırasıyla 90 km ve
50 km olan iki araç aynı anda C ye doğru hareket ediyor.
A) 20
D.O 10
%x
50x = 100 . 10 ⇒ x = 20
11. C
12. C
13. A
14. B
15. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6.
7.
10. A
5.
8.
9. E
4.
9.
10.
8. C
3.
11.
7. D
2.
12.
6. D
1.
13.
5. B
E) 300
|AB| = (90 – 50) . 5 = 200 km
16. A
Cevaplar
E) 40
% 100
14.
15.
4. D
D) 240
50
16.
3. D
C) 200
D) 35
17.
2. B
B) 160
C) 30
Yol = 50 . 12 = 600
600 = 10 . V ⇒ V = 60 olmalı
Hızlı olan araç, yavaş olan araca 5 saat sonra yetiştiğine göre, |AB| kaç km dir?
A) 120
B) 25
18.
1. D
B
19.
20. ?
Cevaplar
A
6
1
3
C
|AB| = |BC| = |CD| = |AD| = x olsun.
Hızlı olan yavaş olanı C noktasında yakaladığına göre
B ile C arası kaç km olur?
A) 40
A
V
ne göre 1 oranı kaçtır?
V2
C
AC
3x
= x = 3 tur.
AB
V1
Bu araçlar ilk kez D noktasında yan yana geldikleriA
1
2
D
14. Şekildeki ABCD karesinin
Aralarındaki uzaklık = 20 . 6 + 30 . 6 = 300 km
80
E)
AC
CB
AC
120 3
120 = 80 & CB = 80 = 2
30 km/sa
A
A) 300
A
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Hız Problemleri
1.
Konu Testi - 2
Birinin hızı diğerinin hızının iki katı olan iki atlet, yarıçapı
90 metre olan çember şeklindeki bir pist üzerinde aynı noktadan, aynı anda, aynı yönde hareket ediyorlar.
4.
Hareketlilerin ilk karşılaştıkları anda hızlı olan kaç metre yol almıştır?
A) 100r
B) 120r
C) 140r
D) 180r
E) 360r
A) 45
180r = (2V – V) . t ⇒ t =
180r
x = V $ 2V = 360π
180r
V
C) 70
D) 80
E) 85
1
480 $ 2 = V . 3 & V = 80 olmalıdır.
5.
2.
B) 60
1
|AB| = 60 . 8 = 480 km dir. 2 sini 4 saatte gider. 1 saatte mola verirse
kalan yolu 3 saatte almalıdır.
Pistin çevresi = 2. 90r = 180r,
Hızlar V ve 2V olsun.
Asya, A kentinden B kentine otomobiliyle saatte ortalama
60 km hızla 8 saatte gitmektedir.
1
Asya yolun
sini gittikten sonra 1 saat mola verirse
2
B kentine aynı sürede gitmek için yolun kalan kısmını
saatte ortalama kaç km hızla gitmelidir?
60
A kentinden B kentine aynı anda hareket eden iki araçtan
biri yolun
3
1
ünü aldığında öteki araç yolun sini almıştır.
4
2
A 90
Hızlı giden araç B ye ulaştığı anda, öteki araç yolun
kaçta kaçını almıştır?
2
A)
3
3
B)
4
1
2
3
4
D.O 1
4
C)
5
5
D)
6
C
B
Hızları saatte 60 km ve 90 km olan iki araç A kentinden B
kentine doğru aynı anda hareket ediyor. Hızlı olan araç B
kentine varıp hiç durmadan geri dönüyor ve C noktasında
diğer araçla karşılaşıyor.
3
E)
8
Buna göre |AC|, |BC| nin kaç katıdır?
a
3
1
2
4a = 2 & a = 3
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
|AC| = x, |BC| = y olsun.
x + 2y
x
60 = 90 & 90x = 60x + 120y
3.
Bir futbol sahasının belli bir bölgesi aşağıda verilmiştir. Sahanın 16 metrelik üst taç çizgisi ile alt taç çizgisi arasında
birbirine paralel 12 metrelik çamurlu bölge ve 18 metrelik
çimli bölge vardır.
Üst taç çizgisi
A
16
B
x = 4y
6.
Bir balık çiftliği kurmak isteyen Özgür aşağıdaki projeyi çizmiştir. Projede bir kenar uzunluğu 100 metre olan eşkenar
dörtgen biçiminde havuzlar kullanılmıştır.
Dörtgenlerin tüm kenarları üzerine de yürüyüş yolları yapılmıştır. Havuzların üstleri demir levhalar ile örtülüdür.
B
12
C
18
D
Alt taç çizgisi
A
Sabit hızla koşan bir futbolcunun koşu hızı taç çizgisi üzerinde saniyede 4 metre, çamurlu bölgede saniyede 1 metre
ve çimli bölgede saniyede 2 metredir.
Özgür'ün normal yolda yürüme hızı dakikada 20 metre,
koyu renkli yollarda yürüme hızı dakikada 50 metredir.
Buna göre, A noktasından C noktasına oradan da D
noktasına koşmak isteyen bir futbolcunun koşusu en
az kaç saniye sürer?
Buna göre, Özgür A noktasından B noktasına en az
kaç dakikada varır?
A) 25
100
100
Özgür normal bir yolu 20 = 5 dakikada, koyu renkli yolu 50 = 2 dakika alır.
O halde ileri - ileri - ileri - ileri - sağ şeklinde giderek
2 + 2 + 5 + 2 + 2 = 13 dakikada varır.
B) 27
C) 29
|AB| + |BC| + |CD|
16 12 18
4 + 1 + 2 = 4 + 12 + 9 = 25
D) 30
E) 32
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Hız Problemleri
10. Sabit hızla ilerleyen A ve B araçları 60 metrelik bir pistte
Yandaki şekil çevresi 600 metre
olan |AB| çaplı O merkezli çember biçimindeki pisti göstermektedir. A ve B noktasından hızları A
sırasıyla 80 m/dk ve 50 m/dk
olan iki koşucu aynı anda ok yönünde koşmaya başlıyor.
düzenlenen yarışa aynı anda başlıyor. A aracı 30 metre
ilerlediğinde B aracı, A aracının 1 saniye önce bulunduğu
noktada oluyor.
B
O
A aracı yarışı 4 saniyede bitirdiğine göre, B aracı yarışı
kaç saniyede bitirir?
A) 6
Buna göre, koşunun başlamasından kaç dakika sonra
ikinci kez yan yana gelirler?
B) 10
C) 15
D) 20
E) 30
600
2 = (80 - 50) .t1 & 300 = 30t1 & t1 = 10
600 = (80 – 50) . t2 ⇒ t2 = 20
10 + 20 = 30
Akıntı hızı sabit olan bir nehirde, akıntıya göre sabit hızla
yol alan bir motorlu tekne, akıntı yönünde giderse 5 saatte
72 km, akıntıya ters yönde giderse 5 saatte 22 km yol alıyor.
B) 5,5
C) 6
D) 7,5
benzin istasyonunun önünden geçerken yan yana gelmiştir.
Buna göre,
I. İstasyona varana kadar hızlı olan araba arkadadır.
II. İstasyona varana kadar hızlı olan araba öndedir.
III. İstasyonu geçtikten sonra yavaş olan araba öndedir.
E) 8
IV. İstasyonu geçtikten sonra yavaş olan araba arkadadır.
5(V + A) = 72
ifadelerinden kaç tanesi kesinlikle doğrudur?
5(V – A) = 22
A) 0
10A = 50 ⇒ A = 5
Bir kurye A, B ve C şirketlerine gelen kargoları dağıtmak
üzere kargo şirketinden hareket ediyor. Kuryenin A şirketinde geçirdiği zamanın 2 katı, B şirketinde geçirdiği zamanın 3 katına, C şirketinde geçirdiği zamanın 4 katına eşittir.
B şirketi
C şirketi
1200
hh Seydi yolun 60 metresini yürüdüğünde çantasını evde
unuttuğunu fark ediyor.
4800
hh Seydi yolun kalan 120 metresini yürüyerek okula doğru giderse dersin başlamasından 6 dakika önce okulda oluyor.
K
Kurye saatte 12 km sabit hızla hareket ediyor ve yalnızca
şirketlerde zaman kaybediyor.
hh Seydi eve dönüp çantasını alıp yola çıkarsa dersin
başlamasından 6 dakika sonra okulda oluyor.
Yukarıda gösterildiği üzere aynı yol üzerinde bulunan kargo
ile A şirketi arasındaki uzaklık 2400 metre, A ile B şirketleri
arası 1200 metre, B ile C arası 4800 metredir.
Seydi dönüşlerde zaman kaybı yaşamadığına göre, ev
ile okul arasını kaç dakikada almaktadır?
Kurye yola çıktıktan ve sırasıyla A, B ve C şirketlerine
kargoları bıraktıktan 149 dakika sonra tekrar kargoya
döndüğüne göre A şirketinde kaç dakika kalmıştır?
A) 15
B) 20
C) 30
D) 40
A) 6
5.
9. C
4.
10. C
11. C
12. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6.
7.
8. A
3.
C) 12
D) 18
E) 24
O
120
S
120
240
=
+ =
t - 6 t + 6 & t 6 2 ( t 6)
t = 18
8.
7. E
2.
60
E) 60
9.
10.
6. D
8
1.
B) 10
E
Saatteki 12 000 metre yol alırsa dakikada 200 metre yol alır.
8400
2 . 200 + tA + tB + tC = 149
42 + 6t + 4t + 3t = 149 ⇒ t = 5 ⇒ 6t = 30
Cevaplar
E) 4
daki bilgiler veriliyor.
Kargo
2400
D) 3
12. Evden okula doğru sabit hızla yürüyen Seydi ile ilgili aşağı-
11.
12.
5. D
A şirketi
C) 2
I ve IV doğrudur.
13.
4. D
9.
B) 1
14.
15.
3. A
–
E) 10
11. Düz bir yolda aynı yönde sabit hızlarla giden iki araba bir
Bu teknenin hızı akıntının hızından büyük olduğuna
göre, akıntının hızı saatte kaç km dir?
A) 5
D) 9
16.
17.
2. A
8.
C) 8
18.
1. E
A) 5
B) 7
60 = VA . 4 ⇒ VA = 15
A aracı 30 metreye 2 saniyede vardığına göre
B aracı 2. saniyede 15 metreye varmıştır.
15 = VB . 2 ⇒ VB = 7,5
60 = 7,5 . t ⇒ t = 8
19.
20. ?
Cevaplar
7.
Konu Testi - 1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Hız problemleri
Not
Örnek 22:
Aralarında x km mesafe bulunan iki hareketli V1 ve V2 hızlarıyla aynı anda birbirlerine doğru hareket ediyor.
V1
V2
x
Bu iki hareketli t saat sonra karşılaşıyorsa aralarında
x = (V1 + V2) . t
Şekildeki A ve B kentleri arasındaki uzaklık 40 km dir. A dan
hızı saatte 5 km olan bir yaya, B den hızı saatte 15 km olan
bir bisikletli aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor.
Buna göre yaya kaç km yol yürüdüğünde bisikletli ile
karşılaşır?
bağıntısı vardır.
Cevap: 10
40 = (15 + 5) . t ⇒ t = 2
2 saat sonra karşılaşma olduğundan yaya 2.5 = 10 km yürüdüğünde bisikletli ile karşılaşır.
Örnek 23:
Örnek 20:
40
A
Aralarında 300 km mesafe bulunan A ve B kentlerinden
hızları sırasıyla 30 km/saat ve 15 km/saat olan iki hareketi
birbirlerine doğru yola çıkmaktadır.
50
450
B
30
Saatteki hızları 40 km ve 50 km olan iki araç aralarında
450 km mesafe olan A ve B kentlerinden birbirlerine doğru
hareket ediyor.
15
A
B
A noktasında hareket eden araç 1 saat yol aldıktan sonra B
noktasındaki araç yola çıkıyor.
Buna göre, kaç saat sonra karşılaşırlar?
450 = (40 + 50) . t
Cevap: 5
450 = 90t
t=5
Buna göre, bu iki araç hızlı olan hareket ettikten kaç
saat sonra karşılaşır?
Cevap: 7
30 . 1 = x ⇒ kalan yol 270 km dir.
270 = (15 + 30) . t ⇒ t = 6
6+1=7
Örnek 24:
Örnek 21:
V
Aralarında 180 km mesafe bulunan A ve B kentinin modellenmiş hali aşağıdaki verilmiştir.
30
27
A
B
Saatteki hızları V km ve 30 km olan iki araç A ve B noktalarından birbirlerine doğru aynı anda hareket ediyor ve 4 saat
sonra karşılaşıyorlar.
A ile B noktaları arasındaki uzaklık 320 km olduğuna
göre, V kaçtır?
320 = (V + 30) . 4
80 = V + 30
V = 50
13
Cevap: 50
A
B
A kentinden çıkan aracın hızı 27 km/saat, B kentinden çıkan aracın hızı 13 km/saat tir.
Buna göre, iki araç aynı anda birbirlerine doğru hareket
ettiğinde hareketlerinden kaç saat sonra aralarındaki
mesafe ikinci kez 20 km olur?
180 + 20 = (27 + 13) . t
Cevap: 5
200 = 40 . t
t=5
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Hız Problemleri
Örnek 25:
Örnek 28:
Hızları toplamı saatte 120 km olan iki araç A ve B kentlerinden aynı anda ve birbirine doğru hareket ederek 3 saat
sonra C noktasında karşılaşıyor.
A ve B kentlerinden saatte hızları V1 ve V2 olan (V1 > V2)
3
iki araç, birbirine doğru aynı anda hareket ederlerse saat
4
sonra karşılaşıyorlar. Bu araçlar aynı kentlerden aynı yönde
21
saat sonra diğerine
hareket ederlerse hızlı giden araç
4
yetişiyor.
V + V2
Buna göre, 1
oranı kaçtır?
V1 - V2
A
C
B
A dan hareket eden araç C ile B arasındaki mesafeyi 5
saatte aldığına göre, bu aracın saatteki hızı kaç km dir?
VA = V, VB = 120 – V olsun.
Cevap: 45
3. (120 – V) = 5 . V
8V = 360 ⇒ V = 45
Örnek 26:
Birbirinden 400 km uzakta olan A ve B kentlerinin orta noktası olan O dan aynı anda ters yönde iki araç hareket ediyor.
A
O
3
4x
x = (V1 + V2) $ 4 & V1 + V2 = 3
21
4x
x = (V1 - V2) $ 4 & V1 - V2 = 21
4x
V1 + V2
4x 21
= 43x = 3 $ 4x = 7
V1 V2
21
Cevap: 7
B
Araçların saatteki hızları sırasıyla 50 km ve 30 km dir.
Buna göre iki araç A ve B arasını durmaksızın turlarsa
ilk karşılaşma O dan kaç km uzakta olur?
800 = (50 + 30) . t ⇒ t = 10
Cevap: 100
Not
x = 30 . 10 = 300 km ise O dan 100 km uzakta olur.
Örnek 27:
Araçlar dairesel pist üzerinde aynı noktadan aynı anda ve
zıt yöne doğru hareket ettiklerinden t saat sonra ilk kez
yanyana geliyorsa
Bir yarısı ince diğer yarısı kalın olan 20 metre uzunluğundaki bir ip her iki ucundan aynı anda yakılıyor.
V1
V2
A
Ateşin ilerleme hızı ipin ince tarafında saniyede 2 metre kalın tarafında saniyede 1 metre olduğuna göre, ipin
tamamının yanması kaç saniye sürer?
Pistin çevresi x olmak üzere
Cevap: 15
2
x = (V1 + V2) . t
İnce kısım bitene kadar 5 s sonra kalın kısmın 5 metresi yanar kalan 5
5
metre ip iki ucundan yanacağından 2 s saniyede yanar ip toplam
5 15
5 + 2 = 2 saniyede yanar.
Karşılaşma noktasından sonra araçlarından biri hızını kaç
kat arttırmalı ki gitmekte oldukları kentlere aynı anda varsınlar?
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
A
4V
4x
x
K
V
x
4x
& V + a = 16V
=
4V V + a
a = 15V
hızını 14 kat artırılmalıdır.
4V
B
V
Öğretmen
Sorusu
A ve B kentlerinden birbirine doğru aynı anda hareket eden
araçların hızlarının oranı 4 tür.
bağıntısı vardır.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Hız problemleri
Örnek 29:
Örnek 30:
Hızları saatte 20 km ve 30 km olan iki araç dairesel pist üzerindeki N noktasından aynı anda zıt yönde hareket ediyor.
Sabit hızla giden A ve B hareketlilerinin yol - zaman grafiği
aşağıdaki gibidir.
N
Yol (metre)
20
30
A
320
B
120
M
[NM] dairenin çapı olduğuna göre aşağıdaki soruları
cevaplayınız.

Pistin çevresi 200 km olduğunda bu iki araç kaç saat
sonra karşılaşır?
200 = (20 + 30) . t
200 = 50 . t
1
2
Bu iki hareketli dairesel bir pist etrafında aynı noktadan aynı
anda zıt yönde hareket ediyor.
Hareketliler karşılaştıktan sonra yavaş olan hareketli
başlangıç noktasına 24 dakikada vardığına göre, pistin
çevresi kaç metredir?
320
VA = 2 = 160 , VB = 120
t=4
Zaman (dakika)
Cevap: 5040
160
120
160 . t = 120 . 24

Pist = (120 + 160) . 18 = 5040 metre
K
x = (30 + 20) . 6
x = 300

t = 18
Bu iki araç 6 saat sonra karşılaşsaydı pistin çevresi kaç
km olurdu?
hhOrtalama Hız
Pistin çevresi 150 km dir. O halde iki araç ilk kez karşılaştıklarında yavaş olan aracın N noktasına kaç km yolu
kalmıştır?
Aracın gittiği toplam yolun, toplam zamana oranına ortalama
hız denir.
Vortalama =
Toplam Yol
Toplam zaman
Örnek 31:
150 = (30 + 20) . t ⇒ t = 3
150 – 20 . 3 = 90
Bir araç 300 km lik bir yolu 4 saatte gidip 6 saatte dönüyor.
Buna göre, aracın gidiş dönüş ortalama hızı saatte kaç
km dir?

Bu iki araç 12 saat sonra karşılaşıyorsa hareketlilerden
hızlı olanı karşılaşmadan kaç saat sonra N ye ulaşır?
x = (20 + 30) . 12 = 600 km
Vort =
300 + 300 600
= 10 = 60
6+4
Cevap: 60
Örnek 32:
Hızlı olan N ye varması için
600 – 30 . 12 = 240 km gitmelidir.
Bir araç önce 40 km/saat hızla 4 saat, sonra 70 km/saat
hızla 2 saat giderek yolculuğunu tamamlıyor.
240
30 = 8 saat
Cevap: 4, 300, 90, 8
Aracın bu yolculuktaki ortalama hızı saatte kaç km dir?
Vort =
40 . 4 + 70 . 2 300
= 6 = 50
4+2
Cevap: 50
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Hız problemleri
Not
Örnek 33:
1
ünü saatte 60 km hızla, geriye
4
kalanını ise saatte 90 km hızla gitmiştir.
Bir araç gideceği yolun
Buna göre, bu hareketlinin yol boyunca ortalama hızı
kaç km/saat tir?
Yol 4x olsun.
Cevap: 80
4x
4x
4x
Vort = x
3 x = x + x = 3x
+
60 30
60 90
60
(2)
60
Vort = 4x $ 3x = 80
Bir uzun aracın herhangi bir noktayı geçebilmesi için kendi
boyu kadar fazla yol gitmesi gerekmektedir.
Örnek 36:
Saatte 120 km hızla giden 400 metre uzunluğundaki bir
tren 1600 metre uzunluğundaki bir tüneli kaç dakika geçer?
Cevap: 1
Yol = 400 + 1600 = 2000 metre = 2km
1
2 = 120 . tsaat ⇒ t = 60 saat
⇒ t = 1 dakika
Örnek 34:
Bir hareketli yolun yarısını saatte 3V hızla üçte birini saatte
4V hızla geriye kalan yolu 2V hızla gidiyor.
Örnek 37:
Bu hareketlinin saatteki ortalama hızı nedir?
Cevap: 3V
Yol 6x olsun.
6x
6x
Vort = 3x 2x
x
x
x = x
+
+
+
V 2V + 2V
3V 4V 2V
V
6x
Vort = 2x = 6x $ 2x = 3V
V
5400 m
A
B
A ve B arası 5400 metredir. A dan hareket edenin hızı saatte 20 km B den hareket edenin hızı saatte 10 km dir.
Not
Buna göre, bu iki tren kaç dakika sonra birbirini geçer?
Bir yolu V1 hızıyla gidip V2 hızıyla dönen bir hareketlinin
ortalama hızı
Vort =
A ve B noktalarında boyları sırasıyla 200 metre ve 400 metre olan iki tren aynı anda birbirine doğru hareket ediyor.
2V1.V2
V1 + V2
Yol = 200 + 5400 + 400 = 6000 m = 6 km
1
6 = (20 + 10) . tsaat ⇒ t = 5 saat
Cevap: 12
⇒ t = 12 dakika
formülüyle bulunabilir.
Örnek 38:
Örnek 35:
Bir araç K kentinden M kentine 42 km hızla gitmiş ve saatte
V km hızla dönmüştür.
Bu gidiş dönüşte aracın ortalama hızı saatte 48 km olduğuna göre, V kaçtır?
2.V.42
48 = V + 42 & 48V + 48 . 42 = 84V
36V = 48 . 42
V = 56
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Uzunlukları sırasıyla 1 km ve 900 metre olan iki tünelden,
birincinin bitiş noktasıyla ikincinin başlangıç noktası arasındaki uzaklık 14 km dir.
Uzunluğu 100 m, saatteki hızı 80 km olan bir tren birinci
tünele girdiği andan kaç dakika sonra ikinci tünelden
tamamen çıkar?
Cevap: 56
Yol = 1 + 0,9 + 0,1 + 14 = 16 km
1
16 = 80 . tsaat ⇒ t = 5 saat
t = 12 dk
Cevap: 12
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Hız Problemleri
1.
Konu Testi - 3
A ve B noktalarından hızları sırasıyla saatte 100 km ve
saatte 60 km olan iki araba birbirlerine doğru aynı anda
hareket ediyor.
100
4.
60
A
A
B
B) 700
C) 680
D) 640
A) 2
B
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
45 = (VA + VB) . 2,5 ⇒ VA + VB = 18
45 = (VA + VB – m) . 3 ⇒ 18 – m = 15
⇒m=3
E) 600
|AB| = (100 + 60) . 4 = 160 . 4 = 640 km
2.
45
Buna göre, bu iki araçtan yalnız biri saatteki hızını kaç
km azaltırsa karşılaşma 3 saat sonra gerçekleşir?
Bu iki araba hareketlerinden 4 saat sonra ilk kez kaşılaştıklarına göre A ile B kenti arasındaki mesafe kaç
km dir?
A) 720
Aralarındaki uzaklık 45 km olan A ve B noktalarından aynı
anda birbirine doğru harekete başlayan iki araç 2,5 saat
sonra karşılaşıyor.
Saatteki hızları 75 – V ve V olan iki hareketli aynı anda
aynı noktadan ve birbirine zıt yönde harekete başlıyor.
5.
A ve B noktalarında bulunan iki kişi aynı anda birbirine
doğru yürümeye başlıyor.
A
Buna göre, hareketlerinden 6 saat sonra bu hareketlilerin aralarındaki mesafe kaç km olur?
A) 320
B) 350
C) 360
D) 420
A
B
Sabit hızla hareket eden kişilerden A dan yola çıkanın hızı
dakikada 10 metre, B den yola çıkanın hızı dakikada 20
metredir. İki hareketli aynı anda yürümeye başladıktan 2
dakika sonra A dan yola çıkan adam cüzdanını unuttuğunu
hatırlıyor ve hemen zaman kaybetmeden geri dönüyor ve
6 dakika sonra diğer kişi ile karşılaşıyor.
E) 450
x = (75 – V + V) . 6 = 75 . 6 = 450
Buna göre |AB| kaç metredir?
A) 100
B) 140
C) 150
D) 160
E) 200
A dan yola çıkan 4 dakikayı cüzdanı almak için harcadığından B ye doğru
2 dakika hareket ettiğinde, B den hareket eden 6 dakika hareket ettiğinde karşılaşıyor.
|AB| = 2 . 10 + 20 . 6 = 140
3.
Hızları dakikada 15 metre ve
25 metre olan iki hareketli çember 25
üzerindeki A noktasından aynı anda
ters yönde hareket ettikten 8 dakika
sonra karşılaşıyor.
A
15
Buna göre, pistin çevresi kaç metredir?
A) 320
B) 350
Pist = (25 + 15) . 8 = 320
C) 360
D) 400
E) 420
6.
O merkezli dairesel
17 km/sa
bir pistin A ve B noktalarında
şekildeki
A
hız ve yönde hareket
eden iki koşucu 3 saat
sonra karşılaşıyor.
13 km/sa
B
O
Buna göre, pistin
çevresi kaç metredir?
A) 100
B) 120
C) 160
D) 180
E) 200
Pist
2 = (17 + 13) . 3 & Pist = 180 metre
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Hız Problemleri
7.
Konu Testi - 3
A ve B kentlerinden aynı anda birbirine doğru hareket eden
iki aracın hızları saatte 75 km ve 65 km dir.
75
10. Bir araç bir yolun 1 ünü 60 km hızla geriye kalan yolu da
3
saatte 30 km hızla giderek tamamlıyor.
Buna göre, aracın yol boyunca ortalama hızı saatte kaç
km dir?
65
A
A) 36
B
Buna göre, A ile B kentleri arasındaki uzaklık en az kaç
km dir?
B) 640
C) 600
D) 560
C) 40
D) 42
E) 45
Yol 3x olsun.
3x
3x
60
Vort = x
2x = 5x = 3x $ 5x = 36
+
60
60 30
Bu hızlarla 4 saat hareket ettiklerinde aralarındaki mesafe
60 km oluyor.
A) 720
B) 38
E) 500
|AB| = x olsun mesafenin en az olması için araçlar karşılaşıp birbirlerini
60 km geçmişlerdir.
x + 60 = (75 + 65) . 4
x + 60 = 560 ⇒ x = 500
11.
8.
Saatteki hızı 24 km olan bir tren bir trafik lambasını 6 saniyede geçiyor.
Bir otomobil iki şehir arasını saatte 20 km hızla gidip saatte
80 km hızla geri dönüyor.
Buna göre, trenin boyu kaç metredir?
Buna göre, otomobilin yol boyunca ortalama hızı saatte kaç km dir?
A) 30
B) 32
C) 36
D) 48
A) 20
C) 40
D) 60
E) 80
Saatte 24 km = Saatte 24000 metre
E) 50
6
6
6 saniye = 60 dakika = 60 . 60 saat
2.20.80 3200
Vort = 20 + 80 = 100 = 32
9.
B) 30
6
x = 24000 $ 60 . 60
x = 40 metre
12. Saatteki hızı 120 km olan bir tren, uzunluğu 840 metre olan
Bir araç A kentinden B kentine doğru hareket ediyor.
bir tünele girdikten 30 saniye sonra trenin son vagonu tünelde çıkıyor.
Bu araç,
hh Saatte 40 km hızla 3 saat
hh Saatte 60 km hızla 4 saat
hh Saatte 80 km hızla 3 saat
yol aldığında A kentinden B kentine varıyor.
Buna göre, aracın yol boyunca ortalama hızı saatte kaç
km dir?
D) 60
A) 100
E) 64
8. B
6.
7.
7. E
9. D
10. A
11. C
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5.
8.
9.
6. D
4.
10.
11.
5. B
3.
12.
4. B
2.
D) 180
E) 240
x + 840 = 1000 ⇒ x = 160
13.
14.
3. A
14
1.
C) 160
30
x + 840 = 120.000 $ 60 . 60 = 1000
40 . 3 + 60 . 4 + 80 . 3 600
= 10 = 60
Vort =
3+4+3
Cevaplar
B) 120
15.
16.
2. E
C) 58
17.
1. D
B) 54
18.
19.
20. ?
Cevaplar
A) 52
Buna göre, bu trenin boyu kaç metredir?
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Hız Problemleri
1.
Konu Testi - 4
O merkezli dairesel bir pistin A ve B noktalarından dakikadaki hızları sırası ile 15 m ve 45 m olan iki hareketli birbirine doğru hareket ediyor.
15
A
B
4.
 A ve B kentlerinde karşılıklı olarak aynı anda yola çıkan
iki araçtan birinin hızı diğerinin 2 katıdır.
 İki araç 90 dakika sonra karşılaşmaktadır.
45
Buna göre yavaş giden aracın hızı saatte kaç km dir?
60°
A) 40
O
B) 13
C) 12
D) 11
B) 60
C) 80
D) 90
E) 100
3
360 = (V + 2V) . 2
9V = 720
V = 80
Pistin çevresi 720 m olduğuna göre, bu iki hareketlinin
ikinci karşılaşması kaç dakika sonra olur?
A) 14
 A ile B kentleri arası 360 km dir.
E) 10
60
720 + 720 $ 360 = (15 + 45) .t
840 = 60t & t = 14
5.
2.
Bir araç 60 km/saat hızla a saat, 80 km/saat hızla b saat
yol alıyor.
a < b olduğuna göre, aracın bu yolculuk boyunca ortalama hızı kaç km/saat olabilir?
Buna göre koşucu kare şeklindeki pistin çevresini bir tur
koştuğunda ortalama hızı kaç
V olur?
A) 72
A)
Vort =
B) 68
C) 64
D) 62
E) 60
60a + 80b
60a + 80a
=
= 70
a+a
a + b ⇒ a = b için Vort
Aşağıda düzgün altıgen biçimindeki bir pistin A noktası
üzerinde aynı anda zıt yönde hareket eden iki hareketli
gösterilmiştir.
E
1
3
B)
1
4
C)
4
3
D)
V
C
2V
A
V
3
4
E)
B
1
2
Karenin bir kenarı x olsun.
4x
4x
4V
Vort = x x
x
x = 3x = 3
+
+
+
V V 2V 2V
V
olur. a < b olduğundan Vort > 70 dir.
3.
Yanda verilen karede kenarlar
D
üzerinde yazılı sayı bir koşucunun o kenarı hangi sabit hızla
2V
koştuğunu göstermektedir.
D
6.
Mamak - Kurtuluş tren hattı, Gülveren, Cebeci ve Saimekadın istasyonlarıyla şekildeki gibi 4 eşit parçaya ayrılmıştır.
Mamak
Cebeci
C
F
20
A
10
Kurtuluş
Kurtuluş ve Mamak'tan aynı anda hareket eden iki tren bu
hatta sabit hızla sürekli gidiş - geliş yapıyor.
B
A dan B ye doğru gidenin hızı dakikada 10 metre F ye doğru gidenin dakikada hızı 20 metredir.
Buna göre üçüncü karşılaşma hangi nokta üzerinde
olur?
A) E
B) D
C) C
Saimekadın
Gülveren
D) B
E) A
Yavaş olan bir kenarı gittiğinde hızlı olan iki kenar gider. O halde 1. karşılaşma C, 2. karşılaşma E, 3. karşılaşma A noktasında olur.
Bu iki tren ilk kez cebecide aynı anda bulunduklarına
göre 3. kez aşağıdakilerden hangisinde aynı anda bulunur?
A) Mamak
D) Cebeci
B) Saimekadın
C) Gülveren
E) Kurtuluş
Hızlı olan 3 istasyon gittiğinde yavaş olan 1 istasyon gider o halde
1. karşılaşma Cebeci, 2. karşılaşma Gülveren, 3. karşılaşma Saimekadın
olur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Hız Problemleri
Aralarında 7 tane durak bulunan A ve B istasyonları ile ilgili
aşağıdakiler veriliyor.
hh Tren 1. durakta 2 dakika
3. durakta 4. dakika
h
7. durakta 8 dakika
A) 5
zaman kaybetmektedir.
D) 720
11. Boyları sırasıyla 300 metre ve 500 metre olan iki tren aynı
anda aynı yöne doğru hareket ediyor.
300
Aracın tüm yol boyunca ortalama hızı saatte 20 km olduğuna göre, aracın yolun ikinci yarısındaki hızı saatte
kaç km olmalıdır?
D) 30
Buna göre kısa tren uzun treni kaç dakika sonra geçer?
E) 35
A) 20
asansör ve sağ asansör olmak üzere iki tane asansör vardır.
Sol asansör saniyede 10 metre çıkıp, saniyede 15 metre inmektedir.
Sağ asansör saniyede 15 metre çıkıp saniyede 20 metre inmektedir.
ABCD dikdörtgen
%
m (CEB) = 30c
Sol asansör zemin katta, sağ asansör en üst katta iken sol asansör yukarı sağ asansör aşağıda doğru gittiğinde 1 dakika sonra
yanyana geliyorlar.
B
Birincinin hızı saatte 50 km ikincinin hızı saatte 30 km dir
ve araçlar 6 saat sonra karşılaşıyor
Buna göre, sağ asansör bu gökdelenin en üst katına
kaç dakikada çıkar?
Buna göre, |DE| + |CB| toplamı kaç km dir?
B) 150
C) 160
D) 180
E) 200
A) 1
4.
5.
9. C
3.
10. A
11. D
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6.
7.
8. D
2.
8.
7. C
16
1.
C) 2
D) 2,5
E) 3
17.
19.
x = (10 + 20) . 60 = 1800 metre
1800 = 15 . t ⇒ t = 120 sn = 2 dk
9.
10.
6. B
Cevaplar
B) 1,5
11.
12.
5. C
A) 120
2|DE| = 2|EC| = |AB| ve 2|CB| = 2|AD| = |EB|
|DE| = x ve |CB| = y ise
3x + 3y = (50 + 30) . 6 ⇒ x + y = 160 km
13.
4. C
A
E) 36
12. Yanda gösterilen gökdelende sol
14.
15.
3. E
C
30
D) 30
16.
2. A
E
C) 28
300 + 5200 + 500 = 6000 m = 6 km
1
6 = (264 – 252) . tsaat ⇒ t = 2 saat
⇒ t = 30 dk
Aşağıda verilen dikdörtgen biçimindeki pistin B noktasından aynı anda hareket eden iki araçtan birincisi |BA| + |AD|
yolunu ikincisi |BE| + |DE| yolunu kullanıyor.
D
B) 24
18.
1. A
C) 25
500
5200 m
Uzun trenin saatteki hızı 252 km, kısa olan trenin hızı saatteki hızı 264 km dir.
Yol 2x olsun.
2x
20x 20x
20 = x
x & 15 + V = 2x
+
15 V
4 20
20 2
& 3 + V = 2 & V = 3 & V = 30
9.
E) 15
120
halde hızlı olan 24 = 5 tur atar.
A dan B ye hareket eden bir araba yolun ilk yarısını 15 km
hızla alıyor.
B) 20
D) 10
E) 721
2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 dk
A dan B ye 6 saatte gidiyor.
1 + x = 120 . 6
x = 719
A) 16
C) 8
120
120
3 = 40 saniyede bir hızlı olan 5 = 24 saniyede bir B
noktasına gelmektedir. İkisi aynı anda 120 saniyede bir B de bulunur. O
Trenin boyu 1000 metre olduğuna göre, A ile B arası
kaç km dir?
C) 719
B) 6
Yavaş olan
hh Tren B istasyonunu 6 saat 35 dakikada geçmektedir.
8.
5
Buna göre araçların her ikisi birden
ilk kez tekrar B noktasında olduklarında hızlı olan araç çember üzerinde kaç tur atmıştır?
2. durakta 3 dakika
B) 712
B
iki araç çevre uzunluğu 120 metre
olan şekildeki dairesel pistin çevresi
üzerinde zıt yönde hareket ediyor.
hh Bir tren A dan B ye doğru saatte 120 km hızla yola
çıkıyor.
A) 709
3
10. Saniyede 5 metre ve 3 metre yol alan
20. ?
Cevaplar
7.
Konu Testi - 4
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
19
TARAMA
1.
1
1 – 4 : a1 - 2 k
4.
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) – 8
B) –7
C) –6
D) –4
1
A) 3
E) –2
4
9 +
1
1 - 4 : 2 = 1 - 4. 2 = 1 - 8 = - 7
5.
2.
0, 0001 0, 2 0, 75
+
0, 003 : 3
0, 5
işleminin sonucu kaçtır?
1
A) 2
3
C) 2
B) 1
0, 4 + 0, 9
D) 2
9 = 2+ = 5
9
3 1 3
=2 ,
olduğuna göre,
1 2
75
1 30 3
30 : 30 + 50 = 30 . 2 + 2
4
= 12 + 3
2 = 2 =2
5
C) 3
11
E) 3
D) 2
Geometrik şekiller ve doğal sayılar ile oluşturulan eşitlikler
aşağıda verilmiştir.
8
5
E) 2
4
B) 3
A) 2
81
=3 ,
84
işleminin sonucu kaçtır?
B) 3
C) 4
32
=2
D) 5
E) 6
Eşitliğin sağında bulunan sayının çokgenin kenar sayısı kadar kuvvetini
aldığımızda şeklin içindeki sayıyı verir.
84
= a ⇒ a6 = (23)4 ⇒ a6 = 212 ⇒a6 = 46
3.
⇒a = 4
Aşağıda verilen kutular içerisinde yazan sayılar tam sayılardır.
³ Kutuların en sağında 26 sayısı vardır.
³ Kutular sağdan sola doğru beyaz, kırmızı, beyaz, kırmı-
zı, ...... biçiminde boyanıyor.
26
g
Kırmızı kutularda yazan sayıların her biri solunda bulunan
sayının 2 katına, sağında bulunan sayının 2 eksiğine eşittir.
Buna göre, yukarıdaki şekilde en çok kaç kutu vardır?
A) 9
3
2
B) 8
3
C) 7
5
D) 6
10
12
x, y ve z doğal sayıları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir.
24
³ z = x
x
³ y =
4
olduğuna göre, y + z toplamının en küçük değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
x = 24 için y = 6, z = 1 ve y + z = 7
x = 12 için y = 3, z = 2 ve y + z = 5
E) 5
24
6.
x = 8 için y = 2, z = 3 ve y + z = 5
26
x = 4 için y = 1, z = 6 ve y + z = 7
en çok 6 kutu vardır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
Tarama
7.
Aşağıda verilen şekilde bulunan 14 kutu içerisinde birer
tam sayı vardır.
11. a – b ve a + b aralarında asal sayılardır.
a2 – b2 = 135
6
olduğuna göre, a en fazla kaçtır?
e
b
A) 66
20
a
13
f
d
m
9
n
c
30
B) 68
C) 70
D) 72
E) 74
(a – b) . (a + b) = 135 için a en fazla
3
şekildeki kutular içerisinde bulunan sayılar saatin tersi
yönde sürekli artmaktadır.
a + b = 135
+
a–b=1
2a = 136 ⇒ a = 68 olur.
Buna göre,
m + n + f – (e + d + c + a + b)
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 15
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
m, n, f en küçük, e, d, c, a, b en büyük değerler alınırsa
12. A = {n, m, t, s, u, v}
f = 21, m = 22, n = 23, e = 19, d=12, c=8, a = 4, b = 5
kümesi üzerinde aşağıdaki işlem tanımlanıyor.
m + n + f – (e + d + c + a + b) = 66 – 48 = 18
³ B⊂A olmak üzere B için DB bağıntısı ve B sıralı altılısı
tanımlanıyor.
³
8.
x B işlemi;
x ∈ B ise x B = 1
a, b ve c sırasıyla ardışık çift sayılardır.
x ∉ B ise x B = 0 dır.
a . b . c = 96. 143
³ B sıralı artılısı;
olduğuna göre, a + c toplamı kaçtır?
A) 44
B) 46
C) 48
D) 50
( n B, m B, t B, s B, u B, v B) dir.
E) 52
Buna göre,
a= 22, b = 24, c = 26
B = (1, 0, 0, 1, 1, 0)
a + c = 48
C = (1, 1, 1, 0, 1, 1)
olduğuna göre, B ∩ C kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
9.
3 0, 08
1 - 1
16 25 .
0, 01
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0,1
B) 0,2
25 - 16 3 =
25.16 . 8
C) 0,3
A) {n, m}
B) {m, t}
D) {n, u}
D) 0,4
E) 0,5
9
3
400 .2 = 20 .2 = 0, 3
C) {t, s}
E) {n, u, s}
B = {n, s, u} ve C = {n, m, t, u, v}
B ∩ C = {n, u}
13. x ve y devirli ondalık sayılardır.
10. Dört tane ardışık tek sayının toplamı 120 olduğuna
göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?
A) 27
B) 29
C) 31
D) 33
n + n + 2 + n + 4 + n + 6 = 120
4n + 12 = 120
4n = 108
n = 27 ise n + 6 = 33
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
x = 4, 99
ve y = 5, 99
olduğuna göre, x . y kaçtır?
E) 35
A) 28
B) 30
x = 4, 99 = 4, 9 = 5
y = 5, 99 = 5, 9 = 6
x.y = 30
C) 35
D) 42
E) 45
Tarama
14. x = –2 ve y = – 3 için
x–y
+
17. a < |a| ve b > 0 olmak üzere
y–x
|a – b| + |a| – |b|
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –11
B) –2
C) –1
D) 1
E) 17
A) –2a
B) –2b
D) –2a–2b
(–2)–(–3) + (–3)–(–2)
(–2)3 + (–3)2 = –8 + 9 = 1
a - b + a - b =- a + b - a - b
144424443 U U
-
-
+
= - 2a
nin bir miktar cevizi paylaşım biçimi aşağıda verilmiştir.
Arif
3
2
4
Barış Canan Derya
6
5
Ekin
Ferdi
AA Dağıtım yukarıda gösterilen kutuların veriliş sırasına
göre soldan sağa doğru yapılacaktır.
AA Cevizler birinci kişiye 1; ikinci kişiye 2, 3. kişiye 3, ...
şeklinde yapılacaktır. Örneğin Arif 1, Barış 2, Canan 3,
Derya 4, Ekin 5, Ferdi 6, Arif 7, Barış 8,.... ceviz alacaktır.
AA Dağıtımda kişinin aldığı bilye sayısı kutu üzerinde bulunan sayının tam sayı katı ise bu kişiye bir ceviz daha
verilecektir.
18. Aşağıda basamaklarında sayılar bulunan bir sayı mer-
diveninde merdivenin değerini bulmak için okun başlangıcında bulunan kutuda yazan sayı ile okun sonunda
bulunan sayıya ok yanında bulunan işlem uygulanıyor.
Bulunan sayı bir sonraki okun başlangıcında bulunan sayı
olarak kabul ediliyor.
Buna göre,
B) 32
C) 35
D) 36
E) 38
4
4
2
2
+
3
:
Buna göre, 176 ceviz bu koşullar altında dağıtıldığında Derya kaç ceviz almış olur?
A) 30
E) 2a–2b
a < |a| ise a < 0 dır.
15. Arif, Barış, Canan, Derya, Ekin ve Ferdi isimli altı kişi-
1
C) 0
+
7
•
5
•
–
sayı merdiveninin, merdiven değeri kaçtır?
A
B
C
D
E
F
A) 10
B) 11
C) 12
1.
1+1
2
3
4+1
5
6
(((((4 + 2) : 3) . 5) – 7) . 2) + 4 = 10
2.
7+1
8
9
10
11
12
3.
13+1
14
15
16+1
17
18
D) 13
E) 14
Derya = 5 + 10 + 17 = 32 ceviz alır.
16. x ile y nin aritmetik ortalaması 14
x ile z nin aritmetik ortalaması 8
19. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
y ile z nin aritmetik ortalaması 6
olduğuna göre, A x A kartezyen kümesinde bileşenleri
aynı elemanlar olan kaç sıralı ikili vardır?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 12
B) 14
C) 16
x + y = 28
x + z = 16
D) 18
E) 20
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
(1, 1) (2, 2) (3, 3) (4, 4) (5, 5) (6,6) (7, 7) olmak üzere 7 tanedir.
+ / y + z = 12 \–
2x = 32 ⇒ x = 16
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
Tarama
20. xy iki basamaklı rakamları farklı en büyük tek doğal sayıdır.
22. x . y2 > 0
x3 . y < 0
Buna göre;
olduğuna göre,
74 x 4 - yA
(xy)!
sayının sondan kaç basamağı sıfırdır?
A) 22
B) 23
C) 24
2
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
D) 25
E) 26
A) x – y
B) y – x
C) x + y
D) –x – y
xy = 97 ⇒ 97 5
19 5
3
19 + 3 = 22
x . y2 > 0
E) –x
ve x3 . y < 0 ⇒ x > 0 ve y < 0 dır.
74 x 4 - yA = x - y = x - y = x - y
2
23. b –2, a – 3 ve c + 2 sayıları sırasıyla 2, 3 ve 5 ile doğru
orantılıdır.
a + b + c = 103
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 21
B) 22
C) 33
D) 48
E) 32
b-2 = a-3 = c+2 =
k
2
3
5
a + b + c = 103
3k + 3 + 2k + 2 + 5k – 2 = 103 ⇒ 10k + 3 = 103
21.
k = 10 ⇒ a = 33
B
24. Üç basamaklı ABC doğal sayıları ile ilgili aşağıdaki
bilgiler veriliyor.
A
³ Sayının birler basamağındaki rakam tek sayıdır.
³ Sayının yüzler basamağındaki rakam çift sayıdır.
Yukarıda üç satır ve üç sütun oluşturacak şekilde dizilen televizyonların fiyatları ile ilgili aşağıdaki bilgiler
veriliyor.
³ C < B < A dır.
³ bu koşula uygun ABC doğal sayıları
³ Televizyon fiyatları aşağıdan yukarıya ve soldan sağa-
…
da doğru artmaktadır.
³ Herhangi bir televizyonun fiyatı solundaki televizyonun
fiyatının 8 katıdır.
³ Herhangi bir televizyonun fiyatı altında bulunan televiz-
yonun fiyatının 16 katıdır.
Buna göre, B televizyonunun fiyatı A televizyonunun
fiyatının kaç katıdır?
A) 214
B) 215
C) 216
D) 217
E) 218
B = A . 8 . 8. 16 . 16 ⇒ B' A nın 23 . 23 . 24 . 24 = 214 katıdır.
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1. Daire 2. Daire 3. Daire 4. Daire
5. Daire
n. Daire
sırasıyla küçükten büyüğe doğru yukarıda verilen daireler
içerisine yazılıyor. Ve şekildeki tüm daireler boş daire kalmayacak biçimde bu sayılarla doluyor.
Buna göre, 3. dairede bulunan sayı ile n. dairede bulunan sayının toplamı kaçtır?
A) 1432
B) 1456
421
431
621
1.
2.
3.
C) 1436
… 875
n.
D) 1432
⇒ 875 + 621 = 1496
E) 1496
Tarama
25.
28. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
27 + 108 - 12
işleminin sonucu kaçtır?
A) 4 3
B) 5 3
B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
C) 6 3
D) 7 3
E) 8 3
9.3 + 36.3 - 4.3
3 3+6 3-2 3 = 7 3
olduğuna göre, A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesi B kümesinin alt kümeleri ile aynı değildir?
A) 144
B) 196
C) 216
D) 226
E) 240
A ∩ B = {5, 6, 7, 8} olduğundan 24 = 16 alt küme
A ve B nin ortak alt kümeleridir.
28 – 16 = 256 – 16 = 240
29.  x ve y pozitif tam sayılardır.
 x2 – y2 asal sayıdır.
26.
a ve b sayma sayılarıdır.
 x – y = A dır.
19! = a . 3b
Buna göre, A aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, b en çok kaçtır?
A) –1
sorusunu çözmeye çalışan bir öğrenci sorudaki 3 sayısını
5 olarak görüyor ve sonucu hatalı buluyor.
Buna göre, öğrencinin bulduğu sonuç doğru sonuçtan kaç eksiktir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
19 3
19 5
6 3
3
2
Doğru sonuç – hatalı sonuç = (6 + 2) –3 = 5
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
(x – y) (x + y) = Asal ise Asal sayılar iki pozitif tam sayının çarpımı biçiminde tek türlü yazılacağından x – y = 1 olmalıdır.
30. Aşağıda siyah, kırmızı ve beyaz bölümlerden oluşan
hedef tahtası verilmiştir.
³ Bu hedef tahtasına yapılan atışlardan siyah bölüme
isabet edenler 10 puan, kırmızı bölüme isabet edenler
6 puan ve beyaz bölüme isabet edenler 3 puan değerindedir.
³ Bir atıcı hedef tahtasına, X atış yapmış ve bu atışların
3
5 i tahtaya isabet etmiştir.
³ Atıcının beyaz ve kırmızı bölümlere isabet eden atışları
aşağıdaki hedef tahtasında  işareti ile gösterilmiştir.
27. Aşağıdaki çıkarma tablosunda, Ç harfi çift doğal sayıları T
harfi tek doğal sayıları göstermektedir.
–
T
Ç
T
I
III
Ç
II
IV
Buna göre I, II, III ve IV numaralı yerine sırasıyla aşağıdakilerden hangisi yazılmalıdır?
A) Ç, T, T, Ç
B) Ç, T, T, T
D) T, T, Ç, Ç
I=T–T=Ç
II = Ç – T = T
III = T – Ç = T
IV = Ç – Ç = Ç
I, II, III, IV = Ç, T, T, Ç
C) Ç, Ç, T, T
E) T, Ç, T, Ç
Bu atıcının aldığı toplam puan 61 olduğuna göre x
kaçtır?
A) 15
B) 18
C) 20
D) 25
E) 30
3 . 3 + 2 . 6 + a . 10 = 61
a=4
3
x . 5 = 9 ⇒ x = 15
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
Tarama
31. A Bir karakolda her 15 polise 2 komiser bulunmaktadır.
A Bu karakoldaki polis ve komiser sayılarının toplamı
102 dir.
Buna göre, bu karakolda kaç tane komiser vardır?
A) 16
B) 14
C) 12
D) 10
E) 8
Karakolda 2x komiser varsa 15x polis vardır.
34. Bir sayının;
1
3 ünün 1 fazlası,
3
³
5 inin 9 fazlasının yarısına,
eşittir.
³
Buna göre, bu sayı kaçtır?
A) 105
2x + 15x = 102
B) 110
C) 115
D) 120
E) 125
Sayı = 15x olsun.
17x = 102 ⇒ x = 6 ⇒ 2x = 12
3
15x. 5 + 9
1
15x. 3 + 1 =
2
+9
x
9
5x + 1 = 2 & 10x + 2 = 9x + 9
x=7
15x = 105
32.  a ve b sayma sayılarıdır.
 a sayısının 3 katı ile b sayısının 5 katının toplamı 75
dir.
Buna göre, a + b toplamının değeri aşağıdakilerden
hangisi olamaz?
A) 17
B) 19
C) 21
D) 23
E) 25
+ x + x + ... + x + 3 = 4 + 4 + 4 + ...4 + 24
35. 1x444444444
24444444443
1444444442444444443
7 tan e
x tan e
olduğuna göre, x kaçtır?
3a + 5b = 75
a + b toplamları : 20 + 3 = 23,
15 + 6 = 21, 10 + 9 = 19, 5 + 12 = 17 olabilir 25 olamaz.
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
7 . x + 3 = 4 . x + 24
3x = 21
x=7
33. Aşağıdaki şekil A, B, C, D, E, F, K, L ve M kentleri arasında bulunan yolları ve yönlerini göstermektedir.
A
B
C
D
E
F
K
L
36. Bir Adliyede haciz edilen bir otomobilin açık arttırma
ile satıldığı bir satış hakkında aşağıdakiler bilinmektedir.
M
³ Şekilde oklar ile gösterilen yolların uzunlukları birbirle-
rine eşittir.
³ Yollarda sadece ok yönünde hareket edelebilmektedir
ve her şehirden en çok bir kez geçebilmektedir.
³ Saatteki hızı 20 km olan bir araç A kentinden M kentine
en çok 3 saatte ulaşmaktadır.
B) D-E
C) A-D
D) B-C
E) L-M
ABCFELM olsun her bir yol x ise 6x = 3.20 ⇒ x = 10 dur. D den F ye 60
km yol ile ulaşabilmek için AD yolu değiştirilir.
6
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
³ Otomobilin artırmadaki açılış fiyatı ¨20,000 dir.
³ Her katılımcının yaptığı ilk artış ¨1000 dir.
³ Bir katılımcının yapacağı her bir artış yaptığı son artı-
şın ¨2000 fazlasıdır.
³ Her katılımcı en çok iki kez artış yapmıştır.
Buna göre, hangi iki şehir arasındaki yolun yönü değiştirilirse D kentinden F kentine 60 km yol giderek
ulaşılabilir?
A) A - B
³ Arttırmaya 4 kişi katılmıştır.
Buna göre, bu otomobil en fazla kaç bin ¨ ye satılmıştır?
A) 30
B) 32
C) 35
D) 36
E) 40
Her katılımcı 2 kez arttırsın o halde otomobil
en fazla 20 + 1 + 1 +1+1 + 3 + 3+ +3 + 3 = 36 bin ¨ ye satılmıştır.
Tarama
37.  a ve b pozitif tam sayılardır.
40. n bir pozitif tam sayı olmak üzere aşağıda Kn kapalı aralı-
 |a – 2| = 4
ğı tanımlanıyor.
 4 ≤ a + b < 10
³ Kn = [n, 2n]
olduğuna göre, b'nin alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
³ S(Kn); bu kapalı aralıkta bulunan tam sayıların adedi-
A) 3
Buna göre, S(K100) kaçtır?
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
|a – 2| = 4 ⇒ a – 2 = 4 veya a – 2 = –4
dir.
A) 107
⇒ a = 6 veya a = - 2
B) 106
C) 104
D) 101
E) 100
K100 = [100, 200]
4 ≤ 6 + b < 10 ⇒ –2 ≤ b < 4
S(K100) ; 100, 101, 102, ....... 200
1+2+3=6
Terim sayısı =
200 - 100 + =
1 101
1
41. Asya, Ekin'in bugünkü yaşındayken Ekin'in doğmasına 7
38. A, B ve C kişileri 682 ¨'yi aralarında şu şekilde paylaşıyor.
³ Birinci dağıtımda para sırasıyla 2, 4 ve 5 ile doğru
orantılı olarak dağıtılıyor.
olarak dağıtılıyor.
Buna göre, A kişisi ikinci dağıtımda birinci dağıtımdan kaç ¨ fazla para almıştır?
B) 10
C) 12
Buna göre, Asya'nın 4 yıl öncesi yaşı aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A) 23
³ İkinci dağıtımda para sırasıyla 5, 3, 2 ile ters orantılı
A) 8
yıl vardı.
D) 14
B) 24
C) 26
_
A E bbb
b x - y = y - (- 7)
x y `b
x = 2y + 7
b
y - 7 bb
a
Asya'nın 4 yıl önceki yaşı x = 2y + 3 tür. O halde x = 23 olabilir.
42. Üç basamaklı ABC doğal sayıları için ABC işlemi;
ABC = ACB + AC + A
k = 62
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
A = 124
İkinci: 5A = 3B = 2C = 60n ⇒ A + B + C = 682
ABC = 400
12n + 20n + 30n = 682
n = 11
A = 132
E) 30
E) 16
A
B
C
Birinci: 2 = 4 = 5 = k ⇒ A + B + C = 682
2k + 4k + 5k = 682
D) 28
eşitliğini sağlayan B rakamı kaçtır?
A) 1
132 – 124 = 8
B) 2
C) 3
D) 6
E) 7
4
D) 3
E) 2
ACB + AC + A = 400
111A + 11C + B = 400
↓
↓
↓
3
39. Bir işin tamamını;
6
1
³ Ahmet tek başına 4 günde,
³ Nuray tek başına 6 günde,
1
³ Cengiz tek başına 12 günde bitiriyor.
Buna göre, üçü aynı anda işe başladıktan kaç gün
sonra işin tamamı biter?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
1
1
1
6
e 4 + 6 + 12 o .x = 1 & 12 .x = 1 & x = 2
(3)
(2)
E) 6
143. a1 + 79 k 2
işleminin sonucu kaçtır?
1
A) 3
1
2
` 16
9 j =
2
B) 3
C) 1
16 = 4
9
3
(1)
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
Tarama
44.
0
47.  Zeynep bir işin 14 ünü x günde yapıyor.
x
Yukarıda verilen sayı doğrusu üzerindeki x sayısı ile
ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
³ Sayı doğrusu üzerindeki x noktasından hareket edile-
rek önce x sayısının başlangıç noktasına uzaklığının 3
katı kadar sola hareket ediliyor.
³ Daha sonra yeni noktanın başlangıç noktasına uzaklı-
ğının 5 katı kadar sağa hareket ediliyor.
³ En son olarak yeni noktanın başlangıç noktasına olan
uzaklığının 4 katı kadar sola hareket ediliyor.
Bu işlemler sonucunda sayı doğrusu üzerinde –144
noktasına gelindiğine göre, x kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 12
x sayısı önce 3|x| = 3x kadar sola hareket ederek x –3x, –2x noktası
5|–2x| = 10x kadar sağa hareket ederek –2x+10x = 8x, en son 8x noktası 4|8x| = 32x kadar sola hareket ederek 8x – 32x = –24x noktasına
gelinir. –24x = –144 ⇒ x = 6
1
 Cansın aynı işin x ini 6 günde yapıyor.
 İkisi beraber aynı işin tamamını 12 günde yapıyor.
Buna göre, x kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
4
Zeynep işin tamamını 1 .x = 4x
x
Cansın işin tamamını 1 .6 = 6x günde yapar.
1
1
12 12
12 ` 4x + 6x j = 1 & 4x + 6x = 1
3 2
& x + x = 1&x= 5
48. Bir bilet kuyruğu ile ilgili aşağıdakiler verilmektedir.
³ Bir gişe memurunun hizmet verdiği bilet satış noktasın-
da bir müşterinin işini halletmesi 15 dakika sürmektedir.
³ Kuyruğun sonuna her 5 dakikada bir 3 kişi katılmakta-
dır.
³ Kuyrukta sırada bulunan Özgür'ün önünde bulunan
45. 100 kişilik bir topluluk ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
³ 2 saat sonra Özgür kuyruğun tam ortasında buluna-
caktır.
³ Kadın sayısı erkek sayısına eşittir.
³ Kadınların 3 yıl önceki yaş ortalaması 17 dir.
³ Erkeklerin 2 yıl sonraki yaş ortalaması 26 olacaktır.
Buna göre, topluluğun yaş ortalaması kaçtır?
A) 18
kişi sayısı arkasında bulunan kişi sayısının 3 katından
6 eksiktir.
B) 19
C) 20
D) 21
E) 22
Kadınların yaşları toplamı, 50 . 20 = 1000
Erkeklerin yaşları toplamı, 50 . 24 = 1200
Topluluğun yaş ortalaması =
1000 + 1200 =
22
100
³ Gişe Memuru iki müşteri arasında zaman kaybetme-
mektedir.
Buna göre Özgür biletini kaç saat sonra alır?
A) 29
B) 30
C) 31
D) 32
E) 33
2 saat sonra kuyruğun önünden 8 kişi ayrılır.
Kuyruğun sonuna 3.24 = 72 kişi gelir. Başlangıçta Özgürün arkasında x
önünde 3x – 6 kişi vardır.
x + 72 = 3x – 8 –6
2x = 86
x = 43
1
Özgürün önünde 3 . 43 – 6 = 123 kişi vardır. O halde 124. 4 = 31 saat
sonra biletini alır.
46. 16,75 metre uzunluğundaki bir ipin bir tarafından x metre
kesildiğinde ip 1,35 metre uzunluğunda eş parçalara tam
olarak ayrılabiliyor.
Buna göre, x en az kaçtır?
A) 0,4
B) 0,5
C) 0,55
16,75 1,35
- 16,20 12
0,55
x en az 0,55 metredir.
8
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) 0,65
E) 0,75
49. 24.a km lik bir yolu 2.a saatte gidip 4.a saatte dönen
bir otomobilin, gidiş - dönüşteki ortalama hızı saatte
kaç km dir?
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
Toplam yol
24a + 24a
48a
Vort = Toplam zaman = 2a + 4a = 6a = 8
E) 12
Tarama
50.
53. Sabit hızla giden A ve B araçlarının yol - zaman grafiği
2|2 – x | + |x – 2| = 12
denkleminin çözüm kümesinde bulunan elemanlar
çarpımı kaçtır?
A) –12
B) –10
C) –8
D) –6
aşağıda verilmiştir.
yol (km)
E) –4
⇒ |x – 2| = 4
x–2=4
veya
x – 2 = –4
x = 6
veya
x=–2
6. (–2) = –12
A
360
2|2 – x | + |x – 2| = 12 ⇒ 3|x – 2| = 12
B
240
3
6
x
zaman (saat)
ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
Bu iki hareketli aralarında 480 km mesafe bulunan
iki şehirden karşılıklı olarak aynı anda ve birbirlerine
doğru hareket ettiklerinde kaç saat sonra karşılaşırlar?
³ Küp biçimindeki zarın yüzlerinde 2 den 7 ye kadar olan
A) 2
51. Ali ve Bülent'in tek bir zarla oynadıkları zar oyunu ile
doğal sayılar bulunmaktadır.
B) 3
C) 4
³ Her biri, zarı bir defa atıyor.
D) 5
E) 6
360
VA = 3 = 120
240
VB = 6 = 40,
(120 + 40) . t = 480, ⇒ t = 3
³ Aynı sayı gelirse berabere kalıyorlar.
³ Gelen sayılar toplamı 2 nin tam katı değil ise büyük
atan kazanıyor.
³ Gelen sayılar toplamı 2 nin tam katı ise küçük atan ka-
zanıyor.
Ali'nin attığı zar 4 geldiğine göre, Bülent'in attığı zar
kaç gelirse oyunu Bülent kazanır?
A) 6,7
B) 2,4
C) 3,7
D) 2,5
E) 2,5,7
Bülent, 2 atarsa, toplam 2 nin katı olur ve küçük zar atan Bülent kazanır. Bülent 5 ve 7 atarsa toplam 2 nin katı olmayacağından büyük zar
atan Bülent kazanır.
54. 20 kişilik bir gezi grubu 6 çeşit meyve suyu satan bir satıcıdan birer tane meyve suyu satın alıyorlar.
Her çeşit meyve suyundan mutlaka alındığına göre
aynı çeşit meyve suyu alanların sayısı en çok kaçtır?
A) 20
A
1
B
1
B) 18
C
1
D
1
E
1
C) 15
D) 12
E) 10
D) 2
5
E) 2
F
15
52. Bir torbadaki cevizleri Anıl, Burcu ve Cemil şu şekilde
paylaşıyor.
1
2 sinin 12 fazlasını alıyor.
1
³ Burcu da torbada kalan cevizlerin
2 sinin 12 fazlasını
alıyor.
³ Anıl torbadaki cevizlerin
1
³ Cemil de torbada kalan cevizlerin
2 sinin 12 fazlasını
alıyor ve torbada hiç ceviz kalmıyor.
Buna göre başlangıçta torbada bulunan ceviz sayısı
kaçtır?
A) 168
B) 170
C) 172
1
Cemil : x . 2 + 12 = x ⇒ x = 24
1
Burcu: y . 2 + 12 + 24 = y ⇒ y = 72
1
Anıl : z. 2 + 12 + 72 = z ⇒ z = 168
D) 176
E) 180
55. ba = bc = 34 olduğuna göre,
ck
b
ab +
c .a a + b k
işleminin sonucu kaçtır?
1
A) 2
B) 1
3
C) 2
a bc + cc k . a 1 b = a bc + 1 k . a 1
+
+
b 1
b b
4+ j 1 =
=`3
1
1 .4
3 +1
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
Tarama
56. Aşağıda verilen şekilde A, B, C ve D kentleri ve üç
aracın hareket yönü ile hızları verilmiştir.
A
B
40 km/sa
C
30 km/sa
D
³ Şekildeki üç araç aynı anda ve şekildeki hız ve yönlerle
harekete başlıyor.
³ B ve D kentlerinden yola çıkan araçtan C noktasında
karşılaşıyor.
³ B ve D kentlerinden çıkan araçların karşılaştığı sürede
A kentinden yola çıkan aracın B noktasına varması
için 30 km yolu kalıyor.
Buna göre A ve B kentleri arası kaç km dir?
B) 120
C) 140
D) 150
E) 160
150 = (30 + 20) . t ⇒ t = 3
ladır.
A Aynur ile Bekir'in yaş ortalaması 18 dir.
Buna göre, Aynur kaç yaşındadır?
Aynur
C) 14
20 lik kart
¨5
¨20
¨36
³ Kartta kullanılmayan paranın iadesi yapılmayacaktır.
³ Bu şehirde 18 gün kalmayı planlayan bir kişi, her gün
metroyu 3 kez kullanacaktır.
Buna göre bu kişi en az kaç ¨ öder?
A) 108
B) 106
C) 104
D) 102
E) 100
18 . 3 = 54 kullanımlık kart almalıdır.
2 tane 20 lik, 1 tane 10 luk, 2 tane 2 lik almalıdır en az
2 . 36 + 1 . 20 + 2. 5 = ¨102 öder.
60. Bir otomobil M liralık akaryakıt ile 720 km yol gidebilmek-
D) 16
A) 640
B) 660
C) 680
D) 690
E) 700
Akaryakıtın fiyatı 8 ¨ olsun.
1
zamlı fiyat 8 + 8 . 8 = ¨9 olur.
720 . 8 = 9 . x
x = 640
E) 18
Bekir
yaşları x
10 luk kart
1
Akaryakıt 8 oranında zamlandıktan sonra bu otomobil M liralık akaryakıt ile kaç km yol gidebilir?
57. A Aynur'un doğum yılı, Bekir'in doğum yılından 8 yıl faz-
B) 12
2 lik kart
tedir.
|AB| = 3. 40 + 30 = 150
A) 10
mesi aşağıdaki gibidir.
20 km/sa
³ B ve D kentleri arasındaki uzaklık 150 km dir.
A) 100
59. Bir şehirde bir öğrenci için metronun fiyat düzenle-
61. Su ile tamamen dolu bir varilin yanında boş bir kova ile
sürahi durmaktadır.
x+8
x+x+8 =
18 ⇒ 2x + 8 = 36
2
⇒ x = 14
58. A Mervenin çalışma hızı Cansu'nun çalışma hızının 2
katıdır.
A Cansu'nun çalışma hızı Burcu'nun çalışma hızının 3
katıdır.
³ Daha sonra kovadaki su ile sürahi dolduruluyor.
A Burcunun çalışma hızı Deryanın çalışma hızının 4 katıdır.
³ Son durumda varil, kova ve sürahideki suyun hacimleri
Buna göre, Merve ve Cansu'nun 10 günde yapabildiği
bir işi Burcu ve Derya kaç günde yapabilir?
Buna göre varil, kova ve sürahi'nin hacimleri sırasıyla
hangi sayılar ile doğru orantılıdır?
A) 36
A) 11, 9, 3
M
24V
B) 48
B
4V
C
12V
C) 56
D
V
(24V + 12V) . 10 = (4V + V) . X
360V = 5V . X
X = 72
10
³ Önce varildeki su ile kova dolduruluyor.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) 72
E) 80
5, 6 ve 3 ile doğru orantılı oluyor.
D) 8, 6, 3
B) 14, 9, 3
C) 14, 9, 1
E) 11, 6, 3
İşlem sonunda kova içindeki suyun hacimleri sırasıyla 5V, 6V ve 3V olsun. O halde varil, kova, sürahi sırasıyla 14V, 9V, 3V olur. 14, 9 ve 3 ile
doğru orantılıdır.
Tarama
62.
 Bir anne ile kızının bugünkü yaşları toplamı 68 dir.
çim ve kum zeminlerden oluşan pist, Tablo II de A ve B
araçlarının her bir zemindeki hızlarını metre / saniye türünden verilmiştir.
 Kızı doğduğunda Anne 32 yaşındaydı.
Buna göre, kızın bugünkü yaşı kaçtır?
B) 14
C) 16
x
Araçlar
k
ra
Kızı
E) 20
p
To
Anne
x + 32
D) 18
Ku
m
A) 12
65. Aşağıda verilen Tablo I de çeşitli uzunluklardaki toprak
x + x + 32 = 68 ⇒ x = 18
Çim
Zemin
A
B
Toprak
20
16
Kum
20
16
Çim
12
16
Tablo 1
Tablo 2
80 metre Toprak, x metre kum ve 480 metre Çim zeminden oluşan bir pistte A ve B araçları yarışı 5 saniye farkla
bitiriyor.
63.
A A musluğu bir havuzu x günde, B musluğu aynı havu-
zu 2x günde dolduruyor.
A) 160
A İkisi birlikte bu boş havuzu 12 günde dolduruyor.
Buna göre, x kaçtır?
A) 16
B) 18
C) 20
Buna göre, x kaç olabilir?
D) 24
E) 28
1
3
1
e x + 2x o .12 = 1 & 2x .12 = 1
(2 )
& x = 18
B) 240
C) 280
D) 300
E) 320
x
480
80
x
480
` 80
20 + 20 + 12 j - ` 16 + 16 + 16 j = 5
x + j-` x + j =
` 20
44
5
16 35
x
9 - 80 = 5
x
80 = 4
x = 320
66. Değerli taşların kullanıldığı bir oyunla ilgili aşağıdaki
bilgiler veriliyor.
³ Her taşın 1., 2., 3., 4., 5. ve 6. olmak üzere altı seviye-
64. Bir taksiye ait ücret tarifesi aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Ücret
Açılış
¨ 3,5
Gidilen her 100 metre için
¨ 0,3
Beklenen her dakika
¨ 0,2
den taşı vardır.
³ 1, 2, 3, 4 ve 5. seviyelerdeki taşlardan herhangi bir se-
viyede olanlardan 4 tanesine birleştirme işlemi uygulanarak bir üst seviyeye dönüştürülebiliyor.
³ Taksiye binen bir müşteri taksiciye "önce yol üzerindeki
Örneğin; 1. seviyede olan taştan 13 tane var ise birleştirme işlemi sonucunda 3 tane 2. seviye taş ve 1 tane 1.
seviye taş ortaya çıkar.
pastahaneye uğramam lazım. Oradaki işim bittiğinde
beni iş yerime bırakırsın." diyor.
³ 6. seviyede bulunan bir taşa birleştirme işlemi uygula-
³ Bu müşteri taksiyle toplam 4 km yol gitmiş ve taksiciye
Buna göre, müşteri pastahanedeki işi için taksiyi kaç
dakika bekletmiştir?
Elinde 14 tane 1. seviye, 7 tane 2. seviye, 1 tane 3.
seviye, 3 tane 4. seviye, 1 tane 5. seviye değerli taş
bulunan bir oyuncu en az kaç tane 1. seviye taş satın
alırsa bir tane 6. seviye taş elde etmiş olur?
A) 10
A) 508
18,5¨ ödemiştir.
B) 12
C) 15
D) 20
4km = 40.100 metre
3,5 + 40 . 0,3 + x . 0,2 = 18,5
x . 0,2 = 18,5 – 15, 5
3
x = 0, 2 = 15
E) 25
namaz.
B) 512
C) 516
D) 518
E) 520
3 tane daha 5. seviye taş, dolayısıyla 9 tane daha 4. seviye taş, dolayısıyla 35 tane 3. seviye taş, dolayısıyla 133 tane 2. seviye taş, dolayısıyla
518 tane 1. seviye taşa ihtiyaç vardır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
Tarama
67.
71. Aşağıda bir kentin yollarını gösteren krokinin belli bir
x + |y| = 4
kısmı yer almaktadır.
|x| + 2 = y
A
sisteminin çözüm kümesinde bulunan (x, y) sıralı ikili
adedi kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
x + ||x| + 2| = 4 ⇒ ||x| + 2| = 4 – x
⇒ |x| + 2 = 4 – x ⇒ |x| = 2 – x
⇒ x = 2 – x veya x = –2 + x
⇒ x = 1 ve y = 3 olur. (1, 3) bir tane sıralı ikili vardır.
B
68. Bir sayının 10 eksiğinin 32 ü, aynı sayının 8 fazlasının 12
sine eşittir.
Buna göre, bu sayı kaçtır?
A) 60
B) 64
C) 66
D
C
³ AB yolu ile AC yolu dik kesişmektedir.
³ [BD] yolunun uzunluğu, [DC] yolunun uzunluğuna eşit-
tir.
³ A, B ve C noktalarından aynı anda harekete başlayan
D) 68
E) 70
2
1
(x - 10) . 3 = (x + 8) . 2
üç aracın hızları VA, VB ve VC dir.
³ Bu üç araç oklar yönünde harekete başlayarak D nok-
tasında karşılaşıyorlar.
4x – 40 = 3x + 24
x = 64
Buna göre,
69. Bir yem fabrikasında bir haftada üretilen ürün, toptancıla-
1
A) 4
VA + VB
oranının değeri kaçtır?
VC
1
B) 2
C) 1
D) 2
E) 3
ra üç tır ile taşınmaktadır.
BA ⊥ AC olduğundan |AD| = |BD| = |DC| dir. Alınan yol ve süreleri eşit
³ Bu tırlar a, b ve c tırlarıdır.
V +V
olduğundan VA = VB = VC olur. A V B = 2 dir.
C
³ Bir haftada üretilen ürünler a, b ve c tırlarıyla 6 saatte,
a ve b tırlarıyla 12 saatte taşınabilmektedir.
Buna göre, fabrikada bir haftada üretilen ürünler c tırıyla kaç saatte taşınabilir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
72. Bir kütüphane ödünç alınan kitaplar ve dergiler için aşağıdaki kuralları belirlemiştir.
³ Kitapların iade süresi 20 gün, dergilerin iade süresi 15
1+1+1 =1
1 1
1
a b c
6 ve a + b = 12
1
1 1
1 1
1
1
1
12 + c = 6 & c = 6 - 12 & c = 12 & c = 12
gündür.
³ Bu süreleri aşan her gün için kitap başı ¨2, dergi başı-
na ¨1 para cezası uygulanmaktadır.
³ Bu kütüphaneden aynı gün bir kitap ve bir dergi ödünç
alan bir kişi daha sonra bunları birlikte iade etmiştir.
Bu kişi ¨32 para cezası ödediğine göre kitabı ve dergiyi ödünç aldıktan kaç gün sonra iade etmiştir?
70. a, b ve c sıfırdan farklı rakamlardır.
a,bc + b,ca + c,ab = 19,98
olduğuna göre, a + b + c toplamının değeri kaçtır?
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
abc bca cab
100 + 100 + 100 = 19, 98
111a + 111b + 111c =
19, 98
100
111 (a + b + c) = 1998 & a + b + c = 18
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
E) 20
A) 29
B) 28
C) 27
D) 26
x gün sonra iade etmiş olsun.
(x – 20) . 2 + (x – 15) . 1 = 32
3x – 55 = 32
3x = 87 ⇒ x = 29
E) 25
Tarama
73. Arif 3 yıl önce, Barış 3 yıl sonra doğmuş olsaydı yaşları
76. A Bir kumaşçı ölçümlerini kolay biçimde yapmak için 50
Arif ile Barış'ın yaşları toplamı 66 olduğuna göre, Arif
kaç yaşındadır?
A Bu kumaşçı boyutları gerçekte 2 metreye 8 metre olan
kumaşı yaptığı tahta parçası ile ölçüyor ve yaptığı bu
ölçüme göre fiyatını hesaplayıp müşterisine satıyor.
eşit olacaktı.
A) 24
B) 28
A
x
C) 30
D) 32
E) 36
B
y
x+3=y –3⇒y–x=6
cm uzunluğunda bir tahta parçası yapıyor.
A Müşteri gittikten sonra 50 cm uzunluğunda olması gereken tahta parçasını yaptığı hata sonucunda 40 cm
olduğunu anlıyor.
Kumaşın metrekare fiyatı ¨5 olduğuna göre, kumaşçı
müşterisinden fazladan kaç ¨ almıştır?
+ y + x = 66
2y = 72 ⇒ y = 36 ⇒ x = 30
A) 40
74. Hızı saatte 140 km olan bir araba ile hızı saatte 60 km
olan kamyon aynı anda A ve B şehirlerinden birbirlerine
doğru hareket etmişlerdir.
A
B
140
60
A ve B şehirleri arası 820 km dir ve belli bir süre sonra
A şehrinden çıkan aracın lastiği patlamış ve yola devam
edememiştir.
Bu iki araç 9 saat sonra karşılaştığına göre lastiği
patlayan aracın lastiği harekete başladıktan kaç saat
sonra patlamıştır?
A) 1
B) 1,5
C) 2
D) 2,5
E) 3
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
Gerçekte 2. 8 = 16 m2 kumaş alır ve 16.5 = 80¨ öder. Her bir ölçümde
10 cm haksızlık vardır. O halde 2 metre 5 seferde 8 metre 20 seferde
ölçüldüğünden kısa kenarı 2,5 metre uzun kenar 10 metre ölçer.
2,5 . 10 . 5 – 80 = 125 – 80 = 45
77. a ve b doğal sayılardır.
15 + 2a =
b
a
olduğuna göre, b nin alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
t saat sonra lastik patlasın.
15
15 + 2a =
b & b = 2+ a
a
a
(140 + 60) . t + (9 – t) . 60 = 820
(a, b) sıralı ikilileri (1, 17), (3, 7), (5, 5), (15, 3) tür 4 farklı b değeri vardır.
140 t + 540 = 820 ⇒ t = 2
75. Aşağıda birbirlerini çeviren üç çark verilmiştir.
78. Saat a : b yi gösterirken akrep ile yelkovan arasında ki
dar açı şu şekilde bulunur.
11.dakika - 60.saat
2
³ b dakika ve a saat olmak üzere
Açı =
C
A
a < 12 ise saat yerine a
B
a ≥ 12 ise saat yerine a nın 12
³ Üç çarkın diş sayıları toplamı 440 dır.
ile bölümünden kalan yazılır.
³ A dişlisi 1 tur yaptığında, B dişlisi 2 tur ve C dişlisi 3 tur
Buna göre, saat 15:20 de akrep ile yelkovan arasındaki dar açı kaç derecedir?
yapmaktadır.
A) 10
Buna göre, C çarkının kaç dişlisi vardır?
A) 60
B) 80
C) 120
D) 160
Tur sayısı ile diş sayısı ters orantılıdır.
1. A = 2. B = 3. C = 6k
A = 6k, B = 3k, C = 2k
6k + 3k + 2k = 440 ⇒ k = 40 ⇒ C = 2k = 80
E) 240
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
dakika = 20, saat = 3
Açı =
11.20 - 60.3
220 - 180
=
= 200
2
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
Tarama
79. A, B ve C kişileri eşit hisseli bir şirketi şu şekilde kuruyorlar.
82. Bir öğrenci, her gün aynı sayıda soru çözerek ödevini
bitirmiştir.
4
³ Sermayenin
7 sini A, kalanını B vermiştir.
³ Bu öğrencinin ilk 3 günde çözdüğü soru sayısı çözdü-
ğü tüm soruların sayısının üçte biridir.
³ C kişisi A ve B ye borçlanmıştır.
³ Bu öğrencinin ilk 7 günde çözdüğü soru sayısı çözdü-
³ C kişisinin A ya 40 milyon dolar borcu vardır.
ğü tüm soruların sayısından 80 eksiktir.
Buna göre C nin B ye kaç milyon dolar borcu vardır?
A) 10
B) 15
C) 16
D) 24
Buna göre, bu öğrencinin çözdüğü ödev kaç sorudan
oluşmuştur?
E) 32
Sermayenin tamamı 21x olsun.
A) 240
B) 270
C) 300
A
B
C
Her gün x soru çözülsün.
12x
9x
0
Tüm soru adedi 3x . 3 = 9x olur.
E) 480
D) 5
E) 6
7x = 9x – 80 ⇒ 2x = 80 ⇒ x = 40
Normalde eşit paylaşımda kişi başına 7x borç düşer.
⇒ 9x = 360
12x – 7x = 5x = 40 ⇒ x = 8
D) 360
2x = 16
83.
olduğuna göre, y kaçtır?
0,5
80. 7 . a 21,5 - 03,5 k
işleminin sonucu kaçtır?
A) –0,5
B) –0,4
3 x = 3 x ve x10 = 9y
A) 2
B) 3
C) 4
( 3 x) 2 = (3 x ) 2⇒ 3x2 = 9x
C) –0,02
D) –0,1
3x2 – 9x = 0 ⇒ 3x . (x – 3) = 0 ⇒ x = 3
E) –1
310 = 9y ⇒ 310= 32y ⇒ 10 = 2y
5 10 30
1 10 - 150
70 . e 25 - 5 o = 14 . ` 25 j
⇒y=5
(5)
1 - 140 - 10 - 2 - 4
14 . 25 = 25 = 5 = 10 = - 0,4
84. Bir belediyenin düzenlemiş olduğu yaz okuluna kayıt yaptıran öğrenci sayılarının bazıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Erkek
Kız
Matematik
81. I. 4 ekmek için ¨10 ödeyen bir kişi 5 ekmek için kaç ¨
öder?
II. Bir duvarı günde 3saat çalışarak 10 günde bitiren bir
işçi günde 5 saat çalışarak kaç günde bitirir?
III. 240 km lik bir yolu 6 saatte giden bir araç aynı hızla
360 km lik yolu kaç saatte alır?
Yukarıda verilen problemlerin hangisi doğru orantı
kullanılarak çözülür?
A) Yalnız I
D) I ve III
B) Yalnız II
C) Yalnız III
E) I ve II
Ekmek sayısı arttıkça ödenecek fiyat artar. O halde I de doğru orantı
kullanılır. Çalışma zamanı artarsa işçi daha kısa sürede bitireceğinden
II ters orantı kullanılarak çözülür. Yol arttıkça zaman artacağından III
doğru orantı kullanılarak çözülür.
16
Geometri
10
30
Türkçe
15
5
Tarih
18
³ Bu Yaz Okulunda Tarih dersine kayıtlı kız öğrencilerin
sayısı, Matematik dersine kayıtlı erkek öğrenci sayısının 3 katıdır.
³ Ayrıca kurslara katılan toplam kız sayısı toplam erkek
sayısının 2 katıdır.
Buna göre, Matematik dersine kayıtlı olan kaç erkek
öğrenci vardır?
A) 30
B) 35
C) 36
(16 + 30 + 5 + 3x) = 2. (x + 10 + 15 + 18)
3x + 51 = 2x + 86
x = 35
14
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) 40
E) 45
Tarama
85.  |x – 2| ≤ 2 eşitsizliğini sağlayan x pozitif tam sayılarının adedi a dır.
A
25 - 3 - 8 + 81 işleminin sonucu d dir.

BİTİŞ
 2x – y = 7 ve x + y = 20 denklem sisteminin çözüm
kümesi (b, c) dir.
87.
B
 –2 < 3x + 1 ≤ 7 eşitsizliğini sağlayan e tane x tam sayısı vardır.
Buna göre
C
"Bir kuş sürüsü bir ağacın dallarına e şer e şer dizilince b
kuş açıkta kalıyor. Eğer kuşlar dallara a şar a şar dizilirse
d kuş eksik kalıyor. Buna göre sürüdeki kuş sayısı kaçtır?"
Yukarıda dairesel bir pistin belli bir kısmı modellenmiştir.
Üç atletin katıldığı yarış ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
Sorusunun cevabı aşağıdakilerden hangisidir?
³ A, B ve C noktalarından koşuya başlayan atletlerin hız-
A) 78
B) 80
C) 82
D) 84
E) 86
–2 ≤ x – 2 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ x ≤ 4 ⇒ 1, 2, 3, 4 ⇒ a = 4
_
2x - y = 7 bbb
b
+ x + y = 20 `b
b
3x = 27 bb ⇒ x = 9 ⇒ b = 9
a
25 - 3 - 8 + 81 = 5 – (–2) + 9 = 16 = d
ları sırasıyla dakikada 30 metre, 20 metre ve 10 metredir.
³ B ve C noktalarında koşuya başlayan koşucuların bitiş
çizgisine uzaklıkları sırasıyla 300 metre ve 260 metredir.
³ Yarışmacılar kendi parkurlarında koşmak zorundadır
–2 –1 < 3x ≤ 7 – 1⇒ –1 < x ≤ 2 ⇒ {0, 1, 2} ⇒ e = 3
ve A noktasından koşuya başlayan atlet B ve C noktalarından koşmaya başlayan atletler yanyana geldikten
8 dakika sonra yarışı bitirmektedir.
3x + 9 = 4x – 16 ⇒ x = 25 ⇒ sürü = 3x + 9 = 84
86. Aşağıda gösterilen şekilde yanyana bulunan yükseklikleri
ve hacimleri eşit olan iki havuz ile ilgili aşağıda bilgiler
veriliyor.
Üç koşucu aynı anda koşuya başladığına göre A noktasındaki atletin parkurunun uzunluğu kaç metredir?
A) 480
B) 360
C) 280
D) 260
E) 240
(300 – 260) = (20 – 10)t
t = 4 ⇒ x = 30(8 + 4) = 360
A
B
88. Bir lokantada bulunan Ali, Bilge ve Cüneyt'in Çorba, Dö³ Şekildeki A havuzunun tamamı suyla dolu B havuzu-
nun tamamı boştur.
³ Her bir kişi bu yiyeceklerden yalnızca birini yemiştir.
³ A havuzunu soldaki musluk tek başına 12 saatte bo-
şaltabiliyor. Sağdaki musluk B havuzunun tamamını 16
saatte doldurabiliyor.
İki musluk aynı anda açıldıktan kaç saat sonra havuzlardaki su seviyeleri birbirine eşit olur?
48
A) 7
B) 6
ner ve Tatlıdan hangisini yedikleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
45
C) 7
D) 5
Havuzların hacimleri 48 litre olsun.
48
Soldaki musluk saatte 12 = 4 litre boşaltır.
48
Sağdaki musluk saatte 16 = 3 litre doldurur.
48
48 – 4. t = 3. t ⇒ t = 7
36
E) 7
³ Ali çorba içmemiştir.
³ Bilge ne çorba ne de döner yemiştir.
Buna göre Ali, Bilge ve Cüneyt'in yedikleri yiyecekler
aşağıdakilerden hangisinde baş harfleri kullanılarak
doğru olarak verilmiştir?
A) D, T, Ç
B) D, Ç, T
D) Ç, D, T
C) T, D, Ç
E) T, Ç, D
A
B
Döner
Tatlı
C
Çorba ⇒ D, T, Ç
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
Tarama
89. A ve B gruplarının sahne aldığı, bir konsere giden 2500
seyirciden 1600 ü A grubunu, 1200 ü de B grubunu dinlemiştir.
91. 311 metre uzunluğundaki boş bir çıkmaz sokağın sadece
bir yanına aşağıdaki özelliklere uyacak biçimde ve mümkün olan en çok sayıda özdeş evler inşa ediliyor.
Buna göre, her iki grubu da dinleyen kaç seyirci vardır?
A) 200
B) 300
D) 500
³ Evlerin her biri 8 metre genişliğindedir.
³ Evlerin aralarında 3 er metre boşluk vardı.
C) 400
³ Sokaktaki ilk evin, sokağın girişine olan uzaklığı 4 met-
E) 600
redir.
s(A ∪ B) = = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
³ Sokağın girişinden başlayarak ilk beş ev sırasıyla kır-
2500 = 1600 + 1200 – s(A ∩ B)
mızı, kırmızı, beyaz, beyaz, mavi renk ile boyanıyor,
sıradaki diğer evler de aynı renk düzeni ile boyanıyor.
s(A ∩ B) = 300
Buna göre, sokağa kaç tane beyaz boyalı ev inşa edilmiştir?
A) 15
B) 14
C) 13
D) 12
E) 11
311 – 4 = 307 ve 8 + 3 = 11 er metre arayla ev yapıldığından
307 = 11 . 27 +  → bir ev sığar
27 + 1 = 28 ev yapılır.
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 3 şeklinde ayırılırsa
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 11 beyaz ev inşa edilir.
92.
90. Aşağıda 16 kareden oluşan şekilde sayı yazan kareler
30
9
42
T1
T2
hariç diğer kareler içerisinde en az bir tane mayın vardır.
1
A
2
5
K
B
A ve B noktalarından aynı anda birbirine doğru hareket
eden iki tren ve K noktasında trenler ile aynı anda harekete başlayan kuş verilmiştir.
3
³ T1 treninin saatteki hızı 30 km, T2 treninin saatteki hızı
İçinde sayı olan karelerdeki sayılar o karenin komşusu
olan (sağında, solunda, altında, üstünde ve çaprazında
bulunan karelerde bulunan) mayınların toplam sayısını
vermektedir.
42 km, kuşun hızı saatte 9 km dir.
³ Kuş ile T2 treni birbirine doğru hareket ettikten 20 daki-
ka sonra karşılaşıyor.
³ Kuş, T2 treni ile karşılaştıktan sonra zaman kaybetme-
den yönünü değiştiriyor ve 12 dakika sonra T1 treni ile
karşılaşıyor.
Buna göre, verilen şekilde gizlenmiş olan mayın sayısı en az kaçtır?
A) 8
B) 7
1

C) 6
D) 5

5

Buna göre, A ve B noktaları arası kaç km dir?
A) 31,8
2

E) 4
B) 31,9
C) 32
D) 33
E) 34,9
1
1
20 dakika sonra T1 treni 30. 3 = 10 km , T2 treni 42. 3 = 14 km
1
kuş 9. 3 = 3km yol alır. Yönünü değiştirdiğinde
1
kuş T1 ile 12 dk sonra karşılaştığına göre (30 + 9) . 5 = 7,8 km
3

Her bir  bir mayın olsun en az 5 mayın vardır.
|AB| = 7,8 + 10 + 14 = 31, 8
76.B 77.C 78.B 79.C 80.B 81.D 82.D 83.D 84.B 85.D 86.A 87.B 88.A 87.B 88.A 89.B 90.D 91.E 92.A
26.C 27.A 28.E 29.B 30.A 31.C 32.E 33.C 34.A 35.B 36.D 37.C 38.A 39.A 40.D 41.A 42.A 43.D 44.C 45.E 46.C 47.C 48.C 49.D 50.A
1.B 2.D
3.D
4.C
5.C
6.B
7.C
8.C
9.C
10.D 11.B 12.D 13.B 14.D 15.B 16.C 17.A 18.A 19.B 20.A 21.A 22.A 23.C 24.E 25.D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
51.E 52.A 53.B 54.C 55.B 56.D 57.C 58.D 59.D 60.A 61.B 62.D 63.B 64.C 65.E 66.D 67.B 68.B 69.D 70.C 71.D 72.A 73.C 74.C 75.B
16
YGS // MATEMATİK
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Yüzde Problemleri, Kâr – Zarar Problemleri
hhYüzde Problemlerİ
FÖY NO
20
Örnek 5:
a
Bir x sayısının % a sını almak x sayısını 100 ile çarpmak demektir.
a
x. 100
360 sayısının yüzde kaçı 108 dir?
x
100.108
360. 100 = 108 & x = 360 = 30
Örnek 1:
Cevap: 30
Not
200 sayısının %30'u kaçtır?
30
200. 100 = 60
a tane kız b tane erkek öğrenciden oluşan bir sınıftaki
a
kız öğrencilerin yüzdesi a + b .100
b
erkek öğrencilerin yüzdesi a + b .100 olur.
Cevap: 60
Örnek 2:
Örnek 6:
400 sayısının % 20 sinin % 40 ı kaçtır?
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
20 40
400. 100 . 100 = 32
Cevap: 32
a) 3 kız ve 2 erkekten oluşan bir topluluğun yüzde
kaçı erkektir?
b) 6 sayısı 30 sayısının yüzde kaçıdır?
Örnek 3:
Hangi sayının % 20 si 36 dır?
a)
b)
x
20
x. 100 = 36 ( 5 = 36 ( x = 180
Cevap: 40, 20
Cevap: 180
Not
Örnek 4:
300 sayısının % 12 si, hangi sayının % 18 ine eşittir?
12
18
300. 100 = x. 100 & 300.12 = 18.x
&x=
2
5 .100 = 40
6
30 .100 = 20
300.12 =
200
18
Cevap: 200
Bir A sayısının
x = d 100 + x n
hh % x fazlası; A + A. 100
A. 100
x = d 100 - x n
hh % x eksiği; A - A. 100
dır.
A 100
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Yüzde Problemleri
Örnek 7:
Örnek 11:
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) 250 sayısının % 20 fazlası kaçtır?
a sayısı b sayısının %16 sı b sayısı da c sayısının %25 i dir.
Buna göre, a sayısı c sayısının yüzde kaçtır?
b) 360 sayısının % 40 eksiği kaçtır?
A) 8
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
c) 120 sayısının yüzde kaç fazlası 150 dir?
a) 250 `
100 + 20 j =
120
250. 100 = 300
100
100 - 40
60
b) 360. ` 100 j = 360. 100 = 216
30
c) 120 .100 = %25
Cevap: 300, 216, 25
c = 100x olsun.
25
b = 100x. 100 = 25x
ve
16
a = 25x. 100 = 4x
Cevap: D
a sayısı c sayısının 100 de 4 üdur.
Örnek 8:
Bir sayının % 40 ının % 10 u aynı sayının yüzde kaçıdır?
Sayı 100x olsun.
Örnek 12:
Cevap: 4
40 10
100x. 100 . 100 = 4
% 4 üdür.
Buğdaydan ağırlığının % 40 ı kadar un, undan ağırlığının
%120 si kadar hamur elde ediliyor.
Buna göre, 960 gram hamur elde etmek için kaç gram
buğday gereklidir?
Örnek 9:
Bir satıcı elindeki malın önce % 60 ını daha sonrada kalan
malın % 15 ini satmıştır.
40 120
Buğday . 100 . 100 = 960
48
Buğday . 100 = 960 → Buday = 2000 gram
Cevap: 200
Buna göre, başlangıçtaki malın yüzde kaçını satmıştır?
Malın tamamı 100x olsun.
60
önce 100x. 100 = 60x satıldı.
15
sonra 40x. 100 = 6x satıldı.
Başlangıçtaki malın 100 de 66 sı satıldı.
Cevap: 66
Örnek 13:
Bir gezi grubunda bayanların sayısı erkeklerin sayısının %
40 ı dır.
Örnek 10:
Ahmet parasının %20 sini harcadıktan sonra kalan parasının % 30 unu Bilge'ye veriyor. Son durumda Ahmet ve Bil-
Bu grupta bulunan bayanların sayısı 20 den fazla olduğuna göre, erkeklerin sayısı en az kaçtır?
genin paraları eşit olduğuna göre Bilge'nin başlangıçtaki
parası Ahmet'in parasının yüzde kaçıdır?
Ahmet'in 100x Bilgenin y lirası olsun.
20
30
ve
100x. 100 = 20x
80x. 100 = 24x
32 x
y + 24x = 80x –24x
100x .100 = %32 sidir.
y = 32x
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 32
Bayanlar x erkekler y olsun.
Cevap: 55
40
x = 100 .y & 5x = 2y
x = 2k ve y = 5k ⇒ 2k > 20 ⇒ k>10 ⇒ k en az 11 y en az 55 olur.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Yüzde Problemleri
Örnek 14:
Örnek 17:
Bir okuldaki 40 öğretmenin % 30 u erkek öğretmendir.
%10 u kız öğrenci olan bir sınıfa 6 kız öğrenci daha katıldığında sınıftaki kız öğrenci oranı % 25 olmuştur.
Bu okula 20 bayan öğretmen daha geldiğinde erkek öğretmenler bayan öğretmenlerin yüzde kaçına eşit olacaktır?
E
B
30
28
40. 100 = 12
x
100.12
12 = 48 . 100 & x = 48 = 25 olur.
Cevap: 25
Buna göre, başlangıçta kız öğrenci sayısı kaçtır?
Sınıf
Kız
Erkek
100x
10x
90x
Cevap: 3
100x + 6
10x+6
90x
25
(100x + 6). 100 = 10x + 6
100x + 6 = 40x + 24
60x = 18 ⇒10x = 3
Örnek 18:
Örnek 15:
Yandaki daire grafiği bir oto galeride
bulunan A, B, C, D ve E marka otomobillerin sayılarının oranını göstermektedir.
Tavuk ve kazların bulunduğu bir kümeste 10 tavuk vardır.
Tavuklar 7 si kazların % 30 u beyazdır.
E
D
A 72º
60º
Buna göre, bu oto galeride tüm
araçların yüzde kaçı A markasıdır?
B
72
360 .100 = %20
Tüm kümesin % 38 i beyaz olduğuna göre kümeste toplam kaç hayvan vardır?
C
Cevap: 20
Cevap: 50
38
(100x + 10) . 100 = 30x + 7
3800x + 380 = 3000x + 700
800x = 320
Kaz
Tümü
10
100x
Beyaz
7
30x
100x = 40 ⇒ Tümü ⇒ 100x + 10 = 40 + 10 = 50
Örnek 16:
Yanda verilen tabloda
bir kuruyemişçinin fındık,
leblebi ve fıstık kullanarak
oluşturduğu karışımdaki
miktarları ve yüzdeleri verilmiştir.
Tavuk
Miktar kg Yüzde
Fındık
Leblebi
Fıstık
48
% 20
% 60
Örnek 19:
Bir ildeki Anaokullarının tüm okullar içindeki payı 2000 yılında % 10, 2010 yılında ise % 15 tir. Bu ilde 2000 - 2010 yılları
arasında açılan 50 okulun 20 si anaokuludur.
Buna göre, bu ilde 2000 yılında kaç anaokulu vardır?
Buna göre, karışımdaki fındık miktarı fıstık miktarından
kaç kg eksiktir?
20
x. 100 = 48 & x = 240 (karışımın tamamı)
60
Fıstık = 240. 100 = 144
20
Fındık = 240. 100 = 48 & 144 - 48 = 96
Cevap: 96
Cevap: 25
15
(100x + 50) . 100 = 10x + 20
1500x + 750 = 1000x + 2000
500x = 1250
10x = 25
2000
2010
Anaokullar
10x
10x+20
Tüm okullar
100x
100x+50
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Yüzde Problemleri
Örnek 20:
Örnek 23:
Bir yay çekilip uzatıldığında boyu %120 artıyor. Buna göre
çekilmiş halde boyu 165 cm olan yayın çekilmeden önceki boyu kaç cm dir?
220
x. 100 = 165 &
Bir dikdörtgenin boyu % 30 azaltılıp
eni % 40 artırılırsa alanındaki yüzdelik değişim ne olur?
Cevap: 75
Dikdörtgen kenarları 10 ar cm olusn.
11
165.5
x. 5 = 165 & x = 11 = 75
Cevap: %2
Alanı 100 cm2 dür.
140
70
Yeni alan = 10. 100 .10. 100 = 98 cm olur.
Alan 100 de 2 azalır.
Örnek 21:
a sayısı % 30 arttırıldığında b sayısı, b sayısı % 20 azaltıldığında c sayısı elde ediliyor.
Buna göre, a sayısı yüzde kaç artırılırsa c sayısı elde
edilir?
a = 100 olsun.
130
b = 100 . 100 = 130
80
c = 130 . 100 = 104
Cevap: 4
Örnek 24:
Bir otomobil lastiği satıcısı, lastiklerde % 25 mevsim sonu
indirimi uyguladığında bir günde satılan lastik sayısının
%40 arttığını görüyor.
Buna göre, satıcının kasasına bir günde giren para yüzde kaç artmıştır?
a sayısı 100 de 4 artırılırsa c sayısı bulunur.
Adet
Adet fiyatı
Kasaya giren para
10
10
100
Cevap: 5
75
140
10. 100 = 14 10. 100 = 7, 5 105
100 de 5 artmıştır.
Örnek 22:
Bir baba oğlunun harçlığını önce % 40 arttırıyor daha sonra
% 30 azaltılıyor.
Buna göre, baba oğlunun harçlığını yüzde kaç azaltmıştır?
Oğlunun harçlığı = 100
140 70
100. 100 . 100 = 98
100 de 2 azaltmıştır.
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 2
Örnek 25:
Üretim miktarının işçi sayısı ve günlük çalışma süresiyle
doğru orantılı olduğu bir fabrikada günlük çalışma süresi %
20 azaltılıyor.
Bu fabrikada aynı üretim miktarının elde edilebilmesi
için işçi sayısı % kaç artırılmalıdır?
Günlük çalışma süresi x işçi sayısı 100 olsun.
80
x . 100 = x . 100 .a ⇒ a= 125 ⇒ 100 de 25 artar.
Cevap: 25
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Yüzde Problemleri
1.
5.
150 sayısının % 40 ı kaçtır?
A) 42
B) 50
C) 60
D) 64
E) 72
Bir sayının % 30 fazlası 260 olduğuna göre % 20 eksiği kaçtır?
A) 140
40
150. 100 = 60
B) 150
C) 155
D) 160
E) 180
130
x. 100 = 260 & x = 200
80
200. 100 = 160
6.
Bir sayının % 25 i ile % 17 sinin toplamı 21 olduğuna
göre bu sayının % 20 si kaçtır?
A) 8
2.
B) 144
C) 140
D) 120
C) 12
D) 16
E) 18
25
17
42x
x. 100 + x. 100 = 21 & 100 = 21 & x = 50
20
50. 100 = 10
% 30 u 45 olan sayı kaçtır?
A) 150
B) 10
E) 100
30
45.100
x. 100 = 45 ( x = 30 ( x = 150
7.
3.
Buna göre, başlangıçta Burcu'nun parası Cansu'nun
parasının yüzde kaçıdır?
180 sayısının yüzde kaçı 45 tir?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
Cansu parasının % 30 unu Burcu'ya verirse her ikisinin
paraları eşit oluyor.
E) 30
A) 20
x
100.45
180. 100 = 45 & x = 180 = 25
B) 40
C) 60
D) 70
E) 80
Cansu Burcu
100x
y
100x – 30x
y +30x
70x = y + 30x ⇒ y = 40x
a
40x = 100x . 100 ⇒ a= 40
4.
Bir doğal sayının % 72 si ile % 58 i arasındaki 56 dir.
Buna göre, bu sayı kaçtır?
A) 400
B) 360
C) 350
72
58
x. 100 - x. 100 = 56
72x - 58x =
14x
56 & 100 = 56
100
56.100
x = 14 = 400
D) 320
E) 300
8.
Ayşe maaşının % 60 ını harcadıktan sonra kalan maaşı
aylık ev kirasının % 80 ini karşılamaktadır.
Evin kirası ¨640 olduğuna göre Ayşe'nin maaşı kaç ¨
dir?
A) 3000
B) 2800
C) 2400
D) 2200
E) 1280
Maaşı 100x olsun.
60
100x. 100 = 60x ise 40x kalır.
80
40x = 640. 100 ⇒ 5x = 64 ⇒ 100x = 1280
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Yüzde Problemleri
9.
Bir depodaki suyun önce % 30 u sonra da kalanın % 20 si
kullanıldığında depoda 112 litre su kalıyor.
Buna göre, ilk durumda depodaki su kaç litredir?
A) 150
B) 180
C) 200
D) 240
13. Özgür'ün boyu Seydi'nin boyunun % 20 fazlası, Seydi'nin
boyu Ozan'ın boyunun % 10 eksiğidir.
Buna göre, Özgür'ün boyu Ozanın boyunun yüzde
kaç fazladır?
E) 300
A) 4
Depodaki su 100x olsun.
30
100x. 100 = 30x ise 70x su kalır.
20
70x. 100 = 14x ise depoda 56x su kalır.
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
Ozanın boyu 100x olsun.
90
Seydi = 100x . 100 = 90x
120
Özgür = 90x. 100 = 108x
56x = 112 ⇒x=2 ⇒100x = 200
Özgürün boyu Ozanın boyunun % 8 fazlasıdır.
10. Bir turist kafilesinde erkek ve kadınların sayısı eşittir. Yemek için lokantaya giden bu kafilede erkeklerin % 20si,
bayanların % 40 ı İskender yemiştir.
Turist grubunda İskender yiyen 48 kişi olduğuna göre
grupta toplam kaç kişi vardır?
A) 240
B) 220
C) 200
D) 180
E) 160
14. a sayısının % 40 fazlası, b sayısının % 30 eksiğine eşittir.
b
Buna göre, a oranı kaçtır?
1
1
B) 2
C) 2
A) 3
D) 3
E) 4
140
70
b
a. 100 = b. 100 & 140a = 70b & a = 2
Bayan ve erkek sayısı 100x olsun.
20
40
100x. 100 + 100x. 100 = 48
60x = 48
10x = 8 ⇒ 200x = 160
15. Bir dikdörtgenin uzun kenarı % 20 küçültülüyor.
Buna göre dikdörtgen alanının değişmemesi için kısa
kenar yüzde kaç artırılmalıdır?
11. Bir torbada 3 mavi, 2 kırmızı, 4 sarı ve 1 pembe top vardır.
Buna göre torbanın yüzde kaçı kırmızıdır?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 20
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 40
Kısa kenar ve uzun kenar 100 cm olsun.
dikdörtgenin alanı 10.000
80
(100. 100 ) .a = 10.00
80 . a = 10.000
a = 125
E) 25
kısa kenar 100 de 25 arttırılmalıdır.
12. Bir x sayısının %50 fazlası y sayısına eşittir.
16. Bir sayının % 16 sına 22 eklendiğinde aynı sayının % 27
x + y = 50
si elde ediliyor.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 8
B) 10
Buna göre, bu sayı kaçtır?
C) 15
D) 20
E) 30
A) 180
150
3x
x. 100 = y & 3x = 2y & y = 2
3x
5x
x + 2 = 50 & 2 = 50 & x = 20
B) 200
C) 240
D) 280
E) 320
a.16 + = a.27
27a - 16a =
22
100 22 100 &
100
11a = 22. 100
a = 200
1. C
2. A
3. D
4. A
5. D
6. B
7. B
8. E
9. C
10. E
11. D
12. D
13. C
14. C
15. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16. B
6
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Yüzde Problemleri
1.
Aşağıdaki tablo beş farklı türdeki yarışmaya 2015 ve
2016 yıllarında katılan kişi sayılarını göstermektedir.
Yarışma
4.
Buna göre, kesrin karesi aşağıdakilerden hangisidir?
Katılan kişi sayısı
2015
2016
A
150
225
B
120
144
C
170
340
D
180
234
E
300
240
Bir kesrin payı, paydasının %x i ve paydasıda payının %y
si kadar artırılınca kesrin değeri değişmiyor.
x2
A) 2
y
a
kesir b olsun.
x
a + b. 100
a
2 x
2 y
y = b & ab + b . 100 = ab + a 100
b + a. 100
B) D
C) C
D) B
E) A
144 - 120
24
.100 = 120 .100 = %20 olduğundan cevap B yarışmasıdır.
120
x
E) y
y
x
a2
x
& b 2 . 100 = a 2 . 100 & 2 = y
b
2016 yılında hangi yarışmaya katılan kişi sayısı 2015
yılına göre % 20 artmıştır?
A) E
y
D) x
y
C) 2
x
x
B) 2
y
5.
Bir okuldaki öğrencilerin % 45 i kızdır. Kız öğrencilerin
üçte biri, erkek öğrencilerin ise beşte biri sarışındır.
Sarışın kız öğrencilerin sayısı, sarışın erkek öğrencilerin sayısından 20 fazla olduğuna göre, bu okulda
toplam kaç öğrenci vardır?
2.
A) 400
Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısının % 48 i erkek öğren2
cilerin 3 üne eşittir.
Buna göre bu sınıfta en az kaç kişi vardır?
A) 42
B) 43
C) 45
D) 48
B) 450
C) 500
D) 550
Tüm okul
Kız
erkek
100x
45x
55x
E) 600
1
1
45x 3 – 55x 5 = 20 ⇒ 4x = 20
E) 60
⇒ x = 5 ⇒ 100x = 500
48
2
12k
2E
k. 100 = E. 3 & 25 = 3
36k = 50E ⇒ 18k = 25E ⇒ 18 + 25 = 43
3.
Yukarıda bulunan üç kutu içerisine birer doğal sayı yazılıyor. Kutular içerisindeki sayılar
hh Soldan sağa doğru %25 oranında artmaktadır.
hh Sağdan sola doğru %a oranında azalmaktadır.
Buna göre, a kaçtır?
A) 10
B) 15
6.
Aşağıdaki tabloda bir kişinin belirli bir ayda yaptığı harcamaların toplam harcama içindeki payları gösterilmiştir.
Harcama
Toplam harcama içindeki payı (%)
Kira
30
Gıda
40
Ulaşım
C) 20
D) 25
E) 30
en solda bulunan sayı 100 olsun. Sağında bulunan sayı 125 olur.
100 - a
125. 100 = 100 ⇒ 100 – a = 80 ⇒ a = 20
Fatura
6
Diğer
4
Yapılan ulaşım harcaması ¨ 72 olduğuna göre, kira
için ödenen para miktarı kaç ¨ dir?
A) 64
B) 72
C) 108
D) 120
E) 144
hepsi %100 olacağından ulaşım için % 20 lik harcama yapılır.
20
x. 100 = 72 ⇒ x = 5.72 = ¨360
30
360. 100 = 108
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Yüzde Problemleri
7.
% 25 i kız öğrenci olan bir sınıfa 6 kız öğrenci daha katıldığında sınıftaki erkek öğrenci oranı % 60 olmuştur.
10. Teknolojik ürünlerin satıldığı bir mağazada A, B ve C mar-
Buna göre, başlangıçtaki sınıftaki kız öğrenci sayısı
kaçtır?
hh A marka cep telefonunun A1, A2 ve A3, B marka cep
C) 6
D) 8
ka cep telefonları satılmaktadır.
telefonunun B1, B2 ve B3 , C marka cep telefonun, C1,
C2 ve C3 olmak üzere üçer farklı modeli vardır.
A) 3
B) 4
E) 10
Sınıf
Kız
Erkek
hh Mağazadaki toplam cep telefonu sayısı 120 dir.
100x
25x
75x
hh Bu telefonların % 30 u A marka, % 50 si B marka geriye
100x+6
25x+6
75x
kalanlar ise C markadır.
60
(100x+6) . 100 = 75x
Bu mağazada her modelden en az bir tane telefon bulunduğuna göre A1 ve C2 marka telefonların toplam
sayısı en çok kaçtır?
600x + 36 = 750x ⇒ 150x = 36 ⇒ 25x = 6
A) 56
B) 57
C) 58
D) 59
E) 60
30
Telefonların 100 – 50 – 30 = % 20 si C markadır. A marka 120. 100 = 36,
50
20
B marka 120. 100 = 60, C marka 120. 100 =24 telefon vardır.
8.
A2 = A3 = 1 ve C1 = C3 = 1 seçilirse A1 + C2 en çok 34 + 22 = 56 olur.
I
II
B
C
3
6
9
Buna göre, hangi sayı önce % a artırılır sonra % b
azaltılır ise 21 sayısı elde edilir?
2
5
8
A) 24
1
4
7
B) 30
C) 36
D) 48
11.
E) 60
DENİZ
A
Yukarıda birim karelerden oluşan I ve II nolu dikdörtgenlerde I'in taralı bölgelerinin oranı % a II'nin taralı bölgelerinin oranı % b dir.
2
3
a = 8 .100 = %25, b = 10 .100 = %30
125 70
7x
x. 100 . 100 = 21 & 8 = 21 & x = 24
Ç, Ö, Z, Ü, M harfleri kullanılarak oluşturulan 480 harfli bir
kelime için aşağıdaki bilgiler veriliyor.
üç apartman için aşağıdaki bilgiler veriliyor.
hh Kelime içerisindeki harflerin % 25 i Ö harfidir.
hh Apartmanlarda her katta bir daire vardır.
hh Dairelerin kapı numaraları üzerlerinde yazmaktadır.
hh Apartmanların toplam değeri denize yaklaştıkça % 20 art-
hh Kalan harflerin kelime içerisindeki dağılımı birbirine
hh Her bir apartmanda daire fiyatları aşağıdan yukarıya
hh Kelime içerisindeki harflerin % 20 si Ç harfidir.
eşittir.
hh Bu kelime içerisindeki her harf bir defa kullanılarak en
fazla x farklı Çözüm kelimesini yazılabilmektedir.
Buna göre,
II. 6 nolu dairenin fiyatı 3 nolu dairenin fiyatının % 20 faz-
C) 72
D) 88
lasıdır.
E) 96
20
25
Ç harfi adedi 480. 100 =96, Ö harfi adedi 480. 100 =120 dir. O halde Z,
480 - 96 - 120 =
Ü, M harflerinden
88 er tane vardır. Buna göre her
3
harften eşit sayıda olmak zorunda olduğundan en fazla 88 tane Çözüm
III. B apartmanın toplam değeri 380 bin ¨ ise 5 nolu dairenin fiyatı 120 bin ¨ dir.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
yazılabilir. x = 88 dır.
C) Yalnız III
E) I, II ve III
Verilen her üç ifadede doğrudur.
3. C
4. E
5. C
6. C
7. C
8. A
9. D
10. A
11. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2. B
B) 68
doğru % 50 artmaktadır.
1. D
A) 64
maktadır. Örneğin B apartmanı A dan % 20 pahalıdır.
I. En pahalı daire 9 nolu dairedir.
Buna göre, x kaçtır?
8
Yukarıdaki krokide Deniz kenarında bulunan üç katlı
Cevaplar
9.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kâr - Zarar Problemleri
hhKÂr - Zarar Problemlerİ
hh Bir satıcının almış olduğu ürün için ödediği fiyata alış fiyatı
denir.
hh Bir satıcının ürünü satana kadar yaptığı toplam masrafa
maliyet fiyatı denir.
hh Bir ürünün satıldığı fiyata satış fiyatı veya etiket fiyatı denir.
hh Bir ürün maliyet fiyatından fazla fiyata satıldığında oluşan
farka kâr denir.
Örnek 27:
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Maliyeti ¨200 olan bir ürün ¨240 ye satılırsa % kaç kâr
elde edilir.
b) Maliyeti 120 olan bir ürün 90 ye satılırsa % kaç zarar
elde edilir?
a)
b)
Kâr = satış fiyatı – maliyet fiyatı
40
200 .100 = %20
30
120 .100 = %25
Cevap: 20, 25
hh Bir ürün maliyet fiyatından düşük fiyata satıldığında oluşan
farka zârar denir.
Zarar = maliyet fiyatı – satış fiyatı
hh Kâr Yüzdesi =
hh Zarar Yüzdesi =
Kar miktarı
Maliyet
. 100
Zarar miktarı
Maliyet
Örnek 28:
Maliyet fiyatı üzerinden % 20 kâr ile ¨600 ye satılan bir
ürünün maliyet fiyatı kaç ¨ dir?
. 100
hh Bir ürün % a kâr ile satılırsa
Maliyet .
120
M. 100 = 600 5
100 + a
liraya satılır.
100
Cevap: 500
M = 5.100
M = 500
hh Bir ürün % a zarar ile satılırsa
100 - a
liraya satılır.
100
hh x liraya satılan bir ürüne % a indirim (iskonto) yapılırsa
100 - a
100 + a
x. 100 liraya, % a zam yapılırsa x. 100 liraya satılır.
Maliyet .
Örnek 29:
Örnek 26:
Maliyet fiyatı üzerinden % 32 zararla ¨204 ye satılan bir
ürünün maliyet fiyatı kaç ¨ dir?
Bir ürünün maliyet fiyatı ¨300 dir.
a) Bu ürün % 60 kâr ile kaç ¨ ye satılır?
68
M. 100 = 204
b) Bu ürün % 20 zarar ile kaç ¨ ye satılır?
160
a) 300. 100 = 480¨
80
b) 300. 100 = 240¨
Cevap: 480, 240
Cevap: 300
204.100
68
M = 3.100
M = 300
M=
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kâr - Zarar Problemleri
Örnek 30:
Örnek 33:
400¨ ye satılan bir ürüne önce % 20 zam daha sonra zamlı
fiyat üzerinden % 30 indirim yapılıyor.
Bir malın etiket fiyatı %30 kârla hesaplanmıştır.
Buna göre, son durumda satış fiyatı kaç ¨ olur?
120 70
400. 100 . 100 = 4.12.7 = 336¨
Cevap: 336
Buna göre, bu mal etiket fiyatı üzerinden % 20 indirimle
satılırsa elde edilen kâr yüzde kaçtır?
Maliyet = 100 x olsun.
130
Etiket fiyatı = 100x. 100 = 130x
80
Yeni etiket fiyatı = 130x . 100 = 104x
Cevap: 4
o halde 100 de 4 kâr vardır.
Örnek 31:
x liraya alınan bir mal % 60 kârla 3x – 140 liraya satılmıştır.
Bu satıştan kaç lira kâr edilmiştir?
Cevap: 60
8x
& 5 = 3x - 140
& 8x = 15x - 700
& 700 = 7x
& x = 100
Örnek 35:
KDV oranının % 20 olduğu bir ülkede bir ürünü ¨192 ye
alan bir müşteri kaç ¨ KDV öder?
Bir ürüne satış fiyatı üzerinden yapılan ¨ 27 lik indirim % 20
lik kârı % 10 luk zarara dönüştürüyor.
Buna göre, bu ürünün maliyet fiyatı kaç ¨ dir?
Cevap: 32
6x
& 5 = 192
5.192
&x= 6
& x = 160
KDV = 192 – 160 = 32 ¨
Etiket fiyatı ¨180 olan bir ceket indirimli satışlarda ¨168 ye satılarak maliyet fiyatına göre %10 daha az kar elde edilmiştir.
Buna göre ceketin indirimli satışındaki kâr oranı maliyet fiyatı üzerinden yüzde kaçtır?
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 37
toplamda 100 de 37 indirim yapılmıştır.
Örnek 32:
10
Buna göre, mağaza sahibinin yaptığı tüm indirim yüzde
kaçtır?
Etiket fiyatı = 100x olsun.
70
1. indirim fiyatı = 100x . 100 = 70x
90
2. indirim fiyatı =70x. 100 = 63x
60
kâr = 100 . 100 = 60¨
120
x. 100 = 192
Bir mağaza fiyatlarında % 30 luk indirim yapıyor. İlk hafta
satışların az olduğunu gören mağaza sahibi indirimli fiyatlar
üzerinden % 10 luk bir indirim daha yapıyor.
Maliyet = 100x olsun
120
Satış 1 = 100x. 100 = 120x
90
Satış 2 = 100x. 100 = 90x
120x – 90x = 27 ⇒ 30x = 27
⇒ 10x = 9
⇒100x = 90
10
M. 100 = 180 - 168
10
M. 100 = 12
M = 120
48
Kâr % = 120 .100 = 40
Cevap: 90
Öğretmen
Sorusu
160
x. 100 = 3x - 140
Örnek 34:
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kâr - Zarar Problemleri
Örnek 36:
Örnek 39:
Bir satıcı elindeki ürünlerin % 20 sini %30 kârla geriye kalan
kısmını %10 zararla satıyor.
3
Bir manav aldığı limonların 8 inin çürük olduğunu fark ediyor.
Buna göre, satıcının toplamdaki kâr - zarar durumu nedir?
Buna göre, limonun birim maliyeti yüzde kaç artmıştır?
Ürünün tamamı 100x olsun.
90
130
20x. 100 + 80x. 100 = 26x + 72x = 98x
Cevap: 60
Cevap: %2
Limon Adedi
100 de 2 zarar var.
Limonun birim fiyatı
Para
8
.
100
=
800
5
.
x
=
800
x = 160 olur. O halde limonun birim fiyatı yüzde 60 artar.
Örnek 37:
Bir satıcı elindeki elmaların 30 unu % 30 kârla geriye kalanını % 10 zararla satarsa toplamda %20 kar elde ediyor.
Buna göre, satıcının kaç elması vardır?
120
130
90
30. 100 + x. 100 = (x + 30) . 100
Cevap: 40
30 . 130 + x .90 = (x + 30) . 120
Örnek 40:
Bir manav kilosunu ¨2 ye aldığı yaş üzümü kurutuyor ve kâr
koymadan kuru üzümün kilosunu ¨5 den satıyor.
Buna göre, yaş üzüm kurutulunca yüzde kaç fire verir?
3900 + 90x = 120x + 3600
Cevap: 60
30x = 300
x = 10 ⇒ 10 + 30 = 40
Miktar
Kilo fiyatı
100
2
=
200
5
=
200
x
.
Para
x = 40 olur. O halde yaş üzüm kuruyunca % 60 fire veriyor.
Örnek 38:
Bir mağazada fiyatlar % 30 zamlanınca satışlar % 20 azalıyor.
Buna göre, bu mağazanın kasasına bir günde giren
para yüzde kaç artar?
Cevap: %4
Bir ürünün fiyatı
10
Satılan ürün adedi
.
10
Öğretmen
Sorusu
130
80
.
10. 100 = 13
10. 100 = 8
Kasaya giren para 100 de 4 artar.
Örnek 41:
Yaş kayısının kilosunu ¨2 ye alıp kuruduktan sonra kilosunu ¨6 ye satan bir tüccarın karı % 20 dir.
Buna göre, yaş kayısı kurutulunca yüzde kaç fire vermektedir?
Kasaya giren para
=
=
100
Miktar
Kilo fiyatı
104
100
2
Bir manav bir miktar limonu %20 kârla satmayı düşünüyor. Manav limonların tamamını sattığında satışta kullandığı tartının
%20 oranında eksik tarttığını tespit ediyor.
Buna göre manavın gerçek kârı % kaçtır?
Cevap: 60
Para
=
200
120
200. 100
6x = 240 ⇒ x = 40 , O halde yaş kayısı kuruyunca % 60 fire verir.
x
.
6
=
80
100 kilo limonu olsun. x. 100 = 100 ( x = 125
Hata sonucu ¨125 kilo satmıştır. Kilosu ¨100 ye mal edilen limonu
¨120 ye satıyor.
Maliyet = 100. 100 = 10.000
5000
Satıış = 125 . 120 = 15.000 ⇒ Kâr (%) = 10000 .100 = %50
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kâr - Zarar Problemleri
Örnek 42:
Örnek 45:
Yıllık enflasyon oranının % 25 olduğu bir ülkede memura yıl
sonunda % 40 zam yapılıyor.
Bir mağaza sahibi tüm ürünlerde etiket fiyatı üzerinden %20
indirim yapıyor. Aynı üründen 5 in üzerinde alınan her adet
için ayrıca indirimli fiyat üzerinden % 25 lik bir indirim daha
yapılıyor. (İkinci indirimi ilk 5 ürüne uygulamıyor)
Buna göre, memurun alım gücü yüzde kaç artmış olur?
Cevap: 12
Maaşı ile Alınan ürün
sayısı (alım gücü)
Maaş
Ürün fiyatı
10.000
100
=
100
125
100. 100
=
x
140
10.000. 100
.
Bu mağazadan etiket fiyatı 15 TL olan bir üründe 8 adet
alan bir müşteri kaç TL öder?
A) 81
B) 83
C) 84
D) 85
E) 87
14000 = 125 . x ⇒ x = 112
80
80 75
& `15. 100 j .5 + 3. `15. 100 . 100 j
alım gücü 100 de 12 artar.
Cevap: E
4
4 3
& 15. 5 .5 + 3.15. 5 . 4
& 60 + 27 = 87
Örnek 43:
Bir manav 3 tanesini ¨2 den aldığı elmaların 4 tanesini ¨3
den satmaktadır.
Bu manavın ¨30 kâr elde etmesi için kaç tane elma satması gerekir?
3
2
9-8
e 4 - 3 o x = 30 & 12 .x = 30
(3 )
Cevap: 360
(4)
& x = 360
Örnek 46:
Bir yatırımcı hesabındaki z TL'nin bir kısmıyla altın kalan
kısmıyla da döviz alıyor. Yatırımcı bir süre sonra altınları %
20 kar elde ederek x TL'ye dövizlerini ise % 20 zarar ederek
y TL'ye satıyor.
Buna göre, x, y ve z arasındaki bağıntı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 3z=6x+4y
B) 5z=4x+6y
D) 6z=5x+8y
C) 4z=9x+12y
E) 12z=10x+15y
Örnek 44:
Çayın kilogramı a TL dir. Çaya % 20 zam yapıldığında a
TL ye kaç kilogram çay alınabilir?
Altın aldığı kısım a, Döviz aldığı b olsun Z = a + b dir.
120
80
a. 100 = x, b. 100 = y
4
A) 5
5x 5 y
z = 6 + 4 & 12z = 10x + 15y
5
B) 6
2a
C) 5
120
a. 100 .x = a
6ax =
5
a&x= 6
5
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5a
D) 6
6a
E) 7
Cevap: B
Cevap: E
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kâr - Zarar Problemleri
1.
Etiket fiyatı ¨ 350 olan bir ürüne etiket fiyatı üzerinen % 20
indirim yapılıyor.
5.
Buna göre, bu ürüne yapılan indirim kaç ¨ dir?
A) 100
B) 90
C) 80
D) 70
A) 10
E) 50
Maliyet fiyatı ¨144 olan bir elbise % 25 karla kaç ¨ ye
satılır?
A) 240
B) 210
C) 200
D) 180
6.
E) 160
7.
Buna göre, yüzde kaç indirim yapılmıştır?
B) 8
C) 10
D) 12
B) 108
C) 110
3 120 60
12
150 . 100 . 100 = 3. 2 .6 = 108
2
B) 480
C) 450
D) 420
E) 400
B) 320
C) 350
D) 360
E) 380
110
100.440
M. 100 = 440 & M = 110 = 400
80
& 400. 100 = 320
Maliyeti ¨150 olan bir ürüne önce %20 zam daha sonra zamlı fiyat üzerinden %40 indirim uygulanırsa ürün
kaç ¨ ye satılır?
A) 100
E) 25
%10 kârla 440¨ ye satılan bir mal % 20 zararla kaç ¨ ye
satılır?
A) 300
E) 16
36
300 .100 = %12
4.
D) 20
130
100.520
M. 100 = 520 & M = 130
& M = 400
¨300 ye satılan bir ürün ¨264 ye satılmaya başlıyor.
A) 4
C) 15
%30 kârla ¨520 ye satılan bir deri ceketin maliyet fiyatı kaç ¨ dir?
A) 500
125
5
144. 100 = 144. 4 = 180
3.
B) 12
60
96
1 tanesini 3 = 20¨ ye alıp 4 = 24¨ ye satıyor.
4
Kâr oranı = 20 .100 = % 20 dir.
20
350. 100 = 70
2.
3 tane limonu 60¨ ye alan 4 tane limonu 96¨ ye satan
bir satıcının kâr oranı yüzde kaçtır?
D) 114
E) 120
8.
Bir ürüne ardı ardına iki kere % 10 luk indirim uygulanıyor.
Buna göre, yapılan toplam indirim yüzde kaçtır?
A) 10
B) 15
C) 19
D) 20
E) 24
Maliyet = 100 olsun.
90 90
100. 100 . 100 = 81
100 de 19 indirim yapılmıştır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kâr - Zarar Problemleri
9.
Bir satıcı % 40 kârla sattığı bir kitabı öğrencilere etiket
fiyatı üzerinden % 20 lik indirim yaparak satıyor.
13. Bir ürünün 20 tanesi % 20 kârla geriye kalan 80 tanesi
Buna göre kitabın öğrencilere satışından elde edilen
kâr oranı yüzde kaçtır?
Buna göre, bu ürünün tamamının satışından elde edilen zarar yüzde kaçtır?
A) 8
A) 2
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
%10 zararla satılıyor.
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
90
100 - a
120
20. 100 + 80. 100 = 100. 100
Kitabın Maliyeti = 100x olsun.
140
Etiket fiyatı = 100x . 100 = 140x
80
Satış fiyatı = 140x . 100 = 112x
24 + 72 = 100 – a
a=4
O halde 100 de 12 kar ile satmıştır.
10. Bir manavın aldığı 10 tane ananasın 2 tanesi çürük çıkmıştır.
Buna göre, bir anasının maliyeti yüzde kaç artmıştır?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
14. Bir fabrika satış mağazasında malların %40'ı defoludur.
Defolu mallar %20 zararla sağlam mallar % 40 kârla satılıyor.
Buna göre, bu satıştan elde edilen kâr oranı yüzde
kaçtır?
E) 30
Adet
Adet fiyatı
10 .
100
=
1000
A) 4
8
x
=
1000
Malların tamamı 100 olsun. Defolu mallar
40
100. 100 = 40, sağlam malları 60 dır.
.
Verilen Para
8x = 1000 ⇒ x = 125 O halde 100 de 25 artmıştır.
B) 6
C) 10
D) 12
E) 16
140
80
40. 100 + 60. 100 = 32 + 84 = 116
100 de 16 kar ile satılmıştır.
11. Bir tüccar bir ürünü etiket fiyatının %40 eksiğine alıp etiket
fiyatının %10 eksiğine satıyor.
indirim yapıldığında % 20 zarar elde ediliyor.
Buna göre, bu tüccar bu malın satışından yüzde kaç
kâr elde eder?
A) 30
B) 40
C) 45
D) 50
E) 60
Buna göre, bu ürünün maliyet fiyatı kaç ¨ dir?
A) 200
B) 240
C) 280
D) 300
E) 360
Maliyet 100x olsun.
Etiket fiyatı = 100 olsun.
130
Etiket fiyatı = 100x . 100 = 130x
80
İndirimli fiyat = 100x . 100 = 80x
60
Alış fiyatı = 100. 100 = 60
90
Satış fiyatı = 100. 100 =90
30
Kâr oranı = 60 .100 = % 50
130x – 80x = 150 ⇒ x = 3 ⇒100x = 300
12. Maliyetleri aynı olan iki farklı üründen biri % 40 kârla, diğeri %30 zararla satılıyor.
16. ¨a ye alınan bir ürün ¨b ye satılmaktadır.
8a = 5b
Buna göre, bu iki ürünün satışından elde edilen kâr
oranı yüzde kaçtır?
olduğuna göre, bu satıştan elde edilen kâr oranı yüzde kaçtır?
A) 2
A) 15
D) 10
E) 15
C) 30
D) 40
E) 60
a = 5 ve b = 8 olsun.
3
Kâr oranı = 5 .100 = % 60
2. D
3. D
4. B
5. D
6. E
7. B
8. C
9. C
10. D
11. D
12. C
13. B
14. E
15. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B) 20
1. D
C) 5
Cevaplar
B) 3
Maliyetler 100 olsun. İki ürünü alış fiyatı 200
140
70
Satış fiyatı = 100. 100 + 100. 100 = 210
10
Kâr oranı = 200 .100 = % 5
16. E
14
15. Maliyet fiyatı üzerinden % 30 kârla satılan bir ürüne ¨150
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kâr - Zarar Problemleri
1.
Bir iş yerinde çalışan işçiye maaş zammı için iki seçenek
sunulmaktadır.
4.
I. seçenek : ¨100 zam
Kalan elmaların kilogramını ¨y den satan bir manav
ne kâr ne de zarar ettiğine göre, x ile y arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
II. seçenek: % 20 zam
işçi daha kârlı olan II. seçeneği tercih ettiğine göre,
işçinin maaşı en az kaç ¨ dir?
A) 480
B) 481
C) 409
D) 500
A) x = 9y
B) 9x = y
D) 10x = 9y
E) 501
Maaşı x olsun.
10 kilo elma alınmış olsun.
20
x. 100 > 100 ⇒ x > 500
10.x = 9.y
maaş en az 501¨ dir.
2.
1
Kilogramı ¨x ye alınan bir sandık elmanın 10 u çürük çıkıyor.
5.
Bir tüccarın elindeki malları satışı ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
hh Malların tanesini ¨35 den satarsa ¨540 kâr elde ediyor.
hh Malların tanesini ¨24 den satarsa ¨120 zarar elde ediyor.
Buna göre, tüccarın elinde kaç tane mal vardır?
A) 40
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
C) 9x = 10y
E) 10x = 11y
Yaş sabun kurutulunca ağırlığının % 20 si kadar fire veriyor. Yaş sabunun kilosunu ¨2 ye alan bir satıcı kuruyunca
kilosunu ¨4 ye satıyor.
Buna göre bu satıcının 1 kg dan elde ettiği kar yüzde
kaçtır?
A) 40
B) 50
C) 60
Kilo
Birim fiyatı
D) 70
Elde edilen para
100
.
2
=
200
80
.
4
=
320
120
Kâr oranı = 200 .100 = % 60
E) 80
Mal adedi x olsun.
35x = M + 540
–
6.
24x = M – 120
11x = 660
A
x = 60
3.
Aşağıdaki tabloda 1 kg un helvası yapmak için kullanılan
malzemelerin miktarı ve fiyatları verilmiştir.
Kullanılan
malzemeler
Kullanılan miktar
(gr)
1 kilogramının
fiyatı (¨)
Un
300
40
Şeker
400
20
Yağ
200
30
Süt
100
20
B
C
hh Bir mağaza müdürü manken kapıya ne kadar yakın ise
üzerindeki elbisenin daha fazla sattığını düşünmektedir ve bu nedenle mankenleri kâr yüzdesi fazla olandan az olana doğru sıralamaktadır.
hh Mankenler üzerindeki elbiselerin kâr yüzdeleri ve maliyetleri birer tam sayıdır.
Bir işletmeci un helvasını yaptıktan sonra %25 kâr ile satıyor.
hh C mankeni üzerindeki elbisenin kâr oranı % 7 dir.
Buna göre 1 kg helvanın satış fiyatı kaç ¨ dir?
Buna göre, A mankeni üzerindeki elbisenin maliyeti
tam sayı olarak en çok kaçtır?
A) 30
B) 32
C) 35
D) 36
400
20 0
100
300
1000 .40 + 1000 .20 + 1000 .30 + 1000 .20
12 + 8 + 6 + 2 = 28¨
5
125
28. 100 = 28. 4 = 35
E) 38
hh A mankeni üzerindeki elbisenin satış fiyatı ¨66 dır.
A) 48
B) 50
C) 52
D) 56
E) 60
Maliyet ve yüzdelere tam sayı ise maliyetin en çok olması için yüzde en
az olmalıdır. Kar oranı % 10 seçilmelidir.
110
M. 100 = 66 & M = 60
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Kâr - Zarar Problemleri
7.
Bir malın peşin satış fiyatı, taksitli satış fiyatının %70'ine
eşittir.
10. Kırmızı, siyah ve mavi renkli arabalarla ilgili aşağıdaki bil-
Bu mal taksitli satıldığında maliyet üzerinden % 50
kâr edildiğine göre peşin satıldığında maliyet üzerinden % kaç kâr edilmektedir?
hh Kırmızı arabanın maliyet fiyatı Mavi arabanın maliyet
A) 15
B) 12
C) 10
D) 7
giler veriliyor.
fiyatının % 80 dir.
hh Kırmızı arabanın maliyet fiyatı, siyah arabanın maliyet
E) 5
fiyatının %60 fazlasıdır.
hh Kırmızı araba % 10 kâr ile a liraya, siyah araba %90
Maliyet 100¨ olsun. Taksitli satış fiyatı 150¨ olur.
70
Peşin satış fiyatı 150. 100 = 105¨ dir.
kâr ile b liraya, mavi araba % 14 zarar ile c liraya satılıyor.
Peşin satış kar oranı 100 de 5 tir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) a<b<c
B) b<a<c
D) b<c<a
Yıllık enflasyon oranının % 20 olduğu bir ülkede memura
ilk altı ay için % 10 son altı ay için %20 zam yapılıyor.
Mavi arabanın maliyet fiyatı 100 olsun.
Kırmızı arabanın maliyeti 80, siyah arabanını maliyeti
Buna göre, bu memurun yıl sonundaki alım gücü nasıl değişir?
B) %5 azalır.
:
Ürün birim
fiyatı
100
=
Alınan ürün
miktarı
100
110 120
120
:
10.000. 100 . 100
100. 100
alım gücü 100 de 10 artmıştır.
maliyet fiyatı ile satış fiyatı arasındaki bağıntıyı göstermektedir.
110
Satış fiyatı (¨)
Aşağıda tabloda bir malın yıllara göre birim alış ve satış
fiyatları verilmiştir.
Yıl
Birim Alış fiyatı (¨)
7
2
Birim satış fiyatı (¨)
2012
6
9
2013
10
16
2014
4
6
2015
6
7,2
2016
8
10,4
Buna göre, bu mağazanın kar oranı yüzde kaçtır?
50
A) 3
Buna göre, Alış fiyatı üzerinden en yüksek kâr oranı
hangi yıldadır?
A) 2016
B) 2015
D) 2013
52
C) 3
D) 18
E) 20
12. Maliyet fiyatı üzerinden % 40 zararla x liraya satılan bir
E) 2012
ürün 2x liraya satılsaydı kâr oranı yüzde kaç olurdu?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 20
E) 25
60
5x
M. 100 = x & M = 3
x
5x
2x - 3
x
3
5x .100 = 5x .100 = 5x .100 = 20
3
3
1, 2
2015: 6 .100 = %20
2, 4
2016: 8 .100 = %30
6. E
7. E
8. C
9. D
10. C
11. A
12. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B) 17
7 2 3 .100 = 1 .100 = 50
3
6
3
C) 2014
3
2012: 6 .100 = %50
6
2013: 10 .100 = %60
2
2014: 4 .100 = %50 en fazla oran 2013 yılındadır.
16
Alış fiyatı (¨)
3
5. C
9.
11. Aşağıdaki doğrusal grafik bir mağazada satılan malların
4. D
10.000
E) % 15 artar
3. C
Maaş
C) %10 artar
2. E
D) %10 azalır
160
80 = s. 100 = s = 50 olur.
_b
110
a = 80. 100 = 88 bb
bb
bb
190 =
=
b 50. 100 95 `b c < a < b
bb
bb
86
c = 100. 100 = 86 bb
a
1. E
A) %5 artar
E) a<c<b
Cevaplar
8.
C) c<a<b
YGS-LYS // MATEMATİK
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Karışım Problemleri, Faiz Problemleri
FÖY NO
21
hhKarışım Problemlerİ
Örnek 3:
Verilen bir karışım içinde bulunan bir saf maddenin;
Saf madde miktarı
hh oranı =
Tüm karışım miktarı
80 gram un - su karışımının ağırlıkça % 40 ı undur.
hh yüzdesi =
Saf madde miktarı
Tüm karışım miktarı
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
hh karışımda kaç gram un vardır?
. 100
hh Karışımda kaç gram su vardır?
olarak bulunur.
Örnek 1:
Un oranı % 40 ise su oranı % 60 dır.
23 gram şeker ile 27 gram su karıştırılarak homojen bir karışım elde ediliyor.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Ağırlıkça % 60'ı un olan 55 kg un - su karışımından 4 kg su
buharlaştırılıyor.
su (kg)
Buna göre, oluşan yeni karışımdaki
oranı kaçun (kg)
tır?
b) Karışımın şeker yüzdesi kaçtır?
c) Karışımın su yüzdesi kaçtır?
b)
c)
23 = 23
50
23 + 27
23
=
23 + 27 .100
27
=
23 + 27 .100
23
50 .100 = %46
27
50 .100 = %54
Cevap: 23 , %46, %54
50
60
55. 100 = 33kg un ve 22 kg su vardır.
su
22 - 4 18
6
un = 33 = 33 = 11
Cevap: 6
11
Not
Örnek 2:
30 gram tuzlu-su karışımının 12 gramı tuz, 90 gram tuzlu -
hh Homojen bir karışımın her bölgesindeki saf madde yüzdesi birbirine eşittir.
su karışımının 12 gramı tuzdur.
Buna göre, bu iki karışım karıştırıldığında oluşan yeni
karışımın tuz yüzdesi kaçtır?
Cevap: %20
12 tuz
18 su
60
80. 100 = 48gr su vardır.
Örnek 4:
a) Karışımın şeker oranı kaçtır?
a)
Cevap: 32, 48
40
80. 100 = 32 gram un vardır.
12 tuz
12 + 12
24
Tuz yüzdesi = 30 + 90 .100 = 120 .100 = %20
78 su
hh Homojen bir karışımdan belli bir miktar dökmek karışımın yüzdesini değiştirmez.
hh Saf tuzun tuz oranı % 100 dür.
hh Saf tuzun su oranı % 0 dır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Karışım Problemleri
Not
Örnek 7:
Ağırlıkça tuz oranı % a olan b gram tuzlu - su karışımı ile
yeni karışımın madde miktarı b + d, tuz oranı % x olsun.
Ağırlıkça % 70 i şeker olan un - şeker karışımından x kg,
% 45i şeker olan başka bir un - şeker karışımından ise y
kg alınarak % 65 i şeker olan yeni bir karışım elde ediliyor.
Buna göre,
Buna göre, x , y nin kaç katıdır?
tuz oranı % c olan d gram tuzlu - su karıştırıldığında oluşan
%a
b
+
%c
d
=
A) 2
%x
b+d
a . b + c .d = x.(b + d) olur.
% 70
x
% 45 =
y
D) 5
Buna göre, oluşan karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?
Cevap: C
% 65
x+y
5x = 20y
% 40 =
30
Cevap: 32
%x
50
x = 4y
x, y nin 4 katıdır.
Örnek 8:
12 gram 18 ayar altın ile 18 gram 24 ayar altın eritilip karıştırılıyor.
Buna göre, oluşan yeni karışımın altın ayarı kaçtır?
20. 20 + 40 . 30 = 50 . x
18
12
400 + 1200 = 50x
1600 = 50x
x =32
+
24
18
Cevap: 21,6
x
30
=
18. 12 + 24 . 18 = 30 . x
216 + 432 = 30x
Örnek 6:
648 =30x
648
216
x = 30 = 10 = 21, 6
Ağırlıkça % 30 u su olan 3x gram tuzlu - su karışımı ile ağırlıkça % 10 u su olan x gram tuzlu - su karışımı karıştırılıyor.
Buna göre, karışımın su oranı yüzde kaç olur?
+
% 10 =
x
%a
4x
Örnek 9:
Kilogramı ¨12 olan 6 kg fıstık ile kilogramı ¨6 olan 4 kg
fıstık karıştırılıyor.
Cevap: 25
Buna göre, bu karışımın maliyet fiyatı kaç ¨ dir?
30. 3x + 10. x = a . 4x
12
90x + 10x = 4ax
6
+
6
4
=
x
72 + 24 = 10x
10
96
x = 10 = 9,6
100x = 4ax
100x
a = 4x = 25
1
Bir şekerli su karışımındaki şekerin 4 ü kadar su buharlaştırılıyor.
Son karışımın şeker oranı %25 olduğuna göre, ilk karışımın
şeker yüzdesi kaçtır?
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 9,6
96 = 10x
Şeker
Su
Son durumda
4x
12x
İlk durumda
4x
13x
4x
400
Şeker yüzdesi (%) = 17x .100 = 17
Öğretmen
Sorusu
% 30
3x
E) 7
70x + 45y = 65x + 65y
Ağırlıkça % 20 si şeker olan 20 gram şekerli - su karışımı ile
ağırlıkça % 40 ı şeker olan 30 gram şekerli su karıştırılıyor.
+
+
C) 4
70x + 45y= 65(x + y)
Örnek 5:
% 20
20
B) 3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Karışım Problemleri
Not
Örnek 10:
1
Ağırlıkça % 30 u şeker olan 80 kg şekerli su karışımının 4
ü ile ağırlıkça % 40 ı şeker olan 60 kg şekerli su karışımının
1
2 si karıştırılıyor.
Karıştırılan karışımların madde miktarları birbirine eşit ise
yeni karışımın yüzdesi karıştırılan karışımların yüzdelerinin aritmetik ortalamasına eşittir.
Örnek 13:
Buna göre, oluşan yeni karışımın ağırlıkça şeker oranı
% kaçtır?
%30
1
80. 4 = 20
+
%40
1
60. 2 = 30
%x
=
Cevap: 36
50
10gr
10gr
%10 tuz
A
%30 tuz
B
Yukarıdaki, A ve B kaplarındaki karışımların tamamı
karıştırıldığında oluşan karışımın ağırlıkça yüzde kaçı
tuzdur?
30.20 + 40.30 = 50.x
600 + 1200 = 50x
1800
x = 50 = 36
10 + 30 =
%20
2
Cevap: 20
Örnek 11:
Örnek 14:
Ağırlıkça % 30 u tuz olan A gram tuzlu su karışımı ile ağırlıkça % 45 i tuz olan B gram tuzlu su karışımındaki tuz miktarları birbirine eşittir.
Buna göre, verilen iki karışım karıştırıldığında karışımın
ağırlıkça tuz oranı yüzde kaçtır?
A kabında ağırlıkça % 16 tuz içeren 40 kg, B kabında ise ağırlıkça % 24 tuz içeren 20 kg tuzlu su bulunmaktadır. Önce A
kabındaki suyun yarısı B ye alınarak karıştırılmış, sonrada B
kabındakinin yarısı A kabına alınarak karıştırılmıştır.
30
45
A. 100 = B. 100 & 2A = 3B ⇒ A = 3 ve B = 2 olsun.
%30
3
+
%45
2
=
Cevap: 36
Buna göre, A kabında son olarak oluşan tuzlu suyun
ağırlıkça yüzde kaçı tuzdur?
%x
%16
5
20
20
A/2
B
30 . 3 + 45 . 2 = 5x
%16
180 = 5x ⇒ x = 36
Örnek 12:
Bir havuzu % 20 lik tuzlu su akıtan bir musluk 10 saatte,
%30 luk tuzlu su akıtan başka bir musluk 15 saatte dolduruyor.
Boş olan bu havuz muslukların ikisi birlikte açılarak doldurulduğunda havuzdaki suyun tuz oranı % kaç olur?
+
% 24
% 20
=
20
20
A/2
Yeni B/2
16 + 20 =
18
2
40
Yeni A
A nın yeni tuz yüzdeki
16 + 20 =
18 dir.
18
+
=
Cevap: 18
16 + 24 =
20
2
40
Yeni B
Örnek 15:
% 20 si tuz olan 40 gramlık tuzlu su karışımına 10 gram
saf tuz eklenirse yeni karışımın tuz yüzdeki kaç olur?
Cevap: 24
Havuz 30 litre olsun. O halde % 20 lik tuz akıtan saatte 3 litre, % 30 luk tuz
akıtan saatte 2 litre su akıtır.
%20
%30
%x
+
=
3
2
5
60 + 60 = 5x ⇒ x = 24
%20
40
+
%100
10
=
%x
Cevap: 36
50
800 + 1000 = 50x
1800 = 50x
x =36
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Karışım Problemleri
Örnek 16:
Örnek 19:
%30 u şeker olan 50 litre şekerli su karışımına 10 litre
saf su eklenirse yeni karışımın şeker oranı yüzde kaç
olur?
Şeker oranı % 20 olan 30 gram şekerli suya kaç gram
%30
%0
+
50
10
=
%x
şeker ilave edilirse şeker oranı % 40 olur?
%20
Cevap: 25
+
%100
30
60
1500 + 0 = 60x
1500
x = 60 = 25
=
x
% 40
Cevap: 10
30 + x
600 + 100x = 40(30 + x)
100x + 600 = 1200 + 40x
60x = 600
x = 10
Örnek 20:
Örnek 17:
%30'u şeker olan 60 litrelik şekerli su karışımından 10 litre
su buharlaştırılıyor.
Buna göre, yeni karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?
%30
–
60
%0
10
=
%x
Cevap: 36
1
Ağırlıkça % 40'ı tuz olan homojen un - tuz karışımının 6 sı
alınarak yerine aynı miktarda tuz ekleniyor.
Buna göre, yeni karışımın ağırlıkça yüzde kaçı tuzdur?
1
Başlangıçta karışımın ağırlığı 6x olur. 6x. 6 = x gramı dökülür.
%40
50
+
5x
1800 – 0 = 50x
1800
x = 50 = 36
%100
=
x
Cevap: 50
%a
6x
200x + 100x = 6x . a
300x = 6xa
300x
a= 6x = 50
Örnek 21:
su
%10 u tuz olan 100 gram tuzlu suyun tuz oranını % 20
ye çıkarmak için kaç gram su buharlaştırılmalıdır?
%10
100
–
%0
x
=
% 20
Buna göre B karışımından
8 gram ve A karışımından 2
şeker gram alınarak oluşturulan karışım yüzde kaçı şekerdir?
A
3
3
7
100 – x
1000 – 0 = 20(100 – x)
1000 = 2000 – 20x
20x = 1000
x = 50
Buna göre, bu karışımın başlangıçtaki miktarı kaçtır?
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
Cevap: 50
Karışım miktarı iki basamaklı bir doğal sayı olan bir şekerli - su
karışımının %20 si şekerdir. Bu karışımdan karışım miktarının
rakamları toplamı kadar su buharlaştırılıp, karışım miktarının
rakamları toplamı kadar şeker eklersek oluşan yeni karışımın
şeker oranı %40 olmaktadır.
4
Yandaki grafikte A ve B karışımlarındaki şeker ve su oranı gösterilmiştir.
B
Cevap: 38
%30
%70
+
8
2
%x
=
10
3
B nin şeker yüzdesi = 10 .100 = %30
7
A nın şeker yüzdesi = 10 .100 = %70
240 + 140 = 10x
x = 38
xy
%20
–
x+y
%0
+
x+y
%100
=
xy
%40
20(10x+y)+100(x+y) = (10x+y).40
300x+120y=400x+40y⇒80y=100x⇒4y=5x⇒xy=45
Öğretmen
Sorusu
Örnek 18:
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Karışım Problemleri
1.
5.
80 kg tuz - su karışımında 16 kg tuz vardır.
Buna göre, karışımın tuz oranı % kaçtır?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 24
E) 25
16
1
80 .100 = 5 .100 = %20
Ağırlıkça % 25 i tuz olan 80 kg tuz - şeker karışımına 10
kg şeker ilave ediliyor.
tuz
Buna göre, yeni karışımın se ker oranı kaçtır?
1
1
2
1
2
A) 6
B) 3
C) 7
D) 9
E) 9
25
tuz = 80. 100 = 20
şeker = 80 – 20 = 60
20
20
2
= 60 + 10 = 70 = 7
2.
10 gram tuz, 30 gram su ve 10 gram undan homojen bir
karışım elde ediliyor.
6.
Buna göre, karışımın ağırlıkça yüzde kaçı undur?
Buna göre, kalan karışımın tuz oranı yüzde kaç olur?
A) 30
A) 20
B) 28
C) 25
D) 24
E) 20
10
= 10
=
10 + 10 + 30 .100 50 .100 %20
3.
7.
A kg şeker, B kg un ile karıştırılıyor.
40
Un = 60. 100 = 24
D) 36
E) 40
Şeker oranı %10 olan 120 gramlık homojen şekerli su karışımının yarısı dökülüyor.
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 16
10
60. 100 = 6 gram
Un oranı % 40 olan 60 kg homojen su - un karışımında
kaç kg su vardır?
B) 28
C) 30
Buna göre, kalan karışımın şeker miktarı kaç gramdır?
A
= 100A
A + B .100 A + B
A) 24
B) 25
Karışımın belli bir miktarı döküldüğünde tuz oranı değişmez % 30 olur.
Buna göre karışım ağırlıkça yüzde kaçı şekerdir?
100
A.B
100B
A) A + B
B) A + B
C) A + B
100A
A+B
D) A + B
E) 100
4.
Tuz oranı % 30 olan 60 gramlık homojen bir karışımın 20
gramı dökülüyor.
C) 30
D) 36
E) 40
8.
Ağırlıkça %20 si tuz olan 40 gramlık tuzlu su ile ağırlıkça % 40 ı tuz olan 10 gramlık tuzlu su karıştırılırsa
yeni karışımın tuz oranı yüzde kaç olur?
A) 20
B) 22
%20
Su = 60 – 24 = 36
40
C) 24
+
%40
10
D) 26
=
E) 28
%x
50
800 + 400 = 50x ⇒ 1200 = 50x
x = 24
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Karışım Problemleri
9.
Şeker oranı % 10 olan 3x gram meyve suyu ile şeker
oranı % 30 olan 2x gram meyve suyu karıştırıldığında
oluşan yeni karışımın şeker oranı yüzde kaç olur?
A) 10
B) 16
C) 18
%10
+
%30
3x
D) 20
=
2x
E) 24
%60
5x
–
%100
x
D) 20
=
E) 24
% 50
80 – x
4800 – 100x = 4000 – 50x
50x = 800 ⇒ x = 16
gram tuz ekleniyor.
C) 32
%100
80
20
D) 30
=
14. Alkol oranı %30 olan 120 litre alkol - su karışımına x litre
alkol ilave edildiğinde yeni karışımın alkol oranı %40 oluyor.
Buna göre, yeni karışımın tuz oranı % kaçtır?
+
C) 18
80
10. Tuz oranı % 20 olan 80 gramlık tuzlu su karışımına 20
%20
B) 16
%a
90x
90x = 5xa = ⇒ = 5x = 18
B) 34
su oranını % 50 ye indirmek için karışımdan kaç litre
su buharlaştırılmalıdır?
A) 12
30x + 60x = 5xa
A) 36
13. Ağırlıkça % 60 ı su olan 80 litre şekerli su karışımının
Buna göre, x kaçtır?
E) 25
A) 10
%x
B) 12
100
%30
C) 15
+
%100
120
1600 + 2000 = 100x
3600 = 100x ⇒ x = 36
x
D) 18
=
E) 20
% 40
120+x
3600 + 100x = 4800 + 40x
60x = 1200 ⇒ x = 20
11. Şeker oranı % 15 olan 40 gramlık şekerli su karışımına 10
gram su ekleniyor.
litresi dökülerek yerine dökülen miktarda su konuluyor.
Buna göre, yeni karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?
Buna göre, yeni karışımın tuz oranı % kaçtır?
A) 8
A) 10
B) 10
+
40
C) 12
%0
E) 18
B) 12
%20
%x
=
10
D) 15
C) 15
+
60
50
%0
D) 18
=
20
E) 20
%x
80
1200 + 0 = 80x
1200
x = 80 = 15
600
600 + 0 = 50x ⇒x = 50 = 12
12. Alkol oranı % 20 olan 60 litrelik kolonyadan 20 litre su
buharlaştırılıyor.
16. Kilosu ¨20 olan 6 kilo fındık ile kilosu ¨15 olan 4 kilo fındık
karıştırılıyor.
Buna göre, yeni karışımın alkol oranı % kaç olur?
Elde edilen karışımın kilosu kaç ¨ olur?
A) 20
A) 10
%x
20
40
6
C) 14
+
15
4
D) 16
=
E) 18
x
10
120 + 60 = 10x
1200
1200 – 0 = 40x ⇒ x = 40 = 30
180 = 10x ⇒ x = 18
6. C
7. A
8. C
9. C
10. A
11. C
12. C
13. B
14. E
15. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5. C
20
=
B) 12
4. D
60
%0
E) 40
3. D
–
D) 35
2. E
%20
C) 30
1. C
B) 25
Cevaplar
%15
16. E
6
15. Ağırlıkça % 20 si tuz olan 80 gram tuzlu su karışımının 20
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Karışım Problemleri
1.
4.
%30
% 20
% 10
5 gram
15 gram
30 gram
A
B
C
2. kapta: %20 si şeker olan 20 litre şekerli su,
3. kapta: %30 u şeker olan 20 litre şekerli su,
4. kapta: %x i şeker olan 20 litre şekerli su vardır.
Yukarıda ağırlıkları ve karışım içindeki tuz oranları verilen
A, B ve C tuzlu - su karışımları verilmiştir.
Bu dört kapta bulunan şekerli - su karışımları bir kaba
boşaltılınca oluşan 80 litrelik karışımın su yüzdesi % 75
oluyor.
Buna göre, A, B ve C karışımları bir kapta karıştırıldığında karışımın ağırlıkça yüzde kaçı tuz olur?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 15
Buna göre, x kaçtır?
E) 18
A) 10
5.30 + 20 . 15 + 10 . 30 = 50 .x
2.
1
% x i tahin olan 2 litre tahin - pekmez karışımına 2 litre
daha pekmez karıştırılarak tahin oranı % 20 olan yeni bir
karışım elde ediliyor.
5.
Buna göre, x kaçtır?
B) 24
C) 25
%x
D) 28
+
2
E) 50
%0
1
2
=
Buna göre, oluşan yeni karışımın şeker oranı yüzde
kaçtır?
E) 30
A) 18
% 20
5
2
B) 20
%20
60 gr
2x = 50 ⇒ x = 25
+
C) 22
%100
+
10
%0
15
D) 24
+
%0
15
E) 25
%x
=
100
1200 + 1000 + 0 + 0 = 100x
2200 = 100x
Aşağıda su ve tuzdan oluşan homojen bir karışımdaki tuz
miktarını gösteren doğrusal fonksiyonun grafiği verilmiştir.
tuz miktarı (kg)
6.
x = 22
 a, b ve c sayıları sırasıyla 2, 3 ve 5 sayıları ile doğru
orantılı olan tam sayılardır.
 %20 si şeker olan 30 gram şekerli su karışımının içerisine
1
•
•
•
0,6
0,2
a gr saf su
b gr saf şeker
%20 si şeker olan c gram şekerli su ekleniyor.
oluşan yeni karışımın şeker oranı % 34 oluyor.
1
3
5
Buna göre, a kaçtır?
Karışım
miktarı (kg)
Buna göre, 60 kg tuz kaç kg lık bir karışımda bulunur?
A) 420
D) 40
%50 si süt, % 20 si şeker, %30 u kakao olan 60 gramlık
bir karışıma 10 gram şeker, 15 gram süt ve 15 gram kakao karıştırılıyor.
5
2x + 0 = 2 .20
3.
C) 30
Madde miktarları aynı ise yeni yüzde karışımların yüzdelerinin aritmetik ortasıdır.
10 + 20 + 30 + x =
25 & x + 60 = 100 ⇒ x = 40
4
x = % 15
A) 20
B) 20
Su oranı % 75 ise şeker oranı % 25 tir.
750 = 50x
1. kapta: %10 u şeker olan 20 litre şekerli su,
B) 400
x
1. 100 = 0, 2 & x = %20
20
A. 100 = 60 & A = 300
C) 360
D) 320
E) 300
A) 14
B) 15
C) 18
D) 21
E) 24
a = 2k, b = 3k, c = 5k
%20
30
+
%0
2k
+
%100
3k
+
%20
5k
=
%34
10k+30
600 + 0 + 300 k+ 100 k = 34. (10k + 30)
400k + 600 = 340k + 1020
60k = 420 ⇒ k = 7 ⇒ a = 14
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Karışım Problemleri
7.
Şeker oranı % 40 olan 40 gram şekerli su ile su oranı %80
olan 10 gram şekerli su karıştırılıyor.
10.  50 gramlık şekerli su karışımından 20 litre su buharlaştırılıyor.
 Buharlaştırma işlemi sonucunda karışımın şeker yüzdesi 8 artıyor.
Buna göre, oluşan karışımın su oranı yüzde kaçtır?
A) 56
B) 60
C) 62
D) 64
E) 72
Buna göre, başlangıçta karışımın şeker oranı yüzde
kaçtır?
Şeker oranı % 40 ise su oranı % 60 dır.
%60
%80
+
40
%x
=
10
A) 8
50
B) 10
%x
2400 + 800 = 50x
Buna göre, A karışımından 7 gram B karışımından 3
gram alınarak oluşturulan karışımın un oranı yüzde
20
D) 14
=
E) 16
% x +8
30
50x – 0 = 30x + 240
un
2
 un ve sudan oluşan A karışımının su oranı 3 tür.
su
3
 un ve sudan oluşan B karışımının un oranı 7 dir.
20x = 240 ⇒ x = 12
11. A karışımı: Tuz oranı %30 olan tuzlu su karışımıdır.
B karışımı: Tuz oranı %12 olan tuzlu su karışımıdır.
kaçtır?
hh A ve B karışımı karıştırıldığında oluşan yeni karışımın
A) 45
B) 46
C) 49
D) 50
tuz oranı %21 dir.
E) 56
hh A karışımının 12 si B karışımının 14 ü karıştırıldığında
2
A nın un yüzdesi = 5 .100 = % 40
7
B nin un yüzdesi = 10 .100 = %70
%40
oluşan yeni karışımın tuz oranı % a oluyor.
% 70
+
7
3
A
B
=
%x
Buna göre, a kaçtır?
10
A) 18
B) 20
C) 24
D) 26
E) 28
Oluşan karışımın tuz yüzdesi A ve B nin tuz yüzdesinin aritmetik ortası
280 + 210 = 10x
olduğunda A ve B nin madde miktarları eşittir. Bu miktar 4x olur.
% 30
490 = 10x ⇒ x = % 49
9.
%0
–
50
3200
x = 50 = 64
8.
C) 12
%20 si tuz
%30 u tuz
20 litre tuzlu su
40 litre tuzlu su
A
B
+
% 12
2x
x
=
%a
3x
60x + 12x = 3xa
72x = 3xa ⇒ a = 24
C
12. Ağırlıkça % 30 u tuz olan tuzlu sudan A kg, ağırlıkça % 25i
tuz olan tuzlu sudan (A – B) kg alınarak karıştırılıyor.
çatlakta akan su C kabını doldurmaktadır.
A
Oluşan karışım tuz yüzdesi % 28 olduğuna göre, B
oranı kaçtır?
hh A kabındaki çatlaktan düzenli olarak akan su 10 saatte, B
kabından düzenli olarak akan su 20 saatte bitmektedir.
1
A) 4
Buna göre, 4 saat sonra C kabında biriken suyun kaç
litresi tuzdur?
E) 4,5
A
A dan saatte 2 lt, B den saatte 2 lt su akar 4 saat sonra A dan 8 B den 8
litre su C ye akar.
6. A
7. D
8. C
9. D
10. C
11. C
12. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
A–B
=
E) 4
% 28
2A – B
3B = A
A
B =3
30
16 + 24
20
8. 100 + 8. 100 = 10 = 4
8
% 25
D) 3
30A + 25A – 25B = 56A – 28B
5. C
D) 4
4. D
C) 2,5
+
3. E
B) 1,5
% 30
C) 2
2. C
A) 1
1
B) 3
1. D
hh A ve B kaplarının altlarında çatlak bulunmaktadır ve
Cevaplar
Şekilde A ve B kaplarında bulunan tuzlu su miktarları ve
yüzdeleri verilmiştir.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Faiz Problemleri
hhFaİz Problemlerİ
Örnek 23:
¨400 yıllık % 30 basit faizle 4 aylığına bir bankaya yatırılıyor.
Buna göre, elde edilen faiz miktarı kaç ¨ dir?
Basit Faiz
A: Ana para
400.30.4
1200
4.30.4
F = 12 = 40
F=
F: Faiz Miktarı
n: Yıllık faiz yüzdesi
Cevap: 40
t: zaman
olmak üzere,
hh Zaman birimi yıl ise
Örnek 24:
A.n.t
F = 100
¨1200 yıllık % 60 basit faizle 24 günlüğüne bir bankaya yatırılıyor.
Buna göre, elde edilen faiz miktarı kaç ¨ dir?
hh Zaman birimi ay ise
A.n.t
F = 1200
2
12 .6 .24
1200.60.24
= 2.24 = 48
F = 36000 = 36
Cevap: 48
3
hh Zaman birimi gün ise
A.n.t
F = 36.000
formülleri elde edilir.
Örnek 22:
Örnek 25:
¨800 yıllık % 20 basit faiz ile 2 yıllığına bir bankaya yatırılıyor.
Yıllık %40 faiz veren bir bankaya yatırılan bir miktar para 3
ayda 325 lira faiz geliri getirmiştir.
Buna göre elde edilen faiz miktarı kaç ¨ dir?
Buna göre, yatırılan para kaç liradır?
800.20.2
100
F = 8. 20 . 2
F=
F = ¨320
Cevap: 320
A.40.3
325 = 1200
A
325 = 10
A = 3250
Cevap: 3250
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Faiz Problemleri
Örnek 26:
Örnek 29:
Bir bankaya yatırılan ¨1500 nin 3 yılda getirdiği basit faiz
geliri ¨225 dir.
Bir bankaya yatırılan bir miktar para ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
Buna göre bankanın uyguladığı yıllık basit faiz oranı
yüzde kaçtır?
hh A nın 8 katı B nin 3 katına eşittir.
1500.n.3
100
225 = 15.n.3
225
n = 45 = 5
225 =
Cevap: 5
hh A liranın %x ten 4 yılda getirdiği basit faiz, B liranın %y
den 9 yılda getirdiği basit faize eşittir.
Buna göre, x ile y arasındaki bağıntı nedir?
8A = 3B ⇒ A= 3K ve B = 8k olsun.
A.x.4 = B.y.9
100
100
A.x.4 = B.y.9
3k.x.4 = 8k.y.9
12kx = 72ky
x = 6y
Cevap: 6y
Örnek 27:
Yıllık % 20 basit faizle bankaya yatırılan bir miktar para x ay
1
sonra kendisinin 3 ü kadar faiz getiriyor.
Buna göre, x kaçtır?
A = A.20.x
3
1200
A = A.x
3
60
60A = 3A.x
60A
x = 3A = 20
Örnek 30:
Cevap: 20
Arda'nın parasını bir bankaya basit faizden yatırma şekli
aşağıda verilmiştir.
hh Parasının %80 ini yıllık % 30 dan 2 yıllığına bankaya
yatırıyor.
hh Parasının kalanını yıllık %10 dan 2 yıllığına bankaya
yatırıyor.
hh iki yıl sonunda ¨2080 faiz geliri elde ediyor.
Buna göre, Arda'nın faize yatırdığı para kaç ¨ dir?
Yıllık % 12 basit faizle bankaya yatırılan bir miktar para 2 yıl
sonunda ¨ 992 olarak bankadan çekiliyor.
Buna göre, bankaya yatırılan para kaç ¨ dir?
Anapara: A ise Faiz : 992 – A olur.
A.12.2
992 – A = 100
99200 – 100A = 24A
124A = 99200
A = 800
Cevap: 800
Ardanın parası 100x olsun.
80x.30.2 + 20x.10.2 =
2080
100
100
48x + 4x = 2080
52x = 2080
x = 40
100x = 4000
Her yıl aralarında 1000 er ¨ para toplayan 10 arkadaş toplanan
parayı sırasıyla bu 10 kişiden birinin banka hesabına yatırmaktadır.
Banka yatırılan paraya yıllık %20 basit faiz verdiğine göre
toplanan parayı ilk alan kişi son alan kişiden kaç ¨ kârlıdır?
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 4000
Öğretmen
Sorusu
Örnek 28:
F=
10000.20.9 =
18.000
100
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Faiz Problemleri
Örnek 31:
Örnek 33:
Özgür parasını bankaya yatırmayı düşünüyor ve bankaya
gittiğinde iki teklif sunuluyor.
Aylık % 2 basit faiz oranıyla bankaya yatırılan ¨400 nin
2 yıl sonra getireceği faiz kaç ¨ dir?
I. Teklif: Paranızı 2 yıllığına yatırırsanız yıllık % 36 basit
faiz veririz.
II. Teklif: Paranızı 1 yıllığına yatırırsanız yıllık %20 basit
faiz veririz.
yıllık faiz oranı = 12.2 = % 24
Cevap: 192
400.24.2
F = 100 = 8.24 = 192¨
Özgür verilen I. teklifi seçerse verilen II. tekliften 1040
daha fazla faiz geliri alacağına göre bankaya yatırdığı
para kaç ¨ dir?
A.36.2 - A.20.1 =
1040
100
100
72A - 20A =
1040
100
52A =
100 1040
A = 2000
Cevap: 2000
Örnek 34:
¨ 1200 günlük % 0,05 basit faiz ile bir bankaya yatırılıyor.
Buna göre, 10 ay sonra kaç ¨ faiz geliri getirir?
Yıllık basit faiz oranı = 0,05 . 360 = 18
Cevap: 180
1200.18.10 =
180
F=
1200
Örnek 32:
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
hh Yıllık basit faiz oranı % 36 olan bir bankanın aylık basit
faiz oranı nedir?
hh Aylık % 5 basit faiz oranı veren bir bankanın yıllık basit
faiz oranı nedir?
hh Aylık basit oranı %24 olan bir bankanın günlük basit faiz
oranı nedir?
hh 1 yıl = 12 ay
36
aylık faiz oranı = 12 = %3 tür.
Örnek 35:
Bankaya yatırılan bir miktar para ile ilgili aşağıdaki bilgiler
verilmektedir.
hh Bankanın uyguladığı yıllık faiz oranı %12,6 dır.
hh Devletin müşteriden aldığı gelir vergisi faiz geliri üzerinden % 35 tir.
Cevap: %0,8
Buna göre, bankaya 4 yıllığına yatırılan ¨10.000 den
elde edilecek faiz geliri kaç ¨ dir?
hh 1 yıl = 12 ay
yıllık basit faiz oranı = 12.5 = % 60 dır.
hh 1 ay = 30 gün
24
günlük basit faiz oranı = 30 = % 0,8 dir.
F=
10.000 .12, 6.4
= 40.126 = 5040
100
Cevap: 3276
Müşterinin eline geçen faiz miktarı
100 - 35
65
5040. 100 = 5040. 100
= 504. 13
2
= 3276 ¨ dır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Faiz Problemleri
Bileşik Faiz
Örnek 36:
Bir A bankası dolara yıllık %5 faiz verirken TL ye % 26 faiz
vermektedir.
Faize yatırılan para süre sonunda faiziyle birlikte tekrar bankaya yatırıldığında elde edilen toplam faize bileşik faiz denir.
n t
A + F = A.`1 + 100 j
Bir doların 140 kuruş olduğu zaman 1000 dolarını A
bankasına dolar olarak yatıran Selim, 1 yıl sonunda
parasını çektiğinde TL bazında zarar etmemesi için bir
doların en az kaç kuruş olması gerekir?
1000 dolar = 1000 . 140 = 140.000 kuruş
1000.5.1 =
50 ⇒ bankada 1050 dolar vardır.
100
140.000.26.1 =
FTL =
36400 ⇒Bankada 176.400 kuruş vade
100
Cevap: 168
Fdolar =
Örnek 38:
¨1000 yıllık %60 bileşik faiz oranı ile 2 yılda kaç ¨ faiz
geliri getirir?
176400 = 1050 dolar ⇒ 1 dolar = 168 kuruş olmalıdır.
60 2
1000 + F = 1000 .`1 + 100 j
160 160
1000 + F = 1000 . 100 . 100
Cevap: 1560
1000 + F= 2560
F = 1560¨
Örnek 37:
Aşağıdaki tabloda bir bankanın vadelere verdiği kredi miktarına bağlı olarak belirlediği faiz oranları gösterilmiştir.
Faiz oranları (%)
10 bin ¨ ye kadar
10 bin ¨ ve üzeri için
12 ay
6
5
18 ay
8
7
24 ay
10
8
para ¨4320 dir.
Bir müşteri bu bankadan 24 ay vadeli 12.000¨ kredi çekmiştir. Bu müşteri aynı miktarda faiz ödeyecek biçimde
bankadan 12 ay vadeli kaç ¨ çekebilirdi?
D) 19.200
B) 12,400
C) 15.000
E) 20.000
8
5
12.000. 100 = A. 100
Bir miktar para yıllık %20 bileşik faizle 2 yıllığına bankaya
yatırılıyor. İkinci yılın sonunda bankada biriken toplam para
Örneğin; bu bankadan 24 ay vadeli 1000¨ kredi çeken bir
müşteri vade sonunda bankaya 100¨ faiz öder.
A) 9600
Örnek 39:
Buna göre, bankaya yatırılan para kaç ¨ dir?
20
4320 = A. (1 + 100 ) 2
120 120
4320 = A. 100 . 100
144
4320 = A. 100
4320.100 =
3000
A=
144
Cevap: 3000
Cevap: D
96000 = 5A
1 Euro'nun 2 dolar olduğu bir günde, A bankası Euro'ya %10, Dolar'a %12 faiz
verirken, B bankası Euro'ya %8 Dolara %14 faiz vermektedir. 1000 Euro ve 2000
Dolar parası olan Arif, tüm parasını Dolara çevirerek A bankasına, aynı miktar
parası olan Fatih ise Parasını Euroya çevirerek B bankasına yatırıyor.
1 yıl sonunda her ikisinin de aldığı faizler eşit olduğuna göre yılın sonunda
1 euro kaç dolardır?
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
4000 Dolar.12.1 = 2000 Euro.8.1
100
100
24 Dolar = 8 Euro
1 Euro = 3 Dolar
Öğretmen
Sorusu
A= 19200
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Faiz Problemleri
1.
Aylık % 1,5 basit faiz veren bir bankanın yıllık basit
faiz oranı yüzde kaçtır?
A) 12
B) 14
C) 15
D) 18
5.
¨ 6000 aylık % 1 basit faiz oranıyla 20 günlüğüne bir bankaya yatırılıyor.
Buna göre, elde edilen faiz geliri kaç ¨ dir?
E) 20
A) 20
15
10
Yıllık %40 basit faiz oranı üzerinden bankaya yatırılan
¨600 bir yıl sonunda kaç ¨ faiz geliri getirir?
A) 120
F=
3.
B) 150
C) 200
D) 240
6.
B) 380
C) 400
D) 420
7.
E) 450
F=
C) 180
D) 200
E) 240
C) 6
120 .60 .20
12.6.2
36000 = 36 = 4
Yıllık % 15 basit faiz oranıyla bankaya yatırılan ¨ 400
kaç ay sonra ¨240 faiz geliri getirir?
A) 30
240 =
5
B) 36
C) 40
D) 42
E) 48
400 .15 .t
1200 = 240 = 5t ⇒ t = 48
3
Yıllık % 60 basit faiz oranıyla bankaya yatırılan ¨120,
20 gün sonra kaç ¨ faiz geliri getirir?
B) 4
B) 160
3
1800 .60.4 18.60 .4
1200 = 12 = 360
A) 2
Günlük % 0,1 basit faiz oranı ile bankaya yatırılan
¨2000, 3 ay sonra kaç ¨ faiz geliri getirir?
2000 .36 .3
= 20.3.3 = 180
F = 1200
5
4.
E) 45
Yıllık basit faiz oranı = 0,1 . 360 = % 36
Yıllık % 60 basit faiz oranıyla bankaya yatırılan ¨1800,
4 ay sonra kaç ¨ faiz geliri getirir?
F=
D) 40
6000 .12.20 6.12.20
36000 = 36 = 40
A) 120
E) 280
600.40.1 =
240
100
A) 360
C) 30
Yıllık faiz oranı = 12 . 1 = % 12
F=
2.
B) 24
D) 8
E) 12
8.
Bir bankaya 4 yıllığına yatırılan bir miktar para kendisi kadar faiz geliri getiriyor.
Buna göre, uygulanan yıllık basit faiz oranı yüzde
kaçtır?
A) 15
B) 20
C) 24
D) 25
E) 30
A.n.4
A = 100 & 100A = 4A.n & n = 25
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Faiz Problemleri
Bir miktar para yıllık % 20 basit faiz oranıyla bankaya yatırılıyor.
nin 5 katıdır.
 Bankanın verdiği faiz oranı yıllık % 60 dır.
Buna göre, kaç yıl sonra bankadan çekilen tüm para
ana paranın 4 katı olur?
Buna göre, bu yatırımda vade kaç aydır?
A) 10
A) 1
B) 12
C) 15
D) 18
E) 24
B) 2
C) 3
D) 4
Anapara : A, çekilen tüm para = 4A ise faiz: 3A dır.
5F = A
A.20.t
3A = 100 ⇒ 300A = 20A.t ⇒ t = 15
A.60.t
1
5F . 3t
F = 100 & F = 5 & t = 3 yıl ⇒ 4 ay
10. Arzu ¨900 sini yıllık %20 basit faizle 2 yıllığına bankaya
E) 5
14. Asya parasının yıllık %30 basit faizle 4 yıllığına bankaya
yatırıyor.
yatırıyor.
Buna göre, 2 yıl sonra bankada kaç ¨ si olur?
Asya parasının yıllık %10 basit faizle bankaya yatırsaydı, aynı faiz gelirini kaç yılda elde ederdi?
C) 1220
D) 1200
E) 1120
A) 18
900.20.2 =
360¨
100
11. ¨700 para yıllık % 10 bileşik faiz ile bir bankaya yatırıyor.
E) 10
na bankaya yatırdığında kendisinin kaç katı faiz geliri
elde eder?
C) 148
D) 149
E) 150
12
A) 5
700 + F = 700. `1 + 100 j
110 110
700 + F = 700. 100 . 100
700 + F = 847
F = 147
10 2
B) 3
C) 4
24
D) 5
32
E) 5
A.60.4
12A
F = 100 & F = 5
12
Ana paranın 5 katı kadar faiz elde eder.
12. Semih parasının yarısnı yıllık %30 basit faiz ile, kalan parasını yıllık %40 basit faiz ile bankaya yatırıyor.
1 yıl sonra toplam ¨420 faiz geliri elde ettiğine göre
Semih'in bankaya yatırdığı toplam para kaç ¨ dir?
E) 1200
A.40.3 = B.60.4
100
1200
6A = B
5
5
A 1
=
6A B & B = 6
8. D
9. C
10. A
11. B
12. E
13. D
14. D
15. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7. E
A.30.1 + A.40.1 = 70A =
100
100
100 420 ⇒ A= 600 ⇒ 2A = 1200
6. C
Parası 2A olsun.
5. D
D) 1500
geliri, ¨B nin yıllık %60 basit faizle 4 ayda getirdiği basit
faiz gelirine eşittir.
A
Buna göre, B oranı kaçtır?
1
1
B) 4
C) 1
D) 4
E) 6
A) 6
4. B
C) 1600
16. ¨A nın yıllık %40 basit faizle 3 yılda getirdiği basit faiz
3. A
B) 147
B) 1800
D) 12
15. Bir miktar para yıllık %60 basit faiz oranıyla 4 yıllığı-
Buna göre, 2 yıl sonra kaç ¨ faiz geliri elde edilir?
A) 2000
C) 14
A .30.4
A .10.t
100 = 100 ⇒ 120 = 10 t ⇒ t = 12
900 + 360 = 1260¨
A) 146
B) 15
2. D
F=
B) 1250
1. D
A) 1260
16. A
14
13.  Özge'nin bankaya yatırdığı para elde ettiği faiz geliri-
Cevaplar
9.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Faiz Problemleri
1.
Aşağıdaki tabloda Ahmet ve Cemre isimli yatırımcıların
bankaya yatırdıkları para ile ilgili bilgiler verilmiştir.
Anapara
Yıllık Basit
faiz oranı
Faizde kalınan
süre (yıl)
Faizin
sahibi
¨1200
%40
3 yıl
Ahmet
¨3000
%30
2 yıl
Cemre
4.
 ¨a nın yıllık % b den 1 yılda getirdiğini faiz ¨x dir.
 ¨c nin yıllık % a dan 1 yılda getirdiği faiz ¨y dir.
x
Buna göre, y oranı kaçtır?
7
5
8
C) 3
C) 2
D) 3
A) 3
B) 3
b = 5k seçilirse a = 10k ve c = 3k olur.
10k.5k.1 k 2
3k.10k.1
3k 2
x = 100 = 2 , y = 100 = 10
Buna göre, Ahmet ve Cemre'nin aldıkları faizler arasındaki farkın mutlak değeri kaçtır?
A) 200
B) 240
C) 300
D) 360
k2
x = 2 = k 2 10 = 5
y
2 . 3k 2
3
3k 2
10
E) 400
1200.40.3 - 3000.30.2
100
100
1440 - 1800 = - 360 = 360
2.
A Arif'in parası ¨1200 dir.
A Arif parasının bir kısmını yılık % 20 basit faizle 3 yıllığına bankaya yatırıyor.
5.
A Kalan parasını yıllık %10 basit faizle 6 yıllığına bankaya yatırıyor.
B) 700
C) 680
D) 640
 Burcu parasını yıllık %40 basit faiz ile bankaya yatırıyor.
 Cansu parasını yıllık %10 basit faiz ile başka bir bankaya yatırıyor.
Buna göre kaç yıl sonra ikisinin bankada biriken paraları birbirine eşit olur?
C) 200
D) 180
E) 150
30
E) 600
 Burcu'nun ¨1000 si, Cansu'nun ¨3000 si vardır.
B) 210
A . 8. 9
A.12.x
1200 = 36000
12x
72 = 30
x = 180
x.20.3 (1200 - x) .10.6
F = 100 +
100
60x + 1200.60 - 60x = 1200.60 =
= 100
720
100
100
3.
Yıllık %8 basit faiz oranı ile 9 ayda alınan faiz geliri,
aynı anapara ve yıllık %12 basit faiz oranıyla kaç günde alınır?
A) 240
Buna göre, alınacak toplam faiz kaç ¨ dır?
A) 720
 a = 2b ve 3b = 5c dir.
6.
Bir esnaf elinde bulunan 100 bin ¨ sini aşağıdaki gibi
değerlendiriyor.
Parasının %60 ını kendi sektörüne yatırım yapıyor.
Geriye kalan parasını 1 yıllığına bankaya yatırıyor.
Bir yılın sonunda kendi sektörüne yatırdığı yatırımda
%20 zarar ediyor.
40
Burcu bir yılda 1000. 100 = 400¨
Buna göre, esnafın zarar etmemesi için bankaya yatırdığı paranın yıllık basit faiz oranı en az yüzde kaç
olmalıdır?
10
Cansu bir yılda 8000. 100 = 300¨ faiz alır.
A) 150
A) 15
B) 18
C) 20
1000 + 400 . x = 3000 + 300 . x
100x = 2000
x = 20
C) 24
E) 30
B) 130
C) 120
D) 110
E) 90
60
80
40.000.n.1 =
(100.000 100 ) . 100 +
100.000
100
48000 + 400n = 100.000
400n = 52000
n = 130
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Faiz Problemleri
Özge parasının %25 ini yıllık %30 dan geriye kalanını ise
yıllık %10 dan bankaya yatırıyor.
10. Aşağıda bir bankanın vadeli hesaplara uygulayacağı yıllık faiz oranlarını belirleyen y =
grafiği verilmiştir.
Özge, 2 yılın sonunda toplam ¨480 basit faiz geliri
elde ettiğine göre, faize verdiği toplam para kaç ¨ dir?
A) 2000
B) 1600
D) 1200
4x + 72
x + 1 fonksiyonunun
y(faiz oranı (%))
72
C) 1500
E) 1000
Parası 100x olsun.
25x.30.2 + 75x.10.2 =
480
100
100
4
yıl
15x + 15x = 480
30x = 480
Bu grafiğe göre kaçıncı yıldan sonra yıllık faiz oranı
%5 in altına düşer?
x = 16 ⇒ 100x = 1600
A) 64
B) 132
C) 144
D) 156
E) 160
4 yılda 240 bin ¨ basit faiz geliri getiriyor.
Buna göre, x kaçtır?
A) 1
A
B
C
Faiz oranı (%)
20
30
50
D) 5200
E) 5
Banka
A
B
Faiz oranı
%20
%40
Deniz;
hh Parasının %20 sini A bankasına 1 yıllığına,
hh Parasının geriye kalanını B bankasına 1 yıllığına yatırıyor.
C) 4800
Buna göre, bir yılın sonunda Deniz'in A ve B bankalarına yatırdığı toplam parasındaki artış yüzde kaçtır?
E) 6200
A) 20
3y
x
z
20
30
50
x. 100 = y. 100 = z. 100 & 5 = 10 = 2 = 3k
x = 15k, y = 10k, z = 6k
B) 24
C) 28
D) 32
E) 36
x + y + z = 31k
Parası 100x olsun.
20x.20.1 80x.40.1
Toplam faiz : 100 + 100 = 4x + 32x = 36x
O halde asyanın parası ¨6200 olabilir.
Parası % 36 artmıştır.
3. C
4. D
5. D
6. B
7. B
8. C
9. E
10. D
11. B
12. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2. A
16
D) 4
oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Buna göre, Asyanın tam sayı olan parası aşağıdakilerden hangisi olabilir?
B) 4400
C) 3
12. Deniz'in parasını yatırdığı A ve B bankalarının yıllık faiz
Asya parasını üç parçaya ayırıp A, B ve C bankalarına
faize koyuyor ve bir yılın sonunda aynı faizleri alıyor.
A) 3200
B) 2
Aylık % x ise yıllık % 12x dir.
250.12x.4
⇒ 240 = 120x ⇒ x = 2
240 =
100
Aşağıda A, B ve C bankalarının yıllık basit faiz oranları
verilmiştir.
Banka
E) 68
11. Aylık %x basit faiz veren bir bankaya yatırılan 250 bin ¨ ,
20
A + 120 = A .(1 + 100 ) 1
6A
A + 120 = 5
A
5 = 120 ⇒ A = 600
20
İkinci yıl (600 + 120). 100 = 144 ¨ faiz elde edilir.
9.
D) 67
y<5
4x + 72
+
+
x + 1 < 5 & 4x 72 < 5x 5
x > 67
Yıllık %20 bileşik faizle bankaya yatırılan paradan birinci yıl elde edilen faiz 120¨ olduğuna göre, ikinci yıl
elden edilen bileşik faiz kaç ¨ dir?
A) 120
C) 66
1. D
8.
B) 65
Cevaplar
7.
YGS // MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Fonksiyonlar - I
hhFONKSİYONLAR
elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen bağıntıya A dan B ye bir fonksiyon denir.
hh f: A ® B biçiminde tanımlanır.
A kümesine tanım kümesi, B kümesine değer kümesi, f(A)
kümesine görüntü kümesi denir.
Örneğin; A = {1, 2, 3} ve B = {1, 2, 3, 4, 5} kümeleri için tanımlanan f fonksiyonunda;
f
B
1
2
2
3
4
5
A dan B ye tanımlı bir bağıntının fonksiyon olması için
hh Tanım kümesindeki (A kümesinde) her elemanın görüntüsü olmalıdır. Yani tanım kümesinde açıkta eleman
kalmamalıdır.
hh Tanım kümesindeki (A kümesindeki) her elemanın yalnız bir tane görüntüsü olmalıdır. Yani A kümesindeki bir
eleman B kümesinde birden fazla elemanla eşleşemez.
Ancak A kümesindeki birden fazla eleman B kümesindeki bir elemanla eşleşebilir.
Örnek 2:
1
3
f(A)
Aşağıda verilen bağıntıların hangileri fonksiyondur?
I.
Görüntü kümesi : {2, 3, 4} tür.
II.
1
2
3
4
a
b
c
B = {1, 3, 7, 11, 13}
III.
olmak üzere,
x = 1 için f(1) = 2 . 1 + 1 = 3
x = 3 için f(3) = 2 . 3 + 1 = 7
0
1
2
1
1
3
3
7
11
13
Tanım kümesi: { 1, 3, 5}
B
Değer kümesi: {1, 3, 7, 11, 13}
f(A)
IV.
Görüntü kümesi:
f(A) = {3, 7, 11} bulunur.
B
B
4
7
10
12
n
A
1
2
3
x = 5 için f(5) = 2 . 5 + 1 = 11
f
h
A
f(x) = 2x + 1
fonksiyonunun tanım, değer ve görüntü kümelerini bulunuz.
5
g
A
A = {1, 3, 5}
B
4
5
6
1
2
3
Örnek 1:
A
f
A
Tanım kümesi : {1, 2, 3}, Değer kümesi : {1, 2, 3, 4, 5}
f: A ® B,
22
Not
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için A kümesinin her bir
A
FÖY NO
a
b
c
d
B
Cevap: I ve IV
I ve IV fonksiyon olma koşullarını sağlar. II de tanım kümesinde açıkta
eleman kaldığından, III de tanım kümesindeki 1 elemanın 2 görüntüsü olduğundan fonksiyon değildir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
Örnek 3:
Örnek 5:
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} olmak üzere A dan B ye
tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan kaç tanesi fonksiyondur?
y
y
I. {(1, a), (2, b), (3, c)}
x
y
x
x
II. {(1, a), (2, b), (3, a)}
III. {(1, a), (2, b)}
A
IV. {(1, a), (3, c), (2, a), (3, a)}
Cevap: I ve II
I ve II fonksiyondur. III de tanım kümesinde açıkta eleman kaldığından,
IV de tanım kümesindeki 3 elemanının iki farklı görüntüsü olduğundan
fonksiyon değildir.
Örnek 4:
Cevap: B
y eksenine paralel doğrular çizildiğinde A ve C grafiklerini birden fazla
noktada keseceğinden fonksiyon değiller. Ancak aynı kural gereği B fonksiyondur.
Not
f(x) = x + 2
A ve B boş kümeden farklı kümeler olmak üzere
f: A ® B
II. g: N → Z
x 1
g(x) = +
2
tanımlı fonksiyon sayısı [s(B)]s(A) dır.
III. h: Z → Z
Örnek 6:
h(x) = x – 2
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d, e}
IV. N: R → R
x
olmak üzere A dan B ye tanımlanan kaç fonksiyon vardır?
ifadelerinden hangileri fonksiyon belirtir?
Cevap: III
− 1 ve
− 1 ∉ R olduğundan fonksiyon değildir.
Not
Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını
anlamak için, tanım kümesi üzerinden y eksenine paralel
doğrular çizilir. Çizilen bu doğrular grafiği hep bir noktada
kesiyorsa fonksiyondur. Birden fazla noktada kesiyor veya
hiç kesmiyorsa fonksiyon değildir.
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 125
s(B)s(A) = 53 = 125
I. f(5) = 7 ve 7 ∉ {1, 2, 3, 4, 5} olduğundan fonksiyon değildir.
3
3
II. g(2) = 2 ve 2 ∉ Z olduğundan fonksiyon değildir.
III. ∀x ∈ Z için h(x) ∈ Z olduğundan fonksiyondur.
IV. N (− 1) =
C
Yukarıda verilen A, B ve C grafiklerinden hangileri fonksiyon belirtir?
I. f: {1, 3, 5} → {1, 2, 3, 4, 5}
N(x) =
B
Örnek 7:
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d}
olmak üzere A dan B ye tanımlı fonksiyonların kaç tanesinde f(1) = a dır?
f
A
B
1
a
2
b
3
Cevap: 16
c
d
1 in eşi belli olduğundan 2 ve 3 ün 4 er eşi olur. 4 . 4 = 16 fonksiyon vardır.
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
Örnek 8:
Örnek 9:
Aşağıda verilen fonksiyonların istenen görüntülerini
bulunuz.
olduğuna göre, f c
f(x) = x3 – 4x2 + x
hh
olduğuna göre, f(3) kaçtır?
1
m kaçtır?
21
x+4
x−2 = 1
⇒ − = 21 olur.
x 2
x + 4 21
f(3) = 33 – 4 . 32 + 3
Cevap: 23
1
21
f a 21 k = 1 + 2
1
f a 21 k = 23
= 27 – 36 + 3
= –6
Örnek 10:
f(x) = 2x – 3x + 4
hh
x 2
x 4
fc - m = + + 2
x+4
x-2
f(x3 – 7x) = 4x3 – 28x + 1
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
f(2) = 22 – 32 + 4
=4–9+4
x3 – 7x = 2 ise
= –1
Cevap: 9
f(x3 – 7x) = 4(x3 – 7x) + 1
f(2) = 4 . 2 + 1 = 9
f(x – 1) = 2x2 + 4
hh
olduğuna göre, f(4) kaçtır?
Örnek 11:
x–1=4 ⇒ x=5
f(5 – 1) = 2 . 52 + 4
B = {1, 3, 5, 7, 9}
f(4) = 54
olmak üzere A dan B ye tanımlı f(x) = 2x + 1 fonksiyonu
veriliyor.
f(3x – 1) =
hh
Buna göre, bu koşula uygun en geniş A kümesini bulunuz.
5 x - 101
2x
olduğuna göre, f(26) kaçtır?
2x + 1 = 1 ⇒ x = 0
3x – 1 = 26 ⇒ 3x = 27 ⇒ x = 3
2x + 1 = 3 ⇒ x = 1
5 3 − 101
f ( 3 − 1) =
23
− 101 24
125
=
=
f (26) =
8
8 3
2x + 1 = 5 ⇒ x = 2
3
Cevap: {0, 1, 2, 3, 4}
2x + 1 = 7 ⇒ x = 3
2x + 1 = 9 ⇒ x = 4
A kümesi {0, 1, 2, 3, 4} elemanlarından oluşmalıdır.
Öğretmen
Sorusu
Cevap: –6, –1, 54, 3
f(x) . f(2) = x3 + 2x + 4
olduğuna göre f(3) ün negatif değeri kaçtır?
x = 2 için f(2) . f(2) = 8 + 4 + 4
(f(2))2 = 16 ⇒ f(2) = 4 veya f(2) = –4
f(x) =
x 3 + 2x + 4
x 3 + 2x + 4
veya f(x) =
-4
4
f(3) =
27 + 6 + 4 - 37
27 + 6 + 4 = 37
= 4
-4
4
4 veya f(3) =
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
Örnek 12:
Örnek 14:
Aşağıda verilen fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
Aşağıda verilen fonksiyonların en geniş görüntü kümelerini bulunuz.
hh f(x) = x2 + x + 1
hh f(x) = x + 2
Fonksiyonu tanımsız yapan herhangi bir x reel sayısı olmadığından
T. K = R olduğundan x ∈ R için f(x) ∈ R olur.
T . K = R dir.
G. K = (–∞, ∞) = R
hh f(x) = (x – 3)2 + 4
x2 - 1
hh f(x) =
x-4
x–4≠0 ⇒ x≠4
∀x ∈ R için ifadenin alabileceği en büyük değer ∞ , en küçük değeri
x = 3 için 4 olur.
T . K = R – {4}
G. K = [4, ∞ )
hh f(x) =
3
hh f(x) = –(x – 1)2 + 2
x-4
∀x ∈ R için ifadenin alabileceği en küçük değer –∞, x = 1 için en
büyük değer 2 olur.
x – 4 ∈ R ⇒ x ∈ R dir.
T.k=R
G. K = (–∞ ,2]
hh f(x) =
hh f(x) = 2 1 - x 2
x+4
x + 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ –4
İfadenin en küçük değeri x = 1 için 2 0 = 0 ,
T . K = [–4, ∞)
en büyük değeri x = 0 için 2 1 = 2 dir.
G. K = [0, 2]
hh f(x) =
3
2-x
x+2
Cevap: R, [4, ∞), (–∞, 2], [0,2]
2 – x ≥ 0 ⇒ 2 ≥ x ve x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ –2
Örnek 15:
T . K = (–∞, 2] – {–2}
Örnek 13:
Cevap: R, R – {4}, R, (–4, ∞), (–∞, 2] – (–2)
Aşağıda grafiği verilen fonksiyonların tanım ve görüntü
kümelerini bulunuz.
y
f: [–1, 3) → R
2
1
f(x) = 4x + 2
fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
–1 ≤ x < 3 ve y = 4x + 2 için
–1
y
3
3
01 2 3
x
–4
–3
2
0
x
–2
Cevap: [–2, 14)
–4 ≤ 4x < 12
–2 ≤ 4x + 2 < 14
Görüntü kümesi [–2, 14) olur.
T. K = {–1, 0, 1, 2, 3}
G. K = {1, 2, 3}
f: [–1, 4) → R
x2 – 2x + 5 = x2 – 2x + 1 + 4
f(x) = x2 – 2x + 5
fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
T. K = (– 4, ∞)
G. K = (–2, 2) ∪ [3, ∞)
= (x – 1)2 + 4
–1 ≤ x < 4 ⇒ –2 ≤ x – 1 < 3
⇒ 0 ≤ (x – 1)2 < 9 ⇒ 4 ≤ (x – 1)2 + 4 < 13
G. K = [4, 13)
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Öğretmen
Sorusu
–2 ≤ y < 14
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
1.
Konu Testi - 1
Aşağıda verilen A dan B ye tanımlı bağıntıların hangisi
fonksiyondur?
f
A
A)
B
b
2
C)
c
f
A
A
B)
a
1
B
1
a
2
b
3
c
1
3
2
f
D)
a
b
f
a
2
b
3
c
olmak üzere B den A ya kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir?
A) 27
C) 64
D) 81
E) 125
1
2
3
5.
f = {(1, 3), (2, 7), (3, –1), (4, 2)}
olduğuna göre, f(1) + f(3) toplamının değeri kaçtır?
A) 0
D fonksiyon olma koşullarını sağlamaktadır.
2.
B) 32
s(A)s(B) = 34 = 81
B
B
1
A = {–1, 1, 2}
B = {4, 5, 7, 10}
B
1
A
A
E)
f
4.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
D) 13
E) 14
D) 36
E) 37
f(1) = 3 ve f(3) = –1
f(1) + f(3) = 3 + (–1) = 2
A = {1, 2, 3}
B = {4, 5, 6, 7}
olmak üzere aşağıdakilerden hangisi A dan B ye bir
fonksiyondur?
A) {(1, 4), (2, 5)}
6.
B) {(1, 4), (2, 5), (3, 9)}
f(x) = x4 – 4x + 2
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
C) {(1, 4), (2, 4), (3, 4)}
A) 10
D) {(4, 1), (5, 2), (7, 3)}
B) 11
C) 12
E) {(1, 4), (2, 6), (3, 7), (2, 5)}
f(2) = 24 – 4 . 2 + 2
f(2) = 16 – 8 + 2 = 10
C seçeneği fonksiyon olma koşullarını sağlamaktadır.
3. • f: N → N, f(x) = x – 5
• g: Z → Z,
g(x) = 3x
• h: R → N,
h(x) = x2
• m: N → Z,
m(x) =
7.
olduğuna göre, f(11) kaçtır?
x
Yukarıda verilen ifadelerin kaç tanesi fonksiyondur?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
f(x) ∉ N, x = 1,2 için h(x) ∉ N ve x = 3 için
A) 33
B) 34
C) 35
E) 4
∀x ∈ Z için g(x) = 3x ∈ Z olduğundan g(x) fonksiyondur. x = 1 için
değillerdir.
f(4x – 1) = x3 – x + 12
3 ∉ Z olduğundan fonksiyon
4x – 1 = 11 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3
f(4 . 3 – 1) = 33 – 3 + 12
f(11) = 27 + 9
f(11) = 36
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
8.
Konu Testi - 1
12.
f(x + 1) = xn + x + 3
olmak üzere,
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
f(3) = 69
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 5
x+1
x2 - 4
f(x) =
B) 6
A) {–2}
C) 7
D) 8
E) 9
B) {–2 ,2}
D) R – {–2}
x2
–4≠0⇒
x2
C) R
E) R – {–2, 2}
≠ 4 ⇒ x ≠ 2 ve x ≠ –2
T.K = R – {–2, 2}
x+1=3 ⇒ x=2
f(2 + 1) = 2n + 2 + 3
69 = 2n + 5 ⇒ 2n = 64 ⇒ n = 6
13. • f(x) = x + 1 fonksiyonunun tanım kümesi reel sayılardır.
9.
f(2x
+ 1) =
4x
+ 10
• g(x) =
dır.
olduğuna göre, f(4) kaçtır?
A) 19
B) 20
C) 21
D) 22
x - 1 fonksiyonunun tanım kümesi [1, ∞) aralığı-
• h(x) = 3 x + 7 fonksiyonunun tanım kümesi [–7, ∞) aralığıdır.
E) 23
• m(x) =
2x + 1 = 4 ⇒ 2x = 3
2
f(2x + 1) = ^2 x h + 10
2
f(3 + 1) = 3 + 10
f(4) = 19
yılardır.
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 0
10.
1
fonksiyonunun tanım kümesi pozitif reel sax
B) 1
f: {0, 1, 2, 3, 4} → {1, 4, 7, 11, 13, 15}
Fonksiyon
f(x) = 3x + 1
Tanım kümesi
B) 3
C) 2
D) 1
E) 4
f(x)
g(x)
h(x)
m(x)
R
[1, ∞)
R
(0, ∞) = R+
E) 0
14. Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
x = 0 için y = 1, x = 1 için y = 4, x = 2 için y = 7, x = 4 için y = 13 tür.
Ancak x = 3 için y = 10 dur. ve değer kümesinde yoktur.
O halde x = 3 çıkarılmalıdır.
2
–5
11.
D) 3
olduğundan 3 ifade doğrudur.
ifadesinin bir fonksiyon olması için tanım kümesinden
hangi eleman çıkarılmalıdır?
A) 4
C) 2
–3
f: [–1, 4] → B
5
0
x
–2
f(x) = x2 + 4
olduğuna göre, en dar B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
E) [4, 20]
A) 5
3. B
4. D
5. C
6. A
7. D
8. B
9. A
10. B
11. E
12. E
13. D
14. B
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
C) 3
D) 2
E) 1
A = (–5, 5) ve B = (–2, 2]
A ∩ B = (–2, 2]
–1, 0, 1, 2 olmak üzere 4 tanedir.
–1 ≤ x ≤ 4 ⇒ 0 ≤ x2 ≤ 16 ⇒ 4 ≤ x2 + 4 ≤ 20
B = [4, 20]
6
B) 4
2. C
D) (4, 12]
C) [5, 20]
1. D
B) (–1, 20]
Cevaplar
A) (0, 20]
Verilen fonksiyonun tanım kümesi A, görüntü kümesi
B olduğuna göre A ∩ B kümesinin kaç farklı tam sayı
elemanı vardır?
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
1.
Konu Testi - 2
Aşağıdaki şekilde bir fonksiyon makinesi tanımlanmıştır.
Grd (x)
y = f(x)
4.
Doğal sayılardan doğal sayılara tanımlı
• f(x): “Sayı doğrusu üzerindeki x sayısına uzaklığı 2 birim
olan sayıların karelerinin büyük olanı”
Çıktı (y)
Fonksiyon makinesi içine atılan her reel sayıyı kendisi ile
çarpımsal tersinin toplamının karesi alınarak dışarı çıktı
olarak çıkarılıyor.
• g(x): “Sayı doğrusu üzerindeki x sayısına kendisinin 2
katı uzaklıkta bulunan sayılardan küçük olanı”
Buna göre, y = f(x) makinesine atılan 2 sayısı makineden kaç olarak çıkar?
Buna göre, f(7) + g(10) kaçtır?
25
B)
4
A) 4
27
D)
4
C) 6
fonksiyonları veriliyor.
A) 41
29
E)
4
5.
A(x)
x+3
mx - 16
B) –24
E) 91
B(x)
N(x)
C(x)
olduğuna göre, m nin alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?
A) –25
D) 71
Gerçel sayılardan gerçel sayılara tanımlı bir fonksiyon aşağıdaki gibi tanımlanıyor.
f: R – {m} → A
f(x) =
C) 61
f(7): 7 sayısına 2 birim uzaklıkta olan sayılar 5 ve 9 dur.
Kareleri 25 ve 81 dir. Büyük olan 81 dir. f(7) = 81
g(10): 10 sayısına 20 uzaklıkta olan sayılar –10 ve 30 dur.
Küçük olan –10 dur.
g(10) = –10
f(7) + g(10) = 81 – 10 = 71
1 2
f (x) = a x + x k
1 2
5 2 25
f ( 2) = a 2 + 2 k = a 2 k = 4
2.
B) 52
C) –16
D) –12
D(x)
N(x) = A(x) . D(x) – B(x) . C(x)
E) –9
Buna göre,
m . m – 16 = 0 ⇒ m2 = 16
⇒ m = 4 veya m = –4
(–4) . (4) = –16
x
x+1
N(x)
x–1
2x
N(3) değeri kaçtır?
3.
A) 6
f: [0, 3) → R
f(x) =
9 - x2
B) (0, 3)
D) [–3 ,3]
0 ≤ x < 3 ⇒ 0 ≤ x2 < 9
⇒ –9 < –x2 ≤ 0
⇒ 0 < 9 – x2 ≤ 9
0<
0<
(0,3]
9 − x2 #
9 − x2 # 3
9
C) 10
D) 12
E) 16
N(x) = x . (2x) – (x + 1) . (x – 1)
N(3) = 3 . 6 – 4 . 2
N(3) = 10
fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (0, 2]
B) 8
C) (0, 3]
E) (2, 3]
6.
f: R → R
f(x) = 5
fonksiyonunun görüntü kümesi kaç elemanlıdır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) ∞
∀x ∈ R için f(x) = 5 olduğundan
G. K = {5} bir elemanlıdır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
7.
Konu Testi - 2
10.
Rasyonel sayılar kümesinde f ve g fonksiyonları
f: A → R olmak üzere,
f(x) = x3 – x
f(x) = 2
olarak tanımlanıyor.
A) [2, ∞)
f(a) + g(a) = 24 olduğuna göre, a kaçtır?
4
3
B)
+5
9- x
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
g(x) = 2x3 + x
A)
x- 2
3
2
C) 2
D) 3
B) [9, ∞)
D) [2, 9)
E) 4
E) [2, 9]
x–2≥0 ⇒ x≥2
9–x≥0 ⇒ x≤9
T . K = [2, 9]
a3 – a + 2a3 + a = 24
3a3 = 24 ⇒ a3 = 8
⇒ a=2
11.
8.
y
3
A ve B birer rakam ve AB iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere f ve g fonksiyonları
f(AB) = 20A + 2B + 1
–5
g(AB) = 10B + A – 1
biçiminde tanımlanıyor.
–1
0 1
x
3
Buna göre,
olduğuna göre, g(AB) değeri kaçtır?
B) 20
–3
Yukarıda grafiği verilen fonksiyonun görüntü kümesi A dır.
f(AB) = 25
A) 14
C) (2, 9)
C) 22
f: B → A
D) 28
E) 30
x-1
2
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
f(x) =
20A + 2B + 1 = 25 ⇒ 10A + B = 12
⇒ A = 1, B = 2
g(12) = 10 . 2 + 1 – 1 = 20
A) [1, 7)
B) (0, 6)
D) [1, 7]
C) (–1, 7]
E) [0, 6]
Grafiğin G. K = [0, 3) = A dır.
x−1
0# 2 <3
0 # x−1 < 6
9.
f: A → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1#x<7
En geniş T. K = [1, 7)
f(x) = x + 3
olduğuna göre, s(A) nın alabileceği değerler toplamı
kaçtır?
A) 52
B) 50
C) 48
D) 45
12. • f(x) = x2 – x + 1
E) 42
• 3g(x) = 2f(x) – 2x3 + 7
olduğuna göre, g(3) kaçtır?
f(x) = x + 3 ve Değer kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} olduğunda A kümesi
{–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} elemanlarından oluşabilir.
A) 2
f(3) =
s(A) nın alacağı değerler toplamı 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45 tir.
B) 3
32
C) 4
D) 5
E) 6
–3+1=7
3g(3) = 2f(3) – 54 + 7
3g(3) = 128 – 47 = 81
3g(3) = 81 ⇒ g(3) = 4
1. B
2. C
3. C
4. D
5. C
6. B
7. C
8. B
9. D
10. E
11. A
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
8
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
Örnek 16:
Örnek 18:
f(2x – 1) = x2
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
olduğuna göre, f(4x + 3) nedir?
hh f(x) = x2 – x olduğuna göre, f(x – 2) nedir?
x → x – 2 yazılırsa
2x – 1 → 4x + 3
f(x – 2) = (x – 2)2 – (x – 2)
Cevap: 4x2 + 8x + 4
2x → 4x + 4
= x2 – 4x + 4 – x + 2
x → 2x + 2 yazılırsa
= x2 – 5x + 6 olur.
f(2(2x + 2) – 1) = (2x + 2)2
f (x + 3)
hh f(x) = 52x + 1 olduğuna göre,
oranı kaçtır?
f (x + 1)
f(4x + 3) = 4x2 + 8x + 4 olur.
x → x + 3 yazılırsa f(x + 3)
x → x + 1 yazılırsa f(x + 1) bulunur.
f (x + 3) 5 2 (x + 3) + 1
=
f (x + 1) 5 2 (x + 1) + 1
???
Örnek
19:
2x + 7
= 5 2x + 3
5
f(x) = 3x + 2
= 5 2x + 7– (2x + 3) = 5 4
olduğuna göre, f(3x) in f(x) cinsinden ifadesi nedir?
Cevap: x2 – 5x + 6, 54
x → 3x yazılırsa
f (x)
f(x) = 3x . 32 ⇒ 3x = 9
f (x) 3
f(3x) = (3x)3 . 32 ⇒ f(3x) = : 9 D $ 9
Örnek 17:
Cevap: f ^ x h
81
3
f(3x) = 33x + 2 olur.
f 3 (x)
f(3x) = 81
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
hh f(x – 2) = x ise f(x) nedir?
x–2→x
x→x+2
f(x + 2 – 2) = x + 2 ⇒ f(x) = x + 2
Örnek 20:
f(x) = 2x – 4
hh f(2x – 1) =
x2
ise f(x) nedir?
olduğuna göre, f(x – 2) nin f(x) cinsinden ifadesi nedir?
x+1
2x – 1 → x ⇒ x → 2
x → x – 2 yazılırsa
x+1
x+1 2
f a 2 $ 2 − 1k = a 2 k
x 2 + 2x + 1
f ( x) =
4
f(x – 2) = 2x – 8 olur.
f(x) = 2x – 4 ⇒ x =
2
Öğretmen
Sorusu
Cevap: x + 2, x + 2x + 1
4
x
2 1
f` x + 1 j = 3 + x + 2
x
olduğuna göre f(x) nedir?
Cevap: f(x ) – 4
f(x – 2) = 2(x – 2) – 4
f (x) + 4
2
f (x) + 4
−8
2
f(x – 2) = f(x ) – 4
f(x – 2) = 2 $
1
1 2
f f x + 1 p = 2 + a1 + x k
x
ff
1
1 2
= + +
1 p 2 a1 x k
+
1 x
f(x) = 2+
1
x2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
Örnek 21:
Örnek 24:
• f(2) = 4
f gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir fonksiyondur.
• f(x + 1) = 2.f(x)
• Her x ∈ [–10, 10] için f(x) = |x|
olduğuna göre, f(5) kaçtır?
• Her x ∈ R için f(x) = f(x + 20)
x = 2 için
x = 3 için
x = 4 için
f(3) = 2.f(2)
f(4) = 2.f(3)
f(5) = 2.f(4)
Cevap: 32
özelliklerini sağladığına göre, f(117) değeri kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 6
D) 7
f(5) = 8.f(2)
f(5) = 32
E) 9
Cevap: A
Periyot tanımından f(x) = f(x + 20) ifadesinin periyodu 20 dir.
f(117) = f(97) = f(77) = ... = f(17) = f(–3)
f(–3) = |–3| = 3 tür.
Örnek 22:
Örnek 25:
• f(1) = 2
f(x + y) = f(x) . f(y)
• f(x + 2) = f(x + 1) + x
f(2) = 3
olduğuna göre, f(10) kaçtır?
x = 0 için
x = 1 için
x = 2 için
f(2) = f(1) + 0
f(3) = f(2) + 1
f(4) = f(3) + 2
x = 8 için
f(10) = f(9) + 8
olduğuna göre, f(6) kaçtır?
Cevap: 38
f(2 + 2 + 2) = f(2) . f(2) . f(2)
=3.3.3
= 27
f(10) = f(1) + 1 + 2 + 3 + ... + 8
f(10) = 2 + 36
f(10) = 38
FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f: A → R ve g: B → R
fonksiyonlarında A ∩ B boş kümeden farklı olsun.
hh f ∓ g: A ∩ B → R
Örnek 23:
(f ∓ g)(x) = f(x) ∓ g(x)
Sayma sayılarında tanımlı olan f fonksiyonunun periyodu
8 dir.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
3
5
7
1
4
6
10
12
10
⇒ f(4) = 1
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
f
:A∩B→R
g
f (x)
f
d n (x) =
(g(x) ≠ 0)
g
g (x)
hh
olduğuna göre, f(244) kaçtır?
244 8
240 30
4
hh f . g: A ∩ B → R
Cevap: 1
hh c sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere
c . f: A → R
(c . f)(x) = c . f(x)
Cevap: 27
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
Örnek 26:
f: {(3, 2), (5, 1), (6, 3), (8 ,4)}
1. Birebir Fonksiyon
g: {(3, 4), (5, 2), (7, 4), (9,3 )}
f: A → B fonksiyonu için A kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklı ise “f(x) fonksiyonu birebirdir.” denir.
olduğuna göre, f + g fonksiyonunun eşiti nedir?
f: A → B ve g: C → D olmak üzere
Cevap: {(3, 6), (5, 3)}
A = {3, 5, 6, 8}, B = {3, 5, 7, 9} ⇒ A ∩ B = {3, 5} dir.
hh y = f(x) fonksiyonunda Her x1, x2 ∈ A için f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 oluyorsa fonksiyona birebir fonksiyon denir.
hh Grafiği verilen bir fonksiyonda x eksenine paralel çizilen
doğrular grafiği en çok bir noktada kesiyor ise fonksiyon birebirdir.
(f + g)(3) = f(3) + g(3) = 2 + 4 = 6
(f + g)(5) = f(5) + g(5) = 1 + 2 = 3
f + g: {(3, 6), (5, 3)}
Örnek 29:
Örnek 27:
Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlardan hangileri birebirdir?
• f: R → R
f(x) = x2 – x
y
y
y
• g: R → R
g(x) = 2x + 3
x
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin sonuçlarını bulunuz.
x
x
hh (f . g)(1)
f(1) . g(1) = (12 – 1) . (2 . 1 + 3) = 0 . 5 = 0
f
hh d n (2)
g
Grafiklere x eksenine paralel olacak biçimde doğrular çizildiğinde 3. fonksiyonun birebir olduğu anlaşılır.
2
f ( 2)
−
= 2 2 =2
g ( 2) 2 $ 2 + 3 7
hh (2f – g + 3)(3)
2.f(3) – g(3) + 3 = 2 . (32 – 3) – (2 . 3 + 3) + 3
Örnek 30:
=12 – 9 + 3 = 6
Örnek 28:
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,
Cevap: 0, 2 , 6
7
I. f(x) = 2x – 1
II. g(x) = x 2 + 2
f ve g gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlardır.
III. h(x) = |x|
(2f – g)(x) = x2 + 2x + 1
fonksiyonlarının hangileri birebirdir?
(f + g)(x) = 2x2 + x + 5
I.
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
2f(x) – g(x) = x2 + 2x + 1
f(x1) = f(x2) ⇒ 2x1 – 1 = 2x2 – 1
Cevap: 8
x1 = x2 fonksiyon birebirdir.
II. g(x1) = g(x2) ⇒ x 12 + 2 = x 22 + 2
f(x) + g(x) = 2x2 + x + 5
3f(x) = 3x2 + 3x + 6
f(x) = x2 + x + 2
Öğretmen
Sorusu
f(2) = 4 + 2 + 2 = 8
f(x) = (a + b – 4)x4 + (b – 3) |x| + x + 1
fonksiyonu birebir olduğuna göre a kaçtır?
x 12 = x 22
x1 = x2 , x1 = –x2 birebir değildir.
III. h(x1) = h(x2) ⇒ |x1| = |x2| ⇒ x1 = x2 veya x1 = –x2 birebir
değildir.
b–3=0⇒b=3
a+b–4=0⇒a–1=0
⇒a=1
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
Not
Örnek 33:
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere A dan B ye tanımlı birebir
n!
fonksiyon sayısı p(n, m) =
dir.
(n - m) !
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri örtendir?
hh f: Z → Z, f(x) = x + 1
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d}
olmak üzere A dan B ye tanımlanan fonksiyonların kaç
tanesi birebirdir?
A
Cevap: 24
B
a
b
c
d
1
2
3
4!
veya p (4, 3) = (4 − 3) !
= 4 $ 3 $ 2 = 24
4 . 3 . 2 = 24
Yandaki venn şemasında görüldüğü üzere her x ∈ Z için
tam sayılar kümesinde açıkta
eleman kalmamaktadır.
Fonksiyon örtendir.
hh g: N → N, g(x) = x + 2
f
N
N
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
Değer kümesindeki 0 ve 1 elemanları açıkta kaldığından
fonksiyon örten değildir.
hh h : R → R, h(x) = x2
∀x ∈ R için x2 ∉ R– olduğundan değer kümesinde negatif gerçel sayı-
Örnek 32:
Aşağıda A = {a1, a2, a3} ve B = {b1, b2, b3, b4, b5} kümeleri
verilmiştir.
f
A
B
b1
a1
b2
a2
b3
b4
a3
b5
A dan B ye f(a2) = b4 olacak biçimde kaç tane birebir
fonksiyonu tanımlanabilir?
A) 24
Z
0
1
2
3
4
–1
0
1
2
3
Örnek 31:
f
f
Z
B) 20
C) 16
D) 12
E) 10
lar açıkta kalır. Örten değildir.
3. İçine Fonksiyon
A dan B ye tanımlı f fonksiyonunda değer kümesinde açıkta
eleman kalıyor ise fonksiyona İçine fonksiyon denir.
Yani f(A) ≠ B
Örnek 34:
A dan B ye tanımlı f fonksiyonu birebir ve içine fonksiyondur.
A = {1, 2, 3, 4 }
a1: 4 elemanla eşleşir. a3: 3 elemanla eşleşir.
olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
4 . 3 = 12 birebir fonksiyon vardır.
A) {2, 4}
f(a2) = b4
Cevap: D
2. Örten Fonksiyon
A dan B ye tanımlı bir f fonksiyonunda değer kümesinde açıkta
eleman kalmıyor ise fonksiyon örtendir denir.
Yani f(A) = B olmalıdır.
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) {1, 2, 5, 7}
B) {2, 3, 4}
C) {1, 2, 3, 4}
E) {1, 3, 5, 7, 9}
Cevap: E
f birebir ise tanım kümesindeki 4 eleman değer kümesindeki 4 elemanı
eşleyecektir. O halde içine fonksiyon olması için B kümesi en az 5 elemanlı
olmalıdır.
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
1.
Konu Testi - 3
5.
f(x) = x2 + 1
olduğuna göre, f(3x – 2) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
g(x) = x + 2
olduğuna göre, (f . g)(2) değeri kaçtır?
A) 12
B) 16
C) 20
D) 24
A) 6x + 1
E) 30
4
x
B) 2
C) 3
D) 4
A) 6
E) 5
C) 8
D) 9
E) 10
D) 9
E) 8
D) 144
E) 150
x – 1 → 2x – 4
x → 2x – 3
f(x – 2) = 2(2x – 3) + a = 4x + a – 6
4x + a – 6 = 4x + 1 ⇒ a = 7
7.
f: {(1, 4), (2, 5), (3, 7), (4, 10)}
olduğuna göre, f(3) kaçtır?
olduğuna göre, (f + g – 3)(3) ifadesinin değeri kaçtır?
C) 8
• f(1) = 3
• f(x + 1) – f(x) = x2
g: {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (3, 2)}
B) 7
B) 7
x−1
2 →x–2
4
2.f(2) – 3g(2) = 2 ⋅ 22 – 3 ⋅ 2
=8–6
=2
A) 6
• f(x – 2) = 4x + 1
olduğuna göre, a kaçtır?
olduğuna göre, (2f – 3g)(2) değeri kaçtır?
3.
E) 6x + 11
x 1
• f c - m = 2x + a
2
f(x) = 2x
A) 1
C) 6x + 7
x – 4 → 3x – 2
x → 3x + 2 yazılırsa
f(3x + 2 – 4) = 2(3x+ 2) + 7
f(3x – 2) = 6x + 11
6.
g(x) =
B) 6x + 3
D) 6x + 10
f(2) . g(2) = (22 + 1) . (2 + 2)
=5.4
= 20
2.
f(x – 4) = 2x + 7
D) 9
A) 12
E) 10
f(3) + g(3) – 3 = 7 + 3 – 3 = 7
B) 11
C) 10
x = 1 için
f(2) – f(1) = 12
x = 2 için
f(3) – f(2) = 22
f(3) – f(1) = 5
f(3) = 8
4.
8.
f(x) = x2 – 4
olduğuna göre, f(2x + 1) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4x 2 – 2x + 1
D)
4x 2
B) 4x 2 – 4x
+ 4x – 3
x → 2x + 1 yazılırsa
f(2x + 1) = (2x + 1)2 – 4
= 4x2 + 4x + 1 – 4
= 4x2 + 4x – 3
E)
C) x 2 – 4x + 4
4x 2
• f(2) = 2
• f(x) = f(x – 1) . x
olduğuna göre, f(5) kaçtır?
A) 100
B) 120
C) 132
+4
x = 3 için
f(3) = f(2) . 3
x = 4 için
f(4) = f(3) . 4
x = 5 için
f(5) = f(4) . 5
f(5) = f(2) . 60
f(3) = 120
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
Konu Testi - 3
• f(x . y) = f(x) + f(y)
9.
y
12. I.
y
II.
• f(2) = 3
olduğuna göre, f(8) kaçtır?
A) 6
B) 9
–2
x
C) 18
D) 27
f: R+ → [–1,∞)
2
2
2
–2
E) 81
f(2 . 2 . 2) = f(2) + f(2) + f(2)
x
g: [–2,2) → [–2,2)
x
–2
h: (–2,0) → [–2,2]
Yukarıda grafikleri verilen f, g ve h fonksiyonlarının hangileri birebir ve örtendir?
f(8) = 3 + 3 + 3
=9
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
10.
y
III.
f(x) = 22x
C) Yalnız III
E) II ve III
f fonksiyonunda G. K = (0, ∞) olduğundan değer kümesinde açıkta eleman kalmıştır. Örten değil.
g fonksiyonu birebir ve örtendir.
h fonksiyonunda G. K = (0, 2) olduğundan değer kümesinde açıkta eleman kalmıştır. Örten değil.
olduğuna göre, f(2x) in f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
f (x)
A) 2.f(x)
B) 3.[(fx)]2
C)
2
D) f2(x)
E) (f(x))3
13.
s(A) = 2 ve s(B) = 5
olduğuna göre, A dan B ye kaç farklı birebir fonksiyon
tanımlanabilir?
x → 2x yazılırsa
f(2x ) = 22(2x) = 24x
2
f(2x) = ^2 2x h = ^ f (x)h2 = f2(x)
A) 12
B) 15
C) 18
D) 20
E) 21
5!
5$4$3$2$1
p (5, 2) = (5 − 2) ! = 3 $ 2 $ 1 = 20
11. Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi birebir ve örtendir?
2
3
c
olarak tanımlanıyor.
Buna göre, B kümesinin elemanlarının kaç tanesi tam
sayıdır?
A) 10
n
A
B
1
2
3
4
k
A
E)
3
D)
a
b
c
d
1
b
b
c
15.
a
b
c
d
2
3
B) 2.f(x)
D) 2.f(x) – 1
E) 14
C) 2.f(x) + 1
E) 4.f(x) + 1
x → 2x yazılırsa f(2x) = 4x – 1 olur.
f(x) = 2x – 1 ⇒ 2x = f(x) + 1
f(2x) = 2 . (f(x) + 1) – 1 = 2f(x) + 1
7. E
8. B
9. B
10. D
11. B
12. B
13. D
14. C
15. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) 13
f(x) = 2x – 1
A) f(x) – 1
Tanım kümesindeki her bir eleman değer kümesindeki farklı elemanlarla
eşleştiği ve değer kümesinde açıkta eleman kalmadığından g fonksiyonu
birebir ve örtendir.
14
C) 12
olduğuna göre, f(2x) in f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B
1
B) 11
–1 ≤ x < 3 ⇒ –3 ≤ 3x < 9 ⇒ –1 ≤ 3x + 2 < 11
–1, 0, 1, 2 ... 10 olmak üzere 12 tanedir.
a
6. B
B
2
f(x) = 3x + 2
5. E
A
a
4. D
h
1
3. B
3
f: [–1, 3) → B
B
2. B
2
C)
B)
a
b
c
d
1
g
A
1. C
A)
B
Cevaplar
f
A
14. Birebir ve örten f fonksiyonu,
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
1.
Konu Testi - 4
Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
4.
f: Q → Q fonksiyonu her a ve b rasyonel sayıları için,
y
–4
–1
f(a + b) = f(a) + f(b)
4
3
denklemini sağlasın.
1
A) 60
f(2) = 5 olduğuna göre, f(24) kaçtır?
0
B) 64
C) 72
D) 80
E) 85
x
2 3
a = b için
–2
f(2a) = 2f(a) olacağından
f(4) = 2f(2) ⇒ f(4) = 10
Buna göre, f: [–1, 2] → R fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
f(16) = 2f(8) ⇒ f(16) = 40
A) [–4, 3]
f(24) = f(16 + 8) = f(16) + f(8)
B) [–2, 4]
D) (0, 1)
f(8) = 2f(4) ⇒ f(8) = 20
C) (–2, 4)
E) [0, 3]
= 40 + 20 = 60
[–1, 2] aralığındaki x değerlerinin eşleştiği elemanların kümesi [0, 3] tür.
5.
2.
olduğuna göre, f(x) – f(x – 1) farkının f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
f(x) = x2 – x + 1
olduğuna göre,
f(1 – x) – f(x)
A)
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 0
B) 1
f(x) = 5x+1
D) x2 – 1
C) 1 – x
4.f (x)
5
B)
f (x)
5
D) 20.f(x)
E) x2 + x
C) 5.f(x)
E)
5.f (x)
4
f(x – 1) = 5x–1+1 = 5x
x → 1 – x yazılırsa
f(1 – x) = (1 – x)2 – (1 – x) + 1
= x2 – 2x + 1 + x – 1 + 1
= x2 – x + 1
f(1 – x) – f(x) = x2 – x + 1 – (x2 – x + 1) = 0
3.
f(x) – f(x – 1) = 5x+1 – 5x = 5x(5 – 1) = 5x . 4
f (x)
f(x) = 5x . 5 ⇒ 5 x = 5
4f (x)
f(x) – f(x – 1) = 5
6. f: A → B fonksiyonu için,
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,
I. Fonksiyon örten ise s(A) = s(B) dir.
I. f(x) = x3
II. Fonksiyon birebir ise s(A) ≤ s(B) dir.
II. g(x) = |x|
III. Fonksiyon içine ise s(A) > s(B) dir.
III. h(x) = x 2 – 10
ifadelerinden hangileri daima doğrudur?
fonksiyonların hangileri birebirdir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
olduğundan f birebirdir.
E) II ve III
değildir.
II. g(x1) = g(x2) ⇒ |x1| = |x2| ⇒ x1 = x2 , x1 = –x2
III. h(x1) = h(x2) ⇒
C) Yalnız III
I. s(A) = 3 ve s(B) = 2 içinde fonksiyon örten olabilir, daima doğru
⇒ x1 = x2
x 12 − 10
B) Yalnız II
D) I ve II
E) I ve III
I. f(x1) = f(x2) ⇒ x13 = x23
A) Yalnız I
=
x 22 − 10
⇒ x1 = x2 , x1 = –x2
II. f birebir ise s(A) ≤ s(B) dir.
III. s(A) = 3 ve s(B) = 3 için fonksiyon içine olabilir, daima doğru değildir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
7.
Konu Testi - 4
10.
• x . f(x) = (x – 1) . f(x – 1)
f: (–1, 4] → R
• f(10) = 5
g: [2, 7] → R
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
f + g: [a, b] → R
A) 16
B) 20
C) 25
D) 30
olduğuna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
E) 35
A) 3
x = 3 için
3.f(3) = 2.f(2)
x = 4 için
4.f(4) = 3.f(3)
x = 10 için
10 . f(10) = 9.f(9)
10.f(10) = 2.f(2)
f(2) = 25
8.
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
D) 81
E) 90
[a, b] = (–1, 4] ∩ [2, 7]
[a, b] = [2, 4]
a = 2, b = 4 ⇒ a + b = 6
2f(x) + x = f(2) + x2
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
11. • f(x + 2) = f(x) . x
• f(2) =
x = 2 için 2f(2) + 2 = f(2) + 4
3
2
olduğuna göre, f(8) kaçtır?
f(2) = 2
2f(x) + x = x2 + 2
A) 72
2f(1) + 1= 3
B) 75
C) 80
f(1) = 1
9.
f
A
B
x = 2 için
f(4) = 2.f(2)
x = 4 için
f(6) = 4.f(4)
x = 6 için
f(8) = 6.f(6)
f(8) = 48.f(2)
3
f(8) = 48 $ 2 = 72
a
b
c
d
1
2
3
A dan B ye tanımlı f fonksiyonu yukarıdaki şema ile verilmiştir.
12.
f(x) = 3x + 4
olmak üzere,
Buna göre, f fonksiyonu için,
f(2x) + f(3x + 1) = ax + b
I. Tanım kümesi {1, 2, 3} tür.
II. Birebirdir.
olduğuna göre, a . b çarpımının değeri kaçtır?
III. İçinedir.
A) 156
IV. Görüntü kümesi {a, b, c} dir.
B) 1
C) 2
C) 165
D) 172
E) 184
f(2x) = 3 . (2x) + 4 = 6x + 4
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 0
B) 163
f(3x + 1) = 3(3x + 1) + 4 = 9x + 7
D) 3
E) 4
f(2x) + f(3x + 1) = ax + b
15x + 11 = ax + b
f fonksiyonunun T. K = {1, 2, 3}, G. K = {a, b, c} dir.
Fonksiyon birebir ve içinedir.
1. E
2. A
3. A
4. A
5. A
6. B
7. C
8. B
9. E
10. D
11. A
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16
a = 15 ve b = 11 ⇒ a . b = 165
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
23
FONKSİYONLAR
Fonksiyonlar - II
4. Sabit Fonksiyon
5. Birim Fonksiyon
A dan B ye tanımlı bir f fonksiyonunun tanım kümesindeki tüm
elemanlar değer kümesindeki yalnız bir elemana eşleniyor ise f
fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.
A dan A ya tanımlı bir f fonksiyonunda ∀x ∈ A için f(x) = x oluyorsa f fonksiyonuna birim fonksiyon denir.
hh c ∈ B olmak üzere
y
∀x ∈ A için f(x) = c dir.
içi-dışı aynıdır.
y=c
x
iç
x
dış
f: R → R tanımlı birim fonksiyondur.
f(x) = (a – 4)x + b – 2
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre,
olduğuna göre, a . b çarpımının değeri kaçtır?
f(1) + f(2) + f(3)
toplamının değeri kaçtır?
Cevap: 30
a–b–4=0 ⇒ a–3–4=0 ⇒ a=7
Cevap: 10
a–4=1 ⇒ a=5
b–2=0 ⇒ b=2
a . b = 10
Örnek 4:
f(x) = 3 + 7 = 10
f(1) + f(2) + f(3) = 10 + 10 + 10 = 30
f(2x + 3) = (a – b + 4)x + a + b – 7
Not
d
a, b, c, ve d sıfırdan farklı gerçek sayılar ve - ! 0 olmak
c
üzere
ax + b
f (x) =
cx + d
a b
fonksiyonu sabit fonksiyon ise
= dir.
c d
olmak üzere f(x) fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna
göre, a . b kaçtır?
a–b+4=2 ⇒
a – b = –2
a+b–7=3 ⇒
a + b = 10
2a = 8
a=4
a + b = 10 ⇒ 4 + b = 10 ⇒ b = 6
a . b = 24
Cevap: 24
Örnek 5:
Örnek 2:
f birim, g sabit fonksiyondur.
(m - 1) x + 4
2x - 1
f(g(4) + 2) = 12
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, m kaçtır?
m−1 = 4
− 1 ⇒ –m + 1 = 8
2
⇒ –m = 7
⇒ m = –7
y=x
Örnek 3:
f(x) = (a – b – 4)x2 + (b – 3)x + a + b
f (x) =
y
f(g(x)) = g(x)
Örnek 1:
b–3=0 ⇒ b=3
hh Birim fonksiyonların
Cevap: –7
olduğuna göre, g(f(3)) + f(g(4)) işleminin sonucu kaçtır?
g(4) + 2 = 12 ⇒ g(4) = 10
g(f(3)) + f(g(4)) = g(3) + f(10)
= 10 + 10 = 20
Cevap: 20
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – II
6. Doğrusal Fonksiyon
hhBir Fonksiyonun Tersi
Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı f(x) = ax + b fonksiyonuna doğrusal fonksiyon denir.
A dan B ye tanımlanan fonksiyon birebir ve örten ise fonksiyonun tersi vardır ve B den A ya tanımlıdır.
y
hh f: A → B, f(x) = y
f –1: B → A, f –1(y) = x dir.
y=ax+b
hh f(A) = B ⇔ f –1(B) = A dır.
x
Örnek 8:
A = {1, 2, 3}
B = {4, 5, 6}
Örnek 6:
olmak üzere A dan B ye tanımlanan aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin tersi vardır?
f(x) doğrusal fonksiyonu için,
f(2) = 3
A) {(1, 4), (1, 5), (2, 6), (3, 4)}
f(3) = 2
B) {(1, 4), (2, 4), (3, 4)}
C) {(1, 5), (2, 6), (3, 4)}
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
f(x) =
f(2) =
f(3) =
ax + b
2a + b = 3
3a + b = 2
Cevap: 4
D) {(1, 4), (2, 5), (3, 5)}
E) (1, 4), (2, 4), (3, 6)}
Cevap: C
Bir fonksiyonun tersinin olması için birebir ve örten olmalıdır. O halde
–a = 1 ⇒ a = –1
2a + b = 3 ⇒ –2 + b = 3 ⇒ b = 5
f(x) = –x + 5 ⇒ f(1) = 4
{(1, 5), (2, 6), (3, 4)} fonksiyonunun tersi vardır.
Örnek 9:
f: {(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 7)}
Örnek 7:
birebir ve örten f fonksiyonunun tersini bulunuz.
f doğrusal fonksiyondur.
f –1: {(2, 1), (4, 2), (5, 3), (7, 4)}
f(x + 1) + f(x – 2) = 4x + 4
olduğuna göre, f(x) fonksiyonu nedir?
Örnek 10:
Cevap: 2x+3
ax + a + b + ax – 2a + b = 4x + 4
2ax + 2b – a = 4x + 4
2a = 4 ve 2b – 2 = 4
a=2
b=3
f(x) = 2x + 3
f: A → B fonksiyon olmak üzere,
S(A) = 4 ve S(B) = 4
olduğuna göre, tersi olmayan kaç tane f fonksiyonu vardır?
f: {(1, –1), (2, –4), (4, –3), (5, 7)}
olduğuna göre
f(4) + f –1(7) + f –1(–1)
ifadesinin sonucu kaçtır?
f(4) + f–1(7) + f –1(–1)
Fonksiyon sayısı - Birebir ve örten fonksiyon sayısı
44 – 4 . 3 . 2 . 1
256 – 24
232
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 3
–3 + 5 + 1 = 3
Öğretmen
Sorusu
f(x) = ax + b
f(x + 1) = a(x + 1) + b = ax + a+ b
f(x – 2) = a(x – 2) + b = ax – 2a + b
Cevap: {(2, 1), (4, 2), (5, 3), (7, 4)}
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – II
Not
Örnek 14:
Birebir ve örten olan bir f fonksiyonunda x yalnız bırakıldıktan sonra x ile y nin yerleri değiştirildiğinde f fonksiyonunun
tersi f–1 olur.
f(x) : R – {4} → R – {3}
3x - 7
x-4
olduğuna göre, f –1(x) nedir?
f(x) =
3x − 7
f (x) = x − 4 & f
–1
4x − 7
(x) = x − 3
Cevap: 4x - 7
x- 3
Örnek 11:
Örnek 15:
f(x) = 2x – 3
fonksiyonunun tersini bulunuz.
2x – 3 = y
Cevap: x + 3
2
2x = y + 3
x=
y+3
+
=x 3
2 &y
2
x+3
& f - 1 (x) = 2
4x + 2 = ax + 2
x−a
x−4
olduğuna göre a = 4 tür.
Birebir ve örten bir f fonksiyonunda ^f -1h = f dir.
2x + 7
3
fonksiyonun tersini bulunuz.
1
f(x) =
Cevap: 3x - 7
2
Örnek 16:
3x - 12
2x - 4
olduğuna göre, f(x) nedir?
f –1(x) =
−
^ f –1h–1 = 4x 12
2x − 3
x − 12
4
f ( x) = x −
2 3
Örnek 13:
x=
Cevap: 4
Not
Örnek 12:
2x + 7 =
y & 2x + 7 = 3y
3
& 2x = 3y − 7
3y − 7
&x= 2
3x − 7
& f 1 ( x) = 2
4x + 2
x-a
fonksiyonu için f(x) = f –1(x) olduğuna göre, a kaçtır?
f(x) =
Cevap: 4x - 12
2x - 3
f (x) + 2
3 - f (x)
olduğuna göre, f –1(x) nedir?
y+2
x+2
x+2
x = 3 − y & y = 3 − x & f 1 ( x) = 3 − x
Cevap: x + 2
3- x
Örnek 17:
f(x) =
Not
d
f: R - ' - 1 → R - & a 0
c
c
ax + b
olmak üzere f (x) =
fonksiyonunun tersi bulunurken
cx + d
a ile d nin işaretleri ve yerleri değiştirilir.
dx b
f -1(x) = - +
cx - a
3
x-3
olduğuna göre, f –1(x) nedir?
(3 x - 3 ) 3 = (y) 3
x – 3 = y3
x = y3 + 3
y = x3 + 3
f–1(x) = x3 + 3
Cevap: x3 + 3
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – II
Örnek 18:
Örnek 20:
f: (–∞, –3) → R
f(x – 3) = 3x – 4
olduğuna göre, f –1(x) nedir?
f(x) = x2 + 6x – 2
olduğuna göre, f –1(x) nedir?
x2 + 6x – 2 = y
x–3→x ⇒ x→x+3
Cevap: - 3 -
x2 + 6x + 9 – 11 = y
( x + 3) 2 =
y + 11
|x + 3| =
y + 11
x + 11
x ∈ (–∞, –3) için x + 3 < 0 dır.
−x − 3 =
Cevap: x - 5
3
f(x) = 3(x + 3) – 4 = 3x + 5
y−5
3x + 5 = y & x = 3
x−5
& y= 3
x−5
& f 1 (x) = 3
y + 11
x = − 3 − y + 11
y =− 3 −
x + 11
f ( x) = − 3 −
x + 11
-1
Örnek 21:
f: R – {m} → R – {n}
Örnek 19:
Aşağıda verilen fonksiyonlarda kutucuk içerisinde bulunan değerleri bulunuz.
4x + 12
x-2
olduğuna göre, m . n çarpımının değeri kaçtır?
f(x) =
f –1(2x + 4) = x ⇒ 2x + 4 = 20 ⇒ 2x = 16 ⇒ x = 4
f i tanımsız yapan m, f –1 i tanımsız yapan n dir.
2x + 12
f –1(x) =
x−4
m – 2 = 0 ⇒ m = 2 ve n – 4 = 0 ⇒ n = 4
f –1(20) = 4
m.n=8
hh f(x) = 2x + 4...................................... f -1(20)
Cevap: 8
h h f –1(2x + 7) = x ...................................... f (4)
f(x) = 2x + 7
Örnek 22:
f(4) = 8 + 7 = 15
3x - 4
R – {7} de tanımlanan f(x) =
fonksiyonunun dex-7
ğer kümesi nedir?
x 1
hh f c - m = 3x + 4.............................. f -1(13)
2
f –1(3x + 4) =
f: R – {7} → D
x−1
2
Cevap: R – {3}
f –1: D → R – {7}
7x − 4
f –1(x)= −
x 3
D = R – {3}
3x + 4 = 13 ⇒ x = 3
3−1
f –1(13) = 2 = 1
f(x) = x5 – 3x – 23
olduğuna göre
f(2) + f–1(3)
işleminin sonucu kaçtır?
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
f(2) = 25 – 3 . 2 – 23 = 3
f(2) = 3 ⇒ f –1(3) = 2
f(2) + f –1(3) = 3 + 2 = 5
Öğretmen
Sorusu
Cevap: 4, 15, 1
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – I
1.
Konu Testi - 1
5.
f(x) = (a – 3)x + a
f sabit, g birim fonksiyondur.
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, f(2) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
f(3) + g(2) = 6
olduğuna göre, f(4) kaçtır?
E) 5
A) 1
a–3=0 ⇒ a=3
f(x) = 3 ⇒ f(2) = 3
E) 5
D) 7
E) 6
f(0) = 2
f(1) = 5
f(1) + f(2) + f(3) = 12
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
olduğuna göre, f(100) kaçtır?
B) 2
D) 4
f bir doğrusal fonksiyondur.
y = f(x) sabit fonksiyondur.
A) 1
C) 3
f(x) = a olsun. f(3) = a ve g(2) = 2 dir.
a + 2 = 6 ⇒ a = 4
f(4) = 4
6.
2.
B) 2
C) 3
A) 10
D) 4
E) 5
B) 9
C) 8
f(x) = ax + b
f(0) = a . 0 + b = 2 ⇒ b = 2
f(1) = a + b = 5
a + 2 = 5 ⇒ a = 3
f(x) = 3x + 2 ⇒ f(2) = 8
f(x) = a olsun.
a + a + a = 12 ⇒ a = 4
f(100) = 4
7.
f –1(x) = 5x – 4
fonksiyonunun tersi aşağıdakilerden hangisidir?
3.
f(x) =
A) x + 4
ax + 2
4x + 4
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, a kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
8.
f(x) = (a + 2)x + b – 3
B) 4
a + 2 = 1 ⇒ a = –1
b–3=0 ⇒b=3
a + b = –1 + 3 = 2
C) 3
f –1(x) =
2x - 1
3
olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
A) 5
C) 4x + 5
x 5
E) +
4
5x − 4 = y & 5x = y + 4
y+4
& x= 5
x+4
& y= 5
x+4
f 1 (x) = 5
E) 5
a=2
4 4 ⇒ a = 2
4.
B) x + 5
x 4
D) +
5
D) 2
E) 1
A)
2x + 1
3
D) 3x – 2
B) 3x + 2
C)
E)
3x - 1
2
3x + 1
2
2x − 1 =
y & 2x − 1 = 3y
3
3y + 1
3x + 1
&x= 2 &y= 2
3x + 1
f (x) = 2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – II
9.
Konu Testi - 1
13. f: R – {2} → R – {4}
f(x) = 7x – 1
olduğuna göre,
A) 1
f –1(13)
B) 2
mx + 4
x- n
olduğuna göre, m . n çarpımının değeri kaçtır?
değeri kaçtır?
C) 3
D) 4
f(x) =
E) 5
A) 6
f –1(7x – 1) = x
7x – 1 = 13 ⇒ 7x = 14 ⇒ x = 2
f –1(13) = 2
10.
D) 12
E) 14
14. f: [2, ∞) → R olmak üzere,
olduğuna göre, f(7) değeri kaçtır?
B) 4
C) 10
x = 2 için x – n = 0
2–n=0 ⇒ n=2
+4
nx
–1
f (x) = x − m
x = 4 için x – m = 0
4–m=0 ⇒ m=4
n.m=8
f –1(x – 4) = x
A) 5
B) 8
C) 3
D) 2
f(x) =
E) 1
x-2 – 1
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 2 + 2x
f(x) = x – 4
x = 7 için f(7) = 7 – 4
f(7) = 3
B) x 2 + 3x + 2
D) x 2 + 3x + 4
C) x 2 + 3x
E) x 2 + 2x + 3
x − 2 − 1 = y & ^ x − 2 h = ^y + 1h2
2
x – 2 = (y + 1)2 ⇒ x = y2 + 2y + 3
⇒ y = x2 + 2x + 3 ⇒ f –1(x) = x2 + 2x + 3
f(2x – 3) = 3x – 4
15.
olduğuna göre, f –1(8) değeri kaçtır?
C) 4
D) 5
E) 6
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 1
f –1(3x – 4) = 2x – 3
3x – 4 = 8 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4
f –1(8) = 2 . 4 – 3 = 5
2x + 14
3x - 10
16.
olduğuna göre, f –1(1) kaçtır?
C) 22
olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
D) 21
A) 2x – 1
E) 20
C) 3x – 2
E) 2x – 5
f(x + 2) = 2x + 1
x+2→x ⇒ x→x–2
f(x – 2 + 2) = 2(x – 2) + 1
f(x) = 2x – 3
8. E
9. B
10. C
11. D
12. A
13. B
14. E
15. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7. D
16. D
6
B) 3x – 5
D) 2x – 3
10x + 14
f –1 (x) = 3x − 2
10 + 14
f –1 (1) = 3 − 2 = 24
6. C
B) 23
E) 5
f –1(2x+ 1) = x + 2
5. D
A) 24
D) 4
f(2) = 5 ⇒ x + 1 = 2 ⇒ x = 1
f(2) = 2 + a = 5 ⇒ a = 3
4. D
f(x) =
C) 3
3. B
12.
B) 2
2. D
B) 3
f –1(5) = 2
1. C
A) 2
f(x + 1) = 2x + a
Cevaplar
11.
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – II
1.
Konu Testi - 2
4.
f bir doğrusal fonksiyondur.
•
f –1(7)
•
f –1(11)
=5
f(x) + f(2x) = 6x + 12
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
=7
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
A) 5
B) 4
A) 14
C) 3
D) 2
5a + b = 7
7a + b = 11
5.
E)
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
2x - 1
2x + 3
x 5
A)
B)
C) 5
5
3
x-2
x+6
D)
x.f(x) – f(x) = 2x + 6
f(x)(x – 1) = 2x + 6
6.
f(x) sabit fonksiyon olmak üzere,
x=
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
3x + 2
5
3f -1(x) + 1
f -1(x) - 2
olduğuna göre, f(3) kaçtır?
A) 10
f(x) = c olsun.
f(x) = f(2x) = f(3x) = f(4x) = c olur.
c + c + c + c = 20 ⇒ f(x) = 5
f(1) = 5
E)
f: R – {2} → R – {3}
f(x) + f(2x) + f(3x) + f(4x) = 20
A) 4
3x - 1
5
x−1
x+2
f –1 a 2 k = 5
x−1
2 → x ⇒ x – 1 → 2x ⇒ x → 2x + 1
( 2 x + 1 ) + 2 2x + 3
=
f –1(x) =
5
5
2x + 6
x+6
f (x) = x − 1 & f –1 (x) = x − 2
3.
E) 10
x 2
x 1
fc + m = 5
2
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
x 1
2x - 1
x 6
A) B)
C) +
2x - 1
x-6
x-2
x+6
x-1
D) 11
f reel sayılarda tanımlı bir fonksiyondur.
x.f(x) – 2x = f(x) + 6
D)
C) 12
f(x) = ax + b ise f(2x) = 2ax + b olur.
f(x) + f(2x) = 6x + 12
ax + b + 2ax + b = 6x + 12
3ax + 2b = 6x + 12
3a = 6 ⇒ a = 2
2b = 12 ⇒ b = 6
f(x) = 2x + 6 ⇒ f(2) = 4 + 6 = 10
–2a = –4 ⇒ a = 2
5a + b = 7 ⇒ 10 + b = 7 ⇒ b = –3
f(x) = 2x – 3 ⇒ f(2) = 4 – 3 = 1
2.
B) 13
E) 1
f(5) = 7, f(7) = 11 ve f(x) = ax + b dir.
f(5) =
f(7) =
f(x) doğrusal fonksiyondur.
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
3y + 1
3x + 1
x = y−2 & y = −
x 2
+1
3
x
3$3+1
f (x) = x − & f (3) = 3 − 2 = 10
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – II
10. f ve g reel sayılarda tanımlı birebir ve örten fonksiyonlardır.
• f(x) = x2 + ax + b
• f –1(4)
• f(x) + g(x) = x 2 – x + 1
=1
• ^f -1h (2) = 9
1
• f–1(2) = 3
olduğuna göre, g–1(5) değeri kaçtır?
olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır?
A) 17
B) 16
C) 15
D) 14
E) 13
A) 2
f(1) = 4 ve f(2) = 9
f(1) = 1 + a + b = 4 ⇒
f(2) = 4 + 2a + b = 9 ⇒
olduğuna göre, f(A) aşağıdakilerden hangisidir?
A) [4, 66)
E) (–66, 14]
f((–1, 4]) = A
–1 < x ≤ 4 ⇒ –4 < 4x ≤ 16 ⇒ –14 < 4x – 10 ≤ 6
A = (–14, 6]
–14 < x ≤ 6 ⇒ –56 < 4x ≤ 24 ⇒ –66 < 4x – 10 ≤ 14
f(A) = (–66, 14]
y+3
+
=x 3
2 &y
2
x+3
2
1
x-1
12. • f(2x) = 4x + 1
D) 4
olduğuna göre, f –1(5) – g(5) ifadesinin değeri kaçtır?
E) 5
A) 0
0$x+1
x+1
f (x) = x − 1 & f –1 (x) = x
1
1+1
f (2) = 2 − 1 = 1 ve f –1 (1) = 1 = 2
f(2) + f –1(1) = 1 + 2 = 3
6. A
7. B
8. C
9. C
10. B
11. E
12. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B) 1
f –1(4x + 1) = 2x
4x + 1 = 5 ⇒ x = 1
f–1(5) = 2
2–2=0
5. B
C) 3
B) 2
toplamının değeri kaçtır?
4. E
A) 1
• g–1(x – 1) = 3x – 4
C) 2
ve
ve
ve
D) 3
E) 4
g(3x – 4) = x – 1
3x – 4 = 5 ⇒ x = 3
g(5) = 2
3. B
olduğuna göre, f(2) +
f –1(1)
2. C
f(x) =
8
C) (–4, 6]
1. E
9.
B) (14, 66]
D) (–14, 6]
f (x 3 − x) = 2 (x 3 − x) − 3
[
[
x
x
f –1 (x) =
E) 6
• f–1(A) = (–1, 4]
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
x 3
A) x + 1
B) x + 2
C) +
2
x+2
x-2
D)
E)
3
3
2x − 3 = y & x =
D) 5
11. • f(x) = 4x – 10
f(x3 – x) = 2x3 – 2x – 3
f(x) = 2x – 3
C) 4
f(3) = 2
x = 3 için f(3) + g(3) = 9 – 3 + 1
2 + g(3) = 7
g(3) = 5
g–1(5) = 3
–/a + b = 3
2a + b = 5
a=2
b=1
f(x) = x2 + 2x + 1 ⇒ f(3) = 9 + 6 + 1 = 16
8.
B) 3
Cevaplar
7.
Konu Testi - 2
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – II
hhBİLEŞKE FONKSİYON
Örnek 24:
f: A → B ve g: B → C fonksiyonlar olmak üzere g o f: A → C
fonksiyonuna g ile f fonksiyonlarının bileşkesi denir. g o f şeklinde yazılır.
• f(x) = 2x – 3
A
f
B
x
f(x)
g
x+3
2
olduğuna göre, aşağıdaki bileşke fonksiyonları bulunuz.
• g(x) =
hh (f o g)(x)
C
x+3
f ( g( x ) ) = f a 2 k
x+3
= 2 $a 2 k− 3
= x
(gof)(x)
hh (g o f)(x)
g( f ( x ) ) = g( 2 x – 3 )
2x − 3 + 3
=
2
= x
gof
hh (g o f)(x) = g(f(x))
Cevap: x, x
Not
Örnek 23:
(f o f –1)(x) = (f –1 o f)(x) = x
• f(x) = 2x – 1
• g(x) = 3x + 4
olduğuna göre, aşağıdaki bileşke fonksiyonları bulunuz.
hh (f o g)(x)
Örnek 25:
f(x) = 3x – 6
f(g (x)) = f(3x + 4)
= 2(3 x + 4) – 1
g(x) = (x – 2)2
= 6x + 7
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, (g o f –1)(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
hh (g o f)(x)
g (f(x)) = g (2 x – 1)
A)
= 3(2 x – 1) + 4
3x 2
-1
2
= 6x + 1
D)
Cevap: 6x + 7
Not
f ve g birbirinden farklı fonksiyonlar olmak üzere,
(f o g)(x) ≠ (g o f)(x) dir.
f –1 (x) =
B) (3x + 4)2
x2
9
C) x 2 – 4x + 2
E) (3x – 6)2
x+6
3
Cevap: D
x+6
(go f –1) (x) = g (f –1 (x)) = g a 3 k
2
+
= a x 6 − 2k
3
2
2
=`xj = x
3
9
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – II
Örnek 26:
f(x) =
Örnek 29:
2x + 3
x-2
olduğuna göre, (f of of ... of ) (x) kaçtır?
14 4424 443
20 tane
=
f –1 (x) f=
(x) ve (f –1o f) (x) x
–1
–1
–1
I (x)
I (x)
I (x)
•
f(x) = x2 – 2x + 3
•
g(x) = 3x + 4
olduğuna göre, (f o g)(–2) kaçtır?
Cevap: x
g(–2) = 3.(–2) + 4 = –2
Cevap: 11
f(g(–2)) = f(–2) = (–2)2 – 2.(–2) + 3
( f o f o f o f o ... f o f ) (x) = x
\ \
\
=4+4+3
= 11
Örnek 27:
Örnek 30:
• (f o g)(x) = 3x – 4
•
f(x) = 4x – 2
• g(x) = x – 4
•
g(x) = 5x – 1
olduğuna göre, f(x) nedir?
olduğuna göre, (f o g–1)(9) kaçtır?
f(g(x)) = 3x – 4
Cevap: 3x+8
g–1(5x – 1) = x
Cevap: 6
f(x – 4) = 3x – 4
5x – 1 = 9 ⇒ x = 2
x–4→x ⇒ x→x+4
g–1(9) = 2
f(x) = 3(x + 4) – 4 = 3x + 8
f(g–1(9)) = f(2) = 4 . 2 – 2 = 6
Örnek 28:
Örnek 31:
• (g o f)(x) = 4x – 3
(f o g)(x) =
• g(x) = 2x + 5
2g (x) + 4
3g (x) - 2
olduğuna göre, f(3) kaçtır?
olduğuna göre, f(x) nedir?
g(f(x)) = 4x – 3
Cevap: 2x–4
x → f(x)
g(f(x)) = 2f(x) + 5 = 4x – 3
2 g ( x) + 4
f (g (x)) = 3g x − 2
( )
+4
2
x
10
f ( x) = x − & f ( 3 ) = 7
3 2
Cevap: 10
7
2f(x) = 4x – 8
f(x) = x2 + 2x
(f o g)(x) = x2 + 6x + 8
olduğuna göre, g(x) aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) x2 + x
10
B) x2 – 2
D) x – 2
E) x + 2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
C) x2 + 2
f(g(x)) = x2 + 6x + 8
x → g(x)
f(g(x)) = g2(x) + 2g(x) = x2 + 6x + 8
g2(x) + 2g(x) + 1 = x2 + 6x + 9
[g(x) + 1]2 = (x + 3)2
g(x) + 1 = x + 3 veya g(x) + 1 = –x – 3
g(x) = x + 2
veya g(x) = –x – 4
Öğretmen
Sorusu
f(x) = 2x – 4
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – II
hhGrafiklerde Görüntü Bulma
Not
hh (f o g)–1(x) = (g–1 o f –1)(x)
y
hh Bir fonksiyon eşitliğin diğer tarafına tersi ile solda ise
sola sağda ise sağa geçer.
a
ise g = f –1 o h veya f = h o g–1 dir.
x
m
f(a) = b
x
f –1(n) = m
Örnek 35:
Örnek 32:
f –1(x) = 3x + 4
Yanda grafiği verilen y = f(x)
fonksiyonu birebir ve örtendir.
g–1(x) = x2 + x
y
f (2) + f - 1(2)
f (f (1))
olduğuna göre, (f o g)–1(2) kaçtır?
Cevap: 110
2
ifadesinin değeri kaçtır?
1
f –1(2) = 10 ⇒ g–1(10) = 102 + 10 = 110
2
x
–3
y=f(x)
f(2) = –3
Örnek 33:
Cevap: - 3
2
f(0) = 2 ⇒ f –1(2) = 0
f(1) = 0 ⇒ f(f(1)) = f(0) = 2
−3 + 0 −3
=
2
2
f –1(3x + 5) = g(x)
olduğuna göre, (f o g)(5) kaçtır?
f –1(3x + 5) = g(x)
y = f(x)
n
fog = h
(g–1of –1)(2) = g–1(f –1(2))
y
y = f(x)
b
Cevap: 20
3x + 5 = (f o g)(x)
Örnek 36:
(f o g)(5) = 3 . 5 + 5 = 20
Yanda grafiği verilen y = f –1(x)
fonksiyonu birebir ve örtendir.
Örnek 34:
y
5
4
3
Buna göre,
• f(x) = 2x + 1
f -1(- 3) + f -1(2)
f (5)
2x - 1
• g(x) =
x+5
ifadesinin değeri kaçtır?
• (g–1 o f)(x) = –4
y=f –1(x)
–3
x
2 3
olduğuna göre, x kaçtır?
Öğretmen
Sorusu
(g–1 o f)(x)= –4 ⇒ f(x) = g(–4)
−9
2x + 1 = 1 ⇒ x = –5
f doğrusal fonksiyon olmak üzere
(f o f o f) (x) = 27x + 13
olduğuna göre f(2) kaçtır?
Cevap: –5
f –1(–3) = 0, f –1(2) = 4
f –1(3) = 5 ⇒ f(5) = 3
0+4 = 4
3
3
Cevap: 4
3
f(x) = ax + b
a(a(ax + b) + b) + b = 27x + 13
a3x + a2b + ab + b = 27x + 13
a3 = 27 ⇒ a = 3
9b + 3b + b = 13 ⇒ b = 1
f(x) = 3x + 1 ⇒ f(2) = 7
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – II
Örnek 37:
Örnek 40:
Yanda grafiği verilen y = f(x)
fonksiyonu için,
y
y
3
f (- 2) + f (2)
f (- 1) + f (1)
–2
ifadesinin değeri kaçtır?
2
–3
x
–4
f(–2) = 3,
1
–2 –1
–1
–3
y=f(x)
1
x
3
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
f(2) = –4
Cevap:
f(–1) = –4, f(1) = –4
3 − 4 = −1 = 1
−4 − 4 −8 8
1
8
f(2m – 1) = 0
eşitliğini sağlayan m değerlerinin toplamı kaçtır?
2m – 1 = –3 ⇒ m = –1
Cevap: 1
2m – 1 = –1 ⇒ m = 0
2m – 1 = 3 ⇒ m = 2
–1 + 0 + 2 = 1
Örnek 38:
Yandaki şekilde y = f(x) fonksiyonu ile g(x) = x3 fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Örnek 41:
y
g(x)=x
3
y=f(x)
8
Buna göre
(f o g–1o f) (0)
ifadesinin değeri kaçtır?
2
x
4
f(0) = 8
Cevap: 0
g(x) = x3 ⇒ g–1(x3) = x
Yandaki şekilde y = f(x)
ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
Buna göre
f(x) – g(x) = 0
denklemini sağlayan
kaç farklı x değeri
vardır?
y
y=g(x)
x
y=f(x)
Cevap: 4
⇒ g–1(8) = 2
f(x) – g(x) = 0 ⇒ f(x) = g(x) denklem kökleri kesiştikleri noktalardır.
(f o g–1o f)(0) = (f o g–1)(8) = f(2) = 0
O halde 4 tane x değeri vardır.
Örnek 42:
Örnek 39:
Yanda y = f(2x – 1) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
1
–2 –1
ifadesinin değeri kaçtır?
f(2 . 2 – 1) = 1 ⇒ f(3) = 1 ⇒
f(2 . 3 – 1) = 3 ⇒ f(3) = 3
f(2.(–1) – 1) = –1 ⇒ f(–3) = –1
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6
denklemini sağlayan a
değeri kaçtır?
–1 2 3
x
1
2 3 4
x
–3
f –1(6) = 3, f(–1) = 3
1 + (- 1)
=0
3
3
–4 –1
–3
}
y
f –1(6).a + f(–1) = (f o f)(4)
3
Buna göre,
f (3) + f (- 3)
f - 1(1)
f –1(1) = 3
Yanda grafiği verilen
y = f(x) fonksiyonu için
Cevap: 0
(f o f)(4) = f(f(4)) = f(0) = 0
3a + 3 = 0
a = –1
Cevap: –1
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – II
1.
Konu Testi - 3
5.
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, C = {6, 7, 8}
• g(x – 1) = x2
olmak üzere A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu ile B den
C ye tanımlı g fonksiyonu aşağıda gösterilmiştir.
f
A
B
g
olduğuna göre, (g–1o f)–1(2) ifadesinin değeri kaçtır?
C
1
3
6
2
4
7
3
5
8
• f(x) = 3x – 12
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
–1h–1i
–1
_ f –1 o ^g =
(2) f=
(g (2)) f –1 (3 2) = f –1 (9)
3x – 12 = 9 ⇒ x = 7
Buna göre, (g o f)(2) kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
6.
g(f(2)) = g(5) = 6
• f(x) = 3x – 1
• g(x) = x2 – 1
olduğuna göre, (g o f)(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisidir?
2.
A) 3x 2 – 2
• f(x) = 3x – 11
B) 9x 2 – 6x – 2
D) 9x 2 + 6x
• g(x) = 5x – 4
C) 3x 2 – 4
E) 9x 2 – 6x
olduğuna göre, (f o g)(2) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
g(f(x)) = g(3x – 1) = (3x – 1)2 – 1
= 9x2 – 6x + 1 – 1
= 9x2 – 6x
E) 10
f(g(2)) = f(5 . 2 – 4) = f(6)
= 3 . 6 – 11 = 7
7.
3.
• g(x) = 2x – 1
• f: {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 7)}
olduğuna göre, f(7) ifadesinin değeri kaçtır?
• g: {(9, 1), (10, 2), (7, 3), (11, 4)}
A) 37
olduğuna göre, (f o g)(10) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
• f(x) = 2x + 1
8.
• g(x) = x2 – 1
B) 33
C) 30
D) 29
E) 28
f(g(x)) = 7x + 1
f(2x – 1) = 7x + 1
2x – 1 = 7 ⇒ x = 4
f(7) = 7 . 4 + 1 = 29
f(g(10)) = f(2) = 4
4.
• (f o g)(x) = 7x + 1
• f(x) = x + 4
• h(x) = 3x – 4
• (g–1 o f)(x) = 2x – 3
olduğuna göre, (f–1 o g o h)(2) ifadesinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, g(5) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1
A) 7
B) 2
C) 3
D) 4
h(2) = 3 . 2 – 4 = 2
g(2) = 4 – 1 = 3
(f –1o g)(h(2)) = f –1o g(2) = f –1(g(2)) = f –1(3)
2x + 1 = 3 ⇒ x = 1
E) 5
B) 8
g–1(f(x)) = 2x – 3 ⇒
⇒
(x = 4 için)
C) 9
D) 10
E) 11
g–1(x + 4) = 2x – 3
g(2x – 3) = x + 4
g(5) = 8
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – II
9.
Konu Testi - 3
f: R – {3} → R – {3} olmak üzere
3x + 1
f(x) =
x-3
olduğuna göre, (f o f)(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 1
B) –1
1
D)
x
C) x
E) –x
13. Yandaki şekilde tanımlı olduk-
y
ları aralıklarda y = f(x) ve y = g(x)
fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
y = f(x)
4
2
Buna göre, (f o g)(3) + f –1(2)
ifadesinin sonucu kaçtır?
10. • (g o f)(x) = 3x – 10
olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
B) x – 1
C) x – 2
D) x – 4
E) x + 4
D) 3
E) 4
14. Yandaki şekilde y = f(x) ve
y
ve y = g(x) fonksiyonlarının
grafikleri verilmiştir.
y=f(x)
5
4
Buna göre, (g–1o f)(2) ifadesinin sonucu kaçtır?
g(f(x)) = 3x – 10 ⇒ 3f(x) + 2 = 3x – 10
⇒ 3f(x) = 3x – 12
⇒ f(x) = x – 4
2
–1
2
3
x
y = g(x)
A) –1
11.
C) 2
f(g(3)) + f –1(2) = f(0) + f –1(2)
=0+1=1
• g(x) = 3x + 2
A) x
B) 1
x
y = g(x)
f(x) = f –1(x) ⇒ (f o f)(x) = (f o f –1)(x) = x
A) 0
3
1 2
B) 0
C) 2
D) 4
E) 5
g–1(f(2)) = g–1(4) = 2
(g o f)(x) = 2f(x) + 1
olduğuna göre, g–1(11) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
15. Yandaki şekilde y = f(x + 1)
E) 9
g(f(x)) = 2f(x) + 1
g(x) = 2x + 1
g–1(2x + 1) = x
x = 5 için g–1(11) = 5
12.
–4
–3
Buna göre, f(3) + f –1(2)
toplamının değeri kaçtır?
2
B) 7
C) 8
y = f(x+1)
1
–2
x
1 2
D) 9
E) 10
x = 2, y = 4 için f(3) = 4
x = 1, y = 2 için f(2) = 2 ⇒ f –1(2) = 2
4+2=6
5
3
4
A) 6
y
y
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
2
x
1 2
16. Yandaki şekilde y = f(x) fonk-
y
siyonunun grafiği verilmiştir.
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonu için (f o f)(–2) ifadesinin sonucu kaçtır?
C) 0
D) 3
E) 5
A) 0
f(f(–2)) = f(2) = 5
B) 1
C) 2
3
D) 3
5
E) 14
f(x) = 0 ⇒ x = 1, x = 5 tir.
3. D
4. A
5. C
6. E
7. D
8. B
9. C
10. D
11. A
12. E
13. B
14. C
15. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2. B
16. C
14
–2
1
1. C
B) –1
2
Cevaplar
A) –3
Buna göre, f(x) = 0 denklemini sağlayan kaç x sayısı
vardır?
x
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – II
1.
• f(x) =
Konu Testi - 4
4.
x+2
3
• g(x) = x2 – 2x + 12
• g(x) = 2x – 3
olduğuna göre, f(7) ifadesinin değeri kaçtır?
• (f –1o g)(a) = 7
A) 19
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
5.
C) 8
D) 9
E) 15
f, g, h ve w birebir ve örten fonksiyonlardır.
A) h o g –1o f –1
B) h o f –1o g –1
D) h –1o f o g –1
olduğuna göre, a . b çarpımının değeri kaçtır?
B) 6
D) 16
olduğuna göre, w fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
(f o g)(x) = (g o f)(x)
A) 4
C) 17
fogow = h
f ve g birbirinden farklı fonksiyonlar olmak üzere,
x 2
•
f(x) = 3
•
g(x) = ax + b
•
B) 18
(f –1o g)(x) = x + 4
g(x) = f(x + 4)
f(x + 4) = x2 – 2x + 12
f(7) = 9 – 6 + 12 = 15
f –1(g(a)) = 7 ⇒ f –1(2a – 3) = 7
⇒ f(7) = 2a – 3
⇒ 3 = 2a – 3
⇒a=3
2.
• (g–1o f)–1(x) = x + 4
E) 12
C) f –1o g –1o h
E) g –1o f –1o h
f o g o w = h ⇒ g o w = f –1o h
⇒ w = g–1o f –1o h
(f o g)(x) = (g o f)(x) ⇒ g = f –1
⇒ ax + b = 3x + 2
⇒ a = 3, b = 2
⇒a.b=6
6.
Aşağıda y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
y
3.
5x + 4
f(x) =
2x - 5
olduğuna göre,
1
(f of of ... of ) (2)
144
4244
43
13 tane
y = g(x)
2
–1
1 2 3
ifadesinin sonucu kaçtır?
A) –14
B) –10
C) –8
f –1(x) = f(x) ⇒ (f–1 o f)(x) = (f o f –1)(x) = x
14
( f o f o f ... o f ) (2) = f (2) = − 1 = − 14
144424443
13 tane
x
y = f(x)
D) –6
E) 2
(f o g)(m – 2) = 0
denklemini sağlayan m değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
f(g(m – 2)) = 0
g(m – 2) = 2
m–2=3 ⇒ m=5
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
FONKSİYONLAR / Fonksiyonlar – II
7.
Konu Testi - 4
10.
• (g o f o f –1)(x) = 3x + 10
f –1(x – 4) = g(3x + 10)
• (g o g–1o f)(x) = 2x + 3
olduğuna göre, (f o g)(7) ifadesinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, (f o g)(2) değeri kaçtır?
A) –5
A) 34
B) 35
C) 36
D) 37
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1
E) 38
x – 4 = (f o g)(3x + 10)
3x + 10 = 7 ⇒ x = –1
(f o g)(7) = –5
(go f o f –1) (x) = g (x) = 3x + 10
[
I ( x)
(gog –1 o f) (x) = f (x) = 2x + 3
[
I ( x)
f(g(2)) = f(16) = 32 + 3 = 35
11. f birim, g sabit, h doğrusal fonksiyondur.
f(x) doğrusal fonksiyon olmak üzere,
(f o f)(x) = 4x + 12
• (f o g)(2) = 4
olduğuna göre, f(2) ifadesinin değeri kaç olabilir?
• h(x) = g(4)x + f(3)
A) 6
olduğuna göre, (h o h)(2) kaçtır?
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
A) 51
f(x) = ax + b
4x + 12 = a(ax + b) + b = a2x + ab + b
a2 = 4 ⇒ a = 2, a= –2
a = 2 ⇒ 2b + b = 12 ⇒ b = 4
a = –2 ⇒ –2b + b = 12 ⇒ b = –12
f(x) = 2x + 4 veya f(x) = –2x – 12
f(2) = 8
veya f(2) = –16
y
y=(fog)(x)
y = f –1(x)
3
2
1
1
–2
3
2
2
x
x
2
f(x) = 2x – 3 olduğuna göre, (g–1 o f –1)(3) + g(–1) ifadesinin değeri kaçtır?
C) 0
D) 1
A) 1
E) 2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
(g–1o f –1)(3) = (f o g)–1(3) = 2
(f o g)(f –1(–2)) = (f o g)(0) = f(g(0))
(f o g)(–1) = 1 ⇒ 2g(–1) – 3 = 1
= f(1)
⇒ g(–1) = 2
−3
= 2
2+2=4
3. A
4. E
5. E
6. E
7. B
8. B
9. B
10. A
11. E
12. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2. B
16
–1
Buna göre, (f o g o f –1)(–2) değeri kaçtır?
3
2
1
–3
–2
B) -
E) 47
12. Aşağıda y = (f o g)(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
2
A) –2
D) 48
f(g(2)) = 4 ⇒ g(2) = 4 ⇒ g(x) = 4
h(x) = 4x + 3
h(h(2)) = h(11) = 4 . 11 + 3 = 47
Aşağıda y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafiği verilmiştir.
y = g(x)
C) 49
1. C
9.
B) 50
Cevaplar
8.
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
24
TARAMA
1.
0, 6
0, 8
+
(0, 2) 2 (0, 4) 2
4.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 20
B) 24
9 10
13
c - m $ c5 + m
2 3
7
işleminin sonucu kaçtır?
C) 25
D) 27
E) 30
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
27 − 20 35 + 13
$ 7
6
7 48 =
6$ 7 8
0, 6
0, 8 60 80
+
=
+
4 16
0, 04 0, 16
= 15 + 5 = 20
5.
Dört basamaklı xyxy doğal sayısı rakamları toplamının
404 katına eşittir.
Buna göre, x . y çarpımının değeri aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A) 8
2.
4
si 24 sayısına eşittir.
7
2
Buna göre, bu sayının ü kaçtır?
3
Bir sayının
A) 14
B) 16
C) 18
D) 24
3.
C) 14
D) 16
E) 20
xyxy = 404 . (2x + 2y)
1010x + 101y = 808x + 808y
10x + y = 8x + 8y
2x = 7y ⇒ x . y = 14
E) 28
4 = 24 $ 7 =
=
&x
x $ 7 24
42
4
2
42 $ 3 = 28
B) 12
6.
Aşağıda merkezleri aynı olan ve üzerlerinde eşit aralıklarla
semboller konumlandırılmış küçük ve büyük iki diskten oluşan hareketli bir düzenek verilmiştir. Bu düzeneğin üzerine
dikdörtgen biçiminde sabit bir gösterge yerleştirilmiştir.
a = 5! . 9!
b = 6! . 8!
Başlangıç
c = 7! . 7!
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) a > c > b
B) b > c > a
D) a > b > c
C) c > a > b
E) b > a > c
Ok yönünde sabit hızlarla hareket eden bu iki diskten küçük disk saniyede 90°, büyük disk saniyede 180° dönmektedir.
Buna göre, başlangıçtan 15 saniye sonra göstergenin
görünümü aşağıdakilerden hangisidir?
A)
a = 120 . 9!
b = 720 . 8! = 80 . 9 . 8! = 80 . 9!
c = 720 . 7 . 7! = 10 . 7 . 9 . 8 . 7! = 70 . 9 !
a>b>c
B)
D)
C)
E)
Küçük disk 4 saniyede, büyük disk 2 saniyede aynı konuma gelir. 15 sn
sonra küçük
, büyük disk
i gösterir.
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
1
Tarama
7.
1
2
3
4
5
6
7
8
10. x ve y gerçek sayıları için,
2x = 7 - y
x
y=
3
Yukarıda verilen 1 den 8 e kadar numaralandırılmış 8 adet
top iki kutuya aşağıdaki kurallara göre yerleştirilecektir.
• Her kutuda dört top bulunacaktır.
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
• Kutulardaki topların numaraları toplamı birbirine eşittir.
A) 4
• Kutularda numarası 3 ün tam katı olan birer top bulunmaktadır.
Buna göre, 5 numaralı topun bulunduğu kutudaki topların numaralarının çarpımı kaçtır?
A) 112
B) 120
C) 192
D) 240
E) 360
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
x
x
2 x = 7 − 3 & 2x = 7 − 3
& x = 21 − 6x
x = 21 − 6x veya x = 6x − 21
21
x=3
veya x = 5
x = 3 ⇒ y = 1 ve x + y = 4
Bütün numaraların toplamı 36 ise her kutuda 18 olur.
1. Kutu
2. Kutu
3, 8, 5, 2
6, 1, 4, 7
3 . 8 . 5 . 2 = 240
11.
A ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}
olmak üzere A ∩ {1, 2} kümesinin eleman sayısı 1 olacak biçminde kaç farklı A kümesi yazılabilir?
8.
A) 10
220 . 525
çarpımının sonucu kaç basamaklı bir sayıdır?
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
B) 12
İçinde 1 olup 2 olmayan
İçinde 2 olup 1 olmayan
8 + 8 = 16
C) 14
D) 16
E) 18
23 = 8
23 = 8
220 . 520 . 55 = 1020 . 3125
24 basamaklıdır.
9.
a ve b tam sayılardır.
2
12. Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g
2
6a + b
= 96
9 ab
fonksiyonları için,
olduğuna göre, a . b çarpımının değeri kaçtır?
A) 1
3a
2
B) 2
+ b2
3
$ 2a
2
+ b2
2ab
a2 + b2 – 2ab
C) 3
= 25 $ 3
2
2
3
. 2a + b = 25 . 31
(a – b)2 = 1, a2 + b2 = 5
a = 2, b = 1 ⇒ a . b = 2
2
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
D) 4
E) 5
• (g o f)(x) = g(x) . f(x)
• g(x) = 3x + 4
olduğuna göre, f(2) değeri kaçtır?
A)
1
7
B)
2
7
3f(x) + 4 = (3x + 4) . f(x)
3f(2) + 4 = 10 . f(2)
7.f(2) = 4
4
f(2) = 7
C)
3
7
D)
4
7
E)
5
7
Tarama
13. x ve y birden büyük tam sayılardır.
x
8+
y
16. Bir sabuncu yapmış olduğu A, B ve C türündeki sabunları
81 = 5
olduğuna göre, x + y toplamının değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
kurumaya bırakmıştır. Aşağıdaki grafikte bu sabunların
kuruduğunda kaybettikleri ağırlıkların yüzdeleri verilmiştir.
Ağırlık Kaybı (%)
E) 8
50
x = 3 ve y = 4 için x + y = 7 dir.
25
20
A
B
Sabun Türü
C
Kuruduktan sonra bu sabunların toplam ağırlığının türlere
göre dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir.
14. a ve b gerçek sayıları için,
b2 < a . b < b – a
A
120°
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) 0 < a < b
B) b < a < 0
D) a < b < 0
160°
C
80°
C) 0 < b < a
B
E) b < 0 < a
Kurutma sürecinde bu meyvelerin toplamı ağırlığı 480
kg azaldığına göre, sabuncu bu sabunlardan toplam
kaç kg elde etmiştir?
b2 – ab < 0 ⇒ b(b – a) < 0
b2 < b – a ⇒ b – a > 0, b < 0 dır.
b–a>0 ⇒ b>a ⇒ a<0
a<b<0
A) 1200
15. Ali, Berk, Cansu ve Duygu isimli dört arkadaştan üçü aynı
kilodadır.
B) 1100
Kurumuş A = 120x
75
A $ 100 = 120x ⇒
50
B $ 100 = 80x ⇒
80
C $ 100 = 160x ⇒
C) 1080
Kurumuş B = 80x
D) 1000
E) 720
Kurumuş C = 160x
A = 160x
B = 160x
C = 200x
520x – 360x = 480 ⇒ x = 3
• Ali ve Berk'in kiloları toplamı Cansu ve Duygu’nun kiloları toplamından büyüktür.
⇒ 360 . 3 = 1080
• Ali ve Cansu’nun kilolarını toplamı, Berk ve Duygu’nun
kiloları toplamından büyüktür.
Buna göre,
I. Ali ve Berk aynı kilodadır.
17. • x bir tam sayıdır.
II. Berk ve Cansu aynı kilodadır.
120
bir asal sayıdır.
x
III. Ali’nin kilosu Duygu’nun kilosundan fazladır.
•
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
Buna göre, x in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) Yalnız I
A) 100
D) II ve III
B) Yalnız II
C) I ve III
B) 112
C) 120
D) 124
E) 132
E) I, II ve III
120 = 23 . 3 . 5
A + B > C + D ve A + C > B + D
ise Ali en fazla kiloya sahip olur. Diğerleri eşit kiloludur. II ve III doğrudur.
x = 24, 40, 60 için
120
x asal sayılar
24 + 40 + 60 = 124
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
3
Tarama
18. Bir yarışmada üç kişiden oluşan bir jüri yarışmacılara evet
ya da hayır oyu vermektedir.
•
x - 7 - 1 - x =- 2
• Yarışmaya 20 kişi katılmıştır.
olduğuna göre, x kaçtır?
• Bir yarışmacının başarılı olabilmesi için en az iki evet
oyu almalıdır.
A)
• Jüri toplam 30 evet oyu vermiştir.
• Yarışmada 8 kişi başarılı olmuştur.
• Hiçbir yarışmacı üç hayır oyu almamıştır.
Buna göre, üç evet oyu alan kaç yarışmacı vardır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
1. Evet
2. Evet
3. Evet
a
b
c
a + b + c = 20
a + 2b + 3c = 30
b+c=8
a = 12
c=2
b=6
C) 9
D) 11
E) 13
•
b
6
=
c 10
E)
9
2
|–x + 7 – 1| – x = –2
|6 – x| – x = –2
6 – x – x = –2
x=4
I. Karışım
II. Karışım
Leblebi
10 kg
8 kg
Fındık
6 kg
7 kg
Fıstık
4 kg
5 kg
II. karışımın fiyatı, I. karışımın fiyatından ¨ 50 fazladır.
Buna göre 1 kg fındık ile 1 kg fıstığın toplam fiyatı kaç
¨ olabilir?
A) 52
B) 50
C) 49
D) 48
E) 46
x 2
f c - m = 2x + 1
3
eşitliğini sağlıyor.
Buna göre, f(a) = a eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır?
olduğuna göre, a + b + c toplamının değeri kaçtır?
A) 10
D) 4
23. Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu
20. a, b ve c aralarında asal sayılardır.
a 2
=
b 3
7
2
Leblebi = a, Fındık = b, Fıstık = c olsun.
8a + 7b + 5c – (10a + 6b + 4c) = 50
b + c – 2a = 50
b + c = 50 + 2a
a = 1 için b + c = 52 olabilir.
3x – 1 – (x + 1) = 12
2x – 2 = 12
x=7
•
C)
ğılımı gösterilmiştir.
Buna göre, x kaçtır?
B) 7
B) 3
22. Aşağıdaki tabloda 20 kg lık farklı iki çerez karışımının da-
3x – 1 dir.
A) 5
5
2
E) 6
19. Ardışık 7 çift tam sayının en küçüğü x + 1, en büyüğü
B) 12
C) 15
a 2=
b 3
=
b 3 ve c 5
a = 2, b = 3, c = 5
a + b + c = 10
4
21. • 2 < x < 5
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
D) 16
E) 18
A) 2
B) 1
x-2 =
a & x = 3a + 2
3
f(a) = 2(3a + 2) + 1 = 0
a = –1
C) –1
D) –2
E) –3
Tarama
24. Aşağıdaki tabloda Dolar ve Euro’nun üç günlük kaydı ve-
27.
a= 4+ 9
b = 3 - 8 + 16
c = 3 - 27 + 36
rilmiştir.
Pazartesi
Salı
Çarşamba
Dolar
¨ 2,92
¨ 2,94
¨ 2,96
Euro
¨ 3,2
¨ 3,16
¨ 3,1
Pazartesi 100 Dolar ve 100 Euro alan bir yatırımcı aldıklarını Çarşamba günü bozdurmuştur.
Buna göre, kaç ¨ zarar etmiştir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 16
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) a < b < c
B) c < b < a
D) b < c < a
a=2+3=5
b = –2 + 4 = 2
c = –3 + 6 = 3
C) c < a < b
E) b < a < c
b<c<a
Alış = 2,92 . 100 + 3,2 . 100 = 612 ¨
Satış = 2,96 . 100 + 3,1 . 100 = 606 ¨
Zarar = 612 – 606
=6
25.
28. • Eşit kapasitedeki iki işçi bir işe başlıyor.
6! . x
ifadesi bir doğal sayının karesi olduğuna göre, x in
alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 10
D) 12
E) 15
720 . x = m2
32 . 24 . 5 . x = m2
x = 5
• İşin yarısına geldiğinde işçilerden biri işten ayrılıyor.
• Kalan işçi işi tamamlıyor.
• İşin tamamı 12 günde tamamlanıyor.
Buna göre, bir işçi işin tamamını kaç günde tamamlar?
A) 12
B) 15
C) 16
D) 18
E) 20
Bir işçi işin tamamını 4x günde yapsın. İkisi tamamını 2x, yarısını x günde yapar. Kalan işi bir işçi 2x günde yapar.
x + 2x = 12 ⇒ x = 4 ⇒ 4x = 16
26. Yaşları 6, 8 ve 10 olan üç öğrenci bir miktar parayı yaşları
ile orantılı olacak biçimde paylaşıyor. Eğer bu öğrenciler
2 yıl sonra aynı miktar parayı yine yaşları ile doğru orantılı
olarak paylaşırsa küçük çocuk ilk duruma göre ¨ 32 fazla
para alacaktır.
Buna göre, para kaç ¨ dir?
A) 1920
B) 1960
C) 2000
D) 2160
A= B= C =
A = 6k, B = 8k, C = 10k
6 8 10 k
A =
B
C =
=
A = 8m, B = 10m, C = 12 m
8 10 12 m
24k = 30m ⇒ k = 5a, m = 4a
8m – 6k = 32
32a – 30a = 32
a = 16
E) 2240
29.
3 2 + (- 2) 3
(- 1) 4 + 2 4
işleminin sonucu kaçtır?
A) -
1
5
B) -
1
17
C) 1
D)
1
15
E)
1
17
9−8 = 1
1 + 16 17
k = 80
24k = 1920
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
5
Tarama
30.
4
33. Koliler halindeki yaş kayısının bir kolisi 10 ar kilo olup
0, 0256 $ 3 (0, 008) -1
işleminin sonucu kaçtır?
A) 4
B) 2
C) –1
D) –2
E) –4
tanesi ¨ 400 ye satılmaktadır. Satışlar istenildiği gibi gitmediğinden her bir kolideki yaş kayısılar kurutularak bir
poşet torbada ambalajlanıyor.
Her bir kolideki kayısı kurutulurken 2 kg fire verdiğine göre, kazancın değişmemesi için ambalajdaki kuru
kayısının kg fiyatı, koliler içerisindeki yaş kayısının kg
fiyatına göre yüzde kaç artırılmalıdır?
(0, 4) 4 $ 3 (0, 2) –3
1
0, 4 $ 0 , 2 = 2
4
A) 10
B) 15
C) 20
D) 24
E) 25
x koli kayısı olsun. x . 400 = 400x
x
=
10 .8.a 400x
a = 500
100
=
=
% 400
$ 100 % 25
31. • Ahmet x + 25, Hamdi y – 2 yaşındadır.
• Ahmet, Hamdi’nin yaşındayken Hamdi x – 11 yaşındaydı.
Buna göre Ahmet, Hamdi’den kaç yaş büyüktür?
A) 10
A
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
H
34. Aşağıdaki tabloda bir bankanın kullanılacak kredi mikta-
x + 25
y–2
y–2
x – 11
x + 25 – (y – 2) = y – 2 – (x – 11)
x – y + 27 = y – x + 9
y–x=9
x + 25 – (y – 2) = x – y + 27 = –9 + 27 = 18
rına ve vadeye göre uyguladığı konut kredisi toplam faiz
oranları gösterilmiştir.
32. Bir marangoz elindeki bir çıtayı aşağıdaki işlemleri uygulayarak parçalara ayırıyor.
• Her bir parçanın boyunu 5 cm kısaltıyor.
• Kısalan her bir parçayı eşit uzunlukta 4 eşit parçaya
bölüyor.
• Marangozun son durumda elde ettiği çıta parçalarından birinin uzunluğu 7 cm dir.
Buna göre, çıtanın başlangıçtaki boyunun uzunluğu
kaç cm dir?
B) 194
C) 196
D) 198
x−
6 5 = 7 & x − 5 = 28 & x = 33 & x = 198
4
6
6
6
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
Konut bedelinin
% 60 ı için (%)
Konut bedelinin
% 50 si için (%)
36 ay
10
10
48 ay
30
20
60 ay
50
30
80 ay
60
40
120 ay
80
60
Örneğin ¨ 100 000 değerinde konut alan bir müşteri bankada konut bedelinin %60 ı için 60 000 kredi çekerse 60
ay sonra 60 000 + 30 000 = 90 000 ¨ öder.
¨ 200 000 ye konut alan bir müşteri % 50 si için kredi çekmiştir.
• Çıtayı eşit uzunlukta 6 parçaya ayırıyor.
A) 190
Vade
E) 200
Bu müşteri bankaya her ay ¨ 2500 ödediğine göre,
aşağıda verilen vade seçeneklerinden hangisini kullanmıştır?
A) 36 ay
B) 48 ay
D) 80 ay
C) 60 ay
E) 120 ay
50
200 000 $ 100 = 100 000
120 =
120 000
=
100 000 $ 100 120
000 & 48
2500
48 ay vadeli çekmiştir.
Tarama
35. • 120 sayısının % 30 u ile % 20 sinin toplamı x dir.
38.
2(x – 1) + x ≥ 4x – 6
• % 30 u 15 olan sayı y dir.
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x doğal sayısı vardır?
Buna göre, y sayısının yüzde kaçı x dir?
A) 4
A) 60
B) 80
C) 90
D) 120
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
E) 150
2x – 2 + x ≥ 4x – 6
3x – 2 ≥ 4x – 6
–x ≥ –4
x≤4
0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere 5 tanedir.
30
20
x = 120 $ 100 + 120 $ 100 = 60
30
y $ 100 = 15 & y = 50
a
50 $ 100 = 60 & a = %1 20
39.
x = 2 -2
y = x+1
z = y-3
olduğuna göre, z aşağıdakilerden hangisidir?
36. • Bir atlet bir yolun 2 ini koştuktan sonra 54 metre daha
5
koşunca yolu tamamlamış oluyor.
A)
B) 2
2
D)
C)
E)
2 +1
• Bu atletin saniyedeki hızı 16 metredir.
x = 2− 2
Buna göre, bu atlet bu yolu kaç saniyede koşar?
y = 2− 2 +1 = 3− 2 = 3− 2
A) 3
z = 3− 2 −3 = − 2 =
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
2 -1
2 +3
2
Yol x olsun.
2x + =
3x =
=
5 54 x & 5 54 & x 80
80 = 16 . t ⇒ t = 5 sn
40. Hüseyin, halı sahada 20.00 da yapılacak maça katılacak-
tır. Maçtan 1 saat önce yola çıkan Hüseyin yürüme hızını
1 saatte halı sahaya varacak şekilde ayarlıyor.
Yolun yarısına geldiğinde formasını evde unuttuğunu fark
eden Hüseyin, sabit hızla koşarak formayı alıyor ve durmadan aynı hızla koşarak tam zamanında halı sahada
oluyor.
37.
Hüseyin tüm hareketi boyunca ev ile halı saha arasındaki aynı yolu kullandığına göre formasını evden saat
kaçta almıştır?
2
x
(x + 1) = - 1
2
3
A) 19.20
olduğuna göre, x kaçtır?
A) –10
B) –11
2x + 2 = x − 2
3
2
4x + 4 = 3x – 6
x = –10
C) –12
D) –13
E) –14
B) 19.30
ev
C) 19.40
x
D) 19.42
x
E) 19.45
saha
1
Başlangıç hızı 2V ise unuttuğunu anladığındaki hızı 3V dir. 3V hızla 2
1
saatte 3x yol almalı. x yolu 6 saatte alır.
Formayı 19.30 + 10 = 19.40 ta alır.
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
7
Tarama
41. • f(2x – 1) = x + 5
• g(x – 2) =
44. Aşağıdaki tablo bir sınıftaki öğrencilerin matematik sınavında aldıkları puanların dağılımını göstermektedir.
x2
olduğuna göre, (f + g)(3) değeri kaçtır?
A) 32
B) 33
C) 34
D) 35
E) 36
Puan
1
2
3
4
5
Kişi sayısı
x
4
2x
6
2
Sınıfın matematik puan ortalaması 3 olduğuna göre, x
kaçtır?
f(3) + g(3) = ?
x = 2 için f(3) = 7
x = 5 için g(3) = 25
f(3) + g(3) = 32
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
x + 8 + 6x + 24 + 10 =
3
3x + 12
7x + 42 =
3
3x + 12
7x + 42 = 9x + 36 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3
42. Bir sınıftaki öğrencilerin % 80 i bağlama çalabilmektedir.
Sınıftaki öğrencilerin % 80 i erkek olduğuna göre, bağlama çalabilen öğrencilerin en az yüzde kaçı erkektir?
A) 60
B) 65
C) 72
D) 75
E) 80
Sınıf 100 kişi olsun.
s(Bağlama) = 80
s(Erkek) = 80
s(Kız) = 20
Bağlama çalabilen erkek en az 60 tır.
x
=
80=
$ 100 60
& x % 75
45. Alkol oranı % 20 olan x litre kolonya ile alkol oranı % 40
olan 3x litre kolonya karıştırılıyor.
% 20
xL
+
% 40
3x L
?
Buna göre, oluşacak yeni kolonyanın alkol oranı yüzde kaçtır?
A) 20
43. • Dolu depoyla yola çıkan bir araç deposundaki benzinin
dörtte üçünü harcadığında bir akaryakıt istasyonuna
uğruyor ve yarım depo benzin alıp yoluna devam ediyor.
• Başlangıçtan itibaren 600 km yol aldığında araçta benzin kalmıyor.
B) 25
% 20
x
+
C) 30
% 40
3x
D) 35
=
E) 36
%a
4x
20x + 120x = 4xa
a = 35
• Yolculuk boyunca aracın benzin tüketimi sabittir.
Buna göre, aracın başlangıç noktası ile akaryakıt istasyonunun arası kaç km dir?
A) 200
B) 240
C) 280
D) 300
E) 360
Depo 40x olsun. Benzin istasyonuna kadar 30x benzin yakıyor. Tüm yol
boyunca 60x benzin yakıyor.
60x 600m
30x
a
⇒ a = 300m
8
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
46. f reel sayılarda tanımlı birim fonksiyon, g sabit fonksiyondur.
f(x) = [(g(x) – 4]x + a – 3
olduğuna göre, g(4) + a toplamının değeri kaçtır?
A) 12
B) 11
g(x) – 4 = 1 ⇒ g(x) = 5
a–3=0 ⇒ a=3
g(4) + a = 5 + 3 = 8
C) 10
D) 9
E) 8
Tarama
47.
50. Bir fabrikada Mahmut ve Hayati ürünleri kolilere dizme ve
f(x – 1) = x + 4
bu kolileri paketleme işlerini yapmaktadır.
g(x) = 2x – 3
• Mahmut saatte 4, Hayati saatte 5 koli ürün dizmektedir.
olduğuna göre,
• Mahmut saatte 8, Hayati saatte 10 koli paketlemektedir.
(f o g)(x) = x
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
Mahmut bir miktar koliye ürünleri dizip bu kolileri paketlemiştir. Hayati ise bu süre boyunca 80 koli ürün dizip bu
kolileri paketlemiştir.
Buna göre, Mahmut kaç koli ürün paketlemiştir?
f(x – 1) = x + 4 ⇒ f(x) = x + 5
(f o g)(x) = 2x – 3 + 5 = x
2x + 2 = x
x = –2
A) 36
B) 48
C) 56
D) 64
E) 72
Hayati 80 koli ürünü
80 + 80
5 10 = 16 +8 = 24 saatte paketler.
x+x
4 8 = 24 ⇒ x = 64
48. Bir bankaya yatırılan ¨ x, 6 ay sonra faizi ile birlikte ¨ y
olmaktadır.
x y
=
4 7
olduğuna göre, uygulanan yıllık basit faiz oranı yüzde
kaçtır?
A) 200
B) 180
C) 160
D) 150
E) 120
51. f reel sayılarda tanımlı bir fonksiyon olmak üzere,
f(x + 2) = –f(3) . x + 4
olduğuna göre, f(4) ifadesinin değeri kaçtır?
A) –2
x = 4k, y = 7k ⇒ Faiz = 3k
4k $ n $ 6
nk
=
=
3k =
1200 & 3k 50 & n 150
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
x = 1 için f(3) = –f(3) + 4 ⇒ f(3) = 2
f(x + 2) = –2x + 4
f(4) = 0
49. Bir satıcı elindeki ürünlerin,
52. Arzu parasının 1 unu Burcu’ya verdiğinde Burcu’nun
• % 40 ını % 60 zararla,
10
parası % 40 oranında artıyor.
• % 30 unu % 40 kârla,
• geriye kalanını % x kârla
satıyor.
Buna göre, son durumda Arzu’nun parasının Burcu’nun parasına oranı kaçtır?
Bu satıştan toplam kârı % 3 olduğuna göre, x kaçtır?
A)
A) 30
B) 40
C) 50
D) 55
Ürünlerin tamamı 100 olsun.
40
140
100 + x
103
40 $ 100 + 30 $ 100 + 30 $ 100 = 100 $ 100
300 + 3x =
103
16 + 42 + 10
300 + 3x = 450
E) 60
A
x
18
7
B)
9
4
C)
19
7
D)
18
5
E)
9
2
B
y
x + = 140
x = 4y
=
10 y y $ 100 & 10 10 & x 4y
9x
x
x − 10
9 $ 4y
= 36 = 18
= 10 =
+
x
10
10
y
x
y + 4y 14 7
y + 10
10
x = 50
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
9
Tarama
53. Aşağıda f ve g fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir.
y
56. x alış fiyatını, y satış fiyatını göstermek üzere bir şirket
ürünlerin satış fiyatını y = f(x) fonksiyonuna göre belirlemektedir.
y
4
y=–2x
f –1(5) = 4
3
1
x
0
–2
1
2
x
y=g(x)
olduğuna göre, bu şirketin bu satıştaki kâr oranı yüzde kaçtır?
A) 15
B) 20
C) 24
D) 25
E) 30
y=f(x)
Buna göre, (g o f o g)(1) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
f(4) = 5
100 + a
4 $ 100 = 5 ⇒ 400 + 4a = 500
⇒ a = 25
(gof)(g(1)) = (gof)(1) = g(f(1))
= g(–2)
=4
57. Bir satıcı elindeki gömleklerin tanesini ¨ 35 den satarsa
¨ 540 kâr, ¨ 24 ten satarsa ¨ 120 zarar ediyor.
Buna göre, satıcının elinde kaç adet gömlek vardır?
54. • f(1) = 2
•
f (x + 1)
=2
f (x)
A) 40
olduğuna göre, f(10) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 27
B) 29
C) 210
D) 211
E) 212
B) 45
C) 50
D) 60
E) 70
35x – M = 540
M – 24x = 120
11x = 660
x = 60
f(x + 1) = f(x).2
f(2) = f(1).2
f(3) = f(2).2
f(4) = f(3).2
f(10) = f(g).2
f(10) = 29. f(1) = 210
58. Bahçesinde erik, limon ve portakal ağaçları bulunan bir
çiftçiye, “Bahçende kaç tane ağaç var?” diye sorulduğunda çiftçi,
• erikleri saymazsanız 62,
55. Ağırlıkça % 30 u tuz olan 10 kg tuzlu su karışımına x kg
• limonları saymazsanız 52,
su eklendiğinde karışımın tuz oranı % 20 oluyor.
• portakalları saymazsanız 44
Buna göre, x kaçtır?
cevabını veriyor.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Buna göre, çiftçinin bahçesindeki ağaçların sayısı
kaçtır?
A) 78
% 30
10
+
%0
x
=
300 + 0 = 200 + 20x
20x = 100
x=5
10
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
% 20
10 + x
B) 79
L + P = 62
E + P = 52
L + E = 44
2(L + E + P) = 158
L + E + P = 79
C) 80
D) 81
E) 82
Tarama
59. Bir satıcı etiket fiyatı ¨ 300 olan bir ürüne aşağıdaki işlemleri uyguluyor.
62. Bir kitapçı enleri 3 cm olan özdeş kitapları aşağıdaki kitaplığa yerleştiriyor.
• Önce % 20 indirim yapıyor.
• Sonra indirimli fiyat üzerinden % x indirim yapıyor.
• Satıcı ürünü ikinci indirimden sonra ¨ 168 ye satıyor.
Buna göre, x kaçtır?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
80 100 − x
= 168
$
100 100
2400 – 24x = 1680
24x = 720
x = 30
300 $
• Kitaplıkta bulunan her bir rafın uzunluğu 177 cm dir.
• Kitapçı kitaplığın en üst rafına 1, altındakine 3, onun
altındakine 5 kitap yerleştiriyor. Bu biçimde devam ederek daha sonra gelen her bir raf için kitap sayısı 2 artırılıyor.
60. Sıfırdan büyük a, b ve c sayıları sırasıyla 2, 4 ve 6 sayıları
ile orantılıdır.
Buna göre, kitaplıkta toplam kaç kitap vardır?
b2 = a + c
olduğuna göre, a + b + c toplamının değeri kaçtır?
A) 5
• En son rafta kitaplar arasında boşluk kalmayacak biçimde rafın tamamına kitap yerleştiriyor ve kitaplık tamamlanıyor.
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
a= b= c=
2 4 6 k ⇒ a = 2k, b = 4k, c = 6k
A) 900
B) 960
1
a + b + c = 12k = 12 $ 2 = 6
D) 1200
E) 1440
177
1 + 3 + 5 + ... + 3 = 1 + 3 + 5 + ... + 59
+
−
= 1 59 $ a 59 1 + 1k
2
2
16k2 = 8k
1
k= 2
C) 1000
= 30 . 30
= 900
63. Gerçek sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu,
x
x2
fb l =
+x+1
2
4
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, f –1(0) değeri kaçtır?
A)
61. Tuz oranı % 20 olan tuzlu sudan 30 litre su buharlaştırıldığında yeni karışımın tuz oranı % 30 oluyor.
Buna göre, başlangıçtaki tuzlu su miktarı kaç litredir?
A) 120
B) 110
C) 100
D) 90
1
2
B)
3
2
C) -
1
4
D) –1
E) –3
D)
E) 3 6
2
x
x
f 1 a` 2 + 1j k = 2
2
` 2x + 1j = 0 & x = − 2
f–1(0) = –1
E) 80
6 ^ 3 - 1h
3- 3
işleminin sonucu kaçtır?
64.
% 20
x
–
20x – 0 = 30x – 900
10x = 900
x = 90
%0
30
=
% 30
x – 30
A) 2 3
B) 4 3
C) 6 3
6
6 ^ 3 − 1h
= 6 =6 3 =2 3
3
3 ^ 3 − 1h
3
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
11
Tarama
65. x, y ve z ardışık çift doğal sayılardır.
68. Enflasyon oranının % 44 olduğu bir ülkede memur maaş-
• x<y<z
larına altı ayda bir % x zam yapılıyor.
• 2y = 5(z – x)
Yıl sonunda memurun alım gücünde azalma olmaması için x en az kaç olmalıdır?
olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
A) 30
B) 36
C) 48
D) 54
E) 60
A) 12
B) 15
C) 16
Maaş
x = n, y = n + 2, z = n + 4
2(n + 2) = 5(n + 4 – n)
2n + 4 = 20
n=8
n + n + 2 + n + 4 = 3n + 6 = 30
10.000 . 100 + x . 100 + x
olduğuna göre, (f of )(a) ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
a2 b
A) a
B) b
C) 2 +
b -a
a - b2
E) 1
D) 2
b - ab
f(x) = f –1(x) ⇒ (f o f)(a) = (f o f –1)(a)
= a dır.
:
100
=
100
:
144
=
100
69. Bir giyim firması ceket ve pantolondan oluşan bir takımı
Buna göre, ceketin satış fiyatı kaç ¨ dir?
A) 170
B) 180
C) 190
D) 200
E) 210
Pantolon
270 – x
Ceket
x
20
10
(270 – x) . 100 = x $ 100
(270 – x) . 20 = 10x
5400 – 20x = 10x
5400 = 30x
x = 180
3x + 12
x-2
fonksiyonu için,
70.
I. Tanım kümesi R – {2} dir.
A) x 2 – x
III. f –1(2) = –14 tür.
D) I ve III
B) Yalnız II
C) I ve II
E) I, II ve III
2x + 12
f –1 (x) = x − 3
T.K = R – {2}, D.K = R – {3}, f –1(2) = –16 dır.
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
B) x 2 + 2x
D) x 2 – x – 4
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
f –1(x2 – 2x) = x – 2
olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
II. Değer kümesi R – {3} tür.
12
Adet
¨ 270 den satıyor. Bu firma cekete % 10 indirim ve pantolona % 20 zam yaparsa takımın satış fiyatı aynı kalıyor.
ax + b
f (x) =
bx - a
f (x) =
100
E) 20
(100 + x)2 = 14400 ⇒ x = 20
66. a ve b sıfırdan ve birbirinden farklı tam sayılardır.
67.
Ürün adet
fiyatı
10.000
100
D) 18
f(x – 2) = x2 – 2x
x–2→x ⇒ x→x+2
f(x + 2 – 2) = (x + 2)2 – 2(x + 2)
f(x) = x2 + 2x
C) x 2 – 2x – 8
E) x 2 + 2x – 4
Tarama
71. Aşağıdaki tabloda bir bölgedeki çeşitli müzelere bir yıl boyunca gelen ziyaretçi sayıları ve bunların tüm ziyaretçiler
içerisindeki yüzdeleri ile ilgili bazı veriler verilmiştir.
Müze Türü
Ziyaretçi Sayısı
Arkeoloji
1300
Doğa Tarihi
2200
Ziyaretçi Yüzdesi
73. Yıllık % 24 basit faizle bankaya yatırılan bir miktar para
4 yıl sonunda bankadan ¨ 980 olarak çekiliyor.
Buna göre, bankaya yatırılan para kaç ¨ dir?
A) 400
B) 450
C) 480
D) 500
E) 600
A $ 24 $ 4
100
98 000 – 100A = 96A
196A = 98 000
A = 500
980 − A =
Klasik araba
15
Resim
50
Buna göre, doğa tarihi müzesini ziyaret edenler tüm
ziyaretçilerin yüzde kaçıdır?
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
Doğa tarihi yüzdesi x ise Arkeoloji yüzdesi 35 – x tir.
1300
2200
D.O
35 – x
x
74.
1300x = 77 000 – 2200x
3500x = 77 000
x = 22
f(x) = x + 2
g(x) = x2 + 4x
olduğuna göre, _ f og -1i
gisine eşittir?
-1
A) x 2 – 4
ifadesi aşağıdakilerden han-
B) x 2 + 4
D) x 2 + 4x – 8
72. Bir kuru yemişçi kajuyu, fındığı ve fıstığı çeşitli oranlarda
karıştırıp iki farklı karışım hazırlıyor.
II. Karışım
Kaju
% 10
% 50
Fındık
% 20
% 40
Fıstık
% 70
% 10
6 kg lık I. karışımın üzerine II. karışımdan bir miktar ekleniyor.
Yeni karışımdaki kaju oranı % 20 olduğuna göre, II.
karışımdan kaç kg eklenmiştir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
⇒ g(x – 2) = (x – 2)2 + 4(x – 2)
= x2 – 4
75. f fonksiyonu (2, 5) noktasından g fonksiyonu (5, –4) noktasından geçmektedir.
(g o f)(x) = x + a
olduğuna göre, a kaçtır?
A) –6
% 10
6
+
60 + 50x = 120 + 20x
30x = 60
x=2
% 50
x
=
% 20
6+x
E) x 2 – 8
(f o g–1)–1(x) = (g o f –1)(x) = g(f –1(x))
Aşağıdaki tabloda bu karışımlarda bulunan kuru yemişlerin ağırlıkça yüzdeleri verilmiştir.
I. Karışım
C) x 2 – 4x – 8
B) –7
C) –8
D) –9
E) –10
f(2) = 5 ve g(5) = –4
(g o f)(2) = a + 2
g(f(2)) = a + 2
g(5) = a + 2 ⇒ –4 = a + 2
a = –6
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
13
Tarama
76. Bir malın etiket fiyatında önce % 25 lik indirim yapılıyor.
Daha sonra indirilmiş fiyat üzerinden % 32 lik bir indirim
daha yapılıyor.
79. % 36 sı su olan 23 kg yaş üzüm bir süre bekledikten sonra
% 8 inin su olduğu belirleniyor.
Buna göre, son durumda elde edilen üzüm kaç kg dır?
Bu indirimler sonucunda malın etiket fiyatında yüzde
kaçlık indirim yapılmıştır?
A) 12
A) 53
64
92
23 $ 100 = x $ 100
B) 52
C) 51
D) 50
E) 49
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
x = 16
E.F = 100 olsun.
75
=
=
Yeni
E. F 100
$ 100 75
68
=
=
Son
E.F
75
$ 100 51
80. f: R → R
f(x) = (a – 4)x2 + (b + 1)x
g: R → R
100 de 49 indirim yapılmıştır.
g(x) = (a + b + c) . |x| + x + 3
77. Ağırlıkça % 60 ı un olan un-şeker karışımına 100 gram un
eklendiğinde yeni karışımın şeker oranı % 20 oluyor.
Buna göre, karışımda kaç gram şeker vardır?
A) 25
% 60
x
B) 30
C) 35
% 100
100
+
D) 40
=
E) 45
fonksiyonları veriliyor.
f birim fonksiyon, g birebir fonksiyon olduğuna göre,
c + a . b ifadesinin değeri kaçtır?
A) –2
B) –3
C) –4
D) –5
E) –6
a–4=0 ⇒ a=4
b + 1 = 1 ⇒ b = 0
a + b + c = 0 ⇒ c = –4
–4 + 4 . 0 = –4
% 80
100 + x
60x + 10 000 = 8000 + 80x
20x = 2000
x = 100
40
100 $ 100 = 40 gram
81. Aşağıda verilen 10 torba içerisine bilyeler aşağıdaki kurallara göre konulacaktır.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
78. Aşağıdaki grafik bir oto galerideki arabaların maliyet fiyatı
ile satış fiyatı arasındaki bağıntıyı vermektedir.
y (Satış (¨))
• Torbalara bilyeler üzerlerinde yazan sayı ile orantılı olarak dağıtılıyor.
30
• Seyit ve Koray isimli iki kişi birer torba seçiyor.
10
0
20
x (Maliyet(¨))
Buna göre, bu galerideki bir arabadan % 40 kâr elde
edebilmek için arabanın maliyet fiyatı kaç ¨ olmalıdır?
A) 20
B) 25
C) 30
Maliyet x ise satış x + 10 dur.
140
x $ 100 = x + 10
40x =
2x =
=
100 10 & 5 10 & x 25
14
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
D) 35
E) 40
• Seyit’in seçtiği torbanın numarasının asal sayı, Koray’ın seçtiği torbanın numarasının çift olduğu biliniyor.
• Seyit ve Koray’ın seçtiği torbalar içerisinde bulunan bilye sayıları arasındaki farkın mutlak değeri 56 dır.
Buna göre, torbalarda bulunan toplam bilye sayısı en
az kaçtır?
A) 300
B) 385
C) 400
D) 440
E) 550
Torbalarda sırasıyla k, 2k, 3k, ... 10k olmak üzere toplam 55 k bilye
vardır.
Seyit 2, Koray 10 nolu torbayı seçerse,
10k – 2k = 56 ⇒ k = 7
55k = 55 . 7 = 385 olur.
Tarama
82. f birebir ve örten fonksiyon olmak üzere,
• g(x) =
85. Aşağıda y = f(x) ve g(x) = m – x fonksiyonlarının grafikleri
çizilmiştir.
f –1(x)
y
• f(3) = 5 ve f(7) = 6
olduğuna göre, g(6) + (g o f)(3) değeri kaçtır?
A) 18
B) 17
C) 15
D) 12
y=f(x)
E) 10
–3
4
–1
g(6) = f –1(6) = 7
(g o f)(3) = (f –1 o f)(3) = 3
7 + 3 = 10
x
–2
y=g(x)
83. A, B, C, D ve E otobüslerinin elektronik saatlerinin doğru
zamana göre durumları şöyledir:
Buna göre, f(–1) +
A) 1
g–1(0)
B) 3
ifadesinin değeri kaçtır?
C) 4
D) 5
E) 7
A: 6 dakika geri
B: 5 dakika ileri
g(4) = –2 ⇒ –2 = m – 4 ⇒ m = 2
g–1(2 – x) = x ⇒ g–1(0) = 2
f(–1) = g(–1) = 3 ⇒ 3 + 2 = 5
C: 1 dakika geri
D: 10 dakika ileri
E: 4 dakika geri
Belirli bir zamanda aynı durakta olması gereken bu otobüsler buluşma yerine kendi saatine göre tam zamanında
gelmiştir.
Buluşma yerine 1. gelen otobüsle 3. gelen otobüs arasında kaç dakikalık süre vardır?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
86.
% 30
tuz
E) 13
20 gram
Varış sıralaması D, B, C, E, A dır.
10 + 1 = 11
Karışım
84. Aşağıdaki tabloda bir bölgede 2012 ve 2016 yıllarında
yapılan seçimlerde A, B, C, D ve E partilerinin aldıkları
oyların yüzdeleri verilmiştir.
Parti
2012 Yılı (%)
2016 Yılı (%)
A
10
15
B
20
30
C
30
20
D
15
15
E
25
20
20
2x $ 100 40x 8
= =
15
15x 3
x $ 100
C) 2
8
D)
3
• Tablet karışım içerisinde sabit hızla 20 saniyede tamamen eriyip karışıma karışmaktadır.
• Tabletin ağırlığı 4 gram ve saf tuzdan meydana gelmektedir.
A) 30
Buna göre, B partisinin 2012 yılındaki oy sayısının D
partisinin 2016 yılındaki oy sayısına oranı kaçtır?
1
B)
2
• Ağırlıkça % 30 u tuz olan 20 gram tuzlu su karışımına
bir tuz tableti atılıyor.
Buna göre, tablet karışım içerisine atıldıktan 3 saniye
sonra karışımın yeni tuz oranı yaklaşık olarak yüzde
kaçtır?
Bu bölgede 2012 yılında seçime katılan kişi sayısı 2016
yılında seçime katılan kişi sayısının 2 katıdır.
3
A)
8
Tablet
E) 3
B) 32
C) 34
D) 36
E) 38
4
Tablet 3. sn 20 $ 3 = 0, 6 g erir.
% 30
20
+
% 100
0,6
=
%x
20,6
600 + 60 = 20,6 . x
660 = 20,6 . x
x ≅ 32
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
15
Tarama
87. Bir sigorta şirketinin kasko ücretlendirme tarifesi aşağıdaki gibidir.
89.
f(x) = 8x–1
olduğuna göre, f–1(64) ifadesinin değeri kaçtır?
Yılına Göre
Hasarsızlık İndirimi
Model Yılı
Kasko Fiyat
2010
¨ 900
1 yıl
%5
2009
¨ 800
2 yıl
%8
2008
¨ 600
3 yıl
% 10
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
f –1(8x–1) = x ⇒ 8x–1 = 64 ⇒ x = 3
f –1(64) = 3
Mahmut 2009 model arabasını iki yıl boyunca hiç hasar olmadan 2010 yılında kasko yaptırırsa kaç ¨ öder?
A) 770
B) 756
C) 736
D) 712
E) 708
92
800 $ 100 = 736
88. A, B ve C marka cep telefonlarının fiyatları ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
90. Aşağıda verilen fonksiyon makinesinde kurallar aşağıda
verilmiştir.
Girdi (x)
y = f(x)
2
A
B
• A marka cep telefonunun satış fiyatı, B marka cep telefonunun satış fiyatından % 20 fazladır.
• C marka cep telefonunun satış fiyatı, B marka cep telefonunun satış fiyatından % 30 fazladır.
• A marka cep telefonu % 50 kârla, C marka cep telefonu
% 160 kârla satılmaktadır.
Buna göre, bir telefon C nin maliyet fiyatına alınıp A
nın maliyet fiyatına satılırsa % kaç kâr elde edilir?
A) 30
B) 40
C) 50
1
C
D) 60
E) 100
B nin fiyatı 100 olsun.
120
130
=
=
=
A 100
$ 100 =
120, C 100
$ 100 130
150
Maliyet A $ 100 = 120 ⇒ Maliyet A = 80
260
Maliyet C $ 100 = 130 ⇒ Maliyet C = 50
30
=
50 $ 100 % 60
3
• Girdi kısmından bir değer makineye atıldığında
veya  nolu bölmelerden dışarıya çıkmaktadır.
,
• Girdi kısmından giren x sayısı  nolu bölmeden f –1(x),
nolu bölmeden (f o f)(x),  nolu bölmeden f(x + 4)
 olarak çıkmaktadır.
• y = f(x) doğrusal fonksiyondur.
• Girdi sayısı 1 olduğunda  ve  nolu bölmelerden çıkan sayılar sırasıyla –1 ve 19 dur.
Buna göre,  nolu bölmeden çıkan sayı kaçtır?
A) 21
B) 23
C) 25
D) 27
E) 29
f –1(1) = –1 ⇒ f(–1) = 1
f(5) = 19 ⇒ f(x) = ax + b
−a + b = 1
4 & a = 3, b = 4
5a + b = 19
f(x) = 3x + 4
(fof(1) = f(7) = 25
71. C 72. B 73. D 74. A 75. A 76. E 77. D 78. B 79. C 80. C 81. B 82. E 83. C 84. D 85. D 86. B 87. C 88. D 89. C 90. C
47. B 48. D 49. C 50. D 51. C 52. A 53. E 54. C 55. A 56. D 57. D 58. B 59. D 60. B 61. D 62. A 63. D 64. A 65. A 66. A 67. C 68. E 69. B 70. B
23. C 24. A 25. B 26. A 27. D 28. C 29. E 30. B 31. E 32. D 33. E 34. B 35. D 36. C 37. A 38. B 39. A 40. C 41. A 42. D 43. D 44. C 45. D 46. E
1. A
2. E
3. D
4. D
5. C
6. A
7. D
8. E
9. B
10. A 11. D 12. D 13. D 14. D 15. D 16. C 17. D 18. A 19. B 20. A 21. D 22. A
YGS Metamatik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
25
FONKSİYONLAR
Grafik Çizimi ve Parçalı Fonksiyonlar
Mutlak Değer Fonksiyonları, Artan–Azalan Fonksiyonlar
hhFONKSİYONLAR
Not
Grafik Çizimi
y
(a, 0) ve (0, b) noktalarından
b
a. Doğrusal Fonksiyonların Grafik Çizimi
geçen doğrunun denklemi
x y
+ =1
a b
x
a
ax + by + c = 0
dir.
doğrusunun grafiği çizilirken x = 0 için doğrunun y eksenini kestiği nokta ve y = 0 için doğrunun x eksenini kestiği nokta birleştirilerek doğru oluşturulur.
Örnek 3:
y
Örnek 1:
2
2x + 3y = 6
doğrusunun grafiğini çiziniz.
x
–1
x = 0 için 0 + 3y = 6 ⇒ y = 2
y = 0 için 2x + 0 = 6 ⇒ x = 3
y
Yukarıda grafiği verilen doğrunun denklemini bulunuz.
Cevap: 2
y
x
1
-1+ 2 = 1
2
(- 2)
x
3
(1)
(2)
- 2x + y = 2
Örnek 2:
Örnek 4:
4x – 3y = 12
y
doğrusu ve eksenler arasında kalan kapalı bölgenin
alanı kaç br2 dir?
–2
Cevap: 6
x = 0 için 0 – 3y = 12 ⇒ y = –4
Yanda y = f(x) fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
x
–2
y = 0 için 4x – 0 = 12 ⇒ x = 3
4. 3
Alan = 2 = 6 br2
y
Buna göre, f(–4) değeri kaçtır?
x
3
y
x
- 2 + - 2 = 1 ⇒ x + y = –2
⇒ y = –2 – x ⇒ f(x) = –2 – x ⇒ f(–4) = –2 – (–4) = 2
Öğretmen
Sorusu
–4
y
6
Yanda y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
f(3) + g(c) = 7
2
–4
–2
x
y = f(x)
y = g(x)
olduğuna göre, c kaçtır?
f(x) = ax + b ⇒ 2a + b = 0
–4a + b = 6
Cevap: 2
⇒ a = –1, b = 2
g(x) = mx + n ⇒ 0.m + n = –2 ⇒ n = –2
–4m + n = 6 ⇒ m = –2
f(3) = –3 + 2 ve g(c) = –2c – 2
–1 – 2c – 2 = 7 ⇒ c = –5
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
FONKSİYONLAR / Grafik Çizimi ve Parçalı Fonksiyonlar
b. Sabit Fonksiyonların Grafikleri
y
y=a
Örnek 7:
Analitik düzlemde y = x, y = –x ve y = 4 doğruları arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç br2 dir?
y
a
x
b
y
x
x=b
y=4
–4
Analitik düzlemde x = 2 ve y = –3 doğruları ve eksenler
arasında kalan kapalı bölgenin alanı kç br2 dir?
x=2
Cevap: 6
Alan = 2.3 = 6 br2
x
y = –3
y = –x
Not
Orijinden geçen doğruların denklemleri a bir reel sayı olmak üzere y = ax dir.
Örnek 8:
Örnek 6:
y
y
Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
7
5
–3
–2–1
1
4. 8
Alan = 2 = 16 br2
x
4
y=x
Örnek 5:
y
Cevap: 16
4
x
2 3 4
Yanda grafikleri verilen
y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları için
y = f(x)
4
f(–2) + g(–6)
4
Buna göre, f(x) = 6 denklemini sağlayan kaç
farklı x değeri vardır?
x
2
–2
y = g(x)
toplamının değeri kaçtır?
Cevap: –1
Cevap: 2
f(x) = 6 denkleminin kök sayısı, y = f(x) ve y = 6 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktasıdır. 2 kök vardır.
c. Birim Fonksiyonların Grafikleri
y
y = –x
y=x
1
f(x) = y = ax ⇒ 4 = 2a ⇒ a = 2
g(x) = y = bx ⇒ –2 = 4b ⇒ b = - 2
-6
x
f (x) = 2x ve g (x) = - 2
f ( - 2 ) + g ( - 6 ) = 2 . (- 2) + - 2 = - 1
d. Bazı Özel Grafikler
y
hh a Î R olmak üzere y = f(x) = ax2 fonksiyonunun grafiği
y
y
x
x
x
hh f(x) = x
hh Birinci açıortay doğrusu
2
hh f(x) = –x
hh İkinci açıortay doğrusu
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
a > 0 ise
şeklindedir.
x
a < 0 ise
FONKSİYONLAR / Grafik Çizimi ve Parçalı Fonksiyonlar
hh a Î R olmak üzere y = f(x) = ax3 fonksiyonunun grafiği
y
y
e. Ters Fonksiyonun Grafiği
y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f –1(x) fonksiyonunun grafiği
x
x
y = x doğrusuna göre simetriktir.
y y = f(x)
y = f –1(x)
a > 0 ise
a < 0 ise
x
şeklindedir.
hh a Î R olmak üzere y = f(x) =
y
a
grafiği
x
y=x
y
x
x
Örnek 10:
y = f(x) = x3 – 2x + 3
a > 0 ise
a < 0 ise
şeklindedir.
fonksiyonunun grafiği ile y = g(x) fonksiyonunun grafiği y = x
doğrusuna göre simetriktir.
Buna göre g–1(2) değeri kaçtır?
Örnek 9:
Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
f(x) = g–1(x) dür.
A y = 2x2 A y = –3x2
g–1(2) = f(2) = 23 – 2 . 2 + 3
y
y
x
x
Cevap: 7
= 7 bulunur.
7. Parçalı Fonksiyon
Tanım aralığının alt aralıklarında ayrı birer fonksiyon olarak tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir.
A y = 2x3 A y = –4x3
y
y
f(x) =
x
x
h(x)
x<a
g(x)
x≥a
Bir alt fonksiyondan başka bir alt fonksiyona geçiş yapılan sınır
değerine (x = a) kritik nokta denir.
A y=
2
4
A y = x
x
Örnek 11:
y
y
f(x) =
x
x
x2 – 2x + 1 ,
2x + 4
,
x<0
x≥0
olduğuna göre, f(3) + f(–2) değeri kaçtır?
Cevap: 19
Öğretmen
Sorusu
f(3) = 2.3 + 4 = 10 ve f(–2) = 4 + 4 + 1 = 9 ⇒ 10 + 9 = 19
f(x) =
2x + 2
, x ≤ 0 ise
1 – 2x
, x > 0 ise
fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
y
y = 2x + 2 ve y = 1 – 2x
2
2
–1
y = 2x + 2
1
2
x
y = 1 – 2x
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
FONKSİYONLAR / Grafik Çizimi ve Parçalı Fonksiyonlar
Örnek 12:
f(x) =
Örnek 15:
2x + 1 ,
x ≡ 0 (mod3) ise
x+2 ,
x ≡ 1 (mod3) ise
4x + 1 ,
x ≡ 2 (mod3) ise
x2 ,
f(x) =
olduğuna göre, f(10) + f(12) değeri kaçtır?
f(10) = 10 + 2 = 12 ve f(12) = 2.12 + 1 = 25 ⇒ 25 + 12 = 37
x < 0 ise
–x
, 0 ≤ x < 1 ise
–1
,
x ≥ 1 ise
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Cevap: 37
y = x2, y = –x, y = –1
y
1
x
y = –1
Örnek 16:
Örnek 13:
f(x) =
y = –x
f(x) =
x > 2 ise
x+2 ,
x3 ,
1
,
x
10 – x , x ≤ 2 ise
x > 1 ise
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, f –1(5) ifadesinin değeri kaçtır?
f –1(5) = a ⇒ f(a) = 5
x ≤ 1 ise
Cevap: 3
A)
f(x) = x + 2 için a + 2 = 5 ⇒ a = 3
y
B)
y
1
1
f(x) = 10 – x için 10 – a = 5 ⇒ a = 5
x
1
f(x) = x + 2 için a = 3 > 2 olduğundan f –1 (5) = 3
C)
D)
y
x
1
y
1
x
1
x
Örnek 14:
f(x) =
x ,
x < 0 ise
4 ,
x ≥ 0 ise
E)
y
1
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
–1
y = x ve y = 4
1
x
y
4
y=4
x
1
y = x3 ve y = x için
y
1
y=x
1
4
Cevap: D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
x
FONKSİYONLAR / Grafik Çizimi ve Parçalı Fonksiyonlar
1.
Konu Testi - 1
4.
5x + 2y – 10 = 0
doğrusunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
4
5
2
x
5
5
y = f(x)
2
x
x
2
y
D)
–2
y = g(x)
2
x
2
y
C)
Buna göre, (fog)(x) ifadesinin değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
x
–5
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
y
E)
2
x y
2+ 2 = 1⇒x+y=2⇒y=2–x
⇒ f(x) = 2 – x
(fog)(x) = f(g(x)) = f(4) = 2 – 4 = –2
x
–5
y
x = 0 için 0 + 2y – 10 = 0 ⇒ y = 5
5
y = 0 için 5x + 0 – 10 = 0 ⇒ x = 2
x
2
5.
2.
y
y
B)
Aşağıda y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir.
• f(x) = 2x + 2
• x=2
y
• y=0
4
doğruları arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç br2
dir?
x
–3
A) 6
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
3x - 12
A)
4
x 2
B) +
4
D) 3x – 12
–1
E) x – 12
y
y = f –1(x)
C) 4
6.
2
f(x) =
4
x
–2
B) 3
E) 15
y=0
3. 6
Alan = 2 = 9 br2
x=2
Buna göre, f(10) kaçtır?
y
y
x
x
- 2 + 4 = 1 & 4 = 1 + 2 & y = 2x + 4
D) 12
f(2) = 6
2
4x - 12
C)
3
Yanda y = f –1(x) fonksiyonunun
grafiği çizilmiştir.
A) 2
C) 9
6
y
y
x
x
3x
4+ -3 = 1& 3 = 4- 1&y= 4 - 3
3x - 12
& f ( x) =
4
3.
B) 8
D) 5
2x – 4 , x ≥ 1 ise
olduğuna göre, (fof)(–2) işleminin sonucu kaçtır?
A) 4
E) 6
3x + 11 , x < 1 ise
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
f(f(–2)) = f(–6 + 11) = f(5) = 2.5 – 4 = 6
-1
f –1(x) = 2x + 4 ⇒ f(2x + 4) = x
2x + 4 = 10 ⇒ x = 3 ⇒ f(10) = 3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
FONKSİYONLAR / Grafik Çizimi ve Parçalı Fonksiyonlar
7.
y
y
Konu Testi - 1
10.
y
x
x
I
x
II
f(x) =
A)
y = x2
y = x3
y=
B)
y=
3
x
y = x2
y = x3
C)
y = x3
y = x2
y=
D)
y=
2
x
y = –x2
y = – x3
E)
y=-
y = –x2
y = x3
I
2
y= x
8.
4
x
II
III
y = –x3
2x
x2
g(x) =
–1
III
1
x
y
y
D)
1
1
x
1
x
–1
–1
C)
1
x
y
B)
1
–1
x
–1
4
x
y
E)
x
–1
y = x grafiğinin x < –1 bölgesi, y = –x grafiğinin x ≥ –1 bölgesi alınır ise A
seçeneği elde edilir.
, x tek sayı
+ 1 , x çift sayı
11.
x + 1 , x ≡ 0 (mod2)
2x
, x ≡ 1 (mod2)
B) 912
C) 512
x – 4 , x ≤ 3 ise
f(x) =
2x – 1 ,
x > 3 ise
olduğuna göre, f –1(7) ifadesinin sonucu kaçtır?
olduğuna göre, (fog)(5) değeri kaçtır?
A) 1024
x ≥ –1
–1
y = –x2
f(x) =
–x ,
y
A)
Yukarıda grafiği verilen fonksiyonlar aşağıdakilerden
hangisinde doğru olarak verilmiş olabilir?
II
x < –1
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
III
I
x ,
A) 1
D) 101
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) 61
f–1(7) = a ⇒ f(a) = 7
f(g(5)) = f(2.5) = f(10) = 102 + 1 = 101
9.
x2 ,
f(x – 2) =
x+2,
4
,
2a – 1 = 7 ⇒ a = 4
x < –2
y
12. Yanda ikinci dereceden y = f(x)
–2 ≤ x < 2
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
x≥2
4
Buna göre, f(2) kaçtır?
olduğuna göre, f(–2) + f(–6) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 20
B) 18
C) 16
D) 14
1
E) 12
x – 2 = –2 ⇒ x = 0
A) 20
B) 18
C) 16
D) 14
E) 12
f(–2) = 2
4 = a.12 ⇒ a = 4
2 + 16 = 18
f(x) = 4x2 ⇒ f(2) = 4.4 = 16
4. A
5. C
6. C
7. D
8. D
9. B
10. A
11. D
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3. B
6
2. A
f(–6) = 16
1. B
f(x) = ax2
Cevaplar
x – 2 = –6 ⇒ x = –4
x
FONKSİYONLAR / Grafik Çizimi ve Parçalı Fonksiyonlar
1.
2x
f(x) =
x2
g(x) =
,
Konu Testi - 2
4.
x < 1 ise
+ 1 , x ≥ 1 ise
3x – 4 ,
x < 0 ise
x+2 ,
x ≥ 0 ise
y
Yanda y = f(x) ve y = g(x)
fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
1
Buna göre, a kaçtır?
–3
y = g(x)
olduğuna göre, (f . g)(2) değeri kaçtır?
A) 30
B) 28
C) 24
D) 20
A)
= 5.4 = 20
x2 + m + 1 ,
f(x) =
x – 2m
,
x < 2 ise
x ≥ 2 ise
9
2
5.
f(–1) > f(10)
C) 3
D) 4
B) 5
D) 6
E)
13
2
x
x<0
–x
x≥0
I. Bire birdir.
II. Örtendir.
III. Bir tane kritik noktası vardır.
m + 2 > 10 – 2m
IV. f(x) = –2 denklemini sağlayan iki farklı x değer vardır.
3m > 8
8
m > 3 ⇒ m en az 3 tür.
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 0
B) 1
y
3. y = g(x) üçüncü dereceden fonksiyondur.
C) 2
D) 3
E) 4
Grafik yandaki gibi olduğundan birebir değildir. Örten değildir. Bir tane kritik noktası vardır. f(x) = –2
denklemini sağlayan iki x değeri vardır.
x
y
6
11
2
fonksiyonu için,
E) 5
(–1)2 + m + 1 > 10 – 2m
C)
f: R → R
f(x) =
eşitliğini sağlayan en küçük m tam sayısının değeri
kaçtır?
B) 2
–2
y
x
x
- 3 + 1 = 1 & g ( x) = 1 + 3
y
x
2 + - 2 = 1 & f ( x) = x - 2
x
2x
9
1+ 3 = x- 2 & 3 = 3 & x = 2
olmak üzere
A) 1
x
a
y = f(x)
E) 18
f(2).g(2) = (22 + 1).(2 + 2)
2.
2
y = g(x)
6.
1
x
3
Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı bir f(a, b) fonksiyonu
"2x + 3y – 12 = 0 doğrusu x ekseni x = a ve x = b doğruları
arasında kalan kapalı bölgenin alanı"
y = f(x)
olarak tanımlanıyor.
Yukarıda grafikleri verilen y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları için g(2) kaçtır?
A) 40
B) 36
x y
3 + 6 = 1 ⇒ f(x) = 6 – 2x
g(x) = ax3 ⇒ g(1) = f(1)
⇒a=4
C) 32
D) 30
Buna göre, f(3, 6) değeri kaçtır?
A) 2
B) 3
E) 24
y
3
D) 5
E) 6
3. 2
f ( 3, 6) = 2 = 3
4
2
C) 4
6
x
⇒ g(x) = 4x3
⇒ g(2) = 32
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
FONKSİYONLAR / Grafik Çizimi ve Parçalı Fonksiyonlar
7.
Konu Testi - 2
10.
y
f(x) =
3
4 5
–1
3
–2
x
–4
,
3<x≤5
D) 3
1
x
1
–4
E) 4
C)
y
4
D)
1
3 5
x2
x2 = x ise
x+4
x2 > x ise
B) 10
C) 11
4x + 2
0<x<1
x2
x = 0, x = 1
x+4
4
y
1
x
1
E)
4
3 5
x
y
1
olduğuna göre, f c m + f ^ 1h + f ^2h toplamının değeri
2
kaçtır?
f(x) =
3 5 x
x2 < x ise
4x + 2
A) 9
y
B)
1
f(x) =
1<x≤3
1 3 5
y = f(x) ve y = 2 doğruları 3 noktada kesiştiğinden f(x) = 2 denkleminin
3 kökü vardır.
8.
,
1
Buna göre, f(x) = 2 denklemini sağlayan kaç farklı x
değeri vardır?
C) 2
0≤x≤1
y
A)
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
B) 1
,
parçalı fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
–2
A) 0
x3
1
x
4
D) 12
x
3 5
E) 13
1
y = x 3, y = x , y = 4
4
y
1
1
|x| > 1
3
5
x
1
1
f a 2 k + f ^1h + f ^2h = a 4. 2 + 2 k + ^1 2h + ^2 + 4h
= 4 + 1 + 6 = 11
Tam sayılardan tam sayılara tanımlı bir f fonksiyonu
A) 2
f(2) = 3
Tek bileşkelerde 9
(fof)(2) = 5
Çift bileşkelerde 5
(fofof)(2) = 9
E) 27
y=2
Çıktığından sonuc 5 tir.
C) 6
D) 8
E) 16
2
2 3 46
–6
(fofofofof)(2) = 9
Alan =
5. C
(fofofofofof)(2) = 5
6. B
7. D
8. C
9. A
10. C
11. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
x > 4 ise
6
(fofofof)(2) = 5
8
B) 4
2+6
2 . 4 = 16
4. A
D) 25
2 ≤ x ≤ 4 ise
fonksiyonu ve y = 6 doğrusu arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç br2 dir?
112 tane
C) 13
,
2x – 6 ,
x asal sayı değil ise
Buna göre, (fofofo...f)(2) ifadesinin değeri kaçtır?
B) 7
x < 2 ise
3. C
x–4,
olarak tanımlanıyor.
A) 5
2
x asal sayı ise
,
2. C
f(x) =
f(x) =
1. D
2x – 1 ,
6 – 2x
11.
Cevaplar
9.
FONKSİYONLAR / Mutlak Değer Fonksiyonları, Artan – Azalan Fonksiyonlar
8. Mutlak Değer Fonksiyonu
|f(x)| =
f(x) ,
f(x) ≥ 0 ise
–f(x) ,
f(x) < 0 ise
Örnek 20:
f (x) =
şeklinde tanımlanan y = |f(x)| fonksiyonuna mutlak değer fonksiyonu denir.
Mutlak değerli ifadelerde mutlak değerin içini sıfır yapan değere kritik nokta denir.
3
x + 4 6- x- 3
fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
6 – |x – 3| ≥ 0
Cevap: [–3, 9]
|x – 3| ≤ 6
–6 ≤ x – 3 ≤ 6
–3 ≤ x ≤ 9
TK = [–3, 9]
Örnek 17:
f(x) = |x – 2| + |x|
fonksiyonu için f(–4) + f(5) toplamının değeri kaçtır?
f(–4) = |–4 – 2| + |–4| = 6 + 4 = 10
Cevap: 18
f(5) = |5 – 2| + |5| = 3 + 5 = 8
10 + 8 = 18
Örnek 21:
f(x) = |x – 2| + 2
fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
TK = R
Cevap: [2, ∞]
|x – 2| ≥ 0 ⇒ |x – 2| + 2 ≥ 2
olduğundan GK = [2, ∞]
Örnek 18:
f(x) = |x + 2| + 5
Örnek 22:
g(x) = |2 – 3x| + x
f(x) = |x – 2| + |2x – 6|
olduğuna göre, (gof)(–3) ifadesinin değeri kaçtır?
g(f(3)) = g(|–3 + 2| + 5) = g(6)
fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Cevap: 22
x – 2 = 0 ⇒ x = 2 için |0| + |–2| = 2
= |2 – 18| + 6 = 16 + 6 = 22
Cevap: [1, ∞)
2x – 6 = 0 ⇒ x = 3 için |1| + |0| = 1
olduğundan GK = [1, ∞) dur.
Örnek 19:
2x + 1
x- 2 - 4
f (x) =
Örnek 23:
f(x) = |x – 2| – |x + 5|
fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
|x – 2| – 4 = 0 ⇒ |x – 2| = 4
x – 2 = 4 veya
x=6
veya
x – 2 = –4
Cevap: R – {–2, 6}
x = –2
Öğretmen
Sorusu
TK = R – {–2, 6}
f(x) = |x – 2| + |x –6|
g(x) = x + 4
f ve g fonksiyonlarının ortak noktalarının ordinatları toplamı
kaçtır?
x – 2 = 0 ⇒ x = 2 için |0| – |7| = –7
Cevap: [–7, 7]
x + 5 = 0 ⇒ x = –5 için |–7| – |0| = 7
GK = [–7, 7]
|x – 2| + |x – 6| = x + 4
x<2
2
–x + 2 – x + 6 = x + 4
4
x= 3
2≤x≤6
x–2–x+6=x+4
x= 0
6
x>6
x–2+x–6=x+4
x = 12
, g(12) = 12 + 4 = 16
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
FONKSİYONLAR / Mutlak Değer Fonksiyonları, Artan – Azalan Fonksiyonlar
Örnek 24:
Örnek 27:
f(x) = |x – 2| + x
f(x) = |x – 2| + |x – 4|
g(x) = 2x + 6
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktalarını bulunuz.
f(x) = g(x)
Cevap: A(–2, 2)
|x – 2| + x = 2x + 6
|x – 2| = x + 6
Kritik noktalar x = 2 ve x = 4 tür.
–x + 2 – x + 4
6 – 2x
x – 2 = x + 6 veya x – 2 = –x – 6
–2 = 6
x = –2
∅
4
2≤x≤4
x>4
x–2–x+4
2
6 – 2x ,
2,
2x – 6 ,
f(x) =
2x = –4
2
x<2
x–2+x–4
2x – 6
x < 2 ise
2 ≤ x ≤ 4 ise
x > 4 ise
y = 6 – 2x, y = 2, y = 2x – 6
f(–2) = g(–2) = 2 ⇒ A(–2, 2)
y
y = 2x – 6
6
Örnek 25:
f(x) = |x – 2|
y=2
x
2 3 4
fonksiyonunu parçalı fonksiyona çeviriniz.
–6
y = 6 – 2x
Kritik nokta x – 2 = 0 ⇒ x = 2 dir.
x<2
2
x>2
f(x) = –x + 2
f(x) =
f(x) = x – 2
x – 2, x ≥ 2 ise
–x + 2, x < 2 ise
Örnek 28:
f(x) = |x| – |x – 2|
Örnek 26:
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
f(x) = |x|
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Kritik noktalar x = 0 ve x = 2 dir.
x<0
Kritik nokta x = 0 dır.
x<0
0
x>0
–x
f(x) =
0
–x + x – 2
–2
x
–x , x < 0 ise y = x ve y = –x
x, x≥0
x < 0 ise
0 ≤ x ≤ 2 ise
x > 2 ise
y
y=2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
y = 2x – 2
2
x
1 2
–2
10
x>2
x – (x – 2)
2
y = –2, y = 2x – 2, y = 2
y=x
y = –x
2
x+x–2
2x – 2
–2 ,
f(x) = 2x – 2 ,
2,
y
x
0≤x≤2
y = –2
FONKSİYONLAR / Mutlak Değer Fonksiyonları, Artan – Azalan Fonksiyonlar
Örnek 29:
Örnek 31:
x
x
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
f (x) =
A)
y
4
3
–3
1
x
x
56
x
–1
–1
y
–4
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için
y
D)
f (x) + f (x)
2
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
g (x) =
x
x
E)
y
–4
y
B)
1
C)
4
f(x) > 0 için x ∈ (–3, 3) ∪ (5, 6)
f (x) + f (x)
g(x) =
= f(x)
2
f(x) < 0 için x ∈ (–4, –3) ∪ (3, 5)
f (x) - f (x)
g(x) =
=0
2
f(x) = 0 için x ∈ {–3, 3, 5}
y
x
g(x) = 0
y
Kritik nokta x = 0 dır.
0
x<0
x>0
x
x
– x = –1
x =1
f(x) =
4
y=1
x
y = –1
–1 , x < 0 ise
1 , x > 0 ise
y
3
–3
56
x
9. Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Örnek 30:
f: A → B, y = f(x) bir fonksiyon olsun
y
–4
2
6
hh (a, b) aralığında artan olarak verilen noktaların f altındaki
görüntüleri de artıyorsa f fonksiyonuna (a, b) aralığında artan fonksiyondur denir.
x
y
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için f(x) < 0
ve f(x) > 0 eşitsizliklerinin çözüm kümelerini bulunuz.
f(x) < 0 ⇒ x ∈ (–∞, –4) ∪ (2, 6)
f(x) > 0 ⇒ x ∈ (–4, 2) ∪ (6, ∞)
f(x) = 0 ⇒ x ∈ {–4, 2, 6}
Cevap: x ∈ {–4, 2, 6}
y
f(x2)
f(x2)
f(x1)
f(x1)
a x1 x2 b
x
a x1 x2 b
x
x1, x2 ∈ (a, b) ve x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) oluyorsa f, (a,b)
aralığında artandır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
FONKSİYONLAR / Mutlak Değer Fonksiyonları, Artan – Azalan Fonksiyonlar
hh (a, b) aralığında artan olarak verilen noktaların f altındaki
görüntüleri azalıyorsa f fonksiyonuna (a, b) aralığında azalan fonksiyondur denir.
y
f(x1)
f(x1)
f(x) = 6 – 2x

y
3
II. yol: x1 = 1 ve x2 = 2 için
f(x1) = f(1) = 4
f(x2)
x1 x2 b
6
y = 0 için x = 3
f(x2)
a
y
I. yol: x = 0 için y = 6
x
a x1 x2 b
y ler azalıyor
x ler artıyor
f(x2) = f(2) = 2
x
x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) olduğundan fonksiyon azalandır.
x1, x2 ∈ (a, b) ve x1 < x2 için f(x1) > f(x2) oluyorsa f, (a, b)
Cevap: Artan, Azalan
aralığında azalandır.
Not
Örnek 32:
f(x) = ax + b
y
1
–5 –3
x
doğrusal fonksiyonunda
hh a < 0 ise f(x) azalan
4
–1
x
6
hh a > 0 ise f(x) artan
hh a = 0 ise f(x) sabit
fonksiyondur.
–2
Yukarıda grafiği verilen y: R → R, y = f(x) fonksiyonu için
aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Fonksiyonunun artan olduğu aralık nedir?
(–∞, –3) ∪ (4, ∞)
Fonksiyonunun azalan olduğu aralık nedir?

(–3, 4)
Örnek 33:
II. yol: x1 = 1 ve x2 = 2 için
f(x1) = f(1) = 6
–2
lan
4
I. yol: x = 0 için y = 4
y = 0 için x = –2
fonksiyonunun azalan olduğu aralığı bulunuz.
aza
y
f(x) = 2x + 4
g(x) = x2
y
Aşağıda verilen fonksiyonların artan ve azalan olma
durumlarını inceleyiniz.

Örnek 34:
Cevap: (–∞, 0)
artan

x
Azalan olduğu aralık (–∞, 0) dır.
x
artıyor
artıyor
f(x2) = f(2) = 8
f(x) = –x2 + 4x + 10
fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığını bulunuz.
Verilen ikinci dereceden fonksiyonun grafiği
-4
r = - = 2 , f(2) = –4 + 8 + 10 = 14
2
A(2, 14)
⇒ (–∞, 2) aralığında artandır.
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Öğretmen
Sorusu
x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) olduğundan fonksiyon artandır.
FONKSİYONLAR / Mutlak Değer Fonksiyonları, Artan – Azalan Fonksiyonlar
1.
5.
f(x) = |x – 3| + |x|
B) 7
C) 8
D) 9
f(x) = |x| + |2x| + |3x|
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, f(–3) ifadesinin sonucu kaçtır?
A) 6
Konu Testi - 3
E) 10
A) R
B) R – {0}
f(–3) = |–3 – 3| + |–3| = |–6| + |–3|
D)
=6+3
=9
2.
6.
|x| < 2 ise
E)
A) R
olduğuna göre, (fog)(–3) ifadesinin değeri kaçtır?
B) 2
C) 3
f(x) = |x + 2| + |2x – 6|
fonksiyonunun en geniş görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
x2 – 2x , |x| ≥ 2 ise
g(x) = |x| – 2
A) –1
C) R – {1, –1}
R–
TK = R
2x + 4 ,
f(x) =
R+
D) 4
B) [10, ∞)
D) [1, 2]
C) (–∞, 5]
E) [5, ∞)
E) 6
x = –2 için |0| + |–10| = 10
f(g(–3)) = f(|–3| – 2) = f(1) = 2.1 + 4 = 6
x = 3 için |5| + |0| = 5
GK = [5, ∞)
3.
f (x) =
2- x- 1
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (–1, 3)
B) [–2, 2]
D) (0, 3]
7.
f: [3, 5] → R
f(x) = |2x – 4| – |3x – 9|
fonksiyonunun görüntü kümesinde bulunan tam sayıların toplamı kaçtır?
C) [–1, 3]
E) [1, 3]
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
f(x) = 2x – 4 – 3x + 9 = 5 – x
2 – |x – 1| ≥ 0 ⇒ |x – 1| ≤ 2
3 ≤ x ≤ 5 ⇒ –5 ≤ –x ≤ –3 ⇒ 0 ≤ 5 – x ≤ 2
⇒ –2 ≤ x – 1 ≤ 2
⇒ –1 ≤ x ≤ 3
0+1+2=3
⇒ [–1, 3]
4.
8.
f(x) = |x – 4| + x
fonksiyonunun parçalı fonksiyona dönüştürülmüş hâli
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
C)
4,
x<4
B)
2x – 4 , x ≥ 4
x–4,
x<4
4,
x≥4
D)
E)
x<4
4
4,
2x – 4 , x ≤ 4
4,
x≥4
g(x) = 3
fonksiyonlarının kesişim noktalarının apsisleri çarpımı
kaçtır?
A) –24
B) –20
C) –18
D) –16
E) –12
x–2, x<0
2x – 2 , x ≥ 0
x<2
||x – 1| – 2| = 3
|x – 1| – 2 = 3 veya |x – 1| – 2 = –3
2x – 4 , x ≥ 2
–x + 4 + x = 4 x – 4 + x = 2x – 4
x>4
f(x) = ||x – 1| – 2|
|x – 1| = 5 veya |x – 1| = –1
4,
x<4
2x – 4 , x ≥ 4
x – 1 = 5 veya x – 1 = –5
x = 6 veya x = –4
(–4).6 = –24
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
FONKSİYONLAR / Mutlak Değer Fonksiyonları, Artan – Azalan Fonksiyonlar
9.
13.
Aşağıdaki fonksiyonların hangisi azalandır?
A) f(x) = x + 3
f(x) = |x + 2|
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
B) g(x) = 2x – 3
C) h(x) = 3x + 1
x
E) m(x) = – 3
2
D) u(x) = –3x + 1
Konu Testi - 3
y
A)
f(x) = ax + b
2
fonksiyonunda a < 0 için f azalandır.
y
B)
2
2
x
x
–2
u(x) = –3x + 1
y
C)
10. Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
2
–2
y
x
4
3
–3
I. (–∞, 0) aralığında artandır.
x
2
–2
2
Buna göre, f fonksiyonu
için,
y
D)
x
y
E)
2
II. (1, 2) aralığında sabittir.
x
–2
III. (3, 4) aralığında azalandır.
IV. f(1) < f(2) dir.
y
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 0
B) 1
C) 2
–x – 2 , x < –2
–2
D) 3
E) 4
–x – 2
x+2,
x+2
2
x ≥ –2
x
–2
–2
(–∞, 0) için artan, (1, 2) için sabit, (3, 4) için azalandır. f(1) = f(2) dir.
14.
11. y = f(x) fonksiyonu reel sayılar kümesinde daima artandır.
y
5
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) f(1) > f(2)
B) f(–2) < f(–3)
D) f(–1) < f(–4)
3
C) f(4) < f(5)
–4
E) f(3) < f(2)
–5
–2
–3
f(4) < f(5) ⇒ 4 < 5 olduğundan ifade doğrudur.
x
5 6 7
–5
Yukarıdaki şekilde f: [–5, 7] → R, f(x) = y fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
f: R → R
Buna göre,
f(x) = ||x – 2| – a|
g (x) =
fonksiyonunun grafiği x eksenini –1 noktasında kesiyor.
Buna göre, a kaçtır?
A) 1
3
–2
a < b ⇔ f(a) < f(b) ise f artandır.
12.
1
B) 2
C) 3
D) 4
x2 + 1
f (x) - 5
fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
E) 6
A) R
f(–1) = 0
B) [–5, 7] – {3, 6} C) [–5, 7] – [3, 6]
D) R – {3}
||– 1 – 2| – a| = 0 ⇒ |3 – a| = 0 ⇒ 3 – a = 0 ⇒ a = 3
E) R – {3, 6}
|f(x)| – 5 = 0 ⇒ f(x) = 5 veya f(x) = –5
TK = R – {3, 6}
2. E
3. C
4. A
5. A
6. E
7. C
8. A
9. D
10. D
11. C
12. C
13. E
14. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
x=3
1. D
14
x = 6 veya
Cevaplar
⇒
FONKSİYONLAR / Mutlak Değer Fonksiyonları, Artan – Azalan Fonksiyonlar
1.
4.
f(x) = |x + 3|
g(x) = |x| – 5
olduğuna göre, (fog)(x) = 1 denkleminin çözüm kümesinde bulunan elemanların çarpımı kaçtır?
A) 12
B) 10
C) 9
D) 6
Konu Testi - 4
f (x) = x - x 2 - 4x + 4
fonksiyonunun parçalı fonksiyon biçiminde yazılmış
hâli aşağıdakilerden hangisidir?
A)
E) 4
C)
f(g(x)) = 1 ⇒ f(|x| – 5) = 1
⇒ ||x| – 5 + 3| = 1
|x| – 2 = 1 veya |x| – 2 = –1
|x| = 3 veya
|x| = 1
x = ±3 veya
x = ±1
(–3).(–1).1.3 = 9
2x – 2 , x < 4
2,
x≥4
2,
x<2
2x – 1,
2x – 2 , x < 2
x–4,
x≥2
2x – 2 , x < 2
2,
x≥2
4x – 2 , x < 2
2,
x≥2
(x - 2 ) 2 = x - x - 2
x<2
2
x+x–2
2x – 2
2.
D)
x≥2
E)
f (x) = x -
B)
x≥2
x – (x – 2)
2
2x – 2,
x<2
2,
x≥2
f(x) = |x + 4| – 6
fonksiyonunun koordinat düzleminin üçüncü bölgesinde eksenlerle arasında kalan kapalı bölgenin alanı
kaç br2 dir?
A) 48
B) 45
C) 42
D) 38
E) 34
y=x+4–6
y=x–2
–10
6$6
A nın Alanı = 2 = 18
2+6
B nin Alanı = 2 . 4 = 16 ise
olduğuna göre, f fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
–4
A
B
–2
–6
2
x
A) f(x) = 3x + 4
f: R → R+
B) f(x) = x3
C) f(x) = x 2
E) f(x) = –x3
D) f(x) = 4
–10
f(2) > f(5) ⇔ 2 > 5 olduğundan f azalandır. O hâlde f(x) = –x3 olabilir.
Taralı Alan = 16 + 18 = 34
3.
Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı bir f fonksiyonu için
f(2) > f(5)
y
–4
y = –x – 4 – 6
y = –x – 10
5.
y
f(x) = 3x
6.
f(x) = |x – 4|
g(x) = |x – 6|
f(x) = 3x
x
fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.
olduğuna göre,
f(x) < g(x)
I. Bire birdir.
eşitsizliğini sağlayan noktaların apsis değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
II. Örtendir.
A) (–∞, 5)
Buna göre f(x) fonksiyonu için,
B) (–∞, 4)
D) (5, ∞)
III. Artandır.
C) (4, ∞)
E) (4, 5)
IV. |f(x)| = f(x) dir.
|x – 4| < |x – 6| ⇒ (|x – 4|)2 < (|x – 6|)2
ifadelerinden kaç tanesi daima doğrudur?
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
Birebirdir, örtendir, artandır.
∀x∈R için f(x) = 3x > 0 olduğundan |f(x)| = f(x) dir.
E) 0
⇒ x2 – 8x + 16 < x2 – 12x + 36
4x < 20
x<5
(–∞, 5)
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
FONKSİYONLAR / Mutlak Değer Fonksiyonları, Artan – Azalan Fonksiyonlar
7.
9.
f(x) = |x| + |x – 6|
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
f(x) = |x – 2| – |x – 4|
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
B)
6
y
A)
6
x
–6
6
y
C)
Konu Testi - 4
–4
x
2
–4 –3
x
–2
x
3
y
C)
6
6
–3
–2
–2
y
D)
–6
2
–3
x
y
B)
6
x
2
2
–6
–6
y
D)
6
2
–4
x
4
x
–3
–2
y
E)
y
E)
3 4 6
2
x
2
–6
34
x
–2
0
x<0
y = –x – x + 6
y = 6 – 2x
0≤x≤6
6
y=x–x+6
y=6
x>6
2
y=x+x–6
y = 2x – 6
–x + 2 + x – 4
–2
y
6
–6
4
x–2+x–4
2x – 6
x – 2 – (x – 4)
2
y
2
3
x
6
2
–2
3 4
x
–6
8.
f: A → [4, 7]
10. Gerçek sayılardan gerçek sayılara
f(x) = |x – 2|
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, en geniş A kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) R
B) [–2, 5]
D) [–2, 6]
2
Buna göre, y = f(x) fonksiyonu
aşağıdakilerden hangisidir?
C) [–7, 7]
E) [–5, –2] ∪ [6, 9]
0
1 2
A) f(x) = |x – |x||
B) f(x) = |x – 1|
C) f(x) = |x –|x – 2||
D) f(x) = |x| + |x – 2|
E) f(x) = |x + |x – 2||
4 ≤ f(A) ≤ 7
4 ≤ |x – 2| ≤ 7
f(0) = 2, f(1) = 0, f(2) = 2 koşulları
4 ≤ x – 2 ≤ 7 veya 4 ≤ –x + 2 ≤ 7
6≤x≤9
y
tanımlı bir f fonksiyonunun grafiği
yanda verilmiştir.
veya
f(x) = |x – |x – 2|| sağladığından fonksiyonumuzdur.
2 ≤ –x ≤ 5
–5 ≤ x ≤ –2
A = [–5, –2] ∪ [6, 9]
1. C
2. E
3. A
4. D
5. E
6. A
7. B
8. E
9. E
10. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16
x
YGS // MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Tek ve Çift Fonksiyonlar, Fonksiyon İle İlgili Uygulamalar
Fonksiyon Grafiklerinde Öteleme, Simetri ve Dönüşüm
hhFONKSİYONLAR

f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = –(x3 + x) = –f(x)
[–a, a] ⊂ R olmak üzere f: [–a, a] → R fonksiyonunda
Tek fonksiyon

26
g(x) = x3 + x
10. Tek ve Çift Fonksiyonlar
hh ∀x ∈ [–a, a] için f(–x) = –f(x) oluyorsa f fonksiyonuna tek
fonksiyon denir.
FÖY NO
h(x) = x4 + x
h(–x) = (–x)4 + (–x) = x4 – x
• Tek fonksiyon grafikleri orijine göre simetriktir.
Ne tek ne çift fonksiyondur.
hh ∀x ∈ [–a, a] için f(–x) = f(x) oluyorsa f fonksiyonuna çift
fonksiyon denir.

u(x) = |x| + x2
u(–x) = |–x| + (–x)2 = |x| + x2 = f(x)
• Çift fonksiyon grafikleri y eksenine göre simetriktir.
Çift fonksiyondur.
Örnek 1:
Cevap: Çift fonksiyon, tek fonksiyon, Ne tek ne çift fonksiyondur., Çift fonksi-
Aşağıda verilen fonksiyon grafiklerinin tek veya çift
fonksiyon olma durumunu altlarındaki kutulara yazınız.
y
y
x
f(x) = (a – 4)x2 + (b – 2)x + a + b
y
x
yondur.
Örnek 3:
x
fonksiyonu tek fonksiyon olduğuna göre, f(3) kaçtır?
Cevap: 18
Çift
Tek
–
Polinom fonksiyon tek olduğundan tek kuvvetli değişkenleri bulundurmalıdır.
a–4=0⇒a=4
a + b = 0 ⇒ b + 4 = 0 ⇒ b = –4
f(x) = –6x ⇒ f(3) = –18
Örnek 4:
Örnek 2:
Aşağıda verilen fonksiyonların tek veya çift olma durumlarını inceleyiniz.

f(x) fonksiyonu y eksenine göre simetriktir.
f(x) = (a – b – 4)x5 + (a – 1)x4 + (a + b – 6)x3
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
f(x) = x2 + 4
Polinom fonksiyon çift olduğundan çift kuvvetli değişkenleri bulundurmalıdır.
f(–x) = (–x)2 + 4 = x2 + 4 = f(x)
a–b–4=0⇒
Çift fonksiyon
2a = 10
a = 5 ⇒ b = 1
Cevap: 4
a–b=4
a+b–6=0⇒+ a+b=6
f(x) = 4x4 ⇒ f(1) = 4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
FONKSİYONLAR / Tek ve Çift Fonksiyonlar, Fonksiyon İle İlgili Uygulamalar
Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar
Örnek 5:
y = f(x) fonksiyonu orijine göre simetriktir.
f(x) – f(–x) =
x3
a) İki Nicelik Arasındaki İlişkiyi Fonksiyon
+ 4x
Kavramıyla Açıklama
olduğuna göre, f(4) kaçtır?
f(–x) = –f(x)
f(x) – (–f(x)) = x3 + 4x
2f(x) = x3 + 4x
x 3 + 4x
64 + 16
f(x) =
⇒ f(4) =
= 40
2
2
Fonksiyonlar konusu matematiğin günlük hayatta en çok kulCevap: 40
lanılan konularından biridir. Bu bölümde fonksiyonların günlük
yaşamda karşımıza çıkan uygulamalarına göz atacağız.
Örnek 6:
Örnek 8:
f: [a, 2] → R
Hacmi 500 litre olan boş bir su deposu dakikada 20 litre su
akıtan bir musluk tarafından doldurulacaktır.
f(x) = (b – 2)x3 + x2 + a + 4
fonksiyonu çift fonksiyon olduğuna göre, f(2) kaçtır?
a = –2 dir.
b–2=0⇒b=2
f(x) = x2 + 2 ⇒ f(2) = 4 + 2 = 6
Cevap: 6
Buna göre, depo boşken bu musluk açıldığında x dakika sonra deponun boş kısmının hacmini veren fonksiyonu bulunuz.
1 dakika 20 litre ,
x dakika 20x litre su akıtır
x dakika sonra deponun boş kısmı
f(x) = 500 – 20x fonksiyonu ile belirlenir.
Örnek 7:
Cevap: f(x) = 500 – 20x
Gerçek sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları için

f tek fonksiyondur.

g çift fonksiyondur.
Örnek 9:
Bir otel müşterilerinden konaklama için,
Buna göre,
I. f + g
II. f . g
1. gün ¨ 50

Sonraki her gün için ¨ 30
ücret talep etmektedir.
fonksiyonlarından hangileri tek fonksiyondur?
f(–x) = –f(x) ve g(–x) = g(x)
I. (f + g)(–x) = f(–x) + g(–x)
= – f(x) + g(x)
Ne tek ne de çifttir.
II. (f.g)(–x) = f(–x).g(–x)
= –f(x).g(x)
Tek fonksiyondur.
III. (fog)(–x) = f(g(–x))
= (fog)(x)
Çift fonksiyondur.
f çift, g tek fonksiyondur.
x 3 + 4x 2 + x - 4
x4 - x2
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz.
Cevap: II
Buna göre, ödenen ücreti, konaklama süresinin (gün)
bir fonksiyonu olarak yazınız.
1. gün 50
Cevap: f(x) = 50 + (x – 1).30
2. gün 50 + 30
3. gün 50 + 2.30
olduğundan x gün konaklayan bir müşterinin ödeyeceği ücret
f(x) = 50 + (x – 1).30 fonksiyonu ile belirlenir.
- 3+ 2- x → –x için f(–x) + g(–x) = x 44 x 2 x 4
x -x
3
+ 4x 2 + x - 4
x
f(x) +g(x) =
x4 - x2
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Öğretmen
Sorusu
III. fog
f(x) + g(x) =

- 3+ 2- f(x) – g(x) = x 44 x 2 x 4
x -x
3
+ 2+ f(x) + g(x) = x 44x 2x 4
x -x
Toplam
22f(x) = 8x4 82
x -x
⇒ f(x) = 42
x
FONKSİYONLAR / Tek ve Çift Fonksiyonlar, Fonksiyon İle İlgili Uygulamalar
b) Fonksiyonunun Ortalama Değişim Hızı
Örnek 10:
[a, b] aralığında f fonksiyonunun ortalama değişim hızı (a, f(a))
y (Sıcaklık °C)
ve (b, f(b)) noktalarından geçen doğrunun eğimidir.
9
1
y
5
f(b)
1 2
4
6
8
9
11 13 15
18
–2
f(a)
x
Zaman
(Saat)
–4
Yukarıdaki grafik Ankara'da 0 ile 18 saatleri arasında ölçülen hava sıcaklıklarını göstermektedir.
a
x
b
A dan B ye tanımlı bir y = f(x) fonksiyonunun [a, b] aralığında x'e
f (b) - f (a)
b- a
bağlı ortalama değişim hızı
dır.
Buna göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Örnek 11:
Sıcaklık fonksiyonunun pozitif değerler aldığı aralıkları
yazınız.
Aşağıdaki grafik bir yatırımcının parasının miktarının zamana bağlı olarak artışını göstermektedir.
[0, 1) ∪ (9, 18)
y (Para miktarı (¨))
52000
Sıcaklık fonksiyonunun negatif değerler aldığı aralıkları
yazınız.
4000
3
(1, 9)
Sıcaklık fonksiyonunun artan, azalan ve sabit değer aldığı aralıkları yazınız.
11
x (Yıl)
Buna göre, 3. ile 11. günler arası yatırımcının parasındaki yıllık ortalama artış hızı kaçtır?
f (11) - f (3) 52000 - 4000
48000
=
= 8 = 6000
8
11 - 3
Cevap: 6000
Artan → (4, 6) ∪ (8, 11)
Azalan → (0, 4) ∪ (11, 13) ∪ (15, 18)
Sabit → (6, 8) ∪ (13, 15)
Sıcaklık fonksiyonunun gün içindeki en düşük ve en
yüksek olduğu değerleri bulunuz.
En yüksek sıcaklık 11. saatte 9 °C dir.
En düşük sıcaklık 4. saatte –4 °C dir.
Örnek 12:
Yerden havaya doğru atılan bir topun t saniye sonra yerden
yüksekliğini veren fonksiyon
f(t) = 12t – t2
olarak veriliyor.
Buna göre, 1. ile 4. saniye arasında cismin yerden yüksekliğinin ortalama artış hızı kaçtır?
f(4) = 48 – 16 = 32
f(1) = 12 – 1 = 11
f (4) - f (1) 32 - 11 21
= 3 =7
=
3
4- 1
Cevap: 7
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
FONKSİYONLAR / Tek ve Çift Fonksiyonlar, Fonksiyon İle İlgili Uygulamalar
1.
Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi tek fonksiyondur?
A) f(x) =
x2
B) f(x) = |x|
D) f(x) =
x3
C) f(x) =
E) f(x) =
x3
+
x4
4.
+2
A) –2
x2
C) 0
D) 1
E) 2
f(x) = –x ⇒ f(2) = –2
Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi çift fonksiyondur?
A) f(x) =
B) –1
a – 2 = 0 ⇒ a = 2 dir.
olduğundan f(x) = x3 tek fonksiyondur.
x3
f(x) = (a – 2)x2 + (a – 3)x
fonksiyonu tek fonksiyon olduğuna göre, f(2) kaçtır?
f(–x) = (–x)3 = –x3 = –f(x)
2.
Konu Testi - 1
B) f(x) = x
D) f(x) = x 2 + 2
C) f(x) =
x2
5.
f(x) = (b – 2)x3 + bx2 + (a – b)x
fonksiyonu çift fonksiyon olduğuna göre, a . b çarpımının değeri kaçtır?
–x
E) f(x) = x5
A) 1
B) 2
f(–x) = (–x)2 + 2 = x2 + 2 = f(x)
b–2=0⇒b=2
olduğundan f(x) = x2 + 2 çift fonksiyondur.
a–b=0⇒a–b=2
C) 3
D) 4
E) 5
D) 1
E) 2
a.b = 4
3.
Aşağıda verilen fonksiyon grafiklerinin hangisi tek
fonksiyondur?
A)
y
B)
6.
f tek, g çift fonksiyondur.
Buna göre,
f (2)
g (- 3)
+
f (- 2)
g (3)
y
x
x
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2
C)
y
D)
B) –1
C) 0
y
f(–2) = –f(2)
x
x
g(–3) = g(3)
f (2)
g (3)
- f (2) + g (3) = - 1 + 1 = 0
E)
y
x
Tek fonksiyonlar orijine göre simetrik olduğunda Cevap D dir.
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
FONKSİYONLAR / Tek ve Çift Fonksiyonlar, Fonksiyon İle İlgili Uygulamalar
7.
10.
f tek fonksiyon olmak üzere
f(x) – f(–x) =
x5
B) 17
C) 16
f: [–a, 4] → R
f(x) = (a – b)x3 + (b + 2)|x|
+x
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
A) 18
Konu Testi - 2
fonksiyonu tek fonksiyondur.
D) 15
E) 14
Buna göre, f(–2) kaçtır?
A) –48
f(x) – (–f(x)) = x5 + x
D) –32
E) –27
b + 2 = 0 ⇒ b = –2
2f(2) = 32 + 2
f(x) = 6x3
f(2) = 17
f(–2) = 6.(–8) = –48
11. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
f çift fonksiyon olmak üzere
f(x) = ax2 + bx + c
f(x) + f(–x) = x4 + 4
fonksiyonunun grafiği için
olduğuna göre, f(–2) değeri kaçtır?
A) 9
C) –36
–a = –4 ⇒ a = 4
2f(x) = x5 + x
8.
B) –42
B) 10
C) 12
D) 14
E) 15
I. a = c = 0 ise orijine göre simetriktir.
II. b = 0 ise y eksenine göre simetriktir.
III. a = 0 ve b < 0 için azalandır.
f(x) + f(x) = x4 + 4
ifadelerinden hangileri doğrudur?
2f(x) = x4 + 4
A) Yalnız I
2f(–2) = 16 + 4
B) Yalnız II
D) II ve III
f(–2) = 10
C) I ve II
E) I, II ve III
Verilen üç ifade de doğrudur.
9.
12. Reel sayılarda tanımlı f fonksiyonu çift, g fonksiyonu tek
fonksiyondur.
f fonksiyonu çift, g fonksiyonu tektir.
3f(x) + g(x) +
x2
= 2f(–x) – g(–x) +
4x2
Buna göre,
I. f – g
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
II. fof
f
III.
g
f(x) = 3x2
fonksiyonlarının grafiklerinden hangileri orijine göre
simetriktir?
f(2) = 12
A) Yalnız I
3f(x) + g(x) + x2 = 2f(x) + g(x) + 4x2
B) Yalnız III
D) II ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
f(–x) = f(x), g(–x) = –g(x)
I. (f – g)(–x) = f(–x) – g(–x) = f(x) + g(x)
ne tek ne çifttir.
II. (fof)(–x) = f(f(–x)) = f(f(x)) = (fof)(x)
çift fonksiyondur.
f
f
f ( - x)
f (x)
III. c g m (- x) = g (- x) = - g (x) = - g (x)
tek fonksiyondur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
FONKSİYONLAR / Tek ve Çift Fonksiyonlar, Fonksiyon İle İlgili Uygulamalar
13. f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir.
f(x) =
2x2 + 4x ,
x>0
ax2 – bx ,
x≤0
Konu Testi - 2
16. Yanda y = f(x) fonksiyonunun [5, 8]
aralığındaki grafiği verilmiştir.
olduğuna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
Buna göre, fonksiyonun verilen
aralıktaki ortalama değişim hızı
kaçtır?
A) 2
A) –
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Çift fonksiyon ise f(1) = f(–1)
6
5
3
B) –2
C)
5
3
y
1
5
D) 2
8
x
E) 3
f ( 8) - f ( 5) 1 - 6
5
= 3 =- 3
8- 5
6=a+b
14.
6
17. Aşağıdaki şekilde aynı anda yanmaya başlayan iki mumun
y
boylarının zamana göre değişimi verilmiştir.
Boy (cm)
60
2
–6 –5
–2
2
4
–7
7
5 6
A
45
x
B
5
Zaman (saniye)
15
Buna göre, x saniye sonra boyları arasındaki farkı veren fonksiyon aşağıdakilerden hangisi olabilir?
–5
A) f(x) = 10 – 2x
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için
I. (–7, –6) aralığında negatif değerlidir.
B) f(x) = 15 – 9x
D) f(x) = 12x – 9
II. (4, 6) aralığında pozitif değerlidir.
C) f(x) = 12 – 9x
E) f(x) = 24 – 9x
III. alabileceği en büyük değer 6 dır.
A saniyede 12 cm, B saniye de 3 cm yanar x saniye sonra A nın 60 – 12x
B nin 45 – 3x boyu kalır.
IV. alabileceği en küçük değer –6 dır.
f(x) = 60 – 12x – (45 – 3x) = 15 – 9x olur.
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
y
18.
2
(–7, –6) aralarında fonksiyon pozitif, (4, 6) aralığında pozitif değerlidir.
Fonksiyonun alabileceği en büyük değer 6, en küçük değer –5 tir.
1
x
–2 –1
–2
15. Yanda içinde bir miktar su
x(litre) 1 2 3 4
bulunan kaba doldurulan
f(x) cm 5 7 9 11
suyun miktarına bağlı olarak suyun kapta kaç cm yükseldiğini gösteren tablo verilmiştir.
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için
g(x) =
Buna göre, kaba doldurulan suyun yüksekliğini veren
fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
A) f(x) = 3x + 1
B) f(x) = x + 4
D) f(x) = 2x + 3
x2 + 1
,
f(x) < 0
x+4
,
f(x) = 0
2x
,
f(x) > 0
fonksiyonu tanımlanıyor.
Buna göre, g(–3) + g(–1) + g(4) toplamının değeri kaçtır?
C) f(x) = 3x + 2
A) 14
E) f(x) = 2x + 1
B) 17
1 → 5, 2 → 7, 3 → 9, 4 → 11
f(–3) > 0 ⇒ g(–3) = –6
x → 2x + 3 ⇒ f(x) = 2x + 3
f(–1) = 0 ⇒ g(–1) = 3
C) 23
D) 24
E) 25
–6 + 3 + 17 = 14
f(4) < 0 ⇒ g(4) = 17
1. D
2. D
3. D
4. A
5. D
6. C
7. B
8. B
9. E
10. A
11. E
12. B
13. E
14. C
15. D
16. A
17. B
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
18. A
6
FONKSİYONLAR / Fonksiyon Grafiklerinde Öteleme, Simetri ve Dönüşüm
Fonksiyon Grafiklerinde Öteleme, Simetri,
Dönüşüm
2. y = f(x ±a) Ötelemesi
1. y = f(x) ± a Ötelemesi
hh y = f(x) fonksiyonu verildiğinde a Î R+ olmak üzere
fonksiyonunu çizmek için y = f(x) fonksiyonunun grafiği x
hh y = f(x) fonksiyonu verildiğinde a Î R+ olmak üzere
y = f(x – a)
ekseninde a birim sağ yönde ötelenir.
y = f(x) + a
fonksiyonunu çizmek için y = f(x) fonksiyonunun grafiği y
y
y = f(x)
ekseninde a birim yukarı yönde ötelenir.
a
y
n+a
a
a
y = f(x)
a
n
y = f(x – a)
x
n+a
n
a
hh y = f(x) fonksiyonu verildiğinde a Î R+ olmak üzere
y = f(x) + a
hh y = f(x) fonksiyonu verildiğinde a Î R+ olmak üzere
fonksiyonunu çizmek için y = f(x) fonksiyonunun grafiği x
y = f(x) – a
fonksiyonunu çizmek için y = f(x) fonksiyonunun grafiği y
ekseninde a birim aşağı yönde ötelenir.
y
n
a
a
y = f(x + a)
ekseninde a birim sol yönde ötelenir.
y = f(x)
a
a
y
y = f(x + a)
y = f(x)
a
a
y = f(x) – a
x
n–a
x
n
n–a
Örnek 13:
Örnek 14:
Aşağıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için y = f(x) + 4 ve
y = f(x) – 3 fonksiyonlarını aynı grafik üzerinde gösteriniz.
Aşağıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için y = f(x – 3)
ve y = f(x + 4) fonksiyonlarını aynı grafik üzerinde gösteriniz.
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
Öğretmen
Sorusu
a
y
y
y = f(x) + 4
y = f(x – 3)
4
y = f(x)
–3 –2
–7 –6
x
–5 –4
1
3
2
–1
4 5 6
x
y = f(x) – 3
y = f(x + 4)
y = f(x)
–4
f(x) = x2 – 8x + 10
olmak üzere f(x + a) fonksiyonunun grafiği oy eksenine göre simetriktir.
f(x) = x2 – 8x + 16 – 6
Buna göre f(a) kaçtır?
f(x) = (x – 4)2 – 6
olduğuna göre
f(4) =
42
a = 4 tür.
– 8 . 4 + 10 = –6
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
FONKSİYONLAR / Fonksiyon Grafiklerinde Öteleme, Simetri ve Dönüşüm
3. y = –f(x) Simetrisi (x Eksenine Göre)
Örnek 16:
y = f(x) fonksiyonunun grafiği verildiğinde
Aşağıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunu kullanarak
y = f(–x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y = –f(x)
fonksiyonunun grafiğini çizmek için y = f(x) fonksiyonunun gra-
y
3
fiğinin x eksenine göre simetriği alınır.
4
Yani (x, y) noktası (x, –y) noktasına dönüşür.
–2
x
3
y
y = f(x)
y
x
3
y = –f(x)
–4
–3
Örnek 15:
Aşağıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunu kullanarak
y = –f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
y = –f(x)
2
5
–4
x
y = f(x)
y = f(–x)
5. y = a . f(x) Dönüşümü
hh a > 1 olmak üzere y = f(x) fonksiyonunun grafiği verildiğinde
y = a . f(x)
fonksiyonunun grafiğini çizmek için y = f(x) fonksiyonunun
grafiğinin y değerleri x lere dokunulmadan a katına çıkarılır.
Yani grafik dikey olarak uzatılır.
y
4. y = f(–x) Simetrisi (y Eksenine Göre)
–4
4
2
–2
y = f(x) fonksiyonunun grafiği verildiğinde
y = f(–x)
x
2
y = 2f(x)
y = f(x)
x
1
–3
–6
Örnek 17:
fonksiyonunun grafiğini çizmek için y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriği alınır.
Aşağıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunu kullanarak
y = 3f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Yani (x, y) noktası (–x, y) noktasına dönüşür.
y
y = f(–x)
–2
8
y = f(x)
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
x
y
3
1
–2
–1
y = 3f(x) –2
–6
2
y = f(x)
4
x
FONKSİYONLAR / Fonksiyon Grafiklerinde Öteleme, Simetri ve Dönüşüm
hh 0 < a < 1 olmak üzere y = f(x) fonksiyonunun grafiği verildiğinde
Örnek 19:
Aşağıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunu kullanarak
x
y = f b l fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
3
y
y = a.f(x)
fonksiyonunun grafiğini çizmek için y = f(x) fonksiyonunun
grafiğinin y değerleri x lere dokunulmadan a katına çıkarılır.
y = f(x3)
Yani grafik dikey olarak kısaltılır (bastırılır).
3
y
–4
–3
y = f(x)
2
–2 1
–1 2
–2
x
y=1
2 f(x)
4
y = f(x)
hh a > 1 olmak üzere y = f(x) fonksiyonunun grafiği verildiğinde
Örnek 18:
Aşağıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunu kullanarak
1
y = f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
3
y
y = f(x)
6
y = f(ax)
fonksiyonunun grafiğini çizmek için y = f(x) fonksiyonunun
1
grafiğinin x değerleri katına indirilir. Yani grafik yatay olaa
rak kısaltılır.
2
4
2
–2
y
x
y=1
3 f(x)
y = f(2x)
–1
6. y = f(ax) Dönüşümü
hh 0 < a < 1 olmak üzere y = f(x) fonksiyonunun grafiği verildiğinde
y = f(ax)
2
y
–3
y = f(x)
1
2
4
y = f(x2)
6
Aşağıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunu kullanarak
y = f(3x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
3
y = f(x)
x
Örnek 20:
fonksiyonunun grafiğini çizmek için y = f(x) fonksiyonunun
1
grafiğinin x değerleri katına çıkarılır. Yani grafik yatay olaa
rak uzatılır.
–6
1
–2
–6
x
–1
–2
–3 –1
y = f(3x)
1
31
2
–3
3
y = f(x)
x
x
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
FONKSİYONLAR / Fonksiyon Grafiklerinde Öteleme, Simetri ve Dönüşüm
7. y = |f(x)| Dönüşümü
hh |x| – |y| = a
y
y = f(x) fonksiyonunun grafiği verildiğinde
y = |f(x)|
x
a
–a
fonksiyonunun grafiğini çizmek için y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde x ekseninin altında kalan kısımların x eksenine göre simetri alınıp diğer kısımlar aynen bırakılır.
hh |y| – |x| = a
y
y
–1
–3
y = |f(x)|
y
x
2
x
a
y = f(x)
x
–a
Örnek 21:
Aşağıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunu kullanarak
y = |f(x)| fonksiyonunun grafiğini yanındaki koordinat
sisteminde çiziniz.
y
Örnek 22:
y
y
y = |f(x)|
y = f(x)
–3
x
3
2
–1
x
–3
x
–2
–2
y = f(x)
–3
8. |x| + |y| = a, |x| – |y| = a, |y| – |x| = a Bağıntılarının Grafikleri
hh |x| + |y| = a
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunu kullanarak aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz.

y = f(–x)
y
2
y
a
1
x
2 3
a
–a
x
–3
f(x) = ||x + 2| – 2| ve g(x) = –x
fonksiyonlarının grafikleri kaç farklı noktada kesişir?
y = |x + 2|–2
y = |x + 2|
2
–2
–4
–2
–4 –2
–2
grafikte sonsuz noktada kesişir.
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2
2
y = –x
Öğretmen
Sorusu
–a
FONKSİYONLAR / Fonksiyon Grafiklerinde Öteleme, Simetri ve Dönüşüm

y = –f(x)

3
y
–2
–3
y = f(x) – 2
y
–2
x
–1
x
–2
–5

y = f(x) + 2
y
4
–2
x

y = 2 f(x)
–1
y
4
–1
–3

x
–2
y = f(x – 1)
y
2
–2
–6
1
–1
x
–3

x
y = fb l
2

y = f(x + 1)
y
y
2
2
–4
–3
–2
–1
–6
x
–2
x
–4
–3
–3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
FONKSİYONLAR / Fonksiyon Grafiklerinde Öteleme, Simetri ve Dönüşüm
Örnek 23:
Örnek 24:
y = f(x) fonksiyonu a birim sağa, b birim aşağıya ötelendiğinde
y
3
y = f(x – 4) – 3
–2
1
x
fonksiyonu elde ediliyor.
Buna göre, a2 + b toplamının değeri kaçtır?
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonundan faydalanarak aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.

y
y = –f(–x)
3
–1
2
x
–1
Örnek 25:
|x| + |y| = 4
x
2
bağıntısının grafiği ve eksenler arasında kalan kapalı
bölgenin alanı kaç br2 dir?
–3
y = f(–x)
y
4
y = f(x – 2) + 2
y
Cevap: 32
y
5
3
–4
2
3
2
4. 4
Alan = 4. 2 = 32 br2
x
4
–4
x
x
2
y = f(x – 2) + 2
y = f(x – 2)

Cevap: 19
y = –f(–x)
y

a = 4, b = 3
a2 + b = 42 + 3 = 19
Örnek 26:
y = |f(x + 1)|
y
y
3
y
y = |f(x + 1)|
3
2
–3
x
–3 –1
–3
–1
–1
3
x
1
x
–4
y = f(x + 1)
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre, |f(x)| = 1 denklemini sağlayan kaç farklı x
değeri vardır?
y = 2 f(x) – 4
6
y
y
y
2
–2
1
x
y = 2 f(x)
12
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
x
y = 2f(x) – 4
2
y=1
x
|f(x)| = 1 denkleminin 8 tane kökü vardır.
FONKSİYONLAR / Fonksiyon Grafiklerinde Öteleme, Simetri ve Dönüşüm
1.
Konu Testi - 3
2.
y
y
–2 –1
2
2
x
3
y = f(x)
1
y = f(x)
1
–3
1
x
3
–1
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre,
Buna göre,
I.
y
y
1
y = f(x – 1)
1
–1
3
–3
–2 –1
x
4
x
3
–1
grafiği aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine aittir?
A) y = f(x – 1) + 1 B) y = f(x + 1)
y
II.
D) y = –f(x)
y = f(x + 1)
1
C) y = –|f(x)|
E) y = –f(–x)
Grafik y = –f(–x) fonksiyonuna aittir.
–3 –2
1
x
2
3.
y
y = f(x)
2
III.
y
2
y = 2f(x)
–2 –1
2
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonuna göre, y = f(2x)
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
x
3
x
–2
y
A)
y
B)
2
2
y
IV.
y = –f(x)
x
–4
1
–3 –2
1
y
C)
x
2
fonksiyon grafiklerinden kaç tanesi doğrudur?
B) 1
C) 2
D) 3
y
D)
4
E) 4
I, II ve III. doğrudur. Ancak IV de verilen grafik y = f(–x) fonksiyonuna
aittir.
1
x
–2
A) 0
x
–1
E)
–2
x
y
2
4
x
y = f(2x) için y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde bulunan x = –2 değeri
x = –1 olur. Grafik B seçeneğindedir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
FONKSİYONLAR / Fonksiyon Grafiklerinde Öteleme, Simetri ve Dönüşüm
4.
Konu Testi - 3
7.
f(x) = x2
fonksiyonunun grafiği 2 birim sola 3 birim yukarı öteleniyor.
Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
2
Buna göre, oluşan fonksiyonunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) f(x) = (x – 2)2 + 2
B) f(x) = (x + 2)2 + 3
C) f(x) = (x – 2)2 + 3
D) f(x) = (x – 3)2 + 2
Buna göre, y = –|f(x)| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
E) f(x) = (x + 3)2 + 2
A)
2
x
2
y
2
x
5
–2
2
–2
x
–2
x
–2
x
c
2
y = |f(x)|
C) –3
D) 3
–2
E) 4
y = f(x – 1) fonksiyonunun grafiği y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin 1 birim sağa kaydırılması ile oluşur.
8.
Buna göre, a . b çarpımının değeri kaçtır?
B) 15
x
2
y = f(x – 2) + 3 fonksiyonu a birim sağa b birim aşağıya
ötelendiğinde y = f(x – 5) – 1 fonksiyonu elde ediliyor.
A) 16
4
–1
a.b + c = –9 + 6 = –3
C) 12
D) 10
y=|f(x)|
y
a = –3, b = 3, c = 6 dır.
6.
–2
–2
olduğuna göre, a . b + c işleminin sonucu kaçtır?
B) –4
y
2
y = f(x – 1)
A) –6
x
–2
y
b
y
D)
E)
a
x
–2
y
C)
y = f(x)
–4
y
B)
y
f(x) = x2 fonksiyonu 2 birim sola kaydırılırsa f(x) = (x + 2)2, 3 birim yukarı
kaydırılırsa f(x) = (x + 2)2 + 3 olur.
5.
x
–2
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
x
Buna göre, y = f b l fonksiyonunun grafiğinin x ekseni
3
ile arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) 24
B) 20
E) 8
C) 18
D) 16
y
E) 15
9. 4
Alan = 2 = 18 br2
4
a = 3, b = 4
3. B
4. B
5. C
6. C
7. D
8. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
x
2. E
14
6
1. D
–3
Cevaplar
a.b = 12 dir.
FONKSİYONLAR / Fonksiyon Grafiklerinde Öteleme, Simetri ve Dönüşüm
1.
3.
y
Konu Testi - 4
Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
y = g(x)
1
–2
x
4
y = f(x)
x
1
–1
Yukarıdaki şekilde y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonların grafikleri birbirine paraleldir.
Buna göre, y = –f(x – 1) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, y = f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
A) y = g(x) + 2
B) y = g(x – 6)
D) y = g(x) + 6
C) y = g(x + 6)
1
E) y = g(x) – 6
y
B)
y
1
x
2
–1
1
–1
g(x) fonksiyonunun 6 birim sağa kaydırılması ile f(x) fonksiyonu oluşur.
y = g(x – 6) dır.
y
C)
2.
Aşağıdaki şekilde y = f(x) + 3 fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
y
D)
–1
–2
x
y = f(x) + 3
y
E)
y
y
B)
4
x
y
x
Verilen fonksiyon önce 1 birim sağa kaydırılıp sonra x eksenine göre simetriği alınır.
x
4.
y
D)
2
–1
Buna göre, y = f(x) – 2 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
C)
1
–1
1
3
y
–2
x
–1
x
A)
x
f(x) = x + 1
fonksiyonunun grafiği
x
x
–6
–5
E)
y
–5
• Önce 1 birim sola
• Sonra 1 birim aşağıya öteleniyor.
Buna göre, yeni oluşan fonksiyonun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x + 1
B) y = x
D) y = x + 2
x
C) y = x + 3
E) y = x – 2
Bir birim sola ötelenirse y = (x + 1) + 1
1 birim aşağı ötelenirse y = (x + 1) + 1 – 1
y = f(x) + 3 fonksiyonu 5 birim aşağı ötelenir.
y = x + 1 olur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
FONKSİYONLAR / Fonksiyon Grafiklerinde Öteleme, Simetri ve Dönüşüm
5.
Konu Testi - 4
7.
Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
Aşağıda gerçek sayılarda tanımlı y = f(x) fonksiyonunun
grafiği çizilmiştir.
x
2
–3
y
2
–4 –2
–2
–1
y
y = f(x) + 1
x
2
–3
–1
2
A) 2
y
y = f(x + 1)
D)
2
–2
3
x
–3
Buna göre, |f(x)| < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x
tam sayısı vardır?
x
y = –f(x)
y
C)
y = f(x)
y
B)
x
3
–2
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A)
12
–4
1
B) 3
C) 4
3
2
x
–4 –2 –1
D) 5
y
E) 6
y = |f(x)|
x
1 2 3
y = –f(–x)
|f(x)| < 2 ⇒ x = –3, –2, 0, 2 olmak üzere 4 tane x vardır.
y
E)
3
x
8.
y = –f(x) – 1
Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı
• y = f(x)
• y = g(x)
y = –f(x) – 1 fonksiyonu y = f(x) in x eksenine göre simetriğinin 1 birim
aşağı ötelenmesidir ancak grafik x eksenine göre simetriğin 1 birim yukarı doğru ötelenmiştir.
• h(x) = f(x – 2) + 3
• u(x) = 2g(x) – 1
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre,
I. y = f(x) fonksiyonu 2 birim sağa, 3 birim yukarıya ötelenerek h(x) fonksiyonu oluşur.
6.
y = f(x) eğrisi üzerindeki bir A noktası gerekli dönüşümler
yapılıp y = f(x – 3) + 4 eğrisi üzerindeki B noktasına dönüşüyor.
Buna göre, |AB| kaç birimdir?
B) 3
A) 2 2
C)
15
D) 4
II. y = g(x) fonksiyonunun grafiği y değerleri 2 katına çıkacak biçimde uzatılıp grafik 1 birim aşağıya ötelenmiştir.
III. y = g(x) fonksiyonunun grafiğinin x değerleri 2 katına
çıkacak biçimde uzatılıp grafik 1 birim aşağıya ötelenmiştir.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
E) 5
A) Yalnız I
D) I ve II
A noktası 3 birim sağa 4 birim yukarı ötelendiğinden
|AB| =
2
B) Yalnız II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
2
3 + 4 = 5 dir.
I ve II doğru III yanlıştır.
1. B
2. D
3. E
4. A
5. E
6. E
7. C
8. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16
YGS // MATEMATİK
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK)
Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
hhVERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK)
FÖY NO
27
Örnek 3:
1, 2, 5, 3, 4
hhMerkezî Eğilim Ölçüleri
veri dizisine hangi sayı terim olarak eklenirse aritmetik
ortalama değişmez?
1. Aritmetik Ortalama
Bir veri dizisindeki değerlerin tümü toplanıp veri adedine bölündüğünde elde edilen değere aritmetik ortalama denir ve x
sembolü ile gösterilir.
hh Aritmetik ortalama veri grubundaki değişimden direkt etkilenir.
2. Medyan (Ortanca)
hh Veri adedi tek sayı ise medyan ortada bulunan sayıdır.
2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 10
hh Veri adedi çift sayı ise medyan iki merkezî değerin aritmetik
ortalamasıdır.
veri dizisinin aritmetik ortalaması kaçtır?
2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 10
8
40
x= 8 = 5
Cevap: 3
Küçükten büyüğe doğru sıralanmış sonlu veri dizisinin merkezinde (ortasında) bulunan değere medyan denir.
Örnek 1:
AO =
1 + 2 + 5 + 3 + 4 15
= 5 =3
5
Diziye 3 eklenir ise aritmetik ortalama değişmez.
x=
Cevap: 5
Örnek 4:
3, 3, 5, 7, 9, 7, 5, 10, 1
veri dizisinin medyanı (ortancası) kaçtır?
Örnek 2:
1, 3, 3, 5, 5 , 7, 7, 9, 10
ortanca (medyan)
x, y, z ve t sayılarının aritmetik ortalaması 10 dur.
Cevap: 5
Buna göre,
Örnek 5:
x + 2y, 2x + z, 2t + y, 2z + t
sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?
x+ y+ z+ t
= 10 & x + y + z + t = 40
4
x + 2 y + 2x + z + 2t + y + 2 z + t
AO =
4
Öğretmen
Sorusu
x=
1, 4, 12, 7, 10, 5, 6, 3
Cevap: 30
3 x + 3 y + 3z + 3 t
3.40
= 4 = 30
4
veri dizisinin medyanı (ortancası) kaçtır?
1, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12
5+ 6
2 = 5, 5 ortanca (medyan)
Cevap: 5,5
4, 3, 1, 1, 2, x, 7
veri dizisinin medyanı 2 olduğuna göre, x in alabileceği kaç
farklı sayma sayısı vardır?
1, 1, 2, 3, 4, 7
x burada olmalı
o hâlde x = 1 veya x = 2 dir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK) / Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
3. Tepe Değer (Mod)
hhMerkezî Yayılım Ölçüleri
Bir veri grubunda en çok tekrarlanan değere tepe değer (mod)
denir.
1. En Büyük ve En Küçük Değer
hh Bazı durumlarda birden fazla en çok tekrarlanan olabilir. Bu
durumda veri grubu birden fazla tepe değere sahip olur.
hh Bir veri dizisinde her bir verinin tekrar etme sayıları eşit ise
tepe değeri yoktur.
1, 2, 7, 10, 13
13
1
sayı dizisinin en büyük değeri ..........
en küçük değeri ..........
dir.
2. Aralık (Genişlik) (Açıklık)
Sonlu bir veri dizisinde en büyük sayıdan en küçük sayının çıkarılması ile elde edilen sayıya aralık değeri denir.
Örnek 6:
1, 2, 4, 4, 6, 7, 10
Örnek 9:
veri dizisinin tepe değerini bulunuz.
4, 12, 13, 17, 3, 8, 10
Mod = 4
Cevap: 4
veri dizisinin aralık değeri nedir?
Aralık değeri = 17 – 3 = 14
Örnek 10:
Örnek 7:
Ardışık 5 tek sayma sayısından oluşan bir veri dizisinin
aralık değeri kaçtır?
3, 3, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 5, 5,
veri dizisinin tepe değerini bulunuz.
n, n + 2, n + 4, n + 6, n + 8
3. Alt Çeyrek ve Üst Çeyrek
Örnek 8:
Küçükten büyüğe doğru sıralanmış sonlu bir veri dizisinde medyanın solunda bulunan verilerin medyanına alt çeyrek , medyanın sağında bulunan verilerin medyanına üst çeyrek denir.
1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4
veri dizisinin tepe değerini bulunuz.
hh Üst çeyrek – Alt çeyrek
Cevap: Değeri yoktur.
Her bir eleman eşit sayıda tekrar ettiğinden tepe değeri yoktur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 8
Aralık = n + 8 – n = 8
Mod hem 4, hem 5 tir.
2
Cevap: 14
farkının sonucuna çeyrekler açıklığı denir.
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK) / Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
Örnek 14:
Örnek 11:
10, 10, 20, 20
2, 3, 3, 4, 5, 6, 7
veri dizisinin alt çeyrek ve üst çeyrek değerlerini bulunuz.
veri dizisinin standart sapması kaçtır?
10 + 10 + 20 + 20
= 15
4
2
(10 - 15) + (10 - 15) 2 + (20 - 15) 2 + (20 - 15) 2
S=
3
25 + 25 + 25 + 25
100
=
S=
3
3
x=
2, 3 , 3,
4,
5, 6 , 7
Cevap: 6
Alt yarı medyan üst yarı
alt çeyrek = 3
üst çeyrek = 6
Cevap:
100
3
Örnek 12:
1, 7, 2, 12, 10, 6, 8, 4, 3
veri dizisinin alt ve üst çeyrek değerlerini bulunuz.
1, 2 , 3, 4
6,
7, 8 , 10, 12
Cevap: 2,5
Alt yarı medyan üst yarı
8 + 10
üst çeyrek =
2 =9
2+ 3
alt çeyrek = 2 = 2, 5
Örnek 15:
Ardışık 3 çift doğal sayıdan oluşan bir veri dizisinin
standart sapması kaçtır?
n, n + 2, n + 4
Cevap: 2
n + n + 2 + n + 4 3n + 6
=
x=
3
3 = n+ 2
S=
Örnek 13:
S=
10, 12, 12, 8, 6, 4
6n - (n + 2)@2 + 6n + 2 - (n + 2)@2 + 6n + 4 - (n + 2)@2
2
4+ 0+ 4
=2
2
veri dizisinin çeyrekler açıklığının değeri kaçtır?
Medyan =
4, 6 , 8, 10, 12, 12
8 + 10
2 =9
Cevap: 6
Alt yarı üst yarı
Örnek 16:
Alt çeyrek = 6
Aşağıda verilen sayı dizilerinden hangisinin standart
sapması en fazladır?
Üst çeyrek = 12
Çeyrekler açıklığı = 12 - 6 = 6
A) 1, 5, 8, 17
D) 6, 8, 7, 5
4. Standart Sapma
Öğretmen
Sorusu
Sonlu bir nicel veri dizisinde her bir elemanın aritmetik ortalama
ile olan farkının karelerinin toplamının veri adedinin bir eksiğine
bölümünün kareköküne standart sapma denir.
B) 4, 7, 7, 10
C) 8, 8, 8, 8
E) 4, 5, 6, 9
Cevap: A
Standart sapma sayıların aritmetik ortalamaya uzaklığını ölçen birim olduğundan sayılar aritmetik ortalamadan ne kadar uzak ise standart sapma o
kadar büyüktür en fazla standart sapmaya sahip olan sayı dizisi 1, 5, 8, 17
dir.
1, 4, 7, 10, 8
veri dizisine aşağıdaki sayılardan hangisi eklenirse standart sapmadaki azalma en fazla olur?
Standart sapmadaki azalmanın en fazla olması için eklenme-
A) 7
1 + 4 + 7 + 10 + 8
= 6 ise
5
sayı 7 olmalıdır.
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
si gereken sayı aritmetik ortalamaya yakın olmalıdır.
x=
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK) / Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
hhGrafikler
Örnek 19:
Cinsiyet
1. Kutu Grafiği
Bir veri dizisinin en küçük ve en büyük değerlerini, alt ve üst
çeyreklerini, medyanını kullanarak oluşturulan grafik türüne kutu grafiği denir.
Alt çeyrek
Erkek
Kız
Üst çeyrek
20
En küçük değer
25
30
35
40
45
50
55
En büyük değer
Medyan
Yukarıda bir sınıftaki erkek ve kız öğrencilerin matematik
dersinden aldıkları notlar kutu grafikleri ile verilmiştir.
Örnek 17:
Buna göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız.
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
1. Kızlara ait verilerin medyanı kaçtır?
Medyan = 35
Bir voleybol takımının bazı maçlarda attığı servis sayıları ile
yukarıdaki kutu grafiği oluşturulmuştur.
2.Erkeklere ait verilerin üst çeyreği kızlara ait verilerin
alt çeyreğinden kaç fazladır?
Buna göre bu sayı dizisinin,

23
En küçük değeri .........
dir.

62 dir.
En büyük değeri .........

40
Alt çeyreği .........
dir.

55 dir.
Üst çeyreği .........

15
Çeyrekler açıklığı .........
dir.

50
Ortanca değeri .........
dir.
44 – 30 = 14 fazladır.
3.
I. Erkekler kızlara göre daha başarılıdır.
II. Erkeklere ait verilerin en küçük değeri kızlara ait
verilerin en büyük değerinden 35 eksiktir.
III. Erkeklere ait verilerin çeyrekler açıklığı kızlara ait
verilerin çeyrekler açıklığından 1 fazladır.
Örnek 18:
ifadelerinden hangileri doğrudur?
10, 15, 20, 20, 30, 25
sayı dizisine karşılık gelen kutu grafiğini çiziniz.
10, 15, 20, 20, 25, 30
I. kutulara bakıldığından erkeklerin daha başarılı olduğu görülmektedir.
medyan = 20, alt çeyrek = 15, üst çeyrek = 25,
II.
50 – 25 = 25 eksiktir
ifade yanlıştır
en büyük değer = 30, en küçük değer 10 dur.
III.
(44 – 33) – (40 – 30) = 1
ifade doğrudur
10
4
15
20
25
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
30
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK) / Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
1.
Kişi Sayısı
2
3
2
1
2
Yaş
30
20
15
40
20
Konu Testi - 1
5.
veri dizisinin alt çeyreği kaçtır?
A) 10
Yukarıdaki tabloda bir grupta bulunan kişilerin yaşları ve
sayıları verilmiştir.
B) 21
C) 22
D) 23
B) 11
C) 12
D) 18
E) 36
medyan
Buna göre, grubun yaş ortalaması kaçtır?
A) 20
10, 40, 5, 12, 20, 36, 18
5, 10 , 12, 18 , 20, 36 , 40
E) 24
Alt çeyrek
2.30 + 3.20 + 2.15 + 1.40 + 2.20
10
230
=
=
23
x
10
x=
2.
3, 3, 6, 6, 7, 7, 9, 13, 1
6.
dizisinin ortanca değeri kaçtır?
A) 1
B) 3
C) 6
3, 4, 4, 6, 10, 12, 16, 18
veri dizisinin çeyrekler açıklığı kaçtır?
D) 7
E) 9
A) 8
1, 3, 3, 6, 6 , 7, 7, 9, 13
medyan
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
3, 4, 4, 6, 10, 12, 16, 18
4+ 4
2 =4
12 + 16
= 14
Üst Çeyrek =
2
Çeyrekler açıklığı = 14 – 4 = 10
Alt Çeyrek =
3.
7.
1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6
A) 1, 3, 5, 7
veri dizisinin modu kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
C) 7, 8, 9, 10
E) 1, 1, 1, 2, 2, 2
7, 7, 10, 12 dizisinin modu 7 dir. Diğerlerinin modu yoktur.
8.
10, 14, 4, 5, 2, 7
B) 12
Aralık = 14 – 2 = 12
C) 11
D) 10
4, 4, 7
veri dizisinin standart sapması kaçtır?
veri dizisinin aralık değeri kaçtır?
A) 13
B) 1, 2, 2, 1
D) 7, 7, 10, 12
E) 5
Mod = 4
4.
Aşağıdaki veri dizilerinden hangisinin modu vardır?
E) 9
A) 1
B)
2
C)
3
4+ 4+ 7
=5
3
2
( 4 - 5) + ( 4 - 5) 2 + ( 7 - 5) 2
=
S=
2
D) 2
E) 3
x=
1+ 1+ 4
=
2
3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK) / Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
9.
Konu Testi - 1
13.
1, 7, 2, 5, 3, 2, 10, 8
veri dizisinin
30
mod değeri x
ortanca değeri y
B) 6
C) 8
D) 10
50
60
70
80
90
100
110
Yukarıda kutu grafiği verilen veri dizisinde
olduğuna göre, x . y çarpımının değeri kaçtır?
A) 4
40
Alt çeyrek = x
E) 12
Üst çeyrek = y
Medyan = z
1, 2, 2, 3, 5, 7, 8, 10
olduğuna göre, x + y – z ifadesinin değeri kaçtır?
3+ 5
2 =4=y
mod = x = 2
Ortanca =
A) 72
B) 74
C) 76
D) 78
E) 80
x.y = 8
x = 62, y = 86, z = 72
62 + 86 – 72 = 76
10. En küçük değeri 6 olan 5 elemanlı pozitif tam sayı terimli
bir veri dizisinin aralık değeri 13 tür.
14. Aşağıda 1995-2000 yılları arasında A marka cep telefonu-
Buna göre, bu veri dizisinin aritmetik ortalaması en
çok kaçtır?
A) 16
B) 16,2
C) 16,4
D) 16,6
nun satış sayıları verilmiştir.
Yıl
1995 1996 1997 1998 1999 2000
Satış adedi (bin) 5
15
40
30
10
25
E) 17
Buna göre, satış miktarlarına karşılık gelen kutu grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
6, 19, 19, 19, 19
6 + 19 + 19 + 19 82
= 5 = 16, 4
x=
5
A)
11. İçinde iki basamaklı 3 asal sayı bulunduran terimleri
B) 8
C) 9
D) 10
10
20
30
40
5
10
15
20
40
5
10
15
25
40
5
15
20
25
40
5
15
20
30
40
B)
birbirinden farklı pozitif tam sayılar olan bir veri dizisinin aralık değeri en az kaçtır?
A) 6
5
C)
E) 12
11, 13, 17
D)
Aralık = 17 – 11 = 6
12. Bir ayakkabı satıcısının 10 gün süreyle sattığı ayakkabı
E)
sayıları aşağıda verilmiştir.
50, 40, 30, 100, 70, 140, 40, 80, 90, 5
Buna göre, oluşan veri dizisinin çeyrekler açıklığı kaçtır?
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
5, 10, 15, 25, 30, 40
15 + 25
Medyan =
= 20
2
Alt çeyrek = 10, Üst çeyrek = 30
E) 70
5, 30 , 40, 40, 50, 70, 80, 90, 100, 140
5
10
20
30
40
Çeyrekler açıklığı = 90 – 40 = 50
1. D
2. C
3. D
4. B
5. A
6. C
7. D
8. C
9. C
10. C
11. A
12. C
13. C
14. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
6
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK) / Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
1.
Konu Testi - 2
4.
2, 3, 4, a, 5, b
Terimleri pozitif tam sayı olan 7 elemanlı bir veri dizisinin
küçükten büyüğe doğru sıralanmış yukarıdaki sayı dizisinin medyanı 4, aritmetik ortalaması 6 dır.
• Alt çeyreği 4
Buna göre, a . b çarpımı kaçtır?
• Medyanı 6
A) 70
B) 72
C) 76
D) 78
• Üst çeyreği 10
E) 80
olduğuna göre, bu veri dizisinin terimleri toplamı en
az kaçtır?
A) 40
2, 3, 4, a, 5, b
4+ a
4= 2 &a= 4
2+ 3+ 4+ 4+ 5+ b
= 6 & b = 18
x=
6
B) 41
C) 42
D) 43
E) 44
– , 4, –, 6, –, 10, –
↓ ↓ ↓ ↓
1
4 6
10
a.b = 4.18 = 72
1 + 4 + 4 + 6 + 6 + 10 + 10 = 41
2.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi daima doğrudur?
5.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, x
B) Veri dizisini eşit iki parçaya ayıran değer üst çeyrektir.
sayı dizisinin mod değeri olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı değer vardır?
C) Mod varsa veri dizisinin bir elemanıdır.
A) 6
A) Aritmetik ortalama veri dizisinin bir elemanıdır.
D) Mod değeri olmayan bir veri dizisinin medyanı hesaplanamaz.
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
E) Bir veri dizisinin aralık değeri çeyrekler açıklığından
küçüktür.
değerlerini alabilir.
Mod varsa dizinin bir elemanıdır.
3.
x, x + 2, x + 6, x – 2, x – 1
6.
veri dizisinin aritmetik ortalaması 6 olduğuna göre,
standart sapması kaçtır?
A) 3
6=
B)
10
C) 2 3
D)
15
E) 2 5
x+ x+ 2+ x+ 6+ x- 2+ x- 1
5
30 = 5x + 5 & x = 5
(5 - 6) 2 + (7 - 6) 2 + (11 - 6) 2 + (3 - 6) 2 + (4 - 6) 2
ss =
4
ss =
Aşağıdaki veri dizilerinden hangisi çift modludur?
A) 1, 2, 3, 4
B) 1, 1, 2, 3, 4
C) 1, 1, 2, 3, 3, 3
D) 1, 3, 3, 4, 4, 5
E) 2, 2, 3, 3, 4, 4
1, 3, 3, 4, 4, 5 çift modludur.
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK) / Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
7.
Konu Testi - 2
10. Aşağıdaki tabloda A, B, C, D ve E marketlerinde satılan bir
3, 4, 1, 2, 1, 4, x
ürünün 4 günlük satış miktarları verilmiştir.
veri dizisinin medyanı 3 olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
1. gün
2. gün
3. gün
4. gün
A
1
4
7
10
B
2
2
7
10
C
4
5
6
7
1, 1, 2, 3, 4, 4
D
4
10
10
16
medyan 3 ise x ≥ 3 olmalıdır. x = 2 olamaz.
E
5
5
5
40
Buna göre, 5. gün kaç tane ürün satılacağı hangi markette daha iyi tahmin edilebilir?
A) E
8.
Pozitif terimli ve sonlu bir nicel veri dizisinin aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşittir.
B) D
C) C
D) B
E) A
Standart sapması en az olan marketin tahmini daha kolaydır. O hâlde C
marketinin tahmini daha kolaydır.
Buna göre,
I. Sayı dizisinin modu, medyanına eşittir.
II. Aritmetik ortalama veri dizisinin bir elemanıdır.
III. Çift modludur.
IV. Standart sapması sıfırdır.
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
11.
Veri dizisinin tüm elemanları eşittir.
a
Örneğin, a, a, a, a, a, a
I. Mod = medyan = a
b
c
d
e
Yukarıda kutu grafiği verilen bir veri dizisi için
II. x = a
• Medyan alt çeyrekten 12 fazladır.
III.
tek modludur.
ıv.
Standart sapması sıfırdır.
• Üst çeyrek medyandan 18 fazladır.
• Veri dizisinin aralık değeri 42 dir.
• a + b + e + d = 140
Buna göre, veri dizisinin en küçük değeri ile alt çeyreğinin toplamı kaçtır?
9.
Beş kişinin aday olduğu bir seçimde adayların aldıkları oy sayıları olan A, B, C, D ve E arasında
A) 30
A = 2B = C = 3D = 6E
D) 36
E) 38
d – c = 18
A, B, C, D, E sayılarının oluşturduğu veri dizisinin
medyanı 30 olduğuna göre, E kaçtır?
B) 15
C) 34
c – b = 12
bağıntısı vardır.
A) 10
B) 32
C) 30
D) 45
E) 60
+ e – a = 42
–/
d + e – a – b = 72
+ a + b + e + d = 140
2(a + b) = 68
a + b = 34
A = 6k, B = 3k, C = 6k, D = 2k, E = k
k, 2k, 3k, 6k, 6k ⇒ 3k = 30 ⇒ k = 10
1. B
2. C
3. B
4. B
5. B
6. D
7. A
8. D
9. A
10. C
11. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
8
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK) / Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
2. Sütun Grafiği
Örnek 22:
Bir araştırma sonucunda elde edilen verilerin sütun şekilleri ile
gösterilmesine sütun grafiği denir.
Aşağıdaki tabloda A, B, C, D ve E şirketlerinde 2015 ve
2016 yıllarında çalışan sayılarının bazıları, grafikte ise 2016
yılında bu şirkette çalışanların sayılarının 2015 yılına göre
yüzde olarak değişimi şirket sırası gözetmeksizin verilmiştir.
hh İki niceliği karşılaştırmak için sütun grafiği kullanılır.
Örnek 20:
% Değişimi
Para (¨)
Yıllar
2015 2016
Şirketler
A
420
1000
900
600
B
500
C
Yıllar
2012 2013 2014 2015 2016
360
D
E
20
12,5
540
10
270
0
Şirketler
360
500
550
Yukarıdaki grafik Ozan'ın 2012-2016 yılları arasında yemeğe harcadığı para miktarları verilmiştir.
−20
−25
Buna göre, Ozan'ın 2014 yılında yemeğe harcadığı para
beş yılda yemeğe harcadığı paranın yüzde kaçıdır?
Bu şirkette çalışanların sayılarıyla ilgili şunlar bilinmektedir.
x
hh 2016 yılında A şirketinde çalışanların sayısı 2015 yılına
göre azalmıştır.
^500 + 600 + 600 + 900 + 1000h $
100 = 900
Cevap: 25
x
3600 $ 100 = 900
hh 2016 yılında B ve D şirketlerinde çalışanları sayısı 2015
yılına göre eşit sayıda artmıştır.
x = 25
Örnek 21:
Buna göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Aşağıdaki 1. grafikte bazı şehirlerin yüz ölçümleri 2. grafikte
ise bu şehirlerin nüfusları yaklaşık olarak verilmiştir.
Nüfus (Milyon)
Yüz ölçümü (milyon m2)
45
3600
30
25
850
800
20
500
10
300
A
B
C
D
E
Şehir

Grafikte 2016 yılındaki çalışan sayısı 2015 yılına
göre, %10 artış gösteren şirket hangisidir?
360 - 270
.100 = %25 azalış
360
550 - 500
E=
.100 = %10 artış
500
C=

C
D
E
B
A
3600
850
A = 45 = 80, B = 30 , 28, 5
300
500
800
C = 25 = 12, D = 20 = 25, E = 10 = 80
en az C şehridir.
A: x.
Şehir
Buna göre, hangi şehrin km2 ye düşen kişi sayısı en
azdır?
Cevap: C
2015 yılında A şirketinin çalışanlarının sayısı kaçtır?

100 - 20
100 = 420 & x = 525
2015 yılında B şirketinin çalışan sayısı kaçtır?
B ve D eşit sayıda artmışsa D; %20, B, %12,5 artmıştır.
120
x. 100 = 360 & x = 300
Cevap: E, 525, 300
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK) / Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
3. Daire Grafiği
Örnek 25:
Bir araştırma sonucunda elde edilen verilerin daire içerisine her
bölüme orantılı olacak şekilde yerleştirilmesiyle oluşan grafik
türüdür.
A, B, C ve D fabrikalarında 2015 ve 2016 yıllarındaki çalışan sayıları ile ilgili bazı bilgiler verilmiştir.
hh Bir değişkenin bir bütün içerisindeki oranını belirtmek için
daire grafiği kullanılır.
Örnek 23:
Yandaki daire grafiğinde bir elmalı
pastanın yapımında kullanılan
malzemelerin toplam ağırlığının
malzeme çeşidine göre dağılımı
gösterilmiştir.
Şeker
100°
Un
120°
Bir tepsi elmalı pasta yapımında
kullanılan un ve süt miktarı toplam
320 gramdır.
Süt
40°
70°
Yağ
Elma
hh Bu dört fabrikada 2015 ve 2016 yıllarındaki toplam çalışan sayısı değişmemiştir.
hh 2015 yılında B fabrikasındaki çalışan sayısı dört fabrika1
daki toplam çalışan sayısının
sıdır.
6
hh 2016 yılında fabrikadaki çalışan sayılarının 2015 yılındakine göre değişimi şöyledir.
•
A fabrikasında 10 azalmıştır.
•
B fabrikasında 5 artmıştır.
•
C fabrikasında 5 azalmıştır.
•
D fabrikasında 10 artmıştır.
Buna göre, bir tepsi kurabiye yapımında kaç gram elma
kullanılmıştır?
100 + 40 + 70 + 120 + x = 360° ⇒ x = 30°
120° + 40°
320 gram
DO
30°
y
320.30
y = 160 = 60
C
2016 yılındaki çalışan sayılarının
fabrikalara dağılımının daire grafiği yandaki gibidir.
Cevap: 60
60°
B
75°
120°
A
D
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

2015 yılında C fabrikasındaki çalışan sayısı kaçtır?
2016 yılında tüm fabrikalar toplamında çalışan sayısı 360x olsun
2016 ⇒ A: 105x, B: 75x, C: 60x, D: 120x
2015 ⇒ A: 105x + 10, B: 75x – 5, C: 60x + 5, D: 120x – 10
Örnek 24:
Aşağıda bir oto galeride bulunan araba markaları ve sayıları tablo ile verilmiştir.
Markalar
Audi
Renault
BMV
Ford
Toyota
Sayılar
210
90
80
120
220
Buna göre, araba markalarının sayıları bir daire grafiği
ile gösterilirse BMV marka araçlara ait diliminin merkez
açısı kaç derece olur?
Toplam araç sayısı 720 ise
DO
720
80°
x=
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
360
x
360.80
720 = 40°
Cevap: 40
1
1
75x – 5 = 360x. 6 & x = 3
1
C: 60x + 5 = 60. 3 + 5 = 25
 2
015 yılındaki toplam çalışan sayısının fabrikalara
dağılımı bir daire grafiği ile gösterildiğinde D fabrikasına karşılık gelen merkez açının ölçüsü kaç derece
olur?
1
2015 de toplam çalışan 360. 3 = 120
1
D fabrikası 120. 3 - 10 = 30
30
120 .360 = 90°
Cevap: 25, 90
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK) / Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
4. Çizgi Grafiği
Örnek 28:
Bir araştırma sonucu elde edilen bilgilerin çizgi ile ifade edilerek
gösterildiği grafik modeline çizgi grafiği denir.
Özdeş oksijen tüpleri kullanan Cihan ve Levent isimli dalgıçların denizde bulundukları derinliğin zamana göre değişimi ve oksijen tüplerinin doluluk yüzdelerinin zamana göre
değişimi aşağıdaki doğrusal grafiklerde verilmiştir.
hh Çizgi grafiği bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini inceleme için kullanılır.
Örnek 26:
Aşağıdaki doğrusal grafik yeni dikilen bir fidanın ilk beş haftalık sürede boyundaki değişimi göstermektedir.
15
Levent
10
Boy (cm)
Derinlik (m)
Cihan
36
5
6
100
Buna göre, dikildikten 4 hafta sonra bu fidanın boyu
kaç cm olmuştur?
DO
5 hafta
4 hafta
30 cm
x
10
Zaman (dk)
Doluluk (%)
Zaman hafta
5
7
Cevap: 30
5.x = 4.30 ⇒ x = 24 ⇒ 24 + 6 = 30 cm
Levent
72
Cihan
50
7
10
Zaman (dk)
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Örnek 27:
Bakteri sayısı

Levent 15 metre derinlikte iken oksijen tüpünün
yüzde kaçını kullanmıştır?
5000
4000
7 dakikada %28 kullanılırsa dakikada %4 kullanılır.
3000
15 metreye 5 dk indiğinden 5 dakika sonra 5.4 = %20 kullanmıştır.
2000
1000
1
2
3
4
5
6
Zaman (Saat)
Yukarıdaki çizgi grafiğinde ortamda bulunan bakteri sayısının ortam sıcaklığına göre değişimi saatlere göre verilmiştir.
Buna göre,
I. 0-6 saatler arsında bakteri sayısı en fazla 5000 olmuştur.

4 dakika sonunda Levent, Cihan'a göre kaç metre
daha derindedir?
10
15
Cihan dakikada 5 = 2 metre iner Levent dakikada 5 = 3 metre
iner.
4 dakika sonunda 4.3 – 4.2 = 4 metre daha derindedir.
II. 1-2 saatler arasında bakteri sayısında değişim olmamıştır.
III. Bakteri sayısındaki azalma en fazla 5-6 saatleri arasında olmuştur.
ifadelerinden hangilerine ulaşılabilir?
Bakteri sayısı en fazla 5000 olur. 1-2 saatleri arasında değişim yoktur. En fazla azalma 2-3 saatleri arasındadır. I, II
Cevap: I, II
Cevap: %20, 4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK) / Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
5. Serpilme Grafiği
Örnek 30:
İki değişken arasındaki ilişkiyi belirlemek için kullanılan grafik
türüne serpilme grafiği denir.
Aşağıdaki grafik 20 sporcunun boy ve kilolarını göstermektedir.
Kilo (kg)
Serpilme grafiği söz konusu olan iki verinin ilişkili olup olmadığını gösterir.
100
90
hh İki değişkenin değerleri aynı anda artar ve bu noktalar bir
doğru boyunca kümelenmiş ise değişkenler arasında pozitif ilişki vardır.
80
70
60
50
160
hh İki değişkenden birincinin değeri artar ikincinin değeri azalır
ve bu noktalar bir doğru boyunca kümelenmiş ise değişkenler arasında negatif ilişki vardır.
170
180
190
200
Boy (cm)
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Kilosu 60 olan kaç sporcu vardır?
4

Kilosu 90 ın altında olan sporculardan kaçının boyu
180 cm nin üzerindedir?
6
hh İki değişken yukarıda verilen iki duruma da uymuyor ise ilişki
yoktur.

Kilosu 70 in üzerinde olan sporculardan kaçının
boyu 170 cm nin üzerindedir?
7
Örnek 31:
Örnek 29:
Bir öğrencinin matematik sınavına girmeden önce çözdüğü
test sayıları ve o sınavdan aldığı puan aşağıdaki tabloda
verilmiştir.
Test Sayısı
5
15
20
10
25
18
12
Aldığı Puan
50
70
90
65
100
80
67
Buna göre, test sayısı ile aldığı puan arasında bir ilişki
olup olmadığını bulunuz.
Aldığı puan
Pozitif ilişki vardır.
Test sayısı
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Yanda bir sınıftaki
100
öğrencilerin matematik ve geometri 80
derslerinden aldıkla- 60
rı notların serpilme 40
grafiği verilmiştir.
20
Buna göre,
Matematik
20 40 60 80 100
Geometri
I. Bu sınıfta 15 kişi vardır.
II. Matematik ve geometri dersleri arasında pozitif ilişki
vardır.
III. Öğrencilerin geometri dersinden aldıkları notlar azaldıkça matematik dersinden aldıkları notlar artmaktadır.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
Sınıfta 15 kişi vardır, aralarında pozitif ilişki vardır. Geometri dersinden
aldıkları notlar azaldıkça matematik notları azalır. I, II
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK) / Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
1.
Yandaki verilen daire grafiği bir
ailenin aylık giderleri içinde kira,
yakıt, giyim, gıda ve eğitim harcamalarının payını göstermektedir.
B) 180
C) 200
Giyim
42°
Gıda
Bu ailenin aylık gıda harcamaları ¨ 400 olduğuna göre, kira
gideri kaç ¨ dir?
A) 120
4.
Yakıt
120°
Konu Testi - 3
36°
90°
Eğitim
Bir depoda 500 litre su bulunmaktadır. Bu deponun altında
bulunan musluk açıldığında depodaki su miktarının zamana göre değişimi aşağıdaki doğrusal grafikte verilmiştir.
Su miktarı (litre)
500
Kira
D) 240
E) 300
Kira merkez açısı: 360 – (120 + 42 + 36 + 90) = 72°
DO
120°
400 ¨
72°
x
0
Buna göre, musluk açıldıktan kaç saat sonra depodaki
su miktarı 75 litredir?
400.72
x = 120 = 240 ¨
A) 19
2.
Yandaki grafik A ve B
araçlarının zamana göre
aldıkları yolları göstermektedir.
Yol (km)
A
45
B) 2,5
B
C) 3
D) 3,5
B) 18
C) 17
D) 16
E) 15
500
Musluk saatte 20 = 25 litre boşaltıyor.
500 – 25.t = 75 ⇒ t = 17
20
Aynı anda ve aynı
yönde hareket eden
Zaman
bu araçlarda A aracı 5
(saat)
2
3
saat sonra mola verdiğine göre, B aracı mola yerine A dan kaç saat sonra
varır?
A) 2
Zaman (saat)
20
5.
Aşağıdaki grafikte bir iş yerinde çalışan personelin cinsiyet, yaş ve eğitim durumlara göre dağılımı gösterilmiştir.
Her sembol 1 kişiye temsil etmektedir.
Yaş
= Erkek
27
= Kadın
26
25
E) 4
24
45
20
VA = 3 = 15, VB = 2 = 10
x = 5.15 = 75 ⇒ 75 = 10.t ⇒ t = 7,5
23
7,5 – 5 = 2,5
21
22
20
3.
ul
k
Bir bilekliği oluşturulan boncuklar ve sayıları aşağıda verilmiştir.
Renk
Mavi
Sarı
Siyah
Kırmızı
Yeşil
Sayısı
4
7
5
2
6
Bilekliği oluşturan boncukların sayısı, bir daire grafiği
ile gösterilirse mavi boncukları gösteren daire diliminin merkez açısı kaç derece olur?
A) 40
DO
B) 60
24
360°
4
x
24.x = 4.360 ⇒ x = 60°
C) 80
D) 90
E) 120
İlko
l
ku
tao
Or
e
Lis
s
an
s
ans
k li
kse
ü
Y
Lis
Eğitim
Durumu
Buna göre,
I. Kadın ve erkek sayısı eşittir.
II. 5 personelin eğitim durumu yüksek lisanstır.
III. En genç personel kadın en yaşlı personel erkektir.
IV. 3 erkek personelin eğitim durumu ortaokuldur.
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
I, II, IV ifadeleri doğrudur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK) / Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
8.
Kişi Sayısı
Yandaki grafik bir otobüsteki yolcuların mes30
leklerine göre dağılımı24
nı göstermektedir.
Aşağıdaki grafikte bir torbadaki topların sayısının renklere
göre dağılımı verilmiştir.
Top sayısı
50
16
40
30
Avukat
20
A) 6
B) 10
C) 14
D) 16
E) 18
Siyah
Beyaz
Yeşil
Buna göre, x en az kaçtır?
Mavi
10
Kırmızı
Esnaf
Memur
Meslek
İşçi
Bu otobüsten x sayıda
10
yolcu inip otobüse x
sayıda yolcu binerse
otobüste her meslek
grubundan eşit sayıda
yolcu oluyor.
Sarı
6.
Konu Testi - 3
Renkler
Buna göre,
I. Torbada toplam 200 top vardır.
Toplam yolcu sayısı değişmediğinden son durumda her meslek grubun80
dan 4 = 20 kişi vardır.
O hâlde 10 işçi ve 4 memur inerse x en az x = 14 olur.
II. Kırmızı toplar torbadaki topların %20 sidir.
III. Beyaz topların sayısı siyah topların sayısının 2 katıdır.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
7.
C) I ve II
E) II ve III
Torbada toplam 40 + 50 + 40 + 20 + 20 + 30 = 200 top vardır. Kırmızı
40
toplar tüm topların 100 .100 = %20 sidir. Beyaz topların sayısı siyah3
ların 2 katıdır.
Aşağıdaki grafik bir ülkenin 2011-2016 yılları arasındaki
dış alım ve dış satım değerlerini göstermektedir.
Dış alım
Dış satım
Milyon dolar
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
9.
1000 kişiye uygulanan bir ankette öğrencilerin %54 ü düzenli olarak kitap okuduğunu belirtmiştir. Kitap okuyan öğrencilerin en çok beğendiği kitap türlerine göre dağılımını
gösteren daire grafiği aşağıda verilmiştir.
Bu ülkenin 2011 yılı dış satımı altı yıllık toplam dış satımın yüzde kaçını oluşturmaktadır?
A) 25
B) 28,5
C) 30,5
D) 35
Felsefe
80° 60°
70°
Siyasi
60°
Roman
Sosyal
2016
2015
2014
2013
2012
2011
Dini
Buna göre, Roman kitaplarını beğenen kişiler siyasi
kitapları beğenen kişilerden kaç fazladır?
E) 50
Toplam dış satım
A) 15
50 + 40 + 30 + 40 + 20 + 20 = 200
x
200. 100 = 50 & x = %25
B) 20
C) 25
D) 30
E) 40
54
1000. 100 = 540
90
70
20
540. 360 - 540. 360 = 540. 360 = 30
1. D
2. B
3. B
4. C
5. D
6. C
7. A
8. C
9. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
14
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK) / Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
1.
Konu Testi - 4
3.
Miktar (kg)
32
20
9
Sarı
Renk
Kırmızı Siyah
A noktasından B noktasına 1 saatte ulaşan Özgür burada 1 saat dinleniyor ve B noktasından hareket ederek 2
saatte C noktasına varıyor daha sonra C noktasında hiç
beklemeden tekrar A noktasına varıyor. Özgür bütün yol
boyunca sabit hızla hareket etmektedir. B noktası A ile C
nin arasındadır ve dönüşte gidişte kullandığı yolu kullanmaktadır.
Yukarıdaki sütun grafiği bir boyacının özel bir renk oluşturmak için sarı, kırmızı ve siyah renklerden kullandığı miktarları göstermektedir.
Buna göre, Özgür'ün A noktasından çıkışı ile A noktasına döndüğü ana kadar geçen zaman aralığındaki
A ya olan uzaklığını gösteren grafik aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
Buna göre, yukarıdaki dağılımın daire grafiği ile gösterimi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
Kırmızı
Siyah
Kırmızı
Sarı
1 2
4
Zaman
(saat)
7
C)
Siyah
Kır
mı
zı
E)
Sarı
ah Kırmızı
Siy
Sarı
1 2
1 3
4
9, 20 ve 32 sayıları orantılı dağıtıldığında cevap E olur.
Zaman
(saat)
6
1
A’dan uzaklık
Mayıs
Bu malın bir birimi şubat ayında kaç ¨ den satılmıştır?
C) 48
Zaman
(saat)
4
7
Zaman
(saat)
Nisan
Şubat
Mart
Grafikte + değerler kârı,
– değerler zararı göstermektedir. Bu malın 5 ay boyunca
maliyet fiyatı değişmemektedir. Malın satış fiyatı ay içinde
sabit kalmaktadır. Maldan her ay farklı adetlerde satılmaktadır. Malın ocak ayındaki satış fiyatı 120 ¨ dir.
B) 36
3 4 6
A dan B ye 1 saatte varıp 1 saat dinleniyor. Daha sonra C ye 2 saatte
varıyor. C den A ya 3 saatte dönüyor. A seçeneği doğrudur.
–40
A) 32
Zaman
(saat)
Kâr-Zarar Değişimi (%)
Ocak
Yandaki grafik birim miktardaki bir malın satışın60
dan bir yılın ilk beş ayında
50
maliyet fiyatı üzerinden
20
elde edilen kâr ya da zarar
miktarlarını yüzde olarak
–30
göstermektedir.
7
E)
1 2
2.
4
D)
A’dan uzaklık
D)
A’dan uzaklık
Sarı
Siyah
C)
ah
Siy
Kırmızı
A’dan uzaklık
B)
Sarı
A’dan uzaklık
A)
B)
D) 50
4.
Aşağıdaki serpilme grafiklerinden hangisi değişkenler
arasında pozitif bir ilişki gösterir?
A)
B)
D)
C)
E)
E) 60
150
M. 100 = 120 & M = 80
60
Subat = 80. 100 = 48
Değişkenler biri artarken diğeri de arttığı için cevap D dir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
VERİ ANALİZİ (İSTATİSTİK) / Merkezî Eğilim Ölçüleri ve Grafik Türleri
42 kişinin katıldığı bir sınavda öğrenciler 20 ile 80 arasında puanlar almıştır. Aşağıdaki grafikte her bir puanın kaçar
öğrenci tarafından alındığı gösterilmiştir.
7.
Puanlar
510
490
Alınan Puanlar
410
80
370
70
330
60
290
50
250
Onur
Ahmet
Deneme
Sınavları
40
1
30
20
8 10 12
Bu sınavda 50 nin altında puan alan öğrenciler sınıfta kalmış 50 ve üzerinde puan alanlar ise sınıfı geçmiştir.
Yukarıdaki bilgilere göre aşağıdaki ifadelerden hangisine ulaşılabilir?
Buna göre, bu sınava girenlerin yüzde kaçı sınıfı geçmiştir?
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
A) Onur 14. sınavda 350 puan almıştır.
B) Ahmet'in puanları sürekli artmıştır.
E) 50
C) Onur'un puanları sürekli azalmıştır.
20
4 + 6 + 10
=
=
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 8 .100 50 .100 %40
6.
D) Onur'un 10. sınavdaki puanı Ahmet'in 10. sınavdaki
puanından fazladır.
E) Ahmet'in 3. sınavdan aldığı puan Onur'un 3. sınavdan
aldığı puandan 20 azdır.
Bir mağazanın deposunda A, B, C ve D markalı dört çeşit
ürün vardır. Aşağıdaki dairesel grafiğin birincisinde depodaki ürünlerin toplam sayısının, ikincisinde ise depodaki
ürünlerin toplam ağırlığının ürün çeşidine göre dağılımı
gösterilmiştir.
A
B
A
60°
120°
75°
D
75°
45°
180° B
İşçi Sayısı
II. grafik
Buna göre, bir B ürününün ağırlığı, bir A ürününün
ağırlığının kaç katıdır?
3
B)
2
3
C)
4
D) 2
10
500
E) 4
5. D
6. E
7. E
8. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3000
0
90
Ürün sayısı 360, toplam ağırlık 360 olsun. B den 360 .360 = 90 tane
180
vardır ve toplam B ağırlığı 360. 360 = 180 dir. Bir tane B 2 gramdır.
120
A dan 360 .360 = 120 tane vardır ve toplam A ağırlığı 60 gramdır. Bir
1
tane A 2 gramdır.
1
2 .x = 2 ⇒ x = 4
Toplam Maliyet (¨)
50
400
Ürün
Sayısı
0
50
İşçi
Sayısı
Ürün sayısı 300 olduğuna göre, toplam maliyet kaç ¨
dir?
A) 2000
B) 2250
C) 2400
D) 2500
E) 2700
40
İşçi sayısı = 10 + 400 .300 = 40
2500
Toplam maliyet = 500 + 50 = 2500
4. D
I. grafik
16
Bir fabrikada üretilen ürün sayısı, çalıştırılan işçi sayısı ve
toplam maliyet arasında aşağıdaki gibi doğrusal bağıntılar
vardır.
C
C
1
A)
2
Ahmet 3. sınavdan 330 + 290 = 310
2
+ 410
250
Onur 3. sınavdan
= 330
2
almıştır. E seçeneği doğrudur.
8.
75°
D
17
Yukarıdaki grafik Ahmet ve Onur isimli öğrencilerin girmiş
oldukları 17 Deneme sınavından almış oldukları puanların
değişimini göstermektedir.
Öğrenci Sayısı
3. A
6
13
2. C
4
9
1. E
2
5
Cevaplar
5.
Konu Testi - 4
YGS // MATEMATİK
VERİ, SAYMA, OLASILIK
Saymanın Kuralları
FÖY NO
28
hhSAYMANIN KURALLARI
Örnek 3:
a. Toplama Yoluyla Sayma
3 kız ve 5 erkek arasından 1 kız ve 1 erkek kaç farklı
şekilde seçilebilir?
Ayrık iki işlemden birincisi a farklı şekilde, ikincisi b farklı şekilde
yapılıyor İse bu işlemlerden birincisi "veya" ikincisi a + b farklı
şekilde yapılır.
3.5 = 15
Cevap: 15
Örnek 1:
Bir sınıfta 12 kız ve 13 erkek öğrenci vardır.
Örnek 4:
Buna göre, bu sınıftan 1 kız veya 1 erkek öğrenci kaç
farklı şekilde seçilir?
10 kişilik bir sınıfta bir başkan ve bir başkan yardımcısı
kaç farklı şekilde seçilebilir?
12 + 13 = 25
Cevap: 25
Başkan Yardımcı
10
.
9
Cevap: 90
= 90
Örnek 2:
Kemal'in 3 pantolonu ve 4 kazağı vardır.
Buna göre, Kemal 1 pantolonu ya da 1 kazağı kaç farklı
şekilde seçebilir?
3+4=7
Cevap: 7
Örnek 5:
8 atletin yarıştığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklı şekilde oluşur?
b. Çarpma Yoluyla Sayma
Öğretmen
Sorusu
İki işlemden birincisi a farklı şekilde, ikincisi birinci işleme bağlı
olarak b farklı şekilde yapılıyor ise bu işlemlerden birincisi ve
ikincisi a . b şekilde yapılır.
1.
2. 3.
Cevap: 336
8 . 7 . 6 = 336
1 den m ye kadar olan doğal sayılar aşağıdaki dairelere soldan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7, 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8, ..., 20+ ... +24 + 25 + 26
sağa doğru sırayla yazılıyor.
20 tane
1 2 3 4 ... m
m = 26 dır.
Bu daireler içinde seçilen ardışık n tane sayının toplamına
1 + 2 + 3 + 4 + 5, 2 + 3 + 4 + 5 + 6, ... ,22 + 23 + 24 + 25 + 26
sıralı n li deniyor. Yukarıdaki çemberde 20 tane sıralı 7 li
olmak üzere 22 tane sıralı 5 li vardır.
olduğuna göre, kaç farklı sıralı 5 li vardır?
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Saymanın Kuralları
Örnek 6:
Örnek 8:
Bir lokantada bulunan yemekler ve çeşitleri aşağıda verilmiştir.
Aşağıda verilen şekilde oklar A, B, C ve D kentleri arasındaki yolları göstermektedir.

4 çeşit sulu yemek

3 çeşit çorba

5 çeşit tatlı

2 çeşit salata
A
Bu lokantada 1 menü içerisinde bir sulu yemek, bir çorba,
bir tatlı bir salata bulunmaktadır.
Buna göre, kaç farklı menü oluşturulabilir?
Sulu yemek Çorba Tatlı Salata
4
.
3
. 5 .
Cevap: 120
C
D
Buna göre, A kentinden D kentine kaç farklı yolla gidilebilir?
(3.2 + 2).3 = 24
Cevap: 24
2 = 120
Örnek 9:
Örnek 7:
A ve B şehirleri arasında 4 farklı yol, B ve C şehirleri arasında 3 farklı yol vardır.
A
B
C
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

B
A şehrinden C şehrine kaç farklı yolla gidilebilir?
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı doğal sayılar yazılıyor.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Kaç tane sayı yazılabilir?
5 . 5 . 5 = 125
4.3 = 12
A şehrinden C şehrine kaç farklı yolla gidip dönülebilir?
5 . 4 . 3 = 60
4.3.3.4 = 144
A şehrinden C şehrine gidişte kullanılan yolları dönüşte kullanmamak şartıyla kaç farklı şekilde gidip
dönülebilir?
4.3.2.3 = 72
A şehrinden C şehrine gidişte kullanılan yolu dönüşte kullanmamak şartıyla kaç farklı şekilde gidip
dönülebilir?
4.3.(4.3 – 1) = 12.11 = 132
Cevap: 12, 144, 72, 132
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Rakamları farklı kaç tane sayı yazılabilir?
Kaç tane tek sayı yazılabilir?
5 . 5 . 3 = 75
{1, 3, 5}
Rakamları farklı kaç tane çift sayı yazılabilir?
4 . 3 . 2 = 24
{2, 4}
Cevap: 125, 60, 75, 24
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Saymanın Kuralları
Örnek 10:
Örnek 11:
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanları kullanılarak dört basamaklı doğal sayılar yazılacaktır.
kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı doğal sayılar yazılacaktır.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Rakamları farklı 5 ile tam bölünebilen kaç sayı yazılabilir?
Kaç tane sayı yazılabilir?
5 . 6 . 6 = 180
5 . 4 . 3 . 1 = 60
{5}
Rakamları farklı kaç tane sayı yazılabilir?
Rakamları farklı 3000 den büyük kaç sayı yazılabilir?
5 . 5 . 4 = 100
5 . 5 . 4 . 3 = 300
{3, 4, 5, 6, 7}
Rakamları farklı kaç tek sayı yazılabilir?
4000 ile 6000 sayıları arasında kaç tane sayı yazılabilir?
2 . 6 . 6 . 6 = 432
4 . 4 . 3 = 48
{1, 3, 5}
Rakamları farklı 5 ile tam bölünebilen kaç tane sayı
yazılabilir?
{4, 5}
4000 den büyük kaç tane çift sayı yazılabilir?
4 . 4 . 1
{5}
+
5 . 4 . 1
{0}
16 + 20 = 36
4 . 6 . 6 . 3 = 432
{4, 5, 6 , 7}
{2, 4, 6}
Rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir?
Rakamları farklı 5000 den büyük kaç tane çift sayı
yazılabilir?
5 . 4 . 1
{0}
+
4 . 4 . 2
{2, 4}
20 + 32 = 52
{5, 6 , 7}
2 . 4 . 3 . 1 +
{5, 7}
{6}
{2, 4, 6}
200 den büyük kaç sayı yazılabilir?
3 . 4 . 3 . 2
{5, 6 , 7}
{2, 4}
4 . 6 . 6 –1
{2, 3, 4, 5}
24 + 72 = 96
144 – 1 = 143
Cevap: 60, 300, 432, 432, 96
Cevap: 180, 100, 48, 36, 52, 143
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Saymanın Kuralları
Örnek 12:
Örnek 16:
1, 2, 3, 4, 5
rakamları kullanılarak beş basamaklı rakamları farklı doğal
sayılar yazılıyor ve bu sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.
16 küçük kareden oluşan I. şeklin her satır ve sütununda bir
ve yalnız bir küçük kare taranarak II. şekildeki gibi desenler
elde edilecektir.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Baştan 49. sayı kaçtır?
1 ile başlayan 4.3.2.1 = 24
Şekil I
2 ile başlayan 4.3.2.1 = 24
sayı vardır. O hâlde 49. sayı 3 ile başlayan en küçük sayı olan 31245 tir.

Şekil II
Bu kurala göre, en çok kaç farklı desen elde edilir?
45321 sayısı baştan kaçıncı sayıdır?
1. satır 2. satır 3. satır 4. satır
1 ile başlayan 4.3.2.1 = 24
4
2 ile başlayan 4.3.2.1 = 24
3 ile başlayan 4.3.2.1 = 24
.
3
.
2
.
1
= 24
Örnek 17:
4 ile başlayan 4.3.2.1 = 24
1
sayı vardır. 45321 4 ile başlayan son sayı olduğundan baştan 96.
sayıdır.
Örnek 13:
Cevap: 24
Cevap: 31245, 96
1, 2, 3, 4
rakamları kullanılarak yazılabilecek rakamları farklı dört
basamaklı sayıların toplamı kaçtır?
Cevap: 66660
Binler basamağı 1 olan 3.2.1 = 6, yüzler basamağı 1 olan 6, onlar basamağı
1 olan 6 birler basamağı 1 olan 6 sayı vardır. Yani her sayı 6 kez kullanılmaktadır. Birler basamağında bulunan sayıların toplam (1 + 2 + 3 + 4).6 = 60 ise
2
3
4
5
6
Ayşen elindeki değişik renkteki 8 boya kabını kullanarak yukarıdaki şekilde verilen altı kareyi 3 ve 6 numaralı kareler
aynı renkte, diğer kareler ise bu karelerden ve birbirinden
farklı renklerde olmak koşuluyla boyamak istiyor.
Ayşen bu boyama işini kaç farklı şekilde yapabilir?
3 ve 6
8
1
2
4
5
Cevap: 6720
. 7 . 6 . 5 . 4 = 6720
Tüm toplam = 60.1000 + 60.100 + 60.10 + 60 = 66660
Örnek 18:
Örnek 14:
Aşağıda Facebook sayfasına giriş için kullanılan isim ve
parola verilmiştir.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek üç basamaklı sayıların kaçında 4 bulunur?
Tüm sayılar – 4 bulunmayan sayılar = 4 bulunan sayılar
Cevap: 61
5.5.5 – 4.4.4 = 4 bulunan sayılar
61 tanesinde 4 bulunan sayılar
kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek üç basamaklı sayıların kaçında en az iki basamağındaki rakam aynıdır?
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Parola:
.......
Parolanın ilk üç hanesi harflerden son dört hanesi sayılardan oluşmuştur.
A = {3, 4, 5, 6, 7}
5.5.5 – 5.4.3 = 65
Hesap Adı: çozumyayin@hotmail.com
Parola {a, b, c, d, e} harfleri ve {1, 2, 3, 4} rakamları birer
kez kullanılarak oluşturulmuştur.
Örnek 15:
Tüm sayılar – rakamları farklı sayılar
Facebook
Cevap: 65
Buna göre, kaç farklı parola türetilebilir?
5 . 4 . 3 . 4 . 3 . 2 . 1
= 1440
Cevap: 1440
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Saymanın Kuralları
1.
Konu Testi - 1
Asya'nın 3 farklı pantolonu, 4 farklı gömleği, 5 farklı kravatı
vardır.
5.
kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı üç basamaklı
kaç farklı doğal sayı yazılabilir?
Buna göre, Asya 1 farklı pantolon, 1 farklı gömlek ve 1
farklı kravatı kaç farklı şekilde giyebilir?
A) 12
B) 24
C) 30
D) 60
A) 125
E) 120
6 kişilik bir gruptan bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) 36
B) 80
C) 60
D) 24
E) 12
5 . 4 . 3 = 60
3 . 4 . 5 = 60
2.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B) 32
C) 30
D) 24
6.
A = {0, 1, 2, 3, 4}
kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı dört
basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?
E) 11
A) 125
B) 120
C) 96
D) 84
E) 60
6.5 = 30
4 . 4 . 3 . 2 = 96
3.
A dan B ye 3 farklı yol, B den C ye 4 farklı yol vardır.
7.
A
B
C
kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç
basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?
A) 72
Buna göre, A dan C ye kaç farklı yolla gidebilir?
A) 24
B) 18
C) 15
D) 12
A = {0, 2, 3, 4, 6, 7}
B) 68
C) 64
D) 60
E) 56
E) 7
5.4.1 + 4.4.3
{0}
{2, 4, 6}
3.4 = 12
4.
20 + 48 = 68
Aşağıda 4 farklı posta kutusu gösterilmiştir.
8.
A = {0, 1, 3, 5, 7}
kümesinin elemanları kullanılarak rakamları tekrarsız
5 ile tam bölünebilen üç basamaklı kaç farklı doğal
sayı yazılabilir?
A) 25
Buna göre, 3 farklı mektup bu 4 posta kutusuna kaç
farklı şekilde atılabilir?
A) 256
B) 128
C) 64
D) 24
E) 6
B) 24
C) 21
D) 20
E) 18
4.3.1 + 3.3.1
{0}
{5}
12 + 9 = 21
4 . 4 . 4 = 43 = 64
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Saymanın Kuralları
9.
Konu Testi - 1
13. 4 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı
A = {1, 2, 3, 4}
biçimde sonuçlanabilir?
kümesinin elemanları kullanılarak 200 den küçük rakamları farklı kaç doğal sayı yazılabilir?
A) 30
B) 28
C) 24
D) 22
A) 32
E) 20
B) 30
C) 24
D) 18
E) 16
Ya başarılı ya da başarısız olunacağından
2.2.2.2 = 16
4 + 4.3 + 1.3.2
{1}
14.
4 + 12 + 6 = 22
kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek üç basamaklı rakamları farklı ve birler basamağı 6 olan kaç
doğal sayı yazılabilir?
10. Aşağıda bir galeride satılan üç farklı renkte arabaya talip
olan kişilerin isimlerinin yazılı olduğu tablo verilmiştir.
Kırmızı
Beyaz
Siyah
Ali
Canan
Bekir
Kazım
Seydi
Hüseyin
A) 120
C) 48
C) 48
D) 24
E) 20
Özgür
Mahmut
15. 10 kişilik bir gruptan bir başkan, bir başkan yardımcısı ve
bir sekreter seçilecektir.
Her renkten bir aracın bulunduğu bu galeride galeri
sahibi araçlarını satacağı kişileri kaç farklı biçimde seçebilir?
B) 56
B) 72
5.4 = 20
Cüneyt
A) 60
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
D) 24
Başkanın kim olacağı belli olduğuna göre, bu seçim
kaç farklı şekilde yapılabilir?
A) 720
E) 18
B) 360
C) 180
D) 72
E) 60
Başkan Bşkn Yrd Sekreter
4.2.3 = 24
1 .
11.
9
.
8
= 72
16.
1. satır
2. satır
3 kişi yukarıda gösterilen 5 koltuğa her koltukta bir
kişi olmak üzere kaç farklı şekilde oturabilir?
3. satır
A) 120
5. satır
B) 84
C) 72
D) 60
4. satır
E) 48
Özgür, yukarıda gösterilen şekilde her bir satırda bulunan
daireleri aynı renge boyayacaktır.
5.4.3 = 60
• Özgür'ün elinde 6 farklı boya tenekesi vardır.
• Özgür art arda bulunan iki satırda bulunan daireleri
aynı renge boyamayacaktır.
12. 0, 1, 2, 3, 4 rakamları kullanılarak üç basamaklı kaç
doğal sayı yazılabilir?
A) 120
B) 100
C) 96
D) 75
Buna göre, kaç farklı şekilde boyama yapabilir?
E) 72
A) 5.64
B) 6.53
C) 66
D) 55
E) 6.54
6.5.5.5.5 = 6.54
Kullanılacak elemanlar 0, 1, 2, 3, 4 tür.
4 . 5 . 5 = 100
1. D
2. C
3. D
4. C
5. C
6. C
7. B
8. C
9. D
10. D
11. D
12. B
13. E
14. E
15. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16. E
6
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Saymanın Kuralları
1.
Konu Testi - 2
A kentinden B kentine 3, B kentinden C kentine 4, A kentinden C kentine 5 farklı yol vardır.
A
4.
B
Kare biçimindeki bir duvar önce 4 eş
kareye bölünüp sonra oluşan her bir
kare köşegenleri yardımıyla 2 parçaya toplamda 8 eş parçaya ayrılıp oluşan 4 kareden her birinin yarısı kırmızıya boyanıyor.
Buna göre, duvar kaç farklı şekilde boyanabilir?
A) 256
C
Buna göre, A kentinden C kentine kaç farklı yol ile gidilebilir?
A) 60
B) 52
C) 48
D) 30
5.
C) 90
D) 60
E) 12
{1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları aşağıda yan yana bulunan 6 çember içerisine her çemberde bir sayı olacak şekilde dağıtılıyor.
Çemberler içinde bulunan sayıların soldan sağa doğru
okunuşu ile oluşan altı basamaklı sayı ve sağdan sola
doğru okunuşu ile oluşan altı basamaklı sayı aynıdır.
kelimesinin harfleri birer defa kullanılarak yazılabilecek 4 harfli kelimelerin kaç tanesi M harfi ile başlar?
B) 100
D) 16
4 . 4 . 4 . 4 = 256
MAKİNE
A) 120
C) 64
E) 17
3.4 + 5 = 17
2.
B) 128
Buna göre, sayılar çember içerisine kaç farklı şekilde
dağıtılabilir?
E) 48
A) 625
M 5 . 4 . 3 = 5.4.3 = 60
1
2
B) 360
3
3
2
C) 216
D) 125
E) 64
1
biçiminde olacağında
5.5.5 = 125 sayı yazılabilir.
Aşağıda etkinlik düzenlenecek bir binadaki dört salon ve
bu salonlara giden yollar gösterilmiştir.
Konferans Salonu
6.
Aşağıda yan yana yerleştirilmiş üç trafik ışık sistemi gösterilmiştir. Bu sistemde her trafik ışığında kırmızı, yeşil ve
sarı ışıklardan ikisi birlikte yanmaktadır.
Kütüphane
Güvenlik
3.
Kantin
Giriş
Binanın girişinden itibaren salonlara giden yolların takip edilebilmesi için önceden belirlenmiş 6 farklı renk arasından
seçim yapılarak her bir yol farklı bir renge boyanacaktır.
Bu boyama işlemi kaç farklı biçimde yapılabilir?
A) 120
6.5.4.3 = 360
B) 180
C) 240
D) 320
E) 360
Buna göre, yukarıdaki şekilde ışıkların yanması ile kaç
farklı görüntü oluşabilir?
A) 216
B) 144
C) 120
D) 54
E) 27
Her trafik ışığında (kırmızı, sarı), (sarı, yeşil), (kırmızı, yeşil) olmak üzere
3 farklı yanma oluşacaktır. 3.3.3. = 27
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Saymanın Kuralları
7.
Konu Testi - 2
10. Aşağıdaki gibi altı kutucuktan oluşmuş şekil üzerine
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
x
kümesinin elemanlarıyla birler basamağında 1, binler
basamağında 0 bulunan, rakamları birbirinden farklı
altı basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?
A) 18
B) 24
4 3 0 2
4.3.2.1 = 24
8.
C) 30
D) 32
•
biçimindeki dört şekil yerleştirilecektir.
E) 36
1 1
Her kutuya en çok bir şekil gelecek biçimde kaç farklı
desen oluşturulur?
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A) 480
kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları
farklı doğal sayılar yazılıyor.
B) 400
C) 360
D) 320
E) 300
Birinci şekil 6, ikinci şekil 5, üçüncü şekil 4, dördüncü şekil 3 yere gelebilir.
6.5.4.3 = 360
Buna göre, bu sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında baştan 62. sayı kaç olur?
A) 364
B) 412
C) 413
D) 512
E) 513
11. 16 kareden oluşan şekildeki kâ-
1 ile başlayan 5.4 = 20
2 ile başlayan 5.4 = 20
I
Karelere 1, 2, 3, 4 sayıları her
bir bölmede yalnızca bir kez
III
yer alacak ve boş kare kalmayacak şekilde kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?
3 ile başlayan 5.4 = 20
O hâlde 62. sayı 4 ile başlayan ikinci en küçük sayı olan 413 olur.
9.
II
ğıt her biri dört kareden oluşan I,
II, III ve IV bölmelerine ayrılmıştır.
A) 34.210
Aşağıda verilen 8x10 luk bir bulmaca dikdörtgenine 6 harften oluşan bir sözcük yerleştirilecektir.
B) 212.3
C) 310.2
D) 312
IV
E) 34.212
(4.3.2.1)(4.3.2.1)(4.3.2.1)(4.3.2.1)
3.23. 3.23. 3.23. 3.23
34.212
12. Aşağıdaki 5 kavanozun üçüne A, B ve C gıda malzemeleri
konulacaktır.
• Sözcük soldan sağa doğru yerleştirilecektir.
• Her kutuya bir harf yazılacaktır.
1.
2.
3.
4.
5.
• Birinci kavanoza ya A ya da B gıda maddesi konulacaktır.
• Harfler arasında hiç boş yer kalmayacaktır.
• Sözcük yazılınca tüm harfler aynı satırda olacaktır.
Buna göre, sözcük kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?
Buna göre, gıda malzemeleri kavanozlara kaç farklı
şekilde konulabilir?
E) 48
A) 36
Her satıra 5 farklı biçimde yerleştirilir 8 satır olduğundan 5.8 = 40 farklı
şekilde yerleşebilir.
5. D
6. E
7. B
8. C
9. C
10. C
11. E
12. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
C) 45
D) 48
E) 54
2 . 3 . 3 . 3 = 54
4. A
8
B) 42
3. E
D) 42
2. D
C) 40
1. E
B) 36
Cevaplar
A) 32
• 4. kavanoza bir gıda maddesi konulmayacaktır.
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Permütasyon
hhPERMÜTASYON
Örnek 21:
n ve r doğal sayılar ve r ≤ n olmak üzere n tane elemanın r'li
sıralanışlarının her birine n'nin r'li permütasyonu denir ve
p(n, r) biçiminde gösterilir.
hh p(n, r) =
n!
(n - r) !
p(n, 2) = 6 . p(n, 1)
olduğuna göre, n kaçtır?
n(n – 1) = 6.n
Cevap: 7
n–1=6
hh p(n, r) = n.(n – 1) ... (n – r + 1)
n=7
r tane
Örnek 22:
Örnek 19:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
Aşağıda verilen ifadelerin sonuçlarını bulunuz.
kümesi için aşağıdaki soruları cevaplayınız.
p(5, 2)


p(5, 2) = 5.4 = 20
p(5, 2) = 5.4 = 20
p(10, 3)


3'lü permütasyonlarının sayısı kaçtır?
p(5, 3) = 5.4.3 = 60
p(10, 3) = 10.9.8 = 720
p(7, 1)

2'li permütasyonlarının sayısı kaçtır?
3'lü permütasyonlarının kaç tanesinde "2" eleman
olarak bulunmaz?
p(7, 1) = 7
Cevap: 20, 720, 7
Not
p(4, 3) = 4.3.2 = 24
3'lü permütasyonlarının kaç tanesinde "1" eleman
olarak bulunur?
hh p(n, n) = n!
Tüm 3 lüler – "1" bulunmayan 3 lüler
hh p(n, 0) = 1
p(5, 3) – p(4, 3)
5.4.3 – 4.3.2
36
Örnek 20:
3'lü permütasyonlarının kaç tanesinde "2" eleman
olarak bulunur "3" bulunmaz?
p(6, 2) + p(5, 5) – p(7, 0)
p(4, 3) – p(3, 3)
işleminin sonucu kaçtır?
6.5 + 5! – 1
Cevap: 149
30 + 120 – 1
4.3.2 – 3.2.1
18
Öğretmen
Sorusu
149
Cevap: 20, 60, 24, 36, 18
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
kümesinin 7 li permütasyonlarının kaçında 1,2,3 rakamlarının herhangi ikisi yan yana gelmez ?
–4–5–6–7–
p(4,4).p(5,3)
4!.5.4.3 = 2.6!
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Permütasyon
Örnek 23:
Örnek 27:
4 kişi yanyana kaç farklı biçimde fotoğraf çektirebilir?
A = {a, b, c, d, e, f}
kümesi için aşağıdaki soruları cevaplayınız.
3'lü permütasyonlarının kaç tanesinde "a" ve "b"
eleman olarak bulunur?
p(4, 4) = 4! = 24
Cevap: 24
{a, b, }
p(4, 1) . p(3, 2) = 4.6 = 24
kalan boş a ve b nin
yer için
içerideki
sıralama sıralaması
4 lü permütasyonlarının kaç tanesinde "a" veya "b"
eleman olarak bulunur?
Not
n tane nesne yer sınırlaması olmaksızın yanyana
Tüm 4 lüler – a ve b'nin olmadığı 4 lüler
p(n, n) = n!
p(6, 4) – p(4, 4)
şekilde sıralanabilir.
6.5.4.3 – 4.3.2.1
336
Cevap: 24, 336
Örnek 24:
8 atletin yarıştığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklı şekilde oluşabilir?
p(8, 3) = 8.7.6 = 336
Örnek 28:
3 kız ve 2 erkek öğrenci düz bir sıraya kaç farklı şekilde
sıralanabilir?
Cevap: 336
(3 + 2)! = 5!
Cevap: 5!
Örnek 25:
4 kişi 6 sandalyeye kaç değişik şekilde oturabilir?
p(6, 4) = 6.5.4.3 = 360
Cevap: 360
Örnek 29:
6 arkadaş belli iki arkadaş yanyana olacak şekilde yanyana
fotoğraf çektirecektir.
Örnek 26:
Buna göre, kaç farklı fotoğraf çektirebilirler?
3 farklı oyuncak 5 çocuğa bir çocuk en çok bir oyuncak
almak şartıyla kaç farklı biçimde dağıtılabilir?
p(5, 3) = 5.4.3 = 60
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 60
||||||
5!. 2!
Cevap: 5! . 2!
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Permütasyon
Örnek 30:
Örnek 32:
4 kız ve 2 erkek öğrenci düz bir sıraya erkekler yanyana
gelmemek şartıyla kaç farklı biçimde dizilebilir?
K K K K EE
Cevap: 4.5!
(tüm durum) – (erkeklerin yanyana olma durumu)
6! – 5!.2!
ÇÖZÜM
kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da
anlamsız 5 harfli kelimeler yazılıyor.
Buna göre,
Kaç farklı kelime yazılabilir?
5!
6.5! – 2.5!
5!.(6 – 2)
4.5!
Ö ve Z harflerinin yanyana olduğu kaç kelime yazılabilir?
Örnek 31:
Birbirinden farklı 2 fizik, 4 Türkçe ve 5 matematik kitabı bir
rafa dizilecektir.
ÖZ ÇÜM
4!.2!
Buna göre,
Kaç farklı biçimde dizilebilir?
M harfi ile başlayıp Z harfi ile biten kaç kelime yazılabilir?
11!
M ÇÖÜ Z
Matematik kitaplarının tümü bir arada olmak şartıyla
kaç farklı biçimde dizilebilir?
MMMMM FF TTTT
3!
Cevap: 5!, 4!.2!, 3!
Örnek 33:
7!.5!
12357
Aynı tür kitapların bir arada olması şartıyla kaç değişik biçimde dizilebilir?
beş basamaklı sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek
beş basamaklı sayılar yazılıyor.
MMMMM FF TTTT
Buna göre,
3!.5!.2!.4!
Kaç farklı sayı yazılabilir?
5!
Fizik kitapları yanyana olmamak şartıyla kaç farklı
biçimde dizilebilir?
MMMMM FF TTTT
(Tüm sıralama sayısı) – (fizik kitaplarının yanyana olma durumu)
11! – 10!.2!
5 ile tam bölünebilen kaç farklı sayı yazılabilir?
1237 5
4!
11.10! – 10!.2
10!(11 – 2) = 9.10!
Cevap: 5!, 4!
Cevap: 11!, 7!.5!, 3!.5!.2!.4!, 9.10!
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Permütasyon
Örnek 34:
Örnek 38:
5 kız ve 4 erkek öğrenci düz bir sıraya her iki kız arasına bir
erkek gelecek şekilde sıralanıyor.
Buna göre, kaç farklı sıralama oluşturulabilir?
KEKEKEKEK
KEMAN
kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilecek anlamlı veya anlamsız 5 harfli kelimelerin kaçında
M harfi N harfinin solundadır?
Cevap: 5!.4!
Cevap: 60
1
M harfi N nin ya solunda ya sağındadır. O hâlde tüm sayılarının 2 si koşula
uygundur.
1
1
5!. 2 = 120. 2 = 60
5!.4!
Örnek 35:
Anne, baba ve beş çocuktan oluşan bir aile bir banka yanyana oturacaktır.
Buna göre, anne ile baba arasında en büyük çocuk oturacak şekilde kaç farklı biçimde oturabilirler?
Örnek 39:
A, B, C birer rakam olmak üzere
C<B<A
A |B||||
Cevap: 5!.2!
5!.2!
koşuluyla sağlanan kaç tane üç basamaklı ABC sayısı
vardır?
A) 72
B) 81
C) 90
D) 108
E) 120
Örnek 36:
Cevap: E
4 evli çift yanyana sıralanacaktır.
Buna göre, evli çiftler daima yanyana olmak üzere kaç
farklı şekilde sıralanabilir?
|| || || ||
345 sayısı ele alınırsa 3, 4, 5 rakamları ile 3! = 6 sayı yazılabilir. Bunların
1
1 tanesi C < B < A koşuluna uygundur. O hâlde tüm sayıların 6 sı koşula
uygundur.
1
10.9.8. 6 = 120
Cevap: 4!.2!.2!.2!.2!
4!.2!.2!.2!.2!
Örnek 40:
Ahmet, Burcu, Cemile, Duygu ve Engin isimli beş arkadaş
yanyana fotoğraf çektirecektir.
A Ahmet, Burcu ile Cemile'nin arasında olacaktır.
Örnek 37:
Örneğin,
5 kimya, 3 fizik kitabı bir rafa yanyana dizilecektir.
Duygu, Burcu, Engin, Ahmet, Cemile
Buna göre, hiçbir fizik kitabının yanyana olmadığı kaç
farklı dizilim yapılabilir?
–K–K–K–K–K–
5!.p(6,3)
5!.6.5.4 = 120.5!
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 120.5!
Buna göre, kaç farklı fotoğraf çektirilebilir?
Cevap: 40
Burcu, Ahmet ve Cemile'nin birbirine göre 3! = 6 durumu vardır. Bunların
2
2 tanesinde Ahmet Burcu ile Cemile arasındadır. O hâlde tüm durum 6 sı
koşula uygundur.
2
1
5!. 6 = 120. 3 = 40
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Permütasyon
1.
Konu Testi - 3
5.
p(7, 2)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 30
B) 35
C) 36
D) 42
A = {a, b, c, d, e}
kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaçında a eleman olarak bulunmaz?
E) 56
A) 36
B) 32
C) 24
D) 20
E) 16
p(7, 2) = 7.6 = 42
p(4, 4) = 4! = 24
2.
6.
p(3, 3) + p(7, 0)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 10
D) 12
A = {1, 3, 5, 7, 9}
kümesinin üçlü permütasyonlarının kaçında 9 eleman
olarak bulunur?
E) 15
A) 56
B) 45
C) 42
D) 40
E) 36
3! + 1 = 6 + 1 = 7
p(5, 3) – p(4, 3)
5.4.3 – 4.3.2 = 60– 24 = 36
p (n, 2)
=3
p (n, 1)
3.
7.
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
3 öğrenci 5 kişilik bir koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?
A) 60
E) 6
n ( n - 1)
= 3 & n- 1 = 3
n
B) 56
C) 48
D) 45
E) 36
p(5, 3) = 5.4.3 = 60
&n= 4
4.
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
8.
kümesinin 3 lü permütasyonlarının sayısı kaçtır?
Birbirinden farklı 3 sarı 5 kırmızı mandal bir ipe kaç
farklı şekilde dizilebilir?
A) 360
A) 8!
B) 240
p(6, 3) = 6.5.4 = 120
C) 180
D) 120
E) 60
B) 3!.5!
C) 8.4!
D) 3.5!
E) 5.3!
p(8, 8) = 8!
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Permütasyon
9.
Konu Testi - 3
3 kız ve 4 erkek öğrenci kız öğrenciler yan yana olmak
üzere düz bir sıraya kaç farklı şekilde sıralanabilir?
A) 7!
B) 4.7!
C) 5!.3!
D) 4!.4!
13.
KEMAL
kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da
anlamsız beş harfli kelimeler yazılıyor.
E) 4!.5!
Buna göre, kaç kelime yazılabilir?
KKK EEEE
A) 720
5!.3!
B) 360
C) 240
D) 120
E) 60
5! = 120
10. Birbirinden farklı 2 mavi, 3 kırmızı boncuk düz bir ipe
aynı renkli olan boncuklar yan yana olmak üzere kaç
farklı biçimde sıralanabilir?
A) 48
B) 36
C) 30
D) 24
E) 20
14.
23516
beş basamaklı sayısının rakamlarının yerlerini değiştirerek beş basamaklı sayılar yazılıyor.
Buna göre, 6 ile başlayan kaç sayı yazılabilir?
A) 48
MM KKK
B) 36
C) 30
D) 28
E) 24
2!.3!.2! = 2.6.2 = 24
6 2351
4! = 24
11. Birbirinden farklı 3 matematik, 2 tarih, 2 geometri kitabı bir
rafa dizilecektir.
Buna göre, geometri kitapları iki uçta olmak şartıyla
kaç farklı şekilde dizilir?
A) 5!
B) 5!.2!
D) 3!.2!.2!
C) 3!.2!
15. Ali, Berk ve Cengiz'in aralarında bulunduğu 5 kişilik bir
grup yan yana fotoğraf çektirecektir.
Buna göre, Ali ile Cengiz'in arasında yalnızca Berk'in
bulunduğu kaç fotoğraf çekilebilir?
A) 12
E) 5!.3!
B) 18
C) 24
D) 36
E) 48
Ali, Berk, Cengiz , |, |
GMMMTTG
3!.2! = 6.2 = 12
5!.2!
12. 6 öğretmenin bulunduğu bir grup içindeki 2 öğretmen birbiri ile dargındır.
Buna göre, dargın öğretmenler yan yana gelmemek şartıyla düz bir sıraya kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
A) 5!
B) 5.4!
C) 4.5!
D) 4.6!
E) 6!
16. Birbirinden farklı 4 kırmızı araba ile 3 siyah araba bir otoparka yan yana park edilecektir.
Buna göre, her iki kırmızı araba arasında bir siyah arabanın bulunacağı kaç farklı dizilim yapılabilir?
A) 3.4!
B) 4.3!
C) 4!.3!
D) 5!.3!
E) 7!
DD ÖÖÖÖ
Tüm durum - Yan yana gelme durumu
KSKSKSK
6! – 5!.2!
4!.3!
6.5! – 5!.2
5!(6 – 2) = 4.5!
1. D
2. B
3. C
4. D
5. C
6. E
7. A
8. A
9. C
10. D
11. B
12. C
13. D
14. E
15. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16. C
14
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Permütasyon
1.
Konu Testi - 4
4.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde "1"
bulunur ancak "2" bulunmaz?
A) 60
B) 56
C) 48
D) 36
Yazarları farklı 3 matematik, 2 fizik ve 2 kimya kitabı bir
rafa aşağıdaki koşullara uygun olarak dizilecektir.
• Aynı dersin kitapları bir arada olacaktır.
• Matematik kitaplarından belli bir tanesi matematik kitaplarının ortasında olacaktır.
E) 24
Buna göre, kitaplar rafa kaç farklı biçimde dizilebilir?
p(5, 3) – p(4, 3)
A) 60
5.4.3 – 4.3.2 = 60 – 24 = 36
B) 56
MMM
C) 48
D) 42
E) 36
FF KK
3!.2!.2!.2! = 6.2.2.2 = 48
2.
5.
A = {a, b, c, d, e, f}
kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde "a"
veya "b" bulunur?
A) 120
B) 96
C) 84
D) 72
A) 2.6!
E) 60
6.
3 evli çift ile 2 bekârdan oluşan 8 kişilik arkadaş topluluğu
bir kanepeye aşağıdaki koşullara uygun olarak oturacaktır.
D) 7!
E) 4!.3!
Bir kütüphanede kalınlıkları 3 cm ve 5 cm olan birbirinden
farklı kitaplar bulunmaktadır.
• Kütüphane görevlisi genişliği 30 cm olan bir rafa, rafta
boş yer kalmayacak şekilde yan yana 8 kitap yerleştiriyor.
• Çiftlerin her biri eşleriyle yan yana olacaktır.
• Bekârlar yan yana olmayacaktır.
Bu kişiler kanepeye kaç farklı biçimde oturabilir?
B) 600
C) 2.7!
4!.p(5, 3) = 5.4.3.4! = 2.6!
6.5.4 – 4.3.2 = 120 – 24 = 96
A) 648
B) 6!
–E–E–E–E–
p(6, 3) – p(4, 3)
3.
3 kız ve 4 erkek öğrenci, kızlardan herhangi ikisi yan
yana bulunmamak koşuluyla düz bir sıraya kaç farklı
biçimde sıralanabilir?
C) 582
– E1E1 – E2E2 – E3E3 –
2!.2!.2!.3!.p(4, 2) = 6.4.3 = 576
D) 576
E) 480
Buna göre bu 8 kitap ile kalınlıkları aynı olan kitapların
yan yana olduğu kaç farklı dizilim yapılabilir?
A) 2!.2!.6!
D) 2!.4!.4!
3 cm
5 cm
x
y
B) 5!.3!
C) 4!.4!
E) 2!.3!.5!
3x + 5y = 30
+
–3/
x+y=8
2y = 6 ⇒ y =3 ⇒ x = 5
2!.3!.5!
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Permütasyon
7.
Konu Testi - 4
Ali, Burak, Cem, Deniz ve Emre beş kişilik bir banka aşağıdaki kurallara göre oturacaktır.
10.
Yukarıda verilen sayı ve harfler kullanılarak 5 haneli şifreler aşağıdaki kurallara göre oluşturuluyor.
• Ali ve Burak yan yana olacaktır.
• Bankın bir ucunda Cem, diğer ucundaysa Deniz olacaktır.
• Şifre 3 rakam 2 harften oluşmaktadır.
• Rakamlar soldan sağa doğru artacak biçimde sıralanacaktır.
Buna göre, bu beş kişi banka kaç farklı şekilde oturabilir?
A) 4
Cem
B) 6
Ali
C) 8
Burak
D) 9
1, 2, 3, a, b, c
Buna göre, kaç farklı şifre oluşturabilir?
E) 12
A) 120
B) 96
C) 84
D) 72
E) 60
Üç rakam kendi arasında 3! = 6 farklı şekilde sıralanır bunların 1 tanesi
Emre Deniz
1
koşulu sağlar o halde tüm durumun 6 sı sıralamaya uyar.
2!.2!.2! = 8
Harfler ab – ac – bc olmak üzere 3 farklı şekilde sıralanır.
1
5!.3. 6 = 60
11.
8.
METİN
kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilecek anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kelimelerin kaçı M
ile başlar N ile bitmez?
Beş kişilik bir arabaya binecek beş kişiden oluşan bir arkadaş grubunun ikisinin ehliyeti vardır.
A) 36
Arabayı ehliyeti olan bir kişi kullanacağına göre, araca
kaç farklı biçimde binilebilir?
METİN
A) 64
4! – 3! = 18
B) 60
C) 56
D) 48
B) 28
C) 24
D) 18
E) 16
M ile başlayan Tüm durum – M ile başlayıp N ile biten durum
E) 36
2.4! = 48
12.
9.
Ahmet, Cansu ve Kemal mezuniyet törenine anne ve babalarıyla katılıyor.
Bir sahnede önde 3, arkada 5 olmak üzere 8 kişilik yer
vardır.
Buna göre, her çocuk kendi anne ve babasının arasında olmak üzere yan yana kaç farklı fotoğraf çektirebilirler?
A) 72
B) 60
A Ahmet B
C) 56
A Cansu B
D) 48
5 erkek, 3 kız öğrenci kızlar yan yana olmak koşuluyla
sahnede kaç farklı şekilde oturabilirler?
E) 36
A) 6!
A Kemal B
B) 6!.3!
C) 4!.5!
D) 3!.5!
E) 8!
3!.2!.2!.2! = 6.8 = 48
3 kız öğrencinin yan yana oturabileceği 4 farklı durum vardır.
3!.5!. 4 = 4!.5!
1. D
2. B
3. D
4. C
5. A
6. E
7. C
8. D
9. D
10. E
11. D
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
29
TARAMA
1.
c1 -
4.
3
3
5
m $ c1 - m $ c1 m
5
8
13
işleminin sonucu kaçtır?
A)
1
13
B)
2
13
C)
3
13
D)
4
13
E)
p ve q asal sayılarının farkı 4 ise bu asal sayılara "kuzen
asal çifti" denir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kuzen asal çiftinin
toplamı olamaz?
5
13
A) 10
2 5 8
2
5 . 8 . 13 = 13
B) 18
C) 42
D) 78
E) 84
10 = 7 + 3, 18 = 7 + 11, 42 = 23 + 19
78 = 37 + 41 olduğunda 84 olamaz.
2.
0, 75 -
0, 2
0, 1
0, 3 +
0, 5
5.
n = n.(n + 1).(n + 2).(n + 3)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0,25
B) 0,3
C) 0,35
D) 0,4
olduğuna göre,
E) 0,45
12 - 10
8
0, 2
75
3 0, 2
100 - 3
1 = 4- 5
+
10
10 5
3
2 10
= 4 - 10 . 5
3 2
= 4- 5
7
= 20 = 0, 35
3.
•
|a| = 2
•
|b| = 5
•
|c| = 6
•
c<a<b
•
a.b.c > 0
işleminin sonucu kaçtır?
A)
B) –9
|a| = 2 ⇒ a = 2, a = –2
|b| = 5 ⇒ b = 5, b = –5
|c| = 6 ⇒ c = 6, c = –6
c < a < b ve a.b.c > 0 ise
c = –6, a = –2, b = 5
65
33
B) 2
C)
67
33
D)
68
33
E)
23
11
12.13.14.15 - 10.11.12.13
8.9.10.11
12.13 (210 - 110) 12.13.100
=
8.9.10.11
8.9.10 .11
130 65
= 66 = 33
6.
x ve y pozitif tam sayılardır.
x y
4
= =
4 5 y- x
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) –13
Her n pozitif tam sayısı için
C) –3
D) 9
olduğuna göre, x + y toplamının değeri kaçtır?
E) 13
A) 24
B) 20
C) 18
D) 15
E) 12
y
x
4
4 = 5 = y- x = k
4
x = 4k, y = 5k, y - x = k
4
5k - 4k = k & k 2 = 4 & k = 2
x + y = 9k = 18
a + b + c = –3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
Tarama 7.
10. ACB üç, AC iki basamaklı sayılardır.
3 x+ 1
6x = c m
4
olduğuna göre,
4
A)
3
3 x .2 x =
ACB
8x
+ A C
ifadesinin değeri kaçtır?
5
B)
3
C)
3
4
D) 3
3BC
E) 4
olduğuna göre, A . C çarpımı kaçtır?
x
A) 12
3 .3
3
& 2 x .4 x = 4
4 x .4
3
& 8x = 4
B) 14
C) 15
D) 16
E) 21
D)
E)
ACB + AC = 3BC
110A + 11C + B = 300 + 10B + C
110A + 10C = 9B + 300
B = 0, A = 2, C = 8 ⇒ A.C = 16
a b a
, ,
5 a 3
sayıları küçükten büyüğe doğru sıralı olarak verilmiş ardışık tam sayılardır.
8.
Buna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
A) 105
B) 100
C) 90
D) 75
E) 60
a a
2a
3 - 5 = 2 & 15 = 2 & a = 15
b
15
15 - 5 = 1 & b = 60
12
11.
27 +
a + b = 75
1
3
işleminin sonucu kaçtır?
A)
9.
x ve y pozitif tam sayılardır.
2
3
2 3
• 0 < x < 50
3 3+
• 0 < y < 50
B)
3
5
C)
1
2
3
6
2 3
3
3
1 = 10 = 2 3 . 10 = 5
3
3
olduğuna göre, kaç farklı (x, y) sıralı ikilisi için x + y
toplamı iki basamaklı bir sayıdır?
A) 2365
x
B) 2400
C) 2435
D) 2470
E) 2485
y
1 için
{9, 10, 11, ... 49} ⇒ 41 tane
2 için
{8, 9, 10, ... 49} ⇒ 42 tane
3 için
{7, 8, 9, ... 49} ⇒ 43 tane
4 için
{6, 7, 8, ... 49} ⇒ 44 tane
işleminin sonucu kaçtır?
A)
⁞ ⁞
8 için
{2, 3, 4, ... 49} ⇒ 48 tane
9 için
{1, 2, 3, ... 49} ⇒ 49 tane
⁞ ⁞
49 için {1, 2, 3, ... 49} ⇒ 49 tane
41
41 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48 + 49 + 49 + ... + 49 = 356 + 2009
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
4
5
B)
5
6
C)
6
7
8.7.6! - 7.6! - 6!.1 6! (56 - 7 - 1)
=
8. 7. 6 !
8.7.6!
48
6
= 8. 7 = 7
10 için {1, 2, 3, ... 49} ⇒ 49 tane
8! - 7! - 6!
8!
12.
= 2365
D)
7
8
E)
8
9
Tarama
13. x, y ve z birer tam sayı olmak üzere
16. Hızları saatte 30 km ve 24 km olan iki bisikletli dairesel bir
pist üzerinde aynı noktadan aynı yöne doğru aynı anda
harekete başlıyor.
• x . y çarpımı çift sayıdır.
• x + z toplamı tek sayıdır.
Yavaş olan bisikletli 3. turu tamamladığında, hızlı olan bisikletlinin 4. turu tamamlamasına 6 km kalıyor.
• y + z toplamı tek sayıdır.
Buna göre,
Buna göre, pistin uzunluğu kaç km dir?
I. x tek sayıdır.
A) 8
II. y çift sayıdır.
III. z tek sayıdır.
B) Yalnız III
D) II ve III
C) 20
D) 24
E) 28
t saat sonra pist = x olmak üzere
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) 16
24.t = 3x
C) I ve II
30.t = 4x – 6
24
3x
4
3x
- =
=
=
30 4x - 6 & 5 4x - 6 & 16x 24 15x
x = 24
E) I, II ve III
x tek olsun
y çift z çift olur. Ancak y + z tek olduğundan x tek değil çifttir.
x çift ⇒ z tek ve y çifttir.
17. Bir çiftçi bahçesinden 10 kg maydanoz, 16 kg ıspanak ve
20 kg pırasa toplamış sonra bu sebzelerin kg satış fiyatlarını,
• Ispanak, maydanozdan %20 pahalı
14.
• Pırasa, maydanozdan %30 pahalı
A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}
olacak biçimde belirlenmiştir.
kümesinin 2 elemanlı tüm alt kümeleri yazılıyor.
• Çiftçi bu sebzelerin tamamını belirlediği fiyattan satarak 1104 ¨ gelir elde etmiştir.
Bu alt kümelerin her birinin elemanları toplamı ayrı ayrı hesaplanıyor ve bu sayılardan B kümesi oluşturuluyor.
Buna göre, maydanozun kg satış fiyatı kaç ¨ dir?
Buna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 9
B) 11
C) 13
D) 15
E) 17
Elemanların en büyüğü 3 + 2 = 5
Elemanların en küçüğü –3 – 2 = –5
18.
15. p bir asal sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere
C) 18
Pırasa
Ispanak
100x
130x
120x
D) 20
E) 24
eşitliği sağlanıyor.
10x = 2
100x = 20
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A) 56
Buna göre, p + n toplamı kaçtır?
D) 16
5520x = 1104
kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek rakamları farklı iki basamaklı kaç doğal sayı vardır?
p . n = 3p
C) 15
Maydanoz
s(B) = 11
B) 12
B) 15
10.100x + 16.120x + 20.130x = 1104
B = {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
A) 10
A) 12
B) 54
C) 52
D) 48
E) 42
E) 18
7.6 = 42
p = 3 için 3n = 33 ⇒ n = 9
3 + 9 = 12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
Tarama 19. Bir taş sanatçısı renkli taşları üst üste koyarak çiçek ve
yıldız motifleri elde ediyor.
22. Bir çikolata fabrikasında üretilen çikolatalar 0,4 litrelik veya
0,8 litrelik cam kavanozlara doldurulmaktadır.
Bu sanatçı her sırada
• 0,4 litrelik çikolataların maliyeti 4 ¨ dir.
• 25 tane olmak üzere 4 sıra taşla bir çiçek motifi
• 0,8 litrelik çikolataların maliyeti 9 ¨ dir.
• 30 tane olmak üzere 3 sıra taşla bir yıldız motifi
• 0,8 litrelik camın maliyeti 0,4 litrelik camın maliyetinden 2 ¨ fazladır.
oluşturuyor.
Bu sanatçı toplam 1150 tane taş kullanarak 12 tane motif
oluşturmuştur.
Buna göre, sanatçının oluşturduğu çiçek motifi sayısı
kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 7
D) 9
E) 10
Buna göre, 0,4 litrelik bir camın maliyeti kaç ¨ dir?
A) 1
B) 1,2
C) 1,4
D) 2
E) 2,3
0,4 litre çikolata x ¨ olsun.
0,4 litrelik camın maliyeti a, 0,8 litrelik camın maliyeti a + 2 olur.
–1/
+
x+a=4
2x + a + 2 = 9
x=3⇒a=1
Çiçek için 100 taş, yıldız için 90 taş gereklidir. Çiçek motifi x olsun
100.x + (12 – x).90 = 1150
100x + 1080 – 90x = 1150
10x = 70
23. Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
x=7
y
3
20.
1, 3, 5, 2, 7, 10, 13, 5, 9
–3
x
1
veri dizisinin çeyrekler açıklığı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
1, 2, 3, 5, 5, 7, 9, 10, 13
Buna göre, y = –f(x – 3) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
9 + 10 2 + 3 14
2 - 2 = 2 =7
x+2= 5&
C) 80
D) 84
y
E)
–6
E) 86
–2
y
y
y = f(x – 3)
3
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
x
–4
x = 3&x= 9
f (5) = 9 2 - 9 + 4 = 81 - 5 = 76
4
3
x
–3
olduğuna göre, f(5) ifadesinin değeri kaçtır?
B) 78
y
D)
–3
f ^ x + 2h = x 2 - x + 4
A) 76
x
–4
y
4
21.
3
x
4
C)
y
B)
3
x
4
⇒
–3
x
x
Tarama
24. Bir yarışmada 1300 ¨ lik para ödülü ilk üç dereceyi alan
27. Bir kafede bulunan iki tost makinesinden A markalı olan
yarışmacılar arasında sırasıyla 5 : 3 : 2 oranında paylaştırılacaktır.
10 dakikada 2 tost, B markalı olan 10 dakikada 3 tost yapabiliyor.
Para ödüllerini almaya giden bu yarışmacılardan her biri
ödüllerini 100 ¨ lik banknotlar hâlinde ödenebilen kısmını
alabilmiştir.
Bu makinelerde aynı anda tost yapmaya başlayan Caner A
markalı makine ile 30 tost yaptığı zamanda B markalı makinenin yapması gereken 15 tost daha olduğunu görüyor.
Buna göre, yarışmacıların alabildiği toplam ödül miktarı kaç ¨ dir?
Tostları aynı anda tamamlayan bu tost makineleri toplam kaç tost yapmıştır?
A) 1200
A) 140
B) 1100
C) 1000
D) 900
E) 800
B) 130
C) 120
D) 110
E) 100
Birinci 5k, ikinci 3k, üçüncü 2k alsın.
A 30 tostu yaptığı zamanda B 45 tost yapar o hâlde B nin yaptığı toplam
tost 60 dır. B 60 tost yapana kadar A 40 tost yapar.
5k + 3k + 2k = 1300 ⇒ k = 130
1.
2. 3.
60 + 40 = 100
650 390 260
o hâlde 600 + 300 + 200 = 1100
25. Aşağıdaki doğrusal grafik A ve B musluklarının bir havuza
akıttığı su miktarının zamana göre değişimine göstermektedir.
Su miktarı (cm3)
A
28.
200
B
120
4
6
5+
24 . ^ 12 +
8-
3 - 18 h
işleminin sonucu kaçtır?
Zaman (dakika)
Bu havuz boşken A ve B muslukları aynı anda açıldığında
havuz 24 dakikada doluyor.
A) 1
B)
C)
2
3
D)
6
E) 3
5 + 2 6 . ^2 3 + 2 2 - 3 - 3 2 h
2 h.^ 3 - 2 h = 3 - 2 = 1
^ 3+
B musluğunun dakikada akıttığı su miktarı 2 katına
2
çıkarılır, A musluğunun dakikada akıttığı su miktarı
5
oranında azaltılırsa ikisi birlikte boş havuzu kaç dakikada doldurur?
A) 15
B) 16
C) 18
D) 24
E) 30
29. A ve B kümeleri için
A dakikada 50 lt, B dakikada 20 litre su akıtır.
(50 + 20).24 = (40 + 30).x
• 3 s(A – B) = 2 s(B – A) = 6 s(A ∩ B)
x = 24
• s(A) = 18
olduğuna göre, s(A ∪ B) değeri kaçtır?
26. Bir sınıfta kız öğrenci sayısı erkek öğrenci sayısının 2 katına eşittir.
Bu sınıfta bulunan öğrenciler düz bir sıraya kızlar yan yana
olmak şartıyla 6!.10! farklı şekilde sıralanıyor.
Buna göre, erkek öğrenci sayısı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
A) 24
B) 36
D) 54
E) 72
3s(A – B) = 2s(B – A) = 6s(A ∩ B) = 6k
A
B
2k
E) 8
C) 48
k
3k
3k = 18 ⇒ k = 6 ⇒ 6k = 36
K: 2x, E: x
(x + 1)!.(2x)! = 6!.10! ⇒ x = 5
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
Tarama 30. y = f(x) birim fonksiyondur.
33. Aşağıdaki grafikte bir bölgede 2010 ve 2015 yıllarında çalışan nüfusun iş alanlarına göre dağılımı gösterilmiştir.
f(2x – 1) + f(x) + f(3x – 1) = 34
A) 2
B) 3
2015
2010
İş Alanı
olduğuna göre, x kaçtır?
C) 4
D) 5
E) 6
Eğitim
Turizm
İletişim
f(2x – 1) + f(x) + f(3x – 1) = 34
2x – 1 + x + 3x – 1 = 34
6x = 36
x=6
Sağlık
Çalışan Nüfus
(x 1000 kişi)
50 100 150 200 250 300 350
2010 yılında iletişim alanında çalışan sayısı 2015 yılında bütün alanlarda çalışan işçi sayısının % kaçıdır?
A) 10
31. Millî Eğitim Bakanlığına ait EBA sisteminde öğrencilerine
bir deneme sınavı oluşturacak matematik öğretmeni aşağıda verilen tabloda cevap anahtarı oluşturacaktır.
A
B
C
D
E
D) 25
E) 30
verilmiştir.
2
Kale Arkasi
3
⁞
⁞
⁞
⁞
⁞
10
Ardışık üç sorunun cevap şıkkı birbirinden farklı olacağına göre, kaç farklı cevap anahtarı oluşturabilir?
A) 510
C) 20
34. Aşağıdaki tabloda bir futbol maçı için belirtilen bilet tarifesi
1
⁞
B) 14
x
1000. 100 = 250 & x = %25
B) 5.410
C) 20.310 D) 4.510
E) 20.38
5.4.3.3.3....3 = 20.38
8 tane
Maraton
Şeref Tribünü
Tam
Öğrenci
Tam
Öğrenci
Tam
Öğrenci
6¨
10 ¨
10 ¨
15 ¨
30 ¨
40 ¨
Bu maç için bilet alan bir grup seyirci ile ilgili aşağıdakiler
bilinmektedir.
• Bu seyirci grubu toplam 1600 ¨ ödemiştir.
• Kale arkası ve maraton bileti alan seyircilerin ödediği
para ile şeref tribünü için bilet alan seyircilerin ödediği
paralar eşittir.
2
• Kale arkası bileti alanların ü, maraton bileti alanların
3
1
i öğrenci bileti
yarısı, şerefi tribünü bileti alanların
5
almıştır.
• Bu gruptaki kişi sayısı 112 dir.
32.
Buna göre, bu grupta kale arkasına bilet alan kaç kişi
vardır?
A = {a, b, c, d, e, k}
kümesinin elemanları kullanılarak harfleri farklı 6 harfli kelimeler yazılıyor.
Buna göre bu kelimelerin kaçında cek hecesi vardır?
A) 12
B) 24
C) 48
D) 72
E) 144
A) 100
B) 90
C) 75
Kale Arkasi
D) 65
Maraton
4! = 24
6
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Şeref Tribünü
Ö
T
Ö
T
Ö
T
2a
a
b
b
c
4c
20a + 6a + 15b + 10b + 40c + 120c = 1600
20a + 6a + 15b + 10b = 40c + 120c olduğundan
cek abd
E) 50
160c + 160c = 1600 ⇒ c = 5
26a + 25b = 800
3a + 2b = 87
⇒ a = 25, b = 6 ⇒ 3a = 75
Tarama
35. 1, 2, 3, 4 ve 5 rakamları kullanılarak rakamları birbirinden
farklı üç basamaklı sayılar yazılıyor.
38. Aşağıdaki grafiklerin birincisinde bir ülkedeki A, B, C, D ve
E ürünlerinin 2014 yılındaki ihracat miktarları ikincisinde
ise bu ürünlerin 2015 yılındaki ihracatının 2014 yılına göre
artış ve azalış miktarları verilmiştir.
Bu şekilde yazılan üç basamaklı sayıların tümü küçükten büyüğe doğru sıralandığında 36. sayı kaç olur?
A) 342
B) 352
C) 354
D) 412
İhracat Miktarı (ton)
E) 453
800
700
1 ile başlayan 4 . 3 = 12
2 ile başlayan 4 . 3 = 12
3 ile başlayan 4 . 3 = 12
sayı yazılabilir o hâlde 36. sayı 354 tür.
2014
400
300
200
2
1+ $
8
36.
2
1+ $
9
2
1+
g
10
2
1+
47
A
çarpımının sonucu kaçtır?
A)
3 5
2
B)
C
D
E
Ürün
İhracattaki Değişim (ton)
5 3
2
7 2
D)
3
B
C)
5 3
3
1200
2015
500
400
7 6
E)
3
B
10 11 12 13 47 48 49
8 $ 9 $ 10 $ 11 g 45 $ 46 $ 47
48.49
7 6
8. 9 = 3
A
D
C
E
Ürün
–200
–300
2015 yılında hangi ürünün o yılda yapılan toplam ihracat içindeki payı %10 dur?
37. Aşağıda bir mimarın katıldığı yarışmada yarışmayı kazandığı apartman projesinin bir kısmı veriliyor.
A) E
B) D
C) C
D) B
E) A
D) 2
E) 3
2015 yılında
A: 600, B: 100, C: 900, D: 400, E: 2000
x
4000. 100 = 400 & x = %10
⁞ ⁞ ⁞
• Binada en üst katta 1 daire, onun altında 2 daire daha
sonra 3 daire şeklinde daireler vardır.
Payı %10 olan D dir.
• Dairelere numaralar yukarıdan aşağıya doğru verilmiştir.
• Daire numaralarının tümü tek sayıdır.
• Daire numaraları 1 den başlayarak sırasıyla soldan
sağa ve yukarıdan aşağıya doğru ardışık olarak artmaktadır.
39.
2x + 1 , x < 2 ise
f(x) =
• Tüm daire numaralarının toplamı 441 dir.
Buna göre, bina kaç katlıdır?
A) 5
B) 6
C) 7
x2 – 2 ,
x ≥ 2 ise
g(x) = x2 + x
D) 8
n+ 1 2
1 + 3 + 5 + g + n = 441 & a 2 k = 441
n+ 1
& 2 = 21 & n = 41
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39 41
E) 9
olduğuna göre,
f(2) + (fog)(–1)
ifadesinin sonucu kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
f(2) = 22 – 2 = 2
f(g(–1)) = f(0) = 1
2+1=3
6 katlıdır
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
Tarama 40. Verilen a ve b pozitif sayılarının geometrik ortalaması
g (a, b) =
43. Arif, Fatih ve Özgür'ün aralarında bulunduğu 8 kişilik bir
grup aşağıdaki koşullarla düz bir sıraya sıralanacaktır.
a.b
• Arif sıranın sonunda olacaktır.
biçiminde tanımlanmıştır.
• Fatih ve Özgür yan yana olacaktır.
g(3, 9) = x
Buna göre, kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
olduğuna göre, g (x, 2 3 ) kaçtır?
B) 3 2
A) 2 2
C) 2 3
D) 3 3
A) 3!.5!
E) 4 3
g (3 3 , 2 3 ) =
41.
3 3 .2 3 =
C) 2.6!
D) 6.7!
E) 7!
D) 7
E) 8
///// A
FÖ
3. 9 = x & x = 3 3
B) 6!
6!.2! = 2.6!
2. 9 = 3 2
10, 3, 7, 5, 2, 2, 1, 1, 9, 4, 12
veri dizisinin medyan, alt çeyrek ve üst çeyrek değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
medyan
↑
1, 1, 2, 2, 3, 4 , 5, 7, 9, 10, 12
↓
↓
alt çeyrek
üst çeyrek
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
1+ n
1 1 1
=
=
=
( n + 1) . n 7 & n 7 & n 7
2 + 4 + 9 = 15
42.
p (n, 0) + p (n, 1) 1
=
p (n + 1, 2)
7
44.
Uyruk
Alman
45.
Türk
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
90 km/saat
A
Yaş
Yukarıda turist kafilesinde bulunan Türk ve Alman turistlerin yaşlarının kutu grafikleri verilmiştir.
Buna göre,
I. Türklerin medyanı Almanların üst çeyreğine eşittir.
II. Turist kafilesinde en genç Türk, en yaşlı Almandır.
III. Türklerin çeyrekler açıklığı, Almanların çeyrekler açıklığına eşittir.
B) Yalnız II
D) I ve II
8
C) Yalnız III
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B
Bu iki araç C noktasında karşılaştıktan 8 saat sonra A dan
hareket eden araç B ye varıyor.
Buna göre, A noktasındaki araç hareketinden kaç saat
sonra B ye varmıştır?
A) 14
B) 15
90 t
E) I, II ve III
Verilen üç ifade de doğrudur.
C
Saatteki hızı 90 km olan bir araç A noktasından, saatteki
hızı 120 km olan başka bir araç ise B noktasından aynı
anda birbirine doğru hareket ediyor.
ifadelerinin hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
120 km/saat
A
D) 17
120 t
B
120t = 8.90 ⇒ t = 6
6 + 8 = 14
C) 16
720
C
E) 18
Tarama
46. Aşağıdaki tabloda beş futbolcunun 20 frikik vuruşundan
oluşan bir yarışmada aldıkları puanlar gösterilmiştir.
48. Gerçek sayılarda tanımlı f fonksiyonu tanımlı olduğu her n
sayısı için
Futbolcu
Puan
f(n + 2) = f(n) + 4
Ahmet
10
f(n + 3) = f(n) + 6
Barış
12
Cemil
13
Dursun
14
Engin
15
eşitliklerini sağlamaktadır.
f(4) = 5
olduğuna göre, f(11) kaçtır?
A) 18
Bu yarışmanın puanlaması aşağıda verilmiştir.
B) 19
C) 20
D) 21
E) 22
• Barajdan dönen toplar puanlamaya dahil edilmemiştir.
f(n + 3) – f(n + 2) = 2
• Bir futbolcunun attığı gol sayısı belirlenmiş kalecinin
kurtardığı frikik sayısının dörtte biri bu gol sayısından
düşülmüş elde edilen sayı o futbolcunun puanı olarak
kaydedilmiştir.
n=2
f(5) – f(4) = 2
n=3
f(6) – f(5) = 2
n=4
f(7) – f(6) = 2
⁞ ⁞
n = 8 + f(11) – f(10) = 2
• Barajı geçen her şut ya gol olmuştur ya da kaleci tarafından kurtarılmıştır.
f(11) – f(4) = 14
f(11)= 19
• Kaleci her futbolcunun en az bir şutunu kurtarmıştır.
Buna göre, hangi futbolcunun yalnız bir şutu barajdan
dönmüştür?
A) Ahmet
B) Barış
D) Dursun
C) Cemil
49. Bir toplulukta Ayşe, Burcu ve Cansu isimli kız öğrenciler ve
Deniz, Engin ve Faruk isimli erkek öğrenciler tek bir sırada
yan yana sıralanacaktır.
E) Engin
• Kızlar ve erkekler kendi arasında art arda sıralanacaktır.
Dursun'un 1. şutu barajdan dönmüş, 4 ü kaleci tarafından kurtarılmıştır.
• Ayşe tüm öğrenciler arasında en başta veya en sonda
olacaktır.
• Deniz, erkekler arasında en başta veya en sonda olacaktır.
47. 5x5 lik kareli kâğıt kullanılarak farklı desenler hazırlanıyor.
Bunun için kâğıttaki bazı kareler siyaha boyanarak boyanmış karelerden oluşan ayrık bölgeler oluşturuluyor.
Buna göre, öğrenciler kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
Daha sonra oluşan bölgelerden her biri herhangi iki bölge
aynı renk olmamak şartıyla mavi, kırmızı, sarı, lacivert, yeşil, turuncu renklerden biri ile boyanıyor.
A) 8
B) 12
C) 16
D) 24
E) 32
Ayşe – – Deniz – –
Deniz – – Ayşe – –
Deniz – – – – Ayşe
Ayşe – – – – Deniz şeklindedir.
2! . 2! + 2! . 2! + 2! . 2! + 2! . 2! = 16
Buna göre, yukarıdaki şekilde kaç farklı boyama işlemi
yapılabilir?
A) 240
B) 320
C) 360
4 bölge
D) 480
E) 720
50.
4, 4, 4, 8
veri dizisinin standart sapması kaçtır?
A) 1
B)
2
C)
3
D) 2
E) 3
6.5.4.3 = 360 farklı şekilde boyanır.
4+ 4+ 4+ 8
=5
4
2
( 4 - 5) + ( 4 - 5) 2 + ( 4 - 5) 2 + ( 8 - 5) 2
=
S=
3
x=
12
3 =2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
Tarama 51. Bir koşuda yarışacak adayların her birine bir numara verilmiştir.
54. Aşağıda y = f(x – 2) – 2 fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
• Koşuda yarışacak erkek atletlere 2 den başlanarak ardışık çift sayılar numara olarak verilmiştir.
–2 1
• Koşuda yarışacak bayan atletlere 1 den başlanarak
ardışık tek sayılar numara olarak verilmiştir.
–3
x
1 2
–2
• Koşuda erkek atletlere verilen en son numara 76 dır.
• Koşuda yarışan erkek atlet sayısı bayan atlet sayısının
2 katıdır.
Buna göre, y = f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, koşuda yarışan bayan atletlere verilen en
son numara kaçtır?
A) 35
B) 37
C) 39
D) 41
A)
B)
y
E) 43
1
x
–2
76
Erkek sayısı = 2 = 38 dir.
38
Bayan sayısı = 2 = 19 olur.
1, 3, 5, ... 37
C)
2 3
D)
y
f(x) = (a – 4)x2 + (a – 2)x
1
x
x
y
3
2
3 4
52.
y
3
2
–3 –2
x
y
E)
3
fonksiyonu çift,
2
g(x) =(a – b)x4 + (b – 3)x
–4 –1
fonksiyonu tek fonksiyondur.
x
Buna göre, b kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Verilen grafik 2 birim sola, 2 birim yukarı ötelenerek E seçeneği elde edilir.
a–2=0 ⇒a=2
a–b=0⇒a=b=2
55.
• 1, 2, 3, 4
• a, b, c, d
Yukarıda verilen sayı ve harfler birer kez kullanılarak 4 haneli şifreler yazılıyor.
53. Bir miktar parayla 42 kg tuz alınabiliyor.
Buna göre, tuzun fiyatına %40 zam yapılırsa aynı parayla kaç kg tuz alınabilir?
Şifrede art arda iki rakam veya iki harf gelmeyecektir.
A) 25
A) 320
B) 27
C) 28
100.42 = 140.x
100.42
x = 140 = 30
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) 30
E) 36
Buna göre, kaç farklı şifre yazılabilir?
B) 312
C) 288
D) 272
E) 252
Şifre; rakam, harf, rakam, harf veya harf, rakam, harf, rakam olur.
4.4.3.3 + 4.4.3.3 = 288
Tarama
56.
59.
Öğrenci Sayısı
512
15
20
x
16
12
125
10
7
9
10
12
Yukarıdaki şekilde dairelerin içindeki sayıların çarpımı karenin içindeki sayıya eşittir.
Yaşlar
Buna göre, x kaç basamaklı bir sayıdır?
Yukarıdaki grafik bir yaz kampına katılan öğrencilerin sayısının yaşlara göre dağılımını göstermektedir.
A) 8
B) 10
C) 12
D) 16
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
x = 15.512.500.125
Buna göre, grafikteki dağılımı verilen yaşların modu
kaçtır?
A) 9
500
= 3.5.29.102.5.53
= 3.29.55.102
E) 20
= 3.24.105.102 = 48.107
9 basamaklıdır.
Grupta 9 yaşında 20 öğrenci olduğundan mod 9 dur.
57. Aşağıda 5 kişilik domates çorbası için gereken malzemeler
verilmiştir.
60.
• 3 çorba kaşığı margarin
f(x) = |x – 2| + |x – 3|
fonksiyonunun parçalı fonksiyon şeklinde yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
• 2 adet soğan
• 10 adet domates
• 2 çorba kaşığı un
A) 5 – x,
x<2
B) 2x – 5,
x<3
x – 5,
x≥2
5 – 2x,
x≥3
D) 5 – 2x,
x<2
• 10 su bardağı su
C)
• 200 gram kaşar peyniri
Buna göre,
I. 10 kişilik çorba için 4 adet soğan gerekir.
2x – 5,
x<2
1,
2≤x≤3
5 – 2x,
x >3
II. 6 kişilik çorba için 240 gram kaşar peyniri gerekir.
E)
III. 7 kişilik çorba için 14 su bardağı su gerekir.
IV. 3 kişilik çorba için 5 adet domates gerekir.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
I, II, III doğrudur.
63 2 .2 3 - 6 2@ 0 | 1
58.
3
1
6
1
1: 3 = 3
B)
1
3
C) 1
2,
2<x<3
2x – 5,
x >3
–x + 2 – x + 3
5 – 2x
2≤x≤3
2x – 5,
x>3
3
x–2–x+3
1
x–2+x–3
2x – 5
5 – 2x, x < 2
1, 2 ≤ x ≤ 3
2x – 5, x >3
61. Aşağıda verilen sayılardan hangisi asal sayıdır?
işleminin sonucu kaçtır?
A)
x≤2
2
ifadelerinde kaç tanesi doğrudur?
A) 0
5 – 2x,
1,
D) 3
E) 6
A) 78
B) 91
C) 111
D) 341
E) 419
A, B, C ve D de bulunan sayılar sırasıyla 2, 7, 3, 11 ile bölünür asal değildirler.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
Tarama 62. Aşağıdaki grafikte aylara
göre fındığın kg fiyatı verilmiştir.
64.
Fiyat (¨)
5
4,5
Aylar
Eylül
Ekim
Fındık (kg)
300
250
Kasım Aralık
350
Aylar
Ocak
Aralık
Ekim
Eylül
Aşağıdaki tabloda da bir 3,5
çiftçinin bu beş ayda sat3
tığı fındık miktarı gösterilmiştir.
Kasım
4
Harfler yerleştirildiğinde oluşan sol şekil ile sağ şekil aralarında verilen eksene göre simetrik oluyor.
Ocak
200
200
Buna göre, kaç farklı görüntü ortaya çıkar?
Buna göre, bu çiftçi hangi ayda en az gelir elde etmiştir?
A) Eylül
B) Ekim
D) Aralık
C) Kasım
E) Ocak
Eylül
900
Gelir
Ekim
875
Kasım
1400
Yukarıda gösterilen şekil içerisine a, b, c, d, e, f harfleri
aşağıdaki kurala göre yerleştirilecektir.
A) 612
B) 2.66
C) 66
D) 6!
E) 2.6!
6.6.6.6.6.6 = 66
Aralık
900
Ocak
1000
65. Gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon
63. Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
a
b
c
d
=a:b+c:d
olarak tanımlanıyor.
2
x
–4
Buna göre, y = f –1(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
y
B)
4
2
x
4
x
–2
10
2
1
4
8
4
3
4
x
2
-4
2
x
3
- 24
-8
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 6
y
C)
x
4
x
–2
–4
C) 10
D) 12
E) 15
1 3
7 1
5+ 2 2 + 4
5x
= 5x
= 7 + 6 = 17 & x = 12
x x
6 1
+
+
2
3
2 3
y
E)
–4
–2
x
66. 4 kişi düz bir sırada yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
A) 10
f –1(x)
y = f(x) ve y =
fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre
simetrik olduğundan cevap C dir.
12
B) 8
y
D)
2
= 17
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
4!
B) 12
C) 16
D) 18
E) 24
Tarama
67.
I.
II.
III.
IV.
69. Gerçek sayı ekseninde 2 noktasına olan uzaklığı –3
noktasına olan uzaklığının yarısından küçük olan sayılar aşağıdaki eşitsizliklerden hangisine çözüm kümesini oluşturur?
A) |x – 2| < |x + 3|
B) |x + 2| < |x – 3|
C) |2x – 4| < |x + 3|
D) |2x – 4| < |x – 3|
E) |2x + 4| < |x + 3|
x - ( - 3)
2
2|x – 2| < |x + 3|
Yukarıdaki şekillerden kaç tanesinin taralı bölgelerinin
1
11
aralığındadır?
ifade ettiği kesir ile
2
12
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
x- 2 <
|2x – 4| < |x + 3|
E) 0
4
1
5
1
I: 9
II: 4 III: 6 IV: 3
16
9
30
12
I: 36 II: 36 III: 36 IV: 36
18 33 sayıları arasında III vardır.
36 , 36
1
+
3x
70.
6
=6
27x
olduğuna göre, x kaçtır?
A)
68. Arda, Burcu, Cemil, Derya, Elçin, Funda ve Gül adlı öğren-
ciler bağlama, keman ve ney kursuna kaydolmuştur. Bu
öğrencilerin hangi kursa kaydolduğuyla ilgili şunlar bilinmektedir.
1
2
B)
1
4
C)
1
6
+
= 6&
3x 3 3x
3
= 6 & 3x =
&
3x
1
6
D)
1
9
E)
1
12
1
2
+
=6
3x
3x
1
1
2 & 3x = 4
1
& x = 12
• Arda ile Elçin aynı kursa kaydolmuştur.
• Keman kursuna yalnız bir öğrenci kaydolmuştur.
• Burcu, Derya, Funda farklı kurslara kaydolmuştur.
• Gül'ün kaydolduğu kursa toplam iki öğrenci kaydolmuştur.
71. Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
Buna göre,
7
I. Gül
II. Derya
III. Funda
IV. Arda
5
3
–5
V. Cemil
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Keman kursuna 1 kişi kaydolup, Gül'ün kaydolduğu kursa iki kişi kaydolduğundan Gül keman kursuna katılmamıştır. Arda ile Elçin aynı kursa
kaydolduğunda bu kurs keman değildir. Geriye kalan 3 kişi keman kursuna kaydolmuş olabilir.
6
x
–3
kişilerinden kaç tanesi keman kursuna kaydolmuş olabilir?
A) 1
2
1
Buna göre, y = f(x) fonksiyonunun –6 ≤ x ≤ 3 aralığındaki ortalama değişim oranı nedir?
A) -
1
10
B) -
1
9
C) -
1
8
D)
1
9
E)
1
10
f ( 3) - f (- 6) 1 - 2
1
= 9 =- 9
3 - ( - 6)
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
Tarama 72.
75.
123456
f (x) =
x+ 4 + x- 2
2
sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 6 basamaklı çift rakamla başlayan tek rakamla biten kaç sayı
yazılabilir?
fonksiyonunun en geniş görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 312
A) [2, ∞)
B) 288
C) 244
D) 216
E) 184
B) (–∞, 2]
D) (–∞, 3]
3 . 4 . 3 . 2 . 1 . 3 = 216
2
4
6
1
3
5
x = - 4 için
x = 2 için
73.
C) [3, ∞)
E) [2, 3]
0 + -6
=3
2
6 + 10
=3
2
GK = [3, ∞)
f: [0, ∞] → R ye tanımlı f(x) = x + 2
fonksiyonu için,
I. Bire birdir.
II. Örtendir.
III. İçinedir.
76. Bir tiyatro salonunda aynı sırada 6 boş koltuk vardır.
IV. Tek fonksiyondur.
V. Çift fonksiyondur.
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
• 3 arkadaş bu 6 koltuğa oturacaktır.
• Arkadaşlar arasında boş koltuk olmayacaktır.
y
Buna göre, kaç farklı şekilde oturabilirler?
A) 24
x
B) 27
C) 28
D) 32
E) 36
Blok hâlinde aralarında boş koltuk kalmayacak biçimde 4 farklı oturum,
kendi aralarında 3! şekilde oturum vardır.
fonksiyonu birebirdir ve içinedir.
4.3! = 24
74.
A
1
2
3
B
4
5
6
7
C
Şekilde A, B, C şehirleri arasındaki yollar ve numaraları
verilmiştir. A dan yola çıkan bir araç C ye varıp tekrar A ya
dönecektir.
77. ABC üç basamaklı sayısı için aşağıdaki bilgiler veriliyor.
• Rakamları birbirinden farklıdır.
• Rakamları çarpımı 90 dır.
Buna göre, aracın gidişte 1 nolu yolu kullandığı dönüşte 7 nolu yolu kullanmadığı kaç farklı yol vardır?
Buna göre, kaç farklı ABC sayısı yazılabilir?
A) 24
A) 6
B) 36
C) 42
1.4.3.3 = 36
D) 48
E) 56
3.6.5, 9.5.2
3! + 3! = 12
14
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B) 12
C) 15
D) 18
E) 24
Tarama
78.
80. Aşağıdaki sütun grafik A ve B bankalarının ocak, şubat ve
f(x) = x . |x|
mart aylarında belirledikleri aylık basit faiz oranlarını göstermektedir.
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
B)
y
Faiz Oranı (%)
x
x
:A
:B
15
10
y
C)
D)
8
y
x
4
Ocak
x
Mart
Aylar
A bankasına ocak ayında yatırılan bir miktar para bir ay
sonra çekilip Mart ayında B bankasına bir aylığına yatırılıp
bankadan 9984¨ faiz elde ediliyor.
y
E)
Şubat
Buna göre A bankasına yatırılan para kaç ¨ dir?
x
A) 6000
B) 20000
D) 150000
C) 120000
E) 200.000
x.104 8
100 . 100 = 9984
x.832
10000 = 9984
x2 x > 0
–x2 x ≤ 0
x = 120.000
81.
I. Tam sayı olmayan bir rasyonel sayı yoktur.
II. Rasyonel sayı olmayan bir tam sayı yoktur.
III. Bazı rasyonel sayılar bir tam sayıdır.
79. Aşağıda y = 1 x, y = 3x ve x = 4 doğruları dik koordinat
Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
2
düzleminde verilmiştir.
A) Yalnız I
y
0
D) I ve III
x=4
A
B) 26
C) 24
E) II ve III
Rasyonel sayı olmayan tam sayı yoktur. Bazı rasyonel sayılar bir tam sayıdır. İfadeleri doğrudur.
1
y= x
2
B
x
D) 22
E) 20
82.
f(x) = 2|x| + 5
(fof)(x) = 23
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) –2
1
x = 4 için y= 2 .4 ise B(4,2),
x = 4 için y = 3 . 4 ise A(4,12) dir.
10.4
A(AOB) = 2 = 20
C) I ve II
y = 3x
Bu üç doğru arasında kalan bölgenin alanı kaç birim
karedir?
A) 28
B) Yalnız III
B) –1
C) 0
D) 1
E) 3
2|2|x| + 5| + 5 = 23
4|x| + 15 = 23
|x| = 2 ⇒ x= –2 veya x = 2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
Tarama 83. Birim karelerden oluşan dikdörtgen biçimindeki birim karton y = f(x) fonksiyonu boyunca kesilerek A ve B parçalarına ayrılıyor.
y
85. Hız-zaman grafiği verilen bir aracın grafik altındaki kalan
bölgesinin alanı aracın aldığı yolu verir.
Hız (km/saat)
y = f(x)
80
A
40
4
x
B
A parçasına, y = f(x) ten y = f(x – 1) – 2 fonksiyonuna
geçiş ötelemeleri uygulanarak B parçası üzerine yapıştırılırsa oluşacak şeklin alanı kaç birim kare olur?
B) 36
C) 36,5
D) 37
Zaman (Saat)
12
Buna göre, yukarıda hız-zaman grafiği verilen aracın
12 saat boyunca ortalama hızı saatte kaç km dir?
A) 30
A) 35
8
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
Alınan yol: 4.40 + 4.40 + 4.40 + 4.40 = 480
2
2
480
Vort = 12 = 40
E) 37,5
A
86. Aşağıdaki doğrusal grafik bir şirketin yıllara göre kâr-zarar
durumunu göstermektedir.
B
37,5 tane birim kareden 37,5 br2 olur.
Kâr-Zarar (bin ¨)
84. Bir altıgen sorusu yazmaya başlayan Özgür altıgeni isim-
Yıl
2
lendirirken aşağıda verilen kurallara uyuyor.
–6
Buna göre, kaçıncı yılda şirketin kârı 30000 ¨ olur?
• Altıgenin işaretli köşelerine A, B, C, D, E, F, G harflerinden birer tanesi yazılacaktır.
A) 10
Buna göre, harfler kaç farklı şekilde yazılabilir?
B) 2.6!
C) 3.6!
D) 7!
E)
C) 14
D) 16
E) 18
y
x
2 + - 6 = 1 & y = 3x - 6
& 30 = 3x - 6 & x = 12
• Altıgenin içindeki noktaya ünlü harf yazılacaktır.
A) 6!
B) 12
6!
2
2.6.5.4.3.2.1 = 2.6!
67. D 68. C 69. C 70. E 71. B 72. D 73. B 74. B 75. C 76. A 77. B 78. D 79. E 80. C 81. E 82. A 83. E 84. B 85. C 86. B
45. A 46. D 47. C 48. B 49. C 50. D 51. B 52. B 53. D 54. E 55. C 56. A 57. D 58. D 59. B 60. D 61. E 62. B 63. C 64. C 65. D 66. E
23. C 24. B 25. D 26. C 27. E 28. A 29. B 30. E 31. E 32. B 33. D 34. C 35. C 36. E 37. B 38. B 39. E 40. B 41. B 42. E 43. C 44. D
1. B
2. C
3. C
4. E
5. A
6. C
7. C
8. D
9. A
10. D 11. B 12. C 13. D 14. B 15. B 16. D 17. D 18. E 19. C 20. D 21. A 22. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16
YGS // MATEMATİK
VERİ, SAYMA, OLASILIK
Kombinasyon
FÖY NO
30
hhKOMBİNASYON
Örnek 3:
n ve r birer doğal sayı ve n ³ r olmak üzere n farklı elema-
n elemanlı bir kümenin r li bütün kombinasyonlarının
sayısı C(n, r) ile gösterildiğine göre,
nın r elemanlı alt küme sayısına n nin r li kombinasyonu denir.
C(0, 0) + C(6, 3) = 3 . C(m, m – 1)
n
C(n, r) veya d n şeklinde gösterilir.
r
eşitliğinde m kaç olmalıdır?
n
n!
hh d n = C (n, r) =
(n - r) !.r!
r
Cevap: 7
6. 5. 4
1 + 3.2.1 = 3m
21 = 3m
m=7
Örnek 1:
6
C ^5, 2h + d n
3
Not
n
n
d n=d n
a
b
işleminin sonucu kaçtır?
5. 4 6. 5. 4
2.1 + 3.2.1
eşitliğinde a = b veya a + b = n dir.
Cevap: 30
10 + 20 = 30
Örnek 4:
Not
 C(n, n) = 1

C(n, n – 1) = n
 C(n, 1) = n

C(n, 0) = 1
10
10
n
d n=d
2n - 2
n
olduğuna göre, n nin alacağı değerler toplamı kaçtır?
n = 2n – 2
n=2
veya
n + 2n – 2 = 10
veya
n=4
2+4=6
Cevap: 6
Örnek 5:
Örnek 2:
12
10
d n+d n
10
7
n
5
n
n
12
n+d n+d n = d n
d n+d
n-1
4
0
n
2
işleminin sonucu kaçtır?
olduğuna göre, n kaçtır?
12.11
5 + n + 1 + 1 = 2. 1
12
10
o+e o
2
3
12.11 10.9.8
2.1 + 3.2.1 = 66 + 120 = 186
e
Cevap: 59
Cevap: 186
n + 7 = 66
n = 59
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Kombinasyon
Not
Örnek 9:
n
n
n
n
hh d n + d n + d n + ... + d n = 2 n
0
1
2
n
4 elemanlı alt küme sayısı 5 elemanlı alt küme sayısına
eşit olan bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
n
n+1
n
hh d n + d
n=d
n
r+1
r+1
r
n
n
e o=e o& n = 4+5 = 9
4
5
9
e o = 92..81 = 36
2
Örnek 6:
Cevap: 36
8
8
8
8
d n + d n + d n + ... + d n
1
2
3
8
işleminin sonucu kaçtır?
8
8
8
8
8
e o + e o + e o + e o + ... + e o = 2 8
0
1
2
3
8
Örnek 10:
Cevap: 255
8
8
8
8
e o + e o + e o + ... + e o = 256 - 1
1
2
3
8
7 elemanlı bir küme için aşağıdaki soruları cevaplayınız.

= 255
En az 5 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
7
7
7
7
e o+e o+e o = e o+ 7 + 1
5
6
7
2
7. 6
= 2.1 + 8 = 21 + 8 = 29
Örnek 7:
Aşağıdaki toplama işlemlerinin kombinasyon eşlerini
bulunuz.
11
10
10
A d n+d n= e o
4
3
4

En çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
7
7
7
e o + e o + e o = 1 + 7 + 72..61
0
1
2
= 8 + 21 = 29
Cevap: 29, 29
7
7
8
9
A d n+d n+d n+d n
3
4
5
6
8
8
9
e o+e o+e o
4
5
6
1442443
9
9
10
e o+e o = e o
5
6
6
n elemanlı bir kümenin en az bir elemanlı alt küme sayısı
63 tür.
Cevap: d11n, d10 n
4
6
5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı ve 3 elemanlı alt kümelerinin sayıları toplamı kaçtır?
5
5
6
e o + e o = e o = 63..52..41 = 20
2
3
3
Cevap: 20
A = {1, 2, 3, ..., 10}
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaçında elemanların
toplamı 3 ün katıdır?
Buna göre, n kaçtır?
n
n
n
n
e o + e o + e o + ... + e o = 63
1
2
3
n
n
n
n
n
n
e o + e o + e o + e o + ... + e o = 2 n
0
1
2
3
n
1 + 63 = 2n
64 = 2n
n=6
0 = {3, 6, 9}
1 = {1, 4, 7, 10}
2 = {2, 5, 8}
0 + 0 + 0, 2 + 2 + 2, 0 + 1 + 2, 1 + 1 + 1
3
3
3 4 3
4
d n + d n + d nd nd n + d n = 42
3
3
1 1 1
3
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 6
Öğretmen
Sorusu
Örnek 8:
Örnek 11:
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Kombinasyon
Örnek 12:
Örnek 13:
3 kız ve 5 erkek öğrenci arasından 3 kişilik bir grup oluşturulacaktır.
10 kişilik bir sınıfta kız öğrencilerden oluşturulabilecek ikişerli grupların sayısı, bu sınıftaki erkek öğrencilerin sayısına eşittir.
Buna göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Buna göre, sınıfta kaç kız öğrenci vardır?
Kaç farklı grup oluşturulabilir?
8
e o = 83..72..61 = 56
3

Kız
Erkek
2 erkek ve 1 kızdan oluşan kaç farklı grup oluşturulabilir?
Cevap: 4
10 – x
x
x
e o = 10 - x
2
x ( x - 1)
= 10 - x & x 2 + x - 20 = 0
2
+5
–4
x=4
5 3
e o $ e o = 52..41 $ 3 = 30
2 1

Tamamı erkek veya tamamı kız öğrenci olan kaç farklı
grup oluşturulabilir?
Örnek 14:
11 kişilik bir kafileden 5 kişi İzmir'e 6 kişi Ankara'ya gidecektir.
3
5
e o + e o = 1 + 53..42..31 = 11
3
3
Bu iki grup kaç değişik biçimde oluşturulabilir?
e

11 6
.9.8.7
o $ e o = 115..10
4. 3. 2. 1 $ 1
5
6
Grupta en az 2 erkek öğrenci olmak şartıyla kaç farklı
grup oluşturulabilir?
Cevap: 462
= 462
5 3
5 3
e o$e o+e o$e o
2 1
3 0
Örnek 15:
10 . 3 + 10 . 1 = 40
Ahmet ve Burcu'nun aralarında bulunduğu 10 kişi arasından 4 kişilik bir ekip seçilecektir.

Grupta en çok 1 erkek öğrenci olmak şartıyla kaç farklı
grup oluşturulabilir?
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

5 3
5 3
e o$e o+e o$e o
0 3
1 2
8
e o = 82..71 = 28
2
1 . 1 + 5 . 3 = 16

Ahmet ve Burcu'nun bulunduğu kaç farklı ekip seçilebilir?
Grupta en az 1 kız öğrenci olmak şartıyla kaç farklı grup
oluşturulabilir?
Tüm Durum – Kız öğrenci olmayan grup sayısı
8
5
e o - e o = 83..72..61 - 53..42..31
3
3

Ahmet veya Burcunun bulunduğu kaç farklı ekip seçilebilir?
Tüm Durum – Ahmet ve Burcu olmadığı durum
10
8
o-e o
4
4
10.9.8.7 8.7.6.5
4.3.2.1 - 4.3.2.1 = 210 - 70 = 140
e
= 56 – 10
= 46
Cevap: 56, 30, 11, 40, 16, 46
Cevap: 28, 140
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Kombinasyon
Örnek 16:
Örnek 19:
8 kişi bir otelin boş bulunan 5 kişilik ve 3 kişilik iki odasına
yerleştirilecektir.
Bir öğrenci girmiş olduğu 10 soruluk bir sınavda 6 soru seçecektir.
Bu grup içinde bulunan Deniz ve Ercan aynı odada kalmayacağına göre bu 8 kişi odalara kaç farklı biçimde
yerleştirilir?
Öğrenci ilk 6 sorudan en az 5 tanesini seçmek zorundadır.
Cevap: 30
Deniz
Ercan
6 4
6. 5
2 $ e o $ e o = 2 $ 2.1 $ 1 = 30
2 4
Buna göre bu 6 soruyu kaç değişik şekilde seçebilir?
6 4
6 4
e o$e o+e o$e o
5 1
6 0
6 .4 + 1.1
Cevap: 25
25
Örnek 17:
A, B, C, D, E, F, G, H, L gibi dokuz seçmeli dersten D, F, G,
H dersleri aynı saatte verilmektedir.
Buna göre, bu dokuz dersten dördünü seçmek isteyen
bir öğrenci kaç farkı şekilde seçim yapabilir?
4 5
5
e o $ e o + e o = 4.10 + 5
1 3
4
Cevap: 45
= 45
Örnek 20:
5 kız ve 3 erkek öğrenci arasından seçilecek olan 2 kız
ve 2 erkek öğrenciden oluşan 4 kişi yan yana kaç farklı
biçimde fotoğraf çektirir?
5 3
e o $ e o $ 4!
2 2
Örnek 18:
Cevap: 720
10 . 3 . 24 = 720
4 evli çift arasından 4 kişi seçilecektir.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Seçilenler arasında 2 evli çiftin olduğu kaç farklı seçim
yapılabilir?
4
e o=6
2
Seçilenler arasında yalnızca 1 evli çiftin olduğu kaç
farklı seçim yapılabilir?
Örnek 21:
6 kişi 3 er kişilik 2 gruba kaç farklı şekilde ayrılabilir?
4
6
3
e o $ =e o - e oG
1
2
1
4. ^15 - 3h = 48
Cevap: 6, 48
4 farklı bilye 6 farklı kutuya kutulardan herhangi dördüne
hiç bilye konulmamak ve diğer iki kutuya en az bir bilye
gönderilmek şartıyla kaç farklı şekilde konulabilir?
6 3
e o$e o
3 3
20.1
= 2 = 10
2
6 4
6 4
d n$d n$ 2 +d n$d n
2 1
2 2
15 . 4 . 2 + 15 . 6
120 + 90
210
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 10
Öğretmen
Sorusu

VERİ, SAYMA, OLASILIK / Kombinasyon
1.
Konu Testi - 1
5
d n + C (10, 2)
2
işleminin sonucu kaçtır?
A) 35
B) 45
C) 50
işleminin sonucu kaçtır?
D) 55
E) 60
A) 24
5.4 10.9
2.1 + 2.1 = 10 + 45 = 55
2.
B) 55
C) 56
D) 64
E) 72
A) 8
C) 13
D) 14
E) 15
olduğuna göre, n kaçtır?
n = 2 + 8 = 10
D) 11
E) 12
C) 9
E) 11
C) 10
D) 12
E) 15
5 elemanlı bir kümenin en çok 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
A) 15
D) 10
B) 6
5
e o = 52..41 = 10
2
8.
n
n
d n=d n
2
8
B) 8
C) 10
A = {a, b, c, d, e, f}
A) 5
12 + 14 26
= 2 = 13
1+1
A) 7
B) 9
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a
elemanı bulunur?
işleminin sonucu kaçtır?
4.
E) 64
8
8
9
n
e o+e o = e o = e o & n = 9
3
4
4
4
C (12, 1) + C (14, 13)
C (2, 2) + C (5, 0)
B) 12
D) 48
olduğuna göre, n kaçtır?
7.
A) 11
C) 32
8
8
n
d n+d n = d n
3
4
4
6.
8
e o = 83..72..61 = 56
3
3.
B) 27
25 = 32
8 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
A) 48
5
5
5
5
5
5
d n+d n+d n+d n+d n+d n
0
1
2
3
4
5
5.
B) 21
C) 24
D) 26
E) 30
5
5
5
5
e o+e o+e o+e o
0
1
2
3
1 + 5 + 10 + 10
26
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Kombinasyon
9.
Konu Testi - 1
13. 24 kişilik bir futbolcu kafilesinden 11 kişilik bir takım
6 elemanlı bir kümenin en az 4 elemanlı alt küme sayısı
kaçtır?
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
ve takımda olan oyunculardan bir kaptan kaç farklı şekilde seçilebilir?
E) 24
A) d
6
6
6
e o + e o + e o = 64..53..42..31 + 6 + 1
4
5
6
24 11
n$d n
11 2
D) d
= 15 + 7
= 22
e
B) d
24 11
n$d n
1
1
24 24
n$d n
11
1
E) d
C) d
24 11
n$d n
11
1
24
n
11
24 11
o$e o
11
1
10. 10 öğrenci arasından 2 öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir?
14. Aralarında Koray'ın da bulunduğu 7 kişilik bir topluluk
A) 36
e
B) 42
C) 45
D) 56
içerisinden içinde Koray'ın bulunmadığı 4 kişilik kaç
farklı takım kurulabilir?
E) 64
10
o = 102.9 = 45
2
A) 15
B) 18
C) 20
D) 24
E) 30
6
6
e o = e o = 62.5 = 15
4
2
15. Aralarında Seydi ve Özge'nin de bulunduğu 3 bayan, 4
erkek öğretmen arasından 1 tanesi bayan 3 tanesi erkek
olan 4 kişilik bir gezi grubu oluşturulacaktır.
11. 4 doktor 6 hemşire arasından, 1 doktor ve 3 hemşire
kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) 56
B) 64
C) 72
D) 80
Seydi'nin bu seçilen grupta bulunduğu ancak Özge'nin
bulunmadığı kaç farklı gezi grubu oluşturulabilir?
E) 100
A) 6
4 6
e oe o = 4 $ 63..52..41 = 80
1 3
B) 10
C) 12
D) 15
E) 20
3 2
e o $ e o = 3. 2 = 6
2 1
16. 4 evli çift arasından 3 kişilik bir ekip kurulacaktır.
12. 8 farklı kitabın 5 i Asya'ya 3 ü Ekin'e verilecektir.
Buna göre, bu dağıtım kaç farklı şekilde yapılabilir?
İçinde 1 evli çiftin bulunduğu kaç farklı ekip kurulabilir?
A) 45
A) 18
B) 56
C) 72
D) 84
E) 96
15.
17.
E) 56
10.
8. D
9.
11.
7. C
8.
12.
6. B
9. C
7.
13.
5. C
10. C
11. D
12. B
13. C
14. A
15. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6.
14.
4. D
5.
16.
3. C
4.
2. C
3.
18.
1. D
2.
D) 45
19.
20. ?
Cevaplar
16. B
6
1.
C) 36
4 6
e oe o = 4 . 6 = 24
1 1
8 5
e o $ e o = 83..72..61 $ 1 = 56
3 5
Cevaplar
B) 24
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Kombinasyon
Konu Testi - 2
4.
a
b
d n=d n
3
5
1.
eşitliğini sağlayan a ve b değerleri için a + b toplamının
alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
10 kişiden oluşan bir topluluk ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
hh Toplulukta 6 İngiliz, 4 Alman vatandaşı vardır.
hh Her ülkeden 3 er kişi seçilerek 6 kişilik bir grup oluşturuluyor.
E) 5
hh Oluşan gruptaki kişiler aynı ülke vatandaşları yanyana
olmak üzere fotoğraf çektiriyor.
a=b=5+3 ⇒a=b=8
⇒ a + b = 16
a = 3 ve b = 5 ⇒ a + b = 8
2 farklı değer vardır.
Buna göre kaç farklı fotoğraf çektirilebilir?
A) 5600
B) 5620
C) 5680
D) 5720
E) 5760
6 4
e o $ e o $ 2! . 3! . 3!
3 3
20 . 4 . 2 . 6 . 6 = 5760
2.
5.
C(n + 1, n) + C(n – 1, 1) = C(4, 2)
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde
en az iki çift sayı bulunur?
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
E) 7
A) 6
4. 3
n+1+n–1= 2
2n = 6
n=3
B) 8
C) 10
D)12
E) 13
3 4
3 4
e oe o + e oe o
2 1
3 0
3 . 4 + 1 . 1 = 13
6.
Bir basketbol takımının kadrosunda 12 sporcu bulunmaktadır.
hh Bu sporculardan 4 ünün boyu iki metreden uzundur.
3.
8 kişiden oluşan bir basketbolcu topluluğunda seçilecek
takım ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
hh 5 kişinin boyu 1,8 metre ile 2 metre arasındadır.
hh 3 kişinin boyu 1,8 metreden kısadır.
hh Basketbol topluluğu içerisinde Arda ve Ozan vardır.
hh 2 kişinin boyu 2 metreden uzun 2, kişinin boyu 1,8
metreden kısa, 1 kişinin boyu 1,8 ile 2 metre arasında
olacak şekilde 5 kişilik bir takım oluşturuluyor.
hh Takıma Arda seçilirse Ozanda seçilmek zorundadır.
hh Takım kaptanının boyu 1,8 metreden kısadır.
Buna göre kaç farklı takım seçilebilir?
Buna göre, bu takım ve takım kaptanı kaç farklı şekilde
oluşturulur?
hh Oluşacak takım 5 kişiliktir.
A) 36
B) 38
C) 41
Arda seçilsin + Arda seçilmesin
6
e o
3
+
7
e o = 63..52..41 + 72..61
5
= 20 + 21 = 41
D) 43
E) 45
A) 96
B) 100
C) 120
D) 180
E) 210
4 3 5 2
e o$e o$e o$e o
2 2 1 1
6 . 3 . 5 . 2 = 180
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Kombinasyon
7.
Konu Testi - 2
Aylin, Barış, Cemil, Doğan, Ezgi ve Ferdi adlı öğrenciler
ikişerli olarak üç çalışma grubuna ayrılacaktır.
10. Aşağıda verilen 16 birim kare 8 farklı renkte boya kullanılarak boyanmak isteniyor.
Cemil ve Aylin farklı grupta olacağına göre bu altı öğrenci kaç farklı biçimde gruplandırılabilir?
A) 12
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
Tüm Durum – Aynı grupta olduğu durum
6 4 2
4 2
e o$e o$e o e o$e o$ 3
2 2 2
2 2
3!
3!
15 . 6 6 . 3
6 - 6 = 15 - 3 = 12
hh Her satırda yalnız 2 kare boyanacaktır.
hh Herhangi bir karede kullanılan boya başka bir kare için
kullanılmayacaktır.
Buna göre, kaç farklı boyama işlemi yapılabilir?
8.
C) 46 . 8! D) 63 . 8!
E) 64 . 8!
4 4 4 4
e o $ e o $ e o $ e o $ 8 .7 .6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
2 2 2 2
6 . 6 . 6 . 6 . 8! = 6 4 . 81
hh Plakalar A, B, C, D, E, F, K, L harfleri kullanılarak oluşturulur.
hh Plaka 2 harften oluşmaktadır.
B) 8!4
A) 8!
İçinde harf ve/veya harfler bulunan plakaların yanyana getirilmesiyle anlamlı veya anlamsız kelimelerin oluşturulduğu bir oyunda kurallar şöyledir;
11. Herbiri farklı renkte olan 11 çiçeğin 2 si zambak 3 ü lale,
hh Plakalar oluşturulurken her harf bir defa kullanılır.
3 ü karanfil ve 3 ü güldür.
hh Plakalar içindeki harflerin veriliş sırasıyla veya veriliş
sırasının tersiyle kullanılabilir.
hh 3 çiçekten oluşan bir aranjman yapılacaktır.
Örneğin; B A şeklinde oluşturulan plaka kelimeler oluş-
hh Aranjmanı oluşturacak çiçeklerin hepsi aynı türden olmayacaktır.
turulurken B A veya A B şeklinde kullanılır.
Buna göre, kaç farklı aranjman yapılabilir?
Buna göre, 2 tane plaka kullanılarak kaç farklı kelime
yazılabilir?
A) 156
A) 1440
B) 2880
C) 3200
D) 3260
e
E) 3360
B) 162
C) 200
D) 210
E) 240
D) 210
E) 29
11
3
3
3
o–e o–e o–e o
3
3
3
3
165 – 1 – 1 – 1 = 162
8 6
e o $ e o $ 2! . 2! . 2! = 28 . 15 . 8
2 2
13
13
13
13
d n + d n + d n + ... + d n
0
1
2
6
12.
= 3360
toplamının sonucu kaçtır?
A) 213
9.
n kişilik bir öğrenci grubundakilerden biri Damla'dır.
Bu n kişilik gruptan aralarında Damla'nın olmadığı üç
kişilik 10 farklı ekip kurulabildiğine göre, n kaçtır?
A) 4
e
B) 5
C) 6
D) 7
n-1
( n - 1) ( n - 2) ( n - 3)
o = 10 &
= 10
6
3
& (n - 1) (n - 2) (n - 3) = 60
C) 211
e
13
13
13
13
13
13
o + e o + ... + e o + e o + e o + ... e o
0
1
6
7
8
13
e
13
13
13
o + e o + ... + e o = 2 13
0
1
13
2 $ =e
E) 8
B) 212
e
13
13
13
o + e o + ... e oG = 2 13
0
1
6
13
13
13
o + e o + ... + e o = 2 12
0
1
6
n=6
8.
7. A
7.
9.
10.
6. D
8. E
9. C
10. E
11. B
12. B
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6.
11.
12.
5. E
5.
13.
4. E
4.
14.
15.
3. C
3.
16.
17.
2. A
2.
18.
1. B
8
1.
19.
20. ?
Cevaplar
Cevaplar
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Kombinasyon
hhKOMBİNASYONUN GEOMETRİK
YORUMU
Örnek 24:
A
a. Noktalar ile Geometrik Şekil
Oluşturma
B
C
E
D
K
F
hh Herhangi üç tanesi doğrusal olmayan n farklı nokta ile birbin
rinden farklı d n tane doğru çizilebilir.
2
hh Herhangi üç tanesi doğrusal olmayan n farklı nokta ile birbin
rinden farklı d n tane üçgen çizilebilir.
3
Yukarıda 4 ü doğrusal olan 7 nokta kullanılarak

kaç farklı doğru oluşturulabilir?
7
4
e o - e o + 1 = 21 - 6 + 1 = 16
2
2

A noktasından geçen kaç farklı doğru oluşturulabilir?
3
e o+ 1 = 4
1
hh Herhangi üç tanesi doğrusal olmayan n farklı nokta ile birbin
rinden farklı d n tane dörtgen çizilebilir.
4

E noktasından geçen kaç farklı doğru oluşturulabilir?
6
e o=6
1
Örnek 22:
Cevap: 16, 4, 6
Aşağıda doğrusal olarak verilen üç noktayı kullanarak,
kaç farklı doğru ve üçgen çizildiğini bulunuz.
Örnek 25:
d1
Doğrusal üç nokta ile 1 doğru çizilebilir
Doğrusal üç nokta ile üçgen çizilemez.
A
d2
Örnek 23:
Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 nokta kullanılarak,

Yukarıda d1 ve d2 doğruları ile çember üzerine işaretlenmiş olan 8 nokta kullanılarak,
kaç farklı doğru oluşturulabilir?
7
e o = 72.6 = 21
2


8
4
3
e o-e o-e o+ 2
2
2
2
kaç farklı üçgen oluşturulabilir?
28 - 6 - 3 + 2 = 21
7
e o = 73..62..51 = 35
3

kaç farklı doğru oluşturulabilir?

kaç farklı dörtgen oluşturulabilir?
A noktasından geçen kaç farklı doğru oluşturulabilir?
4
e o+ 1 = 5
1
7
e o = 74..63..52..41 = 35
4
Cevap: 21, 35, 35
Cevap: 21, 5
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Kombinasyon
Örnek 26:
Örnek 28:
A
B
C
K
L
D
D
d1
E
d2
M
A
Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğruları üzerinde sırasıyla 4
ve 3 nokta işaretlenmiştir.
C
B
K
F
Buna göre, bu noktalar kullanılarak,

Yukarıda yalnız 3 ü doğrusal olan 7 noktadan,
kaç farklı doğru oluşturulabilir?
4 3
7
4
3
e o $ e o + 2 veya e o - e o - e o + 2
1 1
2
2
2
4.3+2
veya 21 – 6 – 3 + 2
14


7
3
e o - e o = 35 - 1 = 34
3
3
14
kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

4 3
3 4
7
4
3
e o $ e o + e o $ e o veya e o - e o - e o
2 1
2 1
3
3
3
6 . 3 + 3.4 veya 35 – 4 – 1
30

kaç farklı üçgen oluşturulabilir?
tabanı doğru üzerinde bulunan kaç farklı üçgen oluşturabilir?
3 4
e oe o = 3 . 4 = 12
2 1
30
kaç farklı dörtgen oluşturulabilir?
4 3
e o $ e o = 6 . 3 = 18
2 2

Cevap: 34, 12
Tabanı d1 doğrusu üzerinde bulunan kaç üçgen oluşturulabilir?
4 3
e oe o = 6 . 3 = 18
2 1

Örnek 29:
D
Bir köşesi A olan kaç üçgen oluşturulabilir?
C
3 3
3
e oe o + e o = 3 . 3 + 3 = 12
1 1
2
B
A
Cevap: 14, 30, 18, 18, 12
Örnek 27:
Bir köşesi A olanlar + Bir köşesi A olmayanlar
Köşeleri bu noktadan üçü olan
kaç üçgen oluşturulabilir?
3 2
3 2
2 3
e oe o + =e oe o + e oe oG
1 1
2 1
2 1
B
9
4
3
e o - e o - e o = 84 - 4 - 1
3
3
3
= 79
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
F
Yukarıda iki doğru üzerine çizilmiş 6 nokta ile kaç farklı
üçgen oluşturulabilir?
A
Yandaki ABC üçgeninin kenarları
üzerinde 9 nokta verilmiştir.
E
C
Cevap: 79
3 . 2 + 3 . 2 + 1 .3
15
Cevap: 15
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Kombinasyon
b. Doğrular ile Geometrik Şekil Oluşturma
Örnek 32:
Birbirine paralel n doğru ile bu doğruları kesen ve birbirine pa-
A
B
n m
ralel m doğrunun oluşturabileceği dörtgen sayısı d n $ d n dir.
2 2
Örnek 30:
Birbirine paralel 6 doğru ile bu doğruları kesen ve birbirine
paralel olan 6 doğru veriliyor.
A
Yukarıda verilen şekilde kaç tane üçgen vardır?
B
Cevap: 30
4 3
4 3
e o$e o+e o$e o$
2 1
1 2
6 . 3 + 4 . 3 = 30
C
D
Örnek 33:
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Yukarıdaki şekilde kaç tane paralelkenar vardır?
Yanda verilen şekilde kaç farklı
üçgen vardır?
A
6 6
e o $ e o = 15 . 15 = 225
2 2

B
Bir köşesi A olan kaç farklı paralelkenar vardır?
5 5
e o $ e o = 5 . 5 = 25
1 1
5 4
4 4
e o$e o+e o$e o
2 1
2 1
C
Cevap: 64
10 . 4 + 6 . 4 = 64

Taralı bölgeyi içine alan kaç farklı paralelkenar vardır?
5 5
e oe o = 5 . 5 = 25
1 1
c. Kesişim Sayısı
Cevap: 225, 25, 25
hh Çakışık olmayan iki doğru en çok bir noktada kesişir.
Örnek 31:
Aşağıdaki şekil 16 tane özdeş kareden oluşmaktadır.
hh Çakışık olmayan iki çember en çok 2 noktada kesişir.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Kaç tane dikdörtgen vardır?
5 5
e o $ e o = 10 . 10 = 100
2 2
hh Çakışık olmayan iki üçgen en çok 6 noktada kesişir.

Kaç tane kare vardır?
4 . 4 + 3 . 3 + 2 . 2 + 1 . 1 = 30
Cevap: 100, 30
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Kombinasyon
hh Çakışık olmayan iki dörtgen en çok 8 noktada kesişir.
Örnek 36:
Aynı düzlemde bulunan 10 doğrudan 4 tanesi bir A noktasında kesişiyor.
Buna göre, bu doğrular en çok kaç noktada kesişebilir?
e
Örnek 34:
Aynı düzlemde bulunan ve herhangi ikisi çakışık olmayan

Cevap: 40
10
4
o-e o+ 1
2
2
45 – 6 + 1 = 40
A
6 doğru en çok kaç noktada kesişebilir?
6
e o $ 1 = 15
2

5 çember en çok kaç noktada kesişebilir?
5
e o $ 2 = 10 . 2 = 20
2

6 üçgen en çok kaç noktada kesişebilir?
6
e o $ 6 = 15 . 6 = 90
2

Örnek 37:
5 dörtgen en çok kaç noktada kesişebilir?
Aynı düzlemde bulunan 12 doğrunun 4 ü bir A noktasında,
3 ü A dan farklı bir B noktasından geçmekte ve 5 tanesi
birbirine paraleldir.
5
e o $ 8 = 10 . 8 = 80
2
Cevap: 15, 20, 90, 80
A
B
Örnek 35:
Aynı düzlemde bulunan 7 doğrudan 3 tanesi birbirine paraleldir.
Buna göre, bu doğrular en fazla kaç noktada kesişebilir?
Buna göre, bu doğrular en fazla kaç noktada kesişebilir?
Cevap: 18
21 – 3 = 18
Bir çember üzerindeki 8 nokta ile oluşturulan doğrular çemberin iç bölgesinde kaç noktada kesişir?
12
4
3
5
o-e o-e o-e o+ 2
2
2
2
2
66 – 6 – 3 – 10 + 2
49
4 noktayı ele alalım.
O halde dört nokta ile içeride kesişen
1 nokta oluşur.
8
8.7.6.5
d n=
= 70
4.3.2.1
4
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 49
Öğretmen
Sorusu
7
3
e o-e o
2
2
e
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Kombinasyon
1.
Konu Testi - 3
Herhangi üçü doğrusal olmayan 4 nokta ile birbirinden
farklı kaç doğru çizilebilir?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
5.
E) 12
A) 4
6.
Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 nokta ile birbirinden
farklı kaç üçgen çizilebilir?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 18
E) 20
E) 10
D) 20
C) 8
D) 12
E) 16
B) 56
C) 50
D) 48
E) 40
5
e o $ 6 = 10 . 6 = 60
2
Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 nokta ile birbirinden
farklı kaç dörtgen çizilebilir?
C) 15
B) 6
Aynı düzlemde bulunan ve herhangi ikisi çakışık olmayan 5 üçgen en çok kaç noktada kesişir?
A) 60
B) 10
D) 8
4
e o $ 2 = 6 . 2 = 12
2
7.
A) 8
C) 6
Aynı düzlemde bulunan ve herhangi ikisi çakışık olmayan 4 çember en fazla kaç noktada kesişir?
A) 4
6
e o = 63..52..41 = 20
3
3.
B) 5
4
e o=6
2
4
e o = 42.3 = 6
2
2.
Aynı düzlemde bulunan ve herhangi ikisi çakışık olmayan 4 doğru en çok kaç noktada kesişir?
E) 24
6
6
e o = e o = 62.5 = 15
4
2
8.
4.
Herhangi üçü doğrusal olmayan 5 nokta ile birbirinden
farklı kaç çokgen çizilebilir?
Yukarıdaki çember üzerinde verilen 5 nokta kullanılarak kaç farklı üçgen çizilebilir?
A) 10
A) 8
B) 12
C) 15
5
5
5
e o + e o + e o = 10 + 5 + 1 = 16
3
4
5
D) 16
E) 18
B) 10
C) 12
D) 15
E) 21
5
e o = 53..42..31 = 10
3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Kombinasyon
Konu Testi - 3
9.
13. 6 birim kareden oluşan yandaki
şekilde kaç tane dikdörtgen vardır?
A) 10
Yukarıdaki çember üzerinde verilen 6 nokta kullanılarak kaç farklı dörtgen çizilebilir?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 21
B) 12
C) 18
D) 21
E) 24
4 3
e o $ e o = 6 . 3 = 18
2 2
E) 24
6
6
e o = e o = 62.5 = 15
4
2
14. 12 birim kareden oluşan yandaki
şekilde kaç tane kare vardır?
10.
Birbirine paralel iki doğru üzerinde verilen 6 nokta ile
kaç farklı üçgen çizilebilir?
A) 24
B) 21
C) 18
D) 15
A) 15
E) 12
B) 18
C) 20
D) 21
E) 24
4.3+3.2+2.1
12 + 6 + 2 = 20
3 3
3 3
e oe o + e oe o = 3 . 3 + 3 . 3
2 1
2 1
= 18
15. Aynı düzlemde bulunan ve çakışık olmayan 5 doğrudan 2
11. Herhangi üçü doğrusal olmayan aynı düzlemdeki 6 nokta-
tanesi birbirine paraleldir.
dan biri A dır.
Buna göre, bu doğrular en çok kaç noktada kesişir?
Buna göre, köşeleri bu 6 noktadan oluşan ve bir köşesi A olan kaç farklı üçgen çizilebilir?
A) 8
B) 10
C) 15
D) 18
A) 6
E) 21
B) 9
C) 10
D) 15
E) 18
5
2
e o - e o = 10 - 1 = 9
2
2
5
e o = 10
2
12. Şekildeki 3 doğru kendi aralarında
ve diğer 4 doğru kendi aralarında
paraleldir.
16. Aynı düzlemde bulunan ve çakışık olmayan 7 doğrudan 3
tanesi bir A noktasında kesişmektedir.
Buna göre, şekilde kaç tane paralelkenar vardır?
B) 8
C) 9
D) 12
E) 18
A) 17
E) 21
21 – 3 + 1 = 19
9.
8. B
9. B
8.
10.
7. A
10. C
7.
11.
6. D
11. B
6.
12.
5. C
12. E
13. C
14. C
15. B
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5.
13.
4. D
4.
14.
15.
3. C
3.
16.
2. E
2.
D) 20
17.
1. B
16. C
14
1.
C) 19
7
3
e o-e o+ 1
2
2
3 4
e oe o = 3 . 6 = 18
2 2
Cevaplar
B) 18
18.
19.
20. ?
Cevaplar
A) 6
Buna göre, bu doğrular en çok kaç farklı noktada kesişir?
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Kombinasyon
1.
Konu Testi - 4
Düzgün bir altıgenin köşegen sayısı kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 12
4.
d1
E) 15
6
e o - 6 = 15 - 6 = 9
2
d2
Yukarıda verilen d1 ve d2 doğruları üzerinde verilen
7 nokta kullanılarak birbirinden farklı kaç doğru çizilebilir?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
7
4
4
e o-e o-e o+ 2
2
2
2
2.
21 – 6 – 6 + 2 = 11
Yukarıdaki şekilde doğru üzerinde 5, çember üzerinde 4
olmak üzere toplam 9 nokta verilmiştir.
5.
Buna göre, bu noktalar kullanılarak kaç farklı üçgen
oluşturulabilir?
A) 60
B) 64
C) 72
D) 74
Herhangi üçü doğrusal olmayan aynı düzlem üzerindeki 10 nokta kullanılarak kaç farklı çokgen çizilebilir?
A) 982
E) 84
e
9
5
e o - e o = 93..82..71 - 53..42..31
3
3
A
B
C) 972
D) 970
E) 968
10
10
10
10
10
10
10
o + e o + e o + e o + e o + e o + ... + e o = 2 10
0
1
2
3
4
5
10
1 + 10 + 45 + e
= 84 – 10 = 74
3.
B) 974
10
10
10
10
o + e o + e o + ... + e o = 2 10
3
4
5
10
e
10
10
10
10
o + e o + e o + ... + e o = 1024 – 1 – 10 – 45
3
4
5
10
e
10
10
10
10
o + e o + e o + ... + e o = 968
3
4
5
10
6.
A
C
B
D
E
O
%
Yukarıda verilen şekilde m (AOE) < 90° dır.
Yukarıda verilen şekil içerisinde bir köşesi A olan kaç
üçgen vardır?
Buna göre, şekilde kaç tane dar açı vardır?
A) 15
A) 6
5
e o = 10
2
B) 8
C) 9
D) 10
B) 16
C) 18
D) 24
E) 36
E) 12
4 4
e o $ e o = 6 . 4 = 24
2 1
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Kombinasyon
7.
Konu Testi - 4
Aynı düzlemde bulunan n doğrudan 3 tanesi bir A noktasından kesişiyor.
10. Aşağıda verilen şekil 20 birim kareden oluşmuştur.
Bu doğrular en çok 64 kesişim noktası oluşuyor.
Buna göre, n kaçtır?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
n
3
e o - e o + 1 = 64
2
2
n . ( n - 1)
= 66 & n. (n - 1) = 132
2
n = 12
Buna göre şekil içerisinde alanı 4 br2 den büyük olan
kaç kare vardır?
A) 6
B) 8
C) 32
D) 40
E) 48
5 . 4 + 4 . 3 + 3 . 2 + 2 . 1
Alanı 1br2 Alanı 4br2 Alanı 9br2 Alanı 16br2
olanlar
olanlar
olanlar
olanlar
6+2=8
8.
11. Aşağıda verilen dikdörtgenler prizmasının köşelerindeki
noktalar kullanılarak üçgenler çiziliyor.
B
hh Yukarıda verilen şekilde toplam 10 nokta vardır.
hh Üçgenler içinde doğrusal noktalar haricinde doğrusal
olan herhangi üç nokta yoktur.
D
A
Buna göre, bu 10 nokta ile en çok kaç doğru oluşturulabilir?
A) 39
e
B) 40
C) 45
D) 48
C
K
E) 52
L
N
M
Buna göre, çizilen üçgenlerin kaç tanesinin herhangi
bir kenarı MLCD yüzeyi üzerindedir?
10
3
3
3
o-e o-e o-e o+ 3
2
2
2
2
45 – 3 – 3 – 3 + 3
39
A) 6
B) 8
C) 12
D) 24
E) 28
4 4
4
e o $ e o + e o = 6 . 4 + 4 = 28
2 1
3
Aynı düzlemde bulanan 15 nokta ile ilgili aşağıdaki bilgiler
veriliyor.
12. Herhangi üçü doğrusal olmayan 5 nokta ile ilgili aşağıdaki
bilgiler veriliyor.
hh 4 ü bir A noktasında kesişmektedir.
hh 6 sı bir B noktasında kesişmektedir.
hh Bu noktaların herhangi ikisinden geçen doğrular çiziliyor.
hh 3 ü birbirine paraleldir.
hh Oluşan doğruların herhangi ikisi paralel değildir.
hh A ve B noktaları çakışık değildir.
Buna göre, bu doğrular en çok kaç noktada kesişir?
Buna göre, oluşan doğrular en çok kaç farklı noktada
kesişir?
A) 81
A) 30
C) 84
D) 86
E) 88
8. A
6.
7.
7. D
9. B
10. B
11. E
12. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5.
8.
9.
6. D
4.
10.
11.
5. E
3.
E) 50
10
o = 45
2
12.
4. C
e
13.
14.
3. D
16
2.
D) 45
15.
16.
2. D
105 – 6 – 15 – 3 + 2
83
1.
C) 40
5
e o = 10 doğru
2
15
4
6
3
o-e o-e o-e o+ 2
2
2
2
2
Cevaplar
B) 35
17.
1. C
e
B) 83
18.
19.
20. ?
Cevaplar
9.
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
31
VERİ, SAYMA, OLASILIK
Olasılık
hhOLASILIK

2 zarın havaya atılması olayında
Örnek uzay (E): (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4) (1, 5), (1, 6)
Olayların gerçekleşme ihtimallerinin sayılarla ifade edilmesine
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4) (2, 5), (2, 6)
olasılık denir.
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4) (3, 5), (3, 6)
Bir madeni para atıldığında yazı ya da tura gelme ihtimali, bir
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4) (4, 5), (4, 6)
zar atıldığında zarın üst yüzeyine hangi sayının geleceği, bir
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4) (5, 5), (5, 6)
torbadan top çekildiğinde renginin ne olacağı ... vb birer deney-
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4) (6, 5), (6, 6)
dir. Bu deneylerden oluşan sonuçlara çıktı denir.
a. Örnek Uzay
s(E): 36

Bir deneyde elde edilen bütün sonuçların kümesine örnek uzay
9
Örnek uzayın eleman sayısı: e o = 92.8 = 36
2
denir. E ile gösterilir.
hh Bir madenî paranın n defa havaya atılması olayında örnek
uzayın eleman sayısı s(E) = 2n dir.

7
3
man sayısı s(E) = 6n dir.

3 mavi 3 sarı bilyenin bulunduğu bir torbadan çekilen
bilye geriye atılmak şartıyla 3 bilye seçilmesinde,
Örnek uzayın eleman sayısı: 6 . 6. 6 = 216
Aşağıda verilen deneylerin örnek uzaylarını ve eleman
sayılarını bulunuz.

4 mavi 3 kırmızı bilyenin bulunduğu bir torbadan çekilen
bilye geriye atılmamak şartıyla 3 bilye seçilmesinde,
Örnek uzayın eleman sayısı: e o = 73..62..51 = 35
hh Bir zarın n defa havaya atılması olayında örnek uzayın ele-
Örnek 1:
3 kız ve 6 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıftan rastgele 2 öğrencinin seçilmesinde,
Bir madenî paranın havaya atılması olayında
Örnek uzay (E): {Y, T}
Cevap: 36, 35, 216
b. Olay
Bir deneyin örnek uzayının her bir alt kümesine olay denir. E
örnek uzayına kesin olay, Ø örnek uzayına imkansız olay denir.
s(E): 2
Örnek 2:

İki madenî paranın havaya atılması olayında
Örnek uzay (E): {YT, TY, YY, TT }
s(E): 4

Aşağıda verilen olayların kümesini ve eleman sayısını
bulunuz.

Bir zar havaya atıldığında üst yüze gelen sayının tek
sayı olmasında,
Olay (A): {1, 3, 5}
Üç madenî paranın atılması olayında
s(A): 3
Örnek uzay (E): {YYY, YYT, YTY, TYY, TTT, TTY, TYT, YTT}
s(E): 8

Bir zarın havaya atılması olayında
Örnek uzay (E): {1, 2, 3, 4, 5, 6}
s(E): 6

İki zar havaya atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamının 5 olmasında,
Olay (A): {(1, 4), (4, 1), (3, 2), (2, 3)}
s(A): 4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Olasılık
Üç madenî para havaya atıldığında ikisinin yazı birinin
tura gelmesinde,

Olay (A): {YYT, YTY, TYY}
s(A): 3
4 mavi, 5 yeşil topun bulunduğu bir torbadan seçilen 3
topun ikisinin mavi birinin yeşil olma olayı A ise

4
2
5
1
s(A): e o $ e o = 6 . 5 = 30
c. Ayrık Olay
Aynı örnek uzayın iki olayı A ve B olsun. A ∩ B = Ø ise A ve B
ayrık olaylardır.
Örnek 3:
A ve B, E örnek uzayının iki alt olayı olmak üzere,
1
3
1
P (B) =
4
P (A) =
1
12
olduğuna göre, P(A È B) kaçtır?
P(A Ç B) =
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
1 1
1
6
1
P(A ∪ B) = 3 + 4 - 12 = 12 = 2
(4)
(3)
Cevap: 1
2
(1)
Örnek 4:
A ve B, E örnek uzayının ayrık iki alt olayıdır.
OLASILIK FONKSİYONU
Bir E örnek uzayının bütün alt kümelerinin oluşturduğu küme
K olsun.
P : K ® [0, 1]
4
5
1
P(B¢) =
3
olduğuna göre, P(A È B) kaçtır?
P(A¢) =
biçiminde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir.
P(A) gerçek sayısına A olayının olasılığı denir.
4 1
P(A) = 1 – P(A′) ⇒ P(A) = 1 - 5 = 5
1 2
P(B) = 1 – P(B′) ⇒ P(B) = 1 - 3 = 3
hh A Î K için 0 £ P(A) £ 1 dir.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
hh A imkansız olay ise P(A) = 0 dır.
Cevap: 13
15
1
2
13
= 5 + 3 = 15
(3)
(5)
hh A mükemmel (kesin) olay ise A = E dir.
P(A) = P(E) = 1
hh A ve B E, örnek uzayının iki alt olayı olsun.
• A ve B ayrık olaylar ise A Ç B = Ø
•
P(A È B) = P(A) + P(B) dir.
A ve B ayrık olay değil ise A Ç B ¹ Ø
P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) dir.
hh A olayının gerçekleşmeme olasılığı A¢ ise
P(A) + P(A¢) = 1 dir.
A ve B, E örnek uzayının iki olayıdır.
1
3
1
P (A) = , P (B) = ve P(A′ ∩ B′) = olduğuna göre,
2
4
6
P(A ∩ B) kaçtır?
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
EŞ OLUMLU ÖRNEK UZAY
E = {e1, e2, e3, ..., en}
Sonlu bir örnek uzay olmak üzere
P(e1) = P(e2) = P(e3) = ... = P(en)
oluyorsa E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay denir.
hh A olayı E örnek uzayının alt uzayı olmak üzere,
P(A) =
İstenilen Durum Sayısı
s (A)
=
dır.
s (E)
Tüm Durum Sayısı
1
5
⇒ P(A ∪ B) =
6
6
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P((A ∪ B)ı) =
5 1 3
5 5
10
5
= + -x & x = - & x =
=
6 2 4
4 6
24 12
Öğretmen
Sorusu
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Olasılık
Örnek 5:
Örnek 9:
Bir madenî paranın havaya atılması deneyinde paranın
üst yüzüne yazı gelme olasılığı kaçtır?
Bir madenî paranın 3 defa havaya atılma olayında
1
P(A) = 2

s(E) = 23 = 8,
Cevap: 1
2
Sırasıyla yazı, tura, yazı gelme olasılığı kaçtır?
s(E) = 23 = 8
1
s(A) = 8
Örnek 6:
Bir zarın havaya atılması deneyinde zarın üst yüzüne
asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
Cevap:
3 1
P(A) = 6 = 2
A = {YYT, YTY, TYY}
3
P(A) = 8

1, 2, 3, 4, 5, 6
2 yazı 1 tura gelme olasılığı kaçtır?

A = {YTY}
En çok 2 tura gelme olasılığı kaçtır?
A′ = {TTT}
1
1 7
P(A′) = 8 ⇒ P(A) = 1 - 8 = 8
1
2
Cevap: 3 , 1, 7
8 8 8
Örnek 10:
2 zar aynı anda havaya atıldığında üst yüze gelen sayıların
Örnek 7:

s(E) = 62 = 36
4 kız ve 6 erkek öğrenciden oluşan bir sınıf içerisinden bir
kişi seçiliyor.
s(A) = 3 . 3 = 9
9
1
P(A) = 36 = 4
Buna göre, seçilen kişinin kız öğrenci olma olasılığı
kaçtır?
4
4
2
P(A) = 4 + 6 = 10 = 5
Cevap: 2
5
Örnek 8:


s(A) = 3 . 3 = 9
9
1
P(A) = 36 = 4

2 1
P(A) = 4 = 2
Toplamlarının 4 ten küçük olma olasılığı kaçtır?
A: {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}
3
1
P(A) = 36 = 12
Farklı olma olasılığı kaçtır?
2 1
P(A) = 4 = 2

Asal sayı olma olasılığı kaçtır?
Aynı olma olasılığı kaçtır?
YY, TT, TY, YT

Toplamlarının 6 olma olasılığı kaçtır?
A: {(1, 5), (5, 1), (4, 2), (2, 4), (3, 3)}
5
P(A) = 36
İki madenî paranın aynı anda havaya atılma deneyinde
üst yüze gelen yüzlerin

Çarpımın tek sayı olma olasılığı kaçtır?

Yalnızca birinin 4 olma olasılığı kaçtır?
A: {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6)}
10
5
P(A) = 36 = 18
En az birinin tura olma olasılığı kaçtır?
3
P(A) = 4
Cevap: 1, 1, 3
2 2 4
Cevap: 1 , 5 , 1 , 1 , 5
4 36 4 12 18
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Olasılık
Örnek 11:
Örnek 14:
Hileli bir parada yazı gelme olasılığı tura gelme olasılığının
3 katıdır.
Bir torbada 3 beyaz 4 kırmızı 3 siyah bilye vardır. Torbadan
rastgele 3 bilye seçiliyor.
Bu madenî para 2 defa havaya atıldığında üst yüze 2
defa yazı gelme olasılığı kaçtır?

3P(T) = P(Y)
4 3
e oe o
2 1
6.3
18
3
= 10.9.8 = 120 = 20
P (A) =
10
e o
3. 2. 1
3
Cevap: 9
16
1
P(T) + P(Y) = 1 ⇒ 4P(T) = 1 ⇒ P(T) = 4
3
⇒ P(Y) = 4
3 3
9
4 $ 4 = 16
2 sinin kırmızı 1 inin beyaz olma olasılığı kaçtır?

Seçilen bilyelerin aynı renkte olma olasılığı kaçtır?
3
3
4
e o+e o+e o
3
3
3
1+1+4
6
1
= 120 = 120 = 20
P (A) =
10
e o
3
Örnek 12:
Bir torbada 3 mavi, 7 siyah boncuk vardır. Bu torbadan rastgele 2 boncuk seçiliyor.

A′= üçününde aynı renk olması
Çekilen boncukların;
3
3
4
e o+e o+e o
3
3
3
1+1+4
6
1
= 120 = 120 = 20
P (Al ) =
10
e o
3
1
19
P (A) = 1 - 20 = 20
ikisinin de mavi olma olasılığı kaçtır?
3
e o
2
3
3
1
3 2
1
= 10.9 = 45 = 15 veya P (A) = 10 $ 9 = 15
P ( A) =
10
e o
2
2


Farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
3 7
e o$e o
1 1
3.7
21
7
3 7
7
= 10.9 = 45 = 15 veya P (A) = 10 $ 9 $ 2 = 15
P (A) =
10
e o
2
2
Cevap: 1 , 7
15 15
Seçilen top geriye konulmak şartıyla 2 sinin beyaz 1 inin
siyah olma olasılığı kaçtır?
BBS, BSB, SBB üç durum vardır.
3 3 3
81
P (A) = 10 $ 10 $ 10 $ 3 = 1000

Örnek 13:
Seçilen top geriye konulmak şartıyla siyah, beyaz, kırmızı sırasında seçilme olasılığı kaçtır?
3 3 4
9
P (A) = 10 $ 10 $ 10 = 250
5 kız 3 erkek öğrencinin bulunduğu bir topluluktan seçilen 3 öğrenciden ilk 2 sinin erkek sonuncunun kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?
3 2 5
5
8 $ 7 $ 6 = 56
Cevap: 3 , 1 , 1 , 81 , 9
20 20 20 1000 250
Cevap: 5
56
Bir zar ve yüzlerine 4, 5, 6, 7 rakamlarından birer tane yazılmış
bir düzgün dört yüzlüden herhangi biri seçilip iki defa atılıyor.
Atılan şeklin görünmeyen yüzeyindeki sayıların toplamının
11 olma olasılığı kaçtır?
Zar: {(6, 5), (5, 6)}
Dört yüzlü: {(5, 6), (6, 5), (4, 7), (7, 4)}
1 2
1 4
$
+ $
2 36 2 16
1
1 11
+ =
36 8 72
(2)
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
(9)
Öğretmen
Sorusu

Seçilen bilyelerin en çok ikisinin aynı renkte olma olasılığı kaçtır?
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Olasılık
1.
Konu Testi - 1
Bir madenî paranın 7 defa havaya atılması deneyindeki
örnek uzay E dir.
5.
P(A) =
Buna göre, s(E) kaçtır?
A) 64
B) 81
C) 100
D) 128
A ve B bir örnek uzayı oluşturan ayrık iki olaydır.
1
5
olduğuna göre, P(B) kaçtır?
E) 256
A)
s(E) = 27 = 128
1
2
B)
2
3
C) 3
4
D) 4
5
E) 5
6
P(A) + P(B) = P(E) = 1
P(B) = 1 - 1 = 4
5 5
2.
Bir zarın 3 defa havaya atılması deneyindeki örnek uzay A
dır.
Buna göre, s(A) kaçtır?
A) 64
B) 72
6.
C) 108
D) 128
E) 216
İki madenî para havaya atıldığında üst yüze gelen yüzlerin aynı olma olasılığı kaçtır?
A) 1
8
s(A) = 63 = 216
B) 1
4
C) 3
8
D) 1
2
E) 3
4
E: {YY, TT, YT, TY}
A: {TT, YY}
2 1
P (A) = 4 = 2
3.
A olayı E örnek uzayının alt uzayıdır.
4
P(A) =
7
olduğuna göre, P(A¢) kaçtır?
A)
1
7
2
7
B)
C)
3
7
D)
4
7
E)
5
6
P(A) + P(A′) = 1
4
7 + P(A′) = 1
3
P(A′) = 7
7.
Üç madenî para hava atılıyor.
Buna göre, birincinin tura ikincinin yazı üçüncünün
tura gelme olasılığı kaçtır?
A) 1
8
4.
s(E) = 23 = 8,
1
s(A) = 8
A ve B olayları E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
1
P(A) =
5
P(B¢) =
3
4
P(A Ç B) =
B)
1
4
C)
3
8
D)
1
4
E)
5
8
A= {TYT}
1
20
olduğuna göre, P(A È B) kaçtır?
A)
1
5
2
5
B)
C)
3
5
3 1
P (B) = 1 - 4 = 4
1 1
1
8
2
= 5 + 4 - 20 = 20 = 5
(5)
4
5
E)
5
6
8.
Bir zarın havaya atılması olayında üst yüze gelen sayının 2 den büyük olma olasılığı kaçtır?
A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
(4)
D)
(1)
5
6
B)
2
3
C)
1
2
D)
1
3
E)
1
6
A = {3, 4, 5, 6}
4 2
s (A) = 6 = 3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Olasılık
9.
Konu Testi - 1
13. Bir torbada 4 mavi 4 kırmızı bilye vardır. Bu torbadan çeki-
Bir çift zar aynı anda havaya atıldığında zarların üst
yüzüne farklı sayıların gelme olasılığı kaçtır?
A)
1
6
1
3
B)
C)
1
2
D)
2
3
E)
len bilye geri bırakılmaksızın ard arda 2 tane bilye çekiliyor.
5
6
Çekilen bilyelerin birincisinin mavi ikincisinin kırmızı
olma olasılığı kaçtır?
A′: Sayıların aynı olması
A)
A: Sayıların farklı olması
6
1 5
P (A) = 1 - P (Al ) = 1 - 36 = 1 - 6 = 6
2
5
B)
C)
3
5
2
7
C)
3
7
D)
4
7
E)
5
7
14. Bir torba içerisinde 4 beyaz, 4 kırmızı bilye vardır.
Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek öğrenci olma olasılığı kaçtır?
1
5
B)
4 4 2
P (A) = 8 $ 7 = 7
10. Bir sınıftaki öğrencilerin % 40 ı kız öğrencidir.
A)
1
7
D)
4
5
E)
Bu torbadan rastgele seçilen üç bilyenin üçününde
aynı renkli olma olasılığı kaçtır?
5
6
A)
K
40x
E
60x
60x
3
P (A) = 100x = 5
1
7
B)
2
7
C)
3
7
D)
4
7
E)
5
7
4
4
e o+e o
3
3
4+4
8
1
= 8.7.6 = 56 = 7
P (A) =
8
e o
3 . 2 .1
3
15. İçerisinde 3 mavi 4 kırmızı boncuk bulunan bir torbadan
çekilen boncuk geri atılmak koşuluyla 2 boncuk seçiliyor.
11. Bir kutu içerisinde 3 beyaz ve 4 siyah bilye vardır.
Seçilen boncukların aynı renkli olma olasılığı kaçtır?
Bu kutudan rastgele seçilen iki bilyenin ikisinin de beyaz olma olasılığı kaçtır?
B) 1
10
D) 1
5
C) 1
7
E)
A)
1
3
D)
4
7
E)
5
7
9
D)
14
Torbadan rastgele seçilen bir topun pembe renkli olmama olasılığı kaçtır?
5
E)
7
5 3
e o$e o
1 1
5.3 15
= 8.7 = 28
P (A) =
8
e o
2
2
B)
1
3
C)
1
2
15.
D)
2
3
E)
5
6
6+4
10 2
P (A) = 4 + 6 + 5 = 15 = 3
9.
8. B
9. E
8.
10.
7. A
10. C
7.
11.
6. D
11. C
6.
12.
5. D
12. B
13. B
14. A
15. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5.
13.
4. B
4.
14.
16.
2. E
3.
1
6
3. C
4
C)
7
top vardır.
A)
16. D
6
27
49
17.
1. D
15
B)
28
2.
C)
16. Bir torbada aynı büyüklükte 4 beyaz, 6 kırmızı ve 5 pembe
şinin birinin doktor birinin hemşire olma olasılığı kaçtır?
1.
26
49
3 3 4 4 25
P (A) = 7 $ 7 + 7 $ 7 = 49
12. 5 doktor ve 3 hemşire arasından rastgele seçilen 2 ki-
Cevaplar
B)
MM + KK
3
e o
2
3
1
= 21 = 7
P (A) =
7
e o
2
1
A)
2
25
49
18.
19.
20. ?
Cevaplar
1
A)
14
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Olasılık
1.
Konu Testi - 2
4.
Üç madenî para birlikte havaya atılıyor.
Buna göre, en az bir tanesinin tura olma olasılığı kaçtır?
A) 1
8
B) 1
4
C)
3
8
D)
1
2
E)
A = {x | 1 < x £ 99, x = 5k, k Î N}
kümesinin elemanları içerisinden seçilen bir elemanın
tek sayı olma olasılığı kaçtır?
7
8
A)
10
19
B)
1
2
C)
9
20
D)
9
19
E)
1
3
E = {5, 10, 15, 20, ..., 90, 95}
s(E) = 19
B = {5, 15, 25, 35, ... 95}
s(B) = 10
A: En az bir tanesinin tura olması
A′: Hepsinin yazı olması
1 7
P (A) = 1 - P (Al ) = 1 - 8 = 8
10
P (B) = 19
5.
2.
Bu torbadan çekilen bilye geriye konulmak şartıyla 3 bilye
çekiliyor.
İki zar havaya atılıyor.
Buna göre üst yüze gelen sayıların toplamının en az 10
olma olasılığı kaçtır?
A)
1
9
B)
5
36
C)
1
6
D)
4
3
E)
Buna göre, çekilen bilyelerin 2 sinin kırmızı, 1 inin sarı
olma olasılığı kaçtır?
1
4
A)
A: {(5, 5), (6, 4), (4, 6), (6, 5), (5, 6), (6, 6)}
4 öğretmen 6 öğrenci arasında 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır.
Buna göre, bu ekipte 2 öğrenci ve 1 öğretmen olma
olasılığı kaçtır?
1
6
B)
B)
1
6
C)
1
4
D)
1
3
E)
5
12
4 4 3
$3
P (A) = 12 $ 12 $
12
1
P (A) = 12
6.
A)
1
12
KKS, KSK, SKK
6
1
s (A) = 36 = 6
3.
Bir torbada aynı büyüklükte 5 mavi, 4 kırmızı, 3 sarı bilye
vardır.
1
3
6 4
e o $ e o 6. 5
2 1
2 $4
= 10
P (A) =
. 9. 8
10
e o
3. 2. 1
3
60
1
= 120 = 2
C)
1
2
D)
2
3
E)
5
6
 Bir torbada bulunan mavi bilyelerin sayısı kırmızı bilyelerin sayısının 2 katıdır.
 Bu torbadan art arda çekilen iki bilyenin de mavi olma
38
dir.
olasılığı
87
Buna göre, torbada toplam kaç bilye vardır?
A) 24
B) 30
C) 36
M
2x
2Y
x 2x - 1
3Y
x $ 3x - 1 =
K
x
38
2x - 1 19
87 & 3x - 1 = 29
58x – 29 = 57x – 19
x = 10
3x = 30
D) 42
E) 48
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Olasılık
Konu Testi - 2
4
Bir atıcının hedefi vurma olasılığı
tir. Atıcı bu hedefe 2
5
atış yapıyor.
10. 4 evli çiftten oluşan bir topluluktan rastgele 2 kişi seçiliyor.
Buna göre, bu 2 kişinin çift olma olasılığı kaçtır?
Buna göre, atıcının bu hedefi vuramama olasılığı kaçtır?
1
25
A)
4
25
B)
C)
1
5
D)
2
5
E)
A)
12
25
 Bir kutuda bulunan 30 tane elmanın bir kısmı çürük,
diğer kısmı sağlamdır.
 Bu kutudan alınan bir elmanın sağlam olma olasılığı
dır.
Çürük
x
C) 6
D) 8
E) 9
D)
4
7
E)
6
7
1
7
B)
3
14
C)
2
7
D)
3
7
E)
9
14
Sağlam
30 – x
3 3
3 2
2 3
2 3
3 3
3 2
e oe o + e oe o + e oe o + e oe o + e oe o + e oe o
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
P (A) =
8
e o
3
3.3 + 3.2 + 1.3 + 1.3 + 3.3 + 3.2 36
9
= 56 = 14
P (A) =
56
Hileli bir zarda bir sayının gelme olasılığı o sayının karesi
ile doğru orantılıdır.
12. Aralarında Özge ve Asya'nın da bulunduğu 4 kız, 3 erkek
Buna göre, bu hileli zar havaya atıldığında üst yüze gelen sayının 2 olma olasılığı kaçtır?
Buna göre, seçilenler arasında Özge ile Asya'nın bulunma olasılığı kaçtır?
16
91
E)
25
91
A)
9. B
10. A
11. E
12. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5.
6.
8. B
4.
7.
7. A
3.
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
5
6
3
e o
2
3
1
= 6. 3 = 6
P (A) =
4 3
e o$e o
2 2
8.
9.
6. B
2.
B)
10.
11.
5. A
1.
3
9k
1
6
12.
4. A
D)
13.
14.
3. C
9
91
4
5
6
16k 25k 36k
4k
4k
4
P (A) = k + 4k + 9k + 16k + 25k + 36k = 91k = 91
Cevaplar
2
4k
C)
15.
16.
2. C
1
k
4
91
B)
öğrenci arasından 2 kız ve 2 erkek öğrenci seçilecektir.
17.
1. E
1
91
A)
8
3
7
BBK + BBS + SSB + SSK + KKS + KKB
30 - x 5
30 = 6 & 30 - x = 25 & x = 5
9.
C)
Bu torbadan seçilen üç bilyenin sadece ikisinin renginin aynı olma olasılığı kaçtır?
5
6
Buna göre, kutudaki elmaların kaç tanesi çürüktür?
B) 5
2
7
11. Bir torbada 3 beyaz, 3 kırmızı, 2 siyah bilye vardır.
A)
A) 4
B)
4
e o
1
4
4
1
= 8.7 = 28 = 7
P (A) =
8
e o
2
2
4 1
Vuramama olasılığı: 1 - 5 = 5
1 1
1
P (A) = 5 $ 5 = 25
8.
1
7
18.
19.
20. ?
Cevaplar
7.
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Olasılık
Örnek 16:
Örnek 17:
A = {–2, –1, 0 1}
B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4}
kümeleri veriliyor.
Birinci
A x B kartezyen çarpımından alınan bir elemanın (a, a)
biçiminde olma olasılığı kaçtır?
İkinci
Yukarıdaki iki kutudan birincisinde 4 beyaz, 6 siyah, ikincisinde 2 beyaz 5 siyah top vardır.
Buna göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız.

s(E) = 4 . 6 = 24
Cevap: 1
8
A: {(–1, –1), (0, 0), (1, 1)}
3
1
P (A) = 24 = 8
İki torbadan birinden 1 bilye çekildiğinde çekilen bilyenin
siyah olma olasılığı kaçtır?
1 6
1 5
P (A) = 2 $ 10 + 2 $ 7
6
5
42 + 50
92
23
P (A) = 20 + 14 = 140 = 140 = 35
(7)
Örnek 18:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(10)
kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek tüm üç basamaklı sayılar birer kağıda yazılıp bir torbaya atılıyor.

Aynı anda her iki torbadan birer top alınıyor ve öteki torbaya atılıyor.
Torbadan çekilen bir kâğıdın üzerinde 5 ile tam bölünebilen bir sayı yazma olasılığı kaçtır?
Bu işlem sonucunda torbadaki siyah ve beyaz top sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı kaçtır?
s(E) = 6 . 6. 6 = 216
4 2 6 5
P (A) = 10 $ 7 + 10 $ 7
8 + 30 38 19
P (A) = 70 = 70 = 35
36
1
P (A) = 216 = 6
Cevap: 1
6
s(A) = 6 . 6 . 1 = 36
Örnek 19:

Birinci torbadan bir top çekilip rengine bakılmadan ikinci
torbaya atılıyor.
Bundan sonra ikinci torbadan rastgele bir top çekildiğinde bu topun beyaz olma olasılığı kaçtır?
BB + SB
4 3 6 2 12 + 12 24
3
10 $ 8 + 10 $ 8 = 80 = 80 = 10
F
B
Seçilen bir üçgenin bir köşesinin B olma olasılığı kaçtır?
E
C
D
Cevap: 23 , 19 , 3
35 35 10
Öğretmen
Sorusu
A
Yandaki çember üzerinde 6 nokta
verilmiştir. Köşeleri bu noktalar olmak üzere oluşturulabilecek üçgenlerden biri seçiliyor.
Cevap: 1
2
5
5 .4
e o
2
10 1
= 6.52.4 = 20 = 2
P (A) =
6
e o 3. 2.1
3
5 kız ve 5 erkek öğrenciden oluşan 10 kişi yan yana dizilecektir.
–E–E–E–E–E–
Buna göre, dizilimde herhangi iki kızın yan yana gelmemiş
olma olasılığı kaçtır?
P (A) =
5!.P (6, 5)
5! . 6!
120
1
=
=
=
10!
10.9.8.7.6! 10.9.8.7 42
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Olasılık
Örnek 20:
Örnek 23:
Futbol veya basketbol oyunlarından en az birini oynayanların bulunduğu 48 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin 30 u futbol,
24 ü basketbol oynamaktadır.
Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin bu iki oyunun
ikisini de oynayan öğrenci olma olasılığı kaçtır?
F
B
24
6
Cevap: 1
8
18
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden biri seçiliyor.
Seçilen kümenin içinde "2" elemanının olup "3" elemanının olmama olasılığı kaçtır?
Cevap: 2
7
5
e o
2
10 2
= 35 = 7
P (A) =
7
e o
3
6
1
P (A) = 48 = 8
Örnek 21:
Örnek 24:
Bir zarın 4 yüzü sarı, 2 yüzü kırmızı renge boyanıyor.
Bu zar havaya atıldığında görünmeyen yüzünde sarı
renk olma olasılığı kaçtır?
4 2
P (A) = 6 = 3
Cevap: 2
3
4 kız ve 3 erkek düz bir sıraya sıralandığında kızların
yan yana olma olasılığı kaçtır?
Cevap: 4
35
KKKK EEE
4!.4! 4!.4.3.2.1
4
P (A) = 7! = 7.6.5.4! = 35
Örnek 22:
Bir mağazadan belirli bir miktarın üzerinde alışveriş yapan
müşteriler 4 eş parçaya ayrılmış birinci çarkı iki defa çevirmektedir. Bu iki çevirişte gelen iki sayının toplamı 6 ya da
6 dan büyükse 6 eş parçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek
çıkan hediyeyi almaktadır.
Çamaşır
makinesi
Kahve
makinesi
Örnek 25:
Aşağıdaki yedi nokta, eş karelerin köşeleri üzerinde bulunmaktadır.
Ütü
Tost
makinesi
Ütü
Bu yedi noktadan rastgele seçilen üç noktanın bir üçgen oluşturma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?
II. çark
Buna göre, birinci çarkı çevirmeyi hak eden bir müşterinin çamaşır makinesi kazanma olasılığı kaçtır?
A: {(2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (3, 3), (4, 4)} ve s(E) = 4 . 4 = 16
6 1
1
P (B) = 16 $ 6 = 16
Cevap: 1
16
Yaşlı birbirinden farklı 10 çocuğu bulunan bir baba fiyatları 1 den
10 a kadar olan pozitif tam sayılar olan 10 hediyeyi her çocuğa
bir tane verilecek şekilde rastgele dağıtıyor.
Buna göre, en küçük ve en büyük çocuğun hediyelerinin
fiyatları arasındaki farkın 1 olma olasılığı kaçtır?
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
A)
32
35
B)
27
35
C)
24
35
D)
5
7
E)
7
3
3
3
e o-e o-e o-e o
3
3
3
3
35 - 1 - 1 - 1 32
=
= 35
P (A) =
35
7
e o
3
3
7
Cevap: 32
35
(En küçük, en büyük) sıralı ikilileri (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2) ...
(10, 9), (9, 10) olmak üzere 18 adet dağılım olur.
P (A) =
18 . 8!
18 . 8!
1
=
=
10!
10 . 9.8! 5
Öğretmen
Sorusu
I. çark
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Olasılık
A veya B nin Olasılığı
Bağımsız Olaylar
A ve B aynı örnek uzayın iki alt uzayı olmak üzere
A ve B aynı evrensel kümenin boş kümeden farklı iki olayı olmak üzere A olayının olasılığı B olayının olasılığını etkilemiyor
ise A ve B olayları bağımsızdır denir.
hh A Ç B ¹ Ø ise
P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)
hh P(A Ç B) = P(A) . P(B)
hh A Ç B = Ø ise
P(A È B) = P(A) + P(B) dir.
Örnek 29:
A ve B bağımsız iki olay
Örnek 26:
Bir zarın havaya atılması olayında üst yüze gelen sayının çift veya asal sayı olma olasılığı kaçtır?
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
3 3 1
= 6+6-6
1
= 1-6
5
= 6
Cevap: 5
6
P(A) =
4
3
ve P(B¢) =
5
4
olduğuna göre, P(A Ç B) kaçtır?
P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
Cevap: 1
5
4 1 1
= 5$4=5
Örnek 30:
Örnek 27:
Bir zar ile bir madenî paranın birlikte atılması olayında,
Bir torbada 4 mavi, 5 siyah, 3 kırmızı bilye vardır.

1 2 1
P(A ∩ B) = 2 $ 6 = 6
Bu torbada çekilen bir bilyenin mavi veya kırmızı olma
olasılığı kaçtır?
Cevap: 7
12
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
4
3
= 12 + 12 - 0
7
= 12
Paranın yazı ve zarın 4 ten büyük gelme olasılığı kaçtır?

Paranın yazı veya zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B)
1 3 1 3
= 2+6-2$6
1 3
= 1- 4 = 4
Cevap: 1, 3
6 4
Örnek 28:
Örnek 31:
24 kişilik bir sınıftaki 11 kızdan 4 tanesi gözlüklü ve erkeklerin 8 tanesi gözlüksüzdür.
İçinde 4 siyah, 2 mavi bilye bulunan bir torbadan rastgele
bir bilye çekilip aynı anda bir zar havaya atılıyor.
Bu sınıftan seçilen bir öğrencinin kız veya gözlüklü
olma olasılığı kaçtır?
Buna göre çekilen bilyenin mavi veya zarın çift gelme
olasılığı kaçtır?
Cevap: 2
3
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
11 9
4
= 24 + 24 - 24
16 2
= 24 = 3
Erkek
Kız
Gözlüklü
5
4
Gözlüksüz
8
7
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A). P(B)
2 3 2 3
= 6+6-6$6
5 1 4 2
= 6-6 =6 = 3
Cevap: 2
3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Olasılık
Koşullu Olasılık
Örnek 35:
A ve B, E örnek uzayının iki olayı ve B ¹ Ø olsun. B olayının
gerçekleşmesi halinde A olayının gerçekleşme olasılığına A nın
B ye bağlı koşullu olasılığı denir.
P(A / B) =
P (A + B)
P (B)
Cevap: 2
5
s(B) = 5 . 4 . 3 = 60
Örnek 32:
s(A ∩ B) = 4 . 3 . 2 = 24
Bir zar havaya atıldığında üst yüze gelen sayının tek olduğu bilindiğine göre 4 ten büyük olma olasılığı kaçtır?
A ∩ B = {5}
kümesinin rakamları kullanılarak yazılabilecek rakamları
farklı tüm sayılar birer kağıda yazılıp bir torbaya atılıyor.
Torbadan çekilen bir kağıdın üzerindeki sayının üç basamaklı bir doğal sayı olduğu bilindiğine göre, 2 ile bölünebilme olasılığı kaçtır?
şeklinde hesaplanır.
B = {1, 3, 5}
A = {1, 2, 3, 4, 5}
24 2
s(A \ B) = 60 = 5
Cevap: 1
3
1
P(A \ B) = 3
Örnek 33:
İki zar havaya atıldığında üst yüze gelen sayılardan birinin
5 geldiği biliniyor.
Buna göre üst yüze gelenlerin toplamının 7 olma olasılığı kaçtır?
Örnek 36:
Birbirine paralel 4 doğru ile bu doğruları kesen ve birbirine
paralel olan 4 doğru veriliyor.
A
B
Cevap: 2
11
B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}
A ∩ B = {(2, 5), (5, 2)}
2
P(A \ B) = 11
C
Bu doğrular arasından seçilen paralelkenarın bir kenarının [AB] olduğu biliniyorsa kenarlarından diğerinin
[BD] olma olasılığı kaçtır?
Örnek 34:
Üç madenî paranın havaya atılması olayında birincinin
tura geldiği bilindiğine göre diğerlerinin yazı gelme olasılığı kaçtır?
A ∩ B = {TYY}
1
P(A \ B) = 4
rakamları yan yana sıralanıyor.
Çift rakamların soldan sağa doğru küçükten büyüğe olacak
biçimde sıralandığı bilindiğine göre tek sayıların soldan
sağa küçükten büyüğe doğru sıralanma olasılığı kaçtır?
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 1
2
Cevap: 1
4
1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7
12
3 3
e oe o
1 1
3. 3 1
= 3. 6 = 2
P(A \ B) =
3 4
e oe o
1 2
P(B) = 7! $
1
3!
7!
3! . 4!
7!
1
P(A \ B) = 3! . 4! =
7!
24
3!
P(A ∩ B) =
Öğretmen
Sorusu
B = {TTT, TTY, TYT, TYY}
D
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Olasılık
1.
Konu Testi - 3
36 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin dağılımı aşağıda verilmiştir.
Kız
Erkek
Gözlüklü
10
12
Gözlüksüz
6
8
5.
A)
Buna göre sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız
veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır?
A)
1
9
B)
1
3
C)
4
9
D)
7
9
E)
1
Bir sınavı Asya'nın kazanma olasılığı , Özge'nin kazan4
1
ma olasılığı tür.
3
Bu iki olay bağımsız olaylar olduğuna göre Asya veya
Özge'nin bu sınavı kazanma olasılığı kaçtır?
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
5
6
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B)
8
9
1 1 1 1
= 3+4-3$4
7
1
6
1
= 12 - 12 = 12 = 2
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
16 22 10 28 7
= 36 + 36 - 36 = 36 = 9
6.
2.
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarından biri rastgele seçiliyor.
Bir zar havaya atıldığında üst yüze gelen sayının asal
veya tek sayı olma olasılığı kaçtır?
5
A)
6
2
B)
3
1
C)
2
1
D)
3
Buna göre, seçilen sayının çift olma olasılığı kaçtır?
1
E)
6
A)
3 3 2 4 2
= 6+6-6 =6 = 3
Buna göre, torbadan seçilen kalemin mavi veya siyah
olma olasılığı kaçtır?
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
7.
5
6
Buna göre, zarın asal ve paranın yazı gelme olasılığı
kaçtır?
B)
1
6
P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
3 1 1
= 6$2=4
C)
3
7
D)
4
7
E)
5
7
1
4
1
5
B)
2
5
C)
3
5
D)
4
5
E)
5
6
3 2
e o$e o
1 1
3. 2 2
= 6. 5 = 5
P (A) =
6
e o
2
2
Bir zar ve bir madenî para aynı anda havaya atılıyor.
1
8
C)
{–3, –2, –1, 0, 1, 2}
A)
4 2
6 2
= 9 + 9 -0 = 9 = 3
A)
2
7
kümesinin elemanlarından rastgele ikisi seçildiğinde
çarpımlarının negatif olma olasılığı kaçtır?
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
4.
B)
4
P(A) = 7
Bir torbada 3 kırmızı, 4 mavi, 2 siyah kalem vardır.
A)
1
7
–3 ≤ x – 1 ≤ 3 ⇒ –2 ≤ x ≤ 4
{–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
3.
|x – 1| £ 3
D)
1
2
E)
2
3
8.
Anne baba ve 3 çocuktan oluşan bir aile düz bir sıraya
oturduğunda anne ve babanın yanyana oturmuş olma
olasılığı kaçtır?
A)
2
5
B)
1
2
C)
1
3
D)
1
5
E)
1
6
AB ÇÇÇ
P ( A) =
4 ! . 2 ! 4! . 2 2
=
=
5!
5 . 4! 5
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Olasılık
9.
Konu Testi -3
13.
Bir zar havaya atıldığında üst yüze gelen sayının 5 ten
küçük olduğu bilindiğine göre asal sayı olma olasılığı
kaçtır?
A)
1
6
1
3
B)
C)
1
2
D)
2
3
E)
kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilecek
5 harfli kelimelerden bir tanesi seçiliyor.
5
6
Seçilen kelimede "özü" hecesinin olma olasılığı nedir?
A)
B = {1, 2, 3, 4}
A ∩ B = {2, 3}
10. Rastgele yazılan iki basamaklı bir doğal sayının 10 ile
1
B)
9
1
C)
8
1
D)
6
3
10
C)
2
5
D)
1
2
E)
3
5
cek bir kümenin 2 elemanlı olma olasılığı kaçtır?
1
E)
4
A)
11. Bir kapı Seydi'nin elindeki 6 anahtardan ikisi ile açılabil-
B)
3
8
C)
7
16
D)
1
2
E)
5
8
15. İlk 10 sayma sayısı arasından iki sayı seçilerek toplanıyor.
mektedir.
Buna göre toplama işleminin sonucunun 5 olma olasılığı kaçtır?
Denenen anahtarı tekrar diğer anahtarların içine atıldığına göre, Seydi'nin kapıyı ikinci denemede açabilme
olasılığı kaçtır?
B)
5
16
5
e o
2
10
5
P (A) = 5 = 32 = 16
2
9. 1
1
P (A) = 9.10 = 10
1
9
B)
14. 5 elemanlı bir kümenin alt kümeleri içerisinden seçile-
tam bölünebilen bir doğal sayı olma olasılığı kaçtır?
A)
1
20
3!
6
1
P (A) = 5! = 120 = 20
2 1
P(A \ B)= 4 = 2
1
A)
10
"ÖZGÜR"
2
9
C)
1
3
D)
4
9
E)
A)
2
3
2
45
B)
1
45
C)
4
45
D)
1
9
E)
1
5
A = {(1, 4), (2, 3)}
4 2 2
P (A) = 6 $ 6 = 9
P (A) =
2
2
= 45
10
e o
2
12. Aşağıda ABC üçgeni üzerinde 7 nokta verilmiştir.
A
16. A torbasında 3 mavi, 3 sarı bilye, B torbasından 2 mavi, 4
C
Seçilen topun sarı olma olasılığı kaçtır?
D)
27
35
E)
3
5
12. A
13. A
14. A
15. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5.
11. B
4.
6.
10. A
3.
7.
9. C
2.
8.
9.
8. A
16. A
14
1.
11
14
D)
15.
6
7
E)
13
14
3 5 3 4 27
9
6 $ 7 + 6 $ 7 = 42 = 14
7
3
3
3
e o-e o-e o-e o
3
3
3
3
35 - 3 32
= 35 = 35
P (A) =
7
e o
3
Cevaplar
C)
SS + MS
10.
7. B
4
5
11.
6. D
C)
12.
5. C
6
7
5
7
13.
4. C
B)
B)
3. D
32
35
9
14
14.
16.
17.
1. D
A)
A)
2. B
Bu 7 noktadan rastgele seçilen üç noktanın bir üçgen
oluşturma olasılığı kaçtır?
18.
19.
20. ?
Cevaplar
B
sarı bilye vardır. A torbasından rengine bakılmaksızın bir
top seçilip B torbasına atılıyor ve B torbasından bir top seçiliyor.
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Olasılık
1.
Konu Testi -4
4.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A, B ve C şehirleri arasındaki yol sayıları sırasıyla 4 ve 5 tir.
kümesinin 3 elemanlı alt kümeleri içerisinden seçilen
bir kümenin elemanlarından en küçüğünün 4 olma olasılığı kaçtır?
A)
5
28
B)
3
14
C)
1
14
D)
2
7
E)
A
3
28
Buna göre aracın gidişte kullandığı yolları dönüşte
kullanmama olasılığı kaçtır?
A)
5.
B)
9
35
C)
12
35
D)
1
70
E)
3
70
Lisans
Lise
Erkek
90
30
Kadın
125
Toplam
215
2
5
D)
3
5
E)
4
5
1
6
B)
1
5
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
12
132
35
8
168
65
20
300
2
C)
5
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
168
20
8
180 3
= 300 + 300 - 300 = 300 = 5
6.
Aşağıda verilen kırmızı torbada 4 kırmızı, 2 siyah, siyah
torbada 6 kırmızı 8 siyah top vardır.
Doktora Toplam
Bu işyerinden rastgele seçilen bir çalışanın eğitim durumunun doktora veya cinsiyetinin kadın olma olasılığı kaçtır?
1
B)
5
C)
4 5
$
1
P(A \ B) = 49 58 = 2
$
$
2
9 8
Aşağıdaki tabloda bir işyerinde çalışanların eğitim durumuna ve cinsiyetine göre sayıları gösterilmiştir.
1
A)
6
1
5
Bir torbada 4 kırmızı, 5 mavi bilye vardır.
A)
1
1
1
= 7.6.5 = 35
7 4
e oe o
3. 2. 1
3 4
3.
B)
Çekilen bilye torbaya geriye bırakılmamak şartıyla torbadan çekilen iki bilyenin farklı renklerde olduğu bilindiğine göre ikinci çekilen bilyenin mavi olma olasılığı
kaçtır?
Bu kutulardaki dergilerin doğru adreslere gitme olasılığı kaçtır?
1
35
1
6
4 .5 .3. 4 3
P ( A) = 4 . 5 . 5 . 4 = 5
7 farklı kişiden 3 üne A, 4 üne B dergisi gönderilmek isteniyor. Bu dergiler üzerinde bu 7 kişinin isimlerinin yazılı
olduğu yedi farklı kutuya rastgele koruyor.
A)
C
A dan yola çıkan bir araç C ye varıp A ya dönecektir.
4
e o
2
6
3
= 56 = 28
P (A) =
8
e o
3
2.
B
3
D)
5
4
E)
5
Kırmızı
Siyah
Bu torbalardan bir top çekildiğinde topun çekilen torba
ile aynı renkli olma olasılığı kaçtır?
A)
1
2
B)
23
42
C)
4
7
D)
13
21
E)
1
4
1 4 1 8
P (A) = 2 $ 6 + 2 $ 14
1 2 13
3 + 7 = 21
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
VERİ, SAYMA, OLASILIK / Olasılık
7.
Konu Testi -4
1
tür.
4
Atıcı üç atış yaptığında en az bir atışta hedefİ vurma
olasılığı kaçtır?
Bir atıcının hedefi vurma olasılığı
A)
37
64
19
32
B)
C)
5
8
D)
21
32
E)
10.
1. sokak
1
3
5
7
9
43
64
2. sokak
A= En az bir atışta vurma
A′ = Hiç vurmama
3 3 3
P(A) = 1 – P(A′) = 1 - 4 $ 4 $ 4
37
= 64
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
Yukarıda kapı numaraları ve bulundukları sokaklar verilen
15 ev içerisinden iki tanesi seçiliyor.
8.
Seçilen evlerin 1. sokakta olduğu bilindiğine göre kapı
numaralarının çarpımının 15 olma olasılığı kaçtır?
A = {1, 2, 3}
A)
B = {1, 2, 3, 4}
olmak üzere A dan B ye tanımlanan fonksiyonlardan
rastgele seçilen bir fonksiyonun bire bir olma olasılığı
kaçtır?
A)
1
8
P (A) =
1
4
B)
C)
3
8
D)
1
2
E)
1
45
B)
C)
1
15
D)
1
9
E)
2
9
A ∩ B = {(1, 15), (3, 5)}
P(A \ B) =
3
4
4. 3. 2 3
=8
43
2
45
2
2
= 45
10
e o
2
11. Evden hareket eden bir kişi şekildeki yolları kullanarak
aşağıdaki manav, kasap ya da eczaneye ulaşmaktadır.
Ev
9.
A
Manav
B
A)
hh A torbasından bir top alınıp B torbasına daha sonra da
B torbasından bir top alınıp A torbasına atılıyor.
1
16
Buna göre, renk bakımından ilk durumun elde edilme
olasılığı kaçtır?
C)
31
56
D)
4
7
E)
1
2
33
56
1
4
KK + SS
8. C
6.
7. A
9. C
10. B
11. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5.
7.
8.
6. D
4.
9.
10.
5. E
3.
D)
1
2
E)
1
3
1
4
1+ 1= 1
4 4 2
11.
12.
4. D
2.
1
4
13.
14.
3. D
16
1.
1
4
1
2
1
4
3 5 4 4 31
P (A) = 7 $ 8 + 7 $ 8 = 56
Cevaplar
C)
15.
2. A
15
28
1
8
16.
17.
1. E
B)
B)
18.
19.
20. ?
Cevaplar
1
2
Eczane
Kullanılan yol bir daha kullanılmamak koşuluyla evden
çıkan bir kişinin kasaba ulaşma olasılığı kaçtır?
hh A torbasında 3 kırmızı, 4 siyah B torbasında 3 siyah, 4
kırmızı top vardır.
A)
Kasap
YGS // MATEMATİK
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
hhİKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ
DENKLEMLER
FÖY NO
32
Örnek 3:
x2 – 4x = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
a, b ve c gerçek sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,
ax2 + bx + c = 0
x(x – 4) = 0
ifadesine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
hh İkinci dereceden denklemi sağlayan değerlere kök denir.
Cevap: {0, 4}
x = 0 veya x = 4
Ç.K = {0, 4}
hh İkinci dereceden denklemlerin en çok 2 reel kökü vardır.
hh İkinci dereceden denklemin köklerinin kümesine çözüm kümesi denir.
Örnek 4:
3x – 4x2 = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek 1:
x2 – 4 = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
(x – 2) (x + 2) = 0
Cevap: '0, 3 1
4
x(3 – 4x) = 0
Cevap: {–2, 2}
x = 0 veya 3 – 4x = 0
3
x = 0 veya x = 4
3
Ç.K = &0, 4 0
x – 2 = 0 veya x + 2 = 0
x=2
veya x = –2
Ç.K = {–2, 2}
Örnek 5:
x2 – 4x – 5 = 0
Örnek 2:
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
–3x2 + 27 = 0
x2 – 4x – 5 = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
–3(x2 – 9) = 0 ⇒ x2 – 9 = 0
⇒ (x – 3)(x + 3) = 0
⇒ x – 3 = 0, x + 3 = 0
⇒ x = 3, x = –3
Cevap: {–3, 3}
x
–5
x
+1
Cevap: {–1, 5}
(x – 5)(x + 1) = 0
x – 5 = 0, x + 1 = 0
x = 5,
x = –1
Ç.K = {–1, 5}
Öğretmen
Sorusu
Ç.K = {–3, 3}
x-1 x+2
+
-3 = 0
x+1 x+3
denkleminin köklerini bulunuz.
x-1 x+2
+
x+1 x+3
(x + 3)
(x + 1)
3
1
=0
(x + 3)(x + 1)
x2 + 2x – 3 + x2 + 3x + 2 – 3(x2 + 4x + 3) = 0
–x2 – 7x – 10 = 0
x2 + 7x + 10 = 0 ⇒ x = –5, x = –2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
Örnek 6:
Örnek 9:
x2 + 4x + 3 = 0
6x2 – 11x + 3 = 0
ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre, x 12 + x 22 toplamının değeri kaçtır?
Buna göre x1 . x2 çarpımının sonucu kaçtır?
x2 + 4x + 3 = 0
+3
x
+1
x
Cevap: 10
6x2 – 11x + 3 = 0
3x
–1
2x
Cevap: 1
2
–3
(3x – 1)(2x – 3) = 0
1
3
x= 3
x = 2
1 3 1
x1 . x 2 = 3 $ 2 = 2
(x + 3)(x + 1) = 0
x = –3, x = –1
(–3)2 + (–1)2 = 9 + 1 = 10
Örnek 7:
–x2 + 5x – 6 = 0
ikinci dereceden denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
–(x2 – 5x + 6) = 0
Cevap: {2, 3}
x2 – 5x + 6 = 0
–3
–2
x = 3,
Örnek 10:
x 2 - 4x - 21
=0
x+3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
(x - 7) (x + 3)
=0
x+3
x=2
Cevap: {7}
x–7=0⇒x=7
Ç.K = {2, 3}
Ç.K = {7}
Örnek 8:
2x2 – 3x + 1 = 0
ikinci dereceden denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
2x2 – 3x + 1 = 0
2x
–1
x
–1
Cevap: ' 1, 11
2
Örnek 11:
3x2 + (a + 3)x + a + 6 = 0
denkleminin köklerinden biri 2 olduğuna göre, a kaçtır?
(2x – 1)(x – 1) = 0
x–1=0
x=1
1
Ç.K = & 2 , 10
3 . 22 + (a + 3) . 2 + a + 6 = 0
Cevap: –8
12 + 2a + 6 + a + 6 = 0
3a = –24
a = –8
x2 + 3x – 7 = 0
denkleminin kökleri a ve b dir.
Buna göre,
24
30
+
a 2 + 3a + 1 2b 2 + 6b + 1
ifadesinin sonucu kaçtır?
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
a2 + 3a – 7 = 0 ⇒ a2 + 3a = 7
b2 + 3b – 7 = 0 ⇒ b2 + 3b = 7
24
30
24
30
+
=
+
= 3+ 2 = 5
a 2 + 3a + 1 2 (b 2 + 3b) + 1 7 + 1 14 + 1
Öğretmen
Sorusu
2x – 1 = 0
1
x= 2
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
Not
Örnek 15:
x2 + 4x + 4 = 0
a, b ve c gerçek sayılar ve a � 0 olmak üzere,
ax2 + bx + c = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.
D = (–4)2 – 4 . 1. 4 = 16 – 16 = 0
hh ∆ = b2 – 4ac (Diskriminant)
x 1, 2 =
b
b
T
T
hh x1 = - ve x 2 = - +
2a
2a
olarak bulunur.
x1 =
Cevap: {2}
4" 0
2
4+0
4-0
2 = 2, x 2 = 2 = 2
Ç.K = {2}
Örnek 12:
x2 – 2x – 3 = 0
Not
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
D = (–2)2 – 4 . 1 . (–3)
D = 4 + 12 = 16
x 1, 2 =
ax2 + bx + c = 0
Cevap: {–1, 3}
hh ∆ < 0 ise denklemin reel kökü yoktur.
2 " 16
2"4
2-4
2+4
= 2 ⇒ x1 = 2 , x2 = 2
2
hh ∆ > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
Ç.K = {–1, 3}
hh ∆ = 0 ise denklemin,
Örnek 13:
• Birbirine eşit iki gerçek kökü vardır.
• Çakışık iki kökü vardır.
x2 – 2x – 4 = 0
• Çift katlı kökü vardır.
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
D = (–2)2 – 4 . 1 . (–4)
D = 4 + 16 = 20
ikinci dereceden denkleminde
Cevap: "1 -
• Tamkareli bir ifadedir.
5, 1 +
5,
2 " 20
2"2 5
=
2
2
x 1, 2 = 1 " 5
x 1, 2 =
Ç.K = {1 - 5 , 1 + 5 }
Örnek 16:
Örnek 14:
x2 – 6x + a = 0
x2 + 2x + 6 = 0
ikinci dereceden denkleminin reel kökü olmadığına
göre a nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
D = 22 – 4 . 1 . 6
Cevap: Ø
= 4 – 24 = –20
x 1, 2 =
- 2 " - 20
2
Öğretmen
Sorusu
- 20 ∉ R ⇒ Ç.K = Ø
D < 0
Cevap: 10
36 – 4 . 1. a < 0
36 < 4a
9<a
a > 9, a en az 10 dur.
–x2 + 12x – m = 0
denkleminin kökleri rasyonel olduğuna göre, m nin alabileceği kaç doğal sayı değeri vardır?
Köklerin rasyonel olması için ∆ bir rasyonel sayının karesi
olmalıdır.
⇒ ∆ = 144 – 4m = n2
n ∈ {12, 10, 8, 6, 4, 2, 0} için
⇒ m ∈ {0, 11, 20, 27, 32, 35, 36}
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
Not
Örnek 17:
ax2 + bx + c = 0
mx2 – mx + 2 = 0
ikinci dereceden denkleminin
ikinci dereceden denkleminin birbirinden farklı iki gerçek köke sahip olması için m hangi değer aralığında
olmalıdır?
D > 0
hh Simetrik iki kökünün olması için b = 0 olmalıdır.
hh Simetrik iki reel kökün olması için b = 0 ve a . c < 0
olmalıdır.
Cevap: (–∞, 0) ∪ (8, ∞)
m2 – 8m > 0
0
+
8
–
+
(–∞, 0) ∪ (8, ∞)
Örnek 18:
2x2 – 8x + m – 1 = 0
Örnek 20:
ikinci dereceden denkleminin birbirine eşit iki gerçek kökü
vardır.
Buna göre, m kaçtır?
D = 0
(–8)2 – 4 . 2 . (m – 1) = 0
Cevap: 9
x2 – (m – 2)x – 2m = 0
denklemi simetrik iki reel köke sahip olduğuna göre, bu
köklerin çarpımı kaçtır?
Cevap: –4
m–2=0⇒m=2
x2 – 4 = 0 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = –2, x = 2
64 – 8m + 8 = 0
x1 . x2 = –4
8m = 72
m=9
Örnek 19:
ikinci dereceden denkleminin çakışık iki gerçek köke
sahip olması için n kaç olmalıdır?
D = 0
(2n)2 – 4 . (n + 2)(n + 3) = 0
Cevap: – 6
5
4n2 – 4n2 – 20n – 24 = 0
20n = –24
- 24
n = 20
6
n= -5
x2 + (3a – 2b – 4)x + a2 – 8a = 0
denkleminin simetrik ve sıfırdan farklı iki reel kökü vardır.
Buna göre, b nin alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?
Örnek 21:
ax2 + (a2 – 3a – 4)x – 16 = 0
denklemi simetrik iki reel köke sahip olduğuna göre, a
kaçtır?
a2 – 3a – 4 = 0
–4
+1
Cevap: 4
a = –1, a = 4
a . c < 0 olduğundan a = 4 tür.
3a – 2b – 4 = 0 ⇒ a =
a2 – 8a < 0
0
8
+
–
+
2b + 4
3
⇒0<a<8
2b + 4
<8
0<
3
–2 < b < 10
–1, 0, 1, 2 .... 9 olmak üzere 11 tanedir.
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Öğretmen
Sorusu
(n + 2)x2 + 2nx + n + 3 = 0
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
1.
5.
16 – x2 = 0
Konu Testi - 1
x2 + x = 6
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
A) {3}
x2 + x – 6 = 0
B) {4}
A) –6
C) {–4, 4} D) {–2, 2} E) R
6.
3x2 – 7x – 6 = 0
C) 0
D) 1
olduğuna göre, 3x1 + x2 ifadesinin değeri kaçtır?
E) 6
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
3x2 – 7x – 6 = 0
x2 – 1 = 8 ⇒ x2 = 9
⇒ x = –3, x = 3
–3 + 3 = 0
3x
+2
x
–3
(3x + 2)(x – 3) = 0
2
x1 = - 3 ,
3.
E) 6
x1 < x2
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
B) –2
D) 1
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x2 - 1
=4
2
A) –3
C) 0
+3
–2
x = 2, x = –3
2 . (–3) = –6
(4 – x)(4 + x) = 0
x = 4, x = –4
Ç.K = {–4, 4}
2.
B) –1
-2
x2 = 3 ⇒ 3x1 + x2 = 3 $ 3 + 3 = 1
x2 – 6x = 0
denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
A) –6
B) –3
C) 0
D) 3
7.
E) 6
x2 – 2x – 1 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) "1 " 3 ,
x(x – 6) = 0
x = 0, x – 6 = 0
x=6
0.6=0
B) "1 " 2 ,
C) {–1, 2}
E) "1 " 5 ,
D) ∅
D = (–2)2 – 4 . 1(–1) = 8
x1,2 =
2" 8
2"2 2
=
= 1" 2
2
2
Ç.K = "1 " 2 ,
4.
x2 – 2x – 8 = 0
denklemi sağlayan x değerlerinin aritmetik ortalaması
kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
8.
x2 + 2x + 4 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) R
x2 – 2x – 8 = 0
–4
+2
x = 4, x = –2
4 + (- 2)
=1
A.O =
2
B) "1 " 2 ,
D) "1 " 3 ,
C) {–1, 2}
E) ∅
D = 22 – 4 . 1 . 4 = –12
Ç.K = Ø
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
9.
13.
x2 – 6x + 9 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {3}
D) Ø
mx2 + 6x – 1 = 0
denkleminin çakışık iki kökü olduğuna göre, m kaçtır?
A) –9
C) "3 " 3 ,
B) {–3, 3}
E) {0, –3}
14.
7x
2
+ x - 10
B) –8
C) –6
D) 6
E) –1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
(–3)2 – 4 . (a – 1 ) < 0
9 – 4a + 4 < 0
4a > 13
13
a> 4
a en küçük 4 olur.
(3x – 2) . (mx + 3) = 0
denkleminin köklerinin çarpımı 1 olduğuna göre, m
kaçtır?
B) –2
E) 1
ifadesi bir tam kare olduğuna göre, n kaç olabilir?
A) 2
2
⇒ x= 3
-3
⇒ x= m
x2 – mx + 2m + 8 = 0
16.
denkleminin köklerinden biri x = –1 olduğuna göre, m
kaçtır?
D) 12
E) 16
C) –1
D) 0
E) 1
denkleminin simetrik iki gerçek kökü vardır.
Buna göre, köklerden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
(–1)2 – m(–1) + 2m + 8 = 0
3m + 9 = 0
m = –3
B) 2
C) 3
D) 6
E) 9
m = 0 ⇒ x2 – 9 = 0
x2 = 9 ⇒ x = –3, x = 3
5. A
6. A
7. B
8. E
9. A
10. A
11. B
12. A
13. A
14. C
15. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
4. A
B) –2
x2 – mx + m – 9 = 0
3. C
A) –3
C) 8
n2 – 4 . 1. 36 = 0
n2 = 144 ⇒ n = –12, n = 12
2 -3
⇒ m = –2
3$ m =1
12.
B) 6
2. C
mx + 3 = 0
D) 0
x2 – nx + 36 = 0
1. C
3x – 2 = 0
C) –1
15.
Cevaplar
A) –3
16. C
6
D) –3
x2 – 3x + a – 1 = 0
A) 2
E) 8
x2 + x – 10 = 2
x2 + x – 12 = 0 ⇒ x = 3, x = –4
+4
⇒ 3 . (–4) = –12
–3
11.
C) –5
denkleminin reel kökü olmadığına göre, a nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
= 49
denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
A) –12
B) –7
36 – 4 . m . (–1) = 0
36 + 4m = 0
m = –9
x2 – 6x + 9 = 0 ⇒ (x – 3)2 = 0 ⇒ x = 3
–3
–3
10.
Konu Testi - 1
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
1.
4.
x2 – 3x + a = 0
Konu Testi - 2
x2 + 2bx + b2 – 1 = 0
ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri 2 olduğuna göre, diskriminantı kaçtır?
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
A) b – 1
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
22 – 3 . 2 + a = 0
–2 + a = 0 ⇒ a = 2
D
= (–3)2 – 4 . 1 . 2 = 9 – 8
(x + b)2 = 1
x+b=1
veya
x=1–b
veya
=1
x 2 + 7x + 6
=0
x 2 + 4x + 3
2.
B) 1 – b
5.
C) b
D) 1
E) –1
x + b = –1
x = –1 – b
x2 – 6x + m – 3 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması geometrik
ortalamasına eşit olduğuna göre, m kaçtır?
A) {–1, –6}
A) 6
B) {–1, –6, –3}
D) {–6}
C) {–1}
E) {–3}
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
G.O = A.O ⇒ x1 = x2 ⇒ D = 0
36 – 4 . 1 . (m – 3) = 0
36 – 4m + 12 = 0
m = 12
(x + 6)(x + 1)
=0
(x + 3)(x + 1)
x+6
=
x + 3 0 ⇒ x + 6 = 0 ⇒ x = –6
6.
3.
(2x – 1)(x – 4) – (x – 4) . x = 0
denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?
A) 2
B) 3
2x2 – 8x – x + 4 – x2 + 4x = 0
x2 – 5x + 4 = 0
–4
–1
x = 1,
x=4
1.4=4
C) 4
D) 6
E) 8
x . (x2 + 3x + a) = 0
denkleminin çözüm kümesi tek elemanlı olduğuna
göre, a nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
A) 0
B) 3
C) 4
D) 6
E) 9
x2 + 3x + a = 0
D < 0
9 – 4a < 0
9
a> 4
a en küçük 3 olur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
7.
10.
mx2 + (m2 – 9) . x + 4 = 0
Konu Testi - 2
x2 – 2x – 4 = 0
denkleminin simetrik iki gerçek kökü vardır.
denkleminin köklerinden biri a dır.
Buna göre, m kaçtır?
Buna göre,
A) –3
B) –1
C) 1
D) 2
(a – 4) . (a + 2)
E) 3
ifadesinin sonucu kaçtır?
m2 – 9 = 0 ⇒ m2 = 9 ⇒ m = –3, m = 3
A) –6
a . c < 0 olduğundan m = –3
B) –4
C) –2
D) 2
E) 4
D) 21
E) 22
a2 – 2a – 4 = 0
a2 – 2a = 4
(a – 4) . (a + 2) = a2 – 2a – 8
=4–8
= –4
8.
x2 – ax– 4 = 0
denkleminin kökleri hakkında,
I. Reel kökleri yoktur.
II. Çakışık iki reel kökü vardır.
11.
III. Farklı iki reel kökü vardır.
x-1 =
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
IV. a = 0 için simetrik iki reel kökü vardır.
Buna göre,
x 13 + x 32
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 0
B) 1
C) 2
6
x
D) 3
ifadesinin sonucu kaçtır?
E) 4
D = a2 – 4 . 1 . (–4) = a2 + 16 > 0
A) 18
B) 19
C) 20
Farklı iki reel kökü vardır.
x(x – 1) = 6 ⇒ x2 – x – 6 = 0
⇒ (x – 3)(x + 2) = 0
⇒ x = 3, x = –2
33 + (–2)3 = 19
a = 0 için simetrik iki reel kökü vardır.
12 8
- +1 = 0
x2 x
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B) {–2, 6}
D) {2, 12}
C) {2, 6}
12.
(x – 2)2 = 2x – 1
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
E) {4, 6}
A) 4
12 8
1
- + 1 =0
x 2 (xx)
2
C) 6
D) 7
E) 8
x2 – 4x + 4 = 2x – 1
x2 – 6x + 5 = 0
–5
–1
x = 1, x = 5 ⇒ 1 + 5 = 6
4. B
5. D
6. B
7. A
8. C
9. C
10. B
11. B
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3. C
–6
–2
x = 2, x = 6 ⇒ Ç.K = {2, 6}
2. D
(x )
x2 – 8x + 12 = 0
8
B) 5
1. D
A) {–8, –2}
Cevaplar
9.
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
İkinci Dereceden Denklemin Kökleri ile
Katsayıları Arasındaki Bağıntılılar
ax2 + bx + c = 0
Buna göre,
b
hh x1 + x2 = a
(x1 – 1) . (x2 – 1)
c
a
çarpımının sonucu kaçtır?
T
dır.
a
hh |x1 – x2| =
2x2 – 12x + 6 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.
hh x1 . x2 =
Örnek 24:
(x1 – 1)(x2 – 1) = x1 . x2 – x1 – x2 + 1
Cevap: –2
= x1 . x2 – (x1 + x2) + 1
6 12
= 2 - 2 +1
= –2
Örnek 22:
x2 – 8x – 4 = 0
Örnek 25:
ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x2 – 3x + 2 = 0
Buna göre, aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz.


x1 + x2
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
-b
-8
x1 + x 2 = a = - 1 = 8
Buna göre,
x 12 + x 22
x1 . x2
c -4
x 1 .x 2 = a = 1 = - 4

ifadesinin değeri kaçtır?
|x1 – x2|
x1 - x 2 =
=
x1 + x2 = 3,
( - 8 ) 2 - 4 . 1 . ( - 4)
1
80
x1 . x2 = 2
Cevap: 5
) 2 = 32
(x1 + x2
x 12
=4 5
Cevap: 4 5
+
x 22
+ 2x1 . x2 = 9
x 12
+ x 22 + 4 = 9
x 12 + x 22 = 5
Örnek 23:
Örnek 26:
x2 + 4x + 2 = 0
ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
–x2 + 5x + 2 = 0
Buna göre,
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
1
1
+
x1 x 2
Buna göre,
x 13 + x 32
ifadesinin sonucu kaçtır?
-4
x1 + x 2
1
1
1
+
=
=
x1 x 2
x 1 .x 2
2 =- 2
1
(x 2)
(x 1)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevap: –2
x 13 + x 23 = (x1 + x2)[(x1 + x2)2 – 3x1 . x2]
Cevap: 155
= 5 . [52 – 3 . (–2)]
= 5 . 31
= 155
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
Örnek 27:
Örnek 30:
x2 – 6x + 3 = 0
x2 – 6x + n + 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre,
2x1 – x2 = 3
x 12 . x 2 + x 22 . x 1
olduğuna göre, n kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
x1 . x2(x1 + x2)
x1 + x 2 = 6
Cevap: 18
3 - (- 6)
1 $ 1 = 18
+
Cevap: 8
2x1 – x2 = 3
3x1 = 9 ⇒ x1 = 3
32 – 6 . 3 + n + 1 = 0
n–8=0⇒n=8
Örnek 28:
Örnek 31:
– 2x + a = 0
x2 – (m + 1)x + 27 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x1 + x2 + x1 . x2 = 5
x1 = x 22
olduğuna göre, a kaçtır?
x1 + x 2 + x 1 . x 2 = 5
olduğuna göre, m kaçtır?
Cevap: 3
- (- 2) a
1 +1=5
a+2=5
⇒ m = 11
Örnek 32:
x2 – ax + 3 = 0
x2 – ax + 4 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x1 +
x2 = 7
x2 i = 7
2
2
x 1 + x 2 + 2. x 1 . x 2 = 7
a+2 4 = 7
a=3
x2 − 3x + 1 = 0
ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x 22
+
x 22
x 12
ifadesinin sonucu kaçtır?
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
=2
x2
olduğuna göre, a kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
x 12
Cevap: 11
9 – 3m – 3 + 27 = 0 ⇒ 3m = 33
Örnek 29:
_ x1 +
x 22 . x2 = 27 ⇒ x 23 = 27 ⇒ x2 = 3
32 – (m + 1)3 + 27 = 0
a=3
x1 +
x1 . x2 = 27
Cevap: 3
x1 1
2
1 + x 2 = 1 ⇒ x1 . x2 + 1 = 2x2
(x 2)
(x 2)
⇒ 3 + 1 = 2x2
Cevap: 7
2
⇒ x2 = 2
22 – a . 2 + 3 = 0
7
2a = 7 ⇒ a = 2
x 14 + x 24
(x 1.x 2)
2
=
x 14 + x 24
12
= x 14 + x 24
x 1 + x 2 = 3 & x 12 + x 22 + 2x 1.x 2 = 9
& x 12 + x 22 = 7
(x 12 + x 22) = 7 2 & x 14 + x 24 + 2x 12 x 2 = 49
x 14 + x 24 = 47
Öğretmen
Sorusu
x2
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
Kökleri Verilen İkinci Dereceden
Denklemin Yazılması
Örnek 33:
x2 + (x1 + 4)x – 3x2 = 0
denkleminin kökleri sıfırdan farklı olan x1 ve x2 sayılarıdır.
Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem,
x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0 dır.
Buna göre, büyük kök kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
Örnek 35:
E) 2
Kökleri aşağıda verilen ikinci dereceden denklemleri bulunuz.

x1 . x 2 =
- 3x 2
1
Cevap: E

x2 – (–3 + 4)x + (–3) . 4 = 0
x1 . x2 = –3x2 ⇒ x1 = - 3

x1 = –3, x2 = 4
x2 – x – 12 = 0
- (x1 + 4)
1
x2 – 3 = –1
x1 + x 2 =

x2 = 2
x1 =
1
1
,x =
3 2 2
1 1
1 1
x 2 - a 3 + 2 kx + 3 $ 2 = 0
5x 1
x2 - 6 + 6 = 0
6x 2 - 5x + 1 = 0
Cevap: x2 – x – 12 = 0, 6x2 – 5x + 1 = 0
Not
Rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemin köklerinden
biri a " b ise diğer kök a ! b dir.
Örnek 34:
x2 – (k – 3)x + a = 0
ikinci dereceden denkleminin bir kökü 3,
x2 + kx + c + 3 = 0
ikinci dereceden denkleminin bir kökü 2 dir.
Verilen denklemlerin diğer kökleri birbirine eşit olduğu-
Rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemin kökle-
na göre, k kaçtır?
x1 + 3 = k – 3
+
Örnek 36:
Cevap: 2
rinden biri 2 - 3 olduğuna göre, bu denklemi yazınız.
–/ x1 + 2 = –k
1 = 2k – 3
k=2
Cevap: x2 - 4x + 1 = 0
x 2 - ^2 - 3 + 2 + 3 h x + ^2 - 3 h . ^2 + 3 h = 0
x 2 - 4x + 4 - 3 = 0
Öğretmen
Sorusu
x 2 - 4x + 1 = 0
2x2 + 2x – 7 = 0
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı, nx2 – 6x + 10 = 0
denklemini sağlayan x değerlerinin kareleri toplamına eşittir.
Buna göre, n'nin alacağı değerleri bulunuz.
6
10
, x .x =
n 1 2
n
x 12 + x 22 = - 1 & (x 1 + x 2) 2 - 2x 1.x 2 = - 1
36 20
+1= 0
n
n2
x1 + x 2 =
n 2 - 20n + 36 = 0
- 18
-2
n = 18 veya n = 2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
Örnek 37:
Örnek 40:
x2 – 2x – 2 = 0
x2 + x – 1 = 0
denkleminin köklerinin 2 eksiğini kök kabul eden ikinci
denklemin köklerinin bir eksiğinin yarısını kök kabul
dereceden denklemi bulunuz.
eden ikinci dereceden denklemi bulunuz.
x→x+2
Cevap: x2 + 2x – 2 = 0
x → 2x + 1
Cevap: 4x2 + 6x + 1 = 0
(2x + 1)2 + 2x + 1 – 1 = 0
(x + 2)2 –2(x + 2) – 2 = 0
4x2 + 4x + 1 + 2x = 0
x2 + 4x + 4 – 2x – 4 – 2 = 0
4x2 + 6x + 1 = 0
x2 + 2x – 2 = 0
Örnek 38:
2x2 – 3x + 1 = 0
denkleminin köklerinin 1 fazlasını kök kabul eden ikinci
dereceden denklemi bulunuz.
x→x–1
Cevap: 2x2 – 7x + 6 = 0
2(x – 1)2 – 3(x –1) + 1 = 0
2x2 – 4x + 2 – 3x + 3 + 1 = 0
2x2 – 7x + 6 = 0
Örnek 41:
x2 – 3x – 3 = 0
Örnek 39:
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre, kökleri 2x1 – 1 ve 2x2 – 1 olan ikinci derece-
denkleminin köklerinin 2 katını kök kabul eden ikinci
dereceden denklemi bulunuz.
x
x→ 2
2
` 2x j - 4 $ 2x - 1 = 0
2x – 1 → x ⇒ x →
Cevap: x2 – 8x – 4 = 0
x2
4 - 2x - 1 = 0
x 2 - 8x - 4 = 0
x 12 + x 22 - 4x 1 + 6x 2 + 13 = 0
x
olduğuna göre, kökleri x1 . x2 ve 1 olan ikinci dereceden
x2
denklemi bulunuz.
12
den denklemi bulunuz.
Cevap: x2 – 4x – 17 = 0
a x 2 1k - 3 $ a x 2 1k - 3 = 0
+
2
+
x 2 + 2x + 1 3x + 3 3
- 2 - 1 =0
4
(2)
(4)
x2 + 2x + 1 – 6x – 6 – 12 = 0
x2 – 4x – 17 = 0
x 12 - 4x 1 + 4 + x 22 + 6x 2 + 9 = 0
(x 1 - 2) 2 + (x 2 + 3) 2 = 0
x 1 = 2,
x2 = - 3
x 1.x 2 = - 6,
x 2 - c- 6 -
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
x+1
2
x1
2
=x2
3
2
-2
m x + (- 6) $ c
m = 0 & 3x 2 + 20x + 12 = 0
3
3
Öğretmen
Sorusu
x2 – 4x – 1 = 0
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
1.
5.
x2 – 4x + 12 = 0
denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
A) –12
B) –4
C) 0
D) 4
Konu Testi - 3
x2 – 8x + 4 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre,
E) 2
A) 2
-b
-4
a =- 1 = 4
x1 +
x 2 ifadesinin değeri kaçtır?
B) 2 2
C) 3
D) 2 3
E)
15
x1 + x2 = 8, x1 . x2 = 4
_ x1 +
x 2 i = (a ) 2 & x 1 + x 2 + 2 x 1 . x 2 = a 2
2
8 + 2 4 = a2
12 = a 2
a=2 3
2.
–2x2
+ 6x – 4 = 0
denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 4
6.
x2 + (4 – a2)x + 3 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
c -4
a = -2 = 2
x1 + x2 = 0
olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin çarpımı
kaçtır?
A) –8
B) –6
C) –4
D) 4
E) 6
D) 4
E) 5
b
-a = 0 ⇒ b=0
4 – a2 = 0 ⇒ a2 = 4 ⇒ a = –2, a = 2
(–2) . 2 = –4
3.
x2
– 6x – 1 = 0
denkleminin kökleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 5
B) 2 7
x1 - x 2 =
=
C) 4 2
D) 2 10
E) 3 5
7.
mx2 – (m + 3)x + 2m + 8 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x1 . x2 = 6
T
a
36 - 4. (- 1)
=
1
olduğuna göre, m kaçtır?
40 = 2 10
A) 1
B) 2
C) 3
2m + 8
m = 6 ⇒ 2m + 8 = 6m
4m = 8
m=2
4.
x2 – 10x + 2 = 0
8.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
2x2 – 4x + 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre,
Buna göre, x 12 + x 22 ifadesinin eşiti kaçtır?
1
1
+
x1 x 2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ifadesinin sonucu kaçtır?
A) 2
B) 3
10
1 + 1 = x1 + x 2 = 1 =
x 1 x 2 x 1 .x 2
2 5
1
^ x 2h ^ x 1h
C) 4
D) 5
E) 6
x1 + x2 = 2,
1
x1 . x2 = 2
(x1 + x2)2 = 22 ⇒ x 12 + x 22 + 2x1 . x2 = 4
x 12 + x 22 + 1 = 4
x 12 + x 22 = 3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
9.
Konu Testi - 3
13. Kökleri 1 ve 2 olan ikinci dereceden denklem aşağıda-
x2 + 3ax + a + 3 = 0
denkleminin köklerinin geometrik ortası 3 olduğuna
göre, a kaçtır?
kilerden hangisidir?
A) x 2 – 3x + 2 = 0
B) x 2 + 3x + 2 = 0
A) –3
C) x2 + 3x – 2 = 0
D) x2 – 3x – 2 = 0
B) –1
C) 0
D) 6
E) 9
E) x2 – 2x + 3 = 0
x 1 .x 2 = 3
x2 – (1 + 2)x + 1 . 2 = 0
x2 – 3x + 2 = 0
a+3 =3⇒a+3=9
⇒a=6
10.
14. Köklerinden biri 2 - 2 olan rasyonel katsayılı ikinci
x2 – 4x + m = 0
dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x1 = 3x2
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
C) x2 – 4x – 1 = 0
D) x2 – 2 2 x + 2 = 0
E) 6
x 2 - (2 - 2 + 2 + 2 ) x + (2 - 2 ) (2 + 2 ) = 0
2
x2 – 4x + 22 – 2 = 0
x2 – 4x + 2 = 0
4x2 + (m + 2)x + 8 = 0
15.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
olduğuna göre, m kaçtır?
B) –8
C) –3
x2 – 4x + 1 = 0
denkleminin köklerinin ikişer fazlasını kök kabul eden
ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
x 12 . x 2 = 4
A) –14
B) x 2 + 2x – 1 = 0
E) x2 – 4x + 2
x1 + x2 = 4 ⇒ 3x2 + x2 = 4
⇒ x2 = 1
12 – 4 + m = 0 ⇒ m = 3
11.
A) x 2 – 2x + 1 = 0
D) 1
A) x 2 – 4x + 6 = 0
B) x 2 + 6x – 6 = 0
C) x2 – 6x + 4 = 0
D) x2 – 8x + 13 = 0
E) 3
E) x2 – 8x – 13 = 0
x1 . x 1 . x 2 = 4 ⇒ x 1 . 2 = 4 ⇒ x 1 = 2
[
x → x –2
(x – 2)2 – 4(x – 2) + 1 = 0
x2 – 4x + 4 – 4x + 8 + 1 = 0
x2 – 8x + 13 = 0
8
4
4 . 22 + (m + 2) . 2 + 8 = 0
2m + 28 = 0
m = –14
16.
12.
2x2 – (2x1 + 6)x + 4x2 = 0
x2 – 6x – 9 = 0
denkleminin kökleri sıfırdan farklı x1 ve x2 sayılarıdır.
denkleminin köklerinin 2 katını kök kabul eden ikinci
dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, 2x1 + x2 ifadesinin değeri kaçtır?
A) x 2 – 12x – 36 = 0
B) x 2 – 2x – 36 = 0
A) 4
C) x2 – 4x – 6 = 0
D) x2 + 12x – 36 = 0
C) 6
D) 7
E) 8
4x
x1 . x 2 = 2 2 ⇒ x1 = 2
2x + 6
x1 + x2 = 12
⇒ x2 = 3
2
2
` 2x j - 6 $ 2x - 9 = 0 & x4 - 3x - 9 = 0
x 2 - 12x - 36 = 0
2. D
3. D
4. D
5. D
6. C
7. B
8. C
9. D
10. C
11. A
12. D
13. A
14. E
15. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1. D
2x1 + x2 = 2 . 2 + 3 = 7
16. A
14
E) x2 – 6x – 12 = 0
x
x→ 2
Cevaplar
B) 5
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
1.
4.
x2 – 10x + m + 2 = 0
Konu Testi - 4
x2 – 6x + 2 = 0
denkleminin kökleri ardışık çift doğal sayılardır.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre, m kaçtır?
Buna göre,
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
1
1
+
x1 - 1 x 2 - 1
E) 24
ifadesinin değeri kaçtır?
x1 + x2 = 10
⇒ x1 = 4, x2 = 6 olur.
m+2
x1 . x 2 = 1
⇒ 4.6=m+2
A) -
2
3
B) -
(x 2 - 1)
(m – 4)x2 – (3m + 4)x + 5m – 8 = 0
denkleminin kökleri çarpmaya göre birbirinin tersidir.
5.
C) 3
4
3
E) –2
D) 4
D) -
1
2
E) 3
6-2
4
4
=
=- 3
2 - 6 + 1 -3
x2 – 3(m + 2)x + 5 = 0
3
= x1 + 1
x2
E) 5
olduğuna göre, m kaçtır?
1
x1 = x ⇒ x1 . x2 = 1
2
A) –4
5m - 8
= 1 ⇒ 5m – 8 = m –4
m-4
4m = 4
m=1
3.
D) -
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre, m kaçtır?
B) 2
1
3
(x1 - 1)
=
A) 1
C) -
x1 + x 2 - 2
1
1
+
=
x1 - 1 x 2 - 1 x1 .x 2 - (x1 + x 2) + 1
⇒ m = 22
2.
1
4
B) -
7
2
C) –2
3 = x1 . x2 + x2 ⇒ 3 = 5 + x2 ⇒ x2 = –2
(–2)2 – 3(m + 2)(–2) + 5 = 0
4 + 6m + 12 + 5 = 0
6m = –21
-7
m= 2
x2 – 6x – n – 10 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x 12 - x 22
6.
= 12
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
olduğuna göre, n kaçtır?
A) –18
B) –16
(x1 - x 2)(x1 + x 2) = 12
\\
2
6
x1 – x 2 = 2
+
x 1 + x2 = 6
2x1 = 8 ⇒ x1 = 4
42 – 6 . 4 – n – 10 = 0
16 – 24 – n – 10 = 0
n = –18
C) –15
2x2 – 4x + m = 0
x 13 + x 32 = –10
D) –13
E) –12
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 10
B) 8
C) 6
D) 4
E) 2
(x1 + x 2) 7(x1 + x 2) 2 - 3x1 . x 2A = - 10
4: 4 2
mD
2 a 2 k - 3 $ 2 = - 10
3m
2. a 4 - 2 k = - 10
- 3m = - 18
m= 6
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
7.
x2 – (m – 2)x + 4 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x 12 . x 2 + x 22 . x 1 + x 1 + x 2 = 10
Buna göre, x1 + x2 toplamının değeri kaçtır?
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
x-1 x+1
+
=0
x-3 x-5
10.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Konu Testi - 4
D) 4
A) 5
E) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
x-1 x+1
+
=
x-3 x-5 0
(x - 5)
x1 . x2(x1 + x2) + x1 + x2 = 10
4 . (m – 2) + m – 2 = 10
5m – 10 = 10
m=4
8.
(x - 3)
(x – 1)(x – 5) + (x + 1)(x – 3) = 0
x2 – 6x + 5 + x2 – 2x – 3 = 0
2x2 – 8x + 2 = 0
b 8
x1 + x2 = - a = 2 = 4
Kökleri sıfırdan farklı x1 ve x2 sayıları olan ikinci dereceden denklem,
x2 + x1 . x + x2 = 0
olduğuna göre, x1 + x2 toplamının değeri kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
11. Kökleri arasında,
x1 + x2 – x1 . x2 = 6
E) 3
x1 + x2 + x1 . x2 = 4
x1 . x 2 = x 2 ⇒ x1 = 1
x1 + x2 = –x1
1 + x2 = –1
x2 = –2
x1 + x2 = 1 – 2 = –1
bağıntıları bulunan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 2 – 4x + 1 = 0
C)
x2
B) x 2 – 5x – 1 = 0
D) x2 + 4x – 2 = 0
– 5x + 1 = 0
E) x2 – 6x + 2 = 0
x1 + x 2 – x 1 . x 2 = 6
x1 + x2 + x 1 . x 2 = 4
+
2(x1 + x2) = 10 ⇒ x1 + x2 = 5
⇒ x1 . x2 = –1
x2 – 5x – 1 = 0
9.
2x2 – 4x – 3 = 0
denkleminin köklerinin çarpmaya göre tersini kök kabul eden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x 2 – 4x – 2 = 0
B) 3x 2 – 4x + 2 = 0
C) 3x2 + 4x + 2 = 0
D) 3x2 + 4x – 2 = 0
E) 3x2 – 2x + 2 = 0
12.
ikinci dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
1
x→ x
Buna göre, x1 . x2 çarpımının en büyük değeri kaçtır?
1 2
1
2a x k - 4 $ x - 3 = 0
2
4
3
- - 1 =0
x 2 (xx)
2
A)
9
2
B)
9
4
C)
9
16
D) 4
E) 6
6 3
x1 + x 2 = 4 = 2
(x )
9
3
x1 = x 2 = 4 için x1 .x 2 = 16 dır.
1. D
2. A
3. A
4. D
5. B
6. C
7. D
8. A
9. D
10. B
11. B
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
–3x2 – 4x + 2 = 0
3x2 + 4x – 2 = 0
16
4x2 – 6x + k = 0
YGS // MATEMATİK
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
Karmaşık Sayılar
hhKARMAŞIK SAYILAR
FÖY NO
33
Örnek 3:
a ve b gerçek sayılar ve i2 = –1 olmak üzere z = a + ib biçiminde ifade edilen z sayısına karmaşık sayı denir ve C harfi ile
gösterilir.
z = 9 - - 16
karmaşık sayısı için,
2 . Re(z) – Im(z)
C = {z | z = a + ib, a, b Î R ve i2 = –1}
işleminin sonucu kaçtır?
hh z = a + ib karmaşık sayısının,
• Reel kısmı a dır ve Re(z) = a şeklinde gösterilir.
• Sanal (imajiner) kısmı b dir ve Im(z) = b şeklinde gösterilir.
hh N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
z=
Cevap: 10
3 2 - 16i 2
z = 3 – 4i
Re(z) = 3, Im(z) = –4
Örnek 1:
2Re(z) – Im(z) = 2 . 3 – (–4) = 10
Aşağıda verilen karmaşık sayıların reel ve sanal kısımlarını yanlarındaki kutucuklara yazınız.
Re(z)
Im(z)

z = 3 + 2i
3
2

z = –2 – 3i
–2
–3

z = 3 – 4i
3
–4

z=4
4
0

z = –2i
0
–2
Örnek 4:
x2 + 4 = 0
denkleminin karmaşık sayılardaki çözüm kümesini bulunuz.
x2 = –4
Cevap: {–2i, 2i}
x2 = 4i2
x = –2i, x = 2i
Ç.K = {–2i, 2i}
Örnek 5:
i2 = –1 olmak üzere,
Örnek 2:
x2 – 2x + 5 = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
z = -4 + 3 -8
karmaşık sayısının reel ve sanal kısımlarının çarpımı
kaçtır?
z=
4. i 2 + 3 ( - 2) 3
z = 2i – 2
Re(z) = –2, Im(z) = 2
–2 . 2 = –4
Cevap: –4
D = (–2)2 – 4 . 1 . 5 = –16
Cevap: {1 – 2i, 1 + 2i)
2 " - 16
2 " 16i 2
=
x 1, 2 =
2
2
2 " 4i
= 2
= 1 " 2i
Ç.K = {1 – 2i, 1 + 2i)
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / Karmaşık Sayılar
a. Sanal Birimin Kuvvetleri
Örnek 7:
Sanal birim i =
x ve y gerçek sayılar olmak üzere,
- 1 olarak tanımlandığından
i1 = i
z = 1 – (x + 2y)i
i2 = –1
w = x + 3y – 2i
i3 = i2 . i = –i
z=w
i4 = (i2)2 = (–1)2 = 1 olur.
olduğuna göre, x . y çarpımının değeri kaçtır?
Buna göre n Î N olmak üzere
i0 = i4 = i8 = ... = i4n = 1
x + 3y = 1
i = i5 = i9 = ... = i4n+1 = i
+
–x – 2y = –2
i2 = i6 = i10 = ... = i4n+2 = –1
x . y = –4
Cevap: –4
y = –1 ⇒ x = 4
i3 = i7 = i11 = ... = i4n+3 = –i olur.
Örnek 6:
Aşağıda verilen karmaşık sayıların eşitlerini bulunuz.

i89
89
4
22
– 88
1
Örnek 8:
a ve b gerçek sayılardır.
a+2+
i89 = i
olduğuna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
a+2+



a+2=6
123
4
– 120
3
30
Cevap: 13
2
i123 = i3 = –i
⇒ 8 – 2b = 3
5
⇒ b= 2
5 13
a+b=4+ 2 = 2
33
4
32
1
8
i-33 = i–1 = i–1+4 = i3 = –i
c. Karmaşık Sayılarda Dört İşlem
n Î Z+ olmak üzere i4n+2
– 4n
⇒ a=4
2(a – b) = 3 ⇒ 2a – 2b = 3
i–33
4n + 2
4
n
1. Toplama - Çıkarma İşlemi
i4n+2 = i2 = –1
2
Cevap: i, –i, –i, –1
b. İki Karmaşık Sayının Eşitliği
z1 = a + ib ve z2 = c + di
karmaşık sayılarının eşit olması için gerek ve yeter koşul gerçek kısımlarının birbirine ve sanal kısımlarının birbirine eşit olmasıdır.
z1 = z2 ⇔ a = c ve b = d dir.
2
9i 2 = 6 + 2(a – b)i
a + 2 + 3i = 6 + 2(a – b)i
i123
–
- 9 = 6 + 2(a – b)i
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Karmaşık sayılar kümesi gerçek sayılar kümesinin genişletilmişi olduğundan bu küme üzerindeki toplama - çıkarma işlemleri
gerçek sayılardaki gibidir.
z = a + ib ve w = c + di
karmaşık sayıları verildiğinde,
z + w = a + c + (b + d)i
z – w = a – c + (b – d)i olur.
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / Karmaşık Sayılar
Örnek 9:
Örnek 12:
z = i + i2 + i3 + i4 + ... + i102
z = 3 + 5i
karmaşık sayısının gerçek kısmı kaçtır?
w = 2 + 3i
olduğuna göre, aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
z+w

Cevap: –1
in + in+1 + in+2 + in+3 = 0
2
3
4
5
6
7
8
z = i + i + i + i + i + i + i + i + .... + i + i
144424443 144424443
\
0
0
101
+i
102
0
i101 + i102 = i1 + i2 = –1 + i
(3 + 5i) + (2 + 3i) = 5 + 8i
100
Re(z) = –1
z–w

(3 + 5i) – (2 + 3i) = 1 + 2i
3z – 2w

Örnek 13:
3(3 + 5i) – 2(2 + 3i)
i3 + i5 + i7 + ... + i35
9 + 15i – 4 – 6i
5 + 9i
işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: 5 + 8i, 1 + 2i, 5 + 9i
i3 + i5 + i7 + i9 + i11 + ... + i35
35 - 3
2 + 1 = 17 terim var.
3
+
i
i + i 3 + i + i 3 + i + ... + i 3 + i + i 3
Y Y Y
Y
0
0
0
Cevap: –i
0
i3 = –i
Örnek 10:
3 - -4 + 3 8 - -1+ 1
işleminin karmaşık sayılardaki sonucunu bulunuz.
4i 2 + 3 2 3 -
3-
i2 + 1
Cevap: 6 – 3i
2. Bir Karmaşık Sayının Eşleniği
a + ib ve a – ib sayılarından birine diğerinin eşleniği denir. z
karmaşık sayısının eşleniği z ile gösterilir.
3 – 2i + 2 – i + 1
6 – 3i
Buna göre,
z = a + ib ise z = a – ib olur.
Örnek 11:
i42 + i124 + i121 + i–21
Örnek 14:
işleminin karmaşık sayılardaki sonucunu bulunuz.
42
4
124
4
121
4
21
4
– 40
2
10
– 124
0
31
– 120
1
30
– 20
1
5
i2 + i0 + i1 + i–1
–1 + 1 + i + i3
0
Cevap: 0
z = 2 + 4i
karmaşık sayısı için,
z-z
z+z
ifadesinin sonucu kaçtır?
2 + 4i - ( 2 - 4i ) 8 i
= 4 = 2i
2 + 4i + 2 - 4i
Cevap: 2i
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / Karmaşık Sayılar
3. Karmaşık Sayılarda Çarpma İşlemi
Örnek 17:
z = a + ib ve w = c + di olmak üzere
i2 = –1 olduğuna göre,
z . w = (a + ib) . (c + di)
(1 + i) . (1 + i3) + (1 + i5) . (1 – i)
= ac + adi + cbi + i2bd
işleminin sonucu kaçtır?
= ac – bd + (ad + cb)i olur.
(1 + i) . (1 – i) + (1 + i) . (1 – i)
Cevap: 4
12 – i2 + 12 – i2
1+1+1+1
4
Örnek 15:
(3 – 2i) . (4 + 3i)
çarpımının sonucunu bulunuz.
Not
Cevap: 18 + i
(3 – 2i) . (4 + 3i)
z = a + ib olmak üzere
12 + 9i – 8i – 6i2
z . z = (a + ib) . (a – ib) = a2 –i2b2 = a2 + b2 dir.
12 + i + 6
18 + i
Örnek 18:
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
Örnek 16:

i2 = –1 olmak üzere,
(32 + 42) + (12 + 22)
- 3 . - 4 . - 12
30
işleminin sonucu kaçtır?
2
2
3i . 4i . 12i
2
(3 – 4i) . (3 + 4i) + (1 – 2i) . (1 + 2i)

(1 – i)7 . (1 + i)7
Cevap: –12i
3 i . 4 i . 12 i
[(1 – i) . (1 + i)]7
3 . 4 . 12 i 3
[12 + 12]7 = 27 = 128
144 (- i) = - 12i
i2 = –1 olmak üzere,
c 2i +
1
1
1
1
m $ c 3i + m $ c 4i + m $ c 5i + m = 12x
2i
3i
4i
5i
olduğuna göre, x kaçtır?
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3 8 15 24
12x = - $ - $ - $ 2i 3i
4i
5i
72
12x = 4
i
12x = 72 & x = 6
Öğretmen
Sorusu
Cevap: 30, 128
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / Karmaşık Sayılar
1.
Konu Testi - 1
5.
- 9 - - 16 + - 25
denkleminin karmaşık sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –i
B) i
2
2
9i - 16i +
3i – 4i + 5i = 4i
C) 2i
25i
D) 4i
x2 – 2x + 2 = 0
E) 6i
A) {2, 1, –i}
B) {2, 1 + i}
D) {1 – i, 1 + i}
2
C) {2 – i, 2 + i}
E) {1 + i, 2i}
D = 4 – 4 . 1 . 2 = –4
x1,2 = 2 " - 4 = 2 " 2i = 1 " i
2
2
2.
i3 + i4
A) 1 – i
B) 1 + i
C) –1 – i
- i in
=
i -3
6.
işleminin sonucu kaçtır?
D) 0
E) –2i
eşitliğini sağlayan n değerlerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
i3 + i0 = –i + 1
A) 14
B) 17
C) 21
D) 24
E) 32
–i . i3 = in ⇒ in = –i4
⇒ in = –1
n = 4k + 2, k ∈ Z
k = 3 için n = 14 olur.
3.
i–23 + (i5)8
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 + i
B) i – i
C) –1 + i
D) 2i
E) –2
7.
z = i4 + i5 + i6 + ... + i13
olduğuna göre, Im(z) değeri kaçtır?
A) –1
i–23 + i40 = i–3 + i0 = i + 1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
z = i 4 + i 5 + i 6 + i 7 + i 8 + i 9 + i 10 + i 11 + i 12 + i 13
144424443 14444244443
0
0
z=1+i
Im(z) = 1
4.
n Î Z olduğuna göre,
8.
i4n–1 + i4n+5
i(1 + i) – i(1 – i)
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 – i
A) –2
B) 1 + i
n = 1 için
i3 + i9 = i3 + i = –i + i = 0
C) 0
D) –1 – i
E) –1 + i
B) –2 – 2i
C) –2 + 2i
D) 2i
E) –2i
i+ i2 – i + i2
i–1–i–1
–2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / Karmaşık Sayılar
9.
Konu Testi - 1
13.
(2 – i)(1 + i) + (2 + i) . (2 – i)
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) i + 4
B) i + 2
D) 8 + i
z = 1 + 4i
olduğuna göre,
z.z+z
C) i – 8
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
E) 8 – i
A) –18 – 4i
2 + 2i – i – i2 + 22 + 12
3+i+5
8+i
B) 18 + 4i
D) 4 + 18i
C) 4 – 18i
E) 18 – 4i
(1 + 4i) . (1 – 4i) + 1 – 4i
12 + 42 + 1 – 4i
18 – 4i
10. a ve b reel sayılardır.
hh z = a + 4 + 2bi
14. a ve b reel sayılardır.
hh w = 2a – 2 – bi + 3i
a – b - 1 + 2i = 4 + 5i
hh z1 = z2
olduğuna göre, a . b çarpımının değeri kaçtır?
olduğuna göre, a – b farkının değeri kaçtır?
A) –15
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
B) –12
C) –10
D) –9
E) –8
a – bi + 2i = 4 + 5i
a + i(2 – b) = 4 + 5i
a = 4 ve 2 – b = 5 ⇒ b = –3
a . b = 4 . (–3) = –12
 a + 4 = 2a – 2 ⇒ a = 6
 2b = –b + 3 ⇒ b = 1
a–b=6–1=5
15. i2 = –1 olmak üzere,
f(x) = x4 + x3 – 2x + 1
olduğuna göre, f(–i) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
11. i2 = –1 olmak üzere,
-4 . -9
A) 2 + 3i
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
D) 6
D) 2 – 3i
E) 6i
4i 2 . 9i 2 = 2i . 3i = 6i2 = –6
16.
çarpımının sonucunda oluşan karmaşık sayının reel
kısmının değeri kaçtır?
(1 – 2i)2 . (1 + 2i)2
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
E) 25 – 25i
8. A
9. D
10. C
11. B
12. C
13. E
14. B
15. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7. C
[(1 – 2i) . (1 + 2i)]2 = [12 + 22]2
= 52 = 25
16. C
6
B) –4i
C) 4
D) –4
E) 8
(1 – i2)(1 – i3)(1 – i)
(1 + 1)(1 + i)(1 – i)
2 . (12 + 12)
4
6. A
D) 25 + 25i
A) 4i
C) 25
5. D
B) –25
4. C
A) –25i
(1 – i10) . (1 – i11) . (1 – i13)
3. A
12.
E) –3 – 2i
f(–i) = (–i)4 + (–i)3 – 2(–i) + 1
= i4 – i3 + 2i + 1
= 1 – (–i) + 2i + 1
= 2 + 3i
2. A
C) 0
1. D
B) –6
C) 3 – 2i
Cevaplar
A) –6i
B) 3 + 2i
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / Karmaşık Sayılar
1.
Konu Testi - 2
4.
i2 = –1 olmak üzere,
i–16 + i–15 + i–14
hh z = a – ai
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
hh z . z = 128
A) i
olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin çarpımı
kaçtır?
B) 0
C) –i
D) –1
E) 1
i –16+16 + i –15+16 + i –14+16
i0 + i 1 + i 2
1+i–1
i
2.
i2 = –1 olmak üzere,
A) –128
B) –81
C) –64
D) –49
E) –36
(a – ai) . (a + ai) = 128
a2 + a2 = 128
a2 = 64
a = –8, a = 8
–8 . 8 = –64
0 < x < y olmak üzere,
- 16x 2 + - y 2 + x 2 - 2xy + y 2 = 1 + 11i
olduğuna göre, x + y toplamının değeri kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
5.
z+w=a
E) 7
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
16x 2 i 2 + y 2 .i 2 + (x - y) 2 = 1 + 11i
4xi + yi + |x – y| = 1 + 11i
y – x + i(y + 4x) = 1 + 11i
y – x = 1 ve y + 4x = 11
4/ y–x=1
+
i2 = –1 ve a bir reel sayı olmak üzere,
A) Im(z) = Im(w)
B) Im(z) = Im(–w)
C) Re(z) = Re(w)
D) Re(z) + Re(w) = 0
E) Im(z) . Im(w) = 0
y + 4x = 11
5y = 15 ⇒ y = 3 ⇒ x = 2
x+y=5
z + w toplamında sanal kısım kalmıyorsa Im(z) = Im(w) dur.
6.
i2 = –1 olmak üzere,
z1 = - 2 - 2 i
3.
z2 =
z = (3 – i)2 . (3 + i)3
olduğuna göre,
olduğuna göre, Im(z) değeri kaçtır?
A) 300
B) 200
z = (3 – i)2 . (3 + i)2 . (3 + i)
= (32 + 12)2 . (3 + i)
= 100(3 + i)
= 300 + 100i
Im(z) = 100
C) 100
3 + 3i
D) –100
2 z 1 + 3 z 2 toplamı aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
E) –200
A) 1 + i
B) –1 + i
D) 1 – i
C) 2 6 - 2 6 i
E)
6 - 6i
2 . (- 2 - 2 i) + 3 ( 3 + 3 i)
–2 – 2i + 3 + 3i
1+i
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / Karmaşık Sayılar
7.
z ve w karmaşık sayıları için aşağıdaki bilgiler veriliyor.
Konu Testi - 2
10.
x3 + 8 = 0
denkleminin kökleri ile ilgili olarak verilen,
hh Re(z) = Im(z)
hh Im(w) = 3Re(w)
I. Üç tane karmaşık kökü vardır.
hh Re(z) = Im(w)
II. Bir tane reel kökü vardır.
hh Re(z.w) = –24
III. Köklerinin çarpımı 8 dir.
Buna göre, Re(z) + Im(w) toplamının değeri kaç olabilir?
ifadelerinden hangileri daima doğrudur?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
E) 14
z = 3a + 3ai
w = a + 3ai
z . w = (3a + 3ai)(a + 3ai)
= 3a2 + 9a2i + 3a2i – 9a2
= –6a2 + 12a2i
–6a2 = –24 ⇒ a = 2 veya a = –2
Re(z) + Im(w) = 3a + 3a = 6a = 6 . 2 = 12
C) I ve II
E) I, II ve III
x3 + 23 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 0
x + 2 = 0
x2 – 2x + 4 = 0
x = –2
veya D = 4 – 4 . 1 . 4 = –12
2 " - 12
2
2"2 3i
x1,2 =
2
x1,2 =
x1,2 = 1 " 3 i
–2 . (1 - 3 i) (1 + 3 i) = –2(1 + 3) = –8
I ve II doğrudur.
8.
i2 = –1 olmak üzere,
1 1 1
1
+ + + ... + 43
i i2 i3
i
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) i
B) 1
C) 0
D) –1
E) –i
11. i2 = –1 olmak üzere,
^1 - - 16 h . ^2 + - 9 h
i 1 + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 + ... + i 43
14444244443 1442443
0
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
0
43 terim 10 tane 4 lü grup olup 3 terim kalır.
A) 5 – 14i
0 + 0 + 0 + ... + 0 + i–41 + i–42 + i–43
i3 + i 2 + i
–i + –1 + i
–1
B) 14 – 5i
D) 5 + 14i
^1 -
16i 2 h^2 +
C) 14 + 5i
E) –14 + 5i
9i 2 h = (1 – 4i) . (2 + 3i)
= 2 + 3i – 8i – 12i2
= 14 – 5i
9.
i2 = –1 olmak üzere,
i3! + i4! + i5! + ... + i20!
12. i2 = –1 olmak üzere,
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
(1 + i–5) . (1 + i–6) . (1 + i–7) ... (1 + i–90)
E) 18
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
i3! + i4! + i5! + i6! + ... + i20! (18 terimli)
A) 0
i 6 + i 0 + i 0 + i 0 + ... + i 0
14444424444
43
B) 1
C) –i
D) i
E) 12 + 12i
17 tane
(1 + i3)(1 + i 2) (1 + i) ... (1 + i2) = 0
Z
i 2 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 = - 1 + 17 = 16
14444244443
0
2. C
3. C
4. C
5. A
6. A
7. D
8. D
9. C
10. C
11. B
12. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1. A
8
Cevaplar
17 tane
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayıların Parantez Kuvvetleri
Örnek 21:
hh (a + ib)2 = a2 – b2 + 2abi
(1 + i)5 + (1 – i)5
hh (a – ib)2 = a2 – b2 – 2abi
hh (a "
toplamının değeri kaçtır?
ib)2
((1 + i)2)2 . (1 + i) + ((1 – i)2)2(1 – i)
ifadesinde |a| = |b| ise
Cevap: –8
(2i)2(1 + i) + (–2i)2 . (1 – i)
(a " bi)2 = " 2abi dir.
4i2(1 + i) + 4i2(1 – i)
–4 – 4i – 4 + 4i
–8
Örnek 20:
Aşağıda verilen ifadelerin sonuçlarını bulunuz.

(1 + i)2
Karmaşık Sayılarda Bölme
(1 + i)2 = 12 + i2 + 2i
Karmaşık sayılarda bölmenin amacı paydadaki sanal kısmı yok
etmektir. Bu nedenle kesrin pay ve paydası paydanın eşleneği
ile genişletilir.
a ib (a + ib) (c - id)
z= + =
c + id (c + id) . (c - id)
= 1 – 1 + 2i = 2i

(2 – 2i)2
(c - id)
(2 – 2i)2 = 4 + 4i2 – 8i
= 4 – 4 – 8i
= –8i

(1 + i)8
[(1 + i)2]4 = (2i)4 = 16i4
Örnek 22:
= 16
13
2 - 3i

karmaşık sayısının sanal kısmı kaçtır?
(1 – i)7
[(1 – i)2]3 . (1 – i)
13 (2 + 3i)
13
=
2 - 3i ( 2 - 3i ) ( 2 + 3i )
(–2i)3 . (1 – i)
Cevap: 3
(2 + 3i)
–8i3 . (1 – i)
13 (2 + 3i)
= 2 + 3i
4+9
13
Im a 2 - 3i k = 3
=
8i(1 – i)
8i – 8i2 = 8 + 8i
Cevap: 2i, –8i, 16, 8 + 8i
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / Karmaşık Sayılar
Örnek 23:
Örnek 25:
3 - 2i
1-i
123 + 147i
147 - 123i
karmaşık sayısının gerçek kısmı kaçtır?
işleminin sonucunu bulunuz.
Cevap: 5
2
3 - 2i (3 - 2i) (1 + i)
=
1- i
( 1 - i ) ( 1 + i)
i (147 - 123i)
=i
147 - 123i
Cevap: i
(1 + i)
3 + 3i - 2 i - 2 i 2
12 + 12
5+ i
= 2
5 1
= 2 + 2i
5
Re (z) = 2
=
Karmaşık Denklemler
Örnek 26:
z = a + ib olmak üzere,
2z + 3 = 7 – 4i
olduğuna göre, a . b çarpımının değeri kaçtır?
2(a – ib) = 4 – 4i
Cevap: 4
2a – 2bi = 4 – 4i
2a = 4 ⇒ a = 2
–2b = –4 ⇒ b = 2
Örnek 24:
a.b=4
i2 = –1 olduğuna göre,
1 + i 20
m
1-i
sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
c
A) –2i
B) –i
C) –1
D) 1
Örnek 27:
E) 2i
(1 – i) . z – i = 1
2
2i
1 + i (1 + i)
=
= 2 =i
1 - i 12 + 12
(1 + i)
+ 20
a 1 - i k = i 20 = i 0 = 1
1 i
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: D
olduğuna göre, z6 ifadesinin sonucunu bulunuz.
2
2i
1 + i (1 + i)
= 2 =i
z = 1-i = 2
1 + 12
(1 + i)
z6 = i6 = i 2 = - 1
Cevap: –1
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / Karmaşık Sayılar
Örnek 28:
Örnek 31:
2z – iz = 4 – 3i
z1 ve z2 karmaşık sayılardır.
z1 – z2 = 2 – 3i
denklemini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz.
z(2 – i) = 4 – 3i
4 - 3i
z= 2-i
z=
z1 + z2 = 4 + 7i
Cevap: 11 - 2i
5
5
( 4 - 3i ) ( 2 + i ) 8 + 4 i - 6 i - 3 i 2
=
4+1
(2 - i) (2 + i)
11 2i
= 5 - 5
olduğuna göre z1.z2 karmaşık sayısını bulunuz.
Cevap: –7 + 17i
z1 – z2 = 2 – 3i
+
z1 + z2 = 4 + 7i
2z1 = 6 + 4i
z1 = 3 + 2i
3 + 2i + z2 = 4 + 7i ⇒ z2 = 1 + 5i
z1 . z2 = (3 + 2i) . (1 + 5i)
= 3 + 15i + 2i + 10i2
= –7 + 17i
Örnek 29:
2z + 3z = 10 + i
denklemini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz.
z = a + ib ⇒ z = a – ib
2(a + ib) + 3(a – ib) = 10 + i
2a + 2bi + 3a – 3bi = 10 + i
5a – ib = 10 + i
5a = 10 ve –b = 1
a = 2
b = –1
z=2–i
Cevap: z = 2 – i
Örnek 32:
z Î C olmak üzere,
x2 – (1 + i) . x + z = 0
ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri –2 + i olduğuna göre, Im(z) değeri kaçtır?
(–2 + i)2 – (1 + i)(–2 + i) + z = 0
Cevap: 3
4 + i2 – 4i + 2 – i + 2i – i2 + z = 0
6 – 3i + z = 0
z = 3i – 6
Im(z) = 3
Örnek 30:
(2 – i) . z = 1 – z
Örnek 33:
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz.
z = a + ib ⇒ z = a – ib
(2 – i)(a + ib) = 1 – (a – ib)
2a + 2bi – ai – i2b = 1 – a + ib
2a + b + i(2b – a) = 1 – a + ib
2a + b = 1 – a ⇒ 3a + b = 1 ... (1)
2b – a = b ⇒
a = b ... (2)
(1) ve (2) den
1
3a + a = 1 ⇒ a = b = 4
1 1
z = a + ib = 4 + 4 i
Cevap: 1 + 1 i
4 4
z2 + (5 + i)z + 4 + i = 0
ikinci dereceden denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
z2 + (5 + i) . z + 4 + i = 0
z
4+i
z
1
Cevap: {–1, –4 – i}
(z + 4 + i)(z + 1) = 0
z + 4 + i = 0 veya z + 1 = 0
z = –4 – i
veya z = –1
Ç.K = {–1, –4 – i}
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / Karmaşık Sayılar
Not
Örnek 34:
Reel katsayılı ikinci dereceden,
x2 + ix + 20 = 0
ax2 + bx + c = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
denkleminin köklerinden biri
D = i2 – 4 . 1 . 20 = –81
- i " - 81
2
- i " 9i
x1,2 =
2
- i - 9i
- i + 9i
x1 =
x2 =
2 ,
2
x1 = –5i,
x2 = 4i
Cevap: {–5i, 4i}
x1,2 =
z1 = m + ni
olduğunda diğer kök z2 = m – ni dir.
Ç.K = {–5i, 4i}
Örnek 35:
Örnek 36:
Reel katsayılı ikinci dereceden denklemin köklerinden
z2 + 4
= 5 + 4i
z - 2i
biri 2 – i olduğuna göre, bu ikinci dereceden denklemi
olduğuna göre, Re(z) kaçtır?
z 2 - 4i 2
z - 2i = 5 + 4i
bulunuz.
Cevap: 5
( z - 2i ) ( z + 2 i )
= 5 + 4i
z - 2i
z + 2i = 5 + 4i
Kökleri 2 – i ve 2 + i dir.
Cevap: x2 – 4x + 5 = 0
x2 – (2 – i + 2 + i)x + (2 – i)(2 + i) = 0
x2 – 4x + 22 + 12 = 0
x2 – 4x + 5 = 0
z = 5 + 2i
Köklerinin ikisi 1 - 3 i ve - 1 + 3 i olan reel katsayılı
dördüncü dereceden denklemi bulunuz.
Kökler 1 - 3 i, 1 + 3 i, - 1 + 3 i, - 1 - 3 i
_ x 2 - (1 - 3 i + 1 + 3 i) x + 1 2 + 3 2i. _ x 2 - (- 1 - 3 i - 1 + 3 i) x + 1 2 + 3 2i
(x2 – 2x + 4) . (x2 + 2x + 4) = 0
(x2 + 4)2 – (2x)2 = 0 ⇒ x4 + 4x2 + 16 = 0
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Öğretmen
Sorusu
Re(z) = 5
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / Karmaşık Sayılar
1.
Konu Testi - 3
5.
(2 – 3i)2
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –5 – 12i
A) 2 – 4i
B) –5 + 12i
D) 12 – 5i
C) 5 + 12i
E) 12 + 5i
B) 4i
D) –4i
A) -
C) 2 – 2i
E) 4 + 4i
1
32
B) -
1
16
C) -
1
8
D)
1
8
E)
1
16
6(1 + i) 2@ 4 = (2i) -4 = 1 4 = 1
16
16i
7.
Reel katsayılı ikinci dereceden denklemin köklerinden biri
3 – 4i diğeri z dir.
Buna göre,
25
z
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
(1 – i)2
A) 4 – 3i
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
B) –2
i2 = –1 olmak üzere,
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
4 (1 + i) 4 (1 + i)
4
=
= 2 (1 + i)
=
2
1 - i 12 + 12
(1 + i)
= 2 + 2i
A) 2
E) –4 + 4i
(1 + i)–8
4
1-i
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
3.
C) 4 – 4i
((1 – i)2)2 . (1 – i)
(–2i)2 . (1 – i)
4i2(1 – i) = –4(1 – i)
= –4 + 4i
6.
A) 2 + 2i
B) 2 – 2i
D) 4 + 4i
(2 – 3i)2 = 22 + 9i2 – 12i
= 4 – 9 – 12i
= –5 – 12i
2.
(1 – i)5
C) –2i
D) 2i
B) 4 + 3i
D) 3 + 4i
C) 3 – 4i
E) –4 – 3i
E) 2 – 2i
z = 3 + 4i
25 (3 - 4i)
25
= 2
= 3 - 4i
3 + 4i
3 + 42
(1 – i)2 = 12 + i2 – 2i
= 1 – 1 – 2i
= –2i
1 - 2i
1 + 2i
8.
karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
4.
(1 + i)4
4 3
+ i
5 5
3 4
D) - - i
5 5
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –8
B) –4
[(1 + i)2]2 = (2i)2 = 4i2 = –4
C) –4i
D) –8i
E) 4
B)
4 3
- i
5 5
E)
3 4
+ i
5 5
3 4
C) - + i
5
5
1 + 2i ( 1 + 2i ) ( 1 + 2i ) 1 + 2 i + 2 i + 4 i 2
=
=
5
1 - 2i
12 + 22
(1 + 2i)
3 4i
=- 5 + 5
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / Karmaşık Sayılar
13.
1
1
+
2 - 4i 2 + 4i
olduğuna göre, Re(z) . Im(z) işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
1
9
C)
1
8
D)
1
6
E)
A) 4
1
5
2+i
i
karmaşık sayısının gerçek kısmı kaçtır?
14.
z=
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
A) –4
C) –1
D) 1
E) 2
A) x 2 – 10x + 25 = 0
B) x 2 – 8x + 25 = 0
C) x2 – 12x + 16 = 0
D) x2 – 6x + 25 = 0
x2 – (3 – 4i + 3 + 4i)x + (3 – 4i)(3 + 4i) = 0
x2 – 6x + 9 + 16 = 0
x2 – 6x + 25 = 0
Im (z) = - 3
16.
12. i2 = –1 olmak üzere,
z=
1-i
1+i
olduğuna göre,
z + z = 12
z2 + z3
olduğuna göre, Re(z) kaçtır?
C) 6
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
D) 8
E) 10
A) –2i
z = a + ib
a + ib + a – ib = 12
2a = 12
a=6
B) 2 – 2i
C) 1 – i
D) 1+ i
E) –1 + i
(1 - i ) (1 - i ) - 2i
z = (1 - i ) (1 + i ) = 2 = - i
( - i) 2 + ( - i) 3 = i 2 - i 3 = - 1 + i
7. C
8. C
9. E
10. D
11. A
12. C
13. E
14. C
15. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6. E
16. E
14
E) 4
E) x2 – 25x + 6 = 0
= - 1 - 3i
B) 5
D) 2
biri 3 – 4i olduğuna göre, bu denklem aşağıdakilerden
hangisidir?
2 - 4i ( 2 - 4 i ) ( 1 - i )
z = 1+i =
12 + 12
2 - 2i - 4i + 4i 2
=
2
- 2 - 6i
=
2
A) 4
C) 0
15. Reel katsayılı ikinci dereceden denklemin köklerinden
olduğuna göre, Im(z) değeri kaçtır?
B) –2
B) –2
z(1 + 2i) = 2(1 + 2i)
z=2
z2 = 4
Im(z2) = 0
(1 + i) . z = 2 – 4i
A) –3
E) –4
olduğuna göre, z2 karmaşık sayısının sanal kısmı kaçtır?
( 2 + i ) ( - i ) - 2i - i 2
=
= 1 - 2i
1
- i2
Re (z) = 1
11.
D) –3
z + 2iz = 2 + 4i
5. E
A) –3
C) –2
z = a + ib
2a + 2bi – (a – ib) = 2 – 6i
a + 3bi = 2 – 6i
a=2
b = –2
a . b = –4
2 + 4i
2 - 4i
2 + 4i + 2 - 4i
+
=
20
22 + 42 22 + 42
4
1
= 20 = 5
10.
B) 2
4. B
B)
3. C
1
10
2. A
A)
2z – z = 2 – 6i
1. A
z=
Cevaplar
9.
Konu Testi - 3
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / Karmaşık Sayılar
1.
a ve b reel sayılar olmak üzere,
a ib
z= +
b - ai
karmaşık sayısının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) a2 + b2
D)
B) i
a + bi
a2 + b2
Konu Testi - 4
4.
A) -
C) ai
E)
a 2 + b 2 + 2abi
a2 + b2
3
5
B) –1
C)
3
5
D)
3
10
E) 1
(3 - i) (2 - i)
5
6 - 3i - 2i + i 2 5 - 5i
= 5 = 1-i
z=
5
z=
a + ib
a + ib
1
i
=
=
=
=
b - ai - i (a + ib) - i - i 2 i
z = 1 + i & lm (z) = 1
(i)
2.
5
3-i
=
2-i
z
olduğuna göre, Im(z) kaçtır?
i2 = –1 olmak üzere,
f(x) = x4 + x2 – 2
olduğuna göre, f(1 – i) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 6 – 2i
B) 6 + 2i
D) –2 – 6i
5.
i2 = –1 olmak üzere,
2z + 3i = 2 + iz
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı için Im(z) + Re(z)
kaçtır?
C) 2 + 6i
E) –6 – 2i
A)
f(1 – i) = (1 – i)4 + (1 – i)2 – 2
= ((1 – i)2)2 – 2i – 2
= (–2i)2 – 2i – 2
= 4i2 – 2i – 2
= –6 – 2i
5
3
B) 2
C)
7
3
D)
8
3
E) 3
z = a + ib
2a – 2bi + 3i = 2 + ia – b
2a = 2 – b ⇒
b + 2a = 2
3 – 2b = a ⇒ + a + 2b = 3
5
3a + 3b = 5 ⇒ a + b = 3
3.
z karmaşık sayısının eşleniği z ile gösterilmektedir.
Buna göre,
I. Im(z . z) = 0
6.
II. z + z = 2Re(z)
z = 2 + 2i
III. z – z = 2Im(z)
olduğuna göre,
IV. z2 + z 2 Î R
B) 1
C) 2
D) 3
z + z 101
l
z-z
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
b
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 0
i2 = –1 olmak üzere,
E) 4
A) –i
B) i
C) –1
D) 1
E) –i + 1
z = a + ib ve z = a – ib için
z . z = a2 + b2, z + z = 2a
z – z = –2b,
z2 + z2 = 2a2 + 2b2
2 + 2i + 2 - 2i 101
4 101
1
1
<c + - - m = a 4i k = 101 = i = - iF
2 2i ( 2 2i )
i
olduğunda I, II ve IV doğrudur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR / Karmaşık Sayılar
7.
Konu Testi - 4
10.
(3 + 4i) . (1 + iz) = 5 – 10i
x2 – 2ix – 1 = 0
olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 – 2i
A) {–i}
B) 2 + 2i
D) –2 – 2i
C) –2 + 2i
E) 1 + 2i
B) {i}
C) {–i, i}
D) {1, –i}
E) {–1, i}
x2 – 2ix + i2 = 0
(x – i)2 = 0
x–i=0⇒x=i
5 - 10i
1 + iz = 3 + 4i
(5 - 10i) (3 - 4i)
25
15 - 20i - 30i + 40i 2
1 + iz =
25
- 25 - 50i
1 + iz =
25
1 + iz = –1 – 2i ⇒ i . z = –2 – 2i
- 2 - 2i
= - 2 + 2i
z=
i
1 + iz =
11. z bir karmaşık sayı olmak üzere,
z+
i
= 2 + 3i
z
olduğuna göre, z 2 sine eşittir?
A) 2 – 3i
8.
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
B) i
B) 3 – 2i
C) 3 + 2i
D) –5 + 10i
x2 + (1 + i)x + i = 0
A) –i
1
ifadesi aşağıdakilerden hangiz2
C) 1
D) 1 + i
E) –5 + 12i
a z + zi k = (2 + 3i) 2
2
z2 +
E) 1 – i
x2 + (1 + i)x + i = 0
i
1
x = –1, x = –i
i2
+ 2i = 4 + 9i 2 + 12i
z2
1
z 2 - 2 = - 5 + 10i
z
12. a ve b sıfırdan ve birbirinden farklı reel sayılardır.
hh z = a – ib
hh z2 = z
olduğuna göre, Re(z) kaçtır?
B) –2i
C) 0
olduğuna göre, a
D) 1
E) 2
z = i101 = i
i2 – i . i + a = 0 ⇒ a = 0
7. C
8. A
9. C
10. B
11. D
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6. A
16
3
2
B)
3
2
(a + ib)2 = a – ib
a2 – b2 + 2abi = a – ib
a2 – b2 = a
ve
1
1
2
4 - b = - 2 3
3
b2 = 4 & b = ! 2
5. A
A) –i
A) -
4. E
denkleminin köklerinden biri z =
aşağıdakilerden hangisidir?
i101
C) -
1
2
D)
1
2
E) 1
2ab = –b
1
a =- 2
3. D
– iz + a = 0
2. E
z2
1. B
z bir karmaşık sayıdır.
Cevaplar
9.
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
34
TARAMA
1.
1+
1
0, 4
1+
4
denklemini sağlayan n değeri kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A)
11
10
B)
10
11
1
C)
21
10
D)
21
11
E)
A) –4
11
21
n
1
5.
E) 4
n
D) 6
E) 8
D) 7
E) 12
n
D) 30
(n – 2)! + n! + (2 – n)!
toplamının değeri kaçtır?
y
olduğuna göre,
oranı aşağıdakilerden hangisine
x
eşittir?
C) 10
D) 3
& n =- 3
y + 0,3 = 7,5
B) 3
C) –1
1 n
1 -3
& a3k = a3k
x – 0,2 = 0,04
A) 0,3
B) –3
a 34 k $ a 94 k = 3 3 & a 34 $ 94 k = 3 3
1
1+
4 = 1+
1 = 1 + 11
1 + 40
1 + 10
10
10
= 1 + 11
21
= 11
2.
3 n 9 -n
c m $ c m = 27
4
4
4.
A) 2
E) 40
B) 3
n–2≥0⇒n≥2
C) 4
⇒n=2
2–n≥0⇒n≤2
x = 0,04 + 0,20 = 0,24
y = 7,5 – 0,3 = 7,2
0! + 2! + 0! = 1 + 2 + 1 = 4
y
7, 2
720
x = 0, 24 = 24 = 30
6.
4
1
>
x+1
2
3.
eşitliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
A) –21
B) –18
C) –13
D) –14
x+1
4 < 2 ⇒ |x + 1| < 8
–8 < x + 1 < 8
–9 < x < 7
–8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = –14
E) –6
6 6 + 27 2
54 2 + 3 8
işleminin sonucu kaçtır?
A) 3
B) 5
C) 6
6 6 + 3 6 = 3 6 ^2 6 + 1h = 65 =
5
3 6 .2 2 + 3 8 3 6 ^2 2 + 3 2h 13
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
Tarama 7.
9.
Aşağıda bir yürüyüş parkuru modellenmiştir.
Verilen iki doğru birbirine paraleldir.
A
A
B
K
C
L
D
E
M
N
Şekilde verilen 9 noktadan dördü rastgele seçiliyor.
B
Seçilen noktaların dörtgen oluşturma olasılığı kaçtır?
C
10
21
11
21
4
7
hh |AB|, |AC| ve |BC| kısımlarının uzunlukları sırasıyla
(x – 1) km, (3x – 7) km ve (2x + 5) km dir.
A)
hh Hızları birbirine eşit olan Asya, Burcu ve Cansu'dan
5 4
e o$e o
2 2
10.6
60
10
= 9.8.7.6 = 126 = 21
P (A) =
9
e o
4.3.2.1
4
Cansu B'den A'ya
Asya B'den C'ye
B)
C)
D)
13
21
E)
2
3
Burcu A'dan C'ye sabit hızlarla yürüyüşe başlıyor.
hh Ulaşmaları gereken noktalara önce Cansu, daha sonra Burcu ve en son Asya varıyor.
Buna göre x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri
vardır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
3
–2
2
|AB| < |AC| < |BC|
x – 1 < 3x – 7 < 2x + 5
x – 1 < 3x – 7
3x – 7 < 2x + 5
6 < 2x
ve
x < 12
x>3
(x > 3) ∩ (x < 12) ∩ Z = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
8 farklı değer vardır.
4
x
–2
–3
Buna göre,
f(4) + f(0) + f–1(–3) + f–1(0)
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1
8.
y
10. Yandaki şekilde y = f(x)
Ahmet, Barış ve Özgür isimli öğrencilerin son 7 günde çözdükleri soru sayıları aşağıdaki tabloda veriliyor.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
f(4) + f(0) + f–1(–3) + f–1(0)
3 + (–2) + (–2) + 2 = 1
Ahmet Barış Özgür
Ahmet Barış Özgür
16
10
5
30
10
5
En büyük sayı
42
20
6
En küçük sayı
21
40
10
Aralık
21
30
14
Ortanca
14
10
21
Mod
24
20
9
x
x+y+z
oranı kaçtır?
a+b+c
42
43
B)
C) 3
D)
13
14
c
y
b
paylaştırmak istiyor.
z
a
Buna göre,
A)
41
13
Özgür: 5, 5, 6, 9, 10, 14, 21
Ahmet: 14, 16, 21, 21, 24, 30, 42
Barış: 10, 10, 10, 20, 20, 30, 40
x + y + z 42 + 30 + 10 82 41
= 26 = 13
=
5 + 16 + 5
a+b+c
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11.  Bir anne belli miktardaki cevizi 7 çocuğuna eşit olarak
E)
22
7
 Cevizleri 5 çocuğuna eşit olarak paylaştırıp 2 çocuğunu unutuyor.
Buna göre bu beş kardeşten her biri başlangıçtaki paylarının kaçta kaçını ceviz almayan kardeşlerine verirlerse hepsi eşit sayıda ceviz almış olur?
A)
1
7
B)
2
7
C)
3
7
D)
4
7
E)
5
7
Annenin elinde 35x ceviz olsun. 5 çocuğun her biri 7x ceviz alır. O halde
herbiri 2x cevizli vermeliler.
2x 2
7x = 7
Tarama
12.
15. A ve B tuzlu - su karışımları ile ilgili aşağıdakiler biliniyor.
B Ç C = {a, b, c, d, e, f}
s[(B X A) Ç (C X A)] = 48
hh A karışımının tuz oranı % 30 dur.
olduğuna göre, s(A) kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
hh A ve B karışımlarının miktarları aynıdır.
D) 7
E) 8
s[(B ∩ C) X A] = 48
s(B ∩ C) . s(A) = 48
6 . s(A) = 48
s(A) = 8
hh A ve B karıştırıldığında oluşan karışımın tuz ve su miktarları birbirine eşittir.
Buna göre, B karışımının tuz oranı yüzde kaçtır?
A) 40
% 30
x
B) 50
C) 60
%a
x
+
=
D) 65
E) 70
% 50
2x
30x + ax = 100x
ax = 70x
a = 70
16.  Ali bir işi tek başına 6 günde, Barış aynı işi tek başına
13. f: R → R tanımlı bir f fonksiyonu
f(x) =
"x2
sayısından büyük en küçük tam sayı"
olarak tanımlanıyor.
7
Buna göre, f ^ 7 h + f c m ifadesinin değeri kaçtır?
2
A) 21
B) 22
C) 23
D) 24
E) 25
18 günde bitirebiliyor.
 Ali bu işe başlayıp 2 gün çalıştıktan sonra işi bırakıyor;
6 gün çalıştıktan sonra Barış'da işi bırakıyor.
 Kalan işin tamamını Cemile 10 günde tamamlıyor.
Buna göre, Cemile bu işin tamamını kaç günde bitirebilir?
A) 15
^ 7 h = 7 ise f ^ 7 h = 8
2
7
a 72 k = 49
4 ise f a 2 k = 13
2
B) 20
1
1
6 $ 2 + 18 $ 6 +
2 10
3+ x =1 &
8 + 13 = 21
C) 25
D) 30
E) 40
1
x $ 10 = 1
10 1
x = 3 & x = 30
17. Büyük ve küçük harfler kullanılarak oluşturulan 6 harfli ke14.
limeyle ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
hh A, a, B, b, C, c harfleri kullanılacaktır.
B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
hh Her büyük harf kendi küçük harfinin hemen sağında
olacaktır.
olduğuna göre,
(A Ç B) ⊂ K ⊂ (A È B)
koşulunu sağlayan kaç tane k kümesi vardır?
A) 4
B) 8
C) 12
{2, 3, 4, 5} ⊂ K ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
23 = 8 tane K kümesi vardır.
D) 16
E) 32
Buna göre, kaç farklı kelime oluşturulabilir?
A) 4
B) 6
C) 12
D) 18
E) 24
aA bB cC
3! = 6
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
Tarama 18. Bir ürüne satış fiyatı üzerinden önce % 40 zam, daha sonra da zamlı fiyat üzerinden % 30 indirim uygulanıyor ve son
durumunda maliyet fiyatı üzerinden % 40 kâr elde ediliyor.
olduğuna göre, x kaçtır?
Buna göre, ilk satış fiyatı % kaç kâr ile belirlenmiştir?
300
A)
7
B) 45
320
C)
7
D) 50
x+2
= 2
x-2
21.
A)
B) 6 + 3 2
2 +2
D) 4 2 + 4
E) 60
C) 4 2 + 6
E) 6 2 + 4
x+2= x 2 – 2 2
İlk satış: 100x
Zamla satış: 140x
70
İndirimli satış: 140x . 100 = 98x
140
M $ 100 = 98x ⇒ Maliyet: 70x
x 2 –x=2+ 2 2
x( 2 - 1) = 2 + 2 2
x=
30x
300
70x $ 100 = 7
2 + 2 2 ( 2 + 2 2 ) ( 2 + 1)
=
2-1
2 -1
= 2 2 +2+4+2 2
= 4 2 +6
22. Bir fabrikada üretilen ürünlerin miktarını gösteren sayaç
aşağıda verilmiştir.
19. Tanesi ¨ x den a adet kitap alan bir kırtasiyeci bu kitapların
tamamının satışından ¨ y zarar etmiştir.
Buna göre, kırtasiyeci kitapların tanesini kaç ¨ den satmıştır?
A) x -
a
y
B) y -
D) x +
y
a
x
a
C) y +
E) x -
y
a
x
a
Bu sayaç hatalı olarak üretiliyor ve sayaca 1 rakamı konulmuyor.
Örneğin; sıfırı gösteren sayaç 13 ürün üretildiğinde sırasıyla,
x.a–y=a.k
x.a - y
y
= x-a
k= a
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20, 22, 23, 24, 25
sayılarını gösteriyor ve üretilen ürün 13 tane iken 25 tane
görülüyor.
Buna göre bu fabrikada sayaç 88 i gösterdiğinde gerçekte kaç ürün üretilmiştir?
A) 68
B) 69
C) 70
D) 71
E) 72
88 sayısına kadar içinde 1 rakamı olan 1, 10, 11, ... 19, 21, 31, 41, 51, 61,
71, 81 olmak üzere 18 sayı vardır.
88 – 18 = 70 ürün üretilmiştir.
20. ab ve cd iki basamaklı doğal sayılardır.
ab = cd . 1,2
olduğuna göre, ab + cd toplamının değeri en fazla kaçtır?
A) 174
B) 175
C) 176
12
ab 6
ab = cd . 10 ⇒ cd = 5
ab 6.16 96
⇒ cd = 5.16 = 80
ab + cd = 96 + 80
= 176
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) 177
E) 178
23.
4
5
5
5
5
5
5
d n+ d n+ d n+ d n+ d n+ d n+ d n
0
1
2
3
4
5
3
işleminin sonucu kaçtır?
A) 24
25 + 4 = 36
B) 28
C) 30
D) 32
E) 36
Tarama
24. İki madenî para birlikte havaya atılıyor.
27. Aşağıdaki tabloda A, B, C, D ve E ülkelerindeki teknolojik
aletler için uygulanan katma değer vergisi (KDV) ve özel
tüketim vergisi (ÖTV) yüzde olarak verilmiştir.
Buna göre, iki paranın da üst yüzüne yazı gelme olasılığı kaçtır?
A)
1
6
B)
1
4
C)
1
2
D)
3
4
E)
5
6
30
E = {YY, TT, YT, TY}
1
P(A) = 4
Yüzde
20
18
16
12
10
8
6
5
: KDV
: ÖTV
A
bilgiler veriliyor.
hh Turnuvada galibiyete 3 puan beraberliğe 1 puan ve
mağlubiyete 0 puan verilmektedir.
A) E
hh Turnuva sonucunda puan tablosundaki bütün puanların toplamı 230 dur.
2 $e
D) 40
E
B) D
C) C
D) B
E) A
106
10.000 $ 100 = 10.600 KDV li fiyat
120
10.600 $ 100 = 12720 ÖTV li fiyat
Buna göre, turnuvada kaç maç berabere bitmiştir?
C) 35
D
Buna göre, aşağıdaki ülkelerin hangisinde fabrika çıkış fiyatı 10.000 ¨ olan bir teknolojik aletten alınan vergiler toplamı 2720 ¨ dir?
hh Her takım birbiriyle 2 maç yapmaktadır.
B) 25
C
Bu ülkelerde teknolojik alet satılırken aletin fabrika çıkış
fiyatı üzerine KDV eklenmekte daha sonra ise KDV dahil
fiyat üzerinden ÖTV hesaplamaktadır. ÖTV li fiyat aracın
satış fiyatıdır.
25. 10 takımın katıldığı bir futbol turnuvası ile ilgili aşağıdaki
A) 20
B
Toplam vergi = 12720 – 10.000 = 2720
B ülkesidir.
E) 50
10
o = 90 maç yapılmıştır.
2
Galibiyette biten maç sayısı x ise beraberlikte biten maç sayısı 90 – x dir.
3 . x + (90 – x) . 2 = 230
3x + 180 – 2x = 230
x = 50
90 – x = 40
28.
a>5
b<2
26.
olduğuna göre, 4a – 3b ifadesinin alabileceği en küçük
tam sayı değeri kaçtır?
x2 – 4x – 5 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
A) 13
Buna göre,
x 14 + x 24
B) 83
C) 15
D) 16
E) 17
4a > 4 . 5
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 76
B) 14
C) 252
+
D) 526
x2 – 4x – 5 = 0
–5
+1
x1 = –1, x2 = 5 ⇒ x 14 + x 24 = (–1)4 + 54 = 626
E) 626
–3 . b > 2 . (–3)
4a > 20
+ –3b > –6
4a – 3b > 14
en küçük 15 tir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
Tarama 29.  Bir zarın bir yüzü mavi, iki yüzlü kırmızı, üç yüzü pembedir.
 Bu zar üç kez havaya atılıyor.
7 tane
644474448
32.
3 4 .3 4 .3 4 ...3 4
27.27.27.27
işleminin sonucu kaçtır?
Buna göre, üç atışta da üst yüze farklı renklerin gelme
olasılığı kaçtır?
A)
1
36
B)
1
18
C)
1
9
D)
1
6
E)
A) 314
1
4
B) 316
C) 318
D) 320
E) 322
(3 4) 7
3 28
=
= 3 28 - 12 = 3 16
3 .3 3 .3 3 .3 3 3 12
3
1 2 3
1
6 $ 6 $ 6 $ 3! = 6
30. Belli bir kısmını Özgür'ün kalan kısmını Arda'nın çapaladı-
33. Aşağıdaki tabloda Seydi, Ozan ve Özge'nin şoförlüğünü
yaptığı üç aracın yol, zaman ve hız değerleri verilmiştir.
ğı tarla eş birim kareler kullanılarak aşağıdaki gibi modellenmiştir.
Şoför
Yol (km)
Seydi
400
80
y
Ozan
x
y –1
60
Özge
x + 60
z
20
Buna göre,
A) 6
Zaman (saat)
Hız (km/saat)
x
oranı kaçtır?
y+z
B) 8
C) 10
D) 12
E) 15
400 = 80 . y ⇒ y = 5
x = 4 . 60 ⇒ x = 240
300 = z . 20 ⇒ z = 15
x
240
= 20 = 12
y+z
hh Sarı renk ile boyanmış bölge Özgür'ün kırmızı ile boyanmış bölge Arda'nın çapaladığı bölgeyi göstermektedir.
hh Özgür'ün çalışma hızı Arda'nın çalışma hızının 3 katıdır.
hh Özgür kendisine düşen kısmı 6 saatte çapalıyor.
Buna göre, Arda kendisine düşen kısmı kaç saatte çapalar?
A) 18
B) 20
C) 24
D) 27
E) 36
Özgür 8 br2 Arda 12 br2 çapalamıştır.
8
12
3V.6 = V.x & x = 27
31.
z–1 . (1 – i) = 1 – i2
denklemini sağlayan z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 – 2i
B) 1 + i
1 i
D) +
2 2
C) 1 – i
1 i
E) 2 2
1-i 1 i
1+1
z–1 = 1 - i ⇒ z = 2 = 2 - 2
z = a – 2 + (a + 1)i
karmaşık sayısı için
Im(z) . Re(z) = 10
olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin çarpımı
kaçtır?
A) –24
B) –18
C) –12
(a – 2) . (a + 1) = 10
a2 – a – 2 = 10
a2 – a – 12 = 0
–4
+3
a –3, a = 4 ⇒ –3 . 4 = –12
6
34.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) –9
E) –6
35. Çözüm kümesi ' 1, 1 1 olan ikinci dereceden denklem
2 5
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 2 – 2x + 3 = 0
B) 2x 2 + 5x + 6 = 0
C) 10x2 – 6x + 1 = 0
D) 10x2 – 7x + 1 = 0
E) 10x2 + 7x + 1 = 0
1 1
1 1
x 2 - a 2 + 5 kx + 2 $ 5 = 0
7x
1
x 2 - 10 + 10 = 0 & 10x 2 - 7x + 1 = 0
Tarama
36. Aşağıdaki tabloda bir kirtasiyenin çekilen fotokopinin sayfa
sayısına göre bir sayfa için belirlediği fiyatlar veriliyor.
Sayfa sayısı
Sayfa fiyatı (¨)
10 ve altı
0,5
11 den 50 ye kadar
0,4
50 den 100 e kadar
0,3
100 üzeri
0,2
2
Bir öğrenci 120 sayfalık bir belgenin fotokopisini çektirmek
istiyor. Ancak belgeleri yanlış alıyor ve birer gün arayla 20,
60 ve 40 sayfalar halinde çektiriyor.
B) 12
C) 15
D) 18
4 5
9 10
Zaman
(saat)
Sabah sporu için evden ayrılan Özge spor salonuna gittikten sonra markete uğramış alışverişini yapmış ve eve geri
dönmüştür. Özge'nin evden çıkışı ile eve geri dönüşü arasındaki zaman aralığındaki eve uzaklığını gösteren grafik
yukarıda verilmiştir.
Buna göre, öğrencinin zararı kaç ¨ dir?
A) 10
km
38.
E) 20
Özge'nin tüm hareketi boyunca ortalama hızı saatte 10
km olduğuna göre market evden kaç km uzaklıktadır?
(20 . 0,4 + 60 . 0,3 + 40 . 04) – 120 . 0,2
8 + 18 + 16 – 24
18
A) 10
B) 40
C) 50
D) 90
E) 100
1 . 10 = 10
37. Hava sıcaklığı ile ortamdaki bakteri sayısında bir ilişki ola-
bileceğini düşünen bir bilim adamı elde ettiği bilgileri aşağıdaki serpilme grafiği ile göstermiştir.
39.
Bakteri Sayısı
6000
5000
30 g
85 g
4000
3000
2000
Yukarıda gösterilen eşit kollu terazinin sol kefesinde 30
gram sağ kefesinde 85 gram yük vardır.
1000
10
20
30
40
50
60
Sıcaklık
Buna göre aşağıdaki bilgilerden hangisine ulaşılabilir?
A) Sıcaklık arttıkça bakteri sayısı azalmıştır.
B) Sıcaklık ile bakteri sayısı arasında bir ilişki yoktur.
C) Sıcaklık ile bakteri sayısı arasında pozitif bir ilişki vardır.
D) Bakteri sayısı arttıkça sıcaklık azalmıştır.
E) Sıcaklık ile bakteri sayısı arasında negatif bir ilişki vardır.
Pozitif ilişki vardır.
Bu teraziyi dengelemek isteyen bir kişi,
hh Sol kefeye herbiri 10 gram olan ağırlıklardan x tane,
hh Sağ kefeye herbiri 15 gram olan ağırlıktan y tane koyuyor.
Buna göre, x + y toplamı en az kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
30 + 10x = 85 + 15y
10x = 55 + 15y
2x = 11 + 3y
↓
↓
7
1
x+y=8
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
Tarama 40.
43.
x2 – (m – 4)x + 4 = 0
ikinci dereceden denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması 7 dir.
Buna göre m kaçtır?
A) 14
B) 16
C) 18
D) 20
E) 21
A
B
Yukarıda gösterilen iki torbadan,
x1 + x 2
m-4
2 =7 &
2 = 7 & m - 4 = 14
A torbasında 2 beyaz, 3 kırmızı
B torbasında 1 beyaz, 4 kırmızı
& m = 18
bilye vardır.
Bir zar havaya atılıyor ve zar çift gelirse A torbasından, tek
gelirse B torbasından bir bilye çekiliyor.
Buna göre, çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı kaçtır?
A)
1
10
B)
1
5
C)
3
10
D)
3
5
E)
7
10
3 3 3 4
P (A) = 6 $ 5 + 6 $ 5
3
4
7
= 10 + 10 = 10
41. 2 C (4, 2) . 4 C (5, 5) = 2 C (n, n - 1)
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
4.3
2 2 .4 1 = 2 n
26 . 22 = 2n
28 = 2n
n=8
42.
44. Yukarıda 30 birim kareden oluşan şekilde 5 tane birim kare
kırmızıya boyanmıştır.
z = (i0! + i1! + i2!) . (1 + 2i)
olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –5
B) –5i
C) 5i
z = (i1 + i1 + i2) . (1 + 2i)
z = (–1 + 2i) . (1 + 2i)
z = (2i)2 – 12 = 4i2 – 1 = –4 – 1 = –5
8
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) 5
E) 5 + 5i
Bu şekil içerisinden bir kenarı 2 birim olan bir kare seçiliyor.
Buna göre seçilen karenin bir bölmesinin kırmızı renge
boyanmış olma olasılığı kaçtır?
A)
1
5
B)
s(E) = 4 . 5 = 20
s(A) = 12
12 3
P(A) = 20 = 5
7
10
C)
3
5
D)
4
5
E)
9
10
Tarama
45. 5 futbolcu ve 6 voleybolcu arasından 3 kişi seçilecektir.
48. Bir babanın yaşı, büyük oğlunun yaşının 3 katı ortanca oğlunun yaşının 4 katı, küçük oğlunun yaşının 6 katıdır.
Buna göre, seçilen kişilerin tamamının aynı spor dalında olduğu kaç seçim yapılabilir?
A) 15
B) 20
C) 30
D) 36
Küçük çocuğun yaşı ortanca çocuğun yaşına geldiğinde
babanın yaşı büyük çocuğun yaşının 2 katından 24 fazla
oluyor.
E) 40
Buna göre, baba bugün kaç yaşındadır?
5
6
e o + e o = 53..42..31 + 63..52..41 = 10 + 20 = 30
3
3
A) 96
B) 91
B
Büyük
C) 88
D) 84
Ortanca
Küçük
12x
4x
3x
2x
13x
5x
4x
3x
E) 72
13x = 2 . 5x + 24
3x = 24
x = 8 ⇒ 12x = 96
46. Bir kurbağa bir merdivende eşit olasılıklarla ya bir basamak ya da iki basamak zıplayarak yol alıyor.
3. basamak
49.
2. basamak
ikinci dereceden denkleminin bir kökü 3 olduğuna
göre, diğer kökü kaçtır?
1. basamak
Zemin
A) –2
Zeminde bulunan bu kurbağanın 2. basamağa uğramadan 3. basamağa geçme olasılığı kaçtır?
A)
1
2
B)
1
3
C)
x2 + (k + 1)x + k = 0
2
3
D)
1
4
E)
5
6
E = {123, 13, 23}
1
P(A) = 3
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
32 + 3(k + 1) + k = 0
4k + 12 = 0 ⇒ k = –3
x2 – 2x – 3 = 0
–3
+1
x = 3, x = –1
50. A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
hh s(A – B) – s(A Ç B) = 2
47. Özgür, Hayatiye
"Paramdan 200 ¨ sana verirsem senin paran benim paramdan 100 ¨ fazla olur." diyor.
Hayati Özgür'e
"Sen benim paramdan 100 ¨ alırsan benim param senin
paranın yarısından 200 ¨ fazla olur." diyor.
hh 5 s(A Ç B) = s(B)
hh s(A È B) = 32
olduğuna göre, s(B – A) kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 20
E) 24
Buna göre, Özgür'ün başlangıçta kaç ¨ parası vardır?
A) 1100
B) 1200
C) 1300
Ö
H
x + 200 x – 100
x + 300
200 +
= x – 200 ⇒ x = 1100
2
ö = 1300
D) 1400
E) 1500
A
x+2
B
x
4x
x + 2 + x + 4x = 32
6x = 30
x=5
s(B – A) = 4x = 20
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
Tarama 52. Aşağıdaki tabloda 10 öğrencinin bir sınavdan aldığı puan-
51.
lar gösterilmektedir.
Öğrenci
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. 10.
Puan
8
4
6
4
8
3
10
4
5
8
Buna göre, bu sınavın standart sapması kaçtır?
Yukarıda verilen 9 birim küpten oluşan havuza birim zamanda sabit miktarda su akıtılarak 9 saatte dolduruluyor.
Buna göre, aşağıdaki grafiklerden hangisi havuzun su
seviyesi yüksekliğinin zamana göre değişimini gösteren grafiktir?
A)
B)
Yükseklik (birim)
3
3
2
2
1
1
C)
5 6
Zaman
(saat)
1
3
3
2
2
1
1
6
9
E)
Zaman
(saat)
6 7 9
Zaman
(saat)
x=
8 + 4 + 6 + 4 + 8 + 3 + 10 + 4 + 5 + 8
=6
10
B)
C)
D)
2
E)
5 2
3
(8 - 6) 2 + (4 - 6) 2 + (6 - 6) 2 + (4 - 6) 2 + (8 - 6) 2 + (3 - 6) 2 + (10 - 6) 2 + (4 - 6) 2 + (5 - 6) 2 + (8 - 6) 2
9
5 2
50
=
9
3
B = {5, 6, 7, 8, 9}
A) 35
2
6
9
B) 42
C) 48
D) 52
E) 64
Zaman
(saat)
5
4
2 +
4
2,4
40 + 12 = 52
3
2,6
2
6 7 9
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Buna göre, birler basamağı A kümesinin onlar ve yüzler basamağı B kümesinin elemanı olan üç basamaklı
rakamları farklı kaç çift doğal sayı yazılabilir?
1
1
53.
kümeleri veriliyor.
Yükseklik (birim)
Yükseklik (birim)
2
=
3 2
4
2
6
Yükseklik (birim)
1
D)
Yükseklik (birim)
SS =
2 2
5
A)
3
1
6
Zaman
(saat)
Her bölme 1 saatte doluyor. 1 saatte 1 birim, 5 saatte 1 birim, 3 saatte 1
birim yükseklik olur. Grafik C seçeneğindeki gibidir.
54.  Bir öğrencinin masasının üzerinde 5 farklı matematik,
6 farklı geometri ve 2 farklı fizik kitabı vardır.
 Bu öğrenci her dersten eşit sayıda kitap kullanmak şartıyla 6 kitap kapasiteli bir rafa kitaplar yerleştirilecektir.
 Matematik kitapları yan yana olacaktır.
Buna göre, kitaplar rafta boş yer kalmamak koşuluyla
kaç farklı biçimde yerleştirilebilir?
A) 5!
B) 5 . 6!
C) 7!
MM GG FF
5 6 2
e o $ e o $ e o $ 5! . 2!
2 2 2
10 . 15 . 5! . 2 = 50 . 6 . 5! = 50 . 6!
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) 43 . 6!
E) 50 . 6!
Tarama
55. Yüzeylerinin üzerine
59. 6 mimar ve 4 doktor arasından doktor ve mimar sayıları eşit olan kaç farklı grup oluşturulabilir?
1, 3, 5, 6, 7, 12
sayıları yazılmış bir zar art arda iki kez havaya atılıyor.
A) 144
Buna göre, iki atışta üste gelen sayıların toplamının
tek sayı olma olasılığı kaçtır?
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
9
D)
1
18
E)
C) 180
D) 200
E) 209
6 4
6 4
6 4
6 4
e oe o + e oe o + e oe o + e oe o
1 1
2 2
3 3
4 4
4
9
6 . 4 + 15 . 6 + 20 . 4 + 15 . 1
24 + 90 + 80 + 15
209
s(E) = 6 . 6 = 36
s(A) = 4 . 2 + 2 . 4 = 16
16 4
P(A) = 36 = 9
56.
B) 176
(1 + i)3 + (1 – i)3
ifadesinin sonucunda oluşan karmaşık sayı aşağıdakilerden hangisidir?
A) –4
B) –4i
C) 0
D) 4
E) 4i
60. i2 = –1 olmak üzere,
2+i 2-i
+
1-i 1+i
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
(1 + i)(1 + i)2 + (1 – i)(1 – i)2
(1 + i)2i + (1 – i)(–2i)
2i + 2i2 – 2i + 2i2
–4
A) 1
B) i
C) 2i
D) 1 + i
E) 1 – i
( 2 + i) ( 1 + i) ( 2 - i) ( 1 - i)
+
12 + 12
12 + 12
57. Aralarında Özgür ve Murat'ın da bulunduğu 7 öğrenci yan
2 + 2i + i + i 2 + 2 - 2i - i + i 2 2
= 2=1
2
yana sıralanacaktır.
Buna göre, Özgür'ün baştan beşinci Murat'ın sondan
dördüncü olduğu kaç farklı sıralama oluşturulabilir?
A) 5!
B) 3 . 5!
C) 6!
D) 2 . 6!
E) 7!
M Ö
5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5!
61.
x2 + 6x + 4 = 0
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
58. i2 = –1 olmak üzere,
A) 3 + 5
f(x) = (3 – i)x + 2i + a
f(3 + i) = 2i + 6
(3 – i)(3 + i) + 2i + a = 2i + 6
32 + 12 + a = 6
a = –4
C) –4
C) 2 5
E) - 3 + 5
D = 62 – 4 . 1 . 4 = 20
olduğuna göre, a kaçtır?
B) –5
5
D) 3 - 5
fonksiyonu veriliyor.
A) –6
B)
D) –3
E) –2
x 1, 2 =
- 6 " 20 - 6 2 5
= 2 " 2
2
=- 3 " 5
x1 = - 3 - 5 , x 2 = - 3 + 5
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
Tarama 62. Ali, sıfırdan farklı birbirine eşit olan x ve y gerçel sayıları
için x = y eşitliğiyle başlayıp sırasıyla aşağıdaki adımları
takip ediyor.
64. Ahmet ve Beyza'nın aynı zamanda bir şirkette işe başlaması ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
hh Ahmet'in başlangıç maaşı ¨ 2500 dir.
I. Eşitliğin her iki tarafını x ile çarpalım:
hh Ahmet'in maaşı her 4 ayda bir ¨ 50 artmaktadır.
x2 = x . y
hh Beyza'nın maaşı 6 ayda bir ¨ 100 artmaktadır.
II. Her iki taraftan y2 çıkaralım:
x2
–
y2
= xy –
Ahmet ve Beyza'nın 6 yıl sonraki maaşları birbirine eşit
olacağına göre, Beyza'nın başlangıç maaşı kaç ¨ dir?
y2
A) 1800
III. Her iki tarafı çarpanlarına ayıralım:
(x – y)(x + y) = y(x – y)
B) 1900
C) 2000
D) 2100
E) 2200
2500 + 18.50 = x + 12.100
3400 = x + 1200
x = 2200
IV, Her iki tarafı x – y ile bölelim:
x + y = y
V. x yerine y yazalım:
2y = y
Bu adımlar sonunda Ali "Her sayının iki katı kendisine eşittir." yargısına varıyor.
65.
x2 + (m + 4)x + 2m + 5 = 0
Buna göre Ali numaralanmış adımların hangisinde
hata yapmıştır?
ifadesi x bilinmeyenine bağlı ikinci dereceden bir denklemdir.
A) I
Bu denklemin çözüm kümesi bir elemanlı olduğuna
göre, m aşağıdakilerden hangisi olabilir?
B) II
C) III
D) IV
E) V
A) 1
x – y ≠ 0 ise iki taraf sadeleştirilebilir IV hatalıdır.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
D =0
(m + 4)2 – 4 . 1 . (2m + 5) = 0
m2 + 8m + 16 – 8m – 20 = 0
m2 – 4 = 0
m = 2, m = –2
63. Deniz bir karenin köşe noktaları olan aşağıdaki dört nokta-
dan rastgele ikisini kırmızı diğer ikisini ise maviye boyamış
ve aynı renge boyadığı noktaları birleştiren doğru parçalarını çizmiştir.
66. Özge 10 farklı ürünün bulunduğu bir mağazaya girmiş ve
fiyatların aşağıdaki tablodaki gibi olduğunu görmüştür.
Buna göre, bu doğru parçalarının kesişme olasılığı
kaçtır?
A)
1
3
P (A) =
B)
3
4
C)
1
4
2
2 1
=6=3
4
e o
2
D)
1
6
E)
2
3
Ürün
1.
Fiyat (¨)
15 15 15 15 10 10 10 20 20 20
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. 10.
Buna göre, Özge 50 lirasını bu mağazada kaç farklı şekilde harcayabilir?
A) 36
B) 42
C) 45
D) 48
E) 60
10 – 10 – 10 – 20, 20 – 20 – 10, 15 – 15 – 20, 15 – 15 – 10 – 10
3 3
3 3
4 3
4 3
e o$e o+e o$e o+e o$e o+e o$e o
3 1
2 1
2 1
2 2
3 + 9 + 18 + 18
48
12
2.
Tarama
67.
70. Aşağıda verilen toplama tablosunda işlemlerin sonuçları a,
(x + 2) . (x + 4) = 7x + 10
b, c ve d harfleri ile gösterilmiştir.
denkleminin çözüm kümesinde bulunan elemanların
toplamı kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
+
(1321)3
100!
2424
a
b
3333
c
d
x2 + 6x + 8 = 7x + 10
x2 – x – 2 = 0
–2
+1
Buna göre a, b, c ve d harfleri yerine gelecek sayıların
kaç tanesi çift sayıdır?
x = –1, x = 2 ⇒ –1 + 2 = 1
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
(1321)3 = Tek, 100! = Çift, 2424 = Çift, 3333 = Tek
a=T+Ç=T
c=T+T=Ç
b=Ç+Ç=Ç
d=Ç+T=T
2 tanesi çiftir.
68.
x2 – 7x + 2 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
71. Dört elemanlı bir kümenin tüm üç elemanlı alt kümeleri ya-
Buna göre,
zılıyor. Bu üç elemanlı alt kümelerin her birindeki sayıların
aritmetik ortalamaları hesaplandığında 8, 9, 10, 11 sayıları
elde ediliyor.
x1(x2 + 3) + 3x2
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 23
B) 24
C) 25
D) 26
Buna göre aşağıdakilerden hangisi bu kümenin bir elemanı olamaz?
E) 27
x1 . x2 + 3x1 + 3x2
x1 . x2 + 3(x1 + x2)
2
7
1 + 3 $ 1 = 2 + 21 = 23
A) 5
B) 8
C) 11
D) 14
E) 17
a + b + c = 24
A = {a, b, c, d}
a + b + d = 27
b + c + d = 30
+
a + c + d = 33
3(a + b + c + d) = 114
a + b + c + d = 38
a = 8, d = 14, c = 11, b = 5
69. Bir torbada 3 beyaz, 6 kırmızı boncuk vardır.
72.
Bu torbadan bir boncuk çekilip rengine bakılıyor sonra torbaya atılıp tekrar bir boncuk çekiliyor.
Buna göre, iki boncuğun farklı renkte olma olasılığı
kaçtır?
A)
1
9
B)
2
9
C)
1
3
D)
4
9
E)
2
3
4
x3 = 8
olduğuna göre,
A) 2
5
2x + x ifadesinin değeri kaçtır?
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
3
x 4 = 23 ⇒ x3 = 212
x = 24 = 16
5
32 + 16 = 2 + 4 = 6
B.K + K.B
3 6 6 3 1 2 2 1 4
9$9+9$9 = 3$3+3$3= 9
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
Tarama 73.  Bir bankanın uyguladığı yıllık basit faiz oranı brüt % 20
dir.
 Bankanın verdiği brüt faizin % 4 ü devlet tarafından
vergi olarak kesilmektedir.
Buna göre bankaya 2000¨ yatıran biri 9 ay sonra kaç ¨
faiz geliri elde eder?
A) 260
B) 270
C) 272
D) 288
E) 292
76. Şekilde y = f(x) fonksiyo-
y
nunun grafiği gösterilmiştir.
2
–4
Buna göre, y = f(2x)
fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
y
2
YY.20.9
2000
= 300
YY
1200
96
300 $ 100 = 288
F=
–2
O
C)
2
2
x
–8
O
D)
y
–4
x
2
4
O
ki çember üzerinde 6 nokta vardır. Üçgen üzerindeki noktalar hariç noktaların herhangi üçü doğrusal değildir.
8
y
4
74. Aşağıda verilen üçgen üzerinde 5 nokta, üçgen içerisinde-
x
y=f(x)
B)
y
4
O
O
x
–4
4
x
–2
E)
y
2
–4
O
x
4
f(2x) in grafiği f(x) in grafiğinin x değerlerinin yarıya indirilmiş halidir.
Bu noktalardan herhangi üçü seçildiğinde seçilen noktaların üçgen oluşturma olasılığı kaçtır?
A)
32
33
B)
161
165
C)
54
55
D)
163
165
E)
77. Aşağıda f: A → R tanımlı f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
164
165
11
4
o-e o
3
3
165 - 4 161
= 165 = 165
P (A) =
11
e o
3
e
y
5
–4
–2
5
1
3
x
–3
Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
75. x bir gerçek sayı olmak üzere, sayı doğrusu üzerindeki x in
A) A – f(A) kümesi (–4, –3] dir.
4 sayısına olan uzaklığı x + 9 birimdir.
B) (–4, 1) aralığında f fonksiyonu artandır.
Buna göre, x in 1 sayısına olan uzaklığı kaç birimdir?
C) (1, 5) aralığında f fonksiyonu azalandır.
A)
1
2
B)
3
2
C)
5
2
|x – 4| = x + 9
x – 4 = –x – 9 veya
x–4=x–9
2x = –5
5
x= -2
5
7
7
|x – 1| = - 2 - 1 = - 2 = 2
14
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D)
7
2
E)
9
2
D) (1, 5) aralığında f fonksiyonu birebirdir.
E) f fonksiyonu çift fonksiyondur.
A A = (–4, 5), f(A) = (–3, 5]
A – f(A) = (–4, –3] tur.
A (–4, 1) aralığında f artandır.
A (1, 5) aralığında f azalan ve birebirdir.
A f çift fonksiyon değildir.
Tarama
78. Engin iş yerinde çalışan personel bilgilerini kaydetmek için
ad, soyad ve doğum tarihi sütunları bulunan ve 100 satırdan oluşan bir tabloyu dolduracaktır.
82. Merkezleri aynı doğrultuda olan K ve L çarkları şekil I de
belirtilen yönlerde dönmektedir. L çarkı bir tam dönüş yaptığında çarkların yeni görüntüsü şekil II deki gibi oluyor.
K
Engin tabloyu doldurduğunda ad sütununda 16, soyad
sütununda 18 ve doğum tarihi sütununda 22 satırda hata
yapıyor. Hata yaptığı her personele ait bilgilerde yalnızca
bir sütunu doğru olarak doldurduğu görülüyor.
rK
Buna göre, Engin'in tüm bilgilerini doğru olarak kaydettiği personel sayısı kaçtır?
A) 70
B) 72
C) 74
D) 76
E) 78
Toplam hata 16 + 18 + 22 = 56
56
Hatalı kişi sayısı = 2 = 28
L
rL
Şekil I
Şekil II
Buna göre, K çarkının yarıçap uzunluğu L çarkının yarıçap uzunluğunun kaç katıdır?
A)
Doğru personel bilgi sayısı = 100 – 28 = 72
K
L
4
3
B)
3
2
C)
5
2
D) 2
E) 3
1
L tam tur döndüğünde K, 2 tur dönmüştür. O halde K nın yarıçapı L nin
yarıçapının 2 katıdır.
79. Bir satıcı aldığı malın 2 ünü % 20 kârla satıyor.
3
Bu satıcı malın geriye kalanını % kaç kârla satarsa toplam satıştan kârı % 25 olur?
A) 28
B) 30
C) 32
D) 35
E) 36
83. Bir sakız makinesinde 5 kırmızı, 6 sarı ve 4 mavi sakız
Tüm mal 3x olsun.
120
100 + a
125
2x $ 100 + x $ 100 = 3x $ 100
240x + 100x + ax = 375x
ax = 35x
a = 35
vardır.
Buna göre, aynı renkte 3 sakız elde etmek için makineden en az kaç sakız alınmalıdır?
A) 6
80. Kısa kenarı a cm uzun kenarı b cm olan dikdörtgen biçi-
mindeki bir levha ısıtılıyor. Isıtıldıktan sonra levhanın her
bir kenarının uzunluğunun % 20 arttığı görülüyor.
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
2 sarı, 2 mavi, 2 kırmızı sakız aldığımızda 1 sakız daha seçildiğinde kesinlikle aynı renkli 3 sakız oluşur.
2+2+2+1=7
Buna göre, ısıtıldıktan sonra levhanın alanı yüzde kaç
artmıştır?
A) 20
B) 24
C) 36
D) 44
E) 50
a = 10, b = 10 için alan = 100 cm2 olur.
a = 12, b = 12 için alan 144 cm2 olur.
100 de 44 artmıştır.
81.
84. Aşağıda O merkezli dairesel hedef tahtasına bir ok atılıyor.
140
2z – 1 = z + 3i
olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) i – 1
B) 1 – i
C) 1 + i
z = a + ib
2a + 2bi – 1 = a – ib + 3i
2a – 1 = a
ve
2b = 3 – b
a=1
b=1
z = a + ib = 1 + i
D) 2 – i
E) 1 + 2i
70
O
Okun tahtaya isabet ettiği bilindiğine göre sarı renkli
kısma isabet etme olasılığı kaçtır?
A)
5
12
P (A) =
B)
1
2
C)
7
12
D)
2
3
E)
3
4
360 - 140 - 70 150
5
= 360 = 12
360
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
Tarama 85. Bir TV kanalında yayınlanan oyunun kuralları şöyledir.
87. Aynı sınıfta bulunan Özgür, Koray ve Ali'nin matematik sınavından aldıkları puanların sınıftaki konumu ile ilgili şunlar biliniyor.
hh 4 x 5 lik bir tablo üzerindeki karelerde 1 den 20 ye
kadar olan doğal sayılar yazmaktadır.
hh Sınıftaki herkes birbirinden farklı puan almıştır.
hh Oyun başlangıç bölmesinden bitiş bölmesine ulaşılınca son bulmaktadır.
hh Özgür sınıfın en yüksek 12. notunu almıştır.
hh Bir kareden yalnız bir kez geçilebilmektedir.
hh Koray, sınıfın en düşük 9. notunu almıştır.
hh Herhangi bir karede bulunurken, bu karenin bir solunda, bir sağında, bir üstünde bir altında veya bir çaprazında bulunan kareye hareket edilebilmektedir.
hh Özgür ile Koray'ın notları arasında 5 kişi vardır ve bu
kişilerden biri Ceysu'dur.
hh Karelerin tümünden geçmek zorunlu değildir ve geçilen kareden bir daha geçilemez.
Buna göre x en çok kaçtır?
hh Ceysu sınıfın en düşük x. notunu almıştır.
A) 12
hh Geçilen tüm karelerdeki sayıların toplamı yarışmacının puanıdır.
3
20
1
14
11
7
19
13
18
8
17
2
10
16
4
12
9
15
5
En düşük
C) 14
D) 15
K
E) 16
En yüksek
Ö
C
9
Bitiş
Başlangıç
6
B) 13
12
x en çok 14 tür.
Buna göre, bir yarışmacı en az kaç puan alabilir?
A) 30
B) 36
C) 37
D) 39
E) 41
Sırasıyla 6 – 7 – 2 – 10 – 5 karelerine basılırsa
en az 6 + 7 + 2 + 10 + 5 = 30 puan alabilir.
88.
fc
86.
denkleminin köklerinin 1 er fazlasını kök kabul eden
denklem aşağıdakilerden hangisidir?
2x + 1
3x - 3
m=
x-1
2x + 1
g(x – 1) = x + 2
olduğuna göre, (gof) c
1
m işleminin sonucu kaçtır?
100
A) 103
C) 203
B) 201
x2 – 2x – 1 = 0
D) 301
E) 303
2x + 1
3
f a x - 1 k = 2x + 1
x-1
1
3
g a f a 100 kk = g f 1 p = g (300)
100
g (300) = 301 + 2 = 303
A) x 2 – x – 4 = 0
B) x 2 + 2x –4 = 0
C) x2 + 4x + 2 = 0 D) x2 – 2x + 4 = 0
E) x2 – 4x + 2 = 0
(x – 1)2 – 2(x – 1) – 1 = 0
x2 – 2x + 1 – 2x + 2 – 1 = 0
x2 – 4x + 2 = 0
67. B 68. A 69. D 70. C 71. E 72. C 73. D 74. B 75. D 76. A 77. E 78. B 79. D 80. D 81. C 82. D 83. B 84. A 85. A 86. E 87. C 88. E
45. C 46. B 47. C 48. A 49. B 50. D 51. C 52. E 53. D 54. E 55. E 56. A 57. A 58. C 59. E 60. A 61. E 62. D 63. A 64. E 65. B 66. D
23. E 24. B 25. D 26. E 27. D 28. C 29. D 30. D 31. C 32. B 33. D 34. E 35. D 36. D 37. C 38. A 39. A 40. C 41. E 42. A 43. E 44. C
1. D
2. D
3. D
4. B
5. C
6. B
7. B
8. A
9. A
10. A 11. B 12. E 13. A 14. B 15. E 16. D 17. B 18. A 19. E 20. C 21. C 22. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
35
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
hhİKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE
Sonuç:
f(x) = ax2 + bx + c
ikinci dereceden fonksiyonu için
FONKSİYONLAR
hh a > 0 ise grafiğin kolları yukarı doğrudur.
İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
a, b ve c gerçek sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere
f(x) =
ax2
hh a < 0 ise grafiğin kolları aşağıya doğrudur.
+ bx + c
fonksiyonuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon ve bu
fonksiyonun belirttiği grafiğe ikinci dereceden fonksiyon grafiği
(parabol) denir.
İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafiklerinin
Çizimi İçin Gerekli Bilgiler
1.Verilen ikinci dereceden denklemin eksenleri kestiği noktaları bulmak için
Örnek 1:
hh x = 0 yazılarak y eksenini kestiği nokta
y
y = f(x) = x2 fonksiyonu için aşağıdaki tabloyu
doldurup fonksiyonun grafiğini çiziniz.
x
–2
–1
0
1
2
f(x) = y
4
1
0
1
4
hh y = 0 yazılarak x eksenini kestiği nokta
4
bulunur.
Örnek 3:
1
–2 –1
1 2
x
Aşağıda verilen fonksiyonların eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

y = x2 – 4x + 3
x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ (0, 3)
y = 0 ⇒ x2 – 4x + 3 = 0
–3
–1
x = 3, x = 1
Örnek 2:
y
f(x) = –2x2
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x
–2
–1
0
1
2
y
–8
–2
0
–2
–8
–2 –1
(3, 0) (1, 0)
1 2
x
–2

x eksenini (3, 0) ve (1, 0) noktalarında kesiyor.
y = x2 – 4x + 4
x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ (0, 4)
y = 0 ⇒ x2 – 4x + 4 = 0
(x – 2)2 = 0 ⇒ x = 2, x = 2
–8
(2, 0) (2, 0)
x eksenine (2, 0) noktasında teğettir.
Cevap: (3, 0) (1, 0), (2, 0) (2, 0)
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE GRAFİKLERİ / İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri

Örnek 5:
y = x2 + 3x + 4
y = 0 ⇒ x2 + 3x + 4 = 0
Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerinin tepe noktasını bulunuz.
∆ < 0 ⇒ ÇK = ∅

x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ (0, 4)
f(x) = 3(x – 4)2 + 2
T(4, 2)
x eksenini kesmez
Cevap: (0, 4), x eksenini kesmez

y
f(x) = x2 – 6x + 9 – 4
= (x – 3)2 – 4
r
x2
x1
f(r)
x
T(3, – 4)
x = r (simetri ekseni)
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonu için
hh x = r, simetri eksenidir ve grafiği eşit iki parçaya ayırır.
Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerinin simetri eksenlerini bulunuz.

b 4ac - b 2
n dır.
,
2a
4a
Cevap: x = –5, x = 3
4
Örnek 7:
Örnek 4:
Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerinin tepe noktasını bulunuz.

f(x) = x2 – 4x + 3
f(x) = x2 – 16
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x = 0 ⇒ y = –16
-4
b
r = - 2a = - 2 = 2
f(2) = 22 – 4.2 + 3 = –1
y = 0 ⇒ x2 – 16 = 0 ⇒ x2 = 16
⇒ x = –4, x = 4
0
r = - 2 = 0 , f(0) = 02 – 16 = –16
T(2, – 1)

f(x) = 2x2 – 3x + 1
-3
x=r⇒ x=- 4
3
&x= 4
4ac - b 2
4a
O hâlde tepe noktası d-
f(x) = x2 + 10x + 1
10
x=r⇒ x=- 2 &x=- 5

b
x1 + x 2
b
•r=
= a =2
2
2a
-
Cevap: T(4,2), T(3,–4)
Örnek 6:
hh x = r grafiği eşit iki parçaya ayırdığından r, x1 ve x2 köklerinin
orta noktasıdır.
• f (r) =
f(x) = x2 – 6x + 5
f(x) = x2 + 4
y
b
0
r = - 2a = - 2 = 0
f(r) = 02 + 4 = 4
–4
T(0, 4)
4
x
–16
Cevap: (2, –1), (0, 4)
y = x2 – 2(m + 2)x + m
fonksiyonunun belirttiği ikinci dereceden fonksiyon grafiklerinin tepe noktalarının geometrik yer denklemini bulunuz.
r=–
- 2 ( m + 2)
=m+2
2
x→m+2⇒m→x–2
y = x2 – 2(x) . x + x – 2
y = –x2 + x – 2
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Öğretmen
Sorusu
2.
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE GRAFİKLERİ / İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
Sonuç:
Örnek 8:
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.

f(x) =
–x2
+ 2x + 3
x=0⇒y=3
y = 0 ⇒ –x2 + 2x + 3 = 0 ⇒ x2 – 2x – 3 = 0
–3
+1
x = 3, x = –1
2
r = - - 2 = 1 , f(1) = –1 + 2 + 3 = 4
y
4
fonksiyonunda y = 0 için oluşan
ax2 + bx + c = 0
ikinci dereceden denkleminde
hh D > 0 ise f(x) = y fonksiyonunun grafiği x eksenini iki farklı
noktada keser.
hh D < 0 ise f(x) = y fonksiyonunun grafiği x eksenini kesmez.
hh D = 0 ise f(x) = y fonksiyonunun grafiği x eksenine teğettir.
Örnek 9:
3
1
–1
f(x) = ax2 + bx + c
3
f(x) = x2 – 4x + a
x
fonksiyonunun grafiği x eksenine teğet olduğuna göre,
a kaçtır?

f(x) = x2 – 6x + 9
D=0
x=0⇒y=9
y = 0 ⇒ x2 – 6 + 9 = 0
–3
–3
x = 3, x = 3
-6
r = - 2 = 3 , f(3) = 9 – 18 + 9 = 0
y
Cevap: 4
16 – 4.a.1 = 0 ⇒ a = 4
Örnek 10:
f(x) = ax2 – 6x + 1
fonksiyonunun grafiği x eksenini kesmediğine göre, a
nın değer aralığını bulunuz.
9
3
x
Cevap: (9, ∞)
D<0
36 – 4.a.1 < 0 ⇒ a > 9 ⇒ (9, ∞)

f(x) = x2 + 4x + 5
Örnek 11:
x=0⇒y=5
y = 0 ⇒ x2 + 4x + 5 = 0
D = 42 – 4.5.1 = –4
4
r = - 2 = - 2 , f(–2) = 4 – 8 + 5 = 1
f(x) = 2x2 + (a – 2) x + a – 2
fonksiyonunun grafiği x eksenini farklı iki noktada kestiğine göre, a nın değer aralığını bulunuz.
y
Cevap: R – [2, 10]
5
1
–2
D > 0
x
2
(a – 2)2 – 4.2(a – 2) > 0
+
(a – 2) (a – 10) > 0
10
–
+
R – [2, 10]
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE GRAFİKLERİ / İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
Not
Örnek 12:
f(x) = x2 + (a – 2)x + 7
Bir ikinci dereceden fonksiyonun tepe noktası
ikinci dereceden fonksiyonunun grafiği üzerindeki noktalardan biri (2, 11) dir.
hh x ekseni üzerinde ise ordinatı "0" dır.
hh y ekseni üzerinde ise apsisi "0" dır.
Buna göre, a kaçtır?
f(2) = 11
Cevap: 2
4 + 2(a – 2) + 7 = 11
a–2=0
Örnek 15:
a=2
f(x) = x2 – 12x + a + 4
Örnek 13:
f(x) =
x2
ikinci dereceden fonksiyonun tepe noktası x ekseni
üzerinde olduğuna göre, a kaçtır?
– 4x + a – 3
fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasının ordinatı 10 dur.
Buna göre, a kaçtır?
- 12
r=- 2 = 6
f(6) = 0
Cevap: 32
36 – 72 + a + 4 = 0
-4
r=- 2 = 2
f(2) = 10
Cevap: 17
a = 32
22 – 4.2 + a – 3 = 10
a – 7 = 10
a = 17
Örnek 16:
Örnek 14:
f(x) = ax2 + (a – 4)x + a + 1
f(x) = ax2 – (a + 3)x + 4
ikinci dereceden fonksiyonun grafiğinin tepe noktası y ekseni üzerindedir.
fonksiyonunun grafiğinin simetri ekseni
x=2
Buna göre, a kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
r=4
- (a + 3 )
=2
2a
4a = a + 3
Cevap: 1
b
- 2a = 0 ⇒ b = 0
⇒a–4=0
Cevap: 4
⇒a=4
3a = 3
Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı
f(x) = –x2 + 12x + b + 7
fonksiyonu tanımlanıyor.
i)
f(a + 2) = f(3a – 4)
ii)
olduğuna göre a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
a + 2 = 3a – 4 ⇒ a = 3
7
a + 2 + 3a - 4 =
6&a= 2
2
7
13
3+ 2 = 2
Öğretmen
Sorusu
a=1
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE GRAFİKLERİ / İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
1.
5.
f(x) = x2 – 2x + 3
B) (3, 0)
D) (1, 0)
ikinci dereceden fonksiyonunun grafiği üzerinde olduğuna göre, a kaçtır?
C) (0, 1)
E) (0, –2)
A) –2
B) –1
D) 1
E) 2
4 = 1 + 4 + a ⇒ a = –1
6.
f(x) = x2 – 1
Aşağıda y = f(x) ikinci dereceden fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
fonksiyonunun grafiğinin x eksenini kestiği noktalardan biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–1, 0)
C) 0
f(–1) = 4
x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ A (0, 3)
2.
A(–1, 4) noktası
y = x2 – 4x + a
fonksiyonunun grafiğinin y eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir?
A) (0, 3)
Konu Testi - 1
B) (0, –1)
D) (–1, 1)
C
E
C) (1, 1)
E) (0, 1)
D
A
y = 0 ⇒ x 2 – 1 = 0 ⇒ x2 = 1
x
B
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
x = 1, x = –1
A) Fonksiyonun baş katsayısı negatiftir.
A(–1, 0) ve B(1, 0)
B) Fonksiyonun x eksenini kestiği noktalardan biri A dır.
C) Fonksiyonun y eksenini kestiği nokta C dir.
D) Fonksiyonun tepe noktası (D, E) dir.
3.
E) Fonksiyonun tepe noktası B dir.
y = x2 – 6x + 1
fonksiyonunun grafiğinin simetri ekseni aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = –1
B) x = 1
D) x = –3
C) x = 3
E) x = 6
B noktası grafiğin X eksenini kestiği noktadır. Tepe noktası değildir.
7.
Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerinden hangisi
kesinlikle yanlıştır?
A)
-6
x=r⇒x=- 2 ⇒x=3
y
B)
y = x2
y
x
x
y = –x2
4.
y=
x2
C)
– 4x + 11
y
fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
D)
y = 4x2
y
x
x
y = 3x2
E)
y
y = 6x2
-4
r=- 2 = 2
f(2) = 4 – 8 + 11 = 7
x
T(2, 7)
2+7=9
y = 3x2 nin yönü yukarıda doğru olmalıydı.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE GRAFİKLERİ / İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
8.
11.
f(x) = ax2 + bx + c
ikinci dereceden fonksiyonunda
b2
– 4ac > 0
y
y
B)
y
A)
2
x
x
1
2
–1
x
2
x
–2
y
C)
y
B)
y
C)
x
y = x2 + 3x + 2
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi y = f(x) fonksiyonuna ait olabilir?
A)
Konu Testi - 1
y
D)
2
y
D)
y
E)
x
1
1
x
–2
x
x
–1
y
E)
2
x
D > 0 ise x eksenini iki farklı noktada kesmelidir. Cevap C
Fonksiyonun grafiği B seçeneğindedir.
9.
12.
f(x) = ax2 + bx + c
y = 9 – x2
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
ikinci dereceden fonksiyonunda
b2 – 4ac < 0
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi y = f(x) fonksiyonuna ait olabilir?
y
A)
y
B)
y
E)
3
x
–3
3
x
–9
y
C)
x
y
D)
x
–3
y
3
x
y
E)
x
x
y
9
B)
–3
y
C)
x
x
D)
y
A)
–1
x
3
D < 0 ise y = f(x) fonksiyonu x eksenini kesemez. Cevap D
Fonksiyonun grafiği B seçeneğindedir.
10.
13.
y = x2 + 6x + m
fonksiyonunun grafiğinin x eksenini kestiği noktalar
arasındaki uzaklık kaç birimdir?
ikinci dereceden fonksiyonu x eksenine teğet olduğuna göre, m kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
y = x2 – 6x – 7
A) 8
E) 11
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
y = 0 ⇒ x2 – 6x – 7 = 0
–7
+1
x = –1, x = 7
D = 0 ⇒ 62 – 4m = 0
m=9
|7 – (–1)| = 8
1. A
2. A
3. C
4. C
5. B
6. E
7. D
8. C
9. D
10. C
11. B
12. B
13. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
6
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE GRAFİKLERİ / İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
1.
4.
f(x) = (a – 3)x2 + 4x + a – 7
f(x) = y
ikinci dereceden fonksiyonunun grafiğinin simetri ekseni
x = r dir.
ikinci dereceden fonksiyonunun grafiğinin kolları yukarı
doğrudur.
f(1) = 0
Grafik y eksenini negatif tarafta kestiğine göre, a'nın
alacağı kaç farklı tam sayı değeri vardır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
f(7) = 0
olduğuna göre, r kaçtır?
E) 6
A) 1
a–3>0⇒a>3
fonksiyonu x eksenini A(2, 0) ve B(4, 0) noktalarında
kestiğine göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
B) 2
16 + 4a + b = 0 ⇒
C) 3
–/
D) 4
y = –x2 + mx – 9
A) –6
E) 5
B) –3
C) 4
D) 5
m2 – 36 = 0
+ 4a + b = –16
m2 = 36 ⇒ m = –6, m = 6
-b
2a > 0 olmalı o hâlde m = 6 dır.
2a = –12
a = –6
b=8
a+b=2
y = f(x)
ikinci dereceden fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası
T(1, 4) tür.
Aşağıda y = ax2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
y
f(–2) = 3
x
olduğuna göre, f(4) kaçtır?
A) 2
E) 6
m2 – 4(–1)(–9) = 0
6.
3.
E) 5
Buna göre, m kaçtır?
2a + b = –4
D) 4
ikinci dereceden fonksiyonunun grafiği x eksenine, ekseninin pozitif tarafında teğettir.
y = x2 + ax + b
4 + 2a + b = 0 ⇒
C) 3
x = 1 ve x = 7 fonksiyonun kökleridir.
1+ 7
r = 2 = 4 tür.
5.
A) 1
B) 2
{4, 5, 6}
a–7<0⇒a>7
2.
Konu Testi - 2
B) 3
C) 4
D) 6
-2+ 4
= 1 olduğundan f(–2) = f(4) = 3 tür.
2
E) 8
Buna göre, a, b ve c nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) +, +, +
D) +, –, –
B) –, –, –
C) –, +, –
E) –, –, +
a>0
x = 0 için y = c < 0
b
- 2a > 0 ⇒ b < 0
a, b, c ⇒ +, –, –
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE GRAFİKLERİ / İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
7.
10.
y = 6x2 – 24x + m – 3
ikinci dereceden fonksiyonlarının grafiklerinin tepe
noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Buna göre, A ve B noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
B) 2
C) 3
D) 4
f(x) = x2 – 6x + 12
g(x) = –x2 + 6x – 13
ikinci dereceden fonksiyonunun grafiğinin x eksenini kestiği noktalar A ve B dir.
A) 1
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
E) 5
• y = f(x) için
-6
r = - 2 = 3 , f(3) = 9 – 18 + 12 = 3
Tf(x) (3, 3)
y = 0 ⇒ 6x2 – 24x + m – 3 = 0
A(x1, 0) ve B(x2, 0)
- 24
olmak üzere x1 + x 2 = - 6 = 4 tür.
• y = g(x) için
6
r = - - 2 = 3 , f(3) = –9 + 18 – 13 = –4
Tg(x) (3, –4)
Tf (x) - Tg (x) =
=
8.
Konu Testi - 2
(3 - 3) 2 + (3 - (- 4)) 2
0 + 49 = 7
y = (m – 3)x2 + (m2 – 9)x + m + 2
ikinci dereceden fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası y ekseni üzerinde olduğuna göre, m kaçtır?
A) –3
B) –2
C) 0
D) 2
11.
E) 3
f(x) = x2 – (m + 1)x + 6
g(x) = x2 + 4x + mx + 3
ikinci dereceden fonksiyonlarının grafiklerinin simetri
eksenleri aynı olduğuna göre, m kaçtır?
T(0, k)
b
- 2 a = 0 ⇒ b = 0 ⇒ m2 – 9 = 0
A) -
m = –3, m = 3
m = 3 için denklem ikinci dereceden olmadığından m= –3 tür.
5
2
B) –2
C) -
3
2
D) –1
E) -
1
2
rf (x) = rg (x)
(m + 4)
m+ 1
& m+ 1 =- m- 4
2 =2
2m = - 5
5
m=- 2
9.
12.
f(x) = 7(x – a)2 + b – 3
ikinci dereceden fonksiyonunun grafiği x eksenini
kesmediğine göre, a'nın alabileceği en küçük tam sayı
değeri kaçtır?
ikinci dereceden fonksiyonunun tepe noktası T(3, 7)
olduğuna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
A) 17
B) 16
C) 15
D) 14
y = (a – 2)x2 – 4x + 2
E) 13
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
T(a, b – 3) = T(3, 7)
a = 3, b – 3 = 7 ⇒ b = 10 dur.
y = 0 ⇒ (a – 2)x2 – 4x + 2 = 0
a + b = 3 + 10 = 13
D = 16 – 4.2(a – 2) < 0
16 – 8a + 16 < 0
32 < 8a
4<a
a>4
a en küçük 5 olur.
1. B
2. B
3. B
4. D
5. E
6. D
7. D
8. A
9. E
10. C
11. A
12. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
8
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE GRAFİKLERİ / İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafik
Yorumları
Örnek 19:
y
Örnek 17:
D
f(x) = x2 – 4x – 5
A
fonksiyonunun grafiği yanda
verilmiştir.
&
Buna göre, Alan (ATB) kaç
br2
C
y
A
B
x
Yukarıda C köşesi y = 2x2 fonksiyonu üzerinde, A köşesi
orijinde olan ABCD karesi çizilmiştir.
dir?
T
y = 0 ⇒ x2 – 4x – 5 = 0
–5
+1
x
B
Buna göre, ABCD karesinin alanı kaç br2 dir?
Cevap: 27
x = –1, x = 5
-4
r = - 2 = 2 , f(2) = 4 – 8 – 5 = –9
olduğundan |AB| = 6, hT = 9
6. 9
Alan(ATB) = 2 = 27 br2
ABCD kare ise |AB| = |BC| ve C(m, m)
m = 2m2
1
m = 2 dir.
1 1 1
A(ABCD) = 2 . 2 = 4 br2
Cevap: 1
4
Örnek 20:
Örnek 18:
y = x2 – 3x – 14
y
y
B
fonksiyonunun yandaki grafiğinde
A(6, 0) dır.
A
O
A
C
x
OA ^ AB olduğuna göre,
ABC eşkenar üçgeninin alanı kaç br2 dir?
x
B
y = x2 – x + m
fonksiyonunun grafiği yukarıda verilmiştir.
A(6, 0) ⇒ f(6) = 62 – 3.6 – 14
3|AO| = 2|OB|
Cevap: 4 3
olduğuna göre, m kaçtır?
f(6) = 4
A(ABC) =
O
2
4 . 3
2
4 = 4 3 br
|AO| = 2k, |OB| = 3k ise
Cevap: –6
A(–2k, 0), B(3k, 0)
b
x1 + x 2 = - a
–2k + 3k = 1
k=1
x2 = 3 ⇒ 32 – 3 + m = 0
Öğretmen
Sorusu
m = –6
y = 32 – x2
D
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
D tepe noktası ve |DB| = |BE| ise
OCBA dikdörtgenin alanı kaç br2
dir?
B
E
A
C
O
x
D(0, 32) ve |DC| = |CO| ⇒ C(0, 16) dır.
B(a, 16) ⇒ 16 = 32 – a2 ⇒ a = –4 dür.
Alan(OCBA) = 4.16 = 64 br2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE GRAFİKLERİ / İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
Örnek 21:
Örnek 22:
y
Yanda
Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı
y = f(x)
–x–2
f(x) = –x2 – 8x + 5
fonksiyonunun grafiği ile graC
O
fiğin y eksenini kestiği B ve x
eksenini kestiği A noktasından
B
geçen y = g(x) doğrusu çizily = g(x)
miştir.
A
fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz.
x
a < 0 olduğundan en küçük değer –∞ dur.
-8
r=--2 =- 4
f(–4) = –16 + 32 + 5 = 21
Buna göre, (fog)(4) değeri kaçtır?
en büyük değer 21 dir.
x = 0 ⇒ y = –2
Cevap: 0
y = 0 ⇒ x2 – x – 2 = 0
–2
+1
x = –1, x = 2
f(x) = x2 + 6x + 5
fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
a > 0 olduğundan en büyük değer ∞ dur.
6
r=- 2 =- 3
f(–3) = 9 – 18 + 5 = –4
İkinci Dereceden Fonksiyonların Alabileceği
En Büyük ve En Küçük Değerin Bulunması
GK = [–4, ∞)
Örnek 24:
ordinatı) dir.
En küçük değer
değeri f(r) (Tepe noktasının
Değer kümesi
O
f(r)
r
f: R → R
x
y = f(x)
T
f(x) = 2x2 – 4x + m + 2
fonksiyonunun alabileceği en küçük değer 7 olduğuna
göre, m kaçtır?
-4
r=- 4 = 1
T(1, 7) ⇒ f(1) = 7
2–4+m+2=7
f(x) =
ax2
+ bx + c
fonksiyonunun en büyük
değeri f(r) (Tepe noktasının
ordinatı) dir.
f(r)
En büyük değer
hh a < 0 için,
y
T
Cevap: 7
⇒
m=7
Örnek 25:
y = f(x)
O r
Değer kümesi
Örten bir f fonksiyonu
f : R → [–3, ∞)
f(x) = 3x2 – 6ax + a – 1
olduğuna göre, a'nın alabileceği değerleri bulunuz.
a pozitif bir gerçek sayıdır.
x
Buna göre, kenarları a cm ve (8 – 2a) cm olan dikdörtgenin alanı en çok kaç cm2 dir?
Alan(a) = a(8 – 2a) = –2a2 + 8a
8
r=--4 = 2
Alan(2) = –8 + 16 = 8 cm2
G. k = [–3, ∞] = D. k
-b
f a 2a k = –3 ⇒ f(a) = –3
3a2 – 6a2 + a – 1 = –3
–3a2 + a + 2 = 0
-2
(3a + 2) . (–a + 1) = 0 ⇒ a = 3 , a = 1
10
Cevap: [–4, ∞)
en küçük değer –4 tür.
hh a > 0 için,
fonksiyonunun en küçük
Örnek 23:
Gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı
A(2, 0), B(0, –2)
y
x
2 + - 2 = 1 ⇒ y = g(x) = x – 2
(fog)(4) = f(g(4)) = f(2) = 0
f(x) = ax2 + bx + c
Cevap: 21
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 8
Öğretmen
Sorusu
f(x) =
x2
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE GRAFİKLERİ / İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
hh İkinci dereceden fonksiyonun tepe noktası T(r, k) verilmiş ise
Not
f: [m, k] → R
y
f(x) = y
r
ikinci dereceden fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için f(m), f(k) ve r Î [m, k] ise f(r) değerlerinden en büyük ve en küçük olan değerler seçilir.
k
Örnek 26:
Aşağıda verilen fonksiyonların görüntü kümelerini bulunuz.

f: [2, 4] → R, f(x) = x2 – 10x + 4
y = a(x – r)2 + k dır.
hh İkinci derceden fonksiyonun grafiği üzerinde üç nokta verilmiş ise verilen üç nokta
y = ax2 + bx + c
denkleminde yerine yazılarak a, b ve c katsayıları bulunur.
f(2) = 4 – 20 + 4 = –12
Örnek 27:
f(4) = 16 – 40 + 4 = –20
Yanda grafiği verilen y = f(x)
fonksiyonunun
denklemini
bulunuz.
r = 5∉ [2, 4] ⇒ G.k = [–20, 12]

x
f: [2, 6] → R, f(x) = x2 – 6x + 5
y
–1
f(2) = 4 – 12 + 5 = –3
y = f(x)
x
3
–3
f(6) = 36 – 36 + 5 = 5
r = 3 ∈[2, 4] ⇒ f(3) = 9 – 18 + 5 = –4
y = a(x + 1)(x – 3)
G.k = [–4, 5]
Cevap: f(x) = (x + 1)(x – 3)
f(0) = –3
Cevap: [–20, 12], [–4, 5]
Grafiği Verilen İkinci Dereceden Fonksiyonun Denkleminin Yazılması
hh İkinci dereceden fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar verilmiş ise
–3 = a.1.(–3)
a=1
f(x) = (x + 1)(x – 3)
Örnek 28:
Yanda grafiği verilen y = f(x)
fonksiyonu için f(4) kaçtır?
A(2, 2)
x
3
y
y
y = f(x)
x1
x2
x
f(x) = a(x – 0).(x – 3)
Cevap: –4
f(2) = 2
2 = a.2(–1) ⇒ a = –1
f(x) = –x(x – 3)
y = a.(x – x1).(x – x2) dir.
f(4) = –4.1 = –4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE GRAFİKLERİ / İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
Örnek 32:
Örnek 29:
y
A(5, 4) noktasından geçen ve tepe noktası T(6, 7) olan
ikinci dereceden fonksiyonun denklemini bulunuz.
f(x) = a.(x – 6)2 + 7
y = f(x)
Cevap: f(x) = –3(x – 6)2 + 7
f(5) = 4
4 = a(–1)2 + 7
–6
a = –3
⇒
x
–1
T(1, k)
f(x) = –3(x – 6)2 + 7
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun denklemini bulunuz.
Örnek 30:
x = 1 simetri ekseni olduğundan
Cevap: f(x) = 2(x + 1).(x – 3)
- 1 + x2
= 1 ⇒ x2 = 3 olur.
2
y
y = f(x)
f(x) = a(x + 1)(x – 3)
f(0) = –6
x
–6 = a.1(–3) ⇒ a = 2
f(x) = 2(x + 1).(x – 3)
–8
T(–1, –9)
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f(3) kaçtır?
f(x) = a(x + 1)2 – 9
Cevap: 7
f(0) = –8
–8 = a.12 – 9
⇒
a=1
Örnek 33:
Aşağıdaki şekilde 36 bin fitten inişe başlayan bir uçağın
yüksekliğinin zamana göre değişimi ikinci dereceden fonksiyon grafiği ile modellenmiştir.
f(x) = (x + 1)2 – 9
f(3) = 42 – 9 = 7
Yükseklik (bin fit)
Örnek 31:
A(0, 0), B(1, –2) ve C(2, –2)
Zaman (saat)
noktalarından geçen ikinci dereceden fonksiyonun
denklemini bulunuz.
f(x) = ax2 + bx + c
f(0) = 0 ⇒ c = 0
f(1) = –2 ⇒ a + b = –2
f(2) = –2 ⇒ 4a + 2b = –2
–2/
+
a + b = –2
4a + 2b = –2
2a = 2 ⇒ a = 1 ⇒ b = –3
f(x) = x2 – 3x
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: f(x) = x2 – 3x
Bu uçak 3 saat sonra yere iniş yaptığına göre, 7. saatte
yerden yüksekliği kaç bin fittir?
f(x) = a(x – 3)2 + 0
f(0) = 36
36 = 9a
a=4
f(x) = 4(x – 3)2
f(7) = 4.42 = 64 bin fit
Cevap: 64
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE GRAFİKLERİ / İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
1.
4.
f(x) = x2 – 12x + 1
Konu Testi - 3
ikinci dereceden fonksiyonunun alabileceği en küçük
değer kaçtır?
Tepe noktası T(2, 5) olan ve A(4, 13) noktasından geçen ikinci dereceden f(x) = y fonksiyonunun denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) –42
A) f(x) = 2(x – 2)2 + 5
B) f(x) = 5(x – 2)2 + 2
C) f(x) = (x – 5)2 + 2
D) f(x) = 2(x – 5)2 + 2
B) –40
D) –35
C) –36
E) –34
E) f(x) = –2(x + 2)2 + 5
- 12
r=- 2 = 6
f(x) = a.(x – 2)2 + 5
f(6) = 36 – 72 + 1 = –35
f(4) = 13
13 = a.22 + 5
a=2
f(x) = 2(x – 2)2 + 5
2.
5.
f(x) = –2x2 – 8x + 3
f(x) = x2 – 3x + 2
ikinci dereceden fonksiyonunun alabileceği en büyük
değer kaçtır?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
Aşağıda verilen noktalardan hangisi
ikinci dereceden fonksiyonun grafiğinin üzerinde değildir?
E) 13
A) A(0, 2)
B) B(1, 0)
D) D(2, 1)
-8
r=--4 =- 2
C) C(–1, 6)
E) E(3, 2)
f(–2) = –2.4 – 8.(–2) + 3
3.
= –8 + 16 + 3
f(2) = 4 – 6 + 2 = 0
= 11
olduğundan D(2, 1) grafiğinin üzerinde değildir.
Kökleri
x1 = 2 ve x2 = 6
6.
f: [0, 4] → R
f(x) = x2 + 2x + 3
olan ve A(3, 6) noktasında geçen ikinci dereceden
denklem aşağıdakilerden hangisidir?
fonksiyonunun alabileceği en büyük ve en küçük değerin toplamı kaçtır?
A) f(x) = –x 2 + 8x – 12
A) 38
B) f(x) = x 2 – 8x + 12
C) f(x) = x 2 – 4x + 3
D) f(x) = –2x 2 + 16x – 24
E) f(x) = 2x 2 – 16x + 24
B) 36
C) 34
D) 32
E) 30
2
r = - 2 = - 1 d 60, 4@
f(0) = 3
f(4) = 16 + 8 + 3 = 27
3 + 27 = 30
f(x) = a(x – 2).(x – 6)
f(3) = 6
6 = a.1.(–3)
a = –2
f(x) = –2(x – 2)(x – 6)
= –2x2 + 16x – 24
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE GRAFİKLERİ / İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
7.
Aşağıdaki şekilde y = –x2 + 4x + a ikinci dereceden fonksiyonunun grafiği üzerinde N noktası verilmiştir.
Konu Testi - 3
10.
y
y = f(x)
y
–2
N(2, 7)
2
x
O
x
–8
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f(3) kaçtır?
Buna göre, a kaçtır?
B) 2
C) 3
D) 4
A) 6
E) 5
C) 8
D) 9
7 = –4 + 8 + a
f(x) = a(x + 2)(x – 2)
f(0) = –8
–8 = a.2.(–2) ⇒ a = 2
a=3
f(x) = 2(x + 2)(x – 2) ⇒ f(3) = 2.5.1 = 10
x = 2 için y = 7
Aşağıdaki şekilde f(x) = x2 – 6x + a ikinci dereceden fonksiyonunun grafiği üzerinde x eksenine paralel olan [AB]
doğru parçası verilmiştir.
11.
y
4
y
f(x) = y
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
B
Buna göre, |AB| kaç birimdir?
B) 5
C) 6
D) 7
B) f(x) = 2(x – 2)2
C) f(x) = (x + 2)2
D) f(x) = (x + 2)2 + 2
E) f(x) = 2(x – 1)2 + 2
E) 8
f(x) = a(x + 2)2 + 0
f(0) = 4
4 = a.4 ⇒ a = 1
A(0, a) ve B(b, a) olsun.
f(b) = a ⇒ b2 – 6b + a = a
f(x) = (x + 2)2
b(b – 6) = 0
b = 6 dır.
y
12.
|AB| = 6 dır.
9.
A) f(x) = (x – 2)2
T(1, 4)
f: [–1, 3] → R
x
f(x) = x2 – 4x + 3
fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B) [0, 8]
E) [1, 8]
A) –12
-4
r = - 2 = 2 d 6- 1, 3@
f(2) = 4 – 8 + 3 = –1
GK = [–1, 8]
f(3) = 9 – 12 + 3 = 0
7. C
8. C
9. D
10. E
11. C
12. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6. E
14
C) –8
D) –6
E) –4
f(x) = a(x – 1)2 + 4
f(0) = 0
0 = a.1 + 4 ⇒ a = –4
f(x) = –4(x – 1)2 + 4 ⇒ f(3) = –12
5. D
f(–1) = 1 + 4 + 3 = 8
B) –10
4. A
D) [–1, 8]
Yukarıda grafiği verilen ikinci dereceden y = f(x) fonksiyonu için f(3) kaçtır?
C) [–1, 6]
3. D
A) [–1, 0]
2. C
A) 4
x
–2
x
A
E) 10
1. D
8.
B) 7
Cevaplar
A) 1
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE GRAFİKLERİ / İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
1.
4.
x ¨ ye alınan bir ürün y ¨ ye satılıyor.
y=
A(2, 0), B(1, 4) ve C(0, 12)
noktalarından geçen ikinci dereceden fonksiyonun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
x ile y arasında,
x2
Konu Testi - 4
– 7x + 20
bağıntısı olduğuna göre, bu satıştan elde edilen kâr en
az kaç ¨ dir?
A) f(x) = 2x 2 + 10x + 12
A) 1
C) f(x) = x 2 – 6x + 5
B) 3
C) 4
D) 6
B) f(x) = x 2 – 5x + 6
E) 8
D) f(x) = 2x 2 + 10x
E) f(x) = 2x 2 – 10x + 12
Kâr = y.– x = x2 – 7x + 20 – x = x2 – 8x + 20
-8
r=- 2 = 4
f(4) = 16 – 32 + 20 = 4
f(x) = ax2 + bx + c
f(0) = 12 ⇒ c = 12
f(2) = 0 ⇒ 4a + 2b + 12 = 0
2.
f(1) = 4 ⇒ a + b + 12 = 4
Aşağıdaki şekilde y = f(x) ikinci dereceden fonksiyonunun
grafiği ile B ve C köşeleri fonksiyon üzerinde olan OABC
karesi verilmiştir.
4a + 2b = –12
+
a + b = –8
2a = 4 ⇒ a = 2 ⇒ b = –10
y
–2/
f(x) = 2x2 – 10x + 12
B
C
5.
O
1
A
x
Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, karenin alanı kaç br2 dir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 9
–3
E) 16
A) –12
Aşağıdaki şekilde verilen ikinci dereceden fonksiyonun
grafiğinde |AB| = 4|OA| dır.
f(x) = a(x – 3)2
D) –4
–3 = a.(–3) ⇒ a = 1
x1.x2 = –8
B
x
6.
a ve b reel sayılardır.
A = a2 – 6a + 8
C) 3
D) 4
E) 6
B = –b2 + 4b + 4
olduğuna göre, A – B farkının alabileceği en küçük değer kaçtır?
f(0) = 9
A) 10
9 = 9a ⇒ a = 1
-6
A en küçük; r = - 2 = 3 ⇒ 32 – 18 + 8 = –1
4
B en büyük; r = - - 2 = 2 ⇒ –4 + 8 + 4 = 8
B(k, 4k) ⇒ 4k = (k – 3)2
k2 – 10k + 9 = 0 ⇒ k = 1
A(OABC) = 1.4 = 4 br2
E) –2
f(–2) = –3
Buna göre, OABC dikdörtgeninin alanı kaç br2 dir?
B) 2
C) –6
x2 + 2x – 3 = 5 ⇒ x2 + 2x – 8 = 0
O A 3
A) 1
B) –8
f(x) = a(x + 3)(x – 1)
y
C
x
Buna göre, f(x) = 5 denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
A(OABC) = 22 = 4
9
1
A(–2,–3)
x = 1 simetri ekseni olduğundan A noktasının koordinatı (2, 0) dır.
3.
y
B) –9
C) –8
D) –7
E) –6
A – B en küçük –1 –8 = –9 dur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE GRAFİKLERİ / İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
7.
Aşağıda y = f(x) ikinci dereceden fonksiyonunun grafiği ve
alanı 16 br2 olan OABC karesi verilmiştir.
9.
Konu Testi - 4
Aşağıdaki şekilde y = ax2 – 3x + b ikinci dereceden fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
y
B
C
O
A
O
x
OAB ikizkenar bir üçgen olduğuna göre, a . b çarpımının değeri kaçtır?
Buna göre, f(3) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
A
y = f(x)
D) 4
x
B
E) 5
A) 2
A(OABC) = 16 ⇒ |OA| = |AB| = 4 tür.
B) 1
C) –1
D) –2
E) –4
x = 0 için f(0) = b ⇒ A(0, b)
⇒ B(–b, 0)
ab2 + 3b + b = 0
ab2 = –4b ⇒ a.b = –4
T(2, 4)
f(x) = a(x – 2)2 + 4
f(0) = 0
0 = 4a + 4 ⇒ a = –1
10. Aşağıdaki şekilde y = f(x) ikinci dereceden fonksiyonunun
f(x) = –(x – 2)2 + 4 ⇒ f(3) = –1 + 4 = 3
grafiği verilmiştir.
8.
Aşağıda bir ramazan topu tarafından fırlatılan güllenin yörüngesi modellenmiştir.
y
T(–1, 8)
y
A
x
A
B
x
Tepe noktası T(–1, 8) ve |AB| = 8 br olduğuna göre, f(1)
kaçtır?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
8
r = –1 ise A noktasının apsisi - 1 - 2 = - 5 tir.
f(x) = a(x + 1)2 + 8 ve f(–5) = 0
1
0 = 16a + 8 ⇒ a = - 2
1
f(x) = - 2 (x + 1)2 + 8 ⇒ f(1) = –2 + 8 = 6
Zemin
Yukarıdaki modellemede
x ekseninin zemine uzaklığı 6 metredir.
A noktasının koordinatları (–6, 0) dır.
Gülle zeminden en fazla 15 metre yükselmiştir.
Buna göre, güllenin yörünge denkleminin katsayılarının toplamı kaçtır?
C) –9
D) –8
ikinci dereceden fonksiyonu üzerindeki noktalardan biridir.
E) –7
Buna göre, a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
f(x) = a(x – 0)(x + 6)
0- 6
r = 2 = –3 , k = 15 – 6 = 9
f(–3) = 9
A) 27
C) 29
D) 30
E) 31
f(a) = b ⇒ b = –a2 – 9a + 12
9 = a(–3).3
a + b = –a2 – 9a + 12 + a = –a2 – 8a + 12
-8
r = - - 2 = –4
a = –1
f(x) = –x2 – 6x ⇒ –1 – 6 = –7
f(–4) = –16 + 32 + 12 = 28
3. D
4. E
5. B
6. B
7. C
8. E
9. E
10. B
11. B
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2. C
16
B) 28
1. C
B) –10
f(x) = –x2 – 9x + 12
Cevaplar
A) –11
11. A(a, b) noktası
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
36
POLİNOMLAR
Çarpanlara Ayırma
hhÇARPANLARA AYIRMA
Örnek 3:
x2 – 2xy = 16
1. Ortak Paranteze Alma
Herhangi bir ifadeyi oluşturan terimlerin her birinde ortak bir
çarpan varsa ifadeyi o ortak çarpanın parantezine almaya ortak paranteze alma denir.
x – 2y = 8
olduğuna göre, y kaçtır?
x(x – 2y) = 16 ⇒ x.8 = 16 ⇒ x = 2
2 – 2y = 8 ⇒ 2y = –6 ⇒ y = –3
Örnek 1:
Not
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.

3x – 6 = 3(x – 2)

x2 – 2x = x(x – 2)

x . y + y . b = y(x + b)

x2y – y2x = x.y(x – y)

3 2 2
x5 . y3 – y2 . x3 = x .y (x . y – 1)

x x
6x – 3x = 3 (2 – 1)
Cevap: y = –3
n bir tam sayı olmak üzere
(x – y)2n = (y – x)2n
(x – y)2n + 1 = –(y – x)2n + 1
dir.
Örnek 4:
Aşağıda verilen ifadeleri çarpanlarına ayırınız.

(x – 2)2 . (x + 3) + (2 – x)2 . (5 – x)
(x – 2)2.(x + 3) + (x – 2)2.(5 – x)
(x – 2)2.[x + 3 + 5 – x]
(x – 2)2.8
Örnek 2:

ax 2 - a 2 x
2x - 2a
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimini bulunuz.
(x – y) . (x + 1) + (y – x)
(x –y).(x + 1) – (x – y)
(x – y)[x + 1 – 1]
(x – y).x
a. x ( x - a) a. x
= 2
2 ( x - a)
Cevap: a.x
2
Cevap: (x – 2)2.8, (x – y).x
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
POLİNOMLAR / Çarpanlara Ayırma
Örnek 8:
Örnek 5:
15x + 10x + 9x + 6x
a5 - a4 a2 + 1
$
a4 + a2 a - a2
ifadesinin sadeleşmiş biçimini bulunuz.
- ( 1 - a)
a 4 ( a - 1) a 2 + 1
a- 1
= a. - = a.
=- a
.
1 a
1- a
a 2 ( a 2 + 1) a ( 1 - a )
ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Cevap: –a
5x(3x + 2x) + 3x(3x + 2x)
(3x + 2x)(5x + 3x)
Cevap: (3x + 2x)(5x + 3x)
Örnek 9:
2. Gruplarına Ayırma Yöntemi
a+b=3
Verilen ifadelerin bütün terimlerinde ortak bir çarpan bulunmuyor ise terimler kendi içerisinde gruplandırılarak ortak paranteze alınır. Bu yönteme gruplarına ayırma yöntemi denir.
a–c=4
olduğuna göre
ab – bc + a2 – ac
Örnek 6:
ifadesinin değeri kaçtır?
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
A
x3
+
x2
b(a – c) + a(a – c)
(a – c)(a + b) = 4.3 = 12
+x+1
Cevap: 12
x2(x + 1) + (x + 1).1 = (x + 1).(x2 + 1)
A a .b – b .c + c – a
Örnek 10:
b(a – c) + (c – a) = b(a – c) – (a – c)
= (a – c).(b – 1)
a + b = 12
Cevap: (x + 1).(x2 + 1), (a – c).(b – 1)
Örnek 7:
ifadesinin değeri kaçtır?
aşağıdakilerden hangisi yukarıda verilen ifadenin çarpanlarından biri değildir?
D) –a – c
B) b – a
C) a + c
E) b + c
a(a + c) – b(a + c) = (a + c)(a – b)
a – b, –a + b, a + c, –a – c, çarpanlardandır. b + c çarpan değildir.
2
olduğuna göre
a2 + ac – 2a + ab – 2c + bc
a2 + ac – ab – bc
A) a – b
c–b=4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: E
a2 + ac + bc + ab – 2a – 2c
a(a + c) + b(a + c) –2(a + c)
(a + c)(a + b – 2)
a + b = 12
+ c–b=4
a + c = 16 ⇒ (a + c)(a + b – 2) = 16.(12 – 2) = 160
Cevap: 160
POLİNOMLAR / Çarpanlara Ayırma
3. Ö
zdeşliklerden Faydalanarak Çarpanlara
Ayırma
a) İki Kare Farkı
Örnek 14:
x2 – y2 = 24
x+y=6
olduğuna göre, x kaçtır?
a2 – b2 = (a – b) . (a + b)
ifadesine iki kare farkı açılımı denir.
(x – y)(x + y) = 24 ⇒ 6.(x – y) = 24 ⇒ x – y = 4
Örnek 11:
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.

x2 – 4 = (x – 2)(x + 2)

16 – x2 = (4 – x)(4 + x)

4x2 – 9 = (2x – 3)(2x + 3)

x2 – 5 = (x - 5 ) (x + 5 )

x – 4 = ( x - 2) ( x + 2)
Cevap: 5
x+y=6
+ x–y=4
2x = 10 ⇒ x = 5
Örnek 15:
x–y=y–z=4
olduğuna göre, x2 + z2 – 2y2 ifadesinin değeri kaçtır?
Örnek 12:
x2 – y 2 + z 2 – y 2
(x – y)(x + y) + (z – y).(z + y) = 4(x + y) – 4(z + y)
= 4(x – z)
x–y=4
= 4.8 = 32
– y–z=4
x–z=8
x2 - 9 y2 - z2 x2 - y2
+
x+ 3
y- z
x- y
ifadesinin en sade hâlini bulunuz.
(x - 3)(x + 3) (y - z) (y + z) (x - y) (x + y)
+
x+ 3
y- z
x- y
Cevap: 32
Cevap: z – 3
x – 3 + y + z – (x + y)
x–3+y+z–x–y=z–3
Örnek 16:
Örnek 13:
312 2 - 112 2 - 200 $ 304
120
(a + 1)2 – (a – 1)2
işleminin sonucu kaçtır?
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) a
B) 2a
C) 3a
Öğretmen
Sorusu
[(a + 1) + (a – 1)].[(a + 1) – (a – 1)]
[2a].[2]
4a
D) 4a
E) 5a
Cevap: 4a
(312 - 112) (312 + 112) - 200.304 200.424 - 200.304
=
120
120
200. (424 - 304) 200.120
= 120 = 200
&
120
Cevap: 200
370.374 + 4
işleminin sonucu kaçtır?
^372 - 2h^372 + 2h + 4
372 2 - 2 2 + 4
372 2 = 372
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
POLİNOMLAR / Çarpanlara Ayırma
Örnek 19:
Örnek 17:
x = 112
( x - 1) ( x + 1) .(x + 1) (x 2 + 1)
y = 96
çarpımının sonucunu bulunuz.
olduğuna göre, (x + y)2 – 4xy ifadesinin değeri kaçtır?
2
( x - 1 2) (x + 1) (x 2 + 1) = (x - 1) (x + 1) (x 2 + 1)
Cevap: x4 –
& (x 2 - 1) (x 2 + 1) = (x 2) 2 - 1 = x 4 - 1
x2 + y2 + 2xy – 4xy = x2 + y2 – 2xy
= (x – y)2
= (112 – 96)2 = 162 = 256
Cevap: 256
b) Tam Kare Açılımları
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
Örnek 20:
ifadelerine tam kare açılımları denir.
x2 – 5x + 2 = 0
Örnek 18:
olduğuna göre, x 2 +
4
ifadesinin değeri kaçtır?
x2
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a + b = 5 ve a . b = 2 ise a2 + b2 kaçtır?
(a + b)2 = 52
a2 + b2 + 2ab = 25
a2 + b2 + 4 = 25 ⇒ a2 + b2 = 21

a – b = 7 ve a . b = 3 ise a2 + b2 kaçtır?
x 2 5x 2
- x + x = 0 & x+
x2
2 2
& ax + x k = 52 & x2 +
x2 +
2
x=5
Cevap: 21
4
+ 4 = 25
x2
4
= 21
x2
(a – b)2 = 72
a2 + b2 – 2ab = 49
a2 + b2 – 6 = 49 ⇒ a2 + b2 = 55
x-
1
1
= 4 olduğuna göre x 2 + 2 kaçtır?
x
x
Örnek 21:
2
a x - 1x k = 4 2
1
1
- 2.x. x = 16
x2
1
x 2 + 2 = 16 + 2
x
1
x 2 + 2 = 18
x
4x2 + 9y2 = 73
x2 +

x.y = 2
olduğuna göre, 2x – 3y ifadesinin alabileceği pozitif değer kaçtır?
a + b + c = 4 ve ab + ac + bc = 5 ise a2 + b2 + c2 kaçtır?
(a + b + c)2 = 42
a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 16
a2 + b2 + c2 + 10 = 16 ⇒ a2 + b2 + c2 = 6
Cevap: 21, 55, 18, 6
2x – 3y = a olsun
(2x – 3y)2 = a2 ⇒ 4x2 + 9y2 – 12xy = a2
⇒ 73 – 24 = a2
⇒ a2 = 49 ⇒ a = 7
Cevap: 7
100.101.102.103 + 1
ifadesinin sonucu kaçtır?
100 = a olsun.
a ^a + 1h^a + 2h^a + 3h + 1
& ^a 2 + 3ah^a 2 + 3a + 2h + 1 &
&
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
^a 2 + 3ah + 2 ^a 2 + 3ah + 1
2
^a 2 + 3a + 1h = a 2 + 3a + 1 = 100 2 + 300 + 1 = 10301
2
Öğretmen
Sorusu

POLİNOMLAR / Çarpanlara Ayırma
Konu Testi - 1
ax - 2a ab + 2b
+
x- 2
b
1.
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
A) a
A) a
B) a + 2
D) 2a + 1
C) 2a
E) 2a + 2
işleminin sonucu kaçtır?
C) 121
D) 140
E) 150
A) 1
100. (271 - 131) 100.140
= 140 = 100
140
3.
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
B) x – 2y
D) x + 1
7.
E) 5
C) 4x(z – 2)
E) 4x(z – y)
[(x – y + z) + (x + y – z)].[(x – y + z) – (x + y – z)]
(2x).(2z – 2y)
2.2x(z – y)
4x(z – y)
8.
( x - 2) . ( x + 2) = 5
olduğuna göre, x kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
C) 632
B) 4y(z – x)
D) 4x(x + y)
E) 2x – y
a2 – 2a – ab + 2b
B) 646
D) 4
(x – y + z)2 – (x + y – z)2
A) 4z(x – y)
C) x – 2
a = 325 ve b = 323 için
A) 712
C) 3
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x(x + 1) + 2y(x + 1) = (x + 1)(x + 2y)
4.
B) 2
(2016 - 2014) (2016 + 2014) 2.4030
= 2015 = 2.2 = 4
2015
x2 + x + 2xy + 2y
A) x – 1
E) a – b + c
(2016) 2 - (2014) 2
2015
6.
işleminin sonucu kaçtır?
B) 112
C) a – c
a ( a + c ) - b ( a + c ) + a + c ( a + c ) ( a - b + 1)
=
a- b+ 1
a- b+ 1
= a+ c
271.100 - 131.100
140
A) 100
B) c
D) a + c
a ( x - 2) b ( a + 2)
+
= a + a + 2 = 2a + 2
x- 2
b
2.
a 2 - ab + ac - bc + a + c
a- b+ 1
5.
D) 615
E) 608
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
2
x - 22 = 5 & x - 4 = 5 & x = 9
a(a – 2) – b(a – 2)
(a – 2)(a – b)
(325 – 2)(325 – 323) = 323.2 = 646
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
POLİNOMLAR / Çarpanlara Ayırma
13.
x2 – y2 + 4x – 4y
y2 – xy = 71
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
B) x + y
olduğuna göre, x – y ifadesinin negatif değeri kaçtır?
C) x – 2y
D) x + y + 4
A) –16
E) x – y + 4
14.
B) 24
x .y = 6
olduğuna göre, x2 + y2 ifadesinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
C) 23
D) 22
A) 30
E) 21
2
( x + 2) + ( x - 2)
15.
2
C) 37
x-
olduğuna göre, x +
A) x + 1
A) 98
B) x + 7
C) 2x + 4
E) 4x + 8
c x-
x+ 4+ 4 x + x+ 4- 4 x
2x + 8
16.
2
1
m =7
a
E) 40
4
ifadesinin değeri kaçtır?
x
B) 101
C) 102
D) 103
E) 104
4
2 2
2
m = 10 & x + x - 4 = 100
x
4
& x + x = 104
x2 + y2 + z2 = 101
–xy – yz + xz = 10
olduğuna göre, a 2 +
1
ifadesinin değeri kaçtır?
a2
A) 11
C) 9
D) 8
olduğuna göre, x – y + z ifadesinin pozitif değeri kaçtır?
A) 8
E) 7
1
1
- 2. a a = 7
a2
1
a2 + 2 - 2 = 7
a
1
a2 + 2 = 9
a
a2 +
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
(x – y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(–xy – yz + xz)
(x – y + z)2 = 101 + 2.10
(x – y + z)2 = 121
x – y + z = 11
3. D
4. B
5. D
6. D
7. E
8. B
9. D
10. B
11. D
12. C
13. D
14. C
15. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2. A
B) 10
D) 38
2
= 10
x
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
D) 2x + 8
16. D
6
B) 32
(x – y)2 = 52 ⇒ x2 + y2 – 2xy = 25
⇒ x2 + y2 – 12 = 25
⇒ x2 + y2 = 37
(x – y)(x + y) = 47
x–y=1
+ x + y = 47
2x = 48 ⇒ x = 24
ca -
E) –10
x–y=5
x2 – y2 = 47
12.
D) –12
⇒ x – y = –12
10. x ve y doğal sayılardır.
11.
C) –14
x2 – xy = 73
2
+ y – xy = 71
2
x –2xy + y2 = 144 ⇒ (x – y)2 = 144
(x – y)(x + y) + 4(x – y)
(x – y)(x + y + 4)
A) 25
B) –15
1. E
A) x – 1
x2 – xy = 73
Cevaplar
9.
Konu Testi - 1
POLİNOMLAR / Çarpanlara Ayırma
1.
Konu Testi - 2
4.
x+y=4
y–z=6
olduğuna göre, x2 + xy + xz + zy ifadesinin değeri kaçtır?
A) –12
B) –10
C) –9
D) –8
x(2y2 – 1) + y(2x2 – 1)
A) 5
C) 9
B) 7
5.
D) 10
E) 11
D) 4
E) 5
(2a – 3)(2a + 3) = 7
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 1
C) x 2 – 1
B) y – 1
D) 2x – y
1
ifadesinin değeri kaçtır?
x2
x 2 3x 1
1
x - x + x = 0 & x+ x = 3
1 2
& ax + x k = 32
1
& x2 + 2 + 2 = 9
x
1
& x2 + 2 = 7
x
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – y
olduğuna göre, x 2 +
x2 – 2x + 1 = x ⇒ x2 – 3x + 1 = 0
x+y=4
– y–z=6
+
x + z = –2
x(x + y) + z(x + y) = (x + y).(x + z)
= 4.(–2)
= –8
2.
E) –6
(x – 1)2 = x
B) 2
C) 3
(2a)2 - 32 =7
22a = 16 ⇒ 22a = 24
⇒ 2a = 4 ⇒ a = 2
E) 1 – 2xy
2xy2 – x + 2yx2 – y
2xy2 + 2yx2 – x – y
2xy(x + y) – (x + y) = (x + y)(2xy – 1)
Çarpanlarından biri 1 – 2xy dir.
6.
Doğal sayılar kümesinde
y
= x + x + x + ... + x
y tane
x
3.
Aşağıdaki şekilde ABCD ve EFKL birer karedir ve karelerin kenar uzunlukları tam sayıdır.
A
bağıntısı tanımlanıyor.
x
D
+
x
1
K
B
x
y
y
+
y
9
=
16
olduğuna göre
L
F
+
x
E
y
C
x
1
+
y
cm2
Taralı bölgenin alanı 48
olduğuna göre, ABCD karesinin çevresinin alabileceği kaç farklı değer vardır?
ifadesinin sonucu kaçtır?
A) 1
A) 24
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ABCD ve EFKL karelerinin kenarları a ve b olsun
a2 – b2 = 48
a - b ve a + b değerlerinin toplamı çift olmak zorunda olduğundan (a - b,
a + b) sıralı ikilileri (2, 24), (4, 12) ve (6,8) olur.
Çevrenin 3 değeri vardır.
B) 18
C) 16
D) 14
E) 12
y
x
= x + x + x + ... + x = xy olduğundan
y tane
x2 + xy + yx + y2 = 16.9
x2 + 2xy + y2 = 144
x + y = 12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
POLİNOMLAR / Çarpanlara Ayırma
7.
Konu Testi - 2
10.
x+y=8
x2
+
y2
a .b = 2
= 34
olduğuna göre, a + b toplamının pozitif değeri kaçtır?
olduğuna göre, x . y çarpımı kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
A) 2 6
E) 15
B)
C) 2 5
21
D) 4
E)
15
a + b = x olsun
(a – b)2 = 4 ⇒ a2 + b2 – 2ab = 16
a2 + b2 = 20
(a + b)2 = x2 ⇒ a2 + b2 + 2ab = x2
20 + 4 = x2
x= 2 6
(x + y)2 = 82 ⇒ x2 + y2 + 2xy = 64
34 + 2xy = 64
x.y = 15
8.
a–b=4
( x - 1) ( x + 1) = 20
olduğuna göre
1
x2
1
1+
x
1-
11.
ifadesinin değeri kaçtır?
21
C)
20
33
E)
13
D) 2
x+
olduğuna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
B) 17
C) 28
D) 32
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
12
x - 16 = 3 x
(7 – 6)(7 + 6)(72 + 62) = a.74 – b.34
(72 – 62)(72 + 62) = a.74 – b.34
74 – 64 = a.74 – b.34
1.74 – 24.34 = a.74 – b.34
a = 1 ve b = 16 ⇒ a + b = 17
( x - 4) ( x + 4) =
3( x - 4)
x
x ( x + 4) = 3
x+ 4 x = 3
7. E
8. B
9. B
10. A
11. E
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6. E
8
x
olduğuna göre, x + 4 x ifadesinin değeri kaçtır?
E) 52
5. B
A) 10
E) 119
12
= 19
x
4. B
–
b . 34
3. C
=
D) 120
2. E
+
a . 74
C) 121
B) 123
12. x ≠ 16 olmak üzere
a ve b tam sayılardır.
62)
A) 125
x
2
1
1
c x 2 + 2 m = 11 2 & x 4 + 4 + 2 = 121
x
x
1
& x 4 + 4 = 119
x
2
13 . (72
1
ifadesinin değeri kaçtır?
x4
2
a x - 1x k = 3 2 & x 2 + 12 - 2 = 9 & x 2 + 12 = 11
x - 1 2 = 20 & x - 1 = 20 & x = 21
2
x -1
x 2 = (x - 1 ) (x + 1 ) . x = x - 1
x
x+ 1
x+ 1
x2
x
21 - 1 20
& 21 = 21
9.
olduğuna göre, x 4 +
1. D
20
B)
21
1
=3
x
Cevaplar
19
A)
20
x-
POLİNOMLAR / Çarpanlara Ayırma
3. Ö
zdeşliklerden Faydalanarak
Çarpanlara Ayırma
Örnek 25:
t3 – 2 = 0
1
olduğuna göre, 2
ifadesinin t türünden eşitini
t +t+1
bulunuz.
c) Küp Toplamı ve Farkı
a3 – b3 = (a – b) . (a2 + b2 + ab)
a3 + b3 = (a + b) . (a2 + b2 – ab)
ifadelerine sırasıyla iki küp farkı ve iki küp toplamı denir.
t- 1
1
t- 1
t- 1
=
=
= t - 1. t2 + t + 1 t3 - 1 2 - 1 t 1
Örnek 22:
Not
Aşağıdaki ifadelerin sadeleşmiş hâlini bulunuz.
a3 + b3 = (a + b) . [(a + b)2 – 3ab]

x3 - 1
x + x+ 1
Cevap: t – 1
a3 – b3 = (a – b) . [(a – b)2 + 3ab]
2
(x - 1)(x 2 + x + 1)
= x- 1
x2 + x + 1

x3 + 8
x+ 2
Örnek 26:
2
(x + 2) (x - 2x + 4)
= x 2 - 2x + 4
x+ 2
Aşağıda verilen ifadelere göre kutularda yazan ifadelerin sonuçlarını bulunuz.
Cevap: x – 1, x2 – 2x + 4
Örnek 23:

(x +
a – b = 5 ve a3 – b3 = 140 →
xx3 -
– x + 1) = 9
olduğuna göre, x kaçtır?
Öğretmen
Sorusu
x3 + 1 = 9 ⇒ x 3 = 8 ⇒ x = 2
1
=4
x
olduğuna göre
1
x xx x
x-
ifadesinin sonucu kaçtır?
= 4.(42 – 3.2)
= 4.10
= 40
a.b
a3 – b3 = (a – b)((a – b)2 + 3ab)
140 = 5.(25 + 3ab)
28 = 25 + 3ab
a.b = 1
Cevap: 1
Örnek 24:
a3 + b3
a3 + b3 = (a + b).((a + b)2 – 3ab)

ifadesinin en sade hâlini bulunuz.
1) . (x2
a + b = 4 ve a . b = 2 →
x 3 - 27 x 2 + 3x + 9
|
x+ 3
x2 - 9
x+ 3
(x - 3)(x 2 + 3x + 9)
=1
. 2
(x - 3)(x + 3)
x + 3x + 9

1
=4→
x
x3 -
1
x3
1
1
1 2
= a x - x k . :a x - x k + 3D
x3
= 4. ( 4 2 + 3)
= 76
Cevap: x = 2
Cevap: 40, 1, 76
x x-
3
1 3
= ^ xh - d
n
x x
x
1
1 2
=d xn.fd x n + 3p
x
x
= 4. ^4 2 + 3h
= 76
1
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
POLİNOMLAR / Çarpanlara Ayırma
d) (x + y)n Açılımı (Hayyam Üçgeni)
1
Örnek 29:
x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0
y)1
1
1 … (x +
1 … (x + y)2
1 3 3 1 … (x + y)3
1 4 6 4 1 … (x + y)4
.
.
.
.
.
.
1
olduğuna göre, x kaçtır?
2
(x + 1)3 = 0 ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = –1
İki terimlilerin tam kuvvetlerinin açılımında oluşan kat sayılar
hayyam üçgeni ile bulunur.
Cevap: –1
Örnek 30:
a3 + b3 = 24
3a2b + 3ab2 = 40
Örnek 27:
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
Aşağıda verilen ifadelerin açılımlarını yapınız.

2
2
2
2
(x + y)2 = 1.x + 2.xy + 1.y = x + 2xy + y

(x – y)2 = 1.x2 – 2.xy + 1.y2 = x2 – 2xy + y2

(x + y)3 = 1.x3 + 3.x2y + 3.xy2 + 1.y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x – y)3 = 1.x3 – 3.x2y + 3.xy2 – 1.y3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
a3 + b3 = 24
2b + 3ab2 = 40
3a
+
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = 64 ⇒ (a + b)3 = 64 ⇒ a + b = 4
Cevap: 4
Örnek 31:
a3 – b3 = 12
a2b – ab2 = –5
olduğuna göre, a – b toplamı kaçtır?
Örnek 28:
x=2–
3 ve y = 2 +
a3 – b3 = 12
3 için
2
2
+–3 a b – ab = –5
3
2
a – 3a b + 3ab2 – b3 = 27 ⇒ (a – b)3 = 27 ⇒ a – b = 3
x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Cevap: 3
ifadesinin değeri kaçtır?
3 + 2+
3 ) 4 = 4 4 = 256
Not
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
• x2 + xy + y2 =
25
x- y
• –3xy (x – y) = 100
olduğuna göre x2 + y2 – 2xy değeri kaçtır?
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 256
e)ax2 + bx + c Biçimindeki İfadelerin
Çarpanlara Ayrılması
x2 + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırırken
x2 + bx + c = (x + m) . (x + n) kuralı kullanılır.
↓
↓
m + n m .n
^x - yh . _ x 2 + xy + y 2i = 25 & x 3 - y 3 = 25
- 3xy ^x - yh = 100 & - 3x 2 y + 3xy 2 = 100
x 3 - y 3 - 3x 2 y + 3xy 2 = 25 + 100
^x - yh3 = 125
x- y = 5
^x - yh2 = 25
Öğretmen
Sorusu
(x + y) 4 = (2 -
POLİNOMLAR / Çarpanlara Ayırma
Örnek 32:
Örnek 35:
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlara ayırınız.

x2 – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1)

x2 – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1)

x2 + 3x – 10 = (x + 5)(x – 2)

x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)
(x 2 + 2x - 8) .(x 2 - x - 12)
3x 1
| 2 +
x 2 - 16
3x + 7x + 2
ifadesinin en sade hâlini bulunuz.
(x + 4). (x - 2)(x - 4) (x + 3) (3x + 1) (x + 2)
.
(x - 4)(x + 4)
3x + 1
( x - 2) ( x + 3) ( x + 2)
Cevap: (x–2)(x+3)(x+2)
Örnek 36:
x2 + x + 1
x3 1
| 2 2
2x + 5x 2x + 3x - 5
Not
ifadesinin en sade hâlini bulunuz.
ax2 + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırırken n.e + m.d = b ise
ax2 + bx + c = (nx + d) . (mx + e) dir.
nx
d
mx
e
Cevap: 1
x
x 2 + x + 1 (2x + 5)(x - 1)
1
= x
.
x(2x + 5) (x - 1)(x 2 + x + 1)
Örnek 37:
x 2 + ax + b
x 2 - 3x - 4
Örnek 33:
x 3
ifadesinin sadeleşmiş biçimi + olduğuna göre, a . b
x- 4
çarpımı kaçtır?
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlara ayırınız.

2x2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1)

6x2 – 5x + 1 = (3x – 1)(2x – 1)

4x2 – 7x – 2 = (4x + 1)(x – 2)
( x + 3) ( x + 1)
2
(x - 4) (x + 1) ⇒ x + ax + b = (x + 3)(x + 1)
⇒ x2 + ax + b = x2 + 4x + 3
a = 4 ve b = 3
a.b = 12
Cevap: 12
Örnek 38:
Aşağıdakilerden hangisi
Örnek 34:
(x2 – 3x)2 – 22(x2 – 3x) + 72
ifadesinin çarpanlarından biri değildir?
x 2 - 4x + 3 2x 2 - 5x - 3
+
x- 1
2x + 1
A) x – 6
ifadesinin eşitini bulunuz.
( x - 3 ) ( x - 1 ) ( 2 x + 1) ( x - 3 )
+
x- 1
2x + 1
x - 3 + x - 3 = 2x - 6
D) x + 1
Cevap: 2x – 6
B) x – 3
C) x – 4
E) x + 3
x2 – 3x = a olsun
a2 – 22a + 72 = (a – 18)(a – 4)
= (x2 – 3x – 18)(x2 – 3x – 4)
= (x – 6)(x + 3)(x – 4)(x + 1)
Cevap: B
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
POLİNOMLAR / Çarpanlara Ayırma
Örnek 39:
Örnek 41:
x2 + y2 – 4x – 6y + 13 = 0
a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere
a2 – ab – 6b2 = 0
olduğuna göre, x . y çarpımı kaçtır?
olduğuna göre, a + b toplamının en küçük değeri kaçtır?
(a – 3b)(a + 2b) = 0 ⇒ a – 3b = 0
⇒ a = 3b
b = 1 için a = 3 ⇒ a + b = 4
Cevap: 4
x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 0
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 0
x = 2 ve y = 3 ⇒ x.y = 6
Cevap: 6
Örnek 42:
x2 + y2 + 2x + 10y + 100
f) Tam Kareye Tamamlama Yöntemi
ax2 + bx + c ifadesinin tam kare olması için b2 = 4ac olmalıdır.
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
x2 + 2x + 1 + y2 + 10y + 25 + 74
(x + 1)2 + (y + 5)2 + 74
x = –1 ve y = –5 için en küçük 74 olur.
Örnek 40:
Örnek 43:
Aşağıdaki ifadelerin tam kare olması için c değerleri
kaç olmalıdır?
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.

x2 – 4x + c
x4 – 6x2 + 9 – x2
(–4)2 = 4.1.c ⇒ c = 4
(x2 – 3)2 – x2
x2 + 6x + c
(x2 – x – 3)(x2 + x – 3)
62 = 4.c ⇒ c = 9

x4 – 7x2 + 9

x4 + 64
x4 + 16x2 + 64 – 16x2
(x2 + 8)2 – (4x)2
(x2 – 4x + 8)(x2 + 4x + 8)
9x2 + 6x + c
62 = 4.9.c ⇒ c = 1
Cevap: (x2 – x – 3)(x2 + x – 3), (x2 – 4x + 8)(x2 + 4x + 8)
Cevap: 4, 9, 1
a2 + a + 1 a - a a
+
a+ a + 1
a
ifadesinin en sade halini bulunuz.
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
a 2 + 2a + 1 - a
+
a+ a + 1
a ^ a - ah
a
^a + 1h2 - a
+ a-a
a+ a + 1
^a + 1 - a h^a + 1 + a h
+ a - a & a+ 1- a + a - a = 1
a+ a + 1
2
Öğretmen
Sorusu


Cevap: 74
POLİNOMLAR / Çarpanlara Ayırma
1.
Konu Testi - 3
5.
a 3 - 125
a + 5a + 25
2
x .y = 3
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) a + 1
B) a – 5
D) a – 6
olduğuna göre, x3 + y3 ifadesinin değeri kaçtır?
C) a + 5
A) 28
E) a – 10
a3 + 8
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) a + 1
6.
C) a2 – a – 1
B) a + 3
D) a2 – 2a + 4
B) 36
C) 40
D) 46
E) 52
x3 + y3 = (x + y)((x + y)2 – 3xy)
= 4.(16 – 9)
= 28
(a - 5) (a 2 + 5a + 25)
= a- 5
a 2 + 5a + 25
2.
x+y=4
E) a2 + 2a + 4
x-
olduğuna göre, x 3 -
8
ifadesinin sonucu kaçtır?
x3
A) 80
C) 84
x3 -
a3 + 8 = (a + 2)(a2 – 2a + 4)
2
=4
x
B) 82
D) 88
E) 90
8
2
2 2
2
= a x - x k . aa x - x k + 3.x. x k
x3
= 4. (16 + 6)
= 88
3.
cx -
7.
1
1
m x 2 + 2 + 1n
x d
x
ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x3 – 1
B) x3 + 1
1
D) x - 3
x
C) x 3 +
1
+x
x3
A) (x – 14)(x – 3)
B) (x – 7)(x – 4)
C) (x – 7)(x + 4)
D) (x – 14)(x + 2)
1
E) x + 3
x
3
E) (x + 7)(x + 4)
3
a x - 1x kc x 2 + 12 + 1m = x 3 - 13
x
x2 – 3x –28 = (x – 7)(x + 4)
x
8.
4.
x2 – 3x – 28
x2 – (a + 2b)x + 2ab = 0
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Aşağıdakilerden hangisi
A) (x – b)
x6 – 1
ifadesinin çarpanlarından biri değildir?
A) x – 1
B) x + 1
D)
x2
–x+1
(x3 – 1)(x3 + 1)
(x – 1)(x2 + x + 1)(x + 1)(x2 – x + 1)
C) x – 2
E)
x2
+x+1
B) (x + a)
D) (x – 2b)
C) (x – 2a)
E) (x + b)
x2 – (a + 2b)x + 2ab = (x – a)(x – 2b)
–a
–2b
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
POLİNOMLAR / Çarpanlara Ayırma
Konu Testi - 3
3x 2 - 10x + 3
3x - 1
9.
x2 + x
x2 1
| 3x + x+ 1 x - 1
13.
2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – 1
A) 1
B) 2x + 1
D) x – 3
C) 3x + 1
C)
E) x + 3
1
x
D) x2 – 1
E)
x- 1
x
x(x + 1) (x - 1)(x 2 + x + 1)
=x
.
(x - 1)(x + 1)
x2 + x + 1
( 3 x - 1) ( x - 3 )
3x - 10x + 3 &
3x - 1
V
S
2
3x
x
B) x
-1
-3
& x- 3
x 2 - 3x + 2
x2 - 4
10.
14.
b3 + 3a2b = 10
ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
x 1
A) x+ 2
D)
x 1
B) x- 2
x+ 1
x- 2
olduğuna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
x 2
C) x- 1
E)
A) 5
x+ 3
x- 1
a3 - b3
(a + b) 2 - ab
ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) a – b
B) a + b
D) a2 + b2
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
a3 + 3ab2 = –2
3
2
+ b + 3a b = 10
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = 8 ⇒ (a + b)3 = 8 ⇒ a + b = 2
(x - 2) (x - 1)
x- 1
= +
x 2
(x - 2) (x + 2)
11.
a3 + 3ab2 = –2
15.
x=
3
3-1
olduğuna göre, x3 + 3x2 + 3x + 3 ifadesinin değeri kaçtır?
C) b – a
E) a2 – b2
A) 5
(a - b) (a 2 + ab + b 2) ^a - bh^a 2 + ab + b 2h
= a- b
=
a 2 + 2ab + b 2 - ab
a 2 + ab + b 2
B) 7
C) 9
D) 10
E) 12
(x + 1) 3 + 2 = (3 3 - 1 + 1) 3 + 2 = 3 + 2 = 5
x 2 - 3x - 4
x2 - 1
|
x 2 - 2x - 8 x 2 + 2 x - 3
ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
x 2
x 3
x 3
A) +
B) +
C) x+ 3
x+ 2
x- 1
ifadesi tam kare olduğuna göre, a kaçtır?
x- 3
x- 2
A) 16
(x - 4)(x + 1) (x + 3)(x - 1)
x+ 3
= +
.
x 2
(x - 4) (x + 2) (x + 1)(x - 1)
D) 36
E) 45
b2 = 4ac ⇒ 122 = 4.a ⇒ a = 36
5. A
6. D
7. C
8. D
9. D
10. A
11. A
12. B
13. B
14. D
15. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
C) 32
4. C
16. D
14
B) 30
3. D
E)
2. D
x- 1
x+ 2
x2 – 12x + a
1. B
D)
16.
Cevaplar
12.
POLİNOMLAR / Çarpanlara Ayırma
Konu Testi - 4
a 2 - 2a - 3
1
3
c + 1mc - 1m
a
a
1.
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) –3a2
x 2 + ax + b x 2 + 4x - 21 x + 2
$
=
x+ 3
x 2 + 11x + 28
x2 - 9
4.
B) –a2
A) 10
C) 2a2
D) a – 2
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
x 2 + ax + b (x + 7)(x - 3)
x+ 2
=
.
(x + 7) (x + 4) (x + 3)(x - 3)
x+ 3
E) a + 1
x2 + ax + b = (x + 4)(x + 2)
x2 + ax + b = x2 + 6x + 8
a + b = 6 + 8 = 14
(a - 3) (a + 1)
a. a
= (a - 3)(a + 1)
a+ 1 3- a
- (a - 3)(a + 1)
.
a
a
= - a2
5.
a2 + b2 + 2a + 4b + 7
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
2.
x=
13
olduğuna göre
3
(x – 5)3 + 3(x – 5)2 + 3(x – 5) + 1
A) 1
1
81
B)
1
54
C)
1
27
D)
1
18
E)
C) 3
D) 4
E) 5
a2 + 2a + 1 + b2 + 4b + 4 + 2
(a + 1)2 + (b + 2)2 + 2
a = –1 ve b = –2 için ifade en az 2 olur.
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
B) 2
1
9
3
13
1 3
1
((x - 5) + 1) 3 = (x - 4) 3 = a 3 - 4k = a 3 k = 27
3.
B) 3
(3 x - 1)(9 x + 3 x + 1)
= 80
9x + 3x + 1
3 x - 1 = 80
3 x = 81
C) 4
2
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 2
a2 - b2
a3 b3
| 2 2
a - 2ab - 3b
a + ab + b 2
6.
27 x - 1
= 80
x
9 + 3x + 1
D) 5
E) 6
A)
1
a- b
D)
B)
1
a - 3b
1
a - 2b
C)
E)
1
a+ b
1
b - 3a
(a - b)(a + b)
a 2 + ab + b 2
1
=
.
(a - 3b) (a + b) (a - b)(a 2 + ab + b 2) a - 3b
x= 4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
POLİNOMLAR / Çarpanlara Ayırma
a+
10. Birbirinden farklı a ve b sayıları için
1
a2
a2 b2
= b- a
b
a
a b
olduğuna göre, + ifadesinin değeri kaçtır?
b a
1
1
1- + 2
a a
ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2a
B) a + 1
–1
E)
B) t
x4 + x2 + 1
ifadesinin çarpanlarından biridir?
A) x 2 + x + 2
C) –t
D) 1 + t
3
3
x 2 - ax - 3
x2 - x - 6
C) 7
D) 6
kesri sadeleşebilir bir kesir olduğuna göre, sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
E) 5
A) x – 1
(3 3 + 3 2 ) . (3 9 + 3 4 - 3 6 )
B)
D)
(3 3 ) 3 + (3 2 ) 3
x+ 1
x
x+ 2
x+ 1
C)
E)
x+ 1
x+ 2
x- 2
x- 1
(x + 1) (x - 3)
x+ 1
= +
x 2
(x - 3) (x + 2)
3. C
4. C
5. B
6. D
7. B
8. A
9. E
10. A
11. C
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2. C
3+ 2 = 5
16
E) x 2 + 1
12. a bir tam sayı olmak üzere
3+3 2
9+3 4-3 6
B) 8
C) x 2 – x + 1
x4 + 2x2 + 1 – x2 = (x2 + 1) – x2
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
olduğuna göre, a . b çarpımının değeri kaçtır?
A) 9
B) x 2 – x
D) x 2 – x – 2
E) 1 – t
(t + 1)(t2 – t + 1) = 0 . (t + 1)
t3 + 1 = 0 ⇒ t3 = –1
(t3)2 + t3 + 1 = (–1)2 + (–1) + 1 = 1
a=
b=
E) 2
11. Aşağıdakilerden hangisi
olduğuna göre, t6 + t3 + 1 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
9.
D) 1
a3 - b3
= b- a
a.b
(a – b)(a2 + ab + b2) = (b – a)(ab)
a2 + ab + b2 = –ab
a2 + 2ab + b2 = 0
(a + b)2 = 0 ⇒ a = –b
a b -b
b
+ =
+ - =- 2
b a
b
b
+1
t2 – t + 1 = 0
A) 1
C) 0
C) a – 1
a2
a3 + 1
(a + 1) (a 2 - a + 1)
a2
a2
=
. 2
2
a - a+ 1
a2
a - a+ 1
a2
= a+ 1
8.
B) –1
1. B
D)
a2
A) –2
Cevaplar
7.
Konu Testi - 4
YGS // MATEMATİK
POLİNOMLAR
Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler
hhPOLİNOMLAR
FÖY NO
37
Örnek 2:
n Î N, a0, a1, a2, ... an gerçek sayılar ve x değişken olmak üzere
P(x) = 3xn – 1 + x9 – n + x + 2
ifadesi bir polinom olduğuna göre, n'nin alabileceği kaç
farklı tam sayı değeri vardır?
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
şeklinde tanımlanan fonksiyonlara polinom denir.
hh P(x) polinomunda a0, a1, a2, ... an gerçek sayılarına polinomun katsayıları denir.
hh P(x) polinomunda x in en büyük kuvvetine polinomun derecesi denir ve Der(p(x)) şeklinde gösterilir.
n–1≥0⇒n≥1
Cevap: 9
9–n≥0⇒9≥n⇒n≤9
1, 2, 3, ... 9 olmak üzere 9 tanedir.
hh P(x) polinomunda dereceyi belirleyen x in başında bulunan
katsayıya başkatsayı denir.
Örnek 3:
Not
Bir P(x) fonksiyonunun polinom olabilmesi için x in kuvvetleri doğal sayı olmalıdır.
Aşağıda verilen ifadelerin polinom olup olmadığını yanlarında bulunan kutucuklara işaretleyiniz.
Evet

P(x) = 20

P(x) = –3x4 +

P(x) = 3x 2 +

1
P(x) = x 2 +
2

P(x) = x 2 + x + 1
Hayır
Öğretmen
Sorusu
+ 2x n - 2
Cevap: 27
12
n + 12
n = 1+ n d N
n–2≥0⇒n≥2
2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 27

7x

1
x
Örnek 4:

x
2

x +4
P(x) =
x

P(x) =
x2 - 1
x- 1
P(x) = (a – 3) . xn – 1 + (a + 1)x2 + a

ifadesi başkatsayısı 7 olan üçüncü dereceden bir polinomdur.

Buna göre, a + n toplamının değeri kaçtır?
3

n–1=3⇒n=4

n
p (x) =
n + 12
n
ifadesi bir polinom olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Örnek 1:
P(x) = x
x 2 + x100 - n
n - 72
ifadesinin bir polinom olması için n kaç farklı değer almalıdır?
Cevap: 14
a – 3 = 7 ⇒ a = 10
a + n = 14
n
2 ∈ N ise n = çift
100 – n ≥ 0 ⇒ n ≤ 100
n – 72 > 0 ⇒ n > 72
n ∈ {74, 76, 78, ..., 100} olmak üzere
100 - 74
+ 1 = 14 değer alır.
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
POLİNOMLAR / Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler
Örnek 5:
Örnek 7:
der(P(x)) = 2
P(x) ve Q(x) birer polinomdur.
der(Q(x)) = 3
der(P(x).Q(x)) = 19
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin sonuçlarını bulunuz.

der(P(x) . Q(x))
P(x) = xa, Q(x) = xb olsun
der(P2(x) . Q3(x))
Cevap: 13
xa.xb = xa + b ⇒ a + b = 19
xa
a–b⇒ + a–b=7
=
x
xb
2a = 26
a = 13
(x2)2.(x3)3 = x4.x9 = x13
der(P2(x).Q3(x)) = 13

P (x)
n= 7
Q (x)
olduğuna göre, der(P(3x + 5)) kaçtır?
x2.x3 = x5 ⇒ der(P(x).Q(x)) = 5

der d
der(P(3x + 5)) = der(P(x)) = 13
der(P3(x) + Q(x))
(x2)3 + x3 = x6 + x3
1. Polinom Çeşitleri
der(P3(x) + Q(x)) = 6
Not
Cevap: 5, 13, 6
P(x) = 0 polinomuna sıfır polinomu denir.
der(Pn(xm)) = der(Pn.m(x))
hh P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
sıfır polinomu ise a0 = a1= a2 = ... = an = 0 dır.
Örnek 6:
P(x) = (x2 – 4)3 + x
Örnek 8:
Q(x) = (x3 + x + 1)4 – x2
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin sonuçlarını bulunuz.

der(P(x3))
der(P(x)) = 6

P(x) = (a – b – 4)x4 + (b – 3)x + c – 4
ifadesi sıfır polinomu olduğuna göre, a + b + c toplamı
kaçtır?
c–4=0⇒c=4
der(P(x3)) = der(P3(x))
b–3=0⇒b=3
(x6)3 = x18 ⇒ der (P(x3)) = 18
a–b–4=0⇒a–7=0⇒a=7
b) Sabit Polinom
c Î R olmak üzere P(x) = c polinomuna sabit polinom denir.
x2.(x6)4 + x.x12 = x13 + x26
hh P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
der(x2.P2(x2)) + x.Q(x)) = 26
Cevap: 18, 26
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: 14
a + b + c = 14
der(x2.P2(x2) + x.Q(x))
der(p(x)) = 6 ve der(Q(x)) = 12
2
a) Sıfır Polinomu
sabit polinom ise a1 = a2 = ... = an = 0,
a0 ≠ 0 dır.
POLİNOMLAR / Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler
hh
P(x) =
ax + b
cx + d
sabit polinom ise
Örnek 11:
P(x) = 3x3 + (a + 2)x + c
a b
= dir.
c d
Q(x) = (b – 1)x3 + 6x – 5
P(x) = Q(x)
olduğuna göre, a + b + c toplamının değeri kaçtır?
Örnek 9:
P(x) = (a + 1)x4 + bx3 – 3x3 + a + b
b–1=3⇒b=4
ifadesi sabit polinom olduğuna göre,
a+2=6⇒a=4
P(1) + P(2)
c = –5
toplamının değeri kaçtır?
a + 1 = 0 ⇒ a = –1
Cevap: 3
a+b+c=4+4–5=3
Cevap: 4
b–3=0⇒b=3
P(x) = –1 + 3 ⇒ P(x) = 2
Örnek 12:
P(1) + P(2) = 2 + 2 = 4
x4 + (a + 1)x3 + b – 1 = (c – 1)x4 + 2
olduğuna göre, a . b . c çarpımının değeri kaçtır?
Örnek 10:
4x + a
x+ 2
sabit polinom olduğuna göre,
c–1=1⇒c=2
P(x) =
a + 1 = 0 ⇒ a = –1
Cevap: –6
a.b.c = –6
b–1=2⇒b=3
a + P(2) + P(3)
toplamının değeri kaçtır?
4 a
1= 2&a= 8
4 ( x + 2)
P ( x) = x + 2 & P ( x) = 4
a + P (2) + P (3) = 8 + 4 + 4 = 16
2. Polinomların Eşitliği
Cevap: 16
Örnek 13:
4x - 7
A
B
=
+
(x - 1) (x - 4) x - 1 x - 4
olduğuna göre, A . B çarpımının değeri kaçtır?
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
Q(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bnxn
olmak üzere P(x) = Q(x) ise
a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, ... , an = bn dir.
4x – 7 = A(x – 4) + B(x – 1)
Cevap: 3
x = 4 için 16 – 7 = 3B ⇒ B = 3
x = 1 için 4 – 7 = –3A ⇒ A = 1
A.B = 3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
POLİNOMLAR / Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler
Örnek 16:
Örnek 14:
Aşağıda verilen polinomları kullanarak yanlarında bulunan kutucuklarda yazan ifadelerin değerlerini bulunuz.
P(x) =

x4
– 1 ............... P(2)
P(2) =24 – 1 = 15
P(x) = 3x + 4
olduğuna göre, aşağıdaki polinomların eşitlerini bulunuz.

P(2x)
x → 2x
P(2x) = 3.(2x) + 4 = 6x + 4
P(x – 2) = x2 – x + 4 .............. P(3)

x–2=3⇒x=5

P(3) = 52 – 5 + 4 = 24
P(5x – 2)
x → 5x – 2
P(5x – 2) = 3(5x – 2) + 4
= 15x – 2
P(x2 – x + 4) = 3x2 – 3x + 7 .............. P(10)

x2 – x + 4 = 10 ⇒ x2 – x = 6
P(x2 – x + 4) = 3(x2 – x) + 7
Cevap: 6x + 4, 15x – 2
P(10) = 3.6 + 7
Örnek 17:
P(10) = 25
P(x – 1) = x2 + x
Cevap: 15, 24, 25
olduğuna göre, aşağıdaki polinomların eşitlerini bulunuz.

x–1→x⇒x→x+1
Örnek 15:
P(2x – 1) =
P(x)
x2
P(x + 1 – 1) = (x + 1)2+ x + 1
– mx + 2
P(x) = x2 + 3x + 2
P(5) = 5
olduğuna göre, m kaçtır?

P(x + 2)
x–1→x+2⇒x→x+3
2x – 1 = 5 ⇒ x = 3
P(5) = 9 – 3m + 2 = 5
Cevap: 2
P(x + 3 – 1) = (x + 3)2 + x + 3
P(x + 2) = x2 + 7x + 12
3m = 6
m=2
P(x) = x2 – 4x + 13
olduğuna göre,
P (x - 2) P (x - 3) P (x - 4)
P (x - 10)
+
+
+ ... +
P ( 6 - x) P ( 7 - x) P ( 8 - x)
P (14 - x)
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
P(x – 2) = P(6 – x)
P(x – 3) = P(7 – x)
..
.
P(x – 10) = P(14 – x) olur.
1 + 1 + 1 + ... + 1 = 9
}
ifadesinin sonucu kaçtır?
Verilen Polinom ikinci dereceden fonksiyon ve tepe noktasının apsisi r = 2
olduğundan
9 tane
Öğretmen
Sorusu
Cevap: x2 + 3x + 2, x2 + 7x + 12
POLİNOMLAR / Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler
1.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi polinom değildir?
A) P(x) = x + 1
B) P(x) =
C) P(x) = x3
1
E) P(x) =
x
Konu Testi - 1
5.
polinomunun derecesi kaçtır?
5 x2 + 1
A) 10
D) P(x) = 5
C) 15
D) 18
E) 20
P(x) = (x3)5 = x15
der(P(x)) = 15
6.
P(x) = xn – 2 – 2.x + x6 – n
B) 4
C) 3
D) 2
der(P(x)) = 4
olduğuna göre, der(P2(x).x2) kaçtır?
ifadesi bir polinom olduğuna göre, n kaç farklı değer
alabilir?
A) 5
B) 12
P(x) = (2x3 – x + 1)5 + x + 4
1
P(x) = x polinom değildir.
2.
P(x) = (2x3 – x + 1)5 + x + 4
A) 6
B) 9
C) 10
D) 12
E) 16
E) 1
(x4)2.x2 = x8.x2 = x10
der(P2(x).x2) = 10
n–2≥0⇒n≥2
6–n≥0⇒n≤6
2, 3, 4, 5, 6 olmak üzere 5 değer alır.
7.
6
n
3.
der(P(x)) = 2
olduğuna göre, der(P2(x3) + 4) kaçtır?
P (x) = 3x 2 + 2x + 4
ifadesi bir polinom olduğuna göre, n'nin alabileceği
değerlerin toplamı kaçtır?
A) 12
A) 24
der(P2(x3)) = der(P6(x))
B) 18
C) 15
D) 12
E) 10
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18
(x2)6 + 4 = x12 + 4
der(P2(x3) + 4) = 12
6
n ∈ N ⇒ n = {1, 2, 3, 6}
1 + 2 + 3 + 6 = 12
8.
4.
P(x) = x2m – 4 + x2 + m
polinomu sabit polinom olduğuna göre, P(2) kaçtır?
polinomunun derecesi 6 olduğuna göre, m kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
P(x) = (3a + 9)x2 + (2b – 4)x + a + b
D) 6
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
E) 7
3a + 9 = 0 ⇒ a = –3
2m – 4 = 6 ⇒ m = 5
2b – 4 = 0 ⇒ b = 2
P(x) = –3 + 2 = –1
P(2) = –1
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
POLİNOMLAR / Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler
9.
Konu Testi - 1
13.
P(x) = (a – 2)x + b – 4
olduğuna göre, P(1) kaçtır?
polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a + b toplamının değeri kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
P(2x – 3) = x4 – 2x + 1
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
D) 16
E) 15
E) 10
2x – 3 = 1 ⇒ x = 2
a–2=0⇒a=2
P(1) = 24 – 4 + 1
b–4=0⇒b=4
P(1) = 13
a+b=6
10.
x 1
P c - m = x5 + 2x + m
3
14.
P(x) = 3x3 + (2a + 4)x2 + 3x – 1
P(–1) = –20
Q(x) = bx3 + 4x2 + (c – 1)x – 1
olduğuna göre, m kaçtır?
P(x) = Q(x)
olduğuna göre, a . b . c çarpımının değeri kaçtır?
A) 0
B) 4
C) 8
D) 10
A) 19
B) 18
C) 17
E) 12
x- 1
3 = - 1 ⇒ x = –2
P(–1) = –32 – 4 + m = –20
b=3
2a + 4 = 4 ⇒ a = 0
m = 16
c–1=3⇒c=4
a.b.c = 0
15.
3x
A
B
=
+
x + x- 2 x- 1 x+ 2
11.
2
olduğuna göre, P(x + 1) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
olduğuna göre, A – B farkı kaçtır?
A) 3
B) 2
C) 1
D) 0
P(x) = x2 + 1
E) –1
A) x 2 – 4x + 2
B) x 2 – 2x + 4
C) x2 + 2
D) x2 + 2x + 4
E) x2 + 2x + 2
3x = A(x + 2) + B(x – 1)
x = –2 ⇒ –6 = –3B ⇒ B = 2
x→x+1
x = 1 ⇒ 3 = 3A ⇒ A = 1
P(x + 1) = (x + 1)2 + 1
A – B = 1 – 2 = –1
12.
= x2 + 2x + 2
16.
P(x) = 2x2 + x + 1
olduğuna göre, P(x + 2) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
olduğuna göre, P(2) kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
P(2x – 1) = 6x + 4
E) 14
A) 3x + 11
B) 3x + 1
D) 3x + 13
P(2) =2.22 + 2 + 1 = 11
C) 3x + 7
E) 3x – 13
x+ 3
2x – 1 → x + 2 ⇒ x → 2
x+ 3
P(x + 2) = 6. 2 + 4
= 3x + 9 + 4 = 3x + 13
1. E
2. A
3. D
4. C
5. C
6. C
7. A
8. A
9. A
10. A
11. E
12. B
13. C
14. D
15. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevaplar
16. D
6
POLİNOMLAR / Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler
1.
Konu Testi - 2
4.
P(x) = 2xm – 3 + 3x3 – m + x2 + x
olduğuna göre, P[P(x)] aşağıdakilerden hangisine eşittir?
ifadesi bir polinom belirttiğine göre, P(2) kaçtır?
A) 10
B) 11
D) 13
E) 14
A) 3x – 6
E) 9x – 4
P(x) = 2.x0 + 3.x0 + x2 + x
P[P(x)] = P(3x – 1)
P(x) = x2 + x + 5
x → 3x – 1
P(2) = 4 + 2 + 5 = 11
P(3x – 1) = 3(3x – 1) – 1 = 9x – 4
5.
• P2(x) polinomunun derecesi 10 dur.
A) 1
olduğuna göre, Q(2) kaçtır?
x 3 .P (x)
polinomunun derecesi kaçtır?
Q (x)
B) 2
C) 3
D) 4
A) 1
E) 5
D) 4
E) 5
D) 7
E) 6
32 = 9Q(2) + 5
der(x3.Q(x)) = 9 ⇒ der(Q(x)) = 6
Q(2) = 3
x 3 .x 5
= x 2 ⇒ derece 2 dir.
x6
6.
P(x – 1) = x2 + 2x – 3
olduğuna göre, P(1 – 2x) polinomu aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x 2 – 2x + 5
B) 4x 2 – x – 1
C) x2 + 12x + 5
D) 4x2 – 12x + 5
P(1 – 2x) = (2 – 2x)2 + 2(2 – 2x) – 3
C) 3
P(3) = 9Q(2) + 5
der(P(x)) = 5
x – 1 → 1 – 2x ⇒ x → 2 – 2x
B) 2
x = 3 için
der(P2(x)) = 2der(P(x)) = 10
E) 4x2 + 2x + 2
P(x) = x2.Q(x – 1) + x + 2
P(3) = 32
• x3.Q(x) polinomunun derecesi 9 dur.
Buna göre,
C) 3x – 8
m = 3 tür.
3–m≥0⇒m≤3
3.
B) 9x – 6
D) 9x – 8
m–3≥0⇒m≥3
2.
C) 12
P(x) = 3x – 1
P(x – 1) = x3 – 3x2 + 3x + 1
olduğuna göre, P ^3 5 h kaçtır?
A) 10
B) 9
C) 8
P(x – 1) = x3 – 3x2 + 3x – 1 + 2
P(x – 1) = (x – 1)3 + 2
3
P ^3 5 h = ^3 5 h + 2
=5+2
=7
= 4x2 – 8x + 4 + 4 – 4x – 3
= 4x2 –12x + 5
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
POLİNOMLAR / Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler
7.
10.
P(x – 3) = ax3 + bx2 + cx + d
P(x + 1) =
x3
+
x2
Konu Testi - 2
+ 2x – 1
der[Q(x)] = 5
olduğuna göre, a + b + c + d toplamının değeri kaçtır?
A) –25
B) –24
der[P(x)] = 3
C) –23
D) –22
olmak üzere
I. der[P(x).Q(x + 1)] = 8
E) –21
II. der[P(x4).x + Q(x)] = 13
III. der[P(x) + Q(x)] = 3
x = 1 için P(–2) = a + b + c + d
IV. der[P3(x 2 + 1).Q(x3 + 1)] = 24
x = –3 için P(–2) = –27 + 9 – 6 – 1
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
a + b + c + d = –25
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
P(x) = x3 ve Q(x) = x5 için
8.
P (x) =
x 2 + ax + 4
2x 2 + 4x + b
B) 12
x3.x5 = x8 ifade doğru
II.
(x3)4.x + x5 = x13 + x5 ifade doğru
III.
x5 + x3 ifade yanlış
IV.
(x3)6.(x5)3 = x33 ifade yanlış
11.
C) 14
D) 16
P(x) = 5x + 4
olduğuna göre
ifadesi sabit polinom olduğuna göre, a . b çarpımının
değeri kaçtır?
A) 10
I.
P(x) + P(2x) + P(x + 1) = 57
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
E) 18
A) 4
1 a 4
2 = 4 = b & a.b = 16
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
P(x) + P(2x) + P(x + 1) = 57
[5x + 4] + [5(2x) + 4] + [5(x + 1) + 4] = 57
5x + 4 + 10x + 4 + 5x + 9 = 57
20x + 17 = 57
x=2
12.
P(2 – x) = ax + b
Q(x) = x2 + 3x
P(2) = 1
H(x) = x.P(x – 1) – m.Q(x – 1)
P(1) = 3
H(–3) = 1
olduğuna göre, m kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
C) 2
D) 3
A) –5
E) 4
C) –3
D) –2
E) –1
H(–3) = –3.P(–4) – mQ(–4)
2–x=2⇒x=0
(P(–4) = 5, Q(–4) = 4)
P(2) = b = 1
H(–3) = –3.5 –m.4
2–x=1⇒x=1
1 = –15 – 4m
P(1) = a + b = 3
m = –4
4. E
5. C
6. D
7. A
8. D
9. C
10. C
11. C
12. B
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3. D
a+1=3⇒a=2
8
B) –4
2. B
B) 1
1. B
A) 0
Cevaplar
9.
P(x) = 1 – x
POLİNOMLAR / Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler
Polinomlarda İşlemler
Örnek 21:
P(x – 1) + P(x + 1) = 4x2 – 2x + 10
a) Toplama-Çıkarma İşlemi
olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir?
İki polinom toplanırken veya çıkarılırken dereceleri aynı olan
terimler toplanır veya çıkarılır.
Örnek 18:
A) 2x 2 – 2x – 3
B) 2x 2 + x – 3
C) 2x2 – x + 3
D) 4x2 + x – 1
E) 4x2 – x + 1
P(x) = x2 + 2x + 3
P(x) = ax2 + bx + c
Q(x) = 2x2 – x3 + 5
olduğuna göre, aşağıdaki işlemleri yapınız.

P(x + 1) = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c
P(x) + Q(x)
P(x – 1) = ax2 – 2ax + a + bx – b + c
P(x + 1) = ax2 + 2ax + a + bx + b + c
+
[x2 + 2x + 3] + [2x2 – x3 + 5]
–x3 + 3x2 + 2x + 8

4x2 – 2x + 10 = 2ax2 + 2bx + 2a + 2c
2a = 4 ⇒ a = 2
P(x) – Q(x)
2b = –2 ⇒ b = –1
[x2 + 2x + 3] – [2x2 – x3 + 5]
2a + 2c = 10 ⇒ 4 + 2c = 10 ⇒ c = 3
x3 – x2 + 2x – 2
P(x) = 2x2 – x + 3
Cevap: –x3 + 3x2 + 2x + 8, x3 – x2 + 2x – 2
b) Çarpma İşlemi
İki polinom çarpılırken dağılma özelliği kullanılarak terimler bir-
Örnek 19:
biriyle çarpılır.
P(x) + P(2x) = 9x + 6
Örnek 22:
olduğuna göre, P(x) polinomunu bulunuz.
Aşağıda verilen polinomları çarpınız.
P(x) = ax + b olsun
Cevap: 3x + 3
ax + b + a(2x) + b = 9x + 6
3ax + 2b = 9x + 6
⇒
3a = 9 ⇒ a = 3

P(x) = x – 2
Q(x) = 2x + 3
2b = 6 ⇒ b = 3
P(x) = 3x + 3
P(x).Q(x) = (x – 2)(2x + 3) = 2x2 + 3x – 4x – 6
= 2x2 – x – 6
Örnek 20:

P(x – 1) + P(x + 1) = 4x + 12
P(x) = ax + b
P(x) = x2 – x
Q(x) = x3 + x + 1
olduğuna göre, P(2) kaçtır?
P(x).Q(x) = (x2 – x).(x3 + x + 1)
= x 5 + x 3 + x 2 – x 4 – x2 – x
Cevap: 10
a(x – 1) + b + a(x + 1) + b = 4x + 12
2ax + 2b = 4x + 12
⇒
2a = 4 ⇒ a = 2
= x 5 – x4 + x3 – x
2b = 12 ⇒ b = 6
Cevap: 2x2 – x – 6, x5 – x4 + x3 – x
P(x) = 2x + 6 ⇒ P(2) = 10
Öğretmen
Sorusu
Cevap: C
P(x – 1) = a(x – 1)2 + b(x – 1) + c
x
x
3
P b l + 3P c m = - + 8
9
x
3
x = 9 için
olduğuna göre P(1) kaçtır?
x = 3 için
1
P(1) + 3P a 3 k = 5
1
–3/P a 3 k + 3p(1) = 7
–8p(1) = –16
p(1) = 2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
POLİNOMLAR / Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler
Örnek 23:
Örnek 25:
(3x4 – 5x3 + 2x – 1).(5x3 + 7x2 – 8x + 6)
P(x) = x3 + 4x2 + 2x
çarpımı yapıldığında x5 in katsayısı kaç olur?
A) 35
B) 32
C) 24
D) –32
polinomunun x + 2 ile bölümünden elde edilen bölüm
ve kalanı bulunuz.
E) –59
Cevap: E
x3 + 4x2 + 2x x + 2
Bütün çarpımı yapmak yerine x5 li terimi oluşturacak terimleri çarpalım
–
3x4.(–8x) + (–5x3).7x2
x3 + 2x2
x2 + 2x – 2
Cevap: Bölüm x2 + 2x – 2, kalan 4
2x2 + 2x
–24x5 – 35x5
– 2x2 + 4x
–59x5
–2x
–
–2x – 4
4
Bölüm x2 + 2x – 2, kalan 4 tür.
Örnek 24:
P(x – 2).P(x + 3) = 4x2 + 8x – 21
olduğuna göre, başkatsayısı pozitif olan P(x) polinomunu bulunuz.
P(x – 2).P(x + 3) = (2x + 7)(2x – 3)
Örnek 26:
a 8 + 4a 2 - 8
a2 + 2
Cevap: 2x + 1
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
P(x – 2) = 2x – 3
x–2→x⇒x→x+2
A) a6 – a5 + a4 – 4
P(x) = 2(x + 2) – 3
B) a6 – a5 – 4a4 – 4
P(x) = 2x + 1
C) a6 – 2a4 + 4a2 – 4
D) a6 – a5 – 4
E) a6 + 4a2 – 4
c) Bölme İşlemi
B(x), P(x), Q(x) ve K(x) birer polinom olmak üzere
P(x) Q(x)
–
B(x)
–
hh P(x) = Q(x).B(x) + K(x) dir.
a2 + 2
a8 + 2a6
a6 – 2a4 + 4a2 – 4
–2a6 + 4a2 – 8
– –2a6 – 4a4
4a4 + 4a2 – 8
K(x)
hh der(K(x)) < der(Q(x))
a8 + 4a2 – 8
–
4a4 + 8a2
–4a2 – 8
– –4a2 – 8
0
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Cevap: C
POLİNOMLAR / Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler
Örnek 27:
Örnek 29:
P(x) polinomunun x2 – 2x – 3 ile bölümünden bölüm Q(x)
kalan 4x + 3 tür.
Buna göre, P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden elde
edilen bölüm polinomunu bulunuz.
P(x) = x3 + 2x2 + 3x + 1
polinomu veriliyor.
Buna göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız.

P(x)
–
Cevap: (x – 3)Q(x) + 4
x2 – 2x – 3
x = 1 için P(2x + 1) ⇒ P(3) = katsayılar toplamı
Q(x)
P(3) = 33 + 2.32 + 3.3 + 1
4x + 3
P(3) = 55
P(x) = (x – 3)(x + 1)Q(x) + 4x + 3
(x – 3)(x + 1)Q(x) + 4x + 3
– (x – 3)(x + 1)Q(x)
P(2x + 1) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
x+1
(x – 3)Q(x) + 4
4x + 3

P(3x – 1) polinomunun sabit terimi kaçtır?
x = 0 için P(3x – 1) ⇒ P(–1) = sabit terim
P(–1) = (–1)3 + 2(–1)2 + 3(–1) + 1
– 4x + 4
P(–1) = –1 + 2 – 3 + 1
–1
P(–1) = –1
Cevap: 55, –1
Bir Polinomda Katsayılar Toplamı ve Sabit
Terimin Bulunması
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
Polinomunda
Örnek 30:
P(7x) = 3P(6x) + x – 12
olduğuna göre
P(x – 1)
polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
hh x = 1 yazılarak katsayılar toplamı
hh x = 0 yazılarak sabit terim
x = 1 için P(1 – 1) = P(0) = katsayılar toplamı
Cevap: 6
x = 0 için P(0) = 3P(0) – 12
bulunur.
2P(0) = 12 ⇒ P(0) = 6
Örnek 31:
Örnek 28:
P(3x – 4) = 4x2 – 2ax + 12
P(x) = x4 – 3x2 + 2x + 7
polinomunun katsayılar toplamını ve sabit terimini bulunuz.
Katsayılar toplamı;
Cevap: Katsayılar toplamı: 7, Sabit Terim: 7
x = 1 için P(1) = 1 – 3 + 2 + 7 = 7 dir.
Sabit Terim;
Öğretmen
Sorusu
x = 0 için P(0) = 0 – 0 + 0 + 7 = 7 dir.
(x – 2).P(x) = x2 + mx – 8
polinomu veriliyor.
P(x + 1) polinomunun katsayılar toplamı 8 olduğuna
göre, a kaçtır?
x = 1 için P(2) = 8
P(2) = 4.4 – 4a + 12 = 8
28 – 4a = 8 ⇒ a = 5
x = 2 için 0 = 4 + 2m – 8
bağıntısı veriliyor.
Buna göre, P(x + 1) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
Cevap: 5
3x – 4 = 2 ⇒ x = 2
m=2
(x – 2)P(x) = x2 + 2x – 8
(x – 2)P(x) = (x + 4)(x – 2)
P(x) = x + 4
P(2) = 6
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
POLİNOMLAR / Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler
Not
Örnek 32:
P(x) ve Q(x) polinomlarının katsayılar toplamı sırasıyla 6
ve 7 dir.
Buna göre
Bir P(x) polinomunda çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı
mı
P(x3 + 1).Q(x + 1)
P (1) + P (- 1)
, tek dereceli terimlerin katsayılar topla2
P (1) - P (- 1)
dir.
2
polinomu