DÖRDÜNCÜ BÖLÜM TÜREV 4.1.Türev Kavramı Bağımsız değişkene bir artma verildiğinde fonksiyonun alacağı bir artma olacaktır. Fonksiyonun artmasının değişkenin artmasına oranının artma miktarı sıfıra yaklaşırken bir limiti varsa bu limit değerine fonksiyonun türevi denmektedir. 4.1.1.Tanım (Türev). Reel sayılar kümesinin bir D alt kümesinden reel sayılar kümesi içine bir fonksiyon f , x0 D (1) ve x0 da D kümesinin bir yığılma noktası olsun. Eğer f ( x) f ( x0 ) x x0 lim xx0 limiti varsa f fonksiyonuna x0 türevi adı verilir. Bu türev f ( x0 ) , noktasında türevlenebilirdir denir ve bu limite f fonksiyonunun df( x0 ) , Df( x0 ) dx gösterimi bazen de ikinci gösterimi kullanacağız. Buna göre x x0 h dır. Eğer yazarsak, x x0 x0 noktasında sembollerinden biri ile gösterilir. Biz çoğunlukla ilk f ( x0 ) lim xa olması için gerek ve yeter koşul f ( x) f ( x0 ) x x0 h 0 olması olduğundan dolayı, (1) deki limit (1’) lim h0 f ( x0 h) f ( x0 ) h limitine eşittir yani Örnek 1. f ' ( x0 ) lim h0 f ( x) x 2 , f : IR IR f ( x0 h) f ( x0 ) h fonksiyonu her bir dir. x0 IR noktasında türevlenebilirdir. Gerçekten; 2 2 2 lim h0 f ( x0 h) f ( x0 ) ( x0 h) 2 x0 x0 2 x0 h h 2 x0 lim h0 lim h0 h h h lim h0 2 x0 h h 2 lim h0 (2 x0 h) lim h0 2 x0 lim h0 h 2 x0 0 2 x0 h bulunur, dolayısıyla f ' ( x0 ) 2 x0 dır. Örnek 2. Herhangi bir sabit sayı s olmak üzere her x0 IR lim xx0 x IR f ( x) s olarak tanımlanan sabit fonksiyon her bir noktasında türevlenebilirdir Gerçekten; f ( x) f ( x0 ) ss 0 lim xx0 lim xx0 lim xx0 0 0 x x0 x x0 x x0 bulunur, dolayısıyla f ' ( x0 ) 0 dır. Örnek 3. Herhangi bir sabit pozitif tamsayı n olmak üzere her fonksiyonu her bir lim h0 için x IR x IR noktasında türevlenebilirdir. Çünkü; f ( x h) f ( x ) ( x h) n x n lim h0 h h için f ( x) x n olarak tanımlanan f x x n 0 lim h0 n n 1 lim h0 x n 1 x [ n 1 lim h0 n 1 .h n 1 n 1 .h h x x n 2 .h n2 x n 2 x n 2 n2 .h 2 ... h n2 .h 2 h x.h n n 1 .h 2 ... h x n 3 n 3 n 1 x.h n n 1 .h 3 h n 1 h n n n h n n x.h ... n n 1 n 1 h xn n h n n x .h x .h ... x.h h x lim x .h ... lim x.h lim h lim x x . lim h ... x. lim h lim h x x .0 ... x.0 0 x nx n = lim h0 [ 1 n n1 h0 1 n n1 n n2 1 2 n n1 n n2 1 2 bulunur. O halde her n1 n 2 h0 n n1 için n3 n 3 n2 n h0 2 x IR n2 2 n n1 n h0 n1 n2 h0 n n1 1 n n1 n n f ' ( x) nx n1 n2 n n n1 n2 n n n h0 n n1 h0 h n1 n1 n ] ] dir. Örnek 4. (sin x)' cos x lim h0 f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin( x) (sin x) cosh (cos x) sinh sin x lim h0 lim h0 h h h lim h0 dir. Gerçekten; (sin x)[(cosh) 1] (cos x) sinh (cosh) 1 sinh lim h0 (sin x) lim h0 (cos x) h h h (sin x) lim h0 (cosh) 1 sinh (cos x) lim h0 (sin x).0 (cos x).1 cos x h h dir. Çünkü; (cosh) 1 lim h0 lim h0 h h h h h h cos 2 sin 2 1 (1 sin 2 ) sin 2 1 2 sin 2 2 2 lim 2 2 lim 2 h0 h0 h h h h h h h h h sin . sin sin . sin sin sin 1 2 lim ( 1 h). lim 2 2 0. lim 2 . lim 2 0.1.1 0 lim h0 ( h) 2 h 0 h 0 h0 h0 h h h h h h 2 2 . . 2 2 2 2 2 2 dır. O halde her x reel sayısı için (sinx)’=cosx dir. Örnek 5. (cos x)' sin x lim h0 f ( x h) f ( x ) cos( x h) cos x (cos x) cosh (sin x). sinh cos x lim h0 lim h0 h h h lim h0 dir. Gerçekten; (cos x)[(cosh) 1] (sin x) sinh (cosh) 1 sinh lim h0 (cos x) lim h0 (sin x) h h h (cos x) lim h0 (cosh) 1 sinh (sin x) lim h0 (cos x).0 (sin x).1 sin x h h O halde her x reel sayısı için (cosx)’=-sinx Örnek 6. f(x)=lnx yeter koşul f : IR IR t dir. fonksiyonunu gözönüne alalım. olması olduğundan, t x h yazarsak h 0 olması için gerek ve lim h0 f ( x h) f ( x ) ln( x h) ln x lim h0 lim h0 h h x lim h0 ln xh h h ln( 1 ) ln( 1 ) 1 x lim x lim x h 0 h 0 h h x h x x 1 h 1 h 1 1 1 1 1 ln( 1 ) h . lim h0 ln( 1 ) h . lim t 0 ln( 1 ) t . ln e .1 x x x x x t x x x (ln x)' (log e x)' bulunur. O halde 1 x dir. 4.1.2.Tanım (Soldan Türev). Reel sayılar kümesinin bir D alt kümesinden reel sayılar kümesi içine bir fonksiyon f , x0 D (2) lim x0 ve x x 0 da D kümesinin bir yığılma noktası olsun. Eğer f ( x) f ( x0 ) x x0 limiti varsa ya da (2) de lim (2’) h0 x x0 h f ( x0 h) f ( x0 ) h limiti varsa f fonksiyonuna x0 soldan türevi adı verilir. Bu türev Örnek. lim f ( x) x x x 0 lim x 0 x0 yazmak suretiyle elde edilen noktasında soldan türevlenebilirdir denir ve bu limite f fonksiyonunun f ' ( x0 ) fonksiyonunun x0 0 sembolü ile gösterilir. noktasında soldan türevi -1 dir Çünkü; x0 x f ( x) f ( x0 ) lim lim lim x x0 x0 x 0 x0 x (1) 1 (3) lim x0 D x x 0 lim h0 x 0 x0 x lim x 0 x0 x0 da D kümesinin bir yığılma noktası olsun. Eğer x x0 h yazmak suretiyle elde edilen f ( x 0 h) f ( x 0 ) h limiti varsa f fonksiyonuna x x kümesinden reel sayılar kümesi içine bir f ( x) f ( x0 ) x x0 limiti varsa ya da (2) de (3’) ve x dir. 4.1.3.Tanım (Sağdan Türev). Reel sayılar kümesinin bir D alt fonksiyon f , x 0 noktasında x0 noktasında sağdan türevlenebilirdir denir ve bu limite f fonksiyonunun noktasında sağdan türevi adı verilir. Bu türev f ' ( x0 ) sembolü ile gösterilir. x0 f ( x) x Örnek. lim x x 0 lim x0 0 fonksiyonunu noktasında sağdan türevi 1 dir Çünkü; x0 x f ( x) f ( x0 ) lim lim lim x x0 x0 x0 x0 x x 0 x0 11 x x 0 x0 x lim x x x 0 x0 dir. Bir fonksiyonun bir noktada bir limitinin var olması için gerek ve yeter koşul soldan ve sağdan limitlerinin var olması ve biribirine eşit olması olduğundan dolayı bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için gerek ve yeter koşul o noktada soldan ve sağdan türevlerinin var olması ve biribirine eşit olmasıdır. f ( x) x Örnek. x0 0 x0 0 fonksiyonunun noktasında soldan ve sağdan türevleri birbirinden farklı olduğündan noktasında türevlenemez. f ( x) x fonksiyonunun x0 0 f ( x) x noktasında türevlenemediğini gördük. Diğer taraftan x0 0 fonksiyonu noktasında süreklidir. O halde bir fonksiyon bir noktada sürekli olabilir ancak türevlenemeyebilir. Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilirse sürekli olduğunu aşağıdaki teoremde veriyoruz: 4.1.4. Teorem. D IR , x0 D , f : D IR olsun. Eğer f fonksiyonu x0 noktasında türevlenebilirse süreklidir. İspat. g : D {x0 } IR : fonksiyonunu g ( x) noktasında türevlenebilir olduğundan, g fonksiyonunun x0 f ( x) f ( x0 ) x x0 şeklinde tanımlayalım. f fonksiyonu noktasında limiti vardır ve x0 lim xx g ( x) f ' ( x0 ) 0 dır. g(x) in eşitlik ifadesinden f ( x) f ( x0 ) g ( x)( x x0 ) elde edilir. Bu son eşitlikte limite geçilirse lim xx0 f ( x) lim xx0 [ f ( x0 ) g ( x)( x x0 )] lim xx0 f ( x0 ) lim xx0 g ( x)( x x0 ) f ( x0 ) (lim xx0 g ( x)). lim xx0 ( x x0 ) f ( x0 ) f ' ( x0 ).0 f ( x0 ) bulunur. f fonksiyonunun x0 noktasında limiti f ( x0 ) olarak elde edlilir ki bu da f fonksiyonunun x0 noktasında sürekli olması demektir. Bu da teoremin ispatını tamamlar. Örnek 1. f ( x) x fonksiyonunun 0 noktasında soldan türevi –1 ve sağdan türevi +1 olduğundan 0 noktasında soldan ve sağdan türevleri farklı olmaktadır dolayısıyla da f fonksiyonunun 0 noktasında türevi yoktur, ancak lim x0 f ( x) lim x0 x 0 0 f (0) Örnek 2. f ( x) x 1 olduğundan f fonksiyonu 0 noktasında süreklidir. fonksiyonu lim x1 f ( x) lim x1 x 1 lim x1 ( x 1) 0 0 olduğundan, x0 1 noktasında süreklidir fakat türevlenemez. Çünkü; lim x x 0 lim x 1 1 1 x 1 0 x 1 f (x) f (x0 ) lim lim lim lim x 1 x 0 x 1 x x0 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 0 lim x 1 x 1 (1) 1 x 1 x0 dir, dolayısıyla lim x 1 x0 f ' (1) 1 bulunur. Diğer taraftan, x 1 11 x 1 0 f ( x) f ( x0 ) lim lim lim x x0 x 1 x 1 x1 x1 x 1 x 1 x0 x 1 lim x 1 x0 x 1 x 1 11 x 1 x0 dir, dolayısıyla f ' (1) 1 bulunur. f fonksiyonunun 1 noktasında soldan ve sağdan türevleri biribirinden farklı olduğundan türevlenemez. 4.1.5.Teorem. f ile g fonksiyonları bir x noktasında türevlenebilirse her x IR için (f+g)(x)=f(x)+g(x) şeklinde tanımlanan f+g fonksiyonu da x noktasında türevlenebilirdir ve (f+g)’(x)=f’(x)+g’(x) dir. (Toplamın türevi türevler toplamına eşittir.). İspat. lim h0 ( f g )( x h) ( f g )( x) f ( x h) g ( x h) f ( x ) g ( x ) lim h0 h h lim h0 [ f ( x h) f ( x)] [ g ( x h) g ( x)] f ( x h) f ( x ) g ( x h) g ( x ) lim h0 [ ] h h h lim h0 f ( x h) f ( x ) g ( x h) g ( x ) lim h0 h h f ' ( x) g ' ( x) elde edilir. Bu da ispatı tamamlar. Örnek 1. f ( x) (sin x) ln x ise f ' ( x) ((sin x) ln x)' (sin x)'(ln x)' (cos x) 1 x bulunur. Örnek 2. f ( x) x 2 cos x ise f ' ( x) ( x 2 cos x)' ( x 2 )'(cos x)' 2 x sin x elde edilir. 4.1.6.Teorem. f ile g fonksiyonları bir x noktasında türevlenebilirse her x IR için (f.g)(x)=f(x).g(x) şeklinde tanımlanan f.g fonksiyonu da x noktasında türevlenebilirdir ve (f.g)’(x)=f’(x).g(x)+g’(x).f(x) dir. (Çarpımın türevi birincinin türevi çarpı ikinci artı ikincinin türevi çarpı birincidir.). İspat. lim h0 ( f .g )( x h) ( f .g )( x) f ( x h).g ( x h) f ( x).g ( x) lim h0 h h lim h0 f ( x h).g ( x h) f ( x). g ( x h) f ( x). g ( x h) f ( x).g ( x) h lim h0 [ f ( x h) f ( x)]. g ( x h) f ( x).[ g ( x h) g ( x)] h lim h0 [ [ f ( x h) f ( x)]. g ( x h) f ( x).[ g ( x h) g ( x)] ] h h lim h0 [ f ( x h) f ( x)]. g ( x h) f ( x).[ g ( x h) g ( x)] lim h0 h h [lim h0 [ f ( x h) f ( x)] [ g ( x h) g ( x)] ]. lim h0 g ( x h) [lim h0 f ( x)]. lim h0 h h f ' ( x).g ( x) g ' ( x). f ( x) elde edilir. O halde (f.g)’(x)=f’(x).g(x)+g’(x).f(x) dir. Bu da teoremin ispatını tamamlar. f ( x) x 4 . sin x Örnek 1. ise f ' ( x) ( x 4 . sin x)' ( x 4 )'.sin x (sin x)'.x 4 4 x 3 .(sin x) (cos x).x 4 dir. f ( x) x 3 . ln x Örnek 2. ise 1 f ' ( x) ( x 3 . ln x)' ( x 3 )'.(ln x) (ln x)'.x 3 3x 2 .(ln x) .x 3 3x 2 .(ln x) x 2 x 2 [3(ln x) 1] x dir. 4.1.7.Sonuç. Bir f fonksiyonu bir x noktasında türevlenebiliyorsa herhangi bir sabit reel sayı s olmak üzere her x IR için (sf)(x)=s.f(x) ile tanımlanan s.f fonksiyonu da x noktasında türevlenebilirdir ve (sf)’(x)=s.f’(x) dir. İ Örnek 1. f(x)=5.sinx ise f’(x)=(5.sinx)’=5.(sinx)’=5.cosx bulunur. f ( x) 3. ln x Örnek 2. ise f ' ( x) ( 3. ln x)' 3.(ln x)' 3. 1 3 x x elde edilir. 4.1.8.Teorem. f ile g fonksiyonları bir x noktasında türevlenebilirse ve g fonksiyonu x noktasının belli bir komşuluğunda sıfırdan farklı değerler alıyorsa her x IR için f f ( x) ( )( x) g g ( x) şeklinde tanımlanan f g fonksiyonu da x noktasında türevlenebilirdir ve f f ' ( x).g ( x) g ' ( x). f ( x) ( )' ( x) g ( g ( x)) 2 dir. (Bölümün türevi payın türevi çarpı payda eksi paydanın türevi çarpı pay bölü paydanın karesidir.). İspat. f f f ( x h) f ( x ) ( )( x h) ( )( x) g g g ( x h) g ( x ) lim h0 h h lim h0 lim h0 f ( x h).g ( x) f ( x).g ( x h) f ( x h).g ( x) f ( x).g ( x) f ( x).g ( x) f ( x).g ( x h) lim h0 h.g ( x h).g ( x) h.g ( x h).g ( x) lim h0 [ f ( x h) f ( x)]. g ( x) f ( x).[ g ( x h) g ( x)] h.g ( x h).g ( x) f ( x h) f ( x ) g ( x h) g ( x ) .g ( x) f ( x). h h g ( x h).g ( x) = lim h0 f ( x h) f ( x ) g ( x h) g ( x ) .g ( x) f ( x). ] h h lim h0 g ( x h). g ( x) lim h0 [ = lim h0 = lim h0 f ( x h) f ( x ) g ( x h) g ( x ) .g ( x) lim h0 f ( x). h h lim h0 g ( x h). lim h0 g ( x) f ( x h) f ( x ) g ( x h) g ( x ) . lim h0 g ( x) lim h0 f ( x). lim h0 ] h h g ( x).g ( x) (lim h0 f ( x h) f ( x ) g ( x h) g ( x ) ). g ( x) f ( x) lim h0 h h ( g ( x)) 2 f ' ( x). g ( x) g ' ( x) f ( x) ( g ( x)) 2 bulunur. O halde f f ' ( x). g ( x) g ' ( x) f ( x) ( )' ( x) g ( g ( x)) 2 Örnek 1. Pozitif sabit bir tamsayı n olmak üzere her xIR için f ' ( x) nx n1 dir. f ( x) x n fonksiyonunun türevi dir. Çünkü; f ' ( x) ( x n )' ( 1 1'.x n ( x n )'.1 0.x n nx n1 .1 nx n 1 )' nx n 1 x 2 n nx n1 n n 2 2n 2n x (x ) x x dir. Her n pozitif tamsayısı için ( x j )' jx j 1 ( x n )' nx n 1 olduğunu daha önce görmüştük. Her negatif j tamsayısı için olduğunu da şimdi yukarıdaki örnekde gördük. Böylece n=0 için olduğundan her m tamsayısı için ( x m )' mx m 1 ( x 0 )' (1)' 0 0 x 01 eşitliği sağlanır. dir. Örnek 2. (tgx)' 1 1 tg 2 x 2 cos x dir. Çünkü; sin x (sin x)'.cos x (cos x)'.sin x (cos x). cos x ( sin x). sin x cos 2 x sin 2 x (tgx)' ( )' cos x cos 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1 1 tg 2 x 2 2 cos x cos x dir. Örnek 3. (cot gx)' 1 (1 cot g 2 x) 2 sin x dir. Çünkü; cos x (cos x)'.sin x (sin x)'.cos x ( sin x). sin x (cos x). cos x sin 2 x cos 2 x (cot gx)' ( )' sin x sin 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x (cos 2 x sin 2 x) 1 (1 cot g 2 x) 2 2 2 sin x sin x sin x dir.