1. SEZGİSEL YAKLAŞIM 2. LİMİTİN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ Bir

DERS:
ÜNİTE:
KONU:
MATEMATİK I
LİMİT ve SÜREKLİLİK
MAT101(07)
1. SEZGİSEL YAKLAŞIM
2. LİMİTİN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ
Bir fonksiyonun, herhangi bir x = a noktasındaki limitine ve sürekliliğine öncelikle bu
fonksiyonun grafiğinden yararlanarak sezgisel olarak göz atalım.
f : R → [0, ∞) ,
Örnek: x değişkeni 2 ‘ye soldan ve sağdan yaklaşırken
f ( x) = x 2
fonksiyonunun değerleri hangi reel sayıya yaklaşır?
y
x
1,5
1,8
1,9
1,99
1,999
1,9999
2,5
2,2
2,1
2,01
2,001
2,0001
f ( x) = x
y = x2
2
2,25
3,24
3,61
3,9601
3,996001
3,99960001
6,25
4,84
4,41
4,0401
4,004001
4,0004
?
x
2
Örnek: x değişkeni 1 e soldan ve sağdan yaklaşırken g : [−2, 3] → [−2, 3] , g ( x) = [| x |]
fonksiyonunun değerleri hangi reel sayıya yaklaşır?
x
g ( x) = [| x |]
0,5
0,8
0,9
0,99
0,999
0,9999
1,5
1,2
1,1
1,01
1,001
1,0001
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
y
3
2
y=[|x|]
-2
1
-1
x
0
-1
-2
1
2
3
Örnek: x değişkeni
π
2
ye soldan ve sağdan yaklaşırken h : R − {(2k + 1) π2 : k ∈ Z } → R ,
h( x) = tan x fonksiyonunun değerleri için ne söylenebilir?
x ∈ R ye karşılık gelen
x∈R
h( x) = tan x
açının ölçüsü (derece)
85,94366927
87,08958486
88,80845825
89,95437384
89,98302173
89,98875130
89,99448088
89,99734567
89,99963750
91,67324722
90,52733163
90,47003585
90,41274007
90,24085273
90,01166962
90,00594004
90,00021046
1,5
1,52
1,55
1,57
1,5705
1,5706
1,5707
1,57075
1,57079
1,6
1,58
1,579
1,578
1,575
1,571
1,5709
1,5708
14,10141995
19,66952782
48,07848248
1255,76559150
3374,65253886
5093,54817145
10381,32741757
21585,77992538
158057,91341625
-34,23253274
-108,64920360
-121,89388113
-138,81566721
-237,88578724
-4909,82594232
-9645,69384558
-272241,80840928
π
2
2
Örnek: x değişkeni 0 sayısına soldan ve sağdan yaklaşırken k : R − {0} → R , k ( x) =
sin x
x
fonksiyonunun değerleri için ne söylenebilir?
x∈ R
k ( x) = sin x
x
± 1,0
± 0,8
± 0,5
± 0,2
± 0,08
± 0,05
± 0,02
± 0,005
± 0,002
0,841471
0,896695
0,958851
0,993347
0,998933
0,999583
0,999933
0,999996
0,999999
Örnek:
f : R − {0} → R ,
( x + 1) 3 − 1
f ( x) =
x
ve
g:R→R,
g ( x) = x 2 + 3 x + 3
fonksiyonları veriliyor. x değişkeni 0 a yaklaşırken f ve g fonksiyonlarının değerleri için
ne söylenebilir?
y
y=
y
y = x 2 + 3x + 3
( x + 1) 3 − 1
x
?
?
x
0
x
0
ÖDEV: C.H. EDWARDS, D.E. PENNY, Matematik Analiz ve Geometri Cilt I
Sayfa 65-67, Örnek1-5.
3
2. LİMİTİN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ
Tanım: f fonksiyonu bir (c, a ) aralığında tanımlı olsun. ∀ε > 0 için eğer a − δ < x < a
iken | f ( x) − L1 |< ε olacak şekilde ε sayısına bağlı bir δ > 0 sayısı bulunabiliyorsa; x
değişkeni a ya soldan yaklaşırken f fonksiyonunun limiti L1 dir denir ve lim− f ( x) = L1 ile
x→a
gösterilir.
Benzer şekilde f fonksiyonu bir (a, d ) aralığında tanımlı olsun. ∀ε > 0 için eğer
a < x < a + δ iken | f ( x) − L2 |< ε olacak şekilde ε sayısına bağlı bir δ > 0 sayısı
bulunabiliyorsa; x değişkeni a ya sağdan yaklaşırken f fonksiyonunun limiti L2 dir denir
ve lim+ f ( x) = L2 ile gösterilir.
x→a
f fonksiyonu (c, a) ∪ (a, d ) kümesi üzerinde tanımlı olmak üzere f fonksiyonunun x = a
daki soldan ve sağdan limitleri mevcut ve birbirine eşit ise (yani L1 = L2 ise) f
fonksiyonunun x = a daki limiti L1 dir, kısaca lim f ( x) = L1 ile gösterilir.
x→a
y
y
y = g (x)
y = f (x)
L2
g(a)
L1
L1
x
x
a
a
lim f ( x) = L1
x →a −
ve
lim f ( x) = L2
x →a +
L1 ≠ L2 olduğundan lim f ( x) yoktur.
x→ a
dir.
lim g ( x) = lim+ g ( x) = L1
x→a −
x→a
olduğundan
lim g ( x) = L1 dir.
x →a
y
y = h(x)
lim h( x) = lim+ h( x) = L1
x→a −
h(a)=L1
x→a
olduğundan
lim h( x) = L1 dir.
x→a
x
a
4
Örnek: lim(3 x + 2) = 8 olduğunu limitin tanımından hareketle gösteriniz.
x→2
y
y = 3x + 2
8+ε
8
8–ε
x
2–δ
2+δ
2
Örnek: Aşağıdaki limitleri , limitin tanımından hareketle gösteriniz.
a) lim( x 2 + 4) = 5
b) lim e
−
x →0
x →1
1
x2
=0
Problem: c ∈ R olmak üzere
lim c = c ve lim x = a
x→a
x→a
olduğunu limitin tanımından hareketle gösteriniz.
Teorem: A ⊆ R , f : A → R ve g : A → R iki fonksiyon, a ∈ R olsun.
Eğer lim f ( x) ve lim g ( x) limitleri varsa
x→ a
x→ a
1) k ∈ R olmak üzere lim(k ⋅ f ( x) ) = k ⋅ lim f ( x)
x→a
x→a
2) lim( f ( x) m g ( x) ) = lim f ( x) m lim g ( x)
x→a
x→a
x→a
3) lim( f ( x) ⋅ g ( x) ) = lim f ( x) ⋅ lim g ( x)
x→a
x→a
x→a
4) lim g ( x) ≠ 0 olmak üzere lim
x→a
x→a
f ( x)
f ( x) lim
= x→a
g ( x) lim g ( x)
x→a
(
)
a) lim 5 x 3 − 4 x 2 + 9 x + 3 = ?
Örnek:
x →3
c) lim
x →5
x 2 − 2 x + 16
=?
x→2
7x − 3
d) lim x2 − 5 = ?
x →5 x − 25
b) lim
Örnek: lim−
x →0
|x|
=?
x
lim+
x →0
|x|
=?
x
x+5
=?
x 2 − 25
|x|
=?
x →0 x
lim
⎧ x 2 − 2 x + 3, x ≥ 1
Örnek: f ( x) = ⎨ 2
fonksiyonunun x = 1 deki limitini araştırınız.
⎩− x + 2 x − 2, x < 1
3
Örnek: f ( x) = [| x |] fonksiyonunun x = 2 , x =
ve x = −1 noktalarındaki limitlerini
2
araştırınız.
5
Tanım: ∀ε > 0 için x > M olduğunda | f ( x) − L |< ε olacak şekilde bir M sayısı
bulunabilirse x → ∞ durumunda f fonksiyonunun limiti L dir denir ve lim f ( x) = L ile
x →∞
gösterilir.
Tanım: ∀ε > 0 için x < M olduğunda | f ( x) − L |< ε olacak şekilde bir M sayısı
bulunabilirse x → −∞ durumunda f fonksiyonunun limiti L dir denir ve lim f ( x) = L ile
x → −∞
gösterilir.
x+4
= 1 olduğunu gösteriniz.
x →∞
x
Çözüm: ε > 0 olsun. x ≠ 0 için
x+4
4
4
4
4
− 1 < ε ⇒ < ε ⇒ x > ⇒ x < − veya x >
x
x
ε
ε
ε
Örnek : lim
x+4
− 1 < ε kalır. Bu istenendir.
ε
ε
x
x+4
4
= 1 olduğu gösterilebilir.
Benzer şekilde M = − seçilerek lim
x
→
−∞
ε
x
M =
4
seçilirse ∀x >
4
için
1
=?
x →∞ x
lim
1
=?
x →∞ x + 2
lim
Örnek: lim
Örnek: lim
1
=?
x →∞ x 2
1
=?
x → −∞ x
1
=?
x → −∞ x 2
lim
lim
x+3
=?
x →∞ x + 2
Tanım: ∀K > 0 için 0 <| x − a |< δ olduğunda f ( x) > K olacak şekilde bir δ sayısı varsa
x → a durumunda f fonksiyonunun limiti ∞ dur denir ve lim f ( x) = ∞ ile gösterilir.
x→a
Tanım: Her K için 0 <| x − a |< δ olduğunda f ( x) < K olacak şekilde bir δ sayısı varsa
x → a durumunda f fonksiyonunun limiti − ∞ dur denir ve lim f ( x) = −∞ ile gösterilir.
x →a
Örnek: lim−
1
=?
x
Örnek: lim−
1
=?
x2
Örnek: lim−
1
=?
x−2
x →0
x →0
x→2
4x + 5
=?
x →∞ 5 x 2 + 2
Örnek: lim
lim+
1
=?
x
lim+
1
=?
x2
lim+
1
=?
x−2
x →0
x →0
x→2
3x 2 + 4 x + 5
=?
x →∞
x+2
lim
⎧
0,
an x n + L + a1 x + a0 ⎪
an
Sonuç: lim
,
=⎨
bn
x →∞ b x m + L + b x + b
m
1
0
⎪sgn a n ⋅ ∞,
bm
⎩
( )
3x 2 + 4 x + 5
=?
x →∞
5x 2 + 2
lim
n<m
n=m
n>m
6
Teorem: (Sandviç Teoremi)
a nın delinmiş komşuluğundaki her x için
g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) ve lim g ( x) = lim h( x) = L
x →a
x→a
ise lim f ( x) = L .
x →a
1⎞
⎛
Örnek: lim⎜ x cos ⎟ = ?
x →0
x⎠
⎝
x
sin x
= 1 ve lim
= 1 olduğunu gösteriniz.
x →0 sin x
x →0
x
Örnek: lim
sin 5 x
Örnek: lim
=?
x →0
4x
tan 5 x
sin 2 x
x
4
lim
= ? lim 2 = ? lim sin = ?
x →0
x
→
x
→∞
0
5
x
x
4x
sin 5 x
lim
=?
x→0 sin 4 x
Problem:
a)
a > 1 için lim a x = ∞ , lim a x = 0 ve
b)
0 < a < 1 için lim a = 0 , lim a x = ∞
x →∞
x →−∞
x
x →∞
x →−∞
olduğunu üstel fonksiyonun grafiklerinden yararlanarak görünüz.
Bazı özel fonksiyonların limitleri
(
1. lim f ( x) limiti varsa n ∈ N için lim ( f ( x) ) = lim f ( x)
n
x→a
x→ a
x→a
)
n
2. Uygun koşullar altında lim n f ( x) = n lim f ( x)
x→a
x→a
3. lim f ( x) = 0 ve a nın bir komşuluğunda g ( x) sınırlı ise lim f ( x) ⋅ g ( x) = 0 .
x→a
x→a
4. lim u ( x) = 0 , lim v( x) = ∞ ve lim u ( x) ⋅ v( x) = λ ise lim (1 + u ( x) )
v( x)
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
= eλ
Örnek: Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a) lim x sin 1
x →0
x
tan(mx)
x→0 tan( nx )
sin( x 2 )
x→0
x2
b) lim
cot(ax)
cot(bx)
sin( ax)
x→0 sin(bx )
c) lim
x
f) lim 1 − cos
x →0
x2
2
d) lim
e) lim+
g) limπ ⎛⎜ π − x ⎞⎟ tan x
x→ 2 ⎝ 2
⎠
h) lim x sin ⎛⎜ 2π ⎞⎟
x →∞
⎝ x ⎠
ı) lim ⎛⎜ 12 − cos24 x ⎞⎟
x →0 ⎝ x
x ⎠
i) lim 2 x + 3 sin x
x →0 4 x + 2 sin x
j) limπ sin x + cos x − 1
x → 2 1 + cos x − sin x
k) lim
x →0
sin(1 − cos x)
x →0
x
7
Örnek: Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a) lim ⎛⎜1 + 1 ⎞⎟
x →∞ ⎝
x⎠
x
b) lim (1 + 3 x )
c) lim (1 + x ) x
1
1
5x
x →0
x →0
n
n
d) lim (1 + mx) x
x
e) lim (1 + sin mx) x
x →0
x →0
x
g) lim 1 ln⎛⎜ 100 + x ⎞⎟
h) lim e x ln⎛⎜ e +x 1 ⎞⎟
x →∞ x
x →∞
⎝ x ⎠
⎝ e ⎠
log b ( x + h) − log b ( x)
ln( x + h) − ln( x)
i) lim
j) lim
,
h →0
h →0
h
h
x+h
x
(b > 0, b ≠ 1)
k) lim⎛⎜ b − b ⎞⎟ ,
h →0 ⎝
h
⎠
f) lim ⎛⎜ 3 + 2 x ⎞⎟
x →∞ ⎝ 4 + 2 x ⎠
ı) lim x ln⎛⎜ x + 1 ⎞⎟
x →∞
⎝ x −1 ⎠
(b > 0, b ≠ 1)
Örnek: Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a) lim x
x →∞
d) lim
x →∞
(x
(x
2
2
+ b2 − x
)
+ x − x2 + 5
)
b) lim
x →∞
e) lim
x →∞
(
x2 + x − x
)
c) lim
x→− ∞
(x
2
+x−x
)
x + 1 − 2x + 1
x
Örnek:
y = g (x)
y = f ( x)
⎧ x2 +1 , x ≤ 0
f , g : R → R , f ( x) = ⎨
⎩ x +1 , x > 0
ve
⎧ln( x + 1) , x ≥ 1
g ( x) = ⎨
fonksiyonları için
⎩ 2x − 3 , x < 1
lim ( f − g )( x) + lim− ( f ⋅ g )( x)
x →1+
x →0
limitinin değerini hesaplayınız.
8
Örnek:
⎧4 − x 2 ,
x ≤ −1
⎪ 2
f : R → R , f ( x) = ⎨ x + 1, − 1 < x < 0
⎪1 + x ,
0≤ x
⎩
fonksiyonu veriliyor. Aşağıdaki limitleri
hesaplayınız
a) lim f ( x)
x → −1
b) lim f ( x)
x→0
c) lim f ( x)
x→ 4
.
Örnek: f : R → R , y = f (x) fonksiyonun grafiği aşağıda şekildeki gibidir. Buna göre
veriliyor.
a) lim f ( x) = 1 ise r nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
x →r
b) lim+ f ( x) + lim f ( x) − lim− f ( x) = ?
x→0
x → −1
x →3
y
2
1
x
–3
–2
–1
1
–1
2
3
y=f(x)
ÖDEVLER
M. BALCI, Genel Matematik Cilt I
Sayfa 97-99 problemler
C.H. EDWARDS, D.E. PENNY, Matematik Analiz ve Geometri Cilt I
Sayfa 74-76 problemler
Sayfa 85-86 problemler
KAYNAKLAR
M. BALCI, Genel Matematik Cilt I, Balcı Yayınları, Ankara, 2003.
C.H. EDWARDS, D.E. PENNY, Matematik Analiz ve Geometri Cilt I, (çev.ed. Ömer AKIN), Palme Y., Ankara, 2001.
9