II. Tip Has Olmayan Integraller

ANALİZ II
II. Tip Has Olmayan İntegraller
Mahmut KOÇAK
II. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
Örnek
Örnek
c 2008 mkocak@ogu.edu.tr
Hazırlama Tarihi: Nisan 10, 2008
Osmangazi Üniversitesi
Sunum Tarihi: 21 Nisan 2008
2/7
II. Tip Has Olmayan İntegraller
(i). f : [a ,b ) → fonksiyonu 0 < < b − a özelliğindeki her için [a ,b − ] aralığında integrallenebilir ve b nin
solunda sınırsız olsun. Bu durumda
b−
t
f (x ) d x = lim−
lim
→0+
f (x ) d x
t →b
a
a
b
Örnek
Örnek
f (x ) d x integraline yakınsak denir ve
limiti mevcut ve sonlu ise
a
b
b−
f (x ) d x = lim+
a
→0
f (x ) d x limiti yok veya sonlu değilse bu integrale ıraksaktır denir.
t →b
a
a
t
f (x ) d x = lim−
şeklinde tanımlanır. lim+
f (x ) d x
t →b
a
b−
t
f (x ) d x = lim−
→0
a
II. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
II. Tip Has Olmayan İntegraller
3/7
(ii). f : (a ,b ] → fonksiyonu 0 < < b − a özelliğindeki her için [a + ,b ] aralığında integrallenebilir ve a nın
sağında sınırsız olsun.
b
b
f (x ) d x = lim+
lim
→0+
f (x ) d x
t →a
a +
t
b
II. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
f (x ) d x integraline yakınsak denir ve
limiti mevcut ve sonlu ise
a
b
b
f (x ) d x = lim+
f (x ) d x = lim+
→0
şeklinde tanımlanır.
t
b
b
f (x ) d x = lim+
lim
→0+
f (x ) d x
t →a
a +
a
Örnek
Örnek
b
f (x ) d x
t →a
a +
limiti yok veya sonlu değilse bu integrale ıraksaktır denir.
t
4/7
Not:
b
(i).
f (x ) dx = lim
−
t
t →b
a
f (x ) dx integrali f fonksiyonunun grafiği, x = a , x = b doğruları ve x -ekseni arasında kalan bölgenin alanı
a
olur.
(ii). f fonksiyonunun grafiği, x -ekseni ve x = a , x = b doğruları arasında kalan bölgenin x -ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan
C cisminin hacmi
b
t
2
2
V (C ) = π
f (x ) dx = π lim−
f (x ) d x
t →b
a
a
olur.
(iii). f fonksiyonunun grafiği, x -ekseni ve x = a , x = b doğruları arasında kalan bölgenin y -ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan
C cisminin hacmi
b
t
V (C ) = 2π
x f (x ) dx = 2π lim−
a
olur.
x f (x ) dx
t →b
a
II. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
Örnek
Örnek
Not:
5/7
Not:
b
(i).
f (x ) d x = lim
+
b
t →a
a
f (x ) d x integrali f fonksiyonunun grafiği, x = a , x = b doğruları ve x -ekseni arasında
t
kalan bölgenin alanı olur.
(ii). f fonksiyonunun grafiği, x -ekseni ve x = a , x = b doğruları arasında kalan bölgenin x -ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan C cisminin hacmi
b
V (C ) = π
b
2
f (x ) d x = π lim+
t →a
a
2
f (x ) d x
t
olur.
(iii). f fonksiyonunun grafiği, x -ekseni ve x = a , x = b doğruları arasında kalan bölgenin y -ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan C cisminin hacmi
b
V (C ) = 2π
x f (x ) d x = 2π lim+
x f (x ) d x
t →a
a
olur.
b
t
II. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
Örnek
Örnek
6/7
Örnek
9
dx
integralini hesaplayalım.
x
0
y
9
4
0
3
dx
= lim+
x →0
9
9
dx
= lim+ 2 x = lim+ 2 9 − 2 = 6
→0
x →0
olur ve integral yakınsaktır. 2
1
f (x ) = x
1
1
2
3
4
5
6
100.0
x
II. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
Örnek
Örnek
Örnek
7/7
Örnek
1
dx
integralinin yakınsaklığını inceleyelim.
x
0
y
1
4
dx
x −1
=
lim
→1−
0
3
dx
= lim− ln | x − 1|
x − 1 →1
0
0
=
lim (ln | − 1| − ln 1) = −∞
→1−
olduğundan verilen integrali ıraksaktır.
2
f (x ) =
1
1
2
3
1
x
4
5
6
100.0
x
II. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
Örnek
Örnek