L’HOSPİTAL KURALI Türevin uygulamalarından biri, limit hesabında kullanılmasıdır. Bir fonksiyonun x a noktasındaki limiti hesaplanırken karşımıza çıkan, 0 0 , , , 0. , 1 belirsizlikleri, 0 0 veya 0 , 0 , x 4 16 4 x3 0 4.23 32 lim lim 8 olur. 2.2 4 x 2 x2 4 x 2 2x 0 0 Örnek: belirsizliklerinden birine dönüştürülerek, L’Hospital Kuralı yardımıyla kolayca sonuçlandırılır. lim x 1 f ve g fonksiyonları ( a, b) aralığında türevlenebilir lim x 1 olsunlar. 2. Her x ( a, b) için g( x) 0 olsun. 3. c ( a, b) olmak üzere Eğer, lim f ( x ) lim g( x ) 0 xc xc lim x 1 f ' ( x) f ( x) lim L ise lim L dir. ' g x c ( x) x c g ( x) f ' ( x) 0 lim veya lim ' x c g ( x) 0 xc f ' ( x) g' ( x ) 0 x2 4 x 3 x3 5 x2 6 x 2 x2 4 x 3 ( 1)3 5.( 1) 6.( 1) 2 ( 1)2 4.( 1) 3 0 dır. 0 lim x 1 3 x2 10 x 6 2x 4 3.( 1)2 10.( 1) 6 2.( 1) 4 ise 1 2 Uyarı L’Hospital Kuralında Belirsizliği 0 x3 5 x2 6 x 2 L’Hospital Kuralını uygulayalım. yukarıdaki kural bir daha uygulanır. A. limitinin değerini araştıralım. olmak üzere, 4. x2 4 x 3 Çözüm: Kural 1. x3 5 x2 6 x 2 0 0 veya belirsizliğini ortadan kaldırmak için yapılan işlemin: payın türevini paya, paydanın türevini paydaya yazmak olduğuna dikkat ediniz. Örnek: Örnek: x 4 16 limitinin değerini araştıralım. lim x 2 x2 4 lim x3 Çözüm: x2 5 x2 3 x 2 limitinin değerini araştıralım. x6 3 Çözüm: x 4 16 24 16 0 lim lim dır. 0 x 2 x2 4 x 2 22 4 lim x3 L’Hospital Kuralını uygulayalım. x2 5 x2 3 x 2 x6 3 L’Hospital Kuralını uygulayalım. 1 0 0 dır. lim x3 x2 5 x2 3 x 2 3.22 12.2 12 2.2 4 x6 3 2x lim x3 2x 3 0 0 dır. Birinci uygulamamızda belirsizlik ortadan kalkmadığı için, tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım. 2 x2 3 x 2 1 2. x 6 2.3 x3 6 x2 12 x 8 lim x2 x2 4 x 4 2.3 3 117 2. 32 3.3 2 tür. 1 4 lim x2 lim x2 2. 3 6 Örnek: II.Yol tan 8 x lim limitinin değerini araştıralım. x 0 tan 2 x lim x2 x3 6 x2 12 x 8 x2 4 x 4 L’Hospital Kuralını uygulayalım. 8 8 2 2 tan 8 x cos ( 8 . 0 ) lim lim cos 8 x 1 4 tür. 2 2 2 x 0 tan 2 x x 0 2 2 1 cos 2 x cos ( 2.0) 2x 4 6 x 12 2 6.2 12 2 0 dır. ( x 2 )3 lim x 2 ( x 2 )2 ( x 2 )3 lim x 2 ( x 2 )2 Çözüm: tan 8 x tan 0 0 lim belirsizliği vardır. tan 0 0 x 0 tan 2 x 3 x2 12 x 12 lim ( x 2) 0 dır. x2 Uyarı 8 L’Hospital Kuralında belirtilen koşullar sağlandığı sürece, kural uygulanmaya devam edilir. Örnek: Örnek: lim x2 x3 6 x2 12 x 8 x2 4 x 4 x 1 2 limitinin değerini araştıralım. sin lim x 1 cos x 1 limitinin değerini araştıralım. Çözüm: Çözüm: lim x2 x3 6 x2 12 x 8 x2 4 x 4 23 6.22 12.2 8 22 4.2 4 0 0 x 1 2 sin dır. lim x 1 cos x 1 1 2 sin cos 1 L’Hospital Kuralını uygulayalım. L’Hospital Kuralını uygulayalım. lim x2 x3 6 x2 12 x 8 x2 4 x 4 lim x2 3 x2 12 x 12 2x 4 2 11 1 1 0 0 dır. x 1 2 lim x 1 cos x 1 x 2 sin . cos 2 Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım. lim x 1 . sin x x3 x 3 x2 1 6x lim lim lim x x3 x2 2 x 3 x2 2 x x 6 x 2 cos 1 2 0 dır. . 2 sin 0 Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım. x 1 2 sin lim x 1 cos x 1 . sin 2 2 . cos 6 lim 1 bulunur x6 Örnek: x2 5 x 1 limitinin değerini araştıralım. lim x x3 e x 1 Çözüm: x 2 5 x 1 2 5 1 dur. lim x x 3 e x 1 3 e 1 Örnek: L’Hospital Kuralını uygulayalım. x3 x limitinin değerini araştıralım. lim x x3 x2 2 x2 5 x 1 2x 5 lim lim 3 x x x e 1 x 3 x2 e x Çözüm: 3 dur. lim x x 3 x 2 2 3 2 2 L’Hospital Kuralını uygulayalım. x3 x olur. Belirsizliği x3 x Bu soru, limit bilgisiyle kısa yoldan sonuçlandırılabilirdi. Ancak, konuyu örnekleme düşüncesiyle, bu yöntem denendi. 1 1 1 1 . . tür. 2 2 1 4 B. x3 x 3 x2 1 6x lim lim lim 3 2 2 6 x 2 x x x 2 x 3x 2x x 1 2 . sin 2 x lim x 1 2 . cosx Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım. 1 cos 2 x lim x 1 2 sinx 1 . 2 6. 6. 2 2 2 lim 0 dır. x 6x ex 6. e Örnek: 3 x2 1 lim 3.2 1 lim lim x x3 x2 2 x 3 x2 2 x 3.2 2. x olur. 3 2 tan 2 x tan x limitinin değerini araştıralım. Çözüm: Çözüm: 2 lim x tan 2 x cos2 2 x lim 1 2 cos 2 x 2 x x 2 cos x 2 tan x lim 2 lim x. ln x 0. dur. lim x. ln x x 0 2 cos2 x x 0 2 cos2 2.02 2 2 2. cos2 2. 2. cos 2 0 2 olur. 1 x 0 0 olur. x. ln x 2. 1 C. 1 x 0 x L’Hospital Kuralını uygulayalım lim ln x lim ln x lim 1 x 0 x x 1 x0 x2 lim x 0 dır. x 0 lim .0 Belirsizliği .0 . 1 veya .0 1 0 .0 0 0 Örnek: düzenlemelerinden 4 lim x . sin limitinin değerini araştıralım. x x biri yapılarak sonuca gidilebilir. Örnek: Çözüm: 1 lim e x . limitinin değerini araştıralım. 4x 3 x 4 lim x . sin .0 dır. x x Çözüm: 4 lim x . sin lim x x x 1 lim e x . .0 dır. 4 x 3 x sin 4 x 0 olur. 1 0 x L’Hospital Kuralını uygulayalım. 1 ex lim e x . olur. lim 4x 3 x 4x 3 x lim x L’Hospital Kuralını uygulayalım. x . sin 4 x sin lim x 4 x 1 x 1 ex lim e x . lim dur. 4x 3 x 4 x Örnek: lim x. ln x limitinin değerini araştıralım. x 0 lim x 4 x2 . cos x x 2 1 4 lim ( 8). lim cos . lim x 2 xx . x x x 8.1.0 0 dır. 4 4 D. Belirsizliği 1 0 1 0 0 0 sin( .1) cos(.1) 2 lim x 1 . cos(.1). cos( .1) sin( .1). sin(.1) 2 2 düzenlemesiyle sonuca gidilir. 2 .1 .( 1) 2 lim 2 olur. .( 1 ). 0 1 . 0 0 x 1 Örnek: 1 1 lim limitinin değerini araştıralım. sin(x ) cos( x ) x 1 2 Örnek: 1 1 limitinin değerini araştıralım. x 1 sin(x ) x 1 Çözüm: lim 1 1 lim sin(x ) cos( x ) x 1 2 1 sin 1 cos Çözüm: 2 1 1 1 1 x 1 sin(x ) 1 1 sin(.1) x 1 lim 1 0 1 0 dur. 1 1 lim sin(x ) cos( x ) x 1 2 cos( x ) sin(x ) 2 lim x 1 sin(x ). cos( x ) 2 1 0 1 0 dur. 1 1 lim sin(x ) x 1 x 1 sin(x ) x 1 ( x 1). sin(x ) x 1 lim 0 0 L’Hospital Kuralını uygulayalım. olur. 1 1 x 1 sin(x ) x 1 lim L’Hospital Kuralını uygulayalım. 1 1 lim sin(x ) cos( x ) x 1 2 cos( x ) sin(x ) 2 lim x 1 sin(x ). cos( x ) 2 sin(x ) x 1 ( x 1). sin(x ) x 1 . cos(x ) 1 sin(x ) .( x 1). cos(x ) x 1 sin( x ) cos(x ) 2 2 lim x 1 . cos(x ). cos( x ) sin( x ). sin(x ) 2 2 5 lim lim . cos(.1) 1 sin(.1) .(1 1). cos(.1) 1 00 dur. Örnek: 1 1 limitinin değerini araştıralım. lim x 3 x 3 ln( x 2) 1 1 1 ( 3 2 )2 dir. 1 1 11 2 3 2 ( 3 2 )2 Çözüm: 1 1 dur. lim x 3 x 3 ln( x 2) E. 0 0 0 , , 1 Belirsizlikleri Bu tür belirsizliklerde, e tabanında logaritma alınarak sonuca gidilir. 1 1 lim ln( x 2) x 3 lim x 3 x 3 ln( x 2) x 3 ( x 3). ln( x 2) Örnek: L’Hospital Kuralını uygulayalım. 15 lim (1 5 x ) x limitinin değerini araştıralım. x0 1 1 lim ln( x 2) x 3 lim x 3 x 3 ln( x 2) x 3 ( x 3). ln( x 2) Çözüm: 1 1 x 2 lim x 3 1. ln( x 2) x 3 x2 lim (1 5 x ) x (1 5.0) 0 1 olur. x0 15 y (1 5 x ) x olsun. 1 3 2 1 lim x 3 ln(3 2) 3 3 32 11 0 0 15 15 15 15 y (1 5 x ) x ln y ln(1 5 x ) x 0 ln y 0 15 x . ln(1 5 x ) 1 15. ln(1 5 x) x Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım. lim (ln y ) lim x0 x 0 1 1 1 1 x 2 lim lim x 3 x 3 ln( x 2) x 3 1. ln( x 2) x 3 x2 L’Hospital Kuralını uygulayalım. 0 0 15. ln(1 5 x ) x lim (ln y ) lim x0 x 0 2 ( x 2) lim 1 x 2 x 3 x3 x 2 ( x 2 )2 1 15. 5 15. 5 1 5.0 lim 1 5 x 1 1 x 0 6 75 lim (ln y ) 75 ln lim y 75 x 0 x0 lim y e x0 lim x 0 (ln y ) 75 15 sin2 x x. cos x x0 lim 75 lim (1 5 x ) x e tir. x0 cos x x. sin x x 0 lim x 0 x lim limitinin değerini araştıralım. x 0 cos 0 0. sin 0 x 0 lim y 0 x 0 lim y e x0 x 0 yx x sin x sin x 0 sin 0 0 olur. (ln y ) 0 ln Çözüm: lim 2. sin 0. cos 0 lim Örnek: sin x 2. sin x. cos x lim 0 0 dır. lim x 0 x 0 1 sin x 1 dir. Örnek: olsun. lim ln y ln x sin x ln y sin x. ln x olur. x 0 ln x lim (ln y ) lim sin x. ln x lim 1 x0 x0 x0 sin x Çözüm: (cot x ) sin x limitinin değerini araştıralım. lim x 0 (cot x ) sin x sin x (cot 0) sin 0 0 dır. olsun. L’Hospital Kuralını uygulayalım. y (cot x ) 1 ln x x lim (ln y ) lim lim 1 cos x x 0 x 0 x 0 sin x sin2 x ln y ln (cot x )sin x ln y sin x. ln(cot x ) olur. sin2 x lim x. cos x x 0 0 0 lim (ln y ) lim x 0 x 0 sin x. ln(cot) ln(cot x ) lim 1 x 0 sin x olur. L’Hospital Kuralını uygulayalım. Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım. 7 olur. ln(cot x ) lim (ln y ) lim 1 x 0 x 0 sin x (cot x )' lim cot x cos x x 0 2 sin x 1 2 sin x lim cot x cos x x 0 sin2 x sin x sin 0 lim 2 x cos2 0 cos x0 2. Çözüm: a6 x 6 x6 x6 0 lim belirsizliği vardır. 4 4 4 4 0 axa x x x L’Hospital Kuralını uygulayalım. Verilen ifadede a nın değişken, x in sabit sayı olduğuna dikkat ediniz. a6 x 6 6 a5 3 a2 3 x2 dir. lim lim lim 2 a x a 4 x 4 a x 4 a3 a x 2 0 1 0 olur. 3. lim y e x0 lim x 0 lim x0 1 (cot x ) sin x 1 cos 2 x x3 limitinin değerini bulunuz. 1 cos 2 x x3 0 0 belirsizliği vardır. L’Hospital Kuralını uygulayalım. 1 dir. lim x0 1 cos 2 x x3 lim x0 2. sin 2 x 3 x2 0 0 dır. Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım. ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1. lim x0 Çözüm: lim (ln y ) 0 ln lim y 0 x 0 x 0 0 a6 x 6 limitinin değerini bulunuz. lim a x a4 x 4 lim x0 ex x limitinin değeri kaçtır? lim x x e10 1 cos 2 x x3 lim x0 Yoktur 2. sin 2 x 3 x2 lim x0 6x x. ln x lim limitinin değeri kaçtır? x x ln x Çözüm: 4. ex x e belirsizliği vardır. lim x x e10 e10 Çözüm: L’Hospital Kuralını uygulayalım. x. ln x lim belirsizliği vardır. x x ln x ex x ex 1 lim lim dur. x x e10 x 1 4. cos 2 x L’Hospital Kuralını uygulayalım. x. ln x ln x 1 lim lim dur. x ln x 1 x x 1 1 x 8 5. 8 x3 limitinin değeri kaçtır? lim x 2 cos x. 4 7. ln(cos 2 x ) limitinin değeri kaçtır? lim x 0 ln(cos x ) Çözüm: Çözüm: ln(cos 2 x ) 0 lim belirsizliği vardır. 0 x 0 ln(cos x ) 8 x3 0 belirsizliği vardır. lim x . 0 x 2 cos 4 L’Hospital Kuralını uygulayalım. 2. sin 2 x L’Hospital Kuralını uygulayalım. ln(cos 2 x ) lim lim x 0 ln(cos x ) x0 8 x3 3 x2 3.22 lim lim 2 x 2 cos x. x 2 sin x. . sin 4 4 4 4 4 12 6. 4 .1 48 cos x dir. 3x limitinin değeri kaçtır? lim x 3 cot x. 6 8. 0 lim belirsizliği vardır. 0 x 3 cot x. 6 2 sin 2 x . cos x lim x 0 cos 2 x sin x cos x . lim 2. sin 2 x lim x 0 cos 2 x x 0 sin x cos 0 2.2. sin x. cos x . lim cos(2.0) x 0 sin x 1 x x 0 1 e lim 1 limitinin değeri kaçtır? x Çözüm: L’Hospital Kuralını uygulayalım 3x lim lim x 3 cot x. x 3 6 1.4. cos 0 1.4.1 4 tür. Çözüm: 3x cos 2 x sin x 1 x x 0 1 e 1 x x 0 1 e lim 1 6 lim x. sin2 6 x. 6. sin2 6 lim x3 1 dur. x 1 lim x x 0 x x 1 e 0 x 0 dır. x.(1 e ) L’Hospital Kuralını uygulayalım 1 x x 0 1 e lim 3. 6. sin2 6 6.1 6 dir. 9 lim 1 lim x x 0 1 e x x x x 0 (1 e ) e .x x x 1 e x x.(1 e ) 1 e0 1 e0 e0 .0 2 0 dur. 9. 4 lim 3 x e 2 x x limitinin değeri kaçtır? x0 Çözüm: 4 2 . 0 lim 3 x e2 x x ( 3.0 e ) 0 1 belirsizliği vardır. x0 4 4 y (3x e 2x x ) olsun. 4 2 x ln y ln ( 3 x e ) x ln y 4 x . ln ln(3 x e 4.( 3 x e2 x ) x lim (ln y ) lim x0 x 0 0 0 2x ) olur. olur. L’Hospital Kuralını uygulayalım. 4.( 3 x e2 x ) x 3 2.e2 x 4. 2x 3 x e lim 1 x 0 lim (ln y ) lim x0 x 0 4. 3 2.e 3.0 e 1 2.0 2.0 4. 32 1 20 olur. 1 lim (ln y ) 20 ln lim y 20 x 0 x0 lim y e x0 20 4 2x x 20 lim ( 3 x e ) e dir. x0 KONU BİTMİŞTİR 10 11