Çarpanlara Ayırma - Hasan KORKMAZ`ın Web Sayfası

İZMİR FEN LİSESİ 10 MATEMATİK
ÇALIŞMA SORULARI: (Çarpanlara Ayırma)
l) (xy+xz+yz)(x+y+z)-xyz
C: (x + z) (x + y) (y + z)
01. Aşağıdaki polinomlardan hangilerinin asal polinom
olduğunu belirtiniz.
2
2
2
2
a) 7x +7 b) 7x -13 c) 13x +17 d) x –x+7
2
2 2
2 2
2
m) 2a b+4ab -a c+ac -4b c+2bc -4abc
C: (2 b - c) (a - c) (a + 2 b)
2
2
2
n) x(y-2z) +y(x-2z) -2z(x+y) +8xyz
2
3
4
5 3
e) x +x-7 f) x +19 g) x +4 h) x -8x +x
C: (x + y) (y - 2 z) (x - 2 z)
02. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlara ayırınız.
2
a) a +ab-3a-3b
3
2
o) x +5x +3x-9
C: (a - 3) (a + b)
C: (x - 1) (x + 3)
3
2
2
b) 2x +4 x y-6xy
ö) x(x+1)(x+2)(x+3)+1
3- 5 2
3+ 5 2
C: (x +
) (x +
)
2
2
C: 2 x (x + 3 y) (x - y)
4 3 2
c) x -3x -6x +14x+12
C: (x - 3) (x + 2) (x
2
2
p) (a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+15
C: (a + 2) (a + 6) (a + 4 - 6 )(a + 4 + 6)
- 2 x - 2)
d) xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1
2 23
2 23
2 23
q) (a +b ) - (b +c ) – (a -c )
C: (x - 1) (z - 1) (y - 1)
C: 3 (a
3 2
e) x -7x +7x+15
2
2
2
2
+ b )(b + c ) (a - c) (a + c)
4 2
r) x +x + 2x+2
C: (x - 5) (x - 3) (x + 1)
2
2
C: (x + 2x+1)( x - 2x+2)
6
4 2
3
2 4
3
2
f) 4x –4x y +12x y+x y –6xy +9y
C: (2 x
3
2 2
+3y-xy )
Harfli İfadelerle İlgili İşlemlerde Bilgisayar Desteği
ve Bazı Uygulamaları:
2 2 2
g) (x –x) -2x +2x+4
Bir çok matematik problemini, bilgisayarın desteğini
alarak kolayca çözebiliriz.
2
2
C: (x-2) (x+1)
Harfli ifadeleri ya da asal olmayan polinomları
çarpanlara ayırmak veya harfli ifadelerin kuvvetlerini
hesaplamak için bazı bilgisayar programları vardır.
2 2
h) x +y +2x+2y+2xy+1
C: (x+y+1)
2
Bunun için matematik desteği veren uygun bir bilgisayar
programı kullanmalıyız.Bu amaca yönelik bir çok
program üretilmiştir.Bunlardan başta gelenlerden birisi
de Matlab programıdır. Matlab'ın kullanımıyla ilgili bilgi
edinmek ve çözümlü örneklerini incelemek için,
İzmir Fen Lisesi web sayfasının;
http://www.ifl.k12.tr/projedosyalar/dosyalar.htm
bağlantısından matlab.pdf dosyasını indirebilirsiniz.
2 2 2
ı) x +y -4z +2xy+3xz+3yz
C: (x + y + 4 z) (x + y - z)
i) x
10
5
+x -2
C: (x - 1) (x
4
+x
3
5
2
+ x + x + 1) (x+ 2)
expand ve factor komutları:
Sembolik nesnelerden oluşan polinomların kuvvetini
açmak için expand komutunu, bir polinomu çarpanlarına
ayırmak için factor komutunu kullanırız.
5
4 5 3 5 2 5
(x - 2x + 4x - 8x+ 16)
Örnek:
4 4 4 2 2 2 2 2 2
j) x +y +z -2x y -2x z -2y z
3
3
a) (x²-x+1) - (x²+x-1) açılımının sonucunu;
C: -(x+y+z)(y+z-x)(x+z-y)(x+y-z)
b)
8
7 9
3
2
6
4
5
-1 + 3 x - 3 x + 6 x + x + 10 x - 6 x - 10 x - 12 x + 12 x
2
2
k) (x +x+3)( x +x+4)-12
C: x (x + 1) (x
2
ifadesi bir polinomun kuvveti olduğuna göre hangi
polinomun kaçıncı kuvveti olduğunu bulduralım.
+ x + 7)
1
8 6 4 2
2
07.x -6x -5x -6x +1 ifadesinin bir çarpanı x +ax+1
Çözüm:
a) y=sym('(x^2-x+1)^3-(x^2+x-)^3');pretty(expand(y))
işlemi sonucu ekranda;
5
4
3
2
-6 x + 6 x - 2 x + 6 x - 6 x + 2 görülür.
olduğuna göre; çarpanlarına ayırınız.
2
2
3- 5
3+ 5
C: (x - x + 1) (x + x + 1) (x +
) (x +
) (x
2
2
3- 5
3+ 5
) (x )
2
2
b) z=sym('-1+3*x-3*x^8+6*x^7+x^9+10*x^3-6*x^210*x^6-12*x^4+12*x^5');pretty(factor(z))
işlemi sonucu ekranda;
3 2
3
(x - 1) (x + 1)
görülür.
3
2
3
2
08. x +ax -x-15 ve x +bx +19x+35 ifadelerinin ortak
2
çarpanı x +mx+n olduğuna göre; a,b,m,n kaç olmalıdır?
Örneğin; 2-e) deki
3 2
x -7x +7x+15 polinomunu matlab programı yardımıyla
C: a=1, b=9, m=2, n=5
09.
çarpanlarına ayıralım:Bunun için matlabın komut
satırına; aşağıdaki komutları yazalım;
2 2
a) x +y +2x-4y+5=0 ise x+y kaçtır?
2 2
b) ) x +y +4x+4=2xy+4y ise x-y kaçtır?
>>y=sym('x^3-7*x^2+7*x+15') (Enter)
>>factor(y)
(Enter)
1
= 3 olduğuna göre aşağıda istenenleri
x
hesaplayınız.
2 1
1
3 1
4
1
a) x +
b) x - c) x +
d) x +
2
x
3
4
x
x
x
Ekranda (x-5)*(x-3)*(x+1) ifadesi görünür.
Şayet ifadeyi daha anlaşılır biçimde yazdırmak istersek;
>>pretty(factor(y)) komutunu kullanmalıyız.Bu durumda
ekranda; (x - 5) (x - 3) (x + 1) sonucu görülür.
10. x +
Not: Aynı işlemi; sadece
pretty(factor(sym('x^3-7*x^2+7*x+15')))
komutunu kulanarak ta yapabiliriz.
e)
x+
1
f)
x
x-
1
1
g) x x +
x
x x
11.
Örneğin 2-q) deki
2 23
2 23
2 23
(a +b ) - (b +c ) – (a -c )
4
x -1
1
a) x>1 için x + =2 3 ise
kaçtır?
x
2
x
ifadesini matlab programı yardımıyla çarpanlarına
ayıralım:Bunun için matlabın komut satırına; aşağıdaki
komutları yazalım;
4
2
1
= 4 ise x - 18x + 5 kaçtır?
x
1
c) x - = 2 olduğuna göre;
x
3
1
3
1
x ve x +
kaçtır?
3
3
x
x
b) x -
>>y=sym('(a^2+b^2)^3-(b^2+c^2)^3-(a^2-c^2)^3')
>>pretty(factor(y))
veya sadece;
pretty(factor(sym(' (a^2+b^2)^3-(b^2+c^2)^3-(a^2c^2)^3') ))
yazarsak ekranda;
2 2
2 2
3 (b + c ) (a - c) (a + c) (a + b )
sonucu görülür.
3 3
2 2
d) a +b =a+b=7 ise a +b kaçtır?
12.
2
3
a
a a
a) a çift bir tam sayı ise
+
+
sayısının tam sayı
12 8 24
olduğunu ispat ediniz.
5
4
3
2
a
a
7a
5a
a
b) a∈Z ise
+
+
+
+
sayısının tam
120 12 24
12 5
sayı olduğunu ispat ediniz.
2
2
03. x –3xy+2y +x+2y+m ifadesi birinci dereceden iki
çarpana ayrılabilmesi için m kaç olmalıdır?m yi
bulduktan sonra çarpanlara ayırınız.
2 2
04. mx –y –4x+8y-15 ifadesi birinci dereceden iki
çarpana ayrılabilmesi için m kaç olmalıdır?m yi
bulduktan sonra ifadeyi çarpanlara ayırınız.
13. Aşağıdaki rasyonel ifadelerin basit kesir olup
olmadıklarını belirtip; basit kesir değilse basit kesirlere
ayırınız.
3
x
1
1-x
x+4
a)
b)
c)
d)
2
3
2
2
2
x +1
x +1
x +x
(x +2x+1)(x +4)
3
05. x +px+2 ifadesinde p kaç olmalıdır ki çarpanlardan
birisi tam kare olsun?
3
2
2
3
06. 12x -31x y+2xy +24y ifadesini çarpanlarından
5
x +5
2x+1
e)
f)
d)
2 2 2
5 2
2
2
(x-3)(x+2) (x +1)
x -x
(x +1)(x-1)
x+1
birisi x-2y ise diğer çarpanları bulunuz.
C: (4x + 3 y ) (3x - 4y)
2
14. a) Her n∈N için;
1
A
B
= +
olacak biçimde A
2
n n+1
n +n
24.
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlara ayırınız.
3
3
3
a) (a-b) +(b-c) +(c-a)
ve B sayılarını bulunuz.Bundan faydalanarak;
1
1
1
1
i)
+
+
+ …+
1.2 2.3 3.4
2006.2007
1
1
1
1
ii)
+
+
+ …+
1.2 2.3 3.4
n.(n+1)
1
1
1
iii)
+
+ …+
2006.2007
1001.1002 1002.1003
toplamlarını bulunuz.
C: 3 (a - b) (b - c) (c - a)
3 3 3
b) x +y +z -3xyz
2
2
2
C: (y + x + z) (x + y + z - x y - y z - x z )
2
2
2
c) x(y-z) +y(x-z) +z(x-y) +8xyz
A
B
C
1
= +
+
olacak
n(n+1)(n+2) n n+1 n+1
biçimde A, B ve C sayılarını bulunuz.Bundan
faydalanarak;
1
1
1
1
i)
+
+
+ …+
1.2.3 2.3.4 3.4.5
2006.2007.2008
1
1
1
1
ii)
+
+
+ + …+
n.(n+1).(n+2)
1.2.3 2.3.4 3.4.5
1
1
iii)
+
+ …+
1001.1002.1003 1002.1003.1004
1
2006.2007.2008
toplamlarını bulunuz.
b) Her n∈N için;
15. m,n,p∈N+ olmak üzere; x
3m+2
+x
3n+1
+x
4
4
4
d) (x-y)(x+y) + (y-z)(y+z) + (z-x)(z+x)
2
2
2
C:-(x-y)(y - z) (z-x) (3 x + 3y +3z +5 x y + 5yz+5zx)
3
3
3
3
e) (a+b+c) -(b+c-a) -(c+a-b) -(a+b-c)
C: 24abc
3
3
3
f) a (b-c)+ b (c-a)+ c (a-b)
C: - (a - b) (b - c) (c - a) (a+b+c)
3p
4
4
4
g) a (b-c)+ b (c-a)+ c (a-b)
2
ifadesinin çarpanlarından birisinin x +x+1 olduğunu
2 2 2
C: - (a - b) (b - c) (c - a) (a +b +c + a b + bc + ca )
ispat ediniz.
5
5
5
h) a (b-c)+ b (c-a)+ c (a-b)
16. a) x=
b)
3
x+
17. x -
3
3
2-1 -
3
C: - (a - b) (b - c) (c - a)
2
2
2
2
2
3 3 3 2
(a +b +c +a b+a c +b a+b c+c a+c b+ abc )
3
2+1 ise x +3x kaçtır?
y = 2 ve x+y=1 ise
3
4 2 2
4 2 2
4 2 2
i) a (b -c )+ b (c -a )+ c (a -b )
xy kaçtır?
C: - (a + b)(b + c)( c + a)(a - b)(b - c)(c - a )
4
2 16
=x +
- 8 eşitliğini A(x).B(x)=0 biçimine
x
2
x
5 5 5
j) (x+y) -x -y
getirip, bundan faydalanarak denklemi çözünüz.
C: 5 x y (x + y) (x
2
2
18. xy+x+y=5 ve x y+xy =6 ise y>1 olmak üzere
2
2
+xy+y )
3 3 3 3
k) (a+b+c) - a - b - c
2
2
x +2y değeri kaçtır? (UMO)
C: 3(a+b)(b+c)(c+a)
3.1+2 3.2+2 3.3+2
3.9+2
19.
+
+
+…+
toplamı kaçtır?
1.2.3 2.3.4 3.4.5
9.10.11
(UMO)
2
2
l) 2x -2 3xy-3xy+3 3y
m) ab(a-b)+c(b-c)-ac(1-b)
C: (a b - c) (a - b + c)
20. x,y,z∈R olmak üzere;
2
2
2
2x +5y +10z -2xy-4yz-6xz+3 ifadesinin alabileceği en
küçük değer kaçtı? (UMO)
21. a≠-1 olmak üzere, a gerçel sayısı,
5
4
3
2
3
a + 5a +10a +3a -9a-6 = 0 eşitliğini sağlıyorsa (a+1)
kaçtır? (UMO)
2 2 2
22. a,b,c reel sayıları a +b +c =1 eşitliğini sağlıyorsa
ab+bc+ac ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?
(UMO)
3