Sevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Yeni sisteme uygun ve
advertisement
Sevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Yeni sisteme uygun ve çalışmalarınızda ışık tutacak MATEMATİK SORU BANKASI hazırladık. MATEMATİK SORU BANKASI tamamıyla Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu’nun belirlediği kazanımlara uygun hazırlanmıştır. Ayrıca bazı kazanımlar önceki sınavları ve yeni sınavlardaki soru modellerini içerecek şekilde zenginleştirilmiştir. Bu kitabı nasıl kullanmalısınız? Bu kitabın temel felsefesi siz değerli öğrencilerin çalışmaları sırasında eksik kalmayacak şekilde kazanımları öğretmesi, kolaydan zora bir yol izlemesidir. LYS MATEMATİK SORU BANKASI 10 üniteden ve bazı ünitelerin altında bölümlerden oluşmaktadır. Kazanım merkezli konu özetlerini ve NÖBETÇİ ÖĞRETMEN adı altında bazı güncel soru ve çözümlerini, Her kazanıma uygun, kavratan, öğreten ve ölçen soru modellerini, Temel düzeyden ileri düzeye doğru sıralanmış güncel, ÖSYM standartlarına uygun soruları bulacaksınız. Her bir üniteye girişte soru çözümlerinde anahtar konumunda olan özet konu anlatımları bulacaksınız. Bu anlatımları dikkatle okumalısınız. Konu anlatımlarında NÖBETÇİ ÖĞRETMEN adı altında bazı güncel sorular ve çözümlerini göreceksiniz. Yeşil renkli TEMEL DÜZEY TESTİ konuyu anlamanıza ve kavramanıza yardımcı olacak şekilde temel sorulardan oluşan testtir. Bu testteki soruları tamamen çözerek üniteyle ilgili temel bilgileri kavramış olacaksınız. Bu düzeyde her bir kazanım ayrı ayrı sorularla işlenmiştir. Mavi renkli ORTA DÜZEY TESTİ konuyla ilgili temel düzey bilgilerinizi bir sonraki düzeye taşıyan testtir. Bu düzeyde soruları tamamen çözerek bilgi düzeyinizi geliştirerek arttırmalısınız. Bu düzeyde bir kaç kazanımı bazı sorular içinde göreceksiniz. Kırmızı renkli İLERİ DÜZEY TESTİ bilgilerini daha da ileri düzeye taşıyan ve ünite hakkındaki bilgilerinizi tamamlamayı amaçlayan testtir. Bu testteki sorularda birkaç kazanımı bir arada görecek ve analiz edebilme yeteneğinizi geliştireceksiniz. Bu testteki soruları mutlaka çözmeli ve düzeyinizi artırmalısınız. Özetli konu anlatımından sonra KISA CEVAPLI (AÇIK UÇLU) SORULAR bulacaksınız. Bu sorular üniteyi genel olarak kapsayan soru modellerinden oluşmaktadır. Kitaptan en üst düzeyde yararlanabilmeniz için tüm soruları çözmeye çalışmanız, çözemediğiniz ya da yanlış yaptığınız soruları da mutlaka öğretmenlerinize danışmanız öneririz. Çünkü başarı peşinde koşuldukça gelir ve sizi hedefinize ulaştırır. Son sözde siz değerli öğretmenlerimize, MATEMATİK SORU BANKASI sizi öğrencilerinizle yapacağınız çalışmalarınızda tam hedefinize ulaştıracak bir kılavuzdur ve bu konuda iddialıyız. Bu kitap sizler için öğretmenlik hedefinizde bilgi düzeyinize birikim kazandıracak bir kılavuz kitaptır. Hedefinize ulaşmanıza yapacağımız katkı, bizim için en büyük mutluluk olacaktır. Levent TATKAN İTÜ Uçak Mühendisi Bu kitabın tüm yayın hakları İMES Yayıncılık'a aittir, tüm hakları saklıdır. Kitabın tamamı ya da bir kısmı, 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre yayıncının izni olmadan elektronik ortamda veya fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılamaz, yayınlanamaz, dağıtalamaz. www.imesyayinlari.com 0212 232 38 29 / 352 00 34 info@imesyayinlari.com imesyayinlari@gmail.com İÇERİK HARİTASI Özet konu anlatımı Yol gösterici notlar Kısa Cevaplı Sorular(Açık Uçlu Sorular) Nöbetçi Öğretmen ile öğretici örnekler Temel Düzey Testi Orta Düzey Testi İleri Düzey Testi 2. ÜNİTE: Modüler Aritmetik ..........................................................................................27 3. ÜNİTE: Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri......................................................................55 4. ÜNİTE: Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar......................................................................87 5. ÜNİTE: Gerçek Sayı Dizileri........................................................................................131 6. ÜNİTE: Limit ve Süreklilik.......................................................................................... 161 7. ÜNİTE: Türev .......................................................................................................... 183 8. ÜNİTE: İntegral.........................................................................................................235 9. ÜNİTE: Tekrarlı ve Dönel Permütasyon.......................................................................281 10. ÜNİTE: Deneysel ve Teorik Olasılık............................................................................293 İÇİNDEKİLER 1. ÜNİTE: Mantık .............................................................................................................5 7. BÖLÜM TÜREV 7.1. Türev Alma Kuralları (Test 1-2-3-4-5-6) 7.2. Türevin Geometrik Yorumu (Test 7-8-9) 7.3. 1. ve 2. Türevin Uygulamaları (Test 10-11-12) 7.4. Maksimum ve Minimum (ekstremum) Problemleri (Test 13-14-15) 7.5. Rasyonel Fonksiyonların Grafikleri (Test 16-17-18) 7.1. Türev Alma Kuralları 1. TÜREV KAVRAMI Matematikte, bağımsız bir x değişkeni ile buna bağlı olarak değişen bir y değişkeni arasındaki ilişkiyi ifade eden eşitliğe fonksiyon adı verilir. Bir fonksiyonda, y’nin x’e göre ani (bir andaki) değişme oranına türev diyeceğiz. Türev alma formülleri yardımıyla da bu oranı tespit edeceğiz. 2. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı x(t) = t3 + 10t bağıntısı ile verilsin. Hareketlinin [t1, t2] zaman aralığındaki ortalama x(t 2 ) − x(t1) hızı Vort = ile hesaplanır. t 2 − t1 Hareketlinin 5. saatteki hızını (yani o andaki hızını), h ¥ R+ olmak üzere, h Æ 0 için [5, 5 + h] veya [5 – h, 5] aralığında ortalama hızdan yola çıkarak buluruz. Bu hıza anlık hız denir. (5 + h)3 + 10(5 + h) − (53 + 10.5) lim Anlık hız = h→0 (5 + h) − 5 (125 + 3.25.h + 3.5.h2 + h3 + 50 + 10h ) − 175 h→0 (5 + h) − h = lim 175 + 85h + 15h2 + h3 − 175 h→0 h = lim y = x2 parabolüne A(3, 9) noktasında çizilen teğetin eğimini inceleyelim. A ve B noktalarından geçen doğrunun eğimi, y − y1 ile hesaplanır. mAB = 2 x 2 − x1 f(x) = x2 parabolüne A(3, 32) noktasında çizilen teğetin eğimini; h ¥ + olmak üzere, h Æ 0 için A ve B((3 + h), (3 + h)2) noktalarından geçen doğrunun eğimini kullanarak bulalım. (3 + h)2 − 32 9 + 6h + h2 − 9 = lim h→0 3 + h − 3 h→0 h lim mAB = lim h→0 6h + h2 = lim (6 + h) = 6 h→0 h→0 h = lim Buna göre, f(x) = x2 parabolüne A(3, 9) noktasında çizilen teğetin eğimi 6’dır. Bir fonksiyonun bağımlı değişkenindeki değişimin bağımsız değişkendeki değişme oranının limitine anlık değişme oranı denir. Bir fonksiyonun anlık değişme oranı türevdir. lim f (x) - f (x0) x"3 x - x0 limit değeri eğer varsa f(x) onksiyonunun x = x0 noktasındaki türevidir. Bu değer f(x) fonksiyonuna x = x0 noktasında çizilen teğetin eğimini verir. 85h + 15h2 + h3 h→0 h = lim = lim (85 + 15h + h2 ) = 85 km / sa h→0 3. TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI y y= 4. BİR FONKSİYONUN TÜREVİ x2 A � , a ¥ A ve f ise A’da tanımlı bir fonksiyon olsun. A 9 lim x →a edilen, 0 3 x lim h→0 f ( x ) − f (a ) x−a f ( a + h) − f ( a ) limiti varsa, bu limite f fonksih yonunun a noktasındaki türevi denir. f�(a) biçiminde gösterilir. 184 ya da x = a + h yazılarak elde LYS Matematik Soru Bankası 7.1. Türev Alma Kuralları Türev ile ilgili sembol karmaşasını ortadan kaldırmak adına aşağıdaki tabloyu inceleyiniz. 5.4. Köklü Fonksi̇ yonların Türevi f ( x ) = n g( x ) ise f ′ ( x ) = g′( x ) dir. Gösterim (sembol) Anlamı y� y = f(x)’in türevi f�(x) y = f(x)’in türevi df dx y = f(x)’in türevi Gösterim (sembol) Anlamı dy dx y = f(x)’in türevi f(x) = cos(g(x)) ise f'(x) = –g�(x) . sin(g(x)) d ( f ( x )) dx y = f(x)’in türevi f(x) = cot(g(x)) ise f'(x) = –g'(x) . [1 + cot2(g(x))] f�(a), a ¥ R y = f(x)’in a noktasındaki türevi n ⋅ n ( g( x ))n−1 n = 2 için, f( x ) = g( x ) ise f′( x ) = 5.5. Trigonometrik Türevleri g′( x ) 2 g( x ) dir. Fonksiyonların f(x) = sin(g(x)) ise f'(x) = g'(x) . cos(g(x)) f(x) = tan(g(x)) ise f'(x) = g'(x) . [1 + tan2(g(x))] f(x) = sec(g(x)) ise f'(x) = g'(x) . sec(g(x)).tan(g(x)) f(x) = cosec(g(x)) ise f'(x) = –g'(x).cosec(g(x)).cot(g(x)) 5. TÜREV ALMA KURALLARI 5.1. Sabit Fonksiyonun Türevi π f(x + 5) = tan x eşitliği ile verilen f fonksiyonu 2 için f'(6) değeri kaçtır? f: Æ olmak üzere, f(x) = c (c ¥ ) ise f�(x) = 0’dır. 5.2. Polinom Fonksiyonunun Türevi A) π 2 B) π 4 C) π D) 2π E) 3π f: Æ olmak üzere, f(x) = xn ise f�(x) = n · xn–1’dir. 5.3. Bir Fonksiyonun Kuvvetinin Türevi f(x) = [g(x)]n � f�(x) = n · [g(x)]n–1 · g�(x) 2 πx ′ f ( 2 x + 5 ) = tan 2 f(x) = (x – 5x) 1 2. f ′ 2. 2 fonksiyonunun türevini bulunuz. 2. f ′ ( 6 ) = f(x) = (x2 – 5x)4 ise f�(x) = 4(x2 – 5x)4 – 1(x2 – 5x)� f ′( 6 ) = ? πx ′ 2 πx ( 2 x + 5 ) ′. f ′ ( 2 x + 5 ) = . 1 + tan 2 2 π πx 2. f ′ ( 2 x + 5 ) = . 1 + tan2 2x + 5 = 6 2 2 6 4 ⇒ 2. f ′ ( 6 ) = ise f�(x) = 4(x2 – 5x)3(2x – 5) LYS Matematik Soru Bankası ⇒ 1 π π + 5 = . 1 + tan2 2 2 2 π π π . 1 + tan2 tan = tan 45 = 1 2 4 4 π π π .(1 + 12) ⇒ 2 . f ′ ( 6 ) = . 2 ⇒ f ′ ( 6 ) = 2 2 2 Doğru Cevap A’dır. 185 7.1. Türev Alma Kuralları 5.6. Logaritmik Fonksiyonların Türevi 1 f(x) = logax ise, f'(x) = ⋅ logae x f(x) = lnx ise, f'(x) = 1 x f(x) = loga(g(x)) ise, f'(x) = f(x) = ln(g(x)) ise, f'(x) = g′ ( x ) ⋅ logae g( x ) g′( x ) g( x ) • Bir fonksiyon türevli olduğu noktalarda süreklidir. • Bir fonksiyon sürekli olduğu her noktada türevli olmayabilir. • Bir fonksiyon süreksiz olduğu noktalarda türevsizdir. • Bir fonksiyonun sürekli olduğu hâlde türevsiz olduğu noktalar, fonksiyon grafiğinin kırılma noktalarıdır. 5.7. Üstel Fonksiyonun Türevi f(x) = ax ise f'(x) = ax · lna f(x) = ag(x) ise f'(x) = g'(x) · ag(x) · lna f^ x h = * f(x) = eg(x) ise f'(x) = g'(x) · eg(x) x2 - 1, x # 2 ise 5 - x, x > 2 ise fonksiyonun x = 2 noktasındaki türevini inceleyiniz. 4 – 5x + 6 y = 9x olduğuna göre y nin türevini bulalım. lim– f( x ) = lim−–( x 2 − 1) = 22 − 1 = 3 xxÆ2 → 2− 4 3 u = x – 5x + 6 ise u� = 4x – 5 y� = u� · 9u · ln9 ise 4 y� = (4x3 – 5) · 9x – 5x + 6 · ln9 lim f( x ) = lim++ (5 − x ) = 5 − 2 = 3 + xÆ2 x → 2+ lim f�(2+) = lim+ f( x ) − f(2) 5 − x − 3 − x + 2 = = = −1 x−2 x−2 x−2 – f( x ) − f(a ) x−a f�(2 ) ≠ f�(2+) Görüldüğü gibi f fonksiyonu x = 2’de süreklidir ama türevli değildir. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi limiti varsa, bu limite f fonksiyonunun x = a’daki soldan türevi denir ve f�(a–) ile gösterilir. f�(a+) = f�(a–) ise f fonksiyonu x = a noktasında türevlidir. f�(a+) ≠ f�(a–) ya da x = a’daki sağ veya sol türevlerden biri yok ise f(x)’in x = a’da türevi yoktur. 186 f( x ) − f(2) x 2 − 1 − 3 x 2 − 4 =x+2=4 = = x−2 x−2 x−2 x →2 f( x ) − f(a ) x−a limiti varsa, bu limite f fonksiyonunun x = a’daki sağdan türevi denir ve f�(a+) ile gösterilir. x →a − f�(2–) = lim− x →2 A � , a ¥ A, f: A Æ R, y = f(x) olsun. x → a xxÆ2 →2 f(2) = 22 – 1 = 3 x = 2’de f fonksiyonu süreklidir. 6. FONKSİYONLARIN TÜREVLENEBİLİR OLMASI lim+ xxÆ2 →2 f(x) = |g(x)| � fƒ ( x ) = g ƒ( x ) − g ƒ( x ) g( x ) > 0 g( x ) < 0 g(x) = 0 denklemini sağlayan x değerleri için sağdan ve soldan türevine bakılır. LYS Matematik Soru Bankası 7.1. Türev Alma Kuralları 7. TÜREVLENEBİLEN İKİ FONKSİYONUN TOPLAM, FARK, ÇARPIM VE BÖLÜMÜNÜN TÜREVİ 7.1. Toplamın ve Farkın Türevi f: Æ ve g: Æ olmak üzere, T(x) = g(x) + f(x) ise T�(x) = g�(x) + f�(x)’tir. 8. BİLEŞKE FONKSİYONUNUN TÜREVİ f: A Æ , g: B Æ , f fonksiyonu x ¥ A noktasında, g fonksiyonu f(x) ¥ B noktasında türevlenebilir ise (gof) fonksiyonu x ¥ A noktasında türevlenebilir. (gof)�(x) = g�(f(x)) . f�(x)’tir. y = f(x), x = g(z), z = h(t) ’de tanımlı üç fonksiyon olmak üzere, dy dy dx dz ’dir. . . = dt dx dz dt 7.2. Farkın Türevi f: Æ ve g: Æ olmak üzere, T(x) = g(x) – f(x) ise T�(x) = g�(x) – f�(x)’tir. 7.3. Çarpımın Türevi f: Æ ve g: Æ olmak üzere, y = f(x) ve y = g(x) için Ç(x) = f(x) . g(x) ise Ç�(x) = f�(x) · g(x) + g�(x) · f(x)’tir. 2 f(x) = (x2 + x)3 olduğuna göre f�(x)’i bulalım. f(x) = (x2 + x) · (x3 – 1) f�(x) = (x2 + x)� · (x3 – 1) f�(x) = (2x + 1) · (x3 – 1) 3 f(x) = (x + 2x) . (x – 1) olduğuna göre f�(x)’i bulalım. Parametrik Fonksiyonların Türevi y = f(x) fonksiyonu x = f(t) ve y = g(t) olmak üzere; f(x) = (x2 + 2x) · (x3 – 1) f�(x) = (x2 + 2x)� · (x3 – 1) + (x2 + 2x) · (x3 – 1)� f�(x) = (2x + 2) · (x3 – 1) + (x2 + 2x) · (3x2) f�(x) = 5x4 + 8x3 – 2x – 2 7.4. Bölümün Türevi dy g ′ ( t ) ’dir. dy y� = f�(x) = = dt = dx dx f ′( t ) dt y = 6t – 3 x = 5t – 4 f, g: A Æ , y = f(x) ve y = g(x) ≠ 0 için fƒ( x ) ⋅ g( x ) − g ƒ( x ) ⋅ f ( x ) f( x ) ise B'(x) = ‘dir. B(x) = 2 g( x ) g( x ) olduğuna göre dy i bulalım. dx 7.5. Türevin Fiziksel Yorumu Doğru boyunca hareket eden bir cismin konumu, hızı veya ivmesi zamana bağlı değişim olarak düşünülebilir. Doğru boyunca hareket eden bir cismin t anındaki konumu x(t) fonksiyonu olsun. Cismin t = t1 anındaki hızı V(t1) = x'(t1) dir. Cismin t = t2 anındaki ivmesi a(t2) = V'(t2) dir. dy dy dy = dt ⇒ = 6 ve dx dx dt dt dy 6 dx = olur. = 5 olduğundan dx 5 dt LYS Matematik Soru Bankası 187 7.1. Türev Alma Kuralları 9. YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREV y = f(x) fonksiyonu için, f�(x) = df , f(x)’in 1. mertebeden türevi dx d2 f f��(x) = , f(x)’in 2. mertebeden türevi dx 2 d3 f f���(x) = , f(x)’in 3. mertebeden türevi dx 3 f(n)(x) = f(n)(x), dn f dxn dn y , f(x)’in n. mertebeden türevidir. fonksiyonuna, A(–1, 1) noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır? f üzerindeki A(–1, 1) noktasından çizilen teğetin eğimi m = f�(–1) dir. f�(x) = 6x2 – 5 olur. ile de gösterilebilir. dxn f(x) = 2x3 – 5x + 3 m = f�(–1) ise 6 ·(–1)2 – 5 = 1 dir. 10.2. Fonksiyonun Artan - Azalan Olduğu Aralıklar f(x) = x4 f: [a, b] Æ R, f(x) fonksiyonu (a, b) aralığında türevli olsun. olduğuna göre, f(3)(2) değerini bulalım. ●● �x ¥ (a, b) için f�(x) > 0 ise f fonksiyonu (a, b) aralığında artandır. f(x) = 3 x4 ise f�(x) = 4x f��(x) = 12x2 f���(x) = 24x (3) f���(2) = f (2) = 24 · 2 = 48 olur. 10.TÜREVİN UYGULAMALARI 10.1. Teğet ve Normal Denklemleri ●● �x ¥ (a, b) için f�(x) < 0 ise f fonksiyonu (a, b) aralığında azalandır. A a y = f(x) fonksiyonunun grafiğine; A(a, f(a)) noktasında çizilen teğet doğrusunun eğimi m = f�(a)’dır. A(a, f(a)) noktasında çizilen teğetin denklemi; y – f(a) = f �(a) . (x – a) dır . y – f(a) = 188 fl ( a ) ●● �x ¥ (a, b) için f�(x) = 0 ise f fonksiyonu (a, b) aralığında sabittir. A(a, f(a)) noktasında çizilen normalin denklemi; −1 ⋅ ( x − a ) dır. LYS Matematik Soru Bankası 7.1. Türev Alma Kuralları 10. 3 Mutlak ve Yerel minimum, maksimum noktalar f: Æ , f(x) = c sabit fonksiyonunun mutlak maksimum değeri ve mutlak minimum değeri c’dir. y y = f(x) 4 3 10.5. Yerel Maksimum ve Yerel Minimum 2 f(c) y x –4 –3 –2 –1 1 2 4 a –4 c x b y = f(x) A � , f: A Æ bir fonksiyon, a, b ¥ A olsun. Şekilde f fonksiyonunun [–4, 4] aralığındaki görüntüsü verilmiştir. �x ¥ (a, b) için f(x) ≤ f(c) olacak biçimde bir c ¥ (a, b) varsa, f(c)’ye yerel maksimum denir. (–4, 1) aralığında f(x)’in alabileceği en büyük değer 2’dir. �x ¥ A için, f(x) ≤ f(c) olacak biçimde bir c ¥ A varsa, f(c)’ye mutlak maksimum denir. y = f(x) y Bu değere, yerel maksimum değer denir. (–2, 1) aralığında f(x)’in alabileceği en küçük değer 0’dır. Bu değere, yerel minimum değer denir. f(x)’in alabileceği en büyük değer 4’tür. f(c) Bu değere, mutlak maksimum değer denir. f(x)’in alabileceği en küçük değer –4’tür. a Bu değere, mutlak minimum değer denir. 10.4. Maksimum ve Minimum Noktaları f: A Æ , c ¥ A olsun �x ¥ A için f(x) ≤ f(c) ise; ●● f(c), f(x)’in A’daki mutlak maksimum değeri ve (c, f(c)) noktası da mutlak maksimum noktasıdır. �x ¥ A için f(x) ≥ f(c) ise; ●● f(c), f(x)’in A’daki mutlak minimum değeri ve (c, f(c)) noktası da mutlak minimum noktasıdır. Mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri fonksiyonunun uç noktalarıdır. c b x A � , f: A Æ bir fonksiyon, a, b ¥ A olsun. �x ¥ (a, b) için f(c) ≤ f(x) olacak biçimde bir c ¥ (a, b) varsa, f(c)’ye yerel (bağıl) minimum değer denir. �x ¥ A için, f(c) ≤ f(x) olacak biçimde bir c ¥ A varsa, f(c)’ye mutlak minimum değer denir. Fonksiyonun yerel maksimum veya yerel minimum değerlerine yerel ekstremum değeri denir. 10.6. Ekstremum Değerlerinin Bulunuşu f�(x) = 0 denkleminin kökleri, f�(x) fonksiyonunun tanımsız olduğu değerler ve f(x) fonksiyonunun tanım aralığının sınır değerleri için f(x) hesaplanır. LYS Matematik Soru Bankası 189 7.1. Türev Alma Kuralları Bulunan sonuçlardan en küçüğü f(x)’in mutlak minimum değeri, en büyüğü f(x)’in mutlak maksimum değeridir. 10.6.a. Birinci Türev Testi f: [a, b] Æ , c ¥ [a, b], f�(c) = 0 olsun. x a c – f�(x) Eğri, teğetin alt tarafında kalıyorsa, f fonksiyonu b x = c’de tümsektir (konkavdır). + f(x) Yukarıdaki tabloya göre f(x) fonksiyonunun x = c noktasında yerel minimumu vardır ve (c, f(c)) noktası yerel minimum noktasıdır. x f�(x) a c + b f: (a, b) Æ birinci ve ikinci türevleri alınabilen bir fonksiyon olmak üzere; – f(x) ●● �x ¥ (a, b) için f��(x) > 0 ise f(x) fonksiyonu (a, b) aralığında çukurdur. Yukarıdaki tabloya göre f(x) in x = c noktasında yerel maksimumu vardır ve (c, f(c)) noktası yerel maksimum noktasıdır. Bir fonksiyonda birden fazla yerel maksimum veya yerel minimum olabilir. ●● �x ¥ (a, b) için f��(x) < 0 ise f(x) fonksiyonu (a, b) aralığında tümsektir. 10.8.a. Büküm (Dönüm) Noktası Bir fonksiyonun çukurluğunun yön değiştirdiği noktaya büküm (dönüm) noktası denir. f: [a, b] Æ R, c ¥ [a, b], f��(c) = 0 olsun. 10.7. Maksimum ve Minimum Problemleri Fonksiyon verilmemişse, maksimum-minimum değeri aranan fonksiyon yazılır. ●● Birden fazla değişken varsa, veriler kullanılarak bir değişkene düşürülür. f��(x) fonksiyonu x = c’de işaret değiştirmiyorsa, x = c noktası büküm noktası değildir. ●● Bu değişkene göre türev alınır. ●● Bulunan türev fonksiyonun, sıfıra eşitlenerek kökü bulunur. aranan fonksiyonda yerine konur. 10.8. İçbükeylik ve Dışbükeylik f: Æ türevlenebilir fonksiyonuna (c, f(c)) noktasındaki teğeti çizilmiş olsun. Eğri, teğetin üst tarafında kalıyorsa, f fonksiyonu 190 10.8.b. İkinci Türev Testi f: (a, b) Æ , c ¥ (a, b), f�(c) = 0 olsun. ●● Bulunan kök, maksimum-minimum değeri x = c’de çukurdur (konvekstir). ise f(x) fonksiyonunun x = c noktasında büküm noktası vardır. ●● f��(c) > 0 ise f(c), f(x) fonksiyonunun minimum değeridir ve (c, f(c)) noktası yerel minimum noktasıdır. ●● f��(c) < 0 ise f(c), f(x) fonksiyonunun maksimum değeridir ve (c, f(c)) noktası yerel maksimum noktasıdır. ●● f��(c) = 0 ise (c, f(c)) noktası f(x) fonksiyonunun yerel ekstremum noktası değildir, büküm noktası olabilir. LYS Matematik Soru Bankası 7.1. Türev Alma Kuralları f(x) = x3 + mx2 + x + n fonksiyonunun dönüm noktası (–1, 2) olduğuna göre, m · n çarpımı kaçtır? 5 x2 + 1 = =-3 - x-2 x"2 0lim lim + x"2 5 x2 + 1 = + =+3 x-2 0 x2 + 1 Buna göre, x = 2 doğrusu f (x) = fonksiyonux-2 nun düşey asimptotudur. (–1, 2) fonksiyonun dönüm noktası ise f(–1) = 2 ve f��(–1) = 0 dır. 11.1.b. Yatay Asi̇ mptot f(–1) = 2 ise 2 = (–1)3 + m(–1)2 + (–1) + n 2 = –1 + m + n – 1 m+n=4 f�(x) = 3x2 + 2mx + 1 ise f��(x) = 6x + 2m y = f(x) fonksiyonu için; lim f ( x ) = a veya lim f ( x ) = a ise y = a doğrusu x →−∞ x →∞ f��(–1) = 6(–1) + 2m f fonksiyonunun yatay asimptotudur. 0 = –6 + 2m ise m = 3 tür. m = 3 ise n = 1 dir. Buna göre, m · n = 3 · 1 = 3 tür. f (x) = 11.FONKSİYON GRAFİKLERİ 3x x-1 fonksiyonunun varsa yatay asimptotunu bulalım. 11.1. Asimptot Kavramı Asimptot, bir fonksiyonun eğrisine yaklaşan, fakat eğriyi kesmeyen doğru veya eğridir. y = f(x) eğrisine sonsuzda teğet olan doğruya veya eğriye asimptot denir. ●● x eksenine dik bir doğru ise düşey asimptot, ●● y eksenine dik bir doğru ise yatay asimptot, 3x lim x "-3 x - 1 lim x "+3 Düşey asimptot dışındaki bütün asimptotlar, fonksiyon grafiği ile kesişebilir. lim f ( x ) = ∞ ise x = a x →a− doğrusu f fonksiyonunun düşey asimptotudur. f (x) = Buna göre, y = 2 doğrusu f (x) = 3x fonksiyonunun x-1 yatay asimptotudur. Bir f fonksiyonunun grafiği çizilirken; y = f(x) fonksiyonu için; x →a+ 3x =3 x-1 11.2. Fonksiyon Grafikleri 11.1.a. Düşey Asi̇ mptot lim f ( x ) = ∞ ya da =3 ●● Tanım kümesi ●● Görüntü kümesi ●● Varsa asimptotları ●● Eksenleri kestiği noktalar ●● 1. türevi alınarak artan veya azalan olduğu aralıklar x2 + 1 x-2 ●● 1. türevi alınarak varsa ekstremum noktaları fonksiyonunun varsa düşey asimptotunu bulalım. ●● 2. Türevi alınarak varsa büküm noktaları bulunur. Bu bilgilere göre grafik çizilir. LYS Matematik Soru Bankası 191 KISA CEVAPLI SORULAR Aşağıdaki 1 - 36. soruların cevaplarını ilgili alana yazınız. 4. m bir pozitif reel sayı olmak üzere, f(x) = 2x3 – mx2 – 8x f'(m) = 8 olduğuna göre, m kaçtır? 1. f(x) = 3x4 olduğuna göre, lim x"1 f (x) - f (1) x-1 cevap: 2 limitinin değeri Cevap kaçtır? cevap: 12 2. Cevap f^ x h = * 2x + 3 , x > 1 ise 5. olduğuna göre, f'(3) değeri kaçtır? x2 + 4, x # 1 ise fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevi kaçtır? cevap: 2 3. f(x) = |4x2 – x| cevap: 23 Cevap Cevap 6. f(x) = sin(sin6x) olduğuna göre, f'(0) değeri kaçtır? f(x2 + 2) = x4 + 4x2 + 1 olduğuna göre, f'(3) değeri kaçtır? cevap: 6 cevap: 6 Cevap Cevap 192 LYS Matematik Soru Bankası 7. f(x) = (x – 3)4(x + 2)3 10. f ve g reel sayılarda tanımlı iki fonksiyondur. g(2) = 4 gı(2) = 3 fı(4) = 2 ı olduğuna göre, f (4) değeri kaçtır? cevap: 972 Verilenlere göre, (fog)ı(2) değeri kaçtır? Cevap 8. f(x) = x2 + 4x olduğuna göre, (fof')(2) ifadesinin değeri kaçtır? cevap: 96 Cevap cevap: 6 Cevap 11. t dakika cinsinden zamanı göstermek üzere, konum-zaman fonksiyonu x(t) = 4t3 + 2t2 + 1 metre olan bir cismin t = 1 anındaki ivmesi kaç m/s2 dir? cevap: 28 Cevap 9. f(x) = 1 5 12. x5 – x3 – 1 f(x) = 7xlnx olduğuna göre fı(1) değeri kaçtır? fonksiyonunun 5. mertebeden türevi kaçtır? cevap: 7 cevap: 24 Cevap Cevap LYS Matematik Soru Bankası 193 13. f(x) = eax + 1 ı 7 olduğuna göre, f (2) = 3e olduğuna göre, a kaçtır? cevap: 3 14. Cevap f(x) = 4x3 – 3x2 – 2x + 1 eğrisinin x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? cevap: 34 Cevap 15. y y = f(x) –2 d3 dx3 ifasesinin x = 0 için değeri kaçtır? Cevap cevap: 6 17. f(x) = x2 – 2 cevap: 20 Cevap 18. f(x) = x3 + 2x + 2 1 2 eğrisinin hangi pozitif apsisli noktasındaki teğetinin eğimi 14 tür? x cevap: 2 g(x) = x · f(x) olduğuna göre, g'(2) değeri kaçtır? 194 x2 + 8 eğrisinin x = –1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi kaçtır? Şekildeki d doğrusu f(x) fonksiyonunun grafiğine (2, 3) noktasında teğettir. cevap: 5 (x2ex + x) d 3 –1 0 16. Cevap LYS Matematik Soru Bankası Cevap 19. f(x) = x2 – 2x + 5 22. fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır? cevap: 4 Cevap f(x) = x|x – 2| fonksiyonunun yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı kaçtır? cevap: 2 Cevap 23. y y = f'(x) 7 20. f(x) = x2 – 2ax + b fonksiyonunun yerel minimum noktası (1, –2) olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? –3 cevap: 0 –1 2 4 5 7 x Cevap Şekilde, y = f'(x) in grafiği veriliyor. Buna göre, f(x) in yerel ektremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? Cevap cevap: 4 21. 24. f(x) = x(x + 1)4 fonksiyonunun kaç tane dönüm noktası vardır? cevap: 2 Cevap f(x) = x2 · ex fonksiyonunun dönüm noktalarının apsisleri çarpımı kaçtır? cevap: 2 LYS Matematik Soru Bankası Cevap 195 y 25. 28. Her x gerçel sayısı için türevlenebilir bir f fonksiyoy = f'(x) –6 –3 1 7 II. dışbükey olduğu aralıkta f''(x) > 0 dır. III.(a, b) aralığında, a < b olmak üzere, f(a) > f(b) ise artandır. IV.x0 noktasında türevi varsa fonksiyonu bu noktada süreklidir. V.x0 noktasında fonksiyon sürekli ise bu noktada türevi vardır. x y = f'(x) türev fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = f(x) fonksiyonun azalan olduğu aralıklarda kaç tane tam sayı değeri vardır? nu için; I. içbükey olduğu aralıkta f''(x) < 0 dır. bilgilerinden kaçı daima doğrudur? cevap: 3 Cevap Cevap cevap: 7 29. y 20 A P f(x) = x3 + mx2 + nx + 1 fonksiyonunda apsisi x = –1 olan nokta dönüm (büküm) noktasıdır. 26. Fonksiyonun bu noktadaki teğetinin eğimi 7 olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? Cevap cevap: 13 B 10 O x AB doğrusu üzerinde bir P noktası alınarak x-eksenine ve y-eksenine dikmeler çiziliyor. Bu şekilde oluşturulan dikdörtgenin alanı en çok kaç birimkare olabilir? Cevap cevap: 50 27. f: → olmak üzere, 30. x ve y birer reel sayı olmak üzere, f(x) = 3x4 – 4x3 – 12x2 + 1 fonksiyonunun kaç tane yerel ekstremum noktası vardır? cevap: 3 196 Cevap x + y2 = 12 olduğuna göre, x · y çarpımının maksimum değeri kaçtır? cevap: 16 LYS Matematik Soru Bankası Cevap 31. Dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına dikenli tel çekilecektir. Bu iş için 60 m tel harcanmıştır. 34. y y = f''(x) 2 Buna göre, tarlanın alanı en fazla kaç m dir? cevap: 225 Cevap –4 –3 –2 x 1 Şekilde y = f''(x) türev fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, I. f(x), (–4, –2) aralığında artandır. II. x = –4 te minimum vardır. III. x = –4, x = –2 ve x = 1 apsisli noktalar f(x) in dönüm noktalarıdır. IV.x = –4 ve x = –2 apsisli noktalar f(x) in dönüm noktalarıdır. bilgilerinden kaçı doğrudur? cevap: 1 32. Bir silindirin taban yarıçapı ve yüksekliği toplam 18 Cevap cm dir. Hacmi maksimum olduğuna göre, taban yarıCevap çapı kaç olmalıdır? cevap: 12 35. y 2 33. f(x) = 4x + 1 Cevap b x–2 a fonksiyonunun düşey asimptotu x = a doğrusu ve yatay asimptotu y = b doğrusu ise a + b kaçtır? cevap: 6 2 x Cevap Şekilde f(x) = 2x + 6 x–2 fonksiyonunun grafiği veril- miştir. Buna göre, a · b çarpımı kaçtır? cevap: 9 LYS Matematik Soru Bankası 197 TEST 1 1. 7. BÖLÜM: TÜREV Bir hareketlinin t saniyede aldığı yol x(t) = 10t2 + 5t + 2 metre fonksiyonu ile veriliyor. 5. Hareketlinin 3. ve 5. saniyeler arasındaki ortalama hızı kaç m/sn dir? B) 90 C) 85 D) 80 E) 75 f^ x h = * 6. CCC_03_12.1.2.1._ A) 3 3. B) 2 C) f(x) = 2x2 olduğuna göre, lim x"1 1 3 D) f (x) - f (1) x-1 1 4 E) B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 f(x) = 2x2 – x + 3 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevi aşağıdakilerden hangisidir? f(x) = 2 x fonksiyonunun x = 9 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? x2 + 2, x # 1 ise CCC_03_12.1.2.2._ A) 0 2. 2x + 1, x > 1 ise fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevi aşağıdakilerden hangisidir? CCC_03_12.1.2.1._ A) 100 AAA_03_12.1.2.3._ A) 7 1 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 9 limitinin değe- f ^x h = 2x – 1 7. olduğuna göre, fı (1) değeri aşağıdakilerden hangisidir? 3 EEE_03_12.1.2.3._ A) 0 B) – ri kaçtır? x3 2 3 C) –2 D) –1 E) 1 AAA_03_12.1.2.1._ A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 8. 1 f : Æ , f(x) = x 2 fonksiyonu veriliyor. f^xh – f^ah lim x "a x–a 4. f(x) = kx2 + 2x fonksiyonunun x = –1 noktasındaki teğetinin eğimi 8 olduğuna göre, k kaçtır? AAA_03_12.1.2.1._ A) –3 B) –2 C) 1 D) 2 limitinin a türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? CCC_03_12.1.2.1._ A) 0 E) 3 B) 1 D) a 2 198 LYS Matematik Soru Bankası 1 2 C) 1 2 ·a E) 1 2a 1 2 7.1. Türev Alma Kuralları 9. f^xh = 3 3 x 13. ı olduğuna göre, f (x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? BBB_03_12.1.2.3._ A) 9̸x D) 10. 3 B) 1 3 x2 C) 3 x 2 AAA_03_12.1.2.3._ A) sinx + cosx B) sinx – cosx C)–sinx – cosx D) cosx – sinx E) 2cosx E) ̸x3 x 14. 2 f(x) = log5(3x2 – 3x) olduğuna göre, fı(x) aşağıdakilerden hangisidir? f(x) = In(x – 4x + 1) olduğuna göre, f'(1) değeri kaçtır? CCC_03_12.1.2.3._ CCC_03_12.1.2.3._ A) –3 f(x) = sinx – cosx olduğuna göre, fı(x) nedir? B) –2C)1 D) 2 E) 3 A) log5e C) 2x – 1 x^x – 1h B) log 5 e E) 11. D) 1 log 5 e x 3x 2 – 3x log 5 e f(x) = e5 + xπ olduğuna göre, fı (x) aşağıdakilerden hangisidir? CCC_03_12.1.2.3._ A) 5e4 + π B) 0 C) π D) π + 1 15. f(x) = |x – 5| · (x – 5) fonksiyonunun x = 5 noktasındaki türevi aşağıdakilerden hangisidir? E) xπ + 1 AAA_03_12.1.2.3._ A) 0 B) 1 D) 3 12. 2x – 1 x2 – x 1 C) 2 E) Türevi yoktur f(x) = x–8 – 8 olduğuna göre, fı(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? AAA_03_12.1.2.3._ –9 A) –8x –9 B) –8x –7 D) –8(x – 1) –8 –7 C) –8x E) –8x–8 16. f(x) = x2 – 2x olduğuna göre, (fof')(2) ifadesinin değeri kaçtır? AAA_03_12.1.2.4._ A) –4 LYS Matematik Soru Bankası B) –2 C) 0 D) 1 E) 3 199 TEST 2 1. 7. BÖLÜM: TÜREV f(x) = x + x olduğuna göre, lim f (x) - f (1) x"1 x-1 5. limitinin değe- A) 3 2. B) 2 C) 3 5 D) 4 3 E) 6. AAA_03_12.1.2.1._ C) 1 D) 2 A) 0 B) 1 f^xh = x2 – x C) 6 D) 12 E) 18 2 fonksiyonunun x = –1 noktasındaki teğetinin eğimi 9 olduğuna göre, k kaçtır? B) –2 olduğuna göre, fı(1) değeri kaçtır? 3 f(x) = kx2 – kx + 2 A) –3 f(x) = x3(x2 – x)3 AAA_03_12.1.2.4._ ri kaçtır? EEE_03_12.1.2.3._2 3x 2 olduğuna göre, fı(2) değeri kaçtır? DDD_03_12.1.2.3._ A) 0 E) 3 B) 1 6 C) 1 3 D) 1 12 E) 1 2 f: R " R 3. f^ x h = * 2x2, x $ 2 ise nx + m, x < 2 ise 7. f : → olmak üzere, f(x) = |x2| fonksiyonunun x = 2 noktasında türevinin olması için n kaçtır? fonksiyonunun varsa, x = 3 noktasındaki türevi aşağıdakilerden hangisidir? CCC_03_12.1.2.2._ A) 1 EEE_03_12.1.2.2._ A) –8 B) –2 C) 2 D) 4 D) 9 E) 8 f(x) = x4 – ax2 + 2x fı(3) = 80 B) 3 C) 6 E) Yoktur 4. 8. olduğuna göre, a nın değeri kaçtır? 200 B) 5 C) 6 D) 7 f(x) = |3x3 – 1| olduğuna göre, f'(2) değeri kaçtır? BBB_03_12.1.2.3._ A) 4 E) 8 BBB_03_12.1.2.2._ A) 42 LYS Matematik Soru Bankası B) 36 C) 32 D) 30 E) 28 7.1. Türev Alma Kuralları 9. f(x) = cos(ex) olduğuna göre, f'(0) değeri kaçtır? DDD_03_12.1.2.3._ A) –cos1° B) cos1° D) –sin1° C) 0 13. - 16. soruları aşağıdaki bilgilere göre cevaplandırınız. Bir hareketlinin t saniyede aldığı yol S(t) = –5t2 + 60t + 1 metre ile veriliyor. E) sin1° 13. Hareketlinin 3 saniyede aldığı yol kaç metredir? EEE_03_12.1.2.3._ A) 112 B) 120 C) 128 D) 132 E) 136 14. Hareketlinin 2. saniyede hızı kaç m/sn dir? 10. CCC_03_12.1.2.3._ 2 f(x) = sin(x + x – 2) A) 60 ı B) 50 C) 40 D) 32 E) 26 olduğuna göre, f (1) değeri kaçtır? DDD_03_12.1.2.3._ A) –3 B) –1 C) 0 D) 3 E) 5 15. Hareketlinin 2. saniyede ivmesi kaç m/sn2 dir? DDD_03_12.1.2.3._ A) –5 11. C) –8 D) –10 E) –12 f(x) = sinx fonksiyonunun 42. mertebeden türevi aşağıdakilerden hangisidir? DDD_03_12.1.2.5._ A) cosx B) –cosx D) –sinx 12. B) –6 C) sinx A) 5 17. B) 6 C) 8 D) 9 E) 10 C) 15 D) 27 f(x) = sin(sin4x) olduğuna göre, f'(0) değeri kaçtır? olduğuna göre, fı(1) değeri kaçtır? EEE_03_12.1.2.3._ CCC_03_12.1.2.4._ B) 3 BBB_03_12.1.2.3._ E) 42sinx f(x) = (3x – 2)5 A) 1 16. Hareketlinin hızı kaçıncı saniyede sıfır olur? E) 81 A) –1 LYS Matematik Soru Bankası B) –4 C) 0 D) 1 E) 4 201 TEST 3 1. 7. BÖLÜM: TÜREV 5. f(x) = ax3 + ax2 + 1 fonksiyonunun x = –2 noktasındaki teğetinin eğimi 16 olduğuna göre, f'(–1) kaçtır? DDD_03_12.1.2.1._2 A) –3 B) –2 C) 1 D) 2 f(x) = ̸xe olduğuna göre, fı(1) değeri aşağıdakilerden hangisidir? AAA_03_12.1.2.3._ e A) E) 3 2 D) 2. f(x) = C) 1 B) ex (x2 – 1) ex A) ln2 7. f^xh = x + 2 x – 3 x + 4 x + 5 x 5 4 ı A) 0 B) 1 C) –1 D) 2 1 x olduğuna göre, f(x) . fı (x) ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? EEE_03_12.1.2.3._ 1 2 ̸x3 D) 202 B) ̸x3 1 2 x olduğuna göre, fı(3) değeri kaçtır? A) 0 E) –2 C) E) – 1 2 2x 2 –x 2 C) 4 E) 8ln2 – 4 f(x2 + x + 1) = x4 – x3 + x2 + x BBB_03_12.1.2.4._ 8. f^xh = B) 3ln2 D) 8ln2 3 A) – 2 sidir? olduğuna göre, f (1) değeri kaçtır? e2 2 EEE_03_12.1.2.4._ BBB_03_12.1.2.3._ 4. 2 f(x) = (x2 + 1)(x + 1) g(x) = x f ı olmak üzere, d n (1) aşağıdakilerden hangig D) x2 – 1 x2 1–x 6. E) e2x 3. E) e–1 ex BBB_03_12.1.2.3._ ex 2 C) x olduğuna göre, fı (x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) e B) 4 3 C) 2 D) 1 E) 4 f(x) = 2x2 + 3x g(x) = x2 + 1 olduğuna göre, y = (fog)(x) in türevi aşağıdakilerden hangisidir? EEE_03_12.1.2.4._ A) 4x + 3 B) 2x C)4x3 + 3x2 + 4x + 3 D)8x4 + 6x3 + 8x2 + 6x E) 8x3 + 14x LYS Matematik Soru Bankası 7.1. Türev Alma Kuralları 9. t dakika cinsinden zamanı göstermek üzere, konum-zaman fonksiyonu x(t) = 2t3 + t2 – t metre olan bir cismin hız-zaman fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? AAA_03_12.1.2.3._ 13. x-2 f (x) g (x) = olduğuna göre, gı(2) aşağıdakilerden hangisine eşittir? CCC_03_12.1.2.4._ A) v(t) = 8t2 + 2t – 1 A) f(2) B) v(t) = 8t2 + t – 1 C)v(t) = 4t2 + 2t – 1 2 D) D)v(t) = 8t2 + 2t + 1 10. t dakika cinsinden zamanı göstermek üzere, 2t3 3t2 konum-zaman fonksiyonu x(t) = + metre olan bir cismin t = 2 anındaki ivmesi kaç m/s2 dir? EEE_03_12.1.2.3._ A) 12 B) 18 C) 20 D) 24 metre olan bir cismin 3. saniyedeki hızı 51 m/sn olduğuna göre, a kaçtır? CCC_03_12.1.2.3._ B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 y = u2 + 2u + 1 u = x3 + 1 dy olduğuna göre, türevinin x = 1 için değeri dx aşağıdakilerden hangisidir? 12. EEE_03_12.1.2.4._ A) 1 B) 3 C) 4 D) 6 1 x 3 + 1 x 2 C) E) + 1 f(2) 2 f2(2) 1 +x+ x +3 x x olduğuna göre, fı(1) değeri kaçtır? DDD_03_12.1.2.3._ A) 0 E) 30 11. Konum-zaman fonksiyonu x(t) = t3 + at2 + 1 A) 2 f (x) = f(2) E) v(t) = t2 + 2t – 1 14. B) 2f(2) D) – 15. B) –5 25 6 C) – E) – 3 5 6 2 f(x) = (x – 3)3(x – 2)2 olduğuna göre, fı(4) değeri kaçtır? EEE_03_12.1.2.4._ A) 1 16. B) 2 C) 4 D) 12 E) 16 f(x) = xa olduğuna göre, f(a)(x) değeri aşağıdakilerden hangisidir? CCC_03_12.1.2.5._ A) (a – 1)! x E) 18 LYS Matematik Soru Bankası D) –a! B) (a – 1)! C) a! E) a!x 203 TEST 4 1. f(x) = 7. BÖLÜM: TÜREV 5. 1 x olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun 10. dereceden türev değeri aşağıdakilerden hangisidir? EEE_03_12.1.2.5._ 10 –10 A) 10! · x B) –11! · x D) –10! · x–10 A) log310 D) loge 11 B) cotx D) –tanx E) C) loge10 loge 10 E) 10! · x–11 olduğuna göre, yı aşağıdakilerden hangisidir? A) –cotx B) log3e C) 11! · x f^ x h = * 2x3 + 2x2 + 1, x < –1 ise x 2, x $ –1 ise fonksiyonuna göre, f(1) + fı(–2) + fı(3) toplamı kaçtır? y = In(cosx) DDD_03_12.1.2.4._ f(x) = In(log3x) olduğuna göre, fı(10) değeri aşağıdakilerden hangisidir? EEE_03_12.1.2.4._ 6. 2. DDD_03_12.1.2.2._ A) 1 B) 9 C) 16 D) 23 E) 26 C) –sinx E) tanx 7. d dx (tanx – cotx) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? CCC_03_12.1.2.3._ 3. A) sec2x – cosec2x 1 C) 2 sin xcos2x f(x) = log11(cosx) olduğuna göre, fı(π) değeri aşağıdakilerden hangisidir? AAA_03_12.1.2.4._ A) 0 B) 1 D) log11e B) 1 + tan2x D) 1 + cot2x E) 1 + sec2x C) –1 E) –log11e 8. 4. f(x) = In(Inx) olduğuna göre, fı(e) aşağıdakilerden hangisidir? BBB_03_12.1.2.4._ A) 1 204 B) 1 e C) 0 D) e2 E) e f ve g reel sayılarda tanımlı iki fonksiyondur. g(3) = 5 gı(3) = 2 gı(2) = 4 gı(5) = –1 Verilenlere göre, (fog)ı(3) değeri kaçtır? BBB_03_12.1.2.4._ A) –5 LYS Matematik Soru Bankası B) –2 C) 8 D) 20 E) 40 7.1. Türev Alma Kuralları 9. f(x) = sin3(3x + π) olduğuna göre, fI c r 4 m ifadesinin eşiti aşağı- A) 10. 3 2 2 B) 9 2 C) 4 f(x) = tan(cotx) olduğuna göre, fI c 2 9 4 D) 3 2 4 E) 0 m değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) –2 B) –1 1 4 x4 – x2 – 1 B) 4 f(x) = e3x C) 6 D) 12 D) 3e3 E) 9e9 x = sin2α y = cosα B) –1 C) 0 D) 1 E) 4 ııı AAA_03_12.1.2.5._ 3x 3x – 3 x D) 6e B) 27e E) e C) 6e 3x f(x) = xx olduğuna göre, fı(e) değeri aşağıdakilerden hangisidir? BBB_03_12.1.2.4._ A) e + 1 + 27ex B) 2ee D) 2 E) 24 olduğuna göre, f (x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 27e C) 9e2 şeklinde tanımlanan y = f(x) fonksiyonunun α = π için türevi aşağıdakilerden hangisidir? 15. CCC_03_12.1.2.5._ 12. B) 3e2 E) tanımsız fonksiyonunun 4. mertebeden türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 A) e3 A) –4 C) 0 D) 1 f(x) = 3 CCC_03_12.1.2.4._ BBB_03_12.1.2.4._ 11. ex olduğuna göre, fı (3) değeri aşağıdakilerden hangisidir? 14. r 3 EEE_03_12.1.2.4._ dakilerden hangisidir? BBB_03_12.1.2.4._ 13. f ^ x h = 16. f(x) = ex g(x) = e–x olduğuna göre, E) e fı(1) gı(1) e C) 2e + 1 değeri kaçtır? DDD_03_12.1.2.4._ A) 1 LYS Matematik Soru Bankası B) –1 C) e2 D) –e2 E) –e 205 7.1. Türev Alma Kuralları 17. f(x) = emx + 1 olduğuna göre, fı(1) = e2 eşitliğini sağlayan m değeri kaçtır? BBB_03_12.1.2.3._ A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 21. f : [2, 5] Æ olmak üzere, f(x) = |3x2 – 7| + 5x fonksiyonu veriliyor. Buna göre, fı(x) aşağıdakilerden hangisidir? BBB_03_12.1.2.2._ A) 3x + 5 C)11x 18. B) 6x + 5 D) 8x E) 3x2 + 5x + 7 y = xInx fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? CCC_03_12.1.2.3._ A) xInx–1 22. B) 2Inx C)2Inx · xInx–1 fonksiyonu için fı(e) değeri kaçtır? D) Inx · xInx BBB_03_12.1.2.3._ E) 2Inx · xInx A) –1 19. V0 ilk hızı ile yukarı doğru atılan bir cismin t zaman içinde aldığı yol denklemi S = V0t – 1 23. B) 0 C) 1 BBB_03_12.1.2.3._ A) – 2 (g: yer çekimi ivmesi, g ≅ 10 m/sn ) D) e E) e2 f(x) = sin3x · cosx olduğuna göre, fI c gt2 2 f(x) = x · logxe 1 2 B) – 3 2 r 3 m ifadesinin değeri kaçtır? C) 0 D) ̸3 2 E) 1 olduğuna göre, V0 = 50 m/sn hızla atılan bu cismin 4. sn deki hızı kaç m/sn dir? BBB_03_12.1.2.3._ A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 30 24. 20. 3x 2 + 6 f(2x + 3) = A) 206 1 3 B) 1 2 C) 2 D) 3 1 + lnx olduğuna göre, fı (e) değeri kaçtır? AAA_03_12.1.2.3._ ı olduğuna göre, f (5) değeri kaçtır? BBB_03_12.1.2.4._ 2 – lnx f(x) A) – E) 6 LYS Matematik Soru Bankası 3 4e D) 3e 4 B) – 3e 4 C) – E) 3 4e 3 4 7. BÖLÜM: TÜREV TEST 5 1. fd 2x + 1 x –1 n= 4. f ve g reel sayılarda tanımlı iki fonksiyondur. g(3) = 5 gı(3) = 2 fı(5) = –1 x –1 2x + 1 olduğuna göre, fı(3) değeri kaçtır? AAA_03_12.1.2.1._ A) – 1 9 B) – 1 3 C) 0 D) 1 3 E) 1 9 Verilenlere göre, (fog)ı(3) değeri kaçtır? BBB_03_12.1.2.1._ A) –5 5. 2. f(x) ve g(x), [a, b] aralığında türevlenebilir fonksiyonlardır. B) –2 C) 8 D) 20 E) 40 x f(x) = 3(3 ) olarak tanımlanmıştır. Buna göre, fı (0) değeri kaçtır? EEE_03_12.1.2.1._ A) 0 B) 1 D) 9 · ln3 Bu fonksiyonlar için aşağıdaki bağıntılardan f(x) hangisi sağlanırsa oranı (g(x) ≠ 0 olmak g(x) üzere) daima artandır? C) 3 · ln3 E) 3 · (ln3)2 AAA_03_12.1.2.1._ A) f'(x) · g(x) > f(x) · g'(x) B) f(x) · g'(x) > f'(x) · g(x) C)f'(x) · g'(x) > f(x) · g(x) f(x) = x2 + g(3x – 4) olarak tanımlanmıştır. gı(2) = 4 6. D)f(x) · g(x) > f'(x) · g'(x) E) f'(x) > g'(x) olduğuna göre, fı(2) değeri kaçtır? DDD_03_12.1.2.1._ A) 4 3. f(x) = sin(lnx) olduğuna göre, f'(x) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? (x > 0) CCC_03_12.1.2.1._ A) sin(lnx) x B) D) cot(lnx) lnx sin(lnx) C) cos(lnx) x 7. B) 8 C) 12 D) 16 E) 20 f(x) = xlnx + x2 – 3x fonksiyonu veriliyor. Buna göre, fı(e2) ifadesinin değeri kaçtır? CCC_03_12.1.2.1._ A) 1 B) e2 D) e2 + 1 C) 2e2 E) 2e2 + 1 E) tan(lnx) LYS Matematik Soru Bankası 207 7.1. Türev Alma Kuralları 8. Bir hareketlinin t saniyede aldığı yol metre cinsinden, x(t) = 9t2 – 6t + 5 denklemi ile verilmiştir. 12. f(x – 1) = x3 – 3x2 + 3x + 8 olduğuna göre, fı (x + 1) aşağıdakilerden hangisidir? CCC_03_12.1.2.1._ A) (x + 1)2 Bu hareketlinin 4. saniyedeki hızı kaç m/sn dir? D) 3(x + 1)3 BBB_03_12.1.2.1._ A) 60 9. B) 66 C) 72 D) 78 y = ln(cos2x) A) –2tan2x B) –2cot2x C)–2sin2x D) 2cos2x E) 3 E) 84 fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? AAA_03_12.1.2.1._ C) 3(x + 1)2 B) 3(x + 1) 13. f(x) = 6xlnx olduğuna göre fı(1) değeri kaçtır? DDD_03_12.1.2.1._ A) ln6 B) 2ln6 C) 36 D) 6 E) ln3 E) 2sec2x 10. f(x2 – 1) = 3x4 – 2x2 olduğuna göre, f'(x) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? BBB_03_12.1.2.1._ A) 2x + 6 D) 11. B) 6x + 4 2 x +6 x C) 4x – 3 E) BBB_03_12.1.2.1._ A) cosx 15. C) 0 D) 2 B) –cosx D) –sinx C) sinx E) tanx f(x) = cos2x + sin2x olduğuna göre, fı(0) + f(0) ifadesinin değeri kaçtır? olduğuna göre, a – b farkı kaçtır? 208 y = sinx fonksiyonu için y(51) türevi aşağıdakilerden hangisidir? x2 AAA_03_12.1.2.1._ B) –3 x+2 f(x) = x2 + ax + b f(1) = f'(3) = 7 A) –4 14. E) 4 DDD_03_12.1.2.1._ A) 0 LYS Matematik Soru Bankası B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 7. BÖLÜM: TÜREV TEST 6 1. f(x) = x2e–x ı olduğuna göre f (–1) değeri kaçtır? BBB_03_12.1.2.3._ A) –5e B) –3e C) e D) 3e E) 7e 5. - 7. soruları aşağıdaki bilgilere göre cevaplandırınız. V0 ilk hızıyla aşağı doğru atılan bir cismin t zamanı içinde aldığı yol denklemi 1 S (t) = V0 t + gt2 2 dir. Burada, g yer çekimi ivmesidir. 5. Hareketlinin 2. saniyedeki hızı aşağıdakilerden hangisidir? CCC_03_12.1.2.3._ A) V0 – 2g C)V0 + 2g f(x) = (x – 2)2(x2 – a) fıı(0) = 2 2. B) 2V0 + g D) V0 + 4g E) 2V0 – g olduğuna göre, a kaçtır? DDD_03_12.1.2.3._ A) –4 B) –3 C) –2 D) 3 E) 4 6. Hareketlinin 2. saniyedeki ivmesi aşağıdakilerden hangisidir? AAA_03_12.1.2.3._ A) g 3. B) 2g C) g 2 D) g 4 E) 0 f(x) = x(x – 1)(x – 2) · … · (x – 17)(x – 18) olduğuna göre, f'(15) değeri kaçtır?? DDD_03_12.1.2.3._ A) 15! B) –2 · 15! D) –6 · 15! C) –3 · 15! E) 0 7. f(x) = (cosx)x olduğuna göre fı(0) değeri kaçtır? AAA_03_12.1.2.4._ A) e 4. B) 1 f(x) = 7cos5 d Kenarları saniyede 1 cm büyüyen bir karenin bir kenarının 4 cm olduğu anda alanındaki değişim hızı kaç m/sn2 dir? 8. A) 12 AAA_03_12.1.2.2._ BBB_03_12.1.2.4._ B) 8 C) 6 D) 4 E) 2 C) In2 2x 3 D) 1 E) e2 + 9n olduğuna göre, fı(x) fonksiyonunun periyodu aşağıdakilerden hangisidir? A) 3π LYS Matematik Soru Bankası B) 7π C) 9π D) 12π E) 14π 209 7.1. Türev Alma Kuralları f(x) polinom fonksiyonunun türevi fı(x) ve f(x) = fı(x) + 3x2 – 2x + 1 9. 13. olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun sabit terimi kaçtır? parametrik denklemi ile verilen y = f(x) fonkdy siyonu için ifadesi aşağıdakilerden handx gisidir? CCC_03_12.1.2.3._ A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 x = t2 + t – 1 y = ln(t2 + t + 2) AAA_03_12.1.2.4._ A) 1 2 t +t+2 2t C) 2t + 1 10. D) E) d3 dx3 B) 2 x (x e + x) (2t +1)2 1 2t + 1 2t + 1 t2 + t + 2 t2 + t + 2 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? DDD_03_12.1.2.4._ A) x2ex x B) ex(2x + 1) 2 C)e (x + 3x + 1) D) ex (x2 + 6x + 6) E) ex (x2 + 4x + 6) 14. f ^x h = 3 3x + 5 olarak tanımlanmıştır. Buna göre, f'(x) in f(x) cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? CCC_03_12.1.2.3._ C)[f(x)]–2 d (lnx) 11. x6 · dx B) [f(x)]–1 A) f(x) 5 5 E) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? DDD_03_12.1.2.4._ A) –24 B) –24x D) 24x E) 1 3 D) 3 . [f(x)]–2 [f(x)]–2 C) 24 24 x f(x) = xcosx olarak tanımlanmıştır. 3r n ifadesinin değeri aşağıdaBuna göre, fı d 2 kilerden hangisidir? 15. 12. f(7) = 3 fı(7) = 1 2 x g(x) = f(x) CCC_03_12.1.2.4._ A) 0 olduğuna göre, gı(7) aşağıdakilerden hangisidir? AAA_03_12.1.2.4._ A) – 210 7 9 B) – 4 9 C) – 2 9 D) 4 9 E) C) ln 7 9 LYS Matematik Soru Bankası 3π 2 B) 1 D) ln E) 2 π . ln 3π 2 3π +1 2 + 2 π 7. BÖLÜM: TÜREV TEST 7 1. f(x) = 2x3 – 3x + 5 fonksiyonun üzerindeki x = –1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) –4 B) –3 C) –1 D) 2 5. f(x) = 3x2 + 8x + 5 fonksiyonuna x = –1 noktasından çizilen normalin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? E) 3 A) y = 0 B) x = 0 C)x + 2y = 0 D) 2x + y = 0 E) x + 2y + 1 = 0 2. f(x) = x3 – 15x + 23 6. f(x) = x2 – 4x + 6 eğrisi üzerindeki A(3, 5) noktasından çizilen teğetin eğimi aşağıdakilerden hangisidir? fonksiyonunun x = 1 noktasındaki normalinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 A) 2y + x – 2 = 0 B) y + 2x – 3 = 0 C)2y – x – 5 = 0 D) 2y – x + 2 = 0 B) 9 C) 12 D) 27 E) 45 E) y + 2x + 3 = 0 3. f(x) = 4x3 – 5x2 – 3x – 2 eğrisinin x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) 8 B) 17 C) 25 D) 28 7. f(x) = 2x3 – 5 fonksiyonu üzerindeki A(1, m) noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? E) 32 A) y = 6x – 9 B) y = 2x + 3 D) y = 6x + 12 4. y = ax2 parabolü a nın hangi değeri için x + y = 1 doğrusuna teğettir? A) –1 B) – 1 2 C) – 1 3 D) – 1 4 E) – 1 5 8. C) y = 2x – 3 E) y = 6x + 9 f(x) = ex · lnx eğrisine üzerindeki x = 1 apsisli noktasındaki normalinin eğimi kaçtır? 1 A) – 2 LYS Matematik Soru Bankası B) – 1 e C) 1 e D) e E) 2 211 7.2. Türevin Geometrik Yorumu 9. f(4x – 1) = 2x3 + x2 + x – 2 olduğuna göre, y = f(x) fonksiyonun x = –1 deki teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = C)y = 1 4 1 4 (x + 1) x+ 9 4 E) y = 10. B) y = D) y = 1 4 1 7 x– 4 B) –6 C) –4 D) –2 E) 0 (x – 3) 14. fonksiyonunun y = 2x – 2 doğrusuna paralel olan teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? f(x) = mx3 + 3x – 10 eğrisi üzerindeki f(1, n) noktasından çizilen teğetin eğimi 9 olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? A) –5 B) y = 2x C)y = –3x – 1 a 1 (a - 3) x3 - x2 - x + 1 3 2 fonksiyonunun bütün reel sayılar için teğetinin eğim açısı dardır. A) –8 4 y = x2 + 1 A) y = –2x f (x) = Yukarıdaki koşulu sağlayan a sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? (x – 1) 4 1 13. B) –3 C) 2 D) 3 E) 5 D) y = –4x + 1 E) y = –2x – 3 11. Denklemi f(x) = sin(cos7x) olan eğrinin x = noktasındaki normalinin eğimi kaçtır? 1 A) – 2 B) – 1 7 C) 1 7 D) 1 2 f(x) = x3 + ax + 2 fonksiyonu x = –2 noktasında y = 2x – 1 doğrusuna teğettir. Buna göre, a değeri kaçtır? A) –10 212 14 E) 2 12. π B) –8 C) –4 D) –3 E) 0 15. x + y = 0 doğrusu, A(k, n) noktasında y = 2x4 + 6 eğrisine teğettir. Buna göre, k + n toplamı kaçtır? A) 16. 45 8 f (x) = B) 5 C) 9 2 D) 4 E) 7 2 x 1+ x fonksiyonunun x = 4 apsisli noktasındaki normalinin eğimi kaçtır? A) –4 LYS Matematik Soru Bankası B) –8 C) –12 D) –24 E) –36 7. BÖLÜM: TÜREV TEST 8 1. f(x) = sin(cos3x) şeklinde verilen eğrinin x = normalinin eğimi kaçtır? A) – 1 5 1 B) – 3 p 6 noktasındaki y 4. y = x3 d 1 C) –3 D) 1 3 A O E) 3 x 1 B Yukarıdaki şekilde d doğrusu A noktasında y = x3 fonksiyonuna teğettir. Buna göre, B noktasının apsisi kaçtır? A) –3 2. B) –2 C) –1 D) – 1 2 E) – 1 4 f(x) = –e2x – 2 eğrisi üzerindeki x = 1 apsisli noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = –2x + 1 B) y = 2x + 3 C)y = –3x – 2 D) y = –4x + 6 5. E) y = –2x – 6 f(x) = (x + 1)3 (̸x + x)2 olarak tanımlanmıştır. Buna göre, f(x) fonksiyonunun grafiğine x = 1 noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 96x – 64 B) y = 40x – 8 C)y = 8x – 1 D) y = 8x + 3 E) y = 4x – 2 3. y A 3 f(x) −2 O 1 x 6. d Şekildeki d doğrusu f(x) fonksiyonunun grafiğine A noktasında teğettir. g(x) = x · f(x) olduğuna göre, g'(–2) değeri kaçtır? A) –2 B) 0 C) 1 D) 3 E) 5 f(x) = 3x2 – 7 g(x) = 2x2 + 2 parabollerinin kesişme noktalarından g(x) fonksiyonuna çizilen teğetlerin arasındaki açının tanjantı kaçtır? A) 1 4 LYS Matematik Soru Bankası B) 1 217 C) 4 97 D) 6 217 E) 7 97 213 7.2. Türevin Geometrik Yorumu 7. 8. x3 + 8 f(x) = 11. 2 x +2 f(x) = mx2 + 2x + 3 eğrisinin x = 1 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eğimi kaçtır? fonksiyonu x = 3 noktasındaki teğeti x ekseninin pozitif yönüyle 45° lik açı yaptığına göre, m nin değeri kaçtır? A) –2 A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3 B) – A) 1 B) e2 C) e3 D) e4 x = et y = 5e–t 1 6 D) 1 E) 2 4 A) –5 f(x) B) –3 C) –1 D) 0 x 1 A) 32 f(x) = sinxcosx 1 2 C) – 1 2 D) 1 B) 36 C) 42 D) 48 E) 52 E) 3 olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun x = π noktasındaki teğetinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir? B) O Şekilde y = f(x) fonksiyonu ve d doğrusunun grafiği verilmiştir. g(x) = 4x3 · f(x) 13. A) 2 d olduğuna göre, g'(1) değeri kaçtır? parametrik denklemleri ile verilen y = f(x) eğrisinin x = 1 deki teğetinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir? 214 C) – A E) e5 10. y 12. –3 3 f(x) = x(Inx – 1) fonksiyonunun eğrisine, x = e apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi aşağıdakilerden hangisidir? 9. 1 f (x) = 3x + 3x + 4 fonksiyonunun x = 4 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) E) –1 LYS Matematik Soru Bankası 32 64 D) B) 27 64 29 64 C) E) 1 3 8 13 7. BÖLÜM: TÜREV TEST 9 1. f (x) = 5. sin x 1 + cos x y d r apsisli noktasın3 eğrisine üzerindeki x = 2 3 B) � 2 C) � 3 D) 1 2 O dan çizilen teğetin eğimi kaçtır? A) y = f(x) � 2 E) 2 � 45° x A 3 Yukarıda d doğrusu f(x) = ax2 + bx + c parabolüne A noktasında teğettir. Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) – 2. 3 2 B) –1 C) – 1 2 D) 0 E) 1 f(x) = x2 – 8x + 12 eğrisinin x eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetler arasındaki açılardan birinin tanjantı aşağıdakilerden hangisidir? A) 3. 4 15 B) 7 15 C) 8 15 D) 11 15 E) 13 15 y = 1 + lnx eğrisine, x eksenini kestiği noktada teğet olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 2x + 1 B) y = x e 6. y 2 C) y = x – 1 E) y = ex – 1 D) y = x + 1 O 2 4 3 x y = f(x) 4. y < 0 olmak üzere, x2 + y2 = 24 çemberinin x = 2̸2 noktasındaki teğetinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir? A) – ̸2 D) 2 B) –̸2 2 C) ̸2 Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonuna bağlı f(x) olarak g(x) = fonksiyonu tanımlanmıştır. x2 g(x) fonksiyonunun x = 3 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) – 5 18 D) E) 2̸2 LYS Matematik Soru Bankası B) – 1 3 4 27 C) 0 E) 4 9 215 7.2. Türevin Geometrik Yorumu 7. f(x) = x2 + 3 h(x) = 2 –x k 10. y +4 y = f(x) eğrileri dik kesiştiklerine göre, k aşağıdakilerden hangisidir? A) –2 B) –1 C) 1 D) 3 3 A –4 E) 4 P B α 0 x 5 Şekilde y = f(x) eğrisi ile (5, 3) noktasındaki teğeti verilmiştir. f (x) g (x) = x-4 olduğuna göre, g nin x = 5 deki teğetinin eğimi kaçtır? A) – 8. y= x2 8 3 B) – 1 2 C) 2 3 D) � 2 E) � 3 fonksiyonunun x = 1 ve x = –1 noktala|x| rındaki teğetleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Birbirine paraleldir. B) Birbirine diktir. C)60° lik bir açı ile kesişirler. D)x ekseni üzerinde sabit bir noktada kesişirler. E) y ekseni üzerinde sabit bir noktada kesişirler. y 11. 3 –1 9. x2 + y2 = 25 eğrisine (–3, 4) noktasında çizilen teğet doğrusunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı kaç birimkaredir? A) 125 12 D) 216 B) 625 24 625 18 C) E) 125 8 625 12 0 2 4 x Şekilde y = f(x) in grafiği verilmiştir. Eğrinin (3,2) noktasındaki teğeti x eksenine paraleldir. g(x) = (f(x) – 3)x olduğuna göre, g nin x = 3 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) –2 LYS Matematik Soru Bankası B) –1 C) 1 D) 3 E) 4 7. BÖLÜM: TÜREV TEST 10 1. 5. f(x) = x3 + 3x2 – 9 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) (–1, 0) B) (–2, –1) D) (–1, 3) 2. f(x) = x3 – x2 + ax + 5 fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsis değerleri çarpımının –2 olması için a kaç olmalıdır? C) (–2, 1) E) (–2, 0) A) –9 B) –6 C) –3 D) –2 E) 0 y y = f'(x) –6 –3 1 7 6. y = x3 – x2 + (1 – 2m)x + 1 fonksiyonunun iki tane ekstremum noktasının olması için m hangi aralıkta olmalıdır? x A) (–1, 0) B) (–2, –1) C) (–2, 1) 1 1 1 D) d , 3 n E) d - , n 3 3 2 y = f'(x) türev fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = f(x) fonksiyonun azalan olduğu aralıklardaki tam sayıların toplamı kaçtır? A) 11 B) 10 C) 8 D) 7 E) 6 7. 3. f(x) = x + 8x + 1 fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır? 4. B) –12 C) –9 D) –6 fonksiyonunun yerel minimum değerinin –3 olması için a kaç olmalıdır? B) 3 C) 6 D) 9 A) (2, –3) E) 12 B) (2, 1) D) (1, 0) E) –4 f(x) = x2 + 6x + a A) 0 f(x) = ln(x – lnx) fonksiyonunun ekstremum noktası aşağıdakilerden hangisidir? 2 A) –15 8. C) (1, 6) E) (1, 1) f(x) = x3 – 6x2 + 3x – 1 fonksiyonunun büküm noktasının ordinatı kaçtır? A) –11 LYS Matematik Soru Bankası B) –10 C) –9 D) –8 E) –7 217 7.3. 1. ve 2. Türevin Uygulamaları 9. 13. y = f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden han- x-1 f (x) = 3 x2 + 8 gisi yanlıştır? I. Eğri konkav ise f''(x) < 0 II. Eğri konveks ise f''(x) > 0 III.x1, x2 noktaları için x1 < x2 olmak üzere, f(x1) > f(x2) ise azalandır. fonksiyonunun minimum noktasının apsisi kaçtır? A) –3 B) –2 C) –1 D) 0 E) 1 IV.x0 noktasında türevi varsa fonksiyonu bu noktada süreklidir. 10. f(x) = V.x0 noktasında fonksiyon sürekli ise bu noktada türevi kesinlikle vardır. A)Yalnız II x B) Yalnız V D) II ve IV Ģx – 1 C) I ve III E) IV ve V fonksiyonunun yerel ekstremum değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 2 B) 3 2 C) 2 D) 3 E) 5 14. 11. y f(x) = x3 – 4x2 + 6x – 4 fonksiyonunun büküm (dönüm) noktasının apsisi kaçtır? A) 1 2 B) 1 C) 4 3 D) 2 f(x) E) 3 a b x f: [a, b] → fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? 12. A) Yerel maksimumu ile mutlak maksimumu aynıdır. f(x) = x4 + x3 fonksiyonunun yerel minimumunun apsisi kaçtır? A) – 218 3 4 B) – 1 2 C) 0 D) 1 2 E) 3 4 B) Yerel minimumu ile mutlak minimumu aynıdır. C)3 tane ekstremum noktası vardır. D)Daima artandır. E) Daima azalandır. LYS Matematik Soru Bankası 7. BÖLÜM: TÜREV TEST 11 1. 5. y y y = f(x) 7 −2 –3 –1 2 4 B) (–1, 4) D) (5, ∞) 4 −2 5 7 x x Şekilde, y = f(x) in grafiği veriliyor. Buna göre, f(x) in azalan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) [–1, 4] f' (x) 1 C) (–∞, 3) E) (–∞, 3) ‡ (2, 5) Yukarıdaki grafik f(x) fonksiyonunun 1. türevinin grafiğidir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi f(x) fonksiyonunun ekstremum noktalarından birinin apsisidir? A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 2. f: → olmak üzere, f(x) = 2x3 + 3x2 – 36x + 5 fonksiyonunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) (–3, 2) B) (–2, 3) D) (–1, 5) C) (–5, 1) E) (2, 3) 6. y f ı (x) –3 3. f: → olmak üzere, f(x) = 3x4 – 4x3 – 12x2 + 2 B) 1 C) 2 x 2 fonksiyonunun kaç tane yerel ekstremum noktası vardır? A) 0 –1 D) 3 E) 4 Yukarıdaki grafik f'(x) fonksiyonuna aittir. Buna göre, f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I.Kökleri x = –3 ve x = 2 dir. II.x = –1 de büküm noktası vardır. 4. 3 III.x = –3 de maksimumu vardır. f(x) = x – |x| fonksiyonunun kaç tane yerel ekstremum noktası vardır? IV.x = 2 de minimumu vardır. A) 4 A) 1 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 V.[–5, 1] aralığında azalandır. LYS Matematik Soru Bankası B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 219 7.3. 1. ve 2. Türevin Uygulamaları 7. f(x) = x3 + ax2 + bx + 2 fonksiyonunda apsisi x = –1 olan nokta dönüm (büküm) noktasıdır. 11. y Fonksiyonun bu noktadaki teğetinin eğimi 5 olduğuna göre, b kaçtır? f(x) a A) –4 x b B) –2 C) 2 D) 4 E) 8 f: [a, b] → fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu fonksiyonun kaç tane yerel maksimum noktası vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 12. f: → olmak üzere, f(x) = 3x4 – 4x3 – 12x2 + 17x fonksiyonunun dışbükey olduğu aralık x in kaç tam sayı değerini kapsar? 8. f: [–2, 4] → f(x) = |x2 – 1| fonksiyonunun mutlak minimumu a, mutlak maksimumu b dir. Buna göre, a · b çarpımı kaçtır? A) 0 B) 8 C) 15 D) 30 A) 0 f(x) = x · lnx fonksiyonunun ekstremum noktasının ordinatı kaçtır? A) –e B) e C) 2 e D) – 1 e E) 1 f(x) = x3 – 9x fonksiyonunun yerel maksimumu a, yerel minimumu b dir. Buna göre, a + b toplamı kaçtır? A) –3 220 B) –̸3 C) 0 D) ̸3 D) 3 E) 4 f(x) = 4x2 2x + 1 fonksiyonunun yerel minimum noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) –8 B) –7 C) –6 D) –5 E) –4 e 10. C) 2 E) 45 13. 9. B) 1 E) 3 14. f(x) = 2x3 – ax2 + 2x – b fonksiyonunun (1, 0) noktasında yerel ekstremumu olduğuna göre, a – b kaçtır? A) 2 LYS Matematik Soru Bankası B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 7. BÖLÜM: TÜREV TEST 12 2 n x daima azalan bir fonksiyondur. 3 1. y = da - Buna göre, a için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) a > 1 2 B) a < 3 2 D) a < 2 C) a < E) a > 4. Z 5 – x, x < –2 ise ] ] f^ x h = [ 2 x + 1, x $ –2 ise ]] 2 \ fonksiyonunun yerel minimumu x + 2y = c doğrusu üzerinde olduğuna göre, c kaçtır? 2 3 A) –2 3 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 2 5. 2. f(x) = x3 + 6x2 + 2 fonksiyonunun dönüm noktasındaki teğeti, mx – y + n = 0 y = h(x) bir fonksiyon olmak üzere, olduğuna göre, m – n kaçtır? hı(x) = x4 – 2x2 + 1 A) –20 olduğuna göre, h(x) fonksiyonu aşağıdaki aralıkların hangisinde dışbükeydir? A) 0 < x < 1 1 C) < x < 1 ̸3 B) –18 C) –16 D) –14 E) –12 B) –1 < x < 0 D) –2 < x < –1 E) 0 < x < 1 ̸3 6. f(x) = ax + 9 x+a fonksiyonu a nın hangi aralığında daima azalan bir fonksiyondur? A) (–2, 3) B) (–3, 2) D) (–2, 2) 3. f:< C) (–3, 3) E) (3, ∞) r 3r , F " R olmak üzere, 4 4 2sinx f(x) = sinx + 1 fonksiyonunun tüm ekstremum noktalarının ordinatları toplamı kaçtır? A) 4̸2 B) 4̸2 – 1 D) 4̸2 – 3 C) 4̸2 – 2 E) 4̸2 – 4 7. f (x) = 2x 3 - 6x 2 fonksiyonu hangi aralıkta azalandır? A) (–2, 4) LYS Matematik Soru Bankası D) (0, 4) B) (4, 12) C) (–2, ∞) E) [–4, 0] 221 7.3. 1. ve 2. Türevin Uygulamaları f(x) = x4 – x3 + 3x2 + 5x fonksiyonu verilmiştir. fıı(x) fonksiyonunun grafiği çizildiğinde yerel minimum noktasının koordinatları (a, b) dir. 8. 11. fonksiyonunun dönüm noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? A) –6 Buna göre, b – a farkı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 y –3 –2 0 f'' 1 C) 0 D) 4 E) 6 1 3 x - ax2 6 g (x) = fonksiyonunun dönüm noktasının apsisi x = 1 olduğuna göre, a kaçtır? A) –4 B) –4 E) 1 12. 9. f(x) = x2 · ex 1 3 1 B) 2 C) 3 2 D) 4 3 E) 1 x Şekilde y = f''(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 13. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin dönüm noktası yoktur? A) f(x) , (–4,1) aralığında artandır. A) f(x) = sinx B) x = –4 te minimum vardır. B) f(x) = cosx C)f(x) = x3 + 3x2 C)x = –4, x = –2 ve x = 1 apsisli noktalar f(x) in dönüm noktalarıdır. D) f(x) = x3 + 1 E) f(x) = x + 1 D)x = –4 ve x = –2 apsisli noktalar f(x) in dönüm noktalarıdır. E) x = 1 apsisli noktada maksimum vardır. y 14. 10. 3 –4 2 f(x) = x – 3x + x fonksiyonuna dönüm noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x + y = 0 B) 2x – y – 3 = 0 C)2x + y – 3 = 0 D) 2x + y – 1 = 0 E) 2x – y – 1 = 0 222 –2 –1 0 2 x 4 f' Şekilde y = f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, hangi x değeri için f fonksiyonu minimum değerini alır? A) –4 LYS Matematik Soru Bankası B) –2 C) –1 D) 2 E) 4 7. BÖLÜM: TÜREV TEST 13 1. x, y ¥ + olmak üzere, x + 3y = 18 olduğuna göre, x . y çarpımı en çok kaçtır? A) 15 B) 20 C) 24 D) 27 E) 30 5. t bir reel sayı olmak üzere, A(2t – 1, –2) , B(t + 2, t – 3) noktaları veriliyor. Buna göre, |AB| uzunluğunun en küçük değeri kaçtır? A) ̸2 B) 2̸2 2. Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları sırasıyla (x + 5) cm ve (14 – 2x) cm dir. Buna göre, bu dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 60 B) 64 C) 69 D) 72 x ve y2 birer pozitif tam sayı olmak üzere, x + y = 6 6. olduğuna göre, x · y2 nin en küçük değeri aşağıdakilerden hangisidir? E) 80 A) 0 3. x, y ¥ olmak üzere, x + y = 16 1 1 olduğuna göre, + toplamı en az kaçtır? x y A) 1 16 B) 1 8 C) 1 4 D) 1 2 C) 3̸2 E) 6̸2 D) 4̸2 7. B) 5 C) 25 D) 27 E) 32 Çevresi 80 m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin alanı en çok kaç m2 olabilir? A) 336 B) 364 C) 400 D) 456 E) 484 E) 1 8. 4. Toplamları 22 olan iki pozitif sayının kareleri toplamı en az kaçtır? A) 198 B) 216 C) 242 D) 274 E) 304 u ve r birer reel sayı olmak üzere, u + r2 = 12 olduğuna göre, u · r çarpımının maksimum değeri kaçtır? A) 18 LYS Matematik Soru Bankası B) 16 C) 14 D) 12 E) 10 223 7.4. Maksimum ve Minimum (ekstremum) Problemleri 9. B y 12 snx cosx A C C B 0 A x 1 y = −lnx Şekilde, 0 < x < 90°, |AB| = sinx birim, Şekilde verilenlere göre, OABC dikdörtgeninin alanı en çok kaç birimkaredir? |BC| = cosx birimdir. Bir hareketli B noktasından geçmek şartıyla A dan C ye gidecektir. A) 2e Buna göre, hareketlinin alabileceği en uzun yol kaç birimdir? A) ̸2 B) 2̸2 D) 4̸2 B) e C) 1 e D) 1 2e E) 2 e C) 3̸2 E) 6̸2 D 13. C ABCD paralelkenar, |DC| = x + 2 br |DH| = 3 – x br 10. Toplamları 8 olan iki pozitif sayının küpleri toplamı en az kaçtır? A) 96 B) 104 C) 112 A D) 120 B H E) 128 Yukarıdaki verilere göre, ABCD paralelkenarının alanı en çok kaç birimkaredir? A) 6 B) 5 C) 15 4 D) 21 4 E) 25 4 11. 100 m Bir kenarı kendi bahçe duvarı olacak biçimde 100 m dikenli tel kullanarak şekildeki gibi dikdörtgensel bir bölge ayırmak isteyen bir kişi en çok kaç m2 lik alan ayırabilir? A) 1250 D) 2250 224 B) 1500 C) 2000 E) 2500 14. m ≠ 0 olmak üzere, y = x2 + 1 y = –x2 + 2mx parabollerinin tepe noktaları arasındaki uzaklık en az kaç br olur? A) 3 4 LYS Matematik Soru Bankası B) 2 3 C) 1 2 D) � 2 E) � 2 7. BÖLÜM: TÜREV TEST 14 1. Kendisinin 4 katı ile çarpmaya göre tersinin 9 katının toplamını en küçük yapan pozitif reel sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 2 C) 1 2 D) 3 2 E) 5 2 4. L A H K F C B BEFH ve FKLH dikdörtgensel levhaları birbirine diktir. |FK| = 4 br [AC] ^ [HF] |HC| = x |EF| = 16 – x E Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin alanı en çok kaç birimkaredir? A) 16̸2 2. Köşegen uzunluğu 10 cm olan bir dikdörtgenin alanı en çok kaç cm2 olabilir? A) 25 B) 36 C) 48 D) 50 A Tablo B x C α θ Belli bir ilacın etkisinde tutulan bir bakteri topluluğunun gelişim fonksiyonu, x saat cinsinden zamanı göstermek üzere, y = –(5x)2 + 125x + 250 ile verilmektedir. Buna göre, kaçıncı saatten sonra topluluğun eleman sayısında azalma başlar? A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 3,5 D y E C) 10̸2 E) 6̸2 E) 60 5. 3. B) 12̸2 D) 9̸2 Şekilde, |BC| = x br, |ED| = y br dir. E noktasında bulunan bir kişi, boyu m olan duvardaki bir tabloyu a açısı altında görmektedir. x ile y arasında 5y – xy = 4 bağıntısı vardır. Kişi duvara doğru yürürken tabloda A ve C noktaları arasında hareket etmektedir. Buna göre, tan(a + q) ifadesi değerini aldığında y kaç olur? A) 9 7 B) 3 7 C) 5 4 D) 8 7 E) 1 6. Bir silindirin taban yarıçapı ve yüksekliği toplam 12 cm dir. Hacmi maksimum olduğuna göre, taban yarıçapı kaç olmalıdır? A) 5 LYS Matematik Soru Bankası B) 6 C) 8 D) 9 E) 12 225 7.4. Maksimum ve Minimum (ekstremum) Problemleri 7. y 10. x2 + y2 = 9 çemberinin A) ̸5 x 2 + y 4 8 yakın noktasının apsisi kaçtır? K(x1, y1) 0 1 x –2 B) 6̸5 D) 5̸6 2 doğrusuna en C) E) 6̸2 6̸5 5 5 Şekildeki K(x1, y1) noktası; denklemi y = a(x – 1) (x – 2) olan parabol üzerindedir. Buna göre, x1 in hangi değeri için x1 + y1 maksimumdur? A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 11. ABC ikizkenar üçgen, ABC üçgeninin içine şekildeki gibi bir KLMN dikdörtgeni yerleştiriliyor. 8. A) 20 Tarlanın alanı en fazla kaç m2 olabilir? B) 180 C) 225 D) 240 N B B) 24 parabolünün y – x + 1 = 0 doğrusuna en yakın noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? D) (1, 8) 226 B) (–1, 10) C) (0, 8) E) (2, 10) L C D) 30 E) 36 E) 360 f(x) = x2 – x + 8 A) (–2, 14) K C) 25 12. ABCD, bir kenarının 9. M Bu dikdörtgenin alanı en çok kaç cm2 olabilir? Dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına 4 sıra dikenli tel çekilecektir. Bu iş için 240 m tel harcanmıştır. A) 120 A |AB| = |AC| |BC| = 10 cm T A (ABC) = 60 cm2 uzunluğu 4 cm olan bir karedir. |AE| = |AF| Verilenlere göre, taralı alan en çok kaç cm2 olabilir? A) 8 LYS Matematik Soru Bankası B) 9 D C E C) 10 A F D) 11 B E) 12 7. BÖLÜM: TÜREV TEST 15 1. 4. y P A) (2, –3) B f(x) = x2 – 2x – 3 parabolünün y = 2x – 8 doğrusuna en yakın noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? 40 A O D) (–3, 2) x 20 B) (–2, 3) C) (–2, –3) E) (–3, –2) AB doğrusu üzerinde bir P noktası alınarak x-eksenine ve y-eksenine dikmeler çiziliyor. Bu şekilde oluşturulan dikdörtgenin alanı en çok kaç birimkare olabilir? A) 100 B) 125 C) 144 D) 196 E) 200 5. y O A(3, 0) x P(x, y) 2. y = −x2 Çevresi 18 + 12̸3 cm olan bir eşkenar üçgenin içine çizilebilecek en büyük karenin alanı kaç cm2 dir? A) 9 B) 16 C) 25 D) 36 Yukarıdaki şekilde y = –x2 parabolünün grafiği verilmiştir. Grafiğin A ya en yakın noktası P olduğuna göre, |AP| uzaklığı kaç birimdir? E) 49 A) ̸5 3. 16 cm uzunluğundaki bir tel L şeklinde bükülüyor. B) 8̸2 C) 9 C) ̸3 D) ̸2 E) 1 A 6. Telin iki ucu arasındaki uzaklık en az kaç cm olabilir? A) 8 B) 2 A(x, 2x – 3) noktalar kümesi üzerinde olup, y = x2 parabolüne en yakın uzaklıkta olan noktanın koordinatı (a, b) dir. Buna göre, a + b toplamı kaçtır? B D) 9̸2 A) 4 E) 10 LYS Matematik Soru Bankası B) 18 5 C) 3 D) 12 5 E) 2 227 7.4. Maksimum ve Minimum (ekstremum) Problemleri Şekildeki y = x2 – 4 ve y = kx fonksiyonlarının grafiği verilmiştir. [AB] ⊥ Ox 7. y = kx 4 ̸3 B) 3̸3 10. Bir kare dik prizmanın birbirinden farklı iki ayrıtının uzunlukları toplamı 15 cm dir. Bu prizmanın hacmi en çok kaç cm3 olabilir? A O ABO üçgeninin alanının en büyük değerini alması için k kaç olmalıdır? A) y = x2 – 4 y D) A) 400 B) 450 C) 500 D) 550 E) 600 B –4 C) 2̸3 x 2 ̸3 E) ̸3 11. Yarıçapı 6 cm olan 8. kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli koninin yüksekliği kaç cm dir? Dik kenarlarının uzunlukları toplamı 30 cm olan bir dik üçgen, dik kenarlarından biri etrafında 360° döndürülerek bir koni oluşturuluyor. A) Ω13 – 2 B) 3 D) 8 C) 5 E) Ω13 + 6 Bu koninin hacmi en çok kaç πcm3 olabilir? A) 4000 3 B) 1500 D) 3000 C) 5000 3 E) 4000 12. Çevresi 18 cm olan bir 9. f(x) = dikdörtgen, bir kenarı etrafında 360° döndürülerek bir silindir elde ediliyor. x2 + 2x + 5 x2 + 6 eşitliğinde f(x) fonksiyonunun alabileceği en büyük değer aşağıdakilerden hangisidir? A) 228 1 2 B) 2 3 C) 5 6 D) 4 3 E) 7 6 Bu silindirin hacmi en çok kaç πcm3 olabilir? A) 54 LYS Matematik Soru Bankası B) 80 C) 98 D) 100 E) 108 7. BÖLÜM: TÜREV TEST 16 1. f^ x h = x+1 x-1 4. B) x = 1 D) x = 4 f(x) = 3x + 1 x–3 fonksiyonunun asimptotlarının kesişim noktasından geçen ve 2x + y = 5 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? fonksiyonunun düşey asimptotu aşağıdakilerden hangisidir? A) x = 0 C) x = 2 E) y = 1 A) 2x + y = 2 B) 2x + y = 3 C)2x + y = 6 D) 2x + y = 9 E) 2x + y = 12 2. f^ x h = 2x + 1 x+1 fonksiyonunun yatay asimptotu aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 0 B) x = 1 D) y = 1 5. f(x) = ex x e –1 eğrisinin yatay asimptotu aşağıdakilerden hangisi olabilir? C) x = 2 E) y = 2 A) y = 0 B) y = –1 D) x = e 3. y = 1 ve x = –1 doğrularını asimptot kabul eden ve y eksenini 2 noktasında kesen eğrinin fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) y = C)y = x–2 x–1 x+2 x–2 B) y = D) y = E) y = x+2 x+1 x–1 x+1 x–2 x+1 6. f(x) = C) x = 0 E) y = e 3x x+2 eğrisinin yatay asimptotu aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 1 D) x = 0 LYS Matematik Soru Bankası B) y = 3 C) x = 2 E) y = 0 229 7.5. Rasyonel Fonksiyonların Grafikleri 7. f(x) = ex – 2 10. log3x – 2 eğrisinin düşey asimptotu aşağıdakilerden hangisidir? B) e2 A) e C) 2 D) 3 E) 9 f(x) = 2x – 1 x+1 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) y y 2 2 x –1 2 4−x 8. fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? f(x) = A) B) y 1 2 C) 1 2 E) E) f(x) = 4 y x ex + 1 ex – 2 230 B) 0 x –1 x yatay asimptotu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 1 x y 2 1 2 11. y = –1 y 2 9. 2 x x 4 x 4 y 2 –1 1 2 D) y D) y y x 4 C) x –1 C) 1 3 D) 1 2 E) 1 4 mx + 7 nx + d eğrisinin yatay ve düşey asimptotlarının kem sim noktası (–1,4) olduğuna göre, oranı d kaçtır? A) 4 LYS Matematik Soru Bankası B) 1 6 C) 1 3 D) 1 2 E) 2 7. BÖLÜM: TÜREV TEST 17 1. 5x + 1 f(x) = 3x – 2 fonksiyonunun düşey asimptotu aşağıdakilerden hangisidir? 1 A) x = – 5 B) x = 0 D) x = 2 3 C) x = E) x = 5 1 2 2x + 5 5. fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? f(x) = x–2 A) 2 x C) y= 2 D) y 2 2x + 1 –2 fonksiyonunun yatay asimptotu aşağıdakilerden hangisidir? B) x = 1 D) y = 1 y 2 x –1 E) E) y = 2 y x –1 x 2 – 16 3. fonksiyonun tüm düşey asimptotları aşağıdakilerden hangisidir? x –2 C) x = 2 2 f^xh = x 2 x3 + 1 A) y = 0 y 2 3 –2 2. B) y x – 2x – 8 2 A) x = 4 ve x = –4 B) x = – 2 C)x = –2 ve x = 4 D) x = 4 E) x = –2, x = 4 ve x = –4 6. 4. y= x2 + 3x + 4 x2 + 2x + 5 A) eğrisi ile yatay asimptotunun kesim noktası aşağıdakilerden hangisidir? A) (–1, 1) D) (1, 1) B) (1,3 ) Aşağıdaki fonksiyonların hangisinin düşey asimptotu yoktur? C) C) (–2, –3) E) (2, 3) LYS Matematik Soru Bankası x 2 + 2x + 3 B) x2 + 1 x 2 + 3x + 2 D) 2 x −1 E) 2x 2 + 3x + 1 x2 3x 2 + 2x + 1 x2 − 2 2x 2 + x + 3 x2 − 3 231 7.5. Rasyonel Fonksiyonların Grafikleri 7. 10. y y = x3 – x2 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? f(x) AAA_03_12.1.3.6._ y A) –3 x 3 A) x5 – 9x3 B) x5 – 9x2 D) x4 – 9x2 x 0 C) x4 – 9x3 0 y C) Şekilde grafiği verilmiş olan f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi olabilir? E) x4 – 9x 0 x 1 x y E) 0 8. x 1 y D) 0 −1 y B) x 1 f(x) = 2x3 – 24x + m eğrisinin grafiği x eksenine teğet olduğuna göre, m nin pozitif değeri kaçtır? A) 8 B) 16 C) 32 D) 48 E) 60 11. 9. y y=x 4 y 1 –2 y = f(x) 0 0 x 2 x –4 Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) y= x2 + 1 x2 + 4 D) y = 232 B) y = x x +1 2 x2 − 3 x2 + 2 E) y = C) y = x2 + 2 x Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) y = x2 x +4 2 LYS Matematik Soru Bankası x2 + 1 x B) y = D) y = − x x −2 2 x2 x+4 C) y = E) y = x2 + 4 x x2 + 4 x2 − 2 7. BÖLÜM: TÜREV TEST 18 1. y 3. 2 8x 4 – x 2 4x 4 + 1 A) y = 0 x –2 B) y = 1 D) y = 4 C) y = 2 E) y = 8 x3 + bx2 + cx + d f(x) = – fonksiyonunun grafiği verilmiştir. 4 f^xh = fonksiyonunun yatay asimptotu aşağıdakilerden hangisidir? –2 1 Buna göre, c – d değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) –3 B) –2 C) 0 D) 2 E) 3 4. Aşağıdaki eğrilerin hangisinin yatay asimptotu olduğu halde düşey asimptotu yoktur? A) f (x) = C) f (x) = x2 + 1 2 x -4 x3 + 1 x2 - 3 B) f (x) = D) f (x) = E) f (x) = 2. x+1 x2 + 1 x2 + 4 x+1 x2 - 9 x3 - 1 y 12 f(x) –2 2 x –4 5. Şekilde grafiği verilmiş olan f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) f(x) = x2 + 12 B) f(x) = x4 + 12 C)f(x) = x2 – 10x + 12 D)f(x) = x4 – 8x2 + 12 y= x 2 + 5x − 3 x 2 + ax + 16 eğrisinin düşey asimptotu olmadığına göre, a nın çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) –8 < a < 8 B) –4 < a < 8 C)–4 < a < 4 D) a < 8 E) –8 < a E) f(x) = x4 – 3x3 + 2x2 + 12 LYS Matematik Soru Bankası 233 7.5. Rasyonel Fonksiyonların Grafikleri 6. 8. y 1 1 x 0 –4 Şekildeki grafiğin fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) y = x2 + 4 B) y = 2x 2 + 2 D) y = 7. y 2 x2 − 1 x2 + 4 C) y = x2 + 2 E) y = 2 x +1 –1 x 3 ax2 + bx + c Şekilde f(x) = 2 fonksiyonunun grafiği x + kx + t verilmiştir. Buna göre, a + b + c – k + t ifadesinin değeri kaçtır? 2 x2 + 2 A) 17 x B) 19 C) 21 D) 23 E) 25 2 x +2 y = (x2 – 9)2 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? 9. y AAA_03_12.1.3.6._ A) –3 B) y 3 0 D) y 0 1 –3 0 C) y 3 x –2 0 3 x –3 234 y 0 1 x Grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir? A) y = E) –1 y –3 x 3 C)y = 3 x x2 – 2 x+1 x2 + x x2 + 1 B) y = D) y = E) y = LYS Matematik Soru Bankası 2 x + 2x x2 – 2x + 1 x2 + 2x 2 x + 2x + 1 x2 + x x2 + 2x + 1
