Zaman Uzayı Sonlu Farklar Yöntemi Dr. Serkan Aksoy

Zaman Uzayı Sonlu Farklar Yöntemi
Dr. Serkan Aksoy-2015
ZUSF ve DİVERJANS’TAN BAĞIMSIZLIĞI
Maxwell denklemlerinin ZUSF ile çözümünde en önemli avantajlardan birisi kaynaksız ortamlarda
( )
( )
elektrik ve manyetik alan için Gauss kanununun (
ve
) alan bileşenlerinin birim
hücre yerleşimleri nedeni ile otomatik olarak sağlıyor olmasıdır.
Bu durumun ispatını elektrik alan Gauss kanunu için ( )
olmak üzere gösterelim. Buna göre:
(
)
(
∭
)
∬ (
)
bağıntısı sağlanmalıdır. Birim YEE hücresi bakımından yüzey integralini ayrıklaştırırsak
∬ (
)
(
|
(
|
(
|
⁄
|
⁄
⁄
⁄
|
⁄
⁄
⁄
|
⁄
⁄
⁄
⁄
)
)
)
⁄
Denklemin zamana göre türevi alınarak, ayrıklaştırılırsa, integralin ilk terimi
(
|
⁄
|
⁄
|
(
|
⁄
⁄
(
(
(
|
⁄
|
⁄
|
⁄
(
|
|
|
⁄
⁄
⁄
|
⁄
|
⁄
)
|
⁄
|
⁄
|
⁄
⁄
)
|
⁄
|
⁄
⁄
⁄
)
)
)
|
|
|
⁄
)
⁄
⁄
⁄
|
⁄
|
|
(
|
⁄
|
⁄
)
⁄
⁄
|
(
(
⁄
|
⁄
|
⁄
⁄
olarak bulunur. Bu ifadeleri integralde yerine konulursa
∬ (
)
olarak sıfır bulunur. Buradan ZUSF bakımından, otomatik olarak
|
⁄
|
⁄
⁄
)
)
Zaman Uzayı Sonlu Farklar Yöntemi
Dr. Serkan Aksoy-2015
∬ (
olacağı ispat edilir. Buradan eğer
(
)|
)
başlangıç koşuluna sahipse, her zaman
∬ (
)
olacağı açıktır.
Bir diğer bakış açısı ile birinci ve ikici Maxwell denkleminin diverjansı alınarak, güncelleme denklemi
elde edilirse
(
)|
(
)|
(
)|
( )|
bağıntısı bulunur. Burada başlangıç koşulu olarak
ise, diğer tüm zamanlarda da
( )|
( )
olacağı açıktır. Buradan tüm zaman adımları boyunca (
bağıntısının
sağlanacağı görülür. Buna göre ZUSF kaynaksız bölgede diverjanstan bağımsızdır. Yani ayrıca diverjans
( )
denklemleri için ZUSF güncelleme denklemleri oluşturmaya gerek yoktur. Benzer durum
denklemi için de geçerlidir.
Diverjanstan bağımsızlılığın lokal olarak sağlanıyor olduğu unutulmamalıdır. Bununla birlikte PEC
kenarlar, dielektrik arayüzler, kaynaklar vb. diverjans bağımlı bölgelerde vektör dalga denklemi tabanlı
ZUSF algoritması kullanılabilir. Diverjanstan bağımsız bölgelerde ise skaler dalga denklemi bağıntısı
kullanılarak, hibrit algoritmalar uygulanabilir [Aoyagi, 1993]. Anten uygulamaları bakımından yüzey
yüklerinin zaman uzayı davranışları gösterilmiştir [Maloney et al, 1990].
( )
Kaynaklar nedeni ile
bağıntısının bozulması aşağıda gösterilmiştir. Orta bölgede yüklerin
birbirlerini sıfırlayacağı unutulmamalıdır. Gerçekte MEİ (PEC) üzerinde indüklenen yükler “yüzeysel
yükler” olup, ZUSF ayrıklaştırması nedeni ile hacimsel yükler olarak modellenmektedir. Bu durumdaki
hacimsel yükleri, yüzeysel yükler olarak modellemek için hacimsel yük değerinin yüzeye dik yöndeki hücre
boyutu ile çarpmak gerekir [Kondylis vd., 2001].
ZUSF’nin diverjanstan bağımsızlığı kullanılarak elektrik ve manyetik alanlar arasında ayrı ayrı elde
edilen ek bağıntılar yardımı ile hibrit ZUSF yöntemi [Kondylis vd., 2001] ve hafıza etkin (memory efficient)
ZUSF yöntemi [Aoyagi vd., 1993] önerilmiştir. Burada kaynak ve iletken bölgelerde diverjanstan
bağımsızlık sağlanamayacağından yük birikimleri de süreklilik denklemi kapsamında hesaplanmalıdır.