ısı iletimine giriş

ISI İLETİMİNE GİRİŞ
Bölüm 2
Anlık iletim, Fourier denklemi; katı bir ortamdan birim zamanda
geçen ısı miktarını verir. Fourier denklemi doğada gözlenen
olaylardan geliştirilmiştir. Fourier denklemine daha çok deneysel
verilere dayanan bir genelleştirme olarak bakılmalıdır.
Sürekli rejim ısı iletimi deneyi
T
qx  A
x
T
qx  A
x
Burada k ısı iletim katsayısı (W/m.K)
∆x →0 limit durumunda, birim zamanda geçen ısı:
dT
q x  k A
dx
ısı akısı:
,,
qx
qx
dT

 k
A
dx
Isının her zaman azalan sıcaklık yönünde geçmesi nedeniyle
bu denklemde eksi işaretinin kaçınılmaz olduğu unutulmamalıdır.
Fourier yasası ısı akısının yöne bağlı bir büyüklük olduğunu ifade eder.
Bir boyutlu durum için, q’’x’in yönü A kesit alanına diktir.
Daha genel olarak, ısı akısının yönü daima izotermal ( eş sıcaklıkta)
denilen sabit sıcaklık yüzeyine dik olmalıdır. Isı akısının yöne bağlı
bir büyüklük olduğu hatırlanırsa,
iletim denkleminin (Fourier denklemi) daha genel ifadesi:
 T
T 
T

j
k
q  k T  -k i
y
z 
 x
,,
Burada  üç boyutlu del operatörü ve
T(x,y,z) skaler sıcaklık dağılımıdır.
Bu denklemin başka bir yazılımı:
T
q  k
n
,,
n
T
q n  k
n
bir izotermale dik olan n yönündeki ısı akısı: ,,
Kartezyen eksen takımında, q”nun genel ifadesi:
q ,,  i q ,x,  j q ,y,  k q ,z,
q ,x,
T
 k
x
q ,y,
T
 k
y
q ,z,  k
T
z
Isı iletim katsayısı
Yayılım ile geçen enerjinin bir göstergesidir
ve maddenin hali ile ilgili atomik,
moleküler ve fiziksel yapıya bağlıdır.
q x
k
T x 
Buna göre, belirli bir sıcaklık gradyantı için
iletimle ısı akısı;
ısı iletim katsayısının artması ile artmaktadır.
Normal sıcaklık ve basınçlarda,
maddenin değişik halleri için
ısı iletim katsayısı değerleri
Bazı katılarda ısı iletim katsayısının
sıcaklıkla değişimi
Gazların ısı iletim katsayılarının
sıcaklıkla değişimi
Doyma sıcaklığındaki metal olmayan
sıvıların ısı iletim katsayılarının
sıcaklıkla değişimi
Diğer termofiziksel özellikler


Aktarım özellikleri
k ısı iletim katsayısı (ısı geçişi için)
 kinematik viskozite (momentum geçişi)
Termodinamik özellikler
 yoğunluk
cp özgül ısı
 cp (J/m3K), malzemenin ısıl enerji depolama yeteneği
Isı iletim katsayısının,
ısı kapasitesine oranı; 
 ısıl yayılım katsayısı
k

 cp
Isıl enerjiyi iletme
yeteneğinin, ısıl enerji
depolama yeteneğine oranı
ISI YAYILIM DENKLEMİ
Kontrol Hacminden Çıkan Enerjiler
q x  dx
q x
.dx
 qx 
x
q y  dy  q y 
q y
q z  dz
y
.dy
q z
 qz 
.dz
z
Kontrol Hacminde Üretilen ve
Depolanan Enerji
.
.
.
E üretilen  E g  q dx dy dz
.
E depolanan
T
 E st  c P
dx dy dz
t
.
Enerjinin Korunumu Denkleminin
uygulanmasıyla:
.
.
.
.
E giren  E üretilen  E çıkan  E depolanan
.
q x  q y  q z  q dx dy dz - q x  dx  q y  dy  q z  dz
T
dx dy dz
 c P
t
.
q y
q z
q x
T
dy 
dz  q dx dy dz  c P
dx dy dz

dx 
z
t
y
x
Fourier Denklemine göre:
T
q x  - k dy dz
x
T
q y  - k dx dz
y
T
q z  - k dx dy
z
Kartezyen Koordinatlarda
Isı Denklemi
  T    T    T  .
T
   k
k
   k
  q  c P
x  x  y  y  z  z 
t
Isı iletim katsayısı sabitse,
.
 T  T  T q c P T
 2  2  
2
z
y
x
k
k t
2
2
k
Burada  
cP
2
ısı yayınım katsayısıdır
Sistem kararlı ise,
  T    T    T  .
   k
k
   k
q0
x  x  y  y  z  z 
Ayrıca ısı transferi tek boyutlu ve
ısı üretimi yok ise:
  T 
k
0
x  x 
Silindirik eksenlerde, iletim çözümlemesi için
diferansiyel kontrol hacmi
Fourier denklemi, silindirik koordinat
sistemi için yazılırsa,
 T
1 T
T 

q   k T  - k  i
j
k
r 
z 
 r
"
Silindirik koordinat sisteminde her
üç yöndeki ısı akıları
T
q  k
r
"
r
k T
q  
r 
"
T
q  k
z
"
z
Silindirik koordinatlarda
ısı denklemi,
T
1  
T  1   T    T  .
 k
   k
  q  c P
 2
k r
r r 
t
r  r     z  z 
Küresel eksenlerde, iletim çözümlemesi için
diferansiyel kontrol hacmi
Örnek 2.2
• Duvara birim zamanda
giren ve çıkan ısı,
• Duvarda depo edilen
enerjinin zamanla değişimi,
• x=0.025 ve 0.5 m’de
sıcaklığın zamanla değişimi.
Yüzeyde (x = 0),
ısı yayılma denklemi için
sınır koşulları
Örnek 2.3
Çubukta sıcaklık dağılımını yer ve zamanın
fonksiyonu olarak veren diferansiyel denklem ile
sınır ve başlangıç koşulları