Mikrodalga Sistemleri EEM 448 Yrd. Doç. Aytaç Alparslan E-mail: aytacalparslan@trakya.edu.tr Set3: Elektromayetik dalga teorisine giriş – 2 Düzlemsel dalgalar Teşekkür: Prof. İrşadi Aksun / Koç Üniversitesi http://web.mit.edu/jbelcher/www/inout.html http://cobweb.ecn.purdue.edu/~ece695s/Lectures Fazör formda Maxwell denklemleri Differential form Integral form E dl j B ds C E jB A H dl j D ds J ds C A A D ds dv A H jD J D V B 0 B ds 0 A J ds j dv A V J j Elektromanyetik Dalgalar • ElektroManyetik (EM) dalgalar Maxwell denklemlerindeki vektör elektrik ve manyetik alan büyüklükleri ile ifade edilirler. • Pratikte birçok yerde EM dalgalar kullanılır: • Yüksek frekans devreleri (İlk haftada da gördüğümüz gibi AC DC devre teorisinin yetersiz kaldığı devreler) • Antenler kullanılarak iletilen ve alınan sinyaller • Kablolu bilgi iletim teknolojileri (örn. TV sinyalleri, internet, telefon vb.) • Optik bilgi iletim teknolojileri (örn. Transatlantik fiber optik kablo ağı) • Ve birçok daha başka kullanım alanı Maxwell’den EM dalga denklemine Differential form E jB H jD J D B 0 J j E, B, H, D bulunması gereken vektör büyüklüklerdir. Dolayısıyla 12 büyüklük bulunmalı (herbiri için x, y, z). J ve ρ bilinen büyüklüklerdir ve birbirlerine bağlıdır. Fakat, divergence içeren alttaki iki denklem üstteki ikisine bağımlıdır!!! ( E jB ) ( H jD J ) B 0 0 j D J j D Maxwell’den EM dalga denklemine • 4 farklı büyüklüğü bulabilmek için 2 linear olarak birbirinden bağımsız denklemimiz var. E jB H jD J • Bu noktada malzeme özellikleri devreye giriyor!!! Ortamın elektrik geçirgenliği ~ ~ D E ~ ~ B H Ortamın manyetik geçirgenliği Dolayısıyla 2 faklı bilinmeyenli 2 lineer olarak birbirinden bağımsız denklemimiz oluyor!!! (ÇÖZEBİLİRİZ!) Malzeme ortamında alanlar (ε) • Elektrik alan havadan farklı bir dielektrik ortamdan geçerken atom ve moleküllerin kutuplanmasına neden olur. Bu etkileşim, uygulanan elektrik alan ile elektrik akı arasındaki bağlantı ile bulunur (örn: su için 4.7 0 ): ~ ~ D E j 0 r Malzeme ortamında alanlar (μ) • Elektrik alana benzer şekilde uygulanan manyetik alan maddeler içindeki manyetik kutuplanmaya (mıknatıslanma) neden olur ve manyetik alan ile akı arasında aşağıdaki bağlantı ile bulunur: ~ ~ j 0 r B H Dielektrik malzemeler D 0r r E Yönbağımlı, homojen olmayan D 0r E Yönbağımlı, homojen D 0 r E Yönbağımsız, homojen xx (r ) xy (r ) xz (r ) r r yx (r ) yy (r ) yz (r ) zx (r ) zy (r ) zz (r ) uzaya bağlı değişken xx r yx zx xy yy zy sabit xz yz zz Dielektrik malzemeler D 0 r E r rr jri B 0 r H Yönbağımsız, homojen Elektrik geçirgenlik, genellikle karmaşık bir sayıdır ve sanal kısmı elektriksel ortam kaybını hesaba katar. r=1 manyetik olmayan malzemeler için 0 4 107 Henry/m 0 8.854187 1012 Farad/m 1/36 10 9 Farad/m Helmholtz ve dalga denklemi • Malzeme parametrelerini de ekleyip Maxwell denklemlerine dönersek: E jB D 0 r E H jD J B 0 r H E jH H jE J E H t H E J t Helmholtz ve dalga denklemi A A 2 A • Kaynaksız durumda: ~ ~ 2~ E E H t 0 ~ ~ ~ ( E H ) t E t ~ 2~ E 2 E 0 t 2 ~ 2~ H 2 H 0 t 2 Dalga denklemi ( E jH) 2 E E j H 0 2E 2E 0 Helmholtz denklemi j E 2H 2H 0 Örnek: Helmholtz ve dalga denklemi • Genel çözüm (tek boyutlu uzayda (d/dz≠0), düzlemsel dalga): E E 0 2 2 Kartezyen koordinat sisteminde , sadece x- bileşeni bulunan elektrik alan için 𝛻 2𝐄 = 𝛻 2 𝐸𝑥 d2 2 E ( z ) E x ( z ) 0 x 2 dz E x z Ae j z Be ~ E x z, t Re{ E x z e j t } = 𝜕2 (𝜕𝑥 2 𝜕2 + 𝜕𝑦 2 + 𝜕2 )𝐸 𝜕𝑧 2 𝑥 j z Fazör form çözümü A cos t z B cos t z ( e j t ) Zaman düzleminde çözüm Örnek: Çözümün fiziksel özellikleri E x z Ae j z Be ( e j t ) j z ~ E x z , t A cos t z B cos t z Yayılma sabiti: + z yönüne giden düzlemsel dalga k - z yönüne giden düzlemsel dalga Dalga hızı: Boşlukta: dz vp dt k 1 0 0 Boşlukta ışık hızı vp 1 1 0 0 3e8m / s Örnek: Çözümün fiziksel özellikleri • Düzlemsel bir dalganın elektrik alan büyüklüğü bilinirse, manyetik alan da Maxwell denklemleri kullanılarak bulunabilir. E x z Ae jk z B e jkz E jB j dE x 1 H y ( z) ( Ae jkz Be jkz ) dz Ortamın empedansı: k Örnek: Düzlemsel elektromanyetik dalga yayılımı Manyetik alan vektörünün yönü, y Elektrik alan vektörünün yönü, x Elektromanyetik dalganın ilerleme yönü, z