FİNANSAL EKONOMETRİ BÖLÜMÜ – A GRUBU İSTATİSTİK – 1 (2015-2016 BAHAR YARIYILI) VİZE SINAVI (24.11.2015) Soru 1: ABD’de Chicago şehrinde yapılan bir çalışmada, 586 adet itfaiye eri arasından şeflik sınavına giren Amerikalılar (562 kişi) ve diğer ırklar (24 kişi) arasındaki dağılım aşağıdaki gibidir: Başarılı Başarısız Diğer Irklar 10 14 Amerikalılar 417 145 a – Rastgele seçilen bir itfaiye erinin sınavda başarılı olan biri olma olasılığı nedir? (10 Puan) b - Aşağıdaki iddiada geçen her bir olay için olasılıkları bulunuz, yorumlayınız ve iddia için fikrinizi belirtiniz (25 puan): İddia: Amerikalı olan birinin başarılı olma olasılığı, diğer ırklardan birinin başarılı olma olasılığına eşit değildir. Dolayısıyla sınav sonuçları değerlendirilirken Amerikalılar lehine bir ayrımcılık yapılmıştır. Cevap 1 – a: A olayı: Sınavda başarılı olma Sınava toplamda 586 kişi katılmıştır. Sınavda başarılı olanların sayısı ise 427’dir. Başarılı Başarısız Diğer Irklar 10 14 Amerikalılar 417 145 Toplam: 427 Rassal olarak seçilen birinin “başarılı” olma olasılığı % 72,8’dir: 𝑃 𝐴 = 427 = 0,728 586 Cevap 1 – b: B olayı: Amerikalı olma C Olayı: Diğer ırklardan olma Sınava katılan toplam Amerikalı sayısı 562’dir. Başarılı Başarısız Diğer Irklar 10 14 Amerikalılar 417 145 Toplam: 562 Rassal olarak seçilen birinin Amerikalı olma olasılığı % 95.9’dur. 𝑃 𝐵 = 562 = 0,959 586 1 Amerikalılar arasından seçilen birinin başarılı olma olasılığı ile ilgilenilmektedir. Bu sorudaki koşul, Amerikalı olmaktır. Olasılığı ile ilgilenilen olay ise, başarılı olmaktır. 𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) Rassal olarak seçilen birinin aynı anda hem Amerikalı hem de başarılı biri olma olasılığı % 71.1’dir. Başarılı Başarısız Diğer Irklar 10 14 Amerikalılar 417 145 417 = 0,711 586 𝑃 𝐴∩𝐵 0,711 𝑃 𝐴𝐵 = = = 0,741 𝑃 𝐵 0,959 𝑃 𝐴∩𝐵 = Amerikalılar arasından rassal olarak seçilen birinin başarılı olma olasılığı % 74.1’dir. İddia edilen, diğer ırklara mensup olanların başarı olasılıklarının da Amerikalılar ile aynı olduğudur. Sınava girenler arasından rassal olarak seçilen birinin diğer ırklara mensup olma olasılığı % 4’tür. Başarılı Başarısız Diğer Irklar 10 14 Amerikalılar 417 145 𝑃 𝐶 = Toplam: 24 24 = 0,04 586 Diğer ırklara mensup olanlar arasından rassal olarak seçilen birinin başarılı olma olasılığı şu şekilde bulunur: 𝑃 𝐴𝐶 = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) 𝑃(𝐶) Burada koşul, diğer ırklara mensup olmaktır. Aranan olasılık ise başarılı olmaktır. Rassal olarak seçilen birinin aynı anda hem diğer ırklara dâhil olma hem de başarılı olma olasılığı % 1.7’dir. Başarılı Başarısız Diğer Irklar 10 14 Amerikalılar 417 145 2 10 = 0,017 586 𝑃 𝐴∩𝐶 0,017 𝑃 𝐴𝐶 = = = 0,425 𝑃 𝐶 0,040 𝑃 𝐴∩𝐶 = Diğer ırklara mensup olanlar arasından rassal olarak seçilen birinin sınavdan başarılı olma olasılığı % 42.5’tir. Sonuç: Elde edilen koşullu olasılık değerlerine bakılarak, Amerikalı olan birinin sınavdan başarılı olma olasılığı ile diğer ırklara mensup olan birinin sınavdan başarılı olma olasılığının aynı olmadığı görülmüştür. Bu değerlere dayanılarak Amerikalılar lehine bir ayrımcılığın yapıldığı söylenebilir. Soru 2: Filtreli ve filtresiz sigara türlerinden rastgele seçilen 10’ar adet sigaranın içerdiği nikotin miktarı aşağıda verilmiştir. Aşağıdaki iki iddiayı ortalama ve standart sapma yardımıyla değerlendiriniz ve kendi fikrinizi bu sonuçlara dayandırarak belirtiniz: İddia 1: Filtreli sigaralar daha az nikotin içermektedir (15 puan). İddia 2: Hangi marka olursa olsun şayet bir sigaranın filtresi varsa içerdiği nikotin miktarı, filtresiz sigara ile karşılaştırıldığında, çok değişkenlik göstermez (15 puan). Filtreli Filtresiz sigara sigara 0,4 1,1 - 0,53 0,2809 - 0,15 0,0225 1,0 1,7 0,07 0,0049 0,45 0,2025 1,2 1,4 0,27 0,0729 0,15 0,0225 0,8 1,1 - 0,13 0,0169 - 0,15 0,0225 0,8 1,1 - 0,13 0,0169 - 0,15 0,0225 1,0 1,4 0,07 0,0049 0,15 0,0225 1,1 1,1 0,17 0,0289 - 0,15 0,0225 1,1 1,4 0,17 0,0289 0,15 0,0225 1,1 1,0 0,17 0,0289 - 0,25 0,0625 0,8 1,2 - 0,13 0,0169 - 0,05 0,0025 𝑥 = 9,3 Filtreli Filtreli Filtresiz (𝑥 − 𝑥)! (𝑥 − 𝑥) (𝑥 − 𝑥)! = 0,425 9,3 = 0,93 𝑛 10 𝑥 12,5 = = = 1,25 𝑛 10 𝑥!"#$%& = 𝑥!"#$%&'"( (𝑥 − 𝑥)! (𝑥 − 𝑥) (𝑥 − 𝑥)! = 0,501 𝑥 = 12,5 Filtresiz 𝑥 = İddia 1: Ortalama olarak filtreli sigaraların daha az nikotin içerdikleri iddiası doğrudur. 3 (𝑥 − 𝑥)2 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎!"#$%&#" = 𝑛−1 (𝑥 − 𝑥)2 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎!"#$%&'"( = 𝑛−1 = 0,501 = 9 0,05566 = 0,2359 = 0,425 = 9 0,04722 = 0,2173 İddia 2: Filtreli sigaralardaki nikotin değişiminin daha az olduğu doğru değildir. Zira filtreli sigaraların standart sapma değeri, filtresiz sigaraların standart sapma değerinden daha yüksektir. Diğer bir ifadeyle, filtreli sigaralarda nikotin miktarı ortalama olarak düşük olmakla birlikte, sigaradan sigaraya değişkenlik göstermektedir. Soru 3: Bir havayolu şirketi uçuş için bilet alan yolcularının % 90 uçuşa geldiklerini bilmektedir. 22 koltuğu olan bir uçak için 24 bilet satışı yapılmıştır. Her bir yolcunun uçuşa gelme kararını bağımsız olarak verdiği kabul edilmiştir. a – Bu uçuşa 24 yolcu gelme olasılığı nedir? (10 puan) b – Bu uçuşa en fazla 22 yolcu gelme olasılığı nedir? (25 puan)? Cevap 3 – a: X rassal değişkeni: Uçuşa gelme 𝑛 = 24 𝑝 = 0.90 İki terimli bir değişken olarak değerlendirilmelidir. Zira uçuşa katılma veya katılmama kararı verilmektedir (iki sonuçlu). Her bir yolcunun birbirinden bağımsız karar verdiği ve katılma olasılığının da her bir yolcu için sabit olduğu kabul edilmektedir. 𝑃 𝑋 = 24 =? 𝑃 𝑋 = 24 = 𝑃 𝑋 = 24 = 𝑛! 𝑝 ! (1 − 𝑝)!!! 𝑥! 𝑛 − 𝑥 ! 24! 0,9 24! 24 − 24 ! !" 0,1 ! = 0,079 Bu uçuşa 24 yolcu katılma olasılığı % 7.9’dur. Cevap 3 – b: Soruda “en fazla 22 yolcu katılma” dediğine göre, 0 ile 22 yolcu katılma olasılıklarının toplamı sorulmaktadır. Bu olasılığı bulabilmek için, 23 ve 24 yolcu katılma olasılıkları ayrı ayrı hesaplanır ve “1” değerinden çıkartılır. Çünkü X rassal değişkeninin bütün değerlerine ait olasılıkların toplamı “1” olacaktır: 𝑃 𝑋 ≤ 22 = 1 − [𝑃 𝑋 = 23 + 𝑃(𝑋 = 24)] 𝑃 𝑋 = 23 = 24! 0,9 23! 24 − 23 ! !" 0,1 ! = 0,2127 𝑃 𝑋 = 24 = 0,079 𝑃 𝑋 ≤ 22 = 1 − 0,2127 + 0,079 Bu uçuşa en fazla 22 yolcu katılma olasılığı % 70’tir. 4 = 0,7083 FİNANSAL EKONOMETRİ BÖLÜMÜ – B GRUBU İSTATİSTİK – 1 (2015-2016 BAHAR YARIYILI) VİZE SINAVI (24.11.2015) Soru 1: Yapılan bir araştırmada motosiklet kullanımı esnasında trafik kazası geçiren 3562 kişinin bilgileri kullanılmıştır. Trafik kazası esnasında kask (helmet) takan motosiklet sürücüleri ile kask takmayan motosiklet sürücülerinin baş bölgesinin yaralanma istatistikleri aşağıdaki gibi çıkmıştır: Yaralanma var Yaralanma yok Kask var 96 656 Kask yok 480 2330 a – Rastgele seçilen bir kişinin kask takmayan biri olma olasılığı nedir? (10 Puan) b - Aşağıdaki iddiada geçen her bir olay için olasılıkları bulunuz, yorumlayınız ve iddia için fikrinizi belirtiniz (25 puan): İddia: Kask takan birinin yaralanma olasılığı ile kask takmayan birinin yaralanma olasılığı aynıdır. Dolayısıyla, motosiklet sürerken kask takmak gerekli değildir. Cevap 1 – a: A olayı: Kask takmamak 3562 kişiye ait bilgiler bulunmaktadır. Kask takmayanların sayısı 2810’dur. Yaralanma var Yaralanma yok Kask var 96 656 Kask yok 480 2330 Toplam=2810 Rassal olarak seçilen birinin “kask takmayan” biri olma olasılığı % 78,8’dir: 𝑃 𝐴 = 2810 = 0,788 3562 Cevap 1 – b: B olayı: Kask takmak C Olayı: Yaralanma var Kask takan toplam kişi sayısı 752’dir. Yaralanma var Yaralanma yok Kask var 96 656 Kask yok 480 2330 Rassal olarak seçilen birinin kask takma olasılığı % 21.1’dir. 𝑃 𝐵 = 562 = 0,211 3562 5 Toplam=752 Kask takan ve kask takmayan kişilerin yaralanma olasılıkları ile ilgilenilmektedir. Bu sorudaki koşullar, kask takmak ve kask takmamaktır. Olasılığı ile ilgilenilen olay ise, kazada yaralanmaktır. Öncelikle kask takanlar arasından rassal olarak seçilen birinin kaza yapma olasılığını bulalım: 𝑃 𝐶𝐵 = 𝑃(𝐶 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) Rassal olarak seçilen birinin aynı anda hem kask takma hem de yaralanma olasılığı % 2,69’dur. Yaralanma var Yaralanma yok Kask var 96 656 Kask yok 480 2330 96 = 0,0269 3562 𝑃 𝐶∩𝐵 0,0269 𝑃 𝐶𝐵 = = = 0,127 𝑃 𝐵 0,211 𝑃 𝐶∩𝐵 = Kask takanlar arasından rassal olarak seçilen birinin yaptığı kaza sonucunda yaralanma olasılığı % 12.7’dir. İddia edilen, kask takmayanların da kaza sonucu yaralanma olasılıklarının aynı olduğudur. 𝑃 𝐶𝐴 = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) 𝑃(𝐴) Aynı anda hem kask takmayan hem de kaza sonucu yaralanmaya maruz kalan kişi sayısı 480’dir. Rassal olarak seçilen birinin hem kask takmama hem de yaralanma olasılığı 13.4’tür. Yaralanma var Yaralanma yok Kask var 96 656 Kask yok 480 2330 𝑃 𝐴∩𝐶 = 480 = 0,134 3562 Kask takmamak koşuluyla kaza yapan birinin yaralanma olasılığı %1’dir. 𝑃 𝐶𝐴 = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) 0,134 = = 0,17 𝑃(𝐴) 0,788 Sonuç: Kask takmayanların yaralanma olasılığı, kask takanlara göre daha yüksektir. Bu durumda kask takmak, yaralanma riskine daha az maruz kalmak demektir. İddia edildiği gibi, kask takmak ile kask takmamak sonucun yaralanma riski aynı değildir. 6 Soru 2: İki farklı ilaç kullananların iyileşme süreleri hakkında fikir sahibi olabilmek için, 10’ar hastaya tedavi uygulanmış ve iyileşme süreleri (gün olarak) aşağıdaki gibi elde edilmiştir. Verilen bilgiler ışığında aşağıdaki iddiaları ortalama ve standart sapma değerlerini kullanarak değerlendiriniz ve kendi görüşünüzü ifade ediniz: İddia 1: Culton marka ilaçlar, insanları daha hızlı iyileştirmektedir (15 puan). İddia 2: Flexi marka ilaçların iyileştirme süreleri daha istikrarlıdır (15 puan). Culton Flexi Culton Culton Flexi (𝑥 − 𝑥)! (𝑥 − 𝑥) Flexi (𝑥 − 𝑥)! (𝑥 − 𝑥) 11 14 11 – 14,5 = - 3,5 12,25 17 15 17 – 14,5 = 2,5 6,25 15 – 12,9 = 2,1 4,41 9 11 9 – 14,5 = - 5,5 30,25 11 – 12,9 = - 1,9 3,61 18 13 18 – 14,5 = 3,5 12,25 13 – 12,9 = 0,1 0,01 15 12 15 – 14,5 = 0,5 0,25 12 – 12,9 = - 0,9 0,81 21 9 21 – 14,5 = 6,5 39,06 9 – 12,9 = - 3,9 15,21 11 14 11 – 14,5 = - 3,5 12,25 14 – 12,9 = 1,1 1,21 16 16 16 – 14,5 = 1,5 2,25 16 – 12,9 = 3,1 9,61 18 14 18 – 14,5 = 3,5 12,25 14 – 12,9 = 1,1 1,21 9 11 9 – 14,5 = - 5,5 30,25 11 – 12,9 = - 1,9 3,61 𝑥 = 145 14 – 12,9 = 1,1 1,21 (𝑥 − 𝑥)! = 157,3 𝑥 = 129 145 = 14.5 𝑛 10 𝑥 129 = = = 12.9 𝑛 10 𝑥!"#$%& = 𝑥!"#$% (𝑥 − 𝑥)! = 40,9 𝑥 = İddia 1: Culton ilaçlarının insanları daha kısa sürede iyileştirdiği iddiası, ortalamalar dikkate alındığında, doğru değildir. 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎!"#$%& = 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎!"#$% = (𝑥 − 𝑥)2 𝑛−1 (𝑥 − 𝑥)2 𝑛−1 = 157,3 = 9 14,47 = 4,18 = 40,9 = 9 4,54 = 2,13 İddia 2: Flexi marka ilaçların iyileştirme sürelerindeki değişkenlik daha düşüktür. Bu verilere dayanılarak flexi marka ilaçların iyileştirme sürelerinde bir istikrar vardır denilebilir. 7 Soru 3: Bir firmada üretilen ürünlerin % 5’inin kusurlu olduğu bilinmektedir. Birbirinden bağımsız oldukları bilinen 6 parça ürün incelenmek üzere alınmıştır. a – Bu parçalardan hiçbirinin kusurlu olmama olasılığı nedir? (10 puan) b – Bu parçalardan en az 2 kusurlu parça çıkma olasılığı nedir (25 puan)? Cevap 3 – a: X rassal değişkeni: Kusurlu ürünler 𝑛=6 𝑝 = 0.05 İki terimli bir değişken olarak değerlendirilmelidir. Zira üretilen ürünün kusurlu olması veya kusurlu olmaması ile ilgilenilmektedir (iki sonuçlu). Her bir üretilen ürünün birbirinden bağımsız olduğu ve ürünler için kusurlu olma olasılığının sabit olduğu kabul edilmelidir. 𝑃 𝑋 = 0 =? 𝑃 𝑋=0 = 𝑃 𝑋=0 = 𝑛! 𝑝 ! (1 − 𝑝)!!! 𝑥! 𝑛 − 𝑥 ! 6! 0,05 0! 6 − 0 ! ! 0,95 ! = 0,7350 Üretilen 6 parçanın tamamının kusursuz olma olasılığı % 73.5’tir. Cevap 3 – b: Soruda “en az 2 kusurlu parça” denildiğine göre, 2 ile 6 dahil olmak üzere, bu aralıktaki tüm kusurlu parça ile karşılaşma olasılıklarının toplamı sorulmaktadır. Bu olasılığı bulabilmek için, “0” ve “1” kusurlu parça ile karşılaşma olasılıkları ayrı ayrı hesaplanır ve “1” değerinden çıkartılır. Çünkü X rassal değişkeninin bütün değerlerine ait olasılıkların toplamı “1” olacaktır: 𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − [𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃(𝑋 = 1)] 𝑃 𝑋=1 = 6! 0,05 1! 6 − 1 ! ! 0,95 ! = 0,2321 𝑃 𝑋 = 0 = 0,7350 𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − 0,7350 + 0,2321 = 0,0329 Rassal olarak seçilen 6 ürün içerisinden en az 2 kusurlu parça ile karşılaşma olasılığı % 3.29’dur. 8 FİNANSAL EKONOMETRİ BÖLÜMÜ – C GRUBU İSTATİSTİK – 1 (2015-2016 BAHAR YARIYILI) VİZE SINAVI (24.11.2015) Soru 1: Bir firma işe alım sınavına katılan 270 kişinin başarı durumlarını ilan etmiştir. Ayrıca adayların medeni durumlarına dair bilgileri de paylaşmıştır: Başarılı Başarısız Evli 78 52 Bekâr 54 86 a – Rastgele seçilen bir kişinin evli olma olasılığı nedir? (10 Puan) b - Aşağıdaki iddiada geçen her bir olay için olasılıkları bulunuz, yorumlayınız ve iddia için fikrinizi belirtiniz (25 puan): İddia: Evli olan birinin başarılı olma olasılığı, bekâr olan birinin başarılı olma olasılığına eşit değildir. Bu sınavda evli bireyler lehine ayrımcılık yapılmıştır. Cevap 1 – a: A olayı: Evli olma Evli olan 130 kişi var. Başarılı Başarısız Evli 78 52 Bekâr 54 86 Bu durumda rassal olarak seçilen birinin evli olma olasılığı % 48.1’dir. 𝑃 𝐴 = 78 + 52 = 0,481 270 Cevap 1 – b: B olayı: Bekâr olma Bekâr olan 140 kişi var. Başarılı Başarısız Evli 78 52 Bekâr 54 86 Bu durumda rassal olarak seçilen birinin bekâr olma olasılığı % 51.8’dir. 𝑃 𝐵 = 78 + 52 = 0,518 270 İddiada medeni durumun başarılı olasılığını etkilediği vurgulanmaktadır. Öncelikle evli olan bir kişinin başarılı olma olasılığını bulalım. Bu durumda ilgilenilen olasılık “başarılı olma”, koşul ise “evli olma”dır: 9 C olayı: Başarılı olma 𝑃 𝐶𝐴 = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) 𝑃(𝐴) Aynı anda hem evli olan hem de başarılı olan 78 kişi vardır. Başarılı Başarısız Evli 78 52 Bekâr 54 86 Bu durumda rassal olarak seçilen birinin hem evli hem de başarılı olma olasılığı % 28.8’dir. 78 = 0,288 270 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) 0,288 𝑃 𝐶𝐴 = = = 0,598 𝑃(𝐴) 0,481 𝑃 𝐴∩𝐶 = Evli olanlar arasından rassal olarak seçilen birinin başarılı olma olasılığı % 59.8’dir. Şimdi bekâr olanlar arasından rassal olarak seçilen birinin başarılı olma olasılığını bulalım. Burada ilgilenilen olasılık “başarılı olma” ve koşul ise “bekâr olma”dır: 𝑃 𝐶𝐵 = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) 𝑃(𝐵) Aynı anda hem bekâr hem de başarılı olan 54 kişi vardır. Başarılı Başarısız Evli 78 52 Bekâr 54 86 Rassal olarak seçilen birinin hem bekâr hem de başarılı olma olasılığı % 20’dir. 54 = 0,20 270 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) 0,20 𝑃 𝐶𝐵 = = = 0,386 𝑃(𝐵) 0,518 𝑃 𝐵∩𝐶 = Bekârlar arasından rassal olarak seçilen birinin başarılı olma olasılığı % 38.6’dır. Bu sonuçlar ışığında evli olanların başarılı olma olasılıkları daha yüksektir. Diğer bir ifadeyle, evli olanlara için bir ayrımcılık söz konusu olabilir. 10 Soru 2: İki farklı 100 metre koşucusunun 10 farklı yarışta yapmış oldukları dereceler, saniye olarak kaydedilmiştir. Verilen bilgiler ışığında aşağıdaki iddiaları ortalama ve standart sapma değerlerini kullanarak değerlendiriniz ve kendi görüşünüzü ifade ediniz: İddia 1: F. Lazer, C. Thunder’a göre daha hızlıdır (15 puan). İddia 2: C. Thunder daha istikrarlı dereceler elde etmektedir (15 puan). F. Lazer C. Thunder Lazer Lazer (𝑥 − 𝑥) Thunder Thunder (𝑥 − 𝑥)! (𝑥 − 𝑥) (𝑥 − 𝑥)! 11.0 10.2 11,0-10,45 = 0 ,55 (0,55)! = 0,3025 10,2-10,56 = -0 ,36 (0,36)! = 0,1296 10.3 11.2 10,3-10,45 = -0,15 (0,15)! = 0,0225 11,2-10,56 = 0,64 (0,64)! = 0,4096 9.8 11.0 9,8-10,45 = -0,65 (0,65)! = 0,4225 11,0-10,56 = 0,44 (0,44)! = 0,1936 9.7 9.1 9,7-10,45 = -0 ,75 (0,75)! = 0,5625 9,1-10,56 = -1 ,46 (1,46)! = 2,1316 10.9 12.0 10,9-10,45 = 0,45 (0,45)! = 0,2025 12,0-10,56 = 1,44 (1,44)! = 2,0736 10.7 9.9 10,7-10,45 = 0,25 (0,25)! = 0,0625 9,9-10,56 = -0,66 (0,66)! = 0,4356 11.7 10.6 11,7-10,45 = 1,25 (1,25)! = 1,5625 10,6-10,56 = 0,04 (0,04)! = 0,0016 10.8 9.7 10,8-10,45 = 0,35 (0,35)! = 0,1225 9,7-10, 56 = -0,86 (0,86)! = 0,7396 9.9 10.8 9,9-10,45 = -0,55 (0,55)! = 0,3025 10,8-10,56 = 0,24 (0,24)! = 0,0576 9.7 11.1 9,7-10,45 = -0 ,75 (0,75)! = 0,5625 11,1-10,56 = 0,54 (0,54)! = 0,2916 𝑥 = 104,5 (𝑥 − 𝑥)! = 4,125 𝑥 = 105,6 104,5 = 10,45 𝑛 10 𝑥 105,6 = = = 10,56 𝑛 10 𝑥!"#$% = 𝑥!!!"#$% (𝑥 − 𝑥)! = 6,464 𝑥 = İddia 1: Her ne kadar en iyi derece 9.1 ile Thunder’a aitse de, ortalama performanslar dikkate alındığında, Lazer’ın daha hızlı olduğu görülmektedir. 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎!"#$% = 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎 !!!"#$% = (𝑥 − 𝑥)2 𝑛−1 = (𝑥 − 𝑥)2 𝑛−1 = 4,125 = 9 6,464 = 9 0,4583 = 0,6770 0,7182 = 0,8474 İddia 2: Lazer’ın derecelerindeki değişkenlik daha düşük olduğundan Lazer daha istikrarlı bir performans göstermiştir denilebilir. 11 Soru 3: Gönüllülük esasına göre çalışılan bir işte öğrenciler çalıştırılmaktadır. Genelde öğrencilerin % 70’i, iki hafta geçtikten sonra işi bırakmaktadır. Birbirinden bağımsız olarak 6 öğrenci işe alınmıştır. a – İki hafta sonunda 1 öğrencinin işi bırakma olasılığı nedir? (10 puan) b – İki hafta sonunda en fazla 4 öğrencinin işi bırakma olasılığı nedir (25 puan)? Cevap 3 –a: X rassal değişkeni: İşi bırakma 𝑛=6 𝑝 = 0,70 İki terimli bir değişken olarak değerlendirilmelidir. Zira işi bırakma veya bırakmama ile ilgilenilmektedir (iki sonuçlu). Her bir kişinin birbirinden bağımsız olduğu ve işi bırakma olasılığının sabit olduğu kabul edilmelidir. 𝑃 𝑋 = 1 =? 𝑃 𝑋=1 = 𝑃 𝑋=1 = 𝑛! 𝑝 ! (1 − 𝑝)!!! 𝑥! 𝑛 − 𝑥 ! 6! 0,70 1! 6 − 1 ! ! 0,30 ! = 0,01 İşe başlayan 6 kişiden 1 kişinin işi bırakma olasılığı % 1’dir. Cevap 3 – b: Soruda “en fazla 4 öğrenci” denildiğine göre, 0 ile 4 dahil, bu aralıktaki tüm kişilerin işi bırakma olasılıklarının toplamı sorulmaktadır. Bu olasılığı bulabilmek için, “5” ve “6” kişinin işi bırakma olasılıkları ayrı ayrı hesaplanır ve “1” değerinden çıkartılır. Çünkü X rassal değişkeninin bütün değerlerine ait olasılıkların toplamı “1” olacaktır: 𝑃 𝑋 ≤ 4 = 1 − [𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃(𝑋 = 6)] 𝑃 𝑋=5 = 6! 0,70 5! 6 − 5 ! ! 0,30 ! = 0,3025 𝑃 𝑋=6 = 6! 0,70 6! 6 − 6 ! ! 0,30 ! = 0,1176 𝑃 𝑋 ≤ 4 = 1 − 0,3025 + 0,1176 = 0,5799 Rassal olarak seçilen 6 kişiden en fazla 4 kişinin işi bırakma olasılığı % 57,99’dur. 12 FİNANSAL EKONOMETRİ BÖLÜMÜ – D GRUBU İSTATİSTİK – 1 (2015-2016 BAHAR YARIYILI) VİZE SINAVI (24.11.2015) Soru 1: Bir şehirde oldukça popüler olan bir spor merkezine üyelik başvurusu yapan 520 kişinin cinsiyet bilgileri ve üyelik başvuru sonuçları aşağıdaki gibidir: Kabul Red Kadın 110 165 Erkek 98 147 a – Rastgele seçilen bir kişinin kadın olma olasılığı nedir? (10 Puan) b - Aşağıdaki iddiada geçen her bir olay için olasılıkları bulunuz, yorumlayınız ve iddia için fikrinizi belirtiniz (25 puan): İddia: Erkek olan birinin kabul edilme olasılığı, kadın olan birinin kabul edilme olasılığına eşittir. Dolayısıyla üyelik kabulü açıklanırken cinsiyet ayrımcılığı yapılmamaktadır. Cevap 1 – a: A olayı: Kadın olma Kadın olan 275 kişi var. Kabul Red Kadın 110 165 Erkek 98 147 Toplam = 275 Bu durumda rassal olarak seçilen birinin kadın olma olasılığı % 52,8’dir. 𝑃 𝐴 = 110 + 165 = 0,528 520 Cevap 1 – b: B olayı: Erkek olma Erkek olan 245 kişi var. Kabul Red Kadın 110 165 Erkek 98 147 Toplam = 245 Bu durumda rassal olarak seçilen birinin erkek olma olasılığı % 47,1’dir. 𝑃 𝐵 = 98 + 147 = 0,471 520 İddiada cinsiyetin üyelik kabul olasılığını etkilediği vurgulanmaktadır. Öncelikle kadın olan bir kişinin üye olma olasılığını bulalım. Bu durumda ilgilenilen olasılık “üye olma”, koşul ise “kadın olma”dır: 13 C olayı: Üye olma 𝑃 𝐶𝐴 = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) 𝑃(𝐴) Aynı anda hem kadın olan hem de üye olan 110 kişi vardır. Kabul Red Kadın 110 165 Erkek 98 147 Bu durumda rassal olarak seçilen birinin hem kadın hem de üye olma olasılığı % 21,1’dir. 110 = 0,211 520 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) 0,211 𝑃 𝐶𝐴 = = = 0,399 𝑃(𝐴) 0,528 𝑃 𝐴∩𝐶 = Kadın olanlar arasından rassal olarak seçilen birinin üye olma olasılığı % 39,9’dur. Şimdi erkek olanlar arasından rassal olarak seçilen birinin üye olma olasılığını bulalım. Burada ilgilenilen olasılık “üye olma” ve koşul ise “erkek olma”dır: 𝑃 𝐶𝐵 = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) 𝑃(𝐵) Aynı anda hem erkek hem de üye olan 98 kişi vardır. Kabul Red Kadın 110 165 Erkek 98 147 Rassal olarak seçilen birinin hem erkek hem de başarılı olma olasılığı % 20’dir. 98 = 0,188 520 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) 0,188 𝑃 𝐶𝐵 = = = 0,399 𝑃(𝐵) 0,471 𝑃 𝐵∩𝐶 = Erkekler arasından rassal olarak seçilen birinin üye olma olasılığı % 39,9’dur. Bu sonuçlar ışığında erkek olanların üye olma olasılıkları ile kadın olanların üye olma olasılıklarının aynı olduğu bulunmuştur. Diğer bir ifadeyle, cinsiyete dayalı bir ayrımcılık yapılmadığı görülmektedir. 14 Soru 2: İki farklı arabanın 100 kilometrede tükettikleri benzin miktarı litre olarak kaydedilmiştir. İki modelden örnek olarak alınan 10’ar aracın tüketim miktarları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aşağıdaki iddiaları ortalama ve standart sapma yardımıyla değerlendiriniz ve yorumlarınızı yazınız: İddia 1: Catty marka araçlar daha az benzin tüketmektedir (15 puan). İddia 2: Patty marka araçların benzin tüketimi daha istikrarlıdır (15 puan). Patty Catty Patty Patty (𝑥 − 𝑥)! (𝑥 − 𝑥) 6.8 8.7 7.8 7.4 5.9 9.1 6.4 6.4 7.1 6.8 5.8 8.4 8.4 7.5 7.6 8.9 6.4 5.9 7.2 8.7 𝑥 = 69,4 Catty Patty (𝑥 − 𝑥)! (𝑥 − 𝑥) 6,8 – 6,94 = -­‐0,14 (0,14)! =0,0196 8,7 – 7,78 = 0,92 (0,92)! =0,8464 7,8 – 6,94 = 0,86 (0,86)! =0,7396 7,4 – 7,78 = -­‐0,38 (0,38)! =0,1444 5,9 – 6,94 = -­‐1,04 (1,04)! =1,0816 9,1 – 7,78 = 1,32 (1,32)! =1,7424 6,4 – 6,94 = -­‐0,54 (0,54)! =0,2916 6,4 – 7,78 = -­‐1,38 (1,38)! =1,9044 7,1 – 6,94 = 0,16 (0,16)! =0,0256 6,8 – 7,78 = -­‐0,98 (0,98)! =0,9604 5,8 – 6,94 = -­‐1,14 (1,14)! =1,2996 8,4 – 7,78 = 0,62 (0,62)! =0,3844 8,4 – 6,94 = 1,46 (1,46)! =2,1316 7,5 – 7,78 = -­‐0,28 (0,28)! =0,0784 7,6 – 6,94 = 0,66 (0,66)! =0,4356 8,9 -­‐7,78 = 1,12 (1,12)! =1,2544 6,4 – 6,94 = -­‐0,54 (0,54)! =0,2916 5,9 – 7,78 = -­‐1,88 (1,88)! =3,5344 7,2 – 6,94 = 0,26 (0,26)! =0,0676 8,7 – 7,78 = 0,92 (0,92)! =0,8464 𝑥 = 77,8 (𝑥 − 𝑥)! = 11,696 (𝑥 − 𝑥)! = 6,384 69,4 = 6,94 𝑛 10 𝑥 77,8 = = = 7,78 𝑛 10 𝑥!"##$ = 𝑥!"##$ 𝑥 = İddia 1: Ortalama olarak Patty marka araçlar daha az yakıt tüketmektedir. 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎!"##$ = 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎!"##$ = (𝑥 − 𝑥)2 𝑛−1 (𝑥 − 𝑥)2 𝑛−1 = 6,384 = 9 0,7093 = 0,8421 = 11,696 = 9 1,299 = 1,1399 İddia 2: Patty marka araçların yakıt tüketimindeki değişimin ortalaması daha düşüktür. Diğer bir ifadeyle, Patty marka araçların yakıt tüketimi daha istikrarlıdır. 15 Soru 3: Bir firma, montajını yaptığı ürünlerin % 15’inin montaj sonrası arıza verdiğini bilmektedir. Birbirinden bağımsız olarak montajı yapılan 6 ürün vardır. a – Montajı yapılan ürünlerin 2’sinin arıza verme olasılığı nedir? (10 puan) b – Montajı yapılan en az 2 ürünün arıza verme olasılığı nedir (25 puan)? Cevap 3 –a: X rassal değişkeni: Arıza verme 𝑛=6 𝑝 = 0,15 İki terimli bir değişken olarak değerlendirilmelidir. Zira arıza verme veya vermeme ile ilgilenilmektedir (iki sonuçlu). Her bir ürünün birbirinden bağımsız olduğu ve arıza olasılığının sabit olduğu kabul edilmelidir. 𝑃 𝑋 = 2 =? 𝑃 𝑋=1 = 𝑃 𝑋=2 = 𝑛! 𝑝 ! (1 − 𝑝)!!! 𝑥! 𝑛 − 𝑥 ! 6! 0,15 2! 6 − 2 ! ! 0,85 ! = 0,1761 Montajı yapılan 2 ürünün arıza verme olasılığı % 17’61’dir. Cevap 3 – b: Soruda “en az 2 ürün” denildiğine göre, 2 ile 6 dahil, bu aralıktaki tüm ürünlerin arıza verme olasılıklarının toplamı sorulmaktadır. Bu olasılığı bulabilmek için, “0” ve “1” ürünün arıza verme olasılıkları ayrı ayrı hesaplanır ve “1” değerinden çıkartılır. Çünkü X rassal değişkeninin bütün değerlerine ait olasılıkların toplamı “1” olacaktır: 𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − [𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃(𝑋 = 1)] 𝑃 𝑋=0 = 6! 0,15 0! 6 − 0 ! ! 0,85 ! = 0,3771 𝑃 𝑋=1 = 6! 0,15 1! 6 − 1 ! ! 0,85 ! = 0,3993 𝑃 𝑋 ≤ 4 = 1 − 0,3771 + 0,3993 = 0,2236 Rassal olarak seçilen 6 üründen en az 2 ürünün arıza verme olasılığı % 22,36’dır. 16