ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ENM 317
Prof. Dr. Nihal ERGİNEL
2
ÖRNEKLEME
Anakütleden n birimlik örnek alınması
ve anakütle parametrelerinin
örnekten tahmin edilmesidir.
3
ÖRNEKLEME ALMANIN NEDENLERİ
Anakütleye erişilemeyebilir.
Anakütleye erişmek maliyetli
olabilir.
Anakütleye erişmek çok zaman
alabilir.
Test / ölçüm metodu tahribatlı
olabilir.
4
ÖRNEKLEME ÇEŞİTLERİ
1.İradi Örnekleme:
Örneklere eşit seçilme
şansının verilmediği,
bilerek ve isteyerek
seçim niteliğinde olan,
olasılık hesabına
dayanmayan
tekniklerdir.
2.Tesadüfi Örnekleme:
Örneklerin seçilme şansının
eşit olduğu olasılık hesabına
dayanan tekniklerdir.
•Basit Rassal Örnekleme
• Tabakalı örnekleme
• Çok Kademeli Örnekleme
•Kümelere Göre Örnekleme
5
Basit Rassal Örnekleme : Belirli kurallara
bağlı kalmadan örneklerin seçilmesi
(milli piyango, sayısal vb.) Rassallığı
içerdiği için en çok bu örnekleme
tekniği kullanılır.
Sistematik Örnekleme:
Her saat başı 3 adet
örnek almak veya her 50
tanede bir örnek almak
gibi
6
Tabakalı Örnekleme: Ana kütle, ilgilenilen
özellikler
bakımından
çok
farklılık
gösteriyorsa, ana kütleyi tabakalara
ayırıp örnek almak gereklidir. Örneğin,
gelir seviyelerine göre tabakalandırma,
eğitim düzeylerine göre veya işyerinde
çalışan sayılarına göre tabakalandırma
yapılabilir.
Kümelere
Göre
Örnekleme:
Birimlerin dâhil oldukları kümelere
göre örnekleme yapılabilir. Örneğin,
mahalle, semte göre, işletmenin
sektörüne göre, okul tiplerine göre
kümelendirilebilir.
7
ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI
1) Normal Dağılıma Sahip Bir Ana Kütleden Alınan Örneklerin
Ortalamalarının Örnekleme Dağılımı
Ana kütle ortalaması µ, standart sapması 𝜎 olan
Normal Dağılmış olsun. 𝑥𝑖 ̴ N (µ , 𝜎 2 ). Bu ana
kütleden alınan örneklerin ortalamalarının
dağılımı;
𝑋 ̴ N (µ ,
𝜎2
𝑛
) olur. 𝜎𝑥 =
𝜎
𝑛
8
Eğer ana kütle hacmi küçük ise
𝑛
(
𝑁
≤ 0,05 ise) ;
N: Ana kütledeki birim sayısı
n: örnekteki birim sayısı
𝜎 : ana kütlenin standart sapma iken
𝜎𝑥 =
𝜎
𝑛
.
𝑁−𝑛
𝑁−1
olur.
9
2) Normal Dağılıma Sahip Bir Ana Kütleden Alınan Örneklerin
Oranlarının Örnekleme Dağılımı
p: ana kütle oranı
𝑝 : örnek oranı
d: örnekteki ilgilenilen birim sayısı
n: örnek büyüklüğü
Ana kütle oranı bilinmediğinde, p yerine 𝑝 kullanılabilir.
𝑝=
𝑑
𝑛
B [p] = 𝑝
z=
𝑝−𝑝
𝜎𝑝
𝜎𝑝 =
𝑝 (1−𝑝)
𝑛
̴ N(0,1)
10
Burada np ≥ 5 veya n(1-p) ≥ 5 olmalı.
Eğer ana kütle hacmi küçük ise;
𝜎𝑝 =
𝑝 (1−𝑝)
𝑛
.
𝑁−𝑛
𝑁−1
olur.
11
MERKEZİ LİMİT TEOREMİ
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ,…….., 𝑥𝑛
•
aynı dağılıma sahip ve
•
istatistiksel olarak bağımsız rassal
değişkenler olsun.
Bunların aritmetik ortalaması B[𝑥𝑖 ] = µ𝑖 ve
varyansı V(𝑥𝑖 ) = 𝜎𝑖 2 ile gösterilsin.
Yeni bir rassal değişken tarif edelim;
Y = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +……..+ 𝑥𝑛 ile oluşan rassal
değişken olsun.
12
n yeterince büyük olduğunda, Y’nin dağılımı
Normal Dağılıma yaklaşır.
Z dönüşümü yapıldığında; Y ̴ N(0,1) olur.
13
Bu teoremin özel bir durumu örnek
ortalamaları ile ilgilidir.
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ,…….., 𝑥𝑛
• aynı dağılıma sahip, bağımsız, ardışık
rassal değişkenler olsun.
• Ortalaması B[𝑥𝑖 ] = µ ve V(𝑥𝑖 ) = 𝜎 2
olsun.
Aynı ana kütleden alınan n birimlik
örneklerin aritmetik ortalamaları 𝑥𝑖 iken;
14
𝑋 ~ N(µ ,
𝜎2
)
𝑛
olur.
Merkezi limit teoremi gereğince,
ana kütlenin dağılımı ne olursa olsun, örnekteki
birim sayısı n yeterince artırıldığında, örnek
ortalamalarının dağılımı Normal Dağılıma
yaklaşır.
15
Farkların ve Toplamların Örnekleme
Dağılımları
 Ortalamalar için;
A, B iki farklı ana kütle
𝑛𝐴 , 𝑛𝐵 : örnek sayısı
𝑋𝐴 , 𝑋𝐵 : örnek ortalamaları iken,
d = 𝑋𝐴 + 𝑋𝐵 ise;
B[d] = B[ 𝑋𝐴 ] ± B[ 𝑋𝐵 ]
µ𝑑 = µ𝐴 ± µ𝐵
16
𝜎𝑑 2 =
𝜎𝐴 2 𝜎𝐵 2
+
𝑛𝐴
𝑛𝐵
d ̴ N( µ𝐴 ± µ𝐵 ;
Z=
𝑑− µ𝑑
𝜎𝑑
𝜎𝐴 2 𝜎𝐵 2
+
)
𝑛𝐴
𝑛𝐵
̴ N(0,1)
17
 Oranlar için;
A,B iki farklı ana kütle
𝑝𝐴 , 𝑝𝐵 : örnek oranları
𝑛𝐴 , 𝑛𝐵 : örnek sayısı
d = 𝑝𝐴 ± 𝑝𝐵 ise;
B[d] = B[ 𝑝𝐴 ] ± B[ 𝑝𝐵 ] = 𝑝𝐴 ± 𝑝𝐵
18
V(d) =
Z=
𝑝𝐴 (1− 𝑝𝐴 )
𝑛𝐴
+
𝑝𝐵 (1− 𝑝𝐵 )
𝑛𝐵
𝑝𝐴 ± 𝑝𝐵 −(𝑝𝐴 ± 𝑝𝐵 )
𝑝𝐴 (1− 𝑝𝐴 )
𝑝𝐵 (1− 𝑝𝐵 )
+
𝑛𝐴
𝑛𝐵
̴ N(0,1)
19
Gamma Dağılımı
 α > 0 iken 𝛤 (α) ;
𝛤 (α) =
∞ 𝛼−1 −𝑥
𝑥
.
𝑒
0
. 𝑑𝑥
şeklinde tanımlanan fonksiyona
Gamma fonksiyonu denir.
20
Gamma Dağılımı
𝛤 (1) =
∞
0
𝑒 −𝑥 . 𝑑𝑥 = 1 olur.
 α > 1 iken ,
𝛤 (α) = (α-1) 𝛤 (α-1) olur.
21
Gamma Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
α > 0, 𝛽 > 0 olmak üzere
f(x) =
𝛽𝛼
𝛤(𝛼)
. 𝑥 𝛼−1 . 𝑒 −𝛽𝑥 ; x ≥ 0
0
;x<0
şeklinde ise,
f(x) ‘ e gamma dağılımı, x’ e de Gamma dağılmış
rassal değişken denir.
22
Gamma Dağılımı
µ=
𝛼
𝛽
2
,𝜎 =
𝛼
𝛽2
olur.
23
𝜒 Gamma dağılmış bir rassal değişken iken,
• k>0 ve tamsayı olmak üzere,
• 𝛽 = ½ ise,
𝜒’ e Ki- kare dağılmış rassal değişken denir.
24
Ki – Kare Dağılımı (Chi- Square Distribution)
𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 ,…….., 𝑧𝑘
 ortalaması µ = 0 , varyansı 𝜎 2 = 1 olan
 Normal dağılmış ve
 bağımsız rassal değişkenler olsun.
𝜒 2 = 𝑧1 2 + 𝑧2 2 + ….+ 𝑧𝑘 2 ise;
𝜒 2 , Ki-Kare dağılmış rassal değişken olur.
25
Ki – Kare Dağılımı
𝜒 2 ‘ nin olasılık yoğunluk fonksiyonu:
1
𝑓𝑥 2 (u) =
𝑘
(2)2 Г
0
𝑘
2
u (k 2)−1 .𝑒 −u/2
/
; u>0
; dd
26
Bu dağılıma serbestlik derecesi k olan
𝜒 2 (Ki- kare) dağılımı denir.
µ=k
𝜎 2 = 2k
27
t DAĞILIMI
z ~ N(0,1) ve V ~ (𝜒𝑘 2 ) k serbestlik
derecesi ile 𝜒 2 dağılmış rassal değişken
iken,
T=
𝑧
𝑉
𝑘
ise,
28
t DAĞILIMI
T’nin olasılık yoğunluk fonksiyonu;
f(t) =
𝛤[(𝑘+1)/2]
.
1
k+1
𝜋𝑘 . 𝛤(𝑘/2) [(𝑡 2 /𝑘 )+1] 2
; -∞ <t<∞
29
t DAĞILIMI
!
Küçük örneklemelerde t
dağılımı kullanılır.
30
F DAĞILIMI
W ve Y bağımsız ve serbestlik dereceleri
sırasıyla u ve v olan, 𝜒 2 dağılmış rassal
değişkenler iken;
F=
𝑊
𝑌
𝑢
𝑣
olarak tanımlanırsa;
31
F DAĞILIMI
h(f)
u+v
= Г 2 .
u
v
Г ( ). Г ( ).
2
2
u
v
u/2
u
. (f )
u
f+1
v
2
−1
;0<f<∞
u+v
2
(f) fonksiyonuna F dağılımı denir.
X ~ 𝐹𝑢,𝑣 şeklinde gösterilir
32
F DAĞILIMI
𝑆1 2
F=𝑆
2
2
𝜎1 2
𝜎2 2
33
ÖRNEK
Bir tuğla üretim sürecinde tuğla bir fırına
yerleştirilerek ortalaması 64 dk., standart sapması 5
dk. olmak üzere Normal dağılmış bir pişme zamanı
ile fırınlanmaktadır.
a)100 adet tuğlanın pişme zamanının 64 dk.
45 sn.den fazla olma olasılığı nedir?
b)Pişme süresi 57 dk. ve daha az olan tuğla
oranını hesaplayınız.
34
ÇÖZÜM
a) µ=64 dk.
𝑋−µ 64,75−64
P(X ≥ 64,75) = P(
≥ 5
)
𝜎𝑥
100
𝜎 = 5 dk.
n = 100
=P(z ≥ 1,5) = 0,5-0,4332=0,0668
b) P(X ≤ 57) =
𝑋−µ
P(
𝜎
≥
57−64
5
) = P (z ≤ 1,4)
= 0,5-0,4192 = 0,0808
35
ÖRNEK
Gıda üzerine çalışan bir firmada, ürünlerde yer alan bir madde
miktarının en çok 2 grama kadar olmasına izin verilmektedir.
Firmanın geçmiş kayıtları incelendiğinde, paketlenen ürünlerde
yer alan söz konusu maddenin 1,25 gr’a eşit olduğu ve standart
sapması 0,5 gr olan Normal Dağıldığı görülmüştür.
a) İçinde bulunan miktar itibariyle limitin üstünde olan paketlerin
oranını,
b) Seçilen herhangi bir paketteki maddenin 1,75 ile 2 gr arasında olma
olasılığı,
c) Rassal olarak seçilen 25 br’lik biri örneğin ortalamasının 1,6’dan
büyük çıkma olasılığını hesaplayınız.
36
ÇÖZÜM
a)µ= 1,25 gr
𝜎 = 0,5 gr
P(X ≥ 2) =
𝑋−µ
P(
𝜎
≥
2−1,25
0,5
)
= P(z ≥ 1,5 ) = 0,0668
b) P(1,75 ≤ X ≤ 2) =
1,75−1,25
P(
0,5
≤𝑧 ≤
2−1,25
)
0,5
= P (1 ≤ X ≤ 1,5) = 0,0919
37
c) n = 25
𝜎𝑥 =
𝜎
𝑛
=
0,5
5
= 0,1
𝑋−µ
P( 𝑋 ≥ 1,6) = P( 𝜎 ≥
𝑥
1,6−1,25
)
0,1
= P( z ≥ 3,5)
= 0,0002