YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Appendix B, J.M.

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I
Ders Notları
Kesikli r.d.: Örnek
Yıldız Teknik Üniversitesi
İktisat Bölümü
Ekonometri I Ders Notları
• Bir basketçinin iki atış yaptığını ve X r.d.’nin başarılı atış
sayısını gösterdiğini düşünelim. X’in alabileceği değerler
kümesi: {0,1,2} olsun. Olasılık fonksiyonu şöyle verilmiş
olsun:
f(0)=0.2, f(1)=0.44, f(2)=0.36
• En az bir başarılı atış olasılığı nedir?
Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A
Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning
Appendix B:
Olasılık ve Dağılım Teorisi
P ( X ≥ 1) = P ( X = 1) + P( X = 2)
Doç. Dr. Hüseyin Taştan1
= 0.44 + 0.36 = 0.80
1 Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü, Yıldız Kampüsü H Blok, Oda no. 124, Beşiktaş, İstanbul.
• Bu dağılımın grafiği şöyledir:
Email: tastan@yildiz.edu.tr
1
Rassal Değişkenler
(Random Variables)
Serbest basket atışı örneği için olasılık fonksiyonu
• Alacağı değer belli bir rassal (random) deneyin
(experiment) sonucuna bağlı olan değişkenlere rassal
değişken (r.d.) denir.
• X: r.d.,
• x: X r.d.’nin aldığı belli bir değer
• Kesikli r.d.: Alacağı değerler sayılabilir (sonlu ya da
sonsuz) olan rassal değişken.
• Sürekli r.d.: Belli bir aralıkta (örneğin reel sayılar doğrusu
üzerinde) herhangi bir değeri alan rassal değişken.
Kesikli r.d.’den farklı olarak sürekli r.d. sayılamaz. Bu
nedenle bir sürekli r.d.’nin belli bir değere eşit olma
olasılığı sıfırdır.
Kesikli Rassal Değişkenler
Sürekli Rassal Değişkenler
• X sürekli r.d.’nin olasılık yoğunluk fonksiyonu (probability density
function, pdf) aşağıdaki koşulları sağlar:
f ( x) ≥ 0
+∞
∫ f ( x)dx = 1
−∞
• Aralık olasılıkları:
• Sürekli r.d.’in aralık olasılıkları şöyle yazılabilir:
Appendix B, J.M. Wooldridge Introductory
Econometrics
1
YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I
Ders Notları
Sürekli bir r.d.’nin a ve b arasında olma olasılığı
(taralı bölgenin alanı)
Örnek: X~uniform(a,b)
Ortak (bağlı)dağılımlar (joint distributions) ve
bağımsızlık:
• X ve Y r.d. Aşağıdaki koşul sağlandığında
istatistik bakımından bağımsızdırlar:
• Sürekli:
Birikimli Olasılık Fonksiyonu
• Kesikli:
• Sürekli durumda ortak yoğunluklar marjinal
yoğunlukların çarpımı olarak yazılabiliyorsa ya da
kesikli durumda ortak olasılıklar marjinal
olasılıkların çarpımı olarak yazılabiliyorsa bu
değişkenler istatistik bakımından bağımsızdırlar.
Örnek B.1 : İki serbest basket atışı
Aralık Olasılıkları ve Birikimli Olasılık Fonksiyonu
•
•
•
•
•
X :ilk atışın sonucu (1 veya 0)
Y : ikinci atışın sonucu (1 veya 0)
Atıcının genel başarı oranı %80 olsun: Yani, P(X=1)=P(Y=1)=0.80
Basketcinin iki atışı da basket yapma olasılığı nedir?
X ve Y bağımsız (independent) ise,
P(x=1,Y=1)=P(X=1).P(Y=1)=0.8x0.8=0.64
• Bağımsız değillerse bu yanıt doğru olmaz.Örneğin, koşullu olasılıkları şöyle
olsun :
• Yanıt: (B.15 ) den,
Appendix B, J.M. Wooldridge Introductory
Econometrics
2
YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I
Ders Notları
Beklenen Değer (Expected Value)
• E(x) veya µ: X’in tüm muhtemel değerlerinin ağırlıklı bir
ortalamasıdır. Ağırlıklar, olasılık fonksiyonları (ya da
yoğunluk f., pdf) tarafından belirlenir.
• Kesikli:
Varyans
• X, tesadüfi değişken (random variable), µ=E(X)
olsun.Varyans X rassal değişkeninin, kendi beklenen değeri
çevresindeki değişkenliğinin bir ölçüsüdür.
• Anakütle (population) varyansı ile örneklem varyansı
birbiriyle karıştırılmamalıdır.
• Varyans tanımı:
• Sürekli:
• Örnek : X kesikli r.d. -1,0,2 değerlerini sırasıyla 1/8, ½ ve
3/8 olasılıklarıyla alıyor olsun. Beklenen değerini bulalım.
devam
• X’in bir fonksiyonunun beklenen değeri:
Aynı ortalamaya fakat farklı dağılımlara (varyansa) sahip iki
değişken : x ve y
Örnek B.4: Örnek B.3’den, X=-1,0 ve 2 ve olasılıklar,
sırasıyla, 1/8, ½ ve 3/8 idi. g(X)=X2 tanımlayalım.
Böylece,g(X)’in beklenen değeri :
BEKLENEN DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
• c sabit bir sayı olmak üzere
• a, b sabit sayılar olmak üzere
Varyansın Özellikleri
• Eğer P(X=c)=1 ise Var(X)=0, E(X)=c
• Yani bir rassal değişkenin varyansı sıfırsa aslında o r.d.
bir sabit sayıdır. Başka bir deyişle, sabit bir sayının
varyansı sıfırdır.
• a ve b sabit sayılar olmak üzere
• a1,a2,…,an sabit sayılar olmak üzere
• Özel durum: ai=1, her i=1,…,n
Appendix B, J.M. Wooldridge Introductory
Econometrics
• Bir rassal değişkene sabit bir sayının eklenmesi o r.d.’nin
varyansını değiştirmez.
• Bir rassal değişken sabit bir sayıyla çarpılırsa, varyansı
sabitin karesiyle çarpılır.
3
YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I
Ders Notları
Kovaryansın Özellikleri
Standart sapma
• Bir rassal değişkenin standart sapması o r.d.’nin
varyansının pozitif kareköküdür.
• Sabit bir sayının standart sapması sıfırdır.
• a ve b sabit sayılar olmak üzere
• X ve Y bağımsız ise kovaryansları sıfırdır.
• Ancak bunun tersini söyleyemeyiz. Yani
kovaryansın sıfır olması X ve Y’nin bağımsız
olduğu anlamına gelmez.
• a, b sabit sayılar olmak üzere
• Cauchy-Schwartz eşitsizliği
Bir değişkenin standardize edilmesi
• Rassal değişken X’in ortalaması µ ve standart
sapması σ olsun. X’in ortalamasından sapmalarını
standart sapmasına bölerek yeni bir Z değişkeni
tanımlayalım:
Korelasyon katsayısı: doğrusal bağımlılık (linear
dependence) ölçüsü
• X ve Y bağımsız ise korelasyon katsayısı 0 olur.
• Korelasyon katsayısının 0 olması X ve Y’nin bağımsız
olduğu anlamına gelmez. Bu durumda X ve Y ilişkisizdir
(uncorrelated) denir.
• Korelasyon katsayısının işareti kovaryansın işaretine
bağlıdır.
• Nedensellik ilişkisi belirtmez.
Kovaryans
• X ve Y tesadüfi değişkenlerinin beklenen
değerlerine,
ve
, diyelim.
• Kovaryans, X ve Y r.d.’lerinin ortalamalarından
farklarının çarpımının beklenen değeri olarak
tanımlanır:
Appendix B, J.M. Wooldridge Introductory
Econometrics
Korelasyon (devam)
►
4
YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I
Ders Notları
Tesadüfi değişkenlerin toplamlarının varyansı
devam
• a ve b sabit sayılar olmak üzere
►
• X ve Y r.d. bağımsız ya da ilişkisiz ise sondaki
Kovaryans terimi sıfır olur ve:
•
•
•
devam
ikili olarak ilişkisiz rassal değişkenler
sabit sayılar olmak üzere
►
ve
Burada, ağırlıklar X’in aldığı değerlere göre değişen
olasılıklar olmaktadır. E(Y|x), x’in bir fonksiyonudur ve
Y’nin beklenen değerinin x ile birlikte nasıl değiştiğini
gösterir.
Örnek : X, eğitim durumu değişkeni (okunulan yıl sayısı),
Y, saat başına ücretler. Ülkedeki tüm çalışanlar
kapsanmaktadır (örnek değil kitle söz konusu)
Aşağıdaki grafik, tahsile göre ücretlerin beklenen değerini
verecektir.
devam
• öyle bir doğrusal ilişki bulunmuş olsun:
Özel durum:
Koşullu beklenen değer (conditional
expectation)
• Korelasyon ve kovaryans iki değişken arasındaki
doğrusal (linear) ilişkiyi ölçer ve değişkenleri
simetrik olarak ele alır. X ile Y aynı konumdadır.
Oysa, çoğu kez, X’i bağımsız, Y’yi bağımlı değişken
alarak, belli bir X değeri verilmişken Y’nin alacağı
değeri bulmak isteriz. İlişki, doğrusalolmayan(nonlinear) türden olacaktır.
• Koşullu beklenen değer kovaryans ve korelasyon
katsayısının yakalayamayacağı doğrusal olmayan
ilişkileri de gösterir.
• Bu durumda tek bir sayıdan ibaret bir ölçü
bulamayacağız.Onun yerine, X’in verilmiş değerleri
için Y’nin koşullu beklenen değerine (conditional
expectation or conditional mean) bakacağız.
Appendix B, J.M. Wooldridge Introductory
Econometrics
Koşullu beklenen değerin özellikleri
1.
c(X), X’in herhangi bir fonksiyonu olsun:
E[c(X)|X] = c(X)
Eğer X’e göre koşullu beklenti alıyorsak, X’in fonksiyonları
sabit gibi düşünülebilir (sabitin beklenen değeri
kendisine eşittir).
Örnek: E[X2|X] = X2
2. X’in a(X) ve b(X) gibi iki fonksiyonu için:
E[a(X)Y+b(X)|X] = a(X)E[Y|X] +b(X)
Örnek: XY+2X2’nin X’e göre koşullu beklenen değerini
bulalım:
E[XY+2X2|X] = X E[Y|X] + 2X2
5
YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I
Ders Notları
devam
3.
X ve Y bağımsız ise
E(Y|X) = E(Y)
X ve Y bağımsızsa Y’nin X’e göre koşullu beklenen değeri
X’e bağlı değildir. X’in değeri ne olursa olsun Y’nin
koşullu beklentisi koşulsuz beklentiye eşit olur.
Örneğin, ücret-eğitim ilişkisinde eğer ücretler eğitim
düzeyinden bağımsız olsaydı ilkokul ve üniversite
mezunlarının ücret ortalamaları aynı olurdu. Ancak bu
doğru olmadığından ücret ve eğitim seviyesinin
bağımsız olduğunu varsayamayız.
Bu özelliğin özel bir durumu şudur: Eğer U ve X
bağımsızsa ve E(U)=0 ise:
E(U|X) = 0
devam
Normal (Gaussian) Dağılım
• X sürekli rassal değişkeni normal dağılıma uyuyorsa
herhangi bir değeri alabilir.
• Normal dağılımın iki parametresi vardır: beklenen değer
ve varyans:
µ=E(X) ve σ2=Var(X)
• Olasılık yoğunluk fonksiyonu (pdf):
Normal Dağılımın oyf’nun grafiği
4.
Yinelenen Beklentiler Kanunu (Law of Iterated
Expectations)
E[E(Y|X)] = E(Y)
Anlamı: Eğer önce E(Y|X)’i X’in bir fonksiyonu olarak
hesaplar, daha sonra X’in dağılımına göre beklentisini
alırsak Y’nin beklenen değerine ulaşırız.
Bu özelliğin daha genel bir versiyonu:
E(Y|X) = E[E(Y|X,Z) |X]
5. Eğer E(Y|X) = E(Y) ise Cov(X,Y)=0 ve Corr(X,Y)=0
X’in her fonksiyonu Y ile ilişkisizdir.
U ve X iki r.d. olsun. E(U|X) = 0 ise (4) ve (5) özelliklerinden
hareketle E(U)=0’dir ve U ve X ilişkisizdir (kovaryansları
sıfırdır)
Koşullu Varyans
(Conditional Variance)
• Y’nin X’e göre koşullu varyansı ilgili koşullu dağılımdan
hareketle hesaplanan varyanstır:
Var(Y|X=x) = E{[Y-E(Y|x)]2 |x}
= E(Y2|x) –[E(Y|x)]2
• Eğer X ve Y bağımsızsa
Var(Y|X) = Var(Y)
Appendix B, J.M. Wooldridge Introductory
Econometrics
6
YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I
Ders Notları
Ki-kare Dağılımı
• Zi, i=1,...,n, birbirinden bağımsız standart normal r.d.
olsun. Bunların karelerinin toplamı n s.d. ile ki-kare
dağılımına uyar.
t-Dağılımı
• Z std normal dağılan, X ise n s.d. ile ki-kare dağılan birbirinden bağımsız
iki r.d. olsun. Bu durumda aşağıdaki r.d. n. s.d. ile t dağılımına uyar:
F Dağılımı
• X1 k1 s.d. ile X2 ise k2 s.d. ile ki-kare dağılımına uyan
birbirinden bağımsız iki r.d. olsun. Bu durumda aşağıdaki
r.d. (k1,k2) s.d. ile F dağılımına uyar:
Appendix B, J.M. Wooldridge Introductory
Econometrics
7