SAYILAR - ahmet elmas

SAYILAR
SAYI KÜMELERĠ:
GĠRĠġ:
Nasıl atom maddenin, hücre canlının
temel taĢı ise sayılar da matematiğin
temel taĢlarıdır. Bu bölümde yalnızca
atom veya hücreyi bir bütün olarak değil,
atomun elektronlarını ve çekirdeğini,
hücrenin çekirdeğini ve DNA larını da
inceleyeceğiz.
Z- = { …, -3, -2, -1 } Negatif tamsayılar.
En büyük Negatif tamsayı -1 dir.
Z+ = { 1, 2, 3, … } Pozitif tamsayılar.
Sayma sayıları.
Sayılar, ana kurallar ile birlikte doğru
kullanıldıklarında matematik seyretmesi
doyumsuz bir sanat eserine dönüĢür.
ÖSS Matematikte baĢarılı olmak isteyen
öğrencinin sayılar ile arasının çok iyi
olması gerekir.
En küçük Pozitif tamsayı 1 dir.
Z = Z-  {0}  Z+
UYARI
0 sayısı Negatif bir tamsayı olmadığı gibi
Pozitif bir tamsayı da değildir.
Bu yüzden öncelikle sayı kümelerine kuĢ
bakıĢı
bir
göz
atalım.
Önemli
özelliklerinden birkaçını da vurgulayalım.
RASYONEL SAYILAR KÜMESĠ
DOĞAL SAYILAR KÜMESĠ
Q={
N = { 0, 1, 2, 3, … , n, n+1, n+2, … }
Kümesine Doğal sayılar kümesi denir.
a
| a, b tamsayı, b  0 }
b
Kümesine Rasyonel sayılar kümesi denir.
UYARI
Ondalık sayılar,
0,23 ; 45,67 ; 123,4567 ; …
En küçük doğal sayı 0 dır.
Devirli ondalık sayılar,
2,333… ; 36,232323… ; 0,125125…
birer Rasyonel sayıdır.
TAMSAYILAR KÜMESĠ
Z={…,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,…, n, n+1, n+2,…}
Kümesine Tamsayılar kümesi denir.
Her Tamsayı, paydası 1 olan bir
Rasyonel sayıdır.
Her doğal sayı, aynı zamanda bir
Tamsayıdır.
a Tamsayı olmak üzere;
N⊂Z
N⊂ Z ⊂ Q
1
𝑎
1
= 𝑎 dır.
ĠRRASYONEL SAYILAR KÜMESĠ
DÖRT ĠġLEM:
a
b
Matematikte baĢarılı olmanın temel
koĢullarından biri de dört iĢlemi hatasız
ve çabuk yapmaktır.
( a, b tamsayı, b  0 )
Ģeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel
sayılar denir. Ġrrasyonel sayılar kümesi
Q’ ile gösterilir.
2,
3
5,
Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme
iĢlemlerini
tüm
sayı
kümelerinde
sıkılmadan, çok sayıda alıĢtırma yaparak
pekiĢtirmek gerekir.
  3,14, ... , e  2,71 ...
sayıları birer Ġrrasyonel sayıdır.
Rasyonel
ve
İrrasyonel
Biz öncelikle bu iĢlemlerin
özelliklerini belirtelim.
sayı
kümelerinin ortak elemanları yoktur.
temel
Toplama ve çarpma iĢlemlerinin
değiĢme özelliği vardır.
a+b = b+a
a.b = b.a
Q  Q’ = Ø
4+7=7+4=11
4.7=7.4=28
GERÇEK (REEL) SAYILAR KÜMESĠ
Rasyonel sayılarlar kümesi ile Ġrrasyonel
sayılar kümesinin birleĢimine Gerçek
sayılar kümesi denir.
Toplama ve çarpma iĢlemlerinin
birleĢme özelliği vardır.
(a+b)+c = a+(b+c)
(a.b)c = a(b.c)
R = Q  Q’
(2+3)+4=2+(3+4)=2+3+4=9
(2.3)4=2(3.4)=2.3.4=24
Doğal sayılar, Tamsayılar, Rasyonel
Çarpma iĢleminin,toplama iĢlemi üzerine
dağılma özelliği vardır.
(a+b)c = a.c+b.c
a(b+c) = a.b+a.c
ve İrrasyonel sayılar birer Gerçek
sayıdır.
N⊂Z⊂Q⊂R
(3+4)5=3.5+4.5=15+20=35
3(4+5)=3.4+3.5=12+15=27
Toplama iĢlemine göre;
Etkisiz (Birim) eleman 0 dır.
a+0 = 0+a = a
6+0=0+6=6
4+0=0+4=4
2
Çarpma iĢlemine göre;
Etkisiz (Birim) eleman 1 dir.
1.a = a.1 = a
(-1)14=-14
(-1)(-12)=12
Çarpanlardan birinin toplamsal
alındığında; çarpımın toplamsal
bulunur.
(-a)b = a(-b) = -(a.b)
1.7=7.1=7
1.12=12.1=12
Toplama iĢlemine göre; a gerçel sayısının
tersi (toplamsal tersi) -a sayısıdır.
a+(-a) = 0
(-3).4=3(-4)=-(3.4)=-12
[-(-2)].3=(-2)(-3)=6
12+(-12)=12-12=0
5+(-5)=5-5=0
Çarpanların ikisinin de toplamsal tersi
alındığında; çarpım değiĢmez.
(-a)(-b) = a.b
Çarpma iĢlemine göre; sıfırdan farklı bir
a sayısının tersi (çarpımsal tersi)
1
a-1= 𝑎 sayısıdır.
a(
1
) = 1
a
tersi
tersi
(-4)(-5)=4.5=20
6.(-7)=(-6).7=-42
(a  0)
Sayının 0 ile çarpımı; her zaman 0 dır.
(0 sayısı, çarpma iĢleminde
Yutan elemandır.)
0.a = a.0 = 0
1
8. 8 =1
1
7
7. =1
0.2=2.0=0
0.15=15.0=0
Ġki sayının farkı; birinci sayı ile ikinci
sayının toplamsal tersinin toplamıdır.
a-b = a+(-b)
14-5=14+(-5)=9
12-8=12+(-8)=4
Kendinizi sınamak için aĢağıdaki dört
iĢlem sorularını yapıp yanıtlarınızı
kontrol ediniz.
Ġki sayının bölümü; bölünen sayı ile bölen
sayının çarpımsal tersinin çarpımıdır.
(Bir sayının 0 ile bölümü tanımsızdır)
48+12 =?
48.12 =?
48-12 =?
48:12 =?
8+0 =?
8.0 =?
8-0 =?
8:0 =?
0+12 =?
0.12 =?
0-12 =?
0:12 =?
10+20 =?
10.20 =?
10-20 =?
10:20 =?
0+0 =?
0.0 =?
0-0 =?
0:0 =?
a
1
= a:b=a.( )
b
b
12
= 12: 5
5
2
= 2: 3 =
3
= 12.
2.
1
3
(b  0)
1
5
Sayının -1 ile çarpımı; o sayının toplamsal
tersine eĢittir.
(-1)a = -a
3
ÇÖZÜM
48+12 =60
48.12 =576
48-12 =36 ,
48:12 =4
8+0 =8
8.0 =0
8-0 =8 ,
8:0 =TANIMSIZ
0+12 =12
0.12 =0
0-12 =-12
0:12 =0
10+20 =30
10.20 =200
10-20 =-10
10:20 =0,5
0+0 =0
0.0 =0
0-0 =0
0:0 =TANIMSIZ
DNA-1
−6 + 14
3 − (−5)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-2
B)-1
C)0
D)1
E)2
ÇÖZÜM
-6+14=8
3-(-5)=3+5=8
değerleri yerlerine yazıldığında;
−6+14
3−(−5)
8
8
bulunur.
= =1
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-1
5 − 11
1 − (−5)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
UYARI
0 sayısı ile iĢlem yaparken çok dikkatli
olunmalıdır. Matematik öğrenmenin en
tatsız taraflarından biri sıfır sayısı ile
geçinmeyi öğrenmektir. Her öğrenilen
iĢlemi bir de 0 sayısı ile denemek insanın
hep aklını kurcalar. Bunların en kötüsü de
sıfırı, sıfıra bölmektir. Bu durumda
‘’Matematik bilen aslana, sıfır bölü sıfır
nedir? diye soran kiĢinin yaptığı ölümcül
hatayı yapmıĢ oluruz’’.
A)-2
B)-1
C)0
D)1
E)2
DNA-2
a  0 için :
−2 + 2(−2)
1 + (−3)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
0
 0 dır.
a
A)-3
B)-2
C)0
D)2
E)3
ÇÖZÜM
-2+2(-2)=-2-4=-6
1+(-3)=1-3=-2
değerleri yerlerine yazıldığında;
a
 TANIMSIZDIR.
0
−2+2(−2)
1+(−3)
0
 TANIMSIZDIR.
0
4
=
−6
−2
=3
bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-2
3 − 3(−3)
−4 + (−2)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-2
B)-1
C)0
D)1
DNA-4
Buna göre A+B toplamı kaçtır?
E)2
A)5
C)7
D)8
E)9
ÇÖZÜM
73-AB=48 ⇒ 73-48=AB
⇒ AB=25 bulunur.
A=2 ve B=5 dir.
A+B=2+5=7 olmalıdır.
Doğru Seçenek C dir.
DNA-3
Buna göre, A+B toplamı aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)12
B)6
B)13
C)14 D)15
GENETĠK KOPYA-4
E)16
Buna göre A+B toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
EĢitliğin bir tarafında toplam veya fark
durumundaki bir terim, eĢitliğin diğer
tarafına iĢaret değiĢtirerek geçer.
A)10
74+AB=132 ⇒ AB=132-74
⇒ AB=58 olacağından,
A=5 ve B=8 dir.
A+B=5+8=13 olmalıdır.
Doğru Seçenek B dir.
B)11
C)12
D)13
E)14
DNA-5
GENETĠK KOPYA-3
Yukarıdaki çarpma iĢleminde 1. Çarpan
kaçtır?
A)1234
Buna göre, A.B çarpımı aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)6
B)8
C)12
D)15
D)18
5
B)1324
C)1243
D)1342 E)1432
ÇÖZÜM
Çarpma iĢleminde;
1.satır=(1. Çarpan)x(2. Çarpanın birler
basamağı)
ÇÖZÜM
Toplamdaki
sayıların
birler
basamağındaki rakamların toplamı:
A+B=6 veya A+B=16 olmalıdır.
Onlar basamağındaki rakamların toplamı:
B+A=16
olursa, birler basamağındaki
rakamlar toplamından gelen ‘’elde var 1’’
ile birlikte toplamın sonucu 176 olur.
Öyleyse; A+B=16 dır.
Doğru Seçenek C dir.
olarak yazıldığından;
GENETĠK KOPYA-6
basamağı)
2.satır=(1. Çarpan)x(2. Çarpanın onlar
basamağı)
3.satır=(1. Çarpan)x(2. Çarpanın yüzler
(1. Çarpan)x3=3702 verilmiĢ.
EĢitliğin her iki tarafı 3 ile bölündüğünde
1.ç𝑎𝑟𝑝𝑎𝑛 .3
3
=
3702
3
Buna göre, A+B toplamı kaçtır?
(1.Çarpan) = 1234 bulunur.
Doğru Seçenek A dır.
A)14
B)15
C)16
D)17
E)18
GENETĠK KOPYA-5
DNA-7
Buna göre, A-B farkı kaçtır?
Yukarıdaki çarpma iĢleminde 1. Çarpan
kaçtır?
A)876
A)1
B)867
C)786
D)687
E)678
C)3
D)4
E)5
ÇÖZÜM
Birler basamağındaki rakamlar farkı;
B-A=8 olduğu düĢünüldüğünde,
Onlar basamağındaki rakamlar farkı;
A-B bulunamaz.
Öyleyse; birler basamağı için, B’den
A çıkmaz, AB’nin onlar basamağı olan
A’dan bir onluk alıp;
10+B-A=8 ve 10-8=A-B
A-B=2 olmalıdır.
DNA-6
Buna göre, A+B toplamı kaçtır?
A)14
B)2
B)15
C)16
D)17
Onlar basamağında iĢlem yapıldığında;
A’dan bir alınmıĢtı,
A-1-B=1 ve A-B=2 olduğu görülür.
Doğru Seçenek B dir.
E)18
6
GENETĠK KOPYA-7
Dört iĢlem yaparken iĢlem önceliğine
dikkat edilmelidir.
Parantezli iĢlemlerde
içindeki iĢlem yapılır.
Buna göre, A-B farkı kaçtır?
A)1
B)2
C)7
D)8
önce
parantez
Parantez yoksa; önce çarpma ve bölme,
sonra toplama ve çıkarma iĢlemleri
yapılır.
E)9
DNA-8
DNA-9
4+4.4-4:4-4
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
Buna göre, D+N+A toplamı kaçtır?
A) 3
A)11
ÇÖZÜM
Önce çarpma ve bölme iĢlemlerini
yapalım; sonra toplama ve çıkarma
iĢlemlerini yapacağız
B)12
C)13
D)14
E)15
ÇÖZÜM
NA iki basamaklı sayısının kendisi ile
çarpımı (karesi), yine NA ile sonlanan
DNA üç basamaklı sayısına eĢit verilmiĢ.
A) 3
Bu durumda;
N=2, A=5 ve D=6 olup,
D+N+A=6+2+5=13 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
A)-1
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
B)0
C) 1
D)3
E)13
ÇÖZÜM
Önce parantez içindeki iĢlemin sonucunu
bulalım, sonra çarpma ve çıkarma
iĢlemlerini yapacağız.
5-2(5-2) = 5-2(3) = 5-6 = -1
Doğru Seçenek A dır.
Buna göre, A kaçtır?
D)7
E) 20
DNA-10
5-2(5-2)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
GENETĠK KOPYA-8
C)6
D) 16
GENETĠK KOPYA-9
3+3.3+3:3-3
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
25x25=625
NAxNA=DNA
B)4
C) 15
4+4.4-4:4-4 = 4+16-1-4 = 20-5 = 15
Doğru Seçenek C dir.
25x25=625 eĢitliği dıĢında bu özelliği
sağlayan sayı yoktur.
A)3
B) 12
E)9
7
GENETĠK KOPYA-10
(5-2)5-2
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-1
B)0
C) 1
D)3
DNA-13
1-2[3-4:(5-6)]
iĢleminin sonucu kaçtır?
E)13
A) -13
B) 8
C)16
D)32
E)256
ÇÖZÜM
Önce parantez içindeki iĢlemi yaparız.
128:(2.4)=128:8=16
Doğru Seçenek C dir.
B) 8
C)16
D)32
A) -13
B) 8
C)16
D)32
E)256
C)32
D)64
C) 0
D) 1
E) 13
2’nin katı olan tamsayılardır.
Birler basamağı 0,2,4,6 veya 8 dir.
E)256
TEK SAYILAR
T={ ...-5.-3,-1,1,3,5,...,2n-1,2n+1,2n+3,...}
Birler basamağı 1,3,5,7 veya 9 dur.
IġIK-1
T±T=Ç
T.T=T
GENETĠK KOPYA-12
128.2:4
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
B) 8
B) -3
ÇĠFT SAYILAR
Ç={...-6,-4,-2,0,2,4,6,...,2n-2,2n,2n+2,...}
ÇÖZÜM
Çarpma ve bölme iĢlemlerinin ardı ardına
kullanıldığı parantezsiz iĢlemlerde; önce
soldaki iĢlem yapılır.
128:2.4=64.4=256
Doğru Seçenek E dir.
A)2
E) 13
Sayı kümelerini biraz daha çeĢitlendirip,
dört iĢlem yapmayı sürdürelim.
DNA-12
128:2.4
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)2
D) 3
GENETĠK KOPYA-13
6-5:[4-3(2-1)]
iĢleminin sonucu kaçtır?
GENETĠK KOPYA-11
(128:2).4
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)2
C) 0
ÇÖZÜM
Ġçteki küçük parantezden baĢlanarak,
adım adım dıĢa doğru iĢlem yapılır.
1-2[3-4:(5-6)] =1-2[3-4:(-1)]
=1-2[3+4]=1-2[7]=1-14
=-13
Doğru Seçenek A dır.
DNA-11
128:(2.4)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)2
B) -3
T±Ç=T
DZÇ=Ç
Ç.Ç=Ç
T.Ç=Ç
n pozitif tamsayısı için;
Tn = T
ve
Çn = Ç
( Ç0 = 1 )
E)256
8
dır.
DNA-14
a
bir
tamsayı
olduğuna
aĢağıdakilerden
hangisinin
kesinlikle tek sayıdır?
A)a+1
D)2a-3
B)a2-1
GENETĠK KOPYA-15
n bir tek sayı olduğuna
aĢağıdakilerden hangisinin sonucu
çift sayıdır?
göre,
sonucu
C)a2+2a
E)a2+2a+1
A)n2+3n
B)3n+2
C)n2+5n+3
D)3n-4
E)2n-3
ÇÖZÜM
a bir tek sayı ise;
a+1, a2-1 ve a2+2a+1 ifadeleri birer
çift sayı,
a bir çift sayı ise;
a2+2a çift sayı gösterir.
a ister tek, ister çift sayı olsun;
2a çift sayı,
2a-3 kesinlikle bir tek sayıdır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-14
n
bir
tamsayı
olduğuna
aĢağıdakilerden
hangisinin
kesinlikle çift sayıdır?
DNA-16
ArdıĢık üç çift sayıdan küçüğünün iki
katı, ikinciden 20 fazladır.
Üçüncü sayı kaçtır?
A)22
B)24
C)26
D)28
E)30
ÇÖZÜM
Sayılardan küçüğüne x dersek,
Ġkinci sayı x+2,
üçüncü sayı x+4 olacaktır.
2x = x+2 + 20 verilmiĢ.
x=22 bulunur.
Üçüncü sayı x+4 = 22+4 =26 olur.
Doğru Seçenek C dir.
göre,
sonucu
A)2n+6
B)n2+4
C)n3
D)3n+4
E)n2-2n+1
DNA-15
x bir çift sayı olduğuna
aĢağıdakilerden hangisinin sonucu
tek sayıdır?
göre,
GENETĠK KOPYA-16
ArdıĢık dört tek sayıdan en küçüğünün
üç katı, en büyüğüne eĢittir.
Bu sayıların toplamı kaçtır?
göre,
A)22
B)24
C)26
D)28
E)30
A)3x+2
B)x3+2
C)5x3
D)x2+3x
E)4x+3
DNA-17
ArdıĢık üç tek sayının toplamı 249 ise bu
sayılardan en küçüğü kaçtır?
ÇÖZÜM
x bir çift sayı iken;
3x+2, x3+2, 5x3 ve x2+3x sayıları çift,
4x+3 sayısı tek sayıdır.
Doğru Seçenek E dir.
A)79
9
B)81
C)83
D)85
E)87
ÇÖZÜM
Sayılardan küçüğüne x dersek,
Ġkinci sayı x+2, üçüncü sayı x+4
olacaktır.
x + x+2 + x+4 = 249 verilmiĢ.
3x+6=249
3x=243
x=81 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-18
x ve y ardıĢık tamsayılar olmak üzere,
aĢağıdakilerden hangisi kesinlikle çift
sayıdır?
A)x+y
B)2x+y
D)x+xy+y
E)3xy
C)x+2y
DNA-19
a,b,c doğal sayılar olmak üzere ;
GENETĠK KOPYA-17
ArdıĢık üç tek sayının toplamı 105 ise en
büyüğü kaçtır?
A) 31
B) 33
C) 35
D) 37
E) 39
a.b  3
c
2
ise aĢağıdakilerden hangisi
her zaman doğrudur?
A) a+b tek sayıdır.
B) a ve b çift sayıdır.
C) a ve b tek sayıdır.
D) c çift sayıdır.
E) a ve b den biri tek sayıdır.
DNA-18
a ve b ardıĢık doğal sayılar,
x=ab+1 olduğuna göre, aĢağıdakilerden
hangisi kesinlikle tek sayıdır ?
ÇÖZÜM
a.b+3
2
A) x(a+1)
B) a(x+b)
C) b(a-1)
D) x(a+b)
E) b(x+a)
= c ⇒ a. b + 3 = 2c
EĢitliğinde, c ne olursa olsun 2c bir çift
sayıdır.
a.b+3 sayısının çift sayı olması için,
a.b nin tek sayı olması gerekir.
a.b nin tek sayı olması, a ve b nin tek sayı
olması ile mümkündür.
Doğru Seçenek C dir.
ÇÖZÜM
ArdıĢık iki doğal sayıdan biri tek,
diğeri çift olduğundan;
a+b Toplamları tek sayı,
ab Çarpımları çift sayıdır.
ab çift sayı, x=ab+1 tek sayıdır.
a tek ise, a+1 çift, x(a+1) çift sayıdır.
a çift ise, a(x+b) çift sayıdır.
b çift ise, b(a-1) çift sayıdır.
b çift ise, b(x+a) çift sayıdır.
x tek sayı, a+b tek sayı olduğundan,
x(a+b) tek sayıdır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-19
x, y ve z birer tamsayı ve
2x+1=y.z
olduğuna
göre,
aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)y ve z tek sayılardır.
B)y ve z çift sayılardır.
C)y+z tek sayıdır.
D)y ve z den biri tek, diğeri çifttir.
E)x tek sayıdır.
10
7. A-B=C
KONU TESTĠ
Çıkarma iĢleminde;
A+B+C toplamının eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
1. 3.4+10:5-3=?
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) 9
B)10
C)11
D)12
E)13
A)2A
C)8
D)AB E)AC
doğal sayıları için;
a+b tek sayı, c2 çift sayıdır.
AĢağıdakilerden hangisi kesinlikle
doğrudur?
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
B)7
C)2C
8. a, b, c
2. 72:24+64:16=?
A)6
B)2B
D)9
E)10
A)c tek sayıdır.
B)a+c tek sayıdır.
C)b+c çift sayıdır. D)a.b.c tek sayıdır.
E)a.b.c çift sayıdır.
3. 3+4.5-6:3=?
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)13
B) 15
C) 28
D)21
E) 24
9. AĢağıdakilerden hangisi tek sayıdır?
A) 20072+3
B) 20083+4
C) 20072+5
D) 20083+7
E) 20072+9
4. 150:(6+3.8)-5=?
iĢleminin sonucu kaçtır?
A) 0
B) 3
C) 5
D) 8
E) 18
10.
x ve y pozitif tamsayılarından,
x çift , y tek sayıdır.
AĢağıdakilerden hangisi tek sayıdır?
5. 9-5:(8-3).2+6=?
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)10
B)11
C)12
D)13
A)x.y
B)x+2y
C)xy
D)yx
E)x3.y2
E)14
11.
ArdıĢık iki tek sayıdan büyüğü
küçüğünün üç katıdır. Bu iki tek
sayının toplamı kaçtır?
6. 3-[5-(5-3)]=?
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-10
B)-4
C)0
D)4
A)4
E)10
11
B)8
C)12
D)16
E)20
12.
16.
Tek sayılar T, çift sayılar Ç ile
gösterildiğinde; aĢağıdakilerden
hangisi yanlıĢtır?
A)DZÇ=Ç
A,B ve C farklı rakamlar olmak
üzere; A2C8 ve C66B dört basamaklı,
A79 üç basamaklı sayılardır.
B)DZT=T
C)T±T=Ç
D)ÇxÇ=Ç
E)ÇxT=T
Çıkarma iĢlemindeki
kaçtır?
13.
x, y, z çift sayılar olduğuna göre,
aĢağıdakilerden hangisi her zaman
çift sayıdır?
A) 𝑥 +
𝑦−𝑧
2
B) 𝑥 −
D)
𝑥.𝑦.𝑧
2
𝑦 +𝑧
2
E)
C)
𝑥+𝑦
2
A)12
−𝑧
B)
+3
D)
𝐾
4
𝐾
4
−2
C)
−3
E)
𝐾
8
𝐾
4
1.C
6.C
11.A
15.D
C)43
D)52
2.B
3.D
4.A
5.D
7.A
8.E
9.D 10.D
12.E
13.D
14.A
16.E
+1
a,b ve c sayma sayıları ve a+b=c
olduğuna göre;
a+b+c toplamı aĢağıdakilerden hangisi
olabilir?
B)37
E)18
+2
15.
A)25
D)16
YANITLAR
ArdıĢık dört tek sayının toplamı
K dır. Buna göre, bu sayılardan en
büyüğünün
K
türünden
eĢiti
aĢağıdakilerden hangisidir?
𝐾
4
C)15
toplamı
𝑥+𝑦+𝑧
2
14.
𝐴)
B)14
A+B+C
TENEFFÜS !!!
1:2:3:4:5:6:7:8:9:10
Yukarıdaki iĢlemde uygun yerlere,
istenildiği kadar parantez kullanarak
sonucun 7 olmasını sağlayabilirmisiniz?
E)69
12
Sayı kümelerini tanıyıp, dört iĢlemi
pekiĢtirdikten
sonra
artık
bu
bilgilerimizi
problem
çözümlerinde
kullanmaya baĢlayalım.
Üç basamaklı, en küçük
negatif tamsayı: -999
Üç basamaklı, rakamları farklı en küçük
negatif tamsayı: -987
Sayı kümelerinin varsa en küçük veya en
büyük elemanlarını bilmek, bizi sayı
problemlerinde doğru sonuca götürür.
Soru
çözmeye
geçmeden,
arasında biraz daha dolaĢalım.
DNA-1
Ġki basamaklı, en büyük pozitif tek
tamsayı ile iki basamaklı, en küçük
negatif çift tamsayının toplamı kaçtır?
sayılar
Ġki basamaklı, en küçük doğal sayı: 10
en büyük doğal sayı: 99
A)-1
B)0
C)1
D)89
E)90
ÇÖZÜM
Ġki basamaklı, en büyük pozitif tek
tamsayı 99,
Ġki basamaklı, en küçük negatif çift
tamsayı -98 olduğuna göre,
99+(-98)=99-98=1
Doğru Seçenek C dir.
Ġki basamaklı, rakamları farklı en büyük
doğal sayı: 98
Üç basamaklı, en küçük doğal sayı: 100
Üç basamaklı, rakamları farklı en küçük
doğal sayı: 102
GENETĠK KOPYA-1
Ġki basamaklı en küçük pozitif çift
tamsayı ile iki basamaklı en büyük
negatif tek tamsayının toplamı kaçtır?
Üç basamaklı, en büyük doğal sayı: 999
Üç basamaklı, rakamları farklı en büyük
doğal sayı: 987
A)-1
En büyük negatif tamsayı: -1
Ġki basamaklı, en büyük
negatif tamsayı: -10
B)0
C)1
D)9
E)10
IġIK-1
Sonucu bilinen bir toplamda, toplanan
terimlerden birinin en büyük olması
isteniyorsa; diğerlerinin olabildiğince
küçük olması gerekir.
Ġki basamaklı, en küçük
negatif tamsayı: -99
Ġki basamaklı, rakamları farklı en küçük
negatif tamsayı: -98
Karşıtı da doğrudur.
Üç basamaklı, en büyük
negatif tamsayı: -100
DNA-2
a,b Doğal sayıları için;
a+b = 14 ise
b’ nin en büyük değeri kaçtır?
Üç basamaklı, rakamları farklı en büyük
negatif tamsayı: -102
A) 0
13
B) 1
C) 7
D) 13
E) 14
ÇÖZÜM
Ġki doğal sayının toplamında;
b’nin en büyük değeri istendiğinden,
a en küçük değerini almalıdır.
Doğal sayılar içinde en küçük değer 0
olduğundan a=0 olmalıdır.
Bu durumda;
a+b=14 eĢitliğinde; a=0 alındığında;
0+b=14 ve b=14 olacaktır.
Doğru Seçenek E dir.
UYARI
Sayılar ile ilgili sorularda, kullanılan
sayıların hangi sayı kümesinin elemanı
olduğuna dikkat edilmelidir.
IġIK-2
Bir çıkarma iĢleminde;
Farkın küçük olması isteniyorsa, eksilen
sayı küçük, çıkan sayı büyük olmalıdır.
Farkın büyük olması isteniyorsa, eksilen
sayı büyük, çıkan sayı küçük olmalıdır.
GENETĠK KOPYA-2
a,b Pozitif tamsayıları için;
a+b = 14 ise
b’ nin en büyük değeri kaçtır?
A)0
B) 1
C) 7
D) 13
DNA-4
a,b sayma sayıları olmak üzere;
a-b=14 ise
a’nın en küçük değeri kaçtır?
E) 14
DNA-3
a,b,c doğal sayıları için;
a+b+c=36 ise
c’nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A)11
B)12
C)13
D)35
A)0
E)36
C)13
D)35
D)14
E)15
GENETĠK KOPYA-4
a,b doğal sayılar olmak üzere;
a-b = 14 ise
a’ nin en küçük değeri kaçtır?
A)0
B) 7
C)7
D) 14
E) 15
Yukarıda
verilen
sorulara
dikkat
edildiğinde,
soruda kullanılan
sayı
kümeleri farklı ise, soruların yanıtları da
farklı olmaktadır.
GENETĠK KOPYA-3
a,b,c farklı doğal sayılar olmak üzere;
a+b+c=36 ise
c’nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
B)12
C)13
ÇÖZÜM
Farkları sabit olduğundan, a’nın en küçük
olması için, b’nin de en küçük olması
gerekir.
En küçük sayma sayısı 1 olduğundan;
b=1 için; a-1=14 ve a=15 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
ÇÖZÜM
c’nin en büyük değeri alabilmesi için,
a ve b’nin en küçük değerlerini alması
gerekir.
En küçük doğal sayı 0 olduğundan,
a=b=0 alındığında;
0+0+c=36
c=36 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
A)11
B)7
E)36
14
DNA-5
ĠkiĢer basamaklı iki tam sayının farkı
en çok kaç olabilir?
A)89
B)90
C)180
D)198
ÇÖZÜM
Kutulardaki Ģeker sayılarını;
x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5, x+6, x+7
olarak alalım.
Son kutudaki x+7 Ģeker diğer kutulara;
kutularda x+6’Ģar Ģeker bulunacak
Ģekilde 1, 2, 3, 4, 5, 6 tane dağıtılırsa;
x+6, x+1+5, x+2+4, x+3+3, x+4+2, x+5+1
her birinde Ģeker sayısı x+6 olacaktır.
E)200
ÇÖZÜM
a-b farkının en büyük değeri alabilmesi
için, a’nın en büyük, b’nin en küçük olması
gerekir.
Dağıtılan Ģeker sayısı;
1+2+3+4+5+6 =21=x+7
BaĢlangıçta en çok Ģeker bulunan kutuda;
x+7=21 tane Ģeker vardır.
Doğru Seçenek D dir.
Ġki basamaklı en büyük tamsayı: 99
En küçük tamsayı: -99 olduğundan
a-b=99-(-99)=99+99=198 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-6
Her çocuğun en az bir kalem aldığı ve
alınan kalem sayılarının farklı olduğu bir
dağıtımda;
15
kalem
üç
çocuğa
dağıtılıyor. En çok kalem alan çocuk kaç
kalem alabilir?
GENETĠK KOPYA-5
ĠkiĢer basamaklı iki tam sayının farkı
en az kaç olabilir?
A)0
B)-89
C)-180
D)-198
E)-200
A)10
DNA-6
Sekiz Ģeker kutusunun her birinde farklı
sayıda Ģeker bulunmaktadır.
Bu kutulardan rastgele biri boĢaltılıp
diğer kutulara uygun biçimde dağıtılınca
diğer yedi kutunun her birinde Ģeker
sayısı aynı oluyor.
BaĢlangıçta en çok Ģeker bulunan kutuda
en az kaç Ģeker vardır?
A)14
B)15
C)16
D)21
B)11
C)12
D)13
E)14
HAZĠNE-1
Toplamları sabit iki Gerçek sayının
çarpımlarının en büyük olması için
sayıların eĢit olması gerekir.
Doğal sayılarda ve Tam sayılarda;
sayılar eşit olamıyorlarsa en yakın
değerleri almalıdır.
E)28
DNA-7
a,b Gerçek sayılar olmak üzere;
a+b = 5 ise a.b çarpımının
en büyük değeri kaçtır?
A)2
15
B)2,5
C)3
D)6
E)6,25
ÇÖZÜM
Toplamları 5 olan eĢit iki Gerçel sayı için
a=b=2,5 alınırsa;
a.b=(2,5)(2,5)=6,25 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
DNA-9
Çevreleri sabit dikdörtgenler içinde alanı
en büyük olan karedir.
Dikdörtgen Ģeklindeki bir bahçe 60m.
uzunluğundaki tel ile çevrilecektir.
Alanının en büyük değeri kaç olabilir?
GENETĠK KOPYA-7
a,b Gerçek sayılar olmak üzere;
a+b = 8 ise a.b çarpımının
en büyük değeri kaçtır?
A)4
B)8
C)12
D)16
A)225
B)250
C)360
D)400
E)640
ÇÖZÜM
E)20
DNA-8
a = 3-x ve b = x+7 ise,
a.b nin en büyük değeri kaçtır?
A)16
B)25
C)36
D)49
Çevre = 2a+2b = 60 ⟹ a+b = 30
Alan = a.b
Toplamı 30 olan iki sayının çarpımlarının
en büyük olması istendiğinden, sayılar
eĢit olmalıdır.
30
a=b= =15
E)68
ÇÖZÜM
a+b=(3-x)+(x+7)=10
a ve b nin toplamları x’e bağlı olmayıp
sabit olduğundan, çarpımlarının en büyük
değeri alması için sayıların eĢit olması
gerekir.
10
a+b=10 ⟹ a=b= 2 = 5 olmalıdır.
2
a.b =15.15 = 225
alanın en büyük değeridir.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-9
Bir tarafı duvarla çevrili dikdörtgen
Ģeklinde bir bahçe 60m uzunluğundaki
tel ile çevrilecektir.
Alanın en büyük değeri kaç olabilir?
a.b=5.5=25 çarpımın en büyük değeridir
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-8
x=a+9 ve y=5-a ise,
x.y çarpımının en büyük değeri kaçtır?
A)25
B)45
C)49
D)75
A)225
B)250
C)360
D)450
E)640
E)81
16
DNA-10
Bir kenarının tümü , diğer kenarının
yarısı duvar örülmüĢ kalan kısmı tel ile
çevrili dikdörtgen bir bahçe yapılacaktır.
60m. uzunluğundaki tel ile çevrilecek
alan en çok kaç m2 olabilir ?
DNA-11
x,y  N için x.y = 36 ise
x+x.y+y
ifadesinin en küçük değeri
kaçtır?
A)225
B)250
C)360
D)450
E)600
ÇÖZÜM
x ve y doğal sayılarının çarpımları sabit
olduğundan,toplamlarının küçük olması
için sayıların eĢit olması gerekir.
x.y =36 olduğundan ;
x=6 ve y=6 alınır.
x+x.y+y = 6+6.6+6 = 48 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
A)36
ÇÖZÜM
b
2
3b
2
+ a = 60
toplanan
terimlerin
gerektiğinden;
a=30,
olur.
3b
2
eĢit
A)10
olması
D)54
E)60
B)12
C)15
D)20
E)25
= 30 ⇒ 3b = 60 ⇒ b = 20
DNA-12
x,y tamsayıları için:
x.y=36 ise
x+y toplamının en küçük değeri kaçtır?
Alan =a.b=30.20=600 m2. dir.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-10
a, b doğal sayılar olmak üzere;
a+b = 6 ise
a2.b nin en büyük değeri kaçtır?
A)18
C)48
GENETĠK KOPYA-11
Kenar uzunlukları tamsayı ve alanı alanı
25 birim kare olan bir dikdörtgenin
çevresi en az kaç birim olabilir?
Tel kullanılacak kısmın uzunluğu;
b+a+ =
B)42
B)27
C)32
D)34
A)-37
B)-12
C)0
D)12
E)37
ÇÖZÜM
Çarpımları
36
olan
tamsayıların
toplamlarını alalım.
(-1).(-36)=36 ⇒ (-1)+(-36)=-37
(-2).(-18)=36 ⇒ -2)+(-18)=-20
(-3).(-12)=36 ⇒ -3)+(-12)=-15
....................
1.36=36 ⇒ 1+36=37
2.18=36 ⇒ 2+18=20
3.12=36 ⇒ 3+12=15
4.9=36 ⇒ 4+9=13
6.6=36 ⇒ 6+6=12
E)36
HAZĠNE-2
Çarpımları sabit iki doğal sayının
toplamlarının en küçük olması için
sayıların eĢit (veya en yakın) olması
gerekir.
17
Görüldüğü gibi çarpanlar birbirine
yaklaĢtıkça toplamın mutlak değeri
küçülmektedir.
Çarpanlar negatif olabiliyorsa, toplamın
en küçük değeri bu çarpanların toplamı
ile bulunur.
Soruda çarpanlar -1 ve -36 olarak
alındığında elde edilen toplam en küçük
olur.
(-1).(-36)=36 ⇒ (-1)+(-36)=-37
Doğru Seçenek A dır.
DNA-14
a, b ve c pozitif tamsayıları için;
a.b=18
a.c=24 olduğuna göre,
a+b+c
toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A)-43
B)-6
C)0
D)6
E)10
DNA-13
a, b ve c tamsayıları için,
a.b=16
a.c=25 olduğuna göre,
a+b+c
toplamının en büyük değeri
kaçtır?
A)13
B)14
C)41
D)42
E)53
A)5
C)-30
D)-45
E)43
B)6
C)7
D)8
E)9
DNA-15
a, b ve c doğal sayıları için,
a-b=7
a-c=5 olduğuna göre,
a+b+c
toplamının en küçük değeri
kaçtır?
GENETĠK KOPYA-13
a, b ve c tamsayıları için,
a.b=20
a.c=24 olduğuna göre,
a+b+c
toplamının en küçük değeri
kaçtır?
B)-15
D)13
GENETĠK KOPYA-14
x, y ve z doğal sayıları için,
x.y.z=8 olduğuna göre,
x+y+z toplamı en az kaçtır?
ÇÖZÜM
Her iki eĢitliğin ortak çarpanı olan a’yı
en küçük aldığımızda, diğer çarpanlar
büyük olacaktır.
a=1 için; b=16 ve c=25 olur.
a+b+c=1+16+25=42
bulunabilecek en
büyük değerdir.
Doğru Seçenek D dir.
A)15
C)0
ÇÖZÜM
Toplamın küçük olması için,
a, b ve c’nin küçük olması gerekir.
a sayısı her iki çarpımda ortak
olduğundan, a’nın en büyük değeri olan 6
sayısı alınırsa, b ve c sayıları en küçük
değerleri alırlar.
6.b=18 ⇒ b=3
6.c=24 ⇒ c=4 bulunur.
a+b+c=6+3+4=13 olur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-12
x,y∈Z için, x.y=9 ise
x+y toplamının en küçük değeri kaçtır?
A)-10
B)-42
A)8
E)-60
18
B)9
C)12
D)13
E)14
ÇÖZÜM
a-b=7 ⇒ a=b+7
a-c=5 ⇒ a=c+5 eĢitliklerinde;
a’nın küçük olabilmesi için b ve c’nin de
küçük olması gerekir.
b=0 seçilirse, a=0+7 ve a=7
a=c+5 eĢitliğinden de
7=c+5 ve c=2 bulunur.
a+b+c=7+0+2 olur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-16
T=(x+2)2+5
Ġfadesinin alabileceği en küçük değer
kaçtır?
A)-2
B)9
C)12
D)13
A)22
B)1
C)2
D)3
D)5
E)7
B)23
C)24
D)25
E)26
ÇÖZÜM
Sayıları eĢit düĢündüğümüzde;
72:3=24=a olur.
Dağılım; a-1, a ve a+1 olarak
Yapıldığında, a+1 istenen koĢulu sağlar.
a+1=24+1=25 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
E)14
GENETĠK KOPYA-17
Toplamları 47 olan üç tamsayının
en küçüğü , en çok kaçtır?
DNA-16
A=8-(x-3)2
ifadesi x’in hangi gerçek
değeri için en büyük olur?
A)0
C)3
DNA-17
Toplamları 72 olan üç farklı tamsayının
en büyüğü, en az kaçtır?
GENETĠK KOPYA-15
a, b ve c pozitif tamsayıları için,
a-b=7
a-c=5 olduğuna göre,
a+b+c
toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A)8
B)2
A)13
E)8
ÇÖZÜM
Farkın büyük olması için;
(x-3)2 ifadesi en küçük değerini
almalıdır.
x’in gerçek değerleri için tam karenin
alabileceği en küçük değer 0 dır.
(x-3)2=0
x-3=0
x=3 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
B)14
C)15
D)16
E)17
UYARI
En küçük veya en büyük değer bulma
sorularında kullanılan sayıların birbirine
en yakın (eĢit olabiliyorsa eĢit değerleri)
ve birbirinden en farklı değerleri
denenmelidir.
Tamkare ifadelerin her zaman pozitif
değerler aldığı, alabileceği en küçük
değerin sıfır olduğu unutulmamalıdır.
19
KONU TESTĠ
6. a ve b tam sayılar olmak üzere;
1. a ve b pozitif tamsayıları için;
(a-3)2+(b+1)2= 0 ise
a + 2b toplamının değeri kaçtır?
a+b=11 olduğuna göre 2a+3b
toplamının en büyük değeri kaçtır?
A) 22
B) 23
C) 26
D) 32
A) -1
C)34
D)51
A)3
E)99
C)97
D)98
B)4
C)5
D)6
E)7
8. a,b doğal sayılar olmak üzere;
a+b = 10 ise a.b çarpımının
en büyük değeri kaçtır?
tamsayı ile iki basamaklı en büyük
negatif tek tamsayının toplamı
kaçtır?
B)88
E) 3
tane
kalem
üç
çocuğa
dağıtılacaktır. Her çocuğun en az bir
tane kalem aldığı bu dağıtımda en çok
kalem alan çocuk en az kaç kalem
alabilir?
3. Ġki basamaklı en büyük pozitif çift
A)87
D) 2
7. 12
sayıya eĢit olan iki doğal sayının
toplamının alabileceği en büyük değer
kaçtır?
B)21
C) 1
E) 33
2. Çarpımları iki basamaklı en büyük çift
A)20
B) 0
A)5
B)10
C)20
D)25
E)50
E)99
9. a,b doğal sayılar olmak üzere;
a+b = 5 ise a.b çarpımının
en büyük değeri kaçtır?
4. a.b
= 1200 ve b tek sayıdır.
b’nin en büyük değeri için,
a+b toplamı kaç olur?
A)91
B)243
C)324
D)432
A)2
C)60
D)6
E)10
10.
a ve b doğal sayıları için;
a.b=16 ise,
1
1
+ 𝑏 toplamının
𝑎
a+b+c=12 olduğuna göre
a2+b2+c2 toplamının en küçük değeri
kaçtır?
B)48
C)5
E)1201
5. a, b, c tamsayılar,
A)27
B)3
D)72
en küçük değeri kaçtır?
1
A) 16
E)144
20
1
B) 8
1
C) 4
1
D) 2
E) 1
11.
16.
x,y∈Z için, x.y=-16 ise
x+y
toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A)-17 B)-15
C)0
D)15
A ve B ikiĢer basamaklı iki
tamsayı olmak üzere,
A-B farkının en küçük değeri kaçtır?
E)17
A)-198
B)-188
C)-108
D)-100
E)-89
12.
x ve y tamsayıları için,
x+y=9 olduğuna göre
x2+y2 toplamının alabileceği
en küçük değer kaçtır?
A)13
B)25
C)41
D)61
E)81
13.
a ve b pozitif tamsayıları için;
a+b=11 olduğuna göre 2a+3b
toplamının en küçük değeri kaçtır?
A) 22
B) 23
C) 24
D) 25
E) 26
ĠkiĢer basamaklı iki doğal sayının
farkı en çok kaçtır?
B)99
C)90
D)89
E)88
15.
A ve B ikiĢer basamaklı
tamsayı olmak üzere,
A-B farkı en çok kaçtır?
2.E
3.A
8.D
9.D
10.D
14.D
14.
A)100
1.D
iki
A)198 B)188 C)108 D)100 E)89
21
15.A
4.A
16.A
11.B
5.B
6.C
12.C
7.C
13.B
DOĞAL SAYILAR
TANIM
Sonlu
kümelerin
bire-bir
eĢleme
bağıntısına göre ortaya çıkan denklik
sınıflarından her birine bir
doğal sayı denir.
IġIK-1
Herhangi iki veya daha fazla doğal
sayının toplamı her zaman bir doğal
sayıdır.
N = { 0, 1, 2, 3, … , n, n+1, n+2, … }
Kümesinin elemanları birer doğal sayıdır.
Herhangi iki veya daha fazla doğal
sayının çarpımı her zaman bir doğal
sayıdır.
Hiç elemanı olmayan kümeler denktir.
Denklik sınıfı 0 doğal sayısı ile gösterilir.
ÇĠFT SAYILAR:
Bir elemanlı kümeler denktir.
Denklik sınıfları 1 doğal sayısı
gösterilir.
Ġki elemanlı kümeler denktir.
Denklik sınıfları 2 doğal sayısı
gösterilir.
…
n elemanlı kümeler denktir.
Denklik sınıfları n doğal sayısı
gösterilir.
NÇ = { 0, 2, 4, 6, … , 2n, 2n+2, 2n+4, … }
ile
En küçük çift Doğal sayı 0 dır.
ile
TEK SAYILAR:
NT = { 1,3,5,7, … , 2n-1, 2n+1, 2n+3, … }
ile
En küçük tek doğal sayı 1 dir.
ARDIġIK SAYILAR
n bir doğal sayı göstermek üzere;
n, n+1, n+2, … Ģeklindeki sayılara
ArdıĢık doğal sayılar denir.
Doğal sayılar kümesinin alt kümelerini ve
özelliklerini inceleyelim.
SAYMA SAYILARI :
(Pozitif tamsayılar)
Genel olarak;
n bir tamsayı göstermek üzere;
N  = { 1, 2, 3, … , n, n+1, n+2, … }
Kümesinin
elemanları
birer
sayma
sayısıdır.
ardıĢık çift sayılar
2n, 2n+2, 2n+4, …. Ģeklinde,
ardıĢık tek sayılar
2n+1, 2n+3, 2n+5, … Ģeklinde gösterilir.
En küçük sayma sayısı 1 dir.
22
DNA-1
ArdıĢık üç doğal sayıdan en küçüğü ile en
büyüğünün toplamı 36 iken, bu üç sayının
toplamı kaçtır?
A)18
B) 36
C)45
D)54
Toplamlara baktığımızda;
Ortadaki
C)26
D)28
terim
sonucu
sayısının
verdiğini
görebiliriz.
E) 63
Ortadaki sayı; en küçük terim ile en
büyük terimin toplamının yarısıdır.
Yeni bir hazine bulunmuĢtur.
HAZĠNE-1
ArdıĢık ilk n tane Sayma sayısının
toplamı; toplamdaki son sayı ile
ardıĢığının çarpımının yarısına eĢittir.
1 + 2 + 3 + …. + n =
GENETĠK KOPYA-1
ArdıĢık üç çift doğal sayının toplamı 72
ise, en büyüğü kaçtır?
B)24
ile
çarpımının
ÇÖZÜM
ArdıĢık doğal sayıları;
n, n+1, n+2 Ģeklinde gösterdiğimizde
en küçüğü n, en büyüğü n+2 olduğundan
n + n+2 =36 verilmiĢ.
2n+2 = 36
2n = 34
n =17 bulunur.
Sayılar : 17, 18 ve 19 dur.
Toplamları: 17+18+19=54 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
A)22
sayı
𝑛 (𝑛+1)
2
DNA-2
1 + 2 + 3 + … +99+ 100
Toplamının sonucu kaçtır?
E)36
A) 1000
B) 1050
C)5000
D)5050
E)6000
ÇÖZÜM
HAZĠNE-1 den; son sayı 100, ardıĢığı
100+1=101 olduğundan istenen toplam;
ArdıĢık
doğal
sayıların
toplamının
bulunması pek çok soruda karĢımıza
çıkacağından, bunu kısa yoldan bulmanın
yollarını arayalım.
ĠĢe 1 den baĢlayarak ardıĢık sayma
sayılarının toplamı ile baĢlayalım.
1 + 2 + 3 + … + 100 =
100(100+1)
2
1=1
1+2=3= 1,5 .2
1+2+3=6=2.3
1+2+3+4=10=2,5 . 4
1+2+3+4+5=15=3.5
1+2+3+4+5+6=21=3,5 .6
1+2+3+4+5+6+7=28=4.7
…………..
=
100.101
2
= 5050 dir.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-2
1+2+3+ … +10
Toplamının sonucu kaçtır?
A)50
23
B)55
C)60
D)75
E)100
HAZĠNE-2
a, (a+r), (a+2r), (a+3r), … , (a+nr)
Ģeklindeki dizilere Aritmetik dizi denir.
D)1440
E)1500
UYARI
Ortadaki sayı, toplanan terimlerden biri
olmayabilir.
r: Ortak fark
n+1: Terim sayısı =
Ortadaki sayı =
Son terim −Ġlk terim
Ortak fark
DNA-4
10+11+12+ … +19+20
Toplamının sonucu kaçtır?
+1
İlk terim +Son terim
2
A)150 B)155 C)165 D)175 E)200
Bir aritmetik dizinin tüm terimlerinin
toplamı:
ÇÖZÜM
Ġstenen toplam;
TOPLAM = 0rtadaki sayı x Terim sayısı
20 20+1
2
1+2+3+…+9+10+11+12+…+20 =
=
20.21
2
= 210
DNA-3
13+16+19+ … +127+130
Toplamının sonucu kaçtır?
1+2+3+…+9 =
A)2500
B)2640
C)2860
D)2900
E)3210
10+11+12+…+20 = 210-45 = 165 olur.
Doğru Seçenek C dir.
ÇÖZÜM
𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 =
YADA !!!
𝑖𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 +𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚
2
Ortadaki sayı=
. (𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı)
Terim sayısı =
Ortak fark = r = 3
𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı =
𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 −𝑖𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚
𝑜𝑟𝑡𝑎𝑘 𝑓𝑎𝑟𝑘
𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı =
1
= 40
130−13
3
𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 =
13+130
. 40
2
+1=
=
143
2
117
3
9.10
2
= 45
𝑖𝑙𝑘 𝑠𝑎𝑦 ı+𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑎𝑦 ı
2
=
20−10
1
10+20
2
+1
+ 1 = 11
Toplam=Ortadaki sayıxTerim sayısı
=15.11=165
+ 1 = 39 +
Tercih sizin…
. 40 = 2860
GENETĠK KOPYA-4
25+26+27+ … +74+75
Toplamının sonucu kaçtır?
GENETĠK KOPYA-3
18+22+26+ … +98+102
Toplamının sonucu kaçtır?
B)1320
=
𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 −𝑖𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚
𝑜𝑟𝑡𝑎𝑘 𝑓𝑎𝑟𝑘
=
+1
Doğru Seçenek C dir.
A)1230
9(9+1)
2
A)2500
B)2550
C)2600
D)2650
E)2700
C)1380
24
=15
DNA-5
4+8+12+ … +396+400
Toplamının sonucu nedir?
DNA-6
0,12112111211112111112…
irrasyonel sayısında 0 dan sonraki
onikinci 2 den önce yazılan 1 lerin
toplamı kaçtır?
A)20000
B)20100
C)20200
D)20300
E)20400
A)12
ÇÖZÜM
Toplamdaki sayılar 4’ün katı olduğundan
4 parantezine alınabilir.
4+8+12+ … +400 =4(1+2+3+ … +100)
Parantez içindeki toplam DNA-2 de
bulunmuĢtu.
Bu durumda;
4+8+12+ … +400 =4(1+2+3+ … +100)
=4.
100(100+1)
2
= 4.
100.101
2
B)24
C)48
D)78
E)96
ÇÖZÜM
Verilen Ġrrasyonel sayıda;
2 rakamlarının önünde sırasıyla,
1 tane, 2 tane, 3 tane, … , 12 tane
1 bulunmaktadır.
Soruda bizden istenen toplam:
1+2+3+ … +12 toplamıdır.
= 4.5050
1+2+3+ … +12 =
12(12+1)
2
= 78 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
=20200 olacaktır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-6
YADA !!!
Ortadaki sayı =
𝑖𝑙𝑘 𝑠𝑎𝑦 ı+𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑎𝑦 ı
2
=202
Terim sayısı =
𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 −𝑖𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚
𝑜𝑟𝑡𝑎𝑘 𝑓𝑎𝑟𝑘
=
400−4
4
=
4+400
2
+1
+ 1 = 100
Toplam=Ortadaki sayıxTerim sayısı
=202.100=20200
En alt sırasında 15 tane bidon bulunan
Ģekildeki gibi bir istifte, toplam kaç
bidon vardır?
Tercihini yapamayanlar için…
A)120
GENETĠK KOPYA-5
5+10+15+ … +495+500
Toplamının sonucu kaçtır?
A)2525
B)25250
C)252500
D)252600
E)252700
25
B)125
C)130
D)145
E)150
DNA-7
ArdıĢık ilk n sayma sayısının toplamını
veren sayılara Üçgen sayılar denir.
1+2+3+ …. +n=
n  N+ için
sayılardır.
DNA-8
{1}, {2,3}, {4,5,6} , … küme dizisindeki
100. kümenin :
en büyük elemanı kaçtır?
𝑛(𝑛+1)
2
n(n  1)
2
A)100
Ģeklinde yazılabilen
B)500
C)5000
D)5050
E)6000
ÇÖZÜM
Kümelerin en büyük elemanlarına dikkat
edildiğinde;
1, 3, 6, 10, 15, ... gibi.
1. Kümede
2. Kümede
3. Kümede
AĢağıdaki
sayıdır?
A)16
sayılardan
B)24
C)32
hangisi
D)36
Üçgen
sayılar,
𝑛 ∈ 𝑁 + 𝑖ç𝑖𝑛;
Ģeklinde yazılabilen sayılardır.
𝑛 ∈ 𝑁 + 𝑖ç𝑖𝑛;
𝑛(𝑛+1)
2
üçgen
100(100+1)
2
6
=
100.101
2
= 5050 dir.
Doğru Seçenek D dir.
𝑛(𝑛+1)
2
GENETĠK KOPYA-8
{1}, {2,3}, {4,5,6} , … küme dizisindeki
100. kümenin :
en küçük elemanı kaçtır?
=36
n(n+1) =2.36=72=8.9
n=8,
3
……
birer üçgen sayı olduğu görülür.
Bu durumda 100. kümenin en büyük
elemanı da 100. Üçgen sayı yani ilk 100
sayma sayısının toplamı olan;
E)48
ÇÖZÜM
1
A)100
n+1=9
B)4950
D)5050
E)6000
C)4951
Seçeneklerde; iki katı, ardıĢık iki doğal
sayının çarpımı olan 36 aranan sayıdır.
Doğru Seçenek D dir.
IġIK-2
n tane ardıĢık doğal sayının toplamının
n’e bölümü (aritmetik ortası) dizinin
ortasındaki sayıyı verir.
GENETĠK KOPYA-7
1+2+3+ … +n=66 ise,
n doğal sayısı kaçtır?
A)10
B)11
C)12
D)13
E)14
26
DNA-9
ArdıĢık beĢ doğal sayının toplamı 400 ise
bu sayılardan en büyüğü kaçtır?
GENETĠK KOPYA-10
ArdıĢık 9 tane tamsayının toplamı 9 ise,
bu sayılardan en büyüğü kaçtır?
A)79
E)83
A)4
400
5
DNA-11
n ve m pozitif tamsayılar olmak üzere:
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+ … +(n+m)=1000
ise;
n+m toplamı kaçtır?
B)80
C)81
ÇÖZÜM
𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑜𝑟𝑡𝑎 =
D)82
𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚
𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦 ı𝑠ı
=
= 80
Aritmetik orta = Ortadaki terim = 80
78, 79, 80, 81, 82
80 + 2 = 82 sayıların en büyüğüdür.
Doğru Seçenek D dir.
A)15
D)182
B)177
E)187
C)6
B)45
D)7
C)60
D)70
E)8
E)85
ÇÖZÜM
Toplamda; m+1 tane n ve 1+2+3+…+m
toplamı olduğundan;
GENETĠK KOPYA-9
11 tane ardıĢık pozitif tamsayının
toplamı 2002 ise en küçüğü kaçtır?
A)176
B)5
(m+1)n+
C)178
𝑚 (𝑚 +1)
2
= 1000
2(m+1)n+m(m+1) = 2000
(m+1)(2n+m) = 2000 = 24.53
DNA-10
ArdıĢık 17 tane tamsayının toplamı
17 dir.
Bu sayıların çarpımı kaçtır?
A)-170
B)-17
ÇÖZÜM
𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑜𝑟𝑡𝑎 =
C)0
D)17
𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚
𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦 ı𝑠ı
=
m+1 çift, 2n+m tek olacağından;
m+1 = 24 = 16 ⟹ m = 15
2n+m = 53 = 125 ⟹ 2n = 110 ⟹ n = 55
n+m = 55+15 = 70 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
E)170
17
17
UYARI
n ve m pozitif tam sayılar olmak üzere;
=1
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+ …+(n+m)=
Aritmetik orta = Ortadaki sayı = 1
… , -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Ortadaki sayı 1 olduğundan, sayılardan
biri de 0 sayısıdır.
𝑚 +1 (2𝑛+𝑚 )
2
GENETĠK KOPYA-11
n bir doğal sayı olmak üzere, 63 sayısı,
63=n+(n+1)+ … +(n+k)
biçiminde ardıĢık doğal sayıların toplamı
olarak yazıldığında,
n=8 ise, k kaçtır?
Tüm sayıların çarpımında, çarpanlardan
biri sıfır olduğundan, çarpım sıfır olur.
Doğru Seçenek C dir.
A)3
27
B)4
C)5
D)6
E)7
DNA-12
49 tane ardıĢık pozitif tamsayının
toplamı 74 olduğuna göre, bu sayılardan
en küçüğü kaçtır?
A) 24
B) 25
C) 26
D) 27
ÇÖZÜM
𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑜𝑟𝑡𝑎 =
𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚
𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑦 ı𝑠ı
=
74
49
GENETĠK KOPYA-13
n bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye
kadar doğal sayıların toplamı A,
5 ten n ye kadar doğal sayıların toplamı
B ile gösteriliyor.
A+B=370 ise A nın değeri kaçtır?
E) 28
A)176 B)180 C) 184 D)190 E)192
=
49.49
49
= 49
DNA-14
12+22+32+ ... +102=K
olarak veriliyor.
Karesi alınan sayılar birer azaltılırsa
toplamın sonucu kaç olur?
Aritmetik orta = Ortadaki terim = 49
0rtadaki
terim
49
olduğundan,
kendisinden küçük 24 teri, kendisinden
büyük 24 terim bulunur.
A)K-10
B)K-19
C)K-90
D)K-100 E)K-101
Sayılardan en küçüğü; 49-24=25 olur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-12
1+2+3+ …. +n = 10n
EĢitliğini geçekleyen
kaçtır?
A)15
B)16
C)17
n
doğal
D)18
E)19
ÇÖZÜM
Karesi
alınan
sayılardan
çıkarıldığında toplam;
(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2+ … +(10-1)2
=02+12+22+ ... +92 Ģekline dönüĢür ki
bu toplam K’dan 102=100 noksandır.
Doğru Seçenek D dir.
sayısı
DNA-13
2+4+6+ … +100 =2550 olduğuna göre,
1+3+5+ … +99
toplamının sonucu kaçtır?
GENETĠK KOPYA-14
12+22+32+ ... +102=A
olarak veriliyor. Karesi alınan sayılar
birer artırılırsa toplamın sonucu kaç
olur?
A)2400
B)2450
C)2500
D)2550
E)2600
ÇÖZÜM
n(n+1)
2
1+2+3+4+5+6+ … +99+100 =
=
birer
A)A+121
B)A+120
C)A+11
D)A+10
E)A+1
100.101
2
(1+3+5+… +99)+(2+4+6+…+100)=5050
(1+3+5+… +99)+(2550)=5050
1+3+5+… +99 =5050-2550=2500 olur.
Doğru Seçenek C dir.
28
DNA-15
A=1.2+2.3+3.4+ ... +n(n+1)
B=2.3+3.4+4.5+ ... +(n+1)(n+2)
n=10 için B nin A türünden
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)A+132
B)A+130
D)A+10
E)12.A
GENETĠK KOPYA-16
100-99+98-97+96-95+ … +4-3+2-1
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
eĢiti
A)100
C)A+12
A)35
C)81
D)82
B)-10
C)-9
D)-8
E)49
B)45
C)55
D)65
E)75
102-92+82-72+62-52+42-32+22-12
=19+15+11+7+3 bulunur.
E)83
Ortadaki terim (aritmetik orta)=11
Terim sayısı=5
olduğundan, toplamın
sonucu; 11.5=55 tir.
Doğru Seçenek C dir.
DNA-16
1-2+3-4+5-6+ …. +19-20
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-11
D)50
ÇÖZÜM
a2-b2=(a-b)(a+b) özdeĢliğinden;
102-92=(10-9)(10+9)=1.19=19
82-72=(8-7)(8+7)=1.15=15
62-52=(6-5)(6+5)=1.11=11
42-32=(4-3)(4+3)=1.7=7
22-12=(2-1)(2+1)=1.3=3 olduğundan
GENETĠK KOPYA-15
T = 2.5+3.6+4.7+ …. +10.13
Toplamının her bir teriminin birinci
çarpanı 1 azaltılırsa,
T sayısı ne kadar azalır?
B)80
C)51
DNA-17
102-92+82-72+62-52+42-32+22-12
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
ÇÖZÜM
n=10 için;
A=1.2+2.3+3.4+ … +10.11
B=2.3+3.4+4.5+ … +10.11+11.12 olur.
B sayısı, A’dan; 11.12-1.2 fazladır.
B=A+130 olur.
Doğru Seçenek B dir.
A)79
B)99
IġIK-3
ArdıĢık iki doğal sayıdan, büyüğünün
karesi ile küçüğünün karelerinin farkı,
sayıların toplamına eĢittir.
E)-7
ÇÖZÜM
1-2+3-4+5-6+ …. +19-20
ĠĢleminde gruplandırma yaparsak;
=(1-2)+(3-4)+(5-6)+ …. +(19-20)
=(-1)+(-1)+(-1)+ … +(-1)
20 tane terimde, ikiĢerli 10 grup
olacağından,
=10(-1)=-10 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
212-202=(21-20)(21+20)=1.41=41
752-742=(75-74)(75+74)=1.149=149 gibi
GENETĠK KOPYA-17
12-22+32-42+ … +192-202
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-210
B)-190
C)-180
D)-160
E)-110
29
IġIK-4
ArdıĢık ilk n çift sayma sayısının toplamı:
2  4  6  ...  2n  nn  1
GENETĠK KOPYA-18
1+3+5+ … +99
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
dir.
A)250
B)2401
C)2500
D)2601
E)5000
IġIK-5
ArdıĢık ilk n tek sayma sayısının toplamı:
1  3  5  ...  2n  1  n 2
dir.
DNA-19
n  N için,
n2
Ģeklindeki sayılara Kare sayılar
denir.
0, 1, 4, 9, 16, … gibi.
DNA-18
ArdıĢık ilk 40 pozitif çift tamsayının
toplamı A,
ardıĢık ilk 40 pozitif tek tamsayının
toplamı B ise,
A-B farkı kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 40
D) 400
ArdıĢık ilk 100 doğal sayıdan kaç tanesi
kare sayıdır (tam karedir) ?
A)8
E) 720
B)9
C)10
D)11 E)12
ÇÖZÜM
02=0, 12=1, 22=4, 32=9, … , 92=81,
102=100 olduğundan,
Ġlk 100 doğal sayı içinde;
0, 1, 4, 9, 16, … , 81 olmak üzere 10 tane
kare sayı vardır.
Doğru Seçenek C dir.
ÇÖZÜM
A=2+4+6+ … +80
2n=80 ise n=40 olduğundan;
A=n(n+1)=40(40+1)=40.41=1640
B=1+3+5+ … +79
2n-1=79 ise n=80 olduğundan;
B=n2=402=1600
GENETĠK KOPYA-19
AĢağıdaki sayılardan hangisi ardıĢık iki
üçgen sayının toplamı değildir?
A-B=1640-1600=40 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
A)4
YADA !!!
1+2+3+4+ … +79+80 Toplamında;
40 tane tek, 40 tane çift pozitif tamsayı
vardır.
ĠkiĢerli gruplandırdığımızda;
(1+2)+(3+4)+(5+6)+ … +(79+80)
Her grupta fark 1 olup, 40 grup vardır.
A-B=40.1=40 olur.
30
B)9
C)16
D)25
E)75
KONU TESTĠ
6. On
bir tane ardıĢık tamsayının
toplamı 2002 ise en büyüğü kaçtır?
1. AĢağıdakilerden
hangisi ardıĢık üç
doğal sayının toplamı olamaz?
A)48
B)63
C)75
D)82
A)176 B)177 C)178 D)182 E)187
E)96
7. 1+2+3+ … +n ≤ 125
EĢitsizliğini sağlayan en büyük
n doğal sayısı kaçtır?
2. ArdıĢık üç doğal sayının en küçüğü ile
en büyüğünün toplamı 88 dir.
Bu üç sayının toplamı kaçtır?
A)14
B)15
C)16
D)17
E)18
A)130 B)131 C)132 D)134 E)135
8. ArdıĢık 2008 tane tamsayının çarpımı
3. ArdıĢık 13 tane tamsayının toplamı
0 dır.
Bu sayılardan en büyüğü en çok
kaçtır?
13 tür.
Bu sayıların en büyüğü kaçtır?
A)6
B)7
C)8
D)9
E)10
A)2010
B)2009
C)2008
D)2007
E)2006
4. 1+2+3+ … +n=A
olduğuna göre,
n+(n+1)+(n+2)+ … +2n toplamının
A türünden eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)A
B)2A
C)3A
D)A2
9. a, b ve c ardıĢık üç doğal sayı,
a2+b2=c2
ise
a+b+c toplamı kaçtır?
E)A3
A)7
C)8
D)9
D)18
E)24
(33+44+55+66):11
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
45 sayısı;
n+(n+1)+(n+2)+ … +(n+k)=45
biçiminde ardıĢık doğal sayıların
toplamı olarak yazıldığında, k’nın
alabileceği en büyük değer kaçtır?
B)5
C)15
10.
5. n bir doğal sayı olmak üzere,
A)4
B)12
A)7
E)14
31
B)9 C)11
D)18
E)24
11.
16.
A=1211 ve B=1112 sayıları için
aĢağıdakilerden hangisi çift sayıdır?
(12+10+8+6+4+2):(6+5+4+3+2+1)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)2 B)4 C)6
D)8
E)12
A) A-B
B) A+B
C) (A+1)B
D) (A-1)B
E)A.B
12.
(2009+2008+2007)(2006+2005+2004)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)3
B)6
D)2003
C)9
E)2004
YANITLAR
13.
1.D 2.C 3.B 4.C 5.D 6.E
7.B 8.D 9.B 10.D 11.A 12.C
13.E 14.B 15.E 16.E
a,b,c,d ardıĢık dört tek sayı olmak
üzere; a<b<c<d için
(a-b)(c-d)(a-d)(b-c)
iĢleminin sonucu kaçtır?
A)16
B)24
C)32
D)40
E)48
14.
ArdıĢık üç pozitif tamsayının
çarpımı, toplamlarının 21 katıdır.
Bu sayıların toplamı kaçtır?
A)23
B)24
C)25
D)26
E)27
15.
n doğal sayısının ardıĢığı
( n’den sonra gelen doğal sayı)
n* ile gösterildiğine göre ;
(3.4*)* sayısının ardıĢığı kaçtır?
A) 13
B) 14
C) 15 D) 16
E) 17
32
KONU TESTĠ
5. ArdıĢık
dört çift sayının toplamı
aĢağıdakilerden hangisi olamaz?
1. ArdıĢık ilk 100 pozitif tam sayının
A)84
B)100
C)116
D)132
E)144
karelerinin toplamı A dır.
ArdıĢık ilk 100 pozitif çift tam
sayının karelerinin toplamı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A) 2.A
B) 4.A
C) 2.A 2
2
D) 4.A
E) 200.A
6. ArdıĢık
beĢ tek sayının toplamı 165
olduğuna göre,
bu sayılardan en büyüğü kaçtır?
A)33
2. 1
den 55 e kadar olan tamsayılar
soldan sağa doğru yazılarak
N=1234…9101112…5455
Ģeklinde 101 basamaklı bir N sayısı
oluĢturuluyor.
Buna göre, N nin soldan 55. rakamı
kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 6
B)35
C)37
D)39
E)41
7. ArdıĢık
üç tek sayının toplamı, üç
basamaklı bir doğal sayıdır.
Bu sayılardan en küçüğü en az kaçtır?
A)33
E) 9
B)35
C)37
D)39
E)41
8. 1+3+5+ …
+99=T ise
2+4+6+ … +100
toplamının
T türünden eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
3. 1+3+7+9+13+15+19+ …. +61+63+67
Toplamının değeri kaçtır?
A)663
B)695
C)717
D)771
E)779
A)T
B)2.T
C)T+25
D)T+50
E)T+100
9. ArdıĢık
dokuz tek sayının toplamı
873 olduğuna göre,
bu sayıların en büyüğü kaçtır?
4. ArdıĢık
altı doğal sayıdan son
dördünün toplamı 62 olduğuna göre,
ilk dördünün toplamı kaçtır?
A)87 B)91 C)97 D)107 E)109
A)54 B)55 C)56 D)57 E)58
33
10.
15.
a, b ve c ardıĢık üç çift sayı olup,
a<b<c dir. Buna göre;
(a-b)+(a-c)+(b-c)
toplamı kaçtır?
A)-10
B)-8
C)-6 D)-4
11+13+15+ … +41
Toplamının değeri kaçtır?
A)416
B)425
C)432
D)441
E)453
E)-2
16.
18+22+26+ … +82
Toplamının değeri kaçtır?
11.
1+2+3+4+ … +99+100
Ġfadesinde, tek sayıların her biri
1 artırılır, çift sayıların her biri
2 azaltılırsa toplamdaki değiĢme için
aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)800
B)820
C)830
D)840 E)850
A)100 azalır.
B)50 azalır.
C)değiĢmez.
D)50 artar.
E)100 artar.
1.B 2.B 3.D 4.A 5.E 6.C
7.A 8.D 9.D 10.B 11.B 12.E
13.C 14.B 15.A 16.E
12.
ArdıĢık yedi tamsayının, en
küçüğü ile en büyüğünün toplamı 24
olduğuna göre,
bu yedi sayının toplamı kaçtır?
A)60
B)66
C)72
D)78
E)84
13.
ArdıĢık beĢ çift sayının toplamı
100 ise,
bu sayıların en büyüğü ile en
küçüğünün toplamı kaçtır?
A)36
B)38
C)40
D)42
14.
1+2+3+ … +n = 190
n kaçtır?
A)18
B)19
C)20
D)21
E)44
ise,
E)22
34
BASAMAK ANALĠZĠ
RAKAMLAR
Doğal sayılar kümesinin alt kümelerinden
biri olan;
UYARI
Soruda;
a’nın aldığı değerler, b’nin katsayısı olan
2 Ģer, 2 Ģer artarken,
b’nin aldığı değerler, a’nın katsayısı olan
3 er, 3 er azalmaktadır.
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
kümesine Rakamlar kümesi, bu kümenin
elemanlarına da Rakam denir.
GENETĠK KOPYA-1
a ve b birer rakam olmak üzere;
a+b=12 ise,
a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
Rakamlar, ‘’Onluk sistemde’’ sayıları
yazmak için kullanılan sembollerdir.
UYARI
Rakamlar, birer doğal sayıdır.
Sayılar, rakamların bir arada yazılması
ile oluĢturulur.
22
304 ; -12 ; 4,5 ; 29 ;
birer sayıdır.
A)4
DNA-1
a ve b birer rakam olmak üzere;
3a+2b=22 ise,
a+b toplamının alabileceği kaç farklı
değer vardır?
B)2
C)3
D)4
C)6
D)7
E)8
DNA-2
x, y ve z farklı rakamlar olmak üzere;
4x-3y+z ifadesinin alabileceği
en büyük ve en küçük değerlerin toplamı
kaçtır?
7
A)1
B)5
A)18
E)5
B)26
C)44
D)52
E)80
ÇÖZÜM
x ve z büyük (x’in katsayısı büyük
olduğundan, x en büyük)
y küçük alındığında ifade büyük değer
alacağından;
x=9 , y=0 , z=8 alınırsa
4.9-3.0+8=44 en büyük değerdir.
ÇÖZÜM
Bu tip sorularda; değiĢkenlerden birine
uygun değerler verilerek diğeri bulunur.
2b ve 22 çift olduğundan, a’ya en küçük
çift sayı değeri vermekle baĢlayalım.
a=0 için; 3.0+2b=22 ve b=11 olur.
b=11 bir rakam değildir, alınmaz.
a=2 için; 3.2+2b=22 ve b=8
a=4 için; 3.4+2b=22 ve b=5
a=6 için; 3.6+2b=22 ve b=2
a=8 için; 3.8+2b=22 ve b=-1
b=-1 bir rakam değildir, alınmaz.
a+b toplamı;
2+8=10, 4+5=9 ve 6+2=8 olmak üzere
3 farklı değer alır.
Doğru Seçenek C dir.
x ve z küçük
(x’in katsayısı büyük
olduğundan, x en küçük)
y büyük alındığında ifade küçük değer
almaktadır.
x=0 , y=9 , z=1 alınırsa
4.0-3.9+1=-26 en küçük değeridir.
En büyük ve en küçük değerlerin toplamı
44+(-26)=44-26=18 dir.
Doğru Seçenek A dır.
35
GENETĠK KOPYA-2
a, b ve c farklı rakamlar olmak üzere;
a+2b-3c ifadesinin alabileceği en büyük
değer kaçtır?
A)24
B)25
C)26
D)27
Genel olarak;
Soldaki ilk basamağa; 0 dıĢında 9
rakamdan birini,
yanındaki basamağa; 10 rakamdan birini,
yanındaki basamağa; yine 10 rakamdan
birini yazabiliriz.
E)28
Matematiğin en önemli kurallarından biri
olan, çarpmanın temel ilkesi gereği,
yazılabilecek sayıların adedi;
9.10.10… dur.
DNA-3
a ve b birer rakam olmak üzere;
2a-3b=0 ise,
Yazılabilecek en büyük ab iki basamaklı
sayısı kaçtır?
A)32
B)64
C)96
D)97
E)98
DNA-4
Üç basamaklı, rakamları farklı kaç tane
abc doğal sayısı yazılabilir?
ÇÖZÜM
Öncelikle; 2a-3b=0 eĢitliğinde,
a’ya verilecek değerler 3 ün katları,
b’nin değerleri de 2 nin katları olacaktır.
A)9OO B)800 C)720
ab sayısını en büyük olması için;
a büyük, b büyük olmalıdır.
a’nın alabileceği en büyük değer 9,
a’nın bu değeri için de b=6 olur.
ab=96 yazılabilecek en büyük sayıdır.
Doğru Seçenek C dir.
ÇÖZÜM
Soldaki ilk basamağa; 0 dıĢında 9
rakamdan birini yazabiliriz.
Ortadaki basamağa; a yerine yazılan
rakam dıĢında geriye kalan 9 rakamdan
birini yazabiliriz.
Son basamağa; a ve b yerine yazılan iki
rakam dıĢında kalan 8 rakamdan biri
yazılabilir.
Sonuç olarak:
9.9.8=648 tane üç basamaklı, rakamları
farklı doğal sayı vardır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-3
a ve b birer rakam olmak üzere;
3a=4b eĢitliğini gerçekleyen kaçtane iki
basamaklı ab sayısı yazılabilir?
A)1
B)2
C)3
D)4
D)648 E)600
E)5
GENETĠK KOPYA-4
Ġki basamaklı kaç tane çift doğal sayı
yazılabilir?
Sayıları oluĢturmaya baĢlamıĢ iken, kaçar
tane sayı yazılabileceğine de bir göz
atalım.
Bir basamaklı; 10 tane doğal sayı,
9 tane sayma sayısı,
Ġki basamaklı; 90 tane doğal sayı,
Üç basamaklı; 900 tane doğal sayı,
Dört basamaklı; 9 000 tane doğal sayı…
yazılabilir.
A)50
36
B)45
C)40
D)36
E)35
DNA-5
543 sayfalık bir kitabın sayfalarını
numaralandırmak için kaç tane rakam
kullanılır?
IġIK-1
a, b, c, d birer rakam, a≠ 0 olmak üzere;
Ġki basamaklı doğal sayılar;
ab = 10.a+b
a onlar , b birler basamağıdır.
A)15512
B)1521
C)1543
D)1598 E)1629
Üç basamaklı doğal sayılar;
abc = 100.a+10.b+c
a yüzler , b onlar , c birler basamağıdır.
ÇÖZÜM
Bir basamaklı 9 tane sayma sayısı,
Ġki basamaklı 90 tane sayma sayısı
olduğundan;
9+90=99 sayfa bir ve iki basamaklı
sayılar ile numaralandırılır.
543-99=444 sayfa üç basamaklı sayılar
ile numaralandırılmıĢtır.
Bir basamaklı sayılarda: 9.1=9
Ġki basamaklı sayılarda: 90.2=180
Üç basamaklı sayılarda: 444.3=1332
tane rakam kullanılır.
Toplam:
kullanılır.
9+180+1332=1521
Dört basamaklı doğal sayılar;
abcd = 1000.a+100.b+10.c+d
a binler, b yüzler, c onlar, d birler
basamağı
olarak
adlandırılır
ve
çözümlenir.
ab0 üç basamaklı sayısı; ab.10
abc üç basamaklı sayısı;
abc = ab0 + c =ab.10 + c
veya
abc = a00 + bc = a.100 +bc
biçimlerinde de gruplandırılabilir.
rakam
Doğru Seçenek C dir.
Örneğin;
abcd = ab00 + cd = 100.ab + cd gibi.
GENETĠK KOPYA-5
100 sayfalık bir kitabın sayfalarını
numaralandırırken 4 rakamı kaç kez
kullanılır?
A)10
B)18
C)19
D)20
SAYI DEĞERĠ
Bir doğal sayının yazılıĢında; rakamın
bulunduğu basamağa bağlı olmadan tek
baĢına gösterdiği değere, bu rakamın
sayı değeri denir.
E)21
HAZĠNE-1
ai ler birer rakam, n sayma sayısı
göstermek üzere; her A doğal sayısı
A = a n 10 n +a
n 1 10
n 1
+ … +a 1 10+a
biçiminde gösterilebilir.
Bu
gösterime
A
doğal
çözümlenmiĢ Ģekli denir.
BASAMAK DEĞERĠ
Rakamların bulundukları basamaklara
göre aldığı değere, bu rakamın basamak
değeri denir.
0
678 = 6.102+7.10+8
= 600+70+8
sayısının
sayısında;
6, 7 ve 8 rakamların sayı değerleri,
600, 70 ve 8 rakamların basamak
değerleridir.
A = anan-1…a1a0 doğal sayısı
n+1 basamaklı bir doğal sayıdır.
37
IġIK-2
Bir sayıyı oluĢturan rakamların basamak
değerleri toplamı, sayının kendisini verir.
GENETĠK KOPYA-6
Kendisini oluĢturan rakamların, sayı
değerlerinin toplamı 20 olan dört
basamaklı en büyük doğal sayının onlar
basamağında hangi rakam kullanılır?
2 345 = 2.103+3.102+4.10+5
= 2000+300+40+5
A)0
2, 3, 4 ve 5 rakamların sayı değerleri,
2000, 300, 40 ve 5 rakamların basamak
değerleridir.
A)4
C)2
D)5
D)3
E)4
B)12
C)18
D)24
E)28
ÇÖZÜM
KoĢula uygun rakam gruplarını bulalım.
4+7=5+6
3+7=4+6
3+6=4+5
Ģeklinde üç ana grup oluĢturulabilir.
DNA-6
Kendisini oluĢturan rakamların, sayı
değerlerinin çarpımı 40 olan dört
basamaklı en küçük doğal sayının birler
basamağı kaçtır?
B)1
C)2
DNA-7
3,4,5,6,7 rakamları birer kez kullanılarak
yazılan abcde beĢ basamaklı sayısında;
a+b=d+e dir.
Bu koĢullara uyan kaç tane abcde sayısı
yazılabilir?
2 345 = 2.103+3.102+4.10+5
=234.10+5 = 2340+5
=23.102+45 = 2300+45
=2.103+345 = 2000+345
biçimlerinde de gruplara ayrılabilir.
A)O
B)1
Ġlk grup için;
c yerine kullanılmayan 3’ü yazar,
soluna 47 veya 74, sağına 56 veya 65
olmak üzere 4 farklı sayı,
soluna 56 veya 65, sağına 47 veya 74
olmak
üzere
4
farklı
sayı
yazılabileceğinden toplam 8 sayı vardır.
E)8
ÇÖZÜM
abcd dört basamaklı doğal sayısında;
a.b.c.d=40 verilmiĢtir.
Sayının küçük olması istendiğinden;
soldaki basamaktaki rakamların sayı
değerlerinin küçük olması gerekir.
Diğer iki grup için de benzer iĢlemlerle
8 er sayı yazılabileceğinden,
40=2.2.2.5=1.2.4.5=1.1.5.8
yazılımlarından;
a=b=1 , c = 5 , d = 8 alınırsa ;
abcd = 1158 olacaktır.
Birler basamağındaki rakam 8 dir.
Doğru Seçenek E dir.
8+8+8=24 sayı yazılabilir?
Doğru Seçenek D dir
38
GENETĠK KOPYA-7
1,2,3,4 rakamları birer kez kullanılarak
yazılan abcd dört basamaklı sayısında;
a+b=c+d dir.
Bu koĢulara uygun yazılabilecek en küçük
abcd sayısında b+c toplamı kaçtır?
A)3
B)4
C)5
D)6
DNA-9
abab dört basamaklı sayısı,
basamaklı sayısının kaç katıdır?
A)10
B)108
E)7
A)11
C)102 D)92 E)88
C)188
E)110
B)100
C)110
D)111
E)121
DNA-10
ab ve ba iki basamaklı doğal sayıları için;
ab+ba=132 olduğuna göre,
ab sayısının en büyük değeri için
a.b çarpımı kaçtır?
A)81
B)72
C)54
D)36
E)27
ÇÖZÜM
Sayıları çözümlediğimizde;
ab+ba=132
10.a+b+10.b+a=132
11.a+11.b=132
11(a+b)=132
a+b=12 bulunur.
GENETĠK KOPYA-8
abc üç basamaklı sayısında;
a, b ve c’nin sayı değerleri 2 Ģer
artırıldığında,
abc sayısının değeri kaç artar?
B)22
D)101
GENETĠK KOPYA-9
aaa üç basamaklı sayısı, a’nın kaç katıdır?
ÇÖZÜM
abc=100.a+10.b+c dir.
(a+1).100+(b-1).10+c+2
=100.a+100+10.b-10+c+2
=100.a+10.b+c+100-10+2
=abc+92
Sayının değeri 92 artmıĢtır.
Doğru Seçenek D dir.
A)2
C)100
iki
ÇÖZÜM
abab=1000.a+100.b+10.a+b
=1010.a+101.b
=101(10.a+b)
=101.ab
abab sayısı, ab sayısının 101 katıdır.
Doğru Seçenek D dir.
DNA-8
abc üç basamaklı sayısında;
a’nın sayı değeri 1 artırılır,
b’nin sayı değeri 1 azaltılır ve
c’nin sayı değeri 2 artırıldığında;
abc sayısının değeri kaç artar?
A)112
B)11
ab
D)200 E)222
a=9 ve b=3 için aranan koĢullar sağlanır
ab=93 yazılabilecek en büyük sayıdır.
a.b=9.3=27 olur.
Doğru Seçenek E dir.
39
GENETĠK KOPYA-10
ab ve ba iki basamaklı doğal sayıların
toplamı aĢağıdakilerden hangisi olamaz?
A)11
B)22
C)33
D)44
DNA-12
ab iki basamaklı bir doğal sayı,
x bir gerçel sayı olmak üzere:
a.x = 94 ve b.x = 141 ise
ab.x çarpımı kaçtır?
E)55
A)1024
B) 1081
C)1212
D)1425
E)1437
DNA-11
xy ve yx iki basamaklı doğal sayılar,
xy+yx = 66 ise
xy-yx farkı en çok kaçtır?
A)12
B)18
C)24
D)36
ÇÖZÜM
ab=10.a+b çözümlemesi kullanıldığında;
ab.x = (10.a+b)x = 10.a.x+b.x bulunur.
a.x = 94 ve b.x = 141 yazılırsa
ab.x = 10.94+141 = 940+141 = 1081 olur.
Doğru Seçenek B dir.
E)44
ÇÖZÜM
xy = 10.x+y
yx = 10.y+x olarak çözümlendiğinde;
xy+yx=(10.x+y)+(10.y+x)=11(x+y)=66
x+y=6 bulunur.
GENETĠK KOPYA-12
ab iki basamaklı bir doğal sayı,
x bir gerçel sayı olmak üzere:
a.x = 52 ve b.x = 91 ise
ab.x çarpımı kaçtır?
xy-yx=(10.x+y)-(10.y+x)=9(x-y)
farkının büyük olması istenmektedir.
x’in büyük, y’nin küçük olması gerekir.
Toplamları 6 olan iki rakamdan
x =5 ve y =1 için
aranan koĢullar sağlanır.
xy=51 ve yx=15 olmalıdır.
xy-yx=51-15=36 aranan
en büyük farktır.
Doğru Seçenek D dir.
A)143
B)438
C)611
D)4732
E)5291
GENETĠK KOPYA-11
ab ve ba iki basamaklı doğal sayılar
arasındaki fark aĢağıdakilerden hangisi
olamaz?
ÇÖZÜM
Önce sözlü ifadeyi eĢitlik halinde
yazalım;
ba sayısı, ab sayısından 27 fazla ise
ba=ab+27 yazılabilir.
Çözümleme yapıldığında;
10.b+a=10.a+b+27
9.b-9.a=27
9(b-a)=27
b-a=3 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
A)9
B)18
C)27
D)36
DNA-13
ab iki basamaklı sayısının rakamları yer
değiĢtirildiğinde,
elde
edilen
iki
basamaklı sayının değeri, verilen sayıdan
27 fazla olmaktadır.
b-a farkı kaçtır?
A)2
E)46
40
B)3
C)4
D)5
E)6
GENETĠK KOPYA-13
ab iki basamaklı sayısının rakamları yer
değiĢtirildiğinde,
elde
edilen
iki
basamaklı sayının değeri, verilen sayıdan
36 noksan olmaktadır.
a-b farkı kaçtır?
DNA-15
Rakamları toplamı 10 olan iki basamaklı
bir sayının üç katının iki eksiği, sayının
ters yazılıĢına eĢit olduğuna göre,
bu sayının birler basamağındaki rakam
kaçtır?
A)2
A)1
B)3
C)4
D)5
E)6
B)10
C)11
D)12
E)13
GENETĠK KOPYA-15
Basamaklarının sayı değerlerinin toplamı
8 olan iki basamaklı bir sayının rakamları
yer
değiĢtirdiğinde,
sayı
36
azalmaktadır.
Bu iki basamaklı sayı kaçtır?
GENETĠK KOPYA-14
aa ve bb iki basamaklı sayıları için;
aa+bb=176 olduğuna göre,
a.b çarpımının en büyük değeri kaçtır?
C)52
D)63
E)8
Bulunan eĢitlikler
a=2 ve b=8 değerleri için sağlanır.
ab=28 sayısının birler basamağı 8 dir.
Doğru Seçenek E dir.
Çarpımları
18
olan
iki
sayının
çarpımlarının büyük olması için, sayıların
bir birinden uzak olması gerektiğinden;
a=2 ve b=9 alınmalıdır.
a+b=11 en büyük değerdir.
Doğru Seçenek C dir.
B)24
D)5
Çözümleme yaptığımızda;
3(10.a+b)-2=10.b+a
30.a+3.b-2=10.b+a
30.a+3.b-10.b-a=2
29.a-7.b=2 bulunur.
ÇÖZÜM
aa=10.a+a=11.a
bb=10.b+b=11.b
çözümlemeleri kullanılırsa
aa.bb=11.a.11.b=121.a.b=2178
a.b=18 bulunur.
A)16
C)4
ÇÖZÜM
ab iki basamaklı sayısı için;
verilenleri eĢitlik durumunda yazarsak;
a+b=10
3.ab-2=ba olur.
DNA-14
aa ve bb iki basamaklı sayıları için;
aa.bb = 2178 olduğuna göre
a+b toplamının en büyük değeri kaçtır?
A)9
B)2
A)26
E)64
41
B)35
C)53
D)62
E)71
DNA-16
a4b2 sayısı, a2b4 sayısından
kaç fazladır?
A)168
B)178
C)188
D)198
DNA-17
2abc dört basamaklı doğal sayısının
4 katı, dört basamaklı cba2 doğal sayısı
ise; a+b+c toplamı kaçtır?
E)208
A)15
ÇÖZÜM
Sayılar çözümlendiğinde;
a4b2=1000.a+100.4+10.b+2
a2b4=1000.a+100.2+10.b+4
C)8
D)9
D)18
E)19
GENETĠK KOPYA-17
abc üç basamaklı sayısı ac iki basamaklı
sayısının yedi katıdır.
a+b+c toplamı kaçtır?
A)5
GENETĠK KOPYA-16
xyz
üç
basamaklı
sayısının
her
basamağının sayı değeri, kendisi kadar
artırıldığında sayı 143 artıyor.
x+y+z toplamı kaçtır?
B)7
C)17
ÇÖZÜM
4.2abc=cba2
4(2000+100.a+10.b+c)=1000.c+100.b+10.a
+2
eĢitliği düzenlediğimizde;
498.c+30.b-195.a=3999 bulunur.
EĢitliği gerçekleyen a, b, c değerleri
arandığında
a=8, b=7 ve c=1 için doğrulandığı
görülür.
a+b+c=8+7+1=16 dır.
Doğru Seçenek B dir.
a4b2-a2b4 = 1000.a+100.4+10.b+2
-(1000.a+100.2+10.b+4)
=400+2-(200+4)
=198 olur.
Doğru Seçenek D dir.
YADA !!!
a4b2 sayısının yüzler basamağı,
a2b4 sayısının yüzler basamağından
2 fazla olduğundan;
ikinci sayıdan 200 fazla,
benzer Ģekilde birler basamağı 2 az
olduğundan, sayıdan 2 azdır.
200-2=198 fazladır.
A)6
B)16
B)6
C)7
D)8
E)9
Bu bölümde üslü sayılarla iĢlemler
yapacağımızdan, üslü sayılarla ilgili
kuralları bir hatırlayalım.
E)12
an.am=am+n
an.bn=(a.b)n
(an)m=an.m
42
UYARI
10n-1 sayısı, sondan n-1 basamağı 0 olan,
n basamaklı en küçük doğal sayıdır.
IġIK-4
m ve n basamaklı iki doğal sayının
çarpımı;
m+n-1 veya m+n basamaklı bir doğal
sayıdır.
UYARI
Soldaki ilk basamaklarında bulunan
rakamların, sayı değerlerinin çarpımı iki
basamaklı ise çarpım m+n basamaklıdır.
n
10 -1 sayısı, n tane 9 rakamı ile yazılan,
n basamaklı en büyük doğal sayıdır.
DNA-19
A sayısı 666 tane 3 ten,
B sayısı 666 tane 6 dan oluĢmuĢtur.
A.B çarpımı kaç basamaklıdır?
IġIK-3
A sayısı m basamaklı pozitif bir tamsayı
ve n bir doğal sayı olmak üzere ;
N = A.10n Ģeklinde yazılabilen bir doğal
sayı;
sonunda n tane 0 bulunan
m+n basamaklı bir sayıdır.
A)18
A)18
ÇÖZÜM
21999.51999.52 = 25.(2.5)1999 =25.101999
Sondan 1999 basamağı sıfır olan
2001 basamaklı bir sayıdır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-18
A = 412.2511 sayısı kaç basamaklıdır?
B)12
C)21
D)22
E)1335
C)1332
GENETĠK KOPYA-19
5 123 476 . 4 134 567 . 44 311 207
çarpımından elde edilen sayı
kaç basamaklıdır?
sayısı kaç basamaklıdır?
A)1999
B)2000
C)2001
D)2002
E)2003
A)11
B)1331
ÇÖZÜM
Soldaki ilk basamakları 6 ve 6 dır.
6.6=32 sayısı iki basamaklıdır.
Bu yüzden A.B çarpımı m+n basamaklı
olacağından 666+666=1332 basamaklıdır.
Doğru Seçenek C dir.
123.104=1230000 sayısı, sonunda 4 tane
sıfır bulunan, 7 basamaklı bir sayıdır.
DNA-18
A=21999.52001
D)1334
E)23
43
B)19
C)20
D)21
E)22
6. 1999 yılının rakamları toplamı
KONU TESTĠ
28 dir. Takip eden X yılındaki
rakamlar toplamı 28 olacaktır.
Buna göre X-1999 farkı kaçtır?
1. 1025-25
sayısının
rakamları toplamı kaçtır?
A)218 B)219 C)220 D)221 E)222
A) 9
2. Ġki basamaklı
7. A=212.58
ab sayısının rakamları
yer değiĢtirdiğinde sayının değeri
36 azalmaktadır.
Bu koĢulu sağlayan iki basamaklı
ab sayılarının en büyüğü için
a+b toplamı kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
A) 8
E) 14
D) 258
E) 261
A) 7
C) 249
C) 10
D) 11
E) 12
B) 8
C) 9
D) 12
E) 14
9. abc
ve def üç basamaklı doğal
sayılardır.
abc-def = 222 eĢitliğinde,
a rakamı 1 azaltılır,
e rakamı 2 artırıldığında sonuç kaç
olur?
kullanarak yazılabilen iki basamaklı
ab ve cd doğal sayılarının toplamının
en büyük değeri kaçtır?
B) 130
D) 146
E) 152
B) 9
6ab sayısı,
üç basamaklı ab8 sayısından
349 fazladır.
Buna göre a+b toplamı kaçtır?
4. 2, 4, 6 ve 8 rakamlarını birer kez
A) 128
D) 909 E) 999
8. Üç basamaklı
doğal sayıların yan yana yazılmasıyla
elde edilen sayı kaç basamaklıdır?
B) 171
C) 900
sayısı
kaç basamaklıdır?
3. 1 den 123 e kadar ( 1 ve 123 dahil)
A) 123
B) 90
A) 122
C) 134
D) 92
B) 112
E) 82
C) 102
10.
a, b, c, d, e farklı birer rakamdır.
abc üç basamaklı, de iki basamaklı
doğal sayıları için:
abc-de farkının en küçük değeri
kaçtır?
5. abc
üç basamaklı sayısının rakamları
kullanılarak yazılabilecek altı tane iki
basamaklı sayının toplamı T ise;
T
abc
A) 11
oranı kaçtır?
B) 22
C) 33
D) 44
A) 1
E) 55
44
B) 4
C) 6
D) 12
E) 25
11.
15.
10100-101 sayısının rakamları
toplamı kaçtır?
A) 89
Üç basamaklı bir doğal sayının, iki
basamaklı bir doğal sayı ile çarpımı
en çok m, en az n basamaklı ise,
m+n toplamı kaçtır?
B) 90
C) 99
D) 899
E) 900
A)4
B)6
C)9
D)12
E)20
12.
34a üç basamaklı bir sayıdır. Bu
sayının rakamları yer değiĢtirilerek
yazılabilecek altı üç basamaklı sayının
toplamı 3108 ise a kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
16.
ab ve cd iki basamaklı sayıları
için;
a+b=6 ve c.d=6 dır.
ab-cd farkının en büyük değeri
kaçtır?
E) 9
A)32
13.
Birbirlerinden farklı, üç
basamaklı iki doğal sayının toplamı T
dir.
Buna göre, T kaç farklı değer
alabilir?
A)1795
C)6
D)7
D)48
E)55
1.B 2.E 3.E 4.D 5.B 6.C
7.C 8.C 9.C 10.B 11.D 12.C
13.C 14.B 15.C 16.C
aa ve bb iki basamaklı doğal
sayılardır.
(aa)2+(bb)2=1573
olduğuna göre,
a+b toplamı kaçtır?
B)5
C)44
YANITLAR
B)1796
C)1797
D)1780
E)1782
14.
A)4
B)36
E)13
45
KONU TESTĠ
6. Soldan sağa ve sağdan sola okunuĢları
aynı olan sayılara yansıyan sayılar
denir.
1. abc üç basamaklı sayısında;
a ve c yer değiĢtirdiğinde sayının değeri
495 azalmaktadır.
Buna göre a-c farkı kaçtır?
Örneğin; 747, 6556, 62326, ….
sayıları yansıyandır.
A)-5
BeĢ basamaklı kaç tane yansıyan çift
doğal sayı vardır?
B)-4
C)4
D)5
E)6
A)400
2. Ġki
basamaklı kaç tane doğal sayı
yazılabilir?
A)89
B)90
C)91
D)99
7.
E)100
18 = 8
38 = 24
24 = 8
46 = 24
42 = 8
3. Ġki
basamaklı doğal sayıların tümü
yazılırken 5 rakamı kaç kez
kullanılır?
A)9
B)10
C)11
D)19
B)800
C)1000
D)2000
E)4000
Yukarıda verilen eĢitlikler bir kurala
göre verilmiĢtir.
Aynı kurala göre 26 sayısının eĢiti nedir?
E)20
A)8
B)12
C)16
D)18
E)24
4. Dört
basamaklı,rakamları farklı en
küçük doğal sayının rakamları toplamı
kaçtır?
A)1
B)6
C)7
D)8
8. ab
, ba ve c4 iki basamaklı doğal
sayılar olmak üzere ;
ab – ba = c4
ise c kaçtır?
E)9
A) 9
B) 8
C) 7
D) 5
E) 3
5. Karesi
dört basamaklı bir doğal sayı
olan en küçük iki basamaklı doğal
sayının rakamları çarpımı kaçtır?
A)3
B)4
C)6
D)8
9. 11.22.33.44.55.66.77.88.99.1010 = N
sayısının sonunda kaç tane 0 vardır?
E)9
A)14
46
B)15
C)16
D)17
E)18
10.
14.
1234567891011121314...
ġeklinde pozitif tamsayıların ardarda
yazılması ile elde edilen 100 basamaklı
sayının birler basamağında hangi rakam
bulunur?
A)1
B)3
C)4
D)5
444 444 sayısının eĢiti
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)
10 6 −1
9
B)
D)
10 5 −1
9
10 5 −1
.4
9
C)
10 6 −1
.4
9
6
E) 4(10 − 1)
E)6
15.
437 sayfalık bir kitabın sayfa
numaraları yazılırken kaç tane rakam
11.
Ġki basamaklı bir doğal sayı;
rakamları toplamı ile rakamları
çarpımının toplamına eĢittir.
Bu koĢula uygun iki basamaklı en büyük
doğal sayı kaçtır?
A)19
B)39
C)89
D)98
kullanılır?
A)1203
B)1206
C)1208
D)1209
E)1210
E)99
16.
ArdıĢık ilk 2008 pozitif tek
sayının çarpımı N dir.
N in birler basamağındaki rakam
aĢağıdakilerden hangisidir?
12.
ab iki basamaklı sayısı için;
ab.a =265 ve ab.b = 159 ise
a+b toplamı kaçtır?
A)5
B)6
C)7
D)8
A) 0
B) 1
C) 4
D) 5
E) 9
E)9
YANITLAR
1.D 2.B 3.D 4.B
8.D 9.B 10.D 11.E
14.C 15.A 16.D
13.
ab
iki basamaklı,
bxa
üç
basamaklı doğal sayıları için;
7.ab = bxa ise a.b çarpımı kaçtır?
A)2
B)3
C)4
D)6
E)8
47
5.C 6.A 7.B
12.D 13.E
TABAN ARĠTMETĠĞĠ
A)75 B)85
Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde
sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
kümesinin
elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır.
10 elemanlı bir kümedir.
E)96
GENETĠK KOPYA-1
2, sayı tabanını göstermek üzere;
(110111)2 sayısının 10 sayı tabanındaki
yazılıĢı hangisidir?
Onluk sistemde; sayının çözümlenmiş
şeklinde, 10’un kuvvetleri kullanılır.
Sayının değeri; kendisini oluşturan
basamak
D)92
ÇÖZÜM
(324)5 = 3.52+2.51+4.50
= 3.25+2.5+4.1
= 75+10+4
= 89 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
En büyük elemanı 9 olan,
rakamların
C)89
A)22
değerlerinin
B)33
C)44
D)55
E)66
toplamıdır.
2
1
DNA-2
6, sayı tabanını göstermek üzere;
(1234)6 sayısının 10 sayı tabanındaki
yazılıĢı hangisidir?
0
435 = 4.10 +3.10 +5.10
= 400 + 30 + 5
Dört yüz+ Otuz+ BeĢ
A)204 B)234 C)308 D)310 E)326
SAYI TABANI
n sayı tabanında sayılar;
{0, 1, 2, … , n-1} kümesinin elemanları
kullanılarak yazılır.
(n>1)
ÇÖZÜM
(1234)6 = 1.63+2.62+3.61+4.60
= 216+2.36+3.6+4.1
=216+72+18+4
=310 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
En büyük elemanı (n-1) olan,
n elemanlı bir kümedir.
GENETĠK KOPYA-2
9, sayı tabanını göstermek üzere;
(432)9
sayısının 10 luk sistemdeki
karĢılığı kaçtır?
HAZĠNE-1
n sayı tabanında verilmiĢ bir sayının,
10 luk sistemdeki değeri;
a,b,c,d < n olmak üzere;
(abcd)n = a.n3+b.n2+c.n1+d.n0
A)324 B)326 C)351 D)353 E)357
dır.
DNA-3
5, sayı tabanını göstermek üzere;
2(abc)5 = (cba)5 ise
a+b+c toplamı kaçtır?
DNA-1
5, sayı tabanını göstermek üzere;
(324)5
sayısının 10 sayı tabanındaki
yazılıĢı hangisidir?
A)5
48
B)6
C)8
D)9
E)10
ÇÖZÜM
(abc)5 ve (cba)5 sayılarının 10 sayı
tabanındaki karĢılıkları;
(abc)5=a.52+b.5+c
(cba)5=c.52+b.5+a dır.
Bu değerler verilen eĢitlikte yerlerine
yazıldığında;
2(abc)5 = (cba)5
2(a.52+b.5+c) = c.52+b.5+a
50a+10b+2c = 25c+5b+a
49a+5b = 23c eĢitliği
a =1, b =4, c =3 için doğrulanır.
a+b+c = 1+4+3 = 8 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-4
3 sayı tabanında yazılabilecek üç
basamaklı sayının, 10 luk sistemdaki
karĢılığı kaçtır?
GENETĠK KOPYA-3
a sıfırdan farklı bir rakamı,
4 ve n sayı tabanını göstermek üzere,
(aaa)4 = (aa)n olduğuna göre,
n kaçtır?
n tek ise a+b+c+d toplamına bağlıdır:
toplam tek ise tek, çift ise çifttir.
A)16
B)18
C)20
D)24
A)26
IġIK-1
(abcd)n
karĢılığı:
B)50
C)75
C)39
D)40
sayısının
on
E)42
tabanındaki
n çift ise d’ye bağlıdır: d tek ise tek,
çift ise çifttir.
DNA-5
9, sayı tabanını göstermek üzere;
(23a)9 sayısının on tabanındaki karĢılığı
çift sayı ise,
a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
E)25
DNA-4
5 sayı tabanında üç basamaklı kaç tane
sayı yazılabilir?
A)25
B)27
A)12
B)14
C)16
D25
E)26
ÇÖZÜM
9, tek sayı olduğundan;
2+3+a toplamının çift olması gerekir.
D)100 E)125
ÇÖZÜM
5 sayı tabanında kullanılacak rakamlar
{0,1,2,3,4} kümesinden alınır.
(abc)5 sayısında;
a’yı 0 dıĢında 4 rakamdan biri,
b’yi 5 rakamdan biri,
c’yi
5
rakamdan
biri
olarak
seçebileceğimizden,
4.5.5=100 sayı yazılabilir.
Doğru Seçenek D dir.
Toplamı çift yapan a değerleri:
1, 3, 5 ve 7 dir.
1+3+5+7=16 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-5
7 sayı tabanında verilen
(65a3)7 sayısının, 10 tabanındaki karĢılığı
tek sayı ise,
a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
A)1
49
B)2
C)3
D)4
E)5
DNA-6
8 sayı tabanında verilen
(7654a)8
sayısının, 10 tabanındaki
karĢılığı tek sayı ise
a’nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
ÇÖZÜM
15 in 7 ile bölümünden kalan 1 olduğundan
terimlerin 7 ile bölümlerinden kalanlar:
A)12
105=7.15+0 olup, kalan 0 dır.
Doğru Seçenek A dır.
B)14
C)16
D)25
1+2+3+ ... +13+14 =
E)26
GENETĠK KOPYA-7
6 sayı tabanında verilen
(234a)6
sayısının 10 tabanındaki
karĢılığının 5 ile bölünebilmesi için
a kaç olmalıdır?
A)0
GENETĠK KOPYA-6
6, sayı tabanıdır.
(1234a)6
sayısının, 10 tabanındaki
karĢılığı çift sayı ise,
a’nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
B)6
C)7
D)8
B)1
C)2
D)3
C)2
D)3
E)5
29 un 2 tabanında yazılıĢını bulmak için;
29 ard arda 2 ye bölünür.
29=2.14+1
14=2.7+0
7=2.3+1
3=2.1+1
1=2.0+1
En son kalandan baĢlayarak diğerleri sıra
ile yazıldığında, 29 sayısının 2 tabanında
yazılıĢı bulunmuĢ olur.
IġIK-2
n sayı tabanında verilen
(abcde)n
sayısının, 10 tabanındaki
karĢılığının (n-1) sayısına bölünebilmesi
için; rakamlar toplamının (n-1) sayısına
bölünebilmesi gerekir.
A)0
B)1
IġIK-3
10 sayı tabanında verilen sayıyı,
n sayı tabanında yazmak için verilen
sayının içinde n’in kuvvetleri aranır.
E)9
DNA-7
[123456789(10)(11)(12)(13)(14)]15
sayısı 15 tabanında yazılmıĢtır.
10 tabanındaki karĢılığı:
1513+2.1512+3.1511+…+13.15+14
olduğuna göre bu sayının 7
bölümünden kalan kaçtır?
=105
toplamının 7 ile bölümünden kalandır.
ÇÖZÜM
8, çift olduğundan;
a’nın tek sayı olması, sayının 10
tabanındaki karĢılığının tek sayı olmasını
gerektirir.
a’nın
alabileceği
tek
değerler;
1,3,5 ve 7 dir.
1+3+5+7=16 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
A)4
14.15
2
29=(11101)2 dir.
ile
İlk bölme işleminden bulunan kalan,
sağdaki ilk basamağı verir.
E)6
50
DNA-8
22 sayısı 3, 4 ve 5 sayı tabanlarında
yazıldığında
kaç kez 2 rakamı kullanılır?
A)2
B)3
C)4
D)5
DNA-9
216-1 sayısı 4 sayı tabanında yazıldığında
kaç basamaklı olur?
A)6
E)6
2 rakamı 1 kez kullanıldı.
22008-1 sayısı 2 sayı tabanında
yazıldığında oluĢan sayının rakamları
toplamı kaçtır?
2 rakamı 1 kez kullanıldı.
A) 1
B) 25
D) 2007
E) 2008
C) 208
2 rakamı 1 kez kullanıldı.
2 rakamı toplam 3 kez kullanıldı.
Doğru Seçenek B dir.
IġIK-3
10 luk sistemdeki dört iĢlem kuralları,
n sayı tabanında verilen sayılar için de
aynen geçerlidir. 10 luk sistemdeki 10 lu
demetler yerine, n sayı tabanında n li
demetler kullanılır.
GENETĠK KOPYA-8
25 sayısının, 2 sayı tabanında yazılmıĢ
Ģekli aĢağıdakilerden hangisidir?
A)(111)2
E)16
GENETĠK KOPYA-9
Aynı iĢlemleri 5 için yapalım.
22=5.4+2
4=5.0+4
22=(42)5
D)15
48-1 = (100 000 000)4 -1
= (33 333 333)4
8 basamaklıdır.
Doğru Seçenek B dir.
Aynı iĢlemleri 4 için yapalım.
22=4.5+2
5=4.1+1
1=4.0+1
22=(112)4
C)12
ÇÖZÜM
216-1 = 22 8 − 1
= 48-1
4 sayı tabanında, 48 sayısını yazarken;
48 in katsayısı 1, diğer kuvvetlerinin
katsayısı 0 olacağından
48 = (100 000 000)4 yazılır.
ÇÖZÜM
22 sayısını ard arda 3 ile bölüp, en son
kalandan baĢlayarak elde edilen kalanları
sıra ile yazalım.
22=3.7+1
7=3.2+1
2=3.0+2
22=(211)3
B)8
(201)5+(44)5 toplama iĢleminde;
1+4=5=1.5+0 olduğundan,
1+4=5
değil, 0 yazılıp, elde 1 var
denilecek ve iĢlem 0+4=4, elde 1 vardı,
4+1=5=1.5+0 dan, 0 yazılıp tekrar elde 1
var deyip, 2+1=3 diyerek sonlanacaktır.
(201)5+(44)5=(300)5 bulunur.
B)(1011)2
C)(1101)2
D)(11100)2
E)(11001)2
51
(201)5-(44)5
çıkarma iĢleminde;
GENETĠK KOPYA-10
6, sayı tabanıdır.
(345)6+(15)6
ĠĢleminin sonucunun, 6 sayı tabanındaki
yazılımı aĢağıdakilerden hangisidir?
Gerekirse diğer basamaklardan 5 lik
desteler alınır.
1 den 4’ü değil, 5+1=6 dan 4’ü çıkarıp
birler basamağına 2 yazılacaktır.
(201)5-(44)5 = (102)5 bulunur.
A)(403)6
B)(404)6
C)(405)6
D)(414)6
E)(423)3
(865)9.(71)9
çarpma ve yapılacak
toplama iĢlemlerinde de; her 9 luk deste
için elde 1 var denilecektir.
7.5=35 değil,
35=3.9+8 olduğundan;
kalan 8’i yazıp, elde 9’un katsayısı olan 3
var diyerek iĢlem yapılacaktır.
(865)9.(71)9 = (68055)9 bulunur.
DNA-10
5 sayı tabanı olmak üzere;
(234)5+(23)5
ĠĢleminin 5 tabanına göre
aĢağıdakilerden hangisidir?
DNA-11
7, sayı tabanıdır.
(654)7-(25)7
ĠĢleminin sonucunun, 7 sayı tabanındaki
yazılımı aĢağıdakilerden hangisidir?
A)(606)7
B)(616)7
C)(626)7
D)(636)7 E)(641)7
ÇÖZÜM
Sağdaki ilk basamaklardan çıkarma
iĢlemine baĢladığımızda;
4 den 5 çıkmaz, 654 ün 5 olan ikinci
basamağı 7 nin katsayısı olduğundan bir
yedilik deste aldığımızda;
7+4=11 ve 11-5=6 olacaktır.
sonucu
A)(212)5
B)(222)5
C)(312)5
D)(322)5
E)(332)5
ÇÖZÜM
Sağdaki ilk basamaklardan toplamaya
baĢladığımızda;
4+3=7
7=1.5+2
Sonucun ilk basamağı 2 olup, elde 1 var
denilecektir.
654 ün 5 olan ikinci basamağından 1
alınmıĢtı, 5-1=4 kaldı.
4-2=2 sonucun ikinci basamağıdır.
Son basamakta iĢlem yapılmadığı için,
aynen kalır ve 6 dır.
(654)7-(25)7=(626)7 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
3+2=5 ikinci basamaklar toplamı.
5+1=6 elde 1 vardı.
6=1.5+1
Sonucun ikinci basamağı 1 olup, elde 1 var
GENETĠK KOPYA-11
4, sayı tabanı olmak üzere;
(100)4 sayısının bir eksiği, aynı sayı
tabanında hangisidir?
Sonucun son basamağı;
2+1=3 elde 1 vardı,
A)(10)4
B)(11)4
C)(22)4
D)(30)4
E)(33)4
(234)5+(23)5=(312)5 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
52
DNA-12
9, sayı tabanı olmak üzere;
(865)9.(71)9
ĠĢleminin sonucunun, 7 sayı tabanındaki
yazılımı aĢağıdakilerden hangisidir?
GENETĠK KOPYA-12
6, sayı tabanıdır.
(55)6 sayısının iki katı, aynı tabanda
kaça eĢittir?
A)111 B)124 C)134 D)144 E)154
A)58045
B)68045
C)68055
D)68145
E)68155
ÇÖZÜM
DNA-13
a sayı tabanıdır.
(62)a.(14)a = (808)a
A)9
B)10
C)11
ise a kaçtır?
D)12
E)13
ÇÖZÜM
(62)a=6.a+2
(14)a=a+4 ve
(808)a=8.a2+8 olduğundan
Yukarıdaki iĢlemi dillendirdiğimizde;
865 in 1 ile çarpımı 865 dir.
865 i, 7 ile çarparken;
7.5=35=3.9+8
8 yazılır, elde 3 var denir.
7.6=42,
42+3=45=5.9+0
0 yazılır, elde 5 var denir.
7.8=56,
56+5=61=6.9+7
61 in 9 tabanındaki karĢılığı 67 yazılır.
Ġkinci çarpım; 8067 dir.
(62)a.(14)a = (808)a
(6a+2)(a+4) = 8a2+8
6a2+26a+8 = 8a2+8
a2-13a = 0
a(a-13)=0
a=0 alınamayacağından
a-13=0 ve a =13 tür.
Doğru Seçenek E dir.
Son olarak uygun toplama iĢlemi yapalım;
5 aĢağıya alınır,
6+8=14=1.9+5, 5 aĢağıya, elde 1 var,
8+0=8, 8+1=9=1.9+0
0 yazılır, elde 1 var,
7+1=8
8 yazılır.
6 aĢağıya alınır.
GENETĠK KOPYA-13
n sayı tabanı olmak üzere;
(13)n+(31)n = 24 ise n kaçtır?
A)4
SONUÇ; 68055 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
53
B)5
C)6
D)7
E)7
DNA-14
b ve c sayı tabanıdır.
(32)b = (21)c ve
(21)b = (13)c ise
b+c toplamı kaçtır?
A)8
B)12
ÇÖZÜM
(32)b=3.b+2
3.b+2=2.c+1
(21)b=2.b+1
2.b+1=c+3
ÇÖZÜM
(abc)9=a.92+b.9+c=81.a+9.b+c
(cba)7=c.72+b.7+a=49.c+7.b+a
Sayıların 10 luk sistemdeki karĢılıklarıdır
C)13
D)14
ve
(abc)9 = (cba)7
81.a+9.b+c=49.c+7.b+a
80.a+2.b-48.c=0
40.a+b-24.c=0 eĢitliği
a=1, b=8 ve c=2 için sağlanır.
E)15
(21)c=2.c+1
ve
a+b+c=1+8+2=11 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
(13)c=c+3
2.b+1=c+3 ⇒ c=2b-2
3.b+2=2.c+1 ⇒ 3.b+2=2(2b-2)+1
⇒ b=5 ve c=2.5-2 ⇒ c=8 bulunur.
b+c=5+8=13 olur.
GENETĠK KOPYA-15
b sayı tabanında
(121)b= 81 ise
b kaçtır?
Doğru Seçenek C dir.
A) 7
GENETĠK KOPYA-14
11 ve 9 sayı tabanı olmak üzere ;
(ab)11 = (ba)9 ise
b – a farkı kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
B)9
C)10
D)11
C) 9
D) 6
E) 5
DNA-16
2 ve 8 sayı tabanını göstermektedir.
(111 110 101 011 010)2 = (X)8 ise
X hangisidir?
E) 4
A)76543
B)76532
C)76521
D)976510
E)76432
ÇÖZÜM
8=23 olduğundan her üç basamağın 10
sayı tabanındaki karĢılıkları sıralanırsa,
sayının 8 sayı tabanındaki karĢılığı
yazılmıĢ olur.
(111)2 = 22+2+1 = 7
(110)2 = 22+2 = 6
(101)2 = 22+1 = 5
(011)2 = 2+1 = 3
(010)2 = 2
(X)8 = (76532)8
Doğru Seçenek B dir.
DNA-15
7 ve 9 sayı tabanıdır.
(abc)9 = (cba)7 ise
a+b+c toplamı kaçtır?
A)8
B) 8
E)12
54
GENETĠK KOPYA-16
2 sayı tabanında yazılan on basamaklı en
büyük sayının, 8 sayı tabanında yazılıĢı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A) 777
DNA-18
0,5 ondalık sayısının 2 sayı tabanındaki
gösterimi aĢağıdakilerden hangisidir?
A)0,1 B)0,01
B) 1177
C) 1717
D) 1777
E) 7777
C)0,1 D)0,101
E)0,10
ÇÖZÜM
n sayı tabanında verilmiĢ
𝑎𝑏𝑐, 𝑑𝑒 … 𝑛 sayısının,
10 sayı tabanındaki karĢılığı
𝑎. 𝑛2 + 𝑏. 𝑛1 + 𝑐. 𝑛0 + 𝑑. 𝑛−1 + 𝑒. 𝑛−2 + ⋯
olduğundan;
DNA-17
16 ve 4 sayı tabanıdır.
(199)16 = ( X )4 eĢitliğini sağlayan
X aĢağıdakilerden hangisidir?
5
1
0,5 = 10 = 2 = 2−1 = 0,1
2
dir.
Doğru Seçenek A dır.
A) 1212
B) 2121
C) 12121
D) 21212
E) 12221
GENETĠK KOPYA-18
5 sayı tabanında verilen
(0,24)5 sayısının, ondalık sayı karĢılığı
nedir?
ÇÖZÜM
(199)16 sayısının her basamağı ayrı ayrı
4 sayı tabanında yazılır.
Bulunan ifadelerin yan yana yazılmasıyla,
sayı 4 tabanına çevrilmiĢ olur.
A)0,5
B)0,6
D)0,65
E)0,7
9=2.4+1=(21)4
9=2.4+1=(21)4
1=0.4+1=(01)4=(1)4
(199)16 =(1 21 21)4 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-17
9 ve 3 sayı tabanıdır.
(57)9=(X)3
eĢitliğinin sağlayan X,
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)121
B)212
C)221
D)1221
E)1222
55
C)0,56
7. 8 sayı tabanıdır.
KONU TESTĠ
[(33)8]2 sayısının aynı tabandaki eĢiti
hangisidir?
1. x
sayı tabanıdır.
(41)x =3.(14)x ise x kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
A)121
B)131
C)232
D)1331
E)2332
E) 11
2. 3 ve 10 sayı tabanıdır.
(12012)3=(x)10 ise x kaçtır?
A) 110
B) 120
D) 140
8. b
sayı tabanıdır.
(23)b.(14)b = (333)b ise b kaçtır?
C) 130
E) 150
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
3. 3 sayı tabanında, üç basamaktan
daha az basamakla yazılabilen kaç tane
9. b
sayı tabanıdır.
(321)b = 86 ise (123)b sayısının
doğal sayı vardır?
A)6
B)7
C)8
D)9
E)10
onluk sistemde değeri kaçtır?
A) 27
B) 38
C) 51
D) 66
E) 83
4. 22008-1
sayısı 2 sayı tabanında
yazıldığında kaç tane 0 rakamı
kullanılır?
A)0
B)1
C)2
(33)6+(22)6=(X)10
B)25
b sayı tabanında , c2 sayısı
10 olarak yazılıyorsa ;
b2
sayısının
c
sayı tabanında
yazılıĢı aĢağıdakilerden hangisidir?
D)2007 E)2008
5. 6 ve 10 sayı tabanıdır
A)15
10.
C)35
ise
D)45
A) 100
B) 1000
C) 10000
D) 100000
E) 1000000
X nedir?
E)55
11.
a  3 ve a pozitif tamsayı iken;
(a+1)2 nin a sayı tabanında yazılıĢı
aĢağıdakilerden hangisidir?
6. 84-1
sayısı
4
sayı tabanında
yazıldığında kullanılan tüm rakamların
toplamı kaçtır?
A) 1
B) 3
C) 9
D) 18
A)11
E) 27
56
B)22
C)121
D)222
E)1111
12.
16.
2,3,5,9 ve 12 sayı tabanıdır.
AĢağıdaki sayılardan en büyüğü
hangisidir?
A) (0,10)2
B) (0,12)3
D) (0,42)9
n ve 2n sayı tabanıdır.
(8888)n=(A)2n ise,
A aĢağıdakilerden hangisidir?
A)1248
C) (0,21)5
E) (0,53)12
B)1334
C)1428
D)1532
E)1543
13.
9 sayı tabanıdır.
(33)9.(44)9 çarpımının eĢiti
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)(5500)9
C)(1452)9
B)(1573)9
D)(1200)9
E)(700)9
1.E 2.D 3.D 4.A 5.C 6.D
7.D 8.B 9.B 10.C 11.C 12.B
13.B 14.B 15.B 16.A
14.
a sayı tabanıdır.
A=(1254)a ve 2.A=(2541)a ise,
a kaçtır?
A)6
B)7
C)8
D)9
E)10
15.
6 ve 10 sayı tabanıdır.
(33)6.(22)6=(X)10 ise,
X aĢağıdakilerden hangisidir?
A)250
B)294
C)350
D)454
E)556
57
FAKTÖRĠYEL
TANIM
Pozitif ilk n tam sayının çarpımı
1.2.3…n = n!
biçiminde gösterilir.
n Faktöriyel okunur.
GENETĠK KOPYA-1
7.8.9…..36
Ġfadesinin
eĢiti
hangisidir?
1!=1
2!=1.2=2
3!=1.2.3=6
4!=1.2.3.4=24
5!=1.2.3.4.5=120
A)6!
gibi.
B)35!
36!
D) 6!
C)34!
E) 36! – 6!
DNA-2
Özel olarak;
0! = 1 olarak tanımlanmıĢtır.
iĢleminin sonucu kaçtır?
A)10
B)100
C)1000
D)10000
E)100000
IġIK-1
n! = n.(n-1)!
n! =n.(n-1)(n-2)!
6!=6.5!
6!=6.5.4!
aĢağıdakilerden
ÇÖZÜM
101!−100!
99!
gibi.
=
HAZĠNE-1
Faktöriyel iĢleminin, toplama, çıkarma,
çarpma ve bölme iĢlemleri üzerine
dağılma özelliği yoktur.
=
100!.100
99!
101.100!−100!
99!
=
100.99!.100
99!
=
100!(101−1)
99!
= 100.100 = 10000
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-2
𝟏𝟑!−𝟏𝟐!
𝟏𝟎!+𝟏𝟏!
2! + 3! ≠ 5!
2! + 3! = 1.2 + 1.2.3 = 2 + 6 = 8 dir.
Ġfadesinin
hangisidir?
eĢiti
A)11
C)23
B)12
aĢağıdakilerden
D)132
E)
23
22
DNA-1
𝟏𝟐!
𝟖!.𝟒!
iĢleminin sonucu kaçtır?
DNA-3
A)45 B)55 C)99 D)120 E)495
=
12.11.10.9.8!
8!.4.3.2.1
ifadesinin eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
ÇÖZÜM
12!
8!.4!
𝟑𝒏+𝟏 !
𝟑𝒏−𝟏 !
=
12.11.10.9
4.3.2.1
=11.5.9 = 495
A)n(n+1)
B)3n(n+1)
C)3n(3n-1)
D)3n(3n+1)
E)3n
Doğru Seçenek E dir.
58
ÇÖZÜM
3𝑛+1 !
3𝑛−1 !
=
ÇÖZÜM
2.4.6…..100=(2.1)(2.2)(2.3)…..(2.50)
=2.2.2…2.1.2.3…..50
3𝑛+1 3𝑛 3𝑛−1 !
3𝑛−1 !
= 3𝑛(3𝑛 + 1)
Doğru Seçenek D dir.
olduğu hatırlandığında;
GENETĠK KOPYA-3
=250.50!
𝟐𝐧+𝟑 !
𝟐𝐧+𝟏 !
ifadesinin
hangisidir?
eĢiti
aĢağıdakilerden
GENETĠK KOPYA-5
3.6.9……300
Çarpımının
eĢiti
hangisidir?
A)(2n+3)(2n+2)
B)(2n+3)(2n+1)
C)2n(2n+1)
D)2n+2
E)2
DNA-4
77!+78!
A)8
aĢağıdakilerden
A)3.100!
B)3.300!
C)300.100!
50
100
D)3 100!
E)3 .100!
toplamı, 77! in kaç katıdır?
B)37
C)77
D)78
E)79
DNA-6
x,y doğal sayıları için;
ÇÖZÜM
77!+78! = 77!+78.77! = 77!(1+78) = 79.77!
20.x! = y! olduğuna göre;
y nin alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
OluĢan son çarpımda, istenen toplamın
77! Ġn 79 katı olduğu görülür.
Doğru Seçenek E dir.
A)20
B)34
DNA-5
2.4.6…..100
Çarpımının
hangisidir?
C)65
eĢiti
D)66
B)23
C)25
D)26
E)27
ÇÖZÜM
IġIK-1 de;
n.(n-1)!=n! özelliği kullanılırsa;
20.19!=20! olacağından,
x=19 vee y=20 olur.
GENETĠK KOPYA-4
67!-66! farkı, 66! in kaç katıdır?
A)33
bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
E)67
n(n-1)(n-2)!=n! özelliği kullanılırsa;
5.4.3!=5! Olacağından,
x=3 ve y=5 olur.
y’nin alabileceği değerlerin toplamı;
20+5=25 dir.
Doğru Seçenek C dir.
aĢağıdakilerden
A)2.50!
B)2.100!
C)100.50!
50
100
D)2 .50!
E)2 .50!
59
GENETĠK KOPYA-6
a ve b doğal sayıları için,
a! = 30.b! olduğuna göre;
b’nin alabileceği değerlerler
kaçtır?
A)29
B)30
C)32
DNA-7
0!+1!+2!+…+2008!
basamağı kaçtır?
A)0
B)3
C)4
D)33
toplamı
A)0
E)34
toplamının
D)7
GENETĠK KOPYA-7
1!+3!+5!+……+2009!
basamağı kaçtır?
B)4
C)6
Toplamının birler
D)7
E)8
IġIK-3
n! sayısının içinde bulunan tüm x (x, asal
sayı) çarpanlarının sayısı:
n’in ard arda x’e bölümlerinden elde
edilen bölümler toplamı kadardır.
birler
n! sayısının içinde bulunan tüm x
çarpanlarının (x=a.b, a ve b asal) sayısı,
a<b için, b çarpanlarının sayısı kadardır.
E)8
ÇÖZÜM
0!=1
1!=1
2!=1.2=2
3!=1.2.3=6
4!=1.2.3.4=24
5!=1.2.3.4.5=120
6!=1.2.3.4.5.6=720
…………
EĢitliklerine bakıldığında;
5! ve sonrası 0 ile sonlanmaktadır.
( birler basamağı 0 dır. )
DNA-8
a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere;
10! = a.2b eĢitliğinde,
b’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A)8
B)15
C)21
D)25
E)36
ÇÖZÜM
IġIK-3 den, 10 sayısı ard arda 2 ye
bölünerek, bölümler toplamı aranır.
10=2.5
5=2.2+1
2=2.1
5+2+1=8
b’nin alabileceği en büyük değerdir.
0!+1!+2!+…+2008!
Toplamının birler basamağını 4! e kadar
olan sayılar belirler.
YADA !!!
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
=(2.5).9.(23).7.(2.3).5.(22).3.2.1
=5.9.7.3.5.3.1.(28)
a=5.9.7.3.5.3.1
b=8 alınabileceği gibi,
eĢitlik b’nin 8’den küçük değerleri için de
doğru olur.
b’nin alabileceği değerler:
1,2,3,4,5,6,7 ve 8 dir.
0!+1!+2!+3!+4!+ … +2008!
=1+1+2+6+24+120+…..
=34+120+720+…
Toplamın birler basamağı,
4+0+0+0+….+0=4 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
IġIK-2
n ≥ 5 için; n! sayısının birler basamağı
0 dır.
1+2+3+4+5+6+7+8=36 aranan toplamdır.
Doğru Seçenek E dir.
60
GENETĠK KOPYA-8
100!=K.5x
EĢitliğinde, K ve x pozitif tam sayılar
olmak üzere,
x’in en büyük değeri kaçtır?
A)20
B)24
C)25
D)26
IġIK-4
n! sayısının sonundaki 0 ların sayısı,
n! sayısı içindeki 10 çarpanlarının
(10=2.5 ve 2<5 olduğundan,
tüm 5 çarpanlarının) sayısı kadardır.
E)50
DNA-10
2008! sayısının sonunda kaç tane
0 vardır?
DNA-9
𝟏𝟐!
𝟔𝒏
sayısını tamsayı yapan n’in
en büyük doğal sayı değeri kaçtır?
A)4
B)5
C)6
D)8
A)400 B)480 C)498 D)499 E)500
E)10
ÇÖZÜM
2008 sayısı içindeki 5 çarpanlarını
arayacağız.
2008=5.401+3
401=5.80+1
80=5.16
16=5.3+1
401+80+16+3=500 tane 5 çarpanı,
500 tane 10 çarpanı ve bundan dolayı da
2008! Sayısının sonunda 500 tane 0
vardır.
Doğru Seçenek E dir.
ÇÖZÜM
6=2.3 olduğundan,
IġIK-3, 2 ve 3 çarpanları için uygulanır.
12=2.6
6=2.3
3=2.1+1
6+3+1=10 tane 2 çarpanı,
12=3.4
4=3.1+1
4+1=5 tane 3 çarpanı vardır.
210.35=25.25.35=25(2.3)5=25.65
olduğundan,
5
tane
6
çarpanı
oluĢturulabilir.
n’in en büyük değeri 5 tir.
GENETĠK KOPYA-10
999! sayısının sonunda kaç tane
0 vardır?
Yalnız 3 çarpanlarının sayısını bulmak
yeterlidir. Çünkü 3 çarpanlarının sayısı,
2 çarpanlarının sayısından azdır.
Doğru Seçenek B dir.
A)199 B)200 C)245 D)246 E)250
IġIK-5
n!-1 sayısının sonundaki 9 ların sayısı,
n!
sayısının sonundaki 0 ların sayısı
kadardır.
GENETĠK KOPYA-9
𝟑𝟎!
𝟏𝟓𝐧
sayısını tamsayı yapan n’in
en büyük doğal sayı değeri kaçtır?
A)2
B)6
C)7
D)14
DNA-11
[(3!)!]!-1 sayısının sonunda kaç tane
9 vardır?
E)21
A)177 B)178 C)179 D)180 E)181
61
ÇÖZÜM
[(3!)!]!-1
sayısının sonundaki 9 ların
sayısı,
[(3!)!]! sayısının sonundaki 0 ların sayısı
kadardır.
ÇÖZÜM
1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n! = (n+1)!-1
olduğu bilindiğine göre;
1.(1!)+2.(2!)+3.(3!)+ … +10.(10!)=(10+1)!-1
=11!-1 dir.
[(3!)!]! = [6!]! = 720!
720! =1.2.3…..720 sayısı içinde
10 =2.5 çarpanlarının sayısını bulacağız.
11=5.2+1
Olduğundan, 11! sayısının sonunda
2 tane 0, 11!-1 sayısının sonunda da
2 tane 9 vardır.
Bunun için 720 sayısını ard arda 5’e
bölüp, bölümler toplamı alınmalıdır.
720=144.5
144=28.5+4
28=5.5+3
5=1.5
GENETĠK KOPYA-12
T=1.1!+2.2!+3.3!+ … +19.19!
olduğuna göre,
T+1 sayısının sonunda kaç tane 0 vardır?
A)1
144+28+5+1 = 178 tane 5 çarpanı vardır.
B)2
C)3
D)4
E)5
720! =A.10178 sayısının sonunda
178 tane 0 rakamı vardır.
DNA-13
720! – 1 = A.10178 – 1 sayısının
sonunda da 178 tane 9 rakamı bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
a+b nin en büyük değeri kaçtır?
a,b  Z  ve
A)9
B)23
C)24
D)25
E)26
B)2
C)3
D)4
D)15
E)16
12 sayısı ard arda 2 ye bölünüp, bölenler
toplamı alınır. 12!=A.2a biçiminde yazılır.
12=6.2
6=3.2
3=1.2+1
DNA-12
1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n! = (n+1)!-1
olduğu bilindiğine göre;
1.(1!)+2.(2!)+3.(3!)+ … +10.(10!) = A
sayısının sonunda kaç tane 9 vardır?
A)1
C)14
ÇÖZÜM
12! = 1.2.3…12 sayısı içinde 2 ve 3
çarpanlarının kaçar tane olduğunu bulmak
için;
GENETĠK KOPYA-11
100!-1
Sayısının sonunda kaç tane 9 vardır?
A)2
B)10
12!
çift tamsayı ise
2 a .3b
6+3+1=10 tane 2 çarpanı vardır.
12 sayısı ard arda 3’e bölünüp, bölenler
toplamı alınır. 12!=B.3b biçiminde yazılır.
12=4.3
4=1.3+1
E)5
4+1=5 tane de 3 çarpanı vardır.
62
a=10 alınır ve 12! içindeki tüm 2
çarpanları ile sadeleĢtirilirse, elde edilen
sayı tek sayı olacağından a=9 alınmak
zorundadır.
a+b=9+5=14 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-14
99!=9n.A eĢitliğinde,
A ve n pozitif tamsayıları için
n’in en büyük değeri kaçtır?
A)11
B)24
C)33
D)34
E)35
GENETĠK KOPYA-13
𝟐𝟎!
𝟐𝐧
Ġfadesinin bir tek sayı gösterdiği
bilindiğine göre,
N doğal sayısının değeri kaçtır?
DNA-15
5, 10, 15, … , 95, 100 Aritmetik
dizisinin tüm terimlerinin çarpımı olan
sayının sondan kaç basamağı 0 dır?
A)10
A)18
B)15
C)17
D)18
E)19
B)19
C)20
D)21
E)22
ÇÖZÜM
5.10.15……100=(5.1)(5.2)(5.3)…..(5.20)
=520.20!
DNA-14
Sayının içindeki
sayısı aranacak.
20=2.10
10=2.5
5=2.2+1
2=2.1
𝟖𝟖!
𝟖𝐧
Sayısının bir tamsayı olduğu bilindiğine
göre,
n pozitif tamsayısının en büyük değeri
kaçtır?
A)11
B)12
C)22
D)27
E)28
10=2.5
çarpanlarının
10+5+2+1=18 tane 2 çarpanı var.
ÇÖZÜM
8=23 olduğundan;
88! sayısı içindeki 2 çarpanlarını arayalım
88=2.44
44=2.22
22=2.11
11=2.5+1
5=2.2+1
2=2.1
44+22+11+5+2+1=85 tane 2 çarpanı,
(23)28.2=828.2 olduğundan,
28 tane 8 çarpanı vardır.
n’in en büyük değeri 28 dir.
Doğru Seçenek E dir.
20=5.4
520.54=524 24 tane 5 çarpanı var.
218.524=218.518.56=(2.5)18.56=56.1018
Sayının son 18 basamağı 0 dır.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-15
23!+24!
sayısının sonunda kaç tane 0 vardır?
A)4
63
B)6
C)7
D)9
E)11
DNA-16
K=44!-4!
K
sayısının
son
üç
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)000
B)996
D)976
E)006
ÇÖZÜM
50=5.10
10=5.2
10+2=12 tane 5 çarpanı,
50! sayısının sonunda 12 tane 0 var.
basamağı
C)076
60=5.12
12=5.2+2
12+2=14 tane 5 çarpanı,
60! sayısının sonunda 14 tane 0 var.
ÇÖZÜM
44! Sayısı;
44=5.8+4
8=5.1+3
Sonunda 8+1=9 tane sıfı bulunan bir sayı,
4!=4.3.2.1=24 olduğundan
50!+60! sayısının sonunda, 50! sayısının
sonundaki 0 sayısı kadar, 12 tane 0
vardır.
Doğru Seçenek C dir.
K=44!-4! = …0000-24= …9976
Son üç basamak 976 dır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-16
A=75!-5
Sayısının
son
iki
aĢağıdakilerden hangisidir?
GENETĠK KOPYA-17
75!-70!-1
ĠĢleminden elde edilen sayının sondan
kaç basamağı 9 dur?
A)31
basamağı
A)00 B)05 C)70 D)85 E)95
UYARI
n! ± m! sayısının sonundaki 0 sayısı,
n-m ≥5 için, m! in sonundaki 0 sayısı
kadardır.
DNA-17
50!+60!
ĠĢleminden elde edilen sayının sondan
kaç basamağı 0 dır?
A)2
B)10
C)12
D)14
E)26
64
B)30
C)16
D)15
E)14
KONU TESTĠ
1. x,y  N
6.
ve 12.x! = y! olduğuna
göre; y nin alabileceği değerlerin
toplamı kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
2. x ! y !  25
D) 14
n kaçtır?
A) 11
E) 16
40!
3.
B) 21
C) 22
  3!!!  k.n!
D) 23
E) 24
( k∈ Z+ )
3!
eĢitliğini sağlayan en büyük n sayısı
için n kaçtır?
A) 718
B) 719
D)721
E) 722
C) 720
5.
2008!
(1004!) 2
C) 06
D) 94
B) 2
B) 9
8. n!5!
= 6!
A) 1
B) 2
ise
D) 11
E) 12
n kaçtır?
C) 3
D) 4
E) 5
C)9!
E)7!+8’
10.
(1!)2+(2!)2+(3!)2+ … +(10!)2
toplamından elde edilen sayının birler
basamağı kaçtır?
E) 96
sayısının sonunda kaç
D) 200
C) 10
B)8!+1
D)10!
A) 0
C) 4
sayısının sonunda kaç tane
A) 8
A)8!
tane 0 vardır?
A) 0
E) 242
Çarpımının eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
= 33! – 3! olduğuna göre;
A sayısının son iki basamağı
aĢağıdakilerden hangisidir?
B) 04
D) 44
9. 6!.7!
4. A
A) 00
C) 33
sıfır vardır?
en büyük x sayısı kaçtır?
A) 20
B) 22
7. A= 80!
eĢitliğini sağlayan
x!
15!.25!
sayısı tek sayı ise
2n
E) 400
65
B) 3
C) 6
D) 7
E) 9
A)5!
11.
7!+8!+9!+ ... +2008!
Toplamının onlar basamağında hangi
rakam bulunur?
A)1
B)3
C)4
D)6
16.
E)9
B)10!
C)145
D)154
E)720
𝟏𝟎𝟎!
𝟐𝟓𝟎 .𝟓𝟏𝟎
Sayısının sonunda kaç tane 0 vardır?
A)16
12.
500! Sayısının sonunda kaçtane 0
vardır?
A)124
B)14
C)12 D)10 E )8
B)218
C)432
D)500
E)615
13.
48! Sayısı 6 sayı tabanında
yazıldığında sondan kaç basamağı 0
olur?
A)20
D)25
B)22
E)26
1.E 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C
7.C 8.C 9.D 10.D 11.C 12.A
13.B 14.D 15.C 16.B
C)24
14.
1000! Sayısı 7n ile
bölünebilmektedir.
n'in en büyük tamsayı değeri kaçtır?
A)144
B)146
C)152
D)164
E)168
15.
1!+4!+5!
Toplamının eĢiti aĢağıdakilerden
hangisidir?
66
UYARI
Pek çok arkadaĢınızın düĢtüğü;
234 sayısının ilk iki basamağı olan
23 de, bölen 23 sayısı 1 defa var,
Bölüm 1, kalan 4 tür YANLIġına
düĢmeyin.
BÖLME - BÖLÜNEBĠLME
TANIM
A,B,C,D ∈ N ve B≠0 için;
A : BÖLÜNEN
C : BÖLÜM
Bu durumda;
234=23.1+4 eĢitliğinin doğru olmadığına
dikkat edilmelidir.
B : BÖLEN
D : KALAN
Bölme iĢlemi sırasında; bölünen sayıdan
basamak indirildiğinde, ilk kalanla
birlikte bölenden küçük ise bir basamak
daha indirmeden, bölüme 0 basamağının
eklenmesi unutulmamalıdır.
HAZĠNE-1
BÖLÜNEN = BÖLENxBÖLÜM + KALAN
GENETĠK KOPYA-1
ab3 gibi üç basamaklı bir sayı, ab gibi iki
basamaklı bir sayıya bölünüyor.
Bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
A)3
DNA-1
B)5
C)10
D)14
C)10
D)12
E)13
IġIK-1
0≤D<B
Kalan, bölenden küçüktür ve pozitiftir.
Yukarıdaki bölme iĢlemine göre;
bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
A)4
B)4
DNA-2
abcd gibi dört basamaklı bir sayı,
19 sayısına bölünüyor.
Kalanın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A)18 B)37 C)171 D)190 E)201
E)15
ÇÖZÜM
Bölme iĢlemi, Bölüm ÖzdeĢliği Ģeklinde
yazıldığında;
BÖLÜNEN = BÖLENxBÖLÜM + KALAN
234=23.BÖLÜM+KALAN
EĢitliği sağlayan sayılar;
BÖLÜM = 10
Kalan = 4 olur.
ÇÖZÜM
IġIK-1 den, kalan 19 dan küçük her doğal
sayı olabilir.
18.19
1+2+3+ … +18 = 2 = 171 olur.
BÖLÜM + KALAN = 10 + 4 = 14
Doğru Seçenek D dir.
67
GENETĠK KOPYA-2
BeĢ basamaklı bir doğal sayı, üç
basamaklı bir doğal sayıya bölündüğünde,
kalan sayı en çok kaç olabilir?
A)9 B)98
IġIK-3
A-D ve A+(B-D) sayıları,
B sayısına tam bölünür.
Bölünenden, kalan çıkarılır veya
Bölünene , bölen ile kalanın farkı
eklenirse elde edilen yeni sayı bölenin
katı olur.
C)99 D)998 E)999
IġIK-2
D = 0 ise A = B.C olur.
B sayısına, A nın bir böleni denir.
(ya da A ya B nin katıdır denir.)
Kısaca; ‘’a sayısı, b sayısına bölünebilir’’
diyerek ifade edilir.
Tam bölünmelerde ; kalan sıfıra eĢittir.
DNA-4
2018 sayısından büyük, 26 sayısına
bölünebilen en küçük sayının tüm
rakamları toplamı kaçtır?
A)9
D)1100
B)980
E)1200
C)1000
A)4
D)1001
B)10
C)12
D)13
IġIK-4
D < C ise B ile C aralarında
yer değiĢtirebilir.
GENETĠK KOPYA-3
abcabc altı basamaklı sayısı, abc üç
basamaklı sayısının kaç katıdır?
C)111
E)16
GENETĠK KOPYA-4
2018 sayısından küçük, 26 sayısına
bölünebilen en büyük sayının tüm
rakamları toplamı kaçtır?
ab0 ın en büyük değeri; 980
en küçük değeri; 120 dir.
Toplam: 980 + 120 = 1100 olur.
Doğru Seçenek D dir.
B)101
D)13
Bölen ile kalanın farkı: 26-16=10
Bölünen ile farkın toplamı:2018+10=2028
Sayısı, 26 nın katı olan, 2018 den büyük,
en küçük sayıdır.
Rakamları toplamı: 2+0+2+8=12 dir.
Doğru Seçenek D dir.
ÇÖZÜM
abc=ab0+c=ab.10+c
çözümlemesi
ile
bölüm
özdeĢliği
karĢılaĢtırıldığında;
tam bölünmelerde kalan 0 olacağından,
c=0 olmalıdır.
A)11
C)12
ÇÖZÜM
2018 sayısını 26 ya bölme iĢleminde;
2018=26.77+16 olduğundan,
Bölüm:77, Kalan:16 dır.
DNA-3
a,b ve c farklı rakamlar olmak üzere;
abc üç basamaklı sayısı, ab iki basamaklı
sayısına tam olarak bölünebiliyorsa,
abc sayısının en büyük ve en küçük
değerlerinin toplamı kaçtır?
A)860
B)10
E)1111
68
E)16
DNA-5
IġIK-5
a
B)3
C)4
D)6
E)8
A)4
C)12
D)24
E)48
B sayısı da C sayısının 6 katı;
B=6.C
GENETĠK KOPYA-5
EĢitlikleri bir arada kullandığımızda;
A=4.B=4.(6.C)=24.C olur.
A sayısı, C nin 24 katıdır.
Doğru Seçenek D dir.
Yukarıdaki bölme iĢleminde kalan ile
bölenin toplamı kaçtır?
C)78
B)6
ÇÖZÜM
A pozitif tamsayısı, B sayısının 4 katı;
A=4.B
olduğundan; 9 < 75 tir.
Soruda;
bölüm,
bölenden
küçük
olduğundan, yer değiĢtirebilirler.
Kalan 3 tür.
Doğru Seçenek B dir.
B)75
c dir.
DNA-6
A pozitif tamsayısı, B sayısının 4 katı,
B sayısı da C sayısının 6 katı ise
A sayısı, C sayısının kaç katıdır?
ÇÖZÜM
A)72
c ise a
a sayısı b nin bir böleni ve b sayısı da
c nin bir böleni ise;
a sayısı c ninde bir bölenidir.
Yukarıdaki bölme iĢleminde kalan kaçtır?
A)2
b ve b
D)80
GENETĠK KOPYA-6
A, B, C Pozitif tamsayıları göstermek
üzere;
A sayısı B nin 3 katı, B sayısı da C nin
4 katı ise
E)82
2. TANIM
a , b  N ve b  0 ise
a = b.q + r
olacak Ģekilde ve tek türlü
belirlenen q , r  Z vardır.
(0  r<b)
𝐀+𝐁
𝟔.𝐂
iĢleminin sonucu kaçtır?
A)2
Eğer a = b.q olacak Ģekilde bir
q  N varsa
b sayısına a nın bir böleni
( yada a ya b nin bir katı ) denir.
b a yazılır.
B)3
IġIK-6
a b ,
a
a
C)4
D)6
E)12
c ve m , n  Z ise
(mb+nc) dir.
a sayısı b ve c nin bir böleni ise bunların
katlarının toplamının (farkının) da bir
bölenidir.
Kısaca; ‘’a sayısı, b sayısına bölünebilir’’
diyerek ifade edilir.
69
DNA-7
a ve b pozitif tamsayılarının 7 ile
bölümünden kalanlar sırası 3 ve 4 tür.
4.a+5.b
toplamının 7 ile bölümünden
kalan kaçtır?
DNA-8
a + aa + aaa
toplamı 3.a sayısının kaç katıdır?
A)2
ÇÖZÜM
Sayılarını çözümlediğimizde;
aa = 10.a+a = 11.a
aaa = 100.a+10.a+a=11.a
a+aa+aaa = a+11.a+111.a = 123.a = 3.41.a
123.a sayısı, 3.a nın 41 katıdır.
Doğru Seçenek E dir.
B)3
C)4
D)5
A)11
E)6
ÇÖZÜM
a=7.x+3
4.a=4(7x+3)=28x+12
b=7.y+4
5.b=5(7y+4)=35y+20
bölüm özdeĢlikleri yazıldığında;
B)13
C)17
D)23
E)41
GENETĠK KOPYA-8
ab iki basamaklı sayısının 7 ile
bölümünden kalan 1 dir. ab sayısının her
rakamının sayı değeri 3 artırılırsa,
bulunan yeni sayının 7 ile bölümünden
kalan kaç olur?
4.a+5.b=(28x+12)+(35y+20)
=28x+35y+32
=7(4x+5y+4)+4
Toplamın 7 bölümünde bölüm; 4x+5y+4
kalan; 4 tür.
Doğru Seçenek C dir.
A)4
B)5
C)6
D)7
E)8
GENETĠK KOPYA-7
A doğal sayısı 8’e bölündüğünde
5 kalanını,
B doğal sayısı 8’e bölündüğünde
x kalanını veriyor.
A+B toplamı 8’e bölündüğünde 3 kalanını
verdiğine göre x kaçtır?
DNA-9
Dört basamaklı bir sayı 131 ile
bölündüğünde 112 kalanını ,
132 ile bölündüğünde 98 kalanını
vermektedir.
Bu sayı kaçtır ?
A)4
A)1945
B)1946
C)1947
D)1948
E)1949
B)5
C)6
D)7
E)8
ÇÖZÜM
Bölüm özdeĢliği gereğince;
A = 131x+112
A = 132y+98 yazılır.
Ġkinci eĢitlikte;
A = 132y+98 = (131+1)y+98 = 131y+y+98
ĠĢlemleri yapılır ve birinci eĢitlik ile
karĢılaĢtırılırsa
x = y ve y+98 =112 den
x = y = 14 bulunur.
A = 131.14+112 = 1946 dır.
Doğru Seçenek B dir.
IġIK-7
a
b ve b  0 ise 0< a  b dir.
a sayısı b nin bir böleni ise b den küçük
veya eĢittir.
IġIK-8
a b ve b
a ise a=  b dir.
a sayısı b nin , b sayısı da a nın bir böleni
ise sayılar mutlak değerce eĢittir.
70
GENETĠK KOPYA-9
Üç
basamaklı
bir
sayı
12
ile
bölündüğünde 9 kalanını,
13
ile
bölündüğünde
1
kalanını
vermektedir.
Bu üç basamaklı sayının rakamları
toplamı kaçtır?
A)4
B)5
C)6
D)7
DNA-11
111222333 … 888999 sayısının
111 sayısına bölümü kaç basamaklıdır?
A) 8
B) 8
C) 9
E)8
D) 10
ÇÖZÜM
x43y=x.1000+4.100+3.10+y
x34y=x.1000+3.100+4.10+y
çözümlemeleri
taraf
çıkarıldığında;
x43y-x34y=(x.1000+430+y)
(x.1000+340+y)
x43y-x34y=90
E) 11
tarafa
-
A)2
GENETĠK KOPYA-10
5a3b ve 2a4b dört basamaklı sayıları
sırası ile 20 nin x ve y katıdır.
x-y farkı kaçtır?
B)73 C)94 D)127
D) 24
E) 25
GENETĠK KOPYA-11
30000007 sayısı 37 ile bölündüğünde,
bölüm kaç basamaklı bir sayı olur?
x43y=9.A
x34y=9.B bölüm özdeĢlikleri.
x43y-x34y=9.A-9.B
90=9(A-B)
A-B=10 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
A)35
C) 10
ÇÖZÜM
BÖLÜNEN=BÖLEN.BÖLÜM+KALAN
Bölüm özdeĢliğinde;
Bölünen
sayı,
bölen
ile
bölümün
çarpımından oluĢtuğuna göre,
basamak sayısı, bölen ve bölümün
basamak sayıları toplamına eĢit veya bir
küçüğü olacaktır.
Bölen
ve
bölünenin
soldaki
ilk
basamakları küçük olduğundan,
toplamın bir eksiği olur.
Bölünen sayı; 27 basamaklı
Bölen sayı; 3 basamaklı olduğuna göre
27=3+x-1 den x=25 bulunur.
Bölüm 25 basamaklıdır.
Doğru Seçenek D dir.
DNA-10
x43y ve x34y dört basamaklı sayıları
sırası ile 9 un A ve B katıdır.
A-B farkı kaçtır?
A) 7
B) 9
B)3
C)4
D)5
E)6
DNA-12
1≤n≤25 tamsayıları için,
2n+1 sayıları 3 ile tam bölünebilmektedir.
KoĢulu sağlayan n tamsayılarının 3 ile
bölümünden kalan kaçtır?
E)149
A)-2
71
B)-1
C)0
D)1
E)2
ÇÖZÜM
2n+1 sayısının 3 ile tam olarak
bölünebilmesi, 3 ün katı olması demektir.
2n+1=3.k (k∈Z)
2n=3.k-1
2n sayısı, 3 ile bölündüğünde 2 kalanını
veriyor.
n sayısı, 3 ile bölündüğünde 1 kalanını
verir.
Doğru Seçenek D dır.
GENETĠK KOPYA-12
1≤n≤25 tamsayıları için,
2n+1 sayıları 3 ile tam bölünebilmektedir.
KoĢulu sağlayan kaç tane n tamsayısı
vardır?
A)7 B)8 C)9 D)10 E)11
72
6. A ve B doğal sayıları için;
KONU TESTĠ
1. n pozitif tamsayısının
5 ile
bölümünden kalan 3 tür.
AĢağıdaki sayılardan hangisi 5 ile
bölünebilir?
A)n+3
olduğuna göre;
A-B farkı kaçtır?
A)108
B)113
C)119
D)121
E)149
B)n+2
C)n+1
D)n-1
E)n-2
7. Ġki
basamaklı bir sayının, rakamları
toplamına bölümünden kalan en çok
kaç olabilir?
2. 1170 sayısının en az kaç katı
60 ile tam bölünür?
A) 2
B) 3
C) 5
D) 6
A)12
E) 9
B)13
C)14
D)15
E)16
3. 7.n
sayısı, 5 ile bölündüğünde 3
kalanını vermektedir. n’in en küçük
8. Dört
basamaklı abcd sayısı üç
basamaklı abc sayısına bölündüğünde
bölüm ile kalanın farkı 6 olduğuna
göre,
Bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
pozitif tam sayı değeri kaçtır?
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
A)14
4. Bir N sayısının X’e bölümünden kalan
24 tür. 2.N sayısının X’e bölümünden
kalan 11 ise,
X kaçtır?
A)13
B)35
C)37
C)2
D)3
D)17
E)18
1a3 üç basamaklı sayısı b6 iki
basamaklı
sayısına bölündüğünde
bölüm 5, kalan 13 olmaktadır.
a+b
toplamının en büyük değeri
kaçtır?
D)42 E)59
3 tür.
6.n sayısının 8’e bölümünden kalan
kaç olur?
B)1
C)16
9. a ve b farklı rakamlar olmak üzere,
5. n tamsayısının 8’e bölümünden kalan
A)0
B)15
A)6
E)4
73
B)9
C)12
D)15
E)16
10.
14.
ab ve cd iki basamaklı sayılarının
9 ile bölümlerinden
kalanlar sırasıyla 7 ve 5 tir.
abcd dört basamaklı sayısının 9 ile
bölümünden kalan kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
1717 sayısının 17 ye bölümünden
elde edilen bölüm kaç olur?
A)10
E) 7
C)9
D)15
A)2
C)4
D)5
ile
E)7
A ve x pozitif tamsayılar olmak
üzere,
A sayısı 6 ile bölündüğünde, bölüm
2x+1, kalan 1 dir.
A sayısı 7 ile bölündüğünde, bölüm 9,
kalan x-1 olduğuna göre,
A sayısı kaçtır?
242 sayısı X’e bölündüğünde 8
kalanını, 698 sayısı X’e bölündüğünde
9 kalanını vermektedir.
242 ve 698 sayılarının toplamının
aynı sayıya bölümünden kalan 4 ise
ortak bölen kaçtır?
A)67
C)17 D)19 E)23
B)71
C)72
D)75
E)83
YANITLAR
1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.B
7.D
8.A
9.C
10.A
11.A
12.B 13.D 14.D 15.D 16.A
13.
Pozitif iki sayıdan biri diğerinin
üç katıdır. 54 sayısının her iki sayıya
bölümünden elde edilen bölümler
arasındaki fark 4 tür.
Buna göre bu iki sayı arasındaki fark
kaçtır?
A)5
B)3
ile
16.
E)18
12.
A)11 B)13
E)110
Bir A doğal sayısı 3
bölündüğünde bölüm x, kalan2,
x sayısı 4 ile bölündüğünde kalan
1 dir.
Buna göre, A sayısının 12
bölümünden kalan kaçtır?
M sayısının 9 ile bölümünden
kalan 6,
N sayısının 27 ile bölümünden kalan 9
olduğuna göre,
M.N çarpımının 27 ye bölümünden
kalan kaç olur?
B)6
C)100 D)101
15.
11.
A)0
B)11
B)9
C)12
D)18
E)27
74
DNA-1
AĢağıdaki sayılardan
bölünebilir?
BÖLÜNEBĠLME KURALLARI
Bu bölümde; verilen bir doğal sayının,
hangi doğal sayılar ile bölünebileceğini ve
bölme iĢlemi sonucunda kalanın ne
olacağını bölme iĢlemi yapmadan bulma
yöntemleri anlatılacaktır.
A)43
işlemi tanımsız’’ olmalıdır.
UYARI
𝑎 ≠ 0 için
𝟎
𝟎
𝑎
𝑜
E)2841
GENETĠK KOPYA-1
457a dört basamaklı sayısının, 3 ile
bölünebilmesi için;
a’nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
‘’0 sayısı ile bölme
sayısı
ile
2841 sayısı, 3 ile bölünebilir.
Doğru Seçenek E dir.
IġIK-1
En küçük doğal sayı olan 0 ile baĢlayalım.
Hangi sayılar 0 ile bölünebilir ?
Herhangi bir sayının, 0
bölümünden söz edilemez.
C)125 D)542
3
ÇÖZÜM
2841
sayısının
basamaklarındaki
rakamların sayı değerleri toplamı
2+8+4+1=15 olup, 3’ün katıdır.
Bu yöntemleri bilmek, pek çok soruda
bize büyük kolaylıklar sağlar.
sorusunun yanıtı
B)76
hangisi
ile
A)8
=TANIMSIZ
B)9
C)12
D)15
E)18
= TANIMSIZ
DNA-2
56a8 dört basamaklı sayısının, 3 ile
bölümünden kalanın 1 olduğu bilindiğine
göre;
a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
IġIK-2
Doğal sayıların tümü, 1 ile bölünebilir.
Bir doğal sayının 1’e bölümü, kendisine
eĢittir.
𝒂
𝟏
=𝒂
A)1
𝒂. 𝟏 = 𝟏. 𝒂 = 𝒂
B)2
C)3
D)4
E)5
ÇÖZÜM
56a8
sayısının
basamaklarındaki
rakamların sayı değerleri toplamı
5+6+a+8=19+a dır.
Sayının 3 ile bölümünden kalanın 1 olması
için, rakamları toplamının 3’e bölümünden
kalanın 1 olması gerekir.
19+a=3k+1 (k∈ 𝑍) olmalıdır.
a=0,3,6,9 için koĢul sağlanır.
a, 4 farklı değer alabilir.
Doğru Seçenek D dir.
IġIK-3
Birler basamağı çift (0,2,4,6,8) olan
sayılar, 2 ile bölünebilir.
IġIK-4
Rakamları toplamı 3 ve 3’ün katı olan
sayılar, 3 ile bölünebilir.
Rakamları toplamının 3’e bölümünden
bulunacak kalan, sayının 3’e bölümünden
bulunacak kalanı verir.
75
GENETĠK KOPYA-2
4A12 dört basamaklı sayısının, 3 ile
bölümünden kalanın 2 olduğu bilindiğine
göre;
A’nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A)7
B)9
C)12
D)15
GENETĠK KOPYA-3
73A2 dört basamaklı sayısının 4 ile
bölünebilmesi için A’nın alabileceği kaç
farklı değer vardır?
A)1
D)4
E)5
DNA-4
8765a beĢ basamaklı sayısı 4 ile
bölündüğünde 3 kalanını vermektedir.
a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A)9
Son iki basamağın 4’e bölümündeki kalan,
sayının 4’e bölümündeki kalanı verir.
UYARI
Ard arda iki kez 2 ile bölünebilen sayılar,
4 ile bölünebilir.
DNA-3
AĢağıdaki sayılardan
bölünebilir?
hangisi
4
A)134
D)526
E)622
B)10
C)12
D)15
E)19
ÇÖZÜM
8765a sayısının son iki basamağının
oluĢturduğu 5a iki basamaklı sayısının 4
ile bölümünden 3 kalanı bulunmalıdır.
5a=4k+3 (k∈ 𝑍) olmalıdır.
a=1,5,9 için koĢul sağlanır.
1+5+9=15
a’nın alabileceği değerler
toplamıdır.
Doğru Seçenek D dir.
Onlar basamağındaki sayının iki katı ile
birler basamağının toplamı 4’ün katı olan
sayılar, 4’e bölünebilir.
(2a1+ao toplamı, 4 ün katı ise)
C)312
C)3
E)18
IġIK-5
Bir doğal sayının onlar ve birler
basamağındaki rakamların oluĢturduğu iki
basamaklı sayı, 4 ün katı ise; bu doğal
sayı 4’e bölünebilir.
B)238
B)2
GENETĠK KOPYA-4
123a
dört basamaklı sayısının 4’e
bölümünden kalan 1 ise,
a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
A)1
ile
ÇÖZÜM
312 sayısının son iki basamağı 12 olup,
12=3.4 sayısı 4’ün katıdır.
B)2
C)3
D)4
E)5
DNA-5
2327 sayısından en az kaç çıkarılırsa
bulunan sayı 2, 3 ve 4 ile tam olarak
bölünebilir?
A) 11 B) 12 C) 16 D) 26 E) 102
312 sayısı, 4 ile bölünebilir.
Doğru Seçenek C dir.
76
ÇÖZÜM
4 ile bölünebilen sayılar, 2 ile de
bölünebilir.
2
ile
bölünebilenler,
4
ile
ÇÖZÜM
Birler basamağı 6 olan sayıların, tüm
kuvvetlerinin birler basamağı 6 dır.
20067 ve 20068 kuvvetlerinin de birler
basamağı 6 dır.
6 nın 5’e bölümünden kalan 1 olduğundan;
20067 ve 20068 in 5’e bölümünden
kalanlar 1 dir.
Toplamın 5’e bölümünden kalan
1+1=2 dir.
Doğru Seçenek C dir.
de
bölünebilir denilemez.
Hem 2, hem de 4 ile bölünebilen sayılar
için; 4 ile bölünebilenleri bulmak
yeterlidir.
Hem 3, hem de 4 ile bölünebilen en
küçük pozitif tamsayı 12 dir.
12 ile bölünebilen sayılar, hem 3, hem 4
ve hem de 2 ile bölünebilir.
2327=12.193+11 olduğundan,
2327 nin 12 ile bölümünden kalan 11 dir.
Sayıdan 11 çıkarıldığında (veya 1
eklendiğinde) bulunan sayı 12 ile (2,3 ve
4 ile) bölünebilir.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-6
2009.2008-2007.2006
Sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
A)0
B)1
C)2
D)3
E)4
GENETĠK KOPYA-5
12 ye bölündüğünde, 11 kalanını veren
pozitif bir tamsayının 3 ile bölümünden
kalan a, 4 ile bölümünden kalan b ise,
a+b toplamı kaçtır?
DNA-7
Rakamları birbirinden farklı olan, üç
basamaklı 4ab sayısı 3 ve 5 ile kalansız
bölünebiliyor.
Buna göre a kaç farklı değer alabilir?
A)2
A)3
B)3
C)4
D)5
E)6
b=0 için; 4+a+0=3k
b=5 için; 4+a+5=3k
DNA-6
20067+20068 sayısının 5 ile bölümünden
kalan kaçtır?
C)2
D)3
D)6
E)7
5 ile bölünebilmesi için birler basamağı
0 veya 5 olmalıdır.
b=0 veya b=5
Birler basamağının 5’e bölümündeki
kalan, sayının 5’e bölümünden kalanı
verir.
B)1
C)5
ÇÖZÜM
3 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı
3’ün katı olmalıdır.
4+a+b=3k
(k∈ 𝑍)
IġIK-6
Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar,
5 ile bölünebilir.
A)0
B)4
a=2,5,8 olabilir.
a=0,3,6,9 olur.
Rakamları farklı olacağından;
a=2,5,8,0,3,6,9 olmak üzere 7 farklı
değer alabilir?
Doğru Seçenek E dir.
E)4
4ab sayısı 15 ile bölünebilir.
77
GENETĠK KOPYA-7
4 ve 5 ile bölünebilen iki basamaklı kaç
tane doğal sayı yazılabilir?
A)3
B)4
C)5
D)6
DNA-9
AĢağıdaki sayılardan hangisi 2,3,4,5 ve 6
sayıları ile bölünebilen en küçük pozitif
tamsayıdır?
E)8
A)24
DNA-8
abc üç basamaklı sayısının 6 katı xy02
ise x+y toplamı kaç farklı değer alır?
B)3
C)4
D)5
E)6
A)96
x+y+0+2=3.k (3 ün katı olacak)
k=1,2,3, … için x+y toplamı 1, 4, 7, 10,
13, 16 ??? olabilir.
6.999=5994 olduğundan xy02 sayısında
x+y toplamı en çok (5+9=14) 14 olabilir.
Doğru Seçenek D dir.
D)6
B)102
C)108 D)114 E)120
Yüzler basamağı çift olanlarda;
Son iki basamağın oluĢturduğu sayı 8’in
katı olanlar,
Yüzler basamağı tek olanlarda;
Son iki basamağın oluĢturduğu sayının 4
eksiği 8’in katı olanlar, 8 ile bölünebilir.
Son üç basamağın 8’e bölümündeki kalan,
sayının 8’e bölümündeki kalanı verir.
GENETĠK KOPYA-8
5aaaa
beĢ basamaklı sayısı 6 ile
bölünebiliyorsa a kaçtır?
C)4
E)120
IġIK-8
Bir doğal sayının yüzler,onlar ve birler
basamağındaki rakamların oluĢturduğu üç
basamaklı sayı 8 in katı ise; bu doğal sayı
8’e bölünebilir.
2 ve 3 ile bölünebilmelidir.
Birler basamağı 2 olduğundan sayı çifttir
B)2
D)75
GENETĠK KOPYA-9
6 ile bölünebilen iki basamaklı en büyük
doğal sayı ile iki basamaklı en küçük
doğal sayının toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
6.abc = xy02 verildiğinden
xy02 sayısı 6 ile bölünebilir.
(6 nın katıdır.)
A)0
C)60
ÇÖZÜM
6 ya bölünebilen sayılar, 2 ve 3’e
4’e bölünebilen sayılar, 2 ye bölünebilir.
4 ve 6 ya bölünebilen sayılar 12 ile
12 ve 5’e bölünebilen sayılar 60 ile
bölünebilir.
Doğru Seçenek C dir.
IġIK-7
2 ve 3 ile bölünebilen sayılar, 6 ile
bölünebilir.
Rakamları toplamı 3’ün katı olan, çift
sayılar 6 ile bölünebilir.
A)2
B)36
UYARI
Ard arda üç kez 2 ile bölünebilen sayılar,
8 ile bölünebilir.
E)8
78
DNA-10
1, 3, 6 rakamları birer kez kullanılarak
yazılabilecek
üç
basamaklı
farklı
sayılardan; 4 ile bölünebilen A sayısının,
8 ile bölünebilen B sayısı ile toplamı kaç
olabilir?
ÇÖZÜM
23A5B sayısı 8 ile bölünebiliyorsa;
A çift iken; 5B sayısı 8’in katı olmalıdır.
B=6 için 56=7.8
A tek iken; 5B sayısının 4 eksiği 8’in katı
olmalıdır.
B=2 için 52-4=48=6.8
A)136 B)180 C)316 D)452 E)496
ÇÖZÜM
A ve B sayıları, sırası ile 4 ve 8 ile
bölüneceğinden
öncelikle
2
ile
bölünebilmelidirler.
Bunun için birler basamakları çift
olmalıdır.
Sayı 6 ile bitmelidir.
B’nin alabileceği değerler 6 ve 2 dir.
Toplam: 6+2=8 olur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-11
9876A sayısının 8 ile bölümü 3 kalanını
verdiğine göre,
A kaç olmalıdır?
316:2=158
158:2=79
316 sayısı iki kez 2 ile bölünebildiğinden,
A=316 sayısı 4 ile bölünebilir.
A)1
136:2=68 68:2=34
34:2=17
136 sayısı üç kez 2 ile bölünebildiğinden,
B=136 sayısı 8 ile bölünebilir.
A+B=316+136=452 olur.
Doğru Seçenek D dir.
B)3
C)4
D)5
B)8
C)10
D)12
D)7
E)9
Rakamları toplamının 9’a bölümünden
bulunacak kalan, sayının 9’a bölümünden
bulunacak kalanı verir.
DNA-12
3A4A5A altı basamaklı sayısı 9 ile
bölünebilmektedir.
A’nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
E)6
DNA-11
23A5B
beĢ basamaklı sayısı 8 ile
bölünebilmektedir.
B’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A)6
C)5
IġIK-9
Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar,
9 ile bölünebilir.
GENETĠK KOPYA-10
476 476 sayısının 8 ile bölümünden kalan
kaç olur?
A)2
B)3
A)8
B)10
C)15
D)18
E)24
ÇÖZÜM
3+A+4+A+5+A = 12+3A = 9.k olmalıdır.
k’nın 2,3 ve 4 değerleri için;
A rakamı 2,5 ve 8 olabileceğinden;
2+5+8=15 olur.
Doğru Seçenek D dir.
E)16
79
GENETĠK KOPYA-12
[3(230+x)]2 = 492a04 ise
a kaç olmalıdır?
A)1
B)3
C)6
D)7
IġIK-10
Birler basamağı 0 olan sayılar, 10 ile
bölünebilir.
E)8
Sayının birler basamağındaki rakamın
sayı değeri, verilen sayının 10 ile
bölümündeki kalandır.
DNA-13
7 357 26a sayısının 9 ile bölümünden
kalan 1 dir.
Aynı sayı 8 sayı tabanında yazıldığında
birler basamağı kaç olur?
A)1
B)2
C)3
D)5
E)7
DNA-14
1+9+92+93+…+92007
basamağı kaçtır?
toplamının birler
A)0
D)7
B)1
C)6
E)9
ÇÖZÜM
Toplamdaki terimleri teker
incelediğimizde;
9’un tek kuvvetlerinin 9,
9, 93=729, 95=59049, …..
ÇÖZÜM
7 357 26a sayısının 9 ile bölümünden
kalan 1 ise;
7+3+5+7+2+6+a=9k+1 dir.
30+a=9k+1
k=4 için a=7 olmalıdır.
teker
9’un çift kuvvetlerinin 1,
92=81, 94=6561, …
ile sonlandığını görebiliriz.
7357267 sayısını 8 sayı tabanında
yazarken birler basamağına,
7357267 sayısının 8’e bölümünden
bulunan kalan geleceğinden,
267 sayısında, 2 çift,
67=8.8+3 olduğundan aranan rakam 3 tür
Doğru Seçenek C dir.
Toplamdaki terimlerin yarısının birler
basamağı 1, diğer yarısının birler
basamağı 9 olduğundan;
Toplamın tümünün birler basamağı
1+9=10 olduğundan 0 dır.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-13
23A5B beĢ basamaklı sayısının 9 ile
bölümünden kalan 4 olduğuna göre,
A+B toplamı kaç farklı değer alabilir?
GENETĠK KOPYA-14
20052006+20062007
Toplamını veren sayının birler basamağı
kaçtır?
A)2
A)0
B)3
C)4
D)5
E)6
80
B)1
C)5
D)6
E)9
DNA-15
4, 5, 6, 8, 10 sayılarına bölündüğünde 3
kalanını veren en küçük pozitif üç
basamaklı tam sayının rakamları toplamı
kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
Tek numaralı basamaktaki rakamlar
toplamı ile çift numaralı basamaktaki
rakamlar
toplamının
farkının
11’e
bölümünden
kalan,
sayının
11’e
bölümünden kalanı verir.
E) 7
DNA-16
58 246 3a7 sayısının
11’e bölünebilmesi için a kaç olmalıdır?
ÇÖZÜM
8’e bölünebilen sayılar, 4’e
10’a bölünebilen sayılar, 5’e
6 ve 8’e bölünebilen sayıların da 24’e
bölünebilir.
A)0
4, 5, 6, 8 ve 10 sayılarına bölünebilen en
küçük pozitif tamsayı 120,
4,5,6,8 ve 10 sayılarına bölündüğünde 3
kalanını veren en küçük pozitif tamsayı
123 tür.
123 ün rakamları toplamı: 1+2+3=6 olur.
Doğru Seçenek D dir.
C)18
D)19
D)7
E)9
GENETĠK KOPYA-16
27381a altı basamaklı sayısının 11’e
bölünebilmesi için a kaç olmalıdır?
A)1
GENETĠK KOPYA-15
8 ve 10 sayılarına bölündüğünde 7
kalanını veren üç basamaklı en büyük
doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?
B)16
C)3
ÇÖZÜM
58 246 3a7
(8+4+3+7) – (5+2+6+a) = 22-(13+a)
= 9-a = 11.k
k=0 için 9-a=0 ve a=9 olmalıdır.
Doğru Seçenek E dir.
24 ve 10’a bölünebilen sayılar 120 ye
bölünebilir.
A)15
B) 1
B)2
C)3
D)4
E)5
DNA-17
22227777 sayısının iki basamaklı
en büyük böleni kaçtır?
E)22
A)11
B)33
C)66
D)77
E)99
ÇÖZÜM
22227777 sayısında;
2+2+2+2+7+7+7+7=36=4.9 olduğundan
Sayı 9 ile bölünebilir.
IġIK-11
Tek numaralı basamaktaki rakamlar
toplamı ile çift numaralı basamaktaki
rakamlar toplamının farkı 11 in katı olan
sayılar, 11 ile bölünebilir.
(2+2+7+7)-(2+2+7+7)=18-18=0=0.11
Olduğundan sayı 11 ile de bölünebilir.
(N= 100A+B için A+B sayısı 11 in katı ise,
N sayısı 11 ile bölünebilir)
9 ve 11 ile bölünebilen sayılar 99 ile
bölünebilir.
Doğru Seçenek E dir.
81
GENETĠK KOPYA-17
Rakamları farklı, 9 basamaklı, 11 ile
bölünebilen en küçük doğal sayı
aĢağıdakilerden hangisidir?
TANIM
1 den baĢka ortak böleni olmayan doğal
sayılara, aralarında asaldır denir.
7 ; 13
12 ; 25
24 ; 29
4 ; 6 ; 27
Sayıları aralarında asaldır.
A)102345678
B)102347586
C)123456789
D)123458596
E)123456798
DNA-18
Dört basamaklı, tam kare doğal sayılar
arasında sadece bir tanesi aabb
biçimindedir.
a+b toplamı kaçtır?
A) 6
B) 9
C) 11
D) 13
IġIK-12
3 ve 4 ile bölünebilen sayılar, 12 ile
bölünebilir.
UYARI
3 ve 4 sayıları aralarında asal olup,
12=3.4 tür.
E) 14
ÇÖZÜM
aabb=a.1000+a.100+b.10+b=1100.a+11.b
=11(100.a+b)
=11.a0b
Çözümlemesinden elde edilen çarpımın
bir tam kare olması için, a0b sayısı
içinde 11 çarpanı bulunmalıdır. (sayı 11’in
katı olmalıdır)
a0b sayısının 11 ile bölünebilmesi için de
(a+b)-0=11k
a+b=11 olmalıdır.
Doğru Seçenek C dir.
12=2.6 olduğu halde, 2 ve 6 aralarında
asal olmadığından, 2 ve 6 için
uygulanamaz.
DNA-19
5613a8 sayısı 12 ile bölünebiliyorsa
a kaçtır?
A)3
C)5
D)6
E)7
ÇÖZÜM
4 ve 3 ile bölünebilmelidir.
GENETĠK KOPYA-18
AĢağıdaki doğal sayılardan hangisi bir
doğal sayının karesidir?
A)4477
B)4
4 ile bölünebilmesi için;
a8 sayısı 4 ün katı olmalıdır.
a’nın alabileceği değerler: 0, 2, 4, 6, 8
B)5566
C)6655
D)7744
E)3388
3 ile bölünebilmesi için;
5+6+1+3+a+8 = 23+a=3.k olmalıdır.
a’nın alabileceği değerler : 1, 4, 7
a’nın her iki koĢulu da sağlayan değeri
4 tür.
Doğru Seçenek B dir.
82
GENETĠK KOPYA-19
A321B beĢ basamaklı, rakamları farklı
doğal sayısının 12 ile bölünebilmesi için
A kaç olmalıdır?
A)3
B)4
C)6
D)8
DNA-21
7 168 sayısı 2,3,4,5,6,8,9,10 ve 12
sayılarından kaç tanesi ile bölünebilir?
A)3
E)9
B)4
C)6
D)8
E)9
ÇÖZÜM
Birler basamağı 8 dir.
2 ile bölünebilir.
DNA-20
n pozitif tam sayısı, 3, 5 ve 12 ile
bölünebilmektedir.
AĢağıdakilerden hangisi aynı sayılar ile
bölünebilir?
Rakamlar toplamı:
7+1+6+8=22 dir.
22 sayısı 3’ün katı olmadığından,
bölenlerinden biri 3 değildir.
A)n-2 B)n-1 C)n+1 D)n+15 E)n+60
Son iki basamağı 68 dir.
68=4.17 olup, 4 ile bölünebilir.
ÇÖZÜM
12=3.4 olduğundan, 12 ile bölünebilen
sayılar 3 ile bölünebilir.
Birler basamağı 0 veya 5 olmadığından,
bölenlerinden biri 5 değildir.
3 ile bölünemediğinden, 6 bölenlerinden
biri değildir.
5 ve 12 ile bölünebilen sayılar, 5 ve 12
aralarında asal olduğundan
5.12=60 ile bölünebilirler.
Son üç basamak 168 dir.
Yüzler basamağı 1 ve tek,
68+4=72
72=9.8 olup, 8 ile bölünebilir.
3,5 ve 12 ile bölünebilen en küçük pozitif
tam sayı 60 tır.
n sayısı aranan koĢulu sağladığından,
n+60 sayısı aranan sayıdır.
Doğru Seçenek E dir.
Rakamlar toplamı:
7+1+6+8=22 dir.
22 sayısı 9’un katı olmadığından,
bölenlerinden biri 9 değildir.
(3 ile bölünemediğinden, 9 ile de
bölünemez)
GENETĠK KOPYA-20
n pozitif tam sayısı, 4, 8 ve 12 ile
bölünebilmektedir.
AĢağıdakilerden hangisi aynı sayılar ile
bölünebilir?
Birler basamağı 0 olmadığından,
bölenlerinden biri değildir.
10
7168 için (7+6)-(1+8)=13-9=4
4 sayısı 11’in katı olmadığından,
bölenlerinden biri 11 değildir.
A)n+12
B)n+16
C)n+24
D)n+32
E)n+36
3 ile bölünemediğinden, 12 bölenlerinden
biri değildir.
83
2, 4 ve 8 olmak üzere üç tanesi ile
bölünebilir.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-22
BeĢ basamaklı A234B sayısı 15 ile
bölünebildiğine göre,
A+B toplamının en büyük değeri kaçtır?
GENETĠK KOPYA-21
12 345
sayısı 2,3,4,5,6,8,9,10 ve 12
sayılarından kaç tanesi ile bölünebilir?
A)9
A)1
DNA-23
a  b olmak üzere abab dört basamaklı
sayısı 18 ile bölünebilmektedir.
a nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
B)2
C)3
D)4
E)5
DNA-22
Dört basamaklı 8A6B sayısının 15 ile
bölünebilmesi için a+b toplamının en
büyük değeri kaç olmalıdır?
A)8
B)10
C)12
D)13
A)16
E)15
B)10
B)17
C)12
C)20
D)14
D)22
E)15
E)25
ÇÖZÜM
18=2.9
ve
2 ile 9 aralarında asal
olduğundan verilen sayının 18 ile
bölünebilmesi için;
ÇÖZÜM
15=3.5
ve
3 ile 5 aralarında asal
olduğundan verilen sayının 15 ile
bölünebilmesi için,
2 ve 9 ile bölünebilmesi gerekir.
3 ve 5 ile bölünebilmesi gerekir.
2 için: b = 0, 2, 4, 6, 8 olabilir.
9 için: a+b+a+b = 2a+2b = 2(a+b)
toplamı 9 un katı olmalıdır.
b=0 ise a=9
b=2 ise a=7
b=4 ise a=5
b=6 ise a=3
b=8 ise a=1 olacaktır.
a’nın alabileceği değerlerin toplamı
9+7+5+3+1=25 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
8A6B sayısının 5 ile bölünebilmesi için
B=0 veya B=5 olmalıdır.
8A6B sayısının 3 ile bölünebilmesi için
8+A+6+B=3k
14+A+B=3k olmalıdır.
B=0 için;
14+A+0=3k
14+A=3k
A=1,4,7 olabilir.
GENETĠK KOPYA-23
BeĢ basamaklı 234ab sayısı 18 ile
bölünebildiğine göre,
a’nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
B=5 için;
14+A+5=3k
19+A=3k
A=2,5,8 olabilir.
A)0
A+B nin en büyük değeri;
8+5=13 olur.
Doğru Seçenek D dir.
84
B)1
C)2
D)3
E)4
DNA-24
BeĢ basamaklı 9876AB sayısı 20 ile
bölünebildiğine göre,
AB iki basamaklı sayısının en büyük
değeri kaçtır?
A)20 B)40 C)60
D)80 E)90
ÇÖZÜM
24=3.8 ve 3 ile 8 aralarında asal
olduğundan verilen sayının 24 ile
bölünebilmesi için
3 ve 8 ile bölünebilmesi gerekir.
23A5B sayısı 8 ile bölünebiliyorsa;
A çift iken; 5B sayısı 8’in katı olmalıdır.
B=6 için 56=7.8
ÇÖZÜM
20=4.5 ve 4 ile 5 aralarında asal
olduğundan verilen sayının 20 ile
bölünebilmesi için
A tek iken; 5B sayısının 4 eksiği 8’in katı
olmalıdır.
B=2 için 52-4=48=6.8
4 ve 5 ile bölünebilmesi gerekir.
5 için; B=0 veya B=5 olmalıdır.
4 için; AB sayısının 4 ile bölünebilmesi
gerekir. B çift olmalıdır.
B=0 için AB nin 4’e bölünebilmesi,
Son iki basamağın 00, 20, 40, 60, 80
20 nin katı olması ile mümkündür.
B’nin alabileceği değerler 6 ve 2 dir.
23A5B sayısı 3 ile bölünebiliyorsa;
2+3+A+5+B=10+A+B=3k olmalıdır.
A tek iken,
B=2 için; 10+A+2=12+A=3k
A=3,9
Sayının 20 ile bölünebilmesi için;
son iki basak 20 nin katı olmalıdır.
En büyük değeri 80 dir
Doğru Seçenek D dir.
A çift iken,
B=6 için; 10+A+6=16+A=3k
A=2,8
olmak üzere A, 4 farklı değer alabilir.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-24
20 ile bölündüğünde 18 kalanını veren bir
sayının, 4 ve 5 ile bölündüğünde a ve b
kalanlarını verdiği bilindiğine göre,
a+b toplamı kaçtır?
A)2
B)3
C)4
D)5
GENETĠK KOPYA-25
A543B beĢ basamaklı sayısı 24 ile
bölünebilmektedir.
A’nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
E)6
A)7
DNA-25
23A5B
beĢ basamaklı sayısı 24 ile
bölünebilmektedir.
A, kaç farklı değer alabilir?
A)3
B)4
C)6
D)8
E)9
85
B)8
C)11
D)12
E)13
DNA-26
Dört basamaklı, 25 ile bölünebilen kaç
tane doğal sayı vardır?
A)90
B)180 C)270
9 için: 7+a+9+b=16+a+b=9k
b=2 ise 16+a+2=18+a=9k
a, 0 veya 9
b=6 ise 16+a+6=22+a=9k
a, 5 olmalıdır.
D)360 E)450
ÇÖZÜM
a+b=0+2=2
a+b=9+2=11
a+b=5+6=11 olacağından
en büyük değeri 11 dir.
Doğru Seçenek C dir.
Sayının 25 ile bölünebilmesi için
son iki basamağı: 00, 25, 50,75
olmalıdır.
abcd dört basamaklı sayısında,
a yerine 9 rakam, b yerine 10 rakam
yazılabileceğinden son iki basamağı cd
olan 9.10=90 sayı yazılabilir.
Her birinden 90 tane sayı olacağından
4.90=360 tane sayı vardır.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-27
3A4B sayısı 36 ile bölünebiliyorsa,
a kaç farklı değer alabilir?
GENETĠK KOPYA-26
12345
sayısının 25 ile bölümünden
kalan kaçtır?
DNA-28
x01y sayısı 72
x+y toplamı kaçtır?
ile bölünebiliyorsa,
A)5
A)8
D)11
B)10
C)15
D)20
A)1
E)21
B)10
C)11
D)12
B)9
C)3
C)10
D)4
E)5
E)17
ÇÖZÜM
72=8.9 ve 8 ile 9 aralarında asal
olduğundan verilen sayının 72 ile
bölünebilmesi için
DNA-27
7a9b sayısı 36 ile bölünebiliyorsa
a+b toplamının en büyük değeri kaçtır?
A)9
B)2
8 ve 9 ile bölünebilmesi gerekir.
8 için; 01y, 8 in katı olmalıdır.
y=6 olmalı.
E)13
ÇÖZÜM
36=4.9 ve 4 ile 9 aralarında asal
olduğundan verilen sayının 36 ile
bölünebilmesi için
9 için; x+0+1+y=x+0+1+6=x+7=9k
x=2 olmalı.
x+y=2+6=8 olur.
Doğru Seçenek A dır.
4 ve 9 ile bölünebilmesi gerekir.
4 için; 9b sayısı 4 ün katı olacağından,
b, 2 veya 6 olmalı,
86
GENETĠK KOPYA-28
A34B sayısı 72 ile bölünebiliyorsa
A+B toplamı kaçtır?
A)7
B)8
C)9
D)11
DNA-30
toplamının 11 ile bölümünden kalan 8 ise
a kaçtır?
E)12
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
ÇÖZÜM
Basamak sayısı çift olanlar 11 ile
bölünebilir.
Örneğin; aaaa sayısı için
(a+a)-(a+a)=0=11k
Basamak sayısı tek olanların 11 ile
bölümünden kalan a dır.
Örneğin; aaaaa sayısı için
(a+a+a)-(a+a)=a
DNA-29
6 ya tam olarak bölünemeyen pozitif
tamsayılar küçükten büyüğe doğru
sıralanıyor.
Bu
sıralamadaki
100.
sayı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)109 B)111 C)119 D)123 E)125
1,3,5,7,9 ve 11 basamaklı sayıların her
birinden kalan a olduğundan,
Toplamın 11’e bölümünden kalan 6.a dır.
6.a=11k+8 olması için a=5 olmalıdır.
Doğru Seçenek E dir.
ÇÖZÜM
ArdıĢık her 6 pozitif tamsayıdan biri
6 ya tam olarak bölünebilir, diğer beĢ
tanesi bölünemez.
Bu durumda sayıları beĢer beĢer
gruplandırdığımızda;
100:5=20 tane beĢli gurup bulunur.
Her grup 6 sayı için yazıldığından
20.6=120 sayı için oluĢturulmuĢtur.
Son grup içindeki son sayı 119 dur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-30
AĢağıdaki sayılardan kaç tanesi
11 ile bölünebilir?
I.616
II.264
III.4596
IV.4562
V.2090
A)1
GENETĠK KOPYA-29
4 e tam olarak bölünemeyen tamsayılar
küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.
Bu sıralamadaki 50. Sayı aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)61 B)62 C)63 D)65 E)66
87
B)2
C)3
D)4
E)5
6. [3(460+x)]2 = 1971a16
KONU TESTĠ
eĢitliğinin doğru olması için a = ?
1. 387A42
sayısı 3 ile bölünebiliyor. A
nın alabileceği kaç farklı değer
vardır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)9
A) 0
A+B toplamı kaç farklı değer alabilir?
C)4
D)5
A) 2
C) 12
D) 16
4. 2006.2005-2004.2003
B) 3
C) 5
C) 4
D) 5
E) 6
değerlerinin toplamı 16 dır. Buna
göre, A2 sayısının 9 ile bölümünden
kalan kaçtır?
A) 4
C) 6
D) 7
E) 8
9. ab ve cd iki basamaklı sayılarının 9 ile
iĢleminden
D) 7
B) 5
E) 21
bölümlerinden
kalanlar sırasıyla 7 ve 5 tir.
abcd dört basamaklı sayısının 9 ile
bölümünden kalan kaçtır?
elde edilen sayının
9 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 1
B) 3
8. Bir A sayısının rakamlarının sayı
olmak üzere, üç basamaklı
5AB sayısının 5 ile bölümünden kalan
3 tür. Bu sayının 4 ile bölünebilmesi
için A nın alabileceği değerlerin
toplamı kaçtır?
B) 8
E) 4
E)6
3. A < B
A) 6
D) 3
ile 1000 sayıları arasında 7 ve
8 ile bölünebilen kaç doğal sayı
vardır?
sayıdır. Sayı 6 ile bölünebiliyorsa
B)3
C) 2
7. 800
2. 5A427B altı basamaklı bir doğal
A)2
B) 1
E) 8
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
5. 45672+56782
toplamının
9 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
10.
a6a41 beĢ basamaklı sayısı 9 ile
bölünebiliyorsa a kaçtır?
E) 8
A) 3
88
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
11.
15.
A=66-1 sayısı aĢağıdakilerden
hangisine tam bölünemez?
A) 5
B) 7
C) 31
D)36
n tamsayısının 8’e bölümünden
kalan 3 tür.
6.n sayısının 8’e bölümünden kalan
kaç olur?
E) 43
A)0
12.
n pozitif tamsayısının 5 ile
bölümünden kalan 3 tür.
AĢağıdaki sayılardan hangisi 5 ile
bölünebilir?
A)n+3
D)n-1
B)n+2
E)n-2
B)1
C)2
D)3
E)4
16.
n bir tamsayı olmak üzere,
(2n+2)2 sayısının 4 ile bölümünden
kalan kaç olur?
C)n+1
A)0
B)1
C)2
D)3
E)4
13.
n tamsayısı3, 5 ve 12 ile
bölünebilmektedir. n den küçük ve bu
sayılarla bölünebilen büyük sayı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)n-3
B)n-5
C)n-12
D)n-15
E)n-60
1.C 2.E 3.C 4.E 5.E 6.C
7.B 8.A 9.A 10.E 11.D
12.B 13.E 14.C 15.C 16.A
14.
5, 7 ve 20 ile bölünebilen en
küçük pozitif tamsayı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)35
B)70
C)140
D)200
E)280
89
6. Yalnızca 1 ve 0 rakamları kullanılarak
KONU TESTĠ
yazılabilecek doğal sayılardan 225 ile
bölünebilen en küçük sayı kaç
basamaklıdır?
1. Rakamları toplamı 9 olan, 3 ile
bölünebilen iki basamaklı en küçük
doğal sayı aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)27
B)33
C)72
D)18
A)3
B)9
C)10
D)11
E)12
E)90
7. 6A6B
dört basamaklı doğal sayısı 72
ile bölünebildiğine göre, A’nın
alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
2. AĢağıdaki sayılardan hangisi 3 ile
bölünemez?
A)10
A)339
B)342
C)552
D)1111
E)672
B)12
C)14
D)16
E)18
8. AĢağıdaki sayılardan hangisi 99 ile
bölünebilir?
3. {1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile
yazılan, rakamları tekrarsız beĢ
basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi
4 ile bölünebilir?
A)3744
B)721809
D)88228299
C)7177788
E)99229288
A)144
B)168
C)192
D)216
E)240
9. aab
üç basamaklı sayısı 12 ile
bölünebilmektedir.
a < 4 olduğuna göre, b nin alabileceği
değerlerin toplamı kaçtır?
4. 351n
ve 352n sayıları 7 ile
bölündüklerinde aynı kalanı
vermektedir.
Buna göre n’in en küçük pozitif
tamsayı değeri kaçtır?
A)2
B)3
C)4
D)5
A)6
C)3
D)4
D)12
E)14
Altı basamaklı 65a43b doğal
sayısı 12 ile bölünebilmektedir.
Buna göre, a kaç farklı değer
alabilir?
Toplamının 6 ile bölümünden kalan
kaçtır?
B)2
C)10
10.
E)6
5. 9+92+93+ … +98
A)0
B)8
A)3
E)5
90
B)4
C)5
D)6
E)7
11.
16.
34+35+36+37
Toplamı aĢağıdaki sayılardan hangisi
ile tam bölünemez?
A)2
B)3
C)21
D)27
Üç basamaklı abc doğal sayısı
5 ile bölünebilmektedir. 9 ile
bölümünden kalan 1 ise, a.b çarpımının
en büyük değeri kaçtır?
E)40
A)15 B)24 C)48 D)49 E)56
12.
Dört basamaklı a01b doğal sayısı
8 ve 9 ile bölünebilmektedir.
Buna göre a+b toplamı kaçtır?
A)5
B)6
C)7
D)8
E)10
13.
BeĢ basamaklı 12a3b doğal sayısı
a≠b için 4 ve 9 ile bölünebildiğine
göre,
a kaçtır?
A)1
B)2
C)3
D)6
1.D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.C 8.B
9.E 10.E 11.C 12.D 13.A 14.B 15.C
16.D
E)7
14.
Dört basamaklı abba doğal sayısı
15 ile bölünebildiğine göre, b nin
alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A)9
B)12
C)18
D)23
E)30
15.
BeĢ basamaklı 561xy doğal sayısı
45 ile bölünebildiğine göre, x’in en
büyük değeri kaçtır?
A)1
B)5
C)6
D)7
E)8
91
6. Üç
KONU TESTĠ
basamaklı doğal sayılardan kaç
tanesi 27 ile bölünebilir?
1. {0,1,2,3,4,5}
rakamları kullanılarak
yazılabilen, rakamları tekrarsız,
4 basamaklı, 3 ile bölünebilen en
büyük sayı 4,5,6,8,9 sayılarından kaç
tanesi ile bölünebilir?
A)1
B)2
C)3
D)4
A)30
C)2
D)3
C)33
E)34
altı basamaklı sayısı 12 ile
bölünebilmektedir.
A-B farkının en büyük değeri kaçtır?
hangi bir tek sayının karesinin,
8’e bölümünden kalan kaçtır?
B)1
C)32
7. 9A407B
E)5
2. Her
A)0
B)31
A)7
B)6
C)5
D)4
E)3
E)4
8. 5A55B
beĢ basamaklı sayısı 72 ile
bölünebiliyor.
A kaçtır?
3. 87ab6
sayısı 8 ile bölünebilen beĢ
basamaklı bir sayıdır.
a+b toplamının alabileceği en büyük
değer kaçtır?
A)12
B)14
C)15
D)16
A)1
E)17
C)4
D)5
A)6
10.
3,4,5 ve 6 ile bölünebilen kaç tane
sayı vardır?
B)4
C)5
D)6
B)8
C)10
D)12
E)6
99
ile
E)14
150
sayısı
2,3,4,5,6,7,8,9,10
sayılarından
kaç
tanesi
ile
bölünebilir?
A)4 B)5 C)6 D)7 E)8
E)6
5. Ġlk 200 pozitif tamsayı içinde
A)3
D)4
18
basamaklı
sayısı
bölünebiliyor.
A+B toplamı kaçtır?
altı basamaklı sayısı 72 ile
bölünebiliyor.
A’nın alabileceği kaç farklı değer
vardır?
B)3
C)3
9. A3640548981279644B
4. A84B84
A)1
B)2
E)7
92
11.
168
sayısı
2,3,4,5,6,7,8,9,10
sayılarından
kaç
tanesi
ile
bölünebilir?
16.
A)4
A)3
B)5
C)6
D)7
n! sayısının 9’a bölünebilmesi için
n’in en küçük değeri kaç olmalıdır?
( n! = 1.2.3….n alınacaktır )
E)8
B)4
C)5
D)6
E)9
12.
AĢağıdaki sayılardan hangisi 7 ile
bölünebilir?
A)673 B)694 C)745 D)756 E)827
1.B
2.B 3.E 4.D 5.A
7.E 8.A 9.C 10.B 11.A
13.C 14.D 15.A 16.D
13.
5,7 ve 20 ile bölünebilen en küçük
pozitif tam sayı aĢağıdakilerden
hangisidir?
A)35 B)70 C)140 D)200 E)280
14.
7, 10, 15, 21 ve 28 ile bölünebilen
beĢ basamaklı en büyük doğal sayı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)99840
B)99900
C)99920
D)99960
E)99990
15.
aaaa dört basamaklı sayısı, 6 ile
bölünebilmektedir.
Verilen sayının, 6 ile bölümünden elde
edilen bölümün rakamları toplamı kaçtır?
A)4
B)6
C)12
D)24
E)32
93
6.E
12.D
ASAL SAYILAR
ÇÖZÜM
100 sayısından küçük en büyük asal sayı
97 dir.
100 sayısından büyük en küçük asal sayı
101 dir.
100 asal sayı değildir.
98, 99, 101 sayılarından küçük asal
sayılar 25 tanedir.
Doğru Seçenek B dir.
TANIM
1 ve kendisinden baĢka hiç bir doğal
sayıya bölünemeyen 1 den büyük doğal
sayılara asal sayılar denir.
2, 3, 5, 7, 11, … gibi.
En küçük asal sayı 2 dir.
2 sayısı dıĢında, diğer asal sayılar tek
sayıdır.
GENETĠK KOPYA-2
..., 59, 53, 47, ? , …
Asal sayı dizisinde ? yerine hangi sayı
yazılabilir?
DNA-1
a,b,c asal sayılar ve a< b< c dir.
a+b+c = 22 ve a.b+b.c+c.a = 131 ise
b.c çarpımı kaçtır?
A)7
B)13
C)14
D)26
A)37
E)91
ÇÖZÜM
a+b+c = 22
toplamı çift olduğundan
sayılardan en az biri çift olmalıdır.
Bu durumda kesinlikle a =2 olmalıdır.
2.b+b.c+2.c=131
2(b+c)+b.c=131 eĢitliğinde deneme ile
b =7 ve c =13 olacağı bulunur.
b.c = 7.13 = 91 olacaktır.
Doğru Seçenek E dir.
B)7
C)9
D)11
C)43
D)45
E)46
HAZĠNE-1
a,b,c, … farklı asal sayılar,
p,q,r, … sayma sayıları olmak üzere ;
N > 1 için her bir N doğal sayısı
N = ap.bq.cr…
olacak Ģekilde
tek türlü asal çarpanlarına ayrılır.
UYARI
Atom parçalandığında ortaya çıkan büyük
enerji, Matematikte bir Doğal sayının
asal çarpanlara ayrılması ile eĢ değerli
olabilir.
GENETĠK KOPYA-1
x ve y asal sayılar olmak üzere,
2x+y=16 ise,
x+y toplamı kaçtır?
A)5
B)41
Bu yüzden sayı problemlerinin pek
çoğunda çözüme, verilen Doğal
sayıları asal çarpanlara ayırmakla
E)13
başlamakta yarar vardır.
DNA-2
100 sayısından küçük 25 tane asal sayı
vardır. 100 den farklı kaç tane n
tamsayısı için n den küçük asal sayıların
sayısı 25 tir?
A)2
B)3
C)4
D)5
DNA-3
540 sayısının asal çarpanlara ayrılmıĢ
biçimi aĢağıdakilerden hangisidir?
A)22.33.5
E)6
94
B)22.32.5
C)23.32.5
D)2.33.5
E)2.33.5
ÇÖZÜM
540 sayısını, en küçük asal sayı olan 2 ile
bölmeye baĢlar ve içindeki tüm asal sayı
bölenlerini ararız.
DNA-5
a,b,c asal sayılar,
a = 3b-2.13c-2
olduğuna göre ;
a+b+c toplamının alabileceği en küçük
değer kaçtır?
A)2
B)3
C)4
D)5
E)8
ÇÖZÜM
a'nın asal sayı olması için, 3b-2 veya 13c-2
den birinin 1 olası gerekir.
Toplamın küçük olması istendiğinden;
13c-2 =1 ve 3b-2 =3 olmalıdır.
Doğru Seçenek A dır.
a≠ 0 için; a0=1 ve a1=a olduğundan
GENETĠK KOPYA-3
72
sayısının asal çarpanlara ayrılmıĢ
biçimi aĢağıdakilerden hangisidir?
2
2
c-2=0,
b-2=1,
a = 3b-2.13c-2,
2
A)2.3
B)2 .3
C)2 .3
3 2
3 3
D)2 .3
E)2 .3
B)5
C)7
D)10
E)12
A)5
C)7
D)10
B)7
C)8
D)10
E)12
DNA-6
x,y ∈ N ve x2-y2 = 13 ise
x kaç olmalıdır?
GENETĠK KOPYA-4
90
sayısının tüm asal çarpanlarının
toplamı kaçtır?
B)5
a=3.1=3 olmalıdır.
GENETĠK KOPYA-5
a,b,c birbirinden farklı asal sayılar,
N = a2.b3.c4 eĢitliği veriliyor.
N in en küçük değeri için
a+b+c toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
250=2.53
Ģeklinde
çarpanlara
ayrıldığında, en küçük iki asal çarpanının
2 ve 5 olduğu görülür.
2+5=7 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
A)2
13c-2 =130=1
3b-2 =31=3
a+b+c =3+3+2=8 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
DNA-4
250 sayısının en küçük iki asal çarpanının
toplamı kaçtır?
A)2
c=2,
b=3,
A)5
E)12
95
B)6
C)7
D)8
E)9
ÇÖZÜM
a2-b2=(a-b)(a+b) özdeĢliğinden;
GENETĠK KOPYA-7
Asal olmayan 1 den büyük tamsayılara
birleĢik tamsayı denir.
AĢağıdakilerden hangisi birleĢik tamsayı
değildir?
x2-y2 = (x-y)(x+y)
x ve y doğal sayı olduğundan,
x+y ve x-y de doğal sayı olacaktır.
13 bir asal sayı olduğundan, ancak
1.13 biçiminde iki doğal sayının çarpımı
olarak yazılabilir.
A)12
B)18
C)21
D)23
E)25
x2-y2 = (x-y)(x+y)=1.13
x-y = 1 ve x+y = 13 olmak zorundadır.
Sistem çözüldüğünde;
x =7 ve y =6 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
DNA-8
n doğal sayı olmak üzere,
n
22 +1 biçiminde yazılabilen asal sayılara
Fermat asalı denir.
AĢağıdakilerden hangisi Fermat asalıdır?
GENETĠK KOPYA-6
a,b doğal sayıları için;
a2-b2=7 ise
b kaçtır?
A)7
A)2
B)3
C)4
D)5
B)24
ÇÖZÜM
27=3.3.3
2+7=3+3+3
sayısıdır.
C)27
D)36
C)17
D)23
E)29
ÇÖZÜM
n=0 için;
n
0
22 +1= 22 +1 = 21+1=2+1=3
E)6
n=1 için;
n
1
22 +1= 22 +1 = 22+1=4+1=5
DNA-7
1 den büyük asal olmayan bir tamsayının
rakamlarının
toplamı,
sayı
asal
çarpanlarına ayrılarak yazıldığında, bu
yazılıĢta bulunan tüm asal çarpanlarının
rakamlarının toplamına eĢit oluyorsa bu
tür sayılara Smith sayısı adı verilir.
Örneğin, 728 sayısı asal çarpanlarına
728=2.2.2.7.13 biçiminde ayrılır.
7+2+8=2+2+2+7+1+3 olduğundan 728 bir
Smith sayısıdır.
Bu tanıma göre, aĢağıdaki sayılardan
hangisi bir Smith sayısıdır?
A)21
B)15
n=2 için;
n
2
22 +1= 22 +1 = 24+1=16+1=17 sayısı
Fermat asalıdır.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-8
n doğal sayı olmak üzere,
2n -1 biçiminde yazılabilen asal sayılara
Mersenne asalı denir.
AĢağıdakilerden
hangisi
Mersenne
asalıdır?
A)5
E)45
olduğundan 27 bir Smith
Doğru Seçenek C dir
96
B)11
C)13
D)31
E)37
DNA-9
a,n  N+ için a =2 ve n asal sayı ise
an-1 asaldır.
ÇÖZÜM
Ġki asal sayının toplamı da bir asal sayı
ise bu sayılardan küçüğü 2 dir.
23-1 = 7
25-1 =31
a+b=19 eĢitliğinde 19 asal sayı,
a ve b de asal sayı olduğundan;
a=2 dir.
Doğru Seçenek A dır.
AĢağıdaki sayılardan hangisi asaldır?
A)225-1
B)226-1
C)227-1
D)228-1
E)229-1
GENETĠK KOPYA-10
k pozitif tamsayı olmak üzere,
4k+1
biçiminde yazılabilen
Hilbert asalı denir.
ÇÖZÜM
229-1 ifadesinde n=29 asal olduğundan
229-1 sayısı da asaldır.
Doğru Seçenek E dir
AĢağıdakilerden hangisi Hilbert asalıdır?
A)3
GENETĠK KOPYA-9
n! + 1 < p < n! + n koĢulunu sağlayan
p lerden hiçbiri asal değildir.
C)2
D)3
B)3
C)5
D)7
D)17
E)19
Tüm çift doğal sayılar, iki asal sayının
farkıdır.
12=23-11
E)4
5 den büyük tüm pozitif tamsayılar,
üç asal sayının toplamı olarak yazılabilir.
DNA-10
a ve b asal sayılar, a < b olmak üzere,
a+b=19 ise,
a kaçtır?
A)2
C)11
2 den büyük bütün çift doğal sayılar,
iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir.
36=7+29=13+23
12!+1 < X < 12!+12 koĢulunu sağlayan kaç
tane asalsayı vardır?
B)1
B)7
Asal sayıların birkaç güzel özelliğini de
örneklerle verelim.
5!+1 < p < 5!+5 koĢulunu sağlayan bir
p asal sayısı yoktur.
A)0
sayılara
35=5+11+19
E)11
97
ARALARINDA ASAL SAYILAR
56=7.8
88=11.8
105=3.35
156=11.15
TANIM
1 den baĢka ortak böleni olmayan doğal
sayılara, aralarında asaldır denir.
Seçenekler içinde 3’e, 7’ye ve 11’e
bölünemeyen sayı 1001 ile aralarında
asaldır.
128 aranan sayıdır.
Doğru Seçenek D dir.
7 ; 13
12 ; 25
24 ; 29
4 ; 6 ; 27
Sayıları aralarında asaldır.
UYARI
ArdıĢık doğal sayılar aralarında asaldır.
14 ; 15
7 ye bölünür.
11 e bölünür.
3 e bölünür.
11 e bölünür.
GENETĠK KOPYA-11
AĢağıdaki sayılardan hangisi 72 sayısı ile
aralarında asaldır?
18 ; 19
UYARI
Aralarında asal sayıların toplamları ve
çarpımları da aralarında asaldır.
A)24
B)36
C)50
D)75 E)125
7+13=20
7.13=91
20 ve 91 sayıları aralarında asaldır.
UYARI
ArdıĢık iki sayının toplamı ile bunların
karelerinin toplamı aralarında asaldır.
DNA-12
1  n  100 koĢulunu sağlayan doğal
sayılardan;
Kaç tanesi 15 sayısı ile aralarında
asaldır?
4+5=9
42+52=41
9 ve 41 sayıları aralarında asaldır.
A)20
B)33
C)47
D)53
E)67
ÇÖZÜM
Verilen doğal sayılardan,
15 ile aralarında asal olanlar;
15 = 3.5 olduğundan (bölenleri 3 ve 5)
3 ve 5 sayılarından herhangi birine
bölünmemelidir. (1 den baĢka ortak
bölenleri olamaz)
DNA-11
AĢağıdaki sayılardan hangisi 1001 sayısı
ile aralarında asaldır?
A) 56 B) 88 C) 105 D) 128 E) 156
ÇÖZÜM
Aralarında asal olmaları için,
1 den baĢka ortak bölenleri olmamalıdır.
Bu sayıları bulmak için biz önce 3’e ve 5’e
bölünebilenlerin sayısını bulmalıyız.
1001=3.7.11 olduğundan,
Bölenleri; 3, 7 ve 11 dir.
Verilen 100 doğal sayı içinde,
3’e bölünebilen sayıların adedi;
98
100’ün, 3’e bölümünden bulunacak bölüm
kadardır.
100 = 3.33+1 den 33 tanesi 3 ile,
ÇÖZÜM
a+b+c
toplamının küçük olması için
sayılar küçük seçilmelidir.
En küçük asal sayı 2 olduğundan
a=2 seçildiğinde
c=4a
c=4.2=8 olur.
b=3 alındığında, kendisi asal olup,
c=8 sayısı ile de aralarında asaldır.
Benzer Ģekilde; 5 sayısı için
100 = 5.20 den 20 tanesi 5 ile,
3 ve 5 ile bölünebilen sayılar 15 ile de
bölünebileceğinden;
100 = 15.6+10 dan 6 tanesi 3 ve 5 ile
bölünebilir.
a+b+c=2+3+8=13
değeridir.
Kümelerin eleman sayıları için;
s(A∪B)=s(A)+s(B)-s(A∩B) olduğundan
3 veya 5 ile bölünebilen sayılar;
33+20-6 = 47 tanedir.
A)6
GENETĠK KOPYA-12
1  n  100 koĢulunu sağlayan doğal
sayılardan;
Kaç tanesi 6 sayısı ile aralarında asaldır?
B)28
C)33
D)42
E)50
DNA-13
a ve b asal sayılar, b ve c sayıları da
aralarında asal sayılardır.
c=4a ise a+b+c toplamının en küçük
değeri kaçtır?
A)9
B)10
C)11
D)12
en
E)13
99
B)8
küçük
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-13
a, b, c ardıĢık üç asal sayıdır.
a+b+c toplamı en az kaçtır?
Ne 3’e ne de 5’e bölünemeyen, 15 sayısı
ile aralarında asal olan sayılar da;
100-47 = 53 tanedir.
Doğru Seçenek D dir.
A)16
toplamın
C)10
D)12
E)19
KONU TESTĠ
1. Sıfırdan
5. 504 sayısının kaç tane farklı asal sayı
farklı bir doğal sayının 13
katı ile 17 katı toplanıyor.
Bu toplamın en az kaç farklı asal
çarpanı vardır?
A)2
B)3
C)4
D)5
çarpanı vardır?
A)2
B)3
C)4
D)5
E)7
E)6
6. 100
den küçük ve 100 ile aralarında
asal kaç tane doğal sayı vardır?
2. AĢağıdaki sayılardan hangisi 12 sayısı
ile aralarında asaldır?
A)8
B)9
C)10
D)11
A) 32
B) 36
C) 40
D) 45
E) 49
E)14
7. 60
ile
70
arasındaki
dokuz
tamsayıdan kaç tanesi 12 sayısı ile
aralarında asaldır?
3. 1≤
n ≤ 100 koĢulunu sağlayan doğal
sayılardan;
Kaç tanesi 8 sayısı ile aralarında
asaldır?
A)12
B)38
C)50
D)62
A)2
B)3
C)4
D)5
E)6
E)88
8. x ve y doğal sayıları için;
x2-y2=13 ise,
x+y toplamı kaçtır?
4. Rakamlarının
karelerinin toplamı 1
olan sayılara Mutlu sayılar denir.
Örneğin; 13 sayısı için,
12+32=10
12+02=1
AĢağıdakilerden
sayıdır?
A)21
B)23
C)102
hangisi
A)12
B)13
C)14
D)26
E)28
9. x ve y pozitif tamsayıları için;
Mutlu
x.y =13 ise, x+y toplamı kaçtır?
D)201 E)202
A)13
100
B)14
C)16
D)20
E)26
10.
15.
x asal sayısı için 17x+1 ifadesi
tam kare ise,
x kaçtır?
A) 15
B) 17
C) 19
D) 23
a,b ve c farklı rakamlar, ab ve bc
aralarında
asal
iki
basamaklı
sayılardır.
ab+bc toplamının en küçük değeri
için;
ab-bc farkı kaçtır?
E) 29
A)7
B)8
C)9
D)10
E)11
11.
87!+88! Sayısının en büyük asal
sayı böleni kaçtır?
A)87
B)88
C)89
16.
18, 45, 79, 90, 97
Sayılarından kaç tanesi asal sayıdır?
D)90 E)91
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
12.
Aralarında asal üç sayının çarpımı
720 dir.
Bu üç sayının toplamının en küçük
değeri kaçtır?
A)22
B)27
C)30
D)45
1.B
7.B
13.C
E)62
13.
7, 5 ve 3 sayıları,
a.b+c=22 eĢitliğinde yerlerine
yazıldığında, a,b,c sıralaması için
aĢağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)7,5,3
B)7,3,5
C)3,5,7
D)3,7,5
E)5,7,3
14.
1 ve 0 rakamlarını kullanarak
yazılabilecek asal sayının rakamları
toplamı kaçtır?
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
101
2.D
8.B
14.B
3.C
9.B
15.B
4.B
10.B
16.B
5.B
11.C
6.C
12.B
DOĞAL SAYI BÖLENLERĠ
Bu bölümde; bir doğal sayıyı asal
çarpanlara ayırmanın bize sağladığı
baĢka kolaylıkları inceleyeceğiz.
GENETĠK KOPYA-1
72 sayısının kaç tane doğal sayı böleni
vardır?
A)3
Örneğin;
N = 120 doğal sayısının kaç tane doğal
sayı böleni vardır?sorusunu çözmek için;
1,2,3,4,5,6, ….., 120 diyerek tüm
bölenlerini bulmak oldukça zamanımızı
alacaktır.
HAZĠNE-1
N = ap.bq.cr…
(p+1)(q+1)(r+1)…
vardır.
B)4
C)6
D)7
E)12
DNA-2
A=150.60.90 sayısının kaç tane doğal
sayı böleni vardır?
A)64
sayısının,
tane doğal sayı böleni
B)80
C)100
D)125
E)150
ÇÖZÜM
A=150.60.90=(2.3.52)(22.3.5)(2.32.5)
=21+2+1.31+1+2.52+1+1=24.34.54
ġeklinde asal çarpanlara ayrıldığında;
IġIK-1
Doğal sayı bölenlerinin toplamsal tersleri
de N sayısının bir böleni olacağından;
N’in tam sayı bölenlerinin sayısı, doğal
sayı bölenlerinin iki katı kadardır.
(4+1)(4+1)(4+1)=5.5.5=125
tane doğal
sayı böleni vardır.
Doğru Seçenek D dir.
DNA-1
120 sayısının kaç tane doğal sayı böleni
vardır?
GENETĠK KOPYA-2
N=122
sayısının kaç tane doğal sayı
böleni vardır?
A)12
A)3
B)13
C)14
D)15
E)16
B)4
C)6
D)13
E)15
ÇÖZÜM
N = 120 = 23.3.5 olarak yazıldığında;
kural gereği
(3+1)(1+1)(1+1)=4.2.2=16 tane Doğal sayı
böleni vardır.
Ġlk soru olduğu için bir kez bu bölenleri
tek tek yazalım ve biraz da irdeleyelim.
DNA-3
1001 ile aralarında asal abc üç basamaklı
sayısının 12 tane pozitif tamsayı böleni
varsa abcabc altı basamaklı sayısının kaç
tane pozitif tam sayı böleni vardır?
Bölenler;
1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,12
0 olmak üzere 16 tanedir.
Doğru Seçenek E dir.
A)24
102
B)36
C)48
D)72
E)96
ÇÖZÜM
abcabc sayısını çözümleyelim.
abcabc =
= 100000a+10000b+1000c+100a+10b+c
= 100100a+10010b+1001c
= 1001(100a+10b+c)
= 1001.abc = 7.11.13.abc
abc sayısının 12 tane pozitif tam sayı
böleni olduğundan, asal çarpanlarının
üslerinin birer fazlasının çarpımı 12 dir.
Bu yüzden;
1800 = 23.32.52 = 2.5.(22.32.5)
yazdığımızda; 10 çarpanı dıĢında
22.32.5 in (2+1)(2+1)(1+1) =3.3.2= 18
tane doğal sayı böleni vardır.
abcabc = 7.11.13.abc sayısının, pozitif
tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için;
tüm asal çarpanlarının üslerinin birer
fazlası çarpılacağından
GENETĠK KOPYA-4
120 sayısının doğal sayı bölenlerinden
kaç tanesi tek sayıdır?
Bu 18 tane bölen 10 ile çarpıldığında;
1800 ün 10 un katı olan 18 tane böleni
bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
A)4
(1+1)(1+1)(1+1).12 = 96 tane pozitif tam
sayı böleni vardır.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-3
1200…0 sayısının 96 tane doğal sayı
böleni olduğu bilindiğine göre;
verilen sayının sondan kaç basamağı
O dır?
A)3
B)4
C)5
D)6
B)14
C)16
A) 4
E)7
D)18
C)12
D)18
E)24
DNA-5
7! Sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç
tanesi tek sayıdır?
B) 6
C) 19
D) 12
E) 24
ÇÖZÜM
7! =1.2.3.4.5.6.7 = 2.3.22.5.2.3.7
=24.32.5.7
Tek
sayıların
olmayacağından;
7! = 24(32.5.7)
içindeki sayının
tektir.
DNA-4
1 800 sayısının doğal sayı bölenlerinden
kaç tanesi 10 un katıdır?
A)12
B)6
E)20
içinde
2
çarpanı
ifadesinde parantez
doğal sayı bölenleri
(2+1)(1+1)(1+1)=3.2.2=12 tane tek doğal
sayı böleni vardır.
Doğru Seçenek D dir.
ÇÖZÜM
1800 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
1800 = 23.32.52 olur.
Bölenlerinin 10 un katı olması için;
A=10.B=(2.5).B Ģeklinde yazılabilmelidir.
103
GENETĠK KOPYA-5
10! Sayısının kaç tane tamsayı böleni
vardır?
DNA-7
Kendisinden farklı pozitif çarpanlarının
toplamı, kendisine eĢit olan pozitif tam
sayıya mükemmel sayı denir.
6 , 28 , 496 ,… gibi.
A)128
B)256
C)270
D)512
E)540
6 nın bölenleri ; 1,2,3,6
28
in
bölenleri
;
1+2+4+7+14=28
2n-1 asal ise 2n-1(2n-1) mükemmel
DNA-6
N2=3602 sayısının doğal sayı
bölenlerinden kaç tanesi N sayısından
küçüktür?
A)24
B)48
C)52
D)96
sayıdır.
AĢağıdaki
sayılardan
hangisi
hem
mükemmel sayı, hem de üçgen sayıdır?
E)105
A)7
ÇÖZÜM
N2=(23.32.5)2=26.34.52 olduğundan;
N2 sayısının (6+1)(4+1)(2+1)=7.5.3=105
tane doğal sayı böleni vardır.
Bu 105 tane bölenden biri N olduğundan
geriye kalan 105-1=104 tane böleninden
Yarısı N den küçük, yarısı N den
büyüktür.
6+1 4+1 2+1 −1
2
=
tanedir.
7.5.3−1 105−1
=
2
2
=
104
2
B)7
D)10
C)28
D)36
E)45
GENETĠK KOPYA-7
Kendisinden farklı pozitif çarpanlarının
toplamı, kendisinden büyük olan pozitif
tam sayıya güçlü sayı denir.
12, 30 , 36 , … gibi.
= 52
Doğru Seçenek C dir.
C)8
B)21
ÇÖZÜM
28
in
bölenleri
;
1,2,4,7,14,28
1+2+4+7+14=28 Mükemmel sayı.
1+2+3+4+5+6+7=28 Üçgen sayı.
Doğru Seçenek C dir.
12
nin
bölenleri
;
1,2,3,4,6,12
1+2+3+4+6=16 > 12
30 un bölenleri;
1,2,3,5,6,10,15,30
1+2+3+5+6+10+15=42 > 30
GENETĠK KOPYA-6
A=250
doğal sayısının karesinin doğal
sayı bölenlerinden kaç tanesi A dan
büyüktür?
A)6
1+2+3=6
1,2,4,7,14,28
En küçük tek abundant sayı 945 tir.
E)12
AĢağıdaki sayılardan hangisi güçlü sayı
değildir?
A)12
104
B)15
C)18
D)20
E)24
DNA-8
Kendisinden farklı pozitif çarpanlarının
toplamı, kendisinden küçük olan pozitif
tam sayıya güçsüz sayı denir.
8, 15, 35, … gibi.
8 in bölenleri ; 1,2,4,8
15 in bölenleri;1,3,5,15
Yukarıda, bölenlerinin sayısı ve toplamı
ile doğal sayılar arasında yapılan
tanımlar, ders kitaplarında olmadığı
halde geçmiĢ yıllarda ÖSS sorusu olarak
sorulmuĢtur.
Bu
yüzden,
konunun
ayrıntılarına
değinmiĢ olduk.
1+2+4=7 < 8
1+3+5=9 < 15
AĢağıdaki sayılardan hangisi güçsüz sayı
değildir?
A)4
B)5
C)6
D)8
DNA-9
360
sayısının
pozitif
tamsayı
bölenlerinden kaç tanesi tam karedir?
E)16
ÇÖZÜM
4 ün bölenleri: 1,2,4
1+2=3 < 4
A)3
B)4
C)5
D)6
E)7
ÇÖZÜM
360=23.32.5
olarak asal çarpanlarına ayrıldığında;
22=4, 32=9 ve (2.3)2=62=36
0lmak üzere 3 tane tam kare böleni var.
Doğru Seçenek A dır.
5 in bölenleri: 1,5
1<5
6 nın bölenleri ; 1,2,3,6
1+2+3=6 Mükemmel sayı.
8 in bölenleri: 1,2,4,8
1+2+4=7 < 8
GENETĠK KOPYA-9
x  Z+ için x3 sayısı 40 000 in bir
bölenidir.
x in en büyük değeri kaçtır?
16 nın bölenleri: 1,2,4,8,16
1+2+4+8=15 < 16
Doğru Seçenek C dir.
A)10
B)12
C)15
D)20
E)25
GENETĠK KOPYA-8
Kendisinden küçük tüm doğal sayılar
içinde en çok doğal sayı böleni olan
sayılara çok bölenli sayı denir.
6, 12, 24, …. gibi.
AĢağıdaki sayılardan hangisi güçsüz sayı
değildir?
DNA-9
Kenar uzunlukları tamsayı ve alanı 180
cm2 olan kaç farklı dikdörtgen vardır?
A)4
A)6
B)6
C)12
D)16
E)24
105
B)8
C)9
D)12
D)18
ÇÖZÜM
Kenar uzunlukları a ve
dikdörtgenin alanı a.b dir.
b
GENETĠK KOPYA-10
28 sayısının, asal sayı bölenleri dıĢında
tam sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?
A)-28
B)-9
C)O
D)9
E)19
olan
a.b=180
eĢitliğinde a ve b sayıları, 180 in
bölenleridir.
180=22.32.5 olduğundan,
(2+1)(2+1)(1+1)=3.3.2=18 tane
(a,b) pozitif tamsayı ikilisi yazılabilir.
Kenar uzunlukları (a,b) ve (b,a) olan
dikdörtgenler aynı sayılacağından:
18:2=9 farklı dikdörtgen vardır.
Doğru Seçenek C dir.
HAZĠNE-2
N = ap.bq.cr…
sayısının doğal sayı
bölenlerinin toplamı;
(1+a+a2+…+ap)(1+b+b2+…+bq)(1+c+c2+…+cr)..
=
GENETĠK KOPYA-9
1 ile 1 000 arasında en çok doğal sayı
böleni
olan
sayı
aĢağıdakilerden
hangisidir?
a p 1  1 b q 1  1 c r 1  1
.
.
…
a 1
b 1
c 1
DNA-11
144 sayısının doğal sayı bölenlerinin
toplamı kaçtır?
A)720 B)750 C)840 D)864 E)960
A)0
B)60
C)72
D)123
B)144
C)223 D)288 E)367
ÇÖZÜM
144 sayısını asal çarpanlara ayıralım.
144=122=(22.3)2=24.32
5.4=20 tane doğal sayı böleni var.
Bu bölenlerin toplamı;
(1+2+22+23+24)(1+3+32)=31.13=223
DNA-10
72 sayısının tam sayı bölenlerinin toplamı
kaçtır?
A)0
dir.
E)132
Veya doğrudan;
ÇÖZÜM
72=23.32
olduğundan,
72 sayısının 4.3=12 tane doğal sayı
böleni ve bu bölenlerin negatif olanları
ile birlikte 12+12=24 tane tamsayı
böleni vardır.
24+1 −1 32+1 −1
.
2−1
3−1
=
32−1 27−1
.
1
2
= 31.13 = 223
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-11
625 sayısının doğal sayı bölenlerinin
toplamı kaçtır?
(-72)+(-36)+(-24)+ … +24+36+72=0 dır.
Bir doğal sayının tüm tamsayı
A)125
bölenlerinin toplamı 0 dır.
Doğru Seçenek A dır.
106
B)156
C)225
D)250
E)624
HAZĠNE-3
N = ap.bq.cr… sayısı kendisinden küçük
ap.bq.cr…(1-
DNA-13
A=25.52 ve A sayısının bütün doğal sayı
bölenlerinin çarpımı B ise Ax=B eĢitliğini
sağlayan x sayısı kaçtır?
1
1
1
)(1- )(1- )… tane sayı ile
c
a
b
aralarında asaldır.
A)3
DNA-12
20 sayısı kendisinden küçük kaç tane
doğal sayı ile aralarında asaldır?
A)2
B)3
C)4
D)6
1
1
E)8
1 4
1 − 5 = 22 . 5. 2 . 5 = 8
A)252
D)30
A)9
C)243
D)242
E)236
B)12
C)16
D)18
E)24
ÇÖZÜM
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını a ve b
ile gösterelim.
Alan = a.b
Çevre = 2(a+b)
E)36
HAZĠNE-4
N = ap.bq.cr… sayısının doğal sayı
bölenlerinin çarpımı;
N ( p 1)( q 1)( r 1)...
B)245
DNA-14
Kenar uzunlukları tamsayı ve alanı sayıca
çevresine eĢit olan dikdörtgenlerden
alanı en büyük olan kaç birim karedir?
GENETĠK KOPYA-12
72 sayısı kendisinden küçük kaç tane
doğal sayı ile aralarında asaldır?
C)24
E)12
GENETĠK KOPYA-13
512 sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin
çarpımı kaçtır?
YADA !!!
Ne 2 ne de 5 ile bölünmemelidir.
20:2=10 tanesi 2 ile,
20:5=4 tanesi 5 ile,
20:10=2 tanesi de hem 2, hem de 5 ile
bölünebilmektedir.
10+4-2=12 tanesi 2 veya 5 ile
bölünebildiğinden;
20-12=8 tanesi 20 sayısı ile aralarında
asaldır.
Doğru Seçenek E dir.
B)18
D)9
B = 800 (51)( 21) = 8006.3 = 80018
= 8009 olarak buluruz.
x
A =8009
x =9 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
tane sayı ile aralarında asaldır.
A)12
C)6
ÇÖZÜM
A’nın doğal sayı bölenlerinin çarpımını
ÇÖZÜM
20 = 4.5=22.5 olduğundan;
22 . 5 1 − 2
B)4
a.b = 2(a+b) verilmiĢ.
a.b = 2a+2b
a.b-2b=2a
b(a-2)=2a
dir.
2𝑎
b = 𝑎−2 =
107
2 𝑎−2 +4
𝑎−2
4
= 2 + 𝑎−2
a ve b, kenar uzunluğu gösterdiği için
pozitif tam sayı olmalıdır.
b nin pozitif tam sayı olması için,
a-2 nin 4’ün böleni olması gerekir.
4’ün bölenleri; -4, -2, -1, 1, 2, 4
a-2=-4
a-2=-2
a-2=-1
a-2=1
a-2=2
a-2=4
GENETĠK KOPYA-15
𝟔
𝐧+𝟏
tamsayısı vardır?
A)4
için; a=-2 olamaz.
için; a=0 olamaz.
için; a=1, b=-2 olamaz.
için; a=3, b=6 ve a.b=18
için; a=4, b=4 ve a.b=16
için; a=6, b=3 ve a.b=18
A)30
𝒃
D)24
E)28
DNA-15
100
2n  1
E)12
B)90
C)150
D)270 D)300
ifadesinin en küçük doğal sayı
değeri için n doğal sayısı kaç olmalıdır?
A)1
D)10
180.x = (22.32.5)(2a.3b.5c)
=2a+2.3b+2.5c+1 = y3
olacağından
a+2, b+2, c+1 sayıları
3 ün katı olmalıdır.
a =1 , b =1 , c =2 için:
x = 2.3.52 = 150 ve
y = 2.3.5 = 30 bulunur.
Doğru Seçenek A dır.
olduğuna göre, a’nın alabileceği değerler
toplamı kaçtır?
C)16
C)8
ÇÖZÜM
180 sayısını asal çarpanlara ayıralım.
180 = 22.32.5 olur.
x = 2a.3b.5c alınırsa;
GENETĠK KOPYA-14
a ve b pozitif tam sayılar ve
𝟔
a+ = 10
B)14
B)6
DNA-16
180.x = y3 eĢitliğini sağlayan
en küçük pozitif y sayısı kaçtır?
alanın en büyük değeri; kenarlardan biri
3 birim, diğeri 6 birim olduğunda 18
birim kare olarak bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
A)12
ifadesini tamsayı yapan kaç tane n
B)3
C)13
D)20
GENETĠK KOPYA-16
1260.x = N3
eĢitliğinde
x ve N pozitif tamsayılardır.
En küçük x sayısı kaçtır?
E)25
ÇÖZÜM
A) 210
B) 420
C) 630
D) 2450
E) 7350
100
2n  1
ifadesinin bir doğal sayı olması
için, 2n-1 in bölen olması gerekir.
100 ün bölenleri:1,2,4,5,10,20,25,50 ve
100 dür.
En küçük doğal sayı olması için de
paydanın büyük olması gerekir.
100 ve 50 için, n doğal sayı değildir.
2n-1=25
n=13 olmalıdır.
Doğru Seçenek C dir.
108
DNA-17
x, y, A, B pozitif tam sayıları için;
90.x = A2 ve 90.y = B3 ise
x+y toplamının en küçük değeri kaçtır?
A)300
GENETĠK KOPYA-18
a.10.12.15
çarpımı bir doğal sayının
kübüdür.
a sayısının en küçük pozitif tamsayı
değeri kaçtır?
B)310 C)320 D)360 E)400
A)8 B)12
ÇÖZÜM
90=2.32.5
2.32.5.x=A2
x=2.5=10 olmalıdır.
2.32.5.y=B3
y=22.3.52=300 olmalıdır.
x+y=10+300=310 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-17
n,x,y pozitif tam sayıları için;
14.n = x2 ve 21.n = y3 ise
n’in en küçük değeri kaçtır?
A)2.3.7
B)22.33.55
C)23.32.7
D)23.32.7
E)23.32.75
DNA-18
m ve n sayma sayıları olmak üzere;
n! + 1 = m2
eĢitliğini sağlayan en küçük
m+n toplamı kaçtır?
A)7
B)9
C)11
D)15
E)16
ÇÖZÜM
n = 1,2,3,4, …
değerleri eĢitlikte
kullanıldığında,
n=4 için m=5
n=5 için m=11 ve
n=7 için m=71 bulunur.
m+n=5+4=9 toplamın en küçük değeridir.
Doğru Seçenek B dir.
109
C)15
D)18
E)24
KONU TESTĠ
6. 12 tane pozitif tamsayı böleni olan en
1. a, b ve c pozitif tamsayılar,
2
2
büyük iki basamaklı pozitif tamsayı
kaçtır?
2
a +b =c ise,
(a,b ve c Pisagor Sayıları iken)
AĢağıdaki sayılardan hangisi
(c-b)(c+b) çarpımının pozitif tamsayı
bölenlerinin sayısı olamaz?
A)9
B)17
C)25
D)36
A) 84
E)45
7. Ġki basamaklı tam kare sayılardan
2. 2006 sayısının
n sayısına
bölümünden kalan 6 dır.
KoĢulu sağlayan kaç tane n pozitif
tamsayısı vardır?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 16
B) 90
C) 92
D) 96
E) 99
hangisinin 9 tane doğal sayı böleni
vardır?
A)25
B)36
C)49
D)64
E)81
E) 20
8. Dört tane doğal sayı böleni olan en
küçük doğal sayı A , altı tane doğal
sayı böleni olan en küçük doğal sayı B
ise A+B toplamı kaçtır?
3. Ġlk beĢ asal sayının toplamı kaçtır?
A)26
B)27
C)28
D)29
E)30
A) 10
B) 12
C) 16
D) 18
E) 24
4. 9!
Sayısının kaç tane pozitif tamsayı
böleni vardır?
A)16
B)80
C)160
9. A=6x.2x-2
doğal sayısının 40 tane
tamsayı böleni olduğuna göre,
A kaçtır?
D)240 E)512
A)108
B)144
C)208
D)216
E)432
5. Sekizer
tane pozitif tamsayı böleni
olan üç farklı doğal sayının toplamı en
az kaçtır?
10.
x.y=840
eĢitliğini gerçekleyen kaç tane (x,y)
pozitif tamsayı ikilisi yazılabilir?
A)72 B)94 C)118 D)124 E)136
A)16
110
B)32
C)48
D)64
E)96
11.
m ve n pozitif tamsayılar olmak
üzere,
60.m=n3 eĢitliğini gerçekleyen m’nin
en küçük değeri kaçtır?
15.
A)45 B)50 C)90 D)225 E)450
A)520
B)641
C)1258
D)2504
E)5002
10 ile bölünemeyen a ve b pozitif
tam sayıları için
a.b = 10 000
ise
a+b toplamı
kaçtır?
12.
AĢağıdaki sayılardan hangisinin
kendisinden farklı pozitif tamsayı
çarpanlarının toplamı, kendisinden
küçüktür?
A)12
B)30
C)36
D)45
16.
m ve n pozitif tamsayılar olmak
üzere; m2+49 = n2 dir.
n-m kaç farklı değer alabilir?
E)60
A)1
B)2
C)3
D)4
E)7
13.
x ve y pozitif tamsayılardır.
4𝑥+3
𝑦=
eĢitliğini sağlayan
𝑥
y değerlerinin toplamı kaçtır?
A)5
14.
B)7
C)12
504 sayısının
ayrılmıĢ
biçimi
hangisidir?
D)17
E)19
1.D
2.D
3.C
4.C
5.B
6.D
7.B
8.D
9.E
10.B
11.E
12.D
13.C
14.E
15.B
16.A
asal çarpanlara
aĢağıdakilerden
A)2.3.7
B)22.33
C)22.32.7
D)22.33.7
E)23.32.7
111
ORTAK BÖLENLERĠN EN BÜYÜĞÜ:
180-168 = 12
Sayılarınfarkı, ortak bölene tam
Ġki yada daha fazla sayma sayısının her
birini tam bölen en büyük sayma sayısına
En Büyük Ortak Bölen denir. (O.B.E.B)
olarak bölünür.
Bölümler: 14 ve 15 aralarında
HAZĠNE-1
Verilen
sayılar
asal
çarpanlarına
ayrıldığında;
asal çarpanlarından ortak olanlarının en
küçük üslülerinin çarpımı, sayıların
O.B.E.B’ini verir.
DNA-1
168
ve
180
sayılarının
bölenlerinden en büyüğü kaçtır?
A)2
B)3
C)6
D)12
asaldır.
GENETĠK KOPYA-1
504
ve
540
sayılarının
bölenlerinden en büyüğü kaçtır?
A)4
B)9
C) 12
D)24
ortak
E)36
ortak
ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ:
E)18
ÇÖZÜM
Öncelikle
verilen
sayıları
çarpanlarına ayırmak gerekir.
Ġki yada daha fazla sayma sayısının
hepsinin katı olan en küçük sayma
sayısına En küçük ortak kat denir.
(O.K.E.K)
asal
168=23.3.7
180=22.32.5
HAZĠNE-2
Verilen
sayılar
asal
çarpanlarına
ayrıldığında;
asal çarpanlarından ortak olanlarının en
büyük üslüleri ile ortak olmayanlarının
tümünün çarpımı, sayıların O.K.E.K’ini
verir.
Ortak asal çarpanları; 2 ve 3’tür.
23 ve 22 den küçük olanı 22,
3 ve 32 den küçük olanı 3’tür.
168
ve
180
sayılarının
ortak
2
bölenlerinden en büyüğü; 2 .3=12 dir.
O.B.E.B(168, 180)=22.3=12 dir.
Doğru Seçenek D dir.
DNA-2
12, 18 ve 30 sayılarının ortak katlarından
en küçüğü kaçtır?
UYARI
168 = 12.14
180 = 12.15
A)60
12 Sayısı, 168 ve 180 sayılarını
bölen ortak bölenlerin en büyüğüdür.
112
B)90
C)120
D)180
E)240
ÇÖZÜM
Öncelikle
verilen
sayıları
çarpanlarına ayırmak gerekir.
DNA-3
a ve b sayıları için;
OKEK(a,b) =108 ve
a.b çarpımı kaçtır?
asal
12=22.3
18=2.32
30=2.3.5
OBEB(a,b) =3 ise
A)108 B)111 C)216 D)324 E)972
ÇÖZÜM
Sayıların çarpımı, OBEB ve OKEK lerinin
çarpımına eĢit olduğundan;
Ortak asal çarpanlar; 2 ve 3’tür.
22 ve 2 den büyük olanı 22,
3 ve 32 den büyük olanı 32 dir.
Ortak olmayan çarpan; 5
a.b = OBEB(a, b).OKEK(a, b)
a.b = 3.108 = 324 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
12, 18 ve 30 sayılarının ortak katlarından
en küçüğü; 22.32.5=180 dir.
O.K.E.K(12, 18, 30)=180
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-3
OBEB(6,21)=A ve OKEK(6,21)=B ise,
A.B çarpımı kaçtır?
UYARI
180 = 12.15
180 = 18.10
180 = 30.6
A)36
180 sayısı, 12, 18 ve 30
B)42
C)84
D)126
E)252
IġIK-2
Aralarında asal sayıların OKEK’i
sayıların çarpımı , OBEB’i ise 1 dir.
sayılarınınkatı olan en küçük sayıdır.
Bölümler: 15, 10 ve 6 sayıları
bu
aralarında asaldır.
GENETĠK KOPYA-2
168 ve 180 sayılarının ortak katlarından
en küçüğü kaçtır?
DNA-4
24 ve 25 sayılarının ortak bölenlerinin
en büyüğü ile ortak katlarının en
küçüğünün toplamı kaçtır?
A)12
B)360
C)1440
D)2520
E)2800
A)49
B)491
C)600
D)601
E)720
ÇÖZÜM
24 ve 25 sayıları 1 den baĢka ortak
bölenleri
olmadığından
aralarında
asaldır.(ardıĢık doğal sayılar aralarında
asaldır)
IġIK-1
A ve B gibi iki sayının çarpımı bu
sayıların OBEB ve OKEK lerinin
çarpımına eĢittir.
113
OBEB(24,25)=1
OKEK(24,25)=24.25=600
OBEB(24,25)+OKEK(24,25)=1+600=601
Doğru Seçenek D dir.
IġIK-3
Hem A ve hem de B gibi iki doğal sayıya
da bölünebilen sayılar , bunların OKEK’i
ile bölünebilen sayılardır.
GENETĠK KOPYA-4
8 ve 21 sayılarının ortak bölenlerinin en
büyüğü ile ortak katlarının en küçüğünün
toplamı kaçtır?
A)168
B)169
C)216
D)217
DNA-6
x
sayısı 30, 45, 75 sayılarını tam
bölüyor,
12, 18, 24 sayıları da y doğal sayısını
tam bölüyor.
x’in en büyük değeri ile,
y’nin en küçük değerinin toplamı kaçtır?
E)321
A)72
DNA-5
5 ile x aralarında asal sayılar,
OKEK(5x, 5+x) = 520 ise
x in değeri aĢağıdakilerden hangisidir?
A)6
B)8
C)12
D)16
E)20
B) 7
C) 8
E)132
x+y = 15+72 = 87 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-6
A sayma sayısı 12 , 18 , 30 sayılarına tam
bölünmekte , B doğal sayısı bu sayıları
tam bölmektedir.
ise A kaçtır?
D) 9
D)117
y doğal sayısı, 12, 18 ve 24 sayılarına
bölünebilen en küçük sayı ise bunların
OKEK’idir.
12=22.3
18=2.32
24=23.3
y=OKEK(12,18,24)=23.32=72
OKEK(5x, 5+x) = 5x.(5+x) = 520
x.(5+x) = 104
x2+5x-104=0
(x-8)(x+13)=0
x-8=0
x1 = 8
x+13=0
x2=-13
-13 doğal sayı olmadığından;
x=8 olur.
Doğru Seçenek B dir.
A) 6
C)102
ÇÖZÜM
3O, 45 ve 75 sayılarını tam bölen en
büyük sayı, bunların OBEB’idir.
30=22.3.5
45=32.5
75=3.52 olduğundan;
x = OBEB(30, 45, 75) = 3.5=15
ÇÖZÜM
Aralarında asal sayıların, toplamları ve
çarpımları da aralarında asal olduğundan;
5x ve 5+x sayıları da aralarında
asaldır.
GENETĠK KOPYA-5
A sayma sayısıdır.
OKEK(A, A+1)+A = 48
B)87
A
nin en küçük değeri kaçtır?
B
E) 10
A)12
114
B)15
C)24
D)30
E)36
DNA-7
Boyutları 8 ve 12 metre olan dikdörtgen
halılar ile kare Ģeklinde bir alan
kaplanacaktır.
En az kaç halı gerekir?
DNA-8
Boyutları 8 ve 12 metre olan dikdörtgen
Ģeklindeki bir salon kare Ģeklindeki eĢ
halılar ile kaplanacaktır.
En az kaç halı gerekir?
A)4
A)3
B)6
C)8
D)9
E)12
ÇÖZÜM
Kare Ģeklindeki alanın kenar uzunlukları
8 ve 12 nin katı olmalıdır.
8=23
12=22.3 olduğundan
OKEK(8,12)=23.3=8.3=24 bulunur.
B)6
C)8
D)9
E)12
ÇÖZÜM
Salonun
kenar
uzunlukları,
kare
Ģeklindeki halıların kenar uzunluklarına
bölünebilmelidir.
8=23
12=22.3 olduğundan
OBEB(8,12)=22=4 bulunur.
8:4=2
12:4=3
2.3=6 tane halı gerekir.
!!! Dikdörtgenlerden kare oluşturuldu.
!!! Dikdörtgen karelere bölündü.
Karenin alanı=24.24=576
Bir halının alanı=8.12=96
𝐾𝑎𝑟𝑒𝑛𝑖𝑛 𝑎𝑙𝑎𝑛 ı
Halı sayısı=𝐵𝑖𝑟 ℎ𝑎𝑙 ı𝑛ı𝑛 𝑎𝑙𝑎𝑛 ı =
576
96
Salonun alanı=8.12=96 m2.
Bir halının alanı=4.4=16 m2.
= 6 olur.
𝑆𝑎𝑙𝑜𝑛𝑢𝑛 𝑎𝑙𝑎𝑛 ı
Doğru Seçenek B dir.
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-8
Kenar uzunlukları 15 m. ve 20 m. olan
dikdörtgen Ģeklindeki bir bahçenin
çevresine eĢit aralıklarla ağaçlar
dikilecektir. KöĢelere de ağaçların
dikildiği bu ağaçlandırmada en az kaç
ağaç dikilebilir?
GENETĠK KOPYA-7
15 cm. ve 20 cm. kenar uzunluğu olan
seramikler ile kare Ģeklinde bir yüzey
oluĢturulacaktır.
En az kaç seramik gerekir?
A)7
B)9
C)12
D)15
96
Halı sayısı = 𝐵𝑖𝑟 ℎ𝑎𝑙 ı𝑛ı𝑛 𝑎𝑙𝑎𝑛 ı = 16 = 6 olur.
E)20
A)7
115
B)12
C)14
D)16
E)20
DNA-9
91 ve 126 cm. uzunluğundaki iki ayrı
demir çubuk eĢit uzunlukta parçalara
ayrılacaktır.
Çubuklar ayrı ayrı en az kaç yerden
kesilmelidir?
GENETĠK KOPYA-9
Ġzmirden Ankaraya 9 ve 12 saatte bir
otobüs gönderen iki Ģirket aynı saatte
ilk otobüslerini gönderiyor. Ġkinci kez
birlikte aynı saatte otobüs
gönderdiklerinde toplam kaç sefer
yapılmıĢ olur?
A)28
A)5
B)29
C)30
D)31
E)32
ÇÖZÜM
Kesilecek parçaların uzunlukları,
91 ve 126 nın böleni olmalıdır.
91=7.13
126=7.18
OBEB(91,126)=7
B)7
C)8
D)9
E)12
DNA-10
1040 ve 2030 sayılarının kaç tane pozitif
tam sayı ortak böleni vardır?
A)1271
B)1800
D)2501
D)2701
Kesilecek parçaların uzunlukları 7 Ģer
cm. olmalıdır.
91 cm. uzunluğundaki demir çubuk
91=7.13 olduğundan 12 yerden,
126 cm. uzunluğundakidemir çubuk
126=7.18 olduğundan 17 yerden
kesilmelidir.
12+17=29 kesim yapılacak ve 31 parça
oluĢacaktır.
Doğru Seçenek B dir.
C)2000
ÇÖZÜM
Ortak bölenlerin sayısı, ortak
bölenlerinden en büyüğünün pozitif ortak
bölenlerinin sayısı kadardır.
1040=(2.5)40=240.540
2030=(22.5)30=260.530
OBEB(1040,2030)=240.530
(40+1)(30+1)=41.31=1271
Tane pozitif ortak böleni vardır.
Doğru Seçenek A dır.
UYARI
Ağaç dikme sorularında;
15 m.uzunluğundaki bir yola,
5 m. aralıklarla 4 ağaç dikileceği
(15=5.3
bölüm=3
ağaç sayısı=3+1=4)
GENETĠK KOPYA-10
24 ve 30 sayılarının kaçtane ortak
pozitif tamsayı böleni vardır?
A)2
Parça kesme sorularında;
15 cm.lik çubuğu, 5 cm.lik parçalara
ayırmak için, 2 yerden kesim yapılacağı
(15=5.3
Bölüm=3
Kesim sayısı=3-1=2)
Gözardı edilmemelidir.
116
B)3 C)4
D)6
E)8
DNA-11
5, 7 ve 9’a bölündüğünde sırasıyla 1, 3 ve
5 kalanını veren en küçük pozitif tamsayı
kaçtır?
DNA-12
99, 141 ve 204 sayılarını böldüğünde aynı
kalanı veren pozitif tamsayının rakamları
toplamı kaçtır?
A)311 B)315 C)319 D)323 E)327
A)3
ÇÖZÜM
5’e bölündüğünde 1 kalanını veren sayı;
A=5x+1
Bölüm özdeĢliği
7’ye bölündüğünde 3 kalanını veren sayı;
A=7y+3
9’a bölündüğünde 5 kalanını veren sayı;
A=9z+5 biçiminde yazılabilir.
ÇÖZÜM
Ortak böleni A ile gösterdiğimizde;
99 = A.B+K
Bölüm özdeĢliği
141 = A.C+K
204 = A.D+K elde edilir.
EĢitliklerini taraf tarafa çıkardığımızda;
Bu eĢitlikler bize A+4 sayısının 5,7 ve 9’a
bölünebildiğini gösterir.
A+4 sayısı, 5,7 ve 9’un OKEK’idir.
(veya OKEK’in bir katıdır)
OKEK(5,7,9)=315
A+4=315
A=311 bulunur.
Doğru Seçenek A dır.
C) 61
D) 62
D)6
E)8
UYARI
Verilen
sayıların
ortak
böleninin,
farklarının ortak böleni olduğuna dikkat
ediniz.
GENETĠK KOPYA-12
22022 ve
20222 sayıları aynı üç
basamaklı sayıya bölündüğünde aynı
kalanı vermektedir.
En büyük bölen ile ortak kalanın farkı
kaçtır?
GENETĠK KOPYA-11
Bir sınıftaki öğrenciler dörderli, beĢerli
ve altıĢarlı sıralandıklarında sırasıyla 3,
4 ve 5 öğrenci artmaktadır. Bu sınıfta en
az kaç öğrenci vardır?
B) 60
C)5
141-99 = A(C-B) = 42 = 21.2
ve
204-141 = A(D-C) = 63 = 21.3
olduğundan A sayısı 42 ve 63 ün OBEB’i
dir.
OBEB(42,63)=21
A = 21 dir.
Rakamları toplamı 3 tür.
Doğru Seçenek A dır.
EĢitliklerin her iki tarafına
4 eklendiğinde;
A+4=5x+5=5(x+1)
A+4=7y+7=7(y+1)
A+4=9z+9=9(z+1)
elde edilir.
A) 59
B)4
A)422
E) 63
117
B)478
D)1216
E)1800
C)900
DNA-13
Ortak katlarının en küçüğü 60 olan farklı
iki sayının toplamı en çok A ve en az B
olduğuna göre,
A+B toplamı kaçtır?
DNA-14
Ortak bölenlerinin en büyüğü 12 olan
farklı iki sayının toplamı en az kaçtır?
A)60 B)90 C)107 D)120 E)132
ÇÖZÜM
OBEB(a,b)=12
a+b toplamının en küçük olması için;
a=12
b=24 olmalıdır.
A)24
ÇÖZÜM
OKEK(a,b)=60
a+b toplamının en büyük olması için;
a=60
b=30 olmalıdır.
A=a+b=60+30=90 olur.
E)48
a+b=12+24=36 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
a+b toplamının en küçük olması için;
a=5
b=12 olmalıdır.
B=a+b=5+12=17 olur.
olan
D)42
in iki katıdır.
in yarısıdır.
OKEK
C)36
Sayılardan biri OBEB, diğeri OBEB
Sayılardan biri OKEK, diğeri OKEK
Çarpımları
B)30
GENETĠK KOPYA-14
Ortak bölenlerinin en büyüğü 15 olan
farklı iki sayının toplamı en az kaçtır?
aralarında
A)30
asal, biri birine en yakın iki sayı.
B)45
C)60
D)75
E)90
A+B=90+17=107 olur.
Doğru Seçenek C dir.
DNA-15
5! ve 6! sayılarının ortak bölenlerinden
en büyüğü kaçtır?
GENETĠK KOPYA-13
Ortak katlarının en küçüğü 45 olan farklı
iki sayının toplamı en çok A ve en az B
olduğuna göre,
A+B toplamı kaçtır?
A)60
B)74
C)82
D)90
A)5
B)6
C)5!
D)6!
E)7.6!
ÇÖZÜM
5!=1.2.3.4.5
6!=1.2.3.4.5.6
1.2.3.4.5 sayısı her ikisinin de bölenidir.
E)105
OBEB(5!,6!)=5! dir.
Doğru Seçenek C dir.
118
GENETĠK KOPYA-15
5! ve 6! sayılarının ortak katlarından en
küçüğü kaçtır?
A)5
B)6
C)5!
D)6!
GENETĠK KOPYA-17
24 ve a sayılarının OBEB’i 6 dır.
0 < a < 50 olduğuna göre a kaç farklı
değeri alabilir?
E)7.6!
A)2
DNA-16
217 ve 218 sayılarının ortak katlarından
en küçüğü kaçtır?
A)2
B)18
C)217
D)218
E)3.217
A)2
B)18
C)2
D)2
D)5
E)6
A)108 B)124 C)148 D)156 E)164
ÇÖZÜM
a.b=OBEB(a,b).OKEK(a,b)
a.b=12.432=(22.3)(24.33)=26.34
a=OBEB(a,b).x=12.x=22.3.x
b=OBEB(a,b).y=12.y=22.3.y
x ve y sayıları aralarında asal.
GENETĠK KOPYA-16
217 ve 218 sayılarının ortak bölenlerden
en büyüğü kaçtır?
18
C)4
DNA-18
Biri diğerini bölmeyen a ve b doğal
sayıları için,
OBEB(a,b) = 12 ve OKEK(a,b) = 432
olduğuna göre a+b toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
218=2.217 olarak düĢünüldüğünde;
218 sayısı, 217 sayısının da katıdır.
OKEK(217,218)=218
(ortak asal çarpanlardan üssü büyük
olan)
Doğru Seçenek D dir.
17
B)3
IġIK-1
DNA-1
eĢitlikler bir arada düĢünüldüğünde;
(22.3.x)( 22.3.y)= 26.34
24.32.x.y=26.34
x.y=22.32
17
E)3.2
x=22 ve y=32 olmalıdır.
Bu durumda;
a=22.3.x=22.3.22=48
b=22.3.y=22.3.32=108
DNA-17
OBEB(x,192) =32 ve x< 192 ise x’in
alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A)160 B)192 C)224 D)256 E)288
a+b=48+108=156 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
ÇÖZÜM
192=32.6
x=32.a
6 ve a sayıları aralarında asal olmalıdır.
a=1 ve a=5 olabilir.
x=32 veya x=160
32+160=192 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
119
GENETĠK KOPYA-18
OBEB(a,b) = 6 ve OKEK(a,b) = 36
olduğuna göre,
a+b toplamının en küçük değeri kaçtır?
DNA-20
a ve b sayıları için;
OBEB(a,b) =20 ise
OBEB(a4, b3) değeri kaçtır?
A)24
A)20
B)30
C)36
D)42
E)48
ÇÖZÜM
a=20.x=22.5.x
b=20.y=22.5.y
DNA-19
a ile b aralarında asal iki sayıdır.
OKEK(a,b)=345 ve a+
B)15
C)23
D)36
E)69
ÇÖZÜM
a ile b aralarında asal iki sayı olduğundan
OKEK(a,b)=a.b dir.
IġIK-2
345=a.b
GENETĠK KOPYA-20
a ve b sayıları için;
OBEB(a,b) =2 ise
OBEB(a2, b3) değeri kaçtır?
345=1.345
345=3.115
345=5.96
345=15.23
EĢitliklerinden,
a=23 ve b=15 sayıları verilen eĢitliği
sağlar.
b=15 olmalıdır.
A)2
A)1
B)2
Doğru Seçenek B dir.
A)20
D)y
C)6
B)32
D)8
C)50
ÇÖZÜM
OBEB(a,b) = 4 ise;
a=4.x ve b=4.y
değeri kaçtır?
C)x
B)4
E)10
DNA-21
a, b ve c sayıları için;
OBEB(a,b) = 4
OBEB(b,c) = 6 ve
OBEB(a,c) = 10 ise
a+b+c toplamı kaçtır?
GENETĠK KOPYA-19
a ve b aralarında asal iki sayma sayısı,
OBEB(a,b) = x
ve
OKEK(a,b) =y ise
a.b  1
?
x y
DNA-1
a4=(22.5)4.x4=28.54.x4
b3=(22.5)3.y3=26.53.y3
x ve y aralarında asal olduğundan
HAZĠNE-1 den;
OBEB(a4, b3) = 26.53 dir.
Doğru Seçenek C dir.
60
 27 ise
b
b sayısı aĢağıdakilerden hangisidir?
A)5
B)24.53
C)26.53
D)26.54
E)28.54
E)x.y
OBEB(b,c) = 6 ise;
b=6.m ve c=6.n
120
D)62
E)70
DNA-1
OBEB(a,c) = 10 ise;
a=10.p ve c=10.k
EĢitliklere dikkat edildiğinde,
A-3 sayısının 4,5,6,7 ve 8 e bölünebildiği
görülür.
Bu durumda;
A-3=OKEK(4,5,6,7,8)=840
A=843
eĢitlikler bir arada düĢünüldüğünde;
a=4.x=10.p =20 =OKEK(4,10)
IġIK-3
b=4.y=6.m =12 =OKEK(4,6)
c=6.n=10.k =30 =OKEK(6,10) olur.
8+4+3=15 bulunur.
Doğru Seçenek A dır.
a+b+c=20+12+30=62 bulunur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-22
1000 den büyük, 8, 9 ve 10 ile
GENETĠK KOPYA-21
a, b ve c sayıları için;
OBEB(a,b) = 2
OBEB(b,c) = 4 ve
OBEB(a,c) = 6 ise
a+b+c toplamı kaçtır?
A)18
B)22
C)24
bölündüğünde 2 kalanını veren en küçük
doğal sayı kaçtır?
A)1080
D)26
E)30
DNA-23
a, b ve c pozitif tamsayılar,
c=a+b dir.
a ve b nin en büyük ortak böleni
4 olduğuna göre,
AĢağıdakilerden hangisi kesinlikle çift
sayıdır?
DNA-22
4,5,6,7 ve 8 e bölündüğünde hep
3 kalanını veren 3 ten büyük en küçük
pozitif tamsayının rakamları toplamı
kaçtır?
c
A) 15
ÇÖZÜM
A=4x+3
A=5y+3
A=6z+3
A=7m+3
A=8n+3
B) 16
C) 17
B)1082
C)1172
D)1442
E)1632
D) 18
A) 4
E) 19
B)
a−b
4
C)
ÇÖZÜM
a=4x ve b=4y
c=a+b=4x+4y
c−a
4
D)
c.b
4
E)
c+b
4
DNA-1
a, b ve c nin bu değerleri seçeneklerde
yerlerine yazıldığında;
Bölüm özdeĢliği
c.b
4
A-3=4x
A-3=5y
A-3=6z
A-3=7m
A-3=8n
=
4x+4y 4y
4
= 4x + 4y y = 4 x + y y
Kesinlikle çift sayıdır.
Doğru Seçenek D dir.
YADA
a, b ve c yerine 8, 12 ve 20 gibi uygun
değerler verilerek seçenekler denenir.
121
GENETĠK KOPYA-23
a, b ve c pozitif tamsayılar,
a=b+c dir.
b ve c nin en büyük ortak böleni
3 olduğuna göre,
AĢağıdakilerden hangisi kesinlikle 6 ile
bölünebilir?
DNA-25
a ve b ardıĢık iki pozitif çift tamsayıdır.
OKEK(a,b)-OBEB(a,b)=22
olduğuna göre,
a+b toplamı kaçtır?
A)a
ÇÖZÜM
n sayma sayısı olmak üzere,
a=2n ve b=2n+2 dir.
a=2.n ve b=2(n+1)
n, n+1 ardıĢık doğal sayılar olup
aralarında asaldır.
a ve b sayılarının ortak bölenlerinden en
büyüğü 2 dir.
B)b
C)a+b
D)a+c
A)14
E)a+b+c
DNA-24
a, b ve c doğal sayılar,
a≠b≠c≠1
OKEK(a,b,c)=30 olduğuna göre,
a+b+c
toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A)6
B)8
ÇÖZÜM
30=a.x
30=b.y
30=c.z
C)10
D)12
Ardışık
C)22
çift
D)26
E)30
sayıların
ortak
bölenlerinden en büyüğü 2 dir.
E)15
a ve b sayılarının ortak katlarından en
küçüğü 2n(n+1) dir.
DNA-2
OKEK(a,b)-OBEB(a,b)=22
2n(n+1)-2=22
n(n+1)=12
n=3
a=2n=2.3=6
b=2n+2=2.3+2=8 bulunur.
a, b ve c nin küçük olması için,
x, y ve z nin büyük ve aralarında asal
olması gerekir.
x=15, y=10 ve z=6 için
a=2,
b=3 ve c=5 bulunur.
a+b+c=2+3+5=10 olur.
Doğru Seçenek C dir.
a+b=6+8=14 olur.
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-24
a, b ve c doğal sayılarının ortak
katlarından en küçüğü OKEK(a,b,c)=30
olduğuna göre,
a+b+c
toplamının en büyük değeri
kaçtır?
A)45
B)18
B)50
C)55
D)60
GENETĠK KOPYA-25
a ve b ardıĢık iki pozitif çift tamsayıdır.
OKEK(a,b)+OBEB(a,b)=22
olduğuna göre,
a+b toplamı kaçtır?
A)14
E)75
122
B)18
C)22
D)26
E)30
DNA-26
a ve b ardıĢık iki pozitif tek tamsayıdır.
OKEK(a,b)+OBEB(a,b)=64
olduğuna göre,
a+b toplamı kaçtır?
A)8
B)12
C)16
D)20
DNA-27
OKEK(63, 84, N)=126
KoĢulunu sağlayan kaç tane N pozitif
tamsayısı vardır?
A)12
E)24
olduğundan,
OBEB(a,b)=1 ve OKEK(a,b)=a.b dir.
OKEK(a,b)+OBEB(a,b)=64
a.b+1=64
(2n-1)(2n+1)=63
n=4 olur.
a+b=7+9=16 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
A)12
GENETĠK KOPYA-26
a ve b ardıĢık iki pozitif tek tamsayıdır.
OKEK(a,b)-OBEB(a,b)=98
olduğuna göre,
a+b toplamı kaçtır?
D)20
E)16
GENETĠK KOPYA-27
OKEK(66, 88, N)=1212
KoĢulunu sağlayan kaç tane N pozitif
tamsayısı vardır?
a=2n-1=2.4-1=7
b=2n+1=2.4+1=9 dur.
C)16
D)15
HAZĠNE-2 den;
N sayısı 36 çarpanını içermek zorundadır.
Diğer çarpan 20,21,22, ... ,212
olmak
üzere 13 farklı N sayısı vardır.
Doğru Seçenek B dir.
Ardışık tek sayılar aralarında asal
B)12
C)14
ÇÖZÜM
63=(2.3)3=23.33
84=(23)4=212
126=(22.3)6=212.36
ÇÖZÜM
n, sayma sayısı olmak üzere,
a=2n-1 ve b=2n+1 dir.
A)8
B)13
E)24
123
B)13
C)16
D)24
E)25
KONU TESTĠ
6. 5!, 15! ve 25! Sayılarının ortak
bölenlerinden en büyüğü
aĢağıdakilerden hangisidir?
1. 12a3b2c4
, 5abcd , 6ac6
ifadelerinin OKEK’i hangisidir?
A) ac
B) ac6
D) 12a3b2c6d
A)5
B)5!
C)15!
D)25
E)25!
C) a3b2c6d
E) 60a3b2c6d
7. 44, 4!
ve 44 sayılarının ortak
katlarından en küçüğü
aĢağıdakilerden hangisidir?
2. 24x4y
ve 30x3y5 sayılarının OBEB’i
axbyc ise,
a+b+c toplamı kaçtır?
A)10
B)19 C)129
D)139
A)8448
B)16896
C)33792
D)270336
E)322128
E)140
8. OBEB(1001, 2007)=X
3. a, b, c, d farklı asal sayılar olmak
OKEK(1001, 2007)=Y ise
X.Y çarpımı kaçtır?
üzere,
a4b3c2d, a7b5c3d ve a5b4c3d2
sayılarının OKEK’inin kaç tane pozitif
tamsayı böleni vardır?
A)120
D)654
B)210
E)1080
A)2009007
B)2009006
C)2009005
D)2009004
E)2009008
C)576
9. 5 ile bölündüğünde 2 kalanını,
4. 95
7 ile bölündüğünde 3 kalanını veren
en küçük iki pozitif tamsayının
toplamı kaçtır?
ve 152 sayılarının ortak
katlarından en küçüğü kaçtır?
A)304
B)760
C)1520
D)14440
E)28880
A)34
C)7
D)9
D)104
E)139
x ve y birbirinden farklı doğal
sayılar ve
OBEB(x, y)=21 olduğuna göre,
x+y toplamı en az kaçtır?
ve 210 sayılarının ortak
bölenlerinden en büyüğü kaçtır?
B)6
C)70
10.
5. 72
A)4
B)69
E)12
A)22
124
B)42
C)63
D)84
E)99
11.
15.
3, 5 ve 6 sayılarına
bölündüğünde hep 2 kalanını veren en
küçük doğal sayının rakamları toplamı
kaçtır?
A)1
B)5
C)11
D)12
Toplamları 46 olan a ve b pozitif
tamsayılarının en küçük ortak katı
385 tir.
Buna göre 𝑎 − 𝑏 kaçtır?
A)12 B)20
E)14
C)24
D)25
E)26
16.
Ortak katlarının en küçüğü 105
olan farklı iki sayının toplamı en çok
kaçtır?
12.
85, 98 ve 123 sayılarını
böldüğünde, sırasıyla
1, 2 ve 3 kalanını veren en büyük
doğal sayı kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
A)15
B)108
C)112
D)140
E)210
E) 15
13.
1.E 2.A 3.C 4.B 5.B 6.B 7.A
OBEB(288, 720)=A
OKEK(288, 720)=B ise,
A+B toplamı kaçtır?
8.A 9.B 10.C 11.B 12.D 13.C
14.B 15.C 16.D
A)1456
B)1520
C)1584
D)1728
E)1840
14.
OBEB(3,6,8)=X
OKEK(3,6,8)=Y ise,
X.Y çarpımı kaçtır?
A)18 B)24 C)36 D)48 E)144
125
6. Ortak katlarının en küçüğü 42 olan
KONU TESTĠ
farklı iki sayının toplamı en az
kaçtır?
1. x
ve y aralarında asal doğal
sayılardır.
OBEB(x2, y3).OKEK(x2, y3)=500
olduğuna göre,
x+y toplamı kaçtır?
A)3
B)5
C)6
D)7
A)7
B)10 C)12 D)13 E)15
E)54
7. 34 , 56 , 78
sayıları ile tam bölünebilen üç
basamaklı en büyük sayı kaçtır?
2. Ġki ayrı otobüs Ģirketi A ve B
A)105
kentleri arasında sefer yapmaktadır.
ġirketlerden biri 12 günde bir, diğeri
15 günde bir sefer yapmaktadır.
Bu Ģirketler aynı gün sefer yaptıktan
en az kaç gün sonra tekrar aynı gün
sefer yaparlar?
A)24
B)210
C)315
D)840 E)945
8. X ve 16 sayılarının OBEB’i
16 dır.
X<100 olduğuna göre, X’in alabileceği
değerlerin toplamı kaçtır?
B)30 C)60 D)75 E)90
A)32
3. OKEK(X,52)=624
olduğuna göre, X’in
en küçük pozitif tamsayı değeri
kaçtır?
B)64
C)160
D)336
E)356
9. 18, 36, 54 sayılarına bölündüğünde
13 kalanını veren üç basamaklı en
küçük doğal sayı kaçtır?
A)42 B)48 C)68 D)96 E)144
A)108 B)121 C)134 D)147 E)160
4. a.b=150
ve OBEB(a,b)=5 ise
OKEK(a,b) kaçtır?
A)20 B)25 C)30 D)40 E)50
10.
ve OKEK(a,b)=40 ise
OBEB(a,b) kaçtır?
1059, 1417 ve 2312 sayıları
d>1 sayısına bölündüğünde aynı
r kalanını vermektedir.
d-r farkı kaçtır?
A)4 B)5 C)8 D)10 E)20
A)12
5. a.b=160
126
B)13
C)14
D)15
E)16
11.
14.
3’e bölündüğünde 2,
8’e bölündüğünde 7 kalanını veren bir
sayı, 12’ye bölündüğünde kalan kaç
olur?
A)1
B)5
C)8
D)9
Hem 6 ya, hem de 8 e bölünebilen
doğal sayılar aĢağıdakilerden hangisi
ile daima bölünebilir?
A)5
E)11
C)11
D)16
E)24
15.
10 a bölündüğünde 9,
9 a bölündüğünde 8,
8 e bölündüğünde 7, ... ,
2 ye bölündüğünde 1 kalanını veren
en küçük pozitif tam sayı kaçtır?
12.
A,B∈Z ve A > B olduğuna göre,
aĢağıdakilerden hangisi yanlıĢtır?
A)1≤OBEB(A,B)≤A-B
B)1≤OBEB(A,B)≤B
C)A≤OKEK(A,B) ≤A.B
D)A.B=OBEB(A,B).OKEK(A,B)
E)OKEK(A,B) < OBEB(A,B)
A)2509
B)2519
C)2529
D)2539
E)2549
16.
a ve b doğal sayılar,
a=2b+8 ve
13.
B)24
C)27
D)36
𝑏
8
tamsayı ise,
OBEB(a,b) kaçtır?
72
sayısının
doğal
sayı
bölenlerinin
kümesi
A
ile
gösterildiğinde ;
m,n  A için
m|n
(m, n’i böler)
koĢulunu sağlayan kaç tane (m,n)
ikilisi yazılabilir?
A)12
B)9
A)4
B)6
C)8
D)12
E)16
E)60
1.D 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D
7.A 8.D 9.B 10.D 11.E 12.E
13.E 14.E 15.B 16.C
127
KONU TESTĠ
5. 22007
ve 22008 sayılarının ortak
bölenlerinden
en
büyüğü
aĢağıdakilerden hangisidir?
1. 48,
64 ve 160 sayılarının ortak
bölenlerinin en büyüğü ile ortak
katlarının en küçüğünün toplamı
kaçtır?
A)1
A)824
B)888
C)976
D)1042
E)1210
B)2
2008
D)2
C)22007
4015
E)2
6. n pozitif tamsayı olmak üzere;
𝑛
12
𝑛
ifadesinin alabileceği en
+ 18
küçük tamsayı değeri kaçtır?
2. 2 ye, 4 e ve 5 e bölündüğünde
A)2
1 kalanını veren, 3 e tam bölünebilen
100 den küçük en büyük tamsayının
rakamları çarpımı kaçtır?
A)6
B)8
C)9
D)12
B)3
C)5
D)6
E)7
E)24
7. a ve b pozitif tamsayılarının en büyük
ortak böleni
EBOB(a,b)=1 dir.
a.b=400 olduğuna göre,
kaç farklı (a,b) sıralı ikilisi
bulunabilir?
3. a ve b sayıları için:
OKEK(a,b)=4.OBEB(a,b) ve a.b=36 ise
a+b toplamı kaçtır?
A)9
B)13
C)15
D)16
A)2
B)3
C)4
D)6
E)8
E)24
8. 3, 7 ve 8 ile kalansızbölünebilen
2000 den küçük sayıların en
büyüğünün onlar basamağındaki
rakam kaçtır?
4. 242
sayısı X’e bölündüğünde 8
kalanını, 698 sayısı X’e bölündüğünde
9 kalanını vermektedir.
242 ve 698 sayılarının toplamının
aynı sayıya bölümünden kalan 4 ise
ortak bölen kaçtır?
A)11 B)13
A)2
C)17 D)19 E)23
128
B)4
C)6
D)7
E)8
9. 100! ve 102! Sayılarının ortak
14.
Kenar uzunlukları 6 cm. ve 10 cm.
olan dikdörtgenler ile bir kare
oluĢturulmak isteniyor.
En az kaç dikdörtgen kullanılmalıdır?
bölenlerinin en büyüğü kaçtır?
A)2
B)100
C)10200
D)100!
E)102!
A)10
10.
A)8
11.
D)8
E)15
13.
3700 sayısının en az kaç fazlası
4, 5 ve 6 sayıları ile kalansız
bölünebilir?
D)40
D)12
E)15
1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.C
7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.D
13.B
14.C 15.B 16.B
A)180
B)210
C)390
D)420
E)530
C)30
C)10
A)180
B)186
D)172
D)180
E)192
12, 15 ve 21 sayılarının ortak
katlarından en küçüğü kaçtır?
B)20
B)9
OBEB(30,36)+OKEK(30,36)
Toplamının değeri kaçtır?
12.
A)10
E)20
16.
6 lık, 12 lik ve 24 lük paketlerde
satılan sodalardan 90 tane almak
isteyen bir kiĢi en az kaç paket
almalıdır?
C)6
D)16
8 e bölündüğünde 2, 12 ye
bölündüğünde 6 kalanını veren iki
basamaklı en büyük doğal sayının
rakamları toplamı kaçtır?
A)168
B)252
C)504
D)1008
E)1260
B)5
C)15
15.
56 ve 72 sayılarının ortak
katlarından en küçüğü kaçtır?
A)4
B)12
E)50
129
TAMSAYILAR
TANIM
m , n , p , q  N için ;
(m,n)  (p,q)  m+q=n+p
bağıntısıyla belirli denklik sınıflarından
her birine bir tamsayı denir.
7.12 = 84
(-7).(-12) = 84
Aynı
işaretli
tamsayıların
çarpımı
tamsayıların
çarpımı
pozitiftir.
(0,0) ≈(1,1) ≈(2,2) ≈…≈(n,n)
(1,0) ≈(2,1) ≈(3,2) ≈…≈ (n,n-1)
(2,0) ≈(3,1) ≈……
=0
=1
=2
7.(-12) = -84
(-7).12 = -84
(n,0) ≈ ……
=n
negatiftir.
(0,1) ≈ (1,2) ≈ …..
(0,2) ≈(1,3) ≈ …
= -1
= -2
(0,n) ≈ …..
= -n
Ters
işaretli
DNA-1
7-3(7-3)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
Z = { …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }
A)-5
Z = Z-∪ {0}∪ Z+
ÇÖZÜM
Önce parantez içindeki iĢlem yapılır.
7-3=4
7-3(7-3) = 7-3.4 = 7-12 = -5
Doğru Seçenek A dır.
Tamsayılar
tamsayılar,
kümesi,
sıfır
sayısı
Negatif
ve
Pozitif
tamsayılardan oluşur.
B)-2
C)0
D)5
Tam sayılarda, dört iĢlemi yaparken
sonucun iĢaretine dikkat edilmelidir.
Birkaç örnekle hatırlayalım.
GENETĠK KOPYA-1
9 – (5 – 2)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
7 + 12 = 19
(-7) + (– 12) = -7-12 = -19
A)-6
Pozitif tamsayıların toplamı pozitif,
Negatif
tamsayıların
C)4
D)5
E)6
DNA-2
9 - (-3+2)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
toplamı
negatiftir.
A)-9
7 + (– 12) =7-12= -5
(-7) + 12 = -7+12=5
B)-8
C)8
D)10
E)12
ÇÖZÜM
9 - (-3+2) = 9-(-1) = 9+1 =10
Doğru Seçenek D dir.
Ters işaretli tamsayıların toplamının
işareti, mutlak değerce büyük olanın
işaretidir. ( 𝟑 = 𝟑 ,
B)-5
E)16
−𝟑 = 𝟑 )
130
GENETĠK KOPYA-2
7-(-4+3)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-8
B)-7
C)7
D)8
GENETĠK KOPYA-4
Yedi tane ardıĢık tamsayının toplamı -7
ise bu sayıların en küçüğü kaçtır?
E)9
A)-5
DNA-3
3-4(5-6)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-1
B)1
C)6
D)7
E)8
C)-4
B)-1
C)0
D)8
D)1
E)-1
DNA-5
ArdıĢık 2007 tane tam sayının çarpımları
0 olsun.
Bu sayılardan en küçüğü en az kaç
olabilir?
A)-2007
B)-2006
C)0
D)2006
E)2007
E)10
ÇÖZÜM
Çarpımlarının 0 olması için çarpanlardan
biri 0 olmalıdır.
ArdıĢık sayılardan en büyüğünü 0 alırsak,
en küçüğü -2006 olur.
Doğru Seçenek B dir.
DNA-4
Dokuz tane ardıĢık tamsayının toplamı
9 ise bu sayıların çarpımı kaçtır.
A)-9
D)-2
a.b = 0 ise a=0 veya b=0 dır.
GENETĠK KOPYA-3
2-4(6-8)
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
B)-8
C)-3
HAZĠNE-1
Bir çarpımın sonucu 0 ise; çarpanlardan
en az biri 0 dır.
ÇÖZÜM
3-4(5-6) = 3-4(-1) = 3+4 = 7
Doğru Seçenek D dir.
A)-10
B)-4
E)9
ÇÖZÜM
Aritmetik orta (sayıların toplamının, sayı
adedine
bölümü),
ortadaki
sayıyı
vereceğinden;
9:9 = 1 ortadaki sayıdır.
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
1’den önce gelen tamsayı 0 dır.
GENETĠK KOPYA-5
ArdıĢık 2008 tane tamsayının çarpımları
0 olsun.
Bu sayılardan en büyüğü en çok kaç
olabilir?
A)-2007
B)-2006
C)0
D)2007
E)2008
Çarpanlardan biri 0 olduğundan çarpımın
sonucu 0 dır.
Doğru Seçenek C dir.
131
DNA-6
1-x , 2-x , 3-x , … ,
sayılarının;
x = 18 için çarpımları kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 9
D) 18
YADA
x, y ve z ardıĢık sayıları için;
100-x
x+z
2
E) 180
= y ve
x−y+z
x+y+z
ÇÖZÜM
Verilen sayı dizisinde bulunan 18-x de;
x yerine 18 yazıldığında x-18=18-18=0
olacaktır.
Diğer
sayılar
ne
olursa
olsun,
terimlerden biri 0 olduğundan çarpım
0 dır.
Doğru Seçenek A dır.
C) 9
D) 18
=
y
3y
=
1
3
bulunur.
a+b+c
a−b+c
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
GENETĠK KOPYA-6
x+1, x+2, x+3, .... , x+2008
sayılarının;
x=-1990 için çarpımları kaçtır?
B) 1
2y−y
2y+y
GENETĠK KOPYA-7
a, b, c ardıĢık üç pozitif çift tamsayıdır.
A)1
A) 0
=
x+z = 2y özelliği kullanılır.
B)2
C)3
D)4
E)6
HAZĠNE-2
Ġki (veya daha fazla) Doğal sayının
toplamı 0 ise; toplamdaki terimlerin her
biri 0 dır.
E)2008
a,b  N için
a+b=0 ise a=0 ve b=0 dır.
DNA-7
DNA-8
x ve y tamsayılar olmak üzere;
(x-3)2+(y+2)2=0 ise
4x+5y toplamının değeri kaçtır?
x, y, z ardıĢık üç negatif tek sayıdır.
x yz
 ? iĢleminin sonucu nedir?
x yz
1
A) − 2
1
B) − 3
C)0
1
D) 3
A)0
1
E) 2
B)2
C)3
D)4
E)5
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
ArdıĢık üç negatif tamsayı olarak;
x=-5, y=-3, z=-1 alındığında,
Bir tamsayının karesinin alabileceği
en küçük değer sıfırdır.
(x-3)2+(y+2)2=0 ise
(x-3)2=0
x-3=0
x=3
2
(y+2) =0
y+2=0
y=-2
olmalıdır.
4x+5y=4.3+5(-2)=12-10=2 bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
x−y+z
−5 − −3 + (−1)
=
x+y+z
−5 + −3 + (−1)
−5 + 3 − 1 −3
−3 . 1 1
=
=
=
−5 − 3 − 1 −9
−3 . 3 3
Doğru Seçenek D dir.
132
GENETĠK KOPYA-8
a ve b tamsayılar olmak üzere,
(a+4)2+(b+1)2=0 ise
a+b toplamı kaçtır?
A)-5
B)-4
C)-3
D)-2
ÇÖZÜM
x2+y2
toplamının
değerleri araĢtıralım.
x2+y2
x2+y2
x2+y2
x2+y2
x2+y2
E)-1
DNA-9
A=5-(a+2)2
Ġfadesinin alabileceği en büyük değer
kaçtır?
A)3
B)4
C)5
D)6
=0
=1
=2
=3
=4
alabileceği
tüm
(0, 0)
(-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)
(-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)
yok.
(-2, 0), (2, 0), (0, -2), (0, 2)
olmak üzere 13 tanedir.
Doğru Seçenek D dir.
Analitik çözüm: Analitik düzlemde ;
x2+y2 =4 çemberi içinde veya üzerinde
koordinatları tamsayı olan noktalar.
(O merkezli, 2 birim yarıçaplı çember)
E)7
ÇÖZÜM
Farkın büyük olabilmesi için
(a-2)2 ifadesi en küçük değeri olan
0 değerini almalıdır.
(a+2)2=0
a+2=0
a=-2 için,
2
2
A=5-(a+2) =5-(-2+2) =5-0=5 olur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETĠK KOPYA-10
x2+y2 > 1
koĢulunu sağlamayan kaç tane farklı
(x,y) tamsayı ikilisi vardır?
A)1
B)4
C)5
D)9
E)13
GENETĠK KOPYA-9
B=(b-3)2-4
Ġfadesinin alabileceği en küçük değer
kaçtır?
A)-7
B)-4
C)-1
D)3
E)7
Ġlerideki bölümlerde ayrıntılı olarak
iĢlenecek
olmasına
karĢın,
sıklıkla
kullanılan bazı özdeĢlikleri burada
hatırlatalım.
DNA-10
x2+y2  4 koĢulunu sağlayan kaç tane
farklı (x,y) tamsayı ikilisi vardır?
A)4
B)5
C)12
D)13
E)16
133
IġIK-1
a2-b2=(a-b)(a+b)
iki kare farkı
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
tam kare
DNA-11
a2-b2 = 124 eĢitliğini sağlayan kaç
(a, b) pozitif tam sayı ikilisi vardır?
DNA-12
x2-y2 = 44 eĢitliğini sağlayan kaç
(a, b) tam sayı ikilisi vardır?
A)1
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
B)2
C)3
D)4
E)5
ÇÖZÜM
a2-b2 = (a-b)(a+b) = 124
ÇÖZÜM
x2-y2=(x-y)(x+y)=44
124=2.2.31
124’ü; 1.124, 2.62, 4.31
olarak çarpanlara ayırdığımızda;
Bir tek 2.62 de çarpanların toplamı çift
sayıdır.
44=2.2.11
44’ü;
1.44, 2.22, 4.11, 11.4, 22.2, 44.1
olarak çarpanlara ayırdığımızda;
2.22 ve 22.2 çarpanlarının toplamı çift
sayıdır.
(-2)(-22) ve (-22)(-2) çarpımlarının da
koĢulları sağladığı göz önüne alındığında
Bu
tür
tamsayı
sorularında;
çarpanlar toplamı çift olmalıdır.
x-y=2
x+y=22
x-y=22
x+y=2
a+b çarpanı büyük alınmıştır.
x-y=-2
x+y=-22
x-y=-22
x+y=-2
Bu durumda;
a-b=2 ve
a+b=62 olur.
denklem sistemlerinin çözümünden;
Pozitif
tamsayılarda
arandığından;
a-b
çözüm
çarpanı
küçük,
(12,10), (12,-10), (-12,10) ve (-12,-10)
olmak üzere dört tane tamsayı ikilisi
bulunabilir.
Doğru Seçenek D dir.
a=b+2 ve b+2+b=62 den
a=32 ve b=30 bulunur.
(32,30) ikilisi eĢitliği sağlar.
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-11
a2-b2 = 15 eĢitliğini sağlayan kaç
(a, b) pozitif tam sayı ikilisi vardır?
GENETĠK KOPYA-12
Farkları 1 den büyük x ve y tamsayıları
için,
x2-y2=187 olduğu bilindiğine göre,
x.y çarpımı kaçtır?
A)1
A)30
B)2
C)3
D)4
E)5
134
B)36
C)40 D)42
E)54
DNA-13
a, b, c, d, e farklı tamsayılar olmak üzere
(6-a)(6-b)(6-c)(6-d)(6-e)=45 ise
a+b+c+d+e toplamı kaçtır?
A)5
B)17
C)25
D)27
(y’nin katsayısı -2 olduğundan, y’yi daha
küçük seçtik)
3x-2y-z=3.2-2(-2)-(-1)=6+4+1=11
bulunabilecek en büyük değerdir.
Doğru Seçenek B dir.
E)30
GENETĠK KOPYA-14
{-2,-1,0,1,2} kümesinin birbirinden farklı
x, y ve z elemanları için
3x-2y-z
Ġfadesinin en küçük değeri kaçtır?
ÇÖZÜM
45 sayısı farklı 6 tamsayının çarpımı
biçiminde;
45=(-1).1.(-3).3.5 yazılabilir.
6-a=-1 ⟹ a=7
6-b=1 ⟹ b=5
6-c=-3 ⟹ c=9
6-d=3 ⟹ d=3
6-e=5 ⟹ e=1
a+b+c+d+e=7+5+9+3+1=25 bulunur.
Doğru Seçenek C dir
A)-15
B)2
C)3
D)4
A)69
B)11
C)12
D)14
D)-11
E)-10
B)70
C)71
D)72
E)73
ÇÖZÜM
Bilinmeyen
sayısından
E)6
sayısının,
denklem
fazla
olduğu
sorularda;
bilinmeyenlerden
birine
değerler
verilerek, diğerleri aranır.
y’ye çift değerler vererek araĢtırmaya
baĢlayalım;
DNA-14
{-2,-1,0,1,2} kümesinin birbirinden farklı
x, y ve z elemanları için
3x-2y-z
Ġfadesinin en büyük değeri kaçtır?
A)10
C)-13
DNA-15
2x+7y = 1 000 eĢitliğini sağlayan kaç
tane (x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
GENETĠK KOPYA-13
x ve y tamsayıları için:
x.y=15 ise
x+y toplamı kaç farklı değer alabilir?
A)1
B)-14
y=2 için x=493
y=4 için x=486
y=6 için x=479
...
y=140 için x=10
y=142 için x=3
E)15
ÇÖZÜM
Ġfadenin büyük değer alması için;
katsayıları pozitif olanlar büyük, negatif
olanlar küçük seçilmelidir.
En büyük eleman 2 olduğundan x=2,
En küçük eleman -2 olduğundan y=-2 ve
z=-1 seçilmelidir.
bulunur.
71 tane (x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır
Doğru Seçenek C dir.
y'nin aldığı değerler, x’in katsayısı
olan 2 şer artarken,
x’in aldığı değerler, y’nin katsayısı
olan 7 şer azalmaktadır.
135
Analitik çözüm: Analitik düzlemde
1. Bölgede
2x+7y = 1000 doğrusu
üzerinde koordinatları tamsayı olan
noktalar.
GENETĠK KOPYA-16
x ve y tamsayıları için,
2x+3y=0 ise
x+y toplamının en küçük pozitif değeri
kaçtır?
GENETĠK KOPYA-15
3x+5y=501 denklemini sağlayan kaç tane
(x,y) pozitif tamsayı ikilisi vardır?
A)1
A)31
DNA-17
a ve b tamsayıları için,
a2-b2=24 ise
a+b toplamının en küçük değeri kaçtır?
B)32
C)33
D)34
E)35
DNA-16
a ve b negatif tamsayılar olmak üzere,
2a-5b=0 olduğuna göre,
a+b toplamının en büyük değeri kaçtır?
A)-3
B)-4
C)-5
D)-6
A)-25
B)-12
D)4
C)-11
E)5
D)-10 E)-6
24=1.24=2.12=3.8=4.6=6.4=8.3=12.2=24.1
ve bu çarpanların negatif olanlarından,
toplamları
çift
olanlar
karĢılaĢtırıldığında
a+b toplamının enküçük değeri -12 dir.
Doğru Seçenek B dir.
ÇÖZÜM
Toplamın büyük olması için, a ve b büyük
değerler almalıdır.
2a-5b=0
2a=5b
Negatif
tamsayılar
içinde
sağlayan en büyük sayılar;
a=-5 ve b=-2 dir.
C)3
ÇÖZÜM
a2-b2=(a-b)(a+b)=24
E)-7
a'nın
alabileceği
değerler,
katsayısının katları,
b’nin
alabileceği
değerler,
katsayısının katlarıdır.
B)2
b’nin
GENETĠK KOPYA-17
m ve n pozitif tamsayılar olmak
üzere;
m2+49 = n2 dir.
a’nın
n-m kaç farklı değer alabilir?
koĢulu
A)1
a+b=(-5)+(-2)=-5-2=-7 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
136
B)2
C)3
D)4
E)7
6. x=-2 için
KONU TESTĠ
1. 4-5[4+8(7-9)]
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
x{x[x(x+1)+1]+1}+1
Ġfadesinin sayısal değeri kaçtır?
A)-20
A)9
B)-12
C)24 D)36 E)64
2. Çarpımları 342 olan ardıĢık iki
A)10
eĢiti
D)12
E)13
7x+11y=100 ise
x+y toplamı kaçtır?
A)-19 B)-18 C)17 D)18 E)19
ĠĢleminin
hangisidir?
C)11
7. x ve y pozitif tamsayıları için;
tamsayıdan en küçüğü kaçtır?
3. a-b-[a-3b-(2a-5b)]
B)10
aĢağıdakilerden
B)11
C)12
D)13 E)14
8. (x+1)
+ (x-2) + (x+3) + (x-4) + …+
(x+99) + (x-100)
iĢleminin sonucu kaçtır?
A)a-b
B)2a-b
C)a-2b
D)2a-3b
E)3a-2b
A) x-50
B) x+50
C) 100x-50
D) 100x+50
E) x+500
4. x, y ve z farklı pozitif tam sayılar
olmak üzere,
x+y2+z3 toplamının
en küçük değeri kaçtır?
A)7
B)8
C)9
9. (x-3)(3x+4)
D)10
= 0
Denkleminin Tam sayılardaki çözüm
kümesi aĢağıdakilerden hangisidir?
E)12
A) ∅
5. x=-2
ve y=4 için
D) {-3}
x 2 y x  2
=?
3x  4 y
Ġfadesinin sayısal değeri kaçtır?
A)-1
B)0
C)1
D)2
B) {3}
4
3
C) {− }
4
E) {3, − 3 }
10.
a, b ve c pozitif tamsayılar olmak
üzere,
3a-2b+c=0 ise
a+b+c toplamının en küçük değeri
kaçtır?
E)4
A)3
137
B)4
C)5
D)6
E)7
11.
15.
x2y-y3 = 105 eĢitliğini sağlayan
(x,y) pozitif tam sayıları için
x+y toplamı kaçtır?
a,b,c birbirinden farklı pozitif
tamsayılardır.
Buna göre, 3a+2b+c=30 denklemini
sağlayan en büyük c sayısı kaçtır?
A)20
B)21
C)22
D)23
A)7
E)24
C)9
D)12
E)17
A) 1
1.E
7.C
13.D
13.
Çarpımları 342 olan ardıĢık iki
Pozitif tamsayıdan küçüğü kaçtır?
A)-19 B)-18 C)17 D)18 E)19
14.
2008 tane pozitif tamsayısının
çarpımı 2008 dir.
Bu sayıların toplamının en büyük
değeri kaçtır?
A)2007
B)2008
D)4015
E)4016
D)15
E)17
6 dan küçük kaç tane x tamsayısı
için 6 + x
ifadesi bir tamsayı
gösterir?
Karelerinin farkı 72 olan pozitif
iki tamsayının toplamı en az kaçtır.
B)8
C)9
16.
12.
A)6
B)8
C)2009
138
B)2
C)3
D)4
E)5
2.A
3.D
4.B
5.B
8.C
9.B
10.B
11.D
14.D 15.D 16.D
6.C
12.D
RASYONEL SAYILAR
TANIM
K = {(p:q)
GENETĠK KOPYA-1
x−y+1
= 0 ise
x−4
p,q  Z ve q  0 }
aĢağıdakilerden hangisi kesinlikle
doğrudur?
kesirler kümesinde ;
(p:q)  (r:s)  p.s=q.r
denklik bağıntısının ayırdığı denklik
sınıflarından her birine bir rasyonel sayı
denir.
𝑝
𝑞
(p, q) 𝜖 K ifadesi
A)x=4
B)x=-1
C)y=-1
D)x  5
E) y  5
Ģeklinde gösterilir.
DNA-2
2
𝑥
= 15 eĢitliğini sağlayan x sayısı
5
p’ye kesrin payı, q’ya kesrin paydası
denir.
𝑝
kesri, p bölü q Ģeklinde okunur.
𝑞
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)4
IġIK-1
p r
=
q s
⇔
C)8
D)10
E)12
ÇÖZÜM
IġIK-1 den,
p. s = q. r
2
5
DNA-1
a b3
0
a 1
B)6
𝑥
= 15
⇔
2.15=5.x
5x=30
x=6 bulunur.
ise
aĢağıdakilerden hangisi kesinlikle
doğrudur?
A) a=-1
B) a=3
C) b  -1
D) b  4
E) a+b  3
Doğru Seçenek B dir.
GENETĠK KOPYA-2
−12
9
= 3 eĢitliğini sağlayan x sayısı
𝑥
aĢağıdakilerden hangisidir?
ÇÖZÜM
Kesrin 0’a eĢit olması için payının;
a+b-3=0 olması gerekir.
A)-4
B)-3
C)1
D)3
E)4
Kesrin tanımlı olması için paydanın;
a+1≠ 0 olması gerekir.
a+1 ≠ 0
⇒
DNA-3
a ≠ -1 olmalıdır.
n3
n3
a=-1 olsa idi;
a+b-3=-1+b-3=b-4=0 ⇒ b=4 olurdu.
ifadesini tamsayı yapan
kaç tane n tamsayısı vardır?
A) 8
a ≠ -1 olacağından b ≠ 4 olmalıdır.
Doğru Seçenek D dir.
139
B) 7
C) 6
D) 5
E) 2
ÇÖZÜM
Kesrin tam sayı göstermesi için;
payın, paydaya bölünebilmesi gerekir.
𝑛+3
𝑛−3
=
𝑛−3+6
𝑛−3
=
𝑛−3
𝑛−3
+
6
𝑛−3
=1+
3a=2b
𝑏
𝑐
b 4
=
c 1
𝑏
6
𝑛−3
3
=4 ⇔
⇔ b=4c
Toplamın küçük olması için a, b ve c nin
küçük seçilmesi gerekir.
6 sayısının tamsayı bölenleri;
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 olmak üzere
8 tanedir.
n-3=-6 ⇒ n=-3
n-3=-3 ⇒ n=0
n-3=-2 ⇒ n=1
n-3=-1 ⇒ n=2
n-3=1 ⇒ n=4
n-3=2 ⇒ n=5
n-3=3 ⇒ n=6
n-3=6 ⇒ n=9
olmak üzere n’in alabileceği 8 tamsayı
değeri vardır.
Doğru Seçenek A dır.
3a=2b eĢitliğinde a=2k ve b=3k (kϵZ+)
olmalıdır.
b=4c
3k=4c eĢitliğinde
k=4m ve c=3m (mϵZ+) olmalıdır.
m=1 için;
c=3m=3.1=3
k=4m=4.1=4
b=3k=3.4=12
a=2k=2.4=8
bulunur.
a+b+c=8+12+3=23 olur.
Doğru Seçenek E dir.
GENETĠK KOPYA-3
n+2
n−2
ÇÖZÜM
𝑎
2
=
⇔
ifadesini tamsayı yapan
kaç tane n tamsayısı vardır?
A)2
B)3
C)4
D)6
GENETĠK KOPYA-4
a, b ve c pozitif tamsayıları için
E)8
a
b
2
= 3 ve
a+b+c
kaçtır?
A)9
𝑏
𝑐
=4
ve
b
c
3
=2
ise
a+b+c toplamının en küçük değeri
kaçtır?
DNA-4
a, b, c pozitif tamsayılar,
𝑎
𝑏
3
=4
A)8
olduğuna göre,
B)9
C)12
D)29
E)32
toplamının en küçük değeri
B)12
C)15
D)20
DNA-5
a, b pozitif tamsayılar ve
E)23
𝑎
3
+𝑏 = 5
olduğuna göre;
a’nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
A)3
140
B)6
C)9
D)12
E)15
ÇÖZÜM
Toplanan terimlerden birinin büyük
olması isteniyorsa, diğerinin küçük olması
gerekir.
DNA-6
108 108
144 144
kesrinin eĢiti
aĢağıdakilerden hangisidir?
2
b=1 için
𝑎
3
+1=5
𝑎
3
=4
B) 4
C)
4
9
D)
7
9
11
E) 12
ÇÖZÜM
Pay ve paydayı asal çarpanlarına ayırıp
kısaltmaları yapalım.
+𝑏 = 5
𝑎
3
3
A) 3
108 108=22.33.7.11.13
144 144=24.32.7.11.13
a=12 bulunur.
108 108
144 144
Doğru Seçenek D dir.
GENETĠK KOPYA-5
x ve y pozitif tamsayılar,
=
22 .33 .7.11.13
24 .32 .7.11.13
=
3
22
=
3
4
bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
x+ = 4 olduğuna göre
GENETĠK KOPYA-6
420
630
kesrinin eĢiti aĢağıdakilerden hangisidir?
y nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 3
y
4
A)4
B)8
C)12
D)16
2
C)
4
9
D)
7
9
E)20
IġIK-3
𝑎
𝑐
ve 𝑑 rasyonel sayıları için;
𝑏
Rasyonel sayılarla, dört iĢlem kurallarını
hatırlayıp, örneklerle pekiĢtirelim.
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
∓ =
𝑎.𝑑∓𝑏.𝑐
𝑏.𝑑
UYARI
IġIK-2
𝑎
rasyonel sayı ve n≠ 0 için;
𝑏
𝑎
𝑏
3
B) 4
𝑎
𝑘
𝑎
𝑘
𝑛.𝑎
= 𝑛.𝑏
Bir kesrin pay ve paydası sıfırdan farklı
bir sayı ile çarpılır veya bölünürse,
kesrin değeri değiĢmez.
141
ve
𝑏
𝑘
rasyonel sayıları için;
𝑏
𝑘
=
𝑎∓𝑏
𝑘
∓
11
E) 12
DNA-7
1
13
1
9
+ −
DNA-8
1
27
5
2  5 5
x 2
x
iĢleminin sonucu kaçtır?
13
A) 27
17
20
B) 27
C) 27
5
ise x kaçtır?
5
D) 9
E) 6
A) 1
ÇÖZÜM
1
1
1
1
1
1
1
1-3 + 9 − 27 = 1 − 3 + 9 − 27
1.9
1.3
1
27
9
3
𝑥
20
=
1
Doğru Seçenek C dir.
2
B) 3
1
C) 4
3
D) 4
𝑎.𝑐
𝑎 𝑑
5
1
2
𝑥
5 1
5.2+2𝑥.5𝑥
2𝑥.2
=
5 𝑥
5.1
5.𝑥
= 2 . 𝑥 + 1 . 2 = 2.𝑥 + 1.2
=
10+10𝑥 2
4𝑥
5+5𝑥 2
2𝑥
=5
5+5x2=5.2x
⇒
1+x2=2x
⇒ x-1=0
⇒ x=1
Doğru Seçenek A dır.
GENETĠK KOPYA-8
3
4+3
5 4
5
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
= 𝑏.𝑑
= 𝑏.𝑐 =
=
(x-1)2=0
E) 1
IġIK-5
𝑎
𝑐
ve 𝑑 rasyonel sayıları için;
𝑏
𝑎 𝑐
:
𝑏 𝑑
5𝑥
2
+
E) 5
x2-2x+1=0
IġIK-4
𝑎
𝑐
ve 𝑑 rasyonel sayıları için;
𝑏
𝑎 𝑐
.
𝑏 𝑑
5
2
𝑥
1
5(1+x2)=5.2x ⇒
iĢleminin sonucu kaçtır?
1
=
2(5+5𝑥 2 )
2.2𝑥
5+5𝑥 2
2𝑥
GENETĠK KOPYA-7
1
3
2- 2 − 4
A) 2
2
𝑥
D) 4
5
2  5 5
x 2
x
bulunur.
= 27
5
5
IġIK-3 ve UYARI uygulandığında;
27−9+3−1
27
+
= 2𝑥 +
=1.27 − 3.9 + 9.3 − 27 = 27 − 27 + 27 − 27
=
C) 3
ÇÖZÜM
5
2
Kesirlerin paydalarını eĢitlemek için;
Birinci kesrin pay ve paydasını 27 ile,
Ġkinci kesrin pay ve paydasını 9 ile,
Üçüncü kesrin pay ve paydasını 3ile
çarpalım;
1.27
B) 2
A)3
𝑎.𝑑
𝑏.𝑐
142
9
B)310
C)4
1
D)45
E)5
UYARI
a, b ve c tamsayıları için;
𝑏
𝑎𝑐
𝑏
𝑎. 𝑐
𝑖𝑙𝑒
𝑏
𝑐
𝑏
𝑐
𝑏
𝑎
1
𝑎 𝑏
4
𝑏
𝑐
4
4
5
3.4
5
=
𝑎.𝑐+𝑏
𝑐
𝑎.𝑏
𝑐
35 = 3 + 5 =
3. =
7
5
1
3+
2
iĢleminin sonucu kaçtır?
7−
farklı gösterimlerdir.
𝑎 =𝑎+ = + =
𝑎. 𝑐 = 1 . 𝑐 =
GENETĠK KOPYA-9
A)
3.5+4
5
=
3
5
3
B) 8
C) 1
8
D) 5
E) 2
19
5
12
5
Yukarıda
görüldüğü
gibi
farklı
gösterimler, farklı sayıları gösterir.
DNA-10
4
kesrinin pay ve paydasına x sayısı
5
eklendiğinde, kesrin çarpımsal tersi elde
edilmektedir.
x sayısı kaçtır?
DNA-9
A)-9
1
1
2−2 3−3 2
−
:
1
1 3
2+
3+
2
3
3
5
B) −
ÇÖZÜM
1
2
1
2+
2
2−
=
3
2
5
2
=
3.2
2.5
=
3
5
=
−
2
5
C) −
1
3
1
3+
3
: =
8
3
10
3
: =
3−
−
8.3
3
−1 3
.
5 2
=
−1.3
5.2
=
−
3
5
E)
3.3−1
3
3.3+1
3
3 2
8
3
2 5
3 10
3
3
D)
2
− 3.10 . 2 =
2.4
2.2−1
2
2.2+1
2
2
− 2.5 . 2 =
3
1𝑂
3
5
−3
10
3
5
. − .
8
3
4+𝑥
5+𝑥
3
1𝑂
4
3
D)6
:
.
E)9
5
4
olduğundan
5
=4
4(4+x)=5(5+x)
16+4x=25+5x
x=-9 bulunur.
2
Doğru Seçenek A dır.
3
3
GENETĠK KOPYA-10
2
kesrinin pay ve paydasından kaç
3
2
çıkarılırsa, kesrin çarpımsal tersi elde
edilebilir?
3
− 10 . 2
− 5 .2 =
C)1
ÇÖZÜM
4
kesrinin çarpımsal tersi
5
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) −
B)-6
3−4
5
3
A)2
.2
3
= − 10
Doğru Seçenek C dir.
143
B)3
C)4
D)5
E)6
DNA-11
9 10 11
 
K
10 11 12
1 1 1
 
10 11 12
DNA-12
(2:3):[(4:5):6]
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
ise
1
A) 5
toplamının K türünden
eĢiti aĢağıdakilerden hangisidir?
A)K-1
B) 1
C) 5
D) 10
ÇÖZÜM
Önce
küçük
parantezler
içindeki
iĢlemleri, sonra diğer parantez içindeki
iĢlemleri yaparız.
B)1-K C)K-3 D)3-K E)3K
ÇÖZÜM
(2:3):[(4:5):6] =
9 10 11
 
K
10 11 12
2 4
2 4 1
:[ : 6]  :[ . ]
3 5
3 5 6
2 4
2 30 60
 :[ ]  . 
5
3 30 3 4 12
1 1 1
=A
 
10 11 12
Doğru Seçenek C dir.
EĢitlikleri taraf tarafa toplandığında;
9
10
10
11
1
1
GENETĠK KOPYA-12
2:[3:(4:5)]
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
1
+ 11 + 12 + 10 + 11 + 12 = 𝐾 + 𝐴
Soldaki ifade gruplandığında
9
10
+
1
10
9+1
10
+
10+1
11
10
10
+
11
11
+
10
11
+
+
12
12
+
11+1
12
1
11
+
11
12
+
1
12
A)
=𝐾+𝐴
8
15
GENETĠK KOPYA-11
12
13
14
A=11 + 12 + 13 ise
1
12
+
1
13
E) 5
B) 1
C) 5
D) 10
E) 50
ÇÖZÜM
Küçük parantezden iĢleme baĢlayacağız.
Sayının -1 inci kuvvetini almak, sayının
çarpımsal tersini yazmaktır.
toplamının A türünden eĢiti
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)A-1
D) 3
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
Doğru Seçenek D dir.
1
+
C) 1
DNA-13
[2-3(2-3)-1]-1
A) 5
1
11
2
B) 3
=𝐾+𝐴
=1+1+1=3=𝐾+𝐴
A=3-K bulunur.
E) 50
a-1=
B)A-3 C)1-A D)3-A E)3A
𝟏
𝐚
dır.
[2-3(2-3)-1]-1 = [2-3(-1)-1]-1
= [2+3]-1 = 5-1 =
1
5
Doğru Seçenek A dır.
144
GENETĠK KOPYA-13
[9-10(9-10)-1]-1 = ?
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
1
B) 19
A) -19
D) 19
GENETĠK KOPYA-14
1
2
5
D)2
E)3
2
3
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
4
B)2 7
IġIK-6
3
D)3 5
C)3
𝑎
𝑏
E)4
ÇÖZÜM
Merdivenli kesirlerde en alt (üst)
basamaktan iĢleme baĢlanır ve adım adım
devam ettirilerek sonuca gidilir.
2
3
4
C) 1 5
3
2
5− =
5
B)1 8
?
5
3
1
2
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)1
5
1
1
1
C)
19
E) 20
?
1
1
DNA-14
A)2
1
1
15−2
3
13
3
=
𝑑
𝑐
𝑣𝑒
rasyonel sayıları için;
OKEK(
a c OKEK (a, c)
, )=
OBEB (b, d )
b d
OBEB(
OBEB (a, c)
a c
, )=
OKEK (b, d )
b d
bulunur.
Yerine yazalım
3
3
9
=
olur.
13 = 3.
13
3
13
Bunu da yerine yazdığımızda;
9
26−9
17
2 − 13 = 13 = 13 bulunur.
Her
yeni
bulunan
yazacağımızdan;
5
17
13
13
65
2
14
= 2. − 14 = −
5+ −
2.7+4
7
17
7
en küçük doğal sayı kaçtır?
A)1
= − 17
17
14
17
=
51−65
17
2
4
ve
in katı olan
3
5
yerine
ve
= 5. 17 = 17
3 − 17 =
−
65
sayıyı
DNA-15
=5−
4
17
7
C)4
D)8
E)15
ÇÖZÜM
olur.
2 4
3 5
OKEK( , )=
17
7
=
B)2
OKEK (2,4) 4
 4
OBEB (3,5) 1
Doğru Seçenek C dir.
35−17
7
=
18
7
4
= 2 + 7 = 2 7 dir.
Doğru Seçenek B dir.
145
GENETĠK KOPYA-15
8
12
ve 25 sayıları ile tambölünebilen en
49
TANIM
a bir tamsayı, n bir sayma sayısı olmak
üzere;
𝑎
biçiminde yazılabilen sayılara
10 𝑛
küçük pozitif tam sayı kaçtır?
A)24
B)36
C)48
D)56
ondalık rasyonel sayı denir.
E)72
DNA-16
a ve b doğal sayılar ve
1 1
+ =1
𝑎 𝑏
olduğuna göre,
a+b toplamı kaçtır?
A)2
B)3
ÇÖZÜM
1
𝑎
1
𝑏
+ =1 ⇒
C)4
𝑎+𝑏
𝑎.𝑏
D)5
E)6
1
2
= 2.5 = 10 = 0,5
1.5
5
1
5
=
1.2
5.2
1
4
=
1.25
4.25
=
2
10
=
= 0,2
25
100
gibi.
= 0,25
UYARI
ab,cd ondalık sayısının çözümlenmiĢ Ģekli
ab,cd =a.10+b.100+
= 1 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 𝑎. 𝑏
𝑐
10
+
𝑑
10 2
dir.
Toplamları, çarpımlarına eşit olan iki
pozitif tam sayı; a=2 ve b=2 dir.
2+2=2.2
DNA-17
𝑎
𝑎 = 𝑎. 𝑏 − 𝑏 ⇒ 𝑎 = 𝑏 𝑎 − 1 ⇒ 𝑏 = 𝑎−1
𝑏=
𝑎−1+1
𝑎−1
x  0,5 y  0,5 z  0,5


 4,5 ise
x
y
z
1 1 1
   ? değeri kaçtır?
x y z
1
⇒ 𝑏 = 1 + 𝑎−1
Son eĢitlikte;
b’nin doğal sayı olması için,
a-1=1 ⇒ a=2 ve
a=2 için de b=2 değerini alır.
A)1
GENETĠK KOPYA-16
a ve b doğal sayıları için;
a+b=6 olduğuna göre
1
1
+𝑏
toplamının alabileceği en küçük
𝑎
değer kaçtır?
1
3
B)
1
2
2
3
D)
3
4
D)2,5
=𝑥+
𝑥
0,5
𝑥
+𝑦 +
𝑦
0,5
𝑦
+𝑧 +
=1+
0,5
𝑥
+1+
0,5
𝑦
+1+
=3+
0,5
𝑥
+
0,5
𝑥
C)
C)2
E)3
ÇÖZÜM
𝑥+0,5
𝑦+0,5
𝑧+0,5
+ 𝑦 + 𝑧
𝑥
a+b=2+2=4 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
A)
B)1,5
+
0,5
𝑦
+
0,5
𝑦
0,5
𝑧
+
146
0,5
𝑧
= 1,5
2 ile çarpalım
E) 1
𝑧
0,5
𝑧
0,5
𝑧
= 4,5
iki tarafı da
1
𝑥
1
𝑦
1
𝑧
+ + =3
DNA-18
bulunur.
0,04  0,004
?
0,02
x 0,5 y 0,5 z 0,5

 
 
 4,5
x
x
y
y z
z
0,5 0,5 0,5


 1,5
x
y
z
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) 2
eĢitliğini 2 ile
B)2,1
ÇÖZÜM
4
0,04 =
çarparsak yanıt 3 bulunur.
Doğru Seçenek E dir.
4
GENETĠK KOPYA-17
0,04+0,004
0,02
1
0,2 0,5
+
:
0,1 0,02 5
iĢleminin sonucu kaçtır?
B)0,3
44
= 900 .
90
2
D)2,3
0,02 =
90
=
E)2,4
2
90
değerlerini yerine yazalım.
0,004 = 900
A)0,2
C)2,2
4
4
+
90 900
2
90
=
40
4
+
900 900
2
90
=
44
900
2
90
22
= 10 = 2,2
Doğru Seçenek C dir.
C)20 D)30 E)200
GENETĠK KOPYA-18
a  3,1 ve b  1, 3 için
değeri kaçtır?
HAZĠNE-1
Her rasyonel sayının bir devirli ondalık
açılımı vardır.
KarĢıt olarak her devirli ondalık açılım
bir rasyonel sayı belirtir.
1
3
A)2
= 0,252525 … = 0, 25
C)2,1
D)2,3
E) 2,3
DNA-19
a ve b pozitif tam sayılar,
= 0,333 … = 0, 3
25
99
B)2,1
a
?
b
3, 45 
gibi.
a
b
için a+b toplamının
en küçük değeri kaçtır?
A)38
𝑥 = 0,2555 … = 0,25
100𝑥 = 25,555 …
10𝑥 = 2,555 …
90𝑥 = 23
23
𝑥 = 90
gibi.
B)43 C)49 D)52 E)55
ÇÖZÜM
3, 45 =
345−3
99
=
342
99
9.38
38
= 9.11 = 11
a=38 ve b=11
IġIK-7
a+b=38+11=49 bulunur.
Doğru Seçenek C dir.
𝐷𝑒𝑣𝑖𝑟𝑙𝑖 𝑜𝑛𝑑𝑎𝑙ı𝑘 𝑠𝑎𝑦ı =
𝑜𝑛𝑑𝑎𝑙 ı𝑘 𝑘ı𝑠𝑚 ı𝑛 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑚 ı−𝑑𝑒𝑣𝑟𝑒𝑡𝑚𝑒𝑦𝑒𝑛 𝑘ı𝑠𝑚 ı
𝑑𝑒𝑣𝑟𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑚𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑑𝑎𝑟 9,𝑑𝑒𝑣𝑟𝑒𝑡𝑚𝑒𝑦𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑚𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑑𝑎𝑟 0
147
GENETĠK KOPYA-19
a ve b pozitif tam sayılar,
a
2,2 1 =
için a-b farkının
IġIK-9
Paydaları
eĢit
pozitif
rasyonel
sayılardan,
payı büyük olan sayı diğerinden büyüktür.
b
en küçük değeri kaçtır?
A)9
B)10
C)11
D)12
E)13
8
7
6


 ...
13 13 13
gibi.
IġIK-8
Bir devirli ondalık sayıda, devreden sayı
9 ise; kendisinden önce gelen basamağı
1 arttırır.
IġIK-10
Payları eĢit pozitif rasyonel sayılardan,
paydası büyük olan sayı diğerinden
küçüktür.
0,9 = 1
17 17 17


 ...
8
7
6
0,29 = 0,3
gibi.
IġIK-11
Payı ile paydasının farkı eĢit olan
rasyonel sayılardan;
1 den küçük sayılarda payı büyük olan
sayı diğerinden büyük,
DNA-20
99, 9  9, 9  0, 9  ?
15 12

16 13
Toplamının değeri kaçtır?
A)110,7
D)112
B)111
E)120
C) 111,7
1 den büyük sayılarda payı büyük olan
sayı diğerinden küçüktür.
ÇÖZÜM
Devreden basamak 9 olduğu için;
99, 9 = 100
9, 9 = 10
0, 9 = 1
yazıldığında;
43 15

42 14
99, 9 + 9, 9 + 0, 9 = 100 + 10 + 1 = 111
Doğru Seçenek B dir.
DNA-21
GENETĠK KOPYA-20
8, 9 + 0,89
0,9
iĢleminin sonucu kaçtır?
B)10
C)11
D)12
gibi.
m  N  için
x
A)9
gibi.
m3
m5
, y
,
m2
m4
z
m7
m8
sayıları arasındaki sıralama nasıldır?
A) x<y<z
B) x<z<y C) z<x<y
D) z<1<y<x E) z<y<1<x
E)13
148
ÇÖZÜM
x ve y nin payları, paydalarından büyük
olduğundan, x ve y sayıları 1 den
büyüktür.
GENETĠK KOPYA-22
K=
4x  1
ifadesi veriliyor.
2x  1
K’ yı 0 yapan x değeri kaçtır?
x ve y nin payları ile paydalarının farkı
eĢit olduğundan, payı büyük olan y sayısı
x den küçüktür.
A) −
1
4
B)0
C)
1
2
D)
3
2
E)2
z nin payı, paydasından küçük olduğundan
1 den ve diğer sayılardan küçüktür.
DNA-23
Bu durumda sıralama;
z<1<y<x olur.
Doğru Seçenek D dir.
4x  1
ifadesi veriliyor.
2x  1
x kaç olursa olsun, K’nın alamayacağı
değer kaçtır?
GENETĠK KOPYA-21
11
121
A=
B=
12
K=
C=
122
1221
1222
1
A)0
Olduğuna göre, aĢağıdaki sıralamalardan
hangisi doğrudur?
B) 2
C) 1
D)
3
2
E)2
ÇÖZÜM
K=
A)a<b<c
B)a<c<b
C)b<c<a
D)c<b<a
E)c<a<b
𝑎𝑥 +𝑏
𝑐𝑥 +𝑑
ifadesinde, x değiĢkeni hangi
değeri alırsa alsın, K için x lerin
𝑎
katsayılarının oranı olan
değeri
𝑐
bulunamaz.
x’lerin katsayılarının oranı, K’ nın değeri
olamaz.
DNA-22
K=
K
4x  1
ifadesi veriliyor.
2x  1
4
2
, K  2 dir.
Doğru Seçenek E dir.
Ġfadeyi tanımsız yapan x değeri kaçtır?
A)0
1
B) 2
C) 1
D)
3
2
ÇÖZÜM
Paydayı 0 yapan x
tanımsızdır.
2x-1=0
1
x=2 için tanımsızdır.
E)2
GENETĠK KOPYA-23
K=
değerleri
için
4x  1
ifadesi veriliyor.
2x  1
K’yı tamsayı yapan
toplamı kaçtır?
Doğru Seçenek B dir.
A)-1
149
B)0
C)1
x
D)2
tamsayılarının
E)3
DNA-24
K=
DNA-25
Ali 0 ile 3 arasında 1’den farklı 100 tane
pozitif rasyonel sayı, Oya da Ali’nin
yazdığı sayıların çarpımsal terslerini
yazsın.
Bu 200 sayının kaç tanesi 0 ile 1
arasındadır?
4x  1
ifadesi veriliyor.
2x  1
Hem K’yı ve hem de çarpımsal tersini
tamsayı yapan x değerlerinin toplamı
kaçtır?
A)-2
B)-1
C)0
D)1
A) 49
E)2
B)50
C)51
D)99
E)100
ÇÖZÜM
Hem kendisi, hem de çarpımsal tersi
tamsayı olan iki sayı vardır.
Bu sayılardan biri 1, diğeri -1 dir.
ÇÖZÜM
0 ile 1 arasındaki rasyonel sayıların
çarpımsal tersleri 1 den büyük,
1 ile 3 arasındaki rasyonel sayıların
çarpımsal tersleri, 0 ile 1 arasındadır.
4x  1
1
2x  1
Ali, 0 ile 1 arasında x tane, 1 ile 3
arasında 100-x tane sayı yazmıĢ olsun.
2x-1=4x+1
2x=-2
x=-1
0ya, 100-x tane 0 ile 1 arasında,
x tane de 1 den büyük sayı yazmak
zorundadır.
4x  1
 1
2x  1
0 ile 1 arasındaki sayıların adedi;
x+(100-x)=100 dür.
Doğru Seçenek E dir.
-2x+1=4x+1
6x=0
x=0
GENETĠK KOPYA-25
Çarpımsal tersi kendisine eĢit olan kaç
tane rasyonel sayı vardır?
-1+0=-1 aranan toplamdır.
Doğru Seçenek B dir.
A)1
GENETĠK KOPYA-24
2a−3
5a+6
ve
5a+6
2a−3
Ġfadelerinin bir tamsayı olduğu
bilindiğine göre,
a nın alabileceği değerlerden biri
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)-6
B)-3
C)1
D)3
E)6
150
B)2
C)3
D)4
E)5
KONU TESTĠ
6. (2-1+3-1)-1
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
1. 16:4+8.2-8
A) 5
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) 10
2.
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
7. [2-(2: 2 -2)]: 1 +3
𝟐
1:{[(𝟑:4):5]:6}
1
B) 1
C) 5
D) 10
A) 6/7
E) 180
8. a
3. {[2:(3.4)-5]6-7}:(8.9)
1
𝑎
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
1
A)− 2
B)0
C)
1
2
D)1
3
2
B) 3
C) 5
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A) 5
B) 1/6
C) 6
D) 2/3
E) 6/5
D) 6
E) 7
ve b doğal sayıları için; a.b=6 ise
1
+𝑏
toplamının en küçük değeri
kaçtır?
E)2
A)
1
3
1
B) 2
2
5
C) 3
D) 6
E) 1
4. 5  2(5  2)
(5  2)5  2
9. 2
iĢleminin sonucu nedir?
A) -13
D) 1
1
B) 13
E) 13
A)45
iĢleminin sonucu kaçtır?
D) 16
1
B)49
C)50
D)54
E)55
1 3
+
10. 31 52
−
4 9
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
128 : (2.4)
B) 2
1
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
1
C)
13
5. (128 : 2).4
A) 1
1
1 − 2 + 3 1 − 3 + … + 10 1 − 10
C) 4
E) 256
168
5
A)
151
144
5
B)
7
C)270
96
D)35
140
9
E)
11.
3
2+
:
7
3
15.
7
5+
5
5
6
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
1+
9
A)
10
11
C)
10
B)1
1
1
?
1
1
1
1
2
iĢleminin sonucu nedir?
6
D)
5
13
E)
10
A)
7
17
B)
7
10
C)
3
4
D) 3
E) 4
12.
A,B,C ve D sayıları {1,2,3,4}
kümesinin farklı elemanları olmak üzere;
𝐴
𝐵
16.
𝐶
− 𝐷 = 1 ise, A+C toplamı kaçtır?
A)3
B)4
C)5
D)6
iĢleminin sonucu kaçtır?
E)7
A)
13.
3
4
14.
B)
1
5
C)
5
12
D)
1
12
E)
1
20
B) 3
1
2
C)
1
4
D)
4
7
1.B
2.E 3.A
4.B 5.D 6.E
7.C 8.C 9.A 10.A 11.C 12.E
13.D 14.A 15.E 16.E
E) 2
3 

1
 3
4 : 1

 3

3  12
 1
 4

iĢleminin sonucu kaçtır?
A) 145
1
4
1
1
(3  )  (1  )
2
2
1
3
(4  )  (  1)
4
4
iĢleminin sonucu kaçtır?
A)
 1 1  1  5
 2  3 . 4  : 6
 

B) 144
C) 143
D) 13 E) 12
152
KONU TESTĠ
1. 1 
1
5.  2  1  3 
1  

3
1
1
1 x
zincir kesrinin kısaltılmıĢı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A) x-1
4 
2
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
1
B) –x
D) 1-x
E) 1+x
A)
19
3
B)
17
3
C)
16
3
D)
14
3
E)
13
3
C) x-1
6.
3
n 32


17 68 51
eĢitsizliğini sağlayan kaç tane n doğal
sayısı vardır?
2. 1  1 1  1 1  1 ...1 

2 
3 
4 
1 
?
100 
A) 28
B)29
C)30
D)32
E)34
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)0,001 B)0,01
7. Bir sayıyı 0,75 ile bölmek, hangi sayı
C)0,1 D)1 E)10
ile çarpmak demektir?
3
4
A) 4
B) 3
C) 3
D) 4
E) 6
1
  2 1  3 1 
3.         ?
2 
 3 
8. 0,65+(0,2+ 1 ) 0,5
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
A)-6
4.
6
B) − 5
5
C) − 6
2
D)
5
6
E
iĢleminin sonucu kaçtır?
6
)5
A) 5
x
x2 ?
x
1
x2
Ġfadesinin
eĢiti
9.
1
B)
𝑥
2
D) x
D) 2
E) 1
1
(0,18  0, 04)
0, 01
A)0,14
C) 2
C) 3
iĢleminin sonucu kaçtır?
aĢağıdakilerden
hangisidir?
A) 2
B) 4
E)2x
153
B)1,4
C)14
D)140
E)1400
10.
14. 1 −
0, 4 ifadesinin eĢiti hangisidir?
A) 0, 2
B) 0, 20
11.
E) 0, 40
7
8
6
𝐴)
?
5
A)2
12.
1
6
C)3
1
D) 3 2
1
1−
2
3
5
B)
3
8
C)
2
3
D)
8
5
E) 4
a, b ve c farklı pozitif tamsayıları
için
1
2
3
+ 𝑏 + 𝑐 toplamının alabileceği en büyük
𝑎
değer kaçtır?
E)4
A)4
B)
13
3
C)
25
6
D)
9
2
E) 5
16.
sayısının eĢiti aĢağıdakilerden
A yüksekliğinden bırakılan bir top
yüksekliğinin r
(r< 1) ile çarpımı
kadar yükseliyorsa denge durumuna
gelinceye kadar aldığı toplam yol:
hangisidir?
A)0, 6
1
15.
3
4
2
ĠĢleminin sonucu kaçtır?
1
B)2 2
1+
iĢleminin sonucu kaçtır?
C) 0, 60
D) 0, 6
1
B)0, 16
C)0,16
D)0,16
E)0, 3
1+r
A.1−r dir.
13.
6 metre yüksekliğinden bırakılan bir top
yüksekliğinin yarısı kadar yükseliyorsa
denge durumuna gelinceye kadar alacağı
toplam yol kaç metredir?
1 2 4  5 7  8


3
6
9 x
eĢitliğinde x kaç olmalıdır?
A)1
B)2
C)3
D)4
A)6
B)9
C)12
D)15
E)18
E)5
1.A
7.B
13.C
154
2.B
8.E
14.C
3.E
4.B
9.C
10.D
15.B 16.E
5.E
11.B
6.C
12.D