G:\02_maltepe tarama_tiffgrup\dvd_02_\cd_09_669mb_215

1 BÖLÜM
> Temel Kavramlar
> Sayı Basamakları
> Taban Aritmetiği
> Bölme Bölünebilme
> Bölen Sayıları, Obeb-Okek
> Rasyonel Sayılar
> Sıralama, Basit Eşitsizlikler
> Mutlak Değer
> KTT -1
'£7^W<- -^
£:?K*^.*.:ı>*v,:*Ş*:
-s.'
RAKAM:
Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir.
Onluk sayma sisteminde kullanılan rakamlar:
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 dur.
•
en çok 4 . 4 = 16,
birbirlerinden farklı ise en çok 3 . 5 = 15,
en az 1 . 7 = 7 dir.
SAYI:
•
Bir çokluk belirtmek için, rakamların belirli kurallara göre
bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeye sayı denir.
-10, 0,
Örnek:
Toplamları 8 olan iki pozitif tamsayının çarpımı;
3
3
Toplamları 9 olan iki doğal sayının çarpımı;
en çok 5 . 4 = 20,
en az 0 . 9 = 0 dır.
•
, İl, 1 0 2 6 , 10" 7 , 2,9, e , n ,
Çarpımları 16 olan iki doğal sayının toplamı;
en çok 1 + 1 6 = 17,
ifadeleri birer sayıdır.
en az 4 + 4 = 8,
birbirlerinden farklı ise en az 2 + 8 = 10 dur.
SAYI KÜMELERİ:
IV. Rasyonel Sayılar:
I. Doğal Sayılar:
Kümelerin eleman sayılarını belirten sayılara doğal
sayı denir. Doğal sayılar kümesi (N),
N = { 0 , 1, 2, 3, . . . , n, n + 1,
o
a ve b birer tamsayı ve b * 0 olmak üzere, —
de yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.
Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir.
dir.
Q = ( —: a , b e Z ve b *
b
} dir.
°>
En küçük doğal sayı 0 (sıfır) dır.
o
II. Sayma Sayıları:
Varlıkları saymaya yarayan, sıfırın dışındaki doğal sayı­
lara sayma sayıları ya da pozitif doğal sayılar denir.
Sayma sayıları kümesi (N + ),
+
N = { 1 , 2, 3
n,n + 1,...}=
şeklin­
_3_ _5_ J _ _3
>-
3, 0, 1 , 2, .
~ 4 '
2 ' 7 ' 2
sayıları birer rasyonel sayıdır.
E
»
u.
V. İrrasyonel Sayılar:
N-{0}dır.
III. Tamsayılar:
Virgülden sonraki kısmı bilinemeyen veya a , b e Z ve
a
b * 0 olmak üzere, — şeklinde yazılamayan sayılara
b
Yer şekillerinin yükseklikleri ifade edilirken deniz se­
irrasyonel (rasyonel olmayan) sayılar denir.
viyesinin yüksekliği O(sıfır) kabul edilip, yükseklikler
İrrasyonel sayılar kümesi Q' ile gösterilir.
pozitif (+), derinlikler de negatif (-) sayılarla belirtilir.
Q'
=/ x : x * — ; a, b e Z ve b * 0 } d i r .
Z + = { 1 , 2, 3,.... n,...} pozitif tamsayılar kümesi,
Z~ = (..., - n,..., - 3 , - 2 , - 1 } negatif tamsayılar kümesi,
-İl , V-5 , V2 , V4 , ... , e , TC, ....
Pozitif tamsayılar, negatif tamsayılar ve O(sıfır) m
oluşturduğu kümeye tamsayılar kümesi denir.
•
Z = {...,-n
-3,-2,-1,0,1,2,3
n,...} dir.
•
Z = Z " u { 0 } u Z + ve Z + = N + dır.
•
0 (sıfır) pozitif tamsayı ya da negatif tamsayı değildir.
Sıfırın işareti yoktur.
sayıları birer irrasyonel sayıdır.
•
VI. Reel (Gerçel - Gerçek) Sayılar:
Sayı doğrusundaki bütün sayılarla bire bir eşlenebilen
sayıların oluşturduğu kümeye reel sayılar kümesi denir
Kural:
•
•
Toplamları sabit olan iki sayı arasındaki farkın mutlak
değeri azaldıkça (sayı doğrusunda aralarındaki mesafe
azaldıkça) bu iki sayının çarpımının mutlak değeri artar.
Çarpımları sabit olan iki sayı arasındaki farkın mutlak de­
ğeri arttıkça bu iki sayının toplamının mutlak değeri artar.
Q n Q ' = { } dir.
ve R ile gösterilir.
•
R=QuQ'
•
N+ = Z
+
cNcZcQcR
ve
Q'cR
dir.
MATEMATİK SORU BANKASI
TEK VE ÇİFT SAYILAR:
POZİTİF VE NEGATİF SAYILAR:
2 ile tam bölünebilen tamsayılara çift sayılar,
Sıfırdan büyük reel sayılara pozitif reel sayılar, sıfır­
dan küçük reel sayılara negatif reel sayılar denir. Po­
zitif reel sayılar kümesi R+, negatif reel sayılar kümesi
de R~ ile gösterilir.
2 ile tam bölünemeyen tamsayılara da tek sayılar denir.
n bir tamsayı olmak üzere, genel olarak çift sayılar (2n),
tek sayılar da (2n - 1) ifadeleriyle belirtilir.
Zç = { . . . , - 2 n
•
Aynı işaretli iki sayının toplamı, bu sayıların işareti ile
aynı işaretlidir.
•
Ters işaretli iki sayının toplamı, bu iki sayıdan mutlak
değeri büyük olan ile aynı işaretlidir.
•
Bir sayıdan; kendisinden küçük bir sayı çıkarılırsa so­
nuç (fark) pozitif, kendisinden büyük bir sayı çıkarılırsa
sonuç (fark) negatiftir. Buna göre, a ile b nin işaretine
bakılmaksızın,
- 2 , 0,2,..., 2n, . . . } = { 2 n : n el}
kümesi çift sayılar kümesidir.
Z T = {...,-2n + 1
-1,1
2 n - 1 , ...} = {2n-1 : n e Z }
kümesi tek sayılar kümesi,
Benzer şekilde,
N ç = { 0 , 2, 4
2n, ... } = { 2 n : n e N }
kümesi çift doğal sayılar kümesi,
a > b «=>a-b>0,
N T = { 1, 3, 5, ..., 2n + 1, ...} = { 2n + 1 : n e N }
•
Aynı işaretli iki sayının çarpımı (veya bölümü) pozitif,
ters işaretli iki sayının çarpımı (veya bölümü) negatiftir.
•
Pozitif bir reel sayının bütün kuvvetleri pozitif, negatif bir
reel sayının; tek sayı kuvvetleri negatif, çift sayı kuvvet­
leri ise pozitiftir. Buna göre,
kümesi tek doğal sayılar kümesidir.
T bir tek sayıyı ve Ç bir çift sayıyı göstermek üzere,
toplama-çıkarma (±) ve çarpma (x) işlemlerinin sonucu,
+
T
ç
X
T
T
ç
T
T
T
ç
T
ç
ç
ç
ç
ç
ç
x * 0 ve n e Z olmak üzere,
x 2 n daima pozitif,
I. Ardışık Sayılar:
Ardışık iki tamsayının çarpımı çifttir.
D
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayılara ardışık
ne Z ise n(n - 1) ve n(n + 1) çift sayıdır.
sayılar denir.
İki veya daha fazla tamsayının çarpımı tek sayı ise bü­
tün çarpanlar tek sayı, bu çarpım çift sayı ise çarpanlar­
dan en az birisi çift sayıdır.
n bir tamsayı olmak üzere,
Ardışık tamsayılar:..., n, n + 1, ...
Ardışık tek sayılar:..., 2n - 1, 2n + 1, ...
Bir tek sayının bütün doğal sayı kuvvetleri tek sayı, bir
çift sayının bütün pozitif tamsayı kuvvetleri çift sayıdır.
Ardışık çift sayılar: ..., 2n, 2n + 2, ...
7 ile bölünebilen ardışık çift sayılar:..., 14n, 14n + 14,...
Tek ve çift sayılar arasındaki işlemlerde bir üslü sayının
pozitif tamsayı kuvveti 1, negatif tamsayı kuvveti - 1
yapılarak sonucun tek ya da çift olup-olmadığı kontrol
edilebilir. Örneğin; 3
ve 3
99
Ayrıca, ardışık terimleri arasındaki fark sabit olmayan
ardışık sayı dizileri de olabilir.
Örneğin, genel terimi n2 olan ardışık tamsayılar:
0,1,4,9
n 2 , (n + 1) 2 , ...
,
alınarak so­
± 1 dışındaki bir tamsayının negatif tamsayı kuvvetleri
tamsayı olamaz.
neZ"
..., 5n + 2, 5n + 7, ...
yerine 3 ,
nuçlarının tek ya da çift olması durumları kontrol edilir.
ve
5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren ardışık tamsayılar:
1
1 r10
/ 1 r9
.
/ÎT1
—
ve I—
yerine!—
x e Z - { - 1, 1 }
x 2 n _ 1 ile x aynı işaretlidir.
ARDIŞIK SAYILAR VE SONLU TOPLAMLARI:
şeklinde tablo ile gösterilmektedir.
100
a < b < = > a - b < 0 dır.
ise
x
n
g Z dir.
•
Ardışık terimleri arasındaki fark sabit olan sayı dizilerine
aritmetik dizi, aritmetik dizinin ardışık terimleri arasın­
daki farka ortak fark denir.
II. Aritmetik Dizilerin Sonlu Toplamları:
Örnek:
İlk (birinci) terim a v son (n inci) terim a n ,
x e Z olmak üzere,
artma ya da azalma miktarı (ortak fark) d olmak üzere,
A = x 2 0 0 0 + x 2 0 0 1 - 3 2 0 0 2 yerine,
A = x + x - 3 = 2 x - 3 alınırsa A daima tek sayı,
B
=
2 1 0 - x 1 0 - x 2 0 - x 2 0 0 0 yerine,
B = 2 - x - x - x = 2-3x
alınırsa;
x tek sayı iken B tek sayı, x çift sayı iken B de çift
sayıdır.
Terim sayısı : n =
a
n
3
1
- aı
+1
i
d
+ a
n
•n
(^ + a n )(a n - a 1 + d)
2d
Temel Kavramlar
Aralarında Asal Sayılar:
n terim sayısı olmak üzere,
1 den başka pozitif ortak böleni (çarpanı) olmayan iki
Ardışık tamsayıların toplamı:
veya daha fazla pozitif tamsayıya aralarında asal sayılar
-. o c
„ n(n + 1)
1 +2 + 3 + ... + n =
2
Ardışık çift sayıların toplamı:
denir.
5 ile 7; 4 ile 15; 4,7 ve 12; 9, 6 ve 10 aralarında asal
sayılardır.
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)
iki veya daha fazla pozitif tamsayının aralarında asal
olması için, bu sayıların asal sayı olması gerekmez.
Hiçbirisi de asal olmayabilir. 4, 9 ve 15 sayıları araların­
da asal üç sayıdır.
Ardışık tek sayıların toplamı:
2
1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n dir.
Sonlu bir aritmetik sayı dizisinin terimlerinin aritmetik or­
talaması ortadaki terime eşittir.
7 + 12 + 17 + 2 2 + 2 7
= 17
1 ile bütün pozitif tamsayılar aralarında asaldır.
Ardışık olan pozitif tamsayılar daima aralarında asaldır.
m ile n aralarında asal iki pozitif tamsayı ise, (m + n)
ile (m.n) de aralarında asal,
(ortadaki terim 17)
aynı şekilde (m + n) ile (m.n) aralarında asal ve m ile n
Bir aritmetik dizinin herhangi bir terimi, kendisinden eşit
uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir.
pozitif tamsayı ise m ile n de aralarında asaldır.
x ile y ve a ile b aralarında asal sayılar olmak üzere,
*n-k + a n+k
x _ a
dir.
Örneğin; Toplamları 209 olan on bir tane ardışık tek
sayıdan en büyük olanı ile en küçük olanının toplamı,
209
'OT
Örnek:
x ile y aralarında asal sayılar ve — =— ise,
y
9
x ve y değerlerini bulalım.
=$ x + x = 38 dir.
11
(x = a ve y = b) dir.
7~~b~
>s
D
ASAL SAYILAR:
1 den ve kendisinden başka pozitif tamsayı böleni
(veya çarpanı) olmayan 1 den büyük doğal sayılara asal
sayı denir.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 4 1 , 43, . . .
sayıları birer asal sayıdır.
x
15
— = — =>
y
9
x
5
,.
„
— = — v e x = 5 , y = 3 olur.
y
3
FAKTORIYEL:
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına
n faktöriyel denir ve n! şeklinde gösterilir.
n! = 1 . 2 . 3
( n - 1 ) . n dir.
2 den başka çift olan asal sayı yoktur.
21 = 1 . 2 ,
1 den büyük her doğal sayının en az bir tane asal sayı
böleni vardır.
71 = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 7 . 6 ! = 7 . 6 . 5 !
1 den büyük bir n doğal sayısı,
n! = n.(n-1)! = n . ( n - 1 ) . ( n - 2 ) ! = ...
den büyük olma­
31 = 1 . 2 . 3
0! = 1 ve 1! = 1 dir.
yan hiçbir asal sayı ile bölünmüyorsa n asal sayıdır.
Örneğin; 127 sayısının asal sayı olup-olmadığını anla­
Örnek:
mak için, V l 2 7 = 1 1 , . . . olduğundan, 127sayısının
3! + 4! = 3! + 4 . 3! = (1 + 4) . 3! = 30 dur.
2, 3, 5, 7, 11
Veya, 3!+ 4! = 1 . 2 . 3 + 1 . 2 . 3 . 4
asal sayılarına bölünüp-bölünmediğini
kontrol etmek gerekir. 127 sayısı, bu asal sayıların
= 6 + 24 = 30 dur.
hiçbirine bölünmediği için asal sayıdır.
Örnek:
x, y, z asal sayı ve x(y - 4) = z
ise,
x + y + z toplamının en küçük değeri;
y - 4 = 1 ve z = x = 2 olacağından,
x + y + z toplamı en az, 2 + 5 + 2 = 9 olur.
10! - 9!
10.9! - 9!
8! + 7!
8 . 7 ! + 7!
(10- -1) .9!
(8 +
D .7!
9 . 8 . 7!
7!
= 72 dir.
":'• 'y^y-'yy-^ •„&;{••
TEMEL KAVRAMLAR
x ve y
6.
pozitif tamsayılardır.
x.y = 64
B)34
x doğal sayı olmak üzere,
hangisi tek sayıdır?
C)30
E) 14
D) 16
7.
E) x + x
Aşagıdakilerden hangisi çift sayıdır?
C) 74
D) 86
E) 94
E)710-45
D)1010-310
olduğuna göre, x + y + z toplamının alabileceği
en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark
en çok kaçtır?
£
3.
a
b
c
pozitjf
tamsayılar olmak üzere,
a + 4b
O
x ve y birbirinden farklı tamsayılardır.
x + y = 26
12
B) 182
E
olduğuna göre, aşagıdakilerden hangisi daima
doğrudur?
Q
C) 168
D) 108
A) c tektir
D) c çifttir
9.
3x + 7 sayısı en büyük negatif tamsayıya eşit ol­
duğuna göre, x aşagıdakilerden hangisidir?
B)--
C)--
D)-1
B) b çifttir
E)0
a, b, c asal sayılardır.
a . b . c = 110
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 2
B)5
C) 11
D) 18
E) 23
(x + y ) . ( y - 4 ) = 12
olduğuna göre x, y, z reel sayılarının işareti aşa­
gıdakilerden hangisi olamaz?
B) + , + , -
D) + , - , +
E) a çifttir
1 0 . x + y ile y - 4 aralarında asal sayılardır.
x . y . z <0
A)-,-,-
C) a tektir
E) 27
x bir reel sayıdır.
A)_ 8
= 5c
u.
olduğuna göre, x. y nin en büyük değeri kaçtır?
A) 192
C)510-37
B) 5 8 + 8 4
A) 2 5 + 3 7
y.z = 32
C) 3x + 3
3
3
D) x - x
x.y = 24
B) 56
3
B) x + 2
A)x + 6
x, y, z birer pozitif tamsayıdır.
A) 42
., f -i *f.. < "
7x + 4 çift sayı olduğuna göre, aşagıdakilerden
olduğuna göre, x + y toplamının en küçük değe­
ri kaçtır?
A) 65
TEST
C) - , + , +
E) - , - , +
olduğuna göre, y nin değeri aşagıdakilerden han­
gisi olabilir?
A) 11
B) 10
C)9
D) 8
E) 6
Temel Kavramlar
1 1 . x, y, z ardışık asal sayılardır.
16.
1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + ... + 4 6 - 4 7 + 48
x + y + z toplamı aşağıdaki lerden hangisi olabilir?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 11
A) - 25
B)15
C)21
D) 25
E) 30
Buna göre,
kaçtır?
A)
4
(a-d) .(b-c)
işleminin sonucu
C)
D)0
D) 23
E) 26
3 + 6 + 9 + ... + 60
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2
B)
C) 0
6 + 12 + 18 + ... + 120
17.
1 2 . a, b, c, d sırasıyla ardışık tek sayılardır.
(a-b) .(c-d)
B) - 23
B)3
C)4
D) 6
E)
E)-3
10! + 9!
8! + 7!
18.
1 3 . a, b, c ardışık tek sayılar ve a < b < c olmak üzere,
Û
o
işleminin sonucu kaçtır?
2.b - c
o
a
A) 66
B) 77
D) 99
C) 88
E) 111
işleminin sonucu kaçtır?
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
E) 1
19.
n pozitif bir tamsayıdır.
(n + 2)! = (2n-4)!
14.
olduğuna göre, (n - 2)! + (n - 3)! toplamının so­
Aşağıdaki lerden hangisi üç tane ardışık çift sayı­
nın toplamı olamaz?
A)-6
B)0
C)6
D) 18
nucu kaçtır?
A) 6
E) 20
20.
15.
B)18
C)24
D) 30
Yandaki hatalı yapılan çarpma
işleminin doğru sonucu kaçtır?
ab
x 75
mn
+ kr
132
A) 825
C)925
1 +2 + 3 + ... + (2n + 1) = 153
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
E) 36
B) 875
D)950
E)1000
Cevaplar: 1-D 2-A 3-C 4-A 5-E 6-C 7-C 8-E 9-D 10-D 11-B 12-C 13-E 14-E 15-B 16-E 17-A 18-C 19-D 20-A
7
1.
BÖLÜM
1.
6.
a, b, c rakamdır.
a, b ve c birbirinden farklı pozitif tamsayılardır.
a - b = 2 ve 2 c - b > a
a = 2b ve b > c
olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük
olduğuna göre, üç basamaklı en büyük abc sayısı
kaçtır?
A) 987
B) 956
C) 845
D) 843
değeri kaçtır?
A) 10
E) 864
7.
2.
TEST
2
TEMEL KAVRAMLAR
a, b ve c
D) 6
C)7
B)8
E) 5
pozitif tamsayılardır.
x, y, z rakamdır.
a . b . c = 60
x - y = 2 ve z = x - 1
olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği
olduğuna göre üç basamaklı
küçük değeri kaçtır?
xyz
A) 220
D) 120
B)201
C)122
sayısının en
en küçük değer kaçtır?
A) 10
E) 102
O.
o.
a, b, c birbirinden farklı negatif tamsayılar olmak üzere,
a - b + 5c
B)-9
gisidir?
O-11
D)-12
A) 7!
x, y, z
olduğuna göre, a - b - c toplamı aşağıdakilerden
hangisine eşit olamaz?
C)38
B)6!
D) 48
C)5!
D) 4!
E) 3!
negatif tamsayılardır.
olduğuna göre,
değeri kaçtır?
a - b = 5c
B)28
— sayısı aşağıdakilerden hanA
z = 3.x
y>x
a, b, c sıfırdan farklı tamsayılar olmak üzere,
A) 20
E) 16
E)-13
9.
4.
D) 14
A = — + —
5!
6!
olduğuna göre,
olduğuna göre, a + b + c toplamının en büyük
tamsayı değeri kaçtır?
A)-7
C)12
c
=5
b+c
B) 11
A)-5
B)-6
x + y+z
C)-8
toplamının en büyük
D)-9
E)-10
E) 108
1 0 . a ve b pozitif tamsayıdır.
5.
7
tanesi pozitif; 17
a.b = 7
tane ardışık tamsayının
toplamı kaçtır?
olduğuna göre, b nin alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A)-7
B)-11
O-13
D)-17
E)-19
A) 3
B)4
C)7
D) 8
E) 10
Temel Kavramlar
1 6 . x, y ve z birer reel sayıdır.
1 1 . a asal sayı ve b tamsayıdır.
a = 5b + 6
2
x.y <0
b
^->0
z
olduğuna göre, b kaç farklı değer alabilir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
x.y.z < 0
E) 6
olduğuna göre; x, y, z nin işaretleri sırasıyla
aşağıdakilerden hangisidir?
12.
A)-,-,-
6 + 7 + 8 + ...+ 29
B) + , + , +
D) + , - , +
C) - , + , -
E) + , + , -
işleminin sonucu kaçtır?
A) 432
B)420
C) 320
D) 290
Aa + 3
17.
E) 275
5
=b
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima
doğrudur?
1 3 . x, y ve z doğal sayılardır.
x . y = 12
y . z = 24
A) a çift sayıdır.
B) a tek sayıdır.
C) b tek sayıdır.
D) b çift sayıdır.
E) a ve b çift sayıdır.
C
D
olduğuna göre, x + y + z nin en küçük değeri
kaçtır?
o
A) 18
•
B)16
C)15
D) 12
E) 10
1 8 . x, y ve z ardışık doğal sayılar olmak üzere,
x < y < z dir.
x . y = 56
©
olduğuna göre, z kaçtır?
1 4 . m, n, k pozitif tamsayılardır.
A) 6
B)7
C)8
D) 9
E) 10
m.n + m.k = 19
olduğuna göre, m + n + k toplamı kaçtır?
A) 17
B)18
C)19
D) 20
E) 21
1 9 . a, b, c ve d ardışık tek sayılardır.
a < b < c < d olduğuna göre,
(a - b) + (b - d) + (d - a) + (d - c)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 4
1 5 . a, b ve c negatif tamsayı olmak üzere,
a = 5b
b = 2c
olduğuna göre, a + b + c toplamının en büyük
değeri kaçtır?
A)-13
B)-14
O)-15
D)-16
Cevaplar: 1-D 2-B 3-B 4-C 5-D 6-B
E)-17
7-C 8-B 9-D
10-D
B)2
C)0
D)-2
E) - 4
2 0 . a, b, c ve d ardışık doğal sayılar olmak üzere,
a < b < c < d dir.
b . c = 20 olduğuna göre, a + b + c + d kaçtır?
A) 19
B)18
1-C 12-B 13-D 14-D 15-A
C)17
16-A
D) 16
E) 14
17-C 18-D 19-B 20-B
9
BÖLÜM
1.
6.
a ve b birer rakamdır.
7a + b
m ve n pozitif tamsayılardır.
= 3
olduğuna göre, a + b
— = 2n + 3
4
olduğuna göre, aşagıdakilerden hangisi daima tek
kaçtır?
sayıdır?
A) 13
B) 11
C)9
D) 8
E) 7
A) md + 1
B)m + 2
E) m - 2
D) nf + 2
2.
C)m
x ve y pozitif tamsayılardır.
2x + 5
x+1
x + y = 24
olduğuna göre, x.y nin alabileceği en büyük de­
ifadesini tamsayı yapan x in doğal sayı değerle­
ğer kaçtır?
rinin toplamı kaçtır?
A) 144
B) 143
C) 142
D) 141
A) 6
E) 140
B)5
C)4
D) 3
E) 2
D
C
x 8.
a.b.c < 0
a
3.
x - y ve y + 2 aynı tamsayıya eşit olduğuna göre,
>»
b.c>0
•
a.c< 0
x.y nin değeri aşagıdakilerden hangisi olabilir?
A) 3
B)6
C)10
D) 12
olduğuna göre; a, b, c reel sayılarının işareti
sırasıyla aşagıdakilerden hangisidir?
E) 18
A)-,-,-
B) - , + , -
D) - , + , +
4.
9.
a, b, c asal sayılardır.
a = (13)1b-c
olduğuna göre, y - x farkının en küçük değeri kaç­
tır?
A)-7
B)-8
C)-10
D)-13
olduğuna göre,
re, bu sayıların toplamı kaç olabilir?
C)30
işleminin sonucu kaçtır?
B)5
C)8
D) 11
E) 17
(2x + 1 ) . ( y - 1 ) = 45
4a - 7 ve 2a + 3 ardışık iki tek sayı olduğuna gö­
B) 28
*
1 0 . x ve y aralarında asal doğal sayılardır.
a bir doğal sayı olmak üzere,
A) 26
a
E) - 1 5
A) 3
10
E) + , - , -
x ve y birer tamsayıdır.
x + x.y = 15
5.
C) + , + , -
D) 32
olduğuna göre, x + y nin en büyük değeri kaçtır?
E) 34
A) 9
B) 10
C) 13
D) 15
E) 17
Temel Kavramlar
1 1 . 2a - 5b ile 2a + 5b
34.(2a - 5b) = U.(2a + 5b)
olduğuna göre, a + b
A) 3
B)4
D) 6
4
olduğuna göre, 6! - 7! + 4.5! sayısının n türün­
den değeri aşağıdakilerden hangisidir?
toplamı kaçtır?
C)5
5!=-!
16.
aralarında asal sayılardır.
A)-8n
E) 7
B)-7n
C)-6n
D)-4n
E)-3n
1 7 . a, b, c birbirinden farklı pozitif tamsayılardır.
1 2 . On yedi tane ardışık çift sayının toplamı 170 tir.
2
3
5
— + — + —
a
b
c
Buna göre, bu sayılardan en küçüğü kaçtır?
ifadesinin en büyük değeri için
A)-8
B)-6
O-2
D)0
E) 2
a.b.c
çarpımı
kaçtır?
A) 4
B)6
C)12
D) 15
E) 30
1 3 . x bir doğal sayı olmak üzere, 1 den x e kadar olan
doğal sayıların toplamı a, 1 den (x + 1) e kadar olan
doğal sayıların toplamı b dir.
~
-2
a + b = 49 olduğuna göre, x kaçtır?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
A = 2.3+ 3.4+ 4.5+ ... + 17.18
18.
c
olduğuna göre,
£"
panı 1 azaltıldığında A kaç azalır?
E
A) 150
A nın her bir teriminin ikinci çar­
B)152
C)154
D) 156
E) 158
©
14.
16! + 17!
1 9 . M = 1 - 3 + 5 - 7 + ... + 8 9 - 9 1
N = 2 + 4 + 6 + ... + 90
kesrinin tamsayı olabilmesi için n nin alabileceği
olduğuna göre, M sayısı N sayısının kaç katıdır?
en büyük tams. yi değeri kaçtır?
A) 4
B)6
C)8
D) 10
?T
E) 12
A)_
2
ifadesi tek sayı olduğuna göre,
en çok kaçtır?
A) 721
B)632
Cevaplar: 1-C 2-A
C) 125
3-D 4-E 5-D P-A
x + n toplamı
2
E)- —
45
rılırsa, n = 9 için T kaç artar?
A)1005
7-E 8-D 9-C
2
D)_—
23
olmak üzere; T nin herbir teriminin tabanı 1 arttı­
xn
D) 17
1
C)- —
45
T = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ...+ n3
20.
1 5 . x ve n birer pozitif tamsayı olmak üzere,
?
B) —
23
E) 6
10-E
B)1003
D)1000
1-E 12-B 13-B 14-C 15-A
C)1001
E) 999
16-A
17-B 18-B 19-C 20-E
11
TEMEL KAVRAMLAR
BOLUM
1.
6.
x, y, z birbirinden farklı pozitif tamsayılardır.
a ve b
negatif tamsayılardır.
2a + b
x + y + z = 12
2.
4
.
= a - b
4
olduğuna göre, x.y.z çarpımının en büyük değeri
kaçtır?
olduğuna göre, a + b nin en büyük değeri kaçtır?
A) 64
A)-25
B)60
C)52
D) 48
E) 40
a, b, c birbirinden farklı rakamlardır.
7.
B)-21
x, y, z
C)-14
D) - 7
E) - 3
pozitif tamsayılardır.
3a - b + 2c = 5
x.z + y.z = 34
olduğuna göre,
A) 0
b nin en küçük değeri kaçtır?
B) 1
C) 2
D) 3
x.y + y.z = 18
E) 4
olduğuna göre, x in en büyük değeri kaçtır?
A) 4
3.
x ve y
D) 16
m - 2
£ 8.
2m - 1
ve
2m - 1
E
m - 2
olduğuna göre, 8x + 5y nin alabileceği en büyük
ifadeleri birer tamsayı belirttiğine göre,
değer kaçtır?
alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 86
a ve b
B) 104
C) 143
E) 32
o
c
pozitif tamsayılardır.
5x + 8y = 104
4.
C)12
B)8
D) 156
E) 162
A) - 2
B) - 1
9.
birbirinden farklı pozitif tamsayılardır.
m
D) 1
C)0
nin
E) 2
a.b.c < 0
a . b . c2 > 0
a
+
^ =
b
10
a . b2 . c < 0
olduğuna göre, a nin alabileceği değerler topla­
olduğuna göre; a, b, c reel sayılarının işareti sıra­
mı kaçtır?
sıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) 25
B)23
C)17
D) 15
E) 10
A)-,-,-
B)-,-,+
D) + , + , 5.
m, n, k
C)-,+,+
E) + , - , -
pozitif tamsayılardır.
1 0 . n doğal sayı olmak üzere, an negatif tek sayı oldu­
m + n.k = 60
ğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitif
çift sayıdır?
olduğuna göre,
m.n.k
çarpımının en büyük de­
ğeri kaçtır?
A) 900
12
B)860
A)(a + 1) n
C)800
D) 740
E) 700
D) 2.an
B)a'n + 1
C)(a-1)r
n-1
E) a'
Temel Kavramlar
11.
1 6 . x bir doğal sayıdır.
a < O < b< c
x! + (x + 1)! + (x + 2)!
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima
pozitiftir?
A)
toplamı tek sayı olduğuna göre, (x + 3)! sayısı
b+c
B)
a -b
b+c
a-b
D)
C)
c - a
E)
c - a
b+c
kaçtır?
A) 120
a-b+c
( a
- C ' t ( b - C )
(c-a)°.(b-a)
B) 4
A) 5
C) 3
eşitliğini sağlayan en
D) 2
E)1
sa-
^>
ü
lamı kaçtır?
o
>E
D) 4
E) 5
-| Q_
B)60
ve
x, y, z
A) 5
B) 7
E) 210
B) 72
C) 69
D) 66
E) 63
1 9 . 3 ten 2n + 1 e kadar olan çift sayıların toplamı A,
2 den 2n + 2 ye kadar olan tek sayıların topla­
mı B dir.
D) 11
A + B = 63 olduğuna göre, n kaçtır?
E) 13
A) 5
15. a
D) 180
olduğuna göre, A nın her bir teriminin ilk çarpanı
1 arttırılırsa, A kaç artar?
kaçtır?
C) 9
C)120
ardışık tek sayılardır.
0-f)-K)-KK
olduğuna göre, y
b
A = 1.3 + 2.4+ 3.5 + 4.6 + ... +10.12
A) 75
14. 0 < x < y < z
küçük a değeri için
kaçtır?
yılarını ardışık tek sayı yapan n değerlerinin top-
C)3
E) 1
6 ! . a = b4
kaç„r?
1 3 . n bir tamsayı olmak üzere, 2n - 3 ve n - 1
B)2
D) 2
1 7 . a ve b pozitif tamsayı olmak üzere,
A) 30
A)1
C)6
a+b
1 2 . a, b, c ardışık üç tek sayı ve a < b < c dir.
Bunagâre,
B)24
B)6
C)8
D) 16
E) 18
bir tamsayıdır.
20.
( a - 1 ) . a . ( a + 1). (a + 2) = 24
olduğuna göre, a nın alabileceği değerler topla­
mı kaçtır?
A) 2
B)1
C)-1
D) - 2
E) - 3
1
(n - 2)!
olduğuna göre,
A) 4
B) 5
1
(n - 1)!
n
.(n-1)! = 2
kaçtır?
C) 6
D) 7
E)
Cevaplar: 1-B 2-B 3-C 4-D 5-A 6-D 7-D 8-C 9-D 10-C 11-B 12-E 13-D 14-C 15-C 16-B 17-A 18-A 19-A 20-A
13
1.
BÖLÜM
1.
a ve b
6.
pozitif tamsayılardır.
a, b, c
a.b = 36
2.
TEST
5'
TEMEL KAVRAMLAR
doğal sayılardır.
a.b = 13
ve
b.c = 6
olduğuna göre, a + b nin en küçük değeri kaçtır?
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 12
A) 20
B)13
C)15
D) 20
E) 37
B)19
m, n, k doğal sayılardır.
D) 17
E) 16
a<b<0<c<d
7.
2m + 3n + 5k = 47
C)18
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi negatiftir?
olduğuna göre, k nın en büyük değeri kaçtır?
A) 10
B)9
C)8
D) 7
A)
E) 6
d-a
B)
c + d-a
D)
3.
x ve y
b-c
C)
d-a
E)
c+d
b-a
c-d
doğal sayılardır.
3x + 2y = 36
8.
olduğuna göre, x in alabileceği kaç değer vardır?
•
A) 4
°
B)5
C)6
D) 7
E) 8
a, b, c birer pozitif tamsayı olmak üzere,
olduğuna göre, b + c toplamının en büyük değeri
kaçtır?
4.
A) 32
a, b, c pozitif tamsayılardır.
B)25
C)24
D) 8
E) 2
a = 2b ve 3b = 5c
olduğuna göre,
değeri kaçtır?
A) 10
5.
a + b + c toplamının en küçük
B) 18
C)21
D) 27
E) 30
Üç tane ardışık tek sayının toplamı aşağıdakilerden
hangisine eşit olamaz?
A)-9
B)-3
C)15
D) 21
E) 25
x, y, z doğal sayılardır.
x = 4y
10. a > b > c > d
olduğuna göre,
x + y + z toplamı aşağıdakiler­
den hangisine eşit olabilir?
A) 4
6)5
olmak üzere, a, b, c, d ardışık tam­
sayılardır.
z = 5x
14
9.
C)15
Buna göre, (a - c) 2 + (a - d) 2 + (b - c) 3 - (d - b) 2
toplamının sonucu kaçtır?
D) 25
E) 30
A) 4
B)6
C)8
D) 10
E)12
Temel
1 6 . a ve b pozitif doğal sayıdır.
1 1 . a, b, c pozitif tamsayılardır.
a.b = 7.b + 23
a + b + c = 13
x = 5.a + 5.b +7.c
olduğuna göre, a nın alabileceği en büyük değer
kaçtır?
olduğuna göre, x in alabileceği en küçük değer
kaçtır?
B)15
A) 8
A) 65
B)67
C)69
D) 71
olduğuna göre, 9! - 8! - 7! ifadesinin a türün­
den değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 9a
C) 2nr + m + 1
3
B) 8a
E) 5a
A = 3.4+ 4.5+ 5.6+ ... + 13.14
18.
B)xy 2
C)
xy
olduğuna göre, 19 + 27 + 37 + ... + 189 toplamının
A cinsinden eşiti kaçtır?
o
c
o
A) A + 77
>E
E) x2 - y2
D) x 2 y + 3
1 4 . a, b ve c birer asal sayıdır.
B) A + 70
C) A + 63
D) A + 56
E) A + 49
1 9 . n ve m pozitif tamsayıdır.
_ £ _ - 5
b- a
(1 +2 + ... + n) - (1 +2 + ... + m)
n+m+1
olduğuna göre, (2a2 + 1) kaçtır?
C)21
D) 19
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
E) 9
B) n + m
A) n - m
D) m
1 5 . a, b pozitif tamsayı ve c pozitif tek sayıdır.
(a + 2). (a + 5)
b+1
D) 6a
E) m + 6
1 3 . x ve y birer tamsayı olmak üzere, x.y çarpımı
çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi
kesinlikle tek sayıdır?
B)39
C) 7a
2
D) 3m + 4
A) 51
E) 38
9
=7
B) 3m - n
A) x2 y + 2
D) 30
— = 7!
17.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek
sayıdır?
A) m + n
C)21
E) 73
1 2 . m ve n tamsayıdır.
2m + 3n
Kavramlar
C)
E)
n.m
= (b + 2 + c)
A) b tek sayıdır.
B) b çift sayıdır.
C) a çift sayıdır.
D) a ve b çift sayıdır.
30.24 + 30.28.48
20.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 5! + 6!
D) 7! + 9!
E) a tek sayıdır.
Cevaplar: 1-A 2-B 3-D 4-B 5-D 6-A
B) 6! + 7!
7-B 8-B 9-E 10-D
11-B
12-C
13-D
14-E
15-A
C) 6. + 8!
E) 6! + 9!
16-D
17-C
18-A
19-A 20-C
15
1.
BÖLÜM
1.
TEMEL KAVRAMLAR
6.
a ve b doğal sayılar olmak üzere, v
x ve y
reel sayılardır.
A = 5.x + 4.y
a + b = 20
olduğuna göre,
a.b
TEST
6
ifadesinde x in değeri 4 arttırılır, y nin değeri 3
nin alabileceği en büyük
azaltılırsa A için aşağıdakilerden hangisi doğru
değer en küçük değerden kaç fazladır?
olur?
A) 88
B)90
C)98
D) 100
E) 200
A) 8 azalır
B) 8 artar
D) 4 azalır
2.
olduğuna göre,
A) 17
B)>6
b
b
=11
7.
a + b toplamı en az kaçtır?
C) 14
D) 13
A) n! + n + 1
o
a, b, c, d pozitif tamsayılardır.
C) n 6 - n3 - 1
E) 2 n + 3 n + 1
o
>I
c=d+3
8.
"-
C) 15
D) 16
x tamsayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
olduğuna göre, a + b + c + d toplamı en az kaçtır?
B) 14
B) n5 + n3 + 1
D)(n + 1)! + n! + 1
c
b=c+2
A) 13
n bir sayma sayısı olmak üzere,
aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
E) 11
a=b+1
4.
E) 4 artar
a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere,
5 3
3.
C) Değişmez
A)x + 1
B)x-2
C) yC + 2
D) x2 + x + 1
E) 18
E) yC - x
x < 0 < y < z olduğuna göre, aşağıdakilerden han­
gisi kesinlikle pozitiftir?
9.
A)
y-x
B)
y-z
z-y
D)
z-y
z+y
C)
E)
Aşağıdakilerden kaç tanesi çift sayıdır?
x-y
II. 23.25.26
IV. 24 2 - 1
2y-z
z-x
V. 0! + 1! + 2!
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
a, b, c sıfırdan farklı tamsayılardır.
Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi sıfır olabilir?
I. a.b.c
III. a + b + c
IV. a 3 + b 3 + c 3
V. a 2 + b 2 + c 2
VI. a - b - c
A)1
16
1 0 . 3n + 4 ve 4 n - 1 sayılarını ardışık tamsayı yapan
II. a.b + a.c
B)2
C) 3
D) 4
n değerlerinin toplamı kaçtır?
A)-4
E) 5
B)-2
C)0
D) 4
E) 10
Temel Kavramlar
1 6 . n doğal sayıdır.
1 1 . a, b, c, d ardışık tek sayılar ve a > b > c > d
olmak üzere,
8! + 7!-6!
n
2
abcd biçiminde yazılabilecek; dört basamaklı en
büyük doğal sayı ile dört basamaklı en küçük do­
ğal sayı arasındaki fark kaçtır?
A) 8888
B) 8730
C) 8396
D) 5432
3
12.
x .y>0,
kesri bir tamsayı olduğuna göre, n nin en büyük
değeri kaçtır?
A) 8
E) 2222
2
3
4
x .y .z <0,
B) + , - , -
D) + , + , +
I. x + y
2
2
IV. x + y
C) - , - , +
E) - , + , +
A) 1
C) b.c
D) b + c
E) a + c
II. y — x
V. x + y + x.y
B) 2
C) 3
al = 1 , (b-2)1 = 2,
>.
E
III) x.y
D) 4
E) 5
(c+1)! = 6
olduğuna göre, (a + b + c)! sayısının en büyük de­
ğeri en küçük değerinin kaç katıdır?
o
u.
A) 7
1 4 . a, b, c, d, e
E) 4
1 8 . a, b, c tamsayılardır.
o
B) a.c
D) 5
Buna göre, aşağıdaki sayılardan kaç tanesi asal
sayıdır?
1 3 . (a.b + c) b ifadesi negatif çift sayı olduğuna göre, Ü
aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
A) a.b
C)6
1 7 . 3x - 1 çift asal sayı ve 3y - 1 iki basamaklı en kü­
çük asal sayıdır.
1±- > 0
7
z
olduğuna göre, x, y , z nin işaretleri sırasıyla
aşağıdakilerden hangisidir?
A)-,-,-
B)7
B)6
C)5
D) 6!
E) 7!
ardışık asal sayılar olmak üzere,
x = 90.27!
19.
a. b .c .d . e = 2310
eşitliğini sağlayan en büyük asal sayı, en küçük
olanından kaç fazladır?
olduğuna göre, 28! + 29! + 30! işleminin sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
A) 240x
B)3
C)5
D) 6
E) 9
B) 280x
D)360x
C) 320x
E)420x
15. m ve n pozitif tamsayılardır.
m + 1 ve n + 11 aralarında asal sayılar olmak üzere;
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
B)5
Cevaplar: 1-D 2-A
C)7
3-E 4-D 5-D 6-B
D) 10
T = 1.5 + 2 . 10 + 3.15 + ... + n.5n + ... + 20.100
olduğuna göre, T toplamını oluşturan her bir te­
rimin ikinci çarpanı birer azaltılırsa T toplamı kaç
azalır?
(m + 1) . (n + 11) = 48
A) 2
20.
E) 16
7-E 8-E 9-C
10-E
A) 20
B) 100
C) 210
D) 350
E) 420
1-E 12-C 13-E 14-E 15-C 16-D 17-C 18-A
19-B 20-C
17
>ü
1.
6.
a, b, c birbirinden farklı pozitif tamsayılardır.
olduğuna göre,
a, b, c doğal sayılar olmak üzere,
4a ,
a + — = 25
c
J«7-WV.»«T»
2b - 4 ,
c-1
sayıları aynı doğal sayıyı belirttiğine göre, c nin
39 ile 45 arasındaki değeri kaçtır?
a + b + c toplamının alabileceği
en küçük değer kaçtır?
A) 40
A) 25
2.
a
B)26
C)27
pozitif tamsayı ve
b
D) 28
asal sayıdır.
a-2b
7.
m
C) 42
D) 43
E) 44
asal sayıdjr.
7_
m =
=
9- b
B) 41
E) 29
" 2
7n +12
olduğuna göre, n nin alabileceği kaç farklı tam­
olduğuna göre, b nin alabileceği kaç farklı değer
vardır?
A) 9
sayı değeri vardır?
A) 2
B) 8
C) 7
D) 6
3x + 5
3.
^
x + 1
ifadesini tamsayı yapan x pozitif tamsayısı için
A»|
D)
4.
x ve y
x+1
x2
—
5
8.
x, y, z
birbirinden farklı asal sayıdır.
olduğuna göre, x + y + z toplamı en az kaç ola­
x-1
bilir?
A) 15
x+3
B) 4
D) 9
C)7
a, b, c
E)
25
1
1
1
1
y = a9-17
b.c
ac
a.b
85
B)54
x.y
çarpımının en büyük değeri
olduğuna göre, a + b + c
A) 48
C)49
D) 42
C)42
D) 39
E) 36
10. x ve y pozitif tamsayılar olmak üzere,
3x + 5y = 99
eşitliğinde z nin değeri 3 arttırıldığında çarpımın
sonucu 195 olduğuna göre, z kaçtır?
C) 11
B)45
kaçtır?
E) 36
pozitif tamsayılardır.
B)9
sırasıyla ardışık pozitif tamsayılardır.
x = 31 - a 9
x.y.z = 156
A) 8
E) 6
pozitif tamsayılardır.
olduğuna göre,
kaçtır?
5.
D) 5
3.(x + y) = 2.z
9.
A) 64
x ve y
|
*
O
C)
E)
C)4
u
aşağıdakilerden hangisi tamsayıdır?
B)
B) 3
E) 5
D) 12
eşitliğini sağlayan kaç farklı (x, y) ikilisi vardır?
A) 8
E) 13
B)7
C)6
D) 5
E) 4
Temel Kavramlar
16. 2y-x
1 1 . x ve y ardışık çift sayılardır.
ile
x.y
aralarında asal sayılardır.
19
60
olduğuna göre, x.y kaçtır?
A) 24
B)42
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerden biri
C)48
D) 60
aşağıdakilerden hangisidir?
E) 80
C)4
B)5
A) 8
E) 2
D) 3
1 2 . m > n olmak üzere, m ile n ardışık çift sayılardır.
m.n = k olduğuna göre, (m + 3).(n - 3) çarpımının
1 7 . 2x - 1 ve 3y + 2 sayıları aralarında asal sayılardır.
k türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)k-3
B)k-6
4x = 9y + 8
C)k-9
D)k-12
olduğuna göre, y - x kaçtır?
E)k-15
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 2
1 3 . n bir tamsayı olmak üzere, 2n + 1 den büyük en
küçük çift sayı, 2n +1 den küçük en büyük tek sa­
yıdan kaç fazladır?
A) 6
B)5
C)4
D) 3
E) 2
(x+2)l + (x - 2 ) !
2.x! + ( 2 - x ) !
. -2 18.
S
O
>14.
„2n+1
2.c = a
olduğuna göre,
doğrudur?
L,2n
işleminin sonucu kaçtır?
E
a, b, c negatif tamsayılardır.
A) 2
©
c
. b - 5
B) 5
D) 10
C) 6
E) 12
aşağıdakilerden hangisi daima
A) c tek sayıdır.
B) a ve c çift sayıdır.
C) a ve b çift sayıdır.
D) b çift sayıdır.
1 9 . m den küçük veya m ye eşit olan çift doğal sayıların
toplamı x, m den küçük veya m ye eşit olup 10 dan
büyük olan çift doğal sayıların toplamı y ile gösteriliyor.
x + y = 810 olduğuna göre, m kaçtır?
E) a ve b tek sayıdır.
A) 40
15.
B)36
C)30
D) 24
E) 20
a~2.b""3.c<0
a.b2.c~5>0
x = 1.4 + 2.9 + 3.16 + ... + n.(n + 1) 2
20.
a4 . b6 . c < O
y = 3.42 + 6.62 + 9.82 + ... + 3n.(2n + 2) 2
olduğuna göre; a, b, c reel sayılarının işareti sı­
rasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) - , + , -
B) + , - , -
D)-, -,'+
olduğuna göre, y nin x türünden değeri aşağı­
dakilerden hangisidir?
C) + , - , +
A)4x
E) + , + , -
Cevaplar: 1-B 2-C 3-C 4-C 5-D 6-B
7-D 8-E 9-A
10-C
11-C
12-E
13-D
B)6x
14-E
15-A
C)9x
16-B
D) 12x
17-A
18-B
E) 13x
19-A
20-D
19
1.
BÖLÜM
1.
6.
a, b, c birbirinden farklı negatif tamsayılardır.
a - b + 3c
b+c
2.
B)-7
x
asal sayı ve y doğal sayıdır.
x + x.y = 45
=3
olduğuna göre, x in alabileceği değerler toplamı
kaçtır?
olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği
en büyük değer kaçtır?
A)-8
TEST
8
TEMEL KAVRAMLAR
C)-6
D)-5
E) - 4
7.
a, b ve x doğal sayılardır.
C)5
A) 3
B)4
m, n, k
birbirinden farklı pozitif tamsayılardır.
5 a - 2\f
m-1 =n
D) 6
E) 8
2
3
n+3 = k
ifadesinde x en küçük değerini aldığında a + b
toplamı en az kaç olur?
A) 7
3.
B)9
Q15
D) 18
olduğuna göre, m + n + k toplamının en küçük
değeri kaçtır?
E) 25
A) 33
b*
a, b, c birbirinden farklı asal sayılardır.
8.
B)13
C)17
D) 25
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift do­
ğal sayıdır?
E) 29
B) x2 + y2 + z2
D) x.y + z
x - y = 15
9.
x.y = y + 32
olduğuna göre, x + y kaçtır?
5.
B)22
C)21
•4„5
a.b^.c^O ,
A)xx-15
D) 20
E) 19
20
E) 6x - y - 2z
B)y + y x
D)8y + x
C)x15-75
E)35y-13
3 u5 _4
a- J .b 3 .c%0
B) - , + , +
D) + , - , -
C) 3x + y - z
x negatif çift sayı, y pozitif tek sayı olduğuna gö­
re, aşağıdakilerden hangisi negatif tek sayıdır?
1 0 . a, b, c ardışık çift sayılar ve a < b < c dir.
olduğuna göre, a, b, c reel sayılarının işareti sıra­
sıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) + , - , +
x.z2
5y + 2 ,
x ve y pozitif tamsayılardır.
A) 23
E) 22
x, y, z pozitif tamsayılar olmak üzere,
A) 2x - y + z
4.
D) 25
sayıları çift doğal sayılardır.
olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır?
A) 11
C)28
3x - 1 ,
10
b-c
a=
B)30
C) - , + , £)-,-,+
a + 4.b + 3.c = 68
olduğuna göre, b + c - a ifadesinin değeri kaçtır?
A) 12
B)20
C)22
D) 24
E) 28
Temel Kavramlar
16.
1 1 . a ve b birer tamsayıdır.
a - 2b
b+a
_
olduğuna göre, (- x)! + (1 - x)! ifadesinin alabi­
leceği değerlerin toplamı kaçtır?
2
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift
sayıdır?
2
A) a + b
B) a - b
(x +3)1 = 1
A) 45
B)38
O 30
D) 15
E) 8
C) a + 4b
2
D) a + 5b
E) a + b
17.
m = 100! + 99! + 98!
n = 100! - 99! - 98!
1 2 . x negatif tek sayı ve y bir tamsayıdır.
m + n
olduğuna göre, işleminin sonucu kaçtır?
m-n
(x + 13).(y-2) = 10
A) 98
B)99
C) 100
D) 101
E) 102
olduğuna göre, y nin alabileceği değerlerin top­
lamı kaçtır?
A) 4
B)6
C)7
D) 8
E) 12
1 8 . m ve n birer doğal sayı olmak üzere,
m! = 6.n!
D
1 3 . a, b, c asal sayılardır.
"^
2
2
a = (b - c). (b + be + c )
olduğuna göre,
A) 24
B)19
£
E
D) 11
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
«
a + b + c toplamı kaçtır?
C)17
olduğuna göre, n kaç farklı değer alabilir?
E) 3
1 9 . En küçüğü x olan n tane ardışık tamsayının top­
lamı 8n olduğuna göre, n nin x cinsinden de­
ğeri aşağıdakilerden hangisidir?
1 4 . a + b ve a.b aralarında asal sayılardır.
A)17-2x
— + — = 0,56
a
b
B)x + 16
D) 8x
C) 3x - 1
E) — + 7
2
olduğuna göre, a.b - a - b kaçtır?
A) 30
B) 17
C) 13
D) 9
E) 5
2 0 . n çift bir doğal sayı olmak üzere, 1 den (n + 1) e ka­
dar olan tek sayıların toplamı a, 2 den (n - 2) ye
kadar olan çift sayıların toplamı b dir.
1 5 . a + b ile b + c aralarında asal sayılardır.
Buna göre, 1 den n ye kadar olan tamsayıların
toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
7a + 3b = 4c
olduğuna göre,
A)-7
B)-4
a-c
kaçtır?
C)-3
Cevaplar: 1-B 2-C 3-E 4-E 5-E 6-E
A) 2(a + b)
D)-2
7-A
E) - 1
8-D 9-C
10-A
D)a + b + 1
1-C 12-D 13-A
B) a + b
C) 2a - b
E) a + b - 1
14-C 15-C 16-B 17-B 18-C 19-A 20-E
21
•'•^•>£
1.
6.
a irrasyonel bir sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi rasyonel bir sayı olamaz?
A)aVâ
BJa-Vİ"
D) a2
C)Vâ
a pozitif tamsayıdır.
a5 + a4 + a 3 + a 2 + a + 5
E) a5
ifadesi tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden
hangisi daima tek sayıdır?
A) a2 + 3a
2.
D) 2a + a2
a < b < c ve
2a + 5b+ 10c < 103
7.
olduğuna göre, a nın alabileceği en büyük tamsayı
değeri kaçtır?
A) 4
B)5
C)6
0)7
C)a 3 + a a
B)(a)
E) 3a-13
a, b, c pozitif tamsayılardır.
a4.(b - c) > 0
o 16
E) 8
olduğuna göre, b nin alabileceği en küçük değer
kaçtır?
3.
a ve b birer rakamdır.
O
olduğuna göre, a - b
değer kaçtır?
B) - 5
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
c
a + 3b = 23
A) - 7
A) 16
o
nin alabileceği en küçük
8.
a, b, c birbirlerinden farklı pozitif tamsayılardır.
a. b = 6
E
,•
C) - 1
D) 0
1+JL
E) 5
b
=
a
olduğuna göre, a.c çarpımının alabileceği değer­
ler toplamı kaçtır?
4.
a, b, c
A) 12
pozitif tamsayılardır.
3b
a = —
2
ve
2
1
— = —
7c
2a
9.
B)47
C)56
D) 75
D) 42
E) 48
a2 - ab + 4a = c
E) 84
olduğuna göre, b nin c türünden değeri aşağı­
dakilerden hangisidir?
A) 2c
5.
C)30
a > 1, a ile b tamsayı ve c asal sayıdır.
olduğuna göre, a + b + c en az kaçtır?
A) 42
B)24
B) 2c - 3
D) c + 3
a, b, c ve x pozitif tamsayılardır.
C) c + 2
E) c + 5
a + b + c = 11
10. x + 2y ile 3 y - z aralarında asal sayılardır.
x = 3a + 3b - 7c
olduğuna göre, x in alabileceği en küçük değer
kaçtır?
A) 1
B) 3
C)5
D) 7
E) 9
3x + 3y + z = 0
olduğuna göre, x + 5y - z ifadesi kaçtır?
A)1
B)2
C)3
D) 4
E) 5
Temel Kavramlar
11.
1 6 . a bir tamsayı olduğuna göre,
x = 15! + 1
y = 1 5 ! + 16
(a - 3)! + (2a - 5)!
(3a - 7)! + (3 - a)!
olduğuna göre, x ile y arasında kaç farklı asal
sayı vardır?
A)0
D) 8
C)2
B)1
kesrinin değeri kaçtır?
E) 16
1 2 . a ve b
D)1
E)
birer tamsayıdır.
1 7 . 36 terimden oluşan bir ardışık sayı dizisinin her terimi­
nin 3 artırılması ile oluşan terimlerin toplamı A, her te­
riminin 2 azaltılması ile oluşan terimlerin toplamı B dir.
a.b - 2a - 3b + 7 = 0
eşitliğini sağlayan b değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 4
C)
*>!
A)
B) 2
C) 1
D) - 1
Buna göre, A - B farkı kaçtır?
E) - 4
A) 80
B)120
C)180
D) 240
E) 300
1 3 . a, b ve c birer doğal sayıdır.
2a - b = 9
1 8 . m ve n birer tamsayıdır.
b + 3c = 7
olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin top­
lamı kaçtır?
A) 8
1 4 . x ve y
B) 10
C)12
birer tamsayı ve
D) 13
x<y
E) 14
o
c
m.n + 2 = 2.n olduğuna göre, m + n toplamının
o
alabileceği en küçük değer kaçtır?
E
•
A)0
C)2
B)1
D) 3
E) 4
olmak üzere, x in
1 fazlası ve y nin 2 fazlası 5 in katıdır.
1 9 . x ve y doğal sayı ve z tek sayıdır.
x ile y arasında 5 in katı olan 22 tane tamsayı
olduğuna göre, y - x kaçtır?
x+y=z
olduğuna göre, x.y ifadesinin alabileceği en büyük
A) 109
B)110
C)112
D) 114
E) 120
değer kaçtır?
A)
z2-4
D) z - 1
1 5 . a, b ve c birbirlerinden farklı pozitif tamsayılardır.
2a
olduğuna göre, b nin alabileceği değerlerin topla­
mı kaçtır?
B) 12
E)z*
,
= c + 1
b
2a - b = 18
A) 8
C) z 2 - 2
B)
C) 18
D) 26
E) 39
2 0 . En çok iki tanesi aynı olan dört doğal sayının
toplamı 784 olduğuna göre, bu sayıların en kü­
çüğü en çok kaç olabilir?
A)193
B)194
C)195
D)196
E)197
Cevaplar: 1-C 2-C 3-B 4-B 5-B 6-E 7-C 8-D 9-D 10-D 11-A 12-A 13-D 14-A 15-A 16-B 17-C 18-B 19-B 20-C
23
1.
BÖLÜM
SAYI BASAMAKLARI
Uyarı:
BASAMAK VE TABAN:
Onluk sayma sisteminde kullanılan rakamlar:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, dur.
Bir doğal sayının rakamlarının her birinin bulunduğu ye­
re basamak, rakamların bulundukları basamaklara gö­
re aldığı değere basamak değeri, her bir rakamın kaç
birlikten meydana geldiğini gösteren değere de bu ra­
kamın sayı değeri denir.
Sayının tanımlandığı sayma sistemine taban adı verilir.
Varlıklar onarlı gruplandırılarak sayılıyorsa taban 10,
beşerli gruplandırılarak sayılıyorsa taban 5, ikişerli
gruplandırılarak sayılıyorsa taban 2 dir.
Basamaklar sağdan sola doğru büyür ve her basamak
sağındakinin taban ile çarpımına veya solundakinin ta­
ban ile bölümüne eşittir.
Onluk sayma sisteminde 4085 sayısının rakamlarının
basamak ve sayı değerleri,
(4 0 85) Basamak değeri
10 tabanındaki (onluk sayma sistemindeki) sayılar ta­
ban belirtilmeden de yazılabilir.
Örneğin, (2002)1Q sayısı 2002 şeklinde yazılır.
ab, abc ve abcd sırasıyla 10 tabanında iki, üç ve
dört basamaklı sayılardır.
ab= 10.a + b,
abc= 100.a+ 10.b + c,
abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d ve
sayının rakamlarının farklı olması şartı yoksa her hangi
bir rakam diğer birine ya da bütün rakamlar birbirine
eşit olabilir.
Örnek:
abc üç basamaklı bir doğal sayı ve 3b = 4c ise,
Sayı değeri
•-•5x1 =5
5x1 =5
••8x10 = 80
8x1 = 8
-•0x100 = 0
0x1 = 0
-•4x1000 = 4000
4x1 = 4
D
>E
o
u.
ÇÖZÜMLEME:
Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı
şeklinde yazılmasına bu sayının çözümlenmesi denir.
(1965)10 ve (3,84)10 sayılarının çözümlenmiş şekli,
( 1 9 6 5 ) 1 0 = 1.103 + 9.10 2 + 6.101 + 5.10°
3 2 10
u 10° lar (birler) basamağı
—M 01 ler (onlar) basamağı
10 ler (yüzler) basamağı
103 ler (binler) basamağı
(3, 8 4) 1 0 = 3.10° + 8.10"1 +4.10" 2
o-İ-2
=3.10°
+
8.-L+4.J10
100
10~ ler (yüzde birler) basamağı
•*-1
10" ler (onda birler) basamağı
10° lar (birler) basamağı
a) b = c = 0 ve a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
b = 4, c = 3 ve a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
b = 8, c = 6 ve a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
olmak üzere, abc biçiminde 27 farklı doğal sayı;
b) b = 4, c = 3 ve a = 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9
b = 8, c = 6 ve a = 1 , 2 , 3, 4, 5, 7, 9
olmak üzere, abc biçiminde rakamları birbirinden farklı,
14 farklı doğal sayı yazılabilir.
Kural:
İki basamaklı bir doğal sayının rakamlarının yerleri de­
ğiştirildiğinde sayının değeri, rakamları farkının 9 katı
kadar artar veya azalır.
ab - ba = 9.(a - b),
abc - acb = 9.(b - c) dir.
İki basamaklı ab doğal sayısı, rakamlarının sayı değer­
leri toplamının x katına eşit ise ba doğal sayısı,
rakamlarının sayı değerleri toplamının (11 - x) katına
eşit olur.
ab + ba = 11 .(a + b)
ab = x.(a + b) ve ba = y.(a +/)) ise x + y = 11 dir.
Birler basamağındaki rakamı ile yüzler basamağındaki
rakamının yerleri değiştirilen bir sayının değeri, 99 un
katları kadar artar veya azalır.
abc - cba = 99. (a - c) ve
abc - cba = xyz ise y = x + z = 9
dur.
Sayı Basamakları
m
ab,c sayısının değerinin en küçük olması için; b ve c ra­
kamları en büyük, a da en küçük değerini almalıdır.
Buna göre, verilen şartlara uygun olarak b = 8, c = 9
seçilirse a da 2 olur. O halde, en küçük ab,c ondalık
sayısı 28,9 olabilir.
Bir sayının rakamlarındaki değişikliklerde, rakamların
basamak değerleri göz önüne alınmalıdır.
Örneğin, bir sayının onlar basamağmdaki rakam 3 ar­
tırılır, yüzler basamağmdaki rakam 5 azaltılırsa,
+ 3.10 - 5.100 = - 470 olduğundan, bu sayının değeri
470 azalır.
Örnek:
Örnek:
•
•
Üç basamaklı ABC doğal sayısı, iki basamaklı BC do­
ğal sayısının 29 katına eşit olduğuna göre, ABC sayısı­
nı bulalım.
Birler basamağmdaki rakamı onlar basamağmdaki ra­
kamından 4 eksik olan üç basamaklı bir sayının birler
basamağmdaki rakam ile onlar basamağmdaki rakam
yer değiştirilirse sayının değeri, 4.9 = 36 azalır.
ABC = 29.(BC) => 100.A + BC = 29.(BC)
=> 100.A = 28.(BC)
=> 25.A = 7.BC
İki basamaklı (ab) doğal sayısı rakamları toplamının 4
katına eşit ise (ba) doğal sayısı rakamları toplamının,
11 -4 = 7 katına eşit olur.
olduğundan, A = 7 ve BC = 25 olarak bulunur.
Buna göre, ABC sayısı 725 tir.
•
abc - cba = 7xy ise,
x = 7 + y = 9 olduğundan x = 9 , y = 2 ve
abc - cba = 99.(a - c) = 792 ise a - c = 8 dir.
•
Birler ve onlar basamağmdaki rakamları 5 ten büyük,
yüzler basamağmdaki rakamları 7 den küçük olan, her
biri en az üç basamaklı on tane doğal sayının her biri­
nin birler ve onlar basamağmdaki rakamları 6 şar azal- •tılır, yüzler basamağmdaki rakamları 3 er artırılırsa, "^
bu on tane sayının toplamı,
x
10.(+3.100-6.10-6.1) = 2340 artar.
£
Uyarı:
Sayı basamakları ile ilgili sorularda genel olarak çözümleme yapılmak suretiyle sonuçlar bulunur.
Örnek:
Rakamlarının sayı değerleri toplamının 4 katına eşit
olan iki basamaklı doğal sayıları bulalım.
İstenen iki basamaklı sayılar ab olsun.
ab = 4.(a + b) =» 10.a + b = 4.a + 4.b
=> 6.a = 3.b => 2.a = b dir.
Buna göre, birler basamağmdaki rakamı onlar basama­
ğmdaki rakamının 2 katına eşit olan iki basamaklı ab
sayıları: 12,24,36 ve 48 dir.
Örnek:
Sıfırdan ve birbirinden farklı a, b, c rakamları ile oluştu­
rulan ab,c; bc,a ve ca,b ondalık sayılarının toplamı
210,9 olduğuna göre, en küçük ab,c ondalık sayısını
bulalım.
ab,c + bc,ş + ca,b = 210,9
=> 10.(a + b + c) +(a + b + c) + a + b + c = 210,9
10
=> /(a + ub + cı ) . 111 = 2109
10
10
=>a + b + c = 19 olarak bulunur.
E
•
Örnek:
A + B = 2.C = D + E olmak üzere, 1, 2, 3, 4, 5 rakam­
ları kullanılarak-yazılabilecek, beş basamaklı rakamları
farklı en küçük ABCDE doğal sayısının binler basama­
ğmdaki rakamın sayı değeri kaçtır?
Çözüm:
2.C çift sayı olduğundan A ve B den ikisi de çift veya iki­
si de tek olmalıdır.
A + B = 2.C = D + E
şartına uygun en küçük ABCDE sayısı 15324 olduğun­
dan bu sayının binler basamağmdaki rakam 5 tir.
a
Örnek:
Ayşe, üç basamaklı a7b doğal sayısının 45 ile çarpımı­
nı 14 040 olarak buluyor. Fakat yaptığı işlemi kontrol
ederken a7b sayısının onlar basamağmdaki rakamı,
yanlışlıkla, 1 olarak hesaba kattığını fark ediyor.
Buna göre, bu çarpma işleminin doğru sonucu kaçtır?
Çözüm:
Ayşe, 7 yi 1 olarak hesaba Jrattğına göre, a7b sayısı­
nın değerini (7 - 1).10 = 60 daha küçük olarak hesa­
ba katmıştır. Buna göre, hatalı sonuç, doğru sonuçtan
60.45 = 2700 daha küçüktür. O halde doğru sonuç,
hatalı sonuçtan 2700 fazladır.
Buna göre, doğru sonuç:
14 040 + 2700= 16 740 tır.
?İ.#?&fiC&&
1.
ab ve ba
6.
iki basamaklı sayılardır
Üç basamaklı, rakamları farklı ve birbirinden farklı
dört pozitif tamsayının toplam 613 tür.
ab + ba
a + b
Bu sayılarının en büyüğü en çok kaç olabilir?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 304
A) 3
B)5
C)7
D) 9
Dört basamaklı bir doğal sayının iki basamaklı bir
sayı olur?
B)5
Üç basamaklı
7AB sayısı, iki basamaklı
AB
sayı­
D) 7
C)6
E) 8
A) 25
B)34
C)43
D) 52
E) 82
(I- çarpan)
x
35 (II. çarpan)
o
-^
369
• • • • (sonuç)
A) 3815
B)3915
D)4305
_
8.
°
C)4105
Bu iki sayının farkı 990 olduğuna göre,
A) 1
©
|B - D|
B) 2
C)3
D)4
E)5
E) 4315
9.
ab ve ba
ABCDE ve ADCBE beş basamaklı birer sayıdır.
farkı kaçtır?
*
Yukarıdaki çarpma işleminde sonuç kaçtır?
iki basamaklı sayılardır. Kenan bir kitabın
ab numaralı sayfasından okumaya başlıyor. 72 say­
Bir öğrenciden verilen bir A sayısını 25 ile çarpma­
sı istenmiştir. Öğrenci sonucu 550 bulmuştur. Fakat
işlemi kontrol ederken verilen A sayısının 4 olan on­
lar basamağındaki rakamı 2 olarak gördüğünü sap­
fa daha okuyunca ba numaralı sayfasına geliyor.
tamıştır.
Buna göre, ba doğal sayısı kaçtır?
Buna göre, doğru sonuç aşağıdakilerden hangisi­
dir?
A) 10
B)19
C)27
D) 80
E) 91
A) 850
B)975
D)1075
5.
E) 316
Buna göre, iki basamaklı BA sayısı kaçtır?
3.
4.
D) 314
sının 29 katıdır.
doğal sayıyla çarpımı en az kaç basamaklı bir
A) 4
C)310
E) 11
7.
2.
B)307
C)1050
E)1100
a ve b rakamlarından oluşan iki basamaklı ab sayısı
rakamları toplamın 2 katına eşittir.
1Q. Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı en büyük
çift sayı ile rakamları birbirinden farklı üç basamak­
Buna göre, ba
katına eşittir?
sayısı rakamları toplamının kaç
lı en küçük pozitif tek sayının toplamı kaçtır?
A) 1009
A) 9
26
B)7
C)8
D)JB
E) 3
B)1089
D)1199
C) 1099
E)1299
Sayı Basamakları
1 1 . Yüzler basamağındaki rakamı ile birler basama­
ğındaki rakamı yer değiştirildiğinde 792 artan üç
basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?
A) 8
E) 27
D) 20
C) 16
B)10
1 6 . Üç basamaklı pozitif bir sayının birler basamağın­
daki rakam 5 artırılır, onlar basamağındaki rakam
5 azaltılır, yüzler basamağındaki rakam 5 artırılır­
sa bu sayı kaç artar?
A) 405
B)445
C) 450
D) 455
E) 495
1 2 . FEM, EMF, MFE üç basamaklı sayılardır.
1 7 . Üç basamaklı; xyz sayısı rakamları toplamının
26 katına, zxy sayısı da rakamları toplamının
FEM + EMF + MFE = 1332
47 katına eşit olduğuna göre, yzx sayısı rakam­
olduğuna göre, FEM sayısı en çok kaç olabliir?
ları toplamının kaç katına eşittir?
A) 931
A) 29
1 3 . xy
ile
B)930
yx
C) 921
D) 912
E) 911
D) 41
C)38
B) 35
E) 45
1 8 . AB iki basamaklı, 2AB üç basamaklı doğal sayıdır.
rakamları farklı iki basamaklı sayılardır.
AB + AB + AB + AB + AB = 2AB
(xy)2-(yx)2
= x -y
792
olduğuna göre,
D
A
kaçtır?
C
olduğuna göre,
A) 6
x+y
B)7
kaçtır?
C)8
A) 7
O
D) 9
E) 10
B)6
D) 4
C)5
E) 3
>e
1 9 . ABC, CBA ve DE5 üç basamaklı doğal sayılar ve
1 4 . Hatalı bir şekilde yapılan yandaki
çarpma işlemi, doğru yapılsaydı
doğru sonuç kaç olurdu?
A)2150
B)2250
D) 3500
A > B > C dir.
xyz
28_
kabc
+ def
1250
x
ABC - CBA = DE5
olduğuna göre, ABC nin en küçük değeri için B
kaçtır?
A) 6
C) 2800
C)4
B) 5
D) 3
E) 2
E)6040
2 0 . 2, 3, 6, 7 rakamlarını kullanarak yazılan, rakamları
birbirinden farklı, dört basamaklı ABCD sayısında
A + C = B + D dir.
1 5 . Üç basamaklı A8B doğal sayısı, iki basamaklı AB
doğal sayısının 10 katından 44 fazladır.
Buna göre,
A) 8
B
kaçtır?
B) 7
C) 6
Cevaplar: 1-E 2-B 3-D 4-E 5-A
Bu koşulu sağlayan dört basamaklı kaç farklı ABCD
sayısı vardır?
D) 5
6-A
7-D 8-A
A) 8
E) 4
9-C
10-B
11-B
12-C
13-C
B)7
14-D
C)6
15-E
16-D
17-C
D) 5
E) 4
18-C
19-E 20-A
27
BÖLÜM
1.
ab
ve ba
TEST
2
SAYI BASAMAKLARI
6.
iki basamaklı doğal sayılardır.
ab + ba
7KM sayısının iki basamaklı KM sa­
yısına oranı 15 tir.
_
= 6
aa - bb
Üç basamaklı
Buna göre,
K-M
farkı kaçtır?
olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır?
A) 2
A) 14
•
B)21
C)35
D) 42
C)5
D) 6
E) 7
E) 53
7.
2.
B)3
Rakamları sıfırdan ve birden (1' den) farklı üç ba­
Üç basamaklı
bir sayının üç basamaklı bir sayıy­
la çarpımı en çok kaç basamaklı bir sayı olur?
samaklı dört doğal sayının toplamı en az kaç ola­
bilir?
A) 3
A) 666
B)888
D)1222
3.
E)1554
8.
B) 6
doğal sayının toplamı kaçtır?
A)1022
>.
B)1089
D)1101
D) 10
E)1122
E) 11
9.
ab
iki basamaklı bir doğal sayıdır.
a.x = 36
4.
C) 1099
E
kaçtır?
C)8
Üç basamaklı en büyük tamsayı ile rakamları sıfır­
dan ve birbirinden farklı üç basamaklı en küçük
o
c
o
dan 375 fazladır.
A) 4
E) 7
C) 936
Üç basamaklı KLM sayısı iki basamaklı KL sayısın­
Buna göre,
D) 6
C)5
B) 4
ADCB ve BCDA dört basamaklı sayılardır.
ve
b.x = 72
olduğuna göre, (ab).x
ADCB
BCDA
A) 498
1 1 79
kaçtır?
B) 432
D)372
C) 400
E) 360
Yukarıdaki çıkarma işlemine göre, (A + D) - (B + C)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0
B) 1
C)2
D) 3
E) 4
1 0 . AA, BB, AB iki basamaklı sayılardır.
5.
AA + BB - AB = 34
Üç basamaklı abc doğal sayısı rakamları toplamı­
nın 15 katına eşit olduğuna göre, a + b + c top­
olduğuna göre, BA kaçtır?
lamı en az kaçtır?
A) 7
28
B) 8
C)9
D) 10
E) 11
A) 54
B) 43
C) 34
D) 33
E) 32
Sayı Basamakları
1 6 . xy ve aa iki basamaklı doğal sayılardır.
1 1 . İki basamaklı bir sayı, rakamları toplamının 2 katının
8 fazlasına eşittir.
x=a+4
Buna göre, bu sayının rakamları toplamı kaç
olabilir?
y=a+3
olduğuna göre, xy - aa farkı kaçtır?
A) 10
B) 11
C)12
D) 13
E) 14
A) 33
1 2 . A3BC ve C2BA dört basamaklı doğal sayılardır.
B)8018
B)12
A) 12
E) 8092
C)13
D) 14
E) 15
C)4
D) 5
D) 15
E) 16
aa - b = ac
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
1 9 . 1,2,3, 4, 5, 6 rakamlarının üç tanesi ile üç basa­
maklı ABC sayısı, kalan üç tanesi ile üç basamak­
lı DEF sayısı oluşturulmuştur.
Buna göre, be sayısı a nın kaç katına eşittir?
B)3
C) 14
aaa + bbb + ece = 666
I
1 4 . Üç basamaklı abc sayısı iki basamaklı be sayısının
51 katına eşittir.
B) 13
1 8 . aaa, bbb, ece üç basamaklı, aa ve ac iki basa­
maklı sayılardır.
©
A) 2
E) 43
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
C) 8087
1 3 . Dört basamaklı ABCD sayısı üç basamaklı ABC .o
sayısından 4079 fazla olduğuna göre, A + B + C 5
toplamı kaçtır?
o
A) 11
D) 42
ab = 74 - ±-ZJL
10
farkı en çok kaç olabilir?
D) 8090
C)40
1 7 . abc üç basamaklı, ab iki basamaklı doğal sayılardır.
A3BC - C2BA
A) 8009
B)34
ABC + DEF = 777
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ABC ola­
bilir?
E) 6
A) 236
B)126
C)345
D)325
E) 641
1 5 . abc, bca, cab üç basamaklı, ab ve ba iki basa­
maklı sayılardır.
2 0 . Birbirinden farklı iki basamaklı dört doğal sayı­
nın toplamı 127 olduğuna göre, bu sayıların
en büyüğü en az kaç olabilir?
abc + bca + cab = 37. (ab + ba)
olduğuna göre, c kaçtır?
A) 4
B)5
C)6
Cevaplar: 1-C 2-B 3-D 4-D 5-C 6-C
D) 7
A) 33
E) 8
7-D 8-E 9-B
10-C
1-A
B)34
12-E 13-B 14-A
C)35
15-E 16-E 17-A
D) 36
E) 37
18-B 19-A 20-B
29
1.
a, b, c
6.
birer rakam olmak üzere,
ab ve ba iki basamaklı sayılardır.
a = 3b ve b > c
ab + ba = 88(a - b)
olduğuna göre, abc şeklinde kaç değişik üç ba­
samaklı sayı yazılabilir?
A) 3
B)6
C)9
D) 15
olduğuna göre,
A) 57
E) 30
7.
ab
B) 63
sayısı kaçtır?
C) 75
D) 79
E) 97
Her biri en az üç basamaklı beş doğal sayının her
birinin birler ve onlar basamağı 8 er arttırılıp, yüzler
a ve b sıfırdan farklı rakamlardır.
basamağı 2
ab
ba
aa
+ bb
154
azaltılıyor.
Buna göre, bu beş sayının toplamı kaç azalır?
A) 112
B)240
C)420
D) 560
E) 640
olduğuna göre, ab sayısı en çok kaçtır?
A) 70
3.
B)61
C)52
D) 43
E) 34
a + b = c olduğuna göre, üç basamaklı acb sayısı
iki basamaklı ab sayısının kaç katıdır?
A) 10
B) 11
C)21
D) 91
8.
ABA1 ve A1AB dört basamaklı doğal sayılardır.
0
c
X
ABA1
_A1AB
o
0396
«•
olduğuna göre, B kaçtır?
u.
©
A) 3
C)5
B) 4
E) 101
9.
D) 6
E) 7
Bir öğrenci üç basamaklı 1ab sayısını 24 ile çarpıp
3240 sonucunu buluyor. Fakat işlemi kontrol ederken
1ab sayısının 1 olan onlar basamağını yanlış gördü­
4.
ğünü anlıyor.
aa ve ab iki basamaklı birer sayıdır.
-
ab
a
aa
Buna göre, doğru sonuç kaçtır?
A)2540
D) 2900
olduğuna göre, b - a farkı en az kaçtır?
A) 9
B) 1
C) 0
D) - 1
B)2760
C) 2850
E)2950
E) - 9
1 0 . a, b ve her bir nokta bir rakamı göstermek üzere,
5.
ab, be, ca, aa, bb, cc ikişer basamaklı sayılardır.
+
Toplam: g . . .
ab + be + ca
aa + bb + cc
olduğuna göre, toplam en çok kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 11
7abb
abaa
A) 9000
D) 22
E) 33
B) 9009
D) 9909
C) 9099
E) 9999
Sayı Basamakları
b > c ve 2 a - 3 b = 0
16.
1 1 . Üç basamaklı rakamları birbirinden farklı, dört farklı
pozitif tamsayının toplamı 3635 tir.
şartını sağlayan abc biçiminde üç basamaklı kaç
Bu sayılardan en küçüğü en az kaç olabilir?
farklı sayı yazılabilir?
A) 678
A) 15
B)677
C) 676
D) 675
E) 674
B) 14
C) 13
D) 12
E) 11
1 7 . a5bc ve a3cb dört basamaklı sayılardır.
1 2 . Üç basamaklı ABC sayısı, iki basamaklı BC sa­
yısının 9 katı olduğuna göre, A + B + C toplamı en
a5bc - a3cb
çok kaçtır?
A) 9
B)12
C)15
D) 18
farkı en çok kaç olabilir?
E) 21
A) 290
6-a=b-1=3-c
C)74
D) 75
D) 263
E) 254
M = (mn) 2
Û
o
olduğuna göre, mn sayısının birler basamağı 3
artırılırsa M sayısı ne kadar artar?
c
olduğuna göre, ab + be toplamı kaçtır?
B)73
C) 272
1 8 . mn iki basamaklı bir doğal sayıdır.
1 3 . ab ve be iki basamaklı doğal sayılardır.
A) 72
B)281
E) 76
^
o
**
A) 6(mn)
B) 6(mn) - 9
C) mn
B
e
u.
D) (mn)2
E) 6(mnj + 9
©
1 4 . aa ve bb iki basamaklı doğal sayılardır.
19.
(aa).(bb) = 605
olduğuna göre, a + b
3.a = 4.b
olduğuna göre, rakamları farklı üç basamaklı kaç
farklı abc doğal sayısı yazılabilir?
kaçtır?
A) 24
A) 5
B)6
C)7
D) 8
C)16
B)18
D) 10
E) 8
E) 9
2 0 . a3 ve 3a iki basamaklı doğal sayılardır.
1 5 . aa ve
bb iki basamaklı doğal sayılardır.
2
(aa) -(bb)
2
2
(a3)2-(3a)2
= x.(a -b )
olduğuna göre,
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 11
Cevaplar: 1-B
B)55
2-B
3-B
C)99
4-B
5-A
D) 110
6-E
=
33
a 2 + 6a + 9
2
7-D
A) 8
E) 121
8-C
9-B
10-E
1-A
12-D
13-C
a
B)7
14-B
kaçtır?
C)6
15-E
16-D
17-B
D) 5
E) 4
18-E
19-C 20-C
31
"' •* -'•* «*-•** • * « $ '
$3
<&*#t1S&V''' ••«>: ••
'• i-$W*>
1.
B)360
C)270
D)180
Bu sayının rakamlarının çarpımı kaçtır?
E)162
A) 24
2.
"-.W*™
6. İki basamaklı bir sayı ile bu sayının rakamları yer de­
ğiştirilerek elde edilen sayı toplanırsa toplam 132, çı­
karılırsa fark 36 oluyor.
Üç basamaklı abc sayısı ile üç basamaklı bac sa­
yısı arasındaki fark aşağıdakilerden hangisine eşit
olamaz?
A) 630
•^âisç.
B)32
C)35
D) 42
E) 48
A, B, C, D birer rakam olmak üzere;
ABCD
BADC
CDAB
^ DCBA
39996
7.
İki basamaklı ab, be ve ca sayılarının ortalama­
sı 66 olduğuna göre, a, b ve c sayılarının orta­
laması kaçtır?
A) 9
B)7
E) 4
D) 5
C)6
olduğuna göre, A kaçtır?
A) 9
B)8
C)7
D) 6
E) 3
~^
x
>.
3.
Üç basamaklı ab5 sayısı ile üç basamaklı 5ba sa- E
yısı arasındaki fark 198 olduğuna göre, a + b top- ^
lamı en az kaçtır?
@
A)0
4.
o.
B)2
C)3
D) 5
B) 9
C)12
D) 15
A) 4464 artar
E) 7
Üç basamaklı abc, bca ve cab doğal sayıları, ra­
kamları toplamının sırasıyla 15, 39 ve 57 katına
eşit olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 6
Dört basamaklı bir sayının birler basamağmdaki
rakam 4 arttırılır, onlar basamağmdaki rakam 4
azaltılır, yüzler basamağmdaki rakam 5 azaltılır,
binler basamağmdaki rakam 5 arttırılırsa bu sayı
için aşağıdakilerden hangisi doğru olur?
E) 19
D) 464 azalır
9.
E) 464 artar
Buna göre abc + bca + cab toplamı aşağıdakiler­
den hangisine daima bölünebilir?
B)18
C)9
D) 11
E) 42
Her harf ve her nokta bir rakamı göstermek üzere,
x
aaa
444
10. ab ve cd ikişer basamaklı iki sayı olmak üzere;
+
a nın 3 azaltılıp c nin 3 artırılmasıyla oluşan sa­
yıların çarpımı, ab ile cd nin çarpımından 150 kü­
çük olduğuna göre, ab - cd farkı kaçtır?
147b52
olduğuna göre,
A) 2
32
C) Değişmez
a, b, c birbirinden farklı ardışık rakamlar olmak üzere;
abc, bca, cab üç basamaklı sayılardır.
A) 12
5.
B) 4464 azalır
B)4
b
kaçtır?
C)6
D) 7
E) 8
A) 25
B) 27
C)32
D) 35
E) 42
Sayı Basamakları
32
16.
1 1 . Sıfırdan ve birbirlerinden farklı x, y, z rakamları kul­
lanılarak yazılabilecek rakamları farklı bütün üç basa­
x
olduğuna göre, üç basamaklı xyz
B)241
C)214
D) 152
(II)
+ ••••
(IV)
. . . 0 1 (V)
sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 243
3
— ~ (|||)
maklı sayıların toplamı 1554 tür.
xy = 66 - yx
- O
Yukarıdaki çarpma işleminde her nokta bir rakamın
yerini tutmaktadır.
E) 142
Buna göre IV. sıradaki dört basamaklı sayı kaçtır?
A) 1692
B)1902
D) 2061
C) 1962
E) 2601
1 2 . Üç basamaklı; ABC sayısı rakamları toplamının 41
katından 3 fazla, BCA sayısı rakamları toplamının
36 katından 15 fazla, CAB sayısı rakamları topla­
1 7 . A ve B beş basamaklı sayılardır.
mının 33 katından 6 fazladır.
A = 4a3b2
Buna göre, A + B + C toplamı kaçtır?
B = 3a2b3
A) 15
B)18
C)21
D) 24
E) 25
olduğuna göre,
A)10109
E
o
1 3 . ab ve ba iki basamaklı doğal sayılardır.
ab + ba
ab - ba
C)7
D)10089
I
D) 6
E) 5
1 8 . Dört basamaklı 12ab sayısı üç basamaklı 4ab sayısının 3 katından 80 eksik olduğuna göre, b
®
kaçtır?
A) 4
1 9 . abO üç,
D) 15
E) 16
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
ba iki basamaklı sayıdır.
ab0 = 3.(ba) + 17
sayıdır?
C)14
E)10009
""
doğal sayının çarpımı en az kaç basamaklı bir
B)13
C)10090
>-
1 4 . 8 basamaklı bir doğal sayı ile 6 basamaklı bir
A) 12
B)10099
o
55
~ İ8~
B)8
kaçtır?
c
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 9
A- B
olduğuna göre, iki basamaklı ba sayısı kaçtır?
A) 41
B)31
C)23
D) 21
E) 13
1 5 . İki tanesi 40 tan büyük, rakamları farklı ve bir­
2 0 . A + B + C s D + E şartını sağlayan A, B, C, D, E
birinden farklı iki basamaklı dört pozitif tamsayı­
rakamları ile oluşturulabilecek beş basamaklı
nın toplamı 120 olduğuna göre, bu sayılardan
rakamları farklı en küçük ABCDE sayısının yüz­
en büyüğü en çok kaç olabilir?
ler basamağındaki rakam kaçtır?
A) 60
B)59
Cevaplar: 1-E 2-A
C)58
3-E 4-B
5-E 6-B
D) 57
7-C 8-A
E) 56
9-C
10-,
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
11-B 12-D 13-C 14-B 15-D 16-C 17-B 18-E 19-A 20-D
33
^
!
â$
"HİÜL'—
*•*-»•
••<•
S^y"€f
1.
Rakamları farklı dört basamaklı bir doğal sayının, ra­
kamlarının çarpımı 72 dir.
Buna göre, bu sayının en büyük değeri ile en kü­
A - B = 909 olduğuna göre, x - z + y -1 ifadesi­
çük değerinin toplamı kaçtır?
nin değeri kaçtır?
A)10670
B)11000
C)11561
D)11890
A)-1
C)1
B)0
D) 2
E) 3
E)12490
7.
0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 rakamlarının her biri bir kez
abc rakamları farklı üç basamaklı, ab ve ba iki basa­
kullanılarak yazılabilecek üç basamaklı üç doğal
maklı sayılardır, abc sayısının rakamlarının yerlerini
sayının toplamı en az kaç olabilir?
değiştirerek oluşturulabilecek üç basamaklı, birbirin­
den farklı bütün doğal sayıların toplamı 3774 tür.
A)1287
B)1251
C)765
D) 711
E) 693
(ab) 2 -(ba) 2 = 1485
o.
Yüzler basamağındaki rakamı ile onlar basamağın-
.o
daki rakamı yer değiştirildiğinde değeri 450 aza-
S
lan, üç basamaklı ve rakamları birbirinden farklı
o
olduğuna göre, abc
A) 458
B)539
sayısı kaçtır?
C) 746
D) 872
E) 927
kaç doğal sayı vardır?
A) 28
B)30
D) 35
C)32
E) 40
©
8.
Rakamları tekrarsız, iki basamaklı, birbirlerinden
farklı dört doğal sayının toplamı 103 olduğuna gö­
re, bu sayıların en küçüğü en çok kaç olabilir?
4.
1,2, 3, 4, 6
rakamları kullanarak rakamları birbirin­
A) 19
den farklı, beş basamaklı, A.B = D.E şartını sağlayan
B)20
C)21
D) 23
E) 24
ABCDE sayıları yazılacaktır.
Buna göre, en büyük ABCDE
sayısı en küçük
9.
ABCDE sayısından kaç fazladır?
2, 3, 4, 6 rakamları birer kez kullanılarak yazılabi­
lecek üç basamaklı bütün doğal sayıların toplamı
A) 37782
B) 38718
D) 45711
kaçtır?
C)38727
E)45720
A) 5665
B)6660
D) 8750
C) 7875
E) 9990
Her biri en az üç basamaklı, altı tane doğal sayıdan
her birinin birler ve onlar basamağındaki rakamla­
rın sayı değeri 5 er arttırılıp yüzler basamağındaki
rakamların sayı değeri 2 şer azaltıldığında bu altı
25478x7965312
10.
doğal sayının toplamı nasıl değişir?
çarpımının sonucu kaç basamaklıdır?
A) 870 artar.
B) 870 azalır.
D) 625 azalır.
34
C) 625 artar.
E) 145 azalır.
A) 10
B) 11
C)12
D) 13
E) 14
Sayı Basamakları
1 6 . İki basamaklı xy sayısı rakamları toplamıyla çarpı­
lırsa 517, iki basamaklı yx sayısı rakamları topla­
mıyla çarpılırsa 814 elde ediliyor.
1 1 . 3 ten 7 ye kadar olan rakamlar kullanılarak yazılan,
rakamları farklı beş basamaklı ABCDE sayısında
A + B = D + E dir.
Buna göre, x + y toplamı kaçtır?
Bu koşullara uyan en küçük ABCDE sayısının bir­
ler basamağındaki rakam kaçtır?
A) 3
B)4
C)5
D) 6
A) 5
B)7
C)9
D) 11
E) 13
E) 7
1 7 . Üç basamaklı xyz sayısı bir doğal sayının karesidir.
1 2 . A, B sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üze­
re, Sinan'ın bilyelerinin sayısı iki basamaklı AB sayısı,
kardeşinin bilyelerinin sayısı da iki basamaklı BA sayı­
sı kadardır. Sinan, bir asal sayının karesi kadar bilye­
sini kardeşine verince ikisinin bilyelerinin sayısı birbiri­
ne eşit oluyor.
xyz sayısının 49 fazlası başka bir doğal sayının
karesi olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
A) 15
B)17
C)18
D) 20
E) 22
Buna göre, AB sayısı en çok kaç olabilir?
A) 98
B)97
C)96
D) 95
E) 94
1 8 . İki basamaklı, birbirinden farklı yedi tane doğal sayı­
nın toplamı 145 tir.
L.
O
c
X
o
1 3 . Üç basamaklı rakamları farklı en büyük çift savı *"•
ile iki basamaklı rakamları farklı en küçük tamsa- 6
yının toplamı kaçtır?
•*•
©
A) 996
B)984
C) 896
D) 888
E) 876
Bu sayıların üç tanesi 20 den büyük olduğuna gö­
re, en büyüğü en çok kaç olabilir?
A) 46
B)51
C)56
D) 61
E) 65
1 9 . ABCD ve ADCB dört, XY3 ise üç basamaklı sayıdır.
ABCD - ADCB = XY3
1 4 . abc üç, ab iki basamaklı sayıdır.
ıw X + Y -1
olduğuna göre,
. . _
kaçtır?
10.ab+13 = 4 8 7 - c
olduğuna göre, abc kaçtır?
A) 470
B)474
C) 480
A)-2
D) 484
ab + ba = cbc
C) 6
D) 7
D)1
E) 2
2 0 . Üç basamaklı bir A doğal sayısının sağına 8 yazı­
larak elde edilen dört basamaklı sayı, soluna 4 yazıla­
rak elde edilen dört basamaklı sayının 2 katıdır.
Buna göre, A sayısının rakamlarının sayı değerleri
toplamı kaçtır?
olduğuna göre, (a - b + c) kaçtır?
B) 5
C)0
E) 487
1 5 . ab ve ba iki basamaklı, cbc üç basamaklı sayılardır.
A) 4
B)-1
E) 8
Cevaplar: 1-A 2-D 3-E 4-E 5-B 6-B 7-D 8-E 9-E 10-C
A) 16
B)18
C)21
D) 24
E) 27
1-C 12-B 13-D 14-B 15-E 16-D 17-C 18-C 19-A 20-E
35
&ii* M-^ji'*Vv?.W TARAN AflİTMFTİİ
a>2 ve a sayı tabanını göstermek üzere, a tabanın­
daki bir sayı yazılırken kullanılacak rakamlar a tanedir
ve bu rakamlar; 0, 1, 2, 3,... , a - 1 dir.
2' lik sayma sistemindeki rakamlar: 0, 1
5' lik sayma sistemindeki rakamlar: 0,1, 2, 3, 4
12' lik sayma sistemindeki rakamlar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, A, B ve burada A rakamının sayı değeri 10,
B rakamının sayı değeri 11 dir.
Tek ve Çift Sayılar:
Herhangi bir tabandaki bir sayı çözümlenerek tek veya
çift olduğu bulunur.
Buradan şu iki sonuç çıkarılabilir.
n tabanındaki beş basamaklı (abcde)n sayısının basa­
makları ve çözümlenmiş şekli,
(807)10, (213)4, (405)8, sayıları tek sayıdır.
Tabanı çift sayı olan bir sayının birler basamağmdaki
rakam tek ise bu sayı da tek, birler basamağmdaki ra­
kam çift ise bu sayı da çifttir.
(354)1Q, (112)4, (3014)8, sayıları çift,
Tabanı tek sayı olan bir sayının rakamlarının sayı de­
ğerlerinin toplamı tek sayı (veya tek sayı olan rakamla­
rının adedi tek) ise bu sayı da tek, bu toplam çift sayı
(veya tek sayı olan rakamlarının adedi çift) ise bu sayı
da çifttir.
(a b c d e). = a.n4 + b.n3 + c.n2 + d.n1 + e.n°
4 3 2 10
n° lar (birler) basamağı
1 + 3 + 5 + 4=13 (tek sayı) veya (tek sayı olan rakam­
ları üç tane) olduğundan,
-*-n 1 ler basamağı
-*-n ler basamağı
•*-n3 ler basamağı
• n ler basamağı
(1354) sayısı tek sayı,
I. Herhangi Bir Tabandaki Sayının 10 Tabanında
Yazılması:
Herhangi bir tabandaki bir sayı, çözümlenmek suretiyle
(basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılarak) 10
tabanındaki eşiti bulunur.
Örneğin; 5 tabanındaki (4023)5 ve 3 tabanındaki
(1,02)3 sayılarının basamaklarını ve 10 tabanındaki
eşitlerini bulalım.
(4 0 2 3)5 = 3.5° + 2.51 + 0.52 + 4.53
= (513)10
5° lar (birler) basamağı
51 ler (beşler) basamağı
-+•5 ler (yirmi beşler) basamağı
-*-53 ler (yüz yirmi beşler) basamağı
(1,0 2), = 1.3° + 0.3~1 +2.3" 2
0-1-2
= 1.3° + 0 . - l + 2 . l
_11_
9
-+•3" ler (dokuzda birler) basamağı
-+•3"1 ler (üçte birler) basamağı
- * 3 0 lar (birler) basamağı
36
>s
O
>-
1 +0 + 6 + 3 = 10 (çiftsayı) veya (teksayı olan rakam­
ları iki tane) olduğundan,
(1063)
sayısı çift sayıdır.
E
«
u.
II. 10 Tabanındaki Bir Sayının Herhangi Bir
Tabanda Yazılması:
10 tabanında verilen sayı istenen tabana bölünür. Elde
edilen bölüm tekrar tabana bölünür. Bu işlem elde edi­
len bölüm 0 oluncaya kadar tekrarlanır. Bundan sonra
ilk elde edilen kalan istenen sayının en sağındaki (birler
basamağmdaki) rakam olmak üzere, sondan başa doğ­
ru elde edilen bütün kalanlar sırasıyla istenilen tabanda­
ki sayının rakamlarını meydana getirirler.
Örnek:
10 tabanındaki 328 sayısı nm 5 tabanındaki eşitini
bulalım.
328 5
65
i
65 5
_ ' 13
13
0
i
(328)K = (2303)5
olur.
5
2
2
d
5
0
Taban Aritmetiği
2. Yol:
n
a Tabanındaki Bir Sayının a Tabanında Yazılması:
a tabanında verilen sayının rakamları sağdan sola
doğru n - li gruplara ayrıldıktan sonra en soldaki grup­
tan başlayarak sırasıyla çözümleme yapılır. Çözümleme
n
yapılarak elde edilen sayılar aynı sırada, a tabanında
yazılacak olan sayının rakamlarını meydana getirir.
328 sayısı 5' lik sayma sistemindeki bölünebileceği en
büyük basamağa (125' e) bölünür. Elde edilen bölüm
125' ler basamağındaki rakamdır. Daha sonra elde edi­
len kalan (78) bir sonraki basamağa (25' e) bölünür. El­
de edilen bölüm 25' ler basamağındaki rakamdır. Bu şe­
kilde bölme işlemine birler basamağına kadar devam
edilerek sayının bütün basamaklarındaki rakamlar sıra­
sıyla bulunmuş olur.
Örnek:
(10011110)
sayısının 8 tabanındaki eşitini bulalım.
3
328 125
78 2
3
3
25
5
1
3
0
3
8 = 2 olduğundan verilen sayının rakamları sağdan
sola doğru 3' erli olarak gruplandmlarak çözümlenirse,
(10 0JJ 110)2
328 = (2303). tir.
= (2
0
6) 8
(011)2 = 3
(110) 2 =6
III. Herhangi Bir Tabandaki Sayının Başka Bir
Tabanda Yazılması:
(10011110), = (236)Q olur.
2
Herhangi bir tabandaki sayı önce 10 tabanına çevrilir.
Bundan sonra istenen tabana çevrilir.
(304)5 = 4.5° + 0.51 + 3.52 = (79)1Q
O
Burada, bir önceki örnekte yapılan işlem tersten yapıl­
malıdır. Verilen sayının her rakamının 3 tabanındaki
eşiti bulunmalı ve 9 = 32 olduğundan, bulunan her
sayı, aynı sırada iki basamaklı olarak yazılmalıdır.
E
«
Buna gpre,
>64
8
1
1
"1
7
o
Örnek:
9 tabanındaki (672)£ sayısının 3 tabanındaki eşitini
bulalım.
Örnek:
5 tabanındaki (304) sayısının 8 tabanındaki eşitini
bulalım.
79
15
7
0
3
(10)2 = 2
u.
(6)g = 2.31 = (20)3
(7) 9 =2.3 1
+
1.3°=(21)3
(2)g = 2.3° = (02)3 olduğundan,
(304) 5 =(79) 10 =(117) 8 olur.
(672) g =(Ş02102) 3
olur.
Örnek:
— sayısının, 6 tabanındaki eşitini bulalım.
Burada kesrin paydası, 6 nın bir kuvvetine eşit olacak
şekilde genişletme (veya sadeleştirme) yapıldıktan son­
ra payının 6 tabanındaki: eşiti yazılır.
10
40
— = —
9
36
ve
40
HU
36
6
1
4
4
0
1
0
4
_ (104)6
36
1 . 6 2 + 0 . 6 1 + 4.6 C
IV. Herhangi Bir Tabanda İşlemler:
Herhangi bir tabanda toplama veya çarprna işlemi yapı­
lırken işlem süresince ortaya çıkan sayı değerlerinde;
tabanın sayı değerinin (tatları, elde olarak bir sonraki
basamaktaki işleme eklenir. Çıkarma işlemi yapılırken
bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiğinde, alı­
nan bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın s§yı
değeri kadardır.
Örnek:
(243) 5
(331) 5
(1124),
(203)4
x
W*
(1012) 4
(1221)4
1
2
= 1 + 0 . 6 " + 4 . 6 " = (1,04)6 dır.
1Î3222J7
(?135)7
(243)7
0562) 7
m ;wımfâ:&ı*/*r*%?f m^
1.
6.
a tabanında 12 sayısı 10 tabanında 7 ye eşit
olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3
B)4
C)5
D) 6
4 sayı tabanıdır.
(123) 4 -(32) 4
E) 7
farkı 4 tabanına göre kaçtır?
A) 111
2.
6 ve 4 sayı tabanını göstermek üzere,
7.
A) 0
C) 2
C)32
(231)4
x kaçtır?
B) 1
B) 101
+
toplamı 4 tabanında kaçtır?
D) 3
E) 4
A) 1030
B)1102
o
>-
(233)4 = (52)g
A) 6
a
B) 7
8.
(314) g + (121)a= (440)g
u.
kaçtır?
©
D) 9
olduğuna göre,
E) 10
A) 9
9.
4.
B)8
C)120
D) 117
C)7
D) 6
E) 5
(123) m -(14) m =(105) m
olduğuna göre,
B)121
a kaçtır?
m sayı tabanını göstermek üzere,
5 tabanında, rakamları farklı üç basamaklı en bü­
yük sayının 10 tabanındaki değeri kaçtır?
A) 124
E)1310
a sayı tabanını göstermek üzere,
E
C) 8
C) 1220
o
c
4 ve a sayı tabanını göstermek üzere,
olduğuna göre,
E) 21
(133)4
D)1223
3.
D) 31
4 sayı tabanını göstermek üzere,
(15) 6 -(x3) 4
olduğuna göre,
'^•İ$W8 '*jt(
m kaçtır?
E) 112
A) 6
B)7
C)8
D) 9
E) 10
D) 122
E) 132
1 0 . 5 sayı tabanını göstermek üzere,
5.
5 tabanındaki (301)
tabanında kaçtır?
sayısının 5 fazlası, 5
(13)5-(4>5
çarpımı 5 tabanına göre kaçtır?
A) 310
38
B) 311
C)312
D) 313
E) 314
A) 102
B) 112
C)114
Taban Aritmetiği
16. x + 1
1 1 . 4 3 + 2 doğal sayısı 4 tabanına göre, kaç basa­
maklı bir sayıdır?
ve x + 2 sayı tabanıdır.
(150)
v
A) 8
B)7
C)6
D) 5
olduğuna göre,
A) 9
12. x
=(123)
v
'x+1
E) 4
0
'x + 2
x kaçtır?
B)8
C)7
D) 6
E) 5
sayı tabanıdır.,
1 7 . 5! sayısı 4! tabanına göre kaçtır?
3.(12)x = (40) x
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 5
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
B)40
C)50
D) 54
E) 100
D) 4
E) 5
E) 9
1 8 . 3 ve 6
sayı tabanıdır.
(2a) 6 = ( H 2 ) 3
1 3 . 4 tabanında, rakamları farklı en büyük doğal sayınm 10 tabanındaki değeri kaçtır?
A) 180
B)196
C)216
_5
c
D) 220
E) 228
£
>E
«
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
©
19. 2
sayı tabanıdır.
" (110) 2 .(101) 2 -
14. 4 ve a sayı tabanıdır.
(11)2
(1a3) 4 + (12) a
işleminin sonucu 2 tabanına göre kaçtır?
toplamı 10 tabanına göre kaçtır?
A) 42
B)40
C)38
A) 111
D) 36
B) 1000
D)1010
E) 33
C)1001
E)1011
2 0 . 4 ve 5 sayı tabanıdır.
1 5 . x ve 3
sayı tabanıdır.
( a a a ) 5 - (aaa) 4
(aa) 4
(100)x = (221) 3
işleminin sonucu 10 tabanına göre kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 5
B)6
C)7
Cevaplar: 1-C 2-C 3-D 4-D 5-B
D) 8
6-D
7-A
E) 9
8-E 9-A
10-B
A) 2
B)3
11-E 12-B 13-E 14-D 15-A
D) 10
E) 20
16-E 17-C 18-B
19-D 20-A
C)5
39
'ıVi
->/'-**'
1.
6.
4 sayı tabanıdır.
2 ve 5
sayı tabanıdır.
(a4) 5 = (1110) 2
24 = (abc) 4
olduğuna göre,
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
2.
A) 2
B)3
C)4
6 ve 10
sayı tabanıdır.
D) 5
A)0
E) 6
7.
B)1
a ve 7
C)2
A) 5
olduğuna göre,
C)7
E) 4
D) 3
E) 2
(1a) 7 = (22) g
x kaçtır?
B)6
D) 3
sayı tabanıdır.
(242) 6 = (xy) 1 0
olduğuna göre,
a kaçtır?
D) 8
A) 6
E) 9
a kaçtır?
B)5
C)4
o
B
3.
5
sayı tabanıdır.
(301)x + (1x4)5
«
B)10101
D)10201
sayı tabanını göstermek üzere,
E
toplamı 10 tabanına göre kaçtır?
5 tabanına göre kaçtır?
A)10100
A) 48
B)49
C)98
E) 112
E)10211
3, 5 ve 7 sayı tabanını göstermek üzere,
2
x > 1 o|rnak üzere, (x + 2) sayısının x + 1 taba­
(111)3
nındaki eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre,
A) 121
§.
D) 106
C)10200
9.
4.
x ve 5
>-
(3113) 5 + (2032)5
toplamı
8.
O
5
B)100
C)161
D) 201
E) 122
A) 22
(11)5-(x)7
+
x kaçtır?
B)23
C)24
D) 25
E) 26
D) 6
E) 7
sayı tabanıdır.
10. a
sayı tabanını göstermek üzere,
(32) 5 .(14) 5
(121)
v
işleminin sonucu 5 tabanına göre kaçtır?
olduğuna göre,
A) 113
B)1003
D)1103
'a
=36
a kaçtır?
Q)1100
E)1203
A) 3
B) 4
C) 5
Taban Aritmetiği
1 6 . m ve 6 sayı tabanını göstermek üzere,
1 1 . 5 tabanında yazılabilecek üç basamaklı en büyük
sayı ile aynı tabandaki üç basamaklı en küçük do­
ğal sayı arasındaki fark 10 tabanında kaçtır?
A) 99
B) 344
C) 75
D) 144
(140)m = (113)6
olduğuna göre,
E) 69
A) 5
m kaçtır?
B)6
C)7
D) 8
E) 9
1 2 . 5 sayı tabanıdır.
1 7 . 2 ve 4 sayı tabanını göstermek üzere,
(21,44)5 + (2,01)5
(1xx)2 + (1yy)4 = 38
toplamı 5 tabanına göre kaçtır?
A) 30
B)24
C)23
D) 22
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
E) 21
A) 1
13.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
6 ve 10 sayı tabanını göstermek üzere,
(4512)6 = (x)10
1 8 . 4 sayı tabanını göstermek üzere,
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1012
(23)4 + (12) 4 -(32) 4
B)1052
D) 2051
C) 2020
E) 5001
E
«
u.
1 4 . a > 5 olmak üzere, 2a4 + a + 5 sayısının a taba­
nına göre yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (215)
B) (20015)
D) (200015)
O
işleminin sonucu 5 tabanında kaçtır?
A) 2
C)10
D) 12
E) 13
1 9 . 2, 3 ve 4 sayı tabanını göstermek üzere,
C)(2015)
E) (2105)
B)3
(111)2
+
(222) 3 + (333) 4
toplamı 5 tabanında kaçtır?
A) 431
B)321
C) 341
D) 214
E) 210
1 5 . x ile 5 sayı tabanıdır.
(xy3)5 + (2y)x
toplamının alabileceği en büyük değer 10 tabanı­
na göre kaçtır?
A)126
B)127
C)128
D)129
E) 130
2 0 . 4 tabanında 123 sayısının 8 fazlası aynı taban­
da kaçtır?
A) 231
B)230
C) 220
D) 203
E) 131
Cevaplar. 1-B 2-E 3-C 4-A 5-D 6-C 7-B 8-C 9-D 10-C 11-A 12-B 13-B 14-B 15-D 16-A 17-D 18-B 19-C 20-D
41
142
n sayı tabanıdır.
den hangisidir?
(102) n = 27
olduğuna göre,
A) 3
n
A) 33
kaçtır?
B)4
C)5
sayısının 5 tabanındaki eşiti aşağıdakiler-
D) 6
B) 42,3
D) 102,3
E) 7
C) 43,2
E) 103,2
a sayı tabanıdır.
(330) a
olduğuna göre,
A) 4
+
a
7.
(231) a =(1111) a
bir sayı elde edilir?
kaçtır?
B)5
C)6
A) 6
D) 7
(a0a) m = (aa) g
A) 3
m
£
*"
8.
|
C) 6
9.
D) 4
16
olduğuna göre,
A) 1
B) 2
+
10. x
37
C)
16
35
16
D)
33
16
E) 51
16
(124) x .(12) x = (1521) x
olduğuna göre,
kaçtır?
C) 3
B)
sayı tabanıdır.
(3a) b =(211) 4
a
E) 50
E) 5
4, 6, b sayı tabanıdır.
(ab) 6
D) 54
4 sayı tabanıdır.
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
C) 3
C)58
(2,13) sayısı 10 tabanına göre kaçtır?
V(221) 3 = ( a b c ) 2 •
B) 2
B) 62
E) 9
2 ve 3 sayı tabanıdır.
A) 1
E) 2
6 sayı tabanı olmak üzere, (abcd) 6 sayısında b
rakamı 2 artırılır, c rakamı 3 azaltılırsa oluşan
A) 66
D) 7
D) 3
yeni sayının değeri 10 tabanında kaç artar?
kaçtır?
B) 4
C)4
B)5
E) 8
a sıfırdan farklı bir rakam, 9 ve m sayı tabanıdır.
olduğuna göre,
8! sayısı 7! tabanında yazıldığında kaç basamaklı
D) 4
E) 5
A) 6
B) 7
x
kaçtır?
C) 8
D)'9
E) 10
Taban Aritmetiği
1 6 . x ve k
1 1 . 12! sayısı 3 tabanında yazıldığında sondan kaç
basamak sıfır olur?
A) 9
B)8
C)7
D) 6
pozitif tamsayı, 6 sayı tabanıdır.
(1210x)c = 3.k
olduğuna göre,
E) 5
B)1
•A)0
1 2 . 6.54 sayısının 5 tabanındaki eşiti aşağıdakiler-
B) 101000
olduğuna göre,
E)10011
A) 7
1 3 . 5 sayı tabanını göstermek üzere, bir öğrenci (a40b)5
sayısını 10 tabanında 12 ile çarpıp 10 tabanında
2124 sonucunu buluyor. İşlemi kontrol ettiğinde çar­
pılan sayının yirmibeşler basamağındaki 4 ü 2 ola­
rak gördüğünü tespit ediyor.
D) 3
E)-4
D) 4
E) 3
(1011011)2 = (laa) 8
C) 100100
D)100011
C)2
1 7 . 8 ve 2 sayı tabanıdır.
den hangisidir?
A) 110000
x kaçtır?
a kaçtır?
B)6
C)5
1 8 . abc üç basamaklı bir sayı ve 5 sayı tabanını göster­
mek üzere,
(abc)5-(bac)5=60
o
c
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Z
A)a + b + c = 4
Buna göre, işlemin doğru sonucu kaç olurdu?
A) 2324
B) 2524
D)2924
C) 2724
E)3124
E
»
B) a = b + 3
D)a + b = 2
C) b = a + c
E)a + c = b + 2
@
1 9 . x ve y sıfırdan ve birbirinden farklı bir rakam, 4 sayı
1 4 . a - 1 ve a + 1
(121)
v
'a-1
olduğuna göre, a
A) 8
tabanıdır.
sayı tabanıdır.
B) 7
=(31)
v
(x0y)4 < (y0x)4
.
'a+1
olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği farklı
kaçtır?
C) 6
değerlerin toplamı kaçtır?
D) 5
E) 4
A) 8
20.
1 5 . (xlx) x
sayısının x tabanındaki değeri aşağıda-
kilerden hangisine eşittir?
A)1231
B)1230
D)1130
C)1131
E)1031
Cevaplar: 1-C 2-B 3-A 4-B 5-C 6-E 7-E 8-D 9-A 10-t
B)12
C)24
D) 32
a = (1203)4
,
b = (3564)6
c = (4023)7
,
d = (1507) 11
E) 48
sayılarından kaç tanesi tek sayıdır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
11-E 12-A 13-C 14-E 15-A 16-D 17-E 18-B 19-B 20-D
43
1.
c2 ve b sayı tabanıdır.
6 tabanındaki 243 sayısının 10 tabanındaki eşi­
ti aşağıdakiierden hangisidir?
( b a ) 2 + (ca1)
c
A) 44
B)46
C)96
D) 99
E) 121
ifadesinin 10 tabanındaki en küçük doğal sayı
değeri kaçtır?
2.
5 ve 10
A) 31
sayı tabanıdır.
B)30
C)29
D) 27
E) 25
(222) 1 Q -(222) 5
x ve y birer rakam, 4 sayı tabanıdır.
farkı 10 tabanına göre kaçtır?
A) 186
B)160
C)144
D) 130
(3x,y) 4
E) 120
=
^
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
3.
7
A) 6
sayı tabanıdır.
B)5
C)4
D) 3
E) 2
D) 3
E) 4
o
c
(645) 7 + (463) 7
£ 8.
toplamı 7 tabanına göre kaçtır?
A)1331
B)1341
C)1441
olduğuna göre, x + y kaçtır?
E) 1541
A) 0
4.
9.
sayısının a + 1 tabanındaki eşiti aşağıdakiierden
hangisidir?
A)1303
B)1301
D)1201
C) 2
a ve 5
8 sayı tabanıdır.
(ab)8 + (ab) 8 * 56
olduğuna göre, a.b kaçtır?
C)1203
A) 14
E)1103
10. x ve 4
sayı tabanıdır.
B)12
C)10
D) 9
E) 8
sayı tabanıdır.
(120)x < (333)4
(b2) a + (a1)5
44
B) 1
a > 5 olmak üzere,
a 3 + 4a 2 + 5a + 5
5.
rakam, 5 sayı tabanıdır.
(31x) 5 -(2y3) 5 = (34) 5
©
D)1531
x ve y
E
o
toplamının en büyük deâerî 10 tabanında kaçtır?
olduğuna göre, x in en büyük değeri kaçtır?
A) 35
A) 3
B)36
C)37
D) 38
E) 39
B)4
C)5
D) 6
E) 7
Taban Aritmetiği
1 6 . 4 ve c sayı tabanı ve c > 5 tir.
1 1 . 5 tabanındaki 104 sayısının 3 tabanındaki eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
A)1000
B) 1001
D) 1010
(ab)c + (ba)c = (301)4
C)1002
olduğuna göre, a + b toplamı en çok kaçtır?
E)1012
A) 5
1 2 . x + 2 ve 7 sayı tabanıdır.
A) 5
D) 8
E) 9
(121) =36
x kaçtır?
B) 4
C)7
1 7 . n sayı tabanıdır.
(121)x + 2 = (100)7
olduğuna göre,
B)6
a+b+c=5
C) 3
D) 2
E) 1
olduğuna göre, (ab) + (be) + (ca)
tabanında kaçtır?
A) 100
B) 101
C)102
toplamı n
D) 110
E) 210
1 3 . a ve 8 sayı tabanıdır.
da) 8 = (22)a
olduğuna göre,
A) 3
D) 4
D
a kaçtır?
1 8 . 5 sayı tabanı olmak üzere,
-^
C)5
D) 6
E) 7
3 . (233)c - 4
5
£
işleminin sonucu 5 tabanına göre kaçtır?
A) 1400
14.
B)1320
C) 1310
D) 1304
x sayı tabanıdır.
(aab) x - (bba)x
=
E)1300
^
(a)x-(b)x
1 9 . 6 ve 7 sayı tabanı olmak üzere,
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 4
B)5
C)6
D) 7
E) 8
(23a)6 ve (3b4)7 sayıları çift sayılar olduğuna göre,
a + b toplamı en çok kaç olabilir?
A) 11
B) 10
C)9
D) 8
E) 7
15. 6 sayı tabanıdır.
(3210) 6 -(11) 6 .(23) 6
işleminin sonucu 6 tabanına göre kaçtır?
A) 2513
B)2523
D)3013
C) 2533
E)3113
Cevaplar: 1-D 2-B 3-C 4-E 5-A 6-A 7-D 8-E 9-B 10-E
2 0 . 4 tabanındaki iki basamaklı birbirinden farklı iki
çift sayının çarpımı 4 tabanına göre en çok kaç­
tır?
A) 3320
B)2030
D)2210
C) 2120
E)2220
1-C 12-B 13-D 14-B 15-A 16-C 17-D 18-E 19-C 20-E
45
*>,'•>$$* *'-
,.tJ:
BöiAı^ İ f f t i i P WPP>I
TfST
5
^v:rtı^>&*&**&. '.".
sx'--?t»& *^,,-'ı-* ;£.-*.*•#!•
1.
-«
^ AV <#*«*•• ^
6.
(231 ) 6 sayısının 26 eksiği 6 tabanında kaçtır?
x,
12 tabanında yazılabilecek bir sayının en büyük
rakamıdır.
A) 200
2.
x
B)145
C)142
D) 135
E) 125
(1x3)
sayısının 10 tabanındaki eşiti kaçtır?
A) 279
B)271
C) 267
D) 255
E) 251
(12013)
sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
sayı tabanını göstermek üzere,
(214)x-(23)x=(151)x
olduğuna göre,
A) 9
3.
5 ve 7
x
B) 8
7.
kaçtır?
C) 7
D) 6
E) 5
A) 0
8.
sayı tabanıdır.
>-
B) 54
1
a< b< 8
E) 4
olmak üzere,
farkının 10 tabanındaki değeri en az kaçtır?
azaltılırsa toplamdaki
C) 60
D) 63
A) 12
B)13
C)14
D) 15
E) 16
E) 70
9.
4.
sayı tabanı ve
D) 3
(43)a-(12)b
E
azalmanın 10 tabanındaki değeri kaçtır?
A) 50
C) 2
o
(abc) ? + (mn) 5
toplamında her rakam
a ve b
B) 1
(2x3) 5 sayısı 7 ile tam bölünebildiğine göre,
a ve b sayı tabanıdır.
(52) a = (65) b
x
kaçtır?
olduğuna göre,
A)0
B)1
C)2
D) 3
5 6 sayısının 25 tabanındaki eşiti aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
A) 100
B)10
C)9
1 0 . a > 5 olmak üzere, (145)
D) 8
E) 7
sayısının a+ 2 taba­
nındaki eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B)1000
D)10000
en az kaçtır?
E) 4
A) 11
5.
b
C)1010
E)11000
A) 101
B)103
C)120
D) 121
E) 131
Taban Aritmetiği
1 6 . a, b, c birbirinden ve sıfırdan farklı rakamlardır.
1 1 . 5 tabanında iki basamaklı kaç farklı pozitif tam­
sayı yazılabilir?
(abc) 4 + (bbc) g + (cc) b
A) 20
B)18
C)16
D) 15
E) 12
toplamı 10 tabanına göre kaçtır?
A) 70
1 2 . 4 sayı tabanıdır.
17. 5
(32,33)4
+
B)30
D) 85
E) 90
(13a20)5
D) 34
C)31
C) 80
sayı tabanı olmak üzere,
(1,01)4
toplamı 5 tabanında kaçtır?
A) 24
B) 75
sayısı tek sayı olduğuna göre, a nın alabileceği
değerlerin toplamı kaçtır?
E) 40
A) 8
B)7
C)6
D) 5
E) 4
1 8 . 2, 7, 11 sayı tabanıdır.
1 3 . E s 14, F = 15, M = 22 olmak üzere, 32 tabanında­
ki (34FEM1) 32 sayısı 2 tabanında yazılırsa kaç ba­
samaklı bir sayı olur?
^
c
A) 30
B)27
C)24
D) 21
E) 18
b = (53) 7
£
c = (11111)2
>E
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
©
A)a<b<c
B)a<c<b
D) b < c < a
1 4 . 8 tabanındaki (301) sayısının 2 tabanındaki eşi­
C)b<a<c
E)c<a<b
ti aşağıdakilerden hangisidir?
A)11000001
B)101001
C)11001001
1 9 . (27) 4 sayısı 9 tabanında yazıldığında kaç basa­
D)10000001
E)110001
maklı bir sayı elde edilir?
A) 7
1 5 . 5 ve 7
D) 10
C)9
E) 11
sayı tabanı, a * 0 dır.
2 0 . 5 tabanındaki (312) sayısının 25 katı, 5 taba­
nında kaçtır?
(ab)5 = (ba) 7
olduğuna göre,
A) 6
B)8
B)5
a+b
A) 4140
toplamı kaçtır?
C)4
Cevaplar: 1-B 2-D 3-D 4-C 5-B 6-A
D) 3
C) 3040
D) 40200
E) 2
7-D 8-C 9-E 10-A
B)4040
1-A
12-C
13-B
14-A
15-B
E) 31200
16-D
17-E
18-B
19-A 20-E
47
BÖLÜNEBİLME KURALLARI
•^'••t&tl
SGv
„v
..H.\A-X
t X-
Bölen ile Kalan Arasındaki Bağıntılar
A, B, x ve k birer tamsayı, x# O ve k > O olmak
üzere, A sayısının x ile bölünmesinde bölüm B, kalan
da k ise,
M ve N tamsayılarının x tamsayısına bölünmesinden
elde edilen kalanlar sırasıyla m ve n olsun.
1. (M.N) nin x ile bölünmesinde kalan (m.n),
A: Bölünen
x: Bölen
2. Na nın x ile bölünmesinde kalan na , a e Z +
_
B: Bölüm
3. (M ± N) nın x ile bölünmesinde kalan (m ± n) dir.
k
k: Kalan
Burada; (m.n), na ve (m ± n) değerleri,
şeklinde bölme işlemi yapılır.
x ten küçük değilse, bu değerler x ile tekrar bölünerek
kalan bulunur.
Bu bölme işlemine göre:
A = B.x + k (Bölme özdeşliği)
O<k<x
Örnek:
(Kalan özelliği)
•
k = 0 ise A sayısı x ile kalansız bölünüyordur.
(Tam BÖlünebilme)
7 nin 5 ile bölümünden kalan 2 olduğundan,
k < B ise bölen (x) ile bölüm (B) yer değiştirildiğinde
kalan değişmez.
Örnek:
45 ve (- 45) sayılarının 13 ile bölünmesinde bölüm ve
kalanı bulalım.
A2 + 7.A ifadesinin 5 ile bölümünden kalan;
22 + 2.2 = 8 ve 8 in 5 ile bölümünden kalan 3
olduğundan bu kalan 3 tür.
O
>-
•
E
45
13
39 3 (bölüm)
Örnek:
Yandaki bölme
işlemindeki kalan
kaçtır?
94
8
11
-45
13
-52 -4 (bölüm)
10 un 3 ve 9 ile bölümünden kalan 1 olduğundan,
102,103, 104
sayılarının da 3 ve 9 ile bölümünden kalanlar 1 dir.
Dolayısıyla; abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d
7 (kalan)
6 (kalan)
A doğal sayısının 5 ile bölünmesinden elde edilen ka­
lan 2 ise, (A2 + 7A) ifadesinin 5 ile bölümünden kala­
nı bulalım.
-» 1.a + 1.b+1.c + d
dört basamaklı abcd doğal sayısının 3 ve 9 ile bölü­
münden kalanlar, (a + b + c + d) nin yani rakamları top­
lamının sırası ile 3 ve 9 ile bölümünden kalandır.
94 ??
T"
kalan?
olduğundan yukarıdaki bölme
işleminde, kalan 6 dır.
olduğundan,
•
10 sayısının 11 ile bölümünden kalan, 10-11 = - 1 e
özdeş olarak düşünülürse, 102 nin 11 ile bölümünden
kalan (^1) 2 = 1, 103 ün 11 ile bölümünden kalan
(-1 )3 = - 1, 104 ün 11 ile bölümünden kalan (- 1 )4 = 1,
... dolayısıyla;
abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d
Uyarı:
-» (-1).a+ Lb + (-1).c + d
Bölme işleminde k = 0 (A sayısı x ile tam bölünüyor) ise
x ve B, A sayısının birer tamsayı bölenidir.
1 sayısı, her tamsayının bölenidir.
0 sayısı, hiçbir sayıyı bölmez. (0, hiçbir sayının böleni
değildir.)
0 ile bölmek tanımsızdır.
=-a+b-c+d
olduğundan, dört basamaklı abcd doğal sayısının
11 ile bölümünden kalan (- a + b - c + d) ifadesinin
değerinin 11 ile bölümünden kalanlardır.
0 sayısı, kendisi hariç bütün tamsayılara bölünür ve bö­
lüm sıfırdır. 0 sayısı, bütün sayıların tam katı (0 katı) dır.
Uyarı:
Yukarıdaki örneklerde olduğu gibi, çözümleme yapıla­
rak sayıların bölünebilme kuralları ortaya çıkarılmıştır.
Bölme, Bölünebilme Kuralları
I.
BÖLÜNEBILME KURALLARI
Uyarı:
2, 5 ve 10 ile Bölünebilme
Bir A tamsayısı x ile tam bölünebiliyorsa x in çarpan­
larına (bölenlerine) da tam bölünür. Ancak, bunun tersi
her zaman doğru olmayabilir. Örneğin, 24 ile tam
bölünebilen bir sayı, 24 ün çarpanları ile yani, 1, 2, 3, 4,
6, 8, 12 ile de tam bölünür.
Ancak, 4 ve 6 ile tam bölünebilen bir sayı, bu sayıların
çarpımı olan 4.6 = 24 ile tam bölünmeyebilir. Örneğin,
12 ve 36 sayıları 4 ve 6 ile tam bölünebildiği halde 24
ile tam bölünemez.
Birler basamağı; 2 nin katı olan sayılar (çift sayılar) 2
ile, 5 in katı olan sayılar 5 ile, 0 (sıfır) olan sayılar 10
ile tam bölünür.
Bir sayının 2 ye ve 5 e bölümünden kalan, bu sayının
birler basamağındaki rakamın sırasıyla 2 ye ve 5 e
bölümünden kalandır.
Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, bu sayının birler
basamağındaki rakamdır.
•
Örnek:
Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.
15 ile bölümünden kalan 14 (k e Z ve 15.k + 14) olan
bir sayının 3 ve 5 ile bölümünden kalanlar; 14 ün
sırasıyla 3 ve 5 ile bölümünden kalanlardır.
II. 3 ve 9 ile Bölünebilme
Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı; 3 ün katı olan
sayılar 3 ile, 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölüne­
bilir.
*
Buna göre,
15.k+ 14 = 3.(5k + 4 ) + 2
Bir sayının 3 e ve 9 a bölümünden kalan, bu sayının
= 5.(3k + 2) + 4
rakamlarının sayı değerleri toplamının sırasıyla 3 e ve
olduğundan, (15.k + 14) sayısının 3 ile bölümünden
kalan 2, 5 bölümünden kalan 4 tür.
9 a bölümünden kalandır.
•
OKEK(a, b, c) = x olmak üzere, bir A tamsayısı a, b ve
c ile tam bölünebiliyorsa bu sayıların OKEK'i (x) ile de
tam bölünür. Örneğin, 4 ve 6 ile tam bölünebilen bir
sayı 4 ve 6 nın OKEK'i olan 12 ile de tam bölünür.
•
Aralarında asal iki sayıdan her birine tam bölünebilen
bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.
III. 6 ile Bölünebilme
3 ile tam bölünebilen çift sayılar 6 ile tam bölünür.
*
Bir sayıdan, bu sayının 3 ile bölümünden kalan (k) çı­
karıldığında sonuç çift oluyorsa k sayısı, sonuç tek olu­
yorsa (k + 3) sayısı bu sayının 6 ile bölümünden kalan­
dır.
yüzler, onlar ve birler basamağındaki
rakamları sırasıyla x, y, z olmak üzere,
A = ...xyz sayısının; 4 ile tam bölünebilmesi için iki
basamaklı (yz) sayısı 4 ün katı, 8 ile tam bölünebilme­
si için üç basamaklı (xyz) sayısı 8 in katı olmalıdır.
•
c
X
>.
E
2 ye ve 3 e bölünen sayılar 6 ya,
"•
3 e ve 4 e bölünen sayılar 12 ye,
4 ve 15 e bölünen sayılar 60 a tam bölünür.
o
IV. 4 ve 8 ile Bölünebilme
Bir A sayısının
C
J2
A = ...xyz sayısının 4 e ve 8 e bölümünden kalan,
sırasıyla (yz) sayısının 4 ile, (xyz) sayısının
8 ile
bölümünden kalandır.
Uyarı:
(xyz) sayısında x çift sayı iken (yz) 8 in katı olduğun­
da, x tek sayı iken (yz) 8 ile tam bölünmeyip 4 ün katı
olduğunda, A = ...xyz sayısı 8 ile tam bölünür.
V. 11 ile Bölünebilme
Bir sayının birler basağındaki rakam (+ 1) ile çarpılmak
şartıyla, sayının rakamları sağdan sola doğru sırasıyla
bir (+ 1) ile, bir (- 1) ile çarpılarak toplanır. Bulunan de­
ğer 11 in katı ise bu sayı 11 ile tam bölünür, 11 in ka­
tı değilse bu değerin 11 ile bölümünden kalan sayının
da 11 ile bölümünden kalandır.
6 ve 15 aralarında asal olmadığından 6 ya ve 15 e
bölünebilen sayılar 90 ile bölünmeyebilir. Ancak, 6 ve
15 in OKEK'i olan 30 ile tam bölünür.
v£R£J»*«%
&3î
6.
İki doğal sayıdan biri diğerine bölündüğünde, bölüm
*-.?r
34a sayısı 2 ile tam bölünebiliyor.
10, kalan2dir.
Buna göre, üç basamaklı 34a sayısının alabilece­
Buna göre, bölen 4 ise bölünen sayı kaçtır?
ği farklı değerler kaç tanedir?
A) 28
A) 6
B) 30
C) 36
D) 40
E) 42
7.
Yandaki bölme işleminde
B)5
C)4
D) 3
E) 2
1453 sayısının 3 ile bölümünden kalan a ve 1973
sayısının 3 ile bölümünden kalan b dir.
a ve b birer doğal sayıdır.
Buna göre, a + b toplamı kaçtır?
A)0
Buna göre, b nin alabileceği kaç farklı değer var­
B)4
C)3
D) 2
E)1
dır?
A) 5
B)4
C)3
D) 2
E)1
1
Yandaki bölme işleminde
a ve b birer doğal sayıdır.
b
Buna göre, a nın alabileceği en büyük değer kaç
$
8.
Üç basamaklı 53a sayısı 2 ile ve 3 ile tam bölünebilen üç basamaklı bir sayı olduğuna göre,
>E
a kaçtır?
A)0
©
B)2
C)4
D) 6
E) 8
olabilir?
A) 30
B)28
C)26
D) 2 5
E) 2 4
9.
B-2
_4_
B~
mektedir.
Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, C kaçtır?
A) 6
B)7
C)8
D) 9
E) 10
1
Yukarıdaki bölme işlemlerine göre,
A nın C tü­
ründen ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)12.C + 1
D) 4.C + 3
B)7.C + 1
C)3.C + 2
E) 6.C + 1
Beş basamaklı 3a342 sayısı 9 ile tam bölünebil-
Buna göre, a kaçtır?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
1 0 . Dört basamaklı 4a17 sayısının 9 ile bölümünden
kalan 2 dir.
Buna göre, üç basamaklı 4a1 sayısının 9 ile bö­
lümünden kalan kaçtır?
A) 0
B) 1
C)2
D) 3
E) 4
Bölme - Bölünebilme
1 1 . Üç basamaklı 24b sayısı 4 ile tam bölünebilmektedir.
1 6 . Üç basamaklı a4b sayısı 6 ile kalansız bölünebilmektedir.
Buna göre, b yerine gelebilecek kaç farklı rakam
vardır?
Aynı sayı 5 ile bölündüğünde kalan 2 olduğuna
göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 12
1 2 . Dört basamaklı 21 a4 sayısı 8 ile tam bölünebilmektedir.
B) 2
C) 3
D) 4
A) 13
E) 5
1 3 . Dört basamaklı 432a sayısının 5 ile bölümünden
kalan 2 dir.
C)16
D) 17
E) 18
1 7 . Üç basamaklı A4B sayısı 12 ile tam bölünebildi­
ğine göre, A + B toplamının en büyük değeri kaç­
tır?
Buna göre, a yerine gelebilecek kaç farklı rakam
vardır?
A) 1
B)15
18.
B)14
C)15
D) 16
E) 17
a = 2323
_o
b = 4052
c
Buna göre, a yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?
o
A) 2
""
B) 5
C) 7
D) 9
E) 11
1 4 . Rakamları birbirinden farklı olan, üç basamaklı 5AB
sayısı 3 ve 5 ile kalansız bölünebiliyor.
•
B) 3
C) 4
D) 5
A) 1
Cevaplar: 1-E
2-B
3-E
C)6
4-E
5-A
D) 7
6-B
7-C
E) 8
8-C
D) 4
E) 5
E) 6
1 5 . Üç basamaklı 24a sayısının 10 ile bölümünden
kalan 6 olduğuna göre, 24a sayısının 11 ile bö­
lümünden kalan kaçtır?
B)5
C) 3
1 9 . A < B olmak üzere, üç basamaklı 4AB sayısının 5
ile bölümünden kalan 1 dir.
A) 6
A) 4
B) 2
Bu sayının 4 ile tam bölünebilmesi için A nın ala­
bileceği kaç farklı değer vardır?
Buna göre, A kaç farklı değer alabilir?
A) 2
Buna göre, a.(a + b) çarpımının 9 ile bölümünden
kalan kaçtır?
9-C
10-E
B)5
C)4
D) 3
E) 2
2 0 . 4! + 5! sayısı aşağıdakilerden hangisine tam ola­
rak bölünemez?
A) 16
B)9
C)8
D) 7
E) 4
1-C 12-C 13-D 14-B 15-A 16-E 17-E 18-C 19-D 20-D
51
1BÖLÜM
1.
TEST
2
BÖLME - BÖLÜNEBILME
6.
a, b ve c doğal sayılarının 8 ile bölümünden ka­
6 ile tam bölünebilen üç basamaklı abc sayısı 10 ile
lanlar sırasıyla 4, 6 ve 3 tür.
tam bölünememektedir.
Buna göre, b2 + a.c sayısının 8 ile bölümünden
5a - b = 0 olduğuna göre, c kaçtır?
kalan kaçtır?
A)0
A) 0
C)4
B) 3
D) 5
B)2
C)4
D) 6
E) 8
E) 7
Uç basamaklı ve 36 ile tam bölünebilen en büyük
doğal sayı ile dört basamaklı ve 36 ile tam bölüne­
10! + 11! + 12!
2.
bilen en küçük doğal sayının toplamı kaçtır?
sayısı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?
A) 15
B)22
C)27
D) 32
A)1900
E) 48
B)1904
D)1980
3.
K, L ve M
pozitif tamsayılardır.
M
İ2
M
0
olduğuna göre,
A) 10
L
B) 12
>.
L
8.
Dört basamaklı 2a5b doğal sayısı 36 ile tam bölünebildiğine göre,
u.
değer vardır?
A)1
L kaçtır?
C) 15
D) 18
5.
B)2
C)3
D) 4
E) 5
ile
bölündüğünde bölüm b, kalan 3 olmaktadır.
D) 4
E) 5
139 bölen
13
kalan
C) 6
D) 4
A) 12
B) 11
C)10
D) 9
E) 8
1 0 . Toplamları 63 olan iki sayıdan büyük olanı küçük
olan sayıya bölündüğünde bölüm 2, kalan 3 olmak­
tadır.
Buna göre, a kaç farklı değer alabilir?
B) 8
C)3
Yukarıdaki bölme işleminde kalan kaçtır?
a ve b doğal sayılar olmak üzere, 48 sayısı a
A) 9
nın alabileceği kaç farklı
E) 21
kalan kaçtır?
B)2
a
6
173 adet 173 ün toplamının 9 ile bölümünden
A)1
E)1998
E
9.
4.
C)1926
Buna göre, küçük sayı kaçtır?
E) 3
A) 18
B)20
C)22
D) 24
E) 26
Bölme - Bölünebilme
1 1 . x ve y doğal sayıları 11 ile bölündüğünde sırasıy­
la 3 ve 5 kalanını vermektedir.
1 6 . aab üç basamaklı, aa ve aO iki basamaklı sayılardır.
aab aa
âb"
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi 11 ile tam
bölünebilir?
A) 3x + 5y + 2
B) 2x + 7y + 1
D) x + 3y + 4
C) x + y + 1
E) 3x + 2y - 1
Buna göre, b kaçtır?
B) 1
C) 3
B) 11
A) 10
1 2 . Dört basamaklı 7b8a sayısı 15 ve 18 ile tam bölünebilmektedir.
A) 0
Yukarıdaki bölme işleminde a + b toplamı en çok
kaç olabilir?
E) 14
1 7 . x > y > z olmak üzere, yüzler basamağı 5 olan ve
15 ile tam bölünebilen üç basamaklı xyz doğal
sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük
değerin toplamı kaçtır?
A) 1095
D) 4
D) 13
C)12
B)1090
C)1050
D)1030
E)1010
E) 7
1 8 . Ardışık üç çift sayının toplamı daima,
1 3 . Beş basamaklı 3abab sayısı 5 ve 6 ile tam bölün- £
mektedir.
"c
Buna göre, a yerine yazılabilecek kaç farklı değer
vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
I. 2 ye tam bölünür.
II. 3 e tam bölünür.
III. 4 e tam bölünür.
IV. 5 e tam bölünür.
V. 6 ya tam bölünür.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) I - III
B) II - IV
D) I - II - V
14.
a = 5766
3
olduğuna göre, a -2b sayısının 11 ilebölümünden kalan kaçtır?
B) 6
C) 7
D) 9
E) 10
1 5 . Dört basamaklı 5a2b sayısının 30 ile bölümünden
kalan 3 olduğuna göre, a nın alabileceği değer­
ler toplamı kaçtır?
A) 12
B)15
C)18
E) Yalnız I
1 9 . Dört basamaklı 4AA0 sayısı 25 ile tam bölünebilmektedir.
b = 45645
A)4
C) I - III - IV
D) 19
E) 21
Buna göre, dört basamaklı A231 sayısının 9 ile
bölümünden kalan kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 5
D) 6
E) 8
2 0 . Beş basamaklı abcab doğal sayısı iki basamaklı
ab doğal sayısına bölündüğünde bölüm ile kalanjn toplamı en çok kaç olabilir?
A) 109
B)1010
D)1050
C)1034
E) 1091
Cevaplar: 1-A 2-B 3-D 4-D 5-D 6-D 7-D 8-C 9-D 10-B 11-D 12-C 13-D 14-C 15-B 16-A 17-C 18-D 19-B 20-E
53
8$8ş >•• •»$? '&i^$$lj$3^?4% • **a n
«<•
K« *
. « a
.
% rfftMt:
.>/:*• .'"». «;. i»-x"lf''
59S8 S i ^ i ^ f i & s S ' * V-'
1.
bölen
94
6.
değerlerinin toplamına bölünürse bölüm kaç olur?
kalan
A) 32
Yukarıdaki bölme işleminde bölen kaçtır?
B)10
C) 11
Rakamları aynı olan, üç basamaklı, 4 ile tam bö­
lünebilen en büyük doğal sayı, rakamlarının sayı
8
A) 9
- • • -,'„•
I ..
D) 12
B)33
C)35
D) 37
E) 42
E) 13
7.
125.a
2.
A doğal sayısının 3 ile bölümünden kalan x, 6 ile
bölümünden kalan y, 8 ile bölümünden kalan z dır.
Yukarıdaki kalansız bölme işleminde bölüm, bölü­
nenin 125 katına eşittir, (a * 0 )
A doğal sayısının 24 ile bölünmesinden elde edi­
len kalan 15 olduğuna göre, x + y + z toplamı
Buna göre, b böleni kaçtır?
kaçtır?
A) 15
A) 0,008
B)12
C)10
D) 8
E) 7
B) 0,0625
D) 0,0125
C) 0,125
E) 0,002
o
c
D
E
8.
9! sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?
1
A)0
Yukarıdaki bölme işlemlerinde A, B, C harfleri birer
B) 1
C)2
D) 5
E) 10
pozitif tamsayıyı göstermektedir.
Buna göre, A nın 15 ile bölümünden kalan kaç­
tır?
A) 12
B)8
C)6
D) 5
E) 3
9.
5 basamaklı xyxy5 sayısı, 2 basamaklı xy sayısı­
na bölünüyor.
Bu işlemde bölümün, kalana bölünmesi ile oluşan
sayı kaçtır?
4.
Dokuz tane ardışık çift sayının toplamı, aşağıdaki-
A) 22
B)202
C)222
D) 2002
E) 2020
lerden hangisine her zaman bölünemez?
A) 3
B) 6
C)9
D) 15
E) 18
1 0 . İki basamaklı AB doğal sayısı 15 ile çarpıldığında
üç basamaklı x4y sayısı elde edilmektedir.
5.
4 veya 6 ile tam bölünebilen 100 den küçük kaç
Buna göre, x + y toplamının alabileceği kaç farklı
doğal sayı vardır?
değer vardır?
A) 32
B)33
C)35
D) 38
E) 42
A) 2
B)3
C)4
D) 5
E) 7
Bölme - Bölünebilme
1 6 . Dört basamaklı 735a sayısının 6 ile kalansız bö-
1 1 . 77 ile x arasında 3 ile bolü nebi len 48 tane sa­
yı olduğuna göre, x in alabileceği en büyük de­
ğer kaçtır?
A) 221
B)224
C) 223
D) 281
lünebilmesi için, a rakamı kaç farklı değer alabi­
lir?
E) 294
A) 5
B)4
C)3
D) 2
E)1
1 7 . A, B, C birbirlerinden farklı iki basamaklı sayılardır.
1 2 . Beş basamaklı 4935A doğal sayısının 5 ile bölümün­
den kalan 4, 11 ile bölümünden kalan K dır.
A . B . C çarpımı 26 ya tam bölünebildiğine göre,
A + B + C toplamı en çok kaç olabilir?
Buna göre, K nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A) 280
A) 10
B)9
C)8
D) 7
1 3 . Dört basamaklı ab2c sayısı 12 ile tam bolüne-
~
bildiğine göre, a + b + c toplamının alabileceği
-5
c
en büyük değer kaçtır?
A) 27
B) 26
C)25
x
o
D) 24
B)284
C) 288
D) 296
E) 298
E) 6
E) 23
1 8 . Altı basamaklı 7249xy sayısı 33 ile tam bölünebiliyor.
Buna göre, x + y toplamı en çok kaç olabilir?
A) 10
B)14
C)16
D) 17
E) 18
E
o
u.
1 9 . Rakamları birbirinden farklı beş basamaklı 3a0b4 sa­
1 4 . Dört basamaklı 5a1b sayısı 2 ve 9 ile bölünebil­
diğine göre, a rakamının alabileceği kaç farklı de­
ğer vardır?
A) 2
3a0b4 sayısının en küçük değeri için, a + b top­
lamı kaçtır?
B)4
C)5
D) 6
E) 10
1 5 . Dört basamaklı rakamları farklı 15 ile tam bölünebilen en büyük tamsayı aşağıdakilerden hangisi­
ne tam bölünemez?
A) 6
yısı 8 ile bölündüğünde 2 kalanını vermektedir.
B)10
C)21
D) 28
E) 42
A) 3
B)7
C)8
D) 9
E) 10
2 0 . Üç basamaklı abc sayısının yüzler basamağı b,
onlar basamağı c arttırılırsa, yeni sayının 11 ile
bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisine eşit
olur?
A) a
B)b
C)c
D)a-b
E) 3
Cevaplar: 1-C 2-C 3-B 4-D 5-B 6-D 7-A 8-B 9-B 10-D 11-A 12-A 13-C 14-C 15-D 16-D 17-C 18-B 19-C 20-A
55
-••
!
.1"". i
'•
••
BÖLME - BOLUNEBILME
•
•*
-
'
;
•o w * : <<U« • - -• *•
Yirmi dört basamaklı 838383838383838383838383
sayısının
9
6.
4K iki basamaklı bir sayı olmak üzere,
ile bölümünden elde edilen kalan
kaçtır?
A) 8
A + B = 4K ve
B)6
C)5
D) 4
K
E) O
olduğuna göre, B kaçtır?
A) 7
Yandaki bölme işleminde A nın
7.
alabileceği en büyük değer kaçtır?
B)160
C) 9
D) 10
E) 11
33
x-1
x pozitif tamsayıdır.
A) 168
B) 8
C)158
D) 140
A43 ve B21 üç basamaklı sayılardır.
(A43 + 256).(B21)
E) 120
işleminin sonucu 9 ile tam bölünebildiğine göre,
A + B toplamı en çok kaç olabilir?
A) 12
x ve y,
C) 15
B)13
D) 16
E) 18
sırasıyla 6 ve 9 ile tam bölünebilen pozi­
o
tif tamsayılardır.
^.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
E
o
u.
8.
A) y - x, 3 ile tam bölünebilir.
B) 3x + y, 9 ile tam bölünebilir.
Beş basamaklı 7x7x7 sayısının üç basamaklı 7x7
sayısına bölünmesinde elde edilen bölüm ile kala­
nın toplamı kaçtır?
A) 10.x+ 107
C) x.y, 27 ile tam bölünebilir.
D) x 3 .y 2 , 243 ile tam bölünebilir.
B)x + 1070
D) 10.x+100
E) y sayısı, x ile daima tam bölünebilir.
9.
A sayısı 5 ile bölündüğünde bölüm x, kalan 3 tür.
C) 100.x+ 70
E) 10.x+ 97
A sayısının 7 ile bölümünden kalan 4 olduğuna
göre, 3A 2 + 4A + 5 ifadesinin 7 ile bölümünden
kalan kaçtır?
x sayısının 8 ile bölümünden kalan 6 olduğuna
göre, A nın 20 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 3
B)6
C)9
D) 13
A) 6
B)5
C)4
D) 3
E) 2
E) 18
1 0 . İki basamaklı ab sayısı 9 ile bölündüğünde 1 ka­
lanını veriyor.
Yedi basamaklı bir sayı, dört basamaklı bir sayıya
bölündüğünde, kalan savı en fazla kaç basamaklı
olabilir?
bölümünden kalan kaçtır?
A) 5
A) 2
B)4
C)3
D) 2
E)1
Buna göre, dört basamaklı 3ab7 sayısının 9 ile
B)3
C)4
D) 5
E) 6
Bölme - Bölünebilme
16.
1 1 . AB1 üç basamaklı doğal sayıdır.
AB1 _B_
26
sayısı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?
A) 2
B)6
C)8
D) 22
E) 24
Yukarıdaki bölme işlemine göre, iki basamaklı AB
sayısı kaçtır?
A) 14
C)17
B) 16
D) 18
E) 19
17.
(a34 + b25) . 79
işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalan 3
olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en
büyük değer kaçtır?
1 2 . Altı basamaklı 3a61c8 sayısı 33 ile tam bölüne­
A) 3
bildiğine göre, kaç farklı (a, c) ikilisi vardır?
D) 4
C)3
B)2
A)1
E) 18
D) 15
C) 14
B)7
E) 5
1 8 . A sayısının 30 ile bölümünden kalan (x + 3), x sa­
yısının 12 ile bölümünden kalan (y + 4) tür,
1 3 . On yedi basamaklı 23232323232323232 sayısının
45 ile bölümünden kalan kaçtır?
Buna göre, ( A - y ) sayısının 6 ile bölümünden ka­
o
lan kaçtır?
f
>s
O
A)0
C) 18
B)3
D) 22
E) 42
A)0
>-
C)3
B)1
D) 4
E) 5
E
«
14.
1 9 . Yanda verilen bölme işlemindeki
4.y
x
y+1
3AT
üç basamaklı 3AT doğal sayısı
_
6 ile tam bölünebilmektedir.
?
1
y-1
Buna göre, 3AT sayısı en büyük değerini aldığın­
Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, z nin x türün­
den eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) (x + 2f
A) 3x^ + 1
da onlar basamağındaki A rakamı kaç olur?
A) 9
C)(x-1;
B)8
D) 6
C)7
E) 5
E) x2 + 2x
D) - 3x + 1
2 0 . 6 ile tam bölünebilen üç basamaklı abc sayısı, 5 ile
bölündüğünde 3 kalanını veriyor.
1 5 . Altı basamaklı 5ab76c sayısı 44 ile tam bölünebi­
len bir sayı olduğuna göre, a + c - b ifadesinin
en küçük değeri kaçtır?
A)-7
Cevaplar: 1-B
B)-4
2-C
3-E
C)-1
4-D
5-B
6-B
D)1
7-D
8-A
Buna göre, a + b toplamının alabileceği en büyük
değer kaçtır?
E) 4
9-A
10-A
A) 14
11-B
12-D
13-E
B) 15
14-C
15-A
C) 16
16-D
17-C
D) 17
E) 18
18-B
19-C 20-C
57
<•«!*
rn,ç;K*şt)Şx<ş
^*Âc^k^£
45a üç basamaklı bir sayıdır.
x0y üç basamaklı sayıdır.
x0y
70
(320) . (45a)
çarpımının 3 ile bölümünden kalan 2 olduğuna
kaçtır?
kaçtır?
2.
B)18
C)15
D) 12
7.
b
a
x b
~\4
0
205
B)204
C)214
D) 305
E) 416
olduğuna göre,
A) 10
-
E) 9
a, b ve c pozitif tamsayılardır.
abc + 7 cba
Yukarıdaki bölme işleminde bölen en az kaç ola­
bilir?
D) 4
C)2
B)1
A)0
E) 5
abc ve cba üç basamaklı sayılardır.
A) 103
7
1ĞT
işleminin sonucu bir doğal sayı olduğuna göre, y
göre, a nın alabileceği farklı değerlerin toplamı
A) 21
+
b
B)14
kaçtır?
C) 16
D) 18
E) 20
o
e
3.
8.
3a iki basamaklı bir doğal sayıdır.
72.
B-2
3a
1.
olduğuna göre,
B)28
C)26
A) 2A - 3
D) 24
E) 17
(1! + 2! + 3! + ... + n! + ... + 67!) . 3 - 5 5
B + D
toplamının A türünden
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Yukarıdaki bölme işleminde a yerine yazılabile­
cek değerlerin toplamı kaçtır?
A) 30
1
B) A + 3
D) A - 3
9.
C) 2A - 1
E) 2A + 3
Bir sayı, rakamları toplamına bölünürse, bölüm 7, ka­
lan 3 oluyor.
işleminin sonucunun birler basamağındaki rakam
kaçtır?
A)0
B)1
C)2
D) 3
E) 4
Bu şarta uyan en büyük iki basamaklı sayının 8 ile
bölümünden kalan kaçtır?
A) 2
5.
B)3
C)4
D) 5
E) 6
Yirmi bir basamaklı aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa sa­
yısının
11
ile bölümünden kalan
4
olduğuna
göre, a kaçtır?
A) 8
B)7
1 0 . Beş basamaklı 7a82b sayısı 6 ile tam bölünebil­
diğine göre, a.b çarpımı en çok kaçtır?
C)5
D) 4
E) 2
A) 16
B)36
C)42
D) 64
E) 81
Bölme - Böliinebilme
1 1 . k pozitif tamsayı olmak üzere,
1 6 . 8 ile kalansız bölünebilen dört basamaklı a37b do­
ğal sayısının enjajçük değerinin 11 iie bölümün­
den kalan kaçtır?
2k
(3 - 1) sayısı için aşağıdaki önermelerden han­
gisi daima yanlıştır?
A)1
A) 8 ile tam bölünür.
C)5
B)3
D) 8
E) 10
B) 13 ile tam bölünür.
C) 10 ile tam bölünür.
D) 3 ile tam bölünür.
E) 7 ile tam bölünür.
1 7 . m ve n sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere, 6
basamaklı mnrnnmn sayısı iki basamaklı mn sa­
yısına bölündüğünde bölüm kaçtır?
1 2 . a > b > c olmak üzere, 12 ile tam bölünebilen üç ba­
samaklı abc doğal sayısı, 10 ile bölündüğünde 2 ka­
lanını vermektedir.
A) 111
B)1000
C)101
D)1001
E)10101
Buna göre, a nın alabileceği kaç farklı değer var­
dır?
B)4
A) 3
C)5
D) 6
1 8 . x iki basamaklı bir doğal sayıdır.
E) 7
xx sayısının 4 ile bölümünden kalan 3 olduğuna
göre, x sayısının en büyük değeri, en küçük değe­
rinden kaç fazladır?
13.
abc, 5 ile tam bölünebilen
cab, 9 ile tam bölünebilen
acb, 4 ile tam bölünebilen
A) 54
x
o
E) 93
D) 88
C)72
B)63
>.
E
üç basamaklı doğal sayılar olduğuna göre, a nın
alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 1
B)2
C)3
D) 4
0
1 9 . 6ab üç basamaklı, ab iki basamaklı sayılardır.
E) 5
6ab
1 4 . Yedi basamaklı a5b2dd sayısı 55 ile tam bölünen
bir tek sayıdır.
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
a > b > c olduğuna göre, a5b2c1d sayısının en
büyük değeri için a + b + c kaçtır?
A) 11
B)13
15.
C) 14
D) 17
A) 3
C)3
Cevaplar: 1-D 2-C 3-D 4-E 5-D 6-B
C)7
D) 8
E) 9
2 0 . Dört basamaklı 3KLM sayısı 60 ile tam bölünebilmektedir.
sayısının 1001 ile bölümünden kalan kaçtır?
B) 1
B)5
E) 21
15!
A)0
ab
27
D) 7
Buna göre, kaç farklı 3KLM sayısı yazılabilir?
E) 11
7-D 8-B 9-E 10-D
A) 15
11-D
12-B
13-B
B)16
14-C
15-A
C) 17
D) 18
16-A
18-D
17-E
E) 19
19-B 20-C
59
ÜNEBİLME
*l'^
•>>.•.:•
-
TEST
6
>x»
489 sayısının x doğal sayısı ile bölünmesinden
6.
Üç basamaklı 7ab sayısı 45 ile bölündüğünde 41
elde edilen bölüm 4x olduğuna göre, kalan aşa­
kalanını verdiğine göre, a nın alabileceği değer­
ğıdakilerden hangisidir?
lerin toplamı kaçtır?
A) 5
B)8
C)10
D) 12
E) 15
A) 7
A doğal sayısının 36 ile bölünmesinde bölüm n,
7.
kalanı n 2 dir.
B) 6
D) 4
C)5
E) 3
A, B, C birbirlerinden farklı doğal sayılardır.
A+ 1
B+1
Buna göre, A nın alabileceği en büyük değer
kaçtır?
A) 117
B)160
C)205
D) 432
B-3
0
Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, A sayısı en az
E) 512
kaç olabilir?
A) 3
47...
B) 5
C)8
D) 9
E)17
2a
27
Yukarıdaki bölme işleminde
2a
iki basamaklı bir
£*
*~
doğal sayıdır.
E
Buna göre, a aşağıdakilerden hangisi olamaz?
@
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
8.
m ve d sıfırdan ve birbirlerinden farklı rakamlar
olmak üzere, 8 basamaklı mdmdmdmd sayısı
aşağıdakilerden hangisine kesinlikle tam bölünemez?
A) 6
E) 4
9.
A ve
D) 11
E)12
B pozitif tamsayılardır.
A
1
C)9
B)
_
Yukarıdaki bölme işlemlerinde K, L, M harfleri birer
5.B
B
B-2
A
+
5b
1
pozitif tamsayıyı göstermektedir.
olduğuna göre, B kaçtır?
Buna göı 5,
kaçtır^
A) 5
H)15
—
_
M
C)25
ÜL
işleminin sonucu
A) 2
D) 35
B) 3
D) 5
C)4
E) 6
E) 45
1 0 . Dört basamaklı 3abc sayısının 90 ile bölümün­
den kalan 3 olduğuna göre, aşağıdakilerden han­
8 in kaiı elan iki basamaklı bütün doğal sayılarıntoplamı :> ağıdakilerden hangisine tam bölünemez?
A) 4
B)7
C)9
D) 11
E) 14
gisi daima yanlıştır?
A)a + b = 6
B)a + b + c = 18
D)a + b = 18
C ) a + b = 5.c
E)a + b - c = 3
Bölme - Bölünebilme
1 6 . Beş basamaklı 54b2a sayısının 15 ile bölümün­
1 1 . a < b olmak üzere, a ile b arasında 3 ün katı olan
25 tane sayı vardır.
den kalan 3 olduğuna göre, b nin en büyük de­
ğeri kaçtır?
a ve b nin 3 ile bölümlerinden kalanlar sırası ile
1 ve 2 olduğuna göre, b - a farkı kaçtır?
A) 76
B) 75
C) 73
D) 71
A) 5
1 7 . Beş basamaklı 34x7y sayısı 36 ile bölündüğünde
26 kalanını vermektedir.
tam bölünebilen en küçük dört basamaklı sayıdır.
Buna göre, x + y toplamının alabileceği en küçük
Buna göre, üç basamaklı abc doğal sayısının 5
değer kaçtır?
ile bölümünden kalan kaçtır?
B)1
C)2
D) 3
A) 3
E) 4
1 3 . 5 ile kalansız bölünebilen dört basamaklı x35y doğal
sayısının 6 ile bölümünden kalan 2 dir.
Jj
"^
Buna göre, x in alabileceği değerler toplamı kaç-
o
>-
tır?
14. 6
D) 24
E) 30
sayı tabanı olmak üzere, rakamları farklı
E) 16
değer vardır?
«
C)18
D) 12
x < 1 2 0 olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı
A)40
u.
B) 15
C) 10
B)8
1 8 . 3 ün katı olan x doğal sayısı, 5 ile tam bölünememektedir
E
A) 12
E) 9
E) 69
1 2 . Rakamları birbirinden farklı abcd doğal sayısı 90 ile
A)0
D) 8
0)1
B)6
B)36
C)32
D) 30
E) 25
@
1 9 . 105 ve 87 sayılarının bir x doğal sayısına bölünme­
sinde kalanlar birbirine eşit olmaktadır.
(a0bd2L sayısının 9 ile bölümünden kalan 2 olo
duğuna göre, a + b + d toplamının alabileceği en
Buna göre, x in alabileceği değerler toplamı kaç­
büyük değer kaçtır?
A) 8
B)9
tır?
C)10
D) 11
E) 12
A) 28
B) 30
C)35
D) 39
E) 42
1 5 . Bir sayı 15 ile bölündüğünde 6 kalanını vermektedir.
Bu sayının 99 fazlası 15 ile bölündüğünde bölü­
mün değeri kaç artar?
A) 7
Cevaplar: 1-A
B)6
C)5
2-C 3-E 4-C 5-C 6-A
D) 4
2 0 . Dört basamaklı 23xy doğal sayısı 12 ve 30 ile
tam bölünebildiğine göre, x kaçtır?
A)0
E) 3
7-D 8-D 9-E
10-D
11-A
12-B
13-C
C)2
B)1
14-E
15-A
16-D
17-A
D) 3
E) 4
18-C
19-D 20-E
61
BÖLME - BÖLÜNEBİLME
BOLUM
1.
A iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,
6.
(A2 + 6.A + 2) sayısı 7 ile bölündüğünde 2 kalanı­
TEST
7
Sekiz basamaklı a86055b6 sayısı 44 ile tam bölünebilmektedir.
nı vermektedir.
Buna göre, b - a nın en küçük değeri kaçtır?
Buna göre, A sayısı en çok kaç olabilir?
A) 91
2.
B)95
C)97
D) 98
A)-3
E) 99
B)-4
C)-6
D) 8
E) 10
abc ve cba rakamları farklı üç basamaklı birer doğal
sayıdır.
7.
abc cba
Altı basamaklı AABBCC sayısı 9 un katıdır.
Üç basamaklı ABC sayısının 5 ile bölümünden
396
kalan 2 olduğuna göre, A + B + C toplamı en çok
kaçtır?
Yukarıdaki bölme işlemine göre, kaç tane üç ba­
samaklı
abc
A) 16
B)17
sayısı vardır?
C)20
A)3
D) 36
E) 40
C)9
B)6
D) 18
E) 27
-2
c
o
>o
o.
E
42abc beş basamaklı, abc ve x üç basamaklı sayıfardır.
42abc abc
•
8.
Dört basamaklı 52ab sayısı 18 in katı olduğuna
göre, a nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 3
B)4
C)5
E) 7
D) 6
olduğuna göre, en büyük abc sayısının rakam­
ları toplamı kaçtır?
A) 15
4.
B)12
C)9
D) 6
b+5
E) 3
Dört basamaklı, 2m5n ve 3n2m sayılarının toplamı
6 ile tam bölünebilmektedir.
Buna göre, m + n toplamının alabileceği en büyük
a + 3c
d-1
Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, b aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) d - 9
B)d + 9
C)d-8
D) d
E)3d-1
değer kaçtır?
A) 18
B)17
C)16
D) 15
E) 14
1 0 . 3AB
ve
5AC
üç basamaklı sayıları
18
ile tam
bölünebilen iki sayıdır.
5.
Sıfırdan farklı ardışık beş doğal sayının çarpımı aşaBuna göre, A + B + C toplamı en çok kaç olabilir?
ğıdakilerin hangisine daima tam bölünebilir?
A) 210
B)150
C) 120
D) 98
E) 50
A) 10
B)15
C) 19
D) 21
E) 24
Bölme • Bölünebilirle
1 6 . a, b ve c pozitif tamsayılar olmak üzere,
(2a - 3b + 5c + 4) ifadesi 7 ile tam bölünebildiği­
ne göre, aşağıdakilerden hangisi daima 7 ile tam
bölünebilir?
1 1 . Dört basamaklı abcd sayısı 20 ile tam bölünebil­
diğine göre, üç basamaklı abc sayısı aşağıdakilerden hangisine daima tam bölünür?
A) 2
C)4
B)3
E) 10
D) 5
A) 5a - 4b + 2c - 11
B) 7a - 7b + c + 3
C) 3b - 2a - 5c + 4
D) 2a + 3b - 5c - 4
E) 5a - 2b + 3c + 3
1 2 . x sayı tabanı ve x<10 olmak üzere,
(1400...0) sayısı 9 ile tam bölünebilmektedir.
1 7 . 3 sayı tabanıdır.
Buna göre, x in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 10
B) 14
C)20
D) 22
E) 28
(ab2) 3 -(ab) 3 farkının (ab)3 sayısına bölünmesin­
den elde edilen bölüm ile kalanın toplamı, 3 ta­
banına göre kaçtır?
A) 21
B) 20
D) 11
C) 12
E) 10
1 3 . 8 ile tam bölünebilen üç basamaklı, rakamları
farklı en büyük doğal sayı x, 8 ile tam bölünebi­
len dört basamaklı, rakamları farklı en küçük doğal
sayı y olduğuna göre, x + y kaçtır?
A) 1984
B)1992
D)2008
^
C) 2004
1 8 . Altı basamaklı ab0095 sayısının 16 ile bölümün­
den kalan kaçtır?
E)2012
B)7
A) 3
1 4 . x ve y pozitif tamsayıdır.
2x
C)11
A I 12
ZL_IB~
19.
19
• N-
D) 13
E) 15
C ID
=L_IF
olduğuna göre, y nin alabileceği en büyük değer
kaçtır?
Yukarıdaki bölme işlemlerinde A, B, C, D harfleri
birer pozitif tamsayıyı gösterdiğine göre, A.C çar­
pımının 24 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 18
A) 21
B)10
C)6
D) 4
E) 3
1 5 . xe Z+ olmak üzere, x sayısı, 90 ve 107 sayıla­
rını böldüğünde sıfırdan farklı k kalanını veriyor.
20.
C) 15
B)18
D) 12
E) 8
x = 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + 19.19!
Buna göre, x sayısının 5 ile bölümünden kalan
kaçtır?
olduğuna göre, x + 1 sayısı aşağıdakilerden han­
gisine tam bölünemez?
A)0
A) 27
B)1
Cevaplar: 1-E 2-B 3-L
C)2
D) 3
4-A 5-C 6-C 7-D 8-D 9-A
E) 4
10-D
11-A
12-C
13-D
B)23
14-C
15-C
C)22
16-A
D) 17
17-D
E) 13
18-E 19-D 20-B
63
BÖLEN SAYILARI, OBEB - OKEK
BÖLÜM
5. A sayısının asal bölenlerinin toplamı,
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
t = x + y + z + ... ,
1 den büyük her doğal sayı, tabanları birbirinden farklı
asal sayı ve üsleri pozitif tamsayı olan sayıların çarpı­
mı biçiminde, çarpanların yazılış sırası önemli olmamak
üzere, bir tek şekilde yazılabilir. Bu tür yazılışa, verilen
doğal sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.
a
6. A sayısının asal olmayan tamsayı bölenlerinin toplamı,
t = - (x + y + z + ... ),
9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1
= (3.3).(2.2.2).7.(3.2).5.(2.2).3.2.1
v
a
7. A
Örnek:
360 ve 9! sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.
360 = 2 3 .3 2 .5 tir.
360 sayısının asal çarpanları (bölenleri)
2, 3 ve 5 olmak üzere üç tanedir.
'
sayısının pozitif tamsayı olan bütün bölenlerinin
çarpımı,
p
ç = A
360
180
90
45
14
5
1
2
dir.
Örnek:
100 sayısını inceleyelim.
100 = 4.25 = 2 2 .5 2 dir.
1. 100 sayısının pozitif tamsayı bölenleri,
p = (2 +1).(2 + 1) = 9 tanedir.
9
2
0
4 +2 + 1
(D
9
3
9
(D
2
2
©
3^ 1 +
I
5
©
3
©
7
9
(1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 sayıları; 100 ün pozitif
tamsayı bölenleridir.)
©
51
o
2.
100 sayısının asal bölenleri, 2 ve 5 olmak üzere iki
tane ve asal olmayan pozitif bölenleri de 2 ve 5 dışın­
daki diğer pozitif bölenleri olup, 9 - 2 = 7 tanedir.
3.
100 sayısının bütün bölenleri 2.9 = 18 tane ve asal
olmayan tamsayı bölenleri, 2 ve 5 dışındaki diğer tam­
sayı bölenleri 1 8 - 2 = 16 tanedir.
4.
100 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı,
>E
«
şeklinde bölme işlemi yapılarak her bir asal çarpanın
üssü bulunur.
BİR DOĞAL SAYININ TAMSAYI BÖLENLERİ
x, y, z, ... birbirinden farklı asal sayılar ve a, b, c, ...
pozitif tamsayılar olmak üzere, A doğal sayısı (A > 2),
A = xa . yb . z c . ... şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış
olsun.
t =
2-1
5-1
124
= 7 . — = 217
4
dir.
1. A doğal sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı (p),
5.
p = (a+1).(b + 1).(c + 1)
a
2. A sayısının pozitif tamsayı bölenleri kadar da negatif
tamsayı böleni olduğundan, A nın bütün tamsayı
bölenlerinin sayısı,
bütün tamsayı bölenlerinin toplamı 0 olduğundan, asal
olmayan tamsayı bölenlerinin toplamı,
2p = 2.(a+ 1).(b + 1).(c+ 1). ... ,
T + t
a
3. A sayısının pozitif tamsayı olan bölenlerinin toplamı,
,a + 1
t =
1
.b+1
1
100 ün asal bölenlerinin toplamı,
t = 2 + 5 = 7 ve
= (1 + x + x2 + ... + xa).(1 + y + y2 + ... + yb)
A sayısının tamsayı olan bütün bölenlerinin toplamı
0 (sıfır),
= 0 => T
a
= - 7,
asal olmayan pozitif bölenlerinin toplamı,
,c + 1
1 - z
a
2 1 7 - 7 = 210 dur.
6.
100 sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı,
ç = 100'
= ( 1 0 ^ = 10
dur.
Bölen Sayıları, Obeb - Okek
Örnek:
Sonuç:
40 sayısının bölenlerinin kaç tanesinin çift sayı oldu­
OBEB(x, y) = b olmak üzere,
x = b.m ve y = b.n
ğunu bulalım.
olacak şekilde aralarında asal en az bir (m, n) tamsayı
40 = 2.(20) olduğundan 40 in çift sayı olan bölenlerinin
ikilisi ve
sayısı 20 nin bölenlerinin sayısı kadardır.
OKEK(x, y) = k
2
Buna göre, 20 = 2 .5 in bütün bölenlerinin sayısı
olmak üzere,
k = p.x ve k = q.y
2.(2 + 1).(1 + 1) = 12 olduğundan 40 in 12 tane çift
olacak şekilde aralarında asal en az bir (p, q) tamsayı
sayı böleni vardır.
ikilisi vardır.
OBEB (ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ)
İki veya daha fazla sayının OBEB' i en çok bu sayıların
iki veya daha fazla doğal sayıdan her birini bölebilen en
en küçüğüne, OKEK'i en az bu sayıların en büyüğüne
eşit olabilir.
büyük doğal sayıya bu sayıların ortak bölenlerinin en
Aralarında asal sayıların OBEB'i 1 dir. Dolayısıyla,
OBEB' i 1 olan sayılar aralarında asaldır şeklinde de
aralarında asal olmanın tanımı yapılabilir.
büyüğü (OBEB'i) denir, a, b, c sayılarının OBEB'İ,
OBEB(a, b, c) = (a, b, c)
şeklinde gösterilir.
OKEK (ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ)
Sadece İki sayı için;
İki veya daha fazla sayıdan her birine bölünebilen
1.0KEK(a, b).OBEB(a, b) = a.b,
(her birinin katı olan) en küçük doğal sayıya bu sayı­
2. a ile b aralarında asal ise,
ların ortak katlarının en küçüğü (OKEK'i) denir.
OKEK(a, b) = a.b dir.
a, b, c sayılarının OKEK'i,
OKEK(3, 4) = 3.4 = 12 dir.
OKEK(a, b, c) = (a, b, c ) o k e k şeklinde gösterilir.
3. a ile b aralarında asal sayılar olmak üzere,
OBEB ve OKEK'in Bulunması
Sayılar asal çarpanlarına ayrılır.
ise
o
Tabanı aynı olan çarpanlardan üsleri en küçük olanların
çarpımı bu sayıların OBEB'i,
OKEK(A, B) = A.b = B.a ,
Tabanı aynı olan çarpanlardan üsleri en büyük olanlar
ile tabanı aynı olmayan çarpanların hepsinin çarpımı bu
sayıların OKEK' idir.
OBEB(A, B) =
A
B
dir.
Uyarı:
Örnek:
150, 200, 250 sayılarının OBEB ve OKEK'ini bulalım.
2
OKEK(6, 8, 9) = 2-.3l3.3"
= 72 dir.
0
OKEK(6, 8, 9) * 6.8.9
150 = 2.3.5"
(6, 8, 9 aralarında asal fakat ikiden fazla sayı var.
OBEB = 2.5^
250 = 2 . 5
J
3
OKEK = 3 . 2 . 5
3
İkinci bir yoldan bu sayıların hepsi aynı tabloda asal
sayılara bölünür. Bu sayıların hepsini aynı anda bölen
asal sayıların çarpımı OBEB, bütün asal sayıların çar­
pımı da OKEK tir.
150 200 250 2 *
75 100 125 5 *
15 20 25 5 *
3
4
5 5
4
3
1 3
1
4
2
2
2
1
OBEB(150, 200, 250) = 2.5 2 = 50
OKEK(150, 200, 250) = 3 . 2 3 . 5 3 = 3000 dir.
1.
BÖLÜM
1.
6.
90 sayısı hangi en küçük pozitif tamsayı ile çarpı­
2.
B)3
C)10
B)4915
D) 198
3.
D) 30
A) 35
E) 90
7.
1440 sayısının tam bölenlerinin toplamı kaçtır?
A) 5225
o
~-
8.
D) 9!
E) 10!
B)3
C)4
D) 5
B)7
A ve B
E) 32
D) 3
C)5
E) 2
doğal sayılar olmak üzere,
ve
— = —
B
12
olduğuna göre, A - B farkı kaçtır?
A)-17
5.
D) 23
re, a kaçtır?
OBEB(A, B) = 3
E) 6
C) 19
E
9.
toplamının kaç tane asal böleni vardır?
B)17
24 ile 6.a sayılarının OKEK'i 120 olduğuna gö­
o
4! + 5!
A) 2
E) 560
a bir asal sayıdır.
A) 9
4.
D) 280
Ortak katlarının en küçüğü 60 olan farklı iki doğal
A) 12
tamsayı kaçtır?
C) 8!
C)140
sayının toplamı en az kaçtır?
E)0
B) 7!
B)70
C)2317
7 ! , 8 ! , 9! sayılarına bölünebilen en küçük pozitif
A) 0!
Aralarında asal iki pozitif tamsayının OKEK' i 70
olduğuna göre, bu iki sayının çarpımı kaçtır?
lırsa çarpım bir tam kare olur?
A) 2
TEST
1
BÖLEN SAYILARI, OBEB - OKEK
B)-18
C)-21
D) 21
E) 42
A ve B pozitif tamsayıdır.
A
A
A
E
E .
1
B
C
D
D
1
2
2
3
5
7
1 0 . 347 sayısına en az hangi pozitif tamsayı eklenirse
elde edilen sayı 18 ve 24 ile tam bölünür?
A) 53
olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?
A) 28
B)32
C)35
D) 38
E) 41
B)41
C)33
D) 25
E) 13
Bölen Sayıları, Obeb - Okek
1 1 . Bir bölükteki askerler 4 er 4 er ve 9 ar 9 ar grup­
1 6 . Bir raftaki kitapların sayısı 5 arttırıldığında 3 er­
lara ayrıldığında her seferinde 2 asker eksik kalıyor.
li, 5 erli ve 7 şerli gruplara ayrılabildiğine göre,
rafta en az kaç kitap vardır?
Bölükteki asker sayısı 150 den fazla olduğuna gö­
A) 65
re, en az kaçtır?
A) 166
12. x*y
B) 170
C)178
17.
OBEB(x,y) = 4,
4<x + y<16
C)32
D) 170
E) 205
X +
12
ifadesi bir tamsayı olduğuna göre, x in kaç farklı
tamsayı değeri vardır?
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
B)28
C)130
E) 190
D) 182
olmak üzere,
A) 16
B)100
D) 48
A) 18
E) 96
1 3 . A, x, y pozitif tamsayıdır.
B) 16
18.
A = 5 x - 1 0 = 8y + 8
D
E) 6
D) 8
18, 24, A, B
doğal sayılarının en küçük ortak katı 288 oldu­
C
olduğuna göre, A en az kaçtır?
C) 12
ğuna göre, A + B toplamı en az kaç olabilir?
O
A) 18
B)20
C)32
D) 40
E) 48
>.
A) 30
E
»
B)32
D) 37
C)33
E) 41
1 4 . Köşeleri A, B ve C
noktaları
ve
uzunlukları
kenar
sırasıyla
1 9 . Kenarları 40 m ve 60 m olan dikdörtgen şeklindeki bir
30, 24 ve 18 metre
bahçenin etrafına köşeleri de dahil olmak üzere, eşit
olan şekildeki bahçe­
aralıklarla ağaç dikilecektir.
nin etrafına eşit aralık­
Bu iş için en az kaç ağaç gereklidir?
larla ağaç dikilecektir.
A) 8
Köşelere de mutlaka ağaç dikileceğine göre, bah­
B)10
C)16
E) 24
D) 20
çenin etrafına en az kaç ağaç dikilebilir?
A) 30
B)24
C)18
D) 12
E) 6
2 0 . Boyutları 30 cm, 40 cm ve 50 cm olan dikdörtgenler
prizması şeklindeki bir kutuya küp şeklinde küçük ku­
1 5 . 142 ve 187 sayılarını böldüğünde 7 kalanını
tular hiç boş yer kalmayacak şekilde yerleştirilecektir.
veren en büyük doğal sayının rakamları toplamı
kaçtır?
A) 13
Cevaplar: 1-C
En az kaç kutuya ihtiyaç vardır? t
B) 12
2-E
3-D
C) 11
4-A
5-E
D) 10
6-B
7-B
8-C
A) 20
E) 9
9-C
10-E
11-C
12-C
13-D
B)40
14-D
15-E
C)60
16-B
D) 80
17-C
18-C
E) 100
19-B
20-C
67
BÖLEN SAYILARI, OBEB - OKEK
BÖLÜM
1.
6.
4! + 5! + 6!
TEST
2
Ardışık iki tamsayının OBEB'i ile OKEK'inin toplamı
43 tür.
toplamının asal olmayan pozitif tam bölenlerinin
Buna göre, küçük olan sayı kaçtır?
sayısı kaçtır?
A) 24
B)22
C) 18
D) 16
A) 5
E) 13
7.
2.
m ve n
B) 6
a, b, c
C) 7
D) 8
E) 9
asal sayılardır.
pozitif tamsayıdır.
A = a3 . b2 . c
m =
olduğuna göre,
A) 25
125!
5n
OBEB(A, B) = 2<\3.b
n en çok kaçtır?
B) 28
C) 30
D) 31
olduğuna göre, a + c toplamı kaçtır?
E) 33
A) 5
3.
o
22.7'
sayısının tam bölenlerinin sayısı 32 olduğuna
E
o
8.
150
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
ifadesinin tamsayı olması için a yerine yazıla-
bilecek tamsayılardan kaç tanesi asal sayı değildir?
"-
göre, x kaçtır?
A) 3
B)4
C)5
D) 6
A) 18
E) 7
9.
a
B)19
D) 22
E) 24
bir doğal sayıdır.
3x - 12
4.
C)21
10!
a
ifadesi pozitif bir tamsayı olduğuna göre, x in ala­
sayısı tek sayı olduğuna göre, a nın alabileceği
bileceği kaç tamsayı değeri vardır?
en küçük değer kaçtır?
A) 5
B)6
C)8
D) 10
E) 12
A) 256
B)280
C)512
D) 820
E) 1024
1 0 . a bir tamsayı olmak üzere,
5.
25a - 64
sayısının asal olmayan bölenlerinin toplamı kaçtır?
A)-109
B) - 113
D)-137
C)-127
E)-145
ifadesi pozitif bir tamsayı olduğuna göre, a nın ala­
bileceği kaç farklı değer vardır?
A) 6
B) 7
C) 12
D) 13
E) 14
Bölen Sayıları, Obeb - Okek
1 6 . Görkem misketlerini 14 er 14 er ayırdığında 10, 12
1 1 . 5 ile bölündüğünde 4 kalanını, 8 ile bölündü­
şer 12 şer ayırdığında 8 misketi artıyor.
ğünde 2 kalanını veren iki basamaklı en küçük
doğal sayı kaçtır?
A) 14
E) 74
D) 49
C)34
B) 18
Görkem'in misketlerinin sayısı üç basamaklı bir
sayı olduğuna göre, en az kaç misketi vardır?
A) 126
B)156
C) 160
D) 164
E) 172
1 7 . Üç duvar saati sırasıyla 14, 18 ve 21 dakika aralık­
12.
larla çalmaktadır.
sayılarına bölündüğünde sonucu tamsayı olan
en küçük pozitif tamsayı kaçtır?
A) 28
B)32
C)47
İlk kez saat 9.00 da birlikte çalan bu saatler ikin­
ci kez saat kaçta birlikte çalarlar?
E) 63
D) 56
A) 10.46
B) 10.52
D) 11.12
1 3 . 396 ve 216 sayıları hangi doğal sayıya bölünürse
elde edilen bölümler aralarında asal olur?
o
c
o
A) 12
B) 18
C)24
E) 72
D) 36
C) 11.06
E) 11.24
1 8 . 1000 sayısına en küçük hangi pozitif tamsayı ek­
lenmelidir ki, bu sayı 6, 7 ve 8 ile bölündüğünde
kalan sıfır olsun?
>E
u.
14.
x = 4 a - 6 = 5 b + 12 = 6 c + 2
A) 4
B)6
E) 12
D) 10
C)8
1 9 . 9 a bölündüğünde 6, 12 ye bölündüğünde 9,
16 ya bölündüğünde 13 kalanını veren, 850
eşitliğini sağlayan x in en küçük pozitif tamsayı
den küçük en büyük doğal sayı kaçtır?
değeri için a nın değeri kaçtır?
A) 571
A) 15
B) 16
C) 17
B)581
C)717
D) 723
E) 845
E) 19
D) 18
2 0 . A iskelesinden aynı anda hareket eden üç gemiden
birincisi 20, ikincisi 25, üçüncüsü 30 dakikada B
1 5 . Boyutları 32 ve 96 metre olan dikdörtgen şeklinde­
iskelesine gidip geri gelebiliyor.
ki bir bahçenin iki kısa kenarı ile bir uzun kenarına ve
bütün köşelerine eşit aralıklarla ağaç dikilecektir.
Üçü birden aynı anda A iskelesinden hareket edip
tekrar A iskelesine ilk defa aynı anda gelinceye ka­
Buna göre, en az kaç ağaca ihtiyaç vardır?
A) 3
Cevaplar: 1-B
B)4
2-D
3-A
C)5
4-C
5-C
D) 6
6-B
7-A
8-C
dar, birinci gemi kaç tur yapmıştır?
E) 7
9-A
10-C
A) 10
11-C
12-D
13-D
B) 12
14-C
15-D
C)15
16-D
17-C
D) 18
18-C
E) 20
19-C
20-C
69
™
BÖLEN SAYILARI, OBEB - OKEK
1.
x, y, z
6.
birer doğal sayıdır.
Asal olmayan tam bölenlerinin toplamı - 10 olan
bir doğal sayının en küçük değeri için, bu sayının
12! = 2 X . 3 y . z
olduğuna göre,
A) 10
pozitif bölen sayısı kaçtır?
x + y toplamı en çok kaçtır?
B)12
C)13
D) 14
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
E) 15
7.
Ortak bölenlerinin en büyüğü
30 olan farklı iki
doğal sayı arasındaki farkın pozitif değeri en az
2.
a ve b
kaçtır?
pozitif tamsayılardır.
128. a = b 3
A) 60
B) 50
C) 40
D) 30
E) 20
olduğuna göre, a + b toplamı en az kaçtır?
A) 6
B)8
C)10
D) 12
E) 14
£
8.
Ardışık iki pozitif tek sayının OKEK'i OBEB'inin 99
"^
katıdır.
o
^
Buna göre, bu iki sayının toplamı kaçtır?
c
3.
1802 sayısına en az hangi doğal sayı eklenmeli­
dir ki, elde edilen sayı 3, 5, 6 ve 8 ile tam bö-
u!
A) 16
B)20
C)24
D) 28
E) 32
lünebilsin?
A) 108
B)110
C)112
D)116
E) 118
9.
12 ile 5.x doğal sayılarının ortak katlarının en kü­
çüğü 15.x olduğuna göre, ortak bölenlerinin en
büyüğü kaçtır?
4.
'— ifadesi tamsayı olduğuna göre,
a
nın
A) 3
B)4
C) 6
D) 8
E) 12
D) 4
E) 5
alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?
A) 6
5.
B)5
C)4
D) 3
E) 2
1 0 . A, B, C pozitif tamsayılardır.
B
B
B
F
1
Ortak bölenlerinin en büyüğü 15 olan ve 15 ten
C
C
c
G
G
1
2
2
3
3
5
farklı iki doğal sayının toplamı 75 olduğuna göre,
bu iki doğal sayının ortak katlarının en küçüğü
kaçtır?
A) 45
olduğuna göre,
B)50
C)60
D) 75
E) 90
A) 1
B)2
B + C
A
C) 3
kaçtır?
Bölen Sayıları, Obeb - Okek
1 1 . a ve b
1 6 . A, x, y, z
pozitif tamsayıdır.
A = 2x-6 = 3y-8 = 4z-4~
OKEK(a, b) = 15.0BEB(a,b)
olduğuna göre, A sayısı aşağıdakilerden hangisi
olduğuna göre, a + b nin en küçük değeri kaçtır?
A) 7
B)8
C)9
pozitif tamsayılardır.
D) 10
olabilir?
E) 11
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
1 7 . Birdersanede 110 sayısal, 130 eşit ağırlık, 200 sö­
1 2 . x ve y farklı doğal sayılardır.
OBEB(2x - 1, y) = 7
2x
ve
zel puan türünden hazırlanan öğrenci vardır.
"
y
1
Bu öğrencileri karıştırmamak koşuluyla, eşit sa­
= —
2
yıdaki öğrencilerden oluşan en az kaç sınıf oluş­
turulabilir?
olduğuna göre, OKEK(x, y) değeri kaçtır?
A) 124
B)130
D) 148
C)144
E) 154
A) 48
B) 44
C) 36
D) 28
E) 24
1 8 . Bir çocuk bilyelerini 9 ar 9 ar gruplandırdığında 5,
12 şer 12 şer gruplandırdığında 8,
1 3 . 3 ile bölündüğünde 1, 5 ile bölündüğünde 3, 7
~c
ile bölündüğünde 5 kalanını veren 400 den büyük
£•
en küçük doğal sayı kaçtır?
*~
E
A) 410
B)414
D) 418
C)416
E) 420
14 er 14 er
gruplandırdığında 10 bilye eksik kalmaktadır.
*
Buna göre, çocuğun en az kaç bilyesi vardır?
A) 1003
B)509
C) 504
D) 256
E) 248
@
1 9 . Boyutları 18 m, 24 m ve 30 m olan dikdörtgenler
prizması şeklindeki bir depoya küp şeklindeki kutu­
1 4 . 115, 149, 183 sayılarını böldüğünde sırasıyla 7,
5, 3 kalanlarını veren en büyük doğal sayı kaçtır?
A) 18
B)24
C)28
D) 32
E) 36
lar stok edilecektir.
Depo tamamen dolmak şartıyla, bu depoya en az
kaç kutu stok edilebilir?
A) 6
B) 12
C)30
D) 60
E) 360
2 0 . 84, 126 ve 210 kg ağırlığındaki üç çuval pirinç,
çuvallardaki pirinçler birbiriyle karıştırılmayacak
1 5 . A bir doğal sayı ve x, y, z pozitif tamsayıdır.
şekilde eşit ağırlıktaki torbalara doldurulacaktır.
A = 3x + 2 = 4y + 2 = 7z + 9
Hiç pirinç artmayacak şekilde bu iş için en az kaç
olduğuna göre, A doğal sayısı en az kaç olur?
A) 2
Cevaplar: 1-E
B)44
2-D
3-E
C)86
4-D
5-E
D) 126
6-C
7-D
torba gereklidir?
E) 128
8-B
9-B
10-B
A) 8
1 -B 12-E
13-D
B)9
14-E
C)10
15-C
16-C
D) 12
17-B
18-D
E) 13
19-D
20-C
71
BÖLEN SAYILARI, OBEB - OKEK
BÖLÜM
x ve y
pozitif tamsayılar olmak üzere,
6.
54.x = y 3
olduğuna göre, x + y toplamı en az kaçtır?
A
) 4
B)6
C)10
D) 24
TEST
4
Toplam 8 tane pozitif tamsayı böleninden 3 ü
asal olan üç basamaklı en küçük iki doğal sayının
toplamı kaçtır?
A) 205
B)207
C) 210
D) 215
E) 270
E) 36
9.10"
48 ve 60 sayılarının kaç tane asal olmayan ortak
pozitif böleni vardır?
sayısının pozitif çift sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?
A) 4
A) 75
B)6
C)8
D) 10
E) 12
B)60
C)40
D) 25
E) 15
o
1 8.
12 000 ... 0 sayının tam bölenlerinin sayısı 192
olduğuna göre, 0 (sıfır) ların sayısı kaçtır?
A) 3
B) 4
x = 22 . 32 . 73
o
>g
OBEB(x, y) = 22 . 3
olduğuna göre, y nin alabileceği 100 den büvük
en küçük değer kaçtır?
C)5
D) 6
E)7
A) 108
(22) 2 + (44) 2 + (66) 2
9.
) 2
B)3
C)4
D) 156
E) 240
A doğal sayısının tam bölenlerinin sayısı, asal ol­
ğuna göre, A nin aşaJ_oJmayan tam bölenlerinin
D) 6
E) 8
toplamı en çok kaçtır?
A)-20
x
C)132
mayan tam bölenlerinin sayısından 3 fazla oldu­
sayısının asal bölenlerinin sayısı kaçtır?
A
B)120
B)-15
O)-10
D) 10
E) 15
tamsayı, y doğal sayıdır.
1 0 . Aralarında asal iki sayının OKEK'i ile OBEB'i ara­
xy + 5 = x + y
eşitliğini sağlayan kaç tane
sındaki fark 25 olduğuna göre, bu sayıların topla­
y değeri vardır?
mı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 10
A)1
B)2
C)3
D) 4
E) 5
B)13
C) 14
D) 15
E) 16
Bölen Sayıları, Obeb - Okek
1 6 . x, y ve z birer tamsayıdır.
1 1 . 1 den 8 e kadar olan pozitif tamsayıların hepsine
birden bölünebilen en küçük doğal sayı kaçtır?
A) 720
B)840
C)910
D) 980
A = 3x-1=5y + 2 = 7z-5
E) 1200
olduğuna göre, A nin 400 den büyük en küçük
değeri kaçtır?
A) 412
B)422
C) 432
D) 442
E) 452
1 2 . Ortak katlarının en küçüğü 70 olan farklı iki doğal
sayının toplamının alabileceği en küçük değer A,
17.
Bir yarışmaya katılan üç koşucudan birincisi bir turu
en büyük değer B olduğuna göre, A + B toplamı
5 dakikada, ikincisi bir turu 7 dakikada, üçüncüsü de
kaçtır?
bir turu 10 dakikada tamamlamaktadır.
A) 157
B) 122
C) 103
D) 91
Aynı anda aynı çizgiden koşmaya başlayan ko­
E) 88
şucular koşu başladıktan sonra ikinci kez aynı
hizaya geldiklerinde ikinci koşucu kaç tur koş­
muş olur?
A) 7
B)10
C) 14
D) 20
E) 28
1 3 . A ile B nin ortak bölenlerinin en büyüğü 4, B ile
C nin ortak bölenlerinin en büyüğü 6 olduğuna
göre, A + B + C toplamı en az kaçtır?
A) 10
B) 12
C)18
D) 22
-2
c
~
E) 24
1 8 . 152 davetlinin bulunduğu bir gruba en az kaç evli
çift daha katılmalıdır ki 7 şerli ve 8 erli gruplar
£
oluşturulabilsin?
•
A) 8
B)10
C)12
D) 14
E) 16
©
1 4 . 126, 168 ve 210 sayıları bir a tamsayısına tam bö1 9 . Üç farklı lamba sırasıyla 60 saniye 72 saniye ve
lünebilmektedir.
84 saniye aralıklarla yanmaktadır.
a > 5 olacak şekilde a nin alabileceği en büyük
değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?
A) 30
B)36
C)42
D) 48
İlk kez saat 10.00 da üçü birden yandığına göre,
üçü birden 6. kez saat kaçta yanar?
E) 49
A) 13.30
B) 12.42
D) 11.24
C) 12.00
E) 11.00
1 5 . x ve y tamsayıdır.
x - 3 _
y
olduğuna göre,
2 0 . Boyutları 24 ve 40 metre olan dikdörtgen şeklin­
x
deki bir bahçenin çevresine içeriden ve dışarıdan
x +3
x
birer sıra kare taşlar döşenecektir.
in alabileceği pozitif değer­
lerin toplamı kaçtır?
A) 5
B)8
C)10
D) 12
E) 15
Cevaplar: 1-C 2-A 3-C 4-B 5-D 6-B 7-B 8-B 9-C
Kare taşların alanı en büyük olacak şekilde bu iş
için kaç kare taş gereklidir?
A) 40
10-D
B)36
C)32
D) 24
E) 16
11-B 12-B 13-D 14-D 15-C 16-B 17-D 18-A 19-A 20-C
73
İBEBfOKEir
^
W
m ve n
6.
pozitif tamsayı olmak üzere,
x ve y tamsayı olmak üzere,
80 . n = m 4
y =
olduğuna göre, m + n toplamı en az kaçtır?
A) 115
B)135
C)145
D) 160
xd + 3x + 24
x + 3
olduğuna göre, y nin alabileceği en büyük değer
en küçük değerden kaç fazladır?
E) 175
A) 15
B)40
C)50
D) 60
E) 70
(63) 2 -(35) 2 + (49) 2 -(21) 2
7.
işleminin sonucunda elde edilen sayının kaç tane
Bir x doğal sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı
pozitif tam böleni vardır?
A) 36
B) 32
C) 28
(210-1).(59-1).(34-1)
D) 24
8
E) 18
olduğuna göre, x doğal sayısı kaç basamaklıdır?
A) 8
B)9
C)10
D) 11
E) 12
m, 7 den büyük bir asal sayı olduğuna göre,
60 . m 3
x
çarpımının kaç farklı asal olmayan pozitif böleni
8.
E
nin en büyüğü 15, ortak katlarının en küçüğü 180
olduğuna göre, toplamları kaçtır?
vardır?
A) 44
B)36
x ve y
C)32
D) 24
pozitif tamsayılardır.
5
9.
B)35
B)96
C)90
D) 84
E) 80
Ortak bölenlerinin en büyüğü 15 olan iki tamsayı­
nın kareleri farkı 1125 olduğuna göre, büyük sayı
kaçtır?
7
A) 30
okek(x, y) - 2.obeb(x, y) = 231
olduğuna göre,
A) 105
E) 16
JL « JL
A) 49
Farkları 15 olan iki doğal sayının ortak bölenleri-
B) 45
C)60
D) 75
E) 90
(y - x) farkı kaçtır?
C)28
D) 14
E) 7
1 0 . x ve y asal sayılar olmak üzere;
A = x2.y ve
B = x.y2
x, y, z birbirinden farklı asal sayılardır.
sayıları veriliyor.
x x . y y . zz
Boyutları A ve B birim olan fayanslar kullanılarak
sayısın pozitif tam bölenlerinin sayısı 72 olduğu­
na göre, x + y + z toplamı kaçtır?
oluşturulabilecek en küçük kare yüzeyin alanı 1296
A) 10
A) 12
B) 12
C)15
D) 20
E) 23
birimkare olduğuna göre, A + B kaçtır?
B)18
C)24
D) 30
E) 36
Bölen Sayıları, Obeb - Okek
1 6 . 56, 80 ve A litrelik üç kap meyve suyu ile doludur.
1 1 . Toplamları 135 olan iki sayının OBEB i 9 dur.
Bu üç kaptaki meyve sularının birbirine karıştırılma­
Bu sayıların çarpımı en az kaç olabilir?
A) 1034
B)1134
dan eşit hacimli kaplara doldurulabilmesi için en az
23 kap gerekmektedir.
C) 1215
D)1436
Buna göre, A kaçtır?
E)1532
A) 40
B) 44
E) 58
D) 54
C) 48
1 2 . asayişi 30 dan büyük 190 dan küçük bir tamsayıdır.
1 7 . M, a, b, c birer doğal sayıdır.
OBEB(42, a) = 21 koşulunu sağlayan a sayısı­
nın en büyük değeri, en küçük değerinden kaç faz­
M = 8 a + 13 = 7 b - 9 = 6c + 5
ladır?
A) 84
B)105
C)126
D)138
eşitliğini sağlayan en küçük M sayısı için, a + b + c
toplamı kaçtır?
E) 147
A) 42
B)53
E) 81
D) 74
C)65
1 3 . x ile y aralarında asal sayılardır.
OKEK(x, y) = 195
x +
1 8 . Aynı uzunluktaki iki paralel sokağın birincisine
metrelik, ikincisine 12 metrelik su borularıyla su hat­
= 15
tı döşenecektir.
y
D
>-
olduğuna göre, y nin değeri kaçtır?
A) 12
B)15
C) 18
Bu iki sokaktan geçen su hattı için en az kaç metre
E
su borusu kullanılmıştır?
E) 25
D) 20
A) 40
@
1 4 . 8, 9 ve 10 sayıları sırasıyla x , y v e z ile çarpılarak
üç basamaklı aynı sayı elde ediliyor.
B) 60
D)120
C)90
E) 150
1 9 . 17 basamaklı 55555555555555555 sayısının 9 ile
bölümünden kalan x, 8 ile bölümünden kalan y dir.
Buna göre, x + y + z toplamının en büyük değeri
kaç olabilir?
A) 120
10
J2. m ,3
Buna göre, x .y sayısının asal olmayan pozitif
B)180
C)200
D) 242
bölenlerinin sayısı kaçtır?
E) 260
A) 7
B)9
C) 12
E) 20
D) 18
1 5 . x ve y tamsayı olmak üzere,
2 0 . a, b, c asal sayılardır.
A = 5x + 3 = 4y + 1
720 = a c ~
şartını sağlayan 500 ile 700 arasında kaç farklı A
tamsayısı vardır?
A) 5
Cevaplar: 1-B
B) 10
2-A
3-A
C) 11
4-D
5-A
D) 9
6-C
7-C
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
E) 7
8-A
9-B
10-D
A) 16
11-B
12-C
13-B
B)15
14-D
C)14
15-B
16-C
D) 12
17-D
18-D
E) 10
19-D
20-E
75
l
,
<&8WS£3S£IS&'. * i
SŞfe#*-,
„
&'**>
^ - :f«fc^rA*:
r^A-A
'i .*£*(*
I Ö İ İ 3 RftSYOMEtSfflMR
KESİR
DENK KESİRLER
a, b e Z ve b * O olmak üzere, — ifadesine kesir,
b
sirlere denk kesirler denir.
Bir bütünün aynı büyüklükteki parçalarını gösteren ke­
a ya kesrin payı, b ye de kesrin paydası denir.
•
ğeri (temsil ettiği büyüklük) değişmez.
| a | > | b | ise kesre bileşik kesir denir.
Buna göre, - 1 ile +1 arasındaki kesirler basit kesir,
k^O
bu arada olmayan kesirler de bileşik kesirdir. Örneğin;
__2_
sayıları basit kesir,
4 - 6
2
7
3
-6
, - 3 , - 5 , -1
5 ' "
4
1 , 2,
3_ _7_
ise,
tamsayılı kesir, c ye de kesrin tam kısmı denir.
Tamsayılı kesir, bileşik kesre:
d
c. b + d
c— =
şeklinde çevrilir.
b:k
2.3
2.(-5)
3.3
3.(-5)
- 6:3
- 6
24 ~ 24:3
o
a
a > b > O olmak üzere, — bileşik kesrinin payı (a)
b
paydasına (b ye) bölündüğünde; elde edilen bölüm c,
a d
d
kalan d ise, — = c— şeklinde yazılır ve c— ye
b
b
b
b.k
dır.
mesine ise kesrin sadeleştirilmesi denir.
tanımsızdır.
Bileşik Kesrin Tamsayılı Kesre Çevrilmesi
a: k
Herhangi bir kesrin pay ve paydasının; sıfırdan farklı bir
• • sayıları bileşik kesirdir
2 ' 2
a. k
tamsayı ile çarpılmasına kesrin genişletilmesi, bölün­
ve
O
olmak üzere, — = O,
a
a*O
Herhangi bir kesrin pay ve paydası sıfırdan farklı aynı
bir sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde kesrin de­
| a | < | b | ise kesre basit kesir,
_7_
VΫWK3B
••* f A
>E
e
o.
a
—
b
c
ve —
d
(genişletme)
-6:(-6)
24:(-6)
(sadeleştirme)
kesirleri denk kesirler ise,
a
c
— = — =» a . d = b . c dir.
b
d
Bir kesrin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi ile elde
edilen bütün kesirler birbirine denktir.
Uyarı:
Pay ve paydası aralarında asal olan bir kesir, kendisine
denk olan kesirlerin en sade şekilde olanıdır.
a
12
Örneğin, a ve b aralarında asal ve -— = —
b
32
ise,
ve a = 3 , b = 8 dir.
Örnek:
17
5
-1
= 3 A,
_1L
5
RASYONEL SAYI
= - 3-
5
1.3 + 2
5
3
~ 3 '
ve
Birbirine denk olan kesirlerin temsil ettiği sayıya rasyo­
nel sayı denir. O halde, her kesir bir rasyonel sayıyı
gösterir. Rasyonel sayılar kümesi (Q)
1.3 + 2
5
3
3
tür.
Q = {-— : a, b e Z
b
-2
ve
b * 0 } dır.
10
kesirleri denk kesirlerdir ve bu ke3
6
-15
sirlerin her biri aynı rasyonel sayıyı gösterir.
76
Rasyonel Sayılar
Her rasyonel sayının ondalık açılımı devirlidir. Her de­
virli ondalık açılım da bir rasyonel sayı belirtir. Örneğin,
Bir Rasyonel Sayının Tersi
a*0
olmak üzere,
3
— = 3,02500 ... = 3,0250 ve 7 = 7,00 ... = 7,0
4
3.
— kesrinin toplamsal tersi (toplamaya göre tersi) - — ,
b
b
ondalık açılımlarında devreden kısım 0,
çarpımsal tersi (çarpmaya göre tersi)
5
—
3
—I
\b/
=— dır.
a
ondalık açılımında
devreden kısım 6,
Uyarı:
Aksi belirtilmediği sürece, bir sayının tersinden söz edil­
diğinde bu sayının çarpımsal tersi anlaşılır.
23
22
İki rasyonel sayı arasına sonsuz sayıda sayı yazıla­
bilir. Ancak belli şartlarda sonlu (sınırlı) sayıda kesir
yazmak için:
ondalık açılımında
Devirli Ondalık Sayının Rasyonel Şekilde Yazılması
a, b, c, d birer rakam olmak üzere,
. —7
a,bcd =
1. İki kesrin paydaları eşit değilse, paydaları eşitlenir.
a+b
abcd - ab
bed - b
=a+
990
990
(sayının tamamı) - (devretmeyen kısım)
99 ... 900 ... 0
2. Gerekirse istenen şartları sağlayacak şekilde kesirler
genişletilir veya sadeleştirilir.
a ve b sayılarının ortasındaki sayı
= 1,0454545 ... = 1,045
devreden kısım 45 tir.
İki Rasyonel Sayı Arasına Sayı Yazma
•
—
= 1,666...=1,6
dir.
m tane
dır.
n tane
m ve n, sayının virgülden sonraki kısmındaki sırasıyla
devreden rakam sayısı ve devretmeyen rakam sayısıdır.
RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER
1. Eşitlik
Örnek:
a
c
a
c
, .
,.
— = — => a = c ve - = — ;=>a.d = b.c dır.
b
b
b d
2. Toplama - Çıkarma
JL + JL ~b~ ~ ~ b
a ± c
b
a
o
0,512 =
>E
o
2,094 =
+
_ a-d±b.c
' ~b~ ~ ~ d
"
b.d
•
a.c
b
d
b.d
990
2094-209
1885
900
900
-1,32 = -
(b)
3. Çarpma
c
507
990
c
(d)
a
512 - 5
119
132-13
90
90
Devreden rakam sadece 9 ise 9 un solundaki rakamın
sayı değeri 1 arttırılıp 9 atılır.
3,59=3,6;
2,9=3;
-3,209 = - 3 , 2 1
4. Bölme
JL-JL - il l°\ 1 ir"cT""b\d]
a
d
b e
a.d
b.c
dir.
ONDALIK SAYILAR
Paydası 10 un pozitif tamsayı kuvvetleri şeklinde yazı­
labilen rasyonel sayılara ondalık sayılar denir.
Örneğin;
10 2
•
a bir rakam ise,
0,2 = — ;
9
0,a
dur.
0,3 = — =
9
1
tür.
3
Bir Sayının İlmi (Bilimsel) Gösterilişi
Devreden kısmı 0 olan sayılar bilimsel şekilde yazılabilir.
4
4.25
125
= -1,25
100
neZ
ve
1<a<10
olmak üzere,
sayıları birer ondalık sayıdır.
bir sayının
a.10 n
şeklindeki yazılışına bu sayının
bilimsel gösterilişi denir.
— bir rasyonel sayı olmak üzere, a nın b ye bölün­
30 000 = 3.10 4 ,
mesiyle elde edilen bölüme bu sayının ondalık açılımı
denir.
0,000027 = 2,7.10
250 000 000 = 2,5. 10 8 ,
-5
tir.
1.
BÖLÜM
1
1
3 ~ 9
+
KH'r)
1
27
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A)
C)
*'!
D)
27
A) - 1
49
27
27
B) 3
B) 1
A)
E) 4
D
(-f)-(-l)
8.
2
B
D)1
E)
C)6
a * 0 ve b?s0
l_-l-J-:2
2
B)5
D) 7
E) 10
10
9.
4.
2
olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?
A) 3
°»î
E)
D)
12
A.s.-i.
işleminin sonucu kaçtır?
11
n
A ve B birer rakamdır.
o
u.
B)
*l
19
12
c
>E
«
A)0
3
6
olduğuna göre, m + n kaçtır?
D) 3
C) 2
+ m =
12
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0
°>i
C) 1
1
7.
(-i)-(-i)
2.
TEST
1
RASYONEL SAYILAR
olmak üzere,
b
— +
a
2
b
a
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
<
«*
O-
D)_
E )
"8
'--H'-D
5.
10.
işleminin sonucu kaçtır?
A)
78
B)
c
»!
A)1
B)A
b
C)-^
a
2
+
D)
a-b
a
E)
b-a
( l - ( 2 - | ) )
işleminin sonucu kaçtır?
<
E)
A)-
B)-1
«\
D)1
4
Rasyonel Sayılar
11
- O-IM-iM-H-O-i)
16.
0,218
devirli (periyodik) ondalık sayısı, aşağıdakilerden
işleminin sonucu, n = 15 için kaçtır?
D) 4
C)1
B)
<
hangisine eşittir?
E) 8
A)
109
445
B>*
55
1 -
1
1+
B) - 3
24
11
E)
12
65
0,1 - 0,01
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 4
D)
0,3 - 0,03
17.
12.
C)™
550
C) 1
D) 3
D) 9
C)3
B)
<
E) 90
E) 4
1 8 . a ile b
aralarında asal sayılardır.
- - = 0,24
b
1 3 . Sıfırdan farklı bir sayıyı 0,2 ye bölmek, aynı sayı-
-2
yi kaç ile çarpmak demektir?
A) 0,5
B) 5
D) 25
C)10
E) 50
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 112
B)63
C)56
D) 42
E) 11
D) 99
E) 9,9
1 9 . x, y, z birer rakam olmak üzere,
14.
0,04
. 0,06
0,02
0,03
(x, yz) - (z, yx)
X - z
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0,4
B) 0,2
C) 0,1
D)1
E) 4
A) 0,99
20. x +
6,387 + 3,613
15.
5,214 - 3,714
• 0,3
B) 1
C)1,01
toplamı pozitif bir tamsayıya eşit oldu­
ğuna göre, x sayısının virgülden sonraki kısmı
kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A)
25
Cevaplar: 1-C 2-A
B)
3-D 4-A
^
5-D 6-B
A) 98
D) 2
7-E 8-D 9-A
E) 5
10-B
B) 002
D) 092
11-E 12-E
13-B
14-D
15-D
C)95
E) 992
16-B
17-C
18-C
19-A 20-E
79
V *
RASYONEL SAYILAR
TA 1 »
si*
«**,*
X
V
x
—— sayısı,
7
: •* /. .«,.. w*
6.
sayısının kaç katıdır?
y
TEST
şleminin sonucu kaçtır?
A)49
B)7
C)1
2
+
JL:A
2
2
D) i
7
E) -L
49
4
3
7.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 15
B) 13
<
E) i
B)1
D)
E)
(A__L+M-(±+ ± _ M
\ 7
A) - 2
15
2
3
4
D
1
5
8 /
V 5
B) - 1
8.
8
7 J
D)1
E) 2
11
11
11
17
2001 +
11
E
e
işleminin sonucu kaçtır?
o.-i
C)l
3
C) 0
2003 -
o
işleminin sonucu kaçtır?
A) i
3
»ı
işleminin sonucu kaçtır?
C) 1
2
4
3
c
B)1
<
A) A
E)-1
11
C)1
(<-i)-0-i)
9.
2 -
B) 29_
11
(-i)-(i-
2+
fl
)
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0
B)
c
1
1
2-
2
1
2
A) 2
»l
D)
B)l
2
10.
o.
E)-2
!
1
%
8
1 + 1
T 8
3
1--1-
1
C)l
3
«-I
C) - 1
E)
2
2
_ 9
1+J3
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A)1
B) 1
<
*l
A) 8
B)4
C)
D)
E)
Rasyonel Sayılar
11. ( 1 - 1 ) . ( 1 + 1 , . ( , - 1 , , 1 + 1 , . . . , 1 - > 1 + İ )
16.
2 -
1 - —
2_
J_
işleminin sonucu kaçtır?
A)
B)
11
3
C)
11
E) 8
D) 6
11
=1
olduğuna göre, n kaçtır?
12.
1 1
T ~ 3
1
1
5 ~ 3~
+
+
'"
1
1
~5
~T
V
+
A) 1
1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
D) i -
E)
y
31 tane
işleminin sonucu kaçtır?
A) - —
5
B) - 5
0,a - 0,0a
17.
D
C) - 1
'f
E)
a,a - 0,a
19
işleminin sonucu kaçtır?
A)
4 -
13.
5
4
5-J-
5
C)
B)
10
10
11
4
o
işleminin sonucu kaçtır?
1 8 . n = 11 için,
c
0,9 + 1,9 + 2,9 + ... + n,9
X»
A) 2
B) 4
D
C) 1
>-
E)
<
işleminin sonucu kaçtır?
E
o
A) 28
©
14.
B) 44
D) 78
C) 56
E) 112
1_
1
19 A 3a + 3
işleminin sonucu kaçtır?
0,()9
7
°'
0,81
02
2,1
• °'
0,12
olmak üzere,
A.x çarpımı tamsayı olduğuna göre, x in en küçük
pozitif tamsayı değeri kaçtır?
A)-2
B)
C)-
D)
E)
A) 3
C)9
B)6
D) 12
E) 18
D)
E)
0,03
15.
0,04
0,12
0,01
0,03
0,16
0,06
20.
2_
0,08
işleminin sonucu kaçtır?
A) 9
B) 4
Cevaplar: 1-E 2-C
3-A
= 5
x- 1
olduğuna göre, x kaçtır?
C) 0,9
4-C 5-C
1
D) 0,1
6-B
E) 0,09
7-C 8-C 9-A
10-A
A)0
11-C
12-B
B)
13-C
14-C
C)
15-B
16-D
17-B
18-D
19-E 20-A
81
1.
BÖLÜM
TEST
3
RASYONEL SAYILAR
1.
>• RM'-i)-K)-('-^)
1,008 - 0,208
1 -
3 -
1 \ 1
5 / 5
+1
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A)_
1
„,
B)
15
A) 2
1
C)1
E) 2
15
1
C)
"î
D)
10
E)
50
100
1-A
2.
1 +
8
a
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 6,3
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
B) - 4,2
D ) - 0,15
C) - 2,3
A) - a
E)0
B) -
a
D) a
2
o
c
7,376 + 2,624
o
5,367 -4,117
E) 1
>.
2 -
E
o
2 +
işleminin sonucu
işleminin sonucu kaçtır?
A)
A) 10
D
C)
B)
0,8
B) 9
3+
48 +
6
olduğuna göre,
6
A) 1
işleminin sonucu kaçtır?
11
4 - x
4
1+J--İ-
B)_L
E) 1
9
=5
96
1+
A)
D) 8
C) 8
*l
Ȕ
9.
3
sayısının kaç katıdır?
e) —
11
D)_
11
E )
"9
x
kaçtır?
B) 2
10.
C) 3
D) 4
E) 5
1+
1+-
(-42
5.
+
(-4)2.2):(-22
+
1 +
23)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 8
B) 4
ol
2
82
olduğuna göre, x
D)-4
E)-8
A) 2
B)
=5
kaçtır?
C)
D)
E)
Rasyonel Sayılar
11
•'•
76
a=
77
+
o
87
98
+ —
88
99
1 6 . Bir kesrin d e ğ e r i — t ü r . Kesrin payına 1 eklenip pay3
3
dasından 2 çıkarıldığında kesrin değeri — oluyor.
4
olduğuna göre,
— + — + —
77 88 99
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 - a
kaçtır?
B) a - 3
D) 11 . a
Buna göre, kesrin paydası ile payı arasındaki fark
ifadesinin eşiti
B)4
A)1
C) a
E) 13. a
12.
17.
1 -
a,b + b,c + c,a = x,x
3 - a
olduğuna göre,
kesrini tanımsız yapan
kaçtır?
A) 1
B) 2
E) 15
D) 10
C)5
a
kaçtır?
a+b+c
değerlerinin toplamı
D)4
C)3
9
E) 5
o
C)
99
99
100
D)
E)™
11
10
(3,1 + 6 ) : { 1 , 5 + 3)
18.
c
13.
(2-0,3 : — + 3 ) . —
2
6
E
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0,8
B) 1,2
işleminin sonucu kaçtır?
o
C) 2
D) 3
A
) l
B)|
0,19
0,0019
0,5
0,025
E) 2
D)1
E) 4
0,57
18,5 . 1,3
19.
14.
C)i
0,37
0,39
0,019
işleminin sonucu kaçtır?
0,1
0,0008
A) 30
B) 15
C)0
D)-30
E)-15
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 95
B) - 45
C) 715
D) 875
E) 975
20.
a 2 _
1 +
1 5 . a ile b aralarında asal sayılar olmak üzere,
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
0,37 = —
b
A)
olduğuna göre, a + b kaçtır?
A) 43
Cevaplar. 1-A
B)52
2-A
3-E 4-A
C)62
5-B
D) 67
6-E
a-1
E) 71
7-B 8-B 9-D
10-B
B)
D)
11-A
12-D
13-A
2a-1
2a + 1
E)
3a-2
14-B
15-C
C)
16-D
17-B
2a-1
3a-2
18-E
19-E 20-A
83
1
BÖLÜM
>•>.
/ 117
1.
\
, \
+ 1
6.
(i-)-
+ 1
2
TCCT
I Ctrl.
RASYONEL SAYILAR
-îB~ at s
i-.^r.t»-'
n iki basamaklı bir doğal sayıdır.
+1
1+
19/ \
1 +
20/
1 +
21
n+ 1
çarpımı bir tamsayı olduğuna göre, n en çok
olduğuna göre, x kaçtır?
kaçtır?
A) 10
B)9
C)8
E) 4
D)
B) 92
A) 93
2.
y =
C) 91
E) 89
D) 90
3x - 1
7.
2x + 5
a, b, c sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere,
a, be + b,ca + c,ab
0,aaa + 0,bbb + 0,ccc
ifadesinde y nin hangi değeri için x değeri bulunamaz?
5
A)-J
2
3.
işleminin sonucu kaçtır?
3
B)-J
2
?
?
C)-J
D)f-
3
3
E).
— kesrinin pay ve paydasına hangi sayı eklenirse
y
aynı kesrin karesi elde edilir?
A)
xy
B)
x -y
4.
x
1
B)1
10
8.
14
0,5 -
>-
0,5
C)-J9L Z
xy
x +
E)
y
A
0,5
/
işleminin sonucu kaçtır?
xy
x + y
A) - 21
B) - 5
D) 5
C) 3
E) 13
13 -
9.
5-i-
3
5 ^
4
4'2
J_
+
5 _3.1_
ifadesi x in kaç farklı değeri için tanımsızdır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
4
5.
10.
x =
1 - —
3
olduğuna göre,
B
'İ
c
>i
55
+ —
51
61
D)
E)
A)
3x
B) 2x
+
D)ü
4
E) 5
64
46
5
13
71
6
7
ifadesinin x tü51
61
71
ründen değeri aşağıdakilerden hangisidir?
işleminin sonucu kaçtır?
>!
O-
4
1 -
A
2
4 '2
işleminin sonucu kaçtır?
E) 5
A)-5
84
E) 100
D) 20
C)10
0,5 -
x+y
x -y
D)
xy
A)
C) 3x
D) 1 - x
E) x - 1
Rasyonel Sayılar
11.
1+
20
20
1+
20
16.
0,6
+ 0,38
0,2
1 +
0,3
0,2
0,19 +
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2
B)3
A) 2
C)5
D) 8
B)
11
9
C)1
4
<
E) 10
1 7 . Paydası payının 2 katı olan bir kesrin payına pay­
dasını, paydasmada
3
eklersek kesrin değeri
— oluyor.
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 19
13.
B)20
Bu kesrin pay ve paydasının toplamı kaçtır?
C)21
D) 30
E) 40
A) 27
a = 5 ve b = 2
x+ y
A)0
B)2
C)3
D) 5
E) 17
D)
E)
tekti)
19.
KS)-H
kaçtır?
x-y
E) 63
olduğuna göre, a en az kaçtır?
@
E)2a + 3b
(0,5 + 0,6 +0,7).x = y
olduğuna göre,
D) 60
.
a+3
a+3
b =
+
4
5
S
^
o
*C) 3a - b •
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) a + b
B) 2a + b
14.
C)45
1 8 . a ve b doğal sayıdır.
olduğuna göre, - M İ L + J L L + _°ı°İL toplamı
0,002 0,02 0,005
D)4a + 3b
B)36
işleminin sonucu kaçtır?
A)-3
B)-2
C)-1
D) 2
E) 3
A) 7
15.
0,3
0,3 -
0,3 -
1
24
B) 48
7
(2-0,4)
0,3 /
C) 11
C)
K-D-R-f)
20.
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 937
B)3
D) 9
E) 5
A) i
9
3
B) 4
C)l
3
D)*
9
^
Cevaplar: 1-C 2-E 3-C 4-C 5-A 6-A 7-C 8-B 9-A 10-D 11-C 12-B 13-D 14-A 15-C 16-A 17-E 18-E 19-D 20-B
85
•V. •4:
t '*?'*?
>*»*•;!* « r < ~
B Ö L Ü M '.V;
:
« />-.-
•*;•
AYILARı-^
4
İ V «>
V:«S
1.
1
2
1
0,a
0,0a
1
+
T T
0,00a
1
~ ~2
312
B)
C)
1
4
D)
3
V
W "i)
T
eşitliğini sağlayan
321
B) 24
n
sayısı kaçtır?
40
63
C)
42
g
20
D)
21
61_
63
E)
D)
8
2
A)-3
—
8.
B)- 2
~ 7
"3
D)1
C)
E) 3
2.x + — sayısı pozitif bir tamsayı olduğuna göre,
25
sidir?
A) 12
B) 24
C) 44
D) 78
E) 88
E)-
9.
-K)-K)-K)-K)
'-K)-K)-K)-('-£)
olduğuna göre, x - y farkı kaçtır?
D) 2
A)l-
E)3
10.
1 -
B)
10
C)
13
7 +
D) 1 1
15
E) 1 1
18
+ 2
7 +
1 -
7 +
1 kesrini tanımsız yapan kaç farklı
x
reel sayısı
işleminin sonucu kaçtır?
vardır?
86
~ 5
E
e
u.
7
179İ
5
C)
B )
30
A)1
2
3
x in virgülden sonraki kısmı aşağıdakilerden hangi­
işleminin sonucu kaçtır?
A)- 3
13
5
o
>-
8
2
178— 5
15
16
21
18711 - 184-
4.
E) 30
işleminin sonucu kaçtır?
C)0
B)1
5
13
işleminin sonucu, n = 21 için kaçtır?
>!
6
7 +
2
K)-K)-K) 0-f)
A
D) 29
C)26
7.
1 -
işleminin sonucu kaçtır?
A)
s
3210
E)
2
1
1
1
— + ... + — + — = 2
2
4
3
1
9
2.
TEST
5
•
3n f 2 tane
A) 17
3120
'
+ — •¥
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 3120
-
B)2
C)3
D) 4
E) 5
A) - 1
B) 1
C) 2
D) 8
E) 10
Rasyonel Sayılar
a+1
11.
A
16.
- 1
3 512
= -
B = 1,34?
1 olduğuna göre, A + B toplamında kaç basamak
devreder?
1+
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşit­
tir?
A)
1
a+1
B)-İC)a
a
+
1
D)l
a
A) 6
E)_a
B)5
x+3
+
1
y-1
2,ab - 2,ba =
B)-2
C)0
D) 2
A) 5
18.
o
—
a=
ab
3c
D
B =
C) ac
D)
3ac
E) ac
9b
C) 1
D) 3
olduğuna göre,
E) 3,6
20.
ii
1999 + — 7
C)c = 100.a
1,9
0,57
A
50
B) —
3
230 _
6,9
A
değeri kaçtır?
100
O —
3
D) 50
E) 100
— ile — kesirleri arasına pay ve paydası pozitif tam4
5
sayı olacak şekilde üç tane rasyonel sayı yazılacaktır.
Buna göre, bu rasyonel sayıların paydası en az
kaç olabilir?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1 B) 1 C) 3
0,4
0,04
E)c=10.b
0,3
2001 - —
7
c=
B)b<c
0,051
0,34
19.
0,37
0,19
0,14
+
+
0,2
0,15
0,4
B) 0,1
0,003
0,03
©
A) 10
7
b=
E) 13
D) 11
D)a<c
olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?
15.
0,02
0,2
A)a = b
0,01
0,02
0,03
A = —-— + —-— +
0,4
0,2
0,3
A) 0,3
C) 9
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
eşit olur?
14.
B) 7
E) 3
b
( a : — ) ifadesindeki a, b, c sayılarının her biri
B)
a - 2.b
olduğuna göre, a + b kaçtır?
1 3 . a, b, c sıfırdan farklı reel sayılardır.
A) ac
3b"
E) 2
=1
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
A)-3
D) 3
1 7 . a ve b sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere,
2, aF ve 2,ba devirli (periyodik) sayılardır.
1 2 . x ve y tamsayılardır.
1
C)4
7
D)1
*£
A) 20
B) 40
C)60
D) 80
E) 100
Cevaplar: 1-D 2-C 3-C 4-B 5-B 6-A 7-A 8-C 9-A 10-E 11-E 12-A 13-A 14-D 15-D 16-A 17-B 18-E 19-D 20-D
87
• i*• ••..".sı
.
A ü ' tf. ".'imim
*
*
'
RASYONEL SAYILAR
r > £,
*
**
"< *«»
Pay ve paydası sırasıyla 72 ve 180 den küçük
doğal sayılar olan,
yazılabilir?
72
6.
TESl
' *«
•
•*:••
a, b, c pozitif tamsayıdır.
sayısına denk kaç kesir
180
"w
1
a+
13
5
C
B)9
A) 8
D) 11
C)10
E) 35
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 3
14
3
1 1-
7.
3+
işleminin sonucu kaçtır?
11_
A)- 14
B)-
B)4
2,1 +
C)5
07
D) 6
E) 7
. _3_
7
1
0,1 0,2
işleminin sonucu kaçtır?
C)0
D)
E)
11_
14
16 - ax
8x - a
A) 2
B)
3
D)
C)1
E)
o
1 8.
X+
o
kesri sabit kesir olduğuna göre, a nın alabilece­
ği değerlerin çarpımı kaçtır?
X+
5+x-
|
u.
A)-169
B)-144
D)-100
C)-128
@
olduğuna göre,
E)-81
A) 4
sayısının 18 katına eşit
sayısı,
9.
B) 3
C)4
D)-3
kaçtır?
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
a ve b birer doğal sayıdır.
4
a
9
— < — < —
3
b
2
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi ola­
bilir?
A) 2
x
olacak şekilde paydası aynı olan 94 tane —
b
kesri yazılabildiğine göre, b en az kaçtır?
E)-2
A) 10
B)20
C)30
D) 36
E) 42
23-
kesrini tanımsız yapan x
kaçtır?
22
A)—
3
11
B)—
3
10.
x-2
C) 11
x
+—y = 8
değerlerinin toplamı
3
eşitliğinde x ve y pozitif tamsayı olduğuna gö­
re, (x + y) toplamı kaçtır?
D)-11
3
E)_*
3
A) 2
B)3
C)4
D) 5
E) 7
Rasyonel Sayılar
x + 1
x
+
y + 1
49
y
20
70
16.
1 1 . x ve y birer rakam olmak üzere,
33
kesrinin ondalık açılımında virgülden sonraki 2000.
rakam kaçtır?
olduğuna göre, x + y kaçtır?
A) 8
C) 10
B)9
D) 11
E) 12
17.
a = 2,04
2
b = 5,18"
(0,001)2+ (0,01)2+ (0,1)2
c = 0,02
( 0 , 1 7 ) 2 - ( 0 , 0 8 ) 2 - (0,15)
12
olduğuna göre,
tır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1,7
B)1,5
C)1,3
D) 1,1
E) 0
b-a-c
işleminin sonucu kaç­
B)3,10
A) 3,11
C)3,12
D)4,16
1 3 . x, y ve z
3
D) 100
C) 11
3
+
4
3
işleminin sonucu pozitif bir tamsayı olduğuna
göre, x in alabileceği en küçük tamsayı değeri
kaçtır?
E) 111
>E
«
A) 1
15.
B) 2
+
l
19.
K)H)f
olduğuna göre,
A) 18
C) 4
D)4
a,a - b,b
b
3
a
5
olduğuna göre, iki basamaklı
n
B) 19
• İ)
4/
1,01
20.
n
/
2 1 1
2n
kaçtır?
C) 20
D) 21
E) 22
1
(2+l)-(2-l)
+ 0,4
73 1 - 68 1
2
0,5
ab
\
( n - I ^ ^ L
E)5
a ve b birer rakam olmak üze*re,
a - b
E) 15
2
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2
D) 12
C)9
B) 3
1
4
-
+
—
^
o
sinin kesinlikle bir tamsayı katıdır?
B) 10
( 2 , 7 + 3,6 + 4,5 ).x
18.
toplamının tamsayı değeri aşağıdakilerden hangi-
14.
E) 2,24'
sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere,
xy,z + zx, y + yz,x
A) 6
E) 4
D) 3
C)2
B)1
A)0
2
sayısının
alabileceği en büyük değer en küçük değerden
işleminin sonucu kaçtır?
kaç fazladır?
A) 23
B) 46
C) 59
D) 69
E) 87
A)|
4
B)|
5
C) 5
D) 2
E) 4
Cevaplar: 1-E 2-C 3-C 4-C 5-A 6-D 7-A 8-B 9-C 10-E 11-B 12-E 13-E 14-E 15-B 16-C 17-C 18-A 19-C 20-E
89
V*'
SıRALAmA, BASİT EŞİTSİZLİKLER
BOLÜıvı
BASİT EŞİTSİZLİKLER
RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA
Rasyonel sayılar, büyüklük-küçüklük bakımından aşa­
Eşitsizlik, eşit olmanın karşıtı (zıttı) dır.
ğıdaki yöntemlerle sıralanabilir.
I.
x * y ise x ve y den birisi diğerinden küçüktür.
Paydaları eşit olan pozitif iki kesirden payı büyük olan
kesir daha büyüktür.
Eşitsizliğin Özellikleri
1 3
6
7
— < — < — < —
5
5
5
5
II. Payları eşit olan pozitif iki kesirden paydası küçük
x, y, a, b reel (gerçel) sayılar olmak üzere,
a = b, a < b , a > b
önermelerinden yalnız biri doğrudur.
olan kesir daha büyüktür.
6
6
6
6
9
7
5
4
Eşitsizliklerin geçişme özelliği vardır.
— < — < — < —
(x < a ve a < y) => x < y,
(x > a ve a > y) => x > y dir.
III. Pay ve paydası arasındaki fark eşit olan pozitif kesir­
lerin pay ve paydasındaki sayılar büyüdükçe; basit
Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir ve­
kesirlerin değeri artar, bileşik kesirlerin değeri azalır.
ya çıkarılabilir.
1
3
11
— <—
3
5
13
5
7
10
— >—
2
7
4
<
>
17
x < y <=> x ± a < y ± a ,
19
o
11
8
o
Örnek:
£
a
_7_ _8_ _9_
6 ' 5 ' 7
sayılarının pay ve paydası arasındaki
eşitlenecek şekilde kesirler sırasıyla 6, 2, 3 sayılarıy­
la genişletilip sıralanırsa,
36
27
<
21
16
<
10
dır.
a) Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir.
x < y <=> x . a < y . a
x > y <=> x : a > y : a
fark sırasıyla 1, 3, 2 olduğundan, bu farklar 6 da
42
x > y <=> x + a > y ± a
c
b) Bir eşitsizliğin her iki yanı aynı negatif sayıyla çar­
pılırsa veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişir.
x < y <^> x . a > y . a ,
7 < —
9 < 8—
—
tir.
6
7
5
(a>0)
(a<0)
x > y <=> x : a < y : a
Uyarı:
a) x . y < 0 ise, x ile y ters işaretlidir.
Negatif sayılar sıralanırken önce sayıların işareti göz
b) x . y > 0 ise, x ile y aynı işaretlidir.
önüne alınmadan sıralama yapılır. Daha sonra bütün
Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilirler fakat
sayılar - 1 ile çarpılarak sıralama ters çevrilir.
IV. Rasyonel sayılar ondalık sayıya çevrilerek de sırala­
nabilir. İki ondalık sayıdan tam kısmı büyük olan da­
ha büyüktür.
Tam kısmı eşit olan ondalık sayılar sıralanırken ilk ön­
ce sayıların ondalık kısmındaki basamak sayıları,
sayı gibi kabul edilerek sıralama yapılır.
1,95 < 3,72 < 5,1 ; - 3,01 < - 1,94
3,72 > 3,519 > 3,09 (720 > 519 > 090)
- 2,7 < - 2,195 < - 2,03 (- 700 < - 195 < - 030)
(Ondalık sayıların kesir kısmı (virgülden sonraki kısmı)
90
x<y
a< b
x >y
a> b
x+a<y+b
x+a>y+b
0
eklenerek eşitlenir. Bundan sonra ondalık kısım tam­
tam kısımlarıyla aynı işaretlidir.)
çıkarılamaz, çarpılamaz ve bölünemezler.
a, b, c, d € R olmak üzere,
a < x < b v e c < y < d ise,
x.y çarpımı; a.c , a.d , b.c , b.d çarpımlarının en kü­
çüğünden büyük, en büyüğünden de küçüktür.
Sıralama, Basit Eşitsizlikler
Örnek:
- 3 < x < 2 ve - 6 < y < 5
-3 < x <2
6 <y <5
Örneğin, - 3 < — < = > _ — < 2
2
3
olmak üzere,
- 3 < x <2
-5 <-y<6
3
—
(-3).(-6) = 1 8 ,
(-3).5 = - 1 5 ,
2.(- 6) = - 12 , 2.5 = 10
2
4
<=>..,
4
3
3
5
3
4
5
3 . .
— < - — < — < — dır.
2
3
4
2
-8<x-y<
-9 < x + y<7
2
<- — < — < —
olduğundan
REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI
- 15 < x.y < 18 dir.
1. Kapalı Aralık
7.
a ve b birer gerçel(reel) sayı olmak üzere, a < b olsun.
n pozitif bir tamsayı olmak üzere,
.
x<y
«
x
2 n
1
- <y
2 n
-
a ve b sayıları ile bu sayılar arasında kalan bütün re-
1
el sayılar a, b kapalı aralığını oluştururlar ve bu ara­
0 < x < y => 0 < x n < y n
x < y < 0 => x
8.
2 n
>y
2 n
lık [ a, b ] şeklinde gösterilir. Buna göre,
>0
A = { x | a < x < b ve a, b, x reel sayı} ise x e [a, b] dir.
a) 0 ile 1 arasındaki sayıların üssü büyüdükçe, sayı­
nın değeri küçülür.
[a, b] kapalı aralığı
0 < x < 1 =*0<... < x n < . . . < x 2 < x < 1 <x~ 1 < x ~ 2 < . . .
b)
n e Z+-{ 1 }
'<*«*•-H-Tr-H-i)'-
—i<(-ir<-<'<(4) 4 «Krc) n e Z + olmak üzere.
„2n + 1
a, b kapalı aralığından a ve b sayıları çıkarılırsa
ise xn > x tir.
(-1 < x < 0 veya x > 1 )
x<-1
Açık Aralık
olmak üzere,
a, b açık aralığı elde edilir ve a, b açık aralığı
(a, b) şeklinde gösterilir. Bun göre,
A = { x | a < x < b ve a, b, x reel sayı} ise x e (a, b) dir.
o
>-
E
a
(a, b) açık aralığı
3.
2n
<x<0<x
9. x < y < z <=> (x < y ve y < z)
Yarı Açık Aralıklar
a, b kapalı aralığından a ve b sayılarından sadece birisi
çıkarılırsa yarı açık aralıklar elde edilir. Buna göre,
A = { x | a < x < b ve a, b, x reel sayı} ise x e [a, b) dir.
x > y > z <=* ( x > y ve y > z ) dir.
a
b
•
o[a, b) soldan kapalı,
sağdan açık aralık
10. Aynı işaretli sayılar arasındaki sıralama ile bu sayıla­
rın çarpmaya göre tersleri arasındaki sıralama birbiri­
nin zıttıdır.
x . y > 0 olmak üzere,
1
1
x < y <=> — > —
x
y
dir
A = { x | a < x < b ve a, b, x reel sayı} ise x e (a, b] dir.
.
1 1 . Ters işaretli sayılar arasındaki sıralama ile bu sayıla­
rın çarpmaya göre tersleri arasındaki sıralama birbiri­
nin aynısıdır.
x .y<0
olmak üzere,
1
1
x < y <=> — < — dir.
x
y
a
b
-o
>
(a, b] soldan açık,
sağdan kapalı aralık
Uyarı:
- »o veya + °° tarafında kapalı (köşeli) parantez olmaz.
Çünkü ± oo reel sayı değildir. Buna göre,
x > - 3 =» x e [- 3, + oo) ,
x < 5 => x e (-«>, 5 ] şeklindedir.
1.
BÖLÜM
1.
10
x=
z=
7
a+b=-7
4
b+c=-6
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
A)x>y>z
B)z>x>y
D)x>z>y
2.
1
a+c=-5
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
C)z>y>x
E)y>z>x
A)a<b<c
C)
7
16 16
5
B)
16
9
11
32 ' 32
32
B)c<a<b
C)b<c<a
D)b<a<c
3
— < x < y < z < —
olduğuna göre,
8
8
x, y, z sayıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A)
TEST
1
SIRALAMA, BASİT EŞİTSİZLİKLER
D)
7
15
7.
a, b, c pozitif reel sayılardır.
a
a
.
— >— > 1
7
24
24
b
24
5 Jj_
15
40 ' 40
40
E)c<b<a
c
oiduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)a>b>c
21
B)a>c>b
D)c>b>a
48 ' 48 ' 48
C)b>c>a
E)c>a>b
o
3.
a, b, c pozitif reel sayılardır.
8.
- 2 _ - 4 _ - 3
a
b
B)a<c<b
D)b<c<a
4.
ve
2x+5
< 1
olduğuna göre,
c
aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)a<b<c
x <0
A) x < - 1
C)b<a<c
B) x > - 1
D)x>-5
E)c<a<b
9.
x = -0,13, y = -0,135, z = -0,1035
E)-5<x<0
4 < a < b olmak üzere,
b
x =— ,
a
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
C)x<-5
4
y = —
a
z =
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)x<y<z
B)z<y<x
C)y<x<z
A)x<y<z
D)y<z<x
B)x<z<y
D)y<x<z
5.
x <-4
E)z<x<y
olmak üzere,
x+1
b=
x +5
2x
x+4
x+1
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
A)ob>a
B)oa>b
D) a > o b
92
C)y<z<x
E)x<z<y
C)a>b>c
E) b > o a
10.
a < b < 0
ve
c =
a+b
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) c = - 1
B)-1<c<0
D)1<c<2
C)c<-2
E)c>2
Sıralama, Basit Eşitsizlikler
3
x >x ,
11.
y>O,
16.
x.y < O
x.y < y
olduğuna göre,
x
için aşağıdakilerden hangisi
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
doğrudur?
A)x>0
B) x > 1
D)-1<x<0
12. a < b < 0 < c
A)x<0
C)0<x<1
D)-1<x<0
E) x < - 1
B)
1 3 . x ve y
D) a - c
C)
C)x + y < 0
E)-1<y<0
2x + 5
17.
olduğuna göre,
aşağıdakilerden hangisi en büyüktür?
A)
B)y>0
x -5
eşitsizliğini sağlayan x in negatif tamsayı de­
ğerlerinin toplamı kaçtır?
E)
c-b
A ) - 1 5 B ) - 2 1 C ) - 2 8 D) - 36 E) - 45
birer tamsayıdır.
18.
15 — > 3 - 2x
7
-2 <x<3
eşitsizliğini sağlayan x in en küçük tamsayı de­
ğeri kaçtır?
1<y<5
o
olduğuna göre, 2x + y nin en küçük değeri kaçtır?
A) - 3
B) - 2
C) - 1
D) 0
E) 1
c
A) - 7
o
B) - 6
birer pozitif reel sayı ve
x - z
x+3
A) x < - 1
B)z>y
D) y > x
1 5 . x ve y
E) z > x
ve
ve
x +2>0
B)x>-2
D) - 1 < x < 2
C) x > 1
E) - 2 < x < 1
C)x>y
2 0 . Yandaki şekli oluşturan dörtgenle­
I.
rin her birinin içinde a, b, c, d, e
II.
sayılarından birisi bulunmaktadır.
III. IV. V.
Yatay sıradaki dörtgenlerde bulunan
sayıların en büyüğü V., en küçüğü
III. dörtgende; düşey sıradaki dörtgenlerde bulunan
sayıların en büyüğü III., en küçüğü I. dörtgendedir.
birer reel sayı olmak üzere,
10 < x - y < 20
< 2
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin en ge­
niş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
.,
z
> 1 -—
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle
doğrudur?
A)x>z
E)-3
>*
® 19.
1 4 . x, y, z
D)-4
C) - 5
X + y
= 7
olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği en
küçük tamsayı değeri kaçtır?
a < b < c < d < e olduğuna göre, b sayısı hangi
dörtgende bulunmaktadır?
A) 14
A) I.
B)15
C)18
D) 20
E) 21
Cevaplar: 1-B 2-C 3-B 4-C 5-B 6-D 7-B 8-E 9-D
10-D
11-D 12-A
13-D
B) II.
14-C 15-B
C) III.
16-B
D) IV.
17-C 18-B
V.
19-E 20-B
93
BOLÜM
23
1.
y =
27
33
73
77
37
6.
x > y > 2
olmak üzere,
y
x
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamaların hangisi
doğrudur?
B)x<z<y
D)z<x<y
10
A)x<y<z
100
77
z=
B)a>c>b
7.
c
C)y<x<z
doğrudur?
A)a>c
a < 0 olmak üzere,
c
2 " -3
olduğuna göre, aşağıdakiierden hangisi doğrudur?
A)a<b<c
B)a<c<b
D)c<b<a
b
<—+ 1
c
olduğuna göre, aşağıdakiierden hangisi kesinlikle
B)c>a
o
c
-1
E)c>a>b
a, b, c birer negatif reel sayı ve
a+ b
E)x<z<y
a _ b
C)b>c>a
D)ob>a
1000
777
B)z<y<x
D)y<z<x
D) b > a
o
>.
E
«
u.
©
C)a>b
E) b > c
10
. 3
> 3 —
X - 2
4
eşitsizliğini gerçekleyen (sağlayan) x in tamsayı
değerlerinin toplamı kaçtır?
C)c<a<b
E)b<a<c
A) 7
4.
y
2
x
A)a>b>c
E)z<y<x
y=
7
C)y<x<z
olduğuna göre, aşağıdakiierden hangisi doğrudur?
3.
2
u
olduğuna göre, aşağıdakiierden hangisi doğrudur?
A)x<y<z
2.
TEST
2
SIRALAMA, BASİT EŞİTSİZLİKLER
B) 8
C)9
D) 10
a > 0 olmak üzere,
0,125
0,2
, y =__ı_
a
a
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
0,15
x =
9.
x < y < 0 v e
B)y>x>z
z = x +y
olduğuna göre, aşağıdakiierden hangisi doğrudur?
A) z = 1
A)x>y>z
B) z = 2
a.b < 0,
a2.c > 0,
B)a<c<b
0,2.b = 0,3.c
10.
a < b v e c < 0
olduğuna göre, aşağıdakiierden hangisi yanlıştır?
A) 2a < a + b B) a - 2b < - b
C)c<a<b
D)c-b<c-a
D)c<b<a
E)1<z<2
E)y>z>x
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
A)a<b<c
C) z > 2
C)z>x>y
D)0<z<1
D)z>y>x
5.
E) 11
E)b<c<a
E)a<
a + b
C) ac < be
<b
Sıralama, Basit Eşitsizlikler
1 1 . a, b ve c birer tamsayıdır.
-12 < a < b < O
olduğuna göre,
A) 10
12.
ve
c= —
b
c kaç değişik değer alabilir?
B) 11
C)12
D) 13
x
A) 20
C)17
B)19
in tamsayı değerlerinin
D)11
E) 9
1 7 . a > b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi
daima doğrudur?
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğ-
B) c > a.b
B) _ - > _ 3
2
A)2b < 3a
rudur?
D)- < c
' b
koşulunu sağlayan
toplamı kaçtır?
E) 15
b < a < 0 ve a.b > b.c
A)c<0
x - 7 < 2 x + 1 < x + 11
16.
E) 1 - a 2 > 1 - b 2
D) - b > - 5a
C) a < c
C) 1 - a < 1 - b
E) c > a - b
1 8 . Aşağıdakilerden hangisi,
13.
x . y * 0
a < b < c < 0
ve
x<y
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
koşullarına uygun bütün gerçel sayılar için doğrudur?
A)a2>b2>c2
A) xy > y
"^
x
o
C ) A > ± *
b
b
E
B)a3<b3<c3
q>
ti _
„.
,
D) a. c > b. c
1 4 . a ve b
2b
a + b
E)
>
a .
a
n
>
b + c
a
birer tamsayı olmak üzere,
12 < a - b < 18
ve
D) y 2 > x 2
— = 0,05
y
——— = 3
y
1
x
x
E)Ji>7
a
19.
C) x 2 > y 2
B) )C > xy
ve
60 < y < 100
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin en geniş
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 30
B)28
C)25
aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
D) 24
A)2<x<3
E) 20
B)3<x<5
D)6<x<10
15.
-10<x<8
C)3<x<10
E)5<x<20
ve-2<y<10
olduğuna göre, x + y toplamının en geniş aralığı
a3. b6 > 0
20.
ve
a. b+5 . a<0
aşağıdakilerden hangisidir?
A ) ( - 8, 18)
D) (- 2,8)
B ) ( - 1 2 , 18)
C)(-10,2)
E) (-10, 10)
olduğuna göre, b nin alabileceği en büyük tamsayı
değeri kaçtır?
A)-6
. B)-5
C)-4
D)-3
E) - 2
Cevaplar: 1-A 2-B 3-C 4-C 5-B 6-E 7-A 8-A 9-C 10-C 11-A 12-C 13-E 14-C 15-B 16-E 17-C 18-E 19-B 20-A
95
SIRALAMA, BASİT EŞİTSİZLİKLER
1.
6.
a, b, c negatif reei sayılardır.
a ve b
B) b <: a < c
D)a<c<b
5
4
A) 8
B) 7
11
13
8 ' 9
D) 5
E) 4
A)-11
5
7
a bir rakam olmak üzere,
8
-2,1a8
'*->-3*4
x
eşitsizliğini sağlayan x in en büyük negatif tam­
sayı değeri kaçtır?
sayılarının en küçüğü aşağıdakilerden hangisidir?
3.
C) 6
E)c<a<b
7
8
5 ' 7
4
ab + c = 9
C)b<c<a
7.
2.
ve
olduğuna göre, c nin en büyük değeri kaçtır?
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
A)a<b<c
negatif tamsayılardır.
a < 2b
2ab = 3bc = 5ac
™
B)-12
C)-13
D)-15 E)-45
9
ve
-2,159
ondalık sayıları veriliyor.
_2
c
- 2 , 1 5 9 > - 2 , 1 a 8 olduğuna göre, a yerine ya­
zılabilecek rakamların sayı değerlerinin toplamı
kaçtır?
x = yV¥ ve V~8 < y < V32
8.
o
olduğuna göre,
x
için aşağıdakilerden hangisi
kesinlikle doğrudur?
u.
A) 10
C)24
B) 15
D) 30
A)2<x<8
E) 35
B)4<x<6
D)4<x<10
C)1<x<16
E)4<x<8
a+b=x
4.
9.
b+c=y
-3 < x < 2
-4 < y < 1
a+c=z
x<y<z
olduğuna göre, 2x - y
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
A)a<b<c
B)b<a<c
D)c<a<b
C)a<c<b
ifadesinin alabileceği en
küçük tamsayı değeri kaçtır?
A)-7
B)-6
C)-5
D)-2
E) 0
E)c<b<a
1 0 . a, b, c negatif gerçel (reei) sayılardır.
a
x 2 <16
5.
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin en
geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0 < x < 4
B) 0 < x < 2
D) - 4 < x < 4
C) - 4 < x < 0
E)-2<x<2
b a , 2a
<—+ 1 <
c
c
c
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
A)a<b<c
+
B)c<b<a
D)c<a<b
C)a<c<b
E)b<a<c
Sıralama, Basit Eşitsizlikler
1 6 . a ve b sıfırdan farklı doğal sayılardır.
1 1 . x, y, z birer tamsayıdır.
x
3
-
y
>
a sayısının 8 artırılıp, b sayısının 8 azaltılmasıyla
3
oluşan sayıların çarpımı a ile b nin çarpımından
x
x.z = O ve
fazla olduğuna göre, b nin alabileceği en küçük
5.z + 3y = 6
değer kaçtır?
olduğuna göre, x in alabileceği en büyük değer
A) 0
kaçtır?
A)-6
B)-5
C)-3
D)-2
B) 7
C) 9
D) 10
E) - 1
1>a>b>0
17.
ve
c =
E) 11
b - a
a
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
12.
16
A) c = - 1
eşitsizliğini sağlayan x in kaç tane doğal sayı değeri vardır?
A) 4
B)5
D) 16
C)8
D)-1<c<0
— < y <3
5
3ab = 100
olduğuna göre,
a
o
1,2
c
olduğuna göre,
o
tamsayı değeri vardır?
•
A) 3
>-
nın alabileceği değerlerin en
geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
— + —
B)4
toplamının kaç farklı
C)5
D) 6
E) 7
_
A) - 3 < a < 4 B) - 3 < a < 40 C) - 0,3 < a < 4
D) - 4 < a < 0,3
E)0<c<1
1 <x <2
1 3 . a ve b gerçel sayılardır.
1
-— <
b
C) o 1
E) 17
18.
-0,09<
B) c < - 1
1 9 . x, y, z
E) - 40 < a < 0 veya 0 < a < 3
reel sayılar için,
3x + y < z + 10
ve
x-y>z
eşitsizlikleri veriliyor.
14.
Buna göre, x + y toplamının alabileceği en büyük
tamsayı değeri kaçtır?
0 < B+ 2 < 5
2B - A = 2
olduğuna göre,
A) 1
C) 3
D) 4
E) 5
A nın alabileceği değerlerin en
geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A)1<A<3
B) 2
B) - 6 < A < 4
D)-1<A<3
3x.y
20.
d.
C) 0 < A < 1
ifadesinde
E) - 2 < A < - 1
x
2y + 8 = 0
azalarak 4 olmaktadır.
Buna göre, y için aşağıdakilerden hangisi doğru­
dur?
1 5 . - 6 < a < 0 olmak üzere, a 2 + 4a + 1 ifadesinin
birbirinden farklı kaç tane tamsayı değeri vardır?
A) 16
B)15
C)12
D) 11
A) artarak - 2 olur.
B) azalarak 2 olur.
C) artarak 2 olur.
D) azalarak - 2 olur.
E) 10
Cevaplar. 1-B 2-C 3-D 4-B 5-D 6-C 7-C 8-E 9-A
10-C
E) artarak - 4 olur.
11-E
12-B
13-E
14-B
15-A
16-D
17-D
18-C
19-D 20-D
97
.v:\** V~"
1.
x < O
6.
olmak üzere,
x
_
y
_
z
B)z<x<y
D)y<z<x
2.
x > 0
A)x<y<z
C)y<x<z
7.
11
9x
c =
B)c<b<a
D)b<a<c
S
toplamının en büyük
8.
B)-7
A, B, C ve D
C)-8
D)-9
E)-10
bir okulun sırasıyla 1,2,3 ve 4.
A + B + C + D = 104 = 4.B,
A - B = 4,
C<26,
D < 23
olduğuna göre, 3. sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır?
C)x<z<y
E)y<x<z
A) 25
B)24
C)23
D) 22
a, b, c
negatif reel sayılardır.
E) 21
negatif tamsayılar olmak üzere,
b
3a - b
c
olduğuna göre, aşağıdakilerin hangisi daima doğ­
rudur?
B)i>*
c c
A) c 2 < a 2
=
10
13
y =
C)- < c a
3
D) a.b > b.c
E) c > b
100
133
z =
A)x>y>z
D)z>x>y
B)z>y>x
> 03
^
ve
2b - c
.
>2
olduğuna göre, — nin alabileceği en küçük tamc
sayı değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
D) 4
C)3
E) 5
3
1 0 . n pozitif bir doğal sayı ve a, b, c reel sayılardır.
1000
1333
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru­
dur?
98
x +y +z
sınırlarındaki öğrenci sayısını göstermek üzere,
B)y<z<x
a
X
birbirinden farklı negatif tamsayılardır.
A)-6
9.
5.
E)z<x<y
C)b<c<a
0,4
yz
D)z<y<x
x, y, z
olduğuna göre,
değeri kaçtır?
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
a, b, c
C)y<x<z
x - y
y + z
— < 4 <
E)a<b<c
0,25 _ 0,3
xz
xy
4.
B)x<z<y
19
15x
x, y, z pozitif reel sayılardır.
A)x<y<z
b
z= —
a
D)y<z<x
olduğuna göre, aşağıdakilerin hangisi doğrudur?
3.
b
y =—
5
E)x<y<z
b =
A)c<a<b
5
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
olmak Cüzere,
a = 8x
olmak üzere,
x =
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamaların hangisi
doğrudur?
A)x<z<y
5<a<b
C)x>z>y
E)y>x>z
an.b<0,
a.c>0
ve
a-b<0
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle
yanlıştır?
A)a.cn>0
B)a.bn<0
D)a-cn<0
C)a.(b.c)n<0
E)b2n + a . c < 0
Sıralama, Basit Eşitsizlikler
1 1 . a, b ve c
1 6 . x, y, z tamsayılardır.
pozitif reel sayılar olmak üzere,
a.b
b
— >c
5.c
5
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle
doğrudur?
x =
A)x>a
B)a>c
2
olduğuna göre, x - 2y + z nin en büyük değeri
kaçtır?
C)a>b
D) x > b
12.
-2<x<4
-3<y<4
-5<z<5
ve
E) x > c
A) 18
-b<-2
a
C)16
2x - y
17.
c+b<4
B)17
5
ve
D) 15
E) 14
-1 < y < 9
olduğuna göre, c nin alabileceği değerlerin en
geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin en
geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) - 1 < c < 1
A)(-1 , 5)
B)c<2
C)-1<c<0
D)c<-3
D)[1 , 7]
E)2<c<3
E) (3, 12)
a+b-d
a+b
aşağıdakilerin hangisi daima doğrudur?
B) x 5 > y 5
D) x.y > 1
C ) ( - 2 , 3)
1 8 . a, b, c, d negatif gerçel sayılardır.
1 3 . x < y < 0 olduğuna göre,
A) x 2 < y 2
B)(7, 12)
C)->1
y
O
>E
o
E)x + y > - 1 0
<
b+c-d
b+c
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima
doğrudur?
A)a>c
B)a>b
D) b > d
C)b>c
E) o d
1 4 . a, b ve c negatif reel sayılardır.
^
a.b > 3
ve
x =
a.b.c
1 9 . x, y, z birbirlerinden farklı tamsayılardır.
27
| x| + | y | = x + z = 1
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle
doğrudur?
A) 9 . x > 3
C)c > x
B)x > c
D) — < 9
E) 0 < — <
X
|y|+|z|»2
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
A)z<y<x
X
D)y<x<z
1 5 . a, b, c, d negatif gerçel sayılardır.
ad + be
bd
>
B)a<c
D) b < d
C)b<c
E) c < d
C)y<z<x
E)x<z<y
2 0 . a, b, c farklı pozitif tamsayılardır.
ac + bd
ad
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A)a<b
B)z<x<y
a
2
— < —
b
5
b
3
ve — < —
c
2
olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği
en küçük değer kaçtır?
A) 6
B)7
C)8
D) 9
E) 10
Cevaplar: 1-E 2-E 3-C 4-C 5-A 6-B 7-B 8-A 9-C 10-E 11-A 12-B 13-C 14-E 15-A 16-E 17-B 18-A 19-D 20-C
99
1.
BÖLÜM
1.
6.
a bir doğal sayı olmak üzere,
a + 1
x =— — - ,
a + 3
a + 5
y =
,
'
a + 7
z =
B)x<y<z
D)y<z<x
x, y ve z pozitif reel sayılardır.
a + 15
2xy - y + z - 2xz < 0 ve y < z
a + 17
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)z<y<x
TEST
5
SIRALAMA, BASİT EŞİTSİZLİKLER
A) x < —
2
C)y<x<z
B)x>—
2
E)x<z<y
E)x > —
2
D)x > 2
2.
a = (0,5- 0,2)
2
7.
b = (0,5)2 - (0,2)2
x
c = 0,5 -0,2
B)ob>a
D)c>a>b
3.
c < 0
ğeri ile en küçük tamsayı değerinin toplamı kaçtır?
C)a>c>b
A) 6
B) 7
C)8
D) 9
E) 10
E)b>a>c
8.
olmak üzere,
>-
re, bu bankanın uygulayacağı aylık basit faiz oranı (F)
E
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamaların hangisi
doğrudur?
B)b<a<c
x; bir miktar paranın, bir bankaya vadeli olarak açtırı­
lan hesapta kaldığı süreyi (ay olarak) göstermek üze­
o
8a = 3b ve 6b = 11c
A)b<c<a
3
eşitsizliğini sağlayan x in en büyük tamsayı de­
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)a>b>c
C)x<2
yüzde olarak
«
150 + 12.x
6+x
C)a<b<c
bağıntısıyla belirlenmiştir.
D)c<a<b
E)c<b<a
Buna göre, kaçıncı aydan sonra aylık basit faiz
4.
oranı % 15 in altına düşer?
m + n = 0 v e m - n < 0 olmak üzere,
a =
m-n
,
3
b =
m+n
3
,
c =
B)c<b<a
D)a<b<c
5.
x, y, z
9.
z
0,3
0,6
0,9
x ve y
^ -7
A) 2
10-
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
B)y<z<x
D) x < z < y
100
E) 9.
C)z<y<x
E)z<x<y
1
1
x + y
- < _ ,
£_ < 1
x
y
x.y
olduğuna göre, kaç farklı (x, y) ikilisi vardır?
B) 3
C) 5
x.y=
15
A)x<y<z
D) 12.
doğal sayılardır.
5 < x + y < 7 ,
negatif reel sayılardır.
y
C)15.
c
C)b<a<c
E)b<c<a
x
B)1I
3
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Ajc<a<b
A) 20.
n-m
D) 6
E) 7
ve 45 < — < 120
y
olduğuna göre, x in alabileceği tamsayı değerleri­
nin toplamı kaçtır?
A) 15
B)18
C)20
D) 22
E) 24
Sıralama, Basit Eşitsizlikler
x - 3
11
> 3 + Y 10
3 - VİO
1 6 . a, b, c birer tamsayıdır.
a.b.c < 0 ,
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x > 3
B) x < 3
a = 2b ,
b = 3c
olduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaçtır?
C) x > 2
D) x < 2
A ) - 10
E) x > 1
B)- 6
-6<x<2
17.
1 2 . x pozitif bir reel sayı olmak üzere, 3x + 7 ye sayı
doğrusu üzerinde karşılık gelen noktanın başlangıç
C)0
D) 6
E) 10
ve-3<y<4
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlile
noktasına olan uzaklığı 12 birimden küçük değildir.
doğrudur?
Buna göre, x in farklı üç tamsayı değerinin top­
lamı en az kaç olabilir?
A)-12<x.y<8
B)-6<x.y<8
A) 3
C)-24<x.y<18
D)8<x.y<18
B)4
D) 6
C)5
E) 9
E)-
13.
= 6
ve
0 < 2x < 3 < y
18. — — — = 2
3y
olduğuna göre,
— in alabileceği değerlerin en
x
geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
B)
C)(-f ,2;
3
D)[T.2l
ve x 3 . y 2 < 0
A) x > y
B) x < y
>E
«
D)y < - 8
3x - 1
C) x > 1
E)x.y < 0
E)(T,2l
1 9 . a liraya alınan bir mal
14.
olduğuna göre,
aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
o
c
o
A)(T.2]
3<x.y<8
b
iiraya satılmaktadır.
b = 3 a - 1440
. ^ 7x + 2
< x + 2 <
olduğuna göre, satıştan kâr edilebilmesi için a nın
eşitsizliğini sağlayan
x
alabileceği en küçük tamsayı değeri kaç olmalıdır?
in tamsayı değerlerinin
toplamı kaçtır?
A) 680
A) 15
B) 13
D) 9
C) 10
B)681
C) 720
D) 721
E) 1441
E) 7
2 0 . Bir a doğal sayısı - ü kadar arttırıldıktan sonra elde
4
1
edilen sayı — ü kadar azaltılıyor.
1 5 . a, b, c reel sayılardır.
a
c = —
b
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Bulunan değer b olduğuna göre, aşağıdakilerden
A)a<b<c
A) a > b
b =
B)b<c<a
D)a<c<b
Cevaplar. 1-B
2-B
3-A
4-D
hangisi her zaman doğrudur?
C)c<a<b
E)b<a<c
5-C
6-B
7-B
8-A
B)a<b
D)a + 4 = b + 3
9-B
10-D
11-D
12-E
13-A
14-C
15-C
16-A
C)a = b
E)a + 3 = b + 4
17-C
18-B
19-D
20-A
101
«&â
UM
ÜST
SIRALAMA, BASİT EŞİTSİZLİKLER
•i . ' V
Iş^ÖŞteŞf ^Ş:* f f . v ^ l f ^ v ^ *
1.
1
a
~2~
1
b
c
3
1
~6~
1
+
5
6.
5
+
3
—
1
+
8
nek sunmuştur.
1
+
I. Her ürün için % 20 indirim
7
II. 30 milyon TL üzerindeki alış verişlerde,
1
—
"30 milyon TL + 30 milyon üzerindeki miktarın yarısı
10
ödenir."
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)a<b<c
B)c<b<a
D)c<a<b
2.
x, y, z
Bu mağazadan x TL lik alış - veriş yapan bir müşte­
ri II. seçeneği tercih ettiğine göre, x için aşağıdaki­
C)b<c<a
lerden hangisi doğrudur?
E)a<c<b
A)x>5.107
negatif reel sayılardır.
12
x . y = — ,
7
13
x.z= —
8
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
B)y<z<x
D)x<z<y
3.
x, y, z
a
c
E)z<x<y
0,6
0,5
0,8
x
2y
3z
E)3.107<x<108
a= 101.100.99,
b = 100.(101)"
c = (100) ,
d = 100.(99r
A)b>d>c>a
B)d>c>b>a C)a>d>b>c
D)b>c>a>d
o
E)a>b>d>c
>~
E
o
8-
x, y, z birbirlerinden farklı tamsayılardır.
x
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
B)x<z<y
C) x > 10 8
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
C)z<y<x
negatif reel sayılar olmak üzere,
A)x<y<z
B)x>7,5.107
D)3.107<x<7,5.107
16
y . z = — ,
11
A)x<y<z
Bir mağaza, müşterilerine ö d e m e biçimi için iki seçe­
2
-y<0,
olduğuna göre,
C)y<z<x
x.y <0 ,
x - y + z
x.z>y. z
ifadesinin alabileceği
en büyük değer kaçtır?
D)z<x<y
E)y<x<z
A) - 4
4.
6 < a < b < c olmak üzere,
x =
9.
y =
'
6
6 '
z =
x, y ve z
B)z<y<x
C) 0
C)z<x<y
5.
a3 < a5 < a2
doğrudur?
D) y < x
10. x<0
olduğuna göre,
1001
B)-
101
D)
102
100
101
B)z<x
E)x = y = z
a sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
1000
C)-
999
E)
100
99
y - z
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle
A)x<z
D)y<x<z
E) 7
D) 4
negatif sayılardır.
x - z
2c
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)x<y<z
B) - 5
ve
C)x<y
E) z < y
— + x = 2
y
olduğuna göre,
aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?
1000
1001
A)y > 0
B)x.y <0
D)y-x>y + x
C)y >
E) — > —
y
y
Sıralama, Basit Eşitsizlikler
11.
16.
- 1 <X <3
y + 3x
4
= 1
2
D) 13
C)6
B)3
3
olduğuna göre, x . y çarpımının en büyük değeri ile en küçük tamsayı değerinin toplamı kaçtır?
olduğuna göre, y nin alabileceği tamsayı değer­
lerinin toplamı kaçtır?
A)0
-3<x<2
-1<y<2
A) 80
E) 15
B) 72
C) 68
E) 64
D) 66
17.
2
1 2 . a < a < | a | ve b < | b | < b
2
olmak üzere,
x - x.y < y - x
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğ-
aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
A)a.b<0
B)a.b<b
rudur?
C)a + b < - 1
D)a.b>1
A) x < y
E) a - b > 1
C) 0 < y < 1
B) x > y
D)y<0
13.
E ) - < 1
y
-4<x<3
1 8 . A ve B
-2<y<1
olduğuna göre, x2 - y3 ifadesinin en büyük tamsayı değeri kaçtır?
pozitif reel sayılardır.
x2 - y2 < A
_2
B - y <x
o
A) 18
B)20
C)21
D) 23
E) 24
>-
olduğuna göre, x - y farkı en çok kaç olabilir?
«
©
14.
a 3 < a < a 2 ve b2 - b < 0
A)A-B
B)A.B
B)a.b>-2
C)-Ş-+—< 0
b a
E) a - b < 0
D) a.b > 0
A
B
D)A
+
B
E)
A
1 9 . x < 0 < y olduğuna göre,
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima
doğrudur?
A)a + b > 0
C)—
x+y
y
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz?
A) - 5
B) -
C)0
D)
E)
2 0 . Bir adamın günlük ulaşım harcaması için iki durum
15.
vardır.
ae [ - 2 , 3)
be ( - 3 , 2]
I. durum: (3.A - 10) milyon TL
II. durum: (5.A - 20) milyon TL
olduğuna göre, —-—~ '
ifadesinin alabileceği
en küçük tamsayı değeri kaçtır?
A)-8
B)-7
C)-6
Cevaplar: 1-B 2-A 3-B 4-B 5-C 6-A
D)-5
E) - 4
II. durumdaki harcaması daha avantajlı olduğuna
göre, A değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 4,5
B) 4
7-D 8-B 9-D 10-E 11-C 12-C 13-D 14-C 15-B
C)3,9
16-E 17-A
D) 3,5
E) 3
18-C 19-E 20-A
103
1.
BÖLÜM
1.
x
1
2
1
— <
< —
5
2x - 5
3
eşitsizliğini sağlayan x in tamsayı değerleri kaç
negatif reel sayıdır.
f= _ 3 + — .
15
e =- 3 + — ,
10
m = - 3 + —
5
tanedir?
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)m<e<f
B)f<e<m
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
C)e<f<m
D)m<f<e
2.
TEST
7
SIRALAMA, BASİT EŞİTSİZLİKLER
E)e<m<f
7.
x ve y
reel sayılardır.
- 4 < x <2
a > b > c olmak üzere,
-3 < y<4
a+b=x,
b+c=y,
a+c=z
olduğuna göre,
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru­
dur?
A)x<y<z
B)y<z<x
D)z<x<y
a, b, c
A)-32
C)z<y<x
b
1
ve
" 1,T
ö.
C)-8
c
2,2
a
3
B)b<c<a
D)b<a<c
a = -
21
I yol: 4x + 25 km
III. yol: 5x + 27 km
En kısa mesafe I. yol, en uzun mesafe III. yol oldu­
ğuna göre, x in alabileceği değerler en geniş hangi aralıktadır?
C)c<a<b
A) x > 1
E)a<c<b
b = -
41
B) x < 2,5
37
B)c<a<b
C) 2,5 < x < 7,5
E) 1 , 5 < x < 3
23
c =s
19
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)c<b<a
E) 16
II. yol: 2x + 30 km
D) 1 < x < 2 , 5
25
D) 0
Bir köyden ilçeye üç farklı yoldan gidilebilmektedir.
o
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)c<b<a
B)-16
E)x<z<y
negatif reel sayılardır.
_a_
nin alabileceği farklı
tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?
"^
3.
x2 - y2
9.
Bir sayının 4 katının bir fazlası, 5 eksiğinin yarısın­
dan küçük değildir.
C)a<b<c
Buna göre, bu şartı sağlayan farklı iki tamsayının
D)b<a<c
E)b<c<a
toplamı en az kaçtır?
A) 4
5.
x, y, z
5
xy = — ,
9
1
xz = — ,
4
C)2
D)0
E)-1
5
yz = —
3
10. x < - 1
ve xy < x - y
olduğuna göre,
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A)x<y<z
A) y > 1
B)z<x<y
D)x<z<y
104
B)3
pozitif reel sayılardır.
C)y<z<x
E)y<x<z
B) y < - 1
D)y<-3
E) y < 1
C) y < 0
Sıralama, Basit Eşitsizlikler
16.
1 1 . a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,
1 < b < 5
a < b olduğuna göre, aşağıdakilerin hangisi
kesinlikle yanlıştır?
A) a2 < b2
D)JL>1
a2
olduğuna göre, ab - a + b ifadesinin alabileceği
en büyük değer kaçtır?
C) a3 < b3
B) a.c < b.c
-3 < a < 2
A) 17
B)16
b2
1 7 . a > b > c > 0 ve x, y, z negatif reel sayılardır.
a.x = c.y = b.z
aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
IV. a.b > b2
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
III. a3 < b3
II. — < a
b
A)x<y<z
V. 2a > a + b
B) 2
E) 13
b
1 2 . - 1 < a < b < 0 olduğuna göre,
A) 1
D) 14
E)-5->i-
a
I. a2 > b2
C) 15
C) 3
13. - — < a < b < c < - —
4
2
D) 4
B)x<z<y
D)y<x<z
C)y<z<x
E)z<y<x
E) 5
1 8 . m, n, r gerçel (reel) sayılardır.
olduğuna göre,
3 < m < 9 ve n > r + 6 olmak üzere,
O
(3a + 4b + 5c) ifadesinin alabileceği kaç farklı ç
tamsayı değeri vardır?
£•
>-
m.n2 - m.r2 < 73 olduğuna göre, n + r toplamı­
nın alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?
A) 21
A) 7
B)20
C)15
D) 14
E) 9
J
B)5
C)4
D) 3
E) 2
u.
©
a - 2 <!—î- < a + 3
2
x + y = 2a
14.
olduğuna göre, y nin alabileceği değerlerin en
geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A)-1<y<4
B)-4<y<6
D)-2<y<6
C)-8<y<2
1 9 . a alış , s satış fiyatı olmak üzere, bir tüccar satışların­
da iki farklı uygulama yapmaktadır. Satış, s = 5a - 40
bağıntısına göre yapıldığında s = 4a + 10 bağıntısına
göre yapılandan daha kârlı çıkılmaktadır.
Buna göre, a nın alabileceği en küçük doğal sayı
değeri kaçtır?
A) 48
E)-2<y<0
B)49
C)50
D) 51
E) 52
15. t > 1 eşitsizliğini sağlayan en küçük t reel sayı değeri için,
x=4+t
y = 2 + 2t
z = 6-t
20. — < a < b < c < 9
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)x<y<z
B)x<z<y
D)y<z<x
Cevaplar: 1-A
2-B
3-D
C)z<y<x
E)y<x<z
4-B
5-D
6-D
7-D 8-D
2
3
— + — +
a
b
toplamının alabileceği kaç
vardır?
A) 7
9-E
10-A
olduğuna göre,
1-E 12-C
13-D
B)6
14-C
4
—
c
farklı tamsayı değeri
C)5
15-D
16-E 17-C
D) 4
18-C
E) 3
19-D 20-D
105
MUTLAK DEĞER
BOLUM
TANIM
Sayı doğrusunda bir sayının belirttiği noktanın başlan­
gıç noktasına (0 m belirttiği noktaya) olan uzaklığına
bu sayının mutlak değeri denir, a nın mutlak değeri
| a | şeklinde gösterilir. Buna göre,
5. ||x|-|y||<|x + y | < | x | + |y|
6. f(x) = | ax + b | + | cx + d | + | ex + f | + ...
ifadesinin alabileceği en küçük değer,
V
0,
a = 0 ise
a,
a > 0 ise
Mutlak Değerli Denklemler
şeklinde ifade edilir.
•
1. |f(x) | = 0 =* f(x) = 0 dır.
V a e R için, | - a | = | a | > 0 dır.
Örneğin, | 0 | = 0,
•
|3| = | - 3 | = 3 tür.
2. a e R
•
|x + 1| = 3 = * x + 1 = 3 veya x + 1 = - 3
=> x. = 2
| f(x) | = - f(x) ** f(x) < 0 dır.
o
| 2 x - 6 | = 2 x - 6 => 2x - 6 > 0 => x > 3
E
| 3x - 15 | = 15 - 3x => 15 - 3x > 0 => x < 5 tir.
=> x2 = - 4
* | kx + m | = a denkleminin kökler toplamı
4x + 10 I = 1 denkleminin kökler toplamı
o
*
Örnek:
ler toplamı
•
f(x) fonksiyonu için,
sağlayan x değerlerinin
en geniş aralığını bulalım.
1. — | x | < x < l x | ,
| x | >x <=> x < 0 dır.
2. | - x | = | x | > 0 ,
i x - y | = | y - x ( tir.
İyi
(y * 0) dır.
4. n e Z olmak üzere,
| x 2 n | = | x | 2n = x 2 n dir.
*
n e Z+ olmak üzere,
•
V(-3)4=|-3| =3,
2n
- k
dır.
=- 2
...
dır.
| 3x - 2 | + 1 = 0 => | 3x - 2 | = - 1 .=» Ç = 0 dir.
Mutlak Değerin Özellikleri
JüL
= - 5,
3. a e R~ ise | f(x) | = a denklemini sağlayan hiçbir reel
sayı değeri yoktur. Ç = 0 dir.
| f(x) | = - f(x) > 0 => f(x) < 0
olduğundan, => - 2 < x < 3 olur.
x-y l = |x|. |y | ,
-2.10
| 3x - 5 | + | 3x + 11 | = 17 denkleminin kökler toplamı
-5+11
| f(x) | = - f(x) şartını
2m
ikx + m| + !kx + n| = a > | m - n | denkleminin kök-
Şekilde grafiği verilen
106
olmak üzere,
olduğundan, Ç = { - 4, 2 } dir.
| f(x) | = f(x) o f(x) > 0
| x n | = | x |n ,
Ç = {3}tür.
| f(x) | = a =* (f(x) = a veya f(x) = - a) dır.
Uyarı:
•
| x - 3 | = 0 = > x - 3 = 0 =^x = 3,
+
Örnek:
x > y ise | y - x | = - (y - x)
(y - x < 0)
=$ | y — x j = x - y dir.
•
değerlerinin en
f(-—M(-—),*(-—),
a
c
e
küçük olanına eşittir.
a < 0 ise
1a|=
(Üçgen Eşitsizliği)
x 2 n = | x | tir.
V ( x - 2) 2 = I x - 2| dir.
4- I f(x) | = | g(x) | => f(x) = g(x) veya f(x) = - g(x) tir.
| 2 x - 1 | = |x + 4|=»
2x*-1=x + 4 veya 2 x - 1 = - x - 4
x1=5
=> X 2 = olduğundan, Ç = { - 1, 5 } tir.
1
* Bu tip denklemlerin çözümü, iki tarafın karesi alınarak
da yapılabilir.
Mutlak Değer
Örnek:
•
2
| 2x - 3 | = | x | => (2x - 3) = x
|2x-4| + 1 < 1 = > | 2 x - 4 | < 0
=> 2x - 4 = 0
2
=> x = 2 ise, Ç = { 2 } dir.
2
=> 3x - 12x + 9 = O
+
3. a € R olmak üzere,
|f(x)| > a => f(x) > a veya f(x) < - a dır.
2
=* x - 4x + 3 = O
=> ( x - 3 ) . ( x - 1 ) = 0
x =1,
x =3 ve Ç = { 1 , 3 } tür.
olduğundan;
x - 1
x - 1
>1
1
V
eya
< - 1
5. | f(x) | = g(x) denkleminin çözüm kümesi bulunurken,
f(x) = g(x) denklemi ile f(x) = - g(x) denklemi çözü­
=> x - 1 > 2
=> x - 1 < - 2
lür. Bu iki denklemin köklerinden g(x) i negatif yapma­
=> x > 3
=> x < - 1
yanlar çözüm kümesinin elemanlarıdır.
Ç
Ç2 = ( - - • - 1 ]
olduğundan,
Örnek:
| 2x + 3 | + 1 = 3x => | 2x + 3 | = 3x - 1 =>
2x + 3 = 3x - 1
=> x. = 4
x =4
x =
• a e R~
veya 2x + 3 = - 3x + 1
veya
2
x„2 = - —
5
için 3x - 1 > O
[3, + «
Ç = Ç1 u Ç = ( - « > , - 1 ] u [ 3, + °° )
| f(x) | > a eşitsizliği, x in bütün reel sayı
değerleri için sağlanır.
olarak bulunur.
Ç = R dir.
|2x + 5| + 1 > 0 = » | 2 x + 5 | > - 1 =>Ç = R dir.
4. a, b e R+
olduğundan 4 e Ç,
2
1 =
olmak üzere,
a < | f(x) | < b =» - a > f(x) > - b veya a < f(x) < b dir.
2
için 3x - 1 < 0 olduğundan
i Ç dir.
o
o
Buna göre, denklemin çözüm kümesi Ç = { 4 } olur.
Örnek:
1 < | x + 3 | < 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Uyarı:
Mutlak değerli bütün denklemlerin çözümünde mutlak
değerli ifadelerin içinin işaret değiştirdiği noktalara göre,
1 < x + 3 < 5 veya -1 >x + 3 > - 5
o
c
-2<x<2
o
veya - 4 > x > - 8
olduğundan, Ç = (- 8, - 4 ] u [ - 2, 2 ) olur.
ayrı ayrı her aralıkta mutlak değerli ifadeler mutlak de­
>.
ğerden kurtarılarak genel çözüm yapılabilir.
E
5.
u_
6. | f(x) | < g(x) => - g(x) < f(x) < g(x) tir.
Örnek:
| x - 21 = 2x + 1 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
@
| f(x) | < | g(x) | =* [f(x)] 2 < [g(x)] 2 dir.
Burada, g(x) > 0 şartı da sağlanmalıdır. Bu şartı sağ­
lamayan değerler çözüm kümesinden çıkarılır.
x - 2 > 0 => x > 2 için,
x - 2 = 2 x + 1 => x = - 3 > 2
olduğundan Ç 1 = 0,
x - 2 < 0 = > x < 2 için,
1
2 - x = 2x + 1=>x = — <2
Örnek:
| x - 5 | < 2x + 3 => - 2 x - 3 < x - 5 < 2 x + 3
1
olduğundan Ç = { — }
O halde, Ç = Ç1 u Ç2 = { -J- }
=> - 4 x - 3 < - x - 5 < 3
^> -4x + 2 < - x < 8
tür.
=>
4x-2>x>-8
=>
4x-2>x
olmak üzere,
| f(x) | < a «=> - a < f(x) < a dır.
| 2x — 1 | < 3 => - 3 < 2x - 1 < 3
=> - 1 < x < 2
2. a e R " olmak üzere,
x>-8
x> — v e x > - 8
3
Mutlak Değerli Basit Eşitsizlikler
1. a e R+
ve
ve
2x + 3 > 0 => x >
şartlarının hepsini sağlayan
x değerlerinin kümesi,
Ç = [ — , + °°
olur.
olur.
| f(x) | < a => Ç = 0 dir.
Örneğin:
•
|3x-2| + 4 < 0 = > | 3 x - 2 | < - 4
=» Ç = 0 dir.
107
1BÖLÜM
1.
TEST
1
MUTLAK DEĞER
6.
I-5 + 4 - I 2 - 3 | + 1 I
x < 0
olmak ü
üzere,
2 + I x-3 I
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
E) 4
A)-x
B)2x
C)5
x ve y
tamsayıdır.
D)5-2x
E) 2x - 5
| 7 - 9| - | 3 + 2 . ( - 3 ) |
2.
11 +1 - H
7.
işleminin sonucu kaçtır?
B) - 1
A)-
3.
+x
C) 0
E
D)
x<|x | ,
»f
|y| = y
olduğuna göre, x in en büyük değeri ile y nin
en küçük değerinin toplamı kaçtır?
A) - 2
x < O < y olmak üzere,
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 2
|y + 5| - | x - 5 i
O
>-
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)y-x-10
B)y-x
C) x -y
D)x + y
E
o
8.
a < | a | ve a.b < 0 olmak üzere,
|a-b| - |b+l |
E)y + x+10
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) a + b + 1
B) b + 1
D) - a - 1
4.
0<a<b
C) a + 1
E) - a - 2b - 1
olmak üzere,
|a-b|-|b|+|a|
9.
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)0
B)a
C)b
D)a + b
| x - 3 | + |y + 1 | = 0
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
E) 2 a - 2 b
A)-3
5.
Q0
D)1
E) 3
a < O < b olmak üzere,
10.
|-a|+|b-a|-|b|
A)a + b
B)2b
— —
C) 2a
D)-2b
| a - 2 | + |2a-b + 1 |
ifadesi en küçük değerini aldığında b nin değeri
kaç olur?
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
108
B)-1
E)-2a
A) 1
B) 2
C)3
D)4
E) 5
Mutlak Değer
11.
16.
| x - 2 | = | 2x + 5 |
|x + 3 | < 2
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
eşitsizliğinin çözüm aralığı (kümesi) aşağıdakiler­
gisidir?
den hangisidir?
A){-1,7}
B){-1,-7}
D){1,-7}
12.
A) [ - 5, 1 ]
C){1,7}
D) ( - 5 , - 1 )
E){0,7}
17.
|2x + 1 | = 3
B){-2,-1}
D){1}
A) - 1
C){-2,1}
C) 1
B) O
1
D)2
E) 3
E) { 1 , 2 }
olmak üzere,
3x + 5
|x| - 2
j x| — 1
|2x + 4|
B)
C
<O
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
İ2x + 2|
gisidir?
£
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
E) [ - 5 , - 1 ]
| 2x - 3 | = 3 - 2x
18.
13. - 2 < x < - 1
C) ( - 5, - 1 ]
eşitliğini sağlayan x in en büyük tamsayı değeri
kaçtır?
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
A){-2}
B) [ - 5, - 1 )
1
>İ
2
D
^
E
2
5
>o
2
©
A)0
B){-2)
C)J--J
x - 3
HO
19.
D) { 2 }
E){
> 1
eşitsizliğinin çözüm aralığı (kümesi) aşağıdakiler­
14.
den hangisidir?
| x | + |3x | + |5x | = 18
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) { - 2 }
B) { - 2, 0 }
A) x < 1 veya x > 5
B) x < - 1 veya x > 5
C)-1 <x<5
D) 1 < x < 5
C) { 0, 2 }
D) { - 2, 2 }
E) x < 1 veya x > 5
E) { 2 }
20.
15.
| x - 5 | + | 5 - x | = 2002
eşitsizliğinin çözüm aralığı (kümesi) aşağıdakiler­
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaç­
tır?
A) 8
B) 10
C) 15
D) 20
> 0
E) 24
den hangisidir?
A) ( - », 0 )
D)[1,~)
B) (0, - )
C) R
E)(-~,-3)
Cevaplar: 1-8 2-B 3-D 4-A 5-E 6-C 7-B 8-D 9-A 10-E 11-8 12-C 13-E 14-D 15-B 16-E 17-C 18-A 19-E 20-C
109
1.
MUTUK DEĞER
<<&
1.
6.
a < 0 < b olmak üzere,
TEŞT
•^..»»-.
| x | + | 2x | + | - 2x | = 25
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaç­
tır?
|a-b|-|2a|-|b|
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) - 25
A)-3a
2.
B)-a
C)3a-2b
D) 2b-3a
x < O < y olmak üzere,
7.
|3-x|-|-3-y|
E) 25
x+2|+3|=6
denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaç­
tır?
A)x-y-6
A) - 5
By-x + 6
C)-x-y
B) - 4
D) 4
C)1
E) 5
E) 6
S
x < y < z olmak üzere,
ÎS
x+6
8.
o
>-
|x-y | + | y - z | - | z - x |
E
=x
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) 2x - 2z
A) { - 2 }
B) 2y - 2x
D) O
4.
D) 5
C)0
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
D) x + y
3.
B) - 5
E) a
C) 2z - 2x
B) { - 2, - 6 }
D) { 2, 6 }
E) x - y
C) { - 2, 6 }
E) { 6 }
- 3 < x < 2 olmak üzere,
2x + | x j - 6 = O
|x + 3| + | x - 2 |
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) - 5
A) { 2 }
B) 5
D) 2x - 5
5.
C) 2x + 1
E) - 2x - 1
D) {2, 6}
C) { 2, - 6 }
E) { - 2 , 6}
x > 5 olmak üzere,
10.
| 1 + | |x + 2 | - 7 | - x |
110
B) { 6 }
|x|<2 ve x - 2y - 3 = O
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
olduğuna göre, y nin alabileceği tamsayı değer­
lerinin toplamı kaçtır?
A) 4
A)-6
B)x
C)2x
D)2x-4
E) 6 - 2x
B)-5
C)-4
D)-3
E) - 1
Mutlak Değer
11.
16.
|x + 3 | + | x - 2 y + 1 | = 0
olduğuna göre, y kaçtır?
|x-3| + |6-2x|<0
. eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) - 3
B) - 1
C) 1
E) 4
D) 3
C) (0, 3 )
B){3}
A)0
E)R
D) (3, 6)
12.
| 2x - 4 | + | x - 1 |
17.
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
d
x - 5| x | - 6 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
E) 4
A){-1,6}
B){-6,1}
D) { - 6 , 1 , 6 }
13.
C ) { - 6 , - 1 , 1,6}
E) { - 6 , 6 }
x+1I=Ix-2
18.
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
2x - 1 | + | 3 - 6x | = 197
denklemini sağlayan
B)2
A)
D)1
C)
E)
^
2x - 1
(l
B)
D)
19.
\ 2 4j
4x + 1
15.
1_ 1_
4'2
1,1)^(1,31
4 2/
C)
B»!l)
D) 197
E) 394
E )
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
4'4
D)(-j.1
\4 Af
20.
D) 0 E) R
c>!-i)
<
3 3
( l , 3^|
> - 1
C) j 1 j
|x| + |2x| + |3x| + ... + | 21x| = 77
1 1
eşitsizliğinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
*>{-;)
değerlerinin toplamı
>4
eşitsizliğinin çözüm aralığı (kümesi) aşağıdakiler­
den hangisidir?
A)
C)4
B)2
A)1
14.
x
kaçtır?
E)
{-'•£}
3 < | x 2 + 1 |<13
eşitsizliğini sağlayan x in tamsayı değerleri kaç
tanedir?
A) 2
B)3
C)4
D) 5
E) 6
Cevaplar. 1-E 2-C 3-D 4-B 5-A 6-C 7-A 8-E 9-A 10-D 11-B 12-B 13-E 14-D 15-E 16-B 17-E 18-A 19-A 20-C
111
1.
BÖLÜM
1.
x
2
40
< x olmak üzere,
x + 2 + x + 1
kesrinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
lx - 11
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
3
A) x - x
2
B) 1 - x
A) 40
B)20
C)10
D) 8
E) 5
C) x - 1
D)-x"
E)x^
7.
2.
TEST
3
MUTLAK DEĞER
|x + 3 | < 2
ve
|y| < 3
olduğuna göre, x - 2y ifadesinin alabileceği en
küçük tamsayı değeri kaçtır?
a 3 .b 2 > O , b.a > O , a.b.c < O olmak üzere,
A)-11
| a + b-c| - | c-b|
B)-10
C)-8
D)-5
E) 4
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) a
B) b
C) c
D) a - b
E) a + c
8.
D
3.
2x - 1
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
a.b < | a.b | ve | a - b | = b - a olmak üzere,
u.
Ib-a| - |a|-|-b|
= X - 2
A)
7
B)(-,5
C){5}
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2a
B)2b
O-2b
3x - 1
4.
x - 2
D)-2a
D ) {
E) 0
9.
| x - 1 | - | 2x + 1 |
B ) ( ^ , a!]
D)R
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaç­
tır?
A)-5
B)-4
|
x
A) 6
B) 1
E) - 1
D) - 3
<0
eşitsizliğinin çözüm aralığı (kümesi) aşağıdakiler­
den hangisidir?
x.y.z çarpımı kaçtır?
C) - 2
x + 11 + x
| 2 - x| - 1
E) - 6
A) [ - 3 , - 1 ]
D) ( 1 , 3 )
112
D)-2
E)R-{2}
- 3 | + | y - 1 | + |z + 2 | = 0
olduğuna göre,
O)-3
C){a!,2}
10.
5.
=0
> 1 - a!
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
A){a!,^}
E)(--,5
|
B)(-3, - 1 )
E) [ 1 . 3 ]
C)(-3, 3)
Mutlak Değer
11
16.
| 2x + I x I | = 2
denklemini sağlayan
|x + 1 | + | x — 2 | + |x + 2 |
toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
x değerlerinin toplamı kaç­
tır?
A) 3
*-±
A)- 4
12.
D)
C)0
gisidir?
C) R~
D) { 0 }
A) { - 5 }
E) 0
B) { 1 }
D) { - 5 , 1 }
13.
b-a = 4
ve |x + a - 3 | + | b - y - 2 | = 0
18.
o
c
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 7
B)6
C)5
D) 3
E)1
C) { - 1, 1 }
E) { - 5, 5 }
5| x - 2 | + 7 | 4-2x | = 10!
o
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaç­
tır?
E
A) 2.10!
>g>
14.
E) 7
D) 6
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
B) R+
C)5
|x + 2 | 2 - | x + 2 | - 6 = 0
17.
| x^ + | 2x | | < 0
A) { - 2, 0 }
B)4
E)
B) 1 0 1 - 1
C) 8
D) 6
E) 4
|x| + | y | = 4
19.
x - y = 2
A = |x + 4 | - [ x - 3 [
olduğuna göre, A nın alabileceği kaç farklı tam­
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
sayı değeri vardır?
A) 3
B)4
C)5
D) 6
E) 8
A) 12
15.
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
|x-2| = | x- 1 |+ 1
1 < ! x2 - 1 | < 15
20.
denkleminin çözüm aralığı (kümesi) aşağıdakiler­
den hangisidir?
A) (-<*>, 1)
eşitliğini sağlayan x tamsayı değerleri kaç tane­
B M - - , 1]
D) ( - »o , 2 ]
Cevaplar: 1-E 2-A
3-E 4-E 5-E 6-A
C)(
dir?
, 2
A) 3
E) R
7-B 8-C 9-D
10-D
11-B
12-D
13-C
B)4 '
14-A
15-B
C)5
16-B
17-D
D) 6
E) 7
18-E
19-C 20-C
113
\-.WT..."
x - 2
x - 2
6.
- 1
•
.." x •'•£;**•''':
a < 0 < b olduğuna göre,
2.|b-a|
ifadesinin alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır?
A) 15
B) 12
C)8
D) 5
b + |a||
E) 3
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) - 2a
2.
1 < —
1 < —
1
—
a
b
c
7.
olduğuna göre, |b-a + c| + | b - c | + j - a | ifa­
desi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B)-2a
C)-2b
C) 2(a - b)
D) 2
a, b, c negatif reel sayılardır.
A)a-b
B) 2b
D)-2c
E) - 2
8 < |2x - 4 | < 12
eşitsizliğini sağlayan x tamsayı değerlerinin top­
lamı kaçtır?
E)b-c
A) 14
B)12
C)8
D) 4
E) 0
o
c
3.
x ve y birer tamsayıdır.
1
2x - 1
+
£ 8.
«
eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaç­
tır?
©
olduğuna göre, x.y çarpımının alabileceği en bü­
yük değer kaçtır?
A) - 2
B) - 1
C)1
|x|+|x-6| = 8
E
2
=1
4y + 11
D) 3
A) 9
a<|a|<a
E) 5
ve a.b < b
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima
doğrudur?
Buna göre, bu sayı kaçtır?
A) | a | < b
B) - 2
C) - 1
D) 1
| 3x - 2y | ifadesinin en küçük değeri için
10. x
B)1
C)
o,-l
C)a>2|b|
E)|a-b| > 1
bir tamsayıdır.
| | | 2x + 3 | + 2|-5 | < 1
denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaç­
tır?
A) 3
B) | a | > | b |
D)2|a| + b < 0
E) 3
| 3x - 1 | + | 2y - 1 | = 4
114
D) 6
Bir sayının 0 (sıfır) a olan uzaklığı, kendisinin iki ka­
tının üç fazlasına eşittir.
A) - 3
5.
C)7
E) 9
9.
4.
B)8
E)-1
eşitsizliğini sağlayan x değerleri kaç tanedir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mutlak Değer
11.
1 6 . (1 - 3x) sayısının, sayı doğrusunda başlangıç nok­
tasına olan uzaklığı en çok 8 birim olduğuna göre,
x kaç farklı tamsayı değeri alabilir?
4x+|x-2| + 7 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) 3
A){-3}
B){-1}
D)(-3,-1)
x + 1|
E) 7
C)0
D)-2
| x - 3x - 4 | < | x + 1 |
eşitsizliğini sağlayan x in tamsayı değerleri kaç
tanedir?
=2
A) 3
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaç­
tır?
B)2
D) 6
E)[-3,-1]
x + 1| -
A) 4
C)5
C){-3,-1}
17.
12.
B)4
C)5
B)4
D) 6
E) 7
E) - 4
1 8 . a ve b tamsayıdır.
13.
x| - 5
<0
x - 3|
-5 < a < 2
1 < b < 6
eşitsizliğini sağlayan x in tamsayı değerleri kaç
tanedir?
A) 9
B)8
C)5
14.
D) 4
E) 3
c
^
o
>E
olduğuna göre, b -1 a | ifadesinin alabileceği en bü­
yük değer ile en küçük değerin çarpımı kaçtır?
A)-10
B)-8
C)-6
D)-4
E) - 2
|x — 3]< 4
1 9 . x tamsayıdır.
|x - 2|> 1
-4 < x < 3
eşitsizlik sistemini sağlayan x in tamsayı değer­
lerinin toplamı kaçtır?
A) 19
B) 18
15.
C)16
D) 15
E) 12
|2 + x| = 2 + x
olduğuna göre, x in alabileceği tamsayı değer­
leri kaç tanedir?
B)3
C)4
D) 5
A) 12
20.
|2x - 6 | = 6 - 2x
A) 2
olduğuna göre, x2 + | x | ifadesinin alabileceği
en büyük değer, en küçük değerden kaç fazladır?
E) 6
B)8
C)6
D) 3
E) 2
a + | a | = 0 ve | b | = b
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi 0 (sıfır)
olamaz?
A) | a + b |
B) | b | - 2| a | C) a2 - | b |
D) | a | + b + 1
E) a + | b |
Cevaplar: 1-C 2-D 3-C 4-C 5-D 6-D 7-C 8-D 9-E 10-B 11-A 12-D 13-B 14-A 15-E 16-D 17-B 18-A 19-A 20-D
115
DEĞER
BOLUM
1 < x < 2 olmak üzere,
I 2x + 1 | + | 5 - 2x I = 6
11 - x| | 2 — x||x + 1| |x + 2|
eşitliğini sağlayan x in tamsayı değerlerinin top­
lamı kaçtır?
A) 6
B)5
C)4
D) 3
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 2
A) f i
2.
TEST
5
B) İ3
C) —
2
2
2
a ve b birer reel sayı olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
—+1 -1
2
A) | a | + | b | > | a + b |
B) | a . b| > | a | . | b |
C) | a | - | b | < 0
D) | - ab | = i ab |
eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A)-8
E)liL< ±
B)-6
C)-4
D)-2
E) 0
b
•i 8.
| 4x - 2|
3.
İ3 +2
| a.b | > a.b
| b.c | = b.c
O
İZ -2
olduğuna göre; a, b, c reel sayılarının işaretleri
sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir?
denklemini sağlayan x değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) + , - , -
A) { - 1 } B) { 3, 5 } C) { 5 } D) { 3 } E) { }
B) + , + , -
D) + , + , +
4.
E ) - , +, -
| x | + | - 2x | < 6
y < y2 < I y I
9.
| x - 2 a | - x - 2 a = -4
olduğuna göre, x - y farkının alabileceği değerle­
rin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
eşitliğinin daima sağlandığı en geniş aralık n < x < »
olduğuna göre, (a + n) toplamı kaçtır?
A) [-3, 2)
A)0
B)(-4,1]
D) (- 2, 3)
5.
C ) h 3, 3]
O2
D) 3
E) 4
1 0 . "İki sayının mutlak değerinin farkı, bu iki sayının farkı­
nın mutlak değerinden büyük olamaz."
x+1
x-1
A) {-3, 2}
B)1
E) (- 2, 2)
denklemini sağlayan x in reel sayı değerlerinin
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B ) { - 2 , 3}
D) { - 2 , 2}
116
0-.-- +
C) {-1-1}
E) { 1 , 2 }
_
| - 4x | + 2 I y - x ! -I 4y I
Buna göre,
!——L»
—!—LL
I 3x - 3 y )
nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A)_
B)0
o?
3
D) 2
ıfadesi-
E) 4
Mutlak Değer
11.
2a| + I bl
16.
||2x-5|-x|=-x
=3
3a - b = 4
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
B)
A)
5
5
2' 4
C){1}
1\
D)
olduğuna göre, a nın alabileceği farklı değerlerin
toplamı kaçtır?
E)0
A)-2
12.
+ 11 < 3
C)5
B)3
x + 2| - 3
17.
X
+
D) 6
E) 9
<0
X
2
olduğuna göre, x + | - 8x | + 10 ifadesinin ala­
bileceği en büyük değer ile en küçük değerin top­
lamı kaçtır?
A) 196
B)148
C) 112
D) 58
• eşitsizliğini sağlayan
nin çarpımı kaçtır?
A)-120
E) 40
18.
13.
x - a
C)
C)0
D) 24
E) 120
x+y < 0
-1 <x< 3
a kaçtır?
olduğuna göre, —
b
B) - 2
B)-24
tamsayı değerleri­
x-y < 0
< b
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı
A) - 2
x in
*
o
D) 2
E)
olduğuna göre,
-x
+
2x
| y - x | + | x + y|
ğıdakilerden hangisine eşittir?
A)- 2
B)1
C)2
ifadesi aşa-
D)
E)
1 9 . x < 0 , y > 0 dır.
14.
| 4 - x^ I . (x - 5) < 0
x.|a + 2 b - 7 | - y . | 2 a + b - 5 | = 0
eşitsizliğini sağlayan x in kaç farklı doğal sayı de­
ğeri vardır?
A) 7
olduğuna göre, a + b toplamının sonucu kaçtır?
B)6
15.
C)5
D) 4
E) 3
A) 1
çarpımı kaçtır?
'-î
D) 4
E) 5
| a - 3 | + | b + 1| = 1
denklemini sağlayan x in reel sayı değerlerinin
1
C) 3
2 0 . a ve b tamsayıdır.
I |x | - 2 | = | 3 - 4 | x| |
A)
B) 2
denklemini sağlayan kaç farklı (a, b) ikilisi vardır?
C)0
D)
E)
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
Cevaplar: 1-D 2-D 3-E 4-D 5-D 6-A 7-C 8-A 9-D 10-D 11-E 12-B 13-C 14-B 15-E 16-B 17-A 18-D 19-D 20-B
117
1.
BÖLÜM
1.
KTT-1
a ve b negatif tamsayılardır.
6.
Sıfırdan ve birbirlerinden farklı a, b, c rakamları ile
oluşturulabilecek rakamları farklı iki basamaklı bütün
a
+
J!--l9
b
doğal sayıların toplamı 330 dur.
Buna göre, üç basamaklı abc sayının değeri en çok
olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı
kaçtır?
kaç olabilir?
A)-6
A) 960
B)-10
C)-12
D)-18
C) 954
D) 951
E) 843
E)-24
7.
2.
B) 958
(x + 1) ve 5 sayı tabanıdır.
(a + 2b) ile (a - 3b) aralarında asal sayılardır.
( * 3 ) x + 1 + (1x0) 5
a + 2b _ a - 3 b
22
"
12
toplamının alabileceği en büyük değer, 10 taba­
olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır?
A) 3
B)7
C)9
D) 12
nında kaçtır?
E) 15
A) 68
B) 64
C) 60
D) 52
E) 45
D
C
3.
a, b, c birbirinden farklı pozitif tamsayılardır.
O
>-
2
3
5
—+—+—
a
b
c
E
8.
maklı bir sayıdır?
<D
U.
A) 6
ifadesinin en büyük değeri için a . b . c çarpımı
kaçtır?
A) 4
B)6
(4 3 + 1) sayısının 2 tabanındaki eşiti kaç basa­
C)12
D) 15
E) 30
9.
B) 7
D)9
C)8
E) 10
Üç basamaklı, rakamları birbirinden farklı, 4 ile
bölünebilen en büyük doğal sayı, üç basamaklı,
rakamları birbirinden farklı, 4 ile bölünebilen en
4.
x = 13.11!
küçük doğal sayıdan kaç fazladır?
olduğuna göre,
A) 880
13! + 12! + 11!
işleminin sonucunun x türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x
5.
B)13x
C)26x
D) 39x
10.
C) 836
B)860
A+ 1
D) 832
E) 828
B-1
E) 52x
3 ten 7 ye kadar olan rakamlar kullanılarak yazı­
lan, rakamları farklı beş basamaklı ABCDE sayı­
Yukarıdaki bölme işlemine göre, C nin A ve B tü­
sında A + B = D + E dir.
ründen değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Bu koşullara uyan en küçük ABCDE sayısının bir­
A)
ler basamağındaki rakam kaçtır?
A) 3
B) 4
C)5
D) 6
E) 7
A-1
B)
B+1
D) 4 +
B+1
A-1
B+2
C)
A+3
E)
A-3
B-1
A-1
118
a - b - c < c - a - b < b - a - c
16.
1 1 . a nın 7 ile bölümünden kalan 4, b nin 7 ile bölü­
münden kalan 1 dir.
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
Buna göre, a + b + ab ifadesinin 7 ile bölümün­
doğrudur?
den kalan kaçtır?
A)a<b<c
A) 6
C)4
B)5
D) 3
E) 2
B)a<c<b
D)b<c<a
1 2 . x bir tamsayı olmak üzere,
1 7 . a ve b
a > 3b
sayısı bir asal sayı olduğuna göre, x in alabileceği
değerler çarpımı kaçtır?
B)80
C)64
E)c<a<b
pozitif sayılardır.
x 2 + 15x + 56
A) 100
D) 56
c =
a + 2b
olduğuna göre, aşağıdakiierden hangisi daima
E) 54
doğrudur?
A)c>4
B)c>5
D) c < 5
13.
C)b<a<c
C)c>6
E) c < 4
18, 24, A, B
doğal sayılarının en küçük ortak katı 288 oldu­
ğuna göre, A + B toplamı en az kaç olabilir?
18.
-2 < x < 4
O
0 < y < 5
>A) 30
B)32
C)33
D) 37
E) 41
E
«
u.
olduğuna göre, x2 - y2 nin alabileceği en küçük
tamsayı değeri kaçtır?
A)-26
14.
B)-25
C)-24
D) - 20
E)-18
0,3 - 0,5
1 -
0,75
19.
| x + 3 | + | 3x | = 3.|x |
işleminin sonucu kaçtır?
olduğuna göre,
"i
B)
C)
D)
2"
x kaçtır?
15
E)
A) - 5 i
B) - 3
C) - 1
D) 1
E) 3
1 5 . 1, 3, 5, 7 rakamlarının tümü kullanılarak yazılabi­
lecek iki basamaklı iki sayıdan birisi pay, öteki de
payda olmak üzere bir rasyonel sayı elde ediliyor.
Bu rasyonel sayının payının paydasına bölünme­
20.
| |x| - 2| < 1
eşitsizliğini sağlayan x in kaç tane tamsayı de-
sinde bölümün tam kısmı en çok kaç olabilir?
ğeri vardır?
A) 8
A)1
B)7
C)6
D) 5
E) 4
B)2
C)3
D) 4
E) 5
Cevaplar: 1-E 2-C 3-B 4-B 5-C 6-D 7-A 8-B 9-A 10-C 11-E 12-E 13-C 14-A 15-D 16-B 17-B 18-C 19-B 20-B
119
Uslu İfadeler
Köklü İfadeler
Çarpanlara Ayırma
Oran - Orantı
Denklem Çözme
KTT-2
GTT-1
2.
BÖLÜM
USLU İFADELER
Üslü İfadelerde Üs (Kuvvet) Alma
TANIM
xeR
ve n e Z
+
olmak üzere,
Bir üslü ifadenin üssü alınırken üsler çarpımı tabana
üs olarak yazılır.
n tane x in çarpımı x in n inci kuvveti(üssü) diye
adlandırılır ve x
n
biçiminde gösterilir ve x üssü n
n
Buna göre, x in n. kuvveti n tane x in çarpımına
n
x dir.
2
2
m
6
1
x° = 1 (x * 0) ,
•
x = x . x,
2
5
3
2
2
2
3
2
4
1 0
,
6
(-3)°=1,
*
2
dir.
xn
ifadesi belirsizdir.
Üslü İfadenin Negatif Kuvveti
( | - ) 0 = 1,
x * 0 olmak üzere,
Örnek:
=1 ^ 1 - n
(xn)m^[x](nm)
( 2 3 ) % [ 2 ] ( 3 4 ) => 2 1 2 * 2 8 1 ,
4
x = X . X . X . X, . . .
0 (sıfır) m dışındaki bütün reel sayıların sıfırına kuv­
veti 1 dir.
(-5)1_n2
5
2
x =x,
= X . X . X ,
5°-1.
5
(a .x ) = (a ) . (x ) = a .x dır.
Burada, x e taban, n ye üs denir.
x _ 1 =— ifadesinin (x in çarpx
maya göre tersinin) n inci kuvvetine ( x _ n ye) nega­
O
= 0
>-
=> n = 1 veya n = - 1 dir.
Ou
3
1_
(-3 ) = (-1) .(3 ) = - 3
n tane
•
dir.
" 2
x =x.x.x
3
r
2.3 _ p ö
— O*--^
(o^\
eşittir.
x
m
= (x ) = x
(x )
şeklinde okunur.
tif üslü ifade denir.
«
u,
belirsizdir.
n tane
Uyarı:
Buna göre, x
a + a + a +... + a = n.a * a n dir.
n
=
dir.
n tane
Bazı özel durumlar dışında
•
2 = 2.2.2 = 8 ,
n.a*a
n
O halde, bir üslü ifadenin tabanının çarpmaya göre
tersi alındığında üssünün işareti değiştirilir.
dir.
2 = 2.2.2.2 = 16
*
d
(- 2) = (- 2).(- 2).(- 2) = - 8 = - 2 3 ,
4
olduğu anlamına gelmez.
4
(- 2) = (- 2).(- 2).(- 2).(- 2) = 16 = 2 * - 2
4
2 3
Pozitif bir sayının bütün kuvvetleri pozitif, negatif bir sa­
yının; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Bu­
na göre, bir reel sayının tek kuvvetleri tabanla aynı
işaretlidir. Bir reel sayının çift kuvveti de hiçbir za­
man negatif olamaz.
a * 0 ve n e Z + olmak üzere,
•
(_a)
2 n
1
- =-a
2 n
-
1
• 1 n = 1 , (-1) 2 n = 1 ,
Üssün negatif olması, üslü ifadenin değerinin negatif
n
( - a\2n
r = a„2n
' ^ - a ' 2n
dir,
(--i)2"-^-!
dir
.
- =i>- (-ır-(-iM><>dır.
Örnek:
kr-M-ır-
3
1
— + —
2 3
" 2 'A
}_
27
8 ~ 8
6 + 1-27
20
dir.
123
MATEMATİK SORU BANKASI
5
•
3
5
3
5
4x - 3x - 2x + 5x = (4 - 2)x + (5 - 3)x
Uyarı:
Bir kesrin payında çarpım halinde bulunan bir üslü
5
3
3
2x + 2x = 2x (
ifadeyi paydaya ya da kesrin paydasında çarpım
halinde bulunan üslü ifadeyi paya yazarken bu üslü
3
J
2x
2x
2x'
:
2x'
2
= 2 x ( x + 1)
dir.
ifadenin üssünün işareti değiştirilir.
x
m
. y"
x
m
.z"
Üslü Denklemler
p
x"
m
gibi.
n
.y-
Birbirlerine eşit olan iki üslü ifadenin tabanları aynı ise
I.
üsleri de birbirine eşit olmalıdır.
Üssü pozitif olan ifadeler için geçerli olan bütün özellik­
x
m
n
= x => m = n dir. ( x * 0 , x * ± 1 )
ler, üssü negatif olan ifadeler için de geçerlidir.
3 2
(a _•J .bO
=(a~ö)
U
1
=>2
= a9.b"
. (b*)
X-1
X
(1 + 2 x+ 1 - ( x - 1 K
2
. ( 1 +2 ) = 5
1
=>2 "" = 1 => x = 1 dir.
4
3
3
4 3
(-2- )" = (-1)" -(2" f = - 1 . 2
12
12
= - 2 " ~ dir.
II. Birbirine eşit olan iki üslü ifadenin üsleri aynı ise; üsler
tek sayı iken tabanları da aynı, üsler çift sayı iken ta­
Üslü İfadelerde Çarpma İşlemi
banların mutlak değeri birbirine eşit olmalıdır.
Üslü ifadeler çarpılırken, tabanları aynı ise üsler top­
lamı ortak tabana üs olarak yazılır. Eğer üsler aynı ta­
banlar farklı ise ortak olan üs tabanların çarpımına üs
olarak yazılır.
(x*±1,
x
mxn
= x
m+n
2 3 .2 5 = 2 3 + 5 = 2 8 ,
4
4
4
4
2 .3 = (2.3) = 6 ,
n
x
n
4
olmak üzere,
n tek sayı
n
\ x=±y,
n çift sayı
Örnek:
x 3 - 8 = 0 =* x 3 = 8 = 2 3 => x = 2 ,
4
2 .2 = (2.2) = 4 ,
(2x + 3) 2 = x 2 => | 2x + 3| = | x |
\6 0 6
„3J
(- 2)° = (- 1 )°.2°
= 2° , (- 3)° = (- 1 )3J .3
= - 3 J tür
o
2x + 3 = x veya 2x + 3 = - x
V-
=> x 1 = - 3
E
2 _ 4 . 5 ~ 4 1 0 5 = (2.5)~ 4 .10 5 = 10" 4 .10 5
«
=»x2
—1
olduğundan, Ç = { - 3, - 1 } dir.
= 1 0 5 - 4 = 1 0 dur.
/ n = 0 ve x * 0
III.
Üslü ifadelerde Bölme İşlemi
n
x = 1 => {\xx== 1
1 ve n reel sayı
İki üslü ifade bölünürken, tabanları aynı ise payın
üssünden paydanın üssü çıkarılarak bulunan fark or­
tak olan tabana üs olarak yazılır. Eğer üsler aynı ta­
banlar farklı ise ortak olan üs tabanların bölümüne üs
olarak yazılır.
n
n*0
x = y =» |
. y n = (x.y) n dir.
4
ve
/ x=y,
(-3).(-3)2 = (-3)3
4
y*±1)
n
\ x = -1 ve n çift sayı
olmalıdır.
Örnek:
xx + 2 = 1
denkleminin çözüm kümesi,
i. x + 2 = 0 ve x * 0 => x = - 2 * 0
n
x : y = (x : y ) dir.
ii. X = 1
! -5 = 3 7 - 5 = 9,
3
iii. x = - 1
-2
2 " 2 . 2 4 = 2 4 ~ 2 = 4 tür.
O halde, Ç = { - 2, 1 } dir.
iv. a ile b aralarında asal sayılar olmak üzere,
Tabanları ve üsleri aynı olan üslü ifadelere benzer
ifadeler denir.
ax3 ile bx 3 , 2.(x + y) 5 ile - 3.(x + y) 5 ifadeleri benzer
üslü ifadelerdir.
Benzer üslü ifadeler toplanıp - çıkarılırken katsayıları
toplan ıp-çı karı lir.
m
m
m
m
2.3 - 4.3 + 5.3 = (2 - 4 + 5).3 = 3.3 = 3
124
çift sayı değil
Buna göre, x = - 1 denklemi sağlamaz.
Benzer Üslü İfadeler
m
çift sayı
=> x = - 1 ve - 1 + 2 = 1
2.2"
(-4)
ve x + 2
m+ 1
,
İL
a 1 = b 1 ve a 2 = b z ise,
y2
Örnek:
4 a = 1 5 3 ve 4 4 = 1 5 b
a 3
— =—
4 b
olduğundan,
ise,
a.b çarpımı,
a.b = 1 2
dir.
dir.
2.
BÖLÜM
USLU İFADELER
n-2
1.
6.
(
1
_1)200_(_1)199
+
(
_1)-200
_M)-199
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 4
D)
C)
B)
A)
7.
C)
17
-2
17
D)
E)
o
c
8.
2X = 5
x+1
s
olduğuna göre, 8
D
A) 10 J
in değeri kaçtır?
B)2.103
D) 104
işleminin sonucu kaçtır?
B) -
E)-a4
17
ı-*H)'
A) -
C)(-a)"
B) - a~ 1
A) a
D) (- af
17
C) 1
E) - 4
a negatif reel sayı olduğuna göre, aşağıdakiler­
işleminin sonucu kaçtır?
B)
D)-2
den hangisi daima negatiftir?
ır-c-3,-
17
C)2
E) 36
(_2)-3-(-2-2)
2.
B)3
D) 3
C)5.103
E)2.10
E) 9
4 . 1 0 " 3 + 2.1CT 2
4.
9.
6.10-4
işleminin sonucu kaçtır?
A) 10
B) 20
D) 40
E) 50
3a. 32a . 33a
3
+3
2 a
x-1
olduğuna göre, 2
C) 30
2 a
5
+ 3
A) 20
A) 3 2 a - 1
C)3 2a
B)3 a
D) 34 a - 1
E)3
:
5a
x-2
2
olduğuna göre,
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
1 Q
x
x - 2
ifadesinin değeri kaçtır?
B)10
10.
2a
=
C)5
X _ 1
D) 3
E) 2
=9
için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
A)2<x<3
D)5<x<6
B)4<x<5
C)3<x<5
E)6<x<7
125
MATEMATİK SORU BANKASI
17.
1 1 . a ve b tamsayıdır.
ab = ±
ve
2
_
x +
2
olduğuna göre,
b=0,25
A) - 3
olduğuna göre, a.b çarpımının en büyük değeri
İ
_
X
x
+
2
2-x
kaçtır?
B) - 1
D) 2
C) 1
E)3
kaçtır?
A)- 6
12.
°>i
-i
4
(32) .(125)
D)3
E)6
7
B)18
(2x + 4) = (3x - 8)
olduğuna göre,
A) 4
çarpımının sonucu kaç basamaklıdır?
A) 17
3
18.
C)19
D) 20
E) 14
D) 12
(x-2)3_x = 1
denklemini sağlayan x in farklı tamsayı değer­
lerinin toplamı kaçtır?
a+b
A) 3
ifadesinin t türün-
,a + b
1 - X
C)10
E) 21
(xa-x-b).xb = t
olduğuna göre,
kaçtır?
B)8
19.
13.
x
3
D) 6
C)5
B) 4
E)7
den eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1-t
B)—
C)t
D)
1
*
£\ * +1
=
2 0 . x ve y tamsayıdır.
O
13 x + 1 = 4 y ~ 3
'>E
14.
2a= 5
ve
«
olduğuna göre,
u.
2° = 125
x +y
kaçtır?
©
olduğuna göre,
A) - 1
b—a
_——
a+b
B) _
15.
A) - 2
oranı kaçtır?
c
>;
D)2
E)
21.
3x + y = 7
3 * - = 21
A)-1
C)0
D
»i
3X = 5
5 = 81
C)4
x
= (-32)"\
A)x<y<z
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
B)3
D) 5
E) 6
ys(-3-f,
z = (-3-2)
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru­
dur?
y
A) 2
C)4
B) 3
E)1
22.
16.
E)2
— < 2 2 a _ 1 < 32
16
A) 2
y kaçtır?
B)_
D) 1
C) 0
olduğuna göre, a nın alabileceği kaç farklı tam­
sayı değeri vardır?
y
olduğuna göre,
B) - 1
D) 5
E) 6
B)y<x<z
D)x<z<y
C)z<x<y
E)z<y<x
Cevaplar: 1-D 2-A 3-E 4-D 5-D 6-A 7-E 8-A 9-C 10-B 11-E 12-E 13-D 14-C 15-B 16-C 17-D 18-D 19-B 20-E 21 -C 22-C
126
2.
BÖLÜM
1.
6.
(-3"<)2]
B)-3
>*-y
C)3
D) 9
A)2
E) 27
x_y
x
7.
-(-3-2)
(-3-y
C)
B)3
8
D)!°
3
(-5-1)3:(-3)
-3
u.
4.
c
C)
D)x
A) 16
B) 2
C) 3
D) 4
E) 12
x-ı = ( 1 2 ) x + 1
B)
C)
D)
E)
B)20
C)24
D) 28
E) 32
E)xz
5. x tane 2X in çarpımının iki tane 2 x " 1 in top­
lamına oranı 64 olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
D) 6
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
B)_
»I
2
(-x2).(-x)3.(-x)"4
A)-x
y
olduğuna göre, 2 x in değeri kaçtır?
A) 6
D,-5
»!
C
6
3
E
işleminin sonucu kaçtır?
B).
B)
o
c
o
>.
©
27
x
E) 2 + 2
4 X ~ 1 = 0,06
*>f
E) 18
/ 1 +3'
A)
y
C)1
olduğuna göre, 5.2 2x + 1 ifadesinin değeri kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A)0
- 1
B)-1
D) 2 - 2
2.
,y-x
-1
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
işleminin sonucu kaçtır?
A)-9
TEST
2
USLU İFADELER
E) 5
10.
12.(20) 4 .625+10 9
işleminin sonucu kaç basamaklıdır?
A) 8
B)9
C)10
D) 11
E) 12
127
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
10
a+b
olduğuna göre,
8
1 7 . a= 10
a + b
. 5
3 a + 3b
ve
b=2
a - b
ifadesinin x tü­
a
b -a
ründen eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)x
4
B)x
3
C)x'
D)x
12.
B) - 1
18.
A) 11
b
B)13
+9
a
D) 29
48
D)-
= (2x+1)
x
1012
&>5~
E)
10
10
in alabileceği değerlerin çar­
12
C) —
5
D)-«
5
E ) - *
5
birer tamsayıdır.
( a a . a - 22) \ 2b - 1 = 1
olduğuna göre, a değerlerinin toplamı kaçtır?
olduğuna göre, a + b kaçtır?
C)8
24
B) f i
5
1 9 . a ve b
asal sayılardır.
B)7
895
E) 31
pa + 5b _ pa
A) 5
10
1012
pımı kaçtır?
A)
1 3 . a ve b
C)
(3x-5)
olduğuna göre,
işleminin sonucu kaçtır?
C)17
D
ifadesinin değeri kaçtır?
E)
A) 1
olduğuna göre, 8
için,
D) 9
E) 10 -S
A) - 1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
D
14.
®
2 0 . a ve b tamsayı olmak üzere,
,a + b - 2 0 b + 2
olduğuna göre,
A) 2
B) 1
x
kaçtır?
C) 0
D) - 1
olduğuna göre, (- ba) ~ 1 ifadesinin değeri kaç­
E) - 2
tır?
A)-2
15.
B)-l
4
C)--^
16
D)l16
E)l
4
3 a . 2 b = 18
3 b . 2 a = 12
olduğuna göre,
A) 2
B)3
21.
x ve y tamsayıdır.
a + b kaçtır?
C)4
2 2x + y + 5 _ yX + y + 3
D) 5
E) 6
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
A) 1
16.
(x-3)x_4 + 3 = x
22.
B) 2
C) 3
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 2
A) 12
C)6
D) 9
E) 12
E) 5
3 n + 2 - 1 8 . 3 n - 1 = m.3 n - 1
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
B)4
D) 4
B) 10
C)9
D) 7
E) 5
Cevaplar: 1-D 2-E 3-A 4-D 5-C 6-B 7-A 8-E 9-C 10-C 11-B 12-E 13-B 14-D 15-B 16-E 17-B 18-B 19-E 20-C 21-B 22-C
128
2.
BÖLÜM
3
20
+ 3
19
+ 3
18
6.
= (2,6).x
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 5.3
16
B)3
D) 5.3
9
(6,4) . 10 + (0,36) . 10
19
C)2.3
1
E) 3
1!
A)10
5
8
B)10
9
C)10
10
D)10
11
E) 10
12
17
b
bir tamsayıdır.
2
(-3- )\(9- r
27
10
işleminin sonucu kaçtır?
7.
a
5b+V
(
_a)3-4b
-(-a)4b+1 .a3-3b
işleminin sonucu kaçtır?
A) 9
TEST
3
USLU İFADELER
B)3
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C)-3
D)-9
E)-27
A) - 1
B) 1
D) a b
C) a
E) a"
o
c
3.
8.
_2
>-
7 6 + (14)6
E
o
u.
a"3 =9
işleminin sonucu kaçtır?
A)-Z.
B
6
) _ *
7
a bir reel sayıdır.
o
6 6 + (12) 6 ,~3
olduğuna göre, 27.a ifadesinin değeri kaçtır?
C ) ^
*l
D)<®
49
36
A)l
B)l
C)1
52a "
4.
4
5
A) 2 1 6
+ 2
6
ifadesi A nın kaç katıdır?
B) 2 1 4
C) 2 1 2
D) 2 1 0
A)5x
ifj
ifadesi
aşağıdakilerden
B) 25 2 x 2
4
C) 625 x
D) 25 2 x 4
E) 2 9
10.
E) 9
= x
olduğuna göre, S 4 3 * 2
hangisine eşittir?
2 " 6 + 2 " 7 + 2 " 8 = A olduğuna göre,
2 +2
1
D) 3
2
E)x 4
b pozitif tek sayı olmak üzere,
a
5-b
(
_a3)-4+ b
(
_a2)5-b
8
3
6
(_a) .(-ar .(-a- )
5.
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)ad
A)-a
- 2
B)-a
_ 1
C)a"
1
D) a"
2
-3
E) a
B)-aJ
4b-17
D) a'
C)-a
E)-a
4b + 17
• 6b + 27
129
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . a ve b sıfırdan farklı sayılar olmak üzere,
U
2* = 3
olduğuna göre, 3
hangisine eşittir?
A)6
u.2
a b+b
D)6
7
sayısının sondan en çok kaç basamağı sıfırdır?
ifadesi aşağıdakilerden
A) 15
B)16
C)17
D) 18
E) 19
C)6 2ab
B)32ab
a
5
1088.(20) .(25)
16.
E) 6a + b
a
1 7 . x ve y tamsayı olmak üzere,
(0,24)
1 2 . a pozitif bir tamsayıdır.
a
x + y
x
A) 1
y
A) 3
x
y
a + 2(a )
B) 5
C)7
B)2
C)3
D) 4.
E) 5
ifadesinin değeri
D) 9
E) 10
2X + 2X + 2X + 2X
18.
13.
x+2
= (0,5)
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
=9
a~- = 4
olduğuna göre,
kaçtır?
2x + y
O
2X = a
olduğuna göre,
c
7X = b
ıX r,X
ey*.
nA
A) - 3
o
x
B) - 2
= 5
_4
1Q
4
nX
Q*
kaçtır?
D) 1
C) - 1
E) 2
olduğuna göre, (112)x in a ve b cinsinden de- E
geri aşağıdakilerden hangisidir?
u.
©
A)a 2 b 2
B)a4b
C) ab4
D) ab
E) a4b4
19.
14.
A) - 2
15.
x
B) - 1
kaçtır?
C) 1
A)a>b>c
D) 2
E) 3
a > 0 olmak üzere,
20.
C) 1
C)c>a>b
E)a>b = c
a > 1 olmak üzere,
ab=I3
olduğuna göre, a kaçtır?
B) 3
c = (5-2)"3
B)b>c>a
D)b>a = c
«-•(ir
A) 9
b = 5(23),
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru­
dur?
(x + 2) 1 2 = (x2 + 8)6
olduğuna göre,
a = (5 2 ) 3 ,
ve
a a - 1 = (0,3)" 2
olduğuna göre, 2b + a ifadesinin değeri kaçtır?
°>l
^
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Cevaplar: 1-A 2-E 3-D 4-C 5-C 6-C 7-A 8-C 9-B 10-B 11-D 12-D 13-B 14-C 15-E 16-B 17-B 18-C 19-D 20-B
130
2.
BÖLÜM
••
m*
9
6
(-a) , (-a ), ( - a ) "
6.
10
2.
5
B)a~
5
C) - a
5
D)-a
- 5
2
30
4
2 0 g10
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu aşağıdakiierden hangisidir?
A) a
TEST
4
USLU İFADELER
,60
A) 2*
E) a
B)2
70
C)2
80
D ) 2
90
E)2
ıoo
a negatif tamsayı olduğuna göre, aşağıdakiierden
hangisi pozitif sayıdır?
A)(-a)fi
B)-a
10
C)a"
-10
D) - (- a)
E)-a
6
(4)"
Ü)
olduğuna göre, (100)
tır?
2x-2
A) 2
C)5
B)4
ifadesinin değeri kaç­
D) 10
E) 25
.(-2-4)
-2
=2 8.
E
«
olduğuna göre,
işleminin sonucu kaçtır?
4.
. -4
4
A) 8
-l
B)1
A)
A
+4
-4
8.2 7 + 4 . 2 8 - 1 6 . 2 6 = (0,25) m
A
D ,
+4
-4
+4
B)4
m
kaçtır?
C)2
D)-5
E)-8
E)-1
-4
9.
-4
A
toplamının dörtte biri kaçtır?
(a.x 2 m ) n : (a.x 2n ) m
işleminin sonucu aşağıdakiierden hangisine eşit­
tir?
A) - —
16
5.
B) - - 1
64
C) —
256
D) -L
64
E) —
16
a = -2
10.
b = -3
değerleri için, (- a ) " b . (- b)~ a . (a~ b + b" a) ifade­
si kaça eşittir?
A)-72
B)-17
A) a
C)-8
D) 17
B) a n
D)a n
C) a"
E)1
x = 27 . 8 n
X2 = 2 4 3 . 4 ( 4 n _ 1 + 2 2 n " 3 )
olduğuna göre,
n kaçtır?
E) 72
A)-
B)-
C )
-4
D)
E )
3
131
MATEMATİK SORU BANKASI
X
11.
4.2 = 5
16. 4
X+2
B) 2
C) 0
5n +
12.
A)-5
C)8
D) 16
E) 32
3y x
3x y
(x ) .(y ) - 8
8
olduğuna göre, x.y kaçtır?
A) 1
D) 3
C)
B) 2
D) 6
C) 4
E)
E) 5
(0,027)0'3 = m-2,7
18.
1 -2m
13.
sayısının kaç katıdır?
= 32
kaçtır?
B)-3
B)4
17.
10n + 10n + 10n
n
3 + 2a
E)- 4
D) - 2
,-n
ı-n
5 +5
olduğuna göre,
sayısı, 2
A) 2
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 4
a +3
olduğuna göre, m kaçtır?
işleminin sonucu aşağıdakiierden hangisidir?
C)
B)
A)1
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
D
>-
-(T)
m+1
E)
E
(rJ
3 6 y + 2 x = 80!
19.
3
14.
24n
"'-(İ)
olduğuna göre,
A) 4
a
B) 3
= a"
C) 2
A) - 1
D )
ve
2
A) a . b
2
D) a . b
4
2
C) a . b
8 1
,
B) - 2
C) - 3
D) - 4
E)-5
6.25 + 3.27 -
12.23
= 2a.3b.5c
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
E)1
Cevaplar: 1-A 2-A 3-E 4-C 5-E 6-E 7-A 8-D 9-D
132
=
2 0 . a, b, c birer pozitif tamsayıdır.
b = 3n
B) a. F
4
5y
E)
olduğuna göre, (225)n ifadesi aşağıdakiierden han­
gisine eşittir?
2
+
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
kaçtır?
a - 1 = (0,2)n
15.
x
n+1
10-C 11-D
12-A
13-A
14-D
15-A
16-C
17-C
18-A
19-D 20-C
2.
BÖLÜM
1.
TEST
5
USLU İFADELER
6.
Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) ( - 2)~ 2 - - - 1
4
3
0,6
g
0,3
(27)
0,2
0,!
243
işleminin sonucu kaçtır?
B) ( - 2 " 2 ) ~ 3 = 64
c
{81)
A)l
2
>(r-(r=(ir
D ) ( - 5 - ı r 2 = 25
r\ d.O
2-14-
7.
p20 _ p-38
E)(-2T2=(-2-2)3
C 3
D)
C)1
B,l
3
—
Q
2
uü
E) 9
-217
- 2~17
14
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşit­
tir?
2.
9
1°+ 9 1 0 + 9 1 0 + 9 1 0 + 9 1 0 + 910
A) - 8
B) - 4
C) - 2
D) 4
E) 8
toplamının yarısı kaçtır?
A) 3 2 4
B) 3 2 4
C) 3 2 2
D) 3 2 1
20
E) 3
-2 8.
>-
( - 2 - ı r + (- 2 - 2 )(4-ır2-(-4-2)-1
(49) 0 ' 7
olduğuna göre,
O
3.
70'09 = A
sayısının A türünden
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
E
u.
A) A 2
B)A 4
C)A7
D) A
14
E) A2
işleminin sonucu kaçtır?
A) - —
4
B) - —
8
C) - 2
D)
E)
15
9.
(75) a = 60
olduğuna göre, 3 a " 1 . 5 2 a " 1 çarpımının sonucu
kaçtır?
4.
5
(-2 )
6
(İ)'-K)'
(-23)
A) 4
B)15
C)45
D) 75
E) 125
2
işleminin sonucu kaçtır?
A)
C) 2
^
D) - 4
E) - 8
10.
a = 3 + 5
b = 5 + 2.5~ x
Ux)
5.
( - x)
-999 _
-1000
olduğuna göre, b nin a türünden eşiti aşadakix 1 0 0 0
lerden hangisidir?
+ X,999
-
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) - x
B) -
C)
D) x
E) x 1999
A)
3a
B)-
a - 2
D)
5a - 13
a - 3
5a
C)
a + 3
E)
3a - 14
a- 3
5a + 14
a - 2
133
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . 108 adet,
A)39
2 .3
sayısının toplamı kaçtır?
B)56
C)65
D)66
1 6 . x * 0 olmak üzere,
( _ 1 ) x + 2 = (x - 4) x
E) 6 a
xx
olduğuna göre,
A) 4
değeri kaçtır?
B) 8
C) 9
D) 27
E) 64
D) 6
E) 12
12.
10 c . 8 b . 6 a = 64
olduğuna göre,
A) 3
a+b+c
B)4
1 7 . x bir tamsayı olmak üzere,
toplamı kaçtır?
C)6
D) 8
(2x) 3x = (64) 2
E) 9
olduğuna göre,
A) 2
1 3 . 3X
1
x
kaçtır?
B) 3
C) 4
= 2 olduğuna göre,
18.
,x + 1 _ o2x-1
4.3"'
3 b = 5 ve 2 a = 3
o
a .b
c
işleminin sonucu kaçtır?
B)
*>;
1
o
D) 3
C
>5
ifadesinin değeri kaçtır?
olduğuna göre,
>.
E) 9
E
A) 3
B) 5
C) 6
D) 9
E) 25
u.
@
=3
14.
19.
JL = 5
olduğuna göre,
olduğuna göre, (a.y) 2 . ( b . x ) - 4 ifadesinin değeri
kaçtır?
25
5
/ 0,012 \ a ~ 2
15.
l 0,003 j
olduğuna göre,
A) 3
'
B) 2
a
E)
A) - 3
B) - 2
kaçtır?
C) - 1
m
20.
8
D) 0
E) 1
=1
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
C) 1
a
25
1
(64)
Cevaplar: 1-D 2-D 3-B 4-E 5-A
134
<
9
3 + 3 2 a + 3"
kaçtır?
D)
6-C 7-A
E
8-D 9-A
Ȕ
10-D
A) - 3
11-C
12-A
13-D
B) 14-E
15-D
C)-|
2
16-D
17-A
D)l
2
18-B
E) 3
19-B 20-C
>•?. • A r - ^ * ^ ; , s ' ' , i ' ~ ; V S ; ' - * ••>• *•-> •
•w.'
-s»
*;
„•"••«
* * * * * * r " > \4Mr*k,
'o
*
-
'
• • ••
BÖLÜM
USLU İFADELER
i t : , - »,•, >.«
*»••*?>•»•<
'
•
"
:
TEST
'
* ' * * " K *" *'r.*İ v
•'.:.%••
.».-$«« -**«&$& ,,•*:;,.' - v'**•-•
1.
n pozitif tamsayı olduğuna göre, aşagıdakilerden
1045+1046+105°
hangisi daima pozitiftir?
1049+1045+1044
A)(-1)
6n + 1
B)(-2) n + 1
2n
D ) - 4:
C)(-3) 1 -
E) (- 5)
işleminin sonucu kaçtır?
n
A) 10
10-2n
7.
[..(-.-)']'
2.
B)a 10
10
D)-a
CJ-a 1
10
E) 10000
A) a.2 n
B) 2 n
C) a
E) - 2 n
D) 1
E)1
2
D
z = y"
>-
olduğuna göre,
işleminin sonucu kaçtır?
©
C) 3
D) 27
A)-1
E) 81
9.
4
3
y .z = x
H)'
B) - 3
x3 . y 2 = 1
o
3~5.(-3)4 . ( - 3 2 )
4.
D) 1000
2~n - 1
1-2"
: 8.
A) - 81
C)100
işleminin sonucu aşagıdakilerden hangisidir?
işleminin sonucu aşagıdakilerden hangisidir?
A) a
B)30
8
(64) .(125) .(100)
B)_
n
kaçtır?
8
C)0
E)1
D)
m ve n doğal sayı olmak üzere,
12
8 m . (25) n
işleminin sonucu kaçtır?
A) 10
13
B)10
D) 10
5.
24
C) 10
48
E) 10
ğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
64
A) 6
10.
Aşağıdakilerin hangisi doğrudur?
A) 1 0 ~ ° < 0
B ) 4 1 0 - 210 = 210
C ) 4 1 0 + 210 = 610
D)-
E) 3 ° + (- 3)° = 0
çarpımı 13 basamaklı en küçük doğal sayı oldu­
36
1
+
210 = 211
B)8
C)10
D) 12
E) 15
( - 0 , 1 ) 3 . ( - 0,001) " 2 .(-0,0001)
işleminin sonucu kaçtır?
A)
B)
10
D)- —
10
C)-
100
—
100
E ) - 10
135
MATEMATİK SORU BANKASI
10
11.
n
10
16
- (ir*di Mir-*
10'
m+1
+ 10'
işleminin sonucu kaçtır?
11
A) -11.
100
9
B) —
11
olduğuna göre, x kaçtır?
D)
C) 10
10
11
E)
11_
10
A) - 3
B) - 4
C) - 5
D) - 6
E) - 7
1 7 . m + n bir tek sayıdır.
12. 8
24+m
sayısı, 2
6 9 + 3m
sayısının kaç katıdır?
m
A) 2
B)8
C) 16
D) 32
1
n
x "
E) 64
olduğuna göre,
A) 10
13.
4 .2
1
m
x
x
B)6
2n
kaçtır?
C)4
D) 3
E) 2
7X = 125 ve (49)y = 25
olduğuna göre,
A) 1
18.
x+y
— oranı kaçtır?
x-y
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1 0
x
+
1
=
5
x
+
2
olduğuna göre, I — ) * in değeri kaçtır?
£
E
A) 10
14.
o - " p-n
p
4n tane
-
1 9 . x ve y
I 16 j
B) 5
1
D) 1
2
C) 2
1
E) 1
5
tamsayılar olmak üzere,
3 x - y ~ 1 = 5 x + y~ 5
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
olduğuna göre,
E) 6
A) 9
1 5 . x ve y tamsayılar olmak üzere,
20.
(0,0064) x . (5000)y = 1024
B)2
C)0
B)13
x = (-32)3,
toplamı kaçtır?
C)17
D) 25
y = (-22) ,
E) 31
z = - 2, (l 2 *
olduğuna göre, aşağıdaki lerden hangisi doğrudur?
olduğuna göre, x + y kaçtır?
A) 4
xy + yx
A)x<y<z
D)-2
E)-4
B)z<x<y
D)z<y<x
C)x<z<y
E)y<x<z
Cevaplar: 1-E 2-B 3-E 4-D 5-D 6-A 7-C 8-B 9-C 10-A 11-C 12-B 13-B 14-D 15-A 16-E 17-C 18-D 19-C 20-C
136
2.
BOLUM
•»•
••
•• •
5 a + 1 = 20
23n"1 = 5
5b_1 =8
ve
ğıdakilerden hangisidir?
A) 2b - 2 = 3a
C) 2b = a + 2
A) 150
D) b - 2 = 3a
(I)
-3x + 1
B)-7
B) 120
> 9
2x + 1
8 m . 52n - 1
x in en büyük tamsayı de­
O-6
3.
2 ~ = 81 ve 2
D)-5
kaçtır?
A) 4
D) 7
B)5
C)6
A)l
3
X + 1
B)l
2
>-
=54
O)3
2~ x = A ve 3 X = B
( 1 0 8 ) _ x în
olduğuna göre,
E
o
u.
E) 3
B) A 3 . B2
D) A
9.
a ve x
pozitif tamsayılardır.
x
x
1
4
B„ 4
>-!
3
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
_
O
1
Ȕ
A)-a
E)1
3
B)a
5
0 5
3
C) a
2m+4
10.
5.
x + 1
2001
işleminin sonucu kaçtır?
A)
C) A 2 . B " 3
E) A~ 1 . B3
.B
a .(-a) + .a0u
0o
3 _ / _ O
o, 2t u
A ve B türünden
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) K-. B
D) 2
E) 8
E) - 4
2 P değeri kaçtır?
olduğuna göre,
E) 90
ifadesi altı basamaklı en büyük sa­
yıya eşit olduğuna göre, m + n
O
P
D) 100
m ve n doğal sayıdır.
8.
X
C)110
E) 2b + 2 = 3a
7.
A)-8
n
ifadesinin değeri kaçtır?
B) b + 2 = a
eşitsizliğini sağlayan
ğeri kaçtır?
( 4 0 ) n +(320)
olduğuna göre,
olduğuna göre, a ile b arasındaki bağıntı aşa-
2.
TEST
7
USLU İFADELER
atat
x
2
D)-a
5
E) a
5
m - 3 ^-2
0 5
(0,5)°' .(20) ' .(10) '
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
(3,2)°' 2 .(10) 0 ' 2
A) 4xy'
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0,5
B) 0,1
C) 1
D)2
E)5
B)-xy'
D)x
2m
.y
4
C)2|^-
E)
137
MATEMATİK SORU BANKASI
2
11.
4
6
8
5 + 5 + 5 + 5 + 5
17.
1
toplamının sonucu aşağıdakiierden hangisidir?
A)
5
10
+
5
10
2
B)
24
12
D)
5 -5
24
5 -5
2
C)
24
5
12
5
+
24
=(o,6)
x "
4
3x
-
1
kaçtır?
2
A) 3
B)4
C)6
D) 8
E) 9
2
E) 5
10
+r
1 8 . x pozitif tamsayıdır.
2
x*- = 4
B) 0
C) 1
9
olduğuna göre, x kaçtır?
eşitsizliğini sağlayan en küçük x tamsayısı kaçtır?
A) - 1
x + 1
2x
olduğuna göre,
(ir «dr
12.
(o,4)
D) 2
A) 2
B)3
C)4
D) 8
E) 9
D) 7
E) 8
E) 3
1 9 . x pozitif bir tamsayı olmak üzere,
13.
5
a+2
s
= (15)
5x
c
a
olduğuna göre,
A) 25
3 +5
B)28
a
toplamı kaçtır?
C)32
D) 34
E) 38
A) 4
O
x
A)x*"
x
B)-2.x
x
tV - v
x»
- y*
y
20.
>»
x = -y
x -yv
kesrinin değeri kaçtır?
C)(x-y)
x
D) 1
4 .9
= 6
B)6
E)-1
o
=6
e
x kaçtır?
B)5
C)6
C)4
D)
E)
2)3"|x| = 1
(|x
eşitliğini sağlayan farklı x tamsayılarının çarpımı
kaçtır?
C
C) 13
+ 4x - x
B)
<
A)-9
olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır?
A) 4
c
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin top­
lamı kaçtır?
E
e
u.
1 5 . a, b, c pozitif tamsayıdır.
2b
+51
( 2 x - 3 ) 4 = (x2 + 2x + 1)2
21.
3a
- 4x
olduğuna göre,
1 4 . x sıfırdan farklı bir çift sayıdır.
olduğuna göre,
o
D) 15
B)-6
C)0
D) 6
E) 9
E) 17
A = 5 - 3.7X
22.
B = 7_x - 1
1 6 . m . n * ±1 olmak üzere,
olduğuna göre, B nin A türünden eşiti aşağı­
dakiierden hangisidir?
A)
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1 -A
A-3
B)
D)
A+5
A+1
A-2
5 -A
C)
E)
A+2
A- 1
A+3
A -2
Cevaplar: 1-A 2-E 3-A 4-B 5-E 6-C 7-B 8-C 9-D 10-C 11-D 12-A 13-B 14-E 15-E 16-B 17-E 18-D 19-A 20-A 21-E 22-B
138
r
'KST jj.5Xv..r < : ^'!3n '"fes- .*»•
(-a)-3.(-aT3.(-a)12
(-a)"
3 n = 2 ve (48) x = 64
3
olduğuna göre, n nin x cinsinden eşiti aşağıda­
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
kilerden hangisidir?
A) a 6
A)
B)-a6
C)a~6
-a12
D)
E) a 1 2
B)
6- x
4x
D)
2.
E)
6 -x
6x
4 - x
x - 6
Aşağıdakilerin hangisi yanlıştır?
A)2 a + 2 a = 2 a +
1
7.
B) 2 a . 2 a = 2 a + 2
D) 4 a . 2 a = 2 3 a
C) 10~ 8 > 0
3
olduğuna göre,
B)x
A).
x > 0
olmak üzere,
6
x = 8
o
a
ve
x . x
b
=x
»m+ 1
ifadesinin x türünden
,m-2
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
E ) ( 2 1 0 + 2 1 0 ) : 2 = 210
3.
C)
6 - 4x
= 16
8.
E
u.
C)9x
D)81x
E)243x
(1,85 - 0,16) 0 , 5 . (0,175 - 0,3)"°' 3
işleminin sonucu kaçtır?
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 26
A) 2
B)4
C)6
D) 8
9.
10
4.
+
2
x-ı
x
+ 10
X
+
2
B)1,3
C)-0,26
x
E) - 2,6
a ve b birer tamsayı olmak üzere;
x
- 1 + 2X_1
(a + b ) . 9 b _ a = 1
125
/„
olduğuna göre,
D ) - 1,3
E) 10
u\2a-2b
(a + b)
kaçtır?
o.,
= 81
olduğuna göre, a. b çarpımı kaçtır?
A) - 3
B) - 1
C) 0
D) 1
E)3
A) 15
10.
5.
a
tamsayı olmak üzere,
B)18
x = 5a
C)20
ve
D) 24
E) 36
y = 51_a
olduğuna göre, x azalarak 5 olursa y nasıl de­
ğişir?
(a + 2) 2 + (a + 3) 2 + (a + 4) 2
A) Azalarak 1 olur.
B) Azalarak 0 olur.
C) Artarak 5 olur.
D) Artarak 1 olur.
toplamı en az kaçtır?
A)0
B)2
C)4
D) 7
E) 12
E) Artarak 0 olur.
139
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . a, b, c
1 1 . m ve n birer tamsayı olmak üzere,
pozitif tamsayılar olmak üzere,
a
3
3
m
(0,000125)~ . (0.00032) = 2 . 5
12.
B)18
1 -
C)24
(25)
x
D) 32
= m ve
olduğuna göre, m + n
hangisine eşittir?
1
5
A) 8
E) 36
X
17.
=n
B) - n
(x
13.
D) 2n
için aşağıdakilerden hangisi
B) 1 < x < 2
D) 3 < x < 4
x 2
-
9
= 1
C)3^2
B)4
18.
D) 6
E) 9
a=9.b
4 . 3 x - 7 y = 25
A) 0 < x < 1
- 1)
E) 28
E) 4n
2 . 3 X + 7 y = 35
olduğuna göre, x
doğrudur?
2
D) 23
olduğuna göre, x in alabileceği pozitif reel sayı
değerlerinin çarpımı kaçtır?
toplamı aşağıdakilerden
C) n
C)18
B) 12
A) 2 ^ 3
A) - 2n
c
olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır?
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 12
b
(32) . (125) = 10
n
olduğuna göre, I — J
tır?
x
°
4
A)
C) 2 < x < 3
2
ifadesinin değeri kaç-
C) 3
D) 27
E) 81
E) 4 < x < 5
1 9 . a, b, c tek sayılar ve a > b > 0 > c dir.
14.
x = (2a)b,
1
5 -.(27)-.(ir=M^
1
3/
81
A) 3
15.
B)
«l
z = (2 b )'
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
olduğuna göre, x kaçtır?
2
y = (-2a)C ,
A)z>x>y
D) - 2
E) - 3
B)x>y>z
D)y>x>z
C)y>z>x
E)x>z>y
(0,2)x + y = 25
T\*
X
(0,4 ) =
olduğuna göre, y kaçtır?
A) - 2
B) - 2
C) - 1
5-12
20.
3
1 + 3"
+ 3^-3"
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
D) 2
E)
A)
82
B)
81
O—
10
D)
E)
Cevaplar: 1-B 2-B 3-D 4-A 5-B 6-B 7-D 8-E 9-C 10-D 11-A 12-D 13-C 14-C 15-B 16-D 17-C 18-D 19-E 20-A
140
2.
BÖLÜM
KOKLU İFADELER
3. Kök içerisindeki üssü kök kuvvetine (derecesine) eşit
olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir.
TANIM
a e R ve n e Z+ olmak üzere, xn = a eşitliğini sağlayan
n/
x = Va
denir ve n. kuvvetten kök a diye okunur.
Uyarı:
n /
cağı için, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı
z =
+
değildir. Buna göre, y a (n e Z ) ifadesinin reel sayı
belirtmesi için a > 0 olmalıdır. Örneğin,
2n-1
•
a ifadesi, a nın bütün reel sayı değerleri için bir
reel sayı belirtir. Örneğin,
x3 = - 8 eşitliğini sağlayan bir x reel sayısı (x e R)
vardır. Bu durumda "v-8 € R dir.
Örnek:
o
c
x
>.
6
-5
x , x in bütün reel sayı değerleri için reel sayı belir­
tir. Ancak, Vx-1 ve V1 -x ifadelerinin reel sayı be­
lirtmeleri için, sırasıyla x - 1 > O ve 1 - x > O olmalı­
dır. Buna göre, 1 < x < 1 olacağından x = 1 ve
Vx-T +3
Vî^T + 3
0+3
= 3
4 /
3 r in değeri 4 /
3/~
0+1
V1-1
(üslü şekilde yazma)
X
2* = 2 3 ,
3 = - 3 5 tir.
/m
=
X
=
Vx
•
3/—
3.2/—
/
2
3.2/
3/
^ f~ÜT
/ m. r
sr~
\1
=
Vx
V x
15/
V2= V2 =V4,
r
dir.
15/—
V32 = V2
5
= V2,
6/~
• V-2 = - V22 = -V4 ,
•
3/
12/
3/—
3/
V(-3)4 = V |—31 = V3 * V-3 tür.
I. Toplama - Çıkarma
Benzer köklü ifadeler toplanıp-çıkarılırken katsayıları
toplanıp - çıkarılır.
aM x"
2
tir.
Köklü ifadelerde işlemler
Kök kuvvetleri aynı ve kök içindeki ifadeleri de bir­
birine eşit olan ifadelere benzer köklü ifadeler denir.
o
X
dir.
. Z
+Vı
Köklü İfadelerin Özellikleri
(W . \
n
n
3 ~~
V l - x + Vx
-31 = 3 tür.
5. Bir köklü ifadenin derecesi (kök kuvveti) ile kök içindeki ifadenin üssü, aynı sayıyla tanım şartlarına uygun bir şekilde çarpıtabilir (kök kuvvetini genişletme) veya bölünebilir (kök kuvvetini sadeleştirme).
r e Z+ olmak üzere,
Vl-x + Vx
olur.
2
= -"V125
ifadesinin alabileceği reel sayı değerini bulalım.
=
X
Vx^T + 3
x e R olmak üzere,
VX
•3)
Burada, n çift sayı ise — > 0 olmalıdır.
y
x2 = - 4 => x g R (V 3 ^ e R) dir.
n,
/
4. Kök dışındaki bir çarpanın üssü, kök derecesi
(kuvveti) ile çarpılarak kök içine yazılabilir. Buna göre,
Hiçbir reel sayının çift kuvvetten kökü negatif olamaya­
1.
2
= |a| dır.
a
= a,
3
Buna göre, x = a <=> x = V a dır.
2n
2n
V^
^ - (-2) = - 2 ,
n r~
n
2n- 1
ne Z için,
reel sayısına a nın n. kuvvetten kökü
(üs alma)
+
b V x" - cM x" = (a
+
b - c) V x m dir.
V3 + V2 toplanamaz, (kök içleri farklı)
3
2 dir.
V 5 - V 5 çıkarılamaz,
(kök kuvvetleri farklı)
141
MATEMATİK SORU BANKASI
V4
3. Köklü Sayıların Sıralanması:
Tanımlı olduğu durumlarda,
7 2*
a < b < c « Va
<
Vb
<
Ve
dir.
= V 3 . ( 5 - 2 + — j = - V 3 tür.
•
Uyarı:
Bir kesrin pay ve paydasındaki bütün terimlerin köklü
sayı çarpanları aynı dereceli ise kök içleri aynı sayıyla
çarpıtabilir veya bölünebilir. Örneğin,
-y^9 + VÖT4
_ V9+V4
3 +2
V4 - VT
2-1
VÖ74 - ^
2
Vx :Vy =V x
V4.V9
Örneğin,
3/479
1
.
V2
i
n
a
a
' m
X
X
a
a
Vx~
Vx"-
ile
•
= ^6,
V
X
n -
dir.
Vx"
= Vx~
V3 + 2V2 = V2 + 1,
2.1
V5 - 2V6 = V3 - V2 dir.
3+2
x
=
'V x olur.
Burada pratik olarak, en soldaki veya kökler arasında­
ki çarpanın üssü, bu çarpanın sağında olan bütün
köklerin kuvvetleriyle çarpılır ve bulunan üslü ifade en
sağdaki kökün içine yazılır.
e
•
x = V 2 1 2 ise,
bulalım.
Vx.Vx2.Vx"
tir.
v x . V x 2 Vx
=
2.3.2 /
Vx1-32.x22.x
•
•
djr
x - y
V2 + 1
(Vlf - 1)
3.(V2 + 1) - 3.(V2 - 1)
2 - 1
= 3V2+3-3V2+3 = 6
142
11 / ™\T2
=2 dir.
İç İçe Sonsuz Kökler:
•
V2 - 1
(V2" +1)
ifadesinin değerini
= Vx11 =x12=\211j
a
_a(Vx"-Vy~)
Vx" + Vy
x - y
(Vx-Vy)
Vx" - Vy
(Vx+Vy )
3.2
m/
12/—
=a(Vx + V y )
dir.
VWT
2. ( Vx~ - Vy ) ile ( Vx~ + Vy ) ifadeleri birbiriyle
çarpıldığında çarpım rasyonel sayı olur.
a
^
(a>b)
i
/ 3 /
Vx\
9
2. Tanımlı olduğu durumlarda,
o
>E
«
çarpımı
2
a + b ab
^ ^ T = 1 V ? ^ = 1 V^d,|
n > m olmak üzere, "V x
rasyonel sayıdır. Buna göre,
4
Vx ± 2Vy = Vâ ± Vb
: y dir.
III. Paydanın Rasyonel Yapılması
2
= — sayılarını sıralayalım.
V5
İç İçe Sonlu Kökler
1. Toplamları x, çarpımları y olacak şekilde a ve b gibi iki
reel sayı varsa, (x = a + b ve y = a.b oluyorsa);
2+1
V8.V4
z
y=-~.
V3
x = —,
y = —,
z = — ve
2
3
5
x, y, z pozitif sayılar olduğundan x, y, z arasındaki
2
2
2
sıralama ile x , y , z arasındaki sıralama aynıdır. O
2
2
2
halde, x < y < z => x < y < z dir.
II. Çarpma - Bölme:
Kök kuvvetleri aynı olan köklü ifadeler çarpılırken ya
da bölünürken, kök içleri aynı kök içinde çarpılır veya
bölünür. Kök kuvvetleri farklı ise önce kök kuvvetleri
eşitlenir. Buna göre, tanımlı oldukları durumlarda;
x . v y = V x.y
x =-—,
V2
•
"/
n
/
n/
n-1/~
V x V x /Vx... = V x ,
V x : Vx : V x 7 T = n + V x ,
1/ ^ J ^ r _,_
V x ± V x ± Vx ±...
V4x + 1 ± 1
=
,
2
Pratik olarak, a > 0 olmak üzere,
Va(a +1) + Va(a + 1) + Va(a + 1) TT7
dır.
= a + 1,
Va(a + 1) - Va(a + 1) - Va(a + 1) ^ T ~ = a dır.
1.
VÖJ6 + VÖ64 - fÖfi4
x negatif bir reel sayıdır.
işleminin sonucu kaçtır?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)-2x
B)-x
C)0
D)x
A) 0,4
B)0,06
C)0,2
D) 0,6
E)1
E)2x
7. 0,0049 sayısının karekökü kaçtır?
2. x pozitif bir reel sayıdır.
A) 0,003
B) 0,07
D) 4,9
C) 0,7
E) 0,49
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)-2x
C)0
B)-x
D)x
E)2x
o
c
o
>-
fT$2
3.
+
4
"
B) - 2
C) - 1
©
A)
D)1
5.
C)0
9.
CJ5
49
40
C)
49
20
D)
36
25
E)
36
35
Vo,125
A) 0,05
D) 2
E) 4
D) 3
C) 0,25
B) 0,5
E) 0,025
D) 0,005
1 0 . Aşağıdaki irrasyonel sayılardan hangisinin yaklaşık
değeri bilinirse, V300 sayısının yaklaşık değeri ko­
laylıkla hesaplanabilir?
işleminin sonucu kaçtır?
B)7
B)
işleminin sonucu kaçtır?
144 - Vİ69 + ^64 - İ 2 5
A) 12
20
E) 2
işleminin sonucu kaçtır?
B)-1
1 + 11
25
16
işleminin sonucu kaçtır?
u.
V ^ - ^-8
A)-4
1+
E
V^2?
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 3
8.
E) 2
A) İ2
B) V3"
C) fE
D) V¥
E) İ7
143
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
V~24 - V54 + Vİ5Ö
16.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 6^6
B)5İ6
C)4Vİ
D) 3^6
işleminin sonucu kaçtır?
E) 2İ~6
A) 2^2
B)2
C)İ2
D)V2
E)V2
D) 2
E) 2 ^ 2
0,4 + VÖ9 + f â s
12.
V2.V4
17.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0,2
B) 0,5
C) 0,î
D)1
işleminin sonucu kaçtır?
E) 1,2
A) V 2
2,5 . X = 5
13.
18.
B) V 2
İ2
C) İ2
fö
olduğuna göre, x kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) İİ
B) V1Ö
C) 2İI
D) 2V1Ö
E) 5
£
4~2
B) İ2
C) 2V2"
D) - İ2
14.
E) - 2İ2
4/ 32_
27
19.
işleminin sonucu kaçtır?
A)
B)
C)
D)
2 + V~2
f2
işleminin sonucu kaçtır?
E)
A) 2 İ2
B) 3
!
C) 2
D) İ2
E) 2 - 3 İ2
-81
15.
20.
V3
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 3
B) - 1
C) - -
VxVT = 3Ü$
olduğuna göre, x kaçtır?
D)
E)-
27
A) 9
B)8
C)6
D) 4
E) 3
Cevaplar. 1-A 2-E 3-D 4-E 5-E 6-E 7-B 8-C 9-B 10-B 11-C 12-D 13-B 14-D 15-A 16-C 17-D 18-A 19-C 20-A
144
2.
BÖLÜM
6.
1.
a ve b reel sayılardır.
(-!)"
Va + b-1 + | a - 2| = O
ifadesinin değeri kaçtır?
<
TEST
2
KOKLU İFADELER
olduğuna göre, b kaçtır?
C) 2
B)
D) 4
E) 8
A) - 2
2.
B) - 1
7.
ifadesinin değeri kaçtır?
A)V4
2A/ 1 -
D) Vİ"
E) 2
A) 2İ2
B) Vâ" + 1
>E
0
ifadesinin değeri kaçtır?
u.
8.
@
B)3İ5
C)2İ5
D)Y5
/
İ2
B) 3V2
C) İ~3
9.
D) İ2
E)1
3 + fi
A) 3
B) 4
C) 5
B)10
C) 11
E) 7
E) 13
D) 4
E) 5
=3
B) 2
C) 3
x = İ3 + 1
olduğuna göre, x2 - 2x + 4
D) 6
D) 12
olduğuna göre, x kaçtır?
10.
ifadesinin değeri kaçtır?
a
=2 16
V^+
A) 1
VT-±L + V7
4
olduğuna göre, a kaçtır?
E) O
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2V3"
E) 2 - {3
V2V2V2
A) 9
İ3 - İ2
C) V~3
D
V45 + Veö - V20 - VI25
A) 4/5
E) 2
Vİ"
D) İ3 - 1
3.
D) 1
ifadesinin değeri kaçtır?
C )VV 4 4
B)V2
C) O
A) 2
B)3
C)4
kaçtır?
D) 5
E) 6
145
MATEMATİK SORU BANKASI
16.
f(x) = v x + V x + Vx +
11-
+ V(0,25)~1
-Ü~
64/
olduğuna göre, f(20) + f(90) kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 10
B)12
C)15
D) 18
E) 20
A) 6
12.
B)8
:Vx = 1(
A)1
B)2
V ?İ2 + V11 -2V1İ"
kaçtır?
C)3
D) 4
işleminin sonucu kaçtır?
E) 8
A)V2
Vx + Vx + ... = 6
13.
18.
B)20
C)12
D) 6
E) 5
B)1
C)2
D)2Vİ
İ7 +İ5
o
c
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 30
E) 14
D) 12
2 + ^8
17.
olduğuna göre, y x
C)10
İ7 -İl
o
işleminin sonucu kaçtır?
E
A)-V7
B)-V5
E) {3
C)-1
D)^5
E)İ7
©
2-^3
14.
ifadesinin değeri kaçtır?
A)2 + f3
B)2-V3
4
+
C)4
E) 2^
E) Vâ
B
>;
C)
V 0,04
=0
A) 5
B)4
C)3
D) 2
E)1
2 0 . Y245 sayısının yaklaşık değerinin hesaplanabilmesi için aşağıdaki sayılardan hangisinin yakla­
şık değerinin bilinmesi gerekir?
9 ~3
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
V 0,008
olduğuna göre, n kaçtır?
j _ j _ _ ı_
15.
3n-1/f
19.
2 + ^3
D
4
E)
A) Vİ5
B) VTÖ
C) V7
D) İ 5
E) V3"
Cevaplar: 1-0 2-B 3-E 4-C 5-A 6-B 7-D 8-C 9-A 10-E 11-C 12-D 13-A 14-B 15-E 16-C 17-C 18-B 19-E 20-D
146
İ45.VTÖ
1.
6.
27. Yİ"
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 3
B) 5
2.
A) 2
C) 9
D) 10
C)2f2
D)4f2
E) 4^3
V^8~ + V(-4) 2 : İ4
7.
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
B)-V5
B)4
E) 15
V~5 + V 4 5 - V~8Ö~
A)-2İ5
V 9 + 4^2 - V 9 - 4V2"
D) İH
C)0
A) 2
E) 2^5
B) 1
C) 0
D) - 1
E) - 2
D) 5
E) 6
D) 6
E) 7
o
c
V 0,009 - V 0,004
3.
o
V 0,001
E
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 2
B) - 1
4.
1 -
D) 2
E) 3
A) 2
5.
,jyx10-3n
6
1-Vâ
B)-V2
B) 4
C) 4
=
y ^
C) 5
Vöv
10.
^3
C)-1
A) 3
6
V (0,04)" »(125)
x-2
olduğuna göre, x kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A)-V3
=6
olduğuna göre, n kaçtır?
o
^
B) 3
11
36
işleminin sonucu kaçtır?
A)
A
olduğuna göre, x kaçtır?
©
C) 1
1 +— +
9
8.
Ü)İ2
.E)Vâ
A)
B
»f
7
o12
°>f
E
»F
147
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
x=a
16.
Va2-5
+
y = a- V a 2 - 5
olduğuna göre,
x=5
x=y3+2İ2
olduğuna göre,
B) 2
- l).x
kaçtır?
için y kaçtır?
C) 3
C)2
B)
A)1
A) 1
(İ2
D)
E) 3
D)
E) 3
E) 6
D) 4
17.
V 9 ^ . V 2 7 ^ = 27
1 2 . a < 0 < b olmak üzere,
olduğuna göre,
fb*~ - V b 3 - 2 fa 2 " + V - a3
ifadesi aşagıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2b - a
B) 2b + a
B)
A)1
3
C)2
E) 3a
+ Vâ = 5
18.
3 /
M
B)V3
olduğuna göre,
o
c
9/\l 3
o
>E
ifadesi aşagıdakilerden hangisine eşittir?
A) V3
kaçtır?
C) a + b
D)a
13.
a
C)V3
D)V9
E) İ3
A) 6
a + —
B) 5
il
kaçtır?
C)4
D) 3
E) 2
D) 4
E) 5
@
19.
V 34 + V -10 +-V
14.
İ5=a
ifadesinin değeri kaçtır?
^2 = b
A) 1
olduğuna göre, Vlso" aşagıdakilerden hangisine
B) 2
C)3
eşittir?
A) a 2
C) a . b2
B)b^
D) a 2 . b2
E) a 2 . b
VĞ
20.
İ~5
15.
^ 2 5 x - — = 20
A) 1
B) 4
x
A)İ2
kaçtır?
C) 5
+ İ2
İ5-İ3-İ2
işleminin sonucu kaçtır?
V7
olduğuna göre,
+ İ3
İĞ
D) 25
E) 36
B)İ3
D) İ2 + 1
C)İ5
E) İ3 + İ2
Cevaplar: 1-B 2-C 3-C 4-E 5-C 6-A 7-C 8-E 9-B 10-D 11-A 12-D 13-E 14-E 15-D 16-A 17-B 18-A 19-B 20-E
148
2.
BÖLÜM
1.
TEST
4
KOKLU İFADELER
a = İ~5 +2
6.
x ve y birer tamsayı olmak üzere,
b = İ5 -2
V3 - x + 3x + 3
Vx - 1 + 4
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 3
2.
B)4
2
olduğuna göre,
C)5
D) 6
2
a -b
A) 5VTÖ
kaçtır?
B) 6fTÖ
E) 7
D) 8 f 5
C) 7^5
E) 10f5
V0,25 + V 0,0025 + V 0,000025
7.
0 < x < y
olmak üzere,
işleminin sonucu kaçtır?
A) 5
B) 1
C) 0,55
D) 0,555
V(x - y)
E) 0,56
4 r/ —
4
+ 'V x
1 .
?/ 3
- 'V y
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x
D
B) 2y
C) x + y
D) y
E) 0
C
3.
X.
Vl8 + V58-V8T
o
Jü
işleminin sonucu kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
8.
E) 8
9x.'\/ —
3
olduğuna göre, x
A)
4.
Vx 2 + 5 - Vx 2
olduğuna göre,
27
B)l
9
= 1
kaçtır?
C)l
3
D)3
E) 9
3=2
Vx2 + 5 + V x 2 - 3
değeri
9.
0,0016 sayısının kare kökü kaçtır?
kaçtır?
A) 0,4
A) 2
B)3
C)4
D) 5
{7 + i~e
-fe
B) V7
C) İ6
3/
E) 0,004
6/—
•3 . V 3 . -V3
A) - V 20
D) İ5
D) 0,16
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2İ2
C)0,04
E) 6
10.
İs + iî
B)0,2
E) İ3
B)-V27
D)V3
C) --V 20
E)-V3
149
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
x=(l+V2)
olduğuna göre, V~8
eşittir?
A) x - 3
aşağıdakilerden hangisine
B) x - 2
D) 2x
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 20
11
C) x - 1
-
V244.101 - 100.245
B)12
A)1
C)13
V V3a + 4
D) 14
- V 3Va
=0
D)
B)^2
İ2 = a ,
23
20
VT = b ,
C)V2
D)V2
E) 2
V2Ö" - 2
Vİ3 - İ5 + 1
H
A)
5
B
) ^ C)*»
5
D)Ü
5
10
E)
«
E)
19.
14.
E)
işleminin sonucu kaçtır?
o
o
C)
B)
D) £1
20
Jİ9
20
E) 15
olduğuna göre, a kaçtır?
<
C)
V3 + f â . yfz - 1
18.
13.
19
11
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 11
B)
E) 2x - 3
17
12.
1
16
2
— +
+—
16
25
5
16.
a = VTT + Vİ9
b = İW + f\7
İ~5 =
c = İ~8 + V~22
olduğuna göre, 5^-. "\/ —'2 V 0,25
kilerden hangisine eşittir?
ifadesi aşağıda-
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru­
dur?
A)a<c<b
A) ac
15.
B)
ab
C)
ab
D)
be
E)
20.
olduğuna göre, x kaçtır?
A)-5
B)-4
C)-3
D)c<b<a
ac
IR~Â2 = 4^
B)b<a<c
C)a<b<c
E)c<a<b
y A.{7J[<4.V2...
işleminin sonucu kaçtır?
D)-2
E)-1
A) f6
B)İ~3
C) 2
D) İ2
E) 1
Cevaplar: 1-B 2-D 3-B 4-C 5-A 6-D 7-E 8-A 9-C 10-B 11-A 12-B 13-C 14-E 15-D 16-D 17-A 18-C 19-E 20-C
150
6.
olduğuna göre, x kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
B
O
>!
2.
D).
A) 1
E)1
a = (2 + Vâ)
B
C)
>7
D)
E
V( 2 -v¥) 2
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
8.
C) ViB
VsYTv5.V57
C) Vö - 2
olduğuna göre, a kaçtır?
E
e
1
A) 5 2
1
B) 5 3
C)5
c|
x > 1
D) 5
E) 5
olmak üzere,
_Y0,3
b = x0,6
a=x
= V6
D) Ş-
A)c<b<a
E)*
9
V8 - 16x - V2x - 1 =
olduğuna göre, x
kaçtır?
A)-15
B)-14
.0,6
C = X
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru­
dur?
B)c<a<b
D)a<b<c
D)-12
=a
©
olduğuna göre, a kaçtır?
5.
D) VTÖ E) Vt5
E) Vö
Va + Vâ - la-fa
15
B) VĞ
o
9.
A)
E) 5
V4 + Vîi" - V4 - V ^
c
D) Vö"- 1
D) 4
>7
3.
B)2 + /5
C) 3
işleminin sonucu kaçtır?
o
A)1+Vİ
B) 2
7.
olduğuna göre, (2 - V~3~ ) ifadesinin a türün­
den eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
V27 + 9x + 3Vİ2 + 4x = 18
10.
C)a<c<b
E)b<a<c
4--L-3l72+J!
27
C)-13
E)-11
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
151
MATEMATİK SORU BANKASI
İ3
11.
3 -
1 6 . x > 1 olmak üzere,
f3
Vx + 1-2V7
2 - Yâ
B) İ3
12.
X
C) 1
D) 0
A) 3
E)- Vâ
Yİ" + 1
İ2 - 1
=
=6
olduğuna göre, x kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2İ3
+Vx + 1+2fx
B)4
C)9
D) 16
E) 25
17.
6 + V 7 + V 6 - Vö - V F ^ T
olduğuna göre,
Vs"-1
ifadesinin x türünİ2 + 1
den değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
C)
B)
D)
işleminin sonucu kaçtır?
A) İ~6
B) V7
C) 3
D) V1Ö
E) 4
E)
1 8 . a ve b birer pozitif reel sayı olmak üzere,
1 3 . x ve y reel sayıdır.
V a - 3b + 2a - b
V 3b - a + a + b
y=
V3 - x - 2
kesri bir reel sayı belirttiğine göre, bu kesrin de­
ğeri kaçtır?
olduğuna göre, x kaç farklı tamsayı değeri alır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
•
A) 2
E) 5
B)
C)
D)
E)
19.
1 4 . a ve b reel sayıdır.
(1 + V^).(ı + y2)\-\ + V2)
a = V-4b 2 + 4 b - 1 + 6b + 3
işleminin sonucu kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 6
B)3
C)0
D)-3
E) - 6
A) V 2 - 1
B) V 2 - 1
D)V2
V 28 + 8fÎ2 _ V3^
2
Vİ2 - 2
15.
fi
B) İ2
^
E) İ2
20. V 2 - İ3 - İ2~ . V 2 + İ3- İ~2 . VV2~ - 1
işleminin sonucu kaçtır?
A)
C) 1
ifadesinin değeri kaçtır?
D)1
E)^6
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Cevaplar: 1-A 2-E 3-B 4-C 5-C 6-A 7-B 8-C 9-C 10-E 11-C 12-B 13-D 14-A 15-D 16-C 17-C 18-D 19-B 20-E
152
2.
BÖLÜM
TEST
6
KOKLU İFADELER
c<b<0<a
V3x - 10 + Vx + 5
in
ifadesi bir reel sayı olduğuna göre, x yerine aşa­
ğıdakilerden hangisi yazılamaz?
A) 3
B)4
C)5
D) 6
olduğuna göre,
3
m + 3n = 8
sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)a + b - c
B) a - b - c
E) 7
5J = 3
5 = 3 ,
7.
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
r*
Va - ' V b + 'V c
D)-a + b-c
2.
A
AT
5
3
rr
işleminin
C)a + b + c
E)-a-b+c
rr
ym
sayısının y m
lerden hangisidir?
sayısına oranı aşağıdaki­
E) 5
A) m
B) m
a < 0
olmak üzere,
C)m
15
E) m - 1
D) m
o
c
x-2
3.
£
= 128
8.
«
V ^ a " 3 . ^ 8a".-V
u.
olduğuna göre, x kaçtır?
a
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 32
B)44
C)86
D) 92
E) 102
A) 2a
4.
<\7V (15)
3
10
1 0 _
B) -
C) - 2a
- 10 1 0
9.
p10
a
E)
2İ2
1 -
İ2 -
İ2
işleminin sonucu kaçtır?
A) 3
B)5
C)9
[D)
25
işleminin sonucu kaçtır?
E) 36
A)-3
_1
2
5.
4
_2
3
_3
4
10.
+ 8 + (16)
B)
C)
C) 1
Ü)İ2
E) 3 ^ 2
VÖ4 + V3^6 - İ 4 £
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A)!
B)-1
D).
E)
A) 10V1Ö
B) 10
C) V7Ö
D) 1
E)
10
153
MATEMATİK SORU BANKASI
11-
16.
V 0,0016 + V 0,125
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0,5
B)0,6
C)0,7
D) 0,8
A) 5
E) 0,9
V72 - V1Ö8
12.
B) 3
C)3
D) 2
E)1
işleminin sonucu kaçtır?
C) 1
A) 1
E)-6
D) - 3
3 - Vİ2
İ3
B) 2
E) 5
D) 4
C) 3
V2 + V2 + V2T
18.
13.
B)4
V 7 + VT7V7TW
17.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 6
(V5-ı).Ye +Vâ>
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
o
B) İ 2
D) İ3
C) 2
E) 3
•>-
A)-3
B)-2
C)2
D) 3
E) 2^3
E
©
19.
n^
14.
Va:Va:la7T
+ Va.Va.Vi
= 12
olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisidir?
A) 125
B)64
C)27
D) 8
E) 2
işleminin sonucu kaçtır?
A)3İ3
B)2V3
C)3
D) İ3
E)
VI
20,
1
1
1
2
3
4
a = 2 ,
15.
A)c<b<a
işleminin sonucu kaçtır?
B)-1
C)0
D)1
E)İ~3
Cevaplar: 1-A 2-B 3-B 4-D 5-D 6-B 7-C 8-D 9-A
154
c=4
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru­
dur?
Yl5 - f 5 6 - VT4
A)-2Vİ4
b=3,
10-E 11-C 12-E 13-A
B)b<a = c
D)b<c<a
C)a = c < b
E)a<b<c
14-D 15-B 16-B 17-C 18-C 19-B 20*C
» H ı
ılmji
'*** *: i-
2.Y(-4)2 - V ( - D 2 + V(-2)'
1.
6.
x < 0 olmak üzere,
Vd-ıo 2 ) 2
(Vx ) + Vx 4 + Vö4x3
işleminin sonucu kaçtır?
2
A) 9
işleminin sonucu kaçtır?
1
C)l
9
2
B) —
11
1
D)—
11
9
E) —
11
A) - 6x
şık değeri bilinirse V450 sayısının yaklaşık de­
C) İ~5
D) İ~6
8
n
TI
A)Vm
E) V7
=m
C)Vm
B)Vm
v,
o
8.
b pozitif ve a, c, d negatif reel sayılardır.
>-
işleminin sonucu kaçtır?
B)2
E) m. M m
/ .m+3
V«
A)1
C)4
D) 16
4â<
a = '\ c.
E
E) 64
olduğuna göre, fb aşağıdakilerin hangisine eşit­
tir?
e
A)_ 2cd
a
[(-0,5)-0'5]
B) Reel sayı değildir.
C) Negatiftir.
D) Rasyonel sayıdır.
9.
İ~2 = n
olduğuna göre, İ~Z2 + VötT - İİ2 işleminin so­
nucu kaçtır?
E) Tamsayıdır.
A) n
V 2 4 + 24 + 24 + 24
C)4
C) 3n
D) 4n
E)5n
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
B)8
B) 2n
(V£-VfM?)
10.
j/-3
3
3
i
V4 + 4 + 4 + 4
A) 16
8cd
E)-**
a3
a3
işleminin sonucu için aşagıdakilerden hangisi
doğrudur?
A) Tektir.
C)
3
ı-0,5
4.
E) 6x
1
D) Vm
3.
D) 4x
olduğuna göre, 4 * işleminin sonucu aşagıda­
kilerden hangisidir?
ğeri hesaplanabilir?
B) ^ 3
C) 2x
n+1
2
7.
2. Aşağıdaki irrasyonel sayılardan hangisinin yakla­
A) İ 2
B) - 4x
D) 2
E)1
A)
"/I"
B)V¥
C)f5
D)fĞ
E)V
- 155
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
V0,4 + V0,9 + V2,5
16.
B) 1
C) 1 ^ -
D) İ2
E)
A) 3
10
12.
17.
B) V3
V x.Vx^
A) 1
B)24
C)32
D) 36
sayısı,
B) 2
Vs
V x.Vx
E) - 2
sayısının kaç
C) 3
D) 4
E) 5
V5 + VTo" + Vs - Vü
Vi
20
D) - V2
E) 42
18.
13.
C) V2
katıdır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 12
İ3
+
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) VTĞ
(İ2-fĞ).İ2
İ5 + VÎ5
Vs + 2
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 9
B) 6
C) 3
A) 1
O
D) 2
E) 1
19.
2 - Vâ
14.
2 + V3
+
2 + V3
B) V2
C)2
D) V5
E) 3
>E
Va + Va + Va+77 = 4
eşitliğini sağlayan a sayısı kaçtır?
2 - İ3
A) 4
B)6
C)12
D) 20
E) 30
işleminin sonucu kaçtır?
A) 14
B) 7
C) V İ
D) 1
E)-
Vâ
2 0 . m ve n
15.
pozitif tamsayıdır.
x = 7 - V4Ö
V 16. V I 6 . V 1 6 ... = m
olduğuna göre, V x + V 2 işleminin sonucu kaç­
tır?
A) - Vö
B) - V2
C) V5
D)-/2
E) 1
olduğuna göre,
A) 1
B) 2
n
en çok kaçtır?
C) 3
D) 4
E) 5
Cevaplar: 1-D 2-A 3-C 4-B 5-E 6-D 7-E 8-A 9-C 10-D 11-A 12-B 13-A 14-A 15-C 16-E 17-A 18-B 19-C 20-E
156
2.
BÖLÜM
6/
»•
TEST
8
KOKLU İFADELER
Al
-Vx + 3
6.
- V8 -
x < 0 < y
VxV + fxy + v? + f7
ifadesi bir reel sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x > - 3
B)x<8
D) x > 8
olmak üzere,
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
C)-3<x<8
A) 2xy + x + y
E) - 3 < x < 8
B) x + y
C) x - y
D) - x + y
2.
V2700
sayısının yaklaşık değerinin hesaplana-
laşık değeri bilinmelidir?
B) İ3
9n = m3
7.
bilmesi için aşağıdaki sayılardan hangisinin yak­
A) İ2
olduğuna göre, (243) n işleminin sonucu aşağıda­
C)İ~5
D)fe
kilerden hangisidir?
E) VTÖ
3.
D)m7/m
= y{2 +
= VVâ - 1
I
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
B)z>y>x
Dx>z>y
8.
a
pozitif tamsayı olmak üzere,
a+1
~
m=
x
B)
2x + 3
V
X
9.
kaçtır?
A) 4
B)5
çarpımının sonucu aşağı
B) a
a
2a + 1
1a + 1
D) a'
C) a
iz = a
E)1
D) - 3
Vİ = b
ve
olduğuna göre, V540
ifadesinin eşiti aşağıdaki­
lerden hangisi olabilir?
E) - 4
B)9ab
C) 12ab
D) 18ab
E) 36ab
3 + 3
X
X
10.
3 + 3 + 3
olduğuna göre,
m . n
= (128)J
C) - -
V3X +
n = y a
dakilerden hangisidir?
A)6ab
5.
ve
E)y>z>x
Vüâ 0625)
olduğuna göre,
a+1
^ a
olduğuna göre,
C)z>x>y
A) a
4.
E) m i m
o
>-
z = V l 2 + Vâ"
A)x>y>z
C)m5V7n
B)m3fm
A) mVm
A) 2
E) 0
x
işleminin sonucu kaçtır?
kaçtır?
C)6
V 2982 . 2020 - 2018 . 2980
D) 7
E) 8
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 15
157
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
x=4-Vö
olduğuna göre, İ20
eşittir?
A)2-x
16.
A) 2 + V I
C)6-x
D) 8 -2x
-Vâ
B)3
D) 9
C)4
y 4 +V7
A)V2
B)V3
32 İ2
a=
-U-iî
C)VĞ
D)V7
E) VTT
E) 64
18.
13.
+ İ6 + VTT
işleminin sonucu kaçtır?
ifadesini doğal sayı yapan en büyük a doğal sayı­
sı kaçtır?
A) 1
C)V3+1
E)2 + V2
V e - VTT
17.
VI
1
Vâ + 1
B)V3+Vİ"
D)V2 + 1
E) 1 0 - x
ü
12.
işleminin sonucu kaçtır?
aşağıdakilerden hangisine
B) 4 - x
V l 7 + 6/8
VI
D
m = V x. İx ve n = V x
olduğuna göre, 2m - n
n
sine eşittir?
aşağıdakilerden hangi-
C
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi bir tamsayıdır?
B) a2
A) a
C)a 3
D) a5
E) a7
^
>E
•
A) n3
C)2n 2
B) n2
D)n
E) 3n
1 9 . a > 0 olmak üzere,
14
V5 + V3
İ5-İ3
İl -İZ
İ5+İ3
30
a2.Va2.Va2T
İ3Ö
V2-1
+
Va3:Va3: f T T l "
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
eşitliği verildiğine göre, a kaçtır?
A)VÎÖ
B)2Vİ
C)5
D)V3Ö
E)2V30
A)Va
B)Va
C) İ2a
D) a
E) 2a
2 0 . 0 < a < 1 olmak üzere,
15. 0 < a < 3
olmak üzere,
x=Va\
m = Va + 3 -2.Vİâ + ——
olduğuna göre, m + 1 toplamı aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
B) a - 1
C) 2
D) 3
z^Va7
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
VI
A) a
y = V7,
E) 4
A)x<y<z
D)x<z<y
B)z<x<y
C)y<x<z
E)z<y<x
Cevaplar: 1-E 2-B 3-C 4-C 5-B 6-D 7-D 8-A 9-A 10-C 11-D 12-B 13-B 14-D 15-E 16-D 17-E 18-B 19-E 20-C
158
1
u&.-.-y" .: r.'-.fJVŞTîfc*
.*»•»
1.
a > 3
İS
V.4İÜ3NK
6.
olmak üzere,
v;
2
& ^
4 < x < 5
m = Vx - 4 - 1
ifadesi aşagıdakilerden hangisine eşittir?
B)a + 5
D) a + 3
2.
C)a + 4
olduğuna göre, x - m.n kaçtır?
E) a + 2
A) 1
_3J~
2V2.V2
olmak üzere,
n = V x - 3 + 2Vx - 4
2
a + 7a + 19 + Ya - 6a + 9
A)a + 6
7.
3.
D) 32
E) 64
E) 5
V~Î5~ + f î ö " + 2V3" + 2V2"
b=
C)16
D) 4
4 + VsT.a = İ~3 .a + 3
olduğuna göre, a kaçtır?
B)8
C)3
B) 2
V2
A) 4
;-nsh(f'.
İT + 2
olduğuna göre, aşagıdakilerden hangisi doğrudur?
A) b = a - 1 B) b = a C) b = - a
.(y^ıMV^O.-jL-
o
e
Vx - 1
D) a + b = 1 E)a + b = 2
O
>-
olduğuna göre, x kaçtır?
8.
x bir doğal sayıdır.
E
Q>
A) 3
4.
B)6
a > 1
C)9
D) 18
E) 27
©
V x + Vx + ...
. V x - İx - ...
işleminin sonucu aşagıdakilerden hangisidir?
olmak üzere,
ı
a 2 + - 2L - 2
a
A) 2x
B) x +1 C) x
D)—
x
E)1
V(a - D3
ifadesi aşagıdakilerden hangisine eşittir?
B)3"
a
A)±±la
D).
1
C)
a-1
İ2 +İZ + 2İĞ + 5
9.
1 +f2+Vi
1 -a
işleminin sonucu kaçtır?
E)-a
A)İ3 +İ2
B) V~3 + 1
D) İ~3 - 1
5.
C) İ2 + 1
E) V2 - 1
x pozitif tamsayıdır.
x2
+
x-Vx2
+
x-Vx2
+
x-
...
Xi
10.
x=V(-2) 1 1 , y=V(-3) 2 , z = V7
olduğuna göre, aşagıdakilerden hangisi doğrudur?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) V 3 B) İ~3
C) 3
A)x>y>z
D) 6
E) 9
D)z>y>x
B)y>x>z
C)x>z>y
E)z>x>y
159
MATEMATİK SORU BANKASI
1
11
M2
2-1
3 I—
A)V2+1
3 i
B)V4
C)V3
A) 32
3/
D)V2
D) 84
E) 168
x - 2 y - 1 0 = x f 5 + y ^20
işleminin sonucu kaçtır?
B)V~3-2
C)76
1 7 . x ve y rasyonel sayıdır.
VV3 - 2
A)2 + f3
B)64
E) 1
-V7 - 2 Vİ2
12.
=4
İ2K
olduğuna göre, 15.x kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
3 I—
V2x + V2x + V2x -
16.
olduğuna göre, x kaçtır?
C)İ2-İZ
D)-1
E) 1
A) 3
B)4
C)5
E) 7
D) 6
V 3 - ^ 3 . V 3 + ^ 3 . V 3 + Vâ^
•3.
18.
işleminin sonucu kaçtır?
A) VĞ
işleminin sonucu kaçtır?
E)3-V~3
,20
A) 3™
V3" + 2
14.
B) A + B = 0
D) A = 3B
15.
A) 42
160
E) 1
B)64
C)76
D) 84
E) 168
a + fb =( İ3 - 1) . ( 4 + V I 2 T
B) 1 + V2"
olduğuna göre, a.b kaçtır?
0)^2
A)217
E) V2
5-C 6-E
D) 2 1 0
2 0 . a ve b pozitif tamsayılardır.
işleminin sonucu kaçtır?
Cevaplar: 1-C 2-D 3-E 4-A
10
işleminin sonucunun yarısı kaçtır?
E) 2A = 3B
D)V2 - 1
C)3
19. (Vİ3 - VĞ + V7) .(Vİ3 + Vi" - V7)
C) A = 2B
V4 - 2V3 . V1 + Vâ
A) y{3 - 1
20
Yâ-2
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğ­
rudur?
A) A + 2B = 0
B) 2
İ2. + 1
B=
İ2 - 1
. ( 7 + 2VI2)
(2 + Yi)10
0V2
B) 3 + V3
D)V3
(2 - Vâ")
7-B 8-C 9-A
10-D
11-E
12-D
13-A
B)3.215
14-B
15-C
C)215
16-A
D)3.210
17-C
18-E
E) 2 1 0
19-D 20-B
ÇARPANLARA AYIRMA
BÖLÜM
•
ÖZDEŞLİKLER
İki Küp Farkı, İki Küp Toplamı
Tanımlı olduğu durumlarda, değişkenlerinin bütün de­
3
3
2
2
x - y = (x - y)(x + xy + y ) dir.
ğerleri için sağlanan eşitliklere özdeşlik denir.
y yerine (- y) yazılırsa,
x(x + 1) = x + x ,
•
x
x 7t 1 için
= x + x + 1
x - 1
z - x - y
x + y - z
_ y = - (y - X ) ,
3
x
•
AYIRMA
3
•
x2y
(x - y) 3 + 2(x - y) 2 - x(x - y) 2 = (x - y) 2 (x - y + 2 - x)
2
•
4
3
2
*
x -y
ve
b-c = 3
a + be - ab - ac
5
4
3
= ( x - y ) ( x + x y + x y + xy + y ),
(x ± y) 2 = x 2 + y 2 ± 2xy
«
(x + y - z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy - xz - yz)
(a+ 1) 2 = a 2 + 2a + 1,
x + y = 80,
ifadesinin değerini bulalım.
2
x -
x + y=12
x2+-±--4,
x2
ise x.y çarpımının değeri,
(x + y) = x + y 2 + 2xy =>(12r = 80 + 2xy
=> xy = 32 dir.
Uyarı:
x + y, x - y ve x.y ifadelerinden her hangi ikisinin
değeri biliniyorken üçüncünün değeri,
2
2
(x + y) - (x - y) = 4xy
özdeşliğinden yararlanılarak bulunur.
•
x-y=2
ve x.y = 3 ise x + y nin pozitif değeri,
(x + yf - (x - y) 2 = 4.x.y => (x + y) 2 = 4.3 + 2 2
=> x + y = 4 tür.
İki Kare Farkı
x 2 - y 2 = ( x - y ) ( x + y)
•
dir.
bH = (a" - b')(a' + b') = (a - b)(a + b)(a 2 + b 2 ),
Al—
Al—
Tam Kare Araştırması:
Üç terimli bir ifadenin aynı işaretli iki teriminin karekökleri çarpımının 2 katı üçüncü terime eşit oluyorsa bu
ifade tam karedir.
a - l = ( V â - l ) ( V â + l ) = ( V a - l ) ( V a + l)(Va" + l ) ,
a 2 © 2ab + b 2 = (a ± b) 2 dir.
V V 2 - l ) ( V 2 + l ) = (-V 2 ) -1= V2-1 ,
a
,Xv2
dir.
2
1. İki Terimli İfadeler
.n\2
olur.
4
2. Tam Kare İfadeler
En az iki terimin toplam veya farkının karesi alınırken,
terimlerin kareleri toplamına bu terimlerin ikişerli çar­
pımlarının 2 katı eklenir.
özdeşliklerden yararlanılarak çarpanlarına ayrılabilir.
a
3
x 6 + 1 = (x 2 ) 3 + 1 = (x 2 + 1 )(x 4 - x 2 + 1) dir.
III. Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma
•
2
•
Burada, 3 bilinmeyen 2 de denklem olduğu için (bilin­
meyen sayısı denklem sayısından fazla olduğu durum­
larda) 3 - 2 = 1 bilinmeyen serbest (keyfi) olarak seçi­
lebilir. O halde, c = 0 seçilirse b = 3 ve a = 8 olur.
Bu değerler yerine yazılırsa verilen ifadenin değeri,
8 + 0 - 8 . 3 - 0 = 40 olarak (çarpanlarına ayırmaya
gerek kalmadan) bulunur.
*
2
x + 1 = ( x + 1 ) ( x 4 - x 3 + x 2 - x + 1),
olduğuna göre,
Aşağıdaki özdeşliklerle benzerlik kurulabilen ifadeler, bu
ve x n + y n Özdeşlikleri
•
a + bx - b - ax = (a - b) - x(a - b) = (a - b)(1 - x),
a-b = 5
dir.
"
5
x y + x y + x y + xy = x y(x + 1) + xy(x + 1)
= xy(x + 1 ) ( x + 1),
*
is
O
5
3
2
x
x n + y n = (x + y ) ( x n _ 1 - x n ~ 2 y + ... + y n _ 1 )
= x y(x-y),
= (x - y) (2 - y) dir.
x
pozitif tek sayı iken y yerine (- y) yazılırsa,
n
•
II. Gruplandırarak Ortak Çarpan Parantezine Alma
x + — ) (x 2 - 1 + - 1
x n - y n = ( x - y ) ( x n _ 1 + x n - 2 y + ... + y n - 1 ) dir.
Ortak Çarpan Parantezine Alma
x2y
1
+ —
^
x n - y"
ÇARPANLARA AYIRMA METOTLARI
x y - x y = x y (
olur.
2
n pozitif tamsayı olmak üzere,
Toplam veya fark şeklindeki bir ifadeyi, sabit olmayan
birden fazla ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya bu
ifadenin çarpanlarına ayrılması denir.
I.
2
x - 1 = ( x - 1 ) ( x + x + 1),
eşitlikleri birer özdeşliktir.
ÇARPANLARA
2
3
m
m
3
x + y = (x + y)(x - xy + y )
x* n - 4X = (xnf - ( 2 Y = (x n - 2 x )(x n + 2X) tir.
W î
±
I
'2.ab
l
b
161
MATEMATİK SORU BANKASI
4x - 4x +1 ifadesinin alabileceği en büyük değeri bu­
5. ax + bx + c Üç Terimlisinin Çarpanlarına Ayrılması
lalım.
i.
2
2
4x - 4x - 1 + 2 = - (4x 04x + 1) + 2 = - (2x - 1) + 2
X
2
x + bx + c = (x + m)(x + n)
m+n
/
2.2x.1
•
olduğundan bu ifadenin alabileceği en büyük değer
1 •için
• 2 dır.
x =—
2
Uyarı:
i
ax + bx + c ifadesi, x =
olur.
m.n
2
x - 2 x - 8 = (x-4)(x + 2) dir.
-4 + 2
-4.2
-.
ii. a * 1 iken-c nin iki çarpanı (m ve n) ile a nın iki çarpa­
nı (p ve q) arasında p.n + q.m = b şeklinde bir eşitlik sağ­
lanıyorsa bu ifadenin çarpanlarına ayrılmış şekli,
b
2
ax + bx +mc = (px + m)(qx + n) olur.
için en büyük (veya
2a
en küçük) değerini alır.
a = 1 iken çarpımları c, toplamları b olan iki sayı (m ve n)
bulunursa bu ifadenin çarpanlarına ayrılmış şekli,
2
P ^ î ^ m
--;J><^-;
a = p.q,
c=m.nve
P-n + q.m = b
3. Tam Küp İfadeler (İki Terimin Toplamının veya
•
Farkının Küpü)
(x + y) 3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(y) yerine (- y) yazılırsa,
Uyarı:
(x - y) 3 = x3 - 3x2y + 3xy 2 - y3
3
= x - y - 3xy(x - y) dir.
•
3
3
(x± 1) = x ± 3 x 2 + 3 x ± 1,
D
•
3
I
:2x >!<£.!
s x3 + y3 + 3xy(x + y) ve
3
6x2 + x - 15 = (3x + 5)(2x - 3) tür.
3
( x ± - ) = x ± — ± 3(x ± — )
x
x
x3
tir.
C
çarpımları a.c = 6.(- 12) = - 72 , toplamları b = - 1
D
olan iki sayı - 9 ve 8 olduğundan - x = - 9x + 8x şek­
>-
4. (x + y) n İfadesinin Açılımı
(x + y) n ifadesinin açılımında (n + 1) tane terim vardır ve
bu terimlerdeki x ve y çarpanlarının üsleri toplamı n dir.
Bu ifade, çarpımları (a.c), toplamları (b) olan iki sayı
bulunup b değeri bu iki sayının toplamı şeklinde ya­
zıldıktan sonra gruplandırma yapılarak da çarpanlarına
ayrılabilir. Örneğin, 6x 2 - x - 12 ifadesi için,
E
e
linde yazıldıktan sonra gruplandırma yapılırsa,
6x2 - 9x + 8x - 12 = 3x(2x - 3) + 4(2x - 3)
^ 6x 2 - x - 12 = (2x - 3)(3x + 4) tür.
Açılımdaki herhangi bir terimin katsayısı aşağıdaki üç­
Uyarı:
gen yardımıyla bulunur, y yerine (- y) yazılarak da
Bir ifadenin çarpanlarından birisini 0 (sıfır) yapan bir
değer, bu ifadeyi de sıfır yapar.
n
( x - y ) ifadesinin açılımı bulunur. Dolayısıyla bu ifadede
y nin tek kuvvetlerinin bulunduğu terimin işareti (-)
olur.
n = 0 için
1
n = 1 için
1
n = 2 için
n = 3 için
v
W
13
n = 4 için
n = 5 için
V
1
14
1
5
V V
3
6
10
x2 + mx + 5 ifadesi (x - 1) veya (x - 3) ile sadeleştiğine göre, x = 1 veya x = 3 için 0 (sıfır) değerini almalı­
dır. Buna göre,
1
2
1
x = 1 için 1 + m.1 + 5 = 0
W
vv
2
5
olduğundan m = - 6 dır.
1
1
(x + y) 4 = 1.x4 + 4.x3y + 6.x2y2 + 4.xy3 + 1.y4,
(x - y) 5 = x5 - 5x4y + 10x 3 y 2 - 10x 2 y 3 + 5xy4 - y5 tir.
Bu açılımda, n = 2 için tam kare ifadelerin; n = 3 için
tam küp (iki terimin toplamının veya farkının küpü) olan
ifadelerin elde edildiğine dikkat ediniz.
162
m = -6,
x = 3 için 3 + m.3 + 5 = 0 => m =
1
4
10
ifadesi sadeleşebilir bir kesir oldu(x-1)(x-3)
ğuna göre, m nin tamsayı değerini bulalım.
14
3
e Z
2.
BÖLÜM
t
TEST
1
ÇARPANLARA AYIRMA
6.
a + b - xa - xb
a * b olmak üzere,
a 2 - b2 = 5a - 5b
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden han­
gisidir?
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A)a-b
B)b-a
C) x - a
A) 1
D) x + 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) 1 - x
25 - (x + i r
7.
- x3 - x2 + 2x
4- x
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden han­
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
gisidir?
A) 6 - x
A) x - 2
B) x + 1
D) - x - 1
C) - x
2
B) - x - 6
D) 6 + x
C) 2x - 1
E) x - 6
E) x
o
c
fâ -b = 21
3.
2
1
4
a - b = 84
o
a+a +a +a
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi değildir?
olduğuna göre, İ~â + b
®
A) 2
B)a
A) 1 + a
D) 1 + a 3
x . y = - 10
olduğuna göre, x3 + y3 toplamı kaçtır?
A) 107
olduğuna göre, y kaçtır?
C) - 3
D) - 2
5.
D) 137
E) 147
8y + 2 - x - 4xy
*2 - x
. ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden han­
gisidir?
olduğuna göre, p kaçtır?
B) 15
C)127
2
( 1 0 0 ) - ( 5 0 ) = 250.p
A) 10
B)117
E) - 1
10.
2
E) 6
x+y=3
x-y = 5
B) - 4
D) 5
E) a + a 2
x 2 -xy = 15
A) - 5
C)4
C) 1 + a'
9.
4.
B)3
toplamı kaçtır?
C)25
A) 2 - x
D) 30
B) 2y + 1
C) 4y + 1
E) 60
D) 4x + 1
E) 2x + 1
163
MATEMATİK SORU BANKASI
2
11.
olduğuna göre, x - 2y
A)-1
B)-2
nin negatif değeri kaçtır?
C)-3
3
a - 8b
16.
2
x - 4 + 4y = 4xy
D)-4
3
2
a + 2ab + 4b
2
ifadesinin eşiti aşagıdakilerden hangisidir?
E) - 5
A) a + 2
B) ab - 2
C) ab + 2
D) a - 2b
E) a + 2b
a-c = 4
12.
olduğuna göre,
A) 1
b
kaçtır?
B) 2
2
6a b - 18ab
17.
a b - b c + c - a = 12
3 - a
ifadesinin eşiti aşagıdakilerden hangisidir?
E) 5
D) 4
C) 3
A) - 6a
B) - 6b
D) 6ab
13.
x
x
olduğuna göre
A) 11
x
2
E) - 3ab
=3
C) 13
D) 14
VI - aVâ
fa"
18.
1
+ —-r- toplamı kaçtır?
B)12
C) - 6ab
_1
ifadesinin eşiti aşagıdakilerden hangisidir?
E) 16
D
A) fa
C)fâ-1
D)-a
E)-VI
x + x - 6
14.
x 2 + 4x + 3
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşagıdakilerden
hangisidir?
A)
x - 3
x +2
B)
D)
3 - x
3 +x
x - 2
C)
E)
x +3
19.
[ı+_Jl_):J^Z.
\
a-7 )
x+1
A) - 2
B) - 1
81 a" - 25
20.
18a - 10
ifadesinin eşiti aşagıdakilerden hangisidir?
A)
D) 2x + 1
E)2
x+1
ifadesinin çarpanlarından biri aşagıdakilerden han­
gisidir?
B) 2 - x
D) 1
C) 0
x - 2
2x - 3
A) 2 + x
7- a
işleminin sonucu kaçtır?
x +3
2x^ + x - 6
15.
9a- 5
B)
C) x + 1
D)
E) 2x - 1
Cevaplar: 1-E 2-E 3-D 4-D 5-D 6-E 7-D 8-C 9-B
164
B)a
10-C 11-B
12-D
13-A
9a - 5
14-E 15-A
9a + 5
C)
4
E
9a + 5
2
, 3a + 5
16-D 17-C 18-D 19-B 20-C
2.
BÖLÜM
1.
B) 2(a + b)
A) t - 1 B) t
C) 1 - t
=
4
çarpanı değildir?
E) a + b - 4
t2 = t - 1 olduğuna göre t5
aşağıdakilerden hangisidir?
x2+X.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi y nin bir
C) 2(a + b) + 4
D) 2(a + b) - 4
2.
6.
a.b çarpımında her bir çarpandan 2 çıkarılırsa
çarpım ne kadar küçülür?
A) a + b
TEST
2
ÇARPANLARA AYIRMA
A) 2 - x
B) 2 + x
7.
ifadesinin değeri
C) x
D) x - 2
E) x
2
(a + b - 2) 2 - (a - b - 2) 2
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi­
D) 2t
dir?
E) t + 1
A) 4b(a - 2) B) 4b(a + 2) C) 4a(b - 2)
D) 4a(b + 2)
(124)2 - (119) 2 = 5.x
3.
E) 2a(b - 2)
o
c
olduğuna göre x
A) 243
B) 241
kaçtır?
16x - 8x + 1
.
,2
- = (x + a)
16
* 8.
C) 239
D) 237 E) 235
E
«
olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisidir?
u.
@
B) - L
2
A) 1
D)_
C)
E)-
(x + y) 2 (y - z) - (z - y) 2 (x + y)
4.
9.
ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıdakiler­
den hangisidir?
A) (x - z) (z - y) (x - y)
x = 1 -y
olmak üzere,
V
ifadesinin y türünden değeri aşağıda­
(x + y)'
kilerden hangisidir?
B) (x + y) (x + z) (y + z)
C)(x + z ) ( x - y ) ( y - z )
A) 1 - y B) 1 - 2y C) y - 1 D) 2y - 1 E) y
D) (x -y)(y + z) (x + z)
E) (x + y) (y - z) (x + z)
10. x = - —
olduğuna göre,
(x + 2) 3 - 3(x + 2) 2 + 3(x + 2) - 2
J
2
3
2
(3x - 2x + x + 2) (x + x + 4x - 1)
ifadesinin değeri kaçtır?
çarpımı açıldığında x
in katsayısı kaç olur?
A)-
A) - 2
B) - 1
C)0
D)1
20
27
B)
22
27
C)
E) 2
27
E)
23
27
26
27
165
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
2 a
+-i-=
2a
11
1 6 . a ve b doğal sayılardır.
2
,. 16a* + 1 . . . .
olduğuna göre,
işleminin sonucu kaç4a'
tır?
A) 119
B)121
C)123
D)125
2
a - b = 7
2
olduğuna göre, a + b
A) 4
B)9
2
toplamı kaçtır?
C)16
D) 25
E) 36
E)127
x = İ3 + İ2
17.
y = İ3 -İ2
X - X
12.
1
1 + x~ + x
-2
olduğuna göre, — + — + 1 işleminin sonucu kaç­
y x
tır?
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x2 - 1
B) x2
A) 12
C) x - 1
D) x + 1
B) 11
m - — = 2İ7
m
.
olduğuna göre,
a2 + ab2 - a2b - b2
a2b - ab2
.2
(m +
j
ifadesinin değeri
o
a b
a
-J--1
C)32
D) 64
E) 128
1
C\
«
a
u_
C)i--
1
a " b
b
E
B)16
E) 8
ifadesinin sadeleştirilmiş şekli aşağıdakilerden
hangisidir?
kaçtır?
A) 8
D) 9
E) x
18.
13.
C)10
1
1
E) — + — + 1
a
b
b
abx2 + (a + b)x + 1
19.
a2x2-1
14.
x — ax + 27
kesrinde a pozitif bir tamsayıdır.
(x - 9) (x - 2)
Bu kesir sadeleşebilir olduğuna göre, sadeleşmiş
şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A)
X
"3
x-9
•
15.
B)
D)
X
~3
x-2
x-2
*
x-9
/ 16
V 49
C)
63
B)A
63
A)
bx + 1
ax
x-9
x-2
B)
D)
bx - 1
ax + 1
bx
"1
ax - 1
C )
E)
bx + 1
ax + 1
bX + 1
ax - 1
E) * ' 2 7
x-9
20.
+
49
81
8
9
C)-863
/ m2 - 4
m2 + 4 \
l m-2
m+2 /
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
işleminin sonucu kaçtır?
A) i -
ifadesinin sadeleştirilmiş şekli aşağıdakilerden
hangisidir?
D) H
63
63
m
B)
m+2
D)
*"
m+2
2 m
C)
m+2
E)
3 m
m+2
6 m
m+2
Cevaplar: 1-D 2-C 3-A 4-E 5-D 6-E 7-A 8-D 9-B 10-E 11-A 12-C 13-C 14-B 15-E 16-D 17-B 18-A 19-E 20-D
166
t.
A t > < ^
?.' f .-*
*&;.T^Ş
^fK^SS
ö^Vîı. \- 'Oj< Jtk- *> ı j L ! , - i ^ . - *
1.
a-b = 2
ve
" t ' ' i * W t - 0 • . . * . •Liri** 1 "
c-d = 3
."..»'•:?
•
• * • »• <7 ;
olduğuna göre,
^;,;^^
6.
x = 0,5 ve y = 2,5 olduğuna göre,
ad - bd - ac + be
(x-y) 2 - (x + y)2
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 6
B) - 1
işleminin 5 katı kaçtır?
C) 1
23 2 _ 22 2
2.
^
.
D) 5
E) 6
A)-25
B)-24
C)-16
D)-10
E)-6
11.23
90
7.
x +—=3
x
işleminin sonucu kaçtır?
olduğuna göre, x _ 2x + — değeri kaçtır?
A)
2
2
2x + 1
x + 1
__
1
x+1
_
D)?
E)r
A)-2
^
x - 1 + x + 1
B)x-1
4.
C)x + 1
D)2x
©
B)z + y
C)z-y
D)z + x
A) 10
D) x + 1
C) x - 1
E) x + 2
D) 50
+
E) 60
l)
7 -1
10.
B) x - 2
C)30
8
B)8
C)48
D) 56
E) 63
c - a = 1
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisi değildir?
A) x - 3
olduğuna göre,
ifadesinin en az kaç pozitif tamsayı katı bir tam­
sayıya eşittir?
E)z-x
x4 - 5x2 + 4
B)20
(72+l).(74
9.
A) 6
5.
E) 3
işleminin sonucu kaçtır?
(x-y + z) 2 - (x + y - z ) 2
A)y
D) 2
V x 2 - x + y2 - y
E) x + 2
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
C)0
x + y = 3 0 v e x . y = -15
•
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisiA)x
8.
B)-1
b + 2a = 3
olduğuna göre, cb + 2ac - 3a değeri kaçtır?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 1
167
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
16.
i
64x' - 80x + a
a + b = 5 ve a.b = 3
3
A) 125
A) 1
B)4
C)9
D) 16
1 -3
= - 242
B) - 3
„ 25
x + —
2
x
olduğuna göre,
A) 13
C) 1
D)2
C)80
B)17
E) 3
kaçtır?
C)19
D) 21
E) 25
E)5
18.
1 3 . x = -3
D) 45
x -3x-5 = 0
J
olduğuna göre, n kaçtır?
A) - 4
B) 105
E) 25
17.
12.
3
olduğuna göre, a + b kaçtır?
ifadesi bir tam kare olduğuna göre, a kaçtır?
olduğuna göre,
x - 1 + x2
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşagıdakılerden
hangisidir?
A) x " 1
işleminin sonucu kaçtır?
C)x:
B)
D) 2x
E) 1
o
A) 0
B) 4
C) 8
D) 12
E) 16
E
e
u.
19. m
bir reel sayıdır.
x 2 - mx + 12
x2 - x - 6
14.
3a + 1 - - I : I 3
-i)
ifadesi sadeleşebilir olduğuna göre, m
bileceği değerler toplamı kaçtır?
işleminin sonucu aşagıdakılerden hangisidir?
A) a
B) a + 1
C) a - 1
D) - 1
A) - 8
olmak üzere,
2
A)-4
B)-3
m-n
x +y
Cevaplar: 1-A 2-E 3-B 4-C 5-A 6-A
168
A)
kaçtır?
C)-2
D)-1
D) - 1
E) 7
x 2 + y 2 - 2xy
1
1
1
x.y
x
y
ifadesinin sadeleşmiş şekli aşağıdakilerden han­
gisidir?
2
m + n = 24 ve m.n = 4
olduğuna göre,
C) - 3
E)1
20.
15. m < n
B) - 5
nin ala­
E)0
1
B)
x +y
D)
x+y
x-y
7-D 8-C 9-C 10-D 11-E 12-E 13-E 14-B 15-A
x-y
x +y
C)
E)
x +y
y-x
x-y
16-C 17-C 18-E 19-D 20-C
2.
BÖLÜM
1.
(a - 1) x - (ax - x)
6.
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
(49)
- (21 f •
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine tam
bölünemez?
C) x + 1
D) 1 - x
A) 70
B)28
C)350
D) 280
m = 1,01
ve
n = 0,01
Aşağıdakilerden hangisi x 5 - 1 6 x ifadesinin bir
çarpanı değildir?
olduğuna göre, (m + n) 2 - 4mn kaçtır?
A)x
A)1
B)x- 2
C)x + 2
D) >C + 4
B)1,2
x + y = 4 v e x - y = 3
8.
35
+1 = a
^
o
D) 1,02
E) 1,0044
C)28
B)16
D) 32
olduğu na göre;
(3^-l).(35
olduğuna göre, x2 - y2 + 4x + 4y işleminin sonu­
cu kaçtır?
A) 12
C)1,44
E)x + 1
-2
3.
E) 490
E) x - 1
7.
+
l)
35-1
E) 40
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) a
B) —
a
C) a + 1
D) - a
E) - —
a
2375 .2365
4.
çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
2
A) (2365) - 5
2
2
2
9.
B) (237Ö) - 5
o2
2
olmak üzere,
x3=1
olduğuna göre, x + x + 1 kaçtır?
2
E) (2380)" - 5
c
x* 1
2
D) (2375)2 - 52
C) (2372)* - 3
5.
2
2
B)a-1
A)a + 1
2.
TEST
4
ÇARPANLARA AYIRMA
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 2
x, y tamsayı olmak üzere,
y = x2 + 10x + 41
10.
m + n = VTo
ve
m.n = 2
eşitliğinde y nin en küçük değeri için x in alabi­
olduğuna göre,
leceği değer kaçtır?
A)-16
B)-9
C)-5
D)-2
E) - 1
A)1
B)2
— + — toplamı kaçtır?
n
m
C)3
D) 5
E) 10
169
MATEMATİK SORU BANKASI
A) 2
B)4
olduğuna göre, x in a cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B)2a
A) a
12.
=3
2a 2 x 2 - 2a 3 x
E) 43
D) 8
C)6
ax3 - a2x2
16.
1 1 . Aşağıdakiterden hangisi 7 2 7 + 1 in çarpanlarından
biri değildir?
E) 6a
D) 5a
C) 3a
a - b = 2 ve a.b = 3
3
3
olduğuna göre, a - b
17.
farkı kaçtır?
2.36 + 3 5 + 3 3 = a3
olduğuna göre, a kaçtır?
A ) - 18
B) - 11
C)8
D) 17
E) 26
E)3 5 + 3
D) 3 - 1
13.
C)3 Z + 1
B)3 Z + 3
A)3 2
x = a + 30 ve y = 20 - a
18.
olduğuna göre, (x - y)2 + 4xy işleminin sonucu
kaçtır?
A) 2000
B) 2200
D) 3000
C) 2500
E) 3900
x3 y3 + 2x2 y3 xy4 + 2y4
f
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
°
E
A) - y
B) - x
C) x
D) y
E)1
e
u.
©
7
14.
= V2
3
B)-8
C)-4
ifadesinin
A) x
D) 4
1 5 . x - 4x - 1 =0
olduğuna göre,
B)fE
C)2V5
D)3V¥
Cevaplar: 1-B 2-E 3-C 4-B 5-C 6-C 7-A
170
C)y'
D)
E)1
(-î)"('^r
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x + — ifadesinin pozitif değeri kaçtır?
A)—
B) y
E) 8
20.
2
(7- 1 f
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2
olduğuna göre, a + 6a + 12a - 2
değeri kaçtır?
A)-12
7
(x - y) + (y - x) + (x - yf
19.
M7)
E)4V5"
8-B 9-C
10-C
B,
D)(xy) mn
11-C
12-E
13-C
14-B
15-C
-(vj
(T)
E)(xy) m + n
16-E
17-B
18-A
19-B 20-C
TEST
5
-. f «S? *,.!> „';«# -»J^srî;
' #.',!.«*- '
3
2
a - a - 9a + 9
6.
Aşağıdakilerden hangisi,
2
A) a + 3
B) a - 1
C) a - 3
2
ifadesinin bir çarpanı değildir?
E) a - 4a + 3
D)a+1
2
(x - 2x) - 11 (x - 2x) + 24
ifadesi aşağıdakilerin hangisine tam bölünemez?
A) x - 4
B) x - 3
C) x
D) x + 1
2
2.
E) x + 2
2
(818) - (118) = 1872. n
6
3
x - 4x + 3
olduğuna göre,
A) 200
n
B)350
kaçtır?
C)480
D) 520
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
E) 700
A)x + 1
D) x2 + x + 1
o
C)6
D) 12
E
o
u.
«
25x - a.x + 49
ifadesi bir tam kare olduğuna göre, a kaç ola­
bilir?
E) 24
A)-5
4.
E) x2 + 2x + 1
o
olduğuna göre, 2ay - 2bx - 2ax + 2by işleminin
sonucu kaçtır?
B)- 6
C) x - 3
c
x - y = 3 ve a + b = 2
A ) - 12
B)x-3
B)- 7
C)35
D)-70
E)-140
V 2002.1998 + 4
sayısının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
/
A)2002
B)2001
D)1999
B)x - 2
D) x + 2
C)-x
E) YT + 1
B)30
C)40
D) 50
E) 60
x2 - 5x + 2 = 0
10.
ifadesi aşağıdakilerden hangisi ile tam olarak bölünemez?
2
m.n = 8
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
E)1998
x 8 - 4x 6 - x4 + 4x2
A)x + 2
ve
C)2000
A) 20
5.
vm+/Vn=4
9
olduğuna göre,
x
4
x2
B) 4 fn
A) f Î 7
D)10VT7
kaçtır?
C) 5 iri
E)1öVİ7
171
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
1
2a-
+
1
12.
A) xy(xy - 2)
x = 2
C)38
D) 72
E) 91
4
2
E) x(xy - 1)
a
5 = y+ 1
olduğuna göre, (125) a nın x ve y cinsinden de­
ğeri aşagıdakilerden hangisidir?
ifadesinin sonucu kaçtır?
B) - 1 33
33
C) xy(xy + 1)
17.
3
x - 5 x + 10x - 10x + 5x - 2
A)
B) xy(xy - 1)
D)xy(xy + 2)
olmak üzere,
5
1_
y
olduğuna göre, xJ2. +. ..2
y ifadesi aşagıdakilerden
hangisine eşittir?
işlemi
(2a + 3)'
nin sonucu kaçtır?
B)34
1
x
1
y
olduğuna göre, ( 2 a + 3 )
A) 26
1
16.
2a + 3
C) - 1
E) 2
D) 0
A)x.y
B) x - y + 1
D)x.y + 1
C)x.y-1
E)x-y-1
x 3 - x 2 - 4x + 4
13.
x^ + kx - 11
İ^f)'-"-^
18.
ifadesi sadeleşebilir bir kesir olduğuna göre, k
nın alabileceği tamsayı değeri kaçtır?
J|
=
A) 0
>-
B) 5
C) 7
D) 10
E) 12
K
A
1 4 . ABCD ve PMCN karedir.
o
işleminin sonucu aşagıdakilerden hangisidir?
E
«
u.
A) (1 + a)~
D) (1 + a ) 6
2
x + (1 - m) x - m
L
olduğuna göre, KPND
dikdörtgeninin alanı kaç
P
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşagıdakilerden
hangisidir?
2
B
cm dir?
M
A)
B)24
C)32
x4 + x
2
+
X
- 1
X
+ 2
D) 48 E) 64
C)
x +1
x -- 1
E)
x-4
x-4
x-2
x+2
x + 4
3
2 2
x y- x y
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşagıdakilerden
hangisidir?
hangisidir?
B)-x"
D) xd - 1
x +4
x3 y - 2x2 y 2 + x y3
20.
1
B)
D)
işleminin sadeleştirilmiş şekli aşagıdakilerden
A)x^
E) 1
x - (m - 4) x - 4m
19.
|BD| = 12^2 cm
15.
C ) ( a - 1) £
D
|ML| = 4 İ 5 c m
A) 16
B) - (1 + a , - 6
C) yC + 1
E) - x - 1
A)x
B) x - y
C)-—*—
D)x+y
E)y
Cevaplar: 1-D 2-B 3-A 4-C 5-D 6-C 7-D 8-D 9-C 10-C 11-C 12-C 13-D 14-C 15-D 16-A 17-D 18-B 19-B 20-B
172
2.
BÖLÜM
TEST
6
ÇARPANLARA AYIRMA
6.
a
bir tamsayıdır.
x 2 - ( a 2 - 1 6 ) x + 4a
ifadesinin çarpanlarından birisi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2a - b + 1
B) 2a + b + 3
D) 2a - b + 3
ifadesi iki kare farkı olduğuna göre, çarpanların­
C) 2a + b + 1
dan biri aşağıdakilerden hangisidir?
E) 2a + b - 1
A)x-2
B)x
C)x + 2
D)x + 4
E)x + 5
x2 - 2yx - x - 3y 2 + 7y - 2
2.
x + V~x = 4
olduğuna göre,
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
5x + xvx
A)x + y - 2
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 9
B)12
C)14
D) 15
B) x - y - 2
D) x - 3y - 1
E) 16
C)x + 3 y + 1
E) x + y + 2
o
^ 8.
3.
(x2 + 4x)2 - (x2 + 4 x ) - 2 0
D
( x - 1).(x+1).(x 2 + 1).(x4 + 1)
>-
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
E
çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
hangisidir?
A) x b - 1
A) x - 2
B) xb + 1
D) xö + 1
C) x8 - 1
D) x - 1
E)x16- 1
x
9 + 36-13.3
B) x - 5
9.
x
E) x + 3
x" - x + 1 = 0
94
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
olduğuna göre, x
hangisidir?
C) x + 1
1
- — ifadesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 3 X + 4
B) 3 X - 4
D) 3 X + 9
A) - x
C) 2 X + 3
B) - 1
C) 0
D) 1
E) x
E) 4X - 3
2
( x - xy + x - y)
10.
5
(x - y ) 5 . ( x 2 + 2x + 1) 2
5.
55
2
- 45
2
+ 3
6
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 38
B)55
C)91
D) 100
E) 101
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi­
dir?
A)x + 1
B) 2x - 1
D)
x - 1
C)x - 1
E)
x - 1
x + 1
173
MATEMATİK SORU BANKASI
-M
II.
a=
Vİ3 - 1
.. -
16.
olduğuna göre,
A) 28
ifadesinin sonucu kaçtır?
12.
B)9
C)8
D) 4
2
A) 16
2
C)37
B)29
B)34
17.
ab + ac - be = 3
2
C)37
1 - 9 9 + (99)'
D) 41
E) 42
(99)
100
J
işleminin sonucu kaçtır?
toplamı kaçtır?
D) 49
A)_
E) 55
100
B) _ —
99
D)-! E)-L
C) —
50
1 8 . m = 44 ve n = 22
m
n
— + — = 4
n
m
13.
-1
E) 3
a - b - c = 7
olduğuna göre, a + b + c
12
sayısı aşagıdakilerden hangisine tam bölünür?
a . ( a - 1 ) ( a + 1)(a + 2)
A) 13
3
(16) .5
99
100
olduğuna göre,
(m - n) + 4mn
(m + n) - 4mn
m +n
olduğuna göre,
kaçtır?
A) 2
B)8
C)27
işleminin sonucu kaçtır?
o
7m2n2
c
A) 4
o
D) 64
B)9
C)25
D) 36
E) 49
>-
E'
«
1 9 . k ve p tamsayıdır.
14.
15 x - 6 X
4 X - 10 x
( x 2 - px + 2 1 ) . ( 3 x 2 + kx + 2)
x2 + 5x - 14
ifadesinin sadeleştirilmiş şekli aşagıdakilerden
hangisidir?
A)-3_x
B)-3X
D)-2X
15.
C)3~x
A)-17
E)-2~x
20.
a - b = 6
...
olduğuna göre,
a 2 - b 2 - 3 a + 3b
——
a2-b2-6a + 9
... . . .
ifadesinin
değeri kaçtır?
A) 2
B)4
ifadesi en sade şekli x değişkenine bağlı bir polinom olduğuna göre, p + k kaçtır?
B)-10
D) 12
E) 16
D) 3
E) 17
h^H^)
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşagıdakilerden
hangisidir?
A)x + y + 4
C)6
O - 7
B)x + y + 2
D) x - 2
C)x + y - 2
E) y + 2
Cevaplar: 1-C 2-E 3-C 4-B 5-C 6-D 7-A 8-D 9-B 10-A 11-E 12-E 13-B 14-A 15-A 16-C 17-E 18-B 19-A 20-A-
174
Kül v- aı «ı , «k-l»&» J ^ s M ^ ^ S r ^ ^ * ^
Il^lIİÜIS*;: «PS^-t^i
!*m&
1.
kil-
^^İfeiiS
6.
Aşagıdakilerden hangisi, (x2 + y2 - 16)2 - 4x2y2
ifadesinin bir çarpanıdır?
A)x + y+16
B) x - y - 4
D)x-y-2
x ve y reel sayılardır.
x3 - 8y3 = 22 ve 2 x ^ - x2y = 7
C)x + y + 2
olduğuna göre, x- 2y kaçtır?
E)x + y
A) 8
2.
x = ^ + 1
ve
B)7
C)6
E) 4
D) 5
y = Vİ" - 1
7.
olduğuna göre, ( x 2 - y2) kaçtır?
(x -
4)3 -
6(x - 4 ) 2 +12(x - 4)
- 8
ifadesinin x = 9 için değeri kaçtır?
A) 128İ2
B) 128
C) 16İ2
D) 16
E) 8
A) 8
3.
x 3 +- 2x 2 + 2x + 1
—•
ifadesinin çarpanlarından biri aşagıdakilerden
hangisidir?
A)x
2
B)x-1
C) x - x + 1
yf + x + 1
X
49
50
+ X
1
+
J5
ifadesinin eşiti aşagıdakilerden hangisidir?
u.
C) 2x
(x-1)x"
9.
=0
B) x + 2
B) 1
1
+
D) - x
E) 2
x-1
1
1+
(x-1)
2-x
ifadesinin x = — için değeri kaçtır?
5
C) - 2x + 4
B)-§
k)-\
E) 2x + 4
3
C)-l
5
1 0 . fm =3 + fn
5.
E) 216
E
A) 0
olduğuna göre, (x2 + x + 3). (x2 + 3) çarpımı aşa­
gıdakilerden hangisine eşittir?
D) x - 4
D) 125
x2 + x + 1 = 0 olduğuna göre,
>s
>-
E)x + 1
D) x + x + 1
A) - x + 2
C)64
2
2
4.
8.
B)27
D)
"i
2
olduğuna göre,
yC - y = 1
mym + nvn
y2 - y = x -
1
fm + fn
olduğuna göre, x3 - y3 kaçtır?
A) - 2
B) - 1
C)1
ifadesinin eşiti aşagıdakilerden hangisidir?
D) 2
E) 3
A) 9 + Vrnn"
B) 6 + VrnnT
D) 3 - ı f ü "
C) 3 + VmrT
E) 6 - Vmn
175
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
a + 2"Vâ
x - y
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
B) V a - 2
D) V â + 1
A)
C) a + 1
2
1+x
B)
1 -x
E) a - 2
v x - y
+x
/
C)
1+x
1 -x
D)
\ 1 - x
x + 1 / \ 4x
x + 1
x-1
E)
1+x
(1±JL + JL^L).( —3 +
17.
1 2 . A, B ve C reel sayıdır.
2
x + xy
/
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
hangisidir?
A) V a + 2
tt-H
16.
a Va + 4a + 4 Va
x
4
x
2
9A + 4B + C - 1 2 B + 7
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A)-2
B)-1
C)1
D) 2
A) - 3
E) 3
/ x -3
l x +3
18.
13.
3 ~ x + 5~x = 5
x +. (125)
H«\
(27)
x
ifadesinin
o
A)
değeri kaçtır?
A) 69
B)66
14.
C)65
x8 + 4
+
C) 2
A ./ x -3
/ '\ x +3
D) 64
x +3
D)
E) 63
2x
E)
x +3
2
hangisidir?
C)x4 + 1
D)2x 2
E) 2x
a" + 2.a + 1
olduğuna göre,
A) 2
B) 3
a
x- 3
2x
2x
x-3
2
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x
B) 2x
C) 3x
D) 4x
E) 5x
2 0 . x ve y pozitif reel sayıdır.
1 5 . a3 ve 3a iki basamaklı sayılar olmak üzere,
(a3) 2 - (3a) 2
C)
(x + 3 y ) 3 + (x - 3 y ) 3 - 5 2 x y 2
19.
2x2 - 2
ifadesinin sadeleştirilmiş şekli aşağıdakilerden
B)x 4 + 2
E) 6
x +3 \
x -3 /
B)x - 3
x +y
A)x4
D) 3
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
(15)*=^4
olduğuna göre,
B) - 2
Vx - V7 = 72
= 44
Vx - V y = 6
olduğuna göre, x kaçtır?
kaçtır?
C) 4
D) 5
E)
A) 2 3
B) 2 8
C)34
D)3 B
E)5J
Cevaplar: 1-B 2-A 3-D 4-C 5-C 6-E 7-B 8-A 9-B 10-A 11-A 12-A 13-C 14-A 15-D 16-D 17-D 18-C 19-B 20-D
176
2.
BÖLÜM
1.
6.
x ve y gibi en az biri sıfırdan farklı iki sayının
farklarının karesi, karelerinin farkına eşit olduğu­
na göre, bu iki sayı için aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
A)3x-y = 0
B)x + y < 0
D)y-x>0
2.
x = 24 + x.y
y2 = 12 + x.y
olduğuna göre, x.y nin sonucu aşağıdakilerden
hangisidir?
C)x-y>0
E) x - y = 0
A)-16
B)-8
ab ve ba iki basamaklı sayılardır
2
C) 7
D) 5
olduğuna göre, x3 - mn + 9
aşağıdakilerden hangisidir?
E) 4
A) m
a4 + 3 6 b 2 - 9 a 2 b 2 - 4 a 2
D
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2a + b
B) 2a - b
D) a - 2b
olduğuna göre,
kaçtır?
A)1
5.
B) n
E
£
C) mn
D)
E) 9
C) a + 2b
ifadesi bir asal sayı olduğuna göre, x in alabile­
ceği değerlerin toplamı kaçtır?
B) - 2
C)0
D) 8
E)12
+ 2xz + 4xy = 16
x + 2y
ifadesinin pozitif değeri
9.
27xJ - 27x2y + 9xy2 = y3
olduğuna göre,
B)2
işleminin sonucu
x + 2x - 8
A) - 4
2
E)24
^
E) a - 3b
x
2y
— = -L- ve %
y
z
D)16
x2 - x + 1 = n
olduğuna göre, 3a + b kaçtır?
B) 9
C)8
x + 1 = m
2
(ab) - (ba) = 495
A) 11
TEST
8
ÇARPANLARA AYIRMA
C)4
D) 8
E) 16
A)x
y aşağıdakilerden hangisidir?
B)2x
C)3x
D)4x
E) 5x
a + b = V32
10. x ve y
b + c = V~8
a.c = 4
olduğuna göre,
A) 26
B) 18
a2 + c2
reel sayıdır.
5x2 + y2 - 4xy + 6x + 4
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
toplamı kaçtır?
C) 16
D) 8
E) 3
A)-10
B)- 5
C)0
D) 4
E) 5
177
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
16.
( x - y r = 4xy
olduğuna göre, ( — )
y
A) 16
B)20
+ I — I
C)26
3
olduğuna göre, y - x
gisidir?
kaçtır?
D) 34
2
x=a - a - a+ 1 ,
D) (1 + a)
4x - 3
12.
xfx
2
9
x + —x
olduğuna göre,
A) 4
13.
B)5
2
m -3m + 2
D) 10
m-2
B) m C) m - 1 D) - m
4 4
2 2
3
2
3
1
+a
C)
1
a2 + 1
E) a 3 - 2
x 2 - 4 + y 2 + 2xy \ / x - y + 2 \
)\ x+y-2 I
x 2 _ v 2 + 4 + 4x
18.
D
E) - 1
«
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
c
o
>-
A)
E
x + y
x-y
B)
x-2
x + 2
C)
D)x + y
x
19.
x y + x y + 2xy
3
-
B) a J + 1
©
14.
+ a
D)
m -4m-5
m 2 + 4m
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 1
a
E) 12
2
m — 1 \
m 2 - m - 20
E) (1 + a).(1 - a)
2
A) ?£ + 1
2
C) 1 - a
ifadesinin sadeieştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
kaçtır?
C)7
oranı aşağıdakilerden han-
a-s _ a - 3
17.
-Vx"
2
B) 1 + a
A) a
E) 36
y = 1-a
X - 1
x+y-2
x-y-2
E)1
2
+ X + 1
x
2 _ -ı
2
x y - x y + 2xy
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi­
dir?
ifadesinin sadeleştirilmiş şekli aşağıdakilerden
hangisidir?
A)xy
B) xy + 1
D) x + y
20.
ifadesi sadeieşebilir bir kesir olduğuna göre, m
tamsayısı kaçtır?
B)13
C)17
D) 20
B)
D)
ye + 8 x +7
A) 10
x+4
x+1
E) x - y
x 2 + ( m - 3 ) x + 13
15.
A)
C) xy - 1
E) 23
X-4
E)
x + 1
x
C)
X +1
x-1
x + 4
x-4
1
x2
1
+ —
x
1
x + 1 +—
x
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi­
dir?
A) - 1
B) - x
C) x
D) 1
E) x + 1
Cevaplar: 1-A 2-A 3-E 4-C 5-C 6-B 7-D 8-B 9-C 10-B 11-D 12-D 13-B 14-B 15-C 16-A 17-C 18-E 19-A 20-D
178
2.
BÖLÜM
3
TEST
9
ÇARPANLARA AYIRMA
3x - 3 _
3
2x
+
g gx _
6.
2 7
Kareleri toplamı 8, çarpımları 4 olan iki sayının
küplerinin toplamlarının negatif değeri kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) - 3
B) - 2
C) 2
D)3
7.
(25) n + (25)~ n = 1 8
2.
| 5 n - 5 "n |
olduğuna* göre,
A)-48
B)-36
C)-24
m ve n
reel sayılardır.
D)-16
E) - 8
D) 3
E) 4
E)4
3 m + 3n
kaçtır?
32m + 3
A) 2
B)3
C)4
D) 5
E) 7
olduğuna göre, m + n kaçtır?
3.
A) 0
B) 1
C) 2
x, y, z
birer reel sayıdır.
V 21.22.23.24 + 1
x
o
işleminin sonucu kaçtır?
A) 525
B)515
C) 505
D) 503
E) 502
8.
>-
x . y - z = 11
E
e
x . z - y = 21
©
olduğuna göre, (y 2 - z 2 ) . (x 2 - 1 ) ifadesi kaçtır?
A) 10
aa + b
4.
+
C)-33
B) b a - 1
E)-320
?
İ
2
x 2 + _ _ (2x + — ) = 1 3
9.
C) a b - 1
2
D) a a + 1
1
olduğuna göre, x
+ —
x2
değerlerin toplamı kaçtır?
E) a a - 1
A)27
x
D)-130
(a.b)a-ab-ba
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) a b + 1
B)-10
B) 28
ifadesinin alabileceği
C)29
D) 30
E)31
bir reel sayıdır.
10.
(x-1) .(x2-x + 1)=3
y 3 + 1 = 3y 2
( x + 1 ) . (x2 + x + 1) = 21
olduğuna göre,
A) 27
B)26
x2 + 1
3y - 2 = x 3
kaçtır?
C)13
olduğuna göre,
D) 5
E) 2
A) - 2
y-x
B) - 1
kaça eşittir?
C) 0
D) 1
E) 2
179
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
x + 2y = 3
ve
y
x3 + 8y 3
olduğuna göre,
işleminin sonucu kaç­
3 3
Mf-f
16.
x.y = 4
x
2 .
x y
(x2-y2)2
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
tır?
hangisidir?
A)-60
B)-45
12.
O-30
D)-15
E) 0
A) x
B) x + y
17. V a + 1 = b
n + — = 2
n
C) x - y
D) y
E) xy
olarak veriliyor.
a - 1
n(n
+ 1) + (n + 2) (n + 3) =
" v " T '' T v " T *' v " T " ifan
desinin değeri kaçtır?
olduğuna göre,
A) 5
B)7
C)9
D) 10
ifadesinin b cinsinden eşiti aşağıdakilerden han­
gisidir?
E) 12
A)b-2
olduğuna göre,
A) 1
| a-b+c |
kaçtır?
C) 3
D) 4
B) 2
_o
c
B)b
(x - y) 2 - x + y - 2
x - y + 1
18.
D)b-1
^
E)
1
b-1
xy - (x - 1)" + 1
x
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) - x
14.
C)b + 2
B) 0
C) 1
D) 2
E) x
m ve n birer tamsayıdır.
x2 - x + m
(x + 1) 2 + (x - 1) 2
19.
x + nx + 10
(x + 1) 2 - (x - 1) 2
kesrinin pay ve paydasının birer çarpanı x + 2
=2
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
x2 +
olduğuna göre,
A) - 5
B) - 3
C) 1
D) 4
A
15. 0 < x < 1
değeri kaçtır?
E) 7
'ı
* C) 2
B) 1
D)
13
E) 14
olmak üzere,
x2 + - 12- = 14
x
olduğuna göre,
x2
20.
1
kaçtır?
,x-y
»y-x
1 - ay-x
1 - ax-y
ifadesinin sadeleştirilmiş şekli aşağıdakilerden
A) 8 İ~3
B) 6 İ3
D) - 4 V~3
Cevaplar: 1-C 2-C 3-C 4-E 5-D
180
hangisidir?
C) - 4
A)a :x-y
E) - 8 V İ
6-D
7-C 8-E 9-D
10-D
11-B
12-D
13-B
B) a x
14-C
15-E
C) 1
16-E
D) a y
17-A
18-B
E) ay - x
19-E 20-C
2.
BÖLÜM
ORAN - ORANTI
i.
ORAN
a, b, c
En az birisi sıfırdan farklı, aynı birimden iki çokluğun
karşılaştırılmasına (bölümüne) oran denir.
2
f j
3'
-3
4'
10
0
3
b
ii.
ifadeleri birer orandır.
5 ' - 3' 5' 0
a ve b
2. n e R,
(ikili orantı)
b
15 = —
- 9= k
Örneğin, 12 = —
10
-6
a
b
ise,
k= —
2
dir.
Uyarı:
a
c
e
- = — = — orantısı, a : c : e = b : d : f şeklinde de
b
d
f
gösterilebilir.
İKİLİ ORANTI
orantısında,
içler
1
C
-I
U
_ = _ <=> a :b = c : d
b
d
*
t
dışlar
b ve c ye içler, a ve d ye dışlar denir.
i.
ii.
c
d
=
X.
D
E
İçler veya dışlar kendi arasında yer değiştirebilir.
c
.
a
c
b
3
C
- =— = k
b
d
f
n
= kn
dir.
,
d
=
a ± c ± e
b ± d ±f
k
a
c
e
.
— = - = - = k =>
b
d
f
Örnek:
k
= k
dır.
dır.
a.x + c.y + e.z
b.x + d.y + f .z
= k
dır.
— = — = - vea + 2b-c = 6
3
2
5
ise, (a - b + c) ifadesinin değerini bulalım.
a b c
, .
— = — = — = k ise,
3
2
5
a + 2.b - c
3 + 2.2-5
a - b + c
~ 3-2 + 5
a - b + c
6
= k olduğundan,
=> a - b + c
18 dir.
x 2
y 4 .
x+y
. .
J - = - ve — = - ise,
oranının değerini
a
y 3
z 3
y-z
bulalım.
İki orantıda ortak olan y - ye karşı gelen sayılar eşitle­
nirse (örneğin 3 ve 4 ün okek'i olan 12 de eşitleyelim.)
8
_x _ 2Z 44 _ JB_
y
3 '4
12
orantısında,
a, b, c ve d sayılarına sırasıyla orantının birinci, ikinci,
üçüncü ve dördüncü terimi (elemanı) denir.
e
f
x, y, z sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,
Örnek:
d
n
a
,
a b
c ± d = -c = k <=> —c = —
d
— = — => a.d = b.c dir.
b
d
b
d
a ± b
6
2
a
c
.
d e , , .
- = - = k = > - = - = k02 dır.
b
d
b
a
2.
=
içler çarpımı, dışlar çarpımına eşittir.
a
n
Oranların paylarının toplamı (farkı), paydalarının top­
lamına (farkına) bölünürse orantı sabiti değişmez.
(üçlü orantı)
k: orantı sabiti (orantı katsayısı)
3
x = V a . b dir.
1. a = b.k, c = d.k, e = f.k dır.
birer oran olmak üzere,
3
a _ Cc
-b =" -d = k
- L
ORANTININ ÖZELLİKLERİ
e
a _ c_
= - = k orantısında
b " d
f
Oranların eşitliğine orantı denir.
- = - = - = k
b
d
f
x
x " b
ORANTI
- = - = k
b
d
.
olur.
sayılarının orta orantılısı x ise,
a
- ifadesi oran değildir.
—, —, b d f
sayılarıyla dördüncü orantılı sayı x ise
a
c
- = -
ise,
x + y
y-z
yv _ 4_ 3 _ 12
z " 3 3
+ 12
12-9
20
tür.
181
MATEMATİK SORU BANKASI
4.
Oranlar taraf tarafa çarpılırsa,
a _c _e
b " d "T ~
ORTALAMALAR
x 1 , x 2 , x 3 , . . . , xn
a.c.e
.
3
= k
b.d.f
tur.
Aritmetik Ortalaması: A = x ı + x 2
ORANTI ÇEŞİTLERİ
I.
3 +• ••+
Geometrik Ortalaması: G = V x-,. x 2 .
Oranı sabit olan iki çokluk doğru orantılı veya kısaca
Harmonik Ortalaması:
y
— = k
x
H
veya y = k.x olur.
x, y, z sayıları sırasıyla a, b, c sayılarıyla orantılı ise,
x
z
y
ı
- = - = - = k
a
b
c
II. Ters Orantı
A =
x,
y,
z
y = —
x
i.
olur.
sayıları sırasıyla
a, b, c
= k
olur.
o
Uyarı:
Problemlerde orantı kurulurken, aynı cinsten çokluklar alt
alta gelecek şekilde yazılır. Doğru orantı için çapraz, ters
orantı için paralel oklar çizilir. Daha sonra oklar yönünde
çarpma işlemi yapılıp elde edilen iki çarpım eşitlenir.
İş problemlerinde; kapasite, zaman, işçi sayısı v.b gibi
bütün değişkenler yapılan işle doğru orantılı olduğun­
dan, yapılan işin diğer değişkenlerin çarpımına oranı
sabittir. Buna göre,
Birinci iş
Birinci iş ile ilgili diğer verilerin çarpımı
İkinci iş
İkinci iş ile ilgili diğer verilerin çarpımı
Örnek:
3 işçi, günde 8 er saat çalışarak 5 günde 25 m2 halı
dokuyabildiğine göre, 4 işçinin günde 9 ar saat çalışa­
rak 30 m2 halıyı kaç günde dokuyabileceğini bulalım.
3 işçi -*• 8 er saat -*• 5 günde ^ 25 m2 dokursa
4 işçi -*- 9 ar saat -*• x günde /* 30 m2 dokur
Ters Orantı
Ters Orantı
Doğru Orantı
=> 3.8.5.30 = 4.9.x.25
pratik yoldan, H5- = 3 • 8 " 5
30
4.9.x
x = 4 gün
x = 4 gün olur.
III. Bileşik Orantı
y sayısı; x ile doğru, z ile ters orantılı ise,
Xll
182
=
k
dır.
,
G = Va.b ,
H =
2ab
a + b
dir.
x 1 = x 2 = ... = x n > 0 <=> A = G = H = x r
lerinden farklı ise, H < G < A dır.
sayıları ile ters
-, -,
—,
- - sayıları ile de doğru orantılı
a b c
olurlar. Buna göre,
= -J— =
a + b
ii. x 1 , x2 , ... , xn pozitif reel sayılarının en az biri diğer­
orantılı ise,
ise,
a.x = b.y = c.z =
dir.
1
1
1
1
— + — + — +... + —
x
Uyarı:
y ile x ters orantılı ise,
y.x = k veya
n
n
Sonuç:
a ve b reel sayılar için
ı
olur.
Çarpımı sabit olan iki çokluk ters orantılıdır denir.
*
+
Doğru Orantı
orantılıdır denir, y ile x doğru orantılı ise,
•
reel sayılarının;
iii. Ortalaması x olan n tane sayının herbirine y eklenir­
se elde edilen yeni sayıların ortalaması (x + y), her birin­
den y çıkarılırsa (x - y) olur. Örneğin, bugünkü yaşla­
rının ortalaması 15 ve her biri en az 4 yaşında olan bir
kafiledekilerin 3 yıl önceki yaş ortalaması 1 5 - 3 = 12,
aynı bireylerin 5 yıl sonraki yaş ortalaması 15 + 5 = 20
olur.
iv. a ve b gibi sadece iki pozitif reel sayı için, A.H = G2 dir.
Örnek:
Toplamları 310 olan yirmi beş sayıdan bir kısmının orta­
laması 10, diğerlerinin ortalaması 15 olduğuna göre, kaç
tanesinin ortalamasının 15 olduğunu bulalım.
Bu 25 sayıdan hepsinin ortalaması 15 olsaydı toplamları
25.10 = 250 olurdu. Ortalaması 15 olan sayıların ortala­
ması da 10 alınarak hesaba katıldığı için toplam,
310 - 250 = 60 eksik olmuştur. Bu eksiklik ortalaması 15
olan sayıların ortalamasını 1 5 - 1 0 = 5 eksik almaktan or­
taya çıktığı için, ortalaması 15 olan sayılar 60 : 5 = 12 ta­
nedir.
Örnek:
Bir kafiledeki erkeklerin yaş ortalaması 48, bayanların
yaş ortalaması 40 tır. Bu kafiledeki bütün bireylerin yaş
ortalaması 45 olduğuna göre, kafiledeki erkeklerin sayısı­
nın bayanların sayısına oranı kaçtır?
Erkeklerin sayısı arttıkça gruptakilerin yaş ortalaması ile
erkeklerin yaş ortalaması arasındaki fark azalacağına
göre, bu fark ile erkeklerin sayısı, benzer şekilde de
bayanların sayısı ters orantılıdır. Buna göre, erkeklerin
sayısı e, bayanların sayısı k olmak üzere, erkeklerin ve
bayanların yaşlarının ortalaması ile kafiledeki tüm birey­
lerin yaşlarının ortalamasının farkı sırasıyla 48 - 45 = 3
ve 45 - 40 = 5 olduğundan,
3.e = 5.k
— = k
~3
tür.
^?-:-""'---";-
TEST
ORAN-ORANTI
1
0,42
B) 15
'V
_a_ _ _c_ _ _3_
~b~ " d " ~2
0,7
orantısını sağlayan x değeri kaçtır?
A) 30
. * • • * . - ' •
C) 10
olduğuna göre, I -ÜLİ
D) 3
E)1
0,33
B) - 5
D)
C)1
^
2.
A)-9
ifade-
sinin değeri kaçtır?
A)
olduğuna göre, -a—
a - b
j. I
E)2
0,11
0,21
oranı kaçtır?
orantısını sağlayan x değeri kaçtır?
C)-1
D) 5
E) 9
A) 0,063
B)0,63
C) 6,3
D) 63
E) 630
c
3.
m
_
n
£ 8.
_ u
olduğuna göre, VrT - Vrn ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2Vk
B) Vk
C)1
D)k
olduğuna göre,
©
*>İ
E)2k
9.
4.
olduğuna göre, — — : — oranı kaçtır?
b. c. e
»I
5.
B)1
1
c
D
>!
o
>î
E
B
>!
'-!
c
oranı kaçtır?
>!
D) 3
^
Bir işyerinde işçi sayısı yarıya düşürülür, günlük
çalışma süresi 3 katına, yapılan iş miktarı da 6
katına çıkarılırsa işin bitme süresi kaç katına çı­
kar?
B)3
C)4
D) 5
E) 6
>;
10. 8 işçinin günde 8 saat çalışarak x günde bitirdiği işi,
aynı vasıfta 12 işçi günde 10 saat çalışarak y gün­
de bitiriyor.
1
c
J_
2
x - y
x + y
B)2
A) 2
a + — = 3 ve b + — = 5
b
a
a + b
olduğuna göre, —
— kaçtır?
a - b
A)
3x + 2y
5x - y
D)
-7
Buna göre, x ile y arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
A)3x = 5y
E)-4
D) 5x = 4y
B)8x=15y
C) 4x = 5y
E) 3y = 5x
183
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . 27V3~ ile V3~ sayısının orta orantılısı olan sayı
1 1 . Bir öğrencinin Matematik dersinden aldığı notun, Fizik
4
dersinden aldığı nota oranı — , Kimya dersinden al3
2
kaçtır?
B)V3
A)1
dığı nota oranı — ve üç dersten aldığı notların top­
C)3
D) 9
E) 27
lamı 195 tir.
Buna göre, bu öğrencinin Matematik dersinden al­
dığı not kaçtır?
A) 90
B)75
C)60
D) 45
E) 30
1 7 . a - b ile b + c sayısının aritmetik ortalaması k dır.
2a + 2c = 25 - k
olduğuna göre, k kaçtır?
12.
A) 10
B)5
C)3
D) 2
E) 1
x . z + t . z = 12 olduğuna göre, y kaçtır?
A) 1
B) 2
*l
D)
C)
1 8 . Eşit kapasiteli 25 kişi 40 tane halı dokuyabilmektedir.
2x = 3 . y = 4 . z
13.
o
Kaç tane işçi ayrılırsa aynı sürede 16 halı doku­
nur?
c
1
1
1
1B
— + — + —- = 18
x
y
z
o
A) 21
B)20
C)19
D) 17
E) 15
olduğuna göre, — kaçtır?
y
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
19.
14.
7000 sayısı 2 ile doğru orantılı 3 ile ters orantılı
olacak şekilde iki parçaya ayrılırsa, büyük parça,
küçük parçadan kaç fazladır?
A) 2000
B) 3000
D) 5000
A) 6
B)25
C)45
Cevaplar: 1-D 2-A 3-B 4-C 5-E 6-D
184
C)4
D) 3
E) 2
E) 6000
93 tane top 2, 3, 5 sayıları ile ters orantılı olarak
üç kişiye dağıtılırsa, en fazla top alan kişi kaç tane
top alır?
A) 20
B)5
C) 4000
20.
15.
1, 2, 3 sayıları ile dördüncü orantılı olan sayı
kaçtır?
D) 50
7-B 8-A
x = 2 için y = z = 3 olduğuna göre, x = 4,
y = 3 iken z kaçtır?
E) 55
9-C
10-B
x sayısı y sayısı ile ters orantılı, (z - 2) sayısı ile
doğru orantılıdır.
A) 5
11-C
12-B
13-E
B) 4
14-D
C) 3
15-C
16-D
D) 2
17-B
18-E
E) 1
19-A
20-B
2.
BÖLÜM
TEST
2
ORAN - ORANTI
_x_ _ J3_
6.
x.y = 6
ve
y.z =
y " 4
olduğuna göre,
A) 13
— oranı kaçtır?
x - y
B)-13
C)7
D)-7
olduğuna göre,
E) 11
A)-9
7.
x +y
x - y
A) 2
B)2
C)
D)
a
b
2
5
= t ve VBÖâ + V45b = 50
8.
>-
D) 5
e
B)k"
C)k
a - b _ -2_
b
~
<
E)
c
B).
C)3
D) 8
E) 10
x =3
y
B)6
C)3
D) 2
E)1
ax = by = ez = 6 ve x + y + z = 36
A) 18
10. A
~ 5
4
olduğuna göre, — oranı kaçtır?
a
A).
C) 6
olduğuna göre, _ 1 _ + J _ + _ 1 _ toplamı kaç­
tır?
a
b
c
b + c _ 8
3
A) 9
9.
oranı kaçtır?
b.cf
ve 3x - 2y = 15
a - 2x = 3
E) 9
=k
olduğuna göre,
E) - 1
olduğuna göre, b - 2y kaçtır?
C) 4
4.
5.
a
b
E
a
B) 3
A)k°
B) 4
D
olduğuna göre, t kaçtır?
A) 2
2
D)-3
E)
o
c
3.
3
y
C)-5
olduğuna göre, y kaçtır?
olduğuna göre, — oranı kaçtır?
x
A) 5
B)-7
x
oranı kaçtır?
x - z
B) 6
b
— ve
10
C)4
b
5
— = —
c
4
D)
E)
, . ..
olmak üzere,
a - b + c = 2 olduğuna göre, c kaçtır?
D) 5
E) 7
A) 2
B)4
C)5
D) 8
E) 10
185
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . 6, 10 ve 15 yaşlarındaki üç kardeş bir miktar cevizi
yaşlarıyla ters orantılı olarak paylaşıyorlar.
Bu notların aritmetik ortalaması 7 olduğuna göre,
en büyük notu kaç olabilir?
En küçük kardeş en az kaç ceviz alır?
A) 4
B)5
C)10
D) 20
1 6 . Bir öğrenci matematik dersinin üç sınavından 5 ten
büyük notlar almıştır.
E) 30
A) 6
1 2 . a, b, c maddelerinden,
2
c _ 5
3
b " 8
oranlarında karıştırılarak elde edilen 50 gr karı­
şımda c maddesinden kaç gr bulunur?
A) 2
B)5
C)8
D) 10
E) 15
Aynı işin dörtte birinin günde 8 saat çalışılarak 4 £
günde yapılabilmesi için kaç işçi daha çalışmalı- "^
dır?
O
>C)3
B)2
D) 5
E) 9
A)1
E
D) 9
E) 10
2
1 7 . Yüzey alanı 248 cm olan bir dikdörtgenler prizması­
nın kenarları 2, 3, 5 sayılarıyla orantılıdır.
Bu prizmanın içine hiç boşluk kalmayacak şekilde,
eşit hacimli en az kaç küp yerleştirilebilir?
A) 10
1 3 . 8 işçi günde 6 saat çalışarak bir işi 24 günde yapa­
biliyor.
C)8
B)7
B)15
C)30
D) 45
E) 60
1 8 . Yandaki dairesel grafik K, L ve
M fabrikalarının üretimlerini
merkez açılarıyla orantılı olarak
göstermektedir.
K, L, M fabrikalarının üretim
miktarları sırasıyla 3, 4 ve 5 ile orantılı olduğuna
göre, K fabrikasının üretimini gösteren daire dili­
minin merkez açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) 60
B)90
C)120
D) 150
E) 160
1 4 . Bir musluk, bir havuzu 16 saatte doldurabilmektedir.
Musluktan birim zamanda akan su miktarı beşte
bir oranında azaltılırsa, aynı havuzu kaç saatte
doldurabilir?
A) 20
B)21
C) 22
D) 24
E) 26
1 9 . a ile b sayılarının aritmetik ortalaması 4, geometrik
ortalaması 3 tür.
Buna göre, a2 + b2 kaçtır?
A) 38
1 5 . b sayısı a - 1 sayısı ile doğru, c + 1 sayısı ile
ters orantılıdır.
Buna göre, a = 2 ve c = 1 iken b = 1 oluyor
ise c = b = 2 iken a kaçtır?
A) 2
B) 3
C)4
D)
E)
B) 40
C) 42
D) 44
E) 46
2 0 . 10 kız ve 15 erkek öğrencinin bulunduğu bir sı­
nıftaki bütün öğrencilerin yaş ortalaması 13,8 ve
erkek öğrencilerin yaş ortalaması 15 olduğuna
göre, kız öğrencilerin yaş ortalaması kaçtır?
A) 10
B)11
C) 12
D) 13
E) 14
Cevaplar: 1-B 2-E 3-C 4-C 5-D 6-B 7-C 8-E 9-B 10-D 11-B 12-D 13-A 14-A 15-C 16-D 17-C 18-B 19-E 20-C
186
6.
2a + 3b - 4c = 12
olduğuna göre,
olduğuna göre, c - a kaçtır?
A)-8
2.
B)-6
C)-4
x +y
D)-2
«î
E) - 1
3.
a + 2b
C)
olduğuna göre,
olduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaç
olabilir?
O-10
D)-8
A) 5
E) - 6
=2
3a + b
a - b
B) 4
a+ b
8.
o
c
4.
C)-1
»!
E)
D)1
>.
E
D) 2
b+c
8
E)1
a+c
11
Buna göre, a, b, c sayıları sırasıyla hangi sayılar­
la orantılıdır?
E)A
2
10 tane sayısının ortalaması 25 tir. Bu sayılara top­
lamları 110 olan n tane sayı daha eklendiğinde ye­
ni ortalama 20 olmaktadır.
kaçtır?
C)3
A) 5, 4, 3
B)"-
D
orantısı veriliyor.
o
b - c
olduğuna göre, — — — oran» kaçtır?
2a
A)-
kaçtır?
a+b-2
a -- b - 1
a
4
b
— = — ve — = - 2
b
3
c
B) - 11
x + y
—
B)
a, b, c birer tamsayı ve a < 0 dır.
A)-13
x - y =4
B) 4, 3, 1
D) 5, 2, 6
9.
C) 6, 2, 3
E) 4, 2, 3
a ve b sıfırdan farklı reel sayılardır.
a - b _ a + b _ a.b
2
8
ÎÜT
Buna göre, eklenen n tane sayının ortalaması
kaçtır?
olduğuna göre, b kaçtır?
A)
25
B)
51
0)5
D)
27
4
5.
E) ^
4
Bir fabrikadaki işçiler günde 15 saat çalışarak bir işi
24 günde bitirebiliyorlar. İşe başlamadan önce x ta­
ne işçi işten ayrılıyor. Kalan işçiler bu işi günde 20
saat çalışarak 30 günde bitirebiliyorlar.
Buna göre, fabrikadan ayrılan işçi sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 4
B)5
C)6
D) 8
E) 10
A) 2
B)4
C)5
D) 6
E) 10
1 0 . Belfi bir iş için kullanılan bir makine, bir işi günde 16
saat çalışarak 15 günde yapabilmektedir.
Bu işin 3 gün daha kısa sürede bitmesi için maki­
nenin günlük çalışma süresi hangi oranda arttırıl­
malıdır?
A)
B)
C)
D)
E
>7
187
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . x = Vâ" ve y = Vb olmak üzere, x ile y nin arit­
metik ortalaması geometrik ortalamasına eşittir.
1 1 . Bir iş yerinde çalışan a, b, c, d, e şahıslarının kapa­
siteleri sırasıyla 2, 3, 4, 5, 6 ile orantılıdır. Bu işçiler
birlikte çalışırlarsa, işi 12 günde bitireceklerdi. İşin 10
günde bitmesi için işe başlamadan işçilerden biri
çıkartılıp yerine iki katı kapasitede başka bir işçi
alınıyor.
Buna göre, x ile y nin harmonik ortalaması aşağıdakilerden hangisidir?
A)
Buna göre, çıkartılan işçi hangisidir?
A) a
B)b
C)c
D) d
a - b
B)2
A) 16, 9, 7
D) 4
E) 5
1 3 . Toplamları 166 olan sayma sayılarından bir kısmının
ortalaması 5, ötekilerin ortalaması ise 7 dir.
B)2
14.
C)3
D) 4
E) 5
x = 3y
z = 4x
t = 5z
_H
15.
C)10
•
A) 4,5
19.
C)40
D) 11
B) 4
D) 3
C)3,5
E) 2,5
2
x sayısı (3 + z) sayısı ile doğ xı, (y - 1) sayısı ile
ters orantılıdır.
D) 50
A) 1
E) 12
B) 2
D) 4
C) 3
E) 5
x _ 3
-4 " y
20.
x + y + z = 0
olduğuna göre, z2 kaçtır?
E) 75
Cevaplar: t-A 2-B 3-A 4-E 5-B 6-E 7-A 8-D 9-A
188
E) 15, 9, 8
Buna göre, x = 3 ve z = 5 iken y kaç olabilir?
Buna göre, ön tekerleğin yarıçapı kaç cm dir?
B)30
C) 32, 17, 15
x = 4 ve z = 1 iken y = 2 dir.
Bir arabanın ön ve arka tekerleklerinin yarıçapları sı­
rasıyla 5 ve 7 sayılarıyla orantılıdır. Araba 357i met­
re yol aldığında ön tekerlek arka tekerlekten 20 deta
fazla dönmektedir.
A) 25
>§
Bu öğrenci üçüncü sınavdan 3 aldığına göre, ilk
iki sınavdan aldığı puanların ortalaması kaçtır?
olduğuna göre, z - y farkı kaçtır?
B)9
E
1 8 . Bir öğrencinin matematik dersindeki üç sınavdan
aldığı puanların ortalaması 4 tür.
x + z + y + t = 76
A) 8
B) 25, 23,16
D) 27, 25, 12
Buna göre, ortalaması 7 olan sayılar en az kaç ta- ^
ne olabilir?
>.
A)1
D) a
Buna göre, bu üçgenin A', B', C' dış açıları
sırasıyla aşağıdakilerden hangisiyle orantılıdır?
kaçtır?
C)3
Vi
1 7 . Bir ABC üçgenin iç açıları sırasıyla 7, 9, 16 ile
orantılıdır.
y
A)1
C)
E) e
1 2 . a ve b doğal sayılarının aritmetik ortalaması x,
geometrik ortalaması y dir.
Buna göre,
B)Vâ
Va"
10-B
A) 1
11-C 12-B
B) 2
13-C 14-D 15-A
C) 2
16-B
D) V3
17-B
18-A
E) 4
19-C 20-A
2.
BÖLÜM
ORAN - ORANTI
1.
b
a
Tâ"
6.
5,2
olduğuna göre, a + b toplamı b nin kaç katıdır?
A)
c
B)
x+y = z
D)
»!
E)
B
A)
7
x
2
— = —
z
7
ve
a
_
a
olduğuna göre, — oranı kaçtır?
x
>İ
— = 3
a
ve
— = 5
b
o
8.
b + c
oranının değeri kaçtır?
B)
D)
C)
«
u.
.2
(2c 2 - d 2 ^
1 •
/ \
c
+ b
-1
B) —
54
m
n
3
= 5—
ve
n
B)42
2
1
C) —
54
D)
O
B)
9.
54
E)
18
ifadesinin değe-
D)
E
>İ
a +— = 2
b
2
—
k = 5—
b +—- = 4
a
olduğuna göre, m + n + k toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünür?
A) 25
m
x . y - 3x . z
~~2 T
ZTî
a . b - 3a . c
Buna göre,
E) 2
m, n, k pozitif tamsayılardır.
>!
x, y ve z sayıları sırasıyla a, b ve c ile orantılı ve orantı
A)
4.
E
D)
olduğuna göre,
ri kaçtır?
A)
16
sabiti — tür.
3
E
a + b
olduğuna göre,
c
-5
A) _ 1
54
o
c
3.
C)
ifadesinin değeri kaçtır?
E
kaçtır?
3a. b
>İ
b
°>i
°>!
B)
4a
olduğuna göre,
2
A)
TEST
4
C)41
D) 6
E) 5
olduğuna göre,
A) 4
—
b
B)2
kaçtır?
C)1
D)
*l
1 0 . 1265 gramlık bir karışımdaki gümüş miktarı (g), kur­
şun miktarı (k), demir miktarı (d) dir.
5.
f + e
m
olduğuna göre,
A) 0,2
B) 0,3
3
—
2
m
ve
m
5
— = —
f
6
g
k
k
d
^ - = — ve — = —
7
3
4
5
olduğuna göre, kullanılan gümüş miktarı kaç
gramdır?
kaçtır?
C) 0,4
D) 2,5
E) 3,3
A) 240
B) 300
D)360
C) 350
E) 644
189
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . m sayısı 3 ile doğru, 5 ile ters orantılı olacak şekil­
de iki parçaya ayrılıyor.
1 6 . Bir öğrencinin üç sınavdan aldığı puanların ortalama­
sı 6 dır.
Buna göre, büyük parçanın küçük parçadan farkı,
aşağıdakilerden hangisidir?
Bu öğrencinin ilk iki sınavdan aldığı puanların or­
talaması 7,5 ve son iki sınavdan aldığı puanların
ortalaması 5,5 olduğuna göre, bu öğrenci II. sı­
navdan kaç almıştır?
A)
8m
B)
8m
C)Zîü
D)^l
8
11
E)
4m
A) 3
B)4
D) 7
C)5
E) 8
1 2 . a işçi b m2 halıyı c günde dokursa, c işçi a
17.
m2 halıyı kaç günde dokur?
olduğuna göre, a ile b sayılarının aritmetik or­
talaması ile geometrik ortalamasının toplamı
kaçtır?
2
2
A) a .c
B)b
b
2
a = V5 - V 2 T , b = V5 + V2T
E) A
'
2
C)V3+1
B)V3
A)1
a
D)2/3
E)2V3+1
1 3 . x değişkeni y ile doğru, z ile ters orantılıdır. x = 6
iken y = z = 3 olmaktadır.
1 8 . 5n tane sayının aritmetik ortalaması x tir.
o
Buna göre, x = 3y iken z kaçtır?
A) 1
B)2
C)3
D) 4
Bu sayılardan aritmetik ortalamaları y olan n ta­
nesi çıkarıldığında kalan sayıların aritmetik ortala­
ması aşağıdakilerden hangisidir?
c
o
E) 5 >E
u.
A)
5x
B)
D )
14.
2
Pozitif bir m sayısı, k
orantılısı olan sayıdır.
A)—
3
B)3k
C)4k
D)—
E)
4m
19.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
E)
5x-y
5x-y
6
(a + b) ve (4a - b) sayılarının geometrik ortalama­
sı VîlT olduğuna göre, aritmetik ortalaması kaç­
5™4
u c
.
a.2
a. b - — , d . c =
2
e
C)
a ve b pozitif tamsayıdır.
tır?
A) 8
15.
x-y
2
ve 25 sayılarının orta
k pozitif bir reel sayı olduğuna göre, m ile k nın
aritmetik ortalaması kaçtır?
5x+2y
20.
B) 10
C) 12
D) 14
E) 15
x, y ve z tamsayıları sırasıyla 3, 4 ve 5 ile ters
orantılıdır.
|z - 2 | < 11
A) a
B) b
C) c
D) a
E) b
ile d doğru orantılıdır.
ile e ters orantılıdır.
ile e doğru orantılıdır.
ile b ters orantılıdır.
ile d ters orantılıdır.
olduğuna göre, x + y + z toplamının en büyük
değeri kaçtır?
A) 20
B)30
C)40
D) 47
E) 60
Cevaplar: 1-C 2-A 3-B 4-C 5-B 6-C 7-C 8-A 9-D 10-E 11-C 12-C 13-B 14-B 15-C 16-E 17-C 18-C 19-B 20-D
190
a+b
1.
.
= 3
olduğuna göre,
<
c-a
ve
O-
D)-
5
d
olduğuna göre,
a. f
d
7
b. e
2 . c
B) 4
C) 3
a+ 1
2
E
»i
A) 2
7.
oranı kaçtır?
D) 2
b +2
3
E)1
d
=3
B)6
C)-6
D) 12
E)-12
x + y + z < 30 olduğuna göre, y nin alabile­
ceği en büyük değer kaçtır?
B)6
C)8
D) 12
E) 16
0
c
o
E
C)7
D) 10
8.
E) 13
©
Aynı kapasitede 20 işçi günde (a+ 5) mştre, 12
işçi ise günde (2a - 4) metre yol yapabildiğine
göre, 4 işçi günde kaç metre yol yapabilir?
A) 2
4.
= -2,
x, y ve z doğal sayıları sırası ile 2, 3 ve 4 ile
ters orantılıdır.
A) 4
c +3
4
olduğuna göre, b kaçtır?
B)1
c
a+b+c+d=8
a + b + c = 21
A)-5
= -1
=3
b
3.
b
olduğuna göre, a kaçtır?
2.
A) 6
6.
oranı kaçtır?
b + c
B)
_
=2
B)5
C)8
D) 10
E) 15
k > 0 olmak üzere,
2a
3b
=k
olduğuna göre, V6ak + V3bk ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
-3
b
9.
a+b+c=0
A) 2k
B) 3k
C) 4k
D)5k
E)6k
olduğuna göre, b nin pozitif değeri kaçtır?
A) 2
5.
a+
b+1
Ǥ
B
>!
V2
D) 2V2
E) 3V2
1 0 . Bir baba ile annenin şimdiki yaşları sırasıyla 9 ve 8
ile orantılıdır.
8 yıl önce baba ile annenin yaşları 6 ve 7 ile ters
orantılı olduğuna göre, annenin şimdiki yaşı kaç­
tır?
oranı kaçtır?
C)
C)
=4
b+—=5
a
olduğuna göre,
B) V2
D)
E)
3
A) 24
B)32
C)36
D) 40
E) 48
191
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . Aynı kapasitede 10 işçi bir işi, günde 6 saat çalışa­
rak 26 günde yapabilmektedir.
1 6 . Sekiz kişilik birtakımın yaş ortalaması 12 dir.
Takımdan yaşları toplamı 40 olan üç kişi atılıp, ta­
kıma bir kişi alındığında yaş ortalaması değişme­
diğine göre takıma alınan kişi kaç yaşındadır?
İşe başladıktan 2 gün sonra, işçi sayısı yarıya in­
dirilip, günlük çalışma süresi — oranında arttırı­
lırsa kalan iş kaç günde tamamlanır?
A) 24
B) 27
D) 40
C) 36
B) 14
A) 12
D) 20
C)16
E) 40
E) 45
1 2 . a = 2b = 4c olmak üzere, a, b ve c sayılarının
1 7 . İki sayının aritmetik ortalaması 15, geometrik or­
aritmetik ortalaması 14 tür.
talaması 9 dur.
Buna göre, bu üç sayının geometrik ortalaması
Buna göre, bu iki sayının farkının pozitif değeri
kaçtır?
kaçtır?
A) 8
C) 12
B) 11
E) 14
D) 13
13.
1
2
3
4
5
Öğrenci Sayısı 3
5
7
10
X
Puan
Yukarıdaki tablo bir sınıftaki öğrencilerin matematik sı­
navından aldıkları puanların dağılımını göstermekte­
dir.
Bu sınıftaki öğrencilerin matematik sınavından aldıkları puanların ortalaması 3,3 olduğuna göre, x
kaçtır?
B)3
C)4
D) 5
1 4 . Bir baba cebindeki parayı 2, 3 ve 4 yaşlarındaki üç
çocuğuna yaşları ile doğru orantılı olacak şekilde da­
ğıtıyor. Eğer yaşları ile ters orantılı olacak şekilde dağıtsaydı en büyük çocuk 50 milyon lira daha az para
alacaktı.
Buna göre, en küçük çocuk kaç milyon lira almış­
tır?
A) 2 : 5 : 3
©
B)39
15.
C)45
a+ b
2
olduğuna göre,
1i
A) _ —
5
a
9
B) - —
16
ve
8
—
ile
C) 4 : 5 : 3
E) 2 : 5 : 6
1 9 . 1, 2, 3, ..., n sayıları ile orantılı olan n tane sa­
yının toplamı 18n + 18 olduğuna göre, bu sayı­
ların en büyüğü kaçtır?
C)36
B)24
D) 48
E) 56
E) 65
=5
2 0 . a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere, 2a - b,
2b - a ve a2 - b2 sayılarının aritmetik ortala­
ması 8 dir.
u2
- b
a . b—
kaçtır?
9
C) - —
20
Cevaplar: 1-D 2-A 3-C 4-D 5-A
192
D) 52
B) 1 : 5 : 2
D) 4 : 5 : 6
A) 18
A) 26
4
16
—-. ——
Buna göre, bu sayılar sırasıyla hangi sayılarla
doğru orantılıdır?
£*
*~
E
E) 6
E) 24
D) 20
.0
l ö . x, y ve z sayıları sırasıyla
ters orantılıdır.
u.
A) 2
C) 18
B) 15
A) 8
6-D
Buna göre, (a - b) farkı kaçtır?
5
D) 4
9
A) 2
E) —
20
7-C 8-A 9-E
10-B
11-C
12-C
13-D
B) 3
14-D
C) 4
15-C
16-C
D) 5
17-E
18-D
E) 6
19-C 20-A
2.
BÖLÜM
3a
A)-3
6.
=2
a + b
a + b
kesrinin değeri kaçtır?
;rra - 3b
olduğuna göre,
TEST
6
ORAN - ORANTI
B) - 2
C) - 1
D)1
=k
a
olduğuna göre,
2
2
+ c
2
b
2
-
d
çar­
D) k + 1
E) 1
2
2
2
2
k
A
a - c
b
+
d
pımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
E) 2
A) k
B) k - 1
C) k2
a - b
x +3
a + b
olduğuna göre,
— oranının
b
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3.
B)
C)-
3x
x
x
—
3
A) 15
E)-x
a ve b sayılarının geometrik ortası V2k, a + 1
ve b + 1 sayılarının geometrik ortası V3k + 1
olduğuna göre, a ve b sayılarının aritmetik orta­
O
^
E
B)25
C)
D)*
2
E)3k
A)
a
x
a - b
_
a + 5
kesrinin değeri kaçtır?
C)
D)
E
>!
y
2.x.a + 3
= k
9.
olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisidir?
5.
E) 120
- ^
2.x + m. y
A)b
B)2
D) 60
ve a - b = 20
b +2
»
olduğuna göre,
B)2k
z
C)50
a- 2
8.
laması aşağıdakilerden hangisidir?
A)k
5
olduğuna göre, xy + yz ifadesinin değeri kaçtır?
D)
3
'— = X- = —
türünden eşiti
B)
3
D)
E)
a, b ve c pozitif tamsayılar olmak üzere;
a_ _ b
b _ c
3 ~ 4
~2~ ~~3
x + 3 ile y - 2 ters orantılıdır.
x = 3 iken y = 5 olduğuna göre, x = 6 iken,
y kaçtır?
*>I
B)
C)3
D) 4
E)
1 0 . Birbirini çeviren üç dişli çarktaki toplam diş sayısı 380
dir. Birinci çark iki devir yaptığında; ikinci çark dört de­
vir, üçüncü çark beş devir yapmaktadır.
olduğuna göre, b + c - a değeri kaç olabilir?
Buna göre, en büyük çarktaki diş sayısı kaçtır?
A) 9
A) 80
B)15
C)22
D) 28
E) 33
B)100
C)200
D) 220
E) 260
193
MATEMATİK SORU BANKASI
16.
1 1 . x, y, z pozitif tamsayılardır.
_x_ = _ 4 _ _
5
y
B)6
C)9
ile
V2~ + 1
sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?
olduğuna göre, x - (y + z) ifadesinin alabileceği
en küçük pozitif değer kaçtır?
A) 4
V3 +V8"
D) 12
A)l
B)l
C)1
D)V2
E)2V2
E) 15
1 7 . Bir okulda, 300 tane Lise 1, 400 tane Lise 2, 200
tane Lise 3 öğrencisi vardır.
1 2 . n tane öğrencinin bulunduğu bir gruba 17 yaşında
bir öğrenci katılırsa grubun yaş ortalaması 9 oluyor.
Oysa bu gruptan 19 yaşında bir öğrenci ayrıldığında
grubun yaş ortalaması 7 oluyor.
Bu okuldaki öğrencilerin tamamı daire grafikle
gösterilirse, Lise 3 öğrencileri ile ilgili daire dilimi­
nin merkez açısı kaç derece olur?
A) 80
Buna göre, n kaçtır?
A) 9
B)10
C) 11
D) 12
B) 90
C) 120
a
_
1 3 . 15 erkek ve 12 kız öğrencinin bulunduğu bir grubun
4
yaş ortalaması, erkeklerin yaş ortalamasının — ka5
tidir.
Buna göre, kızların yaşları toplamının, erkeklerin
yaşları toplamına oranı kaçtır?
C)|
3
D)l|.
15
«-
z
O
A) 10
E)1
E)ll
25
3a + 2 b - c
3x + y + 4
a
x
A) 7
D) 100
D) 2
e
Buna göre, bu şirkette çalışan kaç bayan vardır?
C)115
6
C)4
B)7
olduğuna göre, y kaçtır?
B)120
5
olduğuna göre, z kaçtır?
E
•
u.
500 işçinin çalıştığı bir işyerinde bayanların sayısının
12
erkeklerin sayısına oranı — L _ dir.
3,8
A) 240
B)6
b
y
c
3
C)5
D) 4
E) 3
E) 85
20.
15.
-£.
3a - 2b + 4c = 20
2y - 3x = 4
0
c
19.
14.
b
y
X
B)l
3
E) 150
E) 13
18.
A)i
2
D) 130
a-2b
c-3d
a + b
c + d
_
0
m tane sayının aritmetik ortalaması m dir.
Bu m tane sayının her birine m eklenirse yeni or­
talama ne olur?
A) IH
4
B)—
2
C)m
D) m2
E) 2m
b
a + 2b
kaçtır?
A) 2
B) 1
C) 0
d
c + 7d
D) - 1
toplamı
E)-2
Cevaplar: 1-A 2-D 3-C 4-D 5-D 6-E 7-C 8-D 9-D 10-C 11-B 12-B 13-E 14-B 15-E 16-D 17-A 18-B 19-A 20-C
194
^^^B^^a^iiz^-^f
fit-"*$$*&}
1.
x
a
%^^M^mm&^Â
y
6.
= — ve — = —
6x - y
b
2 3
olduğuna göre,
<
2.
x
B
»I
Buna göre, sınıftaki toplam öğrenci sayısı en az
kaç olabilir?
oranı kaçtır?
6a - b
">i
C)1
Bir sınıftaki kız ve erkek öğrencilerin sayıları sırasıyla
6,3 ve 7,2 sayıları ile orantılıdır.
A) 135
E)
B) 132
117 milyon lirayı Ayla, Betül ve Ceyda aralarında pay­
laşıyorlar. Ayla a lira, Betül b lira, Ceyda c lira alıyor.
C) 77
D) 18
E) 15
c
— = İL A 5 ~ 3 ' T ~T
2a = 3b
3a + 2b -5c = 24
7b = 5c
olduğuna göre, a kaçtır?
olduğuna göre, Ceyda'nın aldığı para kaç liradır?
A) 85 milyon
B) 60 milyon
D) 45 milyon
A) 8
C) 54 milyon
E) 42 milyon
D
8.
T3
C)12
12
D)H
13
A) 36
b
Buna göre,
d
b + d
a + c
b - d
değeri aşağıdajcilerden hangisidir?
A) 2k
B) 2k2
C) - 1
D) 1
C)19
D)18
E)17
x ve y sayıları sırası ile 2 ve 3 sayıları ile orantılı­
dır.
2
a - c
B)26
E)1
'
9.
4.
e =2
olduğuna göre, e kaçtır?
2
olduğuna göre, x - y
—
— ifadesinin değeri kaçx + y
tır?
B)
E) 20
2b + 3d + 2f = 27
2a + 3c = 20
E
u.
©
A) 6
a _ c
>-
x-y _ x +y
2
3~
2
D) 16
o
c
3.
C)12
B)10
2
2x - y = - 1 6 olduğuna göre, (3y - x) ifade­
sinin pozitif değeri kaçtır?
ifadesinin
A) 20
B)22
C)24
D) 26
E) 28
E) - k2
1 0 . 260 tane cevizi üç kişi sırası ile
5*
5, a, b sayıları sırası ile a, 20, 32 sayıları ile oran­
tılıdır.
Buna göre, en az ceviz alan kaç tane ceviz almış­
tır?
Buna göre, b nin pozitif değeri kaçtır?
A) 12
B)14
C)16
D) 18
—, — ve —
2 3
4
sayılarıyla orantılı olarak paylaşıyorlar.
E) 20
A) 50
B) 60
C) 70
D) 80
E) 100
195
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . Bir ABC üçgeninin dış açıları
12, 9, 7 ile orantılıdır.
A', B ; , C'
16. x
sırasıyla
ve
y
sayılarının geometrik ortalaması
2Vİ> ,
(x + 2) ve (y + 2) sayılarının geometrik ortası 10
dur.
Buna göre, bu üçgenin iç açıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisi ile orantılıdır?
A) 7, 9,12
B)3, 4, 7
D) 3, 4, 5
Buna göre, x ve y sayılarının aritmetik ortalama­
sı kaçtır?
C) 2, 5, 7
A) 10
E) 5, 6, 7
C)180
D) 200
D) 38
E) 220
A) 3
E) 40
,gmU
A fidanı B fidanından
3 yıl sonra dikilseydi
A fidanının dikilme­
sinden kaç yıl sonra
iki fidanın boyu eşit
olurdu?
Buna göre, en büyük sayı ile en küçük sayı arasın­
daki fark kaçtır?
B)120
C)30
1 7 . Şekildeki grafik A ve
B fidanlarının boy za­
man grafiğidir.
1 2 . 370 sayısı 3 ile ters, 5 ve 7 ile doğru orantılı ola­
cak şekilde üç sayıya ayrılıyor.
A) 60
B)19
Zaman
*• (yıl)
B)4
C)5
E) 8
D) 6
1 3 . Bir traktörün ön tekerleğinin çapının arka tekerleğin
çapına oranı — tur.
o
c
Buna göre, ön tekerlek 600 devir yaptığında arka
o
E
B)400
C)420
rak iki parçaya ayrılıyor.
>-
tekerlek kaç devir yapar?
A) 350
1 8 . Bir x sayısı, 2 ile doğru orantılı, 3 ile ters orantılı ola­
D) 450
E) 480
^
Büyük parça küçük parçadan (x - 2) fazla oldu­
ğuna göre, x kaçtır?
A) 6
1 4 . a + 5 sayısı b - 7 sayısı ile doğru orantılı, 2c sa­
yısı ile de ters orantılıdır.
a = 3 ve b = 11 iken c = 4 olduğuna gö­
re, a = 3 ve c = 2 olduğunda b nin değeri kaç
olur?
A) 3
B)5
C)7
D) 9
E) 11
1 5 . a, b ve c negatif sayılardır, a sayısı 3 ile orantılı,
B)7
C)8
1 9 . Yandaki tablo bir dershane­
deki öğretmenlerin yaş da­
ğılımını göstermektedir.
E) 10
D) 9
Yaş
Öğretmen Sayısı
25
12
28
11
Bu dershaneden seçilen bir grup öğretmenin yaş
ortalaması 27 olduğuna göre, geriye kalan öğret­
menlerden 25 yaşında olanların sayısı en az kaç
olabilir?
A) 4
B)5
C)6
D) 7
E) 8
b ve c sayıları ise V3" ve 3 ile ters orantılıdır.
2 0 . Aritmetik ortalaması 18 olan beş doğal sayıya,
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
geometrik ortalaması 4 olan birbirlerinden fark­
lı üç doğal sayı eklenirse elde edilen sekiz doğal
A)b<c<a
D)b<a<c
B)c<a<b
C)a<b<c
E)a<c<b
sayının aritmetik ortalaması en az kaç olabilir?
A) 12,75
B)13
C) 13,5
D) 15,75
E) 16
Cevaplar: 1-E 2-E 3-D 4-D 5-C 6-E 7-B 8-E 9-E 10-B 11-C 12-D 13-B 14-D 15-C 16-B 17-B 18-B 19-D 20-B
196
1.
x + 3y - z
X
olduğuna göre,
gisidir?
2
2
+ Z
X + z
aşağıdakilerden han­
C)3x
B) 2x
6.
= 3
x + y - z
A) x
D) 4x
a ile b nin aritmetik ortalaması ve geometrik or­
talaması 4 olduğuna göre, a - 1 ile b - 1 in
geometrik ortalaması kaçtır?
A) 2
D) 5
E) 6
2a - 3
b + 5
2c + b - 2
x - 2y sayısı 2, x + y sayısı 5 ile orantılıdır.
Buna göre,
A
X
2
2
— V
olduğuna göre, a kaçtır?
'
x . y
kaçtır?
c
»T
4
3.
x
y
'f
D) 1 *
A) - 1
o
.2
c
z
8.
E)
7a = 2b ve 4b = 5c
o
E
olduğuna göre, (a - b + c) ifadesinin değeri aşa­
ğıdakilerden hangisine eşit olamaz?
»
C) 2
D)
a, b ve c pozitif tamsayılardır.
>-
b kaçtır?
B) - 2
C)2
B)1
5
x - 2z = 3
olduğuna göre,
A)
22
2 a + 3b - 4c = 18
4.
C)4
B)3
E) 5x
7.
2.
TEST
8
ORAN - ORANTI
BÖLÜM
D)3
A) 180
E)4
Bir kümeste bulunan 70 tavuğa 40 gün yetecek ka­
9.
B)228
D) 392
E) 402
x, y ve z pozitif reel sayılardır.
dar yem vardır.
4x = z
15 gün sonra, 20 tavuk kesilirse geriye kalan
C)312
ve
3y = 2z
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
yem, kalan tavuklara kaç gün daha yeter?
A)x + y < z
A) 25
C)32
B) 30
D) 35
B)z-y>x
D)z-y-x<0
m
olduğuna göre,
25
A)
m
+
yn
m
-
Vn
25
26
B)-
12
C)
E)x.y>z
1 0 . Can ile Gün'ün kalemlerinin sayısı sırasıyla 0,8 ve
0,6 sayılarıyla orantılıdır.
ifadesinin değeri kaçtır?
11
C)y-x<2x
E)36
D)-|
2
Buna göre, Can ile Gün'ün en az kaç tane kalemi
vardır?
E)-l
2
A) 7
B)8
C)10
D) 14
E) 35
197
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . İki sayının toplamı 7 ile farkı da 3 ile doğru orantılıdır.
1 1 . Yaş ortalaması 17 olan bir gruptan yaşları 5 ve 25
olan iki çocuk ayrılıyor ve bu gruba bir çocuk katılıyor.
Büyük sayı ile küçük sayının iki katının toplamı 81
Bu durumda bu grubun yaş ortalaması değişme­
diğine göre, gruba sonradan katılan çocuğun yaşı
kaçtır?
A) 8
B) 11
D) 14
C)13
olduğuna göre, küçük sayı kaçtır?
B)
C)-
D)
Buna göre, İrem'in en az kaç tane boya kalemi
vardır?
A) 455
D) 525
18. Vi
4a - 2b - 3c = 30 olduğuna göre, — kaçtır?
a
c
b' - d
2
>.
D)
C)
E)
E
1 4 . Bir sayı 2, 3 ve 4 ile orantılı olacak şekilde üç sa­
yıya ayrılıyor. En büyük sayı tekrar 2, 3 ve 4 ile ters
orantılı olarak üç sayıya ayrılıyor.
Buna göre, başlangıçtaki sayının, en küçük sayıya
oranı kaçtır?
5
= k olduğuna göre,
oranı aşağıdakilerden hangisine eşit-
O
A) k
©
39
E) 555
a - c
tir?
u.
A)
Vd
C) 485
o
o
24
B) 475
E)
i o 2a - 10
b + 7
8 - 3c
.
...
I o.
=
=
orantısı veriliyor.
A)
E) 9
1 7 . İrem boya kalemlerini 4, 5 ve 6 ile doğru veya ters
orantılı olarak dağıtabilmektedir.
Buna göre, işin bitme süresi ilk durumdakinin kaç
katına eşit olur?
>!
D) 18
C)27
E) 15
1 2 . Bir fabrikada işçi sayısı 3 katına, günlük çalışma
süresi 2 katına, yapılacak olan iş miktarı da 4 katına
çıkartılmıştır.
A
B)36
A) 45
C)
D) 39
43
E)
D) k 2
C) 2k
B)
E) —
k2
1 9 . Bir sınıftaki öğrencilerin ağırlıkları hesaplanırken, 60
kg ağırlığındaki öğretmenleri hesaba katıldığında ağır­
lıklarının ortalaması 1 artmakta, hem öğretmenlerinin
hem de 20 kg ağırlığındaki kızının ağırlıkları hesaba
katılınca da ortalama 1 azalmaktadır.
47
Buna göre, sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
1 5 . a, b ve c negatif tamsayılardır.
3
a. b
5
b.c
8
a.c
olduğuna göre, (a + b + c) toplamının alabile­
ceği en büyük değer kaçtır?
ometrik ortalamasına eşittir.
A) - 85
Buna göre, d sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
B) - 79
D)-42
C) - 68
E)-16
Cevaplar: i-A 2-B 3-C 4-D 5-D 6-B
198
2 0 . — = — = — orantısında, b sayısı a ile c nin ge2
4
d
7-D 8-D 9-D
A) 3
10-A
11-C
12-B
13-C
B)6
14-A
C)8
15-B
16-D
D) 10
17-E
18-E
E) 12
19-B 20-C
TEST
9
,
<&*
1.
x - y _ _2_
x
5
2
c
2
b
d
3
15a + 6c
10x + 8d
x - xy = 40
olduğuna göre, x . y çarpımı kaçtır?
A) 20
B)30
C)40
D) 50
1
2
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?
E) 60
<
a - b + c _ c - a _ c - 2b
8
a
7.
4
<
C) b
D) 2b
E) 4b
x, y, z negatif tamsayı olmak üzere,
x : y : z = z : y : (3x - y)
olduğuna göre, a : b : c oranı aşağıdakilerden
hangisidir?
orantısı veriliyor.
A) 2 : 3 : 5
Buna göre, x + y + z toplamı en çok kaç ola­
bilir?
B) 3 : 2 : 5
D) 3 : 2 : 7
C) 2 : 3 : 7
E) 2 : 7 : 3
A)-8
o
B)-6
C)-5
D)-4
E)-3
c
3.
o
a - n
m + n
3
>.
m
m - n
2
E
8.
u.
.. olduğuna göre,
A) 3
4.
2a + 3n
B) 4
Buna göre, a maddesinden 20 gr artırılırsa ora­
nın bozulmaması için b maddesinden kaç gr arttı­
rılmalıdır?
, , _
oranı kaçtır?
C)5
D) 6
E)7
x * 0 olmak üzere,
2
A) 10
9.
6x - 4xy + 2y
—
-
a, b ve c maddelerinden 2a = b ve 3b =4c oran­
tılarında 180 gr lık bir karışım yapılıyor.
2
= 2
A)1
5.
B)3
D) 50
E) 60
a + 2b + c
a + b + 2c
2a + b + c
a+b
a+c
b+c
= k
olduğuna göre, k aşağıdakilerden hangisidir?
x + v
— kaçtır?
x - y
C)5
C)40
a + b + c * 0 olmak üzere,
2x + y
olduğuna göre,
B)30
D) 7
E) 11
A) 2
B)3
C)4
D) 5 .
E) 6
İkili bir orantıda dışlar toplamı 10 ve içler farkı 8 dir.
1 0 . Birbirini çeviren üç dişli çarktaki toplam diş sayısı 310,
birinci dişlideki diş sayısı 150 dir.
Buna göre, orantıdaki terimlerin kareleri toplamı
kaçtır?
İkinci dişli 3 kez döndüğünde üçüncü dişli 5 kez
döndüğüne göre, birinci dişli kaç kez döner?
A)36
A) 8
B) 64
C) 100
D)144
E) 164
B)7
C)4
D) 3
E) 2
199
MATEMATİK SORU BANKASI
ab
a+b
_
ca
be
a+c
b+c
a + b + c
olduğuna göre, —
a. b. c
den hangisine eşit olamaz?
A)*
a
3
B) c
a
c
b
— = — = — ve
b
d
e
16.
1 1 . ab, ca ve be iki basamaklı sayılardır.
3 +
D)
.,
= 7
oranı kaçtır?
oranı aşağıdakiler-
C)3
b+c
C
olduğuna göre,
C)10
B)8
A) 6
a + d
D) 12
E) 14
E)
1 7 . Bir ildeki üniversitelerin sayı­
sının, orta öğretim okullarının
1 2 . Ali ile Veli'nin paralarının oranı
— dir.
sayısına oranı
15
veriliyor.
Ali'nin parası % 25 artırılır, Veli'nin parası % 25
azaltılırsa paralarının oranı kaç olur?
B
A)
O
>!
9
Buna göre, dağıtılan bilye sayısı en az kaç olabi­
lir?
A) 28
B)42
C)56
D) 68
Bu verilere göre, çizilecek
dairesel grafikte üniversitelerin sayısını gösteren
payın merkez açısı kaç derecedir?
3
1 3 . Bir miktar bilyenin yarısı 3 ve 4 ile orantılı olarak Ah­
met ve Mehmet'e, diğer yarısı 2 ve 3 ile ters oran­
tılı olarak Ayşe ve Fatma'ya veriliyor.
E) 70
olarak
113
A) 14°
-
B)21°
C)108°
D) 226°
E) 336°
1 8 . Birler b a s a m a ğ ı 4 olan, birbirinden farklı beş do-
«5
ğal sayının ortalaması en az kaçtır?
A) 16
D
B)18
C)20
D) 22
E) 24
>•
1 9 . n pozitif tamsayı olmak üzere, (2n) tane ardışık pozitif
tek sayının ortalaması
14.
1
1
a (2x - y)
b (y - 3z)
olduğuna göre, — + — +
a
b
dakilerden hangisine eşittir?
A)l
X
15.
B)İ
-1
e (2x - 3z)
Buna göre, n nin alabileceği en büyük değer kaç­
tır?
— toplamı aşağı
c
z
y
, bu sayıların arasındaki
a
bütün çift sayıların ortalaması da a dır.
D)x + y
A) 11
20.
olduğuna göre, (a + b + c) toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevaplar: 1-E 2-D 3-B
200
C) 12
4-B
5-E 6-D
D)14
D) 23
E) 24
k, 1 den büyük bir tamsayı olmak üzere, bir miktar
para üç kişi arasında k - 1, 3k ve k + 1 ile oran­
tılı olarak paylaştırılıyor.
Bu kişilerin aldıkları paralar sırasıyla ile x, y ve z
ile gösterilirse x, y, z arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisi olur?
xy + yz + xz = 3xyz
B)10
C)22
E)0
ax = by = ez = 4
A) 8
B) 12
A) x + y - 2z = 0
E) 16
7-D 8-C 9-A
10-E
B)y + z = 2x
D) 3x - 2y + 3z = 0
11-E
12-D
13-E
14-E
15-C
16-B
C)y-x = z
E) x + 2y - 2z = 0
17-B
18-E
19-B 20-D
2.
BÖLÜM
DENKLEM ÇÖZME
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ
DENKLEMLER
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ
DENKLEMLER
a, b e R ve a * O olmak üzere, ax + b = O şeklindeki
a, b, c e R ve a * 0, b * 0 olmak üzere,
eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem
ax + by + c = 0 şeklindeki eşitliklere birinci dereceden
denir.
iki bilinmeyenli denklem denir.
Bu denklemi sağlayan x reel sayısı,
ax + by + c = 0 eşitliğini sağlayan (x, y) ikilileri analitik
b
ax + b = 0 => a x = - b => x = - — denklemin
a
b
köküdür. Denklemin çözüm kümesi, Ç = { - — } olur.
a
Uyarı:
Bir denklemin çözüm kümesinin elemanları denklem­
de yerine yazıldıklarında denklemi sağlarlar.
düzlemde bir doğru meydana getirirler. Buna göre,
d: ax + by + c = 0 doğrusu üzerindeki bütün noktaların
koordinatları ax + by + c = 0 denklemini sağlar. O halde
bu denklemin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
Örnek:
2x - y = 1 denkleminin çözüm kümesi,
2x - y = 1 => y = 2x - 1 olduğundan,
Ç = {(x, y) I (x, 2x - 1) ve x e R} dir.
Örnek:
(a -1 )x + 3 = 3a - 4 denklemini sağlayan x reel sayısı
1 olduğuna göre, a kaçtır?
x = 1 denklemi sağladığına göre, denklemde yerine
yazılırsa,
(a-1).1 +3 = 3 a - 4 => a - 1 +3 = 3 a - 4
=» 6 = 2a => a = 3 tür.
ax + b = 0 Eşitliğinin Çözüm Kümesinin Bulunması
I.
a * 0 ise x =
a
ve
Bu denklemi sağlayan (x, y) ikililerinden bazıları;
1
( - 1 , - 3 ) , ( 0 , - 1 ) , ( 1 , 1 ) , ( l , 0 ) , ( | , - ),
Uyarı:
ax + by + c = 0 eşitliği x ve y nin bütün reel sayı de­
ğerleri (bütün (x, y) reel sayı ikilileri) için sağlanıyorsa,
O
a = b = c = 0 dır.
Örnek:
(a + 1 )x + 4y = by eşitliği x ve y nin bütün reel sayı de­
Ç = { — } dır.
a
II. a = 0 ve b?sO ise eşitliği sağlayan hiçbir x reel sayısı
ğerleri için sağlandığına göre, (a + b) toplamını bulalım.
yoktur.
Verilen eşitlik x ve y nin bütün reel sayı değerleri için
0.x + b = 0 => b = 0 (b * 0) olduğundan, Ç = 0 dir.
sağlandığına göre, x ve y yerine a + b toplamını
III. a = 0 ve b = 0 ise x in bütün reel sayı değerleri eşitliği
elde edebilecek şekilde değer yazarsak, örneğin
sağlar. Dolayısıyla çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
x = -1 ve y = 1 (veya x = - 3 ve y = 3,... gibi)
0.x + 0 = 0 => 0 = 0 ise Ç = R dir.
(a + 1).(- 1) + 4.1 = b.1
Örnek:
.
L±±=?Ll±
=>
2
3
3(x + 1) = 2 ( x - 1 )
=> x = - 5
6X + 1
3
ise,
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ
DENKLEM SİSTEMLERİ
Ç = { - 5 },
İki veya daha fazla birinci dereceden iki bilinmeyenli
= 2x + 1 => 6x + 1 = 6x + 3
denklemden oluşan sisteme, birinci dereceden iki
=> 1 = 3 (yanlış)
bilinmeyenli denklem sistemi denir.
olduğundan Ç = 0 dir. (II. durum)
•
=>-a-1+4=b
=> a + b = 3 olur.
=> 3x + 3 = 2x - 2
•
dir.
d.,: a ^ + ^ y + c 1 = 0
d 2 : a2x + b 2 y + c2 = 0
4(ax + 3) = 3 ( 5 x - 1 ) + a ( 5 - x ) eşitliği x in bütün reel
sayı değerleri için sağlandığına göre, a kaçtır?
a değeri yok olmayacak şekilde x yerine herhangi bir
değer yazılırsa (bütün x değerleri sağladığı için) örne­
ğin x yerine 0 yazılırsa,
4(a.0 + 3) = 3 ( 5 . 0 - 1 ) + a ( 5 - 0 )
=> 12 = - 3 + 5 a => a = 3 olur.
I.
denklem sistemi için;
a1
b-,
— *• ~— ise, denklem sisteminin çözüm kümesi bir
a2
b2
elemanlıdır ve bu eleman, sistemi oluşturan denklem­
lerin belirttiği iki doğrunun (d 1 ve d2 doğrusunun) kesim
noktası olan (x, y) ikilisidir.
201
MATEMATİK SORU BANKASI
a
M.
D
1
1
Cl
Do
Co
2a - 3b = - 7
— = —- = — ise, denklem sisteminin çözüm kümesi
3o
a + 5b = 16
olduğuna göre, b değerini bulalım.
sonsuz elemanlıdır ve bu elemanlar d 1 ve d 2 doğruları
üzerindeki bütün noktalardır. Bu durumda d1 ve d2
doğrusu çakışıktır. (d 1 = d 2 ) O halde, bu denklemlerden
herhangi birisini sağlayan bütün (x, y) ikilileri denklem
sisteminin çözüm kümesini oluşturur.
b
ı
ı
<h
III. — = — *• —
İki denklemden de a bilinmeyenini çekersek,
a =
2
D2
C2
" 7
2
= 1 6 - 5 b => b= 3
olur.
ÖZEL DENKLEMLER
Bilinmeyen sayısının denklem sayısından fazla olduğu
veya özel çözüm teknikleri uygulanarak istenilenlerin
bulunduğu denklem tipleridir.
a
3
3b
ise, denklem sistemini sağlayan hiçbir
(x, y) ikilisi yoktur. Yani d ve d doğrusunun ortak
noktası yoktur. Bu durumda d1 // d2 dir.
Örnek: (1992-ÖSS)
Çözüm Kümesinin Bulunması
I.
a, b e N ve a 2 - b 2 = 11
Yok Etme Metodu
olduğuna göre, a2 + b2 toplamı kaçtır?
Verilen denklemlerdeki değişkenlerden herhangi birisi­
nin katsayıları mutlak değerce eşit ve ters işaretli olarak
a 2 - b 2 = (a + b)(a - b) ve a, b e N
eşitlenip taraf tarafa toplama yapılırsa bu değişken yok
olduğundan (a + b) toplamı (a - b) farkından büyük ve
bu değerler sırasıyla 11 in doğal sayı çarpanı olan 11
edilmiş olur ve diğer değişken bulunur.
ve 1 dir. Buna göre,
Örnek:
2x + y = 4
a + b = 11 \
a = 6, b = 5 ve
3x + 2y = 7
a-b = 1
a 2 + b 2 = 61 dir.
denklem sisteminde birinci denklemin iki tarafı (- 2) ile
çarpıldıktan sonra taraf tarafa toplama yapılırsa,
2x + y = 4 / - 2
3x + 2y = 7
\
_ 4 X - 2 y = -8
j
3x + 2y = 7
+
-x = -1
=» x = 1 ve
bulunan bu değer herhangi bir denklemde yerine ya­
/
Örnek: (1989-ÖYS)
a+b+c=d
b+c+d=a
D
c+d+a=b
>E
ise a + b + d toplamı nedir?
A)c
B)2c
C)3c
D)-c
E)-3c
zılırsa,
2x + y = 4 = > 2 . 1 + y = 4 = > y = 2 olarak bulunur.
O halde, Ç = { (1,2)} dir.
II. Yerine Koyma Metodu
Değişkenlerden birisi, denklemlerden birisinden çekilip
Verilen denklemler taraf tarafa toplanırsa
2.(a + b + d) + 3c = a + b + d=> a + b + d = - 3 c dir.
Örnek: (1983-ÖSS)
x - y = 22 \
diğer denklemde yerine yazılarak elde edilen bir bilin­
y + z = 10 /
meyenli denklem çözülür. Daha sonra diğer bilinmeyen
z-v=8
ise,
/
bulunur.
x - 2y - 2z + v nin değeri kaçtır?
Örnek:
2m-3n = 9
3 m - n = 10
olduğuna göre, m değerini bulalım.
Bilinmeyen sayısı (4) denklem sayısından (3) fazla olduğu
için fazlalık sayısı kadar bilinmeyen (burada 4 - 3 = 1 bi­
linmeyen) serbest (keyfi) olarak seçilebilir. Buna göre,
y = 0 seçilip verilen denklemlerden bulunan x = 22,
İkinci denklemden n değeri çekilip birinci denklemde
z = 10, v = 2 değerleri sorulan ifadede yerine yazılırsa,
yerine yazılırsa n değeri yok edilmiş olur. Buna göre,
x - 2 y - 2 z + v = 22-2.0-2.10 + 2
n = 3m - 10 değeri birinci denklemde yerine yazılırsa,
2m - 3.(3m - 10) = 9 => 2m - 9m + 30 = 9
=> 21 = 7m =» m = 3 tür.
III. Karşılaştırma Metodu
Değişkenlerden birisi, iki denklemden de çekilip bir­
birine eşitlenirse diğer değişkenin değeri bulunur.
202
= 4 değeri bulunur.
Veya, İkinci ve üçüncü denklemin iki yanı (- 1) ile çar­
pıldıktan sonra üç denklem taraf tarafa toplanarak bu
sonuç bulunabilir.
2.
BÖLÜM
1.
TEST
1
DENKLEM ÇÖZME
6.
5(x-2) = 4 x - 6
+ 2
= 7
olduğuna göre,
A) 2
x
kaçtır?
C)4
B)3
1 D) 5
E) 6
olduğuna göre,
A) 8
2.
x
B) 7
kaçtır?
C) 6
D) 5
E) 4
3(x + 3) = 2(x + 3) + 4
olduğuna göre,
A) 1
x
B) 2
kaçtır?
C) 3
x + 3
7.
+
3
D) 4
E) 5
3
1
- —
x + a
3
denkleminin bir kökü x = 1 olduğuna göre, a kaç­
tır?
A)-4
B)-2
C)-1
D) 2
E) 6
±4 +±±±-3
3
£
olduğuna göre,
A) 3
a
B) 4
kaçtır?
C) 5
8.
20
D) 6
E) 8
olduğuna göre,
A) 5
4.
x + 1
x - 1
olduğuna göre,
A) - 6
x
B) - 4
x
kaçtır?
B) 4
C)3
D) 2
E)1
D) 3
E) 4
4x + 2y = 5
3x - 2y = 9
kaçtır?
C) - 2
D)4
olduğuna göre,
E)6
A) 0
5.
= 5
3 + x + 1
E
o
u.
10.
5 x - [ 3 x - ( x - 1 ) + 4] = 10
x
B) 1
kaçtır?
C) 2
3m-2n = - 1 2
4n - m = 14
olduğuna göre,
x
kaçtır?
olduğuna göre,
A) 5
B)6
C)7
D) 8
E) 9
A) 3
B) 2
m
kaçtır?
C) 1
D) - 1
E)-2
203
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
16.
+ b = 2
x-y + z = 5
x+y+z = 7
— + a = 4
b
X+z
olduğuna göre,
kaçtır?
olduğuna göre, — oranı kaçtır?
b
A) 7
A) 4
12.
B) 2
5
a - b
C) 1
D)
1 7 . a ve b reel sayıdır.
= 25
(a + 3) 4 + (b - 2) 6 = 0
olduğuna göre, b kaçtır?
13.
B) 4
E) 3
E)
a+b = 4
A) 5
D) 4
C)5
B) 6
olduğuna göre, a + 2b kaçtır?
D) 2
C) 3
E) 1
A) 5
a = 2b
18.
b = 3c
B) 4
C) 3
D) 2
E)1
3x-3y + 5z = 9
b+c = 4
x - 2y + 2z = 2
olduğuna göre, a kaçtır?
olduğuna göre, x + y + z kaçtır?
o
A) 18
14.
B) 12
C)9
D) 6
E) 3
A) 8
E
e
c
x - z = 20
b.c
z - y = 30
a
B)20
C)30
D) 40
E) 50
B) 50
C) 44
D) 40
E) 3
x
x(n - m)
— - n = —i
m
m. n
20.
b.c = 3 .a
a.c = 4.b
olduğuna göre,
B) 12
Cevaplar: 1-C 2-A 3-B 4-A
C)16
5-A
x
aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
olduğuna göre, a . b . c kaçtır?
204
=5
olmak üzere,
a . b = 2 .c
A) 8
=4
olduğuna göre, a 2 + b 2 toplamı kaçtır?
A) 54
15. a*0
E) 4
D) 5
a.c = 6
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 10
C) 6
a.b
19.
x + y = 10
B) 7
D) 24
6-E 7-A
A) m 2
E) 36
8-D 9-C 10-E
11-B
12-E
13-D
B) n 2
14-C
15-D
C) m
16-B
D) n
17-E
18-D
E) m + n
19-C 20-B
z.
3a
1
— + —
4
2
1.
TEST
2
DENKLEM ÇÖZME
BÖLÜM
a- 4
1+
=3
s-L
X
olduğuna göre, a kaçtır?
A)-12
B)-10
C)-8
olduğuna göre, x kaçtır?
D)-6
E) - 4
A) 1
3x
+ 50 =
2
7x
2
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 15
B)10
olduğuna göre,
C)5
D) 3
E)1
A) 5
3.
£ 8.
a ve b doğal sayıdır.
a 2 - b 2 = 76
B)24
x +1
x +2
4.
C)26
B) 3
C)1
A) - 2
E) 30
Ȕ
E)
- 2| + V2b + 1 = 0
olduğuna göre,
D) 28
E) 5
— oranı kaçtır?
b
3.a.b
B) - 1
a- 1
x +2
x - 1
kaçtır?
a+b
olduğuna göre, 2a - b kaçtır?
A) 22
D) 4
C) 3
5
5
— + b = 5 ve — + a = 1
a
b
7.
+ 40
B) 2
C) 0
a+ 1
D)1
E) 2
a- 5
a2 - 1
olduğuna göre, a kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
«-1
5.
B)_
c
»-f
D)_
denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna
göre, k kaçtır?
B)-6
O-5
D)-4
E) - 3
B)5
A
10.
(k + 7)x-4 = 3 x - 8
A)-7
A) 4
E)-
=
C)6
D) 7
E) 8
D) 22
E) 24
n
3a - 8b = 50
olduğuna göre, a - 2b kaçtır?
A) 16
B)18
C)20
205
MATEMATİK SORU BANKASI
16.
1 1 . a ve b reel sayıdır.
3ax + 12y = 4
x + b.y = 1
(a-11)x + 9 . b = 9
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz (x, y)
eşitliği x in bütün reel sayı değerleri için sağlan­
ikilisinden oluştuğuna göre, a + b kaçtır?
dığına göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 10
12.
B) 11
E) 14
*>i
a.y
X
=2
C)-1
D)-
D) 2
= 6
x-1
E) 0 ©
B) 6
3 +
C) 5
D) 4
E) 3
15
x-5
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, a . b kaçtır?
A) 8
D)
B)7
C)6
E) 4
D) 5
E)
20.
15.
8
19.
'î
E) 4
D) 2
olduğuna göre, y kaçtır?
4 a - - l - = — - 4b
a
b
c
kaçtır?
C)-1
B) - 2
o
>E
1 4 . a + b ît 0 olmak üzere,
B)2
= 7
6 +
A) 7
A) 4
3
2y
+
5 +
c
X.
sağlandığına göre, a.b çarpımı kaçtır?
C)4
11
x+y=7
o
denklemi x ve y nin bütün reel sayı değerleri için
B)6
D)
E)-2
(a + b - 5)x + (3a - b - 3)y = 0
A) 10
10
olduğuna göre, — + —
x
y
18.
13.
C)
xy
A) - 4
^
8
2x + y
xy
olduğ un*»göre, — kaçtır?
y
A) 2
B)
3x
=4
y
3
D) 13
17.
3x
a
C)12
x + 4y = 20
y - 2z = 11
y-y = 7
2x + z = 12
olduğuna göre,
A) 7
B) 2
2y
14
y
kaçtır?
C) 1
Cevaplar: 1-B 2-C 3-A 4-E 5-0 6-A
206
D) - 3
olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
E) - 7
7-E 8-A 9-C 10-B
A) 7
11-C 12-E 13-B
B)6
14-D 15-B
C)5
D) 4
16-E 17-B 18-D
E) 3
19-A 20-A
;
,
>
«
*
.
-
•
•2^
v,,-,«
TEST
3
DENKLEM ÇÖZME
BÖLÜM
:<**&'.
1.
a 2 .b--L
6.
.+i.-..(4*i-)
18
a.b2 = - L
olduğuna göre, x kaçtır?
A)
12
C)
B)
olduğuna göre,
E)
<
*>-!
=1
1 +
B)_
E
D)
C)
»f
2n - 2
7.
1
a. b çarpımı kaçtır?
n+1
n
eşitliğini sağlayan n değeri aşağıdakilerden han­
gisidir?
olduğuna göre, x kaçtır?
A)-1
B)
1
C)1
D) 2
E) 3
5
4
6
5
8.
1 - x
>-
1 - 2x
x + 2y = 3
O
B)3
C)5
olduğuna
D) 7
olduğuna göre,
@
A) 16
E) 8
i-{
a
—
y
B) 17
9.
4.
E)-3
E
denkleminin köklerinden biri x = - 1
göre, a kaçtır?
A)1
o.-|
'-!
2x-3y = 5
o
2 - a
3.
c
kaçtır?
D) 19
C)18
E) 20
m x-x + m = 1
denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna
+ 1 - [ a + 2 - ( a + 3 ) ] } - 3 a = 11
göre, m reel sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, a kaçtır?
A)-4
A) 7
B)3
C)-1
D)-3
B)-3
O)-2
D)-1
E)1
E)-7
1 0 . a ve b sıfırdan farklı reel sayılardır.
xa - b
1
1
x+3
+ x + a
denkleminin köklerinden biri x = 1
göre, a kaçtır?
A)1
B)2
a " b
1
=O
x + 1
C)3
D) 4
ab
denklemi bütün x reel sayıları için sağlandığına
olduğuna
E) 5
göre, a ile b arasındaki bağıntı aşağıdakilerden
hangisidir?
A)a.b=1
D) a = 2b
B)a = -b
C) a - b = 0
E) a + 2b = 0
207
MATEMATİK SORU BANKASI
11
3
1 6 . x, y, z reel (gerçel) sayılardır.
2
denklem sistemini sağlayan
x - y farkı kaçtır?
A) 5
(x, y)
2
2
x+z=6
olduğuna göre, x - z farkı kaçtır?
E) 10
A) 1
3
3
m - — = 3 ve ım+ — = 5
n
n
12.
2
y + z = 12
ikilisi için
D) 9
C)8
B)7
2
x + y = 24
x + 5y = 29
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
-a + 2 b - 1 0 c = 7
17.
2a - b + 5c = 7
olduğuna göre, n kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A)-4
x + 4
x - 3
ax + b + b x + a
13.
3x-2
ax + b
1 8 . x, y, z
B)3
C)5
D) 7
E) 9
pozitif tamsayılardır.
3x + 2y + 5z = 37
olduğuna göre,
x
aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, y nin alabileceği en büyük değer
D
A)
2b - a
a- b
B)
D)
b - 2a
C)
2b - a
2a + b
a - 2b
E)
a + 2b
a-2b
kaçtır?
E
A) 32
B)29
19.
denkleminde a nın hangi değeri için b bulunamaz?
>!
c
B)
>ı
D) 3
B)
c
>!
D) 2
A) 27
B)26
20.
eşitliği her (x, y) reel sayı ikilisi için sağlandığına
göre, a. b çarpımı kaçtır?
A)1
olduğuna göre, 2m +1 - p ifadesinin değeri kaç­
tır?
E) 5
( 1 - 2 a ) x + (a + b - 3 ) y = 0
15.
E) 10
n-t=7
m - p = 21
2 a - 3 b - 3 +ab = 0
A
D) 13
m + n = 13
2
14.
C)26
2b - a
b-2a
E)
C)25
x2 - 4A =
x -
D) 24
E) 21
2
x .y = 1
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
A)0
B)
°>İ
D)
E
>!
Cevaplar. 1-D 2-A 3-A 4-D 5-C 6-C 7-E 8-D 9-D 10-C 11-A 12-C 13-B 14-D 15-C 16-B 17-D 18-D 19-A 20-E
208
2.
BÖLÜM
0,32.x + 18
1.
6.
= 0,82
2.
B) 36
C) 50
(2x + 3) 4x + 2 = 1
denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı
kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 5
TEST
4
DENKLEM ÇÖZME
D) 60
E) 80
k)-72
B)-3
C)-|
2
D) - 2
E) - 1
x3 + 8 = X + 2
7.
olduğuna göre, x in reel sayı değeri kaçtır?
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
2x - { x - [ 3x - (x - 3) ]} = 5
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 2
A) - 6
B) - 4
°>İ
C) - -
E) 4
a+b=c
c+d=b
8.
olduğuna göre, a aşağıdakiierden hangisine eşittir?
a * 0 olmak üzere,
>E
3a- b
0,
a - c = 4,
b.c = 0
u.
A) b
B) - b
C) d
D) - d
E) b - c
©
olduğuna göre, b kaçtır?
A)-12
4.
B)-4
C)0
D) 4
E)'12
a ve b birbirinden farklı pozitif reel sayılardır.
a +x
b
2x_b + x
a
a
olduğuna göre, x aşağıdakiierden hangisine eşit­
9.
a 2 - b 2 = 48,
a + b = 6,
ax + b = 13
tir?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) a + b
B)a- b
C)b-a
A) 3
D)
5.
n * 3 olmak üzere,
10.
2mx- 3 = x - n
denklemi hiç bir x reel sayısı için sağlanmadığına
göre, m kaçtır?
A)-1
B,_l
B) 2
C) 1
D) - 2
E) - 3
E)
C)1
D)
E) 2
(x - y + 3)a + (x + y + 5)b = 0
denklemi her (a, b) ikilisi için sağlandığına göre,
y
— oranı kaçtır?
^
4
C)1
D) 2
E) 4
209
MATEMATİK SORU BANKASI
2
5
x + x.y = —
9
11.
1 + JL..L
y
kaçtır?
D)
C)3
B)9
4.x - a x = a + 2
eşitliği her x reei sayısı için sağlandığına göre, a
3
olduğuna göre, x . y çarpımı kaçtır?
A) 27
2
16.
A) - 2
C) 0
E) 2
D) 1
E)
17.
12.
B) - 1
x - — — =-2
x-2
5.m = 7.n
olduğuna göre, x in pozitif değeri kaçtır?
m = 3.k
m + n + k = 172
A) 4
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 84
B) 80
D) 62
C) 76
B) 3
C) 2
D) Y ^
E) 54
X
1 8 . Yandaki çarpım tablosunda
a, b ve c birer pozitif tam­
sayıyı göstermektedir.
1 3 . x, y, z
E) İ 2
birer doğal sayıdır.
a
a
b
b
c
4
8
2
D
Buna göre, a kaçtır?
C
x 2 . y = 100 ve z 2 . x = 45
O
>-
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 2
B) 3
A) 4
E
D) 7
C) 5
E) 9
C) 2
D) ^ 3
E) İİ
*
©
19.
14.
B) İ~6
3 x
y
A
— + -J— = 4
y 3x
3x - y + 6xy = 12
a+b+c=8
a . b + c . a = 16
olduğuna göre,
olduğuna göre,
A) 4
15.
a
kaçtır?
B) İ6
D)f3
C) 2
A) - 5
E) V2
a.(3 - b) = c
B) - 4
olduğuna göre,
A)
B)
a
farkının negatif değeri
C) - 3
D) - 2
E) - 1
V*1.2 ve Ü L - 4
20.
( — + b). (ab + c) = 3
a
olduğuna göre,
3x - y
kaçtır?
Vac
kaçtır?
kaçtır?
c
Ȕ
D)-
E
>-!
A) 8
B)4
C)2
°>î
E)
Cevaplar: f-fi 2-A 3-D 4-C 5-D 6-A 7-D 8-E 9-B 10-A 11-D 12-A 13-C 14-A 15-A 16-A 17-B 18-A 19-B 20-E
210
"•MI'
*»M»'
"^
'
>"*•
, . - ! - " .",",
SOLUM-:'' *<&
1.
y ^ 2x ve x * 1
olduğuna göre, y nin
dakilerden hangisidir?
A)
•m+1
r m
+ 5'"
. 3n n" = 5000
x
denklemini sağlayan m ve n doğal sayı değerleri­
nin toplamı kaçtır?
cinsinden eşiti aşağı-
C)
X - 1
x - 1
20
x
x + 3y = 4
y - z = 16
-.2
a -
K
ve
2
2
K
b
D
- a-,
2
=5
olduğuna göre,
A) - 8
olduğuna göre, x kaçtır?
A ) - 100
B)-5
C)4
D) 5
E) 100
o
c
O
3.
D)m = 3 v e n = 3
D) a = 0 veya b = 0
E) m = 3 ve n * 3
3nx - 2y = 4
C)14
D) 18
denklem sistemini sağlayan sonsuz sayıda (x, y)
x
y
A)
1
10.
7
olduğuna göre, x.2 +. „2
y kaçtır?
C)23
ikilisi olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
E)24
x-y = 5 ve J_ _ J_ „ J !
B)27
E) a * 0 veya b * 0
2x + 3my = 1
denklemini sağlayan y nin farklı değerlerinin top­
lamı kaçtır?
A) 36
E) - 2
C) a = b ve a * 0
B) - = 0
b
C) m * 3 ve n = 3
y2 = x2 + 60
B)10
D) - 3
§
x ve y doğal sayıdır.
A) 6
C) - 5
( a - b) 4 = a 4 + b4
A) a.b = 0
B)n = 3 v e m = 1
toplamı kaçtır?
eşitliği aşağıdaki durumların hangisinde hiçbir za­
man sağjanmaz?
E
kilerden hangisi doğrudur?
A)m = n
x+y+z
B) - 6
8.
>-
mx + 3 = 3x + n
denkleminin reel kökü olmadığına göre, aşağıda-
5.
E) 7
D) 6
x + 1
2x
x - 1
2x
E)
C)5
z+x=8
2.
4.
B)4
A) 3
2x
B)
x - 1
D)
6.
olmak üzere,
— = 2x - y
x
y
TEST
DENKLEM ÇÖZME
B)-
x 2 . y = 12
1
ve
O
8
E) 4
D) 20
E) 30
D)
x 2 . y 3 = 75
olduğuna göre, x 2 .y 2 çarpımı kaçtır?
D) 18
E) 12
A) 10
B)12
C)15
211
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
1 6 . a ve b tamsayıdır.
5x + 4y = 16
4x + 5y = 11
2
olduğuna göre, x - y
A) 11
B)15
kaçtır?
C) 18
2
olduğuna göre, a . b kaçtır?
D) 21
E) 27
A) 5
B)2
O-2
D)-4
E) - 6
1 7 . z pozitif bir tamsayı olmak üzere,
1
1921
1
1920
1
1920x - 3840
12.
2
2
a + b - 4 a + 4b + 8 = 0
2
2
x + y = 13
y + 5z = x
olduğuna göre, x kaçtır?
A)1920
x-y+z=6
B)1921
D)1923
C)1922
olduğuna göre, x + y toplamının pozitif değeri
E)1924
kaçtır?
A) 6
13.
B) 4
18.
(a +b)x + ( a - b ) y + ab = 0
4.yz-5.x = 0
denklem sistemini sağlayan sonsuz sayıda (x, y)
ikilisi olduğuna göre, b kaçtır?
B
C)
>!
°>!
E
5.xz-6.y = 0
^
olduğuna göre,
E
A) 2
»!
19.
14.
x + 10
x +8
B)3
1
_ +
x+8
y+5
C) 3
E) 6
D) 5
u
ve a . b = 36
olduğuna göre, x en az kaçtır?
kaçtır?
Y
A)—
37
B) 4
kaçtır?
C)4
1
1
1
— =— +—
x
a
b
1
A) 5
x.y.z
a ve b sıfırdan farklı doğal sayılar olmak üzere,
y+7
+ ^
=6
y +5
olduğuna göre,
E)1
D) 2
3.xy-4.z = 0
3x + 2y + 1 = 0
A) 3
C) 3
D) 2
B)1
C)5
D)—
13
E) 6
E) 1
20.
x 3
"4x
x + 5x + 6
-0
2
15.
x2-x + 1 = 0
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlış­
tır?
olduğuna göre, x 9 kaçtır?
A) - 3
B) - 2
C) - 1
A) x = 0
D) 1
E) 2
B) x = 2
D) x = - 2
C) x * - 3
E) x * 3
Cevaplar: 1-B 2-B 3-E 4-E 5-D 6-C 7-E 8-C 9-C 10-E 11-B 12-D 13-E 14-D 15-C 16-D 17-E 18-A 19-A 20-D
212
2.
BÖLÜM
1.
TEST
6
DENKLEM ÇÖZME
6.
x - {5x - [2x - (1 + 3x) + x] + 3} = 8 - x
x, y ve z
pozitif tamsayılardır.
3x + y + z = 62
olduğuna göre, x kaçtır?
x + 3y + z = 48
A) - 4
B) - 3
C) - 2
D) 2
E) 3
olduğuna göre, x. y çarpımı en küçük değerini al­
dığında z kaç olur?
B) 27
A) 17
xy
1
yz
1
xz
1
x + y
3
y + z
4
x + z
5
olduğuna göre, x
A)
7.
kaçtır?
C)
B)
D)
x
,
4x - 1
2
c
- =1
O
1
+
1 - x
D) 47
E) 57
2
+
y = 10.[x+y--^--^
5
2
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
E)1
A) 2
3.
2
C) 37
8.
B)4
C)5
_b_
D) 9
E) 25
V2 = Vâ
E
«
u.
olduğuna göre, x kaçtır?
©
A) 5
B) 2
C) 1
D
»i
olduğuna göre, (a - 2b) ifadesinin değeri kaçtır?
•
^
A) - 4
D)4-4V3
4.
C) 4
E)6-2-/3
a- — - c = 3
b
b.c-a.b=11
A)-2
B)-3
C)-4
n (4n - x)
x - 4n
9.
olduğuna göre, b kaçtır?
D) - 5
E) - 6
a, b ve c doğal sayılardır.
10.
C)5
D) 6
C)0
D)-8
E)-2
3a - 4b - 2c = 19
olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği
kaç farklı değer vardır?
B)4
B)8
4a - 3b + 2c = 30
a + b = 4 ve b + c = 6
A) 3
+2=0
eşitliğine göre, x in hangi değeri için n bir reel sa­
yıya eşit olamaz?
A) 2
5.
B) - 2
E) 7
olduğuna göre,
A)-
B)-
a + 2c
b + 2c
C)
kaçtır?
D) 2
E)
213
MATEMATİK SORU BANKASI
3
10
11.
1 6 . x ve y tamsayıdır.
19
2
— + —
x
y
10
12.
B)-5
a
16
2
x - 4
C)2
ve
A)-9
E) 10
D) 5
a
x'
4
4-x
1
2x-3y + 2
=1
olduğuna göre, x 2 - y 2 kaçtır?
olduğuna göre, x . y çarpımı kaçtır?
A ) - 10
1
x + y-3
B)-5
C)-4
E) 5
D) 4
1 7 . x, y, z pozitif tamsayılardır.
2x + 3y + z = 70
olduğuna göre, 4.x
aşagıdakilerden hangisine
3x + 2y + z = 85
eşittir?
A) a
B) 2 - a
D ) - 3 a - 16
13.
olduğuna göre, x en az kaçtır?
C) 4 - a
A) 1
E) 2 4 - a
2a 2 + ab - b 2 = 3
olduğuna göre, —
kaçtır?
A) I
2 _.2
— oranının pozitif değeri
ab
B
»I
c
x
«i
>!
n
15. a * - b
«
B) 4 - n
C) 64 + n
D) 2 - n
ax
x+3
x-1
B){-1}
C){}
3x - 4
4
x
E) n
olmak üzere,
a2+b2
A) {-3}
19.
olduğuna göre, x aşagıdakilerden hangisidir?
A) 4m
E) 16
x
D){0}
E){1}
E)
1
m
D) 15
denkleminin çözüm kümesi aşagıdakilerden han­
gisidir?
E
U.
rT 16
— = — ve
14.
£
C)9
3
1
3 + x+3 + x-1
_2 18.
2ab - b 2 = 1
B)7
x
ve
y=
x - 2
olduğuna göre, y kaçtır?
A)
8
B)
c
»^
D)-?
*-î
2 0 . x, y, z pozitif tamsayılardır.
1 = J*L A
ax
x 2 + y 2 + z 2 = 37 - 2xy
a
olduğuna göre, x aşagıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, x + y + z
A) a B) a + b C) a - b D) ab E) a + 1
A) 3
B) 4
C) 5
toplamı kaçtır?
D) 6
E) 7
Cevaplar: 1-A 2-A 3-B 4-C S-C 6-C 7-C 8-A 9-B 10-E 11-E 12-D 13-B 14-B 15-C 16-E 17-E 18-C 19-D 20-E
214
r-.:,'.tZ-:V
BÖLÜM
1.
TEST
DENKLEM ÇÖZME
2 -
x-1
5.
x-y-1=0
ax + by + 1 = 0
=5
3x + 2y - 8 = 0
denklem sistemini sağlayan sadece bir tane (x, y)
ikilisi olduğuna göre a ile b arasındaki ilişki aşa­
ğıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 2a -f b = 1 B) a + 2b = - 1 C) a = 2b
D) 2a + b = - 1 E) a + 2b = 1
2.
+ b = 3
+ c = 1
olduğuna göre,
A) - 8
6.
a . b . c çarpımı kaçtır?
C) - 1
B)-3
D) 3
2
3
1
+
+
x+3
x+2
x+1
1
x-1
25
6
eşitliğini aşağıdakilerden hangisi sağlar?
E) 8
A) - 3
o
B) - 2
C) - 1
D) 0
E)1
>-
E
u.
©
3 . (2x - y + 4).a + (x + y + 5)b = 5b + 4a + 2y
7.
x bir tamsayıdır.
eşitliği x ve y nin bütün reel sayı değerleri için
sağlandığına göre, b - a farkı kaçtır?
A) 2
B)3
C)6
D) 7
ax + x x + 2x = 17
ax + 2xx + x = 19
E) 9
olduğuna göre, ax aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
B)8
C)9
D) 16
E) 27
x ?i y olmak üzere,
2
y
2
x
8.
x - 3y + z = 5
2x + y + 4z = 3
x = x- —
4
V - y -
T
olduğuna göre,
olduğuna göre, x + y kaçtır?
*>;
<
c
»i
D)
E)
A)-14
7x + 13z
—,.
n_
7y+ 2z
B)- 7
O)- 2
oranı kaçtır?
D) 7
E) 14
215
MATEMATİK SORU BANKASI
x + 2y - 4z = 72
a.b.c
14.
d
3x + y + 2z = 24
c
2
b.c.d
x + y + 2z = 8
a.b.d
=1
=2
2
a.c.d
=4
=8
olduğuna göre, y kaçtır?
B)13
A) 12
10.
X
C)14
12
D) 15
z
y
E) 16
olduğuna göre, d
kaçtır?
A) 2
C)6
B)4
24
Şekildeki karelerde birer sayı bulunmaktadır.
B)34
C)44
D) 54
a.b^.c
15.
Karelerdeki herbir sayının bir önceki karede bulu­
nan sayı ile farkları eşit olduğuna göre, x + y + z
toplamı kaçtır?
A) 24
=2
a . b + b.c
ad. b. c
=2
a . b + a.c
E) 60
olduğuna göre,
— kaçtır?
b
D)2
C)1
B)
A)
1 1 . a ve b
E) 32
D) 8
E)4
birer doğal sayıdır.
a 2 = b 2 + 6b + 86
olduğuna göre, a nın alabileceği kaç farklı değer
vardır?
A) 0
B) 1
C)2
1 6 . a* b olmak üzere,
O
ax + by + az = 1
E
bx + ay + bz = 1
>-
E) 4
D) 3
—
c
«
olduğuna göre,
12.
— + — = A
129
29
olduğuna göre,
130
30
129
29
g/128
=
A)-1
A-4
B)
A + 4
[
13
+
C)
A) 8
Cevaplar: 1-B
B) 4
2-A
x - 1 /
a-b
y2 = 3 + x.y
olduğuna göre,
4A + 1
x.y
kaçtır?
B) - 3
D)3
C) - 2
E)6
1 8 . x, y, z farklı pozitif tamsayılardır.
+2
2x + 3y + 4z = 75
olduğuna göre, x + y + z toplamı en çok kaçtır?
kaçtır?
C) 1
3-A
E)
x2 = 6 + x.y
17.
A) - 6
\
a
D)—i—
a + b
E) A + 4
4
olduğuna göre,
216
4 A
A + 4
"» -« + : ( ı + - J _ ) = x
x - 1
C)l
b
29 /
,.4 + A
4-A
2
B)_l
a
28\
\ 129
eşitliğinde B nin, A cinsinden değeri aşağıdaki­
lerden hangisidir?
A)
y aşağıdakilerden hangisidir?
4-A
D) - 4
5-D
6-D
A) 32
E) - 2
7-C
8-C
9-E
10-C
11-B
12-D
B)33
13-D
C)34
14-B
15-C
D) 35
16-D
E) 36
17-C
18-D
2.
BÖLÜM
KTT-2
2
4
2
(-xr .x~ .(-x )
1.
(-x)
3
6.
-3
B)x
C)-x~
3
D)x~
3
E)x
A) 16
3
2
= a
a.b =
(0,16) " x sayısının a ve b cin­
olduğuna göre,
b.c =
sinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A
»l
C) ab
B)
D)
olduğuna göre,
E)
A) İ 6
3.
a-b
1+ 3
1 +3
C)8
>.
C
8.
b
B) 2 ^ 3
1
7?
kaçtır?
C) zfİ
A) - 4
B) - 3
değerlerinin çarpımı kaç-
C) 3
D) 4
3
@
2
olduğuna göre,
A)-4
3
E) fz
x +2
u
x - ax + bx
E) 9
9.
+ V - 8 + V(-1)
4
3
/—
V81 + V - 1
D) 6
x * - 2 olmak üzere,
3
x
E)1
J_
fi
X +
eşitliğini sağlayan
tır?
D) 4
1
a.b.c =
5x = b
ve
^
B)9
7.
2.
-
olduğuna göre, x kaçtır?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)-x
İ6x
a + b toplamı kaçtır?
B)-2
C)2
D) 6
E)
— = V3 + 1 olduğuna göre,
b
3
u2
a - ab
2
2
a b + ab
işleminin sonucu kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) - 6
B) - 4
C) - 2
D) - 1
E) 0
A) 2V3
B) 2
C) V3
D)-V3
E)-2
1 0 . x bir tamsayı olmak üzere,
^32"
6 - V8~
x 2 + 7x + 12
3 -V7" +V2"
işleminin sonucu kaçtır?
A)
<2
B)
VT
ifadesi bir asal sayı olduğuna göre,
V7
x in alabile­
ceği değerlerin çarpımı kaçtır?
D)
E) 2
A) 20
B)16
C)15
D) 12
E) 10
217
11.
a
2a + 1
a + 1
+ 2a + 1
16.
a + b = 12
b+c=6
c+d=3
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
olduğuna göre, (a - b) + (d - c) ifadesinin değeri
hangisidir?
kaçtır?
B)
A) a + 1
a-1
C)
a-1
A) - 2
B) 2
D)-3
C) 0
E) 3
a+ 1
a-1
17.
1 2 . (x - 3) sayısı z ile ters, (y + 2) ile doğru orantılıdır.
2a - 3b = 3 + 2x
a+ b=1-x
x = 11 ve y = 4 iken z = 9
olduğuna göre, b - 4a ifadesinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, x = 5 ve y = 3 iken z kaçtır?
A)-7
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
£
duğuna göre, tüm sınavlarının ortalaması kaçtır?
E
D) 7,2
4
B
1
— ve — = — oranB
7
C
2
larında karıştırılarak 650 gramlık bir karışım hazır­
A) 5
19.
A) 26
B)52
C)78
x -9
B) 4
C) 3
D) 2
E)1
D)
E) 9
a - 2b + c = 9
duğuııa göre,
maddesinden kaç
D) 104
2x - 1
2
3a + 2b + c = 17
lanıyor.
A
2x - 1
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 7,5
1 4 . A, B, C maddeleri
Buna göre, bu karışımda
gram kullanılmıştır?
E) 5
2x
15
1
x -3
Bu öğrencinin üçüncü sınavdan aldığı not 9 ol-
C) 7
D) 3
1 8 . x pozitif bir reel sayıdır.
laması 8, son üç sınavının ortalaması 7 dir.
B)6,5
C)-3
E) 40
1 3 . Bir öğrenci 5 sınava girmiştir. İlk üç sınavının orta­
A) 6,3
B)-5
2a + c
a +
2b
kaçtır?
13
E) 130
4
7
9
1 5 . 12 erkek ve 20 kız öğrencinin katıldığı bir sınavın
20.
not ortalaması 6 dır.
(3a + b)x + (a - 3b)y + a + 7b = 0
Erkek öğrencilerin not ortalaması 8 olduğuna gö­
eşitliği a ve b nin bütün reel sayı değerleri için
re, kız öğrencilerin not ortalaması kaçtır?
sağlandığına göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 3
B)3,5
C)4
D) 4,5
E) 4,8
A)1
B)5
C)9
D) 12
E) 15
Cevaplar: 1-E 2-E 3-A 4-C 5-E 6-B 7-E 8-D 9-C 10-E 11-D 12-C 13-D 14-D 15-E 16-E 17-B 18-D 19-A 20-A
218
',**?
1
,
t
<J*'•• V '
1
s
GTT^r
BÖLÜM
1.
a, b, c tamsayılardır.
A = ab1 üç basamaklı bir sayıdır.
6.
a.b = -10
Buna göre, altı basamaklı 10ab10 sayısının A
türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
b . c = 15
D) 10 5 + 1 0 . A
ceği en büyük değer kaçtır?
C)3
B)-4
D) 4
x ve y
E) 10 6 + 100. A
pozitif tamsayıdır.
72 . x = y 3
1 + 2 1 6 sayısının 4 tabanındaki eşiti kaç basamaklı
bir sayıdır?
A) 6
C) 10 5 + A
E) 6
7.
2.
B) 10 6 + A
A) 10 7 + A
olduğuna göre, a + b + c toplamının alabile­
A)-6
*•>*
olduğuna göre, x + y toplamı en az kaçtır?
B)7
C)8
D) 9
A) 18
E) 10
İki basamaklı ab sayısının sağına 12 yazıldığında el­
O
B)15
C)12
D) 9
E)
400 den küçük bir x doğal sayısına 2 eklendiğinde
8.
de edilen dört basamaklı doğal sayı, soluna 12 yazıl­
>-
5 ile, 4 eklendiğinde 7 ile, 6 eklendiğinde de 9-ile
dığında elde edilen dört basamaklı doğal sayıdan 198
E
tam bölünebiliyor.
©
Buna göre, x sayısı kaçtır?
fazladır.
Buna göre, iki basamaklı ab doğal sayısının ra­
A) 348
kamlarının sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 5
4.
B)6
C)7
D) 8
D) 313
E) 9
C)318
E) 305
a, b, c asal sayılardır.
a = (17)
2b-c
işleminin sonucu kaçtır?
olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük
değeri kaçtır?
A) 25
5.
B)338
B) 24
C) 22
D) 21
A) —
64
E) 20
3 sayı tabanı, a ve b birbirinden farklı iki rakamdır.
(2ab)3 < (222) 3
10
"
B)-—
16
C)-64
D) 32
l
(*•')•(£•')•(*•')
E) 64
+
ı
çarpımının değeri, n = 21 için kaçtır?
olduğuna göre, kaç farklı (2ab) 3 sayısı vardır?
A) 2
B)3
C)4
D) 5
E) 6
A) 7
B)9
C) 11
D) 13
E) 15
219
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . x = 2 a - 3 b olduğuna göre, a sayısı 2 arttırılır,
1 1 . Birbirlerinden farklı iki basamaklı dört pozitif
b sayısı 2 azaltılırsa x kaç artar?
tamsayının toplamı 98 olduğuna göre, bu sayıla­
rın en büyüğü en çok kaç olabilir?
A) 65
B) 66
C) 68
A) 0
D) 70
B)3
C)5
D) 10
E) 12
E) 71
1 2 . A ve B birer doğal sayıdır.
OBEB (A, B) = 7 ve 2.A = 3.B
1 7 . Farkhiki pozitif tamsayının OKEK'i 40 olduğuna
göre, bu iki sayının toplamı en çok kaçtır?
olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?
A) 56
.
B)
42
C) 35
D) 28
A) 35
E) 21
B) 40
C) 45
D) 60
E) 80
1 3 . x, y, z birer negatif reel sayıdır.
x . y .
1
18.
T
a=x+1
b = x2 - x + 1
1
—
4
x.z = —
3
olduğuna göre, x - a.b ifadesinin eşiti aşağıda-
^
o
kilerden hangisidir?
>-
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
A) 2x3 + 1
E
B) 2x3 - 1
C) - 1
E) x3
D) 1
o
u.
doğrudur?
@
A)z>x>y
B)y>z>x
D)y>x>z
C)x>z>y
E)x>y>z
I».
x
<
4
eşitsizliğini sağlamayan kaç tane x doğal sayısı
1 4 . Bir sayıyı 0,11 ile bölmek, bu sayıyı kaç ile çarp­
vardır?
mak demektir?
A) 5
A) 1
B) 1
C) 3
D) 6
B)4
20. 1 < x < 2
a.b3 < 0,
15.
C)3
D) 2
E) 1
E) 9
olmak üzere,
b.c > 0
| |x | + | 1 - x | + | x - 3 | |
olduğuna göre; a, b, c reel sayılarının işareti
sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir?
işleminin sonucu aşağdakilerden hangisidir?
A) -, -, -
A) x + 2
D) +, +, -
220
B) -, -, +
C) +, -, E) +, +, +
B) x - 2
D)3x-4
C) 3x
E)x
21.
2 6 . x ve y reel sayılardır.
m
5x 2 + 2xy + y 2 - 4x + 1 = 0
m + p + 2n - 21 . . .
-4n - 1
ifade­
....
. . . .
bölme işlemlerine göre,
olduğuna göre, x . y çarpımı kaçtır?
sinin değeri kaçtır?
A) 1
A) - 2
B) 2
2 2 . a = -1
ve
D) 4
C)3
b = -2
C) - 1
B) -
27.
olmak üzere,
D) 1
4
E) 5
*\
4
= 2
x
y
z
2 a + 3 b - 4c = 18
( o a - a bb\a'-b'
)
x - 2z = 3
olduğuna göre,
ifadesinin değeri kaçtır?
A)- —
27
23.
27
B)
C)-8
8
V56 + 12V20
D)
İb - 1 I
E)
A) - 1
27
İ5
,İ3
r
E
^) —~z
»!
E) 4
Öğretmen Sayısı
deki öğretmenlerin yaş dağı­
25
12
lımını göstermektedir.
28
11
İ2Ö
D)
D) 3
C) 2
Yaş
Bu dershaneden seçilen 15 öğretmenin yaş orta­
c
B) — ~
B) - 2
2 8 . Yandaki tablo bir dershane­
işleminin sonucu kaçtır?
A)
b kaçtır?
laması 27 olduğuna göre, geriye kalan öğretmen­
o
lerden kaç tanesi 25 yaşındadır?
E
A) 4
24.
x2 < x olmak üzere,
29.
3/
a=Yx,
b = ^ x
a, b, c
,
c=A'x
B)c<b<a
D)b<c<a
25.
3a - c = - 5
olduğuna göre, (a + b + c)
C)a<b<c
1
1 +—
a
A) 6
Cevaplar: 1-E
B) 1
2-D
16-D 17-D
x
a + 1
4-C
5-E
18-C
19-A
20-A
E) 12
D) 9
E) 10
İ-.İ--5
6-D
21-E
y
olduğuna göre,
E) a 2
D) a
3-A
D) 10
y
x
C) - a
C) 9
İ-L.2
1
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B) 7
30.
•
toplamının alabileceği
en küçük değer kaçtır?
1-11 ,
pozitif tamsayılar olmak üzere,
2a - b = - 1
E)c<a<b
a
E) 8
4/
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru­
dur?
A)b<a<c
D) 7
C)6
B)5
7-D
22-A
A) 4
8-C
23-A
9-E
24-B
y kaçtır?
B) 5
10-C
25-D
11-A
26-C
C) 7
12-C
27-C
13-D
14-E
15-C
28-D
29-E
30-B
221
3. BÖLÜM
> Sayı Problemleri
>- Kesir Problemleri
> Yaş Problemleri
> İşçi - Havuz Problemleri
>- Hız Problemleri
> Yüzde Problemleri
> KTT - 3
3.
BÖLÜM
SAYI PROBLEMLERİ
Uyarı:
DENKLEM KURMA
Bir problemi çözebilmek için, problemde söz edilen bilin­
meyenler arasındaki bağıntıyı veya bağıntıları yazmaya
denklem kurma denir.
Denklem kurulurken (yani problem matematik diline çev­
rilirken) birbirinden bağımsız her bilinmeyen farklı
sembolle gösterilmelidir.
Problemin çözülebilmesi (bütün bilinmeyenlerin buluna­
bilmesi) için de seçilen bilinmeyen sayısı kadar bağın­
tıya (denkleme veya eşitsizliğe) gerek vardır.
Bilinmeyen sayısını arttırmamak için, birbiri cinsinden
yazılabilecek bilinmeyenler farklı sembollerle gösterilmemelidir. Örneğin,
1. İki sayıdan biri diğerinin beşte birine eşitse bu sayılar,
x ve 5x
2.
3. İki sayının toplamı 10 ise bu sayılar, x ve 10 -x
4.
Örnek:
1
Örnek:
Ardışık sayılardan en küçük olanı x olsun.
1. Ardışık üç tamsayının toplamı: x + (x + 1) + (x + 2)
X
4. B r sayının 7 de biri ( - si): —
3
3x
5. B
r sayının - si ( 7 de 3 ü): —
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
B r sayının
r sayının
B
r sayının
B
r sayının
B
r sayının
B
r sayının
B
r sayının
B
r sayının
B
r sayının
B
r sayının
16. Bi
7
7
5 katının 3 fazlası: 5x +3
5 katının 3 eksiği: 5x - 3
3 fazlasının 5 katı:5(x + 3)
karesinin 3 katı: 3x 2
3. Ardışık üç çift sayının toplamı: x + (x + 2) + (x + 4)
o
4. Ardışık iki tamsayının karelerinin farkı, bu iki sayının
toplamına eşittir.
c
Uyarı:
Ardışık terimleri arasındaki fark sabit olan (aritmetik sayı
dizisi oluşturan) n tane ardışık sayıdan söz ediliyorsa,
1 < r < n ve ardışık terimler arasındaki fark k olmak
üzere, r inci terim: x + r.k şeklinde seçilebilir. Örneğin,
o
>•
E
«
•
birinci terim: x + 3, ikinci terim: x + 2.3, ...
3 eksiğinin karesi: (x - 3) 2
karesinin 3 eksiği: x2 - 3
x + 3
3 fazlasının dörtte biri 7 ise:
= 7
4
Herhangi iki sayı x ve y olsun.
İki sayının toplamı: x + y
2.
İki sayının farkı: x - y
3.
İki sayının çarpımı: x.y
4.
İki sayının oranı: y
5. İki sayının karelerinin farkı: x2 - y2
İki sayının farkının karesi: (x - y) 2
7. İki sayının karelerinin toplamı: x2 + y2
8. İki sayının toplamının 3 eksiğinin karesi: (x + y - 3) 2
İki sayıdan birinin 4 fazlasının diğerinin 3 katına
x + 4
oranı 5 ise:
= 5
3y
3 ile tam bölünebilen 15 tane ardışık sayıdan söz edi­
liyorsa;
3 katının karesi: (3x)2
1.
9.
2. Ardışık üç tek sayının toplamı: x + (x + 2) + (x + 4)
3 eksiğinin 5 katı:5(x-3)
karesi: x2
2
17. Bi r sayının karesi ile 3 katının toplamı 10 ise: x + 3x = 10
r sayının karesinin 2 eksiği kendisine eşitse: x2 - 2 = x
Örnek:
6.
İki sayının farkı 7 ise bu iki sayı, x ve x + 7 veya
x ve x - 7 şeklinde seçilebilir.
Herhangi bir sayı x olsun.
1. Bir sayının 5 fazlası: x + 5
2. Bir sayının 5 eksiği: x - 5
3. Bir sayının 7 katı: 7.x
6. B
İki sayıdan birinin 3 katı, diğerinin 2 katına eşitse bu
sayılar, sırasıyla 2x ve 3x
r inci terim: x + r.3,..., on beşinci terim: x + 15.3 şeklinde
•
Ardışık terimleri arasındaki fark 4 olan bir ardışık sayı
dizisi için;
birinci terim: x + 4, r inci terim: x + 4.r,
sonuncu (n inci) terim: x + 4.n şeklinde seçilebilir.
Geçmiş yıllardaki ÖSS veya ÖYS lerde sorulmuş olan
soruları örnek olarak seçip, problem çeşitlerini ve çözüm
yollarını inceleyelim.
1. 1984-ÖYS
Ali'nin parası Mehmet'in parasının 9 katıdır. Eğer Ali,
Mehmet'e 5 lira verirse, Ali'nin parası Mehmet'in para­
sının 4 katı oluyor.
Buna göre, Mehmet'in parası kaç liradır?
A) 2
B)3
C)4
D) 5
E) 6
Çözüm:
Mehmet'in parasına x denilirse Ali'nin parası 9x olur.
Buna göre, 9x - 5 = 4.(x + 5) =» x = 5 liradır.
225
MATEMATİK SORU BANKASI
2. 2000-ÖSS
Ali bir bilet kuyruğunda baştan
(2n - 2). sıradadır.
5. 1987-ÖYS
50 yolcusu bulunan bir otobüsten 5 bay, 5 bayan inin­
ce geriye kalanlar arasında, bayların sayısı bayanların
sayısının 3 katı oluyor.
n. sırada, sondan
Kuyrukta 81 kişi olduğuna göre, Ali baştan kaçın­
cı kişidir?
A) 28
B)30
C)32
D) 33
Buna göre ilk halde otobüste kaç bay vardı?
Baştan ve sondan sayarken Ali iki kez sayıldığı için,
3. 1981 - ÖSS
Bir çubuk 8 eşit parçaya bölünüyor. Parçalardan herbirinin uzunluğu 10 cm daha kısa olsaydı bu çubuk 12
eşit parçaya bölünebilecekti.
D) 480
E) 720
1988 - ÖSS
20 kg lık tereyağını 120 000 liraya alan bir bakkal bu­
nu net ağırlığı 250 gr olan paketler halinde satacaktır.
Her paket için 50 liralık paketleme masrafı olmaktadır.
I. Çözüm:
8 ve 12 nin OKEK'i 24 olduğundan, çubuğun uzun­
luğu 24x olarak seçilirse,
3x - 2x = 10 =» 24.x = 24.10 = 240 cm dir.
Veya II. çözüm olarak, çubuğun 8 parçaya bölündüğündeki durumdan 10 ar cm daha kısa parçalar kesil­
diğinde artan 8.10 = 80 cm lik kısmından 4 parça da­
ha elde edildiğine göre, son durumda bir parçanın
uzunluğu 80 : 4 = 20 cm dir. Buna göre, çubuğun ta­
mamı
20.12 = 240 cm dir.
4. 1983-ÖYS
Bir kumbaraya, bir sınıftaki öğrencilerin bazıları 10 li­
ralık, bazıları 20 liralık atmıştır. Kumbarada biriken
para 420 liradır.
Kumbaraya para atan öğrenci sayısı 30 olduğuna
göre, kaç kişi 10 liralık atmıştır?
A) 22
B)18
C)16
D) 14
o
>E
«
u_
Bu bakkal, 20 kg tereyağı satışından 28 000 liralık
kâr etmek istediğine göre, bir paket yağı kaç liradan
satmalıdır?
A)1850
B)1870
C)1900
D)1925
E)1950
Çözüm:
ınnn
20 kg tereyağı, 2 0 . ^ ° _ = 80 paket olacağından bir
250
paketin maliyeti, 50 + 120 000 : 80 = 1550 ve toplam
28 bin lira kar etmek istediğine göre bir paketten elde
edeceği kâr, 28 000 :80 = 350 lira olduğundan bir paket
yağı, 1550 + 350 = 1900 liraya satmalıdır.
7. 1990-ÖSS
Bir baharatın 300 gramı a lira, yarım kilosu
(2a - 300) lira olduğuna göre, a kaçtır?
E) 10
Çözüm:
10 liralık atan öğrenci sayısına x denilirse,
10.x + 20.(30-x) = 420 => x = 18 dir.
Veya II. çözüm olarak, 30 öğrencinin hepsi 20 liralık
atsaydı kumbarada 30.20 = 600 lira birikecekti. 10
lira atanları da 20 lira atmış gibi hesaba kattığımız için
bu toplam 10 lira atanların sayısının 20 - 10 = 10 ka­
tı kadar fazla olmuştur. Buna göre, 10 lira atanların
sayısı, (600 - 420) : 10 = 18 dir.
226
E) 25
İkinci bir yoldan; son durumda otobüsteki bayların sa­
yısı bayanların sayısının 3 katı olduğuna göre, bu du­
rumda otobüstekilerin dörtte üçü baydır. O halde, ilk hal­
de otobüsteki
3
bayların sayısı, 40. - +5 = 35 tir.
4
Buna göre, çubuğun boyu kaç cm dir?
C)360
D) 28
sayısına x denilirse, bayların sayısı 3x olur.
3x + x = 40 =» x = 10 ve
ilk halde otobüsteki bayların sayısı, 3x + 5 = 35 tir.
n + (2n - 2) = 81 + 1 => n = 28 dir.
B)240
C)30
I. Çözüm:
Son durumda (otobüste 40 yolcu kaldığında) bayanların
Çözüm:
A) 120
B)34
A) 35
E) 34
A) 350
B)450
C) 600
D) 750
E) 900
I. Çözüm:
300
a
500
2a - 300
a = 900 olur.
Veya II. bir çözüm olarak, 300 gramı a lira olduğuna
göre, 2a liraya 600 gram baharat alabilir. (2a - 300)
liraya yarım kilo (500 gram) baharat aldığına göre,
300 lira, baharatın 100 gramının tutarıdır.
Dolayısıyla 300 gramı, a = 3.300 = 900 liradır.
Sayı Problemleri
8. 1990-ÖSS
A marka jiletin bir paketinde 4 tane, B marka jiletin
bir paketinde 10 tane jilet bulunmakta ve her ikisinin de
paketi aynı fiyattan satılmaktadır. Hangi marka kullanı­
lırsa kullanılsın traş başına jilet maliyeti aynıdır.
11. 1994-ÖSS
Bir merdivenin basamaklarını ikişer ikişer çıkıp, üçer
üçer inen bir kişinin, çıkarken attığı adım sayısı inerken
attığı adım sayısından 6 fazladır.
Buna göre, merdiven kaç basamaklıdır?
B marka bir jilet ile 2 kez traş olunduğuna göre, A
marka bir jilet ile kaç kez traş olunabilir?
A) 3
B)4
C)5
D) 6
A) 18
E) 7
C)36
D) 42
E) 54
I. Çözüm:
2 ve 3 ün OKEK'i 6 olduğundan basamak sayısı 6x
Çözüm:
seçilirse, çıkarken attığı adım sayısı 3x, inerken attığı
Problemde verilenlere göre, paketteki jilet sayısı ile bir
adım sayısı 2x olur. Buna göre,
jiletle traş olma sayısı ters orantılı olduğundan A marka
10.2
bir jiletle,
kez traş olunabilir.
4
(A marka jiletin bir paketindeki jilet sayısı ile B marka ji2
letin bir paketindeki jilet sayısının oranı - olduğuna gö5
re, hiç işlem yapmadan da cevabın 5 olduğu görülebilir.)
3 x - 2 x = 6 => 6.x = 36 dır.
Veya II. bir çözüm olarak, 6 basamağı 3 adımda çı­
kıp, 2 adımda ineceğine göre 6 basamaktaki adım far­
kı 1 olur. Buna göre, 6 adım fark olabilmesi için de
merdivenin basamaklarının sayısı 6.6 = 36 olmalıdır.
12. 1995-ÖSS
9. 1991 - ÖSS
A kovasının hacmi, B kovasınınkinden 2 litre küçük­
tür. A kovası ile 28 kova su alan bir bidon, B kovası
ile 21 kova su almaktadır.
Buna göre, A kovasının hacmi kaç litredir?
A) 6
B)30
B)7
C)8
D) 9
E) 10
Çözüm:
A kovası ile bidona su doldurulurken her seferinde B
kovasına göre 2 litre daha az, dolayısıyla 21 seferde
Bir traktörün büyük(arka) tekerleğinin yarıçapı küçük
(ön) tekerleğinin yarıçapının 2 katıdır.
80 metrelik mesafede küçük tekerlek büyük teker­
o
e
^
o
>•
u.
_
lekten 20 devir fazla yaptığına göre küçük tekerle­
ğin çevresi kaç metredir?
A) 1
B) 1,5
C) 2
D) 2,5
E) 3
Çözüm:
Tekerleğin çevresi ile dönme sayısı ters orantılı
toplam 21.2 = 42 litre daha az su konulur. O halde bun­
olduğuna göre, küçük tekerlek 2d sefer dönerse büyük
dan sonraki 2 8 - 2 1 =7 seferde kalan 42 litre dolduru­
tekerlek d sefer döner. Problemde verilenlere göre,
lacağına göre, A kovasının hacmi 4 2 : 7 = 6 litredir.
2d - d = 20 => d = 20 olduğuna göre, küçük tekerleğin
10. 1992-ÖYS
Lokantada yemek yiyen 45 kişilik grubun bazı üyeleri,
konuk oldukları için hesap ödememiştir. Bu yüzden öte­
kiler 3000 er lira fazla vererek 15 000 er lira ödemiştir.
B)6
C)7
D) 8
13. 1996-ÖSS
Bir manav 3 tanesini 20 000 TL den aldığı limonların
5 tanesini 50 000 TL den satmıştır.
Buna göre, gruptaki konuk sayısı kaçtır?
A) 5
çevresi, 80 : (2d) = 80 : 40 = 2 metredir.
E) 9
Manav, aldığı limonların tümünü satarak 250 000 TL
kâr ettiğine göre, kaç tane limon satmıştır?
Çözüm:
Bir kişinin ödediği 15 bin liranın 3 bin lirası konukların
payına düşen miktarın bir kısmı olduğuna göre, grupter3
1 .
ki konukların oranı — = — tır.
15
5
Buna göre, gruptaki konukların sayısı, 45.— = 9 dur.
A) 120
B)100
C)90
D) 75
E) 60
Çözüm:
3 tanesini 20 bin TL ye alırsa 15 tanesini 100 bin TL ye
alıp, 150 bin TL ye satarak 50 bin TL kâr etmektedir.
Buna göre, 250 bin TL kâr edebilmek için de 15.5 = 75
(250, 50 nin 5 katı) tane limon satmalıdır.
227
MATEMATİK SORU BANKASI
14. 1996-ÖSS
17. 2000 - ÖSS
Bir öğrenci elindeki parasıyla, 20 tam bilet ile 10 öğ­
Bir bilgi yarışmasında, kurallara göre, yarışmacılar her
renci bileti ya da sadece 25 tam bilet alabiliyor.
doğru cevaptan 40 puan kazanıyor, her yanlış cevap­
tan 50 puan kaybediyor.
Öğrenci, bu parayla kaç tane öğrenci bileti alabilir?
A) 60
B) 50
C) 40
D) 30
30 soruya cevap veren bir yarışmacı 300 puan ka­
E) 20
zandığına göre, doğru cevaplarının sayısı kaçtır?
Çözüm:
A) 18
Problemde verilenlere göre, 5 tam bilet alınabilecek pa­
B)20
C)22
D) 24
E) 26
rayla 10 öğrenci bileti alınabildiğine göre, 25 tam bilet
Çözüm:
alınabilen parayla 10.5 = 50 öğrenci bileti alınabilir.
İki soruyu doğru, bir soruyu yanlış cevaplayan bir yarış­
macı 2.40 - 50 = 30 puan kazanır.
15. 1998-ÖYS
O halde, bunun 10 katı kadar puan kazanabilmesi için
Bir baba 72 milyon lirayı çocuklarına eşit olarak pay­
2.10 = 20 soruyu doğru,
laştırmak istiyor. Çocuklardan 4 ü kendi paylarından
lamalıdır.
10 soruyu yanlış cevap-
vazgeçiyor ve para diğer çocuklar arasında eşit olarak
paylaştırılıyor. Bu durumda, para alan çocuklar önceki­
18. 2000 - ÖSS
ne göre 3 er milyon lira daha fazla alıyorlar.
Uzunlukları aynı olan iki mum aynı anda yanmaya baş­
ladığında, biri 2 saatte, diğeri 3 saatte tamamıyla ya­
Buna göre, tüm çocukların sayısı kaçtır?
A) 11
B)12
C)13
D) 14
narak bitmektedir.
E) 15
Bu iki mum aynı anda yakıldıktan kaç saat sonra,
birinin boyu diğerinin boyunun — ü olur?
Çözüm:
Çocuk sayısı ç, bir çocuğa düşen para p olsun.
I
72 = ç.p = 36.2 = 24.3 = 18.4
5
D
3 artıyor
I
}
= 12.6 = 9.8 = 8.9
I
*
4 azalıyor
>.
6
@
Buna göre, çocuk sayısı 12 dir.
x
7
_..
B)°
7
C)I°
7
D)ü
7
E)H
7
..
Çozum:
Mumların uzunluğu 6 birim olsun.
O halde; birisi 1 saatte 3 birim, diğeri 2 birim yanar.
x saat sonra, yavaş yananın boyu ötekinin 3 katı oldu­
ğu düşünülürse,
İkinci bir yoldan, çocuk sayısına x denilirse,
x - 4
A)l
6 - 2.x = 3.(6 - 3x) =>
(x - 4)x
12
x = — saattir.
Kareleri farkı 6 olan a ve b sayılarının her birinden
19. 1999-ÖSS-İptal
Bir okuldaki her bayan öğretmenin, okuldaki bayan
meslektaşlarının sayısı, erkek meslektaşlarının sayısı­
nın iki katından 6 fazla; her erkek öğretmenin de okul­
daki bayan meslektaşlarının sayısı, erkek meslektaşla­
rının sayısının üç katından 1 eksiktir.
2 çıkarılırsa, yeni sayıların kareleri farkı 18 olmaktadır.
Buna göre, okulda toplam kaç öğretmen vardır?
Buna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 32
=> 96 = 12.8 = x . ( x - 4 )
=!>)(=-\2
dir.
16. 1999-ÖSS
A)-6
B)-3
C)-2
D) 3
E) 6
Çözüm:
İki sayının kareleri farkı, bu iki sayının farkı ile toplamı­
nın çarpımına eşittir. Her ikisinden de 2 çıkarılınca fark­
ları değişmeyip toplamları 4 azalır. Son durumda çarpjm öncekinin 3 katına eşit olduğuna göre, a + b nin
3 katı, a + b - 4 e eşit olacaktır.
B)36
C)40
D) 44
Çözüm:
Bir bayan öğretmenin erkek meslektaşlarının sayısına
x denilirse (dolayısıyla erkek öğretmenlerin sayısı da x
olur) bayan meslektaşlarının sayısı (2x + 6) ve okuldaki
bayan öğretmenlerin sayısı (2x + 7) olur.
Bir erkek öğretmenin erkek meslektaşlarının sayısı
(x - 1), bayan meslektaşlarının sayısı (2x + 7) dir.
Buna göre, 2x + 7 = 3.(x - 1) - 1
=> x = 11 ve
okuldaki öğretmen sayısı, 2x + 7 + x = 40 tır.
Buna göre, (a + b).3 = a + b - 4 => a + b = -2 dir.
228
E) 48
fCCT
Yİ PROBLEMLERİ
1.
6.
Ardışık dört doğal sayının toplamı 286 dır.
B) 70
C) 71
D) 72
1
Bir salonda 22 erkek ve 8 bayan vardır.
Bu salona kaç evli çift (karı-koca) gelirse erkek sa­
yısı bayan sayısının 2 katı olur?
Buna göre bu sayılardan en küçük olanı kaçtır?
A) 69
' I Cö I
E) 73
A) 4
B)5
D) 7
C)6
E) 8
Bir sınavın sonucunu değerlendirmek için 0, 1, 2, 3,
2.
4, 5 notları kullanılıyor.
Ardışık iki doğal sayının çarpımının 4 fazlası 60
olduğuna göre, büyük sayı kaçtır?
20 kişinin katıldığı sınavda bu notların hepsi en az
bir kez kullanıldığına göre aynı notu alan en çok
A) 5
B)6
0)7
D) 8
kaç kişi vardır?
E) 9
A) 16
3.
4 eksiğinin 3 katı 60 olan sayı kaçtır?
A) 20
B)21
C)22
D) 23
o
E) 24
8.
ta
"-
B) 15
C)14
D) 13
E) 12
Kareleri farkı 4 olan a v e b sayılarının herbirinden
3 çıkartılırsa, yeni sayıların kareleri farkı 28 olmak­
tadır.
Buna göre, a + b kaçtır?
A)-8
4.
B)-4
C)-2
D)-1
E) 4
İki doğal sayının farkı 20 dir. Bu iki doğal sayının
toplamı, farkının 3 katına eşittir.
9.
Toplamları 99 olan iki sayıdan birinin 4 katı, diğeri­
nin 5 katına eşittir.
Buna göre, büyük sayı kaçtır?
A) 50
B)40
C)30
D) 20
E) 10
Bu sayılardan küçük olanı kaçtır?
A) 33
5.
Bir pozitif tamsayının karesi, aynı sayının 20 fazla­
sına eşittir.
B)44
C)55
D) 66
E) 77
1 0 . Bir okulun öğrencileri 12 gruba ayrılabiliyorlar. Eğer
8 gruba ayrılsalardı her grup 7 kişi fazla olacaktı.
Buna göre, bu öğrenciler 6 gruba ayrılırsa, her
Bu sayı kaçtır?
A) 5
B) 4
grupta kaç kişi bulunur?
C)3
D) 2
E)1
A) 4
B)7
C) 14
D) 21
E) 28
229
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . Bir öğrenci elindeki parasıyla 25 tam bilet ile 15 öğ­
1 6 . Bir kırtasiyeden 3 silgi, 4 kalem, 5 defter alan bir öğ­
renci bileti veya sadece 30 tam bilet alabilmektedir.
renci toplam 820 000 TL ödemiştir. Bir defterin fiyatı,
bir kalemin fiyatının 3 katı; bir kalemin fiyatı bir silgi­
Buna göre, öğrenci parasının tamamıyla kaç tane
nin fiyatının 2 katıdır.
öğrenci bileti alabilir?
A) 105
B)90
Buna göre, bir silginin fiyatı kaç TL dir?
C)75
E) 45
D) 60
A) 20 000
B) 15 000
D) 10 000
1 2 . 3 limonu 250 000 TL ye alıp, 5 limonu 550 000 TL ye
1 7 . 700 gramı;
satan bir manav kaç limon satarsa 2 400 000 TL kâr
B) 75
C)60
a TL olan şekerin yarım kilosu
Buna göre, a kaçtır?
E) 30
D) 45
E)7 500
( 3 a - 4 8 0 ) TL dir.
eder?
A) 90
C) 12 500
A) 100
1 3 . 85 cm. uzunluğundaki bir telin orta noktası işaretleni­
yor. Sonra telin ucundan 15 cm kesilip atılıyor.
B)140
D) 210
C)180
E)280
1 8 . Hacmi 3V litre olan bir havuza dakikada a litre su
akmaktadır.
Geriye kalan telin orta noktası, ilk orta noktaya gö-
-2
Havuzun
re kaç cm kaymıştır?
A) 3
B) 4,5
D) 7,5
C) 6
E) 9
1 4 . Bir parkta, bir kısmı 3 kişilik; bir kısmı 4 kişilik top­
lam 15 tane bank vardır.
E
e
u.
A)
B)6
4a
B)
3V
C)
4a
7V
9V
D)
4a
E)
4a
11V
4a
dolu iken b gram gelmektedir.
D) 8
C)7
Boş bidonun ağırlığını gösteren ifade aşağıdaki­
lerden hangisidir?
E) 9
A)
4b - a
B)
D)
1 5 . Bir bahçeye boyları 40 cm ve 35 cm olan iki ağaç
fidesi dikilmiştir. Bu fidelerden uzun olanı haftada 3 cm,
kısa olanı haftada 1,5 cm uzuyor.
3b-2a
3b - a
C)
E)
4b-2a
4b - 3a
2 0 . Bir sınıftaki toplam öğrenci sayısı, kız öğrenci sayısı­
nın 4 katıdır.
20 hafta sonunda bu iki fidenin boyları arasındaki
fark kaç cm olur?
Buna göre erkek öğrenci sayısı sınıfın kaç katıdır?
A) 20
A) 2
B)25
C)30
Cevaplar: 1-B 2-D 3-E 4-B 5-A
230
ininin kaç dakikada dolacağını
1 9 . Bir bidon tamamen dolu iken a gram, dörtte biri su
Toplam 52 kişi banklara oturabildiğine göre, 4 ki­
şilik kaç tane bank vardır?
A) 5
% 75
gösteren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
o
i*.
D) 35
6-C
7-B
E) 40
8-D 9-B
10-E
11-B
12-A
13-D
B)1
14-C
c
15-D
D)
'î
16-A
17-D
18-D
E
Ȕ
19-A
20-E
•>'?•;. -S^y$2, & »
BötüM
1.
SAYI PROBLEMLERİ
^».V?»/λ$a*.:•>•*"
6.
Ardışık iki çift sayıdan; küçüğünün dörtte birinin 2
.**.:'",
•»•
Ardışık iki tek sayıdan büyük olanın 5 katı küçük
eksiği, büyüğünün beşte birine eşittir.
olanın 7 katına eşitse iki sayının toplamı kaçtır?
Buna göre, küçük sayı kaçtır?
A) 36
A) 48
B)50
C)52
D) 54
B)24
D) 12
C)16
E) 8
E) 56
7.
2.
•**"
TEST;
Bir kamyonete 7 kasa ile 15 koli ya da 13 kasa ile
6 koli yerleştirilebiliyor.
Toplamları 86 olan üç sayıdan birincisi ikincisinden
7 fazla ve üçüncüsünden 15 eksiktir.
Bu kamyonetten 6 koli indirilirse, yerine kaç kasa
yerleştirilebilir?
Buna göre, en büyük sayı kaçtır?
A) 26
n
o.
B)31
C)33
D) 36
A) 2
E) 41
.
İki doğal sayının kareleri farkı 23 olduğuna göre,
bu sayıların çarpımı kaçtır?
~
o
8.
B)4
C)5
D) 8
E) 9
15 kişilik bilet kuyruğunda Ali baştan 10. sırada Meh
met sondan 10. sıradadır.
Ali ile Mehmet arasında kaç kişi vardır?
A) 132
B)122
C)102
D)100
E) 98
A) 1
4.
Bir sınıfta öğrenciler sıralara, 2 şer 2 şer oturursa
6 öğrenci ayakta kalıyor; 3 er 3 er, oturursa 2 sı­
ra boş kalıyor.
5.
B)25
C)27
C) 3
D) 4
E) 5
Ali ve Veli'nin paraları toplamı 100 dolardır. Ali Veli'ye
20 dolar verirse paraları eşit oluyor.
Buna göre, Veli'nin parası kaç dolardır?
Buna göre, sınıf mevcudu kaçtır?
A) 24
9.
B) 2
D) 30
E) 36
Çay içen bir grup öğrenci 200 000 er lira ödeyecekken
5 kişinin parası olmadığı için, parası olanlar 250 000 er
A) 20
B)30
C)40
D) 60
E) 70
1 0 . 6 kalem ile 4 silginin fiyatı 4 800 000 lira, 6 silgi ile 4
kalemin fiyatı 4 200 000 liradır.
lira ödüyorlar.
Buna göre, bir kalem bir silgiden kaç bin lira paha­
Buna göre, çay içen grup kaç kişidir?
A) 20
B)25
C)30
D) 35
lıdır?
E) 40
A) 600
B)500
C)400
D) 300
E) 100
231
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . Ali düz bir yol boyunca 7 adım ileri 4 adım geri ata­
1 6 . Tanesi 50 bin liradan satılan bir sandık elma ile, ta­
rak ilerliyor.
nesi 80 bin liradan satılan bir sandık portakal vardır.
Elma sandığında 160 tane elma vardır.
Ali toplam 102 adım attığına göre, kaç adım ilerle­
miştir?
Bir sandık elma ile, bir sandık portakal aynı fiyat­
tan satıldığına göre, portakal sandığında kaç tane
A) 22
B) 25
C) 27
D) 29
E) 30
portakal vardır?
A) 60
B)70
C)80
D) 100
E) 120
1 2 . Bir iş yerinde, ustanın günlüğü kalfanın günlüğünün
2 katı ve kalfanın günlüğü çırağın günlüğünün 3 ka­
tıdır. İşyerindeki çırak sayısı kalfa sayısının 3 katı
1 7 . Bir deponun dörtte biri su ile doludur. Depoya 4 lit­
ve kalfa sayısı usta sayısının 2 katı olup bütün çı­
re su ilave edildiğinde deponun üçte biri doluyor.
raklara ödenen para a lira, bütün kalfalara ödenen
para b lira ve bütün ustalara ödenen para c liradır.
Buna göre, depoda ilk durumda kaç litre su var­
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
dır?
A)a<b<c
A) 12
B)c<b<a
D)b<a = c
C) a = c < b
B) 9
C) 8
D) 6
E) 4
E)a = b = c
1 8 . Dördü dolu, üçü boş olan gazoz şişeleri birlikte 900
1 3 . Kitap dolu bir kitaplığın ağırlığı 40 kg dır. Boş kitaplı3
ğın ağırlığı, kitapların ağırlığının - katıdır.
5
Buna göre, yarısı kitapla dolu olan kitaplık kaç kg
dır?
A) 37,5
B)35
C) 30
D) 27,5
gramdır. Üçü dolu, dördü boş olan gazoz şişeleri ise birL.
o
c
likte 850 gramdır.
o
Buna göre, dolu bir gazoz şişesi kaç gramdır?
|
A)100
>-
B)120
C)130
D)150
E) 180
E) 25
1 4 . Bir kg yaş sabun 6 kalıptır. Bir kg kuru sabun ise 8
kalıptır. Yaş sabunun kilosunu 900 000 liradan alıp
1 9 . Bir satıcı a liraya aldığı bir malı kârla 300 dolara, b
liraya aldığı bir malı zararla 300 dolara satıyor.
kuruduktan sonra 1 600 000 liradan satan bir tüccar
Buna göre, a ve b ile ilgili aşağıdaki bağıntılar­
6 000 000 lira kâr sağlıyor.
dan hangisi doğrudur?
Buna göre, bu tüccar kaç kg kuru sabun satmış­
tır?
A) 12
A) b < a < 300
B)15
C)18
D) 20
E) 24
B) a < 300 < b
D) a < b < 300
C) b < 300 < a
E) 300 < a < b
1 5 . Bir okulda, 1100 öğrenci olup her yıl 5 öğrenci eksil­
mektedir. Diğer bir okulda, 700 öğrenci olup her yıl 15
2 0 . Bir torbada 4 kırmızı, 6 yeşil ve S mavi bilye vardır.
öğrenci artmaktadır.
Torbadan en az kaç tane bilye alınmalıdır ki, alı­
Buna göre, her iki okuldaki öğrenci sayısı kaç yıl
sonra eşit olur?
nan bilyeler içinde en az bir tane mavi bilye mut­
A) 12
A) 5
B) 15
C) 18
D) 20
E) 24
Cevaplar: 1-A 2-E 3-A 4-D 5-B 6-D 7-B 8-C 9-B 10-1
232
laka bulunsun?
B)7
C)9
D) 11
E) 15
11-E 12-E 13-D 14-B 15-D 16-D 17-A 18-D 19-B 20-D
3.
BÖLÜM
1.
TEST
3
SAYI PROBLEMLERİ
6.
Ardışık üç tek sayının toplamı 231 dir.
4 yanlışın 1 doğruyu götürdüğü 60 soruluk bir sınavda
her sorunun değeri 5 puandır. Bu sınavda bütün soru­
ları işaretleyen bir öğrenci 225 puan almıştır.
Bu sayıların küçük olanı kaçtır?
A) 35
B)37
C)71
D) 75
Buna göre, bu öğrencinin doğru yaptığı soru sa­
E) 85
yısı kaçtır?
A) 45
2.
B) 48
C)50
D) 52
E) 54
17 katı ile 7 katının toplamı, 3 katından 630 fazla
olan sayı kaçtır?
Üç pantolan, iki gömlek ve bir çorabın fiyatı 280 bin li­
ra; iki pantolon, üç gömlek ve dört çorabın fiyatı 380
A) 25
B)30
C)35
D) 40
E) 45
bin liradır.
Buna göre, bir pantolon, bir gömlek ve bir çorabın
fiyatı kaç bin liradır?
Bir kutuda 9 siyah ve 7 tane mavi renkli kalem vardır. Kutudan 8 tane kalem alınıyor.
A) 90
-
Son durumda; kutuda kalan siyah kalemlerin sayı-
o
kutudan alınan kalemlerin kaç tanesi mavi renkli
*
kalemdir?
_
B)3
C)4
D) 124
E)132
D) 5
lardan 90 tane vardır. 100 liralıkların tutarı 500 liralık­
ların tutarına eşittir.
Buna göre, kumbaradaki paraların tutarı kaç bin li­
E) 6
radır?
A) 10
4.
C) 110
Bir kumbarada 100 liralık ve 500 liralık madeni para­
sı, mavi kalemlerin sayısına eşit olduğuna göre,
A) 2
B) 108
-S
B) 12
C) 15
D) 16
E) 18
Bir grupta bulunanların herbiri diğerlerine birer hedi­
ye verecektir.
9.
3 defter, 5 kalem, 8 silginin fiyatı aynıdır.
156 hediye verildiğine göre, grupta kaç kişi var­
dır?
Buna göre, 9 defter ve 15 kaleme ödenen toplam
para ile kaç tane silgi alınabilir?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
A) 80
5.
Üç basamaklı abc sayısı bir doğal sayının karesidir.
B)64
C)48
D) 36
E) 24
1 0 . x sepetinden 3 yumurta y sepetine konulursa, yu­
Bu sayının birler basamağındaki rakam 1 ve onlar ba-
murta sayıları eşit oluyor, y sepetinden 3 yumurta x
samağındaki rakam 3 artırılırsa yine bir doğal sayının
sepetine konulursa x sepetindeki yumurtaların sayısı
karesi olmaktadır.
y sepetindeki yumurtaların sayısının 3 katı oluyor.
Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Buna göre, x sepetinde kaç tane yumurta vardır?
A) 9
B)10
C) 11
D) 12
E) 13
A) 6
B)9
C)12
D) 15
E) 18
233
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . Kilosu 2 milyon liraya alınan üzümün 3 kilosundan 1
1 6 . Bir sınıftaki erkek öğrenci sayısı kız öğrenci sayısının
kilo pekmez elde edilip 7,2 milyon liraya satılıyor.
3 katıdır. Sınıftan 3 erkek öğrenci çıkarılıp 3 kız öğ­
Üzüm fiyatları 500 bin lira düşüyor.
renci sınıfa alındığında kız öğrenci sayısı erkek öğren­
ci sayısının yarısına eşit oluyor.
Buna göre, kâr oranının değişmemesi için pekme­
zin ilk satış fiyatında kaç milyon lira indirim yapıl­
Buna göre, sınıfta ilk durumda kaç erkek öğrenci
malıdır?
vardır?
A) 1,8
B)1,6
C)1,5
D) 1,2
A) 24
E) 1,1
B)26
lırsa 3 200 000 lira kâr ediliyor.
Harçlığını 5. günün sonunda bitirdiğine göre, baş­
langıçta kaç lirası vardır?
Buna göre, kalem sayısı kaçtır?
A) 1 500 000
C) 17
D) 18
B) 3 000 000
parçaya bölünseydi; her bir parça 1 cm daha uzun
olacaktı.
Buna göre, tel kaç cm dir?
C) 180
D) 200
E) 240
E) 6 500 000
1 8 . 80 kişilik bilet kuyruğunda Ali, Veli'den öndedir. Ali
1 3 . Bir tel 36 eşit parçaya bölünüyor. Aynı tel 30 eşit
B) 150
C) 4 200 000
E) 20
D) 6 200 000
A) 120
E) 30
sının 100 000 lirasını kardeşine veriyor.
1 600 000 lira zarar, tanesi 1 000 000 liradan satı­
B)16
D) 29
1 7 . Ercan hergün harçlığının yarısını harcayıp kalan para­
1 2 . Bir miktar kalemin tanesi 700 000 liradan satılırsa
A) 15
C)27
£
o
c
^
°
E
•
ve Veli arasında 8 kişi vardır.
Veli baştan 28. sırada olduğuna göre, Ali sondan
kaçıncı sıradadır?
A) 63
B) 62
C) 61
D) 60
E) 59
1 9 . Bir satıcı 150 yumurtayı tanesini 180 liradan alıyor.
1 4 . Bir kumbarada 100 bin liralıkların sayısının 2 ka­
tı kadar 500 bin liralık bulunduğuna göre, kumba­
Her bir yumurtadan 20 lira kâr sağlamayı düşünen sa­
tıcı 30 yumurtayı taşıma sırasında kırıyor.
radaki bütün para, 100 bin liralıkların toplamının
kaç katıdır?
Buna göre, satıcı geriye kalan yumurtaların tanesi­
ni kaç liradan satmalıdır ki başlangıçta düşündüğü
A) 7
B)8
C)9
D) 10
E) 11
kârı sağlayabilsin?
A) 220
1 5 . Bir otobüsteki erkek yolcuların sayısının bayan yolcu5
ların sayısına oranı — tür.
B)225
C) 235
D) 240
E) 250
2 0 . Bir kasa elma, kasasıyla birlikte 21 kilogramdır. Ka­
sadan elmaların yarısı boşaltıldığında kasada kalan
Otobüse 5 evli çift (karı-koca) binince erkek yol­
elmaların ağırlığı kasanın ağırlığının 3 katı olmak­
cuların sayısı bayan yolcuların sayısının 1,5 katı
tadır.
olduğuna göre, ilk durumda kaç tane erkek yolcu
vardır?
A) 15
Buna göre, kasanın ağırlığı kaç kilogramdır?
B)20
C)25
D) 30
E) 35
Cevaplar: 1-D 2-B 3-B 4-D 5-A 6-B 7-E 8-C 9-C 10-1
234
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
11-A 12-B 13-C 14-E 15-C 16-C 17-D 18-B 19-E 20-B
3.
BÖLÜM
1.
TEST
4
SAYI PROBLEMLERİ
6.
Bir sayının; küpü, karesinin 3 katı ile kendisinin 3
a
bir sayma sayısı olmak üzere, Okan'ın (4a - 5)
tane bilyesi, Emre'nin (2a + 7) tane bilyesi vardır.
katı toplandığında 124 bulunuyor.
Emre'nin bilyelerinin sayısı Okan'ın bilyelerinden
Buna göre, bu sayı kaçtır?
az olduğuna göre, Emre'nin bilyeleri sayısı en az
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
kaçtır?
E) 6
A) 28
2.
7.
Kareleri toplamı 25 olan iki doğal sayının farkı
B)21
D) 14
C)20
E) 11
Bir merdivenin basamaklarını 2 şer 2 şer çıkıp 3 er
3 er inen bir çocuğun çıkarken attığı adım sayısı
en az kaçtır?
inerken attığı adım sayısından 16 adım fazladır.
A ) - 24
B)-5
O)- 1
D) 1
E) 24
Buna göre, merdiven kaç basamaklıdır?
A) 90
3.
B)96
D) 114
C)102
E) 126
Bir sayının beşte birinin onda birine oranı kaçtır?
O
A) 4
B) 2
>C)
D)
E)
8.
Bir arabanın ön tekerleğinin yarıçapı r cm, arka te­
kerleğinin yarıçapı 3r cm dir. Bu araba 360rc cm yol
E
»
aldığında ön tekerlek arka tekerlekten 30 defa fazla
u.
dönmektedir.
©
Buna göre, r kaçtır?
4.
Bir adam doğrusal bir yol boyunca 10 adım ileri, 3
A)1
adım geri atarak ilerliyor.
B)2
D) 4
C)3
E) 5
Bu adam toplam 180 adım attığına göre, kaç
adım ilerlemiştir?
A) 81
B) 88
9.
C)91
D) 96
E) 100
A lira 8 kişiye eşit olarak paylaştırılacaktır.
Bu para, eşit olarak 6 kişiye paylaştırılırsa kişi ba­
şına düşen pay kaç A lira artar?
A)
5.
Bir kavak fidanı dikildikten sonra her yıl kendi boyu
B)
_1_
18
12
<
E)
kadar uzamaktadır. Bir söğüt fidanı ise dikildikten
sonra her yıl 100 cm uzamaktadır.
Başlangıçtaki boyları eşit ve 4. yılın sonunda kava­
ğın boyu söğüdün boyunun 4 katından 200 cm
fazla olduğuna göre, fidanlardan birinin başlangıç­
taki boyu kaç cm d ir?
A) 100
B)120
C)150
D)200
E) 300
1 0 . 107 tane boncuk hiç bir boş kutu kalmayacak şekilde
7 kutuya rastgele atılıyor.
Buna göre içinde en çok boncuk bulunan kutuda
en az kaç boncuk olabilir?
A) 15
B)16
C) 17
D) 18
E) 19
235
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . 120 adet cevizi dört kardeş yaşları ile doğru orantılı
olacak şekilde paylaşacaklardır.
1 6 . Birbirlerinden farklı 6 tane sayma sayısının toplamı
49 dur.
Her kardeş mutlaka ceviz aldığına göre, büyük kar­
deş en az kaç ceviz almış olabilir?
Bu sayılardan herhangi ikisinin farkı en çok kaç
olabilir?
A) 29
B)30
C)31
D) 32
A) 30
E) 40
C)12
D) 10
Başlangıçta kuyrukta 20 araç bulunduğuna göre,
2 dakika sonra kuyrukta kaç araç bulunur?
B)140
C)160
D)180
E) 34
A) 400
B) 500
C) 640
D) 700
E) 800
E) 6
1 3 . Bir otoyolda bulunan gişe kuyruğuna her 3 saniyede
bir 5 araç dahil olmakta ve her 2 saniyede bir 1 araç
gişeden geçerek kuyruktan ayrılmaktadır:
A) 120
D) 33
Buna göre, alınan karpuz sayısı kaçtır?
Kutuda en fazla kaç tane beyaz bilye kalabilir?
B)18
C)32
1 7 . Bir satıcı 5 tanesi 1 000 000 liradan bir miktar karpuz
alıp bunların yarısını 5 tanesi 1 200 000 liradan, kala­
nını da 7 tanesi 1 500 000 liradan satarak 19 000 000
lira kâr ediyor.
1 2 . Bir torbada bir kısmı beyaz bir kısmı kırmızı toplam 42
adet bilye vardır. Kırmızı bilyelerin sayısı beyaz bilye­
lerin sayısından 6 eksiktir. Kutudan rastgele 30 bilye
alınıyor.
A) 24
B)31
o
1 8 . A ve B kitaplarından A kitabının sayfa numaraları­
nın toplamı B kitabının sayfa numaralarının toplamından1155 fazladır.
c
o
A kitabı, B kitabından 10 sayfa fazla olduğuna gö­
re, B kitabı kaç sayfadır?
*
A) 120
B) 110
C)100
D) 90
E) 80
E) 200
1 9 . m kişi n lirayı eşit olarak paylaşıyorlar.
1 4 . n kişinin katıldığı bir toplantıda her bir kişi bütün
arkadaşlarıyla tokalaştığında toplam 105 tokalaş­
ma olduğuna göre, n kaçtır?
A) 15
B)14
C)13
D) 12
m (m - 4)
E) 11
1 5 . Bir dağcı 20 m engeli, her hamlede 2 m yükselip 1 m
aşağı kayarak aşmaya çalışıyor.
m (m + 4) m (m - 4)
m (m + 4)
m (m - 4)
2 0 . Bir top bırakıldığı yüksekliğin — kadar zıplamaktadır.
5
Buna göre, dağcı bu engeli kaç hamlede aşar?
Bu top iki defa düştükten sonra 27 cm yükseldi­
ğine göre, topun bırakıldığı ilk yükseklik kaç cm
dir?
A) 20
A) 30
B)19
C)18
D) 17
E) 16
Cçvaplar: 1-C 2-B 3-B 4-E 5-C 6-B 7-B 8-D 9 A 10-t
236
Bu gruba 4 kişi eklenirse kişi başına düşen para
miktarı ne kadar azalır?
B)75
C)90
D) 112
E) 120
11-C 12-C 13-C 14-A 15-B 16-D 17-D 18-B 19-D 20-B
3.
BÖLÜM
1.
TEST
5
SAYI PROBLEMLERİ
6.
Ardışık iki tek sayının küplerinin farkı 602 olduğuna
Bir çocuk düz bir doğru boyunca yürüdüğü her 3 adım­
dan sonra 2 adım sağ tarafa doğru yürüyor. Bu şekilde
göre, bu iki sayının çarpımı kaçtır?
devam ederek toplam 51 adım atıyor.
A) 63
B)99
C) 143
D) 195
E) 255
Dikey olarak aldığı yol, yatay olarak aldığı yoldan
kaç adım fazladır?
A) 10
2.
7.
Buna göre, bu iki sayının çarpımı kaçtır?
A) 40
E) 14
D) 13
B) 100
C) 120
D) 150
E) 180
Bir satıcı tanesini 100 000 liradan aldığı yumurtalar­
ın 15 tanesini kırdığı için atıyor. Kalanların tanesini
150 000 liradan satarak 1 750 000 lira kâr sağlıyor.
Buna göre, satıcı kaç yumurta satmıştır?
A) 80
Bir rafta aynı renk ve aynı numaralı 10 çift terlik vardır.
Raftan en az kaç tane terlik alınmalıdır ki, kesin­
likle giyilebilir bir çift terlik alınmış olsun?
A) 6
B)9
C) 11
D) 14
E) 19
B)75
C)70
D) 65
E) 60
^
£»
8.
Düzinesi x liradan alınan bir malın 100 tanesini y
*E
liradan satan bir satıcı, 50 tanesini sattığında z lira
"-
ri aşağıdakilerden hangisidir?
kâr elde ettiğine göre, z nin x ve y türünden değe-
A)
4.
C) 12
Toplamı 13 olan iki sayıdan her birinin üçer eksiği­
nin çarpımı 70 tir.
3.
B) 11
3y - 25x
D)
Ali'nin parası Cem'İn parasından 50 lira fazla, Veli'nin
B)
6y - x
6x - y
E)
C)
25y - 3x
25x - 3y
parasından 200 lira eksiktir.
Buna göre, Veli'nin parası Cem'in parasından kaç
lira fazladır?
A) 50
B)100
C) 150
D) 200
20 kişilik bir toplulukta erkeklerden 5 000 000 TL, ba­
yanlardan 3 000 000 TL toplanırsa 90 000 000 TL top­
lanıyor.
E) 250
Erkeklerden 3 000 000 TL, bayanlardan 5 000 000 TL
toplanırsa toplam kaç milyon TL toplanır?
A) 60
5.
B) 65
C)67
D) 70
E) 75
Bir adamın cebinde 1 milyon, 5 milyon ve 10 milyon
liralıkların her birisinden en az bir, en çok iki tane
vardır.
1 0 . Bir torbada 7 yeşil, 6 mavi ve 5 kırmızı bilye vardır.
Adamın cebindeki para miktarı aşağıdakilerden
Bu torbadan en âz kaç tane bilye alınırsa, kesinlikle
hangisi olamaz?
A) 17 milyon
B) 18 milyon
D) 27 milyon
C) 21 milyon
E) 32 milyon
bir tane mavi bilye alınmış olur?
A) 17
B)13
C) 10
D) 7
E) 6
237
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . Bir sigara firması kullanılmış her 4 sigara izmaritine bir
1 1 . Bir kırtasiyeci, tanesini 800 000 TL den aldığı bir mik­
kullanılmamış sigara vermektedir.
tar kalemin üçte birini tanesi 900 000 TL den; kalanı­
nı da tanesi 1 000 000 TL den satarak 3 000 000 TL
kâr ediyor.
Buna göre, toplam 100 tane içilmemiş sigarası bu­
Buna göre, satılan kalem sayısı kaçtır?
gara içebilir?
A) 9
lunan bir adam bu kurala göre en fazla kaç tane si­
B)12
C)15
D) 18
E) 21
A) 25
kapları boştur. A daki su ile B ve C kapları tamamen
dan satarak 10 400 000 lira kâr sağlıyor.
doldurulduktan sonra A kabında 117 litre su kalıyor.
Buna göre, satıcı kaç düzine kalem satın almıştır?
D) 14
Buna göre, A, B, C kaplarının hacimleri toplamı
kaç litredir?
E) 16
A) 243
camaktadır. Hasan'ın ise 200 000 TL si olup her gün
100 000 TL biriktirmektedir.
Buna göre kaç gün sonra Ali'nin parası Hasan'ın
parasına eşit olur?
B) 22
C) 21
D) 19
E) 18
1 4 . Bir satıcı kilosu 120 iira olan maddeden 15 kg, kilosu
160 lira olan maddeden 13 kg ve kilosu 200 lira olan
maddeden 12 kg karıştırıyor.
B)238
C) 203
D) 197
-
y = 3x - 386
-
şeklinde bir bağıntı vardır.
o
Bu satıştan kâr edilebilmesi için, x in alabileceği
en küçük tamsayı değeri kaçtır?
E
«
"•
@
A) 129
B)130
C)184
D) 185
E) 194
1 9 . Bir öğrenci elindeki parayı kardeşleriyle eşit olarak
paylaşırsa herbirine 900 000 TL düşüyor. Eğer, kar­
deşlerine 1 000 000 TL verirse kendisine 400 000 TL
kalıyor.
Satıcının bu satıştan zarar etmemesi için karışımın
Bu öğrencinin elindeki toplam paranın miktarı kaç
kilosunu en az kaç liradan satmalıdır?
TL dir?
A) 130
B)140
C)145
D) 152
E) 157
A) 5 400 000
B) 5 600 000
D) 6 200 000
1 5 . Gecenin gündüzden 48 dakika daha uzun oldu­
ğu bir günde, gündüzün süresi aşağıdakilerden
hangisidir?
C) 6 000 000
E) 6 400 000
2 0 . Bir işveren, işçisiyle 2 000 000 lira ve bir elbise karşı­
lığında bir yıllığına anlaşıyor. İşçi 8 ay sonra ayrıldı­
ğında 1 200 000 lira ve bir elbise alıyor.
A) 11 sat 48 dakika
B) 11 saat 36 dakika
Buna göre, elbisenin fiyatı kaç liradır?
C) 11 saat 24 dakika
D) 11 saat 12 dakika
A) 200 000
E) 10 saat 48 dakika
Cevaplar: 1-B 2-B 3-C 4-E 5-B 6-B
238
E) 153
1 8 . x liraya üretilip y liraya satılan bir malın üretim ve sa­
tış fiyatı arasında,
1 3 . Ali'nin 7 400 000 TL si olup her gün 200 000 TL har­
A) 24
E) 134
nin 5 katıdır. A kabı tamamen su dolu iken B ve C
ediliyor. O da bütün bu kalemleri tanesini 500 000 lira­
C)12
D) 133
B nin hacminin 9 katı ve B nin hacmi C nin hacmi­
alıyor. Tüccara her bir düzineyle birlikte 1 kalem hediye
B)10
C)132
1 7 . Hacimleri A, B ve C olan üç kap vardır. A nın hacmi
1 2 . Bir tüccar düzinesini 5 200 000 liradan bir miktar kalem
A) 8
B) 131
B) 300 000
D) 500 000
7-D 8-A
9-D
10-1
11-D 12-A
13-A
14-E 15-B
C) 400 000
E) 600 000
16-D 17-E 18-E 19-A 20-C
3.
BÖLÜM
1.
6.
Karesi ile kendisi arasındaki fark 132 katına eşit
B)133
Bir bando takımı altı adım ileri iki adım geri atarak düz
bir yol boyunca ilerliyor.
olan pozitif sayı kaçtır?
A) 134
TEST
6
SAYI PROBLEMLERİ
C)132
E) 130
D)131
Her adım 40 cm olduğuna göre, 103 adım atan ban­
do takımı kaç metre ilerlemiştir?
A) 17,5
2.
B)18,6
C) 19
D) 21,2
E) 22
Hangi sayının 2 katının 1 fazlasının karesi, aynı
sayının 1 fazlasının 2 katının karesine eşittir?
A)-
O-
°>-T
2
7.
4
20 öğrencinin bulunduğu bir sınıfta a tane daha öğ­
renci gelince sınıfta b tane öğrenci oluyor. Aynı sınıf­
tan c tane öğrenci ayrılınca, sınıfta geriye 2 a - 1 ta­
ne öğrenci kalıyor.
Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
a tane yumurtanın tanesini b TL den alıp, tamamı­
nı c TL ye satan bir satıcının elde ettiği kâr miktarı
A) 21
aşağıdakilerden hangisidir?
B) 31
C) 41
D) 51
E) 61
O
A) a. b - c
B)
D)c - a . b
C)
c - b
>E
E) a - b. c
8.
4.
Tavşan ve tavukların bulunduğu bir kümeste ayak sa­
yısı 314, baş sayısı 100 dür.
Buna göre, ilk durumda kaç ceviz vardı?
Buna göre, tavşan sayısı kaçtır?
A) 12
A) 57
5.
x kişiye 2x tane ceviz eşit miktarda dağıtılıyor. Eğer
36 ceviz daha olsaydı ilk duruma göre, kişi başına
3 ceviz daha fazla düşecekti.
B) 60
C) 63
D) 66
B)18
C)20
D) 24
E) 32
E) 69
2 kilo elma, 1 kilo ayva ve 3 kilo portakal 11 milyon lira;
4 kilo elma, 2 kilo ayva ve 9 kilo portakal 28 milyon
liradır.
48
kişinin katıldığı bir sınav sonucunu değer­
lendirmek için 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8,9,10 notlan kul­
lanılıyor.
Buna göre, 1 kilo portakal kaç liradır?
A) 1000
B) 1200
D) 1800
Bu notların herbiri en az üç kez kullanıldığına
C) 1500
E)2000
göre, aynı notu alan en çok kaç kişi vardır?
A) 38
B) 31
C)28
D) 21
E) 18
239
MATEMATİK SORU BANKASI
1 4 . İçinde kırmızı, mavi ve yeşil renkli bilyelerden en az 1
1 0 . 100 tane kravatı 6 lık ve 8 lik paketler halinde satmak
tane bulunan bir torba için,
isteyen bir satıcı 6 lık paketleri 9 milyon liradan, 8 lik
paketleri de 10 milyon liradan satmıştır.
I. 3 kırmızı bilye almak,
II. 4 yeşil bilye eklemek,
Satıcı en kârlı satışı yaptığına göre tüm kravatları
III. Mavi bilyelerin yarısını almak,
kaç milyon liraya satmıştır?
A) 140
B)142
D) 145
C)144
işlemleri birer kez uygulandığında torbadaki her renk­
E) 146
teki bilye sayıları birbirine eşit olmaktadır.
Buna göre, ilk torbadaki bilye sayısı en az kaç
olabilir?
1 1 . Cebinde hiç parası olmayan bir adam her gün, bir ön­
A) 19
B)23
C)27
D) 30
E) 35'.
ceki gün kazandığı paranın 3 katı kadar para kaza­
nıp, bir önceki gün harcadığı paranın 2 katı kadar pa­
ra harcıyor.
1 5 . Bir mutfak tüpü dolu iken ağırlığı x kg, 5 gün kullanıl­
Dört gün sonunda cebinde ilk gün kazandığı kadar
dıktan sonra ise y kg gelmektedir.
para kaldığına göre, bu adamın ilk gün kazandığı
paranın, ilk gün harcadığı paraya oranı aşağıdaki-
Boş tüpün ağırlığı (2y - x) kg olduğuna göre, bu
lerden hangisidir?
A) 113
tüp her gün eşit miktarda kullanıldığında kaç gün­
C)—
13
B)—
13
.
D)—
14
de tamamen biter?
E) —
15
-
c
A) 8
B)10
C)12
D) 15
E) 20
>^
o
>1 2 . Şekerin kilogramı A TL den satılmaktadır. Şekerin
satış fiyatına bir miktar zam yapıldıktan sonra, A TL ye
20
— kg alınabilmektedir.
21 a
B)10
C)15
D) 20
E) 25
tadır. Pirince % 5, şekere % 10 zam yapıldığında iki­
sinin satış fiyatı aynı olmaktadır.
lerden hangisidir?
A) 21 .A = 22B B) 3.A = 4.B
240
2-B
3-D
C) 3.A = 5.B
E)12.A = 11.B
4-A
bu çubukların boyları eşit olacaktır.
5-E
A) 50
B)56
C)60
D) 64
E) 68
1 7 . Yılmaz bir dilim pastayı tek başına 3 dakikada, Özcan ise aynı dilim pastayı tek başına 2 dakikada yi­
yebilmektedir. Her bir dilim pastadan sonra birer bar­
dak meşrubat içmektedirler. Yılmaz ve Özcanjsjra-
Buna göre, A ile B arasındaki bağıntı aşağıdaki-
Cevaplar: 1-B
1 6 . İki çubuktan biri 4 cm kısa, diğeri 6 cm uzun olsaydı
re, kısa olan çubuğun boyu kaç cm dir?
1 3 . Bir kg pirinç A TL, bir kg şeker ise B TL ye satılmak­
D)11.A = 12.B
©
Çubukların boyları toplamı 130 cm olduğuna gö­
Buna göre, yapılan zam oranı yüzde kaçtır?
A) 5
E
«
u.
6-D
7-C
sıyla bir bardak meşrubatı 0,5 dk ve 1 dk lık sürede
içebiliyorlar.
Buna göre, ikisi birlikte toplam 9 dilim pastayı en az
kaç dakikada yiyebilirler?
A) 15
8-D
B) 14
C)13
D) 12
E) 11
9-D 10-E 11-C 12-A 13-A 14-A 15-B 16-C 17-B
3.
BÖLÜM
1.
TEST
7
SAYI PROBLEMLERİ
6.
Ardışık üç tane çift sayıdan en büyüğünün dört katı
Bir şirkette çalışanlar n gruba ayrılıyor. Her grubun bir
ile en küçüğünün farkı ortancanın 26 fazlasına eşit
başkanı ve 4 üyesi bulunmaktadır. Şirkette çalışanların
olduğuna göre, en küçük sayı kaçtır?
ikisi işten ayrıldığında kalanlardan oluşturulan grupların
sayısı, ilk durumdaki grup sayısından 2 eksik oluyor.
A) 0
B) 2
C)4
D) 6
E) 8
Son durumda bütün gruplardaki çalışan sayısı bir­
birine eşit olduğuna göre, ilk durumdaki çalışan sa­
yısı en çok kaçtır?
2.
Bir sınıftaki öğrencilerin her biri birbirlerine kendi fo­
A) 40
toğraflarını vermiştir.
Tüm öğrencilerin elindeki fotoğraf sayısı 650 ise
B) 23
C) 24
C) 48
D) 50
E) 62
A otobüsü 35 yolcu ile B otobüsü ise 3 yolcu ile karşı­
bu sınıfta kaç öğrenci vardır?
A) 22
B) 45
lıklı birbirlerine doğru hareket ediyorlar. A daki yolcu sa­
D) 25
yısı her durakta 3 azalıyor. B deki yolcu sayısı ise 1 ar­
E) 26
tıyor. İki otobüs aynı durağa gelince otobüslerdeki top­
lam yolcu sayısı 24 oluyor.
3.
Bir arsaya 12 küçük, 4 büyük veya 6 küçük 6 büyük
planlı ev yapılabilmektedir.
_o
^
x
o
Buna göre, iki otobüs arasında başlangıçta kaç tane durak vardır?
A) 13
Bu arsada 9 küçük evin yeri yeşil saha olarak dü-
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
zenlenecekse, geri kalan arsaya kaç büyük planlı
8.
ev yapılabilir?
Bir kitabın sayfalarını numaralandırmak için 3293 ra­
kam kullanılmıştır.
A) 2
B)3
C)4
D) 5
E) 6
Kitap kaç sayfadır?
A) 999
4.
Uzunlukları 36 şar cm olan iki mumdan biri 4 saatte,
D)1099
diğeri 9 saatte erimektedir.
Mumlar aynı anda yandıktan kaç saat sonra boy­
ları farkı 15 cm olur?
A) 1,8
B) 2,5
B)1001
9.
C)1089
E)1100
Bir postahanedeki posta kutuları 2, 4, 6, 8,..., 2n sa­
yıları ile numaralandırılmıştır. Postacı elindeki 440
mektuptan her kutuya, üzerindeki numara kadar mek­
C)3
D) 3,5
E) 4
tup attıktan sonra elinde n tane mektup kalmıştır.
Buna göre, n kaçtır?
5.
15 mavi, 40 kırmızı ve x yeşil topun bulunduğu bir ku­
tudan eşit sayıda mavi, kırmızı ve yeşil top alınıyor.
Geriye kalan toplardan, kırmızı topların sayısı, ma­
vi ve yeşil topların toplamının 2 katına eşit oldu­
ğuna göre, x en az kaçtır?
A) 7
B)8
C)9
A) 12
B)15
C)20
D) 25
E) 30
1 0 . Bir tren ilk istasyondan harekete geçtikten sonra her
iki istasyonda bir, 1 tane vagon bırakıyor.
Bu tren 39. istasyona 9 vagonla girdiğine göre,
başlangıçta kaç vagonla harekete başlamıştır?
D) 10
E) 11
A) 26
B)27
C)28
D) 29
E) 30
241
MATEMATİK SORU BANKASI
1 5 . Araba vapuruna binmek için bekleyen 201 tane araba­
nın bulunduğu kuyrukta Ali'nin arabası baştan (n - 2).
sondan ise (n + 2). sıradadır.
1 1 . Bir kitapta, x tane bölüm, her bölümde y tane test ve
her testte de z tane soru vardır. Bir öğrenciden bu ki­
taptaki test sorularını t günde bitirmesi isteniyor.
Her vapur en çok 30 araba alabildiğine göre, Ali
kaçıncı vapura binebilir?
Bu öğrencinin her gün çözmesi gereken ortalama
soru sayısı aşağıdakilerden hangisi ile ifade edile­
bilir?
A) 2.
llL
z .t
B)^L±
A)
B)3.
D) 5.
C)4.
E) 6.
C)x.y.z.t
z
x . y .z
E)l
D)—4—
t
y . z .t
1 6 . Ali ile Ayşe kardeştir. Ali'nin kız kardeşlerinin sayısı,
erkek kardeşlerinin sayısının 2 katından 7 eksiktir. Ay­
şe'nin erkek kardeşlerinin sayısı, kız kardeşlerinin
sayısının 3 eksiğinin 7 katıdır.
x
Buna göre, Ali'nin kaç kardeşi vardır?
1 2 . 23 kişilik bir toplulukta A ve B gibi iki takımın taraftar­
ları vardır. A takımının bayan taraftarlarının sayısı; B
takımının erkek taraftarlarının sayısının 2 katına, A ta­
kımının erkek taraftarlarının sayısının da 4 fazlasına
eşittir. B takımının bayan taraftarlarının sayısı, erkek
taraftarlarının sayısının 2 katından 1 eksiktir.
A) 12
B)10
C) 11
D) 12
E) 13
o
~c
*>
>-
1 3 . Günlük yediği ot miktarı sabit olan bir kuzu, bir kazığa
10 metre uzunluğundaki bir iple bağlandığında kuzu­
nun yetişebildiği alandaki otlar kuzuya 4 gün yetebiliyor.
C) 20
D) 26
A) 225
1 4 . Ali ile Veli birlikte lokantada yemek yiyorlar. Toplam ye­
mek masrafı 8 milyon lira tutuyor. Ancak bu parayı her
ikisi de tek başına ödeyememektedir. Ali parasının ya­
rısını Veli'ye verirse, masrafı Veli tüm parasıyla ödeye­
bilmektedir. Veli parasının beşte ikisini Ali'ye verirse,
masrafı Ali tüm parasıyla ödeyebilmektedir.
Cevaplar: 1-D
242
2-E
3-D
C)6
4-C
5-B
D) 5,5
6-D
7-A
9-C
D) 180
E) 175
B) 3
C) 2
D) 3
E)
2
Bu takım bu 5 maçta toplam 315 sayı yaptığına
göre, kendi potasında kaç sayı görmüştür?
A) 291
E) 5
8-E
C) 200
1 9 . Bir basketbol takımı oynadığı 5 maçın bir kısmını
77 - 51 kazanmış, bir kısmını da 42 - 63 kaybet­
miştir.
Buna göre, Ali'nin kaç milyon lirası vardır?
B)6,5
B)210
Buna göre, bu kümesteki tavukların sayısı horoz­
ların sayısının kaç katıdır?
E) 30
A) 4
A) 7
E) 8
1 8 . Bir kümesteki tavukların sayısı, horozların sayısı ile
hindilerin sayısının toplamına eşittir. Tavuklar ile hin­
diler bire bir eşlendikten sonra geriye kalan tavukların
sayısı, hindilerin sayısının 2 katına eşit oluyor.
Kuzuya, kuzunun yetişebildiği alandaki otların 36
gün yetebilmesi için kuzunun bağlandığı ipin uzun­
luğu kaç metre olmalıdır?
B) 15
D) 9
Bu kümedeki bütün topların % 90 veya daha fazlası kırmızı olduğuna göre, kümedeki top sayısı en
fazla kaç olabilir?
E
*
A) 10
C)10
1 7 . Kırmızı ve siyah toplardan oluşan bir top kümesinin
sayımında ilk 50 toptan 49 u, sonraki her 8 toptan da
7 si kırmızı çıkmıştır.
Buna göre, A takımının kaç taraftarı vardır?
A) 9
B) 11
10-B
11-D
12-D
B) 287
13-E
14-C
C) 283
15-C
16-B
D) 279
17-B
E) 275
18-C
19-D
3.
BÖLÜM
KESİR PROBLEMLERİ
3. 1985-OYS
1. Bir bütünün — i eksilirse,
x
geriye bu bütünün 1 _
1
3
Bir kesrin değeri - dir. Bu kesrin pay ve paydasından
kalır.
2 çıkarılırsa kesrin değeri
2. Bir bütün birden çok kesirli parçaya bölünürse, bu
bütünün tamamı kesirlerin paydasının OKEK'ine (veya
paydaların çarpımına) eşit olacak şekilde seçilebilir.
- oluyor.
Bu kesrin paydası ve payı arasındaki fark kaçtır?
A) 2
3. Bir bütün art arda kesirlere ayrıldığında sondan başa
doğru ters işlemle gelinerek bütün bulunabilir.
B)4
C)8
D) 12
I. Çözüm:
3
3x
Değeri — olan kesir — olsun.
7.
7x
Verilenlere göre,
3x — 2 1
=- = > 9 x - 6 = 7 x - 2 = > x = 2
7x- 2
3
4. Uygun geometrik şekiller yardımıyla çözüm yapılabilir.
5. ^ Homojen bir telin bir ucundan bir parça kesilirse telin or­
ta noktası kesilen parçanın yarısı kadar kayar.
Geçmiş yıllardaki ÖSS veya ÖYS'lerde sorulmuş olan
kesir problemlerini ve çözümlerini inceleyelim.
E) 16
ve
bu kesrin paydası ve payı arasındaki fark,
7x - 3x = 4x = 4 . 2 = 8 dir.
1. 1993-ÖSS
II. Çözüm:
3
— kesrine denk olan kesirlerden problemde verilenlere
4
Bir sayının - inin 3 fazlası, aynı sayıya eşittir.
5
Bu sayı kaçtır?
A) 35
Çözüm:
Sayının
B) 30
O
C)25
D) 20
E) 15
3
=
6_
=
=
7 " 14 ~ 21
6 - 2 _ 1_
14-2 ~ 3
4
1
- ini kendisine tamamlayan sayı yani - i
5.3 = 15 tir.
olduğuna göre, bu kesrin paydası ile payı arasındaki
fark 1 4 - 6 = 8 dir.
2. 1992-ÖSS
3
i boş olan bir su deposundaki suyun - i kullanı5
tınca, bu deponun tamamını doldurmak için 30 litre su
gerekmektedir.
4. 1993-ÖYS
Bir manavdaki sebzeler çürüyerek - oranında fire ver5
mistir.
Bunun sonucunda, maliyet ne oranda artmıştır?
Buna göre, su deposu kaç litre su almaktadır?
A) 40
_9_
i
3 olduğuna göre, bu sayı
3
8
E
uygun olanını bulalım.
B)45
C)50
D) 55
E) 60
A)
«İ
C)
D)
E)
Çözüm:
I. Çözüm
3
o
5
8
Kilosu 3 liradan 5 kilo sebze alınsa toplam maliyet
5
3
i boş ise - i dolu, suyun - i kullanılınca geriye
8
5
2
1
1
3
• - = - ü kalır. O halde deponun - ü dolu ise - ü
5
4
4
4
boş ve boş kısmı doldurmak için 30 litre su gerektiğine
4
göre, deponun tamamı 30 • - = 40 litre su alır.
3
15 lira olur. Sebzelerin 2 kilosu çürürse kalan 3 kilo
sebzenin maliyeti 1 5 : 3 = 5 liraya gelmiş, dolayısıy2
la 5 - 3 = 2 lira artmış olur. Buna göre, maliyet oranında artmıştır.
243
MATEMATİK SORU BANKASI
7. 1983-OSS
II. Çözüm:
5 birim sebze alındığında 2 birimi çürüdüğüne göre,
Bir parça telin ucundan telin 1- si kesilirse, telin orta
3 birim sağlam sebze temin edebilmek için 2 birimine
noktası eski durumundan 3 cm kayıyor.
daha fazladan para ödenmektedir. O halde,
Bu telin tamamı kaç cm dir?
2
maliyetteki artış — tür.
B)42
A) 35
C)49
D) 56
Çözüm:
5. 1981-ÖSS
2
1
Bir top kumaşın önce - i, sonra da kalanın - ü saD
o
tılıyor.
1
Telin bir ucundan 7
Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü
kaç metredir?
- si 6 cm olan telin tamamı 7.6 = 42
A) 50
E) 63
B)55
C)60
D) 65
si kesilince orta noksası 3 cm
kaydığına göre kesilen parça 3.2 = 6 cm ve
E) 70
dir.
8. 1983 -OYS
Kumaşın tamamı x metre olsun.
1
Bir adam borcunun önce - ini ve sonra da kalan
5
1
borcunun - mı ödüyor.
5
IX.— ).— = 26
5/ 3
Geriye 400 lira borcu kaldığına göre, ilk ödediği
I. Çözüm:
(
-
!
)
=> x = 65
metredir.
•
miktar kaç liradır?
II. çözüm olarak şekil yardımıyla çözersek,
A) 50
kalan = 26 metre
ilk satılan
s
6. 1982-ÖYS
Bir tüccar, metresi 300 liradan t metre kumaş almıştır.
Bu kumaşın yarısını metresi 350 liradan, üçte birini
metresi 290 liradan, geri kalanını da metresi 320 li­
radan satarak 18150 lira kâr ettiğine göre, t kaçtır?
B)363
C) 726
D) 605
E) 847
I. Çözüm:
i = 6.k seçilirse,
3k . 50 - 2k . 10 + k . 20 = 18 150
metresinden
50 lira kâr
metresinden
10 lira zarar
15k = 1815
metresinden
20 lira kâr
60.k= 1815.4 = 7260
l = 6k = 726 metredir.
II. Çözüm:
Önce kumaşın 6 metresinden elde edilen kârı bulalım.
3.50-2.10 + 1.20= 150
.
18150 .
18150 4
t =
6 =
150
25
4
=> l = 726 metredir.
244
lira ve
C)100
D) 120
E) 125
I. Çözüm:
* n t||
kısım
kısım
Şemaya göre, 1 parça 13 metreye karşılık geldiğine
göre, tamamı 5.13 = 65 metredir.
A) 484
B) 75
>s
O
>-
E
Borcunun tamamı 5.5 = 25x olarak seçilirse,
- ini (5x ini) ödedikten sonra kalan borcu 20x,
5
bunun — ini (4x ini) ödeyince kalan borcu 16x olur.
5
Buna göre ilk ödediği miktar (5x),
16x = 400 =>
5x =
5
400 = 125 liradır.
16
II. Çözüm:
Sondan başa doğru çözüm yapalım. Kalan borcunun
1
4
— ini ödeyince kalan — i 400 lira olduğuna göre,
O
o
bu ödemeyi yapmadan önceki kalan borcu,
4 0 0 - - = 500 liradır.
4
Başlangıçtaki borcunun — ini ödedikten sonra geriye
5
4
500 lira borcu kaldığına göre, bütün borcunun - i 500
5
liradır. O halde,
ilk ödediği borç miktarı
500 : 4 = 125 liradır.
Kesir Problemleri
12. 1984-OYS
9. 1990-OSS
1
Bir atlet belli bir yolun - ünü koşuyor, sonra 125 metre
3
daha koşunca yolun yarısına geliyor.
Ahmet parasının — ini Mehmet'e verdiğinde Mehmet'in
parası
oranında artıyor.
Buna göre, yolun uzunluğu kaç metredir?
Buna göre, başlangıçta Ahmet'in parasının Meh-
A) 875
met'inkine oranı kaçtır?
A)
B)
B)750
C) 625
D) 600
E) 500
I. Çözüm:
D)
<
10
11_
E)
30
yolun
üçte biri
Şekle göre
yolun tamamı
6.125 = 750 metredir.
Çözüm:
Ahmet'in parasına x, Mehmet'in parasına y diyelim.
125 metre
Mehmet'in parasındaki artış Ahmet'in parasının — ine
Veya, II. çözüm olarak problemde verilenlere göre yo­
eşit olduğuna göre;
1
x
y .
= x . — => —
100
5
y
lun - ünün 125 metre fazlası, yolun yarısıdır.
6
10
3
dur.
Buna göre, yolun tamamı 6x metre olursa,
— + 125 = 3x => x = 125 =» 6x = 750 metredir.
3
10. 2001 - ÖSS
Bir merdivenin basamaklarını ikişer ikişer çıkıp, üçer
üçer inen bir kişinin, çıkarken attığı adım sayısı inerken
attığı adım sayısından 6 fazladır.
13. 1987-ÖSS
Bir varilin içinde belli miktarda su vardır. Varile bir kova
Buna göre, merdiven kaç basamaklıdır?
B)30
A) 18
C)36
D) 42
E) 54
o
Çözüm:
Basamak sayısına x denilirse, bu kişinin çıkarken attığı
x
x
adım sayısı —, inerken attığı adım sayısı — tür.
Buna göre,
x
x
2
3
= 6 => x = 36 dır.
11. 1994-ÖYS
Aylık geliri sabit olan bir kimse, her ay gelirinin — ünü
A kasasına, — ini de B kasasına koymaktadır.
x
Bu kimsenin 15 ayda her iki kasada biriken parala­
rının toplamı bir aylık gelirine eşit olduğuna göre, x
kaçtır?
A) 48
B)40
C)35
D) 30
E) 25
Çözüm:
15 ayda A kasasında biriken para, bu kişinin aylık
1
5
gelirinin 1 5 — = - i olduğuna göre,
24 8
5 3
B kasasında 15 ayda bireken para, 1 — = - i
8 8
1
3
1 5 - - = - => x = 40 tır.
x 8
Ar
ve
su eklenirse varilde a litre su oluyor. Varilden bir kova
a
su alınırsa varilde - litre su kalıyor.
3
Başlangıçta varilde kaç kova su vardır?
A) 7
B)6
C)5
D) 3
E) 2
Çözüm:
Varile bir kova su eklenmesiyle varilden bir kova su alın­
ması durumlarında varildeki su miktarları farkı 2 kova
a 2a
suya karşılık gelir. Buna göre, a - — = — = 2 kova
3
3
ise a litre su 3 kovadır. Varile 1 kova su eklendiğinde
varilde a litre (3 kova) su olduğuna göre, eklenmeden
önce varilde 2 kova su vardır.
14. 1994-ÖYS
Bir bidonun ağırlığı boş iken x gram, yarısı su ile dolu
iken y gramdır.
Bu bidonun tamamı su ile dolu iken toplam ağırlığı
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2y - x
D) y - 2x
B) 2x - y
C) 2x + y
E) y + x
Çözüm:
Problemde verilenlere göre, bidonun yarısının aldığı su
(y - x) gramdır. Yarısı doluyken bidonun ağırlığı y gram
geldiğine göre, kalan yarısını doldurmak için (y - x) gram
su eklenirse tamamı doluyken bidonun ağırlığı,
y + y - x = 2 y - x gram olur.
245
MATEMATİK SORU BANKASI
Çözüm:
15. 2001 -OSS
60 yolcusu olan bir otobüsten 2 bayan 3 erkek inin5
ce, bayanların sayısı erkeklerin sayısının - sı oluyor.
6
Problemde verilenlere göre,
4
kabın aldığı suyun - inin ağırlığı
5
Buna göre, ilk durumda otobüsteki bayan sayısı
- inin ağırlığı, 1 6 : 4 = 4 kg olduğundan
5
kaçtır?
A) 22
25 - 9 = 16
ve
boş kabın ağırlığı 9 - 4 = 5 kg dır.
B)25
C)27
D) 35
E) 37
18. 2000 - OSS
Çözüm:
1
Su dolu bir sürahinin ağırlığı a gramdır. Suyun - ü
Problemde verilenlere göre, otobüste kalan 55 yolcu­
boşaltılınca, sürahinin ağırlığı b gram olmaktadır.
nun, 5 + 6 = 11 de 5 i bayan olduğundan ilk durumda
5
otobüsteki bayan sayısı 55. — + 2 = 27 dir.
Buna göre, boş sürahinin ağırlığı kaç gramdır?
A) a - 2b
B) 2a - b
D)3b - 2a
16. 1996-OYS
C) 2b - a
E)3b - a
2 . .
Bir sınıftaki öğrencilerin — inin 2 fazlası kız öğrencidir.
5
Çözüm:
Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğren­
boşaltılınca b gram geldiğine göre, sürahinin aldığı
1
2
suyun - ü (a - b) gram, - ü de (2a - 2b) gramdır.
Sürahi su ile dolu iken a gram, suyun üçte biri
cilerin sayısı kaçtır?
A) 20
B) 18
C) 16
D) 14
O
E) 12
ö
Sürahide kalan (2a - 2b) gram su da boşaltılırsa boş
sürahinin ağırlığı, b - (2a - 2b) = 3b - 2a gram olur.
i. Çözüm:
Sınıf mevcuduna 5x denilirse kız öğrencilerin sayısı
2x + 2, erkek öğrencilerin sayısıda 3x - 2 olur.
O
>-
Erkek öğrenci sayısı 22 olduğuna göre,
E
«
3x - 2 = 22 => x = 8 ve
u.
kız öğrenci sayısı: 2x + 2 = 18 dir.
19. 2001 - ÖSS
Bir benzin tankının içinde bir miktar benzin vardır. Tan5
ka 300 litre benzin ilave edilirse tankın — u doluyor.
9
Oysa tanka benzin konmayıp tanktan 100 litre benzin
II. Çözüm:
2
Sınıftaki öğrencilerin — inin 2 fazlası kız olduğundan
3
bu sınıftaki öğrencilerin — inin 2 eksiği erkektir.
boşaltılırsa tankın — u dolu olarak kalıyor.
Buna göre, tankın tamamı kaç litre benzin alır?
A) 500
Erkek öğrenci sayısı 22 olduğuna göre,
sınıftaki öğrencilerin - i
5
D) 800
22 + 2 = 24,
5
1 4
= - u, 300 + 100 = 400 litre benzin almaktadır.
9
9
9
g
Buna göre, tankın tamamı 4 0 0 . - = 900 litre benzin alır.
4
— i dolu olan bir su kabının içindeki su ile birlikte ağır5
lığı 9 kg dır.
Kap tam dolu iken tüm ağırlık 25 kg olduğuna gö­
re, boş kabın ağırlığı kaç kg dır?
246
C)6
E) 900
Problemde verilenlere göre, benzin tankının
17. 1998-OSS
B)5
C) 700
Çözüm:
2
2
dolayısıyla - i, 2 4 . - = 16 ve
5
3
kız öğrenci sayısı 16 + 2 = 18 dir.
A) 4
B) 600
D) 7
E) 8
3.
BÖLÜM
1.
—
5
6.
inin yarısı 15 olan sayı kaçtır?
A) 60
B)50
TEST
1
KESİR PROBLEMLERİ
C)45
D) 30
E) 25
Bir satıcı bir kutu yumurtanın önce
- ünü satıyor.
4
Sonra 10 tane daha yumurta satınca tüm yumurtala2
rın — ünün kaldığını görüyor.
Bu satıcının başlangıçta kaç yumurtası vardır?
o
ti.
3
—
ı ile
A) 45
5
— ünün toplamı 34 olan sayı kaçtır?
B)30
C)15
D) 10
A) 100
7.
E) 5
B)120
C)150
D)180
E) 210
Bir kesrin payı paydasından 3 kat daha fazladır.
Bu kesrin payı ile paydası arasındaki farkı 12 oldu­
ğuna göre, kesrin payı kaçtır?
3.
Bir çocuğun cebinde 15 milyon TL vardır.
A) 18
Parasının — ini yol parasına verip kalan parası5
1
1
nın — ü ile yemek yer ve kalan parasının — ü ile
de hediye alırsa son durumda elinde kalan para
kaç milyon TL dir?
A) 2
B)4
C)6
D) 8
E) 9
>s
o
o.
S
o
^
©
B) 16
C) 12
Bir kesrin en sade biçimi
D)10
E)9
- tir. Bu kesrin payından
5
3 çıkarılır, paydasına 2 eklenirse kesrin değeri
oluyor.
5
Buna göre, başlangıçtaki kesrin paydası kaçtır?
A)-23
4.
B)-20
C)-15
D) 15
E) 23
Ahmet parasının — ünü Mehmet'e verdiğinde Ahmet'in
parası Mehmet'in parasının 2 katı oluyor.
9.
Ahmet'in başlangıçtaki parası 32 milyon TL oldu­
ğuna göre, Mehmet'in başlangıçtaki parası kaç mil­
yon TL dir?
A) 2
B)4
C)6
D) 8
E) 10
Bir sınıfta 40 tane öğrenci vardır. Bunların 10 ta­
nesi kız öğrencidir.
Sınıfa kaç tane erkek öğrenci alınmalıdır ki son du­
rumda kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına
2
oranı — olsun?
A) 2
5.
B)5
C)7
D) 8
E) 10
Bir telin uç kısmına telin uzunluğunun - ü kadar
daha tel ilâve edildiğinde orta noktası eski durumu­
na göre 2 cm kaydığına göre başlangıçta telin uzun­
luğu kaç cm dir?
A) 24
B)18
1 0 . Bir sayının 5 eksiğinin - katı, aynı sayının - katı3
4
nın 2 fazlasına eşittir.
C)15
D) 12
E) 6
Buna göre, bu sayı kaçtır?
A) 33
B) 38
C) 44
D) 50
E) 55
247
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . Bir kutunun içindeki kalemlerin üçte biri alınıp, ku­
tuda kalan kalemlerin 2 katı kadar kalem konunca
kutudaki kalem sayısı 12 olduğuna göre, başlan­
gıçta kutuda kaç kalem vardır?
-n
3
1
İ l . Bir kutudaki bilyelerin — i sonra kalanının — ü
5
4
alınınca geriye 30 bilye kaldığına göre, başlangıç­
ta kutuda kaç bilye vardı?
A) 50
C)80
B) 60
1 2 . Bir araç bir yolun önce
D) 100
A) 4
E)120
B)5
C)6
D) 8
E) 12
1 7 . Fatih, bir kitabı her gün bir önceki gün okuduğu say­
fanın yarısı kadar okuyarak; üç günün sonunda
toplam 35 sayfa kitap okumuştur.
2
3
— sini sonra, aynı yolun —
7
5
ini gitmiştir.
Buna göre ilk gün kaç sayfa kitap okumuştur?
Bu aracın gitmiş olduğu yolun, toplam yola oranı
kaçtır?
A) II
35
B)
31_
35
C)
D)7
35
A) 8
B)12
C) 16
D) 18
E) 20
E)*
7
1 8 . Bir kesrin değeri — tir.
5
Pay üçte bir oranında payda beşte iki oranında
azaltılırsa yeni durumda kesrin değeri aşağıdakilerden hangisi olur?
1 3 . Bir kitap ikiye bölünüyor. İlk kısmının — sinde 48 sayfa, ikinci kısmın
2
-
sinde 60 sayfa bulunmaktadır.
Buna göre, kitap kaç sayfadır?
A) 108
B)280
C)294
D
>E
o
D) 357
*!
<
C):
0)1
E) 2
E) 378
1 9 . Bir sınıftaki öğrencilerin — sinin 14 eksiği erkektir.
1 4 . Bir miktar para x kişi arasında eşit paylaştırılınca bir
kişinin aldığı para 8 milyon liradır.
Aynı para 4 kişiye bölünürse bir kişiye kaç mil­
yon lira düşecektir?
A)
B)x
C)2x
D)3x
Bu sınıfta 16 erkek öğrenci olduğuna göre sınıf
mevcudu kaçtır?
A) 40
B)50
C)60
D) 70
E) 100
E)4x
2 0 . Bir konfeksiyoncu elindeki kazakların 1. gün — ini,
5
1
1
1 5 . Tamamı su ile dolu bir şişenin ağırlığı 100 gram,
3
suyun — ü alınınca şişe 40 gram geldiğine göre,
B)30
C)25
D) 20
tıyor.
Geriye 12 tane kazak kaldığına göre, 2. gün kaç ta­
ne kazak satmıştır?
boş şişenin ağırlığı kaç gramdır?
A) 35
2. gün kalanının - ünü, 3. gün kalanının - sini sa­
E) 15
A) 48
B)32
C)16
D) 12
E) 8
Cevaplar: 1-B 2-C 3-C 4-B 5-D 6-B 7-B 8-A 9-B 10-C 11-D 12-B 13-E 14-C 15-D 16-C 17-E 18-C 19-D 20-E
248
3.
BÖLÜM
-t
I.
KESİR PROBLEMLERİ
4
Hangi sayının yarısının
A) 18
B)24
TEST
2
6.
— unun 1 eksiği 7 dır?
9
C)36
D) 48
Bir deponun dörtte biri su ile doludur. Depoya 4 litre su
ilave edildiğinde deponun üçte biri doluyor.
E) 54
Buna göre, depoda ilk durumda kaç litre su var­
dır?
A) 12
2.
D) 6
C)8
B)9
E) 4
Bir sayının beşte ikisinin beşte birine oranı kaçtır?
A) 4
B) 2
7.
C)
D)
E)
Ali, parasının önce — ünü sonra da kalan parasının
4
2
- ünü harcıyor. Geriye kalan parası 4 milyon liradır.
3
Buna göre, ilk durumda Ali'nin parasının tamamı
kaç milyon liradır?
3.
Bir sınıftaki öğrencilerin — sinin 2 eksiği erkek öğ­
A) 10
rencidir.
Sınıfta 26 kız öğrenci olduğuna göre, erkek öğ­
rencilerin sayısı kaçır?
A) 16
B)18
C)19
E) 23
C) 14
D) 15
E) 16
>s
O
>D) 20
B)12
8.
Bir tel 48 eşit parçaya bölünüyor. Aynı tel 40 eşit parça­
ya bölünseydi her bir parça 2 cm daha uzun olacaktı.
Buna göre, tel kaç cm dir?
A) 420
4.
C) 480
D) 720
E) 960
Değeri - olan bir kesrin pay ve paydasından 1 çıka7
1
rıldığında elde edilen kesrin değeri - oluyor.
4
Başlangıçtaki kesrin paydası payından kaç fazla­
dır?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 18
E) 21
9.
Bir kamyonet yüküyle birlikte m kg dır. Yükünün beşte
biri boşaltıldığında ağırlığı
Bir parça telin ucundan — i kesilirse, telin orta nok­
tası ilk durumdan 4 erci kayıyor.
Buna göre, ilk durumda telin uzunluğu kaç cm
dir?
A) 64
B)48
C)32
D) 24
E) 16
— kg olmaktadır.
8
Buna göre, yükün ağırlığı kaç kg dır?
A)
5.
B)440
4
C)
11m
D)
13m
8
1 0 . Bir öğrenci parasının — ine kalem, - ine silgi aldı5
8
ğında geriye 1 350 000 lirası kalmıştır.
Buna göre, öğrencinin silgiye ödediği para kaç bin
liradır?
A) 250
B)300
C)350
D) 400
E) 450
249
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . Bir otobüsteki bayan sayısının yolcu sayısına oranı
3
1 6 . Osman bir evin - ünü, Hasan da - ünü boyuyor.
3
4
— dur. Otobüse 5 bay ve 5 bayan bindiğinde yol­
Geriye kalan kısmın yarısını Osman, öteki yarısını da
cu sayısı 40 oluyor.
Hasan boyuyor.
Buna göre, ilk durumdaki erkek yolcu sayısı kaçtır?
Buna göre, Osman bu evin kaçta kaçını boyamıştır?
A) 17
B)18
1 2 . Bir havuzun
5
C)21
D) 24 .
E) 27
A)
i su ile doludur.
24
B)
24
C)
11_
24
D)
13
24
E)
17
24
„_
1
..
3 .
1 7 . Fikret'in parasının - ü, Özgürün parasının - ine
3
5
eşittir.
Bu suyun yarısı kullanıldığında havuzun dolması
için 140 m3 suya ihtiyaç olduğuna göre, bu havu­
zun tamamı kaç m3 su alır?
İkisinin paraları toplamı 56 000 000 TL olduğuna
göre, Fikret'in parası kaç milyon TL dir?
A) 150
B) 170
C) 180
D) 190
E) 200
A) 39
1 3 . Bir kabın ağırlığı sıvıyla doluyken x gram, - ü sı3
vıyla doluyken y gramdır.
Buna göre, boş kabın ağırlığı aşağıdakilerden han­
A) x - y
B) x - 2y
D)3y-2x
C) 3x - 2y
C) 32
D) 30
E) 28
_2
1 8 . Bir kovanın içinde belli miktarda su vardır. Kovaya 2
O
tas su eklenirse kovada x litre su oluyor. Kovadan 2
2x
tas su alınırsa kovada — litre su kalıyor.
>-
gisine eşittir?
B) 36
E
Buna göre, ilk durumda kovada kaç tas su vardır?
E)3y-3x
A) 6
B)7
C)8
D) 9
E) 10
1 4 . Özgür parasının - sini Hali) e verdiğinde Halil'in pa1 9 . Bir kırtasiyeci, kalemlerinin yarısını satarsa 23 ten
6
3
rası — oranında artıyor.
20
çok, üçte ikisini satarsa 17 den az kalemi kalıyor.
Buna göre, Özgür'ün parasının Halil'in parasına
oranı kaçtır?
A)
^
10
D
B)1
9
»!
A) 36
Buna göre, boyanmamış kaç metre kare duvar kal­
mıştır?
B)h
C)9
D) 12
B)42
C)48
D) 50
E) 54
*!
1 5 . Bir evin duvarlarının — i boyandıktan sonra 9 m2 daha
8
3
boyanıyor. Böylece duvarların - ü boyanmış oluyor.
A) 3
Buna göre, kırtasiyecinin kaç kalemi vardır?
E) 15
2 0 . Bir bakkal 4 tanesini 300 000 TL den aldığı yumur­
taların 6 tanesini 600 000 TL den satmıştır.
Bakkal, aldığı yumurtaların tümünü satarak 3 mil­
yon TL kâr ettiğine göre, sattığı yumurta sayısı
kaçtır?
A) 60
B)75
C)90
D) 100
E) 120
Cevaplar: 1-C 2-B 3-A f-C 5-A 6-A 7-E 8-C 9-E 10-A 11-C 12-E 13-D 14-A 15-B 16-D 17-B 18-E 19-C 20-E
250
3.
BÖLÜM
1.
TEST
3
KESİR PROBLEMLERİ
6.
Hangi sayının üçte biri ile dörtte birinin toplamı,
4.x lira 3 kişiye eşit olarak paylaştırılacaktır.
aynı sayının yarısının 10 fazlasına eşittir?
Bu para, eşit olarak 9 kişiye paylaştırıiırsa kişi ba­
B)60
A) 30
C)90
D) 120
şına düşen pay kaç x lira artar?
E) 150
A)
2.
— inin 2 katı — unun 21 fazlasına eşit olan
10
7.
sayının — katı kaçtır?
A) 7
B)10
8
Değeri
C) 14
D) 20
E) 28
8.
o
c
arttırılırsa kesrin değeri — oluyor.
A
4.
5
Bir topluluğun 8
yandır.
D) 7
i memur ve memurların
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
Bir telin ucuna telin - sı kadar tel eklenince telin or6
ta noktası eski durumundan 4,5 cm kayıyor.
o
>-
Bu kesrin paydası payından kaç fazladır?
C)6
»!
Hasan'ın başlangıçtaki parası kaç milyon liradır?
- olan bir kesrin payı 4 azaltılıp paydası 8
1
B)5
E
nında — ini harcayınca 32 milyon lirası kalıyor.
4
A) 4
»!
1 ini
:_: harcıyor. Geriye kalan paraHasan parasının —
5
1
A) 30
3.
D
C)
B)
E) 8
4
- si ba7
Buna göre, başlangıçta telin boyu kaç cm dir?
E
o
u.
A) 36
n
y.
B) 42
C) 48
r,
D) 54
1
E) 60
2
Bir öğrenci parasının — ine kalem, — sine silgi aldı5
7
ğında geriye 900 bin lirası kalmıştır.
Bu toplululukta 30 erkek memur olduğuna göre,
memur olmayan kaç kişidir?
Buna göre, öğrencinin silgiye ödediği para kaç bin
liradır?
A) 60
B)54
C)42
D) 36
E) 24
A) 250
5.
Ayşe'nin de katıldığı bir yarışta Ayşe'nin erkek rakip3
lerinin sayısı (E), kız rakiplerinin sayısının (K) - ka4
tından 2 fazladır.
B)300
C)400
D) 500
E) 600
1 0 . Bir miktar kalem 4 kişi arasında paylaştırılıyor. Birin­
ci kalemlerin — ini, ikinci kalan kalemlerin — ünü
5
4
alıyor. Diğer ikisi ise geriye kalan kalemleri eşit olarak
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
paylaşıyorlar.
A) 4.E + 1 = 3.K
B) 4.E = 3.K + 8
C)4.E = 3.K + 5
D)4.E = 3.K + 2
Buna göre, birinci kişi üçüncünün kaç katı kalem
almıştır?
E)4.E + 8 = 3.K
A)
B
'i
c
>!
D)
E)
251
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . Bir koşucu dairesel bir pistin çevresinde 110 metre
3
koşuyor. Sonra pistin - ini daha koştuğunda bir tur
5
atarak koşuya başladığı noktayı 30 metre geçmiş
1 1 . Bir sınıftaki öğrencilerin - inin 2 fazlası kız öğren­
cidir.
Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğ­
rencilerin sayısı kaçtır?
A) 20
B)18
C)16
D) 14
oluyor.
E)-12
Buna göre, pistin çevresi kaç metredir?
A) 180
1 2 . Ali, parasının — ini Veli'ye verdiğinde paraları eşit olu5
D) 270
E) 300
lanıldıktan sonra depoya 45 litre su doldurulursa de­
yon lirası oluyor.
ponun - i boş kalmaktadır.
Buna göre, Veli'nin başlangıçtaki parası kaç mil­
Buna göre, deponun hacmi kaç litredir?
yon liradır?
B) 2,5
C)240
1 7 . Bir deponun - ü su ile doludur. Bu suyun - ü kul­
^
yor. Veli, parasının — ünü Ali'ye verdiğinde Ali'nin 6 mil-
A) 2
B)200
C)3
D) 3,5
A) 72
E) 4
B) 80
C) 84
D) 94
E) 102
1 8 . Bir kırtasiyeci, tanesini 800 000 TL den aldığı bir mik­
1 3 . Bir raftaki defterlerin - inin kitapların - sine ora5
7
5
nı — olduğuna göre, rafta en az kaç kitap olabilir?
8
«o
—
f
:N
o
tar kalemin üçte birini tanesi 900 000 TL den; kalanını
da tanesi 1 000 000 TL den satarak 3 000 000 TL kâr
ediyor.
:•.
A) 56
B)45
C)40
D) 34
E) 25
E
Buna göre, satılan kalem sayısı kaçtır?
A) 9
B)12
C)15
D) 18
E) 21
1 4 . Bilet kuyruğunda bekleyen Fatih; "Önümdekilerin
sayısı arkamdakilerin sayısının
-
ünden 20 fazla­
dır. Ben ise sıranın tam ortasındayım." dediğine gö­
re, kuyrukta kaç kişi vardır?
A) 51
B)56
C)61
D) 66
E) 71
1 9 . Taşkın gideceği yolun — ünü tren ile, kalan yolun
— ini otobüs ile, geriye kalan yolun — sini da trak5
6
tör ile gidiyor.
Taşkın'ın gittiği yol bütün yolun kaçta kaçıdır?
A)
1 5 . Bir depoda bir miktar su vardır. Depoya x litre su dol­
durulursa deponun - ü dolu oluyor. x litre su boşaltılırsa deponun — si dolu oluyor.
20
*l
C)
D)
E)
2.0. Bir işçi bahçenin önce — sini sonra kalan kısmın
2
1
— ini daha sonra da geriye kalan kısmının — ünü
ilaçlamıştır.
Buna göre, ilk durumda deponun kaçta kaçı
doludur?
İlaçlanmayan kısım 6m olduğuna göre, ilk ilaçla­
«\
A) 21
°'7
C)
D)
E
>!
nan kısım kaç m dir?
B) 18
C) 12
D) 9
E) 6
Cevaplar: 1-D 2-B 3-E 4-C S-B 6-A 7-E 8-D 9-D 10-C 11-B 12-C 13-A 14-C 15-D 16-B 17-A 18-D 19-E 20-E
252
3.
BÖLÜM
1.
6.
Onda birinin 10 eksiğinin onda biri 10 olan sayı
kaçtır?
A) 100
B) 110
D)1010
Nihal birinci gün parasının yarısını, ikinci gün de kalan
parasının - ini harcıyor.
x
4
Geriye kalan parası harcadığı toplam paranın — ka­
tı olduğuna göre, x kaçtır?
C)1000
E)1100
B)9
A) 10
2.
TEST
4
KESİR PROBLEMLERİ
D) 7
C)8
E) 6
Ardışık iki çift sayıdan küçüğünün — ünün 2 eksiği,
.
1 .
. .
büyüğünün — ine eşittir.
5
4
K
Rıfat, harçlığının - inden 9000 lira fazlasını harca5
1
yıp kalanın — ünü Bayram'a borç verdikten sonra
Buna göre, küçük sayı kaçtır?
geriye 36000 lira parası kalıyor.
A) 48
B)50
C)52
D) 54
E) 56
Buna göre Rıfat'ın harçlığı kaç liradır?
A) 70 000
o.
Bir sayının — ı ile — inin toplamı — oldu3x
4x
x
ğuna göre, bu sayı kaçtır?
B) 85 000
D) 100 000
o
c
C) 95 000
E) 105 000
o
A) 12
B)14
C)15
D) 17
E) 18
>-
E
«
4.
Tanesi a liradan alınan bardakların —
8.
Bir top kumaşın önce — u, sonra da kalanın — i sa9
5
tılıyor.
Geriye 18 metre kumaş kaldığına göre, kumaşın
si taşıma
tamamı kaç metredir?
sırasında kırılmıştır. Kalan bardakların tanesi b li­
A) 42
radan satılmıştır.
Bu alışverişten ne kâr ne de zarar edildiğine göre,
a ile b arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangi­
sidir?
A) a = 5b
B) 7a = 2b
D) 5b = 7a
Faruk'un bakkalda yaptığı harcama manavda yap­
Faruk'un başlangıçtaki parası kaç milyon TL dir?
C) 21 .
D) 60
E) 63
Bir otobüsteki erkek yolcu sayısının toplam yolcu
3 .
sayısına oranı — ttır.
Buna göre, otobüsteki bayan yolcu sayısının er­
kek yolcu sayısına oranı kaçtır?
E)7b = 9a
tığı harcamadan 1 milyon TL fazla olduğuna göre,
B) 16
C)54
C) 2a = 5b
3
7
Faruk parasının - sini manavda, kalanın - ini de
7
8
bakkalda harcıyor.
A) 14
9.
B)48
D) 24
E) 28
*>!
C3-
B)
D)
E
>t
1 0 . Bir havuza içindeki suyun - ü kadar su konuluyor.
Bu işlem 3 kez tekrar edildiğinde havuzda başlan­
gıçta bulunan su miktarının son durumda havuz­
daki su miktarına oranı kaçtır?
A)-527
36
C) ?1
40
O)
25
49
E)
27
64
253
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . Bir çubuk 12 eşit parçaya bölünüyor. Parçalardan
herbirinin uzunluğu 5 cm daha uzun olsaydı bu çu­
buk 10 eşit parçaya bölünebilecekti.
1 6 . Pay ve paydası tamsayı olan bir kesrin değeri
Buna göre, bu kesrin pay ve paydasının toplamı
aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Buna göre, çubuğun boyu kaç cm dir?
A) 180
B)270
C)300
D) 350
- tür.
A) 20
E) 420
B) 18
C)16
E) 8
D) 12
1 7 . A kabının hacmi, B kabının hacminin dört katına eşit­
tir. A kabının üçte biri, B kabının ise dörtte üçü dolu­
dur. B kabındaki su, A kabındaki suya ekleniyor.
1 2 . Bir öğrenci bir testteki soruların önce — ünü, sonra da
kalan soruların — ünü cevaplamıştır. Bu öğrenci 12 soru daha az cevaplamış olsaydı, cevapladığı soru sayı­
Buna göre, A kabının kaçta kaçı boş kalır?
sı cevaplamadığı soru sayısına eşit olacaktı.
A)
Buna göre, testte toplam kaç soru vardır?
A) 150
B)168
C)180
D) 192
11
48
B)
13
48
C)
17
48
D)
ü
48
E)
23
48
E) 216
1 8 . Selma, bir kumbaraya her ay içinde bulunan paranın
4 katı para atıp kumbarada biriken paranın
2 .
1 3 . Kemal parasının —
-i ıile bir bisiklet ve 12 milyon TL si
5
ile bir radyo almıştır.
Geriye bir radyo daha alacak kadar parası kaldı­
ğına göre Kemal, bir bisiklete kaç milyon TL ver­
miştir?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
Buna göre, başlangıçta Salih'in cebinde kaç mil­
yon TL vardı?
B)42
C)48
D) 52
alıyor.
İN
O
>-
E
Bu işleme 2 ay devam edince 2 ay sonunda
kumbarada 100 milyon TL biriktiğine göre, baş­
langıçta kumbarada kaç milyon TL vardır?
A) 27
B) 24
C)18
D) 12
E) 9
E) 16
o
1
1 4 . Salih cebindeki paranın - sini sonra da kalanın —'ini
7
5
harcayınca geriye 32 milyon TL si kalıyor.
A) 36
— ünü
E) 56
1 9 . Bir testteki sorulardan ilk 15 ini cevaplayan bir öğrenci,
geri kalan soruların da — ünü cevaplamıştır.
4
Bu öğrenci testteki bütün soruların — ünü cevap3
lamış olduğuna göre, testte toplam kaç soru vardır?
A) 195
1 5 . Aysel elindeki kalemlerin — ünü Veysel'e 7 tanesi3
ni de Gürsel'e verince geriye tüm kalemlerin - i ka8
lıyor.
B)165
C)150
2 0 . Bir tamsayının
— inin
n
2
— sına eşit olduğuna göre, n
D)140
E)135
si aynı sayının
kaçtır?
Buna göre, başlangıçta Aysel'in kaç kalemi vardı?
A) 16
B)24
C)30
D) 48
E) 60
A) 5
B)6
C)7
D) 8
E) 9
Cevaplar: 1-E 2-A 3-A 4-D 5-A 6-B 7-E 8-C 9-A 10-E 11-C 12-E 13-E 14-E 15-B 16-B 17-E 18-E 19-E 20-D
254
3.
BÖLÜM
A tamsayısının payına, A nın yarısı eklenirse sonuç
Bir çocuk, her ay babasının verdiği harçlığın — sini
15 oluyor. A
1
A kumbarasına - ini
x
nın paydasına A nın yarısı eklenirse
kesrin değeri B oluyor.
A)
29
B)10
C)
B kumbarasına atmaktadır.
Bu çocuğun 9 ayda her iki kumbarada biriken pa­
ralarının toplamı bir aylık harçlığına eşit olduğuna
göre, x kaçtır?
Buna göre, A + B toplamı kaçtır?
2.
TEST
5
KESİR PROBLEMLERİ
32
3
E) 12
A) 48
5M2
C) 36
E) 25
D) 30
Toplamları 24 olan üç doğal sayıdan birincisinin
7.
— ü, ikincisinin 1 eksiği, üçüncüsünün 1 faz-
— ü dolu olan bir kaba 40 İt. su eklendiğinde kabın
alabileceği su miktarının — ü kadar su taşmaktadır.
lasının yarısı birbirine eşit olduğuna göre, ikinci
Kabın alabileceği su miktarı kaç litredir?
sayı kaçtır?
A) 5
3.
x
—
B)7
C)12
D) 15
kesrinin pay ve paydasından aşağıdakilerden
hangisi çıkarılırsa başlangıçtaki kesrin çarpmaya
göre tersi elde edilir?
A)y-x
4.
-2
c
8.
°
C)2x-y
'1
Nuri parasının - ini Osman'a verirse Nuri'nin parası
A) 60
9.
E) 36
20
eksiğini
sattığında, kalan limonların sayısının satılan limonla­
E) 15
erli gruplara ayrıldığında 4 öğrenci açıkta kalıyor.
Buna göre, sınıfta en az kaç erkek öğrenci vardır?
C)32
D) 42
Buna göre, manav kaç tane limon satmıştır?
D) 12
Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısı erkek öğrencile5
rın sayısının - katıdır. Bu sınıftaki öğrenciler 5
8
B)40
C) 48
Bir manav elindeki limonların yarısının
A) 140
A) 48
B) 54
rın sayısına oranı — oluyor.
sıvıya daha ihtiyaç vardır.
İkinci kabın hacmi kaç litredir?
5.
E) 40
toplamı kaç milyon liradır?
ba konulduğunda birinci kabın dolması için 13 litre
C)10
D) 35
Buna göre, bu iki kişinin başlangıçtaki paraları
E) x + 2y
ikinci kabın - i doludur. İkinci kaptaki sıvı birinci ka­
B)8
C)30
@
İçinde sıvı bulunan iki kaptan birincisinin hacmi ikin1
çisinin hacminin 3 katıdır. Birinci kabın — i ve
15
1
A) 5
B)25
Osman'ın parasının 2 katı oluyor. Eğer Nuri 28 mil­
yon liraya kendisine bir pantolon alırsa, kalan parası
Osman'ın parasına eşit oluyor.
E
B)x-y
D) x + y
A) 20
E) 20
D) 24
B) 160.
C) 180
1 0 . İki gruptan birincisinin
D) 200
E) 240
ikincisinin - ü erkektir.
3
İki grupta toplam 12 erkek olduğuna göre, birinci
grup en çok kaç kişidir?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 40
E) 45
E) 16
255
MATEMATİK SORU BANKASI
1
2
1 1 . Bir işçi bir duvarın "l.gün - sini, 2. gün kalanın - ini,
6
5
1
3. gön kalanın - ünü boyuyor.
1 6 . Bir telin iki ucundan — sı ve — ü kesilirse, telin
6
3
orta noktası 3 cm kaymaktadır.
Geriye 6 m2 boyanmamış duvar kaldığına göre,
duvarın tamamı kaç m2 dir?
A) 15
B)18
Buna göre, telin uzunluğu kaç cm dir?
C)21
D) 24
A) 12
E) 27
B)20
C)36
D) 40
E) 60
?
1
1 7 . Aslı'nın parasının — ü, Nazlı'nın parasının - üne
3
4
eşittir. Nazlı Aslı'ya 2 milyon lira verirse Nazlı'nın
1 2 . Bir öğrenci bütün sorularını çözdüğü bir sınavda, so3
ruların - inin 16 fazlasını doğru cevaplamıştır.
5
Öğrencinin yanlışlarının sayısı doğrularının sayısı­
parası Aslı'nın parasının 2 katına eşit olacaktır.
nın - sinden 6 eksiktir.
Buna göre, Aslı'nın parası kaç milyon liradır?
2
A) 6
Buna göre, bu sınavdaki soru sayısı kaçtır?
A) 210
B)200
C)180
D) 160
B)8
C)9
D) 12
E) 15
E) 150
C
Q
1 8 . Bir kısmı - , bir kısmı - litrelik 15 şişeye hiç art5
5
1 3 . Bir satıcı bir top kumaşın önce — undan 10 m fazla9
1
sini, sonra — ünden 8 m eksiğini ve daha sonra da
mamak ve şişelerin hepsi dolu olmak şartıyla 20 lit­
~
3
8
Buna göre, şişelerin kaç tanesi — litreliktir?
5
c
Buna göre, satıcı 2. satışta kaç m kumaş satmış-
o
>-
tır?
A) 20
re süt doldurulacaktır.
o
kalan 18 m kumaşı satıyor.
A) 8
E
u.
B) 22
C) 28
D) 30
E) 38
B)7
C)6
D) 5
E) 4
©
1 9 . Bir manavda ağırlıkları eşit iki kasa elma vardır. Bu
3
2
kasalardan birinin - ü ile diğerinin - ü satılmıştır.
y
4
3
1 4 . Cenap parasının yarısını Vedat'a vermiştir. Vedat'ta
elinde oluşan paranın üçte birini harcamıştır.
Geriye kalan elma kasalarından birinin ağırlığı di­
ğerinin ağırlığından 10 kg eksik olduğuna göre,
başlangıçtaki elma dolu kasalardan birinin ağırlığı
kaç kg dır?
Vedat'ın başlangıçta 9 milyon lirası, son durumda
da 13 milyon lirası olduğuna göre, Cenap'ın baş­
langıçta kaç milyon lirası vardır?
A) 27
B)26
C)24
A) 60
D) 22
B) 72
C) 90
D) 108
E) 120
E) 21
2 0 . Bir cüzdanda belli miktar para vardır. Bu cüzdana
1 5 . Metresi 5 000 000 liradan alınan bir top kumaşın — ü
önce içindeki paranın — i kadar para konuyor. Da5
1
metresi 4 000 000 liradan, - ü metresi 5 000 000
4
ha sonra cüzdandaki toplam paranın — si kadar da­
liradan kalanı da metresi 6 000 000 liradan satılıp
ha para konunca cüzdanda 130 milyon TL birikiyor.
Buna göre, cüzdanda başlangıçta bulunan para
4 000 000 lira kâr ediliyor.
kaç miyon TL dir?
Buna göre, satılan kumaş kaç metredir?
A) 36
B) 48
C) 54
D) 60
Cevaplar: 1-D 2-A 3-D 4-A 5-D 6-C 7-C 8-D 9-B
256
A) 60
E) 72
10-B
11-B
12-C 13-B
B)80
14-E 15-B
C)90
D) 100
E) 120
16-C 17-C 18-D
19-E 20-D
3.
BÖLÜM
1.
KESİR PROBLEMLERİ
Boş iken ağırlığı m gram olan bir kabın — sı su do6
lu iken ağırlığı n gramdır.
Bir x sayısının 3 katının 1 si alındığında a sayı­
sının — ü, a sayısının yarısının - i alındığında x
4
x
2
sayısının - si elde ediliyor.
y
Buna göre, kaçta kaçı su dolu iken kabın ağırlığı
(4n - 3m) gram olur?
Buna göre, x sayısı kaçtır?
A)
A) 3
C)6
B)4
D) 8
B)
c
E)
D
'F
»!
E) 9
7.
2.
TEST
6
Tamamen dolu bir havuz, ilk gün bir miktar ve daha
sonraki her gün bir önceki günün — ü kadar su
a ve x pozitif reel sayılardır.
akıtılarak tamamen boşaltılacaktır.
2 .
1
a nın —
x
göre, x in
1
x sayısının — sına eşit olduğuna
a
a türünden eşiti aşağıdakilerden
Havuz beşinci gün 1 litre su akıtılarak tamamen
boşaltıldığına göre, havuzun hacmi kaç litredir?
hangisidir?
A) f a
3.
A) 135
B) a
C) aVâ
D) a2
Bir kesrin payına, payda - pay farkı; paydasına da
pay - payda farkı eklendiğinde elde edilen yeni kesir için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
E) 81
D) 96
~ 8.
Bir varile, 4 litrelik bir kap ile su dolduruluyor ve 6 lit­
o
*"
E
ci olay b defa tekrarlandığında varildeki su miktarı
relik bir kap ile su boşaltılıyor. Birinci olay a defa, ikin­
başlangıçtaki su miktarının
A) Önceki kesrin çarpmaya göre tersidir.
B) Önceki kesrin toplamaya göre tersidir.
C) Önceki kesrin aynısıdır.
D) Kesrin değeri 1 olur.
E) Kesrin değeri - 1 olur.
-
ü kadar oluyor.
Buna göre, başlangıçta varilde kaç litre su bulun­
duğunu veren bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
A)9a - 6b
B)9b - 6a
D)6a - 4b
x sayısı x -1 ile çarpılıp x + 1 ile bölündüğünde el3
de edilen sonuç x + 2 nin - idir.
5
Buna göre, x - —
C) 108
E) a 3
4)
4.
B) 121
ifadesinin değeri kaçtır?
9.
C) 4a + 6b
E)6b - 4a
3 tane yarım litrelik boş süt şişesi ile 5 tane yarım
litrelik dolu süt şişesinin toplam fiyatı 560 bin TL dir.
6 tane yarım litrelik boş süt şişesi ile 2 tane yarım lit­
relik dolu süt şişesinin toplam fiyatı ise 320 bin TL dir.
Buna göre, 1 litre sütün fiyatı kaç bin TL dir?
A) 4
B) 5
C)6
D) 7
E) 8
A) 90
5.
Paydası payının 2 katının 2 eksiği olan bir kesrin;
paydasından
2
çıkarılıp, payına paydasından
çıkarılan miktarın 2 katı eklendiğinde kesrin değeri
B) 100
C) 120
D) 150
E) 160
1 0 . Bir konfeksiyoncu elindeki gömleklerin z* ini günde
8 adet satarak, kalanlarını günde 9 adet satarak 14
günde bitiriyor.
— oluyor.
Buna göre, konfeksiyoncunun elinde kaç gömlek
B.una göre, başlangıçtaki kesrin payı kaçtır?
A) 2
B)3
C)4
D) 5
E) 6
vardır?
A) 132
B)126
C) 120
D) 112
E) 108
257
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . Eşit sayıda tavuk ve horozların bulunduğu bir kümes2
te, her bir tavuk her bir horozun yediği yemin — ünu
1 1 . Benzin depoları aynı hacimde olan iki araçtan biri­
nin benzininin tamamı 10 saatte, diğerinin benzini­
nin tamamı 14 saatte bitmektedir.
yiyebiliyor. Tavukların - ü, horozların - si kesilin­
Bu iki aracın depoları dolu iken aynı anda kullanıl­
maya başladıktan kaç saat sonra birinin deposun­
da kalan benzin miktarı diğerinin iki katı olur?
ce kümesteki yem 30 gün yetiyor.
Buna göre, tavuk ve horozlar kesilmeseydi yem
A)H
9
B)H
9
O)*
D)™
9
E)H
9
kaç gün yeterdi?
9
A) 23
1 2 . Bir manav a tane karpuzu tanesi 2b - 1 liradan sat2a
mayı düşünüyor. Karpuzların — tanesi yolda par5
1
çalanıyor ve kalanların - sı da ham çıkıyor.
6
D) 5b - 3
C) 3b + 1
A) 400 000
E)4b + 2
B) 440 000
D) 560 000
13. Bir miktar kavanozun
—
si nakliye sırasında kırılıyor.
A)l
3
B)l
4
C)5
D)4
*"
°
"2
Buna göre, maliyet hangi oranda artar?
"~
E)7
1 4 . Bir kutu misket Ali, Can, Onur ve Gökhan arasında
D) 15
E) 13
Halil'in aldığı paranın toplamı 140 000 lira oldu­
ğuna göre, babanın üç çocuğa verdiği para kaç
liradır?
karpuzların tanesini kaç liradan satmalıdır?
B) 4b - 2
C)17
1 7 . Osman, Halil ve Metin babalarının verdiği paradan
önce 120 000 er lira alıyorlar. Kalan paranın yarısını
Osman aldıktan sonra artan parayıda Halil ve Metin
eşit olarak bölüşüyorlar.
Manav, başlangıçtaki kârı elde etmek için kalan
A) 3b - 1
B)19
C) 540 000
E) 620 000
1 8 . Bir adam elindeki kalemlerin birinci gün - ünü, ikinci
4
1
gün kalan kalemlerin — ünü, üçüncü gün kalan kalemT
o
*.
lerin - ini satıyor.
8
|
**©
Elinde 25 tane kalem kaldığına göre, başlangıçtaki kalem sayısı kaçtır?
A) 96
B) 90
C) 84
D) 80
E) 72
eşit paylaştırılıyor. Ali, Çan'a misketlerinin yarısını ve­
riyor. Can da bütün misketlerinin
- ünü Onur'a ve3
riyor. Onur da misketlerinin hepsini Gökhan'a veriyor.
Gökhanda toplam 75 misket bulunduğuna göre,
Ali Çan'a kaç misket vermiştir?
A) 12
B)15
C)18
D) 21
E) 24
1 9 . Bir satıcı tanesini 155 liraya aldığı bir miktar limonun
- ünü tanesi 150 liradan, — ünü tanesi 200 lira3
•
4
dan, — sini tanesi 180 liradan ve kalanını tanesi
6
120 liradan satarak 300 lira kâr sağlıyor.
Buna göre, satılan limon kaç tanedir?
A) 45
1 5 . - ü limonata dolu bir sürahiye saatte; sürahinin için4
1
deki limonatanın — ü kadar limonata ilave edilmekte,
3
saatte 31 kez - litrelik bir bardakla da limonata sa6
ti Irmaktadır.
Sürahi 7 saatte boşaldığına göre, tamamı kaç lit­
reliktir?
A) 12
B)14
C)16
D) 18
E) 21
Cevaplar: 1-A 2-C 3-A 4-D 5-D 6-B 7-B 8-B 9-E 10-t
258
B)50
C)60
D) 80
E) 90
2 0 . Bir çocuk parasının, önce beşte ikisinin 25 milyon lira
fazlasını, sonra da kalanın beşte üçünün 25 milyon lira
eksiğini harcıyor.
Geriye 375 milyon lira arttığına göre, çocuğun pa­
rasının tamamı kaç milyon liradır?
A)1200
B)1375
D)1500
C) 1425
E)1800
11-D 12-B 13-D 14-B 15-B 16-C 17-B 18-D 19-C 20-D
YAŞ PROBLEMLERİ
2. 1987-ÖYS
Bir babanın yaşı, üçer yıl ara ile doğmuş 3 çocuğunun
yaşları toplamına eşittir.
Yaş problemlerine ait denklemler kurulurken şu husus­
lara dikkat edilmelidir.
1. Kişilerin yaşları daima doğal sayıdır.
Baba 54 yaşında olduğuna göre, en büyük çocuk
doğduğunda babasının yaşı kaçtır?
2. Aksi söylenmedikçe (farklı olduğu söylenmemişse) kar­
deşlerin yaşları birbirine eşit olabilir.
A) 39
3. Doğum tarihi küçük olan daha büyüktür.
t yıl önceki yaşı x - 1 , •
t yıl sonraki yaşı x +1 dir.
t yıl önceki yaşlarının toplamı x - n.t,
t yıl sonraki yaşlarının toplamı x + n.t dir.
E) 27
Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır?
6. Bugünkü yaşlarının ortalaması x olan n kişinin;
A) 26
t yıl önceki yaşlarının ortalaması x - 1 ,
t yıl sonraki yaşlarının ortalaması x + t dir.
Örnekler:
2
1. Ahmet'in 12 yıl önceki yaşının şimdiki yaşına oranı —
O
Verilen oranı, payı paydasından 12 eksik olacak şekilde
genişletirsek,
2 2.12 24
,
- =
= — olur.
3
3.12
36
Buna göre; Ahmet'in şimdiki yaşı 36,
5 yıl sonraki yaşı 36 + 5 = 41 olur.
Veya, Ahmet'in 5 yıl sonraki yaşı sorulduğuna göre,
5 yıl sonraki yaşına x denilirse;
şimdiki yaşı x - 5 , 12 yıl önceki yaşı x - 1 7 olur.
D) 18
E) 16
Çözüm:
İki kardeşin bugünkü yaşları 6 ve 8 ile orantılı olduğundan, bu iki kardeşin bugünkü yaşlarına 3x ve 4x di­
yelim. 6 yıl sonraki yaşları 4 ve 5 ile orantılı olduğundan;
3x + 6
4
— = — =» 15x + 30 = 16x + 24=* x = 6 ve
4x + 6
5
büyük kardeşin bugünkü yaşı, 4x = 24 olarak bulunur.
•
"0
yaşları farkıdır.
C)20
^
o
Yaşların toplamı veya oranı ise değişir.
8. İki kişinin doğum tarihi arasındaki fark, bu iki kişinin
B)24
ü
c
7. İki kişi arasındaki yaş farkı sabittir, yıldan yıla değişmez.
x - 17 2
— = — => x = 41 bulunur.
x - 5
3
D) 30
3. 1998-ÖSS
Bugünkü yaşları 6 ve 8 ile orantılı iki kardeşin 6 yıl
sonraki yaşları 4 ve 5 ile orantılı olacaktır.
5. Bugünkü (şimdiki) yaşları toplamı x olan n kişinin;
O halde,
C)33
Çözüm:
Üçer yıl arayla doğmuş üç kardeşin yaşları toplamı 54
olduğuna göre; ortanca kardeşin yaşı 54:3 = 18, büyük
kardeşin yaşı da 18 + 3 = 21 olur. Buna göre, en büyük
çocuk doğduğunda babasının yaşı, 54-21 =33 tür.
4. Bugünkü (şimdiki) yaşı x olan bir kişinin;
olduğuna göre, 5 yıl sonraki yaşını bulalım.
B)36
Veya ikinci bir yoldan, pratik olarak; İki kardeşin 6 yıl
sonraki yaşları ile bugünkü yaşlarının farkı birbirine eşit
ve 6 olacağına göre, 4 ve 5 sayıları 2 ile genişletilirse 8 ve 10 sayıları sırasıyla 6 ve 8 sayılarından 2
fazladır. Bu fark 6 ya eşit olacağına göre, verilen sayılar
(6 ve 8) 3 ile genişletilirse 18 ve 24 olur.
Dolayısıyla büyük olan kardeşin bugünkü yaşı 24 tür.
4. 1996-ÖYS
Emine ile annesinin yaşlarının toplamı 39 dur.
2 yıl önce annesinin yaşı Emine'nin yaşının 4 katı ol­
duğuna göre, Emine şimdi kaç yaşındadır?
A) 6
B)7
C)8
D) 9
E) 10
Çözüm:
Emine'nin 2 yıl önceki yaşına x denilirse annesinin
2 yıl önceki yaşı 4x olur. İkisinin bugünkü yaşlarının
toplamı 39 olduğuna göre,
(x + 2) + (4x + 2) = 39 => x = 7
ve
Emine'nin bugünkü yaşı x + 2 = 9 dur.
Veya, Emine'nin bugünkü yaşına x denilirse annesinin
bugünkü yaşı 39 - x ve 2 yıl önce; annesinin yaşı,
Emine'nin yaşının 4 katına eşit olduğuna göre,
3 9 - x - 2 = 4.(x-2) => x = 9 dur.
259
MATEMATİK SORU BANKASI
8. 1990-ÖYS
Bir babanın yaşı, iki çocuğunun yaşları toplamından 33
yaş büyüktür.
5. 1994 -OSS
Bugünkü yaşları toplamı 312 olan bir grup öğrencinin
iki yıl önceki yaş ortalaması 11 dir.
Buna göre, gruptaki öğrenci sayısı kaçtır?
3 yıl sonra babanın yaşı, çocukların yaşları topla­
mının 2 katı olacağına göre, baba bugün kaç ya­
şındadır?
A) 24
B)26
C)28
D) 32
E) 36
Çözüm:
Gruptakilerin 2 yıl önceki yaş ortalaması 11 olduğuna
göre, bugünkü yaş ortalaması 11 +2 = 13 olur.
Bugünkü yaşları toplamı 312 olduğuna göre, gruptaki
öğrenci sayısı 312 :13 = 24 tür.
A) 52
Buna göre, Ahmet'in bugünkü yaşı kaçtır?
B)27
C)36
D) 45
^
S
o
Veya Ahmet'in bugünkü yaşına x, ikisinin yaşları farkına a denilirse Hasan'ın bugünkü yaşı x - a olur.
g
,£
A) 8
6)
Çözüm:
(x - a) + x = 56
x + (x + a) = 88
+
=» 4x = 56 + 88 => x = 36 dır.
7. 2001 - ÖSS
Bir annenin bugünkü yaşı, kızının yaşının 6 katıdır.
Kızı annenin bugünkü yaşına geldiğinde ikisinin
yaşları toplamı 85 olacağına göre, annenin bugün­
kü yaşı kaçtır?
A) 24
B)30
C)36
D) 42
E) 48
D) 56
E) 57
Veya babanın bugünkü yaşına x denilirse, iki çocuğun
bugünkü yaşları toplamı x - 33 olur.
Buna göre, x + 3 = 2.[(x - 33) + 2.3] =* x = 57 dir.
E) 54
Çözüm:
İkisinin yaşları toplamının 56 dan 88 e çıkması için
kaç yıl geçmesi gerektiğini (dolayısıyla ikisi arasında­
ki yaş farkını) bulmak için bu iki toplamın farkını 2 ye
bölelim. 88 - 56 = 32 ve 32 : 2 = 16 olduğundan Ahmet, Hasan'dan 16 yaş büyüktür. Buna göre,
Hasan'ın bugünkü yaşı (56 - 16) : 2 = 20,
Ahmet'in bugünkü yaşı da 20 + 16 = 36 dır.
Buna göre,
C)55
Çözüm:
İki çocuğun 3 yıl sonraki yaşları toplamına x denilir­
se babanın 3 yıl sonraki yaşı 2x, iki çocuğun şimdi­
ki yaşları toplarrft x - 2.3 = x - 6, babanın şimdiki ya­
şı da 2x - 3 olur.
Buna göre,
2x - 3 = (x - 6) + 33 => x = 30 ve
babanın bugünkü yaşı 2x - 3 = 57 dir.
6. 1999-ÖSS
Ahmet ile Hasan'ın bugünkü yaşları toplamı 56 dır.
Hasan, kendisinden daha yaşlı olan Ahmet'in yaşına
geldiğinde ise yaşları toplamı 88 olacaktır.
A) 18
B)54
9. 1992-ÖYS
Bir annenin yaşı, iki çocuğunun yaşları toplamından 19
fazladır.
Beş yıl önce, bu annenin yaşı iki çocuğunun yaşla­
rı toplamının 4 katı olduğuna göre, bugün büyük
çocuk en az kaç yaşındadır?
B)9
C)10
D) 11
E) 12
İki çocuğun bugünkü yaşılan toplamına x denilirse, an­
nenin bugünkü yaşı x + 19, beş yıl önceki yaşı x + 14,
iki çocuğun beş yıl önceki yaşları toplamı da
x - 2.5 = x - 10 olur. Buna göre,
x + 14 = 4.(x-10) => x = 18 ve büyük çocuğun bu­
günkü yaşı en az, 18:2 + 1=10 olur.
10. Bir annenin ikiz ve üçüz olmak üzere 5 tane çocuğu
vardır. Üçüzler ikizlerden daha önce doğmuştur.
Bu beş çocuğun şimdiki yaşları toplamı 11 oldu­
ğuna göre, üçüzlerden birinin şimdiki yaşı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm:
Çözüm:
Anne ve kızının bugünkü yaşları sırası ile 6x ve x
olsun. Kızı, annenin bugünkü yaşına geldiğinde yani
6x - x = 5x yıl sonra ikisinin yaşları toplamı 85
olacağına göre,
İkizlerin şimdiki yaşı x, üçüzlerin şimdiki yaşı y olsun.
Üçüzler ikizlerden daha önce doğduğuna göre, y > x
olur. Beş kardeşin şimdiki yaşlarının toplamı 11 oldu­
ğuna göre,
2x + 3y=11 ise, x = 1 ve y = 3 tür.
Buna göre, üçüzlerden birinin şimdiki yaşı y = 3 tür.
(6x + 5x) + (x + 5x) = 85 => x = 5
annenin bugünkü yaşı 6x = 30 dur.
260
ve
Yaş Problemleri
13. Bir annenin şimdiki yaşı, iki çocuğunun yaşları farkı­
nın 3 katına eşittir.
11. Selma ile annesinin şimdiki yaşları farkı 26 dır. 4 yıl
sonra, Selma'nın yaşının 3 katı annesinin yaşına eşit
olacaktır.
8 yıl önce; annenin yaşı çocukların yaşları farkı­
nın 2 katından 5 fazla olduğuna göre, annenin
şimdiki yaşı kaçtır?
Selma'nın annesinin şimdiki yaşı kaçtır?
A) 35
B) 32
C) 30
D) 29
E) 28
A) 27
B) 30
C) 33
D) 36
E) 39
Çözüm:
Selma'nın 4 yıl sonraki yaşına x denilirse annesi­
nin 4 yıl sonraki yaşı 3x olur.
Çözüm:
Yaşlar farkı değişmeyeceğine göre,
şimdiki yaşı 3x olur.
İki çocuğun yaşları farkına
3x - 4 = 35
3 x - 8 = 2x + 5 => x = 13 ve
annenin şimdiki yaşı 3x = 39 dur.
tir.
12. 5 yaşındaki Yiğit, ablasının yaşına geldiğinde ablası
21 yaşında olacaktır.
14. 63 yaşındaki bir dedenin 11, 14 ve 20 yaşlarında üç
torunu vardır.
Buna göre, Yiğit'in ablasının şimdiki yaşı kaçtır?
A) 8
B)9
C) 11
denilirse, annenin
Yaşlar farkı değişmeyeceğine göre,
3 x - x = 26 => x = 13 ve
annenin şimdiki yaşı
x
D) 12
Kaç yıl sonra üç torunun yaşları toplamı, dedele­
rinin yaşına eşit olur?
E) 13
Çözüm:
A) 4
Yiğit ile ablasının yaşları farkına x denilirse ablası­
nın şimdiki yaşı 5 + x olur. x yıl sonra ablası 21 ya­
B) 5
C) 6
D) 7
E) 9
Çözüm:
şında olacağına göre, (5 + x) + x = 21 => x = 8 ve
o
Torunların yaşları toplamı ile dedenin yaşı arasındaki
ablasının şimdiki yaşı 5 + x = 1 3 tür.
o
yaş farkı iki torundan dolayı kapanacağına göre, bu
Veya ikisinin yaşları farkı kadar daha yıl geçince ab­
lasının yaşı 21 olacağına göre,
«
farkın kapanması için,
[63 - (11 + 1 4 + 20)]: 2 = 9 yıl geçmesi gerekir.
u.
Yiğit ile ablası arasındaki yaş farkı (21 - 5):2 = 8 ve
ablasının şimdiki yaşı 5 + 8 = 13 tür.
Veya; x yıl sonra torunların yaşları toplamı, dedenin
yaşına eşit olursa,
63 + x = (11 + 1 4 + 20) + 3.x
=> x = 9 yıl olarak bulunur.
261
3.
BÖLÜM
1.
TEST
1
YAŞ PROBLEMLERİ
6.
Osman'ın bugünkü yaşı 6 dır.
Ece'nin
5
yıl sonraki yaşı,
Efe'nin
4
yıl önceki
yaşına eşittir.
Buna göre, Osman'ın 9 yıl sonraki yaşı, 3 yıl ön­
Buna göre Efe, Ece'den kaç yaş büyüktür?
ceki yaşının kaç katıdır?
A) 7
2.
3.
C)5
B)6
D) 4
A) 4
E) 3
7.
Alper'in 4 yıl önceki yaşının dörtte biri 3 tür.
B)5
C)7
D) 8
E) 9
Ayşe ile annesinin yaşları toplamı 48 dir.
Buna göre, Alper'in dört yıl sonraki yaşı kaçtır?
3 yıl önce, annesinin yaşı Ayşe'nin yaşının 5 katı
A) 20
A) 6
B) 18
C)16
D)12
olduğuna göre, Ayşe'nin şimdiki yaşı kaçtır?
E)8
Şeyma'nm 5 yıl önceki yaşının üç katının 5 fazlası
o
8.
B)8
C)9
D) 10
E) 12
Aysel, Nursel'den 4 yaş küçüktür.
bugünkü yaşına eşittir.
Nursel'in iki yıl sonraki yaşının iki katı, Aysel'in
Buna göre, Şeyma'nm şimdiki yaşı kaçtır?
on beş yıl sonraki yaşına eşit olacağına göre, Nur­
sel'in bugünkü yaşı kaçtır?
A) 3
4.
B)5
C)6
D) 8
E) 9
6
yıl sonra yaşlarının toplamı
kaçtır?
A) 18
C)5
D) 4
E) 3
Bugünkü yaşlarının ortalaması 7 olan bir grup öğ­
rencinin üç yıl sonraki yaşları ortalaması kaçtır?
B)20
C)24
D) 26
E) 20
İki kardeşin yaşları oranı — tir.
5
A) 4
B)5
C)7
D) 9
E) 10
1 0 . Ali'nin yaşının 7 katı, babasının yaşına eşittir.
Yaşları toplamı 24 olan bu iki kardeşin yaşlarının
Ali babasının yaşına geldiğinde babasının yaşının
farkı kaçtır?
Ali'nin yaşına oranı kaçtır?
A) 3
262
B)7
Aslı ile Serap'ın bugünkü yaşlarının ortalaması 7
olduğuna göre,
5.
A) 9
B)5
C)6
D) 7
E) 8
7
B)
11
6
D)
13
E)
14
Yaş Problemleri
1 6 . Zeynep, Buluttan 3 yaş küçüktür. Çağn'nm yaşı ise
Bulut'un yaşının iki katıdır.
1 1 . Yaşları 7 den büyük olan 4 kardeşin bugünkü
yaşları toplamı 43 olduğuna göre, 4 yıl önceki
yaşları toplamı kaçtır?
A) 21
B)22
C)24
D) 26
Bulut, Çağrının yaşına geldiğinde, Zeynep'in yaşı
ile Bulut'un yaşının toplamı Çağn'nm yaşının 1
fazlasına eşit olacağına göre, Bulut bugün kaç ya­
şındadır?
E) 27
A)1
B)4
C)7
D) 8
E) 10
1 2 . Bir babanın yaşı iki çocuğunun yaşları toplamından
24 yaş büyüktür.
1 7 . Üç kardeşten büyüğünün yaşı ortancanın yaşının
3 katı, küçüğünün yaşı ise ortancanın yaşının ya­
rısıdır.
4 yıl sonra babanın yaşı, çocukların yaşları topla­
mının 2 katı olacağına göre, babanın bugünkü
yaşı kaçtır?
A) 42
B)40
C)38
D) 37
Üçünün yaşları toplamı 27 olduğuna göre, büyük
kardeş kaç yaşındadır?
E) 36
A) 8
B)12
C)16
D) 18
E) 20
1 3 . Bir baba 32, kızı 6 yaşındadır.
Kaç yıl sonra, ikisinin yaşları toplamı yaşları farkı­
nın iki katı olur?
o
=
1 8 . Bir annenin bugünkü yaşı dörder yıl ara ile doğmuş
dört çocuğunun bugünkü yaşları toplamına eşittir.
A) 5
o
*"
|
Anne bugün 40 yaşında olduğuna göre, en büyük
çocuk doğduğunda anne kaç yaşındaydı?
B)6
C)7
D) 8
E) 9
0
A) 21
B)23
C)24
D) 25
E) 26
1 4 . Bir annenin yaşı, üç çocuğunun yaşları toplamının üç
katına eşittir.
İki yıl sonra çocukların yaşları toplamının iki katı
annenin yaşına eşit olacağına göre, anne bugün
kaç yaşındadır?
A) 24
B)25
C)27
D) 30
E) 36
1 9 . 12 ve 13 yaşındaki öğrencilerden oluşan 30 kişi­
lik bir sınıftaki öğrencilerin yaşları toplamı 375 tir.
Buna göre, bu sınıfta 13 yaşında olan kaç tane
öğrenci vardır?
A) 21
B) 19
C) 17
D) 15
E) 13
1 5 . Duygu ve annesinin bugünkü yaşları oranı - tür.
ö
2
4 yıl sonra bu oran — olacağına göre, Duygu ile
5
annesinin bugünkü yaşları toplamı kaçtır?
A) 96
B)72
C)64
D) 48
E) 40
Cevaplar: 1-C 2-A 3-B 4-D 5-C 6-E 7-D 8-B 9-E 10-1
2 0 . Bir adamın yaşı iki basamaklı AB sayısıdır. 27 yıl
önceki yaşı 5 in katı olan BA sayısıdır.
Buna göre, AB sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 51
B)52
C)53
D) 57
E) 58
11-E 12-E 13-C 14-D 15-D 16-B 17-D 18-C 19-D 20-B
263
3.
BÖLÜM
1.
6.
Yaşları oranı — olan iki kardeşin yaşları toplamı 21
5
dir.
Buna göre, büyük kardeş kaç yaşındadır?
A) 10
B)12
C)15
D) 18
Kerem'in bugünkü yaşı, Taner'in 4 yıl sonraki yaşına
eşittir.
Taner'in bugünkü yaşının 3 katı, Kerem'in bugün­
kü yaşına eşit olduğuna göre, Kerem ile Taner'in
bugünkü yaşları toplamı kaçtır?
E) 20
A) 14
2.
TEST
2
YAŞ PROBLEMLERİ
Yaşları farkı 7 olan iki kardeşin yaşları toplamı 17 dir.
7.
B) 12
C) 10
D) 8
E) 6
Üçer yıl ara ile doğmuş üç kardeşin yaşlarının top­
lamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Buna göre, küçük kardeş kaç yaşındadır?
A) 15
A) 8
B)7
D) 5
C)6
Bugünkü yaşları toplamı 28 olan üç arkadaşın 5
yıl sonraki yaşları toplamı kaçtır?
A) 33
B)38
C)43
D) 45
8.
>E
4
2
5.
B
>^
C)
D
»!
A)
264
C)3
D) 2
B
>!
c
»f
D) 2
E) 3
Bir annenin bugünkü yaşı, iki çocuğunun bugünkü
yaşları toplamının 6 katına eşittir.
3 yıl sonra; annenin yaşı, iki çocuğunun yaşları
toplamının 3 katına eşit olacağına göre, annenin
bugünkü yaşı kaçtır?
A) 48
Buna göre, Ayşe ve İrem'in bugünkü yaşları farkı
kaçtır?
B)4
Murat'ın bugünkü yaşı, Fatih'in bugünkü yaşının 3
E)
2
Ayşe ve İrem'in bugünkü yaşlan farkı , 3 yıl son­
raki yaşları farkının 3 katından 10 eksiktir.
A) 5
E) 33
Fatih, Murat'ın bugünkü yaşına geldiğinde Mu­
rat'ın yaşının Yavuz'un yaşına oranı kaç olur?
E) 48
Yaşları toplamı, yaşları farkının 5 katına eşit olan
iki kardeşin yaşları oranı aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A
D) 24
katı; Fatih'in bugünkü yaşı ise Yavuz'un bugünkü yasının 2 katıdır.
9.
4.
C)20
E) 3
t
o
—
J"
3.
B) 18
E)1
B)42
C)36
D) 30
E) 24
1 0 . Bir babanın bugünkü yaşı, iki çocuğunun yaşları farkı­
nın 7 katıdır.
4 yıl sonra; babanın yaşı çocukların yaşları farkı­
nın 8 katı olacağına göre, babanın bugünkü yaşı
kaçtır?
A) 28
B)35
C)40
D) 42
E) 49
Yaş Problemleri
1 6 . Anne, baba ve bir çocuktan oluşan bir ailenin şimdiki
yaşlarının toplamı 66 dır. Çocuk, annenin yaşına gel­
diğinde annenin yaşı 48 ve üçünün yaşları toplamı
126 olacaktır.
1 1 . Bir annenin yaşı, kızının yaşının 5 katıdır. Kızının
yaşı, kendi yaşının 6 katı olduğunda annenin ya­
şı bugünkü yaşının kaç katı olur?
A)4
B)3
C)2
D) 2
E)2
Buna göre, çocuk bugün kaç yaşındadır?
A) 4
B)6
C)8
D) 10
E) 12
1 2 . Bir babanın yaşı iki çocuğunun yaşları toplamının 3
katına eşittir.
1 7 . Bugünkü yaşları ortalaması 18 olan bir grup
öğrencinin 5 yıl sonraki yaşları ortalaması
kaçtır?
16 yıl sonra, çocukların yaşları toplamı babanın ya­
şına eşit olacağına göre, bugün büyük çocuk en az
kaç yaşında olabilir?
A) 21
A) 3
B)4
C)5
D) 6
1 3 . Hakan'ın bugünkü yaşı, Serkan'm bugünkü yaşının 2
katından 3 fazladır.
5 yıl sonra Hakan ile Serkan'm yaşları toplamı 40
olacağına göre, Hakan'ın bugünkü yaşı kaçtır?
B)9
C)15
D) 21
4 yıl sonra bu oran — olacağına göre, Şirin ve
Şermin'in bugünkü yaşları toplamı kaçtır?
B)16
C)22
D) 33
D) 25
E) 26
1 8 . Burçin, Gülçin'den 6 yaş büyüktür.
O
•^
İ,
o
>-
2 yıl sonra Burçin'in yaşı Gülçin'in yaşının 2 katı
olacağına göre, Burçin bugün kaç yaşındadır?
A) 8
B)9
C)10
D) 12
E) 15
E) 24
1 4 . Şirin ve Şermin'in bugünkü yaşları oranı — dir.
8
A) 11
C) 24
V.
E
A) 7
B) 23
E) 7
1 9 . Sema'nın 5 yıl önceki yaşının 3 katı, 5 yıl son­
raki yaşına eşit olacağına göre, Sema bugün kaç
yaşındadır?
A) 5
B)8
C) 10
D) 15
E) 20
E) 44
1 5 . Bir baba ile oğlunun yaşları farkı 28 dir.
2 0 . Alp'in yaşı, Çağn'nın yaşının 9 katıdır. Çağrı Alp'in
yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 26 oluyor.
Oğlu babasının yaşına geldiğinde, babanın yaşı ile
oğlunun yaşının toplamı 94 olduğuna göre, ba­
banın bugünkü yaşı kaçtır?
Buna göre, Alp ve Çağn'nın 3 yıl sonraki yaşları
farkı kaçtır?
A) 47
A) 8
B)43
C)38
D) 33
E) 29
Cevaplar: 1-C 2-D 3-C 4-B 5-A 6-D 7-C 8-D 9-D 10-,
B)12
C)16
D) 20
E) 24
11-D 12-C 13-D 14-C 15-D 16-C 17-B 18-C 19-C 20-A
265
-I-
u;
sfJ**^ ." f i T T i s
YAŞ PRUBLcmLCnl
BOIslllV^
1.
6.
Bir babanın yaşı 39, çocuğu ise 4 yaşındadır.
Bir annenin bugünkü yaşı, iki çocuğunun yaşları farkı­
nın 6 katına eşittir.
Kaç yıl sonra babanın yaşı çocuğunun yaşının 6
5 yıl sonra annenin yaşı, çocuklarının yaşları far­
katı olur?
A) 3
kının 7 katına eşit olacağına göre, annenin bu­
B)4
C)5
D) 6
günkü yaşı kaçtır?
E) 7
A) 38
2.
B) 35
C)33
D) 32
E) 30
5 yıl önce; bir babanın yaşı, çocuğunun yaşının 7
Anne, baba ve iki çocuklu bir ailenin yaş ortalaması
katı idi.
31 dir.
5 yıl sonra; babanın yaşı, çocuğunun yaşının 3 katı
Anne ve babanın yaş ortalaması 51 olduğuna gö­
olacağına göre, babanın şimdiki yaşı kaçtır?
re, çocukların yaş ortalaması kaçtır?
A) 30
B) 32
C) 36
D) 38
E) 40
A) 9
3.
27 yaşındaki bir babanın yaşı 3 çocuğunun yaşlan
£>
toplamının 3 katına eşittir.
*•
E
Kaç yıl sonra babanın yaşı çocuklarının yaşları
toplamına eşit olur?
u
A) 4
4.
B)6
C)8
D) 9
g
C) 11
E) 13
Betüi, Aytül'den 7 yaş büyüktür.
©
dı Betül ile Aytül'ün yaşları farkı kaç olurdu?
A) 2
9.
B)4
C)6
D) 8
Sevgi'nin yaşının Barış'ın yaşına oranı
Ali'nin yaşı Veli'nin yaşının 2 katından 6 fazla ola­
caktır.
D) 12
Betül 2 yıl sonra, Aytül 3 yıl önce doğmuş olsay­
o
E) 12
Ali ile Veli'nin yaşları toplamı 51 dir. 3 yıl sonra
B) 10
E) 12
- tür.
4
8 yıl sonra Sevgi ile Barış'ın yaşları toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Buna göre, Veli'nin şimdiki yaşı kaçtır?
A) 79
A) 30
B)22
C)16
D) 14
B) 71
C)67
D) 52
E) 45
E) 9
1 0 . Hatice'nin bugünkü yaşı 4x + 2, kardeşi Nalan'ın bu­
5.
Bugün 60 yaşında olan bir baba, çocuğunun bugün­
günkü yaşı ise 3x + 4 tür.
kü yaşında iken, çocuğun yaşı da bugünkü yaşının
yarısı idi.
Hatice 41 yaşına geldiğinde Nalan 5x +1 yaşında
olacağına göre, Hatice'nin bugünkü yaşı kaçtır?
Buna göre, çocuğun bugünkü yaşı kaçtır?
A) 26
A) 20
266
B)30
C)35
D) 40
E) 45
B) 30
C)34
D) 38
E) 42
Yaş Problemleri
1 6 . Bir annenin yaşı iki çocuğunun yaşları farkının 8 ka­
1 1 . Deniz'in bugünkü yaşı annesinin bugünkü yaşının üç­
tıdır.
te birine, dayısının bugünkü yaşının ise beş eksiğinin
yarısına eşittir.
6 yıl sonra annenin yaşı çocukların yaşları farkı­
nın 9 katı olacağına göre, büyük çocuk en az kaç
Dayısı annesinin yaşına geldiğinde Deniz 25 ya­
yaşında olabilir?
şında olacağına göre, Deniz'in annesi bugün kaç
yaşındadır?
A) 24
A) 6
B)30
C)36
D) 40
B)5
C)4
D) 3
E) 2
E) 45
1 2 . İkiz çocukları olan bir ailede babanın yaşı çocukların
1 7 . Bugünkü yaşları 12 ve 14 ile orantılı olan iki kardeşin
yaşları toplamının 2 katının 8 eksiğine, annenin ya­
9 yıl sonraki yaşları 9 ve 10 ile orantılı olacaktır.
şı ise çocukların yaşları toplamının 8 fazlasına eşittir.
Bu iki kardeşten küçük olanın bugünkü yaşı kaç­
Çocuklar doğduğunda anne babadan 4 yaş küçük
tır?
olduğuna göre, babanın bugünkü yaşı kaçtır?
A) 12
A) 22
B)26
C)28
D) 30
1 3 . Yaşları birbirinden farklı olan 5 çocuğun yaşları top­
lamı 21 dir.
Bu çocuklardan en büyüğünün yaşı en az kaçtır?
A) 7
B)6
C)5
D) 4
B)14
C)15
D) 18
E) 21
E) 32
E) 3
1 8 . Ömür ile Hülya'nın bugünkü yaşları toplamı 47 dir.
o
Hülya, Ömür'ün yaşına geldiğinde ise yaşları toplamı
=
61 olacaktır.
a
*"
E
o
"•
©
Buna göre, Ömür'ün bugünkü yaşı kaçtır?
A) 17
B)27
C)35
D) 42
E) 45
1 4 . Bir babanın yaşı, iki çocuğunun yaşları farkının 10 ka­
tıdır. 15 yıl sonra babanın yaşı iki çocuğunun yaşları
toplamından 13 fazla olacaktır.
1 9 . Bir ailenin bütün bireylerinin bugünkü yaşları toplamı
210, 7 yıl önceki yaş ortalaması 23 tür.
Büyük çocuğun yaşı küçük çocuğun yaşının 2 ka­
tına eşit olduğuna göre, babanın bugünkü yaşı
7 yıl içinde birey sayısında değişiklik olmayan bu
kaçtır?
ailede kaç birey vardır?
A) 40
B)48
C)54
D) 60
E) 70
1 5 . xy, 2x ve 1y iki basamaklı doğal sayılardır. Bir an­
nenin şimdiki yaşı xy, iki çocuğun şimdiki yaşları ise
2x ve 1y dir. Küçük çocuk büyük çocuğun yaşına
geldiğinde; ikisinin yaşları toplamı, annelerinin yaşına
eşit olacaktır.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
2 0 . Bir annenin yaşı, iki çocuğunun yaşlan toplamından
2 eksiktir.
8 yıl önce, bu annenin yaşı iki çocuğunun yaşlar;
Buna göre, annenin şimdiki yaşının alabileceği
değerlerin toplamı kaçtır?
toplamının 2 katı olduğuna göre, bugün büyük ço­
A) 32
A) 14
B)48
C)50
D) 78
cuk en az kaç yaşındadır?
E) 98
Cevaplar: 1-A 2-E 3-D 4-D 5-D 6-E 7-C 8-A 9-A 10-B
11-E
12-E
13-A
B)13
14-A
15-E
C)i2
16-A
17-D
m 11
18
-B
E» 1G
19-C
20-C
267
* V Ttv, !
TEST
YAŞ PROBLEMLERİ
Jr* ı^i'A'înfiîB* 1 »*'. s.v
S. uf
-Sj&t v»* »A*,* «**.
1.
t&^Yt^*'
"»
* * * / * * «"ii** * ^ j r f -
6.
Mert, Demetlen 3 yaş büyük, Buket'ten 4 yaş kü­
çüktür.
Buna göre, Buket Demet'ten kaç yaş büyüktür?
A) 3
B)4
C)5
D) 6
E) 7
Dört kardeşin yaşları toplamı 60 tır. Birinci kardeşin
yaşı diğerlerinin yaşları toplamının yarısıdır. İkinci
kardeşin yaşı diğer üç kardeşin yaşları toplamının
üçte biridir. Üçüncü kardeşin yaşı diğer kardeşlerinin
yaşları toplamının dörtte biridir.
Buna göre, dördüncü kardeşin yaşı kaçtır?
A) 11
o
2.
2
Banu'nun yaşının Bade'nin yaşına oranı —3 , Ba4
de'nın yaşının Sude'nin yaşına oranı — tir.
5
C)13
D) 14
olacaktı.
Buna göre, Ayşen bugün kaç yaşındadır?
A) 30
A) 26
B) 32
C)35
D) 38
E) 40
lında x yaşında olduğuna göre, hangi yıl doğ­
muştur?
A) 910
B)918
C)926
D) 930
£•
*E
i.
§)
8.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
C)18
D) 14
E) 12
Bir babanın bugünkü yaşı, dört çocuğunun bugünkü
yaşları toplamının iki katıdır.
A) 68
Buna göre, Leyla ile Hülya'nın yaşları toplamı en az
kaçtır?
B)22
4 yıl önce babanın yaşı, çocuklarının yaşları toplamının 4 katı o l d u ğ u n a göre, babanın b u g ü n k ü
yaşı kaçtır?
E) 946
Leyla ve Hülya'nın yaşları toplamı, yaşları farkının
3 katıdır.
E) 15
önce, Ayşen 5 yıl sonra doğmuş olsaydı; yaşları eşit
mı 61 olduğuna göre, Sude bugün kaç yaşındadır?
10. yüzyılın ilk yarısında doğan bir insan x2 yı­
9.
B) 64
C)60
D) 48
E) 36
Bir annenin yaşı iki çocuğunun yaşları toplamının 3
katıdır.
Annenin yaşı çocukların yaşları toplamından 24 yaş
büyük olduğuna göre, küçük çocuk en fazla kaç ya­
şındadır?
E) 6
A) 1
5.
B)12
Ayşen ile Ayten'in yaşları toplamı 36 dır. Ayten 3 yıl
Banu, Bade ve Sude'nin 3 yıl önceki yaşları topla­
4.
4,- :':*a*.
*
Faruk, Ömer ve Zeynep'in bugünkü yaşları toplamı
45 tir. Faruk Ömer'in yaşındayken, Ömer Zeynep'in
B) 2
C)3
D) 4
E) 5
1 0 . Mehmet, kardeşi Ahmet'ten x yaş büyüktür. Annesi
de Mehmet'ten 2x yaş büyük, babasından ise 3x
yaş küçüktür.
yaşında idi.
Ahmet'le annesinin yaşları toplamı Mehmet'le
babasının yaşları toplamından 24 eksik olduğuna
göre, Ahmet annesinden kaç yaş küçüktür?
Buna göre, Ömer'in bugünkü yaşı kaçtır?
A) 8
268
B)10
C)12
D) 15
E) 18
A) 9
B)10
C) 12
D) 18
E) 24
Yaş Problemleri
1 6 . Ali, Barış ve Cem adlı üç arkadaştan Ali ile Barış ara­
1 1 . Sema doğduğunda annesi Sema'nın şimdiki yaşının
4 katı yaşındaydı.
sındaki yaş farkı Cem ile Barış arasındaki yaş farkına
Bugün Sema ile annesinin yaşları toplamı 42 ol­
farkının 8 katına eşittir.
eşittir. Barış'ın şimdiki yaşının 5 katı, Ali ile Cem'in yaş
duğuna göre, Sema doğduğunda annesi kaç ya­
Buna göre, Ali ile Cem'in yaşları toplamı en az kaç-
şındaydı?
tır?
A) 36
B) 32
C)30
D) 28
E) 24
B)21
A) 16
C)32
D) 37
E) 64
1 7 . Bir babanın yaşı iki basamaklı ab, annenin yaşı iki
basamaklı ba sayısı, çocuklarının yaşları ise a ve
1 2 . Bir babanın yaşı, en küçüğü 1 yaşında olan 4 er yıl
b dir.
arayla doğmuş 3 çocuğunun yaşları toplamının 3
katına eşittir.
Babanın yaşı, annenin yaşından çocukların yaş­
ları toplamı kadar fazla olduğuna göre, çocukla­
Buna göre, 4 yıl sonra babanın yaşı kaç olacaktır?
rın yaşları toplamı kaçtır?
A) 41
B)43
C)45
D) 47
E) 49
A) 4
1 3 . Bir annenin yaşı, ikişer yıl ara ile doğan üç çocuğunun
yaşları toplamına eşittir.
o
c
Anne, en küçük çocuk doğduğunda 40 yaşında
olduğuna göre, en büyük çocuk bugün kaç yaşındadır?
B) 17
C)18
D) 20
dir.
Hakan, Hasan'ın bugünkü yaşındayken Hasan'ın
A) 20
C)17
D) 18
C) 10
D) 6
E) 4
Onur ile Sinan'ın yaşları toplamı Keremin yaşın­
dan 7 fazla olduğuna göre, Onur kaç yaşındadır?
Buna göre, Hakan'ın bugünkü yaşı kaçtır?
B)16
B)15
1 9 . Kerem, Onur'dan 5 yaş küçük, Sinan'dan 5 yaş bü­
yüktür.
doğmasına daha 5 yıl vardı.
A) 15
E) 15
3
2 ••
oranı — tır.
5
Üçünün 3 yıl sonraki yaşları toplamı 50 olduğu­
na göre, Murat'ın şimdiki yaşı kaçtır?
g
*"
1
E) 21
1 4 . Hakan ile Hasan'ın yaşları arasındaki fark 11
D) 12
C)9
1 8 . Ali'nin şimdiki yaşının Fatih'in şimdiki yaşına oranı
4
—, Murat'ın şimdiki yaşının Fatih'in şimdiki yaşına
U.
A) 16
B)5
A) 7
E) 19
20. 5
1 5 . 13 ve 14 yaşlarındaki öğrencilerden oluşan 20 ki­
(24)
B)10
D) 15
C)12
E) 18
sayı tabanı olmak üzere 1999 yılında Mehmet
yaşında idi.
şilik bir sınıfta, öğrencilerin yaşları toplamı 273 tür.
Buna göre, Mehmet'in 50 yaşında olduğu yıl aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, bu sınıftaki öğrencilerden kaç tanesi
13 yaşındadır?
A) 13
B) 11
C)9
D) 7
A) 2026
E) 5
Cevaplar: 1-E 2-A 3-D 4-B 5-D 6-C 7-B 8-C 9-E 10-D
B) 2029
D) 2035
11-D
12-E 13-E 14-C 15-D
C) 2031
E) 2038
16-C
17-C 18-D
19-C 20-D
269
- **#
1.
mm
Ufuk bugün 28 yaşındadır. Ufuk, Uğur'un bugünkü ya­
a pozitif tamsayı olmak üzere, iki kardeşten küçüğü
şında iken; Uğur bugünkü yaşının dörtte biri yaşta idi.
3a - 7, büyüğü 2a + 5 yaşındadır.
Buna göre, iki kardeşin yaşları toplamının alabile­
Buna göre, Uğur bugün kaç yaşındadır?
ceği en küçük değer ile en büyük değerin toplamı
A) 20
B)19
C)18
D) 17
kaçtır?
E) 16
A) 71
2.
D) 56
E) 51
Yaşları 4 ten büyük ve aralarındaki yaşlar farkı eşit
olan üç kardeşin 4 yıl önceki yaşları toplamı 15 tir.
7.
yaşındaydı?
A) 15
B)12
C)9
D) 7
Buna göre, en büyük kardeşin bugünkü yaşı en
çok kaçtır?
E) 4
A) 17
Bora, Buğra'nm yaşındayken ikisinin yaşlar, toplamı
28; Buğra, Bora'nın yaşına geldiğinde ise ikisinin
yaşları toplamı 44 oluyor.
S
Q
^
A) 38
B)36
C)34
D) 32
C) 15
B)16
A|j jkjz k a r d e ş l e r j n d e n
6
D) 14
y a ş b ü y ü k t ü r
E) 13
. Babasının ya-
şı Ali'nin yaşının 3 katından 4 eksiktir.
3 yıl önce babası ile Ali'nin yaşları farkı 20 oldu­
Buna göre, ikisinin yaşları toplamı kaçtır?
4.
C)61
4 yıl önce, Berna'nın yaşı Semra'nın yaşının 2 katıydı.
Berna, Semra'nın bugünkü yaşındayken Semra kaç
3.
B)66
ğuna göre, ikiz kardeşlerin yaşları toplamı kaçtır?
E) 30
Hakan'ın yaşının iki katı Serkan'ın yaşının üç katına;
Serkan'ın yaşının beş katı ise Tarkan'ın yaşının dört
A) 8
9.
B) 10
C)12
D) 16
E) 20
Üç kardeşin bugünkü yaşları toplamı 36 dır. Büyük
kardeş ile ortanca kardeş arasında 7 yaş fark vardır.
katına eşittir.
Buna göre, Hakan, Serkan ve Tarkan'ın yaşları
toplamı en az kaç olabilir?
Küçük kardeş, büyük kardeşin yaşına geldiğinde;
üç kardeşin yaşları toplamı 69 olduğuna göre,
ortanca kardeşin bugünkü yaşı kaçtır?
A) 5
A) 6
B)6
C)10
D) 15
E) 18
1 0 . Eşinden
5.
B)8
C) 11
D) 13
E) 18
5 yaş küçük olan bir annenin yaşı eşinin
Beş çocuklu bir ailenin ikiz ve üçüz çocuklarının
yaşları toplamı 35 tir.
şimdiki yaşına geldiğinde ikiz çocukları oluyor.
Bu ailenin üçüz çocuklarının yaşları aşağıdakilerden hangisi olamaz?
çocukların yaşları toplamı 95 olduğuna göre, ikiz­
A) 3
A) 25
İkiz çocuklar 10 yaşına geldiğinde, anne baba ve
270
B) 5
C) 7
D) 9
Ex- 11
ler doğduğunda baba kaç yaşındaydı?
B)30
C)35
D) 40
E) 50
Yaş Problemleri
1 1 . Mutlu ve annesi arasındaki yaş farkı; annesi ile an­
neannesi arasındaki yaş farkına eşittir. Mutlu anne­
sinin yaşına geldiğinde; annesi ile anneannesinin
yaşları toplamı, Mutlu'nun yaşının 5 katından 9
eksik oluyor.
Buna göre, Mutlu bugün kaç yaşındadır?
A) 3
B)5
C)7
D) 9
ları toplamı 40 ile 70; yaşları farkı 8 ile 14 arasın­
Buna göre, Tuğçe'nin yaşının en büyük değeri ile
en küçük değerinin toplamı kaçtır?
C)47
D) 60
Kardeşlere dağıtılan kalemlerin sayısı, ardışık üç
tek sayı olduğuna göre, küçük kardeş kaç yaşın­
dadır?
B)22
C> 18
D) 15
E) 12
E) 10
dadır.
B)45
tılı olarak toplam 33 kalem dağıtılıyor.
A) 26
1 2 . Tuğçe, Tuğba'dan büyüktür. Tuğçe ile Tuğba'nın yaş­
A) 42
1 6 . Yaşlarının toplamı 66 olan üç kardeşe, yaşlarıyla oran­
1 7 . Serpil'e annesinin yaşı sorulduğunda "Teyzemin ya­
şı benim yaşımın 5 katından 3 fazladır. Teyzem
annemin bugünkü yaşındayken benim doğmama 3
yıl varmış. 5 yıl önce annemin ve teyzemin yaşları
toplamı 65 idi." cevabını vermiştir.
Bu durumda Serpil'in annesinin bugünkü yaşı
kaçtır?
A) 28
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
E) 66
1 8 . Pelin'in yaşı iki basamaklı xy sayısıdır. Selin'in yaşı
x + 7, Helin'in yaşı ise y + 8 dir.
1 3 . Can, Cem'in bugünkü yaşındayken Cem'in doğması­
na 4 yıl vardı.
Buna göre, Çan'ın yaşı aşağıdakilerden hangisi
olamaz?
A) 52
B)41
C)34
D) 26
E) 18
1 4 . Anne ile babanın bugünkü yaşları toplamı, iki çocuğun
yaşları farkının 9 katına eşittir.
7 yıl sonra; anne ve babanın yaşları toplamı, ço­
cukların yaşları farkının 11 katına eşit olacağına
göre, büyük çocuk bugün en az kaç yaşındadır?
A) 4
B)5
C)6
D) 7
E) 8
1 5 . İki çocuğu olan bir annenin yaşı, ilk çocuğu doğduğun­
da 23 tür. Bu annenin çocuklarının yaşları arasındaki
fark 11 dir.
Buna göre, küçük çocuk 11 yaşına geldiğinde an­
nenin yaşı kaç olur?
A) 55
B) 50
C) 47
D) 45
E) 38
3 yıl sonra Pelin'in yaşı, Helin ile Selin'in yaşları
toplamına eşit olacağına göre, Pelin'in bugünkü
yaşı en çok kaç olabilir?
A) 53
C)37
D) 29
E) 19
1 9 . Babası ile Ekim 1991 doğumlu Alperen'in yaşları farkı
27 yıl 3 aydır.
Alperen ile kardeşi Çağn'nın yaşları farkı 100 ay
olduğuna göre, babası ile Çağrı arasındaki yaş
farkı kaçtır?
A) 29 yıl 7 ay
B) 30 yıl 6 ay
D) 35 yıl 7 ay
C) 32 yıl 9 ay
E) 35 yıl 10 ay
2 0 . Bir lisenin 1-A sınıfındaki öğrencilerin yaşları toplamı
sınıf öğretmeninin yaşının 3 katıdır. Öğrenciler 3. sı­
nıfa geldiğinde öğrencilerin yaşları toplamı aynı sınıf
öğretmeninin yaşının 5 katı oluyor.
Sınıf öğretmeninin yaşı bu süre içinde — oranında
arttığına ve bu süre içinde sınıftaki öğrenci sayı­
sında bir değişme olmadığına göre, bu sınıftaki öğ­
renci sayısı kaçtır?
A) 38
4 " ^ — — • — ^ — — • —
Cevaplar: 1-E 2-E 3-B 4-D 5-C 6-B 7-E 8-C 9-C 10-i
B)45
B)36
l —
I •"•-•• I
I
C)33
I
—
I
I
—
D) 32
»
—
^
—
E) 30
—
—
—
—
11-A 12-E 13-B 14-D 15-D 16-C 17-C 18-D 19-D 20-C
271
x
',,'•:;& »>:*: t~ £ fyf3v&$tewdjj0'' .W
BOLUM
l£*f
:l
"'t>'u
IMMI
/ '
' '
»I»
• 'i,- i
Çözüm:
İşçi ve havuz problemlerinde birim zamanda yapılan iş
miktarı hesaplanarak problemlere ait denklemler kuru­
labilir.
Yapılan iş miktarı; işçi sayısı, kapasite ve çalışma
süresi ile doğru orantılıdır. Ayrıca, işin bitme süresi;
işçi sayısı ve kapasite ile ters orantılıdır. Buna göre,
Havuzu dakikada a litre su aktığına göre, havuzun
V
yarısının (— sinin) dolma süresine t denilirse,
V
Bir musluk bir havuzu x saatte doldurabiliyor. (veya bo­
A)
İşçi-havuz problemlerinde yapılan işin yönü (+) veya (-)
işaretiyle belirlenir. Örneğin bir musluğun bir havuzu
doldurması işi (+) yönlü seçilirse, bu havuzu boşaltan
musluğun yaptığı işin önüne (-) işareti konulur.
Buna göre, bir havuzun tamamını tek başlarına, birinci ve
ikinci musluk sırasıyla a ve b saatte dolduruyor, üçün­
cü bir musluk da bu havuzun tamamını tek başına c sa­
atte boşaltıyor ise, üçü birlikte açıldığında t saatte
havuzun dolan kısmı m ise,
( - + - — ).t =m
a b c
1. 1990-ÖSS
Hacmi V litre olan bir havuza dakikada a litre su ak­
maktadır.
Havuzun yarısının kaç dakikada dolacağını göste­
ren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
272
u.
@
2v
1
— = - ü dolmuştur.
6v
3
daha çalışarak kalan işin — ünü yapmıştır.
4
olur.
Geçmiş yıllardaki ÖSS veya ÖYS lerde sorulmuş olan
işçi - havuz problemlerini ve çözüm yöntemlerini örnek
olarak ele alıp inceleyelim.
3a
E
Çözüm:
I. havuz 2 saatte dolduğuna göre, fıskiyeden 2 saat­
te akan su miktarı v, 10 saatte akan su miktarı da 5v
(10:2 = 5 katı) olur. I. ve II. havuzun hacimleri top­
lamı v + 2v = 3v olduğundan üçüncü havuza dolan su
miktarı 5v - 3v = 2v dir. O halde üçüncü havuzun
Ali bir işin - ünü yaptıktan sonra, aynı hızla 6 gün
havuzun üçte ikisi doluyor ise m =
C)
>-
C)
»!
3. 1996-OSS
havuzun yarısı doluyor ise m =
B)l
V
q
B
olur.
Burada havuzun tamamı doluyorsa m = 1,
A)*
a
olur.
I. havuz 2 saatte dolduğuna göre,
fıskiyeden 10 saat su aktığında III.
havuzun kaçta kaçı dolmuştur?
Bir işin tamamını tek başına A, B, C saatte bitirebiien
üç işçi bir işte sırasıyla a, b, c saat çalışırlarsa bu işin,
— + — + — kadarı biter.
A B C
•
t =—
2a
2. 1989-OSS
Şekildeki I. havuz fıskiyeden akan di­
ğerleri de üstteki havuzdan taşan su
ile dolmaktadır. Havuzların hacimleri
sırasıyla v, 2v, 6v dir.
şaltabiliyor) ise, 1 saatte bu havuzun - ini, t saatte
x
de - ini doldurabilir (veya boşaltabilir.)
x
•
V
— = a. t =»
2
Bir işi n tane işçi x günde bitirebiliyorsa, 1 işçi n.x
günde bitirebilir.
•
>!?«•'•? i
7i\"''
.JR
i. •''"'.',*•
•
r,\->'?-
D)
E)
3a
Buna göre, Ali işin tamamını bu çalışma hızıyla kaç
günde yapar?
A) 36
B)34
C)32
D) 28
E) 26
Çözüm:
1
=- sini yaptığına göre, bu
3 4 6
çalışma hızıyla işin tamamını 6 . 6 = 36 günde bitirebilir.
Ali 6 günde bu işin
2 1
İşçi - Havuz Problemleri
6. 1988-OYS
4. 1988-ÖSS
Hasan ile Oya bir işi birlikte çalışarak 30 günde yapa­
biliyorlar. Birlikte işe başlayıp 10 gün çalıştıktan son­
ra Hasan işi bırakıyor. Oya 60 gün daha çalışarak işi
tamamlıyor.
x
Ahmet bir işi x günde, Mehmet ise aynı işi - günde
tamamlayabiliyor. Ahmet ve Mehmet bu işi birlikte 4
günde bitirebiliyorlar.
Mehmet tek başına kaç günde tamamlar?
Bu işin tümünü Oya tek başına kaç günde yapa­
bilir?
A) 100
B)90
C)85
D) 80
A) 6
B)7
C)8
E) 10
D) 9
E) 75
I. Çözüm:
I. Çözüm:
Problemde verilenlere göre,
Hasan ile Oya, bir işi birlikte çalışarak 30 günde biti-
(1+_1_).4
x
x
rebildiklerine göre, 10 günde bu işin
bitirebilirler. Kalan işi (işin
=
1
=> x = 12
ve
2
— = - ünü
30
3
x
Mehmet'in bu işi bitirme süresi — = 6
2
1
2
1 — = - ünü) Oya tek
dır.
II. Çözüm:
başına 60 günde bitirebildiğine göre, bu işin tama3
mini Oya tek başına 60 •— = 90 günde bitirebilir.
İşin bitme süresi ile kapasite ters orantılı ve x
= 2
olduğundan Ahmet'in kapasitesine (bir günde
II. Çözüm:
Oya'nın bu işin tamamını tek başına bitirme süresine
x denilirse, problemde verilenlere uygun denklem
yazılırsa,
— 10+-.60 = 1
30
x
=> x= 90
yaptığı iş miktarına) k denilirse, Mehmet'in kapasitesi 2k
ve ikisinin birlikte bir günde yaptıkları iş miktarı
k + 2k = 3k olur. Buna göre, Mehmet'in bu işi tek başına
bitirme suresi
gün olarak bulunur.
3k.4
2k
= 6
gün olarak bulunur.
D
>•
E
5. 1987-OYS
Bir işçi belli bir işi 10 günde, başka bir işçi de aynı işi
15 günde bitirebilmektedir.
B)6
C)7
D) 8
azaltılırsa, boş havuz kaç saatte dolar?
E) 9
I. Çözüm:
İki işçinin birlikte çalışarak bu işi bitirebildikleri süreye x
denilirse, m = 1 olmak üzere,
(— + — ) . x = 1
10
15
Bir musluk, boş bir havuzu 12 saatte doldurmaktadır.
Musluktan birim zamanda akan su miktarı % 20
İki işçi birlikte bu işi kaç günde bitirebilir?
A) 5
7. 1993-ÖSS
=> x = 6 gündür.
A) 15
B) 16
C)17
D) 18
E) 20
I. Çözüm:
Musluktan bir saatte akan su miktarı 5 litre olarak se­
çilirse havuzun aldığı su miktarı 12.5 = 60 litre ve mus­
luğun kapasitesi % 20 (beşte bir) azaltıldığında mus­
luktan bir saatte akan su miktarı 4 litre olur. Bu durum­
II. Çözüm:
İşin bitme süresi ile kapasite ters orantılı olduğundan
da da havuz, 60 : 4 = 15 saatte dolar.
çarpımı (10,15) o k e k = 30 olacak şekilde, işi 10 günde
II. Çözüm:
bitirebilen işçinin kapasitesi 3k seçilirse, diğer işçinin
İşin bitme süresi ile kapasite ters orantılı olduğuna
göre,
kapasitesi
2k ve işin tamamı
10.3k = 30k (veya
15.2k = 30k) olur. İkisi birlikte bir günde
3k + 2k = 5k birimlik iş yaptıklarına göre, ikisi birlikte
bu işin tamamını (30k birimlik işi) 30k : 5k = 6 günde
% 100 kapasite ile -> 12 saatte dolarsa
% 80 kapasite ile -» x saatte dolar
bitirebilirler.
Ters Orantı
=> x =
100.12
= 15 saattir.
273
MATEMATİK SORU BANKASI
10. Yandaki şekilde A musluğu boş
havuzu tek başına 9 saatte doğu­
rabilmekte, B musluğu ise dolu ha­
vuzu tek başına 12 saatte boşaltabilmektedir. B musluğu kapalıyken
A musluğu açılıyor.
8. 1997-ÖYS
Bir usta 3 günde 2 çift ayakkabı, bir kalfa ise 5 gün­
de 2 çift ayakkabı yapmaktadır.
İkisi birlikte, 48 çift ayakkabıyı kaç günde yaparlar?
A) 30
B)35
C)40
D) 45
E) 50
Havuz dolmaya başladıktan kaç saat sonra B mus­
luğu da açılırsa havuz başlangıçtan itibaren 24 saat­
te dolar?
I. Çözüm:
Bir usta ve bir kalfa birlikte çalıştıklarında 15 günde,
2.5 + 2.3 = 16 çift ayakkabı yapabilirler. Buna göre, iki­
si birlikte 48 çift ayakkabıyı 48 :16 = 3 katı kadar gün­
de yani 15.3 = 45 günde yapabilir.
2
Bir usta bir günde - çift, bir kalfa da bir günde
3
2
— çift ayakkabı yapabilir. Buna göre, ikisi birlikte 48 çift
5
ayakkabıyı x günde yaparlarsa,
A) 20
C)30
B)25
D) 35
E) 40
I. Çözüm:
Birinci musluğun havuzu doldurma süresine x denilir­
se ikinci musluk bu havuzu (x + 15) saatte doldurur.
İkisi birlikte bu havuzu 10 saatte doldurduğuna göre,
1
1
— +
x
1
= —
x + 15
=>
İ C
x = 15 saat ve
10
x + 15 = 30 saattir.
II. Çözüm:
1 3
1+2
1
1
1
.. .
..
—.— =
=> — + — = — olduğuna göre, bı10 3
30
30 15
10
rinci musluk bu havuzu 15 saatte, ikincisi de 30 sa­
atte doldurur.
274
E) 8
=» x = 20 saat olduğundan, A musluğu
9
12 ~
açıldıktan 24 - 20 = 4 saat sonra da B musluğu açıl­
mıştır.
O
>Bu havuz boş iken, iki musluk birlikte havuzu 10
saatte doldurduğuna göre, ikinci musluk tek başına
kaç saatte doldurur?
D) 6
?*. - — = 1
=> x = 45 gündür.
1997-ÖSS
Boş bir havuzu iki musluktan birincisi ikinciden 15 sa­
at daha kısa sürede doldurmaktadır.
C)5
I. Çözüm:
Havuz doluncaya kadar B musluğu x saat açık kalmış
olsun. A musluğu da 24 saat açık kaldığına göre,
II. Çözüm:
( — + - ) • x = 48
B)4
A) 3
E
e
u.
II. Çözüm:
9 ile 12 nin en küçük ortak katı 36 olduğuna göre, A
ve B musluklarının bir saatte akıttıkları su miktarı (ka­
pasiteleri) sırasıyla 4 ve 3 olarak seçilir ve B muslu­
ğunun x saat açık kaldığı düşünülürse,
36 = 24 . 4 - x.3 => x = 20 saat olduğundan, A mus­
luğu açıldıktan 24 - 20 = 4 saat sonra da B musluğu
açılmıştır.
11. 1984 -OSS
Üç işçi bir işi sırasıyla x, y, z günde bitirebilmektedir.
Uçü birden aynı işi 24 günde bitirebildiğine ve x,
y, z arasında x < y < z bağıntısı bulunduğuna göre,
z aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 25
B)48
C)52
D) 72
E) 73
Çözüm:
x = y = z olarak düşünülürse, üç işçi birlikte bu işi 24
günde bitirebildiklehne göre işçilerden birisi bu işi tek
başına 24.3 = 72 günde bitirebilir. O halde,
x = y = z = 72 ise,
x < y < z için z > 72 olur. Seçeneklerde bu şartı sağ­
layan değer 73 tür.
- * * * ' A ;*
1.
*• "j* A » * ****** %S \r*-.**ı
Recep'in günde 3 saat çalışarak 12 günde bitirebil-
6.
Ahmet bir işin beşte ikisini 4 günde bitirebildiği-
*
diği bir işi, Mert günde 4 saat çalışarak 9 günde bi­
ne göre, bu işin tamamını kaç günde bitirebilir?
tirebilmektedir.
A) 5
B)6
C)8
D) 10
E) 12
Buna göre, ikisi birlikte çalışarak bu işi kaç saatte
bitirebilir?
A) 9
2.
B) 12
C)15
D) 18
E) 24
Veli bir işin dörtte birini 8 saatte bitirdikten son­
ra kalan işi, aynı çalışma hızıyla kaç saatte bitire­
Bir işi tek başlarına Kenan 4 günde, Ömer ise 12
7.
bilir?
A) 16
günde bitirebilmektedir.
B)18
C)24
D) 28'
E) 30
İkisi birlikte
2
gün çalıştıktan sonra kalan işi
Ömer tek başına kaç günde bitirebilir?
A) 2
3.
Serkan'ın 10 günde bitirebildiği bir işi Ali 40 gün-
"c
de bitirebildiğine göre,
günde bitirebilir?
>-
A) 3
B)5
C)6
ikisi birlikte aynı işi kaç
D) 8
E) 9
£
8
.
A y ş e b j r jşj t e k b a ş m a
Tarık ve Sinan bir işi tek başlarına sırasıyla 9 ve 18
saatte bitirebilmektedir.
İkisi birlikte bu işte 3 saat çalıştıklarında geriye
işin kaçta kaçı kalır?
C)6
12
D) 8
s a a t t e bitirebi
E) 10
|mektedir.
Ayşe ile İrem birlikte çalıştıklarında aynı işi 4 saat­
"©
te bitirebildiklerine göre, İrem bu işi tek başına kaç
saatte bitirebilir?
A) 3
4.
B)4
9.
B)4
C)6
D) 8
E) 10
Murat bir işi tek başına 3A günde, Salih de aynı işi tek
başına 4A günde bitirebilmektedir.
Bu işi Murat ile Salih birlikte 12 günde bitirebildi­
ğine göre, Murat tek başına kaç günde bitirebilir?
A)
5.
B)
C)
°>İ
E
>;
Bir işi tek başlarına Neşe 6 günde, Derya 18 günde
A) 21
B)18
C)15
D) 12
E) 9
1 0 . Birim zamanda yaptıkları iş miktarı aynı olan 15 işçi bir
bitirebilmektedir.
işi 6 günde bitirebilmektedir.
Neşe bu işte tek başına 2 gün çalıştıktan sonra,
Bu işçilerden 10 tanesi aynı işi, aynı çalışma hızıy­
kalan işi Derya tek başına kaç günde bitirebilir?
A) 8
B)12
C)15
D) 16
E) 18
la kaç günde bitirebilir?
A) 3
B)5
C)9
D) 15
E) 30
275
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . Bir terzi 2 günde 3 pantolon, çırağı ise 3 günde 2
1 1 . Bir işi, Ahmet ile Sinan birlikte çalışarak 15 günde bi­
pantolon dikebilmektedir.
tirebilmektedir. İkisi birlikte 10 gün çalıştıktan sonra
kalan işi Sinan tek başına 10 günde bitiriyor.
Buna göre, ikisi birlikte 39 pantolonu kaç günde
Buna göre, Sinan bu işin tamanını kaç günde biti­
dikebilir?
rebilir?
A) 8
A) 30
B)20
C)18
D) 15
B)12
C)14
D) 18
E) 27
E) 10
1 7 . Bir havuzu tek başına A musluğu 4 saatte, B mus­
luğu 6 saatte doldurabilmekte, C musluğu ise do­
1 2 . Bir çocuk evinden yürüyerek 50 dakikada gittiği oku­
lu havuzu 12 saatte boşaltabilmektedir.
luna arabayla 10 dakikada gidebilmektedir.
Muslukların üçü birlikte açılırsa boş havuz kaç sa­
Çocuk okuluna giderken
5
dakika yürüdükten
atte dolar?
sonra arabaya binerek yoluna devam ettiğine gö­
re, okula kaç dakikada varmıştır?
A) 10
B) 11
C)12
A) 12
D) 13
B)9
C)6
D) 3
E) 2
E) 14
1 8 . Bir havuzu A musluğu 6 saatte doldurabilmekte
B musluğu ise 8 saatte boşaltabilmektedir. Havuz
1 3 . Kemal'in 5 saat, İlker'in 2 saat çalışarak yaptığı
toplam iş, Kemal'in tek başına 11 saatte yaptığı
işe eşit olduğuna göre, Kemal'in çalışma kapasite­
sinin, İlker'in çalışma kapasitesine oranı kaçtır?
boşken iki musluk birlikte açılıyor ve 4 saat sonra
.2
B musluğu kapatılıyor.
c
o
Buna göre, A musluğu kalan kısmı kaç saatte dol­
durabilir?
E
A)l
3
B)3
C)l
2
D) 2
E)l
4
""
A) 1
B)2
C)3
D) 4
E) .5
1 9 . Boş bir havuzun tamamını A ve B musluğu birlikte
1 4 . Serhat bir işi 20 günde bitirebilmektedir.
6 saatte, A, B ve C muslukları birlikte 4 saatte
doğurabilmektedir.
Serhat birim zamanda yaptığı iş miktarını üçte bir
oranında azaltılırsa aynı işi kaç günde bitirebilir?
C musluğu bu havuzun yarısını tek başına kaç sa­
atte doldurabilir?
A) 25
B)30
C)35
D) 40
E) 45
A) 4
1 5 . Fatih bir işi tek başına 10 günde bitirebilmektedir. İşe
B)6
C)8
D) 10
E) 12
2 0 . A musluğu bir havuzu 15 saatte B musluğu ise ay­
başlayıp 2 gün çalıştıktan sonra yanına yardımcı ola­
nı havuzu 12 saatte doğurabilmektedir.
rak Ali'yi alıyor.
A musluğunun kapasitesi yarıya indirilip, B mus­
İkisi birlikte kalan işi 3 günde bitirebildiklerine
luğunun kapasitesi iki katına çıkarılırsa ikisi bir­
göre, Ali bu işi tek başına kaç günde bitirebilir?
likte bu havuzu kaç saatte doldurabilir?
A) 5
A) 3
B)6
C)8
D) 10
E) 15
Cevaplar. 1-D 2-C 3-D 4-C 5-B 6-D 7-B 8-C 9-A
276
10-1
11-A
12-E 13-A
B)5
C)8
D) 9
E) 12
14-B 15-B 16-D 17-D 18-E 19-B 20-B
- •TBfiT•tS5t
:
I-HAVUZPROBLEMLERİ
«V
1.
6.
Kapasiteleri aynı olan belli sayıdaki işçiden 3 ü bir
işten ayrıldığında bu işin bitirilme süresinin değişme­
mesi için her bir işçinin birim zamanda yapacağı iş
Jf^'i t«
•:n tf';*-1 «tf* .--\->P4-
Ayşe'nin 2 günde yapabildiği bir işi, İrem 3 günde
yapabilmektedir.
Buna göre, Ayşe'nin 7 günde yapabildiği bir işi,
İrem kaç günde yapabilir?
miktarı % 20 artırılıyor.
Buna göre, başlangıçtaki işçi sayısı kaçtır?
A) 9
A) 16
B)18
C)20
D) 24
7.
2,
pabilmektedir. Üçü beraber bir işe başlıyor ve 2. günün
Bir havuzu A musluğu 12 saatte, B musluğu 6 sa­
Kalan işi Hasan tamamladığına göre, işin tamamı
<
D) 14
8.
sitede 3 kişi daha katılırsa iş 1 gün daha erken bite­
Buna göre, bir işçinin bu işi tek başına bitirme sü­
resi kaçtır?
D) 14
D)
*l
E) 12
İrem bir işi 15 saatte bitirebiliyor.
A) 7,5
cektir.
C)16
»!
kaç günde bitirebilir?
tıklarında 3 günde bitiriyorlar. Bu işçilere aynı kapa­
B)18
c
>;
İrem çalışma kapasitesini % 50 artırırsa aynı işi
Eşit kapasiteli belli sayıdaki işçi bir işi birlikte çalış­
A) 24
B
E) 16
c
3.
E) 11
sa havuzun ne kadarı dolar?
toplam kaç günde bitmiştir?
C) 12
D) 10,5
A musluğu 2 saat, B musluğu 3 saat açık kalır­
sonunda Ali, Ali'den 2 gün sonra da Veli işten ayrılıyor.
B)10
C) 10
atte dolduruyor.
Bir işi tek başlarına Ali 16, Veli 8, Hasan 32 günde ya­
A) 8
B) 9,5
E) 30
9.
B) 9
C) 10
D) 11,5
E) 12
Eşit kapasiteli 4 ustanın 2 günde yaptığı bir işi, eşit
kapasiteli 6 kalfa 4 günde yapabilmektedir.
Buna göre, 1 usta ile 3 kalfa birlikte çalışarak bu
işi kaç günde yapabilir?
4.
8 işçinin birlikte çalışarak 5 günde bitirebildiği
bir işin 3 katı kadar bir işi, bu işçilerle aynı kapa­
A) 8
B)7
C)6
D) 5
E) 4
sitedeki 15 işçi kaç günde bitirebilir?
A) 5
B) 6
C)7
D) 8
E) 10
1 0 . Eşit kapasiteli 8 işçi bir işi a günde yapabilmektedir.
5.
A işçisinin 16 günde, B işçisinin 8 günde yaptığı bir
işi, A, B, C işçileri birlikte 4 günde yapabiliyor.
İşçilerden 3 ü çalışmadığı zaman işin bitme süre­
si kaç gün gecikir?
Buna göre, C işçisi bu işin dörtte birini kaç günde
yapabilir?
A) 2
B)3
C)4
D) 5
A)
B)
2a
C)
3a
D)4
E)
3a
E) 6
277
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . I. deponun altına şekildeki gibi,
hacmi I. deponun hacminin yarı­
sına eşit olan II. bir depo monte
ediliyor. A musluğu I. depoyu tek
başına 8 saatte doldurabiliyor. B
musluğu ise bu depoyu tek başı­
na 12 saatte boşaltabiliyor.
1 1 . Bir havuzu A musluğu 60 saatte, B musluğu ise
45 saatte doldurabiliyor.
A musluğuyla özdeş altı tane musluk ile B musluğuyla özdeş üç tane musluk birlikte açılırsa, ay­
nı havuz kaç saatte dolar?
A) 4
B)6
C)9
D) 12
E) 15
A) 24
C)3
D) 4
B ve C işçileri 2 gün daha birlikte çalıştıklarında
C)15
ı D) 12
E) 10
Muslukların bu havuzu 8 saatte doyurabilmele­
ri için her bir musluğun kapasitesi kaç katına çı­
karılmalıdır?
A) 2
o
c
D
>-
geriye işin ne kadarı kalır?
B)18
saatte doldurmaktadır.
E) 5
1 3 . Birisi; A işçisi 4 günde, B işçisi 8 günde C işçisi
ise 16 günde tek başlarına yapabilmektedir. A, B, C
işçileri beraber 1 gün çalıştıktan sonra A işçisi ayrı­
lıyor.
II. Depo
1 7 . Aynı kapasitede 50 tane musluk boş bir havuzu 10
Buna göre, ikisi birlikte aynı işi, günde 10 saat ça­
lışarak kaç günde yapabilir?
B)2
B
Buna göre, A ve B musluğu aynı anda açılırsa iki
deponun tamamı toplam kaç saatte dolar?
1 2 . Mert bir işi günde 5 saat çalışırsa 6 günde, Vedat
ise aynı işi günde 12 saat çalışırsa 5 günde yapa­
bilecektir.
A)1
I. Depo
E
B
'I
c
>!
">!
E)
1 8 . Her biri boş bir havuzu tek başına 12 saatte doldu­
rabilen 13 tane musluk ile, her biri dolu bir havu­
zu tek başına 4 saatte boşaltabilen a tane mus­
luk, havuz boşken birlikte açılıyor.
«
A)
B)
C)
16
D)
E)
u.
16
Havuz 3 saatte dolduğuna göre, a kaçtır?
A) 3
1 4 . Bir havuzu A musluğu tek başına 4 saatte doldura­
biliyor. B musluğu ise dolu havuzu tek başına 6 saat­
te boşaltabiliyor. İki musluk aynı anda açılıyor ve bir
süre sonra B musluğu kapatılıyor. A musluğu havuzu
doldurmaya devam ediyor.
Havuz toplam 5 saatte dolduğuna göre, B mus­
luğu kaç saat açık kalmıştır?
A)1
B) 1,5
C)2
D) 2,5
E) 3
1 5 . Bir havuzu dolduran özdeş iki musluk 5 saat açık ka2
lınca havuzdan, havuzun — ü kadar su taşmaktadır.
Buna göre, musluklardan birisi tek başına boş ha­
vuzu kaç saatte doldurabilir?
A) 6
B)5,5
C)5
D) 4,5
E) 4
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
1 9 . Ahmet bir işi tek başına a günde, Hakan da aynı
işi tek başına b günde bitirebiliyor. İkisi birlite aynı
işi 24 günde bitirebiliyorlar.
Buna göre, a ile b arasında a > b bağıntısı bulun­
duğuna göre, a aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 32
B)35
C)47
D) 48
E) 49
2 0 . Makineyle 8 saatte bitirilebilen bir iş, elle çalışıldı­
ğında 40 saatte bitirilebiliyor. Bu işte 10 saat elle
çalışıldıktan sonra kalan iş makineyle bitiriliyor.
Buna göre, makineyle kaç saat çalışılmıştır?
A) 3
B)4
C)4,5
D) 5
E) 6
Cevaplar: 1-B 2-C 3-B 4-D 5-C 6-D 7-C 8-C 9-E 10-E 11-B 12-B 13-C 14-B 15-A 16-D 17-E 18-A 19-E 20-E
278
&-.ÜT S &
W . * *%>','-•?«'•'•"•'"
1.
6.
Yunus ile Sinan birlikte çalışarak bir işi 15 günde bi­
v
i-»^*|r^
Bir işi eşit kapasiteli 3 işçi birlikte 21 günde yapa­
bilmektedir.
tiriyorlar.
İşin beşte ikisini Sinan yaptığına göre, Yunus bu
Bu işçilerin biri çalışma hızını 2 katına çıkarır; biri
işi tek başına kaç günde bitirebilir?
de yarıya düşürürse üçü birlikte aynı işi kaç günde
yapabilir?
A) 20
2.
B)24
C) 25
D) 28
E) 30
A) 20
7.
Bir işi Ali 2m günde, Veli m günde Cem m - 4
B)18
C) 16
D) 15
E) 12
Bir usta günde 6 saat çalışarak 5 günde 8 çift ter­
lik, bir kalfa ise günde 8 saat çalışarak 6 günde 5 çift
günde ve üçü birlikte — günde yapabilmektedirler.
terlik yapmaktadır.
Buna göre, ikisi birlikte 89 çift terliği, günde 12 sa­
Buna göre, m kaçtır?
at çalışarak kaç günde yapabilirler?
A) 18
3.
B) 16
C) 15
Bir işin tamamını Ali
60
D) 12
E) 10
günde, Veli ise aynı işin
dörtte birini 9 günde yapabilmektedir.
A) 40
_o
8.
B)30
C)25
D) 20
E) 10
Ali bir işi tek başına gündeliği 3 milyon liradan 15gün-
5
de, aynı işi Veli gündeliği 4 milyon liradan 10 günde
o
bitiriyor. İkisi beraber 3 gün çalıştıktan sonra Ali işi bı­
rakıyor. Geriye kalan işi Veli tek başına bitiriyor.
İkisi birlikte işin beşte ikisini kaç günde yapabilir­
ler?
Buna göre, işin sonunda Ali ve Veli'ye ödenen top­
lam ücret kaç milyon liradır?
A) 8
B)9
C)10
D) 12
E) 15
A) 30
4.
Bir işi Ali ve Veli birlikte 8 günde yapabiliyor. Ali 4 gün,
Veli 5 gün çalıştığında işin — si yapılıyor.
B)12
C) 18
D) 20
D) 48
E) 52
Birlikte işe başlayan eşit kapasiteli üç arkadaştan bi­
rincisi işin yarısı yapıldıktan sonra, ikincisi ise kalan
kalan işi tamamlıyor.
İş toplam 65 günde bittiğine göre, ikinci işçi kaç
gün çalışmıştır?
E) 24
A) 15
5.
C)41
işin yarısı yapıldıktan sonra işten ayrılıyor. Üçüncü işçi
Buna göre, Ali bu işi yalnız başına kaç günde ya­
pabilir?
A) 10
9.
B)37
Biri diğerinin iki katı hızla çalışan iki işçi, bir işi birlikte
6 günde yapmaktadır.
B)20
C)30
D) 35
E) 55
1 0 . Bir musluk her gün bir önceki günde akıtmış olduğu
suyun yarısı kadar su akıtarak dördüncü günün so­
nunda bir havuzun yarısını dolduruyor.
Buna göre, hızlı çalışan işçi bu işin yarısını tek
Buna göre, bu musluk üçüncü gündeki kadar su
başına kaç günde yapabilir?
akıtarak üç günün sonunda havuzun ne kadarını
doldurabilir?
A) 3
B)4,5
C)6
D) 7,5
E) 9
A) i
15
B
>!
C)i15
D)
E)
l
279
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . Özdeş iki musluk boş bir havuzu birlikte 20 saatte
doldurmaktadır.
1 1 . Bir musluk bir havuzu 2a saatte, başka bir musluk ay2a
nı havuzu — saatte dolduruyor. Üçüncü bir musluk
5
Musluklardan birinin kapasitesi 2 katına çıkarı­
lıp, diğerinin kapasitesi % 50 azaltılırsa, iki mus­
luk birlikte aynı havuzu kaç saatte doldurabilir?
dolu havuzu - saatte boşaltıyor.
Üç musluk aynı anda açıldığında havuzun tamamı
8 saatte dolduğuna göre, a kaçtır?
A)4
B)6
D) 10
C)8
A) 15
1 3 . Yandaki şekilde verilen x ile y
musluğu, z musluğu kapalıyken
boş havuzu 36 saatte dolduruyor.
Tabandan itibaren havuzun
j_
Boş olan bu havuz, muslukların ikisi birlikte açıla­
rak doldurulduğunda, havuzdaki suyun tuz oranı
yüzde kaç olur?
A) 7
r
~^
z
o
c
o
>E
u-,
Muslukların üçü birlikte açılırsa boş havuz kaç sa­
atte dolar?
B) 84
C) 36
D) 54
E) Dolmaz.
1 4 . Esra ile Tuğba birlikte çalıştıklarında bir işi 6 günde bitirebiliyorlar. Bu işte ikisi birlikte 4 gün çalıştıktan son­
ra kalan işi Tuğba tek başına 5 günde bitirebiliyor.
Buna göre, Esra'nın bir günde yaptığı iş miktarı
Tuğba'nın bir günde yaptığı iş miktarının kaç katı­
dır?
A
15.
»!
°>i
c
»!
E)
<
Eşit kapasiteli üç musluk birlikte açıldığında boş
bir havuz 5 saatte dolduğuna göre, musluklar iki­
şer saat aravla açılırsa boş havuz toplam kaç saat­
te dolar?
A) 5,5
B)6
C)6,5
D) 7
E) 8
Cevaplar: 1-C 2-D 3-B 4-E 5-B 6-B 7-D 8-C 9-D 10-D
280
C)9
B)8
D) 10
E) 11
1 8 . Kapasiteleri sırasıyla 3, 4 ve 5 ile orantılı olan üç
musluktan ilk ikisi havuzu doldurmakta üçüncüsü ise
boşaltmaktadır.
y
3
yüksekliğinde bulunan z musluğu
1
havuzun — ünü 18 saatte boşaltabiliyor.
A) 72
E) 24
E) 15
D) 16
C)18
D) 20
1 7 . Bir havuzu % 5 lik tuzlu su akıtan bir musluk 2 saat­
te, % 10 luk tuzlu su akıtan başka bir musluk ise 3
saatte doldurmaktadır.
Buna göre, Rıdvan bu işin tamamını tek başına
kaç saatte bitirebilir?
B) 20
C)18
E) 12
1 2 . Bir işte Rıdvan tek başına 4 saat çalıştıktan sonra ka­
lan işi Salih tek başına 15 saatte bitiriyor. Eğer aynı
işte Rıdvan tek başına 12 saat çalışsaydı kalan işi
Salih tek başına 5 saatte bitirebilecekti.
A)24
B)16
Üç musluk birlikte boş havuzu 8 saatte do İd urabildiğine göre, II. musluk tek başına boş havuzu
kaç saatte doldurabilir?
A) 2
B)3
C)4
D) 5
E) 6
1 9 . a işçisinin 3 günde yapabildiği bir işi b işçisi 4 gün­
de ve b işçisinin 5 günde yapabildiği bir işi ise c işçisi
4 günde yapabilmektedir.
Buna göre, a işçisinin 2 günde yapabildiği bir
işi, c işçisi kaç günde yapabilir?
A)
17
15
B)
23
15
C)
28
15
D)
32
15
E)
34
15
2 0 . A musluğu bir havuzu tek başına 5 saatte doğurabil­
mekte, havuzun dibindeki B musluğu ise aynı havuzu
tek başına 10 saatte boşaltabilmektedir.
Buna göre, B musluğu havuzun tabanından itiba­
ren kaçta kaçı kadar yüksekliğe konulursa havuz
boşken iki musluk birlikte açıldığında havuzun ta­
mamı 7 saatte dolar?
A)
11-C 12-D 13-B
B)
14-B
c
>t
15-D 16-B 17-A
D) A
10
E)
10
18-C 19-D 20-C
3.
BÖLÜM
1.
Sedat bir işi tek başına 8 saatte, Mehmet aynı işi tek
başına 12 saatte yapabilmektedir. Sedat bu işe baş­
ladıktan bir süre sonra Mehmet de işe başlıyor. İkisi
beraber kalan işi tamamlıyorlar.
Ahmet bir işin üçte birini bitirdikten sonra, aynı
çalışma hızıyla 2 gün daha çalışınca geriye işin yarısı
kalıyor.
Buna göre, Ahmet aynı hızla kalan işi kaç günde
bitirebilir?
A) 9
2.
C) 6
B)
D)4
Bu iş toplam 6 saatte bittiğine göre, Mehmet kaç
saat çalışmıştır?
E) 3
A) 2
7.
Bir işi Ali tek başına 12 günde Veli de tek başına
16 günde yapabilmektedir.
C)10
D) 12
E) 14
A musluğu bir havuzu tek başına 16 saatte doldurmakta, B musluğu ise aynı havuzu tek başına 30 saatte boşaltmaktadır. A musluğunun kapasitesi % 20
azaltılıp, B musluğunun kapasitesi % 20 arttırılıyor.
"c
8.
*•
>
-
E
4.
B)25
C)30
E) 50
Barış'ın çalışma hızı Arifin çalışma hızının 3 katı,
Arifin çalışma hızı da Hasan'm çalışma hızının 2 ka­
tıdır.
Barış ile Hasan bir işi 9 saatte bitirdiğine göre, üçü
—
20
si;
B)2
C)3
D)2
E) 4
Bir işi Okan ve Emre beraber 6 günde; Hakan ve Fa­
tih 12 günde; Okan, Emre ve Fatih 5 günde bitirebil­
mektedir.
©
A) 18
D) 40
E) 6
Buna göre, bu işi Hakan tek başına kaç günde bi­
tirebilir?
zun dörtte biri kaç saatte dolar?
A) 20
D) 5
Bir işi Yusuf, Serhat'tan t saat daha fazla sürede bi­
A) 2
İD
Son durumda iki musluk aynı anda açılırsa, havu-
C)4
21
Serhat 2, Yusuf 1 saat çalışırsa — i bitiyor.
40
Buna göre, t kaçtır?
tek başına kaç günde yapabilir?
B)7
B)3
tiriyor. Serhat 3, Yusuf 2 saat çalışırsa işin
İkisinin birlikte 4 günde yapabildiği başka bir işi Ali
A) 6
TEST
4
İŞÇİ-HAVUZ PROBLEMLERİ
9.
B)20
C)24
D) 25
E) 30
Uzunlukları eşit olan iki mumdan birisi 3 saatte, diğeri
de 5 saatte tamamen yanmaktadır.
Buna göre, iki mum aynı anda yakıldıktan kaç daki­
ka sonra birinin boyu, diğerinin boyunun üçte ikisi­
ne eşit olur?
A) 80
B)90
C)100
D) 120
E) 150
beraber bu işi kaç saatte bitirebilirler?
A) 3
5.
B)4
C)5
D) 6
E) 7
Bir işi a işçisi tek başına 6 günde, a ile b işçisi bir­
likte 3 günde, b ile c işçisi ise birlikte 2 günde bi­
tirebilmektedir.
Buna göre, bu işte a işçisi 2 gün c işçisi 1 gün
çalışırsa geriye işin kaçta kaçı kalır?
A)
B
'f
c
'f
°»î
E)
1 0 . Boş bir depoyu; deponun üstündeki; A musluğunun de­
poyu tek başına doldurma süresi 2 ile doğru orantılı, B
musluğunun depoyu tek başına doldurma süresi de 3
ile ters orantılıdır. Deponun dibindeki C musluğunun ise
deponun tamamını tek başına boşaltma süresi de 6 ile
doğru orantılıdır. Depo boşken muslukların üçü birden
açıldığında deponun tamamı 18 dakikada doluyor.
Buna göre, depo boşken A ve C musluğu aynı an­
da açılırsa deponun tamamı kaç saatte dolar?
A) 36
B)18
C) 12
D) 6
E) 3
281
MATEMATİK SORU BANKASI
1 5 . I nolu havuzu A musluğu
tek başına 4 saatte boşaltabilmektedir. I ve II nolu
havuzların hacimleri sırası
3
3
ile 600 m ve 450 m tür.
1 1 . 12 birimlik bir işi Ali, Mehmet'ten 4 gün önce bitire­
bilmektedir.
8 birimlik işi ikisi birlikte 1 günde bitirebiİçlikleri­
ne göre, 2 birimlik işi Mehmet tek başına kaç gün­
de bitirir?
A)1
B)2
E) 6
D) 5
C)3
A ve B muslukları özdeş
olduklarına göre, I nolu
havuz tam dolu iken A ve B muslukları aynı anda
açılırsa II nolu havuz kaç saatte dolar?
A) 0,5
D) 2
C) 1,5
B)1
E) 2,5
1 2 . Bir havuzu, A musluğu tek başına 10 saatte, B mus­
luğu da tek başına 15 saatte doldurabilmektedir.
1 6 . Bir havuzu I. musluk tek başına 4 saatte dolduru­
yor. II. musluk tek başına 6 saatte boşaltıyor, iki
musluk beraber açılıyor, 2 saat sonra II. musluk ka­
patılıyor.
3
Bir saatte, musluklardan biri diğerinden 2 m daha
3
az su akıttığına göre, havuzun tamamı kaç m su
alır?
A) 30
B) 40
C)45
D) 60
E) 75
I. musluğun havuzun kalan kısmını 2 saatte dol­
durabilmesi için, musluktan birim zamanda akan
su miktarı kaçta kaçı kadar arttırılmalıdır?
A)
1 3 . Şekildeki II. havuzun hacmi I. ha­
vuzun hacminin iki katına eşittir.
A musluğu I. havuzu tek başına
2 saatte doldururken, B musluğu
I. havuzu tek başına 4 saatte bo­
şaltmaktadır.
••^
I
l
c
B)
»l
>!
0
>- 1 7 . k > 1 olmak üzere, bir havuzu;
e
II
a ve b musluğu k saatte
b ve c musluğu k - 1 saatte
a ve c musluğu k + 1 saatte
doldurduğuna göre, bu muslukların kapasiteleri­
ne göre doğru sıralaması aşağıdakilerden hangi­
sidir?
*i
<
E
c
B
Havuz boş iken iki musluk ay­
nı anda açılırsa I. havuz doldu­
ğunda II. havuzun ne kadarı dolar?
A)1
4
C)
B)
0
A)a>b>c
B) o b > a
D)b>a>c
C)b>c>a
E)c>a>b
1 4 . Üç işçiden; birinci işçi 2 gün, ikinci işçi 3 gün
çalıştıklarında işin — sı; ikinci işçi 2 gün, üçüncü
6
1
işçi 4 gün çalıştıklarında aynı işin — si; birinci işçi 3
gün, üçüncü işçi 1 gün çalıştıklarında ise aynı işin
1 8 . Şekildeki özdeş A, B, C muslukları
eşit aralıklarla monte edilmiştir. Ha­
vuz tamamen dolu iken A musluğu
tek başına 24 saatte havuzu boşal­
tabiliyor.
— ü bitiyor.
Buna göre, havuz dolu iken mus­
lukların hepsi açıldığında, kaç
saatte havuz tamamen boşalır?
Buna göre, üç işçi birlikte çalışırlarsa aynı işi kaç
günde bitirebilirler?
A) 3
B)4
Cevaplar: 1-C 2-B
282
3-B
C)5
4-E
5-D
D) 6
6-B
7-C
E) 7
8-B
9-C
A) 11
10-E
11-A
12-D
B)
23
13-B
C) 12
14-C
15-D
44
16-E
E) 13
17-C
18-D
BöÎüM
TEST
5
İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ
üö*^.
1.
Bir makine ile bir işin yarısı bitirilince makinenin birim
6.
zamanda yaptığı iş miktarı, başlangıçtakinin 2 katına
2
3
Ali bir işin — ünü x günde, Veli aynı işin —
ünü
y günde yapıyor
çıkarılıyor. Bu şekilde işin tamamı 21 saatte bitiriliyor.
Ali'nin 3 günde yaptığı işi Veli 8 günde yaptığına
göre, x ve y arasındaki bağıntı aşağıdakilerden
hangisidir?
Aynı işin tamamını 4 saatte bitirebilmek için tüm iş
süresince, birim zamanda yaptıkları iş bu makine­
nin başlangıçta yaptığı işle aynı olan, kaç makine
çalıştırılmazdır?
A» x - y
B) x = 2y
C) x = 3y
E) 4x = 3y
2.
7=
Eşit kapasiteli 10 tane işçi bir ışı 12 günde bitirebilmek­
tedir. Hepsi beraber işe başladıktan 5 gün sonra işçile­
rin bazısı işten ayrılmış ve işin bitme süresi 3 gün gecik­
2
İşçilerin günlük çalışma süresi - i kadar azaltılır5
sa, aynı işi kaç günde bitirebilirler?
miştir.
Buna göre, işten ayrılan kaç işçi vardır?
A) 2
3.
B)3
C)4
D) 5
A) 40
E) 6
Eşit kapasiteli 5 işçi, bir işe birlikte başlıyor. Her gü-
^
nün sonunda bir işçi işten ayrılıyor ve bu şekilde işin
£
8.
tamamını kaç günde bitirebilir?
C)13
D) 15
E) 18
E) 25
B)
C)9
D) 10
E) 12
Hikmet bir işi yalnız başına 15 günde yapabilmektedir.
Hikmet ile Eren aynı işe başladıktan bir süre sonra
Eren işten ayrılıyor ve Hikmet kalan işin
-
ünü 4
9.
1
Kadir bir işin — ünü yaptıktan sonra, hızı Kadir'in iki
katı olan İbrahim de işe başlıyor. İkisi beraber kalan işi
günde yapıyor.
6 günde tamamlıyor.
Buna göre, Eren işten ayrıldığında, işin ne kadarı
bitmişti?
Buna göre, İbrahim bu işi tek başına kaç günde
bitirebilir?
A)
5.
D) 30
Ayrıtları a birim olan küp şeklindeki A kabını A mus­
A) 6
4.
C) 32
A kabını 6 saatte doldurabilecek hızda yağan yağ­
murla birlikte A musluğu, kesitleri 2a olan küp
şeklindeki B kabını kaç saatte doldurabilir?
(Kapların üst yüzeyi tamamen açıktır.)
Buna göre, bu işçilerden birisi tek başına bu işin
B)10
B) 36
luğu 3 saatte doğurabilmektedir.
tamamı 5 günde bitiyor.
A) 8
Eşit kapasiteli 4 işçi, her gün belirli bir süre çalışarak
bir işi 18 günde bitirebiliyor.
4
B)
°>!
«I
Fatih'in tek başına 4 günde yaptığı bir işi İbrahim
tek başına 12 günde yapıyor. İkisi birlikte a gün
çalışıyorlar ve Fatih işten ayrılıyor. Kalan işi İbrahim
tek başına tamamlıyor.
İşin tamamı toplam 8 günde bittiğine göre, a
kaçtır?
A)
B)
8
C)
12
D)
15
E)
A) 10
B) 12
C)18
D) 24
E) 20
1 0 . 24 litre su alabilen bir depoyu, tek başlarına A muslu­
ğu 8 dakikada, B musluğu 6 dakikada doldurabilmekte C musluğu ise bu deponun tamamını tek başına 24
dakikada boşaltabilmektedir.
Depo boşken üç musluk birlikte açılarak deponun
tamamı doldurulduğunda A musluğundan kaç litre
su akmış olur?
A) 12
B) 10
C)9
D) 8
E) 6
283
MATEMATİK SORU BANKASI
11
A, B, C muslukları bir havuzu sırasıyla 6,12, 18 sa­
1 6 . Ali bir işi
atte doldurmaktadır. Üçü birlikte açıldıktan bir süre
bitiriyor.
sonra A musluğu kapatılıyor.
ğu kaç saat açık kalmıştır?
B)2,5
C)2
2
- günde
b
a ve b arasında — + 3b = 3 bağıntısı olduğuna
a
Havuz toplam 6 saatte dolduğuna göre, A muslu­
A) 13
3a
— günde, Ayşe ise aynı işi
2
göre, Ali ve Ayşe bu işi beraber kaç günde bitirir­
D) 1,5
ler?
E)1
A) 2
B)3
C)4
E) 6
D) 5
1 2 . Şekildeki boş havuzu A ve B
muslukları tek başlarına sırasıy­
1 7 . Eşit kapasiteli üç işçi işe başlıyorlar. İşin yarısı yapı2
lınca birinci işçi ayrılıyor. Kalan işin — ünü ikinci ve
la a ve b saatte dolduruyor. C
musluğu ise dolu havuzu c saat­
te boşaltıyor.
üçüncü işçi yaptıktan sonra ikinci işçi işten ayrılıyor.
C
Kalan işi üçüncü işçi tamamlıyor.
a, b ve c arasında 8.c(a + b) = a.b(c + 8) bağıntısı
İşin tamamı 48 günde bittiğine göre, ikinci işçi
kaç gün çalışmıştır?
olduğuna göre, üç musluk aynı anda açılırsa boş
havuz kaç saatte dolar?
A) 4
13.
B)6
C)8
D) 12
Meric'in çalışma hızı Erdinç'in çalışma hızının iki
katıdır. İkisi beraber işe başlıyorlar. Belli bir süre
çalıştıktan sonra Erdinç ayrılıyor. Meriç üç gün daha
çalışıp işi bitiriyor. Eğer tersi olsaydı yani önceki
çalışılan süre kadar birlikte çalışıp Meriç ayrılır ve
2
Erdinç üç gün çalışırsa işin — ü bitiyor.
Buna göre, Erdinç bu işin tamamını kaç günde
bitirir?
A) 9
B)^
3
C) 11
D)*
3
A) 14
E) 18
E)
40
B)21
C)25
D) 32
1 8 . Şekildeki dolu havuzu
E) 42
X
diğer musluklar kapa­
...-J_
X
lıyken; I. musluk 3 saat­
X
II
X
te, II. musluk 4 saatte,
III. musluk 9 saatte
o
>«
kendi seviyesine kadar
boşaltabiliyor.
Havuz tamamen doluyken üç musluk birden açılır­
sa havuz kaç saatte II. musluk seviyesine iner?
A)
24
11
B)
29
10
C)
60
53
D)
27
14
E)
91_
40
1 4 . Aynı kapasitedeki üç işçi birlikte bir işi yapmaya başlı­
yorlar. İşe başladıkları üçüncü günün sonunda 1. işçi,
beşinci günün sonunda 2. işçi işten ayrılıyor.
rasıyla x, y ve z saatte boşaltabilmektedir. Havuzun
Kalan işi 3. işçi 2 gün daha çalışarak tamamladığı­
na göre, tek başına çalışırsa işin tamamını kaç
günde bitirebilir?
A) 15
B)12
1 9 . Üç musluk, tamamen dolu bir havuzu tek başlarına sı­
tamamı dolu iken üç musluk aynı anda açılınca havuz
40 dakikada boşalmaktadır.
x < y < z olduğuna göre, z aşağıdakilerden han­
gisi olabilir?
C) 10
D) 9
E) 8
A) 121
1 5 . Bir havuzu, tek başlarına birinci musluk ikinci musluk­
tan 30 saat daha erken doğurabilmektedir.
B)120
C)61
D) 41
E) 39
2 0 . Özdeş üç musluk birlikte açıldığında havuz boş iken 5
saatte dolmaktadır. Havuz boş iken musluklar birer
Havuz boşken iki musluk aynı anda açıldığında ha­
vuzun tamamı 20 saatte dolduğuna göre, bu havu­
zu birinci musluk tek başına kaç saatta doldurabi­
lir?
saat ara ile açılıyor.
A) 30
A) 2
B)40
C)45
D) 60
E) 90
Havuz dolduğunda en son açılan musluk kaç saat
su akıtmıştır?
B)3
C)4
D) 5
E) 6
Cevaplar: UA 2-B 3-D 4-B 5-A 6-D 7-D 8-B 9-B 10-A 11-E 12-C 13-A 14-A 15-A 16-A 17-D 18-D 19-A 20-C
284
3.
BÖLÜM
HIZ PROBLEMLERİ
1982-ÖSS
Birim zamanda gidilen yola hız denir. Buna göre,
iki yarışmacı şekildeki A noktasın­
hızı V olan bir hareketlinin t sürede aldığı yol (x),
dan aynı anda koşuya başlıyor. Biri­
x = V.t
si AB yönünde V, hızı ile diğeri AD
olur. Burada birimlerin uygunluğuna dikkat edilmelidir.
yönünde V2 hızı ile, ABCD karesi
çevresinde koşuyorlar.
Örneğin,
Yol = Hız • Zaman
İki yarışmacı, ilk kez BC nin E orta noktasında kar­
[km] = [km/sa] • [sa]
şılaştığına göre,
[m] = [m/dak] • [dak]
oranı kaçtır?
[km] = [km/sn] • [sn]
B).
C)
D
>İ
E) 2
şeklinde büyüklüklerin birimleriyle işlem yapılabilir.
A)
Uyarı:
Çözüm:
Yol ile hız doğru orantılı olduğuna göre, (karenin bir ke­
narının uzunluğunu 2 birim seçelim.)
İki hareketliden hızı fazla olanın aynı sürede alacağı yol
daha fazla olacağından yol ile hız doğru orantılı, hız­
ları aynı olan iki hareketliden daha uzun süre yol alanın
gittiği yol daha fazla olacağından yol ile zaman doğru
orantılı, yolları aynı olan iki hareketliden hızı fazla olan
yolunu daha önce tamamlayacağından hız ile zaman
ters orantılıdır.
O
Geçmiş yıllardaki ÖSS ve ÖYS lerde sorulmuş olan hız
problemlerini örnek olarak alıp çözümlerini inceleyelim.
1. 1985-ÖSS
Bir koşucunun l birim uzunluğundaki bir yolu t saatte
koşması isteniyor.
Koşucu yolun — ünü - saatte koştuğuna göre,
geri kalan yolu zamanında tamamlaması için hızını
kaç katına çıkarmalıdır?
A) 2
B)3
C)-
D)-
E)-
2
3
3
Çözüm:
Koşucunun yolun tamamını t saatte koşması gerektiğine
2 *
t
t
göre, kalan yolu (yolun - ünü) t — = - saatte
3
2
2
koşması gerekir. Buna göre, 1 saatte yolun - ünü
2
3
koştuğuna göre, aynı sürede ( - saatte) 2 katı kadar
2
yolu (yolun - ünü) koşabilmesi için de hızını 2 katı­
na çıkarmalıdır. (Yol ile hız doğru orantılı)
|AD| + 1DC| + ICEj
2 + 2 + 1
|AB| + |BE|
2 + 1
Vı
>-
tür.
1983 - ÖSS
A kentinden B kentine giden ve durmadan geri dönen
bir otomobil, gidişinde ortalama 60 km, dönüşünde 40
km hız yapmıştır.
Bu otomobil 4 saatte gidip geldiğine göre, A dan B
ye kaç saatte gitmiştir?
A) 1,1
B)1,2
C)1,4
D) 1,6
E) 1,8
Çözüm:
Hız ile zaman ters orantılı olduğundan; giderken 60
km/sa, dönüşte 40 km/sa hızla hareket eden aracın gi­
diş süresine 2t denilirse dönüş süresi 3t olur.
Gidiş dönüş toplam 4 saat sürdüğüne göre,
4
2t + 3t = 4 ==> t = - saat ve 2t = 1,6 saat olur.
5
4. 1986-ÖSS
Hızları sırasıyla vv v2, (v., - v2) olan üç taşıttan birinci­
nin t saatte aldığı yol a, ikincinin — saatte aldığı yol
2
b olduğuna göre üçüncünün t saatte aldığı yol nedir?
A)- + b
2
B)2a-b
C)a + 2
D) a - 2
E)a-2b
Çözüm:
Yol ile zaman doğru orantılı olduğundan v„ hızıyla 2
saatte alınan yol b ise t saatte alınan yol 2b olur.
Ayrıca hız ile de yol doğru orantılı olduğundan t saatte
(v1 - v 2 )
hızıyla alınan yol, v1 ve v2 hızıyla alınan yol­
lar farkına, dolayısıyla (a - 2b) ye eşit olur.
285
MATEMATİK SORU BANKASI
5. 1998 -OSS
Uyarı:
E
ID
Şekildeki, dikdörtgen biçimli
75
C
L
d
ABCD koşu pistinin A köşe­
V
sinde iki koşucu durmaktadır.
Koşuculardan biri B ye doğru
saatte v hızıyla, öteki de D ye
v
doğru saatte — hızıyla aynı
V"
2
3 —
A
v
A>VB
olmak üzere, aralarındaki mesafe |AB| olan iki hareket­
li aynı anda; birbirlerine doğru hareket ettiklerinde kar­
şılaşma süresi t k , aynı yönde hareket ettiklerinde arka­
daki aracın öndekine yetişme süresi ty ise
F
IAB|
t.
anda koşmaya başlıyor. Koşucular ilk kez [DC] üzerin­
deki E noktasında karşılaşıyorlar.
i.
VA + VB
_
ve
t
t„ =
|AB|
VA - V P
dir.
Aynı anda ve ters yönde hareket eden iki araç arasın­
daki mesafe, 1 saatte iki aracın hızlarının toplamı ka­
|EC| = 75 m olduğuna göre, ABCD dikdörtgeninin
dar değişir, (artar veya azalır)
çevresi kaç m dir?
ii. Aynı anda ve aynı yönde hareket eden iki araç arasın­
A) 300
B)350
C)400
D) 450
E) 500
daki mesafe, 1 saatte iki aracın hızlarının farkı kadar
değişir, (artar veya azalır)
Çözüm:
ABC yolu, ADC yoluna eşit olduğundan; iki koşucunun
v
hızları eşit olsaydı hızı — olan koşucu E noktasına
7. 1981-ÖYS
A kentinden B kentine gitmek için aynı anda yola çıkan
geldiğinde ABC yolundan giden koşucunun da C nok­
iki otomobilden birincisi saatte 30 km, ikincisi de saatte
tasına varmasına 75 m olurdu. Bu sürede bu koşucu C
40 km hızla gidiyor.
noktasını 75 metre geçtiğine göre, hızı v olan koşucu di­
ğerinden 75 + 75 = 150 metre daha fazla yol koşmuş­
İkinci otomobil B kentine 2 saat önce vardığına
tur. Yol ile hız doğru orantılı olduğundan hızı v olan ko­
o
göre, A ve B kentleri arası kaç km dir?
o
A) 180
E
o
Çözüm:
şucunun gittiği yola 2x denilirse, diğerinin gittiği yol x
olur. Buna göre,
2x - x = 150
=> x = 150 metre olduğundan dikdört­
genin çevresi (iki koşucunun gittiği toplam yol)
c
>.
B)240
C)280
D) 300
E) 320
Yavaş olan otomobil diğerinden 2 saat sonra B ye
3x = 450 metredir.
vardığına göre, hızlı olan araç aradaki mesafeyi
2.30 = 60 km açmıştır. İki araç arasındaki mesafe
6. 1996-ÖSS
Bir motosikletli A ve B kentleri arasındaki yolu 3 saat­
1 saatte 4 0 - 3 0 = 10 km açıldığndan, 60 km fark ola­
te almaktadır. Motosikletli, saatteki hızını 15 km
bilmesi için iki araç hareket ettikten 60 : 10 = 6 saat
azaltırsa, aynı yolu 4 saatte almaktadır.
sonra hızlı olan
yolu,
B ye ulaşmalıdır. Buna göre, AB
6.40 = 240 km dir.
Buna göre, A ve B kentleri arasındaki yol kaç km dir?
A) 210
B) 190
C)180
D) 160
E) 120
8. 1997-ÖYS
I. Çözüm:
Motosikletlinin ilk hızına v denilirse,
|AB| = 3.v = 4.(v - 15) => v = 60 km/sa olur.
Buna göre, |AB| =3.60 = 180 km dir.
A
40 km
B
Şekildeki A ve B kentleri arasındaki uzaklık 40 km dir.
A dan hızı saatte 5 km olan bir yaya, B den hızı saat­
te 15 km olan bir bisikletli aynı anda.birbirine doğru yo­
la çıkıyor.
II. Çözüm:
Motosikletli saatteki hızını 15 km azalttığında 3 saat­
te 3.15 = 45 km daha az yol alır. İkinci durumda yolu
4 saatte gittiğine göre, kalan bu 45 km lik yolu 1 saat­
te gitmiş demektir. Buna göre,
aracın son durumda saatteki hızı 45 km, dolayısıyla
A ve B kentleri arasındaki yol, 45.4 = 180 km dir.
Yaya kaç km yol yürüdüğünde bisikletli ile karşılaşır?
A) 10
C)8
D) 5
E) 3
I. Çözüm:
İki hareketlinin saatteki hızları toplamı 5 + 15 = 20 km
olduğundan, 40 : 20 = 2 saatte karşılaşırlar ve bu sü­
rede yaya,
286
B)9
5.2 = 10 km yol yürümüş olur.
Hız Problemleri
II. Çözüm:
t = — olduğundan, V „ =
ort
V
|AB|
V,
3.
Zamanlar eşit oluyorsa hızların aritmetik ortalaması,
ortalama hıza eşit olur.
Bisikleklinin hızı yayanın üç katı olduğundan yolun dört­
te üçünü bisikletli, dörtte birini de yaya gitmiş olur. Buna
göre, yayanın yürüdüğü yol 40 : 4 = 10 km dir.
9.
1989-ÖYS
t 1 = t 2 = t3
-•M-
4.
Aynı anda A dan kalkan iki arabadan biri A dan B ye sa­
atte 40 km, B den C ye 60 km hızla gidiyor. Bu araba­
lardan ikincisi ise A dan B ye 60 km, B den C ye 40 km
hızla gidiyor.
A) 180
D) 90
C) 120
B)150
ise
•
E) 60
|BC|
V,
Yollar eşit oluyorsa hızların harmonik ortalaması, orta­
lama hıza eşit olur.
1
— +
V,
|AB| = |BA| olduğundan, V
Ortalama Hız
Bir hareketlinin iki nokta arasında aldığı toplam yolun,
5
c
o
E
1
v,
+
1
v^
A dan B ye V1 km/sa hızla gidip B den A ya V2 km/sa
hızla dönen bir aracın gidiş-dönüşteki ortalama hızı,
=
2Vı V2
V
Çözüm:
Problemde verilenlerden iki bilinmeyenli bir denklem
yazılabileceği için bilinmeyenlerden birisi için bir değer
seçebiliriz. O halde, y = 0 seçilirse; ikinci araba B ye
vardıktan 1 saat sonra birincinin B ye varması için ara­
daki mesafenin 40 km açılması gerekir. 1 saatte arada­
ki mesafe 60 - 40 = 20 km açılacağından ikinci araba
B ye 2 saatte varmalıdır. Buna göre,
|AB| = x = 60.2 = 120 km, dolayısıyla
|x — yj = [120 - 0| = 120 km olarak bulunur.
|CD|
V,
^ + V2 + V3
V ort =
|AB| = |BC| = |CD| ise, V ort =
Arabaların biri C ye ötekinden 1 saat önce ulaştığı­
na göre, |x - y| kaç km dir?
|AD|
2.
V
-
min<Vort<Vmaks
1 + V2
dir.
^
10. 2000 - ÖSS
Bir araç K kentinden M kentine saatte 42 km hızla git­
miş ve saatte v km hızla dönmüştür.
Bu gidiş dönüşte aracın ortalama hızı saatte 48 km
olduğuna göre, v kaçtır?
B)50
A) 48
C)52
D) 54
E) 56
Çözüm:
2v 1 .v 2
bu yolu katettiği toplam zamana oranına, hareketlinin
48=-
bu yol boyunca ortalama hızı denir ve V o r t şeklinde
2 . 42 . v
42 + v
v = 56 km/sa tir.
gösterilir.
Ortalama hız = V oo nr t =
t 0 p l a m yo
'
dır.
toplam zaman
Örneğin, 70km/sa hızla 4 saat, 80 km/sa hızla 1 saat
yol alarak yolunu tamamlayan bir aracın bu yol boyun­
ca ortalama hızı,
70 . 4 + 80. 1
V
ort =
4+1
a > b olduğuna göre bu yolculuk sırasında arabanın
ortalama hızı kaç km/saat olabilir?
A) 54
72 km/sa
B)55
C)56
D) 57
E) 58
olur.
Çözüm:
a = b olsaydı arabanın ortalama hızı,
Uyarı
v„t,
v„t,
v,.t,
A dan B ye V1 km/sa hızla t1 saat, B den C ye V2 km/sa
hızla t2 saat, C den D ye V3 km/sa hızla t3 saat yol alan
bir aracın AD yolu boyunca ortalama hızı,
V_ =
11. 1985-OSS
Bir araba 50 km/saat hızla a saat, 60 km/saat hızla
b saat yol alıyor.
— - — = 55 km/sa olacaktı. Düşük hızla (50 km/sa)
2
daha uzun süre (a > b) yol aldığı için ortalama hızı
55 km/sa in altında olacaktır. Buna göre,
V
min <
mın
V
ort < 55
ort
=>
50 < V„rt < 55
ort
şartını sağlayan seçenek (A) dır.
|AD|
t-, + t „ + t ,
287
3.
BÖLÜM
1.
dakikada kaç km yol alır?
B)210
C)280
402 km
5.
Saatte 100 km hızla hareket eden bir otomobil 210
A) 118
TEST
1
HIZ PROBLEMLERİ
70 km/sa
V km/sa
D) 300
E) 350
Şekildeki A ve B noktalarından aynı anda birbir­
lerine doğru hareket eden iki araç 3 saat sonra
karşılaştıklarına göre, V kaçtır?
A) 82
B) 80
C)76
D) 70
E) 64
2.
100 km/sa
65 km/sa
6.
İki otomobil A ve B noktalarından aynı anda ve aynı
yönde hareket ediyorlar. A dan hareket eden aracın
hızı 100 km/sa, B den hareket eden aracın hızı 65
km/sa tir.
Hızları farkı 30 km/sa olan iki araç şekildeki gibi aynı
anda ve aynı yönde hareket ediyorlar.
A dan hareket eden araç, 3 saat sonra diğerine C
noktasında yetişebildiğine göre, A ile B arası kaç
Bu iki hareketliden hızlı olan yavaş olan hareketli­
km dir?
A) 80
ye 4 saat sonra C noktasında yetişebildiğine gö­
B)90
C)105
D) 115
E) 165
re, A ile B noktaları arasındaki uzaklık kaç km dir?
O
>-
E
3.
Hızları farkı 10 km/sa olan iki bisikletli aynı noktadan,
aynı anda ve birbirlerine zıt yönde hareket ediyorlar.
A) 100
7.
Hareketlerinden 2 saat sonra aralarındaki uzaklık
D) 20
E) 180
Bir bisikletli belirli bir yolu saatte ortalama 25 km hızla
A) 12
C) 14
D) 160
Bu bisikletlinin aynı yolu 5 saatte gidebilmesi için
hızını saatta kaç km artırması gerekir?
nin hızı kaç km/sa tir?
B) 10
C)140
6 saatte gidebiliyor.
76 km olduğuna göre, daha yavaş giden bisikletli­
A) 6
B)120
B) 10
C)5
D) 3
E) 2
E) 24
8.
A kentinden B kentine gitmek için aynı anda yola çı­
kan iki otomobilden birincisi saatte 70 km, ikincisi ise
saatte 60 km hızla gidiyor.
4.
Saatteki hızları toplamı 80 km olan iki hareketli aynı
anda, aynı noktadan ve birbirlerine zıt yönde harekete
Birinci otomobil B kentine ikinciden 1 saat ön­
başlıyorlar.
ce vardığına göre, A ve B kentleri arası kaç km
dir?
Hareketlerinden 330 dakika sonra bu hareketlile­
A) 280
rin aralarındaki mesafe kaç km olur?
A)320
288
B)330
C)360
D)440
E) 500
B)320
D) 360
C)350
E) 420
Hız Problemleri
9.
1 3 . Bir otomobil İstanbul'dan Burdur'a 120 km/sa hızla gi­
100 km/sa
dip, 180 km/sa hızla aynı yoldan geri dönüyor.
75 km/sa
A ve B noktalarından aynı anda ve aynı yöne hare­
Bu aracın gidiş ve dönüşteki ortalama hızı kaç
ket eden iki aracın saatteki hızları sırasıyla 100 km ve
km/sa tir?
75 km dir.
A)150
İki araç aynı anda C ye vardıklarına göre,
Ȕ
D
C)
."*
»i
E) 124
D) 128
İACİ
oranı kaçtır?
A
C) 140
B)144
[AB|
E)
1 4 . Bir kayık, bir nehirde akıntıyla aynı yönde 3 saatte al­
dığı bir yolu, akıntıya zıt yönde 5 saatte almaktadır.
10.
Buna göre, bu kayığın hızının akıntının hızına ora­
90
60
nı kaçtır?
Hızı saatte 60 km olan bir hareketli A noktasından,
hızı saatte 90 km olan diğer bir hareketli ise B nokta­
sından, birbirlerine doğru, aynı anda hareket ettiklerin­
de C noktasında karşılaşıyorlar.
A) 2,5
A dan yola çıkan hareketli, karşılaşmalarından
3 saat sonra B noktasına vardığına göre, AB
arası kaç km dir?
B) 3
C) 3,5
D) 4
E) 5
1 5 . Şekildeki ABCD kare, E,
F, G, H, I, J, K, L bulun­
dukları kenarları eşit üç
A) 600
B) 520
C)480
D) 400
D
parçaya bölüyor. A nokta­
sından E noktasına doğru
E) 300
3V, C noktasından I nokB»
»
»
•
tasına doğru V hızıyla, iki
G
H
C
araç aynı anda hareket ederek ABCD karesinin etra­
fında yollarına devam ediyorlar.
1 1 . Saatteki hızı V km olan bir hareketli A ve B arasın­
daki yolu 9 saatte almıştır.
Buna göre, A noktasından hareket eden araç, ilk
kez hangi noktada diğer araca yetişir?
Bu hareketli yolun yarısında saatte
3V
diğer yarısında ise —
3V
—
hızıyla,
B)B
A) A
4
C) D
D) K
E)L
hızıyla giderse yolun ta­
mamını toplam kaç saatte alır?
A) 7
B)8
C)9
D) 10
E) 11
16.
Şekilde saatteki hızları 9 ve 6 metre
olan iki karınca çember üzerindeki A
noktasından aynı anda aynı yöne
doğru harekete başlıyorlar. Hızlı gi­
den, diğerinden 3 saat önce turunu
1 2 . Bir araç 60 km/sa hızla 3 saat, 70 km/sa hızla
2 saat, 80 km/sa hızla 5 saat yol alıyor.
tamamlıyor.
Buna göre, çemberin çevresi kaç metredir?
Bu aracın ortalama hızı saatte kaç km dir?
A) 70
Cevaplar: 1-E
B) 72
2-C
C) 75
3-C
4-D
D) 76
5-E
6-B
A) 90
E) 78
7-C
8-E
9-C
10-E
B)72
11-C
12-B
C)63
13-B
D) 54
14-D
15-C
E) 48
16-D
289
3.
BÖLÜM
Bir bisikletli belli bir yolun — ünü — saatte ala4
2
6.
Bir araç gideceği yolun — ünü 50 km/sa, kalanını
da 80 km/sa hızla giderse, aracın yol boyunca or­
bildiğine göre, yolun tamamını t saatte tamamla­
talama hızı kaç km/sa olur?
yabilmek için kalan yolda hızını kaç katına çıkar­
malıdır?
A)
A) 60
B)2
C >
3
D) 3
B) 65
D) 320
480 km
A*«-
E) 75
•*• B
AB yolunda A ve B dışında eşit aralıklarla 4 tane
durak vardır. Hızı 60 km/sa olan otobüs her durakta
15 dakika mola vererek A dan B ye doğru hareket
ediyor.
Buna göre, otomobil kaç km yol almıştır?
C)360
D) 70
60 km/sa
8
2
kalan yolun — in gittiğinde yolun yarısını 50 km geç5
tiğini görüyor.
B)400
C)68
E) 6
Bir otomobil gideceği yolun önce — ini, daha sonra
A) 440
TEST
2
HIZ PROBLEMLERİ
E) 250
Buna göre, otobüs AB yolunu kaç saatte almıştır?
A) 11
3.
Bir araç bir yolu, 80 km/sa hızla giderse 30 dakika
°
geç, 100 km/sa hızla giderse 30 dakika erken alıyor.
g
B)10
C)9
D) 8
E) 7
Buna göre, bu yol kaç km dir?
8.
A) 240
B)280
C) 320
D) 360
E) 400
Hızları farklı olan iki araç A kentinden B kentine doğru
aynı anda yola çıktıktan 15 saat sonra, araçlardan bi3
5
ri yolun — ini diğeri ise — sini almıştır.
5
7
Bu iki araç hızlarını değiştirmeden yollarına devam
4.
Bir taksi gideceği yolun - sini 70 km/sa, kalanını da
ederlerse yavaş olan araç diğerinden kaç saat son­
80 km/sa hızla alıyor.
ra B kentine varır?
Taksi yolun tamamını 13 saatte aldığına göre, yol
kaç km dir?
A) 3
A) 840
B)880
C) 920
D) 980
B)4
C)5
D) 6
E) 7
E) 1040
Bir otomobil AB yolunu 2x km/sa hızla gidip 3x km/sa
hızla dönerek toplam 10 saatte almıştır.
5.
A kentinden B kentine a km/sa hızla b saatte va­
ran bir otomobil B kentinden A kentine (a - 3)
km/sa hızla (b + 12) saatte varabildiğine göre, b
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4a+12
B)2a+12
D) 2 a - 8
290
Bu otomobil aynı yolu 4x km/sa hızla gidip
4x
km/sa hızla dönseydi toplam kaç saatte tamam­
C)4a-8
E) 4 a - 1 2
lardı?
A) 9
B) 10
C)12
D) 14
E) 15
Hız Problemleri
•3V
•2V
10.
•4V
1 4 . İki hareketli A noktasından
V1 = 10 m/sn
V2 = 12m/sn
hızlarla şekildeki gibi ha­
reket ediyorlar. İki araç pistin etrafında bir tur atıp B
ye vararak yarışı bitiriyorlar. Pistin çevresi AB yolu­
nun 2 katıdır.
|AD| = 720 km ve |AB| = |BC| = |CD|
Bir araç A dan 2V km/saat hızla harekete başlayıp
hızını B de 3V km/saate ve C de 4V km/saate çıkara­
rak D ye geliyor.
Araç AD yolunu 13 saatte tamamladığına göre, V
kaçtır?
A) 20
C)40
B) 30
D) 45
Hızlı koşucu yarışı bitirdiğinde yavaş olan koşucu
AB yolunun kaçta kaçını gitmiştir?
E) 60
B)
*>!
11
C)6
D) 7
16.
>E
•
^
C)9,6
D) 10
"î
4-D
5-E
6-B
7-C
D)2n
E)3n
Buna göre, bu iki trenin uzunlukları toplamı kaç
metredir?
A) 100
B)150
C)200
D) 250
E) 300
Metin bu şekilde 17 saatte en fazla kaç km yol git­
miş pJabiHr?
A) 33
3-E
C)n
1 8 . Metindi saatte en çok 3 km yol gidebiliyor ve her
4 saat sonunda 1 saat mola veriyor.
A) V hızı verilmelidir.
B) V hızı verilmelidir.
C) V1 hızının V2 hızına oranı verilmelidir.
D) V + V hızı verilmelidir.
E) V - V hızı verilmelidir.
2-E
E) 105
1 7 . Hızları saatte 60 km ve 90 km olan iki tren aynı yöne
doğru ilerliyorlar. Aralarında 250 metre varken hızlı
olan diğerini 1 dakikada geçiyor.
İki şehir arasındaki uzaklığın bulunabilmesi için
aşağıdaki bilgilerden hangisine ihtiyaç vardır?
Cevaplar: 1-D
D) 100
Vı.
A)
E) 10,4
1 3 . A ve B şehirlerinden aynı anda saatte V km ve V"2 km
yol alabilen iki araç karşılıklı olarak hareket ettikten 3
saat sonra karşılaşıyorlar.
C)88
Araçların hızları 3V ve 3V2 olsaydı, arkadan gelen
araç öndekini B den kaç km ileride yakalardı?
Memur, işine zamanında varabilmek için saatte
kaç km hızla yürümelidir?
B)9,2
E)
Hızları V ve V2 olan iki araç A ve B noktalarından ay­
nı anda ve aynı yönde hareket ediyorlar. Arkadan ge­
len araç, öndekini B den n km ileride olan C noktasın­
da yakalıyor.
D
A) 8,8
B)80
A) 72
E) 8
1 2 . İşine yürüyerek giden bir memur saatte 8 km hızla
yürürse işine 15 dakika geç varırken saatte 12 km
hızla yürürse de işine 15 dakika erken varacaktır.
D)
Buna göre, aracın hızı kaç km dır?
Araç yolun tamamını 15 saatte aldığına göre, yo­
lun asfalt kısmını kaç saatte gider?
B)5
»I
1 5 . Bir araç, hızı 30 km/sa olan rüzgârla aynı yönde gider­
se 440 km yol aldığı sürede, rüzgâra karşı yönde gi­
derse 200 km yol alabiliyor.
700 km lik bir yolun bir kısmı toprak, bir kısmı asfalt­
tır. Bu yolu katedecek bir aracın topraktaki ve asfalt­
taki ortalama hızı sırası ile 40 km/sa ve 60 km/saattir.
A) 4
C
8-B
9-C
10-A
11-B
12-C
B)36
13-D
C)39
14-E
15-B
D) 42
16-C
17-D
E) 45
18-D
291
MİM
«s.
BOLUM
1.
TEST
3
HIZ PROBLEMLERİ
n ü
6.
A ve B şehirlerinden karşılıklı olarak aynı anda yola
3
çıkan iki aracın hızları oranı — dir.
7
Bir koşucunun x km yolu a saatte koşması gerek­
mektedir.
İki araç yolun orta noktasından 50 km uzakta kar­
şılaştıklarına göre, iki şehir arası kaç km dir?
2
3a
Koşucu yolun — ünü V km/sa hızla — saatte koş3
4
A) 400
tuğuna göre, koşuyu zamanında tamamlayabilme­
B) 350
C) 300
D) 250
E) 200
si için kalan yolu kaç V km/sa hızla gitmelidir?
A)
2.
A kentinden B kentine gidip hiç durmadan geri dö­
*l
c
»ı
<
E)
nen bir aracın giderken hızı 66 km/sa, dönerken hı­
zı 54 km/sa tir.
Gidiş dönüş 5 saat sürdüğüne göre, dönüş kaç
7.
saat sürmüştür?
A) 2
3.
B
>°
dan hızları sırasıyla 6, 8 ve 10 m/sn olan üç hareketli
aynı anda aynı yönde harekete başlıyorlar.
C
>İ
D)
11
E) 3
Üç hareketli tekrar A noktasına aynı anda geldikle­
rinde en hızlı olan kaç tur atmış olur?
A kentinden B kentine gitmek için aynı anda yola çı­
kan iki araçtan birincisinin hızı 40 km/sa, ikincisinin hı­
zı 60 km/sa tir.
İkinci otomobil B kentine 2 saat önce vardığına
göre, A ve B kentleri arası kaç km dir?
A) 300
4.
B)270
C)240
D) 210
E) 180
o
A) 8
>-
8.
5.
D) 67
E) 3
A şehrinden B şehrine otomobille 4 saatte, kamyon ile
7 saatte ulaşılabiliyor.
Otomobilin hızı 140 km/sa olduğuna göre, otomo­
bille giden yolu bitirdiğinde kamyonla gidenin kaç
km yolu kalmıştır?
m > n olduğuna göre, bu yolculuk sırasında ara­
C)66
D) 4
E
A) 240
cın ortalama hızı kaç km/sa olabilir?
B) 65
C)5
B)6
e
u_
Bir araç 60 km/sa hızla m saat, 70 km/sa hızla n saat
yol alıyor.
A) 64
Çevresi 120 metre olan dairesel bir pistin A noktasın­
B)250
C) 280
D) 300
E) 330
E) 68
Hızları V ve 3V olan iki araç aynı noktadan aynı anda
ve zıt yönde harekete başladıktan 2 saat sonra arala­
9.
Bir otomobil bir yolun üçte birini 60 km/sa, kalan yolun
yarısını 40 km/sa hızla almıştır.
rındaki uzaklık 120 km oluyor.
Bu otomobilin bütün yol boyunca ortalama hızı
Buna göre, hızlı giden araç başlangıç noktasından
kaç km uzaktadır?
A) 100
292
B)90
C)80
D) 70
E) 60
45 km/sa olduğuna göre, son kalan yolu kaç
km/sa hızla almıştır?
A) 40
B)45
C)48
D) 54
E) 60
Hız Problemleri
10.
1 4 . Bir hareketli bir yolu a km/sa hızla b saatte almıştır.
30 km
Hareketli ortalama hızını 2 km/sa artırırsa aynı yo­
lu kaç saatte alır?
Birbirinden 30 km uzakta olan A ve B noktalarından
aynı anda ve birbirine doğru harekete başlayan iki
5
hareketli - saat sonra karşılaşıyorlar.
A)
a.b
D)
Bu iki hareketliden yalnızca biri saatteki hızını kaç
km artırırsa karşılaşma 2 saat sonra gerçekleşir?
A) 9
D) 3
C)5
B)7
a.b
B)
C)
b-2
a.b
a.b
E)
a+2
b+2
15.
E) 2
Saatteki hızları 7V ve 5V olan iki araç A noktasından
aynı anda B noktasına doğru harekete başlamıştır.
1 1 . A şehrinden B şehrine hareket eden bir araç yolun
2
— sini 2 saatte alıyor.
Hızı az olan araç diğerinden 2 saat sonra B nok­
tasına vardığına göre, hızı az olan araç B nok­
tasına kaç saatte gitmiştir?
Yolun tamamını toplam 4 saatte gidebilmesi için
A) 2
«İ
C)3
E
^
>?
Şekildeki ABC dik üçgeninin
A noktasından hızları V ve 2V
olan iki araç aynı anda zıt
yönde harekete başlayarak t
saat sonra D noktasında bu­
luşuyorlar.
B)
5t
C)
3t
E) 15
1
t, = 2
V+10t, = 4
A şehri ile B şehri arası 400 km dir. A dan B ye doğ­
ru hareket eden bir araç V km/sa hızla 2 saat gittikten
sonra saatteki hızını 10 km arttırarak kalan yolu 4 sa­
atte tamamlayıp B ye varmıştır.
O
Buna göre, V kaçtır?
A) 30
Buna göre, hızı 2V olan araç yoluna devam ederek
tekrar A ya geldiğinde başlangıçtan itibaren kaç
saat geçmiştir?
A)2t
D) 10
C)7
400 km
16.
o
c
12.
B)6
A) 5
aracın kalan yoldaki hızı ilk hızının kaç katıdır?
D)
4t
E)
C) 50
D) 60
E) 70
1 7 . V hızıyla harekete başlayan bir hareketli her saat ba­
şında hızını iki katına çıkarıyor.
Hareketlinin 3 saat sonunda ki ortalama hızı ilk
hızının kaç katıdır?
5t
C)
B)
A)
13.
B) 40
D)
7
E) 3
18.
Hızları toplamı saatte 200 km olan iki araç A ve B nok­
A, B ve C noktalarından hızları sırasıyla V1 = 70 km/sa,
V2 = 50 km/sa ve V3 = 30 km/sa olan araçlar aynı an­
da aynı yönde hareket ederek aynı anda D noktasında
yanyana geliyorlar.
talarından aynı anda ve birbirine doğru hareket ederek
4 saat sonra C noktasında karşılaşıyorlar.
A dan hareket eden araç C ile B arasındaki uzak­
lığı 6 saatte gittiğine göre, bu aracın saatteki hızı
kaç km dir?
A) 100
Cevaplar: 1-D
B)90
2-D
3-C
C) 80
4-A
5-B
D) 70
6-E
7-C
Buna göre,
»i
E) 60
8-A
9-A
10-D
11-B
|BC|
oranı kaçtır?
|CD|
B)-
12-C
13-C
c
14-D
>!
15-C
E)
°>i
16-D
17-D
18-C
293
3.
BÖLÜM
t
Kamyon
Otomobil
6.
A) 36
Buna göre, bu iki araç birbirine doğru hareket eder­
olduğuna göre, |AB| kaç km dır?
B)42
C)48
D) 54
A ve B şehirlerinden aynı anda birbirine doğru hareket
eden iki aracın hızları toplamının birinci aracın hızına
5
oranı — tür. Araçlar aynı yönde hareket ettiklerinde,hız­
lı giden araç yavaş giden araca 20 saat sonra yetişiyor.
AB yolunu kamyon otomobilin 4 katı sürede ala­
bilmektedir. İki araç aynı anda birbirlerine doğru
hareket ettiklerinde C de karşılaşıyorlar.
|BC| = 12 km
lerse kaç saat sonra karşılaşırlar?
E) 60
B)4
A) 3
Bir hareketli belli bir yolu saatte ortalama 2V hızla 3t
saatte almıştır.
B)t
>i<
C)-t
2
E
D)2t
D
C
—• V, km/sa
D
—• V2 km/sa
E
C ye doğru harekete başlayan iki araç 4 saat sonra C
u.
de yan yana geliyorlar.
©
V1 - V2 = 19 km/sa olduğuna göre, |AB| kaç km dir?
B)46
C)57
-*• 50 km/sa
*
1
1
C
Buna göre, V kaçtır?
A) 120
B)100
C)90
D) 80
E) 704
>-
A ve B noktalarından V ve V hızlarıyla aynı anda ve
A) 38
B
E) 7
D) 6
Hızları V ve 50 km/sa olan iki hareketli A ve B kentle­
rinden aynı anda aynı yöne doğru hareket ediyorlar.
Biri diğerine 6 saat sonra C kentinde yetişiyor. İki ha­
reketli birbirlerine doğru hareket ettiklerinde 2 saat
sonra karşılaşıyorlar.
'f«
3.
C)5
-+. V km/sa
I
A
Hareketli ortalama hızını saatte 2 katına çıkartırsa
aynı yolu kaç saatte alır?
A
TEST
4
HIZ PROBLEMLERİ
D) 64
E) 76
Şekildeki karenin A nokta­
sından, aynı anda biri V1 hı­
zıyla AD yönünde diğeri de
V2 hızıyla AB yönünde hare­
ket eden iki araç E noktasın­
da karşılaşıyorlar.
4.
E noktası CD nin orta noktası olduğuna göre,
60 km
A**-
-•B
oranı kaçtır?
Saatteki hızları 10 km den fazla olan iki araç A ve B
den aynı anda birbirlerine doğru hareket ederek 2 sa­
at sonra karşılaşıyorlar.
A) 2
B)
c
»!
D)
E)
Bu iki araçtan yalnız biri hızını kaç km/sa azaltırsa
karşılaşma 1 saat gecikir?
V,
A) 13
B) 12
C) 11
D) 10
E) 9
A ve B den V1 ve V2 hızları ile aynı anda birbirlerine
doğru hareket eden iki araç 3 saat sonra D noktasında
5.
Bir araç gideceği yolun - ini 40 km/sa, kalanını
5
da 60 km/sa hızla aldığına göre, aracın tüm yol bo­
yunca ortalama hızı kaç km/saattir?
A) 45
294
B)48
C)50
D) 52
karşılaşıyorlar.
[AB] nin orta noktası C ve jCD| = 45 km olduğuna
göre, Vn - V2 kaçtır?
E) 55
A) 30
B) 25
C) 20
D) 15
E) 10
Hız Problemleri
15.
10.
A ve B den aynı anda VA ve VB hızları ile birbirlerine
doğru hareket eden iki aracın karşılaşmalarına 2 saat
kala aralarındaki uzaklık 140 km dir.
AB yolunu hızı V2 olan araç hızı V1 olan aracın 4 katı
sürede alabilmektedir, iki araç aynı anda karşılıklı
olarak hareket ederlerse C de karşılaşıyorlar.
V . - V D = 10 km/sa olduğuna göre, VD kaç km/sa tir?
A B
D
A) 40
D) 25
C)30
B) 35
|AB| = 200 km olduğuna göre,
1 1 . Bir otomobil 160 km lik yolu V km/sa hızla gidip 1 sa­
at durduktan sonra 2V km/sa hızla geri dönüyor.
D) 65
C)60
kaçtır?
B)3
*î
D) 4
C)
16.
Gidiş-dönüş toplam 5 saat sürdüğüne göre, V
kaçtır?
B) 55
IBCI
E) 20
A)
A) 50
|AC|
Birbirinden 200 km uzakta olan A ve B duraklarının
orta noktası olan O da aynı anda ve ters yönde iki
araç hareket ediyor. Araçların saatteki hızları
E) 70
sırasıyla 120 km ve 80 km dir.
İki araç A ve B arasında durmaksızın tur
yaptıklarına göre, ilk karşılaşmaları O dan kaç
1 2 . Bir AB yolunu V hızıyla t saatte alan bir araç hızını
km uzakta olur?
20 km/sa azaltırsa t + 4 saatte almaktadır.
Buna göre, t nin V türünden eşiti aşağıdakilerden
B) 10
A) 5
"^
C)20
E) 60
D) 40
hangisidir?
D
A)
V + 20
„, V + 10
B)
D)
V - 20
rx
C)
v-ıo
E
o
V - 20
E)
*"
e
u.
17.
Hızları V km/sa ve 2V km/sa olan iki araç şekilde­
ki gibi A ve B nin orta noktası olan O dan aynı an­
da zıt yönde harekete başlayan iki hareketli A ile
B arasında gidip gelirken ikinci kez nerede bulu­
şurlar?
1 3 . Saatteki hızı 800 km olan bir uçak rüzgârı arkasına
alırsa gideceği mesafeyi 2 saatte, rüzgârı önüne
alırsa gideceği mesafeyi 3 saatte alıyor.
A) A da
Buna göre, uçağın gideceği mesafe kaç km dir?
A) 1760
B)1840
D)2000
2V
B) B de
D) O-A arasında
C) 1920
C) O da
E) O-B arasında
E)2180
1 8 . V1 > V2 olmak üzere, dairesel bir pist üzerinde saat­
14.
teki hızları V1 ve V2 km olan iki hareketli aynı anda
90 km/sa
50 km/sa
aynı yönde giderlerse — saat sonra, zıt yönde gı5
derlerse — saat sonra buluşuyorlar.
İki otomobil A ve B den 90 km/sa ve 50 km/sa hızlar­
la aynı anda ve aynı yönde hareket ediyorlar.
Hızlı olan diğerine 4 saat sonra yetiştiğine göre,
|AB | kaç km dir?
V +V
Buna göre, —1
?- oranı kaçtır?
V -V
A) 160
A) 2
Cevaplar: 1-E
B)200
2-C
3-E
C)240
4-D
5-C
D) 300
6-B
7-B
v
E) 360
8-B
9-A
10-C
11-C
1
v
2
C)4
B)3
12-E
13-C
14-A
15-D
D) 5
16-D
E) 6
17-C
18-B
295
3.
BÖLÜM
1.
TEST
5
HIZ PROBLEMLERİ
5.
Hızları farkı 6 km/sa olan iki motorsikletli, aynı nokta­
Bir araç A kentinden
B
kentine 4 saatte varıyor.
Araç hızını 20 km arttırırsa aynı yolu 3 saatte alıyor.
dan aynı anda, zıt yönde hareket ediyorlar.
Hareketlerinden 2 saat sonra aralarındaki uzaklık
Buna göre, A ve B kentleri arasındaki yol kaç km
44 km olduğuna göre, yavaş giden motorsikletli-
dir?
nin hızı kaç km/saat tir?
A) 240
A) 6
B)8
C) 14
D) 16
B)180
C)120
D) 100
E) 30
E) 20
Saatteki hızı V olan bir hareketli A ve B arasındaki yo­
2.
lu 12 saatte almıştır.
B
V
Şekildeki A ve B noktaları arasındaki uzaklık 300 km
Bu hareketli yolun yarısında saatte — hızıyla, di­
dir. A ve B noktalarında bulunan iki araç birbirine
ğer yarısında da 3V hızıyla giderse yolun tamamı­
doğru hareket ederlerse 2 saat sonra karşılaşıyorlar,
nı kaç saatte alır?
aynı yönde hareket ederlerse 6 saat sonra biri diğe­
rine yetişiyor.
A) 7
Buna göre, hızı az olan aracın saatteki hızı kaç km
dir?
A) 35
B)40
C)45
D) 50
E) 40
C)12
B) 9
E) 15
D)14
o
E
o
Uzunluğu 720 metre olan dairesel bir yarış pistinin bir
noktasından harekete başlayan iki araç, aynı anda ay­
3.
nı yönde giderlerse 36 saniye sonra hızlı olan yavaş
Bir araç A dan B ye V1 hızıyla 6 saatte, B den C ye V2
olanı yakalarken, aynı anda zıt yönde giderlerse 18
hızıyla 9 saatte gidiyor.
saniye sonra karşılaşıyorlar.
Bu araç C den A ya, B den geçmek şartıyla
V
(V1 + V 2 ) hızıyla 7 saatte döndüğüne göre, — 1 2
oranı kaçtır?
«t
°>;
Buna göre, hızlı olan aracın hızı kaç km/sa tir?
C)2
A) 96
B)108
C) 112
D) 120
E) 4
D) 3
8.
I
F
D
A
-tf
H-
—I
I—
V,
4.
E) 124
V2
x km lik bir yolda 80 km/sa hızla harekete başlayan bir
araç yolun - üne geldiğinde hızını 20 km/sa azalt3
1
makta, yolun — sine geldiğinde de hızını 30 km/sa
«-
Şekildeki gibi C ve E den aynı anda harekete başla­
yan iki araç A ve G ye varıp hiç durmadan geri döne­
rek ilk kez |DE| nin orta noktasında karşılaşıyorlar.
artırmaktadır.
Buna göre, — 1 - oranı kaçtır?
Buna göre, aracın yol boyunca ortalama hızı kaç
km/sa tir?
A)
296
200
B)70
C)75
D) 80
E)
250
A)
B).
C)
11
^
E)
r
Hız Problemleri
V + 30
9.
1 4 . Dalga hızı 2 km/sa olan bir denizde, dalgaya zıt
yönde 10 km/sa sabit hızla harekete başlayan bir
deniz motoru 15 saatte en fazla kaç km uzağa gi­
dip tekrar başlangıç noktasına geri dönebilir?
Şekildeki A ve B noktalarından V km/sa ve (V + 30)
km/sa hızla aynı anda zıt yönde hareket eden iki araç
C noktasında karşılaşıyor.
C)96
B)72
A) 60
E) 120
D) 108
Buna göre, V kaçtır?
A) 90
B) 60
D) 30
C) 45
1 5 . A kentinden B kentine hareket eden iki araçtan biri­
nin hızı diğerinin 3 katıdır. Yavaş giden araç saat
9.30 da yola çıkıyor. Hızlı giden araç bu araçtan 4
saat sonra yola çıkıp 2 saat önce B kentine varıyor.
E) 15
1 0 . Bir trenin 216 metre uzunluğundaki bir tüneli geçmesi
40 saniye, makinistin tüneli geçmesi ise 15 saniye sür­
mektedir.
Buna göre, hızlı giden araç saat kaçta B kentine
varmıştır?
Buna göre, trenin boyu en çok kaç metre olabilir?
A) 420
B)390
C) 360
D) 330
A) 14:30
E) 300
D) 17:30
1 1 . Hülya okuldan eve 6 km/sa, evden okula 4 km/sa hız­
la giderken; Sevda da okuldan eve 7 km/sa evden
okula 3 km/sa hızla gidiyor.
Buna göre, Hülya'nın ortalama hızının Sevda'nın
ortalama hızına oranı kaçtır?
A).
B)
8
°>i
C)
E
>!
rekete başladıktan sonra yolun - ünde arızalanarak
1 saat mola veriyor.
Gideceği yolu zamanında alabilmesi için yolun ka­
lan kısmında hızı kaç V olmalıdır?
A)
B
>!
c
D) 11
13
Ȕ
o
c
|AC| = 50 km, |BC| = 40 km, |BD| = x km
D
>>
olduğuna göre, x kaçtır?
B) 100
C)110
D) 120
2-D
4-D
6-D
3-C
5-A
«
A) 240
©
B)270
C) 300
D) 33,0
7-B
Ulaşmak istenilen yere zamanında varabilmek için
hızını 10 km/sa artırdığına göre, aracın ilk hızı kaç
km/sa tir?
E) 130
8-C
9-D
E) 360
1 7 . Bir araç ulaşmak istediği yere 150 km kala arızalanı­
yor ve 30 dk bekliyor.
B)45
C)50
D) 55
1 8 . ABCD kare ve |BC| = 100km
olmak üzere, D noktasından V
ve 3V km/sa hızla aynı anda ay­
nı yönde harekete başlayan iki
araç tekrar yan yana geldikle­
rinde hızı V km/sa olan araç
başlangıçtan itibaren kaç km
yol almış olur?
olduğuna göre, |AB| kaç km dir?
Cevaplar: 1-B
x km
Şekildeki A ve B noktalarından hareket eden iki araç
aynı anda, birbirlerine doğru giderlerse C de, aynı
yönde giderlerse D de buluşuyorlar.
A) 40
5.|AB| = 12.|AC| ve |BD| = 80 km
A) 90
E) 18:30
40 km
50 km
E)
1 3 . Şekildeki ABC dik üçgeninin
A köşesinde bulunan iki hare­
ketliden biri B ye doğru 2V hı­
zı ile diğeri C ye doğru V hı­
zıyla harekete başladıktan
sonra [BC] üzerindeki D nok­
tasında karşılaşıyorlar.
C) 16:30
16.
E
1 2 . Bir hareketli V hızıyla 8 saatte alabileceği bir yolda ha­
B) 15:30
A) 150
10-C
11-B
12-D
B)200
13-D
C)250
14-B
15-C
E) 60
V
3V
D) 300
16-E
E) 350
17-C
18-B
297
: HIZ PROBLEMLERİ
1.
6.
Bir hareketli gideceği yolun — ünü 12 saatte git4
tikten sonra hızını 3 katına çıkarırsa, kalan yolu kaç
^
TECMF
IIM9I
Bir hareketli 70 km/sa hızla bir müddet yol aldıktan
sonra kalan yolu 100 km/sa hızla katediyor.
saatte tamamlar?
Böylece 880 km olan yolu 10 saatte aldığına göre,
70 km/sa hızla kaç saat yol almıştır?
A) 6
B)12
C)18
D) 24
E) 28
A) 3
2.
B)4
C)5
E) 8
D) 6
Bir otomobil saatteki hızını a km azaltırsa gideceği yo­
lu 8 saatte, 2a km arttırırsa aynı yolu 4 saatte alıyor.
Saatte 30 km yol alan bir bisikletli A şehrinden, saatte
20 km yol alan diğer bir bisikletli B şehrinden aynı an­
da ve aynı yönde C şehrine doğru hareket ediyorlar.
A şehrinden yola çıkan hareketli 120 km yol aldıktan
sonra B şehrinden yola çıkan hareketliyi C şehrinde
yakalıyor.
Buna göre, gideceği yol kaç a km dir?
A) 18
B)20
C)24
D) 32
E) 36
Buna göre, A şehri ile B şehri arası kaç km dir?
3.
Ayşe okula gitmek için evden ayrılıyor. Yolun —
ini
A) 100
gittikten sonra kitabını unuttuğunu anlıyor.
o
"^
Başlangıçtaki duruma göre okula ulaşması için
>-
Bir hareketli A şehrinden B şehrine saatte 75 km hız­
gerekli olan sürede geri dönüp kitabını alarak oku-
E
la yetişebilmesi için hızını, ilk hızının kaç katına
u.
çıkarmalıdır?
e
8
*i
4.
B)
9
c) 11
D)
13
B)90
C)80
D) 60
E) 40
la gidip saatte 100 km hızla geri dönüyor.
Gidiş-dönüş 14 saat sürdüğüne göre, gidiş kaç sa­
at sürmüştür?
*H
5
A) 5
B)6
C)7
D) 8
E) 9
Aralarında 480 km uzaklık bulunan iki hareketlinin
hızları V km ve 2V km dir. Bu hareketliler aynı anda
ve aynı yönde hareket ettiklerinde arkadaki hareketli
öndekini 12 saat sonra yakalıyor.
9.
Bir otomobil saatte 70 km hızla A şehrinden B şehrine
gitmekteyken yolun yarısında hızını saatte 50 km ye
düşürdüğü için ilk hızıyla varacağı süreden 3 saat geç
varıyor.
Buna göre, V kaçtır?
Buna göre, A ve B şehirleri arası kaç km dir?
A) 20
5.
B)40
C)60
D) 80
E) 120
A) 525
B)775
C)1050
D)1250
E)1500
Aralarında 960 km mesafe bulunan iki hareketliden
biri saatte 50 km, diğeri saatte 70 km hızla birbirle­
1 0 . Bir araç V hızıyla gittiği bir yolu 5V hızıyla geri dön­
rine doğru aynı anda hareket ediyorlar.
müştür.
Buna göre, ilk kez kaç saat sonra aralarındaki
Buna göre, aracın ortalama hızı kaç V dir?
uzaklık 240 km olur?
A) 4
298
B)5
C)6
D) 7
E) 8
A) 2
B)3
O 5
D) 3
E)
Hız Problemleri
1 6 . Hızı 2V olan bir hareketli A noktasından, hızı V olan bir
hareketli C noktasından aynı anda birbirlerine doğru ha­
reket ettiklerinde B noktasında karşılaşıyorlar.
1 1 . Bir hareketli gideceği yolun üçte birini V hızıyla,
kalan yolun yarısını 2V hızıyla ve kalanını da 3V
hızıyla alıyor.
Buna göre, A dan yola çıkan hareketli C noktasına
Buna göre, hareketlinin ortalama hızı kaç V dir?
A)
I
5
„!
5
C
)ll
D)«
7
7
vardığında C den yola çıkan hareketli BA yolunun
kaçta kaçını gider?
E)l»
11
A)2
1 2 . 150 m uzunluğundaki bir tren saniyede 10 m hızla gi­
C)150
D) 200
D)4
B
|
—• V
2\l<—
E)3
C
1
1
3V-«—
B şehrinin A ve C şehirlerine uzaklığı eşittir. B şeh­
rinden bir hareketli 2V hızıyla, C^ehrinden diğer bir
hareketli ise 3V hızıyla A şehrine doğru; A kentinden
başka bir hareketli ise V hızıyla C şehrine doğru ay­
nı anda hareket ediyorlar.
Buna göre, tünelin uzunluğu kaç m dir?
B) 100
O 4
A
17
derken bir tüneli 20 saniyede geçiyor.
A) 50
B)3
E) 250
A dan yola çıkan hareketli B den yola çıkan ile t
saat sonra karşılaştıktan kaç saat sonra C den
yola çıkan hareketli ile karşılaşır?
1 3 . Saatteki hızları V olan iki hareketli birbirine doğru ay­
nı anda harekete geçiyorlar. Bu hareketlilerden biri sa­
atte 30 km hızla esen rüzgârın da yardımıyla yolun
A)2t
7
— sini aldıktan sonra diğer hareketli ile karşılaşıyor.
Buna göre, hareketlilerin hızı V, saatte kaç km dir?
A) 130
B)145
C)160
D) 180
E) 190
_o
=
£*
>-
B)t
O—
2
D) 3
E) i
2
1 8 . Uç koşucunun katıldığı bir yarışta, birinci yarışçı yarışı
bitirdiğinde ikinciden 40 m, üçüncüden 50 m; ikinci yarışçı yarışı bitirdiğinde ise üçüncüden 12 m öndeydi.
Buna göre, yarış pisti kaç m dir?
£
o
"•
©
1 4 . Hızı saatte 90 km olan bir otomobil A şehrinden, hızı
saatte 75 km olan bir otomobil ise B şehrinden C şehri­
A) 150
1Q
,
î
7
A
'
ne doğru aynı yönde gideceklerdir. A şehrindeki otomo­
Buna göre, A şehri ile B şehri arasındaki uzaklık
C)240
D) 260
B
,
E) 300
D
1
1
40—•^-30->-V2^
*
•
Buna göre, x kaç km dir?
kaç km dir?
B)220
D) 270
Şekilde gösterilen A ve B noktalarından aynı anda ha­
reket eden iki araç birbirine doğru gittiklerinde C de,
aynı yönde gittiklerinde ise D de buluşuyorlar.
edeni kendisinin hareketinden 6 saat sonra yakalıyor.
A) 200
C)240
C
M
V,-*
bil 2 saat önce hareket ettiğinde B şehrinden hareket
B)200
A) 120
E) 280
20.
B)160
-•• 50 km/sa
A
C)180
D) 200
E) 210
-• 30 km/sa
B
a km
C
1 5 . A şehrinden B şehrine gitmek için aynı anda hareket
eden iki otomobilden biri saatte 60 km, diğeri saatte
85 km yol alıyor.
Biri diğerinden 10 saat önce B şehrine vardığına
göre, A ile B arası kaç km dir?
A) 2040
B)1510
D) 1010
C) 1040
E) 720
|BC| = a ve A dan 50 km/sa hızla hareket eden araç,
B den 30 km/sa hızla aynı anda hareket eden aracı C
de yakalıyor.
Her iki aracın hızları 10 km/sa artırıldığına göre,
A dan hareket eden araç B den hareket eden ara­
cı B den kaç a kadar uzakta yakalar?
A) i
3
B)76
C)Ş
9
D)H
12
E
)1
Cevaplar: 1-B 2-C 3-C 4-B 5-C 6-B 7-E 8-D 9-C 10-13 11-E 12-A 13-D 14-C 15-A 16-C 17-E 18-C 19-E 20-A
299
3.
BÖLÜM
150 km
Bir otomobil 840 km lik bir yolun yarısını 70 km/sa hız­
la, geriye kalan yolu 60 km/sa hızla gitmektedir. Geriye
dönüşte, yolun dörtte üçünü 90 km/sa hızla gitmektedir.
B)110
C)105
D) 100
20 km/sa
10 km/sa
Şekildeki iki araç aynı anda birbirlerine doğru hareke­
te başlıyorlar. B den çıkan araç A dan çıkan araçla
karşılaşınca geri dönüyor ve B ye varıp tekrar A ya
doğru dönüyor. B den kalkan araç bu hareketine A
dan kalkan araç B ye gelinceye kadar devam ediyor.
Otomobilin gidiş zamanı dönüş zamanından 4 sa­
at fazla olduğuna göre, otomobil kalan yolu kaç
km/sa hızla tamamlamıştır?
A) 120
TEST
7
HIZ PROBLEMLERİ
E) 95
Buna göre, B den kalkan araç kaç km yol almıştır?
A) 240
A dan B ye 60 km/sa hızla giden bir araç B ye 20 km
kala duruyor. Eğer bu araç 80 km/sa hızla gitseydi ay­
nı sürede B yi 40 km geçecekti.
B)200
C)240
D) 280
C) 300
D) 320
E) 360
Hızları V1 ve V2 olan
iki araç B den şekil­
deki gibi harekete
başlayıp, hızı V1 olan
BAC dan, hızı V 2
olan D den geçmek
üzere 2 saat sonra C de yan yana geliyorlar.
Buna göre, AB yolu kaç km dir?
A) 160
B) 280
E) 320
Şekildeki çembersel pistin çevresi
315 km dir. A ve B den 73 km/sa ve
|AD| = |BD| = |DC|
O
52 km/sa hızlarla iki araç aynı anda
olduğuna göre, V1 - V2 kaç km/sa tir?
E
o
harekete başlıyorlar.
A) 30
B)25
C)20
D) 15
E) 10
Hızlı olan diğerine kaç saat sonra yetişir?
A) 2
4.
B
'I
C)3
D)
7
50 km/sa
E) 4
A
Otobüsün gidişte, farklı sürelerde yaptığı sabit hız­
ların toplamı, dönüşte farklı sürelerde yaptığı sabit
hızların toplamından 40 km/sa daha az olduğuna
göre, kalan üçte ikilik yolu kaç saatte almıştır?
5.
B) 6,4
C)6
D) 5,6
Buna göre, köpek tavşanı yakalamak için kaç adım
atmalıdır?
A) 300
300
B)450
C)600
D) 675
Buna göre kamyon, B ye kaç km uzakta yükünü
boşaltırsa iki araç aynı anda C ye ulaşır?
A) 40
E) 4,8
Bir köpek bir tavşanı kovalıyor. Köpeğe göre tavşan
köpekten 75 adım öndedir. Köpek 3 adım atıncaya
kadar tavşan 4 adım atıyor. Fakat köpeğin 2 adımı
tavşanın 3 adımına eşittir.
E) 900
270 km
B
|AB| = 30 km ve |BC| = 270 km dir. A dan C ye doğru
hızı saatte 50 km olan bir otomobil ve B den C ye
doğru yüklü iken saatte 40 km, boş iken saatte 55 km
hız yapan yüklü bir kamyon aynı anda harekete
başlıyor.
Bir otobüs 960 km yolun ilk yarısını 6 saatte, ikin­
ci yarısını 8 saatte almaktadır. Dönüşte ise yolun
ilk üçte birlik kısmını 4 saatte almaktadır.
A) 7,2
30 km
40 km/sa
B)60
9.
C) 80
D) 160
E) 180
350 km
|AB| = 350 km dir. A dan aynı anda hızları farkı
saatte 15 km olan iki araç B ye doğru yola çıkıyor.
Araçlardan biri 3 saat önce B ye vardığına göre,
diğeri kaç saatte B ye varmıştır?
A) 7
B)8
C) 10
D) 12
E) 14
Hız Problemleri
"Yol(km)
1 0 . Yandaki şekilde, A ve B
araçlarının yol-zaman grafiği
gösterilmektedir.
A)
B)3
C)
/fk
100
hızla giderek yolun tamamını t saatte tamamlıyor.
1 2 :3 4 Zaman
(saat)
10
D) 4
Bir araç, belli bir yolu V km/sa sabit hızla t saatte
alabilmektedir. Başlangıç noktasından harekete
başlayan araç yolun yarısını V km/sa, kalan yolun
2
- ünü 2V km/sa ve geriye kalan yolu da x km/sa
3
40 A..İJ
Araçların hızları sabit ol­
duğuna göre, A aracı hare­
kete başladıktan kaç saat
sonra B aracını yakalar?
8
14.
B
>*
Buna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?
4V
3V
2V
C)V
E)
D)
B)
E)
<
1 1 . Dairesel bir pistin A noktasından
V
aynı anda V m/dk ve — m/dk hız3
larla aynı yönde aynı anda harekete
1 5 . Şekildeki dairesel pistin
çevresi 240 km dir.
A noktasından şekildeki
yönlerde ve belirtilen hız­
larda aynı anda harekete
başlayan üç hareketli en
erken kaç saat sonra yan yana gelirler?
başlayan iki hareketliden hızlı olan
diğerini 2 saat sonra yakalıyor.
Aynı anda aynı noktadan zıt yönde hareket etseler­
di iki araç kaç dakika sonra karşılaşırlardı?
A) 50
B) 60
C)70
D) 75
12.
D
75 km/sa
I. araç, II. araçtan 1 saat önce C ye vardığına göre,
|x - y| kaç km dir?
B) 150
C)175
D) 225
«
17.
5-D
E)- + b
2
B)12
C) 14
90 km/sa
18.
D) 15
E) 20
40 km/sa
A dan ve B den 90 km/sa ve 40 km/sa hızlarla hare­
ket eden iki araçtan B deki BC yolunu t - 1 saatte,
A daki de AC yolunu t saatte alabilmektedir.
t pozitif tamsayı olmak üzere, A ve B den aynı an­
da harekete başlayan iki araç aynı anda C de ol­
duklarına göre, |AB| en çok kaçtır?
|BC|
D) AB yolunun — katı yol alır.
5
5
E) AB yolunun - katı yol alır.
4-B
C) 2b - a
Bir araç 1 depo yakıt ile saatte V km sabit hızla gide­
rek 10V km yol alabilmektedir.
A) 10
c
3-C
B) 2a - b
Bu araç saatte V km sabit hızla yola çıktıktan 6 sa­
at sonra (deposunun dibindeki bir delikten dolayı)
yakıt tükendiğine göre bu delik 1 depo yakıtı kaç
saatte boşaltabilir?
B) AB yolunun _ katı yol alır.
5
5
C) AB yolunun — katı yol alır.
6
2-B
E) 24
D) 18
D)a-b
1 3 . Bir araç AB yolunu V km/sa hızla t saatte alabil­
mektedir.
Cevaplar: 1-C
C)12
Saatteki hızları Vv (V^+V.,), (V^-V^,) olan üç hareketli­
den birincisinin 2t saatte aldığı yol a km, ikincisinin t
saatte aldığı yol b km dir.
A) a + b
E) 300
Aynı araç hızını % 20 oranında azaltarak t nin
% 50 fazlası kadar süre yol alırsa aşağıdakilerden
hangisi doğru olur?
3
A) AB yolunun - katı yol alır.
B)9
Buna göre, üçüncünün t saatte aldığı yol kaç km dir?
c
Şekilde, I. araç AB yolunu 75 km/sa, BC yolunu
50 km/sa hızla; II. araç ise AB yolunu 50 km/sa, BC
yolunu da 75 km/sa hızla almıştır.
A) 100
16.
o
50 km/sa
50 km/sa
A) 6
E) 80
—ı
75 km/sa
40 km/sa
*>İ
6-C
7-C
8-D
9-C
10-A
11-B
B
12-B
>!
13-D
C)2
14-A
15-E
«l
D) 3
16-D
17-D
18-E
301
^$&-t
"-' .«%>•:"- tâ, >»***.• ,*•»;.-*îri ..*•-
AŞİ;'*
?S^MÎ >•&*?*>•£* '1?*&&-M
MI
^Pl':<^x sayısının % a sı, x .
100
1988 - ÖSS
Aynı evi paylaşan bir grup öğrenci 120 000 lira kira gi­
derini eşit olarak bölüşüyorlar. Eve bir arkadaşları daha
yerleşince kişi başına düşen kira gideri % 25 azalıyor.
olur.
Örneğin, 500 ün % 24 ü:
24
500. — veya 500 . 0,24 = 120 dir.
100
1. Arttırma (Zam):
Bir x sayısının % a fazlası, x 100 + a
100
2. Azaltma (İndirim):
Bir x sayısının % a eksiği, x . 100 - a
100
Buna göre son durumda kişi başına düşen ev kira­
sı kaç liradır?
A) 15 000
D) 30 000
olur.
,
100
t yılda getireceği basit faiz ( f ) ise,
A. n.t
100
olur.
Örneğin 25 milyar liranın % 60 tan 2 yılda getireceği
basit faiz 25
60
2 = 30 milyar lira, 1 ayda
100
30
getireceği faiz (1 yıl 12 ay olduğundan) — = 2,5 milyar
lira, 4 ayda getireceği faiz 30 — = 10 milyar liradır.
* Oran bulma sorularının çözümünde, değişken seçimi
yapmak yerine uygun sayı değerleri seçilerek istenilen
oranlar bulunabilir.
Geçmiş yıllardaki ÖSS veya ÖYS sorularını örnek olarak
ele alıp çözüm metodlarını inceleyelim.
1. 1983-ÖSS
Ucuzluk yapan bir mağaza, fiyatlarda % 25 indirim ya­
pıyor. İlk hafta satışın az olduğunu görünce ikinci hafta
indirimli fiyatlar üzerinden % 20 indirim daha yapıyor.
Mağaza sahibinin yaptığı tüm indirim yüzde kaçtır?
A) 32,5
B)35
C) 37,5
D) 40
E) 42,5
Çözüm:
Bir malın indirimden önceki fiyatı 100 olsun. Birer haf­
ta arayla yapılan % 25 lik ve % 20 lik iki indirimden
sonra bu malın satış fiyatı,
100
= 60 olur. Buna göre, yapılan tüm in-
100 100
dirim 100-60 = 40 (% 40) tır.
302
E) 40 000
Kira gideri eşit olarak bölüşüldüğü için, evde başlangıç­
ta kalan grubun ödediği toplam kira gideri de % 25 aza­
lır. Ev kirası değişmediğinden azalan bu miktarı eve ye­
ni yerleşen kişi karşılayacaktır. Dolayısıyla son durum­
da kişi başına düşen kira gideri de, toplam kira giderinin
25
% 25 i olacağından 120 000 • -— = 30 000 lira olur.
100
A liranın (ana para) yıllık % n den;
f=
C) 24 000
Çözüm:
3. Faiz Problemleri:
1 yılda getireceği basit faiz A .
B) 20 000
O
«
3. 1986-ÖSS
Bir bakkal bir miktar baharatı etiket fiyatının % 40
eksiğine almış ve etiket fiyatının % 10 eksiğine sat­
mıştır.
Bu bakkal satıştan % kaç kâr etmiştir?
A) 25
B)30
C)40
D) 45
E) 50
Çözüm:
Baharatın etiket fiyatına 100 denilirse, bakkalın bu ba­
haratı alış fiyatı 60, satış fiyatı 90, elde ettiği kâr da
90 - 60 = 30 olur. Buna göre, bakkalın bu satıştan el­
de ettiği kâr,
30 1 50 la, cn. ..
— =- =
(% 50) dır.
60 2 100
4. 1991 - ÖYS
Bir malın etiket fiyatı, maliyeti üzerinden % 40 kârla he­
saplanmıştır.
Bu mal, etiket fiyatı üzerinden %15 indirimle satılır­
sa, elde edilen kâr yüzde kaç olur?
C)25
D) 22
E) 19
A) 30
B) 27
Çözüm:
Bu malın maliyet fiyatına 100 denilirse etiket fiyatı 140,
etiket fiyatı üzerinden % 15 indirim yapılırsa indirimli
satış fiyatı, 1 4 0 - 1 0 0 " 1 5 = 119 olur.
100
Dolayısıyla bu malın indirimli satışından,
119 - 100 = 19 olduğundan, % 19 kâr elde edilir.
Yüzde Problemleri
8.
5. 1983-OYS
Bir satıcı bir malı % 20 kârla satarken, satış fiyatı üze­
rinden % 20 indirim yaparak 384 liraya satıyor.
Yıllık % 60 faiz oranı üzerinden bankaya yatırılan
bir miktar para, kaç ay sonra kendisinin — ü kadar
4
faiz geliri getirir?
Bu malın maliyeti kaç liradır?
A) 410
B)400
C)380
E) 360
D) 370
1993 -OSS
B)4
A) 3
Çözüm:
Bu malın satış fiyatı maliyetinin % 120 si, indirimli fiyatı
'
80
da maliyetinin, % (120
) = % 96 sidir.
100
Buna göre,
% 96 sı
384 lira olursa
maliyeti (% 100 ü) / > x lira olur.
E) 8
D) 6
C)5
Çözüm:
Bankaya yatırılan para 100, bu paranın yıllık % 60 tan
x ayda getireceği faiz kendisinin dörtte biri olsun.
100
60
X
100 12
=100-1
x = 5 aydır.
Doğru Orantı
x =
6.
100.384
96
= 400
. _,
liradır.
9.
1991-OYS
Ahmet parasının — ünü yıllık % 40 tan, geri kalanını
1996-ÖYS
ise % 60 tan 6 aylığına faize veriyor. Eğer tersini yap­
Etiket fiyatı maliyet üzerinden % 5 kârla hesaplanan bir
malın indirimli fiyatı etiket fiyatından 75 000 TL azdır.
saydı, yani; parasının — ünü yıllık % 6 0 tan, geri kalanını ise yıllık % 40 tan 6 aylığına faize verseydi
Bu mal indirimli fiyatla satıldığında maliyet üzerin­
den % 20 zarar edildiğine göre, malın maliyeti kaç
TL dir?
A) 200 000
B) 250 000
D) 350 000
C) 300 000
E) 400 000
Çözüm:
Problemde verilenlere göre, bu malın etiket fiyatı mali­
yetinin % 105 i, indirimli fiyatı da maliyetinin % 80 idir.
Bu malın etiket fiyatı ile indirimli fiyatı arasındaki fark
75 bin TL olduğundan,
bu malın maliyetinin % (105 - 80) = % 25 i 75 bin TL,
dolayısıyla % 100 ü (maliyeti) 4.75 000 = 300 000 TL dir.
7. 1997-ÖYS
x liraya alınan bir mal % 60 kârla 3 x - 1 4 0 000 liraya
satılmıştır.
Bu satıştan kaç lira kâr edilmiştir?
A) 60 000
B) 65 000
D) 75 000
C) 70 000
E) 80 000
Çözüm:
x lira bu malın % 100 ü ise 3x lira bu malın % 300 ü
dür. % 60 kârla satış fiyatı yani maliyetinin % 160 ı
3x - 1 4 0 000 lira olduğundan, % 300 ünden (3x liradan)
çıkarılan miktar bu malın (300 - 160 = 140 olduğundan)
% 140 ı dır. Buna göre, % 140 ı 140 bin lira olan malın
satışından elde edilen kâr, yani % 60 ı 60 bin liradır.
100 000 lira daha az faiz alacaktı.
D
E
*>
Buna göre, Ahmet'in faize verdiği toplam para kaç
liradır?
A) 3 750 000
B) 3 500 000
D) 2 500 000
C) 3 000 000
E) 2 250 000
Çözüm:
Elde edilecek faiz, bankaya yatırılan paranın miktarı ile
doğru orantılı olduğundan, değer seçip sonuçlar arasın­
da orantı kurarak çözüm yapalım. Buna göre, Ahmet'in
bankaya yatırdığı toplam para 300 bin lira olsaydı;
ilk durumda elde edeceği faiz
1 0 0 . i l . ± + 2 0 0 - - ^ . A = 8o
100 12
100 12
bin TL,
İkinci durumda elde edeceği faiz
100. i°-. A + 200- Ü . - İ - 7 0
100 12
100 12
bin TL,
olduğundan 80 - 70 = 10 bin TL daha az faiz alırdı.
O halde,
100 bin TL daha az faiz alabilmesi için de bankaya
yatırdığı toplam para 10 katı yani
10.300 000 = 3 000 000 TL olmalıdır.
303
MATEMATİK SORU BANKASI
Karışım Problemleri
12. 1987-ÖSS
A kabında ağırlıkça % 30 tuz içeren 2 kilogram, B ka­
bında ise ağırlıkça % 10 tuz içeren 1 kilogram tuzlu su
bulunmaktadır. A daki tuzlu suyun yarısı B ye alınarak
karıştırılmış, sonrada B dekinin yarısı A ya alınarak
karıştırılmıştır.
A maddesinden a miktarda, B maddesinden b miktar­
da katılarak elde edilen (a + b) miktardaki bir karışımda
100 . a
A maddesinin ağırlığının oranı
,
a + b
100 . b
B maddesinin ağırlığının oranı da
dir.
a + b
Örneğin; 90 gram un, 60 gram şeker karıştırıldığında
elde edilen karışımın ağırlıkça;
90.100
60 + 90
A da son olarak elde edilen tuzlu suyun ağırlıkça
yüzde kaçı tuzdur?
A) 28
(% 20 lik) bir karışım elde edilir. Bu karışımın da yarısı
(1 kilogramı) A da kalan 1 kilogramlık karışımın üzerine
30 + 20
= 25 (% 25 lik) bir
dökülürse, A da son olarak
karışım elde edilir.
13. 1999 - ÖSS - İptal
Bir havuzu % 20 lik tuzlu su akıtan bir musluk 10 saat­
te, % 30 luk tuzlu su akıtan başka bir musluk 15 saat­
te dolduruyor.
8
Uyarı:
x1 > x2 olmak üzere, % x1 lik m1 gram karışıma
o
«
u.
% xQ lık (m1 + m2) gram karışım elde ediliyorsa,
@
x1 > x0 > x2 ve
0
) =
m
2 • (xo
- x
2>
o l u r
-
dir.
11. 1988-ÖYS
Şeker oranı % 15 olan 200 gr lık meyve suyu ile, şe­
ker oranı % 10 olan 300 gr lık meyve suyu karıştı­
rıldığında, elde edilen karışımın şeker oranı yüzde
kaç olur?
A) 13
B) 12,5
C) 12
D) 11,5
E) 11
I. Çözüm:
Elde edilen karışımın şeker oranı (x) olsun. 15>x>10
olduğundan, 200.(15 - x) = 300.(x -10) => x = 12 dir.
Veya, II. bir yoldan, % 15 lik 200 gram karışım % 15
lik 100 er gram iki karışım ve % 10 luk 300 gram karışım
da % 10 luk 100 er gram üç karışım gibi düşünülüp bu
beş karışım karıştırılıyormuş gibi işlem yapılırsa sonuç
aritmetik ortalama yardımıyla,
(% 12) olarak bulunur.
304
2.15 + 3.10
5
= 12
Boş olan bu havuz muslukların ikisi birlikte açıla­
rak doldurulduğunda, havuzdaki suyun tuz oranı
yüzde kaç olur?
E
% x2 lik m2 gram karışım eklendiğinde
x
E) 24
rışım karıştırılırsa (karışım miktarları eşit) — - — = 2 0
_ L - = 1 olur.
ı • (xı ~
D) 25
A daki karışımın 1 kilogramı ile B deki 1 kilogramlık ka­
Çözüm:
10 kilogramlık karışımın % 20 si şeker olduğundan
10 kilogramın 2 kilogramı şeker, 8 kilogramı un ve
karışıma 8 kilogram daha un eklenirse son durumda­
ki karışımın şeker miktarının un miktarına oranı,
m
C)26
Çözüm:
= 60 (% 60 ı) undur.
10. 1990 - ÖYS
Ağırlıkça % 20 si şeker olan 10 kg lık un - şeker karı­
şımına 8 kg daha un eklendiğine göre, yeni karışımın
şeker(kg)
oranı kaçtır?
un (kg)
8+8
B)27
A) 24
B)25
C)26
D) 28
E) 30
Çözüm:
Musluğun havuzu doldurma süresi ile havuza akıttığı
su miktarı ters orantılı olduğundan, havuzu 10 saatte
dolduran musluktan akan su miktarı 60 litre olarak se­
çilirse, 15 saatte dolduran musluktan akan su miktarı
40 litre olur. İki musluk aynı anda açıldığında havuza
dolan suyun tuz yüzdesine x denilirse,
20 < x < 30 olacağından,
10 saatte % 20 lik 60 litre
15 saatte % 30 luk 40 litre
60.(x - 20) = 40.(30 - x) => x = 24 (% 24)
olarak bulunur.
6.
1. 400 sayısının % 30 unun % 5 i kaçtır?
A) 5
B)6
C)7
D) 8
E) 9
Bir sayının % 13 ünün 20 fazlası aynı sayının % 21
ine eşittir.
Buna göre, bu sayı kaçtır?
A) 200
B)250
C)300
D) 350
E) 400
2. 0,008 sayısı hangi sayının yüzde 20 sidir?
A) 0,04
B) 0,02
D) 0,002
Bir emekli, maaşının % 25 ini kiraya, kalanının % 40
ınıda mutfak masrafına harcıyor.
C> 0,004
E) 0,001
Geriye 90 milyon TL kaldığına göre, emeklinin ma­
aşı kaç milyon TL dir?
A) 260
3.
Bir mal etiket fiyatı üzerinden % 12 indirim yapılarak
8 800 000 TL ye satılmıştır.
o
«=
Bu malın etiket fiyatı kaç TL dir.
>-
A) 9 400 000
E
o
u.
B) 9 600 000
D) 10 600 000
O
C) 1Ö 000 000
8.
4. % 20 zararla 1 600 000 TL ye satılan bir mal, % 20
kârla satılsaydı kaç TL ye satılırdı?
D) 2 400 000
C) 2 600 000
E) 2 200 000
9.
Bu mal etiket fiyatı üzerinden % 14 indirim yapıla­
rak satılırsa, elde edilen kâr yüzdesi kaçtır?
B) 40
C)35
D) 30
B)48
C)54
D) 60
E) 64
Yıl sonunda 168 milyon TL faiz alındığına göre, n
kaçtır?
Bir malın etiket fiyatı, maliyeti üzerinden % 50 kârla
hesaplanmıştır.
A) 45
E) 180
420 milyon TL, yıllık % n faiz veren bir bankaya 1 yıl­
lığına faize veriliyor.
A) 20
5.
D) 200
Buna göre, elde edilen faiz miktarı kaç milyon TL
dir?
E) 11 000 000
B) 2 800 000
C) 220
360 milyon TL, yıllık % 40 tan bir bankaya 4 aylığına
faize veriliyor.
A) 40
A) 3 000 000
B)240
E) 29
B)25
C)30
D) 35
E) 40
1 0 . A sayısı B sayısının % 40 ı dır.
Buna göre, B sayısı A sayısının yüzde kaçıdır?
A) 200
B)225
C) 250
D) 300
E) 350
305
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . Kireç oranı % 3 olan 400 gram kireçli suya 200 gram
1 1 . Tuz oranı % 10 olan 400 gram tuzlu suya 50 gram
su ilâve ediliyor.
tuz ilâve edilirse oluşan karışımın tuz oranı yüzde
kaç olur?
Oluşan yeni karışımın kireç oranı yüzde kaçtır?
A) 15
B) 18
C)20
D) 22
E) 25
A) 0,1
1 2 . Bir kabın % 1 0 u su ile t
D) 2
E) 2,5
1 7 . Tuz oranı % 8 olan 600 gramlık tuzlu sudan kaç
gram su buharlaştırılmalıdır ki tuz oranı % 10 ol­
Buna göre, kabın tamamı kaç litre su alır?
B)200
C)1,5
jdur. Bu kabın içine 27 lit­
re su ilâve edilirse kabın % 25 i dolmuş oluyor.
A) 180
B)1
C)225
D) 250
sun?
E) 300
A)120
1 3 . Bir arabanın yükü boşaltılırsa araba % 50 hafifliyor.
B)140
C)160
D)180
E) 200
1 8 . Bir miktar kuruyemişin % 20 sini İzzet, geri kalanını
Yüklü arabaya yükünün üç katı kadar daha yük yükle­
Fatih yemiştir.
nirse ağırlığı 900 kilogram oluyor.
İzzet'in yediği kuruyemiş Fatih'in yediği kuruye­
Buna göre, yüksüz araba kaç kilogramdır?
A) 300
B)250
C)225
D) 200
O
E) 180
1 4 . Ağırlıkça % 30 u şeker olan 80 kilogram şeker-su
karışımına 36 kilogram şeker ve 34 kilogram su ka­
tılırsa elde edilen yeni karışımın şeker oranı yüzde
E
«
mişin yüzde kaçıdır?
A) 25
B)30
C)35
müşterinin ödediği KDV tutarı kaç milyon TL dir?
A) 15
B)35
C)40
D) 45
E)50
1 9 . % 20 KDV li bir malı, 216 milyon TL ye alan bir
kaç olur?
A) 30
D)40
B)18
C) 24
D)30
E) 36
E) 50
1 5 . Bir araç hızını % 40 artırırsa gideceği yere 15 saatte
varıyor.
2 0 . Yıllık % 60 faiz oranı üzerinden bankaya yatırılan bir
miktar para 6 ay sonra faizi ile birlikte 780 milyon TL
olarak çekiliyor.
Eğer araç hızını artırmadan giderse aynı yolu kaç
saatte alır?
A) 16
B)18
C)20
D) 21
E) 25
Faize verilen para kaç milyon TL dir?
A) 560
B) 600
C) 620
D) 640
E) 700
Cevaplar: 1-B 2-A 3-C 4-D 5-E 6-B 7-D 8-B 9-E 10-C 11-C 12-A 13-E 14-C 15-D 16-D 17-A 18-A 19-E 20-B
306
i£toxrv£%&.
> ; . >
• ' * , » • • -
PROBLEMLERİ
.*
TEST
KVJ
'«*$,
••^ViWÎ
1.
6.
Yedide ikisi 40 olan sayının % 25 i kaçtır?
Etiket fiyatının % 20 eksiğine aldığı bir malı, eti­
ket fiyatının % 40 fazlasına satan bir satıcının kâ­
A) 25
B)30
C)32
D) 35
rı yüzde kaçtır?
E) 40
A) 40
2.
Hangi sayının % 15 inin % 4 0 ı 3 tür?
7.
B)50
C)60
E) 75
D) 70
Etiket fiyatı, maliyeti üzerinden % 50 kâr ile belirlenen
bir malın etiket fiyatı üzerinden % 20 indirim yapılıyor.
A) 30
B)40
C)5Q
D) 60
E) 70
Buna göre, bu malın indirimli fiyatının, maliyet fi­
yatına oranı kaçtır?
*>İ
3.
B)
*l
D)
C)
Bir miktar yumurtanın % 40 ı taşıma sırasında kırıl­
mıştır.
Kalanların üçte biri 30 tane olduğuna göre, baş­
langıçtaki yumurta sayısı kaçtır?
A) 100
B)130
C)150
D) 180
E) 200
o
8.
Etiket fiyatını maliyetleri üzerinden % 40 kârla belirle­
yen bir firma, toptan satışlarda etiket fiyatı üzerinden
•
% 20 indirim yapıyor.
Buna göre, bu firma toptan satışlarda, maliyet üze­
rinden yüzde kaç kâr etmektedir?
A) 20
4.
B)18
C) 16
D) 14
E) 12
Bir sınıftaki öğrencilerin % 70 i erkektir.
Sınıftaki erkeklerin sayısı bayanların sayısının iki
katından 3 fazla olduğuna göre, sınıftaki öğrenci
sayısı kaçtır?
A) 20
B) 30
Maliyet fiyatına % 25 kâr koyarak 22,5 milyona
C)40
D) 50
E) 60
satılan bir ürün, maliyet fiyatının % 20 si kadar
indirim yapılarak kaç milyon TL ye satılır?
A) 20
5.
B)18
C)17,6
D) 15
E) 14,4
Bir kitapçı elindeki kitapların önce % 40 ını sonrada
kalanların % 35 ini satmıştır.
Buna göre, kitapçının başlangıçta elinde bulunan
kitapların yüzde kaçı satılmamıştır?
A) 39
B) 35
C)30
D) 27
E) 25
1 0 . % 50 si ile % 20 si arasındaki fark, % 5 inden
12 fazla olan sayı kaçtır?
A) 20
B)24
C)36
D) 48
E) 60
307
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . Bir firma fiyatlarında % 30 indirim yaptığında satışları
1 6 . Yıllık % 80 basit faizle bankaya yatırılan bir miktar
eskiye göre % 60 artmıştır.
para, iki yıl sonra faizi ile birlikte 780 milyon TL olarak
çekiliyor.
Buna göre, bu firmanın günlük hasılatı için aşağıdaBuna göre, bankaya yatırılan para kaç milyon TL
kilerden hangisi doğrudur?
dir?
A) % 12 azalır
B) % 12 artar
C) % 10 azalır
A) 300
D) % 10 artar
B)320
C)350
D) 380
E) 400
E) Değişmez
' > Şeker (kg)
12.
1 7 . Alkol oranı % 30 olan 40 litre alkol-su karışımı ile
alkol oranı % 20 olan 60 litre alkol-su karışımı
karıştırıldığında oluşan yeni karışımın alkol oranı
yüzde kaçtır?
20
40
100 Karışım (kg)
A) 28
B)26
C) 24
D) 23
E) 22
Şekildeki grafik, şekerli su karışımındaki şeker mikta­
rını göstermektedir.
x = (b +12) kg olduğuna göre, a + b + c kaç kg dır?
A) 70
B)64
C)60
D) 58
E) 55
o
c
o
E
1 3 . Bir ülkede yıllık enflasyon % 50 dir.
Bu ülkede yıl sonunda memurların maaşına % 20
zam yapılırsa, memurların reel kaybı yüzde kaç
olur?
A) 30
B)24
C)20
D) 16 E)10
1 8 . Şeker oranı % 30 olan 30 litre şekerli suyun, şeker
oranını % 50 ye çıkarmak için kaç litre su buharlaştırılmalıdır?
A) 12
B)10
C)9
D) 8
E) 6
©
1 9 . Yağ oranı % 10 olan 20 kg un-yağ karışımının yağ
oranını % 40 a çıkarabilmek için kaç kg yağ ekle­
mek gerekir?
1 4 . 600 milyon TL nin yıllık % 40 tan 2 yılda getire­
ceği basit faiz geliri kaç milyon liradır?
A) 560
B)480
C) 400
D) 360
A) 10
B)8
C)6
D) 5
E) 4
E) 320
2 0 . Tuz oranı % 40 olan 80 kilogram tuz-su karışımın­
dan ağırlıkça tuzun yarısı kadar su buharlaştırılıyor.
1 5 . Yıllık % 30 faizle bankaya yatırılan bir miktar para
kaç ay sonra kendisinin dörtte biri kadar faiz geli­
ri getirir?
A) 5
B)6
C)7
D) 8
E) 10
Buna göre, en son durumda tuz-su karışımının su
oranı yüzde kaçtır?
A)30
B) 35
C)40
D) 50
E) 55
Cevaplar: 1-D 2-C 3-C 4-B 5-A 6-E 7-D 8-E 9-E 10-D 11-B 12-B 13-C 14-B 15-E 16-A 17-C 18-A 19-A 20-D
308
^'..^•.r-.'.y
jtatatfMft'
1.
6.
Bir satıcı 6 limonu aldığı fiyata 5 limon satmaktadır.
S*$R *'
Bir mal % 20 kârla satılırsa a liraya, % 20 zararla
satılırsa b liraya satılıyor.
Bu satıştan limoncunun kârı yüzde kaçtır?
A) 5
B)10
D) 25
C)20
Buna göre, a ve b sırasıyla hangi sayılarla
orantılıdır?
E) 40
A) 5 ve 3
B) 2 ve 3
D) 4 ve 3
2.
C) 3 ve 5
E) 3 ve 2
Bir satıcı bir malın % 20 sini % 40 kârla satıyor.
Kalanını yüzde kaç kârla satmalıdır ki, satıcının bu
satışlardan elde ettiği kâr % 32 olsun?
7.
Bir sayının % 20 fazlası, aynı sayının % 20 eksi­
ğinden ilk sayının yüzde kaç fazlasıdır?
A) 24
B) 26
C)28
E) 32
D) 30
A) 20
3.
Bir sayının yarısının % 2 0 sinin %15i p dir.
x
£
Aynı sayının % 15 i aşağıdakilerden hangisidir?
E
•
A)p
B)3p
C)10p
D)100p
8.
B)40
C)50
D) 60
E) 80
Tuz oranı % 20 olan A gram tuzlu su ile tuz oranı %
60
o l a n
B
9ram
tuzlu
s u d a k i
t u z
miktarları birbirine
eşittir.
E) 1000p
Bu iki tuzlu su karıştırıldığında elde edilen yeni ka­
rışımın tuz oranı yüzde kaçtır?
A) 25
4.
B)30
C)35
D) 40
E) 45
x liraya maledilen bir mal % 20 kârla 3x - 450 lira­
ya satılırsa % 20 zararla kaç liraya satılır?
9.
A) 100
B)180
C)200
D) 240
E) 300
Bir kırtasiyeci dağıtıcıdan etiket fiyatı üzerinden % 44
indirimle aldığı bir malı, müşteriye etiket fiyatı üzerin­
den % 1 6 indirimle satıyor.
Bu satışta kırtasiyecinin kârı yüzde kaçtır?
A) 28
5.
B)34
C)46
D) 50
E) 60
Kilosu 255 000 liradan alınan yaş sabun kuruduğu
zaman ağırlığı %15 azalmaktadır.
Buna göre, kuru sabunun kilosu kaç lira olmakta­
dır?
1 0 . Bir dairenin yarıçapı % 10 arttırılırsa alanı yüzde
kaç artar?
A) 285 000
B) 290 000
D) 315 000
C) 300 000
E) 320 000
A) 10
B)11
C) 20
D) 21
E) 100
309
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . Asit oranı % 5 olan 42 İt yağa kaç İt asitsiz yağ
karıştırılmalıdır ki, karışımın asit oranı % 3 olsun?
1 1 . "Paramın % 40 ı, % 46 sından 48 milyon lira azdır."
diyen birisinin parasının tamamı kaç milyon liradır?
A) 28
A) 640
B)720
C) 800
D) 840
B) 30
D) 34
C)32
E) 36
E) 900
1 7 . x liralık mal % 20 zararla a liraya ve y liralık mal
% 20 kârla b liraya satılıyor.
1 2 . a sayısı b sayısının % 20 sine, b sayısı da c sayısının
% 20 sine eşittir.
a sayısı b sayısının 2 katına eşit olduğuna göre,
x sayısı y sayısının kaç katıdır?
Buna göre, a sayısı c sayısının yüzde kaçına eşit­
tir?
A) 10
B)8
C)6
D) 4
A) 2
B)3
C)4
D) 5
E) 6
E) 2
1 8 . Bir satıcı, elindeki malın % 60 mı %5 kârla sattığın­
da p lira kâr ediyor.
1 3 . Maliyet fiyatı üzerinden % 40 kârla satılan bir ma­
lın satış fiyatı üzerinden yüzde kaç indirim yapılmalıdır ki son durumda maliyeti üzerinden % 12
kâr elde edilsin?
A) 7
B)15
C)20
D) 25
E) 40
^
»
o
Kalan malı da % 15 kâr ile satarsa malın tamamın­
dan kaç lira kâr eder?
A) 3p
B)4p
C)5p
D) 6p
E) 7p
«
u.
1 9 . Bir galerici, dolar 1 000 000 TL iken 9 000 dolara bir
araba alıyor. Daha sonra dolar 1 350 000 TL olduğun­
da arabayı 10 000 dolara satıyor.
1 4 . Şeker oranı %16 olan 25 litre şerbet ile şeker ora­
nı % 24 olan 15 litre şerbet karıştırılırsa karışımın
şeker oranı yüzde kaç olur?
Buna göre, galericinin Türk lirası üzerinden kârı
yüzde kaçtır?
A) 60
A) 18
B)19
C)20
D) 21
B) 55
C)50
D) 30
E) 10
E) 22
2 0 . Yıllık faiz oranı % 80 olan bir bankaya yatırılan bir
miktar para 10 ayda 40 milyon TL faiz geliri getir­
miştir.
1 5 . Şeker oranı % 30 olan 150 gr şerbetin şeker ora­
nının % 45 olabilmesi için şerbetten kaç gr su buharlaştırılmalıdır?
A) 50
B) 55
C)60
D) 65
E) 70
Buna göre, yatırılan para kaç TL dir?
A) 40 000 000
B) 60 000 000
D) 100 000 000
C) 80 000 000
E) 120 000 000
Cevaplar: 1-C 2-D 3-C 4-C 5-C 6-E 7-B 8-B 9-D 10-D 11-C 12-D 13-C 14-B 15-A 16-A 17-B 18-A 19-C 20-B
310
.&"&»
'-$Ç?Ü&*#Şfi
*•?&&
-' V •
1.
Bir çemberin yarıçapı
yüzde kaç azalır?
% 20
6.
azaltıhrsa çevresi
Ali parasının % 25 ini Veli'ye verirse paraları eşit oluyor.
Buna göre, Veli'nin parası Ali'nin parasının yüzde
A) 10
B)20
C)30
D) 40
E) 50
kaçıdır?
A) 40
2.
Bir yardım derneğine yardım almak için başvuranla­
rın sayısı bir yıl içinde % 20 artarken kişi başına ya­
pılan yardım miktarının % 10 azaldığı gözleniyor.
7.
Buna göre bu derneğin toplam gelirindeki değişim
için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
A) % 10 azalır.
B) % 10 artar.
D ) % 8 artar.
3.
A) 30
B) 25
C)20
A
liraya satılsaydı
£
*"
8
'
Buna göre, son durumda otobüsteki yolcuların
yüzde kaçı erkektir?
B)15
C)18
D) 20
fazlasını
C)4
D) 4,5
E) 5
Enflasyon orammn yılda % 80 olduğu bir ülkede
alım gücü % 25 azalan bir memurun maaşına ya-
B)30
C)35
D) 40
E) 45
E) 10
% 30 u erkek olan 20 kişinin bulunduğu bir otobüs­
ten erkeklerin yarısı inip yerine 8 bayan biniyor.
A) 12
B)3,5
A) 25
9.
4.
E) 75
pılan yıllık zam oranı yüzde kaçtır?
«
©
D) 15
D) 60
Hüseyin, Ayhan'ın yaptığı bir işin % 40
Ayhan'ın yaptığı sürede bitirebiliyor.
A) 3
E) % 5 artar.
Aynı ürün B liraya alınıp
yüzde kaç zarar edilirdi?
C) 55
Buna göre, Ayhan'ın 7 günde yaptığı bir işi Hü­
seyin kaç günde bitirebilir?
C) % 8 azalır.
A liraya alınan bir ürün % 25 kârla B liraya satılıyor.
B) 50
26
2
liraya alınan bir mal 2
oranı yüzde kaçtır?
A) 100
B)150
27
C)200
liraya satılırsa kâr
D) 250
E) 300
E) 22
1 0 . Kilosu 170 000 liradan alınan bir malın % 15 i fire
5.
Yıllık % 50 faiz veren bir bankaya bir yıllığına bir mik­
veriyor.
tar para yatırılıyor.
Geriye kalan malın kilosu kaç liraya satılmalıdır ki,
Aynı para yıllık % 75 faiz veren başka bir bankaya
tüm satıştan % 30 kar edilmiş olsun?
yatırılsaydı kaç ay sonra aynı faizi kazandırabilir­
A) 210 000
di?
A) 4
B)6
C)8
D) 9
E) 10
D) 245 000
B) 225 000
C) 230 000
E) 260 000
311
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . Bir manav bir kasa limondan 10 tanesinin çürük ol­
duğunu görüyor. Geriye kalan limonların 30 tanesini
% 25 kârla, kalanını da % 40 kârla satıyor.
1 6 . 80 kilogram su kapasiteli bir kap tuz oranı % 20 olan
tuzlu su karışımı ile dolduruluyor. Doldurma esnasın­
da 20 kilogram su buharlaşıyor.
Satıcı bu satış sonunda bir kasa limondan % 30
kâr ettiğine göre, % 40 kârla kaç limon satmıştır?
Buna göre, dolan kabın tuz oranı yüzde kaç olur?
A) 28
C) 40
B) 32
D) 45
A) 30
D) 6 850 000
D) 23
E) 20
Buna göre, yatırılan para yıllık yüzde kaçtan faize
yatırılmıştır?
sına göre satılırsa 1 500 000 kâr elde ediliyor.
bağıntısına göre sa­
Aynı mal b = a 100
10
.a
tılırsa kaç liraya satılmış olur?
B) 6 750 000
C)24
1 7 . Bankaya yatırılan 5 000 000 TL 4 ay sonunda faizi
ile birlikte 6 500 000 TL olarak çekiliyor.
*n
20-a
1 2 . Maliyeti a lira, olan bir mal b = a +
bağıntı100
A) 6 500 000
B)25
E) 48
A) 60
D) 80
C)75
B) 70
E) 90
C) 6 800 000
E) 7 500 000
1 8 . Bankaya yatırılan bir miktar para 8 ay sonunda yatı­
rılan paranın — ü kadar faiz geliri getiriyor.
1 3 . Bir ülkede kitap okuma oranı % 52 dir.
Bu ülkede kadınların kitap okuma oranı % 40, er­
keklerin kitap okuma oranı % 70 olduğuna göre,
ülkedeki kadın nüfusun erkek nüfusuna oranı kaç­
tır?
*>!
B)
c>:
>!
E
>!
İşçi sayısı % 40 artırılır, günlük çalışma saati % 50
azaltılır ve çalıştıkları gün sayısı % 20 artırılırsa sü­
rülen tarla miktarı yüzde kaç azalır?
B) 30
C) 20
c
O
>E
Buna göre, bu banka yıllık yüzde kaç faiz vermek­
tedir?
A) 20
D) 50
C)40
B) 30
E) 60
u.
D
1 4 . x sayıda işçi günde y saat çalışarak z günde a m2
tarlayı sürüyor.
A) 34
o
D) 16
©
1 9 . Bir adam parasının yarısını yıllık % 60 faiz oranı ile
9 aylığına faize yatırıyor.
Elde edilen faiz 45 000 000 TL olduğuna göre,
adamın başlangıçtaki parası kaç TL dir?
A) 10 000 000
B) 25 000 000
D) 100 000 000
E) 14
C) 50 000 000
E) 200 000 000
1 5 . Şeker oranları sırasıyla % 30 ve % 50 olan iki şe­
kerli sudan bir karışım oluşturuluyor.
2 0 . Arka arkaya gelen iki zamdan sonra bir işçinin maaşı
% 96 artıyor.
Her iki karışımdan gelen şekerin ağırlığı eşit ol­
duğuna göre, elde edilen karışımın şeker oranı
yüzde kaçtır?
İşçinin maaşına yapılan iki zam oranı birbirine
eşit olduğuna göre, birinci zam yüzde kaçtır?
A) 30
A) 37,5
B)38
C) 38,5
D) 39
Cevaplar: 1-B 2-D 3-C 4-A 5-C 6-B 7-E 8-C 9-A
312
B)35
C)40
D) 45
E) 50
E) 40
10-E 11-D 12-B 13-A
14-D 15-A
16-B
17-E 18-D 19-E 20-C
(
j i \&,»»j; ^.f.-'-. ^
• >*
YÜZDE PROBLEM
.V.-S-.
r
H3wl'.
*$
Bir satıcı metresini 1 200 000 liradan aldığı kumaşı
Bir deponun % 20 si boştur.
yıkatıp kuruttuktan sonra metresini 1 800 000 liradan
satıyor.
Depodaki suyun yüzde kaçı kadar su ilâve edilirse
depo dolar?
Kumaş yıkatılıp kurutulduğunda % 20 kısaldığına
A) 15
B)20
C) 25
D) 30
göre, satıcının kârı yüzde kaçtır?
E) 40
A) 40
Bir sepetteki yumurtaların a tanesi sağlam, b tanesi
bozuktur.
7.
b, a nın % 25 ine eşit olduğuna göre, yumurtala­
rın yüzde kaçı sağlamdır?
A) 20
3.
B) 40
C) 60
D) 75
B)30
C)25
E) 15
D) 20
Bir satıcı aldığı 60 yumurtayı % 25 kârla satmak is­
temektedir. Fakat yumurtaların bir miktarı kırık
çıkmıştır.
Yumurtaların sağlamlarını % 40, kırıklarını ise
% 10 kârla satarak düşündüğü kârı sağladığına
göre, sağlam yumurta sayısı kaçtır?
E) 80
A) 10
B)20
D) 40
C) 30
E) 50
Bir sütçü litresini 150 000 liradan aldığı 20 litre süte
4 litre su karıştırdıktan sonra karışık sütün litresini
150 000 liradan satıyor.
D
8.
>Su için masraf etmediğine göre, sütçünün kârı
yüzde kaçtır?
A) 5
losunu 1200 liradan aldığı 22 kilo sütle karıştırıyor.
E
o
u_
Sütçü, karışık sütün kilosunu kaç liradan satmalı­
©
B) 10
C) 12
D) 15
Bir sütçü kilosunu 1500 liradan aldığı 18 kilo sütü ki­
dır ki, kârı % 12 olsun?
E) 20
A) 1335
B) 1351,2
D) 1522,5
C) 1495,2
E) 1536,2
Bir dikdörtgenin eni % 20 oranında arttırılıp, boyu %
20 oranında azaltılıyor.
9.
Bir satıcı bir malın % 10 unu % 50 kârla, % 6 0 ı n ı
% 20 kârla ve % 30 unu % 30 kârla satarak 1560 bin
Buna göre, dikdörtgenin alanındaki değişme için
aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) % 5 artar
B) % 5 azalır
D) % 4 azalır
lira kâr yapıyor.
Buna göre, malın maliyet fiyatı kaç bin liradır?
C) % 4 artar
A)5600
B)5900
C)6000
D)6400
E)6900
E) Değişmez
1 0 . Elindeki iki maldan birini % 4 0 kârla 840 dolara,
5.
% 100 kârla satış yapmakta olan bir mağaza öğren­
diğerini % 40 zararla 840 dolara satan satıcının
cilere satış fiyatı üzerinden % 20 indirim yapmaktadır.
bu iki satıştaki kâr zarar durumu aşağıdakilerden
Buna göre, mağaza öğrencilerden yüzde kaç kâr
A) 300 dolar kâr
yapmaktadır?
hangisidir?
C) 320 dolar kâr
A) 20
B) 40
C)50
D) 60
E) 80
B) 300 dolar zarar
D) 320 dolar zarar
E) Ne kâr - ne zarar
313
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . x sayısı y sayısının % 40 ına, z sayısı da y sa­
yısının % 25 ine eşittir.
1 1 . Bir öğrenci bir romanın önce % 20 sini, sonra kalanın
% 10 unu, daha sonra kalanın % 25 ini, son olarak da
kalanın yarısını okuyor.
Buna göre, z sayısına kendisinin yüzde kaçı ek­
lenirse x sayısı elde edilir?
Romanın okunmayan kısmı 108 sayfa olduğuna
göre, tamamı kaç sayfadır?
A) 200
B) 300
C) 360
A) 60
D) 400
C)40
B)50
D) 25
E) 15
E) 600
' Tuz (kg)
1 7 . Şekildeki grafikte, A ve
B tuzlu su karışımlarındaki tuz ve su miktarları
verilmiştir.
1 2 . Ali arkadaşıyla birlikte bir işin % 20 sini yapıyor. Daha
sonra tek başına 4 gün çalışarak kalan kısmın % 25 ini
yapıyor.
Ali bu işin tamamını kaç günde yapabilir?
30
Her iki karışımdan da
A) 16
B)20
C)24
D) 28
E) 32
42
S u (kg)
55 er kg alınarak ka­
rıştırıldığında elde edilen yeni karışımın tuz oranı
yüzde kaç olur?
13.
%20
%40
%60
8 İt
4 İt
4 İt
A) 55
A kabında alkol oranı % 20 olan 8 İt,
B kabında alkol oranı % 40 olan 4 İt,
C kabında alkol oranı % 60 olan 4 İt sıvı vardır.
A kabındaki sıvının yarısı B kabına boşaltıldıktan
sonra B kabındaki karışımın yarısı C kabına boşal-
B)45
C)40
D) 35
E) 30
C)45
D) 40
E) 35
o
1 8 . Metresi 8 000 lira olan kumaş yıkandığında % 20
kısalmaktadır.
E
Bu satıştan zarar edilmemesi için yıkanmış ku­
maşın metresi en az kaç liradan satılmalıdır?
A) 8 800
B) 9 000
D) 10 000
tılırsa, C kabındaki son karışımın alkol oranı yüzde
kaç olur?
A) 50
B)50
C) 9 200
E) 12 000
1 9 . 60.a sayısının % 20 si, 70.b sayısının % 10 una
eşittir.
Buna göre, — oranı kaçtır?
1 4 . Bir bankaya yıllık % 75 faiz oranı üzerinden yatı­
rılan bir miktar para kaç ay sonra dörtte biri kadar
faiz geliri getirir?
A) 4
B)8
C)9
D) 10
A)l
3
B) —
12
C)l
2
D)—
12
E)3
E) 11
2 0 . 16 litrelik tuzlu suyun tuz oranı % 15 ten % 20 ye çı­
karılmak isteniyor.
1 5 . Tuz oranı % 30 olan 24 litre tuzlu su çözeltisine
kaç litre su karıştırılırsa karışımın tuz oranı % 20
olur?
A) 15
B) 12
C)10
Cevaplar: 1-C 2-E 3-E 4-D 5-D 6-D
314
D) 8
7-C 8-C 9-C
Buna göre, tuzlu su karışımından kaç litre su buharlaştırılmalıdır?
E) 6
10-D
A) 4
11-D
12-B
13-B
B)6
14-A
C)8
15-B
16-A
17-E
D) 10
E) 12
18-D
19-D 20-A
m
1.
6.
Bir sayının % 40 ininin % 25 i aynı sayının yüzde
Bir satıcı % 40 kârla satmayı düşündüğü bir malın
satış fiyatı üzerinden % 20 indirim yaparak sa­
kaçına eşittir?
tarsa, bu maldan yüzde kaç kâr etmiş olur?
A) 5
B)10
C)15
E) 20
D) 18
A) 12
2.
% 18 i kaçtır?
B) 256
C) 260
D) 268
E) 288
Buna göre,
A)
3.
A sayısının % 40 inin % 30 u B sayısının % 50 sinin % 60 ma eşittir.
C)22
D) 24
E) 28
Bir top kumaşın x metresi % 30 kâr, geriye kalan y
metresi % 20 zarar ile satıldığında, tüm satıştan % 15
kâr ediliyor.
Bir sayının % 5 i 80 olduğuna göre, aynı sayının
A) 240
B)18
— oranı kaçtır?
y
B)
C)
E
D)-
>İ
-2
5 8.
Bir mağaza" x liraya aldığı gömleği y liraya satmak­
Buna göre, B sayısı A sayısının yüzde kaçıdır?
°
tadır. x ile y arasında y = 3x - 700 000 bağıntısı
A) 20
•
vardır.
B)25
C)30
D) 40
E) 45
Mağazanın bu gömlekten % 25 kâr elde etmesi
için bu gömleğin satış fiyatı ne olmalıdır?
A) 300 000
4.
D) 450 000
% 20 kârla satılan bir mala önce satış fiyatı üzerinden
B) 350 000
C) 400 000
E) 500 000
% 30 zam yapılıyor, daha sonra son satış fiyatı üze­
rinden % 10 indirim uygulanıyor.
Buna göre, bu maldan elde edilen kâr yüzde kaç­
tır?
A) 36,4
B) 40
D) 42,6
5.
C) 40,4
D) 180 000
sinden % 40 kâr elde ediyor.
ki, tüm parasından % 22 kâr elde etsin?
C) 18
B) 160 000
C) 175 000
E) 190 000
1 0 . A liraya alınan bir mal % 40 kâr ile 2A - 240 000 li­
raya satıldığına göre bu maldan kaç lira kâr edil­
Geriye kalan parasından yüzde kaç zarar etmeli
B)15
A) 150 000
E) 45,4
Bir adam parasının % 30 undan % 20 kâr, % 50
A) 10
% 45 kârla 290 000 liraya satılan bir mal % 25
zararla satılsaydı kaç liraya satılırdı?
D) 20
miştir?
A) 120 000
E) 25
D) 190 000
B) 160 000
C) 180 000
E) 210 000
315
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . Tuz oranı % 20 olan 80 kilogram tuzlu suyun yarısı
alınarak yerine 16 kilogram tuz ve 24 kilogram su ilave
ediliyor.
1 1 . Çekirdeğin 1 kilogramı 2 500 000 TL, leblebinin
2 700 000 TL ve fıstığın 4 800 000 TL dir.
1 kilogramlık bir karışımın % 10 u fıstık, % 30 u
leblebi ve geri kalanı çekirdek olduğuna göre, 1
kg karışımın fiyatı kaç TL dir?
A) 2 650 000
B) 2 700 000
D) 2 810 000
Buna göre, yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?
A) 30
B)25
C)22
D) 20
E) 18
C) 2 790 000
E) 3 010 000
1 7 . Şeker oranı % 20 olan 40 kilogram şekerli suya 10 kilo­
gram şeker ve bir miktar su ilave ediliyor.
Karışımın şeker oranı % 25 olduğuna göre, karışıma
kaç kilogram su eklenmiştir?
1 2 . Şeker oranı % 20 olan 60 gram şekerli su ile şeker
oranı % 40 olan 40 gram şekerli su karışımı karıştırılı­
yor.
A) 32
B) 30
C) 26
D) 22
E) 20
Karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?
A) 24
B)26
C)28
D) 32
E) 34
1 8 . Bir adam, A lirasının yıllık % 80 faiz ile 5 aylığına, B
lirasını yıllık % 60 faiz ile 9 aylığına bankaya yatırılıyor.
İki durumda da alınan faizler eşit olduğuna göre,
1 3 . Şeker oranı % 44 olan 150 gram şekerli suyun bir
kısmı buharlaştırılıyor ve şeker oranı % 60 oluyor.
Buna göre, kaç gram su buharlaşmıştır?
A) 20
B)25
C)30
D) 35
E) 40
o
—
oranı kaçtır?
A )
g
c
o
E
e
u.
20
B )
Ş
20
C
)5
4
R
D)
20
E) 13
20
@
1 9 . Bir bakkalın almış olduğu yumurtalar % 40 oranında
bozuk çıkıyor.
1 4 . Bir adam parasının - ünü yıllık % 90 faiz ile 9 ay­
lığına, geri kalanını da yıllık % 50 faiz ile 6 aylığına
bankaya yatırıyor.
İki durumdan elde edilen toplam faiz 57 milyon li­
ra olduğuna göre, % 50 faiz ile yatırılan para kaç
milyon liradır?
A) 120
B) 100
C)80
D) 60
E) 40
1 5 . Yıllık % 60 faiz ile bankaya yatırılan bir miktar pa­
ra kaç ay sonra yatırılan paranın % 25 i kadar faiz
geliri getirir?
A) 4
B)5
C)6
D) 8
E) 10
Buna göre, yumurtaların maliyeti hangi oranda art­
mıştır?
1
A) i
6
1
B) 4
1
C) 3
2 0 . Yandaki grafik a ve b şe­
kerli su karışımlarının için­
deki şeker ve su miktarla­
rını göstermektedir.
9
D) 3
ASu (gr)
Buna göre, a ve b ka­
rışımlarından 10 ar gram
alınarak oluşturulan ka­
rışımın şeker oranı yüzde kaçtır?
A) 15
B)20
C)25
^
E) 4
1 3 Şeker (gr)
D) 30
E) 35
Ce\*ap,ar, UB 2-E 3-D 4-C S-D 6-A 7-B 8-E 9-A 10-B 11-C 12-C 13-E 14-A 15-B 16-A 17-D 18-A 19-D 20-B
?f6
îmfc.
YÜZDE PnOBLiMLERI
.'İV'-™
S?V* v
1.
6.
% 3 0 u ile % 1 9 unun toplamı 196 olan sayının
% 54 ü kaçtır?
Bir mağazada fiyatlara % 20 zam yapılınca, satışlar­
da % 20 azalma oluyor. Daha sonra fiyatlara zamlı fi­
yat üzerinden % 25 indirim yapılınca son satışlara
A) 184
B)196
C)216
D) 256
E) 314
göre % 50 artış oluyor.
Buna göre, ilk duruma göre, kârı yüzde kaçtır?
A) 2
2.
2
B)6
C)8
D) 10
E) 12
7
-M= -.H
Bir manav bir miktar domatesi % 28 kârla satmayı dü­
şünmektedir. Manav domateslerin tamamını sattıktan
sonra bozuk olan terazisinin, domateslerin ağırlığını
olduğundan % 25 oranında fazla gösterdiğini tespit
ediyor.
olduğuna göre, VÜ/T nin % 60 ı, VTT nin yüzde
kaçına eşittir?
A) 60
B)100
C)150
D) 170 E) 210
Buna göre, manavın kârı yüzde kaçtır?
3.
M sınıfındaki öğrencilerin % 20 si H sınıfına gittiğinde,
H sınıfındaki öğrencilerin sayısı % 10 oranında artıyor.
Başlangıçta M sınıfındaki öğrencilerin sayısının H
4.
*\
C)1
D) 2
E) 3
B)12
C)48
D) 50
E) 60
o
c
o
>-
sınıfındaki öğrencilerin sayısına oranı kaçtır?
A)
A) 8
8.
E
o
u.
Şeker oranı % 40 olan 40 litre şekerli suyla, şeker
oranı % 20 olan 80 litre şekerli su karıştırılıyor.
Yeni karışımın şeker oranının % 20 olabilmesi için
kaç litre saf su eklenmelidir?
A) 20
Farklı yükseklikten aynı anda bırakılan özdeş iki top,
B)25
C)30
D) 35
E) 40
ilk zıplayışlarında aynı mesafeye geliyorlar. Yüksekte­
ki top bırakıldığı yüksekliğin % 20 si kadar, diğer top
ise bırakıldığı yüksekliğin % 40 ı kadar zıplamaktadır.
Buna göre, topların bırakıldıkları yüksekliklerin bir­
birine oranı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
5.
*\
C)1
D)
9.
Maliyeti üzerinden % 40 kâr ile satılan bir gömleğe, sa­
tış fiyatı üzerinden % 20 indirim uygulanıyor. Bu gömle­
ğin indirimli satışından 600 000 lira kâr elde ediliyor.
Buna göre, bu gömleğin indirimden önceki satı­
E)
şından elde edilen kâr kaç liradır?
A) 750 000
B) 1 000 000 C) 1 200 000
D) 2 000 000
% 30 luk 20 kilogram tuz-su çözeltisinden x kilogram ve
E) 2 400 000
% 24 lük 50 kilogram tuz-su çözeltisinden y kilogram
su buharlaştırılıyor. Çözeltiler karıştırılıp, içine
x + y
kilogram tuz ekleniyor.
Sonuçta, % 50 lik bir karışım oluştuğuna göre,
x + y kaç kilogramdır?
A) 17
B)20
C)26
D) 32
E) 38
1 0 . Yaş kaysı kuruyunca % 40 fire vermektedir. Kilogramı
600 000 liradan alınan yaş kaysı kuruduktan sonra
kilogramı 1 800 000 liradan satılıyor.
Buna göre, 1 kilogram yaş kaysıdan elde edilen
kâr yüzde kaç olur?
A) 90
B) 80
C)70
D) 60
E) 50
317
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . Murat Bey elindeki 5000 dolarını yıllık % 10 faiz
veren bir bankaya 5 yıllığına yatırmak yerine, yıllık
% 24 faiz veren bir bankaya 5 aylığına kaç bin do­
lar yatırırsa aynı faizi alır?
A) 10
B)15
C)20
D) 25
E) 30
1 6 . % 40 tuz yüzdesine sahip x gram karışım ile % 20 tuz
yüzdesine sahip y gram karışım karıştırılıyor.
X
2
— = — olduğuna göre, karışımın tuz yüzdesi ne
y 3
olur?
A) 28
B)29
C)30
D) 31
E) 32
1 2 . Bir adam parasının - ünü % 80 faiz veren bir ban4
kaya 6 aylığına, - sini % 30 taiz veren başka bir
bankaya 4 aylığına yatırıyor.
Her iki yatırımdan elde ettiği faiz miktarı, toplam
parasının ne kadarıdır?
A) i 15
B)—
20
O —
13
D)—
17
1 7 . % 30 şeker yüzdesine sahip 120 gram karışımdan
ne kadar şeker alınmalı ki şeker yüzdesi % 25 ol­
sun?
A) 16
B)12
C)8
D) 6
E) 4
E) —
17
1 3 . % 10 luk 50 litre tuz-su çözeltisi % 25 lik 80 litre tuzsu çözeltisi ile karıştırıldıktan sonra 30 litre su buharlaştırılıyor.
1 8 . % 40 tuz yüzdesine sahip karışımın % 20 si alınıp
yerine alınan miktarın 2 katı kadar tuz, alınan mik­
tarın 3 katı kadar su ekleniyor.
Buna göre, yeni karışımın tuz yüzdesi ne olur?
Karışımın tuz oranının % 40 olması için kaç kilo­
gram tuz eklenmelidir?
A) 25
B)22
C)20
D) 18
A) 45
B)42
C)40
D) 36
E) 35
E) 16
1 9 . % 40 şeker yüzdesine sahip 160 gram karışımın - ü
1 4 . % 40 ı x maddesinden, kalanı da y maddesinden
oluşturulmuş homojen bir karışım a kilogram gel­
mektedir. Bu karışımın b kilogramı dökülüp yerine
aynı miktarda y maddesinden ilâve ediliyor.
alınıp, % 20 şeker yüzdesine sahip 150 gram karışı­
mın % 20 si ile karıştırılıyor.
Karışıma ne kadar şeker ekleyelim ki şeker yüz­
desi 40 olsun?
Son durumda, karışımdaki y maddesinin oranı
a
% 75 olduğuna göre, — oranı kaçtır?
b
A) i
5
B)*
3
C)i
5
D)l°
3
E)±!
5
1 5 . Oranları — olan iki paradan az olanının yıllık % 80
B)12
C) 10
D) 8
E) 6
2 0 . Birim zamanda akıttıkları su miktarları eşit olan iki
musluktan birincisinden tuz oranı % x olan, ikincisin­
den de tuz oranı % 40 olan tuzlu-su akmaktadır. Ha­
vuz boşken iki musluk aynı anda açılıyor.
den x ayda getirdiği faiz, diğerinin yıllık % 40 tan
x + 2 ayda getirdiği faize eşit olduğuna göre, x
kaçtır?
Havuz dolduğunda havuzdaki karışımın tuz oranı
% 50 olduğuna göre, x kaçtır?
A) 2
A) 55
B)3
Cevaplar: 1-C 2-E 3-B 4-A
318
A) 15
C)4
D) 5
E) 6
5-A
6-C 7-E 8-E 9-D
10-1
B)60
C)65
D) 70
E) 75
11-D 12-B 13-A 14-B 15-E 16-A 17-C 18-C 19-C 20-B
' :*-*••
u «o
1.
Hangi sayının % 40 inin % 30 u ile % 50 si top­
landığında, o sayının % 17 sinin 9 fazlasına eşit­
tir?
A) 100
2.
B) 80
C) 60
D) 40
E) 20
2
1
Bir satıcı aldığı bir malın — ini % 30 kârla, — ünü
5
4
% 20 zararla, geriye kalanı yüzde kaç kârla satma­
lıdır ki, tüm satıştan % 21 kâr etmiş olsun?
A) 15
3.
B)20
C)25
D) 30
A ve C kabının yarısı B kabına dökülüyor. B kabında
E) 40
oluşan homojen karışımın -ü D kabına dökülüyor.
Bir miktar para % 5 faizle n yıl bankaya yatırılıyor.
Buna göre, D kabındaki oluşan karışımın 2 litre-
Aynı para % 5 faizle (n + 2) yıl yatırılsaydı elde edi­
sindeki alkol miktarının yüzdesi kaçtır?
lecek faizler toplamı 26 000 000 TL olacaktı.
t.
Buna göre, bu paradan 1 yılda % ( n + 1) faizle elde edilecek faiz kaç liradır?
A) 13 000 000
B) 9 600 000
C) 7 800 000
o
>-
E) 2 600 000
7.
B) 62
C) 67
E) 78
D) 73
x kg yoğurt ile y kilogram sudan elde edilen ayra­
E
nın içerisindeki yoğurt yüzdesi aşağıdakilerden
u.
hangisidir?
«
D) 5 200 000
A) 54
o
"^
©
A)
4.
Bir sınıftaki öğrencilerin % 80 i Matematik dersinden,
B)
x + y
% 60 ı da Tarih dersinden başarılıdır. Matematik der­
D)
sinden başarılı olanların % 60 ı Fizik dersinden başa­
100y
x + 100
X
C)
E)
100(x +y)
x + y
y + 100
100x
x + y
rılı olmuştur.
Buna göre, bu sınıfta hem Tarih dersinden hem de
Fizik dersinden başarılı olan öğrenciler sınıf mev­
cudunun en az yüzde kaçıdır?
A) 2
B)4
% 14 ü şeker olan 225 gram şekerli su karışımının - ü
alınarak yerine aynı miktarda % 20 si şeker olan baş­
ka bir karışım katılıyor.
C)6
D) 8
E) 10
Yeni karışımdaki şeker oranını % 9 a düşürebil­
mek için kaç gram saf su eklenmelidir?
5.
Kilosu 2 500 000 TL olan yaş incir kuruyunca ağırlı­
A) 500
ğının % 20 sini kaybediyor.
10 kilogram yaş incir alan satıcı % 40 kâr yap­
mak istediğine göre, kuru incirin kilosunu kaç li­
radan satmalıdır?
A) 4 375 000
B)350
C)275
D) 225
E) 175
Bir gömleğin satış fiyatı üzerinden % 40 indirim
yapıldığında, maliyet üzerinden % 7 zarar edildi­
ğine göre, gömleğin satış fiyatı maliyet üzerinden
B) 4 200 000
D) 4 000 000
C) 4 100 000
E) 3 925 000
yüzde kaç kârla belirlenmiştir?
A) 45
B)50
C) 54
D) 55
E) 60
319
MATEMATİK SORU BANKASI
1 5 . A kabında 15 gram tuz ile 20 gram sudan oluşan tuz­
lu su ve B kabında 12 gram tuz ile 15 gram sudan
oluşan tuzlu su vardır. A ve B kaplarının herbirinden
farklı miktarlarda alınıp boş olan C kabına boşaltılıyor.
1 0 . Bir havuzu I. musluk % 20 tuzlu su akıtarak 2a saatte,
aynı havuzu II. musluk % 55 tuzlu su akıtarak 5a sa­
atte dolduruyor.
İki musluk aynı anda açılıp havuz tamamen doldu­
C kabında 10 gram tuz ile 13 gram su içeren tuzlu
su karışımı elde edildiğine göre, B kabından kaç
gram su alınmıştır?
rulduğunda, havuzdaki suyun tuz oranı yüzde kaç­
tır?
A) 10
B)30
C)45
D) 50
E) 60
A) 8
B)7
C)6
D) 5
E) 4
1 1 . Portakalın kilosu elmanın kilosundan % 40 daha
pahalı, mandalinanın kilosu ise elmanın kilosundan
% 20 daha ucuzdur.
1 6 . Kilogramı x liraya alınan 60 kilogram nohut % 30 kâr­
la, kilogramı y liraya alınan 80 kilogram nohut % 50
kârla satılıyor. Eğer bu nohutlar karıştırılıp tüm nohutlar
% 40 kârla satılsaydı, kâr ilk durumdaki toplam kâr ile
aynı olacaktı.
Mandalinanın kilosu 4A TL olduğuna göre, por­
takalın kilosu kaç TL dir?
A) 5A
B) 6A
C) 7A
D) 9A
E) 10A
Buna göre,
1 2 . Bir fabrikada aynı tür mal bir günde üç ayrı makinadan
a, b, c miktarda üretilmektedir, a % 12 artırılıp, b
% 42 eksiltilir ve c aynı kalırsa, bir günlük toplam üre­
tim değişmemektedir.
Buna göre, a ile b arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
C
o
c
A)l
4
— oranı kaçtır?
y
B)l
3
C)7
D)4
E)3
O
>-
E
A) 2a = 9b
B 3 a = 5b
D)2a = 3b
C)2b = 7a
"•
@
E)2a = 7b
1 3 . Bir banka, dolar olarak yatırılan paraya yıllık % 8 dolar,
TL olarak yatırılan paraya ise yıllık % 50 TL faiz veriyor.
Bir doların 1 440 000 TL olduğu bir dönemde 100
doları bir yıl faize veren bir kişinin 1 yıl sonra za­
rar etmemesi için dolar en az kaç TL olmalıdır?
A) 2 160 000
B) 2 000 000
D) 1 800 000
15 ay boyunca mutfak masrafı ile ev kirası için
yaptığı toplam harcama, bu memurun 9 aylık ma­
aşına eşit olduğuna göre, memurun bir aylık ev ki­
rası maaşının yüzde kaçıdır?
Cevaplar: 1-E
320
2-E
3-E
A) 50
B)60
C)65
D) 70
E) 80
E) 1 750 000
ev kirasına ayırıyor.
B)30
Buna göre, torbada ilk durumdaki kırmızı bilye
sayısı kaçtır?
C) 1 920 000
1 4 . Bülent maaşının % 20 sini mutfak masraf ma, %x ini
A) 25
1 7 . Bir torbada sarı ve kırmızı bilyelerden oluşan 120 bilye vardır. Torbaya kırmızı bilyelerin % 30 kadar kırmı­
zı bilye konur ve torbadan sarı bilyelerin % 20 si kadar
sarı bilye alınırsa torbada 131 bilye olmaktadır.
C)36
4-D
5-A
1 8 . Bir satıcı, satın aldığı yumurtalarının % 30 unu taşı­
ma sırasında kırıyor. Kalanların % 30 u bozuk çık­
mıştır. En son kalanların da tanesini 10 bin liradan
satarak ne kâr ne zarar ediyor.
Buna göre, yumurtaların bir tanesinin alış fiyatı
kaç liradır?
A) 3600
D) 40
6-D
7-E
E) 48
8-E
9-D
B) 4900
D) 5400
C) 5000
E) 9000
10-B 11-C 12-E 13-B 14-D 15-D 16-E 17-D 18-B
3.
BÖLÜM
1.
KTT-3
6.
4 yanlışın bir doğruyu götürdüğü bir sınavda 80 so­
ruyu cevaplayan Salih'in 60 neti vardır.
Buna göre, Salih'in doğru cevapladığı soru sayısı,
İçinde bir miktar su bulunan bir kabın ağırlığı A kg dır.
3
Bu suyun - i kullanıldığında kabın ağırlığı B kg oluyor.
5
Buna göre, boş kabın ağırlığı kaç kg dır?
yanlış cevapladığı soru sayısının kaç katıdır?
3B - 2A
A) 2
C)4
B)3
D) 5
E) 6
B)
5
D)
2.
3 B
"
5B - 3A
- 2A
E)
C)
5B - 2A
5B - 2A
Bir bilet kuyruğunda Özgür baştan on ikinci, Serkan
ise sondan on birinci kişidir.
7.
katına eşittir.
Özgür ile Serkan'ın arasında 2 kişi olduğuna gö­
re, bu kuyrukta en az kaç kişi vardır?
A) 25
B) 24
C)20
D) 19
Bir annenin şimdiki yaşı, iki çocuğunun yaşları farkının 6
Annenin 8 yıl sonraki yaşı, çocuklarının yaşları
farkının 8 katına eşit olduğuna göre, annenin şim­
diki yaşı kaçtır?
E) 18
A) 42
3.
— ü su ile dolu olan bir kabın toplam ağırlığı 13 kg
4
ı
dır. Kaptaki suyun — ü boşaltılırsa kapta 4 kg su kal3
maktadır.
o
>-
8.
A) 4
4.
B)6
C)7
E
E) 24
Elif ile Nevin'in şimdiki yaşlarının toplamı
50
dir.
Buna göre, Elifin şimdiki yaşı kaçtır?
E) 13
A) 21
B) 23
C) 25
D) 27
E) 29
İki farklı markette 200 er çuval un vardır. Bu market­
lerde bulunan birer işçi un çuvallarını taşıyacaklardır.
Aynı süre içinde işçilerden biri 100 çuval diğeri 160 çu­
val un taşıyor.
9.
Ali'nin 3 yıl önceki yaşı, Veli'nin 5 yıl sonraki yaşına
eşittir.
Biri çuvalları bitirdiğinde diğeri toplam kaç çuval
Ali ile Veli'nin 4 yıl sonraki yaşlarının ortalaması
taşımış olur?
23 olduğuna göre, Veli'nin şimdiki yaşı kaçtır?
A) 120
5.
D) 30
ikisinin yaşları birbirine eşit olacaktı.
©
D) 11
C)32
Nevin 5 yıl önce Elif de 3 yıl sonra doğmuş olsaydı
u.
Buna göre, bu kabın boş ağırlığı kaç kg dır?
B) 36
o
c
B)125
C)130
D) 140
E) 150
Benzin depoları aynı hacimde olan farklı iki araçtan bi­
rinin benzininin tamamı 10 saatte, diğerinin benzininin
tamamı 14 saatte bitmektedir.
Bu iki aracın depoları dolu iken aynı anda kullanıl­
maya başlandıktan kaç saat sonra birinin depo­
sunda kalan benzin miktarı diğerinin iki katı olur?
A) 15
B) 14
C) 13
D) 12
E)11
1 0 . Hasan'ın çalışma kapasitesi, Murat'ın 4 katıdır.
İkisi birlikte bir işi 12 günde bitirebildiklerine
göre, aynı işin üçte birini Hasan tek başına kaç
günde bitirebilir?
A)
10
B)
17
C)
35
D)
70
E)
103
A) 5
B) 6
C) 8
D) 10
E) 20
321
1 6 . A ve B noktalarından aynı anda
birbirlerine doğru harekete baş­
layan araçlar C noktasında kar­
şılaşıyorlar.
1 1 . Fatih'in 3 günde yaptığı bir işi Sude 4 günde ya­
pabilmektedir. İkisi birlikte çalışarak aynı işi 9 gün­
de bitirebiliyorlar.
Buna göre, Sude bu işi tek başına kaç günde
Bu iki araç aynı anda hızı VA
olan araç yönünde gitselerdi
hangi noktada ilk kez yan yana gelirlerdi?
bitirebilir?
A) 7
B) 12
D) 21
C) 14
E) 24
A) A ile C arasında
1 2 . Şekilde verilen A ve B
muslukları
B) C de
D) C ile D arasında
C) B de
E) B ile D arasında
beraberce
boş havuzu 6 saatte
dolduruyor. C musluğu
ise, havuz tamamen do­
luyken 3h yüksekliğin­
1 7 . Bir miktar bilyenin
deki bölümü tek başına
—
ini Ali, geriye kalanını ise
Ahmet almıştır.
6 saatte boşaltabiliyor.
Ahmet'in aldığı bilyeler, Ali'nin aldığı bilyelerin
Havuz boşken üç musluk da aynı anda açılırsa
yüzde kaçı kadar azdır?
havuzun tamamı kaç saatte dolar?
A) 19,5
B) 19
C) 18,5
A) 25
D) 18
riye kalan yolunun yarısını da 20 km/sa hızla gidiyor.
Kalan yolu saatte kaç km hızla gitmelidir ki bu yol
boyunca ortalama hızı saatte 30 km olsun?
B) 40
C)36
D) 35
C) 35
D) 40
E) 60
E) 16
1 3 . Bir hareketli gideceği yolun yarısını 40 km/sa hızla, ge- —•
A) 45
B) 30
1 8 . Yaş incir kuruyunca
% 20 fire verdiğine göre,
maliyeti yüzde kaç artmıştır?
A) 20
B)25
C)30
D) 35
E) 40
E) 30
14.
1 9 . Ağırlıkça % 20 si tuz olan 30 litre tuzlu su ile ağır­
lıkça % 30 u tuz olan x litre tuzlu su karıştırılıyor.
Hızları V1 ve V2 olan iki araç A ve B noktalarından ay­
nı anda ve aynı yönde hareket ediyorlar. Arkadan ge­
len araç öndekini B den x km ileride olan C noktasın­
da yakalıyor.
Yeni oluşan karışımın, ağırlıkça % 25 i tuz oldu­
ğuna göre, x kaçtır?
A) 30
B)26
C)24
D) 22
E) 20
Araçların hızları 3V1 ve 3V 2 olsaydı, arkadan gelen
araç öndekini B den kaç km ileride yakalardı?
A)
B)
C)x
D)2x
E)3x
2 0 . Memur maaşlarının bir yılda % 65 arttığı bir ülkede
ilk altı aylık enflasyon % 25, ikinci altı aylık enflas­
yon % 20 olduğuna göre, memurun sene sonunda­
1 5 . Bir satıcı bir malın % 20 sini % 80 kâr ile % 80
ki alım gücünde nasıl bir değişme olmuştur?
ini de % 10 zarar ile satarsa kâr-zarar durumu
nasıl olur?
A) % 20 kâr
D) % 4 kâr
B) % 8 kâr
C) % 20 zarar
B) % 5 azalmıştır.
C) Değişmemiştir.
D) % 5 artmıştır.
E) Ne kâr ne zarar
Cevaplar: 1-C 2-D 3-C 4-B 5-D 6-E 7-E 8-E 9-A 10-A
322
A) % 10 azalmıştır.
E) % 10 artmıştır.
11-D 12-A
13-E 14-C 15-B 16-C 17-D 18-B 19-A 20-E
4 BÖLÜM
> Kümeler
> Kartezyen Çarpım - Bağıntı
>• Fonksiyon
> İşlem
> Modüler Aritmetik
> Polinomlar
> KTT - 4
>GTT-2
•r*>?
»tf1
•*•
BOLUM
i ^ t / ^ * : A-- •••'•• ••
' •*' "
:
' ---""I: -
.- ."in-v'svf%i"-.i*-''; . - " . - •
KÜMELERLE İLGİLİ TANİMLAR
Küme, varlıkların belirgin bir şekilde oluşturduğu bir
grup olarak anlaşılabilir. Bu grubu oluşturan varlıkların
çok iyi tanımlanmış, yani herkesin aynı şeyi algılayabile­
ceği şekilde tanımlanmış olması gerekir. Kümeyi oluştu­
ran varlıkların her birine kümenin elemanı denir.
Kümeler; A, B, C,... gibi büyük harflerle isimlendirilir.
•
A kümesine ait bir x elemanı x e A,
•
A kümesine ait olmayan bir x elemanı da x e A şek­
linde gösterilir.
•
Bir kümede, bir eleman bir kez yazılır. Kümenin eleman­
larının yerlerinin değiştirilmesiyle küme değişmez.
•
Bir A kümesinin eleman sayısı, s(A) veya n(A) şeklinde
gösterilir.
KÜMELERİN GÖSTERİMİ
1. Liste Yöntemi
Kümenin elemanları, { } işaretleri arasına ve elemanlar
arasına virgül (,) konularak yazılır.
A = { a, b, c}, B = { x, {x }} gibi. Burada;
a e A, x € A, { x } € B, c e B ve
s(A) = 3, s(B) = 2 dir.
2. Ortak Özellik (Genelleme) Yöntemi
Kümeyi oluşturan elemanların ortak özellikleri belirtile­
rek küme tanımlanabilir.
A = { x | x<13 ve x, asal sayı} kümesi,
"A kümesi x ler den oluşur, öyleki x, 13 ten küçük ve
asal sayıdır" şeklinde okunur.
" |" yerine " : " de yazılabilir.
Bu yazılışta kümenin bütün elemanları aynı ortak
özellikte olmalı ve bu özelliği gösteren hiçbir ele­
man da kümenin dışında kalmamalıdır.
3. Venn Şeması ile Gösterim
Kümenin elemanları, kapalı bir eğri içine yanlarına nok­
ta (.) konularak yazılır.
A = {x : x < 13 ve x, asal sayı}
kümesini Venn Şeması ile gösterelim.
A,
2, 3, 5, 7, 11 € A
1 e A, 13 g A,
s(A) = 5 tir.
Eşit Kümeler
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.
A ve B eşit kümeler ise A = B,
A ve B eşit kümeler değilse A * B
şeklinde gösterilir.
Denk Kümeler
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir,
" =" sembolü ile ifade edilir.
s(A) = s(B) o A = B dir.
Eşit kümeler aynı zamanda birbirine denktir. Fakat bir­
birine denk olan her küme, eşit olmayabilir.
Boş Küme
Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
0 veya { } sembolüyle gösterilir.
Boş kümenin eleman sayısı 0 (sıfır) dır.
D
C
O
>E
s
©
A = { x : 1 < x < 3 ve x, tek sayı} kümesi boş kümedir.
Çünkü 1 ile 3 arasında olan tek sayı yoktur. Buna göre,
A = 0 = { } ve s(A) = 0 dır.
Evrensel Küme
Üzerinde işlem yapılan en geniş kümeye evrensel kü­
me denir ve genellikle E harfiyle gösterilir.
ALT KÜME
Bir A kümesinin bütün elemanları, bir B kümesinin de
elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi de­
nir ve A c B (A alt küme B) şeklinde gösterilir.
A c B ise, B kümesi A kümesini kapsar da denir.
Bu da B D A (B kapsar A) şeklinde gösterilir.
A kümesi, B nin alt kümesi değilse,
A <z B (A alt küme değildir B) şeklinde gösterilir.
Örnek:
A = (x 110 luk sayma sisteminin rakamları}
B = { x : x < 11 ve x, asal sayı}
kümeleri veriliyor. Buna göre,
A = {0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B = { 2, 3, 5, 7} olduğundan,
A
R
•u/ . 2 \
• I.
-9
•3 \•8
/ •5 »7^
• 4 »6
A z> B veya B c A dır.
Öz Alt Küme
Ayrıca kümenin dışında, 13 ten küçük hiçbir asal sayı
yoktur.
Bir kümenin kendisinden farklı olan alt kümelerine bu
kümenin öz alt kümeleri denir.
325
MATEMATİK SORU BANKASI
Örnek:
Alt Kümeye Ait Özellikler
A = { a, b, c, d, e, f }
1. Boş küme, her kümenin alt kümesidir. 0 c A
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;
2. Her küme, kendisinin alt kümesidir. A c A
i.
3. ( A c B v e B c A ) <=> A = B dir.
4. ( A c B v e B c C ) => A c C dir.
(Geçişme özelliği)
5. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sa­
Çözüm:
yısı, n - nin r - İi kombinasyonlarının sayısı kadardır.
C(
,
/n\
l r /
" a " elemanı bulunur?
ii. " a " veya " b " eleman olarak bulunur?
i.
n!
" a " nın bulunduğu alt kümede; ya "a" dan başka ele­
man yoktur, veya "a" nın yanında sırasıyla 1 eleman,
r!. (n -
2 eleman, ..., 5 eleman olabilir. Dolayısıyla bütün bu
(Birbirinden farklı n tane elemandan oluşturulabilecek
durumlar, a dışındaki kalan 5 elemanla oluşturulabi­
r elemanlı farklı grupların (kümelerin) sayısı C(n, r) dir.)
lecek alt kümelerin sayısı kadardır. Buna göre, A küme­
sinin 25 = 32 tane alt kümesinde " a" elemanı vardır.
M?)-U)-
dir.
ii.
hem " a " nın hem de " b " nin bulunmadığı alt kü­
Örneğin; 7 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kü­
melerinin sayısı 2 4 = 16 olduğundan; A kümesinin,
melerinin sayısı, 5 elemanlı alt kümelerinin sayısına
64 - 16 = 48 tane alt kümesinde " a" ve " b " den en
em- ( I ) - ( l ) dir.
•
az biri (" a " veya " b ") vardır.
r elemanlı alt kümelerinin sayısı, k elemanlı alt küme­
KÜMELERDE İŞLEMLER
lerinin sayısına eşit olan bir kümenin toplam (r + k) ele­
1. Birleşim (u) İşlemi
manı vardır.
(
n
\
=
l
n
A kümesinin bütün alt kümelerinin sayısı 26 = 64 ve
A u B = { x | x e A veya x e B } dir.
\ =» (r = k veya n = r + k) dır.
A -
D
-B
A
B
O
C
*(:)-(.")-'•
(î)-(-M-*-
-• ( S ) * ( î ) * ( 2 ) * - * C ) - ^ - •
>s
O
E
u.
@
AuB
AuB
AuB = Ao(BcA)
(s(A u B) en çok) ( S ( A u B ) e n a z )
2. Kesişim (n) İşlemi
n elemanlı bir kümenin bütün alt kümelerinin sayısı 2",
A n B = { x | x e A ve x e B } dir.
öz alt kümelerinin sayısı da 2 n -1 dir.
Örnek:
A = { a, b, c} kümesinin alt kümeleri,
{ } ; { a } , { b } , { c } ; { a , b } , { a , c } , { b , c } ; { a , b , c } dir.
N
v
A kümesinin öz alt kümeleri
iii. Bir kümenin eleman sayısı x arttırılırsa alt kümeleri­
nin sayısı 2X katına çıkar.
•
AnB = 0
(A ile B ayrık)
AnB
f
Bir kümenin, bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye
kuvvet kümesi denir.
Örnek:
Eleman sayısı 3 arttırıldığında alt kümelerinin sa­
*
Hiçbir elemanı ortak olmayan iki kümeye ayrık iki kü­
me denir.
Birleşim ve Kesişimin Özellikleri
1. A u B = B u A ,
AnB = BnA
2. A u ( B u C ) = ( A u B ) u C ,
A n (B n C) = (A n B) n C
yısı 28 artan bir kümenin ilk durumdaki eleman sa­
3. A u (B n C) = (A u B) n (A u C),
An(BuC) = (AnB)u(AnC)
yısını bulalım.
4. A u A = A ,
Bu kümenin başlangıçtaki alt küme sayısına x de­
nilirse, eleman sayısı 3 arttırıldığında alt küme sayısı
2 3 .x = 8x olur. Buna göre,
8x - x = 28 => x = 4 ve
5. A u 0 = A ,
AuE=E,
4 tane alt kümesi olan kümenin eleman sayısı (n),
2 n = 4 => n = 2 dir.
326
AnB = Bo(BcA)
(s(A n B) en çok)
AnA=A
An 0= 0
AnE=A
6. s(A u B) = s(A) + 's(B) - s(A n B)
s ( A u B u C ) = s(A) + s(B) + s ( C ) - s ( A n B ) - s ( A n C ) s(B n C) + s(A n B n C)
Kümeler
s(B n C) + s(A n B n C)
3. Fark ( \ ) [ Çıkarma (-) ] İşlemi
Bir sınıfta ( S ) , Almanca bilenlerin kümesi ( A ) , Fransızca
A da bulunup B de bulunmayan elemanların oluş­
turduğu kümeye A fark B kümesi denir ve A \ B
veya A - B şeklinde gösterilir.
bilenlerin kümesi ( F ), İngilizce bilenlerin kümesi ( İ )
olmak üzere bu dillerden;
S
A - B = A \ B = { x | x e A ve x <? B }
A-B
B-A
A-B = A
A - E = 0,
A-B
•
A - A = 0,
•
s(A u B ) = s(A - B) + s(B - A) + s(A n B)
0 - A = 0,
•
A A B = (A - B) u (B - A)
= (A u B) - (A n B)
en çok birini bilenlerin sayısı: h + a + b + c
yalnız birini bilenlerin sayısı: a + b + c
en az ikisini bilenlerin sayısı: d + e + f + g
hiçbirini bilmeyenlerin sayısı: h
Almanca ve Fransızca bilenlerin sayısı: e + g
İngilizce bilmediği halde Almanca ve Fransızca bilen­
lerin sayısı: e olur.
A-0 = A
(Simetrik Fark)
4. Tümleme İşlemi
E evrensel küme ve A c E olmak üzere,
E de (evrensel kümede) bulunup, A da bulunmayan
elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tfımleyeni
denir ve A' ya da
Örnek: 1998 - ÖSS
A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri ol­
mak üzere,
s(E) = 12
A ile gösterilir.
A'=A = { x | x e E
ve
x g A }
s(A \ B) = 4
o
s(A'nB' ) = 3
c
Ss
Ö
A*
D
>E
olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 2
B)4
C)5
D) 6
«
Çözüm:
A ' n B ' = ( A u B)'
Tümiemenin Özellikleri
1. ( A ' ) ' - A
olduğuna dikkat
edilerek verilenler
OD
2. ( 0 ) ' = E
şemaya yazılırsa;
4 + 3 + s(B) = s(E) olduğundan
3. E' = 0
7 + s(B) = 12 =» s(B) = 5 tir.
4. A n A' = 0
E) 7
7. E - A = A'
Örnek: 2000 - ÖSS
Bir sınıfta Almanca veya Fransızca dillerinden en az
birini bilen 40 öğrenci vardır. Almanca bilenlerin
sayısı; Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı, her iki dili
bilenlerin sayısının ise 4 katıdır.
8. A - B = A n B' = A - (A n B)
Buna göre, sınıfta Almanca bilenlerin sayısı kaçtır?
5. A u A ' = E
6. s(A) + s(A') = s(E)
9. De Morgan Kuralı
(A \j B)' = A ' n B '
(A n B)' a A ' u B '
10. ( A c B ) « (A' 3 B')
Uyarı:
1. Küme problemlerinin çözümü yapılırken, verilenlere
uygun bir şekilde Venn Şeması çizilip, en çok kesişim
olan bölgeden en aza doğru verilen eleman sayıları
uygun bölgelere yazılarak çözüm yapılır.
A) 18
D) 30
B) 20
E) 32
C)24
Çözüm:
Almanca bilenlerin kümesi ( A ),
Fransızca bilenlerin kümesi ( F )
olsun.
GD
V—X"~""X
F
s(A n F) = x denilip verilenlere uygun biçimde şema­
ya eleman sayıları yazılırsa,
s(A u B) = 40 = 3x + x + x => x = 8 ve
s(A) = 4x = 4.8 = 32 olarak bulunur.
327
4.
BÖLÜM
4
tedir.
olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangi­
A u B kümesinin sınır­
ladığı alan 50 br2 oldu­
ğuna göre, taralı alan
kaç birim karedir?
sidir?
B) { 2, 4, 5 }
D){4,5}
4
ri farklı iki kare belirtmek­
A\B = { 0,1,3}
A) { 2, 4 }
A
Şekildeki A ve B kümele­
A u B = {0,1,2,3,4,5}
1.
TEST
1
KÜMELER
C) { 2, 5 }
E){5}
A) 2
C)4
B)3
D) 5
E) 6
A ve B kümeleri, E evrensel kümesinin alt kümeleri
olmak üzere,
s(A) = 11 ve s ( B - A ) = 3
2.
s(E) = 14
olduğuna göre, A u B nin eleman sayısı kaçtır?
A) 3
B)5
C)8
D) 11
s(B \ A) = 7
s(B' n A') = 4
E) 14
olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaç­
tır?
3.
E evrensel küme olmak üzere,
A)1
O
s(E) = 1 1 , s(A n B) = 4 , s(A u B) = 7 , s(B) = 5
e
u.
8.
B)2
D) 4
C)3
E) 5
Yandaki şekilde taralı alan
aşağıdakilerden hangisi ile
olduğuna göre, A kümesinin tümleyeni olan A'
ifade edilir?
kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 2
C)4
B)3
D) 5
E) 7
A) A n B n C
B) A u B u C
C) ((A n B ) u ( A n C)) n ( B n C )
D) (A u B) n C
4.
E) ((A n B) u (A n C)) - (A o B n C)
En az birer elemanı bulunan birbirinden farklı A ve B
kümeleri için, (B - A) u A = B dir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)BcA
B)AcB
9.
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için,
2.s(A - B) = 3.s(A n B) = 4s(B - A)
C)AnB = 0
olduğuna göre, A u B kümesinin eleman sayısı
D)AuB = A
E) (A u B)' = A'
en az kaçtır?
A) 9
s(A \ B) = 3 ,
5.
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
s(B \ A) = 4
10.
A = { a , b, c, d, e, f}
A o B kümesinin öz alt küme sayısı 15 olduğuna
göre, A u B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 7
328
B) 8
C)9
D) 10
E) 11
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesin­
de a eleman olarak bulunmaz?
A) 10
B)9
C)8
D) 7
E) 6
Kümeler
1 1 . 42 kişilik bir sınıfta İngilizce, Fransızca dillerini bilen
1 6 . Bir sınıfta İngilizce veya Almanca dillerinden en az bi­
ve hiçbirini bilmeyen öğrenciler vardır.
rini bilen 49 öğrenci vardır. İngilizce bilenlerin sayısı;
Almanca bilenlerin sayısının 3 katı ve her iki dili bi­
lenlerin ise 6 katıdır.
Hiçbirini bilmeyen 2 kişi, en çok bir dil bilenler 32
kişi olduğuna göre, bu sınıfta iki dil bilen kaç kişi
Buna göre, bu sınıfta İngilizce bilenlerin sayısı
vardır?
A) 8
D) 15
C)12
B)10
kaçtır?
E) 20
A) 45
B)44
C)42
D) 35
E) 28
1 2 . A ve B, E (evrensel) kümesinin alt kümeleridir.
1 7 . Futbol oynayan herkesin basketbol oynadığı bir sı­
[(A-B)u(AuB)' ]'
nıfta; iki oyun oynayanlar ile bir oyun oynayanların
sayısı birbirine eşittir.
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)B
B)A
C)0
D)B-A
Buna göre, futbol oynayanların sayısı ile basket­
E) E
bol oynayanların sayısının toplamı aşağıdakiler­
den hangisi olabilir?
A) 7
B)8
C)10
D) 11
E) 12
1 3 . A = { sınıftaki gözlüklü öğrenciler}
B = { sınıftaki sarışın öğrenciler}
C = { sınıftaki erkek öğrenciler}
D = {sınıftaki kız öğrenciler}
D
1 8 . B c A ve B n C = 0 olmak üzere,
C
olduğuna göre, ( A n D ) - ( B - C) kümesi aşağıda­
kilerden hangisidir?
A) { sınıftaki
B) { sınıftaki
C) {sınıftaki
D) { sınıftaki
E) { sınıftaki
gözlüklü erkek öğrenciler}
sarışın erkek öğrenciler}
erkek öğrenciler}
kız öğrenciler}
gözlüklü sarışın olmayan kız öğrenciler}
X
D
*.
E
s(B) = 5,
s(A) = 12 ve s(C) = 1 0 d u r .
«
Buna göre, s(A u B u C ) en az kaçtır?
©
A) 12
B)13
C)14
D) 15
E) 16
1 9 . 500 kişilik bir topluluğun % 32 si A dilini, % 49 u B dili­
ni konuşmaktadır.
1 4 . Almanca ile ingilizce dillerinden en az birini bilenle­
rin bulunduğu bir sınıftaki öğrencilerden 25 tanesi
Bu dillerden hiçbirini konuşamayan en çok kaç
Almanca, 35 tanesi İngilizce biliyor.
kişi olabilir?
Bu öğrencilerin 13 tanesi her iki dili de bildiğine
göre sınıf mevcudu kaçtır?
A) 95
A) 60
B)54
C)50
D) 47
E) 42
B)160
C)245
D) 255
E) 340
2 0 . En az bir dil bilenlerin oluşturduğu 62 kişilik bir sınıfta;
İngilizce bilenler 23 kişi,
Almanca bilenler 24 kişi,
1 5 . A = { x | 11 < x < 1 0 0 0 ; x = 2n , n e N }
B = {y|9<y<800;
Fransızca bilenler 25 kişi,
İngilizce ve Almanca bilenler 5 kişi,
y = 3k,keN}
İngilizce ve Fransızca bilenler 4 kişi,
olduğuna göre, A n B kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
A) 133
B)132
C)131
D)130
E) 129
Fransızca ve Almanca bilenler 3 kişidir.
Buna göre, üç dili de bilenler kaç kişidir?
A)1
B)2
C)3
D) 4
E) 5
Cevaplar: 1-B 2-E 3-D 4B- 5-E 6-A 7-C 8-E 9-E 10- A 11-B 12-A 13-E 14-D 15-B 16-C 17-E 18-D 19-D 20-B
329
yf*$
s ı Sı\iı \
1.
6.
A ve B aynı evrensel kümeye ait iki küme olmak
üzere aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?
A = { x : x, 1727 sayısının rakamlarıdır.}
B = {x : x, 2193 sayısının rakamlarıdır.}
A)AnB = B = > B c A
B ) A - B = 0 => A c B
C) A' - A « E =» A = 0
D ) A u B = A => A n B = B
E ) A n B ' = 0 => B c A
Buna göre, A n B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
A) 2
B)4
7.
2.
3.
C)AuB
D)AnB
olduğuna göre, K c L c M şartını sağlayan kaç
farklı L kümesi vardır?
A) 2
E)A'hB'
A = {l,2,{a},{b,c},b,c}
£
8.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A küme- J
sinin hem bir alt kümesi, hem de bir elemanıdır? "*•
A
H11
B){{b,c}}
:
9.
E) 32
B)A
C)B
D) A n B
E) E
A ve B kümeleri için,
s(A) = 28, s(B) = 14 ve s(B n A) = 8
Buna göre, s(AuB) kaçtır?
B)(B\A)u(C\A)
C) A n (B \ A)
D) 16
A ile B, E evrensel kümesine ait iki farklı kümedir.
A)0
Gfo
C)8
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
E) f a }
4. A, B, C kümeleri için, yanda
ki taralı bölge aşağıdakiler
den hangisiyle ifade edilir?
B)4
Buna göre, (A* - B)' u (B' - A)
C){b,c}
D){1,2}
A)(AuB)\C
E) 32''
M = { a, b, c, d, e, f}
Buna göre, (A' - B)' n B' işleminin sonucu aşağı­
dakilerden hangisidir?
B)B
D) 16
K = { a, b, c,}
A ile B ayrık kümelerdir.
A) A
C)8
A) 38
B)37
C)36
D) 35
E) 34
D) (A \ B) n C)
E) ( B n A ) u ( A n C)
10-
A = {0, 2, 3, 5, 7}
B n C = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7}
5. Öz alt kümeleri sayısı 63 olan bir kümenin iki elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
A) 21
330
B)15
C)10
D) 6
E)1
olduğuna göre, ( A u B ) n ( A u C ) kümesinin ele­
man sayısı kaçtır?
A) 9
B)8
C)7
D) 6
E) 5
Kümeler
1 1 . A ve B kümeleri için,
1 6 . Bir sınıftaki öğrencilerin % 40 ı İngilizce bilmektedir.
Bu sınıfta yalnız İngilizce bilenler, yalnız Almanca bi­
lenler ve hiçbir dil bilmeyenlerin sayısı birbirine eşittir.
s(A n B) = 7
s(AuB) = 14
Buna göre, yalnız bir dil bilenler sınıfın yüzde ka­
çıdır?
olduğuna göre, s(A) + s(B) kaçtır?
A) 23
B)21
C)19
D) 12
E) 7
A) 60
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde " 3 " ele­
man olarak bulunmaz?
A) 8
B)12
C)16
D) 24
A) 4
£
olduğuna göre, (A n B) kümesinin eleman sayısı
B)12
C)13
D) 15
x
D
>E
E) 18 £
©
s(B) = 100
A) 10
S(C) = 1000
AcB cC
A)1100
' 1 5 . AcrB
C)1101
D) 8
E) 12
B)8
C)7
D) 4
E) 3
Sadece Türkçe bilenlerin sayısı sadece İngilizce
bilenlerin sayısının 3 katına eşit olduğuna göre,
Türkçe bilmeyenlerin sayısı kaçtır?
olduğuna göre, s(A u B u C ) kaçtır?
B)110
C)6
1 9 . Türkçe veya İngilizce bilenlerin oluşturduğu 40 kişilik
bir sınıfta Türkçe ve İngilizce bilenlerin sayısı, Türkçe
bilmeyenlerin sayısına eşittir.
s(A) = 10
14.
B)5
Sadece Matematik dersinden başarılı olan öğren­
ci sayısı 10 olduğuna göre, Fizik dersinden başa­
rılı olan öğrenci sayısı kaçtır?
c
A) 10
E) 10
1 8 . Bir sınıfta Matematik veya Fizik dersinden başarılı
olan öğrencilerin % 65 i Matematik dersinden, % 50
si Fizik dersinden başarılıdır.
B = { x | 48 < x < 200 , x = 4k, k e Z}
kaçtır?
D) 20
E) 27
A = { x | 3 6 < x < 2 1 6 , x = 6k , k e Z }
13.
C)30
1 7 . Türkçe veya İngilizce bilenlerin oluşturduğu 30 ki­
şilik bir grupta sadece Türkçe ya da sadece İngi­
lizce bilen 24 kişi olduğuna göre, Türkçe ve İngi­
lizce bilen kaç kişi vardır?
{0,1,2,3,4}
12.
B)50
D)1000
E)1110
olmak üzere,
A) 12
B)8
C)6
D) 5
E) 4
2 0 . 32 kişinin yaşadığı bir apartmanda 10 tane hasta in­
san, 14 tane de sağlıklı genç vardır.
s(AnB) = 4 ve s(AuB) = 10
Apartmandaki sağlıklı ihtiyarların sayısı, hasta
gençlerin sayısının iki katı olduğuna göre, apart­
manda kaç genç insan vardır?
olduğuna göre, A kümesinin alt küme sayısı en az
kaçtır?
A) 1
B)2
Cevaplar: 1-E 2-A
3-C
C)8
4-E
5-B
D) 16
6-B
7-C
A) 16
E) 32
8-E 9-E
10-B
1-B
12-C
13-C
B)18
14-D
C)20
15-E 16-A
D) 22
17-C
18-A
E) 24
19-B 20-B
331
- ,t *
mm
BOLUM
TEST
3
KÜMELER
..«.
$•*'."•:.*^<tf
.*"**!.><?.» h»»»~'**i'>./ -.iss
1.
6.
Yandaki şemaya göre,
A = { 1 , 2 , { 3 , 4 } , A}
B'- (A u B) kümesi
kümesinin iki elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) 2
A) {1,2,6}
B){ 3,4,5}
D) { 6,7,8 }
B)4
C)6
D) 8
E) 12
C) { 7,8 }
E) { 2,3,7 }
n elemanlı bir kümenin 6 elemanlı alt kümelerinin sa­
yısı, 7 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir.
2.
Yandaki şemaya göre taralı
Buna göre, bu kümenin 2 elemanlı alt kümeleri
bölge aşağıdakilerden hangi­
sayısı kaçtır?
si ile ifade edilebilir?
A) 72
A) C - A
B) C - B
E) (A u B) - C
o
c
8.
E) 80
D) 78
B c A ve C c A olduğuna göre, aşağıdakilerden
kaç tanesi kesinlikle doğrudur?
I. ( B n C ) c A
A ve B herhangi iki kümedir. A - B , A n B v e B - A
kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 256,32 ve 4 tür.
X
O
>-
Buna göre, s(A) + s(B) kaçtır?
E
o
u.
A) 23
B)22
C)20
D) 15
E) 13
©
II. ( B u C ) c A
III. ( B - C ) c A
C)76
C)C-(AnB)
D)C-(AuB)
3.
B)74
IV. A u B = A
V. A - (B u C) = 0
9.
C)3
B)2
A)1
D) 4
A n B kümesinin alt kümelerinin sayısı 16 dır.
E) 5
s(A) = 2x - 1
s(B) = x + 8
4.
[(A' v B') n A]' n B'
s ( A u B ) = 15
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) (A u B)'
B) (A - B)'
D) A n B
5.
olduğuna göre, s(B) - s(A) kaçtır?
C) (B - A)'
A) 3
B) 5
C) 7
D) 9
E) 11
E) A u B
1 0 . Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için,
Yandaki şekilde taralı alan 17 cm 2 ,
A bölgesinin alanı 46 cm 2 , B böl­
3.s(B - A) = 2.s(A) = 4.s(A n B)
gesinin alanı 32 cm 2 dir.
ı
olduğuna göre, A u B kümesinin eleman sayısı
Buna göre, A ve B nin sınırladı­
kaç olabilir?
ğı toplam alan kaç cm 2 dir?
A) 95
332
B) 75
C) 61
D) 63
E) 49
A) 28
B)20
C)15
D) 12
E) 9
Kümeler
1 1 . Tıp ve Hukuk fakültesi öğrencilerinden oluşan 41 kişi­
1 6 . 20 kişilik bir sınıfta mavi kalemi olan öğrenci sayısı
lik bir toplulukta, kız öğrencilerin sayısı 22, Hukuk fa­
13, kırmızı kalemi olmayan öğrenci sayısı 11 ve sade­
kültesinde okuyan öğrencilerin sayısı 15 ve Tıp fakül­
ce kırmızı ya da sadece mavi kalemi olan öğrenci sa­
tesinde okuyan erkek öğrencilerin sayısı 11 dir.
yısı toplamı 10 dur.
Buna göre, Hukuk'ta okuyan kız öğrenci sayısı
Buna göre, hem kırmızı hem de mavi kalemi olma­
kaçtır?
A) 7
yan öğrenci sayısı kaçtır?
B)8
1 2 . A ve B,
C)10
D) 15
E) 16
A) 7
B)6
C)5
D) 4
E) 3
E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
s(E)= 32
1 7 . Bir sınıftaki öğrencilerin % 70 inde siyah kalem, % 35
s(A) = 11
inde kırmızı kalem vardır.
s(B) = 13
Bu sınıfın en çok yüzde kaçında hem siyah hem
olduğuna göre, (A u B)' en az kaç elemanlıdır?
de kırmızı kalem vardır?
A) 32
B)24
C)16
D) 8
E) 4
A) 5
1 3 . A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
B)15
C)35
D) 45
E) 70
£
c
s(E\A) + s(B) = 17
^
s(A) + s(E n B') = 23
*"
E
olduğuna göre, E kümesinin eleman sayısı kaçtır?
1 8 . 24 kişilik bir sınıfta 8 kişi Ankara'ya gitmiş, 11 kişi İs­
tanbul'a gitmemiştir.
"*
@
Buna göre sadece İstanbul'a gidenlerin sayısı, sa­
dece Ankara'ya gidenlerin sayısından kaç fazla­
A) 40
B)33
C)23
D) 20
E) 17
dır?
A) 5
14.
A = {1,2}
ve
B)6
C)7
D) 8
E) 9
B = { 1 , 2 , 3, 4, 5, 6 }
kümeleri veriliyor.
A*C
ve A c C c B
1 9 . Basketbol, voleybol ve hentbol oyunlarından en az bi­
olduğuna göre, kaç farklı C kümesi yazılabilir?
rini oynayanların bulunduğu bir topluluk 28 kişidir. Bu
A) 7
B)10
C)15
D) 19
E) 31
toplulukta 16 kişi basketbol, 14 kişi voleybol, 12 kişi
de hentbol oynamaktadır. Hem basketbol hem de vo­
leybol oynayanlar 7, hem basketbol hem de hentbol
oynayanlar 6, hem voleybol hem de hentbol oynayan­
1 5 . Futbol ve basketbol sporlarından en az birini oynayan­
lar 5 kişidir.
ların bulunduğu 40 kişilik bir sınıfta futbol oynayanla­
rın sayısı basketbol oynayanların sayısının 4 katıdır.
Buna göre, bu toplulukta her üç oyunu da oyna­
Buna göre basketbol oynayanlar en az kaç kişidir?
yan kaç kişi vardır?
A) 12
A) 1
Cevaplar: 1-D
B) 10
2-D
3-D
C)9
4-A
5-C
D) 8
6-C
7-D
E) 7
8-C
9-B
10-B
11-A
12-D
B) 2
13-D
14-C
C) 3
15-D
D) 4
16-D
17-C
E) 5
18-A
19-D
333
1.
6.
Yandaki şemaya göre,
A ve B iki kümedir. s(A - B), sj(B - A) ve s(A n B)
sırası ile 2, 3 ve 5 ile doğru orantılıdır.
A ' - ( A n B ) ' kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
s(B) = 16 olduğuna göre, A u B kümesinin ele­
man sayısı kaçtır?
A) 21
B) {4}
A) {3}
C) {5}
7.
2.
-" B)20
C)19
D) 18
E) 17
E)0
D) {4,5}
A ve B boş olmayan iki kümedir.
A ve B aynı E evrensel kümesine ait, boş küme­
den farklı iki küme olmak üzere;
s(A' - B') = 3.s(B' - A') = 2.s(A n B)
olduğuna göre, A u B kümesinin iki elemanlı alt
(A - B) - B'
kümelerinin sayısı en az kaçtır?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) A
B)B
C)AnB
D) 0
A) 21
C)45
D) 55
E) 66
E)B-A
İ 83.
B) 28
A u B = { 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
o
A = { x : x 2 > 25 ve x e Z }
A \ B = { 1, 4, 5 }
>-
E
e
u.
B = { x : | x | < 6 ve x e N }
olduğuna göre, B kümesinin alt kümelerinin kaç
tanesinde " 8 " eleman olarak bulunur?
olduğuna göre, A n B kümesinin alt küme sayı­
sı kaçtır?
A) 1
A) 32
B) 2
D) 64
C) 8
B)16
C)8
D) 4
E) 2
E) 256
9.
A kümesinin 4 tane elemanı B kümesinin elemanı
değildir. B kümesinin 5 tane elemanı ise, A kümesi­
4.
B<rA
nin elemanı değildir.
olmak üzere,
s ( A - B) = 8
ve
A ve B kümesinin 7 ortak elemanı olduğuna gö­
s(A) = 13
re, s(A) + s(B) kaçtır?
olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı en az
kaçtır?
A)0
B)1
C) 4
D) 5
A) 11
B) 12
C) 17
D) 19
E) 23
E) 6
1 0 . İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinin konuşulduğu
100 kişilik bir toplulukta, üç dili de konuşanlar 10 kişi­
5.
Boş olmayan A ve B kümeleri için,
dir. En az iki dil bilenlerin sayısı, yalnız bir dil bilenle­
rin sayısına eşittir.
3.s(A - B) = 5.s(A n B) = 6.s(B - A)
olduğuna göre, A u B kümesinin eleman sayısı
en az kaçtır?
A) 5
334
B)6
C) 11
D) 17
E) 21
Buna göre, yalnız iki dil bilenlerin sayısının, yalnız
bir dil bilenlerin sayısına oranı kaçtır?
*>!
B)
C)
D)
E)
Kümeler
11.
1 6 . Bir sınıftaki öğrencilerin % 70 inde siyah kalem, % 45
A = {0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9}
inde kırmızı kalem vardır. Bu sınıfta hem siyah, hemde
kırmızı kalemi olmayan yoktur.
A kümesinin 5 elemanlı ait kümelerinin kaç tane­
sinde sadece üç tane asal savı bulunur?
A) 56
B) 58
C) 60
D) 64
Bu sınıftaki öğrencilerin en çok 6 tanesinde sadece
kırmızı kalem olduğuna göre, sınıfta kaç kişi vardır?
E) 66
A) 12
1 2 . A = { a , b} ve B = { a , b, c, d, e, f} kümeleri veriliyor.
C)6
E) 30
56 kişilik bir grupta sadece bir dil bilenlerin sayıları bir­
birlerine eşittir. Sadece iki dil bilenlerin sayıları da bir­
birine eşittir. Sadece iki dil bilenlerin sayısı, sadece bir
şartını sağlayan dört elemanlı kaç tane D kümesi
yazılabilir?
B) 7
D) 20
C)18
1 7 . Almanca, İngilizce ve Fransızca bilenlerden oluşan
AcDcB
A)8
B)15
D) 5
dil bilenlerin sayısının 2 katı; sadece İngilizce bilenle­
rin sayısı, üç dili de bilenlerin sayısının 3 katıdır.
E) 4
Buna göre, sadece İngilizce bilen kaç kişidir?
A) 5
B)6
C)8
D) 10
E) 12
s(A\B) = 2. s(B\A) = 3. s ( A n B )
13.
s(A u B) = 22
o
olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
c
D
A) 8
B)12
C)14
D) 16
E) 18
1 8 . 24 kişilik bir sınıfta Matematik dersinden zayıf alan­
ların sayısı, Fizik dersinden zayıf alanların sayısı,
Matematik ve Fizik dersinin ikisinden de zayıf alma­
yanların sayısı biribirine eşittir.
>E
Hem Matematik hem de Fizik dersinden zayıf
alanların sayısı 3 olduğuna göre, sadece Mate­
matik dersinden zayıf alanların sayısı kaçtır?
A) 6
1 4 . A kümesine iki tane daha eleman katılırsa alt küme­
leri sayısında 192 artış oluyor.
B)5
C)6
D) 7
D) 9
E) 10
1 9 . Bir sınıfta İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden
en az birini bilenler vardır.
Buna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 4
C)8
B)7
Bu sınıfta en az iki dil bilen 19, en çok üç dil bilen
27 kişi olduğuna göre, yalnız bir dil bilen kaç kişi
vardır?
E) 8
A) 8
1 5 . A ve B iki kümedir.
B)9
E) 12
D) 11
C)10
s(A - B) = 9
2 0 . Bir sınıftaki öğrencilerin % 40 ı İngilizce, % 60 ı
s ( B - A ) = 10
Almanca ve % 30 u da her iki dili bilmektedir.
s(B u A) = 25
olduğuna göre, (A n B) kümesinin üç elemanlı
alt küme sayısı kaçtır?
Her iki dili bilen öğrenci sayısı 15 olduğuna göre,
en çok bir dil bilen öğrenci sayısı kaçtır?
A) 10
A) 15
B)15
C)18
Cevaplar: 1-E 2-D 3-B 4-E 5-E 6-B
D) 20
E) 30
7-D 8-B 9-E
10-B
11-C
12-C
13-D
B) 20
14-C
15-D
C) 25
16-D
D) 30
17-B
18-A
E) 35
19-A
20-E
335
4.
BÖLÜM
1.
TEST
5
KÜMELER
6.
B ve C boş kümeden farklı iki küme olmak üzere,
[[(BuC)'uC]nC]'
A ve B boştan farklı iki kümedir.
nC
A \ B nin alt küme sayısı 16,
B \ A nın özalt küme sayısı 7,
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangi­
sidir?
s(A u B) = 8 olduğuna göre, s(A n B) kaçtır?
A) B - C
B)BuC
C) B n C
A) 5
D) B'
2.
A) 14
s(A n B)
B) 15
AnB^0
D) 2
E) 1
s(A) = s(B - A)
s(B) = 5.s(A - B)
x < 800 ve x = 6k, k e Z }
olduğuna göre,
C) 3
E) C*
A = { x e Z + : x < 700 ve x = 8k, k e Z }
B={xe N :
3.
B) 4
olduğuna göre, (A u B) kümesinin eleman sayısı
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
kaçtır?
C)18
D) 21
olmak üzere,
s(A) = 4 ,
A) 15
E) 29
o
o.
B)18
C)21
D) 25
E) 32
A = { x : | x + 1 | <9 , x asal sayı}
s(B) = 6 dır.
A kümesinin en az üç elemanlı alt kümelerinin sa­
Buna göre, A u B kümesinin alt küme sayısı en
yısı kaçtır?
@
fazla kaçtır?
A) 16
A) 16
4.
B)32
C)64
A ve B kümeleri için, AczB ,
s ( A u B ) = 10,
D) 128
9.
Bez A
B)12
D) 10
s(A' u B ) ' = 5
AnB*0
olduğuna göre, s(A u B) en az kaçtır?
E) 9
A) 7
5.
B)8
C)12
D) 13
E) 14
A ve B aynı evrensel kümeye ait alt kümelerdir.
s(A - B') = 5
kelimesinde geçen harflerin oluşturduğu kümenin
3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde M harfi
olduğuna göre, s(E) kaçtır?
A) 34
B)35
C)48
MATEMATİK
10.
s[(A - B')'] = 29
336
E)1
s(A' - B') = 7
s(AnB) = 3
C) 11
D) 3
A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.
olduğuna göre, A kümesi en çok kaç elemanlıdır?
A) 13
C)5
B)8
E) 512
bulunur?
D) 52
E) 57
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
Kümeler
1 1 . A ve B kümeleri 15 elemanlı C kümesinin alt kü­
meleridir.
H£
s(A - B) = 2.s(B - A)
I
olduğuna göre, A kümesi kaç elemanlıdır?
B)7
C)10
D) 13
Şekildeki taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile
ifade edilebilir?
E) 15
A) (A n B) u C
B) A u (B n C)
D) (B - C) u A
12.
C
I
s(A n B) = 2.s(A" n B')
A) 5
B
ff
C) (A n B) - C
E) (A n B) n C
A = {0, 1,2, 3,4, 5}
1 7 . Almanca veya Fransızca dilini bilenlerden oluşan
1_
sınıfta iki dili bilenler Almanca dilini bilenlerin ğ sı,
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesin­
de en az bir tek sayı bulunur?
A) 20
B)19
C)17
D) 14
Fransızca dilini bilenlerin y si kadardır.
E) 12
Sınıfta öğrenci sayısı 65 den az olduğuna göre,
sadece Almanca dilini bilenler en çok kaç kişi­
dir?
1 3 . Bir M kümesinin 2 den az elemanlı alt kümelerinin sa­
yısı, en az 9 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir.
A) 15
c
^
o
Buna göre, M kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 7
B)8
C)9
D) 10
E) 11
E
@
14.
A - B kümesinin eleman sayısı 6,
B - A kümesinin eleman sayısı 7,
A kümesinin eleman sayısı 8 dir.
B)16
C)15
D) 14
D) 30
E) 35
Buna göre, Matematik dersinden geçenlerin en az
yüzde kaçı Tarih dersinden ve Fizik dersinden ge­
çen öğrencidir?
E) 13
A = { a, b, c, d, e, f, g, h }
A kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç ta­
nesinde a eleman olarak bulunur, g eleman ola­
rak bjılujımaz?
B)18
C)20
D) 24
E) 30
1 9 . En az bir dil bilenlerin bulunduğu bir sınıfta İngilizce bi­
lenler Fransızca da bilmektedir. İngilizce bilenler, Al­
manca bilmemektedir.
İki dil bilenlerin toplamı 28, bir dil bilenlerin top­
lamı 12 olduğuna göre, sınıf mevcudu kaçtır?
A) 25
15.
C)25
1 8 . Bir sınıftaki öğrencilerin % 90 ı Matematik dersin­
den geçmiş, % 70 i Tarih dersinden geçmiştir. Ta­
rih dersinden geçenlerin % 40 ı da Fizik dersinden
geçmiştir.
A) 15
Buna göre, A u B kümesinin eleman sayısı kaç­
tır?
A) 21
B)20
^
B)30
C)40
D) 45
E) 60
2 0 . Bir gezi grubunda siyah saçlı ve sarı saçlı olan insan­
lar vardır. Siyah saçlı olanlar, sarı saçlı olanların iki
katı ve siyah saçlı erkeklerin sayısı sarı saçlı bayanla­
rın sayısına eşittir.
Gezi grubunda 26 bayan olduğuna göre, gezi gru­
bunda kaç kişi vardır?
A) 6
B)8
C)10
D) 12
E) 15
A) 30
Cevaplar: 1-E 2-E 3-E 4-E 5-A 6-E 7-B 8-C 9-D 10-C
B)33
C)36
D) 39
E) 42
1-C 12-B 13-D 14-C 15-E 16-C 17-C 18-B 19C- 20-D
337
•
"
mm
BOLUM
1.
A,
B,
C
KÜMELER
il
mm
6.
kümelerinin eleman sayıları sırasıyla
*•
>*:>
TİST
6
**
n elemanlı bir kümenin 3n - 13 elemanlı alt kü­
meleri sayısı, n -1 elemanlı alt kümeleri sayısına
3, 5, 7 dir.
eşit olduğuna göre, iki elemanlı alt kümeleri sayı­
Buna göre, s(A n B n C ) en çok kaç olabilir?
sı kaçtır?
A) 2
A) 12
B)3
C)5
D) 7
E) 15
kümesinin kaç elemanı 5 veya 6 ya bölünebilir?
A) 232
B) 238
C) 242
D) 248
E) 256
o
c
X
A = {0, 1,2, 3, 4, 5 }
C)16
D) 32
C)12
D) 18
E) 24
kümesinin dört elemanlı alt kümelerinin kaç tane­
sinde x ile y den en az biri eleman olarak bulu­
nur?
E) 64
9.
E = { x : x<10, x e N }
B)9
>-
A) 27
4.
E) 34
A = { x, y, z, t, k, m, n }
D
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 elema­
nı bulunmadığı halde 2 elemanı bulunur?
B)8
D) 32
Futbol ve masa tenisi oynayanların sayısı hiç spor
yapmayanların sayısına eşit ve bu üç sporuda ya­
pan hiçbir öğrenci olmadığına göre futbol oyna­
yan kaç kişi vardır?
A) 6
A) 4
C)24
27 kişinin bulunduğu bir sınıfta basketbol oynayan
herkes futbol oynamaktadır. Futbol oynayanların sayı­
sı, basket oynayanların 3 katı, masa tenisi oynayanla­
rın 2 katıdır.
A = { x : x < 700, x e N + }
2.
B) 15
B)32
C)30
D) 35
E) 42
A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümele­
ri olmak üzere,
A = {x:x<5, xeN}
s(E) = 17
B = {2, 4, 6 ,8}
s(A / B) = 5
olduğuna göre, s(A n B) kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 7
D) 8
s(A'nB') = 2
E) 9
olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı, ( A - B )
kümesinin eleman sayısının kaç katıdır?
A
s(A n B') = 3x - 1
s(A u B) = x 2 + 8
'i
^
C)1
D) 2
E) 5
1 0 . A ve B iki kümedir.
s(A n B).s(B) = x3 + 27
olduğuna göre,
az kaçtır?
A) 2
338
B)3
A
kümesinin eleman sayısı en
C)5
D) 6
E) 8
A \ B nin en çok bir elemanlı alt kümelerinin sayısı
8, B nin en az iki elemanlı alt kümelerinin sayısı 4
olduğuna göre, s(A u B) kaçtır?
A) 10
B)9
C)8
0)7
E) 6
Kümeler
11.
1 6 . 36 kişilik bir sınıfta Fizik dersinden kalanların sayısı
14, Kimya dersinden kalanların sayısı 8 dir.
A = {x, y, z, t, p,q, r}
A kümesinin dört eiemanlı alt kümelerinin kaç ta­
nesinde x eleman olarak bulunur ama p eleman
olarak bulunmaz?
A) 18
B)15
C)12
D) 10
Her iki dersten geçenlerin sayısı 16 kişi olduğuna
göre, Kimya dersinden kalıp Fizik dersinden kalma­
yan kaç öğrenci vardır?
E) 8
A) 4
1 2 . Bir sınıfta kızların sayısı s(K), erkeklerin sayısı s(E),
gözlüklü öğrencilerin sayısı s(G) ile gösterilmektedir.
D) 10
E) 12
Buna göre, bu sınıfın en az yüzde kaçı bu dört
dersten başarılı olmuştur?
s(G) = s(E) + 6
s(E) = 3.s(K)
A) 15
olduğuna göre, sınıf mevcudu kaçtır?
B)42
C)8
1 7 . Bir sınıftaki öğrencilerin % 80 i Kimya dersinden,
% 75 i Fizik dersinden, % 85 i Türkçe dersinden,
% 90 ı ise Matematik dersinden başarılı olmuştur.
s(K) = 2.s(G')
A) 40
B)6
C)48
D) 50
B)20
C)25
D) 30
E) 35
E) 52
1 3 . A ve B ayrık kümelerdir. A kümesinin alt küme sayısı, B
kümesinin alt küme sayısının 32 katıdır.
£
.2
1 8 . Bir okulda en az üç sınıfın dersine giren öğretmen­
ler 12 kişi, en çok dört sınıfın dersine giren öğretmenler 5 kişidir. Sadece dört sınıfın dersine giren
öğretmenler 2 kişidir.
c
Bu iki kümenin eleman sayıları toplamı 13 olduğu­
na göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
o
*"
|
Toplam 13 öğretmen bu okulda görev aldığına
göre, sadece üç sınıfın dersine giren kaç öğretmen vardır?
A) 4
©
A) 1
u.
B)5
C)6
D) 7
E) 8
1 4 . A ile B ayrık olmayan iki kümedir. A kümesinin 2, B kü­
mesinin 3 elemanı A n B kümesinin elemanı değildir.
Buna göre, A u B kümesinin alt küme sayısı en az
kaç olabilir?
A) 8
B)16
C)32
D) 64
E) 128
1 5 . A, B ve C kümeleri için,
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1 9 . C kümesinin elemanlarının % 4 0 ı D kümesine ait
değildir. D kümesinin elemanlarının ise % 50 si C kü­
mesine ait değildir.
Buna göre, C u D kümesinin eleman sayısı en az
kaçtır?
A) 24
B)16
C)12
D) 8
E) 6
2 0 . En az bir dil bilenlerin bulunduğu 41 kişilik bir sınıfta
İngilizce dilini bilen herkes Almanca dilini biliyor ama
Fransızca dilini bilmemektedir.
s(A) + s(B) = s(C)
s(A) + s(A') = 24
Buna göre, Almanca dilini bilenler 33, bir dil bilen­
ler 19 kişi ise iki dil bilenler kaç kişidir?
olduğuna göre, s(A') + s(B') + s(C') kaçtır?
A) 24
B)36
Cevaplar: 1-B 2-A
C)48
3-C 4-D 5-D
D) 52
6-B
E) 72
7-D 8-C 9-D
10-,
A) 17
11-D 12-C 13-A
B)20
C)22
14-D 15-C 16-B
D) 25
17-D 18-B
E) 27
19-D 20-C
339
4.
BÖLÜM
TEST
7
KÜMELER
A u B = { a, b, c, d, e}
6.
A = { x | x = 3k, 1 6 < x < 3 2 0 ,
keZ+}
B = {y | y = 4k, 1 8 < y < 4 0 0 ,
keZ+}
A u C = { b, c, d, e, f, g }
olduğuna göre, A kümesinin en fazla kaç tane
olduğuna göre, A u B nin eleman sayısı kaçtır?
alt kümesi vardır?
A) 4
B) 8
D) 32
C) 16
A) 25
E) 64
7.
2.
A= { x :
- 3 > 5, x e N}
B)48
C)100
D) 156
A = { x : x = 5k, x < 100,
ke N}
B = { x : x = 2k, x < 100,
k e N}
E) 172
olduğuna göre, s(A - B) kaçtır?
olduğuna göre,
A' kümesinin en çok iki ele-
A) 5
manlı alt küme sayısı kaçtır?
A) 154
B) 148
C) 144
D) 132
B)10
C)15
D) 20
E) 30
E) 126
JJJ
8.
Aynı evrensel kümeye ait A, B, C kümeleri için,
c
£
>-
A = { x, y, z }
s(A) + s(B) = 12
s(Â) + s(B) = 18 ve s(C) = 9
E
B = { x, y, z, t, k, m }
olduğuna göre, s(C) kaçtır?
@
B kümesinin alt kümelerinin kaç tanesi A küme­
A) 6
sini kapsar?
B)2
A)1
C)4
B)5
s(A) = 3x + 2
s(B) = 2x - 1
s(B) + s(A n B) = 7
olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
B)5
C)6
D) 7
A kümesinin alt küme sayısının, B kümesinin alt
küme sayısına oranı 32 olduğuna göre, s(A) + s(B)
kaçtır?
E) 8
A) 9
5.
E) 2
A ve B boş kümeden farklı iki kümedir.
s(A) + 2.s(A-B) = 13
A) 4
D) 3
E) 16
D)
9.
4.
C)4
B)10
C) 11
D) 12
E) 13
A ve B boş kümeden farklı iki kümedir.
1 0 . A, B, C boş kümeden farklı kümelerdir.
[(AnB')'n(B-A)' ] u B
An B = C
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) A n B
D) (A n B)'
340
B) (A - B)'
C) (B - A)'
E) (B A A)
ve
BnC = A
olduğuna göre, B u ( A n C ) aşağıdakilerden han­
gisidir?
A)AnC
B)AuB
C) B n C
D) B
E) C
Kümeler
1 1 . s(A) = 7 ve s(B) = 10
kümesinin 3 elemanlı bütün alt kümelerinin kaç
tanesinin elemanları toplamı 3 ile tam bölünür?
n - m kaçtır?
A) 6
B)7
C)10
D) 14
A = { 1, 2, 3, ... ,29, 30}
16.
olmak üzere, s(A n B)
nin değeri en az m, en çok n olduğuna göre,
E) 17
A,3.(;°)
+
,03
8,(10)
o,.(;°)-ıo«
12. B-A
ve
t
,0'
° )2 .(;Vo»
A - B boş kümeden farklı kümeler ve
s(A u B) çift sayıdır.
s(A - B) + s(B - A)
s(AnB)
]_
1 7 . Bir okulda üniversite sınavına girenlerin yarısı sınıfı­
=
" 2
nı geçmiştir. Sınavı kazanamayan öğrenci sayısı
204 tür.
olduğuna göre, s(A u B) nin en küçük değeri için
s(B) en çok kaçtır?
Sınıfta kalıp ta sınavı kazanan 50, sınıfı geçipte
A) 8
B)9
C) 11
D) 13
sınavı kazanamayan öğrenci sayısı 27 kişi ise,
E) 17
sınavı kazanan kaç kişi vardır?
A) 150
1 3 . A, B boş kümeden farklı iki kümedir.
s(A - B) = 2.s(B - A)
s(A) = s(B) + 5
S
c
A n B kümesinin alt küme sayısı 64 olduğuna gö-
£>
re, s(A u B) kaçtır?
>E
A) 18
B)20
C)21
D) 22
E) 24
"
©
2.s(A) = 3.s(B) = 6.s(A n B)
olduğuna göre, s(A u B) aşağıdakilerden hangisi
olamaz?
A) 4
B)6
C)8
D) 12
E) 16
{0,1,2,3,4,5}
15.
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 veya 4
ten en az biri bulunur?
C)250
D) 300
E) 350
1 8 . Bir sınıfta İngilizce dilini bilenler, Fransızca dilini bil­
memektedir. Sadece Fransızca dilini bilenler sınıfın
% 5 i, sadece İngilizce dilini bilenler sınıfın % 10 u,
sadece Almanca dilini bilenler sınıfın % 20 sidir. Sı­
nıfın % 55 i İngilizce dilini veya Fransızca dilini bil­
mektedir.
Buna göre, bu sınıftan dil bilmeyenlerle, Almanca
dilini bilenler sınıfın yüzde kaçıdır?
A) 60
1 4 . A ve B, E evrensel kümesinin farklı alt kümeleri ol­
mak üzere,
B)200
B) 70
C) 75
D) 85
E) 95
1 9 . Bir işyerinde 210 işçi çalışmaktadır. Yaşlı bayan işçi­
lerin sayısı, yaşlı erkek işçilerin sayısına eşittir. Genç
bayan işçilerin sayısı ile genç erkek işçilerin sayısının
toplamı, yaşlı bayan işçilerin sayısının 3 katı kadardır.
Buna göre, bu iş yerinde kaç yaşlı işçi çalışmakta­
dır?
A) 70
B)76
C)84
D) 100
E) 105
2 0 . 28 kişilik bir turist kafilesi yalnızca ingilizce dilini ve
yalnızca Fransızca dilini bilenlerden oluşmaktadır. Ka­
filede İngilizce dilini bilen bayanların sayısı Fransızca
dilini bilen bayanların sayısının yarısı, İngilizce bilen
bayların sayısı ise, Fransızca dilini bilen bayanların
sayısının iki katıdır.
Buna göre, kafilede en çok kaç bayan turist vardır?
A) 60
B) 56
Cevaplar: 1-C 2-A
3-D
C) 52
4-B
5-B
D) 48
6-E
7-B
8-A
E) 36
9-C
10-D
A) 3
B)6
C)9
D) 12
E) 15
1-B 12-E 13-C 14-B 15-D 16-A 17-C 18-D 19C- 20-D
341
•*!•>,. --•-.^y?>Y
Çözüm:
SIRALI İKİLİ
x ve y gibi herhangi iki eleman arasında belirli bir sıra
gözetilerek oluşturulan (x, y) şeklindeki elemana sıralı
ikili veya kısaca ikili denir. x elemanına ikilinin birinci
bileşeni, y elemanına da ikilinin ikinci bileşeni denir.
s[ (A x C) n (B x C) ] = s[(A n B) x C ] = s(A n B).s(C)
= 2.4 = 8 dir.
Kartezyen Çarpımın Grafiği
A x B nin grafiği çizilirken; birinci bileşenin ait olduğu kü­
menin (A) bütün elemanları x ekseni üzerinde işaretle­
nir ve her elemandan dikme çıkılır. İkinci bileşenin ait ol­
duğu kümenin (B) bütün elemanları da y ekseni üzerin­
de işaretlenir ve her elemandan dikme çıkılır. Bütün bu
dikmelerin kesim noktaları kartezyen çarpımın grafiğini
oluştururlar.
Kümeye ait olmayan noktalardan çıkılan dikme kesikli
çizgi ile çizilir.
En az bir kesikli çizginin geçtiği nokta, kartezyen çarpım
kümesine ait değildir ve bu nokta içi boş olarak gösterilir.
Küme aralık olarak verilmişse, bu kümenin elemanların­
dan çıkılan dikmeler düzlemsel bir bölge oluştururlar.
Uyarı:
x ile y arasında sıra gözetildiği için,
x # y ise (x, y) * (y, x) olur.
İkililerin Eşitliği
(x, y) = (a, b) <=> (x = a ve y = b) dir.
KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, birinci
bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alı­
narak oluşturulan bütün ikililerin kümesine, A kartez­
yen çarpım B kümesi denir ve A x B şeklinde gösterilir.
A x B = { ( x , y) | x e A ve y e B } dir.
Örnek:
A = { a , b} ve B = { 1 , 2,3} kümeleri için,
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
B x A = { ( 1 , a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} dir.
A4
A x B nin grafiği
3
2
1
• - * • - - • •
I
B x A nın grafiği
I
I
-4—+--4
-•A
O
1
2
I
3
o
v
E
Q>
- « % - - •«
I
"t—t
Örnek:
A = [-2, 1),
B = {1,2},
C = {2,3}
kümeleri için aşağıdaki grafikleri inceleyelim.
o
c
©
a) İki küme de sonlu küme
olduğundan C x B nin
grafiği şekildeki gibi sonlu
sayıda noktadan oluşur.
1
0
-•B
3
2
P
°
4B
•B î
b)
Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısı
2
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
s(A x B) = s(B x A) = m.n dir.
•*>A
Yukarıdaki örnekte, s(A) = 2 ve s(B) = 3 olduğundan
•1
-**A
s ( A x B ) = s ( B x A ) = 2.3 = 6 dır.
A kümesi sonsuz, B kümesi sonlu küme olduğundan
A x B nin grafiği şekildeki gibi doğru parçalarından oluşur.
Kartezyen Çarpımın Özellikleri
1. A * B <=* A x B * B x A dır.
2. A x (B x C) = ( A x B ) x C = A x B x C dir.
• A x A = A2,
A x A x A = A 3 tür.
c) İki küme de sonsuz küme ol­
duğundan A x A nın grafiği
düzlemsel bir bölge belirtir. Şe­
kilde, iki kez taranmış olan böl­
ge A x A nın grafiğinin oluştur­
duğu düzlemsel bölgedir.
R x R = R2 : Kartezyen (analitik) düzlem,
R x R x R s R 3 : Uzay dır.
3. A x (B u C) = (A x B) u (A x C)
A x (B n C) = (A x B) n (A x C)
A x (B - C) = (A x B) - (A x C) dir.
BAĞINTI
Örnek: 1985-ÖYS
A, B, C kümeleri için
A n B s { a , b}
A ve B, boş kümeden farklı herhangi iki küme olmak
ve
üzere, A x B nin herhangi bir alt kümesine A dan B ye
C »{0,1,2,3}
olduğuna göre, (A x C) n (B x C) kümesinin eleman
sayısı kaçtır?
A)6
342
B)8
C)10
D) 12
E) 16
bir bağıntı denir. A dan B ye bir p bağıntısı;
P : A -> B ya da p c (A x B) şeklinde gösterilir.
Kartezyen Çarpım - Bağıntı
*
*
(x, y) e p <=> y p x şeklinde yazılır ve y elemanı, p
bağıntısı yardımıyla x elemanından elde edilir anla­
mına gelir.
A x A nın herhangi bir alt kümesine de A dan A ya
(ya da A da) bir bağıntı denir. PcA 2 <=> p:A -> A dır.
P c (A x B) olmak üzere,
Örnek:
A = { 1 , 2, 3 } ve B = { a, b} olmak üzere,
A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
B x A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} ise;
Örnek:
P " 1 = { ( y , x ) | ( x , y ) e p } ve
P c (A x B) <=> p~1 c (B x A) dır.
-1
3-1
(P")
A = { 1 , 2, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı,
P = {(x, y) : 2x + y = 7 ve x, y e A}
şeklinde tanımlı p bağıntısının tersi,
P1 = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, a)} ve p1 c (A x B),
P_1 = {(y, x) : 2x + y = 7 ve x, y e A } veya
P 2 {(a, 1),(a,3),(b,2)} ve P2 c (B x A),
P"1 = {(x, y) : x + 2y = 7 ve x, y e A }
2
*
=p olur.
P 3 {(1,1),(2, 1), (3,2)} ve P 3 cA ,
olur. Bu bağıntı liste şeklinde yazılırsa,
P4 {(a, a), (b, b), (b, a)} ve P 4 c B 2 ,
P" 1 ={(5,1), (3, 2), (1,3)} ve
Ayrıca, a = { ( 1 , a), (1, b), (a, 3)} için,
P = ( p V = { ( 1 , 5 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1)} olur.
a <z (A x B) ve a <z (B x A) olduğundan a, A dan B
ye ya da B den A ya bir bağıntı değildir.
Uyarı:
P bağıntısının grafiğinin y = x doğrusuna göre simet­
riği, p~1 in grafiği olur.
s(A x B) = 3.2 = 6 ve A x B nin herhangi bir alt kümesi
A dan B ye bir bağıntı olduğundan, A dan B ye 26 = 64
farklı bağıntı tanımlanabilir.
A da Tanımlı Bir Bağıntının Özellikleri
P, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
Bağıntı Sayısı
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
1. V x e A için (x, x) e p ise p yansıyan bir bağıntıdır.
A dan B ye 2 m n farklı bağıntı tanımlanabilir.
Uyarı:
Bağıntı, kartezyen çarpımın bir alt kümesi olduğuna
göre, kartezyen çarpımda olduğu gibi bağıntı da liste
yöntemiyle, ortak özellik yöntemiyle, grafiği çizilerek
gösterilebilir. Bunun dışında, A dan B ye veya A da
tanımlı bir bağıntı Venn Şeması ile de aşağıdaki gibi
gösterilir. Örneğin, yukarıdaki P2 ve p bağıntısını Venn
Şeması ile gösterelim.
o
2. V (x, y) e P için (y, x ) e p ise p simetrik bir bağıntıdır.
O
3. x, y € A için (x, y) ve (y, x) ikililerinden en çok birisi p nın elemanı ise ya da (x, y) e P ve (y, x) e p
iken x = y oluyorsa p ters simetrik bir bağıntıdır.
c
E
4. V [(x, y) e p ve (y, z) e p ] iken (x, z) e p ise p ge­
çişken bir bağıntıdır.
Burada, (x, y) e P iken p bağıntısının (y,z) biçiminde
bir elemanı yoksa geçişme özelliği bozulmaz. Yani, p
nın hem (x, y) hem de (y, z) biçiminde elemanları varken
(x, z) biçimindeki elemanları yoksa geçişme özelliği yok­
tur, bunun dışındaki bütün durumlarda geçişme özelliği
vardır.
•
A da tanımlı,
P = { (1,1), (2,1), (2, 3), (3, 2)}
bağıntısının grafiği de yandaki
şekildeki gibi olur.
Yansıma, simetri ve geçişme özellikleri olan bir bağın­
tıya denklik bağıntısı,
yansıma, ters simetri ve geçişme özellikleri olan bir
bağıntıya da sıralama bağıntısı denir.
Örneğin, A = { 0, 1, 2, 3, 4 } kümesinde tanımlı;
$, = {(x, y): 3 | (x - y) ve x, y e A}
İA
= {(x, y) I x - y farkı 3 ile tam bölünür ve x, y e A }
1
2
3
bağıntısı denklik bağıntısı,
*-A
P2 = {(x, y) | x < y ve x, y e A}
Bağıntının Tersi
A dan B ye tanımlı bir p bağıntısının elemanları olan
bütün ikililerin bileşenlerinin yer değiştirilmesiyle
elde edilen bağıntıya p nın tersi denir ve p~1 şeklinde
gösterilir.
bağıntısı da sıralama bağıntısıdır.
*
p denklik bağıntısı olmak üzere, birinci bileşeni x olan
ikililerin ikinci bileşenlerinin oluşturduğu kümeye x in
denklik sınıfı denir ve x ile gösterilir.
x = { y | (x, y) e P ve p denklik bağıntısı} olur.
343
KARTEZYEN :A RPIfM • BAĞINTI
BötiîM
6.
(x + y, y - 1 ) = (4,3)
A={x:-2<x<1,xeR}
B = {y:
olduğuna göre, x kaçtır?
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
A)
C)(7,2)
E) (-3, 3)
olduğuna göre,
kaçtır?
A) 8
AxB
B)9
ı
©
kümesinin eleman sayısı
A)
i
|x| < 2 , x e Z }
B={x:
|x + 1 | < 2 , x e R}
B)
• - _1_
-1
0
ı
i
O - H
1
> —- - r-<-
2
i
*
-1
1 - i
•
>y
1
-
-
X
*
-1
>
-3;
0
1
11
-3
1
-
->
r - -
1
-3
x
*
-1
A)
nin grafiği aşağıdakiier­
Ay
B)
-fy
-•--•
,- + -4
-3!
1 \2
\2 \3
c
--
3
ty3
D)
>y
1•
i >--<>
,--,
jL
1
f . I . -1
1
1
1
-1
2
3
;ı İ2
-3
*
-1
-3
•
2
• -- - - * - - •
• " 1 --4-4
X
1
X
-2 -1
BxA
E) fy
>y
X
+7—•
o ;ı
olduğuna göre,
den hangisidir?
X
--i
1
'
*n-2
B = {-1,2, 3}
ı
r - •1
E)
D)
i
1
>
1
1
0
2
4
1
2
-1;
3
1
1
1
1
ı
e
-
-l
,-<
x
*
-3
C)
1
r "1
0
'
I
-3
>y
3
t
1
1
1
-1
A = {x:
>y
^
1
i
A = {-3, 1 ,2}
E) 20
D) 15
olduğuna göre, AxB kümesinin grafiği aşağıdaki­
ierden hangisidir?
344
7.
'Y
1
X
C
uu
be N}
C) 12
1
J'
-2
E
aeN}
3*
E)
3
ı
>-
X
w
-1
i
B)(5,5)
B = {b: - 2 < b < 2 ,
-i
1
i * -i! "
iiy
D
4.
2^
i
olduğuna göre, aşağıdakiierden hangisi AxB kü­
mesinin elemanı değildir?
>y
-2
A = {1,3, 5, 7, 9}
B = {-3, - 2 , 2 , 3, 4, 5}
a2<16,
x
-2
D)
D) ( 9 , - 2 )
."
3
E) 28
D) 20
C)16
A = {a:
i
1
-1
olduğuna göre, (A n C) x B kümesinin eleman
sayısı kaçtır?
A) ( 1 , - 3 )
c)
3
v
1
C = {0, 1,2, 3, 4 }
3.
w
B)
ıy
i
B = { a, b, c, d }
B)8
-1<y<3, yeR)
olduğuna göre, BxA kümesinin grafiği aşağıdaki­
ierden hangisidir?
E) 2
A = { - 2 , 0, 2 }
A) 4
TEST
1
1
-
-
-3
1 l-
-
ı
t
-3
1
X
Kartezyen Çarpım - Bağıntı
8.
A = { a, b, c }
13.
K = {1,2,3,4}
B = { a, b, c, d }
kümesinde tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan
hangisi ters simetrik değildir?
olmak üzere, s[ (A x B) n (A x C) ] = 12 şartını
sağlayan C kümesinin eleman sayısı en az kaç
olabilir?
B)4
A) 3
E) 12
D) 6
C)5
A) {(2, 3), (4,1), (3, 3)}
B){ (1,1), (1,3), (2, 4), (4,1)}
C) { ( 2 , 4), (3, 3), (3, 4 ) }
D) { ( 1 , 1 ) , (2, 2), (3, 4), (4, 3)}
E) { ( 2 , 1 ) , (3, 2), {4, 3), (2, 2)}
9 . A = {x, y,z, t }
B = {x : - 4 < n < 5 , n e Z}
14.
olduğuna göre, aşağıdaki bağıntılardan hangisi
A = {a,b, c,d}
kümesi üzerinde p bağıntısı şe­
A dan B ye bir bağıntı değildir?
mada verilmiştir.
A ) { ( x , - 2 ) , ( y , 0 ) , (y,5)}
Buna göre, p~ 1 bağıntısı aşağı­
B ) { ( y , 3 ) , ( z . 2 ) , ( t , - 1 ) , (x,0)}
dakilerden hangisidir?
C ) { ( z , 1 ) , ( z , 3 ) , (z,5)}
D ) { ( x , 1 ) , ( y , - 4 ) , (z,5). ( z , - 1 ) }
A) {(a, b), (c, b), (c, d), (a, d), (d, a)}
E ) { ( z , - 3 ) , ( t , - 1 ) , (y,2)}
B) {(b, a), (b, c), (d, c), (d, a)}
C) {(a, d), (b, a), (b, c), (d, a), (c, d)}
10.
A = {x:
D) {(a, d), (b, a), (c, b), (d, a), (d, c ) }
x < 10 ve x asaldır}
E) {(a, b), (b, c), (c, d), (d, a)}
B = { y : |y| < 3 , y e Z )
olduğuna göre, B den A ya en çok kaç farklı ba­
ğıntı tanımlanabilir?
A) 2 16
B)2
,20
24
C)2'
D) 2
25
E) 2
28
O
>-
1 5 . Reel sayılar kümesinde tanımlanan her x, y için,
E
x +y
P(x,y) =
şeklinde verilmiştir.
1 1 . A = { - 2 , 0, 2 } kümesinde tanımlı p bağıntısı,
Buna göre, f 3 ( 1 , t ) = (3( — 1 , 1 ) eşitliğini sağlayan
P = {(x, y) : y = I x | , x e A , y e A }
t sayısı kaçtır?
şeklinde tanımlanıyor.
A) - 3
Buna göre, p bağıntısı aşağıdakilerden hangisidir?
B) - 2
C) - 1
D) 1
E) 2
A) { ( - 2, - 2), (0, 0), (2, 2) }
B) { ( - 2, - 2), (- 2, 2), (0, 0), (2, 2) }
1 6 . Tamsayılar kümesinde tanımlı,
C ) { ( 2 , - 2 ) , (0,0), (2,2)}
D) {(-2, 2), (0,0), (2,2)}
P = { ( x , y) | J L = - 1 ve x e Z, y e Z }
y
E) { ( - 2 , 2), ( 2 , - 2 ) , (0,0), (2,2)}
bağıntısı için,
1 2 . A = { a, b, c, d, e } kümesinde tanımlı P bağıntısı,
P = {(a, a), (a, c), (d, d), (b, e)}
şeklinde verilmiştir.
I. Yansıyandır.
III. Ters simetriktir.
II. Simetriktir.
IV. Geçişkendir.
Buna göre, P bağıntısı için aşağıdakilerden hangisi
ifadelerinden hangisi ya da hangileri doğrudur?
doğrudur?
A) Yansıyandır.
B) Simetriktir.
A) I ve II
C) Ters simetriktir.
D) Yansıyan ve ters simetriktir. E) Geçişken değildir.
Cevaplar: 1-C
2-B
3-E
4-A
5-C
6-E
7-E
B) II ve IV
D) Yalnız II
8-B
9-D
10-B
11-D
12-C
C) III ve IV
E) Yalnız
13-D
14-D
15-C
16-D
345
Afili
. U r f w ~*-
.VKT-*»:. s ^ s i . * ; . *. .-..,' *.c*rt*
5.
( 3 X , V 8 ) = (27~y, 4)
1.
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
of
B)1
A)-
D) 2
"!
B)(-1,2]
A)(-1,2)
B = {x:|x|<3,
2.
*y
Şekilde B x A kümesi­
nin grafiği verilmiştir.
Buna göre, A - B kü­
mesi aşağıdakilerden
hangisidir?
xeZ}
C){-4,-1}
D){-4}
E)[-1,2]
s[ (B x A) u (B x B) ] = 40
olduğuna göre, A u B kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
6.
A) 12
B)10
C)8
A={x:|x|<3,xeR}
E) 4
D) 5
B = {y : |y-2 |<4, y e R )
olduğuna göre, A x B kümesine ait bölgenin ala­
(BuC)cA
olmak üzere
o
s[ (A x B) u (A x C) ] = 36
E
0
olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı en az
kaçtır?
A) 4
C)9
B) 6
nı kaç br2 dir?
A) 30
A = {1,3}veB = {y:1<y<2,yeR}
olduğuna göre, A x B nin grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
2
1
:i:::::i î
E)
*y
•XI]
xe R}
C) *y
i,y
3
1
y
1
ay
1
A)
3
-0
-9
x
0 1
2
D)
2
346
t
|x-2|>1 ,
olduğuna göre, A x B kümesinin grafiği aşağıda­
kilerden hangisidir?
C)
B)
4y
E) 48
D) 42
A = { x : |x + 1 | < 1 , x e Z }
B = {x:
4.
C)40
©
E) 18
D) 12
B)35
o 1
-1
11L __L
D)
fy
-1
E)
-1
o 1
Kartezyen Çarpım - Bağıntı
8.
A = {-1,1,2} ve B = {1,3}
13. A = {-3,-2,-1}
kümesinde tanımlı B bağın­
tısının grafiği yanda veril­
miştir.
olduğuna göre, AxB kümesinin noktalarını
dışarıda bırakmayan en küçük çemberin çapı kaç
birimdir?
A) f\3
B) 2 f Î 3
D) 4Vİ3
9.
-3
- 2 • -1
1
1
t\
1
"y
1
-1
LJ
V 1
-3
Buna göre, B için aşağı­
dakiierden hangisi yanlıştır?
C) 3Vİ3
E) 5^13
-2
A) Yansıyandır
B) Simetriktir
C) Geçişkendir
D) Denklik bağıntısıdır
A = {a, b,c, d} ve B = { 1,2,3}
E) Sıralama bağıntısıdır
olduğuna göre, A dan B ye tanımlı bağıntılardan
kaç tanesinde (a, 1) eleman olarak bulunur?
A) 2 12
BJ21
C)2
10
D)2 8
1 4 . A = { x : - 3 < x < 5 , x e R } olmak üzere,
E)2 6
P = {( x > y ) : y ^ x : x ve y e A}
tanımlanıyor.
1 0 . A = { x : x < 10 ve x e Z + } olmak üzere,
Buna göre, p bağıntısını sağlayan reel sayı ikilile­
rinin belirttiği bölgenin alanı kaç br2 dir?
P = {(x. y)-' "x, böler y" ve x e A, y e A}
olduğuna göre, B için aşağıdakiierden hangisi
yanlıştır?
A) Yansıyandır
B) Simetriktir
C) Geçişkendir
D) Ters simetriktir
A) 64
>.
Buna göre, B x A nın grafiği için aşağıdakiierden
hangisi doğrudur?
B = { (a, b): a = 3b + 1 ve a, b e A }
A) Grafik dokuz noktadan oluşur.
B) Grafik on iki noktadan oluşur.
C) Grafik yatay eksene paralel üç doğru parçasıdır.
D) Grafik düşey eksene paralel üç doğru parçasıdır.
E) Grafik bir dikdörtgendir.
olduğuna göre, B bağıntısı aşağıdakiierden han­
gisidir?
C){(1,0),(4, 1)}
D) {(0,0), (1,1)}
E) 18
B = { X : - 2 < X < 1 , X G R }
1 1 . A = { 0, 1, 2, 3, 4 } kümesinde tanımlı B bağıntısı,
B) {(1,0), (1,4)}
D) 24
kümeleri veriliyor.
@
A) { ( 2 , 4), (3,1)}
C)32
A = {0, 2, 4}
15.
E
•
E) Sıralama bağıntısıdır
B)36
E){(4,2),(1,3)}
12.
1 6 . M = { 1 , 2, 3 } kümesinde ta­
nımlanan yandaki (3 bağıntı­
sında - hangi özellikler var­
dır?
p1 = {(x, y): x + 3y = 6 , x ve y e R }
p2 = {(x, y): 2x + y = 2 , x ve y e R }
bağıntıları veriliyor.
1
Buna göre, B^Bğ kümesi aşağıdakiierden han­
gisidir?
A){(0,2)}
B){(-6,4)}
C){(4,-6)}
D){(-4,6)}
Cevaplar: 1-B
2-C
3-B
A) yansıma - simetri
B) yansıma - ters simetri
C) yansıma - geçişme
D) yansıma - simetri - ters simetri
E) yansıma - simetri - geçişme
E){(-6,0)}
4-A
5-D
6-E
7-D
8-A
9-B
10-B
11-C
12-B
13-E
14-C
15-C
16-B
347
4.
BÖLÜM
1.
TEST
3
KARTEZYEN ÇARPIM - BAĞINTI
5.
(x 2 , 2 k ) = (3x + 4 , 4 " x )
A = { 1 , 2, 3, 4} kümesi üzerinde,
3 = {( x > y)
olduğuna göre, k nın alabileceği değerler toplamı
:
x
< y!
x ve y e A }
bağıntısı veriliyor.
kaçtır?
Buna göre, s((3) kaçtır?
A)-6
2.
B)-2
C)2
D) 4
E) 6
A) 4
B)5
C)6
D) 7
E) 8
C <z B olmak üzere,
A = { 2 , 3, 4,5, 6, 7 }
6.
s[(A x B) n (A x C)] = 24 ve s(A) = 4
B = { x : x < 5 ve x e A}
olduğuna göre, s(C) en az kaçtır?
olduğuna göre, s( (A - B) x B) kaçtır?
A)0
B)4
C)5
D) 6
E) 7
A) 3
A = { x : |x| 8 < 3 ,
x
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A x B nin
|
4.
D) 12
E) 15
A ve B eşit iki kümedir.
C = { a , b, c, {a}}
s ( ( A u B ) x C ) = 24
@
B) (- 2, 5)
D) (0,4)
7.
**"
bir elemanı değildir?
A) (0, 0)
C)9
xeZ)
xe N}
B = {x:x<6,
B)6
C) (2, 2)
olduğuna göre, s(A x B x C) kaçtır?
E) (3,1)
A) 144
B)100
C)88
D) 72
E) 36
A = {x : | x - 1 | < 1 ve x e R} ve B = { - 1, 0, 2}
8.
olduğuna göre, A x B nin grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
C) i,y
i,y
2<>
2<>
D)
i,y
E), ^y
2
X
0
348
2
"
Aşağıda verilen bağıntılardan hangisi bir sıralama
bağıntısıdır?
Kartezyen Çarpım - Bağıntı
9.
A = {x:
|x-7j<3 ,
kümesi üzerinde tanımlanan,
olduğuna göre, A da tanımlanabilecek bağıntılar­
dan kaç tanesi yansıyandır?
P = { (4, 7) , (5, 6) , (9, 8), (7, 7) }
bağıntısına aşağıdakilerden hangisi eklenirse ters
simetri özelliği bozulmaz?
A) {(10, 7), (6,5)}
B) { (8, 9), (6, 4)}
C) {(4, 5), (8, 8)}
D) {(5, 8), (7, 4)}
A)4
2
B)4
3
A) Yansıyandır
olduğuna göre, A dan B ye tanımlı bağıntılardan
kaç tanesi iki elemanlıdır?
B)24
C)15
D) 12
E) 10
16.
D) x - y = 0
6
E) 4
8
C)x + y = 0
E) Ters simetriktir
A = {x:"|x-2|<3,xeR}
A) 6n
B)9n
C) 12TC
D) 15TC
E) 18u
o
17.
E) x.y = 1
C) Geçişkendir
olduğuna göre, AxA nın içine çizilebilecek en
büyük dairenin alanı kaç br2 dir?
c
B) x - y = 1
D)4
B) Simetriktir
D) Denklik bağıntısıdır
1 1 . x ve y reel sayıları için her (x,y) ikilileri için aşağı- ~
daki bağıntılardan hangisi yansıyandır?
-2
A)x + y = 1
4
Buna göre, 3 için aşağı­
dakilerden hangisi yanlıştır?
A = {0, 1, 2} ve B = {0, 2}
A) 35
C)4
1 5 . A = {0, 1, 2, 3} kümesinde
tanımlı p bağıntısının grafi- (3
ği yanda verilmiştir.
E) {(J,-9), (10,6)}
10.
A = {0,1,2,3}
14.
xeZ)
A = {x:x2<5, xeZ)
B = { a, b, c }
12.
olduğuna göre, B den A ya tanımlanabilecek kaç
farklı bağıntı vardır?
P = { (4, 2), (6, 3), (8,4), (10,5)}
bağıntısı, ortak özellik yöntemiyle aşağıdakilerden
hangisinde gösterilmiştir?
A)P = {(x,y)|x = y 2 }
B) p = {(x, y) | x = y + 2 }
C)P = {(x,y)|x = ^ - }
A)2 9
18.
D)P = {(x,y)|x = 2y}
B)2 1 0
C)2 1 2
E) 2 1 6
P = {(x, y) : x2 + x = y2 + y , x e Z ve y e Z }
biçiminde tanımlanan p bağıntısına göre, 3 ün
denklik sınıfı aşağıdakilerden hangisidir?
E) P = { (x, y) | x = y2 + 1 }
A) {2, - 3}
B) {- 4, 3}
D) {- 2, 3}
13.
D)2 1 5
C) {- 3, 4}
E) {- 3, - 4}
R de tanımlı, p = {(x,y) : y = 3x-4}
olduğuna göre, p n p ~1 kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {(1,1)}
D) {(4,4)}
B){(2,2)}
C){(3,3)}
E) {(5,5)}
19
a ( x , y ) = (3.x , x + y ) bağıntısı veriliyor.
a ( 1 , a) = a ( a , b + 1 )
olduğuna göre, a . b kaçtır?
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
Cevaplar: 1-A 2-E 3-E 4-D 5-C 6-C 7-A 8-A 9-C 10-C 11-D 12-D 13-B 14-D 15-E 16-B 17-D 18-B 19-E
349
4.
BÖLÜM
1
\
ae R}
A = {a:|a|<4,
(x + y 2 , x - 3 ) = ( 4 , —1—)
-
TEST
4
KARTEZYEN ÇARPIM - BAĞINTI
B = {b : | b - 4 | < 3 ,
3 + x /
be R)
olduğuna göre, A x B nin grafiği aşağıdakilerden
eşitliğini sağlayan kaç farklı (x, y) ikilisi vardır?
hangisidir?
A) 8
A)
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
4b
C) 4b
4b
B)
7
0 ' 4
-1
2.
-g. -£
A = { 1 , 2, 3 } ve B = { x, y } kümeleri veriliyor.
-4
Aşağıdakilerden hangisi A x B kümesinin elema­
nıdır?
A) (1,3)
B)(x, 1)
D) (y, 3)
D)
"b
a
C)(y,z)
-+•
+
4-4
-4
T-
E) (2, x)
-7
s(A x B) = 360
o
>•
olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaç
farklı değer alabilir?
A) 12
4.
B)18
C)24
D) 32
E
o
u.
7.
E) 48
A, B, C boş olmayan üç küme olmak üzere,
B){x:-2<x<3,
s[ B x (A n C) ] = 24
C) 12
D) 24
xeR}
C){x:-2<x<3,
xeR}
D){x:-3<x<2,
xeZ}
E) { x : - 3 < x < 3 , x e R }
olduğuna göre, s(A x B) en az kaçtır?
B)8
i>y
A) { x : - 2 < x < 3 , x e Z }
s[ A x ( A n C) ] = 18
A) 6
Yandaki şekilde,
B x A kümesinin gra­
fiği verildiğine göre, B
kümesi aşağıdakiler­
den hangisidir?
E) 48
s [ K x ( L n M ) ] = 48
8.
s ( L n M ) > s(K)
A, B, C herhangi üç küme olmak üzere, A x B den
C ye tanımlı bağıntıların sayısı 2 4 8 , A dan B ye ta­
nımlı bağıntıların sayısı 28 ve B den C ye tanımlı ba­
olduğuna göre, K kümesinin eleman sayısı en çok
ğıntıların sayısı 2 1 2 dir.
kaç olabilir?
Buna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 4
B) 6
C)
D) 12
E)24
A) 2
350
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
Kartezyen Çarpım - Bağıntı
9.
1 4 . A = { 1, 2, 3, 4 } kümesinde ta­
nımlı p bağıntısının şeması
yanda verilmiştir.
Tamsayılar kümesinde tanımlı,
3 = {(x, y ) : ax + 3y = O }
bağıntısının yansıyan bir bağıntı olması için a kaç
Buna göre, p için aşağıdaki­
lerden hangisi yanlıştır?
olmalıdır?
A)-2
10.
B)-3
C)-4
D)-5
E)-6
A) Yansıyandır
B) Simetriktir
C) Geçişkendir
D)s(p) = 14
E) Sıralama bağıntısıdır
A x B = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
olduğuna göre, B - A dan A ya kaç farklı bağıntı
tanımlanabilir?
1 5 . A = {a, b, c, d} kümesi üzerinde,
A) O
D) 4
C)2
B)1
E) 16
p = { (a,a), (a,c), (a,d), (b,b), (c,c), (c,d), (d,d)}
biçiminde tanımlanan p bağıntısı için aşağıdaki­
lerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
1 1 . n elemanlı bir A kümesinde bir p bağıntısı tanımlanıyor.
II. Simetriktir.
IV. Geçişkendir.
I. Yansıyandır.
III. Ters simetriktir.
s(P) = n 2
olduğuna göre, p bağıntısı için aşağıdakilerden
_5
A) I ve II
hangisi yanlıştır?
B) I ve III
D) I, II ve IV
O
C) I ve IV
E) I, III ve IV
A) Yansıma özelliği vardır.
B) Simetri özelliği vardır.
C) Denklik bağıntısıdır.
D) Sıralama bağıntısıdır.
12.
olduğuna göre, A x A kümesinin elemanlarından
hiçbirini içine almayan en büyük çemberin yarı­
çapı kaç br dir?
A = { 1 , 2 , 3,4, 5 }
A ) 2^2
kümesi üzerinde yazılacak bağıntılardan kaç tane­
sinde 3 elemanı bileşen olarak bulunmaz?
A)2 4
13.
D) 2 16
C ) 2 12
B)2 Ö
E) 232
Cevaplar: 1-C
2-E
C)2a
3-C
4-E
C
)
4
^
D )
5^
E )
sVİ
P = {( x > y) I ( x - y) fe rkl 3 j | e t a m bölünür
ve x e A , y e A } şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre, 2 nin denklik sınıflarının kümesi aşağı­
dakilerden hangisidir?
olduğuna göre, A dan A ya tanımlı bağıntıların
kaç tanesinde 2 elemanı ve 3 elemanı bileşen
olarak bulunmaz?
B)27
B)3İ2
1 7 . A = { 0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6} kümesinde tanımlı p bağıntısı,
A = {O, 1,2, 3, 4}
A) 2*
A = { x : |x + 2 | > 5 , x e R }
16.
E) p c (A x A)
D)2 S
5-B
6-A
A) {O, 2, 5}
E)2 n
7-B
8-C
B ) { 2 , 5}
D) { O, 3, 6 }
9-B
10-E
11-0
12-0
13-0
C){1,4}
E) { O, 4, 6 }
14-E
15-E
16-0
17-B
351
FONKSİYON GRAFİĞİ
f(x) = y fonksiyonuna ait bütün (x, y) noktalarının anali­
tik düzlemde (koordinat düzleminde) işaretlenmesiyle
elde edilen şekle, f(x) fonksiyonun grafiği denir.
TANIM
A kümesinin her elemanını B kümesinin yalnız bir ele­
manına eşleyen bir f bağıntısına, A dan B ye bir
fonksiyon denir ve f: A —» B veya A —> B şeklinde
gösterilir.
Burada; A ya f fonksiyonunun tanım kümesi, B ye de
f fonksiyonunun değer kümesi denir.
Buna göre; f(x) = y eşitliğini sağlayan bütün noktalar
f(x) in grafiğini oluşturduğundan, f(x) in grafiği üzerin­
deki bütün noktaların koordinatları da f(x) = y denk­
lemini sağlar.
Tanım kümesinin bir x elemanı, değer kümesinin bir
f(x) = y fonksiyonunun tanım kümesinin elemanları ya­
tay eksen, değer kümesinin elemanları da düşey ek­
sen üzerindedir. g(y) = x fonksiyonunda ise bunun tam
tersi bir durum vadır.
y elemanına f ile bağlı ise, bunu bağıntıdaki (x, y) e f
veya y 1 x gösterilişi yerine; f: x —» y veya genellikle
y s f(x) biçiminde gösteririz.
Görüntü Kümesi
A kümesinin bütün elemanlarının f ile B de eşleşti­
ği bütün değerlerin kümesine, A nın f altındaki gö­
rüntüsü denir ve f(A) ile gösterilir. Buna göre,
A
B
*• Görüntü Kümesi
(f(A)cB)
Örnek:
o
c
X
o
>Tanım Kümesi
•
Değer Kümesi
Görüntü kümesini kapsayan her küme, değer kü­
mesi olabilir.
Uyarı:
Yukarıdaki tanıma göre, A dan B ye tanımlı bir f ba­
ğıntısının fonksiyon olabilmesi için;
1. V x €* A için (x, y) e f olacak şekilde en az bir y e B
olmalıdır. Yani A da boşta eleman olmamalıdır. B de
boşta eleman olabilir.
2. V x € A için (x, y) e f ve (x, z) e f iken y = z olmalı­
dır. Yani A daki her bir elemanın B de eşlendiği sa­
dece bir eleman olmalıdır. (A daki her bir eleman, B
de birden fazla elemanla eşlenmemelidir.)
Uyarı:
E
o
u.
©
f: A -> B, f(x) = y fonksiyonunun;
1. Tanım Kümesi:
A = (- 3, 6]
2. Görüntü Kümesi: f(A) = [- 2, - ]
2
3. Değer Kümesi: B 3 f(A) ve B c R
• Görüntü kümesini kapsayan her küme, değer küme­
si olabilir.
4. x - eksenini kestiği noktalar: (- 2, 0); (1, 0); (5, 0) •
x - ekseni üzerindeki noktaların ordinatı 0 (sıfır) dır.
5. y -eksenini kestiğ nokta: (0, - 1)
•
y - ekseni üzerindeki noktaların apsisi 0 (sıfır) dır.
•
f(x) s y fonksiyonu y - eksenini sadece bir noktada,
g(y) = x fonksiyonu da x - eksenini sadece bir nokta­
da keser.
6. x = a nın f altındaki görüntüsü, x-eksenine x = a dan
çizilen dikmenin grafiği kestiği noktanın ordinatıdır.
f fonksiyonuna ait herhangi bir kural belli iken, f(a)
Buna göre,
değerini bulmak için f(x) i bulmaya gerek yoktur.
f(-2) = f(1) = f(5) = 0
FONKSİYON SAYISI
f(2) = f( J ) = 1,
2
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
f(6) = - 2
A dan B ye fonksiyon sayısı = nm
f ( - 3) yok - 3 € A = (- 3, 6 ]
A dan B ye bağıntı sayısı = 2 m n
Grafik üzerindeki ordinatı y = b olan noktaların apsis­
A dan B ye fonksiyon olmayan bağıntı sayısı = 2 m n - nm
leri, y = b den çizilen dikmenin grafiği kestiği nokta­
dir.
ların apsisleridir. Örneğin,
352
Fonksiyonlar
f(m)= 2
Uyarı:
=» m = 3 ve ( 3 , - ) e f,
2
f(x) = g(x) denkleminin çözüm kümesinin elemanları
f(x) ve g(x) fonksiyonlarının ortak noktalarının (grafikleri­
nin kesiştikleri veya teğet oldukları noktaların) apsisleridir.
f(n) = 1 => n = 2 veya n = — ve
2
(2, 1 ) e f ,
( - ,1)6 f
2
f(x) = g(x) denklemlerinin çift katlı (iki kat, dört kat, ...)
kökleri, f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafiklerinin teğet
oldukları noktaların apsisleridir.
dir.
Ayrıca; ( - 3 , 1 ) e f dir. Çünkü - 3 , f nin tanım küme­
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
sinin elemanı değildir. - 3 s? ( - 3 , 6 ] dir.
Bire Bir Fonksiyon
Uyarı:
Bir fonksiyonun tanım kümesindeki farklı her elemanın görün­
tüsü de farklı ise bu tip fonksiyona bire bir fonksiyon denir.
f(x) = ax + b doğrusal fonksiyonu için, y değerindeki
değişme miktarının x değerindeki değişme miktarına
Buna göre, s(A) < s(B) olmak üzere,
oranı sabittir ve bu oran doğrunun eğimine (a ya)
eşittir.
f: A -» B, f(x) = y kuralı ile tanımlı f fonksiyonu bire
bir ise,
Örnek: 1987-ÖYS
V x , , -x 22 e^ ..
A ıçm x. *x,2
f(Xl)*f(x2)
-^ x.^ =- x.
~ 2 olmalıdır.
f(x) doğrusal fonksiyonu için, f(2) = 3 ve f(3) s 2 ol­
ya da f(x1) = f(x 2 )
duğuna göre, f(1) kaçtır?
Analitik düzlemde, değer kümesinin elemanlarından
çizilen dikmeler, bire bir fonksiyonun grafiğini en çok
bir noktada keser.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm:
s(A) = n, s(B) = m ve m > n olmak üzere, A dan B ye
Bu işlemin sonucu pratik olarak,
1 artar
f(1) = y = ? ,
tanımlanabilecek bire bir fonksiyon sayısı,
1 artmış
f(2) = 3
1 azalırsa
ve
P(m,n) =
f(3) = 2
1 azalıyor
D
s(A) > s(B) olmak üzere,
E
a
f: A -> B ve f(A) = B ise f ye örten fonksiyon denir.
Örten fonksiyonun değer kümesinde boşta eleman
yoktur.
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
f: A -» R, g : B -> R ve A n B # 0 olmak üzere,
1. (f ± g ) : (A n B) -> R ve (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
2.
(f.g): (A n B) ^ R ve (f.g)(x) = f(x).g(x)
*
ceRveneR
olmak üzere,
(c.f): A -> R ve (c.f)(x) = c.f(x) ve
n
n
n
( f ) : A - > R (f )(x) = f (x) = [ f ( x ) ]
( i ) : (AnB)^R ve
g
•
Analitik düzlemde değer kümesinin her elemanından
çizilen dikmeler, örten fonksiyonun grafiğini en az bir
noktada keser.
•
s(A) = s(B) = m olmak üzere, A dan B ye tanımlanabi­
lecek bire bir ve örten fonksiyon sayısı,
P(m, m) = m! dir.
n
(i)(x)=M,
g
g(x)
(g(x) * o)
Uyarı:
A * 0 olmak üzere, A x A nın boş kümeden farklı
herhangi bir alt kümesinden B ye tanımlı bir fonksiyo­
na iki değişkenli fonksiyon denir ve
3. İçine Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesinin öz alt kümesi olan
fonksiyonlara (veya örten olmayan fonksiyonlara) içine
fonksiyon denir.
f: A -> B, f(A) c B ve f(A) * B ise f ye içine fonk­
siyon denir.
4. Birim (Özdeş) Fonksiyon
f: A -> A, f(x) = x kuralı ile tanımlı fonksiyona A nın bi­
f : (A x A) -> B, f : (x, z) -> y, y = f(x, z)
rim fonksiyonu denir ve I
ile gösterilir.
R nin birim fonksiyonu da I ile gösterilir.
şeklinde gösterilir.
EŞİT FONKSİYONLAR
dir.
2. Örten Fonksiyon
>-
y = 3 + 1 =4 şeklinde bulunur.
m!
(m - n)!
/
f: A —> B, f(x) = y ve g : A —» B, g(x) = y olmak üzere,
V x e A için f(x) = g(x) ise f ve g fonksiyonlarına eşit
fonksiyonlar denir ve f = g şeklinde gösterilir.
R nin birim fonksiyonu
I(x)=y=x
I = f(x) = x in grafiği,
1. açı ortay doğrusudur.
353
MATEMATİK SORU BANKASI
Sabit Fonksiyon ve Sıfır Fonksiyonu
parçalı fonksiyonun kritik noktası x = 2 dir.
" V x e A için f: A -> B, f(x) = c = sabit, c c B ise
f sabit fonksiyondur.
x < 2 için f(x) = x + 3 ve
Özel olarak, c = 0 (sıfır) ise f fonksiyonuna sıfır fonk­
siyonu denir.
şeklinde tanımlıdır.
x > 2 için f(x) = 3x - 1
8.
f: A -> R ye f fonksiyonu verilsin.
A dan B ye tanımlanabilecek sabit fonksiyon sayısı,
s(B) dir.
V x e A için - x e A
i.
c e R olmak üzere,
•
x
-+*(y=o)
f(x) = c
ax + bx + c
ii.
f ( - x) = - f(x) o f fonksiyonu tek fonksiyondur.
•
Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
Q(x, y) noktasının orijine göre simetriği Q'(- X, - y) dir.
px + qx + r
eşitliği ile verilen f(x) fonksiyonu sabit fonksiyon ise,
f(x) = - = - = - = ke R
p q r
Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre si­
riği P'(- x, y) dir.
Uyarı:
f(x) =
f ( - x) = f(x) «=> f fonksiyonu çift fonksiyon,
metriktir. P(x, y) noktasının Oy eksenine göre simet­
• y=c (c<o)
fonksiyonunun grafiği,
yandaki şekildeki gibidir.
f : R -* R,
olmak üzere,
. y=c (oo)
"E
f : R -> R,
T e k Fonksiyon ve Çift Fonksiyon
BİR FONKSİYONUN TERSİ
dir.
f: A -> B, f(x) = y fonksiyonunu tersi, f ~1 ile gös­
terilir ve
Permütasyon Fonksiyon
A kümesi, sonlu (sayılabilir elemanlı) bir küme olmak
üzere, f : A —» A ya tanımlanabilecek bire bir her
fonksiyona A nın bir permütasyonu denir.
Permütasyon fonksiyonun tanım kümesi ile değer kü­
mesi aynı olduğundan aynı zamanda örten bir fonksi­
yondur.
A = { 1 , 2, 3, 4} olmak üzere, A nın bir permütasyonu,
f = { ( 1 , 2), (2, 4), (3, 1), (4, 3 ) } olsun. Bu fonksiyonu;
f " 1 = { ( y . x ) | ( x , y ) e f } dir.
o
c
Buna göre,
D
1. f(x) = y fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f nin
E
tersi f ~ 1 ( y ) = x fonksiyon değildir, sadece B d e n
u.
A ya bir bağıntıdır.
©
2. f(x) = y fonksiyonu bire bir ve örten ise,
f " 1 de B den A ya bire bir ve örten bir fonksiyondur.
O halde,
2 3 4 -¥*• tanım kümesi
2 4 1 3-f-»- değer (görüntü)
kümesi
f: A -> B, f(x) = y bire bir ve örten bir fonksiyon ise,
A
B
f:A—»-A ye bire bir
ve örten fonksiyon
şeklinde gösterebiliriz. Burada,
(y)
f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 1, f(4) = 3 tür.
Ayrıca, A da tanımlanabilecek permütasyon fonksiyon
(x, y) e f o (y, x) e f ~ 1
sayısı; P(4, 4) = 4! = 24 tür.
7.
Parçalı Fonksiyon
Tanım kümesinin (aralığının) alt kümelerinde farklı bi­
rer kuralla tanımlanan fonksiyona parçalı fonksiyon
denir. Alt aralıkların bölündüğü noktalara parçalı fonk­
siyonun kritik noktaları denir.
f fonksiyonu, A d a n B ye bire bir ve örten ise,
f :A->B o f
B
f(x) = y <=> f~ 1 (y) = x olur.
Ayrıca, (f ~ 1 )
*
Örnek:
= f dir.
f(x) = y fonksiyonunun tersi, f(x) = y eşitliğinde x ile
y nin yerleri değiştirilip y nin yalnız bırakılmasıyla
3x - 1 ,
x > 2
x+3,
x < 2
f(x) =
354
•
elde edilir.
Fonksiyonlar
Uyarı:
y = f(x)
fonksiyonunun kuralı biliniyorken
değerini bulmak için f
-1
1
f" (a)
( x ) in kuralını bulmaya ge­
rek yoktur.
Örnek:
1
O halde, A dan B ye f fonksiyonu ile B den C ye g
fonksiyonunu kullanarak A kümesinin elemanlarını C
kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona f ile g nin
bileşkesi denir ve g o f şeklinde gösterilir.
1
f(3x + 2) = 2x - 3 olduğuna göre, f" ( - 3) + f" (1)
toplamının bulalım.
f(3x + 2) = 2x - 3 o
1
f" (2x - 3) = 3x + 2 eşitliğin­
de 2x - 3 ifadesini - 3 ve 1 yapan değerler; sıra­
Örnek: 1995 - OSS
sıyla x = 0 ve 2 x - 3 = 1 => x = 2 yerine yazılırsa,
1
x
f ~ ( 2 x - 3 ) = 3x + 2 ise
f(x) =
f " 1 ( - 3 ) + f~ 1 (1) = (3.0 + 2) + (3.2 + 2) = 10 olur.
den değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Örnek:
A)
A = { 1 , 2, 3, 4 } kümesinin bir permütasyonu,
(
1 2 3 \
-3
. I
ise
olduğuna göre, f(x - 1) in f(x) türün-
x+1
<(x) + 1
2f(x)
f 1 fonksiyonunu bulalım.
D)
B)
f(x) + 2
2f(x)
2f(x) + 1
C)
2f(x) - 1
f(x)
E)
f(x)
2f(x) + 1
2f(x)
f fonksiyonunda satırların yerleri değiştirilerek f~ 1 bu­
lunur. O halde,
Çözüm:
Problemin çözümünü değer vererek yapalım.
'-'-("JMin)*-
f ( x - 1 ) = F(f(x)) olsun.
o
x = 1 için f(0) = F(f(1))=» 0 = F ( 1 ) olur.
c
Uyarı:
Bire bir ve örten f ( x ) =
si bulunurken,
ax + b
cx + d
o
fonksiyonunun ter-
O halde, seçeneklerde f(x) yerine, f(x) = — yazıldığın­
>E
o
da sonucu O(sıfır) olan tek seçenek (E) dir.
Örnek: 1990 - ÖYS
1. a ile d nin yerleri ve işaretleri karşılıklı olarak de­
ğiştirilir.
,. .
ax + b
cx + d
,_ı. .
- dx + b
cx - a
ti
\
^
f(x) =
dır.
+
U
—
ve
it
t\ı
X
\
(fof)(x) = -
x + 1
-
9
-
3x - 2
olduğuna göre u kaçtır?
f(x) in tanım
kümesi
A) - 3
B) - 2
C) - 1
D) 0
E) 1
Çözüm
x - 9
(fof)(x) =
eşitliğinde x yerine 0 (sıfır) yazalım.
3x - 2
f(x) in değer (görüntü) kümesi
1
(f ~ (x) intanım kümesi)
f(f(0)) - | =» f(u) = ~
3. d = - a <=* f(x) = f "- 1' i( x ) tir
3u
_9^
u+1 ~ 2
Uyarı:
İkinci dereceden f(x) = ax + bx + c fonksiyonun tersi
bulunurken verilen ifadede tam kare elde edilmelidir.
fonksiyona f ile g nin bileşke fonksiyonu denir.
Bu tanımı aşağıdaki şekille inceleyelim.
u = - 3 tür.
Uyarı:
*
f(x) ve g/x) fonksiyonlarının kuralı biliniyorken,
(g o f)(a) ya da (f o g)(b) değerlerini bulmak için
FONKSİYONLARDA BİLEŞKE İŞLEMİ
A, B, C boş olmayan birer küme olmak üzere,
f : A -» B, f(x) = y ve g : B -> O, g(y) = z ise,
g o f: A -> C, (g o f)(x) = g[f(x)] = z kuralı ile tanımlı
f(0) = u
(g o f)(x) ve (f o g)(x) fonksiyonlarının kuralını bul­
maya gerek yoktur.
*
fog*gof
*
f: A -> A ya f bire bir ve örten bir fonksiyon olmak üzere,
fof
- 1
(f*I*g)
= f " 1 of = 1
(f:A-»A)
Burada, f: A -> B ye bire bir ve örten bir fonksiyon ve
A * B ise f o f " 1 * f " 1 o f
dir.
355
TEST
FONKSİYONLAR
jmiît >*.-.,.; mm '
BÖLÜM
•>r *-.
1.
6.
A = { 1 , 2 , 3 , 4 } ve B = { 5, 6, 7 }
olduğuna göre, A dan B ye tanımlanan aşağıdaki
f(x) = 3
x + 1
.. .
olduğuna göre,
f ( x + 2)
—
f(x-1)
den hangisine eşittir?
bağıntılardan hangisi fonksiyon belirtir?
A) {(5, 1), (6,2), (7,3)}
A)f(1)
B){(1,5), (2, 6), (3, 7)}
B)f(2)
oranı aşağıdakiler-
C)f(3)
D)f(4)
E) f(5)
C){ (1.7), (2, 6), (5, 3), (4, 5)}
D) {(1,5), (1,6), (2, 7), (3, 7 ) }
E) {(1,7), (2, 6), (3, 6), (4, 5)}
f(x + 10) = f ( x ) . f ( x - 1 0 ) - x
f(0) = — ve f(10) = 30
A = { 1 , 2, 3 } kümesinden B = { x, y, z } küme­
sine tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi bire
olduğuna göre, f(20) kaçtır?
bir ve örten bir fonksiyon belirtir?
A) 30
A){(1,x), (2,y), (3,x)}
B)20
D) 5
C)10
E)0
B){(1,x),(2,y),(3,z)}
C){(1,x),(2,x),(3,x)}
D){(1,x),(2,y),(1,z)}
o
c
E){(1,x),(2,y)} •
o
f(x) =
2.f(x) + x
>.
«
u.
olduğuna göre, fı - 1 /(1) + f(4) toplamı kaçtır?
@
3.
xf(x) + 3 = 2x + 3f(x)
A) 9
B)8
C)7
D) 6
E) 5
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
A)-3
B)-2
C)-1
D)1
E) 2
9.
f(x) =
2x - 1 ,
x > 2
J_
x <2
x
4.
f ( x - 1) = a x - 2 x + 3
olduğuna göre, f ( 2 ) + f ( — ) toplamı kaçtır?
2
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, a de­
ğeri kaçtır?
B)2
A)1
C)3
D) 4
A) 7
B)6
C) 3
f(2x-1) = 4 x - 5
dir?
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
B) 2
A)
D) 4
B)
x - 7
C)
E) 5
D)
356
E) 3
olduğuna göre, f: - 1 (x) aşağıdakilerden hangisi­
2.f(3-x) = 31-x.f(2x) + 1
A) 1\ ~-
D) 4
E) 5
10.
5.
C)5
x - 3
E)
x - 2
x +3
Fonksiyonlar
2
1 6 . f(x) = 3 x - 12 olduğuna göre, (fof)(2) kaçtır?
2
1 1 . f(x) + (x - 1) g(x) = x + 3 eşitliği veriliyor.
1
f(0) = 5 olduğuna göre, g " (2) kaçtır?
A) 5
B)-5
C)2
D)-2
A)-12
B)- 8
C)0
D) 8
E) 12
E) 0
7
3
1 7 . f(x) = x (1 - x) (3 - x) ve g(x) = x - 7x + 5
1 2 . f: R -> R olmak üzere,
olduğuna göre, (gof)(3) kaçtır?
7
f(x) = x - 11
A) 32
1
olduğuna göre, f " (117) kaçtır?
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
B)8
C)5
D)-13
E) - 25
E) 2
1
1 8 . f(x) = x - 5 ve (g ~ o f)(x) = - 2x + 5
1 3 . f(x): R - {3} -> R - {2} olmak üzere,
olduğuna göre, g(x) fonksiyonu aşağıdakılerden
hangisidir?
3f(x) + 1
x=
f(x) - 2
olduğuna göre, f
den hangisidir?
A)
3 - 3x
x+2
1
B)
D)
A)
(x) fonksiyonu aşağıdakiler3x + 3
x+2
3x + 1
x - 2
C)
E)
2x + 3
x-2
2x + 3
3x - 2
o
--
B)D)
c
x + 15
5-x
E)
C)-
x+5
x - 10
D
•>-
E
«
©
1 4 . Yandaki şekilde,
y = f(x) fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
x + 15
y = f(x)
1 9 . Şekilde y = f(x) fonksi­
yonunun grafiği verili­
yor.
Buna göre,
(f o f)(2) kaçtır?
Buna göre,
f"1(1) +f~ 1 (2)
f(2) + f ( - 2 )
A) 3
B)2
C)0
D)-1
ifadesinin değeri kaçtır?
A)0
15.
C)1
B)
x 2 - 14 ,
f(x) =
\
<
E) 2
2 0 . Yandaki şekilde,
y = f(x) ve y = ğ(x)
fonksiyonlarının grafikleri
verilmiştir.
x > 3 ise,
x < 3 ise,
3,
Buna göre, (f o g o f)(0)
kaçtır?
olduğuna göre, (f o f o f o f)(4) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 1
B) 2
Cevaplar: 1-E 2-B 3-C 4-B 5-A 6-B 7-D 8-E 9-C 10-C 11-E 12-E 13-D 14-C 15-C 16-A 17-C 18-C 19-A 20-D
357
4.
BÖLÜM
olduğuna göre, A dan B ye tanımlanan aşağıdaki
bağıntılardan hangisi fonksiyondur?
A){(1,0),(2,2),(2,4)}
f(x) =
6.
A = {1,2, 3} ve B = {0, 2, 4}
1.
TEST
2
FONKSİYONLAR
olduğuna göre,
x - 2
f ( x + 2)
4
aşağıdakilerden hangisidir?
B){(1,0),(1,2)(1,4)}
C){(1,2),(2,0),(3,0)}
A)Jf(x)
D){(1,0),(2,4)}
B)f- 1 (x)
D)f(x)
C)-l_2f(x)
E)
f(x)
E) { 0,4)}
2.
f(x) =
Aşağıdakilerden hangisi bire bir ve örten fonksiyon­
dur?
A)f: R - > R ,
x - 1 ,
x > 3
|x + 4| ,
x < 3
g(x) = 3x + a ve (f + g)(1) = 9
B)f: Z ^ Z ,
f(x) == 5
f(x) == 2 x - 3
olduğuna göre, a kaçtır?
C)f: R->R
f(x) = x2 + 4
A) 1
D)f:
z->z,
E)f: R-{2} ^ R ,
3.
<(>2
B) 2
D) 4
C) 3
E) 5
f(x) == 5 - x
+2
f(x) =
x + 3
D
x - 2
c
o
>-
U<-
8.
A = { - 1 , 0 , 1} olmak üzere,
f(x) = 2x + 3
-4x2- 3
olduğuna göre, f ~ 1 ( A ) kümesinin elemanlarının
toplamı kaçtır ?
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
A) 6
B) 3
C) 2
D) - 2
E)-3
A)_
7
B)-i
2
9
C)-^
2
11
D)
E)
15
f(x) = 5 X _ 1
(x - 3)f(x) = 4x - f(x) + 1
9.
olduğuna göre, f(x - 1 ) aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, f~ 1 (3) kaçtır?
A) f(x)
B)5f(x)
D ) — f(x)
25
5.
C)^f(x)
5
A) 9
B)4
C)3
D)0
E) - 7
E)-^-f(x)
125
Reel sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları için;
(fog)(x + 1) = x - 2
10.
f(x + 1 ) + g ( x - 1 ) = (x + 1) .f(2x)
olduğuna göre,
A)l
2
358
B)1
f(2)
9(0)
f~ 1 (3) = 5
oranı kaçtır?
C)^
2
D)2
olduğuna göre, g(6) kaçtır?
E)3
A) 3
B)4
C)5
D) 6
E) 7
Fonksiyonlar
f(2x + 3) = 4x + 1
11.
1 6 . Uygun koşullarda tanımlı f ve g fonksiyonlarıiçin;
_1
olduğuna göre, f(7) + f ( 5 ) kaçtır?
A) 7
B)12
C)14
D) 17
9t
(f og)(x) =
E) 20
_ '
—
2 - g(x)
f> - 1 (x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
2x + 1
x+2
B)
1 2 . x > 0 olmak üzere,
4
olduğuna göre, f
A)-2
B)0
1
2x - 1
x+2
C)
2x - 1
x - 2
D)
f(x) = x + 1 ve g(x) = ( x - 1)
olduğuna göre,
3
E)
2x + 1
X - 2
2x + 1
2 - x
1
( 1 7 ) - g~ (27) farkı kaçtır?
C)2
D) 4
17.
E) 6
(gof)(x) + 1
x - 1
f(x) = 2 - x ve f(x) =
.-1
olmak üzere, g
(x) = 3 eşitliğini sağlayan x de­
ğeri kaçtır?
/ x - 1 \ _ 2x +
\ x + 1 / ~ 3x -
13.
A)-7
B)-3
C)-1
D)0
E) 3
D) 17
E) 23
olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisidir?
A)Ş3
B)x
C)Ş2
3
D) I - E)- 3x
2x
0
c
olduğuna göre, g(5) kaçtır?
E
1 4 . f : R - { 0 } - > R - { 1 } olmak üzere,
[(fog)"1of](x) = 4x-3
18.
A) 2
B)7
C)13
u.
,, ,
ax - 2
f(x) =
x
fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre,
kaçtır?
A) - 2
B) - 1
C)0
D) 1
a
E)2
fy
1 9 . Yanda grafikleri verilen
f ve g fonksiyonları için,
y = g(x)
4
h(x) = x.(fog)(x)
olduğuna göre,
h(3) kaçtır?
15.
A)1
B)6
C)12
20. f(x) = ax + 5
Yukarıdaki şekilde, y = f(x)
verilmiştir.
_
Buna göre,
A) 2
fonksiyonunun grafiği
C) 4
Cevaplar. 1-C 2-D 3-E 4-C 5-B 6-A
ve
g(x) =
8x + b
3x + 4
olmak üzere, f: - 1 (x) = g(x) olduğuna göre, a + b
toplamı kaçtır?
f_ 1 ( 2 ) + f ( 0 ) . , _
î
—
—- kaçtır?
(
_
2
)
f
(
3)
f
B) 3
3x - 8
D) 5
A)-13
B)-9
C) 1
D) 4
E) 9
E) 6
7-A 8-C 9-E 10-C 11-C 12-A
13-D 14-D 15-A
16-B
17-A
18-A
19-C 20-C
359
4.
BÖLÜM
1.
l.f:Z->N,
6.
f(x) = 3 x - 2
f(2x - 3) =
2
II. f : Z - > Z ,
f(x) = x - r 1
lll.f:R->Z,
A)
2x + 1
x + 1
B)
x +3
x - 3
D)
Yukarıda verilen bağıntılardan kaç tanesi fonksi­
yondur?
B)2
2.
D) 4
C)3
7.
E) 5
E)
x+1
B
X
C)8
x + 3
x + 3
x - 5
D) 10
E) 12
)^-L
D)
D
B) 6
x - 1
Bir f fonksiyonu "Her bir pozitif tamsayıyı kendisinin
karesi ile, kendisinin çarpımsal tersinin toplamına gö­
türür." biçiminde tanımlanmıştır.
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun grafiği üzerin­
de apsisi ve ordinatı tamsayı olan kaç farklı nokta
vardır?
A) 4
C)
x+1
x - 1
A)^ݱ1
x + 15
f(x) =
x + 5
Buna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
f:R-{0}^R-{1}
ti \
x - 1
hangisidir?
f(x) = x 3 + —
2
V. f: R -> R , f(x) =
x+1
olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
f(x)=-2x + 5
IV. f: R -» R ,
A)1
TEST
3
FONKSİYONLAR
8.
o^-=-!
E)
f(x, y) = 3x - y
9(x) = 2 " x
olduğuna göre,
3.
f(J_
2X
+
1
)
= 4
-*
1
+ 2
~x +2
A) 2
f(3, g( - 2)) kaçtır?
B) 4
C) 5
D) 7
E) 9
olduğuna göre, f(3) kaçtır?
f : R 2 - 4 R ve f(x, y) = x + x y
9.
A) - 4
B) - 1
C) 1
D) 9
E) 10
g : R -> R2 ve g(x) = (x2, x + 2)
olduğuna göre, (g o f)(- 3,2) aşağıdakilerden han­
gisidir?
4.
f(ax + 1 ) = -
olduğuna göre,
A) (9, 6)
B)(8, 15)
D) (36, 8)
f ( - 1) + f(0) + f(1) toplamı kaçtır?
A) - 1
B) 0
C) 1
D) 2
C)(1,3)
E) (4, 4)
E) 4
10.
f(x) = 2x + 1
olduğuna göre, f ~ 1 (x) in f(x) türünden değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
f ( x - 1 ) + f(x + 1) = 3 x - 2
5.
A)
olduğuna göre, f ( 2 ) - f ( - 2 ) farkı kaçtır?
A) - 6
360
B) - 3
C) 1
D) 4
E) 6
f(x)+3
4
D)
B)
2f(x)--1
2f(x) + 1
3
C)
E)
f(x)- -3
f(x) + 1
Fonksiyonlar
1 1 . f(3x + a) = 4x + 5 olmak üzere,
f ( - 1) = 1 olduğuna göre, 1(2) kaçtır?
A) 5
B)4
(gof)(x) = „ X + 3 ^
2x + 3
16.
C)3
D) 2
X
ve f ( x ) =
' '
2
3
olduğuna göre, g(x) aşağıdakilerden hangisidir?
E)1
A)
x +5
B)
3x + 1
D)
3x + 5
C)
6x + 7
3x + 5
E)
x +7
x +3
3x + 1
2x + 1
x +3
3
12.
f( x + g(x)) = x + 1 ve g(3) = 2
olduğuna göre, f~ 1 (28) kaçtır?
A) 5
B)4
.
C)3
1 7 . f(x) =
D) 2
3X + 3 - x
fonksiyonu veriliyor.
3 X - 3~ x
E)1
f~ 1 (a) = 1 olduğuna göre, a kaçtır?
1 3 . f(x+1) = g
1
1 8 . Uygun koşullarda,
B)4
C)5
D) 6
,.
2x + m
f(x) =
E) 7
f(3) = 3 ve
o
A) - 2
(x)
D) 2
C) 1
E) 4
E
f(1) = 7
C) 0
B) - 1
1
«
19.
olduğuna göre, f(4) kaçtır?
B) 1
f(x) = f
olduğuna göre, n kaçtır?
>.
1 4 . f(x) = ax + b olmak üzere,
ve
o
c
A) 2
»!
(2x) olmak üzere,
f(3) = 5 olduğuna göre, g(5) kaçtır?
A) 3
E
D)
C)
B)2
A)
D) - 1
E)-2
f(x) =
x - 3
olduğuna göre, f(4x - 1 ) fonksiyonunun f(x) fonksi­
yonu cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4 f(x) + 4
15.
B) 4 f(x) + 1
C) f(x) + 4
y = f(x)
D) f(x) - 1
•-X
2 0 . Yandaki şekilde,
y = f(x) ve
1
f(x + 2) = f ~ ( - 1 ) olduğuna göre, x in tamsayı de­
ğeri kaçtır?
B)-1
C)0
D) 2
larının grafiği veril­
4
miştir.
3
1
Buna göre,
(f o g _ 1 ) ( 3 ) kaçtır?
E) 4
A) 8
Cevaplar. 1-B 2-C 3-E 4-D 5-E 6-B
7-D 8-C 9-D
t = f(x)X^
8
>y
y = g(x)
y = g(x) fonksiyon­
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
A)-3
E) 4f(x) - 1
10-E
11-A
12-A
13-B
B)4
14-B
/ °
16-B
a
D)1
C)3
15-A
X
17-C
18-A
(î
S
^
E) a
19-A 20-C
361
r^ : 4; :
J$Tı-
1.
„^.J^ : :\AA
4SP-:;f?1,
6.
Aşağıda grafikleri verilen bağıntılardan hangisi
f(x)= 1 xf(x + 1) ve f(4) = 2
8
R den R ye y = f(x) şeklinde bir fonksiyon belirtir?
A)
•
B)
4
C)
olduğuna göre, 5 . f(6) çarpımı kaçtır?
4y •
A) 1
D)
4
E)
-Î'-IB»
B)4
C)16
D) 32
E) 64
f(x) = x 2 - 4
4
olduğuna göre, f(4x) in f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)4f2(x)-16
2.
D)4f(x)+4
R den R ye tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan
hangisi bire bir ve örtendir?
A) y = 3x - 2
B) y = x2
D) y = sin x
C) y = x3 - 3x
C) 2 f(x) - 4
E)16f(x) + 60
£
S
E) y = 7
B)16f(x)-4
8.
x +a
f(x) =
D
3.
f(x) =
olduğuna göre, f(2x + 1) in f(x) türünden değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
2nx + n + 5
nx + 3n
©
A) f (x) + i - B) f (x) + 1 — 1 C) f (x) - 1 ± A
b
fonksiyonu sabit bir fonksiyon olduğuna göre,
n kaçtır?
A) 3
4.
B) 2
c
D)
»!
D)2f(x) + - l ± l
g(x) =
(x - 2).f(x - 2) + f(2x) + f(x + 2) = 2x - 6x + 12
C)4
D) 13
C)8x 3 + 12x 2 - 12x + 1
D ) 8 x 3 - 12x2+12x-1
362
2x - 3 , x < 1
x-2 , x > 1
E) 8
B) 5
f: ( Z + x Z + ) - > R ,
10.
olduğuna göre, f(2x + 1) aşağıdakilerden hangi­
sidir?
B)8x 3
A) 7
E) 41
f(x) = x 3 - 3X2 + 3x - 1
A)x 3
E)2f(x)--—-
olduğuna göre, g - 1 ( 5 ) kaçtır?
olduğuna göre, f(4) kaçtır?
B)3
a
E)1
2
A) 2
b
g:R-^R,
C) 4
D) 3
E)1
f(a, b) = g(a b + b a )
g" 1 (1) = 8
olduğuna göre, f(2, 2) kaçtır?
A)0
B)1
C)2
D) 4
E) 16
Fonksiyonlar
1 1 . y = f(x) fonksiyonu,
——
1
f " (y)
= f (x)
16.
eşitliği
f(x)
•{
3x - 5,
5,
x,
1
ile verildiğine göre, f ~ (x + 1) ifadesi aşağıdakig(x) =
lerden hangisine eşittir?
A)
x +2
D)
C)
E)
x+1
2
x <2
10
x >2
x
x+1
B)
x > 2
x <2
x - 1
olduğuna göre, (g o f o f)(0) kaçtır?
A) 10
x+2
B)4
C)1
E)-3
D)-2
2
f(2x + x) = 8x + 4x + 3
12.
17.
1
olduğuna göre, f
b
a
f(a, b) = max(a , b )
ve
2
g(x) = x - 4x + 4
(3) kaçtır?
olduğuna göre, (g o f)(2, 5) kaçtır?
B)2
A)0
C)4
E) 6
D) 5
A) 100
13. f :R-{-2}-^R-{0},
f( X ) =
2 f ( x )
x - 2
B)
x + 1
D)
1 - 2x
C)
E) 1600
f(k) = f " 1 ( k ) olduğuna
göre, k kaçtır?
o
>-
x - 2
2x + 1
D) 900
1 8 . f~ 1 (x) = ax + b
fonksiyonunun grafiği
yanda verilmiştir.
o
A)
C)400
+ 1
x + 4
olduğuna göre, f ~ 1 ( x ) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
2x + 1
B)300
E) i -
E
X
1
2
3
3
C)1
D)-
E) 2
1 4 . f(x) = 3x 2 ve g(x) = 9X olduğuna göre,
1 9 . a.pozitif reel sayı ve f(x) = ax + b olmak üzere,
(f o g)(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3'
B)9
:
D) 3
15.
C)9'
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
A) 2
E) 3'
y = f(x) doğrusu ile
i
y = g(x) eğrisinin grafiği
verilmiştir.
1
(fog)(2) + ( f o g - ) ( 3 )
+
f(3)
L
y = f(x)
B) - 1
C) - 1
2
C)4
D) 5
E) 6
.
/1 2 3\
.
11 2 3 \
f =
ve f o ag =
[2 13/
\3 1 2)
/
1/
-1
x
• \
2
\
olduğuna göre, g ~ 1 fonksiyonu aşağıdakiler­
den hangisidir?
y = g(x)
/
A)
değeri kaçtır?
A) - |
2
B)3
2 0 . A = { 1 , 2, 3 } kümesinin iki permütasyonu f ve g dir.
y
3
0
Buna göre,
g"1(D
(f of)(x) = 2 5 x - 1 8
[) ) -
1
4
E)l
Cevaplar: 1-D 2-A 3-E 4-C 5-B 6-D 7-E 8-E 9-A
2
B
(iîS)
D)
»Üsı)
1 2 3
3 1 2
E)
<ll)
(i")
10-B 11-D 12-A 13-C 14-D 15-D 16-C 17-D 18-B 19-A 20-E
363
£3yj&
i-.v.^
H ?wV«\'
1.
f(1) = 6 ve f(2) = 5 olmak üzere,
m e R olmak üzere,
— = 1-2m
f(x + 1) = 2 f ( x ) - f ( x - 1 )
ve — = m + 1
olduğuna göre, f(5) kaçtır?
olduğuna göre, f(x) = y bağıntısının tersi olan
1
f ~ (x) bağıntısı aşağıdaki terden hangisidir?
A)
B)
2-3x
D)
C)
2x-3
2x
E)
3x-1
A) 4
2x
7.
2 7 x 3 - 27x:
»*
E)1
A) 20
o
c
o
8.
4 f (x) - 4 f(x) + 1 = x + 2x + 1
B)25
C)30
D) 35
E) 40
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
C) 2x - 2
B)x + 1
x - 2
5
olduğuna göre, g(1) kaçtır?
©
olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
D)
9x - 1
9(x) =
"
2.f(x) = f(3x + 5) - g(x + 1)
E
o
u.
2
A) x - 1
.
f, birim fonksiyon olmak üzere,
>2
5
olduğuna göre, (f + g)(2) kaçtır?
eşitliği ile verilen f(x) = y fonksiyonu, R den R
ye bire bir ve örten bir fonksiyon olduğuna göre,
f ~ 1 ( 0 ) kaçtır?
°>-i
E)0
f: İR —> İR ve g : İR —> İR olmak üzere,
3-x
f(x) = (m + 1)x - 2 m x + 3
B)-1
D)1
3x-2
f(x) =
A)0
C)2
B) 3
E)
x +2
9.
B = { - 7, 0, 2, 9 } olmak üzere,
3
f : A -> B ve f(x) = x + 1
f ( 2 x - 1) + x
x + 1
1 - f ( 3 x - 2)
x - 2
olduğuna göre, A kümesi aşağıdakilerden hangi­
sidir?
A) { - 2 , 0,1,2}
B ) { - 1 , 0 , 1,2}
C ) { - 2 , 0, 2}
D ) { - 2 , - 1 , 1,2}
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
A) - 1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
f : R-> R,
olduğuna göre, f(x + 1 ) - f ( x - 1 ) ifadesi aşağıdaki­
lerden hangisine eşittir?
olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır?
364
B) 6
f(x) = x 2 + 2 x + 1
10.
f(2 x + 1) = 4 X - 2 X + 1 + 1
A) 9
E) { - 2 , - 1 , 0 , 1 }
C) 3
D) 1
E)-1
A) 4x + 4
B) x + 2
C) 2x + 4
D) x - 4
E) 0
Fonksiyonlar
1 6 . f(x) = —
5 - x
f(3x-1) = ax + b,
11.
f(- 4) = - 5 ve a + b = 7
B)-5
1
C)2
D) 5
A) 7
B)6
1 2 . Uygun koşullarda tanımlı f, g, h fonksiyonları,
1999
x
-2x
2001
+
C)4
D) 3
E) 2
E) 6
17.
f(x) = x
olmak üzere,
a
(fog)~ (0) = 7 olduğuna göre, a kaçtır?
olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?
A)-6
ve g(x) = —
f(1 - x) = ax
1
fonksiyonu için f(x) = f~ (x) olduğuna göre, a
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
3
A) - 2
2
g(x) = x - - 2
B) - 1
C) 1
D) 2
E) 3
h(x) = 3x - 2
1
olduğuna göre, (h~ o f o g)(2) kaçtır?
A) 10
B)7
C)2
D)-2
18.
f(—-—j = 2
E)-1
X_1
X
- 3.2 + 1
1
olduğuna göre, f " ( - 9 ) kaçtır?
1 3 . f :(-1,oo)->(2,
olmak üzere,
A)-1
B)_
O-
f 2x - 1 ,
x > 1
i x - 2,
x < 1 ise,
D)
E)1
f(x) = yf + 2x + 3
o
c
r 1 ( x ) = g(x+1)
>s
O
olduğuna göre, g(7) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
19.
D)-2
E)-3
E
e
"-
g(x) =
14.
ise,
f(x) =
>.
2x + 1
3x + 2
olduğuna göre, ( f o g - 1 )
A)
B
'I
«l
(3) kaçtır?
D)
E
'f
y = f(x)
Yukarıdaki şekilde, f(x) = - x3 + bx2 + cx + d fonk­
siyonunun grafiği verilmiştir.
20.
Buna göre, b + c + d toplamı kaçtır?
A) - 2
B) - 1
C) 1
D) 2
E) 6
4x - 1
15.
2x - 5
Yukarıdaki şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için,
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A)
B)2
c
>!
D)1
E)
(f o f)(x + 2) = 4 eşitliğini sağlayan x değerleri­
nin toplamı kaçtır?
A)-6
B)-4
C)0
D) 2
E) 8
Cevaplar: 1-C 2-C 3-E 4-E 5-D 6-C 7-B 8-E 9-D 10-A 11-E 12-C 13-A 14-C 15-B 16-E 17-C 18-A 19-E 20-B
365
4.
BÖLÜM
1.
TEST
6
FONKSİYONLAR
6.
f: R -> R olmak üzere,
f: R -> A olmak üzere,
f: x -» f(x) = " x in 2 katının 1 eksiğinin üçte biri
f(x) =
olarak tanımlanıyor.
Buna göre, f" 1 (x) aşağıdakilerden hangisidir?
2x - 1 ,
x<0
1 -x ,
x>0
fonksiyonu örten fonksiyon olduğuna göre, A kü­
mesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x in 2 katının 1 fazlasının üçte biri
B) x in 3 katının 1 eksiğinin yarısı
A) (0 , oo)
C) x in 3 katının 1 fazlasının yarısı
B) ( - - , 3)
C) ( - - , 0)
D ) ( - o o , 0 ) u ( 3 , »o)
D) y nin 3 katının 1 fazlasının yarısı
E) (-«o, 1)
E) y nin 2 katının 3 eksiğinin yarısı
7.
2.
A = { a, b, c }
ve
B = {1,2}
f: R -> R
olmak üzere,
x . f(x) + 1 = f(x + 2)
kümeleri veriliyor.
olduğuna göre, f(6) kaçtır?
A dan B ye tanımlanan bağıntılardan kaç tanesi
A) 9
fonksiyon değildir?
A) 56
B) 48
C) 40
D) 32
©
f(f(x)) = 4.f(x) + 2
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
A) 10
4
B)8
f(x)
=
C)6
8.
D) 12
E) 13
y = f(x) tek fonksiyondur.
8.f(x) + 5.f(- x) = 3x3 + 6x
olduğuna göre, f(2) değeri kaçtır?
A) 4
D) 4
C) 11
E) 24
>•
E
£
3.
B)10
B)6
E) 2
C)8
D) 10
E) 12
f(x + 2) - f(x)
f(x)
biçiminde tanımlanan y = f(x) fonksiyonun gra­
fiği (3, 9) noktasından geçtiğine göre, f(1) değe­
ri kaçtır?
( x ~ 3) (x + 1)
(x - 4) (x + 2)
A) 10
C)6
B)8
D) 4
E) 2
olduğuna göre, f (VTÜT + 1) değeri kaçtır?
A) 6
B)4
C)3
D)-
E)-
2
3
olmak üzere,
2
f(x) = x + 2x + 3
olduğuna göre, f~ 1 (x) aşağıdakilerden hangisine
f(2 x + 1) = 4 x + 4 " x
5.
10. f:[-1,oo)_»[2,°o)
eşittir?
olduğuna göre, f(4) değeri kaçtır?
A) Vx - 2 - 1
A) 8
366
B)
25
C)
80
D) E
9
E)
B) Vx + 2 + 1
C) Vx - 1 - 2
28
D) - 1 - Vx - 2
E) Vx + 3 - 2
Fonksiyonlar
1 6 . f doğrusal bir fonksiyon olmak üzere,
1 1 . f(x + y) = f(x).f(y) olmak üzere,
f( — ) =3
2
r1(-1) = 0
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
f"1(11) = 4
olduğuna göre, f(3) kaçtır?
A) 81
B) 63
12.
C) 27
D) —
81
E) —
27
A) 0
olduğuna göre, f ( x - 1 ) in f(x) türünden eşiti aşa­
D)
B)
f(x) + 3
C)
1 - f(x)
3 - f(x)
E)
2 - f(x)
C) 6
. .
9(x) =
v e
E) 10
D)
ax - 2
bx + c
olmak üzere, (f o g)(x) fonksiyonu birim fonksiyon
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
ğıdakilerden hangisidir?
1 + f(x)
2 - f(x)
B) 3
...
3x - 2
f(x) =
—
x - 4
17.
f(x) = 2 +
A)
ve
2f(x)
A) 2
E)-2
D)-1
C)0
B)1
3 - f(x)
4 - f(x)
3 - f(x)
18.
f(x) = 2x + n ,
g(x) = 5x + 3
(g o f)(x) - (f o g)(x) = 9
f:R-{1}->R-{2} ,
13.
f(x) =
nx - 4
olduğuna göre,
2x - m
fonksiyonu bire bir ve örten fonksiyon olduğuna
göre, (m, n) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
J?
n
kaçtır?
B) 2
C) 3
E) 5
D) 4
O
A) (1,3)
B)(2,2)
C)(2,3)
D) (2,4)
E) (2,6)
**
E
o
19.
y=2
f(x) + f~ 1 (x) = — — — ve f(3) = - 5
14.
olduğuna göre, f ( - 1 ) kaçtır?
Yukarıdaki şekilde, y = f(x) fonksiyonu ile
doğrusunun grafiği verilmiştir.
(f( - 1 /(x), f(x) fonksiyonunun tersidir.)
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
Buna göre, (f o f)(- 5) - f(k) = 3 eşitliğini sağlayan
k nın farklı değerlerinin çarpımı kaçtır?
A)-56
1 5 . Yandaki şekilde
y = f(x + 1) fonksiyo­
nunun grafiği veril­
miştir.
y = 2
20.
B)-54
f(x) =
C)-36
D)-18
E) 6
1
3x - 6
x - 2
olduğuna göre, ft - 1 (x) aşağıdakilerden hangisidir?
(fof)(a) = 5
olduğuna göre,
a
kaçtır?
A)-2
A)
B)-1
5x + 3
B)
6x
D)
3x - 6
5x
6x + 5
C)
3x
E)
6x - 5
3x
3x + 6
5x
Cevaplar: 1-C 2-A 3-A 4-A 5-D 6-E 7-E 8-E 9-E 10-A 11-A 12-E 13-D 14-B 15-E 16-D 17-A 18-C 19-B 20-B
367
4.
BÖLÜM
1.
TEST
7
FONKSİYONLAR
f(x) = (x + 2) 2 + ax.f(x-1)
6.
A = { 1 , 2, 3} olmak üzere,
f(1) = 5
A da tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangi­
si fonksiyon değildir?
olduğuna göre, a kaçtır?
A) {(1,1), (2, 2), (3, 3)}
A) - 2
B){ (1,1), (2,1), (3,1)}
B) - 1
C) 0
E) 2
D) 1
C){(1,1),(2,3),(3,2)}
D) {(1,3), (2,1), (2, 3)}
E) {(1,3), (2, 3), (3, 2)}
f(1 - x2) = 7 - 4x2
f(x) = 2x^ + 1
olduğuna göre,
sidir?
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisindeki gibi ta­
nımlanırsa bire bir ve örten bir fonksiyon belirtir?
A)f:R-»R
B)f:N->N
D) f: (1, »o) -> R
+
C)f:Z->Z
aşağıdakilerden hangi­
C)x-1
B)x-2
A)x-3
+
E) f: [0, ~) _> [1, °o)
f(-;-)
4
E)x + 3
D)x
o
c
o
>-
3.
E
o
o.
f(x + 2) = x 3 + 6x 2 + 12x
olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
f(x) = 4 x -
©
olduğuna göre, f(
3
3
A) x + 8
B)x + 4
3
C)x*
)
fonksiyonunun f(x)
türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
3
D)x -4
E)x -8
A)
4.
x -1
f(x)
D)[f(x)]'
x > 0 olmak üzere,
C)8Yf(x)
B)2Vf(x)
E)8[f(x)]'
f(x + 2) = x.f(x)
f(4) = -f
4
I - 1 ,
olduğuna göre, f(8) kaçtır?
A) 7
5.
B)14
C)28
D) 42
g(x)
f (x — 1) = m.x3 + 2x 2 + 3
368
C)8
D) 7
x<-3
2,
x<3
2x + 1,
x>3
olduğuna göre, (f.g)(4) + (f: g)(0) + ( f - g ) ( - 5 )
ifadesinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, f ( - 2) + f(0) toplamı kaçtır?
B)9
\ -2x
E) 56
m reel sayıdır.
A) 10
x>3
f(x) = j x + 2 , - 3 < x <
E) 6
A)-15
B)-10
C)0
D) 10
E) 15
Fonksiyonlar
1 5 . f(x) = f(x + 2) - 1 olmak üzere,
1 0 . b bir reel (gerçel) sayıdır.
f(4a-b) = 8a + 2b+ 10
f(0) = 2 olduğuna göre, f(20) kaçtır?
f(7b) = 28
A) 14
B)12
C)10
E) 8
D) 9
olduğuna göre, b kaçtır?
A) 5
B)4
C)3
D) 2
E)1
f(x.y.z) = f(x) + f(y) + f(z)
16.
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
A) - 2
1 1 . A = {1, 2, 3}
fonksiyon,
.
f
İ 3 1 2 )
17. f(x) = 3 - 1
/ 1 2 3\
V e
9 =
( l 2
3
B) 2
C) 3
X
ve g(x) = 2
A) - 2
D) 4
B) - 1
olmak üzere,
C) 0
D) 1
E) 2
•y
f(x)
C
f(x) = x2 + 6
O
(fog)- 1 (10) = 3
>E
o
olduğuna göre, g(3) ün pozitif değeri kaçtır?
B)4
n
E) 5
D
C)5
D) 6
Şekildeki f(x) ve g(x) fonksiyonları için;
E) 8
f(2x) + g(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
B)0
A)-1
13.
E) 2
1
18.
A) 2
D) 1
(fog )(4) = 16 olduğuna göre, n kaçtır?
)
olduğuna göre, (f o g)(3) + (g o f)(3) toplamı kaçtır?
12.
C) 0
kümesinde tanımlı iki permütasyon
/ 1 2 3\
A) 1
B) - 1
C)2
D) 3
E) 5
f(x) = 3x + 2
(f o f)(- x) = mx + n
19.
olduğuna göre, m . n çarpımı kaçtır?
A) 72
B) 36
C) - 6
D) - 36
E) - 72
A doğrusu y - eksenine paralel olarak y - ekseninin
sağ tarafında yer değiştirebilen bir doğru olmak üzere,
f(x) = " y = g(x) doğrusu, A doğrusu ve x ekseni ara­
sında kalan taralı alanın ölçüsü "
1 4 . f(x) = 2x2 - 3x - a fonksiyonu veriliyor.
şeklinde bir f fonksiyonu tanımlanıyor.
f" 1 (x) fonksiyonunun grafiği (-2,1) noktasından
geçtiğine göre, f(-1) kaçtır?
A) 2
Cevaplar: 1-D
B)3
2-E
C)4
3-E
4-D
5-A
D) 5
6-B
7-E
Buna göre, f(3) değeri kaçtır?
E) 6
8-A
9-C
A) 3
10-E
11-D
12-A
B)4
13-E
14-C
C)
15-B
9
E)
D) 6
16-C
17-E
18-A
15
19-C
369
4.
BÖLÜM
TEST
8
FONKSİYONLAR
6.
s(A) = 2n + 8
y = f(x) doğrusal bir fonksiyondur.
s(B) = 3n - 7
f(2x) + 3.f(x) = 1 0 x - 4
olmak üzere, A kümesinden B kümesine tanımlı
olduğuna göre, f(4) kaçtır?
bir f fonksiyonu örten fonksiyon olduğuna göre,
n nin alabileceği değerler kaç tanedir?
C) 12
B) 11
A) 9
A) 5
D) 13
7.
f(x) =
nün 5 fazlasının 3 katının yarısına eşittir.
B)
D)
C)
2x - 15
E)
E) 9
ax - x + 3
3 x - 2a x + a
eşitliği ile verildiğine göre, f - 1 /(1) kaçtır?
Buna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden han­
gisine eşittir?
A)
D)
R den R ye bire bir ve örten f(x) = y fonksiyonu,
tanım kümesindeki her bir eleman kendi görüntüsü­
3x + 5
C) 7
E) 15
Pozitif reel sayılarda tanımlı bir f fonksiyonu için,
x +5
B) 6
*»!
3(x + 5)
B)_
3
C)3
D)- 3
E)0
o
c
2x - 5
o
>-
8.
f: A -> B fonksiyonu,
E
f = { ( - 2 , 0 ) , ( - 1 , - 1 ) , ( 0 , - 2 ) , ( 1 , - 1 ) , (2,0)}
3.
f ( x ) - 1 =f(x + 1 ) - 2 x
olduğuna göre, A - f(A) kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
olduğuna göre, f(20) - f(1) farkının alabileceği de­
ğer kaçtır?
A) 335
B)341
C) 361
D) 384
A)1
C)3
D) 4
E) 5
E) 400
f(x) = (a + 2)x3 + (b - a)x2 + (b - 4)x
9.
4.
B)2
Tanımlı olduğu durumlarda, f(x - y) . f(y) = f(x)
bağıntısını sağlayan
f(x)
fonksiyonu için f(0)
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)1
B)2
C)3
D) 4
E) 5
Pozitif reel sayılarda,
5.
fonksiyonu çift fonksiyon olduğuna göre, f(-2)
kaçtır?
A) 24
370
D) 4
E)1
D) 6
E) 7
6 f(x) - f 2 (x) - 9 = x 4 - 1
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
B)-2
C)8
1 0 . Tanımlı olduğu durumlarda;
f( —) =x +2.f(-i.)
x
2
•A)'-3
B)16
C)-1
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
D) 2
E) 3
A) 3
B) 4
C) 5
Fonksiyonlar
11. f:R-{b}->R-{1},
g ; R _
{ 1 }
^ R _ { 3 }
x+3
_____
f(x) =
g( X ) -
I
16.
3x + a
(fog)(x)_ — — —
x+3
ve
g(x) = 2 x - 3
olduğuna göre, f(x) = 4 denkleminin kökü aşağıda­
x - 1
kilerden hangisidir?
bire bir ve örten f ve g fonksiyonları veriliyor.
A)-18
B)-15
C)6
D) 10
E) 12
1
f " ( x ) = g(x) olduğuna göre, a.b kaçtır?
A) 9
C)3
B)6
D)-6
E) - '
(f o f)(x) = 9x - 8
17.
olduğuna göre, f(2) nin pozitif değeri kaçtır?
2+x
x - 1
12.
x + 1 /
\ x + 1
A) 1
B) 2
C) 3
E) 6
D) 4
olduğuna göre, (g o 1)(0) değeri kaçtır?
A) 2
B)
5
°>i
C)3
E) 4
g(x) = 3x ve (g o f)(x) _ 9.g(x)
18.
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
13. f : R - { 2 } H > R - { 0 }
olmak üzere,
A) 0
B) 1
C) 2
E) 5
D) 3
2
xf(x)-2f(x) = x - 4 x + 4
olduğuna göre, f
D
(x) aşağıdakilerden hangisidir?
C
O
B)x-2
A) - x + 2
C)x + 2
I 19- f(x) =
E) 2x - 1
D)x+ 2
>-
3 - x
olduğuna göre,
1 -x
(f o f o f)(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)-
f(x) = x2 + 6x
14.
B)l
x
C)x D ) - l -
E)f(x)
f(x)
2
(f o g)(x) = x + 2x - 8
olduğuna göre, g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
B) x - 2
A) x + 2
C)2-x
E) 2x - 1
D) - x + 4
15.
20.
2x - 1 ,
x < 2
2 + 2x ,
x > 2
Şekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor.
f(x)
olduğuna göre, (f o f)
-1
2.f(x + 1) =
(7) kaçtır?
f(1-x)
+ ax + b
olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?
A)
B)1
C)
D) 2
E
'l
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 2
Cevaplar: 1-D 2-D 3-C 4-A 5-A 6-C 7-D 8-B 9-A 10-A 11-A 12-C 13-C 14-B 15-A 16-A 17-D 18-D 19-E 20-E
371
4.
BÖLÜM
TEST
9
FONKSİYONLAR
m = -T—^
Yandaki şekilde y = f(x)
fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
f: R - {2 } -> R oldu­
ğuna göre, aşağıdaki­
ierden hangisi doğru­
dur?
x 2 - 8x + 15
olduğuna göre, f(7) + f(9) + f(11) toplamı kaçtır?
c
E
B
D)
>;
»f
<
A) f(x) bire bir ve örtendir.
B) f(x) bire birdir.
C) f(x) içine fonksiyondur.
D) f(x) bire bir ve içine fonksiyondur.
E) f(x) örten fonksiyondur.
f(x) = - ( 2
x
+ 2 ) olduğuna göre,
f(2x) in f(x) türünden eşiti aşağıdakiierden hangisidir?
B) f(x) + 2
A)2f(x)-1
2.
f: A -> İR
ve
A c İR
'-f
olmak üzere,
C) f"(x)
E) 2r(x) - 1
D)r(x)-2
f(x) = x2 fonksiyonunun görüntü kümesi,
f(A) = { x | x < 20 ve x e N } olduğuna göre,
A kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır?
D
C
O
A) 41
3.
B) 40
C)39
f (x + — ) = x 2 +
x
x2
D) 38
E) 37
8.
>.
(x+1).f(x) = f(x 2 )
E
o
u.
olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakiierden
hangisine eşit olabilir?
olduğuna göre,
A) x + 3
f(x) fonksiyonu aşağıdakiierden hangisidir?
A)x^-2
B)x - 2 x
D)x2 + 2
4. f(x) =
V?7
2x-3
B) - 2
fonksiyonunun en geniş
olduğuna göre, f (a) = 25 denklemini sağlayan a
değerlerinin toplamı kaçtır?
+ 4
C) - 1
D)1
A)-15
372
C)16
D) 14
C)-3
D) 3
E)9
x2 + 4 x + 4
Zx + 1\
Vx + 2/
2
x
+ 2x + 1
olduğuna göre, f(2x) aşağıdakiierden hangisidir?
f(1) + f(2) + f(4) toplamının değeri kaçtır?
B)18
B)-9
E) 2
(x - 1 ).f(x - 1) + f(2x) = x2 + 5x olduğuna göre,
A) 20
E) 3x - 3
:-1
f"'(4x
+ 1) = 2 x - 1
10.
5.
C)x + 1
E)x^ + 2x
9.
I x-1 |
B) x + 2
D) 3x + 3
C)x'
tanım aralığı İR - (a, b) olduğuna göre, a.b çarpımı
kaçtır?
A)-3
f(x) doğrusal fonksiyondur.
E) 12
A)
B)
1
4x~
C)
1
4x"
D)
1
E)
1
2x2
Fonksiyonlar
1 1 . f: R -» R
1 6 . f ve g doğrusal fonksiyonlar olmak üzere,
olmak üzere,
1
( f o g - ) ( x ) = 4x + 1
2
f(x) = x - 4 x + 12
(g o f)(x) = x + 2
1
olduğuna göre, f ~ (x) ifadesini tanımsız yapan
kaç tane pozitif tamsayı değeri vardır?
A) 4
12.
B)5
C)6
3
olduğuna göre, f(1) in pozitif değeri kaçtır?
D) 7
E) 8
A) 1
B)
x - 1
C)
D)xd+ 1
D) 4
E) 5
olduğuna göre, ( f o f ) ( 1 ) kaçtır?
olduğuna göre, ft - 1(x) aşagıdakilerden hangisidir?
A) fx - 1
C) 3
f(x) = g(4x) ve (f o g)(x) = 3x + 1
17.
2
f(x - 2) = x - 3x + 3x - 1
B) 2
A) 9
Vx +
B)10
C) 11
D) 12
E) 13
E) V x - 1
f " 1 ( 3 x - 1 ) = g(x + 2)
18.
(f o g)(x) = ax + b
1 3 . n bir reel (gerçel) sayıdır.
f(n.x) = —
x
olduğuna
göre,
ve
g(x ) = n.x
,100 x
(f o g)(x
)
aşagıdakilerden
olduğuna göre,
o
A)-4
a + b toplamı kaçtır?
B)-3
C)-1
D) 2
E) 3
E
^
hangisidir?
A)I^°
x
o
c
n
B)100x
O——
100x
D) —
100
X
Oy
19.
_ C
(fog)(x)= — — —
x + 12
ve f(x) = 2x + 3
olduğuna göre, g(x) fonksiyonu aşagıdakilerden
hangisidir?
14.
A)
(gof)(x) = ( f o g ) ( x ) - 3 g ( x ) + 2
9X
" 26
x + 12
g(x) = x + 1 ve f(2) = 3
B)
D)-
41
2x + 24
- 9 x + 26
C)
E)
x + 12
41
2x + 24
x - 41
x + 12
olduğuna göre, f(3) kaçtır?
A) 14
B) 11
C)9
D) 8
E) 7
2 0 . Şekilde, y = f ( 4 x - 1 )
fonksiyonunun grafiği
verildiğine göre,
15.
f-1(5)+f(-1)
x
+
1
f(x) = _
2x + a
3x
+4
ve (fof)(x) =
8x + 11
+
f-1(0)
toplamı kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
A) - 2
B) - 1
C) 1
D) 2
E) 3
A)1
B)3
C)5
D) 17
E) 17
Cevaplar: 1-E 2-C 3-A 4-A 5-A 6-C 7-E 8-E 9-C 10-C 11-D 12-E 13-A 14-B 15-E 16-E 17-E 18-A 19-B 20-A
373
4.
BÖLÜM
1.
s(A} = 5 ve
6.
B={x:|x-1|<3
ve
olduğuna göre,
dan B ye kaç farklı sabit
A
x e N }
B) 4
C)5
A ) 2
D) 6
B) 2
C) 3
olduğuna göre,
g)22x
D)log 2 (2x-1)
7.
C ) 2
x
E)log2(x-1)
R - { 1 } den R - { m } ye tanımlı bire bir ve örten
f(x) = y fonksiyonu,
olduğuna göre, f(0) kaçtır?
A) - 1
2x — 1
2x-1
E) 7
f(3x2 + x - 4 ) - ( x 3 - 2 x +1)f(x) = 2
2.
f(4x_1) =
f ~ 1 (x) aşağıdakiierden hangisidir?
fonksiyon tanımlanabilir?
A) 3
TEST
10
FONKSİYONLAR
D) 4
E) 5
f(x) =
3x + 1
x - n
olduğuna göre; (m, n) sıralı ikilisi aşağıdakiierden
hangisidir?
f(2x + 1) = 3.f(2).x + 1
3.
o
c
olduğuna göre, f(-~l) kaçtır?
A)-2
4.
B)-1
C)2
A) (1,3)
is
o
>.
D) 4
E) 7
A = { a , b , c} ve B = { 1 , 2 , 3 }
B)(3, 1)
D) ( - 3 , - 1 )
E) ( - 1 , - 3 )
E
«
8.
Bire bir ve örten y = f(x) fonksiyonu,
1 - f(x)
olmak üzere, f: A -> B ye tanımlı aşağıdaki fonk­
X =
siyonların hangisinin tersi de bir fonksiyondur?
—!—
3 + f(x)
eşitliği ile veriliyor.
A) {(a, 1),(b,2),(c, 1)}
B) {(a, 2), (b, 2), (c, 2)}
Buna göre, f ~ 1 ( - 2) + (f ~1 o f)(0) ifadesinin değeri
C){(a,2),(b,2),(c,1)}
kaçtır?
D){(a,3),(b I 1).(c,2)}
E){(a, 1),(b,3),(c,3)}
5.
C)(3,-1)
A) 3
9.
k e R - { 0} ve f(x) = k olduğuna göre,
B) 2
C) 1
D) - 1
E) - 2
f(x) = 2x - 1 ve
g(x, y, z) = 2x + y - z
f ( l ) +f(1)
2
olduğuna göre, g(f(1), f~ 1 (3), f(2)) ifadesinin de­
ğeri kaçtır?
f(0)
ifadesinin değeri aşağıdakiierden hangisidir?
A) 6
A) 2
374
B) 2
C) 1
2
D)k
E)
B)4
C)3
D)1
E)0
Fonksiyonlar
10.
15.
g(x) = 2x - 1 ve
ax
f(1 + 9X) == 4
f"1(8) = 4
(gof)(x)+2
g(x)
x-1
olduğuna göre, a kaçtır?
olduğuna göre, f(2) değeri kaçtır?
A) - 2
B) - 1
C) 1
D) 2
B
A) 3
E) 3
>I
4
D)1
C)2
1 6 . Yandaki şekilde,
1
1 1 . (g
y = f(x) fonksiyonunun
o f)(x + 1) = 3x + 5 eşitliği veriliyor.
_1
grafiği veriliyor.
1
g ( 3 ) = 2 olduğuna göre, f ~ (3) kaçtır?
A)-2
B)2
C)0
D)-3
•-X
Buna göre,
f(0) + f ( 5 )
E) 3
f(-3)
+
f~1(0)
ifadesinin değeri kaçtır?
A) - 3
B) - 2
C) 2
D)3
E) 6
1 2 . A = { a, b, c, d, e } kümesinde tanımlı f(x) = y fonk­
siyonu;
f = { ( a , d), (b, e), (c, a), (d, b), (e, c ) }
şeklinde verildiğine göre, ( f 1 o r 1 o r 1 ) ( a ) aşağıdakilerden hangisidir?
£
>.
^
Y a n d a W
W|de
y = f(x) doğrusunun
grafiği veriliyor.
A) e
B)d
C)c
D)b
E) a
g(x) = x 2 - 3x + a - 1
*>x
(gof-1)(3) = 0
13. f
1
(2) = 3
olduğuna göre, g(0) kaçtır?
,-1,
ve
g '(3) = 5 olduğuna göre,
A) 4
(fog)~ 1 (a) = 5 eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 5
D) 7
B) 3
C) 2
D) 0
E) - 1
E) 8
1 8 . Yandaki şekilde,
y = (fog)(x + 1)
1 4 . a * b olmak üzere, f(x) = ax + b ve g(x) = bx + a
fonksiyonunun grafiği
fonksiyonları veriliyor.
verilmiştir.
( r 1 o g ) ( t ) = g- 1 (f(t))
*"X
f(x) = 5 - x olduğuna
y = (fog)(x + ı
göre, g(1) + g " 1 ( 5 )
eşitliğini sağlayan t değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) - 3
Cevaplar. 1-C
B) 3
2-B
3-E
C) - 1
4-D
5-B
D) 1
6-A
7-B
E) 0
8-A
9-D
A) - 3
10-C
11-C
12-D
B) - 1
13-A
14-D
C) 0
15-A
D) 1
16-B
E) 2
17-C
18-D
375
4.
BÖLÜM
1.
TEST
11
FONKSİYONLAR
6.
f: N -> N, f(n) = 3 + f(n - 1) olmak üzere,
f(3 x ) = 3 X + 2 X - 1
f(1) = 5 olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıda-
olduğuna göre, f(3)+ f(1) + !f- 1 /(1) ifadesinin de­
kilerden hangisidir?
ğeri kaçtır?
A) 2x + 3
B) 5x - 2
A) 12
C) 3x + 2
D) 4x + 1
B)9
C)8
A = {- 1, 0,1 }
E) 6
E) 6x - 1
f(x + 1) - 5
2.
D) 7
ve f: A -> B
x - 1
.f(x) - 2
olmak üzere,
olduğuna göre, f~ 1 (0) kaçtır?
f(x - 2) = 1 + x olduğuna göre,
f(A)
kümesinin
A)-3
elemanlarının toplamı kaçtır?
A) 3
B)9
C)12
D) 15
f(3x-1)
2x + 1
c
f (6x + 2)
ax + 3
O
eşitliğini sağlayan
ve
Buna göre,
A)-3
y = f(x)
B(8, 21)
f (— 3)
—
f(-2)
B) - 2
8.
A = { 1 , 2, 3, 4, 5 } kümesinde tanımlı y = f(x) fonk­
( f ~ 1 o f _ 1 o f " 1 ) ( x ) = f(2) eşitliğini sağlayan x de­
ğeri kaçtır?
A)1
oranı kaçtır?
B)2
C)3
D) 4
E) 5
D) 4
E) 5
E) 3
9.
4.
E) 3
f = { ( 1 , 3), (2, 5), (3, 4), (4, 2), (5, 1)} şeklinde veriliyor.
fonksiyonunun grafiği
D) 2
D) 2
siyonu,
noktalarından geçmektedir.
C) - 1
C)0
E) 17
o
o
A(2, 9)
B)-2
f(x) doğrusal bir fonksiyondur.
f"1(0) = 3
(f + g)(x) = 5x - 3 ve (f - 2g)(x) = 9 - 4x
ve
f(1) = -4
olduğuna göre, f(4) kaçtır?
olduğuna göre,
A) - 9
(1)
B) - 4
kaçtır?
C)-3
D)1
A) 1
B) 2
C) 3
E) 5
1 0 . f ve g uygun koşullarda tanımlı, bire bir ve örten
5.
/ 3x + 1 ,
fonksiyonlardır.
x>-1
... x + a
f(x)=
_,
x + 2
f(3x - 5) =
\ x+3,
x<-1
376
B)7
C)9
D) 11
1
x - 1
(fog)(x) =
2 - x
2x - 1
olduğuna göre, f(0) kaçtır?
olduğuna göre, f ( - 1 ) + f(1) toplamı kaçtır?
A) 6
. .
g(x) =
E) 12
A)-1
B»4
C)0
<
E)1
Fonksiyonlar
16.
1 1 . f(x) = x + 2 olduğuna göre,
y = f(x)
(f o f o f o... o f)(0) ifadesinin değeri kaçtır?
-
"V
1001 tane
A) 1000
B)1001
C)2000
D) 2002
E) 2003
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
f(x) = g(2x) olduğuna göre, (g o f)(3) kaçtır?
1 2 . f(x) negatif değerli sabit bir fonksiyondur.
A) - 2
2
g(x) = x - 2x ve (g o f)(x) = f(x) + 4
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
olduğuna göre, (g o f)(2) kaçtır?
A) - 3
B) - 1
C) 1
D) 3
E) 4
1 7 . A(0,6); B(-4,0);C(2,0)
olmak üzere, y = f(x)
13.
f~1(2x+1) = 4 - x
ve
denklemini sağlayan
bütün (x, y) ikilileri
f(3r1(a))=-3
şekildeki [AB veya
•-X
[AC üzerindedir.
olduğuna göre, a kaçtır?
y = f(x)
D
A) 1
B) 2
C) 3
E) 5
D) 4
C
is
o
>-
Buna göre, (f o f o f o ... o f)(2) kaçtır?
2002 tane
E
1 4 . Şekilde grafiği ve­
rilen y = f(x) fonksi­
yonu için aşagıda­
kilerden hangisi
daima yanlıştır?
B)2
A) 6
18.
D)-4
C) 0
3-x ,
x >1
5 - 3x ,
x<1
E)-12
f(x) =
A)f"1(-2)<-2
B)f(-2) = 0
C)f(0) = -1
g(x) = 1 - x
E)f"1(1)>5
D)f(1)>0
olduğuna göre, (f o g)(x) aşagıdakilerden hangi­
sidir?
1 5 . Yandaki şekilde,
f(x) ve g(x)
fonksiyonlarının
grafikleri veriliyor.
A)f(x)=
f(x) = ax + 6
olduğuna göre,
g~ 1 (3) kaçtır?
A) - 3
Cevaplar: 1-C
B) - 2
2-E
3-C
(x+2,
x<0
| 3x + 2 , x > 0
C)f(x) =
x+2,
x<1
B)f(x) =
D)-1
4-A
5-E
6-E
7-E
8-D
x + 2, x>1
|3x + 2 , x < 1
3,
E)f(x) =
E)-
x>0
|3x + 2 , x < 0
D)f(x) = ,
3x + 2 , x > 1
C) -
lx+2,
x>1
\ 3x - 5 , x < 1
9-B
10-B
11-D
12-D
13-E
14-D
15-B
16-B
17-E
18-A
377
4.
BÖLÜM
1.
a
TEST
12
FONKSİYONLAR
ve b sıfırdan farklı reel sayılardır.
| f(x) | = 2 g(x) + x - 3,
6.
g(x) = g(| x |) # ve f ( - 2 ) = - 3
f(ax + b) = - x + ab
b
olduğuna göre, g(2) kaçtır?
olduğuna göre, f(0) in değeri kaçtır?
A) - 4
A) 0
B) - 1
C) ab
D) ab - 1
C) - 1
D) 2
E) 4
E) - B.
7.
f(x - 1) + f(x + 1) = 5 x - 3
2.
B) - 2
f: A -> B ye bire bir ve örten y = f(x) fonksiyonu;
f = { ( - 2 , - 1 ) , ( - 1 , 0 ) , (0,3), (1,2)}
olduğuna göre, f(2) - f ( - 2) farkı kaçtır?
A) 10
B)-10
U)3
D)-3
şeklinde veriliyor.
E) O
f3(~1) + f 2(-2)
Buna göre,
ifadesinin
f-ı(0) -f -1(-1)
değeri kaçtır?
3.
f(x) =
x - (x+ 2)f(x)
2x+ 3
A)2
olduğuna göre, f(x - 2) fonksiyonunun eşiti aşa-
B) 1
C)0
E)- 2
D)-1
O
ğıdakilerden hangisidir?
A)
x -2
D)
4.
B)
3x + 1
x + 2
C)
3x - 1
x - 2
E)
3x - 1
3x - 1
E
8.
f(1 + 4 x ) = 8 a x ve
f~ 1 (9) = 4
olduğuna göre, a kaçtır?
2x - 3
x - 2
A) 2
B)i
3
C)|
2
D)1
E
>!
f(x) = 10 x + 1 olduğuna göre,
f(a + b + 1) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) f(a + b)
B) f(a).f(b)
D)f(a+1).f(b + 1)
9.
Uygun şartlarda bire bir ve örten y = f(x) fonksiyonu,
x f(x) = a x - 3 + 2 f(x)
C) f(a) + f(b)
eşitliği ile veriliyor.
E ) f ( a + 1 ) + f(b+1)
f~ 1 (x) =
s(A) = n ve
5.
A) 3
B = {x: | x — 1 |<3,
378
C) 4
B)1
C)-1
kaçtır?
D) 2
E)-2
10.
(fog)(x) = x - 3 g ( x - 2 ) ve f(x) = 3x + 5
olduğuna göre, g(2) + g(0) toplamı kaçtır?
Buna göre, n kaçtır?
B) 3
3
— olduğuna göre, a
x + 2
x e N}
olmak üzere; Adan B ye tanımlanabilecek fonksiyon
olmayan bağıntısı sayısı, fonksiyon sayısının 15 katı­
na eşittir.
A) 2
Oy
D) 5
E) 6
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 2
E) 3
Fonksiyonlar
11
ax - 2x + 3
f(x) =
1 6 . Şekildeki f(x) doğrusu ile
bx + 1 - 2a
sında kesişmektedir.
uygun koşullarda bire bir ve örten bir fonksiyondur.
(f o f)(x) = x olduğuna göre, f(0) kaçtır?
A) - 3
B) 3
C) - 1
D) 1
Buna göre, (g o f)(2)
-3
• X
kaçtır?
E) 0
B) 0
A)-3
C) 1
E) 3
D) 2
1
f(x) = 2 x - 1
12.
*f(x)
g(x) eğrisi P(3, 3) nokta­
ve g" (x) = 2x + 1
17.
y = f(x)
1
olduğuna göre, ( g o f ~ ) ( 5 ) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
»-X
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve­
riliyor.
( f o g " 1 ) ( 3 x + 2 ) = f ( x + 2)
13.
Buna göre, |f(x)| = - f ( x ) eşitliğini sağlayan x in
olduğuna göre, g(x) aşagıdakilerden hangisidir?
farklı tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 3x + 8
B) 3x + 4
C) 3x - 4
B) - 1
A)-3
D) 2x - 3
E) 2x - 1
C) 0
D) 2
E) 4
O
>.
E
e
1 8 . f(x) = y doğrusal bir
fonksiyondur.
1
( f ~ o h)(x) = - ve
x
14.
a
(9 o h)(x) =
y = f(x)
6
olduğuna göre, f~ 1 (4) kaçtır?
x+1
fonksiyonları veriliyor.
A)-4
B)-2
C)0
D) 2
E) 6
Buna göre, (g o f)(x) = - 1 eşitliğini sağlayan x
değeri kaçtır?
A) - 6
B) - 3
15.
C) - 1
D) 1
/x2-1 ,
x>3
l 3x — 1 ,
x<3
E) 3
C) 1
D) - 1
•-x
f(x) = 2a - 3x
olduğuna göre, a kaçtır?
olduğuna göre, f ~ 1 (8) — f _ 1 ( 5 ) kaçtır?
B) 3
y = (fog)(x)
g ( - 3) = - 2 ve
f(x) =
A) 5
1 9 . Yandaki şekilde,
y = (f o g)(x)
fonksiyonunun grafiği
veriliyor.
E)-3
A)-4
B)-3
C)-2
D) 2
E) 4
Cevaplar: 1-D 2-A 3-D 4-B 5-A 6-E 7-B 8-B 9-E 10-B 11-D 12-A 13-C 14-A 15-C 16-E 17-E 18-E 19-C
379
JK*.-
TEST
13
llillf
SİYAHI AR
innOlYiujŞEnli
*-v M ' " * i ,
*•' 4 i î » ' s
1.
fi
ax - b
) = 9 x 9 + 8 x 8 +• 7x 7 + ... + 2 x 2 + x - 1
bx - a
6 . f : A -» B , f (x) =
olduğuna göre, f(1) in değeri kaçtır?
A)-9
B)-6
O-5
D)-4
x+3
örten bir fonksiyondur.
x - 1
f~1(B) = {- 1, 0, 2} olduğuna göre,
B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
E)-1
A) { - 1 , 0 , 2}
B ) { - 1 , - 3 , 5}
D) { 0 , 1 , 2 }
2.
C){-1,0,1
E ) { - 3 , 0, 2}
f(x) = 2x - 3 fonksiyonu veriliyor.
f(ax + b) = bx + a + 3
7.
olduğuna göre, a - b farkı kaçtır?
A) 3
3.
B)2
C)0
D)-2
E
olduğuna göre, f(3) kaçtır?
C)6
D) 7
E) 8
3K + 1
ax - n
fonksiyonunun tersi kendisine eşit olduğuna göre,
a + n toplamı kaçtır?
o
c
o
>.
f(0) = 2 ve f(-1) + f(1) = 3
B)5
f(x) =
E)-3
f(x + 1) = f(x + 2) - f(x) eşitliği veriliyor.
A) 4
R - { —} kümesinde tanımlı bire bir ve örten,
2
A)-2
8.
C)0
B)-1
D) 3
E) 5
y = f(x) doğrusal bir fonksiyondur.
Q
f(x + 3) - f(x) = 6
olduğuna göre, f ~1(x + 1 ) - f ~1(x - 1) kaçtır?
A) 6
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
4 . f(x, y) : (Z + x Z + ) -> Z + ,
f(x + 5, y - 3) = 3x + 5y fonksiyonu veriliyor.
9.
f(a, b) = 18 olduğuna göre, a + b kaçtır?
A) 3
B)4
C)5
D) 6
f(x)
olduğuna göre, (fof)(20Q2) kaçtır?
E) 7
A)????1998
5.
A = { 1 , 2, 3, 4 } kümesinde tanımlı bire bir ve örten
y = f(x) fonksiyonu;
10.
380
C) 4
D) 6
C)0
D) 2002
E) 2000
(gof-1)(-2) = 0
şeklinde verildiğine göre, a + b toplamı kaçtır?
B) 3
B)i^998
g(x) = a + f(x) ve
f = {(1,3), (2,2a + b),(4, 1), (5a + 6b, 2)}
A) 1
3 - 2x
2-x
E) 7
olduğuna göre, g(f~ 1 (0)) kaçtır?
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 2
Fonksiyonlar
11.
f(x) = — - x
ve
(f og)(x) =
x 4 + 6x2 + 8
15.
- x2 - 3
o l d u ğ u n a göre,
olabilir?
g(x)
aşağıdakilerden hangisi
C)x2+
B) xd + 2
A) x z + 1
D)
E)
x + 2
3
y = f(x
x2 + 2
Yukarıdaki şekilde
R den R ye, f(x) = y fonksiyonu­
nun grafiği veriliyor.
1 2 . Yandaki şekilde,
g"1(x)
f(x) = n denkleminin ç ö z ü m kümesi üç elemanlı ol­
doğrusal fonksiyonlarının
duğuna göre, n reel sayısının alabileceği değerle­
grafikleri veriliyor.
rin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
f(x)
ve
• x
Buna göre, f ~ 1 [ g ( 0 ) ]
A) (3, 4)
B) (0, 3)
C) [- 2, 3)
kaçtır?
D) ( - 2, 4)
A)-1
E) [- 2, 0)
B)0
16.
13.
2
f(x) = " x
1
—-
veya
x
D
C
3
g(x) = " x
şeklinde f ve
D
>-
*-x
ten büyük olmayanı "
E
*
Buna göre,
u.
v e y a x ten küçük olmayanı "
g fonksiyonları tanımlanıyor.
-1 < x < 0 için (f o g)(x) f o n k s i y o n u ­
nun eşiti a ş a ğ ı d a k i l e r d e n hangisidir?
( - 2 , 0 ) ; ( 0 , 3 ) ve A(2, 5) noktalarından geçen şekil­
deki y = f(x) fonksiyonunun;
A)x2
Ox eksenine göre simetriği g(x),
B)x3
C)x6
D ) —
x4
E)
—
Oy eksenine g ö r e simetriği h(x),
y = x d o ğ r u s u n a göre simetriği p(x)
tir.
Buna göre, h ( - 2 ) + g - 1 ( - 5 ) - p ~ 1 ( 2 ) kaçtır?
A)-5
B)-4
C)2
D) 5
/2x-3,
17.
x>2
f(x) =
E) 7
x-1 ,
x<2
olduğuna göre, f ~ 1 ( x ) aşağıdakilerden hangisidir?
[ 1 ± 1 , x>2
1 4 . Yandaki şekilde,
A)f_1(x)=
y = (f - 9)(x) fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
I
f(x) = p(x) + g(x)
olduğuna göre,
,-ı
p
C)f" 1 (x)=
»•X
(f-g)(x)
x + 1 , x <2
[ 1±1, x>1
2
lx+1,x<1
(a + 1) = 0 eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır?
E)T 1 (x) =
A) - 1
Cevaplar: 1-B
B) 1
2-D
3-D
C) 2
4-B
D) 3
5-A
6-B
8-E
x
<
2
2
I x+1 , x>2
x+3
D)r1(x)
x-1 ,
x<1
x+1,x>1
x>2
2x - 3 , x < 2
E) 4
7-E
/ 1+1,
B)T1(x)=
-2
9-D
10-E
11-C
12-A
13-C
14-C
15-D
16-C
17-C
381
4.
BÖLÜM
İŞLEM
d ) . m A n = s eşitliğinde m ve s biliniyor, n araştırılıyorsa (n = ?); m birinci bileşen olduğundan esas
sütundan işlemin sonucu (s) na gidilip esas satıra
dikme çıkılarak bulunur.
TANIM
A*0
ve
A c B olmak üzere,
A x A nın boş olmayan herhangi bir alt kümesinden B
kümesine tanımlı her fonksiyona A kümesi üzerinde ta­
nımlı bir ikili işlem ya da kısaca A da bir işlem denir.
Örnek:
A = { F, E, M } kümesinde
tanımlı " • " işlemi yandaki
tablo ile veriliyor.
F * x = M => x = E
p * ( E * E ) = F =* p * F = F
=> p = M dir.
Buna göre, (x, y) e A x A ve z e B olmak üzere,
f: A x A -> B,
f: (x, y) -> z olur.
İşlemleri çoğunlukla, (+), (-), (.), (I), (•), (A), (o), (•),...
gibi sembollerle gösteririz. O halde, A da bir" A" işle­
mi için, A : (x, y) -> z ise bunu,
x A y = z biçiminde gösteririz.
1 A1 = 1.1 + 1 = 2
0 AO = 0.0 + 1 =1
0
-1 A(-1) = (-1).(-1)
+
1
1
1
0
1
1
1
0
1
2
0 A 1 =0.1 + 1 = 1
Tablodan da görüldüğü gibi A da herhangi bir x A y nin
sonucu A kümesinin elemanı olması gerekmez.
Uyarı:
A da bir a A b nin değeri tablodan,
A kümesi " A " işlemine göre kapalıdır.
?
b
7
ı^y
A <
a •(î)
<ls
I
esas sütun
• esas satır
a
\
m- f ^ \
\
*
Herhangi iki doğal sayının farkı her zaman doğal sayı
olmayabilir. O halde, doğal sayılar kümesi çıkarma (-)
işlemine göre kapalı değildir.
A da tanımlı herhangi bir" A" işleminin tablosu veril­
diğinde; tablodaki bütün elemanlar A kümesinin
elemanı ise A kümesi " A " işlemine göre kapa­
lıdır, tabloda A kümesinin elemanı olmayan en az
bir eleman varsa A kümesi " A " işlemine göre ka­
palı değildir.
\
3. Birleşme Özelliği
\
i
x A y = y A x oluyorsa
" A " işleminin değişme özelliği vardır.
simetrik ise bu işlemin değişme özelliği vardır.
V x, y, z e A için,
\
\
x A y A z = x A ( y A z ) = ( x A y ) A z ise,
esas köşegen
©. (a,;b) ikilisinin birinci bileşeni (a) esas sütundan, ikin­
ci bileşeni (b) de esas satırdan alınarak işlemin so­
nucu (z) bulunur.
382
E
u.
İşlem tablosunda, elemanlar esas köşegene göre
•t!
'
o
Örneğin; herhangi iki tamsayının toplamı yine bir tam­
sayı olduğundan tamsayılar kümesi toplama (+) işle­
mine göre kapalıdır. Herhangi iki reel sayının çarpımı
yine bir reel sayı olduğundan reel sayılar kümesi çarp­
ma (.) işlemine göre kapalıdır.
V x, y e A için,
.
A
A
MIF E M
2. Değişme Özelliği
A
>
E
V x, y € A için, x A y = z e A ise,
kümesi üzerinde, (A x A dan B ye)
A -1 0
-1 2 1
F
F
1. Kapalılık Özelliği
A = {- 1, 0, 1 } ve B = {- 1, 0, 1, 2 } olmak üzere, A
- 1 A1 = - 1 . 1 + 1 = 0
M
E |M
A, A kümesinde tanımlı bir işlem olsun.
Örnek:
biçiminde tanımlı " A" işlemini, tabloda inceleyelim.
F |E
İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ
Uyarı:
x A y işleminin kuralı biliniyorken a A b nin döğeri,
x yerine a ve y yerine b yazılarak bulunur.
x A y = x.y + 1
• | F E M
" A " işleminin birleşme özelliği vardır.
Reel sayılarda çarpma (.) ve toplama (+) işlemlerinin
birleşme özelliği vardır, bölme (:) ve çıkarma (-) iş­
lemlerinin birleşme özelliği yoktur.
İşlem
Birim (Etkisiz) Eleman
Çözüm:
V x e A ve bir tek
İşlemin etkisiz elemanı (e)
e e A için,
xAe=eAx = x
a A e = a + e-2ae = a
=> e.(1 - 2a) = 0 => e = 0 ve
oluyorsa A kümesinin " A " işlemine göre etkisiz
5 in tersine x diyelim. (x = 5~ 1 )
elemanı e dir.
5 A 5 ~1 = e olduğundan
Uyarı:
1.
5 Ax = 0 => 5 + x-2.5.x = 0
Etkisiz eleman varsa, sabit ve bir tanedir.
=> x = 5
2. Değişme özelliği olan bir " A" işlemine göre birim ele­
man araştırılırken sadece x A e = x veya sadece
e A x = x eşitliğinden etkisiz elemanı bulmak yeterlidir.
= - dur.
9
Örnek: 1984 - ÖYS
3. " A" işleminin tablosunda, esas satır ile esas sütunun
aynısı olan satır ve sütunun kesiştiği yerdeki ele­
man etkisiz elemandır.
•je
2
a a
e|e a
a l a a2 e
21 2
e a
a
a
Örnek:
it
~J
l
Reel sayılar kümesinin toplama (+) işlemine göre et­
kisiz elemanı 0 (sıfır), çarpma (.) işlemine göre etki­
siz elemanı 1; çıkarma (-) ve bölme (:) işlemine gö­
re etkisiz elemanı ise yoktur.
b c d f
b b c d T
c c d f b
d d f b c
f
f
b c d
(G, •), (G', it) işlem tabloları yukarıda verilen iki gruptur.
G x G ' de aşağıdaki biçimde bir • işlemi tanımlanıyor.
A u 0 = 0 u A = A v e A n E = E n A = A olduğun­
dan kümeler üzerinde birleşim (u) işleminin etkisiz
elemanı 0, kesişim (n) işleminin etkisiz elemanı E
(evrensel küme) dir.
V(x,y),(x',y')eGxG'
(x,y)Q(x',y')
=
(x.x',y*y')
Buna göre, ( a - 1 , c) • (a 2 , f) elemanı aşağıdakilerden hangisidir?
5. Bir Elemanın Tersi
A kümesinde tanımlı " A" işleminin etkisiz elemanı
(e) var ve x e A için,
O
>E
u.
x A x~1 = x - 1 A x = e
(x~ 1, x hangi grubun elemanı ise, o grubun işlemine
göre x in tersini göstermektedir.)
A) (e, c)
C) (a 2 , d)
B) (a, b)
1
olacak şekilde bir x " e A varsa x in " A " işlemi­
ne göre, tersi x " 1 dir.
E) (e, d)
D) (a, f)
1
Dolayısıyla x " in " A" işlemine göre tersi de x olur.
Çözüm:
Uyarı:
it
1. Bir işlemin etkisiz elemanı yoksa, herhangi bir ele­
manın tersinden söz edilemez.
2. Etkisiz elemanın tersi kendisidir.
Bir x reel sayısının toplama (+) işlemine göre tersi (-x),
sıfırdan farklı herhangi bir a reel sayısının çarpma
dır.
A)
3.
5 in A işlemine göre tersi kaçtır?
B)
C)
D)37
dir.
(x, y) • (x', y') = (x • x' , y it y') olduğundan,
p
işlemi tanımlanmıştır.
Buna göre,
a~1=a2
(a"1,c)Q(a2,f) = ( a 2 . a 2 )
a A b = a + b - 2ab
l
G > . " • " işleminin tablosunda taranmış olan satır ve sütu­
nun kesiştiği yerdeki eleman e olduğundan " • " işle­
minin etkisiz elemanı e dir.
(D.a»a~1=e=>
Örnek: 1997-ÖSS
Reel (gerçel) sayılar kümesi üzerinde her a, b için
\
<fe
d
f
Örnek:
işlemine göre tersi a ~1 = —
b c d
b
-c-
(D
c*f)
©
= (a, b) dir.
E)l
7
383
MATEMATİK SORU BANKASI
6. Yutan Eleman
V x e A ve bir tek y e A için,
xAy=yAx=y
oluyorsa, A kümesinin " A " işlemine göre yutan
elemanı y dir.
Örneğin; bütün reel sayıların 0 (sıfır) ile çarpımı 0 (sı­
fır) olduğundan, reel sayılar kümesinin çarpma işlemi­
ne göre yutan elemanı 0 (sıfır) dır.
1.
2.
3.
4.
Uyarı:
Yutan elemanın tersi yoktur.
Bir A kümesinin " A" işlemine göre hem etkisiz elema­
nı hem de yutan elemanı varsa; etkisiz eleman araş­
tırılırken yutan eleman veya yutan eleman araştırılır­
ken de etkisiz eleman bulunur.
Tabloda bir satır ile bir sütun, esas satır ve esas sütun­
dan itibaren aynı elemandan meydana geliyorsa, bu
eleman yutan elemandır.
Örnek:
ise e = 1 ve 4 - 3y
y=
4
>.
E
Örnek:
•
X
X
y
y
z
R
u.
JL @
z
y
ti
«
yutan eleman yoktur.
A
T
1 [2 3
1 [2|T
*
2|2
3
3 y| 4 1
4
4 İn
4
T
1 3
A = { 1 , 2, 3 ,4} kümesinin
" A" işlemine göre
yutan elemanı 2 dir.
7. Dağılma Özelliği
"o" ve "A" A kümesinde tanımlı iki işlem olsun.
V x, y, z e A için,
x o(y A z) = (x o y) A (x o z)
ise, " o " işleminin " A " işlemi üzerine dağılma özel­
liği vardır.
Örnek:
Reei sayılarda çarpma (•) işleminin, toplama (+) veya
çıkarma (-) işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
384
•
(N, +) sistemi grup değildir.
(A, •) sistemi grup ise " * " işleminin tablosunda,
herhangi bir satırda veya herhangi bir sütunda bir
eleman sadece bir kez bulunur.
o
tür.
(R, +) veya (R, •) birer değişmeli gruptur.
Uyarı:
o
c
==> e (4 - 3y) = 4 - 3y
•
Çünkü, örneğin 2 nin toplama (+) işlemine göre tersi,
2 " 1 = - 2 e N dir.
Örnek:
Reel sayılar kümesinin,
x o y = 4x + 4y - 3xy - 4
şeklinde verilen " o " işlemine göre etkisiz (e) elema­
nını ve yutan (y) elemanını bulalım.
e o y = y => 4e + 4 y - 3 e y - 4 = y
Grup:
Boş olmayan bir A kümesinde tanımlı" *" işlemi için,
A kümesi " * " işlemine göre kapalı ise,
" * " işleminin birleşme özelliği varsa,
A kümesinin " * " işlemine göre etkisiz (birim) elemanı
varsa,
A kümesindeki her elemanın " * " işlemine göre tersi
varsa,
(A, *) sistemi grup," * " işleminin değişme özelliği de
varsa (A, •) sistemi değişmeli gruptur.
@
Örnek: 1981- ÖYS
(G,*) işlem tablosu bazı gözleri
eksik olarak yanda verilen değiş­
meli bir gruptur.
1 ve 2 numaralı gözlerde bulun­
ması gereken elemanlar sırasıy­
la ne olmalıdır?
*
e a b c
e
e a b c
a
a
. 1 e
b
b
. 2
c
c
A) a, b B) b, c C) c, a D) a, e E) c, e
Çözüm:
(G *) sistemi grup olduğundan herhangi bir satırda ve­
ya herhangi bir sütunda bir eleman sadece bir kez bu­
lunur. Buna göre,
İkinci satırdaki boş gözlere b ve c den birisi gelecektir.
1 in bulunduğu sütunda b olduğundan 1 in yerine b
değil c, solundaki boş göze de b gelmelidir.
Dördüncü sütundaki boş olan iki gözden; 2 nin sağına a,
a nin altına da b gelmelidir.
Üçüncü satırda da 2 nin yerine e, soluna da c gelmelidir.
Çünkü 2 nin üstündeki 1 in yerine c gelmişti.
Buna göre, 1 ve 2 nin yerine sırasıyla c ve e gel­
melidir.
:S.^-:
BÖLÜM
1.
N
i£"
Pozitif reel sayılar kümesinde her a, b için tanımlı,
6.
(x + 2) A (4y) = x - y
işlemine göre, 2 A 0 kaçtır?
C)3
B)4
Reel sayılarda tanınıl,her x, y için A işlemi tanım­
lanmıştır.
a A b = ab + a . b
A) 6
TEST
1
İŞLEM
' * , * , •î*'
D) 2
olduğuna göre, (6 A12) kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
E)1
A) 1
2.
7.
f: R - > R , f ( x ) = 2x + 1
a A b = f(a + b)
olduğuna göre, (4 • 2) • 1 işleminin sonucu kaç­
tır?
olduğuna göre, 2 A 5 kaçtır?
A) 78
A) 9
B)80
C) 143
Pozitif reel sayılarda tanımlı
D) 144
E) 156
A işlemi,
o
a A b =
a- b
c
a.b
o
>-
olduğuna göre, — A — = 4
2
k
değeri kaçtır?
A) 2
B)4
eşitliğini sağlayan k
C)6
8.
B) 11
C)13
D) 14
E) 15
D) 4
E) 8
Reel sayılarda tanımlı,
a A b = a + b + 2(b A a)
işlemine göre, 3 A 5 kaçtır?
|
u.
A)-10
B)-8
C)-6
a
D) 8
E) 10
9.
4.
E) 12
D) 6
Reel sayılarda tanımlı • işlemi
a • b = a2 - b2
3.
C)4
B) 2
Pozitif reel sayılar kümesinde her a, b için;
a A b = V a + b + 2Vüb
Reel sayılar kümesinde tanımlı o işlemi,
işlemi tanımlanıyor.
/ x.y , x>y
Buna göre, 16 A 144 kaçtır?
xo y =
x + y , x <y
olduğuna göre, (2 o 3) o 2 işleminin sonucu kaç­
tır?
A) 6
B)8
C)10
D) 12
E) 14
A) 8
B)10
C) 12
1 0 . Pozitif reel sayılar kümesinde tanımlı ,
1
A
5.
E) 16
D) 14
1
l»
- A - = a.b
a
b
Reel sayılar kümesinde tanımlı • işlemi,
işlemine göre, a A b işleminin kuralı aşağıdakia a b = a + 2b + 3x
lerden hangisidir?
1 • 4 = 27
A) 6
B) 7
C) 8
B)l
A) ( a . b ) 2
olduğuna göre, x kaçtır?
D) 9
E) 10
a
D)
1
a + b
+
1
C)
b
1
a.b
E)
385
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . Reel sayılar kümesinde tanımlı,
1 1 . Reel sayılar kümesinde tanımlı,
a A b = a + b + ab
aAb = a + b-5
işlemine göre 2 nin tersi kaçtır?
işleminin birim elemanı kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
E) Yoktur.
D) 5
B)1
A)0
E)-4
D)-
C)
1 7 . Reel sayılar kümesinde tanımlı,
a A b = a + b + 2ab
1 2 . Reel sayılar kümesinde tanımlı,
x * y = x(1 + 2y) + y
işlemine göre tersi kendisine eşit olan negatif reel
sayı kaçtır?
işleminin etkisiz (birim) elemanı kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
A)-5
B)-4
C)-3
E)-1
D)-2
E) 8
1 8 . f: R -» R , f(x) = x + 4
a A b = (fof)(a + b)
1 3 . Reel sayılar kümesinde tanımlı,
işlemi tanımlanıyor.
x Q y = x + y + 2(1 Q1)
B) - 4
Buna göre, 4 ün A işlemine göre tersi kaçtır?
o
A)-20
c
işleminin birim elemanı kaçtır?
A) - 6
o
:>D) 2
C) 1
E) 4
<
E) - 8
«
•
1
2
3
4
5
Buna göre, tabloda a ve b nin
bulunduğu karelerde sırasıy­
la aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
işleminin yutan elemanı 2 olduğuna göre, a kaçtır?
D)
D)-10
E
x A y = x + y- 2axy
«I
C)-14
1 9 . A = { 1 , 2 , 3, 4, 5 } ve
(A, *) sistemi değişmeli
gruptur.
1 4 . Reel sayılar kümesinde tanımlı,
<
B)-16
A) 3, 2
1
B)1,2
C)4, 5
1 2 3 4 5
4
1
3
4
5 1
a
2
b
D) 3, 1
E) 4, 1
10
*
2 0 . A = { 1,2, 3, 4 }
1 5 . Reel sayılar kümesinde tanımlı,
2 4 1 2 3
tablosu yanda verilmiştir.
x • y = 3xy
1 2 3 4
1 3 4 1 2
kümesinde tanımlı * işleminin
Buna göre,
3
1 2 3 4
4
2 3 4 1
( 1 ~ 1 * 3 ) ~ 1 Aa = 3
işlemine göre — un tersi kaçtır?
eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır?
A)
B)
Cevaplar: 1-E 2-C 3-C 4-C 5-A
386
D) 3
C)1
6-A
E) 9
7-E 8-B 9-E
10-C
A) 1
11-D
12-A
13-E
B) 2
14-C
C) 3
15-C
16-C
D) 4
17-E
E) Bulunamaz.
18-A
19-D 20-A
4.
BÖLÜM
1.
TEST
2
İŞLEM
Pozitif tamsayılarda tanımlı,
6.
R 2 de o işlemi
(a, b) o (c, d) = (a + 2c, d - b)
a3 • b a = a2 + b2
olarak tanımlanıyor.
işlemine göre, 8 • 9 kaçtır?
Buna göre, (1, 2) o (3, 4) işleminin sonucu aşağıA) 13
B)15
C)17
D) 19
E) 25
dakilerden hangisidir?
A) (5, 3)
1 » 2
. .
n
— A — = 2a * b
a
b
2.
B) (6, 4)
D) (5,1)
C) (7, 2)
E) (7, 3)
x * y =x - y
7.
Reel sayılar kümesinde tanımlı,
olduğuna göre, 2 A 2 kaçtır?
x A y = 2x + 2y + xy + 2
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 2
işleminin birim (etkisiz) elemanı kaçtır?
1.
3.
-~
(a * b) 2 = 2ab (a * b) - a 2 . b 2
^
u.
a * a 3 = 64
olduğuna göre, a nın pozitif değeri kaçtır?
4.
B) İ2
C) 3
D) 2İ2
8.
A) n
9.
B) 0
C) 1
D) - n
E) 2n
Reel (gerçel) sayılar kümesinde tanımlı,
a A b = a + 2b
işleminin birim (etkisiz) elemanı kaçtır?
1 * 3 kaçtır?
C) 3
D) 2
E) 1
f(x, y) = min(x + 1, y - 2 )
5.
E) 2
işleminin birim elemanı aşağıdaki lerden hangisidir?
işlemi tanımlanıyor.
B) 4
D) 1
aAb = a + b + n
E) 4
- * — — = a + b
a
b + 1
A) 6
C) 0
Reel (gerçel) sayılar kümesinde tanımlı,
©
Reel (gerçel) sayılar kümesi üzerindeki her a, b için
Buna göre,
B) - 1
o
>.
şeklinde * işlemi tanımlanıyor.
A) 1
A) - 2
A) - 2
B) - 1
C) 1
D) 2
E) Yoktur.
1 0 . Reel sayılar kümesinde tanımlı,
g(x, y) = max(x, y + 1)
a 3 A b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b2) + 1
olduğuna göre, f(1, 3) + g(2, 3) işleminin sonucu
kaçtır?
işleminin birim (etkisiz) elemanı kaçtır?
A) 3
A) - 2
B)4
C)5
D) 6
E) 7
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 2
387
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
a+b
a < b ise
bl-l
a > b ise
a*b =
1 6 . Reel sayılarda tanımlı,
2
x A y = ax + ay + xy + a - a
işlemi veriliyor.
işlemine göre hangi elemanın tersi yoktur?
x < y < 0 olmak üzere, x * [ ( - x ) * ( - y ) ] işlem­
inin sonucu aşagıdakilerden hangisidir?
A)-2a
A) y - 2x
B) x + y
B)-a
C) a
D) 2a
E) 3a
C) x - y
1 7 . Reel (gerçel) sayılar kümesinde tanımlı,
D) y
E) - y
a * b = a + b +t
işlemine göre t nin tersi aşagıdakilerden hangisi­
dir?
1 2 . Reel (gerçel) sayılar kümesinde tanımlı,
A) - 2t
C) 2t
B) - 3t
E)4t
D) 3t
a A b = a + b - 1 Oab
işleminin birim elemanı x, yutan elemanı y oldu­
ğuna göre, x . y kaçtır?
A) 3
B) 1
C)0
D)-1
( a + 1 ) A ( b - 1 ) = a + b+ 10
18.
işlemi tanımlanıyor.
E)-2
Buna göre, (2 A 0 ) ~ 1 işleminin sonucu kaçtır?
1 3 . Reel (gerçel) sayılar kümesinde tanımlı,
A)-10
B)-12
O-24
E
«
u.
1 9 . A = { a , b.c, d, e }
kümesi
üzerinde
tanımlı •
işleminin tablosu yanda veril­
miştir.
C)-4
-
32
>•
4
işlemine göre, — nın tersi - 2a olduğuna göre,
a
a nın negatif değeri kaçtır?
B)-5
E)
D
xAy = x + y - 1
A)-6
D)-30
D)-3
E) - 2
o
a b c d e
a
b c d e a
b c d e a b
c
d e a b c
d
e
e a b c d
a b c d e
Buna göre,
(aab"V1Q(bQcr
1 4 . Reel (gerçel) sayılar kümesinde tanımlı,
1
işleminin sonucu aşagıdakilerden hangisidir?
aAb = a + b-3
işlemine göre, (2 "1 A 3) ~ 1 işleminin sonucu
B)b
A) a
C)c
D) d
E) e
kaçtır? (x " 1 : x in A işlemine göre tersidir.)
A) 4
B)3
C)2
D)1
E)0
2 0 . A = { 1 , 2 , 3, 4 }
kümesi
üzerinde tanımlı
A işleminin tablosu yanda
1 5 . A = { x : | x - 2 | < 3 , x e Z } kümesinde * işlemi
m * n = " m veya n den küçük olmayanı"
şeklinde tanımlanıyor.
•
-B) 1
C) 2
D) 3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Buna göre,
(1 A 2 A 3 A 4,)-"1 ' işleminin sonucu kaçtır?
Buna göre, hangi elemanın tersi yoktur?
A) 0
verilmiştir.
A
1
2
3
4
E) 4
A)0
B)1
C)2
D) 3
E) 4
Cevaplar: 1-A 2-C.3-D 4-C 5-C 6-C 7-B 8-D 9-E 10-B 11-A 12-C 13-E 14-C 15-E_1JS-B 17-B 18-E 19-A 20-C
388
4.
BÖLÜM
1.
İŞLEM
Reel sayılar kümesinde her (a, b) sıralı ikilisi için tanımlı,
Reel sayılar kümesinde tanımlı her a, b için,
2
a * b
işlemine göre,
A)1
B)
TEST
3
_ 3_
3_
a
6*6
4
(a, b) A (x, y) = (a + x + 1, 2by)
b
işlemine göre, (1, 2) A t = (4, 6) eşitliğini sağlayan
kaçtır?
t sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
C)2
D)
E) 3
A)(|,2)
C ) ( 2 , 1)
B)(2,
E ) ( ^ , 1)
2
D ) ( 1 , 2)
2.
Reel sayılar kümesinde tanımlı her x, y için,
x o y = 2X - y2 + 1
a A b = a + b + ab
olduğuna göre, 1
işlemine göre, 4 o (2 o 1) kaçtır?
kaçtır?
( x n = X A x Ax ... Ax )
A) 5
B)4
C)3
D) 2
E)1
n tane x
A) 3
B)5
3.
D
2(a A b) + 3(b A a) = 2a + 3b
E
o
işlemine göre, 2 A 2 kaçtır?
B) 2
E) 10
C
Reel sayılar kümesinde tanımlı
A) 3
D) 9
C)7
D
C) 1
D) 0
E)-1
A = { 1 , 2 , 3, 4, 5 }
•
kümesinde • işlemi
1 2 3 4 5 1
yandaki tabloyla, A işlemi de
x A y = x d 4
©
şeklinde
tanımlanıyor.
1 2 3 4 5
2
3 4 5 1 2
3
4 5
4
5
5 1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3
Buna göre, (1 A 2) A 3 kaçtır?
A)1
4.
B)2
D) 4
C)3
E) 5
Pozitif reel sayılarda tanımlı,
(iTTTH^Th-
9.
Tamsayılar kümesinde tanımlanan,
4
olduğuna göre,
| -^— * 11
a*b
=
1 5
2
a*b
B)3
C)2
D)/l
E)0
x A y = 2xy + 4
A) 1
B) 2
kaçtır?
C) 3
D) 4
E) 5
biçiminde tanımlı * işleminin yutan elemanı ile
Buna göre, 2 o (1 A1) kaçtır?
B)7
b
a * b = "a veya b den büyük olmayanı
işlemleri tanımlanıyor.
A) 6
.b
1 0 . A = { 3 , 4, 5, 6, 7} kümesinde
a o b = 2a + b
5.
2 a
kaçtır?
olduğuna göre, 8 * 1
A) 4
b
+
C)8
birim elemanının toplamı kaçtır?
D) 9
E) 10
A) 4
B)7
C)8
D) 9
E) 10
389
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . Reel sayılar kümesinde tanımlı
1 6 . Reel sayılar kümesinde tanımlı
3
işleminin birim (etkisiz) elemanı — olduğuna gö4
re, x kaçtır?
A) 1
1 2 . A = { 1, 2, 3 , 4 }
kümesinde tanımlı • işleminin
tablosu yanda verilmiştir.
o
1 2
1
4
xAy = (xDy)D2
3
4
3
B)-9
C)-8
E)0
D) 4
1 7 . Reel sayılarda tanımlı her a, b için,
4
2
1 2
3
3
2
3
4
1
4
3
4
1
2
aAb=a+b-1
işlemine göre tersi kendisinin 3 katına eşit olan
eleman kaçtır?
B)1
^
E) Yoktur.
D) 4
C)3
kaçtır?
(x~ : x in o işlemine göre tersidir.)
A)-12
1 2
1
1
kuralı ile verilen A işleminin
birim elemanı kaçtır?
B) 2
3
işlemine göre, ( 4 o 5 ) ~
E) 5
D) 4
C)3
B) 2
A) 1
3
a o b = (a + b) - 3ab(a + b)
a A b = 2xab
D) 2
C)
E
>!
1 8 . Reel sayılar kümesinde tanımlı
13.
aAb = a + b + ( a * b )
a A b = a + b(1 + 4a)
a * b = 2(a A b) + a.b
D
işlemine göre hangi elemanın tersi yoktur?
C
işlemleri veriliyor.
O
Buna göre, A işleminin etkisiz elemanı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
A)_l
4
>E
«
E) Yoktur.
B)-l
2
aAb=a+b+4
D) 6
2
3
aAb = a + a + a + ... + a
kümesi
E)K
• 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 1
üzerinde tanımlı
verilmiştir.
Buna göre,
4 A 6 = A ve 4 A 7 = B olduğuna göre, B - A far­
2
3 4 5 1 2
3
4 5 1 2 3
4
5
5 1 2 3 4
1 2 3 4 5
(2*3"1)*a = 4
kı kaçtır?
390
D) I
C) R
• işleminin tablosu yanda
b
şeklinde veriliyor.
eşitiiğini sağlayan a değeri kaçtır?
B)2
2-E
R K T A R I
2 0 . A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
işlemi,
K T A
I T A R I K
K A R I K T
B) A
A) T
E) 5
1 5 . Pozitif reel sayılar kümesinde tanımlı" A"
Cevaplar: 1-C
I K T A R
aşağıdakilerden hangisidir?
kaçtır? ( 2 _ 1 : 2 nin A işlemine göre tersidir.)
A)2
R. I
A
* işlemi­
(T * R ) " 1 * T " 1 işleminin sonucu
işlemine göre, 2 - 1 A x = 3 eşitliğini sağlayan x
E
T A R I K
T
Buna göre,
C) 7
E) 4
*
nin tablosu yanda verilmiştir.
1 4 . Reel sayılar kümesinde tanımlı,
B) 8
D)1
1 9 . A = {T, A, R, I, K}
kümesinde tanımlı
A) 9
C)0
10
3-B
C)2
4-A
12
5-E
D)2
6-B
7-C
14
8-D
E)2
9-D
16
10-E
A)1
11-B
12-B
13-E
B)2
14-A
D) 4
C)3
15-D
16-B
17-A
18-A
E) 5
19-A
20-E
4.
BÖLÜM
1.
TEST
4
İŞLEM
Reel (gerçel) sayılar kümesinde tanımlı
6.
Tamsayılar kümesinde tanımlı aşağıdaki işlemler­
den hangisi kapalı değildir?
(1 + a) A b = a - b
2
A)-6
B)-4
2.
3
*
C)0
b
C) a * b = a + b
D) 2
E) 4
aob = a + b-ab
3.
Buna göre, tersi kendisinin iki katına eşit olan po­
C)6
D) 5
A)
E) 4
8.
a*b=a+b
A
a - 1 Ab A x = c
«
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, a + b için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
B)2<a + b<3
D)5<a + b<6
A)b
C)3<a + b<4
olduğuna göre, ( 0 A 1 ) * 2
(a*1)*2 = 3
A)1
E) 2
B)2
10.
B) 48
C) 27
D) 4
C)3
E) 5
Buna göre, (x A x) A (y A y) işleminin eşiti aşa­
ğıdakilerden hangisidir?
kaçtır?
D) 8
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
x A y = x + 2y
A) 3(x + y)
A) 64
5 1 2 3 4
4
5
şeklinde A işlemi tanımlanıyor.
a * b = a3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3
(1,25) * (0,75)
3
eşitliğini sağlayan a kaçtır?
Reel (gerçel) sayılar kümesinde tanımlı,
işlemine göre,
2 4 5 1 2 3
Buna göre,
D) 1
1 2 3 4 5
1 3 4 5 1 2
kümesinde * işlemi yanda­
kaçtır?
C) 0
•
ki tablo ile tanımlanmıştır.
x * y = min(x - y, x)
5.
C)aAc
E)aAbAc~1
A = {1,2, 3,4, 5}
a A b = max(a, b)
B) - 1
B)bAa~1Ac
AaAc
E)4<a + b<7
Reel (gerçel) sayılar kümesinde tanımlı,
A) - 2
1
D)cAbAa~1
9.
4.
E) 2
»!
işlemi, birleşme, birim eleman ve ters eleman
O
* işlemi tanımlanıyor.
A)1<a + b<2
D
C)
B)
özelliğine sahiptir.
3a*b=15
şeklinde
şeklinde tanımlanmıştır.
zitif sayı kaçtır?
3 * 2 = 1 * k eşitliğini sağlayan k
B)7
b
D) a * b = a + 1
Reel (gerçel) sayılar kümesi üzerinde " o " işlemi
7.
oh
şeklinde * işlemi tanımlanıyor.
A) 8
2
E) a * b = a - b + ab
— * — = a. b
3
2
Buna göre,
kaçtır?
B) a * b = 2a - 3b
A)a*b = a + b
işlemine göre, 1 A (- 2) kaçtır?
E) 4
B) 3(x + 2y)
D) 3(x - 2y)
C) 3x + 7y
E) 2x + 5y
MATEMATİK SORU BANKASI
•
1 1 . A = { C , E, B, İ, R}
kümesinde D işlemi yandaki
tabloyla tanımlanıyor.
C E B İ
C E B İ R
E
E B
B B
i
1 6 . Reel sayılar kümesinde tanımlı,
R
c
a * b = 3ab
R C
İ R E E
işlemine göre, tersi kendisine eşit olan reel
i
İ R C E B
R R C E B İ
Buna göre,
3
(E D
O R)
R) 3 •• IB2 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
sayıların kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) { - 3 , 3}
(xn = xOxC3x ...dx)
n tane x
A)C
B)E
9
D)
3
3
1
E)(0,-(
D)(- 1 , 1)
C)B
CM-1.1)
9
E)R
1 7 . Reel sayılar kümesinde tanımlı,
x A y = - 2x - 2y + 3(y A x)
1 2 . Reel sayılar kümesinde,
" A " işlemine göre 5 in tersi kaçtır?
aAb=a+b-x
A) 5
tanımlanan A işleminin birim elemanı 2x - 3
olduğuna göre, x kaçtır?
A)1
B)2
D) 4
C)3
C)-5
B)4
D)-8
•
1 8 . A = { 1,2,3,4}
E) 5
kümesinde tanımlı
'•
13.
işleminin
a*b=x.a.b
o
işlemi, a A b = a « b ~ 1 « 2
D)16i
<
E)
A) 1
©
C) 3
B)2
D) 4
kümesinde tanımlı
Buna göre, a
1 4 . Reel sayılar kümesinde tanımlı,
2x + 2y
—
2
* işleminin
A) a
E) 6
D) 4
20.
B)b
C)c
d e a b c
e a b c d
D) 2
E) e
A
kümesi
1 3 4 5 1 2
2 4 5 1 2 3
üzerinde tanımlı
aob=aAbA1
işlemine göre -1 in tersi kaçtır?
D) d
A = { 1,2, 3, 4, 5 }
verilmiştir.
x A y = x + y + xy
C) 3
b b c d e a
c d e a b
c
(x~ 1 : x in * işlemine göre tersidir ve x2 = x * x tir.)
1 5 . Reel sayılar kümesinde tanımlı,
B) 4
a b c d e
a b c d e
a
d
e
• b2
A işleminin tablosu yanda
A) 5
E) Bulunamaz.
aşağıdakilerden hangisidir?
işleminin birim elemanı kaçtır?
C) 2
1
işleminin sonucu
2 - xy
B) 1
2 3 4
•
1 9 . A = { a , b, c, d, e }
tablosu yanda verilmiştir.
A) 0
4
( b ~ 1 : b nin • işlemine göre tersidir.)
Bu işlemlerin etkisiz elemanlarının toplamı 6 ol­
duğuna göre, x kaçtır?
x Ay =
4 1 2 3
1 2 3 4
2
Buna göre, 2 • 1 kaçtır?
şeklinde A ve * işlemleri tanımlanıyor.
B)
3
olarak tanımlanıyor.
aAb=a+b-4
*>î
1 2 3 4
1 3 4 1 2
tablosu yanda verilmiştir.
•
E)-10
1 2 3 4 5
3
5 1 2 3 4
4
5
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
olduğuna göre, 2 nin o işlemine göre, tersi kaçtır?
E) Yoktur.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Cevaplar: 1-B 2-C 3-B 4-B 5-D 6-D 7-C 8-A 9-C 10-B 11-E 12-C 13-A 14-A 15-E 16-C 17-C 18-C 19-C 20-B
392
TEST
5
İŞLEM
BOLUM
î*"i*****ı1*i*^£*srA CS :> 'it
1.
Reel sayılarda tanımlı,
3
Gerçel sayılarda * işlemi,
2
2
x * y = x + 3x y + 3xy + 2y
3
x * y = x + y + 2xy
işlem veriliyor.
şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre, [ - 1 4 * 7 ] * [ 6 * ( - 3 ) ] kaçtır?
• işlemine göre tersi kendisine eşit olan eleman­
ların toplamı kaçtır?
A)0
B) 1
C)16
D) 54
E) 216
B) - 1
A)0
2.
D)-3
C) - 2
E)-4
Pozitif reel sayılarda tanımlı,
2ab
-1*1
a
b
7.
a + b
şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre,
A = { 0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 8 } kümesinde * işlemi,
x * y = " x veya y den küçük olmayanı"
3
2
— * —
şeklinde tanımlanıyor.
işleminin sonucu kaçtır?
* işleminin birim elemanı a, yutan elemanı da
A)
3.
19
30
19
39
D)
b olduğuna göre, a + b kaçtır?
39
15
10
A) 4
B)5
D) 8
C)6
E) 9
o
Pozitif reel sayılarda tanımlı,
a * b = a2 - b2
o
c
E
işlemi veriliyor.
15*a= 13*b
Buna göre, a * b
A) 26
8.
kaçtır?
B)36
C) 46
D) 56
Pozitif reel sayılarda tanımlı * işlemi,
^ u2
a + b
a * b =
a-b
E) 66
şeklinde veriliyor.
4.
Reel sayılarda tanımlı,
2 * x =—
a * b = 3a + 3b + ab + 6
A) 0
Buna göre, * işleminin birim elemanı ile yutan
elemanının toplamı kaçtır?
A) - 3
B) - 4
C) - 5
D)-6
R - { 0 } kümesinde
•
işlemi
*
— •
x
3.y
B) 1
C)2
D) 3
X y
(K, o) sistemi değişmeli grubtur.
X
t x y z
y
z
X y
( x n = X O X O X ... o x )
n tane x
C)x2.y
D)-ix
E) 4
0
= —
y
Buna göre, x ü y işlemi aşağıdakilerden hangi­
sidir?
B)x.y
kaçtır?
A = { x, y, z, t} olmak üzere,
şeklinde tanımlanıyor.
A)—
y
x
E)-7
9.
5.
olduğuna göre,
işlemi veriliyor.
E)xy:
t
z
t
z t
y z t X
z t X y
\25 i.
olduğuna göre, (x 5 o z 5 ) o {yf°
işleminin sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
A)x
B)y
C)z
D) t
E)xot
393
MATEMATİK SORU BANKASI
1 0 . R de A işlemi
1 5 . Reel sayılarda her x ve y için,
xAy = — + — +
x
y
x A y
2
x • y = x + xy + y
şeklinde tanımlanıyor.
şeklinde tanımlı " • " işlemi için aşağıdakilerden
1
1
— A — işleminin alacağı pozitif değer kaçtır?
2
3
A) 2
D) 5
C)4
B)3
2
hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. x • y = x • (- y)
E) 6
II. x * y = (- x) • y
III. x • y,= (- x) • (- y)
1 1 . •, • işlemi doğal sayılar kümesinde
A) Yalnız I
x • y = "x ile y nin tam böldüğü en küçük doğal sayı"
x • y = "x ile y yi tam bölen en büyük doğal sayı"
olarak tanımlanıyor.
D) I ve II
B)1728
biçiminde tanımlanıyor.
" vV " işleminin değişme özelliği olduğuna göre,
3 # 2 kaçtır?
E)1484
A) 60
1 2 . y * 0 olmak üzere,
hangisidir?
O
CM-3.1)
D) 85
E) 95
E
işlemine göre tersi kendisine eşit olan en küçük
reei sayı kaçtır?
B)-6
O)-4
D)-2
E) 0
1 8 . Reel sayılar kümesi üzerinde her x ve y için,
1 3 . Reel sayılar kümesinde * işlemi
(x + y ) x " y ,
>-
A)-8
EH-1,1)
2
D) ( 1 , - 3 )
2
C) 70
a • b = 3a + ab + 3b + 6
işlemine göre, (1 , 2) nin tersi aşağıdakilerden
B)(1,-1)
B) 65
1 7 . Gerçel sayılarda tanımlı,
(x , y) * (a , b) = (x + a + 1 , y.b)
A ) ( - 1 , 1)
"-A-" işlemi,
x # y = (3a - 2 ) . x + (2a + 5 ) . y
C)1584
D)1512
C) Yalnız III
E) I, II ve III
1 6 . Doğal sayılarda her x ve y için
Buna göre, (36 • 4 8 ) . (48 ü 36) işleminin sonucu
kaçtır?
A)1872
B) Yalnız II
x o y = x + y + xy
x > y ise
x A y = (x o y) o 1
|
(y-x)y+x,
şeklinde " o " ve " A" işlemleri veriliyor.
x < y ise
Buna göre, 1 in "A " işlemine göre tersi kaçtır?
şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre [ ( - 2 ) * 3 ] * [ 3 * ( - 2 ) ]
işleminin sonucu kaçtır?
A)4C
B)4 e
C)5
D) 6
* işlemi
yandaki tablo ile tanımlanıyor.
1
E)6
1
(2*x~ )~ *4 = 5
1 2 3 4 5
1 3 4 5 1 2
2
3
4
5
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
olduğuna göre, x kaçtır?
A)1
B)2
C)3
D) 4
,-!
C)
D
8
»I
E)
8
7
*
1 4 . A = { 1,2,3,4,5}
kümesi üzerinde
A)-1
E) 5
19. A={a,b,c,d,e}
kümesinde " • " işlemi, yandaki
tablo ile tanımlanıyor.
(a A b " 1 ) A (d A x ~ 1 ) = d
•
a
b c d
a
d
e a b
e
c
b
e
a b c
d
c
a
b c d
e
d
b
c d e
a
e
c
d e a
b
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
(x "1 , x in A işlemine göre tersidir.)
A) e
B)d
C)c
D)b
E) a
Cevaplar: 1-A 2-B 3-D 4-C 5-B 6-B 7-D 8-B 9-B 10-E 11-B 12-C 13-D 14-C 15-C 16-E 17-C 18-C 19-D
394
TANIM
+
x, y e Z ve m e Z - {1 } olmak üzere,
x - y farkı m nin tam katı ise x ile y sayıları m mo­
dülüne göre birbirlerine denktir denir ve
x = y (mod m) veya y s x (mod m)
243 s 3 (mod m) <=>
243 - 3
— = k
m
240
m
ve k e Z
e Z
şeklinde gösterilir.
x s y (mod m)
denkliğinde x ile y sayıları, m den veya birbirlerin­
den küçük ya da büyük olabilirler veya x, y, m sayı­
larından herhangi ikisi ya da üçü de birbirlerine eşit
olabilir. Buna göre,
x = y (mod m) <=> x = mk + y
olduğuna göre, m alabileceği değerler 240 m 1 dı­
şındaki pozitif bölenleridir. Buna göre,
240 m pozitif bölenleri:
240 = 24.10 = 8.3.2.5 = 24.3.5 olduğundan,
(4 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 20 dir. O halde,
m nin alabileceği 2 0 - 1 = 19 farklı değer vardır.
x—v
'— s k , k e Z dir ve
m
x tamsayısının m ile bölünmesinde kalan y dir şek­
linde düşünülebilir.
Uyarı:
m ile bölündüğünde x kalanını veren tamsayılar
o
Örnek:
123 s x (mod 5) olduğuna göre, x in alabileceği değer­
leri bulalım.
123 = x (mod 5) => 123 5
24
_
kümesi x ile gösterilir ve x in kalan (denklik) sınıf­
ları şeklinde tanımlanır.
Buna göre, (mod m) de kalan sınıfları:
c
olmak üzere, m tanedir ve kalan sınıflarının oluşturdu­
ğu kümeye de kalan sınıflarının kümesi (Z / m) denir.
0
>E
•
©
olduğundan,
0,1,2,..., m - 1
0
Z / m = { Ö, T, 2 m - 2, m - 1 } dir.
•
(mod 3) te kalan sınıflarının kümesi,
Z/3 = { Ö, T, 2 } ve
(mod 5) ve
x = 5.k + 3 (k e Z) olur. O halde,
x s { x : x = 5.k + 3 ve k e Z}
Ö ={... , - 9 , - 6 , - 3 , 0 , 3 , 6 , ...}
(mod 5) te, x = 3 = {..., - 7 , - 2 , 3, 8,13,...}
2 = { . . . , - 4 , - 1 , 2 , 5 , 8, ...} dir.
123 = X H 3
Örnek:
- 27 = x (mod 7) denkliğini sağlayan x tamsayılarının
alabileceği değerler kümesi,
-27
-21
veya
-27 7
-28 - 4
-6
olduğundan, x = 7.k - 6 veya x = 7.k + 1 ve k e Z dir.
Buna göre,
Z /7 de, x e {x : x = 7k + 1 ve k e Z}
yani (mod 7) de, x = 7 = { . . . , - 6 , 1 , 8,...} dir.
Örnek:
243 = 3 (mod m) olduğuna göre, m nin alabileceği kaç
farklı değer olduğunu bulalım.
T = { . . . , - 5 , - 2 , 1,4,7, ...}
•
7 ile bölündüğünde 3 kalanını veren tamsayıların kümesi,
Z/7 de, 3 = {x | x = 7.k + 3 ve ke Z} dir.
Uyarı:
Z / m de bir x tamsayısı üs olmamak şartıyla x yeri­
ne, x + m.k (k e Z) sayısı yazılabilir. Yani, x tamsa­
yısı üs değilse x sayısına m nin katları eklenebilir
veya çıkarılabilir.
Denkliğin Özellikleri:
1. Aynı modüldeki iki denklik; taraf tarafa toplanabilir, çı­
karılabilir, çarpılabilir fakat bölünemez.
2. Bir denkliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir, her iki
tarafından aynı sayı çıkarılabilir, her iki tarafı aynı sayı
ile çarpılabilir ve her iki tarafının aynı kuvveti alınabilir.
395
MATEMATİK SORU BANKASI
•
+
Örnek:
x, y, a, b, c, n e Z ve m e Z - {1 } olmak üzere,
x s y (mod m) ve
a s b (mod m) olsun.
2x - 1 = 5 (mod 8)
denkliğini sağlayan x tamsayısının en büyük negatif değeri ile en küçük pozitif değerinin toplamını bu­
lalım.
2x - 1 = 5 (mod 8) => 2x = 6 (mod 8)
i. x ± a s y ± b (mod m),
x.a = y.b (mod m)
ii. x s y (mod m) <=> x ± c s y ± c (mod m)
x = y (mod m) => x.c = y.c (mod m)
n
n
x s y (mod m) <=> x = y (modm)
2x 6 .
. 8,
=» — s — (mod —)
2
2
2
=» x = 3 (mod 4)
iii. Bir denkliğin iki tarafı aynı sayı (c e Z) ile sadeleştirilirken;
=> x2 = - 1 (mod 4)
olduğundan, x1 + x2 = 3 + (- 1) = 2 dir.
a) x ile m ve y ile m aralarında asal sayılar ise,
x
v
x s y (mod m) <=» — = — (mod m)
Yukarıdaki çözüm yerine,
2x - 1 s - 5 (mod 8) «=>
b) OBEB(x, y, m) = e ise,
x -3
x s y (mod m) => — = — (mod — ) dır.
8
9
e
14 = 77 (mod 9) <=> — = — (mod 9)
=* 2 s 11 (mod 9)
15 -21
Ancak, 15 s - 2 1 (mod 9) => -z-*—z— (mod 9)
•
o
c
>»
o
>•
=> 5f-7(mod9)
=> 5 ^ 2 (mod 9)
Burada, 15 ile 9 ve 21 ile 9 aralarında asal olmadığı için
15 ve - 21 sayıları kendi aralarında sadeleştirilemez.
OBEB(15, 21, 9) = 3 olduğundan sadeleştirme işlemi,
15 - - 21 (mod 9) =» — s ^ - (mod - )
3
3
3
E
Örnek: 1999-ÖSS
Tam 12 yi gösteriyorken çalıştırılan bir saatin akre­
bi, 1999 saatlik süre dolduğu anda kaçı gösterir?
A) 3
B)5
1999 12
79 "Tği"
79
7
Örnek: 1990 -ÖYS
Uyarı:
5 - x s 4 (mod 7)
C)9
E) 9
D) 8
bölme işleminde kalan 7 olduğuna göre
> 1 ^99 saatlik süre dolduğunda, ak­
rep 7 yi gösterir.
p, q e Z / m olmak üzere,
olduğuna göre, x in alabileceği pozitif en küçük iki
değerin toplamı kaçtır?
B)8
C)7
Çözüm:
Tam 12 de çalıştırılan saatin akrebi, 1 saatlik süre dol­
duğunda biri, 2 saatlik süre dolduğunda ikiyi, 12 saat­
lik süre dolduğunda on ikiyi ve 12 nin tam katı olan sü­
reler dolduğunda yine 12 yi gösterir. O halde,
=> 5 s - 7 ( m o d 3 )
=> 2 m 2 (mod 3)
şeklinde yapılmalıdır.
A) 7
=k
=> x = 4k + 3 ve
k = 0 için x = 3, k = - 1 için x = - 1 olduğundan
x1 + x = 3 - 1 = 2 şeklinde de çözüm yapılabilir.
Örnek:
•
2x - 6
= keZ
8
D) 10
E) 11
p ± q s p ± q (mod m)
p. q s p. q (mod m) dir.
Buna göre,
Çözüm:
P ve Q sayılarının m ile bölünmesinden elde edilen
5-xs=4(mod7) => 5 - 4 s x ( m o d 7 )
kalanlar sırası ile p ve q ise,
=* x = 1 (mod 7) olduğundan,
Z / 7 de, x e {.... - 6,1, 8,15,...} olur. Buna göre,
x in pozitif en küçük iki değerinin toplamı 1+8 = 9 dur.
(P ± Q) nun m ile bölümünden kalan p ± q,
(P . Q) nun m ile bölümünden kalan p. q ve
Pn nin m ile bölümünden kalan ( p)
396
dir.
Modüler Aritmetik
Örnek: 1996 - OYS
(96)
10
Örnek: 1995 - OYS
+ (97)
2
1995 1995 in 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
A)p
B)1
C)2
D) 3
A)0
E) 4
2
+ (97) a 1
10
2
+ 2 s o (mod 5) olur.
1995 = 6 = - 3 (mod 9)
Pratik Kural:
x ile m aralarında asal ve m asal sayı ise,
x
m - 1
=> 1995
Örnek:
(2002)
2003
sayısının birler basağındaki rakamı bulalım.
2002 ile 10 aralarında asal olmadığı için 2002 nin artan
kuvvetlerinde tekrarlanan bir kalanları dizisi bulmalıyız.
2002 = 2 (mod 10)
2
=> 2 = 2.2 = 4(mod 10)
=> 23 = 4.2 = 8(mod10)
=> 2 4 = 8.2 = 6 (mod 10)
=> 25 = 6.2 = 2(mod 10) olur.
21 H 2 5 = 2 (mod 10) olduğundan üssün her 4 artışın­
da ( 5 - 1 = 4 ) ya da azalışında aynı kalan elde edile­
cektir. Buna göre, 2003 ü 4 er 4 er azalttığımızda 3
elde edileceğinden (yani 2003 ün 4 ile bölümünden ka­
lan 3 olduğundan)
= -3
1995
s0(mod9)dur.
(3 , 9 un tam katı olduğundan 9 ile bölümünden
kalan 0 (sıfır) dır.)
(m - 1) sayısı, denkliğin sağında 1 in elde edilebile­
ceği en küçük kuvvet (üs) olmayabilir. Örneğin,
2 ile 7 aralarında asal ve 7 asal sayı olduğundan,
26 s 1 (mod 7) dir. Ancak, 23 = 1 (mod 7) olduğuna
dikkat edilirse, 6 dan daha küçük olan bir kuvvette de
denkliğin sağında 1 elde edilebilir.
Uyarı:
x ile m aralarında asal değilse, (mod m) de x in
herhangi bir kuvveti 1 e denk olmaz. Bu durumda
tekrarlanan (periyodik) bir kalanlar dizisi elde edilir.
Ya da xn s 0 (mod m) olur.
1995
1995
= 1 (mod m) dir.
Örnek:
2 sayısının 13 ile bölümünden kalanı bulalım.
2 ile 13 aralarında asal ve 13 asal sayı olduğundan,
2 1 2 = 1 (mod 13) tür.
O halde, üssün her 12 artışında (veya azalışında) aynı
kalan elde edilir. Buna göre, 123 ten 12 nin en büyük
katı atıldığında geriye 3 kalacağından,
2 1 2 3 = 23 = 8(mod13) olur.
E) 4
1995 ile 9 aralarında asal olmadığı için kalan ya
0 (sıfır)dır. Ya da periyodik bir kalanlar dizisi elde
edilecektir.
96 s 1 (mod 5) ve 97 = 2 (mod 5) olduğundan,
10
D) 3
Çözüm:
Çözüm:
(96)
C)2
B)1
Örnek:
2000 yılının ilk günü Cumartesi olduğuna göre, 2000
yılının 19 Mayıs "Atatürk'ü Anma - Gençlik ve Spor
Bayramı" hangi gündür?
o
4 ün katı olan yıllar artık yıl (Şubat ayı 29 gün olan yıl)
dır. Buna göre, 19 Mayıs'a kadar her aydan 7 nin katın­
dan arta kalan günleri (31 ve 30 olan aylara dikkat ede­
rek) sayalım.
c
Ocak
o
>-
1+28+©
E
O
Şubat
28+®
Mart
28+@
olduğundan 1 Ocak'tan sonra 19 Mayıs'a kadar 7 nin
katlarından artan günlerin toplamı (mod 7) de
2 + 1 + 3 + 2 + 5 = 6 ^ - 1 (mod 7)
- 1 e denk olduğundan 19 Mayıs, Cumartesi gününden
(1 Ocak, Cumartesi günü olduğu için başlangıç (0) günü
olarak sayılmıştır) bir gün öncesi olan Cuma günüdür.
Örnek:
5 günde bir nöbet tutan bir doktor, 48. nöbetini Pa­
zar günü tuttuğuna göre, ilk nöbetini hangi gün tut­
muştur?
Doktor 48. nöbetinden önce 47 nöbet tutmuştur. 5 gün­
de bir nöbet tuttuğuna göre, (5.47) gün öncesinin hangi
gün olduğunu bulmalıyız. O halde,
- 47.5 = (- 47 + 49).5 s 10 = 3 (mod 7) olduğundan,
0
Pazar
1
Pazartesi
2
Sah
Salı
Çarşamba
İlk nöbetini Çarşamba günü tutmuştur.
(2002)2003 = 2 2 0 0 3 s 23 = 8 (mod 10) olduğundan
(2002)2003 sayısının birler basamağındaki rakam 8 dir.
397
4.
BÖLÜM
TEST
1
MODÜLER ARİTMETİK
6.
53 = 13 (mod m)
A = 7322
denkliğini sağlayan m nin tamsayı değerlerinin
olduğuna göre, A 35 sayısının birler basamağın-
toplamı kaçtır?
daki rakam kaçtır?
A) 60
B) 73
C)80
D) 89
E) 90
A) 2
147 = x (mod 7)
2.
olduğuna göre,
A) 0
3.
B) 1
C) 6
D) 8
E) 9
D) 4
E) 6
( 1 7i )25" = x (mod 7)
7.
x kaçtır?
C) 2
B) 4
olduğuna göre, x kaçtır?
D) 3
E) 5
A = (263) .74 + 395
A)1
»
olduğuna göre, A5 sayısının 5 ile bölümünden
kalan kaçtır?
8.
B)2
C)3
n pozitif tamsayıdır.
D
sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
B) 1
C)2
D) 3
E) 4
A) 2
4.
C) 5
D) 5
E) 6
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
B) 6
C)4
(42) 4 2 = x (mod 8)
9.
3 1 7 9 s x (mod 8)
A) 7
B)3
D) 3
E)1
A) 7
1 0 . xy
B)5
C)4
D) 2
E) 0
iki basamaklı bir sayıdır.
xy = 3 (mod 7)
(127) 8 5 = x (mod 6)
5.
denkliğini sağlayan en büyük xy sayısı için x + y
kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
398
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 12
B)13
C)14
D) 15
E) 17
Modüler Aritmetik
11
3
4 7
.7
4 3
= x (mod8)
1 6 . Z / 6 da
çarpımının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
B) 3
C) 5
(3x + 4 ) . ( 2 x - 1 )
D) 6
2
2
A)x + 3x + 2
E) 7
B)x + 2x + 3
E)5x + 2
D) 4x + 3
12.
C) 3x + 2
23 = 5 (mod x)
1 7 . Z / 5 te
olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı pozitif
tamsayı değeri vardır?
A) 3
13.
B)4
olduğuna göre, f(4) kaçtır?
C)5
D) 6
A) 4
E) 7
18.
x - 5 = 4 (mod 7)
olduğuna göre,
x
B) 3
2
p1453
1071
+
E)0
D)1
C) 2
21923
toplamının 15 ile bölümünden kalan kaçtır?
aşağıdakilerden hangisi ola­
O
bilir?
A) 2
A)1
f(x) = 3x + 4
B)2
C)3
D) 5
B)3
C)7
D) 9
E) 11
E) 6
1 9 . Bugün Salı olduğuna göre, 53 gün sonra hangi
14.
gündür?
(100)100.(101)101
A) Salı
çarpımının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
B) Perşembe
D) Pazar
A) 4
15.
B) 5
C) 6
D) 7
2 0 . Bir doktor 5 günde bir nöbet tutmaktadır.
olduğuna göre, x in alabileceği en büyük nega­
tif tamsayı değeri kaçtır?
B)-2
C)-3
E) Pazartesi
E) 8
5 - x s 3 (mod 6)
A)-1
C) Cumartesi
D)-4
E)-5
İlk nöbeti Perşembe günü tuttuğuna göre yedinci
nöbeti hangi gün tutar?
A) Salı
B) Çarşamba
D) Cumartesi
C) Cuma
E) Pazar
Cevaplar: 1-D 2-A 3-B 4-D 5-A 6-D 7-C 8-D 9-E 10-B 11-C 12-C 13-B 14-B 15-D 16-E 17-D 18-B 19-C 20-D
399
'•'•s
TEST
V& w ...£İû<&A&y:
1.
6.
x + 2 s 4 (mod 11)
(-25)
45
s x (mod 9)
olduğuna göre, x kaçtır?
denkliğini sağlayan üç basamaklı en büyük doğal
sayının rakamları toplamı kaçtır?
A] 1
A) 17
B)18
C)19
B) 3
D) 7
C) 6
E) 8
E) 22
D) 20
(35) x = 1 (mod 9)
.348
olduğuna göre, x tamsayısı aşağıdakiierden han­
(348) ;
2.
gisi olabilir?
sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
A) 3
B)5
C)6
D) 7
A) 37
•S 8.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
C)51
D) 65
E) 73
E) 8
(92) 3 3 + (83) 2 5 = x (mod 5)
3.
B) 42
D) 3
E) 4
0! + 2 ! + 4!+ 6!+ ... + 20!
c
o
>-
toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
E
«
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
.
E) 5
©
x = (1475). (243)
y = 1238
(x. y - x) s m (mod 6)
4.
S ^ + 4 7 7 = x (mod 7)
olduğuna göre, m kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
A) 0
D) 2
1 0 . Z / 4 te
5.
Z / 6 da
C) 2
D) 3
E) 5
f(x) = 3x + 2
g(x) = x - 1
(3x - 2) . (4x + 5)
çarpımının eşiti aşağıdakiierden hangisidir?
olduğuna göre, (f o g)(x) aşağıdakiierden hangi­
sidir?
A)x + 2
A) x + 1
B)3x + 5
D)x^ + 3x + 1
400
B) 1
E)0
Cı2x + 4
E)2xt + x + 3
B) x + 2
D) 3x + 1
C) x + 3
E) 3x + 3
Modüler Aritmetik
16.
x + 2 s 5 (mod7)
11.
denkliğini sağlayan en küçük pozitif tamsayı ile
en büyük negatif tamsayının toplamı kaçtır?
B)-1
A)-3
D)1
C)0
D) 7
C)5
y (mod 3)
B)2
17.
sayısının virgülden sonraki 2002. rakam kaçtır?
B) 4
• 60
gisi olabilir?
3,025479147914791..
A) 1
s x (mod5)
olduğuna göre, x.y çarpımı aşağıdakilerden han­
E) 3
A)1
12.
81
3
x - 5 = - 2 (mod 6)
denkliğini sağlayan en büyük iki negatif tamsayı­
nın toplamı kaçtır?
E) 9
A)-15
C)-9
B ) - 12
E)-5
D)-6
(7777!) 7 7 5 + (214) 5 5 5
13.
1 8 . Z / 9 da,
(5x + 4) . (2x - 1) = 0
sayısının birler basamağı kaçtır?
O
A) 0
B) 1
E) 7
D) 5
C)3
C) 2
D) 4
E) 6
>E
o
denkleminin kökler toplamı kaçtır?
A) 3
B)5
C)6
D) 8
E) 11
x + 2 s 7 (mod 9)
14.
denkliğini sağlayan üç basamaklı en küçük sayı
kaçtır?
A) 100
B) 101
C) 102
D^ 104
E) 105
1 9 . 2001 yılında Alperen'in doğum günü Perşembe idi.
Buna göre 2010 yılında Alperen'in doğum günü
hangi gün olur?
A) Pazartesi
B) Salı
D) Cumartesi
1 5 . Z/5 te,
C) Perşembe
E) Pazar
2x + y = 3
x + 2y = 2
2 0 . Bir öğrencinin sınav sonucu Cuma günü belli olmuştur.
sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangi­
sidir?
Öğrenci 94 gün önce sınava girdiğine göre, sınav
hangi gün yapılmıştır?
A){(T,3)J
A) Pazartesi
B){(2,4))
D){(3,2)}
C){(2.3)}
E){(4,3)}
D) Perşembe
B) Salı
C) Çarşamba
E) Cuma
Cevaplar: 1-D 2-C 3-A 4-E 5-A 6-E 7-B 8-C 9-D 10-E 11-B 12-E 13-D 14-D 15-D 16-C 17-B 18-C 19-D 20-B
401
„'. »'<.'•** ,". -. T 4 t î ;
BOLUM
1.
2
1000
A) 1
6.
sayısının 13 ile bölümünden kalan kaçtır?
B) 3
C) 5
TEST
3
MODÜLER ARİTMETİK
\.S> .,
D) 7
Tamsayılar kümesinde " A " işlemi
a A b = (1999)
E) 9
ab
şeklinde tanımlanmıştır.
Buna göre, 3 A 5 sayısının birler basamağı kaçtır?
2.
Bugün günlerden Salı ve saat 15:00 olduğuna gö­
re, 2002 saat sonra gün ve saat ne olur?
A) Pazar ve 23:00
B) Cuma ve 02:00
C) Salı ve 23:00
D) Pazartesi ve 01:00
A)0
B)2
7.
C)6
D) 7
E) 9
(5a-3) = (a-1) (mod 10)
E) Salı ve 01:00
olduğuna göre, en küçük iki tane farklı a doğalsayısının toplamı kaçtır?
3.
Ali 3 günde bir, Rıza 4 günde bir nöbet tutuyorlar.
Birlikte ilk nöbetlerini Cuma günü tutmuşlardır.
Bundan sonraki ikinci defa birlikte tuttukları nöbet o
hangi gündür?
«
A) Cumartesi
B) Pazar
C) Pazartesi "D) Sah
A) 3
.2
8.
B)8
C) 11
D) 14
E) 19
x, üç basamaklı bir doğal sayıdır.
x = 3 (mod 5)
E) Çarşamba
x = 3 (mod 7)
olduğuna göre, x in en büyük değeri kaçtır?
4.
A) 978
(3 3 5 + 4 4 2 + 6 3 2 + 2 3 5 ) 2 0 0 2 1
B) 983
C) 988
D) 993
E) 998
sayısının 5 ile bölümünden elde edilen kalan kaç­
tır?
A)0
B)1
C)2
D) 3
E) 4
9.
(30)28 sayısı 7 tabanında yazıldığında birler basamağındaki rakam kaç olur?
A) 6
5.
C)4
D) 3
E) 2
k pozitif tamsayıdır.
(65)
6 k + 33
A) 4
B)5
C)6
(1997)1998 + (1998) , 9 9 9 + (i 999) 2 0 0 0
10.
sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
402
B)5
D) 7
toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
E) 8
A) 0
B) 1
C) 2
D) 5
E)
Modüler Aritmetik
11.
16.
1 3 + 2 3 + 3 3 . . . + 10 3
3a s 1 (mod 7)
4b = 3 (mod 7)
toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
2
a + abx s 1 (mod 7)
E) 4
olduğuna göre, x in en küçük doğal sayı değeri
kaçtır?
A)1
12.
B)2
C)3
E) 5
D) 4
(28) n = 4 (mod 5)
n iki basamaklı doğal sayı olduğuna göre, n nin
1 7 . Z / 1 2 de
alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 10
B)12
C)14
D) 16
çarpma işlemine göre tersi kendisine eşit olan bir­
E) 18
birinden farklı dört doğal sayının toplamı en az
kaçtır?
A) 20
B)23
C)24
D) 30
E) 33
18 = (3a+ 4) (moda)
13.
denkliğini sağlayan a sayılarının toplamı kaçtır?
A) 7
B)14
C)21
D) 23
E) 35
2
1 8 . 4 günde bir yumurtlayan bir tavuk 29. yumurtasını salı günü yumurtladığına göre, 239. yumurtası­
nı hangi gün yumurtlar?
A) Salı
B) Çarşamba
D) Pazar
C) Cuma
E) Pazartesi
1 4 . Z / 9 da,
g(x) = 3x - 1
f(x) = 5x - 3
fonksiyonları veriliyor.
19. Z/5 te
(g o f)(x) = 5 denkleminin kökü aşağıdakilerden
f(x) = 3x + 2
hangisidir?
A)1
B)2
C)3
D) 5
E) 8
olduğuna göre, f
(2) + f ~ 1 (3) + f
1
(6) toplamı
kaçtır?
A) 0
15.
1
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
A = 5 (mod 7)
A s 3 (mod 5)
A = 4 (mod 6)
denkliklerini sağlayan en küçük A doğal sayısının
rakamları toplamı kaçtır?
A) 9
B)10
C) 11
D) 12
E) 13
2 0 . 5432 sayısı 5 tabanında yazıldığında elde edilen
sayının 5 ler basamağındaki rakam kaçtır?
A)0
B)1
C)2
D) 3
E) 4
Cevaplar. 1-B 2-E 3-E 4-B 5-E 6-E 7-C 8-B 9-E 10-C 11-A 12-A 13-D 14-A 15-B 16-B 17-C 18-A 19-A 20-B
403
4.
BÖLÜM
1.
TEST
4
MODÜLER ARİTMETİK
x - 1 =(1 - 3 x ) ( m o d ( x - 2 ) )
6.
denkliğini sağlayan x değerlerinin kümesi aşağı-
1
33
+2
33
+3
33
33
+ . . . + 11 +12
33
= x (mod 13)
olduğuna göre, x kaçtır?
dakilerden hangisidir?
A) 0
A) {1,4, 5}
B){4, 5, 8}
D) {1,4, 5, 8}
C)28
D) 30
8.
m = 1 1 9 9 7 + 3 1 9 9 7 + 5 1 9 9 7 + 7 1 9 9 7 + ... + (1997)1
v
1997
sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
B) 3
C) 5
D) 7
E) 8
x kaçtır?
B) 4
C) 5
D) 7
E) 9
9.
4 - x = 6 (mod 8)
denkliğini sağlayan en küçük iki pozitif tamsayı ile
(0! + 1! + 2! + 3! + . . . + 50!) 2 0 !
4.
E) 6
e
= x (mod 10)
A) 1
A) 2
D) 3
S
£
olduğuna göre,
C)2
E) 33
k bir doğal sayıdır.
13
(1999) 10 + (2000) 11 + (2001) 12 = x (mod 10)
A)0 B) 1
£
(92) 8 k +
E) 11
lerden hangisidir?
denkliğini sağlayan en küçük üç tane x doğal sa­
yısının toplamı kaçtır?
3.
D) 8
olduğuna göre, x in en küçük değeri aşağıdaki-
3x - 4 s 2 (mod 9)
B)19
C) 5
E) {1,4, 8}
7.
A) 15
B) 2
C){1,5, 8}
en büyük iki negatif tamsayının toplamı kaçtır?
sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
A)-8
A) 4
B) 3
D) 1
7
8
9
7 +7 +7 +7
olduğuna göre,
A)0
B) 1
1 0
S
C)5
D) 8
E) 10
7 n = 4 (mod 5)
x (mod 25)
denkliğini sağlayan en büyük iki basamaklı n doğal
sayısı kaçtır?
x kaçtır?
C)7
B)-5
E) 0
10.
5.
404
C) 2
D) 17
E) 23
A) 99
B) 98
C)97
D) 96
E) 95
Modüler Aritmetik
11.
4
(3
1 6 . n doğal sayıdır.
> = x (mod11)
(43)
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 4
B)5
C)6
D) 7
1 2 . Murat 12 günde bir, Sinan da 30 günde bir nöbet tut­
maktadır. İkisi birlikte ilk nöbetlerini pazar günü tutu­
yorlar.
D) 35
C) 15
B)4
C)7
D) 8
E) 9
2
1 7 . Z/5 te
3x + 1 =4
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
Murat'ın en erken kaçıncı nöbetinde ikisi birlikte
pazar günü nöbetçi olurlar?
B) 14
= x (mod 10)
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 9
A) 3
A) 7
35 + 1 2 n
A) {T, 3}
E) 36
B){2,3}
D) { T , 2, 3~}
C){7,4}
E){2", 3~, 4}
1 3 . a + b iki basamaklı bir doğal sayıdır.
a = - b (mod 5)
1 8 . A = {1,2, 3,4, 5}
kümesi üzerinde A işlemi
yandaki tablo ile tanımlanmıştır.
olduğuna göre, a + b toplamı kaç farklı değer ala­
bilir?
A) 17
B)18
C)19
D) 20
E) 21
o
c
n tane
,342
olduğuna göre, 2
eşittir?
o
4 = x (mod 7)
14.
( x n = x Ax Ax ... Ax )
>.
A
1
1 2 3 4 5
3 4 5 1 2
2
4 5 1 2 3
3
5 1 2 3 4
4
5
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
aşağıdakilerden hangisine
E
denkliğini sağlayan tamsayıların kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) { x : x = 4k + 7 , k e Z }
B ) { x : x = 7 k - 4 , k e Z}
C ) { x : x = 7k + 4, k e Z}
D){4,7}
E){-4,4}
u.
B)2
A)1
©
1 9 . Saat 7:30 iken kurulan bir saat 8265 dakika sonra
kaçı gösterir?
A) 01 : 15
1 5 . Ali ders çalışma programına, her Pazartesi günü 2 sa­
at çalışarak başlamış ve bundan sonraki her gün bir
önceki gün çalıştığı süreden 1 saat daha fazla ders ça­
lışarak bir haftalık ders çalışma programını bitirmiştir.
Pazar günleri ders çalışmayan ve bundan sonraki
haftalarda aynı sisteme göre ders çalışmaya devam
eden Ali'nin ders çalıştığı 370. saat hangi günde­
dir?
A) Çarşamba
B) Perşembe
D) Cumartesi
Cevaplar: 1-B 2-A
3-A
4-D
6-A
7-C 8-A
B)01 : 45
D) 00: 15
E) 13: 45
Hemşire ile doktor ilk kez Pazar günü birlikte nö­
bet tuttuklarına göre 15. kez hangi gün birlikte nö­
bet tutarlar?
C) Cuma
A) Pazar
B) Pazartesi
D) Cuma
9-D
10-B
C) 03 : 05
2 0 . Bir doktor 6, bir hemşire 4 günde bir nöbet tutmak­
tadır.
E) Pazar
5-A
E) 5
D) 4
C)3
11-B
12-E
13-B
14-C
15-C
C) Salı
E) Cumartesi
16-C
17-C
18-E
19-A
20-A
405
MODÜLER
>;.">•:,:.-,....... ,.
BOLUM
abc üç basamaklı bir sayıdır.
ARİTMETİK^ ^ J 3 R
6.
abc s 5 (mod 6)
(6
28
+
13
27
+
14
28
+
22
27
)
50!
sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
abc s 5 (mod 8)
A) 0
abc = 5 (mod 12)
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
olduğuna göre, üç basamaklı en küçük abc doğal
sayısının rakamları toplamı kaçtır?
A) 2
B)5
D) 10
C)8
7.
E) 15
m pozitif tamsayıdır.
(1996) 97 s 1 (mod m)
olduğuna göre,
7 X - 1 3 X = 4 (mod 10)
m
nin alabileceği en küçük iki
değerin toplamı kaçtır?
denkliğini sağlayan x
sayı değeri kaçtır?
A)-5
B)-4
in en büyük negatif tam­
O-3
D)-2
(x) aşağıdakilerden hangisi-
dir?
•
"-
A) 0
©
A) 3x + 2
2 2 - 3 3 + 2 4 - 8 5 + 2 6 - 1 3 7 = x (mod 5)
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabi­
lir?
E
f
B) 2x + 4
D)5x + 2
C)2
D) 3
E) 4
E)3x
a + b = 8 (mod 12)
a.b = 11 (mod 12)
A = 0! + 1! + 2! + 3! + . . . + n!
a 3 + b 3 s x (mod 12)
olmak üzere, n = 20 için A sayısının birler basama­
ğı ndaki rakam x tir.
Buna göre, ( 1 5 ) x sayısının birler basamağındaki
rakam kaçtır?
A)1
_
5.
B)2
...(( 2
C)3
/
15
D) 5
397 tane
)
15
)
15
E) 7
^
A) 1
B) 2
C) 3
olduğuna göre, x in en küçük doğal sayı değeri
12
için x
sayısının birler basamağındaki rakam
kaçtır?
A)0
1 0 . Z/5 te,
D) 5
B)2
C)4
D) 6
E) 8
x +4=
denkliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
406
B) 1
C) 5x
9.
4.
E) 10
O
3 . Z / 7 de f(3x + 4) = 2x + 5
olduğuna göre,
D) 8
E) - 1
8.
-1
C)7
B)5
A) 3
E) 8
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Modüler Aritmetik
11.
(111) 111 + (222) 222 + (333) 333 + ... + (999) 999
toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
A)0
B)1
C)2
D) 3
E) 4
Yukarıdaki şekil periyodik şekilde devam ederse
3568. ve 3571. nokta ve bu noktalar arasında olu­
şan şekil aşağıdakilerden hangisidir?
2x3 + 1 s 6
1 2 . Z/7 de,
B)
A)
B){7,"2,7}
D) {7, ?, 7}
( X n = X O X o X ... O X )
>
.
n tane
o{7,"4,7}
İlk çalışma günü Çarşamba olan bu öğrenci 125
soru çözerek çalışmaya başlarsa 7448. soruyu
hangi gün çözmüş olur?
a
r
ı
ş
b
r
ı
ş
b
a
ı ş b
ş b a
b a r
a r ı
r ı ş
'
B) 2001
C) 2002
E)2004
£
^
f
x
o
E) Cumartesi
1 8 . (11 ) 2 0 0 3 sayısının onlar basamağındaki rakam
kaçtır?
C) 6
D) 5
E
u
©
B)2
A)1
D) 7
C)3
E) 9
Buna göre, bu asker başlangıçtan itibaren 11. nö­
beti hangi günde tutar?
B) Salı
A) Pazartesi
sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
B) 7
D) Perşembe
C) Çarşamba
1 9 . Bir asker 4 günde bir nöbet tutuyor İlk nöbetini Pa­
zar günü tuttuktan sonra, bu şekilde 5 nöbet tutuyor.
5. nöbetten sonra 6 günde bir nöbet tutmaya başlıyor.
1 2 0 0 1 + 3 2 0 0 1 + 5 2 0 0 1 + 7 2 0 0 1 + .. . + 2007 2001
A) 8
B) Salı
•>-
D)2003
14.
A) Pazartesi
b a r ı ş
olduğuna göre, an = r denkliğini sağlayan n degeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 2000
1 7 . Bir öğrenci bir gün 90, bir gün 125 soru çözebilmekte
ve Pazar günleri ise ders çalışmamaktadır.
E) (l, 7 , 7 }
1 3 . A = { b, a, r, ı, ş }
kümesi üzerinde tanımlı " o" işle­
mi yandaki tablo ile tanımlanmıştır.
n pozitif bir tamsayı olmak üzere,
E)
,-f -v -A \ \r
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
A){T, 7}
D)
C)
E) Pazar
D) Cuma
E) 4
C) Çarşamba
1
2 0 . f(4) = f " ( 1 ) = - 3 ve
1
f(0)=f(1) = r ( 4 ) = 2
1 5 . Z/9 da
V7 + ( 5 )
1
-2
olduğuna göre, (f o f o f o ... o f )(0) kaçtır?
işleminin sonucu kaç olabilir?
A) 1
B) 2
C) 4
2003 tane
D) 7
E) 8
A)-3
B) 0
C) 1
D)2
E)4
Cevaplar: 1-A 2-C 3-C 4-D 5-C 6-B 7-D 8-C 9-D 10-B 11-D 12-D 13-E 14-C 15-C 16-C 17-E 18-C 19-C 20-A
407
POLINOMLAR
BOLUM
-" JJkt
; \*.
•
&
*
*
&
e.;&.. « ; A <
'
a
a
a
e
o' ı ' 2' '•' n ^'
eleman olmak üzere,
n
€
^ ve x belirsiz (değişken) bir
•
a x
n
, a
H
x
1
A) 11
a 2 x , a 1 x, a Q
an, a
•
a (en büyük dereceli terimin katsayısı) polinomun
başkatsayısı,
En büyük dereceli terimin (a x n ) derecesi, polinomun
derecesidir ve P(x) polinomunun derecesi, der[P(x)]
şeklinde gösterilir.
aQ * 0 için, P(x) = a polinomuna sabit polinom,
P(x) = 0 polinomuna da sıfır polinomu denir.
•
•
B)18
C)21
D) 39
x = 2 için, Q(0) = 8-10 + a = 7
n-1
•
•
1
E) 47
Çözüm:
2
ifadelerinin her biri, polinomun bir terimi,
•
^İJ
#•#<!!
Q(x) çokterimlisinin sabit terimi 7 olduğuna göre,
Q(x) çokterimlisinin katsayılar toplamı kaçtır?
P(x) = a n x n + a n _ 1 x n ~ 1 + ... + a 2 x 2 + a1 x + aQ
çok terimlisine x değişkenine (belirsizine) bağlı, n. de­
receden reel katsayılı polinom denir.
n
...•«* -C V
Örnek: 1995 - ÖYS
Q(x - 2) = x3 - 5x + a çokterimlisi veriliyor.
TANIM
a
.*-V*&.-JM<
a = 9ve
x = 3 için, Q(1) = 27-15 + a
,..., a , a , a sayıları polinomun katsayıları,
Sabit polinomun derecesi 0 (sıfır), sıfır polinomunun
derecesi de belirsiz (tanımsız) dir.
Bir polinomun; sabit terimini bulmak için bu polinomda değişken (veya değişkenler) yerine 0 (sıfır), katsa­
yılar toplamını bulmak için de bu polinomda değiş­
ken (veya değişkenler) yerine 1 yazılır. Buna göre,
=*
^ Q ( 1 ) = 12 + 9 = 21 dir.
• P(x) polinomunun; çift dereceli terimlerinin katsayılar
toplamı: ç, tek dereceli terimlerinin katsayılar topla­
mı: t olmak üzere,
Ç=
•
^
^
°
E
Q>
u.
©
P(1)+P(-1)
ve t =
P(1)-P(-1)
dir.
P(x, y) = x 5 - x 4 y 3 + 2 y 3 - x y 2 + 3
polinomu x ve y değişkenine bağlı iki değişkenli bir polinomdur. Bu polinomun terimlerinin derecesi, her terimdeki değişkenlerin üsleri toplamına eşittir. Terimlerin derecelerinden en büyük olanına da polinomun de­
recesi denir. Dolayısıyla bu polinomun terimlerinin dere­
cesi sırasıyla; 5, 7, 3, 3, 0 ve der[P(x, y)] = 7 dir.
Ayrıca bu polinomun; sabit terimi P(0, 0) = 3,
katsayılar toplamı P(1,1) = 4 tür.
•
P(x + 2) polinomunun sabit terimi P(0 + 2) = P(2),
katsayılarının toplamı P(1 + 2) = P(3),
•
P(3x + 1) polinomunun sabit terimi P(1),
katsayılarının toplamı P(4) tür.
•
P(x) polinomunun;
POLİNOMLARIN EŞİTLİĞİ
sabit terimi: P(0) = a ,
İki polinomun birbirine eşit olması için, bu iki polino­
mun; dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat­
sayıları birbirine eşit olmalıdır.
katsayılar toplamı: P(1) = a +
+ a 0 + a„ + a„ dır.
2
1
0
• P(x + 1, y - 2) polinomunun;
sabit terimi P(0 + 1, 0 - 2) = P(1 , - 2),
katsayılar toplamı P(1 + 1, 1 - 2) = P(2, - 1) dir.
Örnek:
P(x) = 3ax - 2x + 9a + 7 çok terimlisi sabit polinom
olduğuna göre, P(- 1) kaçtır?
Örnek: 2000 - ÖSS
P(x) bir polinom ve
P(x) sabit polinom olduğuna göre, x ten bağımsız ol­
malı, dolayısıyla x - li terimlerin toplamı 0 (sıfır) olmalı­
dır. O halde,
olduğuna göre, P(2) nin değeri kaçtır?
P(x) = 3ax - 2x + 9a + 7
=o
=> 3ax = 2x => 3a = 2 ve
P(-1) = 3.(3a) + 7
= 3.2 + 7 = 13 tür.
408
x3 + ax - 8 = (x - 2) P(x)
A) 36
B)32
C)24
D) 12
E) 0
Çözüm:
P(x) polinomu, x3 + ax - 8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4) + ax
polinomunun (x - 2) ile sadeleştirilmiş biçimidir. Bu po­
linomun (x - 2) ile sadeleşebilmesi için de ax = 0 ol­
ması gerekir. Dolayısıyla,
P(x) = x2 + 2x + 4 ve P(2) = 12dir.
Polinomlar
Örnek:
Uyarı:
1. Polinomlar, değişkenlerinin bütün reel sayı değer­
leri için tanımlıdır.
2. Bir polinomun, çarpanlarından birisini 0 (sıfır) ya­
pan bir değer, bu polinomu da 0 (sıfır) yapar.
3
2
2
P(x) = (2x - x + x + 3) polinomunun dördüncü
dereceden teriminin katsayısını bulalım.
3
2
3
P(x) = (2x - x + x^+ 3)(2x -V + x + 3)
Örnek: (2001 - ÖSS)
2
x
10x - 5
_ 4x _ 5
A
x -5
B
x + 1
4
B)3
C)4
4
D) 5
P(x) in dördüncü dereceden teriminin katsayısı 5 tir.
E) 6
P(x).Q(x), [P(x)] ve P(Q(x)) polinomlarının derecesi
P(x) ve Q(x) in en büyük dereceli terimlerinin derecesi­
ne bağlıdır. Bu sebeple, P(x) ve Q(x) in sadece en
büyük dereceli terimleriyle bu işlemler yapılarak işle­
min sonucu olan polinomun derecesi bulunur.
Çözüm:
10x - 5
2
x
A
x
_4x-5
~
(x
B
+
5
+
x
1)
+
4
=> P(x) = ... + 5x + ... olduğundan,
olduğuna göre, A - B farkı kaçtır?
A) 2
4
=> P(x) = ... + 2x + x + 2x + ...
1
<x-5)
=> 1 0 x - 5 = A(x + 1) + B(x-5)
eşitliğinde x yerine 2(x = 2) yazılırsa,
=»15 = 3.A-3.B => A - B = 5 tir.
Örnek:
Örnek: 1997-ÖSS
polinomunun derecesini bulalım.
P(x) = x3 + x2 - 1 ve Q(x) = x2 + 1 olduğuna göre,
A(x) = x5.P(x).Q(x) + [Q(P(x))f
P(x) -> x3, Q(x) -» x2 alınarak işlem yapılırsa,
Q(x) = x3 + 5x2 + px - 8
der [A(x)] = der [ x5(x3)(x2) + ((x 3 ) 2 ) 2 ]
polinomunun çarpanlarından biri (x - 2) olduğu­
na göre, p nin değeri kaçtır?
A)-15
B)-10
C)5
D) 13
E) 16
Çözüm:
Q(x) polinomunun bir çarpanı olan x - 2, x = 2 için
0 (sıfır) olduğundan Q(2) de 0 (sıfır) dır. O halde,
x = 2 için Q(2) = 23 + 5.22 + 2p - 8 = 0
=* p = - 10 dur.
POLİNOMLARDA İŞLEMLER
1. Toplama - Çıkarma
İki polinomun aynı dereceli terimlerinin katsayıları top­
lanarak (veya çıkarılarak) bu iki polinom toplanır.(veya çıkarılır.)
*
P(x) ve Q(x) in dereceleri farklı ise P(x) ± Q(x) in dere­
cesi, bu iki polinomdan derecesi büyük olanla aynıdır.
• P(x) ve Q(x) in dereceleri eşitse, P(x) ± Q(x) in derece­
si en çok bu polinomların derecesine eşit veya daha kü­
çük olabilir.
2. Çarpma:
Çarpma işleminin toplama (veya çıkarma) işlemi üzerine
dağılma özelliğinden yararlanılarak, polinomlar çarpılır.
P(x) = x - 1 ve Q(x) = x 2 + 1 ise
C(x) = x2 P(x) + (x2 -1) Q(x) işleminin sonucunu bulalım.
2
2
= x -x
4
2
o
Bölme:
E
der [P(x)] > der [Q(x)] ve
©
der [K(x)] < der [Q(x)] olmak üzere,
P(x) Q(x)
B(x)
K(x)
bölme işleminde; P(x) bölünen, Q(x) bölen, B(x) bölüm,
K(x) kalan polinomlarıdır. Bu bölme işlemine göre,
P(x) = Q(x).B(x) + K(x)
eşitliğine bölme özdeşliği denir.
• K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam(kalansız) bölünüyor denir.
Örnek: 1992 - ÖYS
aö + 4a' - 8
a2 + 2
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
5
4
A)a6- a + a - 4
B)a 6 -- a 5 --4a 4 -• 4
2
C(x) = x (x-1) + (x -1)(x + 1)
3
=> der [A(x)] = der [ x 10 + x 12 ] = 12 dir.
C ) a 6 - 2a4 + 4a2 - 4
D)a 6 -- a 5 - 4
4
x -1
+
3
» C(x) = x + x - x 2 - 1
dir.
E) a6 + 4a2 + 4
409
MATEMATİK SORU BANKASI
ÇÖzüm:
P(x) in katsayıları derece sırasına göre; 1,0,0,4, - 8 dir.
8
2
8
6
a + 4a - 8
_ a + 2a
6
x+2=0
2
a + 2
6
4
2
a -2a + 4a -4
1 0
-2.4 -2.(-4)
2
6
_ -2a -4a
4
2
4
2
-2 /
r
4
4a + 4a - 8
4a + 8a
3
Bu sorunun çözümünde, bölümün ikinci teriminin bulun­
masından sonraki işlemleri devam ettirmeye gerek yok­
4
tur. Çünkü seçeneklerde ikinci terimi - 2a olan tek polinom vardır. (C)
5. Bu işlem aynı şekilde, en sağdaki katsayı için de yapılır
ve en son bulunan toplam, P(x) in ax + b ile bölümün­
den kalandır.
6. Tabloda toplama çizgisinin altında bulunan katsayılar
(kalan hariç) a ile bölünerek B(x) in katsayıları bulun­
muş olur.
Uyarı:
1. n. dereceden bir polinomun (n + 1) tane katsayısı
olduğuna dikkat edilmelidir.
2. Kalan bulmak için Horner Metodu ile bölme yapmaya
gerek yoktur. Horner Metodu ile bölme, bölüm polinomunu bulmak için uygun olabilecek bir metoddur.
Örnek:
Yukarıda klasik olarak bölme işlemi yaparak çözümü­
nü verdiğimiz soruyu, (1992 - ÖYS sorusu) Horner
Metodunu kullanarak çözelim.
a2 = x dersek bölen polinom birinci dereceye dönüştü­
rülmüş (x + 2) olur. O halde, yukarıda sözü edilen iş­
lemleri tabloda uygulayalım.
a2 = x
P(x) = x + 4x - 8 olsun.
y
o
I
2
2
B(x) = x - 2x + 4x - 4 ve x = a yazılırsa kesrin
6
4
2
sadeleştirilmiş biçimi a - 2a + 4a - 4 tür.
0 = K(x)
4. Bu işlem, en sağdaki katsayıya kadar aynı şekilde tek­
rarlanır.
T
-4'
kalan
(x + 2) de x in katsayısı 1 olduğundan tablodaki kat­
sayılar B(x) in katsayılarıdır. Buna göre,
2
Horner Metodu ile Bölme
Bölen polinomunun bütün çarpanları birinci dereceden
(ax + b şeklinde) olduğu durumlarda Horner Metodu ile
bölme yapılabilir. Bu işlem yapılırken,
1. P(x) in bütün katsayıları derece sırasına göre (en
büyük dereceli terimin katsayısından en küçük dereceli
terimin katsayısına doğru) tabloda yazılır.
2. P(x) in başkatsayısı, toplama çizgisinin altına yazılır.
b
3. ax + b = 0 =* x =
ile P(x) in başkatsayısı çarpılır
a
ve bulunan değer P(x) in ikinci sıradaki (bir sağdaki)
katsayısı ile toplanarak toplama çizgisinin altına yazılır.
y
4
B(x) in katsayıları
- 4a - 8
2
_ -4a -8
410
4 - 8
-2.(-2)
-2.1
x = -2
-2a + 4a -8
_
0
Kalan Bulma
P(x) = Q(x).B(x) + K(x)
bölme özdeşliğinden yararlanarak, bölme işlemini yap­
madan kalan bulmak için Q(x).B(x) çarpımı yok edil­
melidir. (Bölme işlemi yapılmadığı için B(x) bilinmiyor.)
Buna göre, Q(x) i O(sıfır) yapan değerler yerine yazıla­
rak elde edilen denklemler çözülüp K(x) bulunur.
• Q(x) = a x n + an - 1
+ a olsun.
+ ar
o
Q(x) = 0
D
ifadesi bölünen polinomda (burada P(x) te) xn yerine
yazılır. Bu şekilde elde edilen polinomun derecesi P(x)
in derecesinden küçük değilse, aynı işlem Q(x) in de­
recesinden küçük dereceli bir polinom elde edilin­
ceye kadar tekrarlanır. Bulunan bu polinom K(x) ka­
lan polinomu olur.
P(x) polinomunun ax + b ile bölümünden kalan,
-a
c
>E
«
u.
ax + b = 0
P(
a
x=
a
, P(x) te yerine yazılırsa
) dır.
• P(x +1) in x - 2 ile bölümünden kalan,
x - 2 = 0 =» x = 2 değeri, P(x + 1) de yerine yazılırsa
P(3) tür.
Örnek:
P(x) = :x3 + x 2 - 2 x + 1 polinomunun x2 + x ile bölümünden kalanı bulalım.
I. Çözüm:
x2 = -x olduğundan, P(x) te x2 yerix2 + x = 0
ne -x yazalım.
P(x) = x2.x + x 2 - 2 x + 1
-> - x.x - x - 2x + 1
- > - x 2 - 3 x + 1 => K(x) = -2x + 1 dir.
i
(-x)
Polinomlar
Örnek: 1998 - OYS
II. Çözüm:
2
2
x + x polinomu, 2. dereceden olduğu için; P(x) in x + x
Bir P(x) poiinomunun x (x + 3) ile bölümünden
kalan 9 - 9x olduğuna göre, x + 3 ile bölümün­
den kalan kaçtır?
ile bölümünden kalan en genel olarak;
2 - 1 = 1. dereceden bir polinomdur. (ax + b) O halde,
2
P(x) = (x + x).B(x) + K(x)
=>
B)33
A) 30
C)36
D) 39
E) 42
P(x) = x(x+1)B(x) + ax + b
Çözüm:
P(0) = a.O + b = 1 => b = 1
x + 3 böleni, x (x + 3) ün çarpanlarından birisi ve
P ( - 1 ) = - a + b = 3 =* a = -2
P(x) in x (x + 3) ile bölümünden kalan 9 - 9 x oldu­
olarak bulunur. Buna göre,
ğundan,
P(x) in x + 3 ile bölümünden kalan, 9 - 9x in x + 3
K(x) = ax + b = - 2x + 1 dir.
ile bölümünden kalandır. Buna göre, P(- 3) = 36 dır.
Örnek: 1983 - ÖYS
P(X-2)
v
Q(x)
o
2
' = x - x - 2
u -
*
Örnek: 1999 - ÖSS-İptal
Katsayılarının toplamı - 2 olan bir P(x) poiinomunun
(x + 3) ile bölümünden kalan - 1 0 dur.
-I-
bağıntısı veriliyor.
Buna göre, P(x) poiinomunun x2 + 2x - 3 ile bö­
lümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
Q(x) poiinomunun (x - 3) ile bölümündeki kalan
3 olduğuna göre, P(1) in değeri kaçtır?
A) 2x - 4
A) 3
B)6
C)9
D) 12
C) 3x + 1
B) 2x - 1
E) 15
D) 20
E) - 12
L.
Çözüm:
Q(x) in (x - 3) ile bölümündeki kalan,
-2
-
Çözüm:
P(1) = -2 ve P(-3) = - 1 0 veriliyor.
x - 3 = 0 => x = 3 değeri, Q(x) te yerine yazılırsa
£
x2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) olduğundan,
Q(3) = 3 veriliyor. O halde,
E
P(x) in x2 + 2x - 3 ile bölümünden kalan, x = 1 ve
u.
x = - 3 için seçeneklerden bulunacak değerlerdir. O
o
x = 3 için, —— = 3 2 - 3 - 2
Q(3)
=>
©
halde, bu değerler seçeneklerde yerine yazıldığında
P(1) = - 2 ve P(- 3) = - 10 değerlerinin ikisini birden
P(1) = 4.Q(3)
veren seçenek, (A) 2x - 4 = K(x) olur.
=> P(1) = 12 dir.
Uyarı:
n e Z+ - { 1 }
olmak üzere,
P(x) polinomu (ax + b ) n ile tam bölünüyorsa,
Örnek: 1996 -OYS
P(x) = x + — x + x + ax poiinomunun x + 1 ile
P(_b-)=p'(_b-)=p"(_b-)
a
a
a
kalansız bölünebilmesi için a kaç olmalıdır?
dır. Burada; P , P , P "
4
3
2
2
1
11
1
=
P
P(x) in sırasıyla; birinci, ikinci
A)1
B)
C)
D)
E)-2
*
x +1=0
n
„xn_1
n
x = - 1 olduğundan,
P(x) te x yerine -1 yazılıp elde edilen ifade 0 (sıfır) a
eşitlenirse,
*
olarak bulunur.
(n_1)
(n-1>(_k)
a
= 0
ifadeleri,
(n - 1). türevleridir.
'
n-1
xn~2
dir.
P(x) = x 4 - 3 x 2 + 5x + 4 ise
P'(x) s 4.x 3 - 2.3.x + 5 + 0 = 4x 3 - 6x + 5,
K = ( - 1 ) 2 + 1 . ( - 1 ) . x + (-1) + ax = 0
x
1
=>ax=— =>a=—
2
2
v
= P
ifadesinin türevi,
n-1
na x n _ 1 ± ( n - 1 ) a
Çözüm:
2
axn±a
...
PM(x) = 4 . 3 . x 2 - 6 = 1 2 x 2 - 6 ,
*
P'"(x) = 24x ,
P ıv (x) = 24, Pv(x) = 0 dır.
sabitin türevi 0 (sıfır) dır.
411
isi-."»»îr* İMmMt
*v *• ••'. v
'
9'
fiST
: <,,', >£ .v^şK'% * } ; . . ' ;
İ â g & â & l t f OUMOMLAB
^;
1.
I. P(x)=3
6.
II. P(x)=2003
2
III.P(x)=x +—
B)3
C)4
77^
3
A) - x + 1
D) 5
2
B)-4
C)2
D) 4
7.
olduğuna göre,
toplamı kaçtır?
E) 6
>E
P(3) = 22 olduğuna göre, P ( - 1 ) kaçtır?
B)5
C)4
D) 3
8.
polinomunun katsayılar
C) - 3
D)-4
E)-5
P(x + 1) = 2x 2 + 3x + 4
olduğuna göre,
kaçtır?
E) 2
A) 2
4.
B) - 2
P(x)
O
P(x) = x2 + ax + 4 polinomu veriliyor.
A) 6
2
E) x - 1
P(2x + 1) = 3x2 + 2x - 1
A)-1
3.
C) x + 1
E) 6
olduğuna göre, P(0) + P ( - 1 ) toplamı kaçtır?
A)-6
B) x - 1
D) x + 1
P ( x - 1 ) = x 2 - 3x - 2
2.
.
+ X + 1
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
VI.P(x)=x +lx
3
Yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi polinomdur?
A) 2
2
+ X
3
IV.P(x)=Vx + 3x
V. P(x)=(x + 5)
3
X
B)3
P(x)
polinomunun sabit terimi
C)4
D) 5
E) 6
P(2 - x) = ax + b
P(x) = 4x + 3
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 9
B)7
C)5
D) 3
(x - 2) . P(2x + 3) = x2 + x - 6
9.
E)1
olduğuna göre, P(3) kaçtır?
A) 2
5.
X+3
2
x -1
10.
B
x - 1
412
B) - 1
C) 0
C)4
D) 5
E) 6
P(x) = 3x n _ < : - (n + 1)x + 4
x + 1
polinomu 4. dereceden bir değişkenli bir polinom
olduğuna göre, P(1) kaçtır?
olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?
A) - 2
B)3
D) 1
E) 2
A) 12
B) 10
C)8
D) 6
E)0
Polinomlar
P(x) = x 2 + 6x - 91
11.
1 6 . P(x) ve Q(x) polinomlarmın x + 1 ile bölümünden
kalanlar sırasıyla 2 ve 3 tür.
polinomu aşağıdakilerden hangisine tam olarak
bölünür?
A)x + 3
B)x + 7
D)x-13
Buna göre, P(x) + Q(x). P(x) polinomunun
x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
C)x + 13
A) 5
E)x-3
B)3
C)4
D) 8
C) 7
D) 8
E) 9
1 7 . P(x) polinomunun (x - 1) 4 ile bölümünden kalan
1 2 . P(x - 2) poiinonumunun x - 4 ile bölümünden
kalan 8 olduğuna göre, P(3 - x) polinomunun
x - 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
A)0
B) 6
2x 2 + 3x - 2 olduğuna göre, x - 1 ile bölümün­
den kalan kaçtır?
A) 3
E) 14
B)4
C)5
D) 6
E) 7
P(x) = 2x3 - x2 + ax - b
18.
P(x) = 4x2 - 7x + 3
13.
olduğuna göre, P(x + 1) poiinonumunun 2 -x ile
bölümünden kalan kaçtır?
J;
1
A) 18
£
polinomu x2 + 3 ile tam bölünebildiğine göre,
a + b toplamı kaçtır?
A) 7
B)12
C)8
D) 4
E) 2
B)8
C)9
D) 10
E) 11
E
«
1 9 . P(x) polinomunun x - 1 ile bölümünden kalan
2, x - 2 ile bölümünden kalan 4 olduğuna gö­
Q(x + 1) = x2 + 5x - n
14.
re, x2 - 3x + 2 ile bölümünden kalan aşağıdaki­
lerden hangisidir?
polinomu veriliyor.
Q(x) polinomunun çarpanlarından biri x - 3 ol­
duğuna göre, n kaçtır?
A) 15
B)14
C)13
D) 12
A) 2x + 1
B) 2x - 2
D) - 2x
C) - 2x + 1
E) 2x
E) 11
2 0 . P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünde bölüm Q(x),
kalan 3 tür.
1 5 . P(x) = (x2 + 3).Q(x + 2) eşitliği veriliyor.
Q(x) polinomunun sabit terimi 1 olduğuna göre,
P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan
kaçtır?
A) 11
B)10
C)9
D) 8
Q(x) polinomunun x ile bölümünden kalan - 2
olduğuna göre, P(x) polinomunun x2 + 2x ile
bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x + 2
D) 2x - 1
E) 7
Cevaplar: 1-C 2-A 3-E 4-B 5-D 6-C 7-A 8-B 9-B
B) - 2x - 1
10-E
11-C 12-D 13-A
C) - 2x + 1
E) x + 5
14-B 15-E 16-D 17-A 18-C 19-E 20-B
413
POUNOMLAR
. ) 'f'-'r'
* s". w .
*.%,: :-iWJ,
1.
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bir polinom belirtir?
6.
P(3x + 4) polinomunun x - 2 ile bölümünden ka­
lan 28 olduğuna göre, a kaçtır?
I. P(x) = 3. (x - 3)2 + 2x - 1
II. R(x) = 3x2 - 5x + ~
x
III. N(x) = 3x + V2 + Vx
IV. M(x) = 5x2 + V3
A) Yalnız I
P(3x + 1) = 3x2 + (x - a)3 polinomu veriliyor.
A) 2
B) I ve IV
D) I ve III
D) 5
E) 6
E) Hepsi
P(x) = 3x^
2ıC - ax + 1
n ve m birer doğal sayıdır.
polinomunun x + 2 ve x - 2 ile bölümünden
kalanlar aynı olduğuna göre, a kaçtır?
P(x) = 2xn + 2x2 + 2 + m polinomunun sabit
teriminin en küçük değerini alabilmesi için n + m
toplamı en az kaç olmalıdır?
A) 6
A)0
B)1
C)2
D) 3
B)8
C)10
D) 11
E) 12
E) 4 _o
o
3.
C)4
C) I ve II
7.
2.
B)3
>-
2
P(x + 1) = 3x + 4x + 7 polinomu veriliyor.
8.
E
o
P(x) = (a - 1)x3 + bx2 - 4x2 + (c+ 2)x + 3
polinomu sabit polinom olduğuna göre, ab - c
kaçtır?
Buna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangi­
sidir?
A) 2
A) P(x) = 3x 2 - 6x + 2
B)4
C)6
D) 8
E) 10
B) P(x) = - 3x 2 + 6x - 2
2
C) P(x) = 3x + 2x - 6
D) P(x) = 3x 2 - 2x + 6
E) P(x) = 3x 2 - 2x - 6
4.
5.
414
P(x) polinomunun x3 + x - 3 ile bölümünde, bö­
lüm x4 - 2x3 + 7, kalan x2 + x + 12 olmakta­
dır.
P(x) polinomunun (x + 3)3 ile bölümünden ka­
lan 2x + 4 olduğuna göre, bu polinomun
x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
Buna göre, P(x) polinomunun x ile bölümünden
kalan kaçtır?
A) - 4
A)-12
B) - 3
C)-2
D) 3
E) 4
P(x) polinomunun (x + 1)2 ile bölümünden kalan
2x + 3 tür.
B)-9
C)-6
D) 6
E) 9
ÜUİİ , „2003
2002
P(x) = 3ax*
+ x:
10.
Buna göre, P(2 - 3x) polinomunun katsayılarının
toplamı kaçtır?
polinomunun bir çarpanı (x + 3) olduğuna göre,
a kaçtır?
A) - 2
A)1
B) - 1
C)0
D) 1
E) 3
B)2
C)3
D) 4
E) 5
Polinomlar
11.
P(x) = (x - 3 )
1 _ n
+ (x - 4) 1
-n
16.
- 1
2
- x + y + a
poiinomunun (x - 3 ) . (x - 4) ile tam bölünebilmesi için n nasıl seçilmelidir?
P(x, y) polinomu (x - y) ile tam bölünebildiğine
göre, a kaçtır?
A) Negatif tamsayı
B) Pozitif tamsayı
C) Pozitif çift sayı
D) Negatif tek sayı
E) Negatif çift sayı
A)1
12.
17.
14D
s/
P(x) = m . ,145
x
+ nx97 + 4
A) 2x + 1
B) 2x + 4
D) 2x + 7
D)-2
C)-1
3
2
E)-3
5
(x - x). ( P(x) + 1 ) + x + x = x + x
A) x2 - 1
C) 3x + 5
4
B) x2 + x + 1
C) x2 + 3x
E)x(x + 1)
D) x(x + 2)
E) 4x - 2
1 3 . P(x) poiinomunun x3 + 8 ile bölümünden kalan
_o
x2 + 4x + 7 olduğuna göre, x2 - 2x + 4 ile bö-
S
lümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
o
A) 2x + 7
B)0
eşitliğini sağlayan P(x) polinomu aşağıdakilerden
hangisidir?
poiinomunun x - 1 ile bölümünden kalan 6 ol­
duğuna göre, x2 + 1 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
B ) - x + 12
D)x-2
14.
P(x, y) = ( x - y - 1 )
P(x) = x 3 - mx + n
18.
poiinomunun çarpanlarından biri (x 2 - 2x + 1)
olduğuna göre, m . n çarpımı kaçtır?
C) 6x + 3
A) 6
E)x + 2
B)8
C) 10
D) 12
E) 14
P(x) ve Q(x)- ikinci dereceden iki polinom olmak
üzere,
2
2
2
7
19.
7
R(x) = P (x ) . Q (Vx) + P(x ) - Q (x) + 1
P(x) = 3x2 + 6x - 1
2
olduğuna göre, P (x + 2) poiinomunun x + 4
ile bölümünden kalan kaçtır?
olduğuna göre, R(x) poiinomunun derecesi en çok
kaç olabilir?
A) 1
A) 11
P(2x - 2)
15. ——
Q(x + 2)
B)12
C)13
D) 14
B) 2
C) 3
»D) 4
E) 5
E) 15
20.
2
= x - 3x + 5 eşitliği veriliyor.
? y
y
P(x) poiinomunun x3 + x2 + 4x + 4 ile bölümün­
den kalan 3x 2 - 4x + 5 dir.
P(x) poiinomunun (x - 2) ile bölümünden kalan
15 olduğuna göre, Q(x) poiinomunun (x - 4) ile
bölümünden kalan kaçtır?
Buna göre, P(x) poiinomunun x + 1 ile bölümün­
den kalan kaçtır?
A)-5
A) 3
B)0
C)3
D) 5
E) 9
B)5
C)7
D) 10
E) 12
Cevaplar: 1-B 2-B 3-D 4-C 5-D 6-A 7-E 8-C 9-B 10-A 11-D 12-B 13-C 14-D 15-D 16-C 17-E 18-A 19-A 20-E
415
^^:
2
1.
P(x) = (x - x)
4
3
3
+ (x - 1 ) ( x + 1) + x
A) 6
C)8
B)7
D) 9
n-5
6.
9
olduğuna göre, P(x) polinomunun derecesi kaç­
tır?
2n
P(x) = 7 . X
7.
C)18
-b + 2
D) 21
C)-1
D)0
E) 5
P ( x - 1 ) = 2x 2 - 3x + 4
olduğuna göre, P(x). Q(x) polinomunun x - 1
ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 12
E) 24
D
P(x) bir polinom olmak üzere, aşağıdakilerden
hangisi bir polinom olmayabilir?
B)-5
Q ( x - 3 ) = x2 - 3x - 2
polinomları veriliyor.
P(x) = Q(x) olduğuna göre, a + b + c + d
toplamı kaçtır?
B) 15
n
E) 10
P(x) = ax3 + (b - 2)x2 + (c - 1)x + 4
Q(x) = 4x 3 + 2x + d - 2
A) 12
+3.x
polinomunun en büyük derecesi için n nin alabi­
leceği değerler toplamı kaçtır?
A)-6
3.
' TEST:
POLINOMLAR
*«*.VS*
8.
B) 14
D) 20
C)16
E) 24
der [P(x)] = n ve der [Q(x)] = m veriliyor.
|
"-
der[P(Q(x))] = 8
der [P(x). Q(x)] = 6
A)P(0)
B)P(x-1)
D) x . P(x)
C)P(x+x)
E) P(Vx - 1)
A) 24
9.
(x + 1) . P(x) = x3 + 1
olduğuna göre, P(x) polinomunun x + 1 ile bö­
lümünden kalan kaçtır?
A)1
B)2
olduğuna göre, m 2 + n 2 kaçtır?
C)3
D) 4
E) 5
B)20
C)16
D) 26
E) 18
P(x) = x 2 + mx + n
polinomunun x ile bölümünden kalan 3 ve x + 1
ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, m . n
çarpımı kaçtır?
A) 3
B)4
C)6
D) 12
E) 15
1 0 . P 2 (x). Q 3 (x) polinomunun derecesi 14,
P(x) = (2x5 - 8x + 5 ) 2 0 0 3
5.
P(x)
Q(x)
polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?
A) - 1
416
B) - 2003
C) 1
D) 5
polinomunun derecesi 2 olduğuna göre,
P(x) + Q(x) polinomunun derecesi kaçtır?
E) 2003
A) 4
B)5
C)6
D) 7
E) 8
Polinomlar
16.
1 1 . Q(x) polinomunun x - 1 ile bölünmesiyle elde edi­
len kalan 2 dir.
2
P(x + 1) = (2x - 1) . Q(x - 3) + 2x + x - 1
1 2 . P(x) polinomunun (x - 4) ile bölümünden kalan - 6,
(3x + 3) ile bölümünden kalan - 1 dir.
Buna göre, P(x) polinomunun x - 3x - 4 ile bö­
lümünden kalan kaçtır?
B)-x-2
D) x + 2
C)4
A) 2x - 1
E) 3x - 3
B)x 2 -16x
D) - 8x2
2
E) 2
D) 3
B) 2x + 1
C) x + 1
E) - 2x + 1
o
c
olduğuna göre, P(2x - 3) polinomu aşağıdakiler­
den hangisidir?
A)8x 2 -16
+
2
C)2-x
P(x-1) = 2x2 + 8x + 8
x
Buna göre, bu polinomun x + 2x ile bölümün­
den kalan aşağıdakilerden hangisidir?
D) - x + 1
13.
+
1 7 . P(x) polinomu (x + 2) ile bölümünden kalan 5 ve
sabit terimi 1 dir.
2
A)x-2
2
. P(x - 2) - x
B)5
A) 6
E) 49
D) 42
C)35
B)29
a-3
Q(x - 2) polinomunun x - 5 ile bölümünden ka­
lan 12, P(x + 1) polinomunun x + 3 ile bölümün­
den kalan 4 olduğuna göre, a kaçtır?
olduğuna göre, P(x) polinomunun x - 5 ile bö­
lünmesiyle elde edilen kalan kaçtır?
A) 14
Q ( X + 3)
£ 18.
E
P(x) = x2 - 3x - a
polinomunun x - 5 ile tam bölünebildiğine göre,
x - a ile bölümünden kalan kaçtır?
C)8x 2 + 16x
E) 8x2
A) 10
B)40
C)60
D) 70
E) 80
1 4 . P(x + 1) = (x - 3).Q(x - 1) + 5 eşitliği veriliyor.
P(x) polinomunun katsayıları toplamı 8 olduğuna
göre, Q(x - 1 ) polinomunun sabit terimi kaçtır?
A) 2
B)1
C)0
D)-1
19.
P(x) = (2x2 + 3x - 4)3 + 2(2x2 + 3x + 1)2 + 13
polinomunun 2x2 + 3x - 1 ile bölümünden kalan
kaçtır?
E)-2
A)-8
B)-7
C)-6
D)-4
E)-3
1 5 . P(3x-1) polinomunun (x - 2) ile bölümünden ka­
lan - 1 dir.
P(x) = x8 -2x 7 + 4x3 + 3x2 - 5x + 3
20.
2
2
Buna göre, (x - 2 ) . P(x + 1) + x . P (x + 1)
polinomunun (x - 4) ile bölümünden kalan kaç­
tır?
polinomunun x2 - 1 ile bölümünden kalan ax + b
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 2
A) 4
B)8
C)10
D) 14
E) 16
B)5
C)6
D) 7
E) 8
Cevaplar: 1-E 2-B 3-E 4-C 5-A 6-D 7-A 8-B 9-C 10-A 11-E 12-B 13-E 14-D 15-D 16-B 17-E 18-C 19-C 20-A
417
4.
BÖLÜM
1.
IV. x 2 + İ2 . x + 1
2
Vx
3x
2
A) 1
+
4
ifadesi ikinci dereceden bir polinomdur.
2
V. V x + 4x + 4 + x
P ( x - 1 ) polinomunun sabit terimi 5 olduğuna gö­
re, P(x + 2) polinomunun sabit terimi kaçtır?
+ — + 1
2x
B) 2
D) 4
C)3
3x + 8
A
(x - 1) (x - 2)
x - 1
A) - 2
E) 5
B
+ x - 2
B) - 5
B) - 1
7.
C)1
E) 3
D) 2
(x - 2) P(x) = 2x 2 - a
olduğuna göre, P(x - 1 ) polinomunun (x + 1) ile
bölümünden kalan kaçtır?
olduğuna göre, A kaçtır?
A) - 11
P(x) = 3 x n ~ 2 - n . x + m - 3
6.
Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi polinomdur?
I. İl
TEST
4
POLINOMLAR
C) - 1
D) 5
A) 2
E) 11
B)1
C)0
E)-2
D)-1
o
c
3.
P ( x - 1 , y+ 3, z + 2) = x.y.z + x - y + z
£ 8.
>-
polinomu veriliyor.
E
o
u.
Buna göre, P ( 2 x - 1 , y - 1 , z - 3 ) polinomunun
polinomunun (x
B)29
©
A) 10
C)25
D) 21
P(vfx~ - 1) = x - 17 polinomu veriliyor.
X
X
( — - 2 )
3
P( — )
polinomunun
v
2
münden kalan kaçtır?
A) - 2
5.
B) - 1
D)1
418
D) 6
E) 7
C) x - 4
E) 3x + 5
P(x) . P(2x) = 2x 2 + 3x + 1
10.
polinomunun sabit teriminin alabileceği en küçük
değer kaçtır?
C)5
E) 30
B) 5x - 3
D) x + 4
E) 2
P(x) = 3xa + 3x2 + 3 + a
B)4
D) 25
P(x) polinomunun katsayılar toplamı 3, x2 - 4 ile
bölümünden kalan 3x + 2 dir.
A) 5x + 3
C) 0
C)20
P(x + 1) polinomunun x2 - x ile bölümünden ka­
lan aşağıdakilerden hangisidir?
ile bölü-
a bir doğal sayı olmak üzere,
A) 3
B) 15
E) 17
9.
4.
+ V5") polinomuna bölümün­
den kalan kaçtır?
katsayılar toplamı kaçtır?
A) 33
P(x) = 3 x 2 4 - 9 x 1 2 - 10
olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A) 2x + 1
D)5x-1
B) - x + 3
C) - 4x + 7
E)x + 1
Polinomlar
4
2
A) - 4
B) - 2
C) 1
D) 2
2
16.
2
1 1 . P(x) = 4x - ax + 4 polinomu x - x + 1 ile
tam bölünebildiğine göre, a kaçtır?
P(2x + 1) = 4x - 6x - 5
olduğuna göre, P(x + 1) polinomu aşağıdakiler­
den hangisidir?
E) 4
2
2
A) x - 3x + 5
2
C) x + 3x - 5
2
D) 2x - 3x - 5
3
2
B) x - 3x - 5
E) 2x + 5x - 3
2
1 2 . P(x) = x - 2x + 4x - 3 polinomunun ( x - 1 )
ile bölümünden elde edilen bölüm ile kalanın top­
lamının (x - 1) ile bölümünden kalan kaçtır?
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
1 7 . P(x) polinomunun (x - 2) ile bölümünden kalan 7,
Q(x) polinomunun (x - 3) ile bölümünden kalan 5
dir.
E) 3
P ( 3 - x ) + 2Q(2x + 1) = x2 + ax + 5 olduğuna
göre, a kaçtır?
A) 6
B)7
C) 11
D) 18
E) 23
3
1 3 . Bir Q(x) polinomunun (x + 4) ile bölümünden
kalan ve bölüm eşit olduğuna göre, Q(x) polino­
munun derecesi en çok kaç olabilir?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
Û
o
c
1 8 . P(x + 1) = ax 2 + 3x - 5 polinomu veriliyor.
V»
o
P(3x + 2) polinomunun katsayılar toplamı 23 ol­
duğuna göre, sabit terimi kaçtır?
>.
E
•
u.
1 4 . P(x) polinomunun Q(x - 1) ile bölümünde bölüm
x - 1, kalan 2x - 1 dir. Q(x + 1) polinomunun x + 3
ile bölümünden kalan 3 tür.
Buna göre, P(x) polinomunun x 2 - 1 ile bölümün­
den kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) - 4x + 3
B) 5x - 4
D) 4x - 3
A) - 2
@
B) - 40
D)-10
C) - 20
B) 23a + 3b + 40 = 0
C) 32a - 8b + 32 = 0
D) 32a + 8b + 32 = 0
E) 16a + 3b+ 22 = 0
2 0 . P(x) = ax 5 + bx 3 + 2 polinomunun x - 1 ile
bölümünden kalan 4 olduğuna göre, x + 1 ile
bölümünden kalan kaçtır?
E)0
Cevaplar: 1-C 2-A 3-C 4-B 5-B 6-D 7-C 8-C 9-A
A)-4
10-E
E) 2
A) 24a - 3b - 40 = 0
1 5 . P(x) = ax + b polinomunun 2 x - 6 ile bölümünden
kalan -3 tür.
A) - 60
D) 1
polinomunun iki katlı bir kökü x = - 2 olduğuna
göre, aşağıdaki bağıntılardan hangisi doğrudur?
E) - 5x - 4
P(x) polinomunun 6x + 6 ile bölümünden kalan
17 olduğuna göre, a . b kaçtır?
C) 0
P(x) = x5 - 2ax 4 .+ bx3 + 8x - c
19.
C) 5x + 1
B) - 1
11-A
B)-2
12-E 13-D 14-B
15-A
C)0
D) 2
16-B
17-C 18-B
E) 4
19-E 20-C
419
4.
BÖLÜM
1.
m > n olmak üzere, P(x) polinomu, Q(x) polinomuna tam bölünebilmektedir.
d[P(x)] = m ve d[Q(x)] = n
P(x)
LQ(x)
polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
A)-48
7.
V. d[P(x) - Q(x)] = m
2.
B)-1
C) 1
D) 145
E) 324
II. d[P(x).Q(x)] = m.n
= m-n ,
d[P(x).Q(x)J = m + n, IV. d[P(x) + Q(x)] = m + n
A)1
P(x) = (x 3 -3x 2 + 2x-1) 3
6.
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi
daima doğrudur?
I. d
TEST
5
POLINOMLAR
B)2
C)3
D) 4
P(x).Q(x) polinomunun derecesi 10,
E) 5
P(x) polinomunun x - 2 ile bölümünden kalan 18
olduğuna göre, Q(x) polinomunun x + 1 ile bö­
lümünden kalan kaçtır?
—— polinoQ(x)
munun derecesi 4 tür.
—— = x - 2x + 3 bağıntısı veriliyor.
Q(x-3)
A) 2
B)4
C)6
D) 8
E) 12
Buna göre, x2.[P(x) - Q(x)] polinomunun derece­
si kaçtır?
A) 10
3.
C)8
B)9
6
D) 7
E)6
P(x) = x - 4x + mx - x + m + 3
Q(x) = x7 - 2x4 + x3 - 2x2 + x
P(x) = x 1 9 6 3 + 3.x 1 9 6 2 + 2x + 3
8.
E
o
u.
2
5
O
>-
polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
A)-9
B)-6
C)-4
D)-3
E) 3
olmak üzere, P(x).Q(x) polinomunun derecesi 3
olan terimin katsayısı 6 olduğuna göre, m kaçtır?
^
4.
B)1
C)
D) 2
2x+7
A
x2-2x-3
x _ 3
+
E) 4
9.
P(x + 3) = Q(x) + x + 5 bağıntısı veriliyor.
P(x - 2) polinomunun x - 6 ile bölümünden kalan
2 olduğuna göre, Q(1) kaçtır?
B
x+1
A)-4
B)-2
C)3
D) 5
E)6
olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?
A) - 3
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 2
P(x) = x5 - 2x4 + x3 - x + 3
10.
polinomunun x2 + 2 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
P(x2 - 2) = x4 - 4x2 + 4
5.
olduğuna göre, P(V3~) kaçtır?
A) 1
420
B) 2
C) 3
A) x - 2
D) 4
E) 9
C) x - 5
B) 2x + 1
D) x + 3
E) 2x - 3
Polinomlar
x - 2x + 5 = (x + 1 ) . P(x) + 6
2
2
2
D) x - x - 1
A) a + b + c
2
B) x + x - 1
2
P(x) = ax + bx + cx + d
polinomunun iki katlı bir kökü x = 1 olduğuna gö­
re, d aşağıdakilerinden hangisine eşittir?
eşitliğini sağlayan P(x) pofinomu aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x + x + 1
3
16.
3
11.
C) x - x + 1
B) 2a + b
D) 3a + 2b
E) x + 1
C) a - 2b
E) a - b
2
12.
8
3
1 7 . P(x) polinomunun 3x - 4x + 1 ile bölümünden ka­
lan 6x - 11 olduğuna göre, P(x) polinomunun
3x - 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
2
P(x, y) = (x + y) + 2(x + y) + (x + y + 2) - 8
polinomunun x + y ile bölümünden kalan kaçtır?
A)-5
A) - 6
B) - 4
C) - 2
D) - 1
1 3 . P(4x2) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan 8
olduğuna göre, P(x) polinomunun x - 16 ile bolümünden kalan kaçtır?
>
"^
^
C)8
D) 16
D)-11
E)-13
polinomunun bir çarpanı x2 olduğuna göre, m - n
farkı kaçtır?
o
B)4
C)-9
P(x) = x4 - 3x 3 + x2 + (m - 2)x + n + 3
18.
A) 2
B)-7
E) 0
E) 32
A)1
>-
B)2
C)3
D) 4
E) 5
E
u.
©
19.
14.
8
6
polinomunun x4 ile bölümünden kalan aşağıdaki­
lerden hangisidir?
2
P(x) = x + 3x - 6x + 3
2
polinomunun
kaçtır?
A) 9
x
B)7
+ V2~
C)5
A)-2x3 + 3 x - 1
ile bölümünden kalan
D) 3
P(x) = x 13 - 4x 10 + x8 + 5x7 - 2x3 + 3x - 1
B)3x-1
C) -1
D) 1
E) 0
E) 1
20.
P(x + 4) = x2 + x + 1
olduğuna göre P(2x+1) aşağıdakilerden hangi­
sidir?
15.
x 5 - 5x3 - nx + 6 + n = (x + 2) . P(x) - x + 3
eşitliğini sağlayan P(x) polinomunun çarpanların­
dan biri x +1 olduğuna göre, n kaçtır?
A)-5
B)-3
C)0
D) 3
E) 5
Cevaplar: 1-C 2-B 3-A 4-E 5-C 6-B 7-C 8-D 9-A
A)-4x2-14x + 9
B)4x2-10x + 9
C)2x2-10x + 7
D)4x2-10x + 7
E) 4x2 - 2x + 7
10-C 11-D 12-B 13-C 14-B 15-B 16-B 17-C 18-E 19-A 20-D
421
4.
BÖLÜM
t
TEST
6
POLİNOMLAR
P(x) = X n + 3
x
3 _ n
+
?
n _ 1
6.
P(x) polinomunun (x - 2)
3
ile bölümünden kalan
2
x + x- 6 olduğuna göre, P(x) polinomunun x - 2
ifadesi bir polinom olduğuna göre, 2" nin en bü­
yük değeri ile en küçük değeri arasındaki fark kaç­
tır?
B)
2
2.
63
C)
15
D)
51
E)
ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 14
3.
C) - 7
P(x) = (x 2 + 3) 3
ve
D) - 5
B)6
polinomu x n + 2 ile tam bölünebildiğine göre,
m kaçtır?
D) 9
8.
2
A) x - 3x + 1
3
B) x - 3x + 5
D) 2 x 3 - 6 x + 10
3
_
9.
422
D) 4
E) 5
P(x-4)
—r
Q(x-3)
B)2
C)3
2
= x - 5x + 10
D) 4
E) 5
bağıntısı veriliyor.
P(x) polinomunun sabit terimi 18 olduğuna göre,
Q(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
2
C) x + 4x - x
A)1
E) x 3 + x - 3
P(3x - 5) = x 1 0 + 3 x 7 - x + 5
C)3
P(x) = x 1 9 W + mx n 9 J + x 1 J + 5
A)1
olduğuna göre, Q(x) aşağıdakilerden hangisidir?
3
B)2
polinomunun bir çarpanı x + 1 olduğuna göre,
m kaçtır?
"©
E) 12
2x 4 + x3 - 6x2 + 7x + 5 = (2x + 1 ).Q(x)
4.
A)1
2
Q(x) = (x 3 - x 2\3
C)8
E)0
P(x) = x b n - 3 x j n + mx^ n + xn + 2
E)-3
olduğuna göre, Q(x) - P(x) polinomunun derecesi
kaçtır?
A) 3
D) 6
16
P(x) polinomunun katsayılar toplamı 8 olduğuna
göre, a kaçtır?
B) - 9
C)8
63
P(2x + 3) = x3 - ax 2 + 3x + 1 polinomu veriliyor.
A)-11
B) 10
B)2
C)3
D) 4
E) 5
P(x) = nx 5 + mx 4 + x - 3
10.
olduğuna göre, P(x) polinomunun x + 2 ile
bölümünden kalan kaçtır?
polinomu x 2 + 1 ile tam bölünebildiğine göre,
m + n toplamı kaçtır?
A) 2
A)-4
B)3
C)5
D) 8
E) 14
B)-2
C)0
D) 2
E) 4
Polinomlar
3
16.
1 1 . P(x) ve Q(x) polinomlarının x + 3 ile bölümünden ka­
lanlar sırasıyla - 2 ve 5 tir.
2
P(x) = 2 x - 1 5 x + 36x + m
2
polinomu (x - n) ile tam bölünebildiğine göre, n
nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
t * 0 olmak üzere, t nin hangi değeri için
2
t P(x) + 2t Q(x) polinomu x + 3 ile tam bölünebi­
lir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
A) 2
B)3
C)4
D) 5
E) 6
E) 5
2
1 7 . P(x) polinomunun x + 3x - 1 ile bölümünden
2
kalan x + 3 olduğuna göre, P (x) polinomunun
2
x + 3x - 1 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden
hangisidir?
2
12.
P(2x-1) + P(x-1) = 10x -12x + 2
olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden
hangisidir?
2
A)x + 3 x - 1
B)10x
2
2
A)x + 2
C)2x + 3 x - 1
D) x - 2
P(x) = x 4 - 8 x 3 + 2 4 x 2 - 3 2 x + 16
A) 8
P(V3 + 2)
B)9
E) 3x - 5
E) 2x - 1
P ( x - 3 ) = x3 + 2 x 2 - 8 x
18.
olduğuna göre,
C)3x + 10
2
D) x - 3
13.
B)2x-5
2
~c
kaçtır?
C)27
olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden
hangisi ile tam bölünemez?
>-
D) 64
E
*
E) 125
A) x + 1
@
C) x 2 + 8x + 7
B) x + 3
D)x 2 + 10x + 21
E)x- 2
P(x) = x 1 2 + 5x 7 + x 3 - x + 3
14.
polinomunun x 4 + x ile bölümünden
aşağıdakilerden hangisidir?
B) x 3 + 1
A) x + 3
D) x + 7
kalan
C) x 3 + x 2
A)0
E) 4x + 3
B)4
C) 6
D) 9
E) 16
(x-1) . P(x + 2) = 2x 2 + x + a
20.
P(x) = x 4 0 - 3x 2 0 + ax 1 0 + b
15.
1 9 . P(x) polinomunun x 2 - 1 ile bölümünden kalan
3x + 3 olduğuna göre, P 2 (-1) aşağıdakilerden
hangisidir?
polinomu x 2 - 2x ile tam bölünebildiğine göre,
a . b çarpımı kaçtır?
olduğuna göre, P(x + 1) polinomunun sabit terimi
kaçtır?
A)-18
A) - 3
B)-4
C)0
D) 4
E) 12
Cevaplar: 1-B 2-A 3-D 4-B 5-D 6-E 7-B 8-C 9-C 10-D
11-E
12-E
13-B
B) - 1
14-E
15-C
C) 0
16-D
D) 1
17-C
18-E
E) 3
19-A
20-D
423
4.
BÖLÜM
1.
TEST
7
POLİNOMLAR
6.
Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi polinomdur?
I. x 3 - V 3 x 2 +5
I. 7
II. x'
P(x) = x3 - 2x + 1 ve Q(x) = x4 - 4x 2 + x + 3
polinomları veriliyor.
o/ \
V. x - ± + 3
IV. x - Vx +3
A)1
B)2
2
X
C)3
D) 4
P(x) - Q(x) polinomu 8. dereceden bir polinom ve
P(x) polinomunun derecesi Q4(x) polinomunun
derecesine eşit olduğuna göre, Q(x) polinomunun
derecesi kaçtır?
A) 2
B)3
C)4
D) 5
7.
C) 4
D) 5
@
8.
E) 6
ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 36
B)20
C)-15
D)-18
E)-19
B) 35
C)12
D)-8
E) - 9
P(x) = x3 - 3x 2 + mx + n polinomu (x + 2) 2 ile tam
bölünebildiğine göre, n kaçtır?
B)-12
C)36
D) 54
E) 68
B)25
C) 16
D) 9
P(x) = x 1 1 1 + 11x 11 + x7 + 13
9.
polinomunun Q(x) ile bölümünde, bölüm x olduğu­
na göre, kalan aşağıdakilerden hangisi olabilir?
E) 4
A) 26
B) 13
C)7
D)1
E)0
m * 0 olmak üzere,
P(x) = x4 - x3 + mx2 + n
10.
P(mx) = 3x + 5
424
P(X+1)
P(x) polinomunun (x + 2).(x - 3) ile bölümünden
kalan 2x olduğuna göre, P2(x) polinomunun x - 3
5.
ı\
£
A)-28
4.
2
O
polinomunun katsayılar toplamı 64 olduğuna göre, n kaçtır?
B) 3
ı
olduğuna göre, P(V2~x) in x - V 2 ~ ile bölümün­
den kalan kaçtır?
E) 6
P(x) = (x2 - 3x + n)3
A) 2
ı\
P(x) = x 3 - 4x 2 + x - 3
A) 63
3.
2
olduğuna göre, R ( x - 1) polinomunun x- 3 ile
bölümünden kalan kaçtır?
E) 5
A) 25
2.
/
R(x) = (x - 1 ) - (x - 1 ) .-Q(x-2)
3
olduğuna göre, P(x) polinomunun x + 2m ile bölü­
münden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
polinomunun x3 - 2x 2 ile bölümünden kalan
x2 + 1 olduğuna göre, m + n kaçtır?
A) 5 - 6m
A)-13
B) 5 - 3m
C) m + 5
D) - 1
E) 0
B)-8
C)- 5
D)-1
E)0
PolinomL»!
11.
„26 .+ „25
, vx110u - 2 x ^ + 3
P(X) = X*>
X* s +
16.
5
polinomunun x - x ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
4
3
A) x - x + 3
2
B) x + 3x + x - 1
C)x
X . P(x)
(x+1).Q(x-1)
2
A)
1 2 . n pozitif tamsayı olmak üzere,
P(x) = x
3n
+ 3x
2n
A)V5
B)Vö
8
B)
17.
2
A) 5
C)V5-1
D)Vs-1
4
polinomunun x2 - 3x + 4 ile bölümünden kalan
aşagıdakilerden hangisidir?
B) 7x - 3
C)7
B)6
E) 9
D) 8
E)-8
1 8 . P(x) polinomunun x 3 - 1 ile bölümünden kalan
x2 + x + 2 ve x ile bölümünden kalan 3 tür.
1 3 . P(x) = (x2 - 3x + 2) 3 + 2(x2 - 3x + 2) 2 + 2x2 + x + 10
D) 4x - 3
3
P(x) = 3(x - x + a) + x - bx
polinomu, x2 - x + 1 polinomu ile bölündüğünde
kalan 24 - 3x olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
5 + 1 ile bölümünden
A) 7x + 2
*i
D)
C)
n
+ 3x + 1
6
polinomunun, x
kalan kaçtır?
bağıntısı veriliyor.
P(x) polinomun x - 2 ile bölümünden kalan 10
olduğuna göre, Q(x) polinomun x -1 ile bölümün­
den kalan kaçtır?
E)x + 3
D) 3x + 7
= 2x +1
Buna göre, P(x) polinomunun x 2 - x ile bölümün­
den kalan aşagıdakilerden hangisidir?
^
o
>-
A) x
C) 4x + 1
B) x - 1
C) 2x + 2
D) x + 3
E) 3x + 3
E) x + 7
19.
2a 3 -3a 2 + 3 a - 1
2a-1
14.
P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşagıdakilerden
hangisidir?
olduğuna göre, P(x + 2) polinomu aşagıdakiler­
den hangisidir?
A ) ( x - 2)
3
B ) ( x - 1)
D) (x + 2) 3
3
C)(x+1)
A) 2a 2 - a + 1
2
polinomu x + 1 ile kalansız bölünebildiğine göre,
P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır?
B) - 4
E) a - a + 1
E) (x + 3) 3
P(x) = (x5 - x3 + 1) 5 . (x3 + 3x2 + n) 3
A) - 8
C) a 2 - a - 1
2
D) 2a - a - 2
20.
15.
B) a 2 + a - 1
3
C) - 2
D) 2
P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan 2 ve
x + 2 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre,
P ( x - 1 ) polinomunun x 2 - 1 ile bölümünden ka­
lan aşagıdakilerden hangisidir?
A) 3 - x
E) 8
Cevaplar: 1-C 2-A 3-E 4-A 5-D 6-E 7-E 8-A 9-B 10-E 11-E 12-A
B) x + 3
D) 1 - x
13-A
14-'
15-A
C) x + 1
E) x - 1
16-A
17-A
18-D 19-E 20-A
425
'iri1 „%•.->«* T^
1.
6.
P(x) = 3x 3 + 2x n + x n + 4
C) 16
B) 12
D) 18
P(x) = x 3 + x 2 - x - 1
P(x)-P2(x) + 2
olmak üzere,
ifadesi bir polinom olduğuna göre, P(x) polinomu­
nun derecesi en çok kaç olabilir?
A) 9
TEST
8
POLINOMLAR
•f KJJM
( x - x) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden
hangisidir?
E) 20
A) - 2 x
B)2x
C)-2
D) - x + 1
2.
A)-^
3
B)-—
6
C)
7
3
P(x) = 3,18
x n ö - 5 x1 2^ + 3 x b - 2
Cx/
polinomunun
kaçtır?
25
A) 15
polinomu veriliyor.
o
P(x) polinomunun x + 2 ile tam bölünebilmesl
için (2m - n) farkı kaç olmalıdır?
'
£
A) 0
+ -/3~
B)20
e bölümünden kalan
C)25
B) 1
C) 2
D) 3
P(x) =
D) 34
E) 43
P(x) ve Q(x) polinomlarınm birer çarpanı (x - 2)
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ( x - 2 ) ile
tam bölünemez?
x - ax + 4
x - 1
olduğuna göre, P(x) polinomunun katsayılar
toplamı kaçtır?
E) 4
A) - 4
9.
A) (x + 2) P(x)
B) P(x) . Q(x) + x - 2
C) x3 . P(x) - Q(x)
D) x . P(x) . Q2(x)
E) P2(x) . Q(x) - 2
B) - 3
C) 0
D) 1
E) 2
der(P(x).Q(x)) = 10
l Q(x) J
olduğuna göre, der (x 2 . P(x) + 2.Q(x)) kaçtır?
A) 10
B)9
C)8
D) 7
E) 6
P(x) polinomunun x - 2 ile bölümünden kalan 4 tür.
-,2
p<V>
426
x
P(x) = mx1
3.
5.
E)x-2
P ( 5 x - 3 ) = 2x2 - 1
olduğuna göre, P(2x) polinomunun katsayılar
toplamı, sabit teriminin kaç katıdır?
4.
polinomunun
2
10.
-P(x-5)
P(x) = x2 + 6
polinomunun x - 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
olduğuna göre, P( x + P ( x ) ) polinomunun x + 1
ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 20
A) 18
B)16
C)14
D) 12
E) 4
B)24
C)30 '
D) 36
E) 42
Polinomlar
P(7-x)
11,
v
Q(x-5)'
2
=x
_
„
Q(x) polinomunun (x - 3) ile bölümünden kalan 1
olduğuna göre, P( - 1 ) kaçtır?
A)x + y + z
17.
2
5
C)x-y + z
E)x + z
2
3x - ax + 8 = (x - 2) . P(x) + 4
2
1 2 . P(x) = x + 3x + 4 polinomunun x + 2 ile
bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x - 2
B) x - y - z
D)x + y - z
E) 18
D) 15
C)9
B)7
3
5
P (x, y, z) = x + (y + z) + (x + y + z)
polinomu aşağıdakilerden hangisine tam bölüne­
bilir?
eşitliği veriliyor.
A) 5
5
16.
- 3x - 25
B) 3x - 2
olduğuna göre, P(x) polinomunun katsayılar topla­
mı kaçtır?
C) 2x + 1
A)0
D) - 2x - 2
C)2
B)1
D) 13
E) 15
E) - 2x + 2
1 8 . P( x + Q(x)) polinomunun x - 2 ile bölümünden ka­
lan ile P(x) polinomunun x - 5 ile bölümünden kalan
eşittir.
1 3 . P(x) bir polinom olmak üzere,
P(x) = 3 P(-x) + 1
olduğuna göre, P(x) polinomunun x + 1 ile
bölümünden kalan kaçtır?
A)-2
o.-!
°>-i
B)-1
B) P(x2 + x - 3)
2
E
A)1
C)3
D) 4
E) 5
1 9 . P(x) polinomunun katsayılar toplamı, Q(x) polinomu­
nun sabit terimine eşittir. P(x) in Q(x - 1) ile
bölümünde bölüm x2 - 2, kalan 2 dir.
Buna göre, (2x . P(x) + x + 1 ) . Q(x - 1 ) polinomu­
nun x -1 ile bölümünden kalan kaçtır?
C) P(- x) - x - 7
A)1
2
D) P (- x) + 4x - 4
B)2
E) 0
1 4 . P(x - 2) polinomunun x - 5 ile bölümünden kalan
4 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi x + 3
ile bölünemez?
A) P(x + 6) - 4
Buna göre, Q(x + 3) polinomunun x + 1 ile bölü­
münden kalan kaçtır?
>.
E) P(x - 6) + x - 1
20.
B)2
C)3
D) 4
E) 5
x2 - (4 - x) . P(x) + (x - 2) . Q(x - 2) = 2
2
1 5 . P(x) polinomunun ( x - 3 ) ile bölümünden kalan
x - 1 olduğuna göre, P2(x) polinomunun (x - 3) 2
ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) x - 4
B) x - 8
D) 4x + 2
C) 4x - 8
E) 2x - 4
R ( x ) =
P(x)+Q(x)+a
olduğuna göre, R(x + 2) polinomunun x ile tam
bölünebilmesi için a kaç olmalıdır?
A)-4
B)-2
C)0
D) 2
E) 4
Cevaplar: 1-D 2-C 3-A 4-E 5-D 6-B 7-E 8-B 9-B 1JJ-E 11-D 12-D 13-D 14-B 15-C 16-A 17-B 18-C 19-D 20-D
427
4.
BÖLÜM
1.
KTT-4
A ve B, E (evrensel) kümesinin alt kümeleridir.
6.
[(A-B)u(AuB)' ]'
•Kf.^"
r\S
f(x + 1) = f(x) + 3 eşitliği veriliyor.
f(1) = 2 olduğuna göre, f(4) değeri kaçtır?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 11
A) B
B) A
C) 0
D) B - A
B)10
C)9
D) 8
E) 7
E) E
f(x + 2) = x2 + 4x
7.
A = { a, h, m, e, t }
olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tane­
A) xd - 2x
sinde eleman olarak "e" bulunur?
A) 4
B)5
C)6
D) 7
B)x 2
E) 8
E) x 2 - 4
D) xd + 4
8.
A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7}
f(x) = 2 x 2 - 1 olduğuna göre,f(3x)
kümesinin dört elemanlı alt kümelerinden kaç ta­
C)x 2 + 2x
in
f(x)
cinsinden eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
nesinde elemanlar çarpımından elde edilen sayı
15 ile tam bölünebilir?
A) 12
B)16
A) 3 f2(x) - 8
C)18
D) 19
E) 20
C) 9 f2(x)
B) 8 f(x) + 4
D)9f(x) + 8
E)10f(x)-2
s[ K x (L n M) ] = 48
9.
s ( L n M ) > s(K)
olduğuna göre, K kümesinin eleman sayısı en çok
R - {2} kümesinde bire bir ve örten-,
f(x) =
kaç olabilir?
2x + 1
— fonksiyonu tanımlanıyor.
x-2
( f o f )(a)
A) 4
B)6
C)8
D) 12
E) 24
(fof)(2a+1)
.
=
_3_
7
olduğuna göre, a reel sayısı kaçtır?
5.
A = { 1, 2, 3, 5} olmak üzere,
A) 5
B) 3
C) 1
D) - 1
E)-3
P = {(x, y) I y = x + 2 , x e A }
olduğuna göre,
(3 "
1
bağıntısı aşağıdakilerden
hangisidir?
10.
f(x) = a.x + 3.x + b - 2a
A) {(1,3), (2, 4), (3, 5), (5,7)}
B) { (4, 2), (5, 3). (7, 5) }
C) {(3,1), (4, 2), (5, 3), (7,5)}
D) { (4, 2), (5, 3) }
E) { (4, 2), (3, 5), (7, 5) }
428
fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, f(b - a)
değeri kaçtır?
A)-4
B)-2
C)2
D) 4
E) 6
1 1 . Reel (gerçel) sayılar kümesi üzerinde tanımlı,
P(x) = ( x - 1 ) . Q ( 4 - x ) - 2x
16.
Q(x) = (x + 2) . R(1 - x)
x o y = x + y + 4xy
polinomlan veriliyor.
işleminin yutan elemanı a, birim elemanı e dir.
R(x) polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan
Buna göre, a + e kaçtır?
2 olduğuna göre, P(x) polinomunun (x - 2) ile
A) -—
2
B)-—
4
C)0
D)—
4
E) 2
bölümünden kalan kaçtır?
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
1 2 . Reel sayılarda "-&•" işlemi,
y
x ^ y = ( 2 x - y + 3)""i
1 7 . P(x) = Q(2x - 2) + Q(3x - 4) - 2
şeklinde tanımlanıyor.
P(x + 2) polinomu x ile tam bölünebildiğine göre,
Q(x + 1) polinomunun ( x - 1 ) ile bölümünden ka­
Buna göre, (- 1) JV 2 işleminin sonucu kaçtır?
A)J13
B)—
13
C)—
13
D)-11
1 3 . A = { a , b, c, d, e} kümesinde
tanımlı " A " işlemi yandaki
tabloda verilmiştir.
Buna göre, (c A b - 1 ) A ( d - 1 A e ) - 1
işleminin sonucu aşağıdakilerden
hangisidir?
(x ~ 1 : x in " A " işlemine göre tersidir.)
A) a
B)b
C)c
lan kaçtır?
E) —
11
A a b c d e
a a b c d e
b
b
^ d e a
c c d e a b
d d e a b c
e eabcd
A) 0
B) 1
D) 3
E) 4
na bölümünden kalan 3 tür.
Q(x) polinomu x 2 - 3 x + 2
ne göre,
ile tam bölünebildiği­
a - b farkı kaçtır?
A)-1
D) d
C) 2
1 8 . P(x) = 2x 3 - ax - b polinomunun Q(x) polinomu-
B)14
D) 25
C)15
E) 29
E) e
19.
14.
polinomu veriliyor.
P(x) + 3.P(- x) = 4x + 8
2x + 3 = 1 (mod6)
olduğuna göre,
denkliğini sağlayan x in farklı iki negatif tamsa­
yı değerinin toplamı en çok kaçtır?
A)-14
B)-10
O-11
P(x)
A) 2x - 2
D)-5
E) - 4
1 5 . Bir dershanede pazartesi ve salı günleri 2 şer ders,
çarşamba, perşembe ve cuma günleri 3 er ders ya­
polinomu aşağıdakilerden
hangisidir?
B) - 2x - 2
D) 2x + 2
E) 2x - 1
P(x) = ax 4 - 3x 3 + bx 2 + c
20.
pılmaktadır. Cumartesi ve pazar günleri ders yapılma­
C) - 2x + 2
polinomunun çift katlı bir kökü x = 1 olduğuna gö­
maktadır.
re, aşağıdaki bağıntılardan hangisi daima doğru­
dur?
Dersler pazartesi günü başladığına göre, 256 ncı
ders hangi gün yapılır?
A) Pazartesi
D) Perşembe
B) Salı
A)a + b - c = 2
C) Çarşamba
D) a + 2b - c = 0
E) Cuma
Cevaplar: 1-A 2-C 3-B 4-B 5-C 6-A
7-E 8-D 9-B
B)a.b + c = 2
10-<
11-B
12-C
13-A
14-D
15-D
C) 4a + 2b = 9
E) 3a + 2b = c
16-A
17-B
18-E
19-C 20-C
429
4.
BOLÜM
1.
GTT-2
6.
100 bin ve 50 bin liralıklardan oluşan 20 tane made­
Bir annenin şimdiki yaşı, yaşları birbirinden farklı üç
çocuğunun şimdiki yaşları toplamına eşittir.
ni paranın toplam tutarı 1 milyon 400 bin liradır.
Buna göre, 50 bin liralıkların sayısı kaçtır?
Dört yıl sonra anne ile çocukların yaşları toplamı
106 olduğuna göre, en büyük çocuğun şimdiki
A) 8
2.
B)9
C) 10
D) 11
E) 12
yaşı en az kaçtır?
B)16
A) 17
Maliyeti 288 milyon lira olan bir kumaş 12 eşit parça­
ya bölündükten sonra bütün parçaları yıkanıyor.
7.
Yıkandıktan sonra dörtte biri kadar kısalan kuma­
C) 15
D) 14
E) 13
Ali'nin 5 yıl önceki yaşının, Veli'nin 5 yıl önceki yaşına
2 ...
oranı — tur.
şın her bir parçasının maliyeti kaç milyon lira olur?
3
A) 32
B)30
C)24
D) 21
E) 20
Ali'nin şimdiki yaşının Veli'nin şimdiki yaşına oranı
5 olduğuna göre, Ali'nin 5 yıl sonraki yaşı kaçtır?
7
3.
Bir kesrin değeri - tir. Kesrin payından 4 çıkarılır,
5
1
5
paydası — ile çarpılırsa, kesir — ye eşit oluyor.
5
2
A) 40
8.
O
B) 12
C)15
Bu işçi, hızını hiç değiştirmeden, ilk günkü hızıy­
la çalışsaydı aynı işi kaç günde bitirebilirdi?
kaç saatte dolacağını veren bağıntı aşağıdakilerden
C)
7
D)
E)
7
A)
1
B)
40.a
D)
1
C)
50.a
E)
40.a
V
30.a
Kar yağışı dolayısıyla kapanan bir yolun açılması için
saat 12.00 de çalışmaya başlanıyor. Bu yolun — ünü
Özge'nin harcadığı toplam para 28 milyon TL oldu­
ğuna göre, parasının tamamı kaç milyon TL dir?
C)35
sitede 4 işçi daha katılarak devam edilmiştir.
saat kaçta yolun tamamı açılmıştır?
50.a
sonra da kalan parasının yarısını harcıyor.
B)32
açılması için yapılan çalışmaya, bu işçilerle aynı kapa­
Saat 12.00 den sonra kar yağışı olmadığına göre,
Özge, parasının önce — ünü, sonra — ini daha
3
5
A) 30
9.
aynı kapasitedeki 4 işçi 3 saatte açmıştır. Kalan yolun
hangisidir?
D) 36
E) 40
A) 24.00
B) 22.00
C) 21.00
D) 20.00
E) 18.00
1 0 . Özdeş üç musluk birlikte açıldığında boş bir havuz
5 saatte dolmaktadır. Havuz boş iken musluklar bi­
rer saat ara ile açılıyor.
Havuz dolduğunda en son açılan musluk kaç sa­
at su akıtmıştır?
A) 2
430
B)
Hacmi 3V litre olan bir havuza, bir musluk dakikaa
1
da — litre su akıttığına göre, havuzun — ünün
2
4
5.
E) 20
Her gün, bir önceki günde çalıştığı hızın yarısı kadar
A)
4.
D) 25
E
E) 20
D) 16
C)30
bir hızla çalışan bir işçi bir işi 3 günde bitirebiliyor.
>Bu kesrin paydası payından kaç fazladır?
A) 8
B)35
B)3
C)4
D) 5
E) 6
Hr-
1 1 . Şekilde, dört özdeş mus­
1 6 . Yandaki grafik,
•Su (gr)
a ve b
luğu bulunan bir su de­
şekerli su
posunu, depo dolu iken
içindeki şeker ve su miktar­
en alttaki musluk tek ba­
larını göstermektedir.
karışımlarının
9
7
şına 40 saatte boşaltabilmektedir.
Buna göre, a ve b karı­
D
1
3 Şeker (gr)
şımlarından 10 ar gram
alınarak oluşturulan yeni bir karışımın şeker oranı
f
yüzde kaç olur?
Depo dolu iken dört musluk birlikte açılırsa kaç
saatte boşatabilir?
A) 15
A)
77
77
B) 22
D) 29
E)
B)20
D) 30
C)25
E) 35
41
1 7 . 50 gram % 20 lik şekerli suyun % 30 u ile 80 gram
% x lik şekerli suyun dörtte biri karıştırılıyor.
1 2 . Saatteki hızları sırasıyla (V, - V 2 ), V1 ve (V1 + V 2 ) km
olan üç hareketliden birincisinin 2t saatte aldığı yol
Oluşan karışımın şeker miktarı 7 gram olduğuna
a km, ikincisinin t saatte aldığı yol b km dir.
göre, x kaçtır?
Buna göre, üçüncü aracın t saatte aldığı yol aşa-
A) 10
ğıdakilerden hangisidir?
A) a +
B)2a
D) 2b - —
2
B)20
E) 50
s(A-B) = 2.s(AnB)
s(AnB) = 3.s(B-A)
O
300 km •
65 km/sa
D) 40
1 8 . A ve B, boş kümeden farklı iki kümedir.
C)b +
E) 2a + b
13.
C)30
olduğuna göre, s(A) en az kaç olabilir?
A) 12
45 km/sa
B) 11
C)10
D) 9
E) 8
A ve B noktalarında bulunan iki araç aynı anda ve ay­
nı yöne doğru hareket ediyorlar. B deki C ye varıp hiç
durmadan geri dönüyor.
bilmeyenlerin bulunduğu 14 kişilik bir toplulukta
İki araç başlangıçtan 9 saat sonra karşılaştığına
göre, A ile B arası kaç km dir?
A) 340
B) 390
1 9 . İngilizce veya Almanca dillerini bilenlerle bu iki dili
C)450
en az bir dil bilenlerin sayısı 12, en çok bir dil bi­
lenlerin sayısı 11 olduğuna göre, sadece bir dil bi­
lenlerin toplam sayısı kaçtır?
D)515
E) 585
A) 10
1 4 . x sayısı y sayısının % 40 ma, z sayısı da y sa­
B)9
C)8
0)7
E) 6
2 0 . Tamsayılar kümesinde tanımlı,
yısının % 25 ine eşittir.
Buna göre, z sayısına kendisinin yüzde kaçı ek­
lenirse x sayısı elde edilir?
A) 60
B)50
C) 40
D) 25
E) 15
1 5 . 120 milyon TL nin yıllık % 45 ten 4 yılda getireceği
basit faiz geliri kaç milyon TL dir?
A) 198
B)202
C) 208
D) 210
E) 216
P = {(x, y) | — = - 1 ve x e Z, y e Z }
y
bağıntısı için,
I. Yansıyandır.
II. Simetriktir.
III. Ters simetriktir.
IV. Geçişkendir.
ifadelerinden hangisi ya da hangileri doğrudur?
A) I ve II
D) Yalnız II
B) II ve IV
C) III ve IV
E) Yalnız III
l
43
MATEMATİK SORU BANKASI
21
f(
3x+1
X
) = 3 +2
26.
X
2x - 1
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
A) 43
B) 35
E) 8
D) 17
C) 24
Yukarıdaki şekilde f ve g fonksiyonlarının grafikleri
verilmiştir.
2 2 . Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksi­
yonları için,
Buna göre; (f ~ 1o g)(- 3) + (g "1 o f)(4) ifadesinin
(t + g)(x) = 5x - 1
değeri kaçtır?
(f-g)(x) = 3x + 5
A) - 2
olduğuna göre, (f. g)(3) değeri kaçtır?
A)-16
B)-10
C)0
D) 2
B) - 1
C) 1
D) 2
E) 3
E) 10
x - 2 s 4 (mod 7)
27.
olduğuna göre, x sayısının en büyük negatif tam­
sayı değeri ile en küçük pozitif tamsayı değerinin
toplamı kaçtır?
2 3 . Reel (gerçel) sayılar kümesinde her a ve b için,
a A b = " — veya — den küçük olmayanı"
a
b
C)5
B)6
A) 7
şeklinde bir "A" işlemi tanımlanıyor.
D) 4
E) 3
Buna göre, ( — A 3) A 4 işleminin sonucu kaçtır?
P(2x - 3, y + 2) = 3xy - x + y 2
28.
A).
B)
»T
polinomu veriliyor.
E) 4
D) 2
C
Buna göre, P(x + 1, 3y) polinomunun sabit terimi
kaçtır?
2 4 . Reel sayılarda her a ve b için,
A)-10
B)-12
C)-14
D)-16
E)-18
a * b = a + b - 2.a.b
biçiminde " * " işlemi tanımlanmıştır.
P(x) = ( x - 1 ) 6
29.
+x-m
3 ün i işlemine göre tersi kaçtır?
polinomunun çift kuvvetli terimlerinin katsayıları
A)J_
3
B)—
2
C)—
5
D) —
5
toplamı 30 olduğuna göre, m kaçtır?
E)
C)2
B)- 6
A)-8
D) 6
E) 8
2 5 . A = { 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinde tanımlı bir permütasyon fonksiyon,
-d
3 0 . P(x) polinomunun x2 + x + 1
2 3 4 5
3 5 4 2 1
lan (x + 2)
<
V-
aşağıdakilerden hangisidir?
'
2003 tane
Cevaplar:
B)2
.£
1
-C
2
16-B 17-B
432
ile bölümünden ka­
x P(x) + x2 P(x) + 1
polinomunun (x 2 + x + 1) ile bölümünden kalan
olduğuna göre, (f o f o f o... o f)(5) katıdır?
A)1
olduğuna göre,
C)3
A) 1
D) 4
E) 5
B) 2x + 3
D) - x - 1
3-D
4-D
5-A
6-B
7-C
8-C
9-E
18-D
19-B
20-D
21-B
22-C
23-C
24-C
10-C
25-D
11-C
26-C
C ) - 2x + 3
E) - 2x - 3
12-D
13-B
14-A
15-E
27-C
28-A
29-C
30-D
••
••
%3 m D U l ı \3 İ T İ
> Permutasyon
> Kombinasyon
> Binom
> Olasılık
> KTT - 5
5.
BÖLÜM
PERMÜTASYON (SIRALAMA)
1.
SAYMA METODLARI
Bu r tane işten biri, (1. si veya 2. si veya ... veya r. si)
Sayma işlemleri ile ilgili uygulamaları, örneklendirme yo­
n t + n 2 + n 3 + ... + n r
luyla açıklayalım.
1.
2.
3.
değişik yoldan gerçekleştirilebilir ve bu şekildeki sayma
Bir sınıftaki öğrenci sayısını, bir kitabın yapraklarının sa­
yısını, bir kutudaki kalemlerin sayısını, sonlu bir kümenin
eleman sayısını belirlemek için söz konusu elemanlar,
sayma sayıları ile bire bir eşlenerek, bire bir eşleme yo­
luyla sayma yapılır.
işlemine toplama kuralı denir.
2.
Bu r tane iş birlikte, sıralı bir biçimde (1.sive2.si ve ...
ve r. si birlikte sıralı bir şekilde)
n
n
n
i • 2• 3
"r
A ve B ayrık iki küme olmak üzere, A ve B kümelerinin
toplam kaç elemanı olduğunu,
değişik yoldan gerçekleştirilebilir ve bu şekildeki sayma
s(A u B ) = s(A) + s(B)
(A n B) = 0
şeklinde toplama yaparak sayarız.
Örneğin, A ve B şehirleri arasında 3 farklı kara yolu, 2
farklı demiryolu güzergâhı varsa, A dan B ye 5 farklı<
yoldan gidilebileceğini 3 + 2 = 5 biçiminde;
kuralı denir.
işlemine genel çarpım kuralı veya saymanın temel
Örnek: 1984 -ÖYS
6 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı
biçimde sonuçlanabilir?
bir sınıfta 10 kız, 15 erkek öğrenci varsa, bu sınıfın mev­
cudunun 25 olduğunu 10 + 15 = 25 biçiminde;
A) 31
toplama yoluyla sayma yaparak buluruz.
Çözüm:
A, B, C boş kümeden farklı birer küme olmak üzere; A ve
B kümelerinden sırasıyla birer eleman seçerek oluşturu­
labilecek bütün ikililerin sayısını,
Sınava katılan bir kişinin sınavı, (başarılı veya başarısız)
veya A, B, C kümelerinden sırasıyla birer eleman seçe­
rek oluşturulabilecek bütün sıralı üçlülerin sayısını,
D) 64
E) 128
likte katıldığına göre,
o
1. kişi
E
o
u.
2
2. kişi
•
2
...
«...
6. kişi
•
2
bu sınav başarı yönünden,
s(A x B x C) = s(A).s(B).s(C)
şeklinde çarpma işlemi yaparak buluruz.
Örneğin, 3 farklı gömleği, 2 farklı kravatı olan bir kişi, bir
gömlek giyip üzerine bir kravat takacağına göre;
gömlekleri: g^ g 2 , g ; kravatları: k f k 2 olmak üzere,
C)60
olmak üzere, iki şekilde sonuçlanabilir. Sınava 6 kişi bir­
>-
s(A x B) = s(A).s(B)
B)32
26 = 64 farklı biçimde sonuçlanabilir.
Örnek:
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 rakamları kullanılarak, üç basamaklı;
a) Kaç değişik doğal sayı yazılabilir?
Üç basamaklı sayı oluşturmak için, sırasıyla üç iş (yüz­
ler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basa-
k2
mağındaki rakamın seçilmesi işi) birlikte yapılmalıdır.
2+2+2
= 3.2 = 6
Buna göre,
Yüzler basamağı
Onlar basamağı
1,2,3,4,5
0,1,2,3,4,5
Birler basamağı
0,1,2,3,4,5
6 farklı seçim yapabileceğini 3.2 = 6 biçiminde;
0,1,2,3, 4,5, 6 rakamlarıyla üç basamaklı, 5.6.6 = 180
Birbirinden farklı 5 defteri, birbirinden farklı 3 kalemi,
birbirinden farkı 2 silgisi olan bir öğrencinin ders çalı­
şırken bir defter, bir kalem ve bir silgiyi 30 değişik şe­
kilde seçebileceğini 5.3.2 = 30 biçiminde;
değişik doğal sayı yazılabilir.
çarpma yoluyla sayma yaparak buluruz.
Sonuç:
Ayrık (birbirinden bağımsız) r tane işten;
1. iş n1 değişik yoldan,
2. iş n2 değişik yoldan,
r. iş nr değişik yoldan gerçekleştirilebiliyorsa,
b) Rakamları farklı, kaç değişik doğal sayı yazılabilir?
*
Rakamları farklı doğal sayıların yazılmasında, rakam­
lardan birisi 0 (sıfır) ise ilk iş olarak en soldaki (bura­
da yüzler basamağındaki) rakamın seçimi yapılmalıdır.
O halde,
5
5
4
k
1,2,3,4,5
Yüzler ve onlar basamağındaki iki rakam
dışında, kalan dört rakam
Yüzler basamağındaki rakam dışındaki
kalan dört rakam ve 0, toplam 5 rakam
rakamları farklı, 5.5.4 = 100 değişik doğal sayı yazılabilir.
435
MATEMATİK SORU BANKASI
Örnek: 1999 - ÖSS - İptal
c) Kaç farklı çift sayı yazılabilir?
•
5, 6, 7, 8, 9 rakamlarını kullanarak rakamları birbirin­
Rakamları farklı olan sayılar yazılmıyorsa, basamaklardaki rakamların seçimi için herhangi bir öncelik sırası gö­
zetmek gerekmez.
den farklı olan, üç basamaklı ve 780 den küçük kaç
değişik sayı yazılabilir?
O halde,
5
6
/
1,2,3,4,5
\
Çözüm:
5,6, 7, 8, 9 rakamlarını kullanarak yazılacak olan rakam­
ları farklı sayıların 780 den küçük olması için yüzler basa­
mağındaki rakam 5,6 veya 7 olmalıdır. Ancak yüzler ba­
samağındaki rakamı 7 olan her sayı 780 den küçük de­
ğildir. Halbuki yüzler basamağındaki rakamı 5 ve 6 olan
her sayı 780 den küçüktür. O halde, bu iki iş ayrı ayrı ya­
pılacak iki iş olarak düşünülüp çözümde toplama kuralı
da uygulanmalıdır.
0,2,4
5.6.3 = 90 değişik çift sayı yazılabilir.
d) Rakamları farklı, kaç değişik tek sayı yazılabilir?
Rakamları farklı olan tek (veya çift) sayıların yazılmasın­
da, birinci iş olarak birler basamağındaki rakamın seçil­
mesi, rakamlardan birisi 0 (sıfır) ise ikinci iş olarak en sol­
daki basamağa (burada yüzler basamağına) gelecek ra­
kamın seçilmesi işi yapılmalıdır. O halde,
/
A
A
\
1
2
^ 1,3,5
*
O(sıfır) ise; birler basamağına O(sıfır) gelmesi ile 0 (sıfır)
o
e
dışındaki çift rakamların gelmesi durumları ayrı ayrı dü­
o
Burada birinci, ikinci ve üçüncü iş; sırasıyla yüzler, on­
lar ve birler basamağındaki rakamın seçilmesidir.
PERMÜTASYON (SIRALAMA)
n > r ve n, r e N+ olmak üzere, n elemanlı bir küme­
nin r tane elemanının r-li sıralanışlarının her biri, n
elemanın r-li bir permütasyonu (sıralanışı) olur.
şünülmelidir. Dolayısıyla, birler basamağındaki rakam 0
de, çözümde toplama kuralı da uygulanır. O halde,
|
*
n elemanın r - M bütün permutasyonlarmın sayısı
P(n, r) ile gösterilir ve
2
/
i
\
geriye kalan
dört rakam 1,2,3,4,5
P ( n , r) =
2,4
birler basamağına gelen rakam ve
0 (sıfır) dışında, kalan dört rakam
rakamları farklı, 4.5.1 + 4.4.2 = 52 değişik çift sayı ya­
\
kalan üç rakam
Buna göre, istenen şartlara uygun toplam,
2.4.3 + 1.2.3 = 30 değişik sayı yazılabilir.
e) Rakamları farklı kaç değişik çift sayı yazılabilir?
(sıfır) veya 0 (sıfır) dışındaki çift rakamlar olabilir şeklin­
kalan üç
rakam
kalan dört rakam
rakamları farklı, 4.4.3 = 48 değişik tek sayı yazılabilir.
Rakamları farklı çift sayılar yazılırken rakamlardan birisi
h
i
\
5,6
Birler basamağına gelen ^tata ve birler basamağına
rakam ve 0 dışında
f e n ^ l a m ' a r d,§,ndakalan dört rakam
kalan dört rakam
•
E) 24
A) 46
0,1,2,3,4,5
•
D) 30
C)36
B)42
3
n !
(n-r) !
dir.
Uyarı:
1. P(n, 1) = n,
2.
zılabilir.
P(n,n) = n! dir.
P(n, r) = n . ( n - 1 ) . ( n - 2 )
\
^_
(n-r+1)
/
n tane
Uyarı:
Rakamları farklı, çift sayıların yazılmasında; rakamlardan
birisi 0 (sıfır) ise, rakamları farklı bütün sayıların ve ra­
kamları farklı tek sayıların kaç tane olduğu bulunup ikisi­
nin farkından da rakamları farklı çift sayıların sayısı bulu­
nabilir. Bu yolun kullanılması tercih edilirse işlem hatası
yapma riski daha az olabilir. Buna göre,
(b) seçeneğinde rakamları farklı 100 değişik sayı oldu­
ğu, (d) seçeneğinde rakamarı farklı 48 değişik tek sayı
olduğu bulunmuştu. 100 sayıdan 48 i tek sayı ise, kalan
1 0 0 - 4 8 = 52 si çift sayıdır.
Bu çözümle, (e) seçeneğindeki çözümün; işlem sayısı da
aynı olduğuna göre, bu ikinci çözüm tercih edilebilir.
şeklinde pratik olarak hesap yapılır.
•
P(5, 1) = 5,
P(3, 3) = 3.2.1 = 3 !
•
P(10, 3) =10.9.8 = 720 dir.
3. Birbirinden farklı n tane elemandan r tanesinin farklı
sıralanışlarının permütasyon olduğuna dikkat edilirse;
permütasyon, saymanın temel ilkesinin (genel çarp­
ma kuralının) özel bir durumu (elemanların tekrar et­
memesi durumu) dur.
Örnek:
A = { 1 , 2, 3,4, 5, 6, 7 } olmak üzere, A kümesinin;
a) Üçlü permutasyonlarmın sayısı,
P(7, 3) = 7.6.5 = 210 olduğundan,
A kümesinin elemanları kullanılarak, üç basamaklı ve
rakamları farklı, 210 değişik sayı yazılabilir.
436
Permütasyon
c) Kaç farklı tek sayı yazılabilir?
b) Bütün permütasyonlarının sayısı,
P(7,7) = 7! dir.
5!
c) " 1 " in bulunduğu dörtlü permütasyolarının sayısı,
Birler basamağına yazılan
1, 3, 3, 3
rakam dışında, kalan beş rakam
" 1" en solda olursa, kalan altı rakamdan üçü " 1 " in sağı­
na P(6, 3) = 6.5.4 = 120 değişik şekilde sıralanır.
altı rakamın altısı da sıralamaya katıldığı için, bu altı
5!.4
= 40 değişik tek sayı yazılabilir.
rakamla
2!.3!
Benzer şekilde, " 1 " in ikinci, üçüncü ve dördüncü sırada
olduğu durumların her birinin sayısı da 120 dir.
O halde, " 1 " in bulunduğu dörtlü permütasyonların
sayısı, 4.P(6, 3) = 480 olduğundan, A kümesinin ele­
manlarıyla yazılabilecek dört basamaklı ve rakamları
farklı 480 tane sayının rakamlarından bir tanesi " 1 " dir.
d) " 2 " ile " 5 " yan yana olduğu dörtlü permütasyon­
larının sayısı,
Örnek: 2001 -OSS
A
ç
" 2" ile" 5" i bir eleman gibi [25] şeklinde düşünürsek; al­
tı elemanın üçlü permütasyonlarının sayısı P(6, 3) olur.
Ayrıca" 2" ile" 5" yan yana [52] şeklinde olduğunda da
oluşacak sıralamaların sayısı diğerinin sayısı kadardır.
Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını
göstermektedir.
Buna göre, " 2 " ile" 5 " in yan yana olduğu dörtlü per­
mütasyonların sayısı, 2.P(6, 3) = 2.6.5.4 = 240 tır.
A dan hareket edip C ye uğrayarak B noktasına en
kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç değişik yol iz­
leyebilir?
Tekrarlı Permütasyon
n1 tanesi birinci türden, n tanesi ikinci türden, n ta­
nesi üçüncü türden, ..., n tanesi r yinci türden olmak
üzere, toplam n + n + n + ... + n = n tane elemanın
birbirinden farklı sıralanışlarının sayısı,
n!
n1!.n2!.n3!
nr!
dir.
Örnek:
Bir kez 1, iki kez 2, üç kez 3 kullanılarak altı basamaklı;
a) Kaç farklı sayı yazılabilir?
2 den iki tane, 3 ten üç tane olduğu için bu altı rakamla
6!
= 60 değişik sayı yazılabilir.
2 ! . 3!
b) Kaç farklı çift sayı yazılabilir?
1, 2, 3, 3, 3
Çift sayı olacağı içn, birler basamağına 2 lerden birisi ya­
zıldıktan sonra, diğer beş rakam 2 nin soluna sıralanacak­
tır. Birler basamağındaki rakamın yeri değişmediği için
sıralamaya katılmaz. O halde, 3 ten üç tane olduğu için
5'
bu beş rakamla, -^ = 20 değişik çift sayı yazılabilir.
O!
Uyarı:
Tekrarlı permütasyonların hesaplanmasında, sıralanacak
bütün elemanlar birbirinden farklı gibi düşünülerek is­
tenilen şartlardaki sıralamaların sayısı hesaplandıktan
sonra, aynı türden olan elemanların kendi aralarındaki yer
değişmelerinden dolayı ortaya çıkan azalmalar hesaba
katılarak çözüm yapılır. Dolayısıyla herhangi bir elemanı
sabit tutmaya gerek yoktur.
A) 24
o
c
o
>E
o
u.
©
B)18
C)16
D) 12
E) 9
I. Çözüm:
A dan hareket eden bir kişi, ilk iş olarak C noktasına
gidebilmek için, üç sokak sağa (s), bir sokak aşağı (a)
gitmelidir.
4'
sssa -> —- = 4 olduğundan A dan C ye 4 değişik
yoldan gidebilir.
İkinci iş olarak da C den B ye gidebilmek için 2 sokak
sağa (s), 2 sokak aşağı (a) gitmelidir.
ssaa-»
4!
2!.2!
= 6 olduğundan C den B ye 6 değişik
yoldan gidebilir.
Buna göre, A dan C ye uğrayarak B ye en kısa yoldan gi­
decek olan bir kimse, 4.6 = 24 değişik yol izleyebilir.
II. Çözüm:
Burada, A dan C ye izlenebilecek olan 4 yol ve C den B
ye izlenebilecek 6 yol tek tek sayılarak da bulunduktan
sonra, ikisi birlikte gerçekleşeceği için 4.6 = 24 değişik yol
izlenebileceği bulunabilir.
Dairesel (Dönel) Permütasyon
Sonlu bir kümenin elemanlarının bir çember üzerinde
(kapalı bir eğri etrafında) birbirlerine göre farklı biçimde
sıralanışlarının her birine bu elemanların bir dairesel
permütasyonu veya dönel sıralanması denir.
Örneğin, bir masa etrafında oturan üç kişinin birbirine gö­
re yan yana gelmelerini inceleyelim. İki kişiden birisi
üçüncü kişinin sağına diğeri de soluna oturabilir. (Birinci
durum) Bu iki kişi yer değiştirebilir. (İkinci bir durum) Bu
ikisinden farklı başka bir sıralanma olmadığı kolaylıkla
görülebilir. O halde, 3 kişi dairesel olarak 2 değişik şe­
kilde sıralanabilir.
437
MATEMATİK SORU BANKASI
•
lırken içlerinden birisine göre karşılaştırma yapılmıştır. O
Örnek:
Aralarında Ali ve Bülent'in de bulunduğu 7 arkadaş, yu­
halde bir eleman sabit tutulup diğerleri sıralanmaktadır.
varlak bir masa etrafında oturuyorlar.
Sonuç:
Ali ile Bülent'in yan yana olmadığı kaç farklı sıralanış
Birbirlerinden farklı, sonlu n elemanın dairesel per-
olduğunu bulalım.
Dikkat edilirse, üç kişinin dairesel olarak sıralanışları sayı­
mütasyonlarının (dönel sıralanmalarının) sayısı,
I. Çözüm:
İlk önce Ali (veya önce Bülent)
belli bir yere, yer değiştirmemek
üzere, otursun. İki yanına Bü­
lent'in dışında diğer arkadaşların­
dan herhangi biri oturacağına gö­
re, Bülent'in dışında, kalan 5 kişi­
ı Bülent'in otur­
den biri 5 değişik şekilde Ali'nin
mayacağı yerler
bir yanına (birinci iş), kalan 4 kişi­
den biri de 4 değişik şekilde boş kalan diğer yanına
(ikinci iş) oturabilirler. Bundan sonra kalanların (Bülent
dahil) oturması için hiçbir şart olmadığından kalan 4 ki­
şi 4! = 24 değişik şekilde oturabilirler (üçüncü iş).
O halde, bu üç iş birlikte, 5.4.4! = 480 değişik şekil­
de gerçekleşebilir.
(n-1)!dir.
Örneğin, 5 kişilik bir aile yemek masasının etrafına,
(5 - 1 ) ! = 4! = 24 değişik şekilde oturarak yemek yiyebilir.
Uyarı:
Dairesel permütasyonların sayısı hesaplanırken, ele­
manlardan herhangi biri belli bir noktaya sabitlendikten
sonra, kalan (n - 1) elemanın sıralanışları, yan yana
sıralanışlarda olduğu gibi düşünülür.
Örnek:
Anne, baba ve dört çocuğunun, sadece en küçük ço­
cuk anne ve babasının arasında olacak şekilde, ye­
mek masasının etrafında kaç farklı şekilde oturabile­
ceklerini bulalım.
I. Çözüm:
# Anne ve Babanın
oturacağı yerler
O
OK dışındaki gocuk­
ların oturacağı yerler \
/
En küçük çocuk (K) bir yere oturduktan sonra, bir tara­
fına anne, diğer tarafına baba otursun. Anne ve baba­
dan biri, örneğin önce anne, en küçük çocuğun bir ya­
nına 2! = 2 değişik şekilde, ardından baba bu çocuğun
boş kalan yanına 1 şekilde oturur. Bundan sonra da diğer
üç çocuk kalan yerlere 3! = 6 değişik şekilde oturabilir­
ler. O halde, en küçük çocuğun anne ve babasının ara­
sında oturduğu bütün durumların sayısı,
21.1.3! = 12 dir.
II. Çözüm
Anne (A), en küçük çocuk (K)
ve baba (B) bir eleman gibi dü­
şünülürse, diğer üç çocukla
birlikte toplam dört elemanın
dairesel sıralanışı söz konusu
olur. Bununla birlikte anne ve
baba kendi arasında 2! = 2
değişik şekilde yer değiştirebilir. O halde, bu şekildeki bü­
tün sıralanışların sayısı,
2!. ( 4 - 1 ) ! = 12 dir.
438
II. Çözüm:
o
c
o
>.
E
o
©
Bütün durumların sayısından
Ali ile Bülent'in yan yana otur­
dukları durumların sayısı çıkarı­
lırsa, Ali ile Bülent'in yan yana
oturmadıkları durumların sayısı
bulunur.
O halde, Ali ilejîülenfin yan ya­
na oturmadıkları durumların sa­
yısı,
Ali ile Bülent'in yan yana
oturdukları durumlar
Ali ile Bülent'in \ / Bütün \
yan yana olmadıkları = burumlar I durumlar
IV
I \
Ali ile Bülent'in
v a n v a n a 0,clukları
= ( 7 - 1 ) ! - 2!. (6
= 61 - 2 I . 5 !
= 720 - 2.120
= 480 dir.
durumlar
1)!
,
5.
BÖLÜM
TEST
1
PERMÜTASYON
4 farklı renk mendili ve 3 farklı çeşit anahtarlığı
5 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç
olan bir kişi 1 mendil veya 1 anahtarlığı kaç fark­
farklı şekilde sonuçlanabilir?
lı şekilde seçebilir?
B) 10
A) 5
A) 4
2.
B)7
C)9
D) 12
4 farklı defteri ve 7 farklı renkte kalemi olan bir
8! - 6 !
öğrenci bir defter ve bir kalemi kaç farklı şekilde
6! + 5.5!
A) 7
4.
E) 120
I
işleminin sonucu kaçtır?
B) 11
C)21
D) 28
E) 49
A) 10
Bir lokantada 3 çeşit çorba, 5 çeşit yemek ve 4 çe­
şit tatlı vardır.
Bir çorba, bir yemek ve bir tatlıdan oluşan mönü
o
*•
E
kaç farklı şekilde seçilebilir?
"-
A) 9
D) 60
E) 16
seçebilir?
3.
C)32
B)15
C)20
D) 40
8.
B)20
C)30
D) 40
E) 50
P(5, 2) + 3.P(3, 3) + 4.P(5, 1)
işleminin sonucu kaçtır?
E) 60
A) 58
B)60
C)64
D) 72
E) 76
A köyünden B köyüne 4 farklı yoldan, B köyün­
den C köyüne 3 farklı yoldan gidilebilmektedir.
9.
A = { a, b, c, d, e }
Gidiş ve dönüşte B köyüne uğranmak ve gidişte
herhangi iki köy arasında kullanılan bir yol dönüş­
te kullanılmamak şartıyla, A köyünden C köyüne
kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaçında " c "
eleman olarak bulunur?
kaç farklı yoldan gidilip dönülebilir?
A) 12
A) 72
B)84
C)96
D) 120
6 kişilik bir gruptan bir başkan, bir başkan yar­
B)30
C)25
D) 24
C)24
D) 30
E) 36
1 0 . 4 farklı matematik, 3 farklı fizik kitabı bir rafa, kaç
farklı biçimde sıralanabilir?
dımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) 36
B)18
E) 150
E) 20
A) 7!
B) 4.3!
C)5!
D) 12
E) 7
439
MATEMATİK SORU BANKASI
14.
A = { 1 , 2 , 3, 4, 5,6, 7 }
11.
kümesi veriliyor.
"KARAKAŞ"
kelimesinin harfleri kullanılarak 7 harfli anlamlı
Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
1. Üç basamaklı 343 doğal sayı yazılabilir.
2. Üç basamaklı 147 tane çift sayı yazılabilir.
3. 5 ile bölünebilen üç basamaklı 40 doğal sayı yazı­
labilir.
4. 400 den büyük, üç basamaklı 196 farklı sayı yazı­
labilir.
5. 300 den büyük, üç basamaklı 140 farklı tek sayı
yazılabilir.
A) 320
A)1
D) 4
C)3
B)2
15.
C) 380
D) 400
E) 420
"22211334"
sayısının rakamları kullanılarak 8 basamaklı kaç
E) 5
farklı çift sayı yazılabilir?
A) 840
12.
B)360
B)810
C)780
D) 720
E) 600
B = { 0 , 1,2, 3, 4, 5, 6 }
Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi yanlıştır?
1. Rakamları tekrarsız üç basamaklı 180 farklı doğal
sayı yazılabilir.
2. Rakamları tekrarsız üç basamaklı 105 farklı çift
doğal sayı yazılabilir.
3. 5 ile bölünebilen rakamları tekrarsız üç basamaklı
60 farklı doğal sayı yazılabilir.
16.
^
—
^
sayısının rakamları kullanılarak 7 basamaklı kaç
farklı tek sayı yazılabilir?
yazılabilir.
5. 300 den büyük, rakamları tekrarsız üç basamaklı
50 farklı tek sayı yazılabilir.
A)1
B)2
D) 4
C)3
" 2200111 "
A) 40
B) 50
C) 60
D) 70
E) 80
E) 5
1 7 . Anne, baba ve 5 çocuktan oluşan bir aile anne ile
baba daima yan yana olacak şekilde bir yuvarlak
C = { a , b, c, d, e f }
13.
masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?
Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
B) 5! . 2!
A) 6!
4
1. 4 harfli anlamlı ya da anlamsız 6 değişik kelime
yazılabilir.
2. Harfleri birbirinden farklı 4 harfli P(6,4) değişik ke­
lime yazılabilir.
3. Sessiz harfle başlayıp sessiz harfle biten 4 harfli
anlamlı ya da anlamsız 576 değişik kelime yazıla­
bilir.
4. Her harf bir kez kullanılmak üzere, 4 harfli anlamlı
ya da anlamsız kelimelerin 24 tanesi sesli harf ile
başlar ve sesli harf ile biter.
5. İçerisinde " a " harfinin bulunduğu, harfleri tekrar­
sız 4 harfli anlamlı ya da anlamsız 240 değişik ke­
lime yazılabilir.
A)1
B)2
Cevaplar: 1-B
2-D
440
C)3
3-E
4-A
D) 4
5-B
6-C
D) 4 . 4!
8-A
9-E
E) 4!
1 8 . Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan 6 kişilik bir ai­
le, en küçük çocuk daima anne ile baba arasında
olmak şartıyla, yuvarlak bir masa etrafında kaç
farklı biçimde oturabilir?
A) 2! . 4!
B) 3! . 3!
D) 3 ! . 2!
E) 5
7-C
C)5!
10-A
11-D
12-B
13-E
14-E
C)4!
E) 3!
15-A
16-C
17-B
18-D
5.
BÖLÜM
1.
TEST
2
PERMUTASYON
4 farklı defteri ve 6 farklı renkte kalemi olan bir
3 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç
öğrenci bir defter ve bir kalemi kaç farklı şekilde
farklı şekilde sonuçlanabilir?
seçebilir?
A) 18
A) 6
2.
C)10
B)7
D) 18
6 kişilik bir gruptan bir başkan, bir başkan yar­
7.
dımcısı ve bir sekreter kaç farklı şekUue seçilebi­
B) 120
C)60
D
8.
D) 9
E) 4
P(8")
V > *-; —
r
+ 1)!
(n
u
«
u_
C) 30
C) 12
E
işleminin sonucu kaçtır?
B) 6
B) 18
c
6! - 5. 5!
A) 5
E) 3
E)30
7! - 6 !
3.
D) 6
4 çocuk 4 kişilik bir koltuğa, belli ikisi yan yana
A.) 24
D) 45
C)8
olmamak şartıyla kaç farklı şekilde oturabilirler?
lir?
A) 720
B) 12
E) 24
D) 36
olduğuna göre,
E) 72
A) 35
B) 41
n
kaçtır?
C) 42
D) 55
E) 56
n! - (n + 1)!
n!
9.
değişik şekilde oturabilir?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4 - n
B) n
D) n + 1
3 kişi, bir sıra halindeki 5 tane boş koltuğa kaç
A) 120
C) - n
B) 90
D) 60
E) 48
E) 2n
10.
5.
C)75
3334444
Birbirinden farklı 4 şiir kaseti, 3 türkü kaseti ve
5 şarkı kaseti olan birisi, kasetlerinden herhangi
sayının rakamlarının yerleri değiştirilerek yedi ba­
birisini kaç farklı şekilde seçebilir?
samaklı kaç farklı sayı elde edilebilir?
A) 12
B)20
C)30
D) 40
E) 60
A) 12
B)24
C)30
D) 32
E) 35
441
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
1 6 . 7 kişilik bir grup yuvarlak bir masa etrafına kaç
farklı biçimde sıralanabilirler?
{0,1,2,3,4,5}
kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı
kaç farklı çift sayı yazılabilir?
A) 108
12.
B)90
C)75
D) 72
A) 7!
17.
C)30
D) 24
E) 5!
MARMARA
A) 240
B)210
C)180
D) 140
E) 70
E) 18
18.
13.
D) 5 . 5!
kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız yedi
harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
kümesinin elemanları kullanılarak 5 ile tam bölünebilen, üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazıla­
bilir?
B)36
C) 6!
E) 60
A = {2, 4,5, 6, 8, 9}
A) 72
B)6.6!
A = {3, 4, 6, 7, 9}
B = {3, 4, 5, 6, 7}
kümesinin elemanları ile üç basamaklı kaç değişik
tek sayı yazılabilir?
kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı,
rakamları tekrarsız kaç çift sayı yazılabilir?
o
=
A) 12
A) 50
B)60
C)75
1 4 . 6 kişinin katıldığı bir koşuda Recep'in birinci ol­
mamak için sike yaptığı bilindiğine göre, ilk üç de­
rece kaç farklı şekilde gerçekleşebilir?
A) 210
B)180
C)120
D) 32
C)28
B)24
E) 36
E) 105 >E
D) 90
D) 100
E) 60
19.
BONİBON
kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek an­
lamlı ya da anlamsız, yedi harfli kaç kelime yazıla­
bilir?
A) 540
B)560
C)600
D)630
E) 720
1 5 . Bir sınıfta 4 gözlüklü, 8 gözlüksüz öğrenci vardır.
Bu öğrenciler, 12 kişilik bir sıraya, bütün gözlük­
süz öğrenciler yanyana gelecek şekilde kaç deği­
şik biçimde oturabilirler?
A) 12!
B)9!.4!
D) 10!
C)8! + 4!
E) 5! . 8!
2 0 . Bir haritada 10 şehir, 4 ü mavi, 3 ü kırmızı, 3 ü ye­
şil boyayla kaç farklı şekilde boyanabilir?
A) 3! . 4!. 3!
D)
B) 10!
10!
3!. 4!. 3!
C) 1 0 ! - 3 ! . 4 ! . 3!
E)
10!
6!. 4!
Cevaplar. 1-E 2-B 3-D 4-C 5-A 6-C 7-B 8-D 9-D 10-E 11-B 12-B 13-C 14-D 15-E 16-C 17-B 18-B 19-D 20-D
442
mtâm***.^
RMUTASYON
jısr
m
6.
0! +11 + 2! + ... + 20!
1.
Anne, baba ve yaşları farklı 5 çocuktan oluşan 7
kişilik bir aile, yuvarlak bir masa etrafında, en kü­
toplamının birler basağındaki rakam kaçtır?
çük iki çocuk daima anne ve baba arasında olmak
şartıyla kaç farklı biçimde oturabilirler?
A) 3
B)4
C)5
D) 6
E) 7
A) 24
(2n)!.(n-2)!
2.
B)48
C)52
D) 64
= 5
n!.(2n - 2 ) !
• C
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 3
B) 4
E) 72
C) 5
E) 7
D) 6
A şehrinden B şehrine 4 yoldan, B şehrinden C
şehrine 5 yoldan, B ye uğramadan A şehrinden C
şehrine 2 yoldan gidilebilmektedir.
3.
A = { 1,2,3,4}
:
o
Buna göre, A şehrinden C şehrine kaç değişik yol­
c
kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları fark-
-
lı, üç basamaklı, 3 ile tam bölünebilen kaç farklı
£
dan gidilebilir?
A) 11
sayı yazılabilir?
B)16
C)20
D) 22
E) 26
«
A) 6
B)9
C)12
D) 14
E) 15
u.
e
8.
3 ü sarı, 3 ü mavi renkli 6 tane özdeş düğme, yan
yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
4.
Birbirinden farklı 5 matematik, 4 fizik, 3 kimya ki­
tabı bir rafa dizilecektir.
A) 20
B)24
C)30
D) 36
E) 40
Fizik kitaplarının tamamı bir arada ve kimya kitap­
larının tamamı bir arada olmak şartıyla bu kitaplar
bu rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir?
A) 5!.4!.3!
B) 5!.4!.3!.2!
D)7!.3!.4!
C) 12!.3!.4!
9.
İki zarın atılması işleminde, olabilecek tüm durum­
ların kaç tanesinde üst yüze gelen sayıların çarpı­
mı çift sayı olur?
E) 71.71.12!
A) 23
B) 25
C)27
D) 28
E) 30
KELAYNAK
5.
kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek elde
edilen anlamlı ya da anlamsız, sekiz harfli kelime­
lerin kaçında K harfini sırasıyla E ve L harfleri ta­
kip eder?
A) 3.5!
B) 2.5!
C)5!
D) 4!
E) 3!
10.
001122
rakamları kullanılarak altı basamaklı kaç sayı yazı­
labilir?
A) 40
B)50
C)60
D) 80
E) 120
443
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
1 6 . Bir okulun öğrencilerine, alfabemizdeki sessiz harfler
22007773
ve rakamlar kullanılarak ilk hanesi harf, son iki tanesi
rakam olan üç haneli numaralar verilecektir.
sayısının rakamlarının yerlerini değiştirerek kaç
tane 3 ile başlayan sekiz basamaklı sayı elde
Bu okulda kaç öğrenciye numara verilebilir?
edilir?
A) 1710
A) 140 B)150 C)170 D) 210 E) 240
B)1800
D)2010
C) 1970
E) 2100
1 7 . 8 kişilik bir toplantı grubu, yardımcısı başkanın
sağında ve sekreteri solunda olmak üzere, bir yu­
1 2 . 3 ü kız, 4 ü erkek 7 öğrenci, herhangi iki erkek
varlak masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?
öğrenci yan yana gelmemek şartıyla, kaç farklı şe­
A) 8!
kilde yan yana oturabilirler?
A)7!-4!.4!
B)7!-4!.3!
D) 2.4I.4!
B) 7!.2
C) 4!.3
D) 5!
E) 5!.2
C) 4L4!
E) 4!.3!
18.
A = { 0 , 1,3,4, 7}
B = {2, 4 }
kümelerinin elemanları ile birler basamağı B kü­
mesinden onlar basamağı A kümesinden seçil­
1 3 . Birler basamağı tek sayı, onlar basamağı çift sayı
olan iki basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?
A) 45
B) 40
C)35
D) 25
mek üzere, iki basamaklı rakamları farklı kaç deği­
o
şik sayı yazılabilir?
E
£
A)24
>E) 20
B) 18
C) 16
D) 12
E) 7
1 9 . Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan 6 kişilik bir ai­
le, en küçük çocuk daima anne ile baba arasında
olmak şartıyla, yuvarlak bir masa etrafında kaç
1 4 . Bir madeni para art arda 7 kez atıldığında üçünün
yazı, dördünün tura geldiği kaç farklı durum olabi­
lir?
farklı biçimde oturabilir?
B) 5!.2!
A) 4I.6!
E) 3I.4
D)4!.3!
A) 35
B)70 C ) 1 4 0
D) 210
C) 3!.2!
E) 280
2 0 . 1 den 9 a kadar olan rakamlar,
herhangi bir satırda veya herhan­
gi bir sütunda iki tane tek rakam
1 5 . Özdeş beş tane kurşun kalem ve özdeş dört tane
tükenmez kalem, en başta ve en sonda kurşun
kalem olmak şartıyla, bir masa üzerine yan yana
kaç farklı şekilde konulabilir?
A) 21
B)35
C)70
art arda gelmemek şartıyla, şekil­
deki kutulara kaç farklı şekilde
yazılabilir?
A) 3!.2!
D) 140
E) 210
B)4!.5!
D)4!.4!
C) 5!.3!
E) 4.4!
Cevaplar: 1-B 2-A 3-C 4-D 5-A 6-A 7-D 8-A 9-C 10-C 11-D 12-E 13-E 14-A 15-B 16-E 17-D 18-E 19-C 20-B
444
PERMÜTASYON
•j_
(2n + 2 ) ! . ( n - 1)!
( 2 n ) ! . ( n + 1)!
6.
=5
kelimesinin harfleri kullanılarak "K" ile başlayan
dört harfli anlamlı ya da anlamsız kaç değişik ke­
olduğuna göre, n kaçtır?
lime yazılabilir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 4
A={0,1,2,3,4}
7.
B)6
4 kız ve 6 erkek yuvarlak bir masa etrafında kız­
şekilde oturabilirler?
maklı kaç farklı sayı yazılabilir?
A) 101-71.4!
B)48
C)36
D) 32
B)10!-7!.4
C) 9! - 7!
E) 24
D) 9! - 6I.4!
3.
E) 24
ların hepsi bir arada olmamak şartıyla kaç farklı
kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı üç basa­
A) 60
D) 18
C) 12
Bir mavi, bir siyah, bir kırmızı kalem, 7 çocuktan 3
£
8.
E) 9! - 6I.4
"KARTAL"
üne, her birine bir kalem verilmek şartıyla kaç değişik şekilde dağıtılabilir?
kelimesinin bütün harfleri kullanılarak 6 harfli, ilk
ve son harfi sessiz harf olan anlamlı veya an­
A) 210
B)180
C)144
D) 72
E) 35
lamsız kaç değişik kelime yazılabilir?
A) 80
4.
P(n,3) + P(n,4)
P(n,2)
<
B)7
9.
C)8
C)100
E) 144
D) 9
E) 10
"İSTATİSTİK"
sözcüğünün bütün harfleri kullanılarak yazılabile­
cek K ile başlayan 10 harfli sözcüklerin kaç tanesi­
nin son harfi S değildir?
A)
7.8!
B>*
18
72~
D) 7.8!
5.
D) 121
100
olduğuna göre, n doğal sayısı kaç farklı değer
alabilir?
A) 6
B)96
C)
7!
E)*
72
Farklı, 3 matematik, 2 fizik ve 4 kimya kitabı mate­
matik kitapları yanyana olmak şartıyla bir kitaplı­
ğın aynı rafına kaç değişik şekilde dizilebilir?
A)3L2L4!
B)3I.2I.4I.3I
D) 7!.3!
E) 3!.9!
C)6L3!
1 0 . 111220 sayısının bütün rakamları kullanılarak 6
basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir?
A) 35
B) 40
C) 50
D) 75
E) 100
445
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . A şehrinden B şehrine 3, B şehrinden C şehrine 3
değişik yoldan gidilebilmektedir.
A = { 1 , 2 , 3 , 4, 6,7, 9}
11.
kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaç tane­
A dan B ye, B den C ye gidip C den B ye, B den A
sinde "3" elemanı bulunur?
ya dönecek olan bir kişi, gidiş-dönüş güzergahını
A) 120
B)160
C)240
D) 380
kaç değişik şekilde seçebilir?
E) 480
A) 81
B) 42
C) 36
D) 30
E) 18
1 2 . 7 farklı oyuncak 3 çocuğa kaç farklı şekilde da­
ğıtılır?
A) 3! . 7!
17.
C)37
B) t
D) 7!
A={0,1,2,3,4,5}
kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek
E) 3!
üç basamaklı sayıların kaç tanesi 5 in katı olduğu
halde 10 un katı değildir?
A) 16
1 3 . Birbirinden farklı 5 Türkçe, 3 Matematik kitabı bir
rafa dizilecektir.
Belli iki Türkçe kitabı başta ve sonda olmak şartıyla, bu kitaplar rafa kaç değişik şekilde sıralanabi­
lirler?
A) 7!
C) 6 . 6!
B) 20 . 6!
D) 2 . 6!
1 4 . a,, b, c, d, e harfleri ve 0 , 1 , 2 , 3 rakamlarıyla
başta ve sonda harf olmak şartıyla iki tanesi harf
ve üç tanesi rakamdan oluşan beş hanelik kaç
farklı şifre oluşturulabilir?
A)1200
B)1400
D)1800
B)9
E) 60
*
o
1 8 . Üç kişi 5 kişilik bir koltuğa aralarında hiç boş­
luk kalmayacak şekilde kaç farklı şekilde otura­
bilirler?
B)48
C)36
D) 18
E) 16
1 9 . 4 idareci ve 4 üyeden oluşan bir yönetim kurulu
her idarecinin iki yanında mutlaka bir üye olmak
şartıyla, dairesel bir masa etrafında kaç farlı şekil­
de sıralanabilir?
A)288
E)2000
C) 18
D) 48
C)1600
1 5 . Üç zarın birlikte atılması işleminde, olabilecek tüm
durumların kaç tanesinde üst yüze gelen sayıların
çarpımı tek sayıdır?
A) 3
C) 30
-2
A) 60
E) 6!
B) 24
D) 27
E) 36
B) 144
C) 120
D) 90
E) 84
2 0 . Aynı özellikte; 2 kırmızı, 3 sarı, 4 mavi kalem
yanyana kaç değişik şekilde dizilebilir?
A) 9!
B)2!.3!.4!
D)1260
C) 2! + 3! + 4!
E)1200
Cevaplar: 1-B 2-B 3-A 4-C 5-D 6-B 7-D 8-E 9-A 10-C 11-E 12-C 13-D 14-C 15-D 16-A 17-C 18-D 19-B 20-D
446
5.
BÖLÜM
1.
TEST
5
PERMÜTASYON
6.
P(n + 2,2) = 3.P(n, 1) + 18
"ÇARPMA YAPMA"
kelimelerinin harfleri ile Ç ile başlayıp R ile biten
olduğuna göre, n kaçtır?
anlamlı ya da anlamsız 11 harfli kaç farklı kelime
A) 3
B)4
C)5
yazılabilir?
E) 7
D) 6
A)
11!
4!.2!.2!
D)
2.
B)120
C)180
D) 360
7.
E) 720
9!
11!
4!.2!.2!
2!.2!.2!
11
4!.3!.2!
103344 sayısının rakamlarının yerleri değiştirile­
rek altı basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?
A) 56
5 kişiden oluşan bir yönetim kurulu, başkan ve
yardımcısı yanyana olmak şartıyla yuvarlak bir
masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilir?
A) 2
B)3
C)4
D) 6
E) 12
D
«
8.
B)24
C)36
D) 48
E) 60
10!
" KALEM "
kelimesinin harflerinin yerleri değiştirelerek "K"
ile başlayan, beş harfli, anlamlı ya da anlamsız
kaç farklı kelime yazılabilir?
A) 5!
B)4!
C)2.4!
D) 5! - 4!
E) 3.3!
B)
3!.3!
6!
E) 82
C)
2!.2!
D) 5!
2!.2!
E) 4!
A = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı 750 ile
860 arasında kaç farklı tamsayı yazılabilir?
A) 16
5.
D) 78
kelimesinin harfleri kullanılarak BİL ile başlayıp
YAR ile biten on harfli anlamlı ya da anlamsız kaç
değişik kelime yazılabilir?
Aralarında Fatih ve Mehmet'in bulunduğu 5 kişi bir
sıraya oturacaktır.
A) 12
C)76
" BİLGİSAYAR "
A)
Fatih ve Mehmet yanyana olmak şartıyla kaç deği­
şik şekilde oturabilirler?
B)62
o
c
E
4.
C)
4!.3!.2!
10 koşucunun katıldığı bir yarışın ilk üç derecesi
kaç değişik şekilde sonuçlanır?
A) 30
3.
B)
B)18
C)24
D) 132
E) 36
1 0 . Tiyatroya giden x tane öğrenci x koltuğa 24
farklı şekilde oturabiliyorlar.
Buna göre, grupta bulunan Fatih ve Mehmet'in
yanyana geldiği kaç farklı oturma şekli vardır?
A) 4
B)6
C)12
D) 24
E) 48
447
MATEMATİK SORU BANKASI
11
"TIPIŞTIPIŞ"
16.
A = { 0 , 1, 2 }
kümesinin elemanları kullanılarak beş basamak­
kelimesinin harfleri kullanılarak 10 harfli anlam­
lı 3 ile tam bölünebilen kaç farklı doğal sayı ya­
lı ya da anlamsız " T " harfinden sonra " I " harfi
zılabilir?
gelecek şekilde kaç farklı kelime yazılabilir?
A) 27
B) 36
C)3100
B)2910
A) 2520
E) 162
D) 120
C) 54
E)4040
D)3360
1 7 . Boyları farklı 4 İngiliz, 3 Alman, 2 Fransız çocuk
her ülkenin çocukları gruplar halinde yanyana olacak
şekilde sıraya gireceklerdir.
1 2 . 1, 2, 3, 4 rakamları kullanılarak, rakamları farklı
kaç farklı doğal sayı yazılabilir?
A) 64
B)56
Her grubun en kısa boylu çocuğu en solda olacak
şekilde kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
E) 36
D) 42
C)48
A)4!.3!.2!
B) 3I.21.3!
D) 6!
C) 9!
E)4!.3!.2!.3!
1 3 . Bir pansiyonun 4 farklı odası ve her odasında da aynı
mönüye sahip 4 çeşit yemek vardır. Ali ve Ahmet bu
18.
A = { 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
pansiyona yerleşeceklerdir. Farklı odalarda ve farklı
yemek yemek istiyorlar.
Bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilirler?
A) 288
B)144
kümesinin elemanları ile rakamları farklı dört ba­
samaklı yazılabilecek sayıların kaç tanesinde 2
ve 5 yanyana bulunur?
o
c
C) 72
D) 64
o
E) 32
>-
A) 80
E
«
B) 88
C) 96
D) 100
E) 104
u_
19.
A = { 0 , 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
kümesinin elemanları ile rakamları farklı dört basa­
maklı sayılar yazılacaktır.
1 4 . Özdeş 3 mavi 5 sarı bilye, en az iki mavi bilye
yan yana olacak biçimde kaç farklı şekilde sıra­
lanabilir?
A) 21
Bu sayılardan kaç tanesinde rakamların üçü tek,
biri çifttir?
B) 24
C)34
D) 35
E) 36
A) 456
B)504
20.
m
1 5 . Şekildeki tabloda dikdörtgenler
her sütundan iki , her satırdan
bir adet seçilerek (şekilde verile-
fjf|f|
C) 602
D) 620
Hareket Günleri
E) 840
Hareket Saati
istanbul - Ankara Pazartesi, Çarşamba, Cuma
12.02
Ankara - Erzurum Perşembe, Cuma, Cumartesi
12.29
Yukarıdaki tablo İstanbul-Ankara ve Ankara-Erzurum
ne benzer biçimde) taranacaktır.
arasındaki tren seferlerini göstermektedir. Her iki yol­
culukta 1 gün sürmektedir.
Bu tablo kaç faklı şekilde
taranabilir?
Buna göre, İstanbul'dan Erzurum'a aynı hafta içinde
gitmek isteyen bir kişi kaç farklı şekilde gidebilir?
A) 6
Cevaplar: 1-B
448
B)30
C)60
2-E 3-E 4-D
5-B
E) 120
D) 90
6-D
7-D
8-E
9-C
10-C
A) 6
11-C
12-A
13-B
B)7
14-E
C)8
15-D
16-A
E) 12
D) 10
17-B
18-E
19-A
20-B
5.
BÖLÜM
TEST
6
PERMÜTASYON
6.
A = {0, 1,2,3,4,5,6}
Yuvarlak bir masa etrafında 5 bay ve 5 bayan, bir
bay iki bayan arasında olmak şartıyla kaç değişik
şekilde oturabilir?
kümesinin elemanları ile rakamları tekrarsız, 4000
den küçük, dört basamaklı kaç farklı çift sayı yazı­
A) 9!
labilir?
A) 210
2.
B)220
C)230
D) 240
B) 5! . 2
D) 5! .4!
E) 250
A = {0, 1,2,3,4,5,6}
kelimesinin bütün harfleri ile anlamlı ya da anlam­
mek şartıyla 4500 den büyük 6000 den küçük kaç
sız 10 harfli kaç değişik kelime yazılabilir?
değişik sayı yazılabilir?
B)136
C)160
E) 4! . 2
"KARAKARTAL"
kümesinin elemanlarıyla, rakamları tekrar etme­
A) 120
C) 8! . 2
D) 172
A)
E) 180
10!
B)
2I.4I.2!
10!
D) 10!.8!
C)2!+4!+4!
E) 10!-8!
O
A = {1,3, 5, 7, 9}
kümesinin elemanlarıyla oluşturulacak 3 elemanlı
£
permütasyonların kaç tanesinde " 1 " vardır?
©
" TIPITIP"
*».
kelimesinin bütün harfleri kullanılarak T ile başla­
A) 6
B)10
C) 12
D) 15
E) 36
yıp İ ile biten, anlamlı ya da anlamsız, yedi harfli
kaç kelime yazılabilir?
A) 10
4.
5.
B)15
C)20
D) 25
E) 30
5 farklı matematik ve 2 farklı fizik kitabı bir rafa yan
yana dizilecektir.
Fizik kitapları yan yana ve belli iki matematik kita­
bı kenarlarda olmak şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilir?
1198791 sayısının rakamlarının yerleri değiştirile­
A) 192
A) 360
B) 96
C) 60
D) 48
E) 24
rek yedi basamaklı kaç farklı tek sayı yazılabilir?
B)240
C) 180
D) 120
E) 60
Birbirinin aynısı 4 matematik kitabı ile birbirinin
aynısı 3 fizik kitabı bir rafa yan yana kaç farklı
şekilde sıralanabilir?
A) 7!
lı şekilde sıralanabilir?
B) 4! . 3!
D) 120
1 0 . 7 farklı anahtar dairesel bir anahtarlığa kaç fark­
E) 35
C) 4! . 3! . 2!
A) 7!
B) —
2
C)6!
6>
D) —
2
E) 5!
449
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . 8 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç
farklı şekilde sonuçlanabilir?
1 1 . Anne, baba ve 5 çocuktan oluşan 7 kişilik bir ai­
le, ejıkücjjk£pçujuleen_bj^^
mamak şartıyla, dairesel bir masa etrafında kaç
farklı şekilde oturabilir?
A) 320
B)360
C) 400
D) 440
A) 8!
B)2
£
D) 8.2!
C)8'
E) 8
E) 480
1 7 . 5 çocuklu bir ailede, babanın oturacağı yer sabit
1 2 . Sek sek oynayan bir çocuk A
karesinden başlayarak 3 kez
sekip B karesine ulaşacaktır.
olmak üzere, belli iki çocuk arasında anneleri ol­
mak şartıyla, kaç farklı biçimde yuvarlak bir masa
B
A
etrafında oturabilirler?
Bu çocuk geriye doğru sek­
meden her kareye bir kez uğ­
ramak şartıyla B ye kaç farklı şekilde ulaşabilir?
A) 15
B) 12
C)9
D) 7
A) 24
B)36
C)48
D) 120
E) 248
E) 6
1 8 . 4 doktor ile 2 asistan birlikte fotoğraf çektireceklerdir.
Asistanlar yan yana olacak şekilde üç kişi arka, üç
1 3 . Birbirinden farklı, belirli sayıdaki roman ve hikâye ki­
tapları bir rafa, aynı türden tüm kitaplar bir arada ol­
mak üzere, 12.(5!).4 farklı şekilde sıralanabilmektedir.
Hikâye kitapları romanlardan bir fazla olduğuna
göre, bu rafta kaç tane hikâye kitabı vardır?
A) 3
B)4
C)5
kişi ön sırada durarak kaç değişik poz verebilir­
ler?
A) 144
B)164
C)64
D) 56
"ERKAN"
kelimesinin harfleri ile yazılabilecek anlamlı ya da
anlamsız, harfleri farklı beş harfli bütün kelimeler
alfabetik sıra ile yazıldığında baştan kırk dokuzun­
cu kelime aşağıdakilerden hangisi olur?
E) 48
A) KAENR
B) KAERN
D) RAEKN
1 5 . A = {2, 3, 4,6,8,9,10, 15,21 }
kümesinin elemanları kulla­
nılarak, köşegenlerin birine
çift sayılar diğerine üçe bö­
lünen sayılar gelmek şartıy­
la, boş kareler kaç farklı bi­
çimde doldurulabilir?
A) 2.5İ.4!
A
C) NAEKR
E) RAENK
B C D E
a
b
c
20.
" RAMAZAN"
d
e
kelimesinin harflerinin yerleri değiştirelerek yazı­
labilecek yedi harfli anlamlı ya da anlamsız keli­
melerin kaç tanesi M harfi ile başlar fakat R harfi
B) 5!.4!
D) 4!.4!
E)262
E) 7
D) 6
1 4 . Murat ile Selim'in de aralarında bulunduğu altı ar­
kadaş, Murat ile Selim'in arasında en az bir kişi ol­
mak şartıyla, yuvarlak bir masa etrafında kaç fark­
lı şekilde oturabilirler?
B)72
D)242
O
19.
A) 84
C)192
C)2.4!.4!
E) 5.4!
ile bitmez?
A) 24
B)100
C) 120
D) 190 E) 240
Cevaplar: 1-B 2-C 3-E 4-B 5-E 6-D 7-A 8-E 9-A 10-D 11-E 12-C 13-C 14-B 15-C 16-B 17-C 18-C 19-A 20-B
450
Uyarı:
TANM
n, r e N ve n > r olmak üzere,
n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt küme­
lerinden her birine A kümesinin r - li bir kombi­
nasyonu (grubu) denir ve n elemanlı bir kümenin r
elemanlı bütün alt kümelerinin sayısı, C(n, r) veya
I
•
I
1. n elemandan r eleman seciliyorsa, (r - li bir grup (küme)
oluşturuluyorsa) sıralamanın önemi yoktur. Çünkü küme­
nin elemanlarının yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez.
Bu durumda kombinasyonla hesap yapılır.
2. n elemandan r tanesi seçilip bu r eleman sıralanıyorsa
permütasyonla hesap yapılır.
şeklinde gösterilir.
Buna göre permütasyon hesabı; n elemandan r elema­
nın seçilmesi (birinci iş) kombinasyonla hesaplandıktan
sonra, bu r elemanın sıralanmaları (ikinci iş) hesaplana­
rak (r!) birlikte gerçekleştirilen iki iş olarak düşünülüp ikisi­
nin çarpımı şeklinde yapılabilir. O halde,
n elemanlı bir kümenin r elemanlı permütasyonlannm
hepsi, bu kümenin r elemanlı bir kümesinin elemanları­
dır, dolayısıyla tek bir grubu (kümeyi) gösterir. O halde
r! sayıdaki sıralamanın hepsi 1 grubu gösterdiğinden,
P(n
n nin r - li permütasyonlarından — i, n nin r - li kom­
binasyonlarıdır. Buna göre,
C(n,r)-(n)\r /
P ( n
'r)
r !
ü'
r ! . ((n
n - r)!
o
Dört tane tek rakamdan ikisi
>-
Örnek: 1985-ÖYS
Bu 10 sporcudan takıma girecek iki kişi belli oldu­
ğuna göre, takım kaç değişik biçimde kurulabilir?
C) 56
D) 112
üç tane çift rakamdan biri
E
10 sporcudan beş kişilik bir takım oluşturulacaktır.
m\
3 ! = 108
7
6
3!
= 56
değişik biçimde kurulabilir.
Örnek:
10 kişilik bir sınıfta kız öğrencilerden oluşturulabilecek
ikişerli grupların sayısı, bu sınıftaki erkek öğrencilerin sa­
yısına eşittir.
( " ) = ( " ) dir. Buradan,
*
I
B)3
C)4
D) 5
E) 6
Sınıftaki kız öğrenci sayısına n denilirse, erkek öğrenci
sayısı 10 - n olur. Buna göre,
= 1-m n
( 2 J °" =*
n
( n ~ "0
I =I
"n
2
=> n (n + 1) = 20 = 4.5 => n = 4 tür.
j
=> (a = b veya n = a + b) dir.
Mü)-(:)-Mî)-(.M-*3.
n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sa­
yısı I
Çözüm:
Yn \
değişik sayı yazılabilir.
1.
Sınıfta kaç kız öğrenci vardır?
A) 2
3 değişik şekilde se­
Kombinasyonla İlgili Özellikler
l ]- - \ 3 ) ~
(?)•
6 değişik şekilde,
sıralanır. Buna göre, istenilen şartlarda,
E) 336
Takıma girecek 2 kişi belli olduğuna göre, diğer 3 kişi
kalan 8 kişi arasından seçilerek bu takım,
8
(İ)-
çilebilir. Seçilen bu üç rakam da 3! = 6 değişik şekilde
©
Çözüm:
8
dir.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 rakamlarını kullanarak, rakamları
farklı, ikisi tek birisi çift rakamdan oluşan üç basa­
maklı kaç değişik sayı yazılabilir.
dir.
O
B) 48
r !
Örnek:
-
Örneğin; 7 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme­
lerinin sayısı, I „ I = — — : — = 35 tir.
\3/
3!
A) 36
">=(")
*
J olduğundan,
m-
n elemanlı bir kümenin bütün alt kümelerinin sayısı
+ ... + 1
boş küme 1 elemanlı
alt kümeleri
I
| = 2 n dir.
kendisi
2 elemanlı alt kümeleri
451
MATEMATİK SORU BANKASI
Örnek: 1989 - ÖYS
Veya, 4 doğrudan seçilen herhangi ikisi bir kesim nokta­
n elemanlı bir kümenin r - li bütün kombinasyonları­
nın (kombinezonlarının) sayısı C(n, r) ile gösterildiği­
ne göre,
sı oluşturduğuna göre,
| 4 | =
\ 2/
2
lunabilir.
C(0, 0) + C(6, 3) = 3 C(m, m - 1)
eşitliğinde
m
A) 4
kaç olmalıdır?
B)5
C)6
Örnek: 1986-ÖYS
10 öğrenci arasından 4 kişilik bir ekip, bu ekip içinden
E) 8
D) 7
de bir başkan seçilecektir.
Çözüm:
Bir başkan ve üç üyeden oluşan bu ekip kaç değişik
biçimde oluşturulabilir?
C(0,0) + C ( 6 , 3 ) = 3 C ( m , m - 1 )
=> 1 +
6.5.4
3!
= 3.m
m = 7 dir.
A) 210
Örnek: 1982 - ÖYS
M, N, P, Q, R gibi beş değişik seçmeli dersten M ve N
dersleri aynı saatte verilmektedir.
B)6
C)9
D) 10
iî)-
•(S)-
5.4
10 farklı ikili grup oluş-
turulabilir. Ancak bu gruplardan birisi { M, N } dir.
M ve N aynı saatte verildiği için bunun dışında kalan
1 0 - 1 =9 farklı seçim yapabilir.
II. Çözüm:
M ve N den birisi ile P, Q, R den ikisi; ( ] • ( ) = 6
değişik şekilde, veya M ve N den herhangi biri seçilmeden
P, Q, R den ikisi I
1 = 3 değişik şekilde seçilebilir.
C)840
D) 1200
4\_10.9.8.7
1 )"
4!
4 = 840
.o
>,
o
>
6
u.
@
(?)•(
9\
9.8.7
I = 10
Örnek: 1996 - OYS
A B C
1
H
D
1
1
E
d.
1
1
F
1-
G H
Yukarıdaki şekilde d1 // d2 olduğuna göre, köşele­
ri bu 8 noktadan (A, B, C, D, E, F, G, H) herhangi
Örnek: 1981 - ÖSS
A) 45
II. Her doğru diğer üçünü kesmektedir.
III. Her kesim noktasından iki doğru geçmektedir.
C)6
Çözüm:
İstenilenlere uygun bir şekil
çizilerek 6 kesim noktası ol­
duğu görülebilir.
D) 7
C)52
D) 56
E) 72
I. Çözüm:
(îMSMîHîl-S
Buna göre şekilde kaç kesim noktası vardır?
B)5
B) 48
Çizilecek üçgenlerin bir köşesi d 1 , tabanı (diğer iki kö­
şesi) d 2 doğrusu üzerinde olabilir veya bir köşesi d 2 , ta­
banı (diğer iki köşesi) d1 doğrusu üzerinde olabilir. O
halde oluşacak üçgenlerin sayısı,
I. Şekil dört doğrudan oluşmaktadır.
A) 4
A, B.Ced,
d 2 D, E, F, G, H G d 2
üçü olan kaç üçgen çizilebilir?
özellik aşağıda verilmiştir.
ekip oluşturulabilir.
= 840 ekip oluşturulabilir.
O halde toplam, 6 + 3 = 9 değişik seçim yapılabilir.
Kesişen doğrulardan oluşan bir şekilde belirleyici üç
E)5040
II. Çözüm
Birinci iş olarak 10 kişiden 1 kişinin (grup başkanın)
seçimi, ikinci iş olarak da kalan 9 kişiden 3 kişinin
seçimi yapılırsa, birbirinden farklı;
E) 12
I. Çözüm:
Beş dersten
B)504
I. Çözüm:
Birinci iş olarak 10 kişiden 4 kişi, ikinci iş olarak da bu
4 kişiden 1 kişi seçileceğine göre, birbirinden farklı
Bu beş dersten ikisini seçmek isteyen bir öğrenci­
nin bu durumda kaç seçeneği vardır?
A) 4
= 6 kesim noktası oluşacağı hesapla bu-
E) 8
+ 5.3 = 45 tir.
II. Çözüm:
8 noktadan herhangi 3 ü doğrusal olmasaydı (
) = 56
değişik üçgen çizilebilirdi. Doğrusal olan herhangi üç
noktadan dolayı üçgenlerin sayısı toplam,
5
' = 1+10 = 11 tane daha az olacaktır. O hal-
(IH
de, şekildeki noktalarla 56 - 1 1 =45 üçgen çizilebilir.
452
KOMBİNASYON
BÖLÜM
1.
6.
A = { 1,2, 3, 4, 5, 6}
8 öğrenciden 3 tanesi Kırşehir'e, 5 tanesi Urfa'ya kaç farklı şekilde grup oluşturarak gidebilir­
ler?
kümesinin dört elemanlı alt kümelerinin sayısı
kaçtır?
A) 112
A) 6
B)15
C) 18
D) 20
B)84
C)56
D) 42
E) 28
D) 8
E) 9
E) 30
7.
2.C(n, 3) = P(n, 2)
olduğuna göre,
n
kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 5
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
B) 6
C) 7
E) 16
D
-
3
-
(S)-(î)-C)
olduğuna göre,
n
8.
men olmak üzere 3 kişilik bir ekip kaç farklı biçim-
_
de oluşturulabilir?
9
kaçtır?
A) 48
a
A) 14
B) 13
C) 12
D) 11
6 kişi arasından 3 kişilik bir ekip ve bu ekip için­
den bir başkan kaç farklı biçimde seçilebilir?
A) 60
B)50
C)45
D) 30
B)60
C)96
D) 120
E) 168
E) 10
9.
4.
8 öğrenci, 6 öğretmen arasından 2 tanesi öğret-
°
9 kişilik bir kafileden 2 kişi uçakla, 3 kişi gemiyle,
4 kişi de otobüsle yurt dışına gidecektir.
Bu üç grup kaç farklı biçimde oluşturulabilir?
E) 20
A) 252
B)504
C) 960
D) 1008
E) 1260
1 0 . 1 öğretmen ve 6 öğrencisi vardır.
5.
C(n, 1) + C(3, 3) = 0!+ I " )
Boş olan 3 koltuğa, öğretmen ayakta kalmamak
olduğuna göre,
A) 9
B)8
n
kaçtır?
C)7
şartıyla 3 kişi kaç farklı biçimde oturabilirler?
D) 6
E) 5
A) 120
B)90
C) 70
D) 60
E) 35
453
MATEMATİK SORU BANKASI
16.
1 1 . 6 erkek, 5 bayan öğretmenden oluşan bir gruptan
en az 5 i erkek olmak üzere, 7 kişilik kaç değişik
komisyon oluşturulabilir?
A) 65
B) 70
C) 75
D) 80
A = {1,2,3, 4, {a}, { b } }
kümesinin dört elemanlı alt kümelerinin kaç tane­
sinde eleman olarak " 3 " bulunur ve " 1 " bu­
lunmaz?
E) 85
A) 3
1 2 . 5 doktor ve 4 hemşire arasından seçilecek olan,
3 ü doktor olmak üzere, 4 kişilik bir ekip, yuvar­
lak bir masa etrafına kaç farklı biçimde oturabi­
lir?
A) 120
B)240
C)480
D) 720
B)80
C)70
D) 60
D) 6
E) 7
1 7 . Bir çember üzerindeki 7 nokta ile uçları bu nokta­
lar olan en fazla kaç kiriş çizilebilir?
A) 6
B)7
C) 15
D) 21
E) 35
E) 960
1 3 . 6 asistan arasından 1 başkan ve 3 üyeden olu­
şan 4 kişilik bir ekip kaç değişik biçimde oluşturulabilir?
A) 100
C)5
B)4
1 8 . 4 ü doğrusal 8 nokta ile en çok kaç tane farklı üç­
gen çizilebilir?
£
"^
A) 55
B) 54
C) 52
D) 50
E) 48
E) 40
19. â,//d2//<i3 ve
^ // ı2 II tz II ıA
olduğuna göre, yanda­
ki şekilde kaç farklı pa­
ralel kenar vardır?
1 4 . 6 tane farklı coğrafya ve 4 tane farklı matematik
kitabı arasından, aynı branştan 3 kitap kaç farklı
şekilde seçilebilir?
A) 7
15.
B)12
\2xJ
C)24
D) 64
A) 24
E) 120
B) 22
20.
\x+2J
C)20
D) 18
E) 12
A = { 3, 4, 5, 6, 9 }
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin topla­
mı kaçtır?
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç
tanesinde elemanların çarpımı 3 ile tam bölünür?
A) 9
A) 6
B)8
C)7
D) 6
E) 5
B)7
C)8
D) 9
E) 10
Cevaplar. 1-B 2-C 3-D 4-A S-E 6-C 7-A 8-D 9-E 10-B 11-A 12-B 13-D 14-C 15-E 16-B 17-D 18-C 19-D 20-E
454
TEST
KOMBİNASYON
BOLÜM ^•••^r.:
1.
6.
C(m, m - 2) + P(5, 2) = C(8, 4) - 2.P(m, 2)
5 bay ve 3 bayan arasından biri bayan olan 3 ki­
şilik bir grup kaç değişik şekilde seçilebilir?
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 24
A) 3
B)4
C)5
D) 6
7.
C)12
D) 13
E) 48
Bir çember üzerinde 8 farklı nokta vardır.
bilir?
tanesinde " 5 " eleman olarak bulunur?
B) 11
D) 36
Köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizile­
kümesinin en çok üç elemanlı alt kümelerinin kaç
A) 10
C)30
E) 7
A = {1,2, 3, 4, 5}
2.
B)27
A) 48
E) 14
o
>-
8.
E
o
u.
B) 56
C)64
D) 128
E) 256
Bir torbada 4 , diğerinde 5 top vardır.
Her çekilişte torbalardan eşit sayıda ve en çok 2
top çekilecek şekilde kaç farklı çekiliş yapılabilir?
Yukarıdaki şekilde, d1 doğrusu üzerinde 5, d doğru­
su üzerinde 6 tane nokta vardır.
A)58
d1 //d 2 olduğuna göre, bu 11 noktadan kaç fark­
B)65
C)74
D) 80
E) 100
lı doğru geçer?
A) 32
B)36
C)40
D) 50
E) 100
9.
Ali ve Veli'nin de içinde bulunduğu 10 kişilik bir
gruptan 4 kişilik ve 6 kişilik iki ayrı grup, Ali ve Ve­
4.
30 kişilik bir sınıfta bir başkan ve bir başkan yar­
li aynı grupta bulunmamak şartıyla kaç değişik şe­
dımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
kilde seçilebilir?
A) 900
5.
B)885
C) 870
D) 450
E) 435
Dört kişinin katıldığı bir sınav, başarı yönünden
B)16
C)20
D) 24
B) 72
C) 96
D) 112
E) 196
1 0 . 10 kişiden 3 kişi, bu 3 kişiden de 1 kişi kaç değişik
şekilde seçilebilir?
kaç değişik şekilde sonuçlanabilir?
A) 10
A) 56
E) 32
A) 30
B) 90
C) 120
D) 240
E) 360
455
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . Herhangi üç tanesi bir doğru üzerinde bulunma­
1 6 . 5 bay ve 3 bayan arasından en az biri bayan olan
yan, aynı düzlemdeki 8 farklı noktadan kaç değişik
3 kişilik bir grup kaç değişik şekilde seçilebilir?
doğru geçer?
A) 48
A) 28
B)48
C)56
D) 64
B)46
C) 45
D) 42
E) 40
E) 128
1 7 . 12 soruluk bir sınavda 8 soru cevaplandırılacaktır.
1 2 . 12 kişinin katıldığı bir toplantıda, toplantıya katılan
İlk 5 sorudan sadece 3 soru seçmek şartıyla ce­
üyelerin hepsi birbiriyle tokalaşmıştır.
vaplandırılacak 8 soru kaç değişik şekilde seçile­
bilir?
Buna göre, kaç tokalaşma gerçekleşmiştir?
A) 495
A) 44
B) 66
C) 72
D) 81
B) 280
C) 240
D) 210
E) 180
D) 19
E) 11
E) 96
1 8 . Yandaki şekilde en çok
kaç tane üçgen vardır?
1 3 . Herhangi ikisi paralel olmayan aynı düzlem üzerinde­
ki 15 doğrudan 3 ü A noktasından, 3 ü B noktasından,
3 ü de C noktasından geçmektedir.
Bu doğruların kesişiminden en çok kaç farklı nokta oluşur?
A) 99
x
>-
B)88
C)75
D) 54
E) 48
A) 22
E
o
B) 21
C) 20
@
1 9 . Bir torbadaki 5 toptan 2 tanesi sarı, diğerleri farklı
renktedir.
1 4 . 7 kişi, 2 kişilik ve 5 kişilik iki tane yuvarlak ma­
Bu torbadan üç farklı renkteki top, kaç farklı şekil­
sada kaç değişik şekilde oturabilir?
A) 504
B)500
C)496
D) 492
de alınabilir?
E) 488
A) 6
B)7
C)8
D) 9
E) 12
2 0 . Bir grup öğrenciden oluşturulabilecek 2 kişilik ekiple­
rin sayısı aynı gruptan oluşturulabilecek 7 kişilik
1 5 . n elemanlı bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sa­
ekiplerin sayısına eşittir.
yısı, 6 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir.
Bu gruptan 5 kişilik bir basketbol takımı ve bu ta­
Buna göre, bu kümenin en çok 2 elemanlı alt kü­
kım içinden bir kaptan kaç değişik biçimde seçi­
melerinin sayısı kaçtır?
A) 23
B)65
Cevaplar: 1-C 2-B 3-A
456
C)67
lebilir?
D) 89
E) 113
4-C 5-B 6-C 7-B 8-D 9-D
10-E
A) 126
11-A
12-B
13-A
B)450
14-A
C) 580
15-C 16-B
D) 630
17-D
18-B
E) 900
19-B 20-D
1.
P(a + 1,5) = 48
1
f: )
B) 7
C) 6
D) 5
kaçtır?
E) 4
A) 9
2.
15 kişilik bir sınıftaki kız öğrencilerle oluşturulabilecek
7.
2 şerli grupların sayısı, bu sınıftaki erkek öğrencilerin
sayısına eşittir.
B)5
D) 5
E) 3
Oyunculardan A ve B daima takımda forvet oyna­
C)6
D) 7
labilir?
E) 8
Birbirinden farklı dört çemberden herhangi birisi, diğer
üçünü farklı iki noktada kesmektedir.
^
£
8.
B)135
C)180
D) 225
E) 250
10 kişilik bir öğretmen grubunun 3 tanesi matematik
öğretmenidir.
Buna göre, bu dört çemberin en çok kaç kesim
*
İçlerinde en az bir tanesi matematik öğretmeni ol­
noktası vardır?
o
mak üzere 3 kişilik kaç farklı grup yapılabilir?
A) 15
4.
C)6
16 kişilik bir futbol kafilesinde 4 tane kaleci vardır.
A) 120
3.
B)7
yacağına göre, kaç farklı şekilde futbol takımı kuru­
Buna göre, bu sınıfta kaç tane kız öğrenci vardır?
A) 4
hUl)
olduğuna göre, n in alabileceği değerler toplamı
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 8
16
4n - 3
6.
C) 10
B)12
D) 8
E) 6
Bir binada iki tane 2 kişilik, bir tane 3 kişilik oda vardır.
7 kişi bu odalara kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?
A) 200
B)210
C)220
D) 230
E) 240
A) 83
9.
B) 85
C)90
D) 91
E) 94
İçlerinde İsmet ve Ahmet'in de bulunduğu 8 kişilik bir
öğrenci grubundan 3 ü Ankara'ya, 2 si İzmir'e kalanlar
da İstanbul'a gidecek şekilde üç gezi grubu oluşturula­
caktır.
İsmet ve Ahmet isimli iki öğrenci aynı gezi grubun­
da olmamak şartıyla gruplar kaç değişik şekilde
oluşturulabilir?
A) 140
5.
B)240
C)360
D) 420
E) 560
4 top ve 5 top alabilen iki farklı torba vardır.
3 ve 7 nolu toplar farklı torbalarda olacak şekil­
de 9 farklı numaraya sahip toplar, bu torbalara kaç
farklı şekilde atılabilir?
1 0 . 5 kişinin katıldığı bir sınav; en az iki kişi başarılı
olmak şartıyla, başarı yönünden kaç farklı şekilde
sonuçlanabilir?
A) 70
B)80
C)82
D) 84
E) 86
A) 29
B) 28
C)26
D) 27
E) 25
457
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . 2 kişilik olan A, B, C, D asansörlerine 8 kişi kaç
1 1 . İkişer ikişer kesişen 8 çemberin kesim noktaları­
farklı şekilde binebilir?
nın sayısı en çok kaçtır?
A) 24
B) 38
C)44
D) 56
E) 64
A) 50
1 2 . Düzlemde 4 tanesi bir A noktasından, 3 tanesi bir
B) 1200
C)7!
D) 8!
E)2520
1 7 . Bir annenin çantasında 8 tane 5 milyonluk ve 3 ta­
B noktasından geçen ve diğer ikisi de paralel olan
ne 10 milyonluk vardır.
9 tane doğrunun, en çok kaç tane kesim noktası
vardır?
Anne, 25 milyon TL yi kızına kaç farklı şekilde
verebilir?
A) 24
B) 28
C)30
D) 32
E) 36
A) 248
B)208
C) 188
D) 104
E) 56
1 3 . C(7, 2) + C(7, 3) + C(7, 4) + C(7, 5) + C(7, 6) + C(7, 7)
1 8 . Yandaki şekilde
işleminin sonucu kaçtır?
B, H, K, L, M, N doğrusal
t.
A) 128
B)127
C) 121
D) 120
E) 108
^
O
>E
«
1 4 . Herhangi üç tanesi bir doğru üzerinde bulunmayan 9
B, C, D, E, F, G doğrusal
noktalardır.
Buna göre, şekilde bir
köşesi K noktası üze­
rinde olan kaç farklı üçgen vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
farklı noktanın iki tanesi A ve B dir.
A veya B noktasını köşe kabul eden kaç farklı üç­
gen çizilebilir?
A) 36
B)42
C)49
D) 52
E) 63
1 9 . 6 seçmeli dersten belli ikisi aynı saatte verilmektedir.
Bir öğrenci, bu 6 dersten 3 dersi kaç değişik şe­
kilde seçebilir?
A) 4
1 5 . Yandaki
şekilde;
B)6
C)10
D) 16
E) 20
çember
üzerinde 9 nokta, doğru üze­
rinde ise 5 nokta vardır.
2 0 . 4 öğrenci 5 farklı sınıfa, sınıflardan herhangi üçü­
Buna göre, tabanı çember
ne hiç öğrenci gönderilmemek ve diğer iki sınıfa
üzerinde, tepesi ise doğru üzerinde bulunan kaç
en az bir öğrenci gönderilmek şartıyla kaç farklı
farklı üçgen pramit oluşturulabilir?
şekilde yerleştirilebilir?
A) 420
B)380
C) 360
D) 340
E) 310
A) 140
B)150
C)160
D) 240
E) 260
Cevaplar: 1-D 2-B 3-B 4-B 5-A 6-D 7-C 8-B 9-D 10-C 11-D 12-B 13-D 14-C 15-A 16-E 17-A 18-C 19-D 20-A
458
1.
6.
Bir futbol turnuvasına 16 takım katılmıştır.
Bütün takımlar birbirleri ile birer kez karşılaştığına
göre, toplam kaç maç yapılmıştır?
A) 64
B)98
C)112
D) 119
6 erkek ve 5 bayanın bulunduğu bir topluluktan 7
kişilik bir kurtarma ekibi oluşturulacaktır.
Ekipte en çok 3 erkek olacağına göre, kaç farklı
kurtarma ekibi kurulabilir?
E) 120
A) 85
2.
Bir sınavda 5 matematik ve 4 geometri sorusu sorul­
muştur. Öğrencilerden matematik sorularından 5. so­
ruyu kesin çözmeleri istenmiştir.
B)30
C)36
D) 42
C) 105
D) 115
E) 120
A = { a, b, c, d, e, f, o, u }
kümesinin elemanlarıyla anlamlı yada anlamsız en az
üç tanesi sessiz harf olan 4 harften oluşan harfleri
farklı kelimeler yazılacaktır.
Buna göre, öğrenciler 3 matematik 2 geometri
sorusunu kaç farklı seçip çözebilirler?
A) 24
B)90
E) 48
Kaç farklı kelime yazılabilir?
D
C
A) 12.5!
O
B)16.4!
D) 12. 4 !
C)17.4!
E) 15.4!
E
3.
3 çocuklu bir ailede anne veya baba yanlarına
en az bir tane çocuğunu alarak, kaç farklı şekilde alış verişe gidebilirler?
A) 12
B) 16
C)19
D) 21
E) 24
£
Q
8.
Bir grup öğrenci arasından 2 kişilik spor kolu ekibi ve
2 kişilik müzik kolu ekibi 210 farklı şekilde oluşturula­
bilecektir.
Buna göre, bu grupta kaç öğrenci vardır?
4.
-'.)
+
C(a,a-2)-|3ı5) = 0
A) 5
B)6
C)7
D) 8
E) 9
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
9.
5.
İki basamaklı doğal sayıların kaç tanesinde birler
basamağındaki rakam, onlar basamağındaki ra­
kamdan büyüktür?
A) 50
B)45
C)42
D) 36
E) 30
Şekildeki 12 nokta kullanılarak köşeleri bu noktalar
üzerinde olan kaç farklı üç­
gen çizilebilir?
A
B
I
A) 143
B)197
C)201
D)203
c
H
D
G
E) 217
459
MATEMATİK SORU BANKASI
1 0 . Bir öğrenci, içinde kırmızı ve mavi renklerin bulun­
1 5 . Şekildeki A, B, C, D,
duğu 6 farklı renkli kalemden, içinde kırmızı veya
E, F, G, H, K noktala­
mavi rengin bulunmadığı 3 kalemi kaç farklı seçe­
rı kullanılarak, en
bilir?
fazla kaç tane üçgen
A>4\
D
B) 12
C)16
D) 18
E) 20
A) 69
F
P\A
oluşturulabilir?
A) 10
E
D) 84
C)78
B) 71
E) 95
1 1 . 4 erkek 3 bayandan oluşan bir doktor toplulu­
ğundan en az bir bayanın bulunduğu 3 kişilik bir
ekip yuvarlak bir masa etrafına kaç farklı şekilde
oturabilirler?
A) 18
B)30
L
1 6 . Yandaki şekilde;
C)62
D) 80
E) 120
L
1
/ / L
2
L
5
/ / L
6
/ / L
/ / L
3
7
/ / L
/ / L
4
9
L8 L7
L-
L5
V e
8
/ / L
9
dur.
Buna göre, bir kenarı
L_ veya L doğrusu üzerinde olan kaç farklı para-
1 2 . Bir otelde, 4 yataklı bir oda 3 yataklı iki oda vardır.
lelkenar oluşturulabilir?
Aralarında Ali ve Hasan'ında olduğu 10 kişi, bu
oteldeki odalara, Ali ve Hasan aynı odada kalacak
şekilde kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?
A) 560
B)780
D)1280
A) 21
£
B) 28
C)36
E) 48
D) 42
"c
C)1120
E
•
E)2680
1 7 . 15 kişilik bir takımda 5 oyuncu yabancı oyuncudur.
Seçilecek 11 kişiden Mustafa ve Hasan'ın oynaması.
kesindir.
1 3 . Matematik, Fizik ve Kimya öğretmenlerinin bulunduğu
Bu takımda en fazla 3 yabancı oynayabileceğine
15 kişilik bir topluluktan aralarında Matematik öğret­
göre, bu takım kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
meninin bulunmadığı 3 kişilik bir grup 20 farklı şekilde
seçilebilmektedir.
A) 280
B)360
C) 365
D) 405
E)'465
15 kişilik bu topluluktan iki Matematik öğretmeni
kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) 28
B)36
C)45
D) 55
E) 66
1 8 . Herhangi ikisi aynı yaşta olmayan 5 çocuklu bir aile
herhangi üç çocuk daima anne ve babanın arasında
kalacak şekilde, bir sıraya oturacaklardır.
Buna göre, seçilen çocuklardan en küçüğü daima
1 4 . Aynı marka ve aynı model 3 bilgisayar, 7 öğren­
diğer iki çocuğun ortasında olmak şartıyla kaç
ciye, bir öğrenciye en çok bir bilgisayar verilmek
farklı şekilde oturabilirler?
şartıyla kaç değişik şekilde dağıtılabilir?
A) 28
B)35
Cevaplar: 1-E 2-C 3-D
460
C)42
4-D
5-D
D) 64
6-D
A)80
E) 84
7-C 8-C 9-C
10-C
11-C
12-C
B)120
13-B
C)144
14-B
15-B
D)160
16-D
17-C
E) 240
18-D
' „". c ?wSEP w* • >
*«
-^^HöiS-v
1.
TEST
« KOMBİNASYON
f-5: • •
\?*S - mim*?..
^f
Üç basamaklı doğal sayıların kaç tanesinde onlar
9 soruluk bir sınavda 6. ve 8. soruları cevaplamak
basamağındaki rakam; yüzler basamağındaki ra­
zorunludur.
kamdan küçük, birler basamağındaki rakamdan
Toplam 7 tane soru cevaplamak zorunda olan bir
da büyüktür?
öğrenci kaç farklı şekilde seçim yapabilir?
A) 300
B)240
C) 120
D) 90
E) 84
A) 42
B) 32
C)21
D) 16
E) 5
A = { 1 , 2 , 3, 4 }
2.
A = { 1,2, 3, 4, 5, 6 }
B = { 3 , 5, 7 }
kümesinin elemanları ile içerisinde "1 veya 2" nin
A kümesinden rastgele seçilen iki sayı birbiri ile çarpı­
olmadığı kaç farklı üç elemanlı alt kümeler yazıla­
lıp daha sonra B kümesinden seçilen bir sayı ile topla­
bilir?
A) 18
nıyor.
B)16
C)14
D) 12
E) 10
Buna göre, toplam sonucun tek sayı olabilmesi
için, bu şekilde kaç farklı işlem yapılabilir?
A) 20
3.
3 kimya ve 4 fizik öğretmeninin bulunduğu bir top­
luluktan en az bir kimya öğretmeninin bulunduğu
3 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebililir?
A) 20
B) 21
C)25
D) 27
E) 31
o
>E
e
B)19
C)15
D) 11
E) 3
8 kişilik bir ekipten, 5 kişi İzmir'e 3 kişi Ankara'ya gide­
cektir.
Ali'nin İzmir'e, Veli'nin Ankara'ya gitmesi kesin ol­
duğuna göre kaç farklı seçim yapılabilir?
A) 15
4.
B)30
C) 45
D) 50
E) 60
n elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin
sayısı ile n - 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı
Barbaros, Mustafa ve Sevinç'in bulunduğu 11 kişilik
toplamı 112 olduğuna göre, bu kümenin 4 ele­
kadrodan 7 kişilik bir ekip oluşturulacaktır.
manlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Barbaros ve Mustafa'nın bulunduğu Sevinç'in ise
A) 5
B)15
C)35
D) 70
E) 100
bulunmadığı bu ekip kaç farklı şekilde seçilir?
A) 14
5.
Uğur'un içinde bulunduğu A grubu 5 kişi, Salih'in
içinde bulunduğu B grubu 6 kişidir. A grubundan 3
kişi B grubundan 4 kişi seçilerek 7 kişilik bir komis­
yon yapılacaktır.
Uğur ve Salih'in birlikte olmadığı bu komisyon kaç
farklı şekilde yapılabilir?
A) 70
B)80
C)90
D) 100
E) 110
B)28
C) 36
D) 42
E) 56
1 0 . Bir sınıftaki öğrencilerden 2 tanesi erkek, 1 tanesi kız
olmak üzere 3 kişilik bir grup 56 farklı şekilde seçi­
lebilmektedir.
Bu sınıftaki belli iki erkek öğrenci dışındaki erkekler­
den oluşturulabilecek 2 kişilik değişik grupların sa­
yısı 15 olduğuna göre, bu sınıfın mevcudu kaçtır?
A) 6
B)8
C) 10
D) 11
E) 12
461
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı ile
n -1 elemanlı alt kümelerinin sayısı toplamı 23n
olduğuna göre, A kümesinin n - 2 elemanlı alt
kümelerinin sayısı kaçtır?
A) 45 B) 55
C) 66
m-m-m-"-!!!)
16.
A = {1,2, 3, .. .,n}
D) 72
toplamının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)2
S
b
C)2-
D)2
10
EJ2
1
E) 78
P(n, 7) = 7!C(n,4)
17.
12.
B)2
A = { a, b, c, d, e, f }
eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır?
şeklinde verilen A kümesinde a, b, c pozitif gerçel
sayılar; d, e, f ise negatif gerçel sayılardır.
A) 4
B)7
C)9
E) 13
D) 11
A kümesinden alınan üç elemanın çarpımının ne­
gatif bir sayı olması kaç farklı şekilde gerçekleşir?
A) 3
B)4
C)6
D) 9
E) 10
1 8 . 10 kişilik bir sınıftan seçilecek 4 kişi yuvarlak bir masa
etrafına sıralanacaktır.
Aralarında sınıf başkanının da bulunması şartıyla,
seçilen 4 kişi masa etrafına kaç farklı şekilde otu­
rabilir?
1 3 . Yandaki şeklide
kaç üçgen vardır?
o
>-
A) 488
B)496
C) 504
D) 512
E) 624
E
e
A) 58
B) 60
C) 62
D) 64
E) 66
1 4 . 6 farklı oyuncak, 3 çocuğa, eşit sayıda, kaç deği­
şik şekilde dağıtılabilir?
1 9 . Şekildeki A, B, C, D,
E, F, K, L, M, N nokta­
ları kullanılarak en az
bir köşesi çember
üzerinde olan kaç üç­
gen çizilebilir?
A)115
A) 60
B) 65
C) 70
D) 80
1 5 . Aralarında Furkan'm da bulunduğu bir topluluktan
oluşturulabilecek en az 2 kişilik gruplardan Fur­
kan'm bulunduğu grupların sayısı 255 olduğuna
göre, Furkan'm bulunmadığı 5 kişilik bir grup kaç
farklı şekilde oluşturulabilir?
A) 252
B)210
C) 126
D) 56
Cevaplar: 1-C 2-B 3-E 4-D 5-C 6-C 7-C 8-A
462
B)112
C)110
D) 108 E) 106
E) 90
E) 21
9-E
10-C
2 0 . 3 bayan ve 6 bay arasından 3 er kişilik üç grup oluş­
turulup, üç farklı şehire gönderilecektir.
Her grupta bir bayan bulunması şartıyla bu üç
grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
A) 540
11-E 12-E
13-D
B)360
14-E
15-D
C) 240
16-D
17-D
D) 180
18-C
E) 90
19-B 20-A
5.
BÖLÜM
BINOM FORMÜLÜ
ne N ve x ve y den en az biri sıfırdan farklı olmak üzere,
(X+y)n=
(S)
Xn +
Xn
(l) "
,y+
(2) —
" +...+ıy
Xn
I, ... ,
I,
J x ' y
r
dir.
2y
6. Katsayılar üçgeninden, I
eşitliğine binom formülü (binom açılımı),
I,
n
5. Baştan r + 1 inci terim:
I sayılarına da binom kat­
7. (x + y)
2n
I + (
+
j = I
açılımında ortadaki terim: (
n
)x y
I dir.
n
dir.
sayıları denir.
Örnek:
1. (-y,M 0 5 W=)*V( 2 5 )xy + ... + m y *
•
x = y = z = 1 yazılırsa, (2.1 + 3.1 - 1) 5 = 45 = 1024 tür.
= x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
2.
(x-2)'
-CHî \\(-2) +
5
(2x + 3 y - z ) 5 ifadesinin açılımında katsayıların toplamı;
l5M-2f+.
IH'Ml İDVMIHI
2)'
7.6.5
= x5 - 5x4.2 + 10.x3.4 - 10.x2.8 + 5.x.16 - 32
Örnek: 1991 - OSS
= x5 - 10x4 + 40x3 - 80x2 + 80x - 32 dir.
Binom k:atsayıları aşağıdaki üçgeni meydana getirir.
(x+y)°
(o)
(x+y) 2
(x
+
y) 3
(x+y)
4
K
W\P
D) 128
E) 256
Çözüm:
(M
ı:)i;m
m:)
V V V V
T
nin açılımında x° li terimin katsayısı
kaçtır?
A) 84
B)48
C)28
D) - 48
E) - 84
Çözüm:
jî)(ip-x.)W-k.(^~,-„'
,7-r
Her terimde x ve y nin üsleri toplamı n dir.
3. Katsayılar toplamı, x ve y (değişkenler) yerine 1 yazıla­
rak bulunur.
<->"-MoM:Hâ)
= (
C)64
Örnek: 1990 - ÖYS
1. n + 1 terim vardır.
I
B)32
A) 16
= (4 - 2) 5 = 32 dir.
(x + y) n ifadesinin açılımında:
4.
olduğuna göre, x5 - 5x4y + 10x 3 y 2 - 10x 2 y 3 + 5xy4 - y5
ifadesinin değeri nedir?
(x - y) 5 = x5 - 5x 4 y + 10x 3 y 2 - 10x 2 y 3 + 5xy 4 - y5
Sonuç:
2.
c
;
<w >
x = 4, y = 2
-5
*
(J)
v ! (!)
(x + y) 1
= 35 tir.
+ ... + I
ı dir.
I olduğundan, baştan ve sondan eşit
(i) <'•>'- x
ö
=> x r " 7 + 2 r = x8 =» r = 5 tir.
Buna göre,
k=^).27-5.(-l)5=Z_İ.22.(_i)
i
(*)
=> k = - 8 4 tür.
uzaklıktaki terimlerin katsayıları mutlak değerce eşittir.
463
MATEMATİK SORU BANKASI
Örnek: 1998-OYS
Örnek: 1997-OYS
2
23
2
(3x + 2 y )
ün açılımında baştan 11. terimin kat­
sayısı kaçtır?
(x -2y )
( C (n, r ) : n elemanlı bir kümenin r - li kombinasyonla­
rının sayısı.)
A) - 48
n
4
4
açılımında
x y
B) - 24
C) 12
iü terimin katsayısı
kaçtır?
D) 24
E) 48
Çözüm:
A)2
10
.3
13
B)2
11
. C(23, 12) D) 2
12
. C ( 2 3 , 10)
12
. C(23, 11)
11
. C(23, 12)
.3
(x + y)
C) 2
11
. 3
12
E)2
13
.3
11
.3
açılımında herhangi bir terimdeki değişkenlerin
2
4
4
n
k. x . y = (
2
2
j •( x ) ® . ( - 2y )® olduğundan n = 4,
2
2
Buna göre, 11. terim,
r de y nin üssü olduğundan, (y )
C(23, 10).(3x) 2 3 " 1 0 . (2y) 1 0 = k . x 1 3 . y 1 0
O halde, k = (
olur.
] • ( - 2 ) 2 = - i ı ? - . 4 = 25 tir.
Uyarı:
(ax + by + cz) n açılımında, x p . y q . z r li terim:
(x + 2 y ) 8 = x 8 + . . . + 1 6 a x 3 y 5 +. .
(ax)p.(by)q.(cz)r.
eşitliğinde a hangi sayıyı göstermektedir?
B)200
4
C) 148
D) 112
E) 96
o
2.
n!
dir.
p !. q !. r !
(x + y + z) n ifadesinin açılımındaki terimlerin sayısı:
c
Çözüm:
x
(n + 1) (n + 2)
dir. (n e N)
x in 3. kuvveti, y nin 5. kuvveti geldiğine göre,
[ g].x3(2y)5=16ax3y5
Örnek:
Q
İÎ)
ve r = 2 dir.
1. p, q, r birer doğal sayı ve p + q + r = n olmak üzere,
Örnek: 1988-OYS
A) 248
açılımında;
n=2+2=4
. C(23,11)
Çözüm:
r + 1 =11 olduğuna göre, r = 10 dur.
=>k = 2 10 .3 13 .C(23,10)
2
üsleri toplamı n olduğuna göre (x - 2y )
5
8.7.6
2 = 16a =>
32 = 16a
3.2.1
=> a = 112 dir.
(x - y + 2)
ifadesinin açılımında,
a) Terim sayısını,
b) x2 y2 nin katsayısını bulalım.
Çözüm:
a) (x - y + 2) 5 = [ (x - y) + 2 ]5 şeklinde düşünelim.
Örnek: 1996 - OYS
(^(x-y)=.2
C)18
(^(x-y) .2
D) 20
Çözüm:
=» x6-r.x"2r=x0 ve k = ( M
+
E) 22
Sterim
6 + 5 + 4 + ... + 1 =
...+(^2
•*•
+ ... +
iterim
6.7
= 21 dir.
+
1 )
-(5+2>
.21
dir.
b) ( x - y + 2) 5 = ... + k.x 2 y 2 + ... ise,
5!
. , 2 2
2 L 2 L 1 ! = k.x y
x 2 y 2 . ( - 1 ) 2 . 2 . 3 0 = k x 2 y 2 => k = 60 tır.
464
5
Veya, n = 5 olduğundan, terim sayısı formülünden,
x2.(-y)2.21
=> r = 2 ve k - f g ) = ^ - = 15 ti
tir.
+
Buna göre, açılımdaki terimlerin sayısı,
(5
(?)•"-'•(-?)'-'•'
1
-v
6 terim
ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?
B)16
4
+
4^
x + —
x
A) 15
0
TEST
BOLUM
Sİ. ite^^iiZ^^ıMHOMk^^'
?İSB8W$^
'^#$^Ws^ *>*«^>*'* *»ııv*A *** P"
<
j*
i
1.
I»*Î> */>*",
«&
*
r.rV-*.
(2x - 3y)
^•^^
.,
->'
"»•»'• + - . > « . -
'•%":•'
5
2
"
açılımında katsayılar toplamı kaçtır?
x
açılımında sabit terim kaçtır?
A)-32
B)-16
C)-1
D) 8
E) 16
A) 6
B) 15
C)20
D)-20
E)-15
4
2.
(x + 3y)
b
açıiımındaki bir terim
a + b kaçtır?
A) 89
B)99
2
2 n
(x + 3y )
a.x.y
C)108
olduğuna göre,
D) 111
4
4
açılımında bir terim x .y lü terimin katsayısı kaç­
tır?
|
E) 121
A) 30
B) 36
C) 45
D) 54
E) 60
(x + 3y)5 = .. . + A.x2.y3 +
3.
O
eşitliğindeki A değeri kaçtır?
A) 270
B)240
C) 150
(x-2y) 8 = x 8 - . . . + 16.a.x3y5 +
E
e
D) 81
E) 60
ifadesinde a değeri kaçtır?
©
A) 56
4.
B)28
C)-28
D) - 56
E)-112
(x + y)n
açılımında baştan 3. terimin katsayısı 28 olduğu­
na göre, n kaçtır?
A) 10
B)9
C)8
D) 7
9.
(/2+ı)
açılımında ortanca terim kaçtır?
E) 6
A) 12
5.
4
B)16
C)18
D) 24
E) 30
(a + b) 11
ifadesi a nın azalan kuvvetlerine göre açıldığında,
baştan 4. terimin katsayısı sondan n. terimin katsayı­
sına eşittir.
10.
3
ı.3\5
(a3-b3)
açılımında a çarpanı bulunmayan terim aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, n kaçtır?
A) b8
A) 8
B)7
C)6
D) 5
E) 4
B) b 15
C) - b 15
D) b9
E)-bö
465
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
(x-y)
ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açıldığında,
baştan 4. terimin katsayısı kaçtır?
A) 240
B)120
C)-60
p-(î)"4--(5)
16.
10
D)-120
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2
D)(x -1)
12.
(x-y)
B)3
5
E)(1-xr
£
6
C)4
D) 5
x' 2
— + —
17.
açılımında en küçük katsayılı terim baştan kaçıncı
terimdir?
A) 2
2
C) (x + 1)
5
B)(x + 1)
A)(x-ır
E)-240
2
E) 6
x3
açılımında sabit terim kaçtır?
A) 1
B)5
C)10
D) 12
E) 20
(2x - 3y) 10
13.
açılımında baştan 3. terim aşağıdakilerden hangi­
sidir?
A) ( 1 2 °)(2xA- 3yr
B)( 1 1 °)(2x) 9 (-3y)
C) ( 3°) (2x)7(- 3y)3
D) ( 1 °) (2x)4(- 3y)6
E)P(10,3)(2x)7(-3y)3
açılımındaki x
A) 126
15.
açılımında a lü terimin katsayısı kaçtır?
A) 15
6
19.
C)66
D) 42
B) 6
C)-6
D)-15 E)-20
(x-2y + a)
A)-1
E) 21
B)0
C)1
D) 2
E) 3
(2x - 3y + a)5
20.
(X3-1)1°
3
açılımındaki terimlerin katsayılar toplamı -1 oldu­
ğuna göre, a kaçtır?
li terimin katsayısı kaçtır?
B)84
a.(a-1) 6
18.
®
(M
14.
o
c
ifadesinin açılımında sondan 2. terimin katsayısı
kaçtır?
ifadesinin açılımında sabit terim 32 olduğuna
göre, a kaçtır?
A) 45
A) 5
B)10
C)5
D)-1
E)-10
B)4
C)3
D) 2
E)1
Cevaplar: 1-C 2-D 3-A 4-C 5-E 6-B 7-D 8-E 9-A 10-C 11-D 12-C 13-A 14-B 15-E 16-A 17-B 18-E 19-B 20-D
466
8K8S3&?>*^
HSf
WS^M
1.
(ax-3y)
6.
4
3
2a3
açılımında katsayılar toplamı 256 olduğuna göre,
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
a kaç olabilir?
B)0
A)-1
D) 2
C)1
A)
E) 3
35
B)
24
28
C)
7.
2
Ki)'
2.
A)6.(
C) - 14
3.
D) 7
E) 6
27
§
,..(?)
16
E)
>s
o
a
8.
c..(î)
n, poziıif tamsayıdır.
>-
/3
E
ifadesinin açılımında a nın katsayısı kaçtır?
A)-28
50
Buna göre bu terim kaçtır?
kaçtır?
B) - 7
3
D)
24
ifadesini n açılımında herhangi bir terim reel sayıdır.
ifadesinin açılımında x-5 y..3 lü terimin katsayısı
A)-
+
49
B)-15
C)15
D) 28
«
a+
u.
a /
E) 70
açılımında a
1
li terimin oluşması için n in alabile­
ceği en küçük değer kaçtır?
A) 3
4.
(x + 2)
B)5
18
C)8
D) 11
E) 13
(a2-a"3)10
ifadesinin açılımında ortadaki terim a.sağıdakiter­
ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?
den hangisidir?
10
**•(;•)«•
D)
•»(;•),•
(ft""'
c,(«)2.x»
D)
^P"
10.
5.
(x + x 3 ) 1 0 = x 1 0 +
+ k . x 1 6+
+ x30
C) 1
•-(?)
- (
( 2°)
10
E)
(s)
( 3 x - 1 ) 3 . ( 9 x 2 - 6 x + 1) 2
ifadesinin açılımında bir terim A.x°
göre,
olduğuna
A kaçtır?
olduğuna göre, k kaçtır?
A) 7.3 4
A) 110
B)120
C)130
D) 140
E) 210
B) 7.3S
D) 7.3e
C) 14.36
E) 4.3"
467
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
5
(3x - 2) + b . x
1 6 . x * ± y olmak üzere, (x - 2y)
3
da baştan 4. terimin (y - 2x)
ifadesinin açılımında x
için b kaç olmalıdır?
A)-1180
lü terimin bulunmaması
B)-1080
D)1040
12.
n
n
ifadesinin açılımın­
ifadesinin açılımın-
daki baştan 4. terime oranı ( _ ) olduğuna göre,
y
n kaçtır?
C)-1040
E)1080
A) 3
(x3 + 2 y ) 5 = x 1 5 + ... + a . x k . y t + . .
B)5
D)
C)7
E) 9
(x + y + z) 10
17.
açılımı için k +1 = 9 dur.
ifadesinin açılımında x
Buna göre, a kaçtır?
A) 21
B)35
lı terim vardır?
C)56
x3-y3
y.x
13.
D) 72
E) 80
A)1
o
B)-2
C)7
D) 35
E) 7
(1 - 2x - 3y)20
ifadesinin açılımında bütün terimlerin katsayıları­
c
E) 40
D) 5
C)4
B)2
18.
= ... + a . x2 .yb+
açılımı verildiğine göre, a + b kaçtır?
A)-35
çarpanına sahip kaç fark­
nın toplamı kaçtır?
°
E
A) - 240
«
B)-2
C ) 2 20
20
E) 2400
D) 2 40
(i-x)10
14.
ifadesinin açılımındaki en büyük katsayı kaçtır?
A) 10
B)45
C)150
19.
(f + 2e + m)b
ifadesinin açılımındaki bir terim p.(f.e)2.m olduğu­
D) 210 E) 504
na göre, p kaçtır?
A) 40
15.
C) 120
D) 160
E) 240
(x2-3y)7
ifadesinin açılımı için aşağıdakilerden hangisi doğ­
rudur?
A) 7 tane terim vardır.
B) Ortadaki terim baştan 4. terimdir.
C) x5 çarpanına sahip terim yoktur.
D) Katsayılar toplamı 128 dır.
E) Sabit terimi - 2 dir.
Cevaplar: 1-A 2-A 3-D 4-A 5-B 6-A
468
B) 85
20.
(x + y + zf
^3 ..2
ifadesinin açılımında bir terim m.x .y . z olduğuna
göre, m kaçtır?
A) 20
B)35
C)45
D) 60
E) 70
7-C 8-A 9-D 10-D 11-B 12-E 13-E 14-D 15-C 16-E 17-E 18-D 19-C 20-D
m^f^rv^ri^-'M
&e -:
TEST
BINOM
ş . -- -
6.
n
(x + y) ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açıldığın­
da baştan 7 inci terim sondan 4 üncü terimle aynıdır.
B)9
C)10
D) 11
A)
E) 12
2.
2 7
(x - 2y )
ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açıldığında
herhangi bir terim, a . x b . y4 olduğuna göre, a + b
kaçtır?
A) 36
B)44
1
+
B)
(s)
D)
3
2
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
Buna göre, n kaçtır?
A) 7
X
C)68
D) 72
7.
21
(?)
E)
A)-1860
B)-1972
4x^
B) - 84 . x
12
D) 84 . x 12
C) 168 .X 1
>-
8.
E
ifadesinin açılımındaki bir terim A(x.y) 12 dir.
©
Buna göre bu terim baştan kaçıncı terimdir?
8
B) - 35x
X
3
.Z - Z
4
D) 8.
E) 9.
\12
'
X .Z
ifadesinin açılımında x in olmadığı terimde bulu­
nan z çarpanının kuvveti kaçtır?
C)35x
A)-14
B)-12
C)0
D) 12
E) 14
E) 35x2
D)70x
X4 + 1
ifadesinin (x in azalan kuvvetlerine göre) açılımın­
C)28
1
10.
da baştan 17. terim sabit sayı ise n kaçtır?
B)24
C)7.
B)6.
9.
ifadesinin (x in azalan kuvvetlerine göre) açılımın­
da ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir?
A) 21
( - 2x 2 + y 3 ) n
A) 5.
l T*
A) - 70x
E)1792
«
E) 84 . x 18
/Y7--L»
C)-1792
o
c
o
4.
(?)
olduğuna göre, k kaçtır?
E) 99
ifadesinin (x in azalan kuvvetlerine göre) açılı­
mında baştan 4. terim kaçtır?
A ) - 1 6 8 . x 18
(?)
( 2 x 3 - y 5 ) n = . . . +k.(x.y)15 + . . .
D) 1972
2x'
C)
D) 30
E) 32
1
r* V?
+
ifadesinin açılımındaki x - 6° lı terim baştan kaçıncı
terimdir?
A) 3
B)4
C)5
D) 6
E) 7
469
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
i---?)*
O
ifadesinin açılımında bir terim | _ |x
göre, n kaçtır?
A) 10
B)12
12.
(x-2)7
16.
C)15
ifadesinin açılımında baştan 3. terim ile sondan
b
3. terimin çarpımı - 128.a.x olduğuna göre, a + b
kaçtır?
olduğuna
D) 18
A) 144
E) 24
B)196
C) 420
D) 441
E) 448
(x-1) 20
2
17.
ifadesinin açılımında en küçük katsayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
B,
"(S)
M?)
-(»)
14.
B) 4
C)5
18.
B)-560
D) 560
A)3
D) 6
E) 7
O
o
c
ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?
A)-1120
n
ifadesinin açılımında katsayılar toplamı 256 oldu­
ğuna göre, n kaçtır?
MS)
c-w
13.
3
(2x - y + z + 2)
C) 280
E) 1120
-4. .6
o
açılımında bir terim axz y olduğuna göre, a + n
toplamı kaçtır?
E
A) 35
V.
u.
(x-2y) n
(3x - z2 + y 3 ) n
19.
B)65
C)95
D) 125
E) 145
(2a3 - b z + c) n
>..3
ifadesinin açılımında ortanca terim a.x\y olduğu­
na göre, a + k kaçtır?
A)-63
B)-93
D)-147
ifadesinin açılımında herhangi bir terim k(abc)12
olduğuna göre, n kaçtır?
O-117
A) 12
E)-157
B)14
C)İ8
D) 22
E) 24
15.
20.
(2.x-3y + 32.z + 1) n
»10
ifadesinin açılımında kaç tane irrasyonel terim var­
dır?
ifadesinin açılımında katsayılar toplamı 2
ğuna göre, n kaçtır?
A) 2
A) 1
B)3
C)4
D) 5
E) 6
B)2
C)4
D) 6
oldu­
E) 7
Cevaplar: 1-B 2-E 3-B 4-D 5-C 6-B 7-C 8-A 9-D 10-E 11-E 12-B 13-E 14-E 15-B 16-E 17-B 18-C 19-D 20-B
470
•
OLASILIK TERİMLERİ
1. Deney ve Çıktı
Düzgün bir zemine; bir madeni paranın atılması, bir za­
rın atılması, bir madeni paranın art arda iki kez (veya iki
madeni paranın aynı anda) atılması, iki zarın aynı anda
(veya bir zarın art arda iki kez) atılması ya da içinde bil­
yeler bulunan bir torbadan bilye çekilmesi, ya da içinde
üzeri numaralandırılmış kartlar bulunan bir torbadan kart
çekilmesi,... v.b birer deneydir. Yapılan bir deneyde el­
de edilebilecek sonuçlara da deneyin çıktıları denir.
E = { ( b v b,), (b v b2),(b2, b , ) , ^ , b2)
s(E) = 7 . 7 = 49 dur.
Örnek:
•
E = { 1,2,3,4, 5,6} ve
•
•
•
Örnek uzay: E = { Y, T} ve s(E) = 2,
İki madeni paranın birlikte atılması (veya bir madeni
paranın art arda iki kez atılması) deneyinde;
E = {(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)} ve
>
•
(çarpma kuralı)
Bir madeni paranın art arda n defa (veya n tane ma­
deni paranın aynı anda) atılması deneyinde örnek uza­
yın eleman sayısı,
s(E) = 2 . 2 . 2
v
n tane
—
^
o
>-
B c E, B = { }; imkansız olay
C c E, C = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6 } : kesin olay
* Bir madeni paranın art arda iki kez atılması deneyinde,
6
"~
°
,
E = {(Y,Y),(Y,T),(T,Y),(T,T)}
•
•
•
4. Ayrık Olay
•
İki zarın birlikte atılması deneyinde,
s(E) = 6.6 = 36 dır. (çarpma kuralı)
Bir madeni para atıldıktan sonra ardından bir zar atıl­
ması (veya bir zar atıldıktan sonra ardından bir madeni
para atılması ya da bir madeni para ile bir zarın birlikte
atılması) deneyinin örnek uzayı,
(Y,6),(T, 1)
Örnek:
•
(T, 6)}
s ( E ) - ( g ) - 2 1 dir.
(b5, b6, b 7 )} ve
Bir kutuda bulanan 10 tane ampulden 3 ü bozuk, 7 si
sağlamdır. Bu kutudan aynı anda iki ampul alınması
deneyinde;
A = {seçilen iki ampulden en az birinin sağlam olması} ve
B = { seçilen iki ampulün de bozuk olması}
Örnek:
İçinde yedi tane bilye bulunan bir torbadan aynı anda üç
bilye çekilmesi (veya çekilen bilye torbaya geri
atılmadan art arda üç kez birer bilye çekilmesi)
deneyinin örnek uzayı,
Bir örnek uzaya ait iki olayın kesişimi boş küme ise bu
iki olaya ayrık olaylar denir.
A n B = 0 o A ile B ayrık olaylardır.
s(E) = 2.6 = 12 dir. (çarpma kuralı)
E - { ( b v b2< b3), ( b r b2, b4)
en az bir kez yazı gelme olayı: A
A = {(Y,T),(T,Y),(Y,Y)}
en çok bir kez yazı gelme olayı: B
A = {(T,T),(T,Y),(Y,T)}
birinin yazı, birinin tura gelme olayı: C
C = A n B = {(Y, T), (T, Y)} dir.
Örnek:
Bir zarın atılması deneyinin örnek uzayı,
E = {(Y, 1), (Y,2)
" 7 " olma olayı : B
• " 7 den küçük "olma olayı: C
2 = 2° dir.
E = {1,2, 3, 4, 5, 6} ve s(E) = 6 dır.
•
asal sayı olma olayı : A
A = {2, 3, 5} , A c E
Bir madeni paranın atılması deneyinde:
deneyin çıktıları: Y (yazı) ve T (tura)
•
Bir zarın atılması deneyinde,
üst yüze gelen sayının;
Örnek:
s(E) = 2 . 2 = 4 tür.
(çarpma kuralı)
Bir örnek uzayın herhangi bir alt kümesine olay, boş küme­
ye imkansız olay, E örnek uzayına da kesin olay denir.
Bir deneyde elde edilebilecek bütün çıktıların kümesine
örnek (örneklem) uzay denir ve genellikle E sembolüyle gösterilir. Örnek uzayın bir elemanına ise, örnek
nokta denir.
•
(b7, b 7 )} ve
3. Olay, İmkansız Olay ve Kesin Olay
2. Örnek (Örneklem) Uzay ve Örnek Nokta
•
İçinde 7 tane bilye bulunan bir torbadan, çekilen bilye
torbaya geri atılarak, art arda iki kez birer bilye çekilme­
si deneyinin örnek uzayı,
olaylarının ortak elemanı olmadığından ayrık olaylardır.
•
Bir zar atılması deneyinde, üst yüze gelen sayının;
tek sayı olması olayı: T = { 1 , 3, 5 },
çift sayı olması olayı: Ç = {2, 4, 6} ve
hem tek hem çift sayı olması olayı: T o Ç = 0
olduğundan, T ile Ç ayrık olaylardır.
471
MATEMATİK SORU BANKASI
OLASILIK HESABI
Örnek: 1984-ÖYS
Sonlu bir örnek uzayın (E) örnek noktalarının oluşturdu­
ğu olaylar ayrıktır. Eğer bu olayların olasılıkları belli ise,
E deki her bir olayın olasılığı bulunabilir.
4 kız, 6 erkek öğrenci bulunan bir okul kafilesinden
rastgele 2 öğrenci seçilirse öğrencilerden birinin
kız, diğerinin erkek olma olasılığı nedir?
Eş Olumlu Örnek Uzay
A) A
E örnek uzayına ait bir A olayının olasılığı P(A) ile gös­
terilmek üzere,
E = { ev e 2 , e3
B)
15
uzay(E); 4 kız, 6 erkek öğrenci arasından bir kız, bir
erkek öğrenci seçilmesi olayı da A olsun. Buna göre,
Bir deneyde bütün çıktıların olasılıkları birbirine eşit ise,
bu şekildeki örnek uzaya eş olumlu örnek uzay denir.
P(A) =
Olasılık Hesabı
_8_
tir.
15
10.9
Bir torbada aynı büyüklükte 4 kırmızı, 5 beyaz, 7 ye­
s(A)
r _ istenen bütün durumların sayısı
s(E)
n
şil kalem vardır.
dır.
olası bütün durumların sayısı
Rastgele alınan bir kalemin kırmızı veya beyaz olma
olasılığı nedir?
Özellikler:
B)^
16
A)
P(E) = 1 dir.
2. A c B => P(A) < P(B) dir.
C)
D)
b 5 , y1
y7}
E)
16
o
c
Çözüm:
o
K = { k v Ic,, kg, k 4 } , B = { b v b 2 , b 3 , b 4 , b 5 } ve
dir.
E
KnB*0
P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)
u.
P(K u B) = P(K) + P(B) =
3. A olayının gerçekleşme olasılığı P(A),
gerçekleşmeme olasılığı ise P(A') olmak üzere,
P(E) = P(A) + P(A') » 1
4.
4.6
Örnek: 1988 - OYS
A = { e v e 2 , e 3 , . . . , e r } ise A olayının olasılığı,
1. P(0) = O,
(Mİ.
s(A)
s(E)
2!
e n } eş olumlu bir
örnek uzay olmak üzere, E ye ait bir A olayı,
P(A) =
E)
<
Toplam 10 öğrenci arasından 2 öğrenci seçilmesi örnek
P(e,) = P(e 2 ) = P(e 3 ) = ... = P(e n )
ise, E örnek uzayına eş olumlu (veya eş olasılı) ör­
nek uzay denir.
E = { er e 2 , e3
>!
Çözüm:
e n } sonlu bir örnek uzay olsun.
n, r e Z + ve
c
10
dir.
E = {k1
k4, b t
olduğundan,
s(K)+s(B)
s(E)
5. A v A 2 , Ag,... A n ikişer ikişer ayrık olaylar ve
4 + 5
4 + 5 + 7
A ^ A j U A 3 u ... u A n = E ise
P(A1 u Aj, u ... u An) = P(AJ + P ^ ) + ... + P(An) = 1 dir.
Örnek: 1999-ÖSS
Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri eşkenar üçgen
olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yüzünde de T harf­
leri yazılıdır.
A)
»i
C)
D)
E
>!
dır.
Örnek: 1987 - OYS
Düzgün bir para 3 defa atıldığında, en az bir kez tu­
ra gelme olasılığı kaçtır?
A)
c
•î
8
D)
»;
^
Düzgün dörtyüzlünün yan yüzlerinde A, T, A harflerinin
görülmesi için, yere gelen yüzünde T harfi olması ge­
rekir. Buna göre, bu düzgün dörtyüzlünün yere gelen
yüzünde T harfinin olma olasılığı
En az bir kez tura gelme olayına A denilirse, hiç tura
gelmemesi olayı A' olur. O halde,
A' = {(Y, Y, Y)} ve s(E) » 23 = 8
olduğundan,
dir.
P(A) = 1 - P(A') = 1 Uyarı:
Çözüm:
2
1
— = —
dir.
İki zarın birlikte atılması veya bir zarın art arda iki kez atıl­
ması deneyinde, üst yüze gelen sayıların toplamı için;
Toplamlar: 2
Adet:
şeklindedir.
472
16
Çözüm:
Bu düzgün dörtyüzlü bir kez atıldığında yan yüzlerin­
de, sırasına ve yönüne bakılmaksızın A, T, A harfle­
rinin görülme olasılığı kaçtır?
B
16
3 4 5 6
1
2
3
4
7
5
6
89
5
10 11
4
12
3 2 1
Olasılık
Örnek:
Bir çift zar birlikte atıldığında üst yüze gelen sayıla­
rın toplamının en az 9 olma olasılığı kaçtır?
Örnek: 1982-ÖYS
Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor.
Zarın 4 veya 4 ten küçük ve paranın tura gelmesi
olasılığı nedir?
Yukarıdaki tablodan
9
10 11 12: istenen toplamlar
-
•J'
v*
s/
4
3
2
*>İ
"4-
1: İstenenlerin sayısı
Buna göre, bir çift zar atıldığında üst yüze gelen sayıla­
rın toplamının en az 9 olma olasılığı: P(A)
_,..
P(A) =
Bir zar ve bir madeni paranın birlikte atılması deneyinin
sonuçları ile bir zar atıldıktan sonra bir madeni paranın
atılması (ya da bir madeni para atıldıktan sonra bir zarın
atılması) deneyinin sonuçları aynıdır. O halde, zarın 4
veya 4 ten küçük gelmesi olayına A, paranın tura gel­
mesi olayına da T diyelim.
_5_ dir.
18
6.6
Ardışık Denemeler (Deneyler)
=
P(AnT) = P(A).P(T)=i--v
46 2
3
Bir deney art arda n defa ya da belirli n tane olayın art
arda gerçekleşmesinden oluşuyorsa,
P( A,, A 2
Bu torbadan rastgele çekilen 3 bilyeden birinin be­
yaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır?
Birincide (I) 6 sayıdan herhangi biri; İkincide (II) birinci­
de gelenden farklı bir sayı (dolayısıyla 6 sayıdan 5 i);
üçüncüde (III) ilk ikisinde de gelenden farklı bir sayı (do­
layısıyla 6 sayıdan 4 ü) gelmelidir. Buna göre,
D
Olur.
u-
II. Çözüm:
Üç atışta da farklı sayı gelme olayına A diyelim. Buna
göre,
AMM.
olur.
6.6.6
C
X
O
10
45
21
E)
Çözüm:
P(M, Y) = PJM) • P9(Y) = - İ İ M I
s(E 1 )
—
E) —
13
I. Çözüm:
Torbadan aynı anda 3 bilye çekme deneyinin sonuçla­
rı ile çekilen bilye torbaya geri atılmadan art arda üç çe­
kiliş yapma deneyinin sonuçları aynıdır. O halde, ardı­
şık üç çekiliş yapılması şeklinde düşünülürse;
6 4 3 3!
3 _,
P ( B , S , S ) = — •-• — . _ = — dur.
10 9 8 2!
10
P(A) =
C)
D)—
14
15
,
3!
(BSS - >
2!
4
ma olayına A diyelim.
Bu iki çekilişin birincisinde mavi, ikincisinde de ye­
şil mendil çekme olasılığı kaçtır?
49
19
II. Çözüm:
Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane yeşil mendil vardır. Bu
torbadan geri atılmamak koşulu ile iki kez birer mendil
çekiliyor.
70
12
10
Çekilen 3 bilyeden birinin beyaz, diğer ikisinin siyah ol­
Örnek: 1998-ÖYS
A)
o i-
B)-l
A)A
I. Çözüm:
s(A)
s(E)
-
Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır.
Bir zar art arda üç kez atıldığında üçünün de farklı
gelme olasılığını bulalım.
P(I, II- III) = P(I).P(II).P(III) = — • — • —
6 6 6
tür
Örnek: 1995 - ÖYS
An ) = P ^ M A a ) . . . . • P(An) olur.
Örnek:
P(A) =
*î
<
Çözüm:
istenenlerin sayısı
bütün durumların sayısı
4+3+2+1
4
B)
îM
(?)
~ —
10
dur.
KOŞULLU (ŞARTLI) OLASILIK
Bir E örnek uzayının herhangi iki olayı A ve B olsun.
B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının
gerçekleşmesi olasılığına, A olayının B ye bağlı ko­
şullu (şartlı) olasılığı veya kısaca A nın B koşullu ola­
sılığı denir ve P(A | B) şeklinde gösterilir.
P ( A | B) =
s(Y)
s(E.
= —
21
s(A)
s(E)
P(A n B)
P(B)
dir.
( P(B) * 0 )
E örnek uzayı, eş olumlu örnek uzay ise,
dir
P(A | B) =
s(AnB)
s(B)
P(AnB)
P(B)
dir.
473
MATEMATİK SORU BANKASI
E = {(Y,1),(Y,2)
(Y,6),(T,1)
(T, 6)},
A = {(Y, 1), (Y, 2), (Y, 3), (Y, 4), (Y, 5), (Y, 6)},
B = {(Y, 5), (Y, 6), (T, 5), (T, 6)}
A n B = {(Y, 5), (Y, 6)} dır.
Örnek:
Bir zar atıldığında üst yüze tek sayı geldiği bilindiği­
ne göre, bu sayının asal sayı olma olasılığını bulalım.
I. Çözüm:
Asal sayı gelme olayı A, tek sayı gelme olayı T olsun.
A n T = { 3, 5} olduğundan,
A ile B olayının bağımsız olaylar olduğunu gösterelim.
2_
P
A
T
P(A|T)= ( " >
P(T)
P(AoB)
— « - - 1 tür.
=-g-=-L
12 6
6 4
1
P ( A ) . P ( B ) = — — =— ve
12 12 6
Problemdeki şarta göre örnek uzay düşünülürse;
ET = { 1 , 3, 5 }, AT = { 3, 5 } ve
P(A n B) = P(A).P(B) olduğu görülmektedir.
P ( A | T ) = ^ î L = ^ - tür.
Ayrıca byrada,
paranın yazı ve zarın 4 ten büyük bir sayı gelme ola­
sılığını, bir deneyin art arda iki deney yapılarak ger­
çekleştirilmesi şeklinde de düşünerek,
paranın yazı gelmesi : Y ve zarın 4 ten büyük gel­
mesi : D olmak üzere,
s(ET)
3
Uyarı:
A nın B koşulu olasılığını hesaplarken, yukarıdaki II. çö­
zümde olduğu gibi B olayını örnek uzay gibi düşünerek
hesap yapabiliriz.
Örnek:
Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı kız öğrencidir. Kız öğ­
rencilerin % 50 si, erkek öğrencilerin de % 601 matema­
tik dersinden başarılı olmuştur.
Sınıftan rastgele seçilen bir erkek öğrencinin mate­
matikten başarılı bir öğrenci olma olasılığını bulalım.
Seçilen öğrenci erkek
öğrenci olduğundan
s(E) = 40,
s(B n E) = 24 olduğundan
P(B | E) = 24 %60 tır.
40
K
Başarılı
Başarısız
30
30
E &$*$*
Bağımsız ve Bağımlı Olay
İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşme­
mesi, diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa
bu iki olaya bağımsız olaylar denir.
A ve B bağımsız olaylar ise, P(A) = P(A | B) dir.
Eğer iki olay bağımsız değilse, bu iki olaya bağımlı
olaylar denir. Örneğin, bir torbadan çekiliş yapma dene­
yinde birden fazla çekiliş yapılıyorsa; ikinci, üçüncü, ...
çekilişler kendisinden önce yapılan çekilişlere bağımlıdır.
•
s(E)
( Örnek uzayın eleman sayısı, s(E) = 2.6 = 12 dir.)
II. Çözüm:
•
S ( A n B )
=
P(A n B) = P(A).P(B) <=> A ve B bağımsız olaylardır.
Örnek:
Bir madeni para ile bir zarın birlikte atılması deneyinde,
A = { madeni paranın yazı gelmesi} olayı ile
B = {zarın 4 ten büyük gelmesi} olayını inceleyelim.
Bir madeni para ile bir zarın birlikte atılması deneyinin
sonuçları (çıktıları) ile bir madeni para atıldıktan sonra
ardından bir zarın atılması deneyinin sonuçları (çıktıla­
rı) aynı olduğundan, olayları ifade etme kolaylığı olma­
sı için, deneyi ikinci şekliyle düşünelim. Buna göre,
474
P(A n B) = P(Y n D) = P(Y).P(D) = — .— = —
2 6
6
şeklinde de hesaplayabiliriz.
o
c
V,
D
>E
u.
SONSUZ ÖRNEK UZAY
Burada sayılamayan örnek noktalardan meydana gelen
E örnek uzayı; uzunluk, alan veya hacim gibi bazı
geometrik ölçümlerdir. Buna göre,
_ n(A)
P(A) =
n(E)
A nın ölçüsü
dür.
E nin ölçüsü
Örnek:
Boyutları 2 birim ve 3 birim olan dikdörtgen şeklin­
deki bir levha üzerinde rastgele işaretlenen bir nok­
tanın, levhanın köşelerinden en çok 1 birim uzakta
olma olasılığını bulalım.
Levhanın köşelerinden
en çok 1 birim uzakta
olan noktaların oluştur­
duğu bölge, şekildeki
dört tane çeyrek daire di­
limlerini oluşturur. (İsteni­
K
len A olayı)
i
1
1 L
Örnek uzay da dikdörtgen biçimindeki KLMN düzlemsel
levhası (bölgesi) dır. Buna göre,
n(E) = A(KLMN)
n(A) = 8 ^ 8 2 + 83 + 84 olduğundan,
P(A) =
n(A)
n(E)
İlli
2.3
P(A) = — dır.
6
tâ'?.-'
ÖBfÖf?
1.
6.
Bir torbada 4 beyaz, 3 mavi top vardır.
2.
B)
c
»7
D
'f
A) 7
E)
B)
C)
D)
E
*>?
£
8.
^
4.
C)
^
Bir kutudaki 11 ampulden 3 tanesi bozuktur. Bu ku­
tudan rastgeie üç ampul seçiliyor.
E)-.
7
B)
C)
D)
^
Bir torbada 2 sarı, 4 yeşil, 5 beyaz top vardır.
A)
D)
D)7
Seçilen bir topun yeşil veya beyaz olması olasılığı
kaçtır?
Çekilen topların farklı renkte olması olasılığı
kaçtır.
B)
O7
Üç atış sonunda zarın bir kez mavi, bir kez kırmızı
ve bir kez yeşil gelmesi olasılığı kaçtır?
»!
Bir torbada 4 mavi, 5 yeşil top vardır. Bu torbadan
rastgeie iki adet top çekiliyor.
B)7
7. Bir zarın bir yüzü mavi, iki yüzü kırmızı, üç yüzü ye­
şildir.
Bir zar ve bir madeni para birlikte atıldığında zarın
3 ten küçük ve paranın yazı gelmesi olasılığı kaç­
tır?
A)
Bir grupta 4 erkek ve 3 kız vardır.
Seçilen iki öğrencinin ikisinin de erkek olması ola­
sılığı kaçtır?
Bu torbadan rastgeie bir top çekiliyor, çekilen to­
pun mavi olması olasılığı kaçtır?
A).
TEŞT
1
9.
11
B)
C)
D)
11
11
5 kız, 6 erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan iki
öğrenci seçiliyor.
Birinin kız, birinin erkek olması olasılığı kaçtır?
Üçününde sağlam olması olasılığı kaçtır?
., 4
A
47
A)
165
51
B)
165
56
C)
165
61
D)
165
77
11
,_, 67
E
165
r,v
6
B ~11
^
7
c 11
—
~, 8
D —
11
r-, 10
E) —
11
1 0 . A torbasında 4 beyaz, 3 yeşil ve B torbasında 3
beyaz, 4 yeşil top vardır.
5.
Bir madeni para düzgün bir zemine 4 defa atıldı­
ğında en az iki kez yazı gelmesi olasılığı kaçtır?
A) A
16
B)
16
o i16
D)
11_
16
16
Her iki torbadan aynı anda birer top çekiliyor, çe­
kilen topların aynı renk olması olasılığı kaçtır?
A)
20
49
B)^
49
C)
27
49
D)
34
49
E)
47
49
475
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . Bir torbada eşit sayıda kırmızı ve beyaz bilyeler vardır.
1 6 . Bir torbada 3 tane mavi, 4 tane yeşil mendil vardır.
Bu torbadan geri atılmamak koşulu ile ard arda iki
mendil çekiliyor.
Bu torbadan rastgele seçilen iki bilyenin farklı renkte
5
olması olasılığı — dur.
9
Bu iki çekilişten birincisinde mavi ikincisinde yeşil
Torbada toplam kaç bilye vardır?
A) 2
B)4
C)6
mendil çekme olasılığı kaçtır?
D) 8
E) 10
*>7
1 2 . Bir torbada 6 beyaz, 3 siyah top vardır.
28
B)
28
C)
13
28
D)
40
19
C)
40
2JL
D)
40
28
A)
E)
23
^
+ x açılımındaki herbir terim kartlara yazılıp bir
torbaya atılıyor. Bu torbadan aynı anda iki kart çeki­
o
c
liyor.
o
Çekilen kartların katsayılarının toplamının 5 ten
büyük olması olasılığı kaçtır?
40
1 4 . A torbasında 3 mavi, 4 yeşil B torbasında 4 mavi,
2 yeşil top vardır. Aynı anda A ve B torbalarından
birer top alınıyor ve karşılıklı diğer torbaya (A dan alı­
nan B ye, B den alınan A ya) atılıyor.
C)
B)
C)
10
21
1 5 . Şekildeki sekiz adet noktadan
E)
D)
13
Cevaplar: 1-C 2-A
476
28
C)
13
27
3-D 4-C 5-D 6-A
10
lamının çift sayı olması olasılığı kaçtır?
A) A
11
B) —
11
C)Z11
D) A
11
E)A
11
2 0 . T1 torbasında 4 sarı, 5 kırmızı T2 torbasında 3 sa­
rı, 4 kırmızı top vardır. T1 torbasından bir top alınıp
rengine bakılmadan T2 torbasına atılıyor. Sonra da
T2 torbasından bir top alınıp T1 torbasına atılıyor.
A B C/\D E
Seçilen noktalardan bir tanesi­
nin yalnız üçgene ait olması
olasılığı kaçtır?
28
E)
Bir tanesinin 1 geldiği bilindiğine göre zarlar top­
17
21
rastgele iki tanesi seçiliyor.
A)
°>i
10
1 9 . Hilesiz bir çift zar atılıyor.
Renk bakımından ilk durumun oluşması olasılığı
kaçtır?
21
4
<
<
10
21
>!
18. d
A) i
A)
E
Üst yüze gelen harflerin sırasıyla BABA kelimesini
15
28
Çekilen topun kırmızı olması olasılığı kaçtır?
17
40
D)
oluşturması olasılığı kaçtır?
1 3 . A torbasında 3 kırmızı, 2 mavi, B torbasında 4 kır­
mızı, 3 mavi top vardır. A torbasından bir top alınıp
B torbasına atılıyor, sonra B torbasından bir top çeki­
liyor.
B)
»l
1 7 . Bir küpün üç yüzünde B harfi, üç yüzünde A harfi
yazmaktadır. Bu küp ard arda dört defa atılıyor.
Bu torbadan rastgele çekilen üç toptan ikisinin be­
yaz, birinin siyah olması olasılığı kaçtır?
A)
c
B)
Renk bakımından ilk durumun oluşması olasılığı
kaçtır?
D) H
A) i l
E) 1 1
27
7-E 8-D 9-B
72
28
10-B
11-E
12-D
13-E
B)«
72
14-C
15-B
72
16-B
17-A
D) 51
72
18-D
E)
53
72
19-B 20-A
5.
BÖLÜM
1.
6.
A ve B bir E örnek uzayının iki olayıdır.
P(AuB)=—
3
TEST
2
OLASILIK
ve
Bir çift zar atılıyor.
Üst yüze gelen sayılar toplamının çift olması olası­
P(AnB)= —
6
lığı kaçtır?
olduğuna göre, P(A) + P(B) kaçtır?
«I
D)
C)
-i
«i
E)
C)
B)
D)
*î
3 siyah, 4 mavi, 5 yeşil top bulunan bir torbadan
rastgele 3 top çekiliyor.
2.
10 ampulden 3 ü bozuktur.
Uçününde farklı renkte olmaması olasılığı kaçtır?
Rastgele alınan 3 ampulün 2 sinin sağlam, 1
A)
inin bozuk olma olasılığı kaçtır?
A)
3.
1_
40
B)
20
C)
£1
40
o)2-
E)H
10
lerdir.
Bir öğrencinin 2 farklı ders seçme ihtimali kaçtır?
^ 28
A —
33
r« 14
B —
33
C)
33
D)
33
8.
20
12 dersten 5 tanesi aynı ders, diğerleri farklı ders-
E)
£
A)
16
D)
3 kırmızı
2 kırmızı
2 mavi
3 mavi
A torbası
B torbası
29
75
75
A) 10
E)
Bir torbada 5 beyaz, 4 kırmızı, 3 yeşil top bulun­
C)
32
75
D)
34
75
E)
38
75
Bir torbada 3 beyaz, 2 kırmızı, x mavi top vardır.
B) 11
C)12
D) 13
E) 14
A = { 0 , 1,2, 3, 4, 5 }
10.
5.
11
Bu olasılığın — olması için torbaya daha kaç ta4
ne mavi top konulmalıdır?
sılığı kaçtır?
C)
E)
<
Çekilen bir topun mavi gelmesi olasılığı — dır.
6
Seçilecek bu ekipte 4 erkek öğrenci bulunma ola­
B)
O 11
Çekilen topların aynı renkte olması olasılığı kaçtır?
sınıftan 4 kişilik bir ekip seçilecektir.
>7
11
sonra B torbasından iki top çekiliyor.
Bir sınıfta 6 erkek, 4 kız öğrenci bulunmaktadır. Bu
A
B)
A torbasından bir top çekilip B torbasına atılıyor ve
E
u.
©
9.
4.
11
A kümesinin alt kümelerinden herhangi biri seçiliyor.
maktadır. Bu torbadan rastgele 3 top çekiliyor.
Seçilen bu alt kümenin elemanlarından en az bir
Uçününde aynı renkli olması olasılığı kaçtır?
A)
11
B)
11
C)
44
D)
44
E)
tanesinin çift sayı olması olasılığı kaçtır?
13
44
<
B)
C)
<
^
477
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . Ali ve Mehmet'in de aralarında bulunduğu 7 kişilik
öğrenci grubu bir sıraya gelişi güzel diziliyorlar.
1 1 . Bir madeni para beş kez havaya atılıyor.
2 kez tura, 3 kez yazı gelme olasılığı kaçtır?
Ali ile Mehmet'in yan yana oturmama olasılığı
16
32
16
D) A
16
kaçt
E) •?16
*>7
1 2 . 5 evli çift arasından rastgele seçilen iki kişinin
karı-koca olma olasılığı kaçtır?
A) —
25
B) 1
9
D)
C)
A) _ L
720
1 3 . Anne, baba ve 5 çocuktan oluşan 7 kişilik bir aile
yuvarlak bir yemek masasına oturuyorlar.
A)
B
4
C)
D)
E)
»f
E)
<
1 7 . Ali, Veli ve Mustafa'nın da aralarında bulunduğu
10 kişinin katıldığı bir yarışmada Ali'nin birinci,
Veli veya Mustafa'nın ikinci olması olasılığı kaç­
tır?
«i
Anne, baba ve en küçük çocuğun yan yana otur­
muş olması olasılığı kaçtır?
c
B)
B) —
90
C) —
45
D)i- E) i 45
15
1 8 . Bir torbada 1 den 10 a kadar numaralandırılmış
10 tane top vardır.
o
c
Torbadan rastgele çekilecek 2 topun numaraları­
nın toplamının 15 ten büyük olma olasılığı kaç­
tır?
o
>E
15
"î
D
15
»l
E)
1 4 . A = { 0, 1, 10, 100 } kümesinin elemanlarının herbiri özdeş 4 tane topun üzerine yazılıyor ve toplar bir
torbaya atılıyor. Torbadaki toplar geri bırakılmamak
şartıyla teker teker çekiliyor.
1 9 . Ali'nin bir problemi çözme olasılığı - , Veli'nin aynı
5
1
problemi çözme olasılığı - tür.
Çekilen topların küçüktün büyüğe doğru çekilmiş
olması ihtimali kaçtır?
Buna göre, bu problemin Ali veya Veli tarafından
çözülebilme olasılığı kaçtır?
A) —
2
B) —
4
C)
1
D)
12
E)
1
24
A
»I
°>i
B)
D)
15
E)
11_
15
1 5 . 20 kişilik öğrenci grubundan rastgele seçilen iki
2 0 . İki torbadan birinde 2 siyah, 4 beyaz; diğerinde 5
siyah, 1 beyaz bilye vardır.
öğrencinin de kız olma olasılığı — olduğuna gö38
re, gruptaki kız öğrenci sayısı kaçtır?
Rastgele seçilen bir torbadan rastgele çekilen bir
bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır?
A) 12
B) 11
C)10
D) 9
E) 8
A)
12
B
»i
12
D)
E
>!
Cevaplar: 1-E 2-C 3-A 4-E 5-C 6-A 7-D 8-C 9-E 10-E 11-D 12-B 13-B 14-E 15-B 16-E 17-C 18-A 19-A 20-A
478
î"JH-
TEST
3
^tf^OEASIUIf
-•m
1.
6.
A ve B bağımsız iki olaydır.
P(A) = 1
4
ve
P(B) = —
3
Bir torbada 4 mavi, 4 kırmızı bilye vardır.
Geri konulmamak şartıyla art arda çekilen 2 bilye­
nin ikisinin de aynı renkte olma olasılığı kaçtır?
olduğuna göre, P(A u B) kaçtır?
A)
A)
C)
B)
c
B)
*î
D)
7.
»f
«I
E)
8
Bir torbada 2 mavi, 2 kırmızı, 2 sarı ve 2 yeşil bilye
vardır.
2.
Bir çift zar birlikte atılıyor.
Torbadan rastgele alınan üç bilyenin üçünün de
farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
Zarların farklı geldiği bilindiğine göre, üst yüze ge­
len sayılar toplamının çift olma olasılığı kaçtır?
B
A)
»!
O
*>7
-l
D)
8.
3.
6 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden biri seçiliyor.
B)
12
D)
c
>7
E)
13
Bir torbada eşit sayıda mavi ve kırmızı bilye vardır
Torbadan bir defada alınan iki bilyenin ikisinin de
mavi olma olasılığı
Seçilen bu kümenin en az 5 elemanlı bir küme ol­
ma olasılığı kaçtır?
64
B)
64
C)
64
D)
64
E)
11_
64
— olduğuna göre, torbadaki
30
mavi bilye sayısı kaçtır?
A) 6
B)8
C)12
D) 16
E) 32
Şekildeki noktalar kullanılarak
4.
İçinde 6 mavi, 5 kırmızı top bulunan bir torbadan
oluşturulan üçgenlerden bir tane­
3 top çekiliyor.
si seçiliyor.
Torbada kalan mavi topların sayısının, kırmızı top­
Seçilen bu üçgenin bir kenarı­
nın ED kirişi olma olasılığı kaç­
ların sayısına eşit olma olasılığı kaçtır?
tır?
A)
5.
11
B)
11
11
0)1.
E)H
11
11
İki avcının bir hedefi vurabilme olasılıkları sırası ile
3
2
-ve 5
7
B).
A)
C)
D)7
*7
1 0 . Bir torbada 4 kırmızı, 5 mavi top vardır. Bu torba­
dan rastgele bir top çekiliyor ve bunun yerine diğer
renkteki toptan bir tane torbaya atılıp tekrar bir çekiliş
dir.
yapılıyor.
Bu iki avcı hedefe birer atış yapıyorlar. Sadece biri­
Son çekilişte mavi topun çekilme olasılığı kaçtır?
sinin bu hedefi vurma olasılığı kaçtır?
A)
35
C)
18
35
D)
17
35
E)
11
35
A)
24
81
B)
34
81
C)
44
81
D) —
81
E)^
81
479
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . Ali ile Hasan tavla oynuyorlar. Ali'nin Hasan'ı yenme
2
olasılığı — tür. Bu iki kişi dört kez tavla oynuyorlar.
1 6 . 1 den 100 e kadar sayılarla numaralandırılmış toplar
bir torbaya atılıyor ve rastgele bir top çekiliyor.
Çekilen bu topun numarasında en az bir tane 2 ra­
kamı bulunduğuna göre, bu sayının 4 e bölünebil­
irle olasılığı kaçtır?
Ali'nin üç kez kazanma olasılığı kaçtır?
A)
81
32
81
B)
C)
34
81
D)
64
81
E)
80
81
1 2 . Hilesiz bir para art arda 4 kez atılıyor.
Her atışta farklı yüzünün gelmesi olasılığı kaçtır?
A)—
16
B)l
8
D
Ȕ
<
A)
18
B)
19
C)
D)
20
E)
17
1 7 . 4 mavi, 3 beyaz bilyenin bulunduğu bir torbadan
rastgele alınan 2 bilyeden en az birinin beyaz ol­
ma olasılığı kaçtır?
4
A)
B)7
C)^
7
D
>7
E)
8
1 3 . İki zar ile iki madenî para birlikte havaya atılıyor.
Paraların en çok birinin tura gelmesi ve zarların _o
üste gelen yüzlerindeki rakamlar toplamının 8 den *
büyük gelme olasılığı kaçtır?
£
A)
B)
15
C) L
30
D) —
15
1 8 . 5 çocuklu bir ailede en az bir erkek çocuk bulun­
ma olasılığı kaçtır?
A)
Seçilen kitapların üçünün de farklı türden olma
olasılığı kaçtır?
C):
D)
Yarışı X veya Z nin kazanma olasılığı kaçtır?
B)
C)
D)
7
32
32
E)
63.
64
Torbadan rastgele çekilen bir karttaki kümede 1 in
bulunup 2 nin bulunmama olasılığı kaçtır?
B)
C)
E) ^
12
1 5 . Sadece X, Y ve Z gibi üç yarış atının katıldığı bir
yarışta, kazanma şansları X in Y ye göre 3 kat,
Y nin Z ye göre 2 kat kazanma şansı vardır.
A)
D)
A = {0,1,2,3,4}
kümesinin alt kümeleri birer karta yazılıp torbaya atılıyor.
A)
B)
15
16
24
1 4 . 4 matematik, 3 fizik, 2 kimya kitabı arasından rastge­
le 3 kitap seçiliyor.
12
C)
E) —
19.
A) A
B)
E)
8
°>f
E)
2 0 . İki basamaklı doğal sayılardan rastgele bir tanesi seçili­
yor.
Seçilen bu sayının 5 ile tam bölünebiliyor olma ola­
sılığı kaçtır?
''
A)
B)
C)
D)
19
100
E)
90
Cevaplar: 1-E 2-C 3-C 4-A 5-B 6-A 7-C 8-B 9-C 10-C 11-B 12-B 13-E 14-C 15-D 16-C 17-C 18-D 19-A 20-B
480
••' - 5 . • • !•".-«*-•-.:*
1.
6.
Bir yüzü mavi, beş yüzü sarı olan bir küp iki kez
atıldığında altta kalan yüzün aynı renkten olma
olasılığı kaçtır?
A)A
11
L
B)
18
C)
12
D)
11_
24
13
18
E)
Bir deneyin a, b, c, d gibi ayrık dört sonucu vardır.
a veya b sonucunun gelme olasılığı - , b veya c so4
5
nucunun gelme olasılığı — , a veya c sonucunun
12
1
gelme olasılığı - tür.
B)
C)
D).
E)
D
c
8.
o
3.
D)
E)
10
10
1
160
B) - L
180
C
)—
190
D) 1
200
E)
1
2ÎÖ"
4 farklı Matematik, 3 farklı Fizik, 2 farklı Kimya kitabı bir
rafa rastgele diziliyorlar.
Matematik kitaplarının yanyana dizilmiş olması
olasılığı kaçtır?
Üst yüze gelen sayıların ikisininde asal sayı geldi­
ği bilindiğine göre; üst yüze gelen sayılar toplamı­
nın tek sayı olması olasılığı kaçtır?
A)*
21
B)
C)
D)
*l
9.
A)
11
"î
18
<
E)
1
625
B)
Bir torbada 3 siyah, 4 mavi, 2 beyaz bilye vardır.
Torbadan, geri bırakılmamak şartıyla art arda yapı­
lan üç çekilişin üçüncüsünde ilk kez siyah bilye gel­
me olasılığı kaçtır?
28
B)
C)
28
D)
21
E)
21
•>§
7
625
C)
625
D)
14
625
E)
16
625
18
10.
*>-5-
21
Bu dört sorudan üçünün doğru birinin yanlış ol­
ması olasılığı kaçtır?
Dört hilesiz zar aynı anda atılıyor.
A)
B)
Her soruda beş farklı seçenek bulunan bir sınava giren
öğrenci ilk 4 soruyu hiç okumadan cevaplandırıyor.
Dördününde farklı sayılar gelmesi ihtimali kaçtır?
5.
10
100
Bir çift zar birlikte atılıyor.
A)
4.
B)
21 kişilik bir sınıfta öğrenciler 7 farklı sıraya üçerli
oturuyorlar.
A)
12
1000
Bu sınıftan rastgele seçilecek üç öğrencinin üçününde aynı sırada oturan öğrenciler olması olası­
lığı kaçtır?
Buna göre, d sonucunun gelme olasılığı kaçtır?
*l
10 tuşlu bir telefonun tuşlarına yedi defa basan
bir kişinin yedi basamaklı bir sayı yazma ihtimali
kaçtır?
A)
7.
2.
TEST
4
OLASILIK
BÖLÜM
E)
(x + y)b
ifadesinin açılımındaki bütün terimlerin katsayıları bi­
rer karta yazılıp kartlar bir torbaya konuyor.
Torbadan rastgele iki kart çekildiğinde çekilen
kartların en az birinde 5 in katı olan bir sayı bu­
lunma olasılığı kaçtır?
A)
B)
O 712
D)
12
E)
481
MATEMATİK SORU BANKASI
B
11.
D
E
C
F
1 6 . Bir zarın dört yüzünde A, iki yüzünde T yazmaktadır.
-•d,
G
-*• d,
Bu zar üç defa atıldığında üst yüze gelen harflerin
sırasıyla ATA olması olasılığı kaçtır?
Şekildeki yedi noktadan rastgele üç nokta seçiliyor.
A)
Seçilen noktaların üçgen oluşturma olasılığı kaçtır?
A)
B
>!
D)^
7
c
>7
E)7
B)
27
C)
27
D)
27
E)
27
27
A, F, L, E, M, N
17.
harflerinden rastgele üç tanesi seçiliyor.
12.
KARAKARTAL
Seçilen harflerin sırasıyla FEM kelimesini oluştur­
ması olasılığı kaçtır?
kelimesinin harfleri kullanılarak yazılabilecek on harfli
anlamlı yada anlamsız kelimeler,birer karta yazılıp bir
torbaya atılıyor.
A)
Torbadan çekilen bir kartın üzerindeki kelimenin T
ile başlayıp L ile biten bir kelime olması olasılığı
kaçtır?
B
100
c
D
80
70
C)
27
<
o
c
o
>-
B
»j
c
>;
-2
C
-1
F
G
3
4
E) —
20
D)
B
A)
»f
D)
C)
E)
u.
1 9 . 36 kişinin bulunduğu bir sınıfta Almanca ve İngilizce di­
lini bilmeyen 6 kişi, sadece Almanca dilini bilenler, sa­
dece İngilizce dilini bilenlerin sayısının 3 katıdır.
E)
Sadece Almanca dilini bilenlerin sayısı, İngilizce
dilini bilenlerin sayısına eşit olduğuna göre, sınıf­
tan gelişi güzel seçilen bir öğrencinin Almanca di­
lini ve İngilizce dilini bilen bir öğrenci olması ola­
sılığı kaçtır?
E)^
20
A) 1
3
B) 3
C) —
18
• D) —
18
E) —
36
2 0 . Futbol veya tenis sporlarından en az birini oynayan­
lardan oluşan bir sınıftaki öğrencilerin % 70 i futbol,
% 55 i tenis oynamaktadır.
1 5 . A torbasında 3 beyaz, 4 kırmızı, B torbasında 4 be­
yaz, 3 kırmızı top bulunuyor. Her iki torbadan aynı an­
da birer top çekiliyor.
Çekilen topların farklı renkte olduğu bilindiğine
göre, beyaz topun A dan çekilmesi olasılığı kaçtır?
Sınıftan gelişi güzel seçilen bir öğrencinin tenis oy­
nadığı bilindiğine göre, futbol oynayan öğrenci ol­
ması olasılığı kaçtır?
A)
A)
25
B)
Cevaplar: 1-E 2-A
482
B
D) —
30
Seçilen sayılar toplamının 2 olması olasılığı kaçtır?
E
1 4 . 3x0y şeklinde yazılabilecek dört basamaklı sayıla­
rın içinden seçilen herhangi bir tanesinin 5 ile bölünebilen bir sayı olması ihtimali kaçtır?
A)
d^-
C) —
60
100
Şekildeki d doğrusu üzerindeki yedi farklı sayıdan ay­
nı anda iki tanesi seçiliyor.
60
Ard arda üç kez atıldığında üst yüze gelen harfle­
rin sırasıyla "FEM" olması olasılığı kaçtır?
B)
B)
E
1 3 . Düzgün bir zarın iki yüzüne F, iki yüzüne E, iki yüzü­
ne M harfi yazılmıştır.
A)
18.
) ^ > i >i >i
90
1
120
25
25
3-C 4-C 5-A
D)
E)
6-C 7-C 8-E 9-E
10-B
11-E
12-B
11
13-B
B)
14-D
11
15-E
C)
D)
11
16-C
17-A
14
18-A
E)
11_
14
19-D 20-C
**jfÇfx- N* *
1.
6.
A = {0,1,2,3,4,5}
Bir şehirdeki 5 doktordan 2 si seçilip şehirdeki iki
farklı hastaneye tayin edilecektir.
kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek
üç basamaklı sayıların kaç tanesi hem 5 hem de
Bu tayin kaç farklı şekilde gerçekleştirilebilir?
2 ile tam bölünebilir?
A) 25
C)40
B) 30
A) 2
E) 80
D) 60
7.
Ali, Veli ve 4 arkadaşı, düz bir sıraya; sıranın bir
B)10
C)15
D) 20
E) 40
5 erkek, 2 bayan arasından en çok birisi bayan
olmak üzere, 2 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?
ucunda Ali, diğer ucunda Veli olmak şartıyla, yan
yana kaç farklı biçimde oturabilirler?
A) 120
B) 60
C) 48
A) 20
D) 24
D) 16
C)18
E) 15
E) 12
o
e
3.
B)19
A = { 1 , 2 , 3, 4, 5, 6, 7 }
Şekildeki çember üzerindeki altı
nokta ile bir köşesi A noktası
D
B
;
olan kaç farklı üçgen çizilebilir?
c
kümesinin elemanları kullanılarak, 450 den küçük
üç basamaklı, rakamları tekrarsız kaç farklı doğal
sayı yazılabilir?
A) 20
A) 60
4.
B)90
C)105
D) 120
Anne, baba ve 5 çocuktan oluşan bir aile, yuvar­
lak bir masa etrafında anne ve baba yan yana ol­
mak şartıyla kaç farklı şekilde oturabilirler?
A) 24
B)48
C)120
D) 240
9.
C)10
D) 6
E) 3
1 1 1 1 1 1
Bir kenarı 1 birim olan 24
küçük kareden oluşan şe­
kilde, alanı 1 birimkare-
1
den büyük olan kaç dik-
1
dörtgen vardır?
1
E) 480
A) 84
5.
B)15
E) 140
B)90
C) 126
D) 186
E) 210
344222
sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek elde
edilecek bütün altı basamaklı sayıların kaç tane­
sinde birler basamağındaki rakam 2 dir?
A) 48
B)30
C)24
D) 18
E) 12
1 0 . (x + 2y - 2) 6 ifadesinin açılımında; katsayılar top­
lamı ile sabit terimin toplamı kaçtır?
A) 128
B)65
C)33
D) 1
E)0
483
11. (
x2 - — |
1 6 . Bir zar iki kez atılıyor.
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
Üst yüze gelen sayıların çarpımının tek sayı olması
A) - 480
C) - 240
B)480
D) 240
olasılığı kaçtır?
A)
E)120
16
C)
B)
E)
»i
1 7 . 2 mavi, 3 kırmızı topun bulunduğu bir torbadan art
3
2
1 2 . (x - y . z)
n
arda iki top çekilecektir.
ifadesinin açılımındaki herhangi bir
6
terim A(x.y) . z
m
olduğuna göre, m + n kaçtır?
Çekilen top torbaya geri atılmak şartıyla, çekilen
iki topun da mavi olması olasılığı kaçtır?
A) 6
B)7
C)8
D) 9
E) 11
4
A)—
25
«î
9
B) —
25
E)
<
1 3 . Bir zar bir kez atılıyor.
1 8 . Aralarında Ahmet ile Ali'nin de bulunduğu 8 öğrenci
Üst yüze gelen sayının çift sayı olduğu bilindiğine
yan yana sıralanacaktır.
göre, bu sayının 2 olması olasılığı kaçtır?
«i
Ahmet ile Ali'nin arasında 2 öğrenci olacak şekilde
«l
B)
D)
kaç farklı sıralanış mümkündür?
E)
X.
o
>.
A) 1800
E
e
u.
B) 1440
D) 7200
C) 3600
E) 8640
1 4 . Bir öğretmenin elinde dördü zor ikisi kolay 6 sorunun
bulunduğu 6 zarf vardır. Öğretmen öğrencisine 2 zarf
seçmesini söylüyor.
12
2^
19.
u3
Öğrencinin 1 zor, 1 kolay sorunun bulunduğu iki
zarfı seçmiş olma olasılığı kaçtır?
açılımındaki sabit terim kaçtır?
A)
B)
C)
15
<
E)
16
A)-1760
B)-880
D) 880
C) - 220
E) 1760
1 5 . A torbasında 3 mavi 2 kırmızı, B torbasında 1 ma­
vi 3 kırmızı top bulunmaktadır. A torbasından rastgele çekilen bir top B torbasına atılıyor.
Bundan sonra, B torbasından rastgele çekilecek
bir topun mavi olması olasılığı kaçtır?
A)
B)A
25
C)
25
D) A
25
2 0 . Bir çift zar atıldığında üst yüze gelen sayıların
toplamının 4 ten küçük olduğu bilindiğine göre,
bu toplamın tek sayı olma olasılığı kaçtır?
E)
12
25
A
»5
B)
C)
?
D]
B)
2
Cevaplar: 1-B 2-C 3-C 4-D 5-B 6-D 7-A 8-C 9-D 10-B 11-D 12-C 13-C 14-B 15-D 16-B 17-A 18-D 19-A 20-D
484
••
••
BOLUM
mm mm ••ı % # • w •
II. ve III. Dereceden Denklemler
Parabol
Eşitsizlikler
KTT-6
GTT-3
x2 - 24x - 16 = 0
denkleminin kökleri çarpımının kökleri toplamına
oranı aşağıdakilerden hangisidir?
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) {-1,5}
B){5}
C){1,-5}
D) {-5}
4
E) 0
2
A)J
B)^
3
3
2
C)-|
3
4
D)-J
E)-3
3
mx2 - (m2 - m)x - 1 = 0
denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, kök­
ler çarpımı kaçtır?
x2+ (V3 - 1)x - ^ 3 = 0
2.
denkleminin bir kökü aşağıdakilerden hangisidir?
A) - 3
A)V3
B)2
D)0
C)1
B) - 2
C) - 1
E)-1
D) - 2
E) - 1
4
o
c
o
x +mx+6
C) -1
denkleminin köklerinin çarpmaya göre tersleri
toplamı —— olduğuna göre, m kaçtır?
2
E
u.
denkleminin çözüm kümesinde bir tane eleman
olduğuna göre m kaçtır?
B) - 5
x2 + (3 - m)x + m - 2 = 0
>-
=0
x -6x+9
A) - 6
8.
D) 2
©
A
»!
*'!
E) 5
C)6
D)
8
E) 10
9. m ?t 0 olmak üzere,
4.
x + 5 x
x+3 +x +
x2 - 2mx + 3m = 0
x + 1 2
1 x - 1 + x+3
denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması ge­
ometrik ortalamasına eşit olduğuna göre, m kaçtır?
denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
A) - 3
B) - 2
C) 1
D) 2
A)1
E) 3
10.
5.
r - (a - 1)x + 3a = 0
denkleminin köklerinden biri 2 olduğuna göre, a
kaçtır?
A)-10
B)-9
O-8
D)-7
E) - 6
B)2
C)3
D)4
E) 5
x - 7x + 6
__
=0
x + 5x - 6
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {1,6}
B){-6, 1}
D){1}
C){-6,6}
E) {6}
—.
487
MATEMATİK SORU BANKASI
x2 - mx + 3m - 1 = 0
11.
1 6 . x2 + 2ax - a3 = 0 denkleminin kökleri
x2 + (a - 1)x - 3 = 0 denkleminin köklerinin üçer
katı olduğuna göre, a kaçtır?
denkleminin kökleri a ve b dir.
a(2 - b) + b(2 - a) = 6
A)-3
D) 2
C)-1
B)-2
E) 3
olduğuna göre, m değeri nedir?
A) 1
B) - 1
C) - 2
D) - 3
E) 3
17.
X + 2
x-1
+
2/l/-*=±+3-0
x+2
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
12.
x. |x - 2| = 2 - x
A) {-2}
B){-2, 1}
C){-1,2}
D)0
E) İR
denkleminin kaç farklı reel kökü vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1 8 . M ve N pozitif tamsayıdır.
x3 + 6x2 + Mx + N = 0
denkleminin kökleri - 1 , a, b olduğuna göre,
a + b değeri kaçtır?
9x-10.3x + 9 = 0
13.
A)-7
denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
A)0
B)1
C)2
D) 9
B)-6
C)-5
D)-4
E)-3
D
E) 10
©
utMiMfcîiıııımı iMjısittiı *..
ve *p
u
"-
Buna göre, kökleri (x1 + x2) ile (x 1 . x2) olan ikin­
ci derece denklem aşağıdakilerden hangisidir?
14.
x3 - 3x2 + ax + 2 = 0
denkleminin ardışık kökleri arasındaki fark sabit
olduğuna göre, a kaçtır?
A) - 3
B) - 1
C) 0
D) 1
A) X2 + 6x + 8 = 0
B) x2 + 6x - 8 = 0
C) x2 - 6x - 8 = 0
D) x2 - 6x + 8 = 0
E)x2 + 6x + 16 = 0
E) 3
20.
x3 - mx2 + 8x - 4 = 0
denkleminin kökleri xv x2 ve x3 tür.
15.
4x2 + (m + 2)x + m + 1 = 0
3x2x3
Ag
1
Ag -
^
X
1
denkleminin köklerinin biri diğerinin toplamaya
göre tersine eşit olduğuna göre, m kaçtır?
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 3
A) 4
B)2
C)0
D)-2
E) - 3
B)5
C)6
D) 9
E) 12
Cevaplar: 1-B 2-C 3-B 4-E 5-E 6-C 7-C 8-D 9-C 10-E 11-B 12-B 13-C 14-C 15-D 16-E 17-D 18-C 19-D 20-B
488
,'^1x
pç* ', i*'
W
II, ve III. DERECE DENKLEMLER
'*'* *< Vv, *'«y
1
t#.y«
f
^ Ü *
*J\* * ' - ' V , ' **
1
,.*
*.**
•oc + 1
x2 + (1 + m2)x - 3m = O
QX
/*&••
jx + 1
+ 3
+ 5. 3 * + ' + 3 = 0
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden
hangisidir?
eşitliğini sağlayan x değerlerinden birisi 1 oldu­
ğuna göre, diğer kök aşağıdakilerden hangisi ola­
bilir?
A)10
A) 10
B)3
D)-1
C)0
B)3
7.
B){1,5} C){1,6}
D) {0, 5}
D)-1
>i
X + 4x - 21
X - 2
x2 + ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi {- 2, 3}
olduğuna göre, ( x - 3) 2 + a(x - 3) + b = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) {-5,0}
c
E)-6
E)-3
=0
denkleminin kökler toplamı kaçtır?
A)-7
B)-5
C)-4
D)-2
E)0
E) {5, 6}
o
c
>.
x2 y - x2 = 1 ve x . y = 2
B) - 1
C) 0
D)1
x2 + x + m = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
E
•
olduğuna göre, x kaçtır?
A) - 2
8.
3x1 + x2 = 1
olduğuna göre, m kaçtır?
E) 2
A) 3
B) 1
C) 0
D)-1
E)-2
a * 0 olmak üzere,
J_ J_
x
denkleminin
hangisidir?
a
kökler
1
9.
b + x
toplamı
V2x + 1 = x - 1
denklemini sağlayan kaç farklı x reel sayı değeri
v«?rdır?
aşağıdakilerden
A)0
A)-a
B)-b
C)--
D)1
V3 - x - x + 3 = 0
10.
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) {2,3}
B){-2,-3}
C){2}
D) {3}
B) 1
C)2
D) 3
E) 4
E) a
E) {2,0}
x
+ (m - 1)x + m - 2 = 0
denkleminin birbirine eşit iki kökü olduğuna göre,
m kaçtır?
A)1
B)2
0)3
D) 4
E) 5
489
MATEMATİK SORU BANKASI
16.
2
11.
2x - ax + b = 0
x1 + x2 - 2x1 . x2 = - 2
2(x1 + x2) + x1 . x2 = 11
denkleminin kökler toplamı, kökler çarpımının 3 katı­
na eşittir.
olduğuna göre, kökleri x1 ve x2 olan ikinci dere­
ceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
2
Buna göre, ax - bx - 2b = 0 denkleminin çö­
züm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
2
B) x - 2x - 3 = 0
2
2
D) x + 4x - 5 = 0
A) x + 2x - 3 = 0
2
C) x + 4x + 5 = 0
A) {0,1}
C )
B){1,3}
D) { - 1 , 2 }
_
1
{ |' }
2
E) x - 4x + 3 = 0
E) {-2,-1}
1 7 . a< 0 olmak üzere,
2
ax - x - 3a = 0
2
1 2 . Yüzey alanı 46 br olan dikdörtgenler prizmasının bo­
yutları,
3
denkleminin kökleri için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
A) Reel kök yoktur.
B) Aynı işaretli iki kök vardır.
C) Negatif iki kök vardır.
D) Bir tek kök vardır.
E) Mutlak değerce büyük olan kök negatiftir.
2
x - 9x + (6m - 1)x + 1 - 4m = 0
denkleminin kökleri olduğuna göre, bu prizmanın
hacmi kaç br3 tür?
A) 30
B)24
C)21
D) 18
E) 15
I»
O
c
1 3 . Kökleri, x2 + 3x + 1 = 0 denkleminin köklerinden o
2 eksik olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki- *"
lerden hangisidir?
|
denkleminin kökleri, aralarındaki fark 3 olan ar­
dışık bir sayı dizisi oluşturduğuna göre, m kaç­
tır?
u.
2
2
A) x + 7x + 11 = 0
B) x - 5x + 11 = 0
2
x3 - 12x2 + 39x + 7m = 0
18.
A)-6
°
B)-4
C)-2
D) 2
E) 4
2
C) x - 5x - 1 = 0
D) x + x - 1 = 0
E) x2 - x - 1 = 0
x 2 - ( x 1 - 2 ) x + x 1 +x 2 = 0
19.
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre, kök­
lerden büyük olanı kaçtır?
1 4 . x 2 + x - m = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir.
A)|
3
x 1 3 . x2 - 3x1 . x2 = 2m
olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisi ola­
bilir?
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 4
B)1
C)|
2
D) 2
E)|
2
2 0 . m < 0 olmak üzere,
x3 + mx2 + 3 = 0
denkleminin kökleri için aşağıdakilerden hangisi
doğru olabilir?
x2 + 2x + 4m = 0
15.
denkleminin reel köklerinin çarpımı en çok kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Cevaplar: 1-E 2-C 3-D 4-B 5-D 6-D 7-C 8-E 9-B
490
10-C
A) Üç kökü de pozitiftir.
B) Üç kökü de negatiftir.
C) Bir kökü negatif ikisi pozitiftir.
D) Bir kökü pozitif ikisi negatiftir.
E) Köklerden biri sıfırdır.
1-C 12-E 13-A 14-C 15-A 16-E 17-E 18-B 19-A 20-C
1.
(2 - a)x2 + bx - 4 = O
6.
x2 - kx + m = 0 denkleminin kökleri x t 2 ve x22
olduğuna göre, m kaçtır?
denkleminin çözüm kümesi { - 1 , 3} olduğuna
göre, a + b toplamı kaçtır?
A)-2
C)0
B)-1
D)
x2 - 2x - k = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
A)4
B)9
C)16
D) 25
E) 36
E)
(a - 1) x + ax - a = 0
2.
x2 - 3x + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre,
A)1
Vx7
B) V2
Vx7
C) V3
denkleminin çakışık iki reel kökü olduğuna göre,
a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
toplamı kaçtır?
D) 2
*>İ
E) V5
o
C).
D)
E
>i
x 3 - ax 2 + 3x - 2 = 0
8.
V2x - V4x+T^ = 1
3.
B)
denkleminin kökleri x1 , x2 ve x3 tür.
denkleminin reel kökü kaçtır?
•• A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 2
olduğuna göre, a kaçtır?
A)-10
(a - 1)x2 + (1 - a2)x - 2a = 0
4.
9.
denkleminin simetrik iki reel kökü olduğuna göre,
kökler çarpımı kaçtır?
A)-1
5.
B)-2
O-3
D)-4
E)-5
x - 5x + 1 = 0 denkleminin bir kökü x1 dir.
A) 29
2
1
x1 + —
B) 27
C) 25
C)-6
D) 5
E) 7
Vx + 2 + Vx - 2 + 1 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) {-2}
B){-1}
C){1}
D) {2}
E)0
1 0 . x2 - 3x + a = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
2
Buna göre,
B)-8
3x, - x2 = 1
toplamı kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
D) 23
E) 21
A) - 1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
491
MATEMATİK SORU BANKASI
16.
1 1 . m * 0 olmak üzere, a x 2 - 2 m x - m 2 = 0 denklemi
için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
x 3 + mx - mx - 1 = 0
denkleminin reel kökleri x1 , x2 ve x3 tür
A) Kökler çarpımı negatiftir.
B) Kökler toplamı pozitiftir.
C) a < 0 ise kökler çarpımı pozitiftir.
D) m . a > 0 ise kökler toplamı negatiftir.
E) m < 0 ise kökler toplamı negatiftir.
1
1
1
— + — + — = x2
X
JL + _ a _. 4 =o
a
B)8
C)6
3
D) 2
C)-3
E) 3
x 3 - 3x 2 - 4x + m = 0
denkleminin kökleri a - 4, a, a + 1 dir.
x1 ve x2 dir.
Buna göre, m kaçtır?
Buna göre, x 1 . x 2 < x 1 + x 2 eşitsizliğini sağla­
yan a nın tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 10
X
2
B)-2
17.
x
denkleminin kökleri
X
olduğuna göre, m kaçtır?
A)1
12.
1
D) 5
A) 12
B)6
C)4
D)-6
E)-12
E) 3
Rf
18.
1 3 . x2 + 2x + 10 = 0 denkleminin kökleri 3x 1 + 2 ve
o
denkleminin
«
x
3x 2 + 2 dir.
Kökleri x1 ve x2 olan ikinci derece denklem aşağı-
2
bir
+ 2x + 1 - - = 0
x
kökü
x1
olduğuna
göre,
1
+
ifadesinin değeri kaçtır?
dakilerden hangisidir?
A) x 2 - 2x + 2 = 0
A) 1
2
B) x 2 - x + 1 = 0
2
2
C) x + 2x + 2 = 0
D) x + x + 1 = 0
B) 3
C) 1
D) 2
E) 3
E) x 2 + 2x - 2 = 0
19.
x2 - bx + c = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x 3 - ( b + 1)x 2 + cx + d = 0
14.
2
x - 7 | x | + 12 = 0
denkleminin kökleri x1 , x2 ve xA + x2 olduğuna
göre, b kaçtır?
denkleminin reel köklerinin toplamı kaçtır?
A)-7
15.
B)-1
C)0
x + 1
2x
x +2
x - 1
D) 5
20.
B) - 4
C) - 1
B) 2
D) 1
C) 3
D) 4
E) 5
x 3 - mx + 1 =0 denkleminin kökleri x v x 2 ve x 3 tür.
A J
denkleminin kökler toplamı kaçtır?
A) - 5
A) 1
E) 7
T
" O ™~
Q "™
olduğuna göre, m kaçtır?
E) 4
A) - 1
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Cevaplar: 1-A 2-E 3-E 4-A 5-D 6-C 7-B 8-C 9-E 10-D 11-C 12-A 13-C 14-C 15-B 16-A 17-A 18-E 19-A 20-C
492
"C.«*î-sr^t'.vt*
'
:-vL'İ*K-:
•
'
<
:
II. ve
IVI : !??-.-.-..—
5t?A"s, A ; J
1.
*
III. DERECE DENKLEMLER
*#»&»*»*
*: ıi--..-». *.Jrf...v^t ».'»•«•-• • -
6.
„,5 + m
+ mx + 2 = O eşitliği ikinci dereceden bir
bilinmeyenli denklem olduğuna göre, çözüm kü­
mesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) { - 2 , - 1 }
BM-2,-3}
D) {2,1}
"?<•
x
2
+ 2ax + 2 = 0
denkleminin bir kökü 1 dir.
2
Diğer kökü ise x - 3cx - a = 0 denkleminin bir
kökü ile eşittir.
C){-2,1}
Buna göre, c kaçtır?
E) { - 1 , 2 }
A)-
7
B)-
C)ü.12
11
D) ix+ 1
denkleminin
hangisidir?
x2-1
çözüm
.7.
kümesi
m pozitif reel sayıdır.
aşağıdakilerden«
x 2 - 4mx + 4m 2 = 0
denkleminin kökleri x, ve x2 dir.
A) { 2 , - 1 }
B){2}
C){1,-1}
1^7
D){-1}
T
E){0}
= 4 olduğuna göre, m kaçtır?
Vx7
o
c
A) 4
o
B)2
C)
D) A
16
>«
3.
x2 + mx - m - 1 = 0
A)-2
B)-1
C)0
D) 2
©
2x 2 - (1 - p)x - 16 = 0
8.
denkleminin iki reel kökünden biri diğerinin karesine
eşittir.
Buna göre, p kaçtır?
E) 3
A)-16
4.
| x2 + 5 | = | 4x - 3 |
denklemini sağlayan
kaçtır?
A)-2
B)-4
x
D)-8
D)-3
E). 4
2mx 2 + 4x + 1 + p = 0
denklemlerinin kökleri birbirlerine eşit olduğuna
göre, 2m - 5p kaçtır?
E)-10
10.
x
O-4
2
A) - 1
2
B)-8
(m + 1)x - 2x - 3p = 0
reel sayılarının toplamı
O)-6
E)
«
denkleminin bir kökü m olduğuna göre, diğer kökü aşağıdakilerden hangisi olabilir?
5.
15
13
=0
B) - 2
2x2
C) - 3
D)-4
E)-5
3ax + 5a = 0
- 5x + 3 = 0 denkleminin bir kökü a dır.
Buna göre,
a
+ a + 3
ifadesinin değeri
kaçtır?
A) 1
denkleminin kökleri m ve n olduğuna göre, m nin
n cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
3n
B) 2n
D)
5n
3n - 5
2
E)
5n
5n - 3
493
MATEMATİK SORU BANKASI
2
3
denkleminin köklerinden birisi, diğer iki kökünün
hem aritmetik hem de geometrik ortalamasına eşit
olduğuna göre, a - b kaçtır?
2
(a + 1)x + ax - 2 = 0
denkleminin kökler çarpımı
kökler toplamı kaçtır?
2
olduğuna göre,
°>i
o-i
B)
C)3
B)2
A)1
A)-:
2
x + ax + 4bx + 8 = 0
16.
1 1 . a < 0 olmak üzere,
E) 6
D) 4
E) 2
1 7 . 0 < m < 1 olmak üzere,
12. x - 2x - 5 = 0 denkleminin kökleri a ve b dir.
2
x - (m - 1)x - m = 0
Buna göre, kökleri a + 2b ve b + 2a olan ikin­
ci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisi­
dir?
ikinci dereceden denkleminin kökleri için aşağıda­
kilerden hangisi doğrudur?
A)x2-6x-19 = 0
B)x 2 + 6x-19 = 0
2
C)x -6x+19 = 0
D)x 2 -19x + 6 = 0
2
E) x - 6x + 3 = 0
13.
A) Birbirine eşit iki reel kökü vardır.
B) Ters işaretli iki reel kökü vardır.
C) Pozitif iki reel kökü vardır.
D) Negatif iki reel kökü vardır.
E) Reel kök yoktur.
7=0
~1
^3~
2
x„
-2 18.
olduğuna göre, kökleri x1 ve x2 olan ikinci derece­
den bir bilinmeyenli denklem aşağıdakilerden
hangisidir?
2
c
o
>-
denkleminin kökleri arasında,
nJ
2
A) x - 7x - 6 = 0
B) x - 7x + 6 = 0
C) x2 + 7x + 6 = 0
D) x2 - 6x - 7 = 0
2
E) x - 7x - 3 = 0
A) - 2
C)VT3
9 "
*î
"*
^" fc^rt
D)1
C) 0
E) 2
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
D)-/ÎT
2
2
x1 .x2 + x r x 2 = 12
olduğuna göre, m kaçtır?
E)V7
B) 3
C) 4
E) 6
D) 5
x + mx + 1 = 0
x
ı =
A)-2
1
X
2
+
1
X
B)-1
3
- x 3 + kx2 - 128 = 0
20.
denkleminin kökleri xv x2 ve x3 tür.
olduğuna göre, m kaçtır?
denkleminin reel kökleri xv x2 ve x 3 tür.
x1 . x2 - x36 s 0 olduğuna göre, k kaçtır?
C)0
D)1
E) 6
Cevaplar: 1-D 2-B 3-A 4-B 5-E 6-C 7-E 8-D 9-B
494
1 "
i
A) 2
15.
•
x' -4x + m - 2 = 0
Buna göre, •f^ + "fx^ kaçtır?
B)2Vİ3
"O
B) - 1
19.
denkleminin kökleri xt ve x2 dir.
A) 13
T
olduğuna göre, a kaçtır?
x2 - 9x + 4 = 0
14.
x3 - 2x2 + (a - 1)x + 4 = 0
10-D 11-B
A)-34
12-E 13-A
B)34
14-C 15-A
C)-32
16-C 17-B
D) 32 E) 30
18-B
19-D 20-E
6.
BÖLÜM
1.
6.
(a + 2).x3 + ( a - b ) . x b - 1 + (b + 3).x"» 2 -ax + a b = 0
ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem
olduğuna göre, kökler toplamı kaçtır?
A)-;
2.
B,-|
2
C)5
D)1
E
A)0
>İ
7.
2x 2 - 3cx + c2 = 0
denkleminin bir kökü c,
ax 2 - (2a + 1)x + 2 = 0 denkleminin bir kökü 2
dir.
C)1
D) 2
B)1
x
reel sayısı
D) 3
C)2
E) 4
(m + 1)x2 + (2m - 1)x + m - 2 = 0
denkleminin farklı iki reel kökü olduğuna göre,
m nin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-1,1)
Bu denklemlerin diğer kökleri birbirine eşit oldu­
ğuna göre, a.c kaçtır?
B)-1
x.|x-2| = 2x-3
denklemini sağlayan kaç farklı
vardır?
c * o olmak üzere,
A)-2
TEST
5
II. ve III. DERECE DENKLEMLER
B)(0,8)
D)(-~,OO)_{-1}
C)(0, 1)
E ) (-1,0)
E) 3
o
c
o
(x)x + 4.(x)- x -5 = 0
>-
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaç­
tır?
A)1
B)2
4X - 5 . 2 X
4.
C)3
+ 1
D) 4
8.
E
denkleminin köklerinden birisi, diğer iki kökün ge­
ometrik ortalamasına eşit olduğuna göre, m kaçtır?
A)-2
E) 5
+ 16 = 0
9.
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
A) 1
5.
B) 2
C) 3
D) 4
2x3 - mx2 + (m - 1)x - 16 = 0
C)0
B)-1
D)1
E) 2
ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinin çarpma
işlemine göre tersini kök kabul eden ikinci derece
denklem,
E) 5
4x^
3x + 2 = 0
olduğuna göre, _ r L kaçtır?
b
mx 2 + (m + 1)x + 3 = 0
A)
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre, bu denklemin kökleri arasındaki
bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
A) x1 . x 2 - 2x1 - 2x 2 + 1 = 0
B) x, . x 2 - x1 + x2 = 0
C) 3x1 + x2 + x1 . x2 - 3 = 0
D) 3(x1 + x2) - x1 . x2 + 3 = 0
E) 3(x1 + x2) + x, . x2 - 3 = 0
c
B)
10.
ax
>î
D)--
E)2
+ bx + c = 0
denkleminin köklerinden birisi 2 dir.
a
1
b + c
6
A)-4
B)-6
olduğuna göre, diğer kök kaçtır?
C)-10
D) 8
E) 6
495
MATEMATİK SORU BANKASI
16.
2
x + (m - 3)x - 3 =
11.
denkleminin kökleri xt ve x2 dir.
Kökler arasında, x1 =
x2 + 2
m kaçtır?
denkleminin bir kökü m olduğuna göre, m nin
alabileceği değerlerin kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
bağıntısı varsa
A){0}
A
C)
B)1
'i
12.
E)
D) 2
B){1}
D ) { - 1 , 1}
17.
6x + 4 = 0
x
3
EH-1,0,1}
- 2x 2 + 3ax - 18 = 0
denkleminin farklı iki kökünün mutlak değerleri birbiri­
ne eşittir.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x1 > x2 olduğuna göre, x1 . Vx^ - x2 . Vx^
ifadesinin değeri kaçtır?
Buna göre, a kaçtır?
A)-V2
A) 2
B)-2V2
C)V2
D) 2/2
E) 1
18.
13. x
2
C){0,1}
- x - 2 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir.
B)3
2yC
C)4
D) 5
E) 6
(k + 3)x - 42 = 0
Buna göre, kökleri x1 +1 ve x2 +1 olan ikinci de- x
receden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
>.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri xt + 3 ve
x2 + 3 olan ikinci dereceden denklem
x2 - 12x + 6 = 0 dır.
A) x2 - 3x = 0
Buna göre, k kaçtır?
B) x2 - 2x - 1 = 0
D) x 2 - x - 1 = 0
14.
C) x2 - 2x = 0
A) 11
E) x2 - x = 0
denkleminin kökleri xt ve x2 olduğuna göre, x r x 2
kaçtır?
B)4
C)9
D) 16
E) 25
1 5 . x + ax + b = 0 denkleminin bir kökü 3,
x2 - cx + d = 0 denkleminin bir kökü 7 dir.
Bu iki denklemin diğer kökleri ters işaretli ve mut­
lak değerce birbirine eşit olduğuna göre, (a - c)
kaçtır?
B)-8
C)8
D) 10
C)9
D) 8
E) 6
A) x2 - 4x + 2 = 0
B) x2 - 4x - 2 = 0
2
C) x + 4x + 1 = 0
D) x2 - 4x + 1 = 0
2
E) x - 4x - 1 = 0
2 0 . a < 0 olmak üzere; x3 + ax2 + 3x = 0 denk­
leminin üç kökü de reel sayı olduğuna göre, aşa­
ğıdakilerden hangisi doğrudur?
2
A)-10
B)10
1 9 . Köklerinden biri İ7 - -{ffî olan rasyonel kat­
sayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden
hangisidir?
2x2 - (xt + x2 + 4)x + x,2 + x22 = 0
A)1
u.
E) 15
A) Köklerin üçü de pozitiftir.
B) Köklerin ikisi pozitif biri sıfırdır.
C) Köklerin ikisi negatif, biri sıfırdır.
D) Köklerin biri sıfır, diğerleri ters işaretlidir.
E) Köklerin üçü de negatiftir.
Cevaplar: 1-C 2-D 3-C 4-D 5-E 6-D 7-D 8-B 9-A 10-D 11-E 12-D 13-A 14-B 15-A 16-E 17-B 18-C 19-D 20-B
496
TiST
PARABOL
1.
Yandaki şekilde,
y = 2x - 5x + 3
f(x) = x 2 + 5x + 4
parabolünün grafiği
denklemi ile verilen parabolün simetri ekseni aşa­
verilmiştir.
ğıdakilerden hangisidir?
Buna göre, a + b + c
A)x = -
B) x = - 2
toplamı kaçtır?
A)-5
B)-1
C)1
D) 5
E)x =
D)x =
E) 11
C)x = 2
Yandaki şekilde,
y =
ZYT
y = x 2 - 4x + k
- 8x + 7
fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
denklemi ile verilen parabolün tepe noktasının
koordinatlarının toplamı kaçtır?
A)-3
B)-1
C)1
D) 2
E) 4
|OB| = 3|OA| •
olduğuna göre,
.2
k kaçtır?
c
a
3.
A)-4
B)-6
C)-8
D)-10
E)-12
f(x) = x 2 - 6x + 8
fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?
A)-3
B)-2
C)-1
D) 2
E) 3
7.
Şekildeki parabolün
denklemi aşağıdaki­
lerden hangisidir?
4.
f(x) = ( x - 1 ) 2 + 2
parabolünün grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x - 5x + 3
B)y = --!-(x
2
G)y = ( x - 2 ) 2 - 1
D)y = - l { x + 2 ) ( x - 3 )
6
+
2)(x-3)
E) y = - xc + x +
E
>
< >y
8.
y = 2 x 2 + x - 6 parabolü ile y = x + n doğru­
su birbirine teğet olduğuna göre, n kaçtır?
'2
1
-1
0
x
A) - 7
B) - 6
O-5
D) 6
E) 7
497
MATEMATİK SORU BANKASI
2
1 3 . y = x - 3x + k parabolü ile y = x + 2 doğru­
su farklı iki noktada kesiştiğine göre, k nın ala­
bileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?
Şekildeki parabolün
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 8
A)y= i ( x - 4 ) - 2
4
B) y = (x + Af - 2
C)y = (x-4r + 7
D)y= l ( x - 4 ) + 2
4
2
E) 4
D) 5
C)6
B)7
2
2
14. y = x - ( b + 2)x + 9 parabolü x eksenine pozitif
tarafta teğet olduğuna göre, b kaçtır?
2
E)y = (x + 2 ) - 3
A)-14
C)4
B)-8
D) 6
E) 8
1 0 . Şekilde verilen para­
bolün tepe noktasının
ordinatı kaçtır?
A)
16
B) - 6
C) _ 7
D)
23
1 5 . y = x2 -mx + 5 parabolü ile y = x + 4 doğrusu­
nun ortak noktaları olmadığına göre, m nin alabi­
leceği tamsayı değerlerin toplamı kaçtır?
E)-8
A)-5
o
e
11.
B) - 4
C) - 3
D) 3
E) 5
>s
O
>-
E
«
u.
©
1 6 . y = x 2 - 4 x + n parabolü ile y = - x 2 + 4 x - 4
parabolü birbirine teğet olduğuna göre, n kaçtır?
A) 4
ABCD dikdörtgeninin CD kenarı şekildeki para­
bolün simetri ekseni üzerinde, BC kenarı x ek­
seni üzerinde ve A köşesi parabol üzerinde ol­
duğuna göre, taralı alan kaç birimkaredir?
A) 4
12.
B)6
C)8
D) 10
y=x'
C)8
B)6
E) 11
D) 9
17.
E) 12
y=2x
f(x) = x2 + 4x + a - 1 ve g(x) = x2 - 2x + 2a - 5
parabolleri veriliyor.
Şekildeki AOB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 2
Cevaplar: 1-B
498
B) 4
2-C
C)6
3-C
4-A
D) 8
5-D
6-E
Buna göre, a kaçtır?
A)-1
E) 10
7-D
8-B
9-A
10-A
11-E
B)0
12-B
C)1
13-D
14-C
D) 4
15-C
E)-3
16-A
17-D
TEST
1.
Yandaki şekilde
y = f(x) parabolünün
grafiği verilmiştir.
5.
Buna göre,
aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
Buna göre, f(4) kaçtır?
A)-8
11
B)-IL
o
Yandaki şekilde
y = ax2 + bx + c
parabolü verilmiştir.
9
C)-2
D)-|
E)-
A)c > 0
5
D)
2.
f: [0, 4] -» R şeklinde tanımlanmış,
f(x) = - x2 + 2x + 3 fonksiyonunun alabileceği en
küçük değer kaçtır?
A) - 8
B) - 5
C)-1
D) 4
6. f(x) = - 2x2 parabolü ile, g(x) = x + k doğrusu,
birbirine teğet olduğuna göre, k kaçtır?
E) 5
o
c
A)
O
10
12
o
>>
+y
y=ax2 y=bx2
<0
E
u.
7.
K
*i
f(x) = 2x 2 + 4x + k ve g(x) = - x 2 + 2 x - 2
parabolleri kesişmediğine göre, k nın alabileceği
en küçük tamsayı değeri kaçtır?
y=dx2
y=cx*
Şekilde, y = ax2 , y = bx 2 ,
parabolleri verilmiştir.
A)-2
B)-1
C)0
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)a>b>od
B)b>a>od
C)a>b>d>c
D)b>a>d>c
8.
f(x) = ax 2 + bx + c parabolü x eksenini başlangıç
noktasına göre, simetrik iki noktada kesmektedir.
ğuna göre, (
) ifadesinin değeri kaçtır?
a
A)-1
f(x) = 2x2 + 4
g(x) = 2(x + a)2
9.
parabollerinin tepe noktaları arasındaki uzaklık 5 birim­
dir.
Buna göre, a kaç olabilir?
A) - 2
B) - 3
C) - 4
E) 2
Parabolün alabileceği en küçük değer — oldu­
E)d>b>a>c
4.
D)1
y = cx2 ve y = dx2
D) - 5
E) - 9
c
B)-7
c
>7
D)1
E) 7
k pozitif bir reel sayıdır.
f(x)»-x 2 + 2kx-8 parabolü y * 1 doğrusuna te­
ğet olduğuna göre, k kaçtır?
A)1
B)
3
C)2
D).
E) 3
499
MATEMATİK SORU BANKASI
15.
1 0 . k, sıfırdan farklı pozitif tamsayıdır.
parabolü P(1, 4) noktasından geçtiğine göre, bu
parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatı
kaçtır?
k nın değişen değerlerine göre,
2
y = kx - (k + 2)x - 2k + 3 şeklindeki parabollerin
kesiştikleri noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
A) - 2
11.
D)1
C)0
B) - 1
A)-17
E) 2
x - 2x + 5
E) 14
bölgeyi ifade eden
B)4
C)5
D) 6
eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden hangisi­
E) 8
dir?
f(x) = - 2x2 - 8x + 1
parabolünün tepe noktasının koordinatları topla­
mı kaçtır?
A) 5
D) 8
1 6 . Yandaki şekilde taralı
fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
12.
C)4
B)-14
20
f(x) =
A) 2
2
y = ax - (2a + 3)x - 3a - 5
A)l(x - 3 ) 2 < y < - x
3
3
B ) l ( x - 3 ) 2 < y <-l-x
3
12
C ) - ( x - 3) z < y < — x
D ) - ( x -3f < y < — x
12
12
B)6
C)7
E) 9
D) 8
E)l(x-3)2<y <i-x
3
12
D
C
O
1 3 . Yandaki şekilde tepe
noktası ( - 2 , 1) olan
y = f(x) parabolünün
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
>.
E
»
ay
y=f(x)
/
1 7 . Şekildeki parabolün te­
-2
B)y = i ( x - 2 ) 2
4
A)y = l ( x - 2 ) 2 + 2
4
C)y = İ ( x
4
+
2)
2
+
1
y=mx
pe noktası C noktasıdır.
+
1
Buna göre doğru ile
parabolün kesim nok­
talarının apsisleri çar­
pımı kaçtır?
D)y = l ( x + 2 ) 2 - 1
A)-18
B)18
E)y = ^ ( x + 2 ) '
14.
y = x 2 - ( 2 a - 1 ) x + a2
parabolünün tepe noktası Ox
olduğuna göre, a kaçtır?
A)_ 1
B)- 1
C)1
1 8 . a pozitif reel sayı olmak üzere, kenarları (8 - 2a) cm
ekseni üzerinde
ve (a + 2) cm olan diktörtgenin alanı en çok kaç
cm dır?
D)
4
A) 8
B) 12
C) 16
D) 18
E) 24
Cevaplar: 1-C 2-B 3-A 4-B 5-D 6-D 7-B 8-E 9-E 10-D 11-C 12-C 13-C 14-D 15-C 16-D 17-D 18-D
500
6.
BÖLÜM
Yandaki şekilde f(x) pa­
rabolünün grafiği veril­
miştir.
6.
parabolü verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi
kesinlikle doğrudur?
ğini sağlayan x de­
ğerlerinin çarpımı kaçtır?
B)4
Yandaki şekilde
y = f(x) = ax 2 + bx + c
f(x + 1) = x + 2 eşitli­
A) 6
TEST
3
PARABOL
C)0
D)-2
I. a . b . c > 0
E) 6
a-b
w
IV. — < 0
c
y = x - 10x + m parabolünün tepe noktasının
orijine olan uzaklığı 13 br olduğuna göre, para­
bolün alabileceği en küçük değer en az kaçtır?
A)-6
B)-8
C)-10
D)-12
A)1
7.
E)-13
B)2
I. b.A > 0
<0
V.
a.b
C)3
< A
D) 4
E) 5
y = - 2x 2 + nx + m - n parabolünün simetri ekse­
ni x -1 = 0 doğrusu ve alabileceği en büyük de­
ğer 4 olduğuna göre, m - n kaçtır?
A) - 4
O
3.
A(2, 3) noktasından geçen ve tepe noktasının
koordinatları (3, 4) olan parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = - x 2 - 6 x + 5
8.
D) 4
E) 6
y = ax - 3 doğrusu a nın hangi negatif değeri için,
y = x2 - 4x + 6 parabolüne teğet olur?
B)y = x + 6x + 13
C ) y = x - 6 x + 13
C)2
E
«
z
2
B) - 2
>-
A)-i
D)y = - x 2 + 6 x - 5
B)-3
C)-5
D)-8
E)-10
E)y = x + 6 x + 15
f(x)-(m - 1 ) x 2 - m x + 1
9.
4.
y = 2x + m doğrusu y = x2 + 2nx + 3 parabolünü
P(- 1, 3) noktasına göre simetrik iki noktada kes­
mektedir.
Buna göre,
A) 2
A) - 2
n kaçtır?
B) 3
C) 5
parabolü x eksenini sadece bir noktada kestiğine
göre, m kaçtır?
D) 6
B) - 1
C) 1
D) 2
E) 3
C) - 1
D) 0
E) 6
E) 7
1 0 . Şekildeki grafik
f(x) = ax 2 + bx + c
parabolüne aittir.
5.
[- 3, 2]
kapalı aralığında tanımlanmış olan
f(x) = x2 + 5 fonksiyonunun alabileceği en bü­
Buna göre,
a - b + c kaçtır?
yük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 13
B) 15
C) 17
D) 18
E) 19
A) - 6
B) - 3
501
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . Yandaki şekilde tepe
f(x) = (m + 2 ) x 2 - 2 m x + m - 1
11.
noktası B noktası olan
parabolü A(- 1, 5) noktasından geçmektedir.
f(x) = x 2 + 4x - m + 1
parabolü verilmiştir.
Buna göre, parabolün x eksenini kestiği noktalar
arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A)
B
>!
c
>!
D
'f
ABO üçgenin alanı
8 br 2 olduğuna göre,
E)1
m kaçtır?
A) - 11
1 2 . y = x2 - ax + 4 parabolünün tepe noktası y = 3
C)-7
B) - 9
D) - 5
E) - 3
doğrusu üzerinde olduğuna göre, tepe noktasının
apsisi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)-4
B)-2
C)0
D)1
E) 4
1 7 . k pozitif bir tamsayıdır.
y = x + 4 doğrusu ile y = x2 + 3x + k parabolünün
en az bir ortak noktası vardır.
1 3 . Yandaki şekilde,
Buna göre, k aşağıdakilerden hangisi olamaz?
f (x) = - x 2 + 6x + m - 20
parabolünün grafiği ve­
A)1
B)3
C)4
D) 5
E) 6
rilmiştir.
2|OA| = |AB| = |BC|
f(x)
-2
olduğuna göre, m kaçtır?
B)-15
C)-10
:
D) 10
E) 15 ^
E
x = y2 + 3 ile y = x2 - 4
|OA| = 2 ^ 3 tür.
•
Buna göre, OAB üç­
O
geninin alanının
u.
14.
1 8 . Yandaki şekilde
katı kaçtır?
parabollerinin tepe noktaları arasındaki uzaklık
kaç birimdir?
A) 3
B)V5
A)1
C)2^5
D) 5
B)2
D) 4
C)3
E) 5
E) 3 ^ 5
15.
1 9 . Yandaki şekilde veri­
len x = f(y) fonksiyo­
nunun denklemi aşa­
ğıdakilerden hangisi­
dir?
Yukarıdaki şekilde, f(x) = 2(x + 4) 2 ve g(x) = 2x 2
parabollerinin grafikleri verilmiştir.
Buna göre, ABO üçgeninin alanı kaç br 2 dir?
A) 12
B)14
C)16
D) 18
E) 20
A) x = - y - 2y - 1
B) x = - y z - 2y - 3
C) x = - y 2 - 2y + 3
D)x = y - 3 y - 2
E) x = y 2 + 2y - 3
Cevaplar: 1-D 2-D 3-D 4-A S-E 6-B 7-C 8-E 9-D 10-D 11-C 12-D 13-E 14-D 15-C 16-A 17-E 18-C 19-C
502
Jy-y
BOLUM
*
* * -
+•&.•&&'
6.
parabolünün x ve y eksenlerini kestiği noktala­
rın apsisleri ve ordinatlarının toplamı kaçtır?
2.
B)5
C)6
E) 11
D) 9
Tepe noktası T(2, 4)
olan y = f(x) parabolü
ile y = x doğrusu şekil­
deki gibi orijinde ve A
noktasında kesişmiştir.
Buna göre, OAB üç­
geninin alanı kaçtır?
y = (f o g)(x)
parabolü şekilde
verilmiştir.
<
7.
f(x) = x - 1 olduğuna
göre, g(3) kaçtır?
A)1
A) y = - x - 2x - 1
B) y = - x + 2x - 1
C) y = - x2 + 2x + 1
D) y = - x - 2x + 1
<
c
>!
D)
E
»l
»!
D) 2^5
E) 5 İ 5
A)-48
«I
B)-32
C)-28
f(x) parabolü ile g(x)
doğrusu A noktasında
teğettir.
D) -24
'y
Buna göre, ABC dik
üçgeninin alanı kaç
br2 dir?
B)
E)-18
t(x)=x2+4
g(x)=-2x+k
O*
2
D)
25
E
»f
1 0 . Yandaki şekilde
f (x) = - x2 + 2x + 3
parabolü verilmiştir.
Buna göre, [AB] kirişi­
nin orta noktasının ap­
sisi kaçtır?
B
C) İ5
f(x) ve g(x) parabolleri x eksenini aynı noktalar­
da kestiğine göre, m + n kaçtır?
9.
Şekilde d: doğrusu ile
f(x) = 2x2 - 7x + c para­
bolü AveB noktalarında
kesişmektedir.
*>!
B) f 3
f(x) = (m + 2)x2 + 4x-12
*>!
5.
E) 15
2
y = x2 parabolünün y - x + 2 = 0 doğrusuna en
yakın noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
B)
'l
g(x) = mx2 + 8x + n
Tepe noktası T(-1,2) olan ve A(1,- 2) noktasın- £
dan geçen parabolün denklemi aşağıdakilerden *~
hangisidir?
|
E) y = x2 - 2x - 1
4.
D
C) - 6
8.
3.
C)8
B)
y = x2 + 7x - 3 parabolünün y = 2x - 3 doğrusun­
dan ayırdığı kirişin uzunluğu kaç birimdir?
A) 2İ2
B) - 1
;^
^**»•*»•'*
f(x) = x2 - 5x + 6
A)1
TISI
PARABOL
Buna göre, ABCD
yamuğunun alanı
kaç birimkaredir?
D) 2
*î
A) 24
B) 28
C)32
503
MATEMATİK SORU BANKASI
11
1 4 . m bir tamsayı olmak üzere, y = x + m doğrusu
ile y = 5x 2 + 2mx - m - 2
parabolünün kesim
noktalarından herhangi bir tanesi x ekseni üze­
rinde olduğuna göre, parabolün x eksenini kes­
tiği noktanın pozitif değeri kaçtır?
Şekilde f(x) parabolünün maksimum noktası
*i
3, Ox
eksenine teğet olan g(x) parabolünün minimum nok­
D)
C)1
B)
E
>!
15.
tası 2 ve f ( - 2) = 0 dır.
Buna göre, t ( - 1 ) + g ( - 1 ) toplamı kaçtır?
A) - 6
B)
B
- -
C) ^ -
>-î
D) 9
E) 12
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) ve y = g(x) para­
bollerinin tepe noktaları arasındaki uzaklık kaçtır?
2
1 2 . Şekilde f(x) = ax + bx + c
parabolünün grafiği veril­
A) ŞŞ
8
miştir.
Buna göre,
g(x) = - 2 c x 2 + a x - b
parabolünün grafiği
aşağıdakilerden hangisi
o
c
olabilir?
A)
Ay
C)
B)
A
o
y
\
X
E
B) —
4
E)
45
B) y = 2x^ + 8x + 10
C) y = x 2 + 4x + 10
D)y = 3x 2 + 12x+ 10
E) y = x + 4x + 7
i
1 7 . Yandaki şekilde ve­
ny
E)
A) y = x + 2x + 10
u.
Ay
45
1 6 . y = - x 2 - 4x parabolünün A(- 2, 5) noktasına gö­
re simetriği olan parabolün denklemi aşağıdakileren hangisidir?
-• •
D)
D)
C) —
4
rilen OBCA karesi­
>y
y=f(x)
\
4
2
nin alanı kaç br d ir?
\
B imi ^
/\
O
13.
A)1
C)
B)
X
2
16
E)
16
1 8 . m nin değişen değerleri için,
y = x 2 - (4 - 2m)x + m 2 + 3
parabollerinin tepe noktalarının geometrik yerinin
Şekilde f(x) = ax + bx + c parabolü, y = x + 3 doğ­
rusu ile A(0, y 0 ) ve B noktalarında kesiştiğine göre,
B nin ordinatı kaçtır?
A) 10
B) 12
C)15
D) 16
Cevaplar: 1-E 2-A 3-D 4-D 5-B 6-B
504
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x
D)y = 1 8 x - 2 6
E) 17
7-E 8-C 9-D
B) y = - 4x + 7
10-E 11-D
12-D
13-C
14-D
C) y = 8x - 24
E)y = 1 6 x - 2 8
15-D
16-C 17-A
18-B
EŞİTSİZLİKLER
fm&^sM&f'
1.
i i* l^JŞL' »'ü*^.' ^.*; i *.; ı'
2
5 katının 4 eksiği, kendisinin karesinden büyük
(x + 2) . ( x - 1 ) . ( x - 5 ) < 0
olan en büyük tamsayı aşağıdakilerden hangisi­
dir?
eşitsizliğini sağlayan x in alabileceği tamsayı de­
ğerlerinin toplamı kaçtır?
A)1
B)2
C)3
D) 4
E) 5
A) 6
2.
B)7
D) 9
3\(4-x)
7.
x ( x - 1) < 1 - x
C)8
E) 10
>0
2x - 6
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
eşitsizliğini aşağıdaki aralıklardan hangisi daima
gisidir?
sağlar?
A) ( - 2 , 0)
B) (0 , 2)
D)(-~, -1)
C ) ( - 1 , 1)
A)x<3
B) x > 4
D) 0 < x < 3
3.
2x^ + 1
o
>0
4 - x2
vardır?
©
4.
C)3
1
x
D) 2
- x - 2
<0
eşitsizliğini sağlayan x in doğal sayı değerlerinin
toplamı kaçtır?
E)1
4
5
- — < —
E) 3 < x < 4
x - 5
«-
u
B)4
8.
E
eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tamsayı değeri
A) 5
C) 0 < x < 4
E) (1 . »o)
A) 9
B)8
D) 6
C)7
E) 5
d
x - 7x + 10
9.
X2 + x - 6
<0
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tamsayı değeri
eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tamsayı vardır?
vardır?
A) 3
B)4
C)5
D) 6
E) 7
A) 9
5.
x - 5
eşitsizliğini sağlayan kaç tane pozitif x tamsayısı
vardır?
toplamı kaçtır?
A) 5
A) 21
B)4
C)3
D) 2
E) 1
C)7
D) 6
E) 5
Ya- 1
<0
a-6
10.
<x +5
B) 8
eşitsizliğini sağlayan a nın tamsayı değerlerinin
B)18
C)15
D) 12
E) 10
505
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
x + 1
2
16.
x -2
mx -2mx + m + 1 =0
denkleminin reel köklerinin her ikisi de pozitif ol­
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
duğuna göre, m nin alabileceği değerlerin en ge­
niş aralığı aşağıdakiierden hangisidir?
A)x>2
B)x<-2
C)-2<x<2
A)
D)x>-2
,-1)
B)(0,1)
C ) ( - 1 ,oo)
E) x < - 1 veya x > 2
D) ( - 1 , 1 )
12.
(1 - x ) . ( x
17.
x -2
eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakiierden han­
2)
+
2.|x|
> 0
eşitsizliğini sağlayan x in tamsayı değerlerinin
gisidir?
çarpımı kaçtır?
A) ( - 2 , - 1 )
B ) ( - 2 , 1)
D ) ( 0 , 2)
C)(0,1)
B)-4
A)-8
x -3
13.
E) 2
D)0
nx2-3x + n - 3 = 0
denkleminin kökleri x ve x
> 0
x+5
C)-2
E ) ( - 1,1)
18.
eşitsizliğini sağlamayan x tamsayılarının toplamı
x . x < 0
o
c
dir.
olduğuna göre,
n
nin bulunduğu
en geniş aralık aşağıdakiierden hangisidir?
o
kaçtır?
A)-3
E)(1,~)
>B)-5
14.
C)-6
D)-10
E)-12
2 X > 8x + 2
A)(-oo, 0)
E
e
D)(0, 3]
B)(-oo,3)
D)(-~, -
3
1
15.
m+ 1
]
B)(-1,_|]
B)-1<p<0
D) p > 1
20.
aralık aşağıdakiierden hangisidir?
A)[-1,-|]
A)p<-1
E)(0,3]
eşitsizliğini sağlayan m in bulunduğu en geniş
C)p>0
E) 1 < p < 2
3x > x-2
x2-1 < 0
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiier­
den hangisidir?
C)(-1,-|)
A)(-~,-1)
D)R-[-1,_|)
E ) ( 3 , co)
şartı daima sağlandığına göre, p reel sayısı için
aşağıdakiierden hangisi doğrudur?
C) [ - 3 , ~ )
< 3
C)(0, 3)
px2 + 2px - 1 < 0
19.
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakiierden han­
gisidir?
A) ( - 3 , - )
B)[0, 3]
E)R-(-1,-^]
B)(-2,1)
D ) ( - 1 , 1)
C)(-1,2)
E ) ( 1 , o»)
Cevaplar: 1-C 2-C 3-C 4-D 5-B 6-C 7-E 8-C 9-C 10-C 11-E 12-D 13-E 14-D 15-D 16-A 17-E 18-C 19-B 20-D
506
TEST
2
1.
a - x
n(n - 2) < 48
>O
3x + b
eşitsizliğini sağlayan n nin en büyük tamsayı de­
eşitsizliğinin çözüm aralığı 2 < x < 5 olduğuna
ğeri kaçtır?
göre, a + b kaçtır?
A) 4
B)5
C)6
D) 7
E) 8
A)-1
2.
B)_
X2 (4 - x) (x + 4) > O
C) 0
D)2
( m 2 - m + 5 ) . ( m - 1)
E) 5
>0
(2 - m) 4
eşitsizliğini sağlayan x in kaç farklı tamsayı de­
ğeri vardır?
eşitsizliğini sağlayan m nin alabileceği en küçük
A) 5
B) 6
C)7
D) 8
E) 9
pozitif tamsayı değeri kaçtır?
A) 2
a + 2
3.
B) 3
C)4
D) 5
E) 6
a + 1
a- 1
o
a-2
eşitsizliğini sağlayan a nın bulunduğu en geniş
aralık aşağıdakilerden hangisidir?
(1 - x ) ( 1 + x )
1^ 8.
> 0
eşitsizliğini aşağıdaki aralıklardan hangisi sağlar?
A) (1 , 2)
B) [ 1 , 2 ]
C)(-1,2)
u.
A)x<0
©
D)(-2,2]
4.
2
w
E)[-2,1)
,(x-2)
(x + 2 )
3
<0
B ) [ 2 , =0)
C) - 1 < x < 0
D) 0 < x < 1
E) - 1 < x < 1
x*.|x - 2|
9.
eşitsizliğini sağlayan x in en geniş aralığı aşağı­
dakilerden hangisidir?
A ) ( - ~ , -2)
B)x>1
(x-3)
<0
eşitsizliğini aşağıdaki aralıklardan hangisi sağlar?
A) ( 0 , 2 )
C)[-2,2]
B) ( - »o , 3)
DM-oo, 3 ) - { 0 }
D)[-2,2)
x(x + 2) + 4
C)2
İ8^
10.
>0
eşitsizliğini sağlayan x in en küçük tamsayı de­
ğeri kaçtır?
B)1
E)(-co, 3 ) - { 0 , 2 }
E)(-2,2]
5.
A)0
C) ( - 00 , 3 ]
D) 3
E) 4
x - 3
> 0
eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tamsayı değeri
vardır?
A) 2
B) 3
C)4
D)5
E) 6
507
MATEMATİK SORU BANKASI
16.
1 1 . 0 < a < 1 olmak üzere,
x - a
ax - 1
< 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
A) (- 3 , 3)
gisidir?
A)[a,l)
a
Vx + 3 < Vx - 3
B)(-l,a)
a
D)(a,i)
D ) ( - ~, - 1)
C)(-a,l)
a
E)[-a,l)
a
a
B) (3 , oo)
17.
2
2
C) (6 , o»)
E ) ( - » , 1 ) u ( 6 , °o)
2
n x -x+ n -1 =0
denkleminin ters işaretli iki kökü olduğuna göre,
12.
n nin sağladığı aralıklardan birisi aşağıdakilerden
hangisidir?
eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) - 1 < n < 1
A) ( - 2 , 2)
B ) ( - 1 , 1)
D) ( 2 , - )
D)-°°<rı<0
C ) ( 0 , 1)
x - 2
1
•
+/ x - 1< 0
E ) - ° ° < n < + °°
3 x 2 - ax + 3 > 0
eşitsizliği daima sağlandığına göre, aşağıdakiler­
den hangisi doğrudur?
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
A)0<x<1
C) 0 < n < 1
E)(-oo,-2)
18.
13.
B) - 1 < n
B ) x < 0 veya 1 < x
C) x < 1
o
A) a < 0
>E
o
u_
C) - 6 < a < 6
B) a > 0
D)-3<a<3
E) - 1 < a < 1
©
D) - 1 < x < 0
E) x < 0
19.
14.
,(x* + 3x + 5)
x - ax + 1 = 0
denkleminin reel kökü olmadığına göre, a aşağı­
daki aralıklardan hangisinde bulunur?
>8
eşitsizliğinin çözüm aralıklarından birisi aşağıda­
kilerden hangisidir?
A) (- 2 , 2)
B) (2 , «
D ) ( - 2 , oo)
A ) ( - ~ , 2)
B ) ( - 1, »o)
D ) ( - o o , 1)
E) (1 , - )
C ) ( - »o, 0)
E) ( - 3 , oo)
5x.(x-1)<0
20.
6 - x - x2 > 0
15.
x
X2
eşitsizliğini sağlayan x in tamsayı değerleri kaç
tanedir?
A) 1
B) 2
C)3
Cevaplar: 1-D 2-B 3-A 4-E 5-D 6-A
508
C ) ( - 1 , 1)
D) 4
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiler­
den hangisidir?
A) ( - 3 , 1]
D ) ( - ~ , 1]
E) 5
7-B 8-D 9-E 10-D 11-D 12-B
B ) ( - 3 , 2)
13-A
C ) [ - 3 , ~)
E ) [ 0 , 2]
14-B 15-D 16-C 17-C 18-C 19-A 20-A
V>
,
i
.,*
*
.
**
*
mm
_
EŞITSIZLIKLER™$$m *
3 . x
1.
x4(x2-9)
6.
>O
x - 2x + 1
- x 2 + 2x - 1.
>0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
eşitsizliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı
gisidir?
kaçtır?
A ) ( 1 , ~)
B ) [ 0 , 1)
A)- 2
C) (1 , 3 ]
D) [O, ~ > ) - { 1 }
E)(-oo, 1)
B)- 1
C)0
(x 2 - 3 ) . ( x 2 + 9)
x2-9
2.
D) 3
E)5
<0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
(1 - x)<
gisidir?
<O
x - 4x + 3
A ) ( - 3 , - V 3 ) u ( V 3 , 3)
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) [1 , 3)
B) ( 1 , 3 )
B)(-3,0)u(f3,3)
C ) ( - o o , - f i ) u (3,00)
C) (1 , 3 ]
D) ( - İ3 , 3 )
D ) ( - ~ f 1]
E) ( 3 , ~)
E) [ - 3 ,
İÜ]
o
>-
3.
_x
x - 1
x + 2
x - 3
E
>x
eşitsizliğini sağlayan x in doğal sayı değerlerinin
toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C)5
8.
D) 6
©
1 +
eşitsizliğini sağlayan en büyük iki tane tamsayının
E) 7
toplamı kaçtır?
A) - 3
x - 4x + 4
4.
|x + 2| - 3
<0
B) - 2
C)-1
x^ + 3x - 10
9.
(1 - x ) . | x - 2 |
eşitsizliğini sağlayan x in kaç farklı tamsayı de­
ğeri vardır?
D) 0
E) 1
<0
eşitsizliğini sağlayan x in negatif tamsayı değer­
lerinin toplamı kaçtır?
A) 6
B)5
C)4
D) 3
E) 2
A)-6
10.
5.
B)-8
C)-10
D)-12
E)-15
Vx 2 - 6x + 9 > x
Küpünden karesi çıkarıldığında kendisinin 1 eksi­
ğinden küçük olan reel sayıların bulunduğu en ge­
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakiler­
niş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
den hangisidir?
A ) ( - 1 , 1)
B ) ( - 1 , oo)
D)(-«o, 1)
C)(-oo, -1 )
A)[0,~)
B)(-
C)
E)(1 , oo)
D)R
E)0
509
MATEMATİK SORU BANKASI
11
16.
x - 1 < x + 3x < x + 3
(27)
eşitsizliğini sağlayan x in kaç farklı tamsayı de­
ğeri vardır?
A) 2
D) 5
C)4
B) 3
E) 6
3
+3
-
>252
C)0 < x <
E)x < 1
D)x > 1
denkleminin zıt işaretli iki reel kökü vardır.
B)m>1
2
x +2
17.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
D) m < 1
ı
B)x >
A)x <
x -mx + m - 1 = 0
A)1<m<2
+
eşitsizliğini sağlayan x değerleri için aşağıdakiler­
den hangisi doğrudur?
2
12.
l
C)m>2
<1
eşitsizliğini sağlayan en geniş aralık aşağıdakiler­
den hangisidir?
E) m < 2
A)-İ2<x<İ2
B) - 1 < x <İ2
C)-2<x<2
1 3 . f(x) = 3 - Vx + 1 olmak üzere,
' D) - 1 < x < 1
E)R-[-1,1]
f_1(x)<0
eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) (- oo , 2)
B) (2 , 4)
D) (4 , oo)
C) (2 , 3]
E) (0 , oo)
o
c
18.
£
9
1+x
> x2 - x + 1
eşitsizliğini sağlayan x tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?
E
A) 6
©
D) 3
C)4
B) 5
E) 2
1 4 . x2 - (n + 2)x + n - 5 = 0 denkleminin kökleri
x ve x dir.
parabolünün kolları x eksenini aynı tarafta kesti­
ğine göre, m aşağıdaki aralıkların hangisindedır?
eşitsizliğini sağlayan n in alabileceği tamsayı
değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 5
B)7
C)10
15.
y = x 2 -2mx + m - 1
19.
-^+J-<0
D) 12
A)-oo<m< + o°
E) 15
B)m>0
D) 0 < m < 1
C)m>1
E) m < 1
X >
J-<Vx'
Vx
6 < x 2 + x<12
20.
eşitsizlik sistemini sağlayan aralıklardan biri aşa­
ğıdakilerden hangisidir?
eşitsizliğinin çözüm aralıklarından biri aşağıdaki­
lerden hangisidir?
A) x > 1
A) (- 4, 2)
B)-2<x<0
D)x>0
C) x < 1
E) - 1 < x < 1
B) (2, 3)
D) (-4, 3)
C) (- 3, 2)
E)(- 3, 3)
Cevaplar: 1-D 2-B 3-A 4-A 5-C 6-B 7-A 8-C 9-C 10-B 11-C 12-D 13-B 14-B 15-A 16-C 17-D 18-D 19-C 20-B
510
6.
BÖLÜM
TEST
4
EŞİTSİZLİKLER
(2x - 4).(x - 1)
2
a < b < 0 < c olmak üzere;
<O
2
x .(x -l)
' (ax + b). (x - c)
(bx + a)
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
>0
eşitsizliğini sağlayan aralıklardan biri aşağıdaki­
gisidir?
lerden hangisidir?
A ) ( - 1 , 2)
B)(-2, -1)
D)(1 , 2)
C ) ( 0 , 1)
B)--<
b
A) - — < x < c
a
E ) ( - 1 , 2 ) - { 0 , 1}
b
b
n\
C ) - — <x < - —
a
c
(x 2 - 4 ) . ( x 4 - 16).(x- 3 ) > 0
x < - —
a
D)x>_a
E)x < -
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakiler­
den hangisidir?
A) [ - 2 , 2 ]
x b .|x +1 \.[x'- 9)
B) ( 2 , 3 )
D) [ 1 , 3 ]
C) ( 2 , - )
<0
V x 2 - 2x +1
E) ( 3 , «o )
eşitsizliğini sağlayan x in tamsayı değerlerinin
o
c
(x - 5 ) . | 1 - x |
toplamı kaçtır?
A) - 3
o
<0
B) - 2
C) 0
D) 1
E) 2
- 1
u.
eşitsizliğini sağlayan kaç tane x doğal sayısı var­
dır?
A) 0
B) 1
vardır?
A) 1
4.
>0
( x 2 + 3x + 4 ) . ( x + 2 )
eşitsizliğini sağlayan x in kaç farklı tamsayı değeri
E) 4
D) 3
C)2
x 6 . ( x 2 + 2x ) 2 . ( 3 - x ) 3
8.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
( x - 1 ) - ( x - 1 ) 2 > 3(2 - x)
eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) [0 , 2)
B) (2 , 4)
D) ( 3 , 5 )
C) (1 , 4)
x 2 + 3x
eşitsizliğini sağlayan x
A) - 4
<0
8)2
B) - 3
10.
in kaç farklı tamsayı
değeri vardır?
D) 4
E) 5
C) - 2
D) - 1
E) 0
V x - 3 > Vx - 3
eşitsizliği için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)x<3
C)3
<0
eşitsizliğini sağlayan en küçük tamsayı kaçtır?
E) (4 , oo)
( x 2 - 3x + 2 ) 2 . ( x 2 - 6x + 9)
A) 1
x 2 + 5x + 6 (3 - x)'
D)0<x<4
B)x>4
C)x<4
E)3<x<4
511
MATEMATİK SORU BANKASI
11. a<b<0<c
olmak üzere,
1 6 . y = x2 - (m + 4)x + 2m + 9 parabolü x in bütün reel sayı değerleri için 1 den büyük değerler aldığı­
(x + a ) . ( x 2 + 2bx + b 2 )
na göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
<0
x +c
A)m>4
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
B) m > - 4
C)-4<m<4
D) m < - 4 veya m > 4
A)a<x<c
B)0<x<c
D)-c<x<-b
E) m > 0
C)x>-a
y = x 2 - m x + 3,
17.
E)-c<x<-a
y = - x 2 + 2x + 1
parabolleri farklı iki noktada kesiştiklerine göre,
12.
( x 2 - 4x + 3)'
aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
<0
( x 2 + 2x - 15) 4
B) m > 6
A) - 6 < m < 2
C) m < 0
eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tamsayısı vardır?
D) m < - 6 veya m > 2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
1
E) 6
ax 3 - bx 2 + 3cx + c - 2 = 0
18.
x2 + x - 6 < 0
13.
E) m > -
denkleminin kökleri x
x ve x tür.
- x2 + 4x - 3 > 0
1
— +
eşitsizlik sistemini sağlayan en geniş çözüm ara­
lığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) ( - 3 , 3)
B)(1 , 2)
D) (1 , 3)
o
1 4 . mx + ( m - 2 ) x -2 = 0 denkleminin kökleri x , x dir.
A ) ( - ~ , 1)
E
e
D) (2 , 00)
B ) ( 2 , 00)
C ) ( 1 , 2)
E) (0 , 2)
x2<y + 1<x + 2
eşitsizlik sisteminin belirttiği bölge aşağıdakiler­
olduğuna göre, m aşağıdaki aralıkların hangisindedir?
B) (0 , 0 0 )
> 3Q
D) İR - { 2 }
19.
x ^ O < x 2 ve x 2 > | x 1 1
A) ( - 00 , 0)
1
aşağıdakilerden hangisidir?
>-
2
+
olduğuna göre, c nin alacağı değerler kümesi
C)[1 , 2]
E) (2 , 3)
1
den hangisidir?
C) ( - ~ , 2)
E) (0 , 2)
1 5 . y = f(x) parabolünün grafiği
yanda verilmiştir.
9(x) =
2x.|x + 1
olduğuna göre,
f(x). g(x) > 0
eşitsizliğini sağlayan x in farklı tamsayı değerle­
rinin toplamı kaçtır?
B)- 2
A)- 3
Cevaplar: 1-E
512
2-E
3-A
C)1
4-B
5-E
D)2
6-B
7-C
E)3
8-C
9-B
10-E
11-E
12-B
13-B
14-E
15-A
16-C
17-D
18-C
19-A
6.
BÖLÜM
KTT-6
2
1.
2
6.
2
(x - 3x) - 2(x - 3x) - 8 = O
2.
B)-4
C)-3
D)-2
E) - 1
A)
D)
7.
Kökleri x 1 -1 ve x 2 -1 olan II. dereceden bir bi­
linmeyenli denklem aşağıdakilerden hangisidir?
D)x + x - 2 = 0
3. x-İ2x + İ3 + n = O denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
2
X
1
X
2
= 2Vİ
8.
o
4.
B) İ2
C)İ~3
E
E) 3
denkleminin köklerinin kareleri toplamı 5 oldu­
ğuna göre, m aşağıdakilerden hangisi olabilir?
5.
x
B) - 2
+ V5x -3 = 0
C) - 1
D) 0
E) 1
denkleminin kökleri a ve b dir.
1
1
Kökleri — - v e — - olan denklem aşağıdaki
a
b
lerden hangisidir?
A ) 9 x 2 - 1 1 x + 1 =0
B)x2 + 1 1 x - 9 = 0
C)x2-9x + 11=0
D)9x 2 + 11x + 1 =0
E)9x2+ 11x- 1 = 0
D) 6
E) 7
9.
B)3
C)0
D)-3
E)-6
4 p 4
f (X) = - - x2 + - x + 1
3
3
parabolü için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
x 2 + (m + 4)x + 2(m + 4) = O
A) - 4
C)-1
x3 - 6mx2 + nx + 8m - 3 = 0
A) 6
D) 2
B)-2
denkleminin köklerinin aritmetik ortalamasının ya­
rısı, geometrik ortalamasına eşit olduğuna göre,
m değeri kaçtır?
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 1
a ve b reel sayı olmak üzere,
A)-3
-2
+
b+1
E)
~' a . b
a-2
denkleminin köklerinden ikisi x2 + 5x + 6 = 0
denkleminin de kökleri olduğuna göre, a kaçtır?
E) x2 - x - 1 = O
2
b+1
2-a
x 3 + ax 2 + bx + 12 = 0
2
C)x -x + 2 = 0
X
C)
1+b
B) x + x - 1 = O
2
1
2+a
2
A) x + x + 1 = O
X
- ax + b = 0
B)
a-b
x2 - x + 1 = O denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
2
2
denkleminin kökler toplamı, kökler çarpımından
(a - b + 1) fazla olduğuna göre, kökler toplamının
kökler çarpımına oranı aşağıdakilerden hangisidir?
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden han­
gisidir?
A)-6
(x - c )
A) y eksenini pozitif tarafta keser.
B) x eksenini iki noktada keser.
C) f(x) in en büyük değerini aldığı nokta birinci bölge­
dedir.
D) Parabolün kolları aşağıya doğrudur.
E) Simetri ekseni y ekseninin solundadır.
1 0 . Yandaki şekilde,
f(x) = ax 2 + bx + c
parabolünün grafiği
verilmiştir.
Buna göre, y = f(x) parabolü­
nün denklemi aşağıdakiler­
den hangisidir?
A) y = x2 - 2x + 3
B) y = x2 + 2x + 3
C)y = x2 + 2 x - 3
D)y = 2x2 + 4x + 1 0
E) y = - x2 + 2x + 3
513
İL
1 1 . Şekilde grafiği verilen
y = f(x)
16.
y
y-f(x)
fonksiyonu­
nun en küçük
değeri
- 3 olduğuna
göre,
0
/
f(6) kaçtır?
> X
eşitsizliğinin çözüm aralıklarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
x
/
X
4
A)-1 < x < 0
B)x>-1
D)0<x<2
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
C) x>0
E) - 1 < x < 1
E) 15
1 7 . Karesinin 2 katının 2 eksiği, kendisinin 2 katının
2 fazlasından küçük olan reel sayıların en geniş
aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
1 2 . Yandaki şekilde,
y = ax 2 + bx + c
parabolünün grafiği
A) (1 , 5)
verilmiştir.
B) (-1 , 2)
D) ( - 1 , 7 )
C) (3 , 5)
E) ( - 4 , 2 ]
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğ­
rudur?
A) a.b > 0
B) a . o 0
D) a.b.c > 0
x2.(2x-7)4
18.
C) b.c < 0
E)a + b + c > 0
>
(x-3)b
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
o
c
^
1 3 . Yandaki şekilde,
f(x) = ax 2 + bx + c
parabolü ve ABO
diküçgeni verilmiştir.
©
Buna göre,
ABO diküçgeninin
alanı kaç birimkaredir?
A) 15
B)12
B)R+
A)R
19. a < 0 < b < c
D) 8
C)-
D)
eşitsizliğinin çözüm aralıklarından biri aşağıdaki­
lerden hangisidir?
E) 5
E)
< 0
(x-b)
B) a < x < b
D) x > c
1 4 . y = 2x +1 doğrusu, y = x 2 - 4ax parabolünün te­
pe noktasından geçtiğine göre, a değeri kaçtır?
B)
E) 0
olduğuna göre,
A)x<b
A)-1
D)R-{3}
•x (x-a) (x-c)
y=f(x)
C) 10
C)R-{0}
20.
C) x > b
E) x > 0
(x + 1 ) . ( x - 2 ) < 0
x.(x + 1) < 0
15.
eşitsizlik sisteminin çözüm aralığı aşağıdakiler­
den hangisidir?
(1 - x ) . (x - 4 ) > 0
eşitsizliğini sağlayan x in en büyük negatif tam­
sayı değeri kaçtır?
A)-5
B)-4
C)-3
D)-2
B)0<x<1
D) - 1 < x < 0
E) - 1
Cevaplar: 1-E 2-A 3-C 4-E 5-A 6-B 7-E 8-D 9-E 10-A
514
A) - 1 < x < 0
11-C
12-D 13-E 14-B
15-C 16-A
C) - 1 < x < 0
E) 0 < x < 1
17-B
18-D
19-D 20-D
6.
BÖLÜM
GTT-3
x - 5x + 6
1.
=O
6.
n pozitif reel sayı olmak üzere,
x2-4
x2 - x - n = 0 denkleminin kökleri a ve b dir.
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangi­
sidir?
A){3}
B){-3,3}
D) { - 2 , 3}
3a 2 - 2ab - b 2 = 0
C){-3}
olduğuna göre, n kaçtır?
E ) { - 2 , 2, 3}
B)
«i
2.
3
2x _
4
. 3x + 1
+
B)3
E)
27 = O
7.
eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A)1
D)
C)
C)7
D) 9
x3 + mx 2 - 4x + n = 0 denkleminin bir kökü 2
ve diğer kökleri, x2 - (n + 1)x + 2m r 0 denk­
leminin köklerine eşit olduğuna göre, n kaçtır?
E) 12
A)-12
3.
C)-4
B)-7
D) 4
E) 7
o
c
denkleminin bir kökü x, dir.
Buna göre,
x1 +
o
ifadesi kaça eşittir?
x-3
E
e
u.
eşitsizliğini sağlamayan kaç tamsayı vardır?
©
A) 3
B)5
a+b*o
C)6
D) 8
A) 1
B) 2 .
C) 3
D) 4
E) 5
E) 9
olmak üzere,
9.
x2 - 4abx + (a + b) 2 = O
denkleminin kökleri a ve b olduğuna göre, aşa­
A) a + b = 1
B) 4a + b = 1
D) a + b = 3
1,*-1
x
4
eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangi­
sidir?
ğıdakilerden hangisi doğrudur?
5.
<1
C) 4a + 4b = 1
A)(-1,°°)
E) a + 4b = 4
B)(0,oo)
D) ( - O O , - 1 )
C)(-oo,0)
E
)(-1
,0]
m > 2 olmak üzere,
x 2 - (m + 2).x + 2m = 0
denklemi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Farklı pozitif iki kökü vardır.
B) Farklı negatif iki kökü vardır.
C) Kökler oranı negatiftir.
D) Çakışık iki kökü vardır.
E) Gerçek kökü yoktur.
10.
x - 1 < 3x + 3 < x + 7
eşitsizliğini sağlayan x in tamsayı değerlerinin
toplamı kaçtır?
A)-2
B)-1
C)0
D)1
E) 2
515
11.
<o
(x-1)Mx-2|
eşitsizliğini sağlayan x
1 6 . Şekildeki y = f(x)
parabolü ile g(x) = mx
doğrusunun grafiği
verilmiştir.
in tamsayı değerlerinin
toplamı kaçtır?
B)-2
A)-3
C)0
g(x)=m.x
Buna göre;
E) 4
D) 2
1
f(a + 1) = g - ( 3 ) - g ( l ^ )
3
eşitliğini sağlayan a değerlerinin toplamı kaçtır?
2
A) 4
2
1 2 . y = 2x + n parabolünün y = x + 4x + 9 para­
B) 3
C) 2
D) 1
E) - 1
bolüne teğet olduğu noktanın apsisi m olduğuna
göre, m + n kaçtır?
A) 5
C) 13
B)7
D) 15
17.
E) 19
0,1,2,3,4,5
rakamları kullanılarak 5 ile tam bölünebilen, üç
basamaklı kaç değişik doğal sayı yazılabilir?
A) 40
C)50
B)48
D) 60
E) 72
1 3 . x2 - 6x + k = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
V x 7 - V^ = 2
A) - 1
olduğuna göre,
B) 0
C)1
k
D) 2
kaçtır?
E) 4
Û
o
o
18.
E
kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazıla­
bilecek anlamlı ya da anlamsız beş harfli kelimele­
rin kaç tanesinin son harfi N dir?
«
14. n * 0
"SINAV "
A) 5!
olmak üzere,
B) 2.4!
C)4!
D) 2.3!
E) 3!
y = 2x2 + nx + 2n
parabolü x eksenine teğet olduğuna göre, para­
bolün tepe noktasının apsisi kaçtır?
A)-5
B)-4
C)-3
D)-2
19.
E) - 1
130201
sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek altı ba­
samaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?
A) 56
B)60
C)64
D) 66
E) 72
1 5 . Yandaki şekilde,
y = f(x) parabolünün
grafiği verilmiştir.
2 0 . Anne, baba, nine, dede ve belli sayıda çocuktan
oluşan bir aile, yuvarlak bir masa etrafına dede ile
ninenin arasında anne ile baba olmak şartıyla 96
değişik şekilde oturabileceklerine göre, bu ailede­
ki birey sayısı kaçtır?
2|OA| = |OB| = |OC|
olduğuna göre, f(x) in
alabileceği
en küçük
değer kaçtır?
A) - 1
516
B) - 2
C) - 3
D) - 4
E) - 5
A) 5
B)6
C)7
D) 8
E) 9
MATEMATİK SORU BANKASI
21.
26.
"ALATURKA"
2x<
kelimesinin harflerinin yerlerinin değiştirilmesiyle
oluşturulabilecek, anlamlı ya da anlamsız sekiz
harfli kelimelerin kaç tanesi sesli harfle başlayıp
sessiz harfle biter?
A) 120
B)480
D)1080
açılımında sabit terim kaçtır?
B) 42
A) 84
21
C)
21
D)
E)-84
C)720
E)1920
(a + 2 b - c ) 7
27.
açılımında a 2 . b 2 . c 3
li terimin katsayısı kaçtır?
A) - 960
B) - 840
C) - 260
2 2 . 6 doktor ve 3 hemşire arasından, 2 doktor ve 1
hemşireden oluşan 3 kişilik bir heyet kaç değişik
D) 450
E) 840
biçimde seçilebilir?
A) 15
B)30
C)45
E) 75
D) 60
2 8 . 2 siyah, 3 mavi topun bulunduğu bir torbadan iki top
çekilecektir.
Çekilen top torbaya geri atılmamak şartıyla art ar­
2 3 . 8 kişi, iki tanesi 3 kişilik, bir tanesi 2 kişilik top­
da yapılan iki çekilişte, sadece ikinci topun siyah
lam 3 odada kaç farklı şekilde kalabilirler?
A) 280
B)360
C)428
D) 560
gelmesi olasılığı kaçtır?
E) 624
A)
a
B
1
»l
29.
2 4 . Bir basketbol takımının 10 kişilik kadrosundan ilk 5
0)±
c) 10
10
E) A
5
2, 4, 3, 5
seçilecektir.
sayılarından ikisini rastgele seçecek olan bir
çocuğun seçeceği iki sayının da 4 ten farklı ol­
ması olasılığı kaçtır?
Takım kaptanı Ramazan ve oyunculardan Emin
her takımda olmak şartıyla bu takımın ilk beşi kaç
farklı şekilde seçilebilir?
A)
A) 30
B)35
D) 56
C)52
1
B)
1
«T
E) 62
30.
25.
D)
1
E)
1
3, 4, 5
rakamları kullanılarak yazılabilecek üç basamaklı
bütün sayıların her biri birer karta yazılarak kartlar bir
torbaya atılıyor.
Bu torbadan rastgele çekilen bir kart üzerinde
yazılı olan sayının tek sayı olması ihtimali kaçtır?
Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır?
A) 20
Cevaplar: UA
16-C
B)21
C)24
2-B
3-C
17-D
18-C
4-C
19-D
D) 26
5-A
20-D
E) 28
6-E
21-E
7-C
22-C
A)
8-B
23-D
9-B
24-D
<
27
10-A
25-E
11-A
26-D
C)
12-D
27-B
D)
13-C
28-D
1
14-B
29-A
E)
15-A
30-E
517
7 RÖI 11M
/. D ULU m
> Trigonometri
> Karmaşık Sayılar
> Logaritma
> KTT - 7
BOLUM
1.
27TI
6.
ün esas ölçüsü aşagıdakilerden hangi­
4
sidir?
TEST
1
TRIfîOlOlETRS
0° < 6 < 90° olmak üzere,
cos e = —
5
si
A)
C)
3ıc
D) 71
E)
5TC
olduğuna göre, tan 9 + sin 6 toplamı kaçtır?
A)
3TC
10
7.
radyanlık açının ölçüsü kaç derecedir?
32
15
B)
Yandaki
23
D)
^
12
E)
dikdörtgen
birbirine eş altı tane
kareden
C)60
B)63
A) 72
D) 54
E) 45
oluştuğuna
göre, cos a kaçtır?
/ *
A)
B)
Vİ3
I. cos 100°
D)
II. sin 200°
y
C)
VÎ3
Yİ3
E)
VT3
III. tan 300°
Yukarıdaki trigonometrik ifadelerin işaretleri
sırasıyla aşagıdakilerden hangisidir?
A)+,-,-
B)-+, -
D) -, +, +
C)--, E) -, -, +
cos
|
u.
©
B)
V3
1
1 + tanx
5
C)
V2
D)
E)0
1
1 + cot x
işleminin sonucu aşagıdakilerden hangisidir?
A) 1
işleminin sonucu kaçtır?
C)V3
. 2 2rc
sın
işleminin sonucu kaçtır?
A)1
sin 60° + cos 30°
B) 2
TC
10
tan 60° + cot 30°
A) 4
2
D)
V3
B) sin x
D)tan x
C) cos x
E) cot x
E)
1 0 . Yandaki şekilde, O merkez­
li yarım çember ile köşeleri
çember üzerinde olan ABC
COS
2
X
1 - sin x
üçgeni verilmiştir.
- 1
işleminin sonucu aşagıdakilerden hangisidir?
tan y. cot x = — olduğuna göre, cos x kaç­
tır?
A) sin x
B) - sin x
D) - cos x
C) cos x
E) 1
A)
V3
B)
V5
V5
D)
V2
E)
V3
521
MATEMATİK SORU BANKASI
2
11.
2
16.
2. cos x + 4. sın x
2 - cos x
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 4
B) 2
C) 1
D) - 1
4 sin x + 3 cos x = 0
olduğuna göre, sec x aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
E) - 2
S
4
A)-|
3
12.
cos x + sın x
cos x - sin x
D) 2
E)
cos 67° + sin (-23°)
tan 111°
17.
olduğuna göre, tan x değeri kaçtır?
C) 4
B)-i
3
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3
B)2
D)
C)
E)
A)cotm°
B) tan 11°
C) 0
D) tan 111°
1 3 . Şekildeki dikdörtgen öz­
deş on tane kareden
oluşmuştur.
Ot/
Buna göre, tan a kaçtır?
A)
X.
D
5
B)-2
E)cot11°
C)-|
2
(cos x + 5) . (3 - cos y)
18.
çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
.D)-23
u.
A) 8
C)15
B)12
D) 16
E) 24
©
14.
a = sin 150°
b = cos 120°
c = tan 135°
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru­
dur?
A)b>a>c
B) a > o b
D)b>c>a
19.
C)c>b>a
s i n f - — j . tan (225°) + ; o s ( - — j . c o t (315°)
işleminin sonucu kaçtır?
E)a>b>c
A) 2
15.
°>-f
B) 1
V5
2
0° < x < 90° olmak üzere,
cosx =
20.
2
3
olduğuna göre, cos (x + 270°) kaçtır?
A)-—
V5
B)-3
O 3
D)—
V5
1
1
8
1 + sinx
1 - sinx
3
olduğuna göre, x dar açısı kaç derecedir?
E ) ^
3
A) 15
B)30
C)45
D)60
E)75
Cevaplar: 1-E 2-D 3-C 4-B 5-A 6-A 7-B 8-E 9-A 10-B 11-B 12-D 13-A 14-E 15-E 16-C 17-C 18-E 19-C 20-B
522
^\;&«fctf" -&•
TEST
2
TBIGONOMETRI
»' 'V'^Vi.»^/AV» -.
1.
6.
- 3816° açısının esas ölçüsü aşağıdakilerden han­
.»4.^ »*- ^
«-
sin x = a + b
cos x = a - b
gisidir?
A) 114°
B)124°
C)134°
D)144°
E)154°
. 2
2.
olduğuna göre, a2 + b2 toplamı kaçtır?
A)
. 2
sın x
sn x
1 + cos x 1 - cos x
D)
C)
B)
E)1
tan x + cot x = 5
7.
olduğuna göre, tan 2 x + cot 2 x toplamı kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 27
A) 4
B) 2
C) 1
D) - 1
8.
1 - tan x
1 - cot X
B) cot x
D) - cot x
Aşağıdakilerden hangisi tan 20° ye eşit değildir?
B) tan 160°
D) cot 250°
o
C) - tan x
cot 600°, cos 840°,
Şekildeki d doğrusu, eksenleri
A(0, 8) ve B(6, 0) noktalarında
sin 1100°
kesmektedir.
|AN| = |ON|
A) +, +, +
olduğuna göre, sin a kaçtır?
B) +, -, +
C) -, - +
E) -, -, -
7
A)l
8
y
Yandaki şekilde,
[AB] 1 [BC]
[AE] 1 [ED]
[AE] // [BC]
|AE| = |AB|
4 . |BC| = 9 . |DE|
*
,
V3
C)
V3
D
2
C)±
5
3
»f
E)
D)
E)1
E
10.
n
*ı
4
B)J
!•
. 2 371
. 2 271
sın — + sın —
14
7__
.
Xf\
olduğuna göre, tan x kaçtır?
B)
C) cot 70°
E) - cot (- 70°)
ifadelerinin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
E) 9
E) - cos x
D) - +, -
5.
D) 23
>-
9.
4.
C) 25
A) tan 200°
o
c
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) tan x
B) 26
E)-2
.
.
3TC
71
1 + tan
.tan —
10
5
işleminin sonucu kaçtır?
°>!
E)
V3
A)-1
B)"-
C)0
523
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . A + B = 90° olmak üzere,
1 1 . sin 3° = a olduğuna göre,
sin 87°. cot 273°
cos(2A + B) =
tan (-3°)
A)
fT~
C)-h-a2
B)a
D) 1-a
A)-
C)
5
V2
f(x) = 3 s i n ( x + 30°) - 1
17.
ifadesinin alabileceği değerlerin bulunduğu en
geniş aralık aşagıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, cos a değeri kaçtır?
2
*î
°>!
C)
"!
E)-a
tana + cot a = 2
coseca
12.
5
olduğuna göre, cos B değeri kaçtır?
işleminin sonucu aşagıdakilerden hangisidir?
D)
A) [ - 2 , 1 ]
E)
B)[-1,2]
D) [ - 3 , 3]
C)[-2,4]
E) [ - 4 , 2]
x = cos 100°
13.
y = sin 200°
z = tan 300°
cos a + cos (-9) = 0
18.
olduğuna göre, aşagıdakilerden hangisi doğru­
dur?
A)z>y>x
B)z>x>y
D)x>z>y
C)x>y>z
E)y>x>z
o
olduğuna
göre,
aşagıdakilerden
hangisi
doğrudur?
ç
A ) a + 9 = 270°
>.
B ) a + 9=180°
D) a + 9 = 90°
C) a = 9
E) a + 9 = 360°
1 4 . [AT, O merkezli çembere T
noktasında teğettir.
1 9 . Yandaki ABC üçgenin­
de
[AB] 1 [AC]
[AH] 1 [BC]
|AC| = 4 cm
|BO| = 4 . |AB|
A B
olduğuna göre, sec (TAC) kaçtır?
1
B
A)
«I
>!
D)
E)
B
A) 4
sin 2 x
V5
D)
tâ
20.
sin x
V5
C)
E)
tâ
90°. < x <180° olmak üzere,
10-D 11-A
V5
5
olduğuna göre, tan x + cot x kaçtır?
A)-2
Vw
Cevaplar: 1-D 2-B 3-C 4-B 5-A 6-D 7-D 8-B 9-B
524
E) 4 . cos x
D) 4 . cot X
B)
C
C)4.tanx
B) 4 . sc
cosx
sınx =
A)
H
olduğuna göre, |BH| aşagıdakilerden hangisidir?
1 5 . Şekilde, ABCD karedir.
[PH] 1 [AD]
|DK| = |KC|
olduğuna göre,
kaçtır?
1
B)-|
5
12-E 13-C 14-A
.
C)-£
3
15-D 16-B
D)-|
2
E)-|
2
17-E 18-B 19-A 20-E
Mm
1.
TEST
3
TRİaOMETRİ
BÖLÜM
3 . sin a + 1
6.
ABC eşkenar üçgendir.
cos fi - 7
-
+
|BD| = 2 . |AD|
ifadesinin alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı
kaçtır?
A)-15
B)-13
C) - 11
D)-10
E) - 8
olduğuna göre, tan a değeri kaçtır?
A)
V2
C)
^
2.
<2
D)
V3
1 - sin x
1 - cosec x
1 + sin x
1 + cosec x
E)
V3
HM
7. x
olmak üzere,
tanx =
olduğuna göre,
1
1
+
COS X
1
kaçtır?
sın x
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2
B) 1
C) 0
D) - 1
E)-2
A)
3V5
o
B)-V5
D)
c
V5
OE)
V5
3/5
X.
D
tana +
cos a
1 + sin a
o
i.
8.
a
A) cos 350°
ifadeseninin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) cos a
B) cosec a
Aşağıdakilerden hangisi en büyüktür?
D) cot 340°
C) sin a
D) cot a
B) sin 175°
C) tan 240°
E) sin 90°
E) sec a
9.
ABCD kare,
m(AEB) = 60°
|BE| = |BG|
2 . sin x - cos x
1
sin x + 3 . cos x
olduğuna göre,
3
cot (AFC) kaçtır?
olduğuna göre, cot x değeri kaçtır?
B)
A)
C)
*î
D)
A)-*l
O-
B)-V3
2
D)-
V3
E)-
2V3
^3
a = sin 200°, b = cos 120°, c = cot 300°
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru­
dur?
A)a<b<c
D)b<c<a
B)b<a<c
C)c<a<b
E)c<b<a
10.
sin 840° - cos 420°
sin 660° + cos 300°
işleminin sonucu kaçtır?
A)-1
B)-
Jî
c
»"i
4
E)1
525
MATEMATİK SORU BANKASI
B
H
olduğuna göre, |BC| kaç cm dir?
B)18
C)24
A
B)*
3
>Î
C)
2rc
D)
E)
7TC
E) 36
D) 30
17.
12.
2
2 cos x = 1 - 2.sinx - 2.sin x
denkleminin köklerinden biri aşagıdakiierden han­
gisidir?
cot § + cot Ü = 6
A) 12
2
16.
1 1 . ABC dik üçgeninde,
[AH] 1 [BC]
|AH| = 4 cm
tan(2x - 10°).tan(x + 55°) = 1
cosı — + x ı - sn(7c + x)
eşitliğini sağlayan x dar açısı kaç derecedir?
işleminin sonucu aşagıdakiierden hangisidir?
A) 2.cos x
B) 2.sin x
D) - 2.cos x
A) 10°
B) 15°
C)20°
D) 25°
C) 0
E) - 2.sin x
rm
18.
1 3 . A, B, C bir üçgenin iç açılarıdır.
c
=1
denkleminin (0, n) aralığındaki kökü aşagıdakiier­
den hangisidir?
cos (B + C) + cos B
>^s.
/s.
cos (A + C) + cos A
A) cot A
B) cot B
19.
n<ınyibioır
r
~*
A) a
B) 1 - 2a 2
1
/ X.
B
D) 1 - a 2
15.
^s.
-
E)
3rc
3
V
A) 30°
B)60°
C)90°
s5
7
C
D) 120°
E)135°
*
C
C) 2a 2 - 1
E) a 2 - 1
20.
C) 3
Cevaplar: 1-D 2-C 3-E 4-D 5-E 6-A
ABC üçgeninin köşeleri
şekildeki O merkezli yarım çember üzerindedir.
|AB| = 6 cm
m(BCA) = 30°
denkleminin kaç farklı kökü vardır?
526
1
/ ^ ^ v
B
cos 2 x + sin x = 1
B) 2
Şekildeki ABC üçgeninde verilenlere göre,
x açısı kaç derecedir?
:>^
.x^>v
x e [0, 2rc] olmak üzere,
A) 1
271
©
E) - 1
/
/
l*/^
D)
C) 1
D) tan A
|BC|=V3.|AB|
|AB| = |AN| = |NC|
sin x = a
olduğuna göre,
cos y aşagıdakiierden
C)
B)
A)
O
işleminin sonucu aşagıdakiierden hangisidir?
14.
E) 30°
D) 4
X
^<Ar—
/y%
^\
B/Cİ___
/
"
~^
r
O
c
r
olduğuna göre, yarıçap (r) kaç cm dir?
E) 5
7-C 8-C 9-D
10-A
A) 4
11-C 12-C
B)6
13-E 14-A
C)8
15-D
16-E 17-B
D) 12
E) 16
18-B
19-D 20-B
7.
BÖLÜM
1.
3371
+
2 sin x - cos x
7C
radyanlık bir açının esas ölçüsü
2 sin x + cos x
4
2
kaç derecedir?
A) 60
= —
olduğuna göre,
tan x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B)90
C)125
D) 135
E) 175
*>İ
Şekildeki
ninde,
TEST
4
1ETRİ
°>!
c)-;
B)-;
E) 2
ABC üçge­
tan 25°. tan 65° - sin2 42° - sin2 48°
sin 40°. cos 40°
|AB| = 2|AC|
işleminin sonucu kaçtır?
olduğuna göre,
tan C + cot B toplamı kaçtır?
A) 4
B)2
C)1
B)1
A)0
D)-
C)
3
D) 2
E) 5
E)
Şekilde d doğrusu 0 1
ve 0 2 merkezli çem­
a = sın x
b = cos x
a 2 + 2a + b2 + 1 = 3
berlere A ve B nokta­
O
>E
o
olduğuna göre, sin x kaçtır?
larında teğettir.
|01A| = 3 ve
|02B| = 6 br ve
m(A0 1 0 2 ) = a
A)
V2
B)
V2
°>î
D)
E)1
olduğuna göre, cos a kaçtır?
A)-i
4.
. 2
cos x +
sın x
.
= 4
cosx
c
'-ı
B)-l
6
5
smx
1 + tanx
D)
E)-:
1
secx + cosecx
olduğuna göre, cos x değeri kaçtır?
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
•A)l
4
5.
Bjf
4
C)f
2
D)l
2
E)1
A) tan x
B) cot x
D) sin x + cot x
Şekildeki dörtte bir
çember E noktasında
teğettir.
C) sin x . cos x
E) 0
1 0 . ABCD bir dikdörtgen
İLDİ = 4
|AL| -9
|AE| = 12|DE|
m(LBC) = a
olduğuna göre, tan e
nın değeri kaçtır?
A) 4/3
B) 2/3
olduğuna göre,
A
C) V3
cot a kaçtır?
D)
V3
E)
2/3
13
A) 9
B)3
c
>!
D).
E)
527
MATEMATİK SORU BANKASI
11
cos (x + — )
1 6 . cot 10° = a olduğuna göre,
tan 280° + cot 350°
sın ( — - x
4
tan 170° + cot 100°
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) - 1
B) 0
D) tan x
C) 1
E) cot x
a = sin 5°,
17.
12.
(V32)
COSX
=(16)
B)
5
E) a
D) a
C)a
b = sin 125°,
c = cos 305°
SinX
olduğuna göre, a, b, c arasındaki sıralama aşa­
ğıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, tan x kaçtır?
A) 2
B)-a
A)-
«I
C)1
A)a<b<c
E) I
B)a<c<b
D)c<b<a
C)c<a<b
E)b<c<a
1 3 . Yandaki birim çember­
18.
de ABC yayını gören
2 + cos
- = 1
merkez açının tanjantı
3 - cos
—
olduğuna göre, C
4
noktasının koordinatları
o
c
aşağdakilerden hangisidir?
>-
denkleminin bir kökü aşağıdakilerden hangisidir?
O
B) (0,6; -0,8)
D) (0,7; -0,6)
C) (0,8; -0,6)
«
3
4
sin x
cos x
15.
O)—
25
B)-—
25
D) —
12
A) 1
25
528
3-D
O—
12
4-A
5-B
B) - 1
C) tan x
1
1
2
\ 1 + sin a
D) cot x
\.
2
1 - cos a /
E) - cot x
1
1 + cosec 2 a
işleminin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, tan A değeri kaçtır?
Cevaplar: 1-D 2-A
/
20.
cos (5.A + 4.B) = - —
13
B)-—
12
A, B, C bir üçgenin iç açıları olmak üzere,
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A + B = — olmak üzere,
8
A)-^
5
E) 120
D) 90
2A
2 B + C
cos — + cos
2
2
.
B+C .
A
tan
-tan —
2
2
olduğuna göre, sin x . cos x çarpımı kaçtır?
A)-—
25
C)60
E) (0,7; -0,7)
19.
14.
B)45
A) 30
E
A) (0,8; 0,6)
6-C
A)-sin4 a
D) —
13
7-A
8-D
D)-sin2 a
E)^
5
9-E
B)sec4a
10-D
11-C
12-E
13-C
14-C
15-C
C) - cosec 4 a
E) cos 2 a
16-D
17-B
18-E
19-A
20-C
•T.":'.'- ;
BÖLÜM
1.
6.
Aşagıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) 18°=20grad
B)45°=50grad
C)-radyan = 100grad
D) —radyan = 120°
3
Şekilde, BAC ikizkenar
diküçgendir.
|BN| = 3.|NC|
olduğuna göre,
tan (BAN) kaçtır?
3n
E) 200 grad = — radyan
4
2.
TEST
5
TRİGONOMETRİ
A)
B
C
B)
c
N
»I
D) 2
E) 3
x + y = 45° olmak üzere,
sın x = s ve cos x
tan (3x - y) . tan (3y - x)
olduğuna göre, s4 + c4 + 2.(s . c) 2 ifadesi aşa­
işleminin sonucu aşagıdakilerden hangisidir?
A)1
C)
^
D)cos2(x-y)
A + B = —
2
gıdakilerden hangisine eşittir?
A) 4
B)c
C)s
D)1
E)0
E) tan2(x-y)
8.
olmak üzere,
D
tanB = - —
Şekildeki ABC üçgeninde,
|AB| = |AC|
E
secA =
olduğuna göre, cot (2A + B - n) kaçtır?
olduğuna göre,
*-ı
B)~
<
D)1
tan B kaçtır?
E)
A)1+VTÖ
B)2 + -/TÖ
D ) 4 + "/ÎÖ
4.
C)3+Vİ0
E)5 + VÎÖ
Şekildeki ABC
diküçgeninde;
|AB| = 8 ^ 2
9.
|BC| = 2
x e (0, 90°) olmak üzere,
tan x + cot x = 2 olduğuna göre; tan 3 x + cot 3
ifadesinin değeri kaçtır?
olduğuna göre,
cos (ACB) kaçtır?
A)V2
A) - 1
B) - i
C)
D)_
B)2
C)2V2
D) 4
E) 4V2
E)
1 0 . x e | —, n | olmak üzere,
5.
itan — + x
Aşagıdakilerden hangisi diğerlerinden farklıdır?
A) sin (- 35°)
D) cos (- 55°)
B) sin 215°
C) cos 125°
E) cos 235°
+ 2tanx = 3
olduğuna göre, sin x . cos x çarpımı kaçtır?
A)
B)
13
C)-^
5
D)-7
E)-
—
10
529
MATEMATİK SORU BANKASI
.4
11,
4
1 6 . Bir ABC üçgeninde kenarlar sırasıyla a, b, c dir.
sın x - cos x = V2
sın x - cos x
a = 4.b ve tan A = 3.tan B
olduğuna göre, x kaç radyandır?
A)
3ıc
C)
B)
7t
E
D)
.. w
olduğuna göre,
hangisidir?
'f
A)
cosA
cos B
oranı aşağıdakilerden
4
B
D)
^
>!
^
1 2 . x E (0, n) olmak üzere,
sin 2x + cos 2x = 0
1 7 . Şekilde verilen
ABCD
yamuğuna
göre, cos C kaçtır?
denkleminin kökler toplamı kaçtır?
A) 71
B) İ^
2
D) 5ü
C) 2n
E)3n
4
A)-|
13.
sec x
cosec x
=o
denkleminin (0, 2n) aralığında köklerinin toplamı
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
5
D)2rt
2
E)
D'
ı/
m(A'AE) = a
A
\
olduğuna göre, cot a
kaçtır?
V5
B)
D)
5TC
C)-İ
5
D) - 5
4
E) - 4
sin2(3x + 10°) + sin2(2x + 50°) = 1
eşitliğini sağlayan x in en küçük dar açı değeri kaç
derecedir?
A) 6°
E
C) 10°
B)8°
D
•
) 12°
E) 14°
D) 3
E) 5
B'
/ İ°
a/ ..•
4v\
19.
İÎ4
=p
sın x cos x
/
olduğuna göre, P kaçtır?
C)
V5
V5
c
/
|D'E| = |EC'|
A)
18.
O
1 4 . Yandaki şekil bir küptür.
B)-i
6
,
/
2
A) V3
V5
B) V5
C) 2
E)3V5
2 0 . 0° < x < 360° olmak üzere,
1 5 . Şekilde kenar uzunlukları
verilen ABCD kirişler dört­
genine göre, cosx kaçtır?
sın x > - —
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 0,
*>i
B)
<
D)
530
D)
E)
Cevaplar: 1-E 2-A 3-E 4-D 5-D 6-E 7-D 8-C 9-B
B)
10-B
11-D
12-D
7C
57t
TC 2rt
E)
6'T
13-C 1'-B
15-A
C)
6'6
16-A
17-C
TI
3rc
4'T
n 2n
3 '~3~
18-A
19-E 20-E
TKT
1.
i-V^T
6.
ve n pozitif tamsayı olmak üzere,
:8n+3
i2 = - 1
olmak üzere,
-4n + 1
(1 - i) 4 - (1 + i)3 + 2.İ
4n
;
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
2.
A) 1
B) 0
C) i
i2 = - 1
olmak üzere,
D)-i
A) 2
B) 1
i
olmak üzere,
= - 1
i 9 + i18
.72
+
z =
3.
i = ^T
C)i
B)-1
D)-i
A) 1
E)0
o
e
olmak üzere,
8.
i = -1
u.
4.
i2 = - 1
1
2002
işleminin sonucu kaçtır?
A) i
E) 2i
olmak üzere,
z =
5.
D)1
E)-2
olmak üzere,
:2001
işleminin sonucu kaçtır?
C) i
D) 2
C) 2i
1
E
V-36
B) - 1
I
2
>-
B) - i
2 + i
sayısının sanal kısmı kaçtır?
o
A) - 1
E)-2
j 9 9
işleminin sonucu kaçtır?
A)1
D)-1
C) 0
E)-1
9.
i2 = - 1
B) - i
D) 1 - i
E) - 1 - i
olmak üzere,
z =
( 3 . i)2
C) 1 + i
1
1 +i
1 + i + 1
olduğuna göre, z karmaşık sayısının reel kısmı
kaçtır?
olduğuna göre, z karmaşık sayısının eşleneğinin
sanal kısmı kaçtır?
A) 3
A)
B) 6
C) - 1
3
i = V^T olmak
D) - 3
E) - 9
üzere,
1 0 . i2 = - 1
B)_
1
C)-1
D)1
E
»I
olmak üzere,
f (x) = x + 1
*-(-T)M)
g(x) = 1 - x
fonksiyonları veriliyor.
olduğuna göre, z 2 0 0 Z kaçtır?
3
Buna göre, (gof)(i ) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1
B) - 1
C) i
D) - i
A)0
B)1
C)-1
D)-i
E)
E) 0
531
MATEMATİK SORU BANKASI
11
1 6 . Karmaşık düzlemde,
(2 + i) . z = 5
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı aşağıdakiler­
z = a - 2 + ai
den hangisidir? (z, z nin eşleniğidir.)
A) - 2 - i
B) - 2 + i
D) 2 - i
12.
1 - i
karmaşık sayısının orijine olan uzaklığı YTcT ol­
C) 2 + i
duğuna göre, a aşağıdakilerden hangisi olabilir?
E) - 2i
+ a + bi = 1 + i
2
1 7 . i = -1
D)1
O-3
B)2
A)-1
E)-2
olmak üzere,
1 + İ3 i
olduğuna göre, a + b nin değeri kaçtır?
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
2 - İ2\
olduğuna göre, | z ~2 | nin değeri kaçtır?
E) 2
B
A)
13. i = lPT
olmak üzere,
1 8 . i 2 = -1
- 1
&)-?
C)25
ve a reel sayı olmak üzere,
a - ı
c
>s
O
D)-2Ü
E)0
olduğuna göre, | z - 1 | nin değeri kaçtır?
>.
E
«
A) a
1
+
(y-2)2 = 9
2
B)(x-2) + (y-1)2 = 9
kaçtır?
2
1 5 . i = V-1
B)2
C)1
D) 0
2
C ) ( x - 1 ) + (y + 2) = 9
E) - 2
2)
2
E)(x-1)
2
D)(x
+
2
+
(y-1) = 9
+
(y
2) 2 = 3
karmaşık sayısının esas argümenti
C) İ2
x
tir.
Buna göre, tan x kaçtır?
olduğuna göre, z. z kaçtır?
B) 2
z - 2 = 3i
20.
i - 1
D) 2 ^ 2
E) 4
A) 3
B)2
Cevaplar: 1-B 2-B 3-A 4-C 5-C 6-E 7-E 8-E 9-B 10-C 11-C 12-D 13-E 14-B
532
+
olmak üzere,
1 - f3i
A) 1
E) a 2
|z-1 +2i| = 3
A)(x-1)2
olduğuna göre, z karmaşık sayısının sanal kısmı
A) 4
D) 1
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geomet­
rik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
d - i) 2 0
(1 + i)
C) a 2 + 1
B) a + 1
19.
olmak üzere,
E)
D)
a + i
u_
1 4 . i = V-1
C)1
o
sayısının reel kısmı kaçtır?
A) 225
'l
C).
15-B
16-A
D)
E)
17-D 18-D 19-C 20-C
7BÖLÜM
\.- ;.\..-; v...-..-v\.v ^ m ^ K ' - ^ . t f . ^ : ;;U- u
1.
i = V-1
d -0:
6.
olmak üzere,
V^4 - İ^Z .VI
karmaşık sayısının çarpmaya göre tersinin eşleni­
ğinin sanal kısmı kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 4
A) 2i
B) - 2i
TEST
lVnıılfiHwiİ\ djiIILfttf
C) - 5
D) 3 + 2i
B) - 2
C) - 1
D) 1
E) 2
E)-i
z = 3 + 4i ve z = 3 - 4i
2.
i2 = - 1
olmak üzere,
-
olduğuna göre,
P(x) = x 4 + x 2 + 4
2
3.
B) 4
C)3
D) 2
4.
i
= -1
A)İ-İ
4
işleminin sonucu kaçtır?
D) - 7
D)_
i2 = - 1
olmak üzere,
5.
i2 = - 1
C) 2i
E)
+
i
10
o-L."
i
4
10
3i
10
E)-3-A
4
10
4
olmak üzere,
0+i3)3.(ı+i5)5.(ı+i7)7
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, f(1 + 2i) kaçtır?
B) - 2i
6)2
4
4
E) - 3
f(x) = x 3 - 3x 2 + 3x - 1
A) 1
D) —
10
eşitliğini sağlayan, z karmaşık sayısı aşağıdaki-
o
9.
2
C) - —
16
(2 + i) . z = 1 + z
o
c
u.
C) - 5
B) - 1
«
işlemi tanımlanmıştır.
B) 3i
A) - 4
lerden hangisidir? ( z, z nin eşleniğidir.)
a * b = a 2 + ab + b 2
A) - i
ifadesinin sonucu
Z
E)1
Karmaşık sayılar kümesinde tanımlı her a ve b için,
Buna göre, (i * (2i))
-
kaçtır?
olduğuna göre, P(x) polinomunun (x - i) ile bö­
lümünden kalan kaçtır?
A) 5
v2
z + z
D) 8i
E) - 8i
A) 1 - i
B) - 1 M- i
C) - 1 - i
D) 1 + i
E) i
olmak üzere,
10. a ve b
reel sayıdır.
(2-İ)2.(1-İ9).İ1£
x 2 + ax + a + b = 0
işleminin sonucu aşağıdalerden hangisidir?
A) 9 - i
B) 7 + i
D) 1 + 7i
C) 1 - 9i
E) - 1 + 9 i
denkleminin köklerinden birisi (1 + i) olduğuna
göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 2
B)-2
C)4
D)1
E)0
533
MATEMATİK SORU BANKASI
11
2
z = 3 + 2i
1 6 . i = - 1 olmak üzere,
z2 = - 2 i
|V - 3 + 4i I
işleminin sonucu kaçtır?
olduğuna göre, | z1 - z2 | kaçtır?
A)2V2
B)3Vİ
C)4
D)4Vİ
A) 1
E) 5
1 7 . i = V-1
B) fi
C)İ5
E) 5
olmak üzere,
1 2 . Karmaşık düzlemde
z = 1 + 2i
A ( - 2 + i), B ( 1 + i ) , C(3-5i)
karmaşık sayısının sanal ve reel kısmı kaçar artırı­
lırsa uzunluğu 5 birim olur?
noktaları veriliyor.
[BC] nin orta noktasının A noktasına olan uzaklığı
kaç birimdir?
A) 2^3
D) 2
B)3Vâ
C)2
D) 4
A)1
E) 5
18.
D) 8
E) 10
zl > l z - 1
eşitsizliğini sağlayan z = x + yi karmaşık sayıla­
rının belirttiği bölge aşağıdakilerden hangisidir?
1 3 . Şekildeki taralı bölge aşağı­
daki eşitsizliklerden hangi­
sine aittir?
-2
A) | z + 2 - 3i | < 2
C)4
B)2
o
c
B) | z - 2 - 3i| < 4
o
C) | z + 2 + 3i | < 2 D) |z - 2 + 3i | < 2
E) | z - 3 + 2i | < 4
1 4 . i = V-1
olmak üzere,
3 + i = (z+1) .(4 + 3İ)
1 9 . z = x + iy olmak üzere,
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının eşleni­
ğinin uzunluğu kaçtır?
z.z = |z| + 20
olduğuna göre, | z | kaçtır?
A) —
fi
B) —
C)fİ
fi
D)f3
E) fi
A) 4
15. i2 = - 1 ve x reel sayı olmak üzere,
2 0 . i 2 = -1
1
•
1
z = x + — ı ve x+ — = 3
x
x
olduğuna göre, | z | ifadesinin değeri kaçtır?
A) 9
B) 7
c
>7
D)
14
E)
49
B)5
C)10
D) 20
E) 25
olmak üzere,
z = (a-1) + (a + 1)i
karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntü­
sü (0, 0) merkezli 2 birim yarıçaplı çember üze­
rinde olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A)-5
B)-4
O-3
D)-2
E)-1
Cevaplar: 1-E 2-B 3-D 4-E S-D 6-C 7-C 8-A 9-B 10-A 11-E 12-E 13-A 14-A 15-C 16-C 17-B 18-B 19-B 20-E
534
7.
BÖLÜM
1.
i = V-1
TEST
3
KARMAŞIK SAYILAR
3
olmak üzere,
denkleminin bir kökü z = 1 - i dir.
3 + V^9
1
2
z - ( 1 - i ) z + m - 3 + ( n + 1)i = 0
- f^A
Buna göre,
m-n
farkı kaçtır?
sayısının imajiner (sanal) kısmı kaçtır?
A)
2.
O-
B)
E
"~\
A) 4
»-I
B)6
C)9
z =x-i
- 1 + i sayısının çarpmaya göre tersinin reel kıs­
mı kaçtır?
D) 12
ve
z =6+xi
sayılarının belirttiği noktalar arasındaki uzaklık
5 birim olduğuna göre,
A)-1
C)
B)"-
olduğuna göre, f(i) aşağıdakilerden hangisidir?
C) 1
D) i
(1 + i )
İ 8.
E) 2
E) - i
50
4 6
d-i)
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4
4.
D) 4
C)6
B)
E
B) - 1
kaç olabilir?
o
c
f(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + ... + x 4 2
A) 1 + i
x
E) 2
D)1
A) 9
3.
E) 16
B) 4 i
D)-4
C)-4i
E) - 2
z = 1 + z<
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı aşağıdaki­
9.
lerden hangisidir?
z1 . z2 = - 2 i
ve
İ^- = f 3 - i
Z
A) 1 — i
D»
1
1
C)l(V3+i)
•
B) - + - ı
2
4
D ) l (1 - Vâı)
olduğuna göre, z 1
E)2( V İ -V2i)
A)-
2
aşağıdakilerden hangisidir?
V? + ı
B) Vâ + ı
2
D) - 2 - 2 f 3 i
5.
(^2-İ2i)
D)222İ~2
1 - i
' 2
E) 2 + 2 | İ i
1 6
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) - 216 fi
C)
B)222/2i
CJ-21
EJ21
10.
z1
=
f 5 - i
ve
olduğuna göre, | z2 |
A)1
B)2
z ^ z ^ l + V İ i
kaçtır?
C)3
D) 4
E) 8
535
MATEMATİK SORU BANKASI
2
1 1 . i = -1
16.
olmak üzere,
İ3 1 + Vâi
arg
12.Z.İ-3 = 4İ-5.Z
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının eşleniği­
nin uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?
A )
A)
B)
13
C)
12
12
D)
13
12
B)*L
!
2
c)^-
3
571
5TC
E)*
5
1 7 . cis 8 = cos 6 + i.sin 9
12.
D)
2
olmak üzere,
z 1 = 1 - VI
z = 1 + 3i ve u = — 2i
z 2 = cis 310°
z. u
—
olduğuna göre,
A) 1
C) i
B) 2
z3 = - 4 i
kaçtır?
.
7=4.z-
B) İ2
C)1
D)
1 - i
İ2
E)
1 +i
o
karmaşık sayısının kutupsal gösterimi aşağıdaki
E
o
lerden hangisidir?
z2 = x + 1 - 3 i
D) cis
olduğuna göre, x in değeri aşağıdakilerden hangi­
si olabilir?
B)0
3TC
E) 2 cis
z,1 = 2 . cis —
3
ve
3TC
z 2 = 4. cis 7c
E) 4
D) 3
C)2
19.
C)2cis —
2
B) cis
A) 2 cis ît
z. = 2 + i
A)-1
E)1
1 8 . cis 0 = cos 6 + i.sin 8 olmak üzere,
>-
14.
D) 2
1
olduğuna göre, | z | kaçtır?
A) 2
kaçtır'
C)4
B) 6
A) 8
13.
z-, . z-,
olduğuna göre,
E)-2
D) 2i
aşağıdakilerden han-
olduğuna göre,
gisine eşittir?
A) 16 i
A = { z : | z + 1 | = 4}
15.
B) - 4 i
C ) - 16 i
D) 16
E ) - 16
kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsü aşağı­
dakilerden hangisidir?
2 0 . - 4 ün kareköklerinden biri aşağıdakilerden han­
A) Merkezi (1, 0) ve yarıçapı 2 olan çember
B) Merkezi (-1,0) ve yarıçapı 4 olan çember
gisidir?
C) Merkezi (1, 0) ve yarıçapı 4 olan çember
A) 2 cis 7c
D) Merkezi (-1,0) ve yarıçapı 2 olan çember
E) Merkezi (0,1) ve yarıçapı 4 olan çember
Cevaplar: 1-A
536
2-B
3-D
4-D
5-E
6-A
7-E 8-A
9-D
E) 2 cis
D) 2 cis
10-A
11-A
12-B
13-A
C) 2 cis
B) 2 cis •
14-E
15-B
16-C
17-A
3TC
5rc
18-D
19-E 20-C
tmUm 1AŞIIC
mmmtss^
;
6.
1995
B) i
C) - 1
Karmaşık düzlemde
z = VI + VI.i
İfadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) - i
TEST
&4C
SAYILAR
olduğuna göre, | z - i
D) 1
kaçtır?
E) O
A) 9
B)3
D)
C)1
E)
+2
1 -i
7.
karmaşık sayısının çarpmaya göre tersinin reel
kısmı kaçtır?
A
»-I
c-i
B)_
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
*l
D)
(1 + i)2 - (2 - i)2 = a + b i
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
O
3.
c
V - 1 = i ve n bir doğal sayı olmak üzere,
o
>-
(1 + i n ) . ( i + i n + 1 ) . (1 + i n + 2 ) . ( i + i n + 3 )
Z1 = 9 + 3 i
E
ve z 2 = - 3 - 2 i
Q>
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2n
B) 1
C) 1 + i
D) 1
U_
sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüleri ara­
sındaki uzaklık kaç birimdir?
E) 0
A) 5
C)8
D) 12
E) 13
z = 5 + a i ve Re(z2) = 0
4.
arg(z) =
olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisidir?
A) ± 1
B) ± 2
C) ± 3
D) ± 4
E) ± 5
i = V-1
B) - VI
10.
(1 + i ;
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
-.70
ve z.z = 2
C) 1
D) 2
E) 3
olmak üzere,
(2 + 2 i ) 5 0
A) 2' u
3n
olduğuna göre, İm(z) kaçtır?
A) - VI
5.
B) 6
,70
B) - 2 / u
70 .
C) 2' u i
D) 2 ÖU i
E) - 2,50
5 + 12i
işleminin sonucu kaçtır?
A) 169
B) 13
C) 5
D) V~13
E) VI
537
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . i2 = - 1
olmak üzere,
1 6 . Yandaki şekilde z ve z
karmaşık sayılarının kar­
z 1 = 3 + 4i
maşık düzlemdeki görün­
z = 2 + 3i
••Re
tüleri verilmiştir.
2
olduğuna göre, arg(z1 - z 2 ) kaçtır?
B)*
3
A)|
12. z = x + i y
Buna göre, z 1 . z 2 çar­
4
pımı aşağıdakilerden hangisidir?
E)?
D)
A) 6
olmak üzere,
B) 6 i
z 2 = 3 cis (- 120°)
olduğuna göre, z nin karmaşık düzlemdeki geomet­
rik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, z
karmaşık sayısı ile z2 kar­
maşık sayısı arasında uzaklık kaç birimdir?
B) 3x + 4y + 4 = 0
C) 6x - y + 2 = 0
E)0
D) - 6 i
z1 = 6cis240°
17.
jz + 3 | = | i - z |
A) 3x + y + 4 = 0
C) - 6
A) V~3
D)x + y = 0
B) 2İ3
C) 3
D) 6 ^ 3
E) 12^3
E) x - y = 0
z 1 = 2 cis 70°
18.
1 3 . z = x + iy
ve
i = v -1
olmak üzere,
| z | < 4 olduğuna göre, | z - 6 + 8 i ] ifadesinin
alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?
A) 6
C) 10
D) 16
o
olduğuna göre, z 1 . z 2 çarpımı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2 cis 15°
X + İ
z — y -'
ve
I
l
ı
z
—
1
B) 2 cis 210°
C) 2 cis 75°
,
D) 2 cis 300°
E) 2 cis 60°
E) 20
19.
14.
z 2 = cis(-10°)
c
X.
D
*"
B)8
ve
z = - 8(1 + f 3 i )
sayısının kareköklerinden biri aşağıdakilerden
hangisidir?
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğ­
rudur?
A)2(1+V3i)
A)x = y
B)x + y = 0
D) x2 + y2 = 1
C) x - y = 1
D ) - 2 + 2Vİİ
olduğuna göre, | z | kaçtır?
B) İ3
C) 2
Cevaplar: 1-E 2-D 3-E 4-E 5-A
538
E ) - 1 + 2i
z = 4 cis 150° ve
z2 = 2 cis 30°
olduğuna göre, —— aşağıdakilerden hangisine
z+iz=1 +3i
A) İ2
0)2-^3 i
E) x2 - y2 = 0
20.
15.
B ) - 2 ( 1 + ^ 3 i)
D) İÜ
eşittir?
Z
A) 2 cis 30°
B) 2 cis 50°
E) İ~6
6-D 7-C 8-E 9-C
10-A
2
D) 2 cis 150°
11-C 12-A
13-E 14-E 15-D
C) 2 cis 120°
E) 2 cis 240°
16-B
17-C
18-E
19-D 20-C
TEST
5
:20
i17 + 1 ' 8
1.
i
21
+i
6.
22
5 + (a 2 - b2) i = a - b - 5 i
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, a + b i sayısının belirttiği nokta­
nın orijine olan uzaklığı kaç birimdir?
A) - 1
A) Vö
B) 1
C) - i
D) i
E) i - 1
7.
2.
x < 0 < y olmak üzere,
C) 3
D) VlÖ
E) Vİ3
a r g ( z - 1 ) - arg (z + 2 i) = 0
eşitliğinin belirttiği doğrunun denklemi aşağıdaki­
lerden hangisidir?
Vx(y - x) + Vx + Vy - x = 3 + 8i
olduğuna göre, x . y çarpımı kaçtır?
A)-10
B) V7
A)2x-y-2 = 0
B) x - 2y + 2 = 0
C)x-2y-2 = 0
D)2x + y - 2 = 0
B)-12 C ) - 1 6 D)-18 E) - 20
E) 2x - y + 2 = 0
D
C
O
/ 2İ
\ 1-2İ
•2i
3.
2 \100
22 + i /
t
>»
E
işleminin sonucu kaçtır?
B)2 100
A)2: 200
8.
eşitsizliğini sağlayan z kompleks sayılarının oluş­
turduğu düzlemsel bölgenin alanı kaç birimkaredir?
©
C)2 50
D) 1
2 < z.z < 3
E) 0
A)5TC
4.
5
(1 + 2 i ) . ( 1 - 2 i )
B) 57(1 - 2 i)
D) 55(1 - 2 i)
9.
A) 10
C) 5 5 (2 - 2 i)
B)8
C)6
D) 4
E) 2
C) - 3
2 | - i z | + | - z | = 12
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı aşağıdakiler­
den hangisi olabilir?
işleminin sonucu kaçtır?
B) - 4
E ) TC
E) 5B(1 - 2 i)
•2 -3
-63
I + I + I + ... + I
A) - 5
D) 2TC
Z1 = - 2 + 3 i noktasının | z - 6 + 3 i |= 2 çembe­
rine olan uzaklığı en az kaç birimdir?
10.
5.
C) 3TI
6
çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5 6 (2 - i)
B) 4TC
A) 2 + 2V3 i
D) - 2
E) - 1
D)V5-V2i
B) 3 + 5 i
C) 2 -
E)V3+2i
539
MATEMATİK SORU BANKASI
1 6 . cis 9 = cos 9 + i sin 9
1 1 . z karmaşık sayısının reel kısmı sanal kısmına eşittir.
z = - 2V~3 + 2 i
z.z=z+z
sayısının kutupsal şekli aşağıdakilerden hangisidir?
4
olduğuna göre, | z | ün değerlerinden birisi aşağı­
dakilerden hangisidir?
B)4
C)8
D) 16
E) 32
D) 4 cis
12.
C)2cs^
2
B)4cs —
6
A) 2 CB
A) 2
olmak üzere,
2rc
E) 2 cis -
3 - fşi
1 7 . Yandaki şekilde komp­
V~3 + 2 i
leks düzlemde görüntü­
sü verilen karmaşık sayı,
*• Re
aşağıdakilerden hangisi­
karmaşık sayısının uzunluğu kaçtır?
dir?
B) İ~2
A) 2
C) 3
E) V İ 4
D) V 7
A) 2V2" ( 1 + i)
B ) - 2 ^ 2 ( 1 + i)
D)- 2 + i
13.
C)-2(1+i;
E) 1 - 2 i
|z + i | + i z = 2 + i
olduğuna göre,
z
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 + i
B) 1 - i
^
o
1 8 . cis 0 = cos 6 + i s i n e
C) - 1 + i
olmak üzere,
3 cis 49° . cis 41°
O
D) - 1 - i
>-
E) İ3 + i
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
E
«
u.
14.
V-1 =i
ve z = x + yi
olmak üzere,
A) - 3
19.
B) 1
V4T nin değerlerinden biri aşağıdakilerden han­
A)2( 1 + i)
denklemini sağlayan z karmaşık sayısının eşleni­
ğinin orijine olan uzaklığı kaç birimdir?
2
B)İ~5
Cr
1 0
D)V1Ö
2
E) -•İ2
+ İ2\
E)2İTĞ
20.
yandaki
şekilde
verilen z karmaşık sayısının
kareköklerinden biri aşağı­
dakilerden hangisidir?
2(cos 10° + i sin 10°)
cos 320° - i sin 320°
, Jm
Karmaşık düzlemdeki gö­
rüntüsü
15.
C) V~2 + İ2\
B)-2 + 2 i
D) İ2 - İ2 i
5
E) - 3 i
gisi olabilir?
(z - 2i) . (3 + i) = 2 - i
A r
D) 3 i
C) 3
P
Re
J
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 - İ2 i
A) İ~3 + i
B) 1 + İ~3 i
D ) - 1 - İ3\
Cevaplar: 1-D
540
2-E
3-E
4-D
C)f3 -i
2
6-E
7-A
8-E
9-B
10-A
11-B
12-B
13-B
14-C
2
15-C
C)2 + 2i
E)- V~2 f i " .
D)*Ll|
E)1 - f 3 i
5-E
B) 1 - f 3 i
2
16-B
17-C
~ 2
18-D
19-C
20-B
7.
BÖLÜM
TEST
1
LOGARİTMA
6.
f(x) = 4.log(1 - x)
l o g 2 x . l o g 8 x = 12
fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden han­
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerden biri
gisidir?
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B) R +
• 1)
C) R - { 1 }
A)
B)
D)(1,
E)
iog3io
7.
2.
D)
^
E)Z +
log 3 5
bg35.bg25^"
işleminin sonucu kaçtır?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
4
C)1
D) 2
A) 1 + log 5 2
B) log 5 4
D) log 4 5
E) 4
C) 1 + log 4 5
E) 1 + log 2 5
D
C
O
3.
E
log 4 (log 3 (log 2 x)) = 1
olduğuna göre,
A)2 Ö
4.
B) 2 1 6
x
• 8
kaçtır?
C) 2 1 2
A) 2
B)4
D) 3 1 6
E)3 fc
A)
+
logx _
1Q
D) 16
E) 64
3I
10.
işleminin sonucu kaçtır?
B) 1
C) 0
^
=
|n
(|n
e)
kaçtır?
°»I
D)
E) 2
3 I—
B)V5
C)fs
D)1
E) 5
log 2 y a = log g b
olduğuna göre,
D) - 1
0 0 0
olduğuna göre, log 25 ifadesinin değeri kaçtır?
log 2 6 - log 2 20 + log 2
A) 2
x
^
log4a = 2 l o g 2 İ 5
A)V25
5.
| o g
B)
9.
x . y çarpımı kaçtır?
C)8
ln x
olduğuna göre,
log a = x ve log 4 = y
olduğuna göre,
e
log b kaçtır?
E) - 2
A)
B)
C)0
D)_
E
»-i
541
MATEMATİK SORU BANKASI
11
bg V5 .V5.V5Î
16.
V5
işleminin sonucu kaçtır?
A)
C)2
B)1
x
D)İ5
E) 5
log5 x
(25)
C) e
A) 1
2
D) 3
E) e
log2 (x - 8) < 3
B)6
D) 8
C)7
E) 9
©
B)(-3,5)
D) (3 , 6)
15.
19.
D) 50
olduğuna göre, log (0,0027) sayısının değeri aşa­
ğıdakilerden hangisidir?
B) 3,43136
D) 3,52288
C) 4,47712
E) 4,56864
C)(-1 , 1)
E) (2 , 4)
fy
2 0 . Yandaki şekilde grafiği
verilen fonksiyon aşağı­
dakilerden hangisidir?
log2(x + 3) - 2 l o g 2 ( x - l ) = -1
1
5
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
A)y -= log 5 x
A) { - 1 , 3 }
C)y = 5log 5 X
D) { 3 }
E) 51
log 300= 2,47712
A) 3,56864
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han­
gisidir?
C) 32
>s
O
0
log 2 (x-2) + log2x < 3
B) 7
o
c
E
A) (3 ,5)
logx = 0,12
A) 6
>.
14.
E) 14
D) 8
C) 7
olduğuna göre, x 5 0 sayısı kaç basamaklıdır?
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tamsayısı var­
dır?
A) 5
4
<
= x + 56
B) 2
18.
13.
C) 1
olduğuna göre, x kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
B) 2
B) 2
17.
İn 6 - İn 3
A) 1
=9x
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden han­
gisidir?
A) 3
•10
3
B) { - 1 , 5 }
E) { 5 }
C) { 3 , 5 }
1
B)y = log 1 x
5
D)y = - l o gy x
5 5
E)y == log
V5
X
Cevaplar: 1-A 2-A 3-A 4-A 5-D 6-E 7-A 8-A 9-D 10-B 11-C 12-B 13-C 14-E 15-E 16-E 17-D 18-B 19-B 20-B
542
BÖLÜM
*.t
.T
-* ^ Vs***, t.
6.
iog»5s (log.
(log3 x)) = o
4
v
a
olduğuna göre,
A) 64
2.
v
a
x
kaçtır?
B)81
C)125
A) 6
x
(log, 20) 2 = (log, 4) 2 + log, x
olduğuna göre,
D) 256
E) 625
A) 4
7.
x + log2(2x-6) = 4
olduğuna göre,
TEST
2
LOGARİTMA
C) 4
C)24
E)80
f(x) = 3 log V x - 1
D) 3
olduğuna göre, f~ 1 (x) aşagıdakilerden hangisi­
E) 2
dir?
B)2
„
x+ 1
C) 1 + 2 '
E) 1 + 2
D) 1 - 2 '
O
_
D) 50
Uygun koşullarda tanımlanmış,
A) 2
p 2 - l n x p 2 + lnx
kaçtır?
B)16
kaçtır?
B) 5
x
_ x
c
o
olduğuna göre,
A) 0
x
kaçtır?
B) 1
C) 2
D) e
E) 2e
S 8.
log. (100+ 5 log, x) = 3
u.
olduğuna göre, log
A) 3
log 1 27 +
olduğuna göre,
A) 2
B) 5
D) 10
C)8
E) 12
log35
x
kaçtır?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
9.
5
log
a
9
= 3
olduğuna göre,
A) 36
5.
x ifadesinin değeri kaçtır?
a
B)25
kaçtır?
D) 9
C) 16
E) 4
in x = m
İn 3 = n
olduğuna göre, log
VS"
(x 2 ) ifadesi aşağıdakiler-
m
B)
2m
C)
4
log a
2
= x v e 8
olduğuna göre,
den hangisine eşittir?
A)
10.
4m
D)
m
E) mn
A) a
6
B)a
5
y
log x
2
= y
aşagıdakilerden hangisidir?
C)Va
3
D) a
2
E)3Va
2
543
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
1 6 . log (x + 2) - log I —
log x y = 9.logy x
olduğuna göre, x ile y arasındaki bağıntı aşağı
olduğuna göre,
dakilerden hangisi olabilir?
2
A)y = x
3
B) x = y*
A) 8
2
C)y = - 1
E)x^-1
D)y =
17.
= log x + 1
x
kaçtır?
B) 12
C)18
D) 22
E) 28
iog 3 (x + 8) + log 3 x < 2
eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tamsayısı var­
12.
log 2 = m ,
log 5 = n,
log 1400 = p
dır?
olduğuna göre, log 7 nin değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) p + 3m + 2n
B) p - 3m - 2n
D) p - 2m - 3n
A) 10
C) 3m + 2n
B) 9
18.
D) 3
E) 0
D)30
E)300
log 3 = 0,47712
log x ="2,47712
E) p + 2m + 3n
olduğuna göre,
13.
C) 8
A) 0,003
log 3 = x ve log 2 = y
x
kaçtır?
B) 0,03
C) 0,3
olduğuna göre, log 12 ifadesi aşağıdakilerden
.2
hangisine eşittir?
A)
x + 2y
B)
1 -y
D)
14.
x + y
C)
x - y
x + 2y
E)
2y
y + 2x
1 - x
19.
o
>-
olduğuna göre, log "V x
E
2y
A) 3,8625
log x - log (x - y) = 2.log y
kilerden hangisidir?
D)
15.
20.
y = log
C) "3,1375
E)T,2875
1
(2x - 1)
i
B)
y2-ı
B) "3,8625
D) 1,2875
olduğuna göre, x in y cinsinden eşiti aşağıda­
A)
değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
«
x + y
colog x = 4,1375
y2-ı
C)
y3-ı
E)
y3-ı
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangi­
sidir?
y2+ı
log1(x-3)<2
3
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdaki­
lerden hangisidir?
A)
28
('•
B)
(-f) ">(?-)
D)( 11 , oo)
E ) ( - oo, 11 )
D)1
0
i\
4
1 \ i
*
-1
Cevaplar: 1-B 2-D 3-B 4-D 5-C 6-E 7-C 8-D 9-B 10-A 11-D 12-B 13-A 14-A 15-C 16-C 17-E 18-B 19-D 20-C
544
7BÖLÜM
f(x) = l o g ( 4 _ x ) ( 5 x - x ^ )
log 3 10! = A
log 3 4! + log 3 7! = B
fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıktaki x tamsa­
yı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 3
TEST
3
LOGARİTMA
C) 10
B)6
olduğuna göre, log 10 aşağıdakilerden hangisine
D) 15
eşittir?
E) 20
A) A - B
B) A - B - 1
D) A . B
2.
y = VIl o g
2
C)A + B
E) A
(5-x^)
ifadesini tanımlı yapan kaç farklı tamsayı vardır?
4 log x
7.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
p log x _
olduğuna göre,
A) 2
x
B)4
kaçtır?
C) 100
D) 125
E) 200
o
3.
l o
95x
+
lo
9 5 (f-)
c
=
D
log 2 x - log 4 y = 1
•
olduğuna göre,
A) 1
y kaçtır ?
B) 1
C) İ2
D)2
• '^Mh'^HK-^-i)
8
işleminin sonucu kaçtır?
E)4
A) 64
4.
g 4
E) 7
a> 1
B) 16
C)4
D) - 4
E) - ,
olmak üzere,
3
log 2 (2a)
log a (2a)
9.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
5
log 4 + log 8 + log 16 + log
E) 5
32 = 4
10.
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 4
B) 2
«l
x
+3
log 5
x
= 10
olduğuna göre, x değeri aşağıdakilerden hangisi­
dir?
A) 2
5.
log 3
B) 3
C)4
D) 5
E) 6
D) 3
E) 9
f(x) = 3 X + 1 - 2
olduğuna göre, f ~ 1 (7) kaçtır?
D)
E)
A) - 1
B) 0
C) 1
545
MATEMATİK SORU BANKASI
11.
A)x<y<z
C) 1 1 D) — E) —
70 B) 14
12.
5
14
D)z<y<x
17.
D)
n
4n + 1
n + 3
4n
C)
E)
log525! + log524! = m + 2
12n
D) 5
2n + 1
3 log a = log x + 2
0
>-
B) log 2 3
C) log 3 5
E) log 3 4
Ioga(log3(1+log2(x
+
«
-2
C)a"
E)a"
D)-a"
©
log1 ( l o g 5 ( x - 7 ) ) > 0
eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tamsayı değeri
1))) = 0
vardır?
olduğuna göre, x kaçtır?
C) 7
B)a
A) a
E
19.
B) 3
E)5~2~
olduğuna göre, bu eşitliği sağlayan x değer­
lerinin çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?
D) log 4 3
A) 1
m+4
2
3n
olduğuna göre, x kaçtır?
14.
C)5
m+2
4 X + 2 X + 1 = 15
A) log 5 2
B)5'2m
A)5 n
4n + 1
18.
13.
E)z<x<y
ğeri aşağıdakilerden hangisidir?
kilerden hangisidir?
B)
C)y<x<z
olduğuna göre, 25! sayısının m cinsinden de­
olduğuna göre, log 1 2 5 40 in n cinsinden aşağıda-
4n + 3
12n
B)x<z<y
60
log,„ 5 = n
A)
z = log 1 0 ( ) 200
dur?
ifadesinin değeri kaç*
tır?
A)
y = log2040,
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru­
Vy
yy
olduğuna göre, log
x = log20,
16.
Vx=
A) 5
D) 8
B)4
C)3
D) 2
E)1
E) 9
2 0 . Yandaki şekilde;
y = f(x)
f(x) = log 2 (ax + b)
fonksiyonunun grafiği
15.
verilmiştir.
log3(x.y) - l o g j — j = l o g j
olduğuna göre, log x ifadesinin değeri kaçtır?
Buna göre;
a - b kaçtır?
A)-3
A) - 2
B)-2
C)-1
D)0
E) 2
Cevaplar: 1-A 2-D 3-B 4-C 5-B 6-B 7-C 8-D 9-B 10-C 11-E 12-A
546
B) - 1
13-B 14-B 15-A
C)1
D) 2
E) 3
16-D 17-E 18-B 19-B 20-E
"»jn VO*VÎS/*
1.
6.
log4 = 0,6
8000
olduğuna göre, log
A) 3,35
B)3,45
olduğuna göre, log 63 ün a ve b cinsinden de­
ğeri aşağıdakilerden hangisidir?
nin değeri kaçtır?
C) 3,65
D) 3,75
log 7 = a ve l o g ? 2 = b
A)
E) 3,85
a+2
B)
ab
D)
2.
I n ( x 2 . y ) = 10
ve
7.
ln[ — ) =5
B)e7
C) 1
3
V7
C)
ab
ab + 2b
E)
ab + 2
ab
ar + 2a
25 . log 8 49 . l o g 1 2 5 64
işleminin sonucu kaçtır?
olduğuna göre, ln(x.y) kaçtır?
A) e " 7
log
b+2
D)-7
E) 7
C)1
B)
A)
D) 4
E) 8
D) 2
E) 3
o
c
t 8.
,9-2log 3
_
E
a
2
B)
C)
A)
D)JL
81
243
x
loa 2
+ 3
x
- 6 = 0
olduğuna göre, x kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
;1
A)
log„ 3
2
1
C)1
"5
9.
log x = 3,375
log y = 3,625
logk = 13,0303
4.
olduğuna göre,
olduğuna göre, k sayısı kaç basamaklı bir sayıdır?
A) 12
B)13
C)14
D) 15
A) 10
E)16
10.
log3(x - 3) = log g 4 + log g x
B)
C)1
D)
ifadesinin değeri kaç-
B)10 2
log
D)10 4
C)10 3
E)10 5
(log 2 (x - 2)) > 0
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakiler­
den hangisidir?
olduğuna göre, log4(x - 1 ) ifadesinin değeri kaç­
tır?
A) 2
V(x.y)
tır?
*±
A) ( - »o , 4 )
B)(-°o,4]
D) [ 3 , 4 ]
C) ( - 2 , 4 ]
E) ( 3 , 4 ]
547
MATEMATİK SORU BANKASI
1 1 . Uygun koşullarda tanımlanmış;
16.
f (x) = - 3 + log 2 (X* - 3)
olduğuna göre,
fonksiyonu veriliyor.
B
<
l o g 2 15 in a ve b cinsinden
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
r 1 ( - 3)
Buna göre ,
log 2 25 = 2a ve log 3 4 = 2b
kaçtır?
A)
D) 2
C)1
-Î
ab + 1
E) 4
D)
17.
ab - 1
B)
ab + 1
C)
E)
b- 1
ab
ab + 1
ab + 1
| i o g 3 ( x - i ) | + ı| = 3
denklemini sağlayan
x
değerlerinin çarpımı
kaçtır?
A)™
Yukarıdaki şekillere göre aşağıdakilerden hangisi
9
B)»
C)^°
9
D)*°°
9
E)1M
9
9
doğrudur?
A)a<b<c<d
B)d<c<b<a
C)d<c<a<b
D)c<d<a<b
:
o
E)c<d<b<a
18.
olduğuna göre, colog
o
13.
log
3
' 2X + 2
A) 6,4
B)12
D) 4
C)8
f(x) = | 0 g
(^—-)
2
x V 5 + x /
B) 2
D)4
C)3
B) 2
Cevaplar: 1-D 2-E 3-D 4-C
548
5-B
(2x-3) > 0
B)(J,2]
D ) [ 2 , oo]
20.
D) 4
6-A
7-E
8-D
9-D
10-E
11-D
E)(-oo,2]
log 2 = 0,30103
A) 18
E) 5
C)[|.2]
2
olduğuna göre,
C) 3
E) 4,4
A ) ( ^ , 2)
2
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
log
E) 5
log(2 x + x - 4 ) = x(1 - l o g 5)
15.
C) 4,6
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakiler­
den hangisidir?
fonksiyonunu tanımlı yapan x in tamsayı değerleri
kaç tanedir?
A) 1
B) 4,2
E) 2
19.
14.
ifadesinin değeri
D) 2,6
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 16
1000
kaçtır?
E
o
u.
= - 2
log x = 1,1
12-D
13-D
16 1 6
B)19
14-E
15-D
sayısı kaç basamaklıdır?
C)20
16-A
17-C
D) 21
18-E
E) 22
19-B
20-C
7.
BÖLÜM
1.
log
t
(4 - x)
TEST
5
LOGARİTMA
6.
ifadesinin bir reel sayı belirtmesi
x + log 4 =
için x in alabileceği tamsayı değeri kaç tanedir?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
olduğuna göre, x kaçtır?
E)1
A) - 2
2.
a ve b
B) - 1
birer doğal sayı olmak üzere,
E) 1
işleminin sonucu kaçtır?
a + b nin alabileceği en büyük
A) 1
B)12
D) -
log2f5
değer kaçtır?
A) 13
C) - -
log827.log95
log 1 2 (a . b) = 1
olduğuna göre,
log 20
log .Vs
C)10
D) 8
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) 7
o
log (1000) - 3.log (0,1) + log (3 - İne2)
8.
c
log„
(log_
(x - 4)
3
v
a
3
ifadesinin en küçük değeri için x
A)3
o
işleminin sonucu kaçtır?
e
A)-6
5
B)4
C)7
B)-3
D) 3
E) 6
E) 12
D) 9
9.
Yandaki şekilde
y = log
4.
C)0
kaçtır?
x fonksiyonu-
a
nun grafiği verilmiştir.
log c „ 2 = a
Buna göre, aşağıdakiler­
olduğuna göre, log 2 (3a) kaçtır?
den hangisi y = log x fonksiyonunun grafiğidir?
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 4
A)
•y
•y
\
5.
1
log 500 = a
olduğuna göre,
log 400
ün
a cinsinden eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
a - 1
D)
B) 2a - 1
E)
ıy
C) 8 - 2a
-•x
D) 3a - 2
AV
E)4**
-1
1
549
MATEMATİK SORU BANKASI
.log, 2
10.
Vn
olduğuna göre, log
A) - 2
B) - 3
1 1 . log x = a
A) 7
C) - 2
D)-2
A)
8
D)
6a
2a-3
6a
Buna göre, a + b
kaçtır?
A) - 4
D) 2
C)0
B) - 2
E)
1 -7a
2a-3
17.
E) 4
log(x + 3) + log{5 - x)
log 5 700 = c,...
log 0,7 = a,...
log 2 70 = b „ .
12.
E)1
2a + 3
C)
5a
2a + 3
B)
5a
D) 2
C) 4
1 6 . Yandaki şekilde
f:(2, ~ ) - > R
şeklinde tanımlanmış
f(x) = log a (x + b)
fonksiyonu verilmiştir.
log ( — ) + log (
)
y
10
100
ifadesinin a türünden değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
2a-3
B) 5
E)--
olmak üzere,
log (10.x) - l o g x
log 7 5
işleminin sonucu kaçtır?
ifadesinin de-
VVm
geri kaçtır?
)
15.
log m = 7
ve
log 7000 = d,...
olduğuna göre, a - b + c + d toplamı kaçtır?
a
ifadesini tanımlı yapan x in tamsayı değeri kaç
tanedir?
A) 9
C)7
B)8
D) 6
E) 5
A)-2
E
B)-1
o 18.
C)0
D)1
E) 2
logx = 12
olduğuna göre, log V x2 VT - log V x İ~x
desinin değeri kaçtır?
13.
3
B)-1
A)-2
f(x, y) = log x y - logy x
1
olduğuna göre, f( a , —) ifadesinin değeri kaçtır?
D)1
C)0
ifa­
E) 2
log 2 = 0,301
19.
a
A)
16
B»-f
°>!
C)0
olduğuna göre, colog 25 kaçtır?
E
»i
A)T,398
B) "2,398
D) 2,602
14.
C) 7,602
E) "3,398
a.b.c = 100
3
5
log a log b log c
20.
olduğuna göre, log a . log b. log c çarpımının so­
nucu kaçtır?
A
>§
B
»!
C
»I
D)
E)
25
log2(9-2x) = 4
J3 - x)
olduğuna göre, x in alabileceği değerler toplamı
kaçtır?
A)-3
B)-2
C)0
D) 2
E) 3
Cevaplar: 1-C 2-A 3-D 4-B 5-C 6-B 7-A 8-E 9-D 10-C 11-E 12-C 13-E 14-E 15-E 16-D 17-C 18-D 19-D 20-C
550
*ni&
BÖLÜM
1.
OÇk'vr
4
KTT-7
•**-••/Jr',-ır\V'*?6' i**?*8"*''.
-.'
A) 45
B)75
C)135
D) 225
sin 45° + cos 60°
6.
radyanlık açının esas ölçüsü kaç derecedir?
tan60° + V2 .cot 30°
işleminin sonucu kaçtır?
E) 285
A)
2.
1 + sin2 x - cos 2 x
V6
V2
7.
c)
V3
42
D) —
4
E)
V3
f(x) = 1 + — .cos X
2
ifadesinin eşiti aşagıdakilerden hangisidir?
A)-4
B)-2
C)-1
D) 2
olduğuna göre, f(x) in alabileceği tamsayı değer­
E) 4
leri kaç tanedir?
A) 7
(tan x - sin x) . cot x - 1
3.
ifadesinin eşiti aşagıdakilerden hangisidir?
A) sin x
B) - sin x
D) - cos x
a = tan 125°
o
e
b = cot 320°
A)a>b>c
B)b>c>a
D)c>b>a
ABC diküçgeninde,
E) 3
olduğuna göre, aşagıdakilerden hangisi doğru­
dur?
e
4.
D) 4
c = cos 190°
E
u.
E) sec x
C) 5
e 8.
o
>-
C) cos x
B) 6
9.
m(BAC) = m(CDA)
C)b>a>c
E)c>a>b
C noktası, [BE] ile [AD] nin kesiştiği nokta ve
[AB] 1 [AD] dir.
m(ACB) = x
|AB| = 6 cm
|CD| = 5 cm
olduğuna göre, tan x değeri kaçtır?
A)
c
B)
»!
<
E
'f
Şekildeki verilenlere göre, | DE | = x kaçtır?
A) 6
5.
0° < x < 90°
olmak üzere,
10.
5
cosx =
C)8
D) 9
1
1
1 - cos x
1 + cos x
E) 10
= 4
13
olduğuna göre, cosec x - cot x farkı kaçtır?
A)
B)7
2
1
3
2
D)_
E)-
denklemini sağlayan
x
açısı aşagıdakilerden
hangisi olabilir?
A) 60°
B)75°
C)135°
D) 150°
E) 180°
551
MATEMATİK SORU BANKASI
/1 r
( —)
11
1
1
-g
+—r + ı
16.
logx - log 2 = 1
olduğuna göre, x kaçtır?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 15
A)- 9
C)3i
B)
D)9
B)20
C) 100
D) 120
E) 200
D) 25
E) 99
E)
(a + 3i) .(3 - 4 i )
12.
(1 + 2 i ) .(3 - ai)
17.
karmaşık sayısının eşleniğinin mutlak değeri kaçtır?
A) V~3
B)fE
1 3 . z = x + iy
C) 2 İ 3
D) 2 / 5
A) 4
E) 5
C) 2
D) - 3
=25
iog ? 7 5 . log 2 5 8 . log 2 81
A)
>^
E) 3
C) 24
ifadesinin değeri kaçtır?
o
c
x + y toplamı kaçtır?
B) - 1
B) 5
18.
2i . z = z + 3i + 6
A) - 4
2
olduğuna göre, x kaçtır?
olmak üzere,
olduğuna göre,
4
1
B) 1
C) 2
D) log 2 5
E) log 3 2
o
>.
E
«
14.
z = x - xi
19.
olmak üzere,
olduğuna göre, x in değeri y nin kaç katıdır?
| 2.z + i.z| = V İ 8
olduğuna göre,
A) 1
x
in pozitif değeri kaçtır?
B) 2
15.
C) 3
D) 4
A)
20.
B)
Cevaplar: 1-C 2-B
552
371
3-D
E) 9
colog x = 2, 075
olduğuna göre,
log x in değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
Z1
karmaşık sayısının esas
Z2
A) 3", 075
argümenti kaçtır?
A ) TC
D) 6
C)3
B)
E) 5
z 1 = 2i - 2
z2 = 1 + i
olduğuna göre,
log 4 ( l o g 3 x - log 3 y ) = —
C)
4-A
D)
5-B
6-E
7-C
D) 2, 075
E)
8-D
9-B
B)3~, 925
10-C
11-A
12-B
13-B
14-C
15-C
C)2", 925
E) 1,075
16-B
17-A
18-C
19-E 20-B