türev ünite 3. ünite 3. ünite 3. ünite 3. ünit

TÜREV
ÜNİTE
3. ÜNİTE
3. ÜNİTE
3. ÜNİTE
Türev
1.
Kazanım
: Türev kavramını örneklerle açıklar.
2.
Kazanım
: Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan türevini ve sağdan türevini bulur, soldan türev ve
sağdan türev ile türev arasındaki ilişkiyi açıklar.
3.
Kazanım
: Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ile türevlenebilirliği arasındaki ilişkiyi açıklar.
4.
Kazanım
: Bir fonksiyonun bir aralıkta türevli olmasını ifade eder.
5.
Kazanım
: Türev tanımını kullanarak verilen bir fonksiyonun türevine ait formülleri oluşturur ve
uygulamalar yapar.
6.
Kazanım
: Türevlenebilen iki fonksiyonun toplamının, farkının, çarpımının ve bölümünün türevine
ait kuralları oluşturur ve bunlarla ilgili uygulamalar yapar.
7.
Kazanım
: Bir fonksiyonun grafiğinin bir noktasındaki teğetinin ve normalinin denklemini yazar.
8.
Kazanım
: Bir fonksiyonun ardışık türevlerini bulur.
Türev Uygulamaları
1.
Kazanım
: Bir fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları türevin işaretine göre belirler.
2.
Kazanım
: Bir fonksiyonun mutlak maksimum ve mutlak minimum, yerel maksimum, yerel minimum,
noktalarını açıklar ve bir fonksiyonun ekstremum noktalarını türev yardımıyla çözer.
3.
Kazanım
: Maksimum ve minimum problemlerini türev yardımıyla çözer.
4.
Kazanım
: Bir fonksiyonun grafiği üzerinde bükeylik ve dönüm noktası kavramını açıklar.
5.
Kazanım
: Fonksiyonların grafiğini türev yardımıyla çizer.
6.
Kazanım
: L’Hospital kuralı yardımıyla fonksiyonların limitlerini hesaplar.
3. ÜNİT
TÜREV
BİR NOKTADA TÜREV
A ⊂ R ve f : A → R, y = f(x) fonksiyonu
y
a ∈ A da sürekli olmak üzere,
lim
x"a
f(x)
f (x) – f (a)
x–a
f(x) – f(a)
f(a)
limiti varsa (bir reel sayı ise) bu limit değerine y = f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki türevi denir ve
dy
df
,
(a) sembollerinden birisi ile gösterilir.
f′(a),
dx
dx
0
x=a
x–a
a
y = f(x)
x
x
Türev tanımını aşağıdaki gibi de yapabiliriz.
x – a = h olsun. x – a = h ⇒ x = a + h tır. x → a ⇔ (x – a) → 0 ⇔ h → 0
f (x) – f (a)
f (a + h) – f (a)
f′(a) = lim
= lim
bulunur.
x–a
h
x"a
h"0
ÖRNEK 1
Sağdan ve Soldan Türev
f : R → R, f(x) = x3 fonksiyonunun x = 1 noktasın-
A ⊂ R ve f : A → R, y = f(x) fonksiyonu
daki türevini bulunuz.
a ∈ A da sürekli olmak üzere;
Çözüm
®
lim
x " a+
f (x) – f (a)
limitinin bir reel sayı değeri varx–a
sa, bu değere y = f(x) fonksiyonunun x = a daki
sağdan türevi denir ve f′(a+) ile gösterilir.
®
lim
x " a–
f (x) – f (a)
limitinin bir reel sayı değeri varx–a
sa, bu değere y = f(x) fonksiyonunun x = a daki
ÖRNEK 2
soldan türevi denir ve f′(a–) ile gösterilir.
f : R → R, f(x) = x2 + 2 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevini bulunuz.
Sağdan ve soldan türevler var ve eşitse fonksiyo-
Çözüm
nun o noktada türevi vardır.
f′(a+) = f′(a–) = f′(a) dır.
f′(a+) ≠ f′(a–) ise f′(a) yoktur.
y = f(x) ise f fonksiyonunun bir x noktasındaki
dy
türevi f′(x),
, y′ sembollerinden birisi ile gösdx
d
e türev alma operatörü denir.
terilir. Burada,
dx
178
Türev
ÖRNEK 3
ÖRNEK 4
f : R → R, f(x) = |x| fonksiyonunun eğer varsa f′(0+),
f : R → R, f(x) = *
–
f′(0 ) ve f′(0) türevlerini bulunuz.
2x – 1 , x > 1
x2
, x≤1
fonksiyonu veriliyor.
Çözüm
a.
f fonksiyonu x = 1 de sürekli midir?
b.
f fonksiyonu x = 1 de türevli midir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Türev - Süreklilik İlişkisi
A ⊂ R, f : A → R ve a ∈ A olmak üzere,
y = f(x) fonksiyonu x = a da türevli ise, bu noktada
süreklidir.
Bir başka ifadeyle, y = f(x) fonksiyonu x = a da
sürekli değilse, fonksiyonun bu noktada türevi yoktur.
Bir noktada sürekli olan bir fonksiyon bu noktada
türevli olmayabilir. Fonksiyonun sürekli olduğu fakat
türevli olmadığı noktalara fonksiyonun kırılma noktaları adı verilir. Örnek 3 teki f(x) = |x| fonksiyonunun
kırılma noktası x = 0 dır.
179
Türev
ÖRNEK 5
ÖRNEK 6
f : R → R, f(x) = |x2 – 9| fonksiyonu veriliyor.
a.
f fonksiyonu x = 3 te sürekli midir?
b.
f fonksiyonu x = 3 te türevli midir?
f : R → R, f(x) = *
3x 2 , x ≥ 1
6x
, x<1
fonksiyonu x = 1 de türevli midir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 7
f(x) =
x+1
fonksiyonu x = 3 te türevli midir?
x–3
Çözüm
180
Türev
BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLME
ÖRNEK 8
f : R → R , f(x) = *
3x + 2 , x > 2
f : [a, b ] → R bir fonksiyon olsun. ∀x ∈ (a, b) için f
2x + 4 , x ≤ 2
fonksiyonunun türevi varsa, f fonksiyonu (a, b) aralığında türevlidir denir. f′ türev fonksiyonunun tanım
fonksiyonunun x = 2 apsisli noktasında türevinin
kümesi f nin tanım kümesinin alt kümesidir.
olup olmadığını araştırınız.
Çözüm
ÖRNEK 9
f : R → R, f(x) = x3 fonksiyonunun türev fonksiyonunu bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 10
f : R → R, f(x) = 5x fonksiyonunun türev fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 11
f(x) = sinx fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm
181
ALIŞTIRMALAR – 1
1.
f : R → R, f(x) = 2x2 + 1 fonksiyonunun x = 1
6.
noktasındaki türevi kaçtır?
f : R → R, f(x) =
*
2x
, x≥1
x2 + 1
, x<1
fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevi kaçtır?
2.
f : R → R, f(x) = 3x + 2 fonksiyonunun x = 10
noktasındaki türevi kaçtır?
3.
1
ise f′(2) değerini bulunuz.
x
7.
f : R+ → R, f(x) =
8.
f : R → R, f(x) = x2 ise f′(0) değerini bulunuz.
9.
f : R → R, f(x) = |x2 – 4| fonksiyonu x = 2 nok-
f : R → R, f(x) = x3 – 1 fonksiyonunun x = 2
4.
f : R → R, f(x) = |x – 1| fonksiyonu için eğer
varsa aşağıdakileri bulunuz.
ESEN YAYINLARI
noktasındaki türevi kaçtır?
a. f′(1+)
b. f′(1–)
c. f′(1)
tasında türevli ise türevi kaçtır?
d. f′(–1)
e. f′(0)
f.
5.
f′(2)
f : R → R, f(x) = x.|x| fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevi kaçtır?
182
10. f : R → R, f(x) = |x2 – 2x| fonksiyonu x = 2 noktasında türevli ise türevi kaçtır?
Türev
11. f : R → R, f(x) = |x2 – x| fonksiyonunun kırılma
16.
y
noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
–6 –4
12. f : R → R, f(x) = *
–2
0
3
4
x
5 6
x3 , x < 0
x2 , x ≥ 0
Yukarıda verilen grafikle tanımlı f fonksiyonu için
fonksiyonunun x = 0 noktasında türevi varsa
aşağıdakileri cevaplayınız.
kaçtır?
a. Süreksiz olduğu noktaların apsisleri toplamı
kaçtır?
fonksiyonu, x = 1 noktasında sürekli ise a kaçtır?
b. Türevinin olmadığı noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Z x+1 , x < 1
]
13. f : R → R, f(x) = [ ax + 2 , x = 1
] 2
\ x +1 , x > 1
c. Kırılma noktasının apsisi kaçtır?
d. f fonksiyonunun [–6, 6 ] aralığındaki tam
sayıların kaçında türevi vardır?
14. f(x) = sinx fonksiyonunun x =
r
noktasındaki
2
türevini bulunuz.
17. Aşağıdaki fonksiyonların türev fonksiyonlarını
bulunuz.
a. f(x) = x
b. f(x) = x2
15. f(x) =
x2 + 3
x2 – 1
fonksiyonunun türevinin olmadığı
kaç farklı noktası vardır?
c. f(x) = x + 2
d. f(x) = x2 + 1
183
Türev
TÜREV ALMA KURALLARI
ÖRNEK 13
Sabit Fonksiyonun Türevi
Aşağıda bazı fonksiyonların türevleri alınmıştır.
İnceleyiniz.
c ∈ R olmak üzere, f(x) = c ⇒ f′(x) = 0 dır.
f(x) = c ⇒ f′(x) = lim
h"0
® f(x) = x2 ⇒ f′(x) = 2.x2–1 = 2x
f (x + h) – f (x)
h
= lim
h"0
® f(x) = x3 ⇒ f′(x) = 3.x3–1 = 3x2
c–c
h
® f(x) = x ⇒ f′(x) = 1.x1–1 = 1.x0 = 1
= lim 0 = 0 bulunur.
h"0
® f(x) = x19 ⇒ f′(x) = 19.x19–1 = 19x18
3
® f (x) = x 2 & fl (x) =
ÖRNEK 12
Aşağıda bazı sabit fonksiyonların türevleri alınmıştır.
1
® f (x) = x = x 2 & fl (x) =
İnceleyiniz.
® f(x) = 5 ⇒ f′(x) = 0
® f(x) =
5
2
x 2 = x 5 & fl (x) =
® f(x) = 3 2 ⇒ f′(x) = 0
® f(x) = 2a + 1 ⇒ f′(x) = 0
® f(x) = π + e2 ⇒ f′(x) = 0
f(x) = c.xn Fonksiyonunun Türevi
f : R → R, n ∈ R, c ∈ R olmak üzere,
f(x) = c.xn ⇒ f′(x) = c.n.xn – 1 dir.
® f(x) = 192010 ⇒ f′(x) = 0
2009
⇒ f′(x) = 0
2010
® f(x) =
ESEN YAYINLARI
® f(x) = –8 ⇒ f′(x) = 0
ÖRNEK 14
f(x) = xn Fonksiyonunun Türevi
Aşağıda bazı fonksiyonların türevleri alınmıştır.
İnceleyiniz.
+
f : R → R, n ∈ N
n
olmak üzere,
n–1
f(x) = x ⇒ f′(x) = n.x
dir.
f (x + h) – f (x)
(x + h) n – x n
= lim
f′(x) = lim
h
h
h"0
h"0
= lim
h"0
= lim
h"0
(x + h – x) + 6 (x + h) n – 1 + (x + h) n – 2 .x + … + x n – 1 @
h
h. 6 (x + h) n – 1 + (x + h) n – 2 .x + … + x n – 1 @
h
= xn – 1 + xn – 2.x + ... + xn – 1 , (n tane)
= n.xn – 1 bulunur.
184
® f(x) = 2.x ⇒ f′(x) = 2.1.x1–1 = 2
® f(x) = 5x2 ⇒ f′(x) = 5.2.x2–1 = 10x
® f(x) = 3x–2 ⇒ f′(x) = 3.(–2).x–2–1 = –6x–3
® f(x) = 2.
3
2
2
2
x = 2.x 3 ⇒ f′(x) = 2. .x
3
Türev
İki Fonksiyonun Toplamının - Farkının Türevi
İki Fonksiyonun Bölümünün Türevi
f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f′(x) = g′(x) + h′(x)
f (x) =
f(x) = g(x) – h(x) ⇒ f′(x) = g′(x) – h′(x)
ÖRNEK 15
g (x)
h (x)
& fl (x) =
gl (x) .h (x) – g (x) .hl (x)
6 h (x ) @ 2
ÖRNEK 18
Aşağıda bazı fonksiyonların türevleri alınmıştır.
f(x) =
İnceleyiniz.
® f(x) = x2 + x3 ⇒ f′(x) = 2.x2–1 + 3.x3–1 = 2x + 3x2
2x + 1
olduğuna göre, f′(x) türev fonksiyonu3x – 1
nu bulunuz.
Çözüm
® f(x) = 3x4 + 5 ⇒ f′(x) = 3.4x4–1 + 0 = 12x3
® f(x) = 2x3 – x2 + 5x ⇒ f′(x) = 2.3.x3–1 – 2.x2–1 + 5.x1–1
İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi
ÖRNEK 16
f(x) = (x2 + 1).(2 – x3) olduğuna göre, f′(1) değerini
bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
f(x) = g(x).h(x) ⇒ f′(x) = g′(x).h(x) + g(x).h′(x)
ÖRNEK 19
f(x) =
x 2 + 3x
olduğuna göre, f′(x) türev fonksiyox2 – 1
nunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 17
f(x) = x2.(x3 + 1).(x + 2) olduğuna göre, f′(0) değerini bulunuz.
Çözüm
ax + b
a.d – b.c
= f(x) = cx + d & fl (x) = (cx + d) 2 dir.
185
Türev
f(x) = [g(x) ] n ⇒ f′(x) = n.[g(x) ] n–1.g′(x)
f (x) ⇒ y′ =
y=
fl (x)
tir.
2 f (x)
ÖRNEK 20
f(x) = (x3 + 2x + 4)5 ise f′(x) türev fonksiyonunu
ÖRNEK 24
bulunuz.
Aşağıda bazı kareköklü fonksiyonların türevi yukarı-
Çözüm
daki pratik kural yardımıyla alınmıştır. İnceleyiniz.
f′(x) = 5.(x3 + 2x + 4)5–1.(x3 + 2x + 4)′
ÖRNEK 21
® f(x) =
5x + 1 ⇒ f′(x) =
® f(x) =
x 3 – 1 ⇒ f′(x) =
® f(x) =
x 2 – x ⇒ f′(x) =
5
f(x) = (x2 – 4x)3 + 2x2 – 5x + 2 olduğuna göre,
f′(3) değeri kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 22
g′(2) = 6 olmak üzere, f(x) = g(x2 + x) ise
f′(1) değeri kaçtır?
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 25
f(x) =
3
(x 2 + x) 2 ise f′(x) türev fonksiyonunu bulu-
nuz.
Çözüm
Çözüm
n > m olmak üzere,
ÖRNEK 23
f(x) =
Çözüm
f(x) =
x 2 + 1 ise f′(x) fonksiyonunu bulunuz.
x2 + 1 = _ x2 + 1 i
f(x) =
6 g (x) @ m ⇒ f′(x) =
m.gl (x)
n. n 6 g (x) @ n – m
ÖRNEK 26
f(x) =
3
Çözüm
186
n
(x 2 – x) 2 ise f′(x) fonksiyonunu bulunuz.
Türev
Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
Bileşke Fonksiyonunun Türevi
f(x) = (goh)(x) ⇒ f′(x) = g′(h(x)).h′(x)
® f(x) = sin g(x) ise f′(x) = g′(x).cos g(x)
® f(x) = cos g(x) ise f′(x) = –g′(x).sin g(x)
ÖRNEK 27
2
2
f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x + 3x ise y = (fog)(x) bileşke fonksiyonunun türevini bulunuz.
® f(x) = tan g(x) ise f′(x) = g′(x).(1 + tan2g(x))
Çözüm
= g′(x).
f(x) = 2x2 + 1 ⇒ f′(x) = 4x
1
cos 2 g (x)
= g′(x).sec2g(x)
®
f(x) = cot g(x) ise f′(x) = – g′(x).(1 + cot2g(x))
ÖRNEK 28
= – g′(x).
f(x) = (x2 + 1)4 olduğuna göre, f′(x) türev fonksiyonunu bulunuz.
1
sin 2 g (x)
= – g′(x).cosec2g(x)
Çözüm
ÖRNEK 29
g(2) = 4 , f′(4) = –3 ve g′(2) = 5 ise (fog)′(2) kaçtır?
ESEN YAYINLARI
g(x) = x4 , h(x) = x2 + 1 alınırsa,
ÖRNEK 31
Aşağıda bazı fonksiyonların türevleri alınmıştır. İnceleyiniz.
®
y = sinx ⇒ y′ = cosx
®
y = cosx ⇒ y′ = – sinx
®
y = tanx ⇒ y′ = 1 + tan2x =
Çözüm
(fog)′(x) = f′(g(x)).g′(x) ⇒ (fog)′(2) = f′(g(2)).g′(2)
1
cos 2 x
= sec2x
y = (fogoh)(x) ⇒ y′ = f′(g(h(x))).g′(h(x)).h′(x) dir.
®
y = cotx ⇒ y′ = – (1 + cot2x) = –
Bu eşitlikte y = f(z), z = g(u), u = h(x) alınırsa,
dy dy . dz . du
=
= f′(z).g′(u).h′(x)
y′ =
dx dz du dx
= f′(g(h(x))).g′(h(x)).h′(x) olur.
Bu işleme, türevde zincir kuralı denir.
1
sin 2 x
= – cosec2x
ÖRNEK 32
f(x) = 2sin3x + 5cos2x ise f′(x) türev fonksiyonunu
ÖRNEK 30
y = 3t2 + 1, t = 2u + 3, u = x3 + 2 olduğuna göre,
bulunuz.
Çözüm
dy
ifadesini bulunuz.
dx
Çözüm
187
Türev
ÖRNEK 33
ÖRNEK 37
f(x) = sin23x ise f′(x) türev fonksiyonu nedir?
f(x) =
Çözüm
sin x – cos x
r
ise f′ b l kaçtır?
tan x
4
Çözüm
ÖRNEK 34
f(x) = cos(x2 + x) ise f′(x) nedir?
Çözüm
ÖRNEK 35
f(x) =
3
Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi
r
tan 2 x ise fl b l kaçtır?
4
® g(x) ≠ 0 olmak üzere,
ESEN YAYINLARI
Çözüm
f(x) = |g(x)| ⇒ f′(x) = *
gl (x)
, g (x ) > 0
– gl (x) , g (x) < 0
® g(a) = 0 olmak üzere,
f(x) = |g(x)| fonksiyonunun x = a daki sağ ve
sol türevleri eşit ise fonksiyonun x = a da türevi vardır.
ÖRNEK 38
f(x) = |x + 4| fonksiyonunun türevinin kuralını bulunuz.
ÖRNEK 36
f(x) = x.tan2x ise f′ b
Çözüm
188
r
l kaçtır?
8
Çözüm
Türev
ÖRNEK 39
ÖRNEK 42
f(x) = |(x – 2)3| fonksiyonunun türevinin kuralını bulu-
f(x) = x.|x| fonksiyonunun x = –2, x = 0 ve x = 1
nuz.
apsisli noktalarındaki türevini araştırınız.
Çözüm
Çözüm
Kapalı Fonksiyonların Türevi
x ve y değişken, y = f(x) olmak üzere,
F(x, y) = 0 denklemi ile verilen bağıntılara kapalı
fonksiyon denir. Kapalı fonksiyonun türevi iki farklı
2
f(x) = |x – 2| + x + 1 olduğuna göre f′(1) in değeri
nedir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 40
yoldan bulunabilir.
I. Yol: F(x, y) = 0 denkleminin her iki yanının x e
göre türevi alınır. Bulunan denklemden de
dy
y′ =
yalnız bırakılır.
dx
II. Yol: F(x, y) = 0 ⇒ F′(x, y) = –
Flx(x, y)
dir.
Fly(x, y)
F′x(x, y): F nin x e göre türevi (y sabit)
F′y(x, y): F nin y ye göre türevi (x sabit)
NOT: |x – 2| için x = 1 kritik nokta olmadığından,
sağdan ve soldan türevine bakmaya gerek yoktur.
ÖRNEK 43
y = f(x) olmak üzere, x2y + 3x + 2y2 = 0 bağıntısının
türevini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 41
f(x) = |x2 + 6x + 9| olduğuna göre, f′(–3) ün değeri
nedir?
Çözüm
189
Türev
ÖRNEK 44
sin(x – y) + cos(x + y) = 0 ise
ÖRNEK 47
dy
nedir?
dx
x = t2 + t
Çözüm
y = 3t 2 + 1
4 olduğuna göre,
dy
dx
t=1
değeri nedir?
Çözüm
ÖRNEK 48
x = cos i
ÖRNEK 45
dy
dx
ifadesini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
y = f(x) olmak üzere, sinx + cosy = x + y ise
y = sin i
4 ise
dy
ifadesinin eşitini bulunuz.
dx
Çözüm
ÖRNEK 49
y = 3t 2 + t
Parametrik Fonksiyonların Türevi
y = f(x) fonksiyonu x = u(t), y = v(t) şeklinde
dy
dy
parametrik olarak verildiğinde, y′ =
= dt olur.
dx dx
dt
ÖRNEK 46
x = t2 – 1 ve y = 2t + 1 olduğuna göre,
Çözüm
190
dy
nedir?
dx
x = t+2
türevi
Çözüm
4 olmak üzere, y = f(x) fonksiyonunun
dy
= fl (x) ise f′(–1) değeri nedir?
dx
Türev
Ters Fonksiyonun Türevi
ÖRNEK 51
f: A → B, y = f(x) bire bir ve örten fonksiyonu
f: R → R, f(x) = x3 + x ise (f –1)′(2) kaçtır?
x0 ∈ A noktasında türevli ve f′(x0) ≠ 0 ise
Çözüm
–1
f : B → A fonksiyonu da x0 ın f altındaki görüntüsü olan y0 noktasında türevlidir ve
(f –1)′(y0) =
1
dır.
fl (x 0)
ÖRNEK 50
f: R → R, f(x) = x3 + 1 ise (f –1)′(2) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 52
f(x) = secx ise (f –1)′(x) türevini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
191
Türev
Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
f(x) = arctan(sinx) ve cosa =
gl (x)
® f(x) = arcsin g(x) ⇒ f′(x) =
1
ise f′(a) kaçtır?
4
Çözüm
1– g 2 (x)
® f(x) = arccos g(x) ⇒ f′(x) = –
® f(x) = arctan g(x) ⇒ f′(x) =
ÖRNEK 54
gl (x)
1– g 2 (x)
gl (x)
1 + g 2 (x)
® f(x) = arccot g(x) ⇒ f′(x) = –
gl (x)
1 + g 2 (x)
ÖRNEK 53
Aşağıda bazı fonksiyonların türevleri alınmıştır.
İnceleyiniz.
Logaritma Fonksiyonunun Türevi
® y = arccosx ⇒ y′ = –
ESEN YAYINLARI
® y = arcsinx ⇒ y′ =
® f(x) = logag(x) ise f′(x) =
® f(x) = lng(x) ise f′(x) =
gl (x)
.logae
g (x)
gl (x)
g (x)
® y = arctanx ⇒ y′ =
ÖRNEK 55
® y = arccotx ⇒ y′ = –
Aşağıda bazı fonksiyonların türevleri alınmıştır.
İnceleyiniz.
® y = arcsin3x ⇒ y′ =
® y = arccos2x ⇒ y′ = –
® y = log5x ⇒ y′ =
® y = log(x2 + x) ⇒ y′ =
® y = lnx ⇒ y′ =
® y = arctan5x ⇒ y′ =
® y = ln x ⇒ y′ =
® y = arccot x ⇒ y′ = –
® y = ln(cosx) ⇒ y′ =
192
.log5e
Türev
ÖRNEK 59
ÖRNEK 56
f(x) = ln2x ise f′(e) değeri nedir?
f(x) = ex.cosx ise f′(x) nedir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 57
x –1
ise f′(x) fonksiyonunu bulunuz.
x+4
f(x) = ln
ÖRNEK 60
Çözüm
y = et + 2
3 olmak üzere, y = f(x) fonksiyonunun
x = ln t
türevi
dy
= f′(x) ise f′(0) değeri nedir?
dx
Üstel Fonksiyonun Türevi
® f(x) = ag(x) ise f′(x) = g′(x).ag(x).lna
ESEN YAYINLARI
Çözüm
® f(x) = eg(x) ise f′(x) = g′(x).eg(x)
ÖRNEK 58
Aşağıda bazı fonksiyonların türevleri alınmıştır.
ÖRNEK 61
İnceleyiniz.
x
x
x
® y = 5 ⇒ y′ = 1.5 .ln5 = 5 .ln5
f(x) = ln c
ex
x2 + 1
m ise f′(1) değeri nedir?
Çözüm
x2+x
® y=2
x2+x
⇒ y′ = (2x + 1).2
.ln2
® y = ex ⇒ y′ = 1.ex = ex
2–x
® y = ex
2–x
⇒ y′ = (2x – 1).ex
® y = 3x + ex ⇒ y′ = 3x.ln3 + ex
® y = 2x.3x+1 = 2x.3x.3 = 6x.3 ⇒ y′ = 3.6x.ln6
193
Türev
Logaritma Yardımıyla Türev Almak
Yüksek Mertebeden (Ardışık) Türevler
f(x) = [g(x) ]h(x) ⇒ lnf(x) = ln[g(x) ]h(x)
y = f(x) fonksiyonunun ardışık türevleri;
⇒ lnf(x) = h(x).ln[g(x) ]
olup, her iki tarafın türevi alınırsa,
1. türevi y′ =
gl (x)
fl (x)
= h′(x).ln[g(x) ] + h(x).
g (x)
f (x)
f ′(x) = f(x). = hl (x) . ln 6 g (x) @ + h (x) .
gl (x)
G bulunur.
g (x)
3. türevi y′′′ =
d3 y
d4 y
, 4. türevi y(4) =
3
dx
dx 4
n. türevi y(n) =
dn y
dir.
dx n
ÖRNEK 62
dn y
dy n
≠
m olduğuna dikkat ediniz.
c
dx
dx n
Burada,
x
f(x) = x ise f′(x) fonksiyonunu bulunuz.
d2 y
dy
, 2. türevi y′′ =
dx
dx 2
Çözüm
ÖRNEK 65
ÖRNEK 63
f(x) = xlnx ise f′(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
y = f(x) =
1 3
x + x2 – 2x + 1
3
fonksiyonunun 3. mertebeden türevini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 66
f(x) = e3x olduğuna göre,
ÖRNEK 64
f(x) = (sinx)cosx ise f′(x) nedir?
Çözüm
194
Çözüm
d 10 f (x)
neye eşittir?
dx 10
Türev
Bir Polinomun Katlı Kökleri İle Türevleri
ÖRNEK 67
f(x) = lnx
Arasındaki İlişki
fonksiyonunun 20. mertebeden türevini
bulunuz.
f: R → R, y = f(x) fonksiyonu;
Çözüm
f(x) = P(x) = anxn + an–1xn–1 + ...... + a1x + a0
biçiminde bir polinom fonksiyon ve x = a sayısı bu
polinomun n katlı bir kökü ise
f(x) = (x – a)n.g(x)
şeklinde yazılabileceğinden,
f(a) = f′(a) = f′′(a) = ...... = f (n–1)(a) = 0 olur.
ÖRNEK 70
ÖRNEK 68
P(x) = x4 + x3 – ax2 + bx + 2 polinomu (x – 1)2 ile tam
d 50 f (x)
f(x) = cosx ise
neye eşittir?
dx 50
bölünebildiğine göre, a ve b değerlerini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 71
P(x) = x4 + ax3 – bx + c polinomu (x + 1)3 ile tam
bölünebildiğine göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 69
P(–1) = 0, P′(–1) = 0 ve P′′(–1) = 0 olmalıdır.
f(x) = x20 ise f(x) fonksiyonunun 20. dereceden
türevini bulunuz.
Çözüm
P′(x) = 4x3 + 3ax2 – b
P′′(x) = 12x2 + 6ax
P′′(–1) = 0 ⇒ 12 – 6a = 0 ⇒ a = 2
P′(–1) = 0 ⇒ – 4 + 3a – b = 0 ⇒ –4 + 6 – b = 0 ⇒ b = 2
P(–1) = 0 ⇒ 1 – a + b + c = 0 ⇒ 1 – 2 + 2 + c = 0 ⇒ c = –1
O halde, a + b + c = 2 + 2 – 1 = 3 tür.
195
Türev
DİFERANSİYEL KAVRAMI
A ⊂ R, f: A → R, y = f(x) fonksiyonu A da türevlenebilen bir fonksiyon olsun. x in değerindeki değişimi ∆x, buna
karşılık gelen y nin değerindeki değişimi ∆y ile gösterelim.
x in diferansiyeli dx = ∆x olmak üzere, y nin diferansiyeli dy = f′(x).dx tir.
Türev alma kuralları diferansiyel için de geçerlidir.
ÖRNEK 72
Aşağıda bazı fonksiyonların diferansiyelleri alınmıştır. İnceleyiniz.
2
® y = cos2x ⇒ dy = (cos2x)′dx = (–2.sin2x)dx
® d(tanx) = (tanx)′dx = (1 + tan2x)dx
1
dx
x
) = (ex
+1
)′dx = 2x.ex
2
® d(ex
® y = lnx ⇒ dy =
+1
2
® y = x2 + x ⇒ dy = (x2 + x)′dx = (2x + 1)dx
+1
.dx
® d(x2 + x) = (x2 + x)′dx = (2x + 1)dx
® y = ex.sinx ⇒ dy = (ex.sinx + ex.cosx)dx
® y = esinx ⇒ dy = (cosx.esinx)dx
ETKİNLİK
Bir f fonksiyonunda y = f(x) iken x değişkeni h kadar artırıldığında y de meydana gelen artma ve diferansiyel yaklaşık olarak
50 = ?
aynı kabul edilir. Dolayısıyla,
3
f(x + h) ≅ f(x) + h.f′(x) formülü yaklaşık hesapta kullanılabilir.
25 = ?
50 değerini yaklaşık olarak hesaplayalım.
®
x ⇒ f′(x) =
f(x) =
1
olur.
2 x
Bu değerleri f(x + h) ≅ f(x) + h.f′(x) eşitliğinde yerine yazarsak
49 + 1.
f(49 + 1) ≅ f(49) + 1.f′(49) ⇒ f(50) ≅
®
3
1
2 49
1
≅ 7 + 0,071
2.7
⇒
50 ≅ 7 +
⇒
50 ≅ 7,071 bulunur.
25 değerini yaklaşık olarak hesaplayalım.
f(x) =
3
x ⇒ f′(x) =
1
3.
3
x2
olur.
Bu değerleri f(x + h) ≅ f(x) + h.f′(x) eşitliğinde yerine yazarsak
f(27 – 2) ≅ f(27) – 2.f′(27) ⇒ f(25) ≅
3
27 – 2.
1
⇒
3. 3 27 2
⇒
⇒
196
1
3.9
3
25 ≅ 3 – 2.
3
25 ≅ 3 – 0,075
3
25 ≅ 2,925 bulunur.
Türev
TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU
Bir cismin t zamanına kadar bağlı olarak gittiği yolu veren s(t) fonksiyonuna cismin hareket denklemi denir. Bir
hareketlinin hızı, birim zamanda aldığı yoldur. Hareketlinin [t0, t ] zaman aralığında aldığı yol s(t) – s(t0) olduğundan, ortalama hızı Vort. =
s (t) – s (t 0)
s (t) – s (t 0)
dır. Buna göre, hareketlinin t0 anındaki hızı; V = lim
= s′(t0) dır.
t – t0
t – t0
t " t0
Ayrıca bir hareketlinin hızının birim zamandaki değişme miktarı ivmedir. Buna göre, hareketlinin t0 anındaki hızı
V(t0), t anındaki hızı V(t) ise hareketlinin ortalama ivmesi, aort. =
daki ivmesi; a = lim
t " t0
V (t) – V (t 0)
= V′(t0) = s′′(t0) olarak bulunur.
t – t0
V (t) – V (t 0)
dır. O halde, hareketlinin t0 anınt – t0
Bir hareketlinin t zamanında aldığı yol s(t) ise bu hareketlinin t anındaki hızı V(t) = s′(t)
ve t anındaki ivmesi a(t) = V′(t) = s′′(t) dir.
ETKİNLİK
ÖRNEK 73
t saniyede aldığı yol, s(t) = t2 + 3t (metre) olan bir
hareketlinin t = 4 saniye sonundaki hızını ve ivmesini
bulunuz.
ÖRNEK 74
Dikey olarak yukarı doğru fırlatılan bir tenis topunun t
saniyede aldığı yol, s(t) = 32t – 2t2 (metre) fonksiyonu ile veriliyor. Buna göre, bu tenis topu en çok kaç
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Denize atılan bir taşın oluşturduğu dalganın yarıçapı 4 m/sn hızla büyüyor. Dalganın yarıçapı 3
metre iken, dalganın sınırladığı alan hangi hızla
büyür?
Çözüm
metre yükselir?
Çözüm
197
ALIŞTIRMALAR – 2
1.
f(x) = x2 + x ise lim
h"0
f (x + h) – f (x)
limitinin soh
7.
f(x) = (x3 + x2).(x2 + 2) ise f′(1) kaçtır?
8.
f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ..... (x + 10) olduğuna
nucu nedir?
2.
1
ise
f(t) =
t
f (t + h) – f (t)
lim
limitinin sonucu
h
h"0
göre, f′(0) kaçtır?
nedir?
9.
df (x)
dx
3.
f(x) = 4x3 + x2 ise
4.
d 4
(x + x2 + 2) ifadesinin eşiti nedir?
dx
5.
f(x) = x5 + x4 + x3 ise f′(1) değeri kaçtır?
6.
f(x) = (x2 + x).(x + 2) ise f′(x) nedir?
kaçtır?
in eşiti nedir?
ESEN YAYINLARI
198
f(x) = x2.(x2 + 1)(x2 + 2) olduğuna göre, f′(2)
10. f(x) =
x2 – 1
ise f′(x) nedir?
x
11. f(x) =
x3 + x
ise f′(2) kaçtır?
x –1
12. f(x) =
ax + 1
ve f′(–1) = 9 ise a kaçtır?
x+2
Türev
13. f(x) = (x3 + x)2 ise f′(1) kaçtır?
19. f(3x – 1) = x4 – 6x2 + 1 ise f′(5) kaçtır?
14. f(x) = (x2 + x + 1)3 ise f′(–1) kaçtır?
20. f(2x + 1) + g(3x + 1) = 3x2 + 2 ve f′(3) = 6 ise
g′(4) kaçtır?
15. f(x) = (x3 + 1)2.(x4 – 1)3 ise f′(0) kaçtır?
21. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
x
16. f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 + 3 ise (fog)′(x) nedir?
ESEN YAYINLARI
a. f(x) =
b. f(x) =
3
x
c. f(x) =
3
x2
x2 + 1
d. f(x) =
e. f(x) =
3
2x + 3
f. f(x) =
4
x2 + 1 + x
17. f(x) = x3 + x, g(x) = x4 + x2 ise (fog)′(1) kaçtır?
18. f(x) = 3x + 2 ve g(x) =
tır?
x+1
ise (gof)′(2) kaçx –1
22. y = t2 + 3 ve x = 2t + 1 ise
dy
nedir?
dx
199
Türev
23. y = u3 – 3u ve x = u2 + 2u ise
29. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
dy
nedir?
dx
a.
f(x) = x.sinx
b.
f(x) = x2.cosx
c.
f(x) = x2.sin x
d.
f(x) = cos(x2 + 1)
e.
f(x) = tan
f.
f(x) = x.cotx2
g.
f(x) = cos b
h.
f(x) =
ı.
f(x) = cos23x
i.
f(x) = sinx.cos3x
j.
f(x) =
k.
f(x) = tanx + cotx
24. y = t3 + 2t – 1 ve x = t2 + t ise
dy
dx
ifadesinin eşiti nedir?
t=1
25. y = f(x) olmak üzere, x2y + xy2 + x + y = 0
26. y = f(x) olmak üzere,
x + y + xy – 3 = 0
bağıntısının türevinin (1, 1) noktasındaki değeri
ESEN YAYINLARI
bağıntısının türevini bulunuz.
r
x
4
r
sin x l
2
nedir?
27. f(x) =
x – 1 olduğuna göre (f –1)′(1) kaçtır?
28. f: [0, ∞) → [1, ∞), f(x) = 4x2 + 1 fonksiyonunun
tersinin türevi nedir?
200
sin 2x
x + sin x
cos x
Türev
32. f(x) = 2sinx ise f′(π) nedir?
30. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
a.
f(x) = arcsin4x
b.
f(x) = arccos x
c.
f(x) = x.arctanx
2
33. f(x) = 5x
+x+1
ise f′(1) kaçtır?
d.
f(x) = x2.arccotx
e.
f(x) = arccos(sinx)
f.
f(x) = arctan(sinx)
g.
f(x) = arccot(cosx)
ESEN YAYINLARI
34. f(x) = ecosπx ise fl c
1
m nedir?
2
35. f(x) = ex.cosx ise f′(0) nedir?
2
36. f(x) = e(x ).x2 ise f′(1) nedir?
h.
f(x) = arcsin(x2 + 1)
31. f(x) = 5.3x ise f′(x) nedir?
37. f(x) = log5(x4 + 1) ise f′(1) nedir?
201
Türev
38. f(x) = x2 – lnx ise f′(x) nedir?
39. f(x) = ln
3x + 1
ise f′(x) nedir?
2x + 1
42. f(x) = ln(x + 2) ise (f–1)′(0) kaçtır?
ESEN YAYINLARI
df (x)
nedir?
dx
d 20 f (x)
nedir?
dx 20
45. f(x) = x.sinx ise
d 14 f (x)
nedir?
dx 14
46. f(x) = e4x ise
40. f(x) = ln(arctanx) ise f′(1) nedir?
41. f(x) = e4lnx ise
44. f(x) = cos2x ise
d 16 f (x)
nedir?
dx 16
47. P(x) = x3 + ax2 + bx + c polinomu (x + 2)3 ile
tam bölünebiliyorsa a + b + c toplamı kaçtır?
48. Bir cismin konumunun zamanla değişimi MKS
birim sistemde s(t) = 3t3 + 2t + 4 şeklindedir.
a.
Cismin 2. saniyedeki hızı kaç m/sn dir?
b. Cismin 4. saniyedeki ivmesi kaç m/s2 dir?
43. f(x) = xlnx ise f′(e) nedir?
202
c.
Cismin 2. saniyede harekete başladığı
noktaya olan uzaklığı kaç m dir?
Türev
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÖRNEK 76
2
f(x) = ex
y
bulunuz.
y = f(x)
A
eğrisine üzerindeki x0 = 1 apsisli nok-
tasından çizilen teğetin ve normalin denklemlerini
te¤et
y0
–1
Çözüm
α
0
x
x0
normal
Denklemi y = f(x) olan eğriye apsisi x0 olan üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi m = f′(x0) dır.
Teğet ve normal birbirlerine dik olduğundan eğimler
çarpımı –1 dir.
mt.mn = –1 ⇒ mn = –
1
dır.
fl (x 0)
Normalin denklemi: y – y0 = –
1
(x – x0)
fl (x 0)
ÖRNEK 75
f(x) = x2 + 1 eğrisine üzerindeki x0 = 2 apsisli nok-
ESEN YAYINLARI
Teğetin denklemi: y – y0 = f′(x0)(x – x0)
ÖRNEK 77
tasından çizilen teğetin ve normalin denklemlerini
y
bulunuz.
6
Çözüm
A
y = f(x)
0
2
4
x
Şekilde, y = f(x) fonksiyonuna apsisi 2 olan A noktasından çizilen teğetinin koordinat eksenlerini kestiği
noktalar verilmiştir. Buna göre, f′(2) kaçtır?
Çözüm
203
Türev
ÖRNEK 78
ÖRNEK 80
f(x) = lnx eğrisinin orijinden geçen teğetinin denklemi
f(2x + 1) = 4x2 + 6x + 1 olmak üzere, f(x) fonksi-
nedir?
yonunun x = 1 apsisli noktasından geçen teğetinin
Çözüm
denklemi nedir?
Çözüm
ÖRNEK 81
ESEN YAYINLARI
f(x) =
ÖRNEK 79
f(x) = x2 + 4x + 3 parabolünün I. açıortay doğrusuna
en yakın noktasının apsisi kaçtır?
Çözüm
204
ln 2x
x
fonksiyonunun x eksenine paralel olan
teğetinin değme noktası nedir?
Çözüm
Türev
ÖRNEK 82
ÖRNEK 84
f(x) = x3 + 1 eğrisinin hangi noktalarından çizilen
f(x) = x2 + ax – 1 parabolüne x = –1 apsisli nokta-
teğetleri y = 3x – 1 doğrusuna paraleldir?
sından çizilen teğetin x ekseni ile pozitif yönde yaptığı
Çözüm
açı 135° olduğuna göre, a kaçtır?
ÖRNEK 83
f(x) = x2 + 1 parabolüne orijinden çizilen teğetlerin
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 85
y
f(x)
eğimlerini bulunuz.
B
–2
Çözüm
A(1, 4)
0
x
y = f(x) fonksiyonunun A(1, 4) noktasından çizilen
teğeti x eksenini B(–2, 0) noktasında kesiyor.
Buna göre, g(x) = [f(x) ]2 + x fonksiyonunun üzerindeki x = 1 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi
kaçtır?
Çözüm
205
ALIŞTIRMALAR – 3
1.
f(x) = x2 + x fonksiyonunun apsisi x = 1 olan
7.
noktasındaki teğetinin eğimi nedir?
2.
çizilen normalin denklemi nedir?
f(x) = ex + lnx fonksiyonunun apsisi x = 1 olan
noktasındaki teğetinin eğimi nedir?
3.
f(x) = sinx + cosx fonksiyonunun apsisi x =
f(x) = x3 eğrisine apsisi x = –2 olan noktasından
r
4
olan noktasındaki teğetinin eğimi nedir?
1
eğrisine apsisi x = 1 olan noktax
sından çizilen teğetin denklemi nedir?
8.
f(x) =
3
9.
f(x) =
ex – 1
eğrisine apsisi x = 0 olan noktaex
x+
4.
5.
3
fonksiyonunun A(3, 1) noktasından
x
geçen normalinin eğimi nedir?
f(x) =
x = t2 + 1
4 eğrisinin A(2, 2) noktasından
y = t3 + 1
geçen normalinin eğimi nedir?
6.
f(x) = x2 + x – 1 parabolüne apsisi x = 1 olan
noktasından çizilen teğetin denklemi nedir?
206
ESEN YAYINLARI
sından çizilen teğetin denklemi nedir?
10. f(x) = x2 – 5x fonksiyonunun hangi noktasındaki
teğeti y = –x + 2 doğrusuna paraleldir?
11. f(x) = x2 – 3x + 1 fonksiyonunun hangi noktasındaki teğeti y = x + 1 doğrusuna diktir?
12. f(x) = x3 + bx2 – c eğrisi A(1, 0) noktasında x
eksenine teğet ise (b, c) ikilisi nedir?
Türev
13. f(x) =
x – 2 eğrisine O(0, 0) noktasından çizi-
y
17. Şekilde
len teğetin denklemi nedir?
verilenlere göre
y = f(x)
g(x) = (x2 + ax).f(x)
1
ve g′(2) kaçtır?
0
2
x
4
14. f(x) = x2 – 2x + 2 eğrisine A(0, 1) noktasından
çizilen teğetlerin denklemlerini bulunuz.
18. Şekilde
y
verilenlere göre
g(x) =
f (x)
ise
x
A
4
y = f(x)
g(x) in x = 1
apsisli noktasından
–3
0
x
1
geçen teğetinin
15.
eğimi kaçtır?
y = f(x)
2
A
x
0
Şekilde verilenlere göre A(1, 1) ve
g(x) = f(x).(x2 – 5) ise g′(1) kaçtır?
16.
19. f(x) = 2x2 parabolü üzerindeki hangi nokta
A(9, 0) noktasına en yakındır?
20. y = x2 parabolü ile y = x – 2 doğrusu arasındaki
y
y = f(x)
en kısa uzaklık kaç birimdir?
A
3
45°
0
2
x
Şekilde verilenlere göre g(x) = 3x + x2.f(x)
ise g′(2) kaçtır?
ESEN YAYINLARI
y
21. f(x) = x3 + 1 fonksiyonunun grafiğine apsisi
x = 1 olan noktasından çizilen teğetin grafiği kestiği nokta nedir?
207
Türev
ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR
y
ÖRNEK 86
Aşağıdaki fonksiyonların artan, azalan veya sabit
y
f(x2)
olduklarını gösteriniz.
f(x2)
f(x1)
® f(x) = 3
f(x1)
® f(x) = –5
a x1
0
x2
b
0
x
x2
a x1
b
® f(x) = 2x – 1
x
® f(x) = –4x + 3
f: (a, b) → R olmak üzere,
Çözüm
∀x1, x2 ∈ (a, b) için x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) oluyorsa
f fonksiyonu (a, b) de artandır.
y
y
f(x1)
f(x1)
f(x2)
0
a
x1
x2
b
x
0
a
x1
x2
b
x
f: (a, b) → R olmak üzere,
∀x1, x2 ∈ (a, b) için x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) oluyorsa
f fonksiyonu (a, b) de azalandır.
ESEN YAYINLARI
f(x2)
ÖRNEK 87
y
y
f(x) = x2 – 6x + 4 fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.
θ
Çözüm
θ
a
x
b
x
a
x
b
x
f fonksiyonu (a, b) aralığında artan ise bu aralığın
her noktasındaki teğetin eğimi pozitiftir (θ dar açı),
azalan ise teğetin eğimi negatiftir. (θ geniş açıdır.)
f: (a, b) → R, y = f(x) fonksiyonu türevli olsun.
∀x ∈ (a, b) için;
® f′(x) > 0 ⇔ y = f(x) artan fonksiyondur.
® f′(x) < 0 ⇔ y = f(x) azalan fonksiyondur.
® f′(x) = 0 ⇔ y = f(x) sabit fonksiyondur.
208
Türev
ÖRNEK 88
ÖRNEK 90
f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 5 fonksiyonunun azalan oldu-
y
ğu aralık nedir?
y = f′(x)
Çözüm
3
–4
–1
0
1
5
Yukarıda birinci türevinin grafiği verilen
x
y = f(x)
fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıklarını
bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 89
y
–4 –2
–6
0
1
x
4
y = f(x)
ÖRNEK 91
f(x) = ax3 + 3x2 – x + 2 fonksiyonunun daima azalan
olabilmesi için a hangi aralıkta değer almalıdır?
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun birinci
Çözüm
türevinin işaret incelemesini yapınız.
∀x ∈ R için f′(x) < 0 olmalıdır.
Çözüm
209
Türev
ÖRNEK 92
ÖRNEK 94
–∞ < x < 0 olmak üzere, f(x) bu aralıkta pozitif
f(x) = *
değerli ve artan bir fonksiyon ise aşağıdaki fonksiyonların aynı aralıkta artan veya azalan olduklarını
tespit ediniz.
I. f (x)
Çözüm
2
II. x – f(x)
III. x.f(x)
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ax + a – 2
fonksiyonunun
x–3
daima artan olması için a hangi aralıkta değer almaf: R – {3 } → R, f(x) =
lıdır?
Çözüm
210
– 2x + 3
, x>2
fonksiyonu ile türevinin grafiklerini çiziniz.
2
ÖRNEK 93
x 2 – 2x – 1 , x ≤ 2
Türev
YEREL EKSTREMUM NOKTALARI
f: A → R, A ⊂ R, u ∈ A ve v ∈ A olsun.
®
y
f(v)
u ∈ (p, q) ve ∀x ∈ (p, q) için f(u) ≤ f(x) ise f fonksiyonu
u noktasında bir yerel minimuma sahiptir denir.
f(u)
®
v ∈ (m, n) ve ∀x ∈ (m, n) için f(v) ≥ f(x) ise f fonksiyonu
0
a p u q
b
m v n
x
v noktasında bir yerel maksimuma sahiptir denir.
®
y = f(x) fonksiyonunun yerel maksimum değerlerinden en büyüğüne bu fonksiyonun mutlak maksimum değeri, yerel minimum değerlerinden en küçüğüne de bu fonksiyonun mutlak minimum değeri denir.
®
Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu noktalar ile türevinin olmadığı noktalara kritik noktalar denir.
y
D
7
6
Yandaki şekilde bir f fonksiyonunun [2, 16 ] aralığındaki grafiği
4
görülmektedir.
2
G
B
3
C
1
F
A
0
4
2
K
E
6
8
10
12
14
16
x
®
(2, 6) aralığında f(x) in alabileceği en büyük değer 6 dır. B noktası yerel maksimum noktasıdır.
®
(4, 8) aralığında f(x) in alabileceği en küçük değer 3 tür. C noktası yerel minimum noktasıdır.
®
(6, 10) aralığında f(x) in alabileceği en büyük değer 7 dir. D noktası yerel maksimum noktasıdır.
®
(8, 12) aralığında f(x) in alabileceği en büyük veya en küçük değer yoktur.
®
(10, 14) aralığında f(x) in alabileceği en küçük değer 2 dir. F noktası yerel minimum noktasıdır.
®
(12, 16) aralığında f(x) in alabileceği en büyük değer 6 dır. G noktası yerel maksimum noktasıdır.
®
[2, 16 ] aralığında f(x) in alabileceği en küçük değer 1 olduğundan A noktası mutlak minimum noktasıdır.
Yine bu aralıkta f(x) in alabileceği en büyük değer 7 olduğundan D noktası mutlak maksimum noktasıdır.
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun birinci türevinin işaret incelemesi aşağıda yapılmıştır. İnceleyiniz.
x
f′(x)
2
4
+
6
–
8
+
10
–
12
–
14
+
16
–
f(x)
yerel
maks.
yerel
min.
yerel
maks.
yerel
min.
yerel
maks.
Türevli bir fonksiyonun bir noktada yerel ekstremuma (yerel maksimum, yerel minimum) sahip olması için o noktada fonksiyonun türevinin işaret değiştirmesi gerekir.
211
Türev
ÖRNEK 95
ÖRNEK 97
f: [–2, 4 ] → R, f(x) = x2 – 4x + 5 fonksiyonunun en
varsa yerel ekstremumlarını bulunuz.
büyük ve en küçük değerlerini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 96
f: R → R, f(x) = (x – 1)3 + 4 fonksiyonunun eğer varsa yerel ekstremumlarını bulunuz.
Çözüm
f′(x) = 3(x – 1)2
f′(x) = 0 ⇒ 3(x – 1)2 = 0 ⇒ x1 = x2 = 1 (Çift kat kök)
ESEN YAYINLARI
f: R → R, f(x) = x3 – 12x + 4 fonksiyonunun eğer
ÖRNEK 98
f: [–2, 1 ] → R, f(x) = 3x4 + 4x3 + 2 fonksiyonunun
yerel ve mutlak ekstremumlarını bulunuz.
Çözüm
f′(x) = 12x3 + 12x2, f′(x) = 0 ⇒ 12x3 + 12x2 = 0
212
Türev
ÖRNEK 99
ÖRNEK 101
y
f: [1, e ] → R, f(x) = x – 2.lnx fonksiyonunun yerel
ekstremumlarını bulunuz.
y = f ′(x)
Çözüm
1
3
–5
–2
0
1
x
5
Yukarıda türevinin grafiği verilen f fonksiyonunun,
x in hangi değerleri için yerel ekstremumu vardır?
ÖRNEK 100
f: ; 0 ,
3r
E → R, f(x) = sinx + cosx fonksiyonunun
2
ESEN YAYINLARI
Çözüm
yerel ekstremumlarını bulunuz.
Çözüm
f′(x) = cosx – sinx, f′(x) = 0 ⇒ cosx – sinx = 0
ÖRNEK 102
f(x) = x3 + mx2 + x – n fonksiyonunun A(–1, 4) noktasında yerel ekstremumu varsa m + n kaçtır?
Çözüm
A noktası fonksiyonun üzerinde olup
f(–1) = 4
olmalıdır. Ayrıca türevinin köklerinden birisi –1 olup
f′(–1) = 0 dır.
f(x) = x3 + mx2 + x – n ⇒ f′(x) = 3x2 + 2mx + 1
f(–1) = 4
⇒ (–1)3 + m(–1)2 + (–1) – n = 4 ⇒ m – n = 6
f′(–1) = 0 ⇒ 3(–1)2 + 2m(–1) + 1 = 0
213
Türev
İkinci Türevden Yararlanarak
Ekstremum Noktalarının Bulunması
f: [a, b ] → R fonksiyonunun birinci ve ikinci türevleri
mevcut, x0 ∈ [a, b ] için f′(x0) = 0 ve f′′(x0) ≠ 0 olsun.
I.
f′′(x0) < 0 ise x0 da yerel maksimum vardır.
II. f′′(x0) > 0 ise x0 da yerel minimum vardır.
ÖRNEK 103
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 2 fonksiyonunun yerel ekstremumlarını bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 105
1 3
x – 2x2 – 12x + n fonksiyonunun maksimum
3
değeri 6 ise n kaçtır?
f(x) =
ÖRNEK 104
f: (0, 2π) → R, f(x) = 2cosx + cos2x fonksiyonunun
yerel ekstremumlarını bulunuz.
Çözüm
214
Çözüm
Türev
BİR FONKSİYONUN KONVEKSLİĞİ, KONKAVLIĞI
ve DÖNÜM NOKTASI
f: [a, b ] → R, y = f(x) fonksiyonu sürekli ve (a, b)
aralığında I. ve II. türevi alınabilen bir fonksiyon olsun.
∀x ∈ R için;
I.
f′′(x) > 0
ise f(x)
fonksiyonunun eğrilik yönü
yukarı doğrudur. Eğri, (a, b) aralığının her noktasındaki teğetlerin üstünde kalır.
y
f′′ > 0
ÖRNEK 106
y
a
0
y = f ′(x)
x0
b
x
Bu aralıkta eğri konveks (dış bükey), (çukur)
–1
0
4
x
adını alır.
Yukarıda grafiği verilen y = f′(x) eğrisine göre,
f(–1) = –2 ve her x ∈ R için f(x) < 0 ise
y = f(x) grafiğini çiziniz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
II. f′′(x) < 0 ise f(x) fonksiyonunun eğrilik yönü
aşağı doğrudur. Eğri, (a, b) aralığının her noktasındaki teğetlerin altında kalır.
y
f′′ < 0
0
a
x0
b
x
Bu aralıkta eğri konkav (iç bükey), (tümsek) adını alır.
ÖRNEK 107
f(x) = x3 + 3x2 + 4x + 1 fonksiyonunun konveks ve
konkav olduğu aralıkları bulunuz.
Çözüm
215
Türev
Buna göre, aşağıda verilen grafikleri inceleyiniz.
ÖRNEK 108
y
y
y = f(x)
y = f ′(x)
–1
0
2
4
–3
6
x < x0 için f′′(x) > 0
x > x0 için f′′(x) < 0
x = x0 için f′′(x0) = 0
x
x
x0
0
Yukarıda türevinin grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun eğrilik yönünü inceleyiniz.
Çözüm
y
y = f(x)
x < x0 için f′′(x) < 0
x > x0 için f′′(x) > 0
x = x0 için f′′(x0) = 0
0
x
x0
ESEN YAYINLARI
y
y = f(x)
0
x
x0
x < x0 için f′′(x) > 0
x > x0 için f′′(x) < 0
f′(x0) olmad›¤›ndan
f′′(x0) da yoktur.
Fakat (x0,f(x0))
dönüm noktas›d›r.
DÖNÜM NOKTASI
y
y = f(x) fonksiyonunun eğrilik yönünün değiştiği yani,
f(x) = 3 x
ikinci türevinin işaret değiştirdiği noktalarda fonksiyon
sürekli ise bu noktalara dönüm (büküm) noktaları
denir.
x
0
® x0 noktası f nin bir dönüm noktası ise
x < 0 için f′′(x) > 0
x > 0 için f′′(x) < 0
f′′(0) yoktur.
Fakat, (0, 0) dönüm
noktas›d›r.
f′′(x0) = 0 veya f′′(x0) yoktur.
® f′′(x0) = 0 olması x0 da bir dönüm noktası olmay
sını gerektirmez.
f(x) = (x + 1)4
f′′(x0) = 0 denkleminde;
a.
x0 tek katlı kök ise dönüm noktasıdır.
b.
x0 çift katlı kök ise dönüm noktası değildir.
216
–1
0
x
x < –1 için f′′(x) > 0
x > –1 için f′′(x) > 0
f′′(–1) = 0 oldu¤u halde
(–1, 0) dönüm noktas›
de¤ildir.
Türev
ÖRNEK 109
ÖRNEK 111
f(x) = x5 – 5x4 + 2 fonksiyonunun dönüm noktalarının
f(x) = 2x3 – 12x2 fonksiyonunun dönüm noktasının
apsislerini bulunuz.
apsisi kaçtır?
Çözüm
Çözüm
f′(x) = 6x2 – 24x ⇒ f′′(x) = 12x – 24
ÖRNEK 110
f(x) = x4 – 2x3
bulunuz.
fonksiyonunun dönüm noktalarını
ESEN YAYINLARI
f′′(x) = 0 ⇒ 12x – 24 = 0
ÖRNEK 112
y
Çözüm
y = f ′′(x)
1
–3
–2
–1
0
2
4
x
5
Yukarıda verilen y = f(x) in ikinci türevinin grafiğine
göre, f(x) in dönüm noktalarının apsislerini bulunuz.
Çözüm
217
Türev
ÖRNEK 113
ÖRNEK 115
f(x) = x3 + mx2 + x + 2 fonksiyonunun dönüm nokta-
f(x) = x3 + 2x + 5 fonksiyonunun simetri merkezinin
sının apsisi x = –1 ise m kaçtır?
koordinatlarını bulunuz.
Çözüm
Çözüm
f′(x) = 3x2 + 2mx + 1, f′′(x) = 6x + 2m
x = –1 dönüm noktasının apsisi ise
f′′(–1) = 0 ⇒ 6.(–1) + 2m = 0
ÖRNEK 114
y
ÖRNEK 116
y = f ′(x)
–6
–2
0
2
4
x
Yukarıda verilen y = f(x) in birinci türevinin grafiğine
göre, f(x) in dönüm noktalarının apsislerini bulunuz.
Çözüm
218
ESEN YAYINLARI
–4
f(x) = x3 + ax2 + bx + c fonksiyonunun dönüm noktası
A(–1, 1) ve yerel ekstremum noktalarından birinin
apsisi x = 2 ise (a, b, c) nedir?
Çözüm
A(–1, 1) dönüm noktası ise
f(–1) = 1 ve f′′(–1) = 0 dır.
ALIŞTIRMALAR – 4
1.
f(x) = x2 + 4x + 2 fonksiyonunun artan olduğu
7.
y
y = f(x)
aralık nedir?
–4
–2
0
x
2
Yukarıda verilen y = f(x) in grafiğine göre, aşa2.
f(x) = x3 – 12x fonksiyonunun azalan olduğu ara-
ğıdakilerden hangileri daima doğrudur?
lık nedir?
I.
f′(–4) = 0
IV. f′(2) = 0
3.
II. f′(–3) > 0
III. f′(0) < 0
V. f′(3) < 0
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri daima artandır?
I.
f(x) = 3
II.
f(x) = 3x
III.
f(x) = –x + 2
IV.
f(x) = x2 + x
VI.
f(x) = x
VII. f(x) = –x4 + 1
4.
2
f(x) = ex
–6x+2
dakilerden hangisi daima doğrudur?
3
f(x) = –x + x
VIII. f(x) = (2x + 1)5
fonksiyonu hangi aralıkta artandır?
f: (– 4, 4) → R olmak üzere, f(x) fonksiyonu
pozitif değerli ve azalan bir fonksiyon ise aşağı-
ESEN YAYINLARI
V.
3
8.
9.
I.
f(–2) > f(–3)
II.
III.
f(0) > f(2)
IV. f′(1) < f′(0)
V.
f′(2) < f(2)
f′(–2) < f′(–3)
f: [0, 2π ] → R, f(x) = sinx + cosx fonksiyonunun
azalan olduğu aralık nedir?
5.
y = f(x) fonksiyonu –∞ < x < 0 aralığında negatif
değerli ve artan bir fonksiyon ise aşağıdakilerden
hangileri aynı aralıkta daima azalan bir fonksiyondur?
I.
f(x2)
IV. x – f(x)
II. f2(x)
III. f3(x)
V. x2 – f(x)
VI.
1
f (x)
10. (0, 1) aralığında tanımlı
grafiği yanda verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangileri aynı ara-
6.
f: R – {1 } → R, f(x) =
ax + a – 2
fonksiyonunun
x–2
daima artan olması için a hangi aralıkta değer
almalıdır?
y
y = f(x) fonksiyonunun
0
x
1
lıkta azalandır?
I.
f(x2)
IV. f′(x)
II. f2(x)
III. x.f(x)
V. (f′(x))2
VI. x.f′(x)
219
Türev
11.
14.
y
y
y = f(x)
6
y = f ′(x)
4
2
2
2
–5
–2
0
–1
–2
–5
3
4
1
–3
–1
0
5
x
x
5
Yukarıda türevinin grafiği verilen y = f(x) in yerel
f: [–5, 5 ] → [–2, 6 ] olmak üzere, yukarıda grafiği
ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
verilen y = f(x) fonksiyonuna göre, aşağıdakileri
bulunuz.
a. f(x) in yerel maksimum değerlerinin toplamı
kaçtır?
15. f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 2 fonksiyonunun,
b. f(x) in mutlak maksimum değeri kaçtır?
a. Yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?
c. f(x) in yerel minimum değerlerinin toplamı
b. Yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?
kaçtır?
12.
ESEN YAYINLARI
d. f(x) in mutlak minimum değeri kaçtır?
y
16. f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 1 fonksiyonunun,
a. Yerel maksimum değeri kaçtır?
b. Yerel minimum değeri kaçtır?
y = f(x)
–2
–1
0
1
3
4
x
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun
yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı
kaçtır?
17. f(x) = x3 + ax + b fonksiyonunun A(1, 2) noktasında yerel minimumu varsa (a, b) ikilisi nedir?
13. f(x) = x3 – ax2 + bx – 2 fonksiyonunun x = 1 ve
x = –3 apsisli noktalarında yerel ekstremumu
varsa (a, b) ikilisi nedir?
220
18. f(x) = –2x3 + 6x + c fonksiyonunun yerel maksimum değeri 6 ise c kaçtır?
Türev
19. f(x) = x4 + 32x + c fonksiyonunun yerel minimum
26. f(x) = x3 + 3x2 + 2x + d eğrisinin dönüm noktası-
değeri –4 ise c kaçtır?
nın ordinatı 6 ise d kaçtır?
20. f(x) = x3 – 27x fonksiyonunun yerel minimum
27. f(x) = x4 – 6x3 fonksiyonunun konkav olduğu ara-
noktası nedir?
lık nedir?
28. f(x) = x5 – 5x4 – 2x + 1 fonksiyonunun grafiğinin
21. f(x) = x3 + bx2 + 3x + 2 fonksiyonunun yerel ekst-
dış bükey (konveks) olduğu aralık nedir?
remum noktası olmadığına göre b hangi aralıkta
değer alır?
29. f(x) = x3 + ax2 + (a + 2)x – 2 fonksiyonunun dönüm (büküm) noktasının apsisi 1 ise ordinatı
22. f: [–1, 1 ] → R, f(x) = x2 + x + 2 fonksiyonunun
kaçtır?
ESEN YAYINLARI
alabileceği en küçük değer kaçtır?
y
30.
f ′(x)
23. f: [–1, 2 ] → R, f(x) = –x3 + 3x + 4 fonksiyonunun
görüntü kümesi nedir?
–4
–2
0
x
Yukarıda verilen f′(x) grafiğine göre, aşağıdakilerden hangileri yanlıştır?
24. Türevi f′(x) = (x – 1).x2.(x + 1)2.(2 – x)3.(x – 3)4
I.
f′′(–1) < 0
olan y = f(x) fonksiyonunun yerel minimum de-
II.
f′′(–3).f′′(–1) < 0
ğerini aldığı noktanın apsisi kaçtır?
III. (–2, 0) aralığında f artandır.
IV. Apsisi x = –2 olan noktada f fonksiyonunun
dönüm noktası vardır.
25. f(x) = x3 – 6x2 + 1 fonksiyonunun dönüm noktasının apsisi kaçtır?
V. Apsisi x = 0 olan noktada f fonksiyonunun
yerel minimumu vardır.
221
Türev
MAKSİMUM VE MİNİMUM PROBLEMLERİ
ÖRNEK 119
Maksimum ve minimum problemlerinde bir çokluğun
Farkları 20 olan sayıların, çarpımları en az (mini-
alabileceği en büyük (mutlak maksimum) değer ya da
mum) kaç olabilir?
en küçük (mutlak minimum) değer bulunmak istenir.
Çözüm
Bu tür problemleri çözmek için;
®
Maksimum ya da minimum olması istenen değer
(uzunluk, alan, hacim v.s.) önce tek değişkene
bağlı bir fonksiyon olarak yazılır.
®
Yerel ekstremum değerlerini bulmak için, yazılan
fonksiyonun türevinden yararlanılır.
ÖRNEK 117
Toplamları 10 olan iki sayının çarpımı en çok kaç
olur?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 120
ÖRNEK 118
Çevresi 20 cm olan bir dikdörtgenin alanı en çok kaç
ABCD dikdörtgeninin üç kenar uzunluğunun toplamı
cm2 olabilir?
16 cm ise alanı en çok kaç cm2 olabilir?
Çözüm
Çözüm
222
Türev
ÖRNEK 121
ÖRNEK 123
y
Yarıçapının uzunluğu 6 cm olan bir küre içine çizile3
bilecek en büyük hacimli silindirin hacmi kaç cm tür?
A
Çözüm
O
B
x
Şekildeki çeyrek çemberin denklemi x2 + y2 = 4 olup,
A noktası çember üzerindedir.
[AB ] ⊥ [OB ] olmak üzere, AOB üçgeninin alanı en
çok kaç br2 olabilir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 122
f(x) = x2 – 4x – 1 fonksiyonunun alabileceği en küçük
değer kaçtır?
Çözüm
223
Türev
ÖRNEK 124
ÖRNEK 126
B köşesi y = 4 –
koordinatları toplamı en büyüktür?
doğrusu üzerinde
Çözüm
olan OABC dikdört-
A noktasının
geninin alanı en çok
kaç br2 olabilir?
ÖRNEK 125
Yarıçapının uzunluğu 3 cm olan bir çember içine çizilebilecek en büyük alanlı dikdörtgenin alanı kaç cm2 dir?
Çözüm
C
O
B
A
x
y=4–
x
2
ESEN YAYINLARI
Çözüm
y
x
2
f(x) = –x2 + 3x parabolü üzerindeki hangi noktanın
ÖRNEK 127
Yarıçapının uzunluğu 3 cm olan bir küre içine yerleştirilen dik konilerden hacmi en büyük olanının yüksekliği kaç cm dir?
Çözüm
224
Türev
ÖRNEK 128
ÖRNEK 130
y
Şekildeki OABC
dikdörtgeninin B
köşesi y = 3 – x2
parabolü üzerindedir.
Analitik düzlemin
I. bölgesinde şekildeki
gibi çizilen OABC
dikdörtgenlerinden alanı en
büyük olanın alanı kaç br2 dir?
B
C
O
A
C
B
x
2
y=3–x
O
A
Yukarıdaki şekilde, O merkezli ve 2 cm yarıçaplı çemberin içine çizilen OABC dikdörtgeninin alanı en çok
kaç cm2 olabilir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 129
y=
4
eğrisinin orijine
x
y
en yakın noktası P ise
P nin koordinatları nedir?
P
Çözüm
P nin apsisi x ise
y=
O
4
x
x
225
Türev
ÖRNEK 131
ÖRNEK 132
Alanı 48 cm2 olan dikdörtgen biçimindeki bir karton-
y
dan, üstü kapalı kare prizma şeklinde bir kutu yapılır-
A(4, 2)
sa bu kutunun hacmi en çok kaç cm3 olur?
B
Çözüm
O
C
x
Yukarıdaki koordinat düzleminde verilenlere göre,
|BC| nin en küçük değeri kaç br dir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
226
Türev
Maksimum ve Minimum Problemleri İçin Notlar
®
®
Bir daire içine çizilen dikdörtgenlerden alanı maksimum olanı karedir.
Toplamları sabit iki sayının çarpımının maksi-
Örneğin; yarıçapı 2 cm
mum olması için sayılar eşit olmalıdır.
Örneğin; x + y = 12 ise x.y nin en büyük değeri
2
dikdörtgenin alanının en
x = y = 6 için x.y = 6.6 = 36 dır.
O
büyük olması için, ABCD
kare olmalıdır.
®
C
D
olan dairenin içine çizilen
B
A
Çarpımları sabit iki sayının toplamının minimum
|AO| = |OC| = 2 ⇒ |AB| = |BC| = 2 2
olması için sayılar eşit olmalıdır.
A(ABCD) = (2 2 )2 = 8 cm2 dir.
Örneğin; x.y = 25 ise x + y nin en küçük değeri
®
x = y = 5 için x + y = 5 + 5 = 10 dur.
Tabanları aynı ve çevreleri sabit olan üçgenlerden alanı maksimum olanı ikizkenar üçgendir.
Örneğin; ABC üçgeninde |BC| = 6 cm ve
Çevresi sabit olan çokgenler içinde alanı maksi-
Çevre(ABC) = 16 cm ise alanın en büyük olması
mum olanı düzgün çokgendir.
için |AB| = |AC| = 5 cm dir.
Örneğin; çevresi 12 cm olan üçgenlerden alanı
[AH ] ⊥ [BC ] ise
en büyük olanı eşkenar üçgendir.
|AH| = 4 cm dir.
Maksimum alan =
a2 . 3
42 . 3
=
= 4 3 cm2
4
4
Örneğin; çevresi 12 cm olan dörtgenlerden alanı
ESEN YAYINLARI
®
A(ABC) =
6.4
= 12 cm2
2
5
4
3
B
3
H
C
Tabanları aynı ve alanları sabit olan üçgenlerden
çevresi minimum olanı ikizkenar üçgendir.
Maksimum alan = a2 = 32 = 9 cm2
A
®
®
5
6
®
en büyük olanı karedir.
A
Alanı sabit olan çokgenler içinde çevresi mini-
F
G
|DE| =
BC
2
|GD| =
AH
2
mum olanı düzgün çokgendir.
Örneğin; alanı 50 cm2 olan dikdörtgenlerden çev-
B
D
H
E
C
resi en küçük olanı karedir.
D
a
a
A
Bir üçgen içine çizilen dikdörtgenlerden alanı
C
maksimum olanının alanı üçgenin alanının yarısına eşit olanıdır.
a
a
B
®
minimum olanı küptür.
A(ABCD) = 50 ⇒ a2 = 50
⇒a=5 2
Çevre(ABCD) = 4a = 4.5 5 = 20 2 cm dir.
Hacimleri sabit olan dörtgen prizmalardan alanı
®
Hacmi sabit olan dik silindirlerden alanı minimum
olanı çapı yüksekliğine eşit olanıdır.
227
ALIŞTIRMALAR – 5
1.
6.
Toplamları 20 olan pozitif iki reel sayının çarpımı
en çok kaç olabilir?
O merkezli çeyrek
&
çemberde B ∈ DE
E
|OD| = 4 cm ise
C
B
OABC dikdörtgeninin
alanı en çok kaç cm2
2.
olabilir?
Çarpımları 32 olan pozitif iki reel sayının toplamı
O
A
D
en az kaç olabilir?
7.
Yarıçapı 6 cm olan
D
C
A
B
çember içine çizilen
ABCD dikdörtgeninin
alanı en çok kaç cm2
3.
olabilir?
Çevresi 10 cm olan bir dikdörtgenin alanı en çok
kaç cm2 olabilir?
8.
Alanı 50 cm2 olan bir dikdörtgenin çevresi en az
y
dikdörtgeninin
ESEN YAYINLARI
4.
Şekildeki OABC
B köşesi y = –2x + 8
doğrusu üzerindedir.
B
C
Buna göre, dikdörtgenin alanı en çok
kaç cm olabilir?
O
x
A
y = –2x + 8
kaç br2 dir?
9.
Şekildeki ABCD
y
dikdörtgeninin
5.
O merkezli çeyrek
çemberde
&
B ∈ AD
D
x ekseni üzerinde,
B
C
C ve D köşeleri ise
|OA| = 6 cm ise
sırayla y = –2x + 8
OCB dik üçgeninin
ve y = 2x doğruları
alanı en çok kaç
2
cm olabilir?
O
6
A
D
C
O
A
x
B
y = –2x + 8
üzerindedir. ABCD dikdörtgenin alanının en
büyük olması için C noktasının apsisi kaç olmalıdır?
228
y = 2x
A ve B köşeleri
Türev
10. Şekilde verilenlere
göre, analitik düz-
x = 3 doğrusu ve
hacimli dik koninin hacmi kaç cm3 tür?
x = y2
lemin 1. bölgesinde
köşeleri x ekseni
15. Yarıçapı 2 cm olan bir küreyi içine alan en küçük
y
D
C
O
A
x = y2 eğrisi üze-
x
B
16. f(x) = x2 parabolünün A(3, 0) noktasına en ya-
x=3
kın noktasının koordinatları nedir?
rinde olan ABCD dikdörtgeninin alanı en çok kaç
br2 olabilir?
11.
y
17. f(x) = x2 + 2x + 3 parabolünün y = 2x – 2 doğ-
y = x2
Şekildeki ABCD
rusuna en yakın noktasının apsisi nedir?
dikdörtgeninin
alanı en çok kaç
D
C
2
br olabilir?
O
A
x
B
x=6
12. Hipotenüs uzunluğu
ESEN YAYINLARI
18. Yarıçapı 3 cm olan küre içine yerleştirilebilecek
A
4 cm olan şekildeki
ABC dik üçgeninin
4
alanı en çok kaç cm2
olabilir?
en büyük hacimli silindirin yüksekliği kaç cm dir?
19. ABC üçgeninde
B
C
A
DEFK dikdörtgen
F
K
[AH ] ⊥ [BC ]
|BC| = 12 cm
|AH| = 10 cm ise
13. Ana doğrusunun
uzunluğu 6 cm olan
6
6
dik koninin hacmi
B
D
H
E
C
DEFK dikdörtgeninin
alanı en çok kaç cm2 olabilir?
en çok kaç cm3 olabilir?
6
14. y =
eğrisi üzerinde orijine en yakın noktanın
x
apsisi kaçtır?
20. Hacmi 54π cm3 olan dik silindirin alanının en küçük değerini alması için tabanının yarıçapı kaç
cm olmalıdır?
229
Türev
GRAFİK ÇİZİMLERİ
Düşey Asimptot
Bir fonksiyonun grafiği çizilirken; fonksiyonun bazı
y = f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki soldan
özel noktalarını (grafiğin eksenleri kestiği noktalar,
ya da sağdan limitlerinden en az birisi ∞ ya da – ∞
ekstremum noktaları ve büküm noktaları) ve grafiğin
ise x = a doğrusuna y = f(x) fonksiyonunun düşey
karakterini (artan ya da azalan olması, çukurluğun
asimptotu denir.
yönü, sonsuza uzanabilen kolunun veya kollarının
bir doğru ya da eğriye (asimptot) teğet olması) gibi
®
Paydanın kökleri, tek katlı kök ise kelebek durumu olur.
özellikleri bulunarak grafik aslına uygun bir biçimde
çizilebilir.
y
ASİMPTOTLAR
y
x
a
a
x
y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin sonsuza giden bir
kolu varsa, bu kol üzerindeki herhangi bir A(x, y)
noktası sonsuza doğru gittikçe bu A noktasının sabit
yorsa bu doğruya ya da eğriye, eğrinin bu koluna ait
asimptotu denir.
y
y
y = f(x)
ESEN YAYINLARI
bir doğruya ya da eğriye olan uzaklığı sıfıra yaklaşı-
®
Paydanın kökleri, çift katlı kök ise baca durumu
olur.
y
y
a
0
a
x=a
a
y=b
b
x
x
x
0
y = f(x)
x = a düşey asimptot
y = b yatay asimptot
ÖRNEK 133
f(x) =
y
y
x+2
fonksiyonun düşey asimptotu nedir?
x–3
Çözüm
y = g(x)
y = f(x)
0
y = ax + b
y = ax + b eğik asimptot
230
x
0
y = f(x)
y = g(x) eğri asimptot
x
x
Türev
Yatay Asimptot
ÖRNEK 134
x+2
x –1
f(x) =
y = f(x) fonksiyonu için,
fonksiyonunun düşey asimptotlarını
lim f(x) = c veya
x"3
bulunuz.
y = c
Çözüm
doğrusuna,
lim
x"–3
f(x) = c ise
y = f(x)
fonksiyonunun yatay
asimptotu denir.
y
y
c
0
x
c
x
0
y
y
ÖRNEK 135
f(x) =
c
x2 + x – 2
fonksiyonunun düşey asimptotlarını
x2 – 1
0
bulunuz.
c
x
0
ESEN YAYINLARI
Çözüm
x
ÖRNEK 137
f(x) =
2x – 1
fonksiyonunun yatay asimptotunu bulu3x + 1
nuz.
Çözüm
ÖRNEK 136
f(x) =
x2 + 2
eğrisinin bir düşey asimptota sahip
x 2 + bx + 9
olmaması için b ne olmalıdır?
Çözüm
ÖRNEK 138
f(x) =
x+3
x +2
fonksiyonunun yatay asimptotlarını
bulunuz.
Çözüm
231
Türev
Eğik ve Eğri Asimptot
ÖRNEK 140
y = f(x) eğrisi için,
lim |f(x) – P(x)| = 0 veya
lim
x"3
x"–3
f(x) =
|f(x) – P(x)| = 0
x2 + 4
fonksiyonunun eğik asimptotu nedir?
x+3
Çözüm
olacak şekilde bir P(x) polinomu varsa y = P(x) eğrisine y = f(x) eğrisinin bir eğri asimptotu denir.
P(x) = ax + b ise bu asimptota eğik asimptot denir.
y
y
y = P(x)
y = f(x)
y = f(x)
0
x
0
x
y = P(x)
ÖRNEK 141
®
x2 – 1
fonksiyonunun asimptotlarının kesim
x+2
noktasını bulunuz.
Rasyonel fonksiyonlarda, payın derecesi, payda-
f(x) =
nın derecesinden büyük ise eğik veya eğri asimptot vardır. Bu asimptotları bulmak için; fonksiyo-
Çözüm
nun payı, paydasına bölünür ve bölüm polinomu,
®
®
a > 0 için y =
ax 2 + bx + c eğrisinin eğik
asimptotu y =
a. x+
b
2a
doğrularıdır.
Fonksiyonun grafiği, düşey asimptotları hiçbir zaman kesmez. Yatay, eğik veya eğri asimptotları
ESEN YAYINLARI
f(x) in eğik ya da eğri asimptotunun denklemidir.
ise kesebilir.
ÖRNEK 139
f(x) =
x2 + 2
fonksiyonunun eğik asimptotu nedir?
x+1
Çözüm
ÖRNEK 142
f(x) =
nuz.
Çözüm
232
x3 + x
x+2
fonksiyonunun eğri asimptotunu bulu-
Türev
ÖRNEK 143
y = f(x) eğrisinin y = ax + b biçiminde bir eğik
f(x) =
4x 2 + 24x + 1
eğrisinin eğik asimptotunu
asimptotu varsa,
bulunuz.
a = lim
Çözüm
x"3
I. Yol
a=
f (x)
, b = lim (f(x) – ax) veya
x
x"3
lim
x"–3
f (x)
, b=
x
lim
x"–3
(f(x) – ax) olur.
ÖRNEK 146
f(x) = x + e–x.sinx fonksiyonunun eğik asimptotunu
(varsa) bulunuz.
ÖRNEK 144
f(x) = ln(2x – 6) eğrisinin düşey asimptotu nedir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 145
f(x) =
2x + 1
eğrisinin düşey ve yatay asimptotlax–4
rını bulunuz.
Çözüm
233
Türev
Grafik Çizimleri
Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için, aşağıdaki adımları sırasıyla uygulamak kolaylık sağlar.
x Tanım kümesi bulunur.
x Fonksiyon periyodik ise periyodu bulunur.
x Fonksiyon R de tanımlı ise
x Varsa asimptotları bulunur.
lim
x"!3
f(x) limiti hesaplanarak uç noktaların durumu hakkında bilgi edinilir.
x Varsa fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları bulunur.
x Fonksiyonun birinci türevi incelenerek, varsa ekstremum noktaları bulunur.
x Gerekirse fonksiyonların ikinci türevi incelenerek, dönüm noktaları ve çukurluk yönü incelenir.
x Bu elde edilen veriler için değişim tablosu yapılır ve bu tabloya göre grafik çizilir.
ÖRNEK 147
2
ÖRNEK 148
f(x) = x – 2x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
f(x) = (x – 2).(x + 1)2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
Çözüm
234
Türev
ÖRNEK 149
ÖRNEK 150
f(x) = x3 – x2 + 2x – 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
Çözüm
y = f(x)
2
–1
0
2
4
x
Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x) fonksiyonunun denklemi nedir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 151
y
2
–1
0
4
x
y = f(x)
Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x) fonksiyonunun denklemi nedir?
Çözüm
235
Türev
ÖRNEK 152
ÖRNEK 154
Yanda grafiği verilen
y
f(x) =
III. dereceden y = f(x)
fonksiyonunun yerel
Çözüm
maksimum noktasının
apsisi kaçtır?
–2
0
6
x
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 153
y
y = f(x)
–2
0
4
x
Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x) fonksiyonunun dönüm noktasının apsisi kaçtır?
Çözüm
f′(–2) = 0 ve f′(4) = 0 olduğundan
f′(x) = a.(x + 2).(x – 4)
f′(x) = a.(x2 – 2x – 8) biçimindedir.
f′′(x) = a.(2x – 2), f′′(x) = 0 ⇒ x = 1 dir.
O halde, f(x) in dönüm noktasının apsisi x = 1 dir.
236
x+1
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x–2
Türev
®
®
ÖRNEK 157
ax + b
fonksiyonunun simetri merkezi,
cx + d
d a
asimptotların kesim noktası olan c – , m dir.
c c
y=
f(x) =
x2 + 3
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x –1
Çözüm
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d fonksiyonunun simetri
merkezi dönüm noktasıdır.
ÖRNEK 155
4x – 1
fonksiyonunun simetri merkezi aşağı2x + 6
dakilerden hangisidir?
f(x) =
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 156
f(x) = x3 + mx2 + nx + 6 fonksiyonunun simetri merkezi A(–2, 1) noktası olduğuna göre (m, n) nedir?
Çözüm
237
Türev
ÖRNEK 158
f(x) =
ÖRNEK 159
x 2 – 2x
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
– 2x + 1
f(x) =
x2
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
238
x+1
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x 2 + 2x
Türev
ÖRNEK 160
f(x) =
ÖRNEK 161
x2 – x – 2
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x 2 – 2x + 1
f(x) =
x3
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x –1
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
239
Türev
ÖRNEK 162
ÖRNEK 164
f(x) = 2x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x
f(x) = e x + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 163
1
f(x) = 2 x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
240
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Türev
ÖRNEK 165
f(x) = ln c
ÖRNEK 166
x+1
m fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x –1
f(x) =
x – 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 167
f(x) =
x 2 – 2x + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
f(x) =
x 2 – 2x + 1 =
(x – 1) 2 = |x – 1|
241
Türev
ÖRNEK 168
f(x) =
ÖRNEK 169
x 2 – 4x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
f(x) =
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
5 x2 – 4x ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulalım.
242
– x 2 + 4x – 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Türev
ÖRNEK 170
f(x) =
sin x
1 + 2 cos x
ÖRNEK 171
f(x) =
fonksiyonunun grafiğini [0, 2π ]
2 cos 2 x – 1
fonksiyonunun grafiğini [0, 2 r ]
sin x
aralığında çiziniz.
aralığında çiziniz.
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
5 1 + 2cosx = 0 ⇒ cosx = –
243
ALIŞTIRMALAR – 6
1.
Aşağıdaki fonksiyonların asimptotlarının kesim
4.
noktasını bulunuz.
f(x) =
x 3 + 2x
fonksiyonunun eğri asimptotu nex+1
dir?
a.
x+1
f(x) =
x+2
b.
f(x) =
x2 – 1
–2
x2 + x
5.
f(x) =
x+2
eğrisinin düşey asimptotunun
x 2 + nx + 1
olmaması için n hangi aralıkta değer almalıdır?
f(x) =
x 2 – 3x + 2
x 2 + 2x – 3
ESEN YAYINLARI
c.
2.
x 2 + 3x + 2
f(x) =
fonksiyonunun asimptotlarının
x
6.
f(x) =
x 2 – 4x + 1
fonksiyonunun eğik asimp-
totları nedir?
kesim noktası nedir?
3.
1
fonksiyonunun asimptotlax–b
rının kesim noktası (–1, 3) ise a + b kaçtır?
f(x) = ax + 2 +
244
7.
f(x) = x +
x 2 + 2x – 1
asimptotları nedir?
fonksiyonunun eğik
Türev
9.
Aşağıdaki polinom fonksiyonlarının grafiklerini
y
çiziniz.
a.
2
f(x) = x2 – 3x + 2
–2
0
x
6
y = f(x)
Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x)
fonksiyonunun denklemi nedir?
b.
f(x) = x3 – 9x
10.
y
y = f(x)
2
–1
ESEN YAYINLARI
8.
0
x
4
Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x)
fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsisi
kaçtır?
c.
f(x) = (x – 1)2.(x + 1)
11.
y
y = f(x)
–2
4
0
x
Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x)
d.
f(x) = (x – 2)2.(x + 2)3
fonksiyonunun dönüm noktasının apsisi kaçtır?
245
Türev
12. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
e.
f(x) =
2 x –1
x–3
f.
f(x) =
x –1
x 2 – 2x
x2 + 1
x –1
f(x) =
2
x –1
b.
f(x) =
2x + 1
x–2
c.
f(x) =
x2
x+1
g.
f(x) =
d.
f(x) =
x 2 – 4x + 4
x 2 + 2x + 1
h.
f(x) =
ESEN YAYINLARI
a.
246
x 2 – 2x
Türev
L’HOSPİTAL KURALI
ÖRNEK 174
f ve g fonksiyonları [a, b ] de sürekli ve (a, b) de
lim
türevli iki fonksiyon olsun. c ∈ (a, b) olmak üzere,
x"0
fl (x)
lim f (x) = 0 , lim g (x) = 0 ve lim
mevcutsa,
g
x"c
x"c
x " c l (x)
lim
x"c
f (x)
fl (x)
= lim
g (x) x " c gl (x)
L’Hospital kuralı,
Eğer lim
x"c
6x – 3x
limitinin değeri kaçtır?
x
Çözüm
olur.
3
belirsizliğinde de uygulanabilir.
3
fl (x) 0
3
=
b veya
l belirsizlik durumu
gl (x) 0
3
devam ederse, belirsizlik durumu kalkıncaya kadar
L’Hospital kuralı art arda uygulanabilir.
ÖRNEK 175
lim
ÖRNEK 172
x"1
x 10 – 1
limitinin değeri kaçtır?
x –1
Çözüm
1– sin x
limitinin değeri kaçtır?
cos 2 x
Çözüm
ESEN YAYINLARI
lim
r
x"
2
ÖRNEK 173
lim
x"0
x + sin 2x
limitinin değeri kaçtır?
x – sin 3x
Çözüm
ÖRNEK 176
lim
x"1
ex – e
limitinin değeri nedir?
ln x
Çözüm
247
Türev
ÖRNEK 177
ÖRNEK 180
f: R → R her noktada türevli bir fonksiyon ve
lim
f′(2) = 6 olduğuna göre,
lim
h"0
x"0
f (2 + 3h) – f (2 – 2h)
kaçtır?
h
x. sin x
limitinin değeri nedir?
1– cos x
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 178
lim
x"1
ln x
limitinin değeri nedir?
r
cos b x l
2
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 181
lim
x"3
x
limitinin değeri nedir?
ln (1 + e x)
Çözüm
ÖRNEK 179
lim
x"0
tan 2x
limitinin değeri nedir?
3x
Çözüm
ÖRNEK 182
2
ex – 1
lim
limitinin değeri nedir?
x " 3 sin 1
x
248
Türev
Çözüm
0. ∞ Belirsizliği
Bu belirsizlik f.g =
g
0
eşitliği yardımıyla
1
0
f
3
belirsizliğine dönüştürülerek L’Hospital
3
veya
kuralı ile çözülür.
ÖRNEK 185
lim c x. sin
x"3
Çözüm
ÖRNEK 183
lim
x " 0+
3
m limitinin değeri nedir?
x
ln x
limitinin değeri nedir?
cot x
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 186
lim c
ÖRNEK 184
lim
x"3
x2 + x
limitinin değeri nedir?
ex
x"3
1
. ln x m limitinin değeri nedir?
x
Çözüm
Çözüm
249
Türev
ÖRNEK 187
lim ; c x –
x"
1
2
ÖRNEK 189
lim c
1
m . tan (rx) E limitinin değeri nedir?
2
x"0
1
1
–
m limitinin değeri nedir?
x sin x
Çözüm
Çözüm
00, ∞0, 1∞ Belirsizlikleri
∞ – ∞ Belirsizliği
düzenlemelerle
larken 0°, ∞°, 1∞ belirsizlikleri ile karşılaşabiliriz.
eşitliği veya çeşitli
0
3
veya
belirsizliğine dönüş0
3
türülerek L’Hospital kuralı ile çözülür.
Bu durumda; y = [f(x) ]g(x) ⇒ lny = ln[f(x) ]g(x)
ESEN YAYINLARI
1 1
–
g f
Bu belirsizlik f – g =
1
f.g
y = [f(x) ]g(x) biçimindeki ifadelerin limitlerini hesap-
⇒ lny = g(x).ln[f(x) ] olup
lim(lny) limiti daima 0.∞ belirsizliğine sahiptir.
3
0
veya
belirsizliğine dönüştürülerek
3
0
hesaplanır. lim(lny) = n ⇒ limy = en olur.
Bu limit
ÖRNEK 190
ÖRNEK 188
lim c
x"1
1
1
–
m limitinin değeri nedir?
x – 1 ln x
Çözüm
250
lim x x limitinin değeri nedir?
x"0
Çözüm
Türev
ÖRNEK 191
lim (cotx)x limitinin değeri nedir?
x " 0+
Çözüm
ÖRNEK 193
lim c
x"3
x + 2 3x
m limitinin değeri nedir?
x
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 192
x
1
lim (e + x) x limitinin değeri nedir?
x"0
Çözüm
1∞ belirsizlik durumunda aşağıdaki formüllerden
yararlanılabilir.
® lim b 1 +
x"3
a bx
l = ea.b
x
Örneğin, lim c
x"3
b
® lim (1 + ax) x = ea.b
x"0
x + 3 4x
3 4x
m = lim c 1 + m = e3.4 = e12
x
x
x"3
251
ALIŞTIRMALAR – 7
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a.
lim
x"1
g.
1– x
1– x
h.
b.
c.
d.
lim
1– cos x
sin x
lim
1– cos x
x. sin x
lim
1– sin x
cos x
x"0
x"0
x"
e.
r
2
lim
x"0
2x + sin x
x
cos b
f.
252
r
xl
2
lim
x " 1 ln (2x – 1)
ı.
ESEN
ESEN YAYINLARI
YAYINLARI
1.
i.
j.
k.
lim
sin (rx)
1– x 2
lim
e 3x – 1
ln (3x + 1)
lim
3 2x – 1
2x – 1
lim
ln (cos x)
x2
lim
3 sin x – 1
ln (x + 1)
lim
x + arctan 2x
2x – arcsin x
x"1
x"0
x"0
x"0
x"0
x"0
Türev
3.
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a.
b.
c.
x 2 + xy – 2y 2
x–y
a.
lim
1 + cos (rx)
(x – 1) 2
b.
x"y
x"1
lim
r
x"
4
d.
e.
sin 9x 2
sin 2 3x
lim
r – 3x
1 – 2 cos x
x"0
g.
lim
x"1
lim
x"1
c.
cos 2x
sin x – cos x
lim
r
x"
3
f.
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
lim
ESEN YAYINLARI
2.
d.
lim
2x
e 2x
lim
x + ln x
1– x 2
lim
2x – 2 – x
2x + 2 – x
x"3
x"3
x"3
lim : b x –
r
x"
3
e.
lim 6 (– 1 + sin x) . tan 2 x @
x"
sin (rx) + 1
r
cos b x l
2
f.
tan (rx)
x –1
g.
r
l . cot 3x D
3
r
2
lim 6 (1– x) .e x @
x"–3
lim ; (x + 1) . log
x"3
x+1
E
x –1
253
Türev
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a.
lim ^ x + 1 –
x"3
f.
g.
b.
lim _ log 2
x"3
16x 2 – 3x – log 2
d.
lim c 1 –
x"0
lim c 1 +
x"3
3 4x – 1
m
2x
254
lim ^ cos x hx
x"0
lim x sin x
x " 0+
6
2x x
m
3
1
e.
lim (tanx.lnx)
x " 0+
x2 + 1 i
h.
c.
lim x ln x
x " 0+
xh
ESEN
ESEN YAYINLARI
YAYINLARI
4.
ı.
i.
j.
lim c
x " 0+
1
1
– m
1 – ex x
lim c 1 + sin
x"3
1 2x
m
x
lim (1 + 2x)cotx
x"0
Türev Alma Kuralları
TEST – 1
1.
f(x) = (x2 + x + 2)2 ise f′(1) kaçtır?
A) 24
B) 20
C) 18
D) 16
5.
E) 12
d 2
(x + 1) türevinin sonucu nedir?
dt
A) 2x
2.
B) 2
C) 1
D) 0
E) –2x
f: R+ → R , f(x) = x3 – 2 x ise
lim
x"1
6.
f (x) – f (1)
ifadesinin değeri kaçtır?
x –1
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
f(x) = 3.sin5x + 4.cos2x ise f′(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3.cos5x – 4.sin2x
E) 5
B) 3.cos5x + 4.sin2x
C) 15.sin5x – 8.cos2x
D) 15.cos5x + 8.sin2x
ESEN YAYINLARI
E) 15.cos5x – 8.sin2x
3.
2
olduğuna göre f′(4) aşağıdakilerden
x
hangisine eşittir?
f(x) =
A) –
1
16
B) –
1
8
1
D) –
2
C) –
7.
1
4
f(x) = log(x+1)(x + 3) ise f′(1) aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
1
E)
4
A)
–5
ln 16
D)
4.
f(x) = lnx, g(x) = sinx ise (fog)′ b
r
l aşağıda3
kilerden hangisine eşittir?
A)
2
2
B)
3
3
C) 1
D)
2
E)
3
8.
B)
–3
ln 16
–3
ln 8
E)
C)
–5
ln 8
–3
ln 4
f(x) = lnx + 4x ise f′′(x) eşiti nedir?
A)
1
x
B)
1
x2
C) –
1
x
D) –
1
2
E) – 2
x2
x
259
Türev
f(x) = arcsin
3
ise f′(5) kaçtır?
x
1
A) –
5
13. f(x) = (x2 + 1). x ise f′(1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
3
B) –
20
D) –
1
20
E) –
10. f(x) = ln(sin25x) ise f′ b
A) 0
1
2
B)
11. f(x) = sin b ln
1
C) –
10
C)
A) 2
14. f(x) =
B)
D) 1
C) 1
3
2
D)
15. f(x) =
x"1
df – 1 (x)
dx
1
x. ln 2
D)
1. A
2. B
260
2
3x. ln 2
2
ln 2
3. B
E)
4. B
5. D
E) 4
2x – 1 fonksiyonunun türevinin x = 0
B) 0
C)
1
3x. ln 2
3
2
nedir?
x
ln 2
6. E
C)
2
3
D) 1
E)
3
2
E)
1
2
2x – 1
olmak üzere,
x+1
B)
16. f(x) = cot3
B)
7
2
5
4
C) 1
D)
3
4
ifadesinin
eşiti nedir?
A)
D)
f (x) – f (1)
limitinin eşiti kaçtır?
x –1
lim
E) 2
A)
12. f(x) = 23x–1 olduğuna göre,
3
A) –1
E) 2
x
l olduğuna göre, f′(2) nin değeri
2
1
2
C) 3
için eşiti kaçtır?
nedir?
A) 0
5
2
3
5
r
l kaçtır?
10
1
2
B)
ESEN YAYINLARI
9.
rx
olduğuna göre, f′(–2) nin değeri
12
A) –4 r B) –3 r C) –2 r D) – r
7. B
8. D
9. B
10. A
11. B
12. C
13. C
14. C
E) 0
15. D
16. B
Türev Alma Kuralları
TEST – 4
1.
f(x) = x2 + x – 1 ise lim
x"1
f (x) – f (1)
limitinin eşiti
x –1
5.
B) 2
C) 3
1– sin x
ise f′(x) aşağıdakilerden
1 + sin x
hangisine eşittir?
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
f(x) = ln
D) 4
A) –cosx
E) 5
B) –sinx
D) –secx
2.
6.
f(x) = 3x2 – 2x + c + 1 fonksiyonunun hangi noktasındaki türevi 10 dur?
A) 0
B) 1
D) 3
E) 4
E) –cosecx
y = 4.cos2θ , x = 2.sinθ olmak üzere,
θ=
C) 2
C) –tanx
dy
2r
için
in değeri nedir?
3
dx
A) – 4 3
B) –3 3
3
E) –
3
2
ESEN YAYINLARI
D) –
C) –2 3
3.
f(x) = x15 – x–15 ise f′(1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –15
B) 0
C) 2
D) 15
E) 30
7.
f(x) = x4 – x3 + 2x2 + 3x ve g(x) =
2x – 1
oldu3x – 2
ğuna göre, (fog)′(1) ifadesinin değeri nedir?
A) –10
4.
f(x) =
B) –9
C) –8
D) –7
E) –6
2
ve g(x) = x – x3 olmak üzere,
x
f′(x) ≤ g′(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıda8.
kilerden hangisidir?
A) (–∞, 0)
D) [–1, 1 ]
B) [–1, 0)
C) (–1, 0)
E) [–1, 1 ] – {0 }
y = t2 + 2t – 1 ve x = lnt olmak üzere,
dy
türevinin t = 1 için değeri kaçtır?
dx
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
265
Türev
f(x) = x2.cosx ise f′ b
9.
13. f(x) = x.ex
r
l ifadesinin değeri aşa2
r2
4
B)
D) –
C) –
r
4
E) –
A) 100.e
r2
2
x+1 4
m ise f′(2) aşağıdakilerden hanx –1
7
3
C) –
D) –2
E) –
2 + sin x
r
m olduğuna göre, f′ b l nin
2 + cos x
2
değeri nedir?
A) 0
8
3
E) e
B)
1
2
C) 1
D) 2
E) 2e
4
3
ESEN YAYINLARI
B) –
C) 100!.e
r2
4
gisine eşittir?
A) –3
B) 100!
D) 100
14. f(x) = ln c
10. f(x) = ln c
türevinin
değeri kaçtır?
ğıdakilerden hangisidir?
A) 0
f(99)(1)
olduğuna göre,
2
11. f(x) = ex
15. f(x) = ln(sinx) – e2cosx ise f′ b
+x
ise f′(1) aşağıdakilerden hangisine
r
l aşağıdakiler2
den hangisine eşittir?
eşittir?
A) 3e2
B) 2e2
A) –2
C) e2
D) 3e
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
E) 2e
f l ( x)
ifadesinin eşiti aşasin x
ğıdakilerden hangisidir?
16. f(x) = sin2(cosx) ise
12. f(x) = ln(sin2x) ise
df (x)
aşağıdakilerden handx
gisine eşittir?
A) 2cos2x
B) 2tan2x
D) tan2x
1. C
2. C
266
3. E
C) 2cot2x
5. D
6. A
B) –sin(cosx)
C) –2sin(cosx)
D) –sin(2cosx)
E) sin(2cosx)
E) cot2x
4. E
A) sin(cosx)
7. C
8. A
9. E
10. B
11. A
12. C
13. A
14. B
15. E
16. D
Türevin Geometrik Yorumu
TEST – 5
1.
f(x) = x3 – 2x2 + x + 1 fonksiyonunun x = 2
5.
apsisli noktasından geçen teğetin eğimi kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 8
f(x) =
1 3
x – x2 – 24x + 6 fonksiyonunun azalan
3
olduğu aralık nedir?
E) 10
A) (– ∞, –4)
B) (–4, 0)
E) (6, ∞)
D) (–4, 6)
2.
C) (0, 6)
f(x) = x3 – nx + 2 fonksiyonunun x = –1 apsisli
6.
noktasından geçen teğeti 3x – 2y + 1 = 0 doğ-
x = –1 apsisli noktada teğet olması için m kaç
rusuna paralel ise n kaçtır?
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
olmalıdır?
E) 3
A) –5
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1
ESEN YAYINLARI
A) 1
y = x – 3 doğrusunun y = x3 + nx + m eğrisine
3.
f(x) = sin(cos4x) fonksiyonunun x =
r
apsisli
8
7.
noktası A(–1, 0) noktası olduğuna göre, b kaç-
noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
A) – 4
4.
B) –2
C) –
1
2
D) –
x2 + y2 = 4 çemberine T( 2 ,
1
4
tır?
E) 2
A) 2
2 ) noktasından
8.
çizilen teğetinin eğimi kaçtır?
A)
2
B) 1
C) –
2
2
f(x) = x3 + ax2 + bx + 2 fonksiyonunun dönüm
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
f(x) = x4 – 4x + n fonksiyonunun yerel minimum
değeri 6 ise n kaçtır?
D) –
2 E) –1
A) 0
B) 1
C) 3
D) 5
E) 9
267
Türev
9.
12. f(x) = x3 + mx2 + nx + 4 fonksiyonunun x = 1
y
y = f ′(x)
apsisli dönüm noktasındaki teğetinin eğimi –2
olduğuna göre, n kaçtır?
A) –3
5
–1
0
2
4
B) –2
C) 1
D) 2
E) 3
x
6
Yukarıda türevinin grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?
A) –1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
13. f: [0, 6 ] → R, f(x) = 2|x – 4| + |x – 1| fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?
10. f(x) = x2 – 4x + 6 fonksiyonuna A(a, b) noktasından çizilen teğetin denklemi y = 2x – 3 olduğuna göre a + b kaçtır?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 6
ESEN YAYINLARI
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
14. y ≠ 0 olmak üzere,
y2 + 4y = x + 1 eğrisine x = –1 apsisli noktasın-
E) 9
dan çizilen teğetinin eğimi kaçtır?
A) –1
D) (2, –1)
2
1
2
2
x +x
C) (1, 2)
268
2. B
3. A
E) (3, 9)
4. E
5. D
6. A
7. C
1
3
D) –
1
4
E) –
1
8
toplamının en küçük olması için m kaç
olmalıdır?
A) 0
1. C
C) –
x1 ve x2 dir.
noktası aşağıdakilerden hangisidir?
B) (1, 1)
1
2
15. –x2 + (3 – m)x + 1 + m = 0 denkleminin kökleri
11. f(x) = 2x3 – 6x2 + 2x + 3 fonksiyonunun dönüm
A) (0, 3)
B) –
8. E
9. E
10. D
1
2
C) 1
D)
11. B
12. C
13. A
B)
3
2
E) 2
14. D
15. E
Türevin Geometrik Yorumu
TEST – 8
1.
5.
y > 0 olmak üzere,
x2 + y2 = 4 çemberine üzerindeki x =
2 apsisli
si –2 olan noktada x eksenine teğet olduğuna
noktadan çizilen teğetin eğimi kaçtır?
2 B) –1
A) –
2.
f(2x – 3) =
C) 0
D) 1
göre, n kaçtır?
2
E)
A) – 4
2
2
B) –3
C) –2
D) 2
E) 3
x + 3 olmak üzere, f(x) in x = –1
6.
apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
A)
f(x) = x3 + mx2 + n fonksiyonunun grafiği, apsi-
B)
2
4
C)
1
2
D)
1
4
E)
f(x) = x2 + bx + c parabolü A(1, 3) noktasında
bir yerel minimuma sahipse (b, c) ikilisi nedir?
1
8
A) (–2, 4)
B) (–2, 3)
C) (–2, 1)
E) (–1, 4)
ESEN YAYINLARI
D) (–1, 3)
3.
f(x) = x3 + 1
eğrisinin aşağıdaki noktalarının
hangisinden çizilen teğeti y = 3x – 1 doğrusuna
7.
paraleldir?
A) (4, 65)
mum noktasının koordinatları nedir?
B) (3, 28)
D) (1, 2)
4.
f(x) = –x3 + 12x + 4 fonksiyonunun yerel maksi-
C) (2, 9)
A) (–2, –12)
E) (0, 1)
B) (–1, –7)
D) (1, 15)
C) (0, 4)
E) (2, 20)
y = x2 + 1 parabolü üzerindeki,
y = 2x – 1 doğrusuna en yakın noktanın koordi-
B) 2
C) 3
f(x) = 5cosx – 12sinx fonksiyonunun alabileceği
en büyük değer kaçtır?
natları toplamı kaçtır?
A) 1
8.
D) 4
E) 5
A) 0
B) 5
C) 7
D) 13
E) 17
273
Türev
9.
12. f(x) = x3 + bx + c eğrisi A(–1, 2) noktasında
y
yerel maksimum değerini aldığına göre c kaç-
d
tır?
A) –1
45°
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
x
1
2
f(x)
Şekildeki y = ax2 + bx + 2 parabolünün x =
1
2
apsisli noktasındaki teğeti x ekseni ile pozitif
yönde 45° lik açı yaptığına göre, a + b kaçtır?
ln x
eğrisinin başlangıç noktasından gex
çen teğetinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir?
13. f(x) =
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
10. f(x) = ax3 + bx2 – cx – d fonksiyonu A(1, 3) nok-
ESEN YAYINLARI
A)
1
2e
B)
1
e
C)
2
e
14.
E) 2e
y
tasında yerel maksimumu ve B(–1, 1) noktasın-
4
da yerel minimumu olduğuna göre, a + b + c + d
3
kaçtır?
A) –1
D) e
2
B) –2
C) –3
D) –4
–7
E) –5
–2 –1
–5
–3
0
3
x
6
y = f′(x)
Yukarıda verilen y = f′(x) fonksiyonunun grafiğine göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) (–5, 3) noktası f fonksiyonunun dönüm noktasıdır.
B) (3, 4) noktası f fonksiyonunun dönüm noktasıdır.
11. f: R → R, f(x) = x3 + bx2 + 3x + 2 fonksiyonunun
C) (0, 2) noktası f fonksiyonunun dönüm nok-
yerel ekstremum noktasının olmaması için b nin
tasıdır.
alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
D) (–5, –2) aralığında f fonksiyonu iç bükeydir.
A) 8
E) (–2, 3) aralığında f fonksiyonu dış bükeydir.
1. B
274
2. E
B) 7
3. D
C) 6
4. C
D) 5
5. A
E) 4
6. A
7. E
8. D
9. C
10. D
11. B
12. B
13. A
14. C
Türevin Geometrik Yorumu
TEST – 9
1.
5.
y
f(x) = x4 + 2x fonksiyonunun x = 0 apsisli noktasından çizilen normalinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
0
–4
A) x + y = 0
y = f(x)
1
x
4
2
B) x + 2y = 0
D) x – 2y = 0
C) x – y = 0
E) 2x + y = 0
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna
göre, f′(–4) + f′(4) kaçtır?
A) –1
B) –
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
6.
f(x) = *
(x – 1) 2 , x < 1
ln x 2
, x≥1
fonksiyonunun dönüm noktası aşağıdakilerden
tasındaki teğetinin eğimi 6 ise a kaçtır?
A) –
3.
hangisidir?
f(x) = x3 + ax2 + 4 eğrisinin x = –1 apsisli nok3
2
B) –1
C) –
1
2
D)
1
2
E) 1
f(x) = x3 – nx2 + 3 eğrisine üzerindeki x = –1 ve
A) (0, 4)
ESEN YAYINLARI
2.
D) (1, 2)
7.
4.
5
2
C) 2
D)
3
2
çizilen teğeti eğriyi hangi noktasında keser?
B) (–3, –27)
D) (–1, –1)
B) 12
C) –2
D) –6
E) –12
E) 1
f(x) = x3 eğrisinin x = 1 apsisli noktasından
A) (–4, –64)
E) (2, ln4)
f(x) = x3 + 6x2 + 2 fonksiyonuna dönüm nokta-
A) 18
paralel ise n kaçtır?
B)
C) (1, 0)
sından çizilen teğetin eğimi kaçtır?
x = 2 apsisli noktalardan çizilen teğetler birbirine
A) 3
B) (1, 1)
C) (–2, –8)
E) (0, 0)
8.
f(x) = x3 + bx2 + x – 4 fonksiyonu daima artan
ise b nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri
vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
275
Türev
9.
12.
y
y
y = f(x)
–5
0
–3
–4
–1
0
y = f ′(x)
Şekilde verilen y = f′(x) türev fonksiyonunun
grafiğine göre, f(x) fonksiyonunun yerel maksi-
x.f′(x) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam
mum değerini aldığı noktanın apsisi kaçtır?
sayısı vardır?
C) 7
D) 8
A) –5
E) 9
10. f(x) = ax3 – 6x2 – 3x + 1 fonksiyonu ∀x ∈ R
için azalan bir fonksiyon ise a nın değer aralığı
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (– ∞, –5)
ESEN YAYINLARI
B) 6
B) –3
C) 0
D) 3
13. f(x) = x2 – 5x – 6 fonksiyonu üzerinde koordinatları toplamı en küçük olan noktanın apsisi
C) (– ∞, –3)
A) 1
E) (– ∞, 0)
11. y = ax2 – bx + 2 fonksiyonunun (1, –1) nokta-
B)
3
2
C) 2
D)
A) 9
A) 3
1. B
276
2. A
3. D
4. C
D) 6
5. B
E) 5
6. C
7. E
E) 3
alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı
değerlerinin toplamı kaçtır?
C) 7
5
2
14. f: (0, 5) → R, f(x) = x2 – 4x + 3 fonksiyonunun
sındaki teğetinin eğimi 2 ise a kaçtır?
B) 8
E) 5
kaçtır?
B) (– ∞, – 4 ]
D) (– 4, 0)
x
5
x
3
Şekilde verilen y = f(x) fonksiyonuna göre,
A) 5
3
8. C
9. D
B) 4
10. B
C) 5
11. E
D) 6
12. E
E) 7
13. C
14. D
Türevin Geometrik Yorumu
TEST – 12
1.
5.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi daima artandır?
f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x + d fonksiyonunun yerel
minimum değeri 8 olduğuna göre, d kaçtır?
A) f(x) = 2–x
B) f(x) = –3
C) f(x) = –3x
D) f(x) = –lnx
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
x
E) f(x) = 2
2.
y
6.
y = f(x)
dönüm noktasının apsisi x = –2 ise ordinatı
1
–1
0
f(x) = x3 + (m – 2)x2 + 2x – 4 fonksiyonunun
kaçtır?
x
2
A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
Şekildeki y = f(x) fonksiyonunun x = –1 apsisli
g(x) =
A) –1
f (x)
olduğuna göre, g′(–1) kaçtır?
x
B) –
1
2
C) –
1
4
D) 0
E)
1
2
ESEN YAYINLARI
noktasındaki teğetinin eksenleri kestiği noktalar
verilmiştir.
7.
f(x) = x3 + nx2 + mx + 5 fonksiyonunun dönüm
noktası A(1, 4) olduğuna göre, m kaçtır?
3.
A) 1
f(x) = –x2 – 4x + 12 fonksiyonunun x = 2 apsisli
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
noktasından çizilen normal denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 8x – y = 2
B) 8x + y = 2
D) x – 4y = 2
C) x – 8y = 2
E) x – 8y = 0
8.
4.
r
apsisli
f(x) = sinx – cosx fonksiyonuna x =
4
noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır?
A)
2
4
B)
2
3
C)
2
2
D)
2
E) 2 2
f(x) = x2 + bx ve g(x) = ax2 + 2 parabollerinin x = 1 apsisli noktalarındaki teğetleri çakışık
olduğuna göre, (a, b) ikilisi nedir?
A) (4, 2)
D) (3, 4)
B) (2, 3)
C) (4, 3)
E) (3, 2)
281
Türev
9.
12.
y
y
y = f(x)
y = f′(x)
–4
–2
3
x
0
–2
–5
0
1
x
5
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) f′(–5).f′(1) > 0
B) f′(–1).f(1) < 0
C) f′′(–3).f′(–1) > 0
D) f′′(–2).f′′(0) > 0
Şekildeki grafik y = f′(x) türev fonksiyonuna aittir. Buna göre, f(x) için aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
A) x = –5 te yerel minimum vardır.
E) f′′(0).f′(1) > 0
B) x = 1 de yerel maksimum vardır.
C) x = –2 de dönüm noktası vardır.
D) x = 3 te dönüm noktası vardır.
10. f(x) = ex eğrisinin başlangıç noktasından geçen
teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x
B) y = e.x
1
C) y = .x
e
E) y = e.x – e
D) y = e2.x
ESEN YAYINLARI
E) x = 5 te yerel maksimum vardır.
13. f(x) = x2 parabolü ile A(–3, 0) noktası arasındaki en kısa uzaklık kaç birimdir?
A) 2
11. x2 + xy + y2 – 4 = 0 eğrisine üzerindeki A(2, –2)
B)
5
C)
6
D) 2 2
E) 3
14. x2 + 2ax + 4a – 1 = 0 denkleminin kökleri
x1 ve x2 dir.
noktasından çizilen teğetin denklemi nedir?
2
1
2
2
Buna göre, a nın hangi değeri için x + x
A) y = x – 2
B) y = x – 4
C) y = 2x – 6
D) y = –2x – 4
toplamı en küçük olur?
A) –5
E) y = –2x + 4
1. E
282
2. A
3. C
4. D
5. B
6. E
7. A
8. D
9. D
B) – 4
10. B
C) –3
11. B
D) –2
12. E
13. B
E) 1
14. D
L’Hospital Kuralı
TEST – 13
1.
(x + 4) 3 – 64
ifadesinin değeri nedir?
x
lim
x"0
A) 64
2.
B) 56
C) 52
D) 48
5.
E) 42
x"3
B)
1
2
C) –
1
2
D) –1
E) –
6.
5
3
lim
r
x"
2
3
2
A)
2n + 5n
limitinin değeri nedir?
3n + 5n
B)
3
2
C)
3
4
D) 1
E)
2
3
e cos x – 1
ifadesinin değeri nedir?
cos x
3
2
B) 1
C)
1
2
D) 0
E) –1
ESEN YAYINLARI
A) 1
n"3
A)
x 2 – 5x + 6
limitinin değeri nedir?
x 2 – 8x + 15
lim
lim
3.
lim
x" –1
A)
4.
1
3
lim
n " 64
A)
x 3 – 2x – 1
ifadesinin değeri nedir?
x 5 – 2x – 1
1
3
B)
3
2
3
C)
3
5
D) 1
C)
3
2
D) 2
lim
r
x"
2
A)
E) 2
8.
n –8
limitinin değeri nedir?
n –4
B) 1
7.
1 + cos 6x
limitinin değeri nedir?
1 + sin 3x
3
2
lim
x"0
B) 2
C) 4
1 + sin x –
x
D)
1 – sin x
9
2
E) 9
ifadesinin değeri
nedir?
E) 3
A) 2
B)
3
2
C)
2
2
D) 1
E) 0
283
Türev
9.
f′(–2) = –3 olmak üzere,
f ( – 2 – h) – f ( – 2 + 2h)
lim
h
h"0
13.
ifadesinin değeri
A) 0
lim
10.
x"0
B) 1
C) 3
D) 6
1
2
C) –
1
4
D) 0
E)
14.
lim
y"x
1
3
C) 1
E) ∞
sin 2 y – sin 2 x
limitinin değeri nedir?
sin (y – x)
A) sinx
1
2
D) 3
B) sin2x
sin x
E)
2
D) cos2x
C) cosx
ESEN YAYINLARI
B) –
B)
E) 9
x – arctan 2x
limitinin değeri nedir?
2x + arctan 2x
A) –1
ifadesinin değeri aşağıdakiler-
den hangisidir?
nedir?
A) 0
3
m
x
lim c x. sin
x"3
lim c 1 +
11.
x"3
1 3x
limitinin değeri aşağıdakilerden
m
x
15.
hangisidir?
A) 0
B) 1
D) e2
C) e
A) 0
E) e3
lim – b e x + x l ifadesinin değeri nedir?
1
12.
16.
x"0
A) 0
1. D
2. C
284
B)
1
e
3. A
C)
4. E
1
2
D) 1
5. D
6. B
E) e
7. C
lim (sin x) tan x limitinin değeri nedir?
x " 0+
lim : b x –
r
x"
2
A) –1
8. D
9. E
B)
10. C
1
2
C) 1
D) e
E) ∞
r
l . sec x D ifadesinin değeri nedir?
2
B) –
11. E
r
2
12. A
C) 0
13. D
D)
r
2
14. B
E) 1
15. C
16. A
TEST – 16
1.
f(x) =
x +3 x +4 x +
1
1
1
ve
+
+
x 3 x 4 x
5.
f(x) = *
x2 + 1
, x≥1
ax + 4b , x < 1
g(x) = x.f(x) olmak üzere, g′(1) aşağıdakilerden
fonksiyonu ∀x ∈ R için türevli olduğuna göre,
hangisine eşittir?
(a, b) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) –6
B) –3
C) 0
D) 3
E) 6
A) (2, 0)
B) (2, 1)
D) (4, 2)
6.
C) (2, 2)
E) (4, 0)
f(x) = x3 + bx2 + c fonksiyonunun grafiği, apsisi
1 olan noktada x eksenine teğet olduğuna göre,
2.
c kaçtır?
f(x) = x10 – x–10 ise f′(1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) 5
C) 10
D) 20
1
4
B)
1
3
1
2
C)
D) 1
E)
3
2
E) 100
ESEN YAYINLARI
A) 0
A)
7.
Reel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir
bir f fonksiyonu için f(0) = f′(0) = 6 olduğuna
göre, g(x) = f(2x.f(x)) ile tanımlanan g fonksiyonu için g′(0) kaçtır?
A) 0
3.
f(x) = cos b ln
B) 6
C) 12
D) 36
E) 72
x
l olduğuna göre, f′(2) nin değeri
2
nedir?
A) –1
B) –
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
8.
y
y = f ′(x)
3
–3
–1
0
1
5
x
Yukarıda verilen y = f′(x) türev fonksiyonunun
4.
f(x) = 4.lnx ise (fof)′(e) aşağıdakilerden hangi-
grafiğine göre, f fonksiyonunun dönüm noktala-
sine eşittir?
rının apsisleri toplamı kaçtır?
16
A)
e
4
B)
e
1
C)
e
D) 4e
E) 16e
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
289
Türev
Denklemi x2 – xy + y2 = 7 olan eğriye, üzerinde-
9.
13.
ki (2, 3) noktasından çizilen normalin y eksenini
r
x"
2
kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
A) –5
B) –4
C) –3
tan 2x
1 – e cos x
lim
den hangisidir?
D) –2
E) –1
A) –2
B) 0
ln c 1 +
14.
lim
h"0
A) lnx
10. f(x) = 2 – sin3x fonksiyonunu maksimum yapan
en küçük pozitif x açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) 0
B) 30
C) 90
ifadesinin sonucu aşağıdakiler-
D) 180
h
m
x
h
C) 1
D) 2
limitinin eşiti nedir?
B) x
1
D)
x
E) e
C) xlnx
E) 0
E) 270
r
apsisli nok2
tasından geçen teğetinin denklemi aşağıdakiler-
ESEN YAYINLARI
15. f(x) = ecosx fonksiyonunun x =
11. f(x) = e12x–x
3
den hangisidir?
r
–1
2
r
–1
C) y = –x +
2
r
E) y = –x +
+1
2
fonksiyonunun alabileceği yerel
maksimum değeri kaçtır?
A) e–16
B) e–8
C) e4
D) e8
r
+1
2
r
D) y = –x +
2
B) y = x +
A) y = x +
E) e16
y
16. Şekildeki ABCD dikdörtgeninin C ve D
köşeleri verilen doğ-
2
rular üzerinde, [AB ]
D
C
–1 A
B 1
kenarı ise x ekseni
üzerindedir.
12. y = x2 – x – 6 parabolünün y = x – 10 doğrusu-
B) –5
C) –3
D) 1
geninin alanı en çok
kaç br2 olabilir?
E) 3
A)
1. E
2. D
290
3. C
4. B
5. A
6. C
x
göre, ABCD dikdört-
na en yakın noktasının ordinatı kaçtır?
A) –6
Buna
7. E
8. C
9. A
1
4
10. C
B)
11. E
1
2
12. A
C) 1
13. D
D)
3
2
14. D
E) 2
15. E
16. C
TEST – 17
1.
f′(2) = 4 olmak üzere, lim
h"0
f (2 + h) – f (2 – 2h)
h
5.
y
y = f(x)
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B) 4
C) 8
D) 12
3
E) 16
–1
0
1
x
2
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna
göre, (fof′)(2) ifadesinin değeri kaçtır?
A) –1
2.
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
x = 3y – 1 _
bb
y = cos t ` olduğuna göre,
b
t = z 2 – 1 ba
dx
nin z = 1 için değeri kaçtır?
dz
A) 6
B) 3
C) 1
D) 0
6.
E) –1
y = x2 + 4 parabolü üzerindeki, y = x doğrusuna
en yakın noktanın koordinatları toplamı kaçtır?
ESEN YAYINLARI
A)
3.
f(x) = ln[(sinx)cosx ] ise f′ b
r
l aşağıdakilerden
6
7.
3 + ln 2
2
D)
B)
2 + ln 2
2
2 + ln 2
3
E)
C)
A)
1
ln 8
D) ln4
B)
1
ln 4
C)
E) ln8
1
ln 2
D)
11
2
E)
23
4
Reel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir
olduğuna göre, f′(1) kaçtır?
A) 4
hangisine eşittir?
21
4
f′(0) = 4
1 + ln 2
3
f(x) = log(x+2)(x + 1) ise f′(0) aşağıdakilerden
C)
f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy
1 + ln 2
2
8.
4.
B) 5
bir f fonksiyonu için
hangisine eşittir?
A)
19
4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
f : [a, b ] → B, y = f(x) fonksiyonu (a, b) aralığında artan ve y = f(x) < 0 ise aşağıdakilerden
hangisi aynı aralıkta azalandır?
A)
f (x)
x2
D) f2(x)
B)
x
f (x)
C) f(x) – x3
E) x2 – f(x)
291
Türev
f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 2 fonksiyonu için aşağıda-
9.
13.
kilerden hangisi yanlıştır?
lim
x"0
1– e x
sin x
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden
A) Yerel maksimum değeri 25 tir.
hangisidir?
B) Yerel minimum değeri –7 dir.
A) –1
C) x > –1 için fonksiyon artandır.
B) –
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
D) –3 < x < 1 için fonksiyon azalandır.
E) x = –1 de dönüm noktası vardır.
10. f(x) = ln(sin23x) olduğuna göre,
f′ b
r
l nin değeri kaçtır?
6
A) –1
3
D)
2
1
C)
2
B) 0
14.
E) 1
lim
x"1
ln 27
r
y
4
0
x
6
B) –
ln 9
r
ln 9
r
E)
C) –
ln 3
r
ln 27
r
ESEN YAYINLARI
D)
–1
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden
hangisidir?
A) –
11.
3x – 3
sin rx
Yukarıdaki eğri aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiği olabilir?
15.
lim
A) y = (x + 1)(x – 6)2
h"0
B) y = 4(x + 1)(x – 6)2
A) 0
C) y =
1
(x + 1)(x – 6)2
3
D) y =
1
(x + 1)(x – 6)2
6
E) y =
1
(x + 1)(x – 6)2
9
3x + h – 3x
limitinin değeri nedir?
h
B) 3x
D) 3
C) 3x.ln3
E) x.ln3
12. f(x) = x3 – 2ax2 + 3bx – 12 fonksiyonunun x = 2
16. f : (–2, 4) → R, f(x) = x2 – 1 fonksiyonunun ala-
apsisli noktasındaki ekstremum değerinin – 4
bileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerle-
olması için a + b nin değeri kaç olmalıdır?
rinin toplamı kaçtır?
A) 4
A) 11
1. D
2. D
292
B) 5
3. A
C) 6
4. C
D) 7
5. E
6. A
E) 8
7. B
8. D
9. C
10. B
B) 12
11. E
12. D
C) 13
13. A
D) 14
14. A
E) 15
15. C
16. C
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
1.
1990 – ÖYS
5.
D
C
1990 – ÖYS
4
fonksiyonunun başlangıç noktasına en
y =
x
yakın olan noktasının, başlangıç noktasına
uzaklığı kaç birimdir?
A
B
O
A) 8
B) 4
|AB| = 2 birim olan bir yarı çemberin içine çizili
D) 4 2
ABCD yamuğunun alanı en büyük değerini aldı-
C) 2
E) 2 2
ğında, yüksekliği kaç birim olur?
A)
1
2
B)
2
3
C)
2
2
D)
3
2
E)
3
3
6.
1990 – ÖYS
Dik yarıçapları [OA ],
2.
B
[OB ] olan dörtte bir bi-
1990 – ÖYS
P
rim çember üzerindeki
3
f(x) = x – 3x + 8 fonksiyonunun [–1, 2 ] aralı-
değişken bir P noktası-
ğında alabileceği en küçük değer kaçtır?
nın OA üzerindeki dik
3.
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
1990 – ÖYS
d2 3 x
(x e ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
dx 2
hangisidir?
e–x
A) x3 + 3x2 + 3x
B) x3 + 3x2 + 6x
C) x3 + 3x2 + 9x
D) x3 + 6x2 + 6x
izdüşümü H olduğuna
göre
ESEN YAYINLARI
A) –1
üçgeninin
O
H
A
çevresi en çok kaç birim olabilir?
A)
2+ 3
D) 1 +
7.
E) x3 + 9x2 + 3x
POH
B) 2 2 – 1
3
C) 2 3 – 1
2
E) 1 +
1991 – ÖYS
f(x) = (x – 1)2(2x – t) ve f′′(0) = 0 olduğuna göre
t kaçtır?
4.
A) 4
1990 – ÖYS
a > 0 olmak üzere, y =
B) 2
C) 0
D) –2
E) – 4
x3
fonksiyonunun
x
x = a ve x = –a noktalarındaki teğetleri için
aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Birbirine diktir.
B) Birbirine paraleldir.
C) 30° lik bir açıyla kesişirler.
D) x ekseni üzerinde sabit bir noktada kesişirler.
E) y ekseni üzerinde sabit bir noktada kesişirler.
8.
1991 – ÖYS
ln x
limitinin değeri kaçtır?
lim
x"1
x2 – 1
A) –
1
2
B) –1
C) 0
D)
1
2
E) 1
293
Türev
9.
1991 – ÖYS
13. 1992 – ÖYS
1
4
limitinin değeri kaçtır?
lim c
–
x – 2 x2 – 4 m
y
x"2
A(6, 3)
A) –
F
0
1
8
1
4
B) –
C) 0
D)
1
4
E)
1
8
x
E
Bir köşesi A(6, 3) olan şekildeki dik üçgenin
kenarları koordinat eksenlerini E ve F de kes-
14. 1992 – ÖYS
mektedir. Buna göre |EF| nin en küçük değeri
O, [AB ] üzerinde
kaçtır?
A) 2 5
B) 3 5
D) 5
E
AE ⊥ AB
C) 2 3
OE ⊥ OF
E) 4
α
BF ⊥ AB
F
|AO| = 8 birim
α
|OB| = 27 birim
10. 1992 – ÖYS
gisidir?
A) 18sin6x
B) 18cos6x
C) 6(sin3x + cos3x)
D) 6(sin3x – cos3x)
27
B
%
m( FOB ) = α
ESEN YAYINLARI
d2
(sin23x) in kısaltılmışı aşağıdakilerden handx 2
A 8 O
Yukarıdaki verilenlere göre tanα nın hangi değeri için |OE| + |OF| toplamı en küçüktür?
A)
3
B)
2
C)
2
3
D)
3
4
E) 1
E) 6cos23x
15. 1993 – ÖYS
11. 1992 – ÖYS
d
ln(cosx) aşağıdakilerden hangisidir?
dx
A) – tanx
B) – secx
1
D) –
sin x
C) – cotx
1
E)
cos x
x"2
A) –
cos x – 2 sin x – 1
limitinin değeri kaçtır?
cos 2x + sin 2x – 1
1
2
B) –1
C) 0
D)
1
2
E) 1
16. 1993 – ÖYS
12. 1992 – ÖYS
lim
lim
x"0
sin (x 2 – 4)
limitinin değeri kaçtır?
x 4 – 16
Denklemi y = x3 + ax2 + (a + 7)x – 1 olan eğrinin
dönüm (büküm) noktasının apsisi 1 ise ordinatı
kaçtır?
A) 1
294
1
B)
2
1
C)
4
1
D)
6
1
E)
8
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Türev
21. 1993 – ÖYS
17. 1993 – ÖYS
y < 0 olmak üzere,
f(3x – 5) = 2x2 + x – 1 olduğuna göre
x2 + y2 = 9 çemberinin x =
3 noktasındaki
f′(1) + f(1) kaçtır?
teğetinin eğimi kaçtır?
A)
1
6
B)
1
3
2
D)
C)
E)
A) 10
1
2
B) 12
22. 1994 – ÖYS
y
sin 2 x –
lim
x"
y = vx
A) –
H
1
4
1
2 limitinin değeri kaçtır?
B) –
1
8
C) –
1
16
D)
1
2
E)
1
8
x
B
x olan şekildeki parabolün A ve
P noktalarının x ekseni üzerindeki dik izdüşümleri sırasıyla B(36, 0) ve H(x, 0) dır. HBP üçgeninin alanı, x in hangi değeri için en büyüktür?
A) 12
E) 18
B) 9
C) 8
D) 6
E) 4
ESEN YAYINLARI
Denklemi y =
sin 4x
r
4
P
O
D) 16
3
18. 1993 – ÖYS
A
C) 14
23. 1994 – ÖYS
f(x) = ln(3x – 1) olduğuna göre
f –1(0) + (f –1)′(0) kaçtır?
19. 1993 – ÖYS
Denklemi f(x) = sin(cos5x) olan eğrinin x =
r
10
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
noktasındaki normalinin eğimi kaçtır?
A) –
4
5
B) –
1
5
C)
1
5
D)
2
5
E)
4
5
24. 1994 – ÖYS
20. 1993 – ÖYS
2
f(x) = 2x + 3 olduğuna göre
lim
h"0
A) 0
Denklemi f(x) =
f (1 + h) – f (1)
değeri kaçtır?
h
B) 2
C) 3
D) 4
x 2 + mx
olan fonksiyonunun
x –1
x = 3 noktasında ekstremum noktasının olması
için m kaç olmalıdır?
E) 5
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
295
Türev
25. 1994 – ÖYS
29.
Şekilde denklemi
lim
y
x2 + y2 = 9 olan dörtte
1995 – ÖYS
c"x
3
sine eşittir?
B
bir çemberin B nok-
16x 2 – 16c 2
değeri aşağıdakilerden hangi4 sin (x – c)
tasının x ekseni üze-
A) 4
B) 16
C) 8x
D) 16x
E) 32x
rindeki dik izdüşümü
A(x, 0) noktasıdır.
O
A(x,0)
x
3
Buna göre OAB üçgeninin alanı x in hangi değeri
için en büyüktür?
A)
3 2
2
30. 1995 – ÖYS
B)
3 2
4
D) 1
C)
3 3
4
y = sinx + 2cosx in : 0 ,
büyük değer kaçtır?
E) 2
A) 2
B)
2
C)
3
5
D)
E)
6
1994 – ÖYS
lim c
x"3
2x + 5 4x – 1
değeri aşağıdakilerden hanm
2x + 3
gisidir?
A) 2
C) e2
B) 4
D) e3
E) e4
31. 1995 – ÖYS
ESEN YAYINLARI
26.
r
D aralığında aldığı en
2
y = –x2 eğrisi üzerinde P(–3, 0) noktasına en
yakın olan noktanın apsisi kaçtır?
A) 4
B) 3
C) 2
D) –1
E) –2
32. 1996 – ÖYS
27. 1995 – ÖYS
y
f(x) = ln(3cos5x) olduğuna göre fl c
A) 2ln3
B) 5ln3
D) 2ln5
3r
m kaçtır?
10
1
0
–1
–3/4
C) ln5
2
3
x
E) ln15
Şekildeki grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine ait olabilir?
28. 1995 – ÖYS
A) y =
x2 + x – 3
(x – 2) 2
B) y =
x 2 – 2x – 3
(x – 2) 2
C) y =
x 2 – 2x – 3
2 (x + 2)
D) y =
x2 – x – 3
(x + 2) 2
E) y =
x 2 – 3x – 2
(x – 2) 2
x = 6sin3t ve y = 6cos23t denklemleri ile verilen
y = f(x) fonksiyonunun x = 3 apsisli noktasındaki türevinin değeri kaçtır?
A) –1
296
B) –
1
2
C) 0
D)
1
2
E)
3
2
Türev
33. 1996 – ÖYS
37. 1996 – ÖYS
m, n ∈ R olmak üzere, f : R → R fonksiyonu
f(x) = etanx olduğuna göre
1 3
x – mx2 + nx ile tanımlıdır.
3
f(x) =
x"
f fonksiyonunun x1 = 2 ve x2 = 3 noktalarında
A) – e
kaçtır?
B) 4
C)
7
2
D)
9
2
17
5
E)
f (x) – f b
x–
r
4
r
l
4
r
4
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
yerel ekstremumu olduğuna göre n – m farkı
A) –1
lim
–
3
2
1 –1
e
3
B)
C) – e–1
E) 3e2
D) 2e
38. 1996 – ÖYS
34. 1996 – ÖYS
kx + 1
k nın hangi aralıktaki değerleri için y =
x+k
f(x) = x2 – 7x + 14 parabolü üzerindeki bir nokta-
fonksiyonu daima eksilendir (azalandır)?
değer kaçtır?
A) – ∞ < k < –2
B) –2 < k < –1
A) 10
C) –1 < k < 1
D) 1 < k < 2
nın koordinatları toplamının alabileceği en küçük
B) 8
C) 6
D) 5
E) 3
E) 0 < k < 2
39. 1997 – ÖYS
ESEN YAYINLARI
35. 1996 – ÖYS
B
Yandaki şekilde merkezi O, yarıçapı
olan dörtte bir çem-
1
4
ber yayı üzerindeki
Şekildeki grafik aşağıdaki fonksiyonların hangi-
bir N noktasından ya-
sine ait olabilir?
O
rıçaplara inen dikme
K
ayakları K ve L dir.
A
A) y =
4
Buna göre OKNL dikdörtgeninin en büyük alanı
x –1
x
D) y =
2
kaç cm dir?
A)
2
B)
x
0
N
L
|OA| = |OB| = 4 cm
y
3
D) 6
B) y =
x+1
x –1
x+1
x
E) y =
C) y =
x
x –1
x –1
x+1
C) 2 3
E) 8
40. 1997 – ÖYS
f : R → R , f(x) = x3 + 6x2 + kx veriliyor.
f(x) fonksiyonu (– ∞, +∞) aralığında artan ol-
36. 1996 – ÖYS
lim x. ln c 1 +
x"3
A) 3
B)
3
m limitinin değeri kaçtır?
x
3
2
C) 0
D) –1
E) –2
duğuna göre k için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) k = –7
D) k < 6
B) k = –1
C) k < –2
E) k > 12
297
Türev
41. 1997 – ÖYS
45. 1998 – ÖYS
3y – 3yx – 2x = 0 olduğuna göre
a ≠ 0 olmak üzere,
dy
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
dx
y = ax3 + bx2 + cx + d
A)
3y – 2
3–y
D)
B)
3y + 2
3 – 3x
3x + 2
3y
E)
C)
fonksiyonu ile ilgili olarak
I.
x–2
3+x
Büküm (dönüm) noktası vardır.
II. Yerel minimum noktası vardır.
III. Yerel maksimum noktası vardır.
3x – 2
1 – 3y
yargılarından hangileri her zaman doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
42. 1997 – ÖYS
Dikdörtgen biçimin-
D
C) Yalnız III
E) I ve III
C
deki bir bahçenin
[AD ] kenarının tümü
ile [AB] kenarının
yarısına şekildeki gi-
B
A
46. 1998 – ÖYS
bi duvar örülmüş;
y = x2 – 2ax + a eğrilerinin ekstremum noktala-
kilmiştir. Kullanılan telin uzunluğu 120 metre ol-
rının geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?
duğuna göre, bahçenin alanı en fazla kaç m2
olabilir?
A) 1200
B) 1250
D) 2350
C) 2300
E) 2400
ESEN YAYINLARI
kenarlarının geriye kalan kısmına bir sıra tel çe-
A) y = –x2 + 2x
B) y = –x2 + x
C) y = x2 – 2x
D) y = x2 + x
2
E) y = x + 2x
43. 1998 – ÖYS
y = x3 + ax2 + b fonksiyonunun grafiği, apsisi – 4
olan noktada x eksenine teğet olduğuna göre, b
47. 1998 – ÖYS
nin değeri nedir?
A) 30
B) 24
y
C) 16
D) –32
E) – 48
y = f(x)
1/2
1/3
3
x
0
–1
44. 1998 – ÖYS
r
olmak üzere,
0<y<
2
x
fonksiyonunun x = 1 noktasıny = arcsin 2
x +1
daki türevinin değeri kaçtır? (arcsinθ = sin–1θ)
A) –1
298
B) –
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
A(3, –1)
Yukarıdaki grafikte A(3, –1) noktası f fonksiyof (x)
nunun yerel minimum noktası ve h(x) =
x
olduğuna göre h′(3) ün değeri kaçtır?
A) –1
B)
1
2
C)
1
3
D)
1
4
E)
1
9
Türev
52. 2006 – ÖSS
48. 1999 – ÖYS
a, b gerçel (reel) sayılar ve
2x 3 x 2
+ 5 fonksiyonu aşağıdaki aralık–
3
2
f(x) =
A = –a2 + 8a + 1
B = b2 + 18b + 5
ların hangisinde azalandır?
olduğuna göre, A nın en büyük sayı değeri ile B
A) c
nin en küçük sayı değeri toplamı kaçtır?
A) –59
B) –50
C) 60
D) 70
–3
, –1m
2
D) c 0 ,
E) 80
B) c – 1,
1
m
2
–1
m
2
E) c
C) c
–1
,0m
2
1 3
, m
2 2
53. 2006 – ÖSS
y
49. 1999 – ÖSS
a pozitif bir gerçel (reel) sayı olmak üzere, ke-
f(x)
4
A
narları a cm ve (8 – 2a) cm olan dikdörtgenin
alanı en çok kaç cm2 olur?
A) 64
B) 32
C) 24
D) 16
E) 8
–3
0
x
1
ESEN YAYINLARI
d
Şekildeki d doğrusu f(x) fonksiyonunun grafiğine A noktasında teğettir.
h(x) = x.f(x) olduğuna göre, h′(–3) kaçtır?
A) –4
50. 2006 – ÖSS
B) –2
C) 0
D) 2
E) 7
f : R → R her noktada türevli bir fonksiyon ve
f′(1) = 3 olduğuna göre,
lim
h"0
f (1 + 2h) – f (1 – 3h)
kaçtır?
h
A) 15
B) 12
C) 9
D) 6
54. 2007 – ÖSS
lim
E) 3
x " 0+
A) 0
1– cos x
limitinin değeri kaçtır?
x
B)
1
2
C) 1
D) 2
E)
2
55. 2007 – ÖSS
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türev-
51. 2006 – ÖSS
lenebilir bir f fonksiyonu için
P(x) polinom fonksiyonunun türevi P′(x) ve
P(x) – P′(x) = 2x2 + 3x – 1 olduğuna göre
P(x) in katsayılarının toplamı kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
f(x + y) = f(x) + f(y) + xy
lim
h"0
E) 15
A) 2
f (h)
= 3 olduğuna göre f′(1) kaçtır?
h
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
299
Türev
60. 2008 – ÖSS
56. 2007 – ÖSS
f(x) = 2x3 + ax2 + (b + 1)x – 3 fonksiyonunun
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(0) = f′(0) = 4
x = –1 de yerel ekstremum ve x =
olduğuna göre g(x) = f(x.f(x)) ile tanımlanan g
–1
de
12
dönüm (büküm) noktası olduğuna göre,
fonksiyonu için g′(0) kaçtır?
a.b çarpımı kaçtır?
A) 0
B) 4
C) 8
D) 12
E) 16
A) –3
B) –2
C) 4
D) 6
E) 12
57. 2007 – ÖSS
61. 2009 – ÖSS
A ve B noktaları Ox ekseni üzerinde, C ve D
2
noktaları ise y = 3 – x
3
f(x) = 8 1 + ^ x + x 2 h B
parabolü üzerinde po-
zitif ordinatlı noktalar olmak üzere şekildeki gibi
olduğuna göre, f′(x) türev fonksiyonunun x = 1
ABCD dikdörtgenleri oluşturuluyor.
deki değeri kaçtır?
y
A) 23.35
C
A O
Bu dikdörtgenlerden alanı en büyük olanının alanı kaç birim karedir?
B) 3
C) 4
E) 25.310
D) 5
E) 6
62. 2009 – ÖSS
y
T ( 3, c)
f(x)
1
O
3
58. 2008 – ÖSS
B) –8
C) –7
D) 8
E) 10
sının grafiği ve T(–3, c) noktasındaki teğet doğrusu verilmiştir.
k(x) = ln(f(x)) olduğuna göre, k′(x) türev fonksiyonunun x = –3 teki değeri kaçtır?
A) –
59.
2008 – ÖSS
r
noktasında türevlenebilir bir f fonksiyonu için
4
2f(x) + f b
f′ b
r
– x l = tanx olduğuna göre,
2
r
l değeri kaçtır?
4
A) 1
300
B) 2
x
2
Yukarıdaki şekilde, f(x) fonksiyonunun bir parça-
x4
y = 7x – k doğrusu y =
– x + 2 fonksiyonu4
nun grafiğine teğet olduğuna göre, k kaçtır?
A) –9
C) 24.36
x
B
y = 3 – x2
A) 2
B) 23.37
D) 24.38
ESEN YAYINLARI
D
4
C) 3
1
5
C) –
2
5
D)
2
3
E)
3
5
Türevlenebilir bir f : R → R fonksiyonu için
f′(x) = 2x2 – 1 ve f(2) = 4 olduğuna göre,
lim
E) 5
B) –
63. 2010 – LYS
x"2
D) 4
1
2
A) 3
f (x) – 4
limitinin değeri kaçtır?
x–2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Türev
64. 2010 – LYS
1– x
limitinin değeri kaçtır?
ln x
lim
–1
2
B) 0
C)
1
2
D) 1
x
D
E) 2
Koridor, mutfak ve çalış-
C
Koridor
x"1
A)
69. 2010 – LYS
Mutfak
ma odasından
2x
verilen modeli ABCD
Çal›flma odas›
dikdörtgenidir ve bu dik-
3x
dört ge ni n
A
C)
1
2
D)
2
2
A) 1
E) 2
C) 0
D) 1
E) 3
67. 2010 – LYS
f(x) = x4 – 5x2 + 4 fonksiyonunun
;
–1 1
, E
2 2
aralığındaki maksimum değeri kaçtır?
C) 4
D) 2
E) 0
ESEN YAYINLARI
leminin y = 4 olması için a kaç olmalıdır?
B) 6
D) 4
E) 5
teğet olan doğru y = x ise b + c toplamı kaçtır?
eğrinin bir noktasındaki teğet doğrusunun denk-
A) 8
C) 3
y = x2 + bx + c parabolüne x = 2 noktasında
f(x) = 2x3 – ax2 + 3 fonksiyonunun gösterdiği
B) –1
B) 2
70. 2010 – LYS
66. 2010 – LYS
A) –3
çev re si nin
uzunluğu 72 metredir.
için x kaç metre olmalıdır?
f(x) = ln(sin2x + e2x) olduğuna göre, f′(0) kaçtır?
B) 1
B
Bu iş yerindeki mutfağın en geniş alanlı olması
65. 2010 – LYS
A) e
oluşan
bir iş yerinin yukarıda
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
71. 2011 – LYS
lim
x"0
x + arcsin x
limitinin değeri kaçtır?
sin 2x
A) 0
B) 1
C)
2
3
D)
4
3
E)
1
6
68. 2010 – LYS
y2 = 4x parabolüne üzerinde bulunan A(x, y)
f(x) = sin2(3x2 + 2x + 1) olduğuna göre, f′(0)
noktasından çizilen teğetin eğimi 1 dir.
Buna göre, A noktasının koordinatlarının toplamı olan x + y kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
72. 2011 – LYS
değeri kaçtır?
A) 2cos2
D) 4
E) 5
D) 4sin2
B) 2cos3
C) 6sin1
E) 2sin2
301
Türev
73. 2011 – LYS
76. 2012 – LYS
y = sin(πx) + ex eğrisine x = 1 noktasında çizi-
lim (x – 1) . ln (x 2 – 1)
x " 1+
len teğet y eksenini hangi noktada keser?
limitinin değeri kaçtır?
A) –π
B) –1
C) 0
D) e – 1
E) π
A)
–1
2
B) –2
C) 0
D) 1
E) 4
77. 2012 – LYS
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g
fonksiyonları için
74. 2011 – LYS
f(g(x)) = x2 + 4x – 1
Aşağıda, [–5, 5 ] aralığı üzerinde tanımlı bir
g(x) = x + a
f fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir.
f′(0) = 1
y
olduğuna göre, a kaçtır?
2
–2
5
O
Bu grafiğe göre,
I.
f fonksiyonu x > 0 için azalandır.
II.
f(–2) > f(0) > f(2) dir.
A) –2
x
B)
–1
4
f(2x + 5) = tan c
noktalarında yerel ekstremumu vardır.
3
2
E) 3
B) Yalnız II
r
xm
2
eşitliği ile verilen f fonksiyonu için f′(6) değeri
ifadelerinden hangileri doğrudur?
D) I ve III
D)
78. 2012 – LYS
III. f fonksiyonunun x = –2 ve x = 2
A) Yalnız I
C) 1
ESEN YAYINLARI
–5
kaçtır?
C) I ve II
A)
E) I, II ve III
r
2
B)
r
4
C) r
D) 2r
E) 3r
79. 2012 – LYS
Baş katsayısı 1 olan, üçüncü dereceden gerçel
75. 2011 – LYS
katsayılı bir P(x) polinom fonksiyonunun kökle-
(1, 2) noktasından geçen negatif eğimli bir d
rinden ikisi –5 ve 2 dir. P(x) in x = 0 noktasında
doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan
bir yerel ekstremumu olduğuna göre, üçüncü
üçgensel bölgenin alanı en az kaç birim karedir?
A) 2
302
B) 3
C) 4
D)
9
2
E)
7
2
kökü kaçtır?
A)
1
2
B)
3
2
C)
7
3
D)
–5
2
E)
–10
3
Türev
80. 2012 – LYS
Aşağıda, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
ve sürekli bir f fonksiyonunun türevinin grafiği
verilmiştir.
y
3
x
O
–2
Buna göre,
I. f(2) – f(1) = –2 dir.
II. f fonksiyonunun x = 0 noktasında yerel maksimumu vardır.
III. İkinci türev fonksiyonu x = 0 noktasında tanımlıdır.
A) Yalnız I
B) Yalnız III
D) II ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
ESEN YAYINLARI
ifadelerinden hangileri doğrudur?
81. 2012 – LYS
x > 0 olmak üzere, y = 6 – x2 eğrisinin grafiği
üzerinde ve
(0, 1)
noktasına en yakın olan
nokta (a, b) olduğuna göre, b kaçtır?
A)
3
2
B)
5
2
C)
7
2
D)
5
3
E)
8
3
303