PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON
BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK
ÜNİTE
3. ÜNİTE
3. ÜNİTE
3. ÜNİTE
Permütasyon
1.
Kazanım
: Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar.
2.
Kazanım
: n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarını belirleyerek n, r ∈ N ve n ≥ r olmak
3.
Kazanım
üzere, n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısının
n!
P(n, r) = n(n – 1)(n – 2)…(n – r + 1) =
olduğunu gösterir.
(n – r) !
: Dönel (dairesel) permütasyon ile ilgili uygulamalar yapar.
4.
Kazanım
: Tekrarlı permütasyon ile ilgili uygulamalar yapar.
Kombinasyon
1.
Kazanım
: n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarını belirleyerek n, r ∈ N ve n ≥ r olmak
üzere, n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısının
P (n, r)
n!
C(n, r) =
olduğunu ve kombinasyonun özelliklerini gösterir.
=
r!
r! (n – r) !
Binom Açılımı
1.
Kazanım
: Binom açılımını yapar.
Olasılık
1.
Kazanım
: Deney, çıktı, örneklem uzay, örneklem nokta, olay, kesin olay, imkânsız olay, ayrık olaylar
kavramlarını açıklar.
2.
Kazanım
: Olasılık fonksiyonunu belirterek bir olayın olma olasılığını hesaplar ve olasılık fonksiyonunun temel özelliklerini gösterir.
3.
Kazanım
: Eş olasılı (olumlu) örneklem uzayı açıklar ve bu uzayda verilen bir A olayı için
s (A)
olduğunu belirtir.
P(A) =
s (E)
4.
Kazanım
: Koşullu olasılığı açıklar.
5.
Kazanım
: Bağımsız ve bağımlı olayları örneklerle açıklar, A ve B bağımsız olayları için
P(A ∩ B) = P(A).P(B) olduğunu gösterir.
İstatistik
1.
Kazanım
: Verilen bir gerçek yaşam durumuna uygun serpilme grafiği ve kutu grafiği çizer ve bu
grafikler üzerinden çıkarımlarda bulunur.
2.
Kazanım
: Verilen bir gerçek yaşam durumunu yansıtabilecek en uygun grafik türünün hangisi olduğuna karar verir, grafiği oluşturur ve verilen bir grafiği yorumlar.
3.
Kazanım
: Merkezi eğilim ve yayılma ölçüleri kullanılarak gerçek yaşam durumları için hangi eğilim
veya yayılım ölçüsünü kullanması gerektiğine karar verir.
4.
Kazanım
: Verilen iki değişken arasındaki korelasyon kat sayısını hesaplar ve yorumlar.
3. ÜNİT
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON
BİNOM, OLASALIK ve İSTATİSTİK
SAYMA KURALLARI
Bire Bir Eşleme Yoluyla Sayma
Bir kümenin eleman sayısını, sayma sayıları kümesinin yani N+ = {1, 2, 3, .....} kümesinin elemanları ile bire bir
eşleyerek bulmaya bire bir eşleme yoluyla sayma denir.
Örneğin; bir sınıftaki öğrenci sayısını veya bir kitaptaki yaprakların sayısını bu yolla bulabiliriz.
Toplama Yoluyla Sayma
A ve B ayrık ve sonlu iki küme olmak üzere, A ve B kümelerinin toplam kaç elemanı olduğunu,
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) , ( A ∩ B = ∅ ) şeklinde toplama yaparak buluruz.
Örneğin; bir sınıfta 12 kız, 15 erkek öğrenci varsa, toplam kaç öğrenci olduğunu bulmak için öğrencilerin hepsini
saymaya gerek yoktur. Kısaca, sınıfta 12 +15 = 27 öğrenci vardır diyebiliriz. Bu yolla yapılan sayma işlemine
toplama yoluyla sayma denir.
Çarpma Yoluyla Sayma
İkişer ikişer ayrık ve her biri a elemanlı b tane kümenin birleşiminin eleman sayısı a.b dir. Birleşim kümesinin
eleman sayısını bu şekilde bulma işlemine çarpma yoluyla sayma denir.
Örneğin; bir okulda 10 sınıf ve her sınıfta 30 öğrenci varsa, bu okulda 10.30 = 300 öğrenci vardır.
Saymanın Temel İlkesi
Bir olaylar dizisinde birinci olay n1 değişik biçimde, bunu izleyen ikinci olay n2 değişik biçimde ve bu şekilde
işleme devam edildiğinde r. olay nr farklı biçimde oluşuyorsa, olayın tamamı n1.n2. ... nr çarpımı kadar değişik
biçimde oluşur.
Örneğin, 3 farklı gömleği, 2 farklı kravatı olan bir kişi, bir gömlek ve bir kravatı 3.2 = 6 farklı biçimde giyebilir.
Bu durumu ağaç diyagramı adı verilen yandaki
yöntemle de bulabilirdik.
g1
Gömlekler: g1, g2, g3 , Kravatlar: k1, k2, k3
k1
olmak üzere biçiminde 6 farklı durum vardır.
g2
k2
k1
g3
k2
k1
k2
Burada, G = {g1, g2, g3}, K = {k1, k2} olmak üzere, 1 gömlek ve 1 kravattan oluşan gömlek - kravat ikilisinin
seçileceği kartezyen çarpım kümesi ise G x K = {(g1, k1), (g1, k2), (g2, k1), (g2, k2), (g3, k1), (g3, k2)} dir.
G x K kümesi 3.2 = 6 tane ikiliden oluşmaktadır. Yani, 3 gömlek ve 2 kravatı olan bir kişinin, bir gömlek ve bir
kravatı 6 farklı biçimde giyebileceğini bu yolla da bulabiliriz.
ÖRNEK 1
ÖRNEK 2
4 erkek ve 2 kadın arasından 1 erkek ve 1 kadın kaç
3 mektup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde atı-
değişik şekilde seçilebilir?
labilir?
Çözüm
Çözüm
154
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
Çözüm
ÖRNEK 3
Bir kutuya en çok bir mektup atmak koşulu ile 3 mektup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde atılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 4
Birbirinden farklı 3 matematik, 4 fizik ve 2 kimya kitabı
arasından 1 matematik, 1 fizik ve 1 kimya kitabı kaç
farklı şekilde seçilebilir?
ÖRNEK 5
5 kişilik bir komisyondan bir başkan, 1 başkan yar-
ESEN YAYINLARI
Çözüm
dımcısı ve bir sekreter kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 6
{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak;
a.
Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
b.
Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
c.
Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
d.
Üç basamaklı ve rakamları farklı kaç tek sayı
yazılabilir?
155
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 7
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak;
a.
Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
b.
Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
c.
Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
d.
Üç basamaklı ve rakamları farklı kaç çift sayı
yazılabilir?
e.
5 ile bölünebilen üç basamaklı kaç farklı sayı
yazılabilir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
156
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 8
ÖRNEK 10
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile 4000 den
İ, S, T, A, N, B, U, L
büyük, rakamları farklı dört basamaklı kaç farklı sayı
harflerini bir kez kullanmak şartıyla 4 harfli anlamlı ya
yazılabilir?
da anlamsız kelimeler yazılacaktır.
Çözüm
Bu kelimelerin kaç tanesinde A harfi vardır?
ÖRNEK 9
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile 300 den
büyük 500 den küçük, rakamları farklı kaç çift sayı
yazılabilir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 11
5 kişinin katıldığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklı
biçimde oluşabilir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 12
3 farklı oyuncak 6 çocuğa kaç değişik biçimde dağıtılabilir?
Çözüm
157
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
Çözüm
ÖRNEK 13
3 farklı oyuncak 6 çocuğa, bir çocuğa birden fazla
oyuncak vermemek koşulu ile kaç değişik biçimde
dağıtılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 16
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak
yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm dört
basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.
Buna göre, 3214 sayısı kaçıncı sırada yer alır?
ÖRNEK 14
Çözüm
{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanları ile en az iki rayazılabilir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
kamı birbirinin aynı olan, üç basamaklı kaç farklı sayı
ÖRNEK 17
A
B
C
ÖRNEK 15
{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak
Şekildeki çizgiler A, B ve C kentleri arasındaki yolları
yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm beş ba-
göstermektedir. Buna göre, A kentinden hareket edip
samaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.
C kentine gidecek olan bir kimse kaç değişik yol iz-
Buna göre, 50. sırada hangi sayı vardır?
leyebilir?
158
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
Çözüm
ÖRNEK 19
15! = 14!.15 = 13!.14.15
= 12!.13.14.15 olur.
ÖRNEK 20
Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz.
ÖRNEK 18
Bir toplantıda herkes birbiri ile tokalaşmıştır. Toplam
45 tokalaşma olduğuna göre, toplantıda kaç kişi
vardır?
a.
10!
8!
b.
8! + 9!
10!
c.
(n + 1) !
(n – 1) !
d.
5! + 6!
5! – 4!
e.
(3!) !
7!
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
FAKTÖRİYEL (ÇARPANSAL)
n ∈ N+ olmak üzere, 1 den n ye kadar olan doğal
sayıların çarpımına n faktöriyel (çarpansal) denir ve
n! ile gösterilir. Buna göre,
n! = 1.2.3. ......... (n – 1).n olur.
1! = 1
2! = 1.2 = 2
3! = 1.2.3 = 6
4! = 1.2.3.4 = 24
5! = 1.2.3.4.5 = 120
ÖRNEK 21
0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ………+19!
sayısının birler basamağındaki rakamı kaçtır?
Çözüm
...................
n! = 1.2.3..............n
®
n! = (n – 1)!.n
®
n! = (n – 2)!.(n – 1).n
®
0! = 1 dir.
159
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 22
ÖRNEK 25
20! sayısı 19! sayısından kaç fazladır?
78! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 23
85! sayısının sondan kaç basamağı 0 (sıfır) dır?
Çözüm
ÖRNEK 26
A ve n doğal sayılar olmak üzere, 26! = 6n.A eşitliESEN YAYINLARI
ğini sağlayan n değeri en çok kaç olabilir?
Çözüm
ÖRNEK 24
23! + 24! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözüm
ÖRNEK 27
x ve y birer doğal sayıdır.
x! = 6. y! ise y kaç farklı değer alabilir?
Çözüm
160
ALIŞTIRMALAR – 1
1.
2 mektup 4 posta kutusuna kaç farklı şekilde
6.
2 kişi 6 farklı şehire kaç farklı şekilde gidebilir?
7.
Herkesin birbirine bir fotoğraf verdiği bir topluluk-
atılabilir?
2.
Bir kutuya en çok 1 mektup atmak koşuluyla 2
ta dağıtılan fotoğraf sayısı 56 olduğuna göre bu
mektup 4 posta kutusuna kaç değişik biçimde
toplulukta kaç kişi vardır?
atılabilir?
8.
4.
A kentinden B kentine 3 farklı yol, B kentinden C
20 kişilik bir sınıftan bir başkan, bir başkan yar-
kentine 4 farklı yol vardır. B ye uğramak koşuluy-
dımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
la A dan C ye
ESEN YAYINLARI
3.
a.
Kaç türlü gidilebilir?
b.
Kaç türlü gidilip gelinebilir?
10 kişilik bir arkadaş grubunda herkes birbiri ile
tokalaşmıştır. Kaç tokalaşma olmuştur?
c.
Giderken kullanılan yolu dönerken kullanmamak koşuluyla kaç türlü gidilip gelinebilir?
9.
5.
Birbirinden farklı 4 Geometri, 5 Matematik ve x
Beş soruluk bir test sınavında her soru için 5
Türkçe kitabı arasından, 1 Geometri, 1 Matematik
seçenek vardır. Bu sınav için kaç farklı cevap
ve 1 Türkçe kitabı 60 farklı şekilde seçilebildiğine
anahtarı hesaplanabilir?
göre x kaçtır?
161
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
10. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere A kümesinin
12. Aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara
elemanlarını kullanmak koşuluyla aşağıdakiler-
“D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
den doğru olanlar için boş kutulara “D” yanlış
G, İ, Z, E, M harflerini bir kez kullanarak
olanlar için “Y” yazınız.
4 harfli, 120 tane sözcük yazılabilir?
Üç basamaklı 216 sayı yazılabilir.
A, Y, B, E, N, İ, Z harflerini bir kez kulla-
Rakamları farklı üç basamaklı 120 sayı
narak 5 harfli 840 tane sözcük yazılabilir?
yazılabilir.
Ü, Ç, G, E, N harflerini bir kez kullanarak
Rakamları farklı, üç basamaklı 60 çift sayı
yazılabilecek 4 harfli sözcüklerin 98 tane-
yazılabilir.
sinde E harfi vardır?
Rakamları farklı ve 400 den büyük 60
sayı yazılabilir.
En az iki rakamı aynı olan 96 sayı yazıla-
13. Aşağıdaki işlemlerin her birinin sonucunu bulu-
bilir.
nuz.
11. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarını
kullanarak
a.
Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
ESEN YAYINLARI
Üç rakamı aynı olan 6 sayı yazılabilir.
a.
12!
10!
b.
6! + 7!
8!
c.
(n + 3) !
(n + 1) !
d.
4! + 5!
5! + 6!
b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
c.
Rakamları farklı 5 ile bölünebilen üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
d. Rakamları farklı üç basamaklı 300 den büyük
kaç sayı yazılabilir?
e.
Rakamları farklı 500 den küçük 200 den
büyük kaç sayı yazılabilir?
162
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
18. 23! + 24! + 25! sayısının sondan kaç basamağı
sıfırdır?
14. Aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara
“D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
0! = 0 dır.
1! = 1 dir.
10! sayısı 8! sayısının 90 katıdır.
19. 60! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı
vardır?
(n + 2)! = (n – 2)!.(n – 1)n(n + 1) dir.
6!.7! = 10! dir.
(2n) !
= 2 dir.
n!
20. Aşağıdaki eşitliklerin herbirinde x ve y doğal
sayılardır. Buna göre bu eşitlikleri sağlayan en
büyük x değerlerini bulunuz.
15. 2! + 4! + 6! + ..... + 80! sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
ESEN YAYINLARI
a. 32! = 3x.y
b. 40! = 6x.y
c. 28! = 4x.y
16. 2! + 3! + 4! + ..... + 40! sayısının 40 ile bölümünden kalan kaçtır?
d. 46! = 12x.y
17. 72! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
21. 10! sayısı 8! sayısından kaç fazladır?
163
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
PERMÜTASYON (SIRALAMA)
Permütasyonların Sayısı
A sonlu bir küme olmak üzere, A dan A ya tanımlanan
n, r ∈ N+ ve r ≤ n olmak üzere, n elemanlı bir küme-
bire bir ve örten her fonksiyona, A nın bir permütas-
nin birbirinden farklı r tane elemanından oluşmuş sı-
yon fonksiyonu ya da kısaca permütasyonu denir.
ralı r lilerin her birine n nin r li permütasyonu denir.
A = { 1, 2, 3 } olsun.
n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı,
A
f
P (n, r) =
A
1
1
2
2
r = n ise n elemanlı bir kümenin permütasyonlarının
3
3
sayısı, P(n, n) = n! olacaktır.
Yukarıdaki şema ile tanımlanan bire bir ve örten f
ÖRNEK 29
fonksiyonu bir permütasyon fonksiyonudur.
A = { a, b, c } kümesinin ikili permütasyonlarının sa-
f fonksiyonunu,
yısını bulunuz.
1 2 3
f = { (1, 2) , (2, 1) , (3, 3) } veya f = c
m
2 1 3
biçiminde gösterebiliriz.
A = { 1, 2, 3 } kümesinde tanımlanan tüm permütasyon fonksiyonlarını gösteriniz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 28
Çözüm
n!
olur.
(n – r) !
ÖRNEK 30
Bir A kümesinin üçlü permütasyonlarının sayısı 60
ise s(A) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 31
P(n, 1) = P(8, 2) ise n kaçtır?
Çözüm
164
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 32
ÖRNEK 35
A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 lü permütasyonları-
Birbirinden farklı 3 matematik, 2 fizik ve 1 kimya kitabı
nın kaç tanesinde a bulunur?
bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 36
Birbirinden farklı 3 matematik ve 4 tarih kitabı bir
rafa, matematikler bir arada olmak koşulu ile kaç türlü
sıralanabilir?
ÖRNEK 33
ESEN YAYINLARI
Çözüm
5 kişi, 3 kişilik bir banka kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözüm
ÖRNEK 37
5 farklı matematik, 4 farklı fizik ve 3 farklı kimya kitabı
bir rafa aynı tür kitaplar bir arada bulunmak koşuluyla
kaç değişik biçimde sıralanabilir?
Çözüm
ÖRNEK 34
5 kişi, 5 kişilik banka kaç değişik şekilde oturabilir?
Çözüm
165
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 38
ÖRNEK 40
Ayşe ve Fatma’nın da aralarında bulunduğu 6 kişi,
4 erkek ve 3 bayan, bir erkek – bir bayan düzeninde
Ayşe ile Fatma art arda gelmemek şartıyla bir kuy-
yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
rukta kaç farklı şekilde dizilebilirler?
Çözüm
Çözüm
TEKRARLI PERMÜTASYON
n elemanlı bir kümenin;
n1 tanesi aynı tür, n2 tanesi aynı tür, .........., nr tanesi
aynı tür ve n1 + n2 + ......... + nr = n ise bu n tane
elemanın permütasyonlarının sayısı
ÖRNEK 39
6 kız ve 3 erkek öğrenci, erkeklerden herhangi ikisi
yan yana gelmemek şartı ile bir sırada kaç farklı
şekilde dizilerek fotoğraf çektirebilirler?
ESEN YAYINLARI
P(n; n1, n2, ..., nr) =
n!
kadardır.
n 1 !.n 2 !……n r !
ÖRNEK 41
Özdeş 2 sarı ve 3 kırmızı bilye bir sırada kaç farklı
şekilde dizilebilir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 42
333221 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek
altı basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözüm
166
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 43
ÖRNEK 46
ANKARA sözcüğünün harflerinin yerleri değiştirilerek
KELEBEK kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek
anlamlı ya da anlamsız 6 harfli kaç farklı sözcük ya-
yazılabilen anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kelimelerin
zılabilir?
kaç tanesinde E harfini K harfi takip eder?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 44
MATEMATİK sözcüğünün harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız, 9 harfli ve M ile başlayıp M ile biten kaç farklı sözcük yazılabilir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 47
A
B
Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokakÖRNEK 45
larını göstermektedir. A dan hareket edip B noktasına
4442200 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek
en kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç değişik yol
7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
izleyebilir?
Çözüm
Çözüm
167
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
DÖNEL (DAİRESEL) PERMÜTASYON
ÖRNEK 48
Sonlu bir kümenin elemanlarının bir daire üzerinde
333001 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 1
birbirlerine göre farklı dizilişlerinin her birine bu ele-
ile başlayan 6 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
manların bir dönel (dairesel) permütasyonu denir.
Çözüm
Sonlu n elemanın farklı dairesel permütasyonlarının
sayısı (n – 1)! tanedir.
ÖRNEK 50
Ahmet, Barış ve Ceylan’ın yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabileceklerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 49
1103334 sayısının rakamları ile 7 basamaklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 51
2 kız ve 3 erkek, yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabilirler?
Çözüm
168
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
Çözüm
ÖRNEK 52
3 kız ve 4 erkek, yuvarlak bir masa etrafında, kızlar
yanyana olmak koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözüm
ÖRNEK 55
4 kız ve 4 erkek öğrenci yuvarlak bir masa etrafına
2 erkek arasında 1 kız olmak koşulu ile kaç değişik
şekilde oturabilirler?
ÖRNEK 53
Çözüm
yanyana olmamak koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
3 kız ve 4 erkek, yuvarlak bir masa etrafında, kızlar
ÖRNEK 56
Renkleri farklı 5 boncuk bir halkaya kaç değişik şekilde dizilebilir?
ÖRNEK 54
Çözüm
4 öğretmen, 3 mühendis ve 2 doktor yuvarlak bir
masa etrafında oturacaklardır. Aynı meslekten olanlar birbirinden ayrılmamak koşulu ile kaç farklı şekilde
oturabilirler?
169
ALIŞTIRMALAR – 2
1.
5.
A = {1, 2, 3, 4} kümesinin üçlü permütasyonlarının herbirini yazınız.
Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini
bulunuz.
a.
2.
P (5, n) 2
=
P (6, n) 3
A = {a, b, c, d, e} kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaç tanesinde a bulunur?
b. P(n + 1, 2) = 2.P(n, 2)
c. P(n, 5) = 5.P(n – 1, 3)
3.
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
d. P(n, 0) + P(n, 1) + P(n, 2) = 10
Üçlü permütasyonlarının sayısı 24 olan
İkili permütasyonlarının sayısı 20 olan
küme 5 elemanlıdır.
P(n, 0) = 120 ise n = 4 tür.
ESEN YAYINLARI
küme 4 elemanlıdır.
6.
4 kişilik bir banka 120 farklı şekilde oturabilen bir
grupta kaç kişi vardır?
P(4, 2) + P(3, 2) = 18 dir.
4.
Aşağıda sol sütunda verilen ifadelerin eşitini sağ
sütundan bulup eşleştiriniz.
7.
5 erkek ve 5 bayan, bir erkek - bir bayan düzeninde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
P(n, 0)
n2 – n
P(n, 1)
n
P(n, 2)
n!
P(n, n)
1
170
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
8.
11. ECEM
Birbirinden farklı 4 Matematik, 3 Fizik ve 2 Türkçe
kitabı bir kütüphanenin rafına,
sözcüğündeki harfleri yer değiştirerek
anlamlı ya da anlamsız 4 harfli kaç farklı sözcük
yazılabilir?
a.
Kaç farklı şekilde sıralanabilir?
b. Matematikler bir arada olmak üzere kaç türlü
12. OLASILIK sözcüğündeki harfleri yer değiştirerek
sıralanabilir?
anlamlı ya da anlamsız 8 harfli, O ile başlayan
kaç farklı sözcük yazılabilir?
c.
Türkçelerin biri başta, diğeri sonda olacak
şekilde kaç türlü sıralanabilir?
13. 12232100 sayısının rakamlarını yer değiştirerek
üzere kaç türlü sıralanabilir?
8 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
ESEN YAYINLARI
d. Belli iki Matematik kitabı bir arada olmak
14. FİRİKİK sözcüğündeki harflerin yerleri değiştiri9.
5 erkek ve 4 bayan, bir erkek - bir bayan düzeninde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
lerek yazılabilen 7 harfli sözcüklerin kaç tanesinde İ harfini K harfi takip eder?
15. Aybars ile Ecem’in de aralarında bulunduğu 7
10. Bir grup arkadaş, yan yana bulunan iki koltuğa 30
farklı şekilde oturabiliyorsa, yan yana bulunan 4
koltuğa kaç farklı şekilde oturabilirler?
kişi, Aybars ile Ecem yan yana gelmemek koşuluyla bir sıra halinde kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
171
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
16. 21130751 sayısının rakamları ile 8 basamaklı
20. 5 erkek, 3 kız arkadaş yuvarlak masa etrafında
kaç farklı çift sayı yazılabilir?
a.
Kaç türlü oturabilirler?
b. Kızlar bir arada olmak üzere kaç türlü otura17.
bilirler?
A
B
C
D
c.
Erkekler bir arada olmak üzere kaç türlü oturabilirler?
Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen
sokaklarını göstermektedir. A dan harekete başlayıp B ve C ye uğrayarak D kentine en kısa
yoldan gitmek isteyen biri kaç değişik yol izleyeESEN YAYINLARI
bilir?
21. 2 kız ve bir grup erkekten oluşan topluluk yuvarlak masa etrafında, kızlar bir arada olmak koşuluyla 48 farklı şekilde oturabiliyorsa bu toplulukta
18. 5 kız, 5 erkek arkadaş yuvarlak masa etrafında
kaç erkek vardır?
2 erkek arasında 1 kız olmak koşuluyla kaç türlü
oturabilirler?
19. 4 evli çift yuvarlak masa etrafında, eşler birbirinden ayrılmamak koşuluyla kaç farklı şekilde
oturabilirler?
172
22. x kişi yuvarlak masa etrafına a farklı şekilde,
bir bankın üzerine b farklı şekilde oturabiliyorsa
b
kaçtır?
a
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
KOMBİNASYON (SEÇME)
r, n ∈ N ve r ≤ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li
kombinasyonu denir ve n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı
n
n!
C (n, r) = c m =
biçiminde ifade edilir.
(n – r) !.r!
r
®
n
n
c m=c
m
r
n–r
® P(n, r) = C(n, r).r!
®
n
n
® c m=c m= 1
n
0
® c
n
n
m=c m= n
n–1
1
® c
n
n
n+1
m+c m = d
n
r –1
r
r
n
n
® c m = d n ⇒ x = y veya x + y = n dir.
x
y
n
n
n
n
® c m + c m + c m + … + c m = 2n
0
1
2
n
Kombinasyonda sıranın önemi yoktur. n elemanın r li seçimleri söz konusudur.
Permütasyonda ise sıralı diziliş vardır.
ÖRNEK 57
ÖRNEK 58
c
A = {a, b, c} kümesinin 2 elemanlı kombinasyonları ile
2 elemanlı permütasyonlarını karşılaştırınız.
n
n
m = 2. c m olduğuna göre, n kaçtır?
n–1
2
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 59
n
n
c m = c m ise n kaçtır?
5
7
Çözüm: l. Yol
173
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 60
ÖRNEK 63
6
6
d n=d
n ise n nin alabileceği değerlerin toplamı
2
n+1
A = {1, 2, 3, 4} kümesinin 2 elemanlı kaç tane alt
kümesi vardır?
kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 61
6
6
7
8
9
d n + d n + d n + d n + d n toplamının sonucu kaçtır?
2
3
4
5
6
Çözüm
ÖRNEK 64
9 elemanlı bir kümenin en çok 7 elemanlı alt küme
ESEN YAYINLARI
sayısı kaçtır?
ÖRNEK 62
n
n
n+1
19
c m+c m+d
n = d n ise n + r kaç olabilir?
5
6
7
r
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 65
7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı alt küme
sayısı kaçtır?
Çözüm
174
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 66
ÖRNEK 69
8 kişilik bir sporcu grubundan, 5 kişilik bir basketbol
Bir öğrenciden 8 soruluk bir sınavda 5 soruyu cevap-
takımı, kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
laması isteniyor. İlk 3 sorudan en az ikisinin cevaplanması zorunluluğu olduğuna göre, bu öğrenci bu
Çözüm
soruları kaç farklı biçimde cevaplayabilir?
Çözüm
ÖRNEK 67
7 soruluk bir sınavda öğrencilerden 5 soruyu cevaplamaları istenmiştir.
Bu sınava giren bir öğrenci bu seçimi kaç farklı şekil-
ÖRNEK 70
de yapabilir?
A = {3, 5, 7} ve B = {2, 4, 6, 8} kümeleri veriliyor.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Bu kümelerden seçilen 2 tek ve 3 çift rakam ile 5 basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 68
Bir öğrencinin seçmesi gereken 7 seçmeli dersin
3 ü aynı gün ve aynı saatte okutulmaktadır. 4 ders
seçmek isteyen bu öğrencinin kaç değişik seçeneği
vardır?
Çözüm
ÖRNEK 71
5 erkek, 4 kız arasından 3 kişilik bir grup oluşturulacaktır. Grupta en az 2 erkek olması koşulu varsa, bu
grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözüm
175
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 72
ÖRNEK 75
15 kişilik bir sporcu grubundan takıma girecek 3 kişi
4 ü subay, 6 sı er olan bir gruptan 3 kişilik bir ekip
bellidir. Buna göre, bu gruptan 11 kişilik futbol takımı
oluşturulacaktır. Ekipte en çok 2 er bulunması istenir-
kaç değişik biçimde seçilebilir?
se, bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 73
6 sı doktor, 6 sı hemşire olan bir gruptan 4 kişilik bir
sağlık ekibi oluşturulacaktır. Ekipte en az bir doktor
yapılabilir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
bulunması istenirse, bu seçim kaç farklı biçimde
ÖRNEK 76
10 kız öğrenci ve 8 erkek öğrenci arasından 2 kız öğrenci ve 2 erkek öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 74
Bir otelde 3 yataklı bir oda ve 2 yataklı üç oda boştur.
9 kişi bu odalara kaç farklı biçimde yerleştirilebilir?
Çözüm
176
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 77
ÖRNEK 80
10 kişiden 6 sı Urfa’ya ve 4 kişi Çorum’a gidecektir.
Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir ailenin elinde 3
Bu iki grup kaç farklı biçimde oluşturulabilir?
kişilik bir davetiye vardır. Anne veya babadan en az
birisinin davete katılması gerektiğine göre, bu davete
Çözüm
3 kişi kaç farklı şekilde katılabilirler?
Çözüm
ÖRNEK 78
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile
a < b < c olmak üzere kaç farklı abc üç basamaklı
sayısı yazılabilir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 81
5 farklı oyuncağın 3 ü Özge’ye, 2 si Özlem’e kaç farklı
şekilde dağıtılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 79
a, b, c, d birer rakam olmak üzere, a < b < c < d
koşulunu sağlayan kaç farklı abcd dört basamaklı
sayısı yazılabilir?
ÖRNEK 82
Çözüm
Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın ikisinden
geçen en fazla kaç doğru çizilebilir?
Çözüm
177
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 83
ÖRNEK 86
A
Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 farklı noktadan,
B
C
d1
köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir?
Çözüm
D
E
F
d2
G
Yukarıdaki şekilde d1 // d2 olmak üzere, köşeleri bu
7 noktadan herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 84
Aynı düzlemde bulunan 10 farklı doğru en fazla kaç
noktada kesişebilir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 85
A, B, C, D, E, F, G, H noktaları aynı düzlemde olup
herhangi üçü doğrusal değildir.
Köşeleri bu noktalar olan üçgenlerden kaç tanesinin
bir köşesi A noktasıdır?
ÖRNEK 87
C
Çözüm
d1
B
D
A
E
F
G
d2
Yukarıdaki şekilde A noktasında kesişen iki doğru
üzerindeki bazı noktalar verilmiştir. Köşeleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan kaç tane üçgen çizilebilir?
178
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
Çözüm
ÖRNEK 90
6 farklı çemberin kesişmesi ile en çok kaç tane kesişim noktası oluşur?
Çözüm
ÖRNEK 88
Düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi doğrusaldır.
Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç tane üçgen
çizilebilir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 91
E
F
A
B
C
G
d
D
ÖRNEK 89
Birbirine paralel olan 4 doğru ile birbirine paralel olan
Yukarıdaki şekilde verilen A, B, C, D, E, F, G nok-
5 doğru kesiştirilirse oluşan şekilde kaç tane paralel-
talarının herhangi ikisinden geçen kaç farklı doğru
kenar vardır?
çizilebilir?
Çözüm
Çözüm
179
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 92
ÖRNEK 94
A
Bir çember üzerindeki 8 noktayı birleştirerek köşeleri
bu noktalar olan kaç tane üçgen çizilebilir?
Çözüm
D
B
E
F
G
H
C
Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 93
A
F
H
E
B
D
G
C
Köşeleri şekildeki noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 95
5 farklı dikdörtgenin herhangi iki kenarının veya kenarlarının bir parçasının çakışmadan kesiştirilmesiyle
en çok kaç kesişim noktası oluşur?
180
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
Çözüm
A
ÖRNEK 97
L
F
M
D
B
N
E
K
C
Şekilde kaç tane dörtgen vardır?
Çözüm
ÖRNEK 96
4 farklı üçgenin herhangi iki kenarının veya kenarlaçok kaç kesişim noktası oluşur?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
rının bir parçasının çakışmadan kesiştirilmesiyle en
ÖRNEK 98
C
Yandaki şekilde, bir hareketli
A noktasından sağ veya
B
yukarı yönde ilerleyerek B
noktasından
geçmemek
koşulu ile çizgiler üzerinden
A
C noktasına kaç farklı şekilde gider?
Çözüm
181
ALIŞTIRMALAR – 3
1.
4.
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-
Aşağıdaki ifadelerin her birinin eşitini bulunuz.
tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
8
8
8
8
8
8
a. d n + d n + d n + d n + d n + d n
2
3
4
5
6
7
C(n, 0) = 1
C(n, n) = n
9
9
9
b. d n + d n + …… + d n
1
2
9
C(n, 1) = n
C(n, n–1) = 1
4
4
5
6
7
c. d n + d n + d n + d n + d n
1
2
3
4
5
C(n, r) + C(n, r+1) = C(n+1, r+1)
P(n, r) = r!.C(n, r)
5.
A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin
a.
Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini
bulunuz.
a. C(2n, 1) = 2.C(n, 2)
ESEN YAYINLARI
2.
3 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
b. En az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
b. P(n, 2) = 2.C(n, 3)
c.
En çok 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
c. P(n, 2) + C(n, 2) = 30
6.
Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın;
a.
3.
İkisinden geçen kaç tane doğru çizilebilir?
Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini
bulunuz.
n
n
a. c m = c m
2
5
b. d
182
2n + 1
2n + 1
n=d
n
n–1
4
b. Köşeleri bu noktalar olan kaç tane üçgen
çizilebilir?
c.
Köşeleri bu noktalar olan kaç tane çokgen
çizilebilir?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
7.
10 kişilik bir sporcu grubundan 5 kişilik bir basket-
10. Bir sınavda sorulan 10 sorunun ilk dördünden en
bol takımı oluşturulacaktır. Takıma girecek olan 2
az üçünü cevaplandırmak koşuluyla 7 soru kaç
kişi biliniyorsa kaç farklı takım oluşturulabilir?
değişik biçimde seçilebilir?
11. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt
8.
6 kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan
kümelerinin kaç tanesinde,
a.
a.
4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?
3 bulunur?
b. 2 bulunmaz?
b. 3 kız, 1 erkekten oluşan 4 kişilik kaç ekip
oluşturulabilir?
c.
En az 3 ü kız olan 4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?
ESEN YAYINLARI
c.
2 ve 3 bulunur?
d. 2 veya 3 bulunmaz?
d. En çok 3 ü erkek olan 4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?
12. 5 elemanlı alt kümeleri sayısı 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan kümenin 2 elemanlı
kaç tane alt kümesi vardır?
9.
B
A
K
C
F
D
E
Bir çember üzerindeki 7 farklı noktadan çizilebilecek üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi A dır?
13. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile,
a < b < c olmak üzere kaç farklı abc üç basamaklı sayısı yazılabilir?
183
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
14. Aynı düzlemde bulunan 8 doğru en fazla kaç
17. 4 farklı çemberin kesişmesiyle en çok kaç tane
noktada kesişebilirler?
15.
kesim noktası oluşur?
A
F
B
18.
K
A
C
K
L
D
E
M
B
D
E
C
F
Şekildeki 5 nokta doğrusal, diğer 4 nokta bir çemYukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır?
ber üzerindedir. Köşeleri bu 9 noktadan seçilen
16.
M
L
K
A
ESEN YAYINLARI
en çok kaç üçgen çizilebilir?
19.
1
B
E
Yukarıdaki şekilde
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C
D
B
1
noktasında kesişen iki
1
1
doğru üzerinde 8 nokta verilmiştir.
1
1
1
Bu noktaların,
Yukarıda bir kenar uzunluğu 4 br olan kare çizil-
a.
miştir.
En az ikisinden geçen kaç doğru çizilebilir?
a.
Şekilde kaç tane dikdörtgen vardır?
b. Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç üçgen
c.
çizilebilir?
b. Kaç tane kare vardır?
Bir köşesi C olan ve diğer köşeleri öteki nok-
c.
talardan seçilen kaç üçgen çizilebilir?
184
Karelerden kaç tanesinin kenar uzunluğu
1 den büyüktür?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
BİNOM AÇILIMI
n pozitif tam sayı olmak üzere, (x + y)n ifadesinin açılımına binom açılımı denir.
n
n
n
n
(x + y)n = c m x n + c m x n–1 y + c m x n–2 y 2 + … + c m y n açılımı;
0
1
2
n
®
x in azalan, y nin artan kuvvetlerine göre yapılmıştır.
®
y nin yerine –y yazılırsa (x – y)n ifadesinin açılımı elde edilir.
®
Her terimdeki dereceler toplamı n dir.
®
n + 1 tane terim vardır.
®
Kat sayılar toplamı x = y = 1 alınarak bulunur.
®
Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin kat sayıları eşittir.
®
(x + y)2n açılımında, ortadaki terim d
®
n
c m x n – r .y r terimine genel terim denir. Genel terim; baştan (r +1). terim, sondan (n – r + 1). terimdir.
r
2n n n
n x .y
n
dir.
Pascal Üçgeni
(x + y)0 →
1
(x + y)1 →
1
(x + y)2 →
1
(x + y)3 →
1
(x + y)4 →
(x +
y)5
→
.............
®
1
1
1
2
3
4
5
(x + y)0 ⎯→
3
6
10
(x + y)1 ⎯→
1
4
10
(x + y)2 ⎯→
1
1
5
(x + y)3 ⎯→
1
4
(x + y)4 ⎯→ d n
0
.............................................
Kombinasyon konusu işlenirken verilen, c
...........
2
d n
0
1
d n
0
3
d n
0
4
d n
1
0
d n
0
2
d n
1
1
d n
1
3
d n
1
4
d n
2
2
d n
2
3
d n
2
4
d n
3
3
d n
3
4
d n
4
...............................................................
n
n
n+1
m+c m = d
n bağıntısını, Pascal üçgenini kombinasyon
r –1
r
r
biçiminde yukarıdaki gibi yazdığımızda rahatlıkla görebiliriz.
1
1
2
Örneğin, d n + d n = d n ,
0
1
1
2
2
3
d n + d n = d n gibi
1
2
2
ÖRNEK 99
Aşağıdaki açılımları inceleyiniz.
1.
(x + y)1 = d n x 1 + d n
2.
(x + y)2 = d n x 2 + d n xy + d n y 2 = x2 + 2xy + y2
3.
(x + y)3 = d n x 3 + d n x 2 y + d n xy 2 + d n y 3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
4.
(x + y)4 = d n x 4 + d n x 3 y + d n x 2 y 2 + d n xy 3 + d n y 4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
185
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 100
ÖRNEK 104
(2x – 5y)3 ifadesinin açılımını yapınız.
(3x – 4y)n açılımında 8 tane terim bulunduğuna göre,
bu terimlerin kat sayıları toplamı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 101
c 2a +
b 2
m ifadesinin açılımını yapınız.
3
ÖRNEK 105
Çözüm
(x3 – 5x + 2)6 açılımında sabit terim kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 102
(2a + 3)4 ifadesinin açılımını yapınız.
Çözüm
ÖRNEK 106
(x + 2y)6 açılımında ortadaki terim nedir?
Çözüm
ÖRNEK 107
(2x + y)10 açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sıralaÖRNEK 103
(2a – b2 + c)5 açılımında kat sayılar toplamı kaçtır?
Çözüm
186
nırsa baştan 4. terim ne olur?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 108
ÖRNEK 110
(x – 2y)n = xn + ...... + Ax6y4+.......
c x2 +
biçiminde x in azalan kuvvetlerine göre açılım yapıldı-
1 6
m ifadesinin açılımındaki x6 lı terimin kat sax
yısı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ğına göre A kaçtır?
ÖRNEK 111
3
ca –
1 5
m ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?
a2
Çözüm
ÖRNEK 109
(x2 – y)12 açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa sondan 4. terim ne olur?
Çözüm
187
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 112
c
3
x+
1 8
m
x
ifadesinin açılımındaki x li terimin kat
sayısı kaçtır?
Çözüm
(ax + by + cz)n ifadesinin açılımında xp.yq.zt li
n!
terimin kat sayısı ap.bq.ct.
dir.
p!.q!.t!
ÖRNEK 113
^3 5 + 5 5 h
11
açılımında rasyonel terim kaça eşittir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 115
(x – 3y + 2z)6 ifadesinin açılımındaki terimlerden biri
A.x3.y2.z olduğuna göre, A kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 116
(x2 + 2y3 – z4)10 açılımı yapıldığında, içinde x6 çarÖRNEK 114
(x + y + z)n açılımındaki terimlerden birisi A.x2.y3.z5
olduğuna göre, A kaçtır?
Çözüm
188
panı olup başka x çarpanı olmayan kaç terim vardır?
Çözüm
ALIŞTIRMALAR – 4
1.
4.
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
n
(a + b)
Aşağıdaki açılımların her birinde kat sayılar toplamını bulunuz.
açılımında;
a.
(2x – 1)20
n
Baştan r. terim c m a n – r b r dir.
r
n
Sondan (r + 1). terim c m a r b n – r dir.
r
Kat sayılar toplamı 2n dir.
b. (3x + 1)4
n çift olmak üzere ortadaki terim için
r=
n
dir.
2
Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin kat sayıları eşittir.
c.
ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa
baştan 3. terim ne olur?
ESEN YAYINLARI
(2x – y)6
2.
3.
(2x – 3y)7
d. (2x – 3y + z)40
Aşağıdaki açılımların her birinde sabit terimleri
bulunuz.
e.
a.
(x – 2y + 3z)7
(x – 1)3
b. (3x – 2)4
5.
(2x2 – y)8
ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa
sondan 4. terim ne olur?
c.
(x2 – x + 2)5
189
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
6.
10.
1 6
m
x2
açılımında ortadaki terim nedir?
c 3x –
(x2 – 3y2)n
açılımında terimlerden biri Ax4y8 ise A kaçtır?
(x – 3y)n = xn + ..... + Ax4y2 + .....
7.
eşitliğine göre A kaçtır?
11.
2
cx –
2 5
m
x3
c x3 –
8.
1 7
m
x
ifadesinin açılımında
kaçtır?
x5
li terimin kat sayısı
ESEN YAYINLARI
açılımında sabit terim baştan kaçıncı terimdir?
12.
(x – y + 3z)6
açılımında terimlerden biri Ax2yz3 ise A kaçtır?
c
9.
6
1
– xm
2
x
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
190
13.
(v2 – 1)6
açılımında elde edilen terimlerden rasyonel olanları bulunuz.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
OLASILIK
Olasılık, sonucu kesin olmayan olayları sayılarla ifade eder. Olasılık teorisi günümüzde şans oyunlarının yanısıra, ekonomi, spor, siyaset, bilimsel tespitler, meteoroloji, sigortacılık, bankacılık ve milli savunma gibi pek çok
uygulama alanında kullanılmaktadır.
Deney ve Çıktı
Yeni bilgi kazanmak ve olayların gelişimini incelemek için yapılan deneme ve testlere deney denir. Bir deneyin
mümkün olan her türlü sonucuna çıktı adı verilir. Düzgün bir zemine bir madeni paranın atılması bir deneydir.
Yazı gelmesi ve tura gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır. Aynı şekilde bir tavla zarının atılması bir deneydir.
1 gelmesi, 2 gelmesi, 3 gelmesi, 4 gelmesi, 5 gelmesi ve 6 gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır.
Örnek (Örneklem) Uzayı
Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın her
bir elemanına ise örnek nokta denir.
Olay
Örnek uzayın her bir alt kümesine bir olay denir. E örnek uzayına kesin olay, boş kümeye ise olanaksız (imkansız) olay denir. Bir örnek uzaya ait iki olayın ara kesitleri (kesişimleri) boş küme ise bu iki olaya ayrık (bağımsız)
olaylar denir.
ÖRNEK 117
ÖRNEK 119
Bir madeni paranın atılması deneyinin;
İki madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını
çıktıları: Y (yazı) ve T (tura) dır.
yazınız.
Örnek uzayı: E = {Y, T} dir.
Çözüm
Buna göre, bir madeni paranın atılması sonucu, yazı
veya tura gelmesi olayına (örnek uzaya) kesin olay
denir. Paranın dik gelmesi olayı ise olanaksız olaydır.
ÖRNEK 118
Bir tavla zarının atılması deneyindeki örnek uzay
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dir.
Üste gelen sayının tek gelmesi olayı, T = {1, 3, 5} ve
çift gelmesi olayı Ç = {2, 4, 6} dır. Bu iki olayın kesişimleri boş küme olduğundan, bu iki olaya ayrık (bağımsız) olaylar denir. Gelen sayının asal sayı olması
olayı, A = {2, 3, 5} olup A ∩ T ≠ Ø ve Ç ∩ A ≠ Ø dır.
Yani, A olayı ile T ve Ç olayları ayrık olaylar değildir.
191
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 120
Üç madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını
yazınız.
Art arda yapılan madeni para atma deneyinde,
para n kez atıldığında örnek uzayın eleman sayısı
s(E) = 2n olur.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 122
İçinde 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan torbadan bir
ÖRNEK 121
İki tavla zarının birlikte atılması deneyindeki örnek
uzayı yazınız.
çekilişte 2 bilye çekme deneyindeki;
a.
Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır?
b.
Çekilen bilyelerin aynı renkte olması olayının
eleman sayısı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
192
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
OLASILIK FONKSİYONU
ÖRNEK 124
E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu
E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A′)=
küme (kuvvet kümesi) K olsun.
P(B) =
P : K → [0, 1]
1
3
1
ve P(A ∩ B) 1 ise P(A ∪ B) kaçtır?
6
4
Çözüm
fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu, P(A) görüntüsüne de
A olayının olasılığı denir.
®
A ⊂ E ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1
®
P(E) = 1
®
A, B ⊂ E ve A ∩ B = ∅ ise
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
ÖRNEK 123
Bir madeni paranın düzgün bir zemine atılması dene-
ÖRNEK 125
yini inceleyelim.
E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A) =
K = {∅, {Y,}, {T}, {Y, T}} kuvvet kümesidir.
A olayının olma olasılığı da P(A) dır.
P(∅) = 0 ∈ [0, 1]
P(Y) =
1
∈ [0, 1]
2
P(T) =
1
∈ [0, 1]
2
ESEN YAYINLARI
E = {Y, T} örnek uzay ve
3
1
ve P(A ∩ B) =
olduğuna göre aşağıdaki
5
4
olasılıkları hesaplayınız.
P(B) =
a.
P(A ∪ B)
b.
P(B′)
c.
P(A′ ∩ B′)
Çözüm
P(Y, T) = P(E) = 1 ∈ [0, 1]
P(Y ∪ T) = P(Y) + P(T) =
1 1
+ =1
2 2
olduğundan olasılık fonksiyonunun tanımındaki 3
aksiyom da sağlanır.
Yani, P : K → [0, 1] fonksiyonu bir olasılık fonksiyonudur.
Teorem:
A, B ⊂ E ve P bir olasılık fonksiyonu ise
a.
P(∅) = 0
b.
A ⊂ B ise P(A) ≤ P(B)
c.
A′ = E – A ise P(E) = P(A) + P(A′) = 1
d.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) dir.
1
3
193
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
Eş Olumlu Örnek Uzay
ÖRNEK 129
E = {a1, a2, ...., an} bir sonlu örnek uzay olsun.
Bir madeni paranın arka arkaya üç kez atılması sonu-
P(a1) = P(a2) = .... = P(an) ise E örnek uzayına
cu en az iki yazı gelmesi olasılığı kaçtır?
eş olumlu örnek uzay adı verilir.
Çözüm
Eş olumlu bir uzayda, aksi belirtilmedikçe,
olasılık fonksiyonu
P (A) =
s (A) ‹stenen durumlar›n say›s›
dır.
=
s (B)
Tüm durumlar›n say›sı
ÖRNEK 126
E = {1, 2, 3, 4, 5} eş olumlu örnek uzay ise
P(2) + P(5) toplamı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 130
Bir madeni paranın arka arkaya 5 kez atılması sonu-
ÖRNEK 127
Bir madeni paranın düzgün bir zemine atılması dene-
ESEN YAYINLARI
cu 2 tura, 3 yazı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
yinde, yazı (Y) ve tura (T) olmak üzere,
E = {Y, T} olup s(E) = 2 dir. Buna göre,
P(Y) =
s (Y) 1
s (T) 1
ve P(T) =
=
= olur.
s (E) 2
s (E) 2
P(Y) = P(T) =
1
olduğundan bu deneydeki örnek
2
uzay, eş olumlu örnek uzaydır.
ÖRNEK 128
ÖRNEK 131
İki madeni paranın düzgün bir zemine atılması sonucu ikisinin de tura gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
194
Bir tavla zarı bir kez atıldığında üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 132
ÖRNEK 135
Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze
Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan
gelen sayıların aynı olma olasılığı kaçtır?
rastgele 2 bilye çekildiğinde, bilyelerin farklı renkte
olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 136
ÖRNEK 133
Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan
Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze
arka arkaya 2 bilye çekildiğinde, çekilen birinci bilye-
gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?
nin kırmızı, ikinci bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 134
Bir torbada 3 sarı, 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır.
Torbadan bir bilye çekildiğinde, bu bilyenin kırmızı
olma olasılığı nedir?
Çözüm
ÖRNEK 137
Bir torbada 5 siyah ve 3 beyaz bilye vardır. Torbadan
rastgele 3 bilye çekildiğinde ikisinin siyah, birinin
beyaz olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
195
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 138
ÖRNEK 139
7 kız ve 5 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta kız-
5 doktor ve 6 hemşire arasından 3 kişilik bir ekip
ların 3 ü, erkeklerin 2 si gözlüklüdür. Sınıftan rastgele
oluşturulacaktır. Bu ekipte en az 2 doktor bulunma
olasılığı kaçtır?
seçilen iki öğrencinin,
a.
İkisinin de kız olma olasılığı,
b.
İkisinin de gözlüklü olma olasılığı,
c.
Birisinin kız diğerinin erkek olma olasılığı,
d.
İkisinin de gözlüklü ve kız olma olasılığı,
e.
İkisinin de gözlüklü veya ikisinin de kız olma ola-
Çözüm
sılığını hesaplayınız.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 140
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak
yazılabilen 4 basamaklı ve rakamları farklı sayılardan
bir tanesi seçiliyor. Seçilen bu sayının 5 ile bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
196
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
KOŞULLU OLASILIK
ÖRNEK 141
E örnek uzay ve A ile B herhangi iki olay olsun. B
Bir oylama sırasında, birinci sandıkta 4 siyah 5 beyaz
olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının ger-
ve ikinci sandıkta, 5 siyah 3 beyaz oy pusulası vardır.
çekleşmesi olasılığına A olayının B ye bağlı koşullu
Birinci sandıktan bir oy pusulası alınarak rengine
olasılığı denir ve P(A / B) biçiminde gösterilir.
bakılmadan ikinci sandığa atıldıktan sonra ikinci sandıktan alınan bir oy pusulasının beyaz olma olasılığı
P(A / B) =
kaçtır?
P (A + B)
dir.
P (B)
® E eş olumlu örnek uzay ise,
Çözüm
P(A / B) =
s (A + B)
dir.
s (B)
® A nın B koşullu olasılığı hesaplanırken B kümesi örnek uzay olarak düşünülüp hesap yapılabilir.
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 143
E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. P(A) = 1
3
1
3
P(B) =
ve P(A ∪ B) =
ise P(A / B) kaçtır?
2
4
Çözüm
ÖRNEK 142
İki torbadan her birinde 4 beyaz, 3 siyah bilye vardır.
Birinciden bir bilye alınıp ikinciye ve sonra da ikinciden bir bilye alınıp birinci torbaya atılıyor. Renk bakımından ilk durumu elde etme olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 144
Bir madeni paranın iki kez arka arkaya atılması deneyinde yazı geldiği bilindiğine göre, ikisinin de yazı
gelmesi olasılığı kaçtır?
Çözüm
197
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
BAĞIMSIZ OLAYLAR
ÖRNEK 145
İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşme-
İki tavla zarının birlikte atılması deneyinde üst yüze
mesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa
gelen sayıların toplamının 8 olduğu bilindiğine göre,
bu iki olaya bağımsız olaylar denir.
sayıların ikisinin de çift sayı olma olasılığı kaçtır?
P(A ∩ B) = P(A).P(B)
Çözüm
Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı
olaylar denir.
A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı
P(A ∩ B) demektir.
A veya B olaylarının meydana gelme olasılığı
P(A ∪ B) demektir.
ÖRNEK 147
A ve B bağımsız olaylardır.
P(A) = 2
3
ve P(B) =
1
6
ise
ÖRNEK 146
I. torbada 2 sarı 3 kırmızı top, II. torbada 3 sarı 4
kırmızı top vardır. Torbaların birinden rastgele bir top
çekildiğinde topun kırmızı renkte olduğu bilindiğine
ESEN YAYINLARI
P(A ∩ B) ve P(A ∪ B) kaçtır?
Çözüm
göre, I. torbadan çekilmiş olma olasılığı nedir?
Çözüm
ÖRNEK 148
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın
tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
198
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 149
ÖRNEK 151
tura veya zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
Bir sınava giren Ali’nin sınavı geçme olasılığı 3 ve
5
Çözüm
Barış’ın aynı sınavı geçme olasılığı
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın
1
tür. Buna göre,
3
a.
Her ikisinin de sınavı geçme olasılığı kaçtır?
b.
Sadece Ali’nin sınavı geçme olasılığı kaçtır?
c.
En az birisinin sınavı geçme olasılığı kaçtır?
d.
İkisinin de sınavı geçememe olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 150
Bir topluluktaki 12 bayanın 7 si gözlüklü ve 9 erkeğin
erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır?
Çözüm: I. Yol
ESEN YAYINLARI
6 sı gözlüklüdür. Bu topluluktan seçilen bir kişinin
199
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
SONSUZ ÖRNEK UZAYI
ÖRNEK 154
E örnek uzayı sonsuz çoklukta örnek noktalardan
E = { x : |x| ≤ 3, x ∈ R }
(uzunluk, alan, hacim, ağırlık, açı ölçüsü, ...) oluşuyor-
örnek uzayında seçilen bir noktanın
sa bu örnek uzaya sonsuz örnek uzay denir. A olayı da
[0, 2] aralığına ait olma olasılığı kaçtır?
E örnek uzayında bir olay ise bu A olayının olasılığı,
Çözüm
A nın ölçüsü
P(A) = –––––––––––– olur.
E nin ölçüsü
ÖRNEK 152
Yarıçapı r cm olan bir dairenin içinden seçilen bir noktanın, dairenin merkezine olan uzaklığının, dairenin
çevresine olan uzaklığından daha kısa olma olasılığı
kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 155
D
ÖRNEK 153
4
N
M
2
K
L
Boyutları 20 cm ve 30 cm olan dikdörtgen şeklindeki
A
bir kağıt üzerinde rastgele işaretlenen bir noktanın,
kağıdın ağırlık merkezine en çok 10 cm uzaklıkta
C
5
3
B
Şekildeki ABCD dikdörtgeni, K, L, M, N dikdörtgen-
olma olasılığı kaçtır?
sel bölgelerinin birleşiminden oluşmaktadır ve kenar
Çözüm
uzunlukları şekildeki gibidir.
Buna göre, ABCD dikdörtgeni içinde bir nokta rastgele işaretlendiğinde bu noktanın M bölgesinde olma
olasılığı kaçtır?
Çözüm
200
ALIŞTIRMALAR – 5
1.
5.
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-
Bir çift zar atıldığında üste gelen sayıların
tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
a.
Bir para üst üste 4 kez atılırsa örnek
Aynı olma olasılığını
uzayı 16 elemanlı olur.
Bir zar üst üste 3 kez atılırsa örnek uzayı
216 elemanlı olur.
5 para atıldığında örnek uzayı 25 eleman-
b. Farklı olma olasılığını
lı olur.
Bir A olayının olasılığı P(A) ise
–1 ≤ P(A) ≤ 1 dir.
A kesin olay ise P(A) = 1 dir.
2.
c.
İki madeni para atıldığında en çok bir yazı gelmed. Birinin tek, diğerinin çift sayı olma olasılığını
ESEN YAYINLARI
si olasılığı kaçtır?
3.
Toplamlarının 9 olma olasılığını
e.
Toplamlarının 13 olma olasılığını
f.
Toplamlarının en az 2 olma olasılığını bulu-
Bir madeni para art arda 3 kez atıldığında, 2 kez
yazı 1 kez tura gelme olasılığı kaçtır?
nuz.
6.
4.
4 kız, 5 erkek arkadaş yanyana fotoğraf çek-
Bir madeni para art arda 5 kez atıldığında, 2 kez
tireceklerdir. Kızların bir araya gelme olasılığı
yazı 3 kez tura gelme olasılığı kaç olur?
kaçtır?
201
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
7.
Aynı büyüklükte 5 kırmızı ve 3 beyaz bilyenin
10. 5 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden herhangi
bulunduğu bir torbadan, rastgele 3 bilye çekiliyor.
2 tanesi rastgele alındığında ikisinin de 3 ele-
Çekilen bilyelerin,
manlı olma olasılığı kaç olur?
a.
Üçünün de beyaz olma olasılığını
b. Üçünün de kırmızı olma olasılığını
c.
11. E örneklem uzayına ait iki olay A ve B olmak
Üçünün de aynı renk olma olasılığını
üzere, P(A) =
7
1
, P(B′) =
8
4
ve
P(A ∩ B) = 1 ise P(A ∪ B) kaçtır?
16
e.
En az birinin kırmızı olma olasılığını bulunuz.
ESEN YAYINLARI
d. İkisinin beyaz, birinin kırmızı olma olasılığını
12. 20 kişilik bir sınıfta bulunan öğrencilerin 12 si
8.
4321132
sayısının rakamları yer değiştirilerek
erkektir. Erkeklerin 4 ü, kızların 3 ü gözlüklü oldu-
oluşturulan 7 basamaklı sayılardan biri rastgele
ğuna göre, sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin
alındığında bunun 4 ile başlayıp 3 ile biten bir
erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaç olur?
sayı olma olasılığı kaçtır?
9.
Bir torbada, aynı büyüklükte 4 sarı, 3 lacivert ve
5 beyaz bilye vardır. Torbadan geri atılmamak
koşuluyla art arda 3 bilye çekildiğinde birincisinin sarı, ikincisinin lacivert, üçüncüsünün beyaz
olma olasılığı kaç olur?
202
13. İki madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor.
Paraların birinin yazı, diğerinin tura ve zarın çift
sayı gelme olasılığı kaç olur?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
14. Bir madeni para iki kez atılıyor. Birinci atışta tura
18. İki torbadan birincisinde 6 kırmızı, 4 mavi; ikinci-
geldiği biliniyorsa, ikinci atışta yazı gelme olasılı-
sinde 5 kırmızı, 3 mavi bilye vardır. Torbalardan
ğı kaç olur?
biri rastgele alınıp, içinden bir bilye çekiliyor. Bu
bilyenin kırmızı olduğu biliniyorsa, birinci torbadan çekilmiş olma olasılığı kaç olur?
15. Bir çift zar atıldığında zarların üstündeki sayıların
19. s(A) = 3 ve s(B) = 4 olmak üzere, A dan B ye
toplamının 10 olduğu biliniyorsa ikisinin de tek
tanımlı bağıntılardan biri rastgele seçilirse bunun
sayı olma olasılığı kaç olur?
A dan B ye bir fonksiyon olma olasılığı kaç olur?
16. İki torbadan birincisinde 3 kırmızı, 5 beyaz; ikincisinde 4 kırmızı, 3 beyaz bilye vardır. Torbalardan
biri rastgele alınıp içinden bir bilye alınırsa bu
bilyenin kırmızı olma olasılığı kaç olur?
ESEN YAYINLARI
20. Şekildeki O merkezli
1 puan
hedef tahtasında
|CB| = |BA| = |AO|
olmak üzere,
3 puan
C
5 puan
B
A
O
alınabilecek puanlar
verilenler gibidir.
Tek atış yapan birisinin tahtayı vurduğu bilindiğine göre, 3 puan alma olasılığı kaçtır?
21. Yandaki şekilde A, B, C, D
17. İki torbadan birincisinde 4 beyaz, 5 yeşil; ikinci-
fabrikalarının ürettiği malların
sinde 3 beyaz, 4 yeşil bilye vardır. Birinci torba-
dairesel grafiği verilmiştir.
dan bir bilye rastgele alınıp, ikinci torbaya konu-
Bu fabrikaların ürettiği mal-
yor ve ikinci torbadan rastgele bir bilye alınıyor.
lardan seçilen bir malın C
Bu bilyenin yeşil olma olasılığı nedir?
veya D fabrikasında üretilmiş
C
80°
D
120°
50°
B
A
olma olasılığı kaçtır?
203
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
İSTATİSTİK
İstatistik; örnek verilerden hareket ederek popülasyon (ana kitle – yığın) hakkında yorumlama, genelleme ve
tahmin yapma bilimidir. 20. yüzyıldan itibaren istatistik; muhasebe, yönetim, finansman ve pazarlama gibi pek
çok uygulama alanı bulmuştur.
®
Trafik kazaları, evlenme, boşanma, doğum, ölüm, kâr, zarar gibi konular istatistiğin ilgilendiği konulardır.
®
İstatistikte incelenen olayın özellik ya da özelliklerinin aldığı değerler rakamlarla ifade edilebilmelidir.
®
Bir olaylar kümesindeki tek bir olay, tüm olaylar kümesini temsil edebiliyorsa bu tür olaylar istatistiğin ilgi
alanına girmez. (Suyun 100°C de kaynaması gibi, aynı yerde aynı koşullarda yapılan her deneyin sonucu
aynı olur.)
®
Ölçülmeye veya sayılmaya elverişli tüm canlı ve cansız varlıklar ve olaylara; okul, insan, bina, araba,
doğum, ölüm, evlenme, kâr zarar gibi kavramlara istatistiki birim denir.
Sevinç, korku, rüya, renk ve koku gibi soyut kavramlar sayılamadıkları ve ölçülemedikleri için istatistik için
birim olamazlar.
®
Birimlerin sahip olduğu özelliklere değişken, değişkenlerin aldığı değerlere de şık denir.
®
Belirlenen amaçlar için gözlenecek olan birimlerin ölçülmesi, sayılması ve aldıkları değerlerin belirlenmesi
ve kaydedilmesine veri derleme denir. Elde edilen bu verilerin istatistiksel yöntemlerle değerlendirildikten
sonra uygun araçlar kullanarak sunumunun yapılması istatistiğin amacıdır.
İstatistik;
¢
Yeni bilgilere ulaşmak ve bunları geliştirmek için yapılan araştırmalardan elde edilen verileri düzenlemek,
¢
Problem çözümleri için çalışma teknikleri oluşturmak,
¢
Değişkenlerin ürünleri ve üretim süreçlerini nasıl etkileyeceğini tahmin etmek,
¢
Yapılan gözlem ve deneylerden elde edilen sonuçları, doğru yorumlamak ve anlaşılır bir biçimde sunmak,
¢
Sonuçların güvenilirliğini test etmek gibi birçok amaç için çoğu bilim dalına yardımcı olmaktadır.
İstatistiksel çalışmalar yapılırken,
®
®
®
®
Grafikler
Merkezi Eğilim Ölçüleri
Frekans Tabloları
Merkezi Yayılma (Dağılım) Ölçüleri
(Değişkenlik Ölçüleri)
gibi yöntemlerden yararlanılır.
İstatistiksel verileri sözel ifadelerle açıklayarak, frekans tabloları yaparak ve grafik gösterimler kullanarak daha
anlamlı ve kolay anlaşılabilir hale getirebiliriz. Verileri ise iki ana grup altında toplayabiliriz.
Veri
Sayısal
Kategorik (‹simsel)
Kesikli
Kardefl sayısı,
araç sat›fl adedi,
yafl, v.b. gibi
204
Sürekli
Boy, a¤›rl›k,
s›cakl›k v.b. gibi
Marka, kanal adı,
ders adı, ülke,
flehir v.b. gibi
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
GRAFİKLER
Verilerin veya karşılaştırılması yapılacak değişkenlerin çizgi, tablo, nokta veya şekillerle ifade edilmesine grafik
denir. Grafikler verilerin sunumuna görsellik katararak daha kolay yorumlanmasını sağlar. Veri türlerine ve istenen
amaca göre çizilebilecek çeşitli grafik türleri vardır. Bunlar;
®
®
®
®
Çizgi grafiği
Serpilme grafiği
®
Sütun grafiği (Çubuk - Histogram)
Daire grafiği
Kutu grafiği
başlıkları altında ifade edilebilir.
ÇİZGİ GRAFİĞİ
Verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların çizgilerle birleştirilmesi sonucunda
elde edilen grafikler çizgi grafikleridir. Özellikle bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini (artma, azalma) incelemek için kullanılan en uygun grafiktir.
ÖRNEK 156
Yanda bir hareketlinin belli zaman aralığında aldığı yolu
Zaman (dk)
Yol (m)
gösteren tablo verilmiştir. Bu tablodan yararlanarak hare-
1
100
ketlinin aldığı yolu zamana göre ifade eden çizgi grafik
2
150
aşağıda çizilmiştir.
3
175
4
175
5
200
Yol (m)
200
Á
Hareketin toplam süresi 5 dakikadır.
175
Á
Hareket süresince alınan toplam yol 200 metredir.
Á
1. dakikanın sonunda alınan yol 100 metredir.
Á
2. ve 3. dakikalar arasında alınan yol
150
125
100
175 – 150 = 25 metredir.
75
Á
50
Yani bu zaman diliminde hareketli durmuştur.
25
0
3. ve 4. dakikalar arasında yol alınmamıştır.
1
2
3
4
5
6
7
Zaman (dk)
yol
olduğundan, hareketlinin en yüksek hıza sahip olduğu aralık 0-1 dakika aralığıdır.
zaman
100 – 0
Bu aralıktaki hızı V =
= 100 m/dk dır.
1– 0
Á Hız =
Á En çok yol aldığı aralık 0-1 dakikalar arasıdır. Bu aralıkta 100 metre yol almıştır.
Á 2. ve 3. dakikalar arasında aldığı yol, 4. ve 5. dakikalar arasında aldığı yola eşittir (25 m).
Aynı süre içinde (1 dk) aldığı yollar eşit olduğundan bu aralıklarda hızları da eşittir.
205
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 157
ÖRNEK 158
S›nav No
1
2
3
4
5
Netlerin Say›s›
25
30
20
30
40
Ö¤renci Say›s›
10
8
Yukarıdaki tabloda Serasu’nun 40 ar sorudan oluşan
5 farklı matematik sınavındaki netlerinin sayısı göste-
6
rilmiştir. Tablodaki verileri çizgi grafiği ile gösterelim.
4
Çözüm
2
0
1
2
3
4
5
Notlar
Yukarıdaki grafik bir sınıftaki tüm öğrencilerin matematik dersinden aldığı notları gösterdiğine göre, aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır?
I.
II.
3 alan 9 kişi vardır.
En düşük geçme notu 2 ise matematik dersinden
kalan öğrenci yoktur.
ESEN YAYINLARI
III. 2 alanların sayısı 5 alanların sayısına eşittir.
IV. Sınıf mevcudu 27 kişidir.
V.
1 ve 3 alan öğrenci sayılarının toplamı sınıfın yarısından azdır.
VI. Sınıfın
Çözüm
Uyarı
Á En düşük netin 3. sınavda çıkarılmış olmasına
bakarak, bu sınavlar içinde en zor olanın 3. sınav
olduğunu söyleyemeyiz. Çünkü netlerin düşüklüğü başka sebeplere de bağlı olabilir; rahatlık, çok
işlem hatası, konsantre bozukluğu vs. gibi.
Á Aynı şekilde, en kolay sınavın 5. deneme sınavı
olduğu söylenemez.
Á Serasu’nun sınıfının içindeki ve okul genelindeki
sıralaması ile ilgili bir yorum yapılamaz.
206
1
ünün notu 3 tür.
3
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 159
ÖRNEK 161
Yakıt miktarı (litre)
Ocak
fiubat
Mart
Nisan
May›s
Haziran
Aylar
Ankara
6
8
12
16
20
22
Çorum
8
10
14
12
18
22
fiehirler
60
0
600
Alınan yol (km)
Deposu 60 litre yakıt alan bir aracın, şehirler arası
Yukarıdaki tabloda Ankara ve Çorum’daki 2010 yılı-
yolda bir depo benzinle alabildiği yol 600 km dir. Bu
nın ilk 6 ayına ait güneşli gün sayıları verilmiştir. Bu
durum yukarıdaki grafikle ifade edilmiştir. Buna göre,
tabloya ait çizgi grafiği aşağıda çizilmiştir. İnceleyiniz.
Güneflli Gün Say›s›
22
a.
Bu araç 1 L benzinle kaç km yol alabilir?
b.
Şehir içinde, % 20 daha fazla yakıt tükettiğine
göre aynı araç bir depo yakıt ile şehir içinde kaç
20
km yol alabilir?
18
Ankara
Çorum
16
14
c.
Aracın deposunda 50 km lik yola yetecek yakıt
kaldığında uyarı ışığı yandığına göre, deposunda
12
kaç litre benzin kaldığında uyarı ışığı yanar?
10
8
Çözüm
Aylar
ESEN YAYINLARI
Haziran
May›s
Mart
Nisan
Ocak
fiubat
6
ÖRNEK 160
Sıcaklık (°C)
40
30
20
10
0
–10
1
2 3
4
5
6 7
8 9 10 11 12
Aylar
Bir kentin 1 yıl boyunca aylık ortalama hava sıcaklıkları yukarıdaki grafikle ifade edilmiştir. Buna göre,
elde edilen aşağıdaki bilgileri inceleyiniz.
Á En soğuk ay ocak, en sıcak ay ise temmuzdur.
Á Kuzey yarımkürede yer alır.
Á Yıllık sıcaklık farkı 37°C civarındadır.
Á Kar yağışı ve donma görülebilir.
Á Şubat ve aralık aylarının sıcaklık değerleri aynıdır.
Á Üç ayın sıcaklık değerleri 0°C nin altındadır.
Á Yazı sıcak, kışı ise soğuktur.
207
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
SÜTUN GRAFİĞİ
Çözüm
Bu grafik türünde toplanan bilgiler sütun şeklindeki
grafiklerle gösterilir. Sütun grafiğinde iki eksen vardır.
Yatay ve düşey eksende ölçülen değerlerin birbirine
göre durumları sütunlarla (çubuklarla) belirtilir.
Çiftli sütunlar halinde çizildiğinde farklı iki veri kümesinin karşılaştırılmasını da sağlarlar. İsimsel veriler için
zorunlu bir sıralama koşulu yoktur. Süreksiz (aralıklı)
veriler için çubuk grafiği, sürekli veriler için de histogram olarak çizilir. Histogramda sütunlar birbirine
bitişik ve veriler sıralıdır.
Çubuk Grafiği
ÖRNEK 162
Üretim Miktarı (ton)
İspanya
3.500.000
İtalya
2.700.000
Yunanistan
2.100.000
Türkiye
1.800.000
Tunus
1.000.000
Dünya zeytin üretimi ile ilgili bilgiler yukarıdaki tablo
ile verilmiştir. Bu verilere ilişkin çubuk grafiğini oluşturalım.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Ülke
ÖRNEK 164
Ülke
Sınır Uzunluğu (km)
Brezilya
15.000
Rusya Federasyonu
20.000
Çin
22.000
Hindistan
14.000
A.B.D.
12.000
Dünyada en uzun kara sınırlarına sahip ülkelerle ilgili
bilgiler yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere
ilişkin çubuk grafiği çizelim.
Çözüm
ÖRNEK 163
Ö¤renci sayısı
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Notlar
Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin matematik
dersinin 1. yazılısından aldıkları notları göstermektedir. Buna göre, sınıfın yüzde kaçı 9 almıştır?
208
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
Çubuk grafiği çizerken değişkenleri y ekseninde,
Bazı çubuk grafiklerinin çiziminde aşağıdaki yollar
takip edilir.
5 Veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır.
5 Grup genişliği (aralık) bulunur. Bu aralık en büyük
veri ile en küçük verinin farkıdır.
5 Verilerin kaç alt grupta toplanacağına karar verilir. Tespit edilen sayı grup genişliğine bölünerek
alt grup genişliği bulunur. Bu sayı ondalık bir sayı
ise yuvarlanarak tam sayı tespit edilir.
Bazen işlemi kolaylaştırmak için alt grup sayısını bulduğumuz sayının yakınındaki başka sayı ile
değiştirebiliriz.
aldıkları değerleri de x ekseninde gösterebiliriz.
ÖRNEK 166
Göl
Yüzölçümü (km2)
Eğirdir
470
İznik
300
Manyas
170
Tuz
1500
Van
3700
Ülkemizdeki tanınmış 5 gölün yüzölçümleri (yaklaşık)
ÖRNEK 165
yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere ilişkin
çubuk grafiğini çizelim.
20 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin, matematik dersin-
Çözüm
deki I. yazılı sınav sonuçları;
24, 28, 32, 36, 38, 40, 44, 46, 48, 52, 54, 60, 60, 64,
70, 78, 82, 86, 92, 94
olarak verilmiştir. Bu notları çubuk grafiği ile gösteÇözüm
ESEN YAYINLARI
relim.
Frekans Tablosu
Gruplama sonucunda oluşan ve belirli bir özelliği
temsil eden birey sayısına frekans denir. Frekans, bir
özelliğin olayda kaç kez tekrarlandığını gösterir.
x
(Puan Aralığı)
f
(Frekans)
35 – 44
4
45 – 54
5
55 – 64
6
65 – 74
5
75 – 84
3
Yukarıda, bir sınıfta bulunan 23 öğrencinin matematik sınavına ilişkin puanların frekans tablosu verilmiştir. Bu tabloya göre, puanı 35 – 44 arallığında olan 4
öğrencinin bulunduğu v.s. söylenebilir.
209
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
Histrogram
Alanı, ilgili sınıfın frekansına, tabanı da ilgili sınıfın
aralığına eşit olan ve birbirine bitişik dikdörtgenlerden
oluşan bir grafik çeşitidir. Sürekli verileri göstermek
için çizilirler. Tek bir değişkenin dağılımını göstermek
ÖRNEK 168
Bir otoparkta bulunan 20 otomobilin modelleri aşağıda verilmiştir.
1986, 1990, 1993, 1994, 1994, 1996, 1998, 1998,
2000, 2001, 2002, 2002, 2004, 2005, 2006, 2007,
için oldukça kullanışlı bir grafik sunumudur.
2007, 2008, 2009, 2009
Bu araçların modellerine göre dağılımı için histogram
ÖRNEK 167
oluşturunuz.
Sürekli bir K değişkeninin aldığı değerler aşağıda
tablo ile gösterilmiştir.
Çözüm
Sınıflar
Frekans
0–4
20
4–8
16
8 – 12
28
12 – 16
24
16 – 20
12
Bu verilerin histogram grafiğini çizelim.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
210
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
DAİRE GRAFİĞİ
ÖRNEK 170
Eldeki verilerin daire dilimleri biçiminde sunulmasıdır.
Değişkenlerin bir bütün içerisindeki oranları, yüzde
veya merkez açı ölçüleri gösterilerek hazırlanır. Her
bir dilimin içine veya dilimin yakınındaki bir yere, o
değişkenin adı ve yüzdelik dilimi yazılır. Eğer merkez
açılar kullanılacaksa her bir değişkene düşen merkez
açılar ve bunların toplamları 360° olacak şekilde daire
dilimlere ayrılır. Bu grafik türüne pasta grafiği de de-
Örnek 13 teki tabloya karşılık gelen daire grafiğini
merkez açılar kullanarak gösteriniz.
Çözüm
nilmektedir. Kesikli veriler için uygundur.
ÖRNEK 169
Ülke
Üretim Miktarı (Bin ton)
Hindistan
870
Çin
650
Kenya
300
Sri Lanka (Seylan)
280
Endonezya
150
135
Toplam
2385
Dünya çay üretiminde en büyük paya sahip 6 ülke ve
üretim miktarları yukarıda tablo şeklinde verilmiştir.
Bu tabloya karşılık gelen daire grafiğini oluşturunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Türkiye
211
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
SERPİLME GRAFİĞİ
ÖRNEK 171
Ezgi, sınıfındaki 20 arkadaşına TRT 1, Kanal D,
Show TV, ATV kanallarından hangisini daha çok izlediğini sormuş ve sonuçları aşağıdaki daire grafi-
İki değişkenin bir arada incelenmesi için çizilen grafiklerdir. Değişkenlerden birinin değerleri yatay, diğer
TRT 1
% 40
Kanal D
% 25
Show TV
% 20
değişkenin değerleri de düşey eksende gösterilir.
ATV
% 15
ÖRNEK 172
Aşağıda 5 öğrencinin matematik ve fizik derslerinden
aldıkları notlar sırasıyla verilmiştir.
ğinde göstermiştir.
Matematik Notu : 30, 40, 50, 65, 75
Grafikteki verileri kullanarak aşağıdaki tabloyu dol-
Fizik Notu : 20, 40, 45, 70, 80
durunuz.
TV
kanalı
İzleyici
sayısı
Bu verilere ait grafiği oluşturalım.
Daire dilimindeki merkez
açının ölçüsü
Fizik Notu (Y)
80
TRT 1
60
Kanal D
40
Show TV
ATV
Toplam
20
20
360°
0
20
ESEN YAYINLARI
Çözüm
40
60
100
80
Matematik
Notu (X)
Noktaların dağılımına bakarak, matematik notu yüksek olan öğrencilerin fizik notu da yüksektir sonucunu
çıkarabiliriz. Başka bir deyişle, notlar arasında doğru
orantı vardır diyebiliriz.
ÖRNEK 173
Aynı yayın saatinde farklı kanallarda yayınlanan iki
TV dizisi için 6 defa izlenme ölçümü yapılmış ve izlenme oranları zamana göre sıralı olarak aşağıdaki
serpilme grafiğinde verilmiştir.
B dizisinin izlenme oranı
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
A dizisinin izlenme
oranı
Grafikten yararlanarak elde edilen aşağıdaki bilgileri inceleyiniz.
¬
212
A dizisinin izlenme oranı arttıkça B dizisinin
izlenme oranı azalmıştır.
¬
İki dizinin izlenme oranları ters orantılıdır.
¬
Dizilerin yayına başladığı ilk zamanlarda B dizisini izleyenlerin oranı daha fazladır.
¬
B dizisinin izlenme oranı sürekli azalmıştır.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ETKİNLİK
Yıllar
2007
2008
2009
2010
A
60
45
55
50
B
40
20
30
40
C
25
20
25
30
Toplam
125
85
110
120
Marka
Bir araba galerisindeki 4 yıllık otomobil satışları
yandaki tablo ile verilmiştir.
Araç markaları ve satışları ile ilgili aşağıdaki
grafikler oluşturulabilir.
®
Üç markanın yıllara göre satış adetlerini incelemek için çizgi grafiği ile sütun grafiğinden yararlanabiliriz.
Bu grafikler aşağıda çizilmiştir.
Satıfllar (Adet)
A:
B:
C:
Satıfllar (Adet)
70
70
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
B
C
10
0
®
A
2007
2008
2009
2010
Yıllar
Sadece A markasının yıllara göre satış adet-
0
2007
2008
2009
2010
Yıllar
B markasının satışlarını, toplam satış adetle-
®
lerini incelemek için çizgi ve sütun grafiğini
ri ile kıyaslamak için sütun grafiğinden yarar-
bir arada ifade edebiliriz. Bunlar aşağıda çi-
lanabiliriz. Bu grafik aşağıda çizilmiştir.
zilmiştir.
Satıfllar (Adet)
Sat›fllar (Adet)
60
40
®
Toplam
100
20
0
B
150
50
2007
2008
2009
2010
Yıllar
0
2007
2008
2009
2010
Y›llar
A
% 41,7
2010 yılı satış adetlerinin üç marka için hangi
oranda olduğunu kolay bir şekilde incelemek
için daire grafiğinden yararlanabiliriz.
C
% 25
B
% 33,3
Bu grafik yanda çizilmiştir.
213
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ
ÖRNEK 176
Gözlenen verilerin düzenlenerek, tablolarla, grafik-
Ders
Not
Kredi
Matematik
84
4
vardır. Bu ölçüler merkezi eğilim ölçüleri olup en çok
Fizik
72
3
kullanılanları; ortalama (aritmetik ortalama), ortanca
Kimya
65
2
(medyan), mod (tepe değeri) olmak üzere üç grupta
Biyoloji
70
2
lerle sunulması çoğu durumda yeterli olmaz. Genel
durumu yansıtacak bir takım ölçülere gereksinim
toplanabilir. Ayrıca geometrik ortalama ve harmonik
Furkan’ın sayısal derslerinden aldığı yıl sonu notları
ortalama da merkezi eğilim ölçüleridir.
ve bu derslerinin haftalık kredileri yukarıda tablo
halinde verilmiştir. Furkan’ın sayısal karnesinin not
ORTALAMA
ortalamasını, kredi ağırlığına göre bulunuz.
Merkezi eğilim ölçülerinin en sık kullanılanıdır.
Çözüm
Aritmetik ortalamayı ifade eder.
Eldeki veriler toplamının veri sayısına bölümüdür.
x ile gösterilir.
Veri değerleri x1, x2, ...., xn olan n tane veri için,
n
MEDYAN (ORTANCA)
Bir sayı dizisinin medyanını bulmak için, sayılar kü-
dir.
çükten büyüğe doğru sıralanır.
Ağırlıklı Ortalama: Aritmetik ortalamada, her bir veri değerinin öneminin eşit olduğu varsayılmaktadır.
Fakat bazı değerlerin önemi diğerlerinden farklı olabilir. Bu durumlarda ağırlıklı ortalama kullanılır.
ÖRNEK 174
ESEN YAYINLARI
x=
x 1 + x 2 + ... + x n
¬
Dizinin terim sayısı tek ise ortadaki terim medyandır.
¬
Dizinin terim sayısı çift ise ortadaki iki terimin
aritmetik ortalaması medyandır.
Başka bir deyişle, n terimli bir sayı dizisinde
¬
n tek ise medyan : x n + 1
¬
n çift ise medyan :
2
7, 6, 7, 8, 10, 12, 6
veri grubundaki sayıların ortalaması kaçtır?
xn + xn +1
2
2
2
dir.
Çözüm
ÖRNEK 177
3, 2, 2, 1, 4, 5, 5, 7, 4
verilerinin ortancası (medyan) kaçtır?
ÖRNEK 175
Ö¤renci say›s›
5
12
8
3
0
0
1
Kardefl say›s›
1
2
3
4
5
6
7
29 öğrenci bulunan bir sınıftaki öğrencilere, kardeş
sayıları sorulmuş ve verilen cevaplara göre yukarıdaki tablo oluşturulmuştur. Buna göre, bu sınıfta
bulunanların ortalama kardeş sayısı kaçtır?
Çözüm
214
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 178
Bir veri grubunda aynı sayıda tekrar eden birden
fazla değer varsa, mod değeri de birden fazla ola-
2, 7, 2, 5, 3, 4, 4, 1
bilir. Fakat, tüm değerler eşit sayıda tekrar ediyorsa
verilerinin ortancası (medyan) kaçtır?
mod yoktur.
Çözüm
ÖRNEK 181
1, 3, 5, 2, 4, 3, 7, 9, 5
sayı dizisinin modu kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 182
MOD (Tepe Değeri)
7, 19, 11, 3, 3, 5, 7, 6, 7, 1, 19
Bir veri grubundaki en çok (en sık) tekrarlanan de-
verilerinin modu kaçtır?
ğere mod (tepe değeri) denir. Tekrar sayıları frekans
Çözüm
ÖRNEK 179
5, 11, 4, 13, 7, 6, 11
verilerinin tepe değeri (mod) kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
olarak adlandırılır.
ÖRNEK 183
Meyve suyu üreten bir fabrikada, rastgele seçilen 15
şişe meyve suyunun bozulma süreleri ay olarak aşağıdaki gibi tespit edilmiştir.
18, 20, 21, 22, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 27, 30, 30, 31, 32
Bu süreler için merkezi eğilim ölçüleri olan;
ortalama, ortanca ve mod değerleri nelerdir?
Bir veri grubunda birden fazla tekrar eden değer
yoksa, bu veri grubunun modu yoktur.
Çözüm
ÖRNEK 180
1, 2, 3, 4, 5, 6
veri grubunun modu yoktur.
3, 3, 3, 3, 3, 3
veri grubunun modu yoktur.
1, 1, 2, 2, 3, 3
veri grubunun modu yoktur.
Not: Ortalama, mod ve ortanca değerler birbirine
yakın olduğu için dağılım düzgündür veya veriler homojen dağılmıştır diyebiliriz.
215
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ETKİNLİK
ÖRNEK 184
Bazı özelliklerde Türkiye’nin dünya sıralamasındaki
Geometrik Ortalama: x1, x2, ... xn gibi n tane verinin
yeri aşağıdaki tablo ile belirtilmiştir.
geometrik ortalaması
n
x 1 .x 2 .....x n dir. Gözlem so-
Dünya Sıralamasındaki
Yeri
nuçlarının her biri bir önceki gözlem sonuçlarına bağ-
Nüfus sayısı
17
lı olarak değişiyorsa bu değişimin hızını belirtmek için
Yüzölçümünün büyüklüğü
36
Kentli nüfus oranı
13
Ekonomik büyüme
16
Kişi başına düşen milli gelir
21
Özellik
geometrik ortalama daha sağlıklı sonuçlar verir.
Örnek
İstanbul’da bir sitedeki ev kiraları aşağıda verilmiştir.
Yıllar
–––––
1980
Bor ve krom üretimi
1
Altın ve toryum üretimi
2
Cıva, mermer ve jeotermal
enerji üretimi
7
Fındık, incir ve kiraz üretimi
1
nı hesaplayınız.
Çelik üretimi
9
Çözüm
Çimento üretimi
2
15
İlaç üretimi
18
Koyun, keçi sütü üretimi
Dış satım (ihracat)
1
30
Tekstil ihracatı
3
Çimento ihracatı
2
Mermer ihracatı
8
En çok tatil yapılan ülkeler
3
Tablodan elde edilen verilerin modu, medyanı ve
ortalamasını bulunuz.
Çözüm
1995
800
2010
1600
1980-2010 yılları arasındaki ortalama kira artış oranı-
ESEN YAYINLARI
Kömür üretimi
Kira (TL)
––––––––
100
Harmonik Ortalama: x1, x2, ... xn gibi n tane verinin
harmonik ortalaması
n
1
1
1
+
+ ..... +
x1
x2
xn
dir.
Harmonik ortalama sık kullanılmayan bir ortalama
çeşitidir. Genellikle ekonomik olaylarda 1 birim ile alınabilen ortalama miktara veya bir ürünün bir biriminin üretimi için harcanan ortalama gideri hesaplarken
kullanılır. Ayrıca ortalama hız hesabında da kullanılır.
Örnek
O
A
B
C
Şekilde |OA| = |AB| = |BC| dir. Bir aracın hızı O – A
arası 60 km/saat, A – B arası 80 km/saat ve B – C
arası 100 km/saattir. Bu aracın bu yolculuk esnasındaki ortalama hızı kaç km/saattir?
Çözüm
216
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
MERKEZİ YAYILMA (DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ
ÖRNEK 185
Merkezi eğilim ölçüleri, birimlerin kendi aralarında
7, 3, 4, 9, 2, 7, 5
nasıl bir dağılım (yayılım) gösterdiklerini ifade etmede
veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz.
yetersiz kalırlar. Örneğin;
Çözüm
VER‹LER
Y
Z
22
2
7
23
25
9
24
30
11
25
31
13
26
32
80
X
x, y ve z verilerinin ortalamaları eşit ( x = y = z = 24 )
olduğu halde verilerin dağılımları oldukça farklıdır.
Bu nedenle verilerin ortalamaya göre veya kendi araÖRNEK 186
larında nasıl bir dağılım gösterdiklerini incelemek için
merkezi dağılım ölçüleri kullanılır. Bunlar,
16, 18, 30, 4, 6, 10, 8, 8, 12, 17, 20, 24, 36, 22, 28
Açıklık – Çeyrekler açıklığı
veri grubunun çeyrekler açıklığını bulunuz.
Varyans (değişim) – Standart Sapma
AÇIKLIK (Aralık – Ranj)
Bir veri kümesinde bulunan en büyük ve en küçük
değer arasındaki farktır ve genellikle R ile gösterilir.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
olarak ifade edilirler.
R = En Büyük Değer – En Küçük Değer
ÇEYREKLER AÇIKLIĞI (Q)
Bir veri grubundaki terimler küçükten büyüğe doğru sıralandığında ilk terime alt uç, son terime üst uç,
bunların ortasındaki terime de ortanca denir.
ÖRNEK 187
Ortancadan küçük terimlerin ortancasına alt çeyrek
1, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 20
(Q1) denir.
veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz.
Ortancadan büyük terimlerin ortancasına üst çeyrek
(Q3) denir.
Çözüm
Bir başka ifade ile veri kümesinin ilk % 50 lik kısmının
ortancasına Q1 , sonraki % 50 lik kısmının ortancasına da Q3 denir.
Çeyrekler açıklığı = Üst çeyrek – Alt çeyrek
Q = Q3 – Q1
Çeyrekler açıklı¤›
%0
alt uç de¤er
% 25
Q1
% 50
ortanca
% 75
Q3
% 100
üst uç de¤er
217
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
KUTU GRAFİĞİ
ÖRNEK 189
Bir değişkenin sıklık dağılımını göstermek için kullanı-
Bir okulun 11– K ve 11– L şubelerindeki öğrencilerin,
lan kutu grafikleri, dağılımın şekli, merkezi eğilimi ve
fizik dersinde uygulanan aynı sınavın sonucunda al-
değişkenlerin yayılım düzeyini göstermesi açısından
dıkları puanlar aşağıda verilmiştir.
kullanışlıdır. Kutu grafiği, veri için çeyreklere dayalı
grafiksel gösterimlerdir. Kutu grafiğinin çizimi için,
en küçük değer (alt uç değer)
11 – K
70
40
50
50
80
60
40
90
60
11 – L
80
20
40
30
50
70
40
50
80
alt çeyrek (Q1), ortanca, üst çeyrek (Q3) ve
Bu notlara ait kutu grafiğini oluşturalım ve sınıfların
en büyük değer (üst uç değer) bulunur.
fizik notlarını yorumlayalım.
Kutu gösteriminde;
Çözüm
Á Kutunun uç noktaları Q1 ve Q3 tedir.
Á Kutunun uzunluğu Q3 – Q1 dir. Bu fark, verilerin
ortadaki yarısının yayılma ölçüsüdür.
Á Ortanca, kutunun içinde çizgi ile işaretlenir.
Á Kutu dışındaki iki çizgi, alt uç değer ve üst uç değere kadar uzatılır.
Kutu grafiğinde, dağılımın merkezi, verilerin yayılma
En Küçük
De¤er
Alt
Çeyrek
Ortanca
Üst
Çeyrek
En Büyük
De¤er
ÖRNEK 188
Bir sınıftaki öğrencilerin bir dakikalık zaman dilimi içerisinde nabızlarını saymaları istenmiştir. Ölçüm sonuçları cinsiyet değişkenine göre aşağıdaki tabloya
aktarılmıştır.
En Düflük
Alt
Üst
En Büyük
Ortanca
De¤er
Çeyrek
Çeyrek
De¤er
Erkek
56
60
66
76
96
Kız
60
68
74
80
110
Bu tabloya karşılık gelen kutu grafiği aşağıdaki gibidir.
Cinsiyet
Erkek
Kız
55 60 65 70 75 65 80 85 90 95 100 105 110
Nabız Sayısı
Bu grafik üzerinden kızlarla erkeklerin nabız sayılarını, farklı açılardan (ortanca, en büyük ve en küçük
değerler, çeyrekler) karşılaştırabiliriz.
218
ESEN YAYINLARI
genişliği ve uç değerleri kolaylıkla görülür.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
Grafik Türünün Seçimi ve Avantajları
Bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini incelemek için en uygun grafik türüdür.
Birden çok sürekli veri grubunun kıyaslanması kolaylıkla görülebilir.
Çizgi Grafiği
S
Ü
T
U
N
G
R
A
F
İ
Ğ
İ
•
Çubuk Grafiği
Histogram
•
•
•
Görselliği kuvvetlidir.
2 veya 3 veri grubu kolaylıkla kıyaslanabilir.
Her bir kesikli veri ayrı sütunda gösterildiği için incelenmesi kolaydır ve verinin gerçek
değeri kolaylıkla görülebilir.
•
•
Gruplanmış (sınıflandırılmış) sürekli verilerin gösterimi için iyi bir görselliğe sahiptir.
Her bir kategoriye düşen frekans sayıları kolaylıkla görülebilir.
Bir değişkenin bir bütün içerisindeki oranını belirlemek için en uygun grafik türüdür.
Göze hoş gelen bir sunumu vardır.
•
•
Daire Grafiği
Her bir kategorinin toplam içindeki payı çok rahat anlaşılır.
Verilerin genişliğini, yığılımını öğrenmek için en uygun grafik türüdür.
• Uç değerleri ve sapan değerleri görmek çok kolaydır.
• Veri sayısı çok olduğunda bile kolaylıkla gösterilebilir.
• Dağılımın şekli, merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri hakkındaki bilgileri çok rahat sunar.
Kutu Grafiği
İki değişken arasındaki ilişkiyi göstermek için en uygun grafik türüdür.
Veriler arasındaki ilişkiyi (doğru orantılı, ters orantılı, ilişki yok gibi) açıklamak için çok
uygundur.
• Verilerin gerçek değerleri göz önündedir.
•
Serpilme Grafiği
VARYANS
x (x bar) : Örnek aritmetik ortalaması
Gözlemlenen değerlerin (verilerin) ortalama etrafında
n : Örneği oluşturan birimlerin sayısı
nasıl yayıldıklarının (dağıldıklarının) ölçüsüne var-
s2 : Örnek varyansı
yans denir.
n
Belli karakterleri ortak olan birimlerin oluşturduğu topluluğa popülasyon (kitle - yığın) denir. (Hayvan popü-
olmak üzere, s2 =
/ ( xi – x ) 2
i=1
n–1
dir.
lasyonu, bitki popülasyonu, öğrenci popülasyonu gibi)
n ve v 2 popülasyonun özelliklerini tanımlayan para-
n (mü) : Yığın aritmetik ortalaması
metrelerdir. İstatistikler, parametrelerin birer tahmini
N : Yığını oluşturan birimlerin sayısı
değerleridir. Yani; x , n nün, s2 ise v 2 nin tahmini
2
değerleridir.
v : Yığın varyansı
N
N
f / (x i –
i=1
n) 2
= (x 1 –
i=1
n) 2
N
+ (x 2 –
Y›¤›n
dir.
n) 2
+ ..... + (x N –
N
n) 2
p
®
n
( x, s2 )
( μ, σ 2 )
Popülasyonda üzerinde çalışılan obje veya bireyle-
Yorumlama
ri teker teker incelemek; zaman, maliyet, işçilik veya yasalar açısından çoğu zaman mümkün değildir.
Örnek
Örnekleme
®
olmak üzere, v 2 =
/ (x i – n) 2
Parametreler
‹statistikler
Bundan dolayı, popülasyonun tümünün üzerinde ça-
İstatistik bilimi, örnek verilerden hareket ederek po-
lışılması yerine ondan belli yöntemlerle alınan örnek-
pülasyon (ana kitle – yığın) hakkında yorumlama ve
ler üzerinde çalışılır.
genelleme yapar.
219
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
STANDART SAPMA
ÖRNEK 190
Varyansın karekök değerine standart sapma denir.
1, 2, 3, 4, 5 veri grubunun örnek varyansı kaçtır?
En yaygın merkezi yayılım ölçüsüdür. Varyansa ben-
Çözüm
zer şekilde verilerin ortalama etrafında nasıl bir yayılma gösterdiğinin ölçüsüdür. Düşük standart sapma
değeri, bir araya toplanmış ve ortalamaya daha yakın
verilerin çok olduğunun ölçüsüdür.
ÖRNEK 192
Verilerin ortalama etrafında daha uzak (geniş) bir
dağılım göstermeleri durumunda varyans büyük,
ortalamaya daha yakın değerler alması durumunda
varyans küçük olur. Varyansın küçük olması daha
homojen ve birbirine yakın bir veri grubu olduğunu
gösterir. Başka bir deyişle küçük varyans daha istikrarlı bir durum, büyük varyans ise daha riskli bir
durum olduğunun göstergesi olarak yorumlanabilir.
5, 3, 7 veri grubunun standart sapması kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 193
A veri grubu : 2, 3, 4
B veri grubu : 1, 3, 5
olmak üzere bu veri gruplarına ait örnek varyansları
bulup birbiriyle kıyaslayınız.
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 191
Araç aküsü üreten bir firmanın ürettiği 61 akünün
dayanma sürelerine ait frekans tablosu aşağıda verilmiştir.
Çözüm
Yıl
Frekans
1–5
21
6 – 10
15
11 – 15
19
16 – 20
6
Toplam
61
Tablo: Akülerin Dayanma Süreleri
Akülerin ortalama ömürleri ve dayanma sürelerinin
standart sapması nedir?
Çözüm
220
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ETKİNLİK
ÖRNEK 194
A, B ve C oyuncularının son 7 maçta attıkları basket
Gün
Alper
Burak
1
4
3
2
2
3
3
5
4
4
3
5
13
21
14
15
14
sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
A
B
C
12
18
24
5
4
5
12
6
6
4
14
13
22
11
16
25
20
18
16
16
18
11
Bir pazarlama şirketi Alper ve Burak isminde iki elemandan birisini 6 günlük deneme süresi sonunda işe
alacaktır. Bu elemanların 6 günlük (yığın verisi) satışları yukarıdaki gibidir. Buna göre, bu şirketin daha istikrarlı bir eleman almak için Alper ve Burak’tan han-
a)
gisini tercih etmesini gerektiğini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Bu tablo yardımıyla A, B ve C basketçilerine ait
merkezi eğilim ve yayılma ölçülerini bulunuz.
b) Bu oyunculara sahip basketbol takımının koçusunuz ve önünüzdeki maçı çok farklı bir şekilde kazanmanız gerekiyor. Aksi takdirde takımınız elenecek. A, B ve C oyuncularından birini seçerek
maça başlamak istiyorsunuz. Hangi basketçiyi
seçersiniz?
c) Bir takımın koçusunuz ve sezon başında istikrarlı
bir takım oluşturmak istiyorsunuz. Bu oyunculardan hangisini takımınıza alırsınız?
Çözüm
221
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ETKİNLİK
1 TL, 7 TL, 8 TL, 9 TL, 10 TL, 13 TL, 50 TL
Bir lokantadaki 7 masada 13.00 – 14.00 saatleri arasında ödenen
hesaplar yukarıdaki gibi olsun.
Bu verilerden yararlanarak sonraki 1 saatlik dilim içinde gelen
yeni bir müşterinin yaklaşık ne kadar hesap ödeyeceğini tahmin
etmeye çalışalım ve hangi ölçülerin bize nasıl bir bilgi verebileceğini inceleyelim.
1 + 7 + 8 + 9 + 10 + 13 + 50
= 14
7
Ödenen hesapların birçoğu ortalamadan çok uzakta olduğu için ortalama çok faydalı bir gösterge değildir.
Ortalama: x =
Mod: Mod olmadığından incelemeye katkısı yoktur.
Medyan: a 1, 7, 8, 9 , 10, 13, 50 k
Aşırı uç değerlerden (1 ve 50) etkilenmediği için medyan iyi bir göstergedir.
Yani gelecek olan bir müşterinin ortalama 9 TL hesap ödeyeceği beklentisi oldukça gerçekçidir.
Standart Sapma:
s2 =
(1– 14) 2 + (7 – 14) 2 + (8 – 14) 2 + (9 – 14) 2 + (10 – 14) 2 + (13 – 14) 2 + (50 – 14) 2
≅ 265
7–1
Standart sapma: s =
265 , 16
x – s = 14 – 16 = –2 ,
x + s = 14 – 16 = 30
Yeni gelecek bir müşterinin –2 TL ile 30 TL arasında bir hesap ödeyebileceği tahmini bize katkı sağlayan bir
ölçü değildir. Ortalamaya göre kıyaslandığında oranı çok yüksek olduğu için standart sapmayı göz önüne alarak yapılan tahmin oldukça riskli olacaktır.
Şimdi de 1 TL ve 50 TL lik hesapların genellikle olmadığını düşünerek bu sapan değerleri veri grubundan
çıkararak tahminde bulunmaya çalışalım. 7 TL , 8 TL , 9 TL , 10 TL , 13 TL
Ortalama: x =
7 + 8 + 9 + 10 + 13 47
=
, 9.2
5
5
Sapan değerler veri grubundan atılarak elde edilen bu değer öncekine göre daha gerçekçidir.
Medyan: Medyan 9 TL olup bu durumda da iyi bir hesap tutarı tahmini yansıtmaktadır.
Standart Sapma:
s2 =
(7 – 9) 2 + (8 – 9) 2 + (9 – 9) 2 + (10 – 9) 2 + (13 – 9) 2
22
=
= 5.5
4
5–1
Standart sapma:
5.5 , 2.3
x – s = 9.2 – 2.3 = 6.9 ,
x + s = 9.2 + 2.3 = 11.5
Yeni gelecek müşterilerin ortalama 6.9 TL ile 11.5 TL arasında bir hesap ödeyecekleri beklentisi gerçekçidir.
Standart sapma değeri öncekine göre daha düşük çıktığı için veriler birbirine daha yakın olup tahminlerde
yanılma payı daha azdır.
222
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
STANDART PUANLAR
ÖRNEK 196
Standart puan gözlenen puanların ortalamadan olan
farklarını standart sapma cinsinden belirtilmesidir.
Öğrenci
Standart puanlar, yapılan ölçümlerden elde edilen
Melis
30
puanların aritmetik ortalamasının sıfır (0), standart
Zeynep
50
sapmasının bir (1) kabul edildiği puanlardır.
Burcu
90
Ezgi
70
Efe
40
Mesut
80
z puanı
z-puanı bir verinin ortalamadan kaç standart sapma
kadar uzakta olduğunu gösterir ve
z puanı =
z=
Puanı
Ham puan – Aritmetik ortalama
Standart sapma
Tabloda 6 öğrencinin kimya dersi I. yazılı sınavından
X–x
s
Melis ve Ezgi’nin bu sınav için aldıkları kimya notları-
aldığı notlar (standart puanlar) verilmiştir.
nın z ve T puanlarını bulalım.
formülü ile hesaplanır.
Çözüm
Herhangi bir kişinin almış olduğu puanı z puanına dönüştürerek, verilen bir puanın standart sapmaya göre
ortalamanın ne kadar altında veya üstünde kaldığı
z puanının (–) veya sıfır (0) çıkması mümkündür.
T puanı
z puanı nasıl ki verilen puanları ortalaması 0, standart
ESEN YAYINLARI
belirlenebilir.
sapması 1 olan puanlara dönüşüyorsa, T puanı da
verilen puanları ortalaması 50, standart sapması 10
olan puanlara dönüştürür. z puanlarından T punlarına
geçiş T = 50 + 10.z formülü ile elde edilir.
ÖRNEK 195
Bir ülkedeki insanlar bir yılda 19 standart sapma ile
ortalama 249 gün çalışmaktadırlar. z puanı 2 olduğunda bu durum, ortalama kaç günlük çalışma süresini ifade eder?
Çözüm
223
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ÖRNEK 197
ÖRNEK 198
3 kişinin katıldığı bir sınavda puanlar hesaplanırken;
I.
‹statistik
Her öğrenciye 100 taban puan verilmektedir.
Ders
Matematik
Edebiyat
Fatma’n›n notu ( X )
70
75
II. En yüksek puan alan öğrencinin puanı 500 e
S›n›f ortalamas› ( x )
60
70
çekilerek diğer puanların dağılımı buna göre
Standart sapma ( s )
5
10
yapılmaktadır.
Fatma’nın matematik ve edebiyat derslerinin I. yazı-
III. Test farkı gözetilmeksizin her sorunun puan geti-
lılarından aldığı notlar, sınıfın ortalaması ve standart
risi eşit kabul edilmektidir.
sapması yukarıda verilmiştir. Buna göre, Fatma’nın
Aşağıdaki tablodaki verileri kullanarak Aybars’ın pua-
bu sınavları ile ilgili z ve T puanlarını bulunuz.
nını hesaplayalım.
Matematik
Neti
Fen
Neti
Türkçe
Neti
Sosyal
Neti
Ecem
28
32
30
24
Aybars
34
36
30
26
Gizem
39
36
35
30
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Ö¤renci
Çözüm
KORELASYON
İki değişken arasında ilişki olup olmadığını, varsa bu ilişkinin derecesini gösteren kat sayıya korelasyon kat
sayısı denir.
®
Korelasyon kat sayısı [–1, 1] aralığında değerler alır.
®
Korelasyon kat sayısı sıfıra eşit ise değişkenler arasında bir ilişkiden söz edilemez.
®
Korelasyon kat sayısının 1 e yaklaşması, değişkenler arasında olumlu ve kuvvetli bir ilişkinin bulunduğunu;
–1 e yaklaşması, değişkenler arasında olumsuz ve kuvvetli bir ilişkinin bulunduğunu gösterir.
Çözüm
ÖRNEK 199
A
B
C
D
E
0,9
0,2
– 0,1
– 0,8
Yukarıdaki tabloda A ile B, C, D ve E değişkenleri
arasındaki korelasyon kat sayıları gösterilmiştir.
Buna göre, bu ilişkileri yorumlayınız.
224
ALIŞTIRMALAR – 6
1.
6.
12, 12, 13, 14, 14, 15 (saniye)
6 kişilik bir sporcu grubunun 100 metreyi koşma
lar,
süreleri yukarıdaki gibidir. Buna göre, bu spor-
25, 30, 30, 45, 45, 50, 60, 60, 60, 85
cuların 100 metreyi koşma süreleri ortalama kaç
şeklindedir. Bu veri grubunun,
saniyedir?
2.
10 öğrencinin matematik dersinden aldıkları not-
I.
7, 9, 6, 8, 9, 4, 2
II.
1, 4, 3, 2, 1, 5, 5, 3
a. Ortancasını
b. Tepe değerini (mod)
c. Alt uç değerini
d. Üst uç değerini
e. Alt çeyrek değerini
f. Üst çeyrek değerini
g. Çeyrek açıklığını
h. Grup açıklığını
bulunuz.
Yukarıda verilen I ve II nolu sayı dizilerinin medyanlarının toplamı kaçtır?
7.
50, 54, 58, 60, 66, 72
3.
8, 9, 11, 11, 7, 8, 6, 13, 6, 6, 4
Yukarıda verilen sayı dizisinin mod ve medyanının toplamı kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Yukarıda, bir sınıfta bulunan herhangi 6 öğrencinin geometri sınavından aldıkları puanlar verilmiştir. Bu puanların standart sapmasını bulunuz.
8.
4.
sınavda 40 alan Ali ile 100 alan Barış’ın z puan-
14, 17, 10, 12, 19, 21, 9, 24
larını bulunuz.
verilenlerin açıklığı kaçtır?
5.
Sınav ortalaması 60, standart sapması 4 olan bir
4, 5, 8, 12, x, x + 1
sayı dizisinin aritmetik ortalaması 9 olduğuna
göre, tepe değeri kaçtır?
9.
Sınav ortalaması 70, standart sapması 8 olan
bir sınavda 60 alan Fatma’nın T standart puanı
kaçtır?
225
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
10. Şekilde verilen grafik bir
13. Aşağıdaki grafik bir otobüsteki yolcuların meslek-
ailenin aylık harcamalarını göstermektedir. Bu
lerine göre dağılımını göstermektedir.
Di¤er
% 45
Kira
% 30
Kifli sayısı
ailenin aylık kira gideri
Yiyecek
450 TL olduğuna göre,
14
13
aylık yiyecek gideri kaç
12
TL dir?
11
10
9
8
7
6
5
4
1
6
0
5
4
3
‹flçi
2
7
Esnaf
8
Memur
3
Ö¤renci sayısı
Ö¤retmen
11.
Meslek
2
1
4
3
2
1
5
a.
Alınan Not
Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin tarih
dersinin sınavından aldıkları notları göstermektedir. 2 ve üzeri not alanlar başarılı olduğuna göre,
bu sınıfın yüzde kaçı tarih dersinden başarılıdır?
Otobüsteki yolcular mesleklerine göre bir daire
grafiğiyle gösterildiğinde öğretmenleri gösteren
ESEN YAYINLARI
0
daire diliminin merkez açısının ölçüsü kaç derece
olur?
b.
Bu otobüsten x sayıda yolcu inip otobüse x sayıda yolcu binerse otobüste her meslek grubundan
12.
Benzin (L)
eşit sayıda yolcu oluyor. Buna göre, x en az kaç-
25
tır?
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
Zaman (gün)
c.
Otobüsten belirli sayıda işçi inip otobüse işçi ol-
Yukarıdaki grafik, bir aracın benzin tüketimini
mayan 8 kişi binerse otobüsteki işçilerin sayısı,
göstermektedir. Buna göre, bu aracın hangi gün-
tüm yolcuların sayısının % 25’i oluyor. Buna gö-
ler arasında benzin tüketim hızı en fazladır?
re, otobüsten inen işçilerin sayısı kaçtır?
226
Faktöriyel ve Permütasyon
TEST – 1
1.
5.
0! + 2! + 4! + ..... + 400! sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
A) 3
2.
B) 4
C) 6
münden kalan kaçtır?
D) 7
E) 8
A) 0
6.
13! + 14! toplamının sonunda kaç tane sıfır var-
B) 1
C) 3
D) 12
E) 17
x ve y doğal sayılar olmak üzere 24! = 4x.y
eşitliğini sağlayan x en çok kaçtır?
dır?
B) 3
C) 4
D) 5
A) 22
E) 6
B) 20
C) 18
D) 14
E) 11
ESEN YAYINLARI
A) 2
3! + 4! + 5! + ..... + 140! sayısının 30 ile bölü-
7.
3.
4! + 6! + 8! + ..... + 120! sayısının onlar basama-
y=
ğındaki rakam kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
x ve y doğal sayılar olmak üzere
40!
eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı
24 x
kaçtır?
E) 8
A) 80
4.
40! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı
vardır?
A) 8
8.
B) 79
C) 78
D) 77
E) 76
x ve y doğal sayılar olmak üzere 32! = 12x.y
eşitliğini sağlayan en büyük x değeri kaçtır?
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
231
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
9.
5 soruluk bir test sınavında her soru için 5 se-
13. A = {0, 1, 3, 4} kümesinin elemanlarını kullana-
çenek vardır. Ardışık iki sorunun doğru yanıtları
rak rakamları farklı üç basamaklı kaç tek sayı ya-
aynı seçenek olmayacak şekilde kaç farklı cevap
zılabilir?
anahtarı hazırlanabilir?
A) 8
B) 12
C) 18
D) 24
E) 30
A) 1280 B) 1240 C) 1220 D) 1140 E) 1020
14. {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesindeki rakamlar kullanı10. 7 rakamlı telefon numarasının ilk 5 rakamı bilin-
larak, rakamları farklı, 4 basamaklı kaç tane çift
mektedir. Kaç değişik deneme ile bu telefon nu-
sayı yazılabilir?
marası kesin olarak tespit edilebilir?
B) 90
C) 96
D) 98
B) 120
C) 156
D) 180
E) 196
E) 100
ESEN YAYINLARI
A) 80
A) 96
15. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kullanarak 400 den küçük rakamları farklı kaç çift
11. 3 öğrenci 5 farklı dersten birer tane seçecektir.
sayı yazılabilir?
Her birinin seçtiği ders farklı olmak koşuluyla kaç
A) 46
seçim yapılabilir?
A) 24
B) 32
C) 48
D) 60
B) 47
C) 48
D) 49
E) 50
E) 72
16. A = {2, 4, 5, 7, 9} kümesinin elemanları ile ra12. 18 takımın bulunduğu süper ligde her takım birbi-
kamları farklı 4 ile bölünebilen 3 basamaklı kaç
riyle 2 maç yapacaktır. Toplam kaç maç oynanır?
sayı yazılabilir?
A) 304
A) 30
1.D
2.B
232
B) 305
3.C
C) 306
4.B
5.A
D) 308
6.E
E) 309
7.C
8.C
9.A
10.E
B) 24
11.D
12.C
C) 18
13.A
D) 12
14.C
E) 9
15.C
16.D
Kombinasyon
TEST – 3
1.
5.
2 kız ve 4 erkek arkadaş yanyana, başta ve
sonda birer erkek bulunacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?
A) 288
B) 240
C) 220
D) 144
A) 64
3 öğretmen, 5 öğrenci arasından seçilen 1 öğretmen ve 2 öğrenci yanyana kaç değişik biçimde
fotoğraf çektirebilirler?
B) 136
C) 140
D) 160
C) 89
D) 99
E) 101
C(n + 1, 11 – n) = C(n + 1, 6) eşitliğini gerçekleyen
n değerlerinin çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 8
B) 12
C) 24
D) 40
E) 48
E) 180
ESEN YAYINLARI
A) 120
B) 72
E) 120
6.
2.
Bir çember üzerinde bulunan 7 nokta ile köşeleri
bu noktalar olan kaç çokgen oluşturulabilir?
3.
Murat 6 arkadaşından 2 sini tiyatroya davet edecektir. Belli iki arkadaşı birlikte olmak istemiyorlar. Buna göre Murat 2 arkadaşını kaç değişik
şekilde seçer?
A) 6
4.
B) 10
C) 14
D) 15
B) 62
C) 68
D) 70
E) 72
5 kız ve 4 erkek arasından seçilen 3 kız ve 2
erkek yuvarlak masa etrafına erkekler yanyana
olmak koşuluyla kaç değişik biçimde oturabilir?
A) 720
E) 20
9 kişiden belli iki kişi aynı odada kalmamak koşulu ile bir oteldeki 4 ve 5 kişilik iki odaya kaç değişik biçimde yerleşebilir?
A) 60
7.
8.
B) 600
C) 540
D) 480
E) 240
21 kişilik bir grupta erkeklerden oluşturulabilecek
ikişerli grupların sayısı kızların sayısına eşittir.
Bu grupta kaç erkek vardır?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 14
E) 15
235
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
9.
13. 6 farklı oyuncak her çocuğa ikişer tane verilmek
10 doğrudan 2 tanesi bir A noktasında kesişmiştir. Diğer doğrulardan 3 tanesi paralel olduğuna
üzere 3 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
göre bu 10 doğru en fazla kaç noktada kesişir?
A) 41
B) 42
C) 43
D) 44
A) 90
B) 80
C) 72
D) 60
E) 54
E) 45
14. 6 kişi her birinde en az bir kişi bulunan üç gruba
10.
d5
d6
d7
kaç farklı şekilde ayrılabilirler?
d8
A) 72
d1
B) 80
C) 90
D) 120
E) 180
d2
d3
d4
d1 // d2 // d3 // d4 ve d5 // d6 // d7 // d8 olduğuna göre, yukarıdaki şekilde kaç tane paralelkenar
15.
A) 16
B) 20
C) 36
D) 40
A
ESEN YAYINLARI
vardır?
E) 48
B
C
Şekildeki üçgen üzerinde işaretlenmiş 12 noktadan kaç farklı üçgen çizilebilir?
A) 190
B) 189
C) 188
D) 187
E) 186
11. 8 kenarlı bir konveks çokgenin kaç köşegeni vardır?
A) 16
B) 18
C) 19
D) 20
E) 22
16.
A
12. 6 sı kız olan 11 kişilik bir gruptan 4 kişilik bir ekip
B
oluşturulacaktır. Grupta en az bir kız öğrenci bu-
D
E
F
K
L
M
C
lunması koşuluyla kaç grup oluşturulabilir?
Yukarıdaki şekilde kaç üçgen vardır?
A) 332
A) 26
1.A
2.E
236
B) 330
3.C
C) 328
4.D
5.D
D) 326
6.D
E) 325
7.A
8.A
9.B
10.C
B) 27
11.D
12.E
C) 28
13.A
D) 29
14.E
E) 30
15.E
16.C
Binom Açılımı
TEST – 4
1.
(ax – 2y2)6 açılımında kat sayılar toplamı 64 ise
5.
a nın alabileceği değerler toplamı kaç olur?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
cx –
1 6
m
x2
ifadesinin açılımında ortadaki terim
nedir?
E) 5
10
x3
A) –
B) –
D)
2.
20
x3
20
x3
C) –
E)
30
x3
30
x3
(3x – 2y)n açılımında 8 terim varsa, bu terimlerin
kat sayılar toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
6.
E) 2
c x3 +
1 8
m ifadesinin açılımında sabit terim kaç2x
tır?
ESEN YAYINLARI
A)
3.
(x – 2y)7 ifadesi, x in azalan kuvvetlerine göre
açılırsa, baştan 4. terim ne olur?
A) –120x3y4
B) –120x4y3
D) –240x4y3
4.
7.
C) –280x4y3
c
7
16
8.
bx –
B) 5
C) 4
a nın pozitif değeri kaçtır?
A) 32
A) 1
C) 50
D) 58
E) 60
5
8
E)
11
16
D) 3
E) 2
a 8
l ifadesinin açılımında sabit terim 70 ise
x
açılırsa, sondan 3. terimin kat sayısı kaç olur?
B) 48
D)
6
1
– x 2 m ifadesinin açılımında sabit terim
x
A) 6
(2x – y ) ifadesi, x in azalan kuvvetlerine göre
C) 9
16
baştan kaçıncı terimdir?
E) –240x3y4
2 6
B) 1
2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
237
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
9.
(x + y)16 ifadesinin açılımında kat sayılarn en
13. (x2 + vx)8 ifadesinin açılımında terimlerden biri
7ax7 dir. Buna göre a kaçtır?
büyük olanı nedir?
A) d
15
n
9
B) d
16
n
8
C) d
16
n
7
D) d
16
n
9
E) d
15
n
8
A) 8
B) 7
E) 3
eşitliğinde K kaçtır?
10. (vx + x)6 ifadesinin açılımında x5 li terim baştan
kaçıncı terimdir?
A) –240 B) –216 C) –196 D) –172 E) –150
C) 4
D) 3
E) 2
ESEN YAYINLARI
B) 5
D) 4
1 10
10 50
29
m = 2 .x + ..... + K.x + .....
4x 2
14. c 2x 5 –
A) 6
C) 6
15. (2x2 + y2)n açılımı yapıldığında bir terim,
A.x6.y18 olduğuna göre A kaçtır?
11. (x + y)n ifadesinin açılımında x4 lü terimin kat sa-
A) 8 d
yısı 5 ise y3 lü terimin kat sayısı kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
16. (1 –
A kaçtır?
1.D
2.D
238
B) d
D) 6 d
E) 15
12. (x2 – 2y)n açılımındaki terimlerden biri Ax6y2 ise
A) 112
12
n
9
3
12
n
9
12
n
8
C) d
E) d
12
n
8
14
n
12
2 )6 ifadesinin açılımı düzenlenirse oluşan
rasyonel terim kaç olur?
B) 102
3.C
C) 80
4.E
D) 60
5.B
6.A
E) 40
7.D
A) –35
8.A
9.B
10.B
B) –34
11.C
12.E
C) –33
13.D
D) –32
14.A
E) –31
15.A
16.A
Olasılık
TEST – 5
1.
2.
5.
Bir sınıfta 5 siyah 4 kırmızı 3 beyaz elbiseli öğ-
Bir torbada 5 mavi, 3 beyaz bilye vardır. Bir zar
renci vardır. Rastgele seçilen iki öğrencinin ikisi-
atılıp torbadan bir bilye çekildiğinde; zar tek sayı
nin de kırmızı elbiseli olma olasılığı nedir?
gelirse beyaz bilye, zar asal sayı gelirse, mavi
A) 1
5
bilye çekme olasılığı kaçtır?
B) 1
6
C) 1
7
D) 1
10
E) 1
11
A) 1
2
40 mevcutlu bir sınıftaki öğrencilerin 14 tanesi
6.
matematikten, 20 tanesi kimyadan başarılı ol-
20 den 100 e kadar olan (20 ve 100 dahil) doğal
A) 19
81
olasılığı kaçtır?
E) 2
5
B) 20
81
C) 19
100
D) 7
27
E) 21
100
ESEN YAYINLARI
D) 3
5
E) 1
6
nedir?
cinin matematik veya kimyadan başarılı olması
C) 4
5
D) 1
5
6 veya 8 ile tam bölünen bir sayı olma olasılığı
kimyadan başarılı ise rastgele seçilen 1 öğren-
B) 7
10
C) 1
4
sayılar içerisinden rastgele seçilen bir sayının
muştur. 10 öğrenci de hem matematik hem de
A) 3
10
B) 1
3
7.
3.
de 3 sarı 5 beyaz bilye vardır. Rastgele seçilen
s(A) = 3 ve s(B) = 3 olmak üzere A dan B ye ta-
bir torbadan alınan bir bilyenin sarı olduğu bili-
nımlı fonksiyonlardan biri rastgele alınırsa, bunun
niyorsa, 2. torbadan alınmış olma olasılığı kaç
bire bir ve örten bir fonksiyon olma olasılığı kaç-
olur?
tır?
A) 1
9
B) 2
9
C) 1
3
D) 4
9
A) 9
17
E) 5
9
8.
4.
Bir zarın iki yüzü beyaz, bir yüzü mavi, üç yüzü
İki torbadan birincisinde 2 sarı 4 beyaz, ikincisin-
B) 8
17
C) 6
17
D) 4
17
Bir yarışı A nın kazanma olasılığı
E) 1
16
2
5
sarıya boyanmıştır. Bu zar üç kez atıldığında, bi-
B nin kazanmama olasılığı 1 tür.
3
rinci ve ikinci atışlarda beyaz, üçüncü atışta mavi
A ve B den sadece birinin kazanma olasılığı kaç-
gelme olasılığı nedir?
tır?
A) 1
27
B) 1
48
C) 1
54
D) 1
60
E) 1
72
A) 2
5
B) 7
15
C) 8
15
D) 3
5
E) 2
3
239
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
9.
Bir torbada üzerinde 1 den 10 a kadar numara-
13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kü-
lar bulunan 10 top vardır. Bu torbadan seçilecek
melerinden biri rastgele seçildiğinde bu kümenin
üç topun üzerindeki sayıların toplamının çift olma
elemanları arasında 5 in bulunma olasılığı kaç
olasılığı nedir?
olur?
A)
2
3
B)
1
2
C)
1
3
D)
1
4
E)
1
5
A) 3
4
B) 4
5
C) 5
6
D) 2
3
E) 1
3
14. Bir yarışmada A, B, C kişileri yarışacaktır. A nın
10. 5 kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir grup-
kazanma olasılığı B nin kazanma olasılığının 3
ta 3 ve 4 kişilik iki ayrı grup oluşturulacaktır.
katı, C nin kazanma olasılığının yarısı ise bu ya-
Gruplarda kızların ve erkeklerin bir araya gelme-
rışı A veya B nin kazanma olasılığı kaçtır?
me olasılığı kaçtır?
B) 1
21
C) 17
42
D) 31
42
A) 2
5
E) 41
42
B) 1
2
C) 3
5
D) 7
9
E) 4
9
ESEN YAYINLARI
A) 1
42
15. ALPAY sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirilerek oluşturulan 5 harfli sözcüklerden biri rastgele seçiliyor. Bu sözcüğün PA ile başlayan sözcük
11. 7 evli çift arasından rastgele seçilen iki kişinin
olma olasılığı kaçtır?
karı-koca olma olasılığı nedir?
A) 1
13
B) 1
11
C) 1
9
D) 1
7
A) 1
10
E) 1
5
B) 1
5
C) 3
10
D) 2
5
E) 1
2
16. Bir torbada 3 tanesi beyaz olan bir miktar beyaz
ve kırmızı bilye vardır. Bu torbadan, çekilen geri
torbaya konmamak koşuluyla art arda iki bilye
12. 4 kırmızı, 2 sarı, 3 lacivert bilye bulunan bir torba-
seçildiğinde birincisinin beyaz, ikincisinin kırmızı
1
ise bu torbada kaç tane kırmızı
olma olasılığı
4
bilye olabilir?
dan aynı anda 3 bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin
içinde en az bir kırmızı bilye olma olasılığı nedir?
A) 37
42
1.E
2.D
240
B) 37
43
3.B
C) 36
43
4.C
D) 40
49
5.A
6.A
E) 43
49
7.A
A) 4
8.C
9.B
10.A
B) 5
11.A
C) 6
12.A
13.D
D) 7
14.A
E) 8
15.A
16.C
İstatistik
TEST – 7
1.
3.
Bir marketin 2011 yılının 1. yarısındaki aylara
Nüfus (milyon kifli)
göre, kâr-zarar durumu aşağıdaki grafikte veril-
Kad›n
Erkek
40
miştir.
30
Miktar (TL)
18000
20
15000
10
12000
Kâr
Zarar
9000
6000
0
Haziran
May›s
Nisan
Mart
fiubat
0
Ocak
3000
1995
2000
2005
2010
Y›llar
Grafikte bir ülkedeki kadın-erkek nüfusunun 4
Aylar
nüfus sayımına göre değişimi gösterilmiştir.
I.
2000 yılı sayımında erkek nüfusu bir önceki
sayıma göre artmamıştır.
Grafiğe göre, bu marketin kâr-zarar durumu aşağıdakilerden hangisidir?
II. Toplam nüfustaki artış oranı en yüksek 2000-
A) 3000 TL kâr
B) 9000 TL kâr
C) 3000 TL zarar
D) Ne kâr, ne de zarar
2005 yılları arasında olmuştur.
III. Kadın sayısı, erkek sayısını hiç geçmemiştir.
IV. 2010 yılındaki kadın/erkek sayıları oranı 1995
E) 9000 TL zarar
yılındaki orana eşittir.
Yukarıdaki ifadelerin Doğru(D) ve Yanlış(Y)
Bir ülkede üretilen kömür miktarlarının cinslerine
göre oranları aşağıdaki grafikte verilmiştir.
ESEN YAYINLARI
2.
olarak sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?
A) D – D – D – Y
B) D – Y – D – Y
C) D – Y – D – D
D) Y – Y – D – Y
E) D – D – D – D
Linyit
Kok
Taflkömürü
4.
Bir işyerinde çalışan 8 kişi A ve B diye iki gruba
ayrılmıştır. Bu kişilerin isimleri ve maaşlarını gös-
Yalnızca bu grafikten yararlanarak aşağıdaki bilgilerden hangisine kesinlikle ulaşılabilir?
A) Üretim miktarı az olduğu için en pahalı kömür
koktur.
B) Linyit üretim miktarı, toplam kömür üretim
miktarının yarısından azdır.
teren tablo aşağıda gösterilmiştir.
A grubu
Maaş
(TL)
B grubu
Maaş
(TL)
Hülya
1.800
Derya
1.400
Ümit
1.600
Selma
1.800
İlhami
3.200
Fatma
1.500
Turan
2.600
Soner
2.100
C) Bu ülkedeki kömür üretiminde taşkömürünün
maddi değeri en yüksektir.
D) Kok ve taşkömürü üretim miktarları toplamı,
linyit üretim miktarından azdır.
E) Kok kömürünün elde edilmesi daha masraflı
bir süreçtir.
A ve B gruplarındaki hangi iki kişi yer değiştirirse
gruplardaki maaşların ortalaması eşit olur?
A) İlhami ile Soner
B) Turan ile Derya
C) Hülya ile Derya
D) İlhami ile Selma
E) Turan ile Selma
243
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
5.
7.
80°
61 ekran
120°
60°
67 ekran
60°
60°
106 ekran
51 ekran
0
2000
2010
40
80
120
160
200
240
280
320
Yukarıdaki grafikte bir veri grubuna ait kutu grafi-
Dairesel grafiklerde, 2000 ve 2010 yılı ekranla-
ği verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi
rına göre TV satış oranları verilmiştir. 106 ekran
yanlıştır?
TV satışındaki değişim için ne söylenebilir?
A) Alt uç değer 40 tır.
A) 2000 yılına göre % 90 artmıştır.
B) Medyan 160 tır.
B) 2010 yılı daire grafiğindeki merkez açısı 120°
C) Veri grubunun aralık (genişliği) değeri 280 dir.
olmuştur.
C) Toplam satış içindeki payı
mıştır.
D) Üst çeyrek değeri 280 dir.
1
oranında art4
E) Çeyrekler açıklığı 160 tır.
D) 2010 yılı satışları, 2000 yılına göre % 150 artmıştır.
da
6.
1
lık paya sahipken, 2010 yılın6
1
lük paya sahip olmuştur.
3
3 tane 11. sınıfı bulunan bir okuldaki öğrencilerin
sınıflara dağılımı aşağıda sütun grafiği ile göste-
ESEN YAYINLARI
E) 2000 yılında
8.
Aşağıdaki grafikte bir işletmenin 2005-2010 yılları arasındaki gelir-gider durumları gösterilmiştir.
Para (bin TL)
100
80
rilmiştir.
60
Ö¤renci say›s›
24
A
20
B
16
C
12
D
8
E
40
Erkek
0
2005 2006 2007 2008 2009 2010
Gelir
Y›llar
Gider
Grafiğe göre, bu işletme için aşağıda verilen bil-
4
0
20
K›z
gilerden hangisi yanlıştır?
11–B
11–A
11–C
S›n›flar
A) 2008 yılında kâr etmemiştir.
B) En yüksek kârı 2010 yılında yapmıştır.
Bu sınıflar arasından seçilecek 11. sınıf temsil2
cisinin kız veya 11-C sınıfından olma olasılığı
3
olduğuna göre, 11-C sınıfındaki kız öğrenci sayı-
C) 2006 yılında, 2005 e göre geliri artmamış
sına hangi harf karşılık gelir?
D) 2008-2009 arasında zarar etmiştir.
A) A
1.D
244
B) B
2.D
C) C
D) D
3.B
E) E
4. B
fakat kârı artmıştır.
E) Bu yıllar içindeki toplam kârı 140 bin TL dir.
5.D
6.A
7.E
8.E
İstatistik
TEST – 9
1.
4.
Nükleotit Sayısı
Ankara’da Mart ayının ilk haftasına ait günlük
hava sıcaklıkları aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.
400
Sıcaklık (°C)
300
200
4
100
3
0
A
B
C
D
E
6
G
S
A
0
Nükleotit Çeflitleri
T
1
2 3
4
5
6
Günler
7
–2
Bir DNA molekülünde Adenin (A) nükleotit sayısı, Timin (T) nükleotit sayısına ve Guanin (G)
Bu haftaya ait hava sıcaklığı ortalaması 3°C oldu-
nükleotit sayısı, Sitozin (S) nükleotit sayısına eşit
ğuna göre, grafik 7. gün hangi noktadan geçer?
olmak zorundadır. Yukarıda verilen grafikte be-
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
lirtilen nükleotitlerin bulunduğu bir ortamda üretilecek bir DNA molekülü en fazla kaç nükleotide
sahip olabilir?
A) 400
B) 500
C) 600
D) 700
5.
E) 800
Yandaki silindirik tankın
A
altta bulunan silindirinin
yarıçapı 2r, yüksekliği h
camalarının
tüm
%30
Kira
harcamalarına oran-
%25
ları yandaki grafikte
%30
E¤itim
verilmiştir.
E¤lence
Eğlence için harca-
Yiyecek
giyecek
ailenin aylık harcamaları toplamı kaç TL dir?
B) 850
yarıçapı r, yüksekliği h tır.
r
açıldıktan sonra tanktaki
su
seviyesini
h
zamana
karşı gösteren grafik aşa-
C) 900
A)
•
B)
Su seviyesi (m)
2r
Su seviyesi (m)
2h
2h
h
h
D) 1000 E) 1150
t
3.
•
Sabit debili A musluğu
ğıdakilerden hangisidir?
ması 150 TL olan bu
A) 750
h
tır. Üstteki silindirinin ise
Bir ailenin aylık harESEN YAYINLARI
2.
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
C)
2t 3t 4t 5t
Zaman (dk)
t
D)
Su seviyesi (m)
2t 3t 4t 5t
Zaman (dk)
Su seviyesi (m)
2h
2h
h
h
A) Dağılım ölçüleri, verilerin değişkenliğini gösterir.
B) Varyans ve standart sapma dağılım ölçüleridir.
C) Varyansın ölçüm birimi, değişkenin ölçüm
birimidir.
D) Standart sapmanın ölçüm birimi, değişkenin
t
2t 3t 4t 5t
Zaman (dk)
E)
t
2t 3t 4t 5t
Zaman (dk)
Su seviyesi (m)
2h
h
ölçüm birimidir.
E) Ortalama, merkezi eğilim ölçüsüdür.
t
2t 3t 4t 5t
Zaman (dk)
247
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
6.
9.
Aşağıda üç atletin 200 m koşusunda zamana
Aşağıdakilerden hangisi merkezi eğilim ölçüsü-
karşı koştukları mesafeyi gösteren çizgi grafik ve-
dür?
rilmiştir.
A) Varyans
B) Aralık
C) Standart sapma
D) Medyan
Koflulan mesafe (m)
Ali
200
Veli
150
Selami
E) Varyasyon kat sayısı
100
50
0
5
10
15
10.
Zaman (sn)
20
Grafikteki bilgilere göre, yarışla ilgili yapılan yorumlardan hangisi yanlıştır?
0
A) Yarışı Veli kazanmıştır.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14
Yukarıda kutu grafiği verilen, veri gurubu aşağı-
B) Yarışa en hızlı başlayan Selami’dir.
dakilerden hangisi olabilir?
C) Veli tüm yarış boyunca sabit hızla koşmuştur.
A) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14
D) 150. metrede üçü yanyana gelmişlerdir.
B) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 12, 14
E) Ali sürekli artan bir tempo ile koşmuştur.
7.
Bir liseden mezun olan 180 öğrencinin üniversiteye giriş sınavında aldığı MF4 puanları aşağıda
tablo halinde verilmiştir.
Puan: x
ESEN YAYINLARI
C) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 14
D) 1, 2, 4, 5, 5, 8, 10, 14
E) 2, 3, 4, 5, 5, 8, 10, 10
Öğrenci Sayısı
x < 300
36
300 ≤ x < 350
50
11. Bir sınıfta bulunan 15 öğrenciye ayakkabı numa-
350 ≤ x < 400
64
raları sorulmuş ve aşağıdaki çetele elde edilmiş-
400 ≤ x
30
tir.
Bu verilere uygun daire grafiği çizildiğinde, en
38 :
büyük merkez açı ile en küçük merkez açının
39 :
farkı kaç derecedir?
40 :
A) 68
B) 56
C) 40
D) 28
41 :
E) 12
Bu veriler için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Modu 41 dir.
8.
7, 4, 8, 6, 5, 12, x
B) Medyanı 40 tır.
sayılarından oluşan veri grubunun ortalama, mod
C) Aritmetik ortalaması 40 tan küçüktür.
ve medyan değerinin aynı olması için x kaç ol-
D) Açıklığı 2 dir.
malıdır?
A) 4
1.C
248
B) 5
2.D
C) 6
3.C
D) 7
E) 8
4.B
5.A
E) İlk çeyrek değeri 39 dur.
6.A
7.A
8.D
9.D
10.C
11.D
TEST – 10
1.
5.
6 farklı kitaptan 4 tanesi üst rafa, 2 tanesi alt
rafa kaç türlü sıralanabilir?
A) 320
B) 600
C) 720
4 basamaklı kaç sayı yazılabilir?
D) 900
E) 1440
A) 72
6.
2.
12334 sayısının rakamları yer değiştirilerek
2! + 3! + 4! + ..... + 20!
B) 68
C) 64
D) 60
E) 52
En çok 2 elemanlı 16 tane alt kümesi olan bir kümenin, 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
toplamında, faktöriyeli alınmış her sayı 1 artırılırA) 6
sa toplamın sonucu ne kadar artar?
A) 21!
B) 21! + 1
D) 9
E) 10
C) 21! – 1
7.
P(n+1, 2) – C(n+2, n+2) = C(n+2, 3) + C(n+3, 0)
eşitliğini sağlayan n kaçtır?
A) 1
3.
C) 8
E) 21! + 2
ESEN YAYINLARI
D) 21! – 2
B) 7
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
8 televizyon programından 3 tanesi aynı saatte
yayınlanmaktadır. Bu programlardan iki tanesini
izlemek isteyen biri kaç değişik seçim yapabilir?
A) 30
B) 25
C) 24
D) 20
E) 18
8.
K
F
L
E
M
A
N
B
4.
A = {1, 2, 3, 5, 7} kümesinin elemanlarını kulla-
D
C
Yukarıdaki şekilde L, M, N ve D doğrusaldır.
narak rakamları farklı, 5 basamaklı, 4 ile bölüne-
Köşeleri verilen 10 nokta olan en çok kaç üçgen
bilen kaç sayı yazılabilir?
çizilebilir?
A) 22
B) 24
C) 26
D) 28
E) 30
A) 116
B) 115
C) 114
D) 113
E) 112
249
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
9.
13. Madeni bir para 3 defa atıldığında en az 1 kez
6 kişinin katıldığı bir sınavda 2 kişinin başarısız,
4 kişinin başarılı olması durumu kaç farklı şekilde
tura gelme olasılığı kaç olur?
gerçekleşebilir?
A) 1
8
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18
B) 1
4
C) 3
8
D) 5
8
E) 7
8
14. İki zar birlikte atılıyor. Gelen zarların üzerindeki sayıların toplamının 6 olduğu bilindiğine göre,
10. Kenar uzunlukları farklı ve herhangi iki kenarı ça-
zarlardan birinin 2 olma olasılığı kaç olur?
kışık olmayan 5 kare en fazla kaç noktada kesi-
A) 6
7
şir?
B) 75
C) 72
D) 70
11. d
Bu yarışmacılardan en az birinin yarışı kazanma
olasılığı kaçtır?
A) 13
16
C) –6
D) 6
E) 2
5
2 1
5
,
ve
dir.
5 6
8
min kat sayısı kaçtır?
B) –12
D) 3
5
15. Üç yarışmacının, bir yarışı kazanma olasılıkları
y 6
x3
x
– 2 n ifadesinin açılımında 9 içeren teri2
y
x
y
A) –18
C) 4
5
E) 64
ESEN YAYINLARI
A) 80
B) 5
6
B) 7
8
C) 15
16
D) 11
12
E) 23
24
E) 12
16. 112334 sayısının rakamları ile oluşturulan 6 basamaklı sayılardan bir tanesi rastgele seçilirse
9
12. (x + y + z)
bu sayının 1 ile başlayıp 4 ile bitme olasılığı kaç
açılımında oluşacak terimlerden kaç
olur?
tanesinde y5 bulunur?
A) 3
1.C
2.D
250
B) 4
3.B
C) 5
4.B
D) 6
5.D
6.E
A) 2
5
E) 7
7.C
8.A
9.C
10.A
B) 3
10
11.C
C) 1
5
12.C
13.E
D) 1
10
14.E
E) 1
15
15.A
16.E
TEST – 12
1.
5.
Bir zar art arda iki kez atıldığında gelen sayıların
ardışık olma olasılığı nedir?
A) 5
18
B) 1
3
C) 5
9
A = { Ç, A, R, P, I, M } kümesinin elemanlarını bir
kez kullanarak oluşturulabilecek 6 harfli sözcük-
D) 17
36
lerin kaç tanesinde sesli harfler alfabedeki sırala-
E) 19
36
rına göre yer alır?
A) 180
6.
2.
B) 240
C) 300
D) 360
E) 420
Suat ile Seçkin’in de bulunduğu 7 kişi bir sırada,
Aralarında Elif ve Arman’ın da bulunduğu 10 kişi-
Suat ile Seçkin arasında hep 3 kişi olacak şekilde
lik bir grupta herkes birbiri ile tokalaşacaktır.
kaç farklı biçimde oturabilirler?
İlk tokalaşacak iki kişinin Elif ve Arman olma ola-
A) 180
B) 360
C) 420
D) 600
E) 720
sılığı nedir?
B) 2
45
C) 1
15
D) 4
45
E) 1
9
ESEN YAYINLARI
A) 1
45
7.
A
D
3.
x pozitif tam sayı olmak üzere 2x sayıları içinden
E
C
F
d1
d2
G
d1 // d2 olmak üzere, d1 üzerinde 3 ve d2 üze-
seçilen bir sayının 2 ile biten bir sayı olma olası-
rinde 4 nokta vardır. Köşeleri verilen bu 7 nok-
lığı kaçtır?
tadan herhangi üçü olan üçgenler içinden seçilen
A) 1
2
B) 1
3
C) 1
4
D) 1
6
bir üçgenin bir köşesinin A olma olasılığı kaçtır?
E) 1
8
A) 4
15
8.
4.
B
B) 1
3
C) 2
5
D) 7
15
E) 8
15
Ali ve Barış bir madeni para ile oyun oynuyorlar.
1 den 100 e kadar (1 ve 100 dahil) olan sayılar
Tura atan oyunu kazanacaktır. Parayı ilk kez Ali
arasından seçilen iki sayıdan birinin diğerinin iki
atacağına göre, oyunu Barış’ın kazanma olasılığı
katı olması olasılığı kaçtır?
kaçtır?
A) 1
9
B) 1
99
C) 3
25
D) 4
17
E) 5
8
A) 2
3
B) 1
2
C) 1
3
D) 1
4
E) 1
8
253
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
9.
İki zar birlikte atıldığında zarlardan en az biri-
13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanlarından
nin 4 geldiği bilindiğine göre, toplamlarının 6 dan
ikisi rastgele seçiliyor. Seçilen bu iki sayının çar-
büyük olma olasılığı kaçtır?
pımının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
A) 1
6
B) 1
3
C) 1
2
D) 2
3
E) 5
6
A) 5
7
10. Bir kapıyı açmak için denenen 5 anahtardan yal-
D
A) 1
12
E) 1
5
ESEN YAYINLARI
11.
D) 2
5
C
1
1
1
1
1
B) 1
11
C) 2
11
D) 1
6
E) 1
3
15. Fatih ve Mehmet poligonda aynı hedefe birer kez
ateş etmişlerdir. Fatih’in hedefi vurma olasılığı 2
3
3
ve Mehmet’in hedefi vurma olasılığı
ise hede4
1
A 1
E) 1
7
tır?
ikinci denemede kapının açılması olasılığı kaçtır?
C) 3
5
D) 2
7
1 çift ayakkabının birbirinin eşi olma olasılığı kaç-
rayla denerek kapı açılmaya çalışılırsa en çok
B) 4
25
C) 3
7
14. Farklı 6 çift ayakkabı arasından rastgele seçilen
nız biri bu kapıyı açabilmektedir. Anahtarlar sı-
A) 9
25
B) 4
7
1 B
fin yalnız bir kez vurulmuş olma olasılığı kaçtır?
2
Üsteki şekilde alanı 1 br olan 15 tane kare var-
A) 7
12
dır. Buna göre, şekilde oluşan dikdörtgenler için-
B) 1
3
C) 5
12
D) 1
2
E) 12
17
den rastgele birisi boyanırsa, bu boyalı dikdörtgenin kare olma olasılığı kaçtır?
A) 1
5
B) 2
9
C) 11
45
D) 4
15
E) 13
45
16. Anne, baba ve 4 çocuğun bulunduğu bir aile yuvarlak masa etrafında oturacaklardır. Buna göre,
anne ile babanın yan yana oturmama olasılıkları
12. 4 madeni para aynı anda atıldığında 3’ünün yazı,
kaçtır?
birinin tura gelme olasılığı kaçtır?
A) 1
4
1.A
2.A
254
B) 1
8
3.C
C) 3
8
4.B
D) 1
16
5.D
6.E
A) 1
6
E) 3
16
7.D
8.C
9.D
10.D
B) 5
6
11.E
C) 2
5
12.A
13.A
D) 3
5
14.B
E) 4
5
15.C
16.D
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
1.
1990 – ÖYS
4.
1991 – ÖYS
Sıfırdan ve birbirinden farklı A, B, C, D rakamla-
n elemanlı bir kümenin r li bütün kombinas-
rının yerleri değiştirilerek elde edilen dört basa-
yonlarının (kombinezonlarının) sayısı C(n, r) ile
maklı 24 sayı toplanıyor. Bu toplam için aşağıda-
gösterildiğine göre, C(n, 2) + C(n, 3) = 4C(n, 1)
kilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
eşitliğinde n kaç olmalıdır?
A) 6 ile bölünebilir.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
B) 9 ile bölünebilir.
C) 14 ile bölünebilir.
D) Tek sayıdır.
E) Beş basamaklı bir sayıdır.
5.
1992 – ÖYS
Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye
vardır. Aynı anda çekilen
2
bilyeden birinin
beyaz öbürünün siyah olma olasılığı kaçtır?
1990 – ÖYS
7
2
– x 2 m nin açılımında x8 li terimin kat sayısı
x
kaçtır?
c
A) 84
B) 48
C) 28
D) – 48
E) – 84
B) 1
11
C) 2
11
D) 4
33
E) 5
33
ESEN YAYINLARI
2.
A) 1
6
6.
1995 – ÖYS
8 kişilik bir gruptan 5 kişilik kaç değişik takım kurulabilir?
3.
A) 336
1990 – ÖYS
A
B
C
D
B) 224
C) 168
D) 112
E) 56
E
Şekildeki A, B, C, D, E noktaları bir doğru ve ayrıca C, D noktaları bir çember üzerindedir.
Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki nokta-
7.
1995 – ÖYS
Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır.
dan yalnız birinin çembere ait olma olasılığı kaç-
Bu torbadan rasgele çekilen 3 bilyeden birinin
tır?
beyaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır?
A) 2
3
B) 2
5
C) 3
5
D) 5
6
E) 7
10
A) 3
10
B) 3
19
C) 4
15
D) 5
14
E) 5
13
255
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
8.
1996 – ÖSS
12. 1998 – ÖYS
B
A
C
A, B, C ∈ d1
D, E, F, G, H ∈ d2
D
E
F
(3x + 2y)23 ün açılımında baştan 11. teriminin
d1
G
H
kat sayısı kaçtır?
d2
A) 210.313 C(23, 10)
B) 211.312 C(23, 11)
Yukarıdaki şekilde d1 // d2 olduğuna göre, köşeleri bu 8 noktadan (A, B, C, D, E, F, G, H) her-
C) 211.312 C(23, 12)
hangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir?
D) 212.311 C(23, 12)
A) 45
B) 48
C) 52
D) 56
E) 213.311 C(23, 11)
E) 72
13. 1998 – ÖYS
9.
1996 – ÖYS
cx +
6
1
m
x2
Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane yeşil mendil vardır. Bu torbadan, geri atılmamak koşulu ile iki kez
ifadesinin açılımındaki sabit terim kaç-
birer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birincisinde
tır?
B) 16
C) 18
D) 20
kaçtır?
E) 22
ESEN YAYINLARI
A) 15
mavi, ikincisinde de yeşil mendil çekme olasılığı
A) 70
12
B) 20
49
C) 10
45
D) 10
21
E) 5
21
10. 1997 – ÖYS
(x2 – 2y2)n açılımında x4y4 lü terimin kat sayısı
Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri eşkenar
kaçtır?
A) – 48
14. 1999 – ÖSS
B) –24
C) 12
D) 24
E) 48
üçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yüzünde de T harfleri yazılıdır. Bu düzgün dörtyüzlü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, sırasına ve
yönüne bakılmaksızın A, T, A harflerinin görülme
olasılığı kaçtır?
11. 1997 – ÖYS
A torbasında 3 beyaz, 4 kırmızı; B torbasında
A) 1
2
B) 1
3
C) 2
3
D) 1
4
E) 3
4
5 beyaz, 2 kırmızı top vardır. Aynı anda her iki
torbadan birer top alınıyor ve öteki torbaya (A torbasından alınan B ye, B torbasından alınan A
ya) atılıyor.
15. 1999 – ÖSS
Bu işlemin sonucunda torbalardaki kırmızı ve
5, 6, 7, 8, 9 rakamları kullanılarak rakamları bir-
beyaz top sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma
birinden farklı olan, üç basamaklı ve 780 den
olasılığı kaçtır?
küçük kaç değişik sayı yazılabilir?
A) 18
49
256
B) 19
49
C) 20
49
D) 22
49
E) 23
49
A) 46
B) 42
C) 36
D) 30
E) 24
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
19. 2004 – ÖSS
16. 2000 – ÖSS
A
B
l. fiekil
lI. fiekil
C
Yukarıdaki ABC üçgeninin kenarları üzerinde 9
nokta verilmiştir. Köşeleri bu 9 noktadan üçü olan
kaç üçgen oluşturulabilir?
16 küçük kareden oluşan l. şeklin her satır ve her
sütununda bir ve yalnız bir küçük kare karalanarak ll. şekildeki gibi desenler elde edilmektedir.
A) 64
Bu kurala göre, en çok kaç farklı desen elde edi-
B) 69
C) 74
D) 79
E) 84
lebilir?
A) 16
B) 20
C) 24
D) 32
E) 36
20. 2005 – ÖSS
3 tane madeni 1 TL, kumbaralara istenen sayıda
atılmak suretiyle değişik bankalardan alınmış 5
farklı kumbaraya kaç değişik şekilde atılabilir?
17. 2001 – ÖSS
ESEN YAYINLARI
A
C
A) 10
B) 21
C) 24
D) 35
E) 45
B
Şekildeki çizgiler bir kentin dik kesen sokaklarını
göstermektedir. A dan hareket edip C ye uğrayarak B noktasına en kısa yoldan gidecek olan
kimse kaç değişik yol izleyebilir?
A) 24
B) 18
C) 16
D) 12
21. 2006 – ÖSS
A = {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla, en az iki
basamağındaki rakamı aynı olan üç basamaklı
kaç sayı yazılabilir?
E) 9
A) 52
B) 40
C) 38
D) 30
E) 24
22. 2007 – ÖSS
18. 2003 – ÖSS
A = {–2, –1, 0, 1}
Yükseköğrenim için A ve B ülkelerine gönderil-
B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} kümeleri veriliyor.
mek üzere 5 öğrenci seçilmiştir. Her iki ülkeye en
A x B kartezyen çarpımından alınan bir elemanın
az birer öğrenci gideceğine göre, bu 5 öğrenci
kaç farklı gruplama ile gönderilebilir?
A) 10
B) 20
C) 25
D) 30
E) 40
(a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır?
A) 1
4
B) 1
6
C) 1
8
D) 1
12
E) 5
24
257
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
23. 2008 – ÖSS
26. 2009 – ÖSS
K = { –2,–1, 0, 1, 2, 3 }
Aynı düzlemde alınan 4 farklı çember en fazla
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç ta-
kaç noktada kesişir?
nesinin elemanları çarpımı bir negatif tam sayıya
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18
eşittir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
27. 2010 – YGS
24. 2008 – ÖSS
Bir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve 1 sarı bilye
Aşağıdaki yedi nokta, eş karelerin köşeleri üze-
vardır. Torbadan rastgele 4 bilye alındığında tor-
rinde bulunmaktadır.
bada kalan bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı
Bu yedi noktadan rastgele seçi-
kaçtır?
len üç noktanın bir üçgen oluşturma olasılığı aşağıdakilerden
A)
hangisidir? (Aynı doğru üzerin-
1
2
B)
2
3
C)
3
4
D)
2
5
E)
3
5
deki üç noktanın bir üçgen oluşturmadığı kabul
A) 32
35
B) 27
35
C) 24
35
D) 5
7
E) 3
7
25. 2009 – ÖSS
ESEN YAYINLARI
edilecektir.)
28. 2010 – LYS
A = {1, 2, 3, 4} ve B = {–2, –1, 0} olmak üzere
A x B kartezyen çarpım kümesinden alınan her-
Bir mağazadan belirli miktarın üzerinde alışveriş
hangi bir (a, b) elemanı için a + b toplamının
yapan müşteriler, 4 eş parçaya ayrılmış birinci
sıfır olma olasılığı kaçtır?
çarkı iki defa çevirmektedir. Bu iki çevirişte gelen
iki sayının toplamı 6 ya da 6 dan büyükse 6 eş
A)
1
4
B)
1
5
C)
1
6
D)
1
7
E)
2
7
parçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek çıkan hediyeyi almaktadır.
ütü
1
2
3
4
çamafl›r
makinesi
kahve
makinesi
ütü
ütü
tost
makinesi
I. çark
II. çark
“Birinci torbada 3 kırmızı top vardır. Torbalardan
Buna göre, birinci çarkı çevirmeyi hak eden bir
müşterinin çamaşır makinesi kazanma olasılığı
kaçtır?
A)
1
14
258
B) 1
16
C)
5
24
D) 3
28
29. 2011 – YGS
Meriç’in elinde kırmızı ve beyaz renklerde toplam 10 top vardır. Meriç bu topları iki torbaya her
bir torbada en az bir kırmızı ve bir beyaz top olacak şekilde dağıttıktan sonra şunları söylüyor:
E)
5
32
rastgele birer top çekildiğinde topların ikisinin de
1
dir.”
kırmızı olma olasılığı
2
Buna göre, ikinci torbada kaç beyaz top vardır?
A) 3
B) 5
C) 1
D) 2
E) 4
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
30. 2011 – LYS
32. 2012 – LYS
6 kız ve 7 erkek öğrencinin bulunduğu bir grup-
Bir çiçekçide 5 farklı renkten çok sayıda gül ve
tan 2 temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilciden
2 çeşit vazo vardır. Bir müşteri, 2 farklı renkten
birinin kız, diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır?
3
A)
4
3
B)
8
2
C)
13
7
D)
13
toplam 3 gül ve 1 vazo satın almak istiyor.
9
E)
13
Bu müşteri alışverişini kaç farklı şekilde yapabilir?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 40
E) 50
33. 2012 – LYS
31. 2012 – YGS
Bir torbada 5 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır.
Bu torbadan aynı anda rastgele 3 bilye çekil-
gele sıraya giriyor. Buna göre, en kısa ve en
diğinde her bir renkten en fazla 2 bilye olma
uzun boylu öğrencilerin uçlarda olma olasılığı
olasılığı kaçtır?
kaçtır?
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
6
E)
1
12
ESEN YAYINLARI
Boyları farklı dört öğrenci bir çizgi boyunca rast-
A)
2
3
B)
3
4
C)
5
6
D)
7
8
E)
259
8
9