lys türev konu özetli çözümlü soru bankası

LYS
TÜREV
KONU ÖZETLİ
ÇÖZÜMLÜ
SORU BANKASI
ANKARA
İÇİNDEKİLER
Türev ........................................................................................................................1
Sağdan Ve Soldan Türev ........................................................................................4
Türev Alma Kuralları..............................................................................................7
fn(x) in Türevi....................................................................................................... 12
Trigonometrik Fonksiyonların Türevi.............................................................. 16
Bileşke Fonksiyonun Türevi................................................................................ 21
Logaritma Fonksiyonun Türevi.......................................................................... 25
Üstel Fonksiyonun Türevi................................................................................... 29
Türevde Zincir Kuralı.......................................................................................... 33
Ters Fonksiyonun Türevi..................................................................................... 37
Kapalı Fonksiyonun Türevi................................................................................. 41
Parametrik Fonksiyonun Türevi........................................................................ 45
Mutlak Değer Fonksiyonun Türevi.................................................................... 48
Yüksek Mertebeden Türev.................................................................................. 51
Logaritmik Türev Alma....................................................................................... 54
0
0
Ve
3
3
Belirsizliği............................................................................................... 60
Türevin Geometrik Yorumu............................................................................... 65
Artan Ve Azalan Fonksiyonlar........................................................................... 77
Ekstremum Noktalar........................................................................................... 82
2. Türevin Geometrik Yorumu Ve Dönüm Noktaları..................................... 89
1. Türev Ve 2. Türev İle İlgili Grafik Soruları................................................... 92
Maksimum Ve Minimum Problemleri............................................................ 101
Türevin Fiziksel Anlamı.................................................................................... 108
Asimptotlar......................................................................................................... 110
ÇÖZÜM
x, x0 ! A olsun
f' ` x0j = xlim
"x
f(2x) fonksiyonunu f(x) fonksiyonuna dönüştürelim.
x
x yerine yazalım.
2
2
●● f: A → R ye bir fonksiyon ve
ÇÖZÜM
lim
(h + 1) + 4 - f (1)
h
lim
h 2 + 2h + 1 + 4 - 5
h
h"0
f (x) - f (x0)
x - x0
0
h"0
limitinin değerine f fonksiyonunun x0
noktasındaki türevi denir ve f' ` x0j şek-
lim
h + 2h
h
elde edilir.
lim (h + 2) = 2
(x 2 - 1) - f (1)
x2 - 1 - 0
= lim
x"1
x"1 x - 1
x-1
h"0
f l (1) = lim
VEYA
●● A 1 R f (x): A " R fonksiyonu ve-
ÖRNEK – 3
rilsin. Bağımsız değişken olan x in
değişim miktarı Tx , bağımlı değişTy = f ` x + Tx j - f (x) olsun.
Ty
lim
reel sayı değerine f(x)
Tx " 0 T x
lim
●● x – x0 = h olsun
x → x0 iken x – x0 → 0,
h → 0 olur.
f l (x0) = lim
f (x0 + h) - f (x0)
h"0
h
elde edilir.
B İ D E R S YAY I N C I L I K
h"0
f l (- 2) : 2 = 20
f l (- 2) = 10
k – 12 = 10
k = 22
ÖRNEK – 4
ÖRNEK – 1
2
f(x) = x
fonksiyonunun x = 3 noktasındaki
türevini bulunuz.
lim
f l (3) = lim
x"3
f l (3) = lim
x"3
f (x) - f (3)
x-3
2
x -9
x-3
(x - 3) : (x + 3)
f l (3) = lim
x"3
x-3
f l (3) = lim (x + 3) = 6
x"3
f′(x) = x3 + x + x - 1
lim
u"0
f (x) - f (4)
x"4
x 2 - 16
=6
olduğuna göre f′(4) kaçtır?
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
Türevin tanımından
lim
u"0
f (u + 1) - f (1)
= f l (1) dir.
u
f l (1) = 1 + 1 + 1 - 1
f l (1) = 2
ÖRNEK – 7
f ( x) =
ÇÖZÜM
f l (x) = lim
f (x) - f (4) 1
: =6
lim
x"4
x-4
8
= lim
Türevin tanımından
1
=6
8
f' (4) = 48
h"0
f (x + h) - f (x)
h
x+h- x
h
h"0
= lim
h"0
( x + h - x) : ` x + h + x j
h " 0h : (
lim
h"0
h " 0h : (
ÖRNEK – 5
f(x) = x2 + 4 olduğuna göre
f (h + 1) - f (1)
h
limitinin değeri kaçtır?
f(2x) = (2x + 1)$(2x – 1)
= lim
h"0
olduğuna göre
fı(1) kaçtır?
h : ( x + h + x)
= lim
= lim
ÖRNEK – 2
x
fonksiyonunun herhangi bir x değeri için türevini bulunuz.
f (x) - f (4)
1
:
=6
lim
x"4
x-4
x+4
f' (4) .
f (u + 1) - f (1)
u
f: R+ → R
Verilen ifadeyi düzenleyelim
ÇÖZÜM
limitinin değeri kaçtır?
f (h - 2) - f (- 2)
: 2 = 20
h
Türevin tan ›m›ndan
f: R+ j {0} → R
f′(–2) = k – 12 verilmiş
olduğuna göre
ÇÖZÜM
dy
şeklinde gösteridx
lir.
ÖRNEK – 6
f (- 2 + h) - f (- 2)
= 20
h
2
olduğuna göre k kaçtır?
fonksiyonunun x noktasındaki türevi denir.
●● Türev yl , f l (x),
lim
h"0
(x - 1) : (x + 1)
= lim (x + 1) = 2
x"1
x-1
x"1
B İ D E R S YAY I N C I L I K
f l (1) = lim
y = f(x) fonksiyonunun x = –2 apsisli
noktasındaki türevi k – 12 dir.
ken olan y nin değişim miktarı
f(x) = (x + 1)$(x – 1) = x2 – 1
2
h"0
linde gösterilir.
Türevin Tanımı
TÜREV
=
x+h-x
x+h+ x
h
x + h + x)
1
x+h+ x
1
2 x
1
1.
f ( x) = *
x2 ,
x>3
x3 ,
x≤3
5.
olduğuna göre f′(4) kaçtır?
A) 16
B) 8
C) 48
C) 64
Z 3
] x + x + 1,
]
f ( x) = [ x + 1
,
]]
2
\
olduğuna göre
E) 12
9.
x<2
işleminin sonucu kaçtır?
B) –6
D) 6
f ( x) = 3 x 2 - 9
fonksiyonunun türevli olduğu en
geniş tanım aralığı nedir?
x≥2
f′(3) + f′(2+) – f′(2–) + f′(0)
A) –11
A) (–3, 3)
B) [–3, 3]
C) R – {–3, 3}
D) R
E) {–3, 3}
C) 3
E) 10
10.
y
y = f(x)
f (x) = *
x 2 + 2x,
x≥2
3x + 2 ,
x<2
6.
ax + 3 ,
f (x) = *
bx3 - 2,
A) 2 B) 3 C) 6 D) 10 E) 11
A) –17
B) –13
f ( x) = *
2x + k,
x>1
4x + 3 ,
x≤1
B İ D E R S YAY I N C I L I K
D) 6
3.
x<1
–3
fonksiyonu x = 1 noktasında türevli olduğuna göre a + b toplamı
kaçtır?
olduğuna göre f′(0) + f′(3) kaçtır?
2
x≥1
7.
f(x) fonksiyonu x = 1 noktasında
türevli olduğuna göre k kaçtır?
A) 1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10
C) –10
E) 21
Z
,
x<2
]a
]
f (x) = [ a + cx ,
x=2
]
2
]bx - 2x,
x>2
\
fonksiyonu x = 2 noktasında türevli olduğuna göre a + b + c toplamı
kaçtır?
A) 21
B) 14
3
D) - 2
4.
8.
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre f(x) fonksiyonunun türevsiz olduğu doğal sayı değerleri
toplamı kaçtır?
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10
6
1. B
2. E
3. C
4. E
11. f ( x) =
3
x3 - 4x 2 - 5x
fonksiyonunun türevsiz
noktalar kaç tanedir?
olduğu
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
C) 0
x≤1
y
–3
–2
3
4
5
6
x
1<x≤2
x>2
Grafiği verilen f(x) fonksiyonunun
(–3, 6) aralığında türevli olduğu
kaç farklı tam sayı değeri vardır?
farklı değeri
A) 3 B) 1 C) 5 D) 4 E) 2
6. C
x
5
E) –3
Z 2
]3x + 2x,
]
g (x) = ]3x - 2 ,
[
]x+ 3
]]
,
2
\
fonksiyonunun kaç
için türevi yoktur?
5. A
3
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 6
12.
1
f (x) =
+ x-4
x-3
1
Grafiği verilen f(x) fonksiyonunun
türevsiz olduğu noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
B İ D E R S YAY I N C I L I K
2.
7. D
8. E
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
9. C
10. B
11. D
12. C
ÖRNEK – 3
●● f(x) fonksiyonunun tanımlı olduğu
aralıkta türevleri de tanımlı olmak
üzere
●● f l (x) =
d2 y
dx
●● f lll (x) =
.
.
.
olduğuna göre f(15)(1) değeri kaçtır?
(1. türev)
d3 y
dx3
●● f (x) =
yl (x) = 6x5 - 8x3 + 5
f (x) = x
(2. türev)
(3. türev)
f l (x) = 17 : x16
yll (x) = 30x 4 - 24x 2
f ll (x) = 17 : 16 : x15
ylll (x) = 120x3 - 48x
f lll (x) = 17 : 16 : 15 : x14
y(4) (x) = 360x 2 - 48
dxn
y(4) (0) = - 48
17!
2
ÖRNEK – 7
(n. türev)
ÖRNEK – 4
ÖRNEK – 1
f (x) = e 2x
f l (x) = 2e 2x
f ll (x) = 2 2 e 2x
f lll (x) = 23 e 2x
O hâlde f(20)(x) = 220$e2x
f(26) e
ÇÖZÜM
f (x) = sin 3x
f l (x) = 3 : cos 3x
f ll (x) = - 3 2 : sin 3x
f lll (x) = - 33 : cos 3x
f(4) (x) = 3 4 : sin 3x
h
f (x) = ln x
olduğuna göre f(40)(–1) değeri kaçtır?
O hâlde
f
(26)
3r
r
= 3 26
e o = - 3 26 : sin
2
2
ÇÖZÜM
f ll (x) = -
df (t)
= - 2 cos 4t : 4 : sin 4t
dt
df (t)
= - 4 : sin 8t
dt
d 2 f (t )
dt 2
2
2!
=
x3 x3
f(4) (x) =
- 6 - 3!
= 4
x4
x
f(5) (x) =
24 4!
=
x5 x5
h
- 39!
x 40
f(40) (- 1) = - 39!
= - 32 : cos 8t
f (x) = ax6 - 3x 4 + bx 2 + 2x + 1
f l (1) = - 12
f ll (- 1) = - 62
olduğuna göre a + b toplamı kaçtır?
f l (x) = 6ax5 - 12x3 + 2bx + 2
f (x) = e x : cos x
f lll (x) =
f(40) (x) =
f (t) = cos 2 4t
ÖRNEK – 5
1
x2
nedir?
ÇÖZÜM
f (x) = ln x
1
f l (x) = x
dt 2
ÖRNEK – 8
f(26) (x) = - 3 26 : sin 3x
ÖRNEK – 2
d 2 f (t)
ÇÖZÜM
r
o değeri
2
kaçtır?
B İ D E R S YAY I N C I L I K
ÇÖZÜM
olduğuna göre
f (x) = sin 3x
olduğuna göre
f(x) = e2x
olduğuna göre f(20)(x) değeri nedir?
f (t) = cos 2 4t
ÇÖZÜM
17
f(15) (1) = 17 : 16 : 15 : g : 3 : 1 =
dn y
y = x6 - 2x 4 + 5x + 1
olduğuna göre y(4)(0) değeri kaçtır?
f(15) (x) = 17 : 16 : 15 : g : 3x 2
(n)
B İ D E R S YAY I N C I L I K
2
f(x) = x
ÇÖZÜM
dy
dx
●● f ll (x) =
ÖRNEK – 6
17
Yüksek Mertebeden Türev
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREV
olduğuna göre f(4)(x) in f(x) türünden eşiti nedir?
f ll (x) = 30ax 4 - 36x 2 + 2b
f l (1) = 6a - 12 + 2b + 2 = - 12
f ll (- 1) = 30a - 36 + 2b = - 62
ÇÖZÜM
f (x) = e x : cos x
f l (x) = e x : cos x - e x : sin x
f ll (x) = - 2e x : sin x
f lll (x) = - 2e x : (sin x + cos x)
6a + 2b = - 2
30a + 2b = - 26
(Denklemlerin çözümünden)
a = –1 ve b = 2
bulunur.
f(4) (x) = - 4e x : cos x
a+b=1
(4)
O hâlde f (x) = –4f(x)
51
1.
5.
y = sin 2x
olduğuna göre
d10 y
10
dx
10
A)2 D)4
A) –22!
B)24
D)23
8
B)–2 9.
f (x) = ln x
C)–2
f(x) = x4 – mx3 + nx2 – px + 1
fonksiyonunun x = 1 de üç katlı bir
kökü olduğuna göre m + n + p toplamı kaçtır?
olduğuna göre f(24)(1) değeri kaçtır?
ifadesinin
r
x=
için değeri kaçtır?
4
3
C)24!
A)4 B)6 C)14D)22E)36
E)–23!
E)0
10. P(x) = x3 + (a + 1)x2 + (b – 1)x – 2
f(x) = x100
B)1
dx5
A)–1B)1 C)0 D)–2E)2
A)5! B)4! C)5 D)4 E)0
C)0
E)100!
B İ D E R S YAY I N C I L I K
D)100
polinomu (x + 1)2 ile tam bölünebildiğine göre a kaçtır?
d5 (x5 - x 4)
ifadesinin eşiti nedir?
olduğuna göre f(100)(x) ifadesinin
eşiti nedir?
A) 1000
7.
B İ D E R S YAY I N C I L I K
2.
6.
f (x) = x : ln x - x3
11. P(x) polinom fonksiyondur.
olduğuna göre f ll (x) + x : f lll (x) ifa3.
y = e–3x
desinin eşiti nedir?
olduğuna göre y(4)(0) değeri kaçtır?
2
A) - x 6
D) x A) 81B) 27C)35 D)37E)1
4.
8.
d2 f
df
+e o = 6
dx
dx 2
olduğuna göre x değeri kaç olabilir?
E)12
2. E
P(0) = 3 ,
P(–1) = –3
A)0B)1C)6D)7E)10
12. x = sin 2t
y = cos 2t
3. A
4. C
A) 1 + tan 2 t B)
tan 2 t
ln 5
A)
1B)
0C)
D)50
5. E
6. A
C) cos 2 t D)
cosec3 2t
E) (ln 5) 50
7. B
8. E
d2 y
nin eşiti aşağıdakidx 2
lerden hangisidir?
Buna göre
f(x) = 5x
olduğuna göre f(50)(0) ifadesinin
eşiti nedir?
A)4 B)1 C)2 D)–1E)–4
1. B
parametrik fonksiyonları veriliyor.
2
52
Pll (x) + Plll (x) = 12x + 4
olduğuna göre P(x) polinomunun
katsayılar toplamı kaçtır?
C)0
f(x) = (x – 1)2
fonksiyonu veriliyor.
B)–12x
E) - sec3 2t
9. C
10. A
11. B
12. E
ÇÖZÜM
ÖRNEK – 5
m = f l ` 1j = - 4
●● y = f(x) fonksiyonunun x = x0 noktasındaki türevi; aynı fonksiyona
(x0, f(x0)) noktasından çizilen teğetin eğimidir.
f l ` x j = 4x3 - 6x + k
ÇÖZÜM
-2 + k =-4
ÖRNEK – 3
parabolüne A(3, y0) noktasından
çizilen teğeti x ekseni ile pozitif
yönde 45° açı yaptığına göre m değeri kaçtır?
y = mx + n
Teğet doğru
a
Teğet doğru denklemi
y - y 0 = m ( x - x 0)
Normalin doğru denklemi
1
y - y 0 = - ( x - x 0)
m
B İ D E R S YAY I N C I L I K
E€im = m = tan a = f l ` x0j
ÖRNEK – 4
f ` x j = sin 8x - cos 4x
r
noktasındaki teğet
4
doğru denklemi nedir?
ÇÖZÜM
Teğet doğru denklemi
ÖRNEK – 1
eğrisinin x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
ÇÖZÜM
m = f l ` 2j
f l ` x j = 3x 2 - 6
f l ` 2j = 6
O hâlde eğim m = 6 dır.
ÖRNEK – 2
y - y0 = m ` x - x0j
f ` x j = x3 - 6x + 12
f ` x j = x 4 - 3x 2 + kx + 7
eğrisine x = 1 noktasından çizilen
teğetin eğimi –4 olduğuna göre k
kaçtır?
x0 =
r
,
4
y0 = f ` x0j,
Normalin Denklemi
1
y - y0 = - m ` x - x0j
T
y - `- 1j = -
m = f l ` x 0j
r
f e o = sin 2r - cos r = 1
4
y = x-1
ÖRNEK – 6
f ` x j = ln `cos x j
eğrisine x0 = 0 noktasından çizilen
teğetin denklemi nedir?
y - y0 = m ` x - x0j
x0 = 0,
y0 = ln 1
r
r
r
f l e o = 8 : cos e 8 : o + 4 : sin e 4 : o
4
4
4
y0 = 0
r
o
4
y0 = f `0j,
y0 = ln `cos 0j
f l ` x0j = 8 cos 8x + 4 : sin 4x
y - 1 = 8e x -
1
` x - 0j
-1
ÇÖZÜM
r
r
r
y0 = f e o = sin e 8 : o - cos e 4 : o
4
4
4
r
m = fl e o = 8
4
-1 - 0 + 3
=-1
0-0+0+2
tan 45° = 1
m=7
eğrisinin x =
3xy 2 - 2x 2 + 6xy + 2
m T = Fl `0, - 1j = -
-6 + m = 1
y3 - 4xy + 3y 2
y =-1
f l ` x j = - 2x + m
f l ` 3 j = - 2 : 3 + m,
Fl ` y j
2y + 2 = 0
E€im = f l `3j = tan 45°
Normal doğru
Fl ` x j
Verilen denklemde x yerine 0 yazdığımızda y değerini buluruz.
ÇÖZÜM
x
x0
f ` x j = - x 2 + mx + 1
y = f(x)
y0
mT = -
B İ D E R S YAY I N C I L I K
y
m T = Fl ` x, y j = -
k =-2
●● Teğet çizilemiyorsa ya da birden
fazla teğet çizilebiliyorsa fonksiyonun o noktada türevi yoktur.
xy3 - 2x 2 y + 3xy 2 + 2y + 2 = 0
eğrisine x = 0 noktasından çizilen normalin denklemi nedir?
f l ` 1j = - 2 + k
●● Bir fonksiyonun herhangi bir noktasında fonksiyona sadece bir tane
teğet çizilebiliyorsa fonksiyonun o
noktada türevi vardır.
Türevin Geometrik Yorumu
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
m = f l `0j
- sin x
f l ` x j = cos x
m = f l `0j = 0
y - 0 = 0 ` x - 0j
y=0
y = 8x - 2r + 1
65
AÇIK UÇLU SORULAR
1.
f ` x j = x 2 - 5x + 2
5.
y
parabolüne x = 1 noktasından çizilen teğetin denklemi nedir?
9.
30
_ 1,
(y = –3x + 1)
2i
f ` x j = x3 - 11x + 1
fonksiyonunun hangi noktalarındaki teğetleri y + x + 1 = 0 doğrusuna diktir?
f(x)
(2, –13) ve (–2, 15)
x
d
Yukarıda verilen d doğrusu f(x) fonksiyonuna x = 1 noktasında teğettir.
g ` x j = f3 ` 4x j
olduğuna göre g(x) in x =
1
nokta4
sındaki teğetinin eğimi kaçtır?
2.
10. f ` x j = x3 - x 2 + 2x + 5m - k + 1
_ - 24 3 i
y = esin 3x
eğrisinin x eksenine paralel olan
teğetlerin değme noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
fonksiyonunun x = r noktasındaki
normalinin eğimi kaçtır?
1
n
3
6.
y = x 2 - mx + 20
eğrisine x eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetlerin birbirine
dik olması için m nin pozitif değeri
kaçtır?
x = t cos t
y = t sin t
parametrik denklem ile verilen
r
noktasından
y = f(x) eğrisine t =
2
B İ D E R S YAY I N C I L I K
3.
çizilen teğetin denklemi nedir?
d y = -
7.
2x r
+ n
r
2
d
2
n
3
y
f(x)
11.
4
1 1
x+y =1
2
eğrisine x = 2 noktasından çizilen
teğet denklemi x eksenini hangi
noktada keser?
(9)
B İ D E R S YAY I N C I L I K
d
(4)
–2
x
4
g(x)
g(x) doğrusu f(x) fonksiyonuna x = 4
noktasında teğettir.
Buna göre (gof)(x) fonksiyonunun
x = 4 noktasındaki teğetinin eğimi
kaçtır?
d
12. 4.
y = x 2 - mx + n
parabolünün x = –1 noktasındaki
teğetin denklemi y = 2x – 1 olduğuna göre n kaçtır?
(0)
72
8.
y = x 2 - 3x + 1
4
n
9
f `2x + 4j = ` x 2 - 2j g ` x + 2j + x 2 fonksiyonu veriliyor.
eğrisinin y = –x + 1 doğrusuna en
yakın noktası nedir?
g′(2) = 4 olduğuna göre f(x) fonksiyonunun x = 4 apsisli noktasındaki
teğetinin eğimi kaçtır?
(1, –1)
(–4)
f (x) =
2x + 7
2x 2 + mx + 8
eğrisinin düşey asimptotunun olmaması için m nin alacağı tamsayı
değerleri ne olmalıdır?
f ( x) =
2
2x - 5x - 7
- x 2 + 4x + 1
a – b = 0 ve
eğrisinin yatay asimptotunu bulunuz.
denkleminin reel kökü olmamalıdır.
Yani T < 0 dır.
Denklem çözülürse
2x 2 - 5x - 7
=-2
lim
x"3
- x 2 + 4x + 1
2x2 + mx + 8 = 0
a = –4 ve b = –4 bulunur.
O hâlde a + b = –8 dir.
olduğundan y = –2 yatay asimptottur.
m2 - 4 : 2 : 8 < 0
m 2 < 64
-8 < m < 8
●● Bir fonksiyonun simetri merkezi
asimptotların kesim noktasıdır.
ÖRNEK – 5
olmal›d›r.
O halde m nin alacağı tamsayı değerleri;
lim
x"3
3x3 - 4x - 5
x2 + 1
eğrisinin yatay asimptotunu bulunuz.
(–7, –6, . . ., 5, 6, 7)
ÖRNEK – 8
ÇÖZÜM
YATAY ASİMPTOT
10x + 8
x-4
y=
fonksiyonunun
nedir?
3x3 - 4x - 5
=3
x2 + 1
simetri
merkezi
lim f (x) = a ve x "
lim
f (x) = b
-3
x"3
●● a ve b reel sayı oluyorsa
y = a ve y = b doğrularına yatay
asimptot denir.
olduğundan eğrinin yatay asimptotu
yoktur.
ÖRNEK – 6
x+1
f(x) = 3
eğrisinin yatay asimptotunu bulunuz.
B İ D E R S YAY I N C I L I K
ÇÖZÜM
şeklindeki fonksiyonlarda
●●
lim
x"3
Q ( x)
P ( x)
B İ D E R S YAY I N C I L I K
y = f ( x) =
3b + 4 - a
=-4
1
olması gerekir.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
Yatay asimptotun olabilmesi için
ÖRNEK – 4
Asimptotlar
ÖRNEK – 3
●● Düşey asimptot
x–4=0
x=4
●● Yatay asimptot
lim d
x"3
10x + 8
n = 10
x-4
O halde simetri merkezi (4, 10)
ÇÖZÜM
lim 3 x + 1 = 3
x"3
●●
lim 3
x+1
x "-3
y
a
x
=3
-3
1
= 3=0
3
O hâlde y = 0 doğrusu (x - ekseni)
yatay asimptottur.
ÖRNEK – 9
y=
x+1
x-1
eğrisinin
simetri
merkezi
y = 3x + k doğrusu üzerinde olduğuna göre k kaçtır?
ÇÖZÜM
●● Düşey asimptot
ÖRNEK – 7
●●
y
f (x) = (a - b) x + 2b +
4x
x-1
eğrisinin yatay asimptotu –4 olduğuna göre a + b toplamı kaçtır?
b
x
ÇÖZÜM
(Payda eşitlersek)
Şekilden görüleceği gibi
asimptot eğriyi kesebilir.
yatay
f ( x) =
(a - b) x 2 + (- a + 3b + 4) x - 2b
x-1
elde edilir.
x–1=0
x=1
●● Yatay asimptot
x"3
y=1
lim
x+1
x-1
O halde simetri merkezi (1, 1) noktası
y = 3x + k doğrusu üzerinde olduğuna göre
1 = 3$1 + k
k = –2
111
1.
y=
mx - 3
nx + k
4.
eğrisinin düşey ve yatay asimptotk
ları (4, –6) olduğuna göre m kaç-
7.
2x 2 - 1
eğrisi ile y = mx + 2 doğ3x - 1
y
1
rusu H e , 4 o noktasına göre simetrik
2
2
iki noktada kesişiyor.
tır?
A)
y=
x
Buna göre m kaçtır?
3
1
2
- B)
C) 3
3
2
3
2
D) E)
3
2
A) 4 B) –1 C) 9 D) –3 E) –2
Yukarıdaki grafik aşağıdaki fonksiyonların hangisiyle çizilebilir?
A) y =
x+2
x
y=
x B)
x-2
C) y =
2x - 2
x+2
y=
x D)
x-2
E) y =
Asimptotları x = 2, y = –3 doğruları
olan ve y eksenini y = 1 noktasında
kesen f(x) fonksiyonunu aşağıdakilerden hangisi olabilir?
x+3
3-x
y=
B)
x-2
2-x
- 3x - 2
3x
y=
C) y =
D)
x-2
2-x
- 3x
E) y =
x-2
A) y =
f (x) =
B İ D E R S YAY I N C I L I K
2.
a ve b sıfırdan farklı reel sayılardır.
b-3
x+2
tan e
o fonksiyonux-1
1+a
nun yatay asimptotu y = –3 doğrusudur.
Buna göre b nin a türünden eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
a
B) 3
A)a
D) –3a
C) a + 3
E) –3 + a
B İ D E R S YAY I N C I L I K
5.
x-2
x+2
8.
y
2
f(x)
–2
6.
3.
f (x) =
16 + k
eğrisinin simetri mer8-x
kezi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (8, 0)
B) (8, 2)
C) (–1, 0)
D) (–1, 2)
1. D
2. C
y=
4x - 8
2x + 6
fonksiyonu ile bu fonksiyonun yatay
asimptotu aynı noktada kesişiyor.
Buna göre kesiştikleri noktanın
koordinatları toplamı kaçtır?
A) 2
B)
1
D) - 2
E) (2, –1)
114
3. A
4. E
3
2
C) 4
E)
5. D
1
f ( x) =
(x + 2) 2 : (x + a) (2x - 8)
fonk16
siyonuna ait olduğuna göre a kaçtır?
B)
D)
6. B
x
Yukarıdaki grafik
A) –2
5
2
4
7. C
1
8
1
4
C) 2
E) –1
8. E