RASSAL SAYI ve RASSAL DEĞİŞKEN ÜRETİMİ 1. RASSAL SAYI
advertisement
RASSAL SAYI ve RASSAL DEĞİŞ KEN ÜRETİ DEĞİŞKEN RETİMİ Benzetimde rassallı rassallık varsa, bir veya birden fazla dağı dağıllımdan rassal değ değişken üretimi yapı yapılacaktı lacaktır. Bu dağı dağıllımlar, gö gözlemden elde edilen veriye giydirilmiş giydirilmiş dağı dağıllımlardı mlardır. Yani veriye uygun dağı dağıllımlardı mlardır. Bu bu dağı nasıl üretilir? Örneğ rneğin; dağıllımlardan rassal değ değişken nası kuyruk modeli benzetiminde ¾ ¾ varış lar arası varışlar arası zaman aralı aralıkları klarının servis sü sürelerinin üretilmesi gerekmektedir. Herhangi bir dağı dağıllımdan rassal değ değişken üretmek veya bir rassal sü süreç reç için U(0,1) rassal değ değişkenleri gereklidir. Rassal sayı msıız ve gö sayılar, birbirinden bağı bağıms görülme olası ların oluş oluşturduğ turduğu dizilerdir. Bu olasılıkları kları eşit olan sayı sayıları sayı sayı dizileri eş eşit olası olasılık gereğ gereği, tek biç biçimli (uniform) bir olası olasılık dağı dağıllımı gösterir. 1. RASSAL SAYI ÜRETİ RETİMİ 1) Şans oyunları oyunlarında olduğ olduğu gibi zar atmak, kart çekmek, rulet çevirme vb. el iş işlemleriyle rassal sayı sayı üretmek. Gerç Gerçek anlamda rassal sayı sayı üretir ancak yavaş yavaşlığı nedeniyle benzetim modellerinde kullanı kullanımı pratik değ değildir. 2) Çeşitli yö yöntemlerle önceden hazı hazırlanmış rlanmış olan rassal sayı sayı tabloları amaçla hazı hazırlanmış rlanmış tablolar literatü literatürde tablolarını kullanmak. Bu amaç vardı vardır. 3) Kendi kendini yineleyen bir eş eşitlikten, aritmetik iş işlemlerle rassal sayı sayı dizileri üretmek. Bu iş işlemler, bilgisayar aracı aracılığı ile yapı yapılabileceğ labileceğinden son derece hı hızlı zlı ve verimlidir. Bu yö yöntemle belirli bir sayı langıç değ değeri (seed) olarak verilir ve sayı, aritmetik iş işleme baş başlangı buna bağ bağlı olarak bir sayı sayı hesaplanı hesaplanır. Hesaplanan sayı sayı bu kez baş başlangı langıç değ değeri olarak alı alınıp yeni bir sayı sayı üretilir. Bö Böylece, her üretilen bir sayı sayıdan yeni bir sayı sayı üretilerek bir sayı sayı dizisi elde edilir. RASSAL SAYILARIN ÖZELLİ ZELLİKLERİ KLERİ U1, U2, …. rassal sayı sayılar dizisi; dü düzgü zgün dağ dağlımdan gelme ve bağı msıızlı bağıms zlık olmak üzere iki istatistiksel özelliğ zelliğe sahip olmalı olmalıdır. Her rassal sayı ndaki sü sayı Ui, 0 ve 1 aralığı aralığındaki sürekli dü düzgü zgün dağı dağıllımdan msıız örnektir. alı bağıms alınan bir bağı Düzgü zgün dağı dağıllımın OYF; 0≤ x≤1 ⎧1 f(x)= ⎨ dd ⎩0 Her Ui’ Ui’nin beklenen değ değeri; E(U)= 1 ∫ xdx = 0 x2 2 1 = 0 1 2 Varyansı Varyansı;1 1 2 3 V(U)= ∫ x 2 dx − [E( R )]2 = x3 − ⎛⎜ 12 ⎞⎟ = 13 − 41 = 121 0 0 ⎝ ⎠ Düzgü msıızlı zgünlü nlük ve bağı bağıms zlık özelliğ zelliğinin iki sonucu; 1) (0,1) aralığı aralığı,, eş eşit uzunlukta n sı sınıfa bö bölünürse; N; gö gözlemlerin toplam sayı sayısı olmak üzere, her aralı aralıktaki gözlemlerin beklenen değ değeri= N n 2) Bir aralı aralıkta bir değ değerin gö gözlemlenme olası olasılığı, ığı, elde edilen bir önceki değ msıızdı değerden bağı bağıms zdır. RASSAL SAYI ÜRETEÇ RETEÇLERİ LERİNDEN İSTENİ STENİLEN ÖZELLİ ZELLİKLER 1.Rassall 1.Rassallıık: Üretilen pseudopseudo-random (sahte rassal) sayı sayılar, gerç gerçek sayı malııdır. Rassal tavı sayılar ile aynı aynı özellikleri taşı taşımal tavır, çeşitli istatistiksel testler ile belirlenir. 2.B pseudo-random sayı sayı üreteç reteçleri, deterministik 2.Büyük Periyod: Tüm pseudoformulasyonları ndan dolayı formulasyonların kullanı kullanıldığı ldığından dolayı, her rassal sayı sayı dizisi, kendi kendini tekrar etmeye baş başlayacaktı layacaktır. Bir dizinin uzunluğ uzunluğu (kendi kendini tekrarlamayan) periyod olarak adlandı adlandırılır. Bu periyodun mümkü mkün olduğ olduğu kadar uzun olması olması istenir. Pratikte, bir simü simülasyon çalış masıında rassal sayı alışmas sayıları ların kendini tekrar etmeyecek kadar periyod uzunluğ uzunluğuna sahip olması olması istenir. 3.Yeniden 3.Yeniden Üretilebilirlik(Reproducibility): retilebilirlik(Reproducibility): Bir simü simülasyon programı programının adı adım adı adım çalış alışttırılması lmasında (debugging) ya da bir parametrik çalış mayıı (girdi verilerini değ alışmay değiştirmek) gerç gerçekleş ekleştirmek iç için, her simü masıında rassal sayı ların aynı aynı sırası rasının üretilmesi simülasyon çalış alışmas sayıları istenebilir. Diğ Diğer durumlarda, rassal sayı sayıları ların farklı farklı dizilerinin üretilmesi istenir. Bu nedenle bir rassal sayı sayı üreteci, analizcinin isteğ isteğine bağ bağlı olarak tekrarlayan ve farklı farklı rassal sayı sayı dizilerini elde etme özelliğ zelliğine sahip olmalı olmalıdır. masıında, bü 4.Hesaplama simülasyon çalış alışmas büyük sayı sayılarda 4.Hesaplama Etkinliğ Etkinliği: Bir simü rassal sayı ndan dolayı sayının üretilmesine ihtiyaç ihtiyaç olacağı olacağından dolayı, üreteç reteç bu sayı sayıları ları mümkü mkün olduğ olduğu kadar kı kısa zamanda üretmeli ve bilgisayar hafı zasında çok yer kaplamamalı kaplamamalıdır. hafızası RASSAL SAYI ÜRETİ RETİM TEKNİ TEKNİKLERİ KLERİ 1) ORTA KARE YÖ YÖNTEMİ NTEMİ Bilgisayarda aritmetik iş işlemlerle rassal sayı sayı üretiminde kullanı kullanılan ilk yöntem 1946’ 1946’da Von Neumann ve Metropolis tarafı tarafından önerilen “ORTA KARE” KARE” yöntemidir. Bu yö yöntemde, (m) basamaklı basamaklı ve genellikle tek olan bir sayı sayı baş başlangı langıç değ değeri olarak alı alınır. İkinci aş aşamada, bu sayı sayının ortası ortasındaki m kadar sayının karesi alı alınarak bulunan sayı basamaklı basamaklı sayı sayı alı alınır. Bu bir rassal sayı sayı olarak kaydedilir. Tekrar bu rassal sayı sayının karesi alı alınır ve yine ortadaki m basamaklı basamaklı sayı sayı bir rassal sayı sayı olarak kaydedilir. Bu iş işlem, istenilen sayı sayıda rassal sayı sayı elde edilinceye kadar devam eder. dezavantajları dezavantajları; 1) İlk sayı sayı ve dizinin tekrar uzunluğ uzunluğu arası arasındaki iliş ilişkiyi (periyod) önceden bilmek mü mümkü mkün değ değildir. Çoğu kez tekrar uzunluğ uzunluğu kı kısadı sadır. 2) Elde edilen sayı sayılar rassal olmayabilir. Yani; dizide dejenerasyon söz konusu olabilir. Bu metodun dezavantajları dezavantajlarını ortadan kaldı kaldırmak iç için çeşitli metotlar geliş geliştirilmiş tirilmiştir. Bunlar; - Orta çarpı arpım (midproduct) metodu, - Sabit çarpı arpım (constant multiplier) metodu, - Doğ Doğrusal eş eşlik (congruential) metodu 2) DOĞ DOĞRUSAL EŞ EŞLİK YÖ YÖNTEMİ NTEMİ Bu metot, 1951 yı yılında Lehmer tarafı tarafından önerilmiş nerilmiştir. Doğ Doğrusal eşlik metodu, 0 ve mm-1 arası arasında X1, X2, ….. tamsayı tamsayıları larının bir dizisini üretir. Bu diziyi üretirken aş ş a ğıdaki daki yineleyen iliş ş kiyi kullanı a ğı ili kullanır. X i +1 = (aX i + c) mod(m) (1) X : Baş Başlangı langıç değ değeri (initial seed) a : Sabit çarpan c : artış artış m : modulus a, c, m ve Xa’ Xa’nın seç seçimi, istatistiksel özelliklerde ve çevrim uzunluğ uzunluğunda (periyod) bü büyük etkiye sahiptir. (1) eş eşitliğ itliğin çeşitli varyasyonları için en varyasyonları, bilgisayar ortamı ortamında rassal sayı sayıları ların üretimi iç çok kullanı kullanılan metotlardı metotlardır. Herhangi bir Xi değ değeri iç için rassal sayı sayı X Ui = i m RASSAL DEĞİŞ KEN ÜRETİ DEĞİŞKEN RETİMİ ¾ ¾ ¾ Gerç Gerçek sistemlerin tamamı tamamının stokastik davranışı davranışı her zaman dü düzgü zgün (uniform) dağı dağıllımla aç açıklanamaz. Bir sistem iç içinde uniform dağı dağıllımdan daha çok diğ diğer teorik (ü (üstel, normal, gamma v.b.) dağı laşı şılmaktad lmaktadıır. Bir aktiviteye (ö (örneğ rneğin; M/M/1 dağıllımlarla karşı karşıla kuyruk sisteminde varış lar arası varışlar arası zaman aralığı aralığı ve servis zamanı zamanı gibi) uygun teorik dağı dağıllım bulunamı bulunamıyorsa, ampirik dağı dağıllım kullanı kullanılabilir. Sistemin stokastik özelliğ zelliğinden dolayı dolayı uniform dağı dağıllımdan (0,1 aralığı nda) elde edilen rassal sayı aralığında) sayıları ların teorik veya ampirik dağı dağıllımlara dö dönüştürülmesi gerekir. Bunun iç için, bir DÖ DÖNÜŞÜM yöntemi kullanı geçilir. kullanılarak istenilen dağı dağıllıma geç DÖNÜŞÜM, istatistiki anlamda herhangi bir olası olasılık dağı dağıllımından örnek almak demektir. Bunun iç için olası olasılık dağı dağıllımın parametrelerinin bilinmesi veya verilmesi gerekir. 1. TERS DÖ DÖNÜŞÜM (Inverse Transformation) YÖNTEMİ NTEMİ ¾ Bir f(x) OYF verilsin. Amaç Amaç; f(x) den bir rassal değ değişken üretmek. x F( x ) = ∫ f ( x )dx −∞ 0 ≤ F( x ) ≤ 1 F¯¹(u)=x ifadesi; verilen u değ değerine karşı karşıllık gelen x değ değerinin belirlenmesine yardı yardımcı mcı olur. 0<F(x)<1 ‘dir ve F(x) artan fonksiyondur. ALGORİ ALGORİTMA 1. U ~U(0,1) 2. X= F¯ F¯¹(U) 3. RETURN KESİ KESİKLİ KLİ DAĞ DAĞILIM Ters dö dönüşüm yö yöntemi, kesikli rassal değ değişken üretiminde aş aşağıdaki ğıdaki şekilde kullanı kullanılır. X1<X2<X3 …. olduğ olduğunu varsayalı varsayalım. F(x)=P(x ≤ X)= ∑ p( x xi ≤ X i ) ALGORİ ALGORİTMA: 1. U ~U(0,1) üret k −1 k i =1 i =1 2. X I : ∑ p( xi ) < u ≤ ∑ p( xi ) U ~U(0,1) üretilir. Hangi aralığ a dü aralığa düştüğü aranı aranır. Bu iş işlem program yazı yazımında arama (search) iş işlemi gerektirir. Pahalı Pahalı bir yö yöntem olabilir. N çıktı ktı olduğ olduğunu varsayalı varsayalım. P=0 DO 1 I=1,N P=P+P(I) IF(U.LE.P) GO TO 2 U ~U(0,1) üretilir. 1 CONTINUE 2 X=X(I) 0 ⎧ ⎪ P( x1 ) ⎪ ⎪ P( x1 ) + P( x 2 ) ⎪ 3 F( x ) = ⎨ ⎪ ∑ P( xi ) i =1 ⎪ M ⎪ ⎪⎩ 1 x < X1 X1 ≤ x < X 2 X2 ≤ x < X3 X3 ≤ x < X4 x > X5 ÖRNEK: Talep miktarı miktarını gösteren rassal değ değişken X, kesikli ve 1 P(X=1)= 61 , P(X=2)= 61 , P(X=3)= 3 ve P(X=4)= 3 olası olasılık değ değerlerini alı alıyor. Dağı Dağıllım fonksiyonu grafiğ grafiğini çizerek, X r.d. üretimini sağ sağlayan algoritmayı algoritmayı düzenleyiniz. 1 2. REDDETME ( AcceptanceAcceptance-Rejection) YÖ YÖNTEMİ NTEMİ Reddetme yö yöntemi, olası olasılık fonksiyonu f(x) sü sürekli ve sı sınırlı rlı olan herhangi bir dağı dağıllımdan rassal değ değişken üretmek iç için kullanı kullanılan genel bir metotdur. Sürekli bir X rassal değ değişkeni iç için; 0 ≤ f(x) ≤ fmax ⎧ 0 ⎪1 / 6 ⎪⎪ F ( x ) = ⎨3 / 6 ⎪5 / 6 ⎪ ⎪⎩ 1 c= ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ t( x )dx ≥ ∫ f ( x )dx = 1 t(x) fonksiyonu bir olası ü c>1 olasılık yoğ yoğunluk fonksiyonu değ değildir. Çünk Çünkü r( x ) = 1. U ~U(0,1) üret 1 6 2. if 0 <U ≤ if 1 3 <U ≤ 6 6 if 3 5 <U ≤ x=3 6 6 5 <U ≤1 x = 4 6 3. RETURN Reddetme yö yöntemi direkt yö yöntemler baş başarı arısız veya etkin olmadığı nda kullanı olmadığında kullanılır. Bu yö yöntemde öncelikle bir t fonksiyonunun tanı tanımlanması mlanması gereklidir. t fonksiyonu; ≥ t(x) f(x) ∃xi şartı artını sağ sağlamalı lamalıdır. Ancak r(x) fonksiyonu; ALGORİ ALGORİTMA: if x<1 1≤ x < 2 2≤x<3 3≤ x<4 x≥4 a ≤x ≤ b x =1 t( x ) c bir olası ü; olasılık yoğ yoğunluk fonksiyonudur. Çünk Çünkü ∞ x=2 r( x ) = ∫ t( x )dx −∞ c ∞ = 1 1 t( x )dx = c = 1 c −∫∞ c R(x) olası olasılık yoğ yoğunluk fonksiyonundan y rassal değ değişkeni aş aşağıdaki ğıdaki algoritma ile üretilebilir. ALGORİ ALGORİTMA: r(x) yoğ yoğunluk fonksiyonundan Y rassal değ değişkeni üret. U1 ~U(0,1); Y=X 1) 2) U2 ~U(0,1) üret (Y’ msıız) (Y’den bağı bağıms 3) U2 ≤ f(Y)/t(Y) ise, X=Y ve RETURN GO TO 1 (yeniden dene) ≤ Algoritma 1 ve 3 arası f(Y)/t(Y) şartı arasında dö dönerek uygulanı uygulanır. U2 artı sağ nda X iç sağlandığı landığında için Y değ değeri rassal değ değişken olarak kabul edilir. ÖRNEK: ÖRNEK 2: Beta(4,3) dağı dağıllımından rassal değ değişken üreten algoritmayı algoritmayı Reddetme yöntemine gö göre dü düzenleyiniz. ALGORİ ALGORİTMA: 1) U1 ~U(0,1) üret. Y=X=U1 2) U2 ~U(0,1) üret. 3) U2 ≤ 60Y 3 ( 1 − Y ) 2 / 2.0736 Değ Değilse GO TO 1. ise X=Y RETURN Aşağıdaki ğıdaki U1 ve U2 değ değerleri iç için algoritmayı algoritmayı kullanı kullanırsak;
