Tam Sayılarla Toplama Çıkarma Hatırlatma: Tam sayılar kümesinin

Tam Sayılarla
Toplama Çıkarma
Hatırlatma:
Tam sayılar kümesinin Z={…,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,…} olduğunu biliyoruz.
(ZahlSayı)
Z kümesi içindeki tüm sayıları, bize ait olan
bir şirketin kar-zarar verilerini anlatan
birer sayı olarak düşünürsek yapacağımız
işlemlerde daha rahat oluruz.
Murat Bey, Tülin Hanım’a şirketle ilgili bazı verileri göstermektedir. Gelin bu verileri beraber inceleyelim.
Bu tabloda Tutar sütununda şirketin banka üzerinden yapılan işlemleri sonucunda hesabında gerçekleşen
hareketleri, Bakiye sütununda ise bu hareketler sonucunda hesabın son durumunu göreceğiz.
Tarih
Tutar
Bakiye
Açıklama
16/10/09
-261.53
107.34
16/10/09
-1.00
368.87
16/10/09
-320.00
369.87
16/10/09
-1.00
689.87
16/10/09
-65.00
690.87
16/10/09
-1.00
755.87
16/10/09
-105.00
756.87
16/10/09
-123.13
861.87
15/10/09
0.00
861.87
15/10/09
+600.00
861.87
15/10/09
0.00
261.87
15/10/09
0.00
261.87
15/10/09
+200.00
261.87
VIRMAN/543*********84 CARI H/KREDI KARTI
H.VIRMANI
EFT00019184MASRAF1232 MAKTU 320.00
12**/39**0BN:1232-000****4
EFT00019184*T.ÖĞRETMEN BANK SAR LTD ŞTİ
.0**2BN:1232-00029494
EFT00019**3MASRAF1232 MAKTU 65.00
1232/390109BN:12*******494
EFT00019183*GÜZELBANK A.S. ZEYNEP SARA
1**BN:12*********94
EFT00019182MASRAF1232 MAKTU 105.00
1232/39010BN:1232-00029494
EFT00019182*GÜZEL BANK ZEYNEP SARA
00******43
KREDILI MEVDUAT BORCUNA KARSILIK YAPILAN
VIRMAN
EFT
TA.VERME*0000******2000*B*0****2*0**2*6**4... *
BURÇ LTD ŞTİ. TARAFINDAN HESABA
AKTARILAN
EFT
TA.VERME*0000000***6500*B*0111*00***98*41***...
*
EFT
TA.VERME*0000000010500*B*0067*00643*4506... *
BUDAK ALİ TARAFINDAN HESABA AKTARILAN
15/10/09
-65.00
61.87
15/10/09
+250.00
126.87
15/10/09
-0.25
-123.13
15/10/09
-0.13
-122.88
15/10/09
-2.52
-122.75
02/10/09
-1.00
-120.23
02/10/09
-500.00
-119.23
12320084110 SEVENYURT HASAN HES.
INTERNETTEN AKT
GÜL A.Ş. HESABA AKTARILAN
LIMITTEN KARSILANAN KMH.FONUFZ: 252YTL
BN:12*******64
LIMITTEN KARSILANAN KMH.VERGFZ: 252YTL
BN:12******64
LIMITTEN KARSILANAN KMH.FAIZADAT 1777
BN:12*******64
EFT00018890MASRAF1232 MAKTU 500.00
12*****010BN:1232-00028213
EFT00018890*T.ÖĞRETMEN BANK SALİM SARA
Tabloya göre parasal giriş hangi renkle gösterilmiştir?
Tabloya göre parasal çıkış hangi renkle gösterilmiştir?
Tabloya göre hesapta hareket olmadığı hangi renkle gösterilmiştir?
(-123,13)+(+250)=126,87
(126,87)+(-65)=61,87
(61,87)+(200)=261,87
Tam Sayılarla Toplama
İki tamsayı toplanırken;
 İşaretleri aynı ise sayıların mutlak değerleri toplanıp ortak işaret toplamın işareti olarak alınır.
Örnek: (+2)+(+5)=(+7)
(-3)+(-9)=(-12)
 İşaretleri farklı ise sayıların mutlak değerleri alınır. Alınan mutlak değerlerden büyük olandan küçük
olan çıkarılır. Elde edilen farka mutlak değeri büyük olanın işareti yazılır.
Örnek: (+9)+(-13)=(-4)
(+17)+(-5)=(+12)
Etkinlik: Aşağıda verilen boş tablonun altında yazan maddeleri uygulama yönergesine göre sırasıyla
uygulayınız.
• UYGULAMA YÖNERGESİ
• Eğer size “zararımı sil” komutu verilirse, tablonun “kâr” bölümüne silinmesi istenen zarar kadar
ekleme yapınız.
• Eğer size “kârımı sil” komutu verilirse, tablonun “zarar” bölümüne silinmesi istenen “kâr” kadar
ekleme yapınız.
• Doldurduğunuz tabloya göre son mali durumu hesaplayınız.
TL
TL
TL
KAR
ZARAR
MALİ
DURUM
+125000
1.) 2000 kârımı sil.
2.) 3000 zararımı sil.
3.) 1000 zararımı sil.
4.) 6000 kârımı sil.
5.) 2000 zararımı sil.
Sizce de bir şirketin yapmış olduğu kârı silmek o şirketi zarara sokmaz mı?
Sizce de bir şirketin yapmış olduğu zararı silmek o şirketi kâra sokmaz mı?
Tam Sayılarla Çıkarma
İki tamsayı çıkarılırken;
 Birinci terim aynen kalır ikinci terimin işareti değiştirilip işlem toplamaya dönüştürülür.
Örnek: (+5)-(-14)=(+5)+(+14)
Soru: (-6)-(+9) işlemini yapınız.
Tam Sayılarda Toplama İşleminin Özelikleri
Değişme özeliği:
(+3)+(-5)=-2
(-5)+(+3)=-2
Değişme özeliği vardır.
Birleşme özeliği:
[(+4)+(+3)]+(-2)=(+7)+(-2)=+5
(+4)+[(+3)+(-2)]=(+4)+(+1)=+5
Birleşme özeliği vardır.
Etkisiz (Birim) eleman:
0+(+4)=(+4)
(+4)+0=(+4)
Etkisiz eleman 0’ dır .
Ters (Etkisizleştiren) Eleman:
Etkisizleştirme ifadesi başka bir yerde karşılaşacağımız bir ifade değildir. Bunun için teknik olarak
“Etkisizleştiren Eleman” diye bir isimden bahsedemiyoruz ancak ters elemanın ne anlatmak istediğini ortaya
koymak adına bu tanımlama doğru olacaktır.
Toplamları 0 (Etkisiz Eleman) olan iki tam sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir.
(+6)+(-6)=0
+6 tamsayısı -6 tamsayısının toplama işlemine göre tersidir.
Tam Sayılarla Çarpma Bölme
ETKİNLİK:
Aşağıda verilen cümlelere göre karşısındaki resmin durumunu altına yazalım.
Yukarıda görüldüğü gibi – ile + çarpılınca sonuç – , – ile – çarpılınca sonuç + olur.
(-).(-)=(+)
(-).(+)=(-)
(+).(-)=(-)
(+).(+)=(+)
Çarpma işleminde geçerli olan işaret sistemi bölme için de geçerlidir.
ÖRNEKLER
1.) (-3).(+5)=-15
2.) (-6).(-4)=+24
3.) (+15).(+2)=+30
4) (-18):(-9)= +2
Karışık olarak verilen bir işlemde öncelik sırası aşağıdaki gibidir.
I. Parantez içi
II. Üs-Kök alma (Daha sonra ele alınacak)
III. Çarpma-Bölme
IV. Toplama-Çıkarma
Soru: [(-5)-(+3)].(+11)+(-8)=?
Soru: (-14)+1.1+(+12):(-4)=?
Üst üste bölme işleminin bulunduğu bir durumda parantezle öncelik belirtilmemişse işlem sırası takip edilir.
Örnek:(-30):(+3):(-5)+(-12)=(-10):(-5)+12=(+2)+(-12)=-10
Tam Sayılarda Çarpma İşleminin Özelikleri
Değişme özeliği:
(+3).(-5)=-15
(-5).(+3)=-15
Değişme özeliği vardır.
Birleşme özeliği:
[(+4).(+3)].(-2)=(+12).(-2)=-24
(+4).[(+3).(-2)]=(+4).(-6)=-24
Birleşme özeliği vardır.
Etkisiz (Birim) eleman:
1.(+4)=(+4)
(+4).1=(+4)
Etkisiz eleman 1’ dir .
Yutan (Kendine Dönüştüren) Eleman:
Kendine dönüştürme ifadesi başka bir yerde karşılaşacağımız bir ifade değildir. Bunun için teknik olarak
“Kendine Dönüştüren Eleman” diye bir isimden bahsedemiyoruz ancak yutan elemanın ne anlatmak
istediğini ortaya koymak adına bu tanımlama doğru olacaktır.
8x0=0
0x23467=0
Yutan eleman 0 dır.
Çarpma işleminin toplama-çıkarma işlemi üzerine dağılma özeliği:
(+3).[(-2)+(+5)]=(+3).(+3)=(+9)
(+3).[(-2)+(+5)]=(-6)+(+15)
Çarpma işleminin toplama-çıkarma işlemi üzerine dağılma özeliği vardır.
Yukarıdaki şablonda her kalp bir tam sayıyı temsil etmektedir. Buna göre:
Yapmış olduğumuz tüm bu çalışmaların ardından toplama çıkarma işlemine yeni bir boyut
kazandırabiliriz.
Aşağıdaki örnek üzerinde inceleyelim:
Örnek: (+7)-(-8)+(-3)+(+6)-12+9
Üst üste işaretler görüldüğünde çarpmadaki işaret sisteminin gereğini yerine getirirsek:
+7+8-3+6-12+9=+15
RASYONEL SAYILAR
Küsur size ne ifade etmektedir?
KÜSUR
Kesir kavramı size ne anlatıyor?
ve b≠0 olmak üzere
şeklinde yazılabilen sayılara Rasyonel sayı denir.
Rasyonel sayıların oluşturduğu küme Q (QuotientOran) ile gösterilir.
Yukarıdaki bilgiler ışığında her hangi bir tam sayıyı paydasına 1 yazarak rasyonel sayı şekline
getirebiliriz. Bu da bizi her tam sayının aslında bir rasyonel sayı olduğu sonucuna götürür.
Örnek:
Sonuç: Rasyonel sayılar kümesi tam sayılar kümesini kapsar.
Rasyonel Sayıları Sayı Doğrusunda Gösterme
Bu konuyu örneklerle ele alalım:
1.)
sayısını sayı doğrusunda gösterelim
Payda 5 olduğundan tüm birimler 5 eşit parçaya bölünmeli.
Pozitif bir sayı olduğundan 0’ın sağında olmalı.
Parçaları sayarken 0 dan başladığımıza dikkat edelim.
Sayı doğrusunda 0’a karşılık gelen nokta başlangıç noktasıdır.
2.)
3.)
sayısını sayı doğrusunda gösterelim.
sayısını sayı doğrusunda gösterelim.
Rasyonel Sayıları Sıralama
Şu ekmeğin
sını verin dedim.
Bana yarısını verdiler.
“Sayı doğrusunda sağa gidildikçe sayıların değeri büyür.”
Ancak her sıralama yapılacağında sayı doğrusu çizmek ve incelenecek rasyonel sayıları sayı doğrusunda
göstermek hem zahmetli hem de hata yapma riskinin daha yüksek olduğu bir yöntemdir.
Bu nedenle farklı yöntemlerle rasyonel sayılar sıralanabilir.
1.) Pozitif Rasyonel Sayılar
a.) Paydaları eşit olan sayılardan payı büyük olan daha büyüktür.
Neden?
b) Payları eşit olan sayılardan paydası küçük olan büyüktür.
Neden?
2.) Negatif Rasyonel Sayılar
Negatif rasyonel sayılarda sıralama yaparken mutlak değeri büyük olan daha küçük olacağından, sayılar
önce pozitifmiş gibi sıralanır, daha sonra sıralama ters çevrilir.
Sorular:
1.)
2.)
3.)
4.)
sayılarını büyükten küçüğe sıralayalım.
sayılarını küçükten büyüğe sıralayalım.
sayılarını büyükten küçüğe sıralayalım.
sayılarını küçükten büyüğe sıralayalım.
RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER
TO P L A MA
Aşağıdaki toplama makinesine kulak verelim:
Rasyonel sayılarla toplama yaparken ilk olarak paydaların eşit olması gerekir. Eğer eşit değillerse genişletme
veya sadeleştirme yoluyla eşitleme yapılır.
Eşit paydalı rasyonel sayılar toplanırken paylar toplanır pay olarak alınır, ortak payda, payda olarak alınır.
Elde edilen sayı toplamı verir.
Payları toplarken tam sayılarla toplama işleminde bildiklerimizi kullanırız.
Ç A RP MA
Şimdi
bulalım.
Bu bir dilimi bütünden ayırıp 3 eşit
parçaya bölelim. Böldüğümüz parçalardan
2 sinin bütüne göre durumunu inceleyelim.
Şimdi elimizdeki
dilimin
lik
ünden elde
ettiğimiz bu iki dilimin
bütünün kaçta katı
olduğunu bulalım.
Burada alınan parça sayısı (pay) 2’ye katlanırken bölünme sayısı (payda) 3’ e katlanmıştır. Buradaki
durum bizi çarpma işlemine götürür.
Rasyonel sayılarla çarpma yaparken pay ile pay çarpılıp pay olarak, payda ile payda çarpılıp payda
olarak alınır. Bu işlemi yaparken tam sayılardaki çarpma işleminde işaret sisteminin gereği yerine
getirilir.
Kesirlerde çarpma yaparken sadeleştirmeye özen gösterdiğimiz şekilde rasyonel sayılarda da özen
gösterilmelidir.
ÖRNEK:
Burada sadeleştirme yapmak için paydaki sayılarla, paydadaki sayıların içinde ortak böleni göremezsek
her bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak suretiyle ortak bölenleri yakalayabiliriz.
Soru:
Soru:
=?
=?
Rasyonel Sayılarda Çarpma İşleminin Özelikleri
Rasyonel sayılarla çarpma işlemindeki özelikler tam sayılarla çarpmayla aynıdır. Ancak burada ek olarak
bir rasyonel sayının çarpmaya göre tersinden söz edeceğiz:
Çarpımları 1 (Etkisiz Eleman) olan iki rasyonel sayı çarpmaya göre birbirinin tersidir.
B Ö L ME
Bölme işlemi çarpma ile aynı mantığa sahiptir. Yani pay ile pay bölünüp pay olarak, payda ile payda
bölünüp payda olarak alınır.
Örnek:
Bu işlemde 1. terimi aynen yazıp ikinci terimin çarpma işlemine göre tersini alarak çarpma yaparsak:
Görüldüğü gibi sonuç aynı çıkmaktadır.
Soru:
=?
Örnek:
=?
Problem:
Arkadaşlar merhaba ben Çocuk Hekimi Murat
Güzel.
Size bebeklerin boylarının normal şartlarda nasıl
uzadığı konusunda küçük bir bilgi vereceğim.
Bebekler doğumdan sonraki 9. ayında 6. aydaki
boylarının ü kadar uzarlar.
Hepinize iyi çalışmalar diliyorum…
Aşağıda görülen bebek 6 aylıktır. Doktor Murat Bey’in verdiği bilgiye göre, normal şartlarda
bu bebek 9 aylık olduğunda kaç cm olmalıdır? Bulunuz.
DOĞRULAR VE AÇILAR
Nokta:
Nokta tanımlanamayan bir kavram olup, doğada karşılaşabileceğimiz bir örnek yoktur.
Nokta için kalemin bir dokunuşla kağıtta bıraktığı iz örnek olarak gösterilse de aslında elde
edilen iz noktayı temsilen çizilmiş bir resimden ibarettir.
Nokta boyutsuz bir kavramdır.
Doğru:
Doğru da tanımı yapılamayan bir kavram olup, sonsuz noktalardan oluşan bir kümedir.
Gördüğünüz gibi şekillerin ikisi de sonsuz noktadan oluşuyor.
Doğruyu temsil eden hangisi?
Düzlem:
Düzlem sonsuz doğrunun birleşimidir.
Doğruların da benzer şekilde noktalardan oluştuğunu hatırlayalım.
O zaman düzlemin de aslında noktalardan oluştuğunu söyleyebilir miyiz?
Aynı Düzlemde İki Doğrunun Birbirine
Göre Durumu
•
İki doğru birbirini kesebilir.
•
İki doğrunun tüm noktaları ortak olabilir. (Çakışan doğrular)
•
İki doğrunun hiçbir noktası ortak olmayabilir. (Paralel doğrular)
BİR NOKTANIN BİR DOĞRUYA UZAKLIĞI
Yukarıdaki şekilde A noktasından d doğrusuna çizilebilecek en kısa doğru parçası dik olan [AD]
dir.
Aynı Düzlemde Üç Doğrunun
Birbirine Göre Durumu
•
Üçü paralel olabilir.
•
Üçü bir noktada kesişebilir.
•
Üçü ikişer, ikişer kesişebilir.
•
İkisi paralel ve biri paralel olanları kesiyor olabilir.
Paralel iki doğru ve bir kesen şeklinde verilen yukarıdaki şekilde açılar ele alındığında:
a1=c1 b1=d1 a2=c2 b2=d2 (TERS AÇILAR)
a1=a2 b1=b2 c1=c2 d1=d2 (YÖNDEŞ AÇILAR)
c1=a2 d1=b2 (İÇ TERS AÇILAR)
a1=c2 b1=d2 (DIŞ TERS AÇILAR)
Sorular:
1.) Aşağıdaki şekilde AC//EF’dir. Verilenlere göre x kaçtır?
2.) Aşağıdaki şekilde AC // [DE’dir. Verilenlere göre x kaçtır? Bulunuz.
3.) Yandaki resimde A, B, C üzerinden geçen yolla, D, E, F üzerinden geçen yol birbirine
paraleldir.
B, E, D arasında kalan açı 80o ve C, B, F arasında kalan açı 40o ise E, B, F arasında kalan açı
kaç derecedir?
4.) Aşağıdaki şekilde [KL]//[ON] dir. Verilenlere göre a kaçtır? Bulunuz.
5.) Aşağıdaki şekilde [AB]//[ED] dir. Verilenlere göre m kaçtır?
6.) Şekilde [AB]//[DE], [GH]//[BC], [HI]//[CD], [GF]//[IJ] dir. Verilenlere göre y kaçtır?
Bulunuz.
CEBİRSEL İFADELER
Bazı problemlerde bilinmeyen değerin yerine bir harf kullanılıp, problemi cebirsel olarak ifade edebiliriz.
Örnek: İpek’in bir miktar cevizi vardır. İpek’in cevizlerinin 2 katının 3 fazlasını cebirsel olarak ifade
edelim.
İpek’in ceviz sayısı bilinmemektedir. Ceviz sayısını temsil etmek üzere bir harf kullanalım.
Hangi harfin kullanıldığı önemli olmamakla beraber, genelde x kullanılır. Bu durumda bizden istenen
ifade:
İpek’in cevizlerinin 2 katının 3 fazlası
Bir sayının “5 katının 7 fazlası” ile bu sayının “7 fazlasının 5 katı” aynı şey midir?
Şimdi 2.x+3 ifadesini modelleyelim:
Aşağıdaki cebir karolarını kullanacağız.
2.x ifadesi 2x şeklinde de yazılabilir.
2x
+3
Cebirsel İfadelerle Toplama
Örnek: (2x+3) ile (3x+2) cebirsel ifadelerini modelleyerek toplayalım.
Örnek: (-3x+4) ile (2x-1) cebirsel ifadelerini modelleyerek toplayalım.
Cebirsel İfadeleri Çarpma
Örnek: Öncelikle x.x işlemini modelleyelim.
Örnek: 2x.x işlemini modelleyelim.
Burada dikdörtgenin alanı kısa kenar ile uzun kenarın çarpımı olduğu düşünülürse, kısa kenarı x ve uzun
kenarı 2x olan dikdörtgeni çizmemiz istenmiştir.
x
x2
x2
x
x
2x
x
Benzer şekilde aşağıdaki modellemeye dikkat edelim.
x.(x+2) işlemini modelleyelim.
Cebirsel ifadelerle toplama veya çarpma yaparken her defasında modelleme yapmaya gerek yoktur.
Modelleme yapmadan nasıl işlem yapacağımızı ele alalım.
TOPLAMA
Benzer olmayan terimlerle toplama yapılamayacağını ve toplama işleminin katsayılarla yürütüldüğünü de
biliyoruz.
ÖRNEKLER:
1.)
5x+7x-2x=(5+7-2)x=10x
2.)
3x+2y-7x+3y=
-4x
+5y
-4x+5y
3.) (-3x+4)+(2x-1)=
Bu işlemde parantezler arasındaki işlem toplama olduğundan parantezler doğrudan kaldırılabilir.
-3x+4+2x-1= -1x+3= -x+3
Sorular:
1.) -3a+4a+2a+a=?
2.) k+5m-7k+m=?
3.) 6x2+4x+2x2+x=?
Önemli Uyarı: Tabanlar ve üsler aynı değilken toplanabilirlik söz konusu değildir. Burada ifadeler
harfli ifade olduğundan taban ya da üsleri eşitleyerek toplamayı ilerletmek de mümkün
olmayacağından toplanabilir olanlar kendi içinde gruplandırılarak toplanacaktır.
4.) (-y+4)+(5y-12)=?
ÇARPMA
Daha önce yaptığımız modellemeyle x.x=x2 olduğunu biliyoruz.
Bunun yanı sıra çarpmanın toplama üzerine dağılma özeliği de yeri geldikçe kullanılmalıdır.
Örnek: 3x.2x.4y=
=3.2.4.x2y
=24x2y
Örnek: 2 .(3 x +4 ) = 6 x +8
Örnek: 2 x . ( 3 x + 4 ) = 6 x 2 + 8 x
Örnek:
-(-4x+5)= +4x-5
Soru: - (5x.7x)=?
Soru: - (2x-6x2)=?
Örnek:
(2x+3).(3x-2)=6x2-4x+9x-6
(2x+3).(3x-2)=6x2+5x-6 olur.
Soru: (-3x+5).(x-4)=?
Soru: (-2x+3).(3+4x)-(-7x+6)=?
BİR BİLİNMEYENLİ
DENKLEMLER
Verilen bir eşitlikte bilinmeyenin aldığı bazı değerler için sonuç doğru, bazı değerler için sonuç yanlış
oluyorsa böyle eşitliklere DENKLEM adı verilir.
Bir denklemi doğru yapan değere o denklemin kökü, denklemin kökünü bulmak için yapılan işlemlere ise
denklemi çözme denir. Denklemin köklerinin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.
Yukarıdaki terazi dengededir.
Verilenlere göre elmanın kütlesini hesaplayalım.
Terazinin her iki darasından 3’er tane ▲ çıkarırsak dengeyi bozmamış oluruz ve son görüntü aşağıdaki
gibi olur:
Son durumda ▲+▲=120 gr olduğundan elmanın 120 gr olduğu anlaşılır.
DENKLEM ÇÖZERKEN:
Verilen bir denklemi çözerken eşitliği bozmamak üzere bilinmeyen yalnız bırakılıp, bilinmeyene karşılık
gelen değeri bulmak gerekir.
Bu anlamda eşitliğin bozulmaması için eşitliğin bir tarafına uygulanan işlemin diğer tarafa da mutlaka
uygulanması gerekmektedir.
Örneklerle denklem çözümlerini inceleyelim:
Örnek:
ise x=?
x=3
Soru: -7x=14 ise x=?
Soru: 5x=12 ise x=?
4.) 2x-2=8 ise x=?
x=5
Soru: 3x+4=5 ise x=?
Soru: -2+7x=12 ise x=?
Örnek: 3.(2x+1)=15 ise x=?
Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özeliğini kullanırsak:
6x+3=15
x=2
Soru: -2.(4x+5)=13 ise x=?
Örnek:
ise x=?
Burada paydaları eşitlersek:
Paydalar eşitse paylar da eşittir:
Soru:
ise x=?
8x+2=18 denklemini inceleyelim.
8x+2=18
8x+2-2=18-2
8x=18-2
Oluşan son görüntüye bakarsak 8x’in yanındaki +2’nin eşitliğin diğer tarafına -2 olarak alınmış gibi
olduğunu görürüz.
Tüm bu bilgiler çerçevesinde aşağıdaki soruları çözünüz:
Soru: 8x+5=3x-10 ise x=?
Soru: 2(x+4)-7x=3x+5 ise x=?
Soru:
ise x=?
PROBLEMLER
Ahmet’in kalemlerinin sayısı Sedat’ın kalemlerinin sayısının 3 katıdır. İkisinin kalemlerini boş bir
kutuya koyunca kutuda 28 kalem olduğu görülüyor. Ahmet’in ve Sedat’ın kaçar tane kalemi vardır?
Sedat’ın kalemleri: x
Ahmet’in kalemleri: 3x
3x+x=28
4x=28
x=7 olur. 3x=3.7=21 olur.
Sedat’ın 7 kalemi, Ahmet’in 21 kalemi vardır.
Aşağıdaki problemleri çözünüz.
1.) Bir sınıfta öğrenciler sıralara 3’erli oturduğunda 3 öğrenci ayakta kalıyor. Bu öğrenciler 4’erli
oturduğunda ise 1 sıra boş kalıyor. Bu sınıfta kaç öğrenci vardır?
2.) Bir sayının 2 fazlasının yarısına, aynı sayının 4eksiğinin 3 katı eklenince sonuç
oluyor. Bu
sayıyı bulunuz.
3.) Gözde’nin yaşı Selim’in yaşının 3 fazlası, Selim’in yaşı ise Ayşe’nin yaşının 2 katıdır. Üçünün
yaşları toplamı 23 ise her birinin yaşlarını bulunuz.
ÇEMBER
•
Merkez olarak alınan bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan tüm noktaların oluşturduğu küme bir
çemberdir.
Çember düzlemsel bir bölgeyi 3 bölüme ayırır.
M ve N çemberin dış bölgesindedir.
O,K ve L çemberin iç bölgesindedir.
P ve R çemberin üzerindedir.
ÇEMBERDE AÇILAR VE YAYLAR
MERKEZ AÇI:
Yandaki çemberde görüldüğü gibi O merkezli bir çemberde köşesi merkez noktası
olan herhangi bir açı O merkezli çemberin bir merkez açısıdır.
Merkez açı gördüğü yayla eşit ölçüdedir.

s ( AOˆ B)  s ( ACB)
Buradan görüldüğü gibi minör yay ile majör yayın toplamı 360 o dir.
ÇEVRE AÇI:
Köşesi çemberin üzerinde olan bir açı o çembere ait bir çevre açıdır. Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın
ölçüsünün yarısına eşittir.

s( BDC )
s( BAˆ C ) 
2
Örnek:
Yukarıdaki şekilde O merkezli bir çember görülmektedir. Bu çemberde s(BÔD)=70 o ise s(DÂB) kaçtır?
70o
35o
Merkez açı gördüğü yayla eşit
ölçüdedir.
70o
Çevre açı gördüğü yayın ölçüsünün yarısına
eşit ölçüdedir.
Soru:
Yukarıdaki şekilde O merkezli bir çember görülmektedir. D, O, C noktaları doğrusaldır. Verilenlere göre
x kaçtır?
Soru:
Yandaki şekilde O merkezli ve M merkezli iki tane çember görülmektedir.



s( ACB)  40o ise s(OKL)  s(OED)  ?
ORAN – ORANTI
Merve ile Berke’nin kütleleri sırasıyla 20 kg ve 10 kg’dır. Buna göre Merve’nin kütlesi Berke’nin
kütlesinin kaç katıdır?
Bu sorunun cevabı bulunurken:
20 kg : 10 kg = 2 şeklinde işlem yapılır.
Burada bizden Berke’nin boyu ile Merve’nin kilosunu karşılaştırmamız istenseydi, ne yapardık?
Oran: Aynı birime sahip iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir. Oranın birimi
yoktur.
Bir adam marketten kilosu 10 TL’ den 2 kilo peynir alıyor ve 20 TL ödüyor. Peynirin ağırlıklarının ve
fiyatlarının oranlarını bulalım.
Görüldüğü gibi ağırlıkların oranıyla fiyatların oranı eşittir.
Bu şekilde iki oranın eşitliğine orantı adı verilir.
Verilen bir orantıda iç terimlerin çarpımı dış terimlerin çarpımına eşittir.
Orantı Çeşitleri
1.) Doğru Orantı: Sabit bir değere göre; verilen iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda
artıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır.
a
k
b
k sabitken a ve b doğru orantılıdır.
Örnek: Bir kamyon saatte 60 km hızla gittiğine göre, 3 saatte kaç km yol gider?
Burada zaman 3 kat artarken alınan yol da 3 kat artar.
60x3=180 km
Dolayısıyla sabit hızla giderken zaman ve yol doğru orantılıdır.
a
k
b
x
V
t
Hız formülünün nereden elde edildiğini anladık mı?
Örnek: Bir a sayısı ile bir b sayısı doğru orantılıdır. a=8 iken b=5 ise a=16 iken b kaçtır? Bulunuz.
burada içler dışlar çarpımı yapılırsa b=10 elde edilir.
Soru:
Bir musluk 3 dakikada 2 kova dolduruyorsa. Aynı kapasitede 2 musluk olsaydı 3 dk’da aynı büyüklükte
kaç kovayı doldururdu?
2.) Ters Orantı: Sabit bir değere göre; verilen iki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu
iki çokluk ters orantılıdır.
a.b  k
k sabitken a ve b ters orantılıdır.
Örnek: Bir yolu saatte 40 km hızla 3 saatte alan bir araç, 20 km hızla kaç saatte alır?
Burada hız 2 kat azaldığından yolun bitme süresi 2 kat artar
3x2=6 saat
Dolayısıyla sabit bir yol için hız ile zaman ters orantılıdır.
a.b  k
V .t  x
Yol formülünün nereden elde edildiğini anladık mı?
Örnek: Bir a sayısı ile bir b sayısı ters orantılıdır. a=9 iken b=2 ise a=6 iken b kaçtır? Bulunuz.
a.b=k
9.2=k 6.b=k 9.2=6.b gerekli sadeleştirmeler yapıldığında b=3 olduğu elde edilir.
Soru:
3 kişinin 8 günde bitirdiği bir işi, aynı kapasitedeki 6 kişi kaç günde bitirebilir?
SORULAR
1.) 400 gramlık bir karışıma A ve B maddeleri sırasıyla 3 ve 5 ile orantılı olarak katılmıştır. Bu
karışımda A maddesi kaç gramdır?
2.) Bir işletmede 3 işçi 8 parça ürünü 6 günde bitirebilmektedir. Bu işletmeye diğerleri ile aynı
kapasitede 1 işçi alınıyor. Bu durumda 9 günde kaç parça ürün elde edilir?
3.)
,
ve x+y+z=540 ise y kaçtır?
ÇOKGENLER
En az 3 kenarı bulunan düzlemsel şekillere çokgen denir.
Bir köşeden o köşenin ardışığı olmayan köşelere çizilen doğru parçalarına çokgenin köşegenleri adı
verilir.
Şimdi yukarıdaki çokgenin köşegenlerini inceleyelim.
Yukarıdaki şekilde tüm köşegenleri incelediğimizde [EC] doğru parçasının çokgenin dış bölgesinde kaldığına
dikkat edelim.
Bu şekilde köşegenlerinden en az biri çokgenin dış bölgesinde kalan çokgenlere içbükey adı verilir.
ÇOKGENİN AÇILARI
Öncelikle üçgenin iç açıları toplamı 180o dir. Bu durumu aşağıdaki şekilde inceleyelim.
Şimdi de diğer çokgenlerin durumunu ele alalım.
Aşağıdaki altıgende bir köşeden diğer köşelere köşegenler çizelim.
Çizdiğimiz köşegenler çokgenimizin içinde üçgenler meydana getirdi.
Görüldüğü gibi bu yolla altıgenimiz içinde 4 tane üçgen oluşturuldu.
NEDEN 4 ÜÇGEN?
Her üçgen içinde 180o olduğuna göre bu altıgenin iç açıları toplamı 4x180=720 o dir.
Örnek: Sekizgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?
8-2=6
6.180=1080
Soru: Dokuzgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?
Soru: İç açıları toplamı 900o olan çokgen kaç kenarlıdır?
DIŞ AÇI: Bir çokgenin herhangi bir iç açısına ait komşu bütünler açı o çokgenin bir dış açısıdır.
Bir çokgende dış açıların toplamı 360o dir.
İÇ AÇI
DIŞ AÇI
DÜZGÜN ÇOKGEN: Bir çokgenin tüm kenar uzunlukları eşit ve tüm açıları eş ise bu çokgene düzgün
çokgen adı verilir.
Örnek: Bir düzgün dokuzgenin bir dış açısı kaç derecedir ?
9-2=7
7.180=1260
1260:9=140
ÇOKGENLERİN EŞLİĞİ VE
BENZERLİĞİ
İki çokgenin benzer olabilmesi için tüm iç açılarının eş olması gerekir. Benzerlik sayesinde kenarlar arasında
bir orantı kurulduğu görülür. Yukarıda verilen örnekte aşağıdaki orantı oluşur.
AB
ST

BC
TK

CD
KP

DE
PR

EA
RS
İki çokgenin kenarları arasında kurulan orantının eşit olduğu sabit sayı 1 ise bu çokgenler eştir.
GRAFİKLER
Verileri görsel olarak ifade edip yorumlamak amacıyla grafikler kullanılır.
Grafik verilere uygun noktaların düzlem üzerinde ele alınmasıyla ifade edilir.
Çizgi, sütun, daire gibi grafikler en sık kullanılanlarıdır.
Bir verinin değişimini yorumlamada çizgi grafiği,
Verileri karşılaştırmada sütun grafiği,
Bir bütüne ait payları ifade etmede daire grafiği kullanılması daha uygun olur.
Örnek:
Yandaki tabloda bir köyde 2000 yılından 2004 yılına kadar elde edilen ürün miktarı ve yine aynı yıllarda
köyün aldığı yağış miktarı verilmiştir.
Bu köyün yıllara göre ürün miktarını karşılaştırmak ve yıllara göre yağıştaki değişimi yorumlamak için
gerekli grafikleri çizelim.
Örnek:
Bu verilere göre proje gruplarının sınıf geneline göre dağılımını veren yüzdeleri hesaplayalım ve ilgili daire
grafiğini çizelim.
6+9+3+12=30
Fen ve Teknoloji:
360’ın %20’si 72o
360’ın %30’u 108o
Matematik:
360’ın %10’u 36o
Sosyal Bilgiler:
360’ın %40’si 144o
Yabancı Dil:
MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILIM ÖLÇÜLERİ
MEDYAN: Bir veri grubu küçükten büyüğe doğru sıralandığında ortada bulunan veri medyan (ortanca
değer) olarak isimlendirilir.
Medyan bir merkezi eğilim ölçüsüdür.
Örnek: 8
10
13
15
19
20
23 şeklindeki bir veri grubunda medyan 15 tir.
Örnek: 7
9
13
17 şeklindeki bir veri grubunda ise terim sayısı çift olduğundan ortadaki
iki sayının aritmetik ortalaması alınır. Yani burada medyan:
MOD: Bir veri grubu en çok tekrar eden sayı mod (tepe değer) olarak isimlendirilir.
Örnek: 5
8
8
10
12
12
12
13 şeklindeki bir veri grubunda mod 12
dir.
Bir veri grubunda birden çok mod bulunabilir. Hiç bulunmayabilir de.
Mod bir merkezi eğilim ölçüsüdür.
ÇEYREKLER AÇIKLIĞI: Bir veri grubu küçükten büyüğe doğru sıralandığında medyanın alt yarısının
ortanca değerine alt çeyrek, üst yarısının ortanca değerine üst çeyrek denir. Üst çeyrek ile alt çeyrek
arasındaki farka da çeyrekler açıklığı adı verilir.
Çeyrekler açıklığı, uçlarda bulunan verilerden daha az etkilendiğinden verilerin yayılması hakkında
açıklıktan daha iyi bilgi verir.
Örnek:
5
8
8
10
12
12
12
14
14
Şeklindeki bir veri grubunda çeyrekler açıklığını hesaplayalım.
Doğrusal Denklemler
ve Grafikleri
Örnek: Bir ürünün tanesi 7 TL ise;
i.
2 ürün kaç TL’dir?
ii.
5 ürün kaç TL dir?
iii.
x ürün kaç TL’dir?
i.
2 ürün 2.7=14 TL
ii.
5 ürün 5.7=35 TL
iii.
x ürün x.7=7x TL’dir.
Burada elde edilen 7x, ürün sayısıyla ödenecek para arasındaki ilişkiyi gösterir. Ödenecek toplam
paraya y dersek y=7x şeklinde bir denklem meydana gelir.
Örnek: Bir sınavda doğru yapılan her soru için 3 puan verilmektedir. Aynı zamanda sınavda iptal edilen
3 soru için tüm öğrencilere 9 puan verileceği açıklanmıştır. Bu durumda öğrencilerin yaptığı doğru
sayısıyla alacağı puan arasındaki ilişkiyi veren denklemi yazalım.
Toplam Puan: y
Doğru sayısı: x olsun.
y=3x+9 aradığımız denklemdir.
Genel olarak ax+by+c=0 şeklinde yazılabilen denklemlere 1. dereceden 2 bilinmeyenli denklem denir.
Burada x,y değişken ve a,b,c birer gerçek sayıdır.
Grafik: Verilen bir ilişkiye uygun noktaların koordinat düzleminde gösterilmesiyle oluşan ifadeye grafik
adı verilir.
ax+by+c=0 şeklindeki denklemlerin (bu denklemler x ile y arasındaki ilişkiyi verir.) grafikleri bir doğru olup
bu tip denklemlere doğrusal denklem adı verilir.
Şimdi grafiğin gösterileceği koordinat düzlemini ele alalım.
ETKİNLİK:
Sultan II. Mahmut 1808 yılında tahta geçtiği zaman, Osmanlı Devleti ile Rusya arasında 1806 yılında
başlamış olan savaş devam etmekteydi. Birleşik Krallık ile 1809'da yapılan antlaşma sonucu Rusya ile
savaşa devam kararı alındı. Rusya'nın Fransa ile olan sorunları, Osmanlı Devleti ordularının yıllarca
süren savaştan yorgun düşmesi yüzünden iki devlet de 1812 yılında barış imzalamaya mecbur kaldılar.
28 Mayıs 1812 tarihinde imzalanan Bükreş Antlaşmasının bazı şartları şunlardı:
1. Rusya, Eflak ve Boğdan'dan çekilecek, Besarabya bölgesi ise Ruslara bırakılacak.
2. Osmanlılar Bosna ve Eflak'dan 2 yıl vergi almayacak.
3. Sırplar kendi içlerinde serbest kalacak.
4. Tuna nehrinde hem Osmanlı hem de Rus gemileri serbestçe dolaşabilecek. Prut ve Tuna nehirlerinin
sol sahilleri iki ülke arasında sınır kabul edilecek.
5. Anapa kalesi ile birlikte, kuzeyde Kuban Irmağı ağzından güneyde Bzıb Irmağı ağzına değin uzanan
Karadeniz kıyı kontrolu Osmanlılara, Bzıb Irmağından güneydeki Rion Irmağına değin Karadeniz
kıyılarının kontrolü de Ruslara bırakıldı.
Gelin şimdi Bükreş antlaşması ile Osmanlı’ya bırakılan toprakların haritadaki yerlerini belirleyelim.
Birbirini başlangıç noktasında dik olarak kesen iki sayı doğrusu alalım. Oluşan düzleme koordinat düzlemi adı
verilir. Rene Descartes’in yapmış olduğu çalışmalardan ötürü koordinat düzlemine Kartezyen Koordinat Sistemi
de denmektedir.
Soru: A(3,1), B(2,-2), C(-1,3), D(0,0), E(-2,-1), F(0,3), G(2,0) noktalarını kartezyen koordinat düzleminde
gösteriniz.
GRAFİK ÇİZELİM
Bize verilen bir ilişkiye uygun olan noktaları koordinat düzleminde göstererek o ilişkiyi görsel olarak
ifade etmiş yani verilen ilişkinin grafiğini çizmiş oluruz.
Örneğin; y=2x+3 şeklinde bir denklem (bu denklem x ile y arasındaki ilişkiyi bize vermektedir)
verildiğinde bu denklemi sağlayan (x,y) sıralı ikililerini bulalım:
Bu tablodaki tüm verileri düzlemde gösterirsek verilen denkleme ait grafiği elde etmiş oluruz.
Ancak görüldüğü gibi bu tabloda sonsuz çoklukta (x,y) sıralı ikilisi elde edilebilir.
Hatırlatma: Bir noktadan sonsuz doğru geçer. İki noktadan tek bir doğru geçer.
Sonuç olarak şunu söyleyebiliriz:
Bir doğruyu belirten en az iki noktaya ihtiyaç vardır.
Doğrusal denklemlerin grafiklerini çizerken şu sloganı tekrar etmekte yarar vardır.
Bu durumda denklemi sağlayan herhangi 2 tane (x,y) sıralı ikilisi elde edersek çizilecek doğru grafiğini
belirlemiş oluruz.
Bir doğru grafiğinin nereden geçtiğini belirleyerek o grafiğin karakteristiği hakkında fikir sahibi olunabilir.
Bu anlamda x=0 alınarak y değeri bulunursa elde edilen (0,y) noktası y ekseni üzerinde; y=0 alınarak x değeri
bulunursa elde edilen (x,0) noktası ise x ekseni üzerinde olacaktır. Böylece denkleme uygun ve eksenlerin
üzerinden 2 nokta belirlenmiş olur.
Örnek: y=x+2 ‘nin grafiğini çiziniz.
Burada x=0 için y=2 A(0,2)
Y=0 için x=-2 B(-2,0) olduğu görülür.
a ve b birer gerçek sayı ve a,b≠0 olmak üzere y=ax+b şeklindeki denklemlerin grafikleri x ve y eksenlerini
birer noktada keser.
Örnek: y=3x’in grafiğini çiziniz.
Burada x=0 için y=0 olur A(0,0) şimdi y’ye 0 vermenin anlamı kalmadı, çünkü y=0 iken x=0 olduğu A
noktasında görülmekte. Bu durumda ilişkiye uygun farklı bir nokta bulmak gerekir.
x=1 için y=3 olur. B(1,3) olduğu görülür.
a bir gerçek sayı olmak üzere y=ax şeklindeki denklemlerin grafikleri orijinden geçer.
Örnek: y=3’ün grafiğini çiziniz.
Burada x ne olursa olsun y=3 olsun durumu söz konusudur.
Bunun için ordinatı 3 olan tüm noktalar aradığımız şarta uygundur.
a bir gerçek sayı olmak üzere y=a şeklindeki ifadelerin grafikleri x eksenine paraleldir.
Soru: x=2’nin grafiğini çiziniz.
a bir gerçek sayı olmak üzere x=a şeklindeki ifadelerin grafikleri ……….. eksenine paraleldir.
Sorular:
1.) Bir eğlence merkezinde her müşteriden giriş ücreti olarak 5 TL, bunun yanı sıra binilen her oyuncak
için 2 TL ücret alınmaktadır. Buraya gelen bir müşterinin bineceği oyuncak sayısı ile ödeyeceği ücret
arasındaki ilişkiyi veren denklemi kurunuz.
2.) A(a,-2); B(3,b) noktaları verilmiştir. A noktası koordinat düzleminde 3. bölgede ve a+b=0 olduğuna
göre B noktası kaçıncı bölgededir?
3.) y=(a-3)x+5 denkleminin grafiği x eksenine paralel ise a’nın kaç olduğunu bulunuz.
4.) y=2x+4 denkleminin grafiğini çiziniz.
5.) 2y=8x denkleminin grafiğini çiziniz.
6.) y+2x=2 denkleminin grafiğini çiziniz.
7.) A(k,5) noktası 3x+2y=8’in grafiği üzerindeyse k kaçtır?
PERMÜTASYON
Bir adam katılacağı bir davet için kıyafet seçiyor. Bu adamın 4 pantolonu, 3 ayakkabısı olduğuna göre
pantolon ve ayakkabı için kaç farklı seçim yapabilir?
Bu şekilde a farklı seçeneği olan bir durum ile b farklı seçeneği olan bir durumun birlikte gerçekleşmesi
için axb farklı seçenek vardır. Buna genel çarpma özeliği veya saymanın temel ilkesi adı verilir.
FAKTÖRİYEL
FAKTÖRİYEL (ÇARPANSAL): Bir doğal sayı düşünelim. Bu doğal sayıdan başlayıp geriye doğru
saydığımızda 1 e kadar tüm sayıları alalım. Almış olduğumuz sayıları çarptığımızda, düşündüğümüz
doğal sayının faktöriyeli elde edilmiş olur.
n bir doğal sayı olmak üzere,
n‘ nin faktöriyeli=n!=n.(n-1).(n-2)…..1 olur.
Örnek: 5!=5.4.3.2.1
Örnek: 7!=7.6.5.4.3.2.1
Burada 7!=7.6! Olduğuna dikkat ediniz.
9!=9.8!=9.8.7!=9.8.7.6!=…
Bu anlamda aşağıdaki işlemleri inceleyelim.
Örnek:
Soru:
Örnek:
Soru:
ÖNEMLİ
PERMÜTASYON:
Permütasyon, sıralı seçme veya diziliş olarak düşünülebilir. Burada elimizdeki elemanlarla kaç farklı
diziliş yapabileceğimizi ele alacağız.
ETKİNLİK:
1. alternatif
2. Alternatif
3. Alternatif
İlk sıraya bu çocuk gelmek zorunda mı?
İlk sıraya kim gelirse gelsin 2. sıra için yine 3 alternatif yaşanır mı?
İlk sıra için alternatif sayısı: 4
İkinci sıra için alternatif sayısı: 3
İkisi birlikte düşünüleceğinden ilk iki sıra için alternatif sayısı 4.3=12
Aynı durum 3. ve 4. sıralar için de yaşanacak ve oluşabilecek sıralama sayısı: 4.3.2.1=4!=24 olacaktır.
Yapılan etkinlik sonucunda aşağıdaki durumlar görülür:
5 eleman ile 5! farklı sıralama yapılabilir.
6 eleman ile 6! farklı sıralama yapılabilir.
7 eleman ile 7! farklı sıralama yapılabilir.
.
.
.
n eleman ile n! farklı sıralama yapılabilir.
Sonuç: n elemanın n’li permütasyonu P(n,n)=n! şeklinde ifade edilir ve hesaplanır.
Şimdi de 7 elemanın 3’ünün seçilip sıralamasının kaç farklı şekilde yapılabileceğini hesaplayalım.
1. sıra: 7 alternatif
2. sıra: 6 alternatif
3. sıra: 5 alternatif
3 sıra birlikte: 7.6.5 olur.
Şimdi bu durumu formül haline getirelim.
7.6.5.4.3.2.1=7!
Burada ilk 3 sıra bize gerekmekte geri kalan ise ifadeden atılmakta.
7.6.5.4.3.2.1=
Sonuç: n elemanın r’li permütasyonu P(n,r)=
şeklinde ifade edilir ve hesaplanır.
Örnek: 5 arkadaş kaç farklı şekilde tek sıraya dizilebilir?
P(5,5)=5!=5.4.3.2.1=120
Soru:7 kalemden 4 tanesi tek sıra halinde kaç farklı şekilde dizilebilir?
Soru. Bir beden eğitimi öğretmeni, 1 futbol, 1 basketbol, 1 hentbol ve 1 voleybol topunu, 4 öğrenciye
dağıtmak istiyor. Öğretmen bu topları kaç farklı şekilde dağıtabilir?
Soru: Bir beden eğitimi öğretmeni, 1 futbol, 1 basketbol, 1 hentbol ve 1 voleybol topunu, 8 öğrenciden
4’üne dağıtmak istiyor. Öğretmen bu topları kaç farklı şekilde dağıtabilir?
Soru: A={2,3,4,5,6} kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı 3 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Soru: A={2,3,4,5,6} kümesinin elemanlarıyla 3 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Soru: K={2,7,4,9,6} kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı 5 basamaklı kaç farklı tek sayı yazılabilir?
OLASILIK
Verilen bir örnek uzay E olsun bu örnek uzayda bir A olayının olma olasılığı,
şeklinde hesaplanır.
A veya B Olayının Olma Olasılığı
Bir A veya bir B olayının gerçekleşme olasılığı iki şekilde ele alınır.
i.
A ile B olaylarının kesişimi boş küme değilse bu iki olay ayrık olmayan olaylardır ve A veya B
olayının olma olasılığı:
O(A veya B)=O(A)+O(B)-O(A∩B) olur.
A ile B olaylarının kesişimi boş küme ise bu iki olay ayrık olaylardır ve A veya B olayının olma
olasılığı:
O(A veya B)=O(A)+O(B) olur.
ii.
Örnek: 1’den 12’ye kadar numaralandırılmış kartlar bir kutuya konup, rast gele bir kart çekiliyor.
Çekilen kartın üzerinde 2 basamaklı veya çift bir sayı yazıyor olma olasılığı kaçtır?
E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
2 basamaklı sayılar  A={10,11,12}
Çift sayılar  B={2,4,6,8,10,12}
A∩B={10,12}
O(A veya B)=O(A)+O(B)-O(A∩B)
=
olur.
Soru: Bir sınıfta bulunan 13 kızın 6’sı gözlüklüdür. 25 kişilik bu sınıfta erkeklerin 8’i gözlüksüz olduğuna
göre rast gele seçilen bir öğrencinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır?
Soru: Bir yarışmada Fatma’nın 1. gelme olasılığı Gürkan’ın 1. gelme olasılığının 3 katıdır. Atakan’ın 1.
gelme olasılığı ise Fatma veya Gürkan’ın 1. gelme olasılığının 2 katıdır. Bu yarışmada sadece 3 kişi
koşacağına göre Fatma’nın 1. gelme olasılığı kaçtır?
Soru: Ahmet’in babasının 3 tane kızı vardır. Kızlarının adı Aliye, Nuriye ve Şükriye olan bu adam aldığı
bir kitabı aileden birine kura çekip hediye edecektir. Baba kendisini kuraya dahil etmediğine göre, çekilen
kuranın A harfiyle başlayan çocuğa veya anneye çıkma olasılığı kaçtır?
GEOMETRİ BİLGİSİNİ KULLANARAK OLASILIK HESAPLAMA
Yandaki cisim bir zemine rast gele atıldığında yeşil yüzeyle sarı yüzeyin
üste gelme olasılığı eşit midir?
Örnek: Aşağıdaki cisim bir masanın üzerine rastgele atıldığında şu an durduğu gibi durma olasılığını
hesaplayalım.
Cismin açık hali şu şekildedir.
Cismin toplam alanı kaç cm2 dir?
Boyalı alan kaç cm2 dir?
Boyalı alanın üst yüze gelme olasılığı kaçtır?
YANSIMA VE DÖNME
DÖNME
IAOI=IOAıI
IBOI=IOBıI
ICOI=IOCıI
IDOI=IODıI
Noktaya göre simetride şeklin 180 derece dönme hareketi yaptığı görülür. Böyle bir dönme hareketine
merkezil dönme denir.
Dönme Simetrisi: Bir şekil kendi merkezi etrafında 360 o den küçük bir açı ile döndürüldüğünde en az bir
kez kendisi ile çakışıyorsa bu şekil dönme simetrisine sahiptir.
Örnek:
72o
Görüldüğü gibi bir düzgün beşgen 72o lik açı ile dönme
yaptığında kendisi ile çakışma yapıyor.
Siz de dönme simetrisine sahip bir şekil çiziniz.
1.
Dönme hareketi çembersel bir harekettir.
2.
Döndürülen şeklin biçimi ve boyutu değişmez yani iki şekil birbirine eştir.
3.
Döndürülen şeklin duruşu ve yönü değişir.
YANSIMA
AK  KAı , BL  LBı
CM  MCı , DN  NDı
Doğruya göre simetride şeklin yansıma yaptığı görülür.
1.
Şeklin kendisi ile yansıması eştir.
2.
Yansıma sonucunda şeklin yeri değişir.
3.
Şeklin kendisi ile yansımasının yönü terstir.
Yansıma hareketinde hangi doğruya göre simetri alınacaksa o doğruya simetri ekseni adı verilir.
Aşağıda verilen şekillere öyle birer doğru çiziniz ki her birinde oluşan görüntü yansımaya örnek olsun.
A
ÖRÜNTÜ VE SÜSLEME
Örüntü: Örüntü kelimesi Türk Dil Kurumu’nca “Olay veya nesnelerin düzenli bir biçimde birbirini takip
ederek gelişmesi” şeklinde tanımlanır.
Süsleme: Süsleme; bir düzlem parçasının boşluk kalmadan ve şekiller üst üste gelmeden örüntü
oluşturacak şekilde döşenmesidir. Süsleme yapılabilmesi için her bir köşede oluşan açıların ölçülerinin
toplamı 360o olmalıdır. Yani süslemede açık köşe kalmamalıdır.
Düzgün çokgen kullanılarak yapılan bir süslemede her köşedeki çokgensel bölgelerin kenar sayıları
süslemenin kodu olur.
(6,3,6,3)
veya
(6,6,3,3)
Örnek:Aşağıdaki kodlara bakıldığında hangisi bir süslemeye ait olamaz?
a) (4,4,4,4)
b) (3,6,3,6)
c) (4,3,4,3)
d) (3,3,3,4,4)
Burada bir köşede 360 derece oluşması lazım. 4,3,4,3 kodlamasında düzgün dörtgenin bir açısı 90, düzgün
üçgenin bir açısı 60 derece olacağından köşede oluşacak açı 300 derecede kalacaktır. Dolayısıyla bir süslemenin
kodlaması olamaz.
Soru: Aşağıdaki resimde görülen süslemenin kodunu yazınız.
ÜSLÜ SAYILAR
a  Z olmak üzere a.a.a.a...
..a ifadesi

b tane
a şeklinde gösterilip bu ifade
b
" a üssü b" veya " a' nın b. kuvveti" diye okunur.
Örnek: (+3).(+3).(+3).(+3)=(+3)4 olur.
4üs ( kuvvet )
(
3
)

taban
Örnek: (-4).(-4).(-4)=(-4)3 olur.
(-7)2=(-7).(-7)=+49
-72=-7.7=-49
Burada görüldüğü gibi bir kuvvetin parantez dışında olması ile parantez içinde olması aynı anlama
gelmez. Kuvvet neyin üstündeyse ona etki eder.
İlk durumda kuvvet -7 ye etki ederken, ikinci durumda sadece 7 ye etki etmektedir.
Yeri gelmişken negatif bir tam sayının çift kuvvetinin pozitif bir sayı olduğunu da belirtelim.
2
Örnek: (-5)
= +25
(-5)3= -125
Bir sayının 1. kuvveti sayının kendisine eşittir.
51=5
0 hariç, bir sayının 0. kuvveti 1’e eşittir.
50=1 00TANIMSIZ
BİLİNÇLİ TÜKETİM
ARİTMETİĞİ
Yaşantımızda karşılaştığımız bu ifadelerin hepsinde % (yüzde) kavramını görmekteyiz.
Aşağıdaki sayıların okunuşlarını yanlarına yazalım:
“2 bölü 3” veya “3’te 2”
“…………” veya “…………”
“…………” veya “…………”
“…………” veya “…………”
Şimdi de aşağıdaki ifadelerin okunuşlarını yanlarına yazalım.
%3 Yüzde 3
%17 …………
Sonuç olarak aşağıdaki durumlar elde edilir.
= %3
= %17
Yani genel olarak, % n demek
Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
1.) 15’in si kaçtır?
2.) 20’nin
i kaçtır?
3.) 300 TL’nin%18’i kaç TL’dir?
demektir.
Sorular:
1.) % 15’i 75 olan sayı kaçtır?
2.) 80’in % 20’si kaçtır?
3.) Hangi sayının % 12’si 6 dır?
4.) 60’ın % 5’i kaçtır?
5.) % 40’ı 30 olan sayı kaçtır?
Aşağıdaki kavram ve tanımları eşleştiriniz.
PROBLEMLER
1.
%20 karla 72 TL’ye satılan bir ürünün maliyet fiyatı kaç TL’dir?
2.
%15 indirimle 170 TL’ye satılan bir ürünün indirimden önceki fiyatı nedir?
3.
Bir malın maliyeti 30 TL’dir. Bu malı 57 TL’ye satan bir satıcının kar zarar durumunu bulunuz.
4.
Bir komisyoncu satışına aracı olduğu evin bedelinin %3’ü kadar alıcıdan, %3’ü kadar da
satıcıdan para almaktadır. Bu durumda satışı 80000 TL’ye gerçekleşen bir ev için
komisyoncunun eline geçen toplam para kaç TL’dir?
5.
%15 faizle parasını 3 aylığına bankaya yatıran bir adam basit faiz uygulamasıyla bu üç ayın
sonunda ana parası hariç 150 TL kazanıyorsa bu adamın bankaya yatırdığı ana para kaç TL’dir?
6.
3000 TL’nin %18 faizle 8 günde getirisi kaç TL olur?
7.
Bir işletmede çalışan 3 kişiye çalıştığı yıla göre orantılı olarak toplam 1100 TL ikramiye
verilecektir. Çalışanlardan biri 2 yıllık, diğeri 4 yıllık ve en kıdemlisi 5 yıllık olduğuna ve sırasıyla
maaşları 800 TL, 900 TL ve 1000 TL olduğuna göre 2 yıllık çalışanın aldığı ikramiye maaşının
yüzde kaçıdır?
8.
Bir satıcı bir malı %30 karla satmaktadır. Bu satışın sonunda 40 TL kar ettiğine göre satılan
malın maliyeti kaç TL’dir?
9.
%20 indirimle satılan bir üründen %16 kar ediliyorsa indirimden önce yüzde kaç kar edilirdi?
10. 1 aylığına %30 zararına satış yapan bir mağaza bu 1 ayın sonunda sattığı ürünlere %60 zam
yapmıştır. Son durumda mağazanın kar zarar durumunu bulunuz.
DÖRTGENLER
PARALELKENAR
ÖZELİKLER:
[AD]//[BC]  |AD|= |BC|
[AB]//[CD]  |AB|= |CD|
Paralel Kenarın Çevre ve Alan hesabını inceleyelim.
Tüm kenarların uzunlukları toplamı.
ÇevreÇ(ABCD)=a+a+b+b=2a+2b=2(a+b)
AlanA(ABCD)=a x ha
ETKİNLİK
Bir paralel kenar çiziniz.
Bu paralel kenarın bir köşegenini çiziniz.
Paralel kenarın iç bölgesinde köşegenin ayırdığı iki bölgeyi farklı iki renge boyayınız.
Boyalı bölgelerin alan ölçülerini karşılaştırınız.
Herhangi bir üçgen, bir paralel kenarın yarısı olarak düşünülebilir.
Bu durumda verilen bir üçgenin alanını hesaplarken ilgili paralel kenarın alanını hesaplayıp 2 ‘ye bölersek
sonuca ulaşmış oluruz.
PARALEL KENAR’IN ALANI
EŞKENAR DÖRTGEN
Eşkenar dörtgen paralelkenarla aynı özelikleri gösterir. Bunun yanı sıra kendine özgü üç özeliği daha
vardır:
i.
Eşkenar dörtgende adından da anlaşılacağı gibi tüm kenarlar eştir.
ii.
Köşegenler birbirini dik keser.
iii.
Köşegenler bulundukları köşedeki açıları iki eş parçaya böler. (Açı ortaydır.)
Aşağıdaki şekli inceleyiniz.
ÖZELİKLER:
[AD]//[BC] [AB]//[CD] |AD|=|BC|=|AB|=|CD|
x+y=180o
Köşegenler birbirini ortalar.
[AK] ┴ [KC]
Yukarıdaki eşkenar dörtgen incelendiğinde ABC ikizkenar üçgeni görülmektedir.
Köşegenlerin birbirini ortaladığı hatırlanacak olursa [AC] ye ait yüksekliğin aynı zamanda [AC] ye ait
kenarortay olduğu görülür. Bu durumu genelleyecek olursak:
Bir ikizkenar üçgende tabana ait yükseklik tabanı iki eş parçaya böler. Bu yükseklik aynı zamanda tepe
açısının açıortayıdır.
YAMUK
ÖZELİKLER:
[AD]//[BC]
x+z=y+t=180o
ÇevreÇ(ABCD)=a+b+c+d
Tüm kenarların uzunlukları toplamı.
Tabanların uzunlukları toplamı ile yüksekliğin çarpımının yarısı.
Soru 1.) Bir kenar uzunluğu 12 cm olan bir paralel kenarda o kenara ait yükseklik 5 cm ise 30 cm olan
diğer kenara ait yükseklik kaç cm’ dir?
Soru 2.) Koordinat düzleminde köşe noktaları A(-2,2) ; B(-4,-2) ; C(1,-2) ; D(3,2) olan ABCD paralel
kenarının alanı kaç br2 ‘dir?
Soru3.)
Yanda görülen şeklin alanı kaç br2 dir?
ÇEMBERİN ÇEVRESİ – DAİRENİN ALANI
ÇEMBERİN ÇEVRESİ
Ele alacağımız herhangi iki çember benzerdir. Dolayısıyla iki çemberin uzunlukları arasında orantı
kurulabilir.
içler dışlar çarpımını etkilemeyeceğinden;
Bu son orantı göstermektedir ki herhangi bir çemberin çevresini çapına bölerek aynı
sayıyı elde edebiliriz. Bu sayı matematikte sıkça karşılaşılan sabit sayı
Yani bir çemberde:
olur ve
ÇevreÇ
olur.
ÇapR
Yarıçapr ise Ç = R. π = 2.r. π olur
Örnek: Çapı 8 cm olan bir çemberin çevresi kaç cm’dir?
Ç = R. π olduğundan Ç=8. π olur.
Soru: Çevresi 12 π cm olan bir çemberin yarıçapı kaç cm’dir?
π sayısıdır.
Soru:
Yukarıdaki şekilde görülen O merkezli çemberde verilenlere göre ABC yayının uzunluğunu bulunuz.
DAİRENİN ALANI
Bir daireyi 4 eşit parçaya ayırıp aşağıdaki gibi parçaları birleştirelim.
Yükseklik
Taban
Paralel kenarın alan hesabı ile aynı mantıkta hareket edersek:
Yükseklik=Yarıçap=r
Taban=Çevrenin yarısı=r. π
Alan=Taban.Yükseklik=r. π . r = r2.π
Burada alan söz konusu olduğundan dairenin çember gibi içinin boş olmadığı anlaşılmalıdır.
Örnek: Yarıçapı 4 cm olan dairenin alanını bulunuz?
A=r2.π olduğundan
42.π=16 .π
Soru:
Yukarıdaki şekilde ABCD bir paralelkenardır. Paralelkenarın içinde görülen daire diliminde
|FG|=4 cm’dir. [EG] paralel kenarın bir yüksekliği olup, |EF|=1 cm’dir. |BG|=6 cm olduğuna göre
boyalı bölgenin alanı kaç cm2 dir?
SİLİNDİR
Hatırlayacak olursak, doğrular noktalardan, düzlemler doğrulardan oluşur. Nokta boyutsuz, doğru 1
boyutlu, düzlem 2 boyutludur.
Düzlem parçaları belli bir yükseklik boyunca bir araya geldiğinde 3. boyuta geçilir ki oluşan ifade bir
cisimdir.
Şekilde de görüldüğü gibi yükseklik tane taban bize oluşan cismin hacmini
verir.
TABAN ALANI x YÜKSEKLİK
Buradan bir silindirin hacmi:
π r2h olur.
Silindirin açık hali aşağıdaki gibidir. Bu anlamda yan yüzeyi dikdörtgendir.
N E DE
2 .r. π N ?
h
h
Buradan bir silindirin yan yüzey alanının 2.r. π.h olduğu görülür.
Soru: Bir silindirin yüksekliği 7 cm’dir. Taban yarıçapı 3 cm olan bu silindirin
tamamı su ile dolduruluyor. Daha sonra bu su taban yarıçapı 6 cm olan bir
silindirin içine boşaltılıyor. Son durumda suyun yüksekliği kaç cm’dir?
Merkezden 72o alınarak kesilmek şartıyla oluşturulan
yandaki şekildeki silindir parçasının taban yarıçapı 4 cm,
yüksekliği ise 5 cm’dir. Buna göre bu şeklin tüm yüzey alanı kaç cm2 dir?
Soru:
ESER ŞENYÜREK
MATEMATİK ÖĞRETMENİ