Mikrodalga Sistemleri EEM 448 - Trakya Üniversitesi

Mikrodalga Mühendisliği
HB 730
Yrd. Doç. Aytaç Alparslan
E-mail: aytacalparslan@trakya.edu.tr
Set3: Elektromayetik dalga teorisine giriş – 2
Düzlemsel dalgalar
Teşekkür: Prof. İrşadi Aksun / Koç Üniversitesi
http://web.mit.edu/jbelcher/www/inout.html
http://cobweb.ecn.purdue.edu/~ece695s/Lectures
Fazör formda Maxwell denklemleri
Differential form
Integral form
 E  dl   j B  ds
C
  E   jB
A
 H  dl  j D  ds   J  ds
C
A
A
 D  ds   dv
A
  H  jD  J
D  
V
B  0
 B  ds  0
A
 J  ds   j  dv
A
V
  J   j
Elektromanyetik Dalgalar
• ElektroManyetik (EM) dalgalar Maxwell denklemlerindeki vektör
elektrik ve manyetik alan büyüklükleri ile ifade edilirler.
• Pratikte birçok yerde EM dalgalar kullanılır:
• Yüksek frekans devreleri (İlk haftada da gördüğümüz gibi AC DC devre
teorisinin yetersiz kaldığı devreler)
• Antenler kullanılarak iletilen ve alınan sinyaller
• Kablolu bilgi iletim teknolojileri (örn. TV sinyalleri, internet, telefon vb.)
• Optik bilgi iletim teknolojileri (örn. Transatlantik fiber optik kablo ağı)
• Ve birçok daha başka kullanım alanı
Maxwell’den EM dalga denklemine
Differential form
  E   jB
  H  jD  J
D  
B  0
  J   j
 E, B, H, D bulunması gereken vektör büyüklüklerdir.
 Dolayısıyla 12 büyüklük bulunmalı (herbiri için x, y, z).
 J ve ρ bilinen büyüklüklerdir ve birbirlerine bağlıdır.
Fakat, divergence içeren alttaki iki denklem üstteki
ikisine bağımlıdır!!!
  (   E   jB )
  (   H  jD  J )
B  0
0  j   D  
J

 j
D  
Maxwell’den EM dalga denklemine
• 4 farklı büyüklüğü bulabilmek için 2 linear olarak birbirinden
bağımsız denklemimiz var.
  E   jB
  H  jD  J
• Bu noktada malzeme özellikleri devreye giriyor!!!
Ortamın elektrik geçirgenliği
~ ~
D  E
~
~
B  H
Ortamın manyetik geçirgenliği
Dolayısıyla 2 faklı bilinmeyenli 2 lineer olarak birbirinden
bağımsız denklemimiz oluyor!!!
(ÇÖZEBİLİRİZ!)
Malzeme ortamında alanlar (ε)
• Elektrik alan havadan farklı bir dielektrik ortamdan geçerken atom
ve moleküllerin kutuplanmasına neden olur. Bu etkileşim,
uygulanan elektrik alan ile elektrik akı arasındaki bağlantı ile
bulunur (örn: su için   4.7 0 ):
~ ~
D  E
     j    0 r
Malzeme ortamında alanlar (μ)
• Elektrik alana benzer şekilde uygulanan manyetik alan maddeler
içindeki manyetik kutuplanmaya (mıknatıslanma) neden olur ve
manyetik alan ile akı arasında aşağıdaki bağlantı ile bulunur:
~
~
     j   0  r
B  H
Dielektrik malzemeler
D  0r r   E
Yönbağımlı, homojen olmayan
D  0r  E
Yönbağımlı, homojen
D  0  r E
Yönbağımsız, homojen
 xx (r )  xy (r )  xz (r ) 


r r    yx (r )  yy (r )  yz (r )
  zx (r )  zy (r )  zz (r ) 


uzaya bağlı değişken
 xx

r   yx
  zx

 xy
 yy
 zy
sabit
 xz 

 yz 
 zz 
Dielektrik malzemeler
D  0  r E
r  rr  jri
B  0  r H
Yönbağımsız, homojen
Elektrik geçirgenlik, genellikle karmaşık bir sayıdır ve
sanal kısmı elektriksel ortam kaybını hesaba katar.
r=1 manyetik olmayan malzemeler için
0  4  107
Henry/m
 0  8.854187  1012 Farad/m
 1/36   10 9 Farad/m
Helmholtz ve dalga denklemi
• Malzeme parametrelerini de ekleyip Maxwell denklemlerine
dönersek:
  E   jB
D  0  r E
  H  jD  J
B  0  r H
  E   jH
  H  jE  J

  E   H
t

H   E  J
t
Helmholtz ve dalga denklemi
    A    A    2 A
• Kaynaksız durumda:

~
~
2~


E


E





H



t
0
~
 ~
~
  (  E
  H )
t
 E
t
 ~
2~
 E   2 E  0
t
2
 ~
2~
 H   2 H  0
t
2
Dalga denklemi
  (  E   jH)
2


E


E   j

H


0
 2E  2E  0
Helmholtz denklemi
j E
2H  2H  0
Örnek: Helmholtz ve dalga denklemi
• Genel çözüm (tek boyutlu uzayda (d/dz≠0), düzlemsel dalga):
 E   E  0
2
2
Kartezyen koordinat sisteminde , sadece x- bileşeni bulunan elektrik alan için
𝛻 2𝐄
=
𝛻 2 𝐸𝑥
d2
2
E
(
z
)


E x ( z )  0
x
2
dz
E x z   Ae
 j  z
 Be
~
E x z, t   Re{ E x z e j t }

=
𝜕2
(𝜕𝑥 2
𝜕2
+ 𝜕𝑦 2
+
𝜕2
)𝐸
𝜕𝑧 2 𝑥
 j  z

Fazör form çözümü

 A cos  t    z  B cos  t    z

( e j t )
Zaman düzleminde çözüm
Örnek: Çözümün fiziksel özellikleri
E x z   Ae
 j  z
 Be

( e j t )
 j  z


~
E x  z , t   A cos  t    z  B cos  t    z

Yayılma sabiti:
+ z yönüne giden düzlemsel dalga
k   
- z yönüne giden düzlemsel dalga
Dalga hızı:
Boşlukta:
dz


vp 

 
dt   k
1

  0
  0
Boşlukta ışık hızı
vp 
1


1
 0 0
 3e8m / s
Örnek: Çözümün fiziksel özellikleri
• Düzlemsel bir dalganın elektrik alan büyüklüğü bilinirse, manyetik
alan da Maxwell denklemleri kullanılarak bulunabilir.
E x  z   Ae  jk z  B e  jkz
  E   jB
j dE x 1
 H y ( z) 
 ( Ae  jkz  Be jkz )
 dz 
Ortamın empedansı:




k

Örnek: Düzlemsel elektromanyetik dalga
yayılımı
Manyetik alan vektörünün yönü, y
Elektrik alan vektörünün yönü, x
Elektromanyetik dalganın ilerleme yönü, z