Elektromanyetik Dalga Teorisi

Elektromanyetik Dalga Teorisi
Ders‐1
Diferansiyel Formda Maxwell Denklemleri
İntegral Formda Maxwell Denklemleri
Fazörlerin Kullanımı
Zamanda Harmonik Alanlar
Malzeme Ortamı
Dalga Denklemleri
Michael Faraday, (d. 22 Eylül 1791, 25 Ağustos 1867) İngiliz bilim adamı
 1831 yılında İngiliz bilim adamı Michael Faraday, bir iletkenden geçen akımın manyetik alan oluştururken acaba bir manyetik alanın da bir iletken üzerinde akım oluşturup oluşturamayacağını (indüksiyon) merak etti. Bunun üzerinde Faraday aşağıdaki resimdekine benzer bir düzenek hazırladı.
 Düşüncesine göre anahtarı kapattığında sağdaki sargı nedeniyle demir çekirdek manyetik olacak ve soldaki sargı da oluşan bu manyetik alan nedeniyle üzerinden akım geçirecekti. İndüklenen bu akım da, Oersted’in keşfine göre pusula etrafında manyetik alan oluşturacak ve pusula iğnesi sapma yapacaktı.
Ancak durum Faraday’ın tahmin ettiği gibi olmadı. anahtarı kapatıp beklediğinde
pusulada herhangi bir sapma olmuyordu ancak anahtarı kapattığı anda pusula çok
hızlı bir şekilde sapıyor ve eski pozisyonuna geri dönüyordu. Bunu bir de anahtarı
açarak denedi ve gördü ki bu kez pusula çok hızlı bir şekilde ters tarafa sapmış ve
eski pozisyonuna geri dönmüştü.
Faraday bu deneyden, akımın beklediği gibi sabit bir manyetik alandan değil
değişen manyetik alandan dolayı oluştuğunu (indüklendiğini) anladı ve Faraday
Yasası ortaya çıktı.
Diferansiyel Formda Faraday Kanunu
(Maxwell-Faraday denklemi)
Kapalı bir devre içerisinden geçen manyetik akının değişmesi devrenin uçlarında bir
akım indüklenmesine sebep olmaktadır. İndüksiyon elektromotor kuvveti aşağıdaki
gibi tanımlanmıştı:
 
d  
c E.dl   dt s B.ds
 
  
d  
c E.dl  s (  E ).ds   dt s B.ds

Maxwell 
B
Faraday
 E  
denklemi
t
Her iki tarafın diverjansı alınırsa;

  
B
0
.  E  .
t
 
(.B)  0
 
 
.B  sabit veya .B  0
Maxwell-Amper Denklemi
 Gauss kanunu, integral formunda deplasman vektörü kullanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir.

J
 
 D.ds  q
Vektörünün sağladığı akım:
 
ia   J .ds
s
Deplasman akımı
Amper kanununda yerine konursa
Stokes teoriminden

 


D 
  B  0  J 

t 

idep
dq d  

  D.ds
dt dt s
 
   d  
 B.dl  0 s J .ds  dt s D.ds 
  
   d  
s (  B)ds  0 s J .ds  dt s D.ds 
Maxwell-Amper denklemi

 
  D 
  B  0  J 


t


Eşitliğin her iki tarafının diverjansı alınırsa


J   v
t

      D 
.  B  . 0  J 

t 

  
  
  0 .J  ( 0 ..E )  0
t


Süreklilik denklemi ile karşılaştırılırsa
   v
0
J 
t
  

( 0 .E ) 
t
t
 
 0 ..E  
  
.E 
0
Maxwell’in
diverjans
eşitliği
Maxwell Denklemlerinin Diferansiyel Formu
 
  
B (r , t )
  E (r , t )  
t
Faraday Kanunu
 
  
D(r , t )  
 J (r , t )
  H (r , t ) 
t
Amper Kanunu
  

.D(r , t )   e (r , t )
  
.B (r , t )  0
Gauss Kanunu
Manyetik Gauss Kanunu
Maxwell Denklemlerinin Diferansiyel Formu
 
  
B(r , t )
  E (r , t )  
t
 
  
D(r , t )  
 J (r , t )
  H (r , t ) 
t
  

.D(r , t )   e (r , t )
  
.B (r , t )  0
 
J (r , t )

 e (r , t )
 
E(r , t )
 
H (r , t )
 
D(r , t )

B(r , t )
Elektrik Alan Şiddeti [V/m]
Manyetik Alan Şiddeti [A/m]
Elektrik Akı Yoğunluğu [C/m2]
Manyetik Akı Yoğunluğu [Weber/m2]
Elektrik Akım Yoğunluğu [Amper/m2]
Elektrik Yük Yoğunluğu [Coulomb/m3]
Simetrik Maxwell Denklemleri
 
  
B(r , t )
  E (r , t )  
  t
  
D(r , t )  
  H (r , t ) 
 J (r , t )
t
  

.D(r , t )   e (r , t )
  
.B (r , t )  0
Yanda verilen denklemler Asimetrik Maxwell
Denklemleridir. Simetrinin sağlanması için  

 m (r , t )
manyetik kaynak ve eklenmelidir. M (r , t )
Bu durumda simetrik Maxwell Denklemleri aşağıdaki gibi elde edilir.
 
  
B(r , t )  
  E (r , t )  
 M (r , t )
 t
  
D (r , t )  
  H (r , t ) 
 J (r , t )
t
  

.D(r , t )   e (r , t )
  

.B(r , t )   m (r , t )
İntegral Formda Maxwell Denklemleri
 
 

 B(r , t )    
C E (r , t ).d    S  t  M (r , t ) dS
 
 

 D(r , t )    
C H (r , t ).d   S  t  J (r , t ) dS

 


 D(r , t ).dS   e (r , t ) dv
S
v

 


B
(
r
,
t
).
d
S


(
r
,
t
)
d
v

 m
S
v
Fazörlerin Kullanımı
Bir sinüzoidal skaler niceliğin, örneğin i akımının anlık (zaman‐bağımlı) ifadesi bir kosinüs veya bir sinüs fonksiyonu olarak yazılabilir. Eğer referans olarak kosinüs fonksiyonunu seçersek bulunan tüm sonuçlar kosinüs fonksiyonuna dayanacaktır. Bir sinüzoidal niceliğin belirtilmesi üç parametre bilgisi gerektirir : Genlik, frekans ve faz.
i (t )  I 0 . cos(t   )
Genlik
Açısal frekans (2f)
Faz açısı
Fazörlerin Kullanımı
i(t)’yi istersek sinüs fonksiyonu olarak da yazabiliriz. Referansımız kosinüs olduğu için faza /2 eklenir.
i (t )  I 0 . sin(t   )
     / 2
Fazörlerin Kullanımı
Fazörler, kompleks niceliklerin genlik ve faz bilgisi içeren kutupsal biçimleridir.
i (t )  I 0 . cos(t   )
Fazör gösterimi
I s  I 0 .e
j
Fazörlerin Kullanımı
Akım fazörü Is’den anlık i(t) tepkisi, Is’yi ࢋ࢐࣓࢚ ile çarpıp sonucun reel kısmını alarak bulunabilir.
I s  I 0 .e
j
i (t )  Re( I s e jt )  Re( I 0 .e j .e jt )  Re( I 0 .e j (t  ) )
 Re( I 0 . cos(t   )  jI 0 sin(t   ))
 I 0 . cos(t   )
Aşağıdaki akım fonksiyonlarının Is fazör ifadelerini kosinüs referansı kullanarak yazınız.
a)
b) i (t )   I 0 . cos(t  30o )
i (t )  I 0 . sin(t  0.2 )
Kosinüs referansı için i (t )  Re( I s e jt ) yazarız.
a)

i(t)  I0.cos(t  30 )  Re(I0.e
o
 j 30o
).e jt

Is  I0.e j30  I0.e j / 6
o
b)

i (t )  I 0 . sin(t  0.2 )  Re ( I 0 .e j 0.2 ).e  j / 2 .e jt
I s  ( I 0 .e j 0.2 ).e  j / 2  I 0 .e  j 0.3

Aşağıdaki fazörler için kosinüs referansını kullanarak anlık v(t) ifadelerini elde ediniz.
a ) Vs  V0 .e j / 4
b) Vs  3  j 4


j / 4
j t
v
(
t
)

Re
(
V
.
e
).
e
 V0 . cos(t   / 4)
a)
o
b) Vs  3  j 4  3  4 .e
2
 5.e
2
j . tan 1 ( 4 / 3)
 j 53.1o

v(t )  Re (5e
 j 53.1o

)e jt  5 cos(t  53.1o )
Harmonik Maxwell Denklemleri
 
Taşıdığı açısal frekansı  olan anlık elektrik alan aşağıdaki gibi yazılabilir:
E (r , t )
Fazör alan;
 
 
E (r , t )  Eo (r ). cos(t   )
 
  j
E (r )  Eo (r ).e
 
  j t
E (r , t )  Re[ Eo (r ).e ]
 
 
E (r , t )
 j E ( r )
t
Harmonik Maxwell Denklemleri
  
 
 
  E ( r )   j B ( r )  M ( r )
  
   
  H ( r )  j D ( r )  J ( r )
  

.D(r )   e (r )
  

.B (r )   m (r )
Malzeme Ortamı



D  0E  P



B  0 (H  M )


P   0 . e .E


M   m .H
   0 .( 1   e )   0 . r
   0 .( 1   m )   0 .  r
Elektrik polarizasyon vektörü [C/m2]
Manyetik polarizasyon vektörü [Amper/metre] 0 (Boşluğun manyetik geçirgenlik katsayısı) = 4 10-7 [Henry/m]
0 (Boşluğun dielektrik katsayısı) e Elektriksel duyarlılık
m Manyetiksel duyarlılık
= 1/(36 109 ) [Farad/m]
İletkende Akım Yoğunluğu
İletken ve kayıplı bir ortama elektrik alan uygulandığında iletkenlik akımı meydana gelir. Ohm kanununa göre iletkenlik akım yoğunluğu uygulanan elektrik alan ile orantılıdır.


J c   .E
,  ve  ortam parametreleridir ve sırasıyla kapasite (C), endüktans (L) ve kondüktans (G) ile ilgilidir. Elektrik akımını aşağıdaki gibi yazabiliriz.



J  Ji  Jc

J i : Ortama dışarıdan uygulanan akım kaynağı 
J c : İletkenlik akım yoğunluğu
İletkende Akım Yoğunluğu
Birçok ortam, bazı manyetik malzemeler hariç, manyetik açıdan kayıpsızdır. Manyetik iletkenlik akımı Mc sıfırdır. Dolayısıyla manyetik akım: dir.
‫ ܯ‬ൌ ‫ܯ‬௜
Bu durumda Maxwell denklemlerini yeniden düzenlersek:
 
 
  E   jH  M i
 

 
  H  jE  E  J i

  
 E  J i
 j   
j 


  
 E  J i
 j   
j 

 
 j c E  J i

j 

c   
  1 

j   

Kayıp tanjantı (loss tangent); iletkenlik akımının neden olduğu 
enerji kaybının derecesini gösterir.

 1


 1

ise iyi iletken
ise iyi yalıtkan
Periyodik Dalga
y
t=0
x=0
t=T/4
t=T
periyot
Dalga boyu

A =genlik
x
Bir dalganın matematiksel tanımı
Bir sinüzoidal dalga, dalga fonksiyonu ile tasvir edilir:
Açısal frekans
  2 f
f  v
f  1/T
Dalga hızı
y ( x, t )  A cos[ (t  x / v)]
 A cos[ ( x / v  t )]
 A cos 2 f [( x / v  t )]
 A cos 2 ( x /   t / T )
Dalga Boyu
+x yönünde hareket eden
sinüzoidal dalga
periyot
Bir dalganın matematiksel tanımı
Dalga sayısı
k  2 / 
y ( x, t )  A cos(kx  t )
Bir dalganın matematiksel tanımı
Sinüzoidal dalgada parçacık hızı ve ivmesi y ( x, t )  A cos( kx  t )
Hız
İvme
y ( x, t )
v y ( x, t ) 
 A sin(kx  t )
t
 2 y ( x, t )
2
a y ( x, t ) 



A cos(kx  t )
2
t
  2 y ( x, t )
 y ( x, t )
2
2





k
A
cos(
kx

t
)
k
y ( x, t )
2
x
2
Ayrıca
Bir dalganın matematiksel tanımı
 y ( x, t )
2
2  y ( x, t )
 (k /  )
2
2
x
t
2
1  y ( x, t )
 2
2
v
t
 2 y ( x, t ) 1  2 y ( x, t )
 2
0
2
2
v
x
t
2
2
Dalga Denklemi ve Çözümleri
Sınır değer problemlerinin çözümünde, birinci dereceden kısmi diferansiyel denklemler olan Maxwell Denklemleri’nin çözümü kullanılır. Ancak, Maxwell
denklemleri birbirine kuple denklemlerdir. Bunun anlamı, her bir denklem 1 bilinmeyen alandan fazlasını içerir. Bu sebeple bu denklemler, birbirine kuple olmayan 2. dereceden diferansiyel denklemler haline dönüşür. Bu denklemlere Dalga Denklemi denir.

 
H 
  E  
 Mi
t

 
 
E
 H  
 E  J i
t

 
E
 
 E  J i )  
 (
  
 (  H )  
t
  Mi
   M i  
    E  
t
t



2    
J i  
2E
E
  E  (E )    2  

  Mi
t
t
t
  e
E 




2
2 
J i   1 
 E
E

   M i   e
 E   2  
t
t
t

Dalga Denklemi ve Çözümleri
Benzer şekilde ikinci denklem de düzenlenebilir.
 
   
  
 (  E )
    H  
  (  E )    J i
t

H 

( 
 Mi)
 
H 

t
 
  .( 
 M i )    Ji
t
t



2
2 
   1 
M i
H
 H
 H   2  

 M i    J i   m
t
t
t

Vektör Dalga Denklemleri



2 
J i   1 
 E
E

   M i   e
 E   2  
t

t
t
2



   1 
2 
M i
 H
H
 H   2  

 M i    J i   m
t
t
t

2
Kaynaksız Ortam
 
( J i , M i ,  e ,  m  0)



2 
J i   1 
 E
E
 E   2  

   M i   e
t
t

t
2



   1 
2 
M i
 H
H
 H   2  

 M i    J i   m
t
t
t

2


2 
 E
E
 E   2  
t
t
2


2 
 H
H
 H   2  
t
t
2
Kaynaksız ve kayıpsız ortam


2 
 E
E
 E   2  
t
t


2 
H
 H
 H   2  
t
t

2 
2E
 E   2
t

2 
 H
 H   2
t
2
2
2
Zamanda Harmonik Dalga Denklemleri
e j t

  j
t
2
2



t 2
,
2  
 1 


2
 E    M i  j . J i    e  j E    E

2 
 




1 
2
 H    J i   .M i  j .M i   m  jH   H

Kaynaksız ortamda harmonik dalga denklemi
2  
 1 


2
 E    M i  j . J i    e  j E    E

2



2
2
 E  j E    E   E
2

2
 E  E  0
2 
 




1 
2
 H    J i   .M i  j .M i   m  jH   H

2 



2
2
 H  jH   H   H
2 

2
 H  H  0
Zamanda Harmonik Dalga Denklemleri
2

 E   2E  0
,
2 

 H   2H  0
 2  j   2   j (  j )
    j Propagasyon (yayılım) Sabiti
Zayıflama Sabiti (Np/m)

Faz Sabiti (Rad/m)

Kayıpsız Ortam
2


2
2
 E    E    E
2 


2
2
 H    H    H
   
2
2
   


2

2
 E E0
2 

2
 H  H 0