Elektromanyetik Dalga Teorisi

Elektromanyetik Dalga
Teorisi
Ders-1
Diferansiyel Formda Maxwell Denklemleri
İntegral Formda Maxwell Denklemleri
Fazörlerin Kullanımı
Zamanda Harmonik Alanlar
Malzeme Ortamı
Dalga Denklemleri
Maxwell Denklemlerinin Diferansiyel Formu
 
  
∂B(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
∂t
Faraday Kanunu
 
  
∂D(r , t )  
∇ × H (r , t ) =
+ J (r , t )
∂t
Amper Kanunu
  

∇.D(r , t ) = ρ e (r , t )
Gauss Kanunu
  
∇.B(r , t ) = 0
Manyetik Gauss Kanunu
Maxwell Denklemlerinin Diferansiyel Formu
 
  
∂B(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
∂t
 
  
∂D(r , t )  
+ J (r , t )
∇ × H (r , t ) =
∂t
  

∇.D(r , t ) = ρ e (r , t )
  
∇.B(r , t ) = 0
 
J (r , t )

ρ e (r , t )
 
E (r , t )
 
H (r , t )
 
D(r , t )
 
B(r , t )
Elektrik Alan Şiddeti [V/m]
Manyetik Alan Şiddeti [A/m]
Elektrik Akı Yoğunluğu [C/m2]
Manyetik Akı Yoğunluğu [Weber/m2]
Elektrik Akım Yoğunluğu [Amper/m2]
Elektrik Yük Yoğunluğu [Coulomb/m3]
Simetrik Maxwell Denklemleri
 
  
∂B(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
  ∂t
  
∂D(r , t )  
+ J (r , t )
∇ × H (r , t ) =
∂t
  

∇.D(r , t ) = ρ e (r , t )
  
∇.B(r , t ) = 0
Yanda verilen denklemler Asimetrik Maxwell
Denklemleridir. Simetrinin
sağlanması için
 

manyetik kaynak M (r , t ) ve ρ m (r , t ) eklenmelidir.
Bu durumda simetrik Maxwell Denklemleri
aşağıdaki gibi elde edilir.
 
  
∂B(r , t )  
∇ × E (r , t ) = −
− M (r , t )
 ∂t
  
∂D(r , t )  
∇ × H (r , t ) =
+ J (r , t )
∂t
  

∇.D(r , t ) = ρ e (r , t )
  

∇.B(r , t ) = ρ m (r , t )
İntegral Formda Maxwell Denklemleri
 
 

 ∂B(r , t )    
∫C E (r , t ).d  = −∫S  ∂t + M (r , t ) dS
 
 

 ∂D(r , t )    
∫C H (r , t ).d  = ∫S  ∂t + J (r , t ) dS

 


∫ D(r , t ).dS = ∫ ρe (r , t ) dv
S
v

 


(
,
).
=
ρ
(
,
)
B
r
t
d
S
r
t
d
v
∫
∫ m
S
v
Fazörlerin Kullanımı
Bir sinüzoidal skaler niceliğin, örneğin i akımının anlık (zaman-bağımlı) ifadesi bir kosinüs
veya bir sinüs fonksiyonu olarak yazılabilir. Eğer referans olarak kosinüs fonksiyonunu
seçersek bulunan tüm sonuçlar kosinüs fonksiyonuna dayanacaktır. Bir sinüzoidal niceliğin
belirtilmesi üç parametre bilgisi gerektirir : Genlik, frekans ve faz.
i (t ) = I 0 . cos(ωt + φ )
Genlik
Açısal frekans
(2πf)
Faz açısı
Fazörlerin Kullanımı
i(t)’yi istersek sinüs fonksiyonu olarak da yazabiliriz. Referansımız kosinüs olduğu için
faza π/2 eklenir.
i (t ) = I 0 . sin(ωt + φ ′)
φ′ = φ + π / 2
Fazörlerin Kullanımı
Fazörler, kompleks niceliklerin genlik ve faz bilgisi içeren kutupsal biçimleridir.
i (t ) = I 0 . cos(ωt + φ )
Fazör gösterimi
I s = I 0 .e
jφ
Fazörlerin Kullanımı
Akım fazörü Is’den anlık i(t) tepkisi, Is’yi 𝒆𝒋𝝎𝝎 ile çarpıp sonucun reel kısmını alarak
bulunabilir.
I s = I 0 .e
i (t ) = Re( I s e
j ωt
jφ
jφ
) = Re( I 0 .e .e
j ωt
) = Re( I 0 .e
= Re( I 0 . cos(ωt + φ ) + jI 0 sin(ωt + φ ))
= I 0 . cos(ωt + φ )
j (ωt +φ )
)
Aşağıdaki akım fonksiyonlarının Is fazör ifadelerini kosinüs referansı kullanarak
yazınız.
a)
b)
i (t ) = − I 0 . cos(ωt − 30o )
i (t ) = I 0 . sin(ωt + 0.2π )
Kosinüs referansı için i (t ) = Re( I s e jωt ) yazarız.
a)
I s = − I 0 .e
b)
[
i (t ) = − I 0 . cos(ωt − 30 ) = Re (− I 0 .e
o
− j 30 o
− j 30 o
).e jωt
]
= − I 0 .e − jπ / 6
[
i (t ) = I 0 . sin(ωt + 0.2π ) = Re ( I 0 .e j 0.2π ).e − jπ / 2 .e jωt
I s = ( I 0 .e j 0.2π ).e − jπ / 2 = I 0 .e − j 0.3π
]
Aşağıdaki fazörler için kosinüs referansını kullanarak anlık v(t) ifadelerini elde ediniz.
a ) Vs = V0 .e jπ / 4
b) Vs = 3 − j 4
a)
v(t ) = Re[(V .e
jπ / 4
o
).e
j ωt
] = V . cos(ωt + π / 4)
0
b) Vs = 3 − j 4 = 3 + 4 .e
2
= 5.e
2
j . tan −1 ( −4 / 3)
− j 53.1o
[
v(t ) = Re (5e
− j 53.1o
]
)e jωt = 5 cos(ωt − 53.1o )
Harmonik Maxwell Denklemleri
 
Taşıdığı açısal frekansı ω olan anlık elektrik alan E (r , t ) aşağıdaki gibi yazılabilir:
Fazör alan;
 
 
E (r , t ) = Eo (r ). cos(ωt + φ )
 
  jφ
E (r ) = Eo (r ).e
 
  j ωt
E (r , t ) = Re[ Eo (r ).e ]
 
 
∂E (r , t )
= j ωE ( r )
∂t
Harmonik Maxwell Denklemleri
  
 
 
∇ × E ( r ) = − j ωB ( r ) − M ( r )
  
   
∇ × H ( r ) = j ωD ( r ) + J ( r )
  

∇.D(r ) = ρ e (r )
  

∇.B(r ) = ρ m (r )
Malzeme Ortamı

 
D = ε0E + P



B = µ0 ( H + M )


P = ε 0 .χ e .E


M = χ m .H
ε = ε 0 .(1 + χ e ) = ε 0 .ε r
µ = µ 0 .(1 + χ m ) = µ 0 .µ r
Elektrik polarizasyon vektörü [C/m2]
Manyetik polarizasyon vektörü [Amper/metre]
µ0 (Boşluğun manyetik geçirgenlik katsayısı) = 4π 10-7 [Henry/m]
ε0 (Boşluğun dielektrik katsayısı)
χe Elektriksel duyarlılık
χm Manyetiksel duyarlılık
= 1/(36π 109 ) [Farad/m]
İletkende Akım Yoğunluğu
İletken ve kayıplı bir ortama elektrik alan uygulandığında iletkenlik akımı meydana gelir.
Ohm kanununa göre iletkenlik akım yoğunluğu uygulanan elektrik alan ile orantılıdır.


J c = σ .E
ε, µ ve σ ortam parametreleridir ve sırasıyla kapasite (C), endüktans (L) ve kondüktans (G)
ile ilgilidir. Elektrik akımını aşağıdaki gibi yazabiliriz.



J = Ji + Jc

J i : Ortama dışarıdan uygulanan akım kaynağı

J c : İletkenlik akım yoğunluğu
İletkende Akım Yoğunluğu
Birçok ortam, bazı manyetik malzemeler hariç, manyetik açıdan kayıpsızdır. Manyetik
iletkenlik akımı Mc sıfırdır. Dolayısıyla manyetik akım: 𝑀 = 𝑀𝑖 dir.
Bu durumda Maxwell denklemlerini yeniden düzenlersek:
 
 
∇ × E = − jωµH − M i
 

 
∇ × H = jωεE + σE + J i

σ  
 E + J i
= jω  ε +
jω 


σ  
 E + J i
= jω  ε +
jω 

 
= jωε c E + J i
σ
jσ 

εc = ε +
= ε 1 −

jω  ωε 
σ
Kayıp tanjantı (loss tangent);
iletkenlik akımının neden olduğu
ωε
enerji kaybının derecesini
gösterir.
σ
>> 1
ωε
σ
<< 1
ωε
ise iyi iletken
ise iyi yalıtkan
Periyodik Dalga
y
t=0
x=0
t=T/4
t=T
periyot
Dalga boyu
λ
A =genlik
x
Bir dalganın matematiksel tanımı
Bir sinüzoidal dalga, dalga fonksiyonu ile tasvir edilir:
Açısal frekans
ω = 2π f
fλ = v
f = 1/ T
Dalga hızı
y ( x, t ) = A cos[ω (t − x / v)]
+x yönünde hareket eden
sinüzoidal dalga
= A cos[ω ( x / v − t )]
= A cos 2π f ( x / v − t )
= A cos 2π ( x / λ − t / T )
periyot
Dalga Boyu
Bir dalganın matematiksel tanımı
Dalga sayısı
k = 2π / λ
y ( x, t ) = A cos(kx − ωt )
Bir dalganın matematiksel tanımı
Sinüzoidal dalgada parçacık hızı ve ivmesi
y ( x, t ) = A cos(kx − ωt )
Hız
İvme
Ayrıca
∂y ( x, t )
v y ( x, t ) =
= ωA sin( kx − ωt )
∂t
∂ 2 y ( x, t )
2
A cos(kx − ωt )
a y ( x, t ) =
=
−
ω
2
∂t
= −ω 2 y ( x, t )
∂ 2 y ( x, t )
2
2
cos(
)
k
A
kx
t
k
y ( x, t )
=
−
−
ω
=
−
2
∂x
Bir dalganın matematiksel tanımı
∂ y ( x, t )
2 ∂ y ( x, t )
2
= (k / ω )
2
2
∂t
∂x
2
1 ∂ y ( x, t )
= 2
2
∂t
v
2
2
∂ y ( x, t ) 1 ∂ y ( x, t )
− 2
=0
2
2
∂t
∂x
v
2
2
Dalga Denklemi ve Çözümleri
Sınır değer problemlerinin çözümünde, birinci dereceden kısmi diferansiyel
denklemler olan Maxwell Denklemleri’nin çözümü kullanılır. Ancak, Maxwell
denklemleri birbirine kuple denklemlerdir. Bunun anlamı, her bir denklem 1
bilinmeyen alandan fazlasını içerir. Bu sebeple bu denklemler, birbirine kuple olmayan
2. dereceden diferansiyel denklemler haline dönüşür. Bu denklemlere Dalga Denklemi
denir.

 
∂H 
∇ × E = −µ
− Mi
∂t

 
 
∂E
∇× H = ε
+ σE + J i
∂t

 
∂E
 
∂ (ε
+ σE + J i )  
  
∂ (∇ × H )  
∂t
− ∇× Mi
− ∇ × M i = −µ
∇ × ∇ × E = −µ
∂t
∂t



2
2    
∂J i  
∂E
∂ E
− ∇× Mi
−µ
− ∇ E + ∇(∇E ) = − µε 2 − µσ
∂t
∂t
∂t
  ρe
∇E =
ε



2
2 
∂J i   1 
∂ E
∂E
+ ∇ × M i + ∇ρ e
∇ E = µε 2 + µσ
+µ
ε
∂t
∂t
∂t
Dalga Denklemi ve Çözümleri
Benzer şekilde ikinci denklem de düzenlenebilir.
 
  
   
∂ (∇ × E )
∇ × ∇ × H = −ε
+ σ (∇ × E ) + ∇ × J i
∂t

∂H 

∂ (− µ
− Mi)
 
∂H 
∂
t
= −ε
+ σ .(− µ
− M i ) + ∇ × Ji
∂t
∂t



2
2 
   1 
∂M i
∂ H
∂H
∇ H = µε 2 + µσ
+ε
+ σM i − ∇ × J i + ∇ρ m
∂t
∂t
∂t
µ
Vektör Dalga Denklemleri



2 
∂J i   1 
∂ E
∂E
∇ E = µε 2 + µσ
+µ
+ ∇ × M i + ∇ρ e
ε
∂t
∂t
∂t
2



2 
   1 
∂M i
∂ H
∂H
+ε
+ σM i − ∇ × J i + ∇ρ m
∇ H = µε 2 + µσ
∂t
∂t
∂t
µ
2
Kaynaksız Ortam
 
( J i , M i , ρ e , ρ m = 0)



2 
∂J i   1 
∂ E
∂E
∇ E = µε 2 + µσ
+µ
+ ∇ × M i + ∇ρ e
∂t
∂t
ε
∂t
2



2 
   1 
∂M i
∂ H
∂H
∇ H = µε 2 + µσ
+ε
+ σM i − ∇ × J i + ∇ρ m
∂t
∂t
∂t
µ
2




2
2 
∂ E
∂E  2 
∂ H
∂H
∇ E = µε 2 + µσ
∇ H = µε 2 + µσ
∂t
∂t
∂t
∂t
2
Kaynaksız ve kayıpsız ortam




2
2 
∂ E
∂E  2 
∂H
∂ H
∇ E = µε 2 + µσ
∇ H = µε 2 + µσ
∂t
∂t
∂t
∂t
2

2 
∂ E
∇ E = µε 2
∂t
2

2 
∂ H
∇ H = µε 2
∂t
2
Zamanda Harmonik Dalga Denklemleri
e
j ωt
∂
→ = jω
∂t
∂
2
=
−
ω
∂t 2
2
,
2   
 1 


2
∇ E = ∇ × M i + jωµ .J i + ∇ρ e + jωµσE − ω µεE
ε
2 
 




1 
2
∇ H = −∇ × J i + σ .M i + jωε .M i + ∇ρ m + jωµσH − ω µεH
µ
Kaynaksız ortamda harmonik dalga denklemi
2   
 1 


2
∇ E = ∇ × M i + jωµ .J i + ∇ρ e + jωµσE − ω µεE
ε
2 



2
2
∇ E = jωµσE − ω µεE = γ E
2 

2
∇ E −γ E = 0
2 
 




1 
2
∇ H = −∇ × J i + σ .M i + jωε .M i + ∇ρ m + jωµσH − ω µεH
µ
2 



2
2
∇ H = jωµσH − ω µεH = γ H
2 

2
∇ H −γ H = 0
Zamanda Harmonik Dalga Denklemleri
2 

∇ E − γ 2E = 0
,

2 
∇ H − γ 2H = 0
γ 2 = jωµσ − ω 2 µε = jωµ (σ + jωε )
γ = α + jβ Propagasyon (yayılım) Sabiti
Zayıflama Sabiti (Np/m)
α
Faz Sabiti (Rad/m)
β
Kayıpsız Ortam
2 


2
2
∇ E = −ω µεE = − β E
2 


2
2
∇ H = −ω µεH = − β H
β 2 = ω 2 µε
β = ω εµ
→
→
2 

2
∇ E+β E=0
2 

2
∇ H +β H =0