Determinant

hatırlatma
Determinant
Bir kare matrisin tersinir olup olmadığına dair bilgi veriyor
n- boyutlu uzayda matrisin satırlarından oluşmuş bir
paralel kenarın hacmine ait bilgi veriyor
Pivotlara ilişkin bağıntılar veriyor
Determinant hesaplamanın yolları
A tersinir ise A  P 1 LDU
ve det A  det P 1 det L det D det U
  pi
Bu yaklaşımı onuncu kuralda elde ettik
pivots
i
Determinant hesaplamanın bir başka yolunu birinci kuraldan
yararlanarak elde edeceğiz:
a b 
a 0 
0 b 
det 
 det 
 det 



c
d
c
d
c
d






0
0
 a 0
a 0 
0 b
0 b 
 det 
 det 
 det 
 det 




c
0
0
d
c
0
0
d








hatırlatma
Özellik 10:
det A  det A
T
Bunlar için ne diyeceğiz?
PA  LDU
det P det A  det L det D det U
Ortak özellikleri ne?
AT PT  U T DT LT
det AT det PT  det U T det DT det LT
Neden?
Bir de P ve PT ‘ye bakalım
det P  1 veya
det P  1
det P  det P  1
T
Sonuç:
det A  det A
T
veya
Hepsinin
determinantı 1’e
eşit
ayrıca
PP  I
T
det P  det PT  1
hatırlatma
Özellik 1:Determinant birinci satıra lineer bağımlıdır
Üç matris oluşturalım öyle ki ilk satırları farklı diğer
satırları aynı olsun:
kaˆ kbˆ
a  kaˆ b  kbˆ
a b 
B
A
 C


d 
c d
 c
c d 
Şimdi neyi göstereceğiz?
?
det C  det A  det B
√
(a  kaˆ)(d )  (c)(b  kbˆ)(a)(d )  (b)(c)  (kaˆ)(d )  (c)(kbˆ
?
3X3’lük matris için:
 a11 a12
det a21 a22
 a31 a32
a13 
a11
a23   det 
a22

a33 

 det a21

a32
a12

 det a21

a12



  det 

a
23 


a31

a33 
a13 
a11

  det 

a
23 





a32
a13 


  det 

a
22



a31

a33 
Biraz daha basitleştirelim…
1

 1 
det A  a11a22a33 det  1   a12a23a31 det 
1

1

1
1

1

  a a a det 

 a13a32a21 det 1
1
 11 23 32


 1 
 1 
1
 1 

  a a a det  1 
 a12a21a33 det 1
 13 22 31 


1

1
Permutasyon matrislerinin determinantları -1 veya 1 olacak
Yer değiştiren satır sayısı tek ise -1, çift ise 1
det A   a1 a2  ....an det P

   ,  ,..., 
Determinant hesaplamanın bir başka yolu…
det A  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ....  ain Ain
kofaktör Aij   1
i j
det M ij
A matrisinin i. satırı ve j.
sütunu çıkarılarak elde
edilen matris
Nerede işimize yarayacak?
A’nın tersini hesaplamada….
det A  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ....  ain Ain
A’nın determinantını tüm satırlardan yararlanarak defalarca
hesaplasak
 a11
a
 21
 .

 .
 .

 an1

a12
....
a22
....
.
.
.
.
.
.
an 2
....
det A



 





det A
a1n   A11

a2 n 
  A21
.  .

.  .
.  .

ann 

 An1
A12
....
A22
....
.
.
.
.
.
.
An 2
....








det A

A1n 
A2 n 

. 

. 
. 

Ann 

AAkofaktör  det AI
1
A 
Akofaktör
det A
1
Ax  b‘nin çözümünü bulmada….
1
x A b
Akofaktörb
det A
1
Bunu biraz farklı ifade etmenin bir yolu: Cramer Kuralı
 a11
 .

det B j
xj 
, Bj   .
det A

 .
an1
a12
... b1
.
...
.
.
...
.
.
...
.
an 2 ... bn
... a1n 
... . 
... . 

... . 
... ann 
j. sütun
İki küçük örnek
a b 
A

c
d


A matrislerinin tersini hesaplayınız.
 2 3  4
A  0  4 2 
1  1 5 
x1  3 x2  0 Denklem takımının çözümünü
Cramer kuralından yararlanarak
2 x1  4 x2  6
bulunuz
Özdeğerler ve özvektörler
Bir skaler
Ax  x
Bir matris
A :R  R
n
Bir vektör
x R
n
n
Lineer bir dönüşüm
 ve x , A için özel bir skaler ve vektör
Özdeğer ve özvektör
Bu özel skaler ve vektör neden önemli?
Çok karşılaşacağınız bir problem ile işe başlayalım
İlk değer
problemi
dx1
 a11 x1  a12 x2
dt
dx2
 a21 x1  a22 x2
dt
x1 (0)  x10 , x2 (0)  x20
 x1   a11 a12   x1   x10 
, 
 x   a



 2   21 a22   x2   x20 
x  Ax , x0
İddia: Bu denklem takımının çözümleri x1 (t )  et xˆ1
x2 (t )  et xˆ2
Bu iddianın doğru olduğunu göstermem gerek:
et xˆ1  a11et xˆ1  a12et xˆ2
et xˆ2  a21et xˆ1  a22et xˆ2
x(t )  Ax(t )
Bunu daha önce
de görmüştük
özdeğer
özvektör
Ax  x ‘in çözümünü arayacağız
( A  I ) x  0
Bu ifadeye bakarak λ ve x
için ne diyebilirsiniz?
x N ( A  I )
λ öyle seçilmeli ki N ( A  I ) sıfırdan farklı olsun.
λ’ yı bulmak için bir yol önerebilir misiniz?
Determinant hesaplamayı da biliyorsunuz…
det( A  I )  0
kökleri A’nın özdeğerleridir
Karakteristik çok terimli
Özdeğer ve özvektörü belirlemek için hangi adımları atacağız
A  I veyaI  A‘nın determinantını hesaplayacağız,
özdeğerler
det( A  I )  0
Her özdeğer için
çok terimlisinin köklerini belirleyeceğiz,
 A  I x  0 lineer denklem takımının
çözümlerini bulacağız.
özvektörler
Sizce özdeğerleri bulmak kolay mı?
Çok terimlinin köklerini analitik olarak bulmanın yolları
hakkında ne biliyorsunuz?
Çok terimlinin köklerini yaklaşık olarak bulmanın yolları
hakkında ne biliyorsunuz?
Kolaylık sağlayacak bazı özel durumlar var mı?
A matrisi köşegen ise…..
A matrisi izdüşüm matrisi ise…..
A matrisi üçgen ise…..
Özdeğerlere ilişkin iki sınama….
1  2  ...  n  a11  a22  ...  ann
det A  12 ...n
Özdeğerleri değiştirmeden matris nasıl köşegenleştirilir?
A, nxn boyutunda, n tane lineer bağımsız özvektörü
olan bir matris olsun S sütunları özvektörler olan
matris olmak üzere:
1

2


1
S AS    




.
.
.








n 
AS  Ax1
x2 ... xn   1 x1 2 x2 ... n xn 
 x1
AS  S
x2
S 1 AS  
A  S  S 1
1

2


... xn 




.
.
.








n 
Bazı sonuçlar:
n farklı özdeğeri olan nxn boyutlu her matris
köşegenleştirilebilir.
Köşegenleştirmeyi sağlayan S matrisi tek değildir
Köşegenleştirilemeyenler için bir çare yok mu?
Jordan kanonik form elde edilir
1













2
2
3
1
3
.
.
.












k 
 J1








J2
.
.
.








J k 
Sonuçlara devam….
Köşegenleştirme özvektörlerle ilişkili
Tersinir olma özvektörlerle ilişkili
k
A
‘nın özdeğerleri A ‘nın özdeğerlerinin k katıdır
ve aynı özvektörlere sahiptir.
k
1 k
 S A S
A ve B köşegenleştirilebilir olsun, AB=BA ise aynı
özvektör matsisi S’e sahiptirler.
Fark denklemleri
0,1,1,2,3,5,8,13,….
Bu diziye ilişkin genel kuralı ifade edelim
Fk  2  Fk 1  Fk
Pisa’lı Leonardo
Fibonacci
(1175-1250)
Liber Abacis
Bu kuralı bir daha daha farklı şekilde
yazalım:
Önce yeni bir değişken
tanımlayalım:
 Fk 1 
uk ˆ 

F
 k 
 Fk  2   Fk 1  Fk 
uk 1  



F
F
k 1
 k 1  

1 1  Fk 1 

 F 
1
0

 k 
1 1

uk

1 0
Bu denklem
uk 1  Auk
sizin için ne
ifade ediyor?
Bu fark denkleminin çözümünü nasıl buluruz?
u1  Au0
u2  Au1  A( Au0 )  A u0
2
u3  Au2  A( A u0 )  A u0
2
3
●
●
●
n 1
un  Aun 1  A( A u0 )  A u0
n
n
A
‘i hesaplamanın kolay bir yolu var mı?
Köşegenleştirirsek işler kolaylaşır
A  S S

S’sütunları için
ne diyebilirsiniz
1



un  Anu0  SS 1 SS 1 ... SS 1 u0  Sn S 1u0
 1

... xk 



n
u n  S c  x1
n
.
 c11n x1  c2 n2 x2  ...  ck nk xk
.
 c1 
 
 . 
 . 
 
.
n 
 k   
ck 
Ne işe yarıyorlar?
c
Artık Fibonacci için bir çözüm yazabiliriz ….
uk 1  Auk
1 1
A

1
0


İlk koşullara da ihtiyacımız var
1
u0   
0