GRUP 7

Devre ve Sistem Analizi
Projesi
Konu: Bir devrenin doğal frekanslarının(natural
frequency) belirlenmesi, uyarılması, kararsız
modların kararlılaştırılması.
1
Grup Üyeleri




2
040040315
040050325
040050340
040050349
Erdem Aslan
Ozan Arslan
Yavuz Ekici
Kıvanç Güçkıran
Konu Başlıkları








3
Doğal frekans nedir?
Bir devrenin kararlılığı ve doğal frekansla ilişkisi
Bazı örnekler, özel durumlar
Kararsız modların kararlılaştırılması
Yönetilebilirlik
Sistemin yönetilebilir ve yönetilebilir olmayan
kısımlarının ayrıştırılması
Geri besleme (feed back) yöntemi ile kararlılaştırma
Jordan-Kanonik bir sistemin kararsız modlarının
kararlılaştırılması
Doğal frekans nedir?
Doğal frekansın hesaplanması;
x  w0 .et
şeklinde bir durum denklemimiz olsun. Denklem çözümünde
x  Ax
olduğu kabul edilsin.
4
Ax   x
A.w0 .et  .w0 .et
A.w0  .w0
.I .w0  A.w0  0
(.I  A).w0  0
Doğal frekans nedir?
Bu denklemin tek çözümlü olması için (.I  A) 'nın tersinin
olmaması gerekir. Bu yüzden Cramer kuralına göre det( .I  A)  0
olmalıdır.
.I  A  P( )
det | P( ) | x( )
bize devrenin karakteristik polinomunu verecektir. İşte bu polinomun
kökleri, başka bir deyişle “A” matrisinin özdeğerleri, “doğal frekanslar”
dır.
5
Devrenin kararlılığı ve doğal frekansla
ilişkisi
x(t )   ci .wi .eit  c1.w1.et  c2 .w2 .e  2t .....
i 1
lim x(t )  lim c1.w1.et  c2 .w2 .e  2t ....(  0ise)
t 
t 
lim x(t )  0
t 
6
Bazı Örnekler, Özel durumlar
Örnek 1.
 2

xI   1
 3

1
3
3
1 

1  . X
1 
Yukarıdaki diferansiyel denklemin doğal frekanslarını bulup
kararlılığını inceleyelim.
7
Bazı Örnekler, Özel durumlar
Öz değerleri şunlardır:
1  2
2  1  i
x(t )  c1.w1.x1 (t )  c2 .w2 .u (t )  c3 .w3 .v(t )
0
  sin(t )  cos(t ) 
  cos(t )  sin(t ) 
  2t

 t

 t
x(t )  c1. 1  .e  c2 .  cos(t )
 .e  c3 .   sin(t )
 .e
1 
 3cos(t )

 3sin(t )

 




8
Bazı Örnekler, Özel durumlar
Bazı Örnekler, Özel durumlar
Örnek 2.
 3 2 4


X I   2 0 2 .X
 4 2 3


10
Diferansiyel denkleminin
özdeğerlerini bulup
kararlılığını inceleyeliniz.
Ayrıca kararsız modunu
kararlılaştırınız.
Bazı Örnekler, Özel durumlar

Diferansiyel denklemin
özdeğerleri 
1, 2  1
3  8
Çözüm
1 
1 
 2 
  t
  t
  8t
X (t )  c1  0  .e  c2  0  .t.e  c3 1  .e
 1
1 
 3 
 
 
 
11
Kararsız mod
Bazı Örnekler, Özel durumlar
Sistemi uyarmak için   8 karakteristik polinomda yerine yazılır.
Bulduğumuz öz vektör sistemi uyarmak için gerekli olan başlangıç
koşullarıdır.
e1 (0)  2V
e2 (0)  1V
e3 (0)  3V
12
8t



2.
e
e
(
t
)
 1 


  8t

 e2 (t )    e
 e (t )   3.e8t 
 3  

Bazı Örnekler, Özel durumlar
Örnek 3.
L2
R1
L1
L3
R1  R2  1 
L1  L2  L3  1 H
14
R2
Devresinin özdeğerlerini ve
çözümünü bulunuz.
Bazı Örnekler, Özel durumlar
Özdeğerler:
Çözüm:
15
1  1
2  0
3  3
 1
 1
1 
  t
 
  3t
x(t )  c1  0  .e  c2 1  c3  2  .e
1 
 1
1 
 
 
 
Kararsız Modların Kararlılaştırılması
Bir sistemin kararsız durumda olan modlarını kararlı hale getirmek
mümkündür. Ancak sistemin, girişler arayıcılığı ile etkileyebileceğimiz bir
alt uzayı olmalı ve elimizdeki kararsız modun da bu alt uzayda olması
gerekmektedir. Bu şekilde, “Durum Geri Besleme” metodu ile kararlı hale
getirilebilir. Yönetilebilirlik Koşulu:
X (t )  Ax  Bu
sisteminin yönetilebilirliği için aşağıdaki koşul
incelenmelidir.


rank  A AB Amn B  n
17
Bu şartı sağlayan sistem yönetilebilirdir.
m  rank ( B)
Bir Sistemin Yönetilebilir ve
Gözlenebilir Kısımlarının Ayrıştırılması
Yönetilebilirlik için ayırma işlemi:
x  Ax  Bu

olsun, bu sistemin yönetilebilirlik matrisi;
R  A AB ... Amn B

R ’nin lineer bağımsız sütunları alınır non-singular yapmak için
lineer bağımsız başka bir sütun eklenir.
Bu şekilde elde edilen matris P matrisidir.
18
Bir Sistemin Yönetilebilir ve
Gözlenebilir Kısımlarının Ayrıştırılması
P  (r1 , r2 , r3 ....rv ...rn )
z  P.x
1
1
P .z  A.P .z  B.u
I
z I  P. A.P 1.z  P.B.u
z
19
I
yönetilebilir alt sistemdir.
r
r
( “ v ” ler lineer bağımsız sütunlar )
( “ n ” bizim eklediğimiz sütun
)
( P. A.P  Aˆ )
( P.B  Bˆ )
1
Jordan-Kanonik bir Sistemin Kararsız
Modlarının Kararlılaştırılası

20
Durum geri beslemesi
x(t )  A.x(t )  B.u (t )
şeklindeki sistemin verilen u(t)’sini
u(t)=v(t)+k.x(t) yapma esasına dayanır.
x(t )  ( A  B.k ).x  B.v
Burada k ayarlanarak doğal frekans
kararlı hale getirilir.
Jordan-Kanonik bir Sistemin Kararsız
Modlarının Kararlılaştırılası
Örnek 4.
 1 0 0 
0


 
x   0 2 0  .x  1  .u
 0 0 3
1 


 
Yandaki Jordan-Kanonik formda verilen
sistemin doğal frekanslarını bulup kararsız
modlarını kararlı hale getiriniz.
u  k.x  v
u  k1 k2 k3 .x  v
 1 0 0 
0


 
  0 2 0  .x  1  (k1 , k2 , k3 ).x  v
 0 0 3
1 


 
21
Jordan-Kanonik bir Sistemin Kararsız
Modlarının Kararlılaştırılası
 1 0 0 
0 0



  0 2 0  .x   k1 k2
 0 0 3
k k


 1 2
0
 1

  k1 2  k2
k
k2
 1
22
0  0
  
k3   1  v
k3  1 
0 
0

 
k3  .x  1  v
1 
3.k3 
 
Burada
k1  0
seçildi.
Jordan-Kanonik bir Sistemin Kararsız
Modlarının Kararlılaştırılası
0
 1

  0 2  k2
0
k2

0 
0

 
k3  . x   1  v
1 
3.k3 
 
A'
A ' matrisinin özdeğerlerine, yani doğal frekanslarına bakarsak;
det( A ' .I )  0
23
Jordan-Kanonik bir Sistemin Kararsız
Modlarının Kararlılaştırılası
0
0 
 (1   )


det  0
2  k2  
k3 
 0

k
3.
k


2
3


 (1   )[(2  k2   )(3k3   )  k2 k3 )]
 (1   )(6k3  2  3k2 k3   k2   k3   2  k2 k3 )
24
Jordan-Kanonik bir Sistemin Kararsız
Modlarının Kararlılaştırılası
 (1   )[ 2  (2  k2  k3 )  2k2 k3  6k3 )
Burada
k2  4 k1  1 seçilirse;
 (1   )( 2  3  2)
1  1
2  2
3  1
25
Bu şekilde kararsız olan
modlar kararlı hale getirildi.
SONUÇ




27
Bir devreden elde edilen durum denkleminden doğal
frekanslar elde edildi
Doğal frekansların kararlı veya kararsız olması
sınandı.
Devrenin çözümündeki bir modun uyarılmasını
gösterildi.
En sonunda da yönetilebilir alt uzayların kararsız
modlarını, geri besleme yöntemi kullanılarak kararlı
hale getirildi.
SON

28
Sabırla dinlediğiniz için teşekkür ederiz…