Gram-Schmidt Yöntemi Ortonormal vektörler kolaylık sağladığına göre verilen herhangi bir vektör kümesini ortonormal vektörlere dönüştürebilir miyiz? Lineer özelikleri ne? bağımsız v1 , v2 ,...., vn verilmiş olsun, nasıl q1 , q2 ,...., qn ‘ları elde ederiz Doğrultusu v1 ile aynı, boyu da 1 v1 Kolay olan q1’i bulmak: q1 v1 q2, q1’e dik olmalı: Bu neye karşı düşüyor? vˆ2 v2 q1 v2 q1 V2’nin q1 Peki, neden çıkarıyoruz T doğrultusunda ki bileşenine vˆ2 q1 Ancak ortonormal vektörler kümesine katılması için boyunun 1 olması gerek vˆ2 q2 vˆ2 q1,q2 var q3’ü oluşturalım: vˆ3 v3 q1T v3 q1 q2T v3 q2 vˆ3 q1 , vˆ3 q2 vˆ3 q3 vˆ3 Diklik sağlandı birim olma da sağlanmalı Benzer şekilde….. vˆn vn q v q1 q v q2 ... q v qn 1 vˆn qn vˆn T 1 n T 2 n T n 1 n Hep Rn’ deydik fonksiyon uzayında neler oluyor acaba? Önce R∞ ’a dikkat edelim: Nasıl vektörlerden oluşuyor? Sonsuz bileşenli vektörlerden v1 v 2 v3 v . . . . özel olarak boyu sonlu olanlar ile ilgileneceğiz…. 2 v v12 v22 v32 .... .... lim v 2 1 n v22 v32 ... vn2 ... c Boyutu sonsuz olup da boyu sonlu olan vektörlerin oluşturduğu vektör uzayı ….. Özellikle de ilgilendiğimiz uzayın elemanları [a, b] aralığında tanımlı fonksiyonlar olsun…. Bu vektörlerin boyunu belirtmek için öncelikle bir norm tanımlayalım: b f ( x) f ( x) dx 2 2 a Bir de iç çarpım tanımlayalım….. b f ( x), g ( x) f ( x) g ( x)dx a Böylece tanımladığımız norm ve iç çarpım, iç çarpım ve normdan beklediğimiz her şeyi sağlıyor Acaba sonsuz boyutlu fonksiyonlar uzayında sinx ve cos x’den yararlanarak bir baz tanımlanabilinir mi? Bu durumda fonksiyonlar x 0,2 aralığında tanımlı sin(kx)’ler ve cos(kx)’ler olsun k=0,1,2,3,….. Önce norm tanımına bakalım….. f ( x) 2 2 2 0 0 2 f ( x) dx 2 sin x dx Sonra da iç çarpım tanımına…… 2 f , g ˆ f ( x) g ( x)dx 0 2 sin x cos x dx 0 0 Bunlara bakarak ne önerebilirsiniz…….. Fourier Serisi Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) f ( x), 2 periyotlu bir fonksiyon olsun f ( x) a0 an cos nx bn sin nx n 1 f ( x) a0 a1 cos x b1 sin x a2 cos 2 x b2 sin 2 x .... Nasıl belirleriz? Ortonormal bazın bize sağladığı bir kolaylık….. q1 , q2 ,...., qn V vektör uzayının ortonormal qi vektörlerinden oluşmuş bir bazı olsun. v V ise v 1q1 2 q2 ... n qn şeklinde yazılır i ‘leri Ortonormal baz işte burada kolaylık sağlayacak biliyorsak v 1q1 2 q2 ... n qn 1 0 0 q1 v 1q1 q1 q q2 ... q qn T T 1 q1T v T 2 1 T n 1 Ortonormal baz!!! ortonormal bazları biliyoruz….. f ( x) a0 a1 cos x b1 sin x a2 cos 2 x b2 sin 2 x ... b1 ‘i bulmak için ne önerirsiniz? f ( x), sin x 0 2 0 2 2 2 0 0 0 a0 sin xdx a1 cos x sin xdx b1 sin 2 xdx a2 cos 2 x sin xdx .... 0 0 2 b1 sin x 0 2 f ( x)dx sin x sin xdx 0 f ( x), sin x sin x, sin x sinüs ve cosinüs’den başka fonksiyonlar yok mu? Mesela 1,x,x2 bu çok terimliler ile de ortonormal baz tanımlayabilir miyiz? Lineer bağımsızlar ancak ortogonal oldukları bir aralık yok Nedir bu yol? Ama ortogonal kılmanın bir yolunu biliyoruz Gram-Schmidt aralık [-1,1] ve v1 =1 olsun Neden bu aralık? 1 1, x x dx 0 1 1 x, x 2 x 3 dx 0 1 Gram-Schmidt’i uygulayalım v1 1 v2 x Ortonormaller mi? v1 v2 1 v3 x 2 1, x 2 1, 1 1 x, x 2 x, x xx 2 2 x dx 1 1 1dx 1 x 3 2 1 Legendre çokterimlilerini elde etmiş olduk 1752-1833 Spektral Teori Spectrum: Spektral Teori ters dönüşümler bunların genel özellikleri ve asıl dönüşümlerle ilişkisini inceler. Sonlu Boyutlu, Normlu Uzaylarda Spektral Teori X , , dim X n, T : X X , T lineer Bu durumda dönüşümü nasıl ifade ediyoruz? Bu ifade neye bağlı? Sonlu Boyutlu, Normlu Uzayda Lineer Dönüşüm ile Neler Yapılabilir? http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvector#Examples_in_the_plane Lineer Operatör Hatırlatma T , lineer operatördür (1) D(T ) bir vektör uzayıdır R (T ) aynı cisim üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayıdır. (2) x, y D (T ), K T (x y) Tx Ty T ( x y ) Tx Ty T (x) Tx Teorem Değer Bölgesi ve Sıfır Uzayı NU12 T , lineer operatördür (i) R(T ) bir vektör uzayıdır (ii) dim D(T ) n dim R(T ) n (iii) N (T ) bir vektör uzayıdır Hatırlatma Teorem Ters Operatör NU13 T : D(T ) Y , lineer operatördür D(T ) X , R(T ) Y (i) T 1 : R(T ) D(T )vardır Tx 0 x 0 (ii) T 1 varsa, lineer operatördür Sınırlı Lineer Operatör X , , (Y , ) D(T ) X T : D(T ) Y lineer operatör T , sınırlı operatördür c R, x D(T ), Tx c x Özdeğer, Özvektör, Karakteristik Uzay, Spektrum, Çözücü Küme A R nn (C nn ) olmak üzere, Ax x (1) Bu eşitliği daha önce nerede görmüştünüz? Anlamı nedir? x 0 olmak üzere (1) eşitliğini sağlayan , A matrisine ilişkin özdeğerdir. x 0 olmak üzere (1) eşitliğini sağlayan ‘ya ilişkin x vektörü özvektördür. özdeğerine ilişkin özvektörler ve sıfır vektörü A ‘nın özdeğerine ilişkin karakteristik uzayını oluşturur . A ‘nın tüm özdeğerlerinin oluşturduğu ( ) kümesi A ‘nın spektrumudur. Spektrumun C ‘ye göre tümleyeni olan ( ), A ‘nın çözücü kümesidir. Bir matrisin özdeğerleri ve özvektörlerini bulmak için ne yapıyorduk? Ax x [ A I ]x 0 x Hangi uzayın elemanı? Karakteristik çok terimlinin sıfırıdır. p( ) ˆ det[ A I ] Bu sonuçları sonlu boyutlu, normlu vektör uzayında tanımlanmış lineer operatöre nasıl uygulayacağız? Teorem ST1 X , , dim X n, T : X X , T lineer X ‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris gösterimlerinin özdeğerleri aynıdır. Tanıt e e1 , e2 ,..., en e~ e~ , e~ ,..., e~ 1 2 Herhangi iki baz n e~k e1c1k e2c2 k ... en cnk e~k e1 e2 c1k c11 c c 2k 21 ~ ... en nn e e1 e2 ... en nn ... cnk n1 cn1 c12 ... c1n c22 ... c2 n .... cn 2 cnn nn e~ e1 e2 c11 c ... en nn 21 cn1 Nasıl bir matris? c12 ... c1n c22 ... c2 n e~ eC e~T C T eT .... ~x eCx ex e cn 2 cnn nn 1 2 2 x1 Cx2 n n j 1 j 1 ~~ ~ x X , x ex1 j e j e x2 j e j Tx y ey1 e~y2 T y1 Cy2 Dönüşümünün her iki baza göre ifade edildiği matrisler T1 , T2 olsun y1 T1x1 y2 T2 x2 CT2 x2 Cy2 y1 T1x1 T1Cx2 CT2 x2 T1Cx2 CT2 T1C T2 C 1T1C Göstermemiz gereken neydi? X ‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris gösterimlerinin özdeğerleri aynıdır. Özdeğerleri hesaplayalım det(T2 I ) det( C 1T1C I ) det(C 1T1C C 1C ) det(C 1 (T1 I )C ) det(C 1 ) det(T1 I ) det(C ) det (T1 I ) Bu teoremden yararlanarak benzer matrisler için ne diyebiliriz? ???? Teorem ST2 X , , dim X n, T : X X , T Lineer operatörünün en az bir özdeğeri vardır. T Boyut sonlu değilse X 0, ( X , ), T : D(T ) X , D(T ) X T lineer T ̂ T I Kompleks bir sayı T ‘nın tersi varsa D (T ) ‘de birim operator R (T ) ˆ T 1 (T I ) 1 Olağan değer, Çözücü Küme , Spektrum X 0, ( X , ), T : D(T ) X , D(T ) X T lineer T ‘nin olağan değeri kompleks bir sayıdır R (T ) var R (T ) sınırlı R (T ), X ‘de yoğun olan bir kümede tanımlı ‘nın tüm olağan değerlerinin oluşturduğu (T ) kümesi T ‘nin çözücü kümesidi ˆ C (T ), Çözücü kümenin tümleyeni (T ) T ‘nin spektrumudur. (T ), T ‘nin spektral değeridir. (T ) spektrum üç ayrık kümeye ayrılır: p (T ) ayrık spektrum R (T ) yok ve p (T ), T‘nin öz değerleridir. c (T ) sürekli spektrum R (T ) var ve X ‘de yoğun küme. r (T ) artık spektrum R (T ) var ancak X ‘de yoğun küme değil. C (T ) (T ) (T ) p (T ) c (T ) r (T ) Teorem Ters Operatör NU13 T : D(T ) Y , lineer operatördür Hatırlatma D(T ) X , R(T ) Y (i) T 1 : R(T ) D(T )vardır Tx 0 x 0 (ii) T 1 varsa, lineer operatördür R (T ) varsa lineerdir Teorem ST3 X ilgili cisimin kompleks sayılar olduğu bir Banach Uzayı T : X X , T Lineer operatör ve (T ) T kapalı, T sınırlı R (T ) tüm X ‘de tanımlı ve sınırlı. X ,C, Banach ve T sınırlı, lineer operatör T B(X,X) Teorem T B(X,X) ST4 T 1 ( I T ) 1 Tüm X ‘de sınırlı, lineer operatör olarak vardır ve ( I T ) 1 T j I T T 2 ... j 1 Teorem ST5 T B(X,X) (T ) vardır ve açık kümedir (T ) vardır ve kapalı kümedir Teorem ST6 T B(X,X) 0 (T ), R (T ) ‘nin gösterimi R j j 1 R 0 0 j 1 Bu gösterim, kompleks düzlemde 0 1 R0 Çemberindeki her için yakınsaktır ve bu çember (T ) ‘nın alt kümesidir.