BÖLÜM IV 4.1. BĐR LĐNEER DÖNÜŞÜMÜN DETERMĐNANTI V , K cismi üstünde bir vektör uzayı ve T : V → V lineer bir dönüşüm olsun. V nin bir {a1 , a2 ,… , an } tabanını ϕ ile gösterelim. T : V → V lineer dönüşümüne, ϕ tabanına göre bir matris karşılık geldiğini biliyoruz. Bu matrisi Tϕ ile göstermiştik. Tϕ = aij olduğunu varsayalım. n× n n T (a j ) = ∑ aij ai , 1≤ j ≤ n i =1 demektir. ϕ tabanı yerine V nin başka bir ϕ tabanı alındığında, Tϕ = P −1.Tϕ .P eşitliğini bulunduğunu ispatlamıştır. Buradaki P matrisi, ϕ ' = ϕ '1 , ϕ '2 ,…ϕ 'n n olmak üzere, α J = ∑ pijϕi eşitliklerinin belirlediği pij matrisidir. n×n ( m) det (Tϕ ' ) = det ( P −1 ⋅ Tϕ ⋅ P ) = det P −1 ⋅ det Tϕ ⋅ det P = det Tϕ ⋅ det P ⋅ det P −1 = det Tϕ ⋅ det ( PP −1 ) = det Tϕ ⋅ det ( I n ) = det Tϕ 27 olur. Buna göre, V nin her ϕ tabanı için, det Tϕ sayısı değişmez kalır. Bu gerçeğe dayanarak aşağıdaki tanımı yapabiliriz. Tanım 4.1.1. f (T ( a1 ) , T ( a2 ) ,… , T ( an ) ) = ( det T ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an ) lineer bir dönüşüm ve ϕ1 , det ( G T ) = det ( G T ) ϕ = det ( Gϕ ⋅ T ϕ ) = det Gϕ ⋅ det T ϕ = det G ⋅ det T nin bir tabanı olmak üzere, det Tϕ sayısına, T lineer dönüşümünün determinantı denir ve det T biçiminde gösterilir. Kısaca, det T = det Tϕ (4.1.1) dir. Teorem 4.1.1. I v : V → V birim dönüşüm olduğuna göre, det ( I v ) = 1 (4.1.2) dir. Đspat. I v : V → V birim dönüşüm olduğundan, V nin bir ϕ tabanına göre I v lineer dönüşümünün matrisi In birim matrisidir. det ( I n ) = 1 olduğunu biliyoruz. det ( I v ) = det ( I n ) olduğundan, det ( I v ) = 1 olur. Teorem 4.1.2. T ve G , V den V ye lineer dönüşümler olduğuna göre, det ( G T ) = ( det G ) ⋅ ( det T ) dir. (4.1.3) 28 Đspat. 2.4.4. Teoremden dolayı, V nin bir ϕ tabanına göre G T lineer dönüşümünün matrisi, Gϕ ile T ϕ matrislerinin çarpımına eşittir. Kısaca, ( G T ) ϕ = Gϕ ⋅ T ϕ dir. Buna göre, det ( G T ) = det ( G T ) ϕ = det ( Gϕ ⋅ T ϕ ) = det Gϕ ⋅ det T ϕ = det G ⋅ det T bulunur. Teorem 4.1.3. T : V → V lineer dönüşümünün tersinin bulunması için gerek ve yeter koşul, det T ≠ 0 olmasındır. Đspat. T : V → V lineer dönüşümünün tersinin bulunduğunu varsayalım. T −1 T = I v olduğundan, det (T −1 T ) = 1 olur. 4.1.1. ve 4.1.2. Teoreme göre, det (T −1 ) ⋅ det T = 1 elde edilir. Bu eşitlik, det T ≠ 0 olduğunu gösterir. Ayrıca aynı eşitlikten det (T −1 ) = ( det T ) −1 (4.1.4) bulunur. det T ≠ 0 olsun. V nin bir ϕ tabanını göz önüne alalım. det T (T ϕ ) = 0 olduğundan, det (T ϕ ) ≠ 0 olur. Buna göre, T ϕ matrisinin tersi vardır. (T ϕ ) −1 matrisine karşılık gelen lineer dönüşüm G olsun. Gϕ = (T ϕ ) demektir. u ∈ V için, −1 ( G T )( u ) ϕ = ( G T ) ϕ u ϕ = Gϕ ⋅ T ϕ ⋅ u ϕ = (T ϕ ) ⋅ u ϕ = u ϕ −1 29 olduğundan, ( G T )( u ) = u olur. Demek ki, ( G T ) = I v dir. 2.2.3. Sonuca göre, T lineer dönüşümünün tersi vardır ve T −1 = G dir. Sözlerle söylersek, T nin tersi, (T ϕ ) −1 matrisinin, ϕ tabanına göre belirttiği lineer dönüşümdür. Teorem 4.1.4. f , n boyutlu bir V vektör uzayı üstünde alterne, n − lineer bir fonksiyon olsun. T : V → V lineer bir dönüşüm ve {a1 , a2 ,… , an } kümesi V nin bir tabanı ise, f (T ( a1 ) , T ( a2 ) ,… , T ( an ) ) = ( det T ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an ) (4.1.5) olduğunu gösteriniz. Đspat. V nin {a1 , a2 ,… , an } tabanını ϕ ile gösterelim. Bu tabana göre T lineer dönüşümünün matrisi T ϕ olsun. T ϕ = aij n×n olduğunu varsayalım. n T ( a j ) = ∑ aij ai 1≤ j ≤ n i =1 demektir. det T = ( T ϕ ) olduğunu biliyoruz. n n n f (T ( a1 ) , T ( a2 ) ,… , T ( an ) ) = f ∑ ai1 j ai1 , ∑ ai2 j ai2 ,… , ∑ ain j ain i2 =1 in =1 i1 =1 n ∑ = i1 ,i2 ,…,in =1 ( ai11ai2 2 … ain n f ai1 , ai2 ,… , ain ) n = ∑ S (σ ) aσ (1)1aσ ( 2 )2 … aσ ( n ) n ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an ) σ ∈Sn ( ) = det (Tϕ ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an ) = ( det T ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an ) 30 olur. Teorem 4.1.5. f , n boyutlu bir V vektör uzayı üstünde alterne, n − lineer bir fonksiyon ve f ≠ 0 olsun. T : V → V lineer bir dönüşüm ise, her v1 , v2 ,… , vn ∈ V için, f (T ( v1 ) , T ( v2 ) ,… , T ( vn ) ) = ( det T ) ⋅ f ( v1 , v2 ,… , vn ) olduğunu gösteriniz. n Đspat: v j = ∑ hij ai eşitliklerinin belirlediği hij matrisini H ile gösterelim. (4.2.2) i =1 eşitliğine göre, f ( v1 , v2 ,… , vn ) = ( det H ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an ) olduğunu biliyoruz. f sıfır dönüşümü olmadığından, f ( a1 , a2 ,… , an ) ≠ 0 dır. Buna göre, det H = f ( v1 , v2 ,… , vn ) f ( a1 , a2 ,… , an ) g ( v1 , v2 ,… , vn ) = f (T ( v1 ) , T ( v2 ) ,… , T ( vn ) ) (1) (2) eşitliğiyle tanımlı g dönüşümünün, v vektör üstünde alterne, n − lineer bir fonksiyon olduğu kolayca görülebilir. Buna göre, = ( det H ) ⋅ g ( a1 , a2 ,… , an ) (3) ve f (T ( a1 ) , T ( a2 ) ,… , T ( an ) ) = ( det T ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an ) dir. Sonuç olarak, yukarıdaki (3), (2), (4), (1) eşitliklerinden yararlanarak, (4) 31 f (T ( v1 ) , T ( v2 ) ,… , T ( vn ) ) = g ( v1 , v2 ,… , vn ) = ( det H ) ⋅ g ( a1 , a2 ,… , an ) = ( det H ) ⋅ f (T ( a1 ) , T ( a2 ) ,… , T ( an ) ) = ( det H ) ⋅ ( det T ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an ) = f ( v1 , v2 ,… , vn ) f ( a1 , a2 ,… , an ) ⋅ ( det T ) ⋅ f ( a1 , a2 ,… , an ) = ( det T ) ⋅ f ( v1 , v2 ,… , vn ) elde edilir. 4.2. CRAMER YÖNTEMĐ Bilinmeyen sayısı denklem sayısına eşit olan lineer denklem sistemlerine karesel lineer denklem sistemi denir. Daha açık olarak, n − bilinmeyenli n denklemden oluşan karesel bir lineer denklem sistemi, a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ (4.2.1) ⋮ an1 x1 + an 2 x2 + … + ann xn = bn biçiminde bir denklem sistemidir. Bu denklem sisteminin katsayılar matrisi A , eşitliğin sağ yanındaki sayıların oluşturduğu sütun matrisi B ile gösterildiğinde, yukarıdaki denklem sisteminin, AX = B denklemine denk olduğunu kolayca görebilirsiniz. Bu kesimde, AX = B biçiminde karesel lineer denklem sistemlerinin çözümlerinin bulunmasıyla ilgili bir kural vereceğiz. Aşağıdaki teorem, Cramer yöntemi diye bilinen bu kuralı verir. Teorem 4.2.1. A, n×n biçiminde bir matris olmak üzere, b1 A1 j + b2 A2 j + … + bn Anj denklemi verilsin. A matrisi tersinir ise, bu denklemin bir ve yalnız bir çözümü vardır ve bu çözüm, 1 ≤ j ≤ n için, 32 xj = a11 a12 ... a1(j-1) b1 a 21 a 22 ... a 2(j-1) b 2 a1(j+1) ... a 2n 1 . det A . . a n1 . . . a n2 . . . . . . ... a n(j-1) a1(j+1) ... a1n . . . . . . b n a n (j+1) . . . ... . . . a nn eşitlikleriyle belirtilir. Buradaki gösterimi, a11 a 21 . det . . a n1 a12 ... a1(j-1) b1 a 22 ... a 2(j-1) b 2 . . . a n2 . . . . . . ... a n(j-1) . . . bn a1(j+1) ... a1n a1(j+1) ... a 2n . . . . . . . . . a n (j+1) ... a nn anlamındadır. Đspat. A matrisi tersinir olduğundan, A −1 matrisi vardır. Buna göre, AX = B ⇔ A−1 ( AX ) = A−1 B ⇔ ( A−1 A ) X = A−1 B ⇔ X = A−1 B bulunur. Böylece, AX = B ⇔ X = A−1 B (4.2.2) 33 elde ettik. Böyle olması, AX = B denkleminin bir ve yalnız bir çözümünün bulunduğunu ve çözümün A−1 B olduğunu gösterir. Şimdi, X vektörünün bileşenlerini belirteceğiz. 1 1 ɶ X = A−1 B = A ⋅ B = Aɶ ⋅ B det A det A ( ) eşitliğinden, A11 x1 x A 2 = 1 12 ⋮ det A ⋮ xn A1n A21 ⋯ An1 b1 A22 ⋯ An 2 b2 ⋅ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ A2 n ⋯ Ann bn A11b1 + A21b2 + ⋯ + An1bn 1 A12b1 + A22b2 + ⋯ + An 2bn = det A ⋮ ⋮ ⋮ A1n b1 + A2 n b2 + ⋯ + Ann bn bulunur. Buna göre, xj = = 1 ( A1 jb1 + A2 jb2 + ⋯ + Anjbn ) det A 1 ( b1 A1 j + b2 A2 j + ⋯ + bn Anj ) det A olur. b1 A1 j + b2 A2 j + … + bn Anj sayısının, A matrisinde, j − inci yerine B matrisi konularak elde edilen determinantın, j − inci sütuna göre açılımı olduğunu kolayca görebilirsiniz. Teorem 4.2.2. n − bilinmeyenli m − denklemden oluşan AX = 0 denklemi verilsin. rankA = r ise AX = 0 denkleminin çözüm kümesi K n uzayının n − r boyutlu bir alt vektör uzayıdır. 34 Đspat. AX = 0 denkleminin çözüm kümesini H ile gösterelim. K n ve K m uzaylarının doğal tabanlarına göre, A matrisinin belirttiği lineer dönüşüm T :Kn → Km olsun. x ∈ K n , x = ( x1 , x2 ,… , xn ) olmak üzere, Tϕ ,θ ⋅ [ x ]ϕ = T ( x ) θ olduğundan, A ⋅ [ x ]ϕ = T ( x ) θ olur. [ x ]ϕ x1 x = 2 ⋮ xn n×1 olduğu apaçıktır. X = [ x ]ϕ olduğundan, AX = T ( x ) θ olur. T −1 {0} = H olduğunu kolayca görebilirsiniz. Gerçekten, AX = T ( x ) θ eşitliğinden dolayı, x ∈ T −1 {0} ⇔ T ( x ) = 0 ⇔ T ( x ) θ = 0 ⇔ AX = 0 dır. rankT + boyutT −1 {0} = boyutK n kümesi K n uzayının bir alt vektör uzayı olduğundan, H kümeside alt vektör uzayıdır. T lineer dönüşümünün rankı, A matrisinin rankına eşit olduğundan, rankT + boyutT −1 {0} = boyutK n eşitliğinden, boyutT −1 {0} = n − r elde edilir. 35 Sonuç 4.2.3. n − bilinmeyenli m − denklemden oluşan AX = 0 denklemi verilsin. AX = 0 denkleminin çözüm kümesinde sıfırdan farklı en az bir vektör bulunması için gerek ve yeter koşul, rankA < n ve r < n olmasıdır. Đspat. rankA = r olsun. AX = 0 denkleminin çözüm kümesine H diyelim. 4.2.2. Teoreme göre H , n − r boyutlu bir alt vektör uzayıdır. r < n ise, boyutH > 0 olur. Buna göre, H alt vektör uzayında sıfırdan farklı en az bir vektör vardır. Karşıt olarak, H alt vektör uzayında sıfırdan farklı en az bir vektör varsa, boyutH > 0 demektir. Buradan r < n elde edilir. Sonuç 4.2.4. n − bilinmeyenli n − denklemden oluşan AX = 0 denklemi verilsin. AX = 0 denkleminin çözüm kümesinde sıfırdan farklı en az bir vektör bulunması için gerek ve yeter koşul, det A = 0 olmasıdır. Đspat: AX = 0 denklemi n − bilinmeyenli n − denklemden oluştuğundan, A matrisi n × n biçimindedir. A matrisinin sütun vektörleri a1 , a2 ,… , an olsun. det A = det ( a1 , a2 ,… , an ) demektir. Burada; det A = 0 ↔ {a1 , a2 ,… , an } ↔ rankA < n kümesi lineer bağımlı olur. 4.6.1. Sonuca göre, rankA < n önermesi, ( AX = 0 denkleminin çözüm kümesinde sıfırdan farklı en az bir vektör vardır) önermesine denktir. Teorem 4.2.5. n − bilinmeyenli m − denklemden oluşan AX = B denklemi verilsin. AX = B denkleminin bir çözümü X 0 olsun. AX = 0 denkleminin çözüm uzayı H ise AX = B denkleminin çözüm kümesi X 0 + H dir. 36 Đspat. AX = B denkleminin çözüm kümesi D olsun. Y ∈ X 0 + H ise ∃u ∈ H için, Y = X 0 + u biçimindedir. AY = A ( X 0 + u ) = AX 0 + Au = B + 0 = B olur. Buna göre, X 0 + H ⊂ D dir. Y ∈ D ise AY = B dir. Y − X 0 = u diyelim. Au = A (Y − X 0 ) = AY − AX 0 = B − B = 0 olduğundan u ∈ H olur. Buna göre, ∃u ∈ H için, Y = X 0 + u olur. Buradan Y ∈ X 0 + H elde edilir. Demek ki, D ⊂ X 0 + H dır. Bu teorem geometrik olarak şunu söyler: AX = B denkleminin bir çözümü X 0 olduğuna göre, AX = B denkleminin çözüm kümesi, AX = 0 denkleminin çözüm uzayının, X 0 vektörü ile ötelenmişidir. n − bilinmeyenli m − denklemden oluşan AX = B (4.2.3) lineer denklem sisteminin çözümlerinin bulunmasında Cramer yönteminden aşağıdaki gibi yararlanılabilir: A matrisinin rankı r olsun. Buna göre, A matrisinin r − inci basamaktan, determinantı sıfırdan farklı olan karesel bir δ r alt matrisi bulunabilir. Ayrıca, basamağı r den büyük olan bütün karesel alt matrislerin determinantı sıfırdır. AX = B lineer denklem sisteminin tutarlı olması için, rank [ AB ] = rankA olması gerekir ve yeter (Burada [ AB ] ile, AX = B lineer denklem sisteminindeki A ve B matrislerinin yan yana konulup yeni bir matris olarak düşünülmesinden 37 elde edilen matrisi gösterdik.). rankA = r olduğunu varsaymıştık. Buna göre, AX = B lineer denklem sisteminin tutarlı olması için, AB matrisinin rankının r olması gerek ve yeter koşuldur. a11 a 21 . δr = . . a r1 a12 ... a1r a 22 ... a 2r . . . . . . . . . a r2 ... a rr (4.2.4) olduğunu varsayalım. Böyle değilse, denklem sistemindeki denklemlerin sıralarını ve bilinmeyenlerin adlarını yeniden düzenleyerek, δ r böyle olacak biçimde yeni bir denklem sistemi yazabiliriz. Bu yeni denklem sisteminin çözümleri bulunduktan sonra ilk verilen denklem sisteminin çözümleri kolayca bulunur. [ AB ] matrisinin rankının r olması için, 1 ≤ h ≤ m − r olacak biçimdeki h doğal sayılarına karşılık elde edilen, δ r +h a11 a 21 . = . . a r1 a (r+h)1 a12 ... a1r a 22 ... a 2r . . . . . . . . . a r1 ... a rr a (r+h)2 ... a (r+h)r b1 b2 . . . br a b+h (4.2.5) eşitliğiyle tanımlı δ r + h matrislerinin tümünün determinantının sıfır olmasının gerek ve yeter olduğu kolayca görülebilir. Böylece şu sonucu elde etmiş olduk: 38 Sonuç 4.2.6. n − bilinmeyenli m − denklemden oluşan AX = B denklemi verilsin. AX = B denkleminin tutarlı olması için gerek ve yeter koşul, (4.2.5) eşitliğiyle verilen δ r + h matrislerinin tümünün determinantının sıfır olmasıdır. rankA = r olmak üzere, AX = B lineer denklem sistemi tutarlı ise Cramer yönteminden yararlanarak şöyle çözülebilir: Önce bilinmeyenleri adları ve denklemlerin yerleri, δ r matrisi sol üst köşedeki r × r biçimindeki karesel matris olacak biçimde düzenlenir. Bu yapıldıktan sonra elde edilen denklem sisteminin (4.2.3) sistemi olduğunu varsayalım. δ r matrisi, (4.2.4) eşitliğindeki gibidir. Sonra, a11 x1 + a12 x2 + .... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + .... + a2 n xn = b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4.2.6) ar1 x1 + ar 2 x2 + .... + arn xn = br denklem sistemini göz önüne alalım. Bu denklem sisteminde xr +1 , xr + 2 ,… , xn bilinmeyenlerin, xr +1 = tr +1 , xr + 2 = tr + 2 ,..., xn = tn biçiminde keyfi olarak seçildiğini varsayalım. Böylece, a11 x1 + a12 x2 + .... + a1r xr = b1 − a1( r +1)t r +1 − ... − a1nt n a21 x1 + a12 x2 + .... + arr xr = br − a2( r +1)t r +1 − ... − a2 nt n . . . . . . . . .. .. . . . . .. ar1 x1 + ar 2 x2 + .... + arr xr = br − ar ( r +1)t r +1 − ... − arnt n (4.2.7) 39 elemanlarının kümesi D olsun. Bu küme, (4.2.6) denklem sisteminin çözüm kümesidir. 4.2.6. ve 4.2.3. Teoremlerden dolayı, D kümesi, K uzayında, n − r boyutlu bir alt vektör uzayının ötelenmişidir. AX = B lineer denklem sistemi tutarlı olduğundan, (4.2.6) denklem sisteminin D çözüm kümesindeki her eleman, geriye kalan a( r +1)1 x1 + a( r +1)2 x2 + .... + a( r +1) n xn = br +1 a( r + 2)1 x1 + a( r + 2)2 x2 + .... + a( r + 2) n xn = br + 2 . . . . . . . . . . . . .. .. .. am1 x1 + am 2 x2 + .... + arn xn = bm denklemlerin tümünü sağlar. Buna göre D kümesi (4.2.5) sisteminin de çözüm kümesidir. 1 ≤ h0 ≤ m − r olacak biçimdeki belirli bir h0 sayısı için, det δ r + h ≠ 0 ise, D kümesinin elemanları a( r + ho )1 x1 + a( r + ho )2 x2 + .... + a( r +ho ) r xr + ... + a( r +ho ) n xn = br + ho denklemini sağlamaz. Bu durumda, (4.2.5) lineer denklem sistemi tutarlı değildir.