05.10.2013 1

05.10.2013 1
EME 3105
Giriş
2
Sistem Simülasyonu
Önümüzdeki 2 hafta simulasyon girdilerinin
modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli
dağılımlar hatırlatılacaktır.
Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I
Ders 4
Olasılık Dağılımı
Rassal Degiskenler
3
4
Tanım: Rassal Degisken, örnek uzaydaki deney sonuçlarını
gerçel bir sayıya atayan bir fonksiyondur.
S örnek Uzay
ω1
ω2
Olasılık
Dagılımı
Rassal
Değisken
X(ω1)
ω4
ω5
ω6
Gerçel Sayılar
Örnek Uzay
ω3
X: Her ω ∈S'ye gerçel bir sayı atar.
1 Sayı
Olasılık
05.10.2013 Kesikli Rasgele Değişkenin
Olasılık Fonksiyonu
Kesikli Rasgele Değişkenin
Dağılım Fonksiyonu
6
Tanım: X, sonlu sayıdaki x1, x2, …, xN değerlerini f(xi)=P(X=xi),
Tanım: (Dağılım fonksiyonu) Bir X rasgele
i=1, 2,…, N olasılıkları ile alabilen kesikli rasgele değişken
olsun. Bu durumda aşağıdaki koşulları sağlayan f(x)
değişkeninin dağılım fonksiyonu F(x) ile gösterilir ve
fonksiyonuna X’in olasılık fonksiyonu denir.
X’in x’e eşit ya da daha küçük olması olasılığıdır.
1. f ( x) ≥ 0, tüm x'ler için
N
F ( x) = P( X ≤ x) = ∑ f ( xi )
∑ f(x ) = 1
2.
i
i=1
xi ≤ x
X=x
x1
x2
…
xN
f(x)=P(X=x)
f(x1)
f(x2)
…
f(xN)5
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
7
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
8
d
Tanım : X, şekilde gösterilen (−∞, ∞) aralığında tanımlanan
P(c < X < d ) =
c
sürekli rasgele değişken olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan
f (x) egrisi, x-ekseni ve x=c, x=d dogruları ile sınırlı alandır.
f(x) fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk
fonksiyonu denir.
Histogram of C2
f(x)
Normal
Mean
StDev
N
1,156
2,981
1000
1. f ( x) ≥ 0,
-∞ < x < ∞
+∞
Density
2. ∫ f ( x)dx = 1,
∫ f (x) dx
P(c < X < d ) = P (c ≤ X ≤ d ) = P (c ≤ X < d ) = P (c < X ≤ d )
olduğuna dikkat etmeliyiz.
f(x)
Histogram of C2
Normal
Sürekli X rasgele değişkeninin
belli bir x değeri alması olasılığı
sıfırdır.
P(X=x)=0
Mean
StDev
N
0
c
C2
d
x
( f(x) eğrisi altında kalan ve
x-ekseni ile sınırlanan alan 1’e
eşittir. )
Density
−∞
c
0
2 C2
d
x
1,156
2,981
1000
05.10.2013 Sürekli Rasgele Değişkenin
Dağılım Fonksiyonu
9
Rasgele Değişkenlerin
Beklenen Değeri ve Varyansı
10
E( X ) = ∑ x. f (x)
Tanım: (Dağılım Fonksiyonu) X, f(x) olasılık yoğunluk
X:Kesikli Rassal Degisken
x
fonksiyonuna sahip sürekli rasgele değişken olsun.
V ( X ) = E ⎡⎣( X − E[ X ])2 ⎤⎦
X’in dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır.
x
F ( x) = P( X ≤ x) =
∫
E [Y ] =
f ( s)ds
+∞
∫ y. f (y)dy
Y:Sürekli Rassal Degisken
−∞
−∞
+∞
V[Y]= ∫ ( y − E [Y ]) f (y)dy
2
−∞
Yaygın Kesikli Dağılımlar (1)
Yaygın Kesikli Dağılımlar (2)
11
Dağılım,
X rassal Degişkeni
Bernoulli (p)
Tek denemedeki basarı sayısı
12
Olasılık Fonksiyonu
f(x)
f (x) = p .(1− p) , x = 0,1
x
1−x
Binom (n,p)
n tane Bernoulli denemesindeki
basari sayisi
Geometrik (p)
Sıralı bernoulli denemelerinde ilk
basarıya kadarki deneme sayısı
Negatif Binom (k,p)
Sirali Bernoulli denemelerinde
k’ninci basariya kadarki deneme
sayisi
⎛ n ⎞ x n−x
f (x) = ⎜
⎟ .p .q ,x=0,1,2,...,n
⎝ x ⎠
f (x) = q x−1.p,
x = 1,2,...
⎛ x −1 ⎞ k
x−k
f (x) = ⎜
⎟ .p .(1− p)
⎝ k −1 ⎠
x=k, k+1,...
E[X] ve V[X]
µ = E( X ) = p
σ 2 = p.q = p.(1− p)
µ = E( X ) = np
σ 2 = npq
E( X ) =
1
q
,σ2 = 2
p
p
Dağılım,
X rassal Degişkeni
Olasılık Fonksiyonu
f(x)
Poisson (λ)
Belli bir zaman süresince gerçekleşen
olayların sayısı
Kesikli Düzgün (a,b)
f (x) =
e− λ .λ x
, x=0,1,2,... λ >0
x!
1
b− a +1
x = a,a + 1,...,b ; a ≤ b
f (x) =
Kesikli Düzgün
µ = E( X ) = k / p
f (x) =
σ 2 = kq / p 2
3 1
, x = x1 , x2 ,..., x N
N
E[X] ve V[X]
µ = E( X ) = λ
σ2 =λ
(b + a)
2
(b − a + 1)2 − 1
σ2 =
12
µ = E( X ) =
µ = E( X ) =
σ2 =
N −1
12
2
N +1
2
05.10.2013 Birim Talebin Modellenmesi (1)
Birim Talebin Modellenmesi (2)
13
14
Histogram of Binom; geometrik; negativebinom; poisson
15000
7500
10000
5000
5000
2500
0
0
2
4
6
8
10 12
negativebinom
14
16
0,12
Distribution p
Geometric 0,1
Distribution
Negativ e Binomial
0,10
0
13
26
39 52 65
poisson
78
91
12000
10000
0,08
0,06
0,04
9000
7500
0,02
6000
5000
3000
2500
0
Distribution Plot
geometrik
10000
Probability
Frequency
Binom
20000
5
10
15
20
25
30
35
40
0
0,00
0
4
8
12
16
20
0
10
X = total number of trials.
μ=10
Birim Talebin Modellenmesi (3)
15
Distribution Plot
0,14
Distribution
Negative Binomial
0,12
p
NEvents
0,4 4
Distribution Mean
Poisson
10
Probability
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
0
5
10
15
X
20
25
20
30
X
24
30
X = total number of trials.
4 40
50
p
NEv ents
0,4 4