8.10.2014 1 EME 3105 Giriş 2 Sistem Simülasyonu Önümüzdeki 2 hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli dağılımlar hatırlatılacaktır. Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 Olasılık Dağılımı Rassal Degiskenler 3 4 Tanım: Rassal Degisken, örnek uzaydaki deney sonuçlarını gerçel bir sayıya atayan bir fonksiyondur. S örnek Uzay ω1 ω2 Olasılık Dağılımı Rassal Değisken X(ω1) ω4 ω5 ω6 Gerçel Sayılar Örnek Uzay ω3 X: Her ω ∈S'ye gerçel bir sayı atar. 1 Sayı Olasılık 8.10.2014 Kesikli Rasgele Değişkenin Olasılık Fonksiyonu Kesikli Rasgele Değişkenin Dağılım Fonksiyonu 6 Tanım: X, sonlu sayıdaki x1, x2, …, xN değerlerini f(xi)=P(X=xi), Tanım: (Dağılım fonksiyonu) Bir X rasgele i=1, 2,…, N olasılıkları ile alabilen kesikli rasgele değişken olsun. Bu durumda aşağıdaki koşulları sağlayan f(x) değişkeninin dağılım fonksiyonu F(x) ile gösterilir ve fonksiyonuna X’in olasılık fonksiyonu denir. X’in x’e eşit ya da daha küçük olması olasılığıdır. 1. f ( x) ≥ 0, tüm x'ler için N F ( x) = P( X ≤ x) = ∑ f ( xi ) ∑ f(x ) = 1 2. i i=1 xi ≤ x X=x x1 x2 … xN f(x)=P(X=x) f(x1) f(x2) … f(xN)5 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 7 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 8 d Tanım : X, şekilde gösterilen (−∞, ∞) aralığında tanımlanan P(c < X < d ) = c sürekli rasgele değişken olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan f (x) egrisi, x-ekseni ve x=c, x=d dogruları ile sınırlı alandır. f(x) fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu denir. Histogram of C2 f(x) Normal Mean StDev N 1,156 2,981 1000 1. f ( x) ≥ 0, -∞ < x < ∞ +∞ Density 2. ∫ f ( x)dx = 1, ∫ f (x) dx P ( c < X < d ) = P ( c ≤ X ≤ d ) = P ( c ≤ X < d ) = P (c < X ≤ d ) olduğuna dikkat etmeliyiz. f(x) Histogram of C2 Normal Sürekli X rasgele değişkeninin belli bir x değeri alması olasılığı sıfırdır. P(X=x)=0 Mean StDev N 0 c C2 d x ( f(x) eğrisi altında kalan ve x-ekseni ile sınırlanan alan 1’e eşittir. ) Density −∞ c 0 2 C2 d x 1,156 2,981 1000 8.10.2014 Sürekli Rasgele Değişkenin Dağılım Fonksiyonu 9 Rasgele Değişkenlerin Beklenen Değeri ve Varyansı 10 E( X ) = ∑ x. f (x) Tanım: (Dağılım Fonksiyonu) X, f(x) olasılık yoğunluk X:Kesikli Rassal Degisken x fonksiyonuna sahip sürekli rasgele değişken olsun. V ( X ) = E ⎡⎣( X − E[ X ])2 ⎤⎦ X’in dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır. x F ( x) = P( X ≤ x) = ∫ E [Y ] = f ( s)ds +∞ ∫ y. f (y)dy Y:Sürekli Rassal Degisken −∞ −∞ +∞ V[Y]= ∫ ( y − E [Y ]) f (y)dy 2 −∞ Yaygın Kesikli Dağılımlar (1) Yaygın Kesikli Dağılımlar (2) 11 Dağılım, X rassal Degişkeni Bernoulli (p) Tek denemedeki basarı sayısı 12 Olasılık Fonksiyonu f(x) f (x) = p .(1− p) , x = 0,1 x 1−x Binom (n,p) n tane Bernoulli denemesindeki basari sayisi Geometrik (p) Sıralı bernoulli denemelerinde ilk basarıya kadarki deneme sayısı Negatif Binom (k,p) Sirali Bernoulli denemelerinde k’ninci basariya kadarki deneme sayisi ⎛ n ⎞ x n−x f (x) = ⎜ ⎟ .p .q ,x=0,1,2,...,n ⎝ x ⎠ f (x) = q x−1.p, x = 1,2,... ⎛ x −1 ⎞ k x−k f (x) = ⎜ ⎟ .p .(1− p) ⎝ k −1 ⎠ x=k, k+1,... E[X] ve V[X] µ = E( X ) = p σ 2 = p.q = p.(1− p) µ = E( X ) = np σ 2 = npq E( X ) = 1 q ,σ2 = 2 p p Dağılım, X rassal Degişkeni Olasılık Fonksiyonu f(x) Poisson (λ) Belli bir zaman süresince gerçekleşen olayların sayısı Kesikli Düzgün (a,b) f (x) = e− λ .λ x , x=0,1,2,... λ >0 x! 1 b−a x = a,a + 1,...,b ; a ≤ b f (x) = Kesikli Düzgün µ = E( X ) = k / p f (x) = σ 2 = kq / p 2 3 1 , x = x1 , x2 ,..., x N N E[X] ve V[X] µ = E( X ) = λ σ2 =λ (b + a) 2 (b − a + 1)2 − 1 σ2 = 12 µ = E( X ) = µ = E( X ) = σ2 = N −1 12 2 N +1 2 8.10.2014 Örnek a) Binom Dağılımı (4;0,8) 13 14 Bir pastane günde belli bir tip yaş pastadan kaç adet pişirmesi ⎛ n ⎞ x n−x f (x) = ⎜ ⎟ .p .q ,x=0,1,2,...,n ⎝ x ⎠ gerektiğini belirlemeye çalışmaktadır. Pastaneye belirtilen yaş pastadan almak için bir günde gelen müşteri sayısının dağılımı a) (n=4, p=0.8) parametreli Binom dağılıma uymaktadır. ⎛ 4 ⎞ 0 4−0 4 f (0) = P( X = 0) = ⎜ ⎟ .(0,8) .(0,2) = 1.1.(0,2) = 0,0016 ⎝ 0 ⎠ b) Ortalaması 4 olan Geometrik dağılıma uymaktadır. c) (k=3, p=0.9) parametreli Negatif Binom dağılıma uymaktadır. d) λ= 3 parametreli Poisson dağılıma uymaktadır. e) min.=0, max.=4 parametreli Kesikli Düzgün dağılıma uymaktadır. 5 günde gelen toplam müşteri sayısını simüle edin. Rassal Sayılar: 0.7213 0.5409 0.2267 0.9235 0.0521 ⎛ 4 ⎞ 1 4−1 3 f (1) = P( X = 1) = ⎜ ⎟ .(0,8) .(0,2) = 4.(0,8)(0,2) = 0,0256 ⎝ 1 ⎠ ⎛ 4 ⎞ 2 4−2 2 2 f (2) = P( X = 2) = ⎜ ⎟ .(0,8) .(0,2) = 6.(0,8) (0,2) = 0,1536 ⎝ 2 ⎠ ⎛ 4 ⎞ 3 4−3 3 1 f (3) = P( X = 3) = ⎜ ⎟ .(0,8) .(0,2) = 4.(0,8) (0,2) = 0,4096 ⎝ 3 ⎠ ⎛ 4 ⎞ 4 4−4 4 f (4) = P( X = 4) = ⎜ ⎟ .(0,8) .(0,2) = 1.(0,8) 1 = 0,4096 ⎝ 4 ⎠ a) Binom Dağılımı (4;0,8) (devam) 15 ⎧0,0016 ⎪ ⎪⎪0,0256 f (x) = ⎨0,1536 ⎪0,4096 ⎪ ⎪⎩0,4096 16 , x=0 , x=1 , x=2 , x=3 , x=4 x f(x) F(x) 0 0,0016 0,0016 1 0,0256 0,0272 0,016< RS <=0,0272 2 0,1536 0,1808 0,0272< RS <=0,1808 3 0,4096 0,5904 0,1808< RS <=0,5904 4 0,4096 1 0,5904< RS <1 RS Talep 0,7213 4 0,5409 3 0,2267 3 0,9235 4 a) Binom Dağılımı (4;0,8) Minitab Olasılık Hesaplamaları RS Atama 0< RS <=0,016 0,0521 1 Toplam 15 4 8.10.2014 17 a) Binom Dağılımı (4;0,8) Minitab Birikimli Olasılık Hesaplamaları a) Binom Dağılımı (4;0,8) Minitab Ters Fonksiyondan Değer Hesaplama 18 P(X ≤ x) = 0,016 ise x=? 19 a) Binom Dağılımı (4;0,8) Minitab Olasılık Grafiği 20 a) Binom Dağılımı (4;0,8) Minitab Ampirik Birikimli Olasılık Grafiği 5 8.10.2014 b) Geometrik Dağılım (E[X]=4) b) Geometrik Dağılım (E[X]=4) (devam) 22 21 x f(x) F(x) RS Atama 1 0,25 0,25 0< RS <=0,25 2 0,1875 0,4375 0,25< RS <=0,4375 3 0,1406 0,5781 0,4375< RS <=0,5781 RS Talep f (1) = (0,75) .(0,25) = 0,25 f (7) = (0,75)7−1.(0,25) ≈ 0,0445 4 0,1055 0,6836 0,5781< RS <=0,6836 0,7213 5 f (2) = (0,75)2−1.(0,25) = 0,1875 f (8) = (0,75)8−1.(0,25) ≈ 0,0334 5 0,0791 0,7627 0,6836< RS <=7627 0,5409 3 0,0593 0,8220 0,7627< RS <=8220 0,2267 1 f (3) = (0,75)3−1.(0,25) = 0,14062 f (9) = (0,75)9−1.(0,25) ≈ 0,0250 6 7 0,0445 0,8665 0,8220< RS <=8665 0,9235 9 f (4) = (0,75) .(0,25) ≈ 0,10547 f (10) = (0,75)10−1.(0,25) ≈ 0,0188 8 0,0334 0,8999 0,8665< RS <=8999 0,0521 1 f (5) = (0,75) .(0,25) ≈ 0,0791 f (11) = (0,75)11−1.(0,25) ≈ 0,0141 9 0,0250 0,9249 0,8999< RS <=0,9249 Toplam 19 10 0,0188 0,9437 0,9249< RS <=9437 11 0,0141 0,9578 0,9437< RS <=0,9578 12 0,0106 0,9684 0,9578< RS <=0,9684 >12 0,0316 1 RS>0,9684 f (x) = q x−1.p, x = 1,2,... E( X ) = 1−1 4−1 5−1 f (6) = (0,75)6−1.(0,25) ≈ 0,0593 1 q ,σ2 = 2 p p 4= 1 → p=0,25 p f (12) = (0.75)12−1.(0,25) ≈ 0,0106 .. . Negatif Binom Dağılımı (3;0.9) b) Geometrik Dağılım (E[X]=4) (devam) 24 ⎛ x −1 ⎞ k x−k f (x) = ⎜ , ⎟ .p .(1− p) ⎝ k −1 ⎠ x=k, k+1,... k = 3; p = 0.9 ⎛ 3−1 ⎞ 3 3−3 f (3) = ⎜ ⎟ .(0,9) .(0,1) = 0,729 ⎝ 3−1 ⎠ ⎛ 4 −1 ⎞ 3 4−3 f (4) = ⎜ ⎟ .(0,9) .(0,1) = 0,2187 ⎝ 3−1 ⎠ ⎛ 5−1 ⎞ 3 5−3 f (5) = ⎜ ⎟ .(0,9) .(0,1) ≈ 0,0437 ⎝ 3−1 ⎠ ⎛ 6 −1 ⎞ 3 6−3 f (6) = ⎜ ⎟ .(0,9) .(0,1) ≈ 0,0073 ⎝ 3−1 ⎠ ⎛ 7 −1 ⎞ 3 7−3 f (7) = ⎜ ⎟ .(0,9) .(0,1) ≈ 0,0011 ⎝ 3−1 ⎠ . . . Günde en az 3 müşteri gelir. 6 8.10.2014 Negatif Binom Dağılımı (3;0.9) d) Poisson Dağılımı (λ=3)= 25 26 x f(x) F(x) RS Atama 3 0,729 0,729 0< RS <=0,729 4 0,2187 0,9477 0,729< RS <=0,9477 5 0,0437 0,9914 0,9477< RS <=0,9914 6 0,0073 0,9987 0,9914< RS <=0,9987 7 0,0011 0,9998 0,9987< RS <=0,9998 >7 0,0002 1 f (x) = e− λ .λ x , x=0,1,2,... λ >0 x! 𝑓(0) = 𝑒 −3 30 = 0,049787 0! 0,9998< RS <1 RS Talep 0,7213 3 0,5409 3 0,2267 3 0,9235 4 0,0521 3 Toplam 16 d) Poisson Dağılımı (λ=3)= d) Poisson Dağılımı (λ=3)= 27 28 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F(x) 0,04979 0,19915 0,42319 0,64723 0,81526 0,91608 0,96649 0,98810 0,99620 Rassal Sayı Atama 0< RS <=0,04979 0,04979< RS <=0,19915 0,19915< RS <=0,42319 0,42319< RS <=0,64723 0,64723< RS <=0,81526 0,81526< RS <=0,91608 0,91608< RS <=0,96649 0,96649< RS <=0,98810 0,98810< RS <=0,99620 10 11 12 13 0,99890 0,99971 0,99998 1 0,99620< RS <=0,99890 0,99890< RS <=0,99971 0,99971< RS <=0,99998 RS>0,99998 RS Talep 0,7213 5 0,5409 4 0,2267 3 0,9235 7 0,0521 2 Toplam 21 7 8.10.2014 d) Kesikli Düzgün Dağılım (0;4) d) Kesikli Düzgün Dağılım (0;4) 29 f (x) = 1 , b− a x = a,a + 1,...,b ; a ≤ b f (0) = f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = (a = 0,b = 4) 1 1 = = 0,20 5− 0 5 x f(x) F(x) RS Atama 0 0,20 0,20 0< RS <=0,20 1 0,20 0,40 0,20< RS <=0,40 2 0,20 0,60 0,40< RS <=0,60 3 0,20 0,80 0,60< RS <=0,80 4 0,20 1 8 0,80< RS <1 RS Talep 0,7213 3 0,5409 2 0,2267 1 0,9235 4 0,0521 0 Toplam 10