SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ

SÜREKLİ ŞANS
DEĞİŞKENLERİ
• Üstel Dağılım
• Normal Dağılım
1
Üstel Dağılım
• Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir
başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için
geçen sürenin dağılışıdır.Bekleme kuyruğu sorunlarını
çözmede kullanılır.
Örnek:
• Bir bankada veznede yapılan işlemler arasındaki geçen
süre,
• Bir taksi durağına gelen bekleyen müşteriler arasındaki
süre,
• Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların arasındaki
geçen süre,
• Bir kumaşta iki adet dokuma hatası arasındaki uzunluk
(metre).
2
• Belirli bir zaman aralığında mağazaya gelen
müşteri sayılarının dağılışı Poisson Dağılımına
uygundur.
• Bu müşterilerin mağazaya varış zamanları
arasındaki
geçen
sürenin
dağılımı
da
Üstel Dağılıma uyacaktır.
• Üstel Dağılımın parametresi a olmak üzere Üstel
ve Poisson Dağılımlarının parametreleri arasında
şu şekilde bir ilişki vardır.
1
 
a
3
Üstel Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
m:iki durumun gözlenmesi için gereken
ortalama süre
x : iki durum arasında veya ilk durumun
ortaya çıkması gereken süre ya da uzaklık.
a e  ax
f  x  
0
,x  0
a0
diger durumlarda
f(x)’e, üstel dağılım; x’e üstel dağılan değişken
denir.Üstel dağılımın parametresi a dır.
4
Üstel Dağılımının
Beklenen Değer ve Varyansı
1
Ortalama
m
a
1
Varyans
2
m  2
a
Frekans
200
b = 10 parametreli bir
populasyondan alınan
n = 1000 hacimlik bir
örnek için oluşturulan
histogram.
100
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
X
5
P( X  x )  1  e
 ax
P( X  x)  1  (1  e
 ax
)e
 ax
Örnek:
Bir kitaplığın danışma masasında kullanıcılara
hizmeti
5dk.
ortalama
süre
ile
üstel
dağılmaktadır. Bir kullanıcıya verilen hizmetin
10dk. dan uzun sürme olasılığı nedir?
P(X>10)=?
1
m 5 a  
m 5
P( X  x)  1  (1  e
2
 e  0.1233
1
 ax
)e
 ax
e
1
 .10
5
• Örnek:
Bir servis istasyonuna her 20dk. da ortalama 4 araç
gelmektedir. Servise arka arkaya gelen iki araç
arasındaki zaman aralığının en çok 4 dk.olma
olasılığı nedir?
P( X  4)  1  e
 ax
20dk. da
ort. 4 araç
1dk. da
x
P( X  4)  1  e
 ax
 1 e
1
 .4
5
4 1
a

20 5
 1  0.4493  0.55
NORMAL DAĞILIM
8
• Sürekli ve kesikli şans değişkenlerinin dağılımları
birlikte ele alındığında istatistikte en önemli dağılım
Normal dağılımdır.
• Normal dağılım ilk olarak 1733’te Moivre tarafından
p başarı olasılığı değişmemek koşulu ile binom
dağılımının limit şekli olarak elde edilmiştir. 1774’te
Laplace hipergeometrik dağılımını limit şekli olarak
elde ettikten sonra 19. yüzyılın ilk yıllarında
Gauss 'un katkılarıyla da normal dağılım istatistikte
yerini almıştır.
9
dağılımın
ilk
uygulamaları
doğada
gerçekleşen olaylara karşı başarılı bir biçimde uyum
göstermiştir. Dağılımın göstermiş olduğu bu uygunluk
adının Normal Dağılım olması sonucunu doğurmuştur.
• Normal
• İstatistiksel yorumlamanın temelini oluşturan Normal
Dağılım, bir çok rassal süreçlerin dağılımı olarak
karşımıza çıkmaktadır.
• Normal
dağılımı
kullanmanın
en
önemli
nedenlerinden
biri
de
bazı
varsayımların
gerçekleşmesi halinde kesikli ve sürekli bir çok
şans değişkeninin dağılımının normal dağılıma
yaklaşım göstermesidir.
10
Normal Dağılımın Özellikleri
Çan eğrisi şeklindedir. Normal dağılımın moment
çarpıklık katsayısı a3=0 dır. Yani normal dağılım
simetriktir. Basıklık katsayısı a4=3 dür. Diğer tüm
dağılımların basıklık ölçüsü bu katsayı ile
karşılaştırılır. Normal dağılım eğrisi aşağıdaki
fonksiyonla temsil edilir:
 1

e
f ( x)   2

0

1  xm 
 

2  
2
,  x  
, diger yerlerde
  3,14159...
e = 2,71828
 = populasyon standart
sapması
m = populasyon ortalaması
11
f(x )
Ortalama=Mod=Medyan
x
• Parametreleri:
E (x)  m
Var ( x)  
2
12
Normal eğri altındaki alan 1’e eşittir. Normal dağılımda
herhangi bir X sürekli değişkeninin nokta tahmin sıfırdır.
Çünkü normal eğri altında sonsuz sayıda X noktaları vardır.
Bu yüzden ancak herhangi bir X değerinin X1 ile X2 arasında
bulunma olasılığı hesaplanabilir. Bunun için foknsiyonun X1
den X2 ye integre edilmesi gerekir. Anakütle ortalaması ve
standart sapması farklı olduğu her problem için ayrı bir
integrasyon işlemini uygulamak gerekir. Normal dağılım
ortalama ve
standart
sapma parametrelerinin değişimi
sonucu birbirinden farklı yapılar gösterir.
Bu tür problemlerde kullanılmak üzere standart bir fonksiyon
geliştirilmiştir.
Normal Dağılımda Olasılık Hesabı
Olasılık eğri altında
kalan alana eşittir!!!!
f(x )
d
P(c  x  d )   f ( x)dx  ?
c
c
ÖNEMLİ!!!
d
x

P(  x  ) 
 f ( x)dx  1

14
Standart Normal Dağılım
• Olasılık hesaplamasındaki zorluktan dolayı normal
dağılış gösteren şans değişkeni standart normal
dağlıma dönüştürülür.
• Böylece tek bir olasılık tablosu kullanarak normal
dağılış ile ilgili olasılık hesaplamaları yapılmış olur.
• Standart normal dağılımda ortalama 0 , varyans
ise 1 değerini alır.
• Standart normal değişken z ile gösterilir.
15
Standart Normal Şans Değişkeni
z
xm
• X ~ N ( m , 2 )

• Z ~ N ( 0 , 1)
f(x )
f(z )

1
x
m
m0
z
16
17
Olasılığın Elde Edilmesi
Standart Normal Olasılık
Tablosu (Kısmen)
Z
.00
.01
Z = 1
.02
0.0 .0000 .0040 .0080
0.0478
0.1 .0398 .0438 .0478
0.2 .0793 .0832 .0871
mZ= 0 0.12 Z
0.3 .1179 .1217 .1255
Olasılıklar
Parametre Değişikliklerinin
Dağılımın Şekli Üzerindeki Etkisi
A
f(x )
C
B
x
m A  m B  mC
  
2
A
2
B
2
C
19
Standart Normal Dağılım
Tablosunu Kullanarak
Olasılık Hesaplama
f(z )
P(0  z  1)  ?
0
1
z
P(0  z  1)  0.3413
20
f(z )
P( z  1)  ?
0
1
z
1  P(0  z  1)  0.50  0.3413  0.1587
21
SİMETRİKLİK ÖZELLİĞİNDEN DOLAYI 0’DAN
EŞİT UZAKLIKTAKİ Z DEĞERLERİNİN 0 İLE
ARASINDAKİ KALAN ALANLARININ DEĞERLERİ
BİRBİRİNE EŞİTTİR.
P(0  z  a)  P(a  z  0)
f(z )
-a
0
a
z
22
f(z )
P(1  z  1)  ?
-1
0
1
z
P(1  z  1)  P(1  z  0)  P(0  z  1)
 2* P(0  z  1)  2(0.3413)  0.6826
23
P(1.56  z  0.95)  ?
f(z )
-1,56 -0,95
0
z
P(1.56  z  0.95)  P(1.56  z  0)  P(0.56  z  0)
 0.4406  0.3289  0.1117
24
Normal Dağılımın Standart Normal
Dağılım Dönüşümü
P(a  X  b)  ?
X ~ N ( m , 2 ) Z ~ N ( 0 , 1)
am xm bm 
P ( a  X  b )  P




 
 
 P ( z a  z  zb )
f(x )
f(z )
a
m
b
x
za 0
zb
z
25
Örnek
P(3.8  X  5) = ?
3
.
8

5
X

m
Z

0.12
Normal
Standart Normal

10
Dağılım
Dağılım
 = 10
Z = 1
0.0478
3.8 m = 5
X
-0.12 mZ= 0
Z
Örnek
P(2.9  X  7.1) = ?
Normal
Dağılım
X m
2.9  5
Z

 .21
10

X m
7.1  5
Z

 .21 Standart Normal
10

Dağılım
 = 10
Z = 1
.1664
.0832 .0832
2.9 5 7.1 X
-.21 0 .21
Z
Örnek
P(X  8) = ?
X m
85
Z

 .30
10

Normal
Dağılım
Standart Normal
Dağılım
 = 10
Z = 1
.5000
.3821
.1179
m =5
8
X
mZ= 0 .30 Z
Örnek
P(7.1  X  8) = ?
Normal
Dağılım
7.1  5
Xm
Z

 .21
10

X m
85
Z

 .30 Standart Normal
10

Dağılım
 = 10
Z = 1
.1179
.0347
.0832
m =5
7.1 8
X
=0.1179-0.0832=0.0347
mz = 0
.21 .30 Z
• Örnek:
Bir işletmede üretilen vidaların çaplarının
uzunluğunun, ortalaması 10 mm ve standart sapması
2 mm olan normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir.
Buna göre rasgele seçilen bir vidanın uzunluğunun
8.9mm’den az olmasının olasılığını hesaplayınız.
P( X  8.9)  ?
X ~ N ( 10 , 4 )
m  10mm
  2mm
 x  m 8.9  10 
P( X  8.9)  P 

  P( z  0.55)
2 
 
f(z )
P( z  0.55)  0.5  0.2088
 0.2912
-0,55
0
z
30
Normal Dağılım Düşünce
Alıştırması
•General Electric için Kalite
Kontrol uzmanı olarak
çalışıyorsunuz. Bir ampulün
ömrü m = 2000 saat,  = 200
saat olan Normal dağılım
göstermektedir. Bir ampulün
•A. 2000 & 2400 saat arası
dayanma
•B. 1470 saatten az dayanma
olasılığı nedir?
Çözüm
A) P(2000  X  2400) = ?
  200
m  2000
Z
X m

Normal
Dağılım

2400  2000
200
 2.0
Standart Normal
Dağılım
 = 200
Z = 1
.4772
m = 2000 2400
X
m Z= 0
2.0
Z
Çözüm
B) P(X  1470) = ?
Z 
X m


1470  2000
200
Normal
Dağılım
  2.65
Standart Normal
Dağılım
 = 200
Z = 1
.5000
.0040
1470 m = 2000
X
.4960
-2.65 mZ= 0
Z
Bilinen Olasılıklar İçin Z Değerlerinin
Bulunması
P(Z) = 0.1217 ise Z
nedir?
.1217
Z = 1
Standart Normal olasılık
Tablosu (Kısmen)
Z
.00
.01
0.2
0.0 .0000 .0040 .0080
0.1 .0398 .0438 .0478
mZ= 0 .31 Z
0.2 .0793 .0832 .0871
0.3 .1179 .1217 .1255
Bilinen Olasılıklar İçin X Değerlerinin
Bulunması
Normal Dağılım
Standart Normal Dağılım
 = 10
Z = 1
.1217
m =5
?
X
X  m  Z  5(0.31)108.1
.1217
mZ= 0 .31
Z