belirli integrasyon hesabı ve standart normal dağılım olasılık

BELİRLİ İNTEGRASYON HESABI VE STANDART NORMAL DAĞILIM OLASILIK HESAPLAMASI Standart Normal Dağılım Standart normal dağılım, normal dağılımın özel bir halidir. Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu, !
!
(!!!)!
!!!
𝑓 𝑥 =
𝑒
−∞ < 𝑥 < +∞ !!! !
şeklindedir. 𝜇 = 0 ve 𝜎 = 1 iken standart normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu, 𝑓 𝑥 =
şeklidedir. !
!!
𝑒
!
!!
!
−∞ < 𝑥 < +∞ Nümerik (Sayısal) İntegrasyon Belirli integral, bir 𝑓(𝑥) fonksiyonunun 𝑎, 𝑏 aralığında, fonksiyonun x ekseni ile arasında kalan, 𝑎, 𝑏 aralığı ile sınırlı alan olarak tanımlanır. Ancak, alanın her zaman analitik bir çözüme sahip olmaması, çözümü olmasına rağmen hesaplanmasının çok karmaşık olması veya fonksiyonun tanımlı olmaması ve sadece bazı noktalardaki değerlerinin bilinmesi durumlarında sayısal çözüm kaçınılmaz olmaktadır. Bu durumda kullanılan sayısal integrasyon metotlarından bazıları dikdörtgenler kuralı, trapez (yamuk) kuralı ve Simpson kuralıdır. Yamuk Kuralı Bu kuralda, ilgili alan yamuklar ile modellenir. 𝑎, 𝑏 aralığı 𝑛 eşit aralığa bölünür. (!!!)
Yamukların taban genişliği, ℎ = ! eşitliği ile hesaplanır. Her 𝑥! karşılık gelen 𝑦! = 𝑓(𝑥! ) ordinat değerleri, yani yüksekliği hesaplanır. Toplam alan, 1
1
𝐴𝑙𝑎𝑛 = ℎ ∙ 𝑦! + 𝑦! + 𝑦! + ⋯ + 𝑦!!! + 𝑦! 2
2
!!!
1
1
=ℎ∙
𝑦! +
𝑦! + 𝑦! 2
2
!!!
şeklinde hesaplanır. 𝑦! = 𝑓(𝑎) ve 𝑦! = 𝑓(𝑏) iken, 𝑦! = 𝑓(𝑥! ) için 𝑥! = 𝑎 + 𝑖 ∗ ℎ ile kolaylıkla hesaplanabilir. 1 h Uygulama Ödevi Bu uygulama, standart normal dağılım olasılıklarının hesaplanmasını içermektedir. İlgili olasılıkları hesaplayan bir Visual Basic programı için, algoritma ve akış diyagramı hazırlayınız. Bu algoritmaya uygun bir ara yüz tasarlayınız ve kaynak program kodunu kodlayınız. Yamuk kuralını, 𝑛 = 6 için uygulayınız, daha yaklaşık değerlerin elde edilmesi istenirse, n değeri arttırılabilir. Örneğin, 𝑃 0 < 𝑍 < 1 = 0.3413 olarak elde edilir. n değerini de kullanıcının girmesini sağlayarak, 𝑃 0 < 𝑍 < 1 = 0.3413 değerine en yakın değerin, hangi n değerinde elde edilebildiğini de araştırınız. 2