sürekli şans değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonları

BÖLÜM 7
SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞENİ
DAĞILIMLARI
SÜREKLİ ŞANS
DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK YOĞUNLUK
FONKSİYONLARI
Üstel Dağılım
Sürekli Üniform Dağılım
Normal Dağılım
2
Üstel Dağılım
• Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir
başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması
için geçen sürenin dağılışıdır.
Örnek:
• Bir bankada veznede yapılan işlemler arasındaki geçen
süre,
• Bir taksi durağına gelen müşteriler arasındaki süre,
• Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların arasındaki
geçen süre,
• Bir kumaşta iki adet dokuma hatası arasındaki uzunluk
(metre).
3
Belirli bir zaman aralığında mağazaya gelen
müşteri sayılarının dağılışı Poisson Dağılımına
uygundur.
Bu müşterilerin mağazaya varış zamanları
arasındaki
geçen
sürenin
dağılımı
da
Üstel Dağılıma uyacaktır.
Üstel Dağılımın parametresi b olmak üzere Üstel
ve Poisson Dağılımlarının parametreleri arasında
şu şekilde bir ilişki vardır.
 
1
b
4
Üstel Dağılımın Olasılık
Yoğunluk Fonksiyonu
b : iki durumun gözlenmesi için gereken ortalama
süre yada ölçülebilir uzaklık.
x : iki durum arasında veya ilk durumun ortaya
çıkması gereken süre yada uzaklık.
S={x/0<x<∞}
 1  bx
 e
f x    b
0

,x 0
diger durumlarda
5
Üstel Dağılımının
Beklenen Değer ve Varyansı
E x   b
Beklenen Değer
Var x   b
Varyans
b = 10 parametreli bir
populasyondan alınan n =
1000 hacimlik bir örnek
için oluşturulan
histogram.
200
Frekans
2
100
0
0
10
20
30
40
X
50
60
70
80
6
Örnek: Bir taksi durağına bir saatlik zaman dilimi içerisinde gelen taksilerin
geliş sayısı Poisson Dağılışına uygun bir şekilde gerçekleşmektedir.
Durağa saatte ortalama 24 adet taksinin geldiği bilindiğine göre durağa
gelen bir yolcunun en çok 5 dakika beklemesi olasılığı nedir?
Saatte ( 60 dakikada ) 24 adet taksi geliyorsa,
1 dakikada 24/60 adet taksi gelir. 1 adet taksi gelmesi için gereken süre
b = 2,5 dk olur. P ( x ≤ 5 ) = ?
x


 1 e 2, 5
f  x    2,5

0
5
HESAPLAMA KOLAYLIĞI!!

,x 0
diger durumlarda
1
P( x  5)  
e
2,5
0

1
x
2, 5

P( x  a)  
1
dx  1  
e
2,5
5
a

1
x
2, 5
dx  1  e
1
b


x
e b dx  e
5
2, 5
 1  e 2
7

a
b
Sürekli Üniform Dağılımı
• a ve b gibi iki nokta arasından bir sayı seçmek istediğimizde
herhangi bir değeri alabilecek x şans değişkeni uniform dağılışı
göstermektedir.
• Sürekli üniform dağılımı ilgilenilen şans değişkeninin olasılık
fonksiyonu hakkında bir bilgiye sahip olunmadığında ve verilen
aralık içerisinde tanımlanan olayın eşit olasılıklarla ortaya çıkacağı
varsayımı yapıldığında kullanışlıdır.
8
Sürekli Uniform Dağılımının
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
 1

f x    b  a

0

HESAPLAMA KOLAYLIĞI!!
a  x b
dd
d c
P (c  x  d ) 
ba
Beklenen Değer ve Varyans
ab
E x  
2

b  a
Var x  
2
12
9
b = 10 ve a = 5 parametreli sürekli üniform dağılımı gösteren bir
populasyondan n = 10000 hacimlik örnek için oluşturulan
histogram.
250
Frekans
200
150
100
50
0
5
6
7
8
9
10
X
10
Örnek: Bir demir-çelik fabrikasında üretilen çelik
levhaların kalınlıklarının 150 ile 200 mm arasında değiştiği
ve bunların sürekli uniform şans değişkenine uygun olduğu
bilinmektedir. Levha kalınlıkları 155 mm altında çıktığı
zaman tekrar üretime gönderildiğine göre bu dağılımın
beklenen değerini ve varyansını bulunuz ve üretim sürecinde
tekrar üretime gönderilen levhaların oranını bulunuz.
a) Bu dağılışın ortalama ve varyansı;
E(x)=(150+200)/2 =175 mm
Var(x)=(200-150)2/12 = 208.33 mm2 bulunur.
b) Üretime geri döndürülen ürünlerin oranı ise;
P(150 < x < 155 )= (155-150) / (200-150) = 0,1
Ürünlerin %10’u üretime geri gönderilmektedir.
11
NORMAL DAĞILIM
12
Sürekli ve kesikli şans değişkenlerinin dağılımları
birlikte ele alındığında istatistikte en önemli dağılım
Normal dağılımdır.
Normal dağılım ilk olarak 1733’te Moivre tarafından
p başarı olasılığı değişmemek koşulu ile binom
dağılımının limit şekli olarak elde edilmiştir. 1774’te
Laplace hipergeometrik dağılımını limit şekli olarak
elde ettikten sonra 19. yüzyılın ilk yıllarında
Gauss 'un katkılarıyla da normal dağılım istatistikte
yerini almıştır.
13
Normal dağılımın ilk uygulamaları doğada
gerçekleşen olaylara karşı başarılı bir biçimde uyum
göstermiştir. Dağılımın göstermiş olduğu bu
uygunluk adının Normal Dağılım olması sonucunu
doğurmuştur.
İstatistiksel yorumlamanın temelini oluşturan
Normal Dağılım, bir çok rassal süreçlerin dağılımı
olarak karşımıza çıkmaktadır.
Normal
dağılış
kullanımının
en
önemli
nedenlerinden
biride
bazı
varsayımların
gerçekleşmesi halinde kesikli ve sürekli bir çok şans
değişkeninin dağılımının normal dağılışa yaklaşım
göstermesidir.
14
Normal Dağılımın Özellikleri
• Çan eğrisi şeklindedir.
• Simetrik bir dağılıştır.
• Normal Dağılımın parametreleri,
E (x)  
Var ( x)  
2
f(x )
Ortalama=Mod=Medyan
x
15
Normal Dağılımın Olasılık Yoğunluk
fonksiyonu
 1

e
f ( x)   2

0

1  x 
 

2  
2
,  x  
, diger
yerlerde
  3,14159...
e = 2,71828
 = populasyon standart sapması
 = populasyon ortalaması
16
Parametre Değişikliklerinin Dağılımın Şekli
Üzerindeki Etkisi
A
f(x )
C
B
x
 A   B  C
  
2
A
2
B
2
C
17
Normal Dağılımda Olasılık Hesabı
Olasılık eğri altında
kalan alana eşittir!!!!
f(x )
d
P(c  x  d )   f ( x)dx  ?
c
c
d
x

ÖNEMLİ!!!
P(  x  ) 
 f ( x)dx  1

18
A
Normal dağılım ortalama
ve standart sapma
parametrelerinin değişimi
sonucu birbirinden farklı
yapılar gösterir.
f(x )
C
B
Her dağılımın için olasılık yoğunluk
fonksiyonunu kullanarak olasılık
hesaplama
güçlüğü
olasılık
değerlerini içeren tablolar kullanma
zorunluluğunu ortaya çıkarmıştır .
x
Birbirinden farklı sonsuz sayıda
normal dağılış olabileceği için olasılık
hesaplamasında kullanmak üzere
sonsuz sayıda tablo gereklidir.
19
Standart Normal Dağılım
Olasılık hesaplamasındaki zorluktan dolayı normal
dağılış gösteren şans değişkeni standart normal
dönüştürülür.
Böylece tek bir olasılık tablosu kullanarak normal
dağılış ile ilgili olasılık hesaplamaları yapılmış olur.
Standart normal dağılımda ortalama 0 , varyans ise 1
değerini alır.
Standart normal değişken z ile gösterilir.
20
Standart Normal Şans Değişkeni
z
x
X ~ N (  , 2 )
Z ~ N ( 0 , 1)

f(x )
f(z )

1

x
0
z
21
22
Standart Normal Dağılım Tablosunu
Kullanarak Olasılık Hesaplama
f(z )
P(0  z  1)  ?
0
1
z
P(0  z  1)  0,3413
23
f(z )
P( z  1)  ?
0
1
z
1  P(0  z  1)  1  0,3413  0,1587
24
SİMETRİKLİK ÖZELLİĞİNDEN DOLAYI 0’DAN EŞİT
UZAKLIKTAKİ Z DEĞERLERİNİN 0 İLE ARASINDAKİ
KALAN ALANLARININ DEĞERLERİ BİRBİRİNE EŞİTTİR.
P(0  z  a)  P(a  z  0)
f(z )
-a
0
a
z
25
f(z )
P(1  z  1)  ?
-1
0
1
z
P(1  z  1)  P(1  z  0)  P(0  z  1)
 2 * P(0  z  1)  2(0,3413)  0,6826
26
f(z )
P(1,56  z  0,95)  ?
-1,56 -0,95
0
z
P(1,56  z  0,95)  P(1,56  z  0)  P(0,56  z  0)
 0,4406  0,3289  0,1117
27
Normal Dağılımın Standart Normal Dağılım
Dönüşümü
P(a  X  b)  ?
X ~ N (  , 2 ) Z ~ N ( 0 , 1)
a x b 
P ( a  X  b )  P




 
 
 P ( z a  z  zb )
f(x )
f(z )
a

b
x
za
0
zb
z
28
• Örnek: Bir işletmede üretilen vidaların çaplarının uzunluğunun,
ortalaması
10
mm
ve
standart
sapması
2 mm olan normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir. Buna göre
rasgele
seçilen
bir
vidanın
uzunluğunun
8,9mm ‘den az olmasının olasılığını hesaplayınız.
P( X  8,9)  ?
X ~ N ( 10 , 4 )
 x   8,9  10 
P( X  8,9)  P

  P( z  0,55)
2 
 
f(z )
P( z  0,55)  0,5  0,2088
 0,2912
-0,55
0
z
29