Sürekli Şans Değişkenlerinin Olasılık Fonksiyonları

Sürekli Şans Değişkenlerinin
Olasılık Fonksiyonları
•Sürekli değişkenlerdeki olasılık fonksiyonuna
sürekli olasılık fonksiyonu, olasılık yoğunluk
fonksiyonu, veya sadece yoğunluk fonksiyonu
denir.
• Sürekli bir şans değişkenin olasılık yoğunluk
fonksiyonu
f(x) ile gösterilir. Herhangi bir
fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi
için;
1) X’in tanım aralığı için f(xi) ≥ 0 ,
2) 
tüm x
f  x  dx  1
şartlarını sağlaması gereklidir.1
Sürekli Şans Değişkenleri İçin Olasılık
• Sürekli
bir değişkenin tanımlı olduğu aralıkta
sonsuz sayıda değer vardır.
• Değişkenin bunlar içinden belirli bir değeri alma
olasılığı 1   0 olur.
• Bu sebepten sürekli değişkenlere ait olasılık
fonksiyonları,
kesikli
değişkenlerin
aksine
bu
değişkenin belirli bir değeri alma olasılıklarının
hesaplanmasına imkan vermez.
2
Bu fonksiyonlarda değişkenin belirli bir değer yerine
belirli
bir
aralıkta
değer
alma
olasılığının
hesaplanması yoluna gidilir.
Sürekli bir x şans değişkenin a ile b arasında olma
olasılığı;
b
P ( a  x  b )   f ( x ) dx
a
şeklinde hesaplanır.
3
Örnek: f(x) fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanıyor olsun
3 2

x
,
1

x

2


f ( x)   7

0 , diger x ' ler icin 
a) f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu mudur?
 f x dx 1
tüm x
2

1
ise f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
3
3 2
x
x dx 
7
7
2
1
8 1


1
7 7
olduğundan f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
b) P ( 1,5 < x < 1,8 ) = ?
1,8
3 1,8
3 2
x
P (1,5  x  1,8)   x dx 
7
7
1,5
(1,8)3 (1,5)3


 0,351
7
7
1,5
4
Sürekli Şans Değişkenleri İçin
Beklenen Değer ve Varyans
E ( x )   x f ( x ) dx
tüm x
    x f x dx
E x
2
2
Var ( x)  E ( x )  [ E ( x)]
2
2
  E ( x )  [ E ( x)]
2
2
2


2
Var ( x )   x f ( x ) dx    x f ( x ) dx 


tüm x
 tüm x

2
5
Sürekli Şans Değişkenleri İçin
Beklenen Değer ve Varyans
Örnek: f(x) fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanıyor olsun
3 2

1 x  2 
 x ,
f ( x)   7

0 , diger x ' ler icin 
a) X rassal değişkeninin beklenen değerini bulunuz.
2
3
3 2
E  x    x.f (x)   x.  x  dx 
7
7

1
4
3 x

7 4
2
1
2
3
x
 dx
1
3  16 1 
45
 
 
7 4
4
28
6
•b) X rassal değişkeninin varyans değerini bulunuz


Var  x    x .f (x)    x.f (x) 




2
2


3 2
3 2
  x .  x  dx    x.  x  dx 


7
7




1
1

2
2
2
2
5
3 x

7 5
2
1

4
3
x

7 4

2
1




2
3  32 1   3  16 1  
 
  
 
7 5
5 7 4
4 
93  45 



35  28 
2
2
 1.0287
7
SÜREKLİ ŞANS
DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK
YOĞUNLUK FONKSİYONLARI
• Üstel Dağılım
• Sürekli Üniform Dağılım
• Normal Dağılım
8
Üstel Dağılım
• Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir
başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için
geçen sürenin dağılışıdır.Bekleme kuyruğu sorunlarını
çözmede kullanılır.
Örnek:
• Bir bankada veznede yapılan işlemler arasındaki geçen
süre,
• Bir taksi durağına gelen bekleyen müşteriler arasındaki
süre,
• Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların arasındaki
geçen süre,
• Bir kumaşta iki adet dokuma hatası arasındaki uzunluk
(metre).
9
• Belirli bir zaman aralığında mağazaya gelen
müşteri sayılarının dağılışı Poisson Dağılımına
uygundur.
• Bu müşterilerin mağazaya varış zamanları
arasındaki
geçen
sürenin
dağılımı
da
Üstel Dağılıma uyacaktır.
• Üstel Dağılımın parametresi a olmak üzere Üstel
ve Poisson Dağılımlarının parametreleri arasında
şu şekilde bir ilişki vardır.
1
 
a
10
Üstel Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
m:iki durumun gözlenmesi için gereken
ortalama süre
x : iki durum arasında veya ilk durumun
ortaya çıkması gereken süre ya da uzaklık.
 a e  ax
f  x  
 0
,x  0
a0
diger durumlarda
f(x)’e, üstel dağılım; x’e üstel dağılan değişken
denir.Üstel dağılımın parametresi a dır.
11
Üstel Dağılımının
Beklenen Değer ve Varyansı
1
m
a
1
2
m  2
Ortalama
Varyans
a
Frekans
200
b = 10 parametreli bir
populasyondan alınan
n = 1000 hacimlik bir
örnek için oluşturulan
histogram.
100
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
X
12
P( X  x)  1  e
 ax
P ( X  x)  1  (1  e
 ax
)e
 ax
Örnek:
Bir kitaplığın danışma masasında kullanıcılara
hizmeti
5dk.
ortalama
süre
ile
üstel
dağılmaktadır. Bir kullanıcıya verilen hizmetin
10dk. dan uzun sürme olasılığı nedir?
1 1
m 5 a  
P(X>10)=?
m
P ( X  x )  1  (1  e
2
 e  0.1233
 ax
)e
 ax
5
e
1
 .10
5
• Örnek:
Bir servis istasyonuna her 20dk. da ortalama 4 araç
gelmektedir. Servise arka arkaya gelen iki araç
arasındaki zaman aralığının en çok 4 dk.olma
olasılığı nedir?
P ( X  4)  1  e
 ax
20dk. da
ort. 4 araç
1dk. da
x
P ( X  4)  1  e  ax  1  e
1
 .4
5
4 1
a

20 5
 1  0.4493  0.55
Örnek: Bir taksi durağına bir saatlik zaman dilimi içerisinde gelen
taksilerin geliş sayısı Poisson Dağılışına uygun bir şekilde
gerçekleşmektedir. Durağa saatte ortalama 24 adet taksinin geldiği
bilindiğine göre durağa gelen bir yolcunun en çok 5 dakika
beklemesi
olasılığı
nedir?
Saatte
(60dakikada)
24
adet
taksi
geliyorsa,
1 dakikada 24/60 adet taksi gelir. 1 adet taksi gelmesi için gereken
süre a = 1/2,5 dk olur. P ( x ≤ 5 ) = ?
x


 1 e 2 ,5
f  x    2,5

0
HESAPLAMA KOLAYLIĞI!!
,x  0
diger durumlarda
P ( X  5)  1  e  ax  1  e

1
(5)
2.5
 e 2
15
Sürekli Üniform Dağılımı
• a ve b gibi iki nokta arasından bir sayı
seçmek
istediğimizde herhangi bir değeri alabilecek x şans değişkeni
uniform dağılışı göstermektedir.
• Sürekli üniform dağılımı ilgilenilen şans değişkeninin
olasılık fonksiyonu hakkında bir bilgiye sahip olunmadığında
ve verilen aralık içerisinde tanımlanan olayın eşit olasılıklarla
ortaya çıkacağı varsayımı yapıldığında kullanışlıdır.
16
Sürekli Uniform Dağılımının
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
 1

f x    b  a

0

a  x b
dd
HESAPLAMA KOLAYLIĞI!!
d c
P (c  x  d ) 
ba
Beklenen Değer ve Varyans
ab
E x  
2

b  a
Var  x  
2
12
17
b = 10 ve a = 5 parametreli sürekli üniform
dağılımı
gösteren
bir
populasyondan
n = 10000 hacimlik örnek için oluşturulan
histogram.
250
Frekans
200
150
100
50
0
5
6
7
8
9
10
X
18
Örnek: Bir demir-çelik fabrikasında üretilen çelik
levhaların kalınlıklarının 150(a) ile 200(b) mm arasında
değiştiği ve bunların sürekli uniform şans değişkenine
uygun olduğu bilinmektedir. Levha kalınlıkları 155 mm
altında çıktığı zaman tekrar üretime gönderildiğine göre
bu dağılımın beklenen değerini ve varyansını bulunuz
ve üretim sürecinde tekrar üretime gönderilen levhaların
2
oranını bulunuz.
b  a 
ab
E x  
2
Var  x  
12
a) Bu dağılışın ortalama ve varyansı;
E(x)=(150+200)/2 =175 mm
Var(x)=(200-150)2/12 = 208.33 mm2 bulunur.
b) Üretime geri döndürülen ürünlerin oranı ise;
P(150 < x < 155 )= (155-150) / (200-150) = 0,1
Ürünlerin %10’u üretime geri gönderilmektedir.
19
NORMAL DAĞILIM
20
• Sürekli ve kesikli şans değişkenlerinin dağılımları
birlikte ele alındığında istatistikte en önemli dağılım
Normal dağılımdır.
• Normal dağılım ilk olarak 1733’te Moivre tarafından
p başarı olasılığı değişmemek koşulu ile binom
dağılımının limit şekli olarak elde edilmiştir. 1774’te
Laplace hipergeometrik dağılımını limit şekli olarak
elde ettikten sonra 19. yüzyılın ilk yıllarında
Gauss 'un katkılarıyla da normal dağılım istatistikte
yerini almıştır.
21
dağılımın
ilk
uygulamaları
doğada
gerçekleşen olaylara karşı başarılı bir biçimde uyum
göstermiştir. Dağılımın göstermiş olduğu bu uygunluk
adının Normal Dağılım olması sonucunu doğurmuştur.
• Normal
• İstatistiksel yorumlamanın temelini oluşturan Normal
Dağılım, bir çok rassal süreçlerin dağılımı olarak
karşımıza çıkmaktadır.
• Normal
dağılımı
kullanmanın
en
önemli
nedenlerinden
biri
de
bazı
varsayımların
gerçekleşmesi halinde kesikli ve sürekli bir çok
şans değişkeninin dağılımının normal dağılıma
yaklaşım göstermesidir.
22
Normal Dağılımın Özellikleri
Çan eğrisi şeklindedir. Normal dağılımın moment
çarpıklık katsayısı a3=0 dır. Yani normal dağılım
simetriktir. Basıklık katsayısı a4=3 dür. Diğer tüm
dağılımların basıklık ölçüsü bu katsayı ile
karşılaştırılır. Normal dağılım eğrisi aşağıdaki
fonksiyonla temsil edilir:
1  xm 
 1
 

2  

e
,  x  
f ( x )   2

0
, diger yerlerde

2
  3,14159...
e = 2,71828
 = populasyon standart
sapması
m = populasyon ortalaması
23
f(x )
Ortalama=Mod=Medyan
x
• Parametreleri:
E (x )  m
Var ( x )  
2
24
Normal eğri altındaki alan 1’e eşittir. Normal dağılımda
herhangi bir X sürekli değişkeninin nokta tahmin sıfırdır.
Çünkü normal eğri altında sonsuz sayıda X noktaları vardır.
Bu yüzden ancak herhangi bir X değerinin X1 ile X2 arasında
bulunma olasılığı hesaplanabilir. Bunun için foknksiyonun X1
den X2 ye integre edilmesi gerekir. Anakütle ortalaması ve
satandart sapması farklı olduğu her problem için ayrı bir
integrasyon işlemini uygulamak gerekir. Normal dağılım
ortalama ve
standart
sapma parametrelerinin değişimi
sonucu birbirinden farklı yapılar gösterir.
Bu tür problemlerde kullanılmak üzere standart bir fonksiyon
geliştirilmiştir.
Normal Dağılımda Olasılık Hesabı
Olasılık eğri altında
kalan alana eşittir!!!!
f(x )
d
P (c  x  d )   f ( x ) dx  ?
c
c
ÖNEMLİ!!!
d
x

P (   x   ) 
 f ( x)dx  1

26
Standart Normal Dağılım
• Olasılık hesaplamasındaki zorluktan dolayı normal
dağılış gösteren şans değişkeni standart normal
dağlıma dönüştürülür.
• Böylece tek bir olasılık tablosu kullanarak normal
dağılış ile ilgili olasılık hesaplamaları yapılmış olur.
• Standart normal dağılımda ortalama 0 , varyans
ise 1 değerini alır.
• Standart normal değişken z ile gösterilir.
27
Standart Normal Şans Değişkeni
z
xm
• X ~ N ( m , 2 )

• Z ~ N ( 0 , 1)
f(x )
f(z )

1
x
m
m0
z
28
29
Olasılığın Elde Edilmesi
Standart Normal Olasılık
Tablosu (Kısmen)
Z
.00
.01
Z = 1
.02
0.0 .0000 .0040 .0080
0.0478
0.1 .0398 .0438 .0478
0.2 .0793 .0832 .0871
mZ= 0 0.12 Z
0.3 .1179 .1217 .1255
Olasılıklar
Parametre Değişikliklerinin
Dağılımın Şekli Üzerindeki Etkisi
A
f(x )
C
B
x
m A  m B  mC
  
2
A
2
B
2
C
31
Standart Normal Dağılım
Tablosunu Kullanarak
Olasılık Hesaplama
f(z )
P (0  z  1)  ?
0
1
z
P (0  z  1)  0.3413
32
f(z )
P ( z  1)  ?
0
1
z
1  P (0  z  1)  0.50  0.3413  0.1587
33
SİMETRİKLİK ÖZELLİĞİNDEN DOLAYI 0’DAN
EŞİT UZAKLIKTAKİ Z DEĞERLERİNİN 0 İLE
ARASINDAKİ KALAN ALANLARININ DEĞERLERİ
BİRBİRİNE EŞİTTİR.
P ( 0  z  a )  P (  a  z  0)
f(z )
-a
0
a
z
34
f(z )
P ( 1  z  1)  ?
-1
0
1
z
P ( 1  z  1)  P ( 1  z  0)  P (0  z  1)
 2 * P (0  z  1)  2(0.3413)  0.6826
35
P (1.56  z  0.95)  ?
f(z )
-1,56 -0,95
0
z
P ( 1.56  z  0.95)  P ( 1.56  z  0)  P ( 0.56  z  0)
 0.4406  0.3289  0.1117
36
Normal Dağılımın Standart Normal
Dağılım Dönüşümü
P ( a  X  b)  ?
X ~ N ( m , 2 ) Z ~ N ( 0 , 1)
am xm bm 
P (a  X  b)  P




 
 
 P ( z a  z  zb )
f(x )
f(z )
a
m
b
x
za 0
zb
z
37
Örnek
P(3.8  X  5) = ?
3 .8  5
X

m
Z

  0.12
Normal
Dağılım

10
 = 10
Standart Normal
Dağılım
Z = 1
0.0478
3.8 m = 5
X
-0.12 mZ= 0
Z
Örnek
P(2.9  X  7.1) = ?
Normal
Dağılım
X m
2.9  5
Z

 .21
10

X m
7.1  5
Z

 .21 Standart Normal
10

Dağılım
 = 10
Z = 1
.1664
.0832 .0832
2.9 5 7.1 X
-.21 0 .21
Z
Örnek
P(X  8) = ?
X m
85
Z

 .30
10

Normal
Dağılım
Standart Normal
Dağılım
 = 10
Z = 1
.5000
.3821
.1179
m =5
8
X
mZ= 0 .30 Z
Örnek
P(7.1  X  8) = ?
Normal
Dağılım
7.1  5
Xm
Z

 .21
10

X m
85
Z

 .30 Standart Normal
10

Dağılım
 = 10
Z = 1
.1179
.0347
.0832
m =5
7.1 8
X
=0.1179-0.0832=0.0347
mz = 0
.21 .30 Z
• Örnek:
Bir işletmede üretilen vidaların çaplarının
uzunluğunun, ortalaması 10 mm ve standart sapması
2 mm olan normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir.
Buna göre rasgele seçilen bir vidanın uzunluğunun
8.9mm’den az olmasının olasılığını hesaplayınız.
P ( X  8.9)  ?
X ~ N ( 10 , 4 )
m  10mm
  2mm
 x  m 8.9  10 
P ( X  8.9)  P 

  P ( z  0.55)
2 
 
f(z )
P ( z  0.55)  0.5  0.2088
 0.2912
-0,55
0
z
42
Normal Dağılım Düşünce
Alıştırması
•General Electric için Kalite
Kontrol uzmanı olarak
çalışıyorsunuz. Bir ampulün
ömrü m = 2000 saat,  = 200
saat olan Normal dağılım
göstermektedir. Bir ampulün
•A. 2000 & 2400 saat arası
dayanma
•B. 1470 saatten az dayanma
olasılığı nedir?
Çözüm
A) P(2000  X  2400) = ?
m  2000
  200
Z
X m

Normal
Dağılım

2400  2000
200
 2.0
Standart Normal
Dağılım
 = 200
Z = 1
.4772
m = 2000 2400
X
m Z= 0
2.0
Z
Çözüm
B) P(X  1470) = ?
Z 
X m


1470  2000
200
Normal
Dağılım
  2.65
Standart Normal
Dağılım
 = 200
Z = 1
.5000
.0040
1470 m = 2000
X
.4960
-2.65 mZ= 0
Z
Bilinen Olasılıklar İçin Z Değerlerinin
Bulunması
P(Z) = 0.1217 ise Z
nedir?
.1217
Z = 1
Standart Normal olasılık
Tablosu (Kısmen)
Z
.00
.01
0.2
0.0 .0000 .0040 .0080
0.1 .0398 .0438 .0478
mZ= 0 .31 Z
0.2 .0793 .0832 .0871
0.3 .1179 .1217 .1255
Bilinen Olasılıklar İçin X Değerlerinin
Bulunması
Normal Dağılım
Standart Normal Dağılım
 = 10
Z = 1
.1217
m =5
?
X
X  m  Z   5 (0.31)10 8.1
.1217
mZ= 0 .31
Z
1.Binom Dağılımının
Poisson Dağılımına
Yakınsaması
48
şans değişkeni n ve p parametreli Binom Dağılımı
göstermek üzere, n deneme sayısının büyük olduğu
ayrıca p başarı olasılığının küçük olduğu durumlarda
( tercihen np ≤ 5 ) , x şans değişkeni ile ilgili olasılık
hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından
Binom Dağılımı yerine Poisson Dağılımı kullanılır.
• Her iki dağılımın beklenen değeri(ortalaması)
birbirine eşitlenir ve buradan λ’nın tahmini elde edilir.
•X
•Binom Dağılımı
E ( x)  np
•Poisson Dağılımı
E (x)  
  np
49
• Örnek: Bir sigorta şirketinin müşterilerinin trafik kazası
sonucunu hayatını kaybetme olasılığı 0.003’dür. Sigorta
şirketinin müşterilerinden 1000 kişilik bir örnek alındığında,
a) 4 müşterinin,
b) En az iki müşterinin trafik kazasında hayatını kaybetme
olasılığın hesaplayınız.
•n = 1000 p =0.003
np = 3 ≤ 5
  np = 1000(0.003)= 3
•a) P ( X = 4 ) = ?
•b) P ( X ≥ 2 ) = ?
e 3 34 27 3
P ( X  4) 

e
4!
8
•P ( X ≥ 2 ) = 1 – [ P ( X = 0) + P ( X = 1) ]
 e 3 30 e 3 31 
3
P ( X  2)  1  

  1  4e
1! 
 0!
50
2.Binom Dağılımının
Normal Dağılımına
Yakınsaması
51
X şans değişkeni n ve p parametreli Binom Dağılımı
göstermek üzere, n deneme sayısının büyük olduğu
ayrıca p başarı olasılığının 0,5 değerine yaklaşması
sonucunda( tercihen np > 5 ) , x şans değişkeni ile ilgili
olasılık hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından
Binom Dağılımı yerine Normal Dağılım kullanılır.
• Normal Dağılımın parametreleri olan m ve 2 tahmin
edilirken Binom Dağılımının beklenen değer ve varyans
formülleri dikkate alınır.
•
•Normal Dağılım
•Binom Dağılımı
E (x )  m
2
Var ( x )  
E ( x)  np
Var ( x )  np (1  p )
m  np
  np (1  p )
2
52
Süreklilik Düzeltmesi
• Binom Dağılımı kesikli, normal dağılım ise sürekli bir dağılım
olduğundan, binom dağılımının normal dağılıma yakınsadığı
durumlar için olasılık hesaplamalarında süreklilik düzeltmesi
kullanılması zorunluluğu vardır.
• Kesikli bir şans değişkeni gösteren dağılım sürekli bir
dağılıma yakınsadığında tamsayı değerleri sürekli bir eksende
tanımlanır.
P ( a  X  b )  P a  0.5  X  b  0.5 
P ( X  a )  P  X  a  0 .5 
P ( X  a )  P  X  a  0 .5 
53
• Örnek: Bir kampüste okuyan öğrencilerin % 20 si sigara
içmektedir. Öğrencilerden 225 kişilik bir örnek alındığında,
a) 40’dan fazla kişinin sigara içme olasılığını,
b) 30 kişinin sigara içme olasılığını hesaplayınız.
•n = 225 p = 0.20
np = 45 > 5
m  np = 225(0.20)= 45   np (1  p )  225(0.20)(0.80)  6
•a) P ( X ≥ 40) =? →
P ( X ≥ 39.5) = ?
39 .5  45 

P ( X  39 .5)  P  z 
  P ( z  0.92 )  0.5  0.3212  0.8212
6


•b) P ( X = 30) =? → P ( 29.5 < X < 30.5) = ?
30.5  45 
 29.5  45
P ( 29.5  X  30.5)  P 
z
  P ( 2.58  z  2.42)
6
6


 0.4949  0.4922  0.0027
54
3.Poisson Dağılımının
Normal Dağılımına
Yakınsaması
55
X şans değişkeni λ parametreli Poisson Dağılımı
göstermek üzere, λ parametresinin
büyük olduğu
durumlarda ( tercihen λ ≥ 20 ) , x şans değişkeni ile ilgili
olasılık hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından
Poisson Dağılımı yerine Normal Dağılım kullanılır.
• Normal Dağılımın parametreleri olan m ve 2 tahmin
edilirken Poisson Dağılımının beklenen değer ve
varyans formülleri dikkate alınır.
•
•Normal Dağılım
•Poisson Dağılımı
E (x )  m
2
Var ( x )  
E (x)  
Var (x )  
m   
2
56
• Örnek: Bir havaalanından 1 saatlik süre içerisinde ortalama
olarak 49 adet uçak kalkmaktadır.1 saatlik süre içerisinde
a) 60’dan fazla uçak kalkmasının olasılığını,
b) 30 ile 40 adet arasında bir uçak kalkmasının olasılığını
hesaplayınız.
•λ = 49 ≥ 20
m = λ = 49
    49  7
•a) P ( X > 60) = ? → P ( X > 59.5) = ?
59 .5  49 

P ( X  59 .5)  P  z 
  P ( z  1.5)  0.5  0.4332  0.0668
7


•b) P ( 30 < X < 40) = ? → P (29.5 < X < 40.5) = ?
40 .5  49 
 29 .5  49
P ( 29.5  X  40.5)  P 
z
  P ( 2.79  z  1.21)
7
7


 0.4974  0.3869  0.1105
57