3 FONKSİYONLAR

ÜNİTE – 3
3
KAVRAMSAL ADIM
FONKSİYONLAR
FONKSİYONLAR
Sayfa No
FONKSİYONLAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 - 272
Fonksiyonun Gösterimi, Görüntü Kümesi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Ters Görüntü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Uygulama Adımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Fonksiyon Sayısı, Bir Fonksiyonun Grafiği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Uygulama Adımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Parçalı Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Pekiştirme Adımı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Kuvvet Fonksiyonları, Fonksiyon Türleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Uygulama Adımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Pekiştirme Adımı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Matematiksel Modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Sınama Adımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
f
A
1•
Tanım
Kümesi
• f(1) = 1
B
2•
• f(2) = 4
3•
• f(3) = 9
x•
• f(x) = x2
y
Değer
Kümesi
y = x6
(–1,1)
y = x4
y = x2
f:R$R
x–2
f^xh =
x+4
(1,1)
x
0
y
230
(1, 1)
y = x3
0
y = x5
x
KAVRAMSAL ADIM
FONKSİYONUN GÖSTERİMİ
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A dan B ye bir f bağıntısı tanımlansın.
A nın her elemanını B nin yalnız bir elemanı ile eşleyen f bağıntısına A dan B ye bir fonksiyon denir.
f
B veya şeklinde
A
B
f fonksiyonunun tanım ve değer kümeleri sonlu elemanlı ise elemanların eşlenmiş halleri Venn Şeması veya liste yöntemi ile gösterilebilir.
Örneğin, A = {a, b, c, d} ve B = {1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 5, f(d) = 3 şeklinde ifade edilen f fonksiyonunu Venn Şeması ve liste yöntemiyle gösterelim.
gösterilir.
f: A → B fonksiyonunda A ya tanım kümesi, B ye değer kümesi denir.
f: A → B fonksiyonu verilsin.
f
f: A → B
A
B
x → y = f(x)
a
b
1
2
fonksiyonunda, x in f altındaki görüntüsü y dir.
c
d
3
Burada x e bağımsız değişken, y ye bağımlı değişken denir.
f
A
Liste yöntemiyle gö
1
2
c
d
UYARI
4
5
Venn Şeması ile gösterelim
B
a
b
3
4
5
Venn Şeması ile gösterelim
Liste yöntemiyle gösterelim
f, fonksiyonun adıdır. f(x) fonksiyonu değil, f fonksiyonu
kullanılmalıdır.
f(x), f in x noktasındaki görüntüsü (değeri) dir.
GÖRÜNTÜ KÜMESİ
A ve B boş olmayan iki küme
f: A → B
bir fonksiyon olsun.
UYARI
f
A dan B ye tanımlanan f bağıntısının fonksiyon olması için,
➢
➢
A (tanım kümesinde) da görüntüsü olmayan (açıkta
kalan) eleman olmamalı. (B değer kümesinde açıkta
eleman kalabilir.)
A daki her elemanın B de sadece bir tane görüntüsü
olmalıdır.
B
A
a•
•1
b•
•2
c•
•3
d•
•4
FONKSİYONLAR
TANIM
f: A →
ÜNİTE – 3
FONKSİYONLAR
f(A) görüntü
kümesi
231
ÜNİTE – 3
KAVRAMSAL ADIM
FONKSİYONLAR
A kümesinin elemanlarının B kümesinde eşleştiği elemanlardan
oluşan kümeye A nın f fonksiyonuna göre görüntüsü veya A nın
f altındaki görüntü kümesi denir ve f(A) ile gösterilir.
Matematiksel semboller ile
f(A) = {f(x): x ∈ A} veya
f(A) = {y: x ∈ A, y ∈ B ve (x, y) ∈ f}
f–1(B) = A
şeklinde yazılır ve f(A) 1 B dir.
(x, y) ∈ f gösterimi y = f(x) ile eşdeğerdir.
Görüntü kümesi kavramını bir örnekle açıklayalım.
ETKİNLİK
A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d, e} ve f: A $ B fonksiyonu
f = "^1,a h , ^2,b h , ^3,d h , ^4,c h,
f
A
şeklinde tanımlansın.
f(1) = a, f(2) = b, f(3) = d, f(4) = c
olduğundan f(A) = {a, b, c, d} dir.
A tanım kümesinin görüntü kümesini Venn Şeması ile gösterelim.
f
1•
•a
2•
•b
3•
•c
4•
•d
f–1(B) = A
f: A → B fonksiyonuna göre f–1({a, b}) kümesini bulunuz.
B
A
1•
•a
2•
•b
3•
•c
4•
•d
•e
f(A)
TERS GÖRÜNTÜ
{1, 2}
f: A → B fonksiyonu verilsin.
x → f(x) = y
K 1 B olmak üzere
f
–1
f–1(d) kümesini bulunuz.
]Kg = " x:f ]xg ! K , 1 A
şeklinde tanımlanan kümeye K kümesinin f fonksiyonu altındaki
ters görüntüsü denir.
f–1(K) 1 A
232
B
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
D)
f4
A
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A kümesinden B
kümesine tanımlanan bir fonksiyondur?
A) f1 = "^1, a h , ^3,b h,
B) f2 = "^2, a h , ^3,b h , ^2,b h,
C) f3 = "^1, a h , ^2,a h , ^2,c h , ^ 3, bh,
D) f4 = "^1, a h , ^3,c h , ^2,a h , ^ 2, bh,
E) f5 = "^1, a h , ^2,b h , ^3,c h,
2•
•b
3•
•c
2 elemanı hem a hem b ile eşleşmiş &f4 fonksiyon değil.
f5
A
A)
f1
A
B
1•
•a
2•
•b
3•
•c
Tanım kümesindeki 2 eşleşmemiş & f1 fonksiyon değildir.
B)
f2
A
B
1•
•a
2•
•b
3•
•c
B
1•
•a
2•
•b
3•
•c
2 elemanı hem a, hem c ile eşlenmiş &f3 fonksiyon değil.
1•
•a
2•
•b
3•
•c
f5 fonksiyon
x = – 1 için f ]– 1g = ]– 1g2 + 1 = 2
f3
A
B
2. A = {–2, –1, 0, 1}
f: A → R,
x → y = f(x) = x2 + 1
olduğuna göre, f(A) görüntü kümesini bulalım.
Çözüm:
f ]– 2g , f ]– 1g , f ]0g , f ]1g değerleri görüntü kümesinin elemanlarıdır. Yani
f ]Ag = " f ]– 2g , f ]– 1g , f ]0g , f ]1g, dir.
f(x) = x2 + 1 olduğundan
x = –2 için f(–2) = (–2)2 + 1 = 5
x = 0 için
2 elemanı hem a, hem b ile eşlenmiş, 1
elemanı da eşlenmemiş & f2 fonksiyon
değil
C)
•a
E)
Çözüm:
B
1•
FONKSİYONLAR
1. ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
x = 1 için
f ]0g = 0 + 1 = 1
2
f ]1g = 1 + 1 = 2
2
olup f(A) = {1, 2, 5} tir.
3.
f: Z+ → Z
x → f(x) = 3x – 2
fonksiyonu veriliyor.
A = {1, 2} kümesinin görüntü kümesini bulalım.
Çözüm:
A = {1, 2} olduğundan
f(A) = {f(1), f(2)} dir.
f(x) = 3x – 2 fonksiyonunda
x = 1 için f(1) = 31 – 2 = 3 – 2 = 1
x = 2 için f(2) = 32 – 2 = 9 – 2 = 7
olup f(A) = {1, 7} bulunur.
233
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
4. Bir f fonksiyonu şöyle tanımlanıyor.
FONKSİYONLAR
b) f
f, “Her x pozitif tam sayısını kendisi ile çarpımsal tersinin
toplamına eşleştiriyor.”
O halde
–1
^" 1, 2, 3, 4 ,h
]1g , f
–1
]2g , f
–1
]3g , f
–1
]4 g
= " a, b, c, d ,
= A dır.
6. f: R → R,
biçiminde yazılır. (x ≠ 0 iken x in çarpımsal tersi –1
= ! c + , ! a + , " b, d , , Q
f fonksiyonu her x tam sayısını kendisi ile çarpımsal tersinin
toplamına eşleştirdiğinde matematiksel olarak f fonksiyonu
1
x
]Bg = f
=f
f ]3g
ifadesinin değeri kaçtır?
Buna göre, f ]6g
Çözüm:
f ]xg = x +
–1
1
tir.)
x
f(x) = 3x + 8
fonksiyonu için f–1(4) değeri kaçtır?
Çözüm:
f–1(4) = a ⇒ f(a) = 4 tür.
f ]ag = 3a + 8 = 4 & 3a = 4 - 8 = – 4 & a = –
f ]3g = 3 +
1 10
=
3
3
1 37 olduğundan
f ]6g = 6 + =
6
6
f
10
f ]3g
10 6
20
3
=
=
$
=
bulunur.
3 37 37
f ]6g 37
6
–1
4
olup
3
4
]4g = – bulunur.
3
7. f: R → R
f(x) = x2 + 1
fonksiyonu veriliyor.
f–1(2) kümesini bulunuz.
Çözüm:
y
f–1(2) = {x: f(x) = 2, x ∈ R} olup
f(x) = 2 ⇒ x2 + 1 = 2 ⇒ x2 = 1
f(x)=x2 + 1
2
⇒ x = –1 v x = 1 bulunur.
1
O halde f–1(2) = {–1, 1} dir.
–1
0
1
x
5. A = {a, b, c, d} ve B = {1, 2, 3, 4} kümeleri ve f: A Ø Β
f = "^a,2 h , ^b,3 h , ^c,1 h , ^d, 3h,
8. f: R → R
f(x) = x2
fonksiyonu tanımlanıyor.
fonksiyonu için f–1(–1) kümesini belirleyiniz.
a)f–1(3) kümesini
bulalım.
Çözüm:
b)f–1(B) kümesini
bulalım.
f
]– 1g = " x: f ]xg = – 1, x ! R ,
olup f(x) = –1 ⇒ x2 = –1 ve x ∈ R olacağından
Çözüm:
f–1(–1) = Ø dir.
f
y
B
A
a•
•1
b•
•2
c•
•3
d•
•4
a) f–1(3) = {x: f(x) = 3, x ∈ A}
olup A kümesinin f(x) = 3 eşitliğini sağlayan elemanları
f(b) = 3 ve f(d) = 3 olduğundan f–1(3) = {b, d} dir.
234
–1
0
f(x) = x 2
x
–1
y = f(x) = x2 fonksiyonunun grafiği ile y = –1 doğrusunun
ortak noktasının olmadığını grafikten görünüz.
9. Aşağıdaki eşitliklerde y ; x in bir fonksiyonu mudur?
x ; y nin bir fonksiyonu mudur? Neden?
a) 6y + 3x – 2 = 0
b) y = 3x2
c) x2 + 3y = 0
d) x + y2 = 1
e) x2 + y2 = 4
Çözüm:
a) 6y + 3x – 2 = 0 ⇒ 6y = –3x + 2 ⇒ y =
y = – 4–x
2
4 – x veya
2
olup y x in bir fonksiyonu değildir. Örneğin
x = 1 için y =
4 – 1 = 3 veya y = – 4 – 1 = – 3 olup
2
2
x = 1 in iki tane görüntüsü vardır.
e) x2 +y2 = 4 ⇒ y2 = 4 – x2 ⇒ y =
Benzer şekilde x2 + y2 = 4 ⇒ x2 = 4 – y2
⇒x=
olup x y nin bir fonksiyonu değildir. y nin –2 ≤ y ≤ 2 koşulunu
2
sağlayan her y için iki tane x görüntüsü olacaktır.
–3x + 2
olup y, x in
6
bir fonksiyonudur. (Her x için bir tane y değeri vardır.)
–6y + 2
6y + 3x – 2 = 0 ⇒ 3x = –6y + 2 ⇒ x =
3
olup x; y nin bir fonksiyonudur. (Her y için bir tane x değeri
2
4 – y veya x = – 4 – y
100
eşitliği bir ürünün birim başına fiyatı p ve belirtilen
q
fiyattan haftalık olarak tüketicinin satın alacağı ürünün birim
10. p =
vardır.)
b) y = 3x2 eşitliğinde y> x’in bir fonksiyonudur. (Her x için bir
sayısı (yani talebi) arasındaki ilişkiyi tanımlasın. Bu denklem
bu ürün için bir talep denklemidir. q girdi sayısını göstermek
tane y değeri vardır.)
y
y = 3x2 ⇒ x2 =
⇒ x=
3
bir fonksiyonu değildir.
y
veya x = –
3
3
= 1, x = –
3
y
olup x, y nin
3
3
= –1
3
Örneğin y = 3 için x =
olup 3 ün 1 ve –1 gibi iki görüntüsü olur.
x
eşitliğinde y; x in bir
3
fonksiyonudur. (Her x için bir tane y değeri vardır.)
c) x2 + 3y = 0 ⇒ 3y = –x2 ⇒ y = –
2
x2 + 3y = 0 ⇒ x2 = –3y ⇒ x = –3y veya x = – –3y
olur. x ; y nin bir fonksiyonu değildir.
Örneğin y = –3 için x = ^–3 h^–3 h = 3, x = – ^–3 h^–3 h = –3
üzere, her bir q değerine sadece bir p çıktı sayısı atanır.
q$
100
=p
q
100
=4
25
Örneğin 25 $
verilebilir. Yani q = 25 ise p = 4 tür.
Böylece p fiyatı talep miktarı olan q nun bir fonksiyonudur. Bu
fonksiyon talep fonksiyonu olarak adlandırılır.
Bağımsız değişken q dur ve p bağımlı değişkendir. q sıfır olamayacağı için (0 ile bölüm tanımsızdır) ve negatif olamaya-
olur. Yani y = –3 için, x in iki değer alması –3 ün iki tane gö-
cağından (q miktarı gösteriyor) bu fonksiyonun tanım kümesi
rüntüsü olması demektir. Bu ise fonksiyon tanımına aykırıdır.
q > 0 koşulunu sağlayan tüm q değerleridir.
x, y nin bir fonksiyonu değildir.
d) x + y2 = 1 ⇒ y2 = 1 – x ⇒ y = 1– x
veya y = – 1– x dir. y; x in bir fonksiyonu değildir. Örneğin
x = –3 için
y=
Yukarıdaki örnekte, bir fonksiyonun tanım kümesindeki her
bir girdisi için değer kümesinde sadece bir çıktı sayısı atayan
bir eşleştirme olduğunu gördük.
f(x) = x2 ile verilen eşleştirmeler için bazı örnek atamalar şu
şekildedir: 1– ^–3 h = 4 = 2 veya y = – 1– ^–3 h = –2
olur. Yani x = –3 ün iki tane görüntüsü var. (y = 2 ve y = –2)
Bu fonksiyon tanımına aykırıdır.
x + y2 = 1 ⇒ x = 1 – y2 olup her y için bir tane x değeri vardır.
Bu nedenle x ; y nin bir fonksiyonudur.
f
A
Tanım
Kümesi
B
1•
• f(1) = 1
2•
• f(2) = 4
3•
• f(3) = 9
x•
• f(x) = x2
Değer
Kümesi
235
FONKSİYONLAR
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 3
KAVRAMSAL ADIM
FONKSİYON SAYISI
BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ
FONKSİYONLAR
TEOREM
f: A → B fonksiyonu verilsin.
TEOREM
x → y = f(x)
A ve B iki küme s(A) = m ve s(B) = n olsun.
A dan B ye tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısı
TEOREM
s(B)s(A) = nm
(x, f(x)) ikililerine dik koordinat sisteminde karşılık gelen noktaların
kümesine
f fonksiyonunun grafiği denir.
f fonksiyonun grafiği
dir.
G f = #^x, y h : y = f ]xg-
biçiminde tanımlıdır.
Koordinat eksenleri analitik düzlemi (|R2) dört bölgeye ayırır.
İspat
İspat
s(A) = m ve s(B) = n olduğundan
y
A = #x1 , x2 ,f , xm B = #y1 , y2 ,f , yn olsun.
İspat
Tanımlanabilecek tüm fonksiyonların tanım kümeleri A, değer kümeleri B dir.
A
$ y1 , y2 , y3 f , yn
x2
$ y1 , y2 , y3 ,f , yn
x3
$ y1 , y2 , y3 ,f , yn
h
TEOREM
xm
f
B(x2, y2)
A(x1, y1)
x2 < 0, y2 > 0
x1 > 0, y1 > 0
0
IV. Bölge
C(x3, y3)
D(x4, y4)
x3 < 0, y3 < 0
x4 > 0, y4 < 0
x
h
$ y1 , y2 , y3 ,f , yn
A kümesindeki her elemanın B kümesinde eşleşebileceği
y1, y2, y3, ....., yn gibi n tane eleman vardır.
x1 > 0
I. Bölge y1 > 0
III. Bölge
Yani
x3 1 0
y3 1 0
II. Bölge IV. Bölge
x2 1 0
y2 2 0
x4 2 0
y4 1 0
koşullarını sağlayan noktalardan oluşur.
x 1 için n tane
x 2 için n tane
x 3 için n tane
h
x m için n tane
İspat
durum var. O halde A dan B ye n.n.n f n = n
1 44 2 44 3
m
tanımlanabilir.
236
I. Bölge
III. Bölge
B
x1
II. Bölge
m
tane fonksiyon
Eksenler üzerindeki noktalar herhangi bir bölgeye ait değildir.
Bir fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği noktayı bulmak için y = f(x) ile verilen bağıntıda y = 0 yazılır ve f(x) = 0 denkleminin
kökleri bulunur. y eksenini kestiği noktayı bulmak için verilen bağıntıda x = 0 yazılarak y = f(0) değeri bulunur.
A = {a, b, c}
3. s(A) = n ve s(B) = 3 tür.
B = {∆, ❏, ❏, .}
kümeleri veriliyor.
A dan B ye tanımlanabilecek fonksiyonların sayısı kaçtır?
A dan B ye tanımlanabilecek fonksiyonların sayısı 243 olduğuna göre, n kaçtır?
Çözüm:
s(A) = n, s(B)= 3 ve A dan B ye tanımlanabilecek fonksiyon
sayısı 243 ise
_
243 3b
81 3b
b
n
5
3 = 243 = 3
27 3b
BC
A BBBBBBB
` 5 tane
9 3b
n=5
3 3b
b
b
1
tir.
a
Çözüm:
s(A) = 3 ve s(B) = 4 olduğundan
A dan B ye s(B)s(A) = 43 = 64 tane fonksiyon tanımlanabilir.
4. A ve B kümeleri için s(A) = 2n ve s(B) = n dir.
A dan B ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısı 216 olduğuna göre, s(A) kaçtır?
Çözüm:
2.
s ]Bgs
A = " x: x # 2, x ! Z ,
B = # y: y - 1 # 2, y ! Z -
kümeleri veriliyor.
B den A ya tanımlanabilecek fonksiyonların sayısı kaçtır?
]Ag
=n
2n
=2
16
n
8
n
4
,n = 2
,n =4
, n = 4 olur.
O halde s(A) = 2.n = 2.4 = 8 bulunur.
Çözüm:
Önce A ve B kümelerinin eleman sayılarını bulalım.
A kümesi için
x # 2 , – 2 # x # 2 olup
A = {–2, –1, 0, 1, 2}
s(A) = 5 tir.
B kümesi için
y–1 # 2 , –2 # y–1 # 2
–2 + 1 # y # 2 + 1
– 1 # y # 3 olur.
B = {–1, 0, 1, 2, 3} bulunur.
s(B) = 5 olduğundan A dan B ye tanımlanabilecek fonksiyonların sayısı
55 tanedir.
5. f: R → R
f(x) = 3x + k
fonksiyonu için f(5) – f(3) farkı kaçtır?
Çözüm:
f(5) = 3.5 + k = 15 + k
f(3) = 3.3 + k = 9 + k
olduğundan
f(5) – f(3) = (15 + k) – (9 + k) = 15 + k – 9 – k = 6
bulunur.
237
FONKSİYONLAR
1. ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
FONKSİYONLAR
6. f: R → R,
7.
y = f(x) = 6 – 3x
fonksiyonunun x ve y eksenlerini kestiği noktaları bulup grafiğini çiziniz.
y
3
2
Çözüm:
y = f(x)
1
y = 6 – 3x
y = 0 için 0 = 6 – 3x
x=2
3 –1
–—
2
olup f nin grafiği x– eksenini A(2, 0) noktasında keser.
x = 0 içiny = f(0) = 6 – 3.0
y = 6 dır.
f nin grafiği y– eksenini B(0, 6) noktasında keser.
y = 6 – 3x bir doğru denklemidir. Bu nedenle çizilecek grafik
doğru olacaktır.
Şekilde f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Çözüm:
Grafiğe göre
3
3
f c – m = 3, c f c – m ! 2 m , f ]0g = 0, f ]1g = 2, f ]– 1g = 0 dır.
2
2
6 B
x1–
y
0
2
6
A
0
0
x
1
3
f c – m + f ]0g + f ]1g
2
f ]– 2g + f ]3g + f ]– 1g
ifadesinin değeri kaçtır?
y
x
0
x
2
3
için f ]xg = 2 olup f ]– 2g = 2
2
O halde
3
f c – m + f ]0 g + f ]1g
2
3+0+2 5
=
= bulunur.
f ]– 2g + f ]3 g + f ]– 1g 2 + 1 + 0 3
y = 6 – 3x
y
f(x) = y
d
a
0
b
e
c
x
8.
y
y = f(x)
k
–3
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonu için
f(a) = f(b) = f(c) = 0
UYARI
Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olması için grafiği
kesen ve y eksenine paralel olan doğrular çizilir. Bu doğrular grafiği sadece bir noktada kesiyorsa verilen grafik bir
fonksiyon grafiğidir.
238
3
x
–1
f(0) = d, f(e) = k dır.
(m, n) ∈ f y = f ]0g = 6 f(m) = n dir.
–1
Şekilde f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) f(2).f(–2) < 0
C) f(1).f(5) < 0
1
B) f c – m .f ]1g 2 0
4
D) f(–2).f(5) > 0
1
5
E) f c – m .f c m 1 0
3
2
Çözüm:
9. Aşağıda grafiği verilen fonksiyonların tanım ve değer kümelerini bulunuz.
y
A)
y
B)
y = x2
y=x
x
0
x
0
k
y
C)
b
1 1
− −
2 3
–3
–2
–1
1
0
3
2
2
y=x3
y=3
3
4
c
p
y
D)
5
x
x
0
–1
x
0
d
n
a
f ]2g = a 1 0
f ]– 2g = b 2 0
1
fc– m = c 1 0
2
f ]1g = d 1 0
f ]5 g = e 2 0
f ]4 g = k 2 0
1
fc– m = p 1 0
3
3
fc m = n 1 0
2
.
-
+
1
–2
2
0
x
–3
5
x
0
–1
y=4–x2
y
K)
y=(x–1)2+2
y
L)
y=x+1
3
1
B) f c – m . f ]1g 2 0 doğru
4
.
.
-
y
F)
4
Buna göre,
A) f ]2g . f ]- 2g 1 0 doğru
.
y
E)
3
2
1
2
0
-
1
x
0
1
2
x
C) f ]1g . f ]5g 1 0 doğru
.
.
-
+
Çözüm:
A) Tanım kümesi = R, Değer kümesi = R
B) Tanım kümesi = R, Değer kümesi R , ! 0 +
+
C) Tanım kümesi = R, Görüntü kümesi = {3}
D) f ]–2g . f ]5g 2 0 doğru
D) Tanım kümesi = R, Değer kümesi = R
.
.
E) Tanım kümesi = R, Değer kümesi = (–∞, 4]
+
+
F) Tanım kümesi = [–3, 5], Değer kümesi = [–1, 1]
K) Tanım kümesi = R, Değer kümesi = [2, ∞)
E)
L) Tanım kümesi = N, Değer kümesi = Z+
1
5
f c – m . f c m 2 0 olmal›yd›
3
2
.
.
-
-
Yanıt: E
239
FONKSİYONLAR
y
e
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
y
10.
11.
y = f(x – 2)
y
4
FONKSİYONLAR
2
3
3
2
–1
0
2
1
x
3
–3
–1
x
3
1
–2
y = f(1 + x)
Şekilde y = f(1 + x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Şekilde f(x – 2) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
f(x + 1) = 1 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
Şekilden
x = 3
& f(3 – 2) = 2
x = 1
& f(1 – 2) = 1
f(f(3)) + f–1(–2) + f–1(3)
toplamının değeri kaçtır?
x = 0
x = –1
x = –3
f(–1) = 1
&
&
&
&
f(1) = 2
f(–1) = 1
3
f(0 – 2) = & f(–2) =
2
f(–1 –2) = 1 & f(–3) = 1
f(–3 –2) = 0 & f(–5) = 0
f(x + 1) = 1 olması için
&
&
f ^–1 h = 1 & x + 1= –1 & x = –2
f (–3) = 1& x + 1= –3 & x = –4
Çözüm:
4 –2 – 4 = –6 bulunur.
(2, 0) grafik üzerindedir.
y = f(1 + x) eşitliğinde x = 2 ve y = 0 için
12.
y
x = 2 & f(1 + 2) = f(3) = 0 bulunur.
y= f(x+2)
2
= f(f(3)) = f(0) olup
–3
y = f(1 + x) ve x = –1 için f(1 – 1) = 4
f(0) = 4
f(f(3)) = 4
x
Şekilde y = f(x + 2) fonksiyonunun grafiği veriliyor.
f(a) = 0 olacak şekildeki a değerlerinin toplamını bulalım.
Çözüm:
x = 0 & f(1 + 0) = 3
14243
f(1) = 3 & 1 = f–1(3)
x = –3 ⇒ f(–3 + 2) = 0
x=1
⇒ f(1 + 2) = 0
x=3
f(–1) = 0 ⇒ a = –1
f(3) = 0 ⇒ a = 3
⇒ f(3 + 2) = 0
f(5) = 0 ⇒ a = 5 olup
f(a) = 0 koşulunu sağlayan a değerleri –1, 3, 5 olup
toplamları –1 + 3 + 5 = 7 dir.
240
3
x = 3 & f(1 + 3) = –2
14243
4 = f–1(–2) O halde f(f(3)) + f–1(–2) + f–1(3) = 4 + 4 + 1 = 9 bulunur.
1
F ^x h = 0,38 x + 5 = 29.32 & 0,38x = 29, 32 – 5
13. Bir otomobil kiralama şirketi bir gün için araç kiralayan kişiden
& 0,38x = 24,32
F(x) = 0,25x + 35
38x = 2432
2432
x=
= 64 dakika
38
bağıntısına göre ücret talep ediyor. Burada x, bir gün içinde
gidilen yol (km) ve F fiyat fonksiyonu olmak üzere
a) 40 km yol giden bir kişi kaç TL öder?
konuşma yapılmıştır.
b) Kişinin bir günlük kiralama için ayırdığı 100 TL olduğuna göre en çok kaç km yol yapabilir?
c) 1 aylık telefon görüşmeleri için 60 TL ayıran kişinin en çok
kaç dakika görüşme yapacağı
Çözüm:
a) x = 40 km ve F(x) = 0,25x + 35 olduğundan kişinin ödeyeceği para F(40) = 0,25 . 40 + 35 = 45 TL dir.
eşitsizliği ile bulunur.
b) 1 günlük kiralama için 100 TL para ayırdığına göre bu para
ile gidebileceği yol en çok
& 0,38x # 60 – 5
& 0,38x # 55
F(x) = 0,38x + 5 ≤ 60
0,38x + 5 # 60
0,25x + 35 ≤ 100
eşitsizliği ile bulunur.
&
0, 25 x + 35 ≤ 100 & 0,25x ≤ 100 – 35
&
x
≤ 65
4
38x # 5500
5500
x #
= 145
38
x # 145 dakika olacakt›r.
& 0, 25x ≤ 65
&
& x ≤ 65.4 = 260
O hâlde 1 aylık görüşmeleri için 60 TL ayıran bir kullanıcı en
çok 145 dakika görüşme yapabilir.
& x ≤ 260
olup bir gün için en çok 260 km yol yapabilir.
15. Sağlık harcamalarının toplam giderleri milyon dolar olarak,
H(t) = 26t + 411
14. Bir telefon operatörü uluslararası görüşmeler için kullanıcılardan aylık
fonksiyonuyla belirlenmiştir. Burada t, 1 Ocak 1990 yılından
itibaren yılların sayısıdır.
Buna göre
a) 2000 yılındaki sağlık harcamaları toplamını bulunuz.
b) Hangi yılda sağlık harcamaları toplamı 879 milyon dolardır? (Burada t değişkenindeki değişim ∆t = 1 alınacaktır.)
c) Hangi yılda sağlık harcamaları toplamı 1 trilyon doları
(1000 milyon dolar) aşacaktır?
F(x) = 0,38x + 5
fiyat fonksiyonuna göre ücret almaktadır. Burada x, dakika ve
F, x dakika sonunda ödenecek ücret fonksiyonunu gösteriyor. Buna göre
a) 1 ay sonunda
50 dakikalık görüşme yapan bir kullanıcı kaç TL öder?
b) 1 ay sonunda 29.32 TL lik fatura ödeyecek olan kullanıcı kaç dakika konuşma yapmıştır?
c) Bir kullanıcı aylık telefon görüşmeleri için 60 TL ayırdığına göre en çok kaç dakika görüşme yapabilir?
Çözüm:
a) Kullanıcı 1 ayda 50 dakika görüşme yaptığına göre ay sonunda ödeyeceği fatura tutarı
F(50) = 0,38.50 + 5 = 24 TL dir.
b) 1 aylık fatura tutarı 29,32 TL ise
Çözüm:
a) 2000 yılındaki sağlık harcamaları toplam gideri için t = 10
alınır.
H(10) = 26.10 + 411 = 671 milyon dolardır.
b) H (t) = 26 . t + 41 1 = 879
& 26t = 879 – 411
& 26t = 468
& t = 18 olup
1990 + 18 = 2008 yılında sağlık harcamaları toplamı 879 milyon dolar olacaktır.
241
FONKSİYONLAR
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
c) H(t) = 26t + 411 > 1 trilyon dolar = 1000 milyon dolar
17. Şekilde y = f(x) doğrusunun grafiği veriliyor.
FONKSİYONLAR
26t + 411 2 1000 & 26t > 1000 – 411
y
(88, 80)
& 26t > 589
& t > 22, 6
olup t = 23 alınarak 1990 + 23 = 2013 yılında sağlık harcamaları toplam gideri 1 trilyon doları aşacaktır.
16. Ortalama aylık iş göremezlik ödeneği B fonksiyonu ile TL olarak
ile veriliyor. (Burada t, 1 Ocak 1990 tarihinden itibaren yıl sayısını gösteriyor.)
Buna göre
a) 2000 yılında ortalama aylık işgöremezlik ödeneği kaç
bin TL dir?
b) Hangi yılda ortalama aylık iş göremezlik ödeneği 893.72
TL dir? (Burada t değişkenindeki değişim Dt = 1 olarak alınacaktır)
B(t) = 19,25t + 585,72
c) Hangi yılda ortalama aylık işgöremezlik ödeneği
1000 TL yi aşar?
(40, 50)
B ^ t h = 19, 25.t + 585, 72 = 893, 72
Grafiğe göre aşağıdaki denklem ve eşitsizlikleri çözünüz.
a) f(x) = 50
b) f(x) = 80
c) f(x) = 0
d) f(x) > 50
e) f(x) ≤ 80
f) 0 < f(x) < 80
Çözüm:
a) (40, 50) noktası grafiğe ait olduğundan f(40) = 50 olup
f(x) = 50 denkleminin çözüm kümesi Ç = {40} dır.
b) (88, 80) noktası grafiğe ait olduğundan f(88) = 80 dir. o
halde f(x) = 80 denkleminin çözüm kümesi Ç = {88} dir.
c) (–40, 0) noktası grafiğe ait olduğundan f(–40) = 0 dır.
f(x) = 0 denkleminin çözüm kümesi Ç = {–40} dır.
50 – 0
50 5
=
= > 0 olup y = f(x)
d) Doğrunun eğimi m =
40 – ^–40 h 80 8
fonksiyonu artandır.
Bu nedenle f(x) > 50 eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç = {40, +∞)
dur.
e) y = f(x) doğrusu artan olduğundan f(x) ≤ 80 eşitsizliğinin
çözüm kümesi x ≤ 88 eşitsizliğini sağlayan x değerlerinden
oluşmaktadır. Çözüm kümesi Ç = (–∞, 88] olur.
f) Grafikten 0 < y < 80 ⇒ –40 < x < 88 olur.
19, 25t = 893, 72 – 585, 72
O hâlde 0 < f(x) < 80 eşitsizliğinin çözüm kümesi
19, 25t = 308
308
30800
t=
=
= 16
19, 25
1925
Ç = (–40, 88) olur.
18. Şekilde y = g(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor.
y
olup 1990 + 16 = 2006 yılında gerçekleşir.
c) B ^ t h = 19, 2 5 t + 585, 72 > 1000
(–15, 60)
19, 25t > 1000 – 585, 72
19, 25t > 414, 28
414, 28 41428
t>
=
19, 25
1925
t > 21, 52
t = 22 alınarak 1990 + 22 = 2012 yılında ortalama aylık işgöremezlik ödeneği 1000 TL yi aşar.
242
x
0
B(10) = (19,25).10 + 585,72 = 778,22 TL
b)
(–40, 0)
Çözüm:
a) 2000 yılındaki ortalama aylık işgöremezlik ödeneği için
t = 10 alınır.
y = f(x)
(5, 20)
(15, 0)
0
x
Grafiğe göre aşağıdaki denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümesini bulunuz.
a) g(x) = 20 b) g(x) = 60
c) g(x) = 0
d) g(x) > 20
e) g(x) ≤ 60 f) 0 < g(x) < 60
y
b)
Çözüm:
a) (5, 20) noktası grafiğe ait olduğundan g(5) = 20 dir. O
hâlde g(x) = 20 denkleminin çözüm kümesi Ç = {5} dir.
y = g(x)
FONKSİYONLAR
y = f(x)
y0
6
b) (–15, 60) noktası grafiğe ait olduğundan g(x) = 60 denkleminin çözüm kümesi Ç = {–15} dir.
y1
c) (15, 0) noktası grafiğe ait olduğundan g(15) = 0 dır.
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
g(x) = 0 denkleminin çözüm kümesi Ç = {15} olur.
d) Önce grafik üzerindeki iki nokta yardımıyla doğrunun eğimini bulalım.
x0
–4
x
0
x0 < –4 için
f(x0) = y0 > 6
20 – 0
20
=
= –2 < 0 olduğundan
5 – 15 –10
y = g(x) fonksiyonu azalandır.
Eğim = m =
g(x0) = y1 < 6
olup x < –4 için f(x) > g(x) dir.
O hâlde g(x) > 20 eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin kümesi
Ç = (– 3, 5) dir.
O hâlde f(x) > g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç = (– 3,–4)
olacaktır.
e) y = f(x) fonksiyonu azalan olduğundan g(x) ≤ 60 eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin kümesi
Ç = [–15, +3) olur.
f) Grafikten 0 < g(x) < 60 eşitsizliğinin çözüm kümesi
(–15, 15) dir.
y
20.
y
19.
y = f(x)
y = f(x)
(2, 5)
y = g(x)
y = g(x)
0
x
0
(–4, 6)
x
Şekilde
y = f(x) ve y = g(x)
y = f(x) ve
doğrusal fonksiyonlarının grafikleri veriliyor.
y = g(x) doğrusal fonksiyonlarının grafikleri veriliyor.
Grafiğe göre aşağıdaki soruları çözünüz.
a) f(x) = g(x) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
a) f(x) = g(x) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
b) f(x) > g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
b) f(x) ≤ g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
a) (–4, 6) noktası hem y = f(x), hem de y = g(x) fonksiyonunun
grafiğine aittir. Yani
f(– 4) = 6 ve g(–4) = 6 dur. O hâlde f(–4) = g(–4) = 6 olduğundan f(x) = g(x)
denkleminin çözüm kümesi Ç = {– 4} dür.
Çözüm:
a) Şekilden her iki fonksiyonun grafiğine ait ortak noktanın
(2, 5) olduğu görülüyor.
Yani f(2) = g(2) = 5 dir. O hâlde f(x) = g(x) denkleminin çözüm
kümesi Ç = {2} dir.
243
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
Grafikten g(x) ≤ f(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi x ≥ –5 koşulunu sağlayan noktalar kümesidir. Yani Ç1 = [–5, +3) dur.
b) x0 ≤ 2 olsun.
FONKSİYONLAR
Grafikten
f(x) < h(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi x < 5 koşulunu sağlayan noktalar kümesidir. Yani Ç2 = (–3, 5) dir. O hâlde
f(x0) ≤ g(x0) olduğu görülüyor.
Yani f(x) ≤ g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç = (–3, 2] dir.
g(x) ≤ f(x) < h(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi
y
[–5, + 3) ∩ (–3, 5) = [–5, 5) bulunur.
g(x0)
y
22.
(0, 7)
5
y = h(x)
(–7, 7)
f(x0)
x
0
O
x0
(7, –8)
x
2
y = g(x)
21. Şekilde y = f(x), y = g(x) ve y = h(x) fonksiyonlarının grafikleri
veriliyor.
y
y = f(x)
(0, 12)
(5, 12)
(0, –8)
y = g(x)
y = f(x)
Şekilde y = f(x), y = g(x) ve y = h(x) fonksiyonlarının grafikleri
veriliyor.
Buna göre;
a) f(x) = g(x) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
b) g(x) < f(x) ≤ h(x) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
y = h(x)
Çözüm:
x
(–6, –5)
(0, –5)
y = g(x)
a) Grafik incelenirse y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri (7, – 8) noktasında kesişmektedir. Yani f(7) = g(7) = – 8
dir. O hâlde f(x) = g(x) denkleminin çözüm kümesi Ç= {7} dir.
Buna göre
a) f(x) = g(x) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
b) g(x) < f(x) ≤ h(x) eşitsizliğinin çözüm kümesini iki hamlede
bulacağız.
b) g(x) ≤ f(x) < h(x) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Önce g(x) < f(x) eşitsizliğinin çözüm kümesini;
Çözüm:
sonra f(x) ≤ h(x) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulacağız. Son
olarak iki çözüm kümesinin kesişimini yazarak istenen kümeyi
elde edeceğiz.
a) Grafik incelenirse y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri (–6, –5) noktasında kesişiyor.
f(–6) = g(–6) = – 5 olduğundan f(x) = g(x) denkleminin çözüm
kümesi Ç = {–6} dır.
Grafik dikkatle incelenirse;
g(x) < f(x) olmasını sağlayan x değerleri için x < 7 dir ve
b) g(x) ≤ f(x) < h(x) eşitsizliğinin çözüm kümesini iki hamlede
bulalım.
Ç1 = (–3, 7) , f(x) ≤ h(x) olmasını sağlayan x değerleri için
x ≥ –7 dir ve Ç2 = [–7, +3) dur.
Önce g(x) ≤ f(x) eşitsizliğinin çözüm kümesini sonra f(x) < h(x)
O hâlde g(x) < f(x) ≤ h(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulup iki kümenin kesişimini
yazarak istenen sonucu bulacağız.
Ç1 ∩ Ç2 = (–3, 7) ∩ [–7, +3)
244
Ç = [–7, 7) bulunur.
KAVRAMSAL ADIM
Çözüm:
Z
] g^xh
]
f : R $ R, f ^x h = [ h ^x h
]
] r^xh
\
a ≤ x < b ise
İstenen fonksiyon
b ≤ x ≤ c ise
Z 3n
, 0 < n ≤ 6 ise
]
]
f ^n h = [^2, 5 h .n , 7 ≤ n ≤ 10 ise
]
]^2, 2 h .n , 10 < n ise
\
c < x ≤ d ise
biciminde tanımlanan f fonksiyonuna parçalı fonksiyon, g(x),
h(x) ve r(x) fonksiyonlarına parçalı fonksiyonun dalları denir.
FONKSİYONLAR
ÜNİTE – 3
PARÇALI FONKSİYON
şeklindedir.
3. Bakteriler bir kültür içinde çoğaltılır. Bakteri sayısının ikiye
katlanması (jenerasyon zamanı) için geçen t zamanı, kültürün
Z 2x – 1 , –2 ≤ x < 3 ise
]
]
1. f: R $ R, f ^x h = [ x + 3 , 3 ≤ x ≤ 4 ise
]]
\ 5 – x , 4 < x ≤ 6 ise
T sıcaklığının (°C) fonksiyonudur.
Eğer bu fonksiyon
Z 1
11
]]
T–
, 30 ≤ T ≤ 36 ise
4
24
f ^Th = [ 4
175
]] T –
, 36 ≤ T ≤ 39 ise
4
\3
şeklinde verilmişse
a) f nin tanım kümesini belirleyiniz.
b) f(32), f(36), f(39) değerlerini bulunuz.
şeklinde tanımlanan f fonksiyonu için
a) f(2)
b) f(3)
c) f(5)
değerlerini bulalım.
Çözüm:
Çözüm:
a) 30 ≤ T ≤ 36 ve 36 ≤ T ≤ 39 olduğundan f fonksiyonunun
a) 2 ∈ [–2, 3) olduğundan f(x) = 2x – 1 ve f(2) = 2 . 2 – 1 = 3 tür.
den oluşur. Yani tanım kümesi [30 ,39] aralığıdır.
b) 3 ∈ [3, 4) olduğundan f(x) = x + 3 ve f(3) = 3 + 3 = 6 dır.
Z 1
11
]]
T+
, 30 ≤ T ≤ 36 ise
4
24
b) f ^T h = [ 4
175
]] T –
, 36 ≤ T ≤ 39 ise
4
\3
tanım kümesi 30 ≤ T ≤ 39 eşitsizliğini sağlayan T değerlerin-
c) 5 ∈ (4, 6] olduğundan f(x) = 5 – x ve f(5) = 5 – 5 = 0
veriliyor. 32 ∈ [30, 36] olduğundan
f ^32 h =
2. Stokları azaltmak için büyük bir mağaza üç farklı fiyat uygula-
1
32 + 66 98 47
$ 32 + 11
=
=
=
dir.
24
4
24
24 12
^6h
1
6 11 17
$ 36 + 11
f ^36 h =
= +
=
ya da
24
4
4 4
4
4
175
175 192 – 175 17
f ^36 h = $ 36 –
= 48 –
=
=
3
4
4
4
4
maktadır. Eğer 0 – 6 arasında çorap çifti alırsanız çiftinin fiyatı
bulunur.
3 TL dir. Eğer 7 ile 10 arasında çorap çiftti alırsanız çiftinin
fiyatı 2,5 TL dir. Eğer 10 dan fazla çorap çifti alırsanız çiftinin
f ^39h =
fiyatı 2,2 TL dir. n çift çorap almanın maliyetini gösteren bir
=
4
175
175 208 – 175
.39 –
= 52 –
=
3
4
4
4
33
bulunur.
4
parçalı fonksiyon yazınız.
245
ÜNİTE – 3
PEKİŞTİRME ADIMI
1. a) f ^x h = *
3x
, x > 1 ise
FONKSİYONLAR
3. G ^x h = *
3x + 2 , x ≤ 1 ise
5
, x = 4 ise
b) g ^x h = *
fonksiyonlarının tanım kümelerini bulunuz.
2x – 3 , 1 ≤ x < 4 ise
2
3x – 1 , x ≤ 1 ise
1+ 2x , x > 1 ise
fonksiyonu için G(–2), G(3) değerlerini bulunuz.
G(–2) = 11
G(3) = 7
a=R
b = [1, 4]
4. h ^ r h = *
Z2 , x > 0
]
]
2. F ^x h = [ 0 , x = 0
]]
\ –2 , x < 0
fonksiyonu için F(10), F(–5), F(0) değerlerini bulunuz.
F(10) = 2
F(–5) = –2
F(0) = 0
246
2
r – 3r + 1 , r < 2 ise
2
2r –r + 3 , r ≥ 2 ise
fonksiyonu için
h(–1), h(3), h(0) değerlerini bulunuz.
h(–1) = 5
h(3) = 18
h(0) = 1
Z 2x
]
, x < –4 ise
] x+3
2
f ^x h = [ x ^x – 1 h , –4 ≤ x < 0 ise
]
] 4x + 1 , 0 ≤ x ise
\
9.
2
3t – 2t + 7 , t < 1
3
2t + 3
, t≥1
fonksiyonu için,
g(1) + g(–2) + g(2) toplamının değeri nedir?
fonksiyonu için
f(2), f(– 2), f(–5) değerlerini bulunuz.
FONKSİYONLAR
5. g ^ t h = *
ÜNİTE – 3
PEKİŞTİRME ADIMI
f(2) = 3
f(–2) = –18
f(–5) = 5
(47)
Z x ^ x + 1 h , x < –2
]
] x
, –2 ≤ x < 1
6. m ^x h = [ 2
]x +1
] x –1
, x ≥1
\3
fonksiyonu için,
a) m(–2) + m(2)
b) m(3) – m(–1)
c) m(m(–1)) + m(m(2))
d) m(m(m(–3)))
değerlerini bulunuz.
10. Büyük grup satışlarını özendirmek için bir tiyatro iki fiyat uygulamaktadır. Eğer grubunuz 10 kişiden az ise her bir bilet
maliyeti 9 TL dir. Eğer grubunuz 10 ya da daha fazla kişiden
oluşuyorsa her bir bilet maliyeti 8,5 TL dir.
13
5
19
b)
2
43
c)
5
n tane bilet almanın maliyetini gösteren parçalı fonksiyonu
yazınız.
a)
d) 3
242
M ^nh = *
9n
, n < 10
8,5n , n ≥ 10
247
ÜNİTE – 3
KAVRAMSAL ADIM
y
KUVVET FONKSİYONLARI
FONKSİYONLAR
y = x6
a sabit bir sayı olmak üzere, f(x) = xa biçimindeki fonksiyonlara
(–1,1)
y = x4
y = x2
(1,1)
kuvvet fonksiyonu denir. Bazı özel durumları düşünelim.
x
0
(i) n pozitif bir tamsayı olmak üzere, a = n
n = 1, 2, 3, 4 ve 5 olduğu f(x) = xn fonksiyonlarının grafikleri de
y
çizilmiştir. (Bunlar yalnızca bir terimi olan polinomlardır.) y = x
(eğimi 1 olan ve başlangıç noktasından geçen doğru) ve y = x2
(1, 1)
y = x3
(bir parabol)
y = x5
0
x
(–1,–1)
y
y
y=x
y
y = x2
1
1
0
x
1
0
y = x3
1
x
1
0
1
x
FONKSİYON TÜRLERİ
1. İçine Fonksiyon
y
y
y = x4
1
x
0
B
A
1
1
0
f
y = x5
1
x
a•
•1
b•
•2
c•
•3
d•
•4
n = 1, 2, 3, 4, 5 için f(x) = xn grafikleri
f: A → B fonksiyonu verilsin. f(A) ≠ B ise f ye içine fonksiyon
denir.
f(x) = xn fonksiyonunun grafiğinin genel şekli, n tamsayısının tek
ya da çift olmasına bağlıdır. n çift ise, o zaman f(x) = xn çift bir
fonksiyondur ve grafiği y = x2 parabolüne benzer. n tek ise,
f(x) = xn tek fonksiyondur ve grafiği y = x3 ün grafiğine benzer.
f: A → B fonksiyonu içinedir. Çünkü değer kümesinde 4 elemanı
tanım kümesinin herhangi bir elemanı ile eşlenmemiştir.
s(A) = n ise A dan A ya tanımlanabilecek içine fonksiyon sayısı
nn – n! dir.
Şekil den görüleceği gibi n artarken f(x) = xn, 0 yakınında düzleşmekte, |x| ≥ 1 için dikleşmektedir. (x küçükse, x2 daha küçük, x3
daha da küçük, x4 ondan da küçük, v.b. olacaktır.)
2. Örten Fonksiyon
s(A) ≥ s(B) olmak üzere f: A → B fonksiyonu verilsin.
f(A) = B ise f ye örten fonksiyon denir.
248
KAVRAMSAL ADIM
s(A) = m
s(B) = n olsun.
A dan B ye tanımlanabilecek bire – bir fonksiyonların sayısı:
olmasıdır. Bunun anlamı
P ^n, m h =
f örten fonksiyon ⇔ f(A) = B dir.
n!
]n - m g !
(n ≥ m)
f: A → B fonksiyonunun bire – bir ve örten olması için
s(A) = s(B) = m olmalıdır.
Grafiği verilen bir fonksiyonun örten olması için grafiği kesen ve x
eksenine paralel olarak çizilen doğrular grafiği en az bir noktada
kesmelidir.
f: A → B bire – bir ve örten fonksiyonların sayısı:
P ^m,m h =
y
m!
= m! dir.
]m - m g !
y
x
0
0
Örnek:
x
A = {a, b, c) ve B = {1, 2, 3, 4} olmak üzere,
f: R → R
y
0
f örtendir.
A dan B ye tanımlanabilecek bire – bir fonksiyonla-
rın sayısını bulalım.
y
x
0
x
Çözüm:
s(A) = 3 ve s(B) = 4 tür.
g: R → R g örten değildir.
A dan B ye bire – bir fonksiyonların sayısı
P ^4, 3 h =
tanedir.
4!
24
=
= 24
^4 – 3 h! 1!
3. Bire – Bir Fonksiyon
s(A) ≤ s(B) olmak üzere f: A → B fonksiyonu verilsin.
Her x1, x2 ∈ A ve x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) veya
f(x1) = f(x2) ⇔ x1 = x2 ise f ye bire – bir fonksiyon denir.
249
FONKSİYONLAR
( 6 y ! B için 7 x ! A $ f ]xg = y : en az bir)
ÜNİTE – 3
A ve B boş olmayan iki küme ve f: A → B olsun. f nin örten fonksiyon olması için gerek ve yeter koşul
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
1.
5. f: R → R, y = f(x) = 4x + 3 fonksiyonu örten midir?
f
FONKSİYONLAR
A
B
a•
•1
b•
•2
c•
•3
d•
•4
Çözüm:
f ]xg = y = 4x + 3
6 y ! R için
y - 3 = 4x
y-3
x=
4
f örtendir
2.
f
A
B
1•
•x
2•
•y
3•
•z
4•
•t
olup değer kümesindeki her y ∈ R için tanım kümesinde bir y–3
x=
! R sayısı bulunabildiğinden
4
f: R → R f(x) = 4x + 3 fonksiyonu örtendir.
ETKİNLİK
f örten değil, içinedir.
3. s(A) = n2 – 12 ve s(B) = 4n ise, Aşağıda şema ile verilen fonksiyonların örten olup olmadığını
gösteriniz.
f: A → B fonksiyonunun örten olması için n en az kaç
olmalıdır?
A
Çözüm:
A
f
s(A) ≥ s(B) olmalıdır.
f
•• ca
•b
•c
B
1•
•a
2• B
31 ••
•b
f
A
1•
•a
f: A → B fonksiyonunun örten olabilmesi için
B
f
•• ac
2• B
13 ••
2•
•b
24 ••
3•
•c
3•
A •b
s(A) ≥ s(B) ise
4•
n2 – 12 ≥ 4n ⇒ n2 – 4n – 12 ≥ 0
(n + 2) (n – 6) ≥ 0
n + 2 > 0 (n ∈ N) olduğundan n – 6 ≥ 0 ⇒ n ≥ 6 olmalıdır.
O halde n nin en küçük değeri 6 dır.
4. f: Z → Z, f(x) = 3x + 1 fonksiyonunun örtenliğini araştıralım.
Çözüm:
Değer kümesinde 5 ∈ Z alalım.
Tanım kümesinde f(x) = 5 olacak şekilde bir x ∈ Z var mıdır?
f ]xg = 3x + 1 = 5 & 3x = 4 & x =
4
gZ
3
olduğundan f: Z → Z, f(x) = 3x + 1 fonksiyonu örten değildir.
250
f
A
•a
A •b
f
B
1•
2 •B
f
A
B
•a
A •b
f
1•
2•
• ca
31 •
• ac
13 •
• db
42 •
• bd
24 •
•c
3•
•c
3•
•d
4•
•d
4•
B
6. A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3, 4} olmak üzere f: A → B fonksiyonu
8. f: R → R
f(x) = x2 fonksiyonu bire–bir midir?
şeklinde tanımlanıyor.
f fonksiyonu bire–bir midir?
–1 ≠ 1 iken f(–1) = f(1) = 1 olduğundan f: R → R
Çözüm:
f(x) = x2 fonksiyonu bire–bir değildir.
FONKSİYONLAR
f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
Çözüm:
f
A
B
a•
•1
b•
•2
c•
•3
9. f: R+ → R,
•4
f(x) = x2 fonksiyonu bire–bir midir?
A kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri de farklıdır.
Çözüm:
Yani
∀x1, x2 ∈ R+ için,
a ! b & f ]a g ! f ]b g
1! 2
b ! c & f ]b g ! f ]c g
f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
2
2
x 1 = x 2 ⇒ x2 = x2 dir.
2!3
a ! c & f ]a g ! f ]c g
1!3
tür.
O halde f: R+ → R , f(x) = x2 fonksiyonu bire–birdir.
Tanım kümesinin herhangi farklı iki elemanı değer kümesinin
farklı iki elemanı ile eşlendiğinden
f = {(1, a), (2, b), (3, c)}
fonksiyonu bire–birdir.
7. A = {a, b, c, d, e} ve B = {1, 2, 3, 4}
kümeleri veriliyor.
f: A → B
fonksiyonu bire–bir midir?
10. A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d} ise
a) A dan B ye tanımlanabilecek bire – bir fonksiyonların sayısı
f= {a, 1), (b, 2), (c, 4), (d, 3), (e, 4)}
b) A dan A ya tanımlanabilecek bire – bir fonksiyonların sayısı kaçtır?
Çözüm:
Çözüm:
f
A = {1, 2, 3}
•1
B = {a, b, c, d} ise
•2
a) A dan B ye bire–bir fonksiyonların sayısı:
A
B
a•
b•
c•
d•
e•
•3
•4
f bire–bir değildir. Çünkü c ≠ e iken f(c) = f(e) = 4 tür.
4!
= 4! = 24 tanedir.
]4 – 3g !
b) A dan A ya bire–bir ve örten fonksiyonların sayısı: 3! = 6
tanedir.
251
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
FONKSİYONLAR
11. A ve B iki küme s(A) = 3 ve s(B) = 4 tür.
14. A = {a, b, c, d} ve s(B) = n
olsun. A dan B ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısı 625 olduğuna göre, n değeri kaçtır?
A dan B ye fonksiyon olmayan kaç tane bağıntı tanımlanabilir?
Çözüm:
Çözüm:
A dan B ye bağıntı sayısı: 2
s ]Ag .s ]Bg
=2
3.4
=2
12
s(A) = 4, s(B) = n dir.
3
] g
fonksiyon sayısı: s ]Bgs A = 4 = 64 olduğundan fonksiyon
olmayan bağıntı sayısı:
212
s(B)s(A) = 625 ise n4 = 625 = 54
n = 5 tir.
– 64 = 4096 – 64 = 4032 bulunur.
15. A = {1, 2, 3, 4, 5} ve s(B) = n
12. A = {a, b, c, d, e} veriliyor.
A kümesinden A kümesine bire–bir olmayan kaç tane
fonksiyon tanımlanabilir?
olsun.
Çözüm:
Çözüm:
s(A) = 5, A dan A ya fonksiyon sayısı: 55 = 3125
s(A) = 5, s(B) = n dir.
bire – bir fonksiyon sayısı: 5! = 120
A dan B ye s(B)s(A) = n5
olup bire – bir olmayan fonksiyon sayısı:
A dan B ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısı, B den A ya
tanımlanabilecek fonksiyon sayısından 7 fazla olduğuna
göre, n değeri kaçtır?
B den A ya s(A)s(B) = 5n
3125 – 120 = 3005 bulunur.
tane fonksiyon tanımlanabilir.
n5 = 5n + 7 ise n = 2 için denklem sağlanır.
13. f: R – {–1} → R – {1}
x
fonksiyonunun bire – bir olduğunu gösteriniz.
x+1
Çözüm:
f(x) =
olsun.
x1, x2 ∈ R – {1} için
f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
olduğunu göstermeliyiz.
x1 _
b
x2
f ^x 1h =
x1
x1 + 1b
=
+
+1
x
x
1
1
2
x 2 `b &
f ^x 2h =
x2 + 1b
a x1 _x2 + 1i = x2 _x1 + 1i
x1 x2 + x1 = x1 x2 + x2
olup f bire – birdir.
252
16. A = {1, 2, 3, 4} ve s(B) = n
x1 = x2
A dan B ye tanımlı bire – bir fonksiyon sayısı 840 olduğuna
göre, n değeri kaçtır?
Çözüm:
s(A) = 4, s(B) = n dir.
P(n, 4) = 840 &
n!
= 840
^n – 4h !
n^n – 1h ^n – 2h ^n – 3h ^n – 4h!
&
= 840
^n – 4h!
⇒ n(n – 1) (n – 2) (n – 3) = 840
eşitlik n = 7 için doğrudur.
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 3
4. Sabit Fonksiyon
6. Doğrusal Fonksiyon
A nın her elemanının B deki görüntüsü aynı ise bu fonksiyona
sabit fonksiyon denir.
4
Yani ∀ x ∈ A için c ∈ B (c sabit) olmak üzere f(x) = c dir.
4
–—
3
A dan B ye s(B) tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
y
x
0
f
y
f: R → R, f(x) = ax + b (a ≠ 0), (a, b ∈ R) fonksiyonuna doğrusal
fonksiyon denir.
c
0
FONKSİYONLAR
y
f: A → B fonksiyonu verilsin.
x
0
x
c
f: R → R, f(x) = ax + b fonksiyonu bire – bir ve örtendir.
Doğrusal fonksiyonun grafiği doğru grafiğidir.
Örneğin; f: R → R,
f(x) = 3x + 4 fonksiyonu doğrusal fonksiyondur.
f(x) = 3x + 4 fonksiyonunun grafiğini çizelim:
d
a
f: R – & – c 0 " R – % c /
f ^xh =
ax + b
fonksiyonunun sabit fonksiyon olması için
cx + d
y = 3x + 4 eşitliğinde x = 0 & y = 3.0 + 4 & y = 4
4
y = 0 & 0 = 3x + 4 & x = 3
a b
c = d olmalıdır.
x
0
4
–—
3
y
4
0
7. Eşit Fonksiyonlar
f: A → B, g = A → C
5. Birim (Etkisiz – Özdeş) Fonksiyon
iki fonksiyon olsun. 6x ∈ A için
A boş olmayan bir küme ve f: A → A fonksiyonu verilsin.
f(x) = g(x) ise f ve g ye eşit fonksiyonlar denir ve f = g ile gösteriliyor.
f fonksiyonu, A kümesinin her elemanını, A kümesinin aynı elemanına eşliyorsa f ye A kümesinin birim fonksiyonu denir.
Örnek:
A = {–1, 0, 1} olmak üzere
Birim fonksiyon Ι ile gösterilir.
f: A → R, g: A → R
Ι: A → A
f(x) = x4 ve g(x) = x2 fonksiyonları eşit midir?
x → Ι(x) = x tir.
f(x) = ax + b fonksiyonunun birim fonksiyon olması için
a = 1, b = 0 olmalıdır.
�
f(ax + b) = cx + d koşulunu sağlayan bir f fonksiyonunun
birim fonksiyon olması için a = c ve b = d olmalıdır.
Çözüm:
Evet, Çünkü,
f(–1) = (–1)4 = 1
g(–1) = (–1)2 = 1
f(0) = 04 = 0
g(0) = 02 = 0
f(1) = 14 = 1
g(1) = 12 = 1
olup 6 x ∈ A için f = g dir.
253
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
1. A = {a, b, c, d} ve B = {1, 2, 3, 4}
FONKSİYONLAR
kümeleri veriliyor.
fonksiyonu sabit fonksiyon mudur?
f = {(a, 2), (b, 2), (c, 2), (d, 2)}
Çözüm:
f = {(a, 2), (b, 2), (c, 2), (d, 2)}
fonksiyonunu Venn Şeması ile gösterelim.
f
A
B
a•
4. f: R → R
f(x) = (2p + 4)x + 3k + 9
fonksiyonunun birim fonksiyon olması için p ve k ne olmalıdır?
Çözüm:
f: R → R,
f(x) = (2p + 4)x + 3k + 9
fonksiyonu birim fonksiyon ise f(x) = x olmalıdır.
Yani
(2p + 4)x + 3k + 9 = x = 1.x + 0
•1
b•
•2
c•
•3
d•
3
2
2p + 4 = 1 ⇒ 2p = –3 ⇒ p = –
3k + 9 = 0 ⇒ 3k = –9 ⇒ k = –3 olmalıdır.
•4
5. f: R → R,
∀x ∈ A için f(x) = 2 olduğundan f sabit fonksiyondur.
2. f: R → R
f(x) = (2n – 4)x2 + (3m + 6)x + n.m – 5 sabit
fonksiyon olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır?
Çözüm:
f sabit fonksiyon olduğundan x2 ve x in katsayıları sıfır olmalıdır.
3m + 6 = 0 ⇒ m = –2 olup
f(x) = n.m – 5 ⇒ f(x) = 2.(–2) –5 ⇒ f(x) = –9 olup f(3) = –9 dur.
Çözüm:
x
0
–3
olup m.n = 4.2 = 8 bulunur.
6. f: R → R, f ]xg = ^3p + 2 h x + ]4n + 2g x + m + 3
2
y
y = –3
fonksiyonu birim fonksiyon ise m.n çarpımı kaçtır?
Çözüm:
f: R → R,
birim fonksiyon ise f(x) = x olmalıdır.
4
n
x +
– 1 = x =1.x + 0
m
2
4
m =1 & m=4
n
n
–1=0 &
=1 &n=2
2
2
2n – 4 = 0 ⇒ n = 2
3. f: R → R, f(x) = –3 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
n
4
f ]xg = m x + c – 1 m
2
fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, m, n, p nin değerlerini bulalım.
Çözüm:
f: R → R, f fonksiyonu birim fonksiyon ise f(x) = x olmalıdır.
Bu durumda x2 nin katsayısı 0, x in katsayısı 1 ve sabit terim
m + 3 sıfır olmalıdır.
O halde
2
2
f ]xg = ^3p + 2 h x + ]4n + 2g .x + m + 3 = 0x + 1.x + 0
<
>
>
.
f: R → R, f(x) = –3 ise f(R) = –3 tür.
f(x) = y = –3 olup grafik yukarıdaki gibidir.
254
0
.
1
.
0
2
3
1
4n + 2 = 1 & 4n = – 1 & n = –
4
bulunur.
m + 3 = 0 & m = –3
3p + 2 = 0 & 3p = – 2 & p = –
7. f: R → R,
a = 2 ve
f doğrusal fonksiyon ve
f(3) = 6
f(6) = 3
olduğuna göre, f(1) değeri kaçtır?
O halde f(x) = ax + b ⇒ f ]xg = 2x +
Çözüm:
olup f c –
f doğrusal fonksiyon olduğundan f(x) = ax + b dir.
f(3) = 6 ⇒ 3a + b = 6
f(6) = 3 ⇒ 6a + b = 3
2
3
2
3
a+b = & $2+b =
3
2
2
3
3 4
b= –
2 3
9–8 1
b=
= dır.
6
6
FONKSİYONLAR
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
1
6
1
1
1
1 1
m = 2. c – m + = – + = 0 bulunur.
12
12
6
6 6
olup bu eşitlikler taraf tarafa çıkarılırsa
(3a + b) – (6a + b = 6 – 3
–a = 3 ⇒ a = –1 dir.
a = –1 ve 3a + b = 6 3(–1) + b = 6 ⇒ b = 6 + 3
⇒ b = 9 dur.
O halde f(x) = ax + b = –x + 9 dur.
9. Uygun koşullarda f: R → R fonksiyonu
f(x) = –x + 9 ⇒ f(1) = –1 + 9 = 8 bulunur.
f(x2 + 1) = 3x2 + 5
eşitliğini sağladığına göre, f(3) değeri kaçtır?
Çözüm:
1. yol: x2 + 1 = 3 ⇒ x2 = 2 dir.
f(2 + 1) = 3.2 + 5 ⇒ f(3) = 6 + 5 = 11 bulunur.
2. yol: f(x2 + 1) = 3x2 + 5 eşitliğinde
x2 + 1 = t diyelim.
8. f: R → R, f doğrusal fonksiyon ve
x2 = t – 1 dir.
2
3
3
4
f c m = , f c – m = - olduğuna göre,
3
2
4
3
Eşitlikten yerine yazılırsa
f ] t g = 3 ]t – 1g + 5 & f ] t g = 3t – 3 + 5
fc –
1
m değeri kaçtır?
12
Çözüm:
f ] t g = 3t + 2 dir.
f(3) = 3.3 + 2 = 9 + 2 = 11 bulunur.
f doğrusal fonksiyon olduğundan
f(x) = ax + b
şeklindedir.
2
2
2
3
fc m =
a+b =
&
3
3
3
2
3
4
3a
4
+b = –
fc – m = & –
4
3
4
3
eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa
2a
3a
3
4
c
+ bm – c–
+ bm = – c– m
3
3
4
2
2a 3a 3
4
+
=
+
3
4
2
3
]4 g
]3 g
]3 g
]2 g
8a + 9a 9 + 8
17a 17
=
&
=
12
6
12
6
12
a=
= 2 dir.
6
10. f: R → R, f doğrusal fonksiyon ve
f–1(2) = 3
f(4) = 1
olduğuna göre, f(5) değeri kaçtır?
255
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
13. f: R → R, f(x) = 2x–1 fonksiyonu veriliyor.
Çözüm:
FONKSİYONLAR
f doğrusal fonksiyon olduğundan
f
–1
f ]x + 1g
f ]x – 1g
ifadesinin eşiti nedir?
f(x) = ax + b dir.
]2g = 3 & f ]3g = 2 & 3a + b = 2
Çözüm:
f ]4g = 1 & 4a + b = 1
olup bu iki eşitlik taraf tarafa çıkarılırsa
f ]xg = 2
]3a + bg – ]4a + bg = 2 – 1
f ]x – 1g = 2
3a – 4a = 1 & – a = 1 & a = – 1dir.
& f ]x + 1g = 2
x – 1– 1
f ]x + 1g = 2
x + 1– 1
x
& f ]x – 1g = 2
x–2
f ]x + 1 g
2
2
2
=
=
=2 =4
f ]x – 1g 2 x – 2 2 x .2 – 2
a = –1 ve 3a + b = 2 ⇒ 3.(–1) + b = 2 ⇒ b = 2 + 3
x-1
b = 5 tir.
x
x
bulunur.
O halde f(x) = ax + b = –x + 5 tir.
f(5) = –5 + 5 = 0 bulunur.
14. Bir f fonksiyonu için f(m + n) = f(m).f(n) ve f(2) = 2 olduğuna
göre, f(10) kaçtır?
11. f: R → R
f(x) = 3x + b fonksiyonu veriliyor.
(4, 2) ∈ f olduğuna göre, b değeri kaçtır?
Çözüm:
f ]10g = f ]2 + 2 + 2 + 2 + 2g yaz › l › rsa
= f ]2g .f ]2g .f ]2g .f ]2g f ]2g
Çözüm:
= 2.2.2.2.2
f(x) = 3x + b ve (4, 2) ∈ f ⇒ f(4) = 2 dir.
5
= 2 = 32
f(4) = 3.4 + b = 2 ⇒ 12 + b = 2 ⇒ b = –10 bulunur.
bulunur.
15. f: R → R, f(x) = 2x + 1 fonksiyonu için
12. f: R → R
f(x – 1) in f(x) cinsinden eşiti nedir?
Çözüm:
f(x) = ax2 + 3x + 6 fonksiyonu veriliyor.
(–1, 2) ∈ f olduğuna göre, f(2) değeri kaçtır?
f(x) = 2x + 1 fonksiyonu veriliyor.
Çözüm:
f(x – 1) = 2(x – 1) + 1 ⇒ f(x – 1) = 2x – 1 ............(_) dir.
f ]xg = ax + 3x + 6 veriliyor.
2
(–1, 2) ∈ f ⇔ f(–1) = 2 dir.
f ]– 1g = a ]– 1g2 + 3. ]– 1g + 6 = 2 & a – 3 + 6 = 2
a = – 1 dir.
f ]xg = –x + 3x + 6 olup f ]2g = – ]2g2 + 3.2 + 6
2
& f ]2g = –4 + 6 + 6 = 8 bulunur.
256
f ]xg = 2x + 1 & f ]xg – 1 = 2x &
f ]xg – 1
= x olup
2
f ]xg – 1
değeri (_) eşitliğinde yerine yazılırsa
2
f ]xg – 1 m
f ]x – 1g = 2. c
–1
2
= ]f ]xg – 1g – 1
x=
f(x – 1) = f(x) – 2 bulunur.
16.
18. f(x) = f(x + 1) + x koşulunu sağlayan f fonksiyonu için
3
f ]xg = 4x – 3 ve g ]xg = ]x + 1g
4
fonksiyonları veriliyor.
g(x) in f(x) cinsinden eşiti nedir?
3 f ]xg + 3
3 ] g 9 3
g]xg = c
+ 1 m & g]xg =
f x +
+
4
16
16 4
4
3 ] g 21
g]xg =
f x +
16
16
3 ] g
]
g
]
gx =
f x + 7g bulunur.
16
FONKSİYONLAR
Çözüm:
x=0
x=1
x=2
h
x=9
Çözüm:
f ]xg = 4x – 3 & f ]xg + 3 = 4x
f ]xg + 3
& x=
ff]_g
4
3
f ]x g + 3
g]xg = ]x + 1g ve ]_g den x =
olup
4
4
f(0) = 6 ise, f(10) değeri kaçtır?
f ]0g = f ]1g + 0
f ]1g = f ]2g + 1
f ]2g = f ]3g + 2
h
h
h
f ]9g = f ]10g + 9
için
için
için
için
Taraf tarafa toplanarak
f ]0g + f ]1g + f f ]9g = f ]1g + f ]2g + f + f ]10g + 0 + 1 + f + 9
f(0) = f(10) + 1 + 2 + ............ + 9
f ]0g = f ]10g +
9.10
2
6 = f ]1 0g + 45
f ]10g = 6 – 45 = - 39 bulunur.
19. Bir f fonksiyonu için
17. Uygun koşullarda
f(x2 + 2x – 1) = 4x2 + 8x – 14
(x – 1).f(x) = x2 – 16 + f(x + 1)
olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır?
Çözüm:
olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır?
(x – 1).f(x) = x2 – 16 + f(x + 1)
Çözüm:
x = 1 için (1 – 1).f(1) = 12 – 16 + f(1 + 1)
f _ x + 2x – 1 i = 4x + 8x – 14
0 = –15 + f(2)
f(2) = 15
biçiminde yazılıp x2 + 2x – 1 = t denilirse f(t) = 4t – 10 olur.
x = 2 için (2 – 1).f(2) = 22 – 16 + f(2 + 1)
f(2) = –12 + f(3)
2
2
f _ x + 2x – 1 i = 4 _ x + 2x – 1 i – 10
2
2
O halde f(x) = 4x – 10 dur.
f(3) = 4.3 – 10 = 2 bulunur.
15 = –12 + f(3)
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
f(3) = 27 bulunur.
257
ÜNİTE – 3
UYGULAMA ADIMI
20. f(x) = x2 ise
FONKSİYONLAR
f ^x + h h – f (x)
oranını bulalım.
h
Çözüm:
f^x + hh – f^xh
bir fark bölümü olarak
h
adlandırılır. Burada pay, fonksiyon değerlerinin bir farkıdır. O
f(x + h) – f(x) bir fark,
23. f : R $ R
(x + 1).f(x – 1) = 3x – 4
fonksiyonu için, f(x + 2) nin f(x) cinsinden eşitini bulalım.
Çözüm:
(x + 1).f(x – 1) = 3x – 4 fonksiyonu veriliyor. Fonksiyonu
halde;
2
2
2
f ^x + h h – f ^x h ^x + hh2 – x
x + 2xh + h – x
=
=
h
h
h
2
h ^2x + h h
2xh + h
=
=
^h ≠ 0h
h
h
= 2x + h bulunur.
2
f^x – 1h =
3x – 4
şeklinde yazalım.
x+1
f(x) i bulmak için, x yerine (x + 1) yazalım. Bu durumda;
f^x + Y
1–Y
1h =
3^x + 1h – 4
olur.
x+1+1
Buradan,
f^xh =
3x – 1
………… (1) elde edilir.
x+2
Şimdi, f(x + 2) yi bulmak için verilen fonksiyonda x yerine
(x + 3) yazalım. Bu durumda,
f ^4 + h h – f (4)
21. f(x) = 6x + 8 ise
oranını bulalım.
h
Çözüm:
f ^4 + h h – f ^4 h 66 ^4 + h h + 8@ – ^6.4 + 8h 32 + 6h – 32
=
=
h
h
h
6h
=
=6
h
^h ≠ 0h
bulunur.
3^x + 3h – 4
x+3+1
3x + 9 – 4
& f^x + 2h =
x+4
3x + 5
……… ^2 h elde edilir.
f^x + 2h =
x+4
f^x + 3 – 1h =
(1) ifadesinde x i çekersek,
f^xh =
3x – 1
x+2
x.f(x) + 2f(x) = 3x – 1
x.f(x) – 3x = –1 – 2f(x)
x(f(x) –3) = –1 – 2f(x)
x=
1 + 2f ^x h
3 – f^xh
bulunur.
Bulduğumuz x i (2) denkleminde yerine yazalım.
1 + 2f ^x h
3x + 5
, x=
x+4
3 – f^xh
1 + 2f ^x h
3 + 6f ^x h + 15 – 5f ^x h
p+ 5
3f
3 – f^xh
3 – f^xh
=
f^x + 2h =
+
f
x
1
2
^
h + 12 – 4f ^xh
1 + 2f ^x h
f
p+ 4
3 – f^xh
3 – f^xh
f^x + 2h =
22. f(x) = x2 – 9 ise
f^xh – f^6h
oranını bulalım.
x–6
Çözüm:
f ^x h – f ^6h _ x – 9 i – _ 6 – 9 i x 2 – 9 – 36 + 9
=
=
x–6
x–6
x–6
2
x – 36 ^x – 6 h^x + 6 h
=
=
x–6
x–6
= x + 6, ^x ≠ 6 h
2
bulunur.
258
2
18 + f ^x h
=
3 – f^xh
13 – 2f ^x h
=
3 – f^xh
.
3 – f ^x h 13 – 2f ^x h
18 + f ^x h
3 – f^xh
18 + f ^xh
bulunur.
f ^x + 2h =
13 – 2f ^x h
1. Aşağıda verilen fonksiyonların eşit olup olmadığını belirtiniz.
a) f(x) = x,
g(x) =
b) F(t) = ^ t h , x
2
1 , x ≥ 0 ise
–1 , x < 0 ise
a) F(x) = 3x2 – 9
c) f(t) =
G(t) = t
a) Hayır
b) Evet
2. f ^x h = *
4. Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini belirtiniz.
,
b) G(x) =
x+1
x+2
FONKSİYONLAR
2
ÜNİTE – 3
PEKİŞTİRME ADIMI
3t + 1
x+1
d) g ^ t h = 2
t–2
x + 4x + 3
a) R
b) R – {–2}
c) R – {2}
d) R – {–1, –3}
x
g ^xh = x
fonksiyonları eşit midir?
Hayır
3. Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini belirtiniz.
6
a) f(x) = x c) h(x) =
b) g(x) =
x – 4
d) F(t) =
x
7
5. Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini belirtiniz.
a) f(x) =
c) h(x) =
1
t–2
x
2
x – 6x + 9
3
2
x +1
b) g ^x h =
2
x – 16
2
x – x +1
2
d) k(x) =
x –1
2
3x – 4x + 1
a) R – {3}
b) R
a) R – {0}
b) R
c) [4, + 3)
d) (2, +∞)
c) R
1
d) R – ' ,1 1
3
259
ÜNİTE – 3
PEKİŞTİRME ADIMI
FONKSİYONLAR
6. Her bir fonksiyon için yanlarında verilen görüntü değerlerini bulunuz.
a) f(x) = 3x – 2, f(0), f(2), f(4)
b) g(r) = 6r2 + 2, g(–1), g ^ 2 h ,
f(x) = 2x – a
fonksiyonu için (–2, 3) ∈ f ise, a değeri kaçtır?
g(3)
c) F(a) = 3a – a2, F(–1), F(0), F(a2)
d) g(u) = u(u – 2), g(2 + u), g(1 + u), g(1 – u2)
a) f(0) = –2, f(2) = 4, f(4) = 10
b) g(–1) = 8, g ^ 2 h = 14 g(3) = 56
c) F(–1) = –4, F(0) = 0, F(a2) = 3a2 – a4
d) g(2 + u) = u(u + 2)
g(1 + u) = u2 – 1
g(1 – u2) = u4 – 1
8. f: R → R,
–7
9. f: R → R,
f(x) = 3x + m
fonksiyonu için f–1(2) = –1 ise, m değeri kaçtır?
7. Aşağıda verlien fonksiyonların yanlarındaki görüntü değerlerini bulunuz.
1
1
1
, h(4), h c m , h b x l
16
x
b) f(x) = x2 + 2x + 3, f(1), f(–2), f(x + h)
c) G(x) = (x + 3)2, G(–2), G(–4), G(3 – x)
a) h(x) =
d) H(x) =
x –1
2
x +2
5
, H(3), H(x + 1), H(x + 4)
a) h(4) =
1
1
, hc m = 4
2
16
1
hb x l = x
10.
f: R → R,
f(x) = (a + 2)x + b – 3
fonksiyonu birim fonksiyon ise, a + b toplamı kaçtır?
b) f(1) = 6, f(–2) = 3
f(x + h) =
x2 +
2x (h + 1) + h2 + 2h + 3
c) G(–2) = 1, G(–4) = 1
(6 – x)2 = G(3 – x) = 36
2
d) H(3) =
,
11
x
H ^x + 1h = 2
x + 2x + 3
x+3
= H ^x + 4h
2
x + 8x + 18
260
2
11. f: R+ → R,
14. f: R → R,
f ]xg = x – 2
fonksiyonu için f–1(6) değeri kaçtır?
f^x + 2h =
x+3
2
x +1
eşitliği ile verilen f fonksiyonu için f(–2) değeri kaçtır?
–
64
f ]xg =
3x + 1
x–5
bağıntısı bir fonksiyon mudur?
f^xh =
2
x +4
2
x +9
–1 1
fonksiyonu için f c m nin eşiti nedir?
2
{–1, 1}
Hayır. 5 ∈ N, f(5) ∉ R
16. f: R → R,
13. f: R → R+,
1
17
15. f: R → R,
12. f: N → R,
FONKSİYONLAR
ÜNİTE – 3
PEKİŞTİRME ADIMI
f(x) = 10x + 24
fonksiyonu için f–1(210) değeri kaçtır?
3
x
3+x
fb l =
2
2
2+x
eşitliğini sağlayan f fonksiyonu için f(2) değeri kaçtır?
7
18
261
ÜNİTE – 3
KAVRAMSAL ADIM
MATEMATİKSEL MODELLEME ÖRNEKLERİ
MATEMATİKSEL MODELLER
FONKSİYONLAR
Bir matematiksel model, nüfus artışı, mala talep, düşen bir
nesnenin hızı, kimyasal tepkimedeki bir kimyasalın konsantrasyonu, bir bebeğin yaşam süresi beklentisi gibi olayların fonksiyonlar veya eşitlikler ile matematiksel ifadesidir. Modelin amacı
olayları anlamak ve belki de gelecekteki gelişimleri hakkında bir
öngörüde bulunmaktır.
Aşağıdaki şekil matematiksel modelleme sürecini göstermektedir. Gerçek bir problem verildiğinde ilk yapılması gereken,
buradaki bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirleyip isimlendirmek, matematiksel olarak ifade edilecek kadar olayı basitleştirerek matematiksel model oluşturmaktır. Fiziksel olay hakkındaki
bilgimiz ve matematiksel becerimizle değişkenleri ilişkilendiren
eşitlikler elde ederiz. Eğer incelenen olayda yol gösterici doğa yasaları yoksa, (kütüphanelerden, internetten veya kendi deneyimlerimizden) veri toplayarak bu verileri inceleyip, oluşturacağımız veri
tabloları ile ilişkiler kurmayı denememiz gerekebilir. Sayısal verileri
toplayarak aranılan fonksiyonu betimleyen bir grafik çizmek isteyebiliriz. Bazı durumlarda grafik, fonksiyona uyan cebirsel bir
formül için bize fikir bile verebilir.
Gerçek Yaşam
Problemi
O hâlde işletmenin t hafta sonundaki değeri
V(t) = 40.000 + 2400 t olur.
2. Sıcak su musluğu açıldığında suyun T ile gösterilen sıcaklığı
giderek artar. Bu nedenle T değerleri musluğun t ile gösterilen
açık kalma süresine bağlıdır. T nin kaba bir grafiğini musluğun
açık kalma süresi t ye bağlı olarak çiziniz.
Sıcak su deposundan su gelmeye
başladığında T hızla artacaktır.
Daha sonra su, depodaki suyun
sıcaklığı olan sabit değerde akacaktır. Depodaki sıcak su azaldıkça T de giderek azalacak ve
dışarıdan sıcak su deposuna gelen
soğuk su sıcaklığında akacaktır.
Yorum
Modelleme Süreci
Matematiksel bir model hiç bir zaman fiziksel bir olayın gerçek betimlenişi değildir, yalnızca idealleştirilmesidir. İyi bir model
gerçeğin, geçerli kestirimler yapılabilmesine ve matematiksel
hesapların kullanılmasına olanak tanıyacak kadar basitleştirilmiş, ancak değerli sonuçlar elde edilecek kadar da kesin olan
modeldir. Modelin sınırlarının bilinmesi önemlidir. Son sözü doğa
yasaları söyleyecektir.
262
Çözüm:
NOT : İlk anda akan su, borulardaki su olacağından, suyun
oda sıcaklığında olduğunu varsayabiliriz.
Çözüm
İkinci aşama, matematik bilgimizi bulduğumuz modele uygulayarak matematiksel sonuçlar çıkarmaktır. Üçüncü aşama, elde
edilen matematiksel sonuçları yorumlayarak eldeki gerçek yaşam
problemi için açıklamalar ve kestirimler sunmaktır. Süreçteki son
aşama yapılan kestirimleri yeni gerçek veriler ile karşılaştırmaktır.
Kestirimler gerçek ile uyum içinde değilse model tekrar ele alınarak iyileştirilmeli, daha da olmadı tüm sürece yeniden başlayarak
yeni bir model önerilmelidir.
Çözüm:
Haftalık Kâr : 6000 – 3600 = 2400 TL olup t haftada 2400.t
olur.
Formulasyon
Deneme
Kestirim
1. Başlangıç sermayesi 40 000 TL olan bir işletme haftalık 6 000
TL gelir ve 3600 TL harcama yapıyor. Eğer tüm kâr işletmede
kalıyorsa t hafta sonunda işletme değerini gösteren fonksiyonu bulunuz.
3.
Ağırlık (kg)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
T
0
t
Yandaki grafik bir kişinin
ağırlığını, yaşının fonksiyonu
olarak vermektedir.
Grafiğe göre bu kişi 30 yaşında iken nasıl bir değişim
geçirmiş olabilir?
Yaş
0 10 20 30 40 50 60 70 (Yıllar)
Çözüm:
Grafik incelendiğinde kişinin 30 yaşında, önceki yıllar dikkate
alındığında ağırlığında ciddi azalma görülüyor. Kişi 30 yaşında
hastalık geçirmiş veya diyet yapmış olabilir.
KAVRAMSAL ADIM
ETK‹NL‹K
1. 6 metre uzunluğundaki bir merdiven duvara dayalı olarak halı
Çözüm:
üzerinde kaymadan durmaktadır. Başlangıçta merdivenin
Buz üzerine soğuk su döküldüğünde önce ısı bir süreliğine
azalacaktır. Sonra ısınma sürecinde bir miktar sabit kalarak
daha sonra artacaktır. Grafik kabaca aşağıdaki gibi olacaktır.
ayağı duvardan 3 metre uzaklıktadır. Halı çekilince merdivenin
ayağı duvardan saniyede 1 metre sabit hızla uzaklaşmaktadır.
Merdivenin hareketi için bir model kurunuz.
T (ısı)
t (Zaman)
0
5.
Bir bahar günü boyunca sıcaklığın nasıl değiştiğini betimleyen
bir grafik çiziniz.
T (ısı)
2. Büyük şehirlerdeki ana caddeler genelde çok kalabalıktır. TraGece
Yarısı
Öğle
fik ışıkları sayesinde araçlar ve insanlar caddelerden geçer ya
t
(Zaman)
da dönerler. İş gidiş gelişlerinde trafik diğer yerlere nazaran
Çözüm:
daha tıkalı iken, trafiğin mümkün olduğunca rahat hareket
edebilmesi istenir. Şimdi, 2 km üzerinde ara caddelerin olduğu
Öğle saatlerinde ısı artacak ve daha sonra azalacağından
grafik kabaca yukarıdaki gibi olacaktır.
bir ana cadde düşünün. Bu durumda ana cadde üstünde her
bir kavşakta bir trafik ışığı olduğu varsayımı altında hem ana
6. Bir ev sahibi bahçesinin çimini her perşembe öğleden sonra
biçmektedir. Dört haftalık bir zaman diliminde çim uzunluğunun grafiğini zamanın bir fonksiyonu olarak çiziniz.
cadde üzerinde gidenleri hem de ara caddelerden ana caddeye trafik ışıkları sayesinde girecekleri rahatlatacak bir matematik modeli inşa ediniz.
Çözüm:
Çim boyu
y
x
t
(Zaman)
Perş. Perş. Perş. Perş. Perş.
Başlangıçta x birim olan çim
boyu (y birim olduğunda) perşembe günü kesiliyor. Tekrar
x birime düşüyor. Perşembeye kadar uzayıp y birim
olan çim boyu biçilerek x birime düşüyor.
O hâlde grafik kabaca şekildeki gibidir.
263
FONKSİYONLAR
ÜNİTE – 3
4. Bir bardağa önce buz koyup, sonra soğuk su ile dolduruluyor ve bardak masanın üzerine bırakılıyor. Suyun sıcaklığının
zaman geçtikçe nasıl değişeceğini grafik ile kabaca gösteriniz.
ÜNİTE – 3
SINAMA ADIMI
1. 1
5.
A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3}
FONKSİYONLAR
kümeleri veriliyor.
Aşağıdakilerden hangisi A dan B ye bir fonksiyondur?
fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, p + k toplamı
kaçtır?
A) 1 A) f = {(a, 1), (b, 2), (c, 1), (b, 3)}
f: R → R, f(x) = (1 – 6p) x2 + (3k – 2) x
B)
7
6
C) 4
3
D) 3
2
E)
5
3
B) f = {(b, 1), (c, 2)}
C) f = {(b, 3), (b, 3), (4, c)}
D) f = {(b, 2), (c, 3), (a, 1)}
E) f = {(b, 2), (a, 2), (b, 3)}
3px + 5
6x – 1
fonksiyonunun sabit fonksiyon olması için p kaç olmalıdır?
6.
2.
f: R → R, f(x) = (3a – 1) x + 2
A) –2 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, a değeri kaçtır?
2
B)
3
A) 1
D) 0
E)
D) –9
4.
B) 1
264
2
x + 4x + 3
2
x + 2px + 3
fonksiyonunun sabit fonksiyon olması için p kaç olmalıA) –2 B) –1
C) 1
D) 2
E) 4
E) –2011
8.
f: R → R, f(x) = (3n + 7) x + 2m – 3
B) 2
f(x) =
C) 0
fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, m.n çarpımı
kaçtır?
A) 3 E) –10
dır?
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, f(2011) değeri
kaçtır?
D) –1
C) –6 3
2
f: R → R, f(x) = (2n – 4) x2 + (m + 2) x + n + m
A) 2011
B) –4
1
C) 3
7.
3.
f(x) =
C) –1
1) D
D) –2
2) C
E) –3
3) C
4) E
f: R → R, f(x) = (m + 1) x2 + (n – 3) x + p + 2
fonksiyonu sıfır fonksiyonu olduğuna göre, m + n + p toplamı kaçtır?
A) –2 5) B 6) E
B) –1
7) D
C) 0
8) C
D) 1
E) 2
SINAMA ADIMI
B)
y
f
x
0
y
3
A dan B ye kaç fonksiyon tanımlanabilir?
A) 48 0
-3
A = {a, b, c}, B = {1, 2} ise
B) 16
C) 9
D) 8
E) 7
x
3
-3
C)
D)
y
y
x
0
x
0
12. Aşağıdakilerden hangisi {0, 1, 2} kümesinden {0, 1, 4} kümesine bir fonksiyondur?
f
f
A) {(0, 0), (1, 1), (1, 4)}
E)
y
B) {(0, 1), (1, 1), (2, 4)}
C) {(1, 1), (1, 4)}
0
x
D) {(0, 0), (0, 1), (0, 4)}
E) {(1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (0, 4)}
f
10. Aşağıda grafiği verilen f: R → R fonksiyonlarından kaç
tanesi bire–birdir?
I.
f
y
f
x
0
III.
II.
y
x
0
IV.
y
y
13. s(A) = 6, s(B) = n ve A dan B ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısı 729 olduğuna göre, n değeri kaçtır?
A) 1 f
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
1
x
0
x
0
f
V.
y
0
x
f
14. s(A) = 8, s(B) = 4 olduğuna göre A dan B ye tanımlanabilecek sabit fonksiyon sayısı kaçtır?
A) 1 B) 2
C) 3
D) 4
9) E
E) 5
10) C
11) D
A) 2 12) B
13) C
B) 3
14) C
C) 4
D) 8
E) 32
265
FONKSİYONLAR
A)
11. ÜNİTE – 3
9. Aşağıdaki grafiklerden hangisi bir fonksiyona aittir?
1
ÜNİTE – 3
SINAMA ADIMI
1. A = {–1, 0, 2, 4}, B = {a, b, c, d}
2
5.
f: R → R f(x + 3) = mx + n
FONKSİYONLAR
f: A → B, f(x) = x2 – 3 fonksiyonu örten olduğuna göre,
fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre,
a + b + c + d toplamı kaçtır?
m + n toplamı kaçtır?
A) 6 B) 7
C) 8
2.
f: A → B, A = {2, 3, 4}
f(x) = x2 + 2x + 3
E) 10
3. B) 54
C) 52
D) 48
f(A) görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B) [–4, 4]
D) [1, 4]
C) [–2, 4]
E) [0, 4]
f(m) değeri kaçtır?
A) –2
f(x) = 3ax2 + 4x + 5 fonksiyonu için
f(–1) = 13 olduğuna göre,
a değeri kaçtır?
f(x) = 4x – 1 olduğuna göre,
f(A) görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
8.
A) (9, 11) 3) E 4) D
5) D
E) 5
B) 3
C) 4
E) 2
D) 5
E) 6
D) 7
E) 11
f: R → R, f(x2 + 3) = 6x2 + 1
fonksiyonu için f(1) değeri kaçtır?
A) –11
E) [–9, 11]
2) A
D) 1
1) D
C) 0
f: R → R,
266
B) –1
7.
A = (–2, 3), f: A → R
D) (–9, 11)
D) 4
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre,
4. C) (0, 11]
C) 3
f: R → R f(4x + 3) = mx + m + 2
A) 2
B) (–8, 12)
B) 2
E) 40
A = [–2, 2], f: A → R, f(x) = x2 olduğuna göre,
A) [0, 2] A) 1
6.
fonksiyonu için f(A) görüntü kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?
A) 56 D) 9
B) –10
6) E 7) C
C) –8
8) A
SINAMA ADIMI
13. f: R → R, g: R → R
mx + 3
fonksiyonu için
x+2
1
1
f c m = ise,
2
2
m değeri kaçtır?
f(x) =
A) –
11
2
f(a2 – 1) = g(a) olduğuna göre,
9
7
5
B) – C) – D) 2
2
2
E)
1
2
1
2
C) E)
1
3
1
6
f(x) = 4x – 1 ve g(x + 1) = f(x – 2) fonksiyonları veriliyor.
g(5) + f(5) toplamı kaçtır?
B) 25
C) 21
D) 19
E) 17
15. f: R → R, g: R → R
C) 12
B)
D)
A) 26
f(0) değeri kaçtır?
B) 13
1
4
14. f: R → R, g: R → R,
11. f(x + 2) = x2 – 5x – 1 fonksiyonu için A) 15
a nın pozitif değeri kaçtır?
A)
9
2
2
x
10. f(x) = x +
fonksiyonu için
x+1
1
f b x l fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
1
1
1
B) x +
C) x + x
A) x + 1 + x x+2
1
x
D)
E) 2x +
1+x
1+x
f(x) = 3x + 1 , g(x) = 1 – 3x2 fonksiyonu için
FONKSİYONLAR
ÜNİTE – 3
9. f: R → {–2} → R – {m}
2
D) 10
E) 9
fonksiyonları için f(x – 3) = g(2x – 1) ve f(2x + 1) = 3x + 1 bağıntıları olduğuna göre, g(11) değeri kaçtır?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
12. f: R → R, A R olmak üzere f(2x + 1) = (x + 1)2 – x2 fonksiyonu için
6
16. f: R → R f(ax + 1) = 3x + a
f(A) aşağıdakilerden hangisidir?
A) A
B) 2A + 1
C) 2A
9) C
D) 2A – 1 E) 4A
10) E
11) B
12) A
fonksiyonları için f(2) = 3 ise, a değeri kaçtır?
A) 1
13) D
B) 2
14) A
15) D
C) 3
16) C
D) 4
E) 5
267
ÜNİTE – 3
SINAMA ADIMI
3
FONKSİYONLAR
1. Tanımlı olduğu değerler için
5. f(2x + 1) = 8x2 ise,
f(x2 – 1) = 3x2 – 5 ise,
2. f(x) = *
A) 2(x – 1)2
f(–2) değeri kaçtır?
A) –11
B) –10
C) –8
D) 7
x<3
B) –24
C) –28
C) 4(x – 2)2
E) 4(x – 1)2
6. f: R → R, f (x – 1) = f(x) + x ise,
fonksiyonu için
f(2) – f(8) değeri nedir?
A) 21 f(6) + f(1) = 9 ise, c değeri kaçtır?
A) –20
B) 3(x – 1)2
D) 2(x – 2)2
E) 11
2
x + 2 + c, x $ 3
1 + x,
f(x – 1) in eşiti kaçtır?
D) –30
B) 24
C) 27
D) 30
E) 33
C) 3
D) 4
E) 5
E) –31
7. f: R+ → R fonksiyonu için
f(x2 + 2) = 2x2 + x ise,
f(3) değeri kaçtır?
A) 1 B) 2
3. g(x – f(x)) = 3f(x) + 1 ve f(2) = 3 olduğuna göre,
g(–1) değeri kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
8. f: R → R fonksiyonu için
4.f(3x + 2) = 9x + 4 olduğuna göre,
f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + 6x + 8
B) x2 – 4x + 8
D) x2 + 6x + 9
268
f(2x + 1) = 2x – 1 ise, f(x – 3) aşağıdakilerden hangisidir?
A)
C) x2 + 3x + 14
2) E 3) C
B)
x+1
2
D) x – 5
E) x2 + 8x + 4
1) C
x–2
2
4) B
5) D
6) E 7) C
C) x – 2
E)
8) D
x –1
2
9. f c
A)
x+1
x D)
B)
x
x+1
2x
x+3
C) 13. f(x + y) = 2 . f(x) . f(y) koşulunu sağlayan f fonksiyonu için
1
2x
B) {0, 2, 4}
D) {4, 5, 6}
f(4) değeri kaçtır?
B) 30
C) 28
D) 24
E) 16
14. f(x) = 4x+1 olduğuna göre, f(–2x) in f(x) cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
C) {2, 4, 6}
64
2
f(x )
B) c
E) {4, 6, 8}
11. f(x) = 2x+2 olduğuna göre,
A) 32 5x – 4
f(x) =
ve f(A) = {–2, 3, 8} olduğuna göre,
2
A kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {1, 2, 3} f(2) = 4 olduğuna göre, 1
E) x
10. f: A → N olmak üzere, D) c
2 2
m f(x)
1
4 2
m C) 2 f(x)
8f (x)
8 2
E) c
m
f(x)
3f(x) + 2
, f(1) = 4 olduğuna göre, 3
f(40) değeri kaçtır?
15. f(x + 1) =
fc
x+1
m nin f(x) türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
2
f(x)
B)
C) 2 2f(x)
A) 2 f(x) 2
4 f(x)
D)
E) 8 f(x)
3
A) 22 B) 26
C) 30
D) 40
E) 53
16. f(n + 1) = 2n.f(n) ve f(1) = 2 olduğuna göre,
12. f(x + y) = f(x) + f(y) olduğuna göre, f(5x) in f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2f(x) B) 3f(x)
D) f(x)
f(10) değeri kaçtır?
A) 29.9! C) 5f(x)
B) 28.9!
D) 29.11!
C) 210.10!
E) 210.9!
E) 10f(x)
9) E
10) B
11) C
12) C
13) A
14) E
15) C
16) E
269
FONKSİYONLAR
x+2
x –1
ise,
m=
x –1
x+2
uygun koşullarda f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
3
ÜNİTE – 3
SINAMA ADIMI
ÜNİTE – 3
SINAMA ADIMI
1. f: R → R, g: R → R,
5. f: R → R, f(x + 1) = 3x – 7 ve
FONKSİYONLAR
f(x) = 6x – 3 ve g(x) = x2 + 3
fonksiyonları için f(g(–1)) değeri kaçtır?
A) 23 B) 22
4
C) 21
D) 20
f–1(k) = 5 olduğuna göre, k değeri kaçtır?
A) 2 B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
D) 6
E) 7
D) 4
E) 5
E) 18
6. f: N+ → R fonksiyonunda
2. f(x) = 5 – 3x olduğuna göre, f–1 (–7) değeri kaçtır?
A) 5 B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
f(x) = 4x + k
f(2) = 1 ise, f(3) değeri kaçtır?
A) 3 B) 4
C) 5
7. f: IR – {3} → IR
3x – 5
olduğuna göre,
3. f: R → R, f(x) =
2
f–1(5) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 B) 2
C) 3
1
olduğuna göre, x–3
f–1(4) değeri kaçtır?
f(x) = 3 +
A) 1 D) 4
B) 2
C) 3
E) 5
8. f: R → R fonksiyonu için,
4. f: R → R, f(3x – 2) = 6x + 1 olduğuna göre,
f–1(13) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 1 270
B) 2
C) 3
1) C
D) 4
f(2x – 1) = 4x + 3 ve
f–1 (x) = 2 olduğuna göre, x değeri kaçtır?
A) 9 E) 5
2) B 3) E 4) D
5) D
6) C
B) 8
7) D
C) 7
8) A
D) 6
E) 4
9. f: R → R,
f(x) = a.x2 + (b – a) x + b – 5 fonksiyonu veriliyor. f–1 bağıntısının grafiği (3, –1) noktasından geçtiğine göre,
a değeri kaçtır?
B) –2
C) 3
D) 4
A) –
E) 8
3
2
C) –
B) –2
D) –
11
5
E) –
12
5
9
5
1
1
10. f: IR – ' 1 " IR – ' 1 tanımlı
2
2
kx + 3
fonksiyonu için f–1 = f olduğuna göre,
2x – 1
k değeri kaç olabilir?
14. f(x) = 2x + 3 ise, f(x + 1) in f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
f(x) =
A) 6 B) 5
C) 3
D) 2
A) f(x) E) 1
B) 2 f(x) D) 4f(x)
C) 2f(x)
E) 8f(x)
2
x
3
11. f b x l = x + 2.f b l olduğuna göre,
3
f(3) değeri kaçtır?
15. f bir fonksiyon
162
A) –
5
160
163
B) –
C) –
3
3
158
145
E) –
D) –
3
3
12. Uygun koşullarda f
–1
b
A) 3 1– k
l
x = 3x + 6 ve
f(12) = 4k + 8 olduğuna göre, k değeri kaçtır?
A) –2 2
D) – 3
10) E
11) C
–1
A)
12) B
13) C
B) 2
C) 1
D) –1
E) –2
x –m
ve f fonksiyonunun grafiği
x+m
A(2, 3) noktasından geçtiğine göre, m değeri kaçtır?
16. f
4
5
B) – C) – 3
3
1
E) –
3
9) D
f(x) = 2x3 – ax + 1 ve f–1(2) = 1 olduğuna göre, a değeri
kaçtır?
(1– x) =
1
3
14) C
B) 1
15) C
C)
2
3
D)
3
4
16) C
E)
1
4
271
FONKSİYONLAR
3 + x.f(x)
x + f(x)
koşulunu sağlayan f fonksiyonu için f(3) = 2 olduğuna
göre, a değeri kaçtır?
2
13. Tanımlı olduğu değerler için x + ax =
A) –3 4
ÜNİTE – 3
SINAMA ADIMI
ÜNİTE – 3
SINAMA ADIMI
1. f: A → R,
FONKSİYONLAR
5
5. f(x) = (3x – 8) . g(x + 2) olduğuna göre,
f(x) = 6x – x2fonksiyonu aşağıdaki aralıklardan hangisi
üzerinde bire – birdir?
A) (–1, + ∞)
B) (–3, + ∞)
D) (2, + ∞)
C) (3, + ∞)
f^0h
g^2h
+
f ^–1 h
g^1h
A) –10 toplamı kaçtır?
B) –15
C) –18
D)–19
E) –20
D)6
E) 7
E) (1, + ∞)
6. f(3x + 2) = 3x olduğuna göre,
f–1(27) – f–1(3) değeri kaçtır?
A) 1 B) 2
C) 5
2. f: [3, ∞) → [–1, ∞)
f(x) = x2 – 6x + 8 olduğuna göre,
f–1(8) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 B) 4
C) 5
D)6
E) 7
7. f, g: R → R
f(x) = 2x – 1
g(x + 1) = 1 – 3x olduğuna göre,
fc
x+1
4–x
m . gc
m işleminin sonucu aşağıdakilerden han
2
3
gisidir?
A) x2 3. f(2x – 1) =
f(3x)
x ve f(6) = 8 olduğuna göre,
D) 1
B) 1
C) 2
D)3
C)
E)
f(1) değeri kaçtır?
A) 0 2
B) x2 + 1
x
2
1
x
2
E) 4
8. f: R → R
4. f: A → R, f(23x–1) = 2x + x2 olduğuna göre,
f(32) değeri kaçtır?
A) 4 B) 8
C) 16
D)32
f(x + 1) = x3 – 3x2 + 3x – 1 olduğuna göre,
f(x + 2) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x – 1)3 E) 64
B) (x + 2)3
D) (x + 1)3
272
1) C
2) D
3) E 4) B
5) D
6) D
7) A
C) x3
E) (x – 2)3
8) C
13. f(x) = 2x + 22x+1 olduğuna göre, 9. f(x) = ax + b şeklinde doğrusal bir fonksiyondur.
f(2) = 7 ve f–1(9) = 3 olduğuna göre,
a . b çarpımı kaçtır?
A) 2 B) 3
f–1 (36) değeri kaçtır?
A) 1 C) 6
D)9
B) 2
x
olduğuna göre,
x+2
f(2x) in f(x) türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
10. f(x) =
A)
f(x)
2f(x)
C)
2f(x) – 1
1 – f(x)
3f(x)
f(x)
D)
E)
f(x) – 2
1 + f(x)
2f(x)
f(x) + 1
g: R2 → R, g(x, y) = xy + yx olduğuna göre,
f(g(1, 2)) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B)(4, 6)
D) (8, 16)
4 + 4x + x
x
x
=
2n
4
4
şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre f(x – 1) aşağıdakilerden hangisidir?
D)
4
x
2
2
2
2
2
B) b x + 1 l C) _ x – 1 i 2
x
E) b + 1 l
2
1
x ise,
2
f(3x) in f(x) türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) f3(x) C) f3(x) – 3f(x)
B) 3f(x)
D)f3(x) + 3f(x)
C) (8, 4)
E) f3(x) – f(x)
E) (4, 16)
16. f(x) = x2 – 50x + 625 ve
12. f c
3x + 2
m= x+5
x–3
–1
f (3) aşağıdakilerden hangisidir?
B) 3
E) 5
15. f(x) = 2x +
A) 4 2
2
A) x2 11. f, R → R2 , f(x) = (2x, x2),
14. f:R " IR, f d
B)
A) (2, 4) D)4
E) 12
+
C) 3
C) 2
9) C
D)
10) A
2
3
E)
11) D
4
5
12) E
g(a, b) = maks (ab, ba) olduğuna göre,
f(g(2, 5)) değeri kaçtır?
A) 169 13) B 14) A
B) 125
15) C
C) 64
16) E
D)60
E) 49
273
FONKSİYONLAR
5
ÜNİTE – 3
SINAMA ADIMI