İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL BELİRLİ İNTEGRAL KURALLARI Örnek...4 : 0 b 1. ∫ ( x3 +5 x2−7 x+4 )dx =? a ∫ f (x )dx =−∫ f ( x ) dx a −1 b 107 12 a 2. ∫ f (x )dx =0 a b 3. b π 2 ∫ k. f ( x ) dx=k. ∫ f (x ) dx a Örnek...5 : ∫ sinx dx=? a 0 b 4. b a a b 5. 1 b ∫ ( f ( x )±g ( x )) dx=∫ f ( x ) dx±∫ g( x ) dx a c b ∫ f (x )dx =∫ f (x ) dx +∫ f (x ) dx , a a c<b c www.matbaz.com 6 . ( b - a ) . m i n (f ( x ) ) < ∫ f ( x ) dx =0< ( b a).max(f(x)) a 7 . f : [ a , b ] →R s ü r e k l i b i r f o nk s i yo n v e b d ( ( )) ( ) F x =f x i s e ∫ f ( x )dx =F (b )−F ( a ) dx a o l u r. Örnek...1 : 3 7 0 1 2 Örnek...7 : x ∫(3x2 + 3 )dx=? 2 3 ∫ sinx.cosx dx=? 2 ∫ f (x )dx =4v e ∫ f (x )dx =9i s e ∫ f (x )dx =? 2 Örnek...6 : π 2 b 0 7 23 3 -13 Örnek...2 : 5 U yg u n k o ş u l l a r d a 2 7 7 ∫ f (x )dx =4v e ∫ f (x )dx =9 v e 4 5 ∫ f (x )=21 2 i s e ∫ f ( x )=? Örnek...8 : 4 -8 ln2 ∫ (e2x +ex ) dx=? ln1 5 2 Örnek...3 : 2 ∫ xdx =? 1 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 3 2 1/10 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL UYARI π 2 D e ğ i şk e n d e ğ i ş t i r m e ya p ı l d ı ğ ı n d a ye n i d e ğ i şk e n e g ö r e s ı n ı r l a r t ek r a r h e s a p l a n ı r s a e s k i d e ğ i ş k e n e d ö n ü lm e d e n integral hesaplanabilir Örnek...13 : ∫ x.cosx dx=? 0 π −1 2 Örnek...9 : 3 ∫ ( x−2)2 dx=? 2 1 3 Örnek...14 : e ∫ logx dx=? 1 loge Örnek...10 : ∫ 1 π ( lnx ) 2 dx =? x 1 3 Örnek...11 : Örnek...15 : www.matbaz.com e 2 ∫ x 5+x 3 dx =? −2 0 ∫π sin2 x. cosx dx =? 2 - 1 3 π 2 Örnek...16 : ∫ √ sin x. cosx dx =? 0 2 3 Örnek...12 : 1 ∫ ( x2 +5x+1)2 (2x +5) dx=? 0 342 3 Örnek...17 : 3 x 15 ∫ 1+x 4 dx=? −3 0 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2/10 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL Örnek...18 : Örnek...22 : e2 ( ) dx=3 ise ∫ f lnx x e 1 ∫ x.ln (x 2 +1) dx=? 5 0 2 ∫ x. f ( x2 +1 )dx =? 1 -3 2 ln √e ( ) Örnek...23 : 4 ∫ √ 16−x2 dx Örnek...19 : G r a f i ğ i v e r i l e n y= f ( x ) f on k s i yo n u n u n g r af i ğ i n e y ya p a r ak t e k r a r i n t e g r a l i ya z ın ı z 7 y=f(x) 5 göre ∫ ( f ( x )+x.f ' ( x )) dx=? integralinde x=4sint dönüşümü 0 π 2 16. ∫ cos2 t dt 4 0 3 5 x 23 Örnek...20 : 3 3 ∫ f (x )dx =5 ise ∫ (7−f ( x )) dx=? 2 www.matbaz.com 3 Örnek...24 : ln2 ex ∫ 2+e2x dx i n t e g r a l i n d e u = e x d ö n ü ş üm ü 0 ya p a r ak t e k r a r i n t e g r a l i ya z ın ı z 2 2 du ∫ 2 +u2 2 1 Örnek...25 : 256 6 x− 3 x ∫ √ 4 √ dx 1 √3 4 12. ∫ (u 10−u 12 ) du 8 ∫ f (4x ) dx=60ise ∫ (1−f ( x )) dx=? 0 i n t e g r a l i n d e x= u 1 2 d ö n ü ş üm ü ya p a r ak t e k r a r i n t e g r a l i ya z ın ı z ( u>0) Örnek...21 : 2 √x 1 0 -176 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 3/10 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL Örnek...26 : Örnek...29 : A ( 3 , 2 ) n o k t a s ı n d a ye r e l m ak s i m u m , B ( - 2 , 3 ) n o k t a s ı n d a ye r e l m i n i m u m a s a h i p y= f ( x ) t ∫ ( x2−4x−5) dx f on k s i yo n u i ç i n ∫ x.f '' (x ) dx d e ğ e r i n i integralinin alacağı sonuç en 0 3 k ü ç ük d e ğ e r k aç t ır ? −55 3 bulunuz −2 1 Örnek...27 : ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ www.matbaz.com y= f ( x ) f o n k i yo n u r e e l s a yı l a r d a t ü r e v l i v e x = 2 n o k t a s ı n d a k i t e ğ e t i x e k s e n i yl e p o zi t i f yö n d e 45 o l i k a ç ı ya p ı yo r s a v e x= 3 e k s t r em um noktalarından birinnin apisisi ise 3 x.f ' ' ( x )−f ' ( x ) dx= ? ∫ x2 2 −1 2 İ n t e g r a n d ın d a p a r ç a l ı f on k s i yo n v e ya m ut l a k d e ğ e r l i f o nk s i yo n i ç e r e n i n t e g r a l l e r i n t e g r a l i n a l ın d ı ğ ı s ın ır l a r i ç e r i s i n d e k r i t ik n ok t a i ç e r i yo r s a g ö r e p a r ç a l a n a r a k i n t e g r a l l e r i a l ın ı r. f : [ a , b ] →Rf o nk s i yo n u [ a , b ] a r a l ığ ın d a k i b u l u n a n s o n l u s a yı d ak i a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n s a yı l a r ı i ç i n s ü r ek s i z i s e b u n ok t a l a r a g ö r e i n t e g r a l p a r ç a l a n ı r. a1 b Ya n i a2 an =b ∫ f (x )dx =∫ f (x ) dx +∫ f (x ) dx +...+ ∫ a a a1 f ( x ) dx an −1 B u p a r ç a l a m a yı g e n e l d e p a r ç a l ı f on k s i yo n d a v e ya m u t l a k d e ğ e r i n k r i t ik n o k t a s ın d a i h t i ya ç d u ya r s ak ya p a r ı z Örnek...28 : y= f ( x ) f o n k i yo n u n u n g r a f i ğ i ş ek i l d ek i g i b i d i r 5 ∫ f (x )+x.f ' (x ) dx =? 3 y Örnek...30 : 4 3 { y=f(x) 2 3 5 2 x x⩾0 i s e f ( x )= (e) x x<0 x −2 ∫ f (x ) dx −4 -6 9 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 4/10 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL Örnek...31 : Örnek...35 : { 4 5 x 2 x<2 ( ) f x = x 3 2<x<3 f on k s i yo n u i ç i n ∫ f ( x ) dx 0 x+1 x⩾3 ∫|x+2|dx 0 16 9 Örnek...36 : 2 ∫ x3|x−1|dx 0 2,5 Örnek...32 : 3 { x⩾0 i s e f ( x ) = 2x+1 3x 2 x<0 ∫ f ( x ) dx −1 www.matbaz.com 13 Örnek...33 : { x ise f ( x ) = 2 x⩾0 x+1 x<0 1 ∫ f ( x+2) dx Örnek...37 : 1 ∫ (2 x−3 )|x|dx −1 3 −3 1 7 + 2 ln 2 π Örnek...38 : ∫∣cosx∣dx 0 2 Örnek...34 : { lnx f ( x )= x ex x⩾e i s e x<e e2 ∫ f (x )dx 1 3 e −e+ 2 e π Örnek...39 : ∫∣cosx−sinx∣dx 0 2 √2 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 5/10 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL Örnek...40 : 2π ∫π √ İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ 1+cosx dx 2 f : [ a , b ] →R s ü r ek l i b i r f on k s i yo n v e x x d ( F (x ) ) d = f ( t ) dt =f ( x ) F ( x )=∫ f (t ) dti s e ∫ dx dx a a ya n i s ü r e k l i h e r f o nk s i yo n b a ş k a b i r f on k s i yo n u n t ü r e v i d i r. B a ş k a b i r d e yi ş l e t ü r e v v e i n t e g r a l i ş l em l e r i b i r b i r l e r i n i n t e r s i i ş l e m l e r d i r. 2 ( Örnek...41 : ) Örnek...45 : 1 x2−4 ∫ ∣x−2∣dx 0 d dx ( x ∫ sint dt a ) =? −5 2 sinx Örnek...46 : d dx π (∣sinx∣+cos ∣x∣) dx ∫ −π 2 4 π 2 1 −2 ) =? 1 x 2+1 Örnek...47 : d dx ( x ) ∫ tant dt =? √7 tanx Örnek...43 : ∫ sinx− √22 0 www.matbaz.com Örnek...42 : ( x ∫ t 2+1 dt ∣ ∣dx GENELLEME (LEİBNİZ KURALI) 2 π−π √ 2 8 u( x ) F ( x ) = ∫ f (t ) dt o l a r ak v e r i l s i n v (x) d (F (x ) ) d = dx dx u (x ) (∫ ) f ( t ) dt =f ( u ( x ) ) .u ' (x )−f ( v ( x )) . v ' ( x ) v(x ) Örnek...48 : d dx Örnek...44 : R e e l s a yı l a r d a s ü r e k l i o l a n f f on k s i yo n u n u n t ü r e v i n i n g r a f i ğ i v e r i l i yo r. f(3)-f(2)=? cosx (∫ sinx ) t 2 +t dt =? y y=f(x) sin 2 x 2 ( sinx−cosx ) ¿ 2 x -1 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 6/10 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL d dx ( Örnek...49 : x2 ∫ tant dt x DEĞERLENDİRME ) =? 3 1) 2 2 x . tanx2−tanx d dx 3 ∫ f (x )dx =10 ve ∫ g ( x ) dx=8 ise 2 3 ( )( 3 ∫ ( 4.f ( x )+3g (x ) )dx . ∫ (5. f ( x )−4g ( x )) dx 2 2 ) Örnek...50 : π (∫ sintt )=? e 0 2 2) 2 ∫ f (x )dx =6 ve ∫ ( 5−3.f ( x ) )dx =? Örnek...51 : x 2 +1 F ( x ) = ∫ e t dt f o nk s i yo n u n x = 1 n ok t a s ı n d ak i x+ 1 t e ğ e t d e nk l em i n i b u l u n u z y= e 2 ( x - 1 ) www.matbaz.com 1 2 3) 1 2 ( )=? xn ∫ ∑ n! 1 n=0 Örnek...52 : x2 F ( x ) = ∫ t2 dtf on k s i yo n u n x d ö n üm n o k t a s ın ı n x+ 2 apsisini bulunuz ± 1 √6 1 4) Örnek...53 : 4 ∫ x2−4 dx=? 0 x F ( x ) =∫ t.et dt i s e F ' ( 1 ) k a ç t ı r ? 0 e 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 7/10 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL π 4 5) 19 10) ∫ sin2xcosx dx=? x+3 ∫ √ x . √ x+6 dx=? 3 0 π 4 11) 2 6) ∫ x.sinx dx=? 0 ∫ ( 3x2+3x ) dx=? 1 e ln4 7) ∫ e−x dx=? ln2 www.matbaz.com 12) ∫ lnx dx =? 1 2 13) ∫ ( x15 +x7.cosx +sin9 x ) dx=? −2 −4 8) 1 ∫ ( x+5)4 dx =? −3 π 2 14) ( 2 1−sin ∫π cosx .√ sinx x ) dx=? 6 2 9) 1 ∫ x.ln2 x dx=? 1 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 8/10 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL 12 15) ∫f 0 x dx=36 ise 3 () 64 2 ∫ ( x+3−4.f (2x ) )dx =? 19) x−x ∫ √3 1 0 ( √x ) dx integralinde x=u6 dönüşümü yaparak tekrar integrali yazınız dx 16) ∫ f (√ x ) =3 ise √x 1 2 ( ) 3 17) ∫ ( √ 9−x 2 ) dx integralinde x=3sina dönüşümü 0 yaparak tekrar integrali yazınız ln2 18) ex ∫ 2+e2x dx π 2 x2 ∫ 5x.f 2 dx=? √2 integralinde u=ex dönüşümü 0 yaparak tekrar integrali yazınız 20) cot x+π dx=? integralinde x=t+ π ∫ 1 +tan (x−π ) 2 ( ) 0 dönüşümü yaparak tekrar integrali yazınız www.matbaz.com 4 21) y=f(x) fonkiyonu reel sayılarda türevli ve x=1 noktasındaki teğeti x eksenine paralel ve x=5 deki teğeti y-3x+2=0 doğrusuna dikse =? 5 ∫ 1 1 f '' ( x ) f ' (x ) dx+∫ 2 dx x x 5 y 22) y=f(x) fonkiyonu n grafiği şekildeki gibidir 2 135O x 5 ∫ f (x )+x.f ' (x ) dx integralinin y=f(x) 3 değerini bulunuz 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 9/10 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL a 23) ∫ ( 2x2−6x ) dx integralinin alacağı sayısal sonuç 3π 2 0 en az kaçtır? 28) ∫π ∣sinx∣dx 2 { 1+x 4 x<1 1⩽x⩽3 fonksiyonu için ∫ f ( x ) dx 0 x−1 x>3 24) f ( x )= x 4π 2 29) ∫π √ 1−cos2 xdx {3x 25) f ( x )= 1+2x 3 x⩾4 fonksiyonu için f ( x+3 ) dx ∫ x<4 −1 www.matbaz.com 3 30) d dx x 2+ 1 ∫ tant dt a x 31) f ( x )= ∫ ( t 2 +1 ) dt veriliyor. f fonksiyonunun √3 −2 dönüm noktasının apsisi nedir? 4 26) ∫∣x−2∣dx 1 32) d x2 ∫ d (lnt ) dx 1 3 27) ∫ x.∣x−2∣dx 33) A( 1,2 ) noktasında teğeti y eksenine dik ,B(4,7) noktasında yerel ekstremuma sahip 4 −1 y=f(x) fonksiyonu için ∫ x.f ' ' ( x ) dx değerini 1 bulunuz 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 10/ 10/10