İNTEGRAL DERS NOTU 1 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli denir ve d(f(x)) ile gösterilir. y = f(x) dy = f '(x) dy = f '(x). dx tir. dx Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. Örnek f(x) = 2x ise, d(f(x)) nedir? Çözüm d(f ( x )) dy 2 2 dx dx = 2 . dx tir. Örnek y = x3 + 1 2 x – 3x + 5 ise, dy nedir? 2 Çözüm dy = 3x2 + x – 3 dy = (3x2 + x – 3) dx tir. dx İNTEGRAL DERS NOTU 2 fehmiekici.wordpress.com BELİRSİZ İNTEGRAL Tanım: f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli ve (a,b) aralığında türevli olsun. Fı(x) = f(x) ise d(F(x)) = f '(x). dx tir. c R için (F(x) + c)ı = Fı(x) = f(x) ise, d(F(x) + c) = f(x) . dx olur. Buna göre, F(x) + c ifadesine, f(x) fonksiyonunun “İlkeli” veya “Belirsiz İntegral” denir. UYARI: İntegral “türevi ya da diferansiyeli” belli olan fonksiyon nedir, sorusuna cevap olarak çıkmıştır. Türevi bilinen bir fonksiyonun, türevi alınmadan önceki halini (İlkeli) bulma işlemine, İntegral diyebiliriz. BELİRSİZ İNTEGRALİN KURALLARI a) a o ise a.f(x) dx = a. f(x) dx tir. b) [f(x) g(x) h(x)] dx = f(x) dx g(x) dx h(x) dx tir. TEMEL İNTEGRAL KURALLARI Kural 1 n -1 ise, n x dx x n1 c (c R, c sabit) n 1 Örnek F(x) = (3x2 + 2x – 3) dx integralini hesaplayınız. Örnek F(x) = x dx (x > 0) integralini hesaplayınız. İNTEGRAL DERS NOTU 3 fehmiekici.wordpress.com Kural 2 a) f '(x) dx = f(x) + c b) f ( x) . f n ı n 1 f ( x) ( x)dx c n 1 Örnek (x2 + 4)2 . (2x) dx integralini hesaplayınız. Örnek x 2 2x 3.(2x 2)dx integralini hesaplayınız. Kural 3 a) b) dx ln x c x f ı ( x) dx ln f ( x) c f ( x) Örnek x3 x 1 x dx integralini hesaplayınız. İNTEGRAL DERS NOTU 4 fehmiekici.wordpress.com Örnek 2dx 3 2x 3 x 2 integralini hesaplayınız. Kural 4 a) e dx e b) e c) x a dx d) f (x) ı a .f (x)dx x f ( x) x c . f ı ( x)dx e f ( x ) c ax c ln a a f (x) c ln a Örnek e3x+1 dx integralini hesaplayınız. Örnek 1 x 4x 2x e e e 2 dx ifadesinin integralini hesaplayınız. İNTEGRAL DERS NOTU 5 fehmiekici.wordpress.com Kural 5 A) 1) sin xdx cos x c 1 2) sin(ax b)dx cos(ax b) c a B) 1) cos xdx sin x c 1 2) cos(ax b) sin(ax b) c a C) 1) dx 1 tan x dx cos x 2 2 = sec 2 xdx tan x c 2) D) 1) 1 tan 2 ax dx 1 tan ax c a dx 1 cot x dx sin x 2 2 = (cos ec 2 x )dx cot x c 2) 1 cot 2 1 ax dx cot ax c a Örnek (cos3x – sin2x) dx integralini hesaplayınız. Örnek tan x dx integralini hesaplayınız. İNTEGRAL DERS NOTU 6 fehmiekici.wordpress.com Örnek f (x) sin x dx integralini hesaplayınız. cos 2 x Örnek (tan5x + tan3x) dx integralini hesaplayınız. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ a) b) c) 1 1 x2 1 1 x2 dx Arc cos x c du a u 2 2 du a2 u2 1 1 x a 2 a 2 dx Arc sin u c a dx Arc cos u c a 2 dx Arc tan x c 2 dx Arc cot x c 1 1 x d) dx Arc sin x c du 1 u Arc tan c 2 a a u du 1 u Arc cot c 2 a a u İNTEGRAL DERS NOTU 7 fehmiekici.wordpress.com Örnek dx 4 x2 integralini hesaplayınız. Örnek cos x 1 sin 2 x dx integralini hesaplayınız. DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME (DÖNÜŞÜM) YÖNTEMİ a) f(x) . dx integralinde x = g(t) diyelim. x = g(t) ise, dx = gı(t) dt dir. f(x) dx = f(g(t)) . gı(t) dt yazılırsa, integral t türünden ifade edilmiş olur. Örnek F(x) = 2.( x 3 2).3x 2 (x 3 2) 2 3 dx olarak tanımlıdır. F(-1) = ln2 ise, F(0) kaçtır? İNTEGRAL DERS NOTU 8 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 9 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 10 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 11 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 12 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 13 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 14 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 15 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 16 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 17 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 18 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 19 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 20 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 21 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 22 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 23 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 24 fehmiekici.wordpress.com Örnek x 2 dx integralini hesaplayınız. 3x 2 Örnek 2x 2 2x 1 x 3 x 2 dx integralini hesaplayınız. İNTEGRAL DERS NOTU 25 fehmiekici.wordpress.com KISMİ İNTEGRAL İNTEGRAL DERS NOTU 26 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 27 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 28 fehmiekici.wordpress.com BELİRLİ İNTEGRAL BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ İNTEGRAL DERS NOTU 29 fehmiekici.wordpress.com Örnek 3 2xdx integralini hesaplayınız. 1 Örnek 3 (3x 2)dx 14 ve a + b = 6 olduğuna göre, b kaçtır? 1 İNTEGRAL DERS NOTU 30 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 31 fehmiekici.wordpress.com Teorem: f: [a,b] R sürekli bir fonksiyon ise, F(x) = x a f ( t )dt ile tanımlı; F: [a,b] R ye fonksiyonu (a,b) aralığında türevlenebilir ve x (a,b) için, F(x) = x a 1) F(x) = f ( t )dt Fı(x) = f(x) tir. h(x) a f ( t )dt ise Fı(x) = hı(x) . f(h(x)) tir. 2) F(x) = h(x) g(x) f ( t )dt ise Fı(x) = hı(x) . f(h(x)) – gı(x) . f(g(x)) tir. Örnek f(x) = x 2 e t 1dt ise, fı(1) kaçtır? 2 İNTEGRAL DERS NOTU 32 fehmiekici.wordpress.com ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALLERİ MUTLAK DEĞER FONKSİYONU f: [a,b] R ye sürekli f fonksiyonu tanımlasın. b a f ( x ) dx integrali hesaplanırken; önce fonksiyonun [a,b] de işareti incelenir. Fonksiyonun işaretine göre aralıklarda integralin değeri bulunur. Örnek 5 2 x 4 dx integralinin değeri nedir? Örnek /6 Örnek cos x dx integralinin değeri nedir? İNTEGRAL DERS NOTU 33 fehmiekici.wordpress.com Örnek Örnek İNTEGRAL DERS NOTU 34 fehmiekici.wordpress.com EĞRİLERLE SINIRLI DÜZLEMSEL BÖLGELERİN ALANLARININ BULUNMASI 1. İNTEGRAL DERS NOTU 35 fehmiekici.wordpress.com 3. 4. İNTEGRAL DERS NOTU 36 fehmiekici.wordpress.com 6. 7. 8. İNTEGRAL DERS NOTU 37 fehmiekici.wordpress.com Örnek f(x) = x2 + 2 eğrisi x ve y eksenleri ile x = 2 doğrusu tarafından sınırlanan düzlemsi bölgenin alanı kaç br2 dir? Örnek f(x) = x3 – 4x eğrisinin x ekseniyle sınırladığı düzlemsel bölgenin alanları toplamı kaç br2 dir? İNTEGRAL DERS NOTU 38 fehmiekici.wordpress.com İKİ EĞRİ TARAFINDAN SINIRLANAN DÜZLEMSEL BÖLGELERİN ALANLARI f(x) ve g(x) fonksiyonları [a,b] aralığında sürekli ve f(x) > g(x) olsun. Bu eğriler tarafından sınırlanan düzlemsel bölgenin alanı; S= b [f (x) g(x)]dx a tir. İNTEGRAL DERS NOTU 39 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 40 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 41 fehmiekici.wordpress.com 8. 9. f(x) = -x2 – x + 2 ve g(x) = 2x + 2 eğrileri arasında kalan taralı alanı bulunuz. 10. f(x) = -x2 + 4x ve g(x) = x2 + 2x eğrilerinin sınırlandığı alanı bulunuz? İNTEGRAL DERS NOTU 42 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 43 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 44 fehmiekici.wordpress.com 6. y = x2 + 1 parabolünün oy ekseni etrafında 3600 dönmesinden [2,4] aralığında oluşan cismin hacmini bulunuz. İNTEGRAL DERS NOTU 45 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 46 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 47 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 48 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 49 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 50 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 51 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 52 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 53 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 54 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 55 fehmiekici.wordpress.com İNTEGRAL DERS NOTU 56 fehmiekici.wordpress.com