İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL [ a , b ]⊂ℝ ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI RİEMANN TOPLAMI : Ş i m d i h e r a r a l ık t a n b i r r e e l s a yı a l a l ım v e k . a r a l ık t a n a l d ığ ım ı z b u s a yı yı ile g ö s t e r e l i m . İ ş t e h e r a l t a r a l ık t a n a l ın a n b u x 'k s a yı l a r ı i ç i n f ( x∗) Δ x∗ s a yı l a r ı n ın f : [ a , b ] →R s ü r e k l i b i r f o nk s i yo n o l s u n . B u [ a , b ] k a p a l ı a r a l ı ğ ı n d a a= x0 <x1 <x2 ...<x n=b o lm ak ü z e r e n + 1 n ok t a a l a l ım . B u n + 1 n ok t a n ı n o l u ş t u r d u ğ u k üm e ye , P= {a =x 0<x 1<x 2 ...<xn=b } k üm e s i n e [ a , b ] k a p a l ı a r a l ı ğ ı n ı n p a r ç a l a n ı ş ı d e n i r. t o p l a m ın a , ya n i t o p l am ın a , R i e m a n n t o p l am ı ( R T ) d e n i r. y y=f(x) Bir [a,b] kapalı aralığının herhangi bir P p a r ç a l a n ı ş ı n d a [ x 0 , x 1 ] ya b i r i n c i a l t a r a l ık [ x 1 , x 2 ] ye i k i n c i a l t a r a l ı k [ x k - 1 , x k ] ya k . a l t a r a l ı k d e n i r . B u a r a l ık l a r ı n u zu n l u k l a r ı xk =xk -xk-1 olur ve bu aralıklardan en b ü yü ğ ü n e P p a r ç a l a n ı ş ı n ı n n o r m u d e n i r v e ∥P∥i l e g ö s t e r i l i r. E ğ e r a r a l ı k b o yl a r ı n ı n h e p s i e ş i t i s e p a r ç a l a n ı ş a d ü zg ü n p a r ç a l a n ı ş d e n i r. y= f ( x ) f o nk s i yo n u n u n a l t k ı s m ı n d a o l u ş a n n tane dikdörtgenin alanları toplamına alt t o p l am d e n i r ( A T ) . Ş ek l i i n c e l e yi n i z y y=f(x) x a b ÜST TOPLAM y= f ( x ) f o nk s i yo n u n u n ü s t k ı s m ı n d a oluşan n tane dikdörtgenin alanları t o p l am ı n a ü s t t o p l a m d e n i r ( Ü T ) . Ş ek l i i n c e l e yi n i z Alan=f(x*).∆x* x a x* b ∆x * A T ⩽RT⩽ÜT www.matbaz.com ALT TOPLAM ,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM f(x*) R i e m a n n t o p l am ın ın s a yı l a r ı v e P p a r ç a l a n ış ın a b a ğ l ı o l d u ğ u a ç ık t ır. Ş e k i l l e r i i n c e l e yi n i z. y y y=f(x) y=f(x) a x b a x b [ a , b ] a r a l ığ ın ın P p a r ç a l a n ış ın d a k i a r a l ık l a r k ü ç ü l d ük ç e , e ğ r i a l t ın d a k a l a n d i k d ö r t g e n l e r i n a l a n l a r ı n ı n t o p l a m ın ın f f on k s i yo n u n g r af i ğ i i l e x e k s e n i a r a s ın d a k i a l a n a ya k l a ş t ığ ı n ı g ö r ü r ü z. B u n e d e n l e p a r ç a l a n ı ş ı n n o r m u o l a n ∥P∥ k üç ü l d ü k ç e ( b a şk a b i r d e yi ş l e s ıf ır a ya k l a ş t ık ç a ) b u p a r ç a l a n ı ş a a i t R i e m a n n t o p l a m ın ın ya k l a ş t ığ ı b i r r e e l s a yı d e ğ e r i n i n , l im i t i n i n , o lm a s ın ı b e k l e r i z. y y=f(x) x a 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 b 1/13 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL RİEMANN TOPLAMI OLARAK BELİRLİ İNTEGRALİ Al t t o p l a m y=x+2 f : [ a , b ] →R b i r f o nk s i yo n o l s u n . P [ a , b ] a r a l ı ğ ı n ı n h e r h a n g i b i r p a r ç a l a n ı ş ı v e x 'k bu parçalanışa ait [xk-1,xk] aralığından s e ç i l e n h e r h a n g i b i r r e e l s a yı o l s u n . y n E ğ e r ∥P∥→0 i ç i n ∑ f ( x'k ) Δ x k = L olacak k=1 x ş ek i l d e b i r L ∈ R s a yı s ı v a r s a P p a r ç a l a n ı ş ı v e x 'k s a yı l a r ı n ı n s e ç i m i n d e n bağımsız olarak f [a,b] arasında i n t e g r a l l e n e b i l i r v e L ∈ R ye [ a , b ] d e f n i n b e l i r l i i n t e g r a l i d e n i r. ( b u a r a l ı k t a y= f ( x ) f o nk s i yo n u e ğ e r n e g a t i f o lm u yo r s a b u l im i t d e ğ e r i e ğ r i i l e x e k s e n i a r a s ı n d a kalan alanı verir) 4 0 4 8 4 n−4 . f +f +f +...+f n n n n n (( ) ( ) ( ) 4 . n ∥P∥→0 ye r i n e n→∞ a yn ı ş e y o l a r a k d ü ş ü n ü l e b i l i r. Δ x=dx , Δ x→0 lim (∑ ( Δ xk →0 k =1 ) b b ye b e l i r l i i n t e g r a l i d e r v e b u n u ∫ f (x )dx a o l a r ak ya z a r ı z . a v e b s a yı l a r ı n a integralin alt ve üst limitleri denir Kısaca lim ( n ∑ f ( x 'k) Δ xk Δ xk →0 k =1 ) b =L =∫ f ( x ) dx a +2)) (( 0n +2)+( 4n +2)+( 8n +2)+...+( 4n−4 n ( ( f x 'k ) Δ xk =L ∈ℝ o l u yo r s a b u l im i t d e ğ e r i n e y= f ( x ) f o n k s i yo n u n u n a ’ d a n )) 4 2n−2 4 4 16n−8 . 2n+ . n = . ( 2n+2n−2 )= . ( 4n−2) = n n n n n 16n−8 lim =16 n n→∞ www.matbaz.com n Ö ze t l e ( ) ) Üst toplam y=x+2 y x 4 . f n 4 . n 4n +f ( ( 4n )+f ( 8n )+...+f ( 4n−4 n ) ( n )) (( 4n +2)+(8n +2)+...+( 4nn +2)) Örnek...1 : f : [ 0,4 ]→R , f (x )=x+2f o nk i yo n u i l e x = 0 d o ğ r u s u x = 2 d o ğ r u s u v e x e k s e n i yl e s ı n ı r l ı b ö l g e n i n a l a n ı n ı R i em a n n t o p l am ı yl a b u l u n u z 4 2n+4 4 4 16n+32 . 2n+ .n = . ( 2n+2n+8 )= . (4n+8 )= n n n n n ( lim n→∞ ) ( 16n+32 )=16 n Ve bu sonuçla birlikte A T ⩽RT⩽ÜT Ç ö züm [ 0 , 4 ] a r a l ı ğ ı n ı n e ş i t b ö l ü nm e s i yl e h e r b i r 4−0 4 a r a l ık = o l a r a k e l d e e d i l i r. n n 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 4 olduğu için 16⩽RT =∫ ( x+2) dx⩽16 4 ∫ ( x+2) dx=16 0 e l d e e d i l i r ( İ n t e g r a l h e s a b ın 0 t em e l t e o r em i i l e b e l i r l i i n t e g r a l l e r i R i em a n n t o p l am l a r ın ı n l i m i t i ye r i n e b a şk a v e d a h a k ıs a b i r yö n t em l e h e a p l a ya c a ğ ı z) 2/13 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL BELİRLİ İNTEGRAL KURALLARI b 1. İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMLERİ: İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ I a ∫ f (x )dx =−∫ f ( x ) dx a b f : [ a , b ] →R s ü r ek l i b i r f on k s i yo n v e b d ( ( )) ( ) F x =f x i s e ∫ f ( x )dx =F ( b )−F ( a ) o l u r. dx a a 2. ∫ f (x )dx =0 a b b 3. ∫ k. f ( x ) dx=k. ∫ f (x ) dx a b b a b 5. a c b ∫ f (x )dx =∫ f (x ) dx +∫ f (x ) dx , a a h e s a p l a m ak i ç i n R i e m a n n t o p l am ı i l e s o n u c a g i t m e k ye r i n e f ( x ) f o nk s i yo n u n u n i l k e l i o l a n F ( x ) g i b i b i r f o nk s i yo n d a i n t e g r a l i n s ın ı r l a r ı n ı ya za r o l u ş a n f ar k ı ( F ' d e ü s t s ın ı r d e ğ e r i n d e n a l t s ın ı r d e ğ e r i n i ç ık a r a r a k ) c e v a p o l a r ak h e s a p l a r ız v e r i r. ∫ ( f ( x )±g ( x )) dx=∫ f ( x ) dx±∫ g( x ) dx a ∫ f (x )dx if a d e s i n i a a b 4. Ya n i b Örnek...4 : c<b 2 c ∫ xdx =? 1 6 . ( b - a ) . m i n (f ( x ) ) < ∫ f ( x ) dx =0< ( b a).max(f(x)) a Örnek...2 : 15 15 ∫ f ( x ) dx=10, −1 15 (∫ −1 ve ∫ g (x )dx =8 −1 15 ) (∫ f (x ) +g ( x ) dx . −1 f ( x )−g( x ) dx ise ) www.matbaz.com b Örnek...5 : 3 ∫ ( x3 +5x 2−7x +4) dx=? −1 π 2 ∫ sinx dx=? Örnek...3 : 3 Örnek...6 : 7 2 0 ∫ f (x )dx =−3 v e ∫ f (x )dx =5i s e ∫ f (x )dx =? 2 3 7 π 2 Örnek...7 : ∫ sinx.cosx dx=? 0 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 3/13 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL Örnek...8 : 2 ∫( 0 Örnek...12 : e ( lnx ) 2 ∫ x dx =? 1 x 3x2 + dx=? 3 ) Örnek...9 : π ∫π sin2 x. cosx dx =? ln2 ∫ (e 2x Örnek...13 : x +e ) dx=? 2 Örnek...10 : √3 dx =? ∫ 1+x 2 1 UYARI D e ğ i şk e n d e ğ i ş t i r m e ya p ı l d ı ğ ı n d a ye n i d e ğ i şk e n e g ö r e s ı n ı r l a r t ek r a r h e s a p l a n ı r s a e s k i d e ğ i ş k e n e d ö n ü lm e d e n integral hesaplanabilir www.matbaz.com ln1 Örnek...14 : 1 ∫ ( x2 +5x+1)2 (2x +5) dx=? 0 π 2 Örnek...15 : ∫ x.cosx dx=? 0 Örnek...11 : 3 ∫ ( x−2)2 dx=? 2 Örnek...16 : 100 ∫ logx dx=? 10 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 4/13 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL Örnek...17 : Örnek...22 : 2 ∫ x 5+x 3 dx =? G r af i ğ i v e r i l e n y= f ( x ) f o nk s i yo n u n u n g r a f i ğ i n e −2 y 7 y=f(x) 5 göre ∫ ( f ( x )+x.f ' ( x )) dx=? 4 3 3 5 x Örnek...18 : 1 √3 Örnek...23 : =? ∫ 1dx +x2 3 1 Örnek...19 : ∫ √ sin x.cosx dx=? 0 www.matbaz.com 2 π 4 3 ∫ f (x )dx =5 ise ∫ (7−f ( x )) dx=? 2 Örnek...24 : 2 8 ∫ f (4x ) dx=60ise ∫ (1−f ( x )) dx=? 0 0 Örnek...20 : 3 x 15 ∫ 1+x 4 dx=? −3 e2 Örnek...21 : Örnek...25 : ( ) dx=3 ise ∫ f lnx x e 5 2 ∫ x. f ( x2 +1 )dx =? 1 1 ∫ x.ln (x 2 +1) dx =? 0 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 5/13 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL Örnek...26 : Örnek...30 : y= f ( x ) f o nk i yo n u r e e l s a yıl a r d a t ü r e v l i v e x= 2 n ok t a s ı n d ak i t e ğ e t i x ek s e n i yl e p o z i t if yö n d e 45 o l ik a ç ı ya p ı yo r s a v e x = 3 ek s t r e m u m n ok t a l a r ı n d a n b i r i n n i n a p i s i s i i s e 3 x.f ' ' ( x )−f ' ( x ) dx = ? ∫ x2 2 4 ∫ √ 16−x2 dx i n t e g r a l i n d e x= 4 s i n t d ö n ü ş üm ü 0 ya p a r a k t ek r a r i n t e g r a l i ya z ı n ı z Örnek...27 : ln2 ex ∫ 2+e2x dx i n t e g r a l i n d e u=ex dönüşümü 0 ya p a r a k t ek r a r i n t e g r a l i ya z ı n ı z Örnek...31 : Örnek...28 : 256 6 x− 3 x ∫ √ 4 √ dx 1 √x integralinde x=u12 dönüşümü ya p a r a k t ek r a r i n t e g r a l i ya z ı n ı z ( u>0) www.matbaz.com y y= f ( x ) f o nk i yo n u n u n g r a f i ğ i ş ek i l d ek i g i b i d i r 5 ∫ f (x )+x.f ' (x ) dx =? 3 4 3 y=f(x) 2 3 x 5 Örnek...32 : t ∫ ( x2−4x−5) dx integralinin alacağı sonuç en az 0 Örnek...29 : k a ç t ır ? A ( 3 , 2 ) n o k t a s ı n d a ye r e l m ak s i m u m , B ( - 2 , 3 ) n o k t a s ı n d a ye r e l m i n i m u m a s a h i p y= f ( x ) 3 f on k s i yo n u i ç i n ∫ x.f '' (x ) dx d e ğ e r i n i bulunuz −2 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 6/13 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ Örnek...35 : 3 { x⩾0 i s e f ( x )= 2x+1 3x 2 x<0 İ n t e g r a n d ı n d a p a r ç a l ı f o nk s i yo n v e ya m u t l ak d e ğ e r l i f on k s i yo n i ç e r e n integraller integralin alındığı sınırlar i ç e r i s i n d e k ri t i k n o k t a i ç e r i yo r s a g ö r e p a r ç a l a n a r ak i n t e g r a l l e r i a l ı n ı r. ∫ f ( x ) dx −1 f : [ a , b ] →Rf on k s i yo n u [ a , b ] a r a l ı ğ ı n d ak i b u l u n a n s o n l u s a yı d a k i a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n s a yı l a r ı i ç i n s ü r e k s i z i s e b u n o k t a l a r a g ö r e i n t e g r a l p a r ç a l a n ı r. a1 b Ya n i a2 an =b ∫ f (x )dx =∫ f (x ) dx +∫ f (x ) dx +...+ ∫ a a a1 f ( x ) dx an −1 Örnek...36 : { x ise f ( x )= 2 x⩾0 x+1 x<0 B u p a r ç a l am a yı g e n e l d e p a r ç a l ı f o nk s i yo n d a v e ya m u t l ak d e ğ e r i n k ri t i k n ok t a s ı n d a i h t i ya ç d u ya r s a k ya p a r ı z 1 ∫ f ( x+2) dx −3 Örnek...33 : −2 ∫ f (x ) dx −4 www.matbaz.com { 2 x x⩾0 i s e f ( x )= (e) x x<0 Örnek...37 : { lnx f ( x )= x ex x⩾e i s e x<e e2 ∫ f (x )dx 1 Örnek...34 : { 5 x 2 x<2 f ( x ) = x 3 2<x<3 f on k s i yo n u i ç i n ∫ f ( x ) dx 0 x+1 x⩾3 Örnek...38 : 5 ∫∣x+2∣dx 1 Örnek...39 : 3 ∫ x3|x−2|dx 1 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 7/13 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL Örnek...40 : Örnek...45 : 3 ∫ x3∣x−2∣dx π ∫ (∣sinx∣+cos∣x∣) dx 1 π −π 2 Örnek...41 : π 2 Örnek...46 : ∫ sinx−√22 ∫∣cosx∣dx 0 0 ∣ ∣dx π Örnek...42 : ∫∣cosx−sinx∣dx 0 2π ∫π www.matbaz.com Örnek...47 : y y=f(x) R e e l s a yıl a r d a s ü r e k l i o l a n f f on k s i yo n u n u n t ü r e v i n i n g r a f i ğ i v e r i l i yo r. f(3)-f(2)=? 2 x -1 Örnek...43 : √ 1+cosx dx 2 İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ II f : [ a , b ] →R s ü r ek l i b i r f on k s i yo n v e x x d ( F (x ) ) d = f ( t ) dt =f ( x ) F ( x )=∫ f (t ) dti s e ∫ dx dx a a ya n i s ü r e k l i h e r f o nk s i yo n b a ş k a b i r f on k s i yo n u n t ü r e v i d i r. B a ş k a b i r d e yi ş l e t ü r e v v e i n t e g r a l i ş l em l e r i b i r b i r l e r i n i n t e r s i i ş l e m l e r d i r. ( Örnek...44 : 1 x2−4 ∫ ∣x−2∣dx 0 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 ) Örnek...48 : d dx ( x ∫ sint dt a ) =? 8/13 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL Örnek...49 : d dx x (∫ −2 Örnek...54 : ) 1 dt =? t 2+1 d dx x3 (∫ ) t d( e ) =? ln2 Örnek...50 : d dx ( x ) ∫ tant dt =? √7 d dx Örnek...55 : π (∫ sintt )=? e GENELLEME (LEİBNİZ KURALI) u( x ) F ( x ) = ∫ f (t ) dt o l a r a k v e r i l s i n d (F (x ) ) d = dx dx u (x ) (∫ ) f ( t ) dt =f ( u ( x ) ) .u ' (x )−f ( v ( x )) . v ' ( x ) v(x ) Örnek...51 : d dx cosx (∫ ) t 2 +t dt =? sinx Örnek...52 : d dx x2 (∫ ) tant dt =? x www.matbaz.com v (x) Örnek...56 : x 2 +1 t F ( x ) = ∫ e dt f on k s i yo n u n x= 1 n o k t a s ın d a k i x+ 1 teğet denklemini bulunuz Örnek...57 : x2 2 F ( x ) = ∫ t dtf o nk s i yo n u n x d ö n ü m n ok t a s ın ın x+ 2 apsisini bulunuz Örnek...53 : π (( )) 2 ∫π costdt lim x→2 x ln ( x−1 ) 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 Örnek...58 : x F ( x ) =∫ t.et dt i s e F ' ( 1 ) k aç t ır ? 0 9/13 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL 1 DEĞERLENDİRME 5) 1 ∫ 1+x2 dx=? √3 3 1) 3 ∫ f (x )dx =10 ve ∫ g ( x ) dx=8 ise 2 2 3 (∫ 3 ) (∫ ( 4.f ( x )+3g (x ) ) dx . 2 (5. f ( x )−4g ( x ) ) dx 2 ) π 4 6) ∫ sin2xcosx dx=? 0 2 2) 2 ∫ f (x )dx =6 ve ∫ ( 5−3.f ( x ) )dx =? 1 1 2 2 3) 2 ( )=? xn ∫ ∑ n! 1 n=0 www.matbaz.com 7) ∫ ( 3x2+3x ) dx=? 1 ln4 8) ∫ e−x dx=? ln2 √3 1 4) 4 ∫ x2−4 dx =? 0 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 2 9) ∫ 1 2 dx dx=? √ 1−x 2 10/ 10/13 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL −4 10) 2 1 ∫ ( x+5)4 dx =? 15) −3 ∫ ( x15 +x7.cosx +sin9 x ) dx=? −2 π 2 16) 2 1 11) ∫ dx=? 2 x.ln x 1 17) x+3 ∫ √ x . √ x+6 dx=? 3 13) 2 x ∫ f ( 3 )dx=36 ise ∫ ( x+3−4.f (2x ) )dx =? 0 4 π 4 x ) dx=? 0 www.matbaz.com 12) 2 6 12 19 ( 1−sin ∫π cosx .√ sinx 18) ∫ x.sinx dx =? dx 2 ∫ f (√ x ) √ x =3 ise ∫ 5x.f 1 √2 2 ( x2 )dx=? 0 e 14) ∫ lnx dx =? 1 3 19) ∫ ( √ 9−x 2 ) dx integralinde x=3sina dönüşümü 0 yaparak tekrar integrali yazınız 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 11/ 11/13 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL ln2 20) ex ∫ 2+e2x dx y integralinde u=ex dönüşümü 24) y=f(x) fonkiyonu n grafiği 0 yaparak tekrar integrali yazınız 2 135O şekildeki gibidir x 5 ∫ f (x )+x.f ' (x ) dx integralinin y=f(x) 3 değerini bulunuz 21) 64 x−x ∫ √3 1 ( √x ) dx integralinde x=u6 dönüşümü yaparak tekrar integrali yazınız a 25) ∫ ( 2x2−6x ) dx integralinin alacağı sayısal sonuç 0 π 2 22) cot ( x+π ) dx=? integralinde x=t+ π ∫ 1 +tan (x−π ) 2 0 dönüşümü yaparak tekrar integrali yazınız www.matbaz.com en az kaçtır? { 1+x 4 x<1 1⩽x⩽3 fonksiyonu için ∫ f ( x ) dx 0 x−1 x>3 26) f ( x )= x {3x 27) f ( x ) = 1+2x 23) y=f(x) fonkiyonu reel sayılarda türevli ve x=1 noktasındaki teğeti x eksenine paralel ve x=5 deki teğeti y-3x+2=0 doğrusuna dikse =? 5 ∫ 1 3 x⩾4 fonksiyonu için f ( x+3 ) dx ∫ x<4 −1 1 f '' ( x ) f ' (x ) dx+∫ 2 dx x x 5 4 28) ∫∣x−2∣dx 1 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 12/ 12/13 İNTEGRAL 6 BELİRLİ İNTEGRAL 3 29) 35) d ∫ x.∣x−2∣dx dx −1 x2 ∫ d (lnt ) 1 3π 2 30) ∫π ∣sinx∣dx 2 36) A( 1,2 ) noktasında teğeti y eksenine dik ,B(4,7) noktasında yerel ekstremuma sahip 4 y=f(x) fonksiyonu için ∫ x.f ' ' ( x ) dx değerini 1 bulunuz 4π 2 31) ∫π √ 1−cos2 xdx 32) d dx x 2+ 1 ∫ tant dt a www.matbaz.com 3 37) [-2,4] aralığı Δ x= 6 olacak şekilde n tane n aralığa bölünüyor. x k ' k . aralığın orta noktası olmak üzere lim n→∞ n (∑ ( ( k=1 ) 3 x k ' )2−2xk ' ) . Δ x limitini integralle ifade ediniz. x 33) f ( x )= ∫ ( t 2 +1 ) dt veriliyor. f fonksiyonunun √3 −2 dönüm noktasının apsisi nedir? π x ( ) ∫π sint dt 34) lim x→2 2 e x−2−1 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 13/ 13/13