FONKSİYONLAR - 2 GRAFİK GÖSTERİMİ-FONKSİYON TÜRLERİ FONKSİYON GRAFİĞİ OKUMA Örnek...2 : Ya n d ak i g r a f ik y= f ( x ) f o nk s i yo n u n a a i t t i r. B u n a g ö r e istenilenleri bulunuz? y f(z)=k y=f(x) d k a A b x z y y=f(x) 5 3 -4 -3 6 7 -1 x 2 c ( z, k ) ik i l i s i n i n a n a l i t ik d ü zl em d e k i g ö r ü n t ü s ü A n o k t a s ı d ı r. a) f(2)= b)f(6)= d) f(0)= e)f-1(5)= c) f-1(-3)= ► z s a yı s ı n a a p s i s , k s a yı s ı n a i s e o r d i n a t d e n i r. ► A ( z, k ) n ok t a s ı y = f ( x ) f o nk s i yo n u n u n g r af i ğ i ü ze r i n d e i s e f ( z) = k ya z ı l ı r. f (x ) = 0 d e nk l e m i n i n ç ö zü m k üm e s i y = f ( x ) d e nk l e m i yl e v e r i l e n f on k s i yo n u n u n ( v a r s a ) x e k s e n i n i k e s t i ğ i n o k t a l a r ın a p s i s l e r i , f ( x ) = 0 d e nk l em i n i n g e r ç e k ( r e e l ) s a yıl a r k üm e s i n d e k i ç ö züm k üm e s i d i r. ► A ( z, k ) n ok t a s ı y = f ( x ) f o nk s i yo n u n u n g r af i ğ i ü ze r i n d e i s e f - 1 ( k ) = z ya z ı l ı r. B u r a d a f - 1 if a d e s i f k ur a l ı n ı n t e r s b a ğ ı n t ı s ı d ı r ( 1 0 . s ı n ı f t a d e t a yl ı o l a r ak i ş l e n e c ek t i r ) [ f (x ) = y , f - 1 ( y) = x ] y Ta n ı m K üm e s i : [ a , b ) d y=f(x) görüntü c x Görüntü Kümesi : (c,d] a tanım b www.matbaz.com y ► Yuk a r ı d a v e r i l e n g r af ik t e x d e ğ e r l e r i [a,b] aralığından seçildiği için tanım k üm e s i [ a , b ] , g ö r ü n t ü k üm e s i i s e [ c , d ] k üm e s i d i r. Örnek...3 : y=f(x) 6 Ya n d ak i g r a f ik y= f ( x ) f o nk s i yo n u n a a i t t i r. B u n a -3 -2 g ö r e i s t e n i l e n l e r i b u l u n u z? 10 4 5 8 -2 a ) f (k )= 0 i s e k k a ç o l a b i l i r ? b) f (0)+f (4). f(9) f(−3).f (5) Örnek...1 : A ş a ğ ı d a g r af ik l e r i v e r i l e n f on k s i yo n l a r ı n t a n ım v e g ö r ü n t ü k ü m e l e r i n i ya z ı n ı z c ) t a n ım k ü m e s i n d e k i k aç a t am s a yıs ı i ç i n f ( a )< 0 d ır ? y y y=f(x) 4 y=f(x) 9 -6 4 x 1 -2 Örnek...4 : 8 7 -6 x Ya n d ak i g r a f ik y= f ( 2 x + 5 ) f on k s i yo n u n a a i t t i r. B u n a g ö r e i s t e n i l e n l e r i b u l u n u z? y -3 y=f(2x+5) 3 1 -2 4 7 x T.K. a) f(13)=? G.K. y y y=h(x) 9 y=g(x) 4 -5 -1 3 7 4 x 5 3 -3 T.K. 7 x a) f (5)+f (−1) =? f(19)−1 -2 G.K. 9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 1/6 x FONKSİYONLAR - 2 GRAFİK GÖSTERİMİ-FONKSİYON TÜRLERİ Örnek...5 : Ya n d a k i g r af i k y= g ( x + 3 ) f on k s i yo n u n a a i t t i r. Buna göre istenilenleri b u l u n u z? y -3 DÜŞEY DOĞRU TESTİ y=g(x+3) 7 5 7 10 -1 4 5 B i r g r a f i k t e y ek s e n i n e ç i zi l e n p a r a l e l d o ğ r u l a r g r af i ğ i b i r d e n f a zl a n o k t a d a k es i yo r s a o i l i şk i ( e ş l em e ) f o n k s i yo n d e ğ i l d i r. x -2 y y a) g(7)+g-1(-2) = ? a b b) g(13)+g(3).g(0 ) =? g (7)−2 g (8) x a b x y= f ( x ) , [ a , b ] t a n ım a r a l ığ ı i ç i n f on k s i yo n d u r. ( d ü ş e y ç i zg i l e r g r a f i ğ i d a i m a t ek n ok t a d a k es i yo r ) y= g ( x ) , [ a , b ] t a n ım a r a l ığ ı i ç i n f o nk s i yo n d e ğ i l d i r. ( d ü ş e y ç i zg i l e r g r a f i ğ i b a ze n b i r d e n f a zl a n ok t a d a k es i yo r ) y Örnek...6 : 7 -6 5 x -1 a) h(x)=0 denkleminin kaç k ök ü v a r d ı r ? y=h(x) b ) h ( x ) = - 1 d e n k l e m i n i n k a ç k ök ü v a r d ı r ? c ) h ( x ) = 8 d e n k l e m i n i n k a ç k ök ü v a r d ı r ? www.matbaz.com Ya n d a k i g r af i k y= h ( x ) f on k s i yo n u n a a i t t i r. y=g(x) y=f(x) Örnek...9 : H a n g i g r a f i k b i r f on k s i yo n a a i t o l a b i l i r ? Örnek...7 : f (x ) = 4 x – 2 8 f on k s i yo n u n u n x ek s e n i n i k es t i ğ i n o k t a n ı n a p s i s i k aç t ı r ? Örnek...8 : 2 f (x)=x −ax+b f on k s i yo n u n u n x ek s e n i n i k es t i ğ i n o k t a l a r ı n a p s i s l e r i 1 v e – 2 o l d u ğ u n a g ö r e , y ek s e n i n i h a n g i n o k t a d a k e s e r ? 9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 2/6 FONKSİYONLAR - 2 GRAFİK GÖSTERİMİ-FONKSİYON TÜRLERİ DEĞİŞİM HIZI VE DOĞRUNUN EĞİMİ Örnek...12 : B i r ak ıl l ı t e l ef o n u n Fiyat (Tl) üretildiği tarihten 1800 i t i b a r e n f i ya t ı n d a k i d e ğ i ş im g r a f i ğ i 1200 v e r i lm i ş t i r. Ak ıl l ı t e l ef o n u n f i ya t ı n ı n 2 6 za m a n a g ö r e d e ğ i ş i m h ı z ı k a ç t ır ? İ k i d e ğ i şk e n d e n b i r i n i n d e ğ i ş im m ik t a r ı n ı n , d i ğ e r i n i n d e ğ i ş i m m ik t a r ı n a o r a n ı d e ğ i ş i m h ı z ı n ı v e r i r. A yş e ' n i n k i l o s u n u n ya ş ı n a g ö r e d e ğ i ş im h ı z ı , Kilo değişim miktarı D e ğ i ş im h ı z ı = d ı r. Yaş değişim miktarı y = f (x ) d o ğ r u s a l f o nk s i yo n u g e n e l l i k l e , f(x) = m.x+n b i ç im i n d e ya z ı l ı r. B u f on k s i yo n u n y s i n i n x ine göre değişim hızına doğrunun eğimi d e n i r. E ğ i m g e n e l l i k l e " m " h a r f i i l e g ö s t e r i l i r. D e ğ i ş im h ı z ı = Süre (yıl) D e ğ i ş i m h ı z ı ( e ğ im ) p o zi t i f , n e g a t if v e s ıf ır o l a b i l i r. y deki değişim miktarı x deki değişim miktarı =eğim=m EĞİM BULMAK A yş e ' n i n ya ş – k üt l e t a b l o s u a ş a ğ ı d a v e r i l m i ş t i r. A yş e ' n i n k üt l e s i n i n ya ş ı n a g ö r e değişim hızı nedir? Yaş Kütle(kg) 12 43 15 49 18 55 www.matbaz.com Örnek...10 : a.x + b.y + c = 0 biçimindeki doğruların a e ğ i m i m=− b y = m . x+ n b i ç im i n d ek i d o ğ r u l a r ı n e ğ i m i i s e m k at s a yı s ın a e ş i t t i r. Örnek...13 : Doğruların eğimlerini bulunuz a) f(x)=3x+4 b) y=4x+7 c) 3x-2y=8 d) x y − =√ 7 3 2 Örnek...11 : Elinde uçan balon olan Ali' Yükseklik (m) n i n b a l o n u k a ç ı yo r. B a ş l a n g ı ç t a ye r d e n 2 32 m et r e yü k s e k l ik t e k i b a l o n u n yü k s ek l i ğ i n i n z a 2 Süre (sn) m an a ( s a n i ye ) g ö r e 60 d e ğ i ş i m g r af i ğ i v e r i l i yo r. B a l o n u n yü k s ek l i ğ i n i n z am a n a g ö r e d e ğ i ş im h ı z ı k a ç t ı r ? E ğ i m , e ğ i m a ç ıs ın ın t a n j a n t d e ğ e r i d i r E ğ i m i n a l a b i l e c e ğ i t üm d e ğ e r l e r i g r a f ik ü ze r i n d e g ö r e l im . E ğ i m p o zi t i f t i r 9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 E ğ im n e g a t if t i r 3/6 FONKSİYONLAR - 2 GRAFİK GÖSTERİMİ-FONKSİYON TÜRLERİ Örnek...17 : { f (x)= x+3, 2 x−8, ç i zi n i z A ş a ğ ı d a g r af i ğ i v e r i l e n f on k s i yo n l a r ı n eğimlerini bulunuz. Örnek...18 : 4 3 x x m= m= PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR Ta n ı m k ü m e s i n i n a yr ı k a l t a r a l ı k l a r ı n d a f a rk l ı k u r a l l a r l a i f a d e e d i l e n f o nk s i yo n l a r a p a r ç a l ı t a n ım l ı f on k s i yo n d e n i r. { f (x)= g (x), h (x), g ( x ) = | x – 3 | f o nk s i yo n u n u p a r ç a l ı b i ç i m d e ya z ın ı z? x<a x≥a www.matbaz.com 4 -2 { y d d f o nk s i yo n u n u n g r a f i ğ i n i M u t l a k d e ğ e r f o nk s i yo n u d a p a r ç a l ı t a n ım l ı b i r f o nk s i yo n d u r −x, x<0 |x|= x , x>0 0, x=0 Örnek...14 : y x<0 x≥0 Örnek...19 : g ( x ) = | 2 x + 1 0 | f on k s i yo n u n u p a r ç a l ı b i ç im d e ya z ı p g r a f i ğ i n i ç i zi n i z Örnek...15 : { 2 f (x)= x +4 x+2, x<0 ise f (−3)+ f(2)=? −x−5, x≥0 f ( x )= x n f on k s i yo n l a r ın ın g r af i k l e r i y y y=x Örnek...16 : { 2x x>2 R e e l s a yı l a r d a f (x)= x+2 −3<x⩽2 b i ç i m i n d e −3 x⩽−3 t a n ım l a n a n f o nk s i yo n i ç i n f (2 ) - f (3 ) k aç t ır ? y=x2 x y y y=x3 y=k/x k>0 x 9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 x x 4/6 FONKSİYONLAR - 2 GRAFİK GÖSTERİMİ-FONKSİYON TÜRLERİ FONKSİYON TÜRLERİ 1 . İ ç i n e F o n k s i yo n f : A → B f o nk s i yo n u i ç i n f (A)≠B i s e f f o nk s i yo n u n a i ç i n e f o nk s i yo n d e n i r. Ya n i d e ğ e r k üm e s i n d e a ç ı k t a e l em a n k al ı yo r s a f o nk s i yo n i ç i n e d i r. 2 . Ö r t e n F o n k s i yo n f : A → B f o nk s i yo n u i ç i n f (A)=B i s e f f o nk s i yo n u n a ö r t e n f o nk s i yo n d e n i r. Ya n i d e ğ e r k üm e s i n d e a ç ı k t a e l em a n k al m ı yo r s a f o nk s i yo n ö r t e n d i r. f A 3 . B i r e - b i r F o n k s i yo n f : A → B f on k s i yo n u v e r i l s i n . Her x1 , x2 ∈ A ve x1 ≠ x2 için f (x 1 ) ≠ f ( x 2 ) o l u yo r s a f f on k s i yo n u n a b i r e – b i r ( 1 – 1 ) f o n k s i yo n d e n i r. B 1 2 3 4 5 a b c Örnek...23 : A g A B a b c d 1 2 a b c d 4 5 B i r f o nk s i yo n u n ö r t e n m i i ç i n e m i o l d u ğ u n u a n l a m ak i ç i n d e ğ e r k üm e s i n d e n s e ç i l e c e k h e r e l em a n ı n a k a r ş ı l ı k t a n ı m k üm e s i n d e n b i r e l am a n ı n e ş l e ş i p e ş l e ş m e d i ğ i n i b i lm ek g e r ek i r. G r af ik t e n b u n u a n l a m a n ı n yo l u g ö r ü n t ü s ü a r a ş t ı r ı l a c ak e l e m a n i ç i n i ç i n x ek s e n i n e p a r a l e l b i r d o ğ r u ç i zi l i r v e b u d o ğ r u n u n g r af i ğ i k es i p k es m e m e s i n e g ö r e k a r a r verilir Örnek...20 : Örnek...21 : Ş e k i l d e k i f o nk s i yo n u n R e e l s a yı l a r k üm e s i n d e f on k s i yo n m i d i r ? Ş e k i l d e k i f o nk s i yo n u n d e ğ e r k üm e s i R e e l s a yı l a r k üm e s i i s e b u f on k s i yo n ö r t e n m i d i r ? 9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 A 1 2 3 4 5 a b c d g B 1 2 4 5 YATAY DOĞRU TESTİ (BİRE-BİRLİK) B i r f on k s i yo n u n g r af i ğ i v e ya t a y o l a r a k ç i zi l e n f a rk l ı d o ğ r u l a r e n ç o k b i r d e f a k es i ş i yo r s a f o nk s i yo n b i r e b i r d i r . Ya t a y d o ğ r u l a r b i r d e n ç o k d e f a f o nk s i yo n g r a f i ğ i n i k e s i yo r s a f o n k s i yo n 1 - 1 d e ğ i l d i r. y Örnek...24 : y=x2 x y R e e l s a yıl a r d a t a n ım l ı y= f ( x ) f o nk s i yo n u 1 - 1 midir? y=f(x) x Örnek...25 : R e e l s a yıl a r d a t a n ım l ı y= f ( x ) f o nk s i yo n u 1 - 1 midir? y y y=f(x) x y=x3 Örnek...26 : x Örnek...22 : B h f o n k s i yo n u f ar k l ı e n a z ik i t a n ım k üm e s i e l em a n ın ı d e ğ e r k üm e s i n d e n a yn ı e l e m a n l a e ş l e ş d i ğ i n d e n b i r e - b i r d e ğ i l d i r. g f on k s i yo n u i s e f a rk l ı e l em a n l a r ı f ar k l ı g ö r ü n t ü l e r l e eşleştirdiğinden bire-birdir YATAY DOĞRU TESTİ (ÖRTENLİK) Ş e k i l d e k i f o nk s i yo n u n d e ğ e r k üm e s i R e e l s a yı l a r k üm e s i i s e f on k s i yo n i ç i n e d i r. E ğ e r d e ğ e r k üm e s i [0, ∞ ) alınırsa f on k s i yo n ö r t e n d i r h R e e l s a yıl a r d a t a n ım l ı ( f : R → R ) y= f ( x ) = x 4 f o nk s i yo n u 1 - 1 m id i r. D e ğ i l i s e b u f o nk s i yo n u n 1 - 1 h a l e g e t i r lm e s i i ç i n m üm k ü n b i r yo l v a r m ıd ır ? y y=k/x k>0 x Örnek...27 : E n a z ik i e l em a n l ı b i r k üm e d e t a n ım l ı s a b i t , b i r im v e d o ğ r u s a l f o nk s i yo n l a r ın b i r e b i r l i ğ i n i a r a ş t ır ın ı z ? 5/6 FONKSİYONLAR - 2 GRAFİK GÖSTERİMİ-FONKSİYON TÜRLERİ DEĞERLENDİRME 1) Yandaki grafik y=f(x) fonksiyonuna aittir. Buna göre istenilenleri bulunuz? fonksiyonunun x eksenini kestiği noktaların apsisleri -1 ve 2 olduğuna göre, y eksenini hangi noktada keser? 6) Hangisi reel sayılarda tanımlı bir fonksiyona ait olabilir? y 5 f (x)=x +mx+n y=f(x) -5 -3 1 -3 2 5) 3 -2 6 4 7 x y a ) f (x + 1 ) = 0 d e nk l em i n i s a ğ l a ya n x d e ğ e r l e r i n i n t o p l am ı k aç t ı r ? y y=f(x) x x y=u(x) f (3)+f (−5). f (0 ) b) f (6)+f−1(−3) y y y=f(x) c) Aşağıdaki aralıklarda f bire-bir midir? i) [-5,0] iii) [0,7] y=r(x) x x d) f:[-5,oo) R fonksiyonu örten midir? 2) Yandaki grafik y=h(2x+3) fonksiyonuna aittir. Buna göre istenilenleri bulunuz? -3 7) Bir ağacın dikildikten sonra boyunun zamana göre değişimi grafikte verilmiştir. Ağacın boyunun zamana göre değişim hızı kaçtır? y 7 6 5 -2 −1 h(15)+h(3).h (7) =? h(17)−h(21) y=h(2x+3) 6 -4 x 79 y 3) Yandaki grafik y=k(x) fonksiyonuna aittir. 5 8) y=k(x) 9 -7 -1 x { , f (x)= mx+n −x 2+2 n−3, Boy (cm) 32 20 Süre (ay) 8 x<1 ve f (0)= f(2) ise x≥1 f(3) kaçtır? a) k(x)=0 denkleminin kaç kökü vardır? b ) k (x ) = - 1 d e n k l e m i n i n k a ç k ök ü v a r d ı r ? 9) (x) = | x – 3 |-2 fonksiyonunu parçalı biçimde yazarak grafiğini çiziniz ? c ) k (x ) = 4 d e nk l e m i n i n k a ç k ök ü v a r d ı r ? 4) f(x) = x2 – 9 fonksiyonunun x eksenini kestiği noktaların birbirine uzaklığı kaç birimdir? 9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 6/6