ankara üniversitesi fen bilimleri enstitüsü yüksek lisans tezi

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MEUSNIER TEOREMİNİN 3 BOYUTLU ÇİZGİLER UZAYINDAKİ
KARŞILIĞI
Fatma KARAKUŞ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2008
Her Hakkı Saklıdır
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
MEUSNIER TEOREMİNİN 3 BOYUTLU ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIĞI
Fatma KARAKUŞ
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU
Bu tez dokuz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci bölümde, tanımlar verilmiştir.
Üçüncü bölümde, n ≥ 3 halinde Meusnier teoremi ile teoremin sonuçları açıklanmıştır.
Dördüncü bölümde, E-Study teoremi ifade ve ispat edilmiştir. Ayrıca dual açı incelenmiştir.
Beşinci bölümde, çizgiler geometrisi incelenmiştir. Lineer ışın kompleksi ve lineer
doğru kongrüansı özetlenmiştir. Regle yüzeyler incelenmiş ve D Modül de regle
yüzeyler için genellemeler yapılmıştır.
Altıncı bölümde, D Modül de birim dual küre üzerindeki çemberlerin Study resimleri incelenmiştir.
Yedinci bölümde, birim dual küre üzerindeki eğrilik çemberleri incelenmiş ve çizgiler
uzayında genellemeler yapılmıştır.
Son bölümde ise, birim dual küre üzerindeki eğrilik eksenlerinin çizgiler uzayındaki
karşılığı incelenmiştir.
2008, 102 sayfa
Anahtar Kelimeler : Meusnier Teoremi, Eğrilik Çemberi, Eğrilik Ekseni, Meusnier
Küresi, Helikoid, Birim Dual Küre, E-Study Dönüşümü, Dual Açı, Regle Yüzey,
Çizgiler Geometrisi, Lineer Doğru Kongrüansı, Lineer Işın Kompleksi.
i
ABSTRACT
Master Thesis
MEUSNIER’S THEOREM FOR 3 DIMENSIONAL LINE SPACE
Fatma KARAKUŞ
Ankara University
Graduate School of Natural And Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU
This thesis consists of eight chapters. The first chapter has been devoted to the the
introduction. In Chapter two, definitions which are needed in the further chapters
are given.
In Chapter three, the Meusnier Theorem and its results are obtained at the E n
(n ≥ 3).
In Chapter four, it is expressed and proved the E-Study mapping. Also it is studied
that the dual angle at the D − Module.
In Chapter five, Line Geometry is examined. The linear closed half-line complexe and
the linear congruence are summarized. The ruled surfaces are studied and generalized
about the ruled surfaces at the D − Module.
In Chapter six, Study mapping of the circles on the unit dual sphere at the D −
Module are examined.
In Chapter seven, the circles of curvature on the unit dual sphere are examined and
generalized in the line spaces.
In the final chapter, the polar axises on the unit dual sphere are expressed in the
line spaces.
2008, 102 pages
Key Words: Muesnier’s Theorem, Circle of Curvature, Polar Axis, Meusnier Sphere,
Helicoid, Unit Dual Sphere, E-Study Mapping, Dual Angle, Ruled Surface, Line
Geometry, Linear Congruence, Linear Complexe.
ii
TEŞEKKÜR
Bana bu çalışmayı vererek, çalışmamın her safhasında benden yardım ve bilgilerini
esirgemeyen, bugüne ulaşmamdaki en önemli destekçim, değerli hocam, Sayın Prof.Dr.
H.Hilmi HACISALİHOĞLU (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’na, en derin saygılarımla teşekkürlerimi sunarım. Sorduğum her soruyu sabırla cevaplayan değerli hocam Sayın Prof.Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’ya ve değerli
hocam Sayın Doç.Dr. Nejat EKMEKÇİ (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’ye en
içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.
Yüksek lisans öğreniminm boyunca burs vererek çalışmalarımı destekleyen TÜBİTAK
a teşekkürlerimi sunarım.
Çalışmamın her aşamasında yanımda yer alarak her daim beni destekleyen sevgili
aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Fatma KARAKUŞ
Ankara, Temmuz 2008
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
SİMGELER DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
1. GİRİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2. TANIMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3. MEUSNIER TEOREMİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3.1 n=3 Halinde Meusnier Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3.2 n=3 Halinde Meusnier Teoreminin Sonuçları . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.3 n>3 Halinde Meusnier Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.4 n>3 Halinde Meusnier Teoreminin Sonuçları . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.5 Reel Küre Yüzeyi İçin Meusnier Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.6 Dual Küre Yüzeyi İçin Meusnier Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4. E-STUDY DÖNÜŞÜMÜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.1 Birim Dual Küre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.2 Dual Açı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5. ÇİZGİLER GEOMETRİSİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5.1 Lineer Işın Kompleksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5.2 Lineer Doğru Kongüransı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.3 Regle Yüzeyler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
6. ÇEMBERİN STUDY RESMİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
6.1 Bir Çemberin Study Resmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
7. EĞRİLİK ÇEMBERLERİNİN R3 ÇİZGİLER UZAYINDAKİ
KARŞILIKLARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
7.1 Birim Dual Küre Üzerindeki Eğrilik Çemberlerinin
Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
7.2 Eğrilik Çemberlerinin Çizgiler Uzayındaki Karşılıkları . . . . . .
82
8. EĞRİLİK EKSENLERİNİN R3 ÇİZGİLER UZAYINDAKİ
KARŞILIKLARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
ÖZGEÇMİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
iv
SİMGELER DİZİNİ
−
→
V2
Asli normal vektör
En
n − boyutlu Öklid uzayı
Tp (E n )
E n uzayının p noktasındaki tanjant uzayı
yüzey
M
→
−
Xp
→∗
−
uo
P noktasındaki teğet vektörü
S
Birim Dual küre üzerindeki çember
K
Birim Dual küre
H
Dual eğrilik
1
d
dağılma parametresi
Φ, Ψ
Dual açılar
k1
1 − yinci eğrilik
ρ
Dual eğrilik yarıçapı
vektörel moment
v
1. GİRİŞ
Bu yüksek lisans tezinde E 3 teki bir eğrinin bir noktasından geçen ve asimptotik
olmayan bütün eğrilerin bu noktadaki eğrilik çemberleriyle ve eğrilik eksenleriyle ilgili
olan Meusnier teoremi ve teoremin sonuçları incelenmiştir. n > 3 halinde Meusnier
teoremi ve teoreminin sonuçları açıklanmıştır.
D − Modül de birim dual küre üzerindeki bir çemberin Study resminin tek kanatlı
hiperbolidlerin iki parametreli ailesi olduğu görülmüştür. Birim dual küre üzerindeki
eğrilik çemberlerinin Study resimlerinin dik helikoidler olacak şekilde Study dönüşümünün seçilebileceği gösterilmiştir. Birim dual küre üzerindeki eğrilik eksenlerinin
R3 çizgiler uzayında ikinci dereceden bir doğru kongrüansına karşılık geldiği açıklanmıştır.
Bu çalışmada E 3 deki bir eğrinin eğrilik çemberleri ve eğrilik eksenleriyle ilgili olan
Meusnier teoreminin çizgiler uzayındaki karşılıklarının verilmesi amaçlanmıştır.
1
2. TANIMLAR
n−
→ −
→o
→
−
Tanım 2.1. X p ∈ TM (P ) olsun. X p , N p kümesinin gerdiği düzlemle M yüzeyinin
→
−
→
−
arakesiti olan ve σ 0 (0) = X p eşitliğini sağlayan (yani X p teğet vektörüne sahip olan)
→
−
σ eğrisine X p doğrultusundaki Dik Kesit Eğrisi denir (Sabuncuoğlu 2004).
Tanım 2.2. α : I −→ R3 eğrisinin α (t0 ) noktasında eğriye ikinci basamaktan
değen çembere, α eğrisinin α (t0 ) noktasındaki Eğrilik Çemberi denir (Hacısalihoğlu 2000).
→
−
Tanım 2.3. Eğrilik çemberinin merkezinden geçen ve V 3 (t0 ) binormal vektörüne
parelel olan doğruya, α eğrisinin α (t0 ) noktasına ilişkin Eğrilik Ekseni denir (Hacısa
lihoğlu 2000).
Tanım 2.4. α : I −→ R3 eğrisinin α (t0 ) noktasındaki eğrilik çemberinin merkezine
Eğrilik Merkezi denir (Hacısalihoğlu 2000).
Tanım 2.5. α : I −→ R3 eğrisinin α (t0 ) noktasındaki birinci eğriliği k1 (t0 ) olmak üzere
1
sayısına
k1 (t0 )
α eğrisinin α (t0 ) noktasına ilişkin Eğrilik Yarıçapı denir
(Hacısalihoğlu 2000).
2
3. MEUSNIER TEOREMİ
3.1 n = 3 Halinde Meusnier Teoremi
E 3 te bir yüzey M ve M üzerinde bir eğri α, α : I → M eğrisinin P = α (t)
→
−
noktasındaki birinci eğriliği k1 olsun. X P ∈ TP (E 3 ) , P = α (t) olmak üzere ∀t ∈ I
→
−
0
için α (t) = X P olur.
→
−
Myüzeyinin birP = α (t) noktasındaki X P teğet vektörü doğrultusundaki dik ke→
−
sit eğrisinin k1 eğriliği ile M yüzeyi üzerinde aynı X P teğet vektörüne sahip olan
ve asimptotik olmayan α eğrilerinin k1 eğrilikleri arasındaki ilişkiyi görelim. M
→
−
yüzeyi üzerinde bir P = α (t) noktasında aynı X P teğet vektörüne sahip olan
→
−
eğrilerin k1 eğriliklerini incelemek demek,P = α (t) noktasındaki X P teğet vek→
−
törünün sabit tutulup V2 asli normal vektörünün değiştirilmesiyle oluşan oskülatör
düzlemlerin Myüzeyi ile arakesitleri olan eğrilerin k1 eğriliklerini incelemek demek→
−
tir. Buna göre, M yüzeyi üzerindeki P = α (t) noktasından geçen aynı X P teğet
³ ³−
´
→ −
→ ´
vektörüne sahip olan ve asimptotik olmayan II X P , X P 6= 0 , eğrilerin ailesini
α = ((α)1 , (α)2 · · · (α)n ) ile gösterelim. Bu eğri ailesine ait bir (α)i eğrisinin birinci
3
eğriliği (k1 )i ve asli normal vektörü ise
³−
→´
→
V2 =−
n i ile gösterilsin.
i
³−
→´
→
−
→
V2 =−
ni ile P = α (t) noktasındaki N P yüzey normali, arasındaki açının ölçüsü
i
°−
°
°→ °
→
ϕ olmak üzere 0 ≤ ϕ ≤ π olur. k−
n k = 1 ve ° N ° = 1 alınabildiğinden,
i
i
2
i
P
D³−
D
→´ →
− E
→ E
−
→
V 2 , NP
= −
n i, N P
i
°
°−
°→ °
→
−
= k n i k ° N P ° cos ϕi
= cos ϕi
elde edilir.
³−
D−
E
→ −
→
→ ´
→
−
00
00
İkinci esas formun özeliğinden, II X P , X P = − N P , α (t) olup, α (t) = k1 · V 2
olduğundan,
³−
→ −
→ ´
II X P , X P
k1 = − D−
→ −
→E
NP, V 2
4
dır. Buna göre, (α)i eğrisinin birinci eğriliği (k1 )i olmak üzere
(k1 )i = −
olur. Buradan
³−
→ −
→ ´
II X P , X P
cos ϕi
³−
→ −
→ ´
(k1 )i cos ϕi = −II X P , X P
((*))
elde edilir.
³−
→ ´
→ −
Bu(∗)eşitliğinden II X P , X P değeri sabit olduğundan (k1 )i ve cos ϕi değiştiği za-
man çarpımlarının sabit kaldığını görüyoruz .
→
−
Şimdi de P = α (t) noktasındaki X P teğet vektörü doğrultusundaki σ dik kesit
eğrisinin birinci eğriliği (k1 )σ ile (α)i eğrisinin birinci eğrililiği (k1 )i arasındaki bağıntıyı gösterelim.
→
−
M yüzeyi üzerindeki bir P = α (t)noktasındaki X P teğet vektörü doğrultusundaki
n−
→ o
→ −
dik kesit eğrisi σ olsun. Dik kesit eğrisinin oskülatör düzlemi, X P , N P cümn−
→ o
→ −
lesinin gerdiği Sp X P , N P düzlemidir. σ dik kesit eğrisinin P = α (t) noktasındaki
³−
³−
n−
→´
→ o
→´
→ −
asli normal vektörü V 2 olmak üzere, V 2 vektörü Sp X P , N P düzleminin
σ
σ
³−
→
−
→´
0
0
içindedir. σ dik kesit eğrisi olduğundan σ (t) = X P olup, V 2 ⊥σ (t) dır.
σ
³−
→´
→
−
→
−
0
V 2 ve N P vektörleri düzlemsel ve her ikisi de σ (t) = X P teğet vektörüne dik
σ
olduğundan ,
³−
³−
→´
→
−
→´
→
−
V 2 = N P veya V 2 = − N P
σ
σ
³−
³−
→´
→
−
→
−
→´
olur. Buna göre, V 2 = N P olduğundan N P ile V 2 vektörlerinin belirttiği
σ
σ
→
−
açının ölçüsü 0 dır. σ dik kesit eğrisinin, P = α (t) noktasındaki X P teğet vektörü
doğrultusundaki birinci eğriliği (k1 )σ olmak üzere, ikinci esas formun özeliğinden,
(k1 )σ = −
³−
→ −
→ ´
II X P , X P
cos ϕi
5
ϕi = 0 dan, cos ϕi = cos 0 = 1 olduğundan,
³−
→ −
→ ´
(k1 )σ = −II X P , X P
((**))
olur.
σ dik kesit eğrisinin eğrilik yarıçapı R olmak üzere , −1 ≤ cos ϕi ≤ 1 olduğundan
→
−
(k1 )σ , P = α (t) noktasından geçen aynı X p teğet vektörüne sahip asimptotik olmayan α eğrilerinin (k1 )i asimptotik eğriliklerinin en küçüğüdür. R =
1
(k1 )σ
olduğun-
dan, R ise eğrilik yarıçaplarının en büyüğüdür. (∗∗) bağıntısından,
³−
→ −
→ ´
1
= −II X P , X P
R
((***))
olur.
(α )i eğrisinin P = α (t) noktasındaki eğrilik yarıçapı, ρi olmak üzere ρi =
(∗) ve (∗ ∗ ∗) bağıntısından;
(k1 )i cos ϕi =
elde edilir. ρi =
1
(k1 )i
1
(k1 )i
olup,
1
R
olduğundan,
1
1
cos ϕi =
ρi
R
ρi = R cos ϕi
bulunur.
→
−
Böylece M yüzeyinin P = α (t) noktasında aynı X P teğet doğrultusuna sahip ve
asimptotik olmayan α eğrilerinin eğrilik yarıçapları ile M yüzeyinin P = α (t) nok→
−
tasındaki X P teğet doğrultusuna sahip ve asimptotik olmayan σ dik kesit eğrisinin
eğrilik yarıçapı R arasındaki ilişkiyi göstermiş olduk.
σ dik kesit eğrisinin P = α (t) noktasındaki eğrilik çemberinin merkezi C olmak
üzere,
→
−
C = P + RN P
6
yazabiliriz. Burada, C merkezli ve R yarıçaplı küreyi (A) ile gösterelim. σ dik kesit
eğrisinin P = α (t) noktasındaki eğrilik çemberi (A) küresinin bir büyük çemberidir.
→
−
Teorem 3.1.1. ( Meusnier Teoremi) : M yüzeyinin P = α (t) noktasında X P
→
−
teğet vektörü doğrultusundaki dik kesit eğrisi σ olsun. Merkezi C = P + R N P
ve yarıçapı R olan küre (A) ile gösterilsin. E 3 de bir M yüzeyi üzerinde bulunan
→
−
ve P ∈ M noktasında aynı X P teğet vektörüne sahip asimptotik olmayan bütün
α eğrilerinin, P noktasındaki eğrilik çemberleri, yarıçapı R ve merkezi C = P +
→
−
R N P noktası olan (A) küresinin üzerinde bulunurlar. (α)i eğrilerinin Ci eğrilik
merkezlerinin geometrik yeri P C çaplı bir çember üzerinde bulunurlar (Hacısalihoğlu
2000 , Sabuncuğlu 2004 ).
İspat : (α)i eğrisinin P = α (t) noktasındaki eğrilik merkezi Ci ve eğrilik çemberinin
yarıçapı r olsun.
³−
→´
C noktasından (α)i eğrisinin V 2 vektörüne bir dikme çizilirse bu dikmenin ayağı
i
Ci noktası olur.
7
Gerçekten bu şekilde alındığında P CCi üçgeninde P Ci C açısı dik olduğundan,
cos ϕi =
r
R
den,
r = R cos ϕi
olur.
→
−
Diğer yandan, aynı X p teğet vektörüne sahip olan ve asimptotik olmayan (α)i
eğrisinin yarıçapı ρi olmak üzere
ρi = R cos ϕi
olduğundan,
r = ρi
elde edilir.
→
−
Ci ile P = α (t) noktasını birleştiren doğru (α)i eğrisinin V 2 asli normali olduğundan
8
→
−
bu doğru X P teğet vektörüne ve Ci C vektörüne diktir. Buna göre, Ci noktası
→
−
Ci = P + r V 2
biçimindedir. r = ρi olduğundan
→
−
Ci = P + ρi V 2
olur. Buna göre; Ci noktası (α)i eğrisinin eğrilik çemberinin merkezidir.
Sonuç olarak
n−
→ −
→o
X P , V 2 cümlesinin gerdiği düzlemle (A) küresinin arakesiti olan
çember, (α)i eğrisinin eğrilik çemberidir.
Tanım 3.1.1. M ⊂ E 3 yüzeyinin bir P noktasında asimptotik olmayan ve ortak bir
→
−
X P teğet doğrultusuna sahip olan eğrilerin eğrilik çemberlerini üzerinde bulunduran
küreye, M yüzeyinin P noktasındaki Meusnier Küresi denir (Hacısalihoğlu 2000).
→
−
Şimdi de σ dik kesit eğrisinin eğrilik çemberinin merkezinin C = P + R N P noktası
olduğunu gösterelim (Tokeşer 2005).
Teorem 3.1.2.
σ : I → R3 , t yay parametreli bir eğri ve t ∈ I , P = σ (t)
0
0
00
00
olsun. Bu durumda γ (0) = σ (t), γ (0) = σ (t) , γ (0) = σ (t) olacak biçimde t
yay parametreli (birim hızlı) bir γ : J → R3 çemberi vardır. Bu çemberin merkezi
→
−
C = P + R N P noktasıdır (Sabuncuoğlu 2004).
İspat : Aranılan çemberin merkezi C ve yarıçapı R olsun. Bu çemberin içinde
bulunduğu düzlemin ortonormal bir bazı {a, b} olmak üzere β (ϕ) çemberi,
β (ϕ) = C + (R cos ϕ) a + (R sin ϕ) b
((3.1.1))
biçiminde verilebilir.
Öncelikle β eğrisini birim hızlı olacak biçimde yeniden parametrelendirelim. β nın
yay uzunluğu fonksiyonu f olmak üzere,
9
f (ϕ) =
f (ϕ) =
Z
Z
ϕ
0
ϕ
° 0
°
°
°
°β (u)° du
Rdu
0
f (ϕ) = Ru |ϕ0
f (ϕ) = Rϕ
olur.
f (ϕ) = θ dersek, f −1 (θ) = ϕ den
ϕ=
θ
R
olur. Buradan da h = f −1 (θ) olmak üzere β ◦ h eğrisi birim hızlı bir eğridir.
β ◦ h = γ diyelim. Buna göre,
γ (θ) = (β ◦ h) (θ)
= β (h (θ))
µ ¶
θ
= β
R
olup, (3.1.1) denkleminden
µ
¶
µ
¶
µ ¶
θ
θ
θ
= C + R cos
a + R sin
b
β
R
R
R
µ
¶
µ
¶
θ
θ
γ (θ) = C + R cos
a + R sin
b
R
R
olur.
θ = 0 için
γ (0) = C + Ra
bulunur. Hipotezden γ (0) = σ (t) olmasını istiyoruz. Buna göre,
10
σ (t) = C + Ra
dır. Buradan da
C = σ (t) − Ra
elde edilir.
0
0
Diğer yandan, hipotezden, γ (0) = σ (t) olmalı.
¶
µ
¶
µ
θ
θ
γ (θ) = − sin
a + cos
b
R
R
0
olduğundan,
0
γ (0) = b
→
−
0
olur. σ (t) = X P den,
→
−
b = XP
dir.
µ
¶
µ
¶
θ
1
θ
1
γ (θ) = −
cos
a−
sin
b
R
R
R
R
00
00
00
olup, γ (0) = σ (t) olacağından,
00
γ (0) = −
1
·a
R
dır.
→
−
00
σ (t) = k1 (t) V 2 (t)
olduğundan,
→
−
1
− a = k1 V 2
R
11
((3.1.2))
elde edilir.
→
−
→
−
R > 0, k1 > 0 ve σ dik kesit eğrisi için V 2 = N P olduğundan,
→
−
1
− a = k1 N P
R
eşitliğinden,
→
−
1
= k1 ve a = − N P
R
bulunur.
R=ρ=
1
k1
olduğundan, (3.1.2) ifadesinde yerine yazılırsa,
³ −
→ ´
C = σ (t) − R − N P
σ (t) = P den,
→
−
C = P + RN P
elde edilir.
3.2. n = 3 Halinde Meusnier Teoreminin Sonuçları
Sonuç 3.2.1. E 3 te bir M yüzeyi üzerinde bulunan ve belli bir P = α (t) noktasında
→
−
aynı X P teğet vektörüne (asimptotik olmayan) sahip olan bütün eğrilerin eğrilik
→
−
merkezleri; merkezi N P normal doğrusu üzerinde olan ve P = α (t) noktasından
n−
→ −
→ o
geçen bir çember üzerinde bulunurlar. Bu çember, V 2 , N P düzleminde yarıçapı
→
−
R
ve merkezi D = P + R2 N P noktası olan çemberdir (Hacısalihoğlu 2000).
2
İspat : Ci noktası P C doğru parçasını 90◦ lik açı altında görür. O halde Ci lerin
geometrik yeri P C çaplı bir çemberdir.
Sonuç 3.2.2. E 3 te bir M yüzeyi üzerinde bulunan ve belli bir P = α (t) noktasında
12
→
−
aynı X P teğet vektörüne (asimptotik olmayan) sahip olan bütün eğrilerin P = α (t)
³−
→ ´
→ −
noktasındaki eğrilik eksenleri; tepesi Meusnier küresinin merkezi olan ve V 2 , N P
düzleminde bulunan düzlemsel bir doğru demeti oluştururlar (Hacısalihoğlu 2000).
İspat : (α)i eğrilerinin P = α (t) noktasındaki eğrilik eksenleri eğrilik çemberinin
düzlemine C; eğrilik merkezinden çıkılan dik doğrudur. Bu dikme C den geçer.
Sonuç 3.2.3. E 3 te bir M yüzeyi üzerinde bulunan ve P ∈ M noktasında yüzeye
teğet olan ve asimptotik doğrultu olmayan bütün doğrultuları, ortak teğet doğrultusu
kabul eden eğri ailelerinin P noktasına karşılık gelen,
→
−
i) Eğrilik çemberleri, yarıçapı R ve merkezi C = P + R N P noktası olan Meusnier
küresi üzerinde bulunurlar.
ii) Eğrilik merkezleri, yarıçapı
R
2
ve merkezi D = P +
→
R−
NP
2
noktası olan bir çember
üzerinde bulunurlar.
→
−
iii) Eğrilik eksenleri, tepesi Meusnier küresinin merkezi yani C = P + R N P noktası
olan uzaysal bir doğru demeti oluştururlar (Hacısalihoğlu 2000).
3.3. n  3 Halinde Meusnier Teoremi
Teorem 3.3.1. E n de bir hiperyüzey M ve M üzerinde asimptotik olmayan bir eğri
→
−
α : I → M olsun. α nın bir P noktasından ve P deki X P teğetinden geçen ve M
¡
¢
→
−
yüzeyinin P noktasındaki birim normali N p ile bir ϕi 0 ≤ ϕi ≤ π2 açısı yapan bir
düzlem ile M yüzeyinin arakesit eğrisi de αi olsun. M yüzeyinin α ve αi doğrul-
tusundaki normal eğriliklerinin P ∈ α ∩ αi noktasındaki değerleri, sırası ile, k1 ve
(k1 )i olmak üzere
k1 = (k1 )i cos ϕi
dir (Hacısalihoğlu 2000).
13
İspat : α eğrisinin P noktasındaki Frenet ayaklısı
n−
→
−
→ o
→ −
X P , V 2 , ..., V n
ve αi eğrisinin P noktasındaki Frenet ayaklısı da
³−
n−
→´
→ ´o
→ ³−
X P , V 2 , ..., V n
i
i
olsun.
Hipotezden,
°³−
´ ° °→ °
D³−
→ E
→´ −
°
° → ° °−
= ° V 2 ° ° N P ° cos (π − ϕi )
V 2 , NP
i
i
D³−
→´ −
→ E
V 2 , NP
= − cos ϕi
i
dir.
−
→
X P doğrultusu asimptotik olmadığından ,
³−
→
−
→ ´
S X P = k1 X P
dir. Buna göre;
D ³−
→ ´ −
→ −
→ E
→ E D −
S X P , X P = k1 X P , X P
iç çarpım bilineer olduğundan,
D−
D ³−
→ E
→ E
→ −
→ ´ −
S X P , X P = k1 X P , X P
D−
→ −
→ E
−
→
X P birim teğet vektör olduğundan X P , X P = 1 olup,
D ³−
→ E
→ ´ −
S X P , X P = k1
14
((3.3.1))
→
−
elde edilir. Diğer yandan, αi eğrisinin de teğet doğrultusu X P olduğundan II. esas
formun özeliğinden,
³−
D ³−
→ ´ D 00
→ E
−
→ E
→ −
→ ´ −
= −II X P , X P = αi (t) , N P
S XP , XP
´
E
D 00
D ³−
→ E
−
→
−
→
= − αi (t) , N P
S XP , XP
olur. αi eğrisinin yay parametresi t olmak üzere,
¡ ¢ ³−
→´ ¡¢
00 ¡ ¢
t
αi t = (k1 )i t V 2
i
olur. Buradan
D ³−
D
³−
→ ´ −
→ E
→´ →
− E
S X P , X P = − (k1 )i V 2 , N P
i
iç çarpım bilineer olduğundan,
D ³−
D³−
→ ´ −
→ E
→´ →
− E
S X P , X P = − (k1 )i
V 2 , NP
i
³−
→´
→
V2 =−
n i olmak üzere,
i
D
D ³−
→ E
→ ´ −
→ E
−
→
= − (k1 )i −
n i, N P
S XP , XP
°−
°
°→ °
→
n i k ° N P ° cos (π − ϕi )
= − (k1 )i k−
= − (k1 )i (− cos ϕi )
D ³−
→ ´ −
→ E
S X P , X P = (k1 )i cos ϕi
elde edilir. Buna göre (3.3.1) ve (3.3.2) den,
k1 = (k1 )i cos ϕi
15
((3.3.2))
olur.
Geometrik olarak ifade edersek; E n de bir M hiperyüzeyi üzerinde yatan ve teğet
doğrultuları ortak olan fakat bu teğet doğrultuları asimptotik olmayan bütün eğrilerin oskülatör çemberleri bir tek küre üzerinde yer alırlar.
Tanım 3.3.1. E n de bir hiperyüzey M olsun. M üzerinde yatan ve bir P ∈ M
noktasında teğet doğrultuları ortak olan bütün eğrilerin P deki oskülatör hiperçemberlerini üzerinde taşıyan hiperküreye M nin P noktasındaki Meusnier Küresi
denir (Hacısalihoğlu 2000).
3.4. n>3 Halinde Meusnier Teoreminin Sonuçları
Meusnier teoreminin n = 3 halinde geçerli olan sonuçları n > 3 halinde de geçerlidir.
(Hacısalihoğlu 2000)
Sonuç 3.4.1. E n de bir M hiperyüzeyi üzerinde bulunan ve belli bir P = α (t) nok→
−
tasında aynı X P teğet vektörüne (asimptotik olmayan) sahip olan bütün eğrilerin
→
−
eğrilik merkezleri; merkezi N P normal doğrusu üzerinde olan ve P = α (t) nok³−
→ −
→ ´
tasından geçen bir hiperçember üzerinde bulunurlar. Bu hiperçember, V 2 , N P
→
−
düzleminde yarıçapı R2 ve merkezi D = P + R2 N P noktası olan hiperçemberdir.
İspat : Ci noktası P C doğru parçasını 90◦ lik açı altında görür. O halde Ci lerin
geometrik yeri P C çaplı bir hiperçemberdir.
Sonuç 3.4.2. E n de bir M hiperyüzeyi üzerinde bulunan ve belli bir P = α (t)
→
−
noktasında aynı X P teğet vektörüne (asimptotik olmayan) sahip olan bütün eğrilerin
P = α (t) noktasındaki eğrilik eksenleri; tepesi Meusnier küresinin merkezi olan ve
n−
→ −
→ o
V 2 , N P düzleminde bulunan düzlemsel bir doğru demeti oluştururlar.
İspat : (α)i eğrilerinin P = α (t) noktasındaki eğrilik eksenleri eğrilik çemberinin
düzlemine C ; eğrilik merkezinden çıkılan dik doğrudur. Bu dikme C den geçer.
Sonuç 3.4.3. E n de bir M hiperyüzeyi üzerinde bulunan ve P ∈ M noktasında
yüzeye teğet olan ve asimptotik doğrultu olmayan bütün doğrultuları, ortak teğet
16
doğrultusu kabul eden eğri ailelerinin P noktasına karşılık gelen,
→
−
i ) Eğrilik çemberleri, yarıçapı R ve merkezi C = P + N P noktası olan Meusnier
küresi üzerinde bulunurlar.
ii ) Eğrilik merkezleri, yarıçapı
R
2
ve merkezi D = P +
→
R−
NP
2
noktası olan bir
hiperçember üzerinde bulunurlar.
→
−
iii ) Eğrilik eksenleri, tepesi Meusnier küresinin merkezi yani C = P + R N P noktası
olan uzaysal bir doğru demeti oluştururlar.
17
3.5. Reel Küre Yüzeyi İçin Meusnier Teoremi
Meusnier teoreminde M yüzeyi yerine merkezi O = (0, 0, 0) noktası ve yarıçap uzunluğu r olan SO2 küresini alalım (Tokeşer 2005).
18
Kürenin denklemi,
x21 + x22 + x23 = r2
dir. P noktası küre üzerinde olduğundan küre denklemini sağlar.
Küre üzerindeki P = (x1 , x2 , x3 ) noktasının koordinatları ,
°−→ °
°
°
x1 = °OA1 °
°
°
°−−→0 °
°
= °
°OP ° cos u
x2
x3
°−→ °
°
°
= °OA2 °
°
°
°−−→0 °
°
= °OP °
° sin u
°
°−→ ° °
−−→0 °
° °
°
°
= °OA1 ° = °
°P P °
= r sin v
olup
°
°
°−−→0 °
°OP ° = r cos v
°
°
19
olduğundan
x1 = r cos v cos u
x2 = r cos v sin u
x3 = r sin v
Buna göre, P = (x1 , x2 , x3 ) den
P = r cos v cos u, r cos v sin u, r sin v
→
−
olur. Şimdi de N P yi bulalım.
= R3 → R
f
(x1 , x2 , x3 ) → f (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 = r2
f (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 − r2 = 0
−→
−
→
∇f
°
NP = °
°−→°
°∇f °
3
X
−→
∂f ∂
∇f =
∂xi ∂xi
i=1
∂f ∂
∂f ∂
∂f ∂
+
+
∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x3
∂
∂
∂
= 2x1
+ 2x2
+ 2x3
∂x1
∂x2
∂x3
=
°−→°2
D−→ −→E
° °
°∇f ° = ∇f , ∇f
= h(2x1 , 2x2 , 2x3 ) , (2x1 , 2x2 , 2x3 )i
= 4x21 + 4x22 + 4x23
¡
¢
= 4 x21 + x22 + x23
= 4r2
20
((3.5.1))
¡ 1 2x2 2x3 ¢
→
−
Buradan N P = 2x
, 2r , 2r
2r
°−→°
° °
°∇f ° = 2r
³x x x ´
−
→
1
2
3
, ,
NP =
r r r
olup (3.5.1) bağıntısından (x1 , x2 , x3 ) değerleri yazılırsa
−
→
N P = (cos v cos u, cos v sin u, sin v)
elde edilir.
Orientasyona bağlı olarak r + R veya r − R alınarak
−→
→
−
OC = (r ∓ R) N P
yazarız.
Meusnier küresinin temsilci bir noktasını P = (x, y, z) olarak alalım. Bu noktaya
göre,
−→
−→ −→
OC = OP + P C
−→
−→ −→
P C = OC − OP
olup
olduğundan
°−→°
°
°
°P C ° = R
°−→ −→°
°
°
°OC − OP ° = R
olur. Merkezi C olan Sc2 küresinin denklemi
(x − (r ∓ R) cos v cos u)2 + (y − (r ∓ R) cos v sin u)2 + (z − (r ∓ R) sin v)2 = R2
21
dir.
−→
→
−
OC = (r + R) N P
alalım.
x2 − 2x (r + R) cos v cos u + (r + R)2 cos2 v cos2 u + y 2 − 2y (r + R) cos v sin u
+ (r + R)2 cos2 v sin2 u + z 2 − 2z (r + R) sin v + (r + R)2 sin2 v
= R2
den
x2 + y 2 + z 2 − 2 (r + R) [cos v (x cos u + y sin u) + z sin v] + (r + R)2 = R2
olur. Buradan da merkezi C olan SC2 küresinin denklemi
x2 + y 2 + z 2 + r2 + 2rR − 2 (r + R) [cos v (x cos u + y sin u) + z sin v] = 0
olarak bulunur. Merkezi O olan SO2 küresinin denklemi
x2 + y 2 + z 2 = r2
olduğundan iki denklemi ortak çözersek
r2 + r2 + 2rR − 2 (r + R) [x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v] = 0
⎛
2r2 +2r [R − (x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v)]−2R ⎝
x cos u cos v + y
sin u cos v + z sin v
R − (x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v) = λ
⎞
⎠=0
−R (x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v) = μ
alınırsa
r2 + λr + μ = 0
22
((3.5.2))
olur. (3.5.2) denkleminin köklerini bulmak için ∆ yı hesaplayalım.
∆ = λ2 − 4μ
ise
⎛
∆ = [R − (x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v)]2 + 4R ⎝
x cos u cos v
+y sin u cos v + z sin v
olup
t = x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v
alınırsa
∆ = (R − t)2 + 4Rt
= R2 − 2Rt + t2 + 4Rt
= R2 + 2Rt + t2
= (R + t)2
√
∆=R+t
olur. Bulunan
√
∆ yı
r1,2
−λ ∓
=
2
√
∆
ifadesinde yerine yazarsak
r1,2 =
− (R − t) ∓ (R + t)
2
den
r1 = −R
r2 = t
r2 = x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v
23
⎞
⎠
olur.
r2 = |x cos u cos v + y sin u cos v + z sin v|
¯D−→ −
→ E¯¯
¯
= ¯ OP , N P ¯
¯D −
→ E¯¯
¯ → −
= ¯ rN P , N P ¯
r2 = r
olur. Benzer şekilde
−→
→
−
OC = (r − R) N P
alarak aynı işlemler yapılırsa
r1 = R
r2 = r
elde edilir. Buna göre aşağıdaki teoremi verebiliriz.
24
Teorem 3.5.1: Merkezi O (başlangıç) noktası ve yarıçap uzunluğu r olan SO2
küresinin bir P noktasındaki Meusnier küresi SO2 küresinin kendisidir (Tokeşer 2005).
25
Teorem 3.5.2. O merkezli bir küre SO2 ⊂ E 3 olsun. Eğer M ⊂ SO2 ise M eğrisinin
her noktasındaki oskülatör küre SO2 dir (Hacısalihoğlu 2000).
Aynı noktadan geçen oskülatör küre ile Meusnier küresi arasındaki ilişki
nedir?
Meusnier teoreminde M yüzeyi yerine merkezi O = (0, 0, 0) noktası ve yarıçap uzunluğu r olan SO2 küresini aldığımızda Meusnier küresi SO2 küresinin kendisidir. Bu
durumda Meusnier küresinin merkezi yüzey normali üzerindedir.
SO2 oskülatör küresinin merkezi ise V3 üzerindedir.
N = V3 olunca oskülatör küre ile Meusnier küresi çakışırlar. Diğer hallerde yarıçapları
mukayese ederiz.
26
3.6. Dual Küre Yüzeyi İçin Meusnier Teoremi
Meusnier teoreminde M yüzeyi yerine merkezi O = (0, 0, 0) noktası ve yarıçap uzunluğu 1 birim olan K birim dual küresini alalım.
27
X1 , X2 , X3 ∈ D3 olmak üzere
X1 = x1 + εx∗1
X2 = x2 + εx∗2
X3 = x3 + εx∗3
olup K birim dual küresinin denklemi
X12 + X22 + X32 = 1
((3.6.1))
olur. (3.6.1) denkleminden
x21 + x22 + x23 = 1
x1 x∗1 + x2 x∗2 + x3 x∗3 = 0
sağlanır.
Dual küre üzerinde P (x, y, z; x∗ , y ∗ , z ∗ ) = (X, Y, Z) dual noktasını alalım. P , küre
üzerinde olduğundan küre denklemini sağlar.
28
Küre üzerindeki P = (X1 , X2 , X3 ) noktasının koordinatlarını,
X1
X2
°−−→°
°
°
= °OA1 °
°
°
°−−→0 °
°
= °OP °
° cos Ψ
°−−→°
°
°
= °OA2 °
°
°
°−−→0 °
°
= °
°OP ° sin Ψ
29
°−−→°
°
°
X3 = °OA3 °
°−→°
°
°
= °OP ° sin Φ
°
°
°−→°
°−−→0 °
°
°OP ° = °
°OP ° cos Φ
°
°
°−→°
°
°
°OP ° = 1
olduğundan
°
°
°−−→0 °
°OP ° = cos Φ
°
°
olur. Buna göre Φ ve Ψ dual açılar olmak üzere
X1 = cos Φ cos Ψ
X2 = cos Φ sin Ψ
X3 = sin Φ
olup
P = (cos Φ cos Ψ, cos Φ sin Ψ, sin Φ)
yazabiliriz.
−
→
N P yüzey normalini bulalım.
F
:
D3 −→ D
(X1 , X2 , X3 ) −→ F (X1 , X2 , X3 ) = X12 + X22 + X32 − 1 = 0
−−→
∇F = (2X1 , 2X2 , 2X3 )
°−−→°2
D−−→ −−→E
°
°
°∇F ° = ∇F , ∇F
= 4X12 + 4X22 + 4X32
¡
¢
= 4 X12 + X22 + X32
= 4
30
°−−→°
°
°
°∇F ° = 2
olup
−
→
NP =
µ
2X1 2X2 2X3
,
,
2
2
2
¶
−
→
N P = (X1 , X2 , X3 )
→
−
N P = (cos Φ cos Ψ, cos Φ sin Ψ, sin Φ)
olur. Burada orientasyona bağlı olarak (1 + R) veya (1 − R) alınarak
−→
→
−
OC = (1 ∓ R) N P
→
−
yazabiliriz. Buradan C dual vektörünün koordinatları
−
→
C = [(1 ∓ R) cos Φ cos Ψ, (1 ∓ R) cos Φ sin Ψ, (1 ∓ R) sin Φ]
elde edilir.
Meusnier küresinin temsilci bir noktası P = (X1 , X2 , X3 ) noktasına göre
−→
−→ −→
OC = OP + P C
−→
−→ −→
P C = OC − OP
yazabiliriz.
olduğundan
olur.
°−→°
°
°
°P C ° = R
°−→ −→°
°
°
°OC − OP ° = R
31
Merkezi C noktası olan Meusnier küresinin denklemi
−→
→
−
OC = (1 + R) N P
alınırsa
(X − (1 + R) cos Φ cos Ψ)2 + (Y − (1 + R) cos Φ sin Ψ)2 + (Z − (1 + R) sin Φ)2 = R2
dir.
X 2 − 2X (1 + R) cos Φ cos Ψ + (1 + R)2 cos2 Φ cos2 Ψ + Y 2
−2Y (1 + R) cos Φ sin Ψ + (1 + R)2 cos2 Φ sin2 Ψ
+Z 2 − 2Z (1 + R) sin Φ + (1 + R)2 sin2 Φ
= R2
X 2 − 2X (1 + R) cos Φ cos Ψ
+Y 2 − 2Y (1 + R) cos Φ sin Ψ
+Z 2 − 2Z (1 + R) sin Φ + (1 + R)2
= R2
olur.
⎛
X 2 + Y 2 + Z 2 − 2 (1 + R) ⎝
X cos Φ cos Ψ
+Y cos Φ sin Ψ + Z sin Φ
⎞
⎠ + (1 + R)2 = R2 ((3.6.2))
yazabiliriz.
X cos Φ cos Ψ + Y cos Φ sin Ψ + Z sin Φ = λ
olmak üzere (3.6.1) ve (3.6.2) denklemlerinin ortak çözümünden
32
1 − 2 (1 + R) λ + (1 + R)2 = R2
1 − 2λ − 2λR + 1 + 2R + R2 = R2
2 − 2λ − 2λR + 2R = 0
1 − λ − λR + R = 0
(1 + R) − λ (1 + R) = 0
(1 + R) (1 − λ) = 0
olur.
1 − λ 6= 0
olduğundan
1+R = 0
R = −1
bulunur. Benzer şekilde orientasyona bağlı olarak
−→
→
−
OC = (1 − R) N P
alınırsa
R = −1
Meusnier küresinin denklemi
(X − (1 − R) cos Φ cos Ψ)2 + (Y − (1 − R) cos Φ sin Ψ)2 + (Z − (1 − R) sin Φ)2 = R2
olur. Denklem düzenlenirse
⎛
X 2 + Y 2 + Z 2 − 2 (1 − R) ⎝
X cos Φ cos Ψ
+Y cos Φ sin Ψ + Z sin Φ
33
⎞
⎠ + (1 − R)2 = R2 ((3.6.3))
bulunur.
X cos Φ cos Ψ + Y cos Φ sin Ψ + Z sin Φ = λ
olmak üzere (3.6.1) ve (3.6.3) denklemlerinin ortak çözümünden
1 − 2 (1 − R) λ + (1 − R)2 = R2
1 − 2λ + 2λR + 1 − 2R + R2 = R2
2 − 2λ + 2λR − 2R = 0
1 − λ + λR − R = 0
(1 − λ) − R (1 − λ) = 0
(1 − R) (1 − λ) = 0
olur.
(1 − λ) 6= 0
olduğundan
1−R = 0
R = 1
bulunur. Buradan aşağıdaki teoremi verebiliriz.
34
Teorem 3.6.1: Merkezi O (başlangıç) noktası ve yarıçap uzunluğu 1 birim olan
K birim dual küresinin bir P noktasındaki Meusnier küresi K birim dual küresinin
kendisidir.
Bu bölümde yapılan çalışma daha önce kimse tarafından yapılmamış bir çalışma olup
ilk defa bu tezde çalışılmış orjinal bir çalışmadır.
35
4. E - STUDY DÖNÜŞÜMÜ
4.1. Birim Dual Küre
n−
o
→°
→ −
→∗
−
→∗ ¯¯°
−
°
°−
→
−
→
3
X = x + x ¯° X ° = (1, 0) , x , x ∈ R
cümlesine D − Modül de Birim Dual
Küre denir (Hacısalihoğlu 1983).
R3 teki bir doğru bir O başlangıç noktasına göre üzerindeki bir M noktası ve doğru→
nun yönünü belirten bir −
u vektörü tarafından tamamen belirlidir.
Buna göre, bu doğrunun vektörel denklemi;
−−→
−−→ −−→
OX = OM + MX
−−→
−−→ −−→
MX = OX − OM
−−→ −
−−→ → −−→ −
OX = →
x , OM = −
m, MX = →
u
alınırsa,
−
→
→
→
u =−
x −−
m
36
−
her iki tarafın →
u ile vektörel çarpımını yaparsak,
−
→
→
→
→
→
u ∧−
u = (−
x −−
m) ∧ −
u
−
→
→
u ∧−
u = 0 olduğundan,
→
−
→
→
→
(−
x −−
m) ∧ −
u = 0
((4.1.1))
olur.
−−→ →
−−→
→
(4.1.1) denklemini elde etmek için MX = −
u olarak aldık. Eğer MX = λ−
u ,λ ∈ R
−−→ −
alınsaydı sonuç değişmeyeceğinden MX = →
u birim vektör olarak alabiliriz.
Vektörel çarpımdan ,
→
→
→
→
→
→
→
(−
u +−
v)∧−
w = (−
u ∧−
w ) + (−
v ∧−
w)
olduğundan, (4.1.1) denkleminden
−
→
→
→
→
x ∧−
u =−
m ∧−
u
olur. Burada,
→
−
−
→
→
→
→
x ∧−
u =−
m∧−
u = u∗0
→
−
→
denirse u∗0 vektörüne −
u birim vektörünün O başlangıç noktasına göre Vektörel Momenti denir (Hacısalihoğlu 1983).
−∗
→
u0 , vektörel moment vektörü, X noktasının doğru üzerindeki seçilisinden bağımsızdır.
Doğru üzerinde X noktasından başka bir Y noktası alalım. Buna göre, doğrunun
vektörel denklemi;
−−→
−−→ −−→
OY = OM + MY
−−→
−−→ −−→
MY = OY − OM
37
−−→
→
OY = −
y
−−→
−
OM = →
m
−−→
→
MY = −
u
olmak üzere
−
→
→
→
u =−
y −−
m
−
olup, →
u ile vektörel çarpım yapılırsa
−
→
→
→
→
→
u ∧−
u = (−
y −−
m) ∧ −
u
den,
−
→
→
→
→
y ∧−
u =−
m ∧−
u
→
−
−
→
olur. →
m ∧−
u = u∗0 olduğundan,
→
−
−
→
→
→
→
y ∧−
u =−
m∧−
u = u∗0
elde edilir.
→
−
−
→
Şimdi de →
y ∧−
u = u∗0 olduğunu gösterelim.
−
−→ −−→ −−→
OY = OX + XY
−−→ −
−−→ → −−→
→
OY = →
y , OX = −
x , XY = λ−
u
olduğundan
−
→
→
→
y =−
x + λ−
u
38
−
yazabiliriz. Buradan her iki tarafın →
u ile vektörel çarpımı yapılırsa,
−
→
→
→
→
→
y ∧−
u = (−
x + λ−
u)∧−
u
→
→
→
→
= (−
x ∧−
u ) + (λ−
u ∧−
u)
−
→
→
→
= →
x ∧−
u + λ (−
u ∧−
u)
−
→
= →
x ∧−
u
→
−
−
→
→
x ∧−
u = u∗0
olduğundan,
→
−
−
→
→
y ∧−
u = u∗0
→
−
elde edilir. Bu da gösteriyor ki; u∗0 , vektörel moment vektörü, noktanın doğru üzerindeki seçilişinden bağımsızdır.
−∗
→
u0 vektörünün boyu, O başlangıç noktasının doğruya olan dik uzaklığına eşittir. O
→
−
başlangıç noktasından doğruya inilen dikmenin ayağı Z olsun. u∗0 vektörü doğru
−→ →
üzerindeki noktanın seçilişinden bağımsız olduğundan, OZ = −
z olmak üzere
→
−
−
→
→
z ∧−
u = u∗0
→
−
yazabiliriz. Buna göre, u∗0 vektörünün boyu ,
°
°−
°→∗ °
→
→
z ∧−
uk
°u0 ° = k−
→
→
= k−
z k . k−
u k . |sin φ|
olur. φ =
π
2
−
−
olmak üzere, →
u birim vektör alınabileceğinden k→
u k = 1 olup,
−
olur. k→
z k = δ alınırsa
°
°−
°→∗ °
→
zk
°u0 ° = k−
°−
°
°→∗ °
° u0 ° = δ
→
−
elde edilir. O halde u∗0 vektörü O başlangıç noktasının seçilişine bağlıdır.
39
³ −
→´
→
Buna göre −
u , u∗0 vektör çifti verilmiş ise R3 deki yönlü doğru tek olarak bellidir.
→ →
−
→ →
−
→∗ −
−
→
x ∧−
u olduğundan u∗0 ⊥−
x ve u∗0 ⊥−
u dir.
u0 = →
→
−
O başlangıç noktasından geçen ve u∗0 vektörüne dik olan düzlem içinde O merkezli
→
ve δ yapıçaplı çember çizilirse, O başlangıç noktasından −
u vektörüne çizilen dik
³ −
→´
→
doğru çemberi iki noktada keser. Bu noktalardan çembere çizilen teğetler −
u , u∗0
³
→´
−
→
ve −
u , −u∗0 vektör çiftlerine karşılık gelen yönlü doğrulardır. Momentin pozitif
³ −
→∗ ´
→
−
olduğu yani u , u0 vektör çiftine karşılık gelen yönlü doğruyu göz önüne alınırsak,
bu doğru bir tanedir. Yani bu doğru tek olarak bellidir.
³ −
→
−
→´
−
→
Burada →
u ∈ R3 , u∗0 ∈ R3 olmak üzere −
u , u∗0 vektör çiftine R3 te karşılık gelen
³
→∗ ´
−
→
−
doğru d , u , −u vektör çiftine R3 te karşılık gelen doğru ise d ile gösterilmiştir.
1
2
0
−∗
→
u0 vektörel moment vektörü, doğru üzerindeki noktanın seçilişinden bağımsız ve O
³ −
→∗ ´
→
−
başlangıç noktasının seçilişine bağlı olduğundan verilen u , u0 vektör çiftine R3 te
³ −
³
→´
→´
−
→
→
karşılık gelen doğru bir tanedir. Buna göre −
u , u∗0 ve −
u , −u∗0 vektör çiftlerine
R3 te karşılık gelen d1 ve d2 doğruları birer tanedir.
40
³ −
→´
→
−
→
−
−
u , u∗0 vektör çifti →
u ∈ R3 , u∗0 ∈ R3 olmak üzere,
−∗ −
→
→
x ∧−
u
u0 = →
olup
−∗ −
→
u
u0 ⊥→
ve
→
k−
uk=1
olduğundan,
→
→
h−
u,−
ui = 1
D −
→E
→
−
u , u∗0 = 0
((4.1.2))
koşullarını sağlamaktadır.
→
−
−
→
u ∈ R3 , u∗0 ∈ R3 olduğundan R3 ün standart bazına göre,
−
→
→
→
→
u = u1 −
e1 + u2 −
e2 + u3 −
e3
→∗
−
→
→
→
u0 = u∗01 −
e1 + u∗02 −
e2 + u∗03 −
e3
şeklinde yazabiliriz.
³ −
→´
→
−
u , u∗0 vektör çiftinin
³ −
→´
→
−
u , u∗0 = (u1 , u2 , u3 , u∗01 , u∗02 , u∗03 )
altı bileşenine Normlanmış Homogen Olmayan Plücker Doğru Koordinatları
denir (Hacısalihoğlu 1983). Buna göre normlanmış homogen olmayan Plücker doğru
koordinatlarını R6 uzayının bir elemanı gibi düşünebiliriz.
→
→
h−
u,−
u i = 1 ⇒ u21 + u22 + u23 = 1
D −
→E
→
−
u , u∗0 = 0 ⇒ u1 .u∗01 + u2 .u∗02 + u3 .u∗03 = 0
41
³ −
→´
−
denklemleri belli olduğundan →
u , u∗0 vektör çiftini R6 uzayının R4 alt uzayı içinde
alabiliriz.
−
→
−
u vektörü birim vektör olmasaydı ρ Â 0 olmak üzere →
u vektörü yerine
−
→
→
v = ρ−
u
−∗
→
u0 vektörü yerine de
vektörleri alınırsa,
−∗
→
→
−
v0 = ρu∗0
D −
→∗ E
→
−
u , u0 = 0
ve
−∗ −
→
→
u0 = →
x ∧−
u
olduğundan
D −
→E
→
−
v , v0∗ = 0
ve
−∗ −
→
→
x ∧−
u
v0 = →
³ −
→´
−
gerçeklenir. Buna göre →
v , v0∗ vektör çiftinin
³ −
→´
→
−
v , v0∗ = (ρu1 , ρu2 , ρu3 , ρu∗01 , ρu∗02 , ρu∗03 )
altı bileşeni normlanmış homogen Plücker doğru koordinatlarıdır.
Teorem 4.1.1 (E-Study Teoremi) :
°
°−
³−
´
−
→
→ −
°→°
→
A 6= 0 , a ∈ D − Modül olmak üzere D − Modül de denklemi ° A ° = (1, 0) olan
birim dual kürenin dual noktaları, R3 teki yönlü doğrulara karşılık gelir(Hacısalihoğlu
1971).
İspat :
−
→
−
→
−
→
→
−
−
A =→
a + ε a∗ ∈ D − Modül , A bir birim dual vektör olsun. A , birim
42
dual vektör olduğundan,
→
→
→
k−
a k = h−
a ,−
ai=1
ve
D −
→∗ E
→
−
a,a =0
D −
→∗ E
→
−
→
→
−
→
−
a vektörü
olur. Bu ise (4.1.2) ile verilen h u , u i = 1, u , u0 = 0 ifadesidir. O halde −
³ −
→
−
→´
→
−
→
→
−
u , u∗0
u vektörüne , a∗ vektörü de u∗0 vektörüne karşılık gelmektedir. Buna göre −
³ −
³ −
→´
→´
→
→
vektör çiftine −
a , a∗ vektör çifti karşılık gelmektedir. −
u , u∗0 vektör çiftine R3 te
→ → −
−
→
bir tek yönlü doğru karşılık geldiğinden A = −
a +ε a∗ birim dual vektörü verildiğinde
R3 te yönlü doğru tek olarak bellidir. O halde, R3 teki yönlü doğrularla D − Modül
→
−
→
−
→
ün birim dual vektörleri birebir karşılık gelirler. Eğer A = −
a + ε a∗ birim dual
−→ −
→
vektörleri birim dual küreye ait noktaların OA = A yer vektörleri olarak alınırlarsa
R3 teki yönlü doğrular, denklemi
°
°−
°→°
A
° ° = (1, 0)
olan birim dual kürenin dual noktalarına birebir karşılık gelirler.
−
→
→
−
→
A =−
a + ε a∗ birim dual vektörü R3 te bir tek yönlü doğru belirtmektedir. Burada
→
−
→
→
−
a nın
a birim vektörü doğrunun yönünü, a∗ vektörü ise O başlangıç noktasına göre −
vektörel momentini gösterir.
Teorem 4.1.2: O başlangıç noktası yerine başka bir P noktası seçildiğinde R3 teki
yönlü doğruyu belirten birim dual vektör,
³−→
→´
−
−
→
→
→
A =−
a + ε PO ∧ −
a + a∗
vektörüdür(Hacısalihoğlu 1983).
43
İspat :
−
→
−
→
a birim vektörünün P noktasına göre vektörel momenti a∗P olmak üzere, R3 teki
yönlü doğruyu P noktasına göre belirten birim dual vektör
−
→
−
→
→
A =−
a + εa∗P
−
dır. →
a nın O başlangıç noktasına göre vektörel momenti
−∗ −
→
→
x ∧−
a
a =→
olduğundan,
−
→ −−→ →
a∗P = P X ∧ −
a
olur.
−−→
−→ −−→
P X = P O + OX
−→ →
= PO + −
x
olacağından,
³−→
´
−
→
→
−
→
∗
a
aP = P O + x ∧ −
vektörel çarpımın özeliğinden
³−→
´
−
→
→
−
→
→
∗
x ∧−
a)
aP = P O ∧ a + (−
44
olup,
−∗ −
→
→
x ∧−
a
a =→
olduğundan
−
→ −→ → −
→
a∗P = P O ∧ −
a + a∗
olur. Buna göre
−
→
−
→
→
A =−
a + εa∗P
dan
³−→
→´
−
−
→
→
→
A =−
a + ε PO ∧ −
a + a∗
elde edilir.
45
4.2. Dual Açı
−
→
−
→
A ve B iki birim dual vektör olmak üzere
°−
°
D −
→E
°→°
→
→
a k = 1, −
a , a∗ = 0
° A ° = (1, 0) ⇔ k−
ve
°
°−
°
°−
D−
→∗ E
→ −
°→°
°→°
° B ° = (1, 0) ⇔ ° b ° = 1, b , b = 0
olup, bu iki birim dual vektörün iç çarpımı ise
D−
D
→E
−
→ −
−
→
→ −
→E
→
A, B
= −
a + ε a∗ , b + ε b∗
D −
³D−
→E´
→ −
→E D→ −
→E
→
a , b∗
= −
a , b + ε a∗ , b + −
→
−
→
−
şeklindedir. E-Study teoremine göre A ve B birim dual vektörleri R3 te iki yönlü
→
−
→
−
doğru belirtirler. A ve B birim dual vektörlerinin R3 te belirttiği yönlü doğrular,
d1 ve d2 olsunlar.
→
−
→
d1 ve d2 doğrularının yeri ve yönü belli olduğundan −
a ve b birim vektörleri arasındaki
46
açı ϕ olmak üzere
D−
³D−
→E´
→ −
→E D→ −
→E
→ −
→E D→ −
a , b∗
A, B = −
a , b + ε a∗ , b + −
iç çarpımının reel kısmı,
olup
olduğundan
°
°−
D −
→E
°→°
→
−
→
−
a , b = k a k ° b ° cos ϕ
°
°−
°→°
→
k−
ak=°b°=1
D −
→E
→
−
a , b = cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π, ϕ ∈ R
−
→
→
−
olur. a∗ ve b∗ vektörleri, sırasıyla, d1 ve d2 doğrularının üzerindeki X ve Y noktalarının seçilişinden bağımsızdırlar. Buna göre X ve Y noktalarını d1 ve d2 doğrularının ortak dikmesinin ayakları olarak alabiliriz. Bu ortak dikme yönündeki birim
vektör,
→
−
→
− −
a ∧ b
−
→
n = +°
→°
−
°−
°
→
°a ∧ b°
olur. d1 ve d2 doğruları arasındaki en kısa uzaklık ϕ∗ ile gösterilirse,
−
−→ −−→ −−→
OY = OX + XY
−−→
→
OY = −
y
−−→
−
OX = →
x
−−→
→
XY = −
n ϕ∗
47
olduğundan
−
→
−
→
y = →
x +−
n ϕ∗
olur.
−
→
→
−
y −−
x = →
n ϕ∗
→
−
→
− −
a ∧ b
∗
= +°
→°
−
°−
°ϕ
→
°a ∧ b°
−∗
→
→
→
y ∧−
a
a = −
→∗
−
→
−
−
x ∧ b
b = →
olduğundan,
D
D−
→∗ E
−
→∗ −
→E D−
−
→E
−
→E D−
→
−
→
−
→
→
−
→
=
y ∧ a, b + a, x ∧ b
a , b + a,b
D
E
→E D−
−
→ −
−
→
−
→
−
→
→
=
y ∧ a, b + x ∧ b, a
D
→E D→ −
−
→ →E
→
→
= −
y ,−
a ∧ b + −
x, b ∧−
a
D
E
D
→E
−
→
−
→
→
→
→
= −
y ,−
a ∧ b − −
x,−
a ∧ b
D
−
→E
→
→
→
= −
y −−
x,−
a ∧ b
*
+
→
−
−
→
→
−
a ∧ b
→
−
∗
∓°
→°
−
°−
°ϕ , a ∧ b
→
°a ∧ b°
D
→ −
−
→E
−
ϕ∗
→
−
→
°
°
= ∓°
→° a ∧ b , a ∧ b
−
→
a ∧ b°
°−
°
→°
−
ϕ∗
°−
°2
→
°
°
a
∧
b
= ∓°
°
°
→°
−
→
a ∧ b°
°−
°
→°
°→ −
°
a ∧ b°
= ∓ϕ∗ °−
D−
→∗ E
−
→∗ −
→E D−
→
=
a , b + a,b
°−
°
D−
→∗ −
→E
→E D→ −
°→°
→
a , b + −
a , b∗ = ∓ϕ∗ k−
a k ° b ° sin ϕ
°−
°
°→°
→
k−
ak=°b°=1
48
olduğundan,
D−
→E −
→∗ −
→E D→ −
a , b∗ = +ϕ∗ sin ϕ
a , b + −
→
−
−
→
olur. Buna göre A ve B birim dual vektörlerinin iç çarpımını,
D−
hD−
→Ei
→−
→E D→−
→E
→ −
→E D→−
a , b∗
A, B = −
a , b + ε a∗ , b + −
olduğundan
D−
−
→ −
→E
A , B = cos ϕ + ε (ϕ∗ sin ϕ)
((4.2.1))
olarak yazabiliriz. (4.2.1) ifadesinde (−) işareti göz önüne alınırsa,
D−
→ −
→E
A , B = cos ϕ − ε (ϕ∗ sin ϕ)
((4.2.2))
→
−
−
→
olur. A ve B birim dual vektörleri arasındaki açı Φ = ϕ + εϕ∗ olmak üzere,
° °→°
°−
D−
→ −
→E
°
°→° °−
A, B
= ° A ° . ° B ° . cos Φ
((4.2.3))
= cos Φ
= cos (ϕ + εϕ∗ )
dır. Buna göre (4.2.2) ve (4.2.3) ifadelerinden,
cos ϕ − ε (ϕ∗ sin ϕ) = cos (ϕ + εϕ∗ )
elde edilir.
−
→
−
→
→
→
→
A ve B birim dual vektörleri arasındaki en kısa uzaklık, −
y −−
x vektörünün −
n
→ −
−
→
birim vektörü yönündeki dik izdüşümüdür. A ve B birim dual vektörleri arasındaki
en kısa uzaklığa h dersek
→
→
→
h = h−
y −−
x ,−
ni
−
−
→
→
→
y −−
x = +−
n ϕ∗
49
olduğundan
À
¿
−
→
−
→
∗ −
+ n .ϕ , n
h =
−
→
→
n,−
ni
= +ϕ∗ h−
−
olup, →
n birim vektör olduğundan,
−
h = +ϕ∗
bulunur.
→
−
−
→
Tanım 4.2.1. Φ = ϕ + εϕ∗ dual sayısına A ve B birim dual vektörleri arasındaki
Dual Açı denir(Hacısalihoğlu 1983).
→ −
−
→
Φ = ϕ + εϕ∗ olduğundan Φ dual açısı, A ve B birim dual vektörlerinin R3 te temsil
ettikleri yönlü doğrular arasındaki ϕ açısı ile bu iki doğru arasındaki en kısa uzaklık
−→
→
−
−−→
→
−
olan ϕ∗ dan oluşmaktadır. OA = A ve OB = B birim dual vektörlerinin uçları
D − Modül de O merkezli birim dual kürenin A ve B birim dual noktalarını belirtir.
O merkezli birim dual küre, AOB den geçen düzlemle kesilirse arakesit büyük dual
→
−
→
−
dairedir. A ve B birim dual vektörleri dual açı Φ olmak üzere, AB dual yayının
uzunluğu Φ ile ölçülür.
−
→
−
→
A ve B dual vektörleri birim vektör değil iseler,
→
−
−
→
A
U = °
→°
°
°−
°A°
→
−
→
−
B
°
V = °−
→°
°
°B °
→
−
−
→
eksenleri birim dual vektörlerdir. U ve V birim dual vektörleri arasındaki dual açı,
Φ olmak üzere
D−
→ −
→E
U , V = cos Φ
50
olur. Buna göre
elde edilir.
* →
→ +
−
−
B
A
°−
° °→°
= cos Φ
°→° , °−
°
° A ° °B °
→ −
→E
1 D−
1
°
°
°−
°
= cos Φ
→° A , B
°→° . °−
°A° °B °
° °→°
°−
D−
→ −
→E
°
°→° °−
A, B
= ° A ° . ° B ° . cos Φ
−
→
→
−
A ve B birim dual vektörlerine karşılık gelen R3 teki yönlü doğruların birbirine göre
durumlarını inceleyelim(Hacısalihoğlu 1971).
⎧
⎨ cos ϕ = 0 ⇒ ϕ =
D−
E
→ −
→
1.) A , B =Sırf Dual ⇔
⎩
ϕ∗ 6= 0
π
2
olur.
D−
→ −
→E
−
→
−
→
A , B =Sırf Dual ise A ve B birim dual vektörlerinin R3 te belirttikleri yönlü
doğrular, dik durumlu aykırı doğrulardır.
2.)
D−
→ −
→E
A , B =Sırf Reel ⇔ ϕ∗ = 0 olur.
D−
→ −
→E
−
→
−
→
A , B =Sırf Reel ise A ve B birim dual vektörlerinin R3 te belirttikleri yönlü
doğrular, kesişirler.
→
−
→
−
→ →
−
−
→ →
−
Buna göre A = −
a + ε a∗ , B = b + ε b∗ olmak üzere
D−
³D −
→ −
→E D−
→E´
→E
→ −
→E D→ −
→
A, B = −
a, b +ε −
a , b∗ + a∗ , b
olup,
ise
D−
→ −
→E
A , B = SırfReel
D −
→ −
→E D−
→E
→
−
a , b∗ + a∗ , b = 0
51
olacaktır. O halde doğruların kesişme koşulu,
D −
→ −
→E D−
→E
→
−
a , b∗ + a∗ , b = 0
olur.
3.)
D−
→ −
→E
A , B = 0 ⇒ cos ϕ − εϕ∗ sin ϕ = 0 + ε.0
cos ϕ = 0 ⇒ ϕ =
π
2
ve
ϕ∗ sin ϕ = 0
π
= 0
ϕ∗ sin
2
ϕ∗ = 0
olur. Buna göre
D−
→ −
→E
π
A , B = 0 ⇔ ϕ = ve ϕ∗ = 0
2
elde ederiz.
D−
→ −
→E
−
→
−
→
A , B =0 ise A ve B birim dual vektörlerinin R3 te belirttikleri yönlü doğrular,
birbirlerini dik olarak keserler.
4.)
D−
→ −
→E
A , B = (1, 0) ⇒ cos ϕ − εϕ∗ sin ϕ = 1 + ε0
cos ϕ = 1 ⇒ ϕ = 0
ve
ϕ∗ sin ϕ = 0
ϕ∗ sin 0 = 0
ϕ∗ 6= 0 veya ϕ∗ = 0
52
olup buradan
D−
→ −
→E
A , B = (1, 0) ⇔ ϕ = 0 ve (ϕ∗ 6= 0 veya ϕ∗ = 0)
olacaktır.
D−
−
→
−
→
→ −
→E
A , B = (1, 0) ⇒ ϕ = 0 ve ϕ∗ 6= 0 ise A ve B birim dual vektörlerinin R3 te
belirttikleri yönlü doğrular, paralel ve aynı yönlüdürler.
D−
→ −
→E
−
→
−
→
A , B = (1, 0) ⇒ ϕ = 0 ve ϕ∗ = 0 ise A ve B birim dual vektörlerinin R3 te
belirttikleri yönlü doğrular, aynı yönlü ve çakışıktırlar.
5.)
D−
→ −
→E
A , B = (−1, 0) ⇒ cos ϕ − εϕ∗ sin ϕ = −1 + ε0
cos ϕ = −1 ⇒ ϕ = π
ve
ϕ∗ sin ϕ = 0
ϕ∗ sin π = 0
ϕ∗ = 0 veya ϕ∗ 6= 0
olup buradan da
D−
→ −
→E
A , B = (−1, 0) ⇔ ϕ = 0 ve (ϕ∗ 6= 0 veya ϕ∗ = 0)
olur.
D−
→ −
→E
−
→
−
→
A , B = (−1, 0) ⇒ ϕ = 0 ve ϕ∗ 6= 0 ise A ve B birim dual vektörlerinin R3 te
belirttikleri yönlü doğrular, paralel ve zıt yönlüdürler.
D−
→ −
→E
−
→
−
→
A , B = (−1, 0) ⇒ ϕ = 0 ve ϕ∗ = 0 ise A ve B birim dual vektörlerinin R3 te
belirttikleri yönlü doğrular, zıt yönlü ve çakışıktırlar.
53
5. ÇİZGİLER GEOMETRİSİ
5.1. Lineer Işın Kompleksi
→ →
−
→
−
E-Study teoreminden D − Modül deki birim dual X = −
x + εx∗ vektörü R3 te bir
→
−
→
yönlü doğru gösterir. Burada −
x = (x1 , x2 , x3 ) birim reel vektörü X doğrusunun
→
−
→
−
yönünü ve x∗ = (x∗1 , x∗2 , x∗3 ) vektörü de O başlangıç noktasına göre X doğrusunun
³ −
→∗ ´
→
−
vektörel momenti ifade eder. x , x = (x1 , x2 , x3 ; x∗1 , x∗2 , x∗3 ) normlanmış homogen
→ →
−
→
−
olmayan Plücker doğru koordinatlarında 6 parametre vardır. X = −
x + εx∗ birim
dual vektör olduğundan
°
°−
°→°
° X ° = 1 ⇒ x21 + x22 + x23 = 1
D −
→∗ E
→
−
= 0 ⇒ x1 x∗1 + x2 x∗2 + x3 x∗3 = 0
x,x
((5.1.1))
koşulu sağlanacağından normlanmış homogen olmayan Plücker doğru koordinat³ −
→´
→
larında 4 parametre vardır. −
x , x∗ = (x , x , x ; x∗ , x∗ , x∗ ) normlanmış homogen
1
2
3
1
2
3
olmayan 6 parametreli Plücker doğru koordinatları arasında,
°
°−
°→°
°X ° = 1
D −
→E
→
−
x , x∗ = 0
bağıntısından başka bir ikinci
F (x1 , x2 , x3 ; x∗1 , x∗2 , x∗3 ) = 0
((5.1.2))
→
−
bağıntısı varsa X doğrusunun bağımsız parametre sayısı 3 olur.
Tanım 5.1.1. R3 te 3 bağımsız parametreye bağlı olan ∞3 sayıdaki doğruların
cümlesine Işın Kompleksi denir(Hacısalihoğlu 1983).
54
→ →
−
→
−
Tanım 5.1.2. A = −
a + ε a∗ bir has dual vektör olmak üzere
D −
→ →E
→E D−
→
−
x =0
a , x∗ + a∗ , −
−
→
→
−
→
−
→
denklemini sağlayan X = −
x + εx∗ birim dual vektörüne R3 te karşılık gelen X =
→
−
→
−
x + εx∗ doğruların cümlesine Lineer Işın Kompleksi denir(Hacısalihoğlu 1983).
→ →
−
→
−
Verilen A = −
a + ε a∗ has dual vektörü birim değilse,
E
D −
→∗ −
→∗ E D−
→
→
−
a,x + a , x = 0
−
→
→
−
→
−
−
denklemini sağlayan X = →
x + εx∗ doğruları A nın eksenini kesen doğruları
belirtir.
→ →
−
→
−
Verilen A = −
a + ε a∗ has dual vektörü birim ise,
D −
→ →E
→E D−
→
−
x =0
a , x∗ + a∗ , −
−
→
→ →
−
→
−
denklemini sağlayan X = −
x + εx∗ doğruları A yı kesen doğruları belirtir.
5.2. Lineer Doğru Kongrüansı
→
−
−
→
−
X = →
x + εx∗
→
−
= X (x1 , x2 , x3 ; x∗1 , x∗2 , x∗3 )
doğrusunun normlanmış homogen olmayan 6 parametreli Plücker doğru koordinatları
arasında
°−
°
°→°
° X ° = 1 ⇒ x21 + x22 + x23 = 1
D −
→E
→
−
x , x∗ = 0 ⇒ x1 x∗1 + x2 x∗2 + x3 x∗3 = 0
F (x1 , x2 , x3 ; x∗1 , x∗2 , x∗3 ) = 0
φ (x1 , x2 , x3 ; x∗1 , x∗2 , x∗3 ) = 0
55
→
−
bağıntıları varsa X doğrusunun bağımsız parametre sayısı 2 olur.
→
−
Tanım 5.2.1. İki bağımsız parametreye bağlı ∞2 sayıdaki X doğrularının cümlesine
Işın Kongrüansı (Doğru Kongrüansı) denir (Hacısalihoğlu 1983).
−
→
→ →
−
−
→ −
−
−
→
→ →
−
Tanım 5.2.2. A = →
a + ε a∗ , −
a 6= 0 ve B = b + ε b∗ , b =
6 0 has dual vektörleri
için
→
−
−
→
−
X = →
x + εx∗
→
−
= X (x1 , x2 , x3 ; x∗1 , x∗2 , x∗3 )
olmak üzere
x21 + x22 + x23 = 1
x1 x∗1 + x2 x∗2 + x3 x∗3 = 0
E
D −
→∗ −
→∗ E D−
→
→
−
= 0
F... a , x + a , x
E
D
E
D−
→ →
−
→
→ −
x
= 0
φ... b , x∗ + b∗ , −
→
−
→
−
−
bağıntılarını sağlayan X = →
x + εx∗ doğrularınının cümlesine Lineer Işın Kongrüansı denir(Hacısalihoğlu 1983).
D −
→ →
−
→ →
−
→E D−
→ →E
→
−
→
−
→
−
a , x∗ + a∗ , −
x = 0 bağıntısının anlamı, X = −
x + εx∗ doğruları A = −
a + ε a∗
→
−
→
−
A
has dual vektörünün, U = −
→ , eksenini keser.
kAk
D−
→ →E
→ −
→
→
−
→ →
−
→ −
−
→E D−
→
−
b , x∗ + b∗ , −
x = 0 bağıntısı da X = −
x + εx∗ doğruları B = b + ε b∗ has dual
→
−
→
−
B
vektörünün V = −
→ eksenini keser anlamındadır.
kB k
Lineer doğru kongrüansı, R3 te verilen iki doğruyu kesen bütün doğruların cümlesidir.
Kongrüansın içinde iki tane ışın kompleksi vardır. Buna göre her kongrüans lineer
ışın kompleksidir. Bu ifadenin tersi yani, ‘ Her lineer ışın kompleksi kongrüanstır.’
doğru değildir (Hacısalihoğlu 1983).
→
−
→
−
−
F = 0 ve φ = 0 iki farklı lineer ışın kompleksi olup X = →
x + εx∗ doğruları hem
56
F = 0 hemde φ = 0 kompleksine dahildirler.
F = 0 ve φ = 0 iki farklı lineer ışın kompleksi olduklarından lineer ışın kongrüansının
→
−
→
−
→
∞2 sayıdaki X = −
x + εx∗ doğruları, F = 0 ve φ = 0 lineer ışın komplekslerinde
→ →
−
→
−
ortak olan doğrulardır. Bu nedenle X = −
x + εx∗ doğruları
F + vφ = 0
lineer ışın kompleksi demetine de dahildirler. λ ve μ homogen parametreler olmak
üzere v =
μ
λ
alalım. Buna göre
F + vφ = 0
lineer ışın kompleksi demeti,
D −
→E D−
→ →E μ ³D−
→ →E´
→E D−
→ −
→
−
b , x∗ + b∗ , −
x +
x
= 0
a , x∗ + a∗ , −
λ
D −
D−
D−
D−
→E
→E
→ →E
→ →E
→ −
→
λ −
a , x∗ + λ a∗ , −
x + μ b , x∗ + μ b∗ , −
x
= 0
E
D
D
E
→
−
→
→ →
−
→ −
−
→
λ−
a + μ b , x∗ + λ a∗ + μ b∗ , −
x
= 0
((5.2.1))
olur. Bu (5.2.1) bağıntısı lineer ışın kompleksi ailesi yani kompleks demetidir. O
halde her
μ
λ
değerine ışın kongrüansını kapsayan bir ışın kompleksi karşılık gelir. Her
D
→ →E
−
→
→E D −
→ −
−
→
x =0
λ−
a + μ b , x∗ + λ a∗ + μ b∗ , −
kompleks demetinde
D −
→∗ E
→
−
a,a
k= −
2
k→
ak
olmak üzere
D −
→E
→
−
= 0 ⇒ k1 = 0
a , a∗
E
D−
→
→ −
= 0 ⇒ k2 = 0
b , b∗
bağıntılarını sağlayan dejenere iki lineer ışın kompleksi vardır. Bu dejenere komplekslerin eksenlerine ışın kongrüansının Kılavuz Hatları denir(Hacısalihoğlu 1983).
57
Buna göre kongrüans iki kılavuz hattını kesen doğruların bütününden oluşur. Buna
göre kongrüans, iki kılavuz hattını kesen doğruların bütününden oluşur. Bu oluşma
şeklinden dolayı kongrüansa Işın Ağı da denir(Hacısalihoğlu 1983).
5.3. Regle Yüzeyler
−
→
→
→ −
−
→
X =−
x + εx∗ = X (x1 , x2 , x3 ; x∗1 , x∗2 , x∗3 ) doğrusunun normlanmış homogen olmayan
6 parametreli Plücker doğru koordinatları arasında
°
°−
°→°
° X ° = 1 ⇒ x21 + x22 + x23 = 1
D −
→E
→
−
x , x∗ = 0 ⇒ x1 x∗1 + x2 x∗2 + x3 x∗3 = 0
F (x1 , x2 , x3 ; x∗1 , x∗2 , x∗3 ) = 0
φ (x1 , x2 , x3 ; x∗1 , x∗2 , x∗3 ) = 0
ψ (x1 , x2 , x3 ; x∗1 , x∗2 , x∗3 ) = 0
→ →
−
→
−
bağıntıları varsa X = −
x + εx∗ doğrusunun bağımsız parametre sayısı 1 tanedir.
Tanım 5.3.1. E-Study dönüşümüne uyan ve tek bağımsız parametreye bağlı ∞1
→
−
sayıdaki X doğrularının cümlesine Regle Yüzey (Işın Yüzeyi, Doğrusal Yüzey)
denir(Hacısalihoğlu 1983).
→ →
−
→
−
Tanım 5.3.2. X = −
x + εx∗ birim dual vektör,
→ →
−
−
→
→
a 6= 0
A = −
a + ε a∗ , −
→ −
−
→
−
→
→
−
B = b + ε b∗ , b 6= 0
− −
→
→
−
→
c =
6 0
C = −
c + ε c∗ ; →
has dual vektörler olmak üzere
58
x21 + x22 + x23 = 1
x1 x∗1 + x2 x∗2 + x3 x∗3
D −
→ →E
→E D−
→
x
F... −
a , x∗ + a∗ , −
E
D
D−
→ →E
−
→
→ −
x
φ... b , x∗ + b∗ , −
E
D
E
D −
→∗ −
−
→∗
→
→
−
ψ... c , x + c , x
= 0
= 0
= 0
= 0
→
−
→
−
−
bağıntılarını sağlayan X = →
x + εx∗ doğrularının cümlesine Regle Yüzey denir
(Hacısalihoğlu 1983).
→ →
−
−
Bir regle yüzey, bir t parametresine bağlı X = X (t) birim dual vektörel fonksiyon
olmak üzere
→
−
−
→
→
X =−
x (t) + εx∗ (t)
şeklinde de yazılabilir.
1−parametreli
K
K0
dual küresel hareketinde, K da tespit edilmiş bir X dual noktası,
0
K sabit birim dual küresi üzerinde t ∈ R parametresine bağlı bir
−
→
→
−
X = X (t)
°
°−
°→ °
° X (t)° = 1
dual küresel eğrisini çizer(Hacısalihoğlu 1983).
→ −
−
→
E-Study dönüşümüne göre t parametresine göre diferensiyellenebilen X = X (t) dual
küresel eğrisine R3 çizgiler uzayında bir 1−parametreli doğru ailesi (Regle Yüzey)
karşılık gelir. O halde birim dual küre üzerindeki her dual küresel eğri, R3 çizgiler
uzayında bir regle yüzey belirtir.
59
→ −
−
→
Tanım 5.3.3. X = X (t), t ∈ R dual küresel eğrisine R3 çizgiler uzayındaki X regle
yüzeyinin Dual Küresel Resmi denir(Hacısalihoğlu1983).
Tanım 5.3.4.
°
°−
−
→
→
−
°→ °
X = X (t), ° X (t)° = 1t ∈ R
→
−
−
→
regle yüzeyinde X (t) ve X (t + dt) komşu ana doğruları arasındaki dual açı
dφ = dϕ + εdϕ∗
olmak üzere
D
→∗ E
−
→
−
d x , dx
1
= −
→
d
hd→
x , d−
xi
((5.3.1))
→
−
büyüklüğüne regle yüzeyin X (t) ana doğrusu boyunca Dağılma Parametresi veya
Drall’ ı denir(Hacısalihoğlu 1983).
Tanım 5.3.5.
Komşu ana doğruları kesişen regle yüzeylere Açılabilir Regle
Yüzeyler veya Torslar denir(Hacısalihoğlu 1983).
Drall’ in sıfır olması torslar için karakteristiktir(Hacısalihoğlu 1983).
60
6. ÇEMBERİN STUDY RESMİ
D, birimli ve değişimli dual sayılar halkası üzerinde D × D × D = D3 bir modüldür.
Elemanları dual vektörler olan D3 de Abel grubu ve skalar ile çarpma işlemi,
+ : D3 × D3 → D3
ve
· : D × D3 → D3
şeklinde tanımlanır. D dual sayılar halkası üzerinde tanımlanan modülü D − Modül
şeklinde gösteriyoruz.
→ ³−
−
→ →´
E-Study teoremine göre, A 6= 0 , −
a ∈ D − Modül olmak üzere D − Modül de
denklemi
°
°−
°→°
° A ° = (1, 0)
olan birim dual kürenin dual noktaları R3 teki yönlü doğrulara birebir karşılık gelir.
Buna göre E-Study dönüşümü
D − Modül → R3
şeklindedir.
K, D−Modül de merkezi O başlangıç noktası olan birim dual küre ve O noktasındaki
n −
→ −
→ −
→o
ortonormal sistem O; E 1 , E 2 , E 3 olmak üzere
→
−
−
→
→
ei + ε e∗i ; 1 ≤ i ≤ 3
Ei = −
şeklindedir(Hacısalihoğlu 1977).
61
((6.1))
→
−
→
→
→
{O; −
e1 , −
e2 , −
e3 } sistemi R3 çizgiler uzayında ortonormal bir sistem olduğundan, e∗i
moment vektörlerini
−∗ −−→ −
→
ei = MO ∧ →
ei , 1 ≤ i ≤ 3
((6.2))
şeklinde yazabiliriz.
−∗
→
ei moment vektörleri R3 çizgiler uzayının vektörleri olduğundan R3 ün bazları cinsinden,
−∗ X −
→
ei =
λij →
ej , λij ∈ R, 1 ≤ i ≤ 3
3
((6.3))
j=1
yazabiliriz. Buna göre,
−∗
→
→
→
→
e1 + λ12 −
e2 + λ13 −
e3
e1 = λ11 −
→∗
−
→
→
→
e1 + λ22 −
e2 + λ23 −
e3
e2 = λ21 −
→∗
−
−
→
→
e3 = λ31 →
e1 + λ32 −
e2 + λ33 −
e3
olup, matris formunda yazarsak,
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
−∗
→
e1
→∗
−
e2
→∗
−
e3
⎤
⎡
λ
λ
λ
⎥ ⎢ 11 12 13
⎥ ⎢
⎥ = ⎢ λ21 λ22 λ23
⎦ ⎣
λ31 λ32 λ33
⎤⎡
⎤
−
→
e
⎥⎢ 1 ⎥
⎥⎢ −
⎥
⎥⎢ →
e2 ⎥
⎦⎣
⎦
→
−
e3
elde edilir.
−−→
MO = (a1 , a2 , a3 ) , ai ∈ R
62
((6.4))
olmak üzere
−∗ −−→ −
→
ei
ei = MO ∧ →
olduğundan,
−∗ −−→ −
→
e1 = MO ∧ →
e1
olup
¯
¯
¯ −
¯
→
→
−
→
−
¯ e1 e2 e3 ¯
¯
¯
−∗
→
¯
¯
e1 = ¯ a1 a2 a3 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1 0 0 ¯
→
→
→
= −
e1 (0) − −
e2 (−a3 ) + −
e3 (−a2 )
−∗
→
→
→
→
e1 + a3 −
e1 = 0−
e2 − a2 −
e3
olur.
−∗ −−→ −
→
e2 = MO ∧ →
e2
olduğundan
¯
¯
¯ −
¯
→
−
→
−
¯ →
e1 e2 e3 ¯
¯
¯
−∗
→
¯
¯
e2 = ¯ a1 a2 a3 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0 1 0 ¯
→
→
→
= −
e1 (−a3 ) − −
e2 (0) + −
e3 (a1 )
−∗
→
→
→
→
e2 + a1 −
e2 = −a3 −
e1 + 0−
e3
ve
−∗ −−→ −
→
e3 = MO ∧ →
e3
den
¯
¯
¯ −
¯
→
→
−
→
−
¯ e1 e2 e3 ¯
¯
¯
−∗
→
¯
¯
e3 = ¯ a1 a2 a3 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0 0 1 ¯
→
→
→
= −
e1 (a2 ) − −
e2 (a1 ) + −
e3 (0)
63
−∗
→
→
→
→
e3 = a2 −
e3
e1 − a1 −
e2 + 0−
olur. O halde
−∗
→
→
→
→
e1 + a3 −
e2 − a2 −
e3
e1 = 0−
→∗
−
→
→
→
e2 + a1 −
e1 + 0−
e3
e2 = −a3 −
→∗
−
→
→
→
e3 = a2 −
e3
e1 − a1 −
e2 + 0−
((6.5))
olup (6.4) ve (6.5) ifadelerinden
λ11 = λ22 = λ33 = 0
λ12 = −λ21
λ13 = −λ31
λ23 = −λ32
olur. Buradan da 1 ≤ i, j ≤ 3 olmak üzere
λii = 0
λij = −λji
yazabiliriz.
λij = λi
alırsak,
−∗ X −
→
ei =
λij →
ej
3
j=1
ifadesinin matris formu
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
−∗
→
e1
→∗
−
e2
→∗
−
e3
⎤
⎡
0
λ1
−λ3
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ = ⎢ −λ1 0
λ2
⎦ ⎣
λ3
−λ2 0
64
⎤⎡
⎤
−
→
e1
⎥
⎥⎢
⎥
⎥⎢ −
→
⎥ ⎢ e2 ⎥
⎦
⎦⎣
→
−
e3
((6.6))
şeklindedir. Buna göre,
K → R3
şeklinde tanımlanan E-Study dönüşümü, K birim dual küredeki dual ortonormal sistemden R3 çizgiler uzayındaki reel ortonormal sisteme bir dönüşüm olarak verilebilir.
→
−
−
→
−−→ →
−
→
→
ei + ε e∗i ve e∗i = MO ∧ −
ei
Ei = −
bağıntılarından E-Study dönüşümünün matris formu,
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
olup
−
→
E1
−
→
E2
−
→
E3
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎤
⎤
⎤⎡
−
→
→
−
0
λ1
e
e
−λ3
⎢
⎥ ⎢ 1 ⎥
⎥⎢ 1 ⎥
⎢
⎢
⎥ ⎢ −
⎥
⎥
⎥
−
⎥=⎢ →
λ2 ⎥ ⎢ →
e2 ⎥ + ε ⎢ −λ1 0
e2 ⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎦
⎦⎣
→
−
→
−
λ3
−λ2 0
e3
e3
⎤
−
→
E1
−
→
E2
−
→
E3
⎡
⎤
⎡
1
λ1 ε
−λ3 ε
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ = ⎢ −λ1 ε 1
λ2 ε
⎦ ⎣
λ3 ε
−λ2 ε 1
⎤
−
→
e1
⎥
⎥⎢
⎥
⎥⎢ −
→
⎥ ⎢ e2 ⎥
⎦
⎦⎣
→
−
e3
⎤⎡
((6.7))
olur. Buna göre E-Study dönüşümüne bir dual ortogonal matris karşılık gelir. Lineer
dönüşümler ve matrisler arasında birebir bir eşleme olduğundan aşağıdaki teoremi
ispatsız verebiliriz.
Teorem 6.1. E-Study dönüşümü bir lineer izomorfizmdir(Hacısalihoğlu 1977).
E-Study dönüşümü bir lineer izomorfizm olduğundan, iki doğru arasındaki açı ve
uzaklığı değişmez bırakan R3 çizgiler uzayının Öklid hareketlerinin D − Modül deki
karşılığı olan dönüşümlerde iç çarpımı korurlar. R3 çizgiler uzayının Öklid hareketlerinin D−Modül deki karşılığı olan dönüşümler, dual katsayılı ortogonal bir matrisin
hareketidir(Hacısalihoğlu 1977).
K birim dual kürenin merkezinin sabit kalması koşuluyla D − Modül deki dönüşüm-
ler grubu (R3 çizgiler uzayının Öklid hareketlerinin resmi), hiçbir öteleme içermez.
Sadece dönme hareketinden oluşur.
Guggenheimer (1963) tarafından bildirildiğine göre; D − Modül deki Öklid hareket65
lerini belirtmek için şu teoremi verebiliriz(Hacısalihoğlu 1977).
Teorem 6.2. R3 çizgiler uzayının Öklid hareketleri, ortogonal dual matrisler ile
birebir eşleşirler(Hacısalihoğlu 1977).
Blaschke(1960) ve Guggenheimer (1963) tarafından bildirildiğine göre D − Modül
deki birim dual kürenin dual dönmeleri yani ortogonal dual matrislere karşılık gelen
dönüşümler, R3 çizgiler uzayının Öklid hareketi olan dönme hareketine karşılık gelirler. Bir reel t parametresine bağlı K birim dual küre üzerindeki diferensiyellenebilir
−
→
→
−
X = X (t) , t ∈ R
eğrisi, R3 çizgiler uzayında parelel doğruların diferensiyellenebilir bir ailesi olan bir
regle yüzey belirtir.
→
−
−
→
→
−
→
X = X (t) = −
x (t) + εx∗ (t)
→
−
denklemiyle belli olan bu regle yüzeyin ana doğruları X (t) doğrularıdır(Hacısalihoğlu
1977).
66
6.1. Bir Çemberin Study Resmi
−
→ → −
→
e3 +ε e∗3 birim dual vektörüne R3 çizgiler uzayında karşılık gelen doğru g olsun.
E3 = −
−
→ → −
−
→
→
E3 = −
e3 + ε e∗3 birim dual vektörüne karşılık gelen doğru g olmak üzere E3 birim dual
→
−
vektörünün dual kısmı e∗3 = 0 olmalıdır.
−∗
→
→
→
→
e3
e3 = λ3 −
e1 − λ2 −
e2 + 0−
olduğundan
λ2 = λ3 = 0
olmalıdır. g doğrusu üzerinde bir M noktası seçersek E-Study dönüşümüne karşılık
gelen matris,
⎡
((6.1.1))
⎤ ⎡
⎤
⎤⎡
−
→
−
→
1
−λ1 ε 0
E1
e1
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
→ ⎥
⎢ −
⎥ ⎢
⎥⎢ −
→
⎢ e2 ⎥ = ⎢ λ1 ε 1
0 ⎥ ⎢ E2 ⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎦⎣
−
→
→
−
0
0
1
E3
e3
((6.1.2))
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎡
⎤
−
→
e1
⎥
⎥⎢
⎥
⎥⎢ −
→
⎥
⎢
0
e ⎥
⎦⎣ 2 ⎦
→
−
1
e
−
→
E1
−
→
E2
−
→
E3
1
λ1 ε 0
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ = ⎢ −λ1 ε 1
⎦ ⎣
0
0
olur. Bu dönüşümün inversi ise
⎤⎡
3
⎡
olacaktır.
K birim dual küre üzerindeki
n−
Eo
→ −
→
→ ¯¯D−
→
−
S = X ¯ X , E3 = cos Φ = sabit, X ∈ K
çemberini ve bu S çemberinin bir X noktasını alalım.
67
Küresel koordinatları kullanarak X noktasının koordinatlarını bulabiliriz. K birim
dual küre olduğundan
→
−
olup, X dual vektörünü
°−−→°
°
°
°OX ° = 1
−
→
−
→
−
→
−
→
X = sin Φ cos ΨE1 + sin Φ sin ΨE2 + cos ΦE3
((6.1.3))
şeklinde yazabiliriz. Φ ve Ψ dual açıları için
cos Φ = cos ϕ − εϕ∗ sin ϕ
cos Ψ = cos ψ − εψ∗ sin ψ
sin Φ = sin ϕ + εϕ∗ cos ϕ
sin Ψ = sin ψ + εψ∗ cos ψ
bağıntıları vardır. (6.1.1) bağıntısından
−
→
→
→
→
e1 + λ1 ε−
e2 + 0−
e3
E1 = −
−
→
→
→
→
E2 = −λ1 ε−
e1 + −
e2 + 0−
e3
−
→
→
→
→
E3 = 0−
e1 + 0−
e2 + −
e3
68
((6.1.4))
olup (6.1.3) bağıntısında yerine yazılırsa
−
→
→
→
→
→
→
→
e2 + 0−
e3 ) + sin Φ sin Ψ (−λ1 ε−
e1 + −
e2 + 0−
e3 )
X = sin Φ cos Ψ (−
e1 + λ1 ε−
→
→
→
e2 + −
e3 )
+ cos Φ (0−
e1 + 0−
−
→
→
X = (sin Φ cos Ψ − λ1 ε sin Φ sin Ψ) −
e1
((6.1.5))
→
→
e2 + cos Φ−
e3
+ (sin Φ sin Ψ + λ1 ε sin Φ cos Ψ) −
elde edilir. (6.1.4) ifadesinden
sin Φ cos Ψ = (sin ϕ + εϕ∗ cos ϕ) (cos ψ − εψ∗ sin ψ)
= sin ϕ cos ψ − ε (ψ∗ sin ϕ sin ψ − ϕ∗ cos ϕ cos ψ)
sin Φ sin Ψ = (sin ϕ + εϕ∗ cos ϕ) (sin ψ + εψ∗ cos ψ)
= sin ϕ sin ψ + ε (ψ∗ sin ϕ cos ψ + ϕ∗ cos ϕ sin ψ)
cos Φ = cos ϕ − εϕ∗ sin ϕ
olur. Bu denklemleri (6.1.5) bağıntısında yazarsak
−
→
→
→
→
e1 − λ1 ε (sin ϕ sin ψ) −
e1
X = (sin ϕ cos ψ) −
e1 − ε (ψ∗ sin ϕ sin ψ − ϕ∗ cos ϕ cos ψ) −
→
→
→
+ (sin ϕ sin ψ) −
e2 + λ1 ε (sin ϕ cos ψ) −
e2 + ε (ψ∗ sin ϕ cos ψ + ϕ∗ cos ϕ sin ψ) −
e2
→
→
+ (cos ϕ) −
e3 − ε (ϕ∗ sin ϕ) −
e3
→
−
olup X dual vektörünü
−
→
→
→
→
e2 + (cos ϕ) −
e3
X = (sin ϕ cos ψ) −
e1 + (sin ϕ sin ψ) −
⎡
→
(ϕ∗ cos ϕ cos ψ − ψ∗ sin ϕ sin ψ − λ1 sin ϕ sin ψ) −
e1
⎢
⎢
→
ε ⎢ + (ϕ∗ cos ϕ sin ψ + ψ∗ sin ϕ cos ψ + λ1 sin ϕ cos ψ) −
e2
⎣
→
− (ϕ∗ sin ϕ) −
e3
69
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
((6.1.6))
→ →
−
→
−
şeklinde yazabiliriz. Buradan X = −
x + εx∗ dual vektörünün matris formu
⎡
sin ϕ cos ψ
⎤
⎥
i⎢
⎢
⎥
⎢ sin ϕ sin ψ ⎥
⎣
⎦
cos ϕ
⎡
ϕ∗ cos ϕ cos ψ − (ψ∗ + λ1 ) sin ϕ sin ψ
⎢
i
h
−∗
→
⎢
−
→
−
→
x =
e2 −
e3 ⎢ ϕ∗ cos ϕ sin ψ + (ψ∗ + λ1 ) sin ϕ cos ψ
e1 →
⎣
−ϕ∗ sin ϕ
−
→
x =
h
→
→
−
→
e2 −
e3
e1 −
((6.1.7))
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
−
→
olur. Diğer yandan X noktası merkezi E3 ekseni üzerinde olan S çemberinin üzerindedir. X noktasının çemberin merkezine olan uzaklığı sabit olduğundan
D−
→ −
→E
X , E3 = cos Φ = cos ϕ − εϕ∗ sin ϕ = sabit
((6.1.8))
yazabiliriz. c1 ve c2 sabitler olmak üzere (6.1.8) bağıntısından,
ϕ = c1 , ϕ∗ = c2
→
−
−
→
−
→
− →
→
−
−
−
olur. X = →
x + εx∗ ve E3 = →
e3 + ε e∗3 , e∗3 = 0 olmak üzere (6.1.7) ve (6.1.8)
bağıntılarından
→
→
h−
x ,−
xi
D −
→E
→
−
x , x∗
E
D−
→∗ −
→
x , e3 − cos ϕ
E
D
E
D −
→∗ −
−
→∗
→
→
−
x , e3 + x , e3 + ϕ∗ sin ϕ
= 1
((6.1.9))
= 0
= 0
= 0
yazabiliriz. (6.1.9) bağıntısındaki denklemler sadece ψ ve ψ∗ parametrelerini (2 parametre) bulundurduğundan (6.1.9) bağıntısı R3 çizgiler uzayında bir doğru kongrüansı
gösterir(Hacısalihoğlu 1977).
Köse(1975) tarafından yapılan çalışmalardan bu doğru kongrüansının Plücker koordinatlarına göre denklemini bulalım. Bu kongrüansın herhangi bir noktası Y olmak
70
üzere,
→
−
→
→
x (ψ, ψ ∗ ) , u ∈ R
y =−
a (ψ, ψ ∗ ) + u−
((*))
−∗ −
→
→
a ∧−
x
x =→
olduğundan,
→
−
−
→
→
−
→
x ∧ (−
a ∧−
x)
x ∧ x∗ = →
→
→
→
→
→
→
= h−
x ,−
x i−
a − h−
x ,−
a i−
x
olup
→
→
h−
x ,−
xi=1
den
→ →
−
→
→
→
−
→
a − h−
x,−
a i−
x
x ∧ x∗ = −
→
−
→
→
→
−
→
→
x ,−
a i−
x
a =−
x ∧ x∗ + h−
olur. v ∈ R,
((**))
→
→
v = u + h−
a ,−
xi
olmak üzere
→
→
h−
a ,−
xi=v−u
((***))
→
−
→
→
−
→
→
x − u−
x
a =−
x ∧ x∗ + v −
((****))
(**) ve (***) ifadelerinden
71
−−→ →
olur. (*) ve (****) bağıntılarından OY = −
y vektörünü
´
³
→
−
→
→
→
→
−
x − u−
x + u−
x (ψ, ψ ∗ )
x ∧ x∗ + v −
³
´
→
−
−
→
→
→
y = −
x ∧ x∗ + v −
x (ψ, ψ ∗ )
−
→
y =
→
−
→
−
→
→
x (ψ, ψ ∗ )
y =−
x (ψ, ψ ∗ ) ∧ x∗ (ψ, ψ ∗ ) + v−
((6.1.10))
elde ederiz.
ψ∗ + λ1 = η olmak üzere
⎛
−
→
X = (sin ϕ cos ψ, sin ϕ sin ψ, cos ϕ) + ε ⎝
∗
ϕ∗ cos ϕ cos ψ − η sin ϕ sin ψ,
∗
ϕ cos ϕ sin ψ + η sin ϕ cos ψ, −ϕ sin ϕ
⎞
⎠
olup,
¯
¯
¯
¯
→
−
¯
→
−
x ∧ x∗ = ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
sin ϕ cos ψ
sin ϕ sin ψ
cos ϕ
¯
¯
∗
∗
∗
ϕ cos ϕ cos ψ − η sin ϕ sin ψ ϕ cos ϕ sin ψ + η sin ϕ cos ψ −ϕ sin ϕ ¯
−
→
e1
−
→
e2
−
→
e3
¢
¡
→
−
−
→
−
x ∧ x∗ = →
e1 −ϕ∗ sin2 ϕ sin ψ − ϕ∗ cos2 ϕ sin ψ − η sin ϕ cos ϕ cos ψ
¢
¡
→
−−
e2 −ϕ∗ sin2 ϕ cos ψ − ϕ∗ cos2 ϕ cos ψ + η sin ϕ cos ϕ sin ψ
⎛
⎞
ϕ∗ sin ϕ cos ϕ sin ψ cos ψ + η sin2 ϕ cos2 ψ
⎜
⎟
⎜
⎟
→
∗
+−
e3 ⎜
⎟
−ϕ sin ϕ cos ϕ sin ψ cos ψ
⎝
⎠
2
2
+η sin ϕ sin ψ
den
→
−
−
→
→
x ∧ x∗ = (−ϕ∗ sin ψ − η sin ϕ cos ϕ cos ψ) −
e1
→
+ (ϕ∗ cos ψ − η sin ϕ cos ϕ sin ψ) −
e2
¡
¢
→
+ η sin2 ϕ −
e3
72
olur. (7.1.10) bağıntısında yazılırsa
→
−
→
e1
y = (−ϕ∗ sin ψ − η sin ϕ cos ϕ cos ψ + v sin ϕ cos ψ) −
→
+ (ϕ∗ cos ψ − η sin ϕ cos ϕ sin ψ + v sin ϕ sin ψ) −
e2
¡
¢→
+ η sin2 ϕ + v cos ϕ −
e3
−
elde edilir. Buna göre →
y = (y1 , y2 , y3 ) olmak üzere
y1 = −ϕ∗ sin ψ − η sin ϕ cos ϕ cos ψ + v sin ϕ cos ψ
((6.1.11))
y2 = ϕ∗ cos ψ − η sin ϕ cos ϕ sin ψ + v sin ϕ sin ψ
y3 = η sin2 ϕ + v cos ϕ
olur. ϕ 6=
π
2
olmak üzere,
y12 = (ϕ∗ )2 sin2 ψ + η 2 sin2 ϕ cos2 ϕ cos2 ψ + v2 sin2 ϕ cos2 ψ
+2ϕ∗ η sin ϕ cos ϕ sin ψ cos ψ
−2ϕ∗ v sin ϕ sin ψ cos ψ − 2vη sin2 ϕ cos ϕ cos2 ψ
y22 = (ϕ∗ )2 cos2 ψ + η 2 sin2 ϕ cos2 ϕ sin2 ψ + v 2 sin2 ϕ sin2 ψ
−2ϕ∗ η sin ϕ cos ϕ sin ψ cos ψ
+2ϕ∗ v sin ϕ sin ψ cos ψ − 2vη sin2 ϕ cos ϕ cos2 ψ
olup
y12 + y22 = (ϕ∗ )2 + η 2 sin2 ϕ cos2 ϕ + v 2 sin2 ϕ − 2vη sin2 ϕ cos ϕ
den
ψ∗ + λ1 = η
olmak üzere
y12 + y22 = (ϕ∗ )2 + [(ψ∗ + λ1 ) sin ϕ cos ϕ − v sin ϕ]2
73
((6.1.12))
y3 = (ψ∗ + λ1 ) sin2 ϕ + v cos ϕ
olduğundan,
v=
y3 − (ψ∗ + λ1 ) sin2 ϕ
cos ϕ
((6.1.13))
yazabiliriz. (6.1.12) ve (6.1.13) ifadelerinden
y12
+
y22
=
=
=
=
=
¶
¸2
∙
µ
y3 − (ψ∗ + λ1 ) sin2 ϕ
∗
sin ϕ
(ϕ ) + (ψ + λ1 ) sin ϕ cos ϕ −
cos ϕ
¤2
1 £ ∗
∗
2
3
(ψ
(ϕ∗ )2 +
+
λ
)
sin
ϕ
cos
ϕ
−
y
sin
ϕ
+
(ψ
+
λ
)
sin
ϕ
1
3
1
cos2 ϕ
1
[(ψ∗ + λ1 ) sin ϕ − y3 sin ϕ]2
(ϕ∗ )2 +
cos2 ϕ
sin2 ϕ
[(ψ∗ + λ1 ) − y3 ]2
(ϕ∗ )2 +
cos2 ϕ
[y3 − (ψ∗ + λ1 )]2
(ϕ∗ )2 +
cos2 ϕ
∗ 2
= (ϕ∗ )2 +
sin2 ϕ
∗
[y3 − (ψ + λ1 )]2
(cot ϕ)2
y12
+
y22
[y3 − (ψ∗ + λ1 )]2
−
= (ϕ∗ )2
2
(cot ϕ)
((6.1.14))
yazabiliriz. (6.1.14) eşitliğinin her iki yanını (ϕ∗ )2 ifadesine bölersek
y12
y22
[y3 − (ψ∗ + λ1 )]2
+
−
=1
(ϕ∗ )2 (ϕ∗ )2
(ϕ∗ cot ϕ)2
ϕ = c1 , ϕ∗ = c2
olmak üzere
y12 y22 [y3 − (ψ∗ + λ1 )]2
+ 2 −
=1
c22
c2
(c2 cot c1 )2
((6.1.15))
elde edilir.
ψ∗ ve λ1 parametrelerine sahip olan (6.1.15) denklemi ikinci dereceden bir doğru
kongrüansı gösterir. (6.1.15) denklemi ile belirli olan doğru kongrüansının doğruları
arasında
i) Bu doğrular ve g doğrusu arasındaki en kısa uzaklık ϕ∗ = c2 ,
74
ii) Bu doğrular ve g doğrusu arasındaki açı ϕ = c1 , bağıntıları vardır.
Buna göre bu doğru kongrüansının doğruları yarıçapı ϕ∗ = sabit ve ekseni g doğrusu
olan bir silindirin ana doğruları ile sabit bir ϕ açısı altında kesişirler(Hacısalihoğlu
1977).
Tanım 6.1.1. Bir doğru kongrüansının bütün doğruları verilen bir doğru ile sabit
açı yapıyorsa bu doğru kongrüansına Eğim Kongrüansı denir(Hacısalihoğlu 1977).
Buna göre (6.1.15) denklemi bir eğim kongrüansını gösterir. O halde aşağıdaki teoremi verebiliriz.
Teorem 6.1.1. K birim dual küre üzerindeki iki parametreli bir S çemberinin Study
resmi, ikinci dereceden bir eğim kongrüansıdır(Hacısalihoğlu 1977).
Diğer yandan, silindirin g ekseni ile kongrüansın doğruları arasındaki en kısa uzaklık c2 olduğundan bu silindir bu kongrüansın doğrularının zarfıdır. Buradan da şu
teoremi verbiliriz.
Teorem 6.1.2. K birim dual küre ve K birim dual kürenin
o
n−
→ −
→E
→
−
→
−
→ ¯¯D−
S = X ¯ X , G cos Φ = sabit, X ∈ K, G ∈ K
denklemiyle belirli S çemberini alalım. S çemberinin Study resmi ϕ(ikinci dereceden
eğim kongrüansı) ve S çemberinin küresel merkezi G nin Study resmi g (silindirin
ekseni) olmak üzere ϕ eğim kongrüansının doğrularının zarfı ekseni g ve yarıçapı c2
75
olan bir dairesel silindirdir(Hacısalihoğlu 1977)
ϕ = c1 , ϕ∗ = c2
olmak üzere
y12 y22 [y3 − (ψ∗ + λ1 )]2
+ 2 −
=1
c22
c2
(c2 cot c1 )2
eğim kongrüansı denkleminde,
ψ∗ = −λ1
ϕ 6= 0
k = c2 cot c1 = sabit
alınırsa
y12 y22 y32
+ 2 − 2 =1
c22
c2 k
((6.1.16))
elde edilir. (6.1.16) denklemi tek kanatlı hiperboloid belirtir. Buna göre, ψ∗ ve
λ1 eğim kongrüansının bağımsız iki parametresi olmak üzere K birim dual küre
üzerindeki S çemberinin Study resmi, tek kanatlı hiperboloidlerin iki parametreli
ailesidir. Buna göre aşağıdaki teoremi verebiliriz.
76
Teorem 6.1.3. K birim dual küre üzerindeki S çemberinin Study resmi, tek kanatlı
hiperboloidlerin iki parametreli ailesidir(Hacısalihoğlu 1977).
77
7. EĞRİLİK ÇEMBERLERİNİN R3 ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIKLARI
7.1. Birim Dual Küre Üzerindeki Eğrilik Çemberlerinin Denklemleri
→
−
X, K birim dual küresi üzerinde bir nokta olmak üzere X dual vektörünü
→
−
→
−
−
→
→
−
X = sin Φ cos Ψ E 1 + sin Φ sin Ψ E 2 + cos Φ E 3
78
((7.1.1))
şeklinde yazabiliriz. Burada Φ, Ψ, α, ω birer dual açıdır. Buna göre
o
n−
→ −
→E
→ ¯¯D−
Si = X ¯ X , N = cos ω
−
→
→
−
→
−
→
−
N = c1 E 1 + c2 E 2 + c3 E 3
D−
→ −
→E
X , N = cos ω
D−
→ −
→E
X , N = cos ω − εω ∗ sin ω
ve
D−
→ −
→E
X , N = c1 sin Φ cos Ψ + c2 sin Φ sin Ψ + c3 cos Φ
((7.1.2))
((7.1.3))
olur. Şekil’ den
ω =α+Φ
Φ=ω−α
değeri (7.1.1) denkleminde yazılırsa
→
−
→
−
−
→
→
−
X = sin (ω − α) cos Ψ E 1 + sin (ω − α) sin Ψ E 2 + cos (ω − α) E 3
−
→
→
−
X = (sin ω cos α − sin α cos ω) cos Ψ E 1
→
−
+ (sin ω cos α − sin α cos ω) sin Ψ E 2
→
−
+ (cos ω cos α + sin ω sin α) E 3
olur. ω, α, Ψ dual açılar olup
sin Φ = sin ϕ + εϕ∗ cos ϕ
cos Φ = cos ϕ − εϕ∗ sin ϕ
79
((7.1.4))
olduğundan (7.1.4) eşitliğinde yazılırsa
⎡
−
→
X = ⎣
(sin ω + εω∗ cos ω) (cos α − εα∗ sin α)
⎤
→
⎦ cos Ψ−
E1
− (sin α + εα∗ cos α) (cos ω − εω∗ sin ω)
⎡
(sin ω + εω ∗ cos ω) (cos α + εα∗ sin α)
+⎣
− (sin α + εα∗ cos α) (cos ω − εω∗ sin ω)
⎡
(cos ω − εω ∗ sin ω) (cos α − εα∗ sin α)
+⎣
+ (sin ω + εω∗ cos α) (sin α + εα∗ cos α)
⎡
∗
∗
⎤
→
⎦ sin Ψ−
E2
⎤
→
⎦−
E3
⎤
(sin ω cos α) − ε (α sin ω sin α − ω cos ω cos α)
−
→
→
⎦ cos Ψ−
X = ⎣
E1
− (sin α cos ω) + ε (ω ∗ sin α sin ω − α∗ cos α cos ω)
⎡
⎤
∗
∗
(sin ω cos α) + ε (α sin ω sin α + ω cos ω cos α)
→
⎦ sin Ψ−
+⎣
E2
− (sin α cos ω) + ε (ω ∗ sin α sin ω − α∗ cos α cos ω)
⎤
⎡
∗
∗
(cos ω cos α) − ε (α sin α cos ω + ω sin ω cos α)
→
⎦−
E3
+⎣
+ (sin ω sin α) + ε (α∗ sin ω cos α + ω ∗ cos ω sin α)
−
→
→
−
X = [sin (ω − α) + ε (ω ∗ − α∗ ) cos (ω − α)] cos Ψ E 1
→
−
+ [sin (ω − α) + ε (ω ∗ − α∗ ) cos (ω − α)] sin Ψ E 2
→
−
+ [cos (ω − α) − ε (ω ∗ − α∗ ) sin (ω − α)] E 3
−
→
→
−
X = [sin (ω − α) + ε (ω ∗ − α∗ ) cos (ω − α)] (cos ψ − εψ∗ sin ψ) E 1
→
−
+ [sin (ω − α) + ε (ω ∗ − α∗ ) cos (ω − α)] (sin ψ + εψ∗ cos ψ) E 2
→
−
+ [cos (ω − α) − ε (ω ∗ − α∗ ) sin (ω − α)] E 3
den
80
⎡
⎛
∗
⎞⎤
ψ sin ψ sin (ω − α)
⎜
⎢
⎟⎥ −
−
→
⎜
⎢
⎟⎥ →
∗
∗
X = ⎢sin (ω − α) cos ψ − ε ⎜ − (ω − α ) cos ψ ⎟⎥ E 1
⎝
⎣
⎠⎦
cos (ω − α)
⎛
⎡
⎞⎤
∗
ψ cos ψ sin (ω − α)
⎜
⎢
⎟⎥ −
⎜
⎢
⎟⎥ →
∗
∗
+ ⎢sin (ω − α) sin ψ + ε ⎜ + (ω − α ) sin ψ ⎟⎥ E 2
⎝
⎣
⎠⎦
cos (ω − α)
→
−
+ [cos (ω − α) − ε (ω ∗ − α∗ ) sin (ω − α)] E 3
((7.1.5))
olur. (7.1.5) de bulduğumuz değerleri (7.1.3) denkeminde yazarsak
D−
→ −
→E
X, N
= c1 sin (ω − α) cos ψ + c2 sin (ω − α) sin ψ
((7.1.6))
+c3 cos (ω − α)
⎡
c (ω ∗ − α∗ ) cos ψ cos (ω − α) − c1 ψ∗ sin ψ sin (ω − α)
⎢ 1
⎢
+ε ⎢ +c2 (ω∗ − α∗ ) sin ψ cos (ω − α) + c2 ψ∗ cos ψ sin (ω − α)
⎣
−c3 (ω∗ − α∗ ) sin (ω − α)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
elde edilir. (7.1.2) ve (7.1.6) denklemlerinden
cos ω = (c1 cos ψ + c2 sin ψ) sin (ω − α) + c3 cos (ω − α)
((7.1.7))
ω ∗ sin ω = (ω ∗ − α∗ ) cos (ω − α) (c1 cos ψ + c2 sin ψ)
−ψ∗ sin (ω − α) (c1 sin ψ − c2 cos ψ) − c3 (ω ∗ − α∗ ) sin (ω − α)
elde edilir. Buna göre K birim dual küre üzerindeki Si eğrilik çemberlerinin denklemi
şeklindedir. Burada
o
n−
→ −
→E
→
−
→ ¯¯D−
Si = X ¯ X , N = cos ω, X ∈ K
ω =Φ+α
olup
−
→
→
−
N = E3
81
durumunda
ω=Φ
olup Si eğrilik çemberlerinin denklemi,
şeklinde olur.
o
n−
→ −
→E
→
−
→ ¯¯D−
Si = X ¯ X , E 3 = cos Φ, X ∈ K
Yapılan islemler ve Hacısalihoğlu (1977)’nun yaptığı çalışmalara göre K birim dual
küresinin eğrilik çemberlerinin çizgiler uzayındaki karşılıklarını incelerken K birim
dual küresinin eğrilik çemberlerinden birinin Study resmini incelemek yeterli olacaktır.
7.2. Eğrilik Çemberlerinin Çizgiler Uzayındaki Karşılıkları
R3 çizgiler uzayında ψ ve ψ∗ parametrelerine sahip doğru kongrüansının bir noktası Y
−−→ →
olsun. OY = −
y vektörünün koordinatları (y , y , y ) olmak üzere ψ ve ψ∗ parametreli
1
2
3
doğru kongrüansının Plücker doğru koordinatlarına göre denklemi,
y1 = −ϕ∗ sin ψ − (ψ∗ + λ1 ) sin ϕ cos ϕ cos ψ + v sin ϕ cos ψ
y2 = ϕ∗ cos ψ − (ψ∗ + λ1 ) sin ϕ cos ϕ sin ψ + v sin ϕ sin ψ
y3 = (ψ∗ + λ1 ) sin2 ϕ + v cos ϕ
dir.
ϕ∗ = c2
ϕ = c1
ve
c2 6= 0
π
c1 6=
2
82
((7.2.1))
olmak üzere (7.2.1) bağıntısından,
y12 y22 [y3 − (ψ∗ + λ1 )]2
+ 2 −
=1
c22
c2
(c2 cot c1 )2
((7.2.2))
elde edilir. Buna göre K birim dual küre üzerindeki S çemberinin Study resmi, tek
kanatlı hiperboloidlerin iki parametreli ailesidir.
c2 cot c1 = k
π
2
∗
= ϕ 6= 0
c1 = ϕ =
c2
olmak üzere
ψ∗ = −λ1
alınırsa (7.2.2) bağıntısından
y12 y22 y32
+ 2 − 2 =1
c22
c2 k
((7.2.3))
olur. Buna göre K birim dual küre üzerindeki S çemberinin Study resmi, tek kanatlı
hiperboloiddir(Hacısalihoğlu 1977).
1) ϕ∗ 6= 0 ve ϕ =
π
2
Olması Durumu:
Bu durumda kongrüansın doğruları ekseni g ve yarıçapı ϕ∗ olan silindirin ana doğrularını dik olarak keserler.
83
ϕ∗ 6= 0 ve ϕ =
π
2
alalım. (8.2.1) bağıntısından
y1 = −ϕ∗ sin ψ + v cos ψ
((7.2.4))
y2 = ϕ∗ cos ψ + v sin ψ
y3 = ψ∗ + λ1
olur. ϕ∗ = c2 olmak üzere
y12 = c22 sin2 ψ − 2c2 v sin ψ cos ψ + v 2 cos2 ψ
y22 = c22 cos2 ψ + 2c2 v sin ψ cos ψ + v2 sin2 ψ
olup,
¢
¢
¡
¡
y12 +y22 = c22 sin2 ψ + cos2 ψ −2c2 v sin ψ cos ψ +2c2 v sin ψ cos ψ +v 2 sin2 ψ + cos2 ψ
y12 + y22 = c22 + v2
84
dir. Buna göre silindir ailesinin denklemi,
y12 + y22 = c22 + v2
y3 = ψ∗ + λ1
olur(Hacısalihoğlu 1977).
2) ϕ∗ 6= 0 ve ϕ = 0 Olması Durumu:
Bu durumda ϕ (eğim) kongrüansının doğruları ϕ (eğim) kongrüansının doğrularının
zarfı olan silindirin, ana doğruları ile çakışırlar. Buna göre, K birim dual küre
üzerindeki S çemberinin Study resmi, kongrüansın doğrularının zarfı olan silindirdir.
ϕ∗ = c2 6= 0 ve ϕ = 0 alalım. (7.2.1) bağıntısından
y1 = −ϕ∗ sin ψ
y2 = ϕ∗ cos ψ
y3 = v
elde edilir.
ϕ∗ = c2
85
((7.2.5))
olmak üzere
y12 = c22 sin2 ψ
y22 = c22 cos2 ψ
den
y12 + y22 = c22 sin2 ψ + c22 cos2 ψ
¢
¡
= c22 sin2 ψ + cos2 ψ
= c22
dir. Buna göre, kongrüansın doğrularının zarfı olan, silindirin denklemi
y12 + y22 = c22
y3 = v
olur(Hacısalihoğlu 1977).
3) ϕ∗ = 0 ve ϕ = 0 (veya ϕ = π)Olması Durumu:
Bu durumda ϕ (eğim) kongrüansının bütün doğruları g doğrusu ile çakışırlar.
86
ϕ∗ = 0 ve ϕ = 0 alalım. (7.2.1) bağıntısından
y1 = 0
((7.2.6))
y2 = 0
y3 = v
den
y12 + y22 = 0
dır. Buna göre g doğrusunun denklemi
y12 + y22 = 0
y3 = v
olur(Hacısalihoğlu 1977).
4) ϕ∗ = 0 ve ϕ 6= 0 Olması Durumu:
Bu durumda ϕ (eğim) kongrüansının bütün doğruları g eksenini sabit ϕ açısı altında keserler. Bu eğim kongrüansının doğruları, iki lineer doğru kompleksinin ortak
87
doğrularıdır.
ϕ∗ = 0 ve ϕ 6= 0 alalım. (7.2.1) bağıntısından
y1 = − (ψ∗ + λ1 ) sin ϕ cos ϕ cos ψ + v sin ϕ cos ψ
((7.2.7))
y2 = − (ψ∗ + λ1 ) sin ϕ cos ϕ sin ψ + v sin ϕ sin ψ
y3 = (ψ∗ + λ1 ) sin2 ϕ + v cos ϕ
olur.
y12 + y22 = (ψ∗ + λ1 )2 sin2 ϕ cos2 ϕ − 2v (ψ∗ + λ1 ) sin2 ϕ cos ϕ + v 2 sin2 ϕ
y12 + y22 = [(ψ∗ + λ1 ) sin ϕ cos ϕ − v sin ϕ]2
((7.2.8))
dir. (7.2.7) bağıntısından
(ψ∗ + λ1 ) sin2 ϕ
v=
cos ϕ
88
((7.2.9))
olup (7.2.8) ve (7.2.9) denklemlerinden
y12
+
y22
=
=
=
=
=
=
¶
¸2
∙
µ ∗
(ψ + λ1 ) sin2 ϕ
∗
sin ϕ
(ψ + λ1 ) sin ϕ cos ϕ −
cos ϕ
¤2
1 £ ∗
(ψ + λ1 ) sin ϕ cos2 ϕ − y3 sin ϕ + (ψ∗ + λ1 ) sin3 ϕ
2
cos ϕ
¡ 2
¢
¤2
1 £ ∗
2
+
λ
)
sin
ϕ
cos
ϕ
+
sin
ϕ
−
y
sin
ϕ
(ψ
1
3
cos2 ϕ
1
[(ψ∗ + λ1 ) sin ϕ − y3 sin ϕ]2
cos2 ϕ
sin2 ϕ
[y3 − (ψ∗ + λ1 )]2
2
cos ϕ
[y3 − (ψ∗ + λ1 )]2
cos2 ϕ
sin2 ϕ
olur. ϕ = c1 olmak üzere kongrüansın denklemi
y12
+
y22
∙
y3 − (ψ∗ + λ1 )
−
cot c1
¸2
=0
olup bir koni belirtir(Hacısalihoğlu 1977).
5) ϕ∗ = 0 ve ϕ =
π
2
Olması Durumu:
Bu durumda S çemberi K birim dual küre üzerinde bir büyük çemberdir. Bu nedenle
ϕ eğim kongrüansının bütün doğruları g eksenini dik olarak keserler. Buna göre ϕ
eğim kongrüansı ekseni g olan bir lineer doğru kompleksine indirgenir.
89
ϕ∗ = 0 ve ϕ =
π
2
alalım. (7.2.1) bağıntısından
y1 = v cos ψ
y2 = v sin ψ
y3 = ψ∗ + λ1
olup
y12 + y22 = v2 cos2 ψ + v2 sin2 ψ
¢
¡
= v2 cos2 ψ + sin2 ψ
y12 + y22 = v2
dir. Buna göre kongrüansın denklemi
y12 + y22 = v2
y3 = ψ∗ + λ1
olup, bir silindir ailesi belirtir(Hacısalihoğlu 1977).
90
((7.2.10))
Tanım 7.2.1. Bir doğru kongrüansının bütün doğruları sabit bir doğruyu dik keserlerse bu kongrüansa Rectikongrüans denir(Hacısalihoğlu 1977).
Teorem 7.2.1. K birim dual küre üzerinde bir S büyük çemberi
o
n−
→ −
→E
→ −
−
→
→ ¯¯D−
S = X ¯ X , G = 0; X , G ∈ K
olmak üzere S çemberinin Study resmi bir rectikongrüanstır.
ϕ∗ = 0
π
ϕ =
2
λ1 = c3 ψ
alalım. Buna göre (7.2.1) bağıntısından
ψ∗ = 0
olmak üzere
y1 = v cos ψ
((7.2.11))
y2 = v sin ψ
y3 = c3 ψ
olup
tan ψ =
y2
y1
den
ψ = arctan
y2
y1
((7.2.12))
olur. (7.2.11) ve (7.2.12) bağıntılarından
y3 = c3 arctan
y2
y1
dik helikoid denklemi elde edilir. λ1 parametre olduğundan λ1 = c3 ψ seçilebilir.
91
Buna göre karşılık gelen dönüşüm altında S çemberinin Study resmi, bir dik helikoiddir(Hacısalihoğlu 1977).
Teorem 7.2.2. Birim dual küre üzerindeki dual çemberlerin Study resimleri dik helikoidler olacak şekilde Study dönüşümünü seçmek mümkündür(Hacısalihoğlu 1977).
92
8. EĞRİLİK EKSENLERİNİN R3 ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIKLARI
Bir α dual küresel eğrisinin herhangi bir X noktasındaki dual eğriliği
H = κ + εκ∗
olmak üzere dual eğrilik yarıçapı
ρ=
1
H
olsun. K birim dual küresi üzerindeki dual eğrilik çemberlerinden birisi olarak
çemberini alalım.
o
n−
→ −
→E
→
−
→ ¯¯D−
S = X ¯ X , E3 = cos Φ, X ∈ K
MOX üçgeninde Pisagor teoreminden
olup
¯−−→¯2
¯
¯
¯MO¯ = 1 − ρ2
ρ=
1
H
93
olduğundan
r
¯−−→¯
1
¯
¯
1− 2
¯MO¯ =
H
√
2
H −1
=
H
olur. Buna göre küresel koordinatlardan
sin Φ = ρ
dan
sin Φ =
ve
1
H
√
H2 − 1
cos Φ =
H
→
−
elde edilir. X dual vektörünü
−
→
−
→
−
→
−
→
X = cos Ψ sin ΦE1 + sin Ψ sin ΦE2 + cos ΦE3
şeklinde yazabiliriz.
sin Φ =
ve
1
H
√
H2 − 1
cos Φ =
H
olmak üzere
√
→
→
→
−
→
H2 − 1 −
1−
1−
E3
X = cos Ψ E1 + sin Ψ E2 +
H
H
H
−
→
−
→ √ 2
−
→´
1 ³
cos ΨE1 + sin ΨE2 + H − 1E3
=
H
→ →
−
→
−
olur. X = −
x + εx∗ dual vektörünün bileşenlerini bulalım. Taylor formülünden
sin Φ = sin ϕ + εϕ∗ cos ϕ
94
ve
sin Φ =
1
H
olduğundan
1
= sin ϕ + εϕ∗ cos ϕ
H
olup
H = κ + εκ∗
olduğundan
1
κ + εκ∗
κ − εκ∗
=
κ2
κ∗
1
−ε 2
=
κ
κ
sin ϕ + εϕ∗ cos ϕ =
den
sin ϕ =
1
κ
ve
ϕ∗ cos ϕ = −
κ∗
κ2
olur.
sin ϕ =
olduğundan
1
κ
√
κ2 − 1
cos ϕ =
κ
olacaktır. Buradan da
κ∗
ϕ∗ = − √
κ κ2 − 1
dir. (6.1.7) denkleminden
−
→
→
→
→
x = (sin ϕ cos ψ) −
e1 + (sin ϕ sin ψ) −
e2 + cos ϕ−
e3
95
ve
sin ϕ =
1
κ
√
κ2 − 1
cos ϕ =
κ
olduğundan
¶
¶
¶
µ
µ√ 2
κ −1 −
1
1
→
−
→
−
→
cos ψ e1 +
sin ψ e2 +
e3
κ
κ
κ
´
√
1³
cos ψ, sin ψ, κ2 − 1
=
κ
−
→
x =
µ
olur. (6.1.7) denkleminden
−∗
→
→
e1 +
x = (ϕ∗ cos ϕ cos ψ − (ψ∗ + λ1 ) sin ϕ sin ψ) −
→
→
e2 + (−ϕ∗ sin ψ) −
e3
(ϕ∗ cos ϕ sin ψ + (ψ∗ + λ1 ) sin ϕ cos ψ) −
olup
sin ϕ =
1
κ
√
κ2 − 1
cos ϕ =
κ
κ∗
ϕ∗ = − √
κ κ2 − 1
olduğundan
−∗
→
x =
√
∙
¸
κ2 − 1
κ∗
1
→
∗
− √ 2
cos ψ − (ψ + λ1 ) sin ψ −
e1 +
κ
κ
κ κ −1
√
∙
¸
¸
∙
κ2 − 1
1 −
κ∗
1
κ∗
→
−
→
∗
− √ 2
sin ψ + (ψ + λ1 ) cos ψ e2 + − √ 2
e3
κ
κ
κ
κ κ −1
κ κ −1
olup
¶
µ ∗
−∗
→
κ
1
κ∗
κ∗
∗
∗
− cos ψ − (ψ + λ1 ) sin ψ, − sin ψ + (ψ + λ1 ) cos ψ, √ 2
x =
κ
κ
κ
κ κ −1
96
→ →
−
→
−
dir. Buna göre X = −
x + εx∗ dual vektörü,
⎡
i⎢
−
→
1h −
⎢
→
−
→
−
→
X =
e1 e2 e3 ⎢
κ
⎣
⎡
∗
− κκ cos ψ
⎢
⎢
⎢ − (ψ∗ + λ1 ) sin ψ
cos ψ
⎢
⎥
h
i
1 →
⎢
⎥
∗
−
→
−
→
−
⎥+ε
sin ψ
e1 e2 e3 ⎢ − κκ sin ψ
⎢
κ
⎦
√
⎢
2
⎢ + (ψ∗ + λ1 ) cos ψ
κ −1
⎣
⎤
∗
√κ
κ κ2 −1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
→ →
−
→
−
şeklindedir. O halde X = −
x + εx∗ dual vektörüne R3 çizgiler uzayında karşılık ge→
−
len X (Φ, Ψ) doğruları sadece ψ ve ψ∗ parametrelerine bağlı olduğundan R3 çizgiler
uzayında bir doğru kongrüansı belirtir. Bu doğru kongrüansının Plücker koordinatlarındaki denklemini bulalım.
−
Kongrüansın herhangi bir Y noktasının yer vektörü →
y olmak üzere
→
−
−
→
→
→
y =−
x (ψ, ψ ∗ ) ∧ x∗ (ψ, ψ ∗ ) + v−
x (ψ, ψ ∗ )
−
dır. →
y vektörünün çizgiler uzayındaki koordinatları (y1 , y2 , y3 ) ise
y1
y2
y3
√
κ2 − 1
κ∗
1
sin ψ − (ψ∗ + λ1 )
= √ 2
cos ψ + v cos ψ
2
κ
κ
κ κ −1
√
∗
κ2 − 1
κ
1
cos ψ − (ψ∗ + λ1 )
sin ψ
= − √ 2
sin
ψ
+
v
κ2
κ
κ κ −1
√
1
κ2 − 1
= (ψ∗ + λ1 ) 2 + v
κ
κ
97
dır.
y12
y22
(κ∗ )2
v2
(κ2 − 1)
2
sin2 ψ + (ψ∗ + λ1 )2
= 2 2
cos
ψ
+
cos2 ψ
κ (κ − 1)
κ4
κ2
κ∗
κ∗
sin ψ cos ψ
−2 3 (ψ∗ + λ1 ) sin ψ cos ψ + 2v √
κ
κ2 κ2 − 1
√
κ2 − 1 ∗
−2v
(ψ + λ1 ) cos2 ψ
κ3
(κ2 − 1) 2
(κ∗ )2
v2
cos2 ψ + (ψ∗ + λ1 )2
= 2 2
sin
ψ
+
sin2 ψ
κ (κ − 1)
κ4
κ2
√
κ2 − 1 ∗
κ∗ ∗
(ψ + λ1 ) sin2 ψ
+2 3 (ψ + λ1 ) sin ψ cos ψ − 2v
3
κ
κ
κ∗
sin ψ cos ψ
−2v 2 √ 2
κ κ −1
den
y12
+
y22
√
2
κ2 − 1 ∗
(κ∗ )2
v2
2 (κ − 1)
∗
= 2 2
+
−
2v
(ψ + λ1 )
+ (ψ + λ1 )
κ (κ − 1)
κ4
κ2
κ3
y12
+
y22
=
µ
¾2
½√ 2
κ −1 ∗
v
+
(ψ + λ1 ) −
κ2
κ
√
κ2 − 1
1
∗
y3 = (ψ + λ1 ) 2 + v
κ
κ
κ∗
√
κ κ2 − 1
¶2
((8.1))
dan
y3 κ2 − (ψ∗ + λ1 )
√
v=
κ κ2 − 1
((8.2))
dir. (8.1) ve (8.2) bağıntılarından
y12
+
y22
=
=
=
=
¾2
½√ 2
κ −1 ∗
y3 κ2 − (ψ∗ + λ1 )
√
+
(ψ + λ1 ) −
κ2
κ κ2 − 1
¶2 ½ √ 2
¾2
µ
κ − 1 (ψ∗ + λ1 ) − y3 κ2 + (ψ∗ + λ1 )
κ∗
√
√
+
κ κ2 − 1
κ2 κ2 − 1
¶2
µ
© ∗
ª2
κ∗
1
√
(ψ + λ1 − y3 ) κ2
+ 4 2
2
κ (κ − 1)
κ κ −1
¶
¶2
µ
µ
2
κ∗
y3 − (ψ∗ + λ1 )
√
√
+
κ κ2 − 1
κ2 − 1
µ
κ∗
√
κ κ2 − 1
y12
+
y22
¶2
[y3 − (ψ∗ + λ1 )]2
(κ∗ )2
−
= 2 2
κ2 − 1
κ (κ − 1)
98
den
y12
(κ∗ )2
κ2 (κ2 −1)
+
y22
(κ∗ )2
κ2 (κ2 −1)
−
[y3 − (ψ∗ + λ1 )]2
(κ∗ )2
κ2
=1
((8.3))
denklemi bulunur. (8.3) denklemi 2 bağımsız ψ∗ ve λ1 parametrelerini içerdiğinden
ikinci dereceden bir doğru kongrüansını belirtir.
−
→
E3 birim dual vektörüne karşılık gelen doğru g olmak üzere bu kongrüansa ait doğruların yeri
i) Doğrular ile g doğrusu arasındaki en kısa mesafe
κ∗
ϕ∗ = √ 2
κ κ −1
ii) Doğrular ile g doğrusu arasındaki açı
ϕ = arcsin
1
κ
dır. Bu kongrüansın doğruları yarıçapı ϕ∗ ve ekseni g olan silindirin ana doğrularını
ϕ açısı altında keserler(Tokeşer 2005).
99
KAYNAKLAR
Blaschke, W. 1930. Vorlesungen Über Differential Geometry I. Verlag von Julieus
Springer in Berlin, pp. 89.
Boothy, M. W. 1975. An Introduction To Differentiable Manifolds And DifferentialGeometry. Ac. Press, 411, New York.
Guggenheimer, H. 1963. Differential Geometry, Mc Graw-Hill Book Comp. Inc.
London,Lib. Cong. Cat. Card Numb. , 68-12118, pp. 164.
Hacısalihoğlu, H. H. 2000. Diferensiyel Geometri, Cilt I. A. Ü. Fen Fakültesi, 173s.,
Ankara.
Hacısalihoğlu, H. H. 2000. Diferensiyel Geometri, Cilt II. A. Ü. Fen Fakültesi, s.
118-126, Ankara.
Hacısalihoğlu, H. H. 2004. Diferensiyel Geometri, Cilt III. A. Ü. Fen Fakültesi, 36s.,
Ankara.
Hacısalihoğlu, H. H. 1983. Hareket Geometrisi ve Kuaterniyonlar Teorisi, G. Ü. Fen
Edebiyat Fakültesi, Ankara.
Hacısalihoğlu, H. H. 1977. A map of a circle, JOURNAL of the FAC. SC. of the
K.T. Ü.,Vol. 1. Fasc. 7. 7. , pp. 69-80.
Hacısalihoğlu, H. H. 1971.Acceleration Axes in Spatial Kinematics I. Communica0
0
0
0
0
tions de la Faculte des Sciences de L U niversite d Ankara. Se rie A, Tome20 A,
0
Anne e, pp. L-15.
Köse, Ö. 1975.
Çizgiler U zayında Yörünge Yüzeyleri.
Doctoral Dissertation,
Atatürk Üniversitesi, Erzurum.
Müller, H. R. 1963. Kinematik Dersleri, Ankara University Press, pp. 247-267-271.
Nomuzi, K. 1996. Fundamentals of Linear Algebra, Mc Graw-Hill Book Company,
London, Lib. Cong. Cat. Card Numb., 65-28732, pp. 52-57.
100
Sabuncuoğlu, A.2004. Diferensiyel Geometri. Nobel Yayın Dağıtım, s. 123-127,287288.
Tokeşer, Ü. 2005. Meusnier Küresi. Yüksek lisans tezi. Niğde Üniversitesi, s. 51-68.
101
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Fatma KARAKUŞ
Doğum Yeri
: Kırıkkale
Doğum Tarihi : 15.08.1981
Medeni Hali
: Bekar
Yabancı Dili
: İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: Batıkent Yabancı Dil Ağırlıklı Lisesi (2000)
Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi
Matematik Bölümü (2004)
Ankara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Fakültesi
Yüksek Lisans :
Orta Öğretim Alan Öğretmenliği
Tezsiz Yüksek Lisans (2006)
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı (2008)
102