ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ (ρ0

22.08.2011
MEKANİK
FİNAL
Soru 1. Bir parçacık
F = a ρ sin ϕ ρˆ + b ρ cos ϕ φˆ
(1.1)
kuvveti altında hareket etmektedir. Bu kuvvetin korunumlu olması için a ve b katsayıları
arasındaki ilişki ne olmalıdır. Buradan potansiyeli
z
bulunuz. Aşağıdaki şekli kullanabilirsiniz. Orijinden
başlayarak (ρ0, ϕ0, z0) kadar integrasyonu alınır.
(ρ0,ϕ0,z0)
r
C3
0
ρ0
(ρ0,0,0)
C1
y
ϕ0
ρ0
(ρ0,ϕ0,0)
x
C2
Cevap 1.
Kuvvet silindirik koordinatlarda verilmiş ve bundan dolayı silindirik koordinatlarda
çalışmamız daha pratik ve hızlı olacaktır. O halde silindirik koordinatlarda kuvvet bileşenleri
Fρ = a ρ sin ϕ , Fϕ = bρ cos ϕ , Fz = 0
(1.2)
ile verilir. Bu korunumlu kuvvet ise silindirik koordinatlarda kuvvetin rotasyonu sıfır
olmalıdır. O halde (1.2) ile verilen kuvvetin rotasyonunu
⎛ 1 ∂Fz ∂Fϕ
∇×F = ⎜
−
⎝ ρ ∂ϕ ∂z
⎞
⎛ ∂Fρ ∂Fz
−
⎟ ρˆ + ⎜
⎠
⎝ ∂z ∂ρ
⎞
1 ⎛ ∂ ( ρ Fϕ ) ∂Fρ
−
⎟ φˆ + ⎜⎜
ρ ⎝ ∂ρ
∂ϕ
⎠
⎞
⎟ zˆ
⎟
⎠
2
⎛ ∂ (bρ cos ϕ ) ⎞ ˆ ⎛ ∂ (a ρ sin ϕ ) ⎞ ˆ 1 ⎜⎛ ∂ ( bρ cos ϕ ) ∂ (a ρ sin ϕ ) ⎟⎞
= ⎜−
−
zˆ (1.3)
⎟ρ + ⎜
⎟φ + ⎜
⎟
ρ
∂z
∂z
∂ρ
∂ϕ
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
= 0ρˆ + 0φˆ +
1
ρ
( 2bρ cos ϕ − a ρ cos ϕ ) zˆ = 0
⇒
a = 2b
ancak a = 2b koşuluyla bütün bileşenleri sıfır olur. Bu koşul altında korunumlu olduğundan
dolayı o halde potansiyel enerjiyi bulalım. Bunun için şekilde verilen C1, C2 ve C3 ile
isimlendirilmiş kesikli çizgili yolu orijinden başlayarak herhangi bir (ρ0, ϕ0, z0) noktasındaki
potansiyel enerjiyi hesaplayalım:
r
r
V (r ) = − ∫ F ⋅ dr = − ∫ ( Fρ ρˆ + Fϕ φˆ + Fz zˆ ) ⋅ ( d ρ ρˆ + ρ dϕ φˆ + dzzˆ )
rs
rs
ρ
ϕ
(1.4)
z
= − ∫ Fρ d ρ − ∫ Fϕ ρ dϕ − ∫ Fz dz
ρs
zs
s
ϕ
C1
i.
C2
C3
C1 yolu boyunca ϕ = 0 and z = 0 olduğundan Fρ = 0 olacak ve C1 integrasyonundan
C1 =
ρ0
∫ Fρ d ρ = 0
(1.5)
0
ii.
hiç bir katkı gelmeyecektir.
C2 yolu boyunca ρ =ρ 0 and z = 0 olduğundan Fϕ = bρ 0 cos ϕ olacak ve C2
integrasyonundan
C2 =
ϕ0
∫ Fϕ ρ dϕ = bρ ∫ cos ϕ dϕ = bρ
0
iii.
ϕ0
2
0
2
0
ϕ
(− sin ϕ ) 0 0 = −b ρ 02 sin ϕ0
(1.6)
0
katkısı gelecektir.
C3 yolu boyunca ϕ =ϕ0 and ρ =ρ 0 ve Fz = 0 olduğundan C3 integrasyonu
z0
C3 = ∫ Fz dz = 0
(1.7)
0
hiç bir katkı gelmeyecektir.
Bulduğumuz bu sonuçları (1.4)'de yerine koyarsak ve en genel şekilde ifade etmek
için (ρ0, ϕ0, z0) yerine (ρ, ϕ, z) konularak
V (r ) = bρ 2 sin ϕ
(1.8)
potansiyeli bulunmuş olur.
Soru 2. m kütleli bir parçacık şekilde gösterilen l uzunluğundaki sürtünmesiz bir tahta
parçasının bir ucunda durmaktadır. Bu tahta parçacısının diğer ucu sabit kalmak koşulu ile
kütlenin olduğu yerden teğet υ0 hızıyla kaldırılmaktadır. Sistemin hareketini Lagrange tekniği
kullanarak hareket denklemini çıkartınız ve çözünüz.
υ0
r
υ0
θ
l
Çözüm 2. Parçacığın hareketi en güzel düzlem kutupsal koordinatlarda çözülerek elde edilir.
Tahtanın dönme noktasını orijin kabul edersek şekilde gösterildiği gibi parçacığın konumu r
ve tahtanın hareket doğrultusunda yapmış olduğu açıya θ dersek o zaman parçacığın
Lagranjeni
1
(2.1)
L = T − V = m r 2 + r 2θ 2 − mgr sin θ
2
elde edilir. Tahta υ0 hızıyla kaldırıldığından dolayı
(
υ0 = θl
⇒
θ =
)
υ0
ve
θ=
υ0
t
l
l
olacaktır. O zaman Lagranjiyen
υ 2r 2 ⎞
1 ⎛
⎛υ ⎞
L = T − V = m ⎜ r 2 + 0 2 ⎟ − mgr sin ⎜ 0 t ⎟
l ⎠
2 ⎝
⎝ l ⎠
olacaktır. O halde r için sistemin hareket denklemi
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂r ∂r
υ02
⎛υ ⎞
mr − m 2 r + mg sin ⎜ 0 t ⎟ = 0
l
⎝ l ⎠
Soru 3. Kütlesi m ve açısal momentumu l olan bir cisim merkezcil bir kuvvet altında
u = ρ −1 = a sin(nθ ) ile verilen yörüngede hareket etmektedir. Burada a ve n sabitlerdir.
a. Merkezcil kuvveti bulunuz (ρ cinsinden).
b. Etkin potansiyeli bulunuz (ρ cinsinden)?
c. Sistemin toplam enerjisini bulunuz.
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Çözüm 3. Parçacığın yörünge denklemi verilmektedir. O halde bunu merkezcik kuvvet altında
elde edilen yörünge denkleminde yerine koyarsak
d 2u
m
+ u = − 2 2 F (u −1 )
2
dθ
lu
N
− n 2u
l 2u 2
l 2 (1 − n 2 ) 3
u
− n 2u + u ) = −
(
m
m
l 2 (1 − n 2 ) 1
F (ρ ) = −
m
ρ3
elde edilir.
Buradan potansiyel enerji
ρ
ρ
l 2 (1 − n 2 ) 1
l 2 (1 − n 2 ) 1
ρ
=
−
V ( ρ ) = − ∫ F ( ρ )d ρ =
d
∫ ρ3
2m ρ 2
m
∞
∞
elde edilir. Etkin potansiyel ise
l2
l2
l 2 (1 − n 2 ) 1 l 2 n 2 1
Vetk =
+ V (ρ ) =
−
=
2m ρ 2
2m ρ 2
2m ρ 2 2m ρ 2
elde edilir. Kinetik enerji ise
l
d ρ du dθ
nl
= − ρ 2 an cos(nθ )
= − a cos(nθ ),
ρ =
2
du dθ N
dt
m
mρ
N
F (u −1 ) = −
−ρ2
(3.1)
(3.2)
(3.3)
θ =
l
mρ 2
θ
(3.4)
1
1 nl
nl 2
nl ⎛ 2 1 ⎞
mρ 2 = m 2 a 2 cos 2 (nθ ) =
a (1 − sin 2 (nθ ) ) =
⎜a − 2 ⎟
ρ ⎠
2
2 m
2m
2m ⎝
elde edilir. Sistemin toplam enerjisi (3.3) ve (3.4)'den
n 2l 2 ⎛ 2
1 ⎞ n 2l 2 1
n 2l 2 a 2
=
E = T + Vetk =
⎜⎜ a − 2 ⎟⎟ +
2m ⎝
ρ ⎠ 2m ρ 2
2m
sabit bir enerji değeri bulunur.
T=
2 2
2 2
2 2
(3.5)