ÜGK_LYS_Matematik

��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
ÖNSÖZ
MATEMATİK VADİSİ PROJESİ
Bu cinsten matematikle ilgili projelere sıra geldi. Ne mutlu bizlere, sevinmeliyiz. Çünkü bizim
aslımız, matematik ile iç içe idiler. Dillerini (Türkçemizi) matematik yapı ile kurdular. Bu kuruluşu her geçen zamanla daha iyi anlayabiliyoruz. Dünyamız hiçbir zaman alfabe problemini
çözemedi. Halen bu alfabe problemi zorlaşarak devam etmektedir. Öyle ki, iyi kurulamamış
alfabeler kısa zaman içinde ölüyorlar. Türkçemizi matematiğe önem veren atalarımız iyi bir temel, matematiksel yapı üzerine oturttular. Yüzyıllardır bu nedenle sarsılmadan yaşamaya devam
ediyor. Hele Türkçe için büyük Atatürk dünyaya örnek bir alfabe yazdıktan sonra bir bakıma
Shakespeare’in İngilizce için yazılmasını istediği ve halen yazılamamış olan alfabeyi biz Türkçe
için yazdık diyebiliriz (Necroponte, Being Digital).
Matematik dildir, dil matematiktir. Matematik-dil ikilisi daima beraber gezerler, gelişirler. Bu
nedenledir ki Cumhuriyetimizin kurucusu Atatürk bir matematik (geometri) kitabı yazmıştır.
Çünkü 19 uncu yüzyıl matematiğin insanlara el uzattığı yüzyıldır. Gerçekten bu yüzyıla kadar geçen beş milyar yılda insanoğlu sadece kağnı-kazma ve kürek ile meydana çıkabilmiş iken türevin
ortaya konması, diferensiyel integral hesabın sayesinde iki yüzyılda insanlığın kazandığı gelişme
ivmesi beş milyar yılı ne derece solladığını hayretle görüyoruz. Yani, Ay’a seyahat ve bilgisayar
dünyası matematiğin meyveleridir.
Bu nedenlerle matematikle ilgimizi artırmalı, enerjimizi matematikle birleştirmeli, tüm projelerimize matematiği de yardımcı seçmeliyiz.
Bu nedenlerledir ki, Matematik Vadisi projesini de bu anlamda görmek ve değerlendirmek gerekir. Projenin kapsamının “Matematikle ilgili olan herşey” diye seçilmiş olması tüm dünyayı kapsamı içine alması demektir. Zira matematik, her yerde, her olayda ve her zaman vardır.
Eğitim - öğretim dünyasında, bilhassa öğrencilerin hedeflediği başarılara ulaşmada Matematik
Vadisi projesinin yeri nedir?
Cevabımız, projenin yayınlarını dikkatle inceledikten sonra şöyle olacaktır:
Matematiği öğrenmede zorluk çeken, matematiği sevmeyen öğrenciler her zaman olmuştur ve
olacaktır. Matematiği öğrenmeyi kolaylaştırmak ve dolayısı ile sevdirmek bu projenin esas gayelerindendir. Bu projenin yayınları, öğrenme için kendi kendine yeterdirler.
Matematik korkusunu yenmek:
Matematikten korkan öğrenciler daima olmuştur ve daima olacaktır. Bu korkuyu yenmenin çeşitli
yolları vardır. Bu yollardan başlıcaları: matematik okumak, matematik yazmak, matematik çizmek, matematik dinlemek, matematik konuşmak ve matematik düşünmektir. Bu anayolu açmak
için Matematik Vadisi gibi projelere çok ihtiyaç vardır. Bu yol altı tane farklı aktivite içerir. Matematik Vadisi projesi bu altı özelikten sadece ilk üçüne yayınları ile cevaz verebilir niteliktedir.
Geri kalan üç özelik de projenin eserlerinin sınıflarda veya ortak bir grup ile incelenmesi esnasında hayata geçirilebilir.
DNA: Matematik Vadisinde, temel bilgileri vermek amacı ile ayrıntılı biçimde çözülmüş sorunun
adıdır. DNA’lar sayesinde benzer sorular çözülebilecek, böylece okuyucunun kendine güveni
artacak ve dolayısı ile okuyucu korkuyu yenecektir.
Bu şekilde çalışan okuyucu matematik korkusunu yenerken matematik sevgisini de kazanacaktır.
Sevgi, tanımayı, öğrenmeyi hem kolaylaştırır ve hem de hızlandırır. Buna biz matematik okumak,
matematik yazmak ve matematik çizmek de diyebiliriz. Eğer okuyucular bu projenin eserlerini
grup halinde ele alırlarsa veya bir sınıfta toplanır ve bir eğitimci eşliğinde incelerlerse o zaman
matematik dinlemiş ve matematik konuşmuş da olurlar.
Matematik düşünme işine sıra gelince ömür boyu yapacağımız ve devamlı geliştirmemiz gereken
bir sistemdir. Yukarıda sıralanan ilk beş aktivite ile kazanılır ve kazandırılır.
Matematiği Sevme - Sevdirme
Çok iyi bilinen bir husus, insanın tanımadığını sevmeyeceği, sevme işinin tanıma ile başlayacağı
hususudur. Demek ki sevmek için öncelikle tanımak, tadını ve kokusunu almak gerekir. O halde matematiği öğrendikçe sevme işi de kendiliğinden oluşacaktır. Matematik Vadisi projesinin
yayınlarının yukarıda sıralanan özellikleri ve onları hazırlayan kadronun seçkin bir kadro oluşu
nedeniyle bu proje matematiği öğretebileceği ve tanıtabileceği için matematiği sevdirmiş de olacaktır.
Prof. Dr. Hasan Hilmi HACISALİHOĞLU
Saygıdeğer Öğretmenler
Sevgili Öğrenciler
Matematik çoğu öğrencinin eğitim hayatı boyunca korkulu rüyası olmuştur. Birçok kimse nezdinde hak ettiğinin ötesinde olumsuz bir imaja sahiptir. Buna karşılık matematiği tutkuyla sevenler de vardır.
Matematiğe karşı duygusal tavrımız ne olursa olsun, hepimizin bildiği tartışma götürmez bir gerçek “matematik olmadan olmayacağı” gerçeğidir. Özellikle de bir öğrenci iseniz!
NEDEN MATEMATİK VADİSİ?
Matematik Vadisi, matematiği tutkuyla seven bir grup matematik öğretmeninin; matematiği seven sevmeyen herkesin
matematikte en azından yeteri kadar başarılı olabileceğini göstermek için hayata geçirdiği bir projedir.
Matematik Vadisi, sloganından anlaşılacağı gibi, sadece matematikle ilgilenecektir. Matematikle ilgili her şey, ana sınıfından akademik hatta ansiklopedik düzeye kadar Matematik Vadisi’nin ilgi alanı içindedir.
Bu projenin bel kemiği, okullara takviye ve sınavlara hazırlık amaçlı hazırlanmış yayınlar olacaktır.
Temel iddiamız şudur: Matematik Vadisi’nin imza attığı her eserde usta eli değmiş dedirtecek özgünlüğü, ekip çalışması
sonunda varılabilecek bir olgunluğu ve pedagojik alt yapıyı hemen hissedeceksiniz.
Kısaca, Matematik Vadisi’nin uzmanlığını fark edeceksiniz.
GENETİK KOPYA YÖNTEMİ
Genetik Kopya Yöntemi ülkemizde yaygın olan, “matematik korkusu”nun aşılmasını sağlamak için geliştirilmiş bir
yöntemdir.
Temel tezi “Bu çözümü anladıysan çok benzerini de yapabilirsin, yapabildiğini görürsen daha da cesaretlenirsin.”
şeklinde özetlenebilir.
Bu kitabın sistematiğinde temel bilgiyi vermek amacıyla ayrıntılı şekilde çözdüğümüz soruyu, DNA diye adlandırıyoruz.
ikonu ile verilen sorular ise, DNA’da verilen soruya bire bir benzeyen niteliktedir. Yani onun Genetik Kopyası-
dır. Böylece DNA için yapılan çözüm anlaşılmış ise, bu soru da rahatça çözülebilecektir. Böylece öğrencinin, yapılan
çözümü kavraması, benzer soruları kendisi de çözerek iyice özümsemesi hedeflenmiştir. İnanıyoruz ki “Genetik Kopya” yöntemi ideal bir matematik öğrenme ve öğretme yöntemidir.
MATEMATİK VADİSİ’NİN KADROSU
Matematik Vadisi, matematiği tutkuyla seven bir grup matematikçinin başını çektiği bir kadro tarafından kurgulanmıştır. Ankara’dan Alpaslan Ceran ve Saygın Dinçer, İstanbul’dan Eyüp Kamil Yeşilyurt, İskenderun’dan Taylan Oktay,
Konya’dan Gürkan Gülcemal, bu projenin mimarı olan kişilerdir.
Matematik Vadisinde içkin olan Matematik tutkusu, çok kısa sürede yayınlanacak onlarca özgün eserle, yeşerecektir.
Alpaslan CERAN
Matematik Vadisi Yayın Editörü
KİTABIMIZIN ORGANİZASYON ŞEMASI
HAZİNE veya IŞIK’lara ulaşabilmek
için yapılan araştırmalar bu ikonla
Hazine Avı
gösterilmiştir. Böylece, HAZİNE ve
IŞIK’ların zihninize daha net yerleşmesi sağlanmıştır.
Hazine 7
Hazine Avı’ndan elde ettiğimiz ve
DNA çözümlerinde işimize en çok
DE MOİVRE
yarayacak olan, teorem niteliğindeki
n bir tam sayı olmak üzere;
değerli bilgiler bu ikonla gösterilmiş-
z = r(cosq + isinq) için; zn = rn (cosnq + isinnq)
tir.
= rn ⋅ cisnq olur.
O zaman; Arg(z) = q ⇒ Arg(zn) = n ⋅ q (mod360°) dir.
Işık 2
Bazen Hazine Avı’ndan, bazen de Hazine
Avı’na ihtiyaç duyulmadan elde edilen ve
a ∈ R+ – {1} olmak üzere,
DNA çözümlerinde yolumuza IŞIK tutacak
logaa = 1 ve
olan, küçük teorem niteliğindeki değerli
loga1 = 0
bilgiler bu ikonla gösterilmiştir.
dır.
DNA 5
Kendinden
15
1
∑ k2 + 5k + 6
toplamının sonucu kaçtır?
5
9
B)
lim
x →1
5
18
C)
10
9
D)
1
9
E)
| x − 1|
+ 2x
1− x
verilen
1
18
gösterilmiştir.
DNA’da kullanılan sorunun biraz de-
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
önce
gerektiren KÖK SORU’lar bu ikonla
k =1
A)
hemen
HAZİNE ve IŞIK’ların kullanımını
B) 0
C) 1
E) Yoktur
D) 3
ğiştirilmiş şekli, yani Genetik Kopyası
bu ikonla gösterilmiştir.
Çözüm
DNA için verilen ayrıntılı çözümler bu
a, r, k ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere,
f(x) = a ⋅ (x – r) + k
2
parabolünün tepe noktasının koordinatları T(r, k) idi.
ikonla gösterilmiştir.
HAZİNE ve IŞIK’lar kadar yoğun kullanılmayan, ancak yine de bilinmesi
Arg(z) = q ⇒ Arg(z) = 2p – q
gereken bazı bilgiler bu ikonla gös-
Arg(z) = q ⇒ Arg(–z) = p + q dır.
terilmiştir.
Kısayol
Sadece o tip soruda, kestirme çözüm
a ≠ 0 olmak üzere;
y = ax + bx + c
2
parabolüne orijinden çizilen teğetler birbirine dik ise
yolu için kullanılabilecek bilgiler bu
ikonla gösterilmiştir.
D = –1 dir.
Ufofg gýt
Öğrenciyi dinlendirmek, biraz da bilgilendirmek için hazırlanmış yazılar
bu ikonla gösterilmiştir.
Bu nedir?
Cevap :Telef olmuş bir on yani TELEFON
Uyarı
Türevli olmayan bir fonksiyon, bir başka fonksiyonla
çarpıldığında elde edilen yeni fonksiyon türevli olabilir.
Soruyu çözerken öğrencinin yapabileceği muhtemel hataya düşmemesi
için yapılan öğütler bu ikonla gösterilmiştir.
Not
NOT etmemiz gereken, IŞIK ve
Kökleri x1 ve x2 olan ax2 + bx + c = 0 denklemi için
x1 < 0 < x2 yani köklerin biri pozitif biri de negatif ise burada
tek şey söylenebilir; kökler çarpımı negatiftir.
Ayrıca, diskriminanta bakmaya gerek yoktur.
Hatırlatma
HAZİNE’lere nazaran daha az ihtiyaç duyacağınız bilgiler, bu ikonla
gösterilmiştir.
Soruyu çözebilmek için gerekli olan
Analitik geometri dersindeki simetri kavramını biraz
ancak farklı konularla ilgili olan bilgi-
hatırlatalım.
ler bu ikonla gösterilmiştir.
A(x, y) noktasının Ox eksenine göre simetriği A′(x, –y)
A(x, y) noktasının Oy eksenine göre simetriği A′′(–x, y)
A(x, y) noktasının orijine göre simetriği A′′′(–x, –y)
dir.
Kitabımızın Organizasyon Şeması....................................................... Sayfa: 6 - 7
BÖLÜM - 01
Polinomlar........................................................................................ Sayfa: 9 - 28
BÖLÜM - 02
II. Dereceden Denklemler.............................................................. Sayfa: 29 - 46
BÖLÜM - 03
II. Dereceden Eşitsizlikler............................................................... Sayfa: 47 - 58
BÖLÜM - 04
Parabol........................................................................................... Sayfa: 59 - 80
BÖLÜM - 05
Trigonometri................................................................................. Sayfa: 81 - 134
BÖLÜM - 06
Karmaşık Sayılar......................................................................... Sayfa: 135 - 160
BÖLÜM - 07
Logaritma.................................................................................... Sayfa: 161 - 182
BÖLÜM - 08
Toplam - Çarpım Sembolü.......................................................... Sayfa: 183 - 196
BÖLÜM - 09
Diziler - Seriler........................................................................... Sayfa: 197 - 220
BÖLÜM - 10
Parçalı Fonksiyonlar.................................................................... Sayfa: 221 - 238
BÖLÜM - 11
Limit ve Süreklilik....................................................................... Sayfa: 239 - 268
BÖLÜM - 12
Türev.......................................................................................... Sayfa: 269 - 342
BÖLÜM - 13
İntegral....................................................................................... Sayfa: 343 - 402
BÖLÜM - 14
Matris ve Determinant................................................................ Sayfa: 403 - 432
POLİNOMLAR - BÖLÜM 01
POLİNOMLAR
Not
TANIM
a0, a1, a2, ..., an gerçek sayılar ve n ∈ N olmak üzere,
P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn
P(ax + b) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... a nxn
polinomu verilip, P(k) değeri sorulduğunda,
ifadesine x in bir polinomu veya x değişkenine bağlı bir
ax + b = k
polinom denir.
Bir ifadenin x değişkenine bağlı bir polinom olması için,
(i)
eşitliğini sağlayan x değeri,
Katsayıları gerçek sayı
a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn
(ii) x lerin üsleri doğal sayı
ifadesinde yerine yazılır.
olmalıdır.
DNA 1
P(x) = 2 ⋅
xn–3
DNA 2
+5⋅
x7–n
–4
ifadesi bir polinom belirttiğine göre, n yerine gele-
polinomu veriliyor.
cek tam sayıların toplamı kaçtır?
A) 15
B) 18
C) 20
P(x + 2) = x2 + (a + 3)x – 3
D) 24
E) 25
P(3) = 10
olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisidir?
A) 9
Çözüm
B) 8
C) 6
D) 4
E) 2
n – 3 ≥ 0 ve 7 – n ≥ 0 dan;
n ≥ 3 ve n ≤ 7
Çözüm
dir.
n yerine gelebilecek tam sayılar 3, 4, 5, 6, 7 olup toplamları 25 tir.
Doğru Seçenek E
x + 2 = 3 olmalı.
x = 1 dir.
P(3) = 1 + a + 3 – 3 = 10
12
⇒
a=9
dur.
P( x ) = x a +1 − 2 ⋅ xa − 2 + 3
ifadesi bir polinom belirttiğine göre, a nın alabileceği
Doğru Seçenek A
kaç tam sayı değeri vardır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
LYS MATEMATİK
Polinomlar
Polinomlar - Bölüm 01
Uyarı
 ax + b 
P
 = ( a + b )x − ( a − b )
 bx + a 
P(ax + b) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn
olduğuna göre, P(–1) aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2a
B) –2b
C) –a
D) –b
polinomu verilip, P(k) değeri sorulduğunda,
ax + b = k
E) a
eşitliğini sağlayan x değeri 2 + 3 gibi bir sayı oluyorsa; o zaman bu değeri,
a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn
ifadesinde yerine yazmak çözümü uzatır.
Bu gibi durumlarda;
DNA 3
a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn
polinomuna bir gerçek sayı ekleyerek, tam kare, tam
P(2x – m) = 4x2 – 4mx + m2 + 1
küp,... bir ifade elde etmemiz gerekir.
polinomu veriliyor.
Buna göre, P(3) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 17
B) 16
C) 12
D) 10
DNA 4
E) 9
P(x + 2) = x3 + 3x2 + 3x + 4
olduğuna göre, P(3 4 + 1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözüm
A) 11
B) 9
C) 7
D) 5
E) 3
P(2x – m) = (2x – m)2 + 1
dir.
Çözüm
2x – m yerine 3 yazalım.
P(x + 2) polinomunda x + 2 = 3 4 +1 ise
P(3) = 32 + 1 = 10
bulunur.
x = 3 4 − 1 yazılmalı. ((x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1)
Doğru Seçenek D
P( x + 2) = ( x + 1)3 + 3
P(3 4 + 1) = (3 4 − 1 + 1 )3 + 3
P(3 4 + 1) = 4 + 3 = 7
P(x2 + 1) = 2x4 + 4x2 + 5
bulunur.
polinomu veriliyor.
Buna göre, P(3) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 23
10
B) 21
LYS MATEMATİK
C) 19
D) 17
Doğru Seçenek C
E) 13
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlar
a = 2 ve b = –3
Buradan, P(x) = –7 olur ki;
P(x) = (x – a)2 + 2(x – a) + 1
P(10) = –7
polinomu veriliyor.
P(a + a − 1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) a
B) 2a
C) a2
D) 4a2
dir.
Doğru Seçenek B
E) 9a2
P(x) = (m – n – 2)x2 + (m + n – 4)x + c – 2
polinomu sabit bir polinomdur.
TANIM
P(2) + P(3) = 6
olduğuna göre, m ⋅ n ⋅ c çarpımı aşağıdakilerden hanP(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0
gisine eşittir?
A) 17
polinomunda;
B) 15
C) 13
D) 11
E) 9
a1 = a2 = ... = an–1 = an = 0
ise P(x) polinomuna sabit polinom denir.
DNA 6
DNA 5
P(x) = 2 – x + x3 + x5 ve
Q(x) = 2x3 – 3x – 1
polinomu için,
P(x) = (a – 2)x2 + (b + 3)x + ab – 1
polinomu sabit bir polinom olduğuna göre, P(10)
a) P(x) + Q(x) i bulunuz.
aşağıdakilerden hangisidir?
b)
A) –10
B) –7
C) –5
D) 7
Q(x) – 2P(x) i bulunuz.
E) 10
Çözüm
Çözüm
a)
P(x) + Q(x) = x5 + x3 – x + 2 + 2x3 – 3x – 1
= x5 + 3x3 – 4x + 1
P(x) sabit bir polinom olduğundan x değişkenine bağlı olmamalıdır.
b)
Bu durumda,
= 2x3 − 3 x − 1 − 4 + 2x − 2x3 − 2x5
= –2x5 – x – 5
a – 2 = 0 ve b + 3 = 0
Q(x) – 2P(x) = 2x3 – 3x – 1 – 2(2 – x + x3 + x5)
olmalıdır.
LYS MATEMATİK
11
Polinomlar
Polinomlar - Bölüm 01
TANIM
P(x) – Q(x) = 3x3 – 2x2 + 4x – 7
P(x) + Q(x) =
x3
+
4x2
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn
–6x – 1
polinomlarına göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden
polinomu için,
hangisine eşittir?
a0, a1, a2, ..., an
A) 2x3 + x2 – x – 4
B) x3 + x2 – x – 4
C) 4x3 + 2x2 – 2x – 8
D) 2x3 + x2 + x – 2
gerçek sayılarının herbirine P(x) polinomunun katsayıları
denir.
E) 2x3 + x2 + x + 4
Özel olarak; an gerçek sayısına P(x) polinomunun
başkatsayısı, a0 gerçek sayısına da P(x) polinomunun
sabit terimi denir.
DNA 7
Işık 1
(2x5 – 3x4 + 5x + 1) ⋅ (x4 + 2x2 + 6x – 2)
polinomlarının çarpımında x5 li terimin katsayısı
kaçtır?
A) –23
İki polinom birbirine eşitse aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
B) –21
C) –19
D) –17
E) –15
P(x) = anxn + an–1x–1 + ... + a1x + a0
Q(x) = bnxn + bn–1x–1 + ... + b1x + b0
Çözüm
polinomları için;
an = bn, an–1 = bn–1, ..., a1 = b1 ve a0 = b0
ise P(x) = Q(x) tir.
(2x5 – 3x4 + 5x + 1) ⋅ (x4 + 2x2 + 6x – 2)
çarpımında;
–4x5 –18x5 + 5x5 = –17x5
olur.
DNA 8
Doğru Seçenek D
(x – 1)3 ⋅ (2x + 3)
hangisidir?
12
P(x) = mx3 + (n – m)x2 + (n + k)x + 7
Q(x) = 2x3 – 5x + e – 2k dir.
P(x) = Q(x)
olduğuna göre, m + n + k + e toplamı aşağıdakiler-
çarpımında x2 li terimin katsayısı aşağıdakilerden
A) –6
den hangisidir?
A) –24
B) –3
LYS MATEMATİK
C) 1
D) 3
E) 6
B) –22
C) –18
D) –16
E) –10
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlar
Çözüm
Çözüm
2x + 1
P(x) = Q(x)
x2 − 5x + 6
m=2
A
B
+
x−2 x−3
( x −3 )
(1)
⇒ mx3 + (n – m)x2 + (n + k)x + 7 = 2x3 – 5x + e – 2k
aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olacağından;
=
( x −2)
2x + 1 = Ax – 3A + Bx – 2B
2x + 1 = x(A + B) – 3A – 2B
n–m=0
A+B=2
n + k = –5
–3A – 2B = 1
7 = e – 2k
denklemleri ortak çözülürse, A= –5, B = 7 bulunur.
Buradan;
A ⋅ B = –35
m = 2, n = 2, k = –7, e = –7 olur ki,
m + n + k + e = –10
tir.
bulunur.
Doğru Seçenek A
Doğru Seçenek E
P(x) = 9x2 + (a – 4)x + 6
Q(x) = (a + b)x2 + (b + c)
polinomları eşit olduğuna göre, a – b + c işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
+
2 −1 2 +1
2x + 2 + 6
4x − 1
B) –5
A) –10
C) 5
D) 10
E) 20
TANIM
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn
A
B
=
+
2
x
−
2
x
−3
x − 5x + 6
polinomu için, n sayısına P(x) polinomunun derecesi de-
eşitliğini sağlayan A ve B gerçek sayıları için A ⋅ B
nir ve
çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?
B) –25
=
tir?
2x + 1
A) –35
B
x
eşitliğine göre, A ⋅ B aşağıdakilerden hangisine eşit-
DNA 9
A
x
C) 25
D) 30
der[P(x)] = n
E) 35
ile gösterilir.
LYS MATEMATİK
13
Polinomlar
Polinomlar - Bölüm 01
Işık 2
DNA 10
P(x) bir polinom ve a, c ∈ R \ {0} olmak üzere,
12
P( x ) = 2 ⋅ x a+1 − 3 xa−3
der[P(x)] = n ise;
polinomunun derecesi en fazla kaç olabilir?
A) 12
B) 11
C) 9
D) 8
der[c ⋅ P(ax + b)+ d] = n
E) 5
dir.
Yani, bir polinomu sıfırdan farklı bir gerçek sayı ile
çarpıp, polinoma bir gerçek sayı eklemek derecesini
değiştirmez.
Çözüm
DNA 11
12
ve a – 3 bir doğal sayı olmalıdır.
a +1
P(x) bir polinom olmak üzere,
a–3≥0
a≥3
der[P(x)] = 3

 5x − 1
 aşağıdakilerden
olduğuna göre, der 2 ⋅ P 
 2 

tür.
hangisine eşittir?
12
a +1
123
a=3
a=5
a = 11
A) 1
dir.
Buradan a = 11 için polinomun derecesi en fazla 8 olur.
Doğru Seçenek D
B) 3
C) 5
D) 15
E) 125
Çözüm
IŞIK 2’den,
  5 x − 1
der 2P 
 = der[P( x )] = 3
  2 
tür.
Doğru Seçenek B
3a +13
P( x ) = x a+1 − 3 xa−2
P(x) bir polinom olmak üzere,
polinomunun derecesi en çok olduğunda P(–1) kaçtır?
A) –2
14
der[2P(3x – 1) + 1] = 6
olduğuna göre, der[P(x) – 1] kaçtır?
B) 2
LYS MATEMATİK
C) 3
D) 4
E) 5
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlar
Işık 3
m > n olmak üzere,
a, b birer doğal sayı ve a > b olmak üzere,
der[P(x)] = a
der[Q(x)] = b
der[P(x)] = m
der[Q(x)] = n
olduğuna göre, der[P(5x) – Q(3x)] ifadesi aşağıdakiler-
olsun. a > b olmak üzere,
den hangisine eşittir?
der[P(x) + Q(x)] = a
A) 5m – 3n
der[P(x)– Q(x)] = a
B) 5m
D) m
C) 3n
E) n
dır.
DNA 12
der[P(x)] = 3
der[Q(x)] = 4
Işık 4

 3x − 1
olduğuna göre, der P(2x + 1) − Q 
 ifadesi 2 

a, b birer doğal sayı olmak üzere,
nin değeri kaçtır?
der[P(x)] = a ve der[Q(x)] = b ise,
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
der[P(x) ⋅ Q(x)] = a + b
E) 2
dir.
Q(x), P(x) in bir çarpanı ise,
 P( x ) 
der 
 = a−b
 Q( x ) 
Çözüm
dir.
der[P( x )] = 3
⇒ der[P(2x + 1)] = 3
der[Q( x )] = 4
  3x − 1
⇒ der Q 
 = 4
  2 
olduğundan,

 3x − 1
der P(2x + 1) − Q 
 = 4
 2 

olur.
DNA 13
der[P(x) ⋅ Q(x)] = 8
 P( x ) 
der 
=2
 Q( x ) 
olduğuna göre,
Doğru Seçenek C
hangisidir?
A) 1
B) 3
  x + 1
der P 

  2 
C) 5
aşağıdakilerden
D) 15
E) 125
LYS MATEMATİK
15
Polinomlar
Polinomlar - Bölüm 01
Çözüm
DNA 14
der[P(x)] = a ve der[Q(x)] = b olsun.
Bu durumda;
der[P(2x – 1)] = 3
olduğuna göre, der[P2(x4)] aşağıdakilerden hangi-
der[P(x) ⋅ Q(x)] = 8 ⇒ a + b = 8
sine eşittir?
 P( x ) 
a–b=2
der 
=2 ⇒
 Q( x ) 
2a = 10 ⇒ a = 5 ve b = 3
A) 48
B) 36
C) 24
D) 12
E) 6
bulunur.
  x +1
der[P(x)] = 5 ⇒ der P 
 = 5
  2 
Çözüm
tir.
Doğru Seçenek C
der[P(2x – 1)] = 3 ise der[P(x)] = 3 olur.
der[P2(x4)] = 3 ⋅ 2 ⋅ 4 = 24
bulunur.
Örneğin, P(x) polinomunu x3 olarak düşünürsek,
der[P(3x + 1) ⋅ Q(2x – 1)] = 10
 P(2x − 1) 
der 
=6
 Q(3 x + 1) 
P(x4) = (x4)3 = x12 olup,
P2(x4) = (x12)2 = x24
  x + 1
olduğuna göre, der Q 
 aşağıdakilerden hangi  2 
sidir?
A) 10
B) 8
C) 6
Doğru Seçenek C
E) 2
a > b olmak üzere,
Işık 5
a,b, k birer doğal sayı olmak üzere,
der[P(x)] = a
der[Q(x)] = b
olsun.
der[Q(x)] = b
Q2(x3 + 1), P3(2x – 1) polinomunun bir çarpanı oldu-
der[P(xk)] = k ⋅ a
der[Qk(x)] = k ⋅ b
dir.
der[P(x)] = a
olsun.
16
D) 3
tür.
 P3 (2x − 1) 
ğuna göre, der 
 ifadesi aşağıdakilerden
 Q2 (x3 + 1) 
hangisine eşittir?
A) 3a – 2b
LYS MATEMATİK
B) 3a – 6b
D) 6a – 6b
C) 6a – 2b
E) 6a – 3b
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlar
Uyarı
Polinomlarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemle-
x = –1 için
0=3–5+m
m=2
ri yapılırken polinom bazen açık biçimde verilmez.
bulunur.
Bu durumda polinomun derecesi tespit edilir. Poli-
x = 2 için,
nom 1. dereceyse ax + b, 2. dereceyse
ax2
+ bx + c
tipindedir.
3 ⋅ P(2) = 24 ⇒ P(2) = 8
bulunur.
Doğru Seçenek B
DNA 15
P(x) pozitif başkatsayılıdır.
(x + 1) ⋅ P(x) = 3x2 + 5x + m
olduğuna göre, P(2) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A) 10
B) 8
C) 6
D) 4
E) 2
P[P(x)] = 9x + 12
olduğuna göre, P(–1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) 0
A) –3
C) 3
D) 6
E) 8
Çözüm
Hazine 1
P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn
(x + 1); 1. dereceden ve sonuç 2. dereceden bir polinom
olduğundan P(x) = ax + b şeklindedir.
(x + 1) ⋅ (ax + b) = 3x2 + 5x + m
polinomunun katsayıları toplamının, a0 + a1 + a2 + ... + an;
sabit teriminin de a0 olduğunu artık biliyoruz.
P(ax + b) polinomunun katsayılar toplamını bulabil-
ax2 + bx + ax + b = 3x2 + 5x + m
ax2 + x(a + b) + b = 3x2 + 5x + m
a=3
anlarız.
a + b = 5 ve b = 2, m = 2
Daha sonra, P(a + b) değerini buluruz.
mek için önce x yerine 1 yazar ve
P(a ⋅ 1 + b) = P(a + b) değerini bulmamız gerektiğini
dir.
O zaman;
Buradan;
P(x) in katsayılar toplamı P(1)
P(x – 2) nin katsayılar toplamı P(–1)
P(5x + 2) nin katsayılar toplamı P(7)
P(x2 + 3) ün katsayılar toplamı P(4)
(x + 1) ⋅ P(x) = 3x2 + 5x + 2
x = 2 için
3 ⋅ P(2) = 24
P(2) = 8
dir.
demektir.
LYS MATEMATİK
17
Polinomlar
Polinomlar - Bölüm 01
Hazine 2
DNA 16
P(x) = (2x2 – x + 3)2
P(ax + b) polinomunun sabit terimini bulabilmek için
polinomunun başkatsayısı dışındaki katsayılar
önce x yerine 0 yazar ve,
toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 20
B) 16
C) 14
D) 12
P(a ⋅ 0 + b) = P(b)
E) 10
değerini bulmamız gerektiğini anlarız ve P(b) değerini
hesaplarız.
O zaman;
Çözüm
P(x) polinomunun katsayılar toplamı,
P(1) = (2 – 1 + 3)2 = 16
P(x) in sabit terimi P(0)
P(x – 2) in sabit terimi P(–2)
P(4x + 2) in sabit terimi P(2)
P(x2 + 5) in sabit terimi P(5)
demektir.
dır.
DNA 17
P(x) polinomunun başkatsayısı da 4 tür.
Polinomun katsayıları toplamından başkatsayısını çıkarır-
P(x – 3) = x2 – 5x + a
polinomunun sabit terimi 4 olduğuna göre P(x) polisak, başkatsayısı dışındaki katsayıları toplamını buluruz.
nomunun sabit terimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4
B) 2
C) 0
D) –2
E) –4
16 – 4 = 12
Doğru Seçenek D
Çözüm
P(x – 3) = x2 – 5x + a
polinomunun sabit terimi 4 ise, a = 4 tür.
Ayrıca P(x) polinomunun sabit terimi P(0) olduğundan
x = 3 yazılırsa,
P(0) = 9 – 15 + 4 = –2
bulunur.
P(x) = x2 – 2x – 1
polinomunun katsayıları toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) –3
18
B) –2
LYS MATEMATİK
C) –1
D) 2
E) 3
Doğru Seçenek D
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlar
Çözüm
P(x + 2) = x2 – 3x + a
P(1) = 0 ve P(–1) = 16
polinomu veriliyor.
P(1) − P( −1)
= −8
2
P(x + 1) polinomunun sabit terimi 5 olduğuna göre, a
aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
B) –1
C) 0
bulunur.
D) 1
E) 2
Doğru Seçenek B
Bir P(x) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları
toplamının, tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamına
3
oranı
dir.
2
Işık 6
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları;
P(1) + P(–1) = 12
olduğuna göre, P(x) polinomunun katsayıları toplamı
kaçtır?
a0, a2, a4, ...
A) 2
tek dereceli terimlerinin katsayıları;
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
a1, a3, a5, ...
tir.
Hazine 3
Bir P(x) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı;
P(x)
P(1) + P( −1)
2
Q(x)
B(x)
K(x)
Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı;
P(1) − P( −1)
2
P(x): Bölünen polinom
Q(x) : Bölen polinom
dir.
B(x): Bölüm polinomu
K(x): Kalan polinomu olmak üzere;
DNA 18
yıları toplamı aşağıdakilerden hangisi olur?
C) 0
II.
der[K(x)] < der[Q(x)]
de B(x) polinomlarının derecesinden küçükse
polinomu açıldığında tek dereceli terimlerin katsa-
B) –8
P(x) = Q(x) ⋅ B(x) + K(x)
III. Eğer K(x) polinomunun derecesi hem Q(x) hem
P(x) = (x3 – 2x2 + x)2
A) –10
I.
D) 8
Q(x) ile B(x) yer değiştirebilir.
IV. K(x) = 0 ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam
E) 10
bölünür denir.
LYS MATEMATİK
19
Polinomlar
Polinomlar - Bölüm 01
Hazine 4
P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden elde edilen kalan x =
−b
 b
için P  −  = K olur. (K: Kalan)
a
 a
P(x) = x2 + 4x – 6
polinomunun x – a ve x – b ile bölümünden kalanlar
eşit olduğuna göre, a + b kaçtır?
P(x) in x e bölümünden kalan P(0)
a ≠ b olmak koşuluyla,
B) –4
A) –6
P(x) in (x – 1) e bölümünden kalan P(1)
P(3x – 1) in (x – 1) e bölümünden kalan P(2)
P(x2) in (x + 2) e bölümünden kalan P(4)
P2(x) in (x + 2) e bölümünden kalan P2(–2)
C) –2
D) 4
E) 6
demektir.
DNA 20
DNA 19
eşitliği veriliyor.
P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan 15 ve
P(–x) = x3 – x – ax + b
P( x + 1)
= 3 x 2 − 2x + a
Q( x + 3)
polinomu veriliyor. P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 6 dır.
Q(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 5
olduğuna göre, a kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
Buna göre, a – b farkı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 12
B) 6
C) –1
D) –6
E) –12
Çözüm
Çözüm
P(0) = 15 ve Q(2) = 5 verilmiş.
Bize de x yerine –1 yazmak kalıyor.
P(–1) = 6
x = 1 için
P( −1) = 1 − 1 − a + b = 6 ⇒ a − b = −6
Doğru Seçenek D
20
LYS MATEMATİK
P(0)
15
= 3+2+a ⇒
= 5 + a ⇒ 3 = 5 + a ⇒ a = −2 dir.
Q(2)
5
Doğru Seçenek A
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlar
Not
P(x – 1) – Q(2x – 1) = –2 –x
Bir P(x) polinomu (x – a) ⋅ (x – b) ile tam olarak bölünüyor-
polinomu veriliyor.
sa (x – a) ya ve (x – b) ye tam olarak bölünür. Örneğin; bir
P3(x)
sayı 6 ya tam bölünüyorsa 2 ye ve 3 e tam bölünür.
polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 27 oldu-
ğuna göre, Q2(x – 1) polinomunun sabit terimi kaçtır?
B) 25
A) 36
C) 16
D) 9
E) 4
DNA 22
DNA 21
P(x) = x3– mx2 + mx + n – 4
polinomu x2 – 3x ile tam bölünebildiğine göre,
P(x – 1) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan 4
m ⋅ n çarpımı kaçtır?
tür.
A) 18
B) 12
C) 9
D) 6
E) 1
Buna göre, aşağıdaki polinomlardan hangisi x – 1
ile tam bölünür?
A) P(x + 1) – 4
B) P(x) – 3
C) P(2x – 1)
D) P(2x) – 5
E) P(x + 3) – 2
Çözüm
Polinom x2 – 3x ile tam bölünüyorsa çarpanları olan x ve
(x – 3) ile de tam olarak bölünür.
Çözüm
Yani; P(0) = 0 ve P(3) = 0 dır.
P(2) = 4 verilmiş.
P(0) = n – 4 = 0 ⇒ n = 4
A şıkkında x = 1 yazılırsa;
P(2) – 4 = 0 ⇒ 4 – 4 = 0
P(3) = 27 – 9m + 3m + n – 4 = 0 ⇒ m =
9
2
m ⋅ n = 18
olur ki bu da aranan cevaptır.
Doğru Seçenek A
dir.
Doğru Seçenek A
P3(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 8 olduğuna göre, aşağıdaki polinomlardan hangisi x − 2
ile tam olarak bölünür?
A) P(x2) + 1 B) P2(x2) – 2
C) P(x2) – 2
D) P( x3 ) − 2
E) P2(x3) – 1
P(x) = ax2 + 3x – b
polinomu x2 – 3x + 2 ile tam olarak bölünebildiğine
göre, a ⋅ b çarpımı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
LYS MATEMATİK
E) 2
21
Polinomlar
Polinomlar - Bölüm 01
DNA 23
Kısayol
Bir P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 4 ve
P(x) in (x – a) ile bölümünden kalan m ve
x + 3 ile bölümünden kalan –6 dır.
Buna göre, P(x) polinomunun x2 + x – 6 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x – 1
B) 2x
D) 2x + 2
C) 2x + 1
(x – b) ile bölümünden kalan n ise
polinomun (x – a) ⋅ (x – b) ile bölümünden kalan bulunurken seçeneklerden,
E) 2x + 3
x = a için m yi
Çözüm
x = b için n yi
veren cevap olur.
P(2) = 4 ve P(–3) = –6
P(x)
DNA 24
x2 + x – 6
B(x)
mx + n
Bir P(x) polinomunun x2 – 2 ile bölümünden kalan
2x – 1 dir.
P(x) = (x + 3) ⋅ (x – 2) ⋅ B(x) + mx + n
P(2) = 4 ise P(–3) = –6 ise
Buna göre, P2(x) polinomunun x2 – 2 ile bölümün-
2m + n = 4
den kalan aşağıdakilerden hangisidir?
–3m + n = –6
5m = 10
m=2
n=0
A) –4x + 9
B) 4x – 9
D) –9x + 4
C) 9x – 4
E) 9x + 4
Çözüm
Kalan 2x tir.
Doğru Seçenek B
P(x) = (x2 – 2) ⋅ B(x) + (2x – 1)
2
P2 ( x ) = ( x 2 − 2) ⋅ B( x ) + 2 ( x 2 − 2) ⋅ B( x ) ⋅ (2x − 1) + (1
2
x2
−
13
)2
1
2
3
123
I
III
II
ifadesinde I ve II ifadeleri x2 – 2 ile tam bölünürler.
P(x) polinomunun sabit terimi 3, katsayıları toplamı 5
olduğuna göre, P(x) polinomunun
x2
– x ile bölümün-
22
B) 2x – 3
D) 3x – 2
LYS MATEMATİK
x2 – 2
4
–4x + 9
den kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x + 3
(2x – 1)2 = 4x2 – 4x + 1
–4x2 ± 8
C) 3x + 1
E) 3x + 2
Doğru Seçenek A
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlar
Işık 7
P(x) polinomunun x3 – 1 ile bölümünden kalan x2 + 2x – 1
Bir P(x) polinomunun (xn + a) ile tam bölünebilmesi
olduğuna göre, P2(x) in x2 + x + 1 ile bölümünden ka-
için, polinomda (P(x) = (xn + a) ⋅ B(x) olacağından)
lan aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 – 5x
B) 3x – 5
D) 3x + 5
xn = –a yazılınca kalan sıfır olmalıdır.
C) 5x + 3
E) 5 – 2x
DNA 26
DNA 25
P(x) = x15 – 5x10 – mx5 + 1
polinomu x5 + 1 ile tam bölündüğüne göre, m aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Bir P(x) polinomu (x + 1) ile bölündüğünde bölüm B(x),
kalan 3 tür. B(x) polinomu da (x – 2) ile bölündüğünde
A) 10
bölüm R(x) kalan 6 dır.
B) 5
C) 0
D) –5
E) –10
R(1) = 10 olduğuna göre, P(x) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?
A) –10
B) –8
C) –6
D) –5
Çözüm
E) –4
P(x) polinomunda x5 yerine –1 yazıp 0 a eşitleyelim.
Çözüm
P(x) = (x5)3 – 5(x5)2 – mx5 + 1
P( x ) = ( x + 1) ⋅ B( x ) + 3 

 P( x ) = ( x + 1) [( x − 2) ⋅ R( x ) + 6] + 3
B( x ) = ( x − 2) ⋅ R( x ) + 6 
P(1) = 2( −1⋅ R
(1) + 6) + 3

10
⇒ P(1) = −5
(–1)3 – 5(–1)2 – m (–1) + 1 = 0
–1 – 5 + m + 1 = 0
m=5
Doğru Seçenek B
Doğru Seçenek D
Bir P(x) polinomunun x + 2 ile bölümündeki bölüm B(x),
P(x) = x9 + mx3 – 2
kalan 5 tir.
B(x) in x + 1 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre,
polinomu x3 + 2 ile tam bölündüğüne göre, m aşağıda-
P(2x – 1) polinomunun sabit terimi kaçtır?
kilerden hangisine eşittir?
A) 9
B) 7
C) 5
D) 3
E) 0
A) 10
B) 5
C) 0
D) –5
LYS MATEMATİK
E) –10
23
Polinomlar
Polinomlar - Bölüm 01
Işık 8
DNA 27
P(x) = x2008 + x2007 + 1
P(x)
polinomunun x2 – x + 1 ile bölümünden kalan aşa-
B) –x + 1
D) x + 1
asal
çarpanlara
ayrılmayan
lurken x2 = –mx – n yazılır ve bu işleme kalanın dere-
ğıdakilerden hangisidir?
A) –x
polinomunun,
(x2 + mx + n) ile bölümünden elde edilecek kalanı bucesi 2 den küçük oluncaya kadar devam edilir. Böyle-
C) x
ce kalan bulunmuş olur.
E) 1
Çözüm
Not
x3 + 1 = (x + 1) ⋅ (x2 – x + 1)
Bazen bir polinom açık olarak verilmez. O polinomla ilgili
olduğundan P(x) polinomunun x3 + 1 ile bölümünden ka-
özellikleri kullanarak polinomu biz türetiriz. Aşağıda birkaç
lan K(x) ise P(x) in x2 – x + 1 ile bölümünden kalan K(x) in
örnekle açıklayalım:
x2 – x + 1 ile bölümünden kalandır.

(x– 3) ile tam bölünmektedir.
P(x) polinomunda x3 yerine –1 yazalım:
(x3)669 ⋅ x + (x3)669 + 1
–x – 1 + 1 = –x
III. dereceden bir P(x) polinomu (x – 1), (x – 2) ve
P(x) = a(x – 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 3)
şeklinde ifade edilir.
Örneğin yine bu soruda söze başkatsayısı 5 olan
buluruz.
diye başlasaydı o zaman;
Doğru Seçenek A
P(x) = 5(x – 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 3)
olurdu. Bir adım daha ilerleyelim: Başkatsayısı 5,
(x – 1), (x – 2) ve (x – 3) ile bölündüğünde 4 kalanını
versin. Bu durumda da;
P(x) = 5(x – 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 3) + 4
P(x) = x22 – x15 + 2x6 + 1
şeklinde türetilirdi.

Başkatsayısı 2 olan III. dereceden bir polinom
polinomunun (x4 + x3 + x2 + x + 1) ile bölümünden ka-
x2 + 1 ile tam bölünmektedir denyesdi;
lan aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + 2x – 1
B) x2 + 2x
C) x2 + 2x + 1
D) x2 + 2x + 2
E) x2 + 2x + 3
24
LYS MATEMATİK
P(x) = (x2 + 1) ⋅ (2x + a )
olurdu.
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlar
Işık 9
DNA 28
Sabit terimi 16 olan üçüncü dereceden bir P(x) po-
Sıfırdan farklı en az iki polinom verilsin.
linomu (x – 1), (x – 2) ve (x – 3) ile bölündüğünde 4
a)
kalanını verdiğine göre, P(x) polinomunun başkat-
çük dereceli polinoma bu polinomların ortak
sayısı kaçtır?
A) –6
B) –4
C) –2
D) 0
Bu polinomların hepsine tam bölünebilen en kü-
katlarının en küçüğü (OKEK'i) denir.
E) 2
Polinomlarda OKEK bulunurken ortak asal çarpanların en büyük üslüleri ile ortak olmayanlar
çarpılır.
Çözüm
b)
Bu polinomların hepsini tam bölen en büyük dereceli polinoma, bu polinomların ortak bölenle-
P(x) polinomunu türetelim.
rinin en büyüğü (OBEB'i) denir.
P(x) = a ⋅ (x – 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 3) + 4
Polinomlarda OBEB bulunurken ortak asal çarpanların en küçük üslüleri çarpılır.
P(0) = 16 olduğundan,
–6a + 4 = 16
DNA 29
a = –2
dir.
Buradan,
P(x) = (x3 – 2x2 – 15x) ⋅ (x2 – 4)
Q(x) = (x4 –4x3 –5x2) ⋅ (x – 2)3
polinomlarının OBEB ve OKEK lerini bulalım.
P(x) = –2(x – 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 3) + 4
olur ki başkatsayı –2 dir.
Çözüm
Doğru Seçenek C
P(x) = x(x2–2x–15) ⋅ (x–2) ⋅ (x+2) = x ⋅ (x–5) (x+3) (x–2) (x+2)
Q(x) = x2(x2 – 4x – 5) ⋅ (x–2) 3 = x 2 ⋅ (x–5) (x+1) (x–2) 3
OBEB(P(x), Q(x)) = x ⋅ (x – 5) (x – 2)
OKEK(P(x), Q(x)) = x2 ⋅ (x – 5) ⋅ (x + 1) ⋅ (x + 2) ⋅ (x + 3) ⋅ (x – 2)3
bulunur.
Başkatsayısı 3 olan üçüncü dereceden bir P(x) polinomu
(x2 + 3) ile bölündüğünde 2 kalanını vermektedir.
P(x) polinomunun katsayıları toplamı 10 olduğuna
göre, (x + 1) ile bölümünden kalan kaçtır?
A) –16
B) –14
C) –12
D) –10
E) –8
P(x) = 3x ⋅ (x – 1)3 ⋅ (x + 1) ⋅ (x + 3)
Q(x) = 9x2 (x – 1)2 ⋅ (x + 1)2
polinomlarının OBEB ve OKEK'lerini bulunuz.
LYS MATEMATİK
25
Polinomlar
Polinomlar - Bölüm 01
TEST - 1
5.
polinomu veriliyor.
1.
polinomu veriliyor.
P[Q(x + 1)] = x3 – 2x + 1
P(x + 2) = 2x3 – x2 + 4
P(x) = (x – 1) ⋅ Q(x) + k (k ∈ R)
olduğuna göre, k aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 1
Q(4) = 3
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
olduğuna göre, P(3) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A) 22
B) 20
C) 18
D) 17
E) 16
6.
polinomunun x9 − 3 e bölümünden kalan aşa-
P(x) = 2 ⋅ x36 – 4 ⋅ x27 + 10
ğıdakilerden hangisidir?
2.
olduğuna göre, der[P(x)] in alacağı kaç farklı de-
der[P(x) ⋅ Q(x)] = 26
ğer vardır?
A) 1
B) 24
C) 25
3.
olduğuna göre, P(1) kaçtır?
B) –2
C) –1
A) 14 B) 14 − 12 3
C) 16 − 12 3 D) 16
E) 28 − 12 3
E) 27
P(2x + 1) = x3 + 1
A) –9
4.
D) 26
7.
polinomu veriliyor.
P(x) polinomunun 2x – 3a ile bölümünden kalan
P(x + a) = x2 – 4x + 5
2 olduğuna göre, a nın en büyük tam sayı değeri
kaçtır?
D) 0
E) 7
A) 12
B) 10
C) 8
D) 6
E) 2
x 6 + 2x 4 − 1
der[P(x)] = 2
8.
der[Q(x)] = 3
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi-
olduğuna göre, der[P[Q(x)]] aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
A) 9
B) 8
C) 6
D) 4
dir?
A) x4 + x2 – 1
B) x4 + x2 + 1
C) x4 + x3 – 1
D) x4 + x3 + 1
E) 3
26
LYS MATEMATİK
x2 + 1
E) x4 + 1
Polinomlar - Bölüm 01
Polinomlar
9.
13. P(x)
polinomunun çarpanlarından biri (x – 2) dir.
Eğer sabit terimi 5 fazla olsaydı bir çarpanı (x + 1)
P(x) = x2 + mx + n
edilen bölüm B(x) ve kalan 5x – 2 olduğuna göre,
P(x) polinomunun (x + 1) ile bölümünden elde
edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir?
olacağına göre, m ⋅ n aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A) −
32
32
B) −
3
9
C) –3
D) –2
polinomunun (x2 – 1) ile bölümünden elde
E) –1
A) (x – 1) ⋅ B(x) + 5
B) x ⋅ B(x) + 5
C) (x – 1) ⋅ B(x) – 7
D) x ⋅ B(x) + 7
E) x ⋅ B(x) – 3
10. P(x) = 3xm+1 – mx + n– 4
14. P(x)
kalan 2x + 1 olduğuna göre, P2(x) polinomunun
polinomu üçüncü dereceden bir polinomdur.
P(x) polinomunun sabit terimi 6 olduğuna göre,
x – 3 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
P(x + 2) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
A) 81
B) 72
C) 64
D) 56
lanını vermektedir.
A) x – 1
B) x + 1
D) 2x – 1
12. C) x + 2
E) 2x + 1
C) 25
D) 36
E) 49
P(x) = x4 – 3x3 + 2x2 – 1
polinomu bir Q(x) polinomu ile bölündüğünde bölüm
Buna göre, kalan aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
P(x) = x3 – x2 – 3x + 1
polinomunun x2 + 3x ile bölümünden kalan aşa-
A) 9x – 2
B) 16
(x + 1) olup, kalan bir gerçek sayıya eşittir.
ğıdakilerden hangisidir?
15. P(x2) polinomu x3 – 1 ile bölündüğünde kalan
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 9
E) 48
11. Bir P(x) polinomu x3 – 1 ile bölündüğünde x2 + 1 ka
polinomunun x2 – 5x + 6 ile bölümünden
polinomunun x2 – 4 ile bölümünden kalan
3x + 1 olduğuna göre, x – 2 ile bölümünden kalan
B) 9x – 1
D) 9x + 1
16. P(x)
C) 9x
E) 9x + 2
kaçtır?
A) 1
B) 4
C) 5
D) 7
E) 10
LYS MATEMATİK
27
Polinomlar
Polinomlar - Bölüm 01
17. 21. (x + 1) ⋅ P(x) = 2x3 – mx2– 3x + 2
eşitliğindeki P(x) polinomunun (x – 1) ile bölü-
münden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
P(x) = x3 + 2x2 – mx + n
polinomu (x – 1)2 ile tam olarak bölünebildiğine
göre, (m, n) aşağıdakilerden hangisidir?
A) (4, 7)
18. B) (7, 4)
D) (2, 6)
C) (6, 2)
E) (11, 4)
22. P(x) ve Q(x) polinomları için,
P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
polinomu veriliyor.
P(x) polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan 3
Buna göre, P(3 5 − 1) aşağıdakilerden hangisine
Q(x) polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan 2
eşittir?
5 A)
D) 15
ile kalansız bölünür?
C) 5 5
B) 5
E) 25
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi (x + 2)
A) x ⋅ P(x) + Q(x)
B) 2P(x) + 3Q(x)
C) P(x2 – 6) – Q(x) – 1
D) x ⋅ Q(x)
E) x2 ⋅ P(x) – Q(x)
19. P(x)
polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan
–1, P(2x + 1) polinomunun katsayıları toplamı 1
olduğuna göre, P(x) polinomunun x2 – 5x + 6 ile
bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x + 5
B) 2x – 5
D) 5x + 2
C) 5x – 2
23. Başkatsayısı 2 olan 4. dereceden bir P(x) polinomu
x3 ile kalansız bölünüyor.
P(x) polinomunun x2 + 1 ile bölümünden kalan
3x + 2 olduğuna göre, P(2) aşağıdakilerden han-
E) 3x – 5
gisidir?
A) 12
20. n bir doğal sayı olmak üzere,
A) –4x + 3
1.A
28
3.C
4.C
5.A
LYS MATEMATİK
C) 4x + 3
E) 3x + 4
6.E
E) 4
Aynı polinomun x – 2 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisine eşit-
B) 4x – 3
D) 3x – 4
2.E
D) 6
x + 2a ve kalan 14 tür.
dakilerden hangisidir?
C) 8
24. Bir P(x) polinomunun (x – 3)2 ile bölümündeki bölüm
P(x) = x4n+2 – 3x4n+1 – x + 4
polinomunun x2 + 1 ile bölümünden kalan aşağı-
B) 10
7.D
8.A
tir?
A) –8
B) –6
C) 2
D) 6
E) 8
9.B 10.A 11.B 12.D 13.A 14.E 15.A 16.D 17.C 18.B 19.B 20.A 21.B 22.C 23.C 24.B
II. DERECEDEN DENKLEMLER
BÖLÜM 02
II. DERECEDEN DENKLEMLER
DNA 2
TANIM
a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere,
2x2 + (a + b)x – b + 3 = 0
ax2 + bx + c = 0
denkleminin çözüm kümesi {0, 1} olduğuna göre, a
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
denklemine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem
denir.
A) –5
B) –3
C) 1
D) 3
E) 5
Buradaki a, b, c sayılarına denklemin katsayıları denir.
Denklemi sağlayan x gerçek sayılarına denklemin kök-
Çözüm
leri, (kökler denklemi sağlar.) bu köklerin kümesine de
denklemin çözüm kümesi denir.
Denklemin kökleri denklemi sağladığından,
DNA 1
⇒ b = 3
x = 0 için
–b + 3 = 0
x = 1 için 2 + 3 + a = 0 ⇒ a = –5
bulunur.
Doğru Seçenek A
(m2 – 4)x3 + x–m + 3x – 2 = 0
eşitliği ikinci dereceden bir denklem olduğuna
göre, m aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –3
B) –2
C) 1
D) 2
E) 3
(a + 1) ⋅ x2 – 3x + 2a – 1 = 0
denkleminin köklerinden biri –1 olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözüm
A) –2
(m2
–
4)x3
+
x–m
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
+ 3x – 2 = 0
eşitliği ikinci dereceden bir denklemse x3 lü terimi yok et-
Not
meliyiz.
m2 – 4 = 0
II. dereceden denklemleri çözmek için farklı metodlar
⇒ m = 2 veya m = –2 dir.
bulunmaktadır. Bunlardan birincisi çarpanlara ayırma
Fakat m = 2 olamaz. Çünkü x–m = x–2 olur ki denklem
II. dereceden olmaz. Bu nedenle m = –2 dir.
metodudur.
Doğru Seçenek B
a ≠ 0 ve a, b, c ∈ R olmak üzere,
ax2 + bx + c = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.
 a = 1 durumunda çarpımları c toplamları b olan iki sayı
buluyorduk.
m+n = b
(mx + x – 2) ⋅ (4x + 1) = 0
ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) –4
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
m⋅n = c
ve ( x + m) ⋅ ( x + n) = 0
Buradan x = –m veya x = –n bulunur ve çözüm kümesi
de {–n, –m} şeklinde gösterilir.
LYS MATEMATİK
29
II. Dereceden Denklemler
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
Not
DNA 3
ax2 + bx + c = 0
x2 + (m + 3)x + m + 8 = 0
denkleminin bir kökü –3 olduğuna göre, diğer
kökü aşağıdakilerden hangisidir?
A) –4
B) –3
denkleminin köklerini bulurken a ≠ 1 durumunda aşağıdaki metodu kullanırız:
C) –2
D) 2
E) 3
ax2+ bx + c = 0
ifadesinde a nın iki çarpanı m1, m2 ve c nin iki çarpanı da
n1, n2 olsun.
Çözüm
Çapraz kontrole başlayalım.
ax2 + bx + c = 0
Denklemin kökü denklemi sağlayacağından x yerine –3
yazıp sağlatalım:
9 – 3(m + 3) + m + 8 = 0
⇒ 9 − 3m − 9 + m + 8 = 0
⇒ 2m = 8 ⇒ m = 4
+ 7x + 12 = 0
x
4
x
3
m2x
n2
Yani çapraz terimlerin çarpımları ortadaki terimi veri-
n1
m1n2 + m2n1 = b
tür. Buradan,
x2
m1 x yorsa çapraz kontrol tamamdır.
ax2 + bx + c = (m1x + n1) ⋅ (m2x + n2) = 0
Çarpımları 12 toplamları 7 olan sayılar 3 ve 4 olduğun-
şeklinde çarpanlara ayrılır.
dan,
m1x + n1 = 0 veya m2x + n2 = 0
(x + 3) ⋅ (x + 4) = 0
⇒ x = –3 ∨ x = –4
ise x =
olup diğer kök –4 tür.
Doğru Seçenek A
−n1
m1
veya
olur.
 −n1 −n2 
Ç.K =  m , m  dir.
2 
 1
x=
−n2
m2
DNA 4
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
x 2 − ( 3 + 1)x + 3 = 0
gisidir?
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {− 3, − 1} 30
B) {− 3, 1} D) {1, 3} LYS MATEMATİK
x2 – 2x – 4 = 0
C) {−1, 3}
E) {1, 2 3}
A) {1 − 5, 1 + 5} B) {− 5, 5}
C) {2 − 5, 2 + 5} D) {−2 5, 2 5}
E) {3 − 5, 3 + 5}
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
II. Dereceden Denklemler
Hazine 1
Çözüm
a ≠ 0 ve a, b, c birer gerçek sayı olsun.
ax2 + bx + c = 0
x2 – 2x – 4 = 0 denklemi,
denkleminde; D > 0 ise denklemin farklı iki gerçek
(x – 1)2 = x2 – 2x + 1
kökü vardır.
(x – 1)2 – 5 = x2 – 2x – 4
Bu kökler,
tam kare yapılır.
x1 =
(x – 1)2 – 5 = 0
(x – 1)2 = 5
−b + ∆
,
2a
x2 =
−b − ∆
2a
dır.
x −1= 5
∨
x −1= − 5
x = 5 +1
∨
x = 1− 5
Ç.K = {1 − 5, 1 + 5}
Uyarı
bulunur.
ax2 + bx + c = 0
Doğru Seçenek A
denkleminde a ile c ters işaretliyse denklemin her zaman birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır.
D = b2 – 4ac
a ile c ters işaretliyse, a ⋅ c < 0 olduğundan,
2
∆ = b
− 4 ac
>0
x2 + 4x – 3 = 0
+
−
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisiolduğundan denklemin farklı iki reel kökü vardır. a ile
dir?
A) {− 3 − 2,
3 − 2}
B) {− 5 − 1, − 5 + 1}
C) {− 7 − 1, − 7 + 1} E)
D) {− 7 − 2,
{−
7 − 2}
c aynı işaretliyse gerçek kökü yoktur diyemeyiz. O zaman diskriminanta bakarız.
5, 5}
DNA 5
TANIM
x2 – x – 1 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
a ≠ 0, a, b, c ∈ R ve
gisidir?
ax2 + bx + c = 0
denklemi için,
b2 – 4ac
ifadesine denklemin diskriminantı denir.
A) ∅
B) {1 + 5}
1 − 5 1 + 5 
 ,
C) 
2 
 2
1 − 3 1 + 3 

,
D) 
2 
 2
E) {− 5, 5}
LYS MATEMATİK
31
II. Dereceden Denklemler
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
Çözüm
Çözüm
x2 – 6x + a + 2 = 6
Önce denklemin diskriminantına bakalım.
a = 1, b = –1, c = –1 olmak üzere,
x2 – 6x + a – 4 = 0
D = b2 – 4ac ise D = 5 > 0
denkleminin farklı iki gerçek kökü varsa D > 0 dır.
olduğundan denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü var-
D = 36 – 4(a – 4) > 0
dır.
a–4<9
−b  ∆ 1  5
x1, 2 =
=
2a
2
1 − 5 1 + 5 
Ç.K = 

,
2 
 2
a < 13
olmalıdır.
Doğru Seçenek C
Buradan, amax = 12 bulunur.
Doğru Seçenek D
x2 – 3x + 1 = 0
denkleminin büyük kökü aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3− 5
2
D)
B)
2− 5
2 1+ 5
2
C)
E)
Uyarı
1− 5
2
Bir denklemin iki gerçek kökü varsa, D ≥ 0 dır.
3+ 5
2
DNA 6
f(x) = x2 –6x + a + 2
fonksiyonu için f(x) = 6 denkleminin farklı iki gerçek kökü olduğuna göre, a nın en büyük tam sayı
değeri kaçtır?
A) –14
B) 8
C) 9
E) 12
E) 14
denkleminin iki gerçek kökü olduğuna göre, m nin en
büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) 5
32
LYS MATEMATİK
2x2 – 4x + m – 3 = 0
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
II. Dereceden Denklemler
Hazine 2
Hazine 3
a ≠ 0 ve a, b, c birer gerçek sayı olsun.
a ≠ 0 ve a, b, c birer gerçek sayı olsun.
ax2 + bx + c = 0
ax2 + bx + c = 0
b
denkleminde D = 0 ise x1 = x 2 = −
dır.Yani denk2a
denkleminde D < 0 ise
lemin birbirine eşit (çakışık) iki gerçek kökü vardır.
denklemin gerçek kökü yoktur. Yani çözüm kümesi
∆ gerçek sayı olmadığından
boş kümedir.
DNA 7
DNA 8
ax2 – 8x + 2a – 4 = 0
denkleminin kökleri çakışıksa a nın negatif değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
A) –6
B) –4
C) –3
mx2 + 3x – 1 = 0
denkleminin gerçek kökü olmadığına göre, m nin
D) –2
E) –1
en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
Çözüm
Çözüm
Denklemin birbirine eşit iki kökü vardır. Dolayısıyla D = 0
olmalıdır.
II. derece denklemin gerçek kökü yoksa D < 0 olmalıdır.
64 – 4a(2a – 4) = 0
a(2a – 4) = 16
2a2
D = 9 – 4m ⋅ (–1) < 0
– 4a – 16 = 0
a2 – 2a – 8 = 0
(a – 4) (a + 2) = 0
9 + 4m < 0
m<−
a = 4 veya a = –2
m nin en büyük tam sayı değeri –3 olur.
Doğru Seçenek D
göre, m nin pozitif değeri kaçtır?
2
5
B)
4
5
C)
Doğru Seçenek A
mx2 + mx – m + 2 = 0
denkleminin çözüm kümesi bir elemanlı olduğuna
A)
6
5
9
4
D)
8
5
E) 2
x2 + 2x + a – 3 = 0
denkleminin gerçek kökü olmadığına göre, a aşağıdaki aralıkların hangisindedir?
A) (4, ∞)
B) [4, ∞)
D) [5, ∞)
C) (5, ∞)
E) (9, ∞)
LYS MATEMATİK
33
II. Dereceden Denklemler
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
Hazine 4
x2 – 4x + a – 3 = 0
a ≠ 0 ve a, b, c birer gerçek sayı olmak üzere,
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
ax2 + bx + c = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,
2x1 –x2 = 5
olduğuna göre, a kaçtır?
−b
x1 + x 2 =
a
A) 10
B) 9
D) 6
C) 8
E) 4
dır.
Işık 1
DNA 9
a ≠ 0 ve a, b, c ∈ R olmak üzere, kökler farkının mutlak
2x2 –6x + m = 0
denkleminin köklerinden biri diğerinden 5 fazla
değeri,
| x1 − x 2 | =
olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –12
B) –10
C) –8
D) –6
E) –4
D
|a|
dır.
DNA 10
Çözüm
x2 – 2x – 1 = 0
denkleminin kökleri x1, x2 dir.
Kökleri x1 ve x2 olsun.
x1 = x2 + 5
x1 + x2 = −
x1 – x2 = 5
2x1 = 8
x1 = 4
x1 < x2 ise x2 – x1 farkının değeri kaçtır?
−6
=3
2
A) −3 2 B) −2 2 D) 2 2 C)
2
E) 3 2
Çözüm
Denklemin bir kökü denklemi sağlayacağından;
a = 1, b = –2 ve c = –1 olmak üzere,
2x2 –6x + m = 0
D = 4 – 4(–1) = 8
x = 4 için,
x 2 − x1 =
32 – 24 + m = 0 ise m = –8
bulunur.
bulunur.
Doğru Seçenek C
34
∆
8
=
=2 2
|a|
1
LYS MATEMATİK
Doğru Seçenek D
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
II. Dereceden Denklemler
Çözüm
m > 0 olmak üzere,
x2
2(x + 2)2 – a = 0 ise
2(x2 + 4x + 4) – a = 0
2x2 + 8x + 8 – a = 0
– (m + 3)x – 3m = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x1 – x2 = 7 olduğuna göre, m kaçtır?
A) –2
B) –1
D) 2
C) 1
x1 ⋅ x 2 =
E) 3
8−a
=2 ⇒
2
8−a = 4
⇒ a=4
olur.
Doğru Seçenek C
Hazine 5
a ≠ 0 ve a, b, c birer gerçek sayı olsun.
ax2
x2 – 6x + 2m – 1 = 0
denkleminin kökler çarpımı –5 olduğuna göre, m kaçtır?
+ bx + c = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,
x1 ⋅ x 2 =
B) –2
A) –1
C) –3
D) –4
E) –5
c
a
dır.
DNA 11
DNA 12
a bir gerçek sayı olmak üzere,
2(x + 2)2 – a = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
denkleminin kökler çarpımı 2 olduğuna göre, a kaçtır?
A) 8
B) 6
2x2 – 5x – 1 = 0
C) 4
D) 2
E) –2
2
2
Buna göre, x1 + x2 toplamı kaçtır?
A)
15
2
B)
29
4
C) 7
D)
27
4
LYS MATEMATİK
E) 4
35
II. Dereceden Denklemler
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
Çözüm
Çözüm
5 
2 
2
2
2
 ( x1 + x 2 ) = ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2
1 
x1 ⋅ x 2 = − 
2 
x12 + x 22 =
m ⋅ n = 4n + 8
m + n = –m
x1 + x 2 =
n = –2m
m=−
25
29
+1=
4
4
ve
−
n
2
n2
= 4n + 8
2
n2 + 8n + 16 = 0
(n + 4)2 = 0
⇒ n = –4 ve m = 2
Doğru Seçenek B
Büyük kök 2 dir.
Doğru Seçenek D
x2 – 3x – m = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
denkleminin kökleri a ve b dir.
x12 + x 22 = 13
Buna göre, b aşağıdakilerden hangisine eşittir?
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
A) –1
D) 2
B) −
E) 1
DNA 13
den hangisidir?
36
LYS MATEMATİK
1
27
D)
1
9
E)
1
3
ax2 + bx + c = 0
Buna göre, denklemin büyük kökü aşağıdakilerB) –4
C)
II. dereceden rasyonel katsayılı,
denkleminin kökleri m ve n dir.
A) –6
1
9
Işık 2
x2 + mx + 4n + 8 = 0
3x2 – 4ax + b = 0
C) –2
D) 2
E) 4
denkleminin köklerinden biri
m − n k dır.
m+n k
ise diğeri
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
II. Dereceden Denklemler
DNA 14
Işık 3
II. dereceden rasyonel katsayılı,
II. derece bir denklemin kökleri simetrik ise,
x2 – mx + n = 0
x1 + x2 = 0
denkleminin köklerinden biri 1 − 5
olduğuna
dır. Ayrıca,
göre, m + n toplamı kaçtır?
A) –4
B) –2
C) 1
D) 2
x1 ⋅ x2 < 0
E) 4
olur.
DNA 15
Çözüm
Rasyonel katsayılı olduğundan denklemin köklerinden biri
nx2 – (n2 – 4)x + n + 3 = 0
denkleminin simetrik gerçek iki kökü olduğuna
1 − 5 ise diğeri bunun eşleniği; yani 1 + 5 tir.
göre, n aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
Kökler x1, x2 ise,
x1 ⋅ x 2 = n = (1 − 5 )(1 + 5 ) = −4
x1 + x 2 = m = (1 −
5 + 1+
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Çözüm
5)=2
x1 + x2 = 0 ⇒ n2 – 4 = 0
dir.
dır.
Buradan,
m + n = –2
n = –2 veya n = 2
dir.
bulunur.
Doğru Seçenek B
x1 ⋅ x2 < 0 olmalı.
n = 2 olursa,
x1 ⋅ x 2 =
5

2
Bu durum olamaz, çünkü kökler çarpımı pozitif olur.
n = –2 olursa,
x1 ⋅ x 2 = −
II. dereceden rasyonel katsayılı,
1

2
olur. Dolayısıyla n = –2 olarak bulunur.
x2 – 8x – m = 0
denkleminin köklerinden biri 4 − 7 olduğuna göre,
Doğru Seçenek A
m aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –9
B) –5
C) 2
D) 5
E) 9
LYS MATEMATİK
37
II. Dereceden Denklemler
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
x2 + (a – 3)x + a2 –18 = 0
(a + b)x2 + (a – b)x – 2a = 0
denkleminin mutlak değerce eşit ve ters işaretli iki
ikinci derece denkleminin bir kökü aşağıdakilerden
kökü varsa bu köklerin çarpımı kaçtır?
hangisidir?
A) –16
B) –9
C) –4
D) –1
E) 4
A) −
2a
a+b D)
B)
2a
a+b −2
a+b
C)
a−b
a+b
2
a+b
E)
Not
ax2 + bx + c = 0

DNA 17
denkleminde; a + b + c = 0 ise köklerden biri 1 dir.
ax2

+ bx + c = 0
denkleminde; a – b + c = 0 ise köklerden biri –1 dir.
a > 0, b < 0 olmak üzere,
ax2 – 2x + b = 0
II. derece denklemi için aşağıdakilerden hangisi
DNA 16
yanlıştır?
A) Kökler ters işaretlidir.
ax2 + bx + c = 0
B) Mutlak değerce büyük olan kök pozitiftir.
denkleminde, 4a – 2b + c = 0 olduğuna göre, köklerden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) −
c
c
B) − 2a
a
C)
c
a
D)
c
2a
E)
c
b
C) Denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır.
D) Kökler toplamı pozitiftir.
E) Denklemin çakışık iki kökü vardır.
Çözüm
Çözüm
D = 4 – 4ab ve a ⋅ b < 0 olduğundan D > 0 dır. Dolayısıyla
Köklerden birinin –2 olduğu âşikâr.
denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır.
x yerine –2 yazınca 4a – 2b + c = 0 oluyor.
x1 ⋅ x 2 =
Diğer kökü x1 olsun.
−2 ⋅ x1 =
c
a
ise
x1 = −
c
2a
x1 + x 2 =
2
>0
a
Mutlak değerce büyük olan kök pozitif,
dolayısıyla kökler toplamı da pozitiftir.
olur.
Doğru Seçenek A
38
b
< 0 olduğundan kökleri ters işaretlidir.
a
LYS MATEMATİK
Doğru Seçenek E
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
II. Dereceden Denklemler
Çözüm
x2 + (1 – m)x + 2 – m = 0
IŞIK 4’ten,
1 a+2
−2
=
=
2
−2
b −1
denkleminde 2 < m < 3 olmak üzere, aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
A) Denklemin gerçek kökü yoktur.
a + 2 = –1
B) Kökler toplamı negatiftir.
a = –3
1
−2
=
2 b −1
C) Mutlak değerce büyük olan kök pozitiftir.
b – 1 = –4
D) Kökler çarpımı pozitiftir.
b = –3
⇒ a + b = –6
E) Denklemin birbirine eşit iki kökü vardır.
bulunur.
Doğru Seçenek E
Işık 4
ax2 + bx + c = 0
2x2 – (m – 1)x + 2 = 0
nx2 – 3x – 3 = 0
denklemlerinin çözüm kümeleri aynı olduğuna göre,
dx2 + ex + f = 0
m + n toplamı kaçtır?
denklemlerinin ikişer kökleri de aynı ise, aynı dereceli
terimlerin katsayıların oranı birbirine eşit olmalıdır.
Buradan
A) –5
B) –4
D) –2
C) –3
E) –1
a b c
= =
ise denklemlerin çözüm kümeleri
d e f aynı olur.
DNA 18
Not
x2 + (a + 2)x – 2 = 0
ax2 + bx + c = 0
2x2 – 2x + b – 1 = 0
dx2 + ex + f = 0
denkleminin çözüm kümeleri aynı olduğuna göre,
denklemlerinin ortak kökü x = x0 olsun.
a + b toplamı kaçtır?
Bu kök her iki denklemi de sağlar tabii ki. x02 li terimleri
A) –2
B) –3
C) –4
D) –5
E) –6
yok eder ve x0 ortak kökünü buluruz.
LYS MATEMATİK
39
II. Dereceden Denklemler
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
DNA 19
x2 + 6x – m + 8 = 0
x2 + 4x – m + 6 = 0
denkleminin kökleri,
Bu denklemlerin ortak olmayan köklerinin toplamı
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) –5
C) –7
x2 + bx – 2 = 0
denklemlerinin birer kökü ortaktır.
A) –4
x2 – 2x + a = 0
D) –8
E) –9
denkleminin köklerinin 2 katı olduğuna göre, a + b
toplamı kaçtır?
A) –12
B) –10
C) –9
D) –6
E) 6
Çözüm
x02 + 6 x0 − m + 8 = 0
Işık 5
denklemlerini taraf
tarafa çıkaralım.
x02 + 4 x0 − m + 6 = 0
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.
2x0 + 2 = 0
x0 = −1
bulunur.
x0 = –1 her iki denklemi de sağlayacağından; denklemlerin birinde yerine yazalım.
1–6–m+8=0
m=3
x2 +
b
c
x+ =0
a
a
c
 b
x2 −  −  x + = 0
a
 a
c
 b

yı tanıdık değil mi? 
 − ve
a
 a

x2 + 6x – m + 8 = 0
b
c

a  x2 + x +  = 0
a
a

x2 – (x1 + x2)x + (x1 ⋅ x2) = 0
bulunur.
x1 + x2 = T ve x1 ⋅ x2 = Ç
ise x2 – Tx + Ç = 0 formunda yazılır.
x2 + 6x + 5 = 0
x2 + 4x + 3 = 0
denklemleri elde edilir.
(x + 1) ⋅ (x + 5) = 0
x = –1 ∨ x = –5
(x + 1) ⋅ (x + 3) = 0
x = –1 ∨ x = –3
DNA 20
x2 – 2x – 5 = 0
denkleminin köklerinin 2 şer eksiğini kök kabul
Ortak olmayan kökler toplamı,
eden II. derece denklem aşağıdakilerden hangisi-
–5 + (–3) = –8
dir?
dir.
Doğru Seçenek D
A) x2 + 2x + 13 = 0
B) x2 – 2x – 13 = 0
C) x2 + 2x – 5 = 0
D) x2– 2x + 13 = 0
E) x2 + 2x + 11 = 0
40
LYS MATEMATİK
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
II. Dereceden Denklemler
Çözüm
DNA 21
x2 – 2x – 5 = 0
denkleminin kökler toplamı aşağıdakilerden han-
denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. Bize kökleri x1 – 2 ve
gisidir?
x2 – 2 olan ikinci derece denklemi soruyor.
x1 + x2 = 2
x1 ⋅ x2 = –5
(x – 2) ⋅ (x + 3) ⋅ (x + 4) = x2 – 9
A) –6
x2 – Tx + Ç = 0 dan;
B) –5
C) –4
D) –3
E) –2
x2 – (x1 + x2 – 4)x + (x1 – 2) ⋅ (x2 – 2) = 0
x2– (x1 + x2 – 4)x + (x1 ⋅ x2 – 2(x1 + x2) + 4)
=0
Çözüm
x2 – (–2)x + (–5 – 2(2) + 4) = 0
x2 + 2x – 5 = 0
(x – 2) ⋅ (x + 3) ⋅ (x + 4) = (x – 3) ⋅ (x + 3)
bulunur.
Doğru Seçenek C
(x – 2) ⋅ (x + 3) ⋅ (x + 4) – (x – 3) ⋅ (x + 3) = 0
(x + 3) ⋅ [(x – 2) ⋅ (x + 4) – (x – 3)] = 0
(x + 3) ⋅ (x2 + x – 5) = 0
Kısayol
mx2 + nx + k = 0
(x + 3) = 0
∨
x2 + x – 5 = 0
x = –3
∨
Kökler toplamı x1 + x2 = –1
ikinci derece denklemin kökleri x1, x2 olsun.
Kökleri, ax1 + b ve ax2 + b olan ikinci derece denklem:
2
 x −b
 x −b
m⋅
 + n⋅
+k = 0
 a 
 a 
–3 – 1 = –4
bulunur.
Burada dikkat edilecek nokta (x + 3) lerin sadeleştirilmemesi gerektiğidir.
dır.
Doğru Seçenek C
x2 – 5x + 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Kökleri 2x1 – 1 ve 2x2 – 1 olan II. dereceden denklem
aşağıdakilerden hangisidir?
(x – 3) ⋅ (x2 – 2x – 5) = 0
A) x2 – 16x –5 = 0
B) 2x2 –8x – 5 = 0
denkleminin kökler toplamı aşağıdakilerden hangisi-
C) x2 – 8x – 5 = 0
D) 4x2 + 8x + 5 = 0
dir?
E) 2x2 + 8x + 5 = 0
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
LYS MATEMATİK
E) 4
41
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
II. Dereceden Denklemler
DNA 22
DNA 23
x4 – 6x2 + 5 = 0
denkleminin kökler çarpımı aşağıdakilerden han-
9x – 3x+4 + 27 = 0
denkleminin kökler toplamı kaçtır?
gisidir?
A) 81
A) –5
B) 0
C) 5
D) 15
B) 45
C) 27
D) 9
E) 3
E) 25
Çözüm
Çözüm
3x = t diyelim.
x2
3 x1 = t1 
 2
 t − 81t + 27 = 0
x2
3 = t 2 
3 x1 ⋅ 3 x2 = t1 ⋅ t 2
= t olsun.
t2 – 6t + 5 = 0
(t – 1) ⋅ (t – 5) = 0
t = 1 ∨ t = 5 dir.
x2 = 1∨ x2 = 5
x = 1 ∨ x =  5
3 x1 + x2 = 27 = 33
x1 + x 2 = 3
olur.
Doğru Seçenek E
4x – 3 ⋅ 2x+1 + 8 = 0
( −1) ⋅ ( +1) ⋅ ( 5 ) ⋅ ( − 5 ) = 5
denkleminin kökler toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
bulunur.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Doğru Seçenek C
Uyarı
Kareköklü denklemlerin çözümünde, kareköklü terim
(x2
yalnız bırakılır. Her iki tarafın karesi alınarak denklem
+
3)2
–
11x2
=5
kökten kurtarılır. Karşımıza çıkan denklem çözüldük-
denkleminin kökler çarpımı aşağıdakilerden hangisi-
ten sonra yalancı bir kökün olup olmadığına bakmak
dir?
için bulduğumuz kökleri denklemde yerine yazarız.
A) –16
42
B) –4
LYS MATEMATİK
C) 1
D) 4
E) 16
Sağlamayan değerler kök olmaz.
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
II. Dereceden Denklemler
DNA 24
DNA 25
x2 = |x + 2|
5 + 2x = 5 − x
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
gisidir?
gisidir?
A) {–1}
A) ∅
B) {–2}
D) {1, 2}
C) {–2, 2}
B) {2}
D) {–2, –1}
C) {–1, 2}
E) {–2, 2}
E) {3}
Çözüm
Çözüm
x + 2 > 0 ise ( 5 + 2x )2 = (5 − x )2
x2 = x + 2 ve
(x > –2)
5 + 2x = 25 + x2 – 10x
x2 – 12x + 20 = 0
x=2
(x – 10) ⋅ (x – 2) = 0
kümesindedirler.
x = 10
∨ x=2
x2 – x – 2 = 0
(x – 2) (x + 1) = 0
∨ x = –1 (x > –2) şartını sağladığından çözüm
x + 2 < 0 ise x2 =–x – 2 ve
x2 + x + 2 = 0
bulunur.
Denklemde x yerine 2 yazalım.
9 =3
Denklemde x yerine 10 yazalım.
25 = −5 

Ç.K = {3} tür.
(x < –2)
D < 0 olduğundan çözüm kümesi ∅ dır.
x = –2 değeri denklemi sağlamaz.
Bu soruyu seçenekleri sağlattırarak da çözebilirdik.
Buradan Ç.K. = {–1, 2} bulunur.
Doğru Seçenek E
Doğru Seçenek C
x = 1 − 2x
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {1}
 1
B)  
4  1 1
D)  ,  16 4 
 1
C) 1, 
 4
1
E)  
16 
|3x – 2| = x2
denkleminin kökler toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) –6
B) –4
C) –2
D) 0
LYS MATEMATİK
E) 4
43
II. Dereceden Denklemler
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
TEST - 1
5.
denkleminin
2x2 + 3x + m = 0
diskriminantı
negatif
olduğuna
göre, m nin alabileceği en küçük tam sayı değeri
kaçtır?
1.
a bir gerçek sayıdır.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
(a – 2)x3 + ax2 + 3x – 1 = 0
eşitliği ikinci dereceden bir denklem olduğuna
göre, denklemin katsayıları toplamı kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
6.
fonksiyonu için f(x) = 3 denkleminin birbirinden
farklı iki gerçek kökü olduğuna göre, a nın alabi-
2.
denkleminin çözüm kümesi {a, b} olduğuna göre,
x2 – 5x + 3 = 0
leceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır?
A) 1
a2 + b2 – 5(a + b) işleminin sonucu kaçtır?
A) –9
B) –6
C) –3
D) 6
bx2 + (a – b2)x – ab = 0
B) −
A)
b
a
C) −
a
b
D) –a
denkleminde x in y cinsinden alacağı değerlerin
3x2 – 5xy – 2y2 = 0
toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2y
44
LYS MATEMATİK
4y
C)
3
mx2 + 3mx + 1 = 0
D) y
2
3
B)
5
9
C)
2
9
D)
4
9
E) 1
E) a
4.
5y
B)
3
E) 5
na göre, m nin değeri kaçtır?
hangisidir?
A) –b
D) 4
denkleminin çözüm kümesi bir elemanlı olduğu-
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden
C) 3
m ≠ 0 olmak üzere,
b ≠ 0 olmak üzere,
B) 2
E) 9
7.
3.
f(x) = x2 – 4ax + a + 1
y
E)
2
8.
denkleminin gerçek kökü olmadığına göre, m
x2 + 2x + m – 6 = 0
aşağıdaki aralıkların hangisindedir?
A) (7, ∞)
B) [7, ∞)
D) (–∞, 7]
C) (–∞, 7)
E) (–7, ∞)
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
II. Dereceden Denklemler
9.
13. denkleminin tam sayı olan kökleri arasında 4 tane
x2 – (a + 1) ⋅ x – 4 = 0
m – n farkı kaçtır?
Bu tam sayıların toplamı 6 olduğuna göre, a kaçtır?
A) –6
A) 8
10. denkleminin kökleri; x2 + 6x + (n + 1) = 0 denkleminin köklerinden 2 şer fazla olduğuna göre,
tam sayı vardır.
x2 + (m + 1)x – 3 = 0
B) 6
C) 5
D) 3
B) –5
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x1 + x 2 = 3 2
olduğuna göre, m kaçtır?
B) –6
14. C) 3
11. (a – 1)x2 + bx + 4 = 0
2x2 + ax + 1 = 0
D) 6
(x2 – x)2 – 2x2 + 2x – 8 = 0
denkleminin kökler çarpımı kaçtır?
denkleminin ikişer kökleri ortak olduğuna göre,
A) 48
B) 45
C) 36
D) 32
E) 27
15. x2
C) –4
D) –2
E) 0
2x − 8 x + 1 = 1
denkleminin kökler çarpımı kaçtır?
A) 0
12. b, c birer gerçek sayı olmak üzere,
B) –8
E) 12
a + b toplamı kaçtır?
E) –2
E) 2
A) –16
A) –12
D) –3
x2 – mx + 9 = 0
C) –4
B) 3
C) 6
D) 9
E) 27
+ bx – c = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre, kökleri
1 1
,
x1 x 2
olan ikinci derece
denklem aşağıdakilerden hangisidir?
16. A) –cx2 + bx – 1 = 0
B) –cx2 – bx + 1 = 0
C) cx2+ bx + 1 = 0
D) cx2 – bx – 1 = 0
E) x2 – cx + b = 0
x2 – |2x – 1| = 2
denkleminin çözüm kümesinde bulunan tam sayıların toplamı kaçtır?
A) –4
B) –3
C) –2
D) 2
LYS MATEMATİK
E) 4
45
II. Dereceden Denklemler
II. Dereceden Denklemler - Bölüm 02
17. m ≠ 0 olmak üzere,
21. a, b, c rasyonel sayılar olmak üzere,
denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, m
mx2 – (m2 – 9)x + 7 = 0
kaçtır?
A) 9
B) 3
C) 1
D) –3
denkleminin bir kökü 2 + 5
E) –9
22.
x2 – 11x + m = 0
denkleminin bir kökü 8 olduğuna göre, diğer
B) –3
C) 2
D) 3
E) 19
B) –4
A) {–13, –12, 12}
B) {–12, 12}
C) {–13, 12}
D) {12, 13}
bir kökü 3 tür.
göre, c – a farkı kaçtır?
A) –6
B) –5
C) 3
D) 5
E) 6
x2 – 2x – 35 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre, kökleri
A) x2 + 2x – 1 = 0
B) x2 + 2x + 1 = 0
C) x2 + 3x + 1 = 0
D) x2 + 3x – 1 = 0
E) x2 + 4x – 1 = 0
20. 5x2
+ 2x – 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre, |x1 – x2| nin değeri kaçtır?
A) 1
46
2 6
5 6 2
D)
5 1.B
B)
2.B
3.C
4.B
5.C
LYS MATEMATİK
C)
1
E)
5
6.A
7.D
24. x–y=4
x2+ y2 – xy = 37
8.A
x1
x2
ve
olan ikinci
x2 − 2
x1 − 2
derece denklem aşağıdakilerden hangisidir?
Bu iki denklemin diğer kökleri ortak olduğuna
E) {13}
denkleminin bir kökü –2, x2 – cx + d = 0 denkleminin
E) 4
denkleminin iki kökü çakışık olduğuna göre, m
23.
x2 – ax + b = 0
D) 3
(x – 4) ⋅ (x2 + mx + 36) = 0
19. C) –3
nin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
kökü kaçtır?
A) –19
olduğuna göre,
b+c
kaçtır?
a
A) –5
18.
ax2 + bx + c = 0
denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
3 2
5
A) {(–3, –7)}
B) {(8, 4)}
C) {(–3, –7), (8, –4)}
D) {(–3, –7), (7, 3)}
E) {(8, –4)}
9.E 10.E 11.B 12.D 13.D 14.B 15.B 16.B 17.D 18.D 19.D 20.B 21.A 22.A 23.B 24.D
II. DERECEDEN EŞİTSİZLİKLER
BÖLÜM 03
II. DERECEDEN EŞİTSİZLİKLER
Çözüm
GİRİŞ
9. sınıfın son konularından olan 1. dereceden eşitsizlikler
veya basit eşitsizlikler konusunu kısmen hatırlamışsınız-
Sayı doğrusundaki gösterimden sonra bu ifadeyi daha
dır. x’e bağlı bir fonksiyonun hangi x değerleri için pozitif,
kısa nasıl yazacağımızı görelim. Tabiki tüm gerçek sayı-
hangi x değerleri için negatif ve hangi x değerleri için sıfır
lardan bizden istenmeyen bölgeyi çıkararak.
olduğunu bulmuştunuz. Şimdi de bu işlemleri daha büyük
R – (–1, 1]
dereceli ifadeler için yapalım. Peki o konunun adı basit
Doğru Seçenek D
eşitsizlikler de çok zor mu? Tabi ki hayır! Hepsinin tek tek
DNA’sını çözünce sorun kalmayacaktır. Önce biraz geçmişe yolculuk yapıp bazı temel bilgileri hatırlatalım.
Hatırlatma

–1 < x < 3 ifadesini; – 1 ile 3 arasındaki tüm
gerçek sayılar diye söyler, x ∈ (–1, 3) şeklinde
gösterir ve x; –1 açık 3 açık aralığında diye oku-

a < b < 0 olmak üzere;
x ∈ (–∞, –b] ∩ [a, ∞)
ifadesinin farklı bir gösterimi aşağıdakilerden hangi-
ruz.
sidir?
1 ≤ x < 4; 1 dahil ve 4 arasındaki tüm gerçek
A) (a, –b)
sayılar. x ∈ [1, 4) ve 1 kapalı 4 açık aralık diye
okunur.
B) [a, –b]
D) R–(a, –b)
C) R
E) [b, –a]
 – ∞ < x < ∞ ifadesi, x ∈ (–∞ , ∞) şeklinde gösterilir. – ∞ ve + ∞ her zaman açık aralıkla ifade edilir.
x ∈ R dir.

– ∞ < x < 3; 3 ten küçük tüm gerçek sayılardır.
x ∈ (–∞, 3)

–1 < x < ∞; – 1 den büyük tüm gerçek sayılardır.
x ∈ (–1, ∞)
İkinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümelerinden önce
birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözüm kümelerinin nasıl bulunduğunu hatırlatalım.
Işık 1
DNA 1
x ∈ (–∞, –1] ∪ (1, ∞)
çözüm kümesinin sayı doğrusunda gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0 ve ax + b ≤ 0
eşitsizlikleri çözülürken ax + b = 0 dan;
x=
−b
kökü tabloya yerleştirilir.
a
x
ax + b
–∞
−b
a
+∞
a ile zıt
a ile aynı
işaretli
işaretli
Tabloda bizden istenen bölge taranarak çözüm kümesi yazılır. Dikkat edelim; ≤ ve ≥ eşitsizliklerinde kök;
çözüm kümesine dahil edilir.
LYS MATEMATİK
47
II. Dereceden Eşitsizlikler - Bölüm 03
II. Dereceden Eşitsizlikler
Hazine 1
DNA 2
3x – 12 ≤ 0
ax2 + bx + c ifadesinin diskriminantı pozitif (D > 0) ve
denklemin kökleri x1 < x2 olmak üzere, ax2 + bx + c üç
eşitsizliğinin sağlandığı en geniş aralık aşağıdaki-
terimlisinin işaret tablosu;
lerden hangisidir?
B) [4, ∞)
A) (–∞, 4)
D) (–∞, –4)
–∞
x
C) (4, ∞)
E) (–∞, 4]
x1
+∞
x2
ax + bx + c
a ile aynı
a ile zıt
a ile aynı
nin işareti
işaretli
işaretli
işaretli
2
şeklinde olur.
Daha sonra istenen bölge taranarak çözüm kümesi
Çözüm
yazılır.
DNA 3
3x – 12 = 0 ⇒ x = 4
Bu tablodan anlayaca-
–∞
x
3x – 12
+∞
4
–
+
(x – 1) ⋅ (x + 4) < 0
ğımız; 4’ten küçük x’ler
için 3x – 12 negatif,
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
4’ten büyük x’ler için
gisidir?
3x – 12 pozitif x = 4 için
3x – 12’nin 0 olmasıdır.
A) (–4, 1)
ax + b ≤ 0 eşitsizliğinde a > 0 olduğundan tablonun en
B) (–4, 1]
D) [–4, 1]
C) [–4, 1)
E) [–1, 4]
sağına a’nın işaretini, sonra köke gelince a’nın ters işaretini yazdık.
Çözüm
Ç.K= (–∞, 4]
(Dikkat edersek 4 kökünü çözüm kümesine dahil ettik.)
(x – 1) ⋅ (x + 4) = 0
⇒ x = 1 ∨ x = – 4 tür.
x
–∞
f(x)
+
Doğru Seçenek E
–4
+∞
1
–
+
Ç.K = (–4, 1) olarak bulunur.
Doğru Seçenek A
5x – 6 > 0
eşitsizliğini sağlayan en küçük iki tam sayının toplamı
kaçtır?
A) 2
48
B) 3
LYS MATEMATİK
C) 4
D) 5
E) 6
x2 – 3x + 2 ≤ 0
eşitsizliğini aşağıdaki sayılardan hangisi sağlar?
A)
1
2
B)
3
2
C)
5
2
D) 3
E)
7
2
II. Dereceden Eşitsizlikler - Bölüm 03
II. Dereceden Eşitsizlikler
DNA 4
DNA 5
x ⋅ (x2 – 9) < 0
eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı ile
fonksiyonları veriliyor.
en büyük negatif tam sayının toplamı kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
f(x) = x2 – 2x ve g(x) = x + 3
fog(a) < 8 eşitsizliğini sağlayan en küçük a tam sayısı kaçtır?
E) 2
A) –6
Çözüm
x = – 3, x = 0 ve x = 3 tür.
+ ⋅ + ⋅ + = +
–∞
f(x)
–
–3
0
+
D) –3
E) –2
fog(a) = f(g(a)) = f(a + 3) = (a + 3)2 – 2(a + 3) < 8
x ⋅ (x – 3) ⋅ (x + 3) = 0
x
C) –4
Çözüm
x ⋅ (x2 – 9) = 0
B) –5
3
–
+
⇒ a2 + 6a + 9 – 2a – 14 < 0
⇒ a2 + 4a – 5 < 0
⇒ (a – 1) ⋅ (a + 5) < 0
a = 1 ∨ a = –5
–5
(–∞, – 3) ∪ (0, 3) aralığı çözüm aralığı olup; sorulan en
+
1
–
+
küçük pozitif tam sayı 1 en büyük negatif tam sayı –4 olup
1 – 4 = – 3 tür.
Eşitsizliği bu aralıkta sağlayan en küçük a tam sayısı –4
tür.
Doğru Seçenek A
Doğru Seçenek C
(4 – x2) ⋅ (x + 1) ≥ 0
eşitsizliğini sağlayan aralıklardan biri aşağıdakilerden
hangisidir?
x2 – x – 2 ≤ 0
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaç-
A) (–2, 2]
B) (–2, –1)
D) [–1, 2]
C) (–∞, –1)
E) [–1, ∞)
tır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
LYS MATEMATİK
E) 5
49
II. Dereceden Eşitsizlikler - Bölüm 03
II. Dereceden Eşitsizlikler
DNA 6
Işık 2
f(x) = x2 + (m – 1)x + 4
ax2 + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı 0 ise
fonksiyonunun birbirinden farklı iki gerçek kökü
ax2 + bx + c üç terimlisinin işaret tablosu;
olduğuna göre, m nin çözüm aralığı aşağıdakiler-
A) (–3, 5)
B) [–3, 5]
D) R – [–3, 5]
−b
2a
+∞
ax2 + bx + c
a’nın işareti
a’nın işareti
nin işareti
ile aynı
ile aynı
C) (–5, 3)
E) R – (–5, 3)
–∞
x
den hangisidir?
x1 = x 2 =
şeklinde olur.
TANIM
Çözüm
f(x) = x2 + (m – 1)x + 4 fonksiyonunun iki gerçek kökü
Yukarıda IŞIK’ta bulunan köklere Çift Katlı Kökler denir.
olduğundan D > 0 dır.
DNA 7
(m – 1)2 – 4 ⋅ 4 > 0
m2 – 2m – 15 > 0
(m – 5) ⋅ (m + 3) > 0
m = 5,
gisidir?
A) [–2, 2]
5
–
(x – 3)6 ⋅ (x2 – 4) ≤ 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
m=–3
–3
+
+
Ç.K = (– ∞, – 3) ∪ (5, ∞) veya R – [–3, 5] dir.
Doğru Seçenek D
C) (2, 2) ∪ {3}
B) (–2, 2)
D) [–2, 2] ∪ {3}
E) (2, ∞)
Çözüm
(x – 3)6 hiçbir zaman negatif olmadığından bu ifade yokmuş gibi davranabiliriz. Ancak x = 3 değerinin çözüm kümesine dahil edilmesi gerektiğine dikkat etmeliyiz.
SİL
(x – 3)6 ⋅ (x – 2) ⋅ (x + 2) ≤ 0
x + mx + 9 = 0
(x – 2) ⋅ (x + 2) ≤ 0
x=–2
x=2
2
denkleminin gerçek kökünün olmamasını sağlayan m
x
–∞
f(x)
+
–2
+∞
2
–
+
değerlerinin oluşturduğu küme aşağıdakilerden hangisidir?
Ç.K = [–2, 2] ∪ {3} olur.
A) (–∞, – 6)
50
B) (0, 6)
D) (6, ∞)
LYS MATEMATİK
C) (–6, 6)
E) R – (–6, 6)
Doğru Seçenek D
II. Dereceden Eşitsizlikler - Bölüm 03
II. Dereceden Eşitsizlikler
DNA 9
(x – 1)2008 ⋅ (x – 3) ≥ 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden han-
A) (–∞, 1)
B) (–∞, 1]
D) [3, ∞) ∪ {1}
( x − 2) ⋅ ( x + 1)
≤0
x+3
gisidir?
C) [1, 3]
E) (–∞, 1] ∪ {3}
A) (–∞, –1)
D) (–∞, –3) ∪ [–1, 2]
Yine kökleri bulup tabloda boy sırasına göre dizelim.
f(x + 1) = (x2 – x) ⋅ (x + 2)2
x =2, x = –1, x = –3
fonksiyonu veriliyor.
f(x) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
A) –3
E) R – [–3, –1)
Çözüm
DNA 8
C) (–∞, –3) ∪ (0, 2]
B) (–3, –1)
B) –2
C) –1
D) 1
x
–∞
f(x)
–
–3
–1
+
2
–
+∞
+
E) 2
tüm çarpanların başkatsayı işaretleri + olduğundan
+⋅+
= + (En sağa yazılacak)
+
Çözüm
x = 2 ve x = –1 fonksiyonu sıfır yaptığından çözüm küme-
x yerine x – 1 yazarsak;
f(x + 1) = x(x – 1) ⋅ (x + 2)
2
sine dahildir, fakat x = –3 değeri paydayı sıfır yaptığından
SİL
f(x) = (x – 1) (x – 2) (x + 1) ≤ 0
2
x
f(x)
1
+
çözüm kümesine dahil edilmez.
2
–
Ç.K. = (–∞, –3) ∪ [–1, 2]
+
Doğru Seçenek D
Ç.K. = [1, 2] ∪ {–1}; 1 + 2 + (–1) = 2 dir.
Doğru Seçenek E
f(x + 2) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi –3 < x < 4 olduğuna göre, f(x) < 0 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların
toplamı kaçtır?
A) 20
B) 15
(2 − x ) ⋅ ( x + 3)
>0
x
eşitsizliği aşağıdaki aralıkların hangisinde sağlanır?
A) (–∞, 2)
C) 10
D) 5
E) –9
B) (–3, 2)
D) (0, 2]
C) (0, 2)
E) (–3, ∞)
LYS MATEMATİK
51
II. Dereceden Eşitsizlikler - Bölüm 03
II. Dereceden Eşitsizlikler
DNA 10
DNA 11
c 0
(bx + a)
eşitliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdakiler-
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayı değeri
vardır?
den hangisidir?
 −b −a 
A)  ,

b 
 c
−b 

B)  −∞,

c 

 −a

D)  , ∞  b

x 2 − 2x + 1
≤0
| x + 2 | −3
A) 7
 −b −a 
C) R −  ,
b 
c
E) R
B) 6
| x + 2 | −3 < 0
SİL
(cx + b) ⋅ ( x − a)
>0
(bx + a)
−3 < x + 2 < 3
−5 < x < 1
−b
−a
< 0 ve x =
>0
c
b
+
Ayrıca x – 1 = 0 ın kökü olan x = 1 denklemi sağlayaca-
−a
b
–
E) 3
SİL
( x − 1)2
≤0
| x + 2 | −3
2
−b
c
D) 4
Çözüm
Çözüm
x=
C) 5
ğından –5 < x ≤ 1 dir. Bu aralıktaki tam sayılar –4, –3, –2,
+
–1, 0, 1 olup 6 tanedir.
−b   −a


 −b −a 
Ç.K =  −∞,
dir.
 ∪  , ∞  veya Ç. K= R −  ,
c   b


b 
c
Doğru Seçenek B
Doğru Seçenek C
a 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
eşitsizliğinin çözüm aralıklarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
 1 1
A)  ,  a c
| x − 1| − | x + 2 |
1

C)  , ∞ 
a

E) R – {b}
1

A)  −∞, −  2

1

B)  −∞, −  − {−1}
2

 1

C)  − , ∞ 
 2

1

D)  , ∞ 
2

1

E)  −∞, − 
2

II. Dereceden Eşitsizlikler - Bölüm 03
II. Dereceden Eşitsizlikler
Işık 3
TANIM
En az iki eşitsizlikten oluşan sistemlere eşitsizlik sistemi
a ≠ 0 ve a, b, c ∈ R olmak üzere;
denir. Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi tüm eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimidir.
f(x) = ax2 + bx + c
denkleminde; a > 0 ve D < 0 ise her x ∈ R için,
f(x) > 0 dır.
DNA 12
Işık 4
(x + 7) ⋅ (x – 3) < 0
x−5
<0
x+2
a ≠ 0 ve a, b, c ∈ R olmak üzere;
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiler-
f(x) = ax2 + bx + c
den hangisidir?
A) (–2, 3)
B) (–7, 2)
D) (5, ∞)
C) (3, 5)
denkleminde; a < 0 ve D < 0 ise her x ∈ R için,
f(x) < 0 dır.
E) (–∞, –7)
Çözüm
DNA 13
x = –7, x = 3, x = 5, x = –2
x –∞
–7
–2
3
+∞
5
(x + 7) ⋅ (x – 3) < 0
+
–
–
+
+
x−5
<0
x+2
+
+
–
–
+
ax2 + (4a + 2)x + 5a + 4 < 0
eşitsizliği her x gerçek sayısı için sağlandığına
göre, a hangi aralıktadır?
A) a < –1
B) a > –1
D) a > 1
C) a < 1
E) –1 < a < 0
Bizden her ikisinin de negatif olduğu yerler isteniyor.
Ç.K = (–2, 3) tür.
Doğru Seçenek A
Çözüm
f(x) < 0 ise a < 0 ve D < 0 olmalıdır.
D < 0 ⇒ (4a + 2)2 – 4a (5a + 4) < 0
4

<0
x −1



x+5
≥ 0
x−2

Buradan; (1 – a) ⋅ (1 + a) < 0
–1
–
eşitsizliklerini birlikte sağlayan x değerlerinin oluşturduğu küme aşağıdakilerden hangisidir?
A) (1, 2)
B) (2, ∞)
D) (–∞, –5]
C) [–5, 1)
1
+
–
ve a < 0 olduğundan a < –1 dir.
Doğru Seçenek A
E) R – (–5, 2)
LYS MATEMATİK
53
II. Dereceden Eşitsizlikler - Bölüm 03
II. Dereceden Eşitsizlikler

D>0
⇒ 4(a – 3)2 – 4(a + 9) > 0
⇒ a(a – 7) > 0 a = 0, a = 7
mx – 4x + (m – 3) < 0
2
0

eşitsizliği daima doğru olduğuna göre, m aşağıdaki
7
+
–
Ç. K = (–∞, 0) ∪ (7, ∞)
+
aralıkların hangisinde bulunur?
A) m > 4
C) m < –1
B) –1 < m < 4
D) R – {– 1}
 x1 + x2 > 0

E) R
x1 ⋅ x2 > 0
⇒
3–a>0⇒a<3
⇒
a + 9 > 0 ⇒ a > – 9 dur.
Bu üç durumun kesişiminden;
Ç.K = (–9, 0) olur.
Işık 5
Doğru Seçenek E
Kökleri x1 ve x2 olan ax2 + bx + c = 0 denklemi için
x1 < x2 < 0 ise; D > 0, her iki kök negatif olduğundan
kökleri toplamı negatif, kökleri çarpımı pozitiftir.
O zaman; x1 < x2 < 0 ise ∗
∗
−b
<0
a
x1 + x 2 =
x1 ⋅ x 2 =
c
> 0 dır.
a
Kökleri x1 ve x2 olan ax2 + bx + c = 0 denklemi için;
0 < x1 < x2 ise D > 0, her iki kök pozitif olduğundan
kökler toplamı ve çarpımı pozitiftir.
O zaman : 0 < x1 < x2 ise ∗
∗
x1 + x 2 =
x1 ⋅ x 2 =
−b
>0
a
c
> 0 dır.
a
x2 – ax + a + 3 = 0
denkleminin birbirinden farklı iki negatif kökü olduğuna göre, a nın çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–3, 0)
D) (–3, –2)
DNA 14
B) [–3, 0)
C) (–∞, 0)
E) (–3, 2)
Not
x2 + 2(a – 3)x + a + 9 = 0
denkleminin kökleri x1, x2 dir.
Kökleri x1 ve x2 olan ax2 + bx + c = 0 denklemi için
0 < x1 < x2 olduğuna göre, a nın en geniş çözüm
tek şey söylenebilir; kökler çarpımı negatiftir.
aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–9, 3)
B) (–3, 9)
D) (–9, ∞)
x + 2(a – 3)x + a + 9 = 0 denkleminde;
0 < x1 < x2 ⇒  D > 0
 x1 + x2 > 0
 x1 ⋅ x2 > 0 olmalıdır.
54
LYS MATEMATİK
Ayrıca, diskriminanta bakmaya gerek yoktur.
E) (–9, 0)
Çözüm
2
C) (– ∞, 3)
x1 < 0 < x2 yani köklerin biri pozitif biri de negatif ise burada
DNA 15
ax2 + (a – 2)x + 6 – a = 0
denkleminin kökleri zıt işaretli olduğuna göre, a
aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) –2
B) –1
C) 1
D) 7
E) 8
II. Dereceden Eşitsizlikler - Bölüm 03
II. Dereceden Eşitsizlikler
Çözüm
DNA 16
Kökler zıt işaretli olduğundan x1 ⋅ x2 < 0 olmalı.
x2 – 6mx + m – 5 = 0 denkleminin kökleri x1ve x2 dir.
6−a
x1 ⋅ x 2 =
< 0 a = 6, a = 0
a
a
0
6
–
x1 < 0 < x2 ve x1 < |x2| olduğuna göre, m nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
+
–
A) 15
Bu taranmış aralıktaki her gerçek sayı a ya eşit olabilir.
B) 12
C) 10
D) 8
E) 5
a = 1 olamaz.
Doğru Seçenek C
Çözüm
x1 ⋅ x2 < 0 ve x1 + x2 > 0 olmalıdır.
x1 ⋅ x2 = m – 5 < 0
denkleminin biri pozitif diğer negatif iki gerçek kökü
m < 5
olduğuna göre, a nın alacağı en küçük pozitif tam sayı
(a – 1)x2 + 4x + a2 – 9 = 0
ile en büyük negatif tam sayının toplamı kaçtır?
B) –2
A) –3
C) –1
D) 1
E) 2
x1 + x2 > 0
ve
6m > 0
m>0
Buradan m; 1, 2, 3, 4 değerlerini alır.
1 + 2 + 3 + 4 = 10
dur.
Işık 6

Doğru Seçenek C
Kökleri x1 ve x2 olan ax2 + bx + c = 0 denklemi için;
x1 < 0 < x2 ve |x2| > x1 olsun.
c
< 0 ve mutlak
a
değerce büyük olan kök pozitif olduğundan;
Kökler ters işaretli ise x1 ⋅ x 2 =
x1 + x 2 =
−b
> 0 olur.
a
 x1 < 0 < x2 ve |x1| > x2 olsun.
c
< 0 ve
a
mutlak değerce büyük olan kök negatif olduğun-
Kökler ters işaretli olduğundan x1 ⋅ x 2 =
dan;

x1 + x 2 =
−b
< 0 olur.
a
x1 < 0 < x2 ve |x1| = x2 durumu ise bize köklerin
simetrik olduğunu anlatır. ki; x1 + x2 = 0
x1 ⋅ x 2 =
c
< 0 olur.
a
x2 + (m + 3)x – m = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x2 < 0 < x1 ve |x1| < |x2| olduğuna göre, m nin çözüm
aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) m > –3
B) m > 0
D) –3 < m < 0
C) 0 < m < 3
E) m < – 3
LYS MATEMATİK
55
II. Dereceden Eşitsizlikler - Bölüm 03
II. Dereceden Eşitsizlikler
4.
TEST - 1
1.
x1 ve 2 dir.
(2x + 5) ⋅ (x2 – 6x + 9) > 0
hangisidir?
A) R
B) (–∞, 3)
D) (–3, 3)
C) (3, ∞)
f(x) = x2 – 1 ve g(x) = x – 2 fonksiyonları veriliyor.
fog (x) < gof (x) eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
3

A)  −∞, −  2

 3
B)  0,   2
 3
D) R − −   2
A) (x1, 2)
3

C)  , ∞ 
2

3 
E) R −  
2
5.
D) [x1, ∞)
C) R – [x1, 2]
E) [2, ∞)
1
3
−
≥0
2−x 2+x
eşitsizliği aşağıdaki aralıkların hangisinde sağlanır?
A) (–1, 2)
3.
B) [x1, 2]
E) R – {3}
2.
Buna göre, x2 + ax + b > 0 eşitsizliğinin çözüm
aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
x1 < 2 olmak üzere x2 + ax + b = 0 denkleminin kökleri
B) [1, 2)
D) (–∞, – 2]
C) [1, 2]
E) (–∞, 2)
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre,
(x2 – 16) ⋅ f(x) < 0
eşitsizliğinin çözüm aralıklarından biri aşağıdaki-
6.
“Hangi sayının kübü karesinin 3 katından küçüktür.”
eşitsizlik probleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
lerden hangisidir?
A) (–4, –3)
56
B) [–4, 4)
D) [5, ∞)
LYS MATEMATİK
C) (4, 5)
E) (–∞, –4)
A) [3, ∞)
B) (3, ∞)
D) (–3, 3)
C) (–∞, 3) – {0}
E) (–3, 3] – {0}
II. Dereceden Eşitsizlikler - Bölüm 03
II. Dereceden Eşitsizlikler
7.
a < 0 < b < c olmak üzere;
11.
bx ⋅ ( x − a)
<0
cx − b
eşitsizliğinin çözüm aralıklarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
b

D)  0,
c 

b

C) 0,
c 

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
b

B)  , ∞  c

A) (a, 0)
A) [–2, 0)
| x2 − 9 |
E) (0, 4)
| x 2 − 1 | −3
x2 − 4
≤0
hangisidir?
≤0
vardır?
B) 3
D) (–∞, –2]
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
x2 − 4x + 4
eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayı değeri
A) 4
C) (4, ∞)
B) [3, 4)
E) (–∞, a]
12.
8.
3x < x2 – x ≤ 6
C) 2
D) 1
A) R – [–2, 2]
B) (–2, 2)
D) (2, ∞)
C) (–1, 2)
E) ∅
E) 0
13.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun
grafiği
verilmiştir.
9.
− x 2 + 2x − 5
(m − 2)x 2 + (m − 2)x + 1
<0
eşitsizliğinin bütün gerçek sayılarda sağlanması
için m hangi aralıkta olmalıdır?
A) (2, 6)
B) [2, 6]
D) (2, 6]
C) [2, 6)
( x + b)
ax 2 + bx + c
A) 1
14.
≥0
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
A) (–b, ∞)
B) {–b}
D) (b, ∞)
C) (–∞, –b)
E) R – {b}
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
x2 – mx + 16 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
0 < x1 ≤ x2 olduğuna göre, m nin çözüm aralığı
aşağıdakilerden hangisidir?
hangisidir?
(x2 + 3x)
≥ 0 eşitsizliğini sağlayan
f(x)
kaç değişik x tam sayısı vardır?
E) (2, ∞)
10. a < 0 ve b2 < 4ac olmak üzere;
2
Buna göre,
A) (–∞, –∞)
B) (8, ∞)
D) R – (–8, 8)
C) [8, ∞)
E) (–8, 8]
LYS MATEMATİK
57
II. Dereceden Eşitsizlikler - Bölüm 03
II. Dereceden Eşitsizlikler
x + 1⋅ | x − 3 | ⋅( x − 2)2009
15.
2009
( x − 6)
19. a ≠ 0 olmak üzere,
<0
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı
– ax2 + 2x + a = 0
vardır?
denkleminin x1 ve x2 kökleri için aşağıdakilerden
hangisi daima doğrudur?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
A) x1 < 0 < x2 ve |x2| > x1
B) x1 < 0 < x2 ve |x1| > x2
C) 0 < x1 < x2
D) x1 < x2 < 0
16.
4–x<0
x2 – 3x – 18 < 0
E) x1 < 0 < x2
eşitsizlik sistemini sağlayan kaç değişik x tam
sayısı vardır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
x2 + x + 1
20. x 2 + 2x + 1
≤0
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı
vardır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
n!
<6
(n − 2)!
17.
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik n doğal sayısı
vardır?
21.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
�
E) 4
��
�
�
�
��
18.
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği
(m2 – 1)x2 + 4x + m – 2 = 0
gösterilmiştir.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x1 ≤ 0 < x2 olduğuna göre, m nin çözüm aralıkla-
rından biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) (1, 2)
1.E
58
B) [1, 2]
D) [1, 2)
2.C
3.D
4.C
LYS MATEMATİK
5.B
Buna göre,
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı
vardır?
C) (–∞, – 1]
A) 2
E) (1, 2]
6.B
7.D
8.C
x ⋅ f(x) > 0
9.A
10.B 11.A
12.E
B) 3
C) 4
13.C 14.C 15.D 16.B 17.B
D) 5
18.E
19.E
E) 6
20.A 21.D
PARABOL - BÖLÜM 04
PARABOL
DNA 1
TANIM
İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir fonksiyonun grafiğine
Yanda
parabol denir. Yani a ≠ 0 ve a, b, c ∈ R olmak üzere
göre
y = f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlar parabol
verilen
şekle
aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
belirtir.
y = ax2 parabolünü inceleyelim.
Örneğin y = x2 parabolünü çizelim.
x
y
1
1
2
4
3
9
A) c > b > k
B) k > n > c
D) m > n > a
C) c > b > m
E) k > n > m
Çözüm
Tablodaki noktaları yukarıdaki gibi birleştirerek y = x2 parabolünün grafiğini elde ederiz. y = ax + bx + c, II. derece
2
denkleminde a > 0 ise parabolün kolları daima yukarı doğ-
y = ax2 + bx + c parabolünde a > 0 iken kolları yukarı
rudur. Peki a sayısının artması veya azalması parabolün
doğru ve a lar arttıkça kollar kapanır. Bundan dolayı
kollarını nasıl etkiler görelim.
m > n > k dır. Öte yandan a < 0 iken kolları aşağı doğru ve
a lar arttıkça kollar açılacağından; c > b > a dır. İki duruma
bakarsak cevabımız m > n > a olur.
Doğru Seçenek D
Şekilden de görüldüğü gibi a nın pozitif olduğu durumda,
a arttıkça parabolün kolları kapanır.
Ayrıca a < 0 ise kolları aşağı doğrudur.
Yanda verilen şekle göre
m nin alacağı tam sayı
değerlerinin
toplamı
kaçtır?
Şekilden de anlaşıldığı gibi a nın negatif olduğu durumda,
a azaldıkça kolları kapanır.
A) –7
B) –6
C) –5
D) 6
LYS MATEMATİK
E) 7
59
Parabol
Parabol - Bölüm 04
y = ax2 parabolünün çizimini öğrendikten sonra, y = ax2 + c pa-
Çözüm
rabolünün grafiğini çizelim. Önce y = ax2 parabolünün grafiği
çizilir, sonra y ekseninde grafik
y = – 3x2 + 2 parabolünü çizebilmek için; önce y = –3x2 yi
c > 0 ise yukarı doğru
çizelim.
c < 0 ise aşağı doğru c birim ötelenir.
y = x2 + 2 grafiğine bakalım.
Doğru Seçenek E
Şimdi de; y = – 2x2 – 1 in grafiğini çizelim.
Yanda
grafiği
verilen
parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
DNA 2
Aşağıdaki eğrilerden hangisi y = –3x2 + 2 parabolü-
A) y = x2 – 2
B) y = 3x2 + 1
D) y = –x2 – 2
C) y = –x2 + 1
E) y = 2x2 – 1
nün grafiği olabilir?
Şimdi de, y = a(x – r)2 + k grafiğinin nasıl çizildiğini gösterelim.
Önce y = x2 nin grafiği çizilir. y = (x – r)2 nin grafiğini çizmek
için r > 0 ise grafik x ekseninin pozitif yönünde r br kadar
r < 0 ise grafik x ekseninin negatif yönünde r br kadar kaydırılır. y = a(x – r)2 deki a kolların büyüklüğünü ifade eder.
y = a(x – r)2 + k parabolü ise bu durumda k > 0 ise
y = a(x – r)2 grafiği y ekseninde pozitif yöne doğru k br,
k < 0 ise y ekseninde negatif yöne doğru k birim kaydırılarak grafik çizilir.
60
LYS MATEMATİK
Parabol- Bölüm 04
Parabol
y =(x – 2)2 + 1 grafiğini çizelim.
DNA 3
f(x) = x2 – 2x + m
fonksiyonuna ait parabolün tepe noktasının ordinatı – 6 olduğuna göre, m kaçtır?
A) –6
B) –5
C) –1
D) 5
E) 6
TANIM
Çözüm
Bir parabolün artmadan azalmaya veya azalmadan artmaya geçtiği noktaya, o parabolün tepe noktası denir.
f(x) = x2 – 2x + m parabolünün tepe noktası T(r, –6) olsun.
r=
−b
dan (f(x) = ax2 + bx + c) r = 1 olup; f(1) = – 6 dır.
2a
f(1) = 1 – 2 + m = – 6
⇒ m=–5
tir.
Doğru Seçenek B
I no’lu şekilde parabolün II. no’lu şekilde parabolün
azalmaktan artmaya geç- artmaktan azalmaya geçtiği nokta parabolün tepe tiği nokta tepe noktasıdır.
noktasıdır. Bu fonksiyo- Bu fonksiyonun en büyük
nun en küçük değeri var, değeri var, en küçük değeen büyük değeri yoktur.
ri yoktur.
f(x) = x2 – ax + b – 5
fonksiyonunun belirttiği parabolün tepe noktası
T(3, –5) olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
Hazine 1
A) –15
B) –10
C) –5
D) 10
E) 15
Işık 1
Parabolün tepe noktası T(r, k) olmak üzere
f(x) = ax2 + bx + c denkleminde r =
 −b  −b  
T , f  
 2a  2a  
olarak yazabiliriz.
−b
ve k = f(r) dir.
2a
y = f(x) parabolünün tepe
noktası Oy ekseni üzerinde ise r = 0 olduğundan;
−b
= 0 ⇒ b = 0 olmalıdır.
2a
LYS MATEMATİK
61
Parabol
Parabol - Bölüm 04
DNA 4
DNA 5
a ≠ 0 olmak üzere;
y = f(x) = ax + (a + 1)x + 4
2
parabolünün tepe noktası y = x doğrusu üzerinde
parabolünün tepe noktası Oy ekseni üzerinde oldu-
olduğuna göre, k aşağıdakilerden hangisi olabilir?
ğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri
A) –2
doğrudur?
I.
Parabolün kolları aşağı doğrudur.
II.
Parabolün tepe noktası T(0, 4) tür.
y = x2 – 2kx + k + 1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
III. Parabol x eksenini (2, 0) ve (–2, 0) noktalarında
keser.
A) Yanlız I
B) Yanlız III
D) II ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
Çözüm
y = x doğrusu üzerinde olan tepe noktasının apsisi ve ordinatı eşittir.
Çözüm
y = x2 – 2kx + k + 1
Parabolün tepe noktası Oy ekseni üzerinde ise
a + 1 = 0 ⇒ a = – 1 dir.
parabolünün tepe noktasının apsisi r =
Buradan y = f(x) = –x2 + 4
−b 2k
=
= k oldu2a 2
ğundan T(k, k) olur.
f(k) = k ⇒ k2 – 2k2 + k + 1 = k
k2 = 1
k=–1∨k=1
Şekilden görüldüğü üzere verilen yargıların hepsi doğrudur.
Doğru Seçenek C
Doğru Seçenek E
y = f(x) = – 2x2 – (3k – 4)x + 1
fonksiyonunun belirttiği parabolün tepe noktası Oy
ekseni üzerinde olduğuna göre, k aşağıdakilerden
parabolünün tepe noktası y = x + 1 doğrusu üzerinde
hangisine eşittir?
olduğuna göre, m kaçtır?
4
A) − 3
62
B) –1
LYS MATEMATİK
C) 1
4
D) 3
E) 2
y = x2 – 6x + m
A) 19
B) 17
C) 13
D) 11
E) 7
Parabol- Bölüm 04
Parabol
Hazine Avı
•
Parabolün kolları yukarı doğru olduğundan ya da
azalmaktan artmaya geçtiği bir an olduğundan fonksiyonun bir minimum değeri vardır.
Şimdi de y = ax2 + bx + c parabolünün grafikteki konumlanmasına göre a, b ve c nin işaretlerini inceleyelim.
r=
•
Örneğin grafik
−b
= 1 ve k = f(1) = – 9 olduğundan bu fonksiyo2a
nun en küçük ya da minimum değeri – 9 dur.
DNA 6
a ve b gerçek sayılardır.
olsun.
 Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan a < 0 dır.
 Parabolün y eksenini kestiği nokta c nin ta kendi-
b > 0 olur.
Dolayısıyla
y = –b2 + 6b + 7
y nin alabileceği en büyük değerin toplamı kaçtır?
 b nin işaretini bulmak için tepe noktasına bakalım.
T(r, k) da; r =
x = a2 – 6a + 8
olduğuna göre, x in alabileceği en küçük değer ile,
sidir. (c > 0)
A) 20
−b
> 0 (grafikten) a < 0 olduğundan
2a
a b c
dır.
– + +
Not
B) 18
C) 15
D) 12
E) 9
Çözüm
İki fonksiyonun da tepe noktalarının ordinatlarını bulup
toplayalım.
x = a2 – 6a + 8
Bir parabolün kolları yukarı doğru olduğunda fonksiyonun
⇒r=3
bir minimum, parabolün kolları aşağı doğru olduğunda bir
maksimum değeri olur.
k = f(3) = 9 – 18 + 8 = – 1 (en küçük değer)
y = –b2 + 6b + 7
⇒r=3
k = f(3) = – 9 + 18 + 7 = 16 (en büyük değer)
olup, toplamı –1 + 16 = 15 tir.
Doğru Seçenek C

f(x) = x2 –2x – 8 fonksiyonunu ele alalım.
f(x) = 2x2 + 4x + 2a – 3
fonksiyonunun alacağı en küçük değer 7 olduğuna
göre, a kaçtır?
A) 10
B) 8
C) 6
D) 4
LYS MATEMATİK
E) 2
63
Parabol
Parabol - Bölüm 04
DNA 7
DNA 8
x ∈ [–3, 0] olmak üzere;
Şekildeki
denklemi;
–x – 2x + 8
2
f(x) = –x2 + mx + n
ifadesinin alacağı en büyük tam sayı değeri ile en
olduğuna göre, f(x) in
küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?
A) 24
B) 18
C) 16
D) 14
parabolün
alabileceği en büyük
E) 12
değer aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
Çözüm
Çözüm
f(x) = – x2 + mx + n parabolünün eksenleri (0, 3) ve (–1, 0)
y = – x2 – 2x + 8 parabolünün tepe noktasının ordinatı
2
= −1 dir.
−2
r=
noktalarında kestiğinden;
x = 0 için y = n = 3
x = – 1 için y = – 1 – m + 3 = 0 ise m = 2 bulunur.
f(–1) = – 1 + 2 + 8 = 9
Buradan parabol denklemi; f(x) = – x2 + 2x + 3 tür.
r=
fonksiyonunun alacağı en büyük değerdir.
−2
= 1 ve f(1) = – 1 + 2 + 3 = 4
−2
fonksiyonun alabileceği en büyük değerdir.
f(–3) = 5
Doğru Seçenek D
en küçük değer olup toplamları 9 + 5 = 14 tür.
Doğru Seçenek D
y = f(x) = – x2 – (a – 1)x + a
parabolünün grafiği yandaki
x bir gerçek sayı olmak üzere; – 5 ≤ x ≤ 2 olduğuna
gibidir.
göre, x + 4x ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı
Buna göre, f(x) in alabile-
değeriyle en küçük tam sayı değerinin çarpımı kaç-
ceği en büyük değer kaç-
tır?
tır?
2
A) –72
64
B) –48
LYS MATEMATİK
C) –36
D) 36
E) 48
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Parabol- Bölüm 04
Parabol
DNA 9
Işık 2
a ≠ 0 ve a, b, c ∈ R olmak üzere
y = ax2 + bx + c II. derece fonksiyonların grafikleri
çizilirken
Bir top tarafından fırlatılan bir sirk cambazının yörün1 2
gesi f ( x ) = x −
x fonksiyonunun grafiği ile verili20
yor. Top ve gerilmiş ağın her ikisi de yerden 3 metre
a.
x = 0 için y eksenini kestiği nokta bulunur.
b.
y =0 için x eksenini kestiği nokta bulunur.
c.
Tepe noktası bulunur.
d.
a nın işaretinden kolların yönüne bakılır.
yüksekliktedir.
Buna göre, cambazın yerden yüksekliği en fazla
kaç metredir?
A) 28
B) 18
C) 15
D) 8
E) 5
Çözüm
f ( x) = x −
Buradan r =
1 2
x
20
DNA 10
−b
= 10
2a
f (10) = 10 −
1
⋅ 100 = 5 m
20
y = x2 – 2x – 3
fonksiyonunun belirttiği parabol aşağıdakilerden
hangisidir?
dir.
Cambaz yerden en fazla 5 + 3 = 8 m yükselir.
Doğru Seçenek D
Şekilde bir gölün dik kesiti verilmiştir. Kesitin görünümünün denklemi y = x2 – 4x – 5 ve |AB| = 60 m olduğuna
göre, bir dalgıç en fazla kaç metre derine inebilir?
A) 60
B) 70
C) 80
D) 90
E) 120
LYS MATEMATİK
65
Parabol
Parabol - Bölüm 04
Çözüm
y = – x2 + 5x – 6
fonksiyonunun belirttiği parabol aşağıdakilerden han-
x = 0 için y = –3 (0, – 3)

gisi olabilir?
y = 0 için x2 – 2x – 3 = 0

⇒ (x – 3)(x + 1) = 0
⇒ x = 3 ∨ x = – 1
 Tepe noktasına bakalım.
r=
−b
= 1 ⇒ f (1) = – 4 ten
2a
T (1, – 4) bulunur. (Kollar yukarı)
Doğru Seçenek A
Hatırlatma
Analitik geometri dersindeki simetri kavramını biraz
hatırlatalım.
Uyarı
A(x, y) noktasının Ox eksenine göre simetriği A′(x, –y)
A(x, y) noktasının Oy eksenine göre simetriği A′′(–x, y)
Yukarıdaki parabolün grafiğini çizdiğimizde;
A(x, y) noktasının orijine göre simetriği A′′′(–x, –y)
i)
dir.
Parabolün x eksenini kestiği noktaların II. derece
fonksiyonun kökleri olduğunu
ii)
y eksenini kestiği noktanın ax2 + bx + c fonksiyonunun c si olduğunu;
iii) Fonksiyonun grafiğinin x = r doğrusuna göre, simetrik olduğunu görürüz.
66
LYS MATEMATİK
Parabol- Bölüm 04
Parabol
Hazine 2
DNA 11
y = x2 – 3x – 2
Simetri ekseni
parabolünün Ox eksenine göre simetriği olan parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x2 + 3x + 2
B) y = x2 + 3x – 2
C) y = – x2 + 3x + 2
D) y = –x2 – 3x – 2
E) y = – x2 + 3x – 2
x=r =−
b
doğrusuna fonksiyonun simetri ekseni
2a
denir ve parabolü iki eşit parçaya ayırır.
Çözüm
A(x, y) noktasının Ox eksenine göre simetriği A′(x, –y) olduğundan;
x + x 2 −b
r= 1
=
2
2a
–y = x2 – 3x – 2
bulunur.
⇒ y = –x2 + 3x + 2
DNA 12
olur.
Doğru Seçenek C
y = ax2 – (3a + 1)x + 2a + 5
fonksiyonuna ait parabol x = 1 doğrusuna göre simetrik olduğuna göre, parabolün Oy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
A) –3
B) –2
C) 2
D) 3
E) 4
Çözüm
Parabolün x = 1 doğrusuna göre simetrik olmasının anlamı; x = 1 doğrusunun simetri ekseni olması demektir.
y = –x2 + 2x – 1
parabolünün orjine göre simetriği olan parabolün
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
x=r =
−b
3a + 1
= 1⇒
= 1 ⇒ 3a + 1 = 2a ⇒ a = −1
2a
2a
y = –x2 + 2x + 3 parabolünün y eksenini kestiği noktanın
2
A) y = –x – 2x – 1
B) y = –x – 2x + 1
C) y = x2 + 2x + 1
D) y = x2 + 2x – 1
2
ordinatı x = 0 için y = 3 tür.
Doğru Seçenek D
E) y = x2 – 2x – 1
LYS MATEMATİK
67
Parabol
Parabol - Bölüm 04
a ≠ 0 olmak üzere,
f(x + 1) = ax2 + bx + c
parabolünün simetri ekseninin denklemi x = 5 olduğuna göre f(x – 1) parabolünün simetri ekseninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = –3
B) x = – 2
D) x = 5
Parabol üzerinde aldığımız herhangi bir noktanın apsisine
a dersek ordinatı 3a2 olur.
C) x = 2
E) x = 7
DNA 13
f(x) = ax2 + bx + c parabolünün grafiği yandaki
Hazine Avı
gibidir.
Buna göre,
kaçtır?
Bir y = f(x) parabolünün tepe noktası ve simetri ekseni
hakkında fikir edindikten sonra, bunları grafik üzerinde nasıl yorumlayacağımıza bir bakalım:
A)
1
4
B)
1
2
C) 1
D) 2
c
b
oranı
E) 4
Parabol sorularını çözmek için mutlaka analitik geometri bilgisine ihtiyaç vardır. Bunlardan ilki, denklemi verilen
doğru ya da eğri denklemlerinden doğru ya da eğrilerin
Çözüm
geçtiği noktaları saptamak olacaktır.
Örneğin 2x + 3y – 6 = 0 doğrusunu çizmek için;
x = 0 için y = 2 ve y = 0 için x = 3 bulunur.
Yani doğru (0, 2) ve (3, 0) noktalarından geçmelidir.
Parabolün üzerindeki noktalar parabol denklemini sağlar.
(–1, 0) noktası için a – b + c = 0 (I)
(2, 0) noktası için 4a + 2b + c = 0 (II) olur.
c
sorulduğundan, a ları yok edelim.
b
(I. ifadeyi –4 ile çarpıp taraf tarafa toplayalım.)
–4a + 4b – 4c = 0
Ya da; y = x2 – 4 parabolü için
4a + 2b + c = 0
x = 0 için y = –4 ve y = 0 için x = –2 ∨ x = 2 dir.
6b – 3c = 0
2b = c
c
=2
b
olur.
İkinci ve çok önemli bir durum da; eğri ya da doğru üzerinde alınan bir nokta, eğri ya da doğru denklemini sağlar.
68
LYS MATEMATİK
Doğru Seçenek D
Parabol- Bölüm 04
Parabol
DNA 14
f(x) = x2 – 5x + 6 parabolü-
nün grafiği yandaki gibidir.
parabolü x eksenini iki negatif değerde kestiğine
Buna göre, a – b – c
göre, m nin en geniş aralığı aşağıdakilerden han-
değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
f(x) = x2 + mx + 3 – m
gisidir?
A) m > 0
E) 11
B) m < 3
D) 2 < m < 3
C) –3 < m < –2
E) –6 < m < 2
Çözüm
f(x) = x2 + mx + 3 – m parabolü x eksenini iki negatif değerde kesiyorsa; D > 0, x1 + x2 < 0 ve x1 ⋅ x2 > 0 olmalıdır.
Işık 3
D > 0 ⇒ m2 –4 (3 – m) > 0
x1 + x2 < 0
x1 ⋅ x2 > 0
a ≠ 0 ve a, b, c ∈ R olmak üzere,
m2 + 4m – 12 > 0
⇒ – m < 0
⇒3–m>0
y = ax2 + bx + c parabolü, x eksenini iki farklı nokta-
(m – 2)⋅(m + 6) > 0 ⇒ m > 0
da kesiyorsa, bu noktalar ikinci dereceden denklemin
kökleri olduğundan D > 0 olmalıdır.
–6
+
⇒m<3
2
–
+
Bu üç durumun kesişiminden; 2 < m < 3 olmalıdır.
Doğru Seçenek D
Yani bir ikinci dereceden denklemin birbirinden farklı
iki gerçek kökünün olması ile bu denklemin ifade ettiği
parabolün x eksenini farklı iki noktada kesmesi aynı
durumlardır.
Diyelim ki parabol Ox eksenini orijine göre simetrik iki noktada kesiyorsa köklerin simetrik olduğunu anlatmış. Kök-
m ≠ 0 olmak üzere,
ler ters işaretli ve mutlak değerce eşitmiş.
Parabol Ox eksenini negatif iki değerde kesiyorsa O za-
parabolünün Ox eksenini orijine göre simetrik iki nok-
manda kökler toplamı negatif, kökler çarpımı da pozitif
ta kesmesi için m kaç olmalıdır?
demektir.
A) –3
f(x) = mx2 + (m2 + m – 6)x – 4
B) –2
C) 1
D) 2
LYS MATEMATİK
E) 3
69
Parabol
Parabol - Bölüm 04
Işık 4
y = ax + bx + c
y = f(x) = ax2+ 2x + 3
2
fonksiyonunun belirttiği parabolün tepe noktası Ox
parabolü x eksenini tek nokta-
ekseni üzerinde olduğuna göre, parabolün tepe nok-
da kesiyor, başka bir deyişle x
tasının apsisi kaçtır?
eksenine teğet ise denklemin
birbirine eşit iki kökü olduğun-
B) –3
A) –4
C) –2
D) 3
E) 4
dan D = 0 dır.
Özel olarak parabol x eksenine pozitif tarafta teğet ise
Işık 5
D = 0 ve x1 + x2 > 0, negatif tarafta teğet ise D = 0 ve
x1 + x2 < 0 olur.
y = ax2 + bx + c
parabolü x eksenini kesmiyorsa
gerçek
kökü
yoktur. Yani, D < 0 dır.
DNA 15
Hazine 3
y = x2 + (a + 2)x + a + 5
y = ax2 + bx + c
parabolü Ox eksenine pozitif tarafta teğet olduğu-
parabolü daima x ekse-
na göre, a kaçtır?
A) –6
B) –4
ninin üstünde kalıyorsa;
C) –2
D) 2
E) 4
a > 0, D < 0
Öte yandan parabol da-
Çözüm
ima x ekseninin altında
kalıyorsa
D = 0 ve x1 + x2 = – a – 2 > 0
a < 0, D < 0
a < – 2 ...... (i)
D = (a + 2)2 – 4(a + 5) = 0
a2 + 4a + 4 – 4a – 20 = 0
olur.
DNA 16
a2 = 16
a = 4 veya a = – 4 tür. ...... (i)
f(x) = (a – 1)x2 + (a + 6)x – 9
parabolünün x ekseninin daima altında kalması
(i) ve (ii) den a = –4 bulunur.
için a aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
Doğru Seçenek B
A) a > 1
70
LYS MATEMATİK
B) 0 < a < 1
D) – 48 < a < 0
C) a < – 48
E) a < 48
Parabol- Bölüm 04
Parabol
Çözüm
Çözüm
D < 0 ve a – 1 < 0 olmalıdır.
a – 1 < 0 ⇒ a < 1 dir.
(a + 6)2 + 4 ⋅ 9 (a – 1) < 0
a2 + 12a + 36 + 36a – 36 < 0
a ⋅ (a + 48) < 0
a=0
– ∞ – 48
+
Parabolden bu denklemin köklerinin x1 = k ve x2 = 3k olduğu görülüyor.
∞
0
–
a = – 48
+
x1 + x 2 = 4k = 2m ⇒ k =
– 48 < a < 0 olmalıdır.
m
dir.
2
⇒
x1 ⋅ x 2 = 3k 2 = 3m ⇒ k 2 = m ve k =
⇒
m2
=m ⇒ m=4
4
Doğru Seçenek D
m
2
bulunur.
Buradan parabol denklemi;
y = x2 – 8x + 12 dir.
y = ax2 + bx + c parabolünde x = 0 için y eksenini kestiği
noktayı, yani denklemdeki c değerini buluruz.
y = x2 + (a – 5)x + a – 2
parabolü x eksenini kesmediğine göre, a nın alabile-
O zaman x = 0 için y = 12 olduğundan |OC| = 12 bulunur.
ceği kaç değişik tam sayı değeri vardır?
A) 11
B) 10
C) 9
D) 8
Doğru Seçenek E
E) 7
Yanda
grafiği
verilen
parabolde 2|AO| = |OB|
olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisidir?
DNA 17
Yanda grafiği verilen parabol de |OB| = 3 |OA| dır.
Buna göre, |OC| aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
Işık 6
y = f(x) eğrisi ile y = g(x) eğrisinin kesişim noktalarının
A) 32
B) 28
C) 24
D) 18
E) 12
apsisleri, f(x) = g(x) denkleminin kökleridir.
LYS MATEMATİK
71
Parabol
Parabol - Bölüm 04

DNA 18
Bu kısımda grafiği verilen parabollerin denklemlerini
yazmayı öğrenelim.
Yanda
Işık 7
f(x) = x2 + ax + b ve
g(x) = x2 + cx + d
y = ax2 + bx + c parabolü
parabolleri verilmiştir.
üzerindeki herhangi üç
nokta biliniyorsa; nokta-
(a − c) ⋅ b
Buna göre,
oranı kaçtır?
d
11
A) − 2
21
B) − 4
C) –5
ları parabol denkleminde
yazar; a, b, ve c katsa9
D) − 2
yılarını bulup denklemi
E) –2
yazarız.
Çözüm
DNA 19
Bu parabollere nerden bakarsanız bakın birer kökleri ortaktır. Ortak kök x1 olmak üzere;
A(–1, 5), B(1, 3), C(2, 5) noktalarından geçen para-
x + ax + b = 0 denkleminin kökleri –3, x1 ve
bol denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
x2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri de 4, x1 dir.
A) y = x2 – x + 3 B) y = –x2 + x + 3 C) y = x2 + x + 3
2
Kökler
toplamı:
x1 – 3 = – a
x1 + 4 = – c
–3x1 = b,
Kökler
çarpımı:
4x1 = d
Buradan a – c = 7 olur.
Buradan
D) y = x2 + x – 3
E) y = –x2 – x – 3
Çözüm
b −3
=
olur.
d 4
y = ax2 + bx + c olmak üzere;
(a − c ) ⋅ b
b
21
= (a − c ) ⋅ = −
d
d
4
A(–1, 5) için a – b + c = 5
bulunur.
C(2, 5) için 4a + 2b + c = 5
Doğru Seçenek B
B(1, 3) için a + b + c = 3 denklemlerini ortak çözersek;
a = 1, b = – 1 ve c = 3 olur ki denklem y = x2 – x + 3 olarak
bulunur.
Doğru Seçenek A
Yanda f(x) = x2 + ax + b ve
g(x) = –x2 – (a + 2)x + b + 4
fonksiyonlarının grafikleri
verilmiştir.
A(0, 0), B(6, 0), C(1, –5) noktalarından geçen parabol
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, |AB| aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 6 72
B) 5
LYS MATEMATİK
C) 4
D) 3
E) 2
A) y = x2 – 6
B) y = x2 – 6x
C) y = x2 + 6x
D) y = x2 – 6x – 5 E) y = x2 + 6
Parabol- Bölüm 04
Parabol
Işık 8
Yanda verilen parabolün
Parabolün x eksenini kestiği noktalar ve bunların dı-
denklemi
şında herhangi bir nokta biliniyorsa;
aşağıdakiler-
den hangisidir?
Parabolün denklemi;
y = a ⋅ (x – x1) ⋅ (x – x2)
ifadesi kullanılarak bulunur.
A) y = 2x2 – 4x + 8
B) y = x2 – 6x + 8
C) y = x2 – 8x + 6
D) y = 3x2– 4x + 5
E) y = x2 + 6x – 8
DNA 20
DNA 21
Yanda verilen y = f(x)
parabolünün grafiğine
göre, f(4) kaçtır?
A)
7
3
B) 2
C)
5
3
D)
4
3
E) 1
Yukarıda verilen parabol şeklindeki tünelin taban genişliği 6 m ve yüksekliği 3 m dir. Tünelden geçecek
olan kamyonun genişliği 2 m dir.
Çözüm
Bu kamyonun tünelden geçebilmesi için yüksekliği
aşağıdaki eşitsizliklerden hangisini sağlamalıdır?
x1 = –1 ve x2 = 3 olduğundan;
y = a ⋅ (x + 1) ⋅ (x – 3) ve C(0, –1) bu denklemi sağlaya-
A) h ≥ 3
cağından;
– 1 = a ⋅ 1 ⋅ (–3) ⇒ a =
Buradan denklem y =
D) h <
B) h < 3
8
3
C) h >
8
3
E) h < 4
1
bulunur.
3
1
⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 3) olup,
3
f( 4) =
Çözüm
1
5
⋅ 5 ⋅1 =
3
3
tür.
Doğru Seçenek C
LYS MATEMATİK
73
Parabol
Parabol - Bölüm 04
Parabol denklemini yazalım.
Hazine 4
y = a(x + 3) ⋅ (x – 3) ve (0, 3) noktasına göre;
3 = −9a ⇒ a =
−1
3
y = ax2 + bx + c
olur.
parabolü ile y = mx + n doğrusu verilmiş olsun.
−1
y = ( x + 3) ⋅ ( x − 3)
3
ax2 + bx + c = mx + n
Kamyonun yüksekliğine h dersek A(1, h) parabol denkle-
denklemi için,
mini sağlar.
f (1) =
(i)
−1
8
⋅ 4 ⋅ ( −2) = h =
3
3
D > 0 ise, doğru parabolü iki farklı noktada keser.
bulunur.
(ii) D = 0 ise doğru, parabole teğettir.
8
Dolayısıyla h < olmalıdır.
3
(iii) D < 0 ise doğru, parabolü kesmez.
Doğru Seçenek D
DNA 22
Yanda verilen y=f(x) pa-
parabolü ile y = 3x + m doğrusu farklı iki noktada
rabolünün tepe noktası
kesiştiklerine göre, m nin çözüm kümesi aşağıda-
T olduğuna göre, ABCD
kilerden hangisidir?
dikdörtgeninin alanı aşa-
A) m > 2
ğıdakilerden hangisidir?
A) 12
B) 9
y = –x2 – x + 2
C) 8
D) 6
B) m < 2
D) m > 6
C) m < 6
E) m < – 6
E) 3
Çözüm
Ortak çözüp; D > 0 durumuna bakmalıyız.
Işık 9
Tepe noktası ve herhangi bir noktası belli olan parabolün denklemi,
– x2 – x + 2 = 3x + m
x2 + 4x + m – 2 = 0
y = a(x – r)2+ k
D = 16 – 4(m – 2) > 0 olmalıdır.
bağıntısıyla bulunur. A noktası parabolün denklemini
m–2<4
m<6
sağladığından a başkatsayısını bize buldurur.
dır.
Doğru Seçenek C
74
LYS MATEMATİK
Parabol- Bölüm 04
Parabol
f(x) = x2 + 5x + 1
y = ax – 5 doğrusu f(x) = x2 – 3x + 4 parabolüne bir A
parabolü ile y = 3x + 9 doğrusunun kesim noktalarının
apsislerinin toplamı kaçtır?
A) –4
C) –2
B) –3
noktasında teğettir.
Buna göre, A noktasının koordinatları aşağıdakiler-
D) 2
E) 4
den hangisi olabilir?
A) (3, 4)
B) (3, 3)
D) (1, 4)
C) (2, 5)
E) (2, 3)
DNA 24
DNA 23
y = x2 – mx + 9
y = ax – 4 doğrusu y = 3x2 – 1 parabolüne teğet ol-
parabolüne orijinden çizilen teğetler birbirine dik
duğuna göre, a aşağıdakilerden hangisine eşittir?
olduğuna göre, m kaçtır?
A) {–1, 1}
A) 3 3 B) {–2, 2}
D) {–5, 5}
C) {–4, 4}
E) {–6, 6}
B)  29 C)  30
D)  35 E)  37
Çözüm
Çözüm
Ortak çözüm denkleminde D = 0 olmalıdır.
3x2 – 1 = ax – 4
3x2 – ax + 3 = 0
D = 0 ⇒ a2 – 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 0
a2 = 36
y = x2 – mx + 9
parabolüne y = kx doğrusu teğet olduğundan ortak çözüm
denkleminde D = 0 olmalıdır.
a=–6∨a=6
olur.
Ç.K = {–6, 6} dır.
Doğru Seçenek E
x2 – mx + 9 = kx
x2 – x(m + k) + 9 = 0
D = 0 ⇒ (m + k)2 – 4 ⋅ 9 = 0
m+k=6∨m+k=–6
k1 = 6 – m ∨ k2 = – 6 – m
olur.
LYS MATEMATİK
75
Parabol
Parabol - Bölüm 04
İki doğru birbirine dikse eğimleri çarpımı – 1 olacağından;
Hazine 5
k1 ⋅ k2 = (6 – m) ⋅ (–6 – m) = – 1
m2 = 35
m =  35
y = a1x2 + b1x + c1 ve
y = a2x2 + b2x + c2
parabolleri verilmiş olsun.
bulunur.
a1x2 + b1x + c1 = a2x2 + b2x + c2
denklemi için,
Doğru Seçenek D
Kısayol
(i)
D > 0 ise paraboller iki noktada kesişir.
(ii)
D = 0 ise paraboller birbirine teğettir.
(iii)
D < 0 ise paraboller kesişmez.
a ≠ 0 olmak üzere;
y = ax2 + bx + c
DNA 25
parabolüne orijinden çizilen teğetler birbirine dik ise
D = –1 dir.
m ≠ 0 olmak üzere;
y = (m + 1)x2 + mx + 2
y = x2 – 2mx + 1
parabolleri birbirine teğet olduklarına göre, m kaçtır?
A)
1
9
B)
2
9
C)
1
3
D)
4
9
E)
2
3
Çözüm
Ortak çözüm denkleminde; D = 0 olmalıdır.
(m + 1)x2 + mx + 2 = x2 – 2mx + 1
f(x) = x2 – 3x + 1
parabolünün orijinden geçen teğetlerinden birinin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = – 5x
76
B) y = – 3x
D) y = 3x
LYS MATEMATİK
C) y = x
E) y = 5x
mx2 + 3mx +1 = 0
D = 0 ⇒ 9m2 – 4 m = 0
m=0∨ m=
m ≠ 0 olduğundan m =
4
9
4
bulunur.
9
Doğru Seçenek D
Parabol- Bölüm 04
Parabol
Çözüm
y = x2 + 1 ve y = (m + 1)x2 – mx + 2
y = 5x – x2 parabolünün altında kalan bölge ile y = x – 5
parabollerinin hiçbir ortak noktaları olmadığına göre,
doğusunun üstünde kalan bölgenin kesişimini bulacağız.
m aşağıdakilerden hangisi olabilir?
(y ≥ x – 5 ise (0, 0) noktasını yerine yazarsak 0 ≥ – 5 oldu-
A) –2
B) –1
C) 3
D) 5
E) 6
ğundan orijini içine alan bölgeyi doğru taramalıyız)
taradığımız iki bölgenin kesişimine bakarsak;
DNA 26
Doğru Seçenek C
y ≤ 5 x − x 2 

y ≥ x − 5 
eşitsizlik sistemini sağlayan (x, y) noktalarının belirttiği bölge aşağıdakilerden hangisidir?
Şekilde verilenlere göre,
y ≥ x2 – 4x – 5
y≤x
x⋅y≥0
eşitsizlik sistemini sağlayan bölge aşağıdakilerden
hangisi ya da hangileridir?
A) A – C
B) A – B – C
D) F – G
C) H – E
E) A – B – D
LYS MATEMATİK
77
Parabol
Parabol - Bölüm 04
4.
TEST - 1
f(x) = (m – 1)x2 – 2mx + 4
parabolü x eksenine teğet olduğuna göre, m kaçtır?
1.
A) –2
Şekilde,
B) –1
C) 2
D) 3
E) 4
f(x) = ax2 + bx + c
parabolünün grafiği
verilmiştir.
Buna göre,
A) 8
2b − c
oranı kaçtır?
a
B) 4
C) 2
D) –2
E) – 4
5.
f(x) = x2 + 2x + m – 3
parabolü, x ekseninin daima üstünde kaldığına
göre, m nin alabileceği en küçük tam sayı değeri
kaçtır?
2.
f ( x ) = x 2 + 2x +
A) 7
2a + 1
3
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
parabolü x eksenini farklı iki noktada kestiğine
göre, a nın alacağı en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) 2
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
6.
Yandaki şekilde
f(x) = –x2 + x + m ve
3.
g(x) = x2 + x + m – 8
y = x2 – 3x – 10
parabolünün x eksenini kestiği noktalar A ve B dir.
Buna göre, A ile B noktaları arasındaki uzaklık
kaç birimdir?
A) 10
78
B) 9
LYS MATEMATİK
fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
C) 8
D) 7
E) 5
Buna göre, m aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
B) 1
C) 4
D) 5
E) 6
Parabol- Bölüm 04
Parabol
10. Parametrik denklemi;
7.
x=t+1
y = t2 – 3t
olan parabolün tepe noktasının koordinatları
aşağıdakilerden hangisidir?
Yukarıda y = x2 + bx + c parabolü ile bu parabolü B
ve C noktalarında kesen y = 2 – x doğrusu verilmiştir.
5 9
A)  , −  2 4
Buna göre, b + c toplamı kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
5 9
B)  ,  2 4
 5 9
D)  − ,   2 4
9
 5
C)  − , − 
4
 2
 5

E)  − , 2 
2


E) 2
8.
11.
Şekilde grafiği verilen parabolde 5|OA| = |AB| ol-
olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisine eşit-
duğuna göre, a aşağıdakilerden hangisidir?
A) –12
B) –8
C) –6
D) –4
Yukarıdaki parabolün denklemi y = ax2 + bx + c
tir?
E) –2
A) –18
B) –15
C) –12
D) –9
E) –6
9.
12.
Yukarıda grafiği verilen parabolde AOB bir eşkenar
üçgendir.

Buna göre, Alan(AOB) aşağıdakilerden hangisi-
ne eşittir?
A) 9
Yukarıda grafiği verilen parabolün tepe noktasının
ordinatı –1 dir.
B) 9 3 D) 12
C) 6 3
E) 12 3
Buna göre, b aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 2
LYS MATEMATİK
E) 3
79
Parabol
Parabol - Bölüm 04
16. 3 ≤ x ≤ 6 olmak üzere;
13.
y = – x2 + 5x + 6
ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?
A)
Şekilde verilen parabol x ekseninde negatif yön-
25
2
B)
49
4
C) 12
D) 6
E)
23
2
de 1 br kaydırılıp daha sonra y ekseninin pozitif
yönünde 3 br kaydırılırsa (ötelenirse) oluşan yeni
parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisi
olur?
A) y = 3x2 – 3x + 3 B) y = 3x2 – 3x
C) y = 3x2 – 6x D) y = 3x2 – 6x – 6
E) y = 3x2 – 6x + 6
17.
14. y = mx2 – nx + 3 ve y = nx2 – mx – 1 parabollerinin
kesiştiği noktalar A ve B dir.
Buna göre, [AB] nin orta noktasının apsisi kaçtır?
A) 1
B)
1
2
D) −
C) 0
1
2
Şekilde verilen y = f(x) parabolünün tepe noktası
T olduğuna göre, y = f(x – 2) denkleminin kökleri
E) –1
toplamı kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
15.
AOBC bir paralelkenardır.
Yandaki
şekildeki
parabolün
denklemi;
f(x) = –x – mx + 6 olduğuna göre, B noktasının
2
apsisi kaçtır?
A)
1.B
80
1
3
B)
3 D) 3 3 2.C
3.D
18.
4.C
LYS MATEMATİK
6.E
7.C
parabolü y = 2 doğrusuna teğet olduğuna göre,
m kaçtır?
C) 2 3
A) 2
E) 6 3
5.C
f(x) = x2– 4x + m
8.C
9.E
10.A
11.C
B) 3
12.B
13.E
C) 4
14.D
D) 6
15.B
16.C
E) 8
17.E
18.D
TRİGONOMETRİ - BÖLÜM 05
TRİGONOMETRİ
Analitik düzlemde, merkezi orijin ve yarıçap uzunluğu
TANIM
1 birim olan çembere birim (trigonometrik) çember de-
Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir. Başlangıç noktasına açının köşesi, ışınlara da açının
kenarları veya kolları denir.
nir.
Birim çember üzerindeki her P(x, y) noktası için; x2 + y2 = 1
eşitliği sağlanır. Buna göre birim çemberin üzerindeki noktalar kümesini Ç ile gösterirsek,
Ç = {(x, y) | x, y ∈ R ve x2 + y2 = 1}
olur.
bir açı dört farklı biçimde gösterilir.
 = BAC
 = CAB

[ AB ∪ [ AC = A
DNA 1
TANIM
Bir ışını başlangıç noktası etrafında döndürülerek bir açı
elde edilebilir. Işının döndürülmeden önceki konumuna
açının başlangıç noktası, döndürüldükten sonraki konumuna açının bitiş kenarı denir. Saatin dönme yönünde


3
A−
, a  noktası birim çember üzerinde olduğu 2



na göre, a aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?
A) –2
B) –1
C) −
döndürülerek elde edilen bir açıya negatif yönlü açı,
1
2
D) 1
E) 2
saatin dönme yönünün aksi yönünde döndürülerek elde
edilen açıya pozitif yönlü açı denir.
Çözüm
 pozitif yönlü bir
CAB
 negatif yönlü bir
BAC
açıdır.
açıdır.
A noktası birim çember üzerinde olduğundan, çember
denklemini sağlar.
2

3
x2 + y2 = 1 ⇒  −
+ a2 = 1
 2 


TANIM
⇒
3
+ a2 = 1
4
⇒ a2 =
1
4
⇒ a=
1
1
veya = −
2
2
dir.
Doğru Seçenek C
LYS MATEMATİK
81
Trigonometri
Trigonometri - Bölüm 05
a a
A  ,  noktası birim çember üzerinde olduğuna
2 2
göre, a aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
2
2
B)
2
C) 2 2 D) 1
E) 2
72482″ saniyelik açıya aşağıdakilerden hangisi karşılık gelir?
A) 17° 8′ 3 ″
B) 18° 8′ 2″
D) 20° 8′ 2″
C) 19° 8′ 3″
E) 20° 8′ 3″
TANIM
Bir tam çember yayı 360 eş parçaya bölündüğünde, bu eş
TANIM
yaylardan birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derecelik açı denir ve 1° şeklinde gösterilir.
Bir çemberde, yarıçap uzunluğuna eşit uzunluktaki yayı
gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir ve 1R veya
1 rad ile gösterilir.
1° nin 60 ta birine 1 dakika (1′) ve 1 dakikanın 60 ta birine
1 saniye denir (1″). Buradan; 1° = 60′ = 3600″
r uzunluğundaki yayı gören merkez açı 1 radyan ise 2pr
uzunluğundaki yani çemberin tamamını gören merkez
DNA 2
açının ölçüsü 2p radyandır.
27000″ saniyelik açıya aşağıdakilerden hangisi
karşılık gelir?
A) 6° 30′ 58 ″
B) 7° 29 ′ 50 ″
D) 8° 30′
C) 7° 30′
E) 8° 30′ 57″
Açı ölçü birimlerini birbirlerine dönüştürürken;
D
R
=
180° π
Çözüm
27000″ 60
240
450 60
420 7°
300
300 30′
0
bağıntısı kullanılır.
240° lik açının ölçüsü kaç radyandır?
Doğru Seçenek C
82
LYS MATEMATİK
DNA 3
⇒ 7° 30′ bulunur.
A)
5π
3
B)
4π
3
C) p
D)
2π
3
E)
π
3
Trigonometri - Bölüm 05
Trigonometri
Çözüm
Çözüm
3200° 360
2880° 8
240° R
=
180° π
4 R
=
3 π
⇒
320°
4π
R=
3
olarak bulunur.
Doğru Seçenek B
bulunur.
Doğru Seçenek B
1100° lik açının esas ölçüsü aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 220°
5p
radyanlık açının ölçüsü kaç derecedir?
12
A) 120
B) 100
C) 75
D) 60
B) 120°
C) 80°
E) 20°
D) 40°
E) 45
Not
ESAS ÖLÇÜ
Bir çember üzerinde herhangi bir sabit nokta belirlendikten sonra, bu noktadan çember üzerinde harekete başlayıp örneğin 420° lik bir yay uzunluğu kadar yol almış
olalım. 360° lik yay kadar hareket edildiğinde başlanılan
Radyan cinsinden bir açının esas ölçüsü bulunurken, bu
açının ölçüsü 2p ye bölünür, elde edilen kalan o açının
esas ölçüsüdür. Eğer açı ölçüsü negatif verilmiş ise; po-
noktaya gelineceğinden sadece 60° lik yay boyu kadar yol
zitifmiş gibi işlem yapılarak kalan, 2p den çıkarılır. Sonuç
alınmış olur. Bu 60° ye 420° nin esas ölçüsü denir.
olarak bir açının radyan cinsinden esas ölçüsü [0, 2p) ara-
Derece cinsinden bir açının esas ölçüsü bulunurken, bu
lığındadır.
açının ölçüsü 360 a bölünür elde edilen kalan o açının
esas ölçüsüdür. Eğer açı ölçüsü negatif verilmişse pozi-
Pratik yol olarak, verilen radyan cinsinden açı ölçüsü,
tifmiş gibi işlem yapılarak bulunan kalan 360 dan çıkarılır.
paydasının iki katına bölündüğünde elde edilen kalanın
Sonuç olarak bir açının derece cinsinden esas ölçüsü
paydaya oranı o açının esas ölçüsüdür.
[0, 360°) aralığındadır.
DNA 5
DNA 4
3200° lik açının esas ölçüsü aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 340°
B) 320°
C) 210°
D) 160°
E) 120°
50p
radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
3
A)
π
3
B)
2π
3
C)
4π
3
D)
5π
3
E)
LYS MATEMATİK
5π
6
83
Trigonometri
Trigonometri - Bölüm 05
Öte yandan;
Çözüm
∀ a ∈ R için – 1 ≤ cosa ≤ 1 veya cosa: R → [–1, 1]
50π
50π
de paydayı 2 ile çarpalım.
elde edilir. 50p nin
3
6
içindeki tüm 6 ları atalım. 8 ⋅ 6 = 48 ⇒
∀ a ∈ R için – 1 ≤ sina ≤ 1 veya sina: R → [–1, 1] dir.
2π
olarak bulunur.
3
Doğru Seçenek B
Hazine 1
sin2x + cos2x = 1
47p
radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
5
A)
π
5
B)
2π
5
C)
3π
5
D) p
E)
7π
5
TANIM
sec α =
1
cos α
csc α =
1
sin α
TANIM
DNA 6
Şekilde O merkezli birim çember verilmiştir.
 =a
m(TOH)
Birim çember üzerindeki P noktasının apsisine a açısının
olduğuna göre, |TM|
kosinüsü, ordinatına a açısının sinüsü denir.
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
P (cosa, sina) dir ve POH üçgeninde Pisagor Teoremi’nden;
sin2a + cos2a = 1
buluruz
Demek ki artık x eksenine kosinüs ekseni y eksenine de
sinüs ekseni diyebiliriz.
84
LYS MATEMATİK
A) 1 – sina – cosa
B) sina + cosa – 1
C) 1 – sina
D) 1 – cosa
E) sina – cosa
Trigonometri - Bölüm 05
Trigonometri
Çözüm
DNA 7
cos2 x
cos2 x
+
1 + sin x 1 − sin x
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
1
2
B) 1
C) 2
D) sinx
E) cosx
|OB| = |OA| = 1 br olduğundan; OBA üçgeni ikizkenar dik
Çözüm
üçgendir. Ayrıca |OH| = cosa ve |TH| = sina olduğunu biliyoruz.
cos2x = 1 – sin2x olduğundan;
1 − sin2 x 1 − sin2 x
+
1 + sin x
1 − sin x
|TH| = sina ve |MH| = 1 – cosa ⇒ |TM| = |TH| – |MH|
= sina + cosa – 1
=
bulunur.
(1 − sin x ) ⋅ (1 + sin x )
1 + sin x
+
(1 − sin x ) ⋅ (1 + sin x )
1 − sin x
= 1 − sin x + 1 + sin x = 2
Doğru Seçenek B
bulunur.
Doğru Seçenek C
Şekilde O merkezli birim
çember

m(PAH) = a
verilmiştir.
olduğuna göre, |BH| aşağıdakilerden
hangisine
3 sin2 x + 2 cos2 x − 2
eşittir?
A) 2cosa
B) 2cosa – 1
D) cos2a – 1
C) cos2a
E) 1 – cos2a
5 cos2 x + sin2 x − 5
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) −
1
4
B) −
1
2
C) –1
D)
1
2
E)
LYS MATEMATİK
1
4
85
Trigonometri
Trigonometri - Bölüm 05
DNA 8
sin x + cos x =
TANIM
1
2 2
olduğuna göre (sinx – cosx)2 aşağıdakilerden hangisine eşittir?
17
8
A)
B)
15
8
C)
7
3
D)
13
3
E)
8
2
x = 1 doğrusu üzerindeki P noktasının ordinatına a açısının tanjantı denir. tana ile gösterilir. O zaman x = 1 doğrusuna tanjant ekseni diyebiliriz.
Çözüm
1
2
2
(sin x + cos x )2 = sin
x2
+ cos
144
443x + 2 sin x ⋅ cos x = 8
1
7
⇒ 2 sin x ⋅ cos x = −
8
π
+ kπ rad2
yanlık açıların bitim kenarları veya kenarların uzantıları
Burada dikkat edilmesi gereken husus;
A noktasından geçen tanjant eksenini kesmediğinden
π

tan  + kπ  ifadesi tanımsız olur. O zaman
2

π

tan α : R −  + kπ  → ( −∞, + ∞ )
2


dir.
Öte yandan; (sinx – cosx)2 = sin2x + cos2x – 2sinx ⋅ cosx
= 1+
olur.
7 15
=
8 8
bulunur.
Doğru Seçenek B
TANIM
y = 1 doğrusu üzerindeki R noktasının apsisine a açısının
1
sin x + cos x =
3
kotanjantı denir ve cota ile gösterilir.
olduğuna göre, sinx ⋅ cosx aşağıdakilerden hangisine
Yine burada da kp radyanlık açıların bitim kenarları veya
eşittir?
kenarlarının uzantıları C noktasından geçen kotanjant ek-
4
A) − 9
86
2
B) − 9
LYS MATEMATİK
1
C) − 9
1
D) 9
2
E)
9
senini kesmez. Yani cot(kp) ifadesi tanımsızdır.
Trigonometri - Bölüm 05
Trigonometri
O zaman
cota : R – {kp} → (–∞, +∞)
Şekilde O merkezli çeyolur.
rek
çember verilmiştir.
 =a
[PH] ^ OX ve m(ROA)
olduğuna göre, |HR| aşağıdakilerden
hangisine
eşittir?
A) cota
DNA 9
B) cota – seca
D) cota – sina
C) cota – cosa
E) cosa – sina
Şekilde O merkezli çeyrek çember verilmiştir.
Işık 1
[PA] ^ OX ve
 =a
m(POA)
tan α =
olduğuna göre, |PS|
aşağıdakilerden han-
sin α
cos α
cot α =
cos α
sin α
tan α ⋅ cot α = 1
gisine eşittir?
A) tana
B) tana – cosa
D) sina – cosa
C) tana – sina
DNA 10
E) cota – seca
sin x + 2 cos x
=4
2 sin x − 3 cos x
olduğuna göre, tanx aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A)
Çözüm
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
E)
5
2
Çözüm
İçler dışlar çarpımı yapalım.
|PS| = tana – sina
Doğru Seçenek C
8sinx – 12cosx = sinx + 2cosx
7sinx = 14 cosx
sin x 14
=
= 2 = tan x
cos x 7
bulunur.
Doğru Seçenek D
LYS MATEMATİK
87
Trigonometri
Trigonometri - Bölüm 05
Işık 2
2 cos x + sin x
2
=
7 cos x + 2 sin x 5
olduğuna göre, cotx kaçtır?
B) −
A) –1
1
4
C)
cos 0 = 1,
1
6
D)
1
5
E)
1
4
cos
sin 0 = 0
π
= 0,
2
cos π = −1,
cos
BÖLGELER
gatiftir.
IV. bölgedeki bir açının kosinüsü pozitif ve sinüsü negatiftir.
sin π = 0
sin 2π = 0
DNA 11
I. bölgedeki bir açının hem sinüsü hem kosinüsü pozitiftir.
III. bölgedeki bir açının hem sinüsü hem de kosinüsü ne-
π
=1
2
3π
3π
= 0, sin
= −1
2
2
cos 2π = 1,
II. bölgedeki bir açının sinüsü pozitif kosinüsü negatiftir.
sin
cos180° − sin 90° + sin 270°
cot 90° + tan180° + cos 360°
işleminin sonucu kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
Bu bilgilerle de I., II., III. ve IV. bölgede tanx, cotx, secx,
cscx in işaretlerini bulabiliriz. Ancak, “bütün sınıf kara tahtada coşar” cümlesini ezberinizde tutabilirseniz, işlemleri
daha seri yaparsınız.
II. BÖLGE
III. BÖLGE
IV. BÖLGE
BÜTÜN
SINIF
KARA TAHTADA
COŞAR
0<x<
π
2
π
<x<π
2
π<x<
3π
2
3π
< x < 2π
2
sin
+
+
–
–
cos
+
–
–
+
tan
+
–
+
–
cot
+
–
+
–
I. Bölgede Bütün dediğimiz için hepsi pozitif
II. Bölgede Sınıf; sinüs pozitif diğerleri negatiftir.
III. Bölgede Kara Tahtada, tanjant-kotanjant pozitif diğerleri negatiftir.
IV. Bölgede Coşar, kosinüs pozitif diğerleri negatiftir.
88
LYS MATEMATİK
cos180° = −1
sin 90° = 1
sin 270° = −1
cot 90° =
cos 90° 0
= =0
sin 90° 1
tan180° =
144424443
Çözüm
I. BÖLGE
−1 − 1 − 1 −3
=
= −3
0 + 0 +1 1
sin180°
0
=
=0
cos180° −1
cos 360° = 1
Doğru Seçenek A
Trigonometri - Bölüm 05
Trigonometri
cos 90° + cos 540° + tan 360°
sin 270° + cos180°
oranı kaçtır?
A) −
1
2
C)
B) 0
1
2
D) 1
E) 2
a = sec(70°)
b = csc300°
c = –tan70°
d = sin(–330°)
olduğuna göre, a, b, c, d nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) +, +, +, +
B) –, –, –, –
D) +, –, –, +
C) +, –, +, –
E) –, –, +, –
Işık 3
Tümler (Birbirini 90° ye tamamlayan) iki açıdan birinin
DNA 12
sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin
kotanjantına, birinin sekantı diğerinin kosekantına
a = sin75°
b = tan160°
c = cot 230°
d = cos 320°
eşittir.
DNA 13
olduğuna göre, a, b, c, d sayılarının işaretleri hangi
şıkta doğru sırada verilmiştir?
A) +, +, +, +
cos2
B) +, –, –, +
D) +, –, –, –
C) +, –, +, –
E) +, –, +, +
Bütün
0°
↓
sin 75° > 0
B)
3
C) 2
D) 1
E)
1
2
Çözüm
Sınıf
90°
toplamının değeri kaçtır?
A) 3 3 Çözüm
π
3π
+ cos2
8
8
Kara Tahtada
180°
↓
tan160° < 0
Coşar
270°
↓
cos2
360°
↓
cot230° > 0
π 3π π
+
=
olduğundan;
8 8 2
dir. Buradan,
cos320° > 0
Dolayısıyla işaretler; +, –, +, + olur.
π
3π
= sin2
8
8
sin2
3π
3π
+ cos2
=1
8
8
buluruz.
Doğru Seçenek E
Doğru Seçenek D
LYS MATEMATİK
89
Trigonometri
Trigonometri - Bölüm 05
Çözüm
π
3π
tan ⋅ tan
5
10
a = sin 75°
çarpımının değeri kaçtır?
A) 1
1
B) 2
b = cos 40° = sin 50°
2
C)
2
D)
2
E) 2 2
c = cos20° = sin 70°
IŞIK 4’ten,
b<c<a
olur.
Doğru Seçenek D
Işık 4
a = sec 40°, b = csc 50°, c = sin 20°
sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanmış şekli
aşağıdakilerden hangisidir?
A) a a olsun. sinb > sina olduğu görülüyor. Demek ki
B) a = b < c
D) a = c a iken cosb < cosa dır. Yani I. bölgede açı
a cotb
olduğu görülüyor. De-
a = sin 75°, b = cos 40°, c = cos 20°
sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanmış
mek ki I. bölgede açı
şekli aşağıdakilerden hangisidir?
değeri azalıyor.
A) a < b < c
90
B) b < a < c
D) b < c < a
LYS MATEMATİK
C) c < b < a
E) c < a < b
büyüdükçe kotanjantın
Trigonometri - Bölüm 05
Trigonometri
5.
TEST - 1
π
x ∈  0,  olmak üzere
2


1 + sin x
1 − sin x
+
1 − sin x
1 + sin x
1.
33p
radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
5
A)
2.
π
5
B)
2π
5
C)
3π
5
D)
4π
5
E) p
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) secx
−37p
radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
4
π
π
3π
3π
A) B) C)
D) p
E)
4
2
4
2
6.
D) 2cscx
B) 2
vardır?
A) 8° 7′ 40″
A) 1
D) 7° 6′ 40″
4.
a 
 noktası birim çember üzerinde ol3
duğuna göre a aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
3
2
B) 1
D) cosx E) tanx
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) 5° 33′ 20″
8.
 a
A
,
 3
C) sinx
5sinx ifadesinin alabileceği kaç tam sayı değeri
20000″ lik açı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
C) 7° 6′ 6″
E) tanx
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
3.
B) 8° 7′ 30″
C) 2secx
1 – cot2x + csc2x
A) 1
7.
B) cscx
C)
5
2
D)
6
2
E)
2
2
sin2x =
2a − 1
a
olduğuna göre, a nın en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) −
1
≤ a ≤1
3
D)
B) −
1
≤ a ≤1
3
1
1
≤a≤ 3
3
E) −
C) −
2
≤ a ≤1
3
2
1
≤a≤
3
3
LYS MATEMATİK
91
Trigonometri
9.
Trigonometri - Bölüm 05
3a2 – 4a – 6 = 0
denkleminin kökleri tana ve tanb dır.
Buna göre
tana + tanb
oranı kaçtır?
1 + cota ⋅ cotb
8
B) 3
A) 3
13.
7
C) 3
cos π − sin
π
3π
+ sin
2
2
işleminin sonucu kaçtır?
A) –4
B) –3
C) –2
D) –1
E) 1
5
E)
3
D) 2
14. x ∈ R+ olmak üzere;
10. a = sin95°, b = tan165°, c = cos275°, d = cot300°
trigonometrik değerlerin işaretleri sırasıyla aşa-
ğıdakilerden hangisidir?
A) +, +, +, +
tan(3x° – 19°) = cot (x° + 33°)
eşitliğini sağlayan en küçük x sayısı kaçtır?
A) 17
B) +, +, –, –
D) +, –, –, +
sin a
tan 3a
−
cos 3a cot a
farkının sonucu kaçtır?
C) 0
12.
D) 1
Şekilde
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
1
sin x + cos x 2
2
B)
1
sin x + cos x + 1
2
C)
1
1
sin x + cos x + 1 2
2
D)
1
1
sin x + cos x + 2
2
2
E) 2
E)
1
1
1
sin x + cos x +
2
2
2
O
16 adet eş kareden
oluşmuş
açıların kosinüslerinin
birim çember gösteril-
küçükten büyüğe doğ-
miştir.
ru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
 = 40°
m(COB)
olduğuna göre, |KC|
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1.C
92
B) sec50° – 1
D) sec40°
2.C
3.E
LYS MATEMATİK
C) csc50°
E) sec40° – 1
4.D
şekildeki
merkezli
[CA] ^ [AO] ve
A) sec50°
E) 33
sin x ⋅ cos x
sin x + cos x − 1
16.
D) 26
E) –, –, –, –
11. 8a = p olduğuna göre,
B) –1
C) 23
C) +, –, +, –
15.
A) –2
B) 19
5.C
6.B
7.E
8.D
A) cosa < cosb < cosq
B) cosa < cosq < cosb
C) cosb < cosa < cosq
D) cosb < cosq < cosa
E) cosq < cosa < cosb
9.B
10.C
11.C
12.B
13.B
14.B
15.E
16.C
DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK
ORANLARI
TRİGONOMETRİ - BÖLÜM 05
TANIM
Yandaki şekil eş birim ka-
Dik üçgende dar açının trigonometrik oranlarına bakalım.
relerden oluşmuştur.
Buna göre, tana + tanb
kaçtır?
A)
cosq =
sinq =
Komşu dik kenar uzunluğu
Hipotenüs uzunluğu
Karşı dik kenar uzunluğu
Hipotenüs uzunluğu
=
c
b
=
a
b
5
6
B)
a
tanq =
=
Komşu dik kenar uzunluğu
c
cotq =
Karşı dik kenar uzunluğu
=
C)
7
3
D) 5
E) 6
DNA 16
Karşı dik kenar uzunluğu
Komşu dik kenar uzunluğu
7
2
ABC bir ikizkenar üçgen
c
a
|AC| = |BC| = 8 br
|AB| = 6 br
DNA 15
[AH] ^ [BC]
Yukarıdaki verilere
göre, sina kaçtır?
Yandaki şekil eş birim
karelerden oluşmuştur.
Buna göre, tana + tanb
A)
3
4
B)
4
3
C)
1
2
D)
3
8
E)
5
8
toplamı kaçtır?
A)
4
3
B)
1
2
C)
7
6
D)
3
2
E)
13
6
Çözüm
Çözüm
|AC| = |BC| olduğundan tabana inilen yükseklik hem açıortay hem de kenarortaydır.
Bu tarz sorularda açıları
işimize yarayan yerlere
taşırız.
2
3
tan α = , tan β =
3
2
olup
sinα =
3
dir.
8
2
3 13
dır.
+
=
3
2
6
( 2)
(3 )
Doğru Seçenek E
Doğru Seçenek D
LYS MATEMATİK
93
Dar Açıların Trigonometrik Oranları
Trigonometri - Bölüm 05
ABC bir ikizkenar üçgen
ABC bir dik üçgen
|AB| = |AC|
AB ^ AC, AD ^ BC
3
sinα =
5
|DC| = x br, |AB| = 2 br
Yukarıdaki verilere göre,
Yukarıdaki verilere göre, x in a türünden değeri aşağı-
cotb kaçtır?
dakilerden hangisidir?
A) 3
5
B) 2
1
D) 3
C) 2
2
E)
3
A) tana ⋅ sina
B) 2sina ⋅ tana
C) tana ⋅ cosa
D) 2cosa ⋅ tana
E) sina ⋅ cota
DNA 17

DNA 18

ABC ile DEC birer dik
üçgendir.
|DC| =1 br, |BC| = 2 br
AB ^ AC, [DE] ^ [AC]
[DC] ^ [BC]
Yukarıdaki verilere göre, |AE| = x in a türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) sina – cosa
B) 2sina – cosa
C) 2cosa – sina
D) 2tana
Kenarları a, b, c olan bir ABC üçgeninde

c − a ⋅ cos B

cos A
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) a
B) b
C) c
D) a + b
E) a + c
Çözüm
E) 2sina – seca
Çözüm
DEC üçgeninde sin α =
x + sin α
⇒ x = 2 cos α − sin α dır.
2
Doğru Seçenek C
94
LYS MATEMATİK
c−x
a
=
cos A
x
b
c−x
 c− a ⋅ a
c − a ⋅ cos B
x
⇒
=
= =b

x
x
cos A
b
b
a
⇒ a = sin α dır.
1
Ayrıca ABC üçgeninde;
cos α =
=
cos B
bulunur.
Doğru Seçenek B
Trigonometri - Bölüm 05
Dar Açıların Trigonometrik Oranları
DNA 19
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla a, b, c dir.
sin3 x − cos3 x
sine eşittir?
B) b
A) a
π
için tanx = 3 olduğuna göre,
2
0<x<
 + c ⋅ cosA
 aşağıdakilerden hangiBuna göre, a ⋅ cosC
C) c
D) 1
E)
a
c
sin x + sin2 x ⋅ cos x
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) −
2
3
B) −
1
3
C)
1
3
D)
2
3
E) 1
Çözüm
sin3 x − cos3 x
sin x + sin2 x ⋅ cos x
1 

Işık 6
=
(sin x − cos x )( sin2 x + cos2 x ) + sin x ⋅ cos x
sin x ⋅ ( 1 + sin x ⋅ cos x )
=
sin x − cos x
sin x
30° - 60° - 90° üçgeni
= 1−
cos x
1
1 2
= 1−
= 1− =
sin x
tan x
3 3
Doğru Seçenek D
1
3
1
sin 30° = , cos 30° =
, tan 30° =
, cot 30° = 3
2
2
3
sin 30° =
3
1
1
, cos 60° = , tan 60° = 3, cot 60° =
2
2
3
tür.
45° - 45° - 90° üçgeni
0<x<
π
olmak üzere;
2
sinx – 3cosx = 0
olduğuna göre secx kaçtır?
1
2
sin 45° = cos 45° =
=
dir.
2
2
tan45° = cot45° = 1 dir.
A)
10
5
B)
D) 2 10 1
10
C)
10
E) 3 10
LYS MATEMATİK
95
İndirgeme Formülleri
Trigonometri - Bölüm 05
I) cos(–a) = cosa dır.
sin(–a) = – sina
tan(–a) = – tana
cot(–a) = – cota dır.
π

 3π

sin  + α  = + cos α, tan 
− α  = + cot α
2
2




123
123
II. bölge
III. bölge
II. bölgede sinüsün işareti
III. bölgede tanjantın işareti
π

 3π

cot  − α  = + tan α, cos 
+ α  = + sin α
2

 2

123
123
Yani cos eksiyi yutar diğerleri kusar.
I. bölge
II) 2p nin esas ölçüsü 0° olduğundan 2p’leri atalım. Gerisi
I. madde.
cos(2p – a) = cosa
tan(2p – a) = –tana
cot(2p – a) = –cota
IV. bölgede kosinüsün işareti
 3π

π

sin 
− α  = − cos α, cos  + α  = − sin α
 2

2

123
123
144424443
sin(2p – a) = –sina
IV. bölge
I. bölgede kotanjantın işareti
III. bölge
olur.
II. bölge
II. bölgede kosinüsün işareti
III. bölgede sinüsün işareti
III) Şimdi de; (p – a) ve (p + a) durumlarına bakalım.
a)
fonksiyonun ismi değişmez.
b)
fonksiyonunun bulunduğu bölgenin işareti yazılır.
I.
DNA 20
II.
III.
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
IV.
A) −
BÜTÜN
SINIF KARA TAHTADA COŞAR
π π
3π 

 
 3π

0 < x < 2   2 < x < π  π < x < 2 
 2 < x < 2π 

 
 
 

sin(p + a) = – sina
123
III. bölge
isim aynı
III. bölgede sinüsün işareti
sin(p – a) = + sina
123
II. bölge
isim aynı
II. bölgede sinüsün işareti
III. bölge
isim aynı
tan(p + a) = + tana
123
III. bölge
isim aynı
III. bölgede tanjantın işareti
 sin ↔ cos 
a) fonksiyonunun ismi değişir 
 olur.
 tan ↔ cot 
b) Yine fonksiyon hangi bölgede ise o bölgenin
LYS MATEMATİK
B) −
3
4
C)
1
4
D)
3
4
E)
1
2
Çözüm
III. bölgede kosinüs işareti
96
1
4
cos(p + a) = – cosa
123
π

 3π

 α  durumlarında
IV)   α  ve 
2

 2

işareti yazılır.
tan135° – sin120° ⋅ cos210°
(Bütün Sınıf Kara Tahtada Coşar.)
tan135° = tan(180° – 45°) = –tan45° = –1
sin120° = sin(180° − 60°) = sin 60° =
3
2
cos 210° = cos(180° + 30°) = − cos 30° = −
⇒ tan135° − sin120° ⋅ cos 210° = −1 +
3
2
3 3 3
1
⋅
= −1= −
2 2
4
4
bulunur.
Doğru Seçenek A
Trigonometri - Bölüm 05
İndirgeme Formülleri
sin 300° + tan120°
cot 315° − cos 300°
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) − 3 D)
1
2
1
B) − 2
E) 1
C)
3
A) tan(p + x) = tanx
B) cot(x – 3p) = cotx
 3π

+ x  = − cos x C) sin 
 2

 9π

+ x  = sin x
D) cos 
 2

7π 

= cos x
E) sin  x −
2 

DNA 22
Aşağıdakilerden hangisi cos65° değerine eşittir?
DNA 21
A) sin65°
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
 7π

+ x  = sin x A) cos 
B) cos(–5p – x) = –cosx
 2

 3π

− x  = cot x C) tan 
 2

π

D) cot  − x  = tan x
2

D) sin(–205°)
Çözüm
C) cos205°
E) sin115°
Çözüm
D şıkkında;
E) sin(x – 3p) = sinx
B) cos25°
sin(–205°) = sin155°
= sin(180° – 25°)
= sin25°
= cos65°
dir.
 7π

 3π

cos 
+ x  = cos 
+ x  = sin x 
 2

 2

Doğru Seçenek D
cos( −5π − x ) = cos( π − x ) = − cos x 
 3π

tan 
− x  = cot x 
 2

π

cot  − x  = tan x 
2

sin(x – 3p) = sin(p + x) = – sinx 
Doğru Seçenek E
Aşağıdakilerden hangisi tan40° değerine eşit değildir?
A) cot230°
B) –cot140°
D) tan220°
C) –cot310°
E) –tan320°
LYS MATEMATİK
97
İndirgeme Formülleri
Trigonometri - Bölüm 05
Çözüm
DNA 23
 +C
 =π
 +B
A
π
x + y = olduğuna göre,
2
 = π−C

 +B
A
cos(2x + 3y)
 +B
 ) = sin( π − C
 ) = sin C

sin( A
aşağıdakilerden hangisidir?
A) –siny B) –cosy
C) siny
D) cosy
 +B
 ) = co
 ) = − cos C

cos( A
os( π − C
E) sin3y
⇒
 ) + sin C

 + sin C

 +B
sin( A
sin C
=





cos( A + B) − cos C − cos C − cos C
Çözüm
=
cos( 2( 
x + y ) + y ) = cos( π + y ) = − cos y

2 sin C

= − tan C

− 2 cos C
bulunur.
π
2
Doğru Seçenek B
Doğru Seçenek B
Bir ABC üçgeninde;
tan
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
x−y=
π
olduğuna göre;
2
B) –cosy
D) cosy
D) tan
aşağıdakilerden hangisidir?
A) –siny
B) 0
A) –1
sin(2x – 3y)

 +C

B
A
− cot 

 2 
2



A
2
C) 1
E) cot

A
2
C) siny
E) sinx
DNA 25
ABCD bir yamuk
AB // DC, |DC| = 6 br
DNA 24
|CB| = 8 br, |AB| = 20 br
ABC bir üçgen olduğuna göre,
 x
|AD| = 14 br, m(DCB)=
 +B
 ) + sin C

sin( A



cos( A + B) − cos C
Yukarıdaki verilere göre, cosx kaçtır?
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –cosc B) –tanc
98
LYS MATEMATİK
C) tanc
D) cotc
E) 0
A) −
1
7
B) −
2
7
C) −
3
7
D) −
3
7
E) −
8
8
Trigonometri - Bölüm 05
İndirgeme Formülleri
Çözüm
DNA 26
a = cos320°
b = sin140°
c = – cos50°
olduğuna göre, a, b, c nin küçükten büyüğe doğru
sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) c < a < b
EBCD bir paralelkenardır.
4
2
cos(180° − x ) = − cos x =
= cos x = −
14
7
B) c < b < a
D) b < c < a
C) b < a < c
E) a < b < c
dir.
Çözüm
Doğru Seçenek B
a = cos320° = cos(360° – 40°) = cos40° = sin50°
b = sin140° = sin(180° – 40°) = sin40°
c negatif olduğu için en küçük olduğu açıktır.
Buradan;
ABCD bir dik yamuk
DA ^ AB
c<b<a
|AD| = |DC| = 6 br
olduğu görülür.
|AB| = 14 br
Doğru Seçenek B
Yukarıdaki verilere göre, sina kaçtır?
A) −
4
5
B) −
3
5
C)
3
5
D)
4
5
E)
5
13
Uyarı
Daha önce I. bölge için trigonometrik oranlardan biri
belli iken diğerlerini bulmuştuk. Şimdi bu işlemi diğer
bölgeler içinde yapacağız. Burada dikkat edilmesi ge-
a = sin550°
b = cos250°
c = cos310°
olduğuna göre, a, b, c nin küçükten büyüğe doğru sı-
reken husus; açının hangi bölgede olduğudur. Bize
ralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
sorulan sinx, cosx, tanx, cotx i yine dik üçgenden fay-
A) a < b < c
dalanıp buluruz sonra da işaretini yazarız.
B) a < c < b
D) b < c < a
C) b < a < c
E) c < b < a
LYS MATEMATİK
99
İndirgeme Formülleri
Trigonometri - Bölüm 05
DNA 27
a = tan250°
DNA 28
b = tan205°
c = cot50°
a, b, c ve d açılarının ölçüleri 0° ile 180° arasındandır.
olduğuna göre, a, b, c nin küçükten büyüğe doğru
sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) a < b < c
B) a < c < b
D) b < a < c
tana = 3, tanb = 5, tanc = –5, tand = –6
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
C) b < c < a
E) c < b < a
A) a < b < c < d
B) a < b < d < c
C) d < c < b < a
D) d < c < a < b
E) a < c < d < b
Çözüm
Çözüm
a = tan(180° + 70°) = tan70
b = tan(180° + 25°) = tan25°
c = cot 50° = tan40°
a < b < d < c olur.
Buradan,
⇒b<c<a
olduğu görülür.
Doğru Seçenek B
Doğru Seçenek C
a = tan140°
b = cot 310°
c = cot20°
olduğuna göre, a, b, c nin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) a < b < c
100
B) a = b < c
D) b < c < a LYS MATEMATİK
a, b, c açılarının ölçüleri 0° ve 180° arasındadır.
cota = –2, cotb = – 3, cotc = –4
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
C) b < c = a
E) c < b < a
A) a < b < c
B) a < c < b
D) c < a < b
C) c < b < a
E) b < c < a
Trigonometri - Bölüm 05
İndirgeme Formülleri
5.
TEST - 2
Yandaki şekil eş 5
tane
dikdörtgenden
oluşmuştur.
1.
ABC dik üçgeninde Buna
göre,
tana
kaçtır?
|BD| = |DC| ve
 ) = θ, m(C
 ) = 60°
m(BAD
A)
olduğuna göre, cotq 2
3
B)
3
4
C)
4
5
D)
5
6
E)
6
7
kaçtır?
A)
3
6
B)
3
2
C)
3
D) 2 3 E) 3 3
6.
ABC dik üçgeninde
 =α
m(ABC)
2.
|AC| = csca
Şekilde
verilen ABC
 )=x
üçgeninde m(BAC
 )=y dir.
m(BDC
aşağıdakilerden hangisidir
Buna göre, cosy aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) − sin
A) –sinx
x
2
D) sinx
Yukarıdaki verilere göre, x in a türünden değeri
A) tana
D) cot2a
C) sin
E) sec2a
E) 2sinx
Şekildeki
[AB]
Birbirine eşit ve teğet olan
12 çemberin oluşturduğu
dairesel bir zincir, şekilde
çaplı
görüldüğü
çembere [BC] ve [CD]
 )=α
m(BAD
hangisine eşittir
4.
B) 2seca
Buna göre, küçük çemberlerden birinin yarıçapı
aşağıdakilerden hangisidir?
Yukarıdaki verilere göre, |DC| aşağıdakilerden
A) 2sina
C) 2csca
A)
sin15°
1 − sin15°
B)
cos15°
1 − cos15°
sin15°
1 + sin15°
3p
< x < 2p olmak üzere;
2
8.
a +b =
p
olduğuna göre,
2
denklemini sağlayan x açısı için tanx kaçtır?
toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2cota
2cos2x – 5cosx + 2 = 0
A) − 3 B) −
3
C) –1
3
D)
3
3
E)
3
cos15°
1 + cos15°
cos15°
1 + sin15°
D)
E) 2tana
E)
C)
D) 2cosa yarıçapı
ğettir.
|AB| = 4 br
gibi
1 olan çembere içten te-
teğettir.
x
2
7.
3.
C) tan2a
B) cota
tan(2a + b) + cot(3a + 2b)
B) –cota
D) 2tana C) 0
E) 2cota
LYS MATEMATİK
101
İndirgeme Formülleri
Trigonometri - Bölüm 05
9.
cos3° + cos6° + cos9° + ... + cos174° + cos177° + cos180°
toplamı kaça eşittir?
A) –2
B) –1
13. Aşağıdakilerden
eşittir?
C) 0
D) 1
E) 2
a = sin110°
b = –cos250°
c = sin350°
D) sin(p + x)
olduğuna göre, a, b, c nin küçükten büyüğe doğ-
14.
ru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) a < b < c
B) a < c < b
D) c < a < b
B)
4
3
C)
kaçtır?
7
3
D)
3
7
E)
E) cosa
LYS MATEMATİK
1 + a2
4.A
5.D
 7π

f ( x ) = sin( π + x ) + cos 
+ x
 2

A) –2sinx
B) –sinx
D) sinx
E) 2sinx
p
< x < p olmak üzere,
2
sin x =
3
5
olduğuna göre, secx – tanx aşağıdakilerden hangisine eşittir?
C) tana
6.D
A) –2
7.D
C) 0
2
5
16.
B) –cota
102
E)
olduğuna göre, f(p – x) aşağıdakilerden hangisi-
olduğuna göre, tana
A) –tana
3.E
1− a C) a
ne eşittir?
2.B
B) –a
2
D)
 )= α
m(CEB
oranı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1.D
A) –2a
15.
D) cota
olduğuna göre, cos275° aşağıdakilerden hangi-
ABCD bir karedir.
π

sin  + α  + cos(2π − α )
2

π

 3π

cos  + α  − cos 
+ α
2


 2

12.
sin5° = a
7|AE| = |EC|
3
4
E) –cosx
E) c < b < a
11.
A)
C) cos(p + x)
sine eşittir?
C) b < c < a
 3π

+ x B) cos 
 2

A) sinx
10.
 7p

− x  ifadesine
hangisi cos 
2


8.C
9.B
10.E
B) –1
11.B
12.B
C) −
1
2
13.D
D) 1
14.C
E) 2
15.C
16.C
ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK
BAĞINTILAR
TRİGONOMETRİ - BÖLÜM 05
Hazine 2
Şekildeki üçgenin kenar
Kosinüs Teoremi
uzunlukları mümkün olan
en küçük ardışık tam sayılardır.
Buna göre, bu üçgenin en büyük ölçülü açısının kosiKenar uzunlukları sırasıyla a, b, c olan bir ABC üçgenin-
nüsü kaçtır?
A) −
de

a2 = b2 + c2 – 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
1
2
B) −
1
4
C) 0
D)
11
16
E)
1
4
dir.
DNA 29
DNA 30
Şekilde |AB| = 3 br,
|AC| = 5 br, |BC| = x br
 ) = 120° dir.
ve m(BAC
Kenar uzunlukları arasında,
Buna göre, x kaç br dir?
A)
34 B) 6
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c dir.
C) 2 10 D) 7
E) 5 2
a2 (a – b – c) = a3 – b3 – c3
bağıntısı olduğuna göre, A açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm
A) 60°
B) 90°
C) 120°
D) 135°
E) 150°

ABC de Kosinüs Teoremi’ni uygulayalım:
x 2 = 32 + 52 − 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ cos120°
Çözüm
 1
x 2 = 9 + 25 − 30 ⋅  − 
 2
a2 (a – b – c) = a3 – b3 – c3
x 2 = 34 + 15
⇒ b3 + c3 = a2 (b + c)
⇒ a3 – a2b – a2c = a3 – b3 – c3
⇒ (b + c) ⋅ (b2 + c2 – bc) = a2 ⋅ (b + c)
2
x = 49
⇒ a2 = b2 + c2 – bc olur.
x = 7 br
bulunur.
Doğru Seçenek D
LYS MATEMATİK
103
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
Trigonometri - Bölüm 05

DNA 31
ABC de Kosinüs Teoremi’ni uygulayalım:
2
2
2
a = b + c − 2bc ⋅ cos α
ABC bir üçgen
b2 + c 2 − bc = b2 + c 2 − 2bc ⋅ cos α
 ) = 75°
m( A
 ) = 45°
m(B
1
= cos α
2
| AB | = 6 br
| AC | = x
α = 60°
Yukarıda verilenlere göre, x kaç br dir?
dir.
Doğru Seçenek A
A) 1
B)
3
C) 2
D)
5
E)
3
2
Çözüm
Farklı kenar uzunluğu a olan bir ikizkenar ABC üçgeninin
kenar uzunlukları a, b, c dir.
x
6
x
6
=
⇒
=
sin 45° sin 60°
2
3
2
2
Kenar uzunlukları arasında,
(2a + b – c) ⋅ (2a + b – 2c) = a ⋅ b
 aşağıdakilerden hanbağıntısı olduğuna göre, cosA
gisidir?
A)
25
16
B)
3
2
C)
23
32
D)
11
8
E)
bulunur.
Doğru Seçenek C
5
4
 ) = 60°
ABC bir üçgen m( ABC
Hazine 3
 ) = 15° |BC| = a br
m( ACB
|AB| = c br
Sinüs Teoremi
Yukarıdaki verilere göre,
a

sin A
=
b

sin B
=
c

sin C
= 2R
hangisine eşittir?
A) sin15°
104
LYS MATEMATİK
⇒ x=2
a
oranı aşağıdakilerden
c
B) cos15°
D) cot15°
C) tan15°
E) sec15°
Trigonometri - Bölüm 05
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
Hazine 4
AB ^ AC
|AB| = 9 br
|AC| = 12 br

Alan( ABC) =
 ) = 30°
m(CBD
1

⋅ b ⋅ c ⋅ sin A
2


Alan( ABC) = Alan(BCD)
Yukarıdaki verilere göre, x kaç br dir?
A) 16
C)
B) 15
72
5
D) 14
E)
64
5
DNA 32
Şekilde
DNA 33
2|AB| = |BC| = 2a br ve
|BD| = 6 br olduğuna göre,
Şekilde |AD| = 1 br,
taralı alan kaç br dir?
|BD| = 4 br, |BC| = 2 br dir.
2
A) 54
B) 48
C) 42
D) 36


Alan(ADE) = Alan(ECF)
E) 24
olduğuna göre, |CF| = x
kaç br dir?
1
A) 4
Çözüm
1
B) 2
C) 1
D) 2
E) 4
Çözüm

Alan(BDC) =
=
1
⋅ 6 ⋅ 2a ⋅ sin α
2
1
6
⋅ 6 ⋅ 2a ⋅ = 36 br 2
2
a
dir.

Alan( ABC) =

Doğru Seçenek D
Alan(BDF) =

1
⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ sin α
2
1
⋅ 4 ⋅ (2 + x ) ⋅ sin α
2

Alan( ABC) = Alan(BDF)
LYS MATEMATİK
105
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
Trigonometri - Bölüm 05
1
1
⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ sin α = ⋅ 4 ⋅ ( x + 2) ⋅ sin α
2
2
⇒
⇒
DNA 34
5 = 2x + 4
x=
ABC
üçgeninin
çev-
rel çemberi verilmiştir.
1
br
2
|AB| = 10, |AC| = 8 ve
çevrel çemberin yarıçapı 6 olduğuna göre,
dir.
|AH| = x kaçtır?
Doğru Seçenek B
A) 7
B)
20
3
C)
19
3
D)
17
3
E) 5
Şekilde
|AD| = |DF| = |FB|
Çözüm
3|GC| = 2|EG| = 6|AE|
olduğuna göre, taralı ala-


Alan( ABC) =
nın, ABC nin alanına ora-
10 ⋅ 8 ⋅ | BC |
nı kaçtır?
A)
7
18
B)
3
9
C)
5
18
D)
2
9
E)
1
2
a ⋅b ⋅c
olduğundan;
4 ⋅R
24
=
| BC | ⋅ | AH |
2
⇒ x=
20
3
tür.
Doğru Seçenek B
Hazine 5
Bir ABC üçgeninde |BC| = 8, |AC| = 7 ve |AB| = 13 cm


Alan( ABC) =
a ⋅b ⋅c
4 ⋅R
olduğuna göre, ABC nin çevrel çemberinin yarıçapı
kaç cm dir?
A)
13 3
3
106
LYS MATEMATİK
D)
B) 4 3 10 3
3
C)
E) 3 3
11 3
3
Trigonometri - Bölüm 05
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
5.
TEST - 3
Karşılıklı duran iki ışık kaynağından çıkan ışıklar yatayla 30° ve 45° lik açı yapmaktadırlar.
Işıkların kesiştiği noktaya olan uzaklıkları toplamı 4 2 + 4 olduğuna göre, ışık kaynakları ara-
1.
sındaki mesafe kaçtır?
ABC bir üçgen
|AB| = 5 cm
|BC| = 8 cm
A) 8 2 + 4 B) 2 6 + 2 2 D) 2 6 + 3 C) 2 6 + 2 3
E) 2 6 + 2
 ) = 60°
m( ABC
|AC| = x
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
A) 4 3 B) 7
D) 2 13 C) 5 2
6.
Şekilde verilen ABC üçgeninde
E) 2 14
 ) = 60°, m (C
 ) = 15°
m (B
dir. |AC| = 3 br
2.
b+c
a
Bir ABC üçgeninin kenarları arasında
=
a+c b − c
 açısının ölçüsü kaç
bağıntısı olduğuna göre, B
olduğuna göre, |AB| + |BC| toplamı kaçtır?
3
2
A)
B)
3
C) 3 2 D) 2 3 E) 3 3
derecedir?
A) 45
B) 60
C) 120
3.
D) 135
E) 150
ABCD bir kirişler dörtgenidir.
7.
|AD| = 4, |DC| = 5
|BC| = 3 ve |AB| = 2
cosa kaçtır?
5
13
B)
6
13
4.
C)
7
13
D)
9
13
Buna göre, bu çokgenin çevre uzunluğu kaç cm
dir?
olduğuna göre,
A)
4 + 2 2 yarıçaplı bir çember içine bir kenar uzunluğu 2 cm olan bir düzgün çokgen çizilmiştir.
A) 10
E)
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
12
13
ABCD paralelkenardır.
|CF| = |AE| = 2 br
|ED| = |AB| = 6 br
olduğuna göre,
|EF| = x kaç br dir?
A) 6
B) 3 5 C) 2 19 D) 6 2 E) 4 6
8.
Alanı 20 br2 olan bir ABC üçgeninde a = 8 br ol ⋅ sinC

sinB
duğuna göre,
oranı aşağıdakilerden

sinA
hangisidir?
A)
2
5
B)
5
2
C)
8
5
D)
5
8
LYS MATEMATİK
E)
4
25
107
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
Trigonometri - Bölüm 05
9.
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c dir.
 bağıntısı bulunKenarlar arasında a = 2b ⋅ cosC
13.
ABC bir üçgen
|AB| = 12 br
|AC| = 8 br
duğuna göre, aşağıdaki yargılardan hangisi doğ-
|BD| = |DC|
rudur?
 ) = 60°
m(DAC
 ) = 90° dir.
A) m( A
 ) = 90° dir.
B) m(B
C) ABC üçgeni çeşitkenardır.
D) ABC üçgeni eşkenardır.
E) ABC üçgeni ikizkenardır
Yukarıdaki verilere göre, tanx kaçtır?
A)
1
2
1
B)
3
C)
2
14.
D)
3 E) 2 2
ABC bir üçgen
|AB| = 6 br
|AC| = 8 br
|DF| = 2 br
|DE| = 1 br
10. Kenar uzunluğu x birim olan düzgün onsekizgenin çevrel çemberinin yarıçapının x cinsinden
A)
ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x
sin10°
B)
x
2 sin10°
x
D)
2 cos10°
11. ABC bir üçgen
C)
x
cos10°
x
E)
Yukarıdaki verilere göre, sina kaçtır?
1
2
B)
1
3
C)
1
4
15.
Buna göre,

 = 60° ve
m(ACB)

|AB| = 6 br olduğuna
göre, ABC nin çevrel
çemberinin yarıçapı
kaç br dir?

2 ⋅ S ⋅ sinC

 ifadesinin eşiti aşağısinA ⋅ sinB
C)
c
2
12.
D)
c
2
E)
2c
A) 3
B)
3
C) 2 3 D) 4 3 E) 6
16.
ABCD bir kare
|DE| = 3 br
|EA| = 1 br
|CF| = 10 br
C noktası [AE] ile [BD] nin kesiştiği nokta ve
[BD] ^ [DE] dir.
5
12
miştir.
Alan( ABC) = S ve ABC nin kenar
B) c
E)
nin çevrel çemberi çizil-
2 sin10°
dakilerden hangisidir?
A) 2c
5
13
Şekildeki ABC üçgeni-
uzunlukları a, b, c dir.
D)
|DC| = 5 br, |DE| = 12 br, |AC| = 13 br ve |BC| = 4 br

Yukarıdaki verilere göre, |BF| = x kaç br dir?
olduğuna göre, Alan(ABC) kaç br2 dir?
A)
A) 12
1.B
108
13 B) 2 13 C)
2.C
3.C
LYS MATEMATİK
4.C
19 5.C
D) 2 19 E) 7
6.B
7.B
8.D
9.E
10.B
B) 13
11.B
12.B
C) 18
13.A
D) 24
14.E
15.C
E) 36
16.D
TRİGONOMETRİ - BÖLÜM 05
TOPLAM FARK FORMÜLLERİ
Çözüm
Hazine 6
sin(2b + 3a)
= 1 (4a + 3b = p)
sin(a + b)
sin(a + b) = sina ⋅ cosb + cosa ⋅ sinb
Doğru Seçenek D
sin(a – b) = sin a ⋅ cosb – cosa ⋅ sinb
DNA 35
sin105° aşağıdakilerden hangisine eşittir?
6− 2
4
A)
5 −1
4
B)
D)
5 +1
2
C)
3 −1
2
6+ 2
4
E)
sin 93° ⋅ cos 42° + cos 93° ⋅ sin 42°
sin 67° ⋅ cos 22° − cos 67° ⋅ sin 22°
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
Çözüm
D) 1
E) 2
Hazine 7
Sin105° = sin (60° + 45°) = sin60° ⋅ cos45° + cos60° ⋅ sin45°
=
C) 0
3 2 1 2
6+ 2
⋅
+ ⋅
=
2 2 2 2
4
cos(a + b) = cosa ⋅ cosb – sina ⋅ sinb
cos(a – b) = cos a ⋅ cosb + sina ⋅ sinb
Doğru Seçenek E
DNA 37
sin165° aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
6− 2
4
B)
D)
5 −1
4
5 +1
4
C)
E)
3 −1
2
6+ 2
4
cos100° + cos32° ⋅ cos48° – sin32° ⋅ sin48°
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Çözüm
DNA 36
cos32° ⋅ cos48° – sin32° ⋅ sin48° = cos(32° + 48°) = cos80°
dir.
4a + 3b =p olduğuna göre,
Ayrıca; cos100° = – cos80° olduğundan;
sin 2b ⋅ cos 3a + cos 2b ⋅ sin 3a
sin a ⋅ cos b + cos a ⋅ sin b
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –1
B) 0
C)
1
2
cos100° + cos80° = 0
bulunur.
D) 1
E) 2
Doğru Seçenek C
LYS MATEMATİK
109
Toplam Fark Formülleri
Trigonometri - Bölüm 05
Işık 7
cos(60° + x) ⋅ cos(60° – x) – sin(60° + x) ⋅ sin(60° –x)
a ve b gerçek sayılar olmak üzere,
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
B) −
A) –1
1
2
C) 0
D)
1
2
f(x) = a ⋅ cosx + b ⋅ sinx
E) 1
ifadesinin alabileceği en büyük değer
a2 + b2 , en
küçük değer − a2 + b2 dir.
DNA 39
DNA 38
cos4x –sin4x ⋅ tan3y = tan3y
olduğuna göre, 6y + 4x aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
π
A) 6
12cosx + 5sinx
ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 15
π
B) 4
π
C) 3
π
D) 2
B) 14
C) 13
D) 12
E) 5
E) p
Çözüm
Çözüm
IŞIK 7’den istenen cevap,
122 + 52 = 169 = 13
sin 3 y
sin 3 y
cos 4 x − sin 4 x ⋅
=
cos 3 y cos 3 y
olarak bulunur.
Doğru Seçenek C
cos 4 x ⋅ cos3y − sin4x ⋅ sin3y = siin3y
cos(4x + 3y) = sin3y
⇒
6y + 4x =
π
2
dir.
Doğru Seçenek D
4sinx + 3cosx
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) –7
x−y=
π
olduğuna göre,
4
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
110
1
B) 2
D) 2 + 2 LYS MATEMATİK
C) –5
D) 0
Hazine 8
(cosx + cosy)2 + (sinx + siny)2
2
A)
2
B) –6
E)
C)
3
+2
2
tan(a + b) =
tan a + tan b
1 − tan a ⋅ tan b
tan(a − b) =
tan a − tan b
1 + tan a ⋅ tan b
2
E) 1
Trigonometri - Bölüm 05
Toplam Fark Formülleri
Çözüm
DNA 40
tan 42° + tan18°
1 − tan 42° ⋅ tan18°
tan b = 1
işleminin sonucu kaçtır?
1
A)
B) 1
C) 3 3
D) 2
tan a =
E) 3
2
tür.
3
a+b = θ
Çözüm
tan(a + b) = tan θ
Soruda verilen ifade tan(42° +18°) nin açılımıdır.
tan a + tan b
= tan θ
1 − tan a ⋅ tan b
tan60° = 3
2
5
3 = 3 = 5 = tanθ
2 1
1 − 1⋅
3 3
olur.
1+
Doğru Seçenek C
Doğru Seçenek E
tan 67° − tan 22°
1 + tan 67° ⋅ tan 22°
işleminin sonucu kaçtır?
A)
1
3
B) 1
C)
3
D) 2
E) 3
DNA 41
ABCD bir dikdörtgen
Yandaki şekil eş birim
|DC| = 4 br, |CE| = 1 br
karelerden oluşmuştur.
|EB| = 2 br ve
Buna göre, tanq kaçtır?
A) 2
B) 3
C)
7
2
D) 4
E) 5
) = α
m(EFB
Yukarıdaki verilere göre, tana kaçtır?
A) 2
B) 3
C)
7
2
D) 4
LYS MATEMATİK
E)
9
2
111
Yarım Açı Formülleri
Trigonometri - Bölüm 05
Hazine 9
DNA 43
Yarım Açı Formülleri
çarpımının sonucu kaçtır?
sin2x = 2sinx ⋅ cosx
sin2x = 1 – cos2 x ⇒ cos2x = 2cos2x – 1
cos2x = cos2x – sin2x
cos20° ⋅ cos40° ⋅ cos80°
A)
1
2
B)
1
4
C)
1
8
D)
1
16
E)
1
32
cos2x = 1 – sin2 x ⇒ cos2x = 1 – 2sin2x
DNA 42
sin22,5° ⋅ cos22,5°
Çözüm
çarpımının değeri kaçtır?
A) 4 2 B) 2 2 C)
2 D)
2
2
E)
2
4
2 ⋅ sin 20° ⋅ cos 20° ⋅ cos 40° ⋅ cos 80°
2 ⋅ sin 20°
=
2 ⋅ sin 40° ⋅ cos 40° ⋅ cos 80°
2 ⋅ 2 ⋅ sin 20°
=
2 ⋅ sin 80° ⋅ cos 80°
sin160°
=
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ sin 20°
8 ⋅ sin 20 °
=
1
8
Çözüm
2
2 ⋅ sin 22, 5° ⋅ cos 22, 5° sin 45°
2
=
= 2 =
2
2
2
4
Doğru Seçenek C
Doğru Seçenek E
sin7,5° ⋅ cos7,5° ⋅ cos15°
çarpımının değeri kaçtır?
1
A) 2
112
1
B) 4
LYS MATEMATİK
1
C) 8
cos36° ⋅ cos72°
çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1
D)
16
1
E)
32
A)
1
2
B)
1
4
C)
1
8
D)
1
16
E)
1
32
Trigonometri - Bölüm 05
Yarım Açı Formülleri
DNA 44
0 < 2x <
DNA 45
π
olmak üzere;
2
olduğuna göre, cos24° değerinin m türünden de-
5
13
sin2x =
ğeri aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, cotx aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
5
B)
5
12
cos212° = m
C)
12
5
D) 4
A) m2 – 1
E) 5
B) m2 + 1
D) 2m2 + 1
C) 2m2 – 1
E) 1 – 2m2
Çözüm
Çözüm
cos24° = 2cos212° – 1
= 2m2 – 1
Doğru Seçenek C
cot x =
25
=5
5
Doğru Seçenek E
cos18° = m
olduğuna göre, cos9° değerinin m türünden değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
B) 
A) m2 – 1
0 < 2x <
π
olmak üzere;
2
tan2x =
10
10
D)
B)
5
13
D)  m − 1 C) 
m +1
2
E)  m + 1
DNA 46
3
4
olduğuna göre, sinx aşağıdakilerden hangisidir?
A)
m −1
2
5
10
E)
C)
12
13
2 5
5
cos3 x ⋅ sin x − sin3 x ⋅ cos x
sin 4 x
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
B) 1
C)
1
2
D)
1
4
LYS MATEMATİK
E)
1
8
113
Yarım Açı Formülleri
Trigonometri - Bölüm 05
Çözüm
Çözüm
cos x ⋅ sin x(cos2 x − sin2 x )
2 ⋅ sin 2x ⋅ cos 2x
(cos2 x − sin2 x = cos 2x )
1’leri yok edelim.
1 + sin 20° + 2 cos2 10° − 1
1 + sin 20° − (1 − 2 sin2 10°)
cos x ⋅ sin x ⋅ cos 2x
1
⇒
=
2 ⋅ 2 ⋅ sin x ⋅ cos x ⋅ cos 2x 4
sin 20° + 2 cos2 10°
=
sin
n 20° + 2 sin2 10°
2 sin10° ⋅ cos10° + 2 cos2 10°
=
2
2 sin10° ⋅ cos10° + 2 sin 10°
Doğru Seçenek D
=
2 cos10° (sin10 + cos10°)
2 sin10° (cos10° + sin10°)
= cot 10°
Doğru Seçenek D
cos2x = 2a
olduğuna göre sin4x – cos4x ifadesinin a türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2a
B) –a
C)
cosx – cos2x – 1 = sin2x
olduğuna göre, sinx + cosx aşağıdakilerden hangisine eşittir?
a
2
D) a
E) 2a
A)
3
2
DNA 47
B) 1
C)
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
1
1
−
tan15° cot 15°
işleminin sonucu kaçtır?
A) tan20°
A)
114
1
2
E)
B) cot20°
D) cot10°
LYS MATEMATİK
D)
DNA 48
1 + sin 20° + cos 20°
1 + sin 20° − cos 20°
3
4
E) tan5°
C) tan10°
3
2
B)
D) 2 3 3
3
C)
E) 3 3
3
1
4
Trigonometri - Bölüm 05
Yarım Açı Formülleri
Çözüm
Çözüm
1
1
cos15° sin15°
−
=
−
sin15° cos15° sin
15° c
os15



°
cos15° sin15° (cos 15°) (sin 15°)
cos2 15° − sin2 15°
sin15° ⋅ cos15°
=
cos 30°
= 2 cot 30° = 2 3
sin 30°
2
=
cos
Doğru Seçenek D
β 3
=
2 5
cos β = 2 cos2
⇒
cos β = 2 ⋅
cos235° – sin235° = a olduğuna göre,
cos β = −
1 – tan55° ⋅ tan70°
β
−1
2
9
−1
25
7
25
ifadesinin a türünden değeri aşağıdakilerden hangisi-
Doğru Seçenek C
dir?
A) −
2
a
D)
B) −
1
a
2
a
E)
C)
3
5
sin(180° – a) = sina =
a +1
a
1
a
Işık 8
tan 2x = tan( x + x ) =
tan x + tan x
2 tan x
=
1 − tan x ⋅ tan x 1 − tan2 x
DNA 49
ABC bir dik üçgen
[AB] ^ [BC], |AD| = 1 br,
ABC bir üçgendir.
|DC| = 4 br, |BC| = 4 br
3
5
olduğuna göre, cosb
|AD| = |AC| ve sinα =
Yukarıdaki verilere göre, cosa kaçtır?
kaçtır?
A) −
1
5
D) −
B) −
9
25
 )= α
m( ABD
6
25
E) −
C) −
2
5
7
25
A)
10
10
D)
B)
2 10
5
10
5
E)
C)
3 10
10
10
2
LYS MATEMATİK
115
Dönüşüm ve Ters Dönüşüm Formülleri
Trigonometri - Bölüm 05
Hazine 10
Dönüşüm Formüllleri
sin x + sin y = 2 sin
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
x+y
x−y
⋅ cos
2
2
A) 2cos10° x+y
x−y
sin x − sin y = 2 cos
⋅ sin
2
2
cos x + cos y = 2 cos
cos50° + cos40°
D)
B)
2 ⋅ cos10° 2 ⋅ cos 5° C) 2cos5°
E)
x+y
x−y
⋅ cos
2
2
cos x − cos y = −2 sin
2
⋅ cos 5°
2
x+y
x−y
⋅ sin
2
2
DNA 51
DNA 50
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
sin70° + sin10°
A) –2
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2sin40° cos130° + cos 70°
cos 80°
B)
3
sin 40° 2
D) sin20° C)
E)
B) − 3 C) −
3
D)
2
3 E)
3
2
3 sin 40°
3
sin 20°
2
Çözüm
cos130° + cos 70° = 2 cos100° ⋅ cos 30°
(cos100° = − cos 80°)
⇒
Çözüm
cos130° + cos 70° −2 cos 80° ⋅ cos 30°
=
cos 80°
cos 80°
⇒ −2
sin 70° + sin10° = 2 sin
70° + 10°
70° − 10°
⋅ cos
2
2
3
=− 3
2
bulunur.
Doğru Seçenek B
= 2 sin 40° ⋅ cos 30°
= 2 ⋅ sin 40° ⋅
3
2
= 3 ⋅ sin 40°
bulunur.
Doğru Seçenek C
sin 40° + sin 50° − 2 ⋅ cos 5°
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –1
116
LYS MATEMATİK
B) 0
C) 1
D)
2
E)
2
2
Trigonometri - Bölüm 05
Dönüşüm ve Ters Dönüşüm Formülleri
DNA 52
DNA 53
26a = p olduğuna göre,
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
B) –1
cos 2x + cos 4 x + cos 6 x
sin 2x + sin 4 x + sin 6 x
cos12a − cos 2a
sin15a − sin a
C) 1
D)
ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
3
2
E) 2
A) tan2x
B) tan4x
D) cot4x
E) sin5x
C) cot2x
Çözüm
Çözüm
cos12a – cos2a = –2sin7a ⋅ sin5a
sin15a – sina = 2cos8a ⋅ sin7a
cos6x + cos2x = 2cos4x ⋅ cos2x
sin6x + sin2x = 2sin4x ⋅ cos2x
dir.
⇒
dır.
⇒
cos 2x + cos 4 x + cos 6 x cos 4 x (1 + 2 cos 2x )
=
sin 2x + sin 4 x + sin 6 x
sin 4 x (1 + 2 cos 2x )
cos12a − cos 2a − 2 sin 7a ⋅ sin 5a
=
sin15a − sin a
2 sin 7a ⋅ cos 8a
5a + 8a = 13a =
= cot 4 x
bulunur.
π
olduğundan,
2
Doğru Seçenek D
sin5a = cos8a
dır. Sonuç –1 olur.
Doğru Seçenek B
Kısayol
cos 2x + cos 4 x + cos 6 x cos 4 x
=
= cot 4 x
sin 2x + sin 4 x + sin 6 x
sin 4 x
(4x; 6x ile 2x’in aritmetik ortalamasıdır.)
π
11x = olduğuna göre,
2
cos 5 x + cos 3 x
sin 8 x + sin 6 x
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
B) –1
C) 1
D)
3
2
sin a + sin 3a + sin 5a
cos a + cos 3a + cos 5a
E) 2
B) tan3a
A) tana
D) cot3a
C) cota
E) sin5a
LYS MATEMATİK
117
Dönüşüm ve Ters Dönüşüm Formülleri
Trigonometri - Bölüm 05
Hazine 11
sin a ⋅ cos b =
1
[sin(a + b) + sin(a − b)]
2
cos a ⋅ sin b =
1
[sin(a + b) − sin(a − b)]
2
cos a ⋅ cos b =
cos75° ⋅ cos15°
Ters Dönüşüm Formüllleri
çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 1 1
2
B)
3
2
D)
C)
E)
1
4
3 +1
2
1
[cos(a + b) + cos(a − b)]
2
1
sin a ⋅ sin b = − [cos(a + b) − cos(a − b)]
2
DNA 55
1
cos 70°
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
4 sin 80° −
DNA 54
cos5° = m
A) 2 B) sin10°
D) sec10°
C) cos10°
E) csc10°
olduğuna göre, cos50° ⋅ cos40° değeri m cinsinden aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
m −1
2
B)
D) m2 – 1 m2 − 1
2 C)
E)
2m2 − 1
2
Çözüm
m2 + 1
2
4 sin 80° ⋅ cos 70° − 1
=
cos 70°
1
4 ⋅ [sin150° + sin10°] − 1
2
cos 70°
1

2  + sin10° − 1
2 sin10°
2

= 
=
cos 70°
sin 20°
Çözüm
=
cos 50° ⋅ cos 40° =
1
[cos(50° + 40°) + cos(50° − 40°)]
2
=
1
[cos
 90

° + cos10°]
2 
0
=
cos10° 2 cos2 5° − 1 2m2 − 1
=
=
2
2
2
2 sin10°
= sec10°
2 ⋅ sin10° ⋅ cos10°
dur.
Doğru Seçenek D
bulunur.
Doğru Seçenek C
4 cos 20° −
1
cos 80°
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –2
118
LYS MATEMATİK
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Trigonometri - Bölüm 05
Dönüşüm ve Ters Dönüşüm Formülleri
1.
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 tan
x
2
B) 2 cot
x
2
x
2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4
1− cos x
sin x
D) cot
1
3
−
sin10° cos10°
5.
TEST - 4
C) sin
E) tan
x
2
B) 2
C)
1
2
D)
1
4
E) 4cos10°
x
2
6.
sinx = a
olduğuna göre, cos2x ifadesinin a türünden eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
2.
5sinx + cos2x = 3
A) –a2 B) 1 – a2
D) 2a2 – 1 C) 1 – 2a2
E) 1 – a
olduğuna göre, tanx aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A)
1
3
B)
3
C)
3
2
D)
2
3
E)
5
2
7.
Yandaki şekil 6 eş
birim kareden oluşmuştur.
Buna göre, tana
kaçtır?
3.
cos2(x – y) – sin2(x – y)
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) cos2x
B) cos2y
D) cos2(x – y)
A) 7
C) sin2y
B)
24
7
C)
7
12
kareden oluşmuştur.
Buna göre, cot (a + b)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) cos2x
D) 2sin2x E)
Yandaki şekil 8 eş birim
sin 5 x cos 5 x
−
sin x
cos x
B) 2cos2x
D) 1
E) sin2(x – y)
8.
4.
12
7
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
C) 4cos2x
E) 4sin4x
A)
11
3
B) 2
C)
7
3
D)
3
7
LYS MATEMATİK
E)
1
2
119
Dönüşüm ve Ters Dönüşüm Formülleri
Trigonometri - Bölüm 05
1 + cos 50°
2
9.
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) cos10°
B) sin50°
D) sin25° cos2 5° − sin2 5°
sin 40° + sin 20°
13.
C) cos50°
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) sin5° B) cos5° C)
ABC dik üçgeninde
 = 2a olduğuna
m(C)
göre, tana kaçtır?
14.
a
b+c
D)
B)
a+b
c
E) 4
sin46° + cos76° – cos16°
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
A)
D) 1
E) cos25°
10.
1
4
b
a+c C)
B) 0
C) 1
D) sin14°
E) cos14°
c
a+b
a+c
b
E)
15. 13x = p olduğuna göre;
11.
0<x<
cos 4 x + cos 2x
2 cos x ⋅ cos10 x
π
4
ve cos x =
2
5
p

olduğuna göre, tan  + x  aşağıdakilerden han4

gisine eşittir?
A)
1
7
B)
3
7
C)
3
4
D)
7
3
A) 2
B) 1
C)
1
2
D) –1
E) –2
E) 7
sin10° + sin 20°
1 + cos10° + cos 20°
12.
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
sin10° + sin 50°
sin100° − sin 40°
16.
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) sin10°
A) sin20°
1.E
120
B) cos10°
D) cot10°
2.A
3.D
LYS MATEMATİK
C) tan10°
E) sec10°
4.C
5.A
6.C
7.D
8.E
9.E
B) cos20°
D) tan20° 10.C
11.E
12.C
C) 2sin20°
E) cot20°
13.D
14.B
15.D
16.E
Trigonometri - Bölüm 05
Dönüşüm ve Ters Dönüşüm Formülleri
5.
TEST - 5
π
0<α<
ve sina – 3cosa = 0
2
1.
olduğuna göre, cos2a kaçtır?
A) −
3
5
B) −
4
5
C) −
1
2
D)
3
5
E)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) sin4x
cos25° =
B) cos2x
D) tan4x C) tan2x
E) cot4x
4
5
6.
2.
cos 2x + cos 4 x + cos 6 x
sin 2x + sin 4 x + sin 6 x
x +1
2
tan 20° + tan10°
1 − tan 20° ⋅ tan10°
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) −
1
3
B) − 3 C) 1
D)
1
3
E)
3
olduğuna göre, sin40° değerinin x türünden eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x
B)
2x C) x
D)
x +1
E) x + 1
7.
3.
sin( x + y ) 3
=
sin( x − y ) 2
sin15° ⋅ cos 32° − sin 32° ⋅ cos15°
cos 42° ⋅ cos 31° − sin 42° ⋅ sin 31°
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) −
tanx
olduğuna göre,
aşağıdakilerden hangisine
tany
1
2
B) −
2
C) –1
3
D)
3
2
E) 1
eşittir?
A) –5
B) –1
4.
C) 1
D) 2
E) 5
a; ABC üçgeninin dış
8.
Şekildeki birim çember
üzerinde A(m, n) noktası alınmıştır.
açısıdır. |AF| = 2 br,
Buna göre, m2 – n2
|FE| = 4 br, |FD| = 5 br
aşağıdakilerden han-
ve |BD| = 3 br olduğu-
gisine eşittir?
na göre, tana kaçtır?
7
11
A) − B) − 11
7
3
C) − 11
11
8
D) − E) −
3
11
A) cos2x
B) sin2x
D) cot2x C) 2sin2 x – 1
E) tanx
LYS MATEMATİK
121
Dönüşüm ve Ters Dönüşüm Formülleri
Trigonometri - Bölüm 05
13.
sin x + sin 2x + sin 3 x
1 + cos x + cos 2x
9. ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
1
2sin x
B)
AB ^ AC, |AC| = |DC|
|AC| = 5 br
1
2 sin 2x
D) 2sin2x ABC bir dik üçgen
C) sin2x
|AB| = 12 br
E) 2sinx
Yukarıdaki verilere göre, cos2a kaçtır?
A)
B)
5
9
C)
5
12
D)
5
13
E)
12
13
D)
1
2
E)
1
4
sin 2θ
=3
1 − cos 2θ
10.
olduğuna göre, cotq kaçtır?
5
7
A) 3
B) 2
1
D) 2
C) 1
1
E)
3
14.
sin
çarpımının sonucu kaçtır?
A)
11.
3π
π
⋅ sin
8
8
2
2
B)
2
4
C)
3
4
ABCD bir dikdörtgen
|EC| = |BF| = |CF| = 1 br
|DE| = 3 br
15.
Yukarıdaki verilere göre, tana kaçtır?
A)
3
7
12.
B)
7
14
tan2x =
C)
4
7
D)
5
14
E)
A) –2
2
7
4
3
16.
eşit olabilir?
1.B
122
2.C
B)
5
3
3.E
LYS MATEMATİK
C) 1
4.B
D)
5.E
1
2
6.D
E)
7.C
3
5
9.E
B) –1
C)
sin 35° ⋅ sin 25° −
1
2
D) 1
E) 2
cos10°
2
işleminin sonucu kaçtır?
A) −
8.C
1
2 sin10°
işleminin sonucu kaçtır?
olduğuna göre, cotx aşağıdakilerden hangisine
A) 2
2 sin 70° −
10.A
1
4
B) −
11.D
1
2
12.A
C) –1
13.D
D)
14.B
1
2
15.B
E)
1
4
16.A
TRİGONOMETRİ - BÖLÜM 05
PERİYODİK FONKSİYON
TANIM
Bazı fonksiyonlar, belli aralıklarda aynı değerleri alarak
kendilerini tekrarlar. İşte bu tekrarlama özelliğine sahip
fonksiyonlara periyodik fonksiyon denir.
f fonksiyonunun esas periyodu 6 ve
 2x − 11 
g(x) = f 

 3 
olduğuna göre, g fonksiyonunun esas periyodu kaç-
A ⊂ R için f: A → B bir fonksiyon olsun.
tır?
∀ x ∈ A için f(x + T) = f(x) eşitliğini sağlayan bir pozitif T ger-
A) 4
B) 6
D) 9
C) 8
E) 12
çek sayısı varsa, f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, pozitif
T gerçek sayısına da f fonksiyonunun bir periyodu denir.
Periyotların (varsa) en küçüğüne de esas periyot denir.
Ayrıca y = f(x) fonksiyonun esas periyodu T ise a, b ∈ R için
g(x) = f(ax + b) fonksiyonunun esas periyodu
Hazine 12
T
dır.
|a|
n sıfırdan farklı bir tam sayı ve a, b, c, d birer gerçek
sayı olmak üzere;
DNA 56
 5x − 6 
h( x ) = f 

 4 
olduğuna göre, h fonksiyonunun esas periyodu
kaçtır?
B) 6
f(x) = a + b ⋅ cosn(cx + d)
f(x) = a + b ⋅ sinn(cx + d)
fonksiyonlarının esas periyodu
olmak üzere, f fonksiyonunun esas periyodu 10
A) 4
C) 8
D) 10
E) 12
n bir tek tam sayı ise
2π
|c|
n bir çift tam sayı ise
π
dir.
|c|
f(x) = a + b ⋅ tann(cx + d)
f(x) = a + b ⋅ cotn(cx + d)
fonksiyonlarının esas periyodu
Çözüm
π
dir.
|c|
f(x) için T = 10 ise
 5x − 6 
 5 x 3  için
h( x ) = f 
− 
 = f
 4 
 4 2
T′ =
DNA 57
f(x) = 5 – 2 ⋅ sin3(5x – 4) ve g(x) = –2 + tan5(2x + 3)
T 10
=
=8
5
5
4
4
fonksiyonlarının periyotları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
olur.
Doğru Seçenek C
A)
π π
,
5 2
D)
B)
π
, π 5
2π
, π 5
E)
C)
2π π
,
5
2
π π
,
2 5
LYS MATEMATİK
123
Periyodik Fonksiyon
Trigonometri - Bölüm 05

Çözüm
y = f(x) = cosx fonksiyonunun periyodu T = 2p olduğundan grafik [0, 2p] aralığında çizilir.
x
0
π
2
p
3π
2
2p
y = cosx
1
0
–1
0
1
f(x) = a + b ⋅ sinn(cx + d) fonksiyonunun periyodu n tekse
2π
olacağından,
|c|
f(x) = 5 – 2sin3(5x – 4) fonksiyonunun periyodu
2π
olur.
5
f(x) = a + b ⋅ tann(cx + d) fonksiyonunun periyodu ise
π
ola|c|
cağından, g(x) = –2 + tan5(2x + 3) fonksiyonunun periyodu
π
olur.
2
Doğru Seçenek C

y = tanx fonksiyonunun esas periyodu p dir.
−
x
π
2
tanx
−
π
3
− 3
−
π
4
–1
–∞
−
π
6
0
0
− 3
3
π
6
3
3
π
4
1
π
3
π
2
3
+∞
π
2
f(x) = 1 + 3 cot2(1 – 5x) ve g( x ) = −3 − 4 cos  x + 
3

fonksiyonlarının periyotları sırasıyla aşağıdakilerden
hangisidir?
π
, π 5
A)
D)
B)
π
, π 3
π π
,
3 5
C) π,
E)
π
5
π π
,
5 3
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN
GRAFİKLERİ

y = cotx fonksiyonunun esas periyodu p dir.
x
y = f(x) = sinx fonksiyonunun periyodu T = 2p olduğundan grafiği [0, 2p] aralığında çizilir.
124

x
0
π
2
p
3π
2
2p
y = sinx
0
1
0
–1
0
LYS MATEMATİK
0
cotx
π
6
3
+∞
π
4
π
2
1
0
2π
3
−
3
3
3π
4
–1
5π
6
− 3
–∞
Trigonometri - Bölüm 05
Periyodik Fonksiyon
DNA 58
Şekilde grafiği verilmiş
olan fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
Şekilde grafiği verilmiş olan fonksiyon aşağıdakilerA) y = 3cosx
B) y = 3sinx
D) y = – 3sinx
C) y = – 3cosx
E) y = – sin3x
den hangisidir?
A) y = cosx
B) y = 2cosx
C) y = cosx + 1
D) y = cosx + 2
E) y = 2cosx + 1
Çözüm
Bu tarz sorularda noktaları yerine koyup deneyelim.
π
π

A şıkkında  , − 3  3 cos = 0 olduğundan yanlıştır.
2
2

π
π

B şıkkında  , − 3  3 sin = 3 olduğundan yanlıştır.
2
2

π
π

C şıkkında  , − 3  − 3 cos = 0 olduğundan yanlıştır.
2
2


3π
π

= 1 olduğundan yanlıştır.
E şıkkında  , − 3  − sin
2
2

π
π

D şıkkında  , − 3  y = −3 sin = −3 tür.
2
2

Eğer bu nokta başka bir şık daha sağlasaydı o zaman bir
Yukarıda [–p, p] aralığında grafiği verilen f(x) fonksi-
nokta daha seçerdik.
yonu aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru Seçenek D
A) 2 – sinx
B) sin2x
D) 3 – cosx
C) 2sinx
E) 2cosx
LYS MATEMATİK
125
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometri - Bölüm 05
Not
Çözüm
Bir trigonometrik fonksiyonun tanımlı olduğu tüm aralıklarda tersi alınabilir fakat bulunan ters her zaman bir
fonksiyon olmayabilir. Sadece bağıntı olarak kalabilir. Bir
a = Arc cos
1
2
⇒ cos a =
1
 1
b = Arc cos  −  ⇒ cos b = −
2
 2
fonksiyonun tersinin de bir fonksiyon olabilmesi için fonk-
⇒
a=
π
∈ [0, π]
3
⇒
b=
2π
∈ [0, π]
3
 2π π 
⇒ sin(a + b) = sin 
+  = sin π = 0
 3 3
siyonun birebir ve örten olması gerekir. Trigonometrik
fonksiyonlar her aralıkta birebir ve örten değildirler. Ancak
1
2
bulunur.
birebir ve örten oldukları bazı gerçek sayı aralıkları vardır.
Doğru Seçenek C
Bu aralıklarda trigonometrik fonksiyonların tersleri vardır.
Bir trigonometrik fonksiyonun tersini ifade edebilmek için
önüne “Arc” eki getirilir. cosx in tersi için arccosx, sinx in
tersi için arcsinx, ... gösterimleri kullanılır.

3
a = Arccos1, b = Arc cos  −
 2 


olduğuna göre, tan(a + b) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
B) −
A) − 3 Arkkosinüs (Arccos) fonksiyonu
1
3
C)
1
3
D) 1
E)
3
f(x) = cosx fonksiyonu [0, p] aralığında kısıtlanır ve değer
kümesi [–1, 1] aralığı alınırsa bu fonksiyon birebir ve örten
olur.
Bu ters fonksiyon f–1 = cos–1x veya f–1 (x) = arccosx biçiminde ifade edilir.
 π π
f:  − ,  → [–1, 1] olmak üzere,
 2 2
f:[0, p] → [–1, 1]
f(x) = sinx fonksiyonu birebir ve örtendir.
⇒ f–1: [–1, 1] → [0, p] olur.
Arksinüs (Arcsin) fonksiyonu
 π π
f–1: [–1, 1] →  − ,  olur.
 2 2
y = cosx ⇔ arccosy = x
y = sinx ⇔ arcsiny = x
DNA 59
DNA 60
1
 1
a = Arc cos , b = Arc cos  − 
2
 2
olduğuna göre, sin(a + b) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) −
126
1
2
B) –1
LYS MATEMATİK
C) 0
D)
1
2
E) 1

3
Arc sin  −
 2 


ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
5π
4
B)
5π
8
C)
π
6
D)
π
3
E) −
π
3
Trigonometri - Bölüm 05
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Çözüm
− 3
Arc sin 
=a
 2 


⇒
⇒
sin a = −
sin(2arccosx)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3
2
1 − x 2 B) 2x
D) 2 1 − x 2 ⋅ x 1 − x2
2x
C)
1 − x2 ⋅ x
E)
π  π π
a = − ∈ − ,
3  2 2 
bulunur.
Doğru Seçenek E
Arktanjant (Arctan) fonksiyonu
 π π
Tanjant fonksiyonunu  − ,  aralığında kısıtlarsak bi 2 2
rebir ve örten olur.
 1
Arc sin  
2
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
π
2
B)
π
3
C)
π
6
D) −
π
3
E) −
π
6
f ( x ) = tan x
DNA 61
⇒
 π π
f :− ,  → R
 2 2
⇒
 π π
f −1 : R →  − , 
 2 2
cos(2arcsinx)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 + x2
B) 1 + 2x2
D) 1 – 2x2
C) 1 – x2
biçiminde bir ters fonksiyonu vardır.
E) 2x2
y = arctanx ⇔ tany = x
Çözüm
cos( 2arc
sin
x )
DNA 62
u
arcsinx = u ⇒ cos2u soruluyor.
⇒ sinu = x ⇒ cos2u = 1 – 2sin2u = 1 – 2x2
bulunur.
Doğru Seçenek D
arctan( − 3 ) + arctan(1)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) −
π
π
B) − 12
6
C)
π
2
D)
π
6
E)
LYS MATEMATİK
π
12
127
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometri - Bölüm 05
Çözüm
DNA 63
Arc tan( − 3 ) = a ⇒ tan a = − 3
−π  π π 
∈− , 
3  2 2
⇒ a=
Arc tan(1) = b
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x
A)
⇒ tan b = 1
2
x +1
π  π π
⇒ b = ∈− , 
4  2 2
a+b =
sin(arccotx)
D)
B)
1
x2 + 1
x
2
x +1
E)
C)
1
x
x2 + 1
π
π
π
−
=−
4
3
12
(3 )
( 4)
bulunur.
Çözüm
Doğru Seçenek A
Arccotx = u ⇒ sinu soruluyor.
Arccotx = u ⇒ cotu = x
1
⇒ sinu =
2
x +1
Arc tan( −1) + Arc tan( 3 )
toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) −
π
12
B) −
π
6
C)
π
2
D)
π
6
E)
π
12
bulunur.
Doğru Seçenek D
Arkkotanjant (Arccot) fonksiyonu
(0, p) aralığında birebir ve örten olduğundan bu fonksiyonun da bu aralıkta tersi vardır.
f(x) = cotx olmak üzere;
f: (0, p) → R
cot(arcsinx)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1 − x 2 ⇒ f–1: R → (0, p) dir.
y = cotx ⇔ arccoty = x
128
LYS MATEMATİK
D)
B)
x
1− x
2
1 − x2
x
E)
C) x ⋅ 1 − x 2
1 + x2
x
TRİGONOMETRİ- BÖLÜM 05
TRİGONOMETRİK DENKLEMLER
DNA 64
TANIM
İçinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonları bulunan
ve bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliklere
3
2
sin2x =
denkleminin R de çözüm kümesi aşağıdakilerden
trigonometrik denklem denir.
hangisidir?
sin2x + cos2x = 1 eşitliği her x değeri için doğru olduğundan
π
π

+ kπ : k ∈ Z 
A)  + kπ ∨
6
3


trigonometrik özdeşliktir. Ancak sinx = 1 veya tan x = 3
eşitlikleri bazı x değerleri için sağlanacağından trigonometrik denklemdir. Trigonometrik denklemi sağlayan gerçek değerlere denklemin kökleri, köklerin oluşturduğu
kümeye ise çözüm kümesi denir.
π
π

+ kπ : k ∈ Z 
B)  + 2kπ ∨
3
6

π
π

+ kπ : k ∈ Z 
C)  + 2kπ ∨
3
6

π
π

+ 2kπ : k ∈ Z 
D)  + kπ ∨
3
6

π

E)  + kπ : k ∈ Z 
6

Uyarı
sin x =
1
ise x = 30°, x = 150° dir. Fakat x sadece
2
Çözüm
bunlara eşit değildir. Bunlar sadece çözüm kümesinin
herhangi iki elemanıdır. Cevap esas ölçüsü 30° ve
sin 2x =
150° olan tüm açılar olmalıdır.
Ç.K. = {30° + k ⋅ 360° ve 150° + 2kp (k ∈ Z)} olur.
2x =
x=
sina = sin (p – a)
3
π
= sin
2
3
π
+ 2kπ
3
π
+ kπ
6
ve
2x = π −
ve
2x =
x=
π
+ 2kπ (k ∈ Z)
3
2π
+ 2kπ
3
π
+ kπ
3
olur.
Buradan çözüm kümesi;
π
π

+ kπ, k ∈ Z 
 + kπ ∨
3
6

Işık 9
sin[f(x)] = sin[g(x)]
⇒ f(x) = g(x) + 2kp veya
olur.
Doğru Seçenek A
f(x) = p – g(x) + 2kp (k ∈ Z)
LYS MATEMATİK
129
Trigonometrik Denklemler
Trigonometri - Bölüm 05
sin5x = 1
cos4x – 3sin2x + 1 = 0
denkleminin (0, 2p) aralığındaki çözüm kümesi aşağı-
denklemini sağlayan en küçük farklı iki pozitif x değe-
dakilerden hangisidir?
π

A)  + 2kπ, k ∈ Z  10

rinin toplamı kaçtır?
 π kπ

B)  + , k ∈ Z 
10 5

 π 2kπ

, k ∈ Z C)  +
5
10

 π kπ

D)  + , k ∈ Z 
5 5

A)
π
12
B)
5π
12
C)
π
2
D)
π
3
E) p
 π 2kπ

, k ∈ Z
E)  +
5
5


DNA 65
DNA 66
4sin2x + 8sinx – 5 = 0
denklemini sağlayan en küçük farklı iki pozitif x
değerinin toplamı kaçtır?
A)
π
4
B)
π
3
C)
π
6
D) p
cos2x = sin4x
denkleminin bir kökü aşağıdakilerden hangisidir?
E) 2p
A)
π
15
B)
π
12
C)
π
10
D)
π
5
E)
π
2
Çözüm
4 sin2x + 8 sinx – 5 = 0
2 ⋅ sinx
5
2 ⋅ sinx
–1
Çözüm
(2sinx + 5) ⋅ (2sinx – 1) = 0
⇒ sin x = −
5
1
veya sin x =
dir.
2
2
Ç.K. = ∅
⇒
sin x = sin
⇒x=
π
6
π
π
+ 2kπ veya x = π − + 2kπ
6
6
130
π 5π
+
= π bulunur.
6 6
LYS MATEMATİK
π

sin  − 2x  = sin 4 x
2

π
π
− 2x = 4 x + 2kπ veya
− 2x = π − 4 x + 2kπ (k ∈ Z)
2
2
⇒ −6 x = −
x=
k = 0 için
5π
+ 2kπ
6
⇒ x=
π
+ 2kπ
2
π kπ
−
12 3
k = 0 için x =
veya 2x =
veya x =
π
+ 2kπ
2
π
+ kπ
4
π
π
ve k = 0 için x =
bulunur.
12
4
Doğru Seçenek B
Doğru Seçenek D
Trigonometri - Bölüm 05
Trigonometrik Denklemler
Aşağıdakilerden hangisi,
sin3x = cosx
eşitliğinin R de çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
denkleminin bir kökü değildir?
A)
π
8
B)
π
4
π

cos 3 x = cos  + x 
6

C)
3π
4
gisidir?
D)
5π
8
E)
5π
4
π
π kπ


+ kπ, x = −
+ , k ∈ Z
A)  x =
12
24
2


π
π


+ kπ, x = −
+ kπ, k ∈ Z 
B)  x =
12
24


π kπ
π kπ


+ , x=−
+ , k ∈ Z
C)  x =
12 2
24 2


π
π


+ 2kπ, x = −
+ 2kπ, k ∈ Z 
D)  x =
12
24


Işık 10
π


+ 2kπ, k ∈ Z 
E)  x =
12


k bir tam sayı olmak üzere;
cos f(x) = cos g(x) ise;
f(x) = g(x) + 2kp veya f(x) = – g(x) + 2kp dir.
cosa = cos(–a)
DNA 68
sinx – 2sin2x = 0
denkleminin [0, 2p] aralığında kaç kökü vardır?
DNA 67
A) 1
cos22x – sin22x = 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm
D) 4
E) 5
sinx – 2sin2x = 0
⇒ sinx – 2 ⋅ 2 ⋅ sinx ⋅ cosx = 0
⇒ sinx(1 – 4cosx) = 0
⇒ sinx = 0
veya
1 – 4 cosx = 0
cos 2x – sin 2x = 1
2
2
⇒ cos4x = 1 ⇒ 4x = 0 + 2kp veya 4x = –0 + 2kp
⇒
cos4x = cos0°
kπ
k∈Z
2
k = 0, 1, 2, 3, 4 olup, 5 tanedir.
C) 3
Çözüm
denkleminin [0, 2p] aralığında kaç kökü vardır?
A) 1
B) 2
⇒ x =
x=0
x=p
cosx 1. ve 4. bölgede
pozitif olduğundan cosxi
1
yapan 2 kök vardır.
4
Dolayısıyla bu aralıkta 4 tane kökü vardır.
Doğru Seçenek E
Doğru Seçenek D
LYS MATEMATİK
131
Trigonometrik Denklemler
Trigonometri - Bölüm 05
DNA 69
Uyarı
DNA 68’de,
sin x − 4 ⋅ sin x ⋅ cos x = 0
tan x = −
1
3
denkleminin R de çözüm kümesi aşağıdakilerden
sin x = 4 ⋅ sin x ⋅ cos x
hangisidir?
şeklinde sadeleştirme yapmadık. Bu sadeleştirmeyi
π


A)  x = + kπ, k ∈ Z  6


yapmış olsaydık, x = 0 ve x = p köklerini yok etmiş
olacaktık.
5π


+ kπ, k ∈ Z 
B)  x =
6


5π
7π




+ kπ, k ∈ Z  D)  x =
+ kπ, k ∈ Z 
C)  x =
3
6




E) ∅
Çözüm
tan x = −
1 – cos2x = sinx
1
⇒ tan x = tan
3
⇒ x=
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
π
4
B)
π
3
C)
5π
6
D)
7π
6
E)
3π
2
5π
6
5π
+ kπ, k ∈ Z
6
Doğru Seçenek B
Işık 11
cot x = 3
denkleminin R de çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
tan f(x) = tan g(x) ⇒ f(x) = g(x) + kp, k ∈ Z
cot f(x) = cot g(x) ⇒ f(x) = g(x) + kp, k ∈ Z
132
LYS MATEMATİK
π


A)  x = + kπ, k ∈ Z  6


π


B)  x = + kπ, k ∈ Z 
3


5π


+ kπ, k ∈ Z  C)  x =
3


5π


+ kπ, k ∈ Z 
D)  x =
6


5π


+ 2kπ, k ∈ Z 
E)  x =
6


Trigonometri - Bölüm 05
Periyod - Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
TEST - 6
olduğuna göre, f–1(x) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden
hangisidir?
B) 3p
A) 6p
x

f ( x ) = 2 + 5 sin  − 1
3 
1. C) 2p
D)
π
3
E)
A) –3sinx
f(x) = 3 – 2cos2(3x + 1)
fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden
π
2
π
3
C)
2π
3
D) 2p
hangisidir?
4. π
3
B)
π
2
C) p
D)
3π
2
1
5
A)
E) 2p
8. hangisidir?
π
6
B)
π
4
D) p
2
5
C)
3
4
D)
4
5
E) 1
1

cot  arcsin 
3

1
2
f(x) = 2tan2x
π
C)
2
B)
ifadesinin değeri kaçtır?
fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden
A)
f(x) = sin2x ve g(x) = arccotx
7. fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden
A)
E) 3sin2x
E) 4p
 −2x

f ( x ) = 1 + cot 
+ 4
 3

3. B)
D) 2 – sin3x
C) 3 – sin2x
olduğuna göre, (fog)(2) kaçtır?
A)
hangisidir?
A)
B) 2 – 3sinx π
6
6. 2. 2−x
f ( x ) = arcsin 

 3 
5.
E) 2p
B)
1
3
C) 3
D)
2
E) 2 2
1
2 

sin  Arc sin
+ Arc cos

5
5

ifadesinin sonucu kaçtır?
A)
3
5
B)
4
5
C)
5
12
D)
5
13
LYS MATEMATİK
E)
12
13
133
Trigonometrik Denklemler
Trigonometri - Bölüm 05
13.
π

arcsin  cos 
7


9. ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
π
A) 7
3π
B)
14
2π
C)
7
5π
D)
14
sin2x – 3sinx ⋅ cosx + 2cos2x = 0
olduğuna göre, tanx in alacağı değerler toplamı
kaçtır?
3π
E)
7
A) 1
B) 2
C) 3
D)
7
2
E) 4
10.
14.
cos 3 x ⋅ cos x + sin 3 x ⋅ sin x = −
denkleminin bir kökü aşağıdakilerden hangisidir?
A)
Şekilde [0, 2p] aralığında grafiği verilen y = f(x)
1
2
π
6
B)
π
4
C)
π
2
D)
5π
6
E)
5π
3
fonsiyonunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2 – cosx
B) y = cos2x
D) y = 2 + cos
x
2
C) y = 2 + cosx
E) y = 1 – cosx
15.
11. k bir tam sayı ve a ⋅ b = 1 olmak üzere;
sin3x + sinx = sin2x
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden
hangisidir?
asin x = b 3 cos x
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi
A) 15°
B) 30°
C) 45°
D) 60°
E) 75°
aşağıdakilerden hangisidir?
2π


+ kπ  A)  x : x =
3


π


B)  x : x = + kπ 
3


2π


+ 2kπ  C)  x : x =
3


π


D)  x : x = + 2kπ 
3


3π


+ kπ 
E)  x : x =
4


denkleminin (0, p) aralığındaki kökleri aşağıdakilerden hangisidir?
12.
cos2x – 5cosx – 2= 0
A)
denkleminin [0, 2p) aralığında kaç kökü vardır?
A) 0
1.A
134
1
1
+
=4
1 − cos x 1 + cos x
16.
2.B
B) 1
3.D
LYS MATEMATİK
C) 2
4.C
D) 3
5.B
6.D
E) 4
7.E
8.B
9.D
{
}
{
π 3π
,
4 4
D)
10.C
B)
}
{
}
π 5π
,
6 6
π 5π
,
4 4
11.A
12.C
E)
13.C
14.E
{ }
{ }
C)
π 2π
,
3 3
π 2π
,
4 3
15.D
16.A
KARMAŞIK SAYILAR - BÖLÜM 06
KARMAŞIK SAYILAR
Hazine 1
GİRİŞ
x2 + 1 = 0 denkleminin gerçek sayılar kümesinde çözüm
n bir doğal sayı olmak üzere; in sayısının eşitini bul-
kümesinin boş küme olduğunu biliyoruz. Bunu ortadan
mak için n sayısı 4’e bölünür. Elde edilen kalan i sanal
kaldırmak için i2 = – 1 olduğu kabul edilerek karmaşık sa-
birimine üs olarak yazılır.
yılar tanımlanmıştır.
a pozitif bir gerçek sayı ve
Kalan
−1 = i olmak üzere
−a = i ⋅ a dır.
DNA 1
−3
i =1
1
i1 = i
2
i2 = –1
3
i3 = –i
i36 + i1314
işleminin sonucu nedir?
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2i
0
DNA 2
−2 ⋅ −6
in
0
B) –i
A) 1 – i
C) i
D) 2i
B) –1 – i
C) 1 + i
D) – 1 + i E) 0
E) 2
Çözüm
36 nın 4 ile bölümünden kalan 0,
Çözüm
−2 ⋅ −6
−3
=
1314 ün 4 ile bölümünden kalan 2 dir.
−1 ⋅ 2 ⋅ −1 ⋅ 6
−1 ⋅ 3
2
i36 = i0 = 1 ve i1314 = i2 = – 1 olup,
= 2⋅i
i36 + i1314 = 1 – 1 = 0
Doğru Seçenek D
dır.
Doğru Seçenek E
−18 ⋅ −9
−50
işleminin sonucu nedir?
9i
A) − 5
3i
B) − 5
3i
C)
5
9
D) 5
9i
E)
5
i14 ⋅ i41 + i34 ⋅ i43
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2i
B) –2
C) 0
D) 2
LYS MATEMATİK
E) 2i
135
Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayılar - Bölüm 06
DNA 3
Işık 1
i1 + i2 + i3 + ... + i2007
i’nin negatif kuvvetleri bulunurken üssün 4 modülün-
toplamının sonucu nedir?
deki karşılığı hesaplanır.
A) – 1 – i B) – 1 + i C) 0
D) –1
E) – i
n negatif tam sayı olsun.
n ≡ k (mod 4) ve k ∈ {0, 1, 2, 3} olsun.
O zaman; in ≡ ik dır.
Çözüm
i1 = i
i2 = –1
DNA 4
i3 = – i
i4 = 1
+
1
2
i + i + i3 + i4 = 0
işleminin sonucu nedir?
(i1 + i2 + i3 + i4) + (i5 + i6 + i7 + i8) +...+ (i2001 + i2002 + i2003 + i2004)+ (i2005 + i2006 + i2007)
0
0
i–14 + i–17
0
A) – 1 – i B) – 1 + i C) 0
= i1 + i2 + i3
D) 1 – i
E) 1 + i
=i–1–i
=–1
Doğru Seçenek D
Çözüm
Kısayol
n ∈ N+ olmak üzere;
– 14 ≡ 2 (mod 4)
– 17 ≡ 3 (mod 4)
⇒ i–14 + i–17 = i2 + i3 = – 1– i
i + i2 + i3 + ... + in işleminin sonucunu bulurken n sayısı
Doğru Seçenek A
4’e bölünür. Elde edilen kalan k olmak üzere k = 0 ise
sonuç sıfırdır; k ≠ 0 ise sonuç i’den ik’ya kadar olan tam
kuvvetlerin toplamına eşittir.
i15 + i16 + i17 + ... + i91
toplamının sonucu nedir?
A) –i
136
B) –1
LYS MATEMATİK
C) 0
i–1 ⋅ i–2 ⋅ i–3 ⋅ ... ⋅ i–20
işleminin sonucu nedir?
D) 1
E) i
A) –i
B) –1
C) 0
D) 1
E) i
Karmaşık Sayılar- Bölüm 06
Karmaşık Sayılar
Hazine 2
DNA 5
k bir tam sayı olduğuna göre,
a ve b gerçek sayılar olsun.
i2 = – 1 olmak üzere;
i
8k + 3
+i
12k + 6
işleminin sonucu nedir?
A) –i – 1 B) – i + 1 C) i – 1
z = a + ib biçimindeki sayılara karmaşık veya kompD) i + 1
E) 0
leks sayılar denir. a ∈ R sayısına z karmaşık sayısının gerçek kısmı, b ∈ R sayısına z karmaşık sayısının
imajiner veya sanal kısmı denir ve;
Re(z) = a
Im(z) = b
notasyonlarıyla gösterilir.
Karmaşık sayılar kümesi
ile gösterilip tüm gerçek
sayılar kümesini kapsar.
Çözüm
k tam sayı ve 8k ile 12k 4 ün katı olduğundan, k yerine 0
yazabiliriz.
k = 0 ⇒ i3 + i6 = – i – 1
Işık 2
dir.
Doğru Seçenek A
z1 = a1 + ib1 ve z2 = a2 + ib2 olsun. O zaman;
z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2)
z1 – z2 = (a1 – a2) + i(b1 – b2)
olur. Yani toplama ve çıkarma işlemlerinde gerçek kısımlar kendi aralarında imajiner kısımlar kendi aralarında toplanır veya çıkarılır.
Işık 3
z1 = a + ib, z2 = c + id olsun.
k bir tam sayı olduğuna göre,
O zaman;
i100k – 5 + i32k + 5
işleminin sonucu nedir?
A) – i – 1
B) – i + 1
D) i + 1
E) 0
C) i – 1
z1 ⋅ z2 = (a + ib) ⋅ (c + id)
= ac + aid + bic + i2bd
= (ac – bd) + (ad + bc)i
olur.
LYS MATEMATİK
137
Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayılar - Bölüm 06
Hazine 3
DNA 7
z1 = a1 + ib1 ve z2 = a2 + ib2 olsun.
çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
z1 = z2 ⇔ a1 + ib1 = a2 + ib2
(x + iy) ⋅ (y + ix)
A) 2xy + i(x2 + y2)
⇔ a1 = a2 ∧ b1 = b2 dir.
B) 2xy + i(x2 – y2)
D) i(x2 – y2)
C) i(x2 + y2)
E) x2 + y2
İki karmaşık sayı birbirine eşitse imajiner kısımlar
kendi aralarında ve gerçek kısımlar kendi aralarında
birbirine eşittir.
Çözüm
DNA 6
(x + iy) ⋅ (y + ix) = xy + ix2 + iy2 + i2xy
= i(x2 + y2) bulunur.
a ve b gerçek sayılardır.
Doğru Seçenek C
3 + i + a + bi = 8 + 4i
olduğuna göre, a + b kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Çözüm
z = 2 + 3i olduğuna göre;
3 + i + a + bi = 8 + 4i
Im(i2 ⋅ z + i ⋅ z2)
⇒ a + ib = 8 + 4i – 3 – i
aşağıdakilerden hangisidir?
⇒ a + bi = 5 + 3i
A) –8
⇒ a = 5 ve b = 3
⇒ a + b = 5 + 3 = 8
B) –6
C) 6
D) 8
E) 14
Doğru Seçenek E
DNA 8
a ve b gerçek sayılardır.
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
a + bi + b – ai = 3 – 4i
A) –136
olduğuna göre, a2– b2 kaçtır?
A) –12
138
B) –6
LYS MATEMATİK
C) 6
(2 – 3i)6 ⋅ (2 + 3i)6
D) 12
E) 25
B) 136
D) 136 ⋅ i
C) –136 ⋅ i
E) 13 6 – 136i
Karmaşık Sayılar- Bölüm 06
Karmaşık Sayılar
Çözüm
 1− i 
 1+ i 


(2 – 3i)6 ⋅ (2 + 3i)6 = [(2 – 3i) ⋅ (2 + 3i)]6
20
= (4 – 9i2)6
sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
= 136
A) –2i
B) –i
D) 1
C) –1
E) 2i
Doğru Seçenek B
( 2 − i)10 ⋅ ( 2 + i)10
TANIM
işleminin sonucu nedir?
B) 310
A) –310
E) 310 − 2 i
D) 3 2 i C) 310i
z = a + ib olsun.
z nin eşleniği z ile gösterilir.
z = a – ib dir.
Örneğin; z1 = 3 – i ⇒ z1 = 3 + i
DNA 9
z3 = 5 ⇒ z3 = 5’tir.
Ayrıca bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği yine kendisidir. ( ( z ) = z )
işleminin sonucu nedir?
B) –32 – 32i
C) 32i
D) –32
E) 32
DNA 10
Çözüm
z bir karmaşık sayı olmak üzere;
(1 + i) = [(1 + i) ] = (1 + i + 2i) = 2 ⋅ i = 32 ⋅ i
10
z2 = 2i + 1 ⇒ z2 = – 2i + 1
(Her gerçek sayının eşleniği kendisidir.)
(1 + i)10
A) –32i
2 5
2
5
5
5
Doğru Seçenek C
z ⋅ z = 16
olduğuna göre, Re2(z) + Im2(z) kaçtır?
A) 4
B) 16
C) 32
D) 64
E) 256
LYS MATEMATİK
139
Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayılar - Bölüm 06
Çözüm
DNA 11
z = x + iy olsun. z = x – iy olur.
z ⋅ z = (x – iy) ⋅ (x + iy)
1
1
+
2+i 2−i
işleminin sonucu nedir?
A) −
= x2 + y2
= Re2(z) + Im2(z) dir.
4
5
z ⋅ z = 16 verildiğinden cevap 16 olur.
B) −
4
3
C)
4
5
D)
4
4
i E) i
5
3
Çözüm
Doğru Seçenek B
1
1
(2 − i)
(2 + i)
4
4
+
=
+
=
=
2 + i 2 − i (2 + i) ⋅ (2 − i) (2 + i) ⋅ (2 − i) 4 − i2 5
( 2 −i )
( 2 + i)
bulunur.
Doğru Seçenek C
a ∈ R ve z bir karmaşık sayıdır.
z + iz = 6 + ai
olduğuna göre, a kaçtır?
A) –6
B) –3
C) 0
D) 3
E) 6
1− i
1+ i
işleminin sonucu nedir?
A) –i
B) –1 – i
D) 1 + i
C) –1 + i
E) i
Işık 4
z2 ≠ 0 olmak üzere,
z1 = a + ib, z2 = c + id karmaşık sayıları verilsin.
z1 a + ib (a + ib) ⋅ (c − id) ac − adi + bci − bdi2
=
=
=
z2 c + id (c + id) ⋅ (c − id) c 2 − cdi + dci − i2d2
DNA 12
(c −id)
=
(ac + bd) + (bc − ad)i
c 2 + d2
1 − 3i 1 + 3i
+
1+ i
1− i
dir.
Bölme işleminde temel hareket şudur; kesirli ifadenin
işleminin sonucu nedir?
paydasını gerçek sayı yapmak için kesrin pay ve paydası paydanın eşleniği ile çarpılır.
140
LYS MATEMATİK
A) –2
B) –2i
C) 2 – i
D) 2 + i
E) 2i
Karmaşık Sayılar- Bölüm 06
Karmaşık Sayılar
Çözüm
DNA 13
1 − 3i 1 + 3i (1 − 3i) ⋅ (1 − i) (1 + 3i) ⋅ (1 + i)
+
=
+
1+ i
1− i
(1 + i) ⋅ (1 − i)
(1 + i) ⋅ (1 − i)
(1−i)
(1+i)
x2 + 2x + 5 = 0
denkleminin kompleks sayılar kümesinde çözüm
=
=
1 − i − 3i + 3i2
2
1− i
+
1 + i + 3i + 3i2
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
2
1− i
A) {1 – i, 1 + i}
−2 − 4i − 2 + 4i −4
=
= −2
2
2
B) {1 – 2i, 1 + 2i}
D) {–1 + i, – 1 – i}
C) {2 – i, 2 + i}
E) {– 1 + 2i, – 1 – 2i}
dir.
Çözüm
Doğru Seçenek A
x2 + 2x + 5 = 0
x2 + 2x + 1 = – 4
⇒ (x + 1)2 = (2i)2 ⇒ x + 1 = 2i ∨ x + 1 = –2i
⇒ x1 = – 1 + 2i ve x2 = – 1 – 2i olur.
Doğru Seçenek E
3 + 4i karmaşık sayısının çarpmaya göre tersinin gerçek kısmı kaçtır?
A) −
4
25
B) −
3
25
C) −
3
5
D)
3
25
E)
4
25
Çözüm kümesi {1 − 3 i, 1+ 3 i} olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) –x2 – 2x + 4 = 0
B) x2 + 2x + 4 = 0
C) x2 – 2x + 4 = 0
D) x2– 2x + 9 = 0
E) x2 + 4x + 2 = 0
Uyarı
Hatırlatma
Gerçek katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir
denklemin diskriminantı (D) negatif ise bu denklemin
kökleri birbirinin eşleniğidir.
a, b, c ∈ R (a ≠ 0) olmak üzere,
ax2 + bx + c = 0
a, b, c ∈ R ve D < 0 olmak üzere,
denkleminin kökleri x1, x2 ise,
ax2 + bx + c = 0 denkleminin bir kökü x + yi ise diğeri
x1 + x 2 = −
x – yi dir.
b
c
ve x1 ⋅ x 2 = dır.
a
a
LYS MATEMATİK
141
Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayılar - Bölüm 06
DNA 14
TANIM
m , n ∈ R olmak üzere;
x2 – mx + n – 1 = 0
denkleminin köklerinden biri 2 – i ise m + n kaçtır?
A) 10
B) 8
C) 6
D) 5
E) 4
Bir karmaşık sayının karmaşık düzlemdeki görüntüsünün
orijine olan uzaklığına o karmaşık sayının modülü (mutlak değeri, uzunluğu) denir.
Çözüm
Hazine 4
Köklerden bir 2 – i ise diğeri 2 + i dir.
x1 + x2 = 4 = m
x2 = 2 + i
x1 ⋅ x2 = 5 = n – 1 ⇒ n = 6 olur.
123
x1 = 2 – i
z = x + iy olmak üzere;
|z| = x 2 + y 2
dir.
m + n = 10 bulunur.
Doğru Seçenek A
DNA 15
z= 7− 2i
karmaşık sayısının modülü aşağıdakilerden hangisidir?
A) 12
a ≠ 0 ve a, b, c ∈ R olsun.
B) 9
C) 6
D) 3
E)
3
Çözüm
ax + bx + c = 0
2
denkleminin bir kökü 1 + 2i olduğuna göre,
kaçtır?
−5
A)
2
142
B) –2
LYS MATEMATİK
−2
C)
5
2
D) 5
b
oranı
c
5
E)
2
| z | = ( 7 )2 + ( − 2 )2 = 7 + 2 = 9 = 3 bulunur.
Doğru Seçenek D
Karmaşık Sayılar- Bölüm 06
Karmaşık Sayılar
z= 5+ 7i
karmaşık sayısının modülü aşağıdakilerden hangisidir?
A) 12
B) 9
C) 6
D) 4 3 E) 2 3
z1 = 2 – i
z2 = 4i – 2
olduğuna göre, |z1 – z2| aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A)
5
Hazine 5
B) 2 5 C) 5
E) 25
D) 3
E) 1
DNA 17
1) z ⋅ z = |z|2
z1 = i + 1 ve z2 = 5 i + 2
2) |z| = |z| = |–z| = |–z| = |iz|
olduğuna göre, |z1 ⋅ z2| kaçtır?
3) |z1 ⋅ z2| = |z1| ⋅ |z2|
A) 6 2 4)
D) 10
B) 3 2 C) 2 2 z1 | z1 |
=
( z2 ≠ 0)
z2 | z2 |
Çözüm
DNA 16
z1 = i + 1 ⇒ |z1| =
z2 = 5 i + 2 ⇒ | z2 | = ( 5 )2 + 22 = 3
z = 4 – 3i
olduğuna göre, ||z| – z| aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A)
5
12 + 12 = 2
⇒ |z1 ⋅ z2| = |z1| ⋅ |z2| = |z1| ⋅ |z2| = 3 2
bulunur.
B) 0
C) 5
D)
10 E) 10
Doğru Seçenek B
Çözüm
z = 4 − 3i ⇒ | z | = ( 4)2 + ( −3)2 = 25 = 5
⇒ || z | − z | = | 5 − ( 4 − 3i) | = | 1 + 3i | = 12 + 32 = 10
z = 5 – 12i olmak üzere,
buluruz.
Doğru Seçenek D
|–i ⋅ z| + z ⋅ z
işleminin sonucu kaçtır?
A) 13
B) 26
C) 65
D) 169
LYS MATEMATİK
E) 182
143
Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayılar - Bölüm 06
DNA 18
Işık 5
z bir karmaşık sayıdır.
7 − 24i
z=
6 + 8i
olduğuna göre, z ⋅ z kaçtır?
A)
5
2
B)
3
2
C) 4
D)
9
4
E)
25
4
z1 = x1 + iy1 ve z2 = x2+ iy2 olmak üzere;
z1 ve z2 karmaşık sayıları arasındaki uzaklık
|z1 – z2| =
Çözüm
( x 2 − x1)2 + ( y 2 − y1)2
olur.
z ⋅ z = |z| dir.
2
|z|=
=
7 − 24i
6 + 8i
DNA 19
| 7 − 24i |
| 6 + 8i |
Karmaşık düzlemde; A(4 + 6i), B(– 2 – i), C(4 + 5i)
25 5
=
=
10 2
noktaları veriliyor.
A nın [BC] nin orta noktasına olan uzaklığı kaçtır?
25
⇒ |z| =
4
2
A) 5
B) 4
C) 3
D) 3 2 E) 3 3
Doğru Seçenek E
Çözüm
A(4, 6), B(–2, –1) ve C(4, 5) verilmiş.
Buradan [BC] nin orta noktası
 −2 + 4 −1 + 5 
D
,
 = D (1, 2 )
 2
2 
bulunur.
z=
| AD | = ( 4 − 1)2 + (6 − 2)2 = 25 = 5
11 + i 5
( 3 + i)2
tir.
oılduğuna göre, |z| kaçtır?
A) 4
144
B) 2
LYS MATEMATİK
C) 1
D)
1
2
E)
1
4
Doğru Seçenek A
Karmaşık Sayılar- Bölüm 06
Karmaşık Sayılar
z1 = x + 4i
z = x + iy olmak üzere;
z2 = i
|2z – 1| = |2z + 1|
karmaşık sayıları arasındaki uzaklık 5 birim olduğuna
eşitliğini gerçekleyen z karmaşık sayılarının geomet-
göre, x kaçtır?
rik yerinin denklemi nedir?
A)  6
B)  5
C)  4
D)  3
E)  2
A) x = 0
B) x + y = 0
D) y = 0
C) x – y = 0
E) 2x – 1 = 0
DNA 20
z = x + iy olmak üzere;
DNA 21
|z + i| = |z + 2i|
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik yerinin denklemi nedir?
A) y – 3 = 0
B) y + 3 = 0
D) 2y + 3 = 0
C) 2x + 3 = 0
E) 2y – 3 = 0
z = x + iy olmak üzere;
|z – 1| < |z + i|
eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının kompleks düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
|z + i| = |z + 2i|
⇒ |x + iy + i| = |x + iy + 2i|
⇒
|x + (y + 1)i| = |x + (y + 2)i|
⇒
x2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 2)2
⇒
x2 + y2 + 2y + 1 = x2 + y2 + 4y + 4
⇒
2y + 3 = 0
Doğru Seçenek D
LYS MATEMATİK
145
Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayılar - Bölüm 06
Çözüm
z = x + iy olmak üzere;
|z – 1| < |z + i|
|z – 1 + i| ≤ |z|
koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının kompleks
⇒ |x + iy – 1| < |x + iy + i|
⇒ |(x – 1) + iy| < |x + (y + 1)i|
⇒ (x – 1)2 + y2 < x2 + (y + 1)2
⇒ x2 – 2x + 1 + y2 < x2 + y2 + 2y + 1
⇒ – 2x < 2y
⇒ 0 < y + x
düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
buluruz. Şimdi y + x = 0 doğrusunun grafiğini kesikli çizgilerle çizelim.
A(1, 0) noktası y + x > 0 eşitsizliğini sağladığından A yı
içine alan bölge taranmalıdır.
GEOMETRİK YER
z = x + iy karmaşık sayısı verilsin.
|z| = r veya |z + a + ib| = r denklemleri r > 0 iken bir çember
denklemi belirtir.
Doğru Seçenek D
Merkez koordinatları M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çemberin denklemi;
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
dir.
146
LYS MATEMATİK
Karmaşık Sayılar- Bölüm 06
Karmaşık Sayılar
Çözüm
Işık 6
zO sabit bir karmaşık sayı ve r ∈ R+ olmak üzere;
|z – 1| = 1
|z – zo| = r
⇒ |x + iy – 1| = 1
eşitliği merkezi zo ve yarıçapı r birim olan bir çember
⇒ |(x – 1) + iy| = 1
⇒ (x – 1)2 + y2 = 1
⇒ (x – 1)2 + (y – 0)2 = 12 denklemi bulunur.
belirtir.
a, b ∈ R ve zo = a + ib olmak üzere;
Bu denklem merkez koordinatları (1, 0) ve yarıçapı 1 olan
çember denklemidir.
Doğru Seçenek A
DNA 22
z = x + iy olmak üzere;
|z – 1| = 1
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının kompleks
düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
z = x + iy olmak üzere;
|z + 2i – 3| = 1
eşitliğini gerçekleyen z karmaşık sayılarının kompleks
düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
B)
LYS MATEMATİK
147
Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayılar - Bölüm 06
Çözüm
Işık 7
 zo sabit bir karmaşık sayı ve r ∈ R+ olmak üzere
|z – zo| ≤ r eşitsizliği merkezi zo ve yarıçapı r olan
|z| ≤ 2 ⇒ x2 + y2 ≤ 22
M(0, 0) ve yarıçapı 2 br olan çemberin iç bölgesidir.
çemberin kendisi ile çemberin iç bölgesini belirtir.
|z – zo| < r eşitsizliği merkezi zo ve yarıçapı r birim
olan çemberin iç bölgesini belirtir.
Bize sorulan |z| ≤ 2 eşitliğini sağlayan karmaşık sayılardan

zo sabit bir karmaşık sayı ve r ∈ R olmak üzere;
(6 – 8i) karmaşık sayısına en uzak olan karmaşık sayının
|z – zo| ≥ r eşitsizliği merkezi zo ve yarıçapı r bi-
arasındaki mesafe soruluyor.
+
rim olan çemberin kendisi ile dış bölgesini belirtir.
|z – zo| > r eşitsizliği merkezi zo ve yarıçapı r birim
Pisagor’dan |OD| = 10 ⇒ |DC| = 12 en büyük değerdir. En
küçük değer sorulsaydı |DM| = 8 olacaktı.
olan çemberin dış bölgesini belirtir.
Doğru Seçenek C
|z| ≤ 6 olduğuna göre,
|z – 5 + 12i|
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
TANIM
DNA 23
|z| ≤ 2 olduğuna göre,
|z – 6 + 8i|
ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 8
148
B) 9
LYS MATEMATİK
C) 12
D) 15
z karmaşık sayısı z = x + iy standart biçimde verildiğinde;
E) 18
bu sayıyı düzlemde (x, y) olarak gösterebiliyoruz.
Karmaşık Sayılar- Bölüm 06
Karmaşık Sayılar
P(x, y) noktasının O(0, 0) orijin noktasına olan uzaklığını
Çözüm
r ile gösterirsek;
r = | z | = x 2 + y 2 sayısı z nin modülüdür.
Ayrıca [OP ışınının Ox - ekseni ile pozitif yönde yapmış
olduğu açının ölçüsü q olmak üzere;
cos θ =
x
y
ve sin θ =
r
r
den x = r cosq, y = r sinq yazılır. Burada (r, q) ikilisine
z = 1 – i (karmaşık sayısının argümenti 4. bölgede)
(x, y) noktasının Kutupsal Koordinatları denir.
⇒ Arg( z) = θ ⇒
y
= tanθ
x
olacağından x ve y verildiğinde r ve q kutupsal koordinatBuradan; x = r cosq ve y = r sinq ise x2 + y2 = r2 ve
ları r2 = x2 + y2, tan θ =
y Ιm( z)
eşitliğiyle hesaplanır.
=
x Re( z)
−1
= −1 = tan θ
1
q = 360° – 45°
θ = 315° =
7π
4
bulunur.
TANIM
Doğru Seçenek E
z = a + ib karmaşık sayısının kompleks düzlemde eşlendiği vektörün Ox ekseni ile pozitif yönde oluşturduğu ve
0 ≤ q ≤ 360° koşulunu sağlayan q açısına z nin esas argümenti denir ve Arg(z) ile gösterilir.
Eğer bazı sorularda q açısı negatif ya da 360° den büyük
verilirse q yı 0 ≤ q ≤ 360° aralığına taşıyınız. İşte q nın bu
aralıktaki değeri z karmaşık sayısının yine esas argümentidir.
z = x + iy olmak üzere;
olduğuna göre, Arg(z) kaç radyandır?
Arg(z) = q ⇒ Arg(x + iy) = q
A)
⇒ tan θ =
z = 2 + 2i
π
8
B)
π
6
C)
π
4
D)
π
3
E)
π
2
y
x
y
⇒ Arg( z) = θ = Arc tan  
x
tir.
DNA 25
DNA 24
z=1–i
olduğuna göre, Arg(z) kaç radyandır?
A)
π
4
B)
3π
4
C)
5π
6
D)
5π
7π
E)
4
4
z = − 3 −i
olduğuna göre, Arg(z) kaç derecedir?
A) 150°
B) 180°
C) 210°
D) 240°
E) 300°
LYS MATEMATİK
149
Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayılar - Bölüm 06
Çözüm
Çözüm
z = a + ib olsun. –z = – a – ib olur.
z ve –z karmaşık sayıları kompleks düzlemde sırasıyla
(a, b) ve (–a, –b) noktalarına karşılık gelir. Bu iki nokta
orijine göre simetriktir.
Karmaşık sayının argümenti III. bölgede.
z = − 3 −i
Arg( z) = θ
−1
⇒
= tan θ
− 3
1
3
= tan θ
Arg(–z) = 40° + 180° = 220°
q = 180 + 30 = 210° dir.
Doğru Seçenek E
Doğru Seçenek C
z karmaşık sayıdır.
z = 1 + 2i
olduğuna göre, Arg(z) aşağıdakilerden hangisidir?
 1
A) Arc tan   2
 1
B) Arc tan   3
D) Arctan2
 1
C) Arc tan  
9
Arg(z) = 30°
olduğuna göre, Arg(–z) kaç derecedir?
A) 30°
B) 120°
C) 150°
D) 210°
E) Arctan5
DNA 26
z bir karmaşık sayıdır.
Arg(z) = 40°
olduğuna göre, Arg(–z) kaç derecedir?
A) 40°
150
B) 140°
LYS MATEMATİK
C) 180°
D) 200° E) 220°
Arg(z) = q ⇒ Arg(z) = 2p – q
Arg(z) = q ⇒ Arg(–z) = p + q dır.
E) 330°
Karmaşık Sayılar- Bölüm 06
Karmaşık Sayılar
Bir Karmaşık Sayının Kutupsal (Trigonometrik)
Çözüm
Biçimi
Artık standart biçimde verilen z = x + iy karmaşık sayısını
| z | = 12 + ( − 3 )2 = 2
kutupsal formda nasıl yazacağımızı adım adım verebiliriz.
z = 1 − 3 i ⇒ tan θ =
Karmaşık sayı kompleks düzlemde gösterilir.
Açı IV. bölgede olduğundan
q = 360° – 60°
q = 300° dir.
| z | = r = x 2 + y 2 bulunur.
− 3
=− 3
1
z = r(cosq + isinq)
⇒ z = 2(cos300° + isin300°)
⇒ z = 2 ⋅ cis300° bulunur.
Doğru Seçenek D
z = x + iy ⇒ Arg(z) = q ⇒ tanθ =
y
(Karmaşık sayının
x
bölgesine bakılarak esas argümenti bulunur.)
z = −2 3 + 2i
karmaşık sayısının kutupsal biçimdeki ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
Bulunan değerler z = r (cosq + isinq) eşitliğinde yerine yazılır. Bu yazılıma da karmaşık sayının kutupsal biçimde
yazılışı denir ve kısaca z = r ⋅ cisq şeklinde gösterilir.
B) 4cis150°
A) cis30°
D) 2cis330°
C) 2cis120°
E) 4cis330°
DNA 27
DNA 28
z = 1− 3 i
karmaşık sayısının kutupsal biçimde yazılmış şek-
z1 = 4(cos15° + isin15°)
li aşağıdakilerden hangisidir?
z2 = 6(cos75° + isin75°)
A) cis 60°
B) 2cis 120°
D) 2cis 300°
C) cis 300°
E)2 cis 330°
kompleks sayıları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 5
B) 3 7 C) 6
D) 2 7 LYS MATEMATİK
E) 7
151
Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayılar - Bölüm 06
Çözüm
Hazine 6
Kutupsal Koordinatlarda Çarpma - Bölme İşlemi
Kutupsal şekilde verilmiş iki karmaşık sayı çarpılırken
karmaşık sayıların modülleri çarpılır ve argümentleri
toplanır.
Kosinüs Teoremi’nden;
p2 = 36 + 16 − 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅
1
2
⇒ p2 = 28 ⇒ p = 2 7 birim
bulunur.
Doğru Seçenek D
z1 = r1 (cosq1 + isinq1)
z2 = r2 (cosq2 + isinq2)
⇒ z1 ⋅ z2 = r1 ⋅ r2 (cos(q1 + q2) + isin(q1 + q2))
Arg(z1) = q1 ve Arg(z2) = q2
⇒
Arg(z1 ⋅ z2) = q1 + q2 (mod360°)
İki karmaşık sayı bölünürken, bölünen karmaşık sayının modülü, bölen karmaşık sayının modülüne bölünür ve bölünen karmaşık sayının argümentinden
bölen karmaşık sayının argümenti çıkarılır.
z1 = 2 3 cis105° ve z2 = 4 ⋅ cis75°
karmaşık sayıları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 1
B)
2
C) 2
D) 4
E) 2 2
z1 = r1 (cosq1 + isinq1)
z2 = r2 (cosq2 + isinq2)
⇒
z1 r1
= ⋅ (cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 ))
z2 r2
Arg(z1) = q1 ve Arg(z2) = q2
z 
⇒ Arg  1  = q1 – q2 (mod360°)
 z2 
DNA 29
Kutupsal şekilde verilen iki sayı toplanıp çıkarılırken, gerçek kısımlar kendi aralarında, sanal kısımlar da kendi ara-
Şekilde verilenlere göre,
larında toplanır veya çıkarılır.
z1 ⋅ z2 çarpımının sonucu
z1 = r1 (cosq1 + isinq1) ve z2 = r2 (cosq2 + isinq2)
kaçtır?
⇒ z1  z2 = r1 (cosq1 + isinq1)  r2 (cosq2 + isinq2)
= (r1 cosq1 + r2 cosq2)  (r1sinq1 + r2 sinq2)i
dir. Bu kısımda trigonometrik dönüşüm formülleri kullanılır.
152
LYS MATEMATİK
A)
3 + i B)
D) 1 − 3 i 3 − i C) 1 + 3 i
E) − 3 + i
Karmaşık Sayılar- Bölüm 06
Karmaşık Sayılar
Çözüm
DNA 30
z = 1+ 3 i
olduğuna göre, z10 aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 210 ⋅ cis30°
z1 = 1 ⋅ cis50°
z2 = 2 cis100°
⇒ z1 ⋅ z2 = 2 ⋅ cis150°
D) 210 ⋅ cis240°
C) 210 ⋅ cis120°
E) 210 ⋅ cis300°
Çözüm
⇒ z1 ⋅ z2 = 2 ⋅ (cos150° + isin150°)

3 i
= 2⋅−
+ 
 2 2
z = 1 + 3 i sayısını önce kutupsal formda yazalım:
= − 3 +i
B) 410 ⋅ cis120°
| z | = r = 12 + ( 3 )2 = 2
bulunur.
tan θ = 3 (I. bö lg e)
Doğru Seçenek E
θ = 60°
⇒ z = 2cis60°
Yandaki şekilde z1 ve z2 karma-
⇒ z10 = 210 ⋅ cis(10 ⋅ 60°) (DE MOİVRE)
şık sayılarının görüntüleri veril⇒ z10 = 210 ⋅ cis600
miştir.
Buna göre, z1 ⋅ z2 aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3
B) 2
C) –2
D) 2i
⇒ z10 = 210 ⋅ cis240° bulunur.
Doğru Seçenek D
E) –2i
Hazine 7
DE MOİVRE
n bir tam sayı olmak üzere;
z = r(cosq + isinq) için; zn = rn (cosnq + isinnq)
= rn ⋅ cisnq olur.
O zaman; Arg(z) = q ⇒ Arg(z ) = n ⋅ q (mod360°) dir.
z= 2− 2i
olduğuna göre, z12 aşağıdakilerden hangisine eşittir?
n
A) –212 i
B) –i
C) 212i
D) –212
LYS MATEMATİK
E) 212
153
Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayılar - Bölüm 06
Çözüm
TANIM
π
π

z = 2  cos + i sin 
3
3

z = r ⋅ (cosq + isinq) ise w2 = z denklemini sağlayan wk
karmaşık sayılarına z nin karekökleri denir. (k = 0,1)
1
⇒
π
π

w o = z 2 = 2  cos + i sin 
6
6

ve

π
π 


w1 = 2  cos  π +  + i sin  π +  
6
6 



7π
7π 

w1 = 2  cos
+ i sin  olduğundan;
6
6 

z = r ⋅ (cosq + isinq)
⇒
z = r ⋅ (cos(q + 2kp) + isin(q + 2kp))
⇒
θ + 2kπ
θ + 2kπ 

z 2 = r 2  cos
+ i sin


2
2 
⇒
⇒
θ + 2kπ
θ + 2kπ 

w k = r ⋅  cos
+ i sin


2
2 
Kökler w o = 2 cis
1
1
π
7π
ve w1 = 2cis
dır.
6
6
Doğru Seçenek C
elde edilir. k = 0 ve k = 1 yazılırsa;
θ
θ

w o = r ⋅  cos + i sin  ve

2
2

θ

θ

w1 = r ⋅  cos  + π  + i sin  + π  
2

2


kökleri bulunur.
2π
2π 

z = 4  cos
+ i sin 
3
3 

karmaşık sayısının köklerinden biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2 cis
π
4
D) 2 cis
Şekilden de görüldüğü gibi wo ve w1 sayıları karmaşık düz-
B) 2 cis
5π
3
π
6
C) 2 cis
4π
3
E) 2 cisp
lemin başlangıç noktasına göre simetriktirler.
Yani; wo = –w1 dir.
DNA 31
DNA 32
π
π

z = 2  cos + i sin 
3
3

karmaşık sayısının kareköklerinden biri aşağıdaki-
2 cis
154
5π
6
D)
B)
5π
2 cis
3
LYS MATEMATİK
z = 6 + 8i
sayısının kareköklerinden birisi aşağıdakilerden
lerden hangisidir?
A)
2 cis
5π
12
C)
E) 2 cisp
2 cis
7π
6
hangisidir?
A) 3 – 2i
B) 3 + 2i
D) −2 2 − 2 i E)
C) 1 + 2 i
2 −i
Karmaşık Sayılar- Bölüm 06
Karmaşık Sayılar
K ∈ {0, 1, 2} için karmaşık sayının küpkökleri;
Çözüm
θ
 θ 2π 
 θ 4π 
3
w 0 = 3 r cis , w1 = 3 r cis  +
 , w 2 = r cis  +

3
3 3 
3 3 
w = a + ib ve w2 = z olsun.
olarak bulunur. Bulunan kökler bir eşkenar üçgenin kö⇒ (a + ib)2 = 6 + 8i
şeleridir.
⇒ a2 – b2 + 2abi = 6 + 8i
Uyarı
⇒ a2 – b2 = 6 ve a ⋅ b = 4
⇒
Dikkat ettiyseniz karekökleri bulurken kökün birini bul-
a = 2 2 ve b = 2
360°
= 180° ekledik.
2
Küpkökleri bulurken ilk kökü bulup argümente
duktan sonra argümente
bulunur.
360°
= 120° ekleyip 2. kökü, bir daha 120° ekleyip
3
w 0 = 2 2 + 2 i ve w1 = −2 2 − 2 i
3. kökü bulduk.
dir.
Örneğin bir karmaşık sayının 5. dereceden kökleri
Doğru Seçenek D
sorulsa, ilk kökü bulup bu köke
360°
= 72° yi 4 defa
5
ekleriz.
z = 5 – 12i
DNA 33
sayısının kareköklerinden birisi aşağıdakilerden hangisidir?
B) 3 – 2i
A) 3 + 2i
D) 2 – i
C) 2 + i
z = 8i
sayısının küpköklerinden biri aşağıdakilerden
E) 4 – 3i
hangisidir?
A) 2 cis10°
TANIM
yılarına z nin küpkökleri denir. (k = 0, 1, 2)
z = 8i karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazalım.
z = 8 cis90°
z 3 = 2cis30° = w 0
θ + 2kπ
3
⇒
z 3 = r 3 ⋅ cis
⇒
θ + 2kπ
wK = r ⋅ cis
( z 3 = wK )
3
3
E) 2 cis270°
1
z = r cisq ⇒ z = r cis (q + 2kp)
1
D) 2 cis210°
C) 2 cis190°
Çözüm
z = r cisq ise w3 = z denklemini sağlayan wk karmaşık sa-
1
B) 2 cis160°
1
⇒ w1 = 2 cis150°
⇒ w2 = 2 cis270° olarak bulunur.
Doğru Seçenek E
elde edilir.
LYS MATEMATİK
155
Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayılar - Bölüm 06
DNA 34
z = – 27i
sayısının küpköklerinden biri aşağıdakilerden hangi-
karmaşık sayısı orijin etrafında pozitif yönde 30°
sidir?
A) 3 cis30°
B) 3 cis60°
D) 3 cis210°
z = 3 −i
döndürülürse; elde edilen karmaşık sayı aşağıda-
C) 3 cis120°
kilerden hangisidir?
E) 3 cis300°
A) –2i
DÖNDÜRÜLMESİ
r ∈ R+, 0° ≤ q ≤ 360° olmak üzere z = r cisq karmaşık sayısının karmaşık düzlemde orijin etrafında pozitif yönde a°
kadar döndürülmesiyle elde edilen yeni karmaşık sayı z′
C) i
D) –2
E) 2
Çözüm
TANIM
BİR KARMAŞIK SAYININ ORİJİN ETRAFINDA
B) 2i
z = 3 − i yi kutupsal formda yazalım
q = 330°
|z| = 2
⇒ z = 2 cis330° pozitif yönde 30° döndülürse
z′ = 2cis330° ⋅ cis30°
olmak üzere;
z′ = r cis(q + a) veya
z′ = r (cisq) ⋅ (cisa)
⇒ z′ = 2cis360° = 2 bulunur.
Doğru Seçenek E
dır.
Bu durumda z = r cisq karmaşık sayısına karşılık gelen
z = −2 + 2 3 i
noktanın negatif yönde a° kadar döndürülmesiyle elde
edilen karmaşık sayı;
karmaşık sayısı orijin etrafında negatif yönde 60° dön-
z′ = r cis(q – a)
[z′ = r (cisq) ⋅ (cis(–a))]
hangisi olur?
A) 2 + 2 3 i olur.
156
dürülürse elde edilen karmaşık sayı aşağıdakilerden
LYS MATEMATİK
B) −2 − 2 3 i D) −1 − 3 i E) –1
C) 1 + 3 i
Karmaşık Sayılar- Bölüm 06
Karmaşık Sayılar
5.
TEST - 1
Şekilde karmaşık düzlemde A ve B noktaları
verilmiştir. A ve B noktalarına karşılık gelen kar-
1.
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
i144 + i–102
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
maşık sayılar sırasıyla
z1 ve z2 olduğuna göre,
Im(z12 ⋅ z2) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –30
2.
B) –10
C) 10
D) 30
E) 60
i27 ⋅ i34 = in
eşitliğinde n iki basamaklı bir doğal sayı olduğuna göre, n’nin rakamları toplamı en az kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
6.
z bir karmaşık sayı olmak üzere;
|z| = 4 ve
olduğuna göre, Im(z) kaç olabilir?
A) 2
3.
f:
olduğuna göre, f(3i – 2) kaçtır?
C) 0
D) –2
E) –4
f(x) = x2 + 4x + 1
B) –9
C) –6
D) 9
E) 12
7.
4.
toplamının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
1 + 2i + 3i2 + 4i3 + ... +16i15
A) –(1 + i)
B) 1
→
A) –12
1 1 1
− =
z z 2
B) –2(1 + i)
D) –8(1 + i)
z1 ve z2 karmaşık sayılardır.
olduğuna göre,
A)
C) –4( 1 + i)
E) –16( 1 + i)
z1 − z2 −i
=
z1 + z2 2
4 3
− i
5 5
D)
z1
nedir?
z2
B)
3 4
+ i 5 5
1 3
+ i 5 5
E) −
C)
3 4
− i
5 5
3 4
+ i
5 5
LYS MATEMATİK
157
Karmaşık Sayılar
8.
Karmaşık Sayılar - Bölüm 06
z = x + iy olmak üzere;
|z + i – 1| ≤ |z + 1|
Im(z) ≤ Re(z)
10.
koşullarını sağlayan z karmaşık sayılarının komp-
 z−2
Re 
=0
 z − 2i 
denklemini sağlayan z karmaşık sayısının karmaşık düzlemde gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
leks düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
11. a bir gerçek sayıdır.
z = −1 + (a − 1) ⋅ 3 i ve A rg( z) =
olduğuna göre, a kaçtır?
A) –2
9.
z2 = 2(cos130° + isin50°)
12.
olduğuna göre, z1 ⋅ z2 işleminin sonucu aşağıdaA) 2cis25°
158
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
z1 = sin25° – icos25°
kilerden hangisidir?
2π
3
B) 2cis35°
D) 2cis65°
LYS MATEMATİK
C) 2cis55°
E) 2cis75°
( 3cis35°)3 ⋅ (2cis25°)2
(2 3 cis70°)2
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 3 cis25° D)
B)
3 cis5° 3 cis15° C) 3 cis15°
E) 3 cis5°
Karmaşık Sayılar- Bölüm 06
13. Karmaşık Sayılar
Arg(z) = 27°
16. z1 = 3 +
 1+ i 
olduğuna göre, Arg 
 kaç derecedir?
 2z 
A) 18
B) 72
C) 108
D) 144
şık sayısı elde ediliyor.
E) 148
Buna göre, |z1 – z2| kaçtır?
A) 4
14. olduğuna göre, z karmaşık sayısının karekökleri-
A) 1 + 2i
D) 8 2 B) 3 + 4i
D) 4 + 3i
17. koşullarını sağlayan z karmaşık sayılarının karbirim karedir?
E) –3 – 4i
z2 – 2z – 2i + 1 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–i, 2 + i}
E) 8 3
|z – 2| ≤ 2 ve Re(z) ≥ 1
A)
4π
3
C) 4 3
maşık düzlemde oluşturduğu bölgenin alanı kaç
C) 3 – 4i
15. B) 4 2 z = 3 + 4i
nin çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?
7 i karmaşık sayısı başlangıç noktası etra-
fında pozitif yönde 315° döndürüldüğünde z2 karma-
D) {–i, 2 – i}
C) {i, 2 – i}
E) {2 – i, 2 + i}
8π
3
D) 2π + 3 18. z ∈
olmak üzere,
|z| = 2
B) {i, 2 + i}
B)
C)
E)
3+
3+
4π
3
8π
3
olduğuna göre, |z + 3 + 4i| ifadesinin en küçük
değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
LYS MATEMATİK
E) 5
159
Karmaşık Sayılar
19.
Karmaşık Sayılar - Bölüm 06
22. Arg(z) = 160°
olduğuna göre Arg(z2) kaç derecedir?
A) 40
B) 60
C) 80
D) 160
z=
A) 2cis60°
z = 2(1 − 3 i)
1+ 3 i
2
E)
C)
i− 3
2
i
2
sayısının orijin etrafında negatif yönde 240° döndürüldüğünde elde edilen karmaşık sayı aşağıdakilerden hangisi olur?
cis60°
C)
2
B) cis60°
cis120°
D)
2
B)
23.
1− 3 i
lerden hangisidir?
3 −i
2
D) –1
karmaşık sayısının kutupsal gösterimi aşağıdaki-
A)
1
sayısının küp köklerinden biri aşağıdakilerden
hangisidir?
E) 320
20. z ∈ C dir.
z = –i
A) −2 − 2 3 i B) 2 − 2 3 i D) 2 3 − 2i C) 2 + 2 3 i
E) −2 + 2 3 i
E) 2cis120°
24. z ∈
olmak üzere,
Im(z) = 4
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da
hangileri doğrudur?
21. z = 3 cis80
karmaşık sayısının kareköklerinin esas argü-
mentlerinin toplamı kaç derecedir?
A) 180
1.C
160
2.C
3.A
B) 220
4.D
5.D
LYS MATEMATİK
C) 240
6.E
7.C
D) 260
8.D
E) 280
I.
Re (iz) = –4
II.
Im(iz) = Re(z)
III.
|z| ifadesinin en küçük değeri 4 tür.
A) Yalnız I B) I ve II
D) I ve III
C) II ve III
E) I, II ve III
9.D 10.D 11.E 12.B 13.B 14.E 15.A 16.B 17.E 18.C 19.A 20.C 21.D 22.A 23.C 24.C
LOGARİTMA - BÖLÜM 07
LOGARİTMA
TANIM
TANIM
a ∈ R+ ve a ≠ 1 olmak üzere,
f(x) = ax üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna logaritma
fonksiyonu denir ve
f: R → R+, f(x) = ax
f–1(x) =logax
fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.
Buradaki a ya taban, x e üs denir.
şeklinde gösterilir.
a ∈ R+ – {1} olmak üzere,
Işık 1
f: R → R+,
f(x) = ax
⇔ f–1: R+ → R, f(x) = logax
f: R → R+, f(x) = ax üstel fonksiyonunda a > 1 olsun.
tir.
x1, x2 ∈ R+ ve a > 1 olmak üzere,
x1 < x2 ⇒ ax1 < ax2 dir. (x ler büyüdükçe ax ler büyür.)
Buradan,
y = ax ⇔ logay = x
�
özdeşliği karşımıza çıkar.
��
�
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
y = logax ifadesinde a ya logaritma fonksiyonunun tabanı,
y ye x in a tabanındaki logaritması denir.
y = logax ifadesi “y eşittir logaritma a tabanında x” diye
okunur.
Bu defa da f: R → R+, f(x) = ax üstel fonksiyonunda
TANIM
0 < a < 1 olsun.
x1 < x2 ⇒ ax1 > ax2 dir. (x ler büyüdükçe ax ler küçülür.)
Bir logaritmik ifadede taban verilmemişse taban 10 dur.
Yani logx ifadesi log10x demektir. 10 tabanında logaritmik
fonksiyona bayağı (adi) logaritma fonksiyonu denir.
�
f: R+ → R, f(x) = log10x = logx
� ��
�
�
� ��
�
�
��
�
�
tir.
log102 = log2
log105 = log5
şeklinde olur.
tir.
LYS MATEMATİK
161
Logaritma
Logaritma - Bölüm 07
Hazine 1
Logaritma fonksiyonu pozitif gerçek sayılar kümesin-
f(x) = log(2–x)(x2 – 5x – 6)
den gerçek sayılar kümesine tanımlıdır. Yani sadece
fonksiyonunu tanımlı yapan en küçük üç değişik tam
pozitif gerçek sayıların logaritması vardır.
sayının toplamı kaçtır?
O zaman,
A) –10
B) –9
C) –7
D) –6
E) –5
f(x) ve g(x) iki fonksiyon olmak üzere; logf(x)g(x) ifadesinin tanımlı olması için,
1.
f(x) ∈ R+ –{1} olmalıdır. Yani
f(x) > 0 ve f(x) ≠ 1 dir.
2.
g(x) ∈ R+, yani g(x) > 0 olmalıdır.
Hazine 2
a, b > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere,
loga b = c ⇔ b = ac
dir.
DNA 1
DNA 2
3−x
f ( x ) = logx 

4+x
fonksiyonunun tanımlı olduğu en geniş aralıktaki
olduğuna göre, x kaçtır?
tam sayıların toplamı kaçtır?
A) 6
B) 5
log5(5 ⋅ log3(logx3)) = 1
C) 4
D) 3
E) 2
A)
3
3
B)
3
C) 3
D) 9
E) 27
Çözüm
Çözüm
3−x
f ( x ) = logx 

4+x
fonksiyonunun tanımlı olması için, x > 0, x ≠ 1 ve
3−x
>0
4+x
olmalıdır.
x
–4
–
3
+
–
log5(5 ⋅ log3(logx3)) = 1
5 ⋅ log3(logx3) = 51
⇒ log3(logx3) = 1
⇒ logx 3 = 31
⇒ 3 = x3
⇒ x = 3 3
Ç.K. = (–4, 3) ve x ≠ 1, x > 0 olacağından, x = 2 olur.
Doğru Seçenek E
162
LYS MATEMATİK
Doğru Seçenek A
Logaritma - Bölüm 07
Logaritma
Işık 2
log2(logx) = 3
a ∈ R+ – {1} olmak üzere,
eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisi-
logaa = 1 ve
dir?
A) 102
B) 103
D) 108
C) 106
loga1 = 0
dır.
E) 109
DNA 4
DNA 3
log23 = a
olduğuna göre,
A)
π

x ∈  0,  olmak üzere,
2

9
4
1
4 a −1
3
2
B)
işleminin sonucu kaçtır?
C)
2
3
D)
4
9
E)
log4(tanx) = 0
eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
1
2
A)
Çözüm
π
3
B)
π
4
C)
π
6
⇒
Ayrıca,
4a −1
=
22a
4
=
4
22a
4
E)
π
12
log4 (tan x ) = 0
dır.
1
π
9
Çözüm
log2 3 = a ⇒ 3 = 2a
1
D)
tan x = 1
⇒
4
4
= a 2 = 2 =
9
(2 )
3
x=
π
4
olur.
Doğru Seçenek B
olarak bulunur.
Doğru Seçenek D
log3 2 =
a
2
olduğuna göre, 3a–1 işleminin sonucu kaçtır?
8
A) 3
B) 2
4
C)
3
D) 1
log2(log3x) = 1
eşitliğini sağlayan x kaçtır?
3
E)
4
A) 2
B) 3
C) 6
D) 9
LYS MATEMATİK
E) 18
163
Logaritma
Logaritma - Bölüm 07
Hazine 3
x > 0, a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere,
loga
xn
y = log5
= n ⋅ logax
x = 57
tir.
1
x
olduğuna göre, y nin değeri kaçtır?
B) −
A) –7
1
7
C) –5
D) 5
E) 7
Uyarı
a ∈ R+ –{1}, x ∈ R+, n ∈ R olmak üzere, logaxn ile
Hazine 4
(logax)n genel olarak birbirine eşit değildir.
a ∈ R+ – {1}, m, n ∈ R, n ≠ 0 ve b ∈ R+ olmak üzere,
logan bm =
dir.
DNA 5
m
⋅ logab
n
DNA 6
log216 – log39 + log5125
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
3
a = b5
olduğuna göre, loga b aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
Çözüm
log2 16 = log2 24 = 4 ⋅ log2 2 = 4

1
1
30
B)
3
1
1
4−2+3 = 5
C) 1
⇒
a = b5
E) 30
⇒
(3 a )
3
= (b5 )3
a = b15 tir.
loga b = logb15
Doğru Seçenek E
D) 15
Çözüm
log3 9 = log3 32 = 2 ⋅ log3 3 = 2

log5 125 = log5 53 = 3 ⋅ log5 5 = 3

1
15
1
b2
1
1
2
=
logb b =
15  30
1
Doğru Seçenek A
164
LYS MATEMATİK
Logaritma - Bölüm 07
Logaritma
Şimdi sorunun çözümüne geçebiliriz.
log(a + b) = 3loga + logb
log 2 4 + log3 2 8
işleminin sonucu kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
E) 13
D) 12
⇒ log(a + b) = loga3 + logb
⇒ log(a + b) = log(a3 ⋅ b)
⇒ a + b = a3b
⇒ a = a3b – b
⇒ a = b(a3 – 1)
⇒
a
a3 − 1
=b
bulunur.
Hazine 5
Doğru Seçenek C
x, y > 0 olmak üzere, pozitif gerçek sayıların çarpımının herhangi bir tabandaki logaritması bu sayıların o
tabandaki logaritmaları toplamına eşittir.
x ve y pozitif gerçek sayılardır.
loga(x ⋅ y) = logax + logay
log(x + y) = 1 + log(x – y)
olduğuna göre,
DNA 7
A)
3
4
B)
x
oranı kaçtır?
y
11
9
C)
10
9
D)
9
10
9
11
E)
log(a + b) = 3loga + logb
olduğuna göre, b nin a türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
a2 − 1
a B)
3
a −1
D)
a a
2
a −1 E)
C)
a
a −1
a −1
a3
Çözüm
Önce yapmamamız gerekenleri sıralayalım.
log(a + b) ≠ loga + logb
DNA 8
3
log(a + b) ≠ loga ⋅ logb
Bazı durumlarda eşit olsalar da genellikle eşit değildirler.
log3 = a
log2 = b
log5 = c
olduğuna göre, log360 ifadesinin a, b, c türünden
ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) a3 + b2 + c
B) b3 + a2 + c
C) 3a + 2b + c
D) 3b + 2a + c
E) a + b + c
LYS MATEMATİK
165
Logaritma
Logaritma - Bölüm 07
Çözüm
Çözüm
360 = 23 ⋅ 32 ⋅ 51 ⇒ log360 = log(23 ⋅ 32 ⋅ 51)
= 3 ⋅ log2 + 2log3 + log5
= 3b + 2a + c
 0, 015 
log(0, 015) − log(0, 003) = log 

 0, 003 
= log
15
3
= log 5
olarak bulunur.
Doğru Seçenek D
tir.
Ayrıca,
log 5 = log
10
= log10 − log 2
2
= 1− a
log10! = a
olduğuna göre, log9! ifadesinin a türünden ifadesi
dır.
aşağıdakilerden hangisidir?
A) a + 10
Doğru Seçenek C
B) a + 9
C) a
E) a – 1
D) a – 9
Hazine 6
log2 = a
olduğuna göre, log2,5 ifadesinin a türünden eşiti aşa-
Uygun iki sayının bölümünün herhangi bir tabandaki
ğıdakilerden hangisine eşittir?
logaritması, bölünenin o tabandaki logaritması ile bö-
A) a + 2
lenin o tabandaki logaritmasının farkına eşittir.
a∈
R+
– {1} ve x, y ∈
loga
R+
B) a + 1
D) 2a – 1
C) a – 1
E) 1 – 2a
olmak üzere,
x
= loga x − loga y
y
dir.
TANIM
DNA 9
e ≅ 2,718... olmak üzere, tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir ve f: R+ → R,
log2 = a
olduğuna göre, log(0,015) – log(0,003) ifadesinin a
f(x) = logex ya da f(x) = lnx ile gösterilir.
lnx = logex
türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) a + 1
166
B) a – 1
D) 5 – a
LYS MATEMATİK
E) a – 5
C) 1 – a
tir.
Ayrıca logaritma fonksiyonunun tüm özellikleri doğal logaritma fonksiyonu için de geçerlidir.
Logaritma - Bölüm 07
Logaritma
Çözüm
DNA 10
10log(log3 3
lnx = a
2
)
= 10log 2 = 10log10 2 = 2
olduğuna göre, logx5 aşağıdakilerden hangisidir?
el n 2 = eloge 2 = 2
A) 5a
2+2 = 4
B) 5loge
D)
loge
5 C) 5aloge
E)
loge
5a
Doğru Seçenek C
Çözüm
lnx = logex = a
⇒
x = ea dır.
logx5 = loge5a = 5a ⋅ loge
bulunur.
Doğru Seçenek C
10log 3 + 4log2 5 − el n 2
işleminin sonucu kaçtır?
A) 29
logx = a
B) 28
D) 26
C) 27
E) 24
olduğuna göre, lnx2 aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2a
B) 2loge
D) aln10
C) 2a ⋅ ln10
E) aln20
Hazine 8
Hazine 7
a, b, c ∈ R+ ve b ≠ 1 olmak üzere,
alogbc = clogba
a ∈ R+ – {1} ve x ∈ R+ olmak üzere,
dır.
alogax = x
tir.
DNA 12
DNA 11
10log(log3 9 ) + el n 2
olduğuna göre, log
toplamının sonucu kaçtır?
A) 2
B) 3
6log3 x + xlog3 6 = 72
C) 4
x
3 aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
D) 6
E) 9
A) 1
B) 3
C) 6
D) 9
E) 18
LYS MATEMATİK
167
Logaritma
Logaritma - Bölüm 07
Çözüm
DNA 13
xlog3 6 = 6log3 x
log3 x
log3 x
⇒
6
+6
⇒
2 ⋅ 6log3 x = 72
Bire bir ve örten olduğu değerler için,
= 72
f(x) = 2 + 3x–1
fonksiyonunun tersi aşağıdakilerden hangisidir?
6log3 x = 62
A) f–1(x) = log2(x – 1)
⇒ log3 x = 2
B) f–1(x) = log2(3x – 3)
C) f–1(x) = log3(x – 1) – 2
x=9
D) f–1(x) = log3(3x – 6)
olur.
E) f–1(x) = log3(3x – 6) – 2
l og x 3 = log3 3 = 1
bulunur.
Çözüm
Doğru Seçenek A
y = 2 + 3x–1
⇒
y−2 =
3x
3
⇒ 3x = 3y – 6 (logab = c ⇔ b = ac)
⇒ x = log3(3y – 6) (x yerine y; y yerine x yazalım.)
⇒ y = log3(3x – 6)
⇒ f–1(x) = log3(3x – 6)
xlog5 + 5logx = 50
bulunur.
olduğuna göre, x kaçtır?
A)
1
100
B)
1
10
D) 100
Doğru Seçenek D
C) 10
E) 1000
Bire bir ve örten olduğu değerler için,
Hatırlatma
y = f(x) fonksiyonunun tersini alırken,
y = f(x) fonksiyonunda x i yalnız bırakıp x gördüğümüz
yere y; y gördüğümüz yere x yazarız..
168
LYS MATEMATİK
f (x) =
e1−3 x
2
fonksiyonunun tersi aşağıdakilerden hangisidir?
A) f −1( x ) =
l n 2x
3
B) f −1( x ) =
l n 2x − 3
3
C) f −1( x ) =
l n 3x − 1
3
D) f −1( x ) =
1 − ln2x
3
E) f −1( x ) =
ln2x − 1
3
Logaritma - Bölüm 07
Logaritma
Hazine 9
Verilen logaritmik ifadeleri toplamak ya da çıkarmak
log38 = x
için aynı tabanda olmaları gerekir. Eğer aynı taban-
olduğuna göre, log249 aşağıdakilerden hangisine eşit-
da logaritmik ifadeler yoksa taban değiştirme kuralını
tir?
kullanabiliriz.
A)
logb c =
loga c
logab
2
x −1
D)
B)
2
x +1
1
x +1
C)
E)
1
x −1
x −1
x +1
dir.
Bundan çıkan sonuçlar da;
logb c =
logc
ve loga c = logab ⋅ logb c
logb
DNA 15
dir.
log227 ⋅ log325 ⋅ log57
çarpımının sonucu kaçtır?
DNA 14
A) log27
B) 6log27
D) 6log72
C) log72
E) 6log25
log25 = a
olduğuna göre, log510 un değeri aşağıdakilerden
Çözüm
hangisidir?
a −1
A)
a
a
B)
a −1
D)
a
a +1
1
C)
a −1
E)
log 27 log 25 log 7 3 ⋅ log 3 2 ⋅ log 5 log 7
⋅
⋅
=
⋅
⋅
log 2 log 3 log 5
log 2
log 3
log 5
a +1
a
= 6⋅
log 7
log 2
= 6 ⋅ log2 7
Çözüm
log2 10 log2 (2 ⋅ 5)
log5 10 =
=
log2 5
log2 5
=
log2 2 + log2 5
log2 5
=
a +1
a
dir.
Doğru Seçenek B
bulunur.
Doğru Seçenek E
log
5
3 ⋅ log3 25
çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
1
4
B)
1
2
C) 1 D) 2 LYS MATEMATİK
E) 4
169
Logaritma
Logaritma - Bölüm 07
DNA 16
DNA 17
logxyx = 2
2
3 log4 9
olduğuna göre, logxyy aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
B) − 2
A) –1
1
C) 2
D) 1
E) 2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 9
Çözüm
Çözüm
2
logxy x = 2 ⇒ l ogx xy =
⇒
3 log4 9 = 32⋅log9 4 = 3
1
2
2⋅log 22
2
3
= 32⋅log3 2 = 3log3 4 = 4
tür.
1
logx x + logx y =

2
Doğru Seçenek D
1
⇒
logx y = −
1
(logy x = −2)
2
dir.
Ayrıca,
logxy y =
1
1
1
=
=
= −1
logy ( xy ) logy x + 1 −2 + 1
4
log5 4
2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
dir.
Doğru Seçenek A
B) 25
A) 125
C) 16
D) 8
E) 2
DNA 18
log( xy ) y =
1
5
olduğuna göre, logx(xy) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A) 5
170
1
1
+
+ logab a + logab b
loga ab logb ab
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) 4
LYS MATEMATİK
C)
5
4
D) 1
E)
1
4
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Logaritma - Bölüm 07
Logaritma
Çözüm
⇒
1
1
+
+ logab a + logab b
loga ab logb ab
⇒
logab (ab)
⇒
1
+
x + y = 1 + log53 = log515
olur. Buradan,
logab (ab)
+
x – y = log53
2y = 1
⇒ logab a + logab b + logab a + logab b
 
⇒
x − y log 3 log5 3
=
=
2y
log 5
1
x − y log5 3
=
= log15 3
x + y log5 15
1 =2
bulunur.
bulunur.
Doğru Seçenek D
Doğru Seçenek E
2x = 5y
olduğuna göre,
1
1
1
+
+
=1
log3 x log4 x log5 x
dir?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 30
A) log25
C) 60
B) 45
x
oranı aşağıdakilerden hangisix+y
D) 90
E) 120
B) log52
D) log2
C) log5
E) log510
ÜSTEL VE LOGARİTMİK DENKLEMLER
TANIM
DNA 19
Bilinmeyenin logaritmalı bir ifade içinde olduğu denkleme
logaritmik denklem denir.
5x = 45y
olduğuna göre,
x−y
oranı aşağıdakilerden hanx+y
Işık 3
gisidir?
A) log345
B) log155
D) log153
C) log515
E) log315
a ∈ R+ – {1}, b ∈ R, f(x) ve g(x) iki fonksiyon olmak
üzere,
i) af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x)
Çözüm
5x
=
45y
⇒ 5x = 32y ⋅ 5y
⇒ 5x–y = 32y (Her iki tarafın logaritmasını alalım.)
⇒ (x – y) ⋅ log5 = 2y ⋅ log3
ii) logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x) (f(x) > 0 ve g(x) > 0)
iii) logaf(x) + logag(x) = b ⇒ f(x) ⋅ g(x) = ab
 f (x) 
iv) logaf(x) – logag(x) = b ⇒ loga 
=b
 g( x ) 
⇒
f (x)
= ab
g( x )
 f (x) > 0 


 g( x ) > 0 
LYS MATEMATİK
171
Logaritma
Logaritma - Bölüm 07
DNA 20
DNA 21
3x+1 = 23x
25x – 7 ⋅ 5x + 12 = 0
denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir?
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
A) log32
B) log23
x1 < x2 olduğuna göre, x1 – x2 aşağıdakilerden han-
C) 0
D) (1 – log32)–1
gisidir?
A) log53
E) (3log32 – 1)–1
B) log54
D) log5
3
4
C) log34
E) log5
4
3
Çözüm
Çözüm
3x+1 = 23x (Her iki tarafın 3 tabanında logaritmasını alalım)
⇒ log3
25x – 7 ⋅ 5x + 12 = 0
3x+1
= log3
23x
denkleminde 5x = t olsun.
⇒ x + 1 = 3x ⋅ log32
t2 – 7t + 12 = 0
⇒ 3x ⋅ log32 – x = 1
⇒ x(3 log32 – 1) = 1
t
–3
t
–4
(t – 3) ⋅ (t – 4) = 0
t = 3, t = 4
Buradan,
⇒ x = (3log32 – 1)–1
dir.
Doğru Seçenek E
5x1 = 3 ve 5x2 = 4
⇒
x1 = log53 ve x2 = log54
⇒
x1 – x2 = log53 – log54 = log5
3
4
bulunur.
Doğru Seçenek D
25x = 3
denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir?
1
A) log3 2 5
172
D)
B) log32
1
log2 3
5
LYS MATEMATİK
C) 5log23
ex + 16 ⋅ e–x – 8 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {ln8}
E) 1
B) {ln6}
D) {ln2}
C) {ln4}
E) {ln2, ln4}
Logaritma - Bölüm 07
Logaritma
Işık 4
log3(x – 2) ≤ 2
Logaritmalı eşitsizlikler çözülürken;
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-
a > 1 için,
dir?
0 < x1 < x2 ⇔ logax1 < logax2
A) (∞, 2)
0 < a < 1 için;
B) (–∞, 11]
D) (2, 11]
C) (2, 11)
E) [11, 8)
0 < x1 < x2 ⇔ logax1 > logax2
dir.
DNA 23
Uyarı
a ∈ R+ –{1}, c ∈ R, f(x) bir fonksiyon olmak üzere,
|1 + log2(x – 3)| < 2
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayı değeri
logaf(x) < c eşitsizliğini çözmeden önce f(x) > 0 eşitsiz-
vardır?
liğini sağlayan x değerlerini unutmayınız.
A) 0
log2(x + 1) > 3
gisidir?
B) (2, ∞)
D) (6, ∞)
C) (4, ∞)
log2(x + 1) > 3
⇒
⇒
⇒
|1 + log2(x – 3)| < 2
⇒
–2 < 1 + log2(x – 3) < 2
⇒
–3 < log2(x – 3) < 1
⇒
log2(x – 3) > –3 veya log2(x – 3) < 1 dir.
⇒
(x – 3) > 2–3 veya x – 3 < 2
⇒
x>
⇒
25
<x<5
8
E) (7, ∞)
Çözüm
D) 3
E) 4
(log2(x – 3) ün tanımlı
olması için x > 3 olmalı)
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden han-
A) (–∞, 7)
C) 2
Çözüm
DNA 22
B) 1
25
veya x < 5
8
log2(x + 1) > log28
olduğundan, x = 4 cevap olup 1 tanedir.
x+1>8
Doğru Seçenek B
x > 7......... (i)
dir.
Ayrıca logaritmanın tanım kümesinden,
x + 1 > 0 ⇒ x > –1 ......... (ii)
(i) ve (ii) den, Ç.K. = (7, ∞) bulunur.
|log2x – 1| < 3
eşitsizliğinin çözüm kümesinde kaç tane x tam sayı
Doğru Seçenek E
değeri vardır?
A) 16
B) 15
C) 12
D) 10
LYS MATEMATİK
E) 8
173
Logaritma
Logaritma - Bölüm 07
Hazine 10
a ∈ R ve n ∈ N olmak üzere,
an–1 < x < an ⇔ n – 1 < logax < n
log376 = a
eşitliğinde a için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
B) 3 < a < 4
A) 2 < a < 3
dir.
D)
1
1
<a<
4
3
C) 4 < a < 5
E)
1
1
<a<
5
4
Bu Hazine bize logaritmalı değerlerin hangi ardışık iki sayı
arasında bulunduğunu gösterir.
DNA 24
DNA 25
log 1 20 = a
2
eşitliğinde a için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a = log27
b = log38
c = log43
A) –3 < a < –2
B) –4 < a < –3
C) –5 < a < –4
D) 3 < a < 4
sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanmış
şekli aşağıdakilerden hangisidir?
E) 4 < a < 5
A) a < b < c
Çözüm
log 1 20 = a
2
D) c < a < b
C) b < c < a
E) c < b < a
Çözüm
 1
⇒ 20 =  
2
⇒ 20 = 2−a
a
(24 < 20 < 25 )
⇒ −5 < a < −4
olur.
log27 = a ⇒
7 = 2a
(2 < a < 3)
log38 = b
⇒
8 = 3b
(1 < b < 2)
log43 = c
⇒
3 = 4c
(0 < c < 1)
olduğundan c < b < a dır.
Doğru Seçenek C
174
B) a < c < b
LYS MATEMATİK
Doğru Seçenek E
Logaritma - Bölüm 07
Logaritma
a = log34
log5 = 0,69897
b = log44
olduğuna göre, 50100 sayısı kaç basamaklıdır?
c = log54
A) 84
B) 85
C) 120
D) 169
E) 170
sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanmış şekli
aşağıdakilerden hangisidir?
A) a < b < c
B) a < c < b
D) c < b < a
C) b < a < c
E) c < a < b
DNA 27
Işık 5
logx3 = 6,12
olduğuna göre, x4 kaç basamaklı bir sayıdır?
A) 7
log10 = 1 ve log100 = 2 dir.
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
Dikkat ettiyseniz iki basamaklı 10 sayısının logaritması 1 ve üç basamaklı 100 sayısının logaritması 2 dir.
Çözüm
O zaman; log50 için, 10 < 50 < 100 olduğundan,
1 < log50 < 2 dir. log300 için ise 100 < 300 < 1000
olduğundan 2 < log300 < 3 tür.
logx3 = 3logx = 6,12
Demek ki basamak sayısı logaritma değerinin tam
kısmının 1 fazlasıdır.
⇒ logx = 2,04
logx4 = 4 ⋅ logx = 4 ⋅ 2,04 = 8,16
DNA 26
⇒ x4, 9 basamaklıdır.
Doğru Seçenek C
log2 = 0,30103
olduğuna göre, 250 sayısı kaç basamaklıdır?
A) 12
B) 13
C) 15
D) 16
E) 17
Çözüm
log250 = 50 ⋅ log2 = 50 ⋅ (0,30103) = 15,0515
Buradan görülüyor ki 250 sayısı 15 + 1 = 16 basamaklıdır.
Doğru Seçenek D
x bir tam sayı olmak üzere, 3,1 < logx < 3,2 dir.
Buna göre, x10 kaç basamaklı bir sayıdır?
A) 30
B) 31
C) 32
D) 33
LYS MATEMATİK
E) 34
175
Logaritma
Logaritma - Bölüm 07
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
DNA 28
Logaritma fonksiyonunun grafiği çizilirken izlenecek yöntemleri verelim. a ∈ R+ – {1}, m, n ∈ R, m ≠ 0 olmak üzere,
f ( x ) = log 1 ( x + 1)
3
f(x) = mx + n olsun.
i)
y = logaf(x) şeklindeki logaritma fonksiyonunda;
a > 1 ise fonksiyon artan, 0 < a < 1 ise fonksiyon
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
�
��
�
��
azalandır.
ii)
Verilen logaritma fonksiyonunun tanım aralığı belirle-
�
��
��
�
�
nir.
iii) f(x) = a ⇒ y = 1 den (f–1(a), 1) ve
�
��
�
��
f(x) = 1 ⇒ y = 0 dan (f–1(1), 0) noktaları işaretlenip
grafik çizilir.
�
��
��
Örnek olarak,
y = log(x – 2)
�
�
�
�
�
��
fonksiyonunun grafiğini çizelim.

�
y = log10(x – 2) fonksiyonunda taban 1 den büyük
�
�
�
olduğundan fonksiyon artandır.

Logaritma fonksiyonunun tanım aralığına bakalım.
x–2>0

x = 3 için y = 0 ve x = 12 için y = 1 dir. Demek ki
x > 2 olmalı.
fonksiyonun grafiği (3, 0) ve (12, 1) noktalarından
Çözüm
geçiyor.
�
Taban 1 den küçük olduğu için fonksiyon azalan ve x = 0
için y = 0 olduğundan (0, 0) noktasından geçecektir.
��
�
�
�
��
�
Ayrıca, x + 1 > 0 ise x > –1 olacağından; grafik A seçeneğindeki gibi olur.
Doğru Seçenek A
176
LYS MATEMATİK
Logaritma - Bölüm 07
Logaritma
Çözüm
 x −2
f ( x ) = log3 

 2 
x – 3 > 0 olduğundan x > 3 tür.
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
�
��
�
��
Dolayısıyla a = 3 olur.
Ayrıca (b, 0) noktası fonksiyonu sağlar.
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
f(b) = logc(b – 3) = 0
�
��
⇒
b–3=1
⇒
b=4
tür.
�
�
�
�
� �
�
�
Buradan,
a+b=3+4=7
�
��
bulunur.
� �
�
Doğru Seçenek E
�
DNA 29
�
��
�
�
�
�
�
�
Şekilde verilen grafik,
Şekilde grafiği verilen fonksiyon,
f(x) = logc(x – 3)
fonksiyonuna aittir.
olduğuna göre, f–1(9) aşağıdakilerden hangisine eşit-
Buna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
f(x) = 3a–x
tir?
D) 6
E) 7
A) –3
B) –2
C) –1
D) 2
LYS MATEMATİK
E) 3
177
Logaritma
Logaritma - Bölüm 07
DNA 30
�
��
�
��
�
��
��
�
�
�
��
��
��
Şekilde verilen grafiğe göre, aşağıdaki sıralamalardan
Şekilde,
hangisi doğrudur?
f(x) = logcx
A) d < b < c < a
B) d < c < b < a
g(x) = logbx
C) a < b < c < d
D) a < d < c < b
h(x) = logax
E) d < a < b < c
fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) c 1 dir.
f(x) ve g(x) azalan olduğundan b < 1 ve c < 1 dir.
Bu nedir?
Buradan, b < c < 1 < a olur.
178
LYS MATEMATİK
Cevap :Telef olmuş bir on yani TELEFON
Doğru Seçenek C
Logaritma - Bölüm 07
Logaritma
TEST - 1
6.
olduğuna göre, log16 aşağıdakilerden hangisi-
log25 = x
dir?
1.
ifadesi a nın kaç tam sayı değeri için bir gerçek
loga(9 – a2)
A) 2 – x
7.
olduğuna göre, x ile y arasındaki bağıntı aşağıda-
B) x – 2
D) 4 – 2x C) 2x – 4
E) 4 – x
sayıdır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
logx 9 = logy
1
3
kilerden hangisidir?
2.
olduğuna göre, lnx in değeri kaçtır?
A) 3
E) 5
x x = e6
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
A) x y = 1 B) y 2 ⋅ x = 1
C) xy2 = 1
D) x2y = 1
E) x ⋅ y = 2
3
=1
x
3.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 2
2 log x + log
B)
7
3
C)
8
3
D) 3
E)
10
3
1

log a − log b = log  a + 
b

8.
olduğuna göre, b nin a cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
4.
Uygun koşullarda,
olduğuna göre, f–1(13) kaçtır?
A) –2
B)
a
1− a
C)
a −1
a
A)
9.
log2 = a
log3 = b
olduğuna göre, log18 in a ve b türünden eşiti
D)
1− a
a
E) a – 1
f(x) = 2x+1 – 3
B) –1
C) 1
D) 3
5.
olduğuna göre, x kaçtır? (m > 1)
A) 1
a
a −1
E) 4
aşağıdakilerden hangisidir?
logm(log2(1 + log3(x + 1))) = 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) a + b
D) a2b
B) 2a + b
E) ab2
C) a + 2b
LYS MATEMATİK
179
Logaritma
Logaritma - Bölüm 07
10. 61+log62x = 108
14.
�
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
�
�
A) 2
B) 3
C) 6
D) 9
E) 18
��
|2 – log2x| ≤ 1
fonksiyonuna aittir.
Buna göre, f(6) + f–1(2) toplamı kaçtır?
A) 2
hangisidir?
A) 1 ≤ x ≤ 4
12. B) 0 < x ≤ 4
15. (lnx)2 – lnx2 – lne3 = 0
B) e–1
a = log47
b = log25
c = log 1 7
C) e2
D) e3
olduğuna göre,
A) ln2
E) e4
sayıları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) a < b < c
1.A
180
B) b < a < c
D) c < a < b
2.D
3.E
LYS MATEMATİK
E) 6
4.D
C) b < c < a
5.B
6.D
7.C
8.C
B) ln4
C) ln5
E) ln15
4x – 2x+3 + 15 = 0
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) log23
9.C
B) log315
D) log210
E) c < b < a
y y
+ toplamı kaçtır?
x z
D) ln10
16. 2
D) 5
2x = ey = 5z
13. C) 4
E) 4 ≤ x ≤ 8
D) 0 < x < 8 A) e–2
B) 3
C) 2 ≤ x ≤ 8
denkleminin kökler çarpımı kaçtır?
f(x) = loga(x + b)
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
�
�
Yukarıdaki grafik,
11. ��
10.D
11.C
12.C
C) log215
E) log310
13.D
14.D
15.D
16.C
Logaritma - Bölüm 07
Logaritma
TEST - 2
1.
işleminin sonucu kaçtır?
A) log1248
5.
olduğuna göre,
A) –2
log123 + log128 – log122
B) log1224
D) 1
2logca + logcb = 1
a2b − 5c
2c + 2a2b
B) –1
oranı kaçtır?
C) 0
D) 1
E) 2
C) 2
E) 0
6.
olduğuna göre, log5 in t cinsinden değeri aşağı-
ln2 = t
dakilerden hangisidir?
2.
log3 = a olduğuna göre,
A) 1 – t ⋅ loge
t
2
B)
C) 1 – logt
E) log
D) logt
1
1
1 
 1
log 
+
+
+ ... +

9 ⋅ 10 
 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
t
2
ifadesinin a cinsinden değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) a
3.
B) 2a
D) 2a – 1 C) 2a + 1
E) 2a – 2
f(x) = log3x
gof(x) = x + 3
olduğuna göre, g(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x – 3
B) 3x – 1
D) 3x + 1
toplamı kaça eşittir?
log(
2 −1)
( 2 + 1) + log
B) –1
2
2
C) 0
D) 1
E) 2
8.
olduğuna göre, log98 in x türünden değeri aşağı-
2x = 3
dakilerden hangisidir?
A)
2x
3
B)
x
3
C)
3
2x
D)
2
x
E)
2
3x
E) 3x + 3
2
2
−
= logy z
logx y logz y
olduğuna göre, logxz3 değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
B) 0
C) 3x
4.
A) –1
A) –2
7.
C) 1
D) 2
E) 3
9.
olduğuna göre, log9(8!) in değeri kaçtır?
A) a – 2
log3(9!) = a + 1
D)
B) a – 1
a +1
2 C)
a −1
2
E) a + 1
LYS MATEMATİK
181
Logaritma
Logaritma - Bölüm 07
log 2
=m
log 3
10. olduğuna göre, log612 nin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
2m + 1
m
B)
3m + 1
m −1 m +1
D)
3 1
1
1
+
+ ... +
log2 a log3 a
log10 a
14. C)
2m + 1
m +1
toplamının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) loga!
B) loga10
D) loga10!
C) loga!10
E) log10!a
E) 2m + 3
15.
ABC
�
üçgeninde
[AN] iç açıortaydır.
��
��
|AC| = log169
|AB| = log23
11. log2x – 2 ⋅ logx2 = lne
A) 2
B) 3
C) 4
�
�
denkleminin kökler çarpımı kaçtır?
D) 1
5
E)
3
|BN| = |NC| + 10
olduğuna göre, |NC| kaç birimdir?
A) 5
16. �
B) 6
C) 8
D) 10
E) 20
f(x) = log3(x – 1)
olduğuna göre, y = f–1(x) fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden hangisidir?
12. �
��
1 < logx < 2
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı
�
vardır?
A) 87
�
B) 88
C) 89
D) 90
�
��
�
�
�
�
�
E) 91
�
��
��
�
��
�
�
�
�
��
x −2

log4  log2
<0
5 

13. �
��
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı
�
vardır?
A) 2
1.D
182
2.D
�
�
B) 3
3.E
LYS MATEMATİK
C) 4
4.D
D) 5
5.B
6.A
E) 6
7.D
8.C
9.C
10.C
11.A
12.C
13.C
14.D
15.D
16.E
TOPLAM - ÇARPIM SEMBOLÜ
BÖLÜM 08
TOPLAM SEMBOLÜ
Çözüm
TANIM
f : Z → R, f(k) = ak ve r ≤ n olacak şekilde, (r, n ∈ Z)
Dikkat edersek sayılar 3 er artıyor. Hepsi 3 ile bölündü-
∑ ak = ar + ar +1 + ar +2 + ... + an ifadesinde
ğünde 1 kalanını verdiğine göre (3k + 1) formunda olmalı-
n
k =r
k ∈ Z ye indis
dır. İlk değerin 1 ve son değerin 130 olması için;
43
∑ (3k + 1) olmalıdır.
ya da değişken, r ∈ Z ye alt sınır, n ∈ Z ye de üst sınır
k =0
denir.
Doğru Seçenek D
n
∑ ak
k =r
ifadesi k = r den n ye kadar aK sayılarının toplamı
olup ∑ sigma diye okunur. ∑ işlemini daha iyi anlamak için
aşağıdaki örneklere bakınız.
Kısayol
10
∑ ak = a1 + a2 + a3 + ... + a10
k =1
Her seçenekte alt sınırı ve üst sınırı yerine yazıp
5
∑ k2 = 22 + 32 + 42 + 52
bakabiliriz.
k =2
3
∑k = 3
k =3
7
∑ c = c + c + c + c + c + c + c = 7c
k =1
12 + 17 + 22 + ... + 62
aşağıdakilerden hangisiyle ifade edilebilir?
4
12
∑ 5 = 5+5+5
m=2
57
∑
(5k + 2) B)
D)
∑ (4k ) A)
k =2
∑
k =7
11
(k + 5) 15
C)
∑ (5k + 7)
k =1
13
E)
k=3
∑ (5k )
k=12
DNA 1
1 + 4 + 7 + 10 + ... + 130
toplamı aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir?
aşağıdakilerden hangisiyle ifade edilir?
15
A)
30
∑ k2 B)
k =1
∑ (3k + 1) k =0
43
D)
∑ (3k + 1) k =0
15
E)
10
C)
∑ (3k − 1)
k =0
2 + 6 + 12 + 20 + ... + 110
∑ k3
k =1
10
A)
∑ n(n + 1)
n=1
20
B)
∑ n2 n=1
110
D)
∑ n n=2
20
C)
∑ (n2 − n)
n =0
55
E)
∑ 2n
n=1
LYS MATEMATİK
183
Toplam Sembolü
Toplam - Çarpım Sembolü - Bölüm 08
Çözüm
DNA 2
4
∑ (−2)
k
k = 0 için (–1)1 ⋅ (2 ⋅ 0 + 3) = –3
⋅ (k − 1)!
k = 1 için (–1)2 ⋅ (2 ⋅ 1 + 3) = 5
k =2
toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 96
B) 92
C) 84
D) 72
E) 64
k = 2 için (–1)3 ⋅ (2 ⋅ 2 + 3) = –7
k = 3 için (–1)4 ⋅ (2 ⋅ 3 + 3) = 9
⋅
⋅
⋅
k = 10 için (–1)11 ⋅ (2 ⋅ 10 + 3) = – 23
Çözüm
–3 + 5 – 7 + 9 – 11 + ... – 19 + 21 – 23
2 + 2 + 2 + ... + 2 – 23
1442443
k = 2 için (–2)2 ⋅ (2 – 1)! = 4 ⋅ 1 = 4
5 tane
k = 3 için (–2)3 ⋅ (3 – 1)! = (–8) ⋅ 2 = – 16
10 – 23 = – 13 bulunur.
k = 4 için (–2)4 ⋅ (4 –1)! = 16 ⋅ 6 = 96
Doğru Seçenek E
olup toplam; 4 – 16 + 96 = 84 tür.
Doğru Seçenek C
20
∑ (−1)n ⋅ (3n − 1)
n =1
toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
3
∑ (k2 + m) = 43
k =2
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 25
B) 20
C) 15
A) 36
D) 10
10
24
k =0
184
LYS MATEMATİK
E) –33
C) 6
D) –12
∑
k =1
1
k +1+ k
toplamının sonucu kaçtır?
toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) 12
D) –29
DNA 4
∑ (−1)k +1 ⋅ (2k + 3)
A) 13
C) 30
E) 5
DNA 3
B) 33
E) –13
A) 4
B) 2 6 C) 5
D) 6
E) 2 6 + 2
Toplam - Çarpım Sembolü - Bölüm 08
Toplam Sembolü
Çözüm
24
Çözüm
1
∑
k +1+ k
k =1
24
=
∑
1
k 2 + 5k + 6
( k + 1 − k ) olur.
k =1
( k +1− k )
k = 1 için
2− 1
k = 2 için
3− 2
k = 3 için
4− 3
A
B
1
+
=
(k + 2) (k + 3) k 2 + 5k + 6
⋅
⋅
⋅
k = 24 için
ifadesini basit kesirlerine ayıralım.
25 − 24
(1)
(k + 3 )
(k +1)
A(k + 3) + B(k + 2) = 1
k(A + B) + 3A + 2B = 1
A + B = 0 ve 3A + 2B = 1
⇒ A = 1, B = – 1 dir.
Taraf tarafa toplarsak;
15
1
1
∑k + 2 − k + 3
25 − 1 = 5 − 1 = 4
olur.
k =1
olarak bulunur
Doğru Seçenek A
k = 1 için
1 1
−
3 4
k = 2 için
1 1
−
4 5
⋅
⋅
⋅
k = 15 için
24
∑(
1
1
5
dir.
−
=
3 18 18
2k + 1 − 2k − 1)
(6)
k =1
toplamının sonucu kaçtır?
A)
47 B) 7
1
1
−
17 18
C) 6
D) 4
E) 2
(1)
Doğru Seçenek B
DNA 5
15
1
∑ k2 + 5k + 6
Kısayol
k =1
toplamının sonucu kaçtır?
A)
5
9
B)
5
18
C)
10
9
D)
1
9
E)
1
18
1
1
1
=
−
(k + n) ⋅ (k + n + 1) k + n k + n + 1
LYS MATEMATİK
185
Toplam Sembolü
Toplam - Çarpım Sembolü - Bölüm 08
DNA 7
15
1
∑ 4k2 − 1
x2 + 2x + m = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
k =1
toplamının sonucu kaçtır?
30
31
A)
B)
24
31
C)
2
18
31
D)
15
31
E)
10
31
∑ ( x1k + x2k ) = 12
k =1
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 10
B) 5
C) –5
D) –8
E) –10
Çözüm
2
DNA 6
∑ ( x1k + x2k ) = ( x1 + x2 ) + ( x12 + x22 ) = 12
k =1
b
 k − 1
log2 
 =1
 k 
k =a
∑
x1 + x2 = – 2
⇒ ( x1 + x 2 ) + ( x1 + x 2 )2 − 2x1 ⋅ x 2 = 12
x1 ⋅ x2 = m
⇒ − 2 + 4 − 2m = 12
olduğuna göre, a nın b türünden ifadesi aşağıdaki-
−2m = 10
lerden hangisidir?
A) a = 2b – 1
B) a = 2b
D) a = 2b + 2
m = −5
C) a = 2b + 1
bulunur.
Doğru Seçenek C
E) a = 2b + 3
Çözüm
b
 k − 1
 a − 1
 a 
 b − 1
 = log2 
 + log2 
 + ... + log2 

k 
a
a
+
1




 b 
∑ log2 
k =a
b − 1
a −1
 a −1 a
= log2 
⋅
⋅ ... ⋅
= log2
=1
b 
b
 a a +1
⇒
x2 – 4x – 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre,
2
1
∑ xk
k=1
toplamının sonucu kaçtır?
B) –2
A) –4
a −1
=2
b
C) 2
D) 4
E) 6
⇒ a = 2b + 1
Doğru Seçenek C
DNA 8
20
∑
90
lnk = x
k =1
olduğuna göre ex aşağıdakilerden hangisidir?
A) 20
186
B) 40
LYS MATEMATİK
C) 20!
D) 40!
E) ln20
∑ sin2 k
k=1
toplamının sonucu kaçtır?
89
C) 45
A) 44
B)
2
D)
91
2
E) 46
Toplam - Çarpım Sembolü - Bölüm 08
Toplam Sembolü
Çözüm
DNA 9
Hatırlatma
2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 7 + ... + 12 ⋅ 23 = a olduğuna göre,
 sin2x + cos2x = 1

toplamının a türünden eşiti aşağıdakilerden han-
π

sin  − x  = cos x
2

3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 5 + 5 ⋅ 7 + ... + 13 ⋅ 23
gisidir?
A) a + 100
90
∑
sin2 k =
B) a + 120
D) a + 143
C) a + 142
E) a + 144
1
k=1
sin2 1 + ... + sin2 44 + sin2 45 + sin2 46 + ... + sin2 89 + sin2 90
1
1
2
 2
1 91
bulunur.
= 44 + 
+ 1 = 45 + =
 2 
2
2


Çözüm
Doğru Seçenek D
3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 5 + 5 ⋅ 7 + ... + 13 ⋅ 23
= (2 + 1) ⋅ 3 + (3 + 1) ⋅ 5 + (4 + 1) ⋅ 7 + ... + (12 + 1) ⋅ 23
= 2 ⋅ 3 + 3 + 3 ⋅ 5 + 5 + 4 ⋅ 7 + 7 + ... + 12 ⋅ 23 + 23
=1444442444443
2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 7 + ... + 12 ⋅ 23 + 3 + 5 + 7 + ... + 23
50
∑
a
1
= a + (1 + 3 + 5 + 7 + ... + 23) – 1
2
k = 40 1 + tan k
toplamının sonucu kaçtır?
B)
A) 6
11
2
C) 5
D)
9
2
E) 4
 23 + 1  23 − 1  
= a − 1+ 
+ 1 


 2  2
= a – 1 + 144 = a + 143
Doğru Seçenek D
Hatırlatma
Ardışık n tane sayının toplamında;
Terim sayısı =
Toplam =
son terim – ilk terim
Artış miktarı
son terim + ilk terim
2
+1
⋅ terim sayısı
2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + ... + 15 ⋅ 16
toplamında her terimin ikinci çarpanı 2 azalırsa toplam kaç azalır?
A) 248
B) 242
C) 240
D) 238
LYS MATEMATİK
E) 232
187
Toplam Sembolü
Toplam - Çarpım Sembolü - Bölüm 08
Çözüm
Hazine 1
1)
n
∑ k = 1 + 2 + 3 + ... + n =
k =1
2)
n(n + 1)
2
n(n + 1)(2n + 1)
6
∑ k2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
n
 n(n + 1) 
2 
∑ k3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 
k =1
5)
20
k =1
k =1
k =1
n
1
1
1
1
20 ⋅ 21⋅ 41
20 ⋅ 21
−3⋅
+ 40
6
2
= 2870 − 630 + 40
= 2280
n
∑ (2k − 1) = 1 + 3 + 5 + ... + 2n − 1 = n2
dir.
k =1
4)
20
=
n
k =1
3)
20
∑ k2 −3∑ k + ∑ 2
Doğru Seçenek C
2
n
∑ k ⋅ (k + 1) = 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ... + n(n + 1) = n + 1
k =1
6)
n
4
1 − rn
∑ rk −1 = 1 + r + r 2 + ... + rn−1 = 1 − r
k =1
∑ (a + 2) ⋅ (2a − 3)
a =1
toplamının değeri kaçtır?
A) 66
B) 62
Işık 1
 c ∈R
E) 34
DNA 11
n
∑
k =r

D) 46
C) 58
(c ⋅ ak ) = c ⋅
n
∑ ak
k =r
n
n
n
k =r
k =r
k =r
∑ (ak + bk ) = ∑ ak + ∑ bk
15
15
a =1
k=1
∑ k = p olduğuna göre, ∑ (k3 − 1)
ifadesinin p tü-
ründen eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) p2
B) p2 – 1
D) p2 – 15p
C) p2 – 15
E) p2 – 15p
Çözüm
DNA 10
15
∑k =
k =1
20
∑ (k2 − 3k + 2)
toplamının değeri kaçtır?
188
B) 2180
LYS MATEMATİK
15
k =1
2
 15 ⋅ 16 
− 15 = p2 − 15
2 
∑ (k3 ) − 15 = 
olur.
k =1
A) 2080
15 ⋅ 16
= p ve
2
C) 2280
Doğru Seçenek C
D) 2380 E) 2580
Toplam - Çarpım Sembolü - Bölüm 08
Toplam Sembolü
DNA 13
4
∑ (2k3 − 1)
k =1
toplamının değeri kaçtır?
A) 200
C) 196
B) 199
D) 100
n
n
i=1
i=3
∑ i2 − ∑ (i2 − 1)
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
E) 96
A) n – 3
B) 2n – 1 C) n – 2
D) n – 3 E) n + 3
DNA 12
9 ile bölündüğünde 3 kalanını veren iki basamaklı
Çözüm
sayıların toplamı kaçtır?
A) 495
B) 500
C) 515
D) 520 E) 525
n
∑
i2 =
i=1
Çözüm
mundadır.
∑ (9k + 3) = 9 ⋅
k =1
∑
i2 +
i=1
n
∑ i2
dir.
i=3
O zaman;
9 ile bölündüğünde 3 kalanını veren sayılar 9k + 3 for10
2
10 ⋅ 11
+ 30 = 525
2
n
n
i=1
i=3
∑ i2 − ∑ (i2 − 1)
=
Doğru Seçenek E
=
2
n
n
n
i=
i=3
i=3
i= 3
∑ i2 + ∑ i2 − ∑ i2 + ∑ 1
→ (n − 2) terim
2 ⋅ 3 ⋅5
+n−2
6
=n+3
Doğru Seçenek E
A = 1223334444... (1den 1 tane, 2den 2 tane, ...)
şeklinde yazılan 36 basamaklı sayının rakamları toplamı kaçtır?
A) 254
B) 234
C) 224
D) 214
E) 204
10
10
∑ k2 = m, ∑ k = n olduğuna göre,
k =1
k =4
10
Işık 2
∑ (k2 − 2k − 1)
k =1
ifadesinin m ve n türünden değeri aşağıdakilerden
r < m < n olmak üzere;
hangisidir?
n
m
n
k =r
k =r
k =m +1
∑ ak = ∑ ak + ∑
ak dır.
A) m – n – 12
B) 2m – n – 22
D) m – 2n – 22
C) m – 2n – 12
E) 2m – n – 12
LYS MATEMATİK
189
Toplam Sembolü
Toplam - Çarpım Sembolü - Bölüm 08
Işık 3
12
n
n −r
k =p
k =p −r
∑ ak = ∑
ak +r =
n +r
∑
k =p + r
∑ (2k − 3)
k =4
toplamının sonucu kaçtır?
ak −r
B) 117
A) 119
Örneğin;
10
10 − 2
k =3
k =3 − 2
5
5+3
k =−2
k = −2 + 3
∑ (2k + 1) = ∑
C) 115
D) 113
E) 111
D) 22
E) 44
[2123
(k + 2) + 1]
∑ (k2 − 1) = ∑
[(k − 3)2 − 1]
DNA 15
5
∑ (k3 − k − 2)
k =−5
toplamının sonucu kaçtır?
A) –24
B) –22
C) 11
DNA 14
12
∑ (k
2
Çözüm
− 8k + 6)
5
k =5
∑ k3
toplamının değeri kaçtır?
A) 155
B) 132
k =−5
C) 128
D) 124
5
+
∑k
k =−5
−
5
∑2
k =−5
E) 96
–53 – 43 – 33 – 23 – 13 + 03
0
22 dir.
53 + 43 + 33 + 23 + 13
0
0 + 0 – 22 = – 22 olur.
Doğru Seçenek B
Çözüm
12
∑ ((k − 4)2 − 10)
k =5
=
12− 4
∑
((k − 4 + 4 )2 − 10) =
k =5 − 4
8
∑ (k2 − 10) =
k =1
8 ⋅ 9 ⋅ 17
− 80
6
6
= 124’tür.
Doğru Seçenek D
∑ (k2 + k )
k =−6
toplamının sonucu kaçtır?
A) –182
190
LYS MATEMATİK
B) –91
C) 0
D) 91
E) 182
TOPLAM - ÇARPIM SEMBOLÜ
BÖLÜM 08
ÇARPIM SEMBOLÜ
TANIM
Kısayol
f: Z → R, f(k) = ak ve r ≤ n olacak şekilde (r, n ∈ Z)
n
c ∈ R olmak üzere
∏ ak = ar ⋅ ar +1 ⋅ ar +2 ⋅ ... ⋅ an ifadesinde r ye alt sınır, n ye
n
∏ c = cn dir.
k =1
k =r
üst sınır ve k ya da değişken denir.
n
∏ ak ifadesi k = r den n ye kadar a
k =r
k
sayılarının çarpımı
olup “P” pi diye okunur. P sembolünü kavratan aşağıdaki
örnekleri inceleyiniz.
22
∏4
6
∏ k = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6
k =1
çarpımının sonucu kaçtır?
5
A) 240
⋅7⋅7
∏ 7 = 7
B) 284
C) 402
D) 40!
E) 842
3 tane
k =3
7
k=3
k +1
3 4 5 6 7 8
∏ k+2 = 4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9
k =2
6
∏ 2k = 0
k =−5
DNA 17
DNA 16
8
30
∏2
k=1
çarpımının sonucu kaçtır?
k=1
A) 38
çarpımının sonucu kaçtır?
A) 230
∏3 ⋅ k
B) 60
C) 302
D) 30!
C) 3 ⋅ 8!
D) 38 ⋅ 8! E) 83 ⋅ 3!
E) 30
Çözüm
Çözüm
30
...
⋅ 2 = 230 dur.
∏ 2 = 2⋅2⋅2 ⋅
k =1
B) 8!
30 tane
8
∏ 3 ⋅ k = 3 ⋅ 1⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 8 = 38 ⋅ 8! dir.
k =1
Doğru Seçenek A
Doğru Seçenek D
LYS MATEMATİK
191
Çarpım Sembolü
10
∏
Toplam - Çarpım Sembolü - Bölüm 08
5
∏
k=3
çarpımının sonucu kaçtır?
A) 28 ⋅ 10!
x
olduğuna göre, x kaçtır?
B) 27 ⋅ 10!
D) 210 ⋅ 8!
k
3
 27 
2 =  8 
 
k =1  
2k
C) 28 ⋅ 8!
A) –5
B) –3
D) 5
C) 3
E) 6
E) 210 ⋅ 10!
DNA 19
DNA 18
20
10
3k
∏k
çarpımının sonucu kaçtır?
k =1
çarpımının sonucu kaçtır?
A)
20
3
20
 6 9 
1 − + 2 
k k 
k =1 
∏
B)
20
3
20!
C)
210
210
A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
3
3
210
D)
E)
20
20!
3!
Çözüm
10
 k 2 − 6k + 9  10  (k − 3)2 

=


2




k2
 k =1  k

k =1 
∏
Çözüm
∏
k = 3 için ifade 0 olacağından cevap 0 olur.
Doğru Seçenek D
20
3k
∏k
=
k =1
31 ⋅ 32 ⋅ 33 ⋅ ... ⋅ 320
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 20
20⋅21
3 2
=
20 !
=
3210
20 !
dir.
7
∏ (k2 + 7k + 10)
Doğru Seçenek D
k =−3
çarpımının sonucu kaçtır?
A) –22
192
LYS MATEMATİK
B) –2
C) 0
D) 2
E) 22
Toplam - Çarpım Sembolü - Bölüm 08
Çarpım Sembolü
Çözüm
DNA 20
9
10
∏
2
k −4
∏ k2 − 9
k = 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 = a ve
k =4
50
A)
17
48
B)
13
42
C)
11
32
D)
9
16
E)
3
⇒
∏ k = 8 ⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 11⋅ 12 = b
k =8
k =4
işleminin sonucu kaçtır?
12
12
∏ k = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅a6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 11⋅ 12
k =1
⋅
6
=
ab
12
⋅
72
Doğru Seçenek D
Çözüm
10
(k − 2) ⋅ (k + 2)
∏ (k − 3) ⋅ (k + 3) =
k =4
b
2 3 4
8
. ⋅ ⋅ ... ⋅
1 2 3
7
8⋅
6 7 8
12
⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅
7 8 9
13
6 48
tür.
=
13 13
Doğru Seçenek B
9
9
∏ (i2 − 1) = k ⋅ ∏ (i − 1)
10
i= 2
i=3
olduğuna göre, k kaçtır?
k2 − 1
∏
2
k =2 k
çarpımının sonucu kaçtır?
A)
5
4
B)
7
20
A) 9!
C)
9
20
11
20
D)
E)
B)
9!
2
C) 10!
D)
10!
E) 2 ⋅ 10!
2
13
20
DNA 21
9
∏k = a
k =4
12
∏k
ve
DNA 22
12
∏ k = b olduğuna göre,
k =8
5
nın a ve b türünden ifadesi aşağıdakilerden
k=1
ab
4
B)
3ab
8
∏ (sin15k°)
k =1
çarpımının sonucu kaçtır?
hangisine eşittir?
A)
C)
6ab
11
D)
ab
12
E)
ab
2
A)
3
16
B)
3
32
C)
6
16
D)
6
32
E)
LYS MATEMATİK
3
32
193
Çarpım Sembolü
Toplam - Çarpım Sembolü - Bölüm 08
Çözüm
5
∏
3
k =1
k =1  m =1
1
⋅
2
= sin15° ⋅
=
2
⋅
2
3
⋅ cos15°
2
 2  m 
∏  ∑  n   = 27
(sin15k °) = sin15° ⋅ sin 30° ⋅ sin 45° ⋅ sin 60° ⋅ sin 75°

olduğuna göre, n kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1 1 2 3
6
⋅ ⋅
⋅
=
4 2 2 2
32
sin 30° 1 

= 
 sin15° ⋅ cos15° =
2
4

Doğru Seçenek D
DNA 24
r
60
∏ tank°
∏ ∑ (2n − 1)
k =n
k =1
olduğuna göre, r – n kaçtır?
k=30
çarpımının sonucu kaçtır?
1
A) 3 B)
C) 1
3
n
n=
A) 0
D) 2
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
E) 3
Çözüm
r
∏ n de (r – n + 1) tane terim olduğundan;
k =n
DNA 23
nr – n + 1 = n2 ⇒ r – n + 1 = 2
⇒ r – n = 1 dir.
Doğru Seçenek B
 2


kp 


k = 2  p =1 
işleminin sonucu kaçtır?
4
∑∏
A) 68
B) 62
C) 60
D) 58
E) 48
Çözüm
4
4
∑ k2 ⋅ 2! = 2 ⋅ ∑ k2 = 2(2
k =2
n
2
+ 32 + 42) = 2(4 + 9 + 16) = 58
k =2
Doğru Seçenek D
k =1
LYS MATEMATİK
a =1
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 389
194
15
∑ ∏ 3a
3=
B) 399
C) 3109
D) 3119
E) 3129
Toplam - Çarpım Sembolü - Bölüm 08
Toplam - Çarpım Sembolü
TEST - 1
5.
B) 312
k =−3
m=6
C) 294
n+5
2
B) 34
a
∑ b = 10
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
C) 28
D) 24
D) 27
E) 35
D) 20
E) 11
∑
B) 35
∑ 3k = A
(k + 2)
B) –27
C) 0
C) 45
D) 188
E) 168
n
∑ (3 + ak ) = 2n2 + n
k =1
olduğuna göre, a6 kaçtır?
A) 88
D) 60
B) 60
C) 44
E) 75
olduğuna göre,
4n + (4n + 1) + (4n + 2) + ... + 5n
toplamının A türünden değeri aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
A) A
toplamının sonucu kaçtır?
7. toplamının sonucu kaçtır?
k =1
n =−3
A) –35
E) 22
k =1
n
3
∑ (n5 + n3 + n2 + 1)
olduğuna göre,
A) 30
+ bn + c
k =1
olduğuna göre, x kaçtır?
6. eşitliğine göre, a + b kaçtır?
ab
4.
m =1
E) 271
k =1
A) 36
k =1
A) 2
D) 282
∑ (4k − 2) = an
2.
3.
22
x
toplamının sonucu kaçtır?
A) 369
10
∑ 4+ ∑m
1.
x
∑ (k2 − 2) = ∑ (m − 2)2
B) 3A
8. C) 6A
D) 9A
E) 81A
11
20
k =3
k =11
∑ k + ∑ (k − 2)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 218
B) 208
C) 198
LYS MATEMATİK
195
Toplam - Çarpım Sembolü - Bölüm 08
Toplam - Çarpım Sembolü
40
39
k =1
k =3
13. log23 = m olduğuna göre,
∑ k 4 − ∑ (k + 1)4
9. 16
işleminin sonucu kaçtır?
A) 102
B) 100
C) 98
D) 97
E) 96
∏ log(k +1)(k + 2)
k =1
m türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3m + 1
98
∑
10.
sin
k =1
kπ
2
toplamının değeri kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
∏ (5k +1 − 5k )
A) 13
B) 12
12
∏ (13k − k
C) 11
2
D) 10
E) 9
8
A) (13!)2
B) (12!)2
D) (12!) ⋅ 1212
LYS MATEMATİK
1
8
E)
3
16

k =0  k =1

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B) 9!
f ( x) =
3.E
D)
∑  ∏ k 
)
2.E
 8
C) 0
C) 8!
D) 8 ⋅ 9!
E) (8!)8
16. f, g: N → N olmak üzere,
çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
196
3
1
B) − 16
8
A) 10!
1.C
5 
k =2
k =1
6
E) 4m
işleminin sonucu kaçtır?
15.
k =1

C) 2m + 1
∏ 1 − k + k2 
A) −
E) 3
işleminin sonucu kaç basamaklıdır?
12.
6
4
11. D) 2(m + 1)
14.
B) 3m + 2
4.B
C) (11!)2
E) (11!) ⋅ 1211
5.A
6.E
7.D
9.C
ve g( x ) =
k =1
x
∏ 2k
k =1
olduğuna göre, fog(2) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 40
8.C
x
∑ (k + 1)
10.C
B) 42
11.D
12.B
C) 44
13.C
D) 46
14.C
15.B
E) 48
16.C
DİZİLER - SERİLER - BÖLÜM 09
DİZİLER
Çözüm
TANIM
Tanım kümesi N+ olan her fonksiyona dizi denir. Diziler
B, C ve D seçeneklerinde paydayı sıfır yapan değerler
değer kümelerine göre adlandırılır. Değer kümesi R olan
pozitif doğal sayıların elemanı olmadıklarından bir dizinin
fonksiyona gerçek sayı dizisi denir. Bir f fonksiyonunu;
f: N+ → R
f(n) = an
genel terimi olabilirler. E seçeneğinde n > 2 için verilen
ifade tanımsız olduğundan bir gerçek sayı dizisinin genel
terimi olamaz.
şeklinde tanımlayacak olursak f fonksiyonunu,
Doğru Seçenek E
f(1) = a1, f(2) = a2, f(3) = a3, ..., f(n) = an, ...
veya,
f = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), ..., (n, an), ...}
şeklinde yazabiliriz. f fonksiyonu (dizisi) genel olarak
(a1, a2, a3, ..., an) veya kısaca (an) şeklinde gösterilir.
Burada,
a1 e dizinin birinci terimi,
a2 ye dizinin ikinci terimi,
a3 e dizinin üçüncü terimi,
an e özel olarak dizinin genel terimi
Aşağıdakilerden hangisi bir gerçek sayı dizisinin genel terimi olamaz?
A) 12 + 22 + 32 + ... + n2
denir.
C)
n +1
3n − 5 B)
Uyarı
D)
E)
n2 − 1
n
2n
n+2
3 − n2
n +1
∀ n ∈ N+ için (an) dizisinin terimleri tanımlı olmalıdır.
Bir n değeri için bile an tanımlı olmuyorsa (an) dizi değildir.
DNA 2
DNA 1
Aşağıdakilerden hangisi bir gerçek sayı dizisinin
genel terimi olamaz?
1
A) 3
D)
3n − 1
B)
n +1 n+2
n E)
n+2
C)
3n − 1
2−n
n+5
 3n + 5 


 2n + 1 
23
olduğuna göre, bundan
13
sonraki terimi kaçtır?
dizisinin bir terimi
A) 2
B)
29
15
C)
9
5
D)
26
15
LYS MATEMATİK
E)
5
3
197
Diziler
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Çözüm
Çözüm
3n + 5 23
=
2n +1 13
⇒
 3n2 − 3n + 8 
(an ) = 
 = 3n2 − 3 +
n


39n + 65 = 46n + 23
8
n
⇒ n, 8 i tam bölen bir sayma sayısıdır.
42 = 7n
⇒
n = 1, 2, 4, 8 için a1, a2, a4, a8 tam sayı olup 4 tanedir.
n=6
Doğru Seçenek C
dır.
Dolayısıyla bize dizinin 7. terimi sorulduğundan,
a7 =
21 + 5 26
=
14 + 1 15
bulunur.
Doğru Seçenek D
 n2 − n + 4 
(an ) = 

n


dizisinin tam sayı olan terimlerinin toplamı kaçtır?
A) 13
 2n − 1 
 2

 n + 1
dizisinin kaçıncı terimi
A)
2
3
B) 1
C) 2
D) 4
198
LYS MATEMATİK
E) 4
DNA 4
C) 4
 −2n + 8 
(an ) = 

 n+3 
dizisinin kaç terimi pozitiftir?
dizisinin kaç terimi tam sayıdır?
B) 3
D) 7
E) 8
 3n2 − 3n + 8 
(an ) = 

n


A) 2
C) 8
3
tür?
13
DNA 3
B) 11
D) 5
E) 6
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Diziler
Çözüm
Çözüm
2n + 30
>2 ⇒
3n − 10
 −2n + 8 
(an ) = 

 n+3 
2n + 30
−
3n − 10
(1)
>0
( 3n −10 )
2n + 30 − 6n + 20
>0
3n − 10
dizisinde n ∈ N+ olduğundan n + 3 her zaman pozitiftir.
–2n + 8 > 0
2
1
−4n + 50
>0
3n − 10
2n < 8
10
25
3
n<4
–
2
+
–
olur. 1, 2, 3 olup a1, a2, a3 pozitiftir.
n = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Doğru Seçenek D
olup 9 tanedir.
Doğru Seçenek D
 n − 5n + 4 
(an ) = 

 n2 + 2 
dizisinin kaç terimi –1 den küçüktür?
A) 21
dizisinin kaç terimi negatiftir?
A) 6
B) 5
 1 + 3n 


 56 − 5n 
2
C) 4
D) 3
B) 20
dizisinin kaç terimi 2 den büyüktür?
B) 11
E) 13
DNA 6
 2n + 30 


 3n − 10 
A) 12
D) 14
E) 2
DNA 5
C) 17
C) 10
D) 9
n2 + 1 , n ≡ 0 (mod 2)
(an ) = 
2
n − 1 , n ≡ 1 (mod 2)
olan bir (an) dizisi için a6 + a7 toplamı kaçtır?
E) 8
A) 97
B) 95
C) 88
D) 85
LYS MATEMATİK
E) 82
199
Diziler
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Çözüm
Çözüm
a6 için 6 ≡ 0 (mod 2) olduğundan;
a6 = 62 + 1 = 37
a7 için 7 ≡ 1 (mod 2) olduğundan,
a7 = 72 – 1 = 48
n = 1 için
a2
=1
a1
n = 2 için
a3
=2
a2
n = 3 için
a4
=3
a3
⋅⋅⋅
olup, a6 + a7 = 85 bulunur.
Doğru Seçenek D
an
= n −1
an−1
n = n – 1 için
Taraf tarafa çarpalım:
a 2 a3 a 4
a
⋅
⋅
⋅ ... ⋅ n = (n − 1)!
a1 a2 a3
an−1
an
= (n − 1)! ⇒ an = 2(n − 1)!
2
bulunur.
n2 , n asal sayı ise
(an ) = 
n − 1 , n asal değilse
Doğru Seçenek C
olduğuna göre, (an) dizisinin ilk dört teriminin toplamı
kaçtır?
A) 16
B) 13
C) 12
D) 9
E) 4
n bir sayma sayısı ve n ≥ 2 için,
a1 = 2 ve
an
1
=
an−1 2n
olduğuna göre, a4 kaçtır?
A)
1
24
B)
1
32
C)
1
48
D)
1
64
E)
1
96
DNA 7
(an) dizisinde,
a1 = 2 ve
an+1
=n
an
TANIM
olduğuna göre, dizinin genel terimi aşağıdakilerAk ⊂ N+ olmak üzere,
den hangisidir?
A) (n – 1)!
200
B)
D) 2(n + 1)!
LYS MATEMATİK
(n − 1)!
2 C) 2(n – 1)!
E) (n + 1)!
Ak = {1, 2, 3, ..., k}
kümesinden gerçek sayılara tanımlanan her fonksiyona k
terimli sonlu dizi denir.
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Diziler
Not
Çözüm
(an) dizisinin grafiği N+ x R nin bir alt kümesidir.
İkinci dereceden bir fonksiyon parabol belirttiğinden tepe
(n, an) ∈ N+ x R olacak şekilde oluşturulan ikililer (an) dizi-
noktasının apsisini bulalım.
sinin grafiğini belirler. Grafiği oluşturan noktaları;
Kollar yukarı olduğundan, bir en küçük değer vardır.
(1, a1), (2, a2), (3, a3), ..., (n, an)
r=
ikilileriyle belirtiriz.
−( −5) 5
=
2
2
5
sayma sayısı olmadığından bu değere en yakın
2
olan iki tam sayıyı seçelim.
Fakat
Örneğin;
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(a2) = (4 – 10 + 1) = –5
kümesinden gerçek sayılar kümesine tanımlanan,
(a3) = (9 – 15 + 1) = –5
(an) = (n2 – 6n + 5)
dir.
sonlu dizisinin grafiğini çizelim.
Dolayısıyla, bu dizinin en küçük terimi –5 olarak bulunur.
��
�
Doğru Seçenek A
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
(an) =
(n2
– 6n + 5)
(an) = (–n2 + 6n)
olduğuna göre, (an) dizisinin en büyük terimi kaçtır?
dizisinin noktalarını (n, an) ikilileriyle gösterdiğimizde,
A) –9
B) 9
C) 12
D) 18
E) 27
(n, an) = ((1, 0), (2, –3), (3, –4), (4, –3), (5, 0), (6, 5)}
bulunur. Buradan dizinin en büyük teriminin 5 ve en küçük
teriminin –4 olduğu görülür.
TANIM
Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.
Yani, c ∈ R ve her n ∈ N+ için,
DNA 8
a1 = a2 = a3 = ... = an = ... = c
ise, an bir sabit dizidir.
(an) = (n2 – 5n + 1)
olduğuna göre, (an) dizisinin en küçük terimi kaçtır?
A) –5
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1
(an) = (2, 2, 2, ..., 2, ...)
(bn) = (sinpn) = (0, 0, 0, ..., 0, ...)
dizileri birer sabit dizidir.
LYS MATEMATİK
201
Diziler
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Işık 1
Işık 2
"n ∈ N+ için an = bn ise (an) ve (bn) dizilerine
 mn + k 
(an ) = 

 cn + d 
eşit diziler denir. (an) = (bn) biçiminde gösterilir. Başka bir ifadeyle genel terimleri eşit olan diziler birbirine
dizisi bir sabit dizi ise,
eşittir.
m k
=
c d
Örneğin,
an = ((–1)n), bn = (cosnp)
dir.
dizileri eşit dizilerdir.
DNA 9
(an) = (p2n – 5pn – 6n– 2)
Işık 3
dizisi sabit dizi olduğuna göre, p nin alacağı değerler toplamı kaçtır?
A) –6
B) –5
C) –4
D) 4
E) 5
Çözüm
(an) = (n(p2 – 5p – 6) – 2)
(an) ve (bn) herhangi iki dizi ve k ∈ R olmak üzere,
a)
(an) + (bn) = (an + bn)
b)
(an) – (bn) = (an – bn)
c)
k ∈ R, k ⋅ (an) = (k ⋅ an)
d)
(an) ⋅ (bn) = (an ⋅ bn)
e)
(an )  an 
=   (bn ≠ 0)
(bn )  bn 
dizisi sabit dizi ise n den bağımsız olmalıdır.
Dolayısıyla,
p2 – 5p – 6 = 0
dir.
dır. p nin alacağı değerler toplamı,
p1 + p2 = 5
tir.
Doğru Seçenek E
 12n − k + 1 
(an ) = 

 4n − 1 
dizisi sabit dizi olduğuna göre, k kaçtır?
A) –4
202
B) –3
LYS MATEMATİK
C) 2
D) 4
DNA 10
(an+1) = 3n + 2
(bn) = 2n – 1
ap = bp + 1
olduğuna göre, p kaçtır?
E) 6
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Diziler
Çözüm
Hazine 1
(an+1) = 3n + 2
⇒ (an) = 3(n – 1) + 2
⇒ (an) = 3n – 1
⇒ (ap) = 3p – 1
Genel terimi an olan bir (an) dizisinin monotonluğu
araştırılırken;
a)
incelenebilir.
dir.
(bn) = 2n – 1
⇒ bp+1 = 2(p + 1) – 1 = 2p + 1
(an) = (a1, a2, a3, ..., an) yazılarak monotonluğu
Buradan; 3p – 1 = 2p + 1 ⇒ p = 2
bulunur.
b)
A(n) = an+1 – an farkı bulunur. Her n ∈ Z+ için,
A(n) > 0 ise dizi monoton artan,
A(n) < 0 ise dizi monoton azalandır.
c)
(an) pozitif terimli bir dizi olmak üzere,
A(n) =
(An) > 1 ise dizi monoton artan, (≥ 1 ise monoton
Doğru Seçenek B
an+1
oranı bulunur. Her n ∈ Z+ için,
an
azalmayan)
(An) < 1 ise dizi monoton azalandır. (≤ 1 ise monoton artmayan)
m+2

(an ) =  2 −

n+2 

 4n + 5 
(bn ) = 

 2n + 4 
(an) = (bn)
olduğuna göre, m kaçtır?
A) −
1
4
B) −
1
2
C) 1
D)
1
2
E)
1
4
DNA 11
(an) dizisinin genel terimi aşağıda verilmiştir.
an =
3n
n
olduğuna göre, (an) dizisi için aşağıdakilerden
TANIM
hangisi doğrudur?
(an) bir dizi olsun. Eğer her n ∈ N+ için,
A) Monoton değildir.
an+1 – an > 0
⇔
(an) monoton artandır.
B) Azalmayandır.
an+1 – an < 0
⇔
(an) monoton azalandır.
C) Artmayandır.
an+1 – an ≥ 0
⇔
(an) azalmayandır.
D) Monoton artandır.
an+1 – an ≤ 0
⇔
(an) artmayandır.
an+1 – an = 0
⇔
(an) sabit dizidir.
E) Monoton azalandır.
LYS MATEMATİK
203
Diziler
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Çözüm
DNA 12
(an) pozitif terimli bir dizidir.
3n+1
3n
= n +n 1 =
n
+1
3
n
an+1
an
 2n + 1 
(an ) = 

 n+2 
dizisinin monotonluk durumu için aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
olur.
A) Monoton artandır.
3n
Her n ∈ N+ için,
> 1 olduğundan (an) dizisi monoton
n +1
B) Monoton azalandır.
artandır.
C) Monoton azalmayandır.
Doğru Seçenek D
D) Monoton artmayandır.
E) Monoton değildir.
(an) dizisinin genel terimi aşağıda verilmiştir.
an =
n+4
n
Çözüm
olduğuna göre, (an) dizisi için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
Paydanın kökü n + 2 = 0
A) Monoton değildir.
B) Azalmayandır.
C) Artmayandır.
D) Monoton artandır.
E) Monoton azalandır.
n = –2 < 1 olduğundan dizi monotondur.
Üstelik 2 ⋅ 2 – 1 ⋅ 1 = 3 > 0 olduğundan dizi monoton
artandır.
Doğru Seçenek A
Hazine 2
 x ⋅n + y 
(an ) = 

 z ⋅n + t 
dizisi için,
 n+2 
(an ) = 

 2n − 9 
1.
Paydanın kökü
−t
> 1 ise, dizi monoton değildir.
z
2.
Paydanın kökü
−t
< 1 ise, dizi monotondur.
z
a) xt – yz > 0 ise dizi monoton artandır.
A) Monoton artandır.
b) xt – yz < 0 ise dizi monoton azalandır.
B) Monoton azalandır.
3.
xt – yz = 0 ise dizi sabit dizidir.
C) Monoton azalmayandır.
4.
−t
= 1 ise ifade dizi belirtmez.
z
D) Monoton artmayandır.
204
LYS MATEMATİK
dizisinin monotonluk durumu için aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
E) Monoton değildir.
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Diziler
TEST - 1
5.
(an) = (1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + ... + n ⋅ (n + 1)⋅ (n + 2))
dizisine göre a3 kaçtır?
A) 94
1.
an =
E) 60
13 + 23 + 33 + ... + n3
1 + 2 + 3 + ... + n
B) 55
C) 45
D) 36
E) 28
6.
xn = (–1)n olmak üzere,
 x + x 2 + ... + xn 
(an ) =  1

 1 + 2 + 3 + ... + n 
dizisinin kaç terimi negatiftir?
A) 7
B) 6
C) 5
olduğuna göre, a3 kaçtır?
A) −
 n2 − 6n 
(an ) = 

 n+2 
2.
D) 4
 n2 − n + 6 


 n +1 
dizisinin kaç terimi tam sayıdır?
A) 5
4.
B) 4
C) 3
D) 2
8.
D)
1
3
E)
1
6
B) 4
C) 3
x ⋅ y kaçtır?
D) 2
E) 1
D) 15!
E) 16!
LYS MATEMATİK
205
n bir sayma sayısı olmak üzere,
a3 + a8 + a9 toplamı kaçtır?
D) 6
1
2
E) 1
C) 8 C)
 xn2 − 4n + 9 
(an ) = 
2 

 (2n − y ) 
A) 8
log n, n tek sayı
(an ) =  3
log2n, n çift sayı
B) 9
1
3
dizisi sabit bir dizi olduğuna göre,
şeklinde genel terimi verilen (an) dizisinde
A) 12
B) −
y ≠ 0 olmak üzere,
3.
1
6
E) 3
7.
D) 66
olan bir dizinin 7. terimi kaçtır?
A) 56
C) 84
Genel terimi,
B) 90
E) 5
a1 = 1 ve n ⋅ an+1 = an
olduğuna göre, a15 kaçtır?
A)
1
15!
B)
1
14!
C) 14!
Diziler
9.
Diziler - Seriler - Bölüm 09
13. Genel terimi,
m ve k birer tam sayıdır.
(an) = (1, m – k, 6, k – 3, ..., an, ...)
dizisi monoton artan olduğuna göre, k nin en küçük değeri için m en çok kaçtır?
A) 16
10.
B) 15
C) 14
D) 13
E) 12
olan bir dizi monoton azalan olduğuna göre, x
A) −
1
2
B) 0
C) 1
D)
3
2
E) 2
14. Aşağıda verilenlerden hangisi bir gerçek sayı dizisinin genel terimi olabilir?
dizisinin en büyük terimi kaçtır?
B) –1
3n + 1
2n − x
aşağıdakilerden hangisi olamaz?
(an) = (–n2 + 4n – 2)
A) –2
an =
C) 0
D) 2
E) 4
2n − 1
n−3
A) an =
C) c n = tan
B) bn = n − 3
nπ
2
D) dn = lnn
E) en =
1 − n2
n
11. Genel terimleri,
an = 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1)
bn =
x ⋅ n2 + an ⋅ y
3
15.
olan diziler birbirine eşit olduğuna göre, x + y
toplamı kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
an+ 2 =
3n − 1
n+2
olduğuna göre, a3n+1 dizisinin ikinci terimi kaçtır?
E) 6
A)
26
11
B) 7
C)
17
11
D) 2
E)
16
11
12. Sabit dizi olmayan,
(an) = (k ⋅ n + m)
(bn) = (kn+m)
16. Genel terimi,
dizileri veriliyor.
(an) dizisinin ilk terimi (bn) dizisinin ikinci terimin-
den m fazla olduğuna göre, m kaçtır?
A) –2
1. E
206
2. C
B) –1
3. C
LYS MATEMATİK
C) 1
4. D
D) 2
5. B
6. A
8. B
9. B
32n −1
(n + 2)!
olan bir dizinin altıncı terimi, beşinci teriminin
kaç katıdır?
A)
E) 3
7. D
an =
10
9
10. D
B)
11. D
9
8
12. B
C)
8
7
13. E
D)
14. D
8
9
15. D
E)
9
10
16. B
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Aritmetik - Geometrik Dizi
Çözüm
TANIM
Ardışık her iki terimi arasındaki farkı eşit olan diziye arit-
an+1 = 3(n + 1) + 2 = 3n + 5
metik dizi denir.
(an) = (a1, a2, a3, ..., an, ...)
a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... = an+1– an = d
olacak şekilde bir d gerçek sayısı varsa (an) dizisine arit-
an = 3n + 2
an+1 – an= 3n + 5 – 3n – 2 = 3
olduğundan (an) ortak farkı 3 olan bir aritmetik dizidir.
metik dizi, d sayısına da dizinin ortak farkı denir.
Doğru Seçenek D
(an) = (2, 4, 6, ..., 2n, ...)
dizisi bir aritmetik dizidir. Çünkü her ardışık terim arasındaki fark 2 dir. Sakın fark –2 demeyelim. Yukarıdaki
tanımdan da anlaşıldığı üzere herhangi bir terimden kendinden bir önce gelen terimi çıkarıyoruz.
(3n + 4) = (7, 10, 13, ..., 3n + 4, ...)
dizisi de bir aritmetik dizi olup ortak farkı 3 tür.
an+1 – an = d ⇒ 3(n + 1) + 4– (3n + 4)
3n + 7 − 3n − 4 = 3 = d
dir.
(an) = (n2 + 2n)
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) (an), ortak farkı 5 olan aritmetik dizidir.
B) (an), ortak farkı 2 olan aritmetik dizidir.
C) (an), sabit dizidir.
D) (an), monoton artandır.
Yine,
(5 – 2n) = (3, 1, –1, ..., 5 – 2n, ....)
E) (an), ortak farkı 3 olan aritmetik dizidir.
dizisi de bir aritmetik dizi olup ortak farkı –2 dir.
Yani, a, b ∈ R olmak üzere, an = an + b biçimindeki diziler
aritmetik dizidir.
DNA 13
Hazine 3
İlk terimi a1 ve ortak farkı d olan bir (an) aritmetik dizisinde,
a1 = a1
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru-
a2 = a1 + d
dur?
a3 = a1 + 2d
A) (an), ortak farkı 2 olan aritmetik dizidir.
a4 = a1 + 3d
B) (an), aritmetik dizi değildir.
C) (an), sabit dizidir.
D) (an), ortak farkı 3 olan aritmetik dizidir.
olur.
(an) = (3n + 2)
E) (an), monoton azalandır.
⋅⋅⋅
an = a1 + (n – 1)d
a20 = a4 + 16d gibi.
LYS MATEMATİK
207
Aritmetik - Geometrik Dizi
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Çözüm
DNA 14
İlk terimi 2 ve ortak farkı 3 olan bir aritmetik dizinin
a5 = 28 ve d = 5 verilmiş.
genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3n + 1
B) 3n
D) 3n – 2
a5 = a1 + 4d
C) 3n – 1
E) 3n – 4
⇒
28 = a1 + 20
⇒
a1 = 8
dir.
Ayrıca;
Çözüm
a1 = 2 ve d = 3 verilmiş.
ax = 98
⇒ ax = a1 + (x – 1) ⋅ d
⇒ 98 = 8 + (x – 1) ⋅ 5
⇒ x = 19
bulunur.
an = a1 + (n – 1) ⋅ d
Doğru Seçenek C
⇒
an = 2 + (n – 1) ⋅ 3
⇒
an = 3n – 1
bulunur.
İlk terimi 6, son terimi 60 ve ortak farkı 9 olan sonlu bir
Doğru Seçenek C
aritmetik dizinin terim sayısı kaçtır?
A) 11
B) 9
A) 4n + 1
B) 4n – 1
D) 1 – 4n
D) 7
–3 ile 30 arasına bu sayılarla birlikte aritmetik dizi
C) 4n
oluşturacak şekilde 10 terim yerleştirilirse baştan
yedinci terim kaç olur?
E) 3 – 4n
A) 21
B) 18
C) 15
D) 12
Çözüm
DNA 15
–3 ...................................... 30
↓
a1
Beşinci terimi 28, ortak farkı 5 olan bir aritmetik
dizinin kaçıncı terimi 98 dir?
A) 23
208
B) 21
LYS MATEMATİK
C) 19
D) 17
E) 5
DNA 16
İlk terimi –3 ve ortak farkı –4 olan bir aritmetik dizinin
genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?
C) 8
E) 15
10 tane terim
a1 = –3 ve a12 = 30
dur.
↓
a12
E) 10
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Aritmetik - Geometrik Dizi
⇒ a12 = a1 + 11d
⇒ 30 = –3 + 11d
⇒ 33 = 11d
⇒ d = 3 ve a7 = a1 + 6d
DNA 17
⇒ a7 = –3 + 18 = 15
a12 + a16
oranı
a14
(an) bir aritmetik dizi olmak üzere,
kaçtır?
bulunur.
A) 4
B) 2
C) 1
D)
1
2
E)
1
4
Doğru Seçenek C
Çözüm
IŞIK 4’ten,
a12 + a16 = 2a14 tür.
12 ile 76 arasına bu sayılarla birlikte aritmetik dizi oluşturacak biçimde 15 terim daha yerleştiriliyor.
Buradan,
Bu dizinin baştan 8. terimi kaç olur?
A) 64
B) 52
C) 48
D) 40
a12 + a16 2a14
=
=2
a14
a14
E) 32
dir.
Doğru Seçenek B
Işık 4
Aritmetik bir dizide herhangi bir terim kendisine eşit
uzaklıkta bulunan terimlerin aritmetik ortasıdır.
(an) = ( 2, 5, 8, 11, ..., 3n – 1, ...)
↓ ↓ ↓
a1 a2 a3
↓
a4
↓
an
olsun.
(an) bir aritmetik dizi olmak üzere,
a16 + a17 + a18 + a19 + a20 = 235
olduğuna göre, a18 kaçtır?
A) 52
a2 =
a1 + a3
⇒ 2a2 = a1 + a3
2
a3 =
a2 + a 4
⇒ 2a3 = a2 + a4
2
olduğu görülüyor.
B) 49
D) 47
C) 48
E) 45
Hazine 4
Ayrıca,
a1 + a4 = a2 + a3
1+4
2+3
= 5
= 5
(an) = (a1, a2, a3, ..., an, ...)
aritmetik dizisinin ilk n terim toplamına Sn diyelim.
Sn =
tür.
Buradan çıkan sonuç da; sonlu bir aritmetik dizide,
baştan ve sondan eşit uzaklıktaki herhangi iki terimin
toplamının birbirine eşit olduğudur.
⇒ Sn =
İlk terim + Son terim
2
⋅ Terim sayısı
a1 + an
⋅n
2
dir.
LYS MATEMATİK
209
Aritmetik - Geometrik Dizi
Diziler - Seriler - Bölüm 09
DNA 18
DNA 19
5, 12, ..., 82 dizisi ilk terimi 5 olan sonlu bir aritmetik
Bir aritmetik dizide; Snilk n terim toplamı olsun.
dizidir.
Sn = (n2 –n)
Bu dizinin terimlerinin toplamı kaçtır?
A) 622
B) 612
C) 522
D) 512
olduğuna göre, bu dizinin 15. terimi kaçtır?
E) 482
A) 44
B) 40
C) 36
D) 32
E) 28
Çözüm
a1 = 5 ve d = 7 dir.
Çözüm
5, 12, 19, ..., 82 dizisinde,
Terim Sayısı =
⇒ T.S =
Son terim – İlk terim
Artış miktarı
S15 = a1 + a2 + a3 + ... + a15
+1
S14 = a1 + a2 + a3 + ... + a14
82 − 5
+ 1 = 12
7
S15 –S14 = a15
dir. Dizinin 12 terim toplamı;
S12
bulunur.
a +a
= 1 12 ⋅ 12
2
=
5 + 82
⋅ 12 = 87 ⋅ 6
2
= 522
bulunur.
Doğru Seçenek C
S15 = 152 – 15 = 210 ve
S14 = 142 – 14 = 182
⇒ a15 = 210 – 182 = 28
dir.
Doğru Seçenek E
Birinci terimi 7, ikinci terimi 11 olan bir aritmetik dizinin ilk 15 teriminin toplamı kaçtır?
A) 545
C) 525
B) 535
D) 515
E) 505
Not
Bir aritmetik dizide; Sn ilk n terim toplamı olsun.
Bir aritmetik dizide ilk n terim toplamı Sn olmak üzere,
Sn – Sn–1 = an
Sn = (n2 + 2n + 1)
olduğuna göre, bu dizinin 9. terimi kaçtır?
A) 64
dir.
210
LYS MATEMATİK
B) 48
C) 36
D) 32
E) 19
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Aritmetik - Geometrik Dizi
DNA 20
TANIM
an bir dizi olmak üzere, her n ∈ N+ için,
Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı,
Sn =
an+1
=r
an
4n2 + 5n
2
dir.
olacak biçimde sıfırdan farklı bir r sayısı varsa (an) dizisine
Bu dizinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 9n −
9
2
B) 9n +
D) 4n +
1
2
1
2
C) 4n −
E) 9n −
geometrik dizi, r sayısına da bu dizinin ortak çarpanı
denir.
1
2
1
2
Hazine 5
Bir (an) geometrik dizisinde, her n ∈ N+ için an+1 = an ⋅ r
olduğundan,
4n2 + 5n 4(n − 1)2 + 5(n − 1)
an = Sn − Sn−1 =
−
2
2
=
4n2 + 5n − 4n2 + 8n − 4 − 5n + 5
2
a1 = a1
a2 = a1 ⋅ r
a3 = a1 ⋅ r2
⋅⋅⋅
Çözüm
an = a1 ⋅ r n–1
dir.
8n + 1
=
2
= 4n +
a12 = a4 ⋅ r8 gibi.
1
2
DNA 21
bulunur.
Doğru Seçenek D
(an) = (3 ⋅ 4n+1)
geometrik dizisinin ortak çarpanı kaçtır?
A)
1
4
B)
1
2
C) 1
D) 2
E) 4
Çözüm
Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı,
Sn = n2 – 3n
an+1
= r olacağından,
an
an+1 3 ⋅ 4n+ 2
4n ⋅ 16
=
=
=4
n
+
1
an
3 ⋅4
4n ⋅ 4
olduğuna göre, bu dizinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4n – 2
bulunur.
B) 4n + 2
D) n – 2
C) 2n – 4
Doğru Seçenek E
E) n + 2
LYS MATEMATİK
211
Aritmetik - Geometrik Dizi
Diziler - Seriler - Bölüm 09
DNA 23
Aşağıdakilerden hangisi ortak çarpanı 5 olan bir geo-
a ile b arasına geometrik dizi oluşturacak şekilde x
metrik dizinin genel terimidir?
A) 5 ⋅ 2n
D) 4 ⋅ 5n+1
tane terim yerleştiriliyor.
B) 5 ⋅ 3n–1
C) 5 ⋅ 4n + 1
Buna göre, bu dizinin ortak çarpanı aşağıdakiler-
E) n + 5
den hangisidir?
A)
x
b
a
B)
D)
x+1
x+1
b
a
a b
C)
E)
x+2
x+2
b
a
a
b
Çözüm
DNA 22
a ...................................... b
Beşinci terimi 64 ve ortak çarpanı 2 olan geometrik
dizinin ilk terimi kaçtır?
A) 8
B) 8
C) 4
1
D) 4
1
E)
8
x tane terim
a1 = a
ax+2 = b olur.
ax+2 = a1 ⋅ rx+1
Çözüm
⇒
b = a ⋅ rx+1
⇒
b
= r x +1
a
⇒
r = x +1
a5 = 64, r = 2 verilip a1 sorulmuş.
a5 = a1 ⋅ r4
⇒
b
a
olur.
64 = a1 ⋅ 16
Doğru Seçenek B
a1 = 4 bulunur.
Doğru Seçenek C
1
arasına monoton azalan bir geometrik dizi oluştu2
racak şekilde 3 terim yerleştiriliyor.
4 ile
Buna göre, bu dizinin üçüncü terimi kaçtır?
İlk terimi 4 ve ortak çarpanı 3 olan geometrik dizinin
ikinci terimi kaçtır?
A) 64
212
B) 16
LYS MATEMATİK
C) 12
D) 8
E) 6
A) 2 2 B)
2
D)
2 2
C) 1
E) 4 2
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Aritmetik - Geometrik Dizi
x + y = 2 xy ⇒ x + 2 = 4 x
Işık 5
⇒ 3x = 2 ⇒ x =
Geometrik dizide herhangi bir terim kendine eşit uzak-
2
3
2
x
1
3
⇒ =
=
y
2
3
lıkta bulunan terimlerin geometrik ortalamasıdır.
(an) = ( 2, 4, 8, 16, ..., 2n, ...)
a1 a2 a3 a4
bulunur.
dizisini ele alalım.
a1 ⋅ a3 = a2 ⋅ a2 = a22
1+3
Doğru Seçenek E
2+2
a1 ⋅ a4 = a2 ⋅ a3 dir.
1+4
2+3
Işık 6
m – 1, 7, n + 1 ilk üç terimi verilen bu dizi hem aritmetik hem de geometrik bir dizi belirttiğine göre, m – n
kaçtır?
x, y, z üç terimden oluşan sonlu bir dizi hem aritmetik
hem de geometrik bir dizi ise x = y = z dir.
A) –1
B) 0
D) 2
C) 1
E) 3
DNA 25
DNA 24
y ve z pozitif iki sayıdır. 1, y, z, 15 sayılarından ilk üçü
x + y, 2xy, xy2 üç terimden oluşan sonlu dizi hem
bir geometrik dizinin, son üçü de bir aritmetik dizinin
aritmetik hem de geometrik bir dizi olduğuna göre,
x
oranı kaçtır?
y
7
5
1
C) 3
D) E)
A) 4
B) 3
2
2
ardışık üç terimidir.
Buna göre, y + z toplamı kaçtır?
A) 18
B) 15
C) 12
1
dir.
y
z
15
x + y = 2xy = xy2
dir.
E) 7
Çözüm
Çözüm
D) 9
geometrik aritmetrik
2 x y = xy2 ⇒ y = 2
dizi
dizi
⇒ y2 = z ve y + 15 = 2z
LYS MATEMATİK
213
Aritmetik - Geometrik Dizi
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Buradan,
DNA 26
y + 15 = 2y2 ⇒ 2y2 – y – 15 = 0
2y 5
y
–3
⇒ y = 3 ve z = 9 olup,
y + z = 12
Genel terimi an = 2n–1 olan bir geometrik dizinin ilk
15 teriminin toplamı kaçtır?
A) 215
B) 215 – 1
D) 214 – 1
C) –215
E) 216 – 1
dir.
Doğru Seçenek C
Terimleri aynı olmayan bir aritmetik dizinin sırayla ikinci,
Çözüm
birinci ve üçüncü terimleri yan yana yazılırsa bir geometrik
dizi meydana gelmektedir.
Buna göre, bu geometrik dizinin ortak çarpanı kaçtır?
A) –2
C) −
B) –1
1
2
D)
1
2
a1 = 1 ve r =
an+1
2n
= n−1 = 2
an
2
E) 2
S15 = a1 ⋅
bulunur.
S15 = 1⋅
1 − r15
1− r
1 − 215
= 215 − 1
1− 2
Doğru Seçenek B
Işık 7
(an), ortak çarpanı r olan bir geometrik dizi olsun.
Bu dizinin ilk n teriminin toplamı Sn olsun.
a1 = a1
a2 = a1 ⋅ r
a3 = a1 ⋅ r
⋅
⋅
⋅
an = a1 ⋅ rn–1
⇒ Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
= a1(1 + r + r2 + ... + rn–1)
⇒ Sn = a1 ⋅
dir.
214
1 − rn
1− r
Genel terimi an = 2n olan bir geometrik dizinin ilk 10
teriminin toplamı kaçtır?
A) 29 – 1
LYS MATEMATİK
B) 2 ⋅ (29 – 1)
D) 2 ⋅ (210 – 1)
E) 210
C) 210 – 1
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Aritmetik - Geometrik Dizi
5.
TEST - 2
Altıncı terimi 8a4 ve üçüncü terimi a olan bir geometrik dizinin ilk terimi aşağıdakilerden hangisidir?
1.
A) 8a
C)
(an) bir aritmetik dizidir.
B) 4a
1
2a
D)
1
4a
E)
1
8a
a14 = 18 ve a6 = 34
olduğuna göre, a21 kaçtır?
A) 24
B) 20
C) 16
D) 8
E) 4
6.
İlk terimi 4, ortak farkı 3 ve son terimi 76 olan
sonlu bir aritmetik dizinin terim sayısı kaçtır?
2.
Genel terimi 2n – 3 olan bir aritmetik dizinin ilk 15
A) 27
B) 25
C) 24
D) 23
E) 22
teriminin toplamı kaçtır?
A) 215
3.
C) 195
D) 185
E) 170
7.
Pozitif terimli bir geometrik dizide,
B) 205
a9 ⋅ a10 ⋅ a14 ⋅ a15 = k
13
163
ile
arasına bunlarla aritmetik dizi oluş3
3
turacak biçimde 24 tane terim yerleştirilirse baştan 3. terim kaç olur?
olduğuna göre, a12 aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A)
A) k4
D)
B) k2
4
k C)
E)
4.
(an) = (18, 21, 24, ...)
(bn) = (19, 21, 23, ...)
12
k
25
3
B)
8.
D)
61
3
E)
79
3
Bir geometrik dizide ilk 6 terim toplamının ilk 3
eşittir? (an dizinin genel terimidir.)
Bu dizilerin ilk sekiz ortak teriminin toplamı kaç-
A)
a3
a1
tır?
C) 192
55
3
terim toplamına oranı aşağıdakilerden hangisine
birer aritmetik dizidir.
B) 188
C)
k
A) 184
37
3
D) 224
E) 336
D) 1 +
B) 1 +
a4
a1
a3
a1
E) 1 +
C)
a4
a1
a2
a4
LYS MATEMATİK
215
Aritmetik - Geometrik Dizi
9.
13. y,
(an) bir aritmetik dizi ve
Diziler - Seriler - Bölüm 09
y, 2 x, x de bir geometrik dizinin ardışık üç teri-
a8 – a2 = 36
mi olduğuna göre, geometrik dizinin ortak çarpa-
olduğuna göre, a10 – a6 kaçtır?
A) 18
B) 20
C) 22
nı aşağıdakilerden hangisidir?
D) 24
E) 28
b4
=4
b2
C) 2 2 2
E) 4 2
D) 4
Beşgenin çevresi 80 cm olduğuna göre, beşgenin kenar uzunluklarının oluşturduğu dizinin ortak farkı kaçtır?
olduğuna göre, b5 kaçtır?
A) 8
B)
lukları bir aritmetik dizi oluşturmaktadır.
3b3 + 26 = b7
A) 1
14. En kısa kenarı 2 cm olan bir beşgenin kenar uzun-
10. (bn) geometrik dizisinde,
6, x bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi ve
B) 2
C) –2
A) 11
D) –4
B) 9
C) 7
D) 5
E) 3
E) –8
15. Bir
kitabevine her ay bir önceki ayın x katı kadar
müşteri gelmektedir.
11. Pozitif terimli
bir geometrik dizinin ilk dört teri-
diğine göre, mağazaya n. ayda gelen müşteri sa-
minin toplamının, ilk iki terim toplamına oranı 10
yısını veren dizinin genel terimi aşağıdakilerden
olduğuna göre, r kaçtır?
3
A) 2
B) 2
Bu mağazaya açıldığı ilk ayda a tane müşteri gel-
hangisidir?
5
C) 2
D) 3
E) 4
12. Terimleri pozitif sayılar olan bir geometrik dizide
A) a ⋅ x
eksik olduğuna göre, bu dizinin 1. terimi kaçtır?
1. E
216
2. C
B) 9
3. D
LYS MATEMATİK
C) 1
4. E
5. D
6. B
1
E)
9
7. A
8. D
E)
a ⋅ xn−1
x −1
metik dizisinde,
cü terim bu iki terimin aritmetik ortalamasından 2
A) 27
D) a ⋅ xn–1
C) a ⋅ xn
16. İlk n terim toplamı, Sn = 3n2 + n olan bir (an) arit-
üçüncü terim x – 2, beşinci terim x + 6 ve dördün-
1
D) 3
B) (a ⋅ x)n
ap + ak = 38
olduğuna göre, p + k kaçtır?
A) 13
9. D
10. A
B) 8
11. D
C) 7
12. E
13. B
D) 1
14. C
15. D
E) 0
16. C
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Seriler
TANIM
∞
∑a
n=1
n
k
∞
k =1
serisine geometrik seri denir.
2
∑  5 
(an) dizisi geometrik dizi ise
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
Hazine 6
1
3
B)
2
3
C)
3
4
3
2
D)
E)
4
3
an bir geometrik dizi olmak üzere,
Eğer |r| < 1 ise,
∞
∑a ⋅ r
n =1
1
n −1
=
a1
1− r
DNA 28
dir.
∞
∑
2n + 4n
5n
n =1
işleminin sonucu kaçtır?
DNA 27
∞
∑3
n =1
A)
1
1
3
D)
B)
4
3
11
3
C)
E)
7
3
14
3
n +1
toplamının sonucu kaçtır?
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
6
E)
1
9
Çözüm
∞
∑
Çözüm
1
32
+
1
33
+
n =1
n
n
2  4
  +  =
5 n
2
1
34
+ ...
a1 =
1
32
ve r =
∑
n =1
n
∞
n
2
4
  +
 
5
5
n =1
∑
2
2 2
4 4
⇒   +   + ... +   +   + ...
5 5
5 5
1
3
1
1
2
a1
1 3 1
3
9
⇒
=
=
= ⋅ =
1
2
1− r
9 2 6
1−
3
3
3
∞
2
4
2
4
2
14
5
5
5
5
⇒
+
⇒
+
= +4=
2
4
3
1
3
3
1−
1−
5
5
5
5
bulunur.
olur.
Doğru Seçenek E
Doğru Seçenek D
LYS MATEMATİK
217
Seriler
Diziler - Seriler - Bölüm 09
∞
k
4
k =0
serisinin değeri kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1
4
A)
1 1 1 1
1
1
− + −
+
−
+ ...
3 4 9 16 27 64
3k − 2k
∑
B)
1
2
C) 2
D) 4
E) 6
A)
1
21
B)
2
21
C)
1
7
D)
4
21
E)
1
6
DNA 30
DNA 29
2−
Bir top 36 m yükseklikten bırakılıyor. Top yere çarp2
tıktan sonra bırakıldığı yüksekliğin
ü kadar yükse3
liyor.
2 2
2
+
−
+ ...
5 5 2 53
Buna göre, top duruncaya kadar kaç metre yol
serisinin değeri kaçtır?
5
A) − 3
D)
4
B) − 3
5
3
4
C)
3
E)
10
3
alır?
A) 80
B) 100
D) 144
C) 120
E) 180
Çözüm
Çözüm
��
��
��
��
��
a1 = 2
r=
2
5 =−1
2
5
−
36 + 24 + 24 + 16 + 16 + ...
a1
2
2
10 5
⇒
=
=
=
=
6
1− r 1+ 1
6 3
5
5
tür.
Doğru Seçenek D
= 36 + 2(24 + 16 + ...)
= 36 + 2 ⋅
r=
16 2
=
24 3
24
2
1−
3
= 36 + 144 = 180 m
Doğru Seçenek E
218
LYS MATEMATİK
Diziler - Seriler - Bölüm 09
Seriler
Çözüm
Bir top 72 m yükseklikten bırakılıyor. Top yere çarptıktan
1
sonra bırakıldığı yüksekliğin
ü kadar yükseliyor.
3
��
�
Buna göre, top duruncaya kadar kaç metre yol alır?
A) 144
B) 180
��
� ��
��
� ��
��
��
�
�
��
�
� ��
��
E) 216
D) 208
��
��
�
�
C) 196
�
��
��
�
��
�
3(4 + 2 + 1 + ...)
3⋅
4
1
1−
2
= 3⋅
4
1
2
= 3 ⋅ 8 = 24 cm
Doğru Seçenek D
DNA 31
Dik kenarı 4 cm olan
Çevresi 12 cm olan
bir
eşkenar
ikizkenar bir dik üçge-
üçge-
nin dik kenarlarının orta
nin kenarlarının orta
noktaları
noktaları
birleştiri-
birleştirilerek
yeni bir dik üçgen elde
lerek yeni üçgenler
ediliyor.
oluşturuluyor.
�
�
Bu işlem sonsuza kadar yapıldığında tüm üçgenleBu işlem sonsuza kadar yapıldığında bütün üçgenle-
rin çevreleri toplamı kaç cm olur?
A) 36 3 B) 36
D) 24
C) 24 3
E) 12 3
rin alanları toplamı kaç cm2 olur?
A)
5
3
B)
8
3
C)
16
3
D)
32
3
LYS MATEMATİK
E)
64
3
219
Seriler
Diziler - Seriler - Bölüm 09
TEST - 3
∞
∑
1.
n =−1
∞
n
3
 
4
 1
k 

∑  9
4.
k =1
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
1
4
B)
C)
1
8
D)
3
8
E)
7
8
D)
5
6
E)
2
3
geometrik serisinin değeri kaçtır?
A) 6
B) 5
C)
16
3
D)
14
3
E) 4
∞
∑3
5.
n−2
∞
∑
n =1
işleminin sonucu kaçtır?
A) −
1
9
B)
6
5
C) 1
( −1)k −1
2.
k =1
⋅ 51−n
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
3k
B) −
1
3
C)
1
2
D)
1
3
E)
1
4
6.
12 cm uzunluğundaki bir fidan dikildikten sonra her
1
yıl dikildiği andaki boyunun
i kadar uzamaktadır.
5
Bu ağacın boyu en fazla kaç cm olabilir?
A) 14
3.
B) 15
C) 18
D) 24
E) 36
D) 4
E) 5
D) 6
E) 9
�
∞
�
�
3 −k
∑
7.
1
2
2k +1
k =m
1
60
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 1
Şekildeki eşkenar üçgenlerin kenarlarının orta nok-
=
B) 2
C) 3
taları birleştirilerek yeni eşkenar üçgenler oluşturulmuştur. Bu işlem sayılamayan çoklukta tekrarlanmaktadır.
|AB| = 2 birim olduğuna göre, üçgenlerin alanları
toplamı kaç birim karedir?
A)
3
3
B)
3 D) 2 3 E)
1. C
220
LYS MATEMATİK
C)
4. C
5. D
 1
 
3 2 
n =3
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
3. C
n−2
∏
8.
4 3
3
5 3
3
2. E
∞
3
6. B
B) 3
7. B
C) 3 3 8. B
FONKSİYON - BÖLÜM 10
PARÇALI FONKSİYONLAR
Çözüm
TANIM
A ve B boş kümeden farklı iki küme olsun. A kümesinin
her elemanını, B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına
eşleyen f bağıntısına, A dan B ye bir fonksiyon denir.
A dan B ye bir f fonksiyonu f: A → B şeklinde gösterilir.
y eksenine çizilen paralel doğrular II ve III grafiğini yalnız
bir noktada kestiğinden fonksiyondur.
Burada A kümesine, f fonksiyonunun tanım kümesi, B
Doğru Seçenek D
kümesine de f fonksiyonunun değer kümesi denir. A kümesinin elemanlarının f fonksiyonuyla eşlenmiş olduğu
kümeye de görüntü kümesi denir. Görüntü kümesi f(A)
ile gösterilir.
x ∈ A ve y ∈ B olmak üzere, f fonksiyonu x elemanını y elemanına eşliyorsa, bu durum kısaca y = f(x) ile gösterilir.
Işık 1
Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için grafiğin tanımlı olduğu noktalardan y
eksenine paralel doğrular çizilir. y eksenine çizilen her
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c}
olmak üzere; A → B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi ya da hangileri bir fonksiyondur?
paralel doğru grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa ba-
I.
b1 = {(1, a), (2, a), (3, b), (3, c)}
ğıntı fonksiyondur. Aksi halde fonksiyon değildir.
II.
b2 = {(1, a), (2, b), (3, b)}
III. b3 = {(1, a), (2,a), (3, c)}
DNA 1
A) Yalnız I
Aşağıda verilen bağıntılardan hangisi ya da hangi-
C) II ve III
B) I ve II
D) I ve III
E) I, II ve III
leri bir fonksiyondur?
DNA 2
f: [–1, 2) → R ve f(x) = 2x + 1
olduğuna göre, f fonksiyonunun görüntü kümeA) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
sindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
A) 9
B) 8
C) 6
D) 4
LYS MATEMATİK
E) 3
221
Parçalı Fonksiyonlar
Fonksiyon - Bölüm 10
Çözüm
f(x) = 2x +1
⇒
f ( −1) = −1
 1
f −  = 0
 2
Bire bir fonksiyon
Bire bir olmayan fonksiyon
a ≠ b olmasına rağmen
f (0 ) = 1
f(a) = f(b) = 2 dir.
 1
f  = 2
2
TANIM
f (1) = 3
3
f  = 4
2
f: A → B iken f(A) = B ise f örtendir. Yani değer kümesinde açıkta eleman kalmıyorsa fonksiyon örtendir. Veya;
olup toplamları 9 olur.
f(A) → B iken ∀ y ∈ B için y = f(x) olacak biçimde $ x ∈ A
Doğru Seçenek A
var ise f örtendir. Örten olmayan fonksiyonlara ise içine
fonksiyon denir.
DNA 3
A = {x: x = 2n, n ∈ Z} olarak verilmiştir.
f: A → B fonksiyonu için f ( x ) =
Aşağıdaki yargılardan hangisi yanlıştır?
x
+1
2
A) f: R → R, f(x) = 3x + 5 bire birdir.
olduğuna göre, f(A) görüntü kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
B) g: R → R, g(x) = x2 + 1 bire bir değildir.
A) 2 ile tam bölünen tam sayılar kümesi
C) h: R → R, h(x) = 2x – 5 örtendir.
B) 2 nin katı olan doğal sayılar kümesi
D) m: Z → Z, m(x) = 2x – 1 örtendir.
C) Doğal sayılar kümesi
E) k: R → R, k(x) = x2 – 1 içinedir.
D) Tam sayılar kümesi
E) Rasyonel sayılar kümesi
Çözüm
TANIM
Her x1, x2 ∈ A için;
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) veya f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
A şıkkında,
f(x1) = f(x2)⇒x1 = x2 olduğunu gösterelim.
f(x1) = f(x2)⇒3x1 + 5 = 3x2 + 5
⇒3x1 = 3x2
⇒x1 = x2 olduğundan
f bire birdir.
B şıkkında,
g(x) = x2 + 1
Başka bir deyişle A tanım kümesinin farklı elemanlarının
1 ≠ – 1 ilken g(–1) = g(1) = 2 olduğundan
görüntüleri daima farklı ise fonksiyon bire birdir.
g bire bir değildir.
şartını sağlayan fonksiyonlara bire bir fonksiyon denir.
222
LYS MATEMATİK
Fonksiyon - Bölüm 10
Parçalı Fonksiyonlar
y+5
2
C şıkkında,
h(x) = y = 2x – 5 ⇒ x =
y+5
∀ y ∈ R için x =
∈ R olduğundan
2
h örtendir.
D şıkkında,
m(x) = y = 2x – 1 ⇒ x =
y +1
2
y +1
∀ y ∈ Z için x =
∉ Z olduğundan
2
m örten değildir.
Buradan; y = f(x) ise f–1(y) = x olur.
y = f(x) fonksiyonun tersi alınırken;
i)
ii) x yerine y, y yerine x yazılır.
iii) y = f–1(x) yazılıp fonksiyonun tersi bulunur.
x yalnız bırakılır
Doğru Seçenek D
DNA 4
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi bire bir ve içinedir?
A) f: R → R, f(x) = x B) f: N → N, f(x) = x + 2
C) f: R → R, f(x) = x + 1
D) f: N → N, f(x) = x
2
E) f: R → R, f(x) = 3x
f ( x) =
3 − 5x
2
fonksiyonun tersi aşağıdakilerden hangisidir?
2x − 3
A) f −1( x ) =
5
2x − 5
B) f −1( x ) =
3
5 − 2x
C) f −1( x ) =
3
3 − 2x
D) f −1( x ) =
5
5x − 2
E) f −1( x ) =
3
Not
Bir fonksiyonun bire bir olması için gerek ve yeter şart, x
eksenine paralel çizilecek doğrulardan hiçbirinin fonksiyo-
Çözüm
nun grafiğini birden fazla noktada kesmemesidir.
y=
Örten olması için değer kümesinden x eksenine paralel
çizilecek her doğrunun, fonksiyonun grafiğini en az bir
noktada kesmesidir.
TANIM
f: A → B, y = f(x) ise
f–1: B → A, x = f(y) kuralı ile tanımlanmış fonksiyona f nin
ters fonksiyonu denir. Bir fonksiyonun tersinin olması
3 − 5x
⇒ 2y = 3 − 5 x ⇒ 5 x = 3 − 2y
2
⇒ x=
3 − 2y
2
⇒ y=
3 − 2x
5
⇒ f −1( x ) =
3 − 2x
5
olur.
Doğru Seçenek D
için bire bir ve örten olması gerekli ve yeterlidir.
LYS MATEMATİK
223
Parçalı Fonksiyonlar
f (x) =
Fonksiyon - Bölüm 10
2x − 7
3
x ≥ 4 olmak üzere;
fonksiyonunun tersi hangisidir?
3x + 7
A) f −1( x ) =
2
3x − 2
B) f −1( x ) =
7
3x − 7
C) f −1( x ) =
2
7x − 2
D) f −1( x ) =
3
7x − 3
E) f ( x ) =
2
−1
f(x) = x2 – 8x + 19
olduğuna göre, f–1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) f −1( x ) = − x − 3 + 4 B) f −1( x ) = x − 3 + 4
C) f −1( x ) = x − 4 + 3 D) f −1( x ) = − x − 4 + 3
E) f −1( x ) = x − 3 − 4
Işık 2
DNA 5
f bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f: [–1, ∞) → [2, ∞)
f(a) = b ⇔ x = f–1(b) = a
f(x) = x2 + 2x + 3
dır.
olduğuna göre, f–1 aşağıdakilerden hangisidir?
A) f −1( x ) = − x − 2 − 1 B) f −1( x ) = − x − 2 + 1
C) f −1( x ) = x − 2 − 1 D) f −1( x ) = x − 2 + 1
DNA 6
E) f −1( x ) = − x − 2 + 1
f(x) = 2x + 1 – 13
olduğuna göre, f–1(3) aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
A) 5
f(x) = x2 + 2x + 3
⇒
y = (x + 1)2 + 2
⇒
⇒
y − 2 = ( x + 1)
x +1= y − 2
⇒
x = y − 2 −1
⇒
y = x − 2 −1
⇒
f −1( x ) = x − 2 − 1
Doğru Seçenek C
LYS MATEMATİK
D) 2
E) 1
f–1(3) = a ⇒ f(a) = 3
⇒
dir.
224
C) 3
Çözüm
2
x ≥ −1
B) 4
⇒ 2a+1 – 13 = 3
⇒ 2a+1 = 16 = 24
⇒ a + 1 = 4
⇒ a = 3
Doğru Seçenek C
Fonksiyon - Bölüm 10
Parçalı Fonksiyonlar
x=
f: (3, ∞) → R
olduğuna göre, f–1(2) kaçtır?
f(x) = log2 (x – 3)
olduğuna göre, f–1(3) aşağıdakilerden hangisidir?
B) 11
A) 12
3f ( x ) + 1
f ( x) − 1
C) 10
D) 7
A) –2
B) 2
C) 4
D) 5
E) 7
E) 5
TANIM
ax + b
−dx + b
f ( x) =
⇔ f −1( x ) =
cx + d
cx − a
A ⊂ R ve f: A → R fonksiyonu verilsin.
i)
∀ x1, x2 ∈ B ⊂ A için x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) oluyorsa,
f fonksiyonuna B aralığında artan fonksiyon denir.
DNA 7
f: R – {2} → R – {–1}
f ( x) =
ax − 3
x −b
fonksiyonu veriliyor.
f(x) fonksiyon bire bir ve örten olduğuna göre,
a + b kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
x2 > x1 iken f(x2) > f(x1) olduğundan f artandır.
ii) ∀ x1, x2 ∈ B ⊂ A için x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) oluyorsa, f
fonksiyonuna B aralığında azalan fonksiyon denir.
Çözüm
f:R – {2} → R – {–1} olduğundan 2 fonksiyonu –1 de tersini
tanımsız yapıyormuş.
x2 > x1 ⇒ f(x1) > f(x2) olduğundan f azalandır.
Dolayısıyla 2 – b = 0 ⇒ b = 2
f (x) =
ax − 3
2x − 3
⇒ f −1( x ) =
x−2
x−a
iii) ∀ x1, x2 ∈ B ⊂ A için x1 < x2 iken f(x1) ≤ f(x2) oluyorsa,
f fonksiyonuna B aralığında azalmayan fonksiyon
– 1 – a = 0 ⇒ a = – 1 dir.
denir.
a + b = 1 olur.
Doğru Seçenek D
iv) ∀ x1, x2 ∈ B ⊂ A için x1 < x2 iken f(x1) ≥ f(x2) oluyorsa,
f fonksiyonuna, B aralığında artmayan fonksiyon
denir.
LYS MATEMATİK
225
Parçalı Fonksiyonlar
Fonksiyon - Bölüm 10
DNA 8
Aşağıdaki verilen yargılardan hangisi ya da hangileri doğrudur?
1
azalandır.
x
I.
f : R+ → R, f ( x ) =
II.
f : (0, ∞) → R, f(x) = –x2 artandır.
B) Yalnız III
D) I ve III
doğrudur?
I.
f:R → R+, f(x) = ex artan fonksiyondur.
II.
f: R → R, f(x) = – 1 sabit fonksiyondur.
III. f: R– → R, f(x) = x2 artan fonksiyondur.
III. f : R → R, f(x) = x3 artandır.
A) Yalnız I
Aşağıda verilen yargılardan hangisi ya da hangileri
C) I ve II
E) I, II ve III
A) Yalnız I
B) Yalnız III
D) II ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
Çözüm
TANIM
I.
x1 < x2 iken f(x1) > f(x2)
1
olduğundan
f ( x) =
x
azalandır. 
a ∈ R+ ve f: [–a, a] → R fonksiyonunda ∀ x ∈ [–a, a] için;
i) f(–x) = – f(x) ise f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.
Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
ii) f(–x) = f(x) ise f fonksiyonuna çift fonksiyon denir.
Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.
II.
x1 < x2 iken f(x1) > f(x2)
olduğundan f(x) = –x2
azalandır. 
DNA 9
Aşağıda verilen fonksiyonların tek ya da çift olup
olmadıklarını gösteriniz.
FONKSİYON
III.
f: R → R
x1 < x2 iken f(x1) < f(x2)
f(x) = x3 – x
olduğundan f(x) = x3
f: R → R
artandır. 
f(x) = 5x4 + 10
f: R → [–1, 1]
f(x) = x ⋅ sinx
Doğru Seçenek D
226
LYS MATEMATİK
f: R → R
f(x) = x2 + x
TEK Mi – ÇİFT Mİ?
Fonksiyon - Bölüm 10
Parçalı Fonksiyonlar
Çözüm
DNA 10
FONKSİYON
TEK Mi – ÇİFT Mİ?
f: R → R
f(x) = x3 – x ⇒ f(–x) = –x3+ x = – (x3 – x)
f(x) = x3 – x
= –f(x) olduğundan f tek fonksiyondur.
f: R → R
f(x) = 5x4 + 10
f: R → [–1, 1]
f(x) = x ⋅ sinx
f: R → R
f(x) = x2 + x
f(x) = (a – 1)x3 + x2 + (b – 2)x + c + 5
fonksiyonu çift fonksiyondur.
a+b+c=–1
f(x) = 5x4 + 10 ⇒ f(–x) = 5(–x)4 + 10
olduğuna göre, f(–2) kaçtır?
= 5x4 + 10 = f(x) olduğundan f çift
A) –5
B) –4
C) 3
D) 4
E) 5
fonksiyondur.
f(x) = x ⋅ sinx ⇒ f(–x) = (–x) ⋅ sin(–x)
= –x ⋅ –sinx = x ⋅ sinx = f(x)
olduğundan f çift fonksiyondur.
f(x) = x2 + x ⇒ f(–x) = (–x)2 – x = x2 – x
Çözüm
≠ f(x) ≠ –f(x) olduğundan f ne tek ne
de çift fonksiyondur.
f(x) fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan;
f(–x) = f(x) olmalıdır.
f(x) = (a – 1)x3 + x2 + (b – 2)x + c + 5
123
123
0
0
a = 1 ve b = 2 olmalıdır.
a + b + c = – 1 ⇒ 3 + c = – 1 ⇒ c = – 4 olur.
f(x) = x2 + 1 olur. f(–2) = 5 tir.
Doğru Seçenek E
Aşağıda verilen fonksiyonların tek ya da çift olup olmadıklarını gösteriniz.
FONKSİYON
TEK Mi – ÇİFT Mİ?
f: R → [–1, 1]
f(x) = cosx
f: R → R
f(x) = x4 + x2 + 1
f(x) = 2 ⋅f(–x) + x3 – x
f: R → [–1, 1]
f(x) = sin(2x) – x
eşitliğini sağlayan f(x) fonksiyonu tek fonksiyon oldu-
f: R → R
ğuna göre, f(2) kaçtır?
f(x) = |x| – 3
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
LYS MATEMATİK
E) 2
227
Parçalı Fonksiyonlar
Fonksiyon - Bölüm 10
Ayrıca x2 – 3x + 2 ≠ 0
Hazine 1
⇒ (x – 1)(x – 2) ≠ 0
Bir fonksiyonun en geniş tanım kümesi
Gerçek değişkenli ve gerçek değerli bir y = f(x) fonk-
⇒ x ≠ 1 ve x ≠ 2 olmalıdır.
siyonun da ∀ x ∈ A için f(x) ∈ R koşulunu sağlayan
Dolayısıyla f(x) in en geniş tanım kümesi [–2, 2) – {1} olur.
en geniş A kümesine f fonksiyonun en geniş tanım
Doğru Seçenek C
kümesi denir.
i) Polinom fonksiyonlarında ∀ x ∈ A için f(x) ∈ R dir.
ii) Rasyonel fonksiyonlarda;
P( x )
f ( x) =
A = R – {x | Q(x) = 0, x ∈ R}
Q( x )
iii)İrrasyonel fonksiyonlarda;
n ∈ N+ için
f ( x ) = 2n +1 g( x ) fonksiyonu her yerde tanımlıdır.
f (x) =
f ( x ) = 2n g( x ) fonksiyonunun tanımlı olması için
g(x) ≥ 0 olmalıdır.
36 − x 2
x −1
fonksiyonunun tanım aralığındaki pozitif tam sayıların
toplamı kaçtır?
A) 21
B) 20
C) 18
D) 1
E) 0
iv)Logaritma fonksiyonlarında;
logf(x)g(x) fonksiyonunun tanımlı olması için
f(x) ≠ 1, f(x) > 0 ∧ g(x) > 0 olmalıdır.
Işık 3
DNA 11
f (x) =
y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilip;
4 − x2
1)
x2 − 3x + 2
fonksiyonun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [–2, 2]
B) [–2, 2)
D) R – (–2, 1]
C) [–2, 2) – {1}
E) R
göre simetriği alınır.
2)
3)
simetriği alınır.
5)
(2 – x) ⋅ (2 + x) ≥ 0
–
228
LYS MATEMATİK
r > 0 olmak üzere y = f(x – r) (veya y = f(x + r))
fonksiyonun grafiği istenirse y = f(x) in grafiği r
2
+
k > 0 olmak üzere y = f(x) + k (veya y = f(x) – k)
kadar yukarı (veya aşağı) kaydırılır.
6)
–2
y = f–1(x)’in grafiği istenirse y = f(x) in y = x doğru-
fonksiyonunun grafiği istenirse y = f(x) in grafiği k
4 − x 2 nin tanımlı olması için;
y = –f(–x)’in grafiği istenirse y = f(x) in orijine göre
suna göre, simetriği alınır.
Çözüm
4 – x2 ≥ 0
y = f(–x)’in grafiği istenirse y = f(x) in y eksenine
göre simetriği alınır.
4)
y = –f(x)’in grafiği istenirse y = f(x) in x eksenine
–
Tanım aralığı [–2, 2] olur.
kadar sağa (veya sola) kaydırılır.
Fonksiyon - Bölüm 10
Parçalı Fonksiyonlar
DNA 12
Şekilde y = f(x) fonksiyonuŞekilde y = f(x) fonksiyo-
nun grafiği verilmiştir.
nunun grafiği verilmiştir.
Buna göre y = –f(x + 1)
Buna göre,
fonksiyonunun grafiği aşa-
g(x) = 1 – f(–x)’in
ğıdakilerden hangisidir?
grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
Çözüm
y = f(x) in grafiği verilip y = –f(x) in grafiği sorulduğundan
TANIM
önce orijine göre, simetriğini alalım.
(PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR)
Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan bir fonksiyona parçalı tanımlı fonksiyon denir.
Bir f(x) parçalı fonksiyonuna alt aralıkların uç noktaları
x = a ve x = b olsun. (a < b)
1442443
k(x), x ≤ a
f(x) = l(x), a < x < b
Doğru Seçenek E
m(x), x ≥ b
şeklinde yazılır.
LYS MATEMATİK
229
Parçalı Fonksiyonlar
Fonksiyon - Bölüm 10
Buradan x = a ve x = b noktalarına parçalı fonksiyonun
Çözüm
kritik noktaları, k, l ve m fonksiyonlarına da parçalı fonksiyonun dalları denir. Parçalı fonksiyonlarda bir elemanın
görüntüsü bulunurken, bu eleman tanım kümesinin hangi
alt aralığına düşüyorsa bu aralıktaki dalda yerine yazılır.
Buradan;
x > 2 ise
123
x – 1,
p @ 3, 14 ⇒ f(p) = 3
f(–1, 2) = – 2 ve f(1) = 1 dir.
DNA 13
f(x) =
e @ 2, 71 ⇒ f(e) = 2
f ( e ) + f ( π)
2+3
=
= −5
f ( −1, 2) + f (1) −2 + 1
3x – 1, x ≤ 2 ise
şeklinde tanımlanan f fonksiyonu için (fof) (3) kaçtır?
A) 13
B) 8
C) 5
D) 3
bulunur.
Doğru Seçenek B
E) 1
Çözüm
(fof) (3) = f(f(3)) = f(2) = 5 olarak bulunur.
(x > 2 ⇒ f(3) = 3 – 1 = 2)
(x ≤ 2 ⇒ f(2) = 3 ⋅ 2 – 1 = 5)
Doğru Seçenek C
14243
x=0
–1, x < 0
Buna göre, f(x – 5) = – 1 ve f(x + 2) = 1 eşitliklerini sağ-
3x – 1, x tek ise
f(x) = 0,
şeklinde bir f fonksiyonu tanımlanıyor.
x çift ise
123
x + 1,
x>0
Tam sayılar kümesinde bir f fonksiyonu
f(x) =
1,
layan kaç değişik x tam sayısı vardır?
şeklinde tanımlanıyor.
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
Buna göre, (fof) (3) kaçtır?
A) 11
B) 10
C) 9
D) 8
E) 5
DNA 14
x,
123
f(x) =
x∈Z
TANIM (MUTLAK DEĞER)
x ten küçük en büyük tamsayı, x ∉ Z
x in mutlak değeri |x| ile gösterilir.
biçiminde bir f fonksiyonu tanımlanıyor.
Buna göre,
f(e) + f(π)
oranı kaçtır?
f(−1,2) + f(1)
A) –6
B) –5
230
LYS MATEMATİK
C) 2
D) 5
 x,
|x|= 
− x,
E) 6
dır.
x≥0
x<0
E) 4
Fonksiyon - Bölüm 10
Parçalı Fonksiyonlar
DNA 15
0<x<
DNA 16
1
için;
2
f(x) = |x – |x – 1|| – x
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 1 – x
B) 1 – 2x
D) 2x + 1
|2a – b|
ifadesinin en küçük değeri alması durumunda
a +b
kaç olur?
a−b
A) –3
B) –2
C) 1
D) 2
E) 3
C) 1 – 3x
E) x + 1
Çözüm
Çözüm
f(x) = |x – |x – 1|| – x (x – 1 < 0)
= |x – (1 – x)| – x
= |2x – 1| – x (2x – 1 < 0)
= 1 – 2x – x
= 1 – 3x
|2a – b| ifadesinin en küçük değeri alması için
2a – b = 0 ⇒ 2a = b olur.
⇒
a + b a + 2a 3a
=
=
= −3 tür.
a − b a − 2a −a
Doğru Seçenek A
Doğru Seçenek C
a < b < 0 olmak üzere;
|b + |a + b|| – |a| + |b|
A) –a
B) –b
D) – a – b
x 2 − 4 x + 4 + | y − 3 |= 0
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) a + b
E) –2a + b
denklemini sağlayan x ve y değeri için, x ⋅ y kaçtır?
A) –6
B) –4
C) 2
D) 4
E) 6
Hazine 2
Mutlak değerin özellikleri
1) |x| = |–x| ≥ 0
2)
Hazine 3
|x – y| = |y – x|
3) |a ⋅ b| = |a| ⋅ |b|
4)
a |a|
=
(b ≠ 0)
b |b|
5)
|an| = |a|n (n ∈ N+)
6) |f(x)| + |g(x)| = 0 ⇔ (f(x) = 0 ∧ g(x) = 0)
Mutlak Değerli Denklemler
i)
a ∈ R– olmak üzere; |f(x)| = a ⇒ Ç.K = ∅
ii)
|f(x)| = 0 ⇒ f(x) = 0
iii)
a ∈ R+ olmak üzere;
|f(x)| = a ⇒ f(x) = a ∨ f(x) = –a dır.
LYS MATEMATİK
231
Parçalı Fonksiyonlar
Fonksiyon - Bölüm 10
DNA 17
DNA 18
||x – 2| + 3| = 4
denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
||x – 1| – 6| < 3
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
E) 2
A) 6
C) 9
D) 10
E) 11
Çözüm
Çözüm
||x – 2| + 3| = 4 ⇒ |x – 2| + 3 = 4 ∨ |x – 2| + 3 = – 4
⇒ |x – 2| = 1 ∨ |x – 2| = – 7
14243
||x – 1| – 6| < 3
⇒ –3 < |x – 1| – 6 < 3
⇒ 3 < |x – 1| < 9
Ç.K = ∅’dir.
B) 7
⇒ x – 2 = 1 ∨ x – 2 = – 1
⇒ 3 < x – 1 < 9 veya 3 < 1 – x < 9
⇒ x = 3 ∨ x = 1
⇒ 4 < x < 10 veya 2 < – x < 8
x1 + x2 = 3 + 1 = 4
Doğru Seçenek C
–8 < x < – 2
Bu koşulu sağlayan tam sayılar;
5, 6, 7, 8, 9, –7, –6, –5, –4, –3 olup 10 tanedir.
Doğru Seçenek D
|2x – 6| = 2010
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
A) 6
B) 4
C) 3
D) 2
E) 0
5 < |2x + 1| < 11
eşitliğinin çözüm kümesindeki tam sayıların toplamı
kaçtır?
A) –5
B) –4
C) –3
D) –2
E) 0
TANIM
Işık 4
a, b ∈ R+ olmak üzere
i)
|f(x)| < a ⇔ –a < f(x) < a
ii)
|f(x)| > a ⇔ f(x) > a veya f(x) < – a
iii) a < |f(x)| < b ⇔ a < f(x) < b veya a < –f(x) < b olur.
A ⊂ R ve B ⊂ R+ ∪ {0} olsun.
|f|: A → B olmak üzere;
−f ( x ),
f 2 ( x ) =| f ( x ) | = 
f ( x ),
f ( x ) < 0 ise
f ( x ) ≥ 0 ise
şeklinde tanımlanan |f| fonksiyonuna mutlak değer fonksiyonu denir. Ayrıca f(x) = 0 denkleminin gerçek köklerine
kritik noktalar denir. Mutlak değer fonksiyonunun grafikleri kritik noktalarda kırılma yada kıvrılma yapar.
232
LYS MATEMATİK
Fonksiyon - Bölüm 10
Parçalı Fonksiyonlar
Çözüm
Hazine 4
y = |f(x)| fonksiyonunun grafiği çizilirkken.
i)
y = f(x) fonksiyonun grafiği çizilir.
ii)
|f(x)| ≥ 0 olduğundan grafiğin x ekseninin altında
kalan kısmının x eksenine göre simetriği alınır.
iii) Grafiğin x ekseninin üstünde kalan kısmı aynen
Doğru Seçenek D
alınır.
DNA 19
f(x) = |x – 2| – 1
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y = ||x| – 3|
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
LYS MATEMATİK
233
Parçalı Fonksiyonlar
Fonksiyon - Bölüm 10
DNA 20
x = |y – 3|
x = |2y + 4|
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
DNA 21
f(x) = x ⋅ |x + 1|
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
x = y – 3 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
y ekseninin sol tarafında kalan
parçanın y eksenine göre simetriğini alalım.
Doğru Seçenek D
234
LYS MATEMATİK
Fonksiyon - Bölüm 10
Parçalı Fonksiyonlar
Çözüm
DNA 22
f(x) = x ⋅ |x + 1| x+1=0
x = – 1 kritik noktadır.
x > – 1 ise f(x) = x ⋅ (x + 1) = x2 + x
x = – 1 ise
f(x) = 0
x < –1
f(x) = x ⋅ (x – 1) = –x2 – x
ise
|x + y| = 3
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru Seçenek B
y = |x| ⋅ x – 9
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
|x + y| = 3 ⇒ x + y = 3 veya x + y = –3 olur.
olmalıdır.
Doğru Seçenek E
LYS MATEMATİK
235
Parçalı Fonksiyonlar
Fonksiyon - Bölüm 10
Çözüm
|x – y| = 2
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y = f(x) fonksiyonu ile y = |x| fonksiyonunun kesim noktaları kadar kökü vardır. Şekilden de anlaşıldığı gibi 4 kökü
vardır.
Doğru Seçenek B
DNA 23
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
A) 5
236
B) 4
LYS MATEMATİK
Buna göre, f(x) = |x|
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
denkleminin kaç kökü
Buna göre, g(x) = |f(x)| – 2 ile tanımlı g fonksiyonunun gra-
vardır?
fiği x eksenini kaç noktada keser?
C) 3
D) 2
E) 1
(Teğet olma durumu dahil)
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Fonksiyon - Bölüm 10
Parçalı Fonksiyonlar
TEST - 1
4.
1.
fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik ise
| x |,
f (x) = 
| x − 3 |,
x>3
x≤3
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
f(x) = (a + 2) ⋅ x3 + (a – 1)x2 – 3x + 4 – b
a + b kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
1
| x | −x
2.
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıda-
f ( x) =
kilerden hangisidir?
A) R+
B) R
C) Z
D) Z–
E) R–
3.
f: R → R
 x 2 − 9,
f ( x) = 
3 − x,
x≤3
x>3
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
5.
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
x = |2y – 4|
LYS MATEMATİK
237
Parçalı Fonksiyonlar
Fonksiyon - Bölüm 10
6.
Şekilde verilen grafik
9.
aşağıdaki fonksiyon-
bağıntısını sağlayan düzlemsel taralı bölge aşa-
lardan hangisine ait
ğıdakilerden hangisidir?
olabilir?
|x −3|
3
A) y =
C) y = |x – 3| – |x|
y ≤ |x|
B) y = |x| + |x – 3|
D) y = x ⋅ |x – 3|
E) y = |x| – |x – 3|
7.
f (x) = x + 3 x
fonksiyonunun gerçek sayılardaki en geniş tanım kümesi T ve görüntü kümesi G= {f(x) | x ∈ T} olduğuna göre,
T ∩ G kesişim kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [0, ∞)
B) (–∞, 0]
D) [1, ∞)
C) R
E) [–1, 1]
8.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, y = |f–1(x)|
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
10. f(x) = |x – 2| + |x|
fonksiyonu aşağıdaki aralıkların hangisinde artandır?
A) (–∞, 2)
D) (2, ∞)
11. 1.A
238
2.E
LYS MATEMATİK
3.E
4.A
5.D
6.C
C) (–∞, 0)
E) R
|x – 1| + |x – 4| = 3
eşitliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı vardır?
A) 7
B) (0, 2)
7.C
B) 6
C) 5
8.B
9.B
D) 4
E) 3
10.D
11.D
LİMİT VE SÜREKLİLİK - BÖLÜM 11
LİMİT
Hazine 1
TANIM
L1, L2 ∈ R olmak üzere,
f: R → R ya da f: R – {a} → R ye
lim f ( x ) = L1 ve lim f ( x ) = L2 için,
−
y = f(x)
x → a+
şeklinde tanımlı f fonksiyonunda; x değerleri a dan küçük
lim f ( x ) = lim f ( x )
x → a+
değerlerle artarak (soldan) a ya yaklaşırken f(x) değerleri
de bir L1 gerçek sayısına yaklaşıyorsa, L1 gerçek sayısına
f fonksiyonunun a noktasındaki soldan limiti denir ve
x →a
( L1 = L2 = L )
x →a−
⇒ lim f(x) = L dir.
x →a
L1 ≠ L2 ise lim f ( x ) yoktur.
lim f ( x ) = L1
x →a
x → a−
ile gösterilir.
Yani bir fonksiyonun limitinin olması için; fonksiyonun o
�
noktadaki sağdan ve soldan limitleri birbirine eşit olma-
��
lıdır. Fonksiyonun o noktada tanımlı olup olmaması ve
limit değerinin, görüntü değerine eşit olup olmaması limitin varlığını etkilemez. Bu durumları süreklilik konusunda
�
�
�
göreceğiz.
Uyarı
Grafiği dikkatle incelersek; x ler a ya soldan yaklaşırken
görüntüler L1 e yaklaşıyor. İşte bunun anlamı;
lim f ( x ) = L1 dir .
Yanda verilen grafikte
�
x →a −
�
x değerleri a dan büyük değerlerle azalarak (sağdan) a ya
f(a) tanımsızdır. Fakat bu durum limitin
��
yaklaşırken f(x) ler bir L2 gerçek sayısına yaklaşıyorsa L2
varlığını etkilemez.
gerçek sayısına f fonksiyonunun a noktasındaki sağdan limiti denir ve
�
�
lim f ( x ) = L2
x → a+
lim f ( x ) = L1 ve lim f ( x ) = L2
x →a +
şeklinde gösterilir.
�
x →a −
L1 = L2 = L ⇒ lim f ( x ) = L dir .
x →a
f(a) nın tanımlı ve L den farklı olması halinde yine durum değişmez.
��
�
�
�
Bu grafikte de x lerin a ya sağdan yaklaşırken görüntülerin
f(a) tanımlı olup,
�
�
��
L1 ≠ L2
��
olduğundan,
��
L2 ye yaklaştığı görülüyor.
Bu da matematiksel olarak,
lim f ( x ) = L2
x → a+
lim f ( x )
�
�
x →a
yoktur.
şeklinde gösterilir.
LYS MATEMATİK
239
Limit
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
DNA 1
�
�
�
�
�
�
�
��
��
�
��
�
�
�
�
�
�
I. lim f ( x ) = 3
II. lim f ( x ) = 1
III. lim f ( x ) = 2
IV. lim f ( x ) = 0
Şekilde f: R → R
y = f(x)
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
x →4
Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
x →3−
+
x →1
A) 0
��
��
x → 2+
�
� �
��
�
Aşağıda verilen ifadelerden kaç tanesi doğrudur?
�
��
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Çözüm
I. lim f ( x ) = 4
II. lim f ( x ) = −3
III. lim f ( x ) = 3
IV. lim f ( x ) = −2
V. lim f ( x ) = 0
x → 2+
x →1−
x →−2+
x →0
x →−3+
�
A) 1
B) 2
D) 4
C) 3
E) 5
�
�
��
�
DNA 2
�
�
�
�
�
�
�
�
I. lim f ( x ) = 3 tür. 
�
x → 2+
�
�
II. lim f ( x ) = lim f ( x ) = 1 olduğundan, lim f ( x ) = 1 dir. 
x →4
−
x →4
+
x →4
�
III. lim f ( x ) = 2 dir. 
x →3
−
��
�
�
�
�
IV. lim f ( x ) ≠ 0
x →1+
��
olduğundan I, II ve III doğrudur.
f fonksiyonunun [–3, 4] aralığında kaç tam sayı deDoğru Seçenek D
ğeri için limiti vardır?
A) 3
240
LYS MATEMATİK
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Limit
Çözüm
Hazine 2
�
f ve g, x = a da limitleri olan iki fonksiyonun olsun.
�
1. lim [ f ( x )  g( x )] = lim f ( x )  lim g( x )
x →a
�
�
x →a
x →a
2. lim [ f ( x ) ⋅ g( x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g( x )
x →a
�
��
�
�
�
�
x →a
x →a
lim f ( x )
f ( x ) x →a
=
x → a g( x )
lim g( x )
3. g( x ) ≠ 0 ve lim g( x ) ≠ 0 ise lim
x →a
��
4. lim | f ( x )| = | lim f ( x )|
x →a
lim f ( x ) = lim f ( x ) ⇒ lim f ( x ) vardır.
x → 4+
x →3
x →3−
lim n f ( x ) = n lim f ( x ) dir .
x →a
x →a
7. lim f ( x ) = lim g( x ) = b ve f ( x ) ≤ h( x ) ≤ g( x ) ise,
x →2
x → 2−
lim f ( x ) = lim f ( x ) = 4 ⇒ lim f ( x ) vardır.
x →0+
x →a
x →0
x →0−
x →a
6. n tek ya da çift bir doğal sayı ve f(x) ≥ 0 ise
lim f ( x ) = lim f ( x ) = 3 ⇒ lim f ( x ) vardır.
x → 2+
lim f ( x ) = c dir .
lim f ( x ) = lim f ( x ) = L ⇒ lim f ( x ) vardır.
x →3+
x →a
5. c bir sabit ve f(x) = c ise
x →4
x → 4−
x →a
x →a
lim h( x ) = b
x →a
lim f ( x ) = lim f ( x ) = L ⇒ lim f ( x ) vardır.
x →−1+
x →−1
x →−1−
dir.
lim f ( x ) = lim f ( x ) = 1 ⇒ lim f ( x ) vardır.
x →−2+
x →−2
x →−2−
Doğru Seçenek C
8. f(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0
polinom fonksiyonu için,
lim f ( x ) = f ( a )
x →a
dır.
DNA 3
�
�
a bir gerçek sayı olmak üzere, R den R ye tanımlı f
��
�
ve g fonksiyonları için,
�
��
�
lim ( f ( x ) + g( x )) = 3
�
�
�
x →a
�
lim ( f ( x ) − g( x )) = 2
x →a
olduğuna göre, lim (f(x) ⋅ g(x)) limitinin sonucu
f fonksiyonunun [–3, 4] aralığında limitinin olduğu kaç
tam sayı değeri vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
x →a
kaçtır?
A)
3
4
B)
4
5
C)
5
4
D)
9
4
LYS MATEMATİK
E)
5
2
241
Limit
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Çözüm
Hazine 3
lim f ( x ) = A ve lim g( x ) = B
x →a
g( x ), x < a
f(x) = 
h( x ), x ≥ a
x →b
olsun.
lim ( f ( x ) + g( x )) = 3 ⇒ lim f ( x ) + lim g( x ) = 3
x →a
x →a
x →a
fonksiyonu verilsin.
i) x = a noktasında yani kritik noktalarda limit sorulursa; soldan ve sağdan limit incelenir.
⇒A+B=3
lim f ( x ) = lim g( x ) = L1
x → a−
dür.
lim f ( x ) = lim h( x ) = L2
lim ( f ( x ) − g( x )) = 2 ⇒ lim f ( x ) − lim g( x ) = 2
x →a
x →a
x → a+
x →a
⇒A–B=2
dir.
x → a−
x →a+
olsun. (L1 = L2 = L olmak üzere)
L1 = L2 ⇒ f fonksiyonunun x = a noktasında limiti
vardır ve L dir.
A+ B =3
A− B =2
L1 ≠ L2 ⇒ f fonksiyonunun x = a noktasında limiti
yoktur.
⇒ 2A = 5
ii) Kritik nokta dışında limit sorulursa fonksiyonun o
5
1
⇒A=
ve B =
2
2
noktayı ilgilendiren aralığında işlem yapılır.
5
lim ( f ( x ) ⋅ g( x )) = lim f ( x ) ⋅ lim g( x ) = A ⋅ B =
x →a
x →a
x →a
4
tür.
x1 < a için lim f ( x ) = lim g( x )
x2 > a için lim f ( x ) = lim h( x )
x → x1
x → x1
x → x2
x → x2
olur.
Doğru Seçenek C
DNA 4
4 x − 1 , x > 2

f(x) =  7
, x=2
2 x + 1 , x < 2

fonksiyonu veriliyor.
x →2
lim [ 3 f ( x ) − 2 g( x )] = 5
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
lim [ f ( x ) + 3 g( x )] = 9
A) lim+ f ( x ) = 7 B) lim f ( x ) = 7 C) lim f ( x ) = 11 D) lim f ( x ) = 1
olduğuna göre, lim [f(x) ⋅ g(x)] limitinin değeri kaçtır?
x →2
A) 16
242
B) 12
LYS MATEMATİK
x →2
x →2
x →2
x →3
C) 9
D) 8
E) 6
x →0
E) lim− f ( x ) = 5
x →2
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Limit
Çözüm
DNA 5
lim f ( x ) ifadesinde x > 2 iken
• A seçeneğinde
f: R → R,
x → 2+
f(x) = 4x – 1 olduğu için,
x → 2+
 2 x + m, x < 3

f(x) = 
4, x = 3
 nx + 1, x > 3

lim ( 4 x − 1) = 7
fonksiyonunun x = 3 noktasında limiti olduğuna
olur.
göre, 3n – m kaçtır?
• B seçeneğinde lim f ( x ) = 7 olması için,
x →2
olmalıdır.
A) 6
lim f ( x ) = lim f ( x )
x → 2+
lim f ( x ) = 7
x → 2+
olduğunu biraz önce bulmuştuk.
−
D) 3
E) 2
x →2
−
tir. Dolayısıyla sağ - sol limitler eşit olmadığından,
lim f ( x ) ≠ 7
x →2
C) 4
Çözüm
lim f ( x ) = lim ( 2 x + 1) = 5
x →2
B) 5
x → 2−
f fonksiyonunun x = 3 noktasında limiti varsa;
dir. O halde B seçeneği yanlıştır.
lim f ( x ) = lim f ( x )
x →3−
x →3+
• C seçeneğinde x = 3 kritik nokta olmadığından,
lim f ( x ) = lim ( 4 x − 1) = 11
x →3
x →3
olmalıdır.
lim ( 2 x + m ) = lim ( nx + 1)
olur.
• D seçeneğinde x = 0 kritik nokta olmadığından,
lim f ( x ) = lim ( 2 x + 1) = 1
x →0
x →0
olur.
• E seçeneğinin doğru olduğunu B de zaten görmüştük.
Doğru Seçenek B
x →3−
x →3+
⇒ 6 + m = 3n + 1
⇒ 3n – m = 5
tir.
Doğru Seçenek B
 x + 2, x < −3
f ( x ) = 
4, x = −3
 2
 x + x , x > −3
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A)
C)
lim f ( x ) = −1 B) lim f ( x ) = 2
lim f ( x ) = 12 D) lim f ( x ) = −3
x →−3−
x →1
x →−3+
x →−5
E) lim f ( x ) yoktur.
x →−3
3 x 2 − 1, x > 2 ise
f(x) = 
 2 x + m, x ≤ 2 ise
fonksiyonunun x = 2 noktasında limiti olduğuna göre,
m kaçtır?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
LYS MATEMATİK
E) 5
243
Limit
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Hazine 4
f: R → R, lim | f ( x ) | in bulunmasında,
x →a
i) x = a noktası kritik nokta ve f(a) = 0 ise soldan ve
sağdan limit incelenir.
lim
x →1
| x − 1|
+ 2x
1− x
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
ii) x = a noktası kritik nokta değilse;
B) 0
D) 3
lim | f ( x ) | =| f ( a ) |
C) 1
E) Yoktur
x →a
dır.
DNA 6
TANIM
| x − 3|

lim 
+ 3 − x

x →3−  x − 3
Gerçek sayılar kümesine ∞ ve –∞ ifadelerini katarak elde
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –3
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
edilen kümeye genişletilmiş gerçek sayılar kümesi denir.
Genişletilmiş gerçek sayılar kümesi;
Çözüm
R ∪ {–∞, ∞}
şeklinde gösterilebilir.
x → 3– için x < 3 yani x – 3 < 0 dır.
Her a ∈ R için,
Buna göre,
∞+∞=a+∞=∞+a=∞
|x – 3| = 3 – x
(–∞) + (–∞) = a + (–∞) = (–∞) + a = –∞
olur.
 3−x

| x − 3|

lim 
+ 3 − x  = lim 
+ 3 − x 
 x → 3−  x − 3
x →3−  x − 3

= lim ( −1 + 3 − x ) = lim ( − x + 2 ) = −1
x →3−
∞ ⋅ ∞ = (–∞) ⋅ (–∞) = ∞
∞ ⋅ (–∞) = (–∞) ⋅ ∞ = –∞
a < 0 için a ⋅ ∞ = –∞
a > 0 için a ⋅ ∞ = ∞
x →3−
bulunur.
Doğru Seçenek B
işlemleri tanımlı fakat ∞ – ∞ ya da 0 ⋅ ∞ işlemleri belirsizdir.
244
LYS MATEMATİK
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Limit
Hazine 5
Uyarı
a bir gerçek sayı olmak üzere,
•
∞ ve –∞ gerçek sayı değildir.
a
=0
∞
• a > 0 için
lim f ( x ) = ∞
x →a
a
=∞
0
ve a < 0 için
a
= −∞
0
ifadesi limitin var olduğu anlamına gelmez. Bu ifade
x, a ya yaklaşırken f(x) değerlerinin sınırsız olarak bü-
  1 ∞

• |a| < 1 için a∞ = 0    = 0 
 3 

yüdüğünü söyler. Buna göre,
lim f ( x ) = ∞
x →a
  7 ∞

a > 1 için a∞ = ∞    = ∞ 
 2 

−∞
• a > 0 için a =
ifadesi için “limit vardır” demek yanlış olur. Benzer durum,
1
lim f ( x ) = −∞
a∞
x →a
ifadesi için de geçerlidir. Dolayısıyla; yukarıda belirtilen; y =
lim
Limitin ∞ ya da –∞ Bulunması Durumu
fonksiyonunu inceleyelim.
x →0
1
f(x) =
x
�
1
fonksiyonu için,
x
−
olduğundan, lim
x →0
1
1
= −∞ ve lim = +∞
+ x
x
x →0
1
yoktur denir.
x
��
��
�
�
�
DNA 7
�
lim
x →3−
2
x−3
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
��
A) –∞
B) –1
C) 0
D) 1
E) ∞
x sıfıra soldan yaklaşırken, fonksiyonun aldığı değerler
sınırsız olarak küçülmekte yani eksi sonsuza gitmektedir.
Çözüm
Bu durum;
lim
x →0−
1
= −∞
x
x → 3– için x < 3, yani x – 3 < 0 dır.
ile gösterilir.
Buna göre, x → 3– iken x – 3 → 0– olur.
Benzer olarak x sıfıra sağdan yaklaşırken fonksiyonun
O halde,
aldığı değerler sınırsız olarak büyümekte, yani sonsuza
lim
x →3−
gitmektedir. Bu durum da,
lim
x →0+
1
=∞
x
2
5
=
= −∞
x − 3 0−
bulunur.
Doğru Seçenek A
ile gösterilir.
LYS MATEMATİK
245
Limit
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
DNA 9
2x + 1
x −1
lim
−
x →1
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) ∞
B) 1
C) 0
lim
x →0−
D) –1
E) –∞
(3
B) –1
lim
x → e−
x →0−
x
1− ln x
B) 1
C) 0
D) 1
E) ∞
(3
1
x
+ 7x
)
 1

 3 0− = 3−∞ = 1 = 1 = 0 


3∞ ∞


= lim ( 0 + 1) = 1
x →0−
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –∞
)
Çözüm
DNA 8
+ 7x
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –∞
lim
1
x
C) e
D) e2
E) ∞
bulunur.
Doğru Seçenek D
Çözüm
x → e– için,
lnx < lne = 1 Yani 0 < 1 – lnx
5
lim 3 2− x
+
x →2
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Buradan, x → e– için,
1 – lnx → 0+
A) ∞
dır.
lim
x → e−
B)
1
3
C) 0
D) 3
E) –∞
x
e
=
=∞
1 − l n x 0+
olur.
Doğru Seçenek E
Işık 1
Trigonometrik fonksiyonların limitleri bulunurken, a
gerçek sayısı aşağıdaki fonksiyonların tanım kümesinde ise;
lim
x →0+
lim sin x = sin a, lim cos x = cos a
x+2
ln x
x →a
lim tan x = tan a, lim cot x = cot a
x →a
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –∞
246
B) 0
LYS MATEMATİK
C) 1
x →a
D) e
E) ∞
olur.
x →a
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Limit
DNA 11
DNA 10
x
+ sin x
2
lim
π
x → cos x − sin x
tan
lim
x→
2
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşit-
2
limitinin değeri kaçtır?
tir?
A) –4
C) −
B) –2
1
2
π+
A) –∞
D) 1
x
+1
2
cos x
cot
B) –1
C) 0
D) 1
E) ∞
E) 2
Çözüm
x→
π
π
için pay; cot + 1 = 2
2
4

1
Çözüm
olur.
x
π
π
tan + sin x tan + sin
2
4
2
lim
=
π
π
π
x → cos x − sin x
cos − sin
2
2
2
=
Payda ise cos
π
= 0 olduğundan, limit sonsuz ya da eksi
2
sonsuzdur.
1+ 1 2
=
= −2
0 − 1 −1
x→
π+
⇒ x , II. bölgede olduğundan cos x → 0– olur.
2
olur.
(II. bölgede cos x < 0 dır.)
Doğru Seçenek B
lim
x→
π+
2
x
+1
2
2
=
= −∞
cos x
0−
cot
olur.
Doğru Seçenek A
lim
π
x→
3
tan x − sin x
1 − cos x
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4 3 B) 2 3 3
D)
2
3
E)
4
C) 3
lim
x →π
+
cosx − 1
sinx
limitinin değeri kaçtır?
A) –∞
B) –2
C) 0
D) 1
LYS MATEMATİK
E) ∞
247
Limit
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Not
DNA 12
Buraya kadar olan kısımda fonksiyonların herhangi bir
lim
noktasındaki limitlerinin hesaplanması ile ilgili bilgiler ver-
x + 2 ax − 3 a2
limitinin değeri kaçtır?
Bu belirsizlikler,
1
4
A)
0 ∞
, , 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞
0 ∞
x →a
dik. Şimdi de limitte belirsizlik durumlarına ele alacağız.
x 2 − a2
2
belirsizlikleridir.
B)
1
2
C) 1
D) 2
E) 4
Çözüm
lim
x →a
Işık 2
x 2 − a2
2
x + 2 ax − 3 a
2
= lim
x →a
a2 − a2
2
a + 2 a2 − 3 a2
=
0
0
belirsizliği var.
0
Biçimindeki Belirsizlikler
0
lim f ( x )
f ( x ) x →a
0
lim
=
=
x → a g( x )
lim g( x ) 0
lim
x →a
( x − a) ( x + a)
( x − a ) ( x + 3a )
= lim
x →a
x+a
2a 1
=
=
x + 3a 4a 2
olur.
x →a
Doğru Seçenek B
olursa, f(x) ve g(x) fonksiyonları (x – a) çarpanına sahiptir. Yani,
f(x) = (x – a) ⋅ f1(x) ve
g(x) = (x – a) ⋅ g1(x)
tir.
lim
x →a
( x − a ) ⋅ f1 ( x )
f (x)
f(x)
= lim
= lim 1
g( x ) x →a ( x − a ) ⋅ g1 ( x ) x →a g1 ( x )
lim
x2 − 4
limitinin değeri kaçtır?
A) 3
Not
0
belirsizliğini yok etmenin çeşitli yöntemleri vardır.
0
x2 + x − 6
x →2
B)
3
4
C) 2
D)
5
4
E) 1
Uyarı
Şu ana kadar çözdüğümüz sorularda karşımıza hep
i) Çarpanlara ayırarak,
0
belirsizliği çıktı. Limitte belirsizlik sorularını çözer0
ii) Eşlenikle çarparak,
ken siz de yukarıda yaptığımız gibi soruda belirsizlik
iii) Değişken değiştirerek,
olup olmadığını mutlaka kontrol etmelisiniz. Belirsizlik
iv) Trigonometrik özdeşliklerden faydalanarak
248
LYS MATEMATİK
yoksa limit değeri görüntü değerine eşit olacaktır.
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Limit
Çözüm
DNA 13
lim
x3 − 3 x
x →3
 x 2 + mx − 4 
 1+ m − 4 
lim 
 = lim 
 ∈R
x →1  ( x − 1) ⋅ ( x + 2 ) 
x →1 
0

x2 − 2 x − 3
limitinin değeri kaçtır?
A) 3
B) 2
olacağından,
C) 1
D) 0
E) –2
Çözüm
lim
x2 − 2 x − 3
3
x − 3x
m=3
bulunur.
0
Soruda
belirsizliği var diye hemen çarpanlara ayırma0
ya kalksaydık sonucu bulamazdık. Oysa;
x →3
1+m–4=0
= lim
x →3
9−6−3
0
= lim
=0
x
→
3
27 − 9
18
0

 belirsizliği çıkmalı. 
0

Belirsizliği ortadan kaldıralım.
 ( x − 1) ⋅ ( x + 4 )  5
 x2 + 3 x − 4 
= =n
lim 
 = lim 
x →1  x 2 + x − 2 
x →1  ( x − 1) ⋅ ( x + 2 ) 

 3
bulunur.
Doğru Seçenek D
olur.
Buradan,
lim
x →1
x
e −e
m+n =3+
−x
e x −1 − e− x
5 14
=
3 3
bulunur.
limitinin değeri kaçtır?
B) e + 1
A) e – 1
D)
1
e +1
C)
Doğru Seçenek B
1
e −1
E) 0
DNA 14
m, n ∈ R,
m, n ∈ R,
 x 2 − mx − 4 
lim 
=n
x →1  x 2 + x − 2 
lim
olduğuna göre, m + n kaçtır?
A) 5
B)
14
3
C) 4
D)
10
3
E) 3
x →3
x 2 + mx + n
x2 − 9
=
2
3
olduğuna göre, m ⋅ n kaçtır?
A) –8
B) –6
C) 2
D) 6
LYS MATEMATİK
E) 8
249
Limit
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Hazine 6
DNA 15
lim
x →2
i)
x+2 −2
x3 − 8
limitinin değeri kaçtır?
1
12
A)
lim
x →0
D)
ii) lim
sin ax a
bx
b
=
ve lim
= dır.
x →0 sin ax
bx
b
a
iii) lim
tan ax a
bx
b
=
ve lim
= dır.
x →0 tan ax
bx
b
a
iv) lim
sin ax a
tan bx b
=
ve lim
= dır.
x →−0 sin ax
tan bx b
a
x →0
B)
1
24
1
48
C)
E)
1
36
x →0
1
96
x →0
Çözüm
DNA 16
x+2 −2
lim
3
x −8
x →2
→
0
0
lim
x →0
= lim
⇒ lim
x →2
⇒ lim
x →2
sin 5 x
tan 2x
limitinin değeri kaçtır?
( x + 2 − 2 )( x + 2 + 2 )
x →2
sin x
x
= 1 ve lim
= 1 dir.
x →0 sin x
x
3
( x − 8 )( x + 2 + 2 )
5
2
A)
B) 2
C)
3
2
D)
2
5
E)
1
5
x−2
2
( x − 2 ) ( x + 2 x + 4 )( x + 2 + 2 )
1
( 4 + 4 + 4 )( 4 + 2 )
= lim
x →2
Çözüm
1
1
=
48 48
lim
olur.
x →0
sin 5 x 5
=
tan 2 x 2
Doğru Seçenek D
Doğru Seçenek A
a, b ∈ R,
lim
x →2
3− a−x
=b
x−2
olduğuna göre, b kaçtır?
1
A) 2
250
1
B) 3
LYS MATEMATİK
1
C) 4
lim
x →0
tan 2x
tan 4 x
limitinin değeri kaçtır?
1
D) 6
1
E)
9
A) 4
B) 2
C) 1
D)
1
2
E)
1
4
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Limit
DNA 17
lim
x →3
DNA 18
9 − x2
sin( 3 − x )
B) –6
1 − cos 4 x
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
A) –9
x
lim
x →0+
C) 3
D) 6
A) 2 2 E) 9
2 B)
2
4
D)
2
2
C)
2
8
E)
Çözüm
Çözüm
lim
x →3
( 3 − x )( 3 + x )
9 − x2
= lim
sin( 3 − x ) x →3 sin( 3 − x )
lim
1 − (1 − 2 sin 2 x )
x →0
+
x
2 | sin 2 x |
x
= lim
x → 0+
= lim
x →0
+
2 ⋅ sin2 2 x
x
2 ⋅ sin 2 x
=
1
2 2
=
2
4
tür.
x→3⇒t→0
t →0
2
= lim
3 – x → t olsun.
x
lim
x →0+
(x + 3 = 6 – t)
Doğru Seçenek D
t ⋅ (6 − t)
=6
sin t
1
olur.
Doğru Seçenek D
lim
1 − cos 4 x
3 x2
x →0
limitinin değeri kaçtır?
B)
A) 3
8
3
C)
7
3
D) 2
E)
5
3
1
2
E)
1
4
DNA 19
lim
x →m
x− m
tan( x − m )
lim
x →1
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 m B)
D) m
m E)
C)
1
2m
1
2 m
sin πx
πx
2 ⋅ cos
2
limitinin değeri kaçtır?
A) 4
B) 2
C) 1
D)
LYS MATEMATİK
251
Limit
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Çözüm
sin πx
= lim
πx x →1
2 ⋅ cos
2
πx
πx
⋅ cos
2
2
πx
2 ⋅ cos
2
= sin
π
=1
2
πx
3
lim
x →3 x − 3
sin
limitinin değeri kaçtır?
A)
olur.
Doğru Seçenek C
lim
x →0
−π
3
B) 4
1
D) 4
C) 2
1
E)
8
lim
π
x→
2
cos x
2x − π
−1
4
B)
D)
−1
2
1
2
C) 1
E)
1
4
sin 2 x
sin 2 x
2
B)
Sorulan limitte
Verilen ifadeyi
lim
x →0
C) 1
D)
1
2
E)
2
2
+
0
belirsizliği var.
0
2x ile çarpıp bölelim.
sin 2 x
2x
⋅
2x
sin 2 x
 2x = t


+
⇒x→0 ⇒ t→0
π
=t
2
⇒ 2 x − π = 2 t ve x →
π
⇒t→0
2
π 
cos  + t 
− sin t −1
2 
lim
= lim
=
t →0
t →0
2t
2t
2
= lim
x →0
= lim
x →0
sin 2 x
2x
+
+
sin t
=1
t
⋅
2x
sin 2 x
123
1
Buradan,
lim
x →0 +
sin 2 x
sin 2 x
=1
bulunur.
Doğru Seçenek C
olur.
Doğru Seçenek B
252
1
2
E)
Çözüm
Çözüm
x−
x →0+
A) 2
limitinin değeri kaçtır?
A)
π
3
limitinin değeri kaçtır?
DNA 20
lim
C)
DNA 21
limitinin değeri kaçtır?
A) 8
3
2
D)
2x
x
x
sin ⋅ cos
4
4
− 3
2
B)




lim
x →1
2 ⋅ sin
LYS MATEMATİK
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Limit
DNA 22
tan( x − 3 )
lim
tan x − 3
x →3+
limitinin değeri kaçtır?
A) 6
C) 1
B) 3
lim
x →∞
D) 0
E)
3x + 5
4x + 7
limitinin değeri kaçtır?
1
3
A) ∞
B)
3
4
C) 0
D)
5
7
E)
7
5
Çözüm
0
5

x 3 + 
3x + 5

x = 3
lim
= lim
0 4
x →∞ 4 x + 7
x →∞
7

x 4 + 

x
Hazine 7
f(x) = anxn + an–1xn–1+ ... + a1x + a0
olur.
Doğru Seçenek B
g(x) = bmxm + am–1xm–1 + ... + b1x + b0
birer polinom olduğuna göre,
lim
x →+∞
a xn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0
f (x)
= lim n m
g( x ) x →∞ bm x + bm−1xm−1 + ... + b1x + b0
a 
a
a

xn  an + n−1 + ... + n1−1 + 0n 
x

x
x 
= lim
x →+∞ m 
b0 
bm−1
b1
x  bm +
+ ... + m−1 + m

x

x
x 
x → ±∞ için
b0
an−1
a a b
,..., n1−1 , 0n , m−1 , ... , m
x
x
x
x
x
lim
x →∞
2x 2 + 1
x −1
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
B) 2
C)
1
2
D) 0
E) –∞
ifadelerinin limitleri sıfır olacağından,
lim
x →∞
a xn
f (x)
= lim n m
g( x ) x →  ∞ bm x
olur.
i) n > m ⇒ x lim
→∞
f ( x)
ifadesi +∞ ya da –∞ değerini
g( x )
DNA 23
alır.
f ( x ) an
=
dir.
ii) n = m ⇒ x lim
→  ∞ g( x )
bm
f ( x)
= 0 dır.
iii) n < m ⇒ x lim
→  ∞ g( x )
lim
x →∞
−x2 + 3x + 2
6x2 − 4x + 1
limitinin değeri kaçtır?
A) –∞
B)
−1
6
C) –6
D)
1
6
LYS MATEMATİK
E) 6
253
Limit
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Çözüm
Çözüm
En büyük dereceli terim parantezine alalım.
0
lim
0
x →∞
3 2 

x 2  −1 + + 2 
x x  −1

lim
=
0
0 6
x →∞
4 1
2 
x 6 − + 2 
x x 

x + 2 x2 − x + 2
6x + 9x2 + x + 1
(Küçük dereceli olanları ihmal edelim.)
lim
x →∞
x + 2| x|
x + 2x
1
= lim
=
6 x + 3 | x | x →∞ 6 x + 3 x 3
Doğru Seçenek E
bulunur ya da en büyük dereceli terimleri bırakıp küçük
dereceli terimleri atarsak,
lim
x →∞
− x 2 + ...
6 x 2 − ...
=−
1
6
lim
olur.
x →∞
3x + x2 + 5x − 1
x − 9x2 + x + 2
limitinin değeri kaçtır?
Doğru Seçenek B
B) –2
A) –4
C) 0
D) 2
E) 4
DNA 25
lim
2x 2 + 3 x − 1
x3 − 1
x →∞
limitinin değeri kaçtır?
A) 0
f(x) = 3x2 – 2x – 1
2
C) 3
B) 1
3
D) 2
E) ∞
lim
olduğuna göre, x→∞
∞
f(2x + 1)
limitinin değeri kaçf(3 − x)
tır?
A) –4
B) −
4
3
C)
4
3
D) 4
E) 8
Çözüm
Küçük dereceli terimleri ihmal edeceğimizden; f(x) = 3x2
DNA 24
lim
olarak düşünebiliriz.
lim
2
x+2 x −x+2
x →∞
f (2x + 1)
3 (2x + 1)2
4 x 2 + ...
= lim
= lim 2
=4
2
x →∞ x + ...
f (3 − x ) x →∞ 3 (3 − x )
2
x →∞
6x + 9x + x + 1
limitinin değeri kaçtır?
A) 9
B) 6
254
LYS MATEMATİK
C) 3
bulunur.
D) 0
E)
1
3
Doğru Seçenek D
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
lim
(24 x − 1)3 ⋅ (3 x + 1)4
7
( 6 x − 2)
x →∞
Limit
limitinin değeri kaçtır?
A) 4
B)
4
3
 2x 2 + x + 6

lim 
+ ( a − 3 )x + b  = 6
2
x →∞  4 − 2x

olduğuna göre, a + b kaçtır?
C)
3
4
1
2
D)
E)
1
4
B) 10
A) 11
(n − 2)x3 + (m + 1)x 2 + x − 1
mx 2 − x + 3
x →∞
= −1
B) −
3
2
C) –1
D)
1
2
E)
3
2
x →∞
lim
(n − 2)x3 + (m + 1)x 2 + x − 1
mx 2 − x + 3
= −1
B) −
1
5
C) 0
D)
x yerine – x yazarsak,
x → –∞ ise x → ∞ olur.
Aksi takdirde cevap ∞ olurdu.
lim
E) 5
3 − 51− x
Çözüm
olduğuna göre, n – 2 = 0 ve n = 2 olmalıdır.
x →∞
1
5
2 + 52 − x
x →−∞
A) –5
Çözüm
lim
E) 7
limitinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, m ⋅ n kaçtır?
A) –2
D) 8
DNA 27
DNA 26
lim
C) 9
2
(m + 1)x + x − 1
mx 2 − x + 3
lim
= −1 ⇒
m +1
= −1
m
⇒ m + 1 = −m ⇒ 2m = −1 ⇒ m = −
x →∞
2 + 52 + x
1+ x
3 −5
= lim
x →∞
25 ⋅ 5 x
−51 ⋅ 5 x
= −5
bulunur.
1
2
Doğru Seçenek A
olur.
1
m ⋅ n = − ⋅ 2 = −1
2
bulunur.
Doğru Seçenek C
lim
x →−∞
7− x +1 + 2−2 x + 2
7− x −1 − 2− x +1
limitinin değeri kaçtır?
A) –49
B) –4
C) 4
D) 7
LYS MATEMATİK
E) 49
255
Limit
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Işık 3
Işık 4
lim f ( x ) ⋅ g( x ) ve lim f ( x ) ⋅ g( x )
x →a
lim ( f ( x ) − g( x )) veya lim ( f ( x ) − g( x ))
x→∞
x →a
limitleri alındığında ∞ – ∞ belirsizliği varsa, payda eşit-
için f(x) ve g(x) fonksiyonlarından birinin limiti 0 ve di-
leme veya ifadenin eşleniği olan f(x) + g(x) ile pay ve
ğerinin limiti ∞ ise f(x) ⋅ g(x) fonksiyonunun limitinde
paydayı çarpmak gibi düzenlemeler yaparak ifadeyi
0 ⋅ ∞ belirsizliği ortaya çıkar. Bu durumda;
f (x)
f ( x ) ⋅ g( x ) =
1
g( x )
0
∞
veya
belirsizliklerinden birine dönüştürürüz.
0
∞
g( x )
veya f ( x ) ⋅ g( x ) =
1
f ( x)
şeklinde yazılarak, hesaplanacak olan limit
x→∞
0
∞
ve
0
∞
belirsizliklerinden birine dönüştürülür.
DNA 29
DNA 28
lim (2x ⋅ cot 4 x )
x →0
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
4 
 1
lim 
−

 x −2 x−4
x →4
B) 8
C) 4
D) 2
E)
B) −
A) –4
1
2
1
4
C) 0
D)
1
4
E) 4
Çözüm
Çözüm
lim (2x ⋅ cot 4 x ) → 0 ⋅ ∞ belirsizliği var.
x →0
lim
x →0
2x
1
=
tan 4 x 2
4 
 1
lim 
−
 = ∞ − ∞ belirsizliği vardır.
 x −2 x−4
x →4
4 
 1
⇒ lim 
−
x→4  x − 2
x − 4 
bulunur.
Doğru Seçenek E
( x + 2)
= lim
x →4
x
x
lim  ⋅ cot 
4
3
bulunur.
x →0
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
256
B) 12
LYS MATEMATİK
x +2−4
x −2
1
= lim
=
x → 4 ( x − 2) ( x + 2)
x−4
4
Doğru Seçenek D
C)
1
12
D)
4
3
E) 0
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Limit
Işık 5
1 
 1
lim 
−

x 1 − x3 
x →1  1 −
limitinin değeri kaçtır?
A) –∞
değerini kısa yoldan bulmak için aşağıdaki formülü
B) 0
C) 1
D) 3
E) ∞
kullanalım.
ax 2 + bx + c = a ⋅ lim x +
lim
x →∞
x→∞
lim x +
x →∞
DNA 30
lim ( x + 3 − x )
x →∞
b
2a
b
b 

= lim  x +

2a x →∞ 
2a 
lim x +
x → −∞
ax 2 + bx + c
lim
x →∞
b
b 

= lim −  x +

2a x →−∞ 
2a 
dır.
limitinin değeri nedir?
A) –∞
B) –2
C) –1
DNA 31
E) ∞
D) 2
lim ( x 2 + 6 x + 10 − x )
x →∞
ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm
A) 6
B) 3
C) 1
lim ( x + 3 − x ) ∞ – ∞ belirsizliği vardır.
D)
1
3
E)
1
6
x →∞
Çözüm
O yüzden eşleniği ile çarpıp bölelim.
lim
x →∞
( x + 3 − x )( x + 3 + x )
x+3 +x
= lim
x →∞
x + 3 − x2
x+3 +x
∞
  belirsizliği vardır.
∞
lim ( x 2 + 6 x + 10 − x ) → ∞ – ∞ belirsizliği vardır.
x →∞
lim
x →∞
Payın derecesi paydadan büyük olduğundan cevap –∞
x 2 + 6 x + 10 = lim | x + 3 |= x + 3
x →∞
tür.
⇒ lim ( x 2 + 6 x + 10 − x ) = x + 3 − x = 3
olur.
x →∞
Doğru Seçenek A
olur.
Doğru Seçenek B
lim ( x + 2 − x 2 − 4 )
x →∞
limitinin değeri nedir?
A) –2
B) –1
lim ( x 2 − 2x + 1 − x )
x →∞
limitinin değeri kaçtır?
C) 0
D) 2
E) ∞
A) –∞
B) –2
C) –1
D) 1
LYS MATEMATİK
E) 2
257
Limit
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
4.
TEST - 1
Aşağıda verilen grafiklerden kaç tanesine göre,
lim f ( x ) = 1
x →3
1.
��
f: R → R tanımlı,
��
�
�
�
7 x − 2, x ≥ 1
f ( x) = 
3 x + a, x < 1
eşitliği sağlanır?
�
fonksiyonunun x = 1 noktasında limiti olduğuna
�
�
�
�
�
�
�
göre, lim f(x) kaçtır?
x →a
A) 14
��
B) 12
C) 10
D) 8
��
�
E) 7
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
lim f ( x ) = a ve lim f ( x ) = b
x → 2+
x → 2−
olduğuna göre, 2a + b kaçtır?
A) 3
3.
A) 1
fonksiyonu veriliyor.
�
 x−2
, x≠2

f ( x ) = | x − 2 |
 3,
x=2

2.
�
B) 2
C) 1
D) 0
E) –1
lim ( f ( x ) ⋅ x ⋅ cos x ) = π
x →π
x ≤ −1
 3 x − 1,

f ( x ) =  x 2 + b, −1 < x < 2

x≥2
 x − a,
5.
olduğuna göre, lim f(x) değeri aşağıdakilerden
x→pp
hangisidir?
A) –p
258
B) –1
LYS MATEMATİK
C) 0
D) 1
E) p
lim f(x) + lim f(x) = 1 olduğuna göre, a + b kaçtır?
x → −1
A) –4
x →2
B) –2
C) 0
D) 2
E) 5
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Limit
6.
9.
�
�
�
lim 2 l n( x − 2)
x → 2+
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –∞
�
B) 0
C)
1
2
D) 2
E) ∞
D) 1
E) 0
D) 1
E) 2
D) 1
E) 3
��
�
�
��
�
�
�
�
Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
I. lim f ( x ) = 5
II. lim f ( x ) = 4
x →3
1
x →1−
III. lim f ( x ) = 3
IV. lim + f ( x ) = 1
10.
x →0+
x →−2
A) 0
7.
�
C) 2
D) 3
11.
lim | x3 − x − 1 |
ifadesinin değeri kaçtır?
8.
B) –1
lim
x →1 ( x
C) 0
D) 1
1
12.
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –∞
D) 1
E) ∞
B) 3
C) 2
C) 0
| x − 2|

lim 
+ 2 − x
2−x

x → 2+ 
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –2
E) 2
− 1)2
B) –1
3
1+ 2x
E) 4
x →−1
A) –2
lim
x →0−
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 4
B) 1
5x + 7 x
B) –1
C) 0
 2 | sin x | cos x 
lim 
−
| cos x | 
3 π+  sin x
x→
2
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
LYS MATEMATİK
259
Limit
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
13.
15.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğru-
II. lim
f (x)
=∞
g( x )
I. lim g( x ) = −∞
III. lim
f ( x)
=∞
g( x )
II. lim g( x ) yoktur.
III. lim f ( x ) = ∞
A) Yalnız I
IV. f ( x ) =
−
x →1
dur?
B) I ve II
D) II ve III
x → a−
x →a
x → a+
C) I ve III
E) I, II ve III
1
( x − 2)2
A) 0
14.
�
�
��
Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğru-
I. lim
x →1+
�
Şekilde y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri
x →3
�
��
verilmiştir.
dur?
f (x)
=1
g( x )
�
�
�
olabilir.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
ABCD bir kare [AC]
�
köşegen
�
AC ∩ BE = {F}
) = α
m( AFB
�

A(ECF) = S
�
�
�
Yukarıdaki şekilde bir kenar uzunluğu 4 olan ABCD
karesi, bu karenin [AC] köşegeni ve [BC] üzerinde
hareketli bir E noktası veriliyor.
Buna göre, lim S kaçtır?
α→90°
A) 2
1. B
260
2. C
B) 3
3. B
LYS MATEMATİK
C) 4
4. C
D) 6
5. B
6. E
E) 8
7. D
16. lim
x →∞
limitinin değeri kaçtır?
A) –3
8. E
sin x + cos x
3x
9. B
B) 0
D) 3
10. D
11. B
12. A
C) 1
E) Yoktur
13. B
14. C
15. E
16. B
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Limit
5.
TEST - 2
1.
lim
x3 − 1
B) –1
C) 0
D) 1
E) 3
D) 0
E)
D) 2
E) 4
D) –1
E) –3
LYS MATEMATİK
261
ifadesinin değeri kaçtır?
2.
B)
3
2
C) 1
D)
1
2
E)
2
3
x
x
4 ⋅ sin ⋅ tan
2
2
lim
x →0
x2
lim
x →∞
πx − ex + 2
π x + 2 + 2x − 1
ifadesinin değeri kaçtır?
A) p2
B) p
C) –1
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
B)
3
2
C) 1
D)
1
2
E)
3.
lim
x →−2
2x 2 + 7 x + a
=b
x+2
4.
B) 5
lim
x →∞
C) 4
D) 3
2x + 3 ⋅ x 2 + x + 3
8.
2
6x − x − x − 1
B) 0
C) 1
olduğuna göre, m – n kaçtır?
D) 2
B) –2
C) 0
E) 2
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –1
 2x 2 + 1

lim 
− mx − n  = 0
x →∞  x − 1

A) –4
b ∈ R olduğuna göre, a + b kaçtır?
A) 6
1
π2
1
4
7.
3
sin2 x
6.
3 | x | +1
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –3
1 + cos3 x
x →π
A) 2
lim
x →−∞
E) 3
lim
x →5
x 2 − 3 x − 10
x3 − 3 x
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 3
B) 1
C) 0
Limit
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
9.
lim ( x − π) ⋅ tan
x →π
13. x
2
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
D) 1
C) 0
B) 1
14.
C)
1
2
D) −
1
2
E) –2
lim ( 4 x 2 + ax + 6 − 4 x 2 − x + 2 ) =
x →∞
B) 6
C) 5
D) 4
ifadesinin değeri kaçtır?
1. B
262
2. C
B) 4
3. B
LYS MATEMATİK
C) 2
4. C
D)
5. A
1
2
6. E
E)
7. C
1
4
8. C
B)
lim
2 2
2
D)
E) 2
E)
2
4
x2 − 1
limitinin değeri kaçtır?
C) −
B) –1
1
2
D)
1
2
E) 1
2
 x + x + 1 , x < 0 ise
f ( x) = 
2
 x − x + 1 , x ≥ 0 ise
olduğuna göre, lim f(x) kaçtır?
A) –1
x →0
9. A
C) 1
| x − 1|
x →1+
A) –2
E) 2
6
x
lim  ⋅ sin 
x
3
π
4
A) 2 2 x →∞
A) 6
D) 1
1 − cot x
sin x − cos x
lim
x→
16. 12.
C) 0
limitinin değeri kaçtır?
15. 7
4
olduğuna göre, a gerçek sayısı kaçtır?
A) 8
B) –1
11.
)
8 x3 + x − 2 ⋅ x3 − 3 x 2 + 1
E) Yoktur
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
3
limitinin değeri kaçtır?
A) –2
1 
 2
lim 
−

x →1  x 2 − 1 x − 1 
10.
(
lim
x →∞
B) 0
D) 2
10. D
11. B
12. C
C) 1
E) Yoktur
13. E
14. B
15. D
16. C
LİMİT VE SÜREKLİLİK - BÖLÜM 11
SÜREKLİLİK
SÜREKLİLİK
2.
�
��
�
Hazine 8
�
f: A → R, A ⊂ R ve a ∈ A olsun.
�
f fonksiyonunun x = a da sürekli olması için;
i) f fonksiyonu x = a noktasında tanımlı olmalıdır.
ii) f fonksiyonunun x = a noktasında limiti olmalıdır.
Yani
•
f fonksiyonu x = a noktasında tanımlı,
f(a) = c
lim f ( x ) = b
•
x →a
lim f ( x ) ≠ f (a)
•
lim f ( x ) = lim f ( x )
x → a−
x →a+
x →a
olduğundan f fonksiyonu x = a noktasında sürekli de-
sağlanmalıdır.
ğildir. Grafikte sıçrama vardır.
iii) f fonksiyonunun a noktasındaki limiti, a noktasın-
3.
�
lim f ( x ) = f (a)
f fonksiyonu x = a
de tanımlı değildir.
O yüzden fonksiyon
süreklilik
hakkını
baştan yitirdi. Ayrıca
grafikte kopma olduğuna dikkat ediniz.
��
daki görüntüsüne eşit yani;
�
x →a
�
�
olmalıdır.
�
�
�
Bu üç koşuldan en az biri gerçekleşmezse fonksiyon
x = a noktasında süreksizdir denir.
•
Yani son iki maddeden “Grafikte kopma ya da sıçrama varsa fonksiyon o noktada süreksizdir.” deriz.
DNA 32
Aşağıdaki üç durumu dikkatle inceleyelim.
1.
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
��
��
�
�
�
�
�
��
•
•
•
f fonksiyonu x = a noktasında tanımlı, f(a) = b
lim f ( x ) = b
x →a
lim f ( x ) = f (a) = b
x →a
olduğundan f fonksiyonu x = a noktasında süreklidir.
Şekilde y = f(x) in grafiği verilmiştir.
Buna göre, f(x) fonksiyonu –2, –1, 0, 1, 2, 3 apsisli
noktalardan kaç tanesinde süreklidir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
LYS MATEMATİK
E) 6
263
Süreklilik
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Çözüm
DNA 33
Süreksiz olan noktaları nedenleriyle açıklayalım.
•
x = –1 noktasında fonksiyonun sağ ve sol limitleri eşit
fakat o noktada tanımlı olmadığından süreksizdir.
•
x = 2 noktasında fonksiyonun sağ ve sol limitleri eşit
fonksiyonu x = 1 noktasında sürekli olduğuna
olmadığından süreksizdir.
•
mx + 4, x < 1 ise

f ( x ) =  x + 9, x = 1 ise
 nx + 6, x > 1 ise

göre, m ⋅ n kaçtır?
x = 3 noktasında fonksiyon tanımlı, sağ ve sol limitleri
eşit fakat fonksiyonun x = 3 noktasındaki limiti görün-
A) 36
B) 24
C) 12
D) 6
E) 4
tüsüne eşit olmadığından süreksizdir.
Dolayısıyla f fonksiyonu –2, 0 ve 1 noktalarında süreklidir.
Doğru Seçenek B
Çözüm
f fonksiyonunun x = 1 de sürekli olması için;
lim f ( x ) = lim f ( x ) = f(1)
�
x →1+
��
��
�
��
� �
x →1−
olmalıdır.
�
��
��
n + 6 = m + 4 = 10
⇒ n = 4 ve
��
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri
doğrudur?
I.f, x = 3 te süreklidir.
II. lim f ( x ) = −3 tür.
III.f, x = 1 de süreklidir.
m = 6 olup
m ⋅ n = 24
bulunur.
Doğru Seçenek B
x →−1
A) Yalnız II
B) Yalnız III
D) II ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
Işık 6
f, g, h sürekli fonksiyonlar olmak üzere,
 f ( x ), x ≤ a ise

K( x ) = g( x ), a < x ≤ b ise
h( x ), x > b ise

fonksiyonunun R de sürekli olması için, kritik noktaları
olan x = a ve x = b de soldan, sağdan limit değerleri
fonksiyon değerlerine eşit olmalıdır.
264
LYS MATEMATİK
2x + a, x < 1 ise

f (x) = 
5, x = 1 ise
 3 x − b, x > 1 ise

fonksiyonu x = 1 noktasında sürekli olduğuna göre,
a ⋅ b kaçtır?
A) –12
B) –6
C) 3
D) 6
E) 12
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Süreklilik
DNA 34
DNA 35
 3x + a
 x − 1 , x < 0 ise

f ( x ) =  b + 1, x = 0 ise
 tan 4 x

, x > 0 ise
 sin x
x+3
,
x < 0 ise
 2
 x − 1
f ( x ) = 2x − 3,
0 ≤ x < 3 ise
 x

, x ≥ 3 ise
 x 2 − 16
fonksiyonu x = 0 noktasında sürekli olduğuna
kuralı ile verilen fonksiyon kaç noktada süreksiz-
göre, a + b kaçtır?
dir?
A) –4
B) –3
C) –1
D) 1
E) 3
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm
f fonksiyonunun her bir parçasını ayrı ayrı inceleyelim.
Çözüm
•
x →0 +
x →0 −
tan 4 x
a


= 4 4 =
= b +1
 lim+
sin
x
−
1
 x →0

ifadesinin paydasını sıfır yapan de-
x2 – 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = –1 ve x = 1
x < 1 olduğundan x = 1 olamaz.
Bu parça sadece x = –1 için süreksizdir.
•
⇒ a = –4 ve b = 3 olup,
x2 − 1
ğerler,
f fonksiyonunun x = 0 noktasında sürekli olması için,
lim f ( x ) = lim f ( x ) = f(0) olmalıdır.
x+3
x < 0 için
2x – 3 polinom olduğundan 0 ≤ x < 3 aralığında süreklidir.
a + b = –1
•
x ≥ 3 için
ğerler
dir.
Doğru Seçenek C
x
x 2 − 16
ifadesinin paydasını sıfır yapan de-
x2 – 16 = 0 ⇒ x = –4 ve x = 4 tür.
x ≥ 3 olduğundan x = 4 için bu parça süreksizdir.
Parçalı fonksiyonun kritik noktaları x = 0 ve x = 3 noktaları olduğundan bu noktalarda sağdan ve soldan
limitler birbirine eşit olmalıdır.
 2x + m
 3 , x ≤ 0 ise
f (x) = 
 sin 2x , x > 0 ise
 tan x
fonksiyonu x = 0 noktasında sürekli olduğuna göre,
m kaçtır?
A) 8
lim f ( x ) = −3 ve lim f ( x ) = −3 , f(0) = –3
x →0+
x → 0−
olduğundan, x = 0 noktasında süreklidir.
lim f ( x ) =
x →3+
−3
ve lim f ( x ) = 3
7
x →3−
olduğundan f fonksiyonu x = 3 de sürekli değildir.
Özetleyecek olursak f fonksiyonu –1, 3 ve 4 noktalarında süreksizdir.
Doğru Seçenek C
B) 6
C) 4
D) 2
E) 1
LYS MATEMATİK
265
Süreklilik
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
DNA 36
 x +1
,
x ≤ 1 ise
 2
x − 4
f ( x) = 
1

, x > 1 ise
| x − 1 | −3
f: [0, 3] → R,
fonksiyonu için m ≤ f(x) ≤ M eşitliğini sağlayan en
fonksiyonunun süreksiz olduğu x değerlerinin topla-
büyük m ve en küçük M gerçek sayılarının toplamı
mı kaçtır?
A) –2
f(x) = (x – 1)2 + 3
kaçtır?
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
A) 12
B) 11
C) 10
D) 8
E) 7
Çözüm
TANIM
a, r, k ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere,
A ⊂ R ve f: A → R bir fonksiyon olsun.
f(x) = a ⋅ (x – r)2 + k
∀x ∈ A için m ≤ f(x) ≤ M
olacak biçimde m ve M gerçek sayıları varsa f fonksiyo-
parabolünün tepe noktasının koordinatları T(r, k) idi.
nu sınırlıdır denir.
�
�
��
��
��
�
��
�
��
�
��
�
��
�
M + m = 7 + 3 = 10
f: [a, b] → R
∀ x ∈ [a, b] için c ≤ f(x) ≤ d olduğundan f fonksiyonu sı-
�
�
bulunur.
Doğru Seçenek C
nırlıdır.
Kapalı Bir Aralıkta Sürekli Fonksiyonların
Özelikleri
1.
Kapalı bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon bu aralıkta sınırlıdır.
2.
3.
Kapalı aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun bu aralık-
f: [2, 4] → R,
ta en küçük ve en büyük değeri vardır.
Kapalı bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon bu aralıktaki en küçük değeri ile en büyük değeri arasındaki
her bir değeri en az bir kez alır.
266
LYS MATEMATİK
f(x) = x2 – 2x + 2
fonksiyonunun en küçük değeri ile en büyük değerinin çarpımı kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
Süreklilik
4.
TEST - 3
1.
1
+ | x2 − 1|
x +1
fonksiyonu x in kaç değeri için süreksizdir?
A) 0
a bir gerçek sayı olmak üzere,
f (x) =
f ( x) =
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
2x + 1
x2 − 6x − a
fonksiyonu sadece bir noktada süreksiz olduğuna göre, a kaçtır?
A) –9
B) –6
5.
C) 5
D) 6
E) 9
f ( x) =
x +1
x2 − 6x + m
fonksiyonu her x gerçek sayısı için sürekli olduğuna göre, m nin en küçük tam sayı değeri kaçtır?
A) 7
2.
y = f(x) fonksiyonu apsisi 2 olan noktada sürekli
ve lim f(x) = −2 olduğuna göre,
E) 11
fonksiyonu x = –1 noktasında sürekli olduğuna
x → 2+
A) –20
ifadesi kaça eşittir?
A) –4
D) 10
göre, a ⋅ b kaçtır?
lim f(x) + lim [f(x) − f(2)]
x → 2−
C) 9
ax + 2, x < −1 ise

f ( x ) =  x + 7, x = −1 ise
 bx + 1, x > −1 ise

6.
x →2
B) 8
B) –2
C) 0
D) 2
B) –18
C) –12
D) 12
E) 20
E) 4
7.
�
�
�
�
�
��
3.
1

x < 2 ise
 1 − x ,
f (x) = 
 x + 1 , x ≥ 2 ise
 x 2 − 2x − 3
B) 4
x2 − 1
f ( x) − 2
olduğuna göre, g(x) fonksiyonu kaç noktada süreksizdir?
lamı kaçtır?
A) 6
�
�
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
g( x ) =
fonksiyonunu süreksiz yapan x değerlerinin top-
�
C) 2
D) 0
E) –2
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
LYS MATEMATİK
E) 1
267
Süreklilik
Limit ve Süreklilik - Bölüm 11
ax + 5, x ≤ −1 ise

f ( x ) = 3 x 2 + a, −1 < x < 2 ise

x ≥ 2 ise
bx − 1,
8.
11.
�
�
fonksiyonu R de sürekli olduğuna göre, a – b
�
kaçtır?
A) –7
B) –6
C) 3
D) 6
��
E) 8
�
��
��
��
��
�
� � �
Şekilde f: R→ R y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
 sin 3 x
 x , x < 0 ise

f ( x ) =  a + 1 , x = 0 ise
 2x + b

, x > 0 ise
 x −1
9.
halde sürekli değildir.
fonksiyonu x = 0 noktasında sürekli olduğuna
göre, a + b kaçtır?
A) –5
B) –3
C) –1
I.f fonksiyonunun x = 2 apsisli noktada limiti olduğu
D) 1
II.f fonksiyonu x = –2 apsisli noktada süreklidir.
III.f fonksiyonu x = 0 noktasında süreklidir.
A) Yalnız I
E) 5
12.
B) I ve II
D) II ve III
f ( x) =
C) I ve III
E) I, II ve III
x −1
3 ⋅ sin x + 1
fonksiyonunu (0, 2p) aralığında süreksiz yapan
kaç nokta vardır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
10. f: R → R,
3 − a − x

, x ≠ 2 ise
f (x) =  x − 2

b,
x = 2 ise

13.
fonksiyonu x = 2 noktasında sürekli olduğuna
1. A
268
1
2
B)
2. B
1
3
3. B
LYS MATEMATİK
C)
1
4
4. B
D)
1
6
5. D
E)
6. E
x2 − 4x + m + 1
5
fonksiyonu gerçek sayılarda sürekli olduğuna
göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
göre, b kaçtır?
A)
f ( x) =
1
9
A) m > 3
7. A
8. B
B) m ≥ 3
D) –3 < m ≤ 0
9. C
10. D
C) m ≤ –3
E) 0 ≤ m ≤ 3
11. C
12. C
13. B
TÜREV - BÖLÜM 12
TÜREV ALMA KURALLARI
Hazine 1
GİRİŞ
�
x0 ∈ (a, b) olmak üzere, (a, b) aralığında sürekli bir f
�
�
fonksiyonu için,
�
��
f ′( x0 ) = lim
x → x0
��
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
�
��
��
��
dır.
�
�
�
Ayrıca bu limit değeri bir gerçek sayıya eşitse türev o
gerçek sayıya eşittir. Eğer bu limit değeri +∞ veya –∞
Herhangi bir (x0, x) aralığında sürekli bir f fonksiyonunun
grafiğini çizelim ve bu grafiğin üzerindeki herhangi iki yer-
a eşitse veya limit hesaplanamıyorsa o noktada türev
yoktur denir.
de A ve B noktaları alalım. Bu noktalardan da bir d doğrusu geçirelim.
d doğrusunun eğiminin;
md =
f ( x ) − f ( x0 )
DNA 1
x − x0
olduğunu biliyoruz.
f sürekli bir fonksiyon ve f′(1) ≠ 0 olmak üzere,
lim
x →1
1− x
f (1) − f ( x )
Şimdi A noktasını grafik üzerinden B ye doğru kaydıralım.
Yani A nın apsisi B nin apsisine yaklaşsın;
değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
�
A) f′(–1)
�
�
D)
B) f′(1)
1
f ′(1)
C) –f′(1)
E)
−1
f ′(1)
��
��
�
Çözüm
Şekilden de görüldüğü gibi d doğrusu f fonksiyonuna teğet
olur (Limit durumunda). Bu durum;
m = lim
x → x0
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
ile gösterilir.
lim
x →1
1− x
x −1
= lim
=
f (1) − f ( x ) x →1 f ( x ) − f (1)
1
1
=
f ( x ) − f (1) f ′(1)
lim
x →1
x −1
bulunur.
Doğru Seçenek D
İşte bir fonksiyonun grafiği üzerindeki bir noktadan o grafiğe çizilen teğetin eğimine fonksiyonun o noktadaki türevi
denir.
LYS MATEMATİK
269
Türev Alma Kuralları
Türev - Bölüm 12
Çözüm
a > 0 olmak üzere, f fonksiyonu a noktasında türevli ol-
lim
h →0
sun.
lim
x →a
f2 ( x ) − f2 (a)
x−a
olduğunu biliyoruz.
lim
h →0
ifadesi f′(a) nın kaç katıdır?
B) 2f(a)
A) 4f(a)
D)
f ( x + h) − f ( x )
= f ′( x )
h
f (a)
2
E)
C) f(a)
f (a)
f ( x + 3h ) − f ( x )
h
ifadesinde 3h = h′ olsun.
h → 0 ⇒ h′ → 0
lim
h ′→0
f ( x + h′ ) − f ( x )
f ( x + h′ ) − f ( x )
= 3 ⋅ lim
= 3 ⋅ f ′( x )
h ′→0
h′
h′
3
olur.
Işık 1
Doğru Seçenek C
Bir Başka Türev Tanımı
f ′( x0 ) = lim
x → x0
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
Aşağıdakilerden hangisi,
olduğunu biliyoruz.
x – x0 = h ⇒ x = x0 + h
lim
h →0
Ayrıca
f ( x + h) − f ( x )
2h
ifadesinin özdeşidir?
x → x0 ⇒ h → 0
A) f′(x)
olur. Bu durumda;
f ′( x0 ) = lim
h →0
D)
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h
B) f′(2x)
C) 2⋅f′(x)
x
E) f ′  
2
f ′( x )
2
bulunur.
DNA 2
DNA 3
Aşağıdakilerden hangisi
lim
h →0
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir fonksiyon için,
f ( x + 3h ) − f ( x )
h
f(x + y) = f(x) + f(y) – xy
ifadesinin özdeşidir?
A) f′(x)
270
D)
B) f′(3x)
f ′( x )
3
LYS MATEMATİK
C) 3⋅f′(x)
E) 9 ⋅ f ′( x )
lim
h →0
f (h)
=5
h
olduğuna göre f′(2) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Türev - Bölüm 12
Türev Alma Kuralları
Çözüm
lim
h →0
Işık 2
f (h)
= f ′( 0 ) = 5
h
Sağdan Soldan Türev
dir.
l1, l2, l ∈ R olmak üzere,
f(x + y) = f(x) + f(y) – xy
⇒ lim
y →0
lim
f(x + y) − f(x)
f(y)

= lim 
− x
y →0  y
y

⇒ f′(x) = f′(0) – x
⇒ f′(2) = f′(0) – 2
⇒ f′(2) = 5 – 2 = 3
x → x0+
lim
x → x 0−
olur.
Doğru Seçenek C
f ( x ) − f ( x0 )
= l1 (sağdan türev)
x − x0
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
= l 2 (soldan türev)
l1 = l2 = l ise f′(x0) = l dir. denir.
Bunun anlamı; sürekli bir fonksiyonun herhangi bir
noktasında grafiği kırılmış olsun. İşte kırılma noktasının sağında kalan grafiğe çizilen teğetin eğimine
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevli bir f
fonksiyonu için,
f(x + y) = f(x) + f(y) + xy
f′(0) = 3
ğe çizilen teğetin eğimi de soldan türevdir. Sürekli bir
fonksiyonun herhangi bir noktasında türevinin olması
için sağdan ve soldan türevlerinin birbirine eşit olması
olduğuna göre, f′(1) kaçtır?
A) 1
sağdan türev, kırılma noktasının solunda kalan grafi-
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
gerekir.
�
��
Türev Süreklilik Ilişkisi
y = f(x) fonksiyonu x = a noktasında türevliyse o noktada
�
�
süreklidir fakat sürekliyse türevli olduğu garanti değildir.
Bunu aşağıda vereceğimiz ışıkta daha iyi anlayacaksınız.
Fakat fonksiyon süreksizse kesinlikle türevi yoktur.
Özetle; tek değişkenli gerçek değerli bir fonksiyonun her-
Örneğin; y = |x| in grafiği x = 0 noktasında kırılmış.
hangi bir noktasında türevinin olması için;
x = 0 ın hem sağında hem de solunda kalan grafiğe
i) O noktada sürekli olması
iki farklı teğet çizilir. Dolayısıyla bu fonksiyonun x = 0
ii) O noktada grafiğinin kırılmasız olması
noktasında türevi yoktur.
iii) O noktada türevi tanımlayan limit değerinin var olması
gerekir.
LYS MATEMATİK
271
Türev Alma Kuralları
Türev - Bölüm 12
DNA 4
�
�
�
�
��
��
�
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonu kaç noktada türevŞekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
sizdir?
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangi-
A) 6
C) 4
B) 5
D) 3
E) 2
leri doğrudur?
I.f fonksiyonu x = –1 noktasında süreksiz dolayısıyla türevsizdir.
II.f fonksiyonu x = 0 noktasında sürekli olduğu
halde türevsizdir.
III.f fonksiyonu x = 1 noktasında türevlidir.
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve II
E) I, II ve III
Işık 3
f: R → R ve c ∈ R olmak üzere,
f(x) = c ⇒ f′(x) = 0
dır.
Örneğin;
Çözüm
( −7 )′ = 0, ( 3 2 )′ = 0, ( ln 5 )′ = 0, ...
I. lim + f ( x ) = 2 ve lim − f ( x ) = 3 olduğundan sü-
x →−1
x →−1
rekli değildir. Dolayısıyla türevsizdir.
II.f fonksiyonu x = 0 noktasında kırılmış 1 den fazla
teğet çizilebildiğinden türevsizdir. (Sürekli olduğu
grafikten görülüyor.)
DNA 5
III.f fonksiyonu x = 1 noktasında limit değeri görüntü
değerine eşit olmadığından süreksiz dolayısıyla
türevsizdir.
f: R → R,
Doğru Seçenek D
olduğuna göre, f′(x) kaçtır?
A) 0
272
LYS MATEMATİK
f(x) = y
B) 1
C) y
D) x
E) xy
Türev - Bölüm 12
Türev Alma Kuralları
Çözüm
Çözüm
Fonksiyonun x e bağlı olması gerekirdi. O yüzden burada-
f(x) =
ki y sabit sayı olur ki türevi sıfırdır.
x2 ⋅ x
3
Doğru Seçenek A
x2
1
x2 ⋅ x 2
=
2
x3
5
=
x2
2
x3
5 2
−
3
11
= x2
= x6
5
⇒ f ′( x ) =
11 6
11
⋅ x ⇒ f ′((1) =
6
6
dır.
Doğru Seçenek A
f: R → R,
f(x) = p2
olduğuna göre, f′(x) nedir?
A) 2p
C) 0
B) 2x
D) 2px
E) 2
f: R+ → R,
f(x) = 3 x x
fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Hazine 2
A)
1
2 x
xn fonksiyonunun Türevi
n ∈ R olmak üzere,
D)
B)
1
3
x
1
x
C)
1
3
2 x
E) 2 x
f(x) = xn ⇒ f′(x) = n ⋅ xn–1
dir.
DNA 6
Işık 4
f: R+ – {0} → R,
f(x) =
x
2
3
Toplam ve Farkın Türevi
x
Bir toplamın ya da farkın türevi; toplamı ya da farkı
x2
oluşturan fonksiyonların ayrı ayrı türevlerinin toplamına ya da farkına eşittir.
olduğuna göre, f′(1) kaçtır?
A)
11
6
B)
11
D)
12
7
6
6
E)
11
y = f(x)  g(x)
C) 1
⇒ y′ = f′(x)  g′(x)
tir.
LYS MATEMATİK
273
Türev Alma Kuralları
Türev - Bölüm 12
DNA 7
DNA 8
f: R → R,
f: R → R,
f(x) = x3 – x2 + 2
olduğuna göre, lim
h→0
f(1 + h) − f(1)
ifadesinin değeri
h
fonksiyonu veriliyor.
f′(1) = 9 olduğuna göre, a kaçtır?
kaçtır?
A) –2
f(x) = 3x2 + ax + 1
B) –1
C) 0
D) 1
A) 3
E) 2
h →0
f(x) =
D) 0
E) –2
f(x) = 3x2 + ax + 1 ⇒ f′(x) = 6x + a
f (1 + h ) − f (1)
= f ′(1)
h
olduğunu biliyoruz artık.
x3
C) 1
Çözüm
Çözüm
lim
B) 2
–
x2
+ 2 ⇒ f′(x) =
3x2
– 2x
⇒ f′(1) = 6 + a = 9
⇒a=3
bulunur.
⇒ f′(1) = 3 – 2 = 1
Doğru Seçenek A
olur.
Doğru Seçenek D
f: R → R,
f(x) = 2x3 – 4x – 7
olduğuna göre, lim
x →−−1
tır?
A) 10
f(x) = x15 – x14 + x13 – x12 + ... + x
B) 8
f(x) − f( −1)
ifadesinin değeri kaçx+1
C) 4
D) 2
E) 1
olduğuna göre, f′(1) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
DNA 9
Işık 5
P(x) bir polinom ve P′(x) de P(x) polinomunun türevi
olsun.
c ⋅ f(x) fonksiyonunun Türevi
c ∈ R olmak üzere,
y = c ⋅ f(x) ⇒ y′ = c ⋅ f′(x)
dir.
274
P(x) – P′(x) = 2x2 + x + 1
olduğuna göre, P(x) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?
A) 17
LYS MATEMATİK
B) 14
C) 13
D) 9
E) 7
Türev - Bölüm 12
Türev Alma Kuralları
Çözüm
DNA 10
P(x) polinomu ikinci dereceden bir polinomdur.
Çünkü P′(x) birinci dereceden olur ki farkları da ikinci de-
fonksiyonunun diferansiyeli aşağıdakilerden han-
recedendir.
P(x) =
ax2
f(a) = c2 + a2
gisidir?
+ bx + c
A) (2c + 2a)da
⇒ P′(x) = 2ax + b
⇒ P(x) – P′(x) =
ax2
+ x(b – 2a) + c – b =
2x2
B) 2c da
D) (c2 + a2)da
C) 2a d a
E) 2c
+x+1
⇒a=2
Çözüm
⇒ b – 2a = 1 ⇒ b – 4 = 1 ⇒ b = 5
f(a) = c2 + a2
olur.
⇒ d(f(a)) = f′(a)da
c–b=1⇒c–5=1⇒c=6
dır.
= 2a da
Burada P(x) = 2x2 + 5x + 6 olup katsayıları toplamı;
olur.
P(1) = 2 + 5 + 6 = 13
Doğru Seçenek C
tür.
Doğru Seçenek C
y = c2t3
ifadesine göre
P(x) polinomunun türevi P′(x) olmak üzere,
dy
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
dc
A) 2ct3
P(x) – P′(x) = 5x + 6
B) 3t2c2
D) 2c2t3
C) 6ct2
E) 3c2t3
olduğuna göre, P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?
A) 13
C) 11
B) 12
D) 9
E) 7
Hazine 3
Çarpım Türevi
Işık 6
u = f(x) ve v = g(x)
Diferensiyel
kurallarıyla verilen fonksiyonlar için,
f(x) türevlenebilen bir fonksiyon olsun.
f(x) in diferensiyeli;
d(f(x)) = f′(x) ⋅ dx
şeklinde tanımlıdır.
y = u ⋅ v ⇒ y′ = u′ ⋅ v + v′ ⋅ u
dur.
Yani çarpımın türevi; birincinin türevi çarpı ikinci artı,
ikincinin türevi çarpı birincidir.
LYS MATEMATİK
275
Türev Alma Kuralları
Türev - Bölüm 12
DNA 12
DNA 11
f: R → R,
f(x) = (x – a) ⋅ (x – b)
olduğuna göre, f′(a + b) aşağıdakilerden hangisine
olduğuna göre, f′(0) kaçtır?
A) a – b
f(x) = x ⋅ (x + 1) ⋅ (x + 2) ⋅ ... ⋅ (x + 10)
eşittir?
B) a + b
D) b
C)a
A) 1010
B) 10!
C) 9!
D) 1
E) 0
E) 2a + b
Çözüm
f(x) = x ⋅ (x + 1) ⋅ (x + 2) ⋅ ... (x + 10)
Çözüm
f ′( x ) = [ x ′ ( x + 1) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ... ⋅ ( x + 10 )] + [( x + 1)′ ⋅ x ( x + 2 ) ⋅ ... ⋅ ( x + 10
0 )] + ...



 
1
f(x) = (x – a) ⋅ (x – b)
⇒ f ′ ( x ) = ( x − a )′ ⋅ ( x − b ) + ( x − b )′ ⋅ ( x − a )

 


 

1
1
0
0
⇒ f′(0) = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 10 = 10!
bulunur.
⇒ f ′( x ) = ( x − b ) + ( x − a )
Doğru Seçenek B
⇒ f ′( a + b ) = a + b − b + a + b − a = a + b
olur.
Doğru Seçenek B
f(x) = (x + 1) ⋅ (x + 2) ⋅ (x + 3)
olduğuna göre, f′(0) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 14
E) 20
f(x) = (x2 – x) ⋅ (5x + 1)
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, f′(2) kaçtır?
A) 53
B) 43
C) 33
D) 23
Hazine 4
E) 13
Bölüm Türevi
u = f(x) ve v = g(x)
Uyarı
Birden fazla fonksiyonun çarpımının türevi sorulursa;
birincinin türevi çarpı diğerleri artı, ikincinin türevi çarpı
kurallarıyla verilen fonksiyonlar için,
y=
u
u′ ⋅ v − v ′ ⋅ u
ise y ′ =
v
v2
dir.
diğerleri artı, üçüncünün türevi çarpı diğerleri şeklinde
Yani, kısaca birincinin türevi çarpı ikinci eksi, ikincinin
devam eder.
türevi çarpı birinci bölü, ikincinin karesidir.
276
LYS MATEMATİK
Türev - Bölüm 12
Türev Alma Kuralları
DNA 13
Işık 7
f: R – {–1} → R
f(x) =
Parçalı Fonksiyonların Türevleri
2
3x + 2x + 1
Parçalı fonksiyonların türevleri bulunurken 2 duruma
x3 + 1
dikkat etmeliyiz.
olduğuna göre, f′(1) ifadesi aşağıdakilerden han-
i) Türevi sorulan nokta kritik nokta değilse, noktanın
gisine eşittir?
A) −
1
2
B)
ait olduğu dalın türevi alınır.
1
2
C) 2
D) 3
ii) Türevi sorulan nokta kritik nokta ise önce fonksi-
E) 4
yonun bu noktada sürekli olup olmadığına bakılır.
Sürekli değilse türevi yoktur denir. Sürekli ise türevli olmaya adaydır. Sağdan ve soldan türevleri
eşit ise türevi vardır.
Çözüm
f(x) =
3 x2 + 2 x + 1
⇒ f ′( x ) =
⇒ f ′( x ) =
⇒ f ′(1) =
x3 + 1
DNA 14
( 3 x 2 + 2 x + 1)′ ⋅ ( x3 + 1) − ( x3 + 1)′ ⋅ ( 3 x 2 + 2 x + 1)
( x3 + 1)2
( 6 x + 2 ) ⋅ ( x3 + 1) − 3 x 2 ⋅ ( 3 x 2 + 2 x + 1)
( x3 + 1)2
 3 x + 1, x > 2
f(x) =  2
 x − x , x ≤ 2
olduğuna göre, f′(2+) + f′(1) kaça eşittir?
8 ⋅ 2 − 3 ⋅ 6 −2 −1
=
=
4
4
2
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
Çözüm
Doğru Seçenek A
f fonksiyonunun 2 deki sağdan türevi;
x > 2 iken f(x) = 3x + 1
olduğundan,
f′(2+) = 3
tür.
x = 1 kritik nokta değildir. x = 1 noktasında,
g(1) ≠ 0 olmak üzere,
f(x) =
2
x −1
g( x )
olduğundan,
olduğuna göre, f′(1) ifadesi aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
x
A)
g(1)
D)
f(x) = x2 – x
2
g(1)
E)
dir. Buradan,
f′(2+) + f′(1) = 3 + 1 = 4
1
2x
B)
g(1)
C) g2 (1)
3
g(1)
f′(x) = 2x – 1 ⇒ f′(1) = 1
bulunur.
Doğru Seçenek C
LYS MATEMATİK
277
Türev Alma Kuralları
Türev - Bölüm 12
Şimdi de sağ ve sol türevleri birbirine eşitleyelim.
 x + x , x ≥ 1
f(x) = 
2 x − 3, x < 1
f′(1–) = 4mx + 3 = 4m + 3
olduğuna göre, f′(2) + f′(1–) kaçtır?
B) 7
A) 8
f′(1+) = 3nx2 + 4 = 3n + 4
2
C) 6
D) 5
E) 3
⇒ 3n + 4 = 4m + 3
⇒ 4m – 3n = 1
İki denklemi ortak çözersek m = 1 ve n = 1 bulunur.
m⋅n=1
dir.
Doğru Seçenek C
DNA 15
f: R → R,
2mx 2 + 3 x , x < 1
f(x) = 
3
x ≥1
nx + 4 x ,
şeklinde tanımlı f fonksiyonu ∀x ∈ R için türevli
olduğuna göre, m ⋅ n kaçtır?
A) 3
B) 2
C) 1
D) 0
E)
1
2
 x 2 + nx + 2, x ≥ 2
f(x) = 
x<2
mx + n,
şeklinde tanımlı f fonksiyonu ∀x ∈ R için türevli olduğuna göre, m ⋅ n kaçtır?
A) –8
Çözüm
B) –6
C) –4
D) 4
E) 8
2mx 2 + 3 x , x < 1
f(x) = 
3
x ≥1
nx + 4 x ,
şeklindeki f fonksiyonu ∀x ∈ R için türevliyse aynı zamanda sürekli olduğunu daha önce söylemiştik. O zaman
önce süreklilik şartını sağlattıralım.
lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1)
x →1+
x →1−
Işık 8
Mutlak Değer Fonksiyonların Türevleri
Mutlak değer fonksiyonunun içini sıfır yapan noktalar
olmalıdır.
kritik noktalardır. Kritik olmayan noktalarda mutlak
lim ( nx3 + 4 x ) = lim ( 2mx 2 + 3 x )
+
x →1
−
x →1
değer fonksiyonunun türevini alırken; mutlak değerin
içini pozitif yapan değerler için doğrudan içinin türevi
alınır. Negatif yapan değerlerde ise içinin türevi alınıp
⇒ n + 4 = 2m + 3 ⇒ 2m – n = 1
(–1) ile çarpılır. Aslında anlattığımız bu durum mutlak
değerin tanımından başka bir şey değildir.
olur.
278
LYS MATEMATİK
Türev - Bölüm 12
Türev Alma Kuralları
DNA 16
DNA 17
f(x) = |x2 – 5x + 1|
olduğuna göre, f′(3) kaçtır?
A) –2
olduğuna göre, f′(3) aşağıdakilerden hangisine
B) –1
D) 1
f(x) = |x – 3|
eşittir?
C) 0
A) 3
E) Yoktur
B) 2
D) 0
C) 1
E) Yoktur
Çözüm
x = 3 kritik nokta değildir.
Çözüm
x = 3 için x2 – 5x + 1 = –5 < 0
olduğundan,
f ′( x0 ) = lim
f ( x ) − f ( x0 )
x → x0
(|x2 – 5x + 1| = –x2 + 5x – 1 olur.)
x − x0
f′(x) = –(2x – 5) = –2x + 5
idi. x = 3 kritik nokta olduğundan; fonksiyonun sağdan ve
f′(3) = –6 + 5 = –1
soldan türevine bakalım.
f ′( 3 ) = lim
olarak bulunur.
x →3
Doğru Seçenek B
f ( x ) − f (3)
x−3 −0
= lim
x →3
x−3
x−3
f ′( 3+ ) = lim
x−3
x−3
= lim
=1
x − 3 x →3+ x − 3
f ′( 3− ) = lim
−( x − 3 )
x−3
= lim
= −1
x − 3 x →3− x − 3
x →3
+
x →3−
f: R – {4} → R,
f(x) =
x
x−4
Yani sağ ve sol türevler birbirine eşit olmadığından x = 3
noktasında türev yoktur.
olduğuna göre, f′(3) kaçtır?
A) –6
B) –4
f′(3+) ≠ f′(3–)
C) 2
Şimdi de grafiği inceleyelim;
D) 4
E) 6
�
�
��
��
�
Not
�
�
�
�
��
y = |f(x)| fonksiyonunda,
x = 3 noktasında kırılma var. Bunun anlamı bu noktada
f(x) = 0
ise |f(x)| in türevi kritik noktalarda olabilir veya olmayabilir. Bu durumda; iyi grafik çizerim diyenler grafikte kırılma
olup olmadığına karar verir veya türevin genel tanımını
birden fazla teğet çizilmesidir.
Dolayısıyla fonksiyon bu noktada türevsizdir.
Doğru Seçenek E
kullanarak verilen fonksiyonun türevini bulurlar.
LYS MATEMATİK
279
Türev Alma Kuralları
Türev - Bölüm 12
f(x) = |2x|
f(x) = (x – 1) ⋅ |x – 1|
olduğuna göre, f′(0) aşağıdakilerden hangisine eşit-
fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevi varsa aşağı-
tir?
dakilerden hangisidir?
A) 2
D)
B) 1
1
2
C) 0
A) 2
E) Yoktur
B) 1
D) –1
Uyarı
C) 0
E) Yoktur
Hazine 5
Türevli olmayan bir fonksiyon, bir başka fonksiyonla
çarpıldığında elde edilen yeni fonksiyon türevli olabi-
Türevde Zincir Kuralı
y fonksiyonu u ya, u fonksiyonu da x e bağlıyken y nin
lir.
x e göre türevi; [y = f(u), u = g(x) olsun.]
DNA 18
tir.
f(x) = x ⋅ |x|
fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevi varsa
B) 1
D) –1
Aynı şekilde y = f(u), u = g(t), t = h(x) olsun.
Bu durumda da;
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
dy dy du
=
⋅
dx du dx
dy dy du dt
=
⋅
⋅
dx du dt dx
C) 0
E) Yoktur
olur.
Çözüm
lim
x →0
x⋅ x −0
x⋅ x
= lim
= lim x
x →0
x →0
x−0
x
f ′( 0+ ) = lim x = 0 

x →0+

+
−
 f ′( 0 ) = f ′( 0 ) = 0
−

f ′( 0 ) = lim − x = 0

x →0−
olduğundan,
x = 2t2 + 1
t = 3y – 1
y = r2 + 2
dx
ifadesinin r = 1 için türevi aşadr
ğıdakilerden hangisine eşittir?
fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevi 0 dır.
Doğru Seçenek C
LYS MATEMATİK
olduğuna göre,
f(x) = x ⋅ |x|
280
DNA 19
A) 16
B) 32
D) 96
E) 192
C) 64
Türev - Bölüm 12
Türev Alma Kuralları
Çözüm
DNA 20
Zincir Kuralı’ndan;
dx dx dt dy
=
⋅
⋅
dr dt dy dr
f(x) = 2x + 1
g( x ) =
r = 1 için,
x −1
3
olduğuna göre, (gof)′(1) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
y = r2 + 2 = 3 ve t = 3y – 1
⇒t=8
A)
1
3
B)
2
3
C) 1
D) 2
E)
5
3
bulunur.
dx
= 4 t ⋅ 3 ⋅ 2r
dr
= 4 ⋅ 8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 192
dir.
Doğru Seçenek E
Çözüm
(gof)′(x) = g′(f(x)) ⋅ f′(x)
f (1) = 3
⇒ (gof)′(1) = g′(f(1)) ⋅ f′(1)
f ′(1) = 2
= g′(3) ⋅ 2
y = (x + 3)2
x = u2 + 1
u=1–t
g′ ( 3 ) =
1
2
= ⋅2 =
3
3
1
3
olur.
Doğru Seçenek B
dy
olduğuna göre,
nin t = 2 için değeri aşağıdakilerdt
den hangisine eşittir?
A) 40
B) 20
C) 10
D) 5
E) 1
Hazine 6
Bileşke Fonksiyonun Türevi
g(2) = 2
g, x te türevlenebilen; f; g(x) te türevlenebilen birer
g′(2) = 3
f′(2) = 5
fonksiyon olmak üzere, fog fonksiyonu x te türevlenebilir ve
(fog) ′ (x) = f ′ (g(x)) ⋅ g′ (x)
tir.
olduğuna göre, (fog)′(2) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
LYS MATEMATİK
E) 30
281
Türev Alma Kuralları
Türev - Bölüm 12
Hazine 7
DNA 21
Parametrik Fonksiyonların Türevleri
f(x) = g3(3x2 – 1)
t ∈ R olmak üzere, t parametresine bağlı olarak
olduğuna göre, f′(1) aşağıdakilerden hangisine
x = h(t),
eşittir?
A) 12g2(2)
B) 18g′(2)
C) 18g2(2) ⋅ g′(2)
D) 18g(2) ⋅ g′(2)
biçiminde tanımlanan y = f(x) fonksiyonuna parametrik
fonksiyon denir. Parametrik fonksiyonlarda y nin x e
göre türevi alınırken x = h(t) ve y = g(t) denklemlerinde
E) 12g2(2) ⋅ g′(2)
y = g(t)
t parametresi yok edilerek, x ile y arasında y = f(x) bağıntısı elde edilir. y nin x e göre türevi bulunur. Fakat
t parametresini yok etmek her zaman kolay olmaz. Bu
durumda y nin x e göre türevi zincir kuralıyla hesaplanır.
dy
dy dy dt
g′ (t)
=
⋅
= dt =
dx
dx dt dx
h′ (t)
dt
Çözüm
f(x) = g3(3x2 – 1) = [g(3x2 – 1)]3
dir.
⇒ f′(x) = 3g2(3x2 – 1) ⋅ g′(3x2 – 1) ⋅ (3x2 – 1)′
⇒ f′(x) = 3g2(3x2 – 1) ⋅ g′(3x2 – 1) ⋅ (6x)
⇒ f′(1) = 3g2(2) ⋅ g′(2) ⋅ 6 = 18g2(2) ⋅ g′(2)
DNA 22
bulunur.
Doğru Seçenek C
x = θ2 + 4q + 7
y = q2 – 7q + 3
olduğuna göre,
dy
ifadesinin x = 19 için alabiledx
ceği değerlerin küçüğü kaçtır?
A) −
3
8
B) −
D)
19
8
3
8
Çözüm
f(x) =
g2(2x3
– 1)
x = 19 ise
olduğuna göre, f′(1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 12g′(1)
B) 6g(1)
C) 6g′(1) ⋅ g(1)
D) 12g′(1) ⋅ g(1)
E) 18g′(1) ⋅ g(1)
282
LYS MATEMATİK
q2 + 4q + 7 = 19
⇒ q2 + 4q – 12 = 0
⇒ (q + 6) ⋅ (q – 2) = 0
⇒ q = 2 ∨ q = –6
dır.
E)
C) 1
19
8
Türev - Bölüm 12
Türev Alma Kuralları
dy
dy
2θ − 7
= dθ =
dx
dx
2θ + 4
dθ
DNA 23
ifadesi q = 2 için daha küçüktür.
2θ − 7
2θ + 4
θ=2
y2 + 3x2 + xy – 2y – 7 = 0
ifadesinin (1, 2) noktasındaki türevinin değeri aşa-
−3
=
8
ğıdakilerden hangisine eşittir?
A)
dir.
Doğru Seçenek A
−8
3
D)
B)
−7
3
7
3
C) 2
E)
8
3
Çözüm
y = t3 – 3t + 1
x = 2t2 + 5t – 1
f(x, y) = y2 + 3x2 + xy – 2y – 7 = 0
olmak üzere,
y ler sabit
dy
olduğuna göre,
in t = 2 için değeri kaçtır?
dx
A)
9
13
B)
11
13
C)
13
9
D)
11
9
y′ = −
E) 2
fx′ ( x , y )
fy′ ( x , y )
=−
6x + y
2y + x − 2
x ler sabit
olur.
x = 1 ve y = 2 için,
−
Hazine 8
6+2
8
=−
4 + 1− 2
3
tür.
Kapalı Fonksiyonların Türevleri
Doğru Seçenek A
x ve y değişken olmak üzere F(x, y) = 0 denklemiyle
verilen bağıntılara kapalı fonksiyon denir.
3xy + x – 2y + 2 = 0,
x + xy − 2 = 0 gibi.
F(x, y) = 0 kapalı fonksiyonun türevi hesaplanırken, y
sabit düşünülerek x değişkenine göre türevi Fx(x, y),
x sabit düşünülerek y değişkenine göre türevi Fy(x, y)
şeklinde gösterilir. F(x, y) = 0 denkleminde her terimin
x e göre türevi alınırsa;
Fx ( x , y ) + Fy ( x , y ) = 0
⇒ y′ =
olur.
F (x, y)
dy
=− x
dx
Fy (x, y)
x2y + 5y + 6x – 1 = 0
olduğuna göre,
A) −
2 xy + 6
2
x +5
dy
aşağıdakilerden hangisidir?
dx
B) −
D) −
2 xy + 5
2
x +6
x2 + 5
2 xy + 6
E) −
C)
yx 2 + 6 x
5 − 2 xy
x2 y + 5 y
6x −1
LYS MATEMATİK
283
Türev Alma Kuralları
Türev - Bölüm 12
Hazine 9
DNA 24
Ters Fonksiyonların Türevleri
Pozitif gerçek sayılarda tanımlı,
Bir fonksiyonun tersinin türevini alırken, önce bu fonksiyonun tersinin kolayca alıp alınmadığına bakarız.
x y=y x
kapalı fonksiyonunun x = 4 noktasındaki türevinin
değeri kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Eğer tersi kolayca bulunuyorsa tersini bulduktan sonra
türevini alıp sonuca gideriz.
f: A → B, y = f(x) bire bir ve örten fonksiyonunun ters
fonksiyonu,
f–1: B → A
x = f–1(y)
olsun.
Çözüm
∀x ∈ A için f′(x) var ve f′(x) ≠ 0
y−
⇒ f ′( x , y ) = −
x
2 y
⇒ (f −1 ) ′ (y) =
x=4
f ( x, y ) = x y − y x = 0
⇒4 y =y 4
y
2 x
1
1
=
f ′ (x) f ′ (f −1 (y))
olur.
⇒ 4 y = 2y
− x
DNA 25
⇒2 y =y
4
4 = −1 = 1
⇒ f ′ ( 4, 4 ) = −
4
−1
−2
4
2−
⇒ 4 y = y2 ⇒ y = 4
f: R – {3} → R – {2}
Doğru Seçenek C
f(x) =
2x − 1
x−3
olduğuna göre, (f–1)′(1) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A) –5
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
Çözüm
f fonksiyonunun tersini almak kolay olduğundan tersini
alıp türevini alabiliriz.
f(x) =
3
x4
−
3
y4
Buna göre f′(16) kaça eşittir?
1
2
284
⇒ ( f −1 )′( x ) =
( 3 x − 1)′ ⋅ ( x − 2 ) − ( x − 2 )′ ⋅ ( 3 x − 1)
⇒ ( f −1 )′( x ) =
3 ( x − 2 ) − ( 3 x − 1)
=7
eşitliğiyle tanımlanan y = f(x) fonksiyonu veriliyor.
A) −
2x −1
3x −1
⇒ f −1 ( x ) =
x−3
x−2
B) 0
LYS MATEMATİK
C) 1
( x − 2 )2
( x − 2 )2
⇒ ( f −1 )′(1) =
−3 − 2
= −5
1
olur.
D)
1
2
E) 2
Doğru Seçenek A
Türev - Bölüm 12
Türev Alma Kuralları
f: R → R,
f(x) =
f: R+ → (–9, +∞),
3x − 2
5
fonksiyonu veriliyor.
olduğuna göre, (f–1)′(x) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A)
3
5
B)
f(x) = x2 – 9
5
3
C) −
2
5
D)
2
3
E) 5
DNA 26
Buna göre, (f–1)′(7) nin değeri kaçtır?
A) 16
f(x) = x3 + 5
6 1
14
E)
3
8
A ⊂ R olmak üzere,
hangisine eşittir?
3
D)
TANIM
f: A → R, y = f(x)
olduğuna göre, (f–1)′(6) değeri aşağıdakilerden
A)
1
8
Yüksek Mertebeden Türevler
f: R → R,
C)
B) 4
fonksiyonu A kümesinde türevli bir fonksiyon olsun.
1
3
B)
D) 6
C)
1
6
y ′ = f ′( x ) =
dy
e f fonksiyonunun 1. mertebeden tüdx
revi denir.
E) 221
y ″ = f ″( x ) =
d2 y
dx 2
e f fonksiyonunun 2. mertebeden türevi denir.
Çözüm

( f −1 )′( y0 ) =
1
1
=
f ′( x0 ) 3 x02
yn = f n ( x ) =
dn y
dxn
e f fonksiyonunun n. mertebeden türevi denir.
dir.
y0 = 6 için x30 + 5 = 6
DNA 27
x30 = 1 ⇒ x0 = 1
olur.
⇒ ( f −1 )′( 6 ) =
f: R → R olmak üzere,
1
3
f(x) = (5x – 1)5
olduğuna göre, f(5)(x) ifadesinin sonucu aşağıdaki-
tür.
lerden hangisine eşittir?
Doğru Seçenek B
A) 5!
B) 4! ⋅ 4!
D) 4! ⋅ 45
C) 5! ⋅ 54
E) 5! ⋅ 55
LYS MATEMATİK
285
Türev Alma Kuralları
Türev - Bölüm 12
Çözüm
DNA 28
f(x) = 2 ⋅ sin(5x – 1)
f(x) = (5x – 1)5
⇒ f(1)(x) = 5(5x – 1)4 ⋅ 5
⇒
⇒ f(3)(x) = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ (5x – 1)2 ⋅ 53
A) f′(x) = –10 ⋅ cos(5x – 1)
⇒ f(4)(x) = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ (5x – 1) ⋅ 54
B) f′(x) = –10 ⋅ sin(5x – 1)
⇒ f(5)(x) = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 55 = 5! ⋅ 55
C) f′(x) = 5 ⋅ cos(5x – 1)
f(2)(x)
= 5 ⋅ 4 ⋅ (5x –
1)3
olduğuna göre, f′(x) aşağıdakilerden hangisine
⋅
eşittir?
52
bulunur.
D) f′(x) = 10 ⋅ cos(5x – 1)
E) f′(x) = 10 ⋅ sin(5x – 1)
Doğru Seçenek E
Çözüm
Türevlenebilir bir y = f(x) = fonksiyonunun x e göre n ninci
türevi f(n)(x) veya
dn y
olarak gösterilir.
dxn
f′(x) = (5x – 1)′ ⋅ 2 ⋅ cos(5x – 1)
Buna göre,
f(x) = x6
fonksiyonu için f(3)(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
A) 6! ⋅ x3
6! 3
⋅ x 5!
D) 6! ⋅ x4
B)
C)
6! 3
⋅x
3!
⇒ f′(x) = 5 ⋅ 2 ⋅ cos(5x – 1)
⇒ f′(x) = 10 ⋅ cos(5x – 1)
bulunur.
Doğru Seçenek D
E) 6! ⋅ x2
Hazine 10
Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonunun Türevi
f: R → R
f(x) = sinu(x) ve u(x), x in bir fonksiyonu olmak üzere,
f′(x) = u′(x) ⋅ cos u(x)
olduğuna göre, f′(x) aşağıdakilerden hangisine eşit-
dir.
f(x) = cos u(x) ve u(x), x in bir fonksiyonu olmak üzere,
f′(x) = –u′(x) ⋅ sin u(x)
tir.
tir?
A) f′(x) = 2x ⋅ cos x2
B) f′(x) = –2x ⋅ cos x2
C) f′(x) = 2x ⋅ sin x2
D) f′(x) = x ⋅ sin x2
286
f(x) = sin x2
LYS MATEMATİK
E) f′(x) = 2x ⋅ cos2 x
Türev - Bölüm 12
Türev Alma Kuralları
DNA 29
Hatırlatma
Bazı trigonometrik fonksiyonların türevi ilk bakışta zor
f(x) = sin3(x2)
gelebilir. O zaman trigonometrik özdeşlikleri kullanıp
olduğuna göre, f′(x) aşağıdakilerden hangisine
ifadeyi daha sade hale getirip türev alırız.
eşittir?
sin2 x + cos2 x = 1
A) 6x ⋅ sin2(x2) ⋅ cos(x2)
sin 2x = 2 ⋅ sin x ⋅ cos x
B) 6 ⋅ sin2(x2) ⋅ cos(x2)
cos 2x = cos2 x – sin2 x
C) 6x ⋅ sin(x2) ⋅ cos2(x2)
özdeşliklerini sıkça kullanacağız.
D) 6 ⋅ cos2(x2) ⋅ sin(x2)
E) 12x ⋅ sin3(x2) ⋅ cos(x2)
DNA 30
Çözüm
f(x) = cos22x – sin22x
f(x) = sin3(x2)
⇒ f′(x) = 3 ⋅
p
olduğuna göre, f ′   aşağıdakilerden hangisi8
dir?
sin2(x2)
⋅
[sin(x2)]′
A) –8
B) –4
C) –2
D) 2
E) 4
⇒ f′(x) = 3 ⋅ sin2(x2) ⋅ cos(x2) ⋅ 2x
Çözüm
⇒ f′(x) = 6x ⋅ sin2(x2) ⋅ cos(x2)
Doğru Seçenek A
f(x) = cos22x – sin22x = cos4x
⇒ f′(x) = –4 ⋅ sin4x
π
π
⇒ f ′   = −4 ⋅ sin = −4
2
8
bulunur.
Doğru Seçenek B
f ( x ) = 3 sin x
olduğuna göre, f′(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A)
C)
− cos x
3
3 ⋅ cos2 x
− sin x
3
3 ⋅ cos2 x
B)
D)
E)
cos x
3
3 ⋅ sin2 x
− cos x
3
3 ⋅ sin2 x
sin x
3
3 ⋅ cos2 x
d2
dx 2
(cos2 3 x − sin2 3 x )
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 36 ⋅ cos 6x
B) 18 ⋅ cos 6x
C) 12 ⋅ cos 6x
D) –18 ⋅ cos 6x
E) –36 ⋅ cos 6x
LYS MATEMATİK
287
Türev Alma Kuralları
Türev - Bölüm 12
Not
Çözüm
Sekant ve kosekant fonksiyonlarının türevleri için ayrıca
f(x) = cot 2x
formül vermeyeceğiz.
⇒ f ′( x ) =
1
1
sec x =
ve csc x =
cos x
sin x
olduğundan; ayrıca sin ve cos fonksiyonlarının türevlerini
−2
sin2 2 x
 π 
⇒ f ′  =
 12 
−2
π
sin
6
2
=
−2
= −8
1
4
olur.
de almayı öğrendiğimize göre sorunumuz yok demektir.
Doğru Seçenek B
f(x) = tan 3x
p
olduğuna göre, f ′   kaça eşittir?
9
Hazine 11
B) 12
A) 16
C) 8
D) 4
E) 2
Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonların Türevleri
i) u(x), x in bir fonksiyonu olmak üzere,
f(x) = tan u(x) ⇒ f′(x) = u′(x) ⋅ (1 + tan2 u(x))
=
u′( x )
cos2 u( x )
ii) f(x) = cot u(x) ⇒ f′(x) = –u′(x) ⋅ (1 +
=
π 
f ( x ) = tan2  x 
3 
cot2 u (x))
olduğuna göre, f′(1) kaça eşittir?
= –u′(x) ⋅ (csc2 u (x))
DNA 32
= u′(x) ⋅ sec2 u (x)
A)
−u′( x )
sin2 u( x )
16 π 3
3
B) 4 π 3 D) 2 π 3 C)
E)
dir.
8π 3
3
4π 3
3
Çözüm
π 
π 
f ( x ) = tan  x  ⇒ f ′( x ) = 2 ⋅ tan  x  ⋅
3 
3 
2
DNA 31
π
⇒ f ′((1) = 2 ⋅ tan ⋅
3
f(x) = cot 2x
 p 
olduğuna göre, f ′   kaça eşittir?
 12 
A) –16
288
B) –8
LYS MATEMATİK
C) –4
D) 4
π
3
π
cos
3
2
= 2⋅ 3 ⋅
π
3
π 
cos2  x 
3 
π 1
8π 3
⋅
=
3 1
3
4
bulunur.
E) 8
Doğru Seçenek C
Türev - Bölüm 12
Türev Alma Kuralları
DNA 33
f(x) = cot3(3x)
 p 
olduğuna göre, f ′   kaça eşittir?
 12 
B) –18
A) –24
C) –15
f(x) = arcsin 3x
olduğuna göre, f′(x) aşağıdakilerden hangisine
D) –12
eşittir?
E) –9
A)
3
1+ 9 x
2
B)
D)
3
C)
1 − 9 x2
−3
1 − 9 x2
1 + 9 x2
Çözüm
Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri
(arcsin u )′ =
(arcsin, arccos)
 π π
i) f : [ −1, 1] →  − ,  ve f(x) = arcsin x ise
 2 2
f ′( x ) =
1 + 9 x2
3
E)
Hazine 12
−3
⇒ f ′( x ) =
1 − x2
dir.
Genel olarak u, x e bağlı türevlenebilen bir fonksi-
1 − u2
f ( x ) = arcsin 3 x
1
u′
3
1 − 9 x2
Doğru Seçenek C
yon ve
y = arcsin u ⇒ y ′ =
u′
1 − u2
dir.
ii) f: [–1, 1] → [0, p] ve f(x) = arccos x
⇒ f ′( x ) =
−1
1 − x2
d
(arccos 2 x )
dx
dur.
Yine u, x e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
üzere,
y = arccosu ⇒ y ′ =
dir.
− u′
1 − u2
A)
2
1+ 4 x
2
D)
−2
B)
2
1− 4 x
2
1+ 4 x
2
E)
C)
−2
1 − 4 x2
2
1 − 4 x2
LYS MATEMATİK
289
Türev Alma Kuralları
Türev - Bölüm 12
Hazine 13
DNA 34
(arctan, arccot)
f(x) = arcsin2 3x
olduğuna göre, f′(x) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
6 ⋅ arcsin 3 x
A)
1 − 9 x2
6 ⋅ sin x
C)
B)
1 − 9 x2
D)
E)
3
1 − 9 x2
3 ⋅ sin x
1 − 9 x2
 π π
i) f : R →  − ,  ve f(x) = arctan x ise
 2 2
f ′( x ) =
1
1 + x2
dir.
Genel olarak u, x e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon ve
3 ⋅ arcs in 3 x
1 − 9 x2
y = arctanu ise y ′ =
u′
1+ u2
olur.
ii) f: R → (0, p) ve f(x) = arccot x ise
Çözüm
f(x) = arcsin2 3x = (arcsin3x)2
⇒ f ′( x ) =
2(arcsin 3 x ) ⋅ 3
1 − 9 x2
=
6 ⋅ arcsin 3 x
f ′( x ) =
1 + x2
dir.
Yine u, x e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon ve
1 − 9 x2
bulunur.
−1
y = arccotu ise y ′ =
− u′
1+ u2
olur.
Doğru Seçenek A
f ( x ) = arccos 2 x
olduğuna göre, f′(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
B)
C)
D)
E)
−2
2
1 − 4 x ⋅ arccos 2 x
DNA 35
−1
2 1 − 4 x 2 ⋅ arccos 2 x
−1
2
1 − 4 x ⋅ arccos 2 x
− arccos2 x
1 − 4 x2
−2 arccos 2 x
1 − 4 x2
290
LYS MATEMATİK
f(x) = arctan(sinx)
p
olduğuna göre, f ′   kaça eşittir?
6
A)
3 D)
B)
2 3
5
4 3
5
E)
C)
3
5
3 3
5
Türev - Bölüm 12
Türev Alma Kuralları
Çözüm
DNA 36
f(x) = arctan(sinx)
π
6
3
cos x
π
2
⇒ f ′( x ) =
⇒ f ′  =
=
π
1
6
1 + sin2 x
1 + sin2
1+
6
4
cos
d
[log5 ( 3 x )]
dx
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3 4 2 3
π
⇒ f ′  =
⋅ =
2 5
5
6
3
xln 5
dir.
D)
B)
3x
ln 5
1
3 xln 5
C)
E)
1
xln 5
x
ln5
Doğru Seçenek D
Çözüm
( 3 x )′ 1
3
d
1
1 1
⋅
=
⋅
= ⋅
[log5 ( 3 x )] =
dx
3 x ln5 3 x ln5 x ln5
f ( x ) = sin( arc cot x )
bulunur.
olduğuna göre, f′(1) kaçtır?
A)
− 2
16
B)
D)
− 2
8
− 2
2
C)
Doğru Seçenek C
− 2
4
E) − 2
Hazine 14
a ≠ 1 olmak üzere,
f ( x ) = loga x ⇒ f ′( x ) =
1 1
⋅
lna x
dir.
f(x) = log(cos x)
olduğuna göre, f′(x) aşağıdakilerden hangisine eşit-
Ayrıca u; x in bir fonksiyonu olmak üzere,
[loga u]′ =
dır.
u′ 1
⋅
u lna
tir?
A) –cot x ⋅ log e B) –tan x ⋅ log e
C) –cot x ⋅ loge10
D) –tan x ⋅ loge10
E) tan x ⋅ log e
LYS MATEMATİK
291
Türev Alma Kuralları
Türev - Bölüm 12
Hazine 15
Hazine 16
f: R+ → R
Üstel Fonksiyonun Türevi
f(x) = lnx ⇒ f ′ (x) =
1
x
u, x in bir fonksiyonu olmak üzere, (a ∈ R)
(au)′ = au ⋅ u′ ⋅ lna
dir.
u, x in bir fonksiyonu olmak üzere,
y = lnu ⇒ y ′ =
dır.
u′
u
(eu ) ′ = eu ⋅ u′ ⋅ l
ne = eu ⋅ u′
1
dur.
olur.
DNA 37
f(x) = ln(x2 – 2x + 5)
olduğuna göre, f′(x) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A) 2x – 2
2
C)
2x − 2
DNA 38
x2 − 2 x + 5
B)
2
D)
2
2
x − 2x + 5
2
−1
olduğuna göre, f′(1) kaçtır?
2x − 2
E)
f ( x ) = 3x
x2 − 2 x + 5
A)
ln3
2
B) ln3
C) 2ln3
E) 6ln3
D) 4ln3
Çözüm
f(x) = ln(x2 – 2x + 5)
⇒ f ′( x ) =
( x 2 − 2 x + 5 )′
x2 − 2 x + 5
=
2x − 2
Çözüm
x2 − 2 x + 5
olur.
f ( x ) = 3x
Doğru Seçenek E
2
−1
⇒ f ′( x ) = 3 x
2
−1
⋅ ( x 2 − 1)′ ⋅ l n 3
⇒ f ′( x ) = 3 x
2
−1
⋅ 2x ⋅ ln3
⇒ f ′(1) = 30 ⋅ 2 ⋅ l n 3 = 2 l n 3
f(x) = ln(lnx)
olur.
olduğuna göre, f′(e2) kaçtır?
A)
−2
e
4
292
B)
−2
e
2
LYS MATEMATİK
C)
−1
e
4
D)
−1
e
2
E)
2
e
2
Doğru Seçenek C
Türev - Bölüm 12
f(x) = 4
Türev Alma Kuralları
x
olduğuna göre, f′(1) kaçtır?
A)
ln 4
2
f ( x ) = ex
2
+3 x
olduğuna göre, f′(1) kaçtır?
B) ln4
D) 4ln4
C) 2ln4
A) 5e4
B) 4e5
C) 3e4
D) 4e3
E) 3e5
E) 8ln4
Hazine 17
Logaritmik Türev Alma
f(x) > 0 ve f(x) ≠ 1 olmak üzere,
DNA 39
y = [f(x)]g(x)
f(x) = earctanx
biçimindeki fonksiyonların türevini alırken, eşitliğin her
iki tarafının ln i alınıp bu ifadenin x e göre türevi alınır.
olduğuna göre, f′(1) kaçtır?
π
A)
π
e4
D)
π
e2
2
y = (f(x))g(x) ⇒ lny = ln(f(x))g(x)
π
e4
B)
2
e4
C)
4
⇒ lny = g(x) ⋅ ln(f(x))
Her iki tarafın x e göre türevini alalım.
E)
π
2e4
y′
f ′( x )
= g′ ( x ) ⋅ l n f ( x ) +
⋅ g( x )
y
f(x)
f ′( x )


⇒ y ′ = y  g′ ( x ) ⋅ l n f ( x ) +
⋅ g( x ) 
f
(
x
)


f ′( x )


⇒ y ′ = [ f ( x )]g ( x ) ⋅ g′( x ) ⋅ l n f ( x ) +
⋅ g( x ) 
f(x)


olur.
Çözüm
f ( x ) = earctan x ⇒ f ′( x ) = earctan x ⋅
⇒ f ′(1) = earctan1 ⋅
1
1 + x2
π
e4
1
=
2
2
DNA 40
f(x) = x2x
olduğuna göre, f′(1) kaçtır?
Doğru Seçenek B
A)
1
2
B) 1
C) 2
D) 4
LYS MATEMATİK
E) 8
293
Türev Alma Kuralları
Türev - Bölüm 12
Çözüm
DNA 41
f(x) = x2x ⇒ y = x2x
⇒ lny = lnx2x
⇒ lny = 2x ⋅ lnx
P(x) = x3 + ax2 + bx – 9
polinomu (x + 3)2 ile tam bölünebildiğine göre, b
kaçtır?
Her iki tarafın x e göre türevini alalım.
A) –5
y′
1
= 2 ⋅ ln x + ⋅ 2x
y
x
⇒ y ′ = ( 2 l n x + 2 ) ⋅ x2 x
B) –3
C) 0
D) 3
E) 5
Çözüm
⇒ f ′(1) = 2
IŞIK 9’dan,
bulunur.
Doğru Seçenek C
P(–3) = 0 ve P′(3) = 0
olmalıdır.
P(–3) = –27 + 9a – 3b – 9 = 0
⇒ 9a – 3b = 36
olduğuna göre, f′(e) aşağıdakilerden hangisine eşit-
⇒ 3a – b = 12
tir?
dir.
f(x) = xx
A) ee
B) 2ee
C) 2e2
D) e2
E) 2
Işık 9
Türevin Polinomlara Uygulanması
Bir P(x) polinomunun (x – a)n ile bölümünden kalanı
P′(x) = 3x2 + 2ax + b
⇒ P′(–3) = 27 – 6a + b = 0
⇒ 6a – b = 27
dir.
Denklemleri ortak çözersek,
bulurken türevden faydalanabiliriz. (a, n ∈ R)
Örneğin; P(x) polinomu (x – a)2 ile tam bölünüyorsa,
b=3
bulunur.
P(a) = 0 ve P′(a) = 0
Doğru Seçenek D
dır.
P(x) polinomu (x – a)3 ile tam bölünüyorsa,
P(x) = 0, P′(a) = 0 ve P″(a) = 0
dır.
P(x) = 2x3 – ax2 – x + b
Bu durumu genelleştirirsek;
P(x) polinomu (x – a)n ye tam bölünüyorsa,
polinomu veriliyor.
P(a) = 0, P′(a) = 0, ... Pn–1(a) = 0
P(x) polinomunun (x + 1)2 ile bölümünden kalan 5x + 3
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
dır.
A) –2
294
LYS MATEMATİK
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Türev - Bölüm 12
Türev Alma Kuralları
TEST - 1
5.
olduğuna göre, f′(0) değeri kaçtır?
A) 0
1.
olduğuna göre, f′(1) değeri kaçtır?
f(x) = x2 + 3x + 1
A) 1
B) 3
f(x) = (x2 + 1)2
C) 4
D) 5
B) 1
C) 2
D) 4
E) 8
E) 6
6.
Aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur?
I.Bir fonksiyon tanım aralığındaki bir noktada sürekliyse o noktada türevlidir.
2.
ifadesinin özdeşidir?
A) –2f′(x)
−f ′( x )
2
f ′( x )
D)
2
B)
II.Bir fonksiyon tanım aralığındaki bir noktada süreksizse o noktada türevsizdir.
f ( x ) − f ( x + 2h )
lim
h →0
h
3.
Aşağıdakilerden hangisi,
III.Periyodik bir fonksiyonun türevi de periyodiktir.
IV.Tek fonksiyonların türevleri çift, çift fonksiyonların
türevleri tek fonksiyonlardır.
C) f′(x)
A) 0
B) 1
 x3 + mx − n, x < −1
f(x) = 
2
 x + 3 x − 1, x ≥ −1
fonksiyonu R de türevli olduğuna göre, m ⋅ n kaç-
7.
y = cos2 t
x = –sin t
B) –8
C) –6
D) –4
E) –2
f: R → R olmak üzere,
f(x) = |x3 – x2 – 2x|
olduğuna göre, f′(–1) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A) –1
dy
aşağıdakilerden hangisine
dx
olduğuna göre,
A) −
x
2
E) 4
eşittir?
A) –12
D) 3
E) 2f′(x)
tır?
4.
C) 2
B) 0
D) 2
C) 1
E) Yoktur
D)
B) –x
−2 x
1− x
8.
y = t2 + t
t = 3z – 2
z = x +1
olduğuna göre,
A) 15
B) 24
2
C) –2x
E)
−2 x
1 − x2
dy
in x = 2 için değeri kaçtır?
dx
C) 32
D) 40
E) 45
LYS MATEMATİK
295
Türev Alma Kuralları
Türev - Bölüm 12
9.
olduğuna göre, f′(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) sin2x
f(x) = sin2x
10.
x ≤ 3 ve
x2
f(x) =
11.
C) 0
B) 2(u + 1)du
C) 2 u + 1 du du
D)
2( u + 1)
du
f(x + 2) = g(x3 + x)
f′(3) = 12
296
2. A
B) 4
3. B
LYS MATEMATİK
1
12
E)
1
6
B)
2
e
C) e
D) 2e
E) 2e2
f(x) = x ⋅ sinx
olduğuna göre, f′(p) değeri aşağıdakilerden han-
B) −
A) –p
π
2
C) 0
D)
π
2
E) p
C) 3
4. B
D) 2
5. A
6. D
olduğuna göre, f′(2) kaçtır?
A)
ln2
2
E) 1
7. C
f(x) = x(x–2)
olduğuna göre, g′(2) kaçtır?
1. D
1
e
16.
A) 6
D)
2 u +1
12.
1
18
gisidir?
A) 2u du
E)
C)
olduğuna göre, f′(1) değeri kaçtır?
15. 1
24
2
E) 2
olduğuna göre, dx değerinin u cinsinden eşiti
B)
f(x) = ex
A)
1
D) 2
x2 – 1 = u
1
48
14. aşağıdakilerden hangisidir?
fonksiyonu için f′(9) kaçtır?
E) cos2x
olduğuna göre, (f–1)′(3) kaçtır?
A) –2
f ( x ) = ln 1+ x
A)
– 6x + 11
1
B) − 2
C) cos2x
B) sin2x
D) sinx ⋅ cosx
13. 8. E
9. B
D)
10. B
B) ln2
ln2 2
2
11. E
12. C
C) ln22
E) ln4
13. A
14. D
15. A
16. B
Türev - Bölüm 12
Türev Alma Kuralları
5.
TEST - 2
1.
daki önermelerden kaç tanesi doğrudur?
f: R+ → R
f ( x) = x + 2x − 3
olduğuna göre, lim
x →4
kaçtır?
A)
f ′ (x) − f ′ (4)
limitinin değeri
x−4
−1
−1
−1
B)
C)
64
48
32
D)
1
32
E)
I.[x2 ⋅ f(x3)]′ = 2x ⋅ f(x3) + f′(x3) ⋅ 3x4
II.[f(3x – 1)]′ = f′(3x – 1) ⋅ 3
III.[f3(2x + 1)]′ = 6f2(2x + 1)
IV.[f2(x2)]′ = 4x f(x2) ⋅ f′(x2)
A) 0
Uygun şartlarda,
B)
1
2
C)
1
8
D)
3
16
E)
D) 3 E) 4
D) 9
E) 21
3
f   = x2 − x + 2
x
olduğuna göre, f′(–1) kaçtır?
A) –21
olduğuna göre, (f–1)′(2) kaçtır?
A) 2
C) 2 f: R – {0} → R,
 1 x + 2
f  =
 x  x −1
B) 1 1
48
6.
2.
f türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere, aşağı-
B) –9
C) 1
1
4
7.
P(x), baş katsayısı 3 olan ikinci dereceden bir polinom olup, P(x) = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
3.
Buna göre,
f: R → R
x1
f(x) = 3x2 – |x2 – x|
olduğuna göre, f″(–1) kaçtır?
A) –4
B) –2
C) 0
D) 2
p
olduğuna göre, f ′   aşağıdakilerden hangisi8
dir?
f(x) = ln(cos2 x – sin2 x) – ln(sin x ⋅ cos x)
B) –2
C)
−1
2
D)
−1
4
E) 1
+
x2
P ′( x 2 )
toplamı kaçtır?
A) –3
E) 4
4.
A) –4
P ′( x1 )
8.
B)
−1
3
C) 0
D)
E) 3
f(x) = log(sin x)
 3p 
olduğuna göre, f ′ 
 kaçtır?
 4 
A) 1
1
3
B) ln10
D) –loge
E)
C) loge
−1
loge
LYS MATEMATİK
297
Türev Alma Kuralları
Türev - Bölüm 12
9.
13. olduğuna göre, f′(1) değeri kaçtır?
A) –1
f(x) = ln(x2 + 1)
B) −
D) –ln2
10. f(x) = ln(tanx)
1
2
C) ln2
A)
1 − e2 x
B)
ex
e2 x + 1
C) earctanx
D) arctanex
E)
14. C) 144
D) 180
E) 210
f(x) =
x +1
x −1
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, f(30)(–1) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
e2 x
ex + 1
A)
30!
230
B)
D) −
15. f ( x) =
11.
B) 120
E) 1
ne eşittir?
ex
olduğuna göre, f′(1) değeri kaçtır?
A) 105
olduğuna göre, (f–1)′(x) aşağıdakilerden hangisi-
f(x) = 1 + x + x2 + x3 + ... + x20
30!
30
2
30!
231
C)
E) −
30!
2
30!
231
ex – e–x = f(x)
olduğuna göre, f(2)(x) + f(4)(x) toplamı aşağıdaki-
lerden hangisine eşittir?
A) 0
B) f(x)
D) 4f(x)
C) 2f(x)
E) 6f(x)
x2 + 1
olduğuna göre, f′(0) değeri kaçtır?
A) −
12.
x2 − 1
1
4
B) −
1
2
C) 0
D)
1
4
E) 1
�
��
16. �
�
�
�
�
�
f(x) = x ⋅ ex
olduğuna göre, f(10)(x) aşağıdakilerden hangisidir?
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
A) (10 + x)ex
B) (10 + ex)x
Buna göre, f(x) fonksiyonunun türevsiz olduğu
C) 10ex
D) 10 + ex
kaç nokta vardır?
A) 0
1. C
298
2. E
B) 1
3. E
LYS MATEMATİK
E) 10x + ex
C) 2
4. A
D) 3
5. D
6. E
E) 4
7. D
8. D
9. E
10. B
11. C
12. E
13. E
14. D
15. C
16. A
TÜREV - BÖLÜM 12
TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
DNA 42
GİRİŞ
3
f ( x ) = x2 + a
Bu kısımda türevin geometrik anlamını öğreneceğiz. Ge-
eğrisinin üzerindeki A(8, 5) noktasından çizilen te-
rekli olan analitik geometri bilgilerini de hatırlatma olarak
ğetin eğimi b olduğuna göre, a + b kaçtır?
vereceğiz.
A) 2
Hatırlatma
�
��
�
�
C)
4
3
D) 1
E)
2
3
A(8, 5) eğri üzerinde olduğundan eğri denklemini sağlar. �
�
5
3
Çözüm
Bir doğrunun eğimi, o doğrunun grafiğinin Ox ekseni
ile yaptığı pozitif yönlü açının tanjantına eşittir.
B)
f(8) = 5
⇒ f ( 8 ) = 3 64 + a = 5
⇒4+a=5
⇒ a = 1 dir.
Ayrıca f′(8) = mT (Teğetin eğimi)
3
f ( x ) = x 2 + 1 ⇒ f ′( x ) =
⇒ f ′( 8 ) =
Hazine 18
md = f′(x0) = tana
a + b = 1+
2
3⋅ 2
=
1
= b olur .
3
1 4
= tür.
3 3
�
�
1
2 −3
2
x = 3
3
3 x
Doğru Seçenek C
��
��
�
�
��
�
Denklemi y = f(x) olan eğriye üzerindeki apsisi x0 olan
bir noktadan çizilen teğetin eğimi; o noktadaki türevine
eşittir.
f(x) = x2 – ax + b
eğrisine üzerindeki A(1, 3) noktasından çizilen teğetin
eğimi –3 olduğuna göre, a + b kaçtır?
A) 14
B) 12
C) 7
D) 5
LYS MATEMATİK
E) 2
299
Türevin Geometrik Anlamı
Türev - Bölüm 12
DNA 43
�
�
�
�
��
�
��
��
��
��
�
�
�
�
Şekildeki y = f(x) eğrisi d doğrusuna A(–1, 2) noktasında
Şekildeki y = f(x) eğrisi d doğrusuna x = 4 apsisli nok-
teğettir.
tada teğettir.
g( x ) =
f(x)
g( x ) =
x
olduğuna göre, g′(–1) kaçtır?
olduğuna göre, g′(4) kaçtır?
3
A) 4
5
B) 8
1
f(x)
1
C) − 2
3
D) − 8
1
E) −
24
A)
− 3
2
Çözüm
− 3
4
B)
3
2
D)
C)
E)
− 2
2
3
4
TANIM
�
�
�
�
�
��
��
�
�
��
�
�
�
f ′( 4 ) = tan α =
�
�
�
�
2 1
=
ve
6 3
f(4) = 2
�
y = f(x) eğrisinin üzerindeki herhangi bir x0 apsisli noktasından çizilen teğetin eğiminin f′(x0) = md olduğunu öğrendik. d doğrusuna dik olan k doğrusuna ise normal doğru
denir.
dir.
g( x ) =
f(x)
f ′ ( x ) ⋅ x − 1⋅ f ( x )
⇒ g′ ( x ) =
x
x2
⇒ g′ ( 4 ) =
1
⋅4−2
f ′( 4 ) ⋅ 4 − f ( 4 ) 3
1
=
=
16
16
24
Not
d ^ k ⇒ md ⋅ mk = –1
(Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı –1 dir.)
bulunur.
Doğru Seçenek E
dir.
300
LYS MATEMATİK
⇒ f′(x0) ⋅ mk = –1
⇒ mk =
−1
f ′( x0 )
Türev - Bölüm 12
Türevin Geometrik Anlamı
Not
DNA 44
Denklemi f(x) = sin(cos6x) olan eğriye üzerindeki
x=
π
noktasından çizilen normalin eğimi kaçtır?
12
A) –6
B)
−1
6
C)
1
3
D)
1
6
Kesişmeyen bir eğri ve bir doğru verildiğinde eğri üzerinde
doğruya en yakın nokta, doğruya paralel teğetlerden birinin değme noktasıdır.
E) 6
DNA 45
y = 2x2
parabolünün x – 2y – 2 = 0 doğrusuna en yakın
Çözüm
noktasının apsisi kaçtır?
A)
f(x) = sin(cos6x) ⇒ f′(x) = cos(cos6x) ⋅ (–6 ⋅ sin6x)
1
2
π 
π
 π 

⇒ f ′   = cos  cos  ⋅  −6 ⋅ sin 
 12 

2


2



��
1
6
= –6 = mT (Teğetin eğimidir.)
E) 2
�
�
mT ⋅ mn = –1 ⇒ –6 ⋅ mn = –1
1
8
��
��
�
��
�
mn: normalin eğimi olmak üzere,
⇒ mn =
D)
�
= 1 ⋅ (–6)
C)
Çözüm
0
1
4
B)
��
1
6
En yakın noktanın apsisi x0 olsun.
dır.
f(x) = 2x2
f ′( x ) = 4 x0 =
Doğru Seçenek D
1
1
⇒ x0 =
2
8
dir.
Doğru Seçenek D
f(x) = sin(ln(2x))
y = x2 + 5x + 4
1
eğrisine üzerindeki x = noktasından çizilen norma2
eğrisinin y = x doğrusuna en yakın noktasının apsisi
lin eğimi kaçtır?
kaçtır?
A) –2
B)
−1
2
C) –1
D)
1
2
E) 2
A) –3
B)
−5
2
C) –2
D)
−3
2
LYS MATEMATİK
E) –1
301
Türevin Geometrik Anlamı
Türev - Bölüm 12
Çözüm
Hatırlatma
Eğimi m, bir noktası A(x0, y0) olan doğru denklemi,
y – y0 = m ⋅ (x – x0)
dır.
f(x) = x2 – 4x + 3 ⇒ f′(x) = 2x – 4
⇒ f′(1) = –2 = mT teğetin eğimidir.
f(1) = 1 – 4 + 3 = 0
(1, 0)
Eğimi ve bir noktası belli olan doğru denkleminden;
y – 0 = –2 ⋅ (x – 1)
Işık 10
y = –2x + 2
Denklemi y = f(x) olan eğriye üzerindeki bir A(x0, y0)
noktasından çizilen teğetin eğimi m = f′(x0) idi. O za-
bulunur.
man yukarıdaki hatırlatmadan teğetin denklemi,
Doğru Seçenek D
y – y0 = f′(x0) ⋅ (x – x0)
dır.
Ayrıca normalin denklemi,
mn =
−1
f ′ (x 0 )
olduğundan,
y − y0 =
−1
⋅ (x − x 0 )
f ′ (x 0 )
olur.
y=
4
eğrisine apsisi x = 2 noktasından çizilen teğetin
x
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = –x + 2
B) y = –x + 4
D) y = x + 2
C) y = –x
E) y = x – 4
DNA 46
y = x2 – 4x + 3
DNA 47
eğrisine apsisi 1 olan noktadan çizilen teğetin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x + 2
B) y = 2x – 2
C) y = –2x – 2
D) y = –2x + 2
E) y = –2x + 1
302
LYS MATEMATİK
y = x3 eğrisine, üzerindeki A(2, 8) noktasından çizilen
teğet, eğriyi başka bir B noktasında kesiyor.
Buna göre, B nin apsisi kaçtır?
A) –6
B) –5
C) –4
D) –3
E) –2
Türev - Bölüm 12
Türevin Geometrik Anlamı
Çözüm
TANIM
��
�
�
�
Önce teğetin denklemini
y = f(x) ve y = g(x) kesişen iki eğri olmak üzere, iki eğri ara-
bulalım.
sındaki açının anlamı; kesişme noktalarındaki teğetlerinin
��
f′(2) = m = 12
oluşturduğu açıdır.
A(2, 8)
�
�
�
��
⇒ y = 12x – 16
�
teğetin denklemidir.
��
�
Eğri ile teğet doğrusunun denklemlerini ortak çözelim.
Özel olarak teğetler dik kesişiyorsa
x3 = 12x – 16
m1 ⋅ m2 = –1
x3 – 12x + 16 = 0, x = 2
bu denklemin bir kökü olduğundan x – 2 ye tam bölünür.
dir.
Ayrıca,
x3 – 12x + 16
3
± x – 12x + 16
x–2
m1 = m2
x2 + 2x – 8
ise eğriler birbirine x0 da teğettir denir.
2x2 – 12x + 16
2x2 ± 4x
–8x + 16
+ 8x ± 16
0
Işık 11
x3 – 12x + 16 = 0 ⇒ (x – 2) ⋅ (x2 + 2x – 8) = 0
x2 + 2x – 8 = 0 ⇒ (x + 4) ⋅ (x – 2) = 0
x = –4 ve x = 2
f(x) ve g(x) kesişen eğrilerinin arasındaki açının ölçüsü q olmak üzere,
f′(x0) = m1, g′(x0) = m2
⇒ tanθ =
bulunur.
Doğru Seçenek C
m1 − m2
1 + m1 ⋅ m2
dir.
DNA 48
f(x) =x3 – x2
y = x2 – x – 2
eğrisinin Ox eksenini kestiği noktalardaki teğetleri
eğrisinin A(–1, –2) noktasındaki teğeti, eğriyi bir B nokta-
arasında kalan dar açının sinüsü kaçtır?
sında kesiyor.
A)
Buna göre, B noktasının apsisi kaçtır?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
3
4
D)
B)
5
6
3
5
E)
C)
4
5
5
13
LYS MATEMATİK
303
Türevin Geometrik Anlamı
Türev - Bölüm 12
Çözüm
DNA 49
Ox eksenini kestiği noktalar;
Hareket denklemi,
x2 – x – 2 = 0 ⇒ (x – 2)(x + 1) = 0
⇒ x = –1 ve x = 2
f(x) = x2 – x – 2 ⇒ f′(x) = 2x – 1
⇒ f′(1) = –3 = m1
f′(2) = 3 = m2
tan θ =
m1 − m2
1 + m1 ⋅ m2
=
S(t) = 2t3 – 4t2 + 1
olan bir hareketlinin 2. saniyenin sonundaki hızı
V ve başlangıç ivmesi a olduğuna göre, V – a kaçtır?
A) –16
B) –8
C) 0
D) 8
E) 16
−3 − 3 6 3
3
= = ⇒ sin θ =
1− 9
8 4
5
olur.
Doğru Seçenek B
Çözüm
y=
2
x
V(t) = S′(t) = 6t2 – 8t ⇒ V(2) = 24 – 16 = 8
y = ax3
eğrilerinin dik kesişmeleri için a kaç olmalıdır?
A)
1
12
B)
1
6
C)
1
4
D)
−1
6
E)
−1
12
a(t) = V′(t) = 12t – 8 ⇒ a(2) = 24 – 8 = 16
⇒ V – a = 8 – 16 = –8
olur.
Doğru Seçenek B
TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI
Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığını gösteren fonksiyon s(t) olmak üzere,
•
Yol fonksiyonun birinci türevi anlık hızı verir. Hareketlinin t anındaki hızı,
V(t) = S′(t)
dir.
•
Yol fonksiyonunun ikinci türevi de başka bir deyişle
Hareket denklemi,
hızın türevi ivmeyi verir.
Hareketlinin t anındaki ivmesi,
olan bir hareketlinin kaçıncı saniyenin sonunda ivme-
a(t) = V′(t) = S″(t)
dir.
304
LYS MATEMATİK
S(t) = 2t3 – 6t2 + 2
si sıfır olur?
A) 1
B) 2
C)
5
2
D) 3
E)
7
2
TÜREV - BÖLÜM 12
ARTAN - AZALAN FONKSİYONLAR
ARTAN - AZALAN FONKSİYONLAR
DNA 50
TANIM
f: R → R,
�
��
��
f (x) =
x3
− x2 − 3x + 5
3
fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) f fonksiyonu (–∞, –1) aralığında artandır.
��
�
��
��
B) f fonksiyonu (–1, 3) aralığında azalandır.
�
C) f fonksiyonu (3, ∞) aralığında artandır.
f, [a, b] de tanımlı bir fonksiyon olsun.
D) f′(3) = 0 dır.
∀ x1, x2 ∈ [a, b] ve
E) f fonksiyonu (1, 3) aralığında artandır.
x1 < x2 için f(x1) < f(x2)
ise f fonksiyonuna [a, b] de artan fonksiyon denir.
�
Çözüm
��
��
�
��
��
��
f fonksiyonunun türevini alıp işaretini inceleyelim.
�
Yine,
f ′( x ) =
⇒ x2 – 2x – 3 = 0
∀ x1, x2 ∈ [a, b] ve
⇒ (x – 3) ⋅ (x + 1) = 0
x1 < x2 için f(x1) > f(x2)
⇒ x = –1 ∨ x = 3
ise f fonksiyonuna [a, b] de azalan fonksiyon denir.
tür.
x
f′(x)
–∞
–1
+
Hazine 19
3x2
− 2x − 3 = 0
3
f: [a, b] → R,
3
–
f′(–1) = 0
+
f′(3) = 0
Türevin işaretine göre;
y = f(x) fonksiyonu (a, b) aralığında türevli olsun.
(–∞, –1) aralığında f′(x) > 0 ⇒ f artan
∀ x ∈ (a, b) için,
(–1, 3) aralığında f′(x) < 0 ⇒ f azalan
i) f′(x) > 0 ise f, (a, b) aralığında artandır.
(3, ∞) aralığında ii) f′(x) < 0 ise f; (a, b) aralığında azalandır.
f′(x) > 0 ⇒ f artan
Doğru Seçenek E
iii) f′(x) = 0 ise f; (a, b) aralığında sabittir.
LYS MATEMATİK
305
Artan - Azalan Fonksiyonlar
f :R −
Türev - Bölüm 12
DNA 51
{}
1
→ R olmak üzere,
2
f (x) =
f: R → R,
x+2
2x − 1
f(x) = –x3 + 2x2 + ax – 1
fonksiyonunun daima azalan olması için a aşağı-
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
daki aralıklardan hangisinde olmalıdır?
A) f fonksiyonu tanımlı olduğu her aralıkta artandır.
B) a < −
A) a ≥ 0
B) f fonksiyonu tanımlı olduğu her aralıkta azalandır.
C) f fonksiyonu (–2, ∞) aralığında azalandır.
D) a ≤ −
3
4
4
3
C) a ≤ −
E) a < −
3
4
4
3
1

D) f fonksiyonu  −2,  aralığında artandır.

2
Çözüm
E) f′(–1) = 0 dır.
Fonksiyon daima azalansa türevi daima negatif veya 0 olmalıdır. (0 olduğu nokta sayısı sonlu olmalıdır.)
f′(x) = –3x2 + 4x + a ≤ 0
olmalıdır.
⇒ a < 0 ve D ≤ 0
⇒ 16 – 4 ⋅ (–3) ⋅ a ≤ 0
12a ≤ –16
Uyarı
Bir fonksiyonun belli bir aralıkta her noktasındaki türevi pozitifse, fonksiyon o aralıkta hep artandır, fakat
a≤−
4
3
bulunur.
fonksiyon hep artansa o aralıkta her noktada türevi
Doğru Seçenek D
pozitif değildir. Bazen sıfır da olabilir. Türevin sıfır olduğu nokta sayısı sonluysa fonksiyonun artanlığı bozulmaz.
�
��
�
�
f: R → R,
y = x3 fonksiyonunda dikkat ederseniz fonksiyonun
türevi x = 0 da sıfır olur. Ama bu durum artanlığı boz-
f(x) = x3 + 6x2 + Kx + 2
fonksiyonunun (–∞, ∞) aralığında artan olması için K
aşağıdaki aralıklardan hangisinde olmalıdır?
maz. Çünkü eğri üzerinde her zaman apsisler artar-
A) K < –12
ken ordinatlar da artmaktadır.
306
LYS MATEMATİK
B) K ≤ –12
D) K ≥ 12
C) K > 12
E) K ≥ 6
Türev - Bölüm 12
Artan - Azalan Fonksiyonlar
DNA 52
y = 3− x
3
DNA 53
�
+15 x 2
fonksiyonu aşağıdaki aralıkların hangisinde artandır?
�
�
�
�
A) (0, 10)
B) (0, 15)
D) (10, ∞)
C) (–∞, 10)
E) (–5, 10)
y = f(x) fonksiyonunun (a, b) aralığındaki grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi
Çözüm
y = f ( x ) = 3− x
⇒ f ′( x ) = 3
(a, b) aralığında artandır?
3
+15 x 2
− x3 +15 x 2
(+)
A) f2(x)
⋅ ( −3 x 2 + 30 x ) ⋅  n 3 = 0
(+)
B)
1
f (x)
D) x2 + f(x)
C) x3f(x)
E) –f(x2)
⇒ –3x2 + 30x = 0 in işaret tablosunu yapalım.
–3x(x – 10) = 0
x = 0 ∨ x = 10
x
f′(x)
0
–
Çözüm
10
+
–
Grafikten;
Tablodan görüldüğü gibi (0, 10) aralığında fonksiyon artandır.
f(x) negatif tanımlı (f(x) < 0),
(a, b) aralığında x > 0 ve f fonksiyonu artan olduğundan,
Doğru Seçenek A
f′(x) > 0
dır.
•
[ f 2 ( x )]′ = 2 ⋅ f ( x ) ⋅ f ′( x ) < 0 olduğundan azalandır.
−
+
+
 1 ′ −f ′( x )
< 0 olduğundan azalandır.
• 
 = 2
f (x)
 f (x) 
+
y=
• [ x3 ⋅ f ( x )]′ = 3 x 2 ⋅ f ( x ) + f ′( x ) ⋅ x3
ex
+
x2
fonksiyonu aşağıdaki aralıkların hangisinde azalandır?
+
+
(?)
• [ x 2 + f ( x )]′ = 2 x + f ′( x ) > 0 olduğundan artandır.
+
+
Doğru Seçenek D
A) (0, 2)
−
B) (–2,0 )
D) (–∞, 2)
C) (–2, ∞)
E) (2, ∞)
LYS MATEMATİK
307
Artan - Azalan Fonksiyonlar
Türev - Bölüm 12
DNA 54
Şekilde y = f(x) ve
�
�
y = g(x) fonksiyonla-
��
rının (a, b) aralığın-
�
daki grafikleri veril�
�
�
�
miştir.
��
�
��
�
�
�
�
�
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri
Şekilde y = f′(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
doğrudur?
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
I.f(x) ⋅ g(x) artandır.
A) f fonksiyonu (1, ∞) aralığında artandır.
II.x ⋅ g(x) azalandır.
B) f fonksiyonu (–∞, 1) aralığında azalandır.
III.f2(x)
C) f(5) > f(4)
+
g2(x)
azalandır.
A) Yalnız I
B) Yalnız III
D) II ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
D) f(–1) < f(0) E) f′(–5) = 0
Uyarı
Kimin Grafiği Kimin?
Sorularda y = f(x) in veya y = f′(x) in grafiği verilmiş
olabilir. Bu durumda yapılacak yorumlar çok farklı ola-
Çözüm
caktır. Bundan dolayı sorulan grafik sorularında önce-
A seçeneğinde (1, ∞) aralığında f′(x) > 0 olduğundan fonk-
likle kimin grafiğinin verilmiş olduğuna bakmalıyız.
siyon bu aralıkta artandır. 
f fonksiyonunun grafiği verilmişse;
Artan azalanlık için:
f, [a, b] de tanımlı olmak üzere,
∀x1, x2 ∈ [a, b] ve x1 < x2 için f(x1) < f(x2) oluyorsa f
fonksiyonu bu aralıkta artan,
B seçeneğinde (–∞, 1) aralığında f′(x) < 0 olduğundan
fonksiyon bu aralıkta azalandır. 
C seçeneğinde (3, 6) aralığında f′(x) > 0 olduğundan fonksiyon artan, 5 > 4 iken f(5) > f(4) tür. 
x1 < x2 için f(x1) > f(x2) oluyorsa f fonksiyonu azalandır.
D seçeneğinde (–2, –1) aralığında f′(x) < 0 olduğundan f
f′ fonksiyonunun grafiği verilmişse;
fonksiyonu azalan, –1 < 0 iken f(–1) > f(0) olmalıydı. 
Artan azalanlık için:
x ekseninin üstünde kalan yerler için f′ > 0 olacağından f artan,
x ekseninin altında kalan yerler için f′ < 0 olacağından
f azalandır.
308
LYS MATEMATİK
Dolayısıyla D seçeneği yanlıştır.
Doğru Seçenek D
Türev - Bölüm 12
Artan - Azalan Fonksiyonlar
Işık 12
�
��
�
��
��
��
��
�
�
�
�
� � �
�
�
��
��
��
��
��
��
��
Şekilde y = f(x) ve y = g′(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
��
��
�
��
x1 apsisli noktada fonksiyon azalanlıktan artanlığa
geçmiş dolayısıyla birinci türevinin işareti değişmiştir.
Buna göre, f ve g fonksiyonlarının her ikisinin de aza-
Bu noktada fonksiyonun bir yerel minimumu vardır.
lan olduğu aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisi-
x
dir?
f′(x)
A) (a, b)
��
��
B) (b, c)
D) (d, e)
x1
–
C) (a, d)
+
Yerel
min.
E) (e, f)
Ayrıca fonksiyonun yerel minimum değeri y1 dir denir.
x2 apsisli noktada fonksiyon artanlıktan azalanlığa
geçmiş dolayısıyla yine birinci türevin işareti değişmiştir. Bu noktada fonksiyonun yerel maksimumu vardır.
x
f′(x)
x2
+
–
Yerel
max.
Ayrıca fonksiyonun yerel maksimum değeri y2 dir
denir.
EKSTREMUM NOKTALAR
Hazine 20
TANIM
f fonksiyonun bir x0 apsisli noktada yerel ekstremumu
varsa f′(x0) = 0 dır.
Bir fonksiyonun (soldan sağa doğru) artanlıktan azalan-
O zaman yukarıdaki ışığı özetlersek; x1 apsisli nokta
lığa ya da azalanlıktan artanlığa geçtiği yani birinci türe-
fonksiyonun yerel minimum noktası ise
vin işaret değiştirerek sıfır olduğu noktalara fonksiyonun
f′(x1) = 0 ve f(x1) = y1 dir.
ekstremum noktaları adı verilir. Bu ekstremum noktalar
x2 apsisli nokta fonksiyonun yerel maksimum noktası
yerel (yersel) minimum ya da yerel (yersel) maksimum
ise
noktaları olmak üzere iki şekilde adlandırılır.
f′(x2) = 0 ve f(x2) = y2 dir.
LYS MATEMATİK
309
Artan - Azalan Fonksiyonlar
Türev - Bölüm 12
DNA 55
DNA 56
f: R → R olmak üzere,
fonksiyonunun apsisi –1 olan noktada yerel mak-
f(x) = x3 – 3x – 1
simumu varsa, fonksiyonun yerel minimum değeri
fonksiyonunun yerel maksimum noktasının ordi-
kaçtır?
natı kaçtır?
A) –2
B) –1
f(x) = x3 + ax2 – 9x + 20
C) 0
D) 1
A) –9
E)2
B) –7
C) –5
D) –3
E) –1
Çözüm
Çözüm
f(x) = x3 + ax2 – 9x + 20
f(x) = x3 – 3x – 1
fonksiyonunun x = –1 de yerel maksimumu varsa f′(–1) = 0
⇒ f′(x) = 0
dır.
⇒ 3x2 – 3 = 0
⇒ x2 = 1
⇒ x = 1 ∨ x = –1
f′(–1) = 3 – 2a – 9 = 0
dir.
x
f′(x)
–1
+
1
–
Yerel
max.
f′(x) = 3x2 + 2ax – 9
⇒ 2a = –6
a = –3
tür.
+
Buradan,
Yerel
min.
f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 20
f(–1) = –1 + 3 – 1 = 1
⇒ f′(x) = 3x2 – 6x – 9 = 0
olduğundan (–1, 1) yerel maksimum noktası olup ordinatı
⇒ x2 – 2x – 3 = 0
⇒ (x – 3) ⋅ (x + 1) = 0
⇒ x = 3 ∨ x = –1
1 dir.
Doğru Seçenek D
x
f′(x)
–1
+
3
–
Yerel
max.
+
Yerel
min.
Yerel minimum değeri;
f (3) = 27 − 27 − 27 + 20
f: R → R olmak üzere,
f (x) =
3x 4
− 2x3 + 1
2
f (3) = −7
fonksiyonunun yerel minimum noktasının ordinatı
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
310
B)
3
2
LYS MATEMATİK
C) 1
bulunur.
Doğru Seçenek B
D)
1
2
E)
1
4
Türev - Bölüm 12
Artan - Azalan Fonksiyonlar
Çözüm
f(x) = x3 – 3ax2 + 2x – 1
fonksiyonunda f′(x) in yerel minimum değerinin –1 olması için a nın pozitif değeri kaç olmalıdır?
A)
1
4
B)
1
2
C) 1
D) 2
f(x) = (x3 – x2)3
⇒ f′(x) = 3(x3 – x2)2 ⋅ (3x2 – 2x) = 0
⇒ f′(x) = 3x4(x – 1)2 ⋅ x ⋅ (3x – 2) = 0
E) 3
= 3x5(x – 1)2 ⋅ (3x – 2) = 0
123
çift katlı
kök
x = 0 ve x =
2
3
olup 2 tanedir.
Doğru Seçenek B
Uyarı
Bir f fonksiyonunun herhangi bir noktasındaki türevi
f′(x) = (x – 2)2 ⋅ (x + 1) ⋅ (x2 – 3x – 1)
sıfıra eşitse fonksiyonun o noktada yerel ekstremumu
olmayabilir. Bu durumu küçük bir örnekle açıklayalım.
veriliyor.
f(x) =
x3
fonksiyonunu ele alalım.
�
��
�
Buna göre, f fonksiyonunun kaç tane ekstremum nokf′(0) = 0 dır. Fakat
tası vardır?
x = 0 noktası eks-
A) 0
B) 1
D) 3
C) 2
E) 4
tremum nokta değildir.
�
�
x
TANIM
0
f′(x)
+
+
Bir fonksiyonun birden fazla maksimum ve minimum nok-
Türevin işareti değişmemiş. Demek ki çift katlı kökler-
taları olabilir. Yerel maksimumların en büyüğüne mutlak
de ekstremum yokmuş.
maksimum veya fonksiyonun en büyük değeri, yerel
minimumların en küçüğüne de mutlak minimum veya
fonksiyonun en küçük değeri denir.
�
DNA 57
��
��
��
f(x) = (x3 – x2)3
eğrisinin kaç tane ekstremum noktası vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
��
�
�
��
��
LYS MATEMATİK
311
Artan - Azalan Fonksiyonlar
Türev - Bölüm 12
DNA 58
Uyarı
[1, 5] aralığında tanımlı,
Bir fonksiyon herhangi bir x0 noktasında türevli olmamasına rağmen bu noktada yerel ekstremuma sahip
 4 − x 2 , −2 ≤ x < 2
f (x) = 
2x − 4, 2 ≤ x ≤ 5
olabilir.
fonksiyonunun mutlak maksimum noktasının or-
Bu durumu şöyle izah edebiliriz.
dinatı kaçtır?
A) 4
f(x) = |x – 1|
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
fonksiyonunun x = 1 de türevli olmadığını biliyoruz.
�
Çözüm
�
Bu parçalı fonksiyonun grafiğini çizip bir bakalım.
�
�
�
�
�
��
Ancak grafiğe baktığımızda fonksiyon azalanlıktan
�
�
�
artanlığa geçmiş, dolayısıyla x = 1 noktası fonksiyo-
�
nu yerel minimum hatta mutlak minimum noktasının
apsisidir.
Doğru Seçenek C
�
��
�
DNA 59
�
��
�
�
�
fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
�
A) x = –1 ve x = 3 noktaları fonksiyonun yerel mini-
��
mum noktalarının apsisleridir.
��
B) x = 1 fonksiyonun yerel maksimum noktasının ap-
f: [–4, 4] → R ve y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, fonksiyonun mutlak maksimum ve minimum değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 10
312
B) 8
LYS MATEMATİK
C) 6
y = |x2 – 2x – 3]
D) 1
E) 0
sisidir.
C) Fonksiyon x = –1 ve x = 3 te türevli değildir.
D) f′(2) = –2 dir.
E) f′(3) = 0 dır.
Türev - Bölüm 12
Artan - Azalan Fonksiyonlar
Şimdiye kadar anlattıklarımızı grafik soruları üzerinde yo-
Çözüm
rumlamaya çalışalım.
�
��
Kimin Grafiği Kimin?
�
��
�
��
�
�
�
�
Hatırlarsak x = –1 ve x = 3 noktalarında fonksiyonun grafiği
�
�
�
�
�
kırıldığından bu noktalarda türev yoktur. Fakat bu durum
yerel ekstremumunun olmasına engel teşkil etmez. Çünkü
fonksiyon x = –1 ve x = 3 noktalarında azalanlıktan artanlığa geçtikleri için bu noktalar yerel minimum noktalarının
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu du-
apsisleri olurlar. O yüzden A seçeneğini işaretleyemeyiz.
rumda fonksiyonun artanlıktan azalanlığa ya da azalanlık-
Ayrıca x = 1 apsisli noktada fonksiyon artanlıktan azalanlığa geçtiği için bu noktada da yerel maksimum vardır.
D seçeneğinde,
tan artanlığa geçtiği yerlere bakıyorduk. İstenilen durum x
= e ve x = f dir. Dolayısıyla,
x = e de yerel max.
f(x) = |x2 – 2x – 3|, f(2) < 0
x = f de yerel min.
olduğundan
vardır.
f′(2) = –2x + 2 = –2
dir.
f fonksiyonunun zirvelerde yerel ekstremumu vardır diyeDoğru Seçenek E
biliriz.
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
��
�
��
�
Şekilde y = f′(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
I. türevin işaret değiştirdiği noktalarda yerel ekstremum
f: (x1, x2) → R ye tanımlı y = f(x) fonksiyonunun grafiği
yukarıda verilmiştir.
Buna göre, bu fonksiyonun kaç tane ekstremum nok-
x = a da yerel min.
x = c de yerel max. vardır.
tası vardır?
A) 2
vardı.
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
x = e de yerel ekstremum yoktur.
LYS MATEMATİK
313
Artan - Azalan Fonksiyonlar
Türev - Bölüm 12
DNA 60
�
�
��
�
��
��
��
��
�
�
��
�
�
�
� �
�
�
�
�
��
��
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdaki yargılardan hangisi yanlıştır?
A) f fonksiyonunun yerel minimum değerlerinden biri
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) x = 1 apsisli noktada f fonksiyonunun bir maksimumu
vardır.
B) x = 3, f fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisidir.
–4 tür.
C) (0, 2) aralığında f fonksiyonu azalandır.
3
C) f ′( −2) ⋅ f ′   < 0 dır.
2
D) (4, 0), f fonksiyonunun yerel maksimum noktasıdır.
D) f(0) = f′(0) dır.
E) f′(2) = 0 dır.
B) (0, 3) f nin yerel maksimum noktasıdır.
E) f′(3) > 0 dır.
Çözüm
A seçeneğinde; f fonksiyonu x = 2 apsisli noktada azalandan artana geçtiği için bir yerel minimum noktasıdır ve
DNA 61
f(2) = –4 olduğundan yerel minimum değeri –4 tür. 
B seçeneğinde; f fonksiyonu x = 0 apsisli noktada artan-
�
dan azalana geçtiği için bir yerel maksimum noktasıdır.
f(0) = 3 olduğundan (0, 3) f nin yerel maksimum noktasıdır. 
��
��
C seçeneğinde; (0, 2) aralığında ∀ x1, x2 ∈ (0, 2) için x1 < x2
�
��
�
� �
�
�
iken f(x1) >f(x2) olduğundan f fonksiyonu azalandır. 
��
D seçeneğinde; (0, 3) noktasının bir yerel maksimum olduğunu söylemiştik. Dolayısıyla f′(0) = 0 ve f(0) = 3 tür. 
E seçeneğinde; x = 3 apsisli noktada f fonksiyonu artan
Şekilde y = f′(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, y = f(x) fonksiyonunun yerel maksi-
olduğundan f′(3) > 0 dır. 
Doğru Seçenek D
mum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
A) –3
314
LYS MATEMATİK
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
Türev - Bölüm 12
Artan - Azalan Fonksiyonlar
Çözüm
Işık 13
�
f: [a, b] → R fonksiyonunun (a, b) aralığındaki kritik
noktaları x1, x2, ..., xn; türevsiz olduğu noktalar m1, m2,
��
��
�
... mr ise,
�
��
� �
�
�
{f(a), f(x1), ... , f(xn), f(m1), f(m2), ... , f(mr), f(b)}
kümesinin en büyük elemanı f nin mutlak maksimum
��
(en büyük) değeri, en küçük elemanı mutlak minimum
(en küçük) değeridir.
Yerel maksimum noktalarının apsislerini bulmak için türev
işaretinin (+) dan (–) ye geçtiği yerlerin apsislerini yazalım.
DNA 62
5–4=1
dir.
Doğru Seçenek D
f ( x ) = x3 −
3x2
−1
2
eşitliği ile verilen f fonksiyonunun [–1, 2] aralığında alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) −
7
2
B) −
3
2
C) –1
D) 0
E) 1
Çözüm
f′(x) = 3x2 – 3x = 0
= 3x(x – 1) = 0
�
�
⇒ x1 = 0, x2 = 1 kritik noktalardır.
f (0) = −1
��
f (1) = 1 −
��
�
��
�
�
�
3
3
−1= −
2
2
f ( −1) = −1 −
��
3
7
−1= −
2
2
f ( 2) = 8 − 6 − 1 = 1
Şekilde y = f′(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri ve-
Buna göre, f(x) in yerel maksimum noktasının apsisiy-
olup fonksiyonun bu aralıkta alabileceği en küçük değer
7
− , en büyük değer 1 dir.
2
le g(x) in yerel minimum noktasının apsisinin toplamı
Doğru Seçenek E
rilmiştir.
kaçtır?
A) –3
B) –2
C) 0
D) 1
E) 2
LYS MATEMATİK
315
Artan - Azalan Fonksiyonlar
Türev - Bölüm 12
Çözüm
f(x) = x3 – 3x + 8
f(x) = –sin x – cos x
fonksiyonunun [–1, 2] aralığında alabileceği en küçük
değer kaçtır?
A) 12
f′(x) = –cos x + sin x = 0
B) 10
C) 8
D) 6
E) –2
⇒ cos x = sin x
⇒ x1 =
π
5π
, x2 =
4
4
Bu noktalardan hangisinin maksimum hangisinin minimum olduğunu da ikinci türev yardımıyla bulalım.
f ″( x ) = sin x + cos x
Işık 14
π
⇒ f″  = 2 > 0
4
II. Türevin Yerel Ekstremum Noktaları ile İlişkisi
 5π 
⇒ f ″   = − 2 < 0 yerel maksimum
 4 
Bazen türevin işaretini inceleyerek ekstremum bulmak
uzun sürebilir. Bu durumda x = x0 da sürekli ve bu
noktada birinci ve ikinci türevi var olan bir y = f(x) fonksiyonu için;
i) f′(x0) = 0 ve f″(x0) > 0
ise (x0, f(x0)) noktası, y = f(x) fonksiyonunun yerel
minimum noktası
ii) f′(x0) = 0 ve f″(x0) < 0
yerel minimum
Dolayısıyla,

2 
2
 5π 
f   = −−
 − −
= 2
 4 
 2   2 
 5π

olduğundan yerel maksimum noktası  , 2  olur.
 4

Doğru Seçenek E
ise (x0, f(x0)) noktası, y = f(x) fonksiyonunun yerel
maksimum noktasıdır.
DNA 63
f: [0, 2p] → R,
y = f(x) = –sin x – cos x
fonksiyonunun yerel maksimum noktası aşağıdakilerden hangisidir?
π 
A)  , 0  4 
 5π 
B)  , 0 
 4

π

C)  , − 2  4

 5π

D)  , − 2   4

 5π

E)  , 2 
 4

316
LYS MATEMATİK
f: (0, 2p) → R olmak üzere,
f ( x ) = 2 sin x + 3 x
fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsisi
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
π
3
B)
π
6
C)
4π
3
D)
5π
6
E)
7π
6
Türev - Bölüm 12
Artan - Azalan Fonksiyonlar
DNA 64
TANIM
f: [a, b] → R, y = f(x) fonksiyonunun [a, b] aralığında sü-
rekli ve (a, b) aralığında birinci ve ikinci türevleri alınabilen
eğrisinin çukurluk yönünün aşağıya doğru (kon-
bir fonksiyon olsun.
kav) olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?
f(x) = x ⋅ e–x
A) (–∞, 2)
i) Fonksiyonun grafiği (a, b) aralığının her noktasındaki
teğetlerinin altında kalıyorsa, çukurluk yönü aşağıya
C) (2, ∞)
B) (–∞, 2]
D) [2, ∞)
E) (–1, 2)
doğrudur (iç bükey - konkav).
�
Çözüm
��
��
�
�
�
f(x) = x ⋅ e–x
eğrisinin konkav olması için f″(x) < 0 olmalıdır.
�
⇒ f′(x) = e–x – e–x ⋅ x = e–x ⋅ (1 – x)
ii) Fonksiyonun grafiği (a, b) aralığının her noktasındaki
⇒ f″(x) = –e–x ⋅ (1 – x) – e–x
teğetlerinin üstünde kalıyorsa, çukurluk yönü yukarıya
= –e–x ⋅ (1 – x + 1)
= –e–x ⋅ (2 – x)
doğrudur (dış bükey - konveks).
�
��
��
= e
(+)
�
�
�
⋅ ( x − 2) < 0
x – 2 < 0 ⇒ x < 2 yani (–∞, 2)
�
−x
dir.
Doğru Seçenek A
Hazine 21
Ι ⊂ R ve f: Ι → R birinci ve ikinci türevleri alınabilen
fonksiyonlar olmak üzere,
i) ∀ x ∈ Ι için f″(x) < 0 ⇔ f fonksiyonunun çukurluk
yönü aşağıya doğrudur, yani iç bükey (konkav) dır.
ii) ∀ x ∈ Ι için f″(x) > 0 ⇔ f fonksiyonunun çukurluk
yönü yukarıya doğrudur, yani dış bükey (konveks)
dir.
f(x) = x3 – 3x2 + 5x – 2
eğrisinin çukurluk yönünün yukarıya (konveks) olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, –1)
B) (–∞, 1)
D) (1, ∞)
C) (–1, ∞)
E) [1, ∞)
LYS MATEMATİK
317
Artan - Azalan Fonksiyonlar
Türev - Bölüm 12
Çözüm
TANIM
Dönüm Noktası
A(1, 3) noktası f fonksiyonunun dönüm noktası ise,
f: R → R, y = f(x) fonksiyonunun eğrisinin çukurluğunun
yön değiştirdiği noktaya dönüm (büküm) noktası denir.
Buradan anladığımız gibi dönüm noktasında fonksiyon
eğrisi konveksten konkavlığa ya da konkavdan konveks-
f″(1) = 0 ve f(1) = 3
tür.
f(1) = 3 ⇒ a + b = 3
liğe geçer.
f(x) = ax3 + bx2 ⇒ f′(x) = 3ax2 + 2bx
��
��
��
��
��
��
Her iki şekilde de ikinci türev fonksiyonu dönüm nokta-
⇒ f″(x) = 6ax + 2b
⇒ f″(1) = 6a + 2b = 0
⇒ a=−
⇒ b−
⇒
sının sağında ve solunda farklı işaretteler. Özet olarak;
bir eğrinin dönüm noktasını bulmak için fonksiyonun ikinci
türevi bulunur. İkinci türevi sıfır yapan x değerleri buluna-
b
ve a + b = 3
3
b
=3
3
2b
9
=3⇒b=
3
2
Doğru Seçenek B
rak işareti incelenir. İkinci türevin işaret değiştirerek sıfır
olduğu noktalar dönüm noktasıdır.
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
fonksiyonunun dönüm noktasının apsisi –1 olduğuna
��
��
��
��
��
��
��
��
��
f(x) = x3 – ax2 + (b – 1)x + 7
göre, a kaçtır?
A) –1
��
��
B) –2
C) –3
D) –4
E) –6
DNA 65
Uyarı
f(x) = ax3 + bx2
eğrisinin A(1, 3) noktası dönüm (büküm) noktası
olduğuna göre, b kaçtır?
A) 5
318
B)
9
2
LYS MATEMATİK
C) 4
D)
7
2
E) 3
Herhangi bir noktada ikinci türevin sıfır olması, o noktanın dönüm noktası olmasını gerektirmez. Çünkü dönüm noktasında ikinci türev işaret değiştirmelidir.
TÜREV - BÖLÜM 12
TÜREVİN UYGULAMALARI
MAKSİMUM - MİNİMUM PROBLEMLERİ
Maksimum-minimum problemlerinin günlük hayatta uygulama alanı oldukça geniştir. Verilen bir hacimde depo
yapılabilmesi için minimum miktarda malzemeye ihtiyaç
duyulması, bir fabrikada üretilen malın kârının en çok olması için yapılacak işlemler gibi soruların cevaplarını bul-
x, y ∈ R olmak üzere,
x + y = 45
olduğuna göre, 2x2 + 7y2 toplamının en küçük değerini
durur. Maksimum ve minimum olması istenilen büyüklük
alması için y kaç olmalıdır?
tek bir değişken cinsinden yazılır. Sonra türevi alınarak sı-
A) 16
B) 14
D) 10
C) 12
E) 8
fıra eşitlenir. Elde edilen denklem çözülüp kökler bulunur.
Bu denklemin kökleri esas fonksiyonda yerine yazılarak
maksimum-minimum değerler bulunur.
DNA 66
DNA 67
x, y ∈ R olmak üzere,
x + y = 16
Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin yarısı duvar, diğer
olduğuna göre, x ⋅ y3 çarpımının en büyük değerini
yarısı ise tel örgü ile çevrilmiştir.
alması için y kaç olmalıdır?
A) 16
B) 15
C) 14
D) 12
Tel örgünün uzunluğu 120 m olduğuna göre, bah-
E) 10
çenin alanı en fazla kaç m2 dir?
A) 5400
Çözüm
x + y = 16 ⇒ x = 16 - y
(16 – y) ⋅ y3 = A(y)
⇒ A(y) = 16y3 – y4
B) 4800
D) 2400
E) 1800
Çözüm
⇒ A′(y) = 48y2 – 4y3 = 0
C) 3600
�
�
�
�
⇒ y2(12 – y) = 0
�
y = 0 ∨ y = 12
bulunur.
0
+
�
12
+
�
–
Fonksiyon y = 12 de maksimum değer alır.
Doğru Seçenek D
�
�
�
2a + b = 120
2a ⋅ b nin en büyük değerini bulacağız.
2a + b = 120 ⇒ b = 120 – 2a
dır.
LYS MATEMATİK
319
Türevin Uygulamaları
Türev - Bölüm 12
2a ⋅ b = 2a ⋅ (120 – 2a) = A(a)
⇒ A′(a) = 240 – 8a = 0
⇒ a = 30
⇒ b = 60
⇒ A(ABCD)max = 2ab
= 2 ⋅ 30 ⋅ 60 = 3600 m2
Çözüm
 a2 
x2
parabolü üzerindeki bir nokta; P  a,
 biçimin2

2 
2
 a 
 noktaları arasındaki uzaklık;
dedir. A(4, 1), P  a,
 2 
y=
2
 a2 
AP = ( 4 − a ) +  1 −
 = F( a )

2 
2
Doğru Seçenek C
⇒ F ′( a ) =
 a2 
−2( 4 − a ) − 2 a  1 −


2 
 a2 
2 ( 4 − a )2 +  1 −


2 
2
=0
⇒ −8 + 2 a − 2 a + a3 = 0
⇒ a3 = 8 ⇒ a = 2
Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin uzun kenarlarından
birisi duvardır. Bu dikdörtgen şeklindeki bahçenin üç kenarına iki sıra tel çekilmiştir.
⇒ AP = 4 + 1 = 5
bulunur.
Doğru Seçenek E
Kullanılan telin uzunluğu 120 m olduğuna göre, bahçenin alanı en fazla kaç m2 dir?
A) 900
B) 750
C) 600
D) 540
E) 450
y = x2
parabolü üzerinde alınan bir noktanın A(3, 0) noktasına olan uzaklığı en az kaç br dir?
B)
A) 1
5 C) 2 5
E) 4 5
D) 4
DNA 68
�
DNA 69
�
��
�
Bir süt fabrikası üstü açık dik dairesel şeklinde 96 cm3
�
��
hacimli alüminyum kutu yapacaktır.
�
Maliyeti düşürmek amacıyla en az alüminyum kullanılması için kutunun taban yarıçapı kaç cm olx2
y=
parabolü üzerinde alınan bir P noktasının
2
A(4 ,1) noktasına olan uzaklığı en az kaç br dir?
A) 2 2 320
B)
D) 2 5 LYS MATEMATİK
6 E)
malıdır?
A)
C) 2
5
18
π
D)
B)
3
96
π
3
48
π
E)
C)
3
96
π2
96
π
Türev - Bölüm 12
Türevin Uygulamaları
Çözüm
Çözüm
Vsilindir = πr 2 h = 96 ⇒ h =
�
96
πr
2
��
��
A = pr2 + 2prh
⇒ A ( r ) = πr 2 + 2 π r ⋅
⇒ A ′( r ) = 2 πr −
2 πr =
r3 =
2 ⋅ 96
r2
�
96
=0
�
Eğri üzerinde alınan nokta eğri denklemini sağlardı.
A ( a ) = a ⋅ 12 − a
2 ⋅ 96
r
��
�
πr 2
2
⇒ A ′( a ) = 12 − a +
96
96
⇒r =3
π
π
⇒ 12 − a =
Doğru Seçenek D
Hacmi 72 cm3 olan üstü açık bir silindirin yüzey alanının en küçük olması için yüksekliği, yarıçapının kaç
−1⋅ a
2 12 − a
=0
a
2 12 − a
⇒ 2(12 – a) = a
⇒ 24 – 2a = a
⇒ 3a = 24 ⇒ a = 8
dir.
Buradan,
katı olmalıdır?
1
A) 4
��
��
�
Silindirin yüzey alanı;
A ( OBCE ) = 8 ⋅ 4 = 16
1
B) 2
C) 1
D) 2
E) 4
olur.
Doğru Seçenek D
DNA 70
�
Bir kenarı y = 4 doğru-
�
��
�
�
su diğer kenarı Oy ek-
��
�
� ��
seni ve bir köşesi de
�
�
y = x2 eğrisi üzerinde
değişen
dikdörtgen-
lerden alanı en büyük
�
�
�
dir?
Şekilde y2 = 12 – x eğrisinin grafiği verilmiştir.
Buna göre, OBCE dikdörtgeninin alanı en çok kaç
A) 2 3 B)
br2 dir?
A) 32
B) 24
C) 18
D) 16
olanın alanı kaç br2
E)12
D)
4 3
3
16 3
9
E)
C)
5 3
3
10 3
9
LYS MATEMATİK
321
Türevin Uygulamaları
Türev - Bölüm 12
DNA 71
��
��
��
2x2 – 16x – 96 = 0
x2 – 8x – 48 = 0
x
–12
x
4
(x – 12) ⋅ (x + 4) = 0
x = 12 ve x = −4
y = 6 olup,
x ⋅ y = 72
�
Dikdörtgen şeklindeki bir kağıdın 32 cm2 lik kısmına
yazı yazılacaktır.
Alttan ve üstten 2 cm, sol ve sağdan 1 er cm lik
boşluk bırakılacağına göre, kağıdın alanı en az kaç
cm2 olmalıdır?
A) 108
B) 96
C) 84
D) 72
dir.
Doğru Seçenek D
E) 60
Çözüm
��
�
��
��
��
��
�
�
(x – 4) ⋅ (y – 2) = 32 cm2
�
�
(x ⋅ y nin minimum değeri soruluyor.)
xy – 2x – 4y + 8 = 32
y=
24 + 2 x
x−4
�
olur.
��
�
6 cm eninde dikdörtgen şeklindeki kağıt şerit, şekildeki
xy =
gibi D köşesi kıvrılarak [AB] kenarı üzerine getiriliyor.
24 x + 2 x 2
= A( x )
x−4
⇒ A ′( x ) =
Buna göre, EAD′ üçgeninin alanının alabileceği en bü2
( 24 + 4 x ) ⋅ ( x − 4 ) − ( 24 x + 2 x )
( x − 4 )2
⇒ 24 x − 96 + 4 x 2 − 16 x − 24 x − 2 x 2 = 0
322
�
�
LYS MATEMATİK
=0
yük değer kaç cm2 dir?
A)
3 B) 2 3 D) 4 3 C) 3 3
E) 6 3
Türev - Bölüm 12
Türevin Uygulamaları
Hazine 22
l’HôpItal
lim
x2 − 1
x →1
0
∞
ve
belirsizliğinde
0
∞
yapıldığını ifade edelim. A ⊂ R olmak üzere, f ve g,
A – {a} kümesinde türevli iki fonksiyon ve g(x) ≠ 0 ol-
A) 18
l’Hôpital Kuralı’nın yalnızca
( 3 x + 1)2 − 16
ifadesinin değeri kaçtır?
C) 12
B) 15
D) 9
E) 6
sun.
lim f ( x ) = lim g( x ) = 0 ve lim
x →a
x →a
x →a
f ′( x )
g′ ( x )
varsa,
lim
x →a
f(x)
f ′( x )
= lim
olur.
g( x ) x → a g′ ( x )
Yine,
lim f ( x ) = lim g( x ) = ∞ ve lim
x →a
x →a
x →a
f ′( x )
g′ ( x )
DNA 73
varsa,
lim
x →a
f(x)
f ′( x )
= lim
olur.
g( x ) x → a g′ ( x )
lim
Burada dikkat edilmesi gereken husus, bölümün türevi
gibi almıyoruz. Payın türevi bölü paydanın türevidir.
x →2
DNA 72
x →1
x+6 −2
x−2
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
lim
3
x 6 + x5 − 2 x
1
24
B)
1
18
1
12
D)
1
9
E)
1
6
Çözüm
x3 − 1
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
C)
B) 1
C) 2
D) 3
lim
E) 4
3
x →2
x+6 −2
0
→
x−2
0
belirsizliği var.
l’Hôpital Kuralı’nı uygulayalım.
Çözüm
2
lim
x →1
6
5
x + x − 2x
x3 − 1
→
−
1
2
2
( x + 6) 3
−
−
1
1
3
lim
= (8) 3 = ⋅ (23 ) 3
x →2
1
3
3
0
0
belirsizliği var. l’Hôpital Kuralı’ndan,
lim
x →1
6 x5 + 5 x 4 − 2
3x
2
=
=
9
=3
3
bulunur.
Doğru Seçenek D
1 1 1
⋅ =
3 4 12
olur.
Doğru Seçenek C
LYS MATEMATİK
323
Türevin Uygulamaları
Türev - Bölüm 12
DNA 75
3
x −1
x →1 5
x −1
lim
f: R → R her noktada türevli bir fonksiyon ve
f′(1) = 3 olduğuna göre,
ifadesinin değeri kaçtır?
B)
A) 2
5
3
C)
4
3
D) 1
E)
3
5
lim
h →0
f (1 + 2 h ) − f (1 − 3 h )
h
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 21
DNA 74
lim
x →0
ex − 1
x − sin 2 x
lim
h →0
B) –1
C) 15
C)
−1
2
D)
1
2
f (1 + 2 h ) − f (1 − 3 h )
f (1) − f (1) 0
= lim
=
h
→
0
h
0
0
lim
f ′(1 + 2h ) ⋅ 2 − f ′(1 − 3 h ) ⋅ ( −3 )
f ′(1) ⋅ 2 + 3 f ′(1)
⇒
1
1
= lim 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 = 15
Çözüm
x →0
E) 9
l’Hôpital Kuralı’nı uygulayalım.
E) e
h →0
lim
D) 12
Çözüm
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –e
B) 18
h →0
olur.
ex − 1
0
→
x − sin 2 x
0
Doğru Seçenek C
belirsizliği var.
l’Hôpital Kuralı’nı uygulayalım.
ex
e0
1
= lim
=
= −1
x →0 1 − 2 ⋅ cos 2 x
x →0 1 − 2 ⋅ cos 0
−1
lim
Doğru Seçenek B
f: R → R her noktada türevli bir fonksiyon ve f′(2) = a
olduğuna göre,
lim
x →0
esin x − e− x
tan x − 2 x
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –4
324
B) –2
LYS MATEMATİK
lim
h →0
f ( 2 + h ) − f ( 2 − 2h )
h
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
C) 0
D) 2
E) 4
A) –3a
B) –2a
C) 2a
D) 3a
E) 4a
Türev - Bölüm 12
Türevin Uygulamaları
Işık 15
lim (cos x + 1) ⋅ cot x
x →π
(0, ∞) belirsizliği
x → a için f(x) → 0 ve g(x) → ∞ ise,
limitinin değeri kaçtır?
B) 0
A) –1
lim f ( x ) ⋅ g( x ) = 0 ⋅ ∞
x →a
C) 1
D) 2
E) 3
olur.
lim f ( x ) ⋅ g( x ) = lim
x →a
x →a
f(x)
0
0
=
=
1
1
0
g( x )
∞
belirsizliğine dönüştürülerek l’Hôpital Kuralı uygula-
Işık 16
nır.
(∞ – ∞) belirsizliği
lim f ( x ) = ∞, lim g( x ) = ∞
x →a
DNA 76
x →a
⇒ lim [ f ( x ) − g( x )] = ∞ − ∞
x →a
belirsizliği var.
πx 

lim (1 − x 2 ) ⋅ tan 
2
x →1 

f ( x ) − g( x )
f ( x ) ⋅ g( x )
0
lim [ f ( x ) − g( x )] = lim
→
x →a
x →a
1
0
f ( x ) ⋅ g( x )
limitinin değeri kaçtır?
A)
1
π
B)
2
π
C)
4
π
D)
π
2
E)
π
4
belirsizliğine dönüştürülerek l’Hôpital uygulanır.
Çözüm
DNA 77
πx 

lim (1 − x 2 ) ⋅ tan  → 0 ⋅ ∞ belirsizliği var.
x →1 

2
⇒ lim
x →1
1 − x2
0
→ belirsizliği var.
πx
0
cot
2
 1 sin x 
lim  −

x
x2 
x →0
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –∞
B) –1
C) 0
D) 1
E) ∞
l’Hôpital Kuralı’ndan,
1
lim
x →1
−2 ⋅ x
4
=
π
π 
π
x

− ⋅  1 + cot 2

2 
2 
Çözüm
 1 sin x 
lim  −
→∞−∞
x
x2 
0
x →0
bulunur.
Doğru Seçenek C
belirsizliği var.
Önce
0
belirsizliğine dönüştürelim.
0
LYS MATEMATİK
325
Türevin Uygulamaları
Türev - Bölüm 12
0
 1 sin x 
 x − sin x 
lim  − 2  = lim 
→
2
x
→
0
x
0

x 
 x

DNA 78
x →0
(x)
l’Hôpital Kuralı’ndan,
1
limitinin değeri kaçtır?
belirsizliği var. Yine l’Hôpital Kuralı’ndan,
lim
x →0
0
 1 − cos x 
lim 
 yine
x →0 
2x 
0
x →0
lim (1 + ex ) x
A) e–e
B) 0
C) 1
D) e
E) ee
sin x
=0
2
bulunur.
Çözüm
Doğru Seçenek C
1
lim (1 + ex ) x → 1∞
x →0
belirsizliği var.
1
 1

lim 
−

x →0  x − 2
x2 − 3 x + 2 
1
limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
B) –1
A) –∞
C) 0
1
y = (1 + ex ) x ⇒ l n y = l n(1 + ex ) x
D) 1
⇒ ln y =
E) ∞
1
⋅ l n(1 + ex )
x
l n(1 + ex )
⇒ lim l n y = lim
x →0
x →0
x 

0
0
l’Hôpital’den,
e
1
+
ex = e
lim l n y = lim
x →0
x →0
1
[f(x)]g(x) biçimindeki fonksiyonların limitinin hesaplan-
⇒ lny = e⇒ logey = e ⇒ y = ee
masında 00, 1∞, ∞0 belirsizlikleri ile karşılaşılabilir. Bu
dir.
Işık 17
tipteki belirsizliklerin hepsi aynı yolla çözülür.
Doğru Seçenek E
Bu tip belirsizliklerin giderilmesi için y = [f(x)]g(x) fonksiyonunun her iki tarafının e tabanına göre logaritması
alınır ve
lny = ln f(x)g(x)
lny = g(x) ⋅ ln f(x)
Bu durumdan sonra her iki tarafın limiti alınır ve belirsizlikler 0 ⋅ ∞ durumuna getirilir. Logaritmalı terim
yukarıda kalacak şekilde
0 ∞
,
belirsizliğine dönüş0 ∞
türülerek l’Hôpital Kuralı uygulanarak lny nin limiti
bulunur ve bu değer e nin üzerine yazılır.
326
LYS MATEMATİK
1
lim ( x ) x −1
x →1
limitinin değeri kaçtır?
A) e2
B) e
C) 1
D) 0
E) 1
Türev - Bölüm 12
Türevin Uygulamaları
TEST - 3
x2 − l n x
1.
ifadesinin değeri kaçtır?
lim
x →1
3
1
3
C) 1
ifadesinin değeri kaçtır?
x →0
1
2
C) 1
ifadesinin değeri kaçtır?
lim
A) 2
E) 3
D)
1
2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
5
4
C)
D) 1
x
x2
x2 − y2
x
B)
D)
2 x
x
2
2 x2
C)
E)
x
4 x2
4 x
x2
3 − x −1
6.
ifadesi bir gerçek sayıya eşitse bu sayı kaçtır?
lim
x →2 3
x+a −2
A) –12
B) –6
7.
sin2 3 x ⋅ tan x
limitinin değeri kaçtır?
A)
9
8
lim
y→x
C) 3
D) 6
E) 12
E) 2
9x − 2 − 4
x−2
3.
x →2
1
3
e2 x + 1
B) −
A) –2
D)
x 2 + cos x
2.
lim
x −1
B) −
A) –3
x− y
5.
E)
lim
x →0
5
2
sin 4 x ⋅ x 2
B)
9
4
C) 2
D)
7
4
E)
3
2
3
4
8.
f: R → R her noktada türevli bir fonksiyon ve
f′(3) = 1 olduğuna göre,
e2 x − e − x
sin 3 x
4.
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1
lim
x →0
B)
2
3
C)
1
3
D)
1
6
E)
1
9
lim
h →0
f ( 3 − h ) − f ( 3 − 2h )
2h
limitinin değeri kaçtır?
A) –2
B) −
1
2
C) 1
D) 2
LYS MATEMATİK
E)
1
2
327
Türevin Uygulamaları
Türev - Bölüm 12
 1
3


1− x 
9.
limitinin değeri kaçtır?
lim
x →1 
1 −
A) –2
x
−
13. 3
C) −
B) –1
1
2
D) 0
E)
1
2
lim
x →∞
lim 3 x ⋅ tan
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1
x →∞
limitinin değeri kaçtır?
A)
1
6
11. B)
1
3
2
3
C)
D)
3
2
E) 6
tan x
lim (sin x )
x →0
limitinin değeri kaçtır?
A) –1
B) −
D) 1
lim
x→y
lim
x →0
A) 1
1. D
328
2. D
3. C
LYS MATEMATİK
B) sin y
D) sec y
15.  2 x + 1
lim 

x →∞  2 x − 1 
C) cos y
E) csc y
x
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
e
B) 1
C) e
E) e2
D) 0
E) Yoktur
limitinin değeri kaçtır?
A) 6
tan( x − y )
sin x − sin y
C) 0
arcsin 3 x
arctan 2 x
3
B) 2
E) Yoktur
limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
16.
12.
C) 1
1
2
B) 0
D) e
14. 2
x
x2 + ex
10.
x + ln x
2
C) 3
4. A
5. C
1
D) 3
6. B
1
E)
6
7. B
8. E
lim
x →0
1 − cos x
x
2 ⋅ sin
2
limitinin değeri varsa kaçtır?
A) –2
9. B
B) −
1
2
D) 4
10. E
11. D
12. B
C) 0
E) Yoktur
13. B
14. D
15. C
16. E
Türev - Bölüm 12
Türevin Uygulamaları
5.
TEST - 4
Şekilde f fonksiyo-
�
nunun (a, b) aralığındaki parçası ve-
1.
rilmiştir.
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) f′(x) > 0
B) f(x) < 0
C) f(x) ⋅ f′(x) < 0
D) f″(x) < 0
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f′(x) < 0 koşulunu sağlayan x tam sa-
E) f″(x) ⋅ f′(x) > 0
yılarının toplamı kaçtır?
A) –5
B) –4
C) 2
D) 4
E) 5
6.
2.
sürekli (a, b) ve (b, c) aralıklarında türevli fonksiyon-
f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 3
fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi
ile yerel maksimum noktasının ordinatının toplamı kaçtır?
A) 14
B) 12
a 0
x ∈ (b, c), f′(x) > 0, f″(x) < 0
olduğuna göre, f fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
�
��
3.
fonksiyonunun yerel ekstremum noktası aşağı-
�
��
f(x) = |ln2x|
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
dakilerden hangisidir?
1 
A)  , e  2 
 2 1
D)  e ,  
4
 1
C)  e, 
 2
�
��
�
��
E) (1, 0)
�
4.
1 
B)  , 0  2 
�
�
�
�
�
�
��
f(x) = x3 + 9x2 + 9x + 9
�
fonksiyonunun dönüm noktasındaki teğetinin
eğimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) –36
B) –27
C) –18
D) –9
E) –1
�
�
�
�
�
LYS MATEMATİK
329
Türevin Uygulamaları
Türev - Bölüm 12
7.
9.
�
�
��
�
��
�
�
�
�
�
�
�
��
Şekilde y = f′(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Şekilde y = f″(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) f fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının
A) x = 1 apsisli nokta f fonksiyonunun dönüm nok-
apsisleri toplamı –1 dir.
tasıdır.
B) f(6) < f(7) dir.
B) x > 1 iken f fonksiyonunun çukurluğu aşağıya
doğrudur (konkav).
C) x = 5, f fonksiyonunun yerel minimum noktasının
apsisidir.
C) (0, 1) aralığında f′ fonksiyonu artandır.
D) f″(–1) < 0 dır.
D) f′(2) > f′(3) dir.
E) x = –2, f fonksiyonunun dönüm noktasının apsi-
E) f fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının
sidir.
ordinatlarından biri 3 tür.
8.
�
��
�
�
�
�
10. f fonksiyonu negatif tanımlı bir fonksiyon olmak
�
üzere; x ∈ (0, ∞) için f(x) azalan bir fonksiyon olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi aynı ara-
��
��
lıkta artan bir fonksiyondur?
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) f3(x)
B) x – f(x)
f (x)
x
D)
11. f(x) =
C) 2f(x)
E) f(x) – x
A) f fonksiyonunun x = 3 noktasındaki teğetinin eğimi sıfırdır.
B) (0, 4) aralığında f fonksiyonunun bir dönüm noktası vardır.
C) x = –3 apsisli nokta f fonksiyonunun mutlak mini-
mum noktasıdır.
4 olduğuna göre, m kaçtır?
E) f fonksiyonunun mutlak minimum noktasının ordinatı –3 tür.
330
2. B
LYS MATEMATİK
fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi
ile yerel maksimum noktasının apsisinin toplamı
D) f′(–2) ⋅ f′(1) < 0
1. E
x3
− mx 2 + 3 − 6
3
3. B
4. C
5. D
6. B
A) –2
B) –1
7. E
8. C
C) 0
9. E
D) 1
10. A
E) 2
11. E
Türev - Bölüm 12
Türevin Uygulamaları
TEST - 5
2 x3
− 6 x2 + x + 1
3
4.
eğrisinin hangi noktasındaki teğetinin eğimi en
y=
küçüktür?
1.
fonksiyonunun eğrisinin y = x + 2 doğrusuna en
f(x) = 2 x
A) (3, –16)
B) (3, –32)
D) (–3, –32)
C) (3, –8)
E) (–3, –16)
yakın noktasının ordinatı kaçtır?
A) 4
B) 2
C) 1
D)
1
2
E)
1
4
5.
2.
fonksiyonunun [–1, 3] aralığında alabileceği en
�
f(x) = 12x – x3
�
�
büyük değer kaçtır?
A) –11
B) 9
C) 11
D) 16
E) 24
y = x2 parabolü ile y = x fonksiyonuna şekildeki gibi teğet olan dairenin alanı en çok kaç birim
kare olur?
A)
3.
π
8
B)
π
12
C)
π
16
D)
π
24
E)
π
32
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
6.
�
�
�
32 3
A)
9
16 3
B)
9
4 3
D)
3
8 3
C)
9
16 3
E)
3
�
�
�
��
Buna göre, ABCD dikdörtgeninin alanı en fazla
kaç birim karedir?
�
Şekilde y = 2x2 parabolü ve y = 8 doğrusunun birinci
bölgedeki grafikleri verilmiştir.
�
ABC üçgeninin içine KLMN dikdörtgeni çizilmiştir.
Buna göre, KLMN dikdörtgeninin alanı en çok
kaç birim karedir?
A) 10
B) 15
C) 25
D) 30
E) 45
LYS MATEMATİK
331
Türevin Uygulamaları
Türev - Bölüm 12
7.
11. x > 0 olmak üzere, bir kütüphanede ders çalışan öğ-
�
renci sayısı
�
�
�
�
denklemiyle ifade edilmektedir. x kütüphanede kalınan toplam saat sayısıdır.
�
�
f(x) = x3 – 9x2 + 15x + 99
�
Buna göre, kütüphaneye en az sayıda öğrenci
geldiğinde kaç saat ders çalışılmıştır?
Şekilde A noktasında bulunan bir kişi yerden 3 m
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
yükseklikteki C ile D arasındaki bir bölgeyi en büyük
a açısı altında görmek istiyor.
Buna göre, a açısı en çok kaç radyandır?
A)
π
8
B)
π
6
C)
π
4
D)
π
3
E)
5π
12
12. Denklemi y = –x2 + 5x olan parabolün üzerindeki bir
nokta A(x0, y0) olsun.
8.
�
�
Buna göre, x0 ın hangi değeri için x0 + y0 en büyük olur?
A) 4
�
�
B)
7
2
C) 3
D)
5
2
E) 2
�
|AB| = 4 birim olan [AB] çaplı bir yarım çemberin
içine çizilmiş ABCD yamuğunun alanı en büyük
değerini aldığında yamuğun yüksekliği kaç birim
13.
olur?
A)
9.
1
2
C)
3
2
D)
3
3
E)
3
�
x
+8
2
x+y=8
y=
B) 1
doğruları ve x ekseni ile sınırlı kapalı bölgenin
içine çizilebilecek en büyük alanlı dikdörtgenin
Şekilde verilen büyük koninin taban yarıçapı 3 br,
yüksekliği de 6 br dir. Bu koninin içine tepe noktası
büyük koninin tabanının merkezinde olan bir küçük
koni konuluyor.
Buna göre, küçük koninin hacmi en çok kaç br3
alanı kaç br2 dir?
A) 64
B) 56
C) 48
D) 36
E) 24
tür?
10.
��
f(x) = (4 + sinx) ⋅ (6 – sinx)
B)
A) 4p
fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 36
1. B
332
B) 25
2. D
3. A
LYS MATEMATİK
C) 24
4. B
D)
5. E
52 E) 12
6. B
7. B
8. E
11π
3
D) 3p
9. C
10. B
E)
11. D
C)
10 π
3
8π
3
12. C
13. E
Türev - Bölüm 12
Graf ikler
Polinom Fonksiyonların Grafikleri
Çözüm
Işık 18
Verilen polinom fonksiyonun yaklaşık olarak nasıl bir
f(x) = x3 – 3x2 + 3
⇒ f′(x) = 3x2 – 6x = 0
⇒ 3x (x – 2) = 0
grafiği olduğunu anlamak için;
⇒ x = 0 ve x = 2
0
i) Grafiğin eksenleri kestiği noktalara bakarız.
+
ii) Fonksiyonun I. türevini alıp extremum noktalarını
taları ve çukurluk durumuna bakarız.
–
yerel
max.
buluruz.
iii) Gerekirse fonksiyonun II. türevini alıp dönüm nok-
2
+
yerel
min.
olduğundan C ve D seçenekleri elenir.
Ayrıca f(0) = 3 olduğundan B seçeneği de elenir.
f(2) = –1 olduğundan E seçeneği de olmaz.
Doğru Seçenek A
DNA 79
f(x) = x3 – 3x2 + 3
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
��
�
lir?
��
�
�
y = x3 – 3x – 1
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabi-
�
��
�
�
��
�
�
��
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
LYS MATEMATİK
333
Graf ikler
Türev - Bölüm 12
Ayrıca (2, 3) aralığında f(x) = x3 – 12x < 0 olduğundan;
DNA 80
�
y = x3 – 12x
fonksiyonunun (2, 3) aralığındaki grafiği aşağıda-
�
�
�
kilerden hangisidir?
��
��
�
�
��
Doğru Seçenek C
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
f(x) = x3 – 6x2 + 4
�
�
�
�
�
fonksiyonunun (1, 2) aralığındaki grafiği aşağıdakiler-
�
�
�
den hangisidir?
��
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
⇒ f(x) =
3x2
f′(x)
–2
+
– 12 = 0
⇒ x2 = 4 ⇒ x = 2
�
�
�
�
�
�
– 12x
�
�
�
Çözüm
f(x) =
�
�
�
�
��
x3
�
�
�
�
2
–
+
Işık 19
Demek ki (2, 3) aralığında f
fonksiyonu artandır.
K ≠ 0 ve n ∈ Z+ olmak üzere,
f(x) = K ⋅ (x – a) ⋅ (x – b)2n+1 ⋅ (x – c)2n
f″(x) = 6x = 0
⇒x=0
334
LYS MATEMATİK
f″(x)
0
–
fonksiyonu,
+
i) x = a da x eksenini büküm yapmadan keser.
Buradan da (2, 3) aralığında
ii) x = b de x eksenini büküm yaparak keser.
f fonksiyonu konvekstir.
iii) x = c de x eksenine teğet olur.
Türev - Bölüm 12
Graf ikler
DNA 81
�
�
�
��
��
�
��
�
�
f(x) = m(x +
⋅
(x2
– 3x + k)
A) 3
C) 2
1

f(x) = (x + a)2 ⋅ (x – 1) ⋅  bx + 

2
olduğuna göre, a ⋅ b kaçtır?
olduğuna göre, m ⋅ (n + k) kaçtır?
7
B) 3
��
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Şekilde y = f(x) fonksiyonun grafiği verilmiştir.
n)2
�
�
��
�
�
�
5
D) 3
4
E)
3
A) –2
B) −
1
3
C) 0
D)
1
3
E) 2
ASİMPTOT
GİRİŞ
Bir y = f(x) fonksiyonunun grafiğini çizmek için, eksenleri
kestiği noktaları eğer f fonksiyonu 2. dereceden ise tepe
Çözüm
noktasını bulup grafiği çiziyorduk. Türev konusuna girince
eğri hakkında daha çok bilgiye sahip olduk. Fonksiyonun
f(x) = a ⋅ (x +
3)2
⋅ (x – 1) ⋅ (x – 2)
⇒ f(x) = a ⋅ (x + 3)2 ⋅ (x2 – 3x + 2)
dir.
ekstremum noktalarını, dönüm noktalarını bulmayı öğrendik. Şimdi yeni bir kavram olan asimptotu öğrenelim.
TANIM
(0, 6) eğri denklemini sağlayacağından,
6 = 18 a ⇒ a =
y = f(x) eğrisi üzerinde değişen bir N noktası verilsin. Bu N
1
3
noktası eğrinin en az bir kolu üzerinde sonsuza uzaklaşırken bu noktanın y = mx + n doğrusuna uzaklığı sıfıra yak-
1
⇒ f ( x ) = ( x + 3 )2 ⋅ ( x 2 − 3 x + 2 )
3
laşıyorsa bu doğruya y = f(x) eğrisinin asimptotu denir.
�
1
1
5
m = , n = 3, k = 2 ⇒ m ⋅ ( n + k ) = ⋅ 5 =
3
3
3
�
��
�
��
��
��
��
bulunur.
�
�
�
Doğru Seçenek D
LYS MATEMATİK
335
Graf ikler
Türev - Bölüm 12
Kısaca bir eğriye sonsuzda teğet olan doğruya ya da eğ-
TANIM
riye asimptot denir.
y = f(x) fonksiyonu için,
TANIM
lim f ( x ) = b veya lim f ( x ) = b
x →+∞
f fonksiyonunun sağdan veya soldan limitlerinden en az
biri +∞ ya da –∞ ise x = a doğrusuna f fonksiyonunun düşey asimptotu denir.
x →−∞
oluyorsa, y = b doğrusuna f fonksiyonunun yatay asimptotu denir.
Işık 20
Işık 21
�
�
�
�
�
�
�
�
y=
�
��
�
f(x)
g( x )
rasyonel fonksiyonunda paydanın a gibi bir kökü varsa
yani g(a) = 0 ise x = a ifadesi düşey asimptot denk-
f(x)
rasyonel fonksiyonunda; payın derecesi
g( x )
paydanın derecesinden küçük ya da eşitse,
lemi olur.
lim
x → ∞
�
�
y=
Örneğin,
��
f(x)
= b (b bir gerçek sayı)
g( x )
y = b yatay asimptotun denklemidir.
x+2
f(x) =
x −1
fonksiyonunda,
lim
x+2 3
=
= +∞
x − 1 0+
lim
x+2 3
=
= −∞
x − 1 0−
x →1+
x →1−
Örneğin, y =
2x − 1
fonksiyonunda,
x +1
lim
x → ∞
olduğundan, x = 1 düşey asimptottur.
2x − 1
=2
x +1
olduğundan, y = 2 yatay asimptottur.
�
�
�
�
�
�
�
336
LYS MATEMATİK
�
Türev - Bölüm 12
Graf ikler
DNA 82
TANIM
y = f(x) eğrisi ve y = g(x) doğrusu verilsin.
y=
lim [ f ( x ) − g( x )] = 0
ax + b
cx + d
fonksiyonunun asimptotlarının kesim noktası A(1, 4)
x → ∞
olduğuna göre,
ise y = g(x) doğrusuna eğrinin eğik asimptotu denir.
B) −
A) –4
d
kaçtır?
a
1
4
C)
1
4
D) 1
E) 4
Işık 22
�
Çözüm
��
��
A(1, 4) de x = 1 düşey, y = 4 yatay asimptottur.
�
�
Yatay asimptot,
a
a
= 4 ⇒ a = 4c ⇒ c =
c
4
ve düşey asimptot,
y=
f(x)
g( x )
c+d=0⇒
rasyonel fonksiyonunda payın derecesi paydanın de-
⇒
a
= −d
4
⇒
d −1
=
a 4
recesinden bir büyükse önce bölme yapılır. Bölüm
B(x) ve Kalan k(x) olmak üzere y = B(x) asimptotun
denklemidir. B(x) in derecesi 1 den büyükse y = B(x)
a
+d=0
4
bulunur.
eğik asimptot denklemi olur.
Doğru Seçenek B
Örneğin,
y=
2 x2 − x + 1
x +1
fonksiyonunda,
2x2 – x + 1
x+1
2x2
2x – 3
 2x
–3x + 1
–3x – 1
4
y=
ax + 1
3x + b
fonksiyonunun asimptotlarının kesim noktası A(1, 2)
olduğuna göre, a + b kaçtır?
y = 2x – 3 eğik asimptot denklemidir.
A) 6
B) 3
C) 1
D) –3
LYS MATEMATİK
E) –6
337
Graf ikler
Türev - Bölüm 12
DNA 83
y=
x 2 − mx − 8
x −n
kesmesi ve y = x – 1 doğrusunu eğik asimptot kabul etmesi için m + n kaç olmalıdır?
B) 4
x 2 − mx + 4
x−2
eğrisinin asimptotlarının kesim noktasının koordinat-
fonksiyonunun gösterdiği eğrinin y eksenini 8 de
A) 5
y=
C) 3
D) 2
ları toplamı 9 olduğuna göre, m kaçtır?
B) –3
A) –4
C) –2
D) –1
E) 1
E)1
Işık 23
Çözüm
f fonksiyonunun gösterdiği eğri y eksenini 8 de kesiyorsa
(0, 8) denklemi sağlar.
f (0) = 8 ⇒
Bir fonksiyonun simetri merkezi asimptotlarının kesim
noktasıdır.
−8
= 8 ⇒n =1
−n
dir.
Hazine 23
Eğik asimptotun denklemini bulmak için payı paydaya bölelim.
y=
x2 – mx – 8
–x2 ± x
x–1
y = x + (1 – m) = x – 1
x + (1 – m)
⇒ 1 – m = –1
x(1 – m) – 8
⇒m=2
x(1 – m)  m ± 1
dir.
f(x)
fonksiyonlarının grafiklerini bulmak için,
g( x )
i) Önce asimptotlar bulunur.
ii) x = 0 için y eksenini kestiği nokta,
y = 0 için x eksenini kestiği nokta bulunur.
iii) Pay tam kare ise grafik o noktada x eksenine teğet-
–7 – m
tir.
iv) Payda tam kare ise grafik o noktada baca yapar.
Buradan,
m+n=3
ya da
v) Fonksiyona değerler verilip görüntülerinin pozitif
bulunur.
veya negatif mi olduğu grafikten görülebilir.
Doğru Seçenek C
vi) Bu 5 maddenin çalışmadığı durumda da fonksiyonun 1. türevi alınıp ekstremum noktaları bulunur.
338
LYS MATEMATİK
Türev - Bölüm 12
Graf ikler
DNA 84
DNA 85
Yanda grafiği ve-
�
rilen
f(x) =
fonksiyonun
denklemi aşağıda�
�
��
�
�
�
x+6
x2 + 2
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
kilerden hangisine
olabilir?
ait olabilir?
��
�
��
�
��
�
��
A) y =
2x − 3
x −1
B) y =
2x − 3
1− x
C) y =
x−3
x −1
D) y =
4x − 3
2x − 1
�
�
��
�
��
�
�
Çözüm
�
�
�
��
�
�
��
�
4x − 3
E) y =
1− 2 x
�
�
��
�
�
�
��
Önce asimptotlara bakalım.
Düşey asimptot x =1 doğrusu paydanın kökü olacağından
��
D ve E seçeneği elenir.
�
�
��
Yatay asimptot y = –2 doğrusu olduğundan A, C seçenekleri de elendi. Dolayısıyla geriye B seçeneği kaldı.
Çözüm
Doğru Seçenek B
Verilen fonksiyonda yatay asimptot y = 0 (x ekseni) ve
düşey asimptot yoktur.
x = 0 için y = 3 ve
�
�
A) y =
olduğundan, A, C, E seçenekleri elenir. Mecburen türev
fonksiyonun denkle-
almamız gerekiyor.
mi
��
��
x +1
x−2
D) y =
�
B) y =
x−2
x+2
�
y = 0 için x = –6
Yanda grafiği verilen
aşağıdakilerden
f(x) =
hangisi olabilir?
x +1
( x − 2 )2 C) y =
E) y =
−x −1
x−2
−x +1
x+6
x2 + 2
⇒ f ′( x ) =
( x2 + 2 ) − ( 2 x ) ⋅ ( x + 6 )
( x 2 + 2 )2
⇒ x2 + 2 – 2x2 – 12x = 0
⇒ x2 + 12x – 2 = 0
=0
D seçeneğinde x = 0 da yerel maksimum vardır. Oysa
x = 0 türevin bir kökü olmadığından D seçeneği de elenir.
Doğru Seçenek B
2
( x + 2)
LYS MATEMATİK
339
Graf ikler
Türev - Bölüm 12
DNA 86
f(x) =
2
x + x +1
x2 − x + 1
y = 4 x2 + 8 x + 3
eğrisinin eğik asimptotlarından biri aşağıdakiler-
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
�
��
��
�
den hangisidir?
�
�
�
�
��
�
��
�
��
�
�
A) y = –2x – 1
B) y = 2x + 2
C) y = –2x + 2
D) y = –x – 2
E) y = 2x – 2
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
��
Çözüm
�
�
�
y = 4 x2 + 8 x + 3
a = 4 ve b = 8
�
8

⇒ y =  4x + 
8

Işık 24
y = 2( x + 1) ⇒ y = 2 x + 2
ve y = −2 x − 2 dir.
2
f ( x ) = ax + bx + c
fonksiyonunun düşey asimptotu yoktur.
Doğru Seçenek B
i) a < 0 ise x → ∞ için ax2 + bx + c < 0 olduğundan,
lim
x → ∞
ax 2 + bx + c
limiti yoktur. Dolayısıyla düşey asimptot da yoktur.
ii) a > 0 ise x →  ∞ için ax2 + bx + c > 0 olduğundan
lim
x → ∞
ax 2 + bx + c = +∞
olur. Dolayısıyla y = f(x) eğrisinin eğik asimptotu
vardır ve bunlar,
b 
b 


y = a ⋅x +
 ve y = − a ⋅  x +

2a 
2a 


doğrularıdır.
340
LYS MATEMATİK
y = x 2 − 6 x + 10
eğrisinin eğik asimptotlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) y = x + 3
B) y = –x – 3
D) y = x – 6
C) y = 3 – x
E) y = –x + 6
Türev - Bölüm 12
Graf ikler
TEST - 6
4.
fonksiyonunun simetri merkezi ile,
9 x2 − 1
1.
fonksiyonunun yalnız bir tane düşey asimptotu var-
y=
ax 2 − 6 x + 1
g( x ) =
ax + 2
bx − 4
fonksiyonunun simetri merkezleri aynı olduğuna
göre, a ⋅ b kaçtır?
A) 36
dır.
f(x) = x3 – 3x2 + 5x – 1
B) 32
C) 24
D) 18
E) 12
Bu fonksiyonun yatay asimptotu b olduğuna
göre, a + b kaçtır?
A) 18
B) 12
C) 10
D) 9
E) 8
5.
�
��
��
5 x2 − 5 x + 4
2.
eğrisinin asimptotları ile y = 0 doğrusu arasında
f(x) =
x2 − 2 x − 3
B) 32
C) 24
D) 20
�
�
Şekildeki y = f(x) polinom fonksiyonunun grafiğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
kalan bölgenin alanı kaç birim karedir?
A) 36
�
A) y = (x – 2)2 ⋅ x ⋅ (x + 3)
B) y = (x + 2)2 ⋅ x ⋅ (x – 3)
E) 18
C) y = (x + 2) ⋅ x ⋅ (x – 3)
D) y = (x + 2) ⋅ x ⋅ (x – 3)2
E) y = (x – 2) ⋅ x ⋅ (x + 3)2
6.
x2 − 6 x + 7
x +1
3.
eğrisinin asimptotlarının kesim noktası aşağıda-
y=
kilerden hangisidir?
A) (–1, –8)
B) (–1, 8)
D) (–1, 4)
C) (1, 8)
E) (–1, 16)
a ve b sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere,
f(x) = ax2 + bx + c
f(4) = f(5)
dir.
f′(a) = 0 olduğuna göre, a kaçtır?
A) 10
B) 9
C)
11
2
D) 5
LYS MATEMATİK
E)
9
2
341
Graf ikler
Türev - Bölüm 12
7.
polinom fonksiyonu veriliyor.
f(x) = k, (k < 0) denkleminin ikisi eşit olan üç kökü
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
9.
�
varsa, f nin grafiği aşağıdakilerden hangisi olabi-
��
lir?
�
�
� �
��
�
��
�
��
�
�
�
�
Şekilde verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden hangisidir?
�
��
�
��
�
�
�
�
x2 − x
A) y =
B) y =
3
2
C) y = x − x 2
x −4
D) y =
2
x −4
E) y =
�
��
10. f(x) =
�
�
x −1
x2 − 4
x3 − x 2
( x − 2 )2
( x − 3 )2
x2 − 5 x + 4
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi-
��
8.
��
�
�
� �
�
��
�
�
1
D) y =
x +1
1. C
342
2. D
LYS MATEMATİK
�
−1
x +1
C) y =
E) y =
3. A
4. B
��
�
�
�
� �
�
��
��
Yukarıda verilen grafik aşağıda verilen fonksi-
B) y =
�
�
��
��
yonlardan hangisine aittir?
−1
x −1
�
�
��
A) y =
�
�
�
�
�
�
( x − 4 )2
dir?
x2 − x
1
x −1
�
�
� �
1
�
�
�
�
�
x2 − 1
5. B
6. E
7. B
8. C
9. C
10. E
�
İNTEGRAL - BÖLÜM 13
BELİRSİZ İNTEGRAL
DNA 1
GİRİŞ
Bu bölümde türevi belli olan bir fonksiyonu bulmaya çalı-
∫
(2x − 1) dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
şacağız. Türevi belli olan bir fonksiyonu bulmak için yapılan işleme integral alma veya ilkelini bulma işlemi denir.
A) 2x – 1 + c
İntegral alma, türev alma işleminin tersi gibi düşünebilir.
D) x2 – x + c
C) x2 – x
B) 2x – 1
E) 2x2 – 1 + c
f: [a, b] → R ve F: [a, b] → R
Çözüm
tanımlı ve türevlenebilen iki fonksiyonu olsun.
Türevi 2x – 1 olan fonksiyon x2 – x tir. O zaman,
TANIM
∫ (2x − 1) dx = x
Her x ∈ (a, b) için F′(x) = f(x) ise F(x) fonksiyonuna f(x)
in ilkeli veya belirsiz integrali denir. Belirsiz integralde
2
−x+c
dir.
Doğru Seçenek D
mutlaka bir c sabiti olmalıdır.
Türevi 2x olan fonksiyonu sorsalar sadece x2 diyemeyiz;
3
x 2 + 1, x 2 − , x 2 + 3, ...
4
fonksiyonlarının hepsinin türevi 2x tir.
Yani;
∫ 2x dx = x
2
+c
dir.
∫ 4x
3
dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4x3 + c
B) 4x3
D) x4 + c
C) x4
E) 4x4 + c
Toparlayacak olursak; türevi f(x) olan F(x) ifadesine f(x) in
belirsiz integrali denir ve
Hazine 1
∫ f ( x) dx = F(x) + c
dy
= f ′( x )
dx
şeklinde gösterilir.
y = f (x) ⇒
Buna göre,
⇒ dy = f ′( x ) dx
∫
∫ f ( x) dx = F(x) + c ⇔ F′( x) = f ( x)
∫
⇒ dy = f ′( x ) dx
∫
y = f ( x ) + c = f ′( x ) dx
tir.
Ayrıca her sabitin türevi sıfır olduğundan,
Dolayısıyla,
∫ f′(x) dx = f(x) + c
∫ f ( x) dx = F(x) + c
dir.
dir.
LYS MATEMATİK
343
Belirsiz İntegral
İntegral - Bölüm 13
DNA 2
DNA 3
Tabloda yazılan integrallerin sonuçlarını yazalım.
∫ f ′(g( x)) ⋅ g′( x) dx
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) (fog)(x)
B) (gof)(x)
C) (fog)(x) + c
D) (gof)(x) + c
∫ d(sin
∫
d( x 2 )
x
d
dx
E) (fog)′(x) + c
2
x)
( ∫ 5x dx )
4
sin2x + c
∫
2 x dx
= 2x + c
x
5x4
Çözüm
∫ f ′(g( x)) ⋅ g′( x) dx = ∫ (fog)′( x) dx = (fog)( x) + c
bulunur.
Doğru Seçenek C
Uygun koşullarda tanımlanmış,
f (x) =
f ve g x in iki fonksiyonu olmak üzere,
fonksiyonu için
 f ′ ⋅ g − f ⋅ g′ 
 dx
g2

∫ 
f
B)   + c  g
A) (f ⋅ g) + c
∫ d(f
−1
(x)) integralinin değeri aşağı-
dakilerden hangisidir?
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
2x − 1
x−3
D) (f – g) + c
 g
C)   + c
f
A)
2x − 1
+ c x−3
D)
2x − 1
x−3
B)
3x − 1
+c x−2
C)
E) ln
3x − 1
x−2
3x − 1
+c
x−2
E) (fog) + c
Işık 1
DNA 4
Türev konusunda bir fonksiyonun diferensiyelini almayı öğrenmiştik.
∫
d(f(x)) = f′(x) ⋅ dx
i)
ii)
∫ d(f ( x)) = ∫ f ′( x) dx = f ( x) + c
d
F( x ) dx = F( x )
dx
olur.
344
eşittir?
B) x2
A) x + 2
∫
LYS MATEMATİK
x3
+c
3
olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisine
idi. O zaman,
( x + 2) ⋅ f ( x ) ⋅ dx =
D)
x+2
x
2
E)
C)
x3
x+2
x2
x+2
İntegral - Bölüm 13
Belirsiz İntegral
Çözüm
Hazine 2
f(x) i bulmak için eşitliğin her iki tarafının türevini alalım.
 3

d 
 = d  x + c
(
x
+
2
)
⋅
f
(
x
)
⋅
dx
 dx  3
dx 

∫
( x + 2) ⋅ f ( x ) =
3 x2
3
⇒ f (x) =
x2
x+2
bulunur.
Doğru Seçenek C
1.
∫ a dx = a ⋅∫ dx = ax + c
2.
∫
3.
∫x
= l n | x | +c
4.
∫e
dx = e x + c
5.
∫
6.
∫ sin x dx = − cos x + c
7.
∫ cos x dx = sin x + c
8.
∫ sin
9.
∫ cos
10.
∫ 1+ x
11.
∫ 1+ x
12.
∫
1 − x2
13.
∫
1 − x2
a ∈ R olmak üzere,
∫x
3
⋅ f ( x ) ⋅ dx = x 4 + a
olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) x4
A) x
C) 3
D) 4
E)
x
4
xm+1
+ c,
m +1
xm dx =
dx
x
a x dx =
dx
2
x
2
−dx
2
(a > 0 )
∫
∫
∫
∫
= (1 + tan2 x ) dx = sec 2 x dx = tan x + c
x
dx
(m ≠ −1)
= cosec 2 x dx = − (1+ cot 2 )dx = − cotx + c
dx
2
ax
+c
lna
(a bir sabit)
= arctan x + c
= arc cot x + c
dx
−dx
= arcsin x + c
= arc cosx + c
Işık 2
1. Her k gerçek sayısı için,
DNA 5
∫ k ⋅ f ( x) ⋅ dx = k ⋅ ∫ f ( x) ⋅ dx
olur. Başka bir ifadeyle çarpan durumundaki sabitler integralin dışına alınabilir.
2. dir.
∫ [f ( x)  g(x)] dx = ∫ f ( x) dx  ∫ g(x) dx
∫
3
x 2 dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 3 x 2 + c D)
B) 5 3 x + c 3 3 2
x x + c 5
E)
C) 3 x 3 x 2 + c
5 3 2
x x +c
3
LYS MATEMATİK
345
Belirsiz İntegral
İntegral - Bölüm 13
Çözüm
∫
3
2
x dx =
Çözüm
∫
2
x 3 dx
2
∫ (5 x
+1
x3
=
+c
2
+1
3
5
4
∫
= 5⋅
5
x3
3
3 3
=
+ c = ⋅ x 3 = ⋅ x x2 + c
5
5
5
3
∫
x5
x3
−3⋅
+x+c
5
3
= x5 − x3 + x + c
bulunur.
Doğru Seçenek D
5
∫x
6
dx
Doğru Seçenek D
t bir gerçek sayı olmak üzere,
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x5 + c
B) 5x5 + c
x5
D) −
+c
5
∫
− 3 x 2 + 1)dx = 5 x 4 dx − 3 x 2 dx + dx
E) −
C)
1
x
5
5
x
+c
5
+c
∫ (2x
3
− t )dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x4
− tx + c 2
B) x4 – tx + c
D) x4 + tx + c
E)
C) 2x4 – tx + c
x4
−t+c
2
DNA 7
DNA 6
∫
∫ (5 x
4
− 3 x 2 + 1)dx
2+ x
4
x
dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
8 4
4
x x + x3 + c 3
B)
84 3
x + x4 x + c
3
A) x5 – x3 + c
B) x5 + c
C)
4
D)
C) x5 – x3 – x + c
D) x5 – x3 + x + c
84 3 4 4
x + x x +c
3
5
E)
346
x5
LYS MATEMATİK
–x+c
x3 + x 4 x + c E)
4 4
x x +c
5
İntegral - Bölüm 13
Belirsiz İntegral
Çözüm
∫
2+ x
4
Çözüm
dx integralini,
x
=
∫
2
4
x
dx +
∫
x
4
x
∫ (e
dx
x
− 3 x + ex )dx = e x −
3x
x2
+ e⋅
+c
ln3
2
bulunur.
şeklinde yazarsak,
∫
=2 x
−
1
4 dx
Doğru Seçenek D
∫
1
+ x 4 dx = 2 ⋅
=
3
x4
3
4
5
x4
+
5
4
8 4 3 4
⋅ x + ⋅x⋅4 x +c
3
5
olarak bulunur.
Doğru Seçenek D
∫ (2 ⋅ e
x
+ 2x + e)dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
∫
2
2
( x + 1)
x2
A) 2ex + 2x + c
dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x3 1
+ + 2x + c 3 x
B)
C)
x3 1
− + 2x + c 3 x
D) x3 +
E) x3 −
C) 2e x +
x3
+ 2x + c
3
E) 2e x +
1
+ 2x + c
x
∫
x
2x
+ ex + c
ln 2
DNA 9
2 2
3
e x
+
+c ln 3
2
C) e x − 3 x ⋅ ln 3 +
ex
2x
+
+ ex + c
2 ln 2
x
(e − 3 + ex )dx
integralnin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) e x −
D)
1
+ 2x + c
x
DNA 8
x
2x
+ c ln 2
B) 2ex + ln2 ⋅ 2x
x2
+c 2
B) e x − 3 x + e
D) e x −
3x
ex 2
E) e +
+
+c
ln 3
2
x
2
x
+c
2
3x
ex 2
+
+c
ln 3
2
x2 + 4
∫ 1+ x
2
dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x + arctan x + c
B) x + arctan x + c
C) x + 3 ⋅ arctan x + c
D) 4x + arctan x + c
E) x – 3 ⋅ arctan x + c
LYS MATEMATİK
347
Belirsiz İntegral
İntegral - Bölüm 13
Çözüm
Çözüm
Bu soruyu ileride anlatacağımız integral alma yöntemlerinden biri ile çözebiliriz. Fakat şu anda öğrendiklerimizle
çözümü yapalım.
∫
 x2 + 1
3 
dx
=
+ 2
 2
 dx
2
1+ x
 x + 1 x + 1
x2 + 4
∫ (tan
2
x + 1 − 1) dx
∫ (tan
2
x + 1) dx − dx = tan x − x + c
(1 ekleyip 1 çıkaralım)
∫
bulunur.
∫
Doğru Seçenek C
3 

= 1 + 2
 dx = x + 3 ⋅ arcctan x + c

x + 1
∫
Doğru Seçenek C
∫ (tan
2
∫
3 − 2 1 − x2
1 − x2
x − cot 2 x ) dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) arcsin x – 3x + c
B) 3 ⋅ arcsin x – 2 + c
C) 3 ⋅ arcsin x – 2x + c
D) 3 ⋅ arccos x – 2x + c
A) tan x + cot x + c
B) tan x – cot x + c
C) cot x – tan x + c
D) –tan x – cot x + c
E) tan x + cos x + c
E) arccos x – 3x + c
DNA 10
∫ tan
2
DNA 11
x dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
f′(x) = 5x4 – 3
A) tan x + c
B) tan x – 1 + c
f(–1) = 4
C) tan x – x + c
D) tan x + x + c
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
E) cot x + c
348
LYS MATEMATİK
A) 34
B) 32
C) 30
D) 28
E) 26
İntegral - Bölüm 13
Belirsiz İntegral
Çözüm
Çözüm
f′(x) = 5x4 – 3
∫
f′(x) = 2x ve f(–1) = 4 verilmiş.
∫
∫
⇒ f ′( x )dx = (5 x 4 − 3)dx
∫
⇒ f ′( x )dx = 2x dx = f ( x )
= x5 − 3 x + c = f ( x )
x2 + c = f(x)
olur.
bulunur.
f(–1) = 4 ⇒ –1 + 3 + c = 4
c=2
f(–1) = 4 ⇒ 1 + c = 4
bulunur.
⇒c=3
tür.
⇒ f(x) = x5 – 3x + 2
⇒ f(2) = 32 – 6 + 2 = 28
Dolayısıyla,
f(x) = x2 + 3
bulunur.
bulunur.
Doğru Seçenek D
Doğru Seçenek D
d
( f ( x )) = 6 x5 − 3 x 2 + 2
dx
f(–1) = 0
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Yerel ekstremum noktalarından biri A(0, 2) olan f fonksiyonu için,
DNA 12
∫
f ( x ) = ( 4 x3 + 2x − a) dx
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
Her noktasındaki teğetinin eğimi 0 noktasının ap-
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
sisinin iki katına eşit olan ve (–1, 4) noktasından
geçen eğrinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) f(x) = x2
B) f(x) = x2 + 1
C) f(x) = x2 + 2
D) f(x) = x2 + 3
E) f(x) = x2 + 4
LYS MATEMATİK
349
Belirsiz İntegral
İntegral - Bölüm 13
Hazine 3
f ′( x )
∫ f ( x) dx
Değişken Değiştirme Yöntemi
∫ f ( x)dx
integrali doğrudan alınamıyorsa, integralde
belli bir kısım yeni bir değişkenle gösterilir ve diferensiyeli alınarak daha sade biçime getirilir.
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
 f 2 (x) 
B) ln 
+c
 2 
A) ln |f(x)| + c
∫ f ( x)dx integralinde x = a(t) şeklinde bir değişken de-
 f (x) 
C) ln 
 + c  2 
ğiştirmesi yapıldığında dx = a′(t) ⋅ dt olacağından,
D) 2 ⋅ ln |f(x)| + c
E) 2 ⋅ ln |f2(x)| + c
∫ f ( x)dx = ∫ f (α(t)) ⋅ α′(t)dt
olur.
Yeni integral hesaplandıktan sonra tekrar x değişkenine dönülür. Burada dikkat edilmesi gereken husus
diferensiyeli alınan ifade integralin içinde olmalıdır.
DNA 14
DNA 13
integralnin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
∫ f ( x) ⋅ f ′(x)dx
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) f(x) + c
B) f2(x) + c
C) 2f(x) + c
D)
E)
f 2 (x)
+c
2
⇒ d(f(x)) = du
⇒ f′(x) ⋅ dx = du
u ⋅ du =
D)
B)
ln x
+ c 3
ln3 x
+c 2
E)
C)
ln2 x
+c
3
ln3 x
+c
3
lnx in türevi
1
olduğundan,
x
lnx = u
d(lnx) = du
1
u3
dx = du ⇒ u2 ⋅ du =
+c
x
3
∫
u2
f 2 (x)
+c =
+c
2
2
bulunur.
=
ln3 x
+c
3
bulunur.
Doğru Seçenek E
350
ln2 x
+c 2
Çözüm
f(x) = u olsun. (Her iki tarafın diferensiyelini alırsak)
A)
f (x)
+c
2
Çözüm
∫
∫
ln2 x
dx
x
LYS MATEMATİK
Doğru Seçenek E
İntegral - Bölüm 13
Belirsiz İntegral
x 2 dx
dx
∫ x ⋅ ln x
∫ 1+ x
6
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln x + c
A) arctanx3 + c
B)
1
arctan x + c
3
1
arctan x3 + c 3
D)
1
arctan x + c
6
B) ln2 x + c
D) x ⋅ ln x + c
C) ln(lnx) + c
E) ln (x – 1) + c
C)
E)
1
arctan x3 + c
6
DNA 16
DNA 15
∫
2
3f ( x ) ⋅ f ′( x )
1 − f 6 (x)
dx
∫
cos x
x
dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
cos( x ) + c 2
B) cos( x ) + c A) arccos f(x) + c
B) arccos ( f3(x)) + c
C)
D) sin( x ) + c C) arcsin f(x) + c
D) arcsin ( f2(x)) + c
1
sin( x ) + c 2
E) 2sin( x ) + c
E) arcsin ( f3(x)) + c
Çözüm
Çözüm
∫
Pay kısmın f3(x) in türevi olduğuna dikkat ediniz.
2 x
dx
⇒ 3f 2 ( x ) ⋅ f ′( x )dx = du
∫
x
1
f 3 (x) = u
⇒
cos x
3f 2 ( x ) ⋅ f ′( x )
6
1 − f (x)
dx =
∫
x
du
dx integralinde x = u dersek;
dx = du
= 2du
∫
⇒ 2 cos u ⋅ du ⇒ 2 sin u + c
1 − u2
⇒ 2 sin( x ) + c
= arcsin u + c = arcsin(f 3 ( x )) + c
bulunur.
Doğru Seçenek E
Doğru Seçenek E
LYS MATEMATİK
351
Belirsiz İntegral
İntegral - Bölüm 13
DNA 17
a bir gerçek sayıdır.
∫
sin x
x
sin x − cos x
dx = a ⋅ cos x
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 3
B) 2
∫ sin x + cos x dx
C) 1
D) –1
A) ln|sinx + cosx| + c
E) –2
B) ln |sinx – cosx| + c
C) ln |tanx| + c
D) ln
1
+c
sin x + cos x
E) ln
1
+c
sin x − cos x
Çözüm
Dikkat ettiyseniz yalnız başlarına sin x veya cos x e “u” de-
Not
∫ sin5x dx
mek birşey ifade etmiyor. O zaman biz de,
integralini hesaplarken değişken değiştirme
sin x + cos x = u
yöntemini kullanabiliriz.
∫
sin 5 x dx
5x = u
5dx = du
dx =
⇒
du
5
1
1
sin u du = − cos u + c
5
5
deriz.
d(sin x + cos x) = du
(cos x – sin x)dx = du
(sin x – cos x)dx = –du
∫
−
1
= − cos 5 x + c
5
alırken
1
diye geldi. İşaretlere de dikkat edersek hepsini
5
rahatlıkla çözeriz.
352
LYS MATEMATİK
1
= −l n u + c = l n + c
u
= ln
olur.
Dikkat ettiyseniz türev alırken başına getirilen 5, integral
du
∫u
1
+c
sin x + cos x
bulunur.
Doğru Seçenek D
İntegral - Bölüm 13
e− x − e x
∫e
−x
+e
x
Belirsiz İntegral
dx
A)
+
ex|
∫
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
ln|e–x
3 (log3 x )2
dx
ln 3
x
+ c
B)
C) ln|ex| + c
E) ln
ln|e–x
D) ln
1
| e− x − e x |
–ex|
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
+c
1
| e− x + e x |
A) (log3x)3 + c
B)
ln3 x
+c
3
(log3 x )3
+ c 3
D)
3 log x
+c
2
+c
C)
+c
E)
(log3 x )3
+c ln3
DNA 19
DNA 18
∫
cos x
2
ln (sin x ) ⋅ cot x dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln(sin x) + c
B) ln(cos x) + c
C) ln(sin3 x) + c
D) ln3(sin x) + c
∫ 1 + sin
2
x
dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) arctan(sin x) + c
B) arctan(cos x) + c
C) arccot(sin x) +c
D) arccot(cos x) + c
E) ln |tan x| + c
E) ln(cos3 x) + c
Çözüm
Çözüm
sin x = u
l n(sin x ) = u
⇒ cos xdx = du
cos x
⇒
dx = du ⇒ cot x dx = du
sin x
∫
⇒ u2 du =
⇒
3
u
+ c = l n3 (sin x ) + c
3
bulunur.
cos xdx
∫ 1 + sin
2
x
=
du
∫ 1+ u
2
= arctan u + c
= arctan(sin x ) + c
olur.
Doğru Seçenek D
Doğru Seçenek A
LYS MATEMATİK
353
Belirsiz İntegral
∫
İntegral - Bölüm 13
cos x ⋅ dx
2 + 6 sin x
ln π∫
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
2 + 6 sin x + c C)
1
2 + 6 sin x + c 2
1
B)
2 + 6 sin x + c
3
D)
1
2 + 6 sin x + c
6
dx
x
π −1
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln|1 – px| + c
B) logpe ⋅ ln|1 – p–x| + c
C) ln|1 – p–x| + c
E) 3 2 + 6 sin x + c
D)
πx +1
⋅ ln π + c
x +1
E) ln|1 + px| ⋅ lnp + c
DNA 20
∫e
dx
x
+1
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln|1 + ex| + c
B) ln|1 + e–x| + c
C) ln|1 – e–x| + c
D) ln
E) ln
1
1− e− x
1
1+ e− x
+c
+c
Hatırlatma
Çözüm
∫e
x
dx
∫
dx
1 − x2
+1
= arcsin x
( e− x )
Önce soruyu düzenleyelim. (Payı ve paydayı e–x ile çarpalım.)
e− x dx
∫ 1+ e
−x
DNA 21
1 + e–x = u
⇒ –e–x dx = du
⇒ e–x dx = –du olur.
⇒
∫
−du
1
1
= ln
+ c = ln
+c
1+ u
1+ u
1 + e− x
bulunur.
9 − 16 x 2
A)
1
3x
⋅ arcsin
+c 3
4
B)
1
4x
⋅ arcsin
+c
3
3
C)
1
3x
⋅ arcsin
+c
4
4
D)
1
4x
⋅ arcsin
+c
4
3
LYS MATEMATİK
dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru Seçenek D
354
∫
E)
1
x
⋅ arcsin + c
12
3
İntegral - Bölüm 13
Belirsiz İntegral
Çözüm
DNA 22
dx
∫
 16 x 2 
9 − 1 −

9 

olur.
dx =
=
1
3
∫
dx
1−
16 x
9
1
3
=
2
∫
dx
 4x 
1− 

 3 
2
∫
4 − x2
x2
dx
4x
= u diyelim.
3
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
3du
dx =
4
A) −
4 − x2
x
− arcsin   + c x
2
B) −
4 − x2
x
− arcsin   + c 2
2
3du
1 3
⇒ ⋅
4
3 4
du
∫
1 − u2
C)
4 − x2
x
− arcsin   + c x
2
⇒
1
arcsin u + c
4
D)
⇒
1
4x
arcsin
+c
4
3
4 − x2
x
− arcsin   + c 2
2
E)
4 − x2
x
+ arctan   + c
x
2
bulunur.
Doğru Seçenek D
Çözüm
4 − x 2 ifadesini elde etmek için hipotenüsü 2 ve dik ke-
∫
narlarından birinin uzunluğu x olan bir dik üçgen çizelim.
dx
6 − x2
sin u =
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
6
arcsin
x
6
+ c B)
x
C) arcsin + c 6
1
x
arcsin
+c
6
6
D) arcsin
x
6
⇒ dx = 2 cos udu ve
�
�
cos u =
+c
x
E) arcsin
+c
6
�
��
∫
4 − x2
x2
�
Işık 3
dx =
2 cos u
∫ 4 sin
2
cos2 u
∫ sin
2
u
u
⋅ 2 cos u du
∫
du = cot 2 u du
∫
= (1 + co
ot 2 u − 1)du = − cot u − u + c
x
x

 sin u = ⇒ u = arcsin 

2
2
Özel Değişken Değiştirmeler
İntegralin içerisinde,
a2 + x 2 ,
=−
x 2 − a2
gibi ifadelerin integrallerini alırken dik üçgendeki trigonometrik oranlar yardımıyla trigonometrik değişken
dönüşümü yapılmalıdır.
4 − x2
2
dir.
=
a2 − x 2 ,
x
⇒ x = 2 sin u
2
4 − x2
x
− arcsin   + c
x
2
(Dik üçgenden)
bulunur.
Doğru Seçenek B
LYS MATEMATİK
355
Belirsiz İntegral
İntegral - Bölüm 13
DNA 23
Uyarı
a2 − x 2 den başka köklü ifade bulundur-
Demek ki
mayan integrallerinin çözümü için,
dx
∫
3
x+2+ x+2
integrali için x + 2 = u6 dönüşümü yapıldığında
x = a ⋅ sin u
aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
dönüşümü yapılır.
A)
∫
C) 3
u3
du u +1
∫
3
u
du u +1
∫
9 − x 2 dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
9
x
arcsin + c 2
3
B)
x
x
9 − x 2 + arcsin + c 2
3
C)
∫
u2
du u +1
2
u
∫ u + 1 du
Çözüm
x + 2 = u6
⇒ dx = 6u5 du
x
9
x
9 − x 2 + arcsin + c 2
2
3
x
D) x 9 − x + 9 arcsin + c 3
2
E)
∫
u3
du u +1
D) 3
E) 6
A)
B) 6
x
9
9 − x + arcsin x + c
2
2
dx
6u5
⇒
∫
⇒
∫ u (u + 1) du = ∫ u + 1 du
3
x+2+ x+2
6u5
=
∫u
2
+ u3
du
6u3
2
elde edilir.
Doğru Seçenek B
Işık 4
İntegral işareti altında,
m
ax + b ve
n
ax + b
bulunduran integralleri çözerken kök kuvvetlerinin en
küçük ortak katı olan t; (Ekok(m, n) = t) bulunduktan
sonra
ax + b = ut
dönüşümü yapılır.
356
LYS MATEMATİK
∫
4
x −x
3
x
dx
integrali için x = t12 dönüşümü yapıldığında aşağıdaki
integrallerden hangisi elde edilir?
∫
∫
7
16
B) 6 ( t − t )dt
A) 6 ( t10 − t19 )dt ∫
10
C) 12 ( t
∫
19
D) 12 ( t 7 − t16 )dt
− t )dt
∫
7
19
E) 11 ( t − t )dt
İntegral - Bölüm 13
Belirsiz İntegral
KISMÎ İNTEGRAL
Çözüm
∫x⋅e
TANIM
x
⋅ dx
↑ ↑
P Ü
u ve v, x in diferensiyellenebilen iki fonksiyonu olsun.
d(uv) = u ⋅ dv + v ⋅ du
olur.
(LAPTÜ) P önce olduğundan ona u diyelim.
x = u ⇒ dx = du
ve
Bu eşitlikte iki yanın integrallerini alırsak;
∫
⋅ dx = dv ⇒ e x = v
∫
= u ⋅ v − v ⋅ du
∫
= x ⋅ e x − e x ⋅ dx = x ⋅ e x − e x + c
∫
⇒ uv = u dv + v du
∫
x
dir.
∫ d(uv ) = ∫ u dv + ∫ v du
∫
∫e
∫
= e x ( x − 1) + c
⇒ u ⋅ dv = uv − v du
bulunur.
bulunur.
Doğru Seçenek D
Bu kısımda kime u kime v denileceği önemlidir. Biz de geleneği bozmayalım. “LAPTÜ” kısaltmasını kullanalım.
“LAPTÜ”, u nun öncelik sırasıdır.
�
��
�
��
�
��
�
��
�
��
Burada, integralini alacağımız ifadeye dv, diferensiyelini
alacağımız ifadeye u diyeceğiz.
∫x⋅e
x
A)
dx
B)
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
xex
+ c
C) ex – x + c
x
⋅ x dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
DNA 24
∫2
B)
ex
+c
(ln2)2
( x ⋅ l n 2 − 1) + c 2x x
(2 l n 2 − 1) + c ln2
C) (2x )2 ⋅ (l n 2 + 1) + c D)
D) ex(x – 1) + c
E) ex(x + 1) + c
2x
E)
4x
(2x l n 2 − 1) + c ln2
4x
(l n 2)2
(2x l n 2 + 1) + c
LYS MATEMATİK
357
Belirsiz İntegral
İntegral - Bölüm 13
DNA 25
∫ log
3
DNA 26
x dx
∫ cos(l n x) dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) log3(xe) + c
B) x(log3(xe)) + c
A)
x

C) x  log3  + c e

x
D) log3   + c e
x
(sin(l n x ) + cos(l n x )) + c 2
B)
x
(sin(l n x ) − cos(l n x )) + c 2
C)
x
(cos(l n x ) − sin(l n x )) + c
2
E) log3 e +
x2
+c
2
D) sin(lnx) + x + c
E) (sin(lnx) + cos(lnx)) ⋅ x + c
Çözüm
⇒
ve
1
⋅ log3 e dx = du
x
Çözüm
∫ dx = ∫ d v ⇒ x = v
1
cos( l n x ) = u ⇒ − sin(l n x ) ⋅ dx = du
x
dir.
∫
⇒ u ⋅ v − v ⋅ du
⇒ log3 x ⋅ x −
∫
∫
ve dx = d v ⇒ x = v
1
∫ x ⋅ x ⋅ log
3
e dx
∫
⇒ x ⋅ log3 x − log3 e dx
olur.
∫
uv − v ⋅ du
⇒ x ⋅ log3 x − x ⋅ log3 e + c
x

⇒ x(log3 x − log3 e) + c ⇒ x ⋅  log3  + c
e

cos( l n x ) ⋅ x +
1
∫ x ⋅ sin(l n x) ⋅ x
dx
Bir daha kısmi integrali yapmamız gerekiyor.
bulunur.
Doğru Seçenek C
∫ sin(l n x) dx
dx = dv
sin(l n x ) = u
⇒x=v
⇒ cos( l n x ) ⋅
1
dx = du
x
∫
⇒ cos( l n x ) dx
1


= cos( l n x ) ⋅ x + sin(l n x ) ⋅ x − x ⋅ cos( l nx ) dx 
x


∫
∫
2 cos(l n x ) dx = cos(l n x ) ⋅ x + sin(l n x ) ⋅ x
∫ ln x dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) xlnx – x + c
B) lnx + c
C) lnx – x + c
D) xlnx + x + c
E) ln(x – 1) + c
358
LYS MATEMATİK
∫
⇒ cos( l n x ) dx =
x
(sin(l n x ) + cos(l n x )) + c
2
Doğru Seçenek A
İntegral - Bölüm 13
Belirsiz İntegral
Çözüm
∫e
x
⋅ cos x dx
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
ex
⋅ sin x + c
ex
C)
⋅ (cos x − sin x ) + c 2
ex
B)
⋅ (cos x + sin x ) + c
2
ex
D)
⋅ (sin x − cos x ) + c
2
6x + 1
x–2
6x + 12
6

13 
∫  6 + x − 2  dx
13
⇒ 6x + 13ln|x – 2| + c
bulunur.
Doğru Seçenek D
E) sin x + ex + c
x+3
∫ x + 1 dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 2ln|x + 1| + c
Hazine 4
B) x + ln|x + 1| + c
C) x – ln|x + 1| + c
Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi
D) x – 2ln|x + 1| + c
E) 2x + ln|x + 1| + c
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
P( x )
∫ Q(x) dx
integrali için P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük veya eşitse P(x) polinomu Q(x) polinomuna bölünerek integrali alınabilir duruma getirilir.
DNA 28
DNA 27
∫
3 x3 − 2x
dx
x−2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
∫
6x + 1
dx
x−2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x3 + 3x2 + 10x + 20ln|x – 2| + c
B) x3 – 3x2 + 10 + ln|x – 2| + c
A) 13ln|x – 2| + c
B) 6 + 13ln|x – 2| + c
C) x3 + 3x2 + 10x + 10ln|x – 2| + c
C) 6 – 13ln|x – 2| + c
D) 6x + 13ln|x – 2| + c
D) x3 – 3x2 – 10 – 20ln|x – 2| + c
E) 6x – 13ln|x – 2| + c
E) x3 + 3x2 – 10x + ln|x – 2| + c
LYS MATEMATİK
359
Belirsiz İntegral
İntegral - Bölüm 13
Çözüm
DNA 29
3x3 – 2x
3x3
±
x–2
6x2
3x2 + 6x +10
± 2x
6x2 ± 12x
10x
6x2
3 x3 − 2x
20 

dx ⇒  3 x 2 + 6 x + 10 +
 dx
x−2

x −2
∫
=
−4
A)
1
x+2
ln
+c
4
x−2
B)
C)
1
x+2
ln
+c 2
x−2
1
x−2
+c
D) − ln
4
x+2
20
3
dx
2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
10x ± 20
∫
∫x
1
x+2
+c
E) − ln
2
x−2
2
3x
6x
+
+ 10 x + 20ln | x − 2 | +c
3
2
1
x−2
ln
+c
4
x+2
= x3 + 3 x 2 + 10 x + 20l n | x − 2 | +c
bulunur.
Çözüm
Doğru Seçenek A
Payda çarpanlara ayrılıyor. Hemen basit kesirlerine ayıralım.
A
B
1
+
=
x − 2 x + 2 x2 − 4
x 2 − 2x + 4
dx
x −1
∫
( x + 2)
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x2
Ax + 2A + Bx − 2B
x2 − 4
– x + 3ln|x – 1| + c
x2
− x + 3ln | x − 1 | +c 2
x2
D)
+ x − 3ln | x − 1 | +c
2
E)
=
1
x2 − 4
⇒ x(A + B) + 2A – 2B = 1
B) x2 + x – 3ln|x – 1| + c
C)
( x −2)
A + B = 0 ∧ 2A – 2B = 1
A = –B–2B – 2B = 1
2
x
+ x + 3ln | x − 1 | +c
2
A=
∫
1
4
–4B = 1
B=−
1
4
1 
 1
 4

4
=
−

 dx
 x −2 x +2
x2 − 4
dx
∫
=
1
1
l n( x − 2) − l n( x + 2) + c
4
4
P( x )
=
integrali için P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,
1
(l n(( x − 2) − l n( x + 2)) + c
4
=
1
x−2
ln
+c
4
x+2
∫ Q(x) dx
P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçük ise ve
P( x )
Q(x) çarpanlara ayrılabiliyorsa,
basit kesirleriQ( x )
ne ayrılır. Polinomlarda bu işlemi öğrenmiştik.
360
LYS MATEMATİK
Doğru Seçenek B
İntegral - Bölüm 13
Belirsiz İntegral
Çözüm
dx
∫9−x
2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
3+x
ln
+ c 3
3−x
B)
1
3−x
+ c C) ln
6
3+x
1
3−x
ln
+c
3
3+x
1
3+x
+c
D) ln
6
3−x
∫x
dx
2
− 6x + 9
=
x – 3 = u diyelim.
dx = du
⇒
du
∫u
2
=
dx
∫ ( x − 3)
2
−1
−1
+c =
+c
u
x−3
bulunur.
1
3+x
+c
E) − ln
6
3−x
Doğru Seçenek B
a ∈ R olsun.
∫x
dx
2
+ 2ax + a2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) −
1
+ c x+a
C) x + c
E)
∫ ax
dx
2
B)
1
+c
x+a
D) arctan(x +a ) + c
1
arctan( x + a) + c
a
+ bx + c
payda tam kare şeklinde çarpanlara ayrılıyorsa
(D = 0), değişken değiştirmesi yaparak sonuca ulaşı-
Işık 5
rız.
P( x )
integrali için
DNA 30
∫x
Örneğin;
− 6x + 9
Q(x) = (ax + b) ⋅ (x – r)n
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
+ c x−3
x−3
C)
+ c 3
P( x )
rasyonel ifadesinin paydasının çarQ( x )
panları arasında (x – r)n biçiminde bir çarpan varsa;
dx
2
∫ Q(x) dx
E)
B)
−1
+c x−3
D) arctan(x – 3) + c
1
arctan( x − 3) + c
3
olsun.
A1
A2
An
P( x )
A
=
+
+
+ ... +
Q( x ) ax + b ( x − r ) ( x − r )2
( x − r )n
biçiminde basit kesirlere ayrılıp katsayılar bulunup integralde yerine yazılır.
LYS MATEMATİK
361
Belirsiz İntegral
İntegral - Bölüm 13
DNA 31
x2 + x + 2
∫
dx
x 2 ⋅ ( x − 1)
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) −l n | x | +
1
+ l n | x − 1| + c x
∫ x(x + 1)
dx
2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) l n x − l n | x + 1 | +
B) 2l n x − l n | x + 1 | +
1
B) l n | x | +
+ l n | x − 1| + c 2x
C) ln x −
3
x
C) − l n | x | + + l n | x − 1 | + c 2
2
1
+c x +1
2
+c x +1
D) ln x – ln |x + 1| + 2x + c
1
D) l n | x | +
+ ln | x − 2 | + c 2x
E) 2l n x − l n | x + 1 | +
3
1
ln | x | +
+ l n | x − 1| + c
2
2x
E)
1
+c
x +1
2
+c
x +1
Çözüm
1
x 2 ( x − 1)
=
A
B
C
+ 2 +
x
x −1
x
2
x ( x −1)
( x −1)
(x )
şeklinde basit kesirlere ayrılır.
1 = Ax(x – 1) + B(x –1) + cx2
⇒ 1 = Ax2 – Ax + Bx – B + cx2
B = –1, A + C = 0, B – A = 0
⇒ B = –1, A = –1, C = 1
P( x )
∫ Q(x) dx
integrali için
olur.
dx
dx
2
panları arasında çarpanlarına ayrılmayan ikinci dere-
1
+ l n | x − 1| + c
x
Q(x) = (x – r1) ⋅ (x – r2) ⋅ ... ⋅ (x – rn) ⋅ (ax2 + bx + c)
2
= −l n | x | +
P( x )
rasyonel ifadesinin paydasının çarQ( x )
dx
dx
∫ x ( x − 1) = −∫ x − ∫ x + ∫ x − 1
Işık 6
ceden üç terimli (ax2 + bx + c) tipinde bir ifade varsa;
biçiminde ayrılacağından;
A1
A2
An
P( x )
Bx + c
=
+
+ ... +
+
Q( x ) x − r1 x − r2
x − rn ax 2 + bx + c
bulunur.
Doğru Seçenek A
biçiminde basit kesirlere ayrılır ve katsayılar bulunup
integralde yerine yazılır.
362
LYS MATEMATİK
İntegral - Bölüm 13
Belirsiz İntegral
O zaman,
DNA 32
∫
4x2 + 4x + 1
x3 + x
∫
4x2 + 4x + 1
x( x 2 + 1)
dx = l n x +
3
l n | x 2 + 1 | + 4 arctan x + c
2
dx
Doğru Seçenek A
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) l n x +
3
l n | x 2 + 1 | + 4 arctan x + c 2
B) ln x + ln |x2 + 1| + c C)
3
ln | x 2 + 1 | + 4 arctan x + c 2
D)
1
ln | x 2 + 1 | + 4 arctan x + c 2
E)
1
l n | x 2 + 1 | +l n x + 2 arctan x + c
2
x+3
∫x
3
+x
dx
integralnin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
∫
4x2 + 4x + 1
x( x 2 + 1)
A
Bx + c 4 x 2 + 4 x + 1
dx ⇒
+ 2
=
x
x +1
x( x 2 + 1)
2
(x)
( x +1)
(1)
⇒ Ax2 + A + Bx2 + Cx = 4x2 + 4x + 1
⇒A+B=4
C = 4, A = 1,
B=3
A)
3
l n | x | +l n | x 2 + 1 | + arctan x + c 2
B)
3
1
l n | x | − l n | x2 + 1 | + c 2
2
C) 3ln|x| – ln|x2 + 1| + arctanx + c
1
D) 3l n | x | − l n | x 2 + 1 | + arctan x + c 2
3
E) 3l n | x | − l n | x 2 + 1 | + arctan x + c
2
bulunur.
Buradan bize,
3x + 4
dx
∫ x +∫ x
2
+1
integralini çözmek kalıyor.
3x + 4
∫x
2
+1
dx
Not
integralini değişken değiştirme konusunda çözmüştük.
Şimdi tekrar edelim.
3
olur.
∫x
Şu ana kadar öğrendiklerimizi bir integral sorusu içinde
x
2
+1
dx + 4
∫x
dx
2
+1
⇒
3
2x
dx
dx + 4 2
2 x2 + 1
x +1
⇒
3
ln | x 2 + 1 | + 4 arctan x + c
2
∫
∫
görelim. Amacımız integrali çözmek değil, basit kesirlere
nasıl ayıracağımızı göstermek olacaktır.
6 x 2 − 13 x + 6
∫ ( x + 2) ⋅ ( x + 1)
2
⋅ ( x 2 + 2)
dx = ?
A
B
C
Dx + E
6 x 2 − 13 x + 6
+
+
+ 2
=
2
( x + 2) ( x + 1)
( x + 1) x + 2 ( x + 2)( x + 1)2 ⋅ ( x 2 + 2)
LYS MATEMATİK
363
Belirsiz İntegral
İntegral - Bölüm 13
∫ ax
dx
dx
2
∫ 4 + 9x
+ bx + c
integralinde payda çarpanlara ayrılmıyorsa (D < 0)
payda tam kare yapılır.
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
arctan(3 x ) + c 2
B)
1
arctan(3 x ) + c
3
C)
2
 3x 
arctan   + c 3
 2 
D)
1
 3x 
arctan   + c
6
 2 
du
∫ 1+ u
2
2
formuna getirilir.
E)
1
 3x 
arctan   + c
4
 2 
Not
Bu arada formülcüleri de unutmayalım.
DNA 33
∫x
∫a
dx
2
dx
2
+ x2
=
1
x
arctan + c
a
a
olur.
+ 4x + 5
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) arctan(x + 2) + c
B) arctanx + c
C) arctan(x + 2)2 + c
D) arctanx2 + c
Işık 7
E) arctan(x – 2) + c
∫ ax
mx + n
2
+ bx + c
dx
integralinde payda çarpanlarına ayrılmıyorsa (D < 0)
mx + n, ax2 + bx + c nin türevi olacak şekilde düzenlenir. Değişken değiştirme yönteminden sonuca gidilir.
Çözüm
∫x
dx
2
+ 4x + 5
=
DNA 34
dx
∫ ( x + 2)
2
+1
x+2=u
⇒ dx = du
⇒
du
∫ 1+ u
2
∫x
2x + 1
2
− 2x + 2
dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
= arctan u + c
= arctan( x + 2) + c
bulunur.
A) ln|x2 – 2x + 2| + 3arctan(x – 1) + c
1
B) ln | x 2 − 2x + 2 | + arctan( x − 1) + c
3
C) ln |x – 1| + c
Doğru Seçenek A
D) arctan(x – 1) + c
E) ln|x – 1| + 3arctan(x2 – 2x + 2) + c
364
LYS MATEMATİK
İntegral - Bölüm 13
Belirsiz İntegral
Çözüm
DNA 35
Payda çarpanlarına ayrılmıyor ve
4
4
x ) dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
olduğundan,
∫
∫ (cos x − sin
(x2 – 2x + 2)′ = 2x – 2
2x + 1 − 3 + 3
2
x − 2x + 2
dx =
∫x
2x − 2
2
− 2x + 2
dx + 3
A) sin 2x + c
dx
∫ ( x − 1)
2
+1
C)
2
= l n | x − 2x + 2 | + 3 arctan( x − 1) + c
B) cos 2x + c
1
sin 2x + c 2
1
cos 2x + c 2
D)
E) 2sin 2x + c
bulunur.
Doğru Seçenek A
∫x
Çözüm
1− x
2
+ 4x + 5
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3arctan(x + 2) – ln|x2 + 4x + 5| + c
1
B) arctan( x + 2) − l n | x 2 + 4 x + 5 | + c 2
C) 3 arctan( x + 2) −
1
l n | x2 + 4x + 5 | + c 2
∫ (cos
4
∫
2
x − sin4 x )dx = (cos2 x − sin2 x ) ⋅ (cos
x
+
sin2x )dx

∫
1
∫
= (cos2 x − sin2 x )dx = cos 2x dx =
1
sin 2x + c
2
bulunur.
Doğru Seçenek C
D) 3arctan(x + 2) + ln|1 – x| + c
E) ln|x2 + 4x + 5| – 2arctan(x + 2) + c
Trigonomerik Özdeşliklerden Faydalanarak
Integral Alma
Hatırlatma
Bu kısımdaki integralleri çözmek için ciddi trigonometri
 p
x ∈  0,  olmak üzere,
 2
∫ arcsin(cos
2
x − sin2 x )dx
bilgisine ihtiyacımız var. Bir kısmını hatırlayalım. Ön-
celikle yarım açı;
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
cos2x = cos2x – sin2x
A)
1
sin 2x + c 2
B)
1
cos 2x + c
2
cos2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x
C)
πx
+ c 2
D)
πx
− x2 + c
2
sin2x = 2sinx ⋅ cosx
E)
πx 2
+x+c
2
LYS MATEMATİK
365
Belirsiz İntegral
İntegral - Bölüm 13
DNA 37
DNA 36
0 < 2x <
sin x
p
olmak üzere,
2
∫
1 + cos 2x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) − 2 sin x + c B) − 2 cos x + c 2
sin x + c 2
C)
E)
D)
2
cos x + c 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2ln sin
x
+c 2
C) −2ln sin
B) 2ln cos
x
+c 2
x
+c 2
x
+c
2
D) −2ln cos
E) 2ln |sin 2x| + c
2 sin 2x + c
Çözüm
Çözüm
∫
∫ 1+ cos x dx
∫
1 + 2 cos2 x − 1 dx = 2 | cos x | dx
(1−cos x )
bulunur.
∫
⇒ 2 cos x dx
⇒ − 2 ⋅ sin x + c
sin x
∫ 1 + cos x dx = ∫
bulunur.
=
∫
sin x(1 − cos x )
1 − cos2 x
sin x ⋅ (1 − cos x )
2
sin x
dx =
x

1 −  1 − 2 sin2 

2
 dx =
=
x
x
2 sin ⋅ cos
2
2
∫
∫
∫
Doğru Seçenek A
=
cos
∫
dx
1 − cos x
dx
sin x
2 sin 2
2 sin
x
2
x
x
⋅ cos
2
2
dx
x
2 dx
x
cos
2
sin
x
=u
2
1
x
x
− sin dx = du ⇒ sin dx = −2du
2
2
2
⇒ −2
p
0 < 2x <
olmak üzere,
2
∫
A) sin x + cos x + c
B) sin x – cos x + c
C) cos x – sin x + c
D) –sin x – cos x + c
E) sin 2x + cos 2x + c
LYS MATEMATİK
= −2l n u + c
= −2l n cos
1 + sin 2x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
366
du
∫u
x
+c
2
bulunur.
Doğru Seçenek D
İntegral - Bölüm 13
Belirsiz İntegral
Çözüm
dx
∫ 1− cos x
Yarım açıdan,
cos 4 x = 2 cos2 2x − 1
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) tan
x
+ c 2
B) cot
x
+c
2
x
D) sec + c
2
C) − cot
⇒ cos2 2x =
x
+c
2
cos 4 x + 1
2
∫
⇒ cos2 2x dx =
x
E) tan + c
2
1
(cos 4 x + 1)dx
2
∫
=
1 1

 sin 4 x + x 
2 4

=
1
x
sin 4 x + + c
8
2
olur.
Doğru Seçenek C
Işık 8
∫ sin
2
∫
n
sin x dx ve
∫
n
cos x dx
biçimindeki integralleri çözerken;
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x sin 2x
−
+ c 2
4
B)
x sin 2x
−
+c
2
2
C)
x sin 2x
+
+ c 2
4
D)
x cos 2x
+
+c
2
4
a) n çiftse; yarım açı formüllerini kullanınız.
b) n tekse (n ≥ 3); üssün birini kenara ayırınız.
x dx
sin2x + cos2x = 1
E)
özdeşliğini kullanıp değişken değiştiriniz.
x cos 2x
−
+c
2
4
DNA 39
∫ cos
5
DNA 38
∫
x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2
cos 2x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
sin5 x 2 3
− sin x + c 5
3
B)
2 3
sin x + sin x + c 3
A)
1
sin 2x + x + c 4
B)
1
x
sin 2x + + c
4
2
C)
C)
1
x
sin 4 x + + c 8
2
D)
1
cos 4 x + c
8
sin5 x 2 3
− sin x + sin x + c 5
3
D)
sin6 x 1 4
− sin x + c 6
2
E)
cos5 x 2 3
− sin x + c
5
3
E)
1
x
cos 4 x + + c
8
2
LYS MATEMATİK
367
Belirsiz İntegral
İntegral - Bölüm 13
Çözüm
DNA 40
Derece tek ise birini kenara ayırıyorduk.
∫
∫ sin
3
x ⋅ cos5 x dx
∫
∫
A)
sin8 x sin6 x
+
+c 8
6
B)
sin8 x sin6 x
−
+c
8
6
∫
C)
cos8 x cos6 x
+
+c 8
6
D)
cos8 x cos6 x
−
+c
8
6
cos5 x dx = cos4 x ⋅ cos x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
= cos2 x ⋅ cos2 x ⋅ cos x dx
= (1 − sin2 x )(1 − sin2 x ) ⋅ cos x dx olur.
sinx = u ⇒ cosx dx = du
∫
∫
⇒ (1 − u2 )(1 − u2 ) ⋅ du = (1 + u4 − 2u2 )du
=u+
E)
u5
u3
−2 +c
5
3
= sin x +
sin5 x
sin3 x
− 2⋅
+c
5
3
cos8 x sin6 x
−
+c
8
6
Çözüm
∫ sin
3
∫
x ⋅ cos5 x dx = sin2 x ⋅ cos5 x ⋅ sin x dx
bulunur.
∫
= (1 − cos2 x ) ⋅ cos5 x ⋅ sin x ⋅ dx
Doğru Seçenek C
(cos x = u ⇒ − sin x dx = du ⇒ sin x dx = −du)
∫
= − (1 − u2 ) ⋅ u5 ⋅ du
∫ sin
3
x dx
∫
= (u2 − 1) ⋅ u5 ⋅ du
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
sin3 x
A)
− sin x + c 3
C)
∫
= (u7 − u5 )du =
sin3 x
B)
− cos x + c
3
cos3 x
− cos x + c 3
D)
E) sin3 x −
cos3 x
+ sin x + c
3
cos x
+c
3
=
u8 u6
−
+c
8
6
cos8 x cos6 x
−
+c
8
6
bulunur.
Doğru Seçenek D
Işık 9
∫ sin
m
x ⋅ cosn x dx
biçimindeki integralleri çözerken m ve n nin tek veya
çift kuvvet olması hatta birinin tek birinin çift kuvvet
olması çözümü değiştirir.
m ve n tek ise üssü küçük olan kuvvetin birini parça-
x ⋅ cos3 x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
cos6 x cos4 x
−
+ c 6
4
B)
cos6 x cos4 x
+
+c
6
4
C)
cos4 x cos2 x
−
+ c 4
2
D)
cos4 x cos2 x
+
+c
4
2
E)
larız.
368
∫ sin
3
m, n ∈ N olmak üzere,
LYS MATEMATİK
cos5 x cos3 x
−
+c
5
3
İntegral - Bölüm 13
Belirsiz İntegral
Işık 10
m, n ∈ R olmak üzere,
∫ sin
m
∫ cos
6
x ⋅ sin3 x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x ⋅ cosn x dx
biçimindeki integrallerde m ve n den biri tek bir çift
kuvvet ise üssü tek olan kuvveti parçalarız.
A)
sin7 x sin9 x
−
+ c 7
9
B)
sin5 x sin7 x
−
+c
5
7
C)
cos7 x cos9 x
−
+ c 7
9
D)
cos9 x cos7 x
−
+c
9
7
E)
sin9 x sin7 x
−
+c
9
7
DNA 41
∫ sin
2
x ⋅ cos3 x dx
Işık 11
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
sin3 x sin5 x
−
+c 3
5
B)
sin3 x sin5 x
+
+c
3
5
C)
cos3 x cos5 x
−
+c
3
5
D)
sin3 x cos5 x
+
+c
3
5
sin2 x sin4 x
E)
−
+c
2
4
m, n ∈ N olmak üzere,
∫ sin
m
x ⋅ cosn x dx
biçimindeki integrallerde m ve n nin her ikisi çift kuvvet
ise yarım açı formülleri kullanılır.
DNA 42
∫ sin
2
Çözüm
∫ sin
2
x ⋅ cos2 x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
∫
x ⋅ cos2 x ⋅ cos x dx = sin2 x ⋅ (1 − sin2 x ) ⋅ cos x dx
sinx = u
cosx dx = du
∫
∫
= u2 ⋅ (1 − u2 )du = (u2 − u4 )du
=
u3 u5
sin3 x sin5 x
−
+c =
−
+c
3
5
3
5
bulunur.
Doğru Seçenek A
A)
x sin 2x
−
+c 8
16
B)
x sin 2x
−
+c 4
16
C)
x sin 4 x
−
+c 8
16
D)
x sin 4 x
−
+c 8
32
E)
x sin 4 x
−
+c
4
32
Çözüm
cos 2x = 1 − 2 sin2 x
⇒ sin2 x =
1 − cos 2x
2
ve
cos 2x = 2 cos2 x − 1
⇒ cos2 x =
cos 2x + 1
2
LYS MATEMATİK
369
Belirsiz İntegral
∫ sin
2
İntegral - Bölüm 13
 cos 2x + 1   1 − cos 2x 
x ⋅ cos2 x dx = 
⋅
 dx

2
 
2

∫
DNA 43
1
(1 − cos2 2x ) dx
4
∫
=
1
1
=
dx −
cos2 2x dx
4
4
∫
∫
∫ sin 5x ⋅ sin 3x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
=
1
1 cos 4 x + 1
dx −
dx
4
4
2
A) −
=
1
1
dx −
(cos 4 x + 1) dx
4
8
B)
=
x 1 1
x
− ⋅ sin 4 x − + c
4 8 4
8
C) −
∫
∫
∫
∫
x sin 4 x
= −
+c
8
32
1
sin 4 x + sin 2x + c 16
1
1
sin 4 x + sin 2x + c 16
4
1
1
sin 8 x + sin 2x + c 16
4
1
1
D) − sin 8 x + sin 4 x + c 8
2
1
1
sin 8 x + sin 2x + c
8
4
E)
Doğru Seçenek D
Çözüm
∫ sin 3x ⋅ cos
2
2
1
∫ sin 5x ⋅ sin 3x dx = ∫ − 2(cos 8x − cos 2x) dx
3 x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x 1
A) −
sin 6 x + c 4 16
C)
x 1
−
sin12x + c 8 96
E)
x 1
B) −
sin 24 x + c
4 16
=−
1
1
cos 8 x dx +
cos 2x dx
2
2
x 1
−
sin12x + c
8 48
=−
1
1
sin 8 x + sin 2x + c
16
4
D)
x
1
+
sin12x + c
16 48
Hatırlatma
sin a ⋅ cos b =
1
[sin(a + b) + sin(a − b)]
2
sin b ⋅ cos a =
1
[sin(a + b) − sin(a − b)]
2
1
cos a ⋅ cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)]
2
sin a ⋅ sin b = −
370
∫
LYS MATEMATİK
1
[cos(a + b) − cos(a − b)]
2
∫
Doğru Seçenek C
∫
cos 5 x ⋅ cos 2x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
1
sin 7 x + sin 3 x + c 14
6
B)
1
1
sin 7 x + sin 3 x + c 7
3
C) −
D)
1
1
sin 7 x + sin 3 x + c 14
6
1
1
sin 7 x + sin 3 x + c 14
3
E) −
1
1
sin 7 x + sin 3 x + c
28
6
İntegral - Bölüm 13
Belirsiz İntegral
TEST - 1
∫ (sin y + 2 cos x) dx
1.
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x ⋅ sin y + 2sin x + c
B) cos y + 2sin x + c
C) x ⋅ sin y – 2cos x + c
D) –cosy + 2sinx + c
x 2 dx
∫4+x
5.
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) arctan
C)
x3
+ c 2
B)
1
x3
arctan
+c
6
2
1
arctan x3 + c 6
D)
1
x3
arctan
+c
3
2
E)
E) x ⋅ sin y – 2sin x + c
1

−x
 + e ⋅ cos x  dx
2

2.
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4ex + 4cosx + c
B) 2ex + 4sinx + c
C) 2ex – 4sinx + c
D) 2ex – 4cosx + c
∫ 4e
x
E)
x
e + sin x
∫e
2e–x
+ 4sinx + c
6
∫
1
arctan x3 + c
3
x2 − 2
dx
x +1
6.
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + x + ln |x + 1| + c
B)
x2
+ x − ln | x + 1 | +c 2
C)
x2
− x − ln | x + 1 | +c 2
D)
x2
− x + ln | x + 1 | +c 2
E) x2 + x – ln |x+ 1| + c
∫
2x3 − 3 x 2 − 2
x3 − 1
dx
7.
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln|ex + sin x| + c
B) ln|ex – sin x| + c
A) 2x + ln |x3 – 1| + c
B) 2x – ln|x3 – 1| + c
C) ln|ex + cos x| + c
D) ln|ex – cos x| + c
C) 2x + x3 + c
D) x + ln |x3 + 1| + c
3.
x
− cos x
dx
4.
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
∫ (x
2
− 1)3 ⋅ 4 x dx
( x 2 − 1)4
+ c 4
C) (x2 – 1)4 + c
B)
E) x – ln |x3 + 1| + c
E) x – cos x + c
( x 2 − 1)4
+c
2
x+3
∫x
8.
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln
x −1
+ c x +1
B) ln
x +1
+c
x −1
C) ln
( x − 1)2
+ c x +1
D) ln
x+3
+c
x −1
2
−1
dx
D) 2(x2 – 1)4 + c
E) 4(x2 – 1)4 + c
E) ln
( x − 1)2
+c
x+3
LYS MATEMATİK
371
Belirsiz İntegral
İntegral - Bölüm 13
∫x
x
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2
+ 5x + 6
dx
A) 3ln|x + 3| – 2ln|x + 2| + c
E) ln|x + 3| – ln|x + 2| + c
10. ∫ 2 sin
A)
1
x+3
arcsin 
+c 2
 2 
B)
1
x−3
arcsin 
+c 2
 2 
x−3
D) arcsin 
+c  2 
E)
x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
cos 2x
+ c A) x +
2
cos 2x
B) x −
+c
2
sin2x
C) x +
+ c 2
sin2x
D) x −
+c
2
11. E)
∫
sin4 x ⋅ cos3 x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
C)
5
7
cos x sin x
+
+c 5
7
D)
sin5 x sin7 x
−
+c 5
7
5
7
cos x sin x
−
+c
5
7
cos5 x cos7 x
E)
−
+c
5
7
12. B)
∫ 1+
1
x +1
A)
3
C) arccos   + c x
2
1
(1 + x + 1) + l n(1 + x + 1) + c 2
E) 1+ x + ln x + c
372
3. D
LYS MATEMATİK
4. B
6. C
7. B
x − sin x − 6
dx = a ⋅ l n
sin x + b
+c
sin x + d
olduğuna göre, a ⋅ (b – d) kaçtır?
B) –1
C) 1
D) 2
E) 5
dx
∫ sin x
integralinde sin x = u dönüşümü yapılırsa aşağı-
A)
∫
C)
∫u
5. B
cos x
∫ sin
daki integrallerden hangisi elde edilir?
C) (1 + x + 1) + l n(1 + x + 1) + c 2. B
3
D) arcsin   + c
x
15. a, b, c, d ∈ R,
B) 2(1 + x + 1) + l n(1 + x ) + c 1. A
1
3
arcsin   + c
3
x
B)
3
E) 3 arcsin   + c
x
A) 2(1 + x + 1) + l n(1 + x + 1) + c D)
1
3
arccos   + c 3
x
16. integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x2 − 9
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
dx
dx
∫ x⋅
1
x−3
arcsin 
+c
4
 2 
14. x sin 2x
−
+c
2
2
sin5 x sin7 x
+
+c 5
7
−x + 6x − 5
x+3
C) arcsin 
+c  2 
D) 2ln|x + 3| – 3ln|x + 2| + c
2
2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) 3ln|x + 3| + 2ln|x + 2| + c
C) 2ln|x + 3| – 3ln|x + 2| + c
dx
∫
13. 9.
8. C
9. A
du
2
1− u
B)
∫
D)
∫
du
1 − u2
E)
10. D
11. B
12. A
−u du
1 − u2
−du
1 − u2
du
∫ u(1 − u )
2
13. B
14. A
15. B
16. C
İntegral - Bölüm 13
Belirsiz İntegral
5.
TEST - 2
∫
f ( x ) = d( x 2 + cos x )
f (0 ) = 3
∫ (3u
1.
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) u3 – u + c
B) 3u2 – u + c
C) 3u2x + c
D) 3u2x – u + c
2
− 1) dx
E)
x+3x
A) –3
3u2x
–x+c
2.
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2x 2 6 x 6
A)
+
+ c 3
5
C)
∫
x
dx
5
3
olduğuna göre, integral sabiti kaçtır?
5
3
2
5
B) x 2 + x 6 + c 3
6
3
B) –2
3x
C) 0
D) 2
E) 3
6.
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) arctan (3x) + c
B)
C) ln3 ⋅ (arctan (3x)) + c
D) ln(3x) + c
E) ln(arctan 3x) + c
7.
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) sin e–x + c
B) –sin e–x + c
C) cos e–x + c
D) –cos e–x + c”
∫ 1+ 9
x
dx
1
arctan(3 x ) + c ln 3
3
x
+ x 2 + c 2
x 2 2
+ x +c 2 3
D)
5
E)
∫
6 6
x
x +
+c
5
2
f (2x − 1) ⋅ ( x − 1) dx = x3 − 3 x + 4
3.
olduğuna göre, f(–1) kaçtır?
A) –3
B) –2
C) 1
D) 2
E) 3
4.
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
∫ d(e
x 2 + sin x
A) e
B) e x
x 2 + sin x
)
⋅ (2x + cos x ) ∫
8.
ex
dx
E)
sine− x
ex
+c
y = f(x) fonksiyonu (2, 3) noktasından geçmektedir.
cos e− x
f′(x) = 3x2 – 2x – 1
olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisine
2
+ sin x
⋅ (2x + cos x ) + c C) e x
2
+sin x
A) x3 – x2 – x + 1
B) x3 – x2 – x + 2
D) e x
2
+ sin x
+c C) x3 – x2 – x + 2
D) x3 + x2 + x – 1
2
E) e x + sin x + c
eşittir?
E) x3 – x2 + x + 1
LYS MATEMATİK
373
Belirsiz İntegral
İntegral - Bölüm 13
dx
∫x
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1 − ln2 x
A) arcsin(lnx) + c
C) arcsin
D) arcsin
E)
∫x
10. 1
arcsin(l n x ) + c
2
+ 8 x + 17
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
arctan( x + 4) + c 4
B)
1
arctan( x + 4) + c 2
C) arctan(x + 4) + c
D) ln(x + 4) + c
E) ln(arctan(x + 4)) + c
2
D)
x ⋅ arcsin2x
+ 1 − 4x2 + c 2
x
∫ ( x + 1) ⋅ ( x + 2)
2
dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln|x + 1| + ln|x + 2| + c
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) ln
x+2
2
−
+c
x +1 x + 2
C) ln
x +1
2
−
+c x+2 x+2
D) 2l n | x + 1 | − l n | x + 2 | +
1
A) l n | x | + ⋅ l n( x 2 + 1) + c 2
B) ln|x| +
arcsin2x
+ 1 − 4x2 + c 2
14. + 1)
ln(x2
C)
E) arcsin2x + 1 − 4 x 2 + c
dx
∫ x ⋅ (x
11. 1 − 4x2
+c
2
1 − 4x2
+c 2
B) arcsin2x +
dx
2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x ⋅ arcsin2x +
1
+c
ln x
B) x ⋅ arcsin(lnx) + c
ln x
+ c 2
∫ arcsin2x dx
13. 9.
E) ln
+ 1) + c
2
+c x+2
x −1
2
+
+c
x−2 x+2
1
C) l n | x | − ⋅ l n( x 2 + 1) + c 2
1
D) l n | x | − ⋅ l n( x 2 − 1) + c
2
E)
ln(x2
∫
15. + 1) – x + c
f ( x ) = ( x 2 + ax + 6) dx
fonksiyonunun dönüm noktasının apsisi 3 olduğuna göre, a kaçtır?
∫e
12. x
3e dx
2x
A) –8
− 5e x + 4
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln
1
ex − 4
+c C) ln x
2
e −1
ex − 4
x
e −1
+ c E) ln
1. E
374
B) 2ln
2. A
3. E
LYS MATEMATİK
4. D
D) ln
ex + 4
ex + 1
5. B
ex − 1
ex − 4
ex − 1
ex − 4
+c
E) 8
f ( x ) = ( x 2 − 3 x + 6) dx
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun x = 1 apsisli
A) −
7. B
D) 6
noktasındaki normalinin eğimi kaçtır?
+c
6. B
C) –4
∫
16. +c
B) –6
8. A
9. A
1
8
10. C
B) −
11. C
1
4
12. A
C) –1
13. A
D)
14. B
1
4
15. B
E)
1
8
16. B
İNTEGRAL - BÖLÜM 13
BELİRLİ İNTEGRAL
BELİRLİ İNTEGRAL VE UYGULAMALARI
DNA 44
2
Hazine 5
f′: [a, b] → R
∫ 3x dx
2
−1
integralinin sonucu kaçtır?
A) –9
integrallenebilen bir türev fonksiyonu ve f: [a, b] → R
B) –7
C) 5
D) 7
E) 9
olsun.
b
b
∫ f ′(x)dx = f ( x) + c
a
Çözüm
a
2
3 x3
3 x dx =
3
−1
∫
= f (b) + c − ( f (a) + c )
= f (b) − f (a)
bulunur.
2
2
= 23 − ( −1)3
−1
= 8 − ( −1) = 9
olur.
Buradan,
Doğru Seçenek E
b
∫
f ′( x )dx = f (b) − f (a)
a
dır. Hatta,
b
∫ d(f ( x)) = f (b) − f (a)
a
2
∫ (2x + 1)dx
dır.
1
integralinin sonucu kaçtır?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 4
E) 2
Uyarı
DNA 45
Belirsiz integralde olduğu gibi,
b
•
∫
b
∫
a
b
•
∫
a
dir.
b
∫
[ f ( x )  g( x )]dx = f ( x )dx  g( x )dx
a
a > 0 olmak üzere,
a
a
b
∫
cf ( x )dx = c f ( x )dx
a
(c ∈ R )
∫ (2x − 5)dx = 6
0
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
LYS MATEMATİK
E) 6
375
Belirli İntegral
İntegral - Bölüm 13
Çözüm
Çözüm
a
a
f(x) = 3x2 – 2x + 5 ⇒ f′(x) = 6x – 2
x2
(2x − 5)dx = 2 ⋅
− 5 x = a2 − 5a = 6
2
0
∫
dir.
0
⇒ a2 – 5a – 6 = 0
a
–6
a
+1
⇒ (a – 6) ⋅ (a + 1) = 0
5
2
2
∫ d(f ′(x)) = f ′( x)
⇒ a = –1 ∧ a = 6 (a > 0)
5
5
= ( 6 x − 2)
= 28 − 10 = 18
2
olur.
Doğru Seçenek C
Doğru Seçenek E
4
integralinin sonucu kaçtır?
∫ (ax + 1) dx = 8
0
A) ln8
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 1
2
2
∫ d(x ⋅ l n x)
D) ln64
C) 3
B) 2
D) 4
B) ln16
C) ln32
E) ln128
E) 5
DNA 47
DNA 46
f(x)
f(x) = 3x2 – 2x + 5
376
integralinin değeri kaç-
2
tır?
A) 24
∫ d(f ′(x))
B) 20
LYS MATEMATİK
C) 18
D) 12
E) 10
2
0
5
olduğuna göre,
∫ t dt = x ⋅ l n x
olduğuna göre, f(e) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A)
2e B)
D) e3
3
3e E) 3e3
C)
3
e
İntegral - Bölüm 13
Belirli İntegral
Çözüm
DNA 48
f(x)
∫
0
t3
t dt =
3
f(x)
2
=
0
f 3 (x)
− 0 = x ⋅ ln x
3
⇒x=
e için f3(e)
0
∫ (2x + 3) ⋅ ( x
2
+ 3 x + 2)3 dx
−1
integralin sonucu kaçtır?
= 3e ⋅ lne
A) –8
f3(e) = 3e
B) –4
C) –2
D) 4
E) 8
⇒ f ( e ) = 3 3e
olur.
Çözüm
Doğru Seçenek B
Önce belirsiz integral gibi çözelim.
∫ (2x + 3) ⋅ ( x
f(x)
∫
u3 du = x ⋅ sin πx
 1
olduğuna göre, f   kaçtır?
2
A)
2
D)
B)
2
2
3
2
+ 3 x + 2)3 dx
(x2 + 3x + 2) = u
⇒ (2x + 3)dx = du
∫
⇒ u3 ⋅ du =
0
2
u4
+c
4
bulunur.
Şimdi belirli integrale dönelim.
C)
E)
4
2
( x 2 + 3 x + 2)4
4
3
2
2
0
−1
=
24
− (0 ) = 4
4
olur.
Doğru Seçenek D
Uyarı
Belirli integral sorularında integral alma yöntemlerini
kullandığımız soruları çözerken sınırlar için iki durum
vardır.
1
1. Hiç sınır yokmuş gibi çözüp en son bulduğumuz
sonuca sınırları yazarız.
2. İntegral alma yöntemlerinden elde edilen yeni integralin sınırlarını düzenleriz.
x 2 dx
∫x
0
3
+1
integralinin sonucu kaçtır?
A) ln 3 4 D) ln 3 2 B) ln3
C) ln2
E) 1
LYS MATEMATİK
377
Belirli İntegral
İntegral - Bölüm 13
DNA 49
�
�
��
��
�
�
�
�
�
��
��
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Gerçek sayılarda tanımlı y = f(x) fonksiyonunun grafiği
yukarıda verilmiştir.
n
2
3
( x )] ⋅ f ′( x ) dx
−1
integralinin sonucu kaçtır?
( x ) ⋅ f ′( x )dx
integrali kaçtır?
B)
∫ [f
m
A) 3
Buna göre,
2
Buna göre,
∫f
A)
8
3
7
3
C)
D) 2
E)
B)
Çözüm
3
dır.
m
∫
∫
5
B) 0
E) −2 f ( x )dx
3
⇒ f′(x)dx = du
∫
D) 2 f ( x )dx 3
−2
n
u3 f 3 ( x )
f 3 (n) f 3 (m)
u du =
=
=
−
3
3 m
3
3
( −2)3 8
=
3
3
−2
Çözüm
bulunur.
0
Doğru Seçenek B
∫ f (3 − x)dx
LYS MATEMATİK
5
C) 1
∫
2
=0−
378
E) 4
0
A) –1
f(x) = u
∫
D) 2
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
( x ) ⋅ f ′( x )dx integralinde,
1
2
f ( x )dx + f (3 − x )dx
−2
2
C)
DNA 50
f(m) = –2 ve f(n) = 0
∫f
1
4
4
3
n
�
�
integralinde 3 – x = u
⇒ –dx = du
⇒ dx = –du
İntegral - Bölüm 13
Belirli İntegral
Ayrıca,
3–x=u
⇒3–0=3
Çözüm
6
(üst sınır)
∫ (3x + 5)dx integralinde 3x + 5 = u
⇒ 3dx = du
⇒ dx =
2
3 – 5 = –2 (alt sınır)
0
3
∫
∫
⇒ f (3 − x )dx = − f (u)du
−2
5
3
3
−2
−2
⇒
du
3
Yeni sınırlar;
∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx = 0
olarak bulunur.
x = 2 için u = 11 (alt sınır)
x = 6 için u = 23 (üst sınır)
6
1
3
∫
⇒ (3 x + 5)dx =
Doğru Seçenek B
2
23
∫ f (u)du = A
11
23
⇒
∫ f (u)du = 3A
11
bulunur.
7
b
3
a
Doğru Seçenek D
∫ f ( x + 5)dx = ∫ f ( x)dx
olduğuna göre, a + b kaçtır?
A) 10
B) 15
C) 18
D) 20
E) 21
DNA 51
9
6
∫ f (3x + 5)dx = A
ve u = 3 x + 5
2
∫
f(u)du aşağıdakilerden hangisi-
11
A
3
B)
A
2
olduğuna göre,
C) A
D) 3A
E) 6A
A)
A
5
∫
1
ne eşittir?
ne eşittir?
A)
6
4
23
olduğuna göre,
∫ f ( x)dx = A
B)
f(x + 5)
dx aşağıdakilerden hangisi2
A
4
C)
A
2
D) 2A
LYS MATEMATİK
E) 5A
379
Belirli İntegral
İntegral - Bölüm 13
Belirli İntegralin Özellikleri
DNA 52
ln2
∫ (e
2x
Hazine 6
− e x ) dx
0
integralinde ex = t dönüşümü yapılırsa aşağıdaki
1. f: [a, b] aralığında integrallenebilir bir fonksiyon ve
c ∈ [a, b] ise
integrallerden hangisi elde edilir?
ln2
∫ (t
A)
2
2
− t ) dt B)
0
ln2
∫
C)
∫ (t
c
2
− t ) dt
1
2
( t 2 − 1) dt D)
0
∫ (t
2
− 1) dt 1
E)
dır.
ğinde integralin önüne (–) işareti gelir.
∫ (t − 1) dt
b
1
Çözüm
ex = t ⇒ ex dx = dt ⇒ dx =
dir.
ln2
⇒
∫
(alt sınır)
2
∫
(e2 x − e x )dx = ( t 2 − t ) ⋅
0
1
∫
a
b
c
x = ln2 ⇒ eln2 = 2 (üst sınır)
x = 0 ⇒ e0 = 1
∫
a
f ( x )dx = − f ( x )dx
3. a < b < c olmak üzere,
dt
t
olur.
c
2. Bir belirli integralin alt ve üst sınırları yer değiştirdi-
2
∫ f ( x)dx = 0
2
dt
= ( t − 1)dt
t
∫
olur.
∫
b
∫
a
∫
a
b
4. f fonksiyonu [a, b] aralığında integrallenebiliyorsa
|f| de aynı aralıkta integrallenebilir.
1
b
bulunur.
Doğru Seçenek E
c
f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx
∫
b
∫
f ( x )dx ≤ | f ( x ) | dx
a
a
5. f fonksiyonu tek ve sürekli bir fonksiyon ise yani
f(–x) = –f(x) ise
a
1
∫
x ⋅ e x dx
tegrallerden hangisi elde edilir?
1
olur.
−a
∫
t dt B)
∫
t dt C)
∫
ln t dt LYS MATEMATİK
E)
∫
1
a
ln t dt
e
1
380
∫
0
e
D)
f(–x) = f(x) ise
1
0
6. f fonksiyonu çift ve sürekli bir fonksiyon yani
e
0
0
integralinde ex = t dönüşümü yapılırsa aşağıdaki in-
A)
∫ f ( x)dx = 0
ln t ⋅ t dt
olur.
∫
−a
a
∫
f ( x )dx = 2 f ( x )dx
0
İntegral - Bölüm 13
Belirli İntegral
DNA 53
1
∫
f(x) her aralıkta integrallenebilir bir fonksiyon ol-
0
∫
sin2 x dx + cos2 x dx
0
DNA 54
mak üzere,
1
3
∫
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) −
sin2
2
D)
sin1
2
C) −
B) –sin2
E)
sin1
2
sin2
2
∫
−3
−2
7
f ( x )dx + f ( x )dx −
∫ f ( x)dx
−3
3
integrali aşağıdakilerden hangisine daima eşittir?
7
7
∫ f ( x)dx A)
∫ f ( x)dx B)
−3
−2
3
Çözüm
∫ f ( x)dx D)
−3
4
Hazine 6’nın 2. maddesinden;
∫
f ( x )dx −2
1
2
∫
C)
E)
∫ f ( x)dx
−2
0
∫
sin2 xdx = − cos2 x dx dir.
0
1
1
0
∫
∫
⇒ sin2 x dx + cos2 x dx
0
1
0
0
∫
∫
= cos2 x dx − sin2 x dx
1
Çözüm
1
0
∫
0
Hazine 6’nın 3. maddesinden;
1
3
∫
= (cos2 x − sin2 x )dx = cos 2x dx
1
−2
∫
0
∫
f ( x )dx =
−3
1
1
sin 2
= sin 2x = 0 − sin 2 = −
2
2
2
1
−3
O zaman;
3
∫
−2
7
∫
f ( x )dx + f ( x )dx −
−3
∫ f ( x)dx
−3
3
−2
=
∫
3
2
=
0
∫
2x dx − sin2 2x dx
0
∫
−2
7
∫
f ( x )dx + f ( x )dx =
3
−2
7
∫
f ( x )dx + f ( x )dx −
∫ f ( x)dx
−3
3
7
∫ f ( x)dx
−2
1
bulunur.
integralinin sonucu kaçtır?
A) –1
B) 0
D) 2
E)
∫
−2
3
f ( x )dx +
−3
∫ cos
∫ f ( x)dx
−2
şeklinde yazılabilir.
Doğru Seçenek A
1
3
f ( x )dx +
C) 1
Doğru Seçenek B
cos 2
2
LYS MATEMATİK
381
Belirli İntegral
İntegral - Bölüm 13
DNA 56
a < b < c olmak üzere,
1
∫ (x
b
∫ f ( x)dx = 16
integralinin sonucu kaçtır?
b
∫ f ( x)dx = 10
B) −
A) –2
c
+ x 2 ) dx
−1
a
4
16
15
C) 0
D)
16
15
E) 2
c
olduğuna göre,
∫ 2 ⋅ f(x)dx
integralinin sonucu kaç-
a
tır?
A) 1
B) 3
C) 6
D) 12
E) 24
Çözüm
x4 ve x2 fonksiyonları çift olduğundan, Hazine 6’nın
DNA 55
6. maddesinden,
1
a
∫ (3 x
2
∫
2 ⋅ ( x 4 + x 2 )dx
+ 5 x + 1)dx = 0
0
−3
şeklinde yazabiliriz.
olduğuna göre, a kaçtır?
A) –4
B) –3
C) –2
D) –1
1
 5
x
x3  
 1 1  16
2 
+
 = 2 +  =
 5
3  0 
 5 3  15
E) 0
(3) (5)
Çözüm
bulunur.
a
Doğru Seçenek D
∫ f ( x)dx = 0 olduğundan, Hazine 6’nın 1. maddesinden,
a
a = –3
olur.
Doğru Seçenek B
3
f(x) çift fonksiyon olmak üzere,
−2
∫ sin
x dx
sonucu
integralinin sonucu kaçtır?
382
3
2
B) −
integralinin
0
−2
A) −
∫ f(x)dx
−3
1
2
LYS MATEMATİK
C) 0
∫ f(x)dx
integralinin sonucunun kaç katıdır?
3
D)
1
2
E)
3
2
A) 2
B)
1
2
C) 1
D) −
1
2
E) –2
İntegral - Bölüm 13
Belirli İntegral
Parçalı Fonksiyonların İntegrali
Işık 12
2
 x − 1, 0 ≤ x < 1
f (x) = 
2
− x + 1, 1 ≤ x < 2
2
Bir parçalı fonksiyonun integrali hesaplanırken; parça-
olduğuna göre,
ifadesinin eşiti kaçtır?
0
lı fonksiyonun kritik noktaları, integralin sınırları arasında ise bu noktalardan belirli integral parçalanarak
∫ f(x)dx
B) −
A) –4
sonuca gidilir.
7
3
C) –2
D) −
5
3
E) −
1
3
DNA 57
 x 2 , −1 ≤ x ≤ 0
f (x) = 
sinπx , 0 ≤ x ≤ 1
1
olduğuna göre,
∫ f(x)dx ifadesinin eşiti kaçtır?
−1
6π − 1
A)
3
D)
1
3
6π + 1
C)
3
B) 2p
E)
Mutlak Değer Fonksiyonunun İntegrali
Işık 13
4π + 1
3
Bir mutlak değer fonksiyonunun integralini hesaplarken, mutlak değer fonksiyonunun kritik noktaları yani
Çözüm
mutlak değerin içini sıfır yapan noktalar integralin sı-
nırları arasında ise bu noktalardan belirli integral par-
Kritik nokta 0 olduğundan integrali;
1
∫
0
f ( x )dx =
−1
∫
çalanır.
1
∫
f ( x )dx + f ( x )dx
−1
Ayrıca,
0
 f ( x ), f ( x ) ≥ 0
| f (x) | = 
−f ( x ), f ( x ) < 0
şeklinde parçalamalıyız.
0
=
∫
−1
1
x3
x dx + sin πxdx =
3
2
∫
0
1
0
tanımını da unutmayalım.
− π cos πx
−1
0
DNA 58
  1 
= 0 −  −   − [ π123
cos π − π ⋅123
cos 0]
  3 
–1
1
1
6π + 1
= + 2π =
3
3
3
bulunur.
∫ | x − 2 | dx
0
integralinin sonucu kaçtır?
Doğru Seçenek C
A) 3
B)
5
2
C) 2
D)
3
2
LYS MATEMATİK
E) 1
383
Belirli İntegral
İntegral - Bölüm 13
Çözüm
DNA 59
Mutlak değer içini sıfır yapan x = 2 değeri kritik nokta ol-
π
∫
duğundan,
2
3
0
2
∫ (2 − x)dx + ∫ (x − 2)dx
x2
= 2x −
2
2
x
x–2
3
x2
+
− 2x
2
0
2
integralinin değeri kaçtır?
2
–
+
2
2
A)
 9


= 4 − 2 +  − 6  − ( 2 − 4 )

 2

= 2+
1 + cos 2x dx
0
B) 0
C)
D) 2 2 E)
2
2 +1
Çözüm
1 5
=
2 2
1 + cos 2x = 1 + (2 cos2 x − 1)
= 2 cos2 x = 2 | cos x |
Doğru Seçenek B
dir.
π
⇒
π
∫
∫
1 + cos 2x dx = 2 | cos x | dx
0
0
olur.
cos x = 0 ⇒ x =
π
2
kritik noktadır.
π

π
2

2  cos xdx + − cos xdx
0

π


2
1
∫
−2
∫
| 3x |
dx
x


2  sin x

integralinin sonucu kaçtır?
A) –6
B) –3
C) –2
D) 3
∫
E) 6
π
2
π
− sin x
0
π
2
cos I. bölgede (+)
II. bölgede (–)


π
π 
 

 = 2  sin 2 − sin 0  −  sin π − sin 2 

= 2 [(1 − 0) − (0 − 1)]
= 2 (1 + 1) = 2 2
olur.
Doğru Seçenek D
π
∫ | sin x | dx
2
∫ (| x | + | x − 1 |)dx
−1
integralinin sonucu kaçtır?
A) 6
384
B) 5
LYS MATEMATİK
C) 4
−
π
2
integralinin değeri kaçtır?
D) 3
E) 2
A) –3
B) –1
C) 0
D) 1
E) 3
İntegral - Bölüm 13
Belirli İntegral
İntegral İşareti Altında Türev Alma
Hazine 7
x2
F( x ) =
[a, b] aralığında tanımlı ve sürekli, g ve h iki fonksiyon
olmak üzere,
F( x ) =
∫
x
dt
2
olduğuna göre, F′(1) kaçtır?
A) −
g( x )
t
∫ 1+ t
f ( t )dt ⇒ F′( x ) = f (g( x )) ⋅ g′( x ) − f (h( x )) ⋅ h′( x )
1
2
B) −
1
4
D)
C) 0
1
2
E)
1
4
h( x )
dir.
DNA 60
x2
F( x ) =
∫ (1 + t) dt
x
Işık 14
olduğuna göre, F′(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) –x3 + x + 1 C)
2x3
+ x + 1 B) x3 – x + 1
D)
2x3
Eğer sınırlardan biri sabit sayı ise,
+ x – 1
g( x )
E) 2x3 + 2x – 1
∫
F( x ) =
f ( t )dt ⇒ F′( x ) = f (g( x )) ⋅ g′( x )
a
a
F( x ) =
∫
f ( t )dt ⇒ F′( x ) = −f (h( x )) ⋅ h′( x )
h( x )
Çözüm
tir.
x2
F( x ) =
x
∫ (1 + t)d t
DNA 61
⇒ F′(x) = (1 + x2) ⋅ (x2)′ – (1 + x) ⋅ (x)′ dir.
F′(x) = (1 + x2) ⋅ (2x) – (1 + x) ⋅ 1
sin x
∫
f (x) =
t 2 dt
⇒ F′(x) = 2x + 2x3 – 1 – x
⇒ F′(x) = 2x3 + x – 1
fonksiyonunun x =
1
nin eğimi kaçtır?
olarak bulunur.
A)
Doğru Seçenek D
3
2
D)
p
apsisli noktasındaki teğeti6
B)
2
2
3
4
E)
C)
3
8
2
4
LYS MATEMATİK
385
Belirli İntegral
İntegral - Bölüm 13
Çözüm
Çözüm
Bir f fonksiyonunun herhangi bir x0 apsisli noktasındaki te-
Türevini alıp sıfıra eşitleyelim.
ğetinin eğimi fonksiyonun 0 noktasındaki türevine eşittir.
(a2 + a – 2) ⋅ (a)′ – 0 = 0 ⇒ a2 + a – 2 = 0
f′(x) = sin2x ⋅ (sinx)′ – 0 ⇒ (a + 2)(a – 1) = 0
⇒ f′(x) = sin2x ⋅ cosx
⇒ a = –2 ∨ a = 1
a > 0 ⇒ a = 1
2
π  1
3
3
π
2 π
=
⇒ f ′   = sin ⋅ cos =   ⋅
6
6 2
2
8
6
olarak bulunur.
dir.
Doğru Seçenek C
Fonksiyonunun en küçük değeri,
1
∫
( x 2 + x − 2) =
0
=
x3 x 2
+
− 2x
3
2
1
0
1 1
7
+ −2 = −
3 2
6
dir.
Doğru Seçenek E
x
f (x) =
∫
2
3t − t + 1 dx
0
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
B) −
A) –3
1
3
C)
1
2
D)
1
3
E) 3
DNA 62
a > 0 olmak üzere,
a
∫
( x 2 + x − 2)dx
a > 0 olmak üzere,
0
a
integralinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) –2
386
B) −
D) −
4
3
LYS MATEMATİK
11
6
C) −
E) −
7
6
3
2
∫ (2x − x
2
)dx
0
integralnin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A)
3
4
B)
2
3
C)
3
2
D)
4
3
E)
5
4
İntegral - Bölüm 13
Belirli İntegral
Çözüm
Hazine 8
�
f: [a, b] → R, y = f(x) fonksiyonu pozitif değerli sürekli
bir fonksiyon ise; y = f(x) eğrisi x = a, x = b ve y = 0
��
doğruları ile sınırlı bölgenin alanı;
b
∫
S = | f ( x ) | dx
�
a
� �
�
integrali ile bulunur.
(1, 2) aralığında y = 2x2 > 0
i) [a, b] aralığında f(x) ≥ 0 ise;
2
2x3
⇒ S = 2x dx =
3
∫
�
2
2
1
=
1
16 2 14
− =
tür.
3 3 3
b
∫
Doğru Seçenek C
S = f ( x ) dx
a
�
�
�
�
�
dir.
Denklemi,
ii) [a, b] aralığında f(x) ≤ 0 ise;
y = x2 + 1
olan parabol, x = 3 doğrusu, x ve y eksenleriyle sınırlı
�
bölgenin alanı kaç birim karedir?
b
�
�
�
∫
S = − f ( x ) dx
�
A) 15
B) 14
C) 12
D) 9
E) 6
a
�
dir.
DNA 64
Yanda f fonksiyonunun
�
grafiği verilmiştir.
�
�
DNA 63
�
�
�
�
Denklemi y = 2x2 olan eğri; x ekseni ve denklemleri
x = 1, x = 2 olan doğrularla sınırlı bölgenin alanı
Taralı alan 5 br2 olduğuna göre,
kaç birim karedir?
A)
16
3
4
B) 5
D) 4
E)
C)
10
3
14
3
∫ f ( x)dx
0
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 16
B) 14
C) 12
D) 11
LYS MATEMATİK
E) 7
387
Belirli İntegral
İntegral - Bölüm 13
Çözüm
DNA 65
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
4
∫ f ( x)dx = S ve
0
Şekildeki y =
S + 5 = 4 ⋅ 4 = 16
1
fonksiyonunun eğrisi, y = 4x ve
x
x = e doğruları ile x ekseninin sınırladığı bölgenin
⇒ S = 11
alanı kaç birim karedir?
dir.
A) ln2
D)
B)
Doğru Seçenek D
1
+ ln 2 2
3
+ ln 2 2
C) 1 + ln2
E) 2 + ln2
Çözüm
Eğri ile doğrunun kesim noktalarını bulalım.
4x =
1
1
1
⇒ 4 x 2 = 1 ⇒ x 2 = ⇒ x =  dır.
x
4
2
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
Dik üçgenin alanından,
�
�
1
⋅2
1
2
S=
=
dir.
2
2 �
Şekilde f fonksiyonunun eğrisi ve y = 5 doğrusu verilmiştir.
e
L=
3
0
olduğuna göre, taralı alan kaç birim karedir?
388
B) 12
LYS MATEMATİK
C) 10
D) 8
E) 5
e
∫
2
∫ f ( x)dx = 5
A) 15
1
dx = l n x
x
1
⇒ S+L =
= lne − ln
1
2
1
= 1 − (l
n 1 − l n 2) = 1 + l n 2
2
0
3
+ ln 2 bulunur.
2
Doğru Seçenek D
İntegral - Bölüm 13
Belirli İntegral
Çözüm
�
�
��
��
��
��
��
��
�
�
�
Şekilde,
S1 + S2 = a4
y = x2 ve y = (x – 4)2
a
∫
ve S1 = x3 dx =
fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
0
Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç birim karedir?
A)
64
3
B)
56
3
C) 16
D)
32
3
E)
16
3
�
�
⇒ S2 =
x4
4
a
=
0
a4
4
S
3a4
⇒ 2 =3
4
S1
olur.
Doğru Seçenek A
DNA 66
�
��
�
��
��
��
��
�
�
��
�
�
Şekildeki taralı bölgelerin alanları S1 ve S2 dir.
Şekilde taralı bölgelerin alanları S1 ve S2 dir.
S2 = K ⋅ S1
olduğuna göre, K kaçtır?
A) 3
B)
4
3
C)
3
4
D)
1
4
E)
1
3
S1
=K
S2
olduğuna göre, K kaçtır?
A) 2
B)
3
2
C)
2
3
D)
1
2
LYS MATEMATİK
E)
1
4
389
Belirli İntegral
İntegral - Bölüm 13
DNA 67
�
�
��
�
��
�
�
�
�
�
�
�
Yukarıdaki şekilde, f: [m, n] → [k, l] birebir ve sürekli
bir f fonksiyonu verilmiştir.
Buna göre,
1
l
∫
m
k
∫ f ( x)dx + ∫ f
( x )dx
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) m ⋅ k
D) nl + m ⋅ k
∫
A) 2 B) 1
D) e
E) e – 1
C) e + 1
C) nl – mk
E) mk – nl
Çözüm
Işık 15
l
�
e
e x dx + ln x dx
0
1
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
−1
A) n ⋅ l
�
�
Şekilde y = lnx in grafiği verilmiştir.
Buna göre,
n
�
∫f
−1
( x )dx
�
k
��
�
n
∫ f ( x)dx
�
m
�
n
∫
�
�
l
∫
�
�
��
�
�
�
��
�
kısmında pozitif ise alanlar ayrı ayrı bulunup toplanır.
k
d
∫
S = S1 + S2 + S3 = | f ( x ) | dx
bulunur.
a
Doğru Seçenek C
b
∫
LYS MATEMATİK
c
∫
d
∫
⇒ S = − f ( x )dx + f ( x )dx − f ( x )dx olur.
a
390
��
f fonksiyonu [a, b] aralığının bir kısmında negatif bir
−1
⇒ f ( x )dx + f ( x )dx = nl − mk
m
�
b
c
İntegral - Bölüm 13
Belirli İntegral
DNA 68
�
�
��
��
��
��
��
�
�
�
�
��
Şekilde S1, S2, S3 bulundukları bölgelerin alanlarını
göstermektedir.
3
∫
2
∫
f ( x )dx = −10,
3
f ( x )dx =4 ve
−2
−2
olduğuna göre, S2 kaçtır?
A) 16
B) 14
C) 12
∫
f ( x )dx = − 2
�
��
�
�
göstermektedir.
S1 = 10 br2, S2 = 6 br2 ve
d
E) 8
�
Şekilde S1, S2 ve S3 bulundukları bölgelerin alanlarını
0
D) 10
��
�
�
∫ f ( x)dx = 7 br
2
a
olduğuna göre, S3 kaç br2 dir?
A) 7
B) 5
D) 3
C) 4
E) 1
Çözüm
3
∫ f ( x)dx = S
2
− S1 − S3 = −10 .....(1)
2
− S1 = 4 .................(2)
−2
2
∫ f ( x)dx = S
−2
DNA 69
3
∫ f ( x)dx = S
2
− S3 = −2 ................(3)
0
�
(2) nolu ifadededen (1) nolu ifadeyi çıkarırsak;
S3 = 14
��
�
olur.
��
�
�
S2 – S3 = –2 ⇒ S2 – 14 = –2
�
��
S1 = 10 ve S2 = 15 olduğuna göre,
⇒ S2 = 12
c
olarak bulunur.
Doğru Seçenek C
∫ (f ( x) + | f ( x) |) dx
a
integralinin değeri kaçtır?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
LYS MATEMATİK
E) 50
391
Belirli İntegral
İntegral - Bölüm 13
İki Eğri Arasında Kalan Alan
Çözüm
c
∫
c
c
∫
Işık 16
∫
( f ( x )+ | f ( x ) |) dx = f ( x ) dx + | f ( x ) | dx
a
a
a
= S2 – S1 + S1 + S2 = 2 ⋅ S2 = 30
y = f(x), y = g(x) eğrileri ile x = a ve x = b doğruları
tarafından sınırlanan bölgenin alanı;
olarak bulunur.
�
Doğru Seçenek C
��
�
�
��
�
�
b
∫
S = | f ( x ) − g( x ) | dx
a
dir.
f(x) > g(x)
b
∫
⇒ S = ( f ( x ) − g( x ))dx
a
olur.
Eğer, [a, b] aralığının bir kısmında f(x) ≥ g(x) diğer kısmında g(x) ≥ f(x) ise,
�
�
��
��
��
��
�
��
�
�
��
�
Şekilde S1, S2 bulundukları bölgelerin alanlarını göster-
�
�
�
mektedir.
4
S2 = 3S1 ve ∫ f ( x)dx = −4
b
∫
−1
a
4
olduğuna göre,
∫ | f(x) | dx
kaçtır?
olur.
−1
A) 12
392
B) 10
LYS MATEMATİK
c
C) 8
D) 6
E) 4
∫
b
∫
| f ( x ) − g( x ) | dx = [ f ( x ) − g( x )]dx + [g( x ) − f ( x )]dx
a
c
İntegral - Bölüm 13
Belirli İntegral
DNA 70
Işık 17
y = x2 parabolü ile y = x + 2 doğrusu arasında kalan
x = g(y) eğrisi, y = a ve y = b doğruları ile y ekseni
bölgenin alanı kaç birim karedir?
arasında kalan bölgenin alanı;
A) 5
B)
9
2
C) 4
D)
b
7
2
∫
S = | g( y ) | dy
E) 3
a
ile bulunur.
i) [a, b] aralığında g(y) ≥ 0 ise;
Çözüm
b
∫
S = g( y )dy
�
��
a
��
olur.
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
Ortak çözelim.
x2 = x + 2
x2 – x – 2 = 0
x
–2 x
ii) [a, b] aralığında g(y) ≤ 0 ise;
b
∫
S = − g( y )dy
+1
⇒ (x – 2)(x + 1) = 0
�
�
a
olur.
�
⇒ x = –1 ∨ x = 2
dir.
2
⇒S=
∫
x2
x3
[( x + 2) − x 2 ]dx =
+ 2x −
2
3
−1
�
2
�
��
−1
8 1
1 9

= 2 + 4 −  −  − 2 +  =
3 2
3 2

�
�
�
Doğru Seçenek B
iii) x = g(y) ifadesi [a, b] aralığının bir kısmında negatif
bir kısmında pozitif ise alanlar ayrı ayrı bulunur.
b
c
∫
∫
b
∫
S = | g( y ) | dy = g( y )dy − g( y )dy
dir.
a
a
c
�
y 2 = 2x
�
��
parabolü ile y = x doğrusu arasında kalan bölgenin
alanı kaç birim karedir?
A) 3
B) 2
C)
1
2
D)
1
3
E)
1
4
�
�
��
�
�
LYS MATEMATİK
393
Belirli İntegral
İntegral - Bölüm 13
DNA 71
Hatırlatma
b
y = lnx eğrisi y = –2 ve y = –1 doğruları ile y ekse-
∫
ni arasındaki sınırlı bölgenin alanı kaç birim karedir?
A)
1
e
B)
D)
e −1
e
e +1
e
C)
E)
e −1
e2
r 2 − x 2 dx
a
integralini çözmek için x = r ⋅ sint dönüşümü yapıyor
duk. Şimdi ise bu tip integrali alan konusuyla çözmeyi
öğreneceğiz.
e +1
e2
Hatırlatma
i) Çözüm
�
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
merkezi (a, b) ve yarıçapı r olan bir çember denklemidir.
y = lnx ⇒ ey
��
�
�
�
��
�
��
�
��
�
�
�
��
�
∫ e dy = e
y
−2
= e−1 − e−2
y
�
�
��
−1
−1
S=
��
�
�
−2
�
1 1
= − 2
e e
=
��
�
�
�
e −1
e2
��
��
��
�
�
Doğru Seçenek C
DNA 72
3
Denklemleri x =
y2
olan eğri, y ekseni ve denklemleri
y = 1 ve y = 3 olan doğrular ile sınırlı bölgenin alanı
kaç birim karedir?
A) 9
394
B)
26
3
LYS MATEMATİK
C) 8
D)
22
3
E)
20
3
∫
9 − x 2 dx
−3
integralinin sonucu kaçtır?
A)
9π
2
B) 4p
C)
7π
2
D) 3p
E)
5π
2
İntegral - Bölüm 13
Belirli İntegral
Çözüm
DNA 73
y = 9 − x2 ⇒ y2 = 9 − x2
2
�
2
⇒x +y =9
��
�
Merkezi (0, 0) ve yarıçapı 3 br olan çember denklemidir.
��
�
�
��
��
�
�
��
�
�
Şekildeki taralı daire dilimi aşağıdaki integraller-
�
den hangisi ile ifade edilir?
4
∫
4
2
A) ( 16 − x − 3 x ) dx
0
Sonuç, yarım dairenin alanı olup,
π32 9π
=
2
2
∫(
D)
3
∫(
4 − x 2 − 3 x ) dx
∫(
4 − x 2 − 3 x ) dx
0
E)
bulunur.
2
16 − x 2 − 3 x ) dx
0
∫(
0
2
C)
B)
4 − x 2 − x ) dx
0
Doğru Seçenek A
Çözüm
�
��
�
��
�
�
�
�
��
x 2 + y 2 = 42 ⇒ y = 16 − x 2
eğri ile doğruyu ortak çözersek;
3 x = 16 − x 2 ⇒ 3 x 2 = 16 − x 2
⇒ 4 x 2 = 16
2
∫
⇒ x2 = 4 ⇒ x =  2
4 − x 2 dx
0
2
Taralı alan,
integralinin sonucu kaçtır?
A) 2p
3π
B)
2
C) p
∫(
0
π
D) 2
π
E)
4
16 − x 2 − 3 x ) dx olur.
Doğru Seçenek C
LYS MATEMATİK
395
Belirli İntegral
İntegral - Bölüm 13
DNA 74
�
��
y = 3x doğrusunun x = 2 doğrusu ve x ekseni ile
�
sınırlı olan bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç birim küp-
��
�
tür?
�
�
A) 8p
B) 12p
C) 18p
D) 24p
E) 36p
Şekilde yarım daire içinde taralı alan aşağıdaki integrallerden hangisi ile ifade edilebilir?
3
A)
∫
( 9 − x 2 − x ) dx 3
B)
0
3
2
C)
∫(
∫(
Çözüm
3 − x 2 − x ) dx
0
9 − x 2 − x ) dx 3
D)
0
∫(
�
��
��
3 − x 2 − x ) dx
�
0
E)
3
2
∫(
3 − x 2 − x ) dx
�
�
�
0
2
∫
2
∫
3
V = π (3 x )2 dx ⇒ π 9 x 2 dx = π ⋅ 9 ⋅
0
0
x3
3
2
0
= π ⋅ 3 ⋅ 8 = 24π
bulunur.
Hazine 9
Doğru Seçenek D
�
��
�
�
�
y = f(x) eğrisi x = a, x = b doğruları ve x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin x-ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle meydana gelen dönel cismin hacmi;
b
∫
b
∫
V = π ⋅ f 2 ( x ) dx = π y 2 dx
a
ile bulunur.
396
LYS MATEMATİK
a
3x + 2y – 6 = 0
doğrusu ile eksenler arasında kalan bölgenin x ekseni
etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi
kaç br3 tür?
A) 3p
B) 4p
C) 6p
D) 8p
E) 18p
İntegral - Bölüm 13
Belirli İntegral
DNA 75
DNA 76
y = ex fonksiyonunun grafiği, x = ln2 ve x = ln4
y = sin x eğrisi, x = 0 ve x = p doğruları ve x ekseni
doğruları ile sınırlandırılmış taralı bölgenin Ox ek-
tarafından sınırlanan bölge Ox ekseni etrafında 360°
seni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel
döndürülüyor.
cismin hacmi kaç birim küptür?
Meydana gelen dönel cismin hacmi kaç birim küp-
A) 3p
B) 4p
C) 6p
D) 8p
E) 12p
tür?
A)
Çözüm
π2
6
B)
π2
5
C)
π2
4
D)
π2
3
E)
π2
2
�
��
Çözüm
��
��
�
π
∫
V = π sin2 x dx dir.
0
ln4
V=π
∫ (e
x 2
) dx ⇒
ln2
⇒
⇒
π 2x
⋅e
2
1 − cos 2x 
 2
 sin x =


2

ln4
π
⇒V=π
ln2
∫
0
π 2l n 4
(e
− e2l n 2 )
2
π
1 − cos 2x
π
dx =
(1 − cos 2x ) dx
2
2
∫
0
π
⇒
π l n 16
(e
− el n 4 )
2
π
1
π
π2

π − 0) =
 x − sin 2x  = (π
2
2
0 2
2
bulunur.
π
⇒ (16 − 4) = 6π
2
Doğru Seçenek E
olur.
Doğru Seçenek C
y=
1
eğrisi x = 1, x = 3 ve y = 0 doğruları ile sınırlanan
x
alanın x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç
A) 2p
3π
B)
2
br3
C) p
tür?
D)
2π
3
E)
π
3
y = cos x eğrisi ile x = 0, y = 0 ve x =
p
doğruları tara2
fından sınırlanan bölge Ox ekseni etrafında 360° döndürülürse oluşan cismin hacmi kaç birim küptür?
A)
π2
6
B)
π2
5
C)
π2
4
D)
π2
3
LYS MATEMATİK
E)
π2
2
397
Belirli İntegral
İntegral - Bölüm 13
Hazine 10
y = x2 eğrisi; y = 2, y = 4 doğruları ve y ekseni ile sı-
�
nırlanan bölgenin y ekseni etrafında döndürülmesiyle
��
oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
�
A) 12p
B) 10p
D) 6p
C) 8p
E) 4p
�
�
y = f(x) fonksiyonu, y ekseni ve denklemleri y = a, y = b
olan doğrular ile sınırlanan bölgenin y ekseni etrafında
360° döndürülmesi ile oluşan dönel cismin hacmi;
b
b
∫
∫
V = π ⋅ f 2 ( y ) dy = π x 2 dy
a
a
dir.
DNA 77
y = 2x2 eğrisi y = 0, y = 8 doğruları ve y ekseni ile
sınırlanan bölgenin y ekseni etrafında 360° dön-
Hazine 11
dürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç birim küptür?
�
A) 8p
B) 12p
C) 16p
D) 18p
E) 24p
��
Çözüm
��
�
�
�
�
��
�
��
[a, b] aralığında integrallenebilen, denklemleri y1 = f(x)
�
�
ve y2 = g(x) olan eğriler ile x = a ve x = b doğrularının
sınırladığı bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi;
8
2
π y
y
V = π   dy = ⋅
2
2 2
∫
0
b
8
=
0
π
(64 − 0) = 16π
4
a
olur.
bulunur.
Doğru Seçenek C
398
∫
V = π ⋅ | f 2 ( x ) − g2 ( x ) | dx
LYS MATEMATİK
Oluşan cismin hacmi, dıştaki dönel cisim ile içteki dönel cismin hacimleri farkıdır.
İntegral - Bölüm 13
Belirli İntegral
TEST - 3
1.
7

d 
( x3 + 5 x 2 + x + 1) dx 


dx
2

− 1) ⋅ dx = A
B) −
1
2
C) 0
15
olduğuna göre,
∫ f(x) dx
ifadesinin A türünden
3
∫
1
3
2
2
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin sonucu kaçtır?
A) −
4
∫ x ⋅ f(x
4.
A)
D)
1
3
E)
1
2
A
2
5.
B) A
C)
3A
2
D) 2A
E) 4A
3
∫ f ( x) dx = 5
ve
0
6
2.
a
∫x
2
⋅ d( x 2 ) =
0
∫ (f ( x) + 1) dx = 20
a ∈ R olmak üzere,
0
81
2
B) 4
C) 3
D)
1
2
E)
1
3
A) 25
B) 15
π
3.
a ∈ R olmak üzere,
a
∫x
0
6.
dx
2
+9
=
π
18
A)
3
2
+1
C) 10
C) 1
1
D) 2
1
E)
3
D) 9
E) 5
dx = Ι
p
olduğuna göre,
cosx
∫ 2(x
−p
olduğuna göre, a kaçtır?
3
B)
3
cos x
∫x
0
integralinin sonucu
3
kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 5
6
∫ f(x) dx
olduğuna göre,
2
+ 1)
dx ifadesinin I türün-
den değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4I
B) 2I
C) I
D)
Ι
2
LYS MATEMATİK
E)
Ι
4
399
Belirli İntegral
π
4
0
B) −
e2
8.
∫
e
1
4
C) 1
D)
A) ln
B) ln
D) ln
A) −
∫
9.
0
4
e
C) ln
e
4
E) ln
e
2
∫ (x
2
− x − 2) dx
integralinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) −
64
3
B) −
D) −
f: R → R: x → f(x) = min(x; x2)
Buna göre,
D)
B)
∫
1
u du 400
∫
C)
2. C
E)
LYS MATEMATİK
π
2
4. D
du
∫ 1+ u
0
3. A
2
0
integralinin sonucu kaçtır?
A) 2
2
5. D
∫ f(x) dx
du
0
0
1. C
0
∫ du 4
3
p, q sayılarından küçüğünü göstermektedir.
1
π
2
16
3
12. p, q herhangi iki sayı olmak üzere min(p; q) sembolü
ğıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
2
C) −
E) −
biçiminde tanımlanıyor.
∫ 1+ u
32
3
10
3
E) 2
8
e
dx
1 + cos x
du
D) 1
0
A)
1
2
0
C)
x
integralinde tan = u dönüşümü yapılırsa aşa2
1
B) 0
π
2
1
2
a
integralinin sonucu kaçtır?
E) 4
11. a > 0 olmak üzere,
∫ f(x − 1) dx integralinin sonucu kaçtır?
0
1
4
l n(l n x )
dx
x
2
e
ise
ise
2
integralinin sonucu kaçtır?
A) –4
 x + 1, x ≤ 0
f (x) = 
 x, x > 0
10.
∫ (cos 5x ⋅ cos 3x) dx
7.
İntegral - Bölüm 13
6. C
7. D
B)
8. B
11
6
9. C
C)
5
3
10. D
D)
3
2
11. D
E)
17
6
12. B
İntegral - Bölüm 13
Belirli İntegral
4.
TEST - 4
�
��
�
1.
y = |x| ve y = 2x2 eğrisiyle sınırlı bölgenin alanı
�
kaç birim karedir?
A)
1
3
B)
1
6
�
C)
1
12
D)
1
24
E)
1
48
�
�
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Taralı alan 7 br2 olduğuna göre, 5
2.
�
��
∫ x ⋅ f ′( x) dx
2
integralinin sonucu kaçtır?
��
��
A) 24
B) 18
C) 12
D) 9
E) 6
�
�
5.
�
��
Şekilde y = x3 – x2 – 2x fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
��
�
�
Buna göre, taralı alanlar toplamı kaç birim karedir?
A)
19
6
B)
37
12
C) 3
D)
35
12
E)
17
6
��
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre,
2
3.
�
��
∫ f (| x |) dx
−1
integralinin sonucu kaçtır?
A) –8
B) –7
C) –6
D) –5
E) –4
��
�
�
Şekilde y = mx2 parabolü ve A(2, 8) noktasındaki teğeti verilmiştir.
Buna göre, taralı alan kaç birim karedir?
A)
16
3
B) 5
C)
8
3
D) 2
6.
Analitik düzlemde,
bağıntısı ile belirtilen bölgenin alanı kaç birim ka-
b = {(x, y): y ≥ x2, y ≤ 2x, (x, y) ∈ R2}
redir?
E)
4
3
A)
8
3
B) 2
C)
5
3
D)
4
3
LYS MATEMATİK
E) 1
401
İntegral - Bölüm 13
Belirli İntegral
7. x + y = 2 ve
10. y2 = 4x ve y = 2x2 eğrileri ile sınırlanan bölgenin
x y
+ =1
2 3
alanı x ekseni etrafında 360° döndürülürse mey-
doğruları ve y ekseni ile sınırlı bölge x ekseni
dana gelen cismin hacmi kaç birim küptür?
etrafında 360° döndürüldüğünde oluşan cismin
A) 2p
hacmi kaç birim küp olur?
A)
8.
8π
3
B) 3p
C)
10π
3
D)
11π
3
rusu ile sınırlı bölgenin x ekseni etrafında 180°
11.
π
9
C)
π
7
D)
π
14
E)
π
22
D)
4π
5
E)
3π
5
f(x) = 6 – x2
parabolü ve g(x) = 5 doğrusu ile sınırlanan alanın
A)
8π
15
D)
12.
lim
9.
6π
5
cismin hacmi kaç birim küptür?
küptür?
B)
C)
y = 5 doğrusu etrafında döndürülmesiyle oluşan
döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç birim
π
11
8π
5
E) 4p
Denklemi y = x3 olan eğri, x ekseni ve x = 1 doğ-
A)
B)
16π
15
B)
48π
15
C)
E)
32π
15
76π
15
y = lnx eğrisi x = 0, y = 1 ve y = 3 doğruları ile sınırlanan bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi aşağıdakilerden
hangisidir?
2
πe
(e4 − 1) A)
2
C)
πe 4
(e + 1) 2
1. D
402
E)
2. B
LYS MATEMATİK
3. B
π
B) e2 (e − 1)
2
D)
π
e(e2 − 1)
2
∫
0
olduğuna göre, lim
13 + 23 + 33 + ... + n3
n4
n→∞
∞
A)
5. E
∑
ifadesi-
nin değeri kaçtır?
πe2 4
(e + 1)
2
4. D
n→∞
1
n
1
k 
f   = f ( x )dx
n k =1  n 
6. B
7. C
1
2
8. E
B)
1
3
9. C
C)
1
4
10. E
D)
1
6
11. C
E)
1
8
12. D
MATRİS - DETERMİNANT - BÖLÜM 14
MATRİS
3 sütun
C)
2 satır
dikdörtgensel tabloya m x n türünden bir matris denir.
1 −1

1 4
3

5 
2 x 3 türündedir.
3 sütun
1 satır
1442443
D)
[ −4
1. satır
1 x 3 türündedir.
2, 5 100]
1 sütun
123
2. satır
E)
i. satır
3 satır
14243
2.
j.
n.
sütun sütun
sütun
a12  a1j  a1n 

a22  a2 j  a2n 



 
ai2  aij  ain 



 

am2  amj  amn 
123
1.
sütun
 a11

 a21


A=
 ai1

 

am1
1442443
m satırında ve n sütununda m ⋅ n tane sayı bulunduran bir
14243
TANIM
 1
3 
4 
 
 2 
3 x 1 türündedir.
m. satır
A matrisi, m tane satıra ve n tane sütuna sahip olduğundan, m x n türündedir. Matrisin türü satır x sütun şeklinde
ifade edilir.
a11 = 1. satırın 1. elemanı
a32 = 3. satırın 2. elemanı demektir.
Aşağıdaki tabloyu doldurunuz.
Ayrıca yukarıdaki matris kısaca A = [ai j] m x n şeklinde gösterilir. (i, j pozitif tam sayılar ve 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n dir.)
[1
Aşağıdaki matrislerin türünü belirleyiniz.
2 −1
A) 
 3 0 
B) [2]
D) [ −4 2, 5 100] 1 −1
C) 
1 4
3

5 
TÜRÜ
2 3]
 1 −2

0 7
DNA 1
MATRİS
3
5
4

6
1 0
 0 1


 1
3 
E)  
4 
 2 
Çözüm
DNA 2
2 sütun
14243
2 satır
14243
A)
2 −1
3 0 


2 x 2 türündedir.
1 sütun
123
1 satır
123
B)
[2]
1 x 1 türündedir.
 −1 1 0 2 
A =  3 5 7 4  matrisi için;
 −6 8 4 0 
a13 + a34 – a23 ifadesinin değeri kaçtır?
A) –7
B) 3
C) 11
D) 17
LYS MATEMATİK
E) 19
403
Matris
Matris - Determinant - Bölüm 14
Çözüm
TANIM
a13
Asal köşegeni üzerindeki elemanları hariç diğer tüm ele-
 −1 1 0 2 
a
A =  3 5 7 4  23
a34
 −6 8 4 0 
nanları 0 olan kare matrise köşegen matris denir.
2 0 0 
0 −5 0  3 x 3 türünde köşegen matristir.


0 0 7 
ise a13 + a34 – a23 = 0 + 0 – 7 = – 7 bulunur.
Doğru Seçenek A
TANIM
Asal köşegeni üzerindeki tüm elemanaları 1, diğer tüm
elemanları 0 olan kare matrise birim matris denir. n x n
türünde olan matris In ile gösterilir.
1 0 0
1 0


Ι2 = 
,
Ι
=
3 0 1 0  dir.

0
1


0 0 1
 3 2
A =  −1 4 
 0 6 
matrisi için a12 + a32 – a22 ifadesinin değeri kaçtır?
A) –2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
TANIM
Tüm elemanları 0 olan matrise sıfır matris denir.
0 0 0 
0 0 
0 0 0  ve 0 0  sıfır matrislerdir.




TANIM
TANIM
Satır sayısı ile sütun sayısı birbirine eşit olan matrise kare
matris denir.
 a11
a
 21
A = a32

 
a
 n1
a12 a13 
a22 a23 
a32 a33 


an2 an3 
de bulunduğu köşegene asal köşegen denir.
 1 −1
4 2 


5 6 
404
LYS MATEMATİK
olan kare matrise alt üçgen matris denir.
3 0 0 
 4 −2 0 


 1 7 6 
asal köşegen
a1n 
a2n 
a3n 

 
ann 
A kare matrisinin a11, a22, a33, ..., ann elemanlarının üzerin-
 1 2
4 5


asal köşegen
Asal köşegenin üst tarafında kalan bütün elemanları 0
TANIM
Asal köşegenin alt tarafında kalan bütün elemanları 0 olan
2 x 2 türünde kare matris
3 x 2 türünde olduğundan kare
matris değildir. Dolayısıyla asal
köşegeni yoktur.
kare matrise üst üçgen matris denir.
2
0

0

0
1
3
0
0
6
5
9
0
3
7 
8

4
asal köşegen
Matris - Determinant - Bölüm 14
Matris
İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ
MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ
Işık 2
Işık 1
A = [ai j] m x n ve B = [bi j]m x n matrisleri verilsin. Her i, j için
A = [ai j]m x n ve B = [bi j]m x n matrisleri verilsin.
ai j = bi j yani aynı indise sahip elemanlar birbirine eşitse
A + B = [ai j]m x n + [bi j]m x n = [ai j + bi j]m x n
A matrisi B matrisine eşittir denir ve A = B ile gösterilir.
matrisine A ve B matrislerinin toplamı denir. Buradan çıkan sonuç iki matrisin toplanabilmesi için satır
DNA 3
ve sütun sayılarının aynı olmaları gerektiğidir.
m  8 m 
3 x + 2 y
=
 n
2
x
− y  n 3 

olduğuna göre, x2 + y2 ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Işık 3
E) 5
A = [ai j]m x n, B = [bi j]m x n ve C = [ci j]m x n matrisleri ve-
Çözüm
rilsin.
i)
3x + 2y =8...(I)
ne göre tersi denir ve –A ile gösterilir.
2/ 2x – y = 3 ...(II)
[–ai j]m x n matrisine A matrisinin toplama işlemi-
3x + 2y = 8
ii)
4x – 2y = 6
iii) A + (B + C) = (A + B) +C
iv) A + 0 = 0 + A = A
7x = 14
x = 2 ve y = 1 dir.
v)
A+B=B+A
A + (–A) = (–A) + A = 0 dır.
Buradan x2 + y2 = 22 + 12 = 5 bulunur.
Doğru Seçenek E
DNA 4
log3 x 2  1 2
 x
=

0  8 0 
 y
olduğuna göre,
olduğuna göre, x ⋅ y kaçtır?
A) 16
B) 8
 aa
5 
b + c   1 0   28
=

+


a + c 3b − 2c  b 5  a + 5 3c + 4 
C) 6
A) 1
D) 5
E) 4
B) 2
a +b
kaçtır?
c
C) 3
D)
7
2
LYS MATEMATİK
E) 4
405
Matris
Matris - Determinant - Bölüm 14
İKİ MATRİSİN FARKI
Çözüm
 aa
5 
b + c   1 0   28

+
 = a + 5 3c + 4 
b
5
a + c 3b − 2c  
 

⇒
 aa + 1
5 
b + c   28

=

a + b + c 3b − 2c + 5  a + 5 3c + 4 
⇒
aa + 1 = 28
⇒
aa = 27
⇒
Işık 4
A = [ai j]m x n ve B = [bi j]m x n matrisleri verilsin. A matrisinin –B matrisi ile toplanmasına A ve B matrisinin
a=3
farkı denir ve A – B ile gösterilir.
b + c = 5 ... Ι
3b − 2c + 5 = 3c + 4
⇒
3b − 5c = −1 ... ΙΙ
DNA 5
II. denklemde b yerine 5 – c yazalım.
3(5 – c) – 5c = –1
15 – 3c – 5c = –1
8c = 16
3 −1 0   4 −1 5 
A+
=

 4 6 2  1 −2 7 
olduğuna göre, A matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
 1 0 5
 1 0 −5 
A) 
 B) 3 8 5  −
3
−
8
5




c = 2 ve b = 3 tür.
1 0 5
D) 

 −3 −8 −5 
a+b 3+3
Buradan
=
= 3 bulunur.
c
2
1 0 5
C) 

3 8 5 
 −1 0 5 
E) 

 −3 −8 5 
Doğru Seçenek C
Çözüm
3 −1 0   4 −1 5 
A+
=

 4 6 2  1 −2 7 
−8  1 0   4 y3 
| x + 1 |
 z
+

=
log2 x  1 5   2 6 
 e
406
B) –1
LYS MATEMATİK
C) 0
D) 1
 4 −1 5  3 −1 0 
A=
−

 1 −2 7   4 6 2
⇒
 4 − 3 −1 + 1 5 − 0 
A=

 1 − 4 −2 − 6 7 − 2
⇒
 1 0 5
A=

 −3 −8 5 
Doğru Seçenek A
olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
A) –2
⇒
E) 2
Matris - Determinant - Bölüm 14
Matris
Çözüm
 2 3 4  3 4 x 
A +  −4 10 12 = 7 6 y 
 7 9 11  z 10 12
 −4 6 2
A=

 0 −2 8 
 −8 12 4 
A  −2 3 1
⇒ 2A = 
=
 ve

2  0 −1 4 
 0 −4 16 
olduğuna göre, A matrisinin asal köşegeni üzerindeki
elemanların toplamı kaçtır?
B) –2
A) –4
C) 0
D) 2
E) 4
olur.
Buradan; 2A −
A  −8 12 4   −2 3 1
=
−

2  0 −4 16   0 −1 4 
 −6 9 3 
=
 bulunur.
 0 −3 12
Doğru Seçenek D
BİR MATRİSİN BİR GERÇEK SAYI İLE ÇARPIMI
Işık 5
k ∈ R ve A = [ai j]m x n matrisi verilsin. A matrisinin k ile
çarpımı,
a b 
 1 −2
A=
 , B = 0 −1
 c d


olduğuna göre, A – 3B + I = 0 eşitliğini sağlayan A
k ⋅ A = k ⋅ [ai j]m x n = [k ⋅ ai j]m x n
ile tanımlıdır. Yani, bir matrisin gerçek sayı ile çarpılması, matristeki her elemanın o gerçek sayı ile çarpıl-
matrisi aşağıdakilerden hangisidir? (I birim matristir.)
 −2 6 
A) 
  0 4
ması demektir.
 −2 −6 
B) 
 0 4
2 −6 
D) 

0 4 
2 −6 
C) 

0 −4 
 −2 −6 
E) 

 0 −4 
DNA 6
 −4 6 2
A=

 0 −2 8 
matrisi veriliyor. Buna göre, 2A −
A
matrisi aşağı2
dakilerden hangisine eşittir?
 −6 9 −3 
A) 
  0 −3 12   −6 −9 3 
B) 

 0 −3 12
 −6 9 3 
C) 

 0 3 12  −6 9 3 
D) 

 0 −3 12
3 
 −6 9
E) 
0
−
3
−
12

Işık 6
k, p birer gerçek sayıdır.
A = [ai j]m x n ve B = [bi j]m x n matrisleri için,
i)
k(A + B) = kA + kB
ii)
(k + p) ⋅ A = kA + pA
iii) (k ⋅ p) ⋅ A = k ⋅ (p ⋅ A) dır.
LYS MATEMATİK
407
Matris
Matris - Determinant - Bölüm 14
MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ
DNA 7
İki matrisin çarpımının tanımlı olması için birinci matrisin
A ve B iki matristir.
sütun sayısı ile ikinci matrisin satır sayısı aynı olmalıdır.
 −1 1
 9 3
3A + B = 
 ve A − B =  −2 4 
−
2
0




olduğuna göre, A matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
 −2 −1
B) 
  −1 −1
 2 1
A) 
  −1 1
2 1 
D) 

 1 −1
2 1
C) 

 −1 −1
 −2 1
E) 

 −1 1
m x p türünde bir matrisle p x n türünde bir matris çarpılırsa m x n türünden bir matris elde edilir. Peki çarpma
işlemi nasıl yapılır?
A = [ai j]m x p ve B = [bj k]p x n matrisleri verilsin.
C = A ⋅ B = [ai j]m x p ⋅ [bj k]p x n matrisinin elemanları,
cik =
p
∑ ait ⋅ btk
Daha açık bir ifadeyle Cik elemanı A matrisinin i. satırı ile B
Çözüm
matrisinin K. sütununun çarpılmasıyla elde edilen sayıdır.
 −1 1
3A + B = 

 −2 0 
+
şeklinde tanımlıdır.
t =1
[ai j]m x p ⋅ [bj k] p x n = [ci k]m x n
 a11 a12  a1p  b11 b12  b1n 

 

 a21 a22  a2p  b21 b22  b2n 
⋅



 

   
 


am1 am2  amp   bp1 bp2  bpn 


 9 3
A−B =

 −2 4 
 8 4
 2 1
4A = 
 ⇒ A =  −1 1
−
4
4




 c11 c12  c1n 
c
c 22  c 2n 
=  21
 

 


cm1 cm2  cmn 
bulunur.
Doğru Seçenek A
DNA 8
A ve B iki matristir.
 −3 4 
1 2 
A +B = 
 ve A − B = 1 −5 
7
9




olduğuna göre, B matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
 −3 4 
A) 
  7 1
408
 −1 3 
B) 
  4 2
 −2 1
D) 

 −3 7 
LYS MATEMATİK
 −2 1
C) 

 3 7
 −2 1 
E) 

 3 −7 
2 3 
 1 2 −2
A=
ve B = 


1 0
0 3 −1
olduğuna göre, A ⋅ B matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
2 10 −7 
A) 

 1 2 −2 
2 6 
B) 

1 0
2 7 −5 
D) 

3 6 −6 
2 4 −1
C) 

 1 2 −2
2 13 −7 
E) 

 1 2 −2 
Matris - Determinant - Bölüm 14
Matris
Çözüm
DNA 9
2 3 
 1 2 −2
A=
ve B = 


1
0

2 x 2
0 3 −1 2 x 3
olduğundan A ⋅ B matrisi 2 x 3 türünde olmalı.
1444442444443
a12 = 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 = 13
a13 = 2 ⋅ (–2) + 3 ⋅ (–1) = – 7
a21 = 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 = 1
a22 = 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3 = 2
⇒
 sin θ cos θ  cos θ sin θ 
cos θ sin θ  ⋅  sin θ cos θ 

 

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
2 3   1 2 −2  a11 a12 a13 
A ⋅B = 

⋅
=
 1 0  0 3 −1 a21 a22 a23 
a11 = 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 = 2
2 13 −7 
A ⋅B = 

 1 2 −2 
0 
sin 2θ
A) 
0
sin
2θ 

1 0
B) 

 0 1
1 1
C) 

1 1 1 
sin 2θ
D) 
1
sin
2θ 

1 
cos 2θ
E) 
1
cos
2θ 

a23 = 1 ⋅ (–2) + 0 ⋅ (–1) = – 2
bulunur.
Doğru Seçenek E
Çözüm
 1
 −1 0 4 
2
A=
ve
B
=

 
 2 3 5
3 
 sin θ cos θ 
cos θ sin θ 
⋅
cos θ sin θ 


 2 x 2  sin θ cos θ  2 x 2
olduğuna göre, A ⋅ B matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
 11
A)   23 
B) [11 23]  11 13 
D) 

23 11
23 
C)  
 11
13 
E)  
23 
a 
a
=  11 12 
a
a
 21 22  2 x 2
a11 = sinq ⋅ cosq + cosq ⋅ sinq = 2 ⋅ sinq ⋅ cosq = sin2q
a12 = sin2q + cos2q = 1
a21 = cos2q + sin2q = 1
a22 = sinq ⋅ cosq + cosq ⋅ sinq = 2 ⋅ sinq ⋅ cosq =sin2q
Uyarı
A ve B matrisi için A ⋅ B ve B ⋅ A tanımlı olmak üzere,
A ⋅ B ve B ⋅ A matrisleri birbirine eşit olmak zorunda
1 
sin 2θ
Buradan 
olur.
sin 2θ 
 1
Doğru Seçenek D
değildir. Yani, genel olarak A ⋅ B ≠ B ⋅ A dır.
LYS MATEMATİK
409
Matris
Matris - Determinant - Bölüm 14
Uyarı
 cos α sin α 
A=

 − sin α cos α 
A ve B sıfır olmayan iki matris iken A ⋅ B = 0 olabilir.
0 0   1 0  0 0 
 0 1 ⋅  0 0  =  0 0 
4 4
4 4
12
3 12
4 4
3 12
3
olduğuna göre, A ⋅ A = A2 matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
cos 2α − sin 2α 
A) 
  sin 2α cos 2α 
sin 2α 
 1
B) 
−
sin
2
α
cos
2α 

 cos 2α sin 2α 
C) 
  − sin 2α cos 2α 
sin 2α 
 1
D) 
−
sin
2
α
1 

A ≠0
B≠0
A ⋅B =0
sin 2α 
 1
E) 

cos 2α − sin 2α 
Uyarı
A, B ve C üç matris ve A ⋅ B ve A ⋅ C çarpımları tanımlı
DNA 10
olsun.
A ⋅ B = A ⋅ C iken B = C olmayabilir.
x2 – 2x + m = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
 1 x1  1
2 0  ⋅  x

  2
0 0   1 0  0 0   2 0 
 0 1 ⋅  0 0  =  0 1 ⋅  0 0 
12
4 4
4 4
3 12
4 4
3 12
3 12
4 4
3
−1 3 −1
=
0  2 −2
olduğuna göre, m kaçtır?
A) –2
B) –1
A
C) 0
D) 1
B
A
C
A ⋅ B = A ⋅ C fakat B ≠ C dir.
E) 2
Çözüm
 1 x1   1
 2 0 ⋅ x

  2
−1   3 −1 
=
0   2 −2 
ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1 + x1 ⋅ x2 = 3
⇒ x1 ⋅ x2 = 2,
Işık 7
x1 ⋅ x2 = m
⇒ m = 2 dir.
Doğru Seçenek E
x – mx + 6 = 0 denkleminin kökleri x1, x2 dir.
A, B ve C aşağıdaki işlemler tanımlı olacak türde matrisler, I birim matris ve 0 sıfır matrisi olsun.
i)
A ⋅ (B ⋅ C) = (A ⋅ B) ⋅ C
ii)
A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C
(A + B) ⋅ C = A ⋅C + B ⋅ C
2
 x1 2  2 0   −6 2
=
 −1 0  ⋅  x


  2 1  −2 0 
olduğuna göre, m kaçtır?
A) –6
410
B) –3
LYS MATEMATİK
C) 1
iii) A ⋅ I = I ⋅ A = A
D) 3
E) 6
iv) A ⋅ 0 = 0 ⋅ A = 0
Matris - Determinant - Bölüm 14
Matris
KARE MATRİSLERİN KUVVETLERİ
Aynı türden kare matrisin çarpımının her zaman tanımlı
olduğunu biliyoruz. Yani n x n türünden iki matrisin çarpımından sonuç yine bir n x n türünden matristir. Bu da bize
Çözüm
3 4
A=
 matrisi verilmiş.
 −2 −3 
 3 4   3 4  1 0
A2 = 
⋅
=
=Ι
 −2 −3   −2 −3  0 1
herhangi bir kare matrisin pozitif tam kuvvetlerinin tanımlı
1 0
A 70 = ( A 2 )35 = (Ι )35 = Ι = 

 0 1
olduğunu belirtir
A0 = I
bulunur.
A1 = A
A2 = A ⋅ A
Doğru Seçenek A
⋅
⋅
⋅
A m + n = Am ⋅ An = An ⋅ Am dir.
Kare matrislerin kuvvetlerini alırken; önce A2 yi buluruz.
Birim matris çıkıyorsa işimiz kolay. Şayet birim matris
çıkmıyorsa A3’ü bulur. Buradan kare matrisin ne şekilde
devam ettiğini anlayabiliriz.
2 3 
A=

 −1 −2
olduğuna göre, A71 matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
1 0
A) 
  0 1
 2 3
D) 

 −1 2
DNA 11
 −2 −3 
B) 
 1 2
2 3 
C) 

 −1 −2
 −1 0 
E) 

 0 −1
DNA 12
3 4
A=

 −2 −3 
2 0 
A=

3 −2
matrisi veriliyor.
Buna göre, A70 matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, A16 matrisi aşağıdakilerden hangi-
1 0
 −3 −4 
A) 
 B)  2 3   0 1


sine eşittir?
 −1 0 
D) 

 0 −1
3 4
C) 

 −2 −3 
3 4 
E) 

2 −3 
A) I2
2 0 
B) 
 3 −2
D) 216 I2
C) 28 I2
E) 232 I2
LYS MATEMATİK
411
Matris
Matris - Determinant - Bölüm 14
2 x 2 TÜRÜNDEKİ MATRİSLERİN TERSİ
Çözüm
2 0 
A=

3 −2
2 0  2 0   4 0 
⇒ A2 = 
⋅
=

3 −2 3 −2 0 4 
1 0
2
⇒ A 2 = 22 
 = 2 ⋅ Ι2
 0 1
⇒ A16 = (A2)8 = (22)8 ⋅ I82
⇒ A16 = 216 ⋅ I2 olur.
Hazine 1
a, b, c, d ∈ R ve ad – bc ≠ 0 olmak üzere;
a b 
1  d −b 
A=
 matrisinin tersi A −1 =


c d
ad − bc  −c a 
–bc
ad
Doğru Seçenek D
matrisidir.
Yani A–1 ters matrisini bulmak için
1) Asal köşegendeki elemanların yerleri değişir.
2) Diğer köşegendeki elemanların işaretleri değişir.
3) Elde edilen matris ile
 −2 5 
A=

 0 2
1
çarpılır.
ad − bc
Uyarı
olduğuna göre, A8 aşağıdakilerden hangisine eşittir?
a, b, c, d ∈ R olmak üzere;
A) 256 I2
a b 
A=
 matrisinde ad – bc = 0 ise A matrisinin
c d
tersi yoktur. Aksi belirtilmediği sürece matrisin tersi
B) 128 I2
D) 16 I2
C) 64 I2
E) 8 I2
denildiği zaman çarpmaya göre tersi anlaşılacaktır.
DNA 13
 1 −2
A=

 4 3 
BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE
TERSİ
matrisinin tersi aşağıdakilerden hangisidir?
TANIM
A matrisi n x n türünden bir kare matris olsun.
 1 −2 
11 11 

A) 
4
3


11 11 
A ⋅ B = B ⋅ A = In eşitliğini sağlayan bir B matrisi varsa
B matrisine A matrisinin (çarpma işlemine göre) tersi
denir ve B = A–1 ile gösterilir. A–1 her zaman olmayabilir.
Fakat varsa biriciktir. (tektir)
412
LYS MATEMATİK
 −1 −2 
 11 11 

B) 
4
3


 11 11 
2
3
 11 11

D) 
 −4 1 


 11 11
 −3
 11
C) 
4

 11
 −1
 11
E) 
 −2

 11
4
11 
−3 

11 
−2 
11 
−1 

11 
Matris - Determinant - Bölüm 14
Matris
Çözüm
 1 −2
A=

 4 3 
–2⋅4=–8
Çözüm
 cos α sin α 
A=

 − sin α cos α 
ad – bc = 3 – (–8) = 11
1⋅3=3
⇒
2
3
 11 11
3
2


1
 olarak bulunur.
A −1 = 
=
11  −4 1  −4 1 


 11 11
A −1 =
cos α − sin α 

 dır.
cos
α4
−2
( −444
sin 3
α )  sin α cos α 
144
1
2
2
1
⇒
cos α − sin α 
A −1 = 
 elemanların toplamı
 sin α cos α 
⇒
2 cos α = 1 ⇒ cos α =
Doğru Seçenek D
1
π olur.
⇒ α=
2
3
Doğru Seçenek D
 −1 −2
A=

 1 4 
matrisinin tersi aşağıdakilerden hangisidir?
 −2

B)  1
−
 2
 1 1


A)  2 2   −2 −1



 −2
D) 

 −1

 −2 −1


C)  1 1 


2 2
1

1  
2
1
2

1

2

 −2
E) 

1

−1
2

1

2
π
olmak üzere;
2
π
6
C) 12
D) 10
E) 8
Işık 8
A ve B kare matrisinin tersi var olsun.
göre, a kaç radyandır?
B)
B) 14
BİR MATRİSİN TERSİ İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
 cos α sin α 
A=
 olsun.
 − sin α cos α 
π
9
nın bir tam sayı olması için x’in alacağı değerler top-
A) 16
A–1 matrisinin elemanlarının toplamı 1 olduğuna
A)
A–1 matrisinin 1. satır ve 1. sütununda bulunan elemalamı kaç olmalıdır?
DNA 14
0<α≤
 −1 1
A=
 matrisinde x ∈ Z dır.
 − x 3 
C)
π
4
D)
π
3
E)
π
2
1) (A–1)–1 = A
2)
(A ⋅ B)–1 = B–1 ⋅ A–1
3)
I–1 = I dır.
LYS MATEMATİK
413
Matris
Matris - Determinant - Bölüm 14
DNA 15
DNA 16
A, B , C ve X matrisleri; A–1 ⋅ X ⋅ B = C eşitliğini sağ-
 1 x
A=

 −1 y 
lamaktadır.
A ve B matrislerinin tersi var olduğuna göre, X
matrisinin tersi kendisine eşit olduğuna göre,
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) C ⋅ A ⋅ B C) A ⋅ C ⋅ B
–1
D) A–1 ⋅ C ⋅ B–1
x + y kaçtır?
B) B ⋅ C ⋅ A
–1
–1
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
E) A ⋅ B–1 ⋅ C
Çözüm
Çözüm
A = A–1 ⇒ A2 = I2 dir.
Amacımız A–1 ⋅ X ⋅ B = C denkleminde X i yalnız bırakmak.
A ve B den kurtulmak için ifadeyi soldan A ile sağdan B–1
ile çarpalım.
−1
A
⋅ B−1 = A ⋅ C ⋅ B−1
12
4⋅ A4
3 ⋅ X ⋅B
123
Ι
Ι
X = A ⋅ C ⋅ B–1 bulunur.
x + xy   1 0 
 1 x   1 x  1 0
 1− x

⋅
=
 ⇒ 
=

2
 −1 y   −1 y  0 1
 −1 − y − x + y  0 1
1–x=1⇒x=0
– 1 – y = 0 ⇒ y = – 1 bulunur.
x + y = 0 – 1 = –1 olur.
Doğru Seçenek C
Doğru Seçenek B
A, B ve X matrisleri için A ⋅ X = B eşitliği sağlanmaktadır.
A, B matrisinin tersi olduğuna göre, X in tersi aşağıdakilerden hangisidir?
A) A ⋅ B
B) B ⋅ A –1
–1
D) B–1 ⋅ A
C) A ⋅ B
E) A–1 ⋅ B–1
–1
 −3 2
A=

 a b 
matrisinin tersi kendisine eşit olduğuna göre a ⋅ b kaçtır?
A) –12
B) –9
C) –1
Işık 9
a, b, c, d ∈ R
a b 
A=
 , A ≠ I2 ve A ≠ –I2 olsun.
c d
A = A–1 ise A ⋅ A = 123
A ⋅ A–1
414
LYS MATEMATİK
I2
⇒ A2 = I2 olur.
TANIM
n ∈ N+ olmak üzere;
A–n = (A–1)n dir.
D) 1
E) 12
Matris - Determinant - Bölüm 14
Matris
DNA 17
Işık 10
BİR MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)
3 −2 
A=

 4 −3 
A = [ai j]m x n matrisinin her bir i. satırını j. sütununa ya-
matrisi için A–19 matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
1 0
 A) 
0 1
 −3 2
 B) 
 −4 3 
2
3

D) 
 −4 −3 
3 −2 

C) 
 4 −3 
1 1

E) 
1 1
zarak elde ettiğimiz yeni [aj i]n x m matrisine A matrisinin
devriği (transpozu) denir ve AT = [aj i]n x m ile gösterilir.
Yani bir matrisin satırlarını sütun, sütunlarını satır yaparak elde edilen yeni matrise bu matrisin transpozu
denir.
Çözüm
A–19 = (A–1)19 dur. Dolayısıyla önce A–1 matrisini bulalım.
A
−1
DNA 18
 −3 2 3 −2 
1
=
⋅
=
 bulunur.
−9 + 8  −4 3   4 −3 
3 −2  3 −2   1 0 
( A −1)2 = 
⋅
=
 = Ι2
 4 −3   4 −3  0 1
 1 2 3


 −1 0 4 
matrisinin devriği (transpozu) aşağıdakilerden
3 −2 
−1 2 9
( A −1)19 = [(
] ⋅ ( A −1) = 
 buluruz.
1A
42)4
3
 4 −3 
Ι2
hangisidir?
 −1 0 4 

A) 
 1 2 3 
Doğru Seçenek C
 1 2 −1
3 2 1 
 C) 

B) 
 4 3 0 
 4 0 −1
 −1 1


D)  0 2 

 4 3 
 1 −1


E) 2 0 


3 4 
Çözüm
 1 −1


 1 2 3
T 
A=
 ⇒ A = 2 0


 −1 0 4 
3 4 
2 −1
A=

3 −2
matrisi için A–10 matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
1 0
 A) 
0 1
1 1
 B) 
1 1
 −2 1

D) 
 −3 2
 −2 −1

C) 
 3 2 
 −2 1

E) 
 −3 2
olur.
Doğru Seçenek E
LYS MATEMATİK
415
Matris
Matris - Determinant - Bölüm 14
DNA 19
 1 −1


2 0 


3 −2


4 5 


1 2
 3 1
A=
 ve B = 

3 4 
 4 2
olduğuna göre, (2A – B)T matrisi aşağıdakilerden
matrisinin devriği (transpozu) aşağıdakilerden hangisidir?
 1 2 3 4
 A) 
 −1 0 −2 5 
4 3 2 1 

B) 
5 −2 0 −1
 3 4 2 1
 C) 
 −2 5 0 −1
4 5 


 1 −1

D) 
2 0 


3 −2


4 5 


3 −2

E) 
2 0 


 1 −1


hangisidir?
 −1 2 

A) 
 −3 6 
3 1
 B) 
2 6 
 −1 2 

D) 
 3 6 
 1 2

C) 
3 6 
5 10 

E) 
5 20 
Çözüm
(2A – B)T = 2AT – BT dır.
1 2
1 3
2 6
A=
 ⇒ AT = 
 ⇒ 2A T = 

3 4 
2 4 
 4 8 
 3 1
3 4 
B=
 ⇒ BT = 

 4 2
 1 2 
 2 6  3 4   −1 2 
2 A T − BT = 
−
=

 4 8   1 2   3 6 
olur.
Doğru Seçenek D
TRANSPOZUN ÖZELLİKLERİ
K ∈ R olmak üzere; A ve B aşağıdaki işlemler tanımlı olacak türde matrisler olsun.
 3 5
1 2 
A=
 ve B = 

 −3 4 
0 −1
1) (AT)T = A
olduğuna göre, (2AT + 3B)T işleminin sonucu aşağıda-
2) (A + B)T = AT + BT
kilerden hangisidir?
3) (K ⋅ A)T = K ⋅ AT
9 10 

A) 
0 10 
4) (A ⋅ B)T = BT ⋅ AT
5) (A ) = (A )
T –1
416
–1 T
LYS MATEMATİK
 −9 10 

B) 
 0 5 
9 10 

D) 
5 5 
9 10 

C) 
0 5 
 −9 5 

E) 
10 10 
Matris - Determinant - Bölüm 14
Matris
4.
i sanal birim olmak üzere;
i − 3 3 
A=
 matrisi veriliyor.
3 + i 3 − i
 8 2 5
3 −1 4 
A=
 ve B = 

 −1 7 4 
2 1 7 
Buna göre, (a11 + a12)8 + a22 ⋅ a21 ifadesinin değeri
matrisleri veriliyor. X + A – 2B işleminin sonucu
TEST - 1
1.
kaçtır?
A) –11
B) 11
C) 10 – i
D) i – 10 E) 11 – i
sıfır matrisi olduğuna göre, X matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
 −2 −4 3 
 A) 
 5 −5 10 
14 4 3 

B) 
 5 5 10 
 −2 0 3 

C) 
 5 −5 10 
 −2 0 3 

D) 
 5 −5 18 
matrisinin tersi olmadığına göre, x aşağıdakilerden hangisidir?
A)
 −2 −4 3 

E) 
 5 −5 18 
log2 3 ln x 


 1
log3 2
5.
1
e
2.
2 x 2 türündeki matrislerin kümesi M2 ile gösterilsin.
6 12

A) 
0 6 
A) 37
B) 26
D) 10
E) 5
2 8

C) 
 −2 10 
 2 −8 

E) 
 −2 −10 
1 

sin x

4


 2
cos x 

7.
C) 17
12 6 
 B) 
 0 6 
 −2 8 

D) 
 2 10 
matrisi için f(A) = A olduğuna göre, y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
E) e2
olduğuna göre, (AB)–1 matrisi aşağıdakilerden
 x 2 − 2x − 1 x 2 

A=

y
x + 2

D) e
hangisidir?
f: M2 → M2 fonksiyonu
 a b    d c 
f
 = 
 olarak tanımlanıyor.
 c d  b a 
 


C) 2
 3 0
2 4 
A −1 = 
 ve B−1 = 

 −1 2
 1 5 
6.
B) 1
matrisinin tersi kendisine eşit olduğuna göre,
tanx kaçtır?
A) –1
3.
A = [ai j] 2 x 3 matrisi için;
ji,
j > i ise
ij,
j ≤ i ise
123
ai j =
3
3
C)
3
3
D) 1
E)
3
şeklinde tanımlıdır.
8.
Buna göre, A matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
1 2 3

A) 
2 4 8 
B) −
 1 2 1

B) 
2 4 8 
1 1 3

D) 
2 4 8 
1 2 3

C) 
2 4 9 
 1 1 1

E) 
2 4 9 
I, 2 x 2 türünden birim matristir.
4 3 
A=

0 −4 
olmak üzere, A2006 matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 22006 I B) 24012 I C) A
 −4 0 

D) –A E) 
 3 4 
LYS MATEMATİK
417
Matris
Matris - Determinant - Bölüm 14
cos θ sin θ 
A=

 sin θ − cos θ 
9.
olduğuna göre, A15 matrisi aşağıdakilerden han-
gisidir?
A) –A
B) 215A
C) –215I2
D) A
E) 215I2
A) –12
toplamı kaçtır?
D) –1
D) 6
E) 8
a b 
M= 

c d
matrisinde her satırın terimleri toplamı 4 olduğuna
A) 4
C) 2
C) –6
göre, M2 matrisinin 1. satır terimleri toplamı kaçtır?
olduğuna göre, A–1 + AT matrisinin elemanları
B) 6
B) –8
14.
 3 −1
A=

 −2 1 
A) 8
işleminin sonucunda bulunan matrisin elemanları toplamı kaçtır?
10.
2
 1 2
 1 2 1 0

 − 2
+

 −3 4 
 −3 4  0 1
13.
B) 8
C) 12
D) 16
E) 20
E) –3
15. A
karesel bir matris olmak üzere, AT = A ise A ya
simetrik matris denir.
11. A, B, C aynı boyutlu kare matrislerdir.
matrisitir?
A ⋅ BT = C olduğuna göre, B–1 ⋅ CT aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
A) A
B) A T
C) B –1
D) B T
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi bir simetrik
E) (A )
–1 T
2 3 

A) 
5 3 
a 
 
2
[1 2 a 5].   = [0]
3 
 
4
 
12.
A) 5
1.A
418
2.D
B) 4
3.C
LYS MATEMATİK
olduğuna göre, A–1 + (AT)–1 toplam matrisinin tüm
elemanlarının toplamı kaçtır?
C) 3
4.B
 1 3
( A −1)T = 

 4 6 
16.
olduğuna göre, a kaçtır?
1 2 3


E) 3 4 5 


2 5 4 
 0 1
 D) 
2 0 
3 2 4 


C)  2 3 −1


 4 −1 5 
1 2
 B) 
1 3 
D) –3
5.D
6.C
E) –6
7.A
8.B
A) 32
9.D
10.A
B) 28
11.B
12.E
C) 26
13.C
D) 24
14.D
15.C
E) 22
16.B
MATRİS - DETERMİNANT- BÖLÜM 14
DETERMİNANT
Uyarı
TANIM
Determinantın anlamı; her kare matrise karşılık bir sayı
Matris
getiren fonksiyondur. Bir A matrisinin determinantı detA
dikkat ediniz. Matris köşeli parantez ile ([ ]) gösterilir.
ya da |A| ile dösterilir.
ve determinant gösterimleri farklı olduğuna
Determinant ise dikey çizgilerle (| |) gösterilir.
a b 
 c d


a b
c d
Matris
Determinant
(dikdörtgensel tablo)
(Soldaki matrise karşılık
Şimdi 1 x 1, 2 x 2 ve 3 x 3 türündeki matrislerin determinantlarını nasıl hesaplayacağımızı öğrenelim.
gelen sayıdır.)
1 x 1 TÜRÜNDEKİ MATRİSİN DETERMİNANTI
DNA 20
Işık 11
A = [a] matrisinin determinantı; detA = |A| = a olarak
tanımlıdır.
A = [3] matrisinin determinantı detA = |A| = 3
2 3 
A=

5 7 
matrisinin determinantı kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
B = [–5] matrisinin determinantı detB = |B| = –5 dir.
Çözüm
2 x 2 TÜRÜNDEKİ MATRİSİN DETERMİNANTI
2 3 
A=
 = 2 ⋅ 7 − 3 ⋅ 5 = 14 − 15 = −1 bulunur.
5 7 
Doğru Seçenek C
Işık 12
a b 
A=
 matrisinin determinantı,
 c d
det A = | A | =
a b
= ad − bc olarak tanımlıdır.
c d
2 0 
A=

5 −1
Yani asal köşegendeki elemanların çarpımından diğer kö-
matrisinin determinantı kaçtır?
şegendeki elemanların çarpımının çıkarılmasıyla bulunur.
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
LYS MATEMATİK
E) 2
419
Determinant
Matris - Determinant - Bölüm 14
1 x 1 ve 2 x 2 türündeki matrislerin determinantlarının nasıl
DNA 21
hesaplandığını gördükten sonra daha genel olarak n x n
türündeki (3 x 3, 4 x 4, ...) matrislerin determinantlarını he-
2009 2010
2011 2012
saplayabilmek için gerekli olan minör ve kofaktör kavramlarını görelim.
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
TANIM
A = [ai j] n x n kare matrisinde ai j elemanının bulunduğu
i. satır ve j. sütunun silinmesi ile elde edilen (n – 1) x (n – 1)
türünde ki kare matrisin determinantına ai j elemanının minörü denir ve Mi j ile gösterilir.
Çözüm
Örneğin;
2009 = a dersek
a
2. sütun
a+1
1 2 3 1. satır
A = 4 0 −1
3 1 2
123 123
2009 2010
= a ⋅ (a + 3) − (a + 2) ⋅ (a + 1)
2011 2012
123 123
a+2
a+3
sildik
= a2 + 3a − (a2 + 3a + 2)
matrisinde a12 nin minörü yani M12 sorulursa; A matrisinde
= a2 + 3a − a2 − 3a − 2
a12 nin bulunduğu 1. satır ve 2. sütun silinir.
= −2
M12 =
bulunur.
Doğru Seçenek A
4 −1
= 4 ⋅ 2 − ( −1) ⋅ 3 = 11
3 2
bulunur.
DNA 22
 −1 2 3 
A =  2 1 4 
 −3 0 2 
matrisi veriliyor.
Buna göre, 3. satır 2. sütundaki elemanın minörü
2010 2015
2020 2025
ile 1. satır 3. sütunda bulunan elemanın minörü-
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –50
420
B) –5
LYS MATEMATİK
nün toplamı kaçtır?
C) –1
D) 1
E) 50
A) –13
B) –10
C) –7
D) –4
E) –1
Matris - Determinant - Bölüm 14
Determinant
Çözüm
DNA 23
Soruda M32 + M13 soruluyor.
 −1 2 3 
A =  2 1 4 
 −3 0 2 
⇒
 0 −1 3 
A =  −3 4 1 
 1 2 −2
matrisi veriliyor.
M32 =
−1 3
= −4 − 6 = −10 ve
2 4
M13 =
2 1
= 0 − ( −3) = 3
−3 0
Ai j; A matrisinin i. satır ve j sütununda bulunan
elemanının kofaktörü olmak üzere, A12 + A23 toplamı kaçtır?
A) –8
B) –7
C) –6
D) 4
E) 5
olur.
Buradan
Çözüm
M32 + M13 = – 10 + 3 = – 7
bulunur.
Doğru Seçenek C
 0 −1 3 
A =  −3 4 1 
 1 2 −2
⇒ A12 = ( −1)1+ 2 ⋅
−3 1
= ( −1)3 ⋅ (( −3) ⋅ ( −2) − 1⋅ 1) = −5
1 −2
 0 −1 3 
A =  −3 4 1 
 1 2 −2
⇒ A 23 = ( −1)2 + 3 ⋅
4
3
 −1
A =  −4
1
2 
 0 1 − x −5 
0 −1
= ( −1)5 ⋅ (0 ⋅ 2 − (( −1) ⋅ 1)) = −1
1 2
⇒ A12 + A23 = – 5 – 1 = – 6 bulunur.
matrisinde 2. satır ve 1. sütunda bulunan elemanın mi-
Doğru Seçenek C
nörünün 1 olması için x kaç olmalıdır?
A) –8
B) –4
C) 2
D) 4
E) 8
TANIM
 0 −1 3 
A =  −3 4 1 
 1 2 −2
matrisi veriliyor.
A = [ai j] n x n matrisinde Mi j minörünün (–1)i + j ile çarpımı-
Ai j A matrisinin i. satır ve j. sütununda bulunan elema-
na ai j elemanının işaretli minörü ya da kofaktörü denir
nın kofaktörü olmak üzere A31 + A22 toplamı kaçtır?
ve Ai j ile gösterilir.
A) 19
B) 16
C) 13
D) –13
LYS MATEMATİK
E) –16
421
Determinant
Matris - Determinant - Bölüm 14
Minör ve kofaktör kavramlarımızı öğrendiğimize göre artık
Çözüm
3 x 3 türündeki bir matrisin determinantını hesaplayabiliriz.
Soruda verilen determinantı istediğimiz satır ya da sütuna
göre açabiliriz. 1 satıra göre açalım.
1 −1 2
2 1 3 =
1 1 2
Hazine 2
3 x 3 türünde olan matrisin determinantı hesaplanır-
1 3
2 3
2 1
1⋅ ( −1)1+1 ⋅
+ ( −1) ⋅ ( −1)1+ 2 ⋅
+ 2 ⋅ ( −1)1+ 3 ⋅
1 2
1 2
1 1
123 123 1
2
3
+
+
−1
1
2
ken determinant herhangi bir satır ya da sütuna göre
açılır. Açma işleminde;
i)
Determinantın herhangi bir satırı ya da sütunu
seçilir.
ii)
= 2 bulunur.
Seçilen satırdaki ya da sütundaki elemanlar ko-
Doğru Seçenek C
faktörleriyle çarpılır.
iii) 2. adımda elde edilen çarpımların toplamı determinantın değerini verir.
Örneğin;
 a11 a12 a13 
a

 21 a22 a23 
a31 a32 a33 
2 1 3
0 1 2
−1 1 4
determinantını hesaplayalım.
 a11 a12 a13 
a

 21 a22 a23  ⇒ a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 + a13 ⋅ A13
a31 a32 a33 
ifadesinin değeri kaçtır?
B) 5
A) 6
C) 3
D) 1
E) 0
(1. satıra göre açtık.)
 a11 a12 a13 


a21 a22 a23  ⇒ a12 ⋅ A12 + a22 ⋅ A 22 + a32 ⋅ A 32
a31 a32 a33 
Uyarı
(2. sütuna göre açtık.)
Verilen bir determinantta hangi satır ya da sütunda
daha çok sıfır varsa o satır ya da sütuna göre açılım
yapmak daha kolaydır.
DNA 25
DNA 24
1 −1 2
2 1 3
1 1 2
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
B) 1
422
LYS MATEMATİK
C) 2
0 1 2
4 0 3
0 −1 5
ifadesinin değeri kaçtır?
D) 3
E) 4
A) 28
B) 17
C) –15
D) –17
E) –28
Matris - Determinant - Bölüm 14
Determinant
Çözüm
Işık 14
Dikkat ettiyseniz 1. sütunda sıfır sayısı fazla. O zaman bu
determinantı 1. sütuna göre açalım.
Bir determinantın bir k gerçek sayıyla çarpılması, determinantın tek bir satırı ya da sütunun k ile çarpılma-
0 1 2
4 0 3 =
0 −1 5
sı demektir.
−1 0 3 2 ⋅ ( −1) 2 ⋅ 0 2 ⋅ 3
2⋅ 4 5 2 =
4
5
2
−2 6 7
−2
6
7
123
Sadece 1. satırı
0 3
1 2
1 2
0 ⋅ ( −1)1+1 ⋅
+ 4 ⋅ ( −1)2 +1 ⋅
+ 0 ⋅ ( −1)3 +1 ⋅
−1 5
−1 5
0 3
1
2
3 12
3 1
2
3
+
+
0
( −28 )
0
2 ile çarptık
Bu özelliğin tersi de doğrudur.
= – 28 bulunur.
Doğru Seçenek E
Yani bir satır ya da bir sütun ortak çarpana sahipse bu
ortak çarpan determinant dışına çıkabilir.
8 6 2 2 ⋅ 4 2 ⋅ 3 2 ⋅1
4 3 1
2 5 7 = 2
5
7 = 2⋅ 2 5 7
−1 3 4
−1
3
4
−1 3 4
2 1 2
3 5 7
1 0 0
Işık 15
Determinant soruları çözerken en çok kullanacağımız
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –5
B) –3
şimdiki vereceğimiz özelliktir. Burada amaç bol miktarC) –1
D) 1
E) 3
da sıfır elde etmektir.
Bir determinantın bir satırı ya da sütunu bir gerçek
sayı ile çarpılıp başka bir satıra ya da sütuna eklenirse
determinantın değeri değişmez.
determinantında
3. satırı –2 ile
çarpıp 1. satıra
ekleyelim.
2 6 −4
−3 5 7
1 3 1
DETERMİNANTIN ÖZELLİKLERİ
Işık 13
olur.
Bu iki determinantın değeri aynıdır.
DNA 26
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
Bir determinantın iki satırı ya da sütunu kendi aralarında yer değiştirirse determinantın işareti değişir.
2 3 −1
4 0 1
1. ve 2. satırlar
4 0 1 = − 2 3 −1
yer değiştirdi.
5 −2 6
5 −2 6
2. ve 3. sütunu
yer değiştirdi.
8 6
4 3
= 4⋅
2 4
1 2
I.
II.
III.
2 3 −1
2 −1 3
4 0 1 =−4 1 0
5 −2 6
5 6 −2
0 0 −6
−1 5 7
1 3 1
x
y
2
2
x
y
= xy ⋅
1 1
x y
−1 0 4 −2 0 8
2 ⋅ 3 6 7 = 6 12 14
1 2 3
2 4 6
A) Yalnız I
B) I ve II
D) II ve III
C) I ve III
E) I, II ve III
LYS MATEMATİK
423
Determinant
Matris - Determinant - Bölüm 14
Çözüm
Çözüm
8 6 2⋅4 2⋅3
4 3
4 3
=
= 2⋅2
=4

2 4
2 ⋅1 2 ⋅ 2
1 2
1 2
x
y
x2
y2
=
1. satırı 100 ile çarpıp 2. satırdan çıkaralım.
1 2 5
1 1 1
−1 0 2
x ⋅1 y ⋅1
1 1
= x⋅y

x⋅x y⋅y
x y
ifadesinde herhangi bir satır
−1 0 4
2 ⋅ 3 6 7  ya da sütun 2 ile çarpılmalıydı.
O yüzden bu ifade yanlıştır.
1 2 3
olur. Şimdi de 1. sütunu (–1) ile çarpıp 2. ve 3. sütunlara
ekleyelim.
1 1 4
1 0 0
−1 1 3
Doğru Seçenek B
şekline dönüşür. Bu determinantı tabi ki 2. satıra göre
açalım.
1⋅ ( −1)2 +1 ⋅
1 4
= 1 bulunur.
1 3
Doğru Seçenek D
1 2 3
9⋅ 4 5 6
7 8 9
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisinin değeri
ile aynıdır?
9 18 27
A) 36 45 54 63 72 81
3 6 9
1 2 3
B) 12 15 18 C) 12 15 18
21 24 27
21 24 27
3 6 9
D) 12 15 18 63 72 81
1 2 3
E) 4 5 6
21 24 27
11 21 42
211 401 796
1
2
4
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 14
424
LYS MATEMATİK
E) –8
nundaki tüm elemanlar sıfır ise determinant sıfırdır.
2 −1 5
0 0 0 = 0 (2. satıra göre açarsak 0 buluruz.)
3 −2 7
ifadesinin değeri kaçtır?
B) –1
D) –6
Bir determinantın herhangi bir satırındaki ya da sütu-
1
2
5
101 201 501
−1
0
2
A) –2
C) 6
Işık 16
DNA 27
B) 8
C) 0
D) 1
E) 2
Matris - Determinant - Bölüm 14
Determinant
Çözüm
Işık 17
i)
2000 2001 2002
2001 2002 2003
2002 2003 2004
Bir determinantın iki satırı ya da sütunu birbirinin
aynısı ise determinant sıfırdır.
1 2 3
−5 6 7
1 2 3
1. satırdan 3. satırı çıkaralım.
0 0 0
−5 6 7 = 0 olur.
1 2 3
=
determinantında; 3. satırdan 1. satırı çıkaralım.
2000 2001 2002
2001 2002 2003 = 0
2
2
2
olur.
Doğru Seçenek B
ii)
Bir determinantın iki satırı ya da sütunu orantılı
ise determinantın değeri sıfırdır.
2 3 5
4 6 10
3 5 7
Dikkat ettiyseniz 1. ve 2. satırlar
orantılı. 1. satırı –2 ile çarpıp 2.
2 3 5
0 0 0 = 0 olur.
3 5 7
=
17 19 21
19 21 23
21 23 25
satıra ekleyelim.
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
B) 2
C) 17
D) 19
E) 21
DNA 29
Şekilde verilen ABC üçge ) = m( ACD
)
ninde; m(BAD
ve x, y, z ∈ R olduğuna
göre,
DNA 28
2000 2001 2002
2001 2002 2003
2002 2003 2004
x y z
c d e ifadesinin değeri hangisidir?
d a b
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
A) 1
D) 10
E) 2000
B) 0
D) ac – ed
C) be – cd
E) bc – ed
LYS MATEMATİK
425
Determinant
Matris - Determinant - Bölüm 14
Çözüm
DNA 30
A; 2 x2 türünden bir matris;
2
⋅ B ve |B| = m2n olduğuna göre, |A| aşağıdakim
lerden hangisidir?
A=
A) 4n


ABD  CBA ⇒
d c e
= =
olur.
a d b
B) 4m
C) 2mn
D) 4mn
E) 4m2
Çözüm
x y z
Dolayısıyla c d e = 0 bulunur.
d a b
A=
Doğru Seçenek B
2
2
2
4
2
⋅ B ⇒ | A |=
⋅B =   ⋅| B | =
⋅ m2 ⋅ n = 4n
2
m
m
m
m
olur.
Doğru Seçenek A
Şekilde; [DE] // [AB] ve
[DB] ∩ [AE] = {C} dir.
x, y, z ∈ R olduğuna göre,
A matrisi 3 x 3 türündedir.
x y z
c b a ifadesinin değeri kaçtır?
f d e
A) 60
B) 0
A) 1
|A| = 2 olduğuna göre, |3A| + 3|A| toplamı kaçtır?
D) af – ce
determinantı k ile çarpılmış olur. Yani, A matris n x n
n
türünden ise;
|k ⋅ A| = kn ⋅ |A| dır.
Ayrıca genel olarak |kA| ≠ k ⋅ |A| olduğuna dikkat edi-
LYS MATEMATİK
D) 27
E) 24
E) cd – bf
n x n türünden bir matris k gerçek sayısı ile çarpılırsa,
426
C) 51
C) be – ad
Hazine 3
niz.
B) 54
Hazine 4
i) Bir A matrisi ile transpozununun determinantı aynıdır.
|A| = |AT|
ii) A ve B aynı türden iki kare matris olmak üzere
|A ⋅ B| = |A| ⋅ |B|
iii)|An| = |A|n, n ∈ Z+ dir.
Matris - Determinant - Bölüm 14
Determinant
Çözüm
DNA 31
|2 ⋅ AT ⋅ B–1| = 22 ⋅ |AT| ⋅ |B–1| = 22 ⋅ |A| ⋅ |B|–1 dir.
A ve B, 3 x 3 türünde matrislerdir.
5 2
= 15 − 12 = 3
6 3
2 3 7
| A ⋅ B | = −4 0 6 ve |B| = – 9 olduğuna göre,
0 0 −3
|A|=
|A| kaçtır?
ve | B | =
A) –6
B) –4
C) 1
D) 4
13 6
= 26 − 18 = 8
3 2
⇒ 4⋅ | A | ⋅ | B |−1
E) 6
= 4⋅3⋅
1 3
= olur.
8 2
Çözüm
2 3 7
| A ⋅ B | = −4 0 6
0 0 −3
Doğru Seçenek B
determinantını
3. satıra göre
açalım.
2 3 7
2 3
−4 0 6 = ( −3) ⋅ (
−1)3 + 3
= −36
−4 0
1
12
 
3
0 0 −3
12
|A ⋅ B| = |A| ⋅ |B| ⇒ –36 = |A| ⋅ (–9) ⇒ |A| = 4 bulunur.
Doğru Seçenek D
3 5 
A=

5 9 
olduğuna göre, |3 ⋅ A2 ⋅ AT| kaçtır?
A) 72
B) 54
C) 36
D) 24
E) 18
1000 1005 
10 1
A=
ve B = 

 matrisi veriliyor.
1010 1115 
 9 1
Buna göre, |A ⋅ B| kaçtır?
A) –100
B) –50
C) 1
D) 50
E) 100
Hazine 5
Üst üçgen ya da alt üçgen matrisin determinantı asal
köşegen üzerindeki elemanların çarpımıdır.
a b c
0 d e = a⋅d⋅ f
0 0 f
DNA 32
5 2 
13 6 
A=
 ve B =  3 2  matrisleri veriliyor.
6
3




Buna göre, |2 ⋅ AT ⋅ B–1| kaçtır?
A) 4
3
B) 2
C) 1
1
D) 2
1
E)
4
a 0 0
b c 0 = a⋅c ⋅f
d e f
O zaman bu özellik tabi ki köşegen matris için de geçerli olur.
a 0 0
0 b 0 = a ⋅b ⋅c
0 0 c
LYS MATEMATİK
427
Determinant
Matris - Determinant - Bölüm 14
DNA 33
DNA 34
a +1 b − 2 c + 3
d
e
f = M olduğuna göre,
2
−4
6
x 2x 3 x
0 x 2y = 64
0 0
x
a b c
2 −4 6
d e f
olduğuna göre x kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 8
E) 16
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –M
B) M
C) M – 1 D) M + 1
E) 2M
Çözüm
x 2x 3 x
0 x 2y = x ⋅ x ⋅ x = x3 = 64 ⇒ x = 4 olur.
0 0
x
Çözüm
a + 1 b − 2 c + 3 a b c 1 −2 3
d
e
f = d e f + d e f
2
−4
6
2 −4 6 2 −4 6
123
123
Doğru Seçenek C
M
0
1. ve 3.
satırlar orantılı
O zaman;
a b c
d e f =M ⇒
2 −4 6
x−2 0
0
x
x
0 =0
y
z x +1
bulunur. (2. satırla 3. satır yer değiştirmiş.)
olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı değer var-
Doğru Seçenek A
dır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Hazine 6
a b c
0 −1 2 = 4 olduğuna göre,
3 0 1
Bir determinantın bir satırındaki ya da sütunundaki
elemanlar iki terimin toplamı şeklindeyse iki determinantın toplamı şeklinde yazılabilir.
a+x b+y c+z a b c x y z
d
e
f = d e f + d e f
g
h
i
g h i
g h i
428
LYS MATEMATİK
a b c
2 −4 6 = −M
d e f
a +1 b c −1
0
−1 2
3
0
1
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –8
B) –4
C) 0
D) 4
E) 8
Matris - Determinant - Bölüm 14
Determinant
SARRUS KURALI
3 x 3 türündeki bir matrisin determinantı Sarrus’un buldui2 = – 1 olduğuna göre,
ğu bir kuralla da verilebilir.
1 i i +1
0 1 i −1
0 i
i
Hazine 7
1)
2)
Determinantın ilk iki satırı determinantın altına ya
da ilk iki sütunu determinantın sağ tarafına yazılır.
determinantının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Aynı ok üzerindeki terimler çarpılır. Sağ taraftaki
A) 1
B) 0
D) 2i + 1 E) 2i – 1
C) i
toplamdan sol taraftaki toplam çıkarılır.
Biz altına yazalım.
c⋅e⋅g
f⋅h⋅a
+
a
d
g
a
d
b c
e f
h i
b c
e f
i⋅b⋅d
= A – B olur.
a⋅e⋅i
EK (ADJOİNT) MATRİS
d⋅h⋅c
+ g⋅b⋅f
A
B
Bir matrisin tersi; o matrisin ek (adjoint) matrisi kullanılarak da bulunabilir.
A bir kare matris olsun. A nın her bir ai j elemanının yerine
DNA 35
onun kofaktörü olan Ai j nin yazılmasıyla elde edilen matrisin transpozuna A matrisinin ek (adjoint) matrisi denir
ve ek(A) ile gösterilir.
Karmaşık sayı kümesinde tanımlı,
 1 1 − i 3 + i
A =  1 + i −2 −2i 
3 − i 2i
3 
3 x 3 türünde bir A matrisi için;
matrisinin determinantının değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) –12
B) –6
D) 8i – 16
 a11 a12 a13 
 A11 A12


A = a21 a22 a23  ⇒ ek( A ) =  A 21 A 22
a31 a32 a33 
 A 31 A 32
T
A13 

A 23  dır.
A 33 
C) 8i + 16
E) 12 – 12i
Çözüm
Verilen matrisin determinantını; Sarrus Kuralı’dan bulalım.
(3 – i) ⋅ (3 + i) ⋅ (–2) = –20
(–2i) ⋅ (2i) = 4
+
(1 + i) ⋅ (1 – i) ⋅ 3 = 6
B = – 10
1 1− i 3 + i
1 + i −2 −2i
3 − i 2i
3
1 1− i 3 + i
1 + i −2 −2i
DNA 36
–6
(1 + i) ⋅ 2i ⋅ (3 + i) = 4i – 8
+
(3 – i) ⋅ (–2i) ⋅ (1 – i) = –4i – 8
A = – 22 olur.
A – B = – 22 – (–10) = – 22 + 10 = – 12 olur.
Doğru Seçenek A
 1 1 2
 2 0 1


3 2 1
matrisinin ek matrisini bulunuz.
LYS MATEMATİK
429
Determinant
Matris - Determinant - Bölüm 14
Çözüm
Işık 18
A11 = ( −1)1+1 ⋅
0 1
= −2,
2 1
A12 = ( −1)1+ 2 ⋅
2 1
=1
3 1
A13 = ( −1)1+ 3 ⋅
2 0
= 4,
3 2
A 21 = ( −1)2 +1 ⋅
1 2
=3
2 1
A 22 = ( −1)2 + 2 ⋅
1 2
= −5,
3 1
A 23 = ( −1)2 + 3 ⋅
1 1
=1
3 2
1 2
A 31 = ( −1)3 +1 ⋅
= 1,
0 1
A 33 = ( −1)3 + 3 ⋅
A bir kare matris ve |A| ≠ 0 olsun.
Bu durumda A matrisinin tersi;
A −1 =
ek( A )
ile bulunur.
|A|
Buradan göreceğiniz gibi |A| = 0 ise A matrisinin tersi
yoktur.
1 2
A 32 = ( −1)3 + 2 ⋅
=3
2 1
DNA 37
1 1
= −2
2 0
 1 2 3
4 5 6


 x 8 9 
T
1
 −2 1 4 
 −2 3
⇒ ek(( A ) =  3 −5 1  =  1 −5 3 
 1 3 −2
 4
1 −2
matrisinin tersi olmadığına göre, x kaçtır?
A) 0
olur.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 7
Çözüm
Matrisin tersi olmadığına göre, determinantı sıfırdır.
 2 3
A=

 −4 5 
matrisi veriliyor.
15x
48
Buna göre, ek(A) matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
5 −3 
A) 
 4 2 
 2 3
B) 
  −4 5 
 −5 3 
D) 

 4 2
LYS MATEMATİK
96
A – B = 0 ⇒ 21 – 3x = 0 ⇒ x = 7 bulunur.
Doğru Seçenek E
430
45
12x
+
A = 141 + 12x
+
B = 120 + 15x
Not
a b 
 d −b 
A=
 matrisinin ek matrisi A =  −c a  dir.
 c d


1 2 3
4 5 6
72
 −2 −4 
C) 

 3 −5 
 −2 −3 
E) 

 4 −5 
1 2 3
4 5 6
x 8 9
 1 1 2
 1 a 3


 −1 −1 0 
matrisinin tersi olmadığına göre, a kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Matris - Determinant - Bölüm 14
Determinant
TEST - 2
5.
3 0
5 2
1.
2.
3.
B) –5
C) 2
D) 5
6.
log3 5
1
ln e log5 27
B) 3
C) 2
D) 1
7.
D) –1
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) (a + b)2
D) a2 – b2
D) –15
E) –30
3 5 20
0 −2 7
0 0 5
B) 15
B) 72
C) 54
D) 36
E) 27
Şekilde ABC bir üçgendir.
Buna göre,
a
b
c
1
4
7
sinA sinB sinC
ifadesinin değeri kaçtır?
C) (a – b)2
E) a + b
C) 0
det(AT) = 3
8.
a + bi
ai
2bi a − bi
B) a2 + b2
E) 15
olduğuna göre, det(3A) kaçtır?
A) 81
E) –2
a, b ∈ R ve i2 = –1 olmak üzere
D) 10
A matrisi 2 x 2 türünden bir matristir.
C) 0
C) 5
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 30
E) 0
− sin α cos α
cos α sin α
B) 1
B) 2
E) 6
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
4.
A) 1
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 4
matrisinde 0 ve 4 ün minörleri eşit olduğuna
göre, x kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –6
 2 3 5
 −2 0 4 


 3 2 x 
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
LYS MATEMATİK
E) 7
431
Determinant
9.
Matris - Determinant - Bölüm 14
a b c 
A = 2 1 4 
0 −3 2 
matrisinin birinci satırındaki elemanlarının ko-
faktörlerinin toplamı kaçtır?
A) 30
B) 28
C) 22
D) 14
matrisleri veriliyor.
|2 ⋅ A–1 ⋅ B4| = 32 olduğuna göre, x kaçtır?
A) –6
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –24
B) –12
D) 6
A) –4
B) –3
15.
C) –2
D) 3
E) 4
a
b
c
3
6
9
x −1 y − 2 z − 3
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
2
x
4
A) –K
1.E
432
2.C
B) K
3.D
LYS MATEMATİK
C) 2K
4.C
5.C
D) 3K
6.E
C) 6
D) 12
E) 24
A) {–4}
B) {2}
D) {–2, 4}
16.
9
6
6
4
E) –3K
8.A
x 1 =0
2 1
denkleminin çözüm kümesi nedir?
7.E
1 1
1 2 3
a b c = K olduğuna göre,
x y z
12.
B) –6
6
matrisinin tersi olmadığına göre, x kaçtır?
E) 6
E) 12
0
 −1 2

A=a
b
1
 2 x − 1 0 
11.
D) 3
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –12
C) –6
C) 1
a
−a
c
a+b b−a a+c
a+c b−a b+c
B) –3
a b c
−a b b = 6 olduğuna göre,
c a b
14.
2
4
6
−12 −15 −18
x
y
z
E) 10
1 2 3
x y z = 2 olduğuna göre,
4 5 6
10.
 x 4
2 2
A=
, B=


 1 2
5 6 
13.
4
1
1
2
E) {–4, 2}
2
1
1
1
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –1
9.C
6
1
2
3
C) {–4, –2}
10.E
B) 0
11.B
C) 1
12.E
13.D
D) 21
14.C
15.E
E) 43
16.E

ÜGK_LYS_Matematik

Related documents

Products

Support

ÜGK_LYS_Matematik

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib