{ } {}1 - Özel Ege Lisesi

ÖZEL EGE LİSESİ
OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI
9. SINIFLAR FİNAL SORULARI
1) (abc) üç; (bc) ve (a0) iki basamaklı sayılardır. (abc) – 19(bc) = (a0) eşitliğini
gerçekleyen en büyük (abc) sayısının 4 ile bölümünden kalan kaçtır?
2) Resim, müzik ve spor etkinliklerinden en çok ikisinin yapıldığı 40 kişilik bir sınıfta
yalnız iki etkinliğe katılanların sayısı, yalnız bir etkinliğe katılanların sayısının 2
katıdır. Resim ve spor etkinliğine 6, müzik ve spor etkinliğine 8 öğrenci katıldığına
göre, resim ve müzik etkinliğine katılan öğrenci sayısı en çok kaçtır?
⎛ ax + 3 ⎞
3) f : R − {5} → R − {1} tanımlı f (x ) = ⎜
⎟ fonksiyonun tersinin grafiği üzerinde
⎝ x −b ⎠
koordinatları tamsayı olan ve koordinat sisteminin 1. bölgesinde yer alan kaç farklı
nokta vardır?
4)
12 − 20
5 − 15 − 3 + 3
işleminin sonucunu en sade biçimde yazınız.
5) 3y2 = 3x2+2x-2 eşitliğini sağlayan (x,y) tamsayı ikililerini bulunuz.
6) R’de tanımlı f ve g fonksiyonları
5g(x)=f(x+2)+2
ve
f(x)=5g(x+2)-1 eşitliklerini sağlıyor.
f(1)-g(21)=42 olduğuna göre, f(21)-g(1) kaçtır?
7) A={0,1,2,3,4} kümesinde Δ işlemi x Δy ={x+y toplamının 5 ile bölümünden kalan}
şeklinde tanımlanıyor.
22009 Δ
32009 işleminin sonucu kaçtır? (Not: xn= xΔxΔ.......Δx dir )
n tane
ÖZEL EGE LİSESİ
OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI
9. SINIFLAR FİNAL SORULARI
8) a, b, c reel sayılar,
a2+b2+c2-ab-bc-c+
3
=0
8
eşitliğini sağlayan a değerini
bulunuz.
9)
Yukarıdaki şekilde:
[BC] ⊥ [CD], [BA] ⊥ [AD]
AE = 1cm, CF = 3cm, FD = 2cm ve BF = AD olduğuna göre,
BE = X kaç cm’dir?
10)
ABCD dikdörtgen, BE açıortay [DF]
ise
alan(EFG)
alan(BCG)
oranı kaçtır?
[FC], [EB] // [DF], AB = 12br, AD = 8br
ÖZEL EGE LİSESİ
OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI
9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI
1) (abc) üç; (bc) ve (a0) iki basamaklı sayılardır. (abc) – 19(bc) = (a0) eşitliğini
gerçekleyen en büyük (abc) sayısının 4 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü:
(abc)-19(bc)=(a0)
100a+bc-19(bc)=10a
90a-18(bc)=0
5 90a=18(bc)
5a=(bc)
5.9=45
a bc ise (abc)=945 dir . Öyleyse 945’in 4 ile
bölümünden kalan “1” olur.
2) Resim, müzik ve spor etkinliklerinden en çok ikisinin yapıldığı 40 kişilik bir sınıfta
yalnız iki etkinliğe katılanların sayısı, yalnız bir etkinliğe katılanların sayısının 2
katıdır. Resim ve spor etkinliğine 6, müzik ve spor etkinliğine 8 öğrenci katıldığına
göre, resim ve müzik etkinliğine katılan öğrenci sayısı en çok kaçtır?
Çözümü:
M
R
y
b
a
z=8
x=6
t
c
S
a+b+c+x+y+z+t=40
y+x+z=2(a+b+c)
y+14=2(a+b+c)
y + 14
+14+y+t=40
2
3(y+14)=40-2t
(t=1)
y+14=26
y=12
ÖZEL EGE LİSESİ
OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI
9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI
⎛ ax + 3 ⎞
3) f : R − {5} → R − {1} tanımlı f (x ) = ⎜
⎟ fonksiyonun tersinin grafiği üzerinde
⎝ x −b ⎠
koordinatları tamsayı olan ve koordinat sisteminin 1. bölgesinde yer alan kaç farklı
nokta vardır?
Çözümü:
ax + 3
bx + 3
ise f-1(x)=
olur. a= 1 ve b=5 dir.
x −b
x−a
x+3
5x + 3
8
olur.
ve f-1(x)=
=5+
f(x)=
x−5
x −1
x −1
x= m 2 , m 3 , m 5 veya m 9 ise noktalar {(2,13), (3,9), (5,7), (9,6)}
olmak üzere 4 tanedir.
f (x) =
4)
12 − 20
5 − 15 − 3 + 3
işleminin sonucunu en sade biçimde yazınız.
Çözümü:
12 − 20
5 − 15 − 3 + 3
=
2 3 −2 5
( ) (
2( 3 − 5 )
=
(1 − 3 )( 5 − 3 )
5 1− 3 − 3 1− 3
=
(
− 2 1+ 3
1− 3
= 1+ 3
)
)
ÖZEL EGE LİSESİ
OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI
9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI
5) 3y2 = 3x2+2x-2 eşitliğini sağlayan (x,y) tamsayı ikililerini bulunuz.
Çözümü:
3y2=3x2+2x-2
9y2=9x2+6x-6
9y2=9x2+6x+1-7
9y2=(3x+1)2-7
(3x+1)2-9y2=7
(3x+1+3y)(3x+1-3y)=7 ise
Buradan 3x+3y+1=+1
3x-3y+1=+7
6x+2 =8
x=1
7=1.7
ya da
y=-1
Buradan sağlayan tam sayı ikilileri
veya 7=(-1).(-7) olur.
3x+3y+1=7
3x-3y+1 =1
6x+2 =8
{(1,1),(1,-1)} dir.
x=1 y=1
ÖZEL EGE LİSESİ
OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI
9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI
6) R’de tanımlı f ve g fonksiyonları
5g(x)=f(x+2)+2 ve
f(x)=5g(x+2)-1 eşitliklerini sağlıyor.
f(1)-g(21)=42 olduğuna göre, f(21)-g(1) kaçtır?
Çözümü:
f(x)=5g(x+2)-1
5g(x) = f(x+2)+2
ise
f(x+2)-5g(x+4)= -1
+ 5g(x) – f(x+2) =2 denklem sisteminden
5g(x)-5g(x+4)=1 elde edilir.
x=1 ⇒ 5g(1) -5g(5)=1
x=5 ⇒ 5g(5) -5g(9)=1
x=9 ⇒ 5g(9) -5g(13)=1
x=13 ⇒ 5g(13)-5g(17)=1
x=17 ⇒ 5g(17)-5g(21)=1
x=19 ⇒ 5g(19)-5g(21)=5
+
g(1)-g(21)=1……………..(1)
f(x)-5g(x+2)= -1
+ 5g(x+2)-f(x+4)=2 denklem sisteminden
f(x)-f(x+4)=1 elde edilir.
x=1 ⇒
f(1)-f(5)=1
x=5 ⇒
f(5)-f(9)=1
x=9 ⇒ f(9)-f(13)=1
x=13 ⇒ f(13)-f(17)=1
x=17 ⇒ f(17)-f(21)=1
+
f(1)-f(21)=5……………..(2)
(1) ve (2) den
g(1)-g(21)+f(1)-f(21)=6 ise g(1)-f(21)+42=6
ise f(21)-g(1)=36 dir.
ÖZEL EGE LİSESİ
OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI
9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI
7) A={0,1,2,3,4} kümesinde Δ işlemi x Δy ={x+y toplamının 5 ile bölümünden kalan}
şeklinde tanımlanıyor.
22009 Δ
32009 işleminin sonucu kaçtır? (Not: xn= xΔxΔ.......Δx dir )
n tane
Çözümü:
1. Çözümü:
22009 = 2 Δ2Δ2......Δ2
32009 = 3Δ3Δ3......Δ3
2009.2=4018
2009.3=6027
4018 ≡ 3(mod 5)
6027 ≡ 2(mod 5)
22009 Δ 32009 ≡ 3+2 ≡ 0 (mod 5)
2. Çözümü:
3 ≡ -2 (mod 5) olduğundan
22009 Δ (-2)2009 ≡ 22009 + (-2)2009 ≡ 0 (mod 5)
ÖZEL EGE LİSESİ
OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI
9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI
8) a, b, c reel sayılar,
a2+b2+c2-ab-bc-c+
3
=0
8
eşitliğini sağlayan a değerini
bulunuz.
Çözümü:
3
a2+b2+c2-ab-bc-c+ =0 ifadesi
8
2
2
2
b ⎞ ⎛⎜ c
3b ⎞⎟ ⎛⎜ 2c
3 ⎞⎟
⎛
a
−
−
+
−
= 0 biçiminde yazılır.
⎜
⎟ +⎜
2⎠ ⎝ 3
2 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 2 2 ⎟⎠
⎝
2c
3
b
c
3b
Buradan a =
=
dir.
,
=
,
2
2
3 2 2
3
3
2c
c=
olduğundan b =
4
3
3
2.
1
b= 4 =
bulunur.
3
2
1
b
1
olduğundan
bulunur.
a= 2 , a=
a=
2
2
4
ÖZEL EGE LİSESİ
OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI
9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI
9)
y
y
y2 − 9
Yukarıdaki şekilde:
[BC] ⊥ [CD], [BA] ⊥ [AD]
AE = 1cm, CF = 3cm, FD = 2cm ve BF = AD olduğuna göre,
BE = x kaç cm’dir?
Çözümü:
2
ABD de
BD = y 2 + ( x + 1) 2
BCD de
BD = 5 2 + y 2 − 9 eşitliklerinden
2
y2+(x+1)2=25+y2-9 yazılır.
(x+1)2=16
x+1=4
x=3 cm bulunur.
ÖZEL EGE LİSESİ
OKULLAR ARASI 11.MATEMATİK YARIŞMASI
9. SINIFLAR FİNAL SORULARININ YANITLARI
10)
ABCD dikdörtgen, BE açıortay [DF]
ise
Alan(EFG)
[FC], [EB] // [DF], AB = 12br, AD = 8br
oranı kaçtır?
Alan(BCG)
Çözümü:
CEG ~ CDF
(A.A benzerlik teoremine göre)
CE EG
CE
CG 2
8 2
ise
olur.
=
=
=
=
=
CD DF 12 3
CD
CF 3
GF = k
ise
Δ
Alan(EFG)
Δ
Alan(BCG)
2k.k
1
= 2 =
bulunur.
2k.2k 2
2