özel ege lisesi ege bölgesi okullar arası 14.matematik yarışması 10

advertisement
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI
1.
2.
3.
ifadesinin değerini bulunuz.
20.22.24.26 + 16
5
1
a<0 olmak üzere y = ax 2 + bx + c parabolünün tepe noktası  , −  olup
2
2

a-b+c toplamı bir tam sayıdır. Buna göre, a’nın alabileceği en büyük değeri bulunuz.
a, b, c ∈ R
ve
P( x ) = ax 2 + bx + c polinomu için
x 2 − 10 x + 28 ≤ P( x ) ≤ 3 x 2 − 30 x + 78 dir. P(10)=53 olduğuna göre, P(6)’nın
değerini bulunuz.
4.
a, b, c pozitif sayılar olmak üzere;
a 2 + b 2 + 3ab = 25
b 2 + c 2 + 3bc = 16
c 2 + a 2 − ac = 9
olduğuna göre, ab + bc + 3ac toplamının değerini bulunuz.
5.
6.
7.
2x 2 − xy − y 2 − 4 x − 5 y − 6 = 0 doğrularının eğimleri çarpımı nedir? Bulunuz.
ax − 1
ifadesinin alabileceği reel sayı değerlerinin toplamı -3
x−4
olduğuna göre, a kaçtır? Bulunuz.
x ∈ R olmak üzere,
x2 - 8x + 9 = 0 denkleminin bir kökü k ise,
k + 3.
1
k
ifadesinin değerini bulunuz.
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI
8.
Şekildeki ABC üçgeninde, [AH] ⊥ [BC] , [BH] = 5 cm,
→
→
AB . AC = 100 − 50 3
olduğuna göre, AB + AC toplamı kaç cm dir?
5
9.
HC = 10 3 cm,
10 3
Şekildeki ABC üçgeninde,
AB ⊥ AC , DE ⊥ EF , DE = EF , BE = 3 10 cm , EC = 10 cm olduğuna göre, ABC
üçgeninin alanını bulunuz.
3 10
10
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI
10.
[DC] çaplı, O merkezli yarım çemberde [OB]∩ [EC]= {F} ve [AC]∩ [AB]= {A}dır.
|OF| = 3cm, |FB| = 4cm, |AB| = |AO| olduğuna göre, |AE| kaç cm dir? Bulunuz.
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI
1.
20.22.24.26 + 16
ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
t = 20 ⇒ 20.22.24.26 + 16 = t.( t + 2)( t + 4)( t + 6) + 16
= ( t 2 + 6t )( t 2 + 6t + 8) + 16)
a = t 2 + 6t ⇒
( t 2 + 6t )( t 2 + 6t + 8) + 16) = a(a + 8) + 16
= a 2 + 8a + 16
= (a + 4 ) 2
= a + 4 = t 2 + 6t + 4
= 20 2 + 6.20 + 4
= 400 + 120 + 4 = 524
2.
5
1
a<0 olmak üzere y = ax 2 + bx + c parabolünün tepe noktası  , −  olup
2
2
a-b+c toplamı bir tam sayıdır. Buna göre a’nın alabileceği en büyük değeri bulunuz.
Çözüm:
1
5
f ( x ) = a( x − ) 2 −
2
2
A ∈ Z için f(-1)= a-b+c =A olsun
1
5
A = a( −1 − ) 2 −
2
2
A=
9a − 10
4 A + 10
⇒a=
4
9
A= - 3 için en küçük değeri alır.
⇒ A = −3 ⇒ a = −
2
9
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI
3.
a, b, c ∈ R
ve
P( x ) = ax 2 + bx + c polinomu için
x 2 − 10 x + 28 ≤ P( x ) ≤ 3 x 2 − 30 x + 78 dir. P(10)=53 olduğuna göre P(6)’nın değerini
bulunuz.
Çözüm:
x 2 − 10 x + 28 = ( x − 5) 2 + 3 ≤ P( x ) ≤ 3( x − 5) 2 + 3
olduğundan P(x) polinomunun
tepe noktası (5,3)’tür.
P( x ) = a( x − 5) 2 + 3 ⇒ P(10) = a.5 2 + 3 = 53
⇒ a.25 = 50
⇒a=2
P( x ) = 2( x − 5) 2 + 3
P(6) = 2.1 + 3 = 5
4. a, b, c pozitif sayılar olmak üzere
a 2 + b 2 + 3ab = 25
b 2 + c 2 + 3bc = 16
c 2 + a 2 − ac = 9
olduğuna göre ab + bc + 3ac toplamının değerini bulunuz
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI
Çözüm:
A(DEF) =
3.4 a.b.Sin150 b.c.Sin150 a.c.Sin60
=
+
+
2
2
2
2
a.b b.c
3ac
+
+
4
4
4
⇒ ab + bc + 3ac = 24
6=
5. 2x 2 − xy − y 2 − 4 x − 5 y − 6 = 0 doğrularının eğimleri çarpımı nedir? Bulunuz.
Çözüm:
2x 2 − xy − y 2 − 4 x − 5 y − 6 = 0
⇒ (2x + y )( x − y ) − 4 x − 5 y − 6 = 0
2x+y
2
x-y
-3
⇒ (2x + y + 2)( x − y − 3) = 0
⇒ m1 = −2,
⇒ m1. m 2 = −2
m2 = 1
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI
ax − 1
ifadesinin alabileceği reel sayı değerlerinin toplamı -3
6. x ∈ R olmak üzere,
x−4
olduğuna göre a kaçtır? Bulunuz.
Çözüm:
f (x) =
ax − 1
4x − 1
olduğuna göre f −1( x ) =
x−4
x−a
f(x)’in görüntü kümesinde a hariç tüm reel sayılar olur.
a ve –a hariç tüm reel sayıların toplamı 0 olur. O halde a=3 dür.
7.
x2 - 8x + 9 = 0 denkleminin bir kökü k ise,
k +3
1
k
ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
1
= A olsun. x1+x2=8 ve x1x2=9 olduğundan k negatif olamaz.
k
k +3
k + 2. k . 3
k+6+
1
1
+ 9. = A 2
k
k
9
= A2
k
k 2 − 8k + 9 = 0
k −8+
k+
9
=0
k
9
=8
k
8 + 6 = A2
14 = A 2
14 = A
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI
8.
Şekildeki ABC üçgeninde, [AH] ⊥ [BC] , [BH] = 5 cm,
→
→
AB . AC = 100 − 50 3
HC = 10 3 cm,
olduğuna göre, AB + AC toplamı kaç cm dir?
Çözüm:
y
a
5 (0,0)
→
AB = ( −5,−a)
→
AC = (10 3 ,−a)
− 50 3 + a 2 = 100 − 50 3
a=10
| AB | + | AC |= 5 5 + 20
10 3
x
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI
9.
Şekildeki ABC üçgeninde,
AB ⊥ AC , DE ⊥ EF , DE = EF , BE = 3 10 cm , EC = 10 cm olduğuna göre ABC
üçgeninin alanını bulunuz.
10
3 10
Çözüm:
DHE ve FET üçgenleri eş üçgenler olduğundan AHTE karedir.
9n 2 + n 2 = 10
10n 2 = 10
n =1
∆
Alan( A B C) =
12n.4n 12.4
=
= 24
2
2
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI
10.
[DC] çaplı, O merkezli yarım çemberde [OB]∩ [EC]= {F} ve [AC]∩ [AB]= {A}dır.
|OF| = 3cm, |FB| = 4cm, |AB| = |AO| olduğuna göre |AE| kaç cm dir? Bulunuz.
Çözüm:
Açılar yerleştirildiğinde EB = BF = 4
BAO ≈ BOE ⇒
7
4
= ⇒ 49 = 4 x + 16
x+4 7
33 =4x
33
x=
4
Download