ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL SORULARI 1. 2. 3. ifadesinin değerini bulunuz. 20.22.24.26 + 16 5 1 a<0 olmak üzere y = ax 2 + bx + c parabolünün tepe noktası , − olup 2 2 a-b+c toplamı bir tam sayıdır. Buna göre, a’nın alabileceği en büyük değeri bulunuz. a, b, c ∈ R ve P( x ) = ax 2 + bx + c polinomu için x 2 − 10 x + 28 ≤ P( x ) ≤ 3 x 2 − 30 x + 78 dir. P(10)=53 olduğuna göre, P(6)’nın değerini bulunuz. 4. a, b, c pozitif sayılar olmak üzere; a 2 + b 2 + 3ab = 25 b 2 + c 2 + 3bc = 16 c 2 + a 2 − ac = 9 olduğuna göre, ab + bc + 3ac toplamının değerini bulunuz. 5. 6. 7. 2x 2 − xy − y 2 − 4 x − 5 y − 6 = 0 doğrularının eğimleri çarpımı nedir? Bulunuz. ax − 1 ifadesinin alabileceği reel sayı değerlerinin toplamı -3 x−4 olduğuna göre, a kaçtır? Bulunuz. x ∈ R olmak üzere, x2 - 8x + 9 = 0 denkleminin bir kökü k ise, k + 3. 1 k ifadesinin değerini bulunuz. ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL SORULARI 8. Şekildeki ABC üçgeninde, [AH] ⊥ [BC] , [BH] = 5 cm, → → AB . AC = 100 − 50 3 olduğuna göre, AB + AC toplamı kaç cm dir? 5 9. HC = 10 3 cm, 10 3 Şekildeki ABC üçgeninde, AB ⊥ AC , DE ⊥ EF , DE = EF , BE = 3 10 cm , EC = 10 cm olduğuna göre, ABC üçgeninin alanını bulunuz. 3 10 10 ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL SORULARI 10. [DC] çaplı, O merkezli yarım çemberde [OB]∩ [EC]= {F} ve [AC]∩ [AB]= {A}dır. |OF| = 3cm, |FB| = 4cm, |AB| = |AO| olduğuna göre, |AE| kaç cm dir? Bulunuz. ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI 1. 20.22.24.26 + 16 ifadesinin değerini bulunuz. Çözüm: t = 20 ⇒ 20.22.24.26 + 16 = t.( t + 2)( t + 4)( t + 6) + 16 = ( t 2 + 6t )( t 2 + 6t + 8) + 16) a = t 2 + 6t ⇒ ( t 2 + 6t )( t 2 + 6t + 8) + 16) = a(a + 8) + 16 = a 2 + 8a + 16 = (a + 4 ) 2 = a + 4 = t 2 + 6t + 4 = 20 2 + 6.20 + 4 = 400 + 120 + 4 = 524 2. 5 1 a<0 olmak üzere y = ax 2 + bx + c parabolünün tepe noktası , − olup 2 2 a-b+c toplamı bir tam sayıdır. Buna göre a’nın alabileceği en büyük değeri bulunuz. Çözüm: 1 5 f ( x ) = a( x − ) 2 − 2 2 A ∈ Z için f(-1)= a-b+c =A olsun 1 5 A = a( −1 − ) 2 − 2 2 A= 9a − 10 4 A + 10 ⇒a= 4 9 A= - 3 için en küçük değeri alır. ⇒ A = −3 ⇒ a = − 2 9 ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI 3. a, b, c ∈ R ve P( x ) = ax 2 + bx + c polinomu için x 2 − 10 x + 28 ≤ P( x ) ≤ 3 x 2 − 30 x + 78 dir. P(10)=53 olduğuna göre P(6)’nın değerini bulunuz. Çözüm: x 2 − 10 x + 28 = ( x − 5) 2 + 3 ≤ P( x ) ≤ 3( x − 5) 2 + 3 olduğundan P(x) polinomunun tepe noktası (5,3)’tür. P( x ) = a( x − 5) 2 + 3 ⇒ P(10) = a.5 2 + 3 = 53 ⇒ a.25 = 50 ⇒a=2 P( x ) = 2( x − 5) 2 + 3 P(6) = 2.1 + 3 = 5 4. a, b, c pozitif sayılar olmak üzere a 2 + b 2 + 3ab = 25 b 2 + c 2 + 3bc = 16 c 2 + a 2 − ac = 9 olduğuna göre ab + bc + 3ac toplamının değerini bulunuz ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI Çözüm: A(DEF) = 3.4 a.b.Sin150 b.c.Sin150 a.c.Sin60 = + + 2 2 2 2 a.b b.c 3ac + + 4 4 4 ⇒ ab + bc + 3ac = 24 6= 5. 2x 2 − xy − y 2 − 4 x − 5 y − 6 = 0 doğrularının eğimleri çarpımı nedir? Bulunuz. Çözüm: 2x 2 − xy − y 2 − 4 x − 5 y − 6 = 0 ⇒ (2x + y )( x − y ) − 4 x − 5 y − 6 = 0 2x+y 2 x-y -3 ⇒ (2x + y + 2)( x − y − 3) = 0 ⇒ m1 = −2, ⇒ m1. m 2 = −2 m2 = 1 ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI ax − 1 ifadesinin alabileceği reel sayı değerlerinin toplamı -3 6. x ∈ R olmak üzere, x−4 olduğuna göre a kaçtır? Bulunuz. Çözüm: f (x) = ax − 1 4x − 1 olduğuna göre f −1( x ) = x−4 x−a f(x)’in görüntü kümesinde a hariç tüm reel sayılar olur. a ve –a hariç tüm reel sayıların toplamı 0 olur. O halde a=3 dür. 7. x2 - 8x + 9 = 0 denkleminin bir kökü k ise, k +3 1 k ifadesinin değerini bulunuz. Çözüm: 1 = A olsun. x1+x2=8 ve x1x2=9 olduğundan k negatif olamaz. k k +3 k + 2. k . 3 k+6+ 1 1 + 9. = A 2 k k 9 = A2 k k 2 − 8k + 9 = 0 k −8+ k+ 9 =0 k 9 =8 k 8 + 6 = A2 14 = A 2 14 = A ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI 8. Şekildeki ABC üçgeninde, [AH] ⊥ [BC] , [BH] = 5 cm, → → AB . AC = 100 − 50 3 HC = 10 3 cm, olduğuna göre, AB + AC toplamı kaç cm dir? Çözüm: y a 5 (0,0) → AB = ( −5,−a) → AC = (10 3 ,−a) − 50 3 + a 2 = 100 − 50 3 a=10 | AB | + | AC |= 5 5 + 20 10 3 x ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI 9. Şekildeki ABC üçgeninde, AB ⊥ AC , DE ⊥ EF , DE = EF , BE = 3 10 cm , EC = 10 cm olduğuna göre ABC üçgeninin alanını bulunuz. 10 3 10 Çözüm: DHE ve FET üçgenleri eş üçgenler olduğundan AHTE karedir. 9n 2 + n 2 = 10 10n 2 = 10 n =1 ∆ Alan( A B C) = 12n.4n 12.4 = = 24 2 2 ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR FİNAL SORULARI ve YANITLARI 10. [DC] çaplı, O merkezli yarım çemberde [OB]∩ [EC]= {F} ve [AC]∩ [AB]= {A}dır. |OF| = 3cm, |FB| = 4cm, |AB| = |AO| olduğuna göre |AE| kaç cm dir? Bulunuz. Çözüm: Açılar yerleştirildiğinde EB = BF = 4 BAO ≈ BOE ⇒ 7 4 = ⇒ 49 = 4 x + 16 x+4 7 33 =4x 33 x= 4