Untitled - Pegem Akademi

akıcı
ayrıntılı
güncel
kpss
konu anlatımları
örnekler
yorumlar
uyarılar
2014
pratik bilgiler
ösym tarzında özgün sorular
ve açıklamaları
matematik
sayısal akıl yürütme
mantıksal akıl yürütme
kpss’
13
de
0
2
85
soru
yeni s
arla
l
u
n
o
yeni k
la
r
a
l
u
r
o
tır
ş
ı
yeni s
m
n
ırla
z
a
h
e
gör
e
n
i
stem
i
s
v
a
ın
Editörler : Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker
KPSS Matematik
ISBN 978-605-364-522-1
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.
© Pegem Akademi
Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.
Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,
kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt
ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.
Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları
satın almamasını diliyoruz.
“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ
SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir
kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da
kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi
Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”
16. Baskı: Eylül 2013, Ankara
Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu
Dizgi-Grafik Tasarım: Didem Kestek
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Tuna Matbaacılık Sanayi ve Ticaret A.Ş.
Bahçekapı Mahallesi 2460. Sokak No: 7
Şaşmaz/ANKARA
(0312-278 34 84)
Yayıncı Sertifika No: 14749
Matbaa Sertifika No: 16102
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA
Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60
Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38
Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
E-ileti: pegem@pegem.net
SUNU
Değerli Adaylar;
Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde
önemli bir yer tutan “Matematik” kapsamındaki 26 veya 27 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla
hazırlanmıştır.
Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup;
MATEMATİK
- Temel Kavramlar,
- Sayılar,
- Bölme-Bölünebilme Kuralları,
- Asal Çarpanlara Ayırma EBOB – EKOK,
- Birinci Dereceden Denklemler,
- Rasyonel Sayılar,
- Üslü Sayılar,
- Köklü Sayılar,
- Çarpanlara Ayırma,
- Eşitsizlik – Mutlak Değer,
- Oran – Orantı,
- Problemler,
- Kümeler,
- İşlem - Modüler Aritmetik,
- Permütasyon – Kombinasyon – Olasılık
- Tablo ve Grafikler
bölümlerinden oluşmaktadır.
Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve
anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir.
Her ünitenin sonunda,
- çıkmış sorular
- çözümlü testler ve
- cevaplı testlere;
yer verilmiştir.
Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Fikret Birer, Canan Sarıkaya, Eda Tuğçe Buluş ve tüm
meslektaşlarımıza, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz.
Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da
arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız.
Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.
Editörler: Kenan Osmanoğlu – Kerem Köker
İÇİNDEKİLER
1. BÖLÜM
TEMEL KAVRAMLAR ...............................................2
Küme..........................................................................2
Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı .......................2
Kümelerin Gösterilişi ...............................................2
Boş Küme ..................................................................3
Sayı Kümeleri ............................................................3
Tek - Çift Tamsayılar .................................................4
Tam Sayılarda İşlemler .............................................4
İşlem Önceliği ...........................................................6
Rasyonel Sayılar .......................................................6
Rasyonel Sayılarda İşlemler ....................................6
Harfli İfadeler.............................................................8
Denklemler ................................................................9
Çözüm Kümesi Bulma..............................................9
İkili..............................................................................10
Sıralama.....................................................................10
Eşitsizlik ....................................................................11
Oran – Orantı.............................................................11
Ortak Paranteze Alma ..............................................12
Çözümlü Test – 1 ......................................................13
Cevaplı Test – 1.........................................................17
Cevaplı Test – 2.........................................................19
2. BÖLÜM
SAYILAR ....................................................................22
Sayı Kümeleri ............................................................22
Doğal Sayılar .............................................................23
Tam Sayılar................................................................26
Tek ve Çift Tam Sayılar .............................................27
Pozitif ve Negatif Sayılar ..........................................29
Ardışık Sayılar...........................................................31
Asal Sayı....................................................................36
Aralarında Asal Sayılar ............................................36
Basamak Analizi .......................................................37
Çözümleme ...............................................................42
Faktöriyel...................................................................44
Sayma Sistemleri ......................................................47
Çözümlü Test – 1 ......................................................54
Çözümlü Test – 2 ......................................................58
Çözümlü Test – 3 ......................................................62
Cevaplı Test – 1.........................................................66
Cevaplı Test – 2.........................................................68
Cevaplı Test – 3.........................................................70
Cevaplı Test – 4.........................................................72
Cevaplı Test – 5.........................................................74
Cevaplı Test – 6.........................................................76
Çıkmış Sorular ..........................................................78
3. BÖLÜM
BÖLME – BÖLÜNEBİLME KURALLARI ..................82
Bölme.........................................................................82
Bölünebilme Kuralları ..............................................86
2 ile Bölünebilme ................................................86
3 ile Bölünebilme ................................................86
4 ile Bölünebilme ................................................87
5 ile Bölünebilme ................................................88
7 ile Bölünebilme ................................................89
8 ile Bölünebilme ................................................89
9 ile Bölünebilme ................................................89
10 ile Bölünebilme ..............................................91
11 ile Bölünebilme ..............................................91
Çözümlü Test - 1 .......................................................93
Cevaplı Test - 1 .........................................................97
Cevaplı Test - 2 .........................................................99
Çıkmış Sorular ..........................................................101
4. BÖLÜM
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB – EKOK .......103
Asal Çarpanlara Ayırma ...........................................104
Bir Tam Sayının Bölenleri ........................................105
Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı ....................107
En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ..........................108
En Küçük Ortak Kat (EKOK) ..............................111
Çözümlü Test ...........................................................116
Cevaplı Test - 1 .........................................................120
Cevaplı Test - 2 .........................................................122
Cevaplı Test - 3 .........................................................124
Çıkmış Sorular ..........................................................126
5. BÖLÜM
BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER.....................127
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ....128
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler .....131
Denklem Sistemi .......................................................131
Yok Etme Metodu................................................131
Yerine Koyma Metodu ........................................132
Özel Denklemler........................................................133
Çözümlü Test ...........................................................136
Cevaplı Test - 1 .........................................................140
Cevaplı Test - 2 .........................................................142
Çıkmış Sorular ..........................................................144
vi
6. BÖLÜM
RASYONEL SAYILAR ...............................................145
Kesir ve Kesir Türleri ...............................................146
Kesir.....................................................................146
Basit Kesir ...........................................................146
Bileşik Kesir ........................................................146
Tam Sayılı Kesir ..................................................147
Sabit Kesir ...........................................................148
Denk Kesir ...........................................................148
Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ................................149
Toplama İşlemi ....................................................149
Çıkarma İşlemi ....................................................150
Çarpma İşlemi .....................................................150
Bölme İşlemi .......................................................150
Kuvvet Alma ........................................................150
İşlem Önceliği .....................................................151
Ondalık Kesirler ........................................................154
Ondalık Sayılarda Dört İşlem ...................................155
Devirli Ondalık Açılımlar ..........................................157
Rasyonel Sayılarda Sıralama...................................158
İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma .........160
Çözümlü Test - 1 .......................................................161
Çözümlü Test - 2 .......................................................165
Cevaplı Test - 1 .........................................................169
Cevaplı Test - 2 .........................................................171
Çıkmış Sorular ..........................................................173
7. BÖLÜM
EŞİTSİZLİK – MUTLAK DEĞER ...............................175
Basit Eşitsizlikler ......................................................176
Özellikleri.............................................................176
Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları .....................................179
Kapalı Aralık ........................................................179
Yarı Açık Aralık....................................................179
Açık Aralık ...........................................................180
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ....180
Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi .............................181
Mutlak Değer .............................................................183
Özellikleri.............................................................185
Çözümlü Test – 1 ......................................................189
Çözümlü Test – 2 ......................................................193
Cevaplı Test – 1.........................................................197
Cevaplı Test – 2.........................................................199
Cevaplı Test – 3.........................................................201
Çıkmış Sorular ..........................................................203
8. BÖLÜM
ÜSLÜ SAYILAR .........................................................205
Özellikleri.............................................................206
Üslü Sayılarda Dört İşlem ........................................209
Toplama – Çıkarma .............................................209
Çarpma ................................................................210
Bölme...................................................................212
Çözümlü Test - 1 .......................................................215
Çözümlü Test – 2 ......................................................219
Cevaplı Test - 1 .........................................................223
Cevaplı Test - 2 .........................................................225
Çıkmış Sorular ..........................................................227
9. BÖLÜM
KÖKLÜ SAYILAR ......................................................229
Köklü Sayıların Özellikleri........................................230
Köklü Sayılarda Dört İşlem ......................................234
Toplama-Çıkarma................................................235
Çarpma ................................................................235
Bölme...................................................................236
Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması .......238
Eşlenik .......................................................................239
İç İçe Sonlu Kökler ...................................................241
İç İçe Sonsuz Kökler.................................................242
A ∓ 2 B Ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması............244
Köklü Sayılarda Sıralama.........................................246
Köklü Sayılarda Denklem Çözme ............................247
Çözümlü Test -1 ........................................................248
Cevaplı Test - 1 .........................................................252
Cevaplı Test - 2 .........................................................254
Çıkmış Sorular ..........................................................256
10. BÖLÜM
ÇARPANLARA AYIRMA ............................................259
Ortak Parantez Yöntemi .....................................260
Gruplandırma Yöntemi .......................................260
ax2+bx+c ifadesinin Çarpanlara Ayrılması .......261
Özdeşlikler ................................................................263
İki Kare Farkı .......................................................263
Tam Kare İfadeler................................................265
III. Dereceden Özdeşlikler ........................................268
Çözümlü Test – 1 ......................................................270
Çözümlü Test – 2 ......................................................274
Cevaplı Test – 1.........................................................278
Cevaplı Test – 2.........................................................280
Çıkmış Sorular ..........................................................282
11. BÖLÜM
ORAN – ORANTI ......................................................285
Oran .....................................................................286
Orantı ...................................................................286
Orantının Özellikleri............................................286
Orantı Türleri .............................................................288
Doğru Orantı .......................................................288
Ters Orantılı Çokluklar .......................................290
Bileşik Orantı ......................................................291
Ortalamalar................................................................292
Aritmetik Ortalama .............................................292
Geometrik Ortalama ...........................................293
Çözümlü Test - 1 .......................................................295
Çözümlü Test - 2 .......................................................299
Cevaplı Test - 1 .........................................................303
Cevaplı Test - 2 .........................................................305
Çıkmış Sorular ..........................................................307
vii
12. BÖLÜM
PROBLEMLER ..........................................................309
Denklem Kurma Problemleri ...................................310
Yaş Problemleri.........................................................316
Yüzde Problemleri ....................................................319
Faiz Problemleri ........................................................321
Kâr – Zarar Problemleri ............................................322
Karışım Problemleri..................................................325
İşçi Problemleri .........................................................328
Havuz Problemleri ....................................................330
Hareket Problemleri..................................................331
Çözümlü Test - 1 ......................................................337
Çözümlü Test - 2 ......................................................341
Çözümlü Test - 3 ......................................................345
Çözümlü Test - 4 .......................................................349
Çözümlü Test - 5 ......................................................353
Çözümlü Test - 6 ......................................................357
Çözümlü Test - 7 ......................................................361
Çözümlü Test - 8 ......................................................365
Çözümlü Test - 9 ......................................................369
Cevaplı Test – 1.........................................................373
Cevaplı Test – 2.........................................................375
Cevaplı Test – 3.........................................................377
Cevaplı Test – 4.........................................................379
Cevaplı Test – 5.........................................................381
Cevaplı Test – 6.........................................................383
Cevaplı Test – 7.........................................................385
Cevaplı Test – 8.........................................................387
Çıkmış Sorular ..........................................................389
Modüler Aritmetik .....................................................423
Modüler Aritmetiğin Özellikleri ..........................424
Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü .............428
Çözümlü Test – 1 ......................................................429
Çözümlü Test – 2 ......................................................433
Cevaplı Test – 1.........................................................437
Cevaplı Test – 2.........................................................439
Çıkmış Sorular ..........................................................441
15. BÖLÜM
PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – OLASILIK....443
Saymanın Temel Kuralları ........................................444
Toplama Kuralı ....................................................444
Çarpma Yolu ile Sayma ......................................444
Saymanın Temel İlkesi .......................................444
Permütasyon (Sıralama) ..........................................446
Tekrarlı Permütasyon .........................................447
Dairesel Permütasyon ........................................448
Kombinasyon (Gruplama) .......................................449
Olasılık .......................................................................454
Olasılık Fonksiyonu ...........................................454
Olasılık Hesabı ....................................................455
Koşullu Olasılık...................................................459
Bağımsız ve Bağımlı Olasılık .............................460
Çözümlü Test – 1 ......................................................461
Çözümlü Test – 2 ......................................................465
Çözümlü Test – 3 ......................................................469
Cevaplı Test – 1.........................................................473
Cevaplı Test – 2.........................................................475
Çıkmış Sorular ..........................................................477
16. BÖLÜM
13. BÖLÜM
KÜMELER ..................................................................397
Küme..........................................................................398
Kümelerin Elemanı ve Eleman Sayısı ...............398
Kümelerin Gösterimi ..........................................398
Küme Çeşitleri ....................................................399
Kümelerde İşlemler ............................................400
Alt Küme ..............................................................403
Küme Problemleri ...............................................405
Çözümlü Test ...........................................................407
Cevaplı Test ..............................................................411
Çıkmış Sorular ..........................................................413
14. BÖLÜM
İŞLEM – MODÜLER ARİTMETİK ..............................415
Bağıntı .......................................................................416
Fonksiyon..................................................................416
İşlem ..........................................................................417
İşlem Tabloları.....................................................419
İşlemin Özellikleri ...............................................419
TABLO VE GRAFİKLER............................................479
Tablo ve Yorumlama .................................................480
Grafik ve Yorumlama ................................................484
Çizgi Grafik..........................................................484
Sütun Grafiği .......................................................486
Daire Grafiği ........................................................486
Çözümlü Test – 1 ......................................................489
Çözümlü Test – 2 ......................................................492
Cevaplı Test – 1.........................................................496
Cevaplı Test – 2.........................................................499
Çıkmış Sorular ..........................................................501
17. BÖLÜM
SAYISAL MANTIK PROBLEMLERİ ..........................507
Sayı Örüntüleri .........................................................511
Sayı Dizileri ...............................................................511
Tablo ve Şekil Soruları .............................................513
Akıl Yürütme ve Mantık Soruları .............................522
Görsel Yetenek..........................................................530
Çözümlü Test ...........................................................536
Cevaplı Test – 1.........................................................547
Cevaplı Test – 2.........................................................549
Cevaplı Test – 3.........................................................551
Çıkmış Sorular ..........................................................553
Genel Yetenek’te
40
MATEMATİK
ÖSYM SORULARI
31.
3 : e2 4 : e2 -
5
6
7
8
2013
31.
o
o
7
11
B)
D)
32.
9
11
C)
10
9
E)
7
9
9
3.
0, 01 + 0, 002 + 0, 0004
0, 1 + 0, 02 + 0, 004
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
B) 106
E) 2
Genel Yetenek Genel Kültür 15 Deneme
Deneme 8 / 31. Soru
13
10 + 100 + 1000
0, 001 + 0, 01 + 0, 1 + 1
A) 107
1 1
6 :c + m
3 4
1
−5
3
işleminin sonucu kaçtır?
3
1
1
3
A) - B) - C) D) 4
2
2
4
işleminin sonucu kaçtır?
A)
PEGEM AKADEMİ SORULARI
C) 105
A) 0,01
D) 104E) 103
B) 0,1
C) 1
D) 10
E) 100
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel
Soru Bankası / Test 35 / 3. Soru
4.
0, 4 + 0, 04 + 0, 004
1 − 0, 2 − 0, 02 − 0, 002
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0,5
B) 0,1
C) 0,2
D) 0,4
E) 2
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel
Soru Bankası / Test 35 / 4. Soru
33.
25 + 26 + 27 + 2 8
15.
2 −5 + 2 −6 + 2 −7 + 2 −8
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 27
2 45 + 2 46 + 2 47
2 23 + 2 22 + 2 21
B) 211C) 213
D) 2-9
A) 88
E) 2-12
B) 410
D) 222
C) 810
E) 225
Genel Yetenek Genel Kültür 30 Deneme
Deneme 14 / 15. Soru
34.
(4!) 2 + (3!) 2
4.
(4!) 2 − (3!) 2
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A)
19
15
B)
D)
19
12
17
15
10 ! − 9 !
8! + 7!
C)
E)
13
12
13
A) 64
B) 65
C) 68
D) 70
E) 72
15
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel
Soru Bankası / Test 27 / 4. Soru
MATEMATİK
MATEMATİK
ÖSYM SORULARI
2013
35. 3 − x − 2 = 3
eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 6
B) 4
C) 2
PEGEM AKADEMİ SORULARI
9.
x +1 + 4 =
6 eşitliğini sağlayan x değerlerinin
toplamı kaçtır?
D) -8E) -10
A) −4B) −3C) −2
D) 0
E) 2
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü
Sayısal Soru Bankası / Test 39 / 9. Soru
8.
x − 3 − 5 = 2 eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı
kaçtır?
A) −4
B) 0
C) 6
D) 10
E) 12
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap
Sayfa 192 / 8. Soru
36.
a 4 − ab3
:
(a + b) 2
8.
a2 + ab + b2 a 4 − b 4
A)
(a + b) 2
B)
D)
a (a + b)
a2 + b2
a−1
(a + b) 2
C)
E)
A)
b (a − b)
a2 + b2
y
D) 2
a-b
ab - a 2
b2
C)
b2
E)
a 2 + ab
b2
a+b
b2
aob
= a2 − b3
a  b =a2 + 2ab + b2
şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre, (3 o2)  (5 o3) kaçtır?
A) 1
olduğuna göre, a kaçtır?
3
B)
13. Reel sayılar kümesinde tanımlı “” ve “” işlemleri
+y
B)
b2
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap
Sayfa 275 / 8. Soru
ax (aT2) = 8
1
a 2 - ab
a2 + b2
biçiminde tanımlanıyor.
A)
a 2 − ab + b 2
a2 − b2
D)
xxy = x : y + x
x
|
a2 + b
37. Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde  ve ∆ işlemleri
xTy =
^ab + b 2 h2
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
a−b
a 4 + ab 3
2
3
C) 9
D) 16
E) 25
Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kopar Yaprak
Test - 73 / 13. Soru
C) 1
E) 3
B) 4
3.
Tam sayılar kümesi üzerinde,
x4y = x + 3y
x 3 y = 2x - y
işlemleri tanımlanıyor.
Buna göre, 24 (3 3 4) işleminin sonucu kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası
Sayfa 217 / 3.Soru
MATEMATİK
ÖSYM SORULARI
2013
38. İki gerçel sayının çarpımı, bu sayılardan birine 2 eklenip diğerinden 2 çıkarılmasıyla elde edilen sayıların
çarpımından 6 fazladır.
12. mn ile xy iki basamaklı doğal sayılardır.
Buna göre, sayı doğrusu üzerinde bu iki sayı
arasındaki uzaklık kaçtır?
m nin sayısal değerinin 3 arttırılıp, x in sayısal
değerinin 3 azaltılmasıyla oluşan sayıların çarpımı
mn • xy çarpımından 120 fazla olduğuna göre,
xy - mn işleminin sonucu kaçtır?
A) 5
A) 30
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
B) 32
C) 34
D) 35
E) 36
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası
Sayfa 44 / 12. Soru
39. Pozitif tamsayılarla yapılan bir bölme işleminde bölen,
bölümün iki katından bir fazladır.
3.
Bölüm 14 ve kalan 6 olduğuna göre bölünen sayı
kaçtır?
Bu bölme işleminde kalan 11 olduğuna göre, bölünen sayı en az kaçtır?
A) 89
B) 87
C) 85
D) 83
A)151B)153C) 157 D) 160
E) 81
xy3z5 > 0
eşitsizliği veriliyor.
I.
x > 0 ve y < 0 ise z > 0
II.
x < 0 ve z < 0 ise y > 0
I.
x2 < y2
II.
x3 < y
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
D) Yalnız II
C) Yalnız I
E) Yalnız III
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kopar Yaprak
Test - 36 / 1. Soru
önermelerinden hangileri doğrudur?
B) II ve III
A) Yalnız I
III. y > 0 ve z < 0 ise x < 0
x < 0 < y olmak üzere,
III. x + y < 0
Buna göre,
A) I ve II
E)163
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel
Soru Bankası / Sayfa 81 / 3. Soru
1.
40. x, y, z gerçel sayıları için
Bir bölme işleminde bölünen ile bölenin toplamı 171 dir.
2.
x, y reel (gerçel) sayılar
x<y
ifadesi için aşağıda verilenlerin hangisi ya da
hangileri kesinlikle doğrudur?
I.
a > 0 için a ⋅ x > a ⋅ y
II. a < 0 için a ⋅ x > a ⋅ y
III. a < 0 için x + a > y + a
IV. a > 0 için
V.
x2 < y2
A) I ve III
x y
<
a a
B) I ve II
D) II, III ve IV
C) I, II ve IV
E) II ve IV
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası
Sayfa 118 / 2. Soru
MATEMATİK
MATEMATİK
ÖSYM SORULARI
41.
1
2+ 3
+
1
3+ 2
+
x
2 +1
PEGEM AKADEMİ SORULARI
2013
=2
1
14.
−
3− 3
1
3+ 3
+
2
3
olduğuna göre, x kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1 + 2 B) 1 + 2 2 C) 2 + 2
A) 3 3 B) 2 3 C)
D) 2 + 3 E) 3 2
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası
Sayfa 139 / 14. Soru
2
18.
2-
2
+
3
3 D) − 3 E) − 2 3
2+
3
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
2 C) 2 3 B)
D) 5
E) 8
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası
Sayfa 186 / 18.Soru
4. - 6. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE
CEVAPLAYINIZ
45. Üç saat süren bir yarışta, bir otomobilin her bir saatlik
zaman diliminde tamamladığı tur sayıları aşağıdaki
grafikte verilmiştir.
Tur
sayısı
Aşağıdaki tabloda, bir fabrikadaki aynı malı üreten 5
farklı makinenin zamana bağlı ürettikleri mal sayısı
gösterilmiştir.
70
Mal sayısı
sayısı(adet)
Mal
(adet)
60
50
125
40
30
20
10
110
90
60
40
1.saat 2.saat
3.saat
Zaman
Bu otomobil, yarışın son bir saatinde sabit hızla
ilerlediğine göre, yarışın başlangıcından 135 dakika sonra toplam kaç tur tamamlamıştır?
A) 125
B) 130
C) 145
D) 150
E) 170
4.
A
B
C
D
E
10
12
15
20
25
Zaman ( dk )
Birim zamanda en çok mal üreten makine hangisidir?
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
5.
Hangi iki makinenin birim zamanda ürettiği mal sayısı
eşittir?
A) B ve D
6.
B) A ve C
D) C ve E
C) D ve E
E) B ve E
B ve C makinelerinin 1 saatte ürettiği toplam malı, D
makinesi kaç saatte üretir?
A) 1,5
B) 2
C) 2,5
D) 3
E) 4
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap
Sayfa 488 / 4, 5 ve 6. Soru
MATEMATİK
ÖSYM SORULARI
PEGEM AKADEMİ SORULARI
2013
47. Aşağıda A, B, C, D ve E şehirlerinden geçen yol hattı
gösterilmiş ve bu yol hattına göre şehirler arasındaki
bazı uzaklıklar kilometre olarak tabloda verilmiştir.
B
C
E
D
E
A
D
C
B
170
1. - 3. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE
CEVAPLAYINIZ.
A
DİKKAT! SORULARI BİRBİRİNDEN BAĞIMSIZ
OLARAK CEVAPLAYINIZ.
130
Aynı yol üzerinde bulunan K, L, M, N, P kentleri arasındaki yolların uzunluklarını km türünden gösteren
bir tablo hazırlanmıştır. Aşağıda bu uzunlukların
bazıları verilmiştir.
D ile E şehirleri arasındaki uzaklık, A ile C şehirleri
arasındaki uzaklığın 2 katından 20 km eksiktir.
L
M
N
P
Buna göre, A ile E şehirleri arasındaki uzaklık kaç
km’dir?
A) 230
B) 235
C) 240
D) 245
E) 250
140 310
K
L
M N
Tablonun satır ve sütun kesişiminde verilen sayılar,
bulundukları satır ve sütunun belirttiği iki kent arasındaki yolun uzunluğudur.
Örneğin K ile N kentleri arasındaki yolun uzunluğu
140 km dir.
1.
N ile P kentleri arasındaki yolun uzunluğu, N ile K
arasındaki yolun uzunluğundan kaç km fazladır?
A) 370
B) 380
C) 385
D) 390
E) 395
2.
Kentlerin yol üzerindeki sıralanışı M, P, K, N, L
şeklindeyse M ile L kentleri arasındaki yolun
uzunluğu kaç km dir?
A) 1540
3.
B) 1555
D) 1600
C) 1580
E) 1625
Kentlerin yol üzerindeki sıralanışı P, L, K, N, M
şeklindeyse K ile M kentleri arasındaki yolun
uzunluğu kaç km dir?
A) 240
B) 250
C) 320
D) 335
E) 380
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap
Sayfa 475 / Örnek Soru
MATEMATİK
MATEMATİK
ÖSYM SORULARI
PEGEM AKADEMİ SORULARI
2013
53. Özdeş oksijen tüpleri kullanan Cihan ve Levent isimli
dalgıçların denizde bulundukları derinliğin zamana
göre değişimi ve oksijen tüplerinin doluluk yüzdelerinin zamana göre değişimi aşağıdaki doğrusal
grafiklerde verilmiştir.
Derinlik
(m)
Doluluk
(%)
15
28. - 30. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE
GÖRE CEVAPLAYINIZ.
gelen ö÷renci
giden ö÷renci
kiúi sayÕsÕ
500
100
400
72
10
300
50
200
100
7 10
Zaman (dk)
5 7 10
Zaman (dk)
2002
Cihan
Levent
Levent, 15 metre derinlikte iken oksijen tüpünün
yüzde kaçını kullanmıştır?
A) 22
B) 20
C) 18
D) 16
2003
2004
2005
2006
2007
yÕllar
Yukarıdaki grafik bir ilçeye ilçede bulunan üniversitede okumak için gelenlerin sayısını ve bu ilçeden
üniversite okumak için ilçe dışına giden öğrencilerin
sayılarını yıllara göre göstermektedir.
E) 14
28. Gelen öğrenci sayısı ile giden öğrenci sayısı arasındaki fark hangi yıl en fazladır?
A) 2003
B) 2004
D) 2006
C) 2005
E) 2007
29. 2002-2007 yıllarını kapsayan 6 yıllık dönemde bu
ilçeden üni-versite okumak için yılda orta-lama
kaç öğrenci ilçe dışına gitmiştir?
A) 200
B) 250
D) 350
C) 300
E) 400
30. İlçede bulunan üniversitede okumak için gelenlerin sayısı hangi yıl, bir önceki yıla göre % 50
azalmıştır?
A) 2002
B) 2003
D) 2006
C) 2004
E) 2007
Genel Yetenek Genel Kültür 30 Deneme
Deneme 9 / 28, 29 ve 30. Soru
MATEMATİK
ÖSYM SORULARI
2013
38. İki gerçel sayının çarpımı, bu sayılardan birine 2 eklenip diğerinden 2 çıkarılmasıyla elde edilen sayıların
çarpımından 6 fazladır.
12. mn ile xy iki basamaklı doğal sayılardır.
m nin sayısal değerinin 3 arttırılıp, x in sayısal
değerinin 3 azaltılmasıyla oluşan sayıların çarpımı
mn • xy çarpımından 120 fazla olduğuna göre,
xy - mn işleminin sonucu kaçtır?
Buna göre, sayı doğrusu üzerinde bu iki sayı
arasındaki uzaklık kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
PEGEM AKADEMİ SORULARI
E) 1
D) 2
A) 30
B) 32
C) 34
D) 35
E) 36
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası
Sayfa 44 / 12. Soru
39. Pozitif tamsayılarla yapılan bir bölme işleminde bölen,
bölümün iki katından bir fazladır.
3.
Bölüm 14 ve kalan 6 olduğuna göre bölünen sayı
kaçtır?
Bu bölme işleminde kalan 11 olduğuna göre, bölünen sayı en az kaçtır?
A) 89
B) 87
C) 85
D) 83
A)151
E) 81
xy3z5 > 0
eşitsizliği veriliyor.
I.
x > 0 ve y < 0 ise z > 0
II.
x < 0 ve z < 0 ise y > 0
E)163
x < 0 < y olmak üzere,
I.
x2 < y2
II.
x3 < y
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
D) Yalnız II
C) Yalnız I
E) Yalnız III
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kopar Yaprak
Test - 36 / 1. Soru
önermelerinden hangileri doğrudur?
B) II ve III
A) Yalnız I
III. y > 0 ve z < 0 ise x < 0
D) 160
C) 157
III. x + y < 0
Buna göre,
A) I ve II
B)153
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel
Soru Bankası / Sayfa 81 / 3. Soru
1.
40. x, y, z gerçel sayıları için
Bir bölme işleminde bölünen ile bölenin toplamı 171 dir.
2.
x, y reel (gerçel) sayılar
x<y
ifadesi için aşağıda verilenlerin hangisi ya da
hangileri kesinlikle doğrudur?
I.
a > 0 için a ⋅ x > a ⋅ y
II. a < 0 için a ⋅ x > a ⋅ y
III. a < 0 için x + a > y + a
IV. a > 0 için
V.
x2 < y2
A) I ve III
x y
<
a a
B) I ve II
D) II, III ve IV
C) I, II ve IV
E) II ve IV
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası
Sayfa 118 / 2. Soru
MATEMATİK
MATEMATİK
ÖSYM SORULARI
2013
B'
59.
C'
3
D
A
12.
C
2
B
R
A noktasının B noktasına göre simetriği alınarak
A' noktası
•
B noktasının C noktasına göre simetriği alınarak
B' noktası
•
C noktasının D noktasına göre simetriği alınarak
C' noktası
A) 60
13
C) 80
D) 90
E) 100
ABCD ve EFGH kare
5DF? = 5AG?
5BH? = 5EC?
B, G, H ile A, F, G noktaları
doğrusal
AD = 10 cm
Buna göre, dörtgeninin alanı kaç cm2 dir?
D) 18
B) 70
Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası
Sayfa 345 / 12. Soru
A', B', C' ve D' noktalarının birleştirilmesiyle A'B'C'D'
dörtgeni oluşturuluyor.
C) 24
C
F
ABCD paralelkenar
doğru parçalarıdır.
L, E, F, K bulundukları kenarların orta
noktaları ve taralı
alan 16cm2'dir.
Yukarıda verilenlere göre A(ABCD) kaç cm2'dir?
D noktasının A noktasına göre simetriği alınarak
D' noktası elde ediliyor.
B) 28
K
S
R
B
•
D
T
A'
Kenar uzunlukları 2 cm ve 3 cm olan ABCD dikdörtgeninde
A) 30
L
A
E
D'
•
PEGEM AKADEMİ SORULARI
GB = 6 cm
Yukarıda verilenlere göre, A]EFGHg kaç cm2 dir?
E) 16
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 16
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası
Sayfa 266 / 13.Soru
60.
ABCDE düzgün
beşgen
E
D
A
B
E
m ( KDE ) = 95°
95°
C
D
%
Yukarıdaki verilenlere göre m ( FKD ) = α kaç derecedir?
B
O noktası, beşgenin köşelerinden geçen bir çemberin merkezi olduğuna göre, x kaç derecedir?
B) 128
ABCDEF düzgün altıgeninde [KF] açıortay,
F
K α
x
C
A) 110
A
%
m(BOD) = x
O
11.
C) 136
D) 144
E) 152
A) 55
B) 65
C) 75
D) 85
E) 95
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap
Sayfa 110 / 11. Soru
TEMEL KAVRAMLAR
� KÜME
� KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI
� KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
� BOŞ KÜME
� SAYI KÜMELERİ
2008
-
� TEK - ÇİFT TAMSAYILAR
07
20 -
� TAM SAYILARDA İŞLEMLER
200
9
-
� İŞLEM ÖNCELİĞİ
06
20 -
� RASYONEL SAYILAR
10
-
20
� RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER
� DENKLEMLER
� ÇÖZÜM KÜMESI BULMA
2011
-
05
20 -
� İKİLİ
12
-
20
� SIRALAMA
� EŞİTSİZLİK
04
20
-
� ORAN ORANTI
13
20 -
� ORTAK PARANTEZE ALMA
Çıkmış Soru Ağacı
“Eksi çarpı eksi, artı edecek, böyle yazılacak, böyle
bilinecek, kimse “neden?” demeyecek.”
John Von Neumann
2
TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir.
Buradaki amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlatmak ve işlem yeteneğinin gelişmesini sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölümlerde daha detaylı bir şekilde
işlenecektir.
Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden mezun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır.
KÜME
Net olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların
oluşturduğu topluluğa küme denir.
Kümeler A, B, C, D, E,… gibi büyük harflerle isimlendirilir.
Örnek
A = "a, b, "c , , "d, e , , f , kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
Çözüm:
Örnek
“Pegem” kelimesinin harfleri bir küme oluşturur
Örnek
“Haftanın bazı günleri” cümlesi bir küme oluşturmaz.
Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenmemiştir.
KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI
Kümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara kümenin elemanları denir. Kümenin elemanı olan nesneler
“ ! ” sembolü ile kümenin elemanı olmayan nesneler ise
“ ! ”sembolü ile gösterilir.
Bir kümeyi oluşturan elemanların sayısına kümenin eleman sayısı denir ve s ( ) ile gösterilir.
Kümeyi oluştururken ortak elemanlar bir kez yazılır.
Örnek
A kümesinin elemanlarını yazacak olursak
a ! A , b ! A , " c , ! A , " d, e , ! A , f ! A
olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir.
Dolayısıyla s (A) = 5 bulunur.
Örnek
”PEGEM” kelimesinin harflerinin oluşturduğu kümenin elaman sayısı kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Çözüm:
“PEGEM” kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi olsun.
Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağından
A = "P, E, G, M , olur. Dolayısıyla s (A) = 4 bulunur.
Örnek
A = "Kerem , kümesinin eleman sayısı kaçtır?
1 sayısı A kümesinin elemanı ise 1 d A
A) 1
2 sayısı A kümesinin elemanı değil ise 2! A
Çözüm:
şeklinde gösterilir.
KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi inceleyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için
kümenin eleman sayısı s (A) = 1 bulunur.
1) Liste Yöntemi
2) Ortak Özellik Yöntemi
Kümenin elemanlarının aralarına “,” konarak { } parantezi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi
denir.
Kümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler belirtilerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin ortak özellik yöntemi ile gösterilişi denir.
Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir
elemanıdır.
B) 2
C) 3
D) 4
Örnek
Yüzden küçük doğal sayıların kümesi
A = " x l x 1 100, x ! N ,
şeklinde gösterilir.
E) 5
3
3) Venn Şeması
SAYI KÜMELERİ
Kümenin elemanlarının yanlarına “.” konarak kapalı bir
şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gösterilişi denir.
1) Sayma Sayıları Kümesi
Örnek
A = "a, b, c, d , kümesini venn şeması ile gösterilişi şekildeki gibidir.
A
a
b
d
c
"1, 2, 3,..... , kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir sayma sayısı denir. Sayma
sayıları kümesi " N + " ile gösterilir.
2) Doğal Sayılar Kümesi
"0,1, 2, 3,..... , kümesine doğal sayılar kümesi ve bu
kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal
sayılar kümesi "IN" sembolü ile gösterilir
3) Tam Sayılar Kümesi
BOŞ KÜME
"........, - 3, - 2, - 1, 0,1, 2, 3 ....... , kümesine tam sayılar
kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı
denir. Tam sayılar kümesi “Z” sembolü ile gösterilir.
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme Q
veya { } sembolleri ile gösterilir.
Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade edilir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak;
a) Negatif Tam Sayılar Kümesi
Örnek
“Yılın S harfi ile başlayan ayları” cümlesinin oluşturduğu
küme boş kümedir
Not
Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi
kümeyi değiştirmez. Yani kümenin elemanları
farklı şekillerde sıralanabilir.
Sıfırdan küçük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda
olan) sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir. Negatif
tam sayılar kümesi " Z - " ile gösterilir.
Z − = "..............., − 3, − 2, − 1 , dir.
Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler. Dolayısıyla en büyük negatif tam sayı " - 1 " dir.
b) Pozitif Tam Sayılar Kümesi
Örnek
A = "a, b, c , kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirse
A kümesi değişmez.
=
A "=
a, b, c , "=
b, a, c , "c, a, b , gibi
RAKAM:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam
denir.
SAYI:
Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak
şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir.
Örnek
3 hem rakam hem de bir sayıdır.
16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır.
348 üç rakamdan oluşan bir sayıdır.
-7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır.
Sıfırdan büyük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında
olan) sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam
sayılar kümesi " Z + " ile gösterilir.
Z + = "1, 2, 3,......... , dir.
Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler. Dolayısıyla en küçük pozitif tam sayı " 1 " dir.
c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da
negatif tam sayı değildir.
4) Rasyonel Sayılar Kümesi
a ve b birer tam sayı ve b ! 0 olsun. İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir.
Rasyonel sayılar kümesi " Q " ile gösterilir.
Örnek
2 - 17 6
,
, ,14, - 1,... birer rasyonel sayıdır.
5 19 13
4
5) İrrasyonel Sayılar Kümesi
Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü
şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir.
İrrasyonel sayılar kümesi “Q´” ile gösterilir.
Örnek
5 ,5 - 2 ,
7
,... birer irrasyonel sayıdır.
3
Örnek
− 65 + 93 işleminde
Sayıların biri (-) diğeri (+) işaretli olduğundan sayı değeri
büyük olandan yani 93 den sayı değeri küçük olan yani
65 çıkarılır. Toplamın sonucu 93 2 65 olduğundan olur.
Buradan − 65 + 93 = 28 bulunur.
Örnek
6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi
124 - 175 işleminde
Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin
birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir.
Sayılar zıt işaretli ve 175 2 124 olduğundan 175 den 124
çıkarılır. Toplama, 175 in işareti yani (- ) işareti verilir.
Reel sayılar kümesi " R " ile gösterilir.
Buradan 124 − 175 = − 51 bulunur.
R = Q , Q ' şeklinde ifade edilir.
TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR
a) Tek tam sayılar
n bir tam sayı olmak üzere 2n - 1 veya 2n + 1 şeklinde
yazılabilen sayılara tek tam sayı denir. Tek tam sayılar
kümesi "..... - 5, - 3, - 1,1, 3, 5,... , şeklinde ifade edilir.
b) Çift tam sayılar
n bir tam sayı olmak üzere 2n şeklinde yazılabilen
sayılara çift tam sayı denir. Çift tam sayılar kümesi
"... - 4, - 2, 0, 2, 4,.... , şeklinde ifade edilebilir.
Not
Toplama işleminde sayıların yerlerini değiştirmek işlemin sonucunu değiştirmez. Yani
a − b = − b + a dýr.
Örnek
− 354 + 195 işleminde sayıların yerlerinin değişmesi işlemin sonucunu değiştirmez.
Buradan − 354 + 195 = 195 − 354 = − 159 bulunur.
Not
TAM SAYILARDA İŞLEMLER
Toplama işlemi
a) Aynı işaretli sayıların toplanması
İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı değerleri toplanır. Sonra toplama ortak olan işaret verilir.
Örnek
32 + 14 + 29 işleminde
Sayılarının hepsi pozitif (+) olduğundan sayı değerleri
toplanır. Toplamın işareti “+” olur.
Buradan 32 + 14 + 29 = 75 bulunur.
Örnek
İşlemde ters işaretli birkaç sayı varsa önce işareti aynı olanlar kendi aralarında toplanarak ifade
düzenlenir.
Örnek
36 − 73 + 86 − 118 işleminde
iki tane pozitif (+ ) , iki tane negatif (- ) sayı olduğundan
önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem düzenlenir. Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır.
36 − 73 + 86 − 118 = 36 + 86 − 73 − 118
= 122 − 191
= − 69 bulunur .
- 45 - 11 - 73 işleminde
Çıkarma İşlemi
Sayıların hepsi negatif (- ) olduğundan sayı değerleri
toplanır. Toplamın işareti " - " olur.
Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken birinci sayı aynen yazılır. İkinci sayının işareti değiştirilerek sayılar toplanır.
Buradan − 45 − 11 − 73 = − (45 + 11 + 73) = − 129 bulunur.
b) Zıt İşaretli Sayıların Toplanması
İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri büyük olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Toplama,
sayı değeri büyük olanın işareti verilir.
Örnek
48 - 19= 48 + ( -19)= 29
33 - 76 =33 + ( -76) =-43
141 - ( -214)
= 141 + (214)
= 355
5
Çarpma İşlemi
Örnek
Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler
çarpılıp çarpımın işareti bulunur. Sonra sayı değerleri
çarpılır.
Aynı işaretli sayıların çarpımı daima pozitiftir.
!
84
21
( -84) : (16) =
=
- (pay ve payda 4 ile sadeleştirilirse)
16
4
( -100) : ( -35) =
Uyarı
Yani ( + ) ⋅ ( + ) =+
( -) ⋅ ( -) =+
100 20
(pay ve payda 5 ile sadeleştirilirse)
=
35
7
Kuvvet Alma
Tabanda yazılan sayı kuvveti (üssü) kadar yan yana yan
zılıp çarpılır. Yani a sayısında a taban, n kuvvet olmak
üzere
Zıt işaretli sayıların çarpımı daima negatiftir.
Yani ( -) ⋅ ( + ) =-
n
a = a ⋅ a ⋅ a ⋅⋅⋅⋅ a şeklinde yazılabilir.
( + ) ⋅ ( -) =-
n tane
Not
Örnek
Parantez dışındaki bir işlem parantez içerisine
dağıtılırken işaretler çarpılır.
4
2 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki 2 sayısı 4
kez yan yana yazılıp çarpılır.
⋅ 2
⋅ 2
⋅ 2 = 16 bulunur.
Buradan 24 = 2

4 tan e
Örnek
Örnek
( -5) ⋅ ( -23) =115
( -12) ⋅ (11) =
-132
(18) ⋅ (12) =
216
(-3)3 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki -3 sayısı
3 kez yan yana yazılıp çarpılır.
Buradan ( -3)3 =( -3) ⋅ ( -3) ⋅ ( -3) =-27 bulunur.

Bölme İşlemi
3 tan e
Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken önce işaretleri
bölünüp bölümün işareti bulunur. Sonra sayı değerleri
bölünür.
Not
1) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
Not
2) Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek
kuvvetleri negatiftir.
Aynı işaretli sayıların bölümü daima pozitiftir.
Yani ( + ) : ( + ) =+
( -) : ( -) =+
Örnek
Zıt işaretli sayıların bölümü daima negatiftir.
( -5)4 = 54 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625
Yani ( -) : ( + ) =-
( -2)7 =-27 =-2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =-128
( + ) : ( -) =-
Örnek
Örnek
( -4)3 + ( -7)2 - ( -5)3 işleminde
( -68) : (17) =
-4
(120) : (12) = 10
( -111) : (37) =
-3
( -180) : ( -15) =
12
Eğer sayılar tam olarak bölünmüyorsa
kesir olarak yazılır ve ifade sadeleştirilir.
negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
!
Uyarı
Buradan ( -4)3 + ( -7)2 - ( -5)3 = ( -64) + (49) - ( -125)
=
-64 + 49 + 125
=
-64 + 174
= 110 bulunur.
6
Bir sayının kuvveti (üssü) negatif ise önce
tabandaki sayı ters çevrilerek kuvveti pozitif hale getirilir. Sonra işlem yapılır. Yani
n
-n
!
Örnek
Uyarı
n
 1  a
b
=
a
  ,=
 
  gibi (a ≠ 0, b ≠ 0)
a b
a
-n
( -2)3 - 22 - ( -2)4 ifadesinde
Önce kuvvet alınıp sonra toplama işlemi yapılır.
O halde ( -2)3 - 22 - ( -2)4 =-8 - 4 - 16
= -28 bulunur.
Örnek
Örnek
3
1
1
1
 1
-3
(4)=
=
=
 4=

43 4 ⋅ 4 ⋅ 4 64
 
[15 + ( -10) : (5) + 1] : 2 + 3
5
1
1
1
 1
( -2) =
=
=
- 2 =
( -2)5 ( -2)( -2)( -2)( -2)( -2)
32


-5
2
1
1
1
 1
( -5)-2 =
=
=
-5 =
( -5)2 ( -5)( -5) 25


ifadesinde
Önce parantez içindeki işlemler yapılır.
O halde [15 + ( -10) : (5) + 1] : 2 + 3 =[15 - 2 + 1] : 2 + 3
= 14 : 2 + 3
= 7+3
= 10 bulunur.
Not
1) Sıfırdan farklı bütün sayıların sıfırıncı kuvveti
1’dir.
2) Bütün tam sayıların birinci kuvveti kendisidir.
Örnek
[18 : ( -3) + 3 ⋅ ( -2)] - [2004 ⋅ 13 + 2007]
0
ifadesinde
Önce parantez içindeki işlemler yapılır.
O halde [18 : ( -3) + 3( -2)] - [ 2004 ⋅ 13 + 2007 ]


Örnek
0
3
(8) =1, ( -27) =1, (2009) =1,   =1
8
0
0
=[ -6 - 6] - 1
0
ýfýrdan
(s
farklýbütün
(sıfırdan
farklı bütün)
ýlarýsayıların
say
n sýfýrýncýkuvveti
1 dir.)
sıfırıncı kuvvetli
1’dir.
=
-12 - 1
= -13 bulunur.
1
1
 1
3 =
3, ( -5) =
-5,  -  =
5
 5
1
0
1
İŞLEM ÖNCELİĞİ
RASYONEL SAYILAR
Parantezlerle ayrılmış ifadelerde önce parantez içindeki
işlemler yapılır.
a
şeklinde yazıb
labilen sayılara rasyonel sayı (kesir) denir.
Parantez içerisinde,
(i) Kuvvet alınır.
a ve b birer tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere
a
b
kesrinde a’ya pay, b’ye payda denir.
(ii) Çarpma işlemi veya bölme işlemi yapılır.
(iii)Toplama işlemi veya çıkarma işlemi yapılır.
Örnek
12 - ( -15) : 5 - 4 ifadesinde
İşlem önceliğine göre önce bölme işlemi sonra çıkarma
işlemi yapılır.
O halde 12 - ( -15) : 5 - 4= 12 - ( -3) - 4
= 12 + 3 - 4
= 15 - 4
= 11 bulunur.
RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER
Toplama ve Çıkarma İşlemi
Paydaları eşit olan rasyonel sayılar toplanırken veya
çıkarılırken ortak payda aynen yazılır. Payları toplanıp
veya çıkarılıp paya yazılır.
O halde
a c a+c
+ = ,
b b
b
a c a-c
- =
dir.
b b
b
7
Bölme İşlemi
Örnek
Rasyonel sayılar bölünürken birinci kesir aynen yazılır.
İkinci kesir ters çevrilip çarpılır.
3 11 5
+ - ifadesinde
8 8 8
Yani
Paydaları eşit olduğu için payları toplanır ve çıkarılır.
O halde
3 11 5 3 + 11 - 5 14 - 5
+=
=
8 8 8
8
8
9
= bulunur.
8
a c a d a⋅d
: = ⋅ =
dir.
b d b c b⋅c
Örnek
64 24
:
ifadesinde
21 35
24
Birinci kesir yani 64 aynen yazılır ikinci kesir yani
35
21
ters çevrilir çarpılır.
Not
Rasyonel sayıların paydaları farklı ise önce paydalar en küçük katında eşitlenir. Sonra toplama
veya çıkarma işlemi yapılır.
8
O halde
Örnek
Not
3 2 1
ifadesinde paydalar birbirinden farklıdır.
+ +
4 3 6
Bundan dolayı önce kesirlerin paydaları en küçük ortak
katları olan 12 de birleştirilir.
O halde
Tam sayılarda verilen işlem önceliği rasyonel sayılarda da geçerlidir.
3 2 1 9 + 8 + 2 19
bulunur.
+ =
+
=
4 3 6
12
12
(3)
( 4)
Örnek
(2)
Örnek
3-
1 7
ifadesinde
+
5 10
Tam sayıların paydaları 1 olarak alınıp işlem yapılır. Dolayısıyla paydalar en küçük katları yani 10 da birleştirilir.
4-
4
1 7 40 - 2 + 7 47 - 2 45 9
- +
=
=
=
=
O halde
bulunur.
1 5 10
10
10
10 2
(10)
(2)
3 2 1
⋅ + ifadesinde
4 6 2
Önce çarpma işlemi sonra toplama ve çıkarma işlemi
yapılırsa,
3-
3 2 1
6 1
⋅ + =3 +
4 6 2
24 2
3 1 1
=
- +
1 4 2
( 4)
Çarpma İşlemi
Rasyonel Sayılarda çarpma işleminden
önce sayılar sadeleşebiliyorsa mutlaka sadeleştirilmelidir.
Örnek
32 35
ifadesinde
:
10 14
Önce sadeleştirme işlemleri yapılırsa
16
7
32
35
16
⋅
= = 8 bulunur.
2
10 2 14 7
!
(2)
12 - 1 + 2
=
4
14 - 1
=
4
13
=
bulunur.
4
Rasyonel sayılar çarpılırken paylar çarpılıp paya, paydalar çarpılıp paydaya yazılır.
a c a⋅c
Yani ⋅ = dir.
b d b⋅d
O halde
5
64 24 64 35
8 5 40
:
=
⋅
= ⋅ =
bulunur.
21 35 21 3 24 3 3 3 9
Uyarı
Örnek
1 1 3 5
- : + ifadesinde
4 4 8 8
Önce bölme işlemi sonra toplama ve çıkarma işlemleri
yapılırsa
2
1 1 3 5 1 1 8
5
+
- : + = - ⋅
4 4 8 8 4 4 3
8
1 2 5
= - +
4 3 8
(6)
(8)
(3)
6 - 16 + 15
=
24
5
=
bulunur.
24
8
HARFLİ İFADELER
Bir reel sayı ve a, b, c, x, y, z,… gibi harflerle yazılan
ifadelere harfli ifadeler denir.
3x + 4xy + 6yx + x2 ifadesinde
4xy ile 6yx benzer terimdir.
3x ile x2 benzer terim değildir.
Örnek
3x, - 17ab,
Örnek
8 2 2 2
x y z , 4x + 5y - 2z,...
9
HARFLİ İFADELERLE İŞLEMLER
ifadeleri birer harfli ifadedir.
Toplama ve Çıkarma İşlemi
3x ifadesi 3 ve x den oluşan bir harfli ifadedir. -17ab
ifadesi -17, a ve b den oluşan bir harfli ifadedir.
Harfli ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılırken
benzer olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır.
TERİM:
Bir harfli ifadede toplama (+) veya çıkarma (-) işlemi ile
ayrılan kısımlara terim denir.
Örnek
8x + 13y - 4z ifadesinde 8x birinci terim, 13y ikinci terim
-4z üçüncü terim olur.
KATSAYI:
Örnek
3x + 7x - 2x = (3 + 7 - 2)x = 8x dir.
Örnek
4a + 9b + 2a - b = 4a + 2a + 9b - b
= 6a + 8b dir.
Örnek
x 2 y + 5x 3 - 3x 2 y - 2x 3 = x 2 y - 3x 2 y + 5x 3 - 2x 3
Bir harfli ifadenin her bir teriminde bulunan reel sayıya
bulunduğu terimin katsayısı denir.
Örnek
3a + 7b + 5c ifadesinde
Birinci terimin katsayısı 3,
İkinci terimin katsayısı 7,
Üçüncü terimin katsayısı 5’tir.
BİLİNMEYEN:
Bir harfli ifadenin her bir teriminde kullanılan x, y, z, a, b,
c, … gibi harflere bilinmeyen denir.
Örnek
3x ifadesinin katsayısı 3 ve bilinmeyeni x’dir.
8 ab ifadesinin katsayısı 8 ve bilinmeyenleri a ve b’dir.
BENZER TERİM:
Bir harfli ifadede bilinmeyenler ve bilinmeyenin kuvvetleri
eşit ise bu terimlere benzer terim denir. Benzer terimlerin katsayıları farklı olabilir.
Örnek
4a + 5b2 - 3a - 7b2 ifadesinde
4a ile -3a benzer terim,
5b2 ile -7b2 benzer terimdir.
=
-2x 2 y + 3x 3 dir.
Çarpma İşlemi
Harfli ifadeler çarpılırken önce katsayıları çarpılır. Sonra
tabanları aynı olan bilinmeyenlerin kuvvetleri toplanır.
Örnek
+1
3x ⋅ 5x
= 15x1=
15x 2
3
3
8x 2 ⋅ 6x=
48x 2 +=
48x 5
7x 2 ⋅ 5xy 4= 35x 2 +1 ⋅ y 4= 35x 3 ⋅ y 4
-12x 5 ⋅ 4x 4 ⋅ y 4 =
-48x 5 + 4 ⋅ y 4 =
-48x 9 y 4
Örnek
x(x 2 + x + 2) = x 3 + x 2 + 2x
(x + 3)(2x + 5) = 2x 2 + 5x + 6x + 15 = 2x 2 + 11x + 15
Bölme İşlemi
Harfli ifadeler bölünürken önce katsayıları bölünür. Sonra tabanları aynı olan bilinmeyenlerin kuvvetleri çıkarılır.
Örnek
16x 7
7 -3
=
2x
=
2x 4
8x 3
-60x 3 y 2
y 2 -1
4y
=
-4 4 - 3 =
4
15x ⋅ y
x
x
9
Kuvvet Alma
Örnek
Harfli ifadelerde kuvvet alınırken her bir çarpanın ayrı
ayrı kuvvetleri alınıp çarpılır.
Eğer bilinmeyenlerin kuvveti var ise kuvvet alınırken kuvvetler çarpılır.
Örnek
5x - 4 =
11 ifadesinin sağlayan x değerini bulabilmek
için
5x - 4 =
11 denkleminde bilinenler eşitliğin bir tarafına
bilinmeyenler eşitliğin diğer tarafına alınır.
Buradan 5x - 4 = 11 ⇒ 5x = 15 ⇒ x =
(3x)2 = 32 ⋅ x 2 = 9x 2
( -5x 3 )3 =
( -5)3 ⋅ (x 3 )3 =
-125 ⋅ x 9
(x + y)2 ≠ x 2 + y 2 şeklinde yazılamaz.
Toplam veya fark şeklinde yazılan harfli
ifadelerin kuvvetleri çarpanlara ayırma
konusu içerisinde anlatılacaktır.
15
= 3 bulunur.
5
Örnek
!
Uyarı
3(x + 2) = 4x - 3 ifadesindeki
denkleminin kökü, denklemi sağlayan bilinmeyenin değeri yani x in değeridir.
O halde 3 (x + 2) = 4x − 3 & 3x + 6 = 4x − 3
& 6 + 3 = 4x − 3x
9 = x bulunur.
DENKLEMLER
Örnek
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ
DENKLEMLER
a ve b birer reel sayı olmak üzere ax + b =şeklinde
0
yazılabilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Örnek
x x
+ =
8
3 5
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) - 15
C) {-15} D) {15} E) {-15, 15}
Çözüm:
3x + 7 =
18 birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.
4(x - 3) + 5 = 2x - 18 birinci dereceden bir bilinmeyenli
denklemdir.
Verilen ifadede önce eşitliğin her iki tarafındaki sayıların
paydaları eşitlenmelidir.
x x
8
5x + 3x 120
+ =
⇒
=
3 5
1
15
15
(5)
(3)
(15)
⇒ 8x =
120
ÇÖZÜM KÜMESİ BULMA
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde denklemi sağlayan bilinmeyenin değerine denklemin çözümü
ya da kökü denir.
Denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.
Çözüm Kümesi Bulunurken;
⇒ x=
120
= 15 dir.
8
Buradan çözüm kümesi {15} bulunur.
Örnek
x-3
=
9 ise x kaçtır?
2
A) 22
B) 21
C) 19
x-
1) Payda eşitlemesi yapılır.
2) Parantezler dağıtılır.
3) Bilinmeyenler eşitliğin bir tarafına reel sayılar eşitliğin
diğer tarafına alınır.
4) Eşitliğin her iki tarafı bilinmeyenin katsayısına bölünür.
Sayılar ve bilinmeyenler eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçerken işaret
değiştirir.
B) 15
!
Uyarı
D) 17
Çözüm:
Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa
x x-3 9
2x - (x - 3) 18
=⇒
=
1
2
1
2
2
(2)
(2)
⇒ 2x - x + 3 =
18
⇒ x+3=
18
⇒ x = 18 - 3 = 15 bulunur.
E) 15
10
Örnek
x - 3 2x - 1 5
=
ise x kaçtır?
4
3
12
A) -1B) -2C) -
18
21
D) - E) -5
5
5
Yok edilecek bilinmeyenin katsayısı zıt işaretli olacak şekilde düzenlenir. Sonra denklemler taraf tarafa toplanarak bilinmeyenlerden biri yok edilir.
Bulunan değer denklemlerin birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyenin değeri bulunur.
Örnek
x+y=
8
x-y=
14 denklem sisteminin çözüm kümesi bulunurken
Çözüm:
Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa,
x - 3 2x - 1 5
3(x - 3) - 4(2x - 1) 5
=⇒
=
4
3
12
12
12
(3)
( 4)
y lerin katsayıları eşit ve işaretleri zıt olduğundan y leri
yok etmek daha kolaydır.
x+ y =8
+
(1)
⇒ 3x - 9 - 8x + 4 =
5
⇒ - 5x - 5 =5
⇒ - 5x =10
10
⇒ x= =
-2 bulunur.
-5
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ
DENKLEMLER
a, b, c birer reel sayı olmak üzere,
ax + by + c =
0 şeklinde yazılan denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler denir.
Örnek
3x + 2y =
6 birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir.
x y 1
+ = birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir.
5 3 9
2x = 22
x = 11 dir.
x - y = 14 ⇒ 11 - y = 14 ⇒ 11 - 14 = y
⇒
-3 =
y dir.
Buradan çözüm kümesi {(11, - 3)} bulunur.
Örnek
x + 3y =
13
2x + y =
6
denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {1, 4} B) {1} C) {4} D) {(1, 4 )} E) {( 4, 1)}
Çözüm:
Birinci denklem -2 ile çarpılırsa ve ikinci denklemle toplanırsa x bilinmeyeni yok edilir.
- 2 / x + 3y =
13
2x + y =
6
İKİLİ
a ve b birer reel sayı olmak üzere (a, b) şeklinde yazılan
ifadelere ikili denir.
(a, b) ifadesinde a ya ikilinin birinci bileşeni, b ye ikilinin
ikinci bileşeni denir.
Örnek
(3, 4) ifadesinde birinci bileşen 3 ve ikinci bileşen 4’tür.
ÇÖZÜM KÜMESİ:
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin kökleri
(x, y) ikilisi şeklindedir.
x - y = 14
- 2x - 6y =
-26
+
2x + y =
6
- 5y =
-20
-20
=
y = 4 dür.
-5
Bulunan y değeri herhangi bir denklemde yerine yazılırsa x + 3y = 13 ⇒ x + 12 = 13 ⇒ x = 1 olur.
Burada çözüm kümesi {(1, 4)} bulunur.
SIRALAMA
> (büyük), ≥ (büyük ve eşit)
Çözüm kümesi {(x, y)} şeklinde yazılır.
< (küçük), ≤ (küçük ve eşit)
İki bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesinin bulunabilmesi için en az iki denkleme ihtiyaç vardır.
sembolleriyle yazılan ifadelere eşitsizlik denir.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklemin çözüm
kümesi bulunurken bilinmeyenlerden birini yok etmek
yeterlidir.
x > y ifadesi x büyük y
x < y ifadesi x küçük y
şeklinde okunur.
11
Örnek
Örnek
x > 3, 3'ten büyük sayıları
x ≥ 3, 3 ve 3'ten büyük sayıları
x < 4, 4'ten küçük sayıları
x ≤ 4, 4 ve 4'ten küçük sayıları ifade eder.
x -1 x - 4 1
≥ eşitsizliğinde çözüm aralığı bulunurken
2
3
4
öncelikle payda eşitlemesi yapılır ve ifade düzenlenirse
x -1 x - 4 1
6(x - 1) - 4(x - 4) 3
≥ ⇒
≥
2
3
4
12
12
(6)
(4)
⇒ 6x - 6 - 4x + 16 ≥ 3
⇒ 2x + 10 ≥ 3
⇒ 2x ≥ -7
7
⇒ x ≥ - bulunur.
2
Not
1) Pozitif sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülür, sıfırdan uzaklaştıkça büyür. 18 > 13, 29 < 37...gibi
2) Negatif sayılar sıfıra yaklaştıkça büyür sıfırdan
uzaklaştıkça küçülürler. -3 > -7, - 103 < -93
Örnek
18 ile 13 sayıları sıralarken sıfıra uzaklıklarına bakılmalıdır. Sıfıra yakın olan sayı 13 küçük, 18 büyüktür.
Yani 18 > 13 dür.
-13 ile -8 sayılarını sıralarken 0 (sıfır)’a olan uzaklıklarına bakılmalıdır. Sıfıra yakın olan sayı yani -8 büyük,
-13 küçüktür.
(3)
ORAN – ORANTI
Aynı türden çoklukların bölünerek karşılaştırılmasına
oran denir.
a
şeklinde gösterilir.
a'nın b'ye oranı
b
ORANTI
İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.
a
c
ve
ayrı ayrı birer orandır. Bu oranlar eşitlenirse
b
d
a c
= bir orantı olur.
b d
Yani -8 > -13 tür.
Özellikler
EŞİTSİZLİK
1.
a c
= şeklinde verilen bir orantıda a ⋅ d = b ⋅ c dir.
b d
a, b birer reel sayı olmak üzere ax + b > 0 şeklinde yazılan ifadelere eşitsizlik denir.
2.
a c
= = k ise a= b ⋅ k ve c= d ⋅ k dır.
b d
Eşitsizlikler denklemlerdeki çözüm yöntemlerine benzer
şekilde çözülür.
Eşitsizliklerin çözüm kümesi reel sayı aralıkları şeklindedir.
3. Bir orantıda her bilinmeyen karşısında bulunan reel
sayının bir katıdır.
Yani;
Örnek
x + 5 < 13 eşitsizliğinde
x + 5 < 13 ⇒ x < 13 - 5 ⇒ x < 8 bulunur.
Örnek
2(x + 3) < 3x + 4 eşitsizliğinde ifadeyi düzenleyecek
olursak
2(x + 3) < 3x + 4 ⇒ 2x + 6 < 3x + 4
⇒ 6 - 4 < 3x - 2x
⇒ 2 < x bulunur.
a
b
=
c
d
ise a =
c ⋅ k ve b =
d ⋅ k (k ∈ R) dir.
Örnek
a 3
=
orantısında
b 5
a'nın karşısında 3 olduğundan a= 3 ⋅ k
b'nin karşısında 5 olduğundan b= 5 ⋅ k dır.
Örnek
4x = 9y → orantısında
x 9
= yazılabilir.
y 4
x in karşısında 9 olduğundan x= 9 ⋅ k
y nin karşısında 4 olduğundan y= 4 ⋅ k dır.
12
İki Kare Farkı Özdeşliği
Örnek
2x + y 5
x
= ise
oranını hesaplayabilmek için
x-y 3
y
Verilen ifade de içler-dışlar çarpımı yapılırsa
2x + y 5
=
x−y 3
& 6x + 3y = 5x − 5y
& x = − 8y dir.
x 8y
= − 8 bulunur.
O halde =
y
y
x ve y birer reel sayı olmak üzere x 2 - y 2 = (x - y) ⋅ (x + y) dir.
Örnek
x 2 - 1 = x 2 - 12 = (x - 1) ⋅ (x + 1)
x 2 - 4 = x 2 - 22 = (x - 2) ⋅ (x + 2)
x 2 - 9 = x 2 - 32 = (x - 3) ⋅ (x + 3)
4x 2 - 9= (2x)2 - 32= (2x - 3) ⋅ (2x + 3)
16y
99x
x 2 −-16
y 2 == ((3x
3x) 2)−-((4y)
4y) 2 ==(3(3x
x − -4y4y)
) : (⋅3(3x
x + 4+y4y)
)
2
Örnek
3x + 4 3
= ifadesinde
x-5 2
Verilen ifade de içler-dışlar çarpımı yapılır denklem düzenlenirse
3x + 4 3
= ⇒ 2(3x + 4) = 3(x - 5)
x-5
2
⇒ 6x + 8 = 3x - 15
⇒ 3x =
-23
23
⇒x=
bulunur.
3
ORTAK PARANTEZE ALMA
Verilen ifadelerde ortak olan en küçük kuvvetli terimi paranteze alma işlemine ortak paranteze alma denir.
Örnek
3x + 21 ifadesinde her iki terimde de ortak olan 3 çarpanı
olduğundan ifade 3 parantezine alınabilir.
2
2
xx −-yy== (( xx) )22−-(( yy) 2)2== (( xx−- yy) ): ⋅( ( xx++ y y) )
Örnek
103 2 - 97 2
ifadesinde
6
Kesrin pay kısmı iki kare farkı olduğundan
1032 - 972 (103 - 97) ⋅ (103 + 97)
=
6
6
6 ⋅ 200
=
6
= 200 bulunur.
Örnek
562 - 542 =⋅
k 11 ifadesinde
eşitliğin sol tarafı iki kare farkı olduğundan
562 - 542 =k ⋅ 11 ⇒ (56 - 54) ⋅ (56 + 54) =11⋅ k
⇒ 2 ⋅ 110
Buradan 3x + 21 = 3(x + 7) bulunur.
Örnek
2
10
= 11 ⋅ k
⇒k=
20 bulunur.
Tam Kare Açılımları
3x 3 + 2x 2 ifadesinde her iki terimde de ortak olan çarpan
x 2 olduğundan ifade x 2 ortak parantezine alınabilir.
x ve y birer reel sayı olmak üzere
Buradan 3x 3 + 2x 2= x 2 (3x + 2) bulunur.
(x - y)2 =x 2 - 2xy + y 2 dir.
Örnek
(x + y)2 =x 2 + 2xy + y 2
Örnek
x 2 y 5 + x 3 y 4 ifadesinde her iki terimde de ortak olan çarpan x 2 y 4 olduğundan ifade x 2 y 4 ortak parantezine alınabilir.
(x + 1)2 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 1 + 12 = x 2 + 2x + 1
Buradan x 2 y 5 + x 3 y 4= x 2 y 4 (y + x) bulunur.
(x + 3)2 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 3 + 32 = x 2 + 6x + 9
Örnek
98 ⋅ 47 - 96 ⋅ 47 ifadesinde
47 çarpanı ortak olduğundan ifade 47 ortak parantezine
alınabilir.
Buradan 98 ⋅ 47 - 96 ⋅ 47
= 47(98 - 96)
= 47 ⋅ 2
= 94 bulunur.
(x - 2)2 = x 2 - 2 ⋅ x ⋅ 2 + 22 = x 2 - 4x + 4
( x + y )2 =
x + 2 xy + y
Örnek
4x 2 + 4x + 1 = (2x + 1) 2
9x 2 − 12x + 4 = (3x − 2) 2
x 4 − 4x 2 y 2 + 4y 4 = (x 2 − 2y 2) 2
x 6 − 2x 3 y 3 + y 6 = (x 3 − y 3) 2
13
ÇÖZÜMLÜ TEST - 1
1. (3 + 3 −1) − c 4 +
A)
1
m işleminin sonucu kaçtır?
2
7
1
B)
6
6
1
7
C) - D) - E) -2
6
6
2. 6(− 9) + 16@: 4 − 2 işleminin sonucu kaçtır?
1
A) - 4
B) 0
C)
1
1
1
D) E)
4
3
2
6. 61 - (- 2) - (- 3) - (- 4) - (- 5)@: (- 3) işleminin sonucu kaçtır?
1
1
C) D) 3
E) 5
A) -5B) - 5
5
7. 63 - (- 2) : (2 - (- 3))@ : 13 -1 işleminin sonucu
kaçtır?
1
D) 1
E) -13
A) 196
B) 13
C)
13
2
8. 8 3. 4 - 2 : (1 ⋅ 3 - 15 : (-5)) işleminin sonucu kaçtır?
A) 2
11
17
19
22
B)
C)
D)
E)
3
4
3
7
4. -1 + 2 - 3 + 4 ... - 29 işleminin sonucu kaçtır?
A) 15
5.
B) 14
C) -15D) -25E) -30
2 - 3 68 - 1 - (- 2) - 7@
işleminin sonucu kaçtır?
- 1 - (- 3) - (5)
A)
5
4
2
1
1
B) C) D) E)
3
3
3
3
4
4
işleminin sonucu kaçtır?
12
83
A) 7
0
9. (-3)
B) 8
C) 9
D) 12
E) 16
⋅ (-2)2 ⋅ (1 - 5)-1 işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
B)
1
2
C) 0
1
D) - E) -1
2
10.(100 - 1)2 (100 - 2)2 ... (100 - 200)2 işleminin
sonucu kaçtır?
A) -101!
B) -100! C) 0
D) 101!
E) 102!
14
5 5 4 4 8 8
11. : + : + : işleminin sonucu kaçtır?
6 6 7 7 9 9
1
1
1
B) C) 2
4
3
A)
D) 2
J
N
K1 1 1 O 1
16. K − + O: işleminin sonucu kaçtır?
KK 6 4 2 OO 3
3 9P
L
13
25
47
43
29
B)
C)
D)
E)
A)
3
2
3
4
3
E) 3
2 6 4
c + − m
7 5 3
17.
: 2 −1 işleminin sonucu kaçtır?
2 3 1
c − − m
3 5 7
1 1
1 1 1
1
12. − − c + − m + işleminin sonucu kaçtır?
3 4
5 3 4
2
1
3
2
3
4
B)
C) D) E)
5
10
5
5
5
A)
A) 6
18.1 −
13. 2 −
1
2 + 1 : 1 işleminin sonucu kaçtır?
1 2 2
1+
2
1−
A) 1
B)
4
8
C) 3
3
D) 3
A)
E)
J
1 N
O
K 1−
21: 3 + 1
3 O işleminin sonucu kaçtır?
o:K
14. e
8: (− 2) + 3 KK −1 + 1 OO
3
3P
L
3. B
4. C
5. B
6. A
7. B
8. A
1
1+
1
2
B) 3
3
1
2
işleminin sonucu kaçtır?
C) 1
D)
3
2
E) 2
1
2
1
2
1
B) C) D) - E) 2
3
6
3
2
20. c1 +
1
1
1
1
mc1 + mc1 + m ... c1 + m işleminin sonucu
2
3
4
12
kaçtır?
3
3 5
+
işleminin sonucu kaçtır?
4 4
5
1
29
29
33
39
C)
D)
E)
A) B)
2
20
10
10
10
2. A
+1+
E) 8
15.
1. D
1
2
D) -3E) -4
0, 09 0, 21 0, 18
−
+
o + 1 işleminin sonucu kaçtır?
0, 9
0, 3
1, 8
A)
D) 4
1
1−
C) 2
10
3
19. e
A) -8B) -6C) -4
B) 4
9. E
10. C
A)
11. E
12. B
11
13
15
B)
C)
2
2
2
13. C
14. A
15. E
16. C
17. E
D) 8
18. B
E)
19. A
17
2
20. B
15
ÇÖZÜMLER
2
7. 63 + 2 : (5)@ : 13 −1 = (13) 2 : 13 −1 = 169 :
−
1. (3 + 3 1) − c 4 + 2 m = c 3 + 3 m − c 4 + 2 m
1
=
1
1
10 9 20 − 27
7
−
=
= − bulunur.
3
2
6
6
(2)
1
= 13 bulunur.
13
Cevap B
(3)
Cevap D
2. 6− 9 + 16@ : 4 − 2 = 7: 4 − 2 =
7
7 2
1
− 2 = − = − bulunur.
4
4 1
4
(4)
Cevap A
8. 8 −
4
4
4
= 8−
= 8 − = 7 bulunur.
12
4
8−4
3
8−
Cevap A
3. 4 − 2: (3 + 3) = 4 −
2 4 2 22 11
= − =
=
bulunur.
6 1 6
6
3
(6)
Cevap B
9. (− 3) 0 : (− 2) 2 : (1 − 5) −1 = 1 : 4 :
−1
= − 1 bulunur.
4
Cevap E
4. Verilen ifade 2 şerli gruplandırılırsa
− 1 + 2 − 3 + 4 + ... − 27 + 28 − 29
SS
1 44 2 44 3
1
1
1
1 + 1 + ... + 1 − 29 = 14 − 29 = − 15 bulunur.
1 444 2 444 3
14 tan e
Cevap C
10. (100 − 1) 2 : (100 − 2) 2 ... (100 − 100) 2 ... (100 − 200) 2
1 4 44 2 4 44 3
0
olduğundan ifadenin çarpımı 0’a eşittir.
− 6 − + − @
−
−
5. 2 3 8 1 2 7 = 2 3 : 2 = 4 = 4 bulunur.
−1 + 3 − 5
−3
−3
3
Cevap C
Cevap B
6. 61 + 2 + 3 + 4 + 5@ : (− 3) = 15: (− 3) = − 5 bulunur.
Cevap A
11. İfadede bölme işlemleri yapılacak olursa
5 6 4 7 8 9
: + : + : = 3 bulunur.
6 5 7 4 9 8
Cevap E
16
1 1 1 1 1 1
1 1 −2 + 5 3
− − + + =− +
=
=
bulunur.
3 4 5 3 4 2
5 2
10
10
12. −
(2)
(5 )
Cevap B
17.Verilen ifadenin payı -2 ortak parantezine alınacak
olursa
− 2c −
1 3 2
− + m
1
7 5 3
: 2 −1 = (− 2) : = (− 2) : 2 = − 4 bulunur.
2 3 1
2
− −
3 5 7
Cevap E
13.
1
1 1
1 1 2 2 1 1 6−1+3
− +
=
2− 2 + : = 2− + : =
3 2 2
3 2 1 1 3 1
3
(3)
(3)
2
=
8
bulunur.
3
Cevap C
18.1 −
1
1
2 2 2
+ 1 + = 2 − + = bulunur.
1
3
1 3 3
2
2
Cevap B
J 2 N
7+1 K 3 O 8
O=
mK
14. c
: 1 = − 8 bulunur.
−4 + 3 K1 1 O −1
K + O
L3 3P
Cevap A
19.İfadedeki terimler ondalıklı sayılardan kurtarılacak
olursa
15.
3
3 5
5 3 1 15 3
+ = 3: + : =
+
4 4
4 5 4
4 20
(5)
5
=
c
9 21 18
−
+
m + 1 olur.
90 30 180
c
−5
1
7
1
1
−
+ m+ 1 =
+ 1 = bulunur.
10 10 10
10
2
Cevap A
78 39
=
bulunur.
20 10
Cevap E
16.Verilen ifade düzenlenip, payda eşitlemesi yapılırsa
J1
3 9N 3
2 − 9 + 54 3
m:
K − + O: = c
12
1
K6 4 2O 1
L (2) (3) (6) P
47
=
bulunur.
4
Cevap C
20.İfade düzenlenip rasyonel sayılarda çarpma işlemi
uygulanacak olursa
3 4 5 13 13
=
bulunur.
: : ...
2 3 4 12
2
Cevap B
17
CEVAPLI TEST - 1
1. A = {FENERBAHÇE} kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 11
5. Tam sayılar kümesi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) Sıfır pozitif tam sayıdır.
B) Bütün doğal sayılar aynı zamanda tam sayıdır.
C) Sıfır negatif tam sayıdır.
D) İki tam sayının bölümü yine bir tam sayıdır.
E) Pozitif bir tam sayı ile negatif bir tam sayının
toplamı pozitiftir.
2. Aşağıdakilerden hangisi bir küme belirtmez?
A) Tek doğal sayılar
B) 12’den küçük tam sayılar
C) 4 ile 5 arasındaki tam sayılar
D) Bazı doğal sayılar
6. 12 - (-5 + 4) işleminin sonucu kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
E) Pozitif olmayan sayılar
7. 18 : 6 - 4 ⋅ 2 + 3 işleminin sonucu kaçtır?
A) 21
B) 14
C) 8
D) -1E) -2
3. A = {a, {b}, c, {d, e}} kümesi için aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
A) Eleman sayısı 4’tür.
B) a, A kümesinin bir elemanıdır.
C) b, A kümesinin bir elemanıdır.
D) {d, e}, A kümesinin bir elemanıdır.
8. 22 + 50 - (-1)4 + 118 işleminin sonucu kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
E) c, A kümesinin bir elemanıdır.
9. [8 - 3 - 15] - [6 - (3 - 2)] işleminin sonucu kaçtır?
A) -15B) -10C) -5
D) 5
E) 10
4. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) En küçük rakam 1’dir.
B) En küçük pozitif tam sayı 0’dır.
C) En büyük negatif tam sayı -1’dir.
D) En küçük doğal sayı 1’dir.
E) En küçük tam sayı 1’dir.
2
-2
10.3 - 3 işleminin sonucu kaçtır?
A) -
80
9
8
B) - 9
C) 8
D)
8
80
E)
9
9
18
11. 64 2 − 8 0 : 9@ : 68 + (− 6 − 4)@ işleminin sonucu kaçtır?
16.
A) -1B) -7C) -14D) -21E) -24
12. 63 : 2 - 5 : 3 -1@ :
1
1
1
1
1
A) - B) - C) - D) E) 5
10
15
20
30
1
işleminin sonucu kaçtır?
6
A) -2B) -2
C) 0
D) 1
18 14 3
işleminin sonucu kaçtır?
:
35 27 10
17. c
E) 2
20 15 1
+ işleminin sonucu kaçtır?
m:
21 42 3
A) 3
13.
4 -1 : 8
1 -4
c m
2
B)
5
2
C) 2
D)
3
2
E) 1
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
B)
18. c
1
1
1
1
C) D) E)
2
4
8
16
4 1
3 2
− m : c + m işleminin sonucu kaçtır?
3 4
2 3
A) 2
B)
3
2
C) 1
D)
1
1
E)
2
3
14.Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 5 ⋅ 3
B) 2 + 2 + 2 = 23
19.
C) 80 = 0
A)
6
D) (-1) = 1
E) 3
15.
-2
1. A
20.
5
29
17
25
23
B)
C)
D)
E)
2
24
6
24
24
2. D
1
1
1
1
1
B) C) D) E)
6
5
4
3
2
= -9
5 3 1
+ − işleminin sonucu kaçtır?
8 4 6
A)
3 4 6
: : işleminin sonucu kaçtır?
8 9 5
3. C
4. C
5. B
6. D
7. E
8. A
9. A
10. E
12 16 25
+
+
işleminin sonucu kaçtır?
36 48 75
A)
11. C
12. B
1
1
B) 3
2
13. D
14. D
15. B
C) 1
16. E
17. A
D) 2
18. D
E) 3
19. B
20. C
19
CEVAPLI TEST - 2
1. 12x - 5y + 7xy ifadesinin katsayılar toplamı
kaçtır?
A) 24
B) 20
2
C) 16
D) 14
6. 43 ⋅ 64 + 43 ⋅ 36 işleminin sonucu kaçtır?
A) 43000
E) 10
B) 4300
C) 430
D) 43
E) 4,3
2
2. A = 6x - 4y + 6xy - 5
B = 3y2 - 4x2 - 6xy + 7
olduğuna göre, A + B toplamı aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
7.
A) 2008
A) 2x2 + y2 + 2
2
2009 2 - 1
işleminin sonucu kaçtır?
1005
B) 2416
D) 3416
C) 3016
E) 4016
2
B) 2x - y - 2
2
2
C) 2x - y + 2
D) x2 + 2y2 + 2
2
2
E) x - 2y + 2
8. xy - xz = 32
3.
10x 4 y 3
5x 2 y 2
−
x2 y6
y5
+
4x 6
2x 6
y=z+4
olduğuna göre, x kaçtır?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
E) 16
2
A) 3x y - 2x
B) x2y + 2
C) 2x2y - 2
2
D) 2x y + 2
E) x2y
9.
x−7
− x = 5 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
4
A) -10B) -9C) -8D) -7E) -6
4. x - y = 8
2
2
x - y = 96
olduğuna göre, x + y nin değeri kaçtır?
A) 16
B) 14
C) 13
D) 12
E) 10
2
2
5. x = y + 4 olduğuna göre, x - 2xy + y nin değeri
kaçtır?
A) 36
B) 32
C) 28
D) 20
E) 16
10.x - 2(3x - 1) = 4(x - 3) - 10x denkleminin kökü
kaçtır?
A) -10B) -12C) -13D) -14E) -15
20
11.x - 2y = 4
16.x ve y tam sayıdır.
x<8
olmak üzere x - y farkı en az kaçtır?
2x + y = 13
y < − 14
denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 25
B) 24
C) 23
D) 22
E) 21
D) 2
E)
A) "^- 6, - 1 h, B) "^- 6, 1 h, C) "^6, - 1 h,
D) "^1, 6 h, E) "^6, 1 h,
17.
12.x ve y doğal sayıdır.
a+b
a 3
= ise
oranı kaçtır?
b 5
3a − b
A) 4
B)
2
2
x - y = 13 olduğuna göre, y kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
3x + 4 4
= olduğuna göre, x kaçtır?
3
x−2
A) -4B) -3C) -2
A)
D) 3
E) 4
14. x 2x 35 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam
+
>
2 3
6 sayı değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
C) 3
3
2
E) 9
18.5x = 4y ise
13.
7
2
D) 7
E) 8
19.
x2 − y2
oranı kaçtır?
x2 + y2
7
9
19
9
7
B)
C)
D) E) 25
41
25
41
25
a
a + 3b 7
= olduğuna göre,
oranı kaçtır?
b
3
a−b
A)
1
4
B) 2
C) 4
D)
17
4
E) 5
15.x = -42
y = -35
z = -40
x, y, z nin küçükten büyüğe doğru sıralaması
aşağıdakilerden hangisidir?
A) z < y < x
B) y < z < x D) x < y < z
1. D
2. C
3. B
4. D
C) y < x < z
20.
E) x < z < y
5. E
6. B
7. E
8. C
x y
= ve 2x + y = 32 olduğuna göre, x ⋅ y çarpımı
3 2
kaçtır?
A) 60
9. B
10. D
11. E
12. B
13. A
B) 66
14. C
15. E
C) 72
16. B
D) 84
17. D
18. D
E) 96
19. C
20. E