Probability Distributions Probability Distributions Discrete Probability Distributions SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Continuous Probability Distributions Sürekli Uniform Binomial Gamma Dr. Mehmet AKSARAYLI Üstel Dokuz Eylül Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Ekonometri Bölümü Yöneylem Araştırması Anabilim Dalı Poisson www.mehmetaksarayli.com www.mehmetaksarayli.com Sürekli Şans Değişkenleri Normal 2 ÜSTEL (EXPONENTIAL) DAĞILIM Sürekli bir aralıktaki tüm değerleri alabilen değişkenlerdir. Bir yolun uzunluğu 25m < x < 50m olabilir. x, Dx tanım aralığına sahip sürekli bir şans değişkeni olsun. f(x)’in x’e ait bir olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf) olabilmesi için; Her x için olmalıdır. f x dx ( ). 1 Dx = E(x) = x . f ( x ). dx Dx V(x) = E[ (Xi E( X 2 ) E( X )2 www.mehmetaksarayli.com 3 t (zaman) Zaman ekseninde belirli bir zaman aralığındaki olay sayısı Poisson, iki olay arasında geçen süre ise ÜSTEL dağılış gösterir. Bir(ilk) olayın (r = 1 ) meydana gelmesine kadar geçen zamanın olasılığı ile ilgili dağılış üslü dağılıştır. .e x f ( x) 0 E( X ) 1 x0 : birim zamandaki olay sayısı diger P( X x) .ex dx 1 ex V (X ) www.mehmetaksarayli.com Shape of the exponential distribution P( X x) ex ÖRNEK A marka televizyonun ömrü yıl olarak X şans değişkeni ile gösterilsin. X’in oyf: 1 1 E(X ) 6 yil 1 1 16 x 6 .e x0 1 1 f (x) 6 V (X ) 2 36 2 1 0 diger 6 Televizyonun ömrünün en az 6 yıl olması olasılığı nedir? f(x) = 3.0 (mean = .333) = 1.0 (mean = 1.0) = 0.5 (mean = 2.0) 1 1 .6 1 x P( X x) .e 6 dx e 6 e1 0.367 6 6 x www.mehmetaksarayli.com 0 2 4 Exponential Distribution 1 x 5 www.mehmetaksarayli.com 6 Normal Dağılım Example Example: Customers arrive at the claims counter at the rate of 15 per hour (Poisson distributed). What is the probability that the arrival time between consecutive customers is less than five minutes? Time between arrivals is exponentially distributed with mean time between arrivals of 4 minutes (15 per 60 minutes, on average) 1/ = 4.0, so = .25 P(x < 5) = 1 - e-x = 1 – e-(.25)(5) = .7135 www.mehmetaksarayli.com Özellikleri: 1.‘Çan-Şekilli’ ve simetrik 2. Ortalaması, modu ve medyanı eşit X 3.’Orta yayılımı’= 1.33 Ortalama Mod Medyan 4. Şans değişkeni sonsuz aralığa sahip Normal Dağılımın Önemi 1. Çoğu rassal süreçleri ve sürekli olayları tanımlar. 2. İstatistiksel yorumlamanın temelidir. 7 • Sürekli ve kesikli şans değişkenlerinin dağılımları birlikte ele alındığında istatistikte en önemli dağılım Normal dağılımdır. • Normal dağılım ilk olarak 1733’te Moivre tarafından p başarı olasılığı değişmemek koşulu ile binom dağılımının limit şekli olarak elde edilmiştir. 1774’te Laplace hipergeometrik dağılımını limit şekli olarak elde ettikten sonra 19. yüzyılın ilk yıllarında Gauss 'un katkılarıyla da normal dağılım istatistikte yerini almıştır. www.mehmetaksarayli.com 9 www.mehmetaksarayli.com 8 Normal dağılımın ilk uygulamaları doğada gerçekleşen olaylara karşı başarılı bir biçimde uyum göstermiştir. Dağılımın göstermiş olduğu bu uygunluk adının Normal Dağılım olması sonucunu doğurmuştur. İstatistiksel yorumlamanın temelini oluşturan Normal Dağılım, bir çok rassal süreçlerin dağılımı olarak karşımıza çıkmaktadır. Normal dağılış kullanımının en önemli nedenlerinden biride bazı varsayımların gerçekleşmesi halinde kesikli ve sürekli bir çok şans değişkeninin dağılımının normal dağılışa yaklaşım göstermesidir. www.mehmetaksarayli.com 10 Probability as Area Under the Curve Olasılıkları Elde Etmek; The total area under the curve is 1.0, and the curve is symmetric, so half is above the mean, half is below Olasılık eğrinin altındaki alan ile belirlenir. f(x) f(x) f(X) P (a x b) P( x μ) 0.5 0.5 a www.mehmetaksarayli.com b P(μ x ) 0.5 0.5 μ x x P( x ) 1.0 11 www.mehmetaksarayli.com 12 Empirical Rules The Empirical Rule What can we say about the distribution of values around the mean? There are some general rules: f(x) μ ± 2σ verilerin yaklaşık 95% içerir μ ± 3σ verilerin yaklaşık 99.7% içerir μ ± 1σ verilerin yaklaşık 68% içerir σ σ 2σ μσ www.mehmetaksarayli.com μ 68.26% 13 f (X ) f(X) X = = = = = 1 2 15 d f ( x)dx ? c f(X) www.mehmetaksarayli.com d ( & ) f(X) B P (c X d ) c 14 2 Normal Olasılık Dağılımı Olasılık, eğrinin altında kalan alana eşittir! x 99.72% Parametrelerin Değişikliğinin Etkileri X şans değişkeninin frekansı 3.14159; e = 2.71828 populasyonun standart sapması Şans değişkeninin değeri (- < X < ) populasyon ortalaması www.mehmetaksarayli.com 3σ μ www.mehmetaksarayli.com Normal Dağılım Olasılık Yoğunluk fonksiyonu 1 ( X ) e 2 x 95.44% x μσ 3σ 2σ μ C C A C X www.mehmetaksarayli.com 16 Normal Dağılım Tablolarının Sonsuz Sayısı Normal dağılımlar, ortalama ve standart sapma açısından farklılık gösterirler. f(X) Her dağılım için bir tablo gerekir. X X Bu da sonsuz sayıda tablo anlamına gelir! 17 www.mehmetaksarayli.com 18 Standart Normal Dağılım Standartlaştırma Örneği Z X Normal Dağılım Standart Normal Dağılım z= 1 Z = 0 X Z Artık tek tablo yeterli!!! www.mehmetaksarayli.com Z X Normal Dağılım 6 .2 5 Z = 1 = 5 6.2 X Z X Standart Normal Olasılık Tablosu (Kısmen) .02 .01 Normal Dağılım Z = 1 0.0 .0000 .0040 .0080 0.0478 0.1.0398 .0438 .0478 Z = 10 7.1 5 10 -0.12 Z= 0 X Z 22 Örnek P(X 8) = ? Z .21 Standart Normal Dağılım Z = 1 X Normal Dağılım -.21 0 .21 23 85 10 .30 Standart Normal Dağılım = 10 Z = 1 .5000 .1179 .0832 .0832 2.9 5 7.1 X Standart Normal Dağılım Z = 1 .1664 www.mehmetaksarayli.com 0.12 = 10 2.9 5 X .21 10 10 www.mehmetaksarayli.com 21 Örnek P(2.9 X 7.1) = ? Normal Dağılım 3 .8 5 3.8 = 5 Olasılıklar X P(3.8 X 5) = ? Z= 0 0.12 Z 0.3 .1179 .1217 .1255 Z Z 0.0478 0.2 .0793 .0832 .0871 www.mehmetaksarayli.com Z= 0 .12 20 Örnek; .00 Standart Normal Dağılım www.mehmetaksarayli.com 19 0.12 = 10 Olasılığın Elde Edilmesi Z 10 Z =5 8 www.mehmetaksarayli.com X .3821 Z= 0 .30 Z 24 Normal Dağılım Alıştırması Örnek P(7.1 X 8) = ? General Electric için Kalite Kontrol uzmanı olarak çalışıyorsunuz. Bir ampulün ömrü = 2000 saat, = 200 saat olan Normal dağılım göstermektedir. Bir ampulün 7.1 5 X Z .21 10 Normal Dağılım Z X 85 10 .30 Standart Normal Dağılım Z = 1 = 10 .1179 .0832 =5 7.1 8 z = 0 X www.mehmetaksarayli.com .0347 A. 2000 & 2400 saat arası dayanma B. 1470 saatten az dayanma olasılığı nedir? .21 .30 Z www.mehmetaksarayli.com 25 Çözüm B) P(X 1470) = ? Çözüm A) P(2000 X 2400) = ? Z X 2400 2000 200 Normal Dağılım Z 2.0 Standart Normal Dağılım =1 = 200 26 Z X 1470 2000 200 Normal Dağılım Standart Normal Dağılım =1 = 200 Z .4772 .5000 .4960 .0040 = 2000 2400 =0 X Z www.mehmetaksarayli.com 2.0 Z 27 .1217 Z = 1 Standart Normal olasılık Tablosu (Kısmen) Z .00 1470 = 2000 .01 0.2 0.1 .0398 .0438 .0478 0.2 .0793 .0832 .0871 0.3 .1179 .1217.1255 www.mehmetaksarayli.com -2.65 = 0 Z Z 28 Normal Dağılım 29 Standart Normal Dağılım Z = 1 = 10 .1217 0.0 .0000 .0040 .0080 Z= 0 .31 Z X www.mehmetaksarayli.com Bilinen Olasılıklar İçin X Değerlerinin Bulunması Bilinen Olasılıklar İçin Z Değerlerinin Bulunması P(Z) = 0.1217 ise Z nedir? 2.65 =5 ? X .1217 Z= 0 .31 X Z 5 (0.31)10 8.1 www.mehmetaksarayli.com 30 Z Normal Olasılık Plot’ları Normallik Varsayımı 1. Verilerin karakteristiklerini Normal dağılımın özellikleriyle karşılaştırın 2. Normal Olasılık Plot’unu değerlendirin Bilgisayarla çizin yada Verileri standartlaştırılmış kantil değerlerine karşı işaretleyin. Sola çarpık Normal Dağılım İçin NormalOlasılık Plot’u X 60 X 60 Z 30 -2 -1 0 1 2 X 60 Z Düz bir çizgi Olmalı!!! 31 Z -2 -1 0 1 2 Dikdörtgensel 30 -2 -1 0 1 2 www.mehmetaksarayli.com 90 30 90 Sağa çarpık 90 90 U-Şekilli 90 X 60 X 60 30 Z -2 -1 0 1 2 www.mehmetaksarayli.com 30 Z -2 -1 0 1 2 32