Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı`nın

Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı’nın 24.08.2011 tarih ve
121 sayılı kararı ile kabul edilen ve 2011-2012 Öğretim Yılından itibaren uygulanacak olan programa göre hazırlanmıştır.
Genel Müdür
Temel Ateş
Genel Koordinatör
Akın Ateş
Eğitim Koordinatörü - Editör
Nevzat Asma
Eğitim Koordinatör Yardımcısı
Halit Bıyık
Dizgi, Grafik, Tasarım
Esen Dizgi Servisi
Görsel Tasarım
Erol Faruk Yücel
Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt
sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır.
Bu kitabın tüm hakları yazarlarına ve Esen Basın Yayın Dağıtım Limitet Şirketine aittir.
İsteme Adresi
ESEN BASIN YAYIN DAĞITIM LTD.ŞTİ.
Bayındır 2. Sokak No.: 34/11–12 Kızılay/ANKARA
tel.: (0312) 417 34 43 – 417 65 87
faks: (0312) 417 15 78
ISBN : 978 – 9944 – 777 – 34 – 6
Baskı
Bahçekapı Mah. 2460. Sok. Nu.:7
06370 Şaşmaz / ANKARA
Tel: (0312) 278 34 84 (pbx)
www.tunamatbaacilik.com.tr
Baskı Tarihi
2012 – VIII
www.esenyayinlari.com.tr
FONKSİYONLAR
ÜNİTE
1. ÜNİTE
1. ÜNİTE
1. ÜNİTE
Fonksiyonlar
1.
Kazanım
: Fonksiyon kavramı, fonksiyon çeşitleri ve ters fonksiyon kavramlarını açıklar.
2.
Kazanım
: Verilen bir fonksiyonun artan, azalan ve sabit olmasını açıklar; verilen bir fonksiyonun
artan, azalan veya sabit olduğu aralıkları belirler.
3.
Kazanım
: Çift fonksiyonu ve tek fonksiyonu açıklar, grafiklerini yorumlar.
Fonksiyonların Tanım Kümesi
1.
Kazanım
: Verilen bir fonksiyonun en geniş tanım kümesini belirler.
Parçalı Fonksiyonlar
1.
Kazanım
: Parçalı fonksiyonun grafiğini çizer, uygulamalar yapar.
1. ÜNİT
f : R → R+ , f(x) = ax Fonksiyonunun Grafiği
FONKSİYON
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için A nın her
elemanını B nin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen
f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir.
y
1
üstel fonksiyonunun
f : A → B veya x → y = f(x) biçiminde gösterilir.
grafiği yandaki gibi-
A tanım kümesi ve B değer kümesidir.
x
0
dir.
A kümesindeki elemanların B deki görüntülerinden
oluşan f(A) kümesine fonksiyonun görüntü kümesi
y = ax
® a > 1 için f(x) = ax
y
® 0 < a < 1 için
y = ax
denir.
f(x) = ax üstel fonk-
® Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olma-
siyonunun
1
grafiği
yandaki gibidir.
dığını anlamak için tanım kümesindeki x değerleri
x
0
için y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular
grafiği yalnız bir noktada kesiyorsa verilen bağıntı
bir fonksiyondur.
f : R+ → R , f(x) = logax Fonksiyonunun Grafiği
y
f(x) = ax + b Fonksiyonunun Grafiği
y = logax
® a > 1 için f(x) = logax
y = ax + b doğrusunun grafiğini çizmek için doğrunun
fonksiyonunun grafiği
geçtiği herhangi iki nokta bulunur. Eksenleri kestiği
yandaki gibidir.
0
x
1
noktaları bulmak tercih edilir.
y
f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Grafiği
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası
b
dir.
T(r, f(r)) olmak üzere, r = –
2a
a > 0 ise grafiğin kolları yukarı doğru
a < 0 ise grafiğin kolları aşağı doğrudur.
® 0 < a < 1 için f(x) = logax
Parabol grafikleri ile ilgili bazı özel durumlar
Grafik Çizimi İle İlgili Özel Durumlar
fonksiyonunun grafiği yandaki gibidir.
y
®
y = ax2 parabolü-
y = ax2 (a > 0 ise)
y
®
y = f(x)
y = –f(x)
d
y
y = ax2 + c parabolünün tepe noktası
(a < 0 ise)
y = ax2 + c
(a > 0 ise)
a
b
x
c
a
0
y
x
y
y = f(x)
y = f(–x)
d
®
y = a(x – r) + k parabolünün tepe noktası
T(r, k) dır.
10
x
® y = f(x) ile y = f(– x) fonksiyonlarının grafikleri
c
ğından grafiği yandaki
2
c
b
–d
y eksenine göre simetriktir.
T(0, c) noktası olacagibi olur.
y
x
y = ax2
x
1
x eksenine göre simetriktir.
dan grafiği yandaki gibi olur.
0
® y = f(x) ile y = – f(x) fonksiyonlarının grafikleri
nün tepe noktası
T(0, 0) olacağın-
y = logax
a
0 b
c
x
–c
d
–b
0
–a
x
® y = f(x) + c nin grafiği, y = f(x) fonksiyonunun
grafiğinin y ekseni boyunca c kadar ötelenmişidir.
y
y
y = f(x)
y = f(x) + c
a+c
a
a
x
0
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
f : A → B fonksiyonu için
®
x1 < x2 için f(x1) < f(x2) ise f artan fonksiyondur.
y
c
x
0
y
f(x2)
f(x2)
f(x1)
f(x1)
® y = f(x – c) nin grafiği, y = f(x) fonksiyonunun
grafiğinin x ekseni boyunca c kadar ötelenmişidir.
y
y
y = f(x)
0
®
y = f(x – c)
a
x1
x2
b
0
x
a
x1
x2
b
x
x1 < x2 için f(x1) > f(x2) ise f azalan fonksiyondur.
y
y
f(x1)
0
a
x
0
a
a+c
x
f(x1)
f(x2)
c
f(x2)
Bire Bir Fonksiyon
∀x1, x2 ∈ A için x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) ya da
0
®
f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 oluyorsa f fonksiyonu bire bir
a
x1
x2
b x
0
a x1
x2
b x
x1 < x2 için f(x1) = f(x2) ise f sabit fonksiyondur.
fonksiyondur.
Tek ve Çift Fonksiyonlar
® x eksenine paralel doğrular çizildiğinde, doğruların
f : A → B , y = f(x) fonksiyonunda ∀x ∈ A için
her biri grafiği en çok bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire birdir.
Örten Fonksiyon
f : A → B fonksiyonu için f(A) = B ise yani görüntü
f(– x) = – f(x) ise f fonksiyonu tek fonksiyondur.
f(– x) = f(x) ise f fonksiyonu çift fonksiyondur.
®
Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
®
Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.
kümesi değer kümesine eşit ise f fonksiyonu örten
fonksiyondur.
® Grafiği verilen bir fonksiyonun örten olup olmadığı
araştırılırken değer kümesinin her y elemanı için x
eksenine paralel doğru çizdiğimizde bu doğru gra-
Bir Fonksiyonun En Geniş Tanım Kümesi
®
f(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a0 biçimindeki polinom fonksiyonların en geniş tanım kümeleri:
fiği en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.
R = (– ∞, ∞) dir.
Ters Fonksiyon
®
y=
f fonksiyonu A dan B ye tanımlanmış bire bir ve örten
fonksiyon olmak üzere, fof –1 = f –1of = Ι koşulunu sağ®
ax + b
– dx + b
⇒ f –1(x) =
cx + d
cx – a
2n
f (x)
fonksiyonunun en geniş tanım
kümesi: f(x) ≥ 0 koşulunu sağlayan noktalar
® f(x) = ax + b ⇒ f –1(x) =
® f(x) =
n ∈ Z + olmak üzere,
y =
suna göre simetriktir.
x–b
a
ax + b
cx
–b
® f(x) =
⇒ f –1(x) =
a
c
f ( x)
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi:
g (x )
R – {x: g(x) = 0 } dır.
layan f –1 fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir.
® f ile f –1 fonksiyonlarının grafikleri y = x doğru-
f(x) ve g(x) birer polinom olmak üzere,
kümesidir.
®
y = logf(x)g(x)
fonksiyonunun en geniş tanım
kümesi: f(x) > 0 , g(x) > 0 , f(x) ≠ 1
koşullarını sağlayan noktalar kümesidir.
11
MUTLAK DEĞER FONKSİYONU
Z
]] f (x) , f (x) > 0
, f (x) = 0
|f(x)| = [ 0
]]
–f (x) , f (x) < 0
\
f(x) = |ax – b| +
b
x1 =
, x2 =
a
üzere, f(x) in
değeri f(x1) veya f(x2) dir.
f(x2)
Mutlak Değerin Özellikleri
(x1, f(x1))
f(x1)
®
|–x| = |x|
|x + y| ≤ |x| + |y|
®
| x | = a ⇒ x = a v x = – a , (a ∈ R+)
®
(x2, f(x2))
® |x – y| ≥ |x| – |y|
f(x) = |x – a| – |x – b| Fonksiyonunun Grafiği
En küçük değeri:
y
|b – a|
f(a) = – |a – b|
| x | < a ⇒ – a < x < a , (a ∈ R )
+
®
| x | ≥ a ⇒ x ≥ a v x ≤ – a , (a ∈ R )
®
a < |x| < b ⇒ a < x < b v –b < x < –a
En büyük değeri:
0
f(b) = |b – a| dır.
– |a – b|
x
b
bu fonksiyonun grafiği yukarıdaki gibidir.
MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
BAĞINTI GRAFİKLERİ
y = |f(x)| Fonksiyonunun Grafiği
®
gesindeki kısmı ile bu kısmın x eksenine göre
çizilir. Bu grafiğin y ekseninin negatif bölgesine taşan
simetriğinin birleşimi istenen grafiktir.
kısmının x eksenine göre simetriği alınır.
y
y
y = f(x)
|y| = f(x) bağıntısının grafiği çizilirken y = f(x)
in grafiği çizilir. Çizilen grafiğin y > 0 olan böl-
y = |f(x)| in grafiği çizilirken önce y = f(x) in grafiği
y
x
2
–3
–1 0
2
2
0
y
y = f(x)
y = |f(x)|
–3
0
a
(a, f(a)) ve (b, f(b)) noktaları kırılma noktalar olup
(a, b ∈ R+)
–1
x
x2
daki gibi olur. (x1 < x2)
+
–3
x1
0
noktaları olup grafiği yan-
® | xn | = | x |n
®
ve
noktaları grafiğin kırılma
® | x.y | = | x |.| y |
x
x
, (y ≠ 0)
=
y
y
®
|cx – d| Fonksiyonunun Grafiği
d
y
olmak
c
en küçük
–3
x
4
|y| = f(x)
2
0
x
4
x
®
|y| = |f(x)| bağıntısının grafiği çizilirken
y = f(x) in grafiği ile bu grafiğin x eksenine göre
y = |f(x)| + g(x) Fonksiyonunun Grafiği
simetriğinin birleşimi alınır.
y
y = |f(x)| + g(x) fonksiyonunun grafiği çizilirken
f(x) = 0 için kritik noktalar bulunup fonksiyon parçalı
a
0
biçimde yazılır ve bu parçalı fonksiyonun grafiği çizilir.
f(x) = |x – a| + |x – b| Fonksiyonunun Grafiği
y
|y| = |f(x)|
y = f(x)
®
x
b
a
x
b
0
y = f(|x|) fonksiyonunun grafiği çizilirken
En küçük değeri : f(a) = f(b) = |a – b| olup
y = f(x) in grafiği çizilir. Çizilen grafiğin x > 0 olan
(a, f(a)) ve (b, f(b)) kırılma noktalarıdır.
bölgesindeki kısmı ile bu kısmın y eksenine göre
Bu fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.
simetriğinin birleşimi alınır.
y
y
y
y = f(x)
|a – b|
0
12
a
b
x
a
0
y = f(| x |)
d
d
b
c
x
–c
–b
b
0
c
x
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 1
Rehber Soru – 2
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a. f : R → R , f(x) = 2x – 1
a. h : (–3, ∞) → R , h(x) = 2 – x
b. g : [–2, 2) → R , g(x) = x + 1
b. k : R+ → R , k(x) = 2
Çözüm
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
1.
f : [0, 3) → R , f(x) = 2x – 3
f : R+ → R , f(x) = 2x
2.
f : [–2, 2 ] → R , f(x) = 3
f : R– → R , f(x) = 1 – x
3.
f : [–2, 2) → R , f(x) =
1.
f : R → R , f(x) = 2 – 3x
2.
3.
x
+1
2
13
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 3
Rehber Soru – 4
2
g : [–1, 3) → R , g(x) = x
h : R+ → R , h(x) = – x2 + 2
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
Çözüm
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
f : R → R , f(x) = x2
1.
f : (–2, 1 ] → R , f(x) = x2 – 2x
2.
f : R+ → R , f(x) = – x2
2.
f : (–2, 2) → R , f(x) = (x – 1)2
3.
f : [–2, 3 ] → R , f(x) = 1 – x2
3.
f : R– → R , f(x) = (x + 2)2
ESEN YAYINLARI
1.
14
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 5
Rehber Soru – 6
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çizerek tanım
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çizerek tanım
ve görüntü kümelerini belirleyiniz.
ve görüntü kümelerini belirleyiniz.
a.
a.
y=2
b. y = x
Çözüm
y = x2 – 1
b. y = – x2
Çözüm
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çizerek tanım ve
görüntü kümelerini bulunuz.
görüntü kümelerini bulunuz.
1.
y=1
2.
y = –x
3.
4.
ESEN YAYINLARI
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çizerek tanım ve
1.
y = x2 + 2
2.
y = – x2 + 3
3.
y = x2 – 2x + 3
4.
y = – x2 – 4x
y = 2x – 1
y = 2x
15
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 7
Çözüm
a. f : [–2, 1 ] → R , f(x) = x + 1
fonksiyonunun grafiğini çizip görüntü kümesini
bulunuz.
b. f : [–1, 3 ] → R , f(x) = 4 – x
fonksiyonunun grafiğini çizmeden görüntü
kümesini bulunuz.
1.
f : [– 3, 2 ] → R , f(x) = x – 1
4.
f : (– ∞, 3 ] → R , f(x) = 2x – 1
fonksiyonunun grafiğini çizip görüntü kümesini
bulunuz.
bulunuz.
2.
f : [–2, 0 ] → R , f(x) = 2 – 3x
fonksiyonunun grafiğini çizip görüntü kümesini
bulunuz.
3.
f : [–3, 2) → R , f(x) = – x
fonksiyonunun grafiğini çizip görüntü kümesini
bulunuz.
16
ESEN YAYINLARI
fonksiyonunun grafiğini çizip, görüntü kümesini
5.
f : R → R , f(x) = 2
fonksiyonunun grafiğini çizip görüntü kümesini
bulunuz.
6.
1
x
fonksiyonunun grafiğini çizmeden görüntü kümef : [1, 2] → R , f(x) = 1 +
sini bulunuz.
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 8
Rehber Soru – 9
f : [–2, 1 ] → R , f(x) = x2 – 2 fonksiyonunun
f : [–1, 3 ] → R , f(x) = x2 – 4x + 1 fonksiyonunun
grafiğini çizip görüntü kümesini bulunuz.
grafiğini çizmeden görüntü kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
1.
f : [– 3, 2 ] → R , f(x) = x2 + 1
1.
fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
f : [0, 4) → R , f(x) = x2 – 4x
2.
f : [–1, 3 ] → R , f(x) = 2 – x2
2.
fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
3.
f : [0, 2) → R , f(x) = 2x2
fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
f : (–3, 2 ] → R , f(x) = x2 – 6x + 1
fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
3.
f : [–2, 4 ] → R , f(x) = – x2 – 2x + 2
fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
17
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 10
Rehber Soru – 11
Aşağıda grafikleri çizilmiş olan fonksiyonların tanım
Aşağıda grafikleri çizilmiş olan fonksiyonların tanım
ve görüntü kümelerini bulunuz.
ve görüntü kümelerini bulunuz.
a.
a.
b.
y
y
y = h(x)
y = g(x)
y = f(x)
3
b.
y
y
2
y = k(x)
1
–3
x
2
0
x
0
–1
x
2
0
0
x
–1
Çözüm
Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların tanım (A) ve
Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların tanım (A) ve
ESEN YAYINLARI
Çözüm
görüntü (B) kümelerini bulunuz.
1.
y
y = f(x)
4
görüntü (B) kümelerini bulunuz.
1.
y
y = g(x)
2
1
1
–2
0
3
x
0
x
1
–3
2.
2.
y
y
1
0
2
x
1
–1
0
–1
18
1
x
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 12
Aşağıdaki fonksiyonların bire bir olup olmadıklarını tespit ediniz.
a.
f : R → R , f(x) = 2x – 1
b. f : R → R , f(x) = x2 – 1
c. f : R+ → R , f(x) = x2
Çözüm
Aşağıdaki fonksiyonların bire bir olup olmadıklarını tespit ediniz.
f : R → R , f(x) = 5x + 1
5.
f : R+ → R , f(x) = x2 – 1
2.
f : R → R , f(x) = 1 – x
6.
f : R– → R , f(x) = x2 + 1
3.
f : R → R , f(x) = x2 + 2
7.
f : R → R , f(x) = x4
4.
f : R → R , f(x) = x3 – 1
8.
f : R+ → R , f(x) = x2 – 8x + 1
ESEN YAYINLARI
1.
19
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 13
R → R ye tanımlı grafikleri çizilmiş olan fonksiyonların bire bir olup olmadıklarını tespit ediniz.
a.
b.
y
y = h(x)
y = g(x)
y = f(x)
0
y
c.
y
x
0
x
x
0
Çözüm
Aşağıda grafikleri çizilmiş olan fonksiyonların bire bir olup olmadıklarını tespit ediniz.
1.
3.
y
y
y = k(x)
y = f(x)
x
0
2.
x
0
4.
y
y
y = h(x)
y = g(x)
0
20
x
0
x
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 14
Aşağıdaki fonksiyonların örten olup olmadığını tespit ediniz.
a.
f : R → R , f(x) = 3x – 2
b. g : Z → Z , g(x) = 2x + 1
c. h : R → R , h(x) = x2 – 1
Çözüm
Aşağıdaki fonksiyonların örten olup olmadıklarını tespit ediniz.
1.
4.
f : R → R , f(x) = 1 – x
A = {–1, 0, 1, 2 } , B = {–5, –2, 1, 4 }
2.
3.
g : Z → Z , g(x) = 3x – 1
h : R → R , h(x) = x2 + 2
ESEN YAYINLARI
k : A → B , k(x) = 3x – 2
5.
A = {–1, 1, 3, 7 } , B = {0, 1, 2, 3, 4 }
t : A → B , t(x) =
6.
x+1
2
k : R → R , k(x) = x3
21
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 15
Rehber Soru – 16
y
y
y = f(x)
y = g(x)
x
0
x
0
–2
Yukarıda grafiği çizilmiş olan fonksiyonun
Yukarıda grafiği çizilmiş olan fonksiyonun
R → R ye örten olup olmadığını tespit ediniz.
R → R ye örten olup olmadığını tespit ediniz.
Çözüm
Çözüm
Aşağıda grafikleri verilmiş olan fonksiyonların örten
Aşağıda grafikleri verilmiş olan fonksiyonların örten
olup olmadıklarını tespit ediniz.
olup olmadıklarını tespit ediniz.
y
1.
y = f(x)
x
0
y
ESEN YAYINLARI
1.
y = h(x)
0
f:R→R
h:R→R
2.
2.
x
1
y
y
y = g(x)
0
g:R→R
22
y = k(x)
2
x
0
k : (– ∞, 1 ] → (– ∞, 2 ]
1
x
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 17
Rehber Soru – 18
f : [–2, 3) → B , f(x) = 2x2 + 1 olmak üzere f(A)
f : A → [–5, 7 ] , f(x) = 2x – 1 olmak üzere f(x) bire
kümesini bulunuz.
bir ve örten bir fonksiyondur. Buna göre A kümesini
bulunuz.
Çözüm
1.
f : [–1, 3) → B , f(x) = 3x – 2
f : A → [–1, 17) , f(x) = 3x + 2
fonksiyonu bire bir ve örten ise B kümesini bu-
fonksiyonu bire bir ve örten ise A kümesini bu-
lunuz.
lunuz.
ESEN YAYINLARI
1.
Çözüm
2.
f : (–2, 4 ] → B , f(x) = 1 – 3x
2.
fonksiyonu bire bir ve örten ise B kümesini bu-
fonksiyonu bire bir ve örten ise A kümesini bu-
lunuz.
lunuz.
3.
3.
f : A → [2, 7 ] , f(x) = x2 – 2
f : A → [–3, 0 ) , f(x) = 1 – x2
f : (–1, 3) → B , f(x) = 2 – x2
fonksiyonu bire bir ve örten ise A kümesini bu-
olmak üzere, f(x) in görüntü kümesini bulunuz.
lunuz.
23
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 19
Rehber Soru – 20
Aşağıdaki tabloda bazı fonksiyonlar ve bir kısmının
Aşağıdaki tabloda bazı fonksiyonlar ve bir kısmının
ters fonksiyonu yazılmıştır. Tablodaki boş yerleri
ters fonksiyonu yazılmıştır. Tablodaki boş yerleri
doldurunuz.
doldurunuz.
f(x)
f –1(x)
f(x)
f –1(x)
ax + b
x–b
a
ax + b
cx + d
– dx + b
cx – a
2x – 3
2x + 1
3x + 4
3x + 1
3x – 2
2x – 5
–x + 2
ESEN YAYINLARI
–x + 2
x+3
2x
–3x
ax + b
c
3x + 1
2
2x – 1
4
x–1
3
–x + 2
5
2 – 3x
4
24
cx – b
a
4x + 1
2x
0x + 1
1
=
2x – 4
2x – 4
2x + 1
3x
3x – 2
x
2
3x – 5
3
4x – 1
2
x+2
–2
3x + 1
5x + 2 5x + 2
=
3x – 0
3x
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 21
f:;
Rehber Soru – 22
1
, 3 m → [0, ∞) , f(x) =
2
g : [–1, ∞) → [2, ∞) , g(x) = x2 + 2x + 3
2x – 1
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
olduğuna göre, g –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
Çözüm
1.
f :; –
2
, 3 m → [0, ∞) , f(x) =
3
1.
3x + 2
f : (– ∞, 1) → (1, ∞) , f(x) = x2 – 2x + 2
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
–1
olduğuna göre, f (x) fonksiyonunu bulunuz.
ESEN YAYINLARI
x
2.
f : (– ∞, 4 ] → [0, ∞) , f(x) =
4–x
2.
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
3.
f : R → R , f(x) =
3
4x – 1 + 2
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
f : (– ∞, 1) → (– ∞, 1) , f(x) = – x2 + 2x
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
3.
f : (–2, ∞) → (– 4, ∞) , f(x) = x2 + 4x
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
25
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 23
a.
f : (2, ∞) → R , f(x) = log3(x – 2) ise f –1(x) i bulunuz.
b.
g:c
c.
h : (1, ∞) → R , h(x) = 4log2(x – 1) ise h–1(12) kaçtır?
1
, 3 m → R , g(x) = 2ln(3x – 1) + 1 ise g–1(x) i bulunuz.
3
Çözüm
1.
f : (1, ∞) → R , f(x) = log2(x – 1)
4.
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
f : (0, ∞) → R , f(x) = lnx
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
3.
f : (0, ∞) → R , f(x) = 3(lnx) – 1
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
26
1– log x
2
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
ESEN YAYINLARI
2.
f : (0, ∞) → R , f(x) =
5.
f : (1, ∞) → R , f(x) = 3log(x – 1) + 2
olduğuna göre, f –1(5) kaçtır?
6.
f : (–2, ∞) → R , f(x) = 2log3(x + 2) + 1
olduğuna göre, f –1(5) kaçtır?
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 24
a. f : R → (0, ∞) , f(x) = 23x – 1 ise f –1(x) i bulunuz.
b. g : R → (–1, ∞) , g(x) = e2x – 1 – 1 ise g–1(x) i bulunuz.
c. h : R → (–2, ∞) , h(x) = 2.3x – 1 – 2 ise h–1(4) kaçtır?
Çözüm
1.
f : R → (0, ∞) , f(x) = 3x – 1
4.
2.
f : R → (0, ∞) , f(x) = 23x + 1
–1
olduğuna göre, f (x) fonksiyonunu bulunuz.
3.
f : R → (–2, ∞) , f(x) = 3x – 2 – 2
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
olduğuna göre, f –1(29) kaçtır?
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
f : R → (2, ∞) , f(x) = 32x + 1 + 2
5.
f : R → (0, ∞) , f(x) = ex
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
6.
f : R → (–1, ∞) , f(x) = ex – 1 – 1
olduğuna göre, f –1(e – 1) kaçtır?
27
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 25
a. f(2x – 1) = 6x + 4 ise f(x) fonksiyonunu bulunuz.
3x – 1
m = 12x + 1 ise f(2x + 1) fonksiyonunu bulunuz.
2
b. f c
c. f(x3 – 1) = 6x2 – x + 2 ise f(7) kaçtır?
1.
f(x + 2) = 4x – 3 ise f (x) nedir?
2.
fc
x –1
m = 6x + 2 ise f (x) nedir?
2
3.
fc
x–2
m = x + 3 ise f (x) nedir?
x+2
28
ESEN YAYINLARI
Çözüm
4.
f(3x – 2) = 6x + 3 ise f(x + 2) nedir?
5.
f(7x – 1) = x2 + 2 ise f(6) kaçtır?
6.
f(x3 – 5) = x2 + 1 ise f(–4) kaçtır?
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 26
Rehber Soru – 27
f c x2 +
f(x2 – 2x – 4) = 4x – 2x2 + 1
olduğuna göre, f (x) fonksiyonunu bulunuz.
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
1.
1
1
m=x+ x +1
x2
Çözüm
f(x3 – 1) = x6 – 2x3 + 1
1.
f cx –
olduğuna göre, f (x) fonksiyonunu bulunuz.
1
x 4 – 4x 2 + 1
m=
x
x2
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz.
2.
f(x3 – 3x + 1) = 6x – 2x3 + 1
2.
olduğuna göre, f (x) fonksiyonunu bulunuz.
3.
fd
x6 – 2
4
n = 3 – 2x3 + 2
x3
x
olduğuna göre, f (x) fonksiyonunu bulunuz.
fd
1+ x
x2 + x + 1
n=
x2
x
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz.
3.
f(9x + 2.3x) = 3x
olduğuna göre, f (x) fonksiyonunu bulunuz.
29
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 28
a. f(x) = 3x + 4 ise f(2x – 1) in f(x) cinsinden eşitini bulunuz.
b. f(x) =
x +1
ise f(x – 1) in f(x) cinsinden eşitini bulunuz.
x
c. f(x) = 2x – 1 ise f(3x + 1) in f(x) cinsinden eşitini bulunuz.
Çözüm
1.
f(x) = 2x – 5 ise f (3x + 2) nin f(x) cinsinden
4.
2.
f(x) = 3x – 1 ise f(x + 1) in f (2x – 1) cinsinden
eşitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
eşitini bulunuz.
5.
2x – 1
ise f –1(x) in f(x – 1) cinsinden
3
eşitini bulunuz.
f(x + 2) =
f(x) = 32x – 1 ise f(3x + 1) in f(x) cinsinden eşitini
bulunuz.
3.
x
ise f (x – 2) nin f(x) cinsinden eşitini
x+2
bulunuz.
f(x) =
30
6.
f(x) = 3x – 2 ise f(2x – 1) in f –1(x) cinsinden
eşitini bulunuz.
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 29
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çizerek artan veya azalan olup olmadıklarını tespit ediniz.
a. f : R → R , f(x) = x2
b. f : R+ → R , f(x) = lnx
c. f : R → R , f(x) = 1 – x
Çözüm
Aşağıdaki fonksiyonların artan veya azalan olup olmadıklarını tespit ediniz.
1.
f : R+ → R , f(x) = x2 – 2
2.
f : R → R , f(x) = x + 2
3.
4.
5.
f : (– ∞, 1) → R , f(x) = x2 – 2x + 3
6.
f : R+ → R , f(x) =
f : R → R , f(x) = 4 – 3x
7.
f : R+ → R , f(x) = log3x
f : R → R , f(x) = x3
8.
f : R+ → R , f(x) = log 1 x
ESEN YAYINLARI
1
x
2
31
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 30
f : A → B , f(x) =
Rehber Soru – 31
mx – 4
olmak üzere
3x – n
f(x) fonksiyonu bire bir ve örten ise (m, n) sıralı
2x – 1
fonksiyonu bire bir ve örten
x+3
f : R – {2 } → R – {–3 } , f(x) =
olduğuna göre A ve B kümelerini bulunuz.
ikilisini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
Aşağıdaki fonksiyonların her biri bire bir ve örtendir.
1.
Buna göre A ve B kümelerini bulunuz.
f : A → B , f(x) =
3x – 1
4x – 2
2.
f : A → B , f(x) =
x–2
3x
a + b kaçtır?
ESEN YAYINLARI
1.
ax – 3
2x + b
olmak üzere, f(x) fonksiyonu bire bir ve örten ise
f : R – {3 } → R – {2 } , f(x) =
2.
f : R – {a } → R – {b } , f(x) =
6x – 5
2x + 4
olmak üzere, f(x) fonksiyonu bire bir ve örten ise
a + b kaçtır?
3.
f : A → B , f(x) =
4
2x – 3
3.
4.
f : A → B , f(x) =
32
2x – 3
4
bx – 1
3x – a
olmak üzere, f(x) fonksiyonu bire bir ve örten ise
f : R – {–2 } → R – {0 } , f(x) =
a + b kaçtır?
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 32
Rehber Soru – 33
R de tanımlı aşağıdaki fonksiyonların tek veya çift
R de tanımlı aşağıdaki fonksiyonların tek veya çift
olup olmadıklarını araştırınız.
olup olmadıklarını araştırınız.
a.
f(x) = x3 + 3x
a.
f(x) = x2 + cosx – 1
b.
f(x) = x3 + x – 4
b.
f(x) = x2.sinx + x
R de tanımlanmış aşağıdaki fonksiyonların tek veya
çift fonksiyonlar olup olmadıklarını araştırınız.
1.
f(x) = x2 + 2
2.
f(x) = 2
3.
f(x) = x3 + 3x2 – 2x + 1
4.
f(x) = 0
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
R de tanımlanmış aşağıdaki fonksiyonların tek veya
çift fonksiyonlar olup olmadıklarını araştırınız.
1.
f(x) = sinx + x
2.
f(x) = x2 – cosx + 1
3.
f(x) = sinx.cosx – tanx
4.
f(x) = sinx + cosx
33
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 34
Rehber Soru – 35
f(x) tek fonksiyondur.
4
f(x) çift fonksiyondur.
3
2
f(x) – x.f(–x) = 2x + 2x – x – x ise f(2) kaçtır?
f(x) + 3f(–x) = 4x2 + 8 ise f(–1) kaçtır?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
f(x) tek fonksiyondur.
f(x) çift fonksiyondur.
f(x) + x.f(–x) = x3 + x2 – x – 1 ise
f(1) kaçtır?
f(2) kaçtır?
ESEN YAYINLARI
f(x) + 2f(–x) = x3 + x ise
2.
f(x) fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
2.
f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre si-
f(x) = (a – 2)x4 + (b + 2)x2 + abx ise
metriktir.
f(–3) kaçtır?
f(x) = (m – 3)x3 + (m + 1)x2 + (n – 1)x + m.n ise
f(2) kaçtır?
3.
3.
f(x) tek fonksiyondur.
2f(–x) + f(x + 1) = 4 – 4x ve f(1) = 2 ise f(3)
kaçtır?
34
f(x) tek fonksiyon ve g(x) çift fonksiyondur.
f(x) + 2f(–x) + x3 + 1 = 2g(x) – g(–x) ise
f(2) + g(2) kaçtır?
Fonksiyonlar
Çözüm
Rehber Soru – 36
Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerini
bulunuz.
a. f(x) = 3x4 – x2 + 1
b. f(x) =
c. f(x) =
1.
2x – 1
x3 – x
x2 + 2
x–2 –4 –3
4.
f(x) = 2x – 1
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
f(x) =
3x 2 + 2x – 1
x 2 – 3x + 2
x+2
x –1 – 3
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
2.
f(x) = x2 – 1 +
5.
f(x) =
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
3x – 4
x –1 – 2 – 3
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
3.
x3 + 2
f(x) = 2
x –x+2
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
6.
f(x) =
x2
x2 – 1
– 2x + m
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi R ise m
nin en küçük tam sayı değeri kaçtır?
35
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 37
Çözüm
Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerini
bulunuz.
a. f(x) =
b. f(x) =
x –1
x–2
3
x 2 – 4x
x–3
c. f(x) = log2(4 – x2)
1.
f(x) =
3
x2 – 1
4.
f(x) =
4x – x 2 + 3
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
x–6
x–3
2.
f(x) =
5
x2 – x
x2 – 4
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
3.
f(x) =
x+2
3–x
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
36
ESEN YAYINLARI
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
5.
f(x) = log2(x2 – 4x + 3)
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
6.
f(x) = log4 – x(x – 2)
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 38
f(x) = *
Çözüm
3x – 1 , x ≥ 0
x+3 , x<0
g(x) = *
x , x≥2
2–x , x<2
fonksiyonları verilmiştir.
Buna göre (f + g)(x) ve (f – g)(x) fonksiyonlarını
bulunuz.
1.
2
f(x) = *
, x>0
3.
x –1 , x≤ 0
g(x) = *
x+2 , x>2
f(x) = *
x2 , x > 2
x +1 , x ≤ 2
g(x) = *
3–x , x≤2
x –1 , x > 0
2
, x≤0
fonksiyonları için (f – g)(2) + (f.g)(1) ifadesinin
nuz.
eşitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
fonksiyonları için (f + g)(x) fonksiyonunu bulu-
2.
f(x) = *
x –1 , x >1
g(x) = *
4
, x≤1
2–x , x≥2
x
, x<2
fonksiyonları için (f.g)(x) fonksiyonunu bulunuz.
4.
Zx –1 ,
x <1
]
]
, 1≤ x < 3
f(x) = [ 2
]]
x +1 ,
x≥3
\
2x , x > 2
g(x) = *
x – 2 , x ≤ 2
fonksiyonları için (f – g)(x) fonksiyonunu bulunuz.
37
Fonksiyonlar
Çözüm
Rehber Soru – 39
y
y = f(x + 2)
2
1
– 4 –2
0
x
3
–2
y = f(x + 2) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre f(–2) , f(0) , f(2) , f(5) , f –1(–2) , f –1(0) ,
f –1(1) , f –1(2) değerlerini bulunuz.
1.
3.
y
y
y = f(1 – x)
3
3
2
2
4
x
0
–2
–2
y = f(x + 1) in grafiği şekildeki gibidir.
y = f(1 – x) in grafiği şekildeki gibidir.
f (5) + f (3)
kaçtır?
f –1 (3) + f –1 (–2)
Buna göre
f (1) + f –1 (0)
kaçtır?
f –1 (2) + f (3)
ESEN YAYINLARI
Buna göre
x
0
–1
y = f(x + 1)
2.
y
y
4.
y = f(2x + 1)
2
3
1
2
–3
0
1
3
–
2
–1
x
2
0
–1
y = f(x – 2)
y = f(2x + 1) in grafiği şekildeki gibidir.
Buna göre
38
f –1 (3) + f –1 (0)
f (4) + f (1)
kaçtır?
y = f(x – 2) nin grafiği şekildeki gibidir.
Buna göre,
(fof) (0) + f –1 (1)
kaçtır?
f –1 (2)
x
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 40
f(x) = *
x – 2 , x >1
2x – 1 , x ≤ 1
parçalı fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
Aşağıdaki parçalı fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
1.
f(x) = *
2x – 4 , x > 1
2.
f(x) = *
3x + 1 , x ≤ –1
f(x) = *
4.
f(x) = *
2x
, x≥2
6–x , x<2
ESEN YAYINLARI
x+2 , x≤1
3.
x – 1 , x > –1
4
, x>0
x+2 , x≤0
39
Fonksiyonlar
Rehber Soru
Z x+3
]
]
f(x) = [ 3
]
] x2 + 1
\
– 41
,
x≤0
, 0<x≤2
parçalı fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
, x>2
Çözüm
Aşağıdaki parçalı fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
2.
Z x
, x≤0
]
]
f(x) = [ 2
, 0<x<2
]
] 2x –2 , x ≥ 2
\
3.
Z 2
]x , x≤2
]
f(x) = [ x , 2 < x ≤ 3
]
] –x , x > 3
\
4.
Z 2
]x +3 , x <1
]
f(x) = [ 4
, 1≤ x < 3
]
] x +1 , x ≥ 3
\
ESEN YAYINLARI
1.
Z x + 2 , x < –1
]
]
f(x) = [ 1
, –1 ≤ x < 0
]
] x2 + 1 , x ≥ 0
\
40
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 42
f(x) = *
x 2 + 1 , x ≥ –1
–x 2 + 3 , x < –1
parçalı fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
Aşağıdaki parçalı fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
f(x) = *
2.
f(x) = *
3.
Z 2
] x – 2x , x < –1
]
f(x) = [
0
, x = –1
]
] x 2 – 2 , x > –1
\
4.
f(x) = *
, x>0
x2 – 2 , x ≤ 0
x2 + 1 , x ≥ 1
3 – x2 , x < 1
ESEN YAYINLARI
1.
x2
–1
, x ≤ –2
x 2 – 5 , x > –2
41
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 43
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a. |x – 2| = 3
b.
||x + 2| – 1| = 2
c. ||x + 1| – x| = 5
Çözüm
1.
4.
|2x – 1| = 3
2.
2|x – 1| + 4 = 2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
||x| – 4| = 2
3.
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
42
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
||x – 1| – 3| = 4
5.
||x – 2| – 2x| = 5
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
6.
|x + |x + |x||| = 6
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 44
Rehber Soru – 45
|x – 2| – 2x = 4
|x – 2| + |x – 1| = 4
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
1.
1.
|x| – 2x = 6
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
|x – 1| + |x + 2| = 5
2.
2.
|x| + |x – 2| = 2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
|x + 1| – x = 2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
3.
|x – 2| + 2x = 4
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
3.
|x – 2| – |x – 1| = –1
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
43
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 46
Rehber Soru – 47
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
|x – 2| + |x – 1| < 2
a.
|x – 2| < 4
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
c.
1 < |x – 1| ≤ 4
b. 2|x – 1| – 3 ≥ 9
Çözüm
1.
2|4 – x| – 1 < 5
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
2.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
1.
|x – 4| – |x – 2| < 6
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
|x + 1| > –2
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
2.
|x + 3| + |x – 1| < 3
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
3.
3|x + 2| – 2 ≥ 7
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
4.
2 ≤ |x + 2| < 5
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
44
3.
|x + 2| – |x| > 1
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 48
a. f(x) = |x + 2| + |2x – 1| fonksiyonunun en küçük değerini bulunuz.
b. f(x) = |x| + |x – 2| + |x + 3| + |x – 4| + |x + 2| fonksiyonunun en küçük değerini bulunuz.
c. f(x) = |x + 5| – |x – 2| fonksiyonunun görüntü kümesinde kaç tane tam sayı değeri vardır.
Çözüm
1.
4.
f(x) = |x – 2| + |x + 4|
2.
f(x) = |3x – 1| + |x + 1|
fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?
fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?
ESEN YAYINLARI
fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?
5.
f(x) = |x – 1| + |x + 4| + |x – 6|
fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?
f(x) = |x + 6| – |x – 1|
fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?
6.
3.
f(x) = |x| + |x – 1| + |x – 2| + ..... + |x – 8|
f(x) = |x – 4| – |x + 1|
fonksiyonunun görüntü kümesinde kaç tane tam
sayı vardır?
45
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 49
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a. f : R → R , f(x) = |x – 1|
b. f : R → R , f(x) = |x2 – 1|
c. f : R → R , f(x) = |–x2 – 1|
Çözüm
1.
4.
f : R → R , f(x) = |x|
2.
f : R → R , f(x) = |2 – x|
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
f : R → R , f(x) = |x2 – 2|
3.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
46
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
f : R → R , f(x) = |x2 + 1|
5.
f : R → R , f(x) = |–x2 – 2x|
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
6.
f : R → R , f(x) = |x2 – 2x + 1|
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 50
Rehber Soru – 51
f : (0, ∞) → R , f(x) = |log2x|
f : [0, 2π ] → R , f(x) = |sinx|
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
Çözüm
1.
f : [0, 2π ] → R , f(x) = |cosx|
1.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
f : (0, ∞) → R , f(x) = |lnx|
ESEN YAYINLARI
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2.
2.
r r
f : b– ,
l → R , f(x) = |tanx|
2 2
f : (1, ∞) → R , f(x) = | log 1 (x – 1) |
2
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
3.
3.
x
f : R → R , f(x) = |e |
f : R → R , f(x) = |2x – 1|
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
47
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 53
f(x) = |x – 2| + 2x – 1
g(x) = |x – 1| + |x – 3|
fonksiyonunu parçalı fonksiyon biçiminde yazınız.
fonksiyonunu parçalı fonksiyon biçiminde yazınız.
Çözüm
Çözüm
Aşağıdaki fonksiyonları parçalı fonksiyon biçiminde
Aşağıdaki fonksiyonları parçalı fonksiyon biçiminde
yazınız.
yazınız.
1.
f(x) = |x| + 2
1.
f(x) = |x| + |x – 2|
2.
f(x) = |x|.x – 3
2.
f(x) = |x + 1| – |x – 4|
3.
f(x) =
ESEN YAYINLARI
Rehber Soru – 52
3.
4.
f(x) = |x + 2| + 2x – 1
f(x) = x2 + |x| – 3
48
x 2 – 2x + 1 – |x|
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 55
f : R → R , f(x) = |x – 2| + x + 1
f : R → R , f(x) = |x2 – 1| + x2 + 1
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
Çözüm
1.
f : R → R , f(x) = |x| + x
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
Rehber Soru – 54
1.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2.
2.
f : R → R , f(x) = x.|x| + 1
f : R → R , f(x) = |x – 1| + x
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
f : R – {0 } → R , f(x) = x2 +
x
x
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
3.
f : R → R , f(x) = |x2 – 4| + x2
3.
f : R → R , f(x) = x2 + 2|x|
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
49
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 56
f : R → R , f(x) = |x – 2| + |x| fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
R → R ye tanımlanmış aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
1.
4.
f(x) = |x – 2| – |x + 2|
5.
f(x) = |x – 3| + |x + 1|
6.
f(x) = |x| – |x + 2|
f(x) = |x| – |x – 2|
ESEN YAYINLARI
2.
f(x) = |x| + |x – 1|
3.
f(x) = |x – 2| + |x – 1|
50
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 57
Rehber Soru – 58
|y – x2| = 1
|y – x| = 1
bağıntısının grafiğini çiziniz.
bağıntısının grafiğini çiziniz.
Çözüm
Çözüm
1.
1.
|y – x| = 0
bağıntısının grafiğini çiziniz.
|y + x2| = 1
ESEN YAYINLARI
bağıntısının grafiğini çiziniz.
2.
|y + x| = 1
2.
bağıntısının grafiğini çiziniz.
bağıntısının grafiğini çiziniz.
3.
|y – 2x| = 4
bağıntısının grafiğini çiziniz.
|x2 + y2| = 2
3.
|y – x2| = 2
bağıntısının grafiğini çiziniz.
51
Fonksiyonlar
Çözüm
Rehber Soru – 59
|y| = x – 1
bağıntısının grafiğini çiziniz.
1.
5.
|y| = x
bağıntısının grafiğini çiziniz.
bağıntısının grafiğini çiziniz.
2.
|y| = x2
6.
|y| = x + 1
|y – 2| = x2 + 1
bağıntısının grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
bağıntısının grafiğini çiziniz.
3.
|y – 1| = x
7.
bağıntısının grafiğini çiziniz.
bağıntısının grafiğini çiziniz.
4.
|y + 1| = x – 1
bağıntısının grafiğini çiziniz.
52
|y2 – 1| = x
8.
y 2 – 4y + 4 = x + 1
bağıntısının grafiğini çiziniz.
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 60
|y| + |x| = 2 bağıntısının grafiğini çiziniz.
Çözüm
1.
4.
|y| + |x| = 1
bağıntısının grafiğini çiziniz.
|y| – |x| = 2
bağıntısının grafiğini çiziniz.
3.
|y| + |x| ≥ 3
bağıntısının grafiğini çiziniz.
bağıntısının grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
2.
|x| – |y| < 2
5.
1 ≤ |x| + |y| < 2
bağıntısının grafiğini çiziniz.
6.
||x| + |y|| ≤ 1
bağıntısının grafiğini çiziniz.
53
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 61
Rehber Soru – 62
y
y
2
2
0 1
x
2
0 1
x
2
y = f(x)
y = f(x)
Şekildeki grafik y = f(x) e aittir. Buna göre
Şekildeki grafik y = f(x) e aittir. Buna göre
y = f(x) + 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y = f(x – 2) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
1.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
y
2
–1
0
1
1.
y
1
x
3
0
–1
x
1
y = f(x)
y = f(x)
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
Buna göre y = f(x) + 3 fonksiyonunun grafiğini
Buna göre y = f(x – 2) fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
çiziniz.
2.
2.
y
2
–2
y
x
0
0
–1
2
x
y = f(x)
y = f(x)
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
Buna göre y = f(x) – 2 fonksiyonunun grafiğini
Buna göre y = f(x + 1) fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
çiziniz.
54
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 63
Rehber Soru – 64
y
y
1
–3
2
1
–3
x
0
y = f(x)
–2
2
x
0
y = f(x)
–2
Şekildeki grafik y = f(x) fonksiyonuna aittir.
Şekildeki grafik y = f(x) fonksiyonuna aittir.
Buna göre y = –f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Buna göre y = f(–x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
1.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
y
2
–1
3
0
1.
y
y = f(x)
1
x
0
y = f(x)
x
1
Şekilde y = f(x) in grafiği çizilmiştir. Buna göre
Şekilde y = f(x) in grafiği çizilmiştir. Buna göre
y = –f(x) in grafiğini çiziniz.
y = f(–x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2.
y
y = f(x)
1
–2
–1
0
y
2.
1
y = f(x)
1
x
–1
0
x
2
Şekilde y = f(x) in grafiği çizilmiştir. Buna göre
Şekilde y = f(x) in grafiği çizilmiştir. Buna göre
y = –f(x) in grafiğini çiziniz.
y = f(–x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
55
Fonksiyonlar
Çözüm
Rehber Soru – 65
y
y = f(x)
–2
4
3
0
x
Şekilde y = f(x) in grafiği ifade edilmiştir. Buna göre
y = |f(x)| in grafiğini çiziniz.
1.
3.
y
y
y = f(x)
y = f(x)
–1
x
3
0
1
3
x
0
–1
y = f(x) in grafiği verilmiştir.
y = f(x) in grafiğinden yararlanarak
Buna göre y = |f(x)| in grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
y = |f(x)| in grafiğini çiziniz.
4.
y
y
2.
1
–3
2
–1
3
0
0
x
2
y = f(x)
y = f(x) in grafiğinden yararlanarak
y = |f(x)| in grafiğini çiziniz.
56
–2
y = f(x) in grafiğinden yararlanarak
y = |f(x)| in grafiğini çiziniz.
y = f(x)
x
Fonksiyonlar
Çözüm
Rehber Soru – 66
y
y = f(x)
–1
2
0
x
4
Şekilde y = f(x) in grafiği verilmiştir.
Buna göre |y| = f(x) in grafiğini çiziniz.
1.
y
y
3.
y = g(x)
y = f(x)
x
0
–1
0
x
2
Şekildeki y = f(x) in grafiğinden yararlanarak
Şekildeki y = g(x) in grafiğinden yararlanarak
|y| = f(x) in grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
|y| = g(x) in grafiğini çiziniz.
4.
y
2.
y
y = k(x)
y = h(x)
–1
0
3
x
Şekildeki y = h(x) in grafiğinden yararlanarak
|y| = h(x) in grafiğini çiziniz.
0
x
Şekildeki y = k(x) in grafiğinden yararlanarak
|y| = k(x) in grafiğini çiziniz.
57
Fonksiyonlar
Rehber Soru – 67
Rehber Soru – 68
y
y
y = f(x)
1
–1
2
x
0
x
0
y = f(x)
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
Şekilde y = f(x) in grafiği verilmiştir.
Buna göre |y| = |f(x)| bağıntısının grafiğini çiziniz.
Buna göre y = f(|x|) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
1.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
y
1.
y
y = g(x)
y = g(x)
–2
x
3
0
x
0
Şekildeki y = g(x) in grafiğinden yararlanarak
Şekildeki y = g(x) in grafiğinden yararlanarak
y = g(|x|) in grafiğini çiziniz.
|y| = |g(x)| in grafiğini çiziniz.
2.
y
2.
y
y = k(x)
–2
0
1
–
2
y = h(x)
x
0
x
Şekildeki y = k(x) in grafiğinden yararlanarak
Şekildeki y = h(x) in grafiğinden yararlanarak
y = k(|x|) in grafiğini çiziniz.
|y| = |h(x)| in grafiğini çiziniz.
58
TEST – 1
1.
2
f : R → R , f(x) = x + 1
I.
f : R → R , f(x) = 3x + 1
II.
f : R → R , f(x) = 2x – 1
II.
f : R → R , f(x) = x3 + x
III. f : R → R , f(x) = x3 + 2
III. f : R → R , f(x) = x.sinx
IV. f : R+ → R , f(x) = x2 – 1
IV. f : R → R , f(x) = x + sinx
V. f : R+ → R , f(x) = x2 – 4x
V. f : R → R , f(x) = x2 + 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 1
I.
f : R → R , f(x) = 3x – 2
II.
f : R → R , f(x) = x2 – 1
6.
C) 3
D) 4
E) 5
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
f : A → [3, 19) , f(x) = 4x – 1 fonksiyonu bire bir
ve örten ise A kümesi aşağıdakilerden hangisi-
ESEN YAYINLARI
V. f : R+ → R , f(x) = x + 2
A) 1
A) 2
7.
D) 3
E)
B) (1, 5 ]
D) [1, 6)
B)
7
3
f : R → R , f(x) =
C)
3
8
3
10
3
x – 1 + 2 ise
f(9) + f (4) kaçtır?
A) 10
C) (1, 5)
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
E) (1, 6 ]
f : R → R , f(x) = x2 – 2
fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (– ∞, –2 ]
3x – 1
2
–1
dir?
A) [1, 5)
f : R → R , f(x) =
f–1(4) = a ise f –1(a) kaçtır?
IV. f : R+ → R+ , f(x) = x2
4.
B) 2
Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi örtendir?
III. f : R → R , f(x) = x3
3.
Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi tektir?
I.
A) 1
2.
5.
Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi bire birdir?
B) [–2, ∞)
D) [–2, 2 ]
E) [2, ∞)
C) (– ∞, 2)
8.
f(x) fonksiyonu çift fonksiyondur.
(x – 1)f(x) + f(–x) = x3 – ax ve f(2) = 3 ise
a kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
65
Fonksiyonlar
9.
f : R – {a } → R – {b } , f(x) =
13. f(x) = log(x + 7) – log(x – 2) ise f –1(1) kaçtır?
3x – 2
x+2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
fonksiyonu bire bir ve örten ise a + b kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2–x
fonksiyonunun en geniş tanım
x+4
10. f(x) =
kümesi nedir?
14. f(x) =
A) (– ∞, 2 ]
B) (–4, 2 ]
D) [2, ∞)
C) (– ∞, –4)
2 – log 5 (x – 4) fonksiyonunun en geniş
tanım kümesi nedir?
E) (– ∞, – 4) ∪ [2, ∞)
A) (– ∞, 29 ]
B) (– ∞, 4)
11. f(x) = *
2x + 1 , x > 2
x+3 , x≤2
fonksiyonu için f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
x –1
, x>2
A) * 2
x–3 , x≤2
x–3
C)
* x –1
2
B)
x–3
, x>2
, x≤2
*
x –1
, x>3
2
D)
*
ESEN YAYINLARI
D) [29, ∞)
C) (4, ∞)
E) (4, 29 ]
15. x ∈ (1, 2) olmak üzere,
f(x) = | 3x – |x – 2| | + 3 – 2x fonksiyonunun eşiti
, x≤3
aşağıdakilerden hangisidir?
x –1
, x>5
2
A) 2x + 1
B) 2x – 1
D) 4 – 3x
x–3 , x≤5
C) 4x + 3
E) 2x
x–3 , x>5
E)
* x –1
2
, x≤5
16. f : R → R , f(x) = |x – 2| – |x + 5|
12. f : R → R , f(x) = |x – 2| + |2x – 1|
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?
3
5
C) 2
D)
E) 3
A) 1
B)
2
2
1. C
2. C
66
3. A
4. B
5. B
6. B
7. D
A) (– ∞, 7 ]
B) [–7, ∞)
D) [7, ∞)
8. D
9. A
10. B
11. D
12. B
C) (– ∞, –7 ]
E) [–7, 7 ]
13. C
14. E
15. A
16. E
TEST – 2
1.
5.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi R den R ye
bire birdir?
olmak üzere, f(x) tek fonksiyon ise a + b + c
A) f(x) = x2 – 2
4
f(x) = (a – 2)x4 + 3x3 – (b + 1)x2 + c – 2
B) f(x) =
x2
2
kaçtır?
+1
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
x3 – 1
D) f(x) =
2
2
C) f(x) = x – x + 1
E) f(x) = x2 + 3
6.
2.
f(x) + 2f(–x) = –x3 + 2x olmak üzere,
f : R → R , f(x) = x2 – 2x + 5 fonksiyonunun
f(x) fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik
görüntü kümesi nedir?
ise f(–1) kaçtır?
A) [4, ∞)
B) [3, ∞)
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
E) [0, ∞)
ESEN YAYINLARI
D) [1, ∞)
A) –2
C) [2, ∞)
3.
7.
f : (– ∞, m ] → R , f(x) = x2 – 4x + 4
olmak üzere f fonksiyonu bire bir ise
4.
B) –1
C) 0
f : R – {3 } → R – {2 } , f(x) =
D) 1
ax + 5
2x – b
D) 9
E) 10
B) R – {1 }
C) R – [1, 2)
E) [2, ∞)
f(x) = log(x2 – mx + 1) fonksiyonunun en geniş
tanım kümesi R ise m nin değer aralığı nedir?
A) (– ∞, –2)
C) 8
fonksiyonunun en geniş tanım
D) (– ∞, 1)
8.
ise a + b kaçtır?
B) 7
x–2
1– x
A) (1, 2 ]
E) 2
olmak üzere f(x) bire bir ve örten bir fonksiyon
A) 6
3
kümesi nedir?
m nin en büyük değeri kaçtır?
A) –2
f(x) =
B) (– ∞, 2)
D) (–2, ∞)
C) (–2, 2)
E) (2, ∞)
67
Fonksiyonlar
||x – 1| – 2| = 1
9.
denklemini sağlayan x değer-
13. f c
lerinin toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A)
10. –2 < |x – 1| < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesi
C)
x+2
2
3
D)
3
2
B) – x + 2
D) – x – 2
gisidir?
D)
1
2
E)
4
3
C)
x–2
x–4
E)
E) [–2, 2)
2
x +1
ise f(x) aşağıdakilerden hanm=
x –1
x –1
2x
B)
x +1
A) x – 1
B)
C) (–2, 4)
x
2x – 1
ESEN YAYINLARI
D) [–2, 4 ]
11. f c
A)
B) (–2, 1 ]
1
3
14. f : R+ → [–2, ∞) , f(x) = x2 – 2 ise f –1(x) nedir?
aşağıdakilerden hangisidir?
A) [1, 4)
2–x
m = x2 + 2 ise f –1(2) kaçtır?
x+3
15. f(log3x) = x2 + 1 ise f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 32x
B) 32x + 1
D) 3
(x2)
+1
C) 32x – 1
(x2)
E) 3
–1
C) x + 1
E) x + 2
16. f : R → R , f(x) = 2x – |x – 3| fonksiyonunun
parçalı fonksiyon olarak ifadesi aşağıdakilerden
hangisidir?
12. f(x) = 31 – 2x ise f(3x + 1) in f(x) e bağlı değeri
A) )
x–3 , x≥3
3x + 3 , x < 3
B) )
x–3 , x≥3
3x – 3 , x < 3
C) )
x+3 , x≥3
3x – 3 , x < 3
D) )
x+6 , x≥3
3x – 3 , x < 3
E) )
3–x , x≥3
3x – 3 , x < 3
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
f 3 (x )
81
D)
1. D
2. A
68
B)
f 3 (x )
27
81
E)
f 3 (x )
3. E
C)
4. E
5. C
27
f 3 (x )
f 3 (x )
9
6. D
7. B
8. C
9. C
10. C
11. C
12. A
13. C
14. A
15. B
16. C
TEST – 6
1.
4.
y
Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi tek fonksiyondur?
I.
f(x)
2
f(x) = x3 + 1
II. f(x) = sinx + cosx
III. f(x) = 2
–2
0
3
1
x
V. f(x) =
–1
A) 1
IV. f(x) = x – tanx
x2
+1
x3
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
–3
Grafiği verilmiş olan f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
I.
Tanım kümesi: (–2, 3 ] dır.
5.
II. Görüntü kümesi: [–3, 2 ] dır.
f(x) tek fonksiyonu için
f(x) + 2x = (a – 2)x3 + (a + 2)x2 – af(–x)
III. f(1) = 0 dır.
koşulu sağlanıyorsa f(1) kaçtır?
IV. Bire birdir.
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
V. Örtendir.
2.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
f(3x – x2) = x4 – 6x3 + 9x2 + 1 fonksiyonu için
f –1(5) kaçtır?
A) 1
ESEN YAYINLARI
A) 1
6.
y
y = f(x)
–3
1
0
x
3
y = f(x) in grafiği şekildeki gibidir.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Buna göre y = – f(x) in grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
–3
3.
B)
y
–1 0
1
3
y
3
–3
x
0
x
1
y
C)
y = f(2x + 1)
D)
y
y
2
–3
1
3
0
–2
0
3
miştir. Buna göre f –1(0) + f(7) + f –1(1) kaçtır?
C) 0
D) 1
1
3
y
Şekilde y = f(2x + 1) fonksiyonunun grafiği çizil-
B) –1
0
–3
x
E)
A) –2
x
–3
0
3
x
E) 2
75
x
Fonksiyonlar
7.
10.
y
y
2
–3
1
x
0
y = f(x)
y = f(x) in grafiği şekildeki gibidir.
y = f(x) in grafiği şekildeki gibidir.
Buna göre, y = f(|x|) in grafiği aşağıdakilerden
Buna göre, y = f(–x) in grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
hangisidir?
A)
A)
B)
y
0
–3
1
–2
–2
C)
D)
y
2
0
–1
x
0
x
1
B)
y
C)
y
x
1
D)
y
–1
1
x
0
3
–1
0
0
2
3
ESEN YAYINLARI
y
–3
x
0
0
x
–1
x
0
y
değeri 6 ise a nın alabileceği değerler toplamı
y = f(x)
kaçtır?
B) –2
C) 0
D) 2
x
y
11.
f(x) = |x – 2| + |x + a| fonksiyonunun en küçük
A) – 4
y
x
E)
E)
x
0
2
–1
y
y
–3
8.
x
–1 0
E) 4
–5
0
1
3
x
y = f(x) fonksiyonunun grafiği şekildeki gibidir.
Buna göre, (x2 – 1).f(x) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm
9.
f(x) =
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
–x 2 – x + 2 fonksiyonunun en geniş ta-
nım kümesi nedir?
A) Ø
B) R
D) R – {–2, 1 }
1. B
76
2. B
3. C
C) [–2, 1 ]
5. A
B) (– ∞, – 5) ∪ {1 }
C) [– 5, –1 ] ∪ [1, 3 ]
D) (– ∞, – 5 ] ∪ [3, ∞)
E) [– 5, –1 ] ∪ [3, ∞) ∪ {1 }
E) R – (–2, 1)
4. B
A) [– 5, –1 ] ∪ [3, ∞)
6. D
7. D
8. A
9. C
10. B
11. E
TEST – 7
1.
3.
f(x) = |x| – x fonksiyonunun grafiği aşağıdakiler-
y
den hangisidir?
A)
y = f(x)
B)
y
0
x
y
–3
0
x
0
x
3
1
Şekilde y = f(x) in grafiği çizilmiştir.
f (x) + f (x)
fonksiyonunun gra2
fiği aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, y =
C)
D)
y
y
A)
x
0
0
–3
E)
y
2.
0
C)
1
y
0
E)
1
1
x
3
3
0
D)
y
–3
–3
x
3
x
ESEN YAYINLARI
0
B)
y
x
x
y
0
–3
3
1
x
y
1
–3
3
x
0
f(x) = x.|x| + 1 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y
4.
1
y
1
x
0
3
x
0
–1
C)
D)
y
0
y
2
x
1
1
x
0
0
–3
x
Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu aşa-
E)
ğıdakilerden hangisidir?
y
1
0
x
A) y = |x + 2| + 4x
B) y = |x – 2| – |x + 1|
C) y = |x – 1| + |x + 2|
D) y = |x – 2| + |x + 1|
E) y = |x + 1| – |x – 2|
77
Fonksiyonlar
5.
8.
y
Şekilde y = g(x) in
y
grafiği verilmiştir.
1
y = g(x)
Buna göre,
–1
0
1
x
f(x) =
a
x3
0
g (x)
fonksiyonunun
–1
grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Şekildeki bölgeyi gösteren bağıntı aşağıdakiler-
A)
den hangisidir?
A) |x + y| ≤ 1
B) |x| + |y| ≥ 1
C) x + |y| ≤ 1
D) |x| + |y| ≤ 1
B)
y
C)
y
x
0
E) |x| – |y| ≤ 1
D)
y
x
0
y
0
x
x
0
6.
x
a
y
4
0
x
0
Şekildeki grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine ait olabilir?
A) y = |x + 2| + 2
y
x
2
B) y = |x – 2| + 2
ESEN YAYINLARI
–2
E)
9.
Şekilde y = f(x) in
y
grafiği verilmiştir.
C) y = |x – 2| + |x + 2| D) y = |x – 2| – |x + 2|
y = f(x)
Buna göre
E) y = |x + 2| – |x – 2|
y = f(|x|) in grafiği
x
0
aşağıdakilerden
hangisidir?
7.
A)
y
y
x
0
x
0
B)
y
C)
D)
y
y
x
0
x
0
0
x
Şekilde grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A) f(x) = x + |x – 1|
B) f(x) = x|x + 2|
C) f(x) = x|x – 2|
D) f(x) = x|x2 – 4|
E)
y
x
0
E) f(x) = |x2 – 2x|
1. B
78
2. A
3. A
4. E
5. D
6. C
7. C
8. E
9. B
TEST – 11
1.
Aşağıdaki bağıntılardan hangisinin tersi bir fonk-
5.
y
siyondur?
f(x)
1
A) f : N → N , f(x) = x + 2
–3 –2
B) f : R+ → R , f(x) = x2
–1
0
–5
C) f : R+ → R , f(x) = lnx
1
x
3
–3
D) f : R – {–1 } → R , f(x) =
–4
x –1
x +1
x–2
E) f : [2, ∞) → R , f(x) =
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
(fof)(x – 3) < 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
A) 4
2.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
x ∈ (–2, 1) olmak üzere,
f(x) = |1 + 2x – |x + 2|| + 2x fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) x + 1
B) x
C) x – 1
D) 3x – 1
E) 4x + 3
6.
Şekildeki grafik
y=
y
k
fonksix2
k
x
f(x) = —
2
yonuna aittir.
Ac a ,
1
m ve B(2, 4)
2
1
–
2
ise a kaçtır?
0
4 sistemini sağlayan noktalar kümesi
A)
–1
B) 4 2
1
x
–1
a
0
1
x
–1
D)
y
y
1
1
x
C) 5 2
1
0
x
–1
E) 6 2
D) 6
0
C)
–1
A) 4
y
1
–1
A
2
B)
y
1
B
4
grafiğe ait iki nokta
y =1
aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?
ESEN YAYINLARI
3.
x =1
E)
–1
0
1
x
–1
y
1
–1
0
4.
1
x
–1
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi artan bir
fonksiyondur?
A) f : R → (– ∞, 1) , f(x) = 1 – 2x
B) f : R+ → R , f(x) = log 1 x
2
+
2
C) f : R → R , f(x) = x – 2x
7.
f : (– ∞, 3 ] → [1, ∞) , f(x) = x2 – 6x + 10 ise
D) f : R → R+ , f(x) = ex
f –1(5) kaçtır?
E) f : R → R , f(x) = 1 – x
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
85
Fonksiyonlar
8.
f(x) =
2x 2 – x + 1
12. f(x) = |x – 1|.|x + 1| fonksiyonunun grafiği aşağı-
fonksiyonunun en geniş
dakilerden hangisidir?
tanım kümesi nedir?
A) R – '
1
1
2
B) ; –1,
1
E
2
D) R
C) ; 0 ,
A)
1
E
2
B)
y
E) Ø
1
0
C)
y
–1
x
D)
y
y
1
1
1
9.
D) 5
E) 4
–1 0
x
1
ESEN YAYINLARI
C) 6
x
1
1
f –1(1) kaçtır?
B) 7
0
y
f : (1, ∞) → R, f(x) = log3(log2x) ise
A) 8
–1
x
–1 0
E)
x
0
10. f : R → R, f(x) = x3 – 3x2 + 3x + 1 ise
13. f : [0, 2π ] → R, f(x) = |sinx| + sinx fonksiyonu-
f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 x + 2 + 1
C)
3
x – 2 –1
E)
3
x – 2 +1
B)
3
x+2 –1
D)
3
x–2
nun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
2
1
0
C)
y
π
–
2
π
2π
x
0
D)
y
π
–
2
3π 2π
—
2
x
y
2
0
π
2π
x
0
π
2π
x
11. f(2x – 1) = 2x – 1 ise f(x) aşağıdakilerden han-
E)
gisidir?
A) log2(x + 1)2 – 1
B) 1 + log2(x + 1)2
C) 1 – log2(x + 1)2
D) log2(x – 1)2 – 1
π
–
2
86
2. A
3. B
3π
—
2 2π
0
x
–2
E) 1 – log2(x – 1)2
1. C
y
4. D
5. E
6. A
7. D
8. D
9. A
10. E
11. A
12. E
13. D
TEST – 12
1.
4.
y
x|x – 3| = 4 denkleminin kökler toplamı kaçtır?
A) 2
0
–4
2
4
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
x
y = f(x)
y = f(x) in grafiği yukarıdaki gibidir.
Buna göre |y| = f(x) in grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
5.
B)
–4
2
–2 0
C)
4
x
0
E)
2
4
x
4
0
0
4
A) [2, ∞)
x
B) (– ∞, 2 ]
D) (– ∞, 4 ]
C) [4, ∞)
E) [2, 4 ]
y
–4
0
2
4
x
y
–4
f : R → R, f(x) = x2 – 2x + 5 fonksiyonunun
görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
2
–4
D)
y
–4
y
ESEN YAYINLARI
A)
y
x
6.
y
3
0
x
2
y = f(x)
y = f(x) in grafiği yukarıdaki gibidir.
Buna göre f(x).f(x – 2) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm
kümesi nedir?
2.
A) (– ∞, 2 ]
|x – 2| + 2x – 7 = 0 denkleminin kökler toplamı
D) [4, ∞)
kaçtır?
A) 8
3.
B) 6
C) 5
D) 3
değeri kaçtır?
B) –2
C) [2, ∞)
E) (– ∞, 4 ]
E) 1
f(x) = |x + 3| – |x + 7| fonksiyonunun en büyük
A) –4
B) [2, 4 ]
7.
f(x) = |x + 6| – |x – 4| fonksiyonunun görüntü
kümesinde kaç tane tam sayı vardır?
C) 3
D) 4
E) 7
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
87
Fonksiyonlar
8.
Şekildeki grafik
10. x – y < |x – y| bağıntısının grafiği aşağıdakiler-
y
y = f(x) e aittir.
y = |f(x + 1)|
den hangisidir?
0
fonksiyonunun
2
A)
x
grafiği aşağıdaki-
0
lerden hangisidir?
A)
B)
0
1
C)
y
x
C)
0
D)
y
x
0
x
x
2
0
0
1
3
x
y
x
x
y
y = f(x) e aittir.
y = –f(x – 1)
fonksiyonunun
0
–1
grafiği aşağıdaki-
1
A)
11. Şekildeki grafik
Buna göre
|y| = |f(x)| in
B)
–1 0
1
–2
D)
y
0
2
x
0
x
D)
y
0
x
0
x
E)
E)
x
x
y
y
2
0
y
y
C)
C)
B)
y
0
x
x
0
lerden hangisidir?
A)
y
y
y = f(x) e aittir.
grafiği aşağıdaki-
x
lerden hangisidir?
0
x
y
y
–2
0
88
0
x
x
ESEN YAYINLARI
2
Şekildeki grafik
1. B
y
y
–1 0
9.
x
y
0
E)
0
D)
y
E)
–2
y
y = f(x)
y
–1
B)
y
2. D
x
3. D
x
0
4. C
5. C
6. B
7. E
8. A
9. D
10. C
11. C
I.
Sol sütunda verilen fonksiyonlara ait grafikleri sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
y
a.
x
y=2
1.
1
0
b.
y=c
y
1 x
m
2
2.
1
–1
c.
x
x
0
y
y = logx
1
3.
x
0
y
d.
y = log 1 x
4.
1
2
x
0
y
e.
1
5.
y=x+1
x
0
y
f.
II.
6.
y = 1 – x2
0
1
x
Sol sütunda y = f(x) fonksiyonlarına ait grafikler verilmiştir. Sağ sütunda y = |f(x)| fonksiyonlarına ait
grafikleri bulup eşleştiriniz.
y
a.
0
y
x
1.
x
0
y
y
b.
0
x
2.
0
y
y
c.
0
x
3.
0
0
x
y
y
d.
x
x
4.
0
x
95
1
2
3
4
6
5
7
8
9
10
11
12
13
SOLDAN SAĞA
1. Reel sayı doğrusu üzerindeki herhangi bir noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığı
5. İkinci dereceden polinom fonksiyonun grafiği
8. A dan B ye f fonksiyonu verildiğinde A kümesi
10. Örten olmayan fonksiyon
11. Tanım kümesinin her elemanına en çok bir
görüntü eşlik ettiren bağıntı
12. {…, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} sayı kümesi
13. A dan B ye
mesi
96
f fonksiyonu verildiğinde f(A) kü-
YUKARIDAN AŞAĞIYA
2. “f : A → B, x1 < x2 için f(x1) > f(x2)” koşulunu
sağlayan fonksiyon
3. A dan B ye f fonksiyonu verildiğinde B kümesi
4. Görüntünün bir yüzey üzerinde temsil edilmesi
6. “f : A → B, x1 < x2 için f(x1) < f(x2)” koşulunu
sağlayan fonksiyon
7. y eksenine göre simetrik olan fonksiyon
9. “< , > , ≤ , ≥” sembollerinin genel adı
Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz.
1.
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için A nın her elemanı B nin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen
bağıntıya A dan B ye .......................................... denir.
2.
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) oluyorsa f fonksiyonu .......................................... fonksiyondur.
3.
x eksenine paralel doğrular çizildiğinde doğruların her biri fonksiyonun grafiğini en çok bir noktada
kesiyorsa fonksiyon ..........................................dir.
4.
x1 < x2 için f(x1) < f(x2) ise f fonksiyonu .......................................... fonksiyondur.
5.
x1 < x2 için f(x1) > f(x2) ise f fonksiyonu .......................................... fonksiyondur.
6.
f : A → B, y = f(x) fonksiyonunda ∀x ∈ A için f(–x) = –f(x) ise f fonksiyonu ................................
fonksiyondur.
7.
y = |f(x)| fonksiyonunda f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değerlerine fonksiyonun .................................
noktaları denir.
8.
f(x) = |x – 1| + |x + 2| + |x – 7| fonksiyonu x = 1 için .......................................... değerini alır.
9.
f(x) =
x2 – x – 2
fonksiyonun en geniş tanım kümesi .......................................... dir.
x2 – x + 2
10. |y| = |f(x)| bağıntısının grafiği çizilirken y = f(x) in grafiği ile bu grafiğin .......................................... göre
simetriğinin birleşimi alınır.
97
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.
1.
y = f(x) ile y = – f(x) fonksiyonlarının grafikleri x eksenine göre simetriktir.
2.
y = f(x) ile y = f(–x) fonksiyonlarının grafikleri y eksenine göre simetriktir.
3.
y = f(x) + c fonksiyonunun grafiği, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y ekseni boyunca c kadar
ötelenmişidir.
4.
c > 0 olmak üzere, y = f(x + c) fonksiyonunun grafiği, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre pozitif yönde c kadar ötelenmişidir.
5.
İki tek fonksiyonun çarpımı tek fonksiyondur.
6.
İki çift fonksiyonun çarpımı çift fonksiyondur.
7.
f veya g fonksiyonlarından biri çift fonksiyon ise fog çift fonksiyondur.
8.
f(x) = |x – a| + |x – b| fonksiyonunun en küçük değeri f(a) = f(b) dir.
9.
f(x) = |x – a| – |x – b| fonksiyonun en küçük değeri f(a) dır.
10.
f(x) = |x – a| – |x – b| fonksiyonunun en büyük değeri f(a) dır.
98
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
1.
4.
1971 – ÜSS
1975 – ÜSS
Aşağıdakilerden hangisi f(x) = |–x + 1| fonksi-
y = x2 – |x2 – x| in [0, 3 ] aralığındaki en küçük
yonunun grafiğidir?
değeri nedir?
2
A)
B)
y
–1
1
A) 0
x
0
C)
y
–1
0
D)
y
1
0
E)
0
D) –
1
8
E) –3
–1
0
1
1975 – ÜSS
x
y
y
–1
1
4
y
x
1
C) –
x
5.
–1
B) –1
1
1
x
0
1
x
2
Şekilde verilen eğri, aşağıdaki fonksiyonlardan
hangisinin grafiği olabilir?
1973 – ÜSS
x ∈ R olduğuna göre
f : x → f(x) =
1– x
fonksiyonunun tanım kü-
mesi nedir?
A) {x : –1 < x < 1 }
B) {x : –1 ≤ x < 1 }
C) {x : –1 ≤ x ≤ 1 }
D) {x : x < –1 } ∪ {x : x > 1 }
A) y = x2 – |x2 – x + 2|
ESEN YAYINLARI
2.
B) y = x2 – |x –
Z
2
]] x
C) y = [ 1
]]
x –1
\
D) y = *
E) {x : x > 1 }
3.
x2
x–2
2|
, x<1
, x=1
, x>1
, x≤1
, x >1
Z
x2
, x<1
]
]
r
E) y = [ sin b l x 2 , x = 1
2
]
]
x
, x>1
\
1973 – ÜSS
y
1
–1
0
1
x
6.
Yukarıdaki eğri aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiğidir?
A) f : x → f(x) = |x2 – 1|
1976 – ÜSS
A = R – {2 } , B = R – {3 } ve f : A → B
f(x) =
dir?
B) f : x → f(x) = x2 – 1
C) f : x → f(x) = 1 – x2
D) f : x → f(x) = 1 + x2
E) f : x → f(x) = |x2 + 1|
100
3x – 1
nin tersi aşağıdakilerden hangisix–2
A)
x–3
2x – 1
D)
B)
2–x
1 – 3x
2x + 1
x–3
E)
C)
1 – 2x
x–3
2x – 1
x–3
Fonksiyonlar
7.
1976 – ÜSS
10. 1977 – ÜSS
x∈R, x<
y
1
1
olmak şartıyla,
2
f(x) = 1 – | x – |1 – x| |
fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğru-
0
–1
x
1
dur?
A) f(x) = 2x
–1
B) f(x) = 0
D) f(x) = 2 – 2x
C) f(x) = 2x + 2
E) f(x) = 2
Şekildeki düzlemsel bölgeyi aşağıdakilerden
hangisi gösterir?
11. 1978 – ÜSS
A) {(x, y) : |x| ≤ 1 ve |y| ≤ 1 }
y
B) {(x, y) : |x| < 1 ve |y| < 1 }
a
C) {(x, y) : |x + y| ≤ 1 }
D) {(x, y) : |xy| ≤ 1 }
a
E) {(x, y) : |x + y| ≤ 1 ve xy ≥ 0 }
0
x
–a
1977 – ÜSS
ESEN YAYINLARI
8.
y
1
0
1
x
2
Grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
A) y =
x–a
a
C) y = |x – a| – |x|
B) y = |x| + |x – a|
D) y = |x| – |x – a|
E) y = x|x – a|
Şekilde verilen grafiğin denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) y = |x + 1|
B) y = |x| – 1
D) y = |x – 1|
9.
C) y = 1 – |x|
E) y = |x| + 1
1977 – ÜSS
|x| + |y| = 1 bağıntısının grafiği nedir?
A) Bir doğru
12. 1979 – ÜSS
f(x) = | x – |–x| | – 2 fonksiyonu, aşağıdaki fonksiyon çiftlerinden hangisine denktir?
A) *
x ≥ 0 , f ( x) = – 2
x < 0 , f (x) = –2x – 2
B) *
x ≥ 0 , f (x) = 2x – 2
x < 0 , f (x) = 2x – 2
C) *
x ≥ 0 , f ( x) = – 2
x < 0 , f (x) = 2x – 2
D) *
x ≥ 0 , f (x) = 2x – 2
x < 0 , f ( x) = – 2
E) *
x ≥ 0 , f (x) = – 2x – 2
x < 0 , f ( x) = – 2
B) Bir ışın
C) Başlangıç noktasına göre ikişer ikişer simetrik olan iki çift doğru
D) Bir çift doğru
E) Bir kare
101
Fonksiyonlar
13. 1979 – ÜSS
15. 1982 – ÖYS
f ve g, R de aşağıdaki şekilde tanımlı iki fonksi-
y
yon olduğuna göre,
5
f : x → x – |x|
3
g : x → 2x – 1
(gof)(x) in analitik düzlemdeki grafiği aşağıdaki-
0
4
x
6 7
lerden hangisidir?
A)
B)
y
y
Bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği yukarıda verilmiştir. f [ f (x) ] = 3 olduğuna göre x in değeri
0
x
0
nedir?
–1
–1
C)
x
D)
y
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
y
x
0
16. 1982 – ÖYS
x
0
–1
y
–1
f(x)
E)
ESEN YAYINLARI
y
x
0
–1
0
–1
x
1
–1
Şekildeki eğri f(x) fonksiyonunun grafiği olduğu1
( |f(x) | + f(x) ) in grafiği aşağıdaki2
lerden hangisidir?
na göre y =
A)
B)
y
y
1
–1
0
1
x
–1
–1
C)
D)
f, R den R ye x → f(x) =
–2x
biçiminde verilen
x+a
bir fonksiyondur. f(x) = f –1(x) olması için a ne
0
1
x
–1
E)
y
B) 2
C) 1
D) –1
E) –2
y
–1
0
–1
102
–1
0
–1
olmalıdır?
A) 3
x
1
1/2
14. 1981 – ÖYS
1
–1
y
–1
0
1
x
1
x
Fonksiyonlar
17. 1983 – ÖYS
y =
3– x+4
20. 1988 – ÖYS
f(x) = ax2 + bx + c , x ∈ R iken f(x) = f( |x| )
fonksiyonunun tanım aralığı
aşağıdakilerden hangisidir?
olması için aşağıdakilerden hangisi gereklidir?
A) –3 ≤ x ≤ 4
A) c = 1
B) –7 ≤ x ≤ –1 C) 3 ≤ x ≤ 4
D) – 4 ≤ x ≤ –3
B) c = 0
D) b = 0
E) 1 ≤ x ≤ 7
C) b = –1
E) a = 1
21. 1988 – ÖSS
y
18. 1987 – ÖYS
2y = x + |x| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
C(1, 1)
A)
B)
y
–1
x
C
0
x
1
y
A
0
1
D
A(–1, –1)
B
–1
x
0
Yukarıdaki şekilde ABCD karesinin iç bölgesinin
analitik ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
D)
y
x
0
E)
y
0
x
y
ESEN YAYINLARI
C)
A) |x| < 1 ve |y| < 1
B) x < 1 ve y < 1
C) |x| < 2 ve |y| < 2
D) |x| = 1 ve |y| = 1
E) |x| = 1 ve |y| < 1
22. 1989 – ÖYS
0
x
f(x) = |2 – x| – x fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
B)
y
y
2
–2
C)
–2
D)
y
aşağıdaki fonksiyonlar tanımlanıyor.
1 2
0
vardır?
x
–2
A) {(1, 11), (2, 10), (3, 12) }
B) {(1, 12), (2, 11), (3, 11) }
C) {(1, 10), (2, 10), (3, 11) }
D) {(1, 10), (2, 10), (3, 10) }
E) {(1, 12), (2, 11), (3, 12) }
E)
y
2
2
Bu fonksiyonlardan hangisinin ters fonksiyonu
x
0
–2
19. 1988 – ÖYS
{1, 2, 3 } kümesinden {10, 11, 12 } kümesine
2
x
0
0
x
1 2
–2
y
2
0
2
x
103
Fonksiyonlar
23. 1990 – ÖYS
25. 1997 – ÖYS
f : R – {2 } → R – {3 }
x – |y| < 0 bağıntısını sağlayan düzlemsel taralı
bölge aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y=x
f(x) =
y
y = –x
y=x
ax – 4
veriliyor.
3x – b
f(x) fonksiyonu bire-bir ve örten olduğuna göre
(a, b) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
x
0
x
0
A) (5, 4)
y = –x
C)
D)
y
y=x
B) (2, 3)
D) (6, 6)
C) (2, 6)
E) (9, 6)
y
y = –x
y=x
x
0
x
0
y = –x
26. 1997 – ÖSS
E)
y
y = –x
y=x
f(x) : R – {1 } → R – {3 } , x =
f ( x) + 2
olduğuna
3 – f ( x)
göre f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
x
0
x–3
x+1
ESEN YAYINLARI
A)
B)
x+3
x–2
2x + 1
3–x
D)
C)
E)
x+2
3–x
2x + 3
3–x
24. 1990 – ÖYS
Z 1
,
x<0
]
–1 , x < 0
f(x) = )
g(x) = [ x + 1 , 0 ≤ x < 1
x –1 , x≥ 0
] 0
,
1≤ x
\
olduğuna göre (f + g)(x) in grafiği aşağıdakiler-
27. 1997 – ÖSS
y
den hangisidir?
A)
f(x)
2
B)
y
y
2
0
1
–1
C)
2
0
x
0
x
1
D)
y
–3
y
1
x
0
E)
y
0
–1
104
0
1
x
Yukarıdaki grafiğe göre verilen f(x) fonksiyonu
[0, 2 ] de bire-bir ve örtendir.
Buna göre,
1
x
1
x
A) –
5
2
f (2) + f –1 (2)
değeri kaçtır?
f (f (1))
B) –
3
2
C) 0
D)
1
2
E)
3
2
Fonksiyonlar
28. 1997 – ÖYS
32. 1999 – ÖSS
y
f(x) = |x – 2| – |x| olduğuna göre,
f(–1) + f(0) + f(1) toplamı kaçtır?
A) – 4
B) –2
C) 0
D) 2
3
E) 4
f(x)
2
0
29. 1998 – ÖSS
g(x)
–2
2x + 1
fonksiyox –1
nunun değer kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
x
6
4
R – {1 } de tanımlanan f(x) =
A) R
B) R – {3 }
D) R – {1 }
Yukarıda f doğrusal fonksiyonu ile g fonksiyonunun grafikleri verilmiştir. Buna göre,
C) R – {2 }
(f –1og)(6) + (gof –1)(–1) değeri kaçtır?
E) R – {0 }
A)
3
2
B)
5
2
C) 0
D) 3
E) 9
30. 1998 – ÖYS
x < –3, f(x) = x2 + 6x – 2 olduğuna göre
A) –9 –
x+9
B) –3 –
x+9
C) –3 –
x + 11
D) 6 –
x + 11
E) 3 +
11x
31. 1998 – ÖSS
ESEN YAYINLARI
f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
33. 2000 – ÖSS
y
y
g(x)
3
g(x) = x3
2
0
8
1
2
3
4
f(x)
x
0
2
–2
x
4
f(x)
Yukarıda f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafiği
Yukarıdaki şekilde, f(x) fonksiyonu ile g(x) = x3
verilmiştir. Grafikteki bilgilere göre,
fonksiyonunun grafikleri verilmiştir. Buna göre
g (1) + (fog) (2)
değeri kaçtır?
f (4)
A) –
1
2
B) –1
C) 0
D) 1
(fog–1of)(0) değeri kaçtır?
E)
1
2
A) – 4
B) –2
C) 0
D) 4
E) 8
105
Fonksiyonlar
34. 2003 – ÖSS
37. 2007 – ÖSS
|3y – 9| – x = 0 bağıntısının grafiği aşağıdakiler-
f(x) = ||x – 3| – 2| fonksiyonunun grafiği ile
den hangisi olabilir?
g(x) = 4 fonksiyonunun grafiğinin kesim noktala-
A)
B)
y
rının apsisleri toplamı kaçtır?
y
A) 16
3
3
C)
D)
y
3
E)
9
C) 10
y
0
9
x
38. 2009 – ÖSS
y
y
0
f(x)
3
x
9
2
1
ESEN YAYINLARI
5
35. 2006 – ÖSS
1
f : c – , 3 m → R fonksiyonu
3
f(x) = log3(3x + 1) olarak tanımlanıyor. Buna göre
f–1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) f –1(x) = 3x
4
2
O
x
5
1
2
3
Yukarıda grafiği verilen f (x) fonksiyonu için
[– 5, 5 ] aralığında
| |f(x) | – 2 | =1
eşitliğini sağ-
layan kaç tane x değeri vardır?
B) f –1(x) = 3x + 1
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
3x – 1
D) f (x) =
3
–1
–1
C) f (x) = log(3x + 1)
E) f –1(x) =
E) 6
x
3
x3 + 1
3
36. 2007 – ÖSS
f (x) = 2 1– x 2
ile verilen
f
fonksiyonunun
gerçel sayılardaki en geniş tanım kümesi T ve
görüntü kümesi G = {f(x) | x ∈ T } olduğuna göre
T ∩ G kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [0, 1 ]
D) [0,
106
D) 8
3
x
0
–9
0
–9
x
0
B) 14
B) [1, 2 ]
2]
E) [1,
C) [2, 3 ]
2]
39. 2010 – LYS
f(x) =
2– x+3
fonksiyonunun tanım aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 3 ≤ x ≤ 5
B) –1 ≤ x ≤ 5
C) –3 ≤ x ≤ 4
D) –3 ≤ x ≤ 0
E) –5 ≤ x ≤ –1
Fonksiyonlar
40. 2011 – LYS
Aşağıda f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
42. 2012 – LYS
Z tam sayılar kümesi olmak üzere,
y
f : Z → Z fonksiyonu,
f(x)
4
3
f(x) = *
1
–4
–2
2
–1
Buna göre,
I.
g(x) = 3 – f(x – 2) olduğuna göre, g(–2) + g(5)
f bire birdir.
II. f örtendir.
toplamı kaçtır?
A) –3
x + 1 , x $ 0 ise
biçiminde tanımlanıyor.
x
3
x – 1 , x 1 0 ise
III. f nin görüntü kümesi Z \ { 0 } dır.
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
ESEN YAYINLARI
D) I ve II
43. 2012 – LYS
fonksiyonu, her x gerçel sayısı için
f : R → R parçalı fonksiyonu
f(x) < f(x + 2)
3x + 1 , x rasyonelse
x2
, x rasyonel de¤ilse
eşitsizliğini sağlıyor.
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
2
Buna göre, (fof) d
n aşağıdakilerden hangi2
sidir?
I.
B) v2 + 2
A) 3v2 + 2
D)
E) I ve III
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f
41. 2011 – LYS
f(x) = *
C) Yalnız III
5
2
E)
C)
7
2
1
4
f(1) < f(5)
II. | f(–1) | < | f(1) |
III. f(0) + f(2) < 2.f(4)
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
C) I ve III
E) I, II ve III
107
ESEN YAYINLARI
Fonksiyonlar
1.B
2.C
16.E
17.B
18.C
19.A
31.B
32.E
33.C
34.D
108
3.A
4.D
5.D
6.C
7.E
8.D
9.E
20.D
21.A
35.D
36.A
10.A
11.C
22.C
23.A
24.B
25.E
26.C
37.E
38.D
39.E
40.E
41.D
12.A
13.C
14.B
15.E
27.B
28.E
29.C
30.C
42.A
43.C
LİMİT VE SÜREKLİLİK
ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
Limit
1.
Kazanım
: Bir bağımsız değişkenin verilen bir sayıya yaklaşmasını örneklerle açıklar.
2.
Kazanım
: Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, soldan limiti ve sağdan limiti kavramlarını örneklerle
açıklar ve bir noktadaki limiti ile soldan, sağdan limitleri arasındaki ilişkiyi belirtir.
3.
Kazanım
: Limit ile ilgili özellikleri belirtir ve uygulamalar yapar.
4.
Kazanım
: Fonksiyonların limitleri ile ilgili uygulamalar yapar.
5.
Kazanım
: Genişletilmiş gerçek sayılar kümesini belirtir, fonksiyonun bir noktadaki limitinin sonsuz
olmasını ve sonsuzdaki limitini açıklar.
6.
Kazanım
: Trigonometrik fonksiyonların limiti ile ilgili özellikleri belirtir.
7.
Kazanım
: Belirsizlik durumlarını belirtir ve fonksiyonun belirsizlik noktalarındaki limitini hesaplar.
8.
Kazanım
: Bir dizinin limitini açıklar ve uygulamalar yapar.
9.
Kazanım
:
3
/
n=1
a 1 r n – 1 sonsuz geometrik dizi toplamının
|r| < 1 ise bir gerçek sayıya yaklaştığını,
|r| ≥ 1 ise bir gerçek sayıya yaklaşmadığını belirtir, yaklaştığı değer varsa bulur.
Süreklilik
1.
Kazanım
: Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği kavramını açıklar ve verilen bir fonksiyonun verilen bir noktada sürekli ya da süreksiz olduğunu belirler.
2.
Kazanım
: Bir noktada sürekli olan fonksiyonların toplamının, farkının, çarpımının ve bölümünün
sürekliliğine ait özllikleri ifade eder.
3.
Kazanım
: Fonksiyonun sınırlı olmasını açıklar, kapalı aralıkta sürekli fonksiyonların özelliklerini belirtir.
2. ÜNİT
LİMİT
Limit Özellikleri
y
y = f(x)
L+ε
lim f(x) = L1 , lim g(x) = L2 ve L1, L2, c ∈ R
x"a
x"a
olmak üzere
f(x)
L
®
L–ε
0
a–δ
x
a x a+δ
®
®
lim c = c
x"a
lim (f (x) " g (x)) = L 1 " L 2
x"a
Şekilde de görüldüğü gibi x a ya yaklaştıkça, f(x)
de L ye yaklaşmaktadır.
®
lim
x"a
®
f ( x) L 1
, (L 2 ≠ 0)
=
g (x ) L 2
x değişkeni bir a noktasına azalan değerlerle
(yani sağdan) yaklaştığında bir limiti varsa buna
®
lim (c.f (x)) = c . lim f (x) = c.L 1
x"a
x"a
fonksiyonun sağdan limiti denir ve lim f(x) = L
x " a+
biçiminde gösterilir.
®
®
lim (f (x) .g (x)) = L 1 .L 2
x"a
x değişkeni bir a noktasına artan değerlerle (yani
soldan) yaklaştığında bir limiti varsa buna fonksiyonun soldan limiti denir ve lim f(x) = K biçiminx " a–
Kritik Nokta
®
lim f(x) = lim f(x) = L ise lim f(x) = L dir.
x " a+
®
x " a–
®
x " a–
g (x) , g(x0) = 0 ise x0 kritik noktadır.
f(x) =
®
f(x) = loga g(x) , g(x0) = 0 ise x0 kritik noktadır.
®
f(x) =
®
f(x) = |g(x)| , g(x0) = 0 ise x0 kritik noktadır.
x"a
lim f(x) ≠ lim f(x) ise lim f(x) yoktur.
x " a+
2n
®
de gösterilir.
g (x)
, h(x0) = 0 ise x0 kritik noktadır.
h (x)
x"a
lim f(x) = L ifadesinde L varsa tektir.
x"a
®
L = ∞ ise limit yoktur denir ama
lim f(x) = ∞ şeklinde yazılır.
Limit Hesaplanırken;
x"a
®
®
+
h ∈ R olmak üzere,
ğilse, lim f(x) = f(x0) dır.
x " x0
lim f(x) = lim f(a + h)
x " a+
h"0
lim f(x) = lim f(a – h)
x " a–
h"0
xo noktası belirsizlik yaratmıyor ve kritik nokta de-
®
x0 noktası kritik nokta ise
lim+ f(x)
x " x0
bulunur. Bu değerler eşit ise limit vardır, eşit değil
ise limit yoktur.
110
lim– f(x) ve
x " x0
®
a ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere,
a
0
=1,
=0 , a "
a
a
∞=
0
Belirsizliği
0
"
∞
∞ + ∞ = ∞ , ∞ .∞ = ∞
®
a > 0 ise
a
" 3,
0+
a
"–3
0–
a
3
" 0,
" " 3 , a.3 " " 3
3
a
®
0
0
" 0, – " 0
0+
0
®
a " 3 0"
,
,
ifadeleri tanımsızdır.
0
0
0
Genellikle özdeşlikler kullanılarak çarpanlarına ayrılır
ve gerekli sadeleştirmeler yapılarak sonuç bulunur.
Bunlar sağlanmıyorsa türev konusunda anlatacağımız
L’HOSPİTAL yöntemi kullanılır.
3
Belirsizliği
3
®
f(x) = an xn + an–1xn–1 + . . . + a1x + a0
polinom fonksiyonunda,
®
lim f (x) = lim (a n x n)
x"–3
lim f (x) = lim (a n x n) dir.
0"
3
, 0.3,
, 3 – 3 , 1 3 ifadeleri belirsizdir.
3
0"
x"3
®
f (x) =
Trigonometrik Fonksiyonların Limiti
®
lim cos x = cos a
x"a
®
x"3
an xn + an – 1 xn – 1 + … + a1 x + a0
bm xm + bm – 1 xm – 1 + … + b1 x + b0
Z 0
, n < m ise
]
] an
lim f (x) = [
, n = m ise
x"3
] bm
] 3 veya – 3 , n > m ise
\
lim sin x = sin a
x"a
®
x"–3
lim tan x = tan a , (cosa ≠ 0)
x"a
®
lim cot x = cot a , (sina ≠ 0)
x"a
®
lim
x"0
®
lim
x"0
®
sin x
x
= lim
=1
x
x " 0 sin x
tan x
x
= lim
=1
x
x " 0 tan x
lim f (x) = 0 olmak üzere,
0.∞ Belirsizliği
0 .∞ belirsizlik durumunda, çarpanlardan birinin çarp0
3
maya göre tersi paydaya yazılarak
veya
belirsiz0
3
liklerinden birisi durumuna dönüştürülerek çözüm
yapılır. f(x) sınırlı bir fonksiyon ve
lim g (x) = 0 ise
x"a
lim 6f (x) .g (x)@ = 0 d›r.
x"a
x"a
lim
x"a
m.f (x)
sin (m.f (x))
m
= lim
=
n.f (x)
n
x " a sin (n.f (x))
m.f (x)
tan (m.f (x))
m
lim
= lim
=
n
f
x
tan
n
f
x
n
.
(
)
(
.
(
))
x"a
x"a
lim
x"a
sin (m.f (x)) m
tan (m.f (x))
= lim
=
n
sin (n.f (x)) x " a tan (n.f (x))
∞–∞
Belirsizliği
Bu tür belirsizliklerde, genellikle verilen ifade eşleniği
ile çarpılıp bölünür. Daha sonra uygun limit kuralları
yardımı ile çözülür.
lim
x"3
ax 2 + bx + c = lim c a . x +
x"3
b
m
2a
111
SÜREKLİLİK
1∞ Belirsizliği
lim b 1 +
x"3
lim+
a bx
l = e a.b
x
b
(1 + ax) x
A ⊂ R ve f : A ⎯→ R bir fonksiyon olsun.
a ∈ R olmak üzere, lim f (x) = f (a) ise
=e
a.b
x"a
dir.
x"0
f fonksiyonu, x = a noktasında süreklidir denir.
Sürekli olmayan fonksiyona ise süreksiz fonksiyon
denir.
Bir Dizinin Limiti
(an) bir dizi olmak üzere, n → ∞ için an bir a
sayısına yaklaşıyorsa (an) dizisinin limiti a dır ve
lim a n = a biçiminde gösterilir.
f fonksiyonu x = a da sürekli ise;
n"3
f(x), [1, ∞) aralığında tanımlı bir fonksiyon ve (an),
genel terimi an = f(n)
olan bir dizi olmak üzere,
®
f fonksiyonu, x = a da tanımlı olmalıdır.
®
f fonksiyonunun x = a da limiti olmalıdır.
®
f fonksiyonunun x = a daki limiti, fonksiyonunun
lim f (x) mevcut ise lim a n = lim f (x) tir.
n"3
n"3
x"3
Bir dizinin limiti bulunurken fonksiyon limiti ile
®
x = a için aldığı değere eşit olmalıdır.
ilgili kurallar aynen kullanılır.
Bu üç koşulun da gerçekleşmesi durumunda f fonksiyonu x = a noktasında süreklidir.
Geometrik Seri
Genel terimi geometrik dizi olan bir seriye geometrik
seri denir ve
3
/
n=1
a 1 .r n – 1 şeklinde gösterilir.
Sn = a1 ·
®
®
r < 1 ise
r ≥ 1 ise
3
®
1 – rn
olmak üzere
1– r
/
n=1
112
3
/
n=1
3
/
n=1
n.r n – 1 =
an =
a1
1– r
an = ! 3
1
dir. (|r| < 1)
^ 1 – rh2
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 1
Çözüm
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a.
lim (3x – 2)
x"2
b. lim (x – 2)sinx
x"0
c.
x2 + 1
x–2
lim
x"1
d. lim (log2x3)
x"4
2.
3.
4.
5.
lim (4x + 1) değeri kaçtır?
6.
x"1
lim (x2 + x + 1) değeri kaçtır?
7.
x"0
lim
x"0
lim
x2 + x + 1
değeri kaçtır?
x2 – x – 1
x " –1
(x + 2) (x 2 + 1)
değeri kaçtır?
1– x
lim (x + 2)cosx değeri kaçtır?
x"
r
2
ESEN YAYINLARI
1.
8.
9.
lim
x " –1
4x 2 + 5 değeri kaçtır?
lim |2x – |x – 6|| değeri kaçtır?
x"3
lim (log25x5) değeri kaçtır?
x"5
lim esinx değeri kaçtır?
x"0
10. lim
x"3
3–x
değeri kaçtır?
x –1
113
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 2
Çözüm
Z 2x + 1 , x ≤ 1
]
f : R → R, f(x) = [ x + 2 , 1 < x < 3
] 2
\x –3 , x≥3
fonksiyonuna göre, aşağıdakilerin değerlerini bulunuz.
a.
lim f(x)
x"1
b. lim f(x)
x"2
c.
1.
lim f(x)
x"3
f(x) = *
3x – 1 , x < 1
2x
d.
, x >1
lim f(x)
x " –1
olduğuna göre, lim f(x) kaçtır?
x"1
e.
2.
f(x) = *
x2 + 1 , x > 2
2x
, x≤2
f.
x"2
Z 2
] 2x – 1 , x ≤ –1
]
f : R → R, f(x) = [ 3x + 4 , –1 < x < 2
]]
3
\ x +1 , x ≥ 2
fonksiyonuna göre, aşağıdakilerin değerlerini bulunuz.
a.
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre, lim f(x) nedir?
3.
g.
h.
c.
114
lim f(x)
x " 2+
lim f(x)
x"2
lim f(x)
x " 1+
lim f(x)
x " –2
ı.
b.
lim f(x)
x " 2–
lim
f(x)
lim
f(x)
x " –1 –
x " –1 +
i.
lim f(x)
x " 1–
lim f(x)
x"3
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 3
Çözüm
y
4
2
0
–1
Yukarıda verilen
x
3
y = f(x)
fonksiyonunun grafiğine
göre, x = –1, x = 0 ve x = 3 teki sağ ve sol limitleri
bulunuz.
1.
h.
y
lim f(x)
x"3
1
–3
–2
–1
0
1
2
3
ı.
x
–2
–3
i.
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiği-
lim
x"–3
f(x)
lim f(x)
x"3
ne göre, aşağıdakilerin değerlerini bulunuz.
a.
lim
x " –3 –
f(x)
2.
y
b.
c.
lim
x " –3 +
lim
x " –2 –
f(x)
f(x)
ESEN YAYINLARI
2
1
–2
–1
0
1
2
x
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, aşağıdakilerin değerlerini bulunuz.
d.
lim f(x)
a.
x " –2
b.
e.
g.
f(x)
lim
f(x)
x " –1 +
lim f(x)
x"0
c.
f.
lim
x " –1 –
lim f(x)
x " 1–
lim f(x)
x"1
lim f(x)
x"2
d.
e.
lim f(x)
x " 1+
lim f(x)
x"2
115
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 4
Çözüm
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a.
b.
c.
d.
lim
5
x–2
lim
2
x –1
x " 2+
x " 1–
lim
x"0
lim
x " e+
1
x
x
1– ln x
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
2.
3.
4.
5.
lim
3
x–2
6.
lim
3–x
x2
7.
x " 2–
x " 0–
ESEN YAYINLARI
1.
–3
x
lim
2
x
9.
x +1
x2 – 4
10.
x " 0+
lim
x " 2–
116
3–x
x2 – x
lim
4–x
3x – 1
x " 0+
4
lim
x " 0+
lim
x " 0+
8.
lim 5 x – 3
x"3
–
lim
x +1
x 2 – 2x + 1
lim
–4
x2 + x – 6
x " 1–
x " 2+
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 5
Rehber Soru – 6
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a.
1
lim
x"3 x
b.
lim
x"–3
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
2 x
4 x
b. lim c m
a. lim c m
x"3 3
x"3 3
1
x
Çözüm
Çözüm
lim
x"3
3
değeri nedir?
x
1.
lim c
1 x +1
değeri nedir?
m
2
lim c
3 x –1
değeri nedir?
m
2
x"3
ESEN YAYINLARI
1.
2.
3.
4.
lim c 2 +
x"3
4
m değeri nedir?
x
lim c 1 –
x"–3
lim
x"–3
1
m değeri nedir?
x
4
değeri nedir?
2x – 1
2.
3.
4.
x"3
lim c
x"–3
2 1– x
değeri nedir?
m
5
–
lim b r
x"–3
1
x
x
x
– e + 3 l değeri nedir?
117
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 7
Çözüm
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
x2 – 4
x–2
a. lim
x"2
b.
lim
x " 1+
x2 – 1
1– x
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
2.
3.
4.
5.
6.
lim
x " –1
lim
x " 2+
lim
x " 2+
x2 – 1
x+1
7.
x–2
x2 – 4
8.
x2 – 2
x–2
9.
ESEN YAYINLARI
1.
x –1
x2 – 1
lim
x"1
4
lim
x " 16
x –2
x –4
x
+ 3x – 4 m
x
lim c
x " 0–
1–
1 – 2x 2
x2
lim
x3 – 1
x2 – 1
10. lim
lim
x +1 + x – 3
1– x
11.
lim
n+ 3
n+ 4 –1
lim
b3 – a3
b2 – a2
12. lim
2n + 1 – 3
n –2
x"1
x"1
b"a
118
x"0
n"–3
n"4
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 8
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a.
lim
x"3
3x 2 + x
x2 – 1
b. lim
x"3
x +1
x2 + 1
c.
lim
x"3
x2 + 1
x –1
Çözüm
2.
3.
4.
5.
lim
x"3
lim
x"3
2x + 1
değeri nedir?
3x – 1
+1
değeri nedir?
2x – 1
lim
–x + 1
değeri nedir?
3x 2 + x
lim
3x 4 – x 2 + 1
değeri nedir?
5x 4 + x – 1
x"3
7.
3x 2
x2 + 2
lim
değeri nedir?
–
x"3 x +1
x"3
6.
ESEN YAYINLARI
1.
8.
9.
4x 2 + 1 + 2x
değeri nedir?
9x 2 – 1 + 1
lim
x"3
lim
x"–3
e x + 1 – e –x
değeri nedir?
e –x – e x – 1
lim c log 3
x"3
lim
x"–3
10. lim
n"3
27x + 1
m değeri nedir?
3x + 2
2x – 4x 2 + 1
değeri nedir?
1 – 2x
3 n + 2.5 n
değeri nedir?
3.2 n + 5 n
119
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 9
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a. lim c
x"3
x2 + 1
–xm
x +1
b.
lim ^ x 2 + 9x – x h
x"3
Çözüm
1.
5.
1
4
değeri nedir?
lim c
–
x – 2 x2 – 4 m
6.
x"2
lim ^ x 2 + 1 –
x"3
x 2 + 3x h değeri nedir?
lim ^ x 2 + 3x –
x"–3
x 2 + 4 h değeri nedir?
ESEN YAYINLARI
2.
2
12
lim c
– 2
m değeri nedir?
x
–
3
x
–9
x"3
3.
4.
lim ^ x –
x"3
x 2 + 5x h değeri nedir?
lim ^ 4x 2 + 1 + 2x – 1 h değeri nedir?
x"–3
120
7.
lim [ log2(24x2 + 2x) – log2(3x2 + 1) ]
x"3
değeri nedir?
8.
lim c
x"0
2
4
–
m değeri nedir?
2x – 1 4x – 1
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 10
Çözüm
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a. lim
x"0
sin 3x
2x
b. lim
x"2
tan (x – 2)
3x – 6
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
2.
3.
4.
5.
lim
sin (2x – 2)
3 – 3x
6.
lim
x
tan 2x
7.
lim
sin (x – 1)
tan (3x – 3)
x"1
x"0
x"1
lim
r
x"
2
lim
x"0
cos x
r
x–
2
sin 2
x2
x
2
ESEN YAYINLARI
1.
8.
9.
10.
lim (2x.cot3x)
x"0
lim
x"2
x–2
rx
cos
4
lim c x. sin
x"3
1
m
x
lim c 2x. sin c
x"3
lim
x"0
1
mm
3x
sin x. sin 2x. sin 3x
x3
121
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 11
lim
r
x"
2
1 + cos 2x
ifadesinin eşiti nedir?
1 – sin x
Çözüm
2.
lim
1– cos x
ifadesinin değeri nedir?
x. sin 2x
5.
lim
cos x – sin x
ifadesinin değeri nedir?
cos 2x
6.
x"0
x"
3.
r
4
2
4
lim c
–
2x m
r 1 – sin x
cos
x"
ifadesinin
2
değeri
7.
nedir?
4.
a2
ifadesinin değeri nedir?
lim
a " 0 1– cos a
122
lim
sin 4a
ifadesinin değeri nedir?
2. cos 2a
lim
tan 2 2x
ifadesinin değeri nedir?
1 – cos 2x
lim
sin 3x + sin 5x
ifadesinin değeri nedir?
sin 4x + sin 6x
lim
4x 2
ifadesinin değeri nedir?
1 – cos 2x
r
a"
4
x"0
ESEN YAYINLARI
1.
8.
x"0
x"0
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 12
sin x
lim
x"3 x
Rehber Soru – 13
a, b ∈ R olmak üzere,
limitinin eşitini bulunuz.
lim
x"3
Çözüm
Çözüm
2.
3.
4.
lim
x"3
lim
x"3
cos x
değeri nedir?
x
3. sin 2x
değeri nedir?
4x
lim c 2x. sin c
x"0
lim c 3x. cos c
x"0
1.
ESEN YAYINLARI
1.
ax 2 + bx + 4
= 2 ise a + b kaçtır?
3x + 1
2.
lim
ax + 1 – 3
= b , b ∈ R ise a + b kaçtır?
x–2
lim c
x2 + 1
+ ax + b m = 2 ise b kaçtır?
x –1
x"2
x"3
1
m m değeri nedir?
x
3.
1
m m değeri nedir?
x
4.
lim
1– x – a
limiti varsa a kaçtır?
x–2
lim
x 2 + ax – 8 3
ise a kaçtır?
=
4
x 2 – 16
x"2
x"4
123
Limit ve Süreklilik
Çözüm
Rehber Soru – 14
Aşağıdaki dizilerin limitlerini bulunuz.
a. (an) = d
n2 + 1
n
2n 2 + 3
a. (bn) = c
2n – 1
m
n2 + 3
a. (cn) = c
n2 + 2
m
4n – 3
(an) = c
2n – 1
m
n+2
1.
5.
dizisinin limitini bulunuz.
2.
2n + 9n 2 + n – 1 n
lim d
3n + 2
n"3
limitinin eşitini bulunuz.
6.
1
(bn) = c
m
4n – 3
lim d
n"3
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)
n
(n + 1) (n + 2)
limitinin eşitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
dizisinin limitini bulunuz.
3.
(cn) = c
n3 + 1
m
n+2
7.
dizisinin limitini bulunuz.
(an) = d
(k – 4) n 2 + 3n – 2
n
3n + 1
dizisinin limiti m gerçek sayısına eşit olduğuna
göre m + k kaçtır?
4.
1+2+…+n
m
n2 – n + 1
n"3
limitinin eşitini bulunuz.
lim c
124
8.
(an) = f
(a – 3) n 3 + 2n 2 – 1
(b + 1) n 2 + 1
dizisinin limiti
p
4
olduğuna göre, a.b kaçtır?
3
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 15
Aşağıdaki dizilerin limitlerini bulunuz.
a. (an) = d
2n – 3n+1
n
1 + 3n
b.
(bn) = ^ 9n 2 + n – 3n h
Çözüm
2.
3.
7n – 3n
m
7n + 3n
dizisinin limitini bulunuz.
(an) = c
e n – rn
(an) = c n
m
e + rn
dizisinin limitini bulunuz.
(an) = ^ n 2 + n – n h
dizisinin limitini bulunuz.
4.
5.
ESEN YAYINLARI
1.
5n – 3n+1
n
5n+1 + 3n – 1
dizisinin limitini bulunuz.
(an) = d
lim ^ 4n 2 – n + 1 – 2n h
n"3
limitinin eşitini bulunuz.
6.
lim (3n + 1) sin
n"3
1
2n
limitinin eşitini bulunuz.
125
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 16
3
/
k=1
Rehber Soru – 17
1 k
c m ifadesinin eşitini bulunuz.
k=2 2
1
ifadesinin eşitini bulunuz.
k^ k + 1h
3
/
Çözüm
Çözüm
2.
1
ifadesinin eşitini bulunuz.
k = 1 ^ k + 1h^ k + 2h
3
/
3
/
1
k = 1 ^ k + 3h^ k + 4h
ifadesinin eşitini bulunuz.
1.
ESEN YAYINLARI
1.
2.
3.
3.
3
/
k=1
3
k=0
3
/
k=1
3
k=1
126
3 – k ifadesinin eşiti kaçtır?
3
/
k=–1
3
/
k=0
/
ifadesinin eşiti kaçtır?
1
ifadesinin eşiti kaçtır?
2 2k
1
ifadesinin eşitini bulunuz.
k^ k + 2h
4.
4.
k
/ c 12 m
1
ifadesinin eşitini bulunuz.
k^ k + 3h
5.
3
/
k=1
2 k + 1 ifadesinin eşiti kaçtır?
3k – 1
2.3 1 – k ifadesinin eşiti kaçtır?
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 18
3
/
k=1
Rehber Soru – 19
1 – 2k
ifadesinin eşitini bulunuz.
3k
3
/
k=1
3.
4.
5.
k=0
3
/
k=1
1 + 2k
ifadesinin eşitini bulunuz.
4k
1.
2k – 3k
ifadesinin eşitini bulunuz.
4k
2.
3
/
k=–1
3
/
k=0
3
/
k=0
1– 2 2k
ifadesinin eşitini bulunuz.
5k
ESEN YAYINLARI
2.
3
/
ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
1.
k.2 k – 1
3.
2k + 1 – 3k – 1
ifadesinin eşitini bulunuz.
4k
4.
2k – 2k + 1
ifadesinin eşitini bulunuz.
3k + 3k + 1
5.
3
/ k.31 – k
k=1
3
/
k=1
3
/
k=1
ifadesinin eşitini bulunuz.
k
ifadesinin eşitini bulunuz.
2k
k
ifadesinin eşitini bulunuz.
6k
/ ^– 1hn .
3
ifadesinin eşitini bulunuz.
2n
3
2
ifadesinin eşitini bulunuz.
3n
3
n=1
/
n=1
^ – 1hn ·
127
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 20
6 metre yükseklikten bırakılan bir top her seferinde düştüğü yüksekliğin 1 si kadar sıçramaktadır. Topun denge
2
durumuna gelene kadar aldığı dikey yollar toplamı kaç metredir?
Çözüm
1.
3.
4 metre yükseklikten bırakılan bir top her seferinde düştüğü yüksekliğin 1 si kadar sıçramakta2
dır. Topun denge durumuna gelene kadar aldığı
Bir kenarı a cm olan bir eşkenar üçgenin kenar
orta noktaları birleştirilerek yeni bir üçgen elde
ediliyor. Aynı işlem elde edilen yeni üçgenlere uygulanarak sonsuz çoklukta üçgenler elde ediliyor.
dikey yollar toplamı kaç metredir?
Bu üçgenlerin,
a. Çevreleri toplamı kaç cm dir?
ESEN YAYINLARI
b. Alanları toplamı kaç cm2 dir?
2.
Şekilde yan yana çizilmiş sonsuz çokluktaki dairelerden her birinin yarıçapı bir öncekinin yarıça3
ü kadardır. Bu dairelerden en büyük
pının
4
olanının yarıçapı 7 cm ise,
4.
Bir kenar uzunluğu 4 cm olan bir karenin içine
köşeleri bu karenin kenar orta noktaları olacak
şekilde yeni bir kare çiziliyor. Aynı işlem yeni elde
edilen karelere de uygulanarak sonsuz çoklukta
kare elde ediliyor. Bu karelerin,
a. Dairelerin çevreleri toplamı kaç π cm dir?
a. Çevreleri toplamı kaç cm dir?
b. Dairelerin alanları toplamı kaç π cm2 dir?
b. Alanları toplamı kaç cm2 dir?
128
Limit ve Süreklilik
Rehber Soru – 21
Z ax + 2 , x < 1
]
]
f(x) = [ 4
, x =1
]
] x+b , x >1
\
Çözüm
fonksiyonu R de sürekli ise a ve b değerlerini bulunuz.
1.
Z x+a , x<2
]
]
f(x) = [ 6
, x=2
]
] bx + 2 , x > 2
\
4.
Z 2x – 1 , x ≤ 1
]
]
f(x) = [ ax + b , 1 < x < 2
]
] 4–x , x≥2
\
fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise (a, b) nedir?
fonksiyonu R de sürekli ise a + b kaçtır?
2.
f(x) = *
ax + 2 , x ≥ –1
3x + b , x < –1
fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise a + b kaçtır?
ESEN YAYINLARI
(1, 0)
5.
fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise a kaçtır?
6.
3.
Z ax + 6 , x ≥ 3
]
f(x) = [ bx + 9
, x<3
]
\ x–3
fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise a.b kaçtır?
Z 3
]] x + 1 , x ≠ –1
f(x) = [ x + 1
]
a
, x = –1
\
Z
r
] –a + sin 2x , x <
4
]
]
r
, x=
f(x) = [ ab + 1
4
]
]
r
] –2 – sin 2x , x >
4
\
fonksiyonu x =
r
te sürekli ise a + b kaçtır?
4
129
Limit ve Süreklilik
Çözüm
Rehber Soru – 22
y
4
3
2
–5
–2
1
0
2
3
5
x
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz.
1.
1
y
3.
f(x) = 2 x + 1 + 3 fonksiyonunun süreksiz olduğu
3
noktanın apsisi kaçtır?
2
1
–5 –4
–2
0
2
5
x
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun
süreksiz olduğu noktaların apsisleri toplamı kaç-
4.
f(x) =
tır?
x2
2x 2 – x + 1
fonksiyonu ∀x ∈ R için
– 2mx – m + 2
2.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri x = 2 apsisli
noktada süreklidir?
I.
ESEN YAYINLARI
sürekli ise m hangi aralıkta değer almalıdır?
5.
f(x) =
f(x) = 3 – |x – 2|
3x + 1
fonksiyonu yalnız iki noktada
x 2 + 2bx + 4
süreksiz ise b nin alabileceği tam sayı değerlex+3 , x>2
II.
f(x) = *
III.
Z 2x – 1 , x > 2
]
, x=2
f(x) = [ 3
]
x
+
2
, x<2
\
IV. f(x) = *
rinin toplamı kaçtır?
2x + 1 , x < 2
x2 – 1 , x ≥ 2
5–x , x<2
6.
f(x) =
x2
x2 – 4
fonksiyonu x = 2 apsisli nok+ 6x + c
tada süreksiz olduğuna göre c kaçtır?
130
TEST – 1
1.
5.
y
4
x3 – x2 + x
limitinin eşiti nedir?
x2 + x
lim
x"0
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
2
0
–4
1
4
x
5
Şekilde verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine
göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
lim f(x) = 0
II. lim f(x) = 0
x"–4
x"0
III. lim f(x) = 4
IV. lim f(x) = 0
x " 4+
x"1
V.
lim f(x) = 2
2.
IV. lim f(x) = 2
x " 4–
A) 2
B) 3
x"5
C) 4
D) 5
A) –1
B) 0
C) 1
x"3
(x + 1) 10 + (x + 2) 10 + (x + 3) 10 + … + (x + 10) 10
x 10 + 10
A) 1
E) 6
D) 2
lim
ifadesinin değeri nedir?
4–x
limitinin eşiti nedir?
x–2
lim
x"4
6.
E) 4
7.
lim
n"1
A) 2
3.
lim
2x 2 + x
x"0
x2 – x
B) 0
D) 2
x " 3+
E) ∞
1– n
limitinin eşiti nedir?
n+ 3 – 2
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
E) Limit yoktur
x+3
limitinin değeri nedir?
3–x
A) – ∞
D) 1010
C) 1
8.
lim
C) 100
limitinin eşiti nedir?
A) –1
4.
B) 10
ESEN YAYINLARI
I.
B) –1
C) 0
D) 1
(an)
pozitif terimli ve yakınsak bir dizi olmak
üzere, (a2n + 1)2 + a3n – 6 = 0 ise lim(an) kaçtır?
E) ∞
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
131
Limit ve Süreklilik
lim
9.
x"0
x. sin 2x
ifadesinin değeri nedir?
1 – cos x
A) 16
B) 8
C) 4
D) 2
13.
E) 1
A) 3
14.
tan 2x
limitinin eşiti nedir?
10. lim
r 2x – r
x"
1
2
C) 0
D)
1
2
lim
11.
x"a
8x 2 – 8 a 2
sin (x – a)
15. f(x) =
ifadesinin değeri aşağıdakiler-
lim
12.
x"2
B) 4a
D) 16a
1. D
2. B
132
4
3
3. A
C)
4. A
5
3
E)
1
4
E
C) 3
D) 4
E) 8
x –1
fonksiyonu R – {2, 3 } de süx 2 + bx + c
B) 2
C) 3
3x – 2
, x<1
2x – a
, x≥1
D) 4
E) 5
fonksiyonunun x = 1 de sürekli olması için a nın
alabileceği değerlerden birisi aşağıdakilerden
D) 2
5. C
1
3
2
B) 2
16. f(x) = *
olduğuna göre, bu sayı kaçtır?
B)
D)
E) 24a
x 2 + bx – 6
ifadesinin değeri bir gerçel sayı
x2 – x – 2
A) 1
2
A) 1
C) 8a
1
2
rekli olduğuna göre, b + c kaçtır?
den hangisidir?
A) 2a
C)
log (16x + 2) + log 1 (2x + 3)
A) 1
E) 1
ESEN YAYINLARI
B) –
lim
x"3 ;
B) 1
limitinin eşiti nedir?
2
A) –1
2x + 3x
ifadesinin değeri nedir?
x +1
x " 3 1+ 3
lim
6. B
E)
hangisidir?
8
3
7. E
A) 2
8. B
9. C
10. E
B) 3
11. D
12. C
C) 4
13. D
D) 5
14. C
E) 6
15. A
16. B
TEST – 2
1.
y
5.
2
–4
–3
–2
0
1
6
B)
lim
tan x
A)
1
1
9+ n –3
limitinin eşiti nedir?
n
lim
n " 0+
1
4
C)
1
3
D)
1
2
E) 1
x
2
–1
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
C)
E)
2.
lim f(x) = 2
B) lim f(x) = –1
lim f(x) = 1
D) lim f(x) = 0
x " 0–
x"–3
x " 0+
6.
x " 1–
lim f(x) = 2
x " 1+
x " 3+
A) –1
r +
l
2
A) – ∞
x–3
+ x n limitinin değeri kaçtır?
3–x
lim d
x "b
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
7.
lim
x"
r
4
A)
3.
lim
x"3
A) –
4.
lim
x"4
A) –
3x – sin x
limitinin değeri nedir?
2x
1
2
B)
1
2
C) 1
D)
3
2
B) –
1
4
C) 0
D)
1
4
B) –1
C) 0
D) 1
E) ∞
4 . cos 2x
limitinin eşiti nedir?
sin 4x
2
2
B) 1
2
C)
D)
3
2
E) 2
E) 2
1
x –2
ifadesinin değeri kaçtır?
4–x
1
2
limitinin değeri nedir?
ESEN YAYINLARI
A)
8.
E)
1
2
lim
x"3
A) 1
2 + 3x
5–
1
2x
B)
limitinin değeri nedir?
3
4
C)
1
2
D)
1
3
E)
2
5
133
Limit ve Süreklilik
lim ( 1 + 2 n + 4 n ) ifadesinin değeri nedir?
9.
13.
n"–3
A) – ∞
B) 0
C) 1
D) 2
E) ∞
lim
x"1
x 3 – x 2 + ax + b
(x – 1) 2
ifadesinin sonucu bir reel
sayıya eşit ise a kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
14. a ve b reel sayı olmak üzere,
lim ;
sin rx
10. lim 2
limitinin değeri nedir?
x"1 x –1
r
2
B) –
r
4
C) –
D)
r
2
A) –5
E) π
ESEN YAYINLARI
A) – π
x"3
2x 2 + x – 1
+ ax – b E = 6 ise a + b kaçtır?
x –1
15. f(x) =
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1
x 2 – x – 6 fonksiyonunun sürekli olduğu
aralık aşağıdakilerden hangisidir?
x. sin x
limitinin eşiti nedir?
1– cos x
lim
11.
x"0
1
2
A)
2
2
B)
C)
3
2
D) 1
A) [–2, 3 ]
B) [0, 3 ]
D) (0, ∞)
C) (–2, 3)
E) R – (–2, 3)
E) 2
Z ax – 4 , x > 1
]
, x=1
16. f(x) = [ 2
]
x
+
b
, x<1
\
lim
12.
x"0
A) 0
1. C
2. D
134
fonksiyonu her x ∈ R için sürekli ise (a, b) ikilisi
2x + tan x
limitinin eşiti nedir?
sin 3x
B)
1
3
3. D
C)
4. B
2
3
D) 1
5. A
6. A
aşağıdakilerden hangisidir?
E)
A) (6, –1)
4
3
7. E
B) (6, 0)
D) (4, –1)
8. B
9. C
10. B
11. E
12. D
C) (6, 1)
E) (4, 1)
13. B
14. A
15. E
16. C
TEST – 6
1.
1
y
5.
1
1
lim d + e x + r x n limitinin eşiti nedir?
x"3 x
2
A) 0
1
2
4
C) 2
D) 3
E) ∞
x
0
–2
B) 1
–2
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre,
lim (fof) (x) + lim (fof) (x)
x " –2
x"4
ifadesinin değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
6.
lim [tanx + ln(x + e) ] limitinin eşiti nedir?
x"0
A) 0
B) 1
C) 2
D) e
E) ∞
1
8
7.
lim
1
4
C) –
1
2
D) –1
E) –2
x"a
B) 6
C) 5a
D) 6a
E) 10a
3–x
lim d
+ 2x n limitinin eşiti nedir?
3–x
x " 3–
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
8.
4.
B) –
x 2 + 4ax – 5a 2
limitinin eşiti nedir?
x–a
A) 5
3.
x–2 –2
limitinin eşiti nedir?
x–2
ESEN YAYINLARI
A) –
2.
4–
lim
x " 2+
x3 – 1
ifadesinin değeri nedir?
lim 4
x –1
x"1
A) 14
B) 12
C) 10
D) 8
lim
x " – 3+
5
x+3
ifadesinin değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
E) 6
A) – ∞
B) 0
C) 1
D) 5
E) ∞
141
Limit ve Süreklilik
lim
9.
n
/
n"3 k=1
A) –2
13. a ve b birer reel sayıdır.
1
limitinin eşiti nedir?
k (k + 1)
B) –1
C) 1
D) 2
ax – 6
= b ise a.b kaçtır?
x–3
lim
x"3
E) 4
A) 2
lim
10.
x"0
1 – cos 2x
ifadesinin değeri nedir?
tan 2 2x
B) 2
C) 1
D)
1
2
E)
lim
x"r
B)
1
2
C) 1
D)
3
2
y"0
D) 6
E) 8
ifadesinin değeri aşağıdaki-
B) x
C) 0
D) 1
E) 2
1
lim b cos x + r x l limitinin eşiti nedir?
x"0
1 + cos x
limitinin eşiti nedir?
sin x
A) 0
(x + y) 2 – x 2
y
lim
A) 2x
15.
11.
C) 4
lerden hangisidir?
1
4
ESEN YAYINLARI
A) 4
14.
B) 3
–
A) 0
B) 1
C) 2
D) π
E) 1 + π
E) 2
Z 3x + 1 , x < 1
]
16. f(x) = [ ax + b , 1 ≤ x < 4
]
\ x+2 , x≥4
lim c x . sin
12.
x"3
A) 0
1. D
2. B
142
fonksiyonu her x gerçel sayısı için sürekli ise a.b
2
m limitinin eşiti nedir?
x
B)
1
4
3. C
C)
4. B
1
2
D) 1
5. C
6. B
kaçtır?
A)
E) 2
7. D
8. E
9. C
10
9
10. D
B)
11. A
5
3
12. E
C) 2
13. C
D)
20
9
14. A
E)
15. B
25
9
16. D
TEST – 7
1.
lim
x " –2
2x + 5
ifadesinin değeri kaçtır?
x+1
A) –2
2.
B) –1
C) 1
D) 2
5.
E) 4
lim (3x – 1) limitinin eşiti nedir?
6.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
n –4
limitinin eşiti nedir?
n –8
n " 64
A)
x " 2+
3
lim
lim
x"y
1
4
B)
1
3
C)
1
2
D) 1
E) 2
sin 2 x – sin 2 y
ifadesinin değeri kaçtır?
x2 – y2
A) siny
B) cosy
E) – siny
sin 2y
2y
ESEN YAYINLARI
D) coty
C)
3.
lim c 3 +
x " 0–
A) 1
4.
lim
x"0
x
m limitinin eşiti nedir?
x
B) 2
1
1 + 3x
A) – ∞
D) 4
E) 5
lim
x"0
sin 3 x
limitinin eşiti nedir?
x
A) 0
B)
8.
limitinin eşiti nedir?
B) 0
C) 1
D) 2
E) ∞
1
3
c
(an) = 2 n + e
1
2
+
C) 3
7.
A) 0
n–1
n2 m
B) 1
C)
1
2
D) 1
E) 3
dizisinin limiti nedir?
C) 2
D) e
E) 2 + e
143
Limit ve Süreklilik
lim
9.
x"r
1 + cos x
ifadesinin değeri kaçtır?
sin 2 x
A) 2
2
B)
C)
2
2
D) 1
E)
13.
1
2
14.
D) 1
lim
11.
x"3
A) 0
B)
1
2
C) 1
1
2
lim
n"0
1. B
2. D
144
B)
1
2
D) 2
3. B
C) 1
4. B
D)
5. B
1
4
C) –
1
8
D)
1
4
E)
1
2
2x + n , x ≠ –1
x+5
, x = –1
kaç olmalıdır?
E) 3
A) 3
n+4 –2
limitinin eşiti kaçtır?
n
1
4
A)
B) –
fonksiyonunun x = –1 de sürekli olması için n
16. f(x) =
12.
E) 2
1
4
limitinin değeri kaçtır?
lim c
+
x + 2 x2 – 4 m
15. f(x) = *
2 + 3x
limiti kaçtır?
4 + 5x
2
2
D)
2
2
C) –
x " –2
A) –
4
E)
3
ESEN YAYINLARI
A) 0
3
C)
4
B) – 2
A) –2
sin 2x + sin 4x
10. lim
değeri kaçtır?
x " 0 sin 3x + sin 5x
1
B)
2
1 – cos 2x
limitinin değeri kaçtır?
x
lim
x " 0–
B) 4
x+2
x2 – x
C) 5
D) 6
E) 7
fonksiyonunun süreksiz olduğu
noktalar kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
3
2
E) 2
6. C
7. A
A) {0 }
B) {–1, 0 }
D) {0, 1 }
8. C
9. E
10. C
11. A
12. A
C) {–1, 1 }
E) {–2, 0, 1 }
13. B
14. B
15. D
16. D
TEST – 11
1.
f(x) = x2 – 3x + 2 fonksiyonuna göre,
5.
f (x) – f (1)
limitinin eşiti nedir?
x2 – 1
lim
x"1
A) –1
1
B) –
2
C) 0
1
D)
2
x"0
B)
1
2
C) 1
D)
B) 1
C) 2
D) 4
E) ∞
2
lim
x " 2+
x–2
limitinin eşiti nedir?
x 2 – 2x + 1
A) 0
B)
1
4
C)
1
2
D) 1
E) 2
E) 2
ESEN YAYINLARI
A) 0
1
4x – 2 x
m limitinin eşiti nedir?
2x + 1
E) 1
x+1 –1
ifadesinin değeri nedir?
x
lim
x"–3
A) 0
6.
2.
lim c
3.
x + 2 ise
f(x) = x + 2 ve g(x) =
7.
lim (fog)(x) kaçtır?
tan (x – 2)
limitinin eşiti nedir?
r
cot b x – 2 + l
2
lim
x"2
x"7
A) 3
4.
lim
x " –1
A)
3
2
B) 4
x3 + 1
x+ x+2
B) 1
C) 5
D) 6
E) 7
limitinin eşiti nedir?
C)
1
2
D) 0
A) –1
8.
E) –1
lim
x " 0+
A)
1
9
B) 0
C) 1
D)
3
E) 2
sin x
ifadesinin değeri nedir?
sin 9x
B)
1
3
C) 1
D) 3
E) 9
151
Limit ve Süreklilik
x " –1
sin (x + 1)
ifadesinin değeri nedir?
x2 – 1
A) –1
lim
10.
x"3
1
2
C) 0
D)
1
2
lim
x"–3
B) – π
C) –3
4x 2 – 6x + 1 + x + 2
3x – 2
D) –2
14.
E) –
3
2
B) –
2
3
C) –
1
3
ifadesinin değeri
D)
1
3
x"3
1
2
lim
x"1
B) 1
C)
3
2
D) 2
E) 3
x 3 + x 2 + mx + n
= 6 ise n kaçtır?
x2 – 1
A) –9
nedir?
A) –1
9x 2 + 2 + 3
ifadesinin değeri kaçtır?
2x + 1
lim
A)
E) 1
e x – 3.rx
limitinin eşiti nedir?
2.rx + e –x
A) – e
11.
B) –
13.
ESEN YAYINLARI
lim
9.
B) –7
C) –3
D) 3
E) 7
Z –x
, x>0
]]
x+2
15. f(x) = [
]] x
, x≤0
2
\x –4
bağıntısı hangi x değerinde süreksizdir?
E) 1
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
12. a ∈ R olmak üzere,
lim
x"3
(a – 1) x 2 – x + 2
= 2 ise a aşağıdakilerax 2 + 2x – 1
16. f(x) =
den hangisine eşittir?
A) –2
1. B
2. B
152
B) –1
3. C
C) –
4. A
x
x+2
+
x2 – 1 x2 – 4
fonksiyonu aşağıdaki
noktaların hangisinde süreklidir?
1
2
5. B
D)
1
2
E) 1
6. A
7. A
A) –2
8. B
9. B
10. E
B) –1
11. A
12. B
C) 0
13. C
D) 1
14. A
E) 2
15. A
16. C
TEST – 12
1.
5.
y
y
4
3
2
3
3
2
–3
–1
x
0
1
0
2
3
Yukarıdaki grafiği verilen
x
4
f(x)
y = f(x) in grafiği verilmiştir.
fonksiyonunun
x in 2, 3, 4 değerlerinden bazıları için var olan
lim
limitleri toplamı kaçtır?
2.
B) 2
lim c 2 +
x " 0+
A) 0
3.
C) 3
x " –1
D) 4
E) 5
x
m limitinin eşiti nedir?
x
B) 1
C) 2
D) 3
f 3 (x) + f (x + 1)
limitinin eşiti nedir?
(fof) (x)
A) –8
ESEN YAYINLARI
A) 1
E) 4
6.
7.
x"2
A) 32
B) 34
C) 36
D) 38
2
2
lim c
x"3
lim
x"1
A) – 2 B) –1
C) 0
D) 1
B)
8.
E)
2
lim
x"0
A) –
D) –
29
3
E) –10
1
2
C) 1
2
D)
E) 2
2x
E) 40
x– x
limitinin değeri nedir?
1– x
28
3
1 x+1
limitinin eşiti nedir?
m
x
A) 0
4.
C) –
h + 1 –1
limitinin eşiti nedir?
h
lim
h"0
A)
B) –9
f(x) = x2 + 2 olmak üzere,
lim (fof) (x) limitinin eşiti nedir?
y = f(x)
–3
B)
1
2
C) 1
D) 2
E) ∞
3x – sin 4x
ifadesinin değeri nedir?
5x
4
5
B) –
1
5
C) 0
D)
3
5
E)
4
5
153
Limit ve Süreklilik
lim
9.
x"3
4
5
x–3
limiti kaçtır?
x–3
A) –1
B) 0
C) 1
13.
D) 2
7x 2 + 4x 4 + x + 1
ifadesinin değeri kaç2 – 3x
lim
x"3
tır?
E) 3
A) –2
14.
1
x
lim b 5 x + 7 + 3 l limiti kaçtır?
10.
C) 3
D) 4
lim
11.
x"3
A)
E) 5
2x 2 + x – x
limitinin eşiti nedir?
x2 + 3 x
A) 1
B)
3
2
C)
2
D) 2
1
3
5x – a
ifadesi bir reel sayıya eşit ise a
x"1 x + 3 – 2
kaçtır?
1. A
2. D
154
B) 2
3. D
C) 3
4. B
D) 4
5. D
6. B
2
2
16. f(x) =
2
3
C) 1
D)
3
2
E) 3
A) –2
8. B
B)
1
4
C)
1
2
D) 1
2
E)
1 – x2
2x
+
fonksiyonu aşağıdaki x
x2 – 1 x2 – 4
değerlerinden hangisinde süreklidir?
E) 5
7. A
B)
kaç olmalıdır?
E) ∞
lim
A) 1
E) 2
Z
] 2x – 2 , x ≠ 2
15. f(x) = [ x – 2
]
n
, x=2
\
fonksiyonunun x = 2 de sürekli olması için n
A)
12.
D) 1
limitinin eşiti nedir?
ESEN YAYINLARI
B) 2
C) 0
1 1 1
1
lim c 1 + + +
+…+ n m
3
9
27
3
n"3
x"–3
A) 1
B) –1
9. B
10. D
B) –1
11. D
12. E
C) 0
13. B
D) 1
14. D
E) 2
15. C
16. C
Seriler
TEST – 14
1.
1 k
c m ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangik=0 2
3
/
5.
sidir?
A)
2.
1
2
3
/
k=1
gisidir?
B) 1
C)
3
2
D) 2
A) 1
6
E) 4
1
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hank^ k + 1h
6.
3
/
n=1
c–
B) 1
5
C) 1
4
D) 1
3
E) 1
2
2 n
m ifadesinin eşiti aşağıdakilerden han3
gisidir?
gisidir?
B)
1
2
C) 1
D)
2
3
A) 2
5
E) 3
B) 1
5
C) – 1
5
D) – 2
5
E) – 3
5
ESEN YAYINLARI
A) 0
1 2k + 1
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hanc m
k=1 2
3
/
3.
3
/
k=1
7.
2.3 – k
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangi-
4.
1
3
n=2
2 1 – n ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangi-
sidir?
sidir?
A)
3
/
B)
1
2
C) 1
D)
2
3
A) 1
8
E) 3
1 k –1
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
c m
k=–1 3
B) 1
6
C) 1
4
D) 1
2
E) 1
3
/
hangisidir?
A)
9
2
B)
15
2
C) 9
D) 12
E)
27
2
8.
3
/
k=0
2k – 3k
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden han4k
gisidir?
A) –2
B) –1
C) –
1
2
D)
1
2
E) 1
157
Limit ve Süreklilik
9.
3
/
k= –1
1 – 2k
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden han4k
13.
/ ^– 1hn c 5n m
3
4
n=1
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
gisidir?
B) 4
3
A) 1
C) 2
D)
7
3
A) –2
E) 3
B) –1
C) –
1
2
D) 1
2
E) 1
14. 10 m yükseklikten bırakılan bir top her seferinde
düştüğü yüksekliğin yarısı kadar sıçramaktadır.
Top denge durumuna gelene kadar aldığı dikey
10.
1 + 2 2n
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden han5n
3
/
n=0
yolların toplamı kaç metredir?
A) 20
gisidir?
B)
19
4
C) 5
D)
25
4
11.
3
1
k=1
k 2 + 3k + 2
/
ediliyor. Aynı işlem elde edilen yeni üçgenlere
de uygulanarak sonsuz çoklukta üçgenler elde
ediliyor. Bu üçgenlerin alanları toplamı kaç cm2
dir?
A) 9v3
B) 10v3
D) 12v3
B) 1
1
D)
3
E) 36
orta noktaları birleştirilerek yeni bir üçgen elde
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
1
C)
2
D) 30
15. Bir kenarı 6 cm olan eşkenar üçgenin kenar
hangisidir?
3
A)
2
C) 26
E) 6
ESEN YAYINLARI
A) 4
B) 24
C) 11v3
E) 13v3
1
E)
6
16. Bir kenar uzunluğu 2 cm olan karenin içine köşeleri bu karenin kenar orta noktaları olacak şekilde
yeni bir kare çiziliyor. Aynı şekilde sonsuz çoklukta kare çizildiğinde oluşan tüm karelerin çevreleri
12.
3
/
n.2 – n
n=1
toplamı kaç cm dir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangi-
sidir?
A) 1
1. D
2. C
158
B)
3
2
3. C
D) 5
2
C) 2
4. E
5. A
6. D
E) 3
7. E
A) 16(v2 + 2)
B) 8(2 – v2)
C) 16v2 + 9
D) 8(4 + v2)
E) 8(v2 + 2)
8. A
9. B
10. D
11. C
12. C
13. B
14. D
15. D
16. E
I.
Sol sütunda verilen geometrik serilerin eşitini sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
k
/ c 12 m
3
a.
b.
c.
d.
1.
1
2
2.
10
3
3 –k
3.
2
1 k+1
m
2
4.
4
3
5.
4
2
m
n
1.
–2
n – 2n 2
n
n2 + 1
2.
2
3.
0
2
m
4n + 3
4.
1
2
1+2+…+n
m
3n 2 – 1
5.
1
6
k=0
k
/ c 23 m
3
k=2
3
/
k=1
3
/
k = –2
c
/ d 1 + k2
3
e.
II.
4
n
Sol sütunda verilen dizilerin limitini sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
a.
(a n) = c n. sin
b.
(b n) = d
c.
d.
e.
III.
k=0
k
(c n) = ^ n 2 + n – 1 – n h
(d n) = c
(e n) = c
Sol sütunda verilen fonksiyonların süreksiz olduğu noktalar kümesini sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
a.
f(x) =
x2 – 1
x2 + 4
1.
{1}
b.
f(x) =
x2 – 1
x2 – 4
2.
{–2, 2}
c.
f(x) =
x+2
x3 – 1
3.
∅
d.
f(x) =
x–3
x2 – x
4.
{–4, 4}
e.
f(x) =
x+2
x –4
5.
{0, 1}
165
1
2
3
4
5
6
8
9
7
10
11
12
13
SOLDAN SAĞA
3. Art arda gelen iki terim arasında sabit bir oran
bulunan seri
4. Koordinat eksenlerinden birisi
6. Limiti var olan dizi
8. Roma rakamlarında gösterilemeyen tek rakam
10. Tek değişkenli gerçel fonksiyonlar için, “grafiği
el kaldırmadan çizebilme” şartının soyutlanma-
YUKARIDAN AŞAĞIYA
1. Tanımsız ve boyutsuz
2. a ≠ 0 olmak üzere,
a
durumu
0
5. Sınır, uç nokta
7. (an) bir dizi olmak üzere,
Sn = a1 + a2 + … + an + … toplamı
9. Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan küme
sıyla ulaşılmış bir kavram
10. Matematiksel işlemlerde sürekli artan veya sü12. Limitte karşılaşılan bazı durumlar
13. Çözümleme
166
rekli azalan anlamlarında kullanılan bir sıfat
11. Tanım kümesi sayma sayıları olan fonksiyonlar
Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz.
1.
x değişkeni bir a noktasına azalan değerlerle yaklaştığında bir limiti varsa buna fonksiyonun
.......................................... limiti denir.
2.
a ∈ R olmak üzere lim f (x) = f (a) ise f fonksiyonu x = a noktasında ...........................................
x"a
denir.
y
3, 4, 5, 6, 7 ve 8. sorulardaki boşlukları
3
yandaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğin-
2
den yararlanarak doldurunuz.
3.
5.
7.
–2
lim f (x) = ....................
4.
lim f (x) = ....................
6.
lim f (x) = ....................
8.
x"–3
x " 0+
x"3
9, 10 ve 11. sorulardaki boşlukları yandaki
f(x) parçalı fonksiyonundan yararlanarak
cevaplayınız.
9.
lim f (x) = ....................
x"1
10.
1 2
x
3
lim f (x) = ....................
x " 0–
lim f (x) = ....................
x " 2–
lim f (x) = ....................
x " 2+
Z
2
] x –1
x –1
]
]]
f (x) = [ 3x – 1
]
] tan (3x – 9)
]]
x–3
\
lim f (x) = ....................
x"3
0
11.
,
x <1
, 1 ≤ x < 3
,
x≥3
lim f (x) = ....................
x"2
167
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.
1.
x değişkeni bir a noktasına artan değerlerle yaklaştığında bir limiti varsa buna fonksiyonun
soldan limiti denir.
2.
∞ + ∞ = ∞ dur.
3.
∞ – ∞ = 0 dır.
4.
5.
lim
x"a
lim
x"3
sin ax a
dir.
=
tan bx b
ax 2 + bx + c = lim
x"3
a x+
b
2a
dır.
6.
f(x) fonksiyonunun x = a noktasında limiti varsa, f(x) bu noktada süreklidir.
7.
f(x) fonksiyonu x = a noktasında sürekli ise bu noktada limiti vardır.
8.
Bir fonksiyonun bir aralıktaki grafiği el kaldırılmadan çizilebiliyorsa fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
9.
|r| < 1 olmak üzere
10.
|r| < 1 olmak üzere
168
3
/
n=1
3
/
n=1
n.r n – 1 =
1
dir.
(1 – r) 2
a 1 .r n – 1 =
a1
dir.
1– r
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
1.
1981 – ÖYS
5.
sin ra
lim
2
a " 1 1– a
ifadesinin değeri aşağıdakilerden
1987 – ÖYS
lim
y"x
y3 – x3
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
y2 – x2
hangisidir?
A)
2.
3r
2
2r
3
B)
C) π
D)
r
4
E)
A) 0
r
2
1982 – ÖYS
sin x – cos a
ifadesinin (limitinin) değeri nelim
x " a cos x – sin a
6.
dir?
A) tg a
B) – cot a
D) –1
C) – tg a
E) 1
x"
3
A) 2 3
3
B)
C) 0
D) – 3
1
2
7.
D)
2
x
3
E) ∞
B) –
1
4
C) 0
D)
1
4
E)
1
2
E) –2 3
1987 – ÖYS
3
n
/ c 23 m geometrik serisinin değeri nedir?
n=0
A) 1
2
4.
C) 2x
ESEN YAYINLARI
1982 – ÖYS
2 sin x – tan x
limitinin değeri nedir?
lim
cos x
r
3
x
2
1987 – ÖYS
r
cos b x l
2
değeri kaçtır?
lim
x " 1 sin (rx)
A) –
3.
B)
B) 2
3
C) 1
D) 2
E) 3
1984 – ÖYS
y
4
3
y=f(x)
2
1
0
8.
2
3
x
4
f, grafiği yukarıda verilen bir fonksiyondur.
Bu fonksiyonun x in 2, 3, 4 değerinden bazıları
fonksiyonu hangi x değerinde süreksizdir?
için var olan limitleri toplamı kaçtır?
A) 4
170
B) 5
C) 6
D) 7
1988 – ÖYS
Z x
, x > –1
]
] 3
f(x) = [
]] 1
, x≤ –1
2
\ x –4
E) 8
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Limit ve Süreklilik
9.
1988 – ÖYS
2 cos x – 1
değeri nedir?
lim
r tan x – 3
x"
13. 1991 – ÖYS
lim
r
x"
6
3
A) –2 3
B) –
3
2
D) 2 3
C) –
3
4
A) 0
1
B)
16
1
C)
8
1
D)
4
3 –1
B)
E) 4 3
D)
3
(1 + 3 )
r
E)
C)
1
(1 –
2
3)
3
r
14. 1991 – ÖYS
10. 1988 – ÖYS
3
/ 1n toplamının değeri nedir?
n=3 2
1
A)
32
sin x + cos x
değeri kaçtır?
r
–x
3
n elemanlı bir kümenin r-li bütün kombinasyonlarının (kombinazonlarının) sayısı
1
E)
2
C(n, r)
ile
gösterildiğine göre,
lim
ESEN YAYINLARI
n"3
C (n , 1) .C (n , 4)
C (n , 2) .C (n , 3)
değeri kaçtır?
A)
1
4
B)
1
3
C)
1
2
D) 1
E) 2
11. 1989 – ÖYS
3
lim
x " 64
A) 0
x –4
değeri nedir?
x –8
B)
1
3
C)
2
3
D)
3
2
E) 3
15. 1991 – ÖYS
3
/ 12k ifadesinin değeri kaçtır?
k=0 3
A) 9
8
B) 3
8
C) 3
5
D) 3
4
E) 4
3
12. 1990 – ÖYS
lim
x"2
x 3 – 8x + 8
aşağıdakilerden hangisine eşitx 4 – 4x
tir?
A) –1
B) –
1
7
C) 0
D)
1
7
E) 1
16. 1992 – ÖYS
1
4
lim c
– 2
m değeri kaçtır?
x –4
x"2 x – 2
A) –
1
8
B) –
1
4
C) 0
D)
1
4
E)
1
8
171
Limit ve Süreklilik
17. 1992 – ÖYS
sin (x 2 – 4)
lim d
n değeri kaçtır?
x 4 – 16
x"2
A) 1
B)
1
2
C)
1
4
D)
1
6
E)
21. 1993 – ÖYS
Z mx + n , 1 < x ise
]
f(x) = [ 5
, x = 1 ise
] 2
x
+
m
, x < 1 ise
\
1
8
fonksiyonu R de sürekli olduğuna göre, n kaçtır?
A) –2
18. 1992 – ÖYS
1
lim
x"–3
x"3
B) –1
C) 0
D) 1
C) 1
D) 6
E) 7
22. 1994 – ÖYS
x
lim b 7 x + 5 + 1 l değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
x 3 – 3x 2
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
x2 – 3
E) 2
3
2
B)
1
2
C) 0
D) 3
E) 6
ESEN YAYINLARI
A)
19. 1993 – ÖYS
cos x – 2 sin x – 1
değeri kaçtır?
lim
cos
2x + sin 2x – 1
x"0
A) –
1
2
B) –1
C) 0
D)
1
2
23. 1994 – ÖYS
lim
E) 1
x"
2
f(x) = 2x + 3 olduğuna göre,
A) 0
172
lim
c"x
f (1 + h) – f (1)
değeri kaçtır?
h
B) 2
1
4
1
2 değeri kaçtır?
B) –
1
8
C) –
1
1
D)
16
2
E)
1
8
24. 1995 – ÖYS
20. 1993 – ÖYS
h"0
sin 4x
r
4
A) –
lim
sin 2 x –
C) 3
D) 4
16x 2 – 16c 2
değeri aşağıdakilerden hangi4 sin (x – c)
sine eşittir?
E) 5
A) 4
B) 18
C) 8x
D) 16x
E) 32x
Limit ve Süreklilik
25. 1995 – ÖYS
29. 1998 – ÖYS
1
4
lim d
–
n değeri kaçtır?
x –2 x–4
x"4
m, n gerçel sayılar, m – 6n = 0 ve
(2n – 10) x 3 + (m – 3) x 2 + 2x – 3
=2
mx 3 – nx 2 + 7x + 5
lim
x"3
A) 4
B) 3
C) 2
D)
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 8
B) 1
C) –1
D) –7
1 + yn
3n
n=1
toplamı aşağıdakilerden hangisine
lim f(x) = a ve
eşittir?
x " 0+
1
3–y
B)
3
3–y
D) 3y
C)
E)
3
y
olduğuna göre, a – b kaçtır?
3+y
6 – 2y
A) –2
27. 1997 – ÖYS
x"
3
2
1
cos x –
2
sin x –
lim
r
6
3
A)
B) 2
lim f(x) = b
x " 0–
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
ESEN YAYINLARI
A)
1
4
30. 2006 – ÖSS
Z
] x , x ≠ 0 ise
f(x) = [ x
] 3 , x = 0 ise
\
fonksiyonu için,
1 < y < 3 olmak üzere,
3
E)
E) –9
26. 1995 – ÖYS
/
1
2
31. 2007 – ÖSS
değeri kaçtır?
C) 0
D) –1
E) –
3
R den R ye
Z 2
, x < 3 ise
]] x
, x = 3 ise
f(x) = [ 3
]]
x + a , x > 3 ise
\
ile tanımlanan f fonksiyonunun x = 3 noktasında limitinin olması için a kaç olmalıdır?
A) 4
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
28. 1997 – ÖYS
1 < x < y olmak üzere,
3
/
n=1
c
3x n – 1
ifadesi aşağıdakilerden hangisine
m
4y
eşittir?
A)
32. 2008 – ÖSS
4y + 3x
4y
D)
B)
3x
4y
4y
4y – 3x
E)
C)
4y
3x
3y
3x – 5y
lim ^ x 2 – 4x – x h limitinin değeri kaçtır?
x"3
A) – 4
B) –2
C) 0
D) 2
E) 4
173
Limit ve Süreklilik
36. 2010 – LYS
33. 2008 – ÖSS
y
y
2
a
3
1
2
O
–1
O
b
c
x
Yukarıdaki şekilde f: R\{–1 } → R\{2 } fonksiyo-
–4
nunun grafiği gösterilmiştir.
Buna göre,
Yukarıda f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
lim f (x) + lim f (x)
Buna göre,
x"–3
lim f(x) + lim f(x) + lim f(x)
x " a+
x " b–
A) –2
C) 0
D) 1
B) –1
ile verilen dizi için
A) –
3
2
B)
2
3
d1
1
m
n
E) 3
A1
A2
A3
A4
12
lim an kaçtır?
n"3
C) –1
D) 1
37. 2010 – LYS
34. 2009 – ÖSS
an = (3n – 2) sin c
C) 0
E) 3
ESEN YAYINLARI
B) –1
x"0
limitlerinin toplamı kaçtır?
x " c+
toplamı kaçtır?
A) –2
x
D) 0
d2
E) 3
30°
B1
B2
B3 B4
O
Yukarıda verilen d1 ve d2 doğrularının oluşturduğu açının ölçüsü 30° dir. İlk olarak d1 doğrusu
üzerinde alınan A1 noktasından d2 doğrusuna
A1B1 dikmesi iniliyor. Sonra B1 noktasında d1
doğrusuna B1A2 dikmesi ve A2 dikme ayağından
da d2 doğrusuna A2B2 dikmesi inilerek bu işleme
devam ediliyor.
|A1B1| = 12 cm olduğuna göre, d2 doğrusuna
35. 2009 – ÖSS
bu şekilde inilen tüm dikmelerin uzunluklarının
1 – x2
lim
+
x " 1 1– x
toplamı olan |A1B1| + |A2B2| + |A3B3| + … kaç cm
dir?
limitinin değeri kaçtır?
A) –2
174
B) –1
C) 0
A) 32
D) 1
E) 2
B) 36
C) 38
D) 40
E) 48
Limit ve Süreklilik
38. 2011 – LYS
lim ^
x"3
41. 2012 – LYS
x 2 + 2x + 1
x2 + 1
–
h
Aşağıda, yan yana çizilmiş çemberler dizisi
verilmiştir. Bu dizide, ilk çemberin yarıçapı 4
limitinin değeri kaçtır?
A)
1
2
B)
3
2
C)
birim ve sonraki her bir çemberin yarıçapı, bir
önceki çemberin yarıçapının yarısıdır.
5
2
D) 1
E) 2
4
2
1
39. 2011 – LYS
x 1
olduğuna göre,
–
2 x
f(x) = 2x – 1 ve g(x) =
x"2
toplamı kaç birimdir?
f (g (x))
limitinin değeri kaçtır?
x–2
A) 0
B) 1
C) 3
B) 16r
A) 15r
1
D)
2
3
E)
2
40. 2011 – LYS
Bir kenar uzunluğu 1 birim olan ABC eşkenar
üçgeninin AB ve AC kenarları üç eşit parçaya
ayrılarak şekildeki gibi D ve E noktaları işaretleniyor. DE doğru parçasının orta noktası K olmak
üzere, bir köşesi K ve bu köşenin karşısındaki
D)
ESEN YAYINLARI
lim
Bu dizideki tüm çemberlerin çevre uzunlukları
31r
2
C) 18r
E)
33r
2
42. 2012 – LYS
sin 3x
lim
x"0 2 – 4 – x
limitinin değeri kaçtır?
A) 3
B) 9
C) 12
D) 15
E) 16
kenarı BC üzerinde olan yeni bir eşkenar üçgen
çiziliyor ve aynı işlem çizilen yeni eşkenar üçgenlere de uygulanıyor.
A
43. 2012 – LYS
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f
K
D
fonksiyonu için
E
lim f(x) = 1
B
x " 3+
C
lim f(x) = 2
x " 3–
Bu şekilde çizilecek iç içe geçmiş tüm üçgensel
bölgelerin alanları toplamı kaç birim karedir?
A)
3
3
B)
D)
5 3
16
3 3
4
C)
E)
9 3
32
8 3
9
olduğuna göre, lim
x " 2+
f (2x – 1) + f (5 – x)
limitinin
f (x 2 – 1)
değeri kaçtır?
A)
–1
2
B)
3
2
C) 1
D) 3
E) 4
175
Limit ve Süreklilik
44. 2012 – LYS
Z
1
,
]]
2
f(x) = [ x + ax + b ,
]
5
,
\
x # 1 ise
11 x 1 3 ise
x $ 3 ise
fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, a – b farkı kaçtır?
B) –1
C) 2
D) 3
E) 5
ESEN YAYINLARI
A) – 4
1.E
2.D
3.C
4.A
5.B
6.E
7.E
8.A
9.C
10.D
11.B
12.C
13.D
14.C
15.A
30.E
16.D
17.E
18.E
19.B
20.D
21.C
22.C
23.A
24.C
25.D
26.E
27.D
28.B
29.E
31.B
32.B
33.B
34.E
35.A
36.E
37.E
38.D
39.E
40.E
41.B
42.C
43.D
44.A
176
TÜREV
ÜNİTE
3. ÜNİTE
3. ÜNİTE
3. ÜNİTE
Türev
1.
Kazanım
: Türev kavramını örneklerle açıklar.
2.
Kazanım
: Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan türevini ve sağdan türevini bulur, soldan türev ve
sağdan türev ile türev arasındaki ilişkiyi açıklar.
3.
Kazanım
: Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ile türevlenebilirliği arasındaki ilişkiyi açıklar.
4.
Kazanım
: Bir fonksiyonun bir aralıkta türevli olmasını ifade eder.
5.
Kazanım
: Türev tanımını kullanarak verilen bir fonksiyonun türevine ait formülleri oluşturur ve uygulamalar yapar.
6.
Kazanım
: Türevlenebilen iki fonksiyonun toplamının, farkının, çarpımının ve bölümünün türevine
ait kuralları oluşturur ve bunlarla ilgili uygulamalar yapar.
7.
Kazanım
: Bir fonksiyonun grafiğinin bir noktasındaki teğetinin ve normalinin denklemini yazar.
8.
Kazanım
: Bir fonksiyonun ardışık türevlerini bulur.
Türev Uygulamaları
1.
Kazanım
: Bir fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları türevin işaretine göre belirler.
2.
Kazanım
: Bir fonksiyonun mutlak maksimum ve mutlak minimum, yerel maksimum, yerel minimum,
noktalarını açıklar ve bir fonksiyonun ekstremum noktalarını türev yardımıyla çözer.
3.
Kazanım
: Maksimum ve minimum problemlerini türev yardımıyla çözer.
4.
Kazanım
: Bir fonksiyonun grafiği üzerinde bükeylik ve dönüm noktası kavramını açıklar.
5.
Kazanım
: Fonksiyonların grafiğini türev yardımıyla çizer.
6.
Kazanım
: L’Hospital kuralı yardımıyla fonksiyonların limitlerini hesaplar.
3. ÜNİT
BİR NOKTADA TÜREV
Türev Alma Kuralları
y
y = f(x)
B
f(x)
A
f(x0)
®
f(x) = xn ise f′(x) = n.xn – 1
f(x) – f(x0)
f(x) = a.xn ise f′(x) = a.n.xn – 1
x0
x
b
f (x) – f (x 0)
lim
limitine f fonksiyonunun x0 noktax – x0
x " x0
sındaki türevi denir ve f′(x0) ile gösterilir.
x – x0 = h olursa, x → x0 ⇔ h → 0 dır.
Yani; fl (x 0) = lim
h"0
f (x 0 + h) – f (x 0)
olur.
h
fl ( x 0– ) = lim
f (x 0 + h) – f (x 0)
soldan türev,
h
fl ( x +0 ) = lim
f (x 0 + h) – f (x 0)
sağdan türev
h
h " 0–
h " 0+
®
f(x) = g(x) " h(x) ise f′(x) = g′(x) " h′(x)
®
f(x) = g(x).h(x) ise f′(x) = g′(x).h(x) + h′(x).g(x)
x
f : [a, b ] → R, xo ∈ (a, b) olmak üzere, eğer varsa
®
f(x) = c ise f′(x) = 0 dır. (c ∈ R)
x – x0
a
®
®
olmak üzere, f′(x0–) = f′(x0+) ise
f′(x0) vardır ve f′(x0) = f′(x0–) = f′(x0+) dır.
®
f(x) =
®
f(x) =
®
g (x)
gl (x) .h (x) – hl (x) .g (x)
ise f′(x) =
h (x)
(h (x)) 2
g (x) ise f′(x) =
g › (x)
2 g (x)
f(x) = g(ax + b) ise f′(x) = g′(ax + b).a
Bileşke Fonksiyonunun Türevi
f(x) = (goh)(x) ise f′(x) = g′(h(x)).h′(x)
f(x) = (gohot)(x) ise f′(x) = g′(h(t(x))).h′(t(x)).t′(x)
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevi
®
f(x) = ag(x) ise f′(x) = g′(x).ag(x).Ina
f(x) = eg(x) ise f′(x) = g′(x).eg(x)
®
y = f(x) ise f fonksiyonunun bir x noktasındaki
türevi
dy
fl (x),
, yl
dx
sembollerinden birisi ile
®
gösterilir.
®
f(x) = Ing(x) ⇒ f′(x) =
y = f(x) fonksiyonu için,
dy
, yl ile
birinci türev, fl (x),
dx
ikinci türev, fll (x),
®
f(x) = logag(x) ⇒ f′(x) =
d2 y
, yll ile gösterilir.
dx 2
gl (x)
.logae
g (x )
gl (x)
g (x )
Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
®
®
f fonksiyonu x0 noktasında türevli ise bu noktada
f(x) = sin g(x)
⇒ f′(x) = g′(x).cos g(x)
f(x) = sinx
⇒ f′(x) = cosx
f(x) = cos g(x) ⇒ f′(x) = – g′(x).sin g(x)
f(x) = cosx
⇒ f′(x) = – sinx
süreklidir. Bu özellikten şu sonuçları da çıkarabiliriz.
®
= g′(x).sec2(g(x))
a) f fonksiyonu x0 da sürekli değilse türevli de
f(x) = tan x ise f′(x) = 1 + tan2 x = sec2x
değildir.
b) f fonksiyonu x0 da sürekli olduğu halde bu
noktada türevli olmayabilir.
f(x) = tan g(x) ⇒ f′(x) = g′(x).[1 + tan2g(x) ]
®
f(x) = cot g(x) ise f′(x) = – g′(x).[1 + cot2g(x) ]
= – g′(x).cosec2g(x)
f(x) = cotx ise f′(x) = – (1 + cot2x) = – cosec2x
178
Ters Fonksiyonun Türevi
Parçalı Fonksiyonların Türevi
A, B ⊂ R olmak üzere, f : A → B fonksiyonu 1 – 1 ve
f (x) = *
örten olsun. f fonksiyonu x0 ∈ A noktasında türevli
g (x) , x ≥ x 0
gl (x) , x ≥ x 0
& fl (x) = *
h (x) , x < x 0
hl (x) , x < x 0
ve f′(x0) ≠ 0 ise, f –1 : B → A fonksiyonu da x0 in
ve x = x0 noktasında önce sürekliliğe sonra da sağdan
f altındaki görüntüsü olan y0 noktasında türevlidir ve
1
(f –1)l (y 0) =
d›r.
fl(x 0)
ve soldan türevlerine bakılır. Sürekli ise ve sağdan
Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi
gl (x)
®
f(x) = arcsin g(x) ⇒ fl (x) =
®
f(x) = arccos g(x) ⇒ fl (x) = –
®
f(x) = arctan g(x) ⇒ fl (x) =
®.
f(x) = arccot g(x) ⇒ fl (x) = –
soldan türevleri eşit ise türev vardır.
f (x) = g (x) = *
1– g 2 (x)
gl (x)
1 – g 2 (x)
gl (x)
1 + g 2 (x)
gl (x)
1 + g 2 (x)
Parametrik Fonksiyonların Türevi
fl (x) = *
gl (x)
g (x ) , g (x ) ≥ 0
– g (x ) , g ( x) < 0
, g (x) ≥ 0
– gl (x) , g (x) < 0
ve
g (x) = 0
olduğu noktalarda sağdan ve soldan türevlere bakılır.
Türevin Fiziksel Anlamı
Bir hareketlinin t zamanında aldığı yol s(t) ise,
ds
= sl (t) = h›z
dt
d2 s
= sll (t) = ivme
dt 2
ve
olur.
x = u(t) , y = v(t) olmak üzere
dy
dy
yl =
= dt
dx
dx
dt
TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
y
t
n
Kapalı Fonksiyonların Türevi
F(x, y) = 0 ise
x e göre türev
dy
F
yl =
=– x =–
dx
Fy
y ye göre türev
x e göre türev alırken y sabittir
y ye göre türev alırken x sabittir.
yo
α
y = f(x)
x
xo
Denklemi y = f(x) olan eğriye, apsisi x0 olan üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi m = f′(x0) dır.
Logaritma Yardımıyla Türev Almak
f(x) = [g(x) ]h(x) ise
Teğet ve normal birbirilerine dik olduğundan,
mt.mn = –1 ⇒ normalin eğimi –
1
d›r.
fl (x 0)
Inf(x) = h(x).Ing(x)
gl (x) .
f l ( x)
= hl (x) . lng (x) +
h (x) olur.
g (x)
f ( x)
Teğetin denklemi, y – y0 = f′(x0).(x – x0) dır.
Normalin denklemi, y – y0 = –
1
.(x – x0) dır.
fl (x 0)
179
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
®
Birinci Türev Testi
Her x ∈ (a, b) için f′(x) > 0 ise f fonksiyonu
(a, b) aralığında artandır.
®
f : [a, b ] → R sürekli bir fonksiyon ve x0 ∈ (a, b) olsun.
Her x ∈ (c, d) için f′(x) < 0 ise f fonksiyonu
f′(x0) = 0 ve f′(x0+).f′(x0–) < 0 ise f nin x0 da yerel
(c, d) aralığında azalandır.
ekstremumu vardır.
Yerel Ekstremum Noktaları
x
y
f′(x)
f(x )
3
a
f(x)
f(x )
1
b
x0
–
+
x
f′(x)
yerel
min.
a
b
x0
+
f(x)
–
yerel
max.
f(a)
f(x )
2
a
x
1
x
b
x
İkinci Türev Testi
x
3
2
f fonksiyonu [a, b ] de sürekli, (a, b) de türevli,
f(b)
x0 ∈ (a, b) ve f′(x0) = 0 olsun.
f : [a, b ] → R, y = f(x) fonksiyonu verilsin. x0 ∈ [a, b ]
f′′(x0) > 0 ise x0 da yerel minimum,
ve her x ∈ (x0 – ε, x0 + ε) ⊂ [a, b ] için f(x0) ≥ f(x) ola-
f′′(x0) < 0 ise x0 da yerel maksimum vardır.
cak şekilde en az bir
ε>0
reel sayısı varsa f fonk-
f′′(x0) = 0 ise bu test sonuç vermez.
siyonunun x0 noktasında yerel maksimumu vardır.
f(x0) ≤ f(x) olacak şekilde en az bir
ε>0
reel sayısı
varsa da f fonksiyonunun x0 noktasında yerel mi-
İkinci Türevin Geometrik Anlamı
nimumu vardır.
f : [a, b ] → R ,
Burada, f(x0) sayısı f fonksiyonunun yerel ekstremum
aralığında birinci ve ikinci türevi alınabilen bir fonksi-
(yerel maksimum veya yerel minimum) değeridir.
yon olsun. ∀ x ∈ (a, b) için;
(x0, f(x0)) noktası da yerel ekstremum noktasıdır.
®
y = f(x) fonksiyonu sürekli ve (a, b)
f′′(x) < 0 ise;
y = f(x) fonksiyonunun yerel maksimum değerlerinden en büyüğüne bu fonksiyonun mutlak maksimum
f(x) fonksiyonunun eğrilik yönü aşağı doğrudur.
değeri, yerel minimum değerlerinden en küçüğüne de
Eğri, (a, b) aralığının her noktasındaki teğetlerin
bu fonksiyonun mutlak minimum değeri denir.
altında kalır.
Yukarıdaki grafikte;
®
f′′(x) < 0
(konkav – içbükey – tümsek)
(x1, f(x1)) , (x3, f(x3)) noktaları y = f(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktalarıdır.
(x3, f(x3)) mutlak maksimum noktasıdır.
®
®
f′′(x) > 0 ise;
(a,f(a)), (x2, f(x2)) ve (b, f(b)) noktaları y = f(x)
f(x) fonksiyonunun eğrilik yönü yukarı doğrudur.
fonksiyonunun yerel minimum noktalarıdır.
Eğri, (a, b) aralığının her noktasındaki teğetlerin
(b, f(b)) mutlak minimum noktasıdır.
üstünde kalır.
Kritik Nokta: Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu
noktalar ile türevinin olmadığı noktalara kritik noktalar
denir.
180
f′′(x) > 0
(konveks – d›flbükey – çukur)
Dönüm (Büküm) Noktası
Düşey Asimptotlar
y = f(x) fonksiyonunun eğrilik yönünün değiştiği yani,
y = f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki soldan
ikinci türevinin işaret değiştirdiği noktalarda fonksiyon
ya da sağdan limitlerinden en az birisi ∞ ya da – ∞
sürekli ise bu noktalara dönüm (büküm) noktaları
ise x = a doğrusuna y = f(x) fonksiyonunun düşey
denir.
asimptotu denir.
®
x0 noktası f nin bir dönüm noktası ise f′′(x0) = 0
veya f′′(x0) yoktur.
®
f′′(x0) = 0 olması x0 da bir dönüm noktası olmasını gerektirmez.
P (x)
Q ( x)
eğrisinin düşey asimptotlarını bulmak için Q(x) = 0
denklemi çözülür. Bu denklemden bulunan kökler yukarıdaki tanımı sağlıyorsa düşey asimptotlar bulun-
Buna göre, aşağıda verilen grafikleri inceleyiniz.
y
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, y =
y = f(x)
x < x0 için f′′(x) > 0
muş olur.
®
Paydanın kökleri tek katlı kök ise,
y
x > x0 için f′′(x) < 0
y
x = x0 için f′′(x0) = 0
x
x0
y
x
a
a
x
y = f(x)
x < x0 için f′′(x) < 0
x > x0 için f′′(x) > 0
®
Paydanın kökleri çift katlı kök ise,
x
x0
y = f(x)
a
x
a
x < x0 için f′′(x) > 0
y
y
y
x = x0 için f′′(x0) = 0
x
x > x0 için f′′(x) < 0
f′(x0) olmad›¤›ndan
f′′(x0) da yoktur.
x
x0
Fakat (x0, f(x0))
dönüm noktas›d›r.
Yatay Asimptotlar
y = f(x) fonksiyonu için,
lim f (x) = c veya
x"3
y
y = c doğrusuna , y = f(x) fonksiyonun yatay asimp-
f(x) = (x + 1)4
x < –1 için f′′(x) > 0
x > –1 için f′′(x) > 0
f′′(–1) = 0 oldu¤u halde
(–1, 0) dönüm noktas›
–1
lim f (x) = c ise
x"–3
x
totu denir.
y
y
c
de¤ildir.
c
x
x
®
f′′(x0) = 0 denkleminde,
a) x0 tek kat kök ise işaret değiştireceğinden
dönüm noktasıdır.
b) x0 çift kat kök ise işaret değiştirmez.
y
y
c
x
c
x
Dolayısı ile dönüm noktası değildir.
181
Eğik ve Eğri Asimptotlar
®
Gerekirse fonksiyonun ikinci türevi incelenerek,
dönüm noktaları ve çukurluk yönü incelenir.
y = f(x) eğrisi için
lim f (x) – P (x) = 0 veya
x"3
lim
x"–3
®
f (x) – P (x) = 0
Bu elde edilen veriler için değişim tablosu yapılır
ve bu tabloya göre grafik çizilir.
olacak şekilde bir P(x) polinomu varsa y = P(x) eğrisine y = f(x) eğrisinin bir eğri asimptotu denir. Eğer
MAKSİMUM - MİNİMUM
P(x) = ax + b ise bu asimptota eğik asimptot denir.
NOTLAR
y
y
y = f(x)
y = f(x)
®
®
®
®
®
a > 0 için
®
y=
asimptotu y =
®
a . x+
b
2a
Bir daire içine çizilen dikdörtgenlerden alanı
Tabanları aynı ve çevreleri sabit olan üçgenlerden alanı maksimum olanı ikizkenar üçgendir.
eğrisinin eğik
doğrularıdır.
Alanı sabit olan çokgenler içinde çevresi mini-
maksimum olanı karedir.
polinomu, f(x) in eğik ya da eğri asimptotunun
denklemidir.
Çevresi sabit olan çokgenler içinde alanı maksi-
mum olanı düzgün çokgendir.
asimptot vardır. Bu asimptotları bulmak için;
fonksiyonun payı, paydasına bölünür ve bölüm
Çarpımları sabit iki sayının toplamının minimum
mum olanı düzgün çokgendir.
Rasyonel fonksiyonlarda, payın derecesi, paydanın derecesinden büyük ise eğik veya eğri
®
Toplamları sabit iki sayının çarpımının maksi-
olması için sayılar eşit olmalıdır.
x
y = P(x)
ax 2 + bx + c
İÇİN
mum olması için sayılar eşit olmalıdır.
y = P(x)
x
®
PROBLEMLERİ
®
Tabanları aynı ve alanları sabit olan üçgenlerden
çevresi minimum olanı ikizkenar üçgendir.
Fonksiyonun grafiği, düşey asimptotları hiçbir
®
zaman kesmez. Yatay, eğik veya eğri asimptotları ise kesebilir.
Hacimleri sabit olan dörtgen prizmalardan alanı
minimum olanı küptür.
®
Hacmi sabit olan dik silindirlerden alanı minimum
olanı çapı yüksekliğine eşit olanıdır.
Grafik Çizimleri
Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için, aşağıdaki adımları sırasıyla uygulamak kolaylık sağlar.
Tanım kümesi bulunur.
®
Fonksiyon periyodik ise periyodu bulunur.
®
Fonksiyon R de tanımlı ise
lim f(x) limiti he-
x ""3
saplanarak uç noktaların durumu hakkında bilgi
edinilir.
®
Varsa asimptotları bulunur.
®
Varsa fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları
bulunur.
Fonksiyonun birinci türevi incelenerek, ekstremum noktaları bulunur.
182
f ve g fonksiyonları [a, b ] de sürekli ve (a, b) de
türevli iki fonksiyon olsun. c ∈ (a, b) olmak üzere,
®
®
L’ Hospital (Lopital) Kuralı
lim f(x) = 0 , lim g (x) = 0 ve lim
x"c
x"c
lim
f ( x)
fl (x)
olur.
= lim
g (x) x " c gl (x)
x"c
L’Hospital kuralı,
Eğer,
lim
x"c
x"c
fl (x)
mevcutsa,
gl (x)
3
belirsizliğinde de uygulanabilir.
3
fl (x) 0
3
= b veya
l
gl (x) 0
3
belirsizlik durumu
devam ederse, belirsizlik durumu kalkıncaya kadar
L’Hospital kuralı art arda uygulanabilir.
Türev
Rehber Soru – 1
Rehber Soru – 2
f(x) = x2 + 1 fonksiyonunun x0 = 1 apsisli noktasın-
f(x) = x2 – 1 ise lim
h"0
daki türevi kaçtır?
limitinin sonucu nedir?
Çözüm
Çözüm
1.
f (x + h) – f (x)
h
f(x) = x2 – 4 fonksiyonunun x0 = 2 apsisli nok-
1.
tasındaki türevi kaçtır?
f(x) = x2 + 2 ise
lim
f (x + h) – f (x)
h
limitinin
lim
f (x + h) – f (x)
h
limitinin
h"0
2.
f(x) = 5x + 2 fonksiyonunun x0 = –2 apsisli noktasındaki türevi kaçtır?
3.
f(t) = t2 + 2 fonksiyonunun t0 = –1 noktasındaki
türevi kaçtır?
ESEN YAYINLARI
sonucu nedir?
2.
f(x) = 3x2 + 1 ise
h"0
sonucu nedir?
3.
f(x) = 2x ise lim
h"0
f (x + h) – f (x)
limitinin sonucu
h
nedir?
4.
f(x) = x3 fonksiyonunun x0 = –2 apsisli noktasın-
4.
daki türevi kaçtır?
5.
f(x) = x2 + x fonksiyonunun x0 = 2 apsisli noktasındaki türevi kaçtır?
f(y) = y2 + 1 ise
lim
f (y + h) – f (y)
h
limitinin
lim
f (y + h) – f (y)
2h
limitinin
h"0
sonucu nedir?
5.
f(y) = 4y + 1 ise
h"0
sonucu nedir?
183
Türev
Rehber Soru – 3
Rehber Soru – 4
y = f(x) = 3x + 2 ise
dy
ifadesinin eşiti nedir?
dx
y = f(x) = x4 ise f′(x) in eşiti nedir?
Çözüm
1.
y = 2x + 1 ise
dy
ifadesinin eşiti nedir?
dx
2.
y = 5x – 2 ise
dy
ifadesinin eşiti nedir?
dx
3.
d
(1 + 2 ) ifadesinin eşiti nedir?
dx
4.
y=
5.
y = 2x +
184
dy
1
ise
ifadesinin eşiti nedir?
x
dx
dy
3
ise
ifadesinin eşiti nedir?
x
dx
ESEN YAYINLARI
Çözüm
1.
f(x) = 2x3 ise f′(x) in eşiti nedir?
2.
f(x) = 4x5 ise f′(x) in eşiti nedir?
3.
f(x) = 3x2 + x ise
4.
d 3
(x + x2 + 1) ifadesinin eşiti nedir?
dx
5.
y = x2 + x + x 2 + 1 ise
1
df (x)
in eşiti nedir?
dx
dy
ifadesinin eşiti nedir?
dx
Türev
Rehber Soru – 5
Rehber Soru – 6
f(x) = 2x3 – x2 + 3x + 4 olduğuna göre,
f : R → R, f(x) = *
f′(–1) ifadesinin değeri kaçtır?
2x 2 + 1 , x > 1
4x – 1 , x ≤ 1
fonksiyonunun
x0 = 1 apsisli noktasında türevi varsa kaçtır?
Çözüm
1.
Çözüm
f(x) = x4 + 3x2 + 2 ise f′(1) değeri kaçtır?
1.
f(x) = *
x2 + 4 , x ≤ 1
fonksiyonu x = 1 apsisli
2x + n , x > 1
2.
f(x) =
1 4 1 3
x + x +
2
3
2 ise f′(–1) değeri kaçtır?
ESEN YAYINLARI
noktada türevli ise n kaçtır?
2.
f(x) = *
x 2 + 2 , x ≤ –1
–2x + 1 , x > –1
fonksiyonu x = –1
apsisli noktada türevli ise f′(–1) kaçtır?
3.
f(x) = 4x2 +
1
ise f′(2) değeri kaçtır?
x
3.
f(x) = *
2x + 1 , x ≥ 1
3x 2
, x<1
fonksiyonuna göre,
f′(1+) + f′(1– ) toplamı kaçtır?
4.
f(x) = 2x –
x ise f′(4) değeri kaçtır?
4.
5.
f(x) = x5 + x3 – 2x – 3 ise
f(x) = *
4x + 1 , x ≥ 2
x2 – 1 , x < 2
fonksiyonunun x0 = 2
apsisli noktasında türevi varsa kaçtır?
f′(1) + f′(–1) = –4f(0) olduğunu gösteriniz.
185
Türev
Rehber Soru – 7
Çözüm
f : R → R, f(x) = |x – 1|
fonksiyonunun x0 = 1 apsisli noktasında türevi varsa
kaçtır?
f(x) = x.|x| ise f′(0) kaçtır?
6.
f(x) = |x.(x + 2)2| ise f′(1) + f′(–2) kaçtır?
2.
f(x) = x2 + |x| ise f′(0– ) kaçtır?
7.
f(x) = |x2 – 2x + 1| ise f′(1) kaçtır?
3.
f(x) = |x3 – 1| ise f′(1+) + f′(1– ) kaçtır?
8.
f(x) = x2.|x2 – 2| ise f′(1) kaçtır?
4.
f(x) = |x – 2| ise f′(2+) – f′(2– ) kaçtır?
9.
f(x) = |x2 – 3x + 5| ise f′(–1) kaçtır?
5.
f(x) = |x – 2|.(x – 2) ise f′(2) kaçtır?
10. f(x) = x.|x2 – 4x + 4| ise f′(2) kaçtır?
186
ESEN YAYINLARI
1.
Türev
Çözüm
Rehber Soru – 8
y
3
2
y = f(x)
1
0
2
3
4
5
6
x
8
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun apsisi
verilen noktalarındaki türev-süreklilik ilişkisini inceleyiniz.
1.
f(x) = 3x2 + x + 1 olduğuna göre,
4.
Aşağıda grafiği verilen fonksiyonlardan hangilerinin x = a apsisli noktada türevi vardır?
f′(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
a.
b.
y
a
2.
y
x
x
a
y
c.
f(x)
3
d.
y
y
0
–2
1
–1
2
x
ESEN YAYINLARI
2
a
e.
x
f.
y
x
a
y
Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonunun kaç
farklı noktada türevi yoktur?
a
g.
3.
f(x) =
x3 – 1
x 2 – 4x + 4
x
h.
y
a
x
x
a
y
x
a
fonksiyonu x in hangi değeri için türevsizdir?
187
Türev
Çözüm
Rehber Soru – 9
f(x) = *
ax 2 + 1
, x<1
bx + 2 , x ≥ 1
fonksiyonu her x ∈ R için türevlenebilir olduğuna
göre, a ve b değerlerini bulunuz.
1.
f(x) = *
ax 2 + bx + 2 , x ≥ 1
ax + 2b – 3
, x<1
fonksiyonu her
–x 2 + 2x , x > 1
5.
f(x) = *
6.
Z
3
, x > –1
]] x + 5
f(x) = [
4
, x = –1 ise f′(–1) kaçtır?
]] 2
x + 5x + 8 , x < –1
\
7.
f(x) = *
x3
, x≤1
ise f′(–2) kaçtır?
x ∈ R için türevli ise f′(1) kaçtır?
2.
f(x) = *
ax 2 + bx + 4 , x < 1
–x 2 + 3x
, x≥1
fonksiyonu x = 1
ESEN YAYINLARI
için türevli ise b kaçtır?
3.
4.
Z
2
, x>1
]] x
f(x) = [ 1
, x = 1 ise f′(1) kaçtır?
]
2x – 1 , x < 1
\
f(x) = *
2x 2
, x≤0
(x – 1 ) 3 , x > 0
türevini (varsa) bulunuz.
188
fonksiyonu için f′(0)
x 2 + a , x ≤ –1
bx + 2 , x > –1
fonksiyonu her x ∈ R
için türevlenebilir ise a kaçtır?
8.
Z 2
]] 3x – 2 ,
f(x) = [ 6x – 5 ,
] 2
x +3 ,
\
tane x değeri için
x≤1
1 < x ≤ 2 fonksiyonunun kaç
x>2
türevi yoktur?
Türev
Rehber Soru – 10
Rehber Soru – 11
f(x) = (x2 + 1).(x3 – x)
f(x) =
olduğuna göre f′(0) kaçtır?
Çözüm
f(x) = (x + 1).(x + 2)2 ise f′(x) nedir?
2.
f(x) = x.(x – 3)2 ise f′(2) kaçtır?
3.
f(x) = x(x2 + 1) ve g(x) = x(3x + 1) ise
ESEN YAYINLARI
Çözüm
1.
x2 + 1
olduğuna göre f′(0) kaçtır?
2x – 1
1.
f(x) =
2x
ise f′(0) kaçtır?
1 – x2
2.
f(x) =
4
ise f′(1) kaçtır?
x2 – 4
3.
f(x) =
4.
f(x) =
(x – 2) (8 – x)
ise f′(2) kaçtır?
x2
5.
f(x) =
ax + 2
ve f′(2) = 4 ise a kaçtır?
x –1
x3
x2 + 3
ise f′(–1) kaçtır?
f′(x) > g′(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
4.
f(x) = x(x – 1)(x – 2) ...... (x – 10) olduğuna göre,
f′(10) kaçtır?
5.
f(x) = x2.(2x + 1).(1 – x2) ise f′(0) kaçtır?
189
Türev
Çözüm
Rehber Soru – 12
3
5
f(x) = (x + x + 4)
olduğuna göre
f′(–1) ifadesinin eşiti kaçtır?
f(x) = (x2 + 1)2 ise f′(2) kaçtır?
6.
f(x) = (4x + 5)2 ise f′(0) kaçtır?
2.
f(x) = (x2 + x)3 ise f′(–1) kaçtır?
7.
y = (3x2 – 4x)3 ise y′ nedir?
8.
f(x) = x2 + bx + c , f′(2) = 12 ve f(1) = 4 ise
2
4
3.
f(x) = (x + x + 2)
4.
f(x) = (x2 – 2)5 ise f′(1) kaçtır?
5.
2
2
2
ise f′(0) kaçtır?
2
f(x) = (x + 1) .(x – 1)
190
ise f′(0) kaçtır?
ESEN YAYINLARI
1.
c kaçtır?
9.
f(x) = x2 + x + 1 ise (fof′of′′)(x) ifadesinin sonucu nedir?
10. f(x) =
2
ise f′(x) nedir?
(x 2 – 1) 4
Türev
Rehber Soru – 13
Rehber Soru – 14
f(x) = 2x2 – 1 ve g(x) = x2 + 1 olduğuna göre,
f(3x + 1) = 2x2 + x – 1 olduğuna göre,
(fog)′(1) kaçtır?
f′(–2) kaçtır?
Çözüm
Çözüm
1.
f(x) = x2 , g(x) = 2x2 ise (fog)′(–1) kaçtır?
1.
f(2x – 1) = 4x2 – 2x + 1 olduğuna göre,
2.
f ve g reel sayılarda türevli iki fonksiyondur.
f(1) = 3 , f′(1) = 2 ve g′(3) = 4 ise (gof)′(1)
kaçtır?
ESEN YAYINLARI
f′(–3) kaçtır?
2.
f(2x + 1) = x3 – 6x + 2 olduğuna göre,
f′(3) + f(5) toplamı kaçtır?
3.
f(x) = (goh)(x) ise f′(x) nedir?
3.
f(4x – 1) = ax2 + x + 1 ve f′(3) = 6 ise a kaçtır?
4.
f(x) = 3x – 1 olduğuna göre, (fof)′(0) kaçtır?
4.
f(3x + 1) = g–1(5x – 2) olduğuna göre,
(gof)′( 5 ) değeri kaçtır?
5.
f(x) = x – 1 ve g(x) =
(gof)′(4) kaçtır?
x+1
olduğuna göre,
x –1
5.
g(x) = f(x2 + x) + (x – 1)2 ve f′(2) = 3 ise
g′(1) kaçtır?
191
Türev
Rehber Soru – 15
f(x) =
4
Rehber Soru – 16
x 3 olduğuna göre,
x 2 + 1 olduğuna göre,
f(x) =
df (x)
ifadesinin eşiti nedir?
dx
df (x)
ifadesinin eşiti nedir?
dx
Çözüm
Çözüm
3
x 2 ise
df (x)
eşiti nedir?
dx
1.
f(x) =
2.
y = x 3 ise y′ nedir?
3.
f(x) =
4.
d^
x h ifadesinin eşiti nedir?
dx
5.
y=
f(x) =
2x + 1 ise
2.
f(x) =
x 2 + x ise f′(x) nedir?
3.
f(x) =
ESEN YAYINLARI
4
df (x)
nedir?
dx
1.
192
2
ise f′(x) nedir?
x
x + 1 ise
dy
nedir?
dx
4.
5.
3
x2
–x
ise f′(x) nedir?
x + y = 2 ise
f(x) =
dy
nedir?
dx
x+1
ise f′(0) kaçtır?
x+1 +1
Türev
Rehber Soru – 17
Rehber Soru – 18
y = 2t2 + t ve x = 3t + 1 olduğuna göre,
y = t2 + t ve x = 2t – 1 ise
dy
ifadesinin eşiti nedir?
dx
nedir?
Çözüm
Çözüm
1.
y = t2 + 1 ve x = 2t – 1 olduğuna göre,
1.
dy
ifadesinin eşiti nedir?
dx
y = u2 – u ve x = 3u + 4 olduğuna göre,
dy
ifadesinin eşiti nedir?
dx
3.
y = t2 + 2t – 1 ve x = t + 3 olduğuna göre,
dy
dx
4.
y=
dy
dx
t=0
t=1
2.
3
t 2 + 1 olduğuna göre,
ifadesinin eşiti nedir?
d2 y
ifadesinin
dx 2
y = u2 – u ve x = 3u + 1 ise
eşiti nedir?
3.
ifadesinin eşiti nedir?
t + t ve x =
d2 y
ifadesinin eşiti
dx 2
nedir?
ESEN YAYINLARI
2.
y = t2 – t ve x = t + 2 ise
d2 y
ifadesinin eşiti
dx 2
y = t2 – 1 ve x = t2 + t ise
d2 y
dx 2
t=1
ifadesinin
eşiti nedir?
4.
y=
t + 1 ve x = t – 1 ise
d2 y
dx 2
t=4
sinin eşiti nedir?
193
Türev
Rehber Soru – 19
Rehber Soru – 20
y = 3t2 + 2 , t = 2x + 1 , x = u3 + u
y = f(x) olmak üzere,
olduğuna göre,
dy
ifadesinin eşiti nedir?
dx
x2y + y2 + x = 0 için
Çözüm
Çözüm
1.
y = u2 – 1 ve u = t2 + 1 olduğuna göre,
1.
y = u4 – 3u , u = x2 + 1 olmak üzere,
dy
in x = 0 noktasındaki değeri kaçtır?
dx
3.
2.
x2 + 3xy + y3 = 1 olduğuna göre,
dy
ifadesinin eşiti nedir?
dx
y = 2u2 – 1 , u = 3t + 1 , t = x2 + x
dy
olduğuna göre,
ifadesinin eşiti nedir?
dx
4.
y = f(x) olmak üzere, xy + x2 + y2 = 0 için
dy
nedir?
dx
ESEN YAYINLARI
dy
nin t = 1 noktasındaki değeri nedir?
dt
2.
dy
ifadesinin eşiti nedir?
dx
3.
F(x, y) = x2y + y2x – x + y = 0 bağıntısının türevinin (1, 2) noktasındaki değeri kaçtır?
y = 3u + 1 , u = t2 – 1 , x = y2 + y
dx
olduğuna göre,
ifadesinin u = 0 için pozitif
dt
değeri kaçtır?
194
4.
y = f(x) ve xy – x + x2y = 0 ise
eşiti nedir?
dy
ifadesinin
dx
Türev
Rehber Soru – 21
Rehber Soru – 22
f : (– ∞, 1 ] → [6, ∞) , f(x) = x2 – 2x + 7
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini alınız.
–1
olduğuna göre, (f )′(10) kaçtır?
a. f(x) = sinx
Çözüm
Çözüm
1.
f(x) =
d ^ –1 h
2x – 1
ise
f (x)
dx
x+4
x=1
b. f(x) = sin3x
c. f(x) = sin(2x + 1)
r
x ise f′(x) nedir?
2
1.
f(x) = sin
2.
f(x) = x.sinx ise f′(x) nedir?
x – 3 olduğuna göre, (f –1)′(1) kaçtır?
ESEN YAYINLARI
ifadesinin eşiti nedir?
2.
f(x) =
3.
f(x) = x3 – 14 ise (f –1)′(13) kaçtır?
3.
f(x) = x.sin3x ise f′ b
4.
f : [1, ∞) → [–1, ∞) , f(x) = 2x2 – 4x + 1
4.
f(x) = sin x ise f′(x) nedir?
5.
f(x) = sin2x ise f′ b
r
l nedir?
18
–1
olduğuna göre, (f )′(1) kaçtır?
5.
f : [0, ∞) → [–4, ∞) , f(x) = x2 – 4 fonksiyonunun
tersinin türevi nedir?
r
l nedir?
12
195
Türev
Rehber Soru – 23
Rehber Soru – 24
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini alınız.
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini alınız.
a.
f(x) = cosx
a.
f(x) = tanx
b.
f(x) = cos4x
b.
f(x) = tan2x
Çözüm
Çözüm
r
x ise f′(x) nedir?
3
f(x) = cos
2.
f(x) = x.cosx ise f′(x) nedir?
3.
f(x) = cos2x ise f′ b
4.
5.
r
l nedir?
6
r
x ise f′(x) nedir?
3
1.
f(x) = tan
2.
f(x) = tanx ise f′ b
3.
f(x) = x.tanx ise f′(x) nedir?
4.
f(x) = tan x ise f′(x) nedir?
5.
f(x) = tan b
ESEN YAYINLARI
1.
r
l nedir?
4
f(x) = cos x ise f′(x) nedir?
f(x) = x2.cos2x ise f′ b
196
r
l nedir?
6
r.
r
cos x l ise f′ b l nedir?
2
2
Türev
Rehber Soru – 25
Rehber Soru – 26
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini alınız.
f(x) = sin2x olduğuna göre, f′(x) ifadesinin eşitini
a.
bulunuz.
b. f(x) = cot3x
f(x) = cotx
Çözüm
Çözüm
f(x) = cot
2.
f(x) = cot2x ise f′ b
r
l nedir?
8
3.
f(x) = x.cotx ise f′ b
r
l nedir?
4
4.
x = sin2t , y = cos2t ise
5.
f(x) = cot b
dy
nedir?
dx
r.
r
cos x l ise f′ b l nedir?
2
3
ESEN YAYINLARI
r
x ise f′(x) nedir?
3
1.
1 . fl (x)
nedir?
2 cos 2x
1.
f(x) = sin22x ise
2.
f(x) =
sin x ise f′(x) nedir?
3.
f(x) =
cos 2x ise f′(x) nedir?
4.
f(x) = cos2x ise f′(x) nedir?
5.
f(x) = sinx.cos2x ise f′(x) nedir?
197
Türev
Rehber Soru – 27
Rehber Soru – 28
f(x) = sin2x.cosx + tanx olduğuna göre,
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini alınız.
f′(x) ifadesinin eşitini bulunuz.
a.
Çözüm
Çözüm
1.
y = sinx – cos2x – 1 ise y′ nedir?
2.
f(x) =
3.
4.
f(x) =
5.
x = sinα, y = cos3α olmak üzere,
b. f(x) = arcsin(x2)
f(x) = arcsinx
f(x) = arcsin2x ise f′(x) nedir?
2.
f(x) = arcsin x ise f′(x) nedir?
f(x) = (2 – x2)cosx + 2x.sinx ise f′(x) nedir?
3.
f(x) = arcsin c
sin x – cos x
r
ise f′ b l kaçtır?
tan x
4
4.
sin(y + π) = x ise
5.
f(x) = ln(2arcsinx) ise f′ c
dy
dx
198
3 + cos x
r
ise f′ b l kaçtır?
sin x
3
a=
r
3
değeri kaçtır?
ESEN YAYINLARI
1.
x –1
m ise f′(1) kaçtır?
x
dy
ifadesinin eşiti nedir?
dx
1
m kaçtır?
2
Türev
Rehber Soru – 29
Rehber Soru – 30
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini alınız.
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini alınız.
a.
a.
f(x) = arccosx
b. f(x) = arccos(sinx)
f(x) = arctanx
b. f(x) = arctan(2x + 1)
Çözüm
1.
f(x) = arccos2x ise f′(x) nedir?
2.
f(x) = arccos(sinx) ise f′ b
3.
0 < x < π ve y = arcsin(cosx) ise y′ kaçtır?
r
l kaçtır?
4
ESEN YAYINLARI
Çözüm
1.
f(x) = arctanπx ise f′(x) nedir?
2.
x ∈ (0°, 90°), f(x) = tanx ise (f –1)′(1) kaçtır?
3.
f(x) = arctan(sinx) ve cosa =
4
ise f′(a) kaç5
tır?
4.
cos(y + 2) = x ise
dy
ifadesinin eşiti nedir?
dx
4.
tan(y + 1) = x olduğuna göre,
dy
dx
ifadesinin
eşiti nedir?
199
Türev
Rehber Soru – 31
Rehber Soru – 32
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini alınız.
f(x) = 5x
a.
f′(x) ifadesinin eşitini bulunuz.
f(x) = arccotx
2
b. f(x) = arccot(tanx)
Çözüm
2.
3.
f(x) = arccot x ise f′ c
olduğuna göre,
Çözüm
1
m kaçtır?
4
dy
1
f(x) = x.arccot2x ise
ifadesinin x =
için
dx
2
değeri kaçtır?
cot(y + π) = 2x olduğuna göre,
ESEN YAYINLARI
1.
+2x
1.
f(x) = 3.2x ise f′(x) nedir?
2.
f(x) = 2 – x – 2 – 2x ise f′(x) nedir?
3.
f(x) = 3sinx ise f′(π) kaçtır?
4.
f(x) = 3
5.
f(x) = 5x
dy
ifadesinin
dx
değeri nedir?
4.
f(x) = arccot(sinx) ise f′ b
200
r
l kaçtır?
3
x
2
ise f′(9) kaçtır?
+x+1
ise f′(0) kaçtır?
Türev
Rehber Soru – 33
Rehber Soru – 34
f(x) = esinx olduğuna göre,
f(x) = log5(x2 + 3) olduğuna göre,
f′(x) ifadesinin eşitini bulunuz.
f′(x) ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
1.
f(x) = esinπx ise f′(0) nedir?
1.
f(x) = log5(x2 + 1) ise f′(1) kaçtır?
2.
f(x) = x.ex – 1 ise f′(e) nedir?
2.
y = log 1 sinx ise y′ nedir?
ESEN YAYINLARI
2
3.
f(x) = x2.ex ise f′′(0) kaçtır?
4.
e–x.
5.
f(x) = 3.e(x
d x
(e .sinx) ifadesinin eşiti nedir?
dx
2
)
ise f′(x) – 2x.f(x) +
1
f(0) – f′(0)
3
3.
f(x) = logx x ise f′(x) nedir?
4.
f(x) = log2(4x – x2) ise f′(x) kaçtır?
5.
f(x) = log(tanx) + log(cotx) ise f′(x) nedir?
ifadesinin eşiti kaçtır?
201
Türev
Rehber Soru – 35
Çözüm
2
f(x) = ln(sin x) olduğuna göre,
f′(x) ifadesinin eşitini bulunuz.
1.
f(x) = x – lnx ise f′(x) nedir?
2.
y = ln
3.
y = ln
4.
d 4 (x . ln x)
ifadesinin eşiti nedir?
dx 4
5.
y=
202
2x – 1
ise y′ nedir?
3x + 1
ln x ise y′ nedir?
ESEN YAYINLARI
x
ise y′ nedir?
e
x
ise y′ nedir?
ln x
6.
y=
7.
f(x) = ln(2 –
8.
f(x) = ln(arccotx) ise f′(1) kaçtır?
9.
f(x) = ln(2cos2x) ise f′ b
2x + 1 ) ise f′(0) kaçtır?
10. xy + lny = 0 ise
r
l kaçtır?
12
dy
nedir?
dx
Türev
Rehber Soru – 36
Çözüm
x
f : (0, ∞) → R, f(x) = x olduğuna göre,
1.
f(x) = x2x ise f′(x) nedir?
2.
f(x) = x–x ise f′(1) nedir?
3.
f(x) = (x + 1)x + 2 ise f′(0) kaçtır?
4.
f(x) = xx + ax ise f′(1) nedir?
ESEN YAYINLARI
f′(x) ifadesinin eşitini bulunuz.
6.
f(x) = lnxx ise f′(e) nedir?
7.
f(x) = (sinx)cosx ise
8.
f(x) = (x2)lnx ise f′(e) kaçtır?
9.
f : R+ → R, f(x) = xlnx
df (x)
dx
2
x=
r
2
değeri kaçtır?
fonksiyonunun türevinin
x = e noktasındaki değeri nedir?
5.
f(x) = xlnx ise f′(e) kaçtır?
10. xy + 3yx – 4 = 0 ise
dy
dx
(1, 1)
değeri kaçtır?
203
Türev
Rehber Soru – 37
–3x
y = f(x) = e
d 15 y
dx 15
1.
Çözüm
olduğuna göre,
ifadesinin eşiti kaçtır?
f(x) = e–x ise
d 25 f (x)
neye eşittir?
dx 25
6.
f(x) = ee – x ise
d 25 f (x)
dx 25
x = –1
2.
d 4 (x 3 + sin x)
ifadesinin eşiti nedir?
dx 4
3.
f(x) = sinx ise
4.
f(x) = lnx ise
5.
f(x) = cos4x ise
204
d 20 f (x)
nedir?
dx 20
d 20 f (x)
nedir?
dx 20
d 10 f (x)
nedir?
dx 10
ESEN YAYINLARI
nedir?
d 50 f (x)
nedir?
dx 50
7.
f(x) = x50 ise
8.
y = e3x ise y(15) nedir?
9.
f(x) = x.sinx ise
d 24 f (x)
nedir?
dx 24
10. y = sin(–x) ise y(100) nedir?
ifadesinin eşiti
Türev
Çözüm
Rehber Soru – 38
f(x) = ln(x + 2) olduğuna göre,
df –1 (x)
ifadesinin eşitini bulunuz.
dx
f(x) = sin b
df –1 (x)
r
nedir?
x l ise
2
dx
6.
x = 2t
dy
4 ise
dx
y = ln (2t)
2.
f(x) = ln(x + 4) ise (f –1)′(0) kaçtır?
7.
y = log2sinx ise y′ nedir?
3.
f(x) = ln(arctanx) ise f′(1) kaçtır?
8.
f(x) = sin4x.cos4x ise f′ b
4.
f(x) = e2lnx ise
9.
f(x) = (lnx)2 – lnx4 fonksiyonu veriliyor.
5.
df (x)
nedir?
dx
f(x) = 2.ln x 2 + 1 ise
df (x)
nedir?
dx
ESEN YAYINLARI
1.
t=1
kaçtır?
r
l kaçtır?
3
df (x)
ifadesinin x = e için değeri nedir?
dx
10. f(x) = ex + lncosx ise f′(0) kaçtır?
205
Türev
Rehber Soru – 39
Rehber Soru – 40
f : R → R, P(x) = x4 + x3 + ax2 + x + b
Bir hareketlinin t saatte aldığı yol,
polinomu (x + 1)
2
s(t) = 3t2 – 2t + 6 (km) fonksiyonu ile veriliyor.
ile tam bölündüğüne göre
a ve b değerlerini bulunuz.
Çözüm
a.
t = 6 saatteki hızını (anlık hızını) bulunuz.
b.
t = 5 saatteki ivmesini (anlık ivme) bulunuz.
Çözüm
1.
P(x) = x3 + 2x2 + ax + b polinomu (x – 1)2 ile
1.
tam bölündüğüne göre, a nın değeri kaçtır?
Bir hareketlinin t saatte aldığı yol,
s(t) = 50t + 2t2 (km) fonksiyonu ile veriliyor.
Bu hareketli 8. saatte radara yakalanırsa, o an-
2.
P(x) = x3 + ax + b polinomu x2 – 2x + 1 ile tam
bölündüğüne göre, a.b kaçtır?
ESEN YAYINLARI
daki hızı kaç km/h dir?
2.
Dikey olarak yukarı doğru fırlatılan bir cismin t
saniyede aldığı yol,
s(t) = 72t – 4t2 (metre)
fonksiyonu ile veriliyor.
a. Bu cismin ilk hızı kaç m/saniye dir?
3.
P(x) polinom fonksiyonunun türevi P′(x) ve
b. t = 2 anındaki hızı kaç m/saniye dir?
P(x) – P′(x) = 2x2 + 5x – 2 olduğuna göre,
P(x) in kat sayılar toplamı kaçtır?
c. t = 3 anındaki ivmesi nedir?
d. Bu cisim en çok kaç metre yükselir?
4.
P(x) = x3 + ax2 + bx + c polinomu (x + 1)3 ile
tam bölünebiliyorsa a.b.c kaçtır?
206
e. Bu cisim yere kaçıncı saniyede çarpar?
Türev Alma Kuralları
TEST – 1
1.
f(x) = *
3x + 1 , x ≥ 1
4x 2
5.
fonksiyonuna göre,
, x<1
hangisine eşittir?
f′(1+ ) + f′(1– ) toplamı kaçtır?
A) 7
2.
B) 8
C) 9
A) 4
D) 10
6.
f(x2 + 2x + 2) = 2x2 + 3x ise f′(5) kaçtır?
7
4
3
2
C)
5
4
D) 1
C)
E)
f(x) =
3
x+
f(x) = ln
A)
4
3
3
4
A) –1
x+2
ise f′′(1) kaçtır?
x–2
B)
8
3
C)
8
9
B) –
2
3
f(x) = ln(lnx) ise
D) 1
E)
A)
16
9
df (x)
f(x) = ln(cos x) ise
aşağıdakilerden handx
gisine eşittir?
2
A) tanx
D) –2tanx
B) 2tanx
E)
13
2
C) –
1
D) –
2
1
3
E) 0
df (x)
aşağıdakilerden hangidx
sine eşittir?
1
x
B)
D)
4.
D) 6
sine eşittir?
7.
3.
11
2
1
ise f′(1) aşağıdakilerden hangix
ESEN YAYINLARI
B)
B) 5
E) 11
x > 0 olmak üzere,
A)
f(2x – 1) = x3 – x + 2 ise f′(3) aşağıdakilerden
C) –tanx
E) –2cotx
8.
ln x
x
1
ln x
C)
E)
f(θ) = sinθ + cosθ ise f′′ b
A)
x
ln x
1
x . ln x
r
l değeri kaçtır?
3
–3 3
2
B)
– 3 +1
2
C)
D)
– 3 –1
2
E)
3 +1
2
3 –1
2
207
Türev
9.
2
13. f(x) = ex
f(x) = ln(arctanx) ise f′(1) kaçtır?
r
4
A)
B)
r
2
C)
1
r
2
r
D)
E)
– 3x + 2
olduğuna göre, f′(2) nin değeri
nedir?
4
r
A) 1
B) 2
C) e
E) e2
D) 2e
14. e2x + 2y = sin(x + y) olduğuna göre,
dy
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
dx
10. –
r
r
<x<
olmak üzere, f(x) = arccos(sinx)
2
2
A) –1
B) 2.e2x + 2y – cos(x + y)
ise f′(x) türevinin değeri nedir?
A) –1
C) 2.e2x + 2y + cos(x + y)
B) 0
D) –2.e2x + 2y + cos(x + y)
C) 1
E) cosecx
E) –2.e2x + 2y – cos(x + y)
ESEN YAYINLARI
D) secx
15.
11. f(x) = x3 – 2
(f –1)′(–1)
ise
türevinin değeri
nedir?
1
4
A)
d 2 (cos 2 2x)
ifadesinin eşiti nedir?
dx 2
A) 8sin2x
B)
1
3
C)
1
2
D) 1
B) –8cos4x
D) 8sin4x
E) 2
C) –8sin4x
E) 8cos4x
16. f(x) = sinx – cosx olduğuna göre,
dy
12. x = t + 1 ve y = t + 1 ise
dx
2
3
d 21 f (x)
ifadesinin eşiti nedir?
dx 21
ifadesinin
t = 1 için değeri kaçtır?
A) 1
1. E
2. A
208
B)
3
2
3. C
C) 2
4. D
D)
5. C
5
2
E) 3
6. B
7. E
A) cosx + sinx
B) – sinx + cosx
C) – cosx – sinx
D) sinx – cosx
E) sin2x – cosx
8. D
9. D
10. A
11. B
12. B
13. A
14. A
15. B
16. A
Türev Alma Kuralları
TEST – 2
1.
f(x – 2) = x3 + 2x – 1 ise f′(1) aşağıdakilerden
5.
hangisine eşittir?
A) 26
B) 27
C) 28
D) 29
f(x) = 2x3 – x2 +
3 ve g(x) = x3 +
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B) (0, 1)
D) (0, ∞)
f(x) =
x3 + 1
ise f′(1) aşağıdakilerden hangisix2 + 1
6.
ne eşittir?
1
A)
2
f(x) =
D) 2
E) 4
A)
x
x2 – 1
ESEN YAYINLARI
7.
3.
e
f(x) = e + x
E) R – [0, 1 ]
1 x2 – 1
ln
ise f′(x) aşağıdakilerden han4 x2 + 1
D)
x
C) (– ∞, 0)
gisine eşittir?
3
C)
2
B) 1
3
olmak üzere, f′(x) > g′(x) eşitsizliğinin çözüm
E) 30
A) [0, 1 ]
2.
x2
–
2
B)
x
x2 + 1
x
x4 + 1
E)
f(θ) = sinθ.cos2θ ise f′′ b
olduğuna göre, f′(e) nin değeri
C)
1
x4 – 1
x
x4 – 1
r
l değeri kaçtır?
4
nedir?
A) e
B) e + 2
2
C) e
3
D) e
A) –3 2
e
E) 2e
B) –
D) –
4.
f(x) = cosx olmak üzere, f′(x) + f(x) = 0 denkle-
8.
f(x) =
minin [0, 2π ] aralığında kaç farklı kökü vardır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
A) – e
5 2
2
3 2
2
C) –2 2
E) – 2
2 – ln x
ise f′(1) değeri kaçtır?
1 + ln x
B) –3
C) –2
D) –
e
2
E) –1
209
Türev
f(x) = e
9.
x+1
x
13. f(x) = x.lnx – x olduğuna göre, f′(e2) nin değeri
ise f′(2) aşağıdakilerden hangisine
nedir?
eşittir?
A) –
3
e2
B)
2
3
e2
C)
4
3
A)
3
– e2
C) 1
E) 2
sinin eşiti nedir?
A) 0
a .f′(a)
C) 210
B) 10!
D) 10!.210
B) 2 a .f′( a )
d 10 f (x)
ifadedx 10
14. f(x) = (2x + 1)10 olduğuna göre,
hangisidir?
A) 2a.f′( a )
D) e
1
f (x) – f (a)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
x– a
E) 10!.29
C) 2.f′(a)
E) 2 a .f′(a)
ESEN YAYINLARI
D)
1
2
4
10. a > 0 ve f fonksiyonu x = a da türevli ise
x"a
B)
– e2
E)
4
e2
D)
2
lim
1
e
15.
y
x
dy
dx
(e, 1)
11. x + y – xy – 1 = 0 olmak üzere,
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) e + 1
B) e – 1
1
E)
e
D) e
12. f(x) = tan2x ise f′ b
A)
3 2
2
r
l aşağıdakilerden hangi8
D)
1. D
2. A
210
B)
5
2
3. E
2
lim
C) 2
5. E
B)
2
x
C)
1
x
D)
1
4x
E)
1
2x
16. f(x + y) = f(x) + f(y) – xy olmak üzere,
h"0
A) 1
E) 4
4. C
1
2
ifadesi aşağıdakilerden hangisine
C) 0
sine eşittir?
A)
d
(ln x )
dx
eşittir?
6. E
7. C
8. B
9. C
10. E
f (h)
= 5 ise f′(1) kaçtır?
h
B) 2
11. C
12. E
C) 3
13. E
D) 4
14. D
E) 5
15. E
16. D
Türev Alma Kuralları
TEST – 6
1.
f(x) – 2 = x – x2.f(x) olduğuna göre,
5.
f′(3) kaçtır?
f′(–1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 0
2.
1
4
B)
C)
f(x) = sin2x ise f′ b
1
2
D) 1
E) 2
A) 0
r
l aşağıdakilerden hangi8
6.
sine eşittir?
1
4
1
2
B)
C) 1
D)
2
2
B) 3
C) 6
D) 8
E) 12
f(x) = 3x – 1 ve (gof)(x) = 12x2 – 6x + 18 ise
g′(2) kaçtır?
E)
2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
ESEN YAYINLARI
A)
f(x) = x(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) ise
3.
f(x) = ln(x + 3) ise
df –1 (x)
dx
aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
A) –3
7.
x
f(x) = lntan b
A) 7
x
D) e – 3
4.
C) ex
B) –3x
E) 3e
x
l ise f′(x) aşağıdakilerden han2
gisine eşittir?
f(x3) = x3 + 2x2 – 2 ise f′(1) kaçtır?
8.
B)
7
3
D) secx
B) cotx
C) cosx
E) cosecx
D)
4
3
E) 1
d 2 (e x . cos x)
ifadesinin eşiti nedir?
dx 2
A) ex(cosx – sinx)
A) tanx
C) 2
x
C) –2e cosx
B) 2excosx
D) –2exsinx
E) 2exsinx
217
Türev
f(x) = x + x2 + x3 + ...... + x99 ise
9.
13. f(x) = x5 + 2x4 – 4x3 + 5x + 1 olduğuna göre
f′(1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 4760
B) 4800
D) 4890
d 5 f (x)
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
dx 5
C) 4850
A) 60x + 48
E) 4950
B) 120x + 48
D) 120
10. f(x) =
x 2 + 1 ise f′(–1) aşağıdakilerden han-
14. f(x) = ln
gisine eşittir?
2
B)
4
D) –
E) 0
sin 3x
olduğuna göre, f′(x) aşağıdakicos 2x
lerden hangisine eşittir?
2
2
A)
C) 120x
2
C) –
2
2
4
A) 3tan3x + 2cot2x
B) cot3x + tan2x
E) – 2
C) 3cot3x + 2tan2x
D) – 3cot3x + 2tan2x
ESEN YAYINLARI
E) – cot3x + tan2x
1
11. f(x) = e 2
ln x
3
ise f′(4) aşağıdakilerden hangisi-
ne eşittir?
A) 4
15. f(x) = secx fonksiyonunun türevi aşağıdakilerB) 3
C) 2
D)
3
2
den hangisidir?
E) 1
A) sec2x
B) cosecx
D) cotx
12. (x – 1)2 + y2 = 4 olduğuna göre,
dy
aşağıdadx
x+1
y
B)
y –1
D)
x
1. D
2. E
218
3. C
üzere, f′(x) > g′(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi
x –1
y
C)
aşağıdakilerden hangisidir?
1– x
y
A) (– ∞, 0)
1– y
E)
x
4. E
E) secx.tanx
16. f(x) = x + ln(x – 5) ve g(x) = ln(x – 1) olmak
kilerden hangisine eşittir?
A)
C) tanx
5. E
6. E
B) (0, 5)
D) (6, ∞)
7. B
8. D
9. E
10. C
11. B
12. C
C) (5, ∞)
E) (10, ∞)
13. D
14. C
15. E
16. C
Türev
Rehber Soru – 41
Rehber Soru – 42
f: R+ → R, f(x) = lnx fonksiyonunun apsisi x = 1
f(x) = 3x2 – 6 parabolünün A(–2, 6) noktasından
olan noktasından geçen teğetinin eğimi nedir?
geçen normalinin eğimi nedir?
Çözüm
Çözüm
1.
f(x) = x2 fonksiyonunun apsisi x = 1 olan nok-
1.
tasından geçen teğetinin eğimi nedir?
f(x) = 2x2 – x + 1 parabolünün apsisi x = –2
olan noktasından geçen teğetinin eğimi nedir?
3.
4.
2.
3.
f(x) = ln(lnx) fonksiyonunun A(e, 0) noktasın-
4.
dan geçen teğetinin eğimi nedir?
f(x) = sinx fonksiyonunun A b
r
, 1 l noktasın2
dan geçen normalinin eğimi nedir?
r 1
, m noktasın3 2
dan geçen teğetinin eğimi nedir?
f(x) = cosx fonksiyonunun A c
x fonksiyonuna apsisi x = 4 olan nok-
tasından çizilen normalinin eğimi nedir?
ESEN YAYINLARI
2.
f(x) =
x = t 2 + 2t – 5
y = t 2 – 3t – 1
4 eğrisine A(3, –3) noktasından
çizilen normalinin eğimi nedir?
f(x) = lnx fonksiyonunun A(e, 1) noktasından
çizilen normalinin eğimi nedir?
219
Türev
Rehber Soru – 43
x2 – x – 1
f(x) = e
Çözüm
eğrisine x = 2 apsisli noktasından çi-
zilen teğetinin ve normalinin denklemlerini bulunuz.
1.
f(x) = x2 – 4x – 1 parabolüne apsisi x = 1 olan
5.
noktasından çizilen teğetin denklemi nedir?
2.
e2x – y + 2y = 3x + 2 eğrisinin A(1, 2) noktasındaki normalinin denklemi nedir?
f(x) = x3 eğrisine apsisi x = 2 olan noktasından
6.
noktasındaki teğeti y = 2x – 1 ise a + b kaçtır?
ESEN YAYINLARI
çizilen normalin denklemi nedir?
f(x) = x3 + ax2 + bx – 1 eğrisinin apsisi x = 2 olan
3.
4.
2
fonksiyonunun A(2, 1) noktasından
x
geçen teğeti x eksenini hangi noktada keser?
7.
x2 + 4xy + y2 – 1 = 0 eğrisinin A(1, 0) noktasın-
8.
y =
daki teğetinin denklemi nedir?
220
y = 2 sin 3t
5r
noktasındaki
3 eğrisinin t =
12
x = 3 cos 2t
teğetinin y eksenini kestiği nokta nedir?
f(x) = x3 + ax2 + bx + 2 eğrisinin A(–1, 2) noktasındaki teğeti x eksenine paralel ise a.b kaçtır?
Türev
Rehber Soru – 44
Rehber Soru – 45
f(x) = x2 – 12x fonksiyonunun hangi noktasındaki
f : R+ → R, f(x) = lnx fonksiyonunun orijinden geçen
teğeti y = –2x + 3 doğrusuna paraleldir?
teğetinin eğimi nedir?
Çözüm
Çözüm
1.
y = –x2 + 6x fonksiyonunun hangi noktasındaki
1.
2.
y = x2 – 4x + 1 fonksiyonunun hangi noktasındaki
rinin eğimleri nedir?
ESEN YAYINLARI
teğeti y = 3x + 1 doğrusuna paraleldir?
2.
teğeti y = x + 2 doğrusuna diktir?
3.
f(x) =
x 2 – ax – 2
fonksiyonunun gösterdiği eğrix–4
f(x) = x2 + 1 parabolüne orijinden çizilen teğetle-
f(x) = x3 + bx2 + c eğrisi A(1, 0) noktasında x
eksenine teğet ise (b, c) ikilisi nedir?
3.
f(x) = x4 + x3 + 2x2 + x – 1
g(x) = x3 + x2 + 2x + 1 olmak üzere,
nin apsisi x = –1 olan noktasındaki teğetinin
2
y = x doğrusuna paralel olması için a kaç ol3
h(x) = (fog)(x) eğrisine x = –1 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi nedir?
malıdır?
4.
y = x2 – 4x – 1 eğrisinin 2x + y – 1 = 0 doğrusuna paralel teğetinin denklemi nedir?
4.
y=
x – 4 eğrisine O(0, 0) noktasından çizilen
teğetin denklemi nedir?
221
Türev
Rehber Soru – 46
Çözüm
y
A
2
y = f(x)
135°
0
x
3
Yukarıdaki şekilde y = f(x) eğrisinin A(3, 2) noktasındaki teğeti verilmiştir. Buna göre,
g(x2) = 2x + x.f(x) ise g′(9) kaçtır?
1.
y
3.
y
y
f(x)
4
0
2
2
1
–
2
x
–1
f(x)
45°
0
x
–3
0
A
g(x)
x
1
1
2
olan A noktasından çizilen teğeti x ekseni ile 45°
f(x) = ax2 + bx – 1 parabolünün apsisi x =
Yukarıdaki şekillerde f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri ile birer teğetleri verilmiştir.
lik açı yapıyorsa a + b kaçtır?
Buna göre, h(x) = (gof)(x) fonksiyonunun x = 1
ESEN YAYINLARI
apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
4.
2.
y
y
y = f(x)
y = f(x)
1
0
0
A(2, 3)
6
A(2, –2)
x
x . f (x)
eğrisine apsisi x = 2 olan noktax –1
g(x) = f(x).(x2 – 6) olduğuna göre, g′(2) ifadesi-
g(x) =
nin eşiti kaçtır?
sından çizilen teğetinin denklemi nedir?
222
x
Türev
Rehber Soru – 47
Rehber Soru – 48
y = x2 + 3x + 2 parabolü ile y = x – 4 doğrusu
f(x) =
arasındaki en kısa uzaklık kaç birimdir?
x 2 – 2x – 3
fonksiyonunun x eksenini kestiği
–3x 2 + 5a
noktalardaki teğetleri birbirine paralel ise a kaçtır?
1.
y = x2 parabolü ile y = x – 1 doğrusu arasındaki
en kısa uzaklık kaç birimdir?
2.
y2 = 6x eğrisi ile y = x + 5 doğrusu arasındaki
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
1.
ki teğetinin eğriyi kestiği noktanın koordinatları
nedir?
2.
y = 2x2 – x + 4 parabolünün y = x doğrusuna en
f(x) = ax5 + bx4 – 1 eğrisi x = 1 apsisli noktasında x eksenine teğet ise (a, b) ikilisi nedir?
en kısa uzaklık kaç birimdir?
3.
f(x) = x3 eğrisinin x = 2 apsisli noktasında-
3.
y = x2 + ax + 4 eğrisinin x = 0 ve x = 1 noktalarındaki teğetleri arasındaki açının tanjantı 2
yakın noktasının koordinatları nedir?
ise a kaçtır? (a ≠ 0)
4.
f(x) = x2 eğrisinin A(18, 0) noktasına en yakın
noktası nedir?
4.
y = x2 + bx + c parabolü y = x – 2 doğrusuna
x = 3 apsisli noktasında teğet ise (b, c) ikilisi
nedir?
223
Türev
Rehber Soru – 49
Rehber Soru – 50
f : R → R, f(x) = x3 – 12x fonksiyonunun artan ve
f(x) = *
azalan olduğu aralıkları bulunuz.
–x 2 + 2x + 1 , x ≤ 2
2x – 3
, x>2
fonksiyonu ile türevinin grafiklerini çiziniz.
Çözüm
1 3 7 2
x – x + 12x + 6 fonksiyonunun aza3
2
lan olduğu aralık nedir?
Aşağıda verilen f ve f′ grafik çiftlerinden han-
f(x) =
ESEN YAYINLARI
1.
Çözüm
gisi her durumda yanlıştır?
I.
y
x
x
f′
f
II.
2.
y
y
y
f
3
f(x) = x fonksiyonunun ∀x ∈ R için artan oldu-
f′
x
x
ğunu gösteriniz.
III.
y
y
f
f′
c
3.
x
c
x
f(x) = –x2 + 4x – 3 fonksiyonunun artan olduğu
aralık nedir?
IV.
y
y
f
f′
c
V.
x
c
x
y
y
f′
4.
f : (0, ∞) → R, f(x) = x2 – 2.lnx
fonksiyonunun azalan olduğu aralık nedir?
224
x
c
c
f
x
Türev
Rehber Soru – 51
Çözüm
y
f(x)
0
2
4
5
x
6
Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
1.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangilerinin
3.
x = c
y
apsisli noktasında yerel ekstremumu vardır?
f(x)
y
y
g
f
x
c
x
c
y
–4
–2
0
2
x
4
y
h
Yukarıda verilen f(x) fonksiyonunun grafiğine
k
göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
x
x
c
y
ESEN YAYINLARI
c
y
t
n
x
c
x
c
I.
f′(– 4) yoktur ve (– ∞, – 4) aralığında f(x) in
yerel ekstremumu yoktur.
II.
x = –2 de yerel minimum vardır.
III. f′(0) yoktur ve x = 0 noktasında yerel maksimum vardır.
2.
y
f(x)
–4 –3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
x
IV. f′(2) = 0 ve x = 2 de yerel minimum vardır.
V. f′(4) yoktur ve x = 4 te yerel maksimum
vardır.
f(x) fonksiyonunun kritik noktalarının apsisleri
toplamı kaçtır?
VI. f′(–5).f′(1) < 0
225
Türev
Rehber Soru – 52
Çözüm
y
f ′(x)
1
–2
–5
2
0
x
3
Yukarıda türevinin grafiği verilen f(x) fonksiyonunun
yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
1.
3.
y
y
f ′(x)
f ′(x)
–3 –2
–4
–1
0
x
1
–4
–2
0
1
x
Türevinin grafiği verilen f(x) fonksiyonunun ye-
Yukarıda verilen f′(x) fonksiyonunun grafiğine
rel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaç-
göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
ESEN YAYINLARI
tır?
I.
(–2, 1) aralığında f(x) azalandır.
II.
x = –2 noktasında f(x) in yerel maksimum
değeri vardır.
III. x = – 4 noktasında f(x) in yerel minimum değeri vardır.
2.
y
IV. (– ∞, – 4) aralığında f(x) azalandır.
f ′(x)
–3
0
1
3
x
Yukarıda türevinin grafiği verilen f(x) fonksiyonunun artan olduğu aralık nedir?
226
V. (– 4, ∞) aralığında f(x) artandır.
VI. f′′(– 4) > 0, f′′(–2) = 0, f′′(0) < 0, f′′(2) > 0
Türev
Rehber Soru – 53
Rehber Soru – 54
f(x) = x3 + ax2 + bx + 6 fonksiyonunun x = 1 ve
f(x) = x3 + ax + b eğrisinin A(1, 3) noktasında yerel
x = –3 apsisli noktalarında yerel ekstremumu varsa
minimumu varsa (a, b) ikilisi nedir?
(a, b) ikilisi nedir?
Çözüm
1.
Çözüm
f(x) = x3 + ax2 – bx + 1 fonksiyonunun x = –1
1.
f(x) = x3 + ax + b eğrisinin A(–1, 4) noktasında
yerel maksimumu varsa (a, b) ikilisi nedir?
ve x = 1 apsisli noktalarında yerel ekstremumu
ESEN YAYINLARI
varsa (a, b) ikilisi nedir?
2.
f(x) = ax2 + bx + 6 eğrisinin apsisi –1 olan
noktasındaki yerel minimum değeri 2 ise (a, b)
ikilisi nedir?
2.
3
2
f(x) = 2x – 3x – 12x + 1 fonksiyonunun,
a.
Yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?
b.
Yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?
3.
f(x) = –2x3 + 6x + c fonksiyonunun yerel maksimum değeri 8 ise c kaçtır?
3.
f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 2 fonksiyonunun,
a.
Yerel minimum değeri kaçtır?
b.
Yerel maksimum değeri kaçtır?
4.
f(x) = x4 + 32x + c fonksiyonunun yerel minimum
değeri –6 ise c kaçtır?
227
Türev
Rehber Soru – 55
f(x) = x3 – 3x – 2 fonksiyonunun [–3, 3 ] aralığında alabileceği en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz.
Çözüm
1.
f : [–2, 2 ] → R, f(x) = –x2 + 2x + 1 fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
2.
f : [–2, 4 ] → R, f(x) = x2 + 2x – 2 fonksiyonunun
f : ; 0,
6.
f : [–2, 1 ] → R, f(x) = –x3 + 3x + 2 fonksiyonu-
alabileceği en küçük değer kaçtır?
f : R → R, f(x) = x2 – 2x – 5 fonksiyonunun ala-
nun görüntü kümesi nedir?
ESEN YAYINLARI
3.
7.
bileceği en küçük değer kaçtır?
4.
2
f : R → R, f(x) = –x + 6x + 1 fonksiyonunun
alabileceği en büyük değer kaçtır?
228
3r
E → R, f(x) = cosx + sinx fonksiyonu2
nun azalan olduğu aralık nedir?
5.
8.
r 3r
f:; ,
E → R, f(x) = cos2x + 2cosx fonksi2 2
yonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
2 – 2x
f : R → R, f(x) = ex
fonksiyonunun alabile-
ceği en küçük değer kaçtır?
Türev
Rehber Soru – 56
Rehber Soru – 57
ax + a – 1
fonksiyonunun
x–2
daima artan olması için a hangi aralıkta değer al-
değerli ve azalan bir fonksiyon ise, aşağıdaki fonk-
0 < x < ∞ olmak üzere, f(x) bu aralıkta pozitif
f : R – {2 } → R, f(x) =
siyonların aynı aralıkta artan veya azalan olduklarını
malıdır?
tespit ediniz.
I. f2(x)
Çözüm
1.
f(x) =
x
x+a
1.
fonksiyonunun gösterdiği eğrinin
ax – 6
2–x
f(x) fonksiyonu (0, ∞) aralığında negatif değerli
ve azalan ise aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri aynı aralıkta artandır?
ESEN YAYINLARI
almalıdır?
f(x) =
III. x.f(x)
Çözüm
daima azalan olması için a hangi aralıkta değer
2.
II. x – 3.f(x)
I. f2(x)
II. x2.f(x)
III. f3(x) + x
fonksiyonunun gösterdiği eğrinin
daima artan olması için a hangi aralıkta değer
alır?
2.
f(x) fonksiyonu (– ∞, 0) aralığında negatif değerli ve artan bir fonksiyon ise aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri aynı aralıkta azalandır?
I. x2 – f(x)
3.
II.
x
f (x)
III. f 4(x)
f(x) = x3 + 3ax2 + (3a + 18)x + 2 fonksiyonunun
daima artan olması için a hangi aralıkta değer
alır?
3.
x ∈ (– ∞, 0) olmak üzere, f(x) fonksiyonu pozitif
değerli ve artan bir fonksiyon ise aşağıdakilerden hangisi aynı aralıkta artandır?
4.
f(x) = 3x – sinx fonksiyonunun ∀x ∈ R için
I. x.f(x) + 1
II.
1
f 2 (x)
III.
x –1
f (x)
artan olduğunu gösteriniz.
229
İntegral
Çözüm
Rehber Soru – 58
4
3
2
f(x) = x + ax + bx + x – 4 eğrisinin x = –1 ve
x = 1 apsisli noktaları dönüm noktaları olduğuna göre,
(a, b) ikilisi nedir?
1.
f(x) = x3 – 1
5.
fonksiyonunun dönüm noktası
nedir?
f(x) = x3 + bx2 + cx + 1 fonksiyonunun apsisi
x = –1 olan nokta dönüm noktasıdır. Fonksiyonun
bu noktadaki teğetinin eğimi 2 olduğuna göre, c
kaçtır?
2.
6.
f(x) = (x – 2)5 + 3 fonksiyonunun dönüm noktası
f(x) = x3.(x – 2) fonksiyonunun konkav olduğu
aralık nedir?
ESEN YAYINLARI
nedir?
3.
f(x) = x3 – 3x2 + x + 1 eğrisinin simetri merkezi
7.
sında dönüm noktasına sahip ise (b, c) nedir?
nedir?
4.
f(x) = x3 + 3x2 + 4x + n eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 5 ise n kaçtır?
230
f(x) = x3 – bx2 + cx – 6 fonksiyonu (1, 3) nokta-
8.
f(x) = x3 – 3x2 + 1 fonksiyonuna dönüm noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz.
Türev
Rehber Soru – 59
Çözüm
y
f ′(x)
x
0
–3
Türevinin grafiği yukarıdaki parabol olan f(x) fonksiyonunun ve f′′(x) fonksiyonunun grafiklerini çiziniz.
1.
3.
∀x ∈ R için f′(x) < 0 ve f′′(x) < 0 koşulunu
y
sağlayan fonksiyonlardan biri aşağıdakilerden
f ′(x)
hangisi olabilir?
II.
y
y
x
0
0
y
III.
0
–1
0
1
x
Yukarıda verilen f′(x) grafiğine göre, aşağıdaki-
y
IV.
x
–2
x
lerden hangisi yanlıştır?
x
0
ESEN YAYINLARI
I.
I.
f′′(0) < 0 dır.
II. f′′(–2).f′′(2) > 0 dır.
III. (–2, ∞) aralığında f artandır.
2.
y
B
y = f(x)
C
D
E
A
0
IV. Apsisi x = 1 olan noktada f fonksiyonunun
F
yerel minimumu vardır.
x
Grafiği yukarıdaki gibi olan y = f(x) fonksiyonu-
V. Apsisi x = –1 olan noktada f fonksiyonunun
büküm noktası vardır.
nun dönüm noktası D ise grafik üzerinde verilen
diğer noktaların hangilerinde f′ ve f′′ aynı işaretlidir?
231
Türev
Çözüm
Rehber Soru – 60
y
y = f(x)
–1
0
x
3
Yukarıda grafiği verilen üçüncü dereceden
y = f(x)
polinom fonksiyonunun dönüm noktasının
apsisi nedir?
1.
4.
y
y
y = f(x)
y = f(x)
1
–4
0
1
x
3
–4
0
x
2
Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x)
Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x)
fonksiyonunun denklemi nedir?
fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsi-
2.
y
2
–3
x
0
ESEN YAYINLARI
si kaçtır?
5.
y
y = f(x)
–12
–3
7
x
Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x)
Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x)
fonksiyonunun denklemi nedir?
fonksiyonunun dönüm noktasının apsisi kaçtır?
6.
3.
0
3
2
f(x) = x3 + ax2 + bx + 6 fonksiyonunun simetri
f(x) = x + 6x – 2x + 1 fonksiyonunun simetri
merkezi A(–1, 2) noktası olduğuna göre (a, b)
merkezi nedir?
ikilisi nedir?
232
Türev
Rehber Soru – 61
Rehber Soru – 62
Toplamları 24 olan pozitif iki reel sayının çarpımları
Çevresi 20 cm olan bir dikdörtgenin alanı en çok kaç
en çok kaç olabilir?
cm2 olabilir?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
Toplamları 12 olan pozitif iki reel sayının çarpımı
kaç cm2 olabilir?
x, y ∈ R ve 2x + y = 12 ise x.y nin en büyük
değeri kaçtır?
3.
ESEN YAYINLARI
en çok kaç olabilir?
2.
Çevresi 80 cm olan bir dikdörtgenin alanı en çok
2.
Alanı 100 cm2 olan bir dikdörtgenin çevresi en
az kaç cm olabilir?
x, y ∈ R+ ve x.y = 50 ise x + y nin en küçük
değeri kaçtır?
3.
A
B
Şekildeki gibi dikdörtgen biçiminde ve bir kenarında duvar bulunan bir bahçenin üç kenarına bir
sıra tel çekilmiştir. Kullanılan telin uzunluğu 120
4.
x, y ∈ R+ ve x2.y = 4 ise x + y nin en küçük
değeri kaçtır?
metre olduğuna göre, bahçenin alanı en çok kaç
m2 olabilir?
233
Türev
Rehber Soru – 63
B
O merkezli çeyrek birim çemberde
%
C ∈ BA , [CH ] ⊥ [OA olduğuna göre,
C
OCH üçgeninin çevresi en çok kaç
birim olabilir?
O
H
A
Çözüm
1.
3.
B
C
H
B
C
D
2
O
A
O
%
O merkezli çeyrek çemberde C ∈ BA
B
2.
A
O merkezli çeyrek çemberde |OA| = |OB| = 8 cm
%
C ∈ BA ise OECD dikdörtgeninin alanı en çok
[CH ] ⊥ [OB ], |OC| = 2 cm ise OCH üçgeninin
kaç cm2 olabilir?
ESEN YAYINLARI
çevresi en çok kaç cm olabilir?
E
y
4.
2
C
4
0
O
H
2
x
A
%
O merkezli çeyrek çemberde C ∈ BA
Şekildeki x2 + y2 = 4 çemberinin içine çizilebilen
[CH ] ⊥ [OA ], |OC| = 4 cm ise OCH üçgeninin
dikdörtgenlerden alanı en büyük olanının çevresi
2
alanı en çok kaç cm olabilir?
234
kaç br dir?
Türev
Çözüm
Rehber Soru – 64
y
B
C
O
x
A
y = 3 – x2
Şekildeki B noktası y = 3 – x2 parabolü üzerinde,
A ve C noktaları ise eksenler üzerinde olmak üzere;
OABC dikdörtgeninin alanı en çok kaç br2 olabilir?
1.
3.
y
y
y = 2x
y = x2 – 3
O C
D
D
x
C
O
A
B
A
B
x
y = 6 – 2x
Şekildeki ABCD dikdörtgeninin A ve B köşeleri x
üzerinde ve negatif ordinatlıdır. C ve D noktaları
ise x ekseni üzerindedir. Buna göre, ABCD dikdörtgeninin alanı en çok kaç br2 olabilir?
2.
dedir. ABCD dikdörtgeninin alanının en büyük
olması için çevresi kaç birim olmalıdır?
Şekildeki ABCD dik-
y
y = x2
dörtgeninin D köşesi
3
O
üzerinde ve D köşesi y = 2x doğrusu üzerin-
4.
y
C
ekseni üzerinde, C köşesi y = 6 – 2x doğrusu
ESEN YAYINLARI
Şekildeki A ve B noktaları y = x2 – 3 parabolü
y = x2 parabolü üze-
B
A
rinde, [AB ] kenarı x
4
x
d
Şekildeki OABC dikdörtgeninin B köşesi d doğrusu üzerindedir. Buna göre, OABC dikdörtgeninin alanı en çok kaç br2 olabilir?
D
ekseni ve [BC ] kenarı da x = 2 doğru-
O
A
su üzerindedir. Buna
C
B
x=2
göre, ABCD dikdörtgeninin alanı en çok kaç br2 olabilir?
235
x
Türev
Rehber Soru – 65
Çözüm
y
y = vx
0
y=
A(2, 0)
x
x eğrisinin A(2, 0) noktasına en yakın noktası-
nın koordinatları nedir?
1.
y = x2 parabolünün A(0, 2) noktasına en yakın
4.
2.
3.
4
eğrisinin orijine en yakın noktalarının
x
koordinatları nedir?
y =
9
eğrisinin orijine en yakın noktasının, orijix
ne olan uzaklığı kaç birimdir?
y=
236
yakın noktasının apsisi kaçtır?
ESEN YAYINLARI
noktalarının apsisleri farkı nedir?
f(x) = x2 parabolünün A(3, 0) noktasına en
5.
f(x) = x2 + 2x + 2 parabolünün y = 3x – 1 doğrusuna en yakın noktasının apsisi kaçtır?
6.
f(x) = x2 – 4x + 1 parabolünün y = 2x – 10 doğrusuna en yakın noktasını bulunuz.
Türev
Çözüm
Rehber Soru – 66
Yarıçapı 2 cm olan küre içine yerleştirilecek en
büyük hacimli koninin yüksekliği kaç cm dir?
1.
4.
Yarıçapı 2 cm olan küre içine yerleştirilecek en
büyük hacimli silindirin yüksekliği kaç cm dir?
Yarıçapı 4 cm olan bir küreyi içine alabilen en
küçük hacimli dönel koninin yüksekliği kaç cm
2.
Taban yarıçapı 2 cm, yüksekliği 6 cm olan koninin içine çizilen en büyük hacimli silindirin hacmi
kaç cm3 tür?
ESEN YAYINLARI
dir?
5.
kartondan, üstü kapalı kare prizma şeklinde bir
kutu yapılıyor. Bu kutunun hacminin en büyük
değerini alması için yüksekliği kaç cm olmalıdır?
6.
3.
Taban yarıçapı 4 cm, yüksekliği 6 cm olan bir dik
silindiri içine alan, en küçük hacimli dik koninin
yüksekliği kaç cm dir?
Alanı 96 cm2 olan dikdörtgen biçimindeki bir
Bir kenarının uzunluğu 12 cm olan kare şeklindeki bir kartonun her köşesinden birer kare kesip
katlanarak üstü açık dikdörtgenler prizması şeklinde bir kutu yapılacaktır. Bu kutunun hacmi en
çok kaç cm3 tür?
237
Türev
Rehber Soru – 67
f(x) = x(x2 – 9) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
Aşağıdaki polinom fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
f(x) = x2 – 2x + 3
4.
f(x) = x3 – 4x
2.
f(x) = (x – 2).(x + 4)
5.
f(x) = x2(x – 2)
3.
f(x) = x3 + 1
6.
f(x) = (x – 1)2.(x + 2)
238
ESEN YAYINLARI
1.
Türev
Rehber Soru – 68
Aşağıdaki fonksiyonların asimptotlarını bulunuz.
a. f(x) =
2x – 1
x+2
b. f(x) =
x 2 – 3x + 2
x 2 + 2x – 3
c. f(x) =
x2 – 4
x
d. f(x) =
x 2 – 2x
Çözüm
2.
x+2
fonksiyonunun asimptotlarının
x–3
kesim noktası nedir?
f(x) =
f(x) =
x 2 + 4x + 3
x 2 – 2x – 3
fonksiyonunun asimptotları
nedir?
3.
2
fonksiyonunun asimptotlax–b
rının kesim noktası (3, 2) ise a + b kaçtır?
f(x) = ax + 1 +
4.
f : R – {2 } → R, f(x) =
x3 + x
fonksiyonunun
x–2
eğri asimptotu nedir?
ESEN YAYINLARI
1.
5.
f(x) =
3x – 2
eğrisinin düşey asimptotunun
x 2 + bx + 4
olmaması için b hangi aralıkta değer alabilir?
6.
x2 + x – 6
eğrisinin asimptotları ile x ekx+2
seni arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
f(x) =
239
Türev
Rehber Soru – 69
f(x) =
x+2
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x –1
Çözüm
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
1.
f(x) =
x–3
x+1
4.
f(x) =
2.
f(x) =
1
x–2
5.
f(x) =
x 2 – 2x
x2 – 1
3.
y=
6.
f(x) =
x 2 – 3x + 2
x2
x 2 + 2x
ESEN YAYINLARI
x 2 + 2x + 1
240
2x – 4
x –1
Türev
Rehber Soru – 70
f(x) =
x2 – x – 2
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x –1
Çözüm
1.
f(x) =
(x – 1) 2
x+1
2.
f(x) =
2x 2
x+1
3.
f(x) =
x2 – 4
x
ESEN YAYINLARI
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
x3 – 2
x
4.
f(x) =
5.
f(x) =
x 2 – 4x + 3
6.
f(x) =
x 2 – 2x
241
Türev
Rehber Soru – 71
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a.
lim
x"1
x3 – 1
x5 – 1
b. lim
x"4
x – 4x
x–4
c. lim
x"1
ln x
ex – e
d. lim
x"0
sin 2x
ex – 1
Çözüm
1.
n 2 – 5n + 6
ifadesinin değeri nedir?
n–3
5.
lim
x +1 –1
ifadesinin değeri nedir?
x
6.
lim
ln (4x + 1)
ifadesinin değeri nedir?
ex – 1
7.
lim
x2 + x – 2
ifadesinin değeri nedir?
ln x
8.
n"3
x"0
lim
1– cos x
ifadesinin değeri nedir?
x
lim
1 – cos 2x
ifadesinin değeri nedir?
x2
lim
sin x – tan x
ifadesinin değeri nedir?
2x 2
lim
1 + cos rx
ifadesinin değeri nedir?
(x – 1) 2
x"0
x"0
ESEN YAYINLARI
2.
lim
3.
4.
x"0
x"1
242
x"0
x"1
Türev
Çözüm
Rehber Soru – 72
cosx
olmak üzere,
r
r
fb + h l – fb l
2
2
limitinin değeri kaçtır?
lim
h
h"0
f(x) = e
1.
lim
fb
h"0
2.
5.
f(x) = tanx olmak üzere,
f(x) =
r
r
+ h l – fb l
4
4
limitinin değeri nedir?
h
2x – 1 ise lim
h"0
f′(3) = 4 olmak üzere,
lim
h"0
6.
f (2 + h) – f (2)
h
f (3 + h) – f (3 – h)
ifadesinin değeri nedir?
h
f(x) = arcsinx olmak üzere,
fc
lim
ifadesinin değeri nedir?
ESEN YAYINLARI
h"0
1
1
+ h m – fc m
2
2
limitinin değeri nedir?
h
7.
3.
f(x) = ln(x + 4x – 1) olmak üzere,
f (2 + h) – f (2)
lim
limitinin değeri nedir?
h
h"0
4.
f′(2) = 3 olmak üzere,
2
(x + h) 2 – x 2
lim
ifadesinin değeri nedir?
h
h"0
lim
f (2 + h) – f (2 – 2h)
ifadesinin değeri nedir?
h
lim
f (2h + 1) – f (3h + 1)
ifadesinin değeri nedir?
h
h"0
8.
h"0
243
Türev
Rehber Soru – 73
Çözüm
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a.
b.
c.
1.
lim
3x + 1
2x – 3
lim
2x – 1
x2 + 1
lim
x2 – 1
x+2
lim
3x 2 + x
ifadesinin değeri nedir?
4x 2 – 1
x"3
x"3
x"3
x"3
5.
1 2 3
n
+ + +…+
2
2
2
2
lim
1 2
x"3
n +n+3
4
ifadesinin sonucu nedir?
lim
4x – 1
ifadesinin değeri nedir?
x3 + 1
lim
x4 + 1
ifadesinin değeri nedir?
x2 – x
x"3
6.
lim
x"3
2 x – 2 –x
ifadesinin sonucu nedir?
2 x + 2 –x
ESEN YAYINLARI
2.
3.
4.
x"3
lim
x"3
244
3
x 6 + 3x + 4
ifadesinin sonucu nedir?
2x 2 + 3x + 1
7.
8.
lim c
x"3
lim
x"3
1.
1
cos m ifadesinin sonucu nedir?
x
x
2x – sin x
ifadesinin sonucu nedir?
3x
Türev
Rehber Soru – 74
lim
x"3
Rehber Soru – 75
x+1
limitinin sonucu nedir?
ln x
1
6
limitinin sonucu kaçtır?
lim c
–
x – 3 x2 – 9 m
x"3
Çözüm
2.
3.
4.
lim
ln (1 + e x)
ifadesinin değeri nedir?
x
lim
ln (ln x)
ifadesinin değeri nedir?
ln x
lim
ln x
ifadesinin değeri nedir?
x
lim
ex
ifadesinin değeri nedir?
x3
x"3
x"3
x"3
x"3
1.
ESEN YAYINLARI
1.
Çözüm
2.
3.
4.
lim c
2
3
–
m ifadesinin sonucu nedir?
2
1– x
1 – x3
lim c
1
1
– m ifadesinin sonucu nedir?
tan x x
lim c
1
1
–
m ifadesinin sonucu nedir?
ln x x – 1
lim c
1
1
–
m ifadesinin sonucu nedir?
x sin x
x"1
x"0
x"1
x"0
245
Türev
Rehber Soru – 76
2 x
lim c 1 + m limitinin eşiti nedir?
x
x"3
Rehber Soru – 77
Çözüm
Çözüm
lim x x limitinin eşiti nedir?
x"0
1
1.
lim x x – 1 ifadesinin eşiti nedir?
x"1
lim x sin x limitinin eşiti nedir?
x"0
ESEN YAYINLARI
1.
1
2.
2x – 1 4x + 1
lim c
ifadesinin eşiti nedir?
m
x " 3 2x + 3
3.
lim (e + x) x ifadesinin eşiti nedir?
3.
lim (sin x) sec x limitinin eşiti nedir?
4.
4.
x
1
2.
x"0
r
x"
2
246
lim x x ifadesinin eşiti nedir?
x"3
lim (lnx.tanx) ifadesinin eşiti nedir?
x " 0+
lim (tan x) cos x ifadesinin eşiti nedir?
x"
r
2
Türevin Geometrik Yorumu
TEST – 7
1.
5.
y
hangisi aynı aralıkta artan bir fonksiyondur?
A
3
0 < x < ∞ olmak üzere, f(x) bu aralıkta azalan
bir fonksiyondur. Buna göre, aşağıdakilerden
y = f(x)
A) f 2(x)
–1
0
4
E) x .f(x)
D) x.f(x)
x
2
C) f(x2)
B) x – 3f(x)
Şekildeki y = f(x) eğrisinin A(2, 3) noktasındaki
teğeti (–1, 0) noktasından geçmektedir.
Buna göre, g(x) = x.f(2x) ise g′(1) kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
6.
1 3
x + (a + 1)x2 + 9x – a fonksiyonunun
3
tersi varsa a kaç farklı tam sayı değeri alır?
f(x) =
2.
y = arctanx fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi nedir?
A)
1
4
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E) 1
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
ESEN YAYINLARI
A) 7
7.
f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 1 fonksiyonunun yerel
maksimum ve yerel minimum değerleri toplamı
kaçtır?
3.
A) 8
f(x) = x3 + n eğrisi aşağıdaki n değerlerinden
B) 14
C) 20
D) 26
E) 32
hangisi için denklemi y = 3x – 1 olan doğruya
teğet olur?
A) –1
B) –2
C) –3
D) –4
E) –5
8.
4.
f(x) = ex.x2 fonksiyonunun yerel minimum değerini aldığı noktanın apsisi kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
f(x) = x3 + (a + b)x2 + ax + b fonksiyonunun
(–1, 1)
noktasında yerel ekstremumu varsa
(a, b) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (0, 1)
D) (1, 0)
B) (–1, 0)
C) (1, 1)
E) (1, –1)
247
Türev
9.
f(x) = (x – 1)3.(2x + a) fonksiyonunun dönüm
12.
y
noktalarından birisinin apsisi x = 2 ise a kaç-
y = f′(x)
tır?
A) –6
B) –5
C) –4
D) –3
3
–2
E) –2
–3
0
x
5
Şekilde verilen y = f′(x) türev fonksiyonunun
grafiğine göre, f(x) fonksiyonunun yerel minimum değerini aldığı noktanın apsisi kaçtır?
A) –3
10.
B) –2
C) 0
D) 3
E) 5
y
3
2
0
2
3
x2 + y2 – xy – 4x ifadesinin alabileceği en küçük
x
4
–2
f : [–3, 4 ] → R olmak üzere, y = f(x) fonksiyo-
değer kaçtır?
ESEN YAYINLARI
–3 –2
13. x, y ∈ R ve x + y = 4 olmak üzere,
A) –
64
3
B) –
D) –
8
3
32
3
C) –
16
3
4
3
E) –
nunun grafiği yukarıda verilmiştir.
Buna göre, f(x) in yerel ekstremum noktalarının
apsisleri toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
14.
y
D
C
A
y = vx
B
x
0
Şekildeki ABCD dikdörtgeninin B köşesi y = vx
eğrisi üzerinde ve D köşesinin ordinatı 9 dur.
Buna göre, ABCD dikdörtgeninin alanı en çok
11. f(x) = x2 parabolü ile A(3, 0) noktası arasındaki
kaç br2 olabilir?
en kısa uzaklık kaç birimdir?
A) 2
1. C
248
2. C
B) v5
3. C
C) v6
4. C
D) 2v2
5. B
A) 144
E) 3
6. A
7. C
8. C
9. A
B) 132
10. D
C) 108
11. B
D) 90
12. E
13. C
E) 72
14. C
Türevin Geometrik Yorumu
TEST – 8
1.
y = ax2 + bx + 4 fonksiyonunun (–1, 1) nokta-
5.
sındaki teğetinin eğimi 4 ise a kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –
3
2
D) –1
E) –
f(x) = ax3 – 4x2 – x + 2 fonksiyonu ∀x ∈ R için
azalan bir fonksiyon ise a nın değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
1
2
A) c – 3, –
C) c –
16
m
3
B) (– ∞, 0)
16
, 0m
3
D) (– ∞, – 6)
E) (– 6, 0)
2.
f(x) fonksiyonu için f(3 – x) – f(–x) = x2 + 1 ve
f(x) in x = –2 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi 3 ise f′(1) kaçtır?
A) –1
B) 0
6.
C) 1
D) 2
f(x) = x4 – 4x + c fonksiyonunun yerel minimum
değeri –12 ise c kaçtır?
E) 3
3.
x2 + y2 = 13 çemberinin A(2, 3) noktasından
çizilen teğetinin denklemi nedir?
A) 2x – 3y = –5
B) 2x + 3y = 13
C) –2x + 3y = 13
D) 3x + 2y = 12
ESEN YAYINLARI
A) –5
7.
B) –6
C) –7
D) –8
y = ax3 + (a – 2)x2 + 2x – 3 eğrisinin y = 4x + 2
doğrusuna paralel teğetlerinin değme noktalarının apsisleri toplamı 2 ise a kaçtır?
A)
E) 3x – 2y = 0
1
4
B)
1
2
C) 1
8.
D)
4.
3
2
E) 2
y
1
3
E) –9
–4
2
f(x) = x + ax + x + b fonksiyonuna üzerindeki
–2
2
x
0
A(1, –2) noktasından çizilen teğet x ekseni ile
pozitif yönde 135° lik açı yapıyorsa (a, b) ikilisi
y = f ′′(x)
aşağıdakilerden hangisidir?
5 3
A) c , m
2 2
3 5
B) c , m
2 2
5
3
D) c – , – m
2
2
3
5
C) c – , – m
2
2
5 3
E) c – , m
2 2
Yukarıda ikinci türevinin grafiği verilen f(x) fonksiyonunun dönüm noktalarının apsisleri toplamı
kaçtır?
A) –4
B) –3
C) –2
D) –1
E) 0
249
Türev
9.
f : R → R, f(x) = x4 + 1 fonksiyonu ile ilgili aşa-
12.
y
ğıdakilerden hangisi doğrudur?
I.
Yerel minimum noktasının apsisi x = 0 dır.
II. (0, ∞) aralığında fonksiyon artandır.
–2
III. Dönüm noktasının apsisi x = 0 dır.
A) I, II ve III
B) I ve II
D) Yalnız I
–3
–1
0 1
x
3
C) I ve III
f ′(x)
E) Yalnız II
Şekildeki grafik f′(x) türev fonksiyonuna aittir.
Buna göre
f(x)
için aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
A) x = –3 te yerel maksimum vardır.
B) x = –1 de yerel minimum vardır.
C) x = –2 de dönüm noktası vardır.
D) x = 1 de dönüm noktası vardır.
10. f(x) = x3 – ax2 + 4x + b fonksiyonunun dönüm
E) x = 3 te yerel minimum vardır.
noktası (1, 3) ise (a, b) ikilisi aşağıdakilerden
hangisidir?
B) (1, 1)
D) (3, –1)
C) (2, 1)
ESEN YAYINLARI
A) (–1, 3)
E) (3, 1)
13. f : [0, 2π ] → R, f(x) = x + cosx fonksiyonunun
konveks (dış bükey) olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
A) b 0,
11.
y
r
l
2
B) b
E) c
D) (0, π)
y = f(x)
–3
0
1
C) c r,
r
, rl
2
3r
m
2
r 3r
,
m
2 2
x
4
Şekilde verilen y = f(x) fonksiyonuna göre
14. f(x) = 6x – x2 parabolü üzerindeki A(x1, y1)
x.f′(x) < 0 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam
noktasının koordinatları toplamının en büyük
sayısı vardır?
değerini alması için x1 kaç olmalıdır?
A) 2
1. D
250
2. A
B) 3
3. B
C) 4
4. D
D) 5
5. A
E) 6
6. E
3
2
B) 2
9. B
10. E
A)
7. B
8. A
C)
11. C
5
2
D) 3
12. E
E)
13. E
7
2
14. E
Türevin Geometrik Yorumu
TEST – 13
1.
f(x) = ax + 1 –
3
eğrilerinin asimptotlarının
x+a
4.
kesim noktalarının geometrik yerinin denklemi
x2 + 4
fonksiyonunun bir düşey asimp-
x 2 + 2x + c
tota sahip olmaması için c hangi aralıkta değer
aşağıdakilerden hangisidir?
2
y=
almalıdır?
2
A) y = x + 1
B) y = –x + 1
2
C) y = –x – 1
A) (0, 1)
D) y = x + 1
D) (1, ∞)
E) y = –x + 1
C) (0, ∞)
B) (–1, 1)
E) (2, ∞)
y
2.
Yanda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu aşağıdaki-
–2 0
x
2
lerden hangisi olabilir?
5.
A) y =
x
x2 – 4
B) y =
x –1
x2 – 4
C) y =
x2
2
x –4
D) y =
1
x2 – 4
x 2 – 2x + 4
x –1
fonksiyonunun eğik asimptotu
ile düşey asimptotunun kesim noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 0
ESEN YAYINLARI
–x
E) y = 2
x –4
3.
y =
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
y
6.
4
y
4
1
0
x
1
0
Yukarıda grafiği verilen fonksiyon aşağıdakiler-
1
3
x
den hangisi olabilir?
A) y =
x–4
x –1
B) y =
x2 – 4
(x – 1) 2
C) y =
x–4
(x – 1) 3
D) y =
x3 – 4
x –1
x3 – 4
E) y =
(x – 1) 3
Yukarıda grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) y = (x – 3)2
B) y = x(x – 3)2
C) y = –x(x – 3)2
D) y = x(x – 3)
E) y = –x(x – 3)
259
Türev
7.
f(x) = x.(x + 1)2 fonksiyonunun grafiği aşağıda-
9.
kilerden hangisi olabilir?
A)
x (x – 2)
fonksiyonunun grafiği aşağıdaki(x – 1) 2
lerden hangisidir?
B)
y
f(x) =
y
A)
–1
–1
x
0
B)
y
x
0
1
1
0
C)
D)
y
0
1
C)
0
x
–1
D)
y
1 2
x
y
1
1
0
E)
x
y
0
x
1
y
y
E)
1
x
0
1
x
y
1
0
0
ESEN YAYINLARI
–1
x
8.
x
–x 2 + 3x – 1
fonksiyonunun grafiği aşağıx
dakilerden hangisi olabilir?
10. f(x) =
x 2 + 4x + 4 fonksiyonunun grafiği aşağı-
f(x) =
1 2
dakilerden hangisi olabilir?
A)
A)
B)
y
2
2
–2
x
0
C)
0
y
2
–2
C)
2
x
0
–2
E)
1. B
260
2. A
0
E)
x
4. D
x
y
0
x
y
0
x
3. E
0
D)
y
0
v2
0
x
x
y
–2
y
x
–2 0
D)
y
B)
y
y
5. B
6. B
7. B
x
8. A
9. B
10. E
L’Hospital Kuralı
TEST – 14
1.
x 2 – 4x + 3
limitinin değeri nedir?
x 2 + 3x – 4
lim
x"1
3
A) –
5
2.
2
B) –
5
1
C) –
5
1
D)
5
5.
3
E)
5
1 – sin
lim
ln x
x"1
A)
r
2
rx
2 ifadesinin değeri nedir?
B)
3
2
C) 1
D) 0
E) –1
x 4 – 2x 2 + 1
limitinin değeri nedir?
x3 – 1
lim
x"1
A) –1
B) –
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
6.
r
x
2
lim
ifadesinin değeri nedir?
x " 1 1– x
cos
B)
r
2
C)
r
4
D) –
r
2
E) – π
ESEN YAYINLARI
A) π
3.
lim
n"6
A)
n+3 –3
ifadesinin değeri nedir?
n–6
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
5
6
7.
lim
x"0
ex – 1
limitinin değeri nedir?
x
A) 0
B) 1
C) e – 1
D) e
4.
1– n – 3
ifadesinin değeri nedir?
2+3 n
lim
n"–8
A) –
1
3
B) –
1
2
C) –1
D) –
3
2
E) –2
8.
lim
x"0
A) 1
E) e + 1
x + ln (x + 1)
limitinin değeri nedir?
sin 5x
B)
3
5
C)
2
5
D)
1
5
E) 0
261
Türev
9.
f′(1) = 3 olmak üzere,
lim
h"0
f (1 + h) – f (1 – 3h)
ifadesinin değeri nedir?
h
A) 0
lim
10.
13.
B) 3
x " –1
C) 6
D) 9
2
x
lim (e + x) x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
x"0
hangisidir?
E) 12
B) e2
A) e
C) e3
D) e4
E) e5
cos 2 – cos 2x
limitinin değeri nedir?
x2 – x
A) 2sin2
B) 2cos2
D) –2cos2
14.
C) –2sin2
E) 0
lim c x. ln
x"0
x+2
m ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
x
hangisidir?
B) 1
C) e
D) e2
E) e3
ESEN YAYINLARI
A) 0
3
lim (1 + 2x) x
11.
x"0
limitinin değeri aşağıdakilerden
A) 1
lim
12.
x"0
B) e
1. B
2. C
262
15.
C) e
2
3
6
D) e
E) e
B) –
3. A
2
3
C) –
4. E
1
3
5. D
16.
1
4
E) –
6. A
7. B
D) –
x"3
A) 0
1 – 2x
limitinin değeri nedir?
x. ln 8
A) –1
lim : x . a e x – 1 k D ifadesinin değeri nedir?
1
hangisine eşittir?
1
6
9. E
C) 2
D) e
E) e2
lim (sin x . ln x) ifadesinin değeri nedir?
x " 0+
A) 0
8. C
B) 1
10. A
B)
11. E
1
2
12. C
C) 1
13. D
D) ln2
14. A
E) lnπ
15. B
16. A
TEST – 17
1.
f(x) = *
5.
ax 2 + 4 , x G 1
noktasında türevi yoktur?
–x 2 + bx , x > 1
fonksiyonu x = 1 için türevli ise a + b kaçtır?
A) 7
B) 8
f(x) = |(x – 2)2.(x + 2)| fonksiyonunun kaç farklı
C) 9
D) 10
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
E) 11
6.
f : R → R, f(x) = x3 – x2 + cx + 1 fonksiyonu
her x ∈ R için artan ise c aşağıdaki aralıkların
2.
dy
ifadesinin eşiti aşağıdakilery = cos2x ise
dx
den hangisidir?
A) sin2x
B) – sin2x
1
sin2x
2
A) (–1, 1)
B) (0, 1)
1
D) c , 3 m
3
1
sin2x
2
C) (0, ∞)
E) (1, ∞)
E) –2sin2x
ESEN YAYINLARI
D) –
C)
hangisinde değer alabilir?
7.
y = ax3 + bx + 4 fonksiyonunun x =
1
apsis3
li noktasındaki teğeti x ekseni ile pozitif yönde
60° lik açı yaptığına göre, a + b kaçtır?
3.
f(x) = (x – 1)(x – 2)2(x – 3)3 olduğuna göre
A) 0
f′(1) + f′(2) + f′(3) toplamının değeri kaçtır?
A) 8
B) 4
C) 0
D) –4
y=
e 2x – 2y ise
dy
in (1, 1) noktasındaki eşiti
dx
kaçtır?
A) 0
1
B)
2
C) 1
D) 2
C) 1
D) v2
E) v3
E) –8
8.
4.
1
3
B)
E) e
f(x) = ex + ln(x
2
)
ise
d 2 f (x)
aşağıdakilerden handx 2
gisine eşittir?
A) ex(x2 + 2x – 2)
B) ex(x2 + 2x + 4)
C) ex(x2 + 4x + 2)
D) ex(x2 + 2x + 2)
E) ex(x2 + 4x + 1)
267
Türev
9.
y
13. tan(y + π) = x olduğuna göre,
y = f ′(x)
–2
ifadesinin
C)
1
x+1
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
–4
dy
dx
0
A)
x
2
1
x
B)
D)
Şekilde verilen y = f′(x) fonksiyonunun grafiğine
1
x2
1
x2 + 1
E)
1
1 – x2
göre, f′(x).f′′(x) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (– ∞, –2)
B) (2, ∞)
D) (–2, 2)
C) (– 4, 2)
E) (– 4, –2) ∪ (2, ∞)
14.
arcsin 2x
4x
lim
x"0
ifadesinin sonucu aşağıdakiler-
den hangisidir?
A) 0
B)
1
4
C)
1
2
D) 1
E) 2
10. f(x) = x3 – ax2 + x – 3 eğrisine, apsisi x = 2 ve
15.
x = –1 olan noktalarından çizilen teğetlerinin
3
2
A)
B) 3
C)
7
2
D) 4
E)
ESEN YAYINLARI
paralel olması için a kaç olmalıdır?
y
9
2
g(x)
f(x)
1
–2
0
x
1
Şekilde g(x) doğrusu x = 1 apsisli noktasında
11. f(x) = ex – 2 olduğuna göre,
f(x) fonksiyonuna teğettir. h(x) = (gof)(x) ol-
df –1 (x)
in eşiti aşadx
duğuna göre, h′(1) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
ğıdakilerden hangisidir?
1
x
A)
B)
2
x
C)
e
x
D) ex
A)
E) ex – 2
1
4
B)
1
3
C)
1
2
D) 1
E)
3
2
16. Gerçel sayılar kümesinde tanımlı,
f(x) = x3 + nx2 + 3x + 5
12. x = lnt, y = 2t3 + 7 olduğuna göre,
fonksiyonunun yerel ekstremum noktasının ol-
dn y
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
dx n
A) 3!.e3x
B) 2.3n.ex
D) 2.3!.e3x
1. E
2. B
268
3. E
4. C
maması için n nin alabileceği kaç farklı tam sayı
değeri vardır?
C) xn.lnx
A) 4
E) 2.3n.e3x
5. B
6. D
7. E
8. C
9. E
10. A
B) 5
11. A
12. E
C) 6
13. D
D) 7
14. C
E) 8
15. A
16. D
TEST – 18
1.
d 10 f (x)
1
ise
aşağıdakilerden hangisix
dx 10
ne eşittir?
5.
f(x) =
A)
11!
x 11
B)
D)
9!
x 11
10!
x 11
C)
E)
9!
x 10
4
2
D) 3i
E) 4i
ESEN YAYINLARI
C) 2i
f(x) = ln
A) 2secx
g(4) = –3 ve f(3x – 2) = x2.g(2x) ise g′(4) kaç-
C)
9
2
D) 5
E)
x
l olduğuna göre, f′(π) ifadesinin
4
değeri nedir?
A) 1
B)
1
2
C) 0
D) –
1
2
C) 2cosecx
E) sin2x
f(x) = cos(2x + 1) olmak üzere,
(f –1)′ c
f(x) = ln b tan
B) secx
25
4
8.
4.
ise f′(x) aşağıdakilerden
D) cosecx
tır?
B) 4
1 + sin x
1 – sin x
C) (–1, –2)
E) (2, 1)
hangisine eşittir?
lenebilir f ve g fonksiyonları için f′(4) = 6,
15
4
B) (1, –2)
D) (–2, –1)
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türev-
A)
3r
2
f(x) = –x2 + mx + n parabolü A(–1, 2) nokta-
A) (–2, 1)
7.
3.
E)
3r
6
nedir?
lerden hangisine eşittir?
B) i
3r
4
C)
sında bir yerel maksimuma sahipse (m, n) ikilisi
2
f(x) = (x + 2) .(x + x + 1) ise f′(i) aşağıdaki-
A) 0
3r
8
B)
D)
i = –1 olmak üzere,
3
3r
9
10!
x 10
2
2
r
r
sin x l ise f′ b l aşağıdakilerden
2
6
hangisine eşittir?
A)
6.
2.
f(x) = tan b
E) –1
2
m
3
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden
hangisidir?
A) –
5
5
D) –
B) –
5
2
3 5
10
E) –
C) –
2 5
5
3 5
5
269
Türev
9.
13. f(x) = 2x3 – 3ax2 + 2bx – 7 fonksiyonunun x = –1
y
apsisli noktasındaki teğetinin eğimi 8 dir. Bu
fonksiyonun x = 2 apsisli noktası da bir dönüm
1
–1
Şekilde f(x) =
noktası olduğuna göre, b kaçtır?
0
1
x
2
A) 15
B) 13
C) 11
D) –11
E) –13
ax 2 + bx + c
fonksiyonunun gra2x 2 + dx + e
fiği verilmiştir.
Buna göre a + b + c + d + e toplamı kaçtır?
A) –4
B) –2
C) 0
D) 2
14. f(x) = (x2 + 4x + c)2 fonksiyonunun yalnız bir
E) 4
ekstremum değerinin olması için c nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
A) 3
df –1 (x)
10. f(x) = log2(3x – 1) olduğuna göre,
dx
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
in
A) 2x – 1.ln2
D)
B) 2x + 1.ln2
1 x
.2 .ln2
3
E)
ESEN YAYINLARI
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) 2x.ln2
1 x+1
.2 .ln2
3
15. f(x) = x3 + mx + n eğrisi A(1, 4) noktasında
yerel maksimum değerini aldığına göre, n kaçtır?
lim c
11.
x"3
x2 + 2
+ ax + b m = 4 ise a + b toplamı
x –1
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
kaçtır?
A) 3
B) 2
C) 1
D) 0
E) –1
16. Bir malın alış fiyatı x TL, satış fiyatı y TL olmak
üzere, x ile y arasında y = –x2 + 9x + 12 bağın-
x 2 + ax
fonksiyonunun daima artan olma12. f(x) =
x+1
tısı bulunmaktadır.
Buna göre, bu malın satışından en çok kaç TL
sı için a hangi aralıkta değer almalıdır?
kâr edilebilir?
A) (0, ∞)
B) (1, ∞)
D) (– ∞, 0)
1. D
2. C
270
3. A
4. B
C) (0, 1)
A) 24
E) (– ∞, 1)
5. E
6. A
7. B
8. B
9. C
10. D
B) 26
11. B
12. B
C) 28
13. D
D) 30
14. B
E) 32
15. E
16. C
I.
II.
III.
Sol sütunda verilen fonksiyonların türevlerini sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
a.
lnsinx
1.
b.
sin x
2.
c.
lncosx
3.
cos x
2 sin x
d.
cos x
4.
–tanx
cotx
–
sin x
2 cos x
Sol sütunda verilen fonksiyonların asimptotlarını sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
a.
y=
x–3
x–2
1.
b.
y=
x+1
x2 + 1
2.
c.
y=
1
x–2
3.
d.
y=
x2 – 1
x
4.
e.
y=
x2 + x
x –1
5.
Düşey asimptot : x = 2
Yatay asimptot : y = 0
Düşey asimptot : x = 1
Eğik asimptot : y = x + 2
Düşey asimptot : x = 2
Yatay asimptot : y = 1
Düşey asimptot : Yok
Yatay asimptot : y = 0
Düşey asimptot : x = 0
Eğik asimptot : y = x
Sol sütunda verilen fonksiyonların üzerlerindeki verilen noktalardan çizilen teğetlerinin denklemlerini
sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
f(x) = x2 + x + 1
a.
A(1, a)
1.
y=3–x
2.
4y – x = 4
3.
y = 3x + 2
4.
y = 3x
f(x) = x3
b.
c.
d.
A(–1, a)
f(x) =
x
A(4, a)
1
x –1
A(2, a)
f(x) =
277
1
2
5
3
4
6
7
8
9
10
11
12
13
14
SOLDAN SAĞA
2. Değişken, bilinmeyen bir niceliğin tanımlanması için kullanılan sembol
5. Tanım kümesindeki her a, b için a < b olduğun-
YUKARIDAN AŞAĞIYA
1. Bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini
hesaplama tekniği
3. Bir doğrunun, x ekseni ile pozitif yönlü yaptığı
açının tanjantı
da f(a) < f(b) bağıntısını sağlayan f fonksiyonu
0
3
belirsizlikleri durumunda pay
ve
0
3
ve paydanın türevinin alınması kuralı
9. Limitte
4. Kapalı kümeleri kapalı kümelere taşıyan fonksiyon
10. Sıralı bir kümede (varsa) en büyük değer
6. Teğete değme noktasında dik olan doğru
12. Büküm noktası
7. Asimptot türlerinden birisi
13. Minimum veya maksimum değer
8.
14. Tüm basamakları türevli olan fonksiyon
lim f (x) = b veya
x"3
lim f (x) = b ise y = b
x"–3
doğrusu
11. Sıralı bir kümede (varsa) en küçük değer
278
Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz.
1.
f (x) – f (a)
limiti bir reel sayıya eşit ise bu sayıya y = f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki
x–a
.......................................... denir.
lim
x " a+
2.
Denklemi y = f(x) olan eğriye, üzerindeki x0 apsisli noktadan çizilen teğetin eğimi ...................... dir.
3.
f : (a, b) → R, y = f(x) fonksiyonunda ∀x0 ∈ (a, b) için .......................................... ise y = f(x) sabit
fonksiyondur.
4.
Bir fonksiyonun yerel maksimum değerlerinden en büyük olanına .......................................... değeri
denir.
5.
y = f(x) fonksiyonunun eğrilik yönünün değiştiği yani ikinci türevinin işaret değiştirdiği noktalarda fonksiyon sürekli ise bu noktalara .......................................... noktası denir.
6.
lim f (x) = c veya
x"3
lim f (x) = c ise y = c doğrusuna y = f(x) fonksiyonunun ...............................
x"–3
denir.
7.
Çevresi sabit olan çokgenler içinde alanı maksimum olanı .......................................... dir.
8.
Alanı sabit olan çokgenler içinde çevresi minimum olanı .......................................... dır.
9.
Bir daire içine çizilen dikdörtgenlerden alanı .......................................... olanı karedir.
10. Hacimleri sabit olan dörtgen prizmalardan alanı .......................................... olan küptür.
279
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.
1.
Bir fonksiyon herhangi bir noktada sürekli değilse o noktada türevi yoktur.
2.
Bir hareketlinin t zamanda aldığı yol s(t) ise bu hareketlinin t anındaki hızı s′(t) dir.
3.
Denklemi y = f(x) olan eğriye üzerindeki x0 apsisli noktadan çizilen normalin eğimi –
4.
f : (a, b) → R, y = f(x) fonksiyonunda ∀x ∈ (a, b) için f′(x) > 0 ise y = f(x) artandır.
5.
Birinci ve ikinci türevleri bulunan f : [a, b] → R fonksiyonunda x0 ∈ [a, b] için f′(x0) = 0 ve
1
dır.
f (x 0)
f′′(x0) < 0 ise x0 apsisli noktada fonksiyonun yerel minimumu vardır.
6.
Birinci ve ikinci türevi bulunan f : [a, b] → R fonksiyonunda ∀x ∈ R için f′′(x) > 0 ise fonksiyonun grafiğinin eğrilik yönü yukarıya doğrudur.
7.
3. dereceden bir polinom fonksiyonun dönüm noktası simetri merkezidir.
8.
y = f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki soldan ve sağdan limitlerinden en az birisi – ∞ ya
da + ∞ ise x = a doğrusu y = f(x) fonksiyonunun düşey asimptotudur.
9.
a > 0 olmak üzere y =
10.
f(x) =
280
ax 2 + bx + c eğrisinin eğik asimptotu y =
a x+
b
2a
ax + b
fonksiyonunun simetri merkezi asimptotların kesim noktasıdır.
cx + d
doğrularıdır.
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
1.
1990 – ÖYS
5.
D
C
1990 – ÖYS
4
fonksiyonunun başlangıç noktasına en
y =
x
yakın olan noktasının, başlangıç noktasına
uzaklığı kaç birimdir?
A
B
O
A) 8
B) 4
|AB| = 2 birim olan bir yarı çemberin içine çizili
D) 4 2
ABCD yamuğunun alanı en büyük değerini aldı-
C) 2
E) 2 2
ğında, yüksekliği kaç birim olur?
A)
1
2
B)
2
3
C)
2
2
D)
3
2
E)
3
3
6.
1990 – ÖYS
Dik yarıçapları [OA ],
2.
B
[OB ] olan dörtte bir bi-
1990 – ÖYS
P
rim çember üzerindeki
3
f(x) = x – 3x + 8 fonksiyonunun [–1, 2 ] aralı-
değişken bir P noktası-
ğında alabileceği en küçük değer kaçtır?
nın OA üzerindeki dik
3.
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
1990 – ÖYS
d2 3 x
(x e ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
dx 2
hangisidir?
e–x
A) x3 + 3x2 + 3x
B) x3 + 3x2 + 6x
C) x3 + 3x2 + 9x
D) x3 + 6x2 + 6x
izdüşümü H olduğuna
göre
ESEN YAYINLARI
A) –1
üçgeninin
O
H
A
çevresi en çok kaç birim olabilir?
A)
2+ 3
D) 1 +
7.
E) x3 + 9x2 + 3x
POH
B) 2 2 – 1
3
C) 2 3 – 1
2
E) 1 +
1991 – ÖYS
f(x) = (x – 1)2(2x – t) ve f′′(0) = 0 olduğuna göre
t kaçtır?
4.
A) 4
1990 – ÖYS
a > 0 olmak üzere, y =
B) 2
C) 0
D) –2
E) – 4
x3
fonksiyonunun
x
x = a ve x = –a noktalarındaki teğetleri için
aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Birbirine diktir.
B) Birbirine paraleldir.
C) 30° lik bir açıyla kesişirler.
D) x ekseni üzerinde sabit bir noktada kesişirler.
E) y ekseni üzerinde sabit bir noktada kesişirler.
282
8.
1991 – ÖYS
ln x
limitinin değeri kaçtır?
lim
x"1
x2 – 1
A) –
1
2
B) –1
C) 0
D)
1
2
E) 1
Türev
9.
1991 – ÖYS
13. 1992 – ÖYS
1
4
limitinin değeri kaçtır?
lim c
–
x – 2 x2 – 4 m
y
x"2
A(6, 3)
A) –
F
0
1
8
1
4
B) –
C) 0
D)
1
4
E)
1
8
x
E
Bir köşesi A(6, 3) olan şekildeki dik üçgenin
kenarları koordinat eksenlerini E ve F de kes-
14. 1992 – ÖYS
mektedir. Buna göre |EF| nin en küçük değeri
O, [AB ] üzerinde
kaçtır?
A) 2 5
B) 3 5
D) 5
E
AE ⊥ AB
C) 2 3
OE ⊥ OF
E) 4
α
BF ⊥ AB
F
|AO| = 8 birim
α
|OB| = 27 birim
A 8 O
27
B
%
m( FOB ) = α
d2
(sin23x) in kısaltılmışı aşağıdakilerden handx 2
gisidir?
A) 18sin6x
B) 18cos6x
C) 6(sin3x + cos3x)
D) 6(sin3x – cos3x)
ESEN YAYINLARI
10. 1992 – ÖYS
Yukarıdaki verilenlere göre tanα nın hangi değeri için |OE| + |OF| toplamı en küçüktür?
A)
3
B)
2
C)
2
3
D)
3
4
E) 1
2
E) 6cos 3x
15. 1993 – ÖYS
lim
11. 1992 – ÖYS
d
ln(cosx) aşağıdakilerden hangisidir?
dx
A) – tanx
B) – secx
D) –
1
sin x
E)
x"0
C) – cotx
A) –
cos x – 2 sin x – 1
limitinin değeri kaçtır?
cos 2x + sin 2x – 1
1
2
B) –1
C) 0
D)
1
2
E) 1
1
cos x
16. 1993 – ÖYS
12. 1992 – ÖYS
lim
x"2
A) 1
Denklemi y = x3 + ax2 + (a + 7)x – 1 olan eğrinin
sin (x 2
– 4)
limitinin değeri kaçtır?
x 4 – 16
B)
1
2
C)
1
4
D)
1
6
E)
dönüm (büküm) noktasının apsisi 1 ise ordinatı
kaçtır?
1
8
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
283
Türev
21. 1993 – ÖYS
17. 1993 – ÖYS
y < 0 olmak üzere,
f(3x – 5) = 2x2 + x – 1 olduğuna göre
x2 + y2 = 9 çemberinin x =
3 noktasındaki
f′(1) + f(1) kaçtır?
teğetinin eğimi kaçtır?
A)
1
6
B)
1
3
2
D)
C)
E)
A) 10
1
2
B) 12
22. 1994 – ÖYS
y
sin 2 x –
lim
x"
y = vx
A) –
H
1
4
1
2 limitinin değeri kaçtır?
B) –
1
8
C) –
1
16
D)
1
2
E)
1
8
x
B
x olan şekildeki parabolün A ve
P noktalarının x ekseni üzerindeki dik izdüşümleri sırasıyla B(36, 0) ve H(x, 0) dır. HBP üçgeninin alanı, x in hangi değeri için en büyüktür?
A) 12
E) 18
B) 9
C) 8
D) 6
E) 4
ESEN YAYINLARI
Denklemi y =
sin 4x
r
4
P
O
D) 16
3
18. 1993 – ÖYS
A
C) 14
23. 1994 – ÖYS
f(x) = ln(3x – 1) olduğuna göre
f –1(0) + (f –1)′(0) kaçtır?
19. 1993 – ÖYS
Denklemi f(x) = sin(cos5x) olan eğrinin x =
r
10
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
noktasındaki normalinin eğimi kaçtır?
A) –
4
5
B) –
1
5
C)
1
5
D)
2
5
E)
4
5
24. 1994 – ÖYS
20. 1993 – ÖYS
2
f(x) = 2x + 3 olduğuna göre
lim
h"0
A) 0
284
Denklemi f(x) =
f (1 + h) – f (1)
değeri kaçtır?
h
B) 2
C) 3
D) 4
x 2 + mx
olan fonksiyonunun
x –1
x = 3 noktasında ekstremum noktasının olması
için m kaç olmalıdır?
E) 5
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Türev
25. 1994 – ÖYS
29.
Şekilde denklemi
lim
y
x2 + y2 = 9 olan dörtte
1995 – ÖYS
c"x
3
sine eşittir?
B
bir çemberin B nok-
16x 2 – 16c 2
değeri aşağıdakilerden hangi4 sin (x – c)
tasının x ekseni üze-
A) 4
B) 16
C) 8x
D) 16x
E) 32x
rindeki dik izdüşümü
A(x, 0) noktasıdır.
O
A(x,0)
x
3
Buna göre OAB üçgeninin alanı x in hangi değeri
için en büyüktür?
A)
3 2
2
30. 1995 – ÖYS
B)
3 2
4
D) 1
C)
3 3
4
y = sinx + 2cosx in : 0 ,
büyük değer kaçtır?
E) 2
A) 2
B)
2
C)
3
5
D)
E)
6
1994 – ÖYS
lim c
x"3
2x + 5 4x – 1
değeri aşağıdakilerden hanm
2x + 3
gisidir?
A) 2
C) e2
B) 4
D) e3
E) e4
31. 1995 – ÖYS
ESEN YAYINLARI
26.
r
D aralığında aldığı en
2
y = –x2 eğrisi üzerinde P(–3, 0) noktasına en
yakın olan noktanın apsisi kaçtır?
A) 4
B) 3
C) 2
D) –1
E) –2
32. 1996 – ÖYS
27. 1995 – ÖYS
y
f(x) = ln(3cos5x) olduğuna göre fl c
A) 2ln3
B) 5ln3
D) 2ln5
3r
m kaçtır?
10
1
0
–1
–3/4
C) ln5
2
3
x
E) ln15
Şekildeki grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine ait olabilir?
28. 1995 – ÖYS
A) y =
x2 + x – 3
(x – 2) 2
B) y =
x 2 – 2x – 3
(x – 2) 2
C) y =
x 2 – 2x – 3
2 (x + 2)
D) y =
x2 – x – 3
(x + 2) 2
E) y =
x 2 – 3x – 2
(x – 2) 2
x = 6sin3t ve y = 6cos23t denklemleri ile verilen
y = f(x) fonksiyonunun x = 3 apsisli noktasındaki türevinin değeri kaçtır?
A) –1
B) –
1
2
C) 0
D)
1
2
E)
3
2
285
Türev
33. 1996 – ÖYS
37. 1996 – ÖYS
m, n ∈ R olmak üzere, f : R → R fonksiyonu
f(x) = etanx olduğuna göre
1 3
x – mx2 + nx ile tanımlıdır.
3
f(x) =
x"
f fonksiyonunun x1 = 2 ve x2 = 3 noktalarında
A) – e
kaçtır?
B) 4
C)
7
2
D)
9
2
17
5
E)
f (x) – f b
x–
r
4
r
l
4
r
4
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
yerel ekstremumu olduğuna göre n – m farkı
A) –1
lim
–
3
2
1 –1
e
3
B)
C) – e–1
E) 3e2
D) 2e
38. 1996 – ÖYS
34. 1996 – ÖYS
kx + 1
k nın hangi aralıktaki değerleri için y =
x+k
f(x) = x2 – 7x + 14 parabolü üzerindeki bir nokta-
fonksiyonu daima eksilendir (azalandır)?
değer kaçtır?
A) – ∞ < k < –2
B) –2 < k < –1
A) 10
C) –1 < k < 1
D) 1 < k < 2
nın koordinatları toplamının alabileceği en küçük
B) 8
C) 6
D) 5
E) 3
ESEN YAYINLARI
E) 0 < k < 2
35. 1996 – ÖYS
B
Yandaki şekilde merkezi O, yarıçapı
olan dörtte bir çember
1
Şekildeki grafik aşağıdaki fonksiyonların hangi-
noktasından yarıçapO
lara inen dikme ayak-
K
A
sine ait olabilir?
A) y =
4
ları K ve L dir.
Buna göre OKNL dikdörtgeninin en büyük alanı
x –1
x
D) y =
2
kaç cm dir?
2
B)
x
0
4
yayı üzerindeki bir N
A)
y
N
L
|OA| = |OB| = 4 cm
39. 1997 – ÖYS
3
D) 6
B) y =
x+1
x –1
x+1
x
E) y =
C) y =
x
x –1
x –1
x+1
C) 2 3
E) 8
40. 1997 – ÖYS
f : R → R , f(x) = x3 + 6x2 + kx veriliyor.
f(x) fonksiyonu (– ∞, +∞) aralığında artan ol-
36. 1996 – ÖYS
lim x. ln c 1 +
x"3
A) 3
286
B)
3
m limitinin değeri kaçtır?
x
3
2
C) 0
D) –1
E) –2
duğuna göre k için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) k = –7
D) k < 6
B) k = –1
C) k < –2
E) k > 12
Türev
41. 1997 – ÖYS
45. 1998 – ÖYS
3y – 3yx – 2x = 0 olduğuna göre
a ≠ 0 olmak üzere,
dy
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
dx
y = ax3 + bx2 + cx + d
A)
3y – 2
3–y
D)
B)
3y + 2
3 – 3x
3x + 2
3y
E)
C)
fonksiyonu ile ilgili olarak
I.
x–2
3+x
Büküm (dönüm) noktası vardır.
II. Yerel minimum noktası vardır.
III. Yerel maksimum noktası vardır.
3x – 2
1 – 3y
yargılarından hangileri her zaman doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
42. 1997 – ÖYS
Dikdörtgen biçimin-
D
C) Yalnız III
E) I ve III
C
deki bir bahçenin
[AD ] kenarının tümü
ile [AB] kenarının
yarısına şekildeki gi-
B
A
46. 1998 – ÖYS
bi duvar örülmüş;
y = x2 – 2ax + a eğrilerinin ekstremum noktala-
kilmiştir. Kullanılan telin uzunluğu 120 metre ol-
rının geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?
duğuna göre, bahçenin alanı en fazla kaç m2
olabilir?
A) 1200
B) 1250
D) 2350
C) 2300
E) 2400
ESEN YAYINLARI
kenarlarının geriye kalan kısmına bir sıra tel çe-
A) y = –x2 + 2x
B) y = –x2 + x
C) y = x2 – 2x
D) y = x2 + x
2
E) y = x + 2x
43. 1998 – ÖYS
y = x3 + ax2 + b fonksiyonunun grafiği, apsisi – 4
olan noktada x eksenine teğet olduğuna göre, b
47. 1998 – ÖYS
y
nin değeri nedir?
A) 30
B) 24
C) 16
D) –32
E) – 48
y = f(x)
1/2
1/3
3
x
0
–1
44. 1998 – ÖYS
r
olmak üzere,
0<y<
2
x
fonksiyonunun x = 1 noktasıny = arcsin 2
x +1
daki türevinin değeri kaçtır? (arcsinθ = sin–1θ)
A) –1
B) –
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
A(3, –1)
Yukarıdaki grafikte A(3, –1) noktası f fonksiyof (x)
nunun yerel minimum noktası ve h(x) =
x
olduğuna göre h′(3) ün değeri kaçtır?
A) –1
B)
1
2
C)
1
3
D)
1
4
E)
1
9
287
Türev
52. 2006 – ÖSS
48. 1999 – ÖYS
a, b gerçel (reel) sayılar ve
2x 3 x 2
+ 5 fonksiyonu aşağıdaki aralık–
3
2
f(x) =
A = –a2 + 8a + 1
B = b2 + 18b + 5
ların hangisinde azalandır?
olduğuna göre, A nın en büyük sayı değeri ile B
A) c
nin en küçük sayı değeri toplamı kaçtır?
A) –59
B) –50
C) 60
D) 70
–3
, –1m
2
D) c 0 ,
E) 80
B) c – 1,
1
m
2
–1
m
2
E) c
C) c
–1
,0m
2
1 3
, m
2 2
53. 2006 – ÖSS
y
49. 1999 – ÖSS
a pozitif bir gerçel (reel) sayı olmak üzere, ke-
f(x)
4
A
narları a cm ve (8 – 2a) cm olan dikdörtgenin
alanı en çok kaç cm2 olur?
A) 64
B) 32
C) 24
D) 16
E) 8
–3
0
x
1
ESEN YAYINLARI
d
Şekildeki d doğrusu f(x) fonksiyonunun grafiğine A noktasında teğettir.
h(x) = x.f(x) olduğuna göre, h′(–3) kaçtır?
A) –4
50. 2006 – ÖSS
B) –2
C) 0
D) 2
E) 7
f : R → R her noktada türevli bir fonksiyon ve
f′(1) = 3 olduğuna göre,
lim
h"0
f (1 + 2h) – f (1 – 3h)
kaçtır?
h
A) 15
B) 12
C) 9
D) 6
54. 2007 – ÖSS
lim
E) 3
x " 0+
A) 0
1– cos x
limitinin değeri kaçtır?
x
B)
1
2
C) 1
D) 2
E)
2
55. 2007 – ÖSS
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türev-
51. 2006 – ÖSS
lenebilir bir f fonksiyonu için
P(x) polinom fonksiyonunun türevi P′(x) ve
P(x) – P′(x) = 2x2 + 3x – 1 olduğuna göre
P(x) in katsayılarının toplamı kaçtır?
A) 11
288
B) 12
C) 13
D) 14
f(x + y) = f(x) + f(y) + xy
lim
h"0
E) 15
A) 2
f (h)
= 3 olduğuna göre f′(1) kaçtır?
h
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Türev
60. 2008 – ÖSS
56. 2007 – ÖSS
f(x) = 2x3 + ax2 + (b + 1)x – 3 fonksiyonunun
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(0) = f′(0) = 4
x = –1 de yerel ekstremum ve x =
olduğuna göre g(x) = f(x.f(x)) ile tanımlanan g
–1
de
12
dönüm (büküm) noktası olduğuna göre,
fonksiyonu için g′(0) kaçtır?
a.b çarpımı kaçtır?
A) 0
B) 4
C) 8
D) 12
E) 16
A) –3
B) –2
C) 4
D) 6
E) 12
57. 2007 – ÖSS
61. 2009 – ÖSS
A ve B noktaları Ox ekseni üzerinde, C ve D
2
noktaları ise y = 3 – x
3
f(x) = 8 1 + ^ x + x 2 h B
parabolü üzerinde po-
zitif ordinatlı noktalar olmak üzere şekildeki gibi
olduğuna göre, f′(x) türev fonksiyonunun x = 1
ABCD dikdörtgenleri oluşturuluyor.
deki değeri kaçtır?
y
A) 23.35
C
A O
Bu dikdörtgenlerden alanı en büyük olanının alanı kaç birim karedir?
B) 3
C) 4
E) 25.310
D) 5
E) 6
62. 2009 – ÖSS
y
T ( 3, c)
f(x)
1
O
3
58. 2008 – ÖSS
x
2
Yukarıdaki şekilde, f(x) fonksiyonunun bir par-
x4
y = 7x – k doğrusu y =
– x + 2 fonksiyonu4
nun grafiğine teğet olduğuna göre, k kaçtır?
çasının grafiği ve T(–3, c) noktasındaki teğet
A) –9
yonunun x = –3 teki değeri kaçtır?
B) –8
C) –7
D) 8
E) 10
doğrusu verilmiştir.
k(x) = ln(f(x)) olduğuna göre, k′(x) türev fonksi-
A) –
59.
C) 24.36
x
B
y = 3 – x2
A) 2
B) 23.37
D) 24.38
ESEN YAYINLARI
D
4
2008 – ÖSS
r
noktasında türevlenebilir bir f fonksiyonu için
4
2f(x) + f b
f′ b
r
– x l = tanx olduğuna göre,
2
r
l değeri kaçtır?
4
A) 1
B) 2
C) 3
1
5
C) –
2
5
D)
2
3
E)
3
5
Türevlenebilir bir f : R → R fonksiyonu için
f′(x) = 2x2 – 1 ve f(2) = 4 olduğuna göre,
lim
E) 5
B) –
63. 2010 – LYS
x"2
D) 4
1
2
A) 3
f (x) – 4
limitinin değeri kaçtır?
x–2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
289
Türev
64. 2010 – LYS
1– x
limitinin değeri kaçtır?
ln x
lim
x"1
A)
68. 2010 – LYS
–1
2
B) 0
C)
1
2
D) 1
y2 = 4x parabolüne üzerinde bulunan A(x, y)
noktasından çizilen teğetin eğimi 1 dir.
Buna göre, A noktasının koordinatlarının topla-
E) 2
mı olan x + y kaçtır?
A) 1
65. 2010 – LYS
2
C)
1
2
D)
2
2
x
D
D) 4
E) 5
E) 2
Koridor, mutfak ve çalış-
C
Koridor
B) 1
C) 3
69. 2010 – LYS
2x
f(x) = ln(sin x + e ) olduğuna göre, f′(0) kaçtır?
A) e
B) 2
Mutfak
ma odasından
2x
oluşan
bir iş yerinin yukarıda
verilen modeli ABCD
Çal›flma odas›
dikdörtgenidir ve bu dik-
3x
dört ge ni n
ESEN YAYINLARI
A
B
çev re si nin
uzunluğu 72 metredir.
Bu iş yerindeki mutfağın en geniş alanlı olması
için x kaç metre olmalıdır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
66. 2010 – LYS
f(x) = 2x3 – ax2 + 3 fonksiyonunun gösterdiği
eğrinin bir noktasındaki teğet doğrusunun denkleminin y = 4 olması için a kaç olmalıdır?
A) –3
B) –1
C) 0
D) 1
E) 3
70. 2010 – LYS
y = x2 + bx + c parabolüne x = 2 noktasında
teğet olan doğru y = x ise b + c toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
67. 2010 – LYS
f(x) = x4 – 5x2 + 4 fonksiyonunun
;
–1 1
, E
2 2
aralığındaki maksimum değeri kaçtır?
A) 8
290
B) 6
C) 4
D) 2
71. 2011 – LYS
lim
x"0
E) 0
A) 0
x + arcsin x
limitinin değeri kaçtır?
sin 2x
B) 1
C)
2
3
D)
4
3
E)
1
6
Türev
72. 2011 – LYS
2
76. 2012 – LYS
2
lim (x – 1) . ln (x 2 – 1)
f(x) = sin (3x + 2x + 1) olduğuna göre, f′(0)
x " 1+
değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
A) 2cos2
B) 2cos3
D) 4sin2
C) 6sin1
A)
E) 2sin2
–1
2
B) –2
C) 0
D) 1
E) 4
73. 2011 – LYS
y = sin(πx) + ex eğrisine x = 1 noktasında çizi-
77. 2012 – LYS
len teğet y eksenini hangi noktada keser?
A) –π
B) –1
C) 0
D) e – 1
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g
fonksiyonları için
E) π
f(g(x)) = x2 + 4x – 1
g(x) = x + a
f′(0) = 1
74. 2011 – LYS
olduğuna göre, a kaçtır?
Aşağıda, [–5, 5 ] aralığı üzerinde tanımlı bir
f fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir.
y
2
–5
–2
5
O
x
ESEN YAYINLARI
A) –2
B)
–1
4
D)
3
2
E) 3
78. 2012 – LYS
f(2x + 5) = tan c
Bu grafiğe göre,
C) 1
r
xm
2
eşitliği ile verilen f fonksiyonu için f′(6) değeri
I.
f fonksiyonu x > 0 için azalandır.
II.
f(–2) > f(0) > f(2) dir.
kaçtır?
A)
III. f fonksiyonunun x = –2 ve x = 2
r
2
B)
r
4
C) r
D) 2r
E) 3r
noktalarında yerel ekstrenumu vardır.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
79. 2012 – LYS
Baş katsayısı 1 olan, üçüncü dereceden gerçel
katsayılı bir P(x) polinom fonksiyonunun kökle-
75. 2011 – LYS
rinden ikisi –5 ve 2 dir. P(x) in x = 0 noktasında
(1, 2) noktasından geçen negatif eğimli bir d
doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan
üçgensel bölgenin alanı en az kaç birim karedir?
A) 2
B) 3
C) 4
9
D)
2
7
E)
2
bir yerel ekstremumu olduğuna göre, üçüncü
kökü kaçtır?
A)
1
2
B)
3
2
C)
7
3
D)
–5
2
E)
–10
3
291
Türev
80. 2012 – LYS
81. 2012 – LYS
Aşağıda, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
x > 0 olmak üzere, y = 6 – x2 eğrisinin grafiği
ve sürekli bir f fonksiyonunun türevinin grafiği
üzerinde ve
verilmiştir.
nokta (a, b) olduğuna göre, b kaçtır?
y
A)
3
3
2
B)
(0, 1)
5
2
C)
noktasına en yakın olan
7
2
D)
5
3
E)
8
3
x
O
–2
Buna göre,
I. f(2) – f(1) = –2 dir.
II. f fonksiyonunun x = 0 noktasında yerel maksimumu vardır.
III. İkinci türev fonksiyonu x = 0 noktasında tanımlıdır.
A) Yalnız I
B) Yalnız III
D) II ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
ESEN YAYINLARI
ifadelerinden hangileri doğrudur?
1.D
2.B
3.D
4.B
5.E
6.E
7.E
8.C
9.B
10.B
11.A
12.E
13.D
14.C
15.B
16.D
17.C
18.A
19.C
20.D
21.B
22.A
23.D
24.B
25.A
26.E
27.B
28.A
29.C
30.D
31.D
32.B
33.C
34.C
35.E
36.A
37.D
38.D
39.A
40.E
41.B
42.E
43.D
44.C
45.A
46.B
47.E
48.A
49.E
50.A
51.E
52.D
53.E
54.B
55.C
56.E
57.C
58.E
59.B
60.A
61.D
62.B
63.E
64.A
65.E
66.A
67.C
68.C
69.C
70.D
71.B
72.E
73.E
74.A
75.C
76.C
77.D
78.A
79.E
80.C
81.A
292
İNTEGRAL
ÜNİTE
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
Belirli İntegral
1.
Kazanım
: Riemann toplamı yardımıyla integral kavramını açıklar.
2.
Kazanım
: Belirli integralin özelliklerini açıklar.
3.
Kazanım
: İntegral hesabının birinci ve ikinci temel teoremlerinin anlamını açıklar.
Belirsiz İntegral
1.
Kazanım
: Bir fonksiyonun belirsiz integralini açıklar.
2.
Kazanım
: Temel integral alma kurallarını türev alma kuralları yardımıyla yazar.
3.
Kazanım
: Bir fonksiyonun bir sabitle çarpımının, iki fonksiyonun toplamının ve farkının integraline
ait kuralları bulur ve uygulamalar yapar.
4.
Kazanım
: İntegral alma yöntemlerini açıklar ve uygulamalar yapar.
Belirli İntegralin Uygulamaları
1.
Kazanım
: Belirli integralleri kullanarak uygulamalar yapar ve problem çözer.
4. ÜNİT
BELİRSİZ (SINIRSIZ) İNTEGRALLER
#
®
#
dx
= arcsin x + c = – arccos x + c
1–x 2
®
#
dx
= ln (x + 1 + x 2 ) + c
1 + x2
Türevi f(x) olan F(x) ifadesine f(x) in belirsiz integrali
(veya f(x) in ilkel fonksiyonu) denir ve
dx
= arctan x + c = –arc cot x + c
1 + x2
®
# f (x) dx = F (x) + c
şeklinde gösterilir. Buna göre,
# f (x) dx = F (x) + c + f (x) = Fl (x)
dir.
Burada, c ∈ R ye integral sabiti denir.
İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
Değişken Değiştirme Yöntemi
Belirsiz İntegralin Özellikleri
®
d
dx
d
f (x) m dx = f (x) + c
c
dx
#
®
# d^ f (x) h = f (x) + c
biçimindeki integralleri hesapla-
mak için g(x) = t dönüşümü yapılırsa, gı(x)dx = dt
# f (x) dx = f (x)
®
# f^ g (x) h . gl (x) dx
olacağından
# f^ g (x) h . gl (x) dx = # f (t) dt
biçimine
dönüşür.
Bu integral hesaplandıktan sonra tekrar x değişkenine dönülür.
®
# a . f (x) dx = a # f (x) dx , a ! R
®
# 6 f (x) " g (x) @ dx = # f (x) dx " # g (x) dx
®
®
# 6 f (x) @ n . fl (x) dx = 6
®
#
®
# e f (x) . fl (x) dx = e f (x) + c
®
# a f (x) . fl (x) dx = aln a
®
#
# f (x) dx = # f (u) du = # f (t) dt = …
İntegral Alma Formülleri
®
# a dx = a # dx = ax + c , (a ! R)
®
# x n dx = nx + 1 + c ,
n+1
fl (x)
dx = ln f (x) + c
f (x)
f (x)
(n ≠ –1)
f ( x) @ n + 1
+ c , (n ≠ –1)
n+1
fl (x)
1– ^ f (x) h2
+c
dx = arcsin f (x) + c
#
1
dx = ln x + c
x
®
#
ax
a x dx =
+ c , (a > 0)
ln a
®
#
e x dx
®
# sin x dx = – cos x + c
®
# cos x dx = sin x + c
®
#
dx
=
sin 2 x
# (1 + cot 2 x) dx = – cot x + c
u ve dv nin seçiminde kesin bir kural olmamakla
®
#
dx
=
cos 2 x
# (1 + tan 2 x) dx = tan x + c
mik ve ters trigonometrik fonksiyonlara u denir.
ex.dx, sinx.dx, ... gibi fonksiyonlara dv denir.
®
=
ex + c
= – arccos f(x) + c
®
#
fl (x)
1 + ^ f (x) h2
dx = arctan f (x) + c
= – arccot f(x) + c
294
Kısmi (Parçalı) İntegrasyon Yöntemi
# f (x) . g (x) dx = # u . dv = u . v – # v . du
birlikte türevi alındığında azalan fonksiyona, logarit-
Rasyonel Fonksiyonların İntegrali
m
® #
dx için ax + b = t dönüşümü yapılır.
(ax + b) n
®
®
P (x)
dx için der(P(x)) ≥ der(Q(x)) ise pay payQ (x)
daya bölünür ve integral alınır.
#
#
BELİRLİ (SINIRLI) İNTEGRALLER
f, [a, b] aralığında tanımlı ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Eğer x ∈ (a, b) için F′(x) = f(x) olacak
şekilde sürekli bir F: [a, b ] → R fonksiyonu varsa,
b
#
dx
integralinde;
ax 2 + bx + c
b
f (x) dx = F (x)
= F (b) – F (a) d›r.
a
a
5 Payda çarpanlarına ayrılabiliyorsa ifade basit
kesirlerine ayrılır.
Belirli İntegralin Özellikleri
5 Çarpanlarına ayrılamıyorsa,
# 2dx 2 = 1a arctan ax + c
a +x
a
ifadesinden yararlanılarak integral alınır.
®
#
Köklü Fonksiyonların İntegrali
3
2
P (x) ⇒ P(x) = t ,
b
3
P (x) ⇒ P(x) = t
®
a 2 + x 2 ⇒ x = a.tanθ
sin2x + cos2x = 1 , sin2x = 2sinx.cosx
cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2 sin2x
1
cosx.cosy = [cos(x + y) + cos(x – y) ]
2
1
[cos(x + y) – cos(x – y) ]
2
1
[sin(x + y) + sin(x – y) ]
2
Trigonometrik Fonksiyonlar Cinsinden Rasyonel
Olarak ifade Edilebilen Fonksiyonların İntegrali
x
tan = t
2
x
2
t
sin
x
=
2
cos
1
x
=
2
x
x
2t
sin x = 2 sin . cos =
2
2 1 + t2
cos x = cos 2
x
x 1 – t2
– sin 2 =
2
2 1 + t2
x = 2 arctan t & dx =
f (x) dx
b
b
#
2dt
1 + t2
t
1 + t2
1
1 + t2
b
c
#
f (x) dx =
a
Trigonometrik Özdeşlikler Yardımıyla İntegral Alma
1 + t2
a
#
f (x) dx = –
® a < c < b olmak üzere
x 2 – a 2 ⇒ x = a.secθ dönüşümü yapılır.
sinx.cosy =
#
a
a 2 – x 2 ⇒ x = a.sinθ , a ∈ R
sinx.siny = –
f (x) dx = 0
a
a
#
b
#
k . f (x) dx = k .
a
#
^ f (x) " g (x) h dx =
a
b
#
b
f (x) dx "
a
b
®
f (x) dx , k ! R
a
b
®
f (x) dx
c
b
®
#
f (x) dx +
#
#
g (x) dx
a
b
f (x) dx ≤
a
#
f (x) dx
a
® f fonksiyonu sürekli ve tek fonksiyon ise,
a
#
f (x) dx = 0 d›r.
–a
® f fonksiyonu sürekli ve çift fonksiyon ise,
a
#
a
f (x) dx = 2 .
–a
#
f (x) dx dir.
0
v (x)
® F (x) =
#
f (x) dx ise,
u (x)
Fı(x) = f(v(x)).v′(x) – f(u(x)).u′(x)
295
ALAN HESABI
HACİM HESABI
y
® y = f(x) eğrisi, x = a,
a
x
b
–
y = f(x)
x ekseni tarafından
a
0
sınırlanan bölgenin
x
b
x ekseni etrafında
b
#
y
x = b doğruları ve
+
f (x) dx İntegrali şekildeki pozitif ve negatif alanla-
a
siyle oluşan dönel cismin hacmi
b
#
rın cebirsel toplamıdır. Taralı Alan =
f (x) dx
a
®
y
360° döndürülmeb
#
V=r
b
6 f (x) @ 2 dx = r
a
#
y 2 dx olur.
a
f(x)
b
A
a
®
#
A=
x
b
f (x) dx
a
y
y = f(x), y = g(x)
eğrileri, x = a ve
x = b doğruları ta-
b
x
A
y = f(x)
0 ≤ g(x) ≤ f(x) olsun.
y
a
® [a, b ] aralığında
b
#
A=–
f (x) dx
a
y = g(x)
0
a
b
x
rafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi
f(x)
b
#
V=r
[f 2 (x) – g 2 (x)] dx olur.
a
®
y
b
x = f(y)
b
A
x
y
a
f(x)
g(x)
A
b
f (y) dy
a
a
®
#
A=
b
A=
x
#
[f (x) – g (x)] dx
a
® y = f(x) eğrisi ile,
y
y = k, x = a ve x = b
doğruları tarafından
sınırlanan bölgenin
a
y = k doğrusu etra0
fında döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi
b
#
V=r
y = f(x)
y=k
x
b
6 f (x) – k @ 2 dx olur.
a
®
y
a
f(x)
c
x
b
g(x)
#
f (x) – g (x) dx
hacmi
b
c
=
#
a
296
[g (x) – f (x)] dx +
döndürülme-
siyle oluşan dönel cismin
a
#
c
[f (x) – g (x)] dx
y
d
x = u(y)
lanan bölgenin y ekseni
etrafında
b
Taralı Alan =
® x = u(y) eğrisi, y = c,
y = d doğruları ve y
ekseni tarafından sınır-
d
V=r
#
c
u 2 (y) dy = r
d
#
c
x 2 dy olur.
c
0
x
İntegral
Rehber Soru – 1
Rehber Soru – 2
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
#
(x 2
– 3x + 3) dx
b.
#
1
dx
x3
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
c.
# dx
Çözüm
2.
# (3x 2 – 4x + 1) dx
3.
#
4.
# x (x – 1) 2 dx
b.
#
3
x
dx
x
c.
#
x+ x
dx
x
Aşağıdaki integrallerin her birini sonuçlandırınız.
3
– x2
m dx
x
1.
#cx
2.
# x (x + 1) dx
3.
#
4.
#
ESEN YAYINLARI
# 2 dx
x dx
Çözüm
Aşağıdaki integrallerin her birini sonuçlandırınız.
1.
#3
a.
2
dx
x2
x
dx
x
x2 + 1
dx
x
297
İntegral
Rehber Soru – 3
# x 2 f (x) dx = x 4 + x 2 + c
Rehber Soru – 4
d
a.
# (x 2 – 2x) dx ifadesinin eşiti nedir?
dx
olduğuna göre f(1) ifade-
sinin eşiti kaçtır?
b.
Çözüm
# d (cos x)
ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
1.
# x f (x) dx = x 3 + x 2 + c
2.
# [x 2 f (x) – 1] dx = x 2 – x + 1
3.
# sin x.f (x) dx = cos 2x + c
1.
d
dx
2.
f(x) =
# (x 3 + x) dx
ifadesinin eşiti nedir?
ESEN YAYINLARI
ise f(x) nedir?
298
ise f(1) kaçtır?
ise f b
r
l kaçtır?
6
3.
# sin x dx
# d (x 2 – x)
ise f′(x) nedir?
integralinin eşiti nedir?
İntegral
Rehber Soru – 5
a. f′(x) = 3x2 – 2 ve f(1) = –2 ise f(x) nedir?
b. f′′(x) = 6x – 2 olmak üzere y = f(x) eğrisinin (1, –2) noktasındaki teğetinin eğimi 3 olduğuna göre f(x)
nedir?
Çözüm
1.
f′(x) = 2x – 1
2.
f′(x) = 3x2 + 2x + 1 ve f(–1) = 0 ise f(1) nedir?
3.
f′′(x) = 6x – 4 ,
nedir?
f′(–1) = 2 ve f(0) = 3 ise f(x)
ESEN YAYINLARI
f(–2) = 3 ise f(x) nedir?
4.
f′′(x) = x + 1 , f′(0) = 1 , f –1(0) = 1 ise f(x) nedir?
5.
f′′(x) = 12x + 2 olmak üzere y = f(x) eğrisinin
(–1, 1) noktasındaki teğeti y – 2x + m = 0 doğrusu ise f(1) kaçtır?
6.
f′′(x) = – 6x olmak üzere y = f(x) eğrisinin x = 1
apsisli noktasındaki teğeti y = x doğrusu ise f(x)
nedir?
299
İntegral
Rehber Soru – 6
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
#
1
dx
2x – 3
b.
#
x+4
dx
x+1
c.
#
x2 – x + 1
dx
x –1
1.
#
1
dx integralinin eşiti nedir?
x–3
2.
#
2
dx integralinin eşiti nedir?
1– x
#
x–2
dx integralinin eşiti nedir?
x+1
3.
300
ESEN YAYINLARI
Çözüm
4.
#
2x – 1
dx integralinin eşiti nedir?
2x + 1
5.
#
x2 + x – 2
dx integralinin eşiti nedir?
x+1
6.
#
x 2 – 2x + 3
dx integralinin eşiti nedir?
x+1
İntegral
Rehber Soru – 7
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
# (2x – 1) 4 dx
b.
# (x 2 – x) 3 (2x – 1) dx
c.
#
x 4 + x 2 dx
Çözüm
1.
# (1 – 3x) 3 dx
2.
# (x 2 – 2x + 2) 2 (1 – x) dx
3.
#x
integralinin eşiti nedir?
1– x 2 dx integralinin eşiti nedir?
ESEN YAYINLARI
integralinin eşiti nedir?
4.
# (x 4 – x) 2 dx
5.
# fll (x) . fl (x) dx
6.
#3
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
x 7 – x 4 dx integralinin eşiti nedir?
301
İntegral
Rehber Soru – 8
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
#
x3
x2 – 1
dx
– 3x + 1
b.
#
2x
dx
(x 2 + 1) 2 + 1
c.
#
x
dx
1– x 4
1.
#
fl (x)
dx integralinin eşiti nedir?
1 + f (x)
2.
#
x2 – 2
dx integralinin eşiti nedir?
x 3 – 6x
3.
#
302
(1 – x) dx
x 2 – 2x + 3
integralinin eşiti nedir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
4.
#
5.
#
6.
#
3x 2
(x 3 + 1) 2 + 1
dx integralinin eşiti nedir?
x (x 2 – 1)
dx integralinin eşiti nedir?
(x 2 – 1) 2 – 1
3x 2 + 1
dx integralinin eşiti nedir?
1 – (x 3 + x) 2
İntegral
Rehber Soru – 9
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
#
ln x
dx
x
b.
#
5 – ln x
dx
x
c.
#
1 + ln x
dx
1 – x ln x
1.
#
1 + ln x
dx integralinin eşiti nedir?
x
2.
#
1
dx integralinin eşiti nedir?
x . ln x
3.
#
1
x 2 + ln x
dx integralinin eşiti nedir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
4.
#
1 + ln x
dx integralinin eşiti nedir?
4 + x ln x
5.
#
1 + ln x
dx integralinin eşiti nedir?
x
6.
#
2 .
x –1
ln c
m dx integralinin eşiti nedir?
x+1
x2 – 1
303
İntegral
Rehber Soru – 10
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
#
e ln x
dx
x
b.
#
e
x
x
1
dx
c.
#
ex
x
2
dx
Çözüm
#
2.
# e sin x cos x dx
3.
# (e x – 1) 2 e x dx
304
dx integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
ESEN YAYINLARI
–2)
e (x
x3
1.
ex
dx integralinin eşiti nedir?
ex + 2
4.
#
5.
# e x3 + 2 ln x dx
6.
#
integralinin eşiti nedir?
e 1 + ln x
dx integralinin eşiti nedir?
x
İntegral
Rehber Soru – 11
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
# (cos 4 x – sin 4 x) dx
b.
#
1
dx
sin x . cos x
c.
#
1
dx
1 + cos x
Çözüm
1.
# sin 2 x dx – # cos 2 x dx
2.
#
1
dx integralinin eşiti nedir?
1 – cos x
3.
#
1
dx integralinin eşiti nedir?
1 + sin x
ESEN YAYINLARI
integralinin eşiti nedir?
4.
# sin x . cos x dx
5.
# sin x. cos x. cos 2x dx
6.
#
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
1 + cos x
dx integralinin eşiti nedir?
sin x
305
İntegral
Rehber Soru – 12
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
#
sin 2x
dx
1 + sin 2 x
b.
#
sin 2 x
dx
cos 4 x
Çözüm
sin 2x
dx integralinin eşitini bulunuz.
2 + cos 2 x
#
2.
# cos (sin 2 x) sin 2x dx
integralinin eşitini bulu-
nuz.
3.
# cos x
306
sin x dx integralinin eşitini bulunuz.
4.
ESEN YAYINLARI
1.
5.
6.
#
cos 2 x
dx integralinin eşitini bulunuz.
sin 4 x
# sec 4 x . tan x dx
#
integralinin eşitini bulunuz.
cos x – sin x
dx integralinin eşitini bulunuz.
sin x + cos x
İntegral
Rehber Soru – 13
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
# tan x dx
b.
# tan 2 x dx
c.
# (cot 3 x + cot 5 x) dx
Çözüm
# cot x dx
2.
# cot 2 x dx
3.
#
integralinin eşitini bulunuz.
integralinin eşitini bulunuz.
tan 2 x
dx integralinin eşitini bulunuz.
cos 2 x
ESEN YAYINLARI
1.
4.
# (cot x + cot 3 x) dx
5.
# (tan 4 x + tan 2 x) dx
6.
#
integralinin eşitini bulunuz.
integralinin eşitini bulunuz.
cot 2 x
dx integralinin eşitini bulunuz.
sin 4 x
307
İntegral
Rehber Soru – 14
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
# sin 4 x . cos x dx
b.
# sin 5 x . cos 3 x dx
c.
# cos 3 x dx
1.
# cos 3 x . sin x dx
integralinin eşiti nedir?
2.
# cos 6 x . sin 3 x dx
integralinin eşiti nedir?
3.
# sin 3 x dx
308
integralinin eşiti nedir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
4.
# cos 5 x dx
5.
# sin 2 x . sin 2x dx
integralinin eşiti nedir?
6.
# cos 2 x . sin 5 x dx
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
İntegral
Rehber Soru – 15
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
# sin 2 x dx
b.
# cos 2 x . sin 2 x dx
c.
# cos 4 x dx
Çözüm
1.
# cos 2 x dx
2.
# cos 2 3x . sin 2 3x dx
3.
# sin 2 2x dx
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
ESEN YAYINLARI
integralinin eşiti nedir?
4.
# sin 4 x dx
5.
# b 2 cos 2 2x – 1 l dx
6.
# (1 – 2 sin 2 x) dx
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
309
İntegral
Rehber Soru – 16
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
# sin 3x . cos x dx
b.
# sin 5x . sin x dx
c.
# cos 3x . cos 2x dx
Çözüm
# sin 3x . cos 5x dx
integralinin eşitini bulunuz.
4.
# sin 2x . cos 32x dx
integralinin eşitini bulunuz.
2.
# sin 2x . sin 3x dx
integralinin eşitini bulunuz.
5.
# cos 72x . cos 2x dx
integralinin eşitini bulunuz.
3.
# cos 4x . cos 2x dx
6.
# sin x . cos x . cos 6x dx
310
integralinin eşitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
1.
nuz.
integralinin eşitini bulu-
İntegral
Rehber Soru – 17
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
#
dx
a2 + x2
b.
#
dx
x 2 + 2x + 2
c.
#
x 2 dx
1 + x6
1.
#
2
dx integralinin eşiti nedir?
1 + x2
2.
#
1
dx integralinin eşiti nedir?
9 + x2
3.
#
dx
integralinin eşiti nedir?
x 2 – 4x + 5
ESEN YAYINLARI
Çözüm
4.
#
x dx
integralinin eşiti nedir?
1 + x4
5.
#
x+1
dx integralinin eşiti nedir?
x2 + 1
6.
#
dx
integralinin eşiti nedir?
e x + e –x
311
İntegral
Rehber Soru – 18
# dx 2 integralinin eşitini bulunuz.
16 – x
Rehber Soru – 19
Çözüm
Çözüm
dx
integralinin eşiti nedir?
1– x 2
2.
#
dx
integralinin eşiti nedir?
4 – x2
3.
#
e x dx
integralinin eşiti nedir?
1– e 2x
4.
#
x dx
integralinin eşiti nedir?
1– x 4
312
ESEN YAYINLARI
#
1.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
2x – x 2
1.
#
dx
integralinin eşiti nedir?
a 2 – (bx) 2
2.
#
dx
integralinin eşiti nedir?
4 – 9x 2
3.
#
dx
integralinin eşiti nedir?
– 3 + 4x – x 2
4.
#
x+1
dx integralinin eşiti nedir?
9 – x2
İntegral
Rehber Soru – 20
#
Rehber Soru – 21
integralinin eşitini bulunuz.
# 2 dx2
x x –1
9 – x 2 dx integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
#
2.
#
3.
#
25 – x 2 dx integralinin eşiti nedir?
x2
dx
integralinin eşiti nedir?
4 – x2
x 2 dx
integralinin eşiti nedir?
9 – x2
ESEN YAYINLARI
1.
Çözüm
1.
#
x dx
integralinin eşiti nedir?
x2 – 1
2.
#
x2 – 4
dx integralinin eşiti nedir?
x
3.
#
dx
integralinin eşiti nedir?
x x2 – 1
313
İntegral
Rehber Soru – 22
#
x2
Rehber Soru – 23
dx
integralinin eşiti nedir?
x 2 + 16
#
3x – 1 + 1
dx integralinin eşitini bulunuz.
3x – 1
3
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
1.
#
2.
#
3.
#
dx
integralinin eşiti nedir?
4 + x2
1.
#
dx
integralinin eşiti nedir?
2
(1 + x ) 1 + x 2
2.
#
dx
integralinin eşiti nedir?
(4 + x 2) 4 + x 2
3.
#
x2
x
314
2x + 1 – 2
dx integralinin eşiti nedir?
2x + 1
3
x –1 +1
dx integralinin eşiti nedir?
x –1
4
3
x+1 +2
dx integralinin eşiti nedir?
x+1
İntegral
Rehber Soru – 24
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
#x
x – 1 dx
b.
# x2
x + 1 dx
Çözüm
#x
x + 1 dx integralinin eşiti nedir?
2.
#x
x – 2 dx integralinin eşiti nedir?
3.
# (x + 1)
x – 1 dx integralinin eşiti nedir?
4.
ESEN YAYINLARI
1.
# x2
x + 3 dx integralinin eşiti nedir?
5.
# x. 3
6.
# (x – 1) . 3
x – 1 dx
integralinin eşiti nedir?
x dx integralinin eşiti nedir?
315
İntegral
Rehber Soru – 25
# x 2 . ln x dx
Rehber Soru – 26
# arctan x dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
1.
# ln x dx
2.
# x ln x dx
3.
# sin (ln x) dx
integralinin eşitini bulunuz.
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
316
integralinin eşitini bulunuz.
1.
# arcsin x dx
2.
#
3.
# e x cos x dx
integralinin eşitini bulunuz.
x
dx integralinin eşiti nedir?
cos 2 x
integralinin eşiti nedir?
İntegral
Rehber Soru – 27
# x. cos x dx
Rehber Soru – 28
# (x 2 – x) e x dx
integralinin eşitini bulunuz.
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
1.
# x . sin x dx
2.
# x 2 . cos x dx
3.
# x 2 sin x dx – # x sin x dx
1.
# (x 3 – x + 1) e x dx
integralinin eşitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
integralinin eşitini bulunuz.
lunuz.
integralinin eşitini bulunuz.
x2
dx integralinin eşitini bulunuz.
ex
2.
#
3.
# x 2 e x dx + # x e x dx
integralinin eşitini buintegralinin eşitini bulunuz.
317
İntegral
Çözüm
Rehber Soru – 29
6x – 4
dx integralinin eşitini bulunuz.
x 3 – 4x
1.
#
3x + 2
dx integralinin eşiti nedir?
x2 – 4
2.
#
2
dx integralinin eşiti nedir?
x2 – 1
#
dx
integralinin eşiti nedir?
x2 – 9
3.
318
ESEN YAYINLARI
#
4.
#
x –1
dx integralinin eşiti nedir?
x2 + x
5.
#
x2 + x – 1
dx integralinin eşiti nedir?
x2 – 1
6.
#
2x 2 – x + 1
dx integralinin eşiti nedir?
x3 – x
İntegral
Rehber Soru – 30
#
Rehber Soru – 31
x–3
dx integralinin eşitini bulunuz.
(x – 1) 2
#
Çözüm
1.
#
1
dx integralinin eşitini bulunuz.
(x – 1) 2
2.
#
#
x2 – x + 1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x (x 2 + 1)
Çözüm
#
x – x2 – 1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x3 + x
x
dx integralinin eşitini bulunuz.
(x – 1) 2
2.
#
3x 2 + x + 1
dx integralinin eşiti nedir?
x (x 2 + 1)
1 – 2x
dx integralinin eşitini bulunuz.
x (x – 1) 2
3.
#
x 2 – 2x + 3
dx integralinin eşiti nedir?
(x – 1) (x 2 + 1)
ESEN YAYINLARI
1.
3.
319
İntegral
Rehber Soru – 32
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
ln 3
#
a.
e x dx
1
b.
#
0
ln 2
dx
1 + x2
r
c.
#
sin 3x dx
r
2
Çözüm
1
1.
#
1
(3x 2 – 1) dx integralinin eşiti nedir?
4.
0
#
0
1
dx integralinin eşiti nedir?
cos 2 x
r
2
3.
#
ESEN YAYINLARI
0
r
4
2.
1
dx integralinin eşiti nedir?
1 – x2
#
ln 4
#
5.
e 2x dx integralinin eşiti nedir?
ln 2
e
cos 2x dx integralinin eşiti nedir?
r
4
320
6.
#
1
ln x dx integralinin eşiti nedir?
İntegral
Rehber Soru – 33
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
1
#
a.
–1
^ x + x h dx
0
2
b.
#
x + 1 dx
0
c.
#
x – 2 dx
–1
Çözüm
1
1.
#
2
( x – x) dx integralinin eşiti nedir?
4.
–2
3x x dx integralinin eşiti nedir?
–3
1
5.
#
x – 1 dx integralinin eşiti nedir?
2x – 1 dx integralinin eşiti nedir?
0
2
0
#
ESEN YAYINLARI
#
–1
3.
x + 3 dx integralinin eşiti nedir?
0
2
2.
#
6.
#
x 2 – 2x + 1 dx integralinin eşiti nedir?
0
321
İntegral
Rehber Soru – 34
2
#
Rehber Soru – 35
1
(x 4 + x 2 + 1) dx
#
integralinin eşitini bulunuz.
(x 3 + x) dx integralinin eşitini bulunuz.
–2
–1
Çözüm
Çözüm
2
1.
#
3
(x 2 + 1) dx integralinin eşiti nedir?
1.
–2
#
(x 3 – x 5) dx integralinin eşiti nedir?
ESEN YAYINLARI
–3
3
2.
#
r
2
(3x 2 + 1) dx integralinin eşiti nedir?
2.
#
(x 3 + sin x) dx integralinin eşiti nedir?
r
–
2
–3
3.
f(x) tek fonksiyon, g(x) çift fonksiyon olmak
üzere, g(1) = 4 , g(0) = 1 ise
2r
3.
#
–2r
322
sin x.cosx.cos2x dx integralinin eşiti nedir?
1
#
–1
(fl (x) + gl (x)) dx integralinin eşiti nedir?
İntegral
Rehber Soru – 36
Rehber Soru – 37
2r
#
r
#
sin x dx integralinin eşitini bulunuz.
1 + cos 2x dx integralinin eşitini bulunuz.
0
Çözüm
Çözüm
3r
2
1.
#
cos x dx integralinin eşitini bulunuz.
0
ln 2
2.
#
ESEN YAYINLARI
0
3r
2
1.
#
e
e x dx integralinin eşitini bulunuz.
2.
#
ln x dx integralinin eşitini bulunuz.
1
e
0
r
2
4r
3.
1 – cos 2x dx integralinin eşitini bulunuz.
r
2
#
– 4r
sin x dx integralinin eşiti nedir?
3.
#
1 + sin 2x dx integralinin eşitini bulunuz.
0
323
İntegral
Rehber Soru – 38
1
#
Rehber Soru – 39
x3
(e x – e 2x) dx integralinde ex = t dönüşümü ya-
0
Çözüm
Çözüm
2
#
sint dt ise fl (x) ifadesinin eşiti nedir?
x2
pılırsa hangi integral elde edilir?
1.
#
f (x) =
2
4 – x 2 dx integralinde x = 2sint dönüşümü
1.
#
f(x) =
0
e cos t dt ise f′(x) nedir?
1
ln 3
#
2.
e x (1– e 3x) dx integralinde ex = t dönüşümü
ln 2
ESEN YAYINLARI
yapılırsa hangi integral elde edilir?
2x + 1
2.
f(x) =
yapılırsa hangi integral elde edilir?
e2
3.
1 + lnx
dx integralinde u = lnx dönüşümü
x
#
e
3.
yapılırsa hangi integral elde edilir?
r
8
4.
#
sec 2 2x . e tan 2x dx
integralinde
(t 3 + 1) dt ise f′(1) kaçtır?
d
dx
x2
#
t 2 + 1 dt ifadesinin eşiti nedir?
3
tan2x = u
0
dönüşümü yapılırsa hangi integral elde edilir?
324
#
x
4.
d
dx
cos x
#
1
2t dt ifadesinin eşiti nedir?
İntegral
Rehber Soru – 40
Rehber Soru – 41
y
y
–3
y = f(x)
S3
S1
1
S1
3
S2
x
5
5
f (x) dx = 10, –2
f (x) dx kaçtır?
x
5
S2
5
#
5
#
2
–2
Grafikle ifade edilen S1 = 10 br2, S2 = 5 br2
ve S3 = 7 br2 ise
y = f(x)
#
–2
f (x) dx = 4 ise S1 ve
S2 alanlarını bulunuz.
–3
Çözüm
1.
y
y = f(x)
S2
–4
–2
S1
1
x
5
S3
ESEN YAYINLARI
Çözüm
1.
y
S2
1
–3
S1
4
x
y = f(x)
S1 = 4 br2 , S2 = 6 br2 , S3 = 5 br2 ise
5
#
4
f (x) dx kaçtır?
#
–4
4
f (x) dx = – 5 ve
–3
#
f (x) dx = 9 ise
–3
S1
S2
kaçtır?
2.
y
2.
y
y = f(x)
2
–3
4
S2
5
–1
y = f(x)
–2
#
–3
f (x) dx kaçtır?
S1
1
5
#
5
Grafikte verilenlere göre
–2
x
3
S3
5
x
5
f (x) dx = – 6 ve
–2
#
–2
f (x) dx = 12 ise S2
kaçtır?
325
İntegral
Rehber Soru – 42
Aşağıda ifade edilmiş taralı bölgelerin alanlarını bulunuz.
a.
y
b.
y = x2
c.
y
y
y = ex
0
0
x
2
2
y = ––
x
0
4
1
x
e
x
Çözüm
Aşağıda ifade edilmiş taralı bölgelerin alanlarını bulunuz.
1.
3.
y
0
x
0
y
y = lnx
1
e
x
ESEN YAYINLARI
y = 1 – x2
2.
4.
y
y = 3(x – 1)
y
2
y = cosx
0
326
1
x
0
π
–
2
x
İntegral
Rehber Soru – 43
Aşağıda ifade edilmiş taralı bölgelerin alanlarını bulunuz.
a.
b.
y
y = x3
2
1
1
x
0
y
y = lnx
y = vx
2
c.
y
x
0
x
0
Çözüm
Aşağıda ifade edilmiş taralı bölgelerin alanlarını bulunuz.
1.
3.
y
y
y = x2
y = ex
2
4
1
1
x
0
x
ESEN YAYINLARI
0
2.
y
4.
y
1
y=–
x
y = |x|
2
3
1
1
0
x
0
x
327
İntegral
Rehber Soru – 44
a. y = x2 – 1 eğrisi ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
b. y = x3 – x eğrisi ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
Çözüm
1.
f(x) = x2 – 2x eğrisi ile x ekseni arasında kalan
4.
2.
y = 4 – x2 eğrisi ile x ekseni arasında kalan
2
bölgenin alanı kaç br dir?
3.
y = 2x2 + x eğrisi ile x ekseni arasında kalan
2
bölgenin alanı kaç br dir?
328
bölgenin alanı kaç br2 dir?
ESEN YAYINLARI
bölgenin alanı kaç br2 dir?
y = 4x – x2 parabolü ile x ekseni arasında kalan
5.
f(x) = x3 – 6x2 + 8x eğrisi ile x ekseni arasında
kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
6.
f(x) = x4 – x2 eğrisi ile x ekseni arasında kalan
bölgenin alanı kaç br2 dir?
İntegral
Rehber Soru – 45
Çözüm
y
y = 3x2 – 6x
0
2
x
3
Yukarıdaki taralı bölgenin alanını bulunuz.
1.
3.
y
y
y = x2 – 1
y = lnx
1
–
e
1
0
2
x
0
1
x
e
–1
Şekildeki taralı alan kaç br2 dir?
ESEN YAYINLARI
Şekildeki taralı alan kaç br2 dir?
2.
4.
y
y
y = x3 – 1
2
0
1
3
x
y2 = x
0
x
–1
–1
Şekildeki taralı alan kaç br2 dir?
Şekildeki taralı alan kaç br2 dir?
329
İntegral
Rehber Soru – 46
3
y=x
Çözüm
eğrisi, x = –2 , x = 1 doğruları ve x ekseni
arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.
1.
y = x2 – 4 eğrisi x = 0 ve x = 3 doğruları ve x
5.
bölgenin alanı kaç br2 dir?
ekseni arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.
2.
y = x2 eğrisi ile y = 1 doğrusu arasında kalan
y = 1 – x3 eğrisi x = 0 ve x = 2 doğruları ve x
6.
y = lnx eğrisi y = 0 ve y = 3 doğruları ile y
ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
ESEN YAYINLARI
ekseni arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.
3.
y = x2 – 1 eğrisi x = –2 ve x = 2 doğruları ve x
7.
ekseninin oluşturduğu bölgenin alanı kaç br2 dir?
4.
3r
doğrularının x
2
ekseni ile oluşturduğu bölgenin alanı kaç br2 dir?
y = sinx eğrisi x = 0 ve x =
330
y = |x2 – 1| eğrisi x = 0 ve x = 2 doğruları ve x
ekseninin oluşturduğu bölgenin alanı kaç br2 dir?
8.
y = ex eğrisi, y = 1 ve y = 2 doğruları ile y ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
İntegral
Rehber Soru – 47
Çözüm
2
y = 4x parabolü, y = 1 ve y = 4 doğruları ile
y ekseni arasında kalan bölgenin alanı alanı kaç br2
dir?
1.
y=
4.
x eğrisi, y = 0 ve y = 1 doğruları ile y
bölgenin alanı kaç br2 dir?
y = arcsinx eğrisi, y = 0 ve y =
r
doğruları ile
3
y ekseninin oluşturduğu bölgenin alanı kaç br2
dir?
3.
y = arctanx eğrisi, y = 0 ve y =
r
doğruları ile
4
y ekseninin oluşturduğu bölgenin alanı kaç br2
ESEN YAYINLARI
ekseninin oluşturduğu bölgenin alanı kaç br2 dir?
2.
y2 + x = 1 eğrisi ile y ekseni arasında kalan
5.
y = ex eğrisi, y = 1 ve y = e doğruları ile y
ekseninin oluşturduğu bölgenin alanı kaç br2 dir?
6.
y = 4x2 eğrisi ile y = 4 doğrusu arasında kalan
bölgenin alanı kaç br2 dir?
dir?
331
İntegral
Rehber Soru – 48
Rehber Soru – 49
y
y
y = x2
y = 2x – 4
y2
x = ––
4
y=x
x
0
x
0
Yukarıdaki taralı bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm
Çözüm
Aşağıda ifade edilmiş taralı bölgelerin alanlarını bulunuz.
1.
y
y=x
ESEN YAYINLARI
Yukarıdaki taralı bölgenin alanını bulunuz.
Aşağıda ifade edilmiş taralı bölgelerin alanlarını bulunuz.
1.
y
y=
y = vx
x
0
y
2.
0
2.
2
y=
x=y
0
332
x
2
y
2
y=x
1
x
1
x
y=
x
4
x
y = –x + 2
0
4
x
İntegral
Rehber Soru – 50
Rehber Soru – 51
y = x2 – 1 eğrisi ile y = 1 – x doğrusu arasında
y = x3 eğrisi ile y = x doğrusu arasında kalan böl-
kalan bölgenin alanı kaç br dir?
genin alanı kaç br2 dir?
Çözüm
Çözüm
1.
y = x2 eğrisi ile y = –x + 2 doğrusu arasında
2
kalan bölgenin alanı kaç br dir?
2.
y = x2 ile y =
x eğrileri arasında kalan bölge-
ESEN YAYINLARI
2
1.
kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
2.
2
y = x2 – 2x parabolü ile y = 6x – x2 parabolü
arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
y = x3 – 9x eğrisi ile y = –x doğrusu arasında
kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
nin alanı kaç br dir?
3.
x = – y2 + 4y eğrisi ile x = 3y doğrusu arasında
3.
x = y2 eğrisi ile x = 1 doğrusu arasında kalan
bölgenin alanı kaç br2 dir?
333
İntegral
Rehber Soru – 52
3
#
Rehber Soru – 53
1
#
9 – x 2 dx integralinin eşitini bulunuz.
4 – x 2 dx integralinin eşitini bulunuz.
0
0
Çözüm
Çözüm
#
1– x 2 dx integralinin eşiti nedir?
0
2
#
2.
4 – x 2 dx integralinin eşiti nedir?
2
ESEN YAYINLARI
1
1.
1.
2
2.
0
334
#
4 – x 2 dx integralinin eşiti nedir?
1
2 2
#
16 – x 2 dx integralinin eşiti nedir?
0
–2
3.
#
( 16 –
x2
– x) dx integralinin eşiti nedir?
3.
#
0
2
( 4 – x 2 – x) dx integralinin eşiti nedir?
İntegral
Çözüm
Rehber Soru – 54
1
#
e x dx +
0
e
#
ln x dx integralinin eşitini bulunuz.
1
r
2
1.
#
4.
1
#
sin x dx +
0
y
arcsin x dx
f(x)
2
0
integralinin eşiti nedir?
1
0
1
x
4
Şekilde grafiği verilen bire bir ve örten
f : [1, 4 ] → [1, 2 ] fonksiyonunun tersi f –1 dir.
4
1
2.
#
2 x dx +
0
2
#
1
log 2 x dx
ESEN YAYINLARI
#
2
f (x) dx = 3 ise
1
#
f –1 (x) dx nedir?
1
integralinin eşiti nedir?
5.
y
f(x)
5
1
0
2
5
x
Şekilde grafiği verilen bire bir ve örten
e
1
3.
#
0
e
(x 2)
dx +
#
lnx dx
f : [2, 5] → [1, 5] fonksiyonunun tersi f –1 dir.
1
integralinin eşiti nedir?
5
#
2
5
f (x) dx +
#
f –1 (x) dx değeri nedir?
1
335
İntegral
Rehber Soru – 55
Çözüm
1
eğrisi x = 1 ve x = 2 doğruları ve x ekseninin
x
oluşturduğu bölgenin x ekseni etrafında 360° dön-
y=
dürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz.
1.
y = x doğrusu, x = 0 ve x = 2 doğruları ve x
4.
4 – x 2 eğrisi ile x ekseni arasında kalan
bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi
da 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi
ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
y = x2 eğrisi, x = –1 ve x = 1 doğruları ile x
ekseni arasında kalan bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi
ESEN YAYINLARI
kaç br3 tür?
2.
y=
ekseninin oluşturduğu bölgenin x ekseni etrafın-
5.
y = x2 parabolü ile y = 4 doğrusunun arasında
kalan bölge x ekseni etrafında 180° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
kaç br3 tür?
3.
y = tanx eğrisi, x = 0 ve x =
r
doğruları ile x
4
ekseni arasında kalan bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi
kaç br3 tür?
336
6.
y = ex eğrisi x = 0 ve x = 1 doğruları ile x ekseni arasında kalan bölgenin x ekseni etrafında
360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç
π br3 tür?
İntegral
Çözüm
Rehber Soru – 56
2
y = x eğrisi, x = 0 ve y = 2 doğruları ile sınırlandırılmış bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi
ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
2.
y = x2 parabolü ile y = 4 ve x = 0 doğruları
4.
y = lnx eğrisi y = 1 ve y = 2 doğruları ile y
ile sınırlandırılmış bölgenin y ekseni etrafında
ekseninin sınırladığı bölgenin y ekseni etrafında
360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç
360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç
br3 tür?
br3 tür?
y=
x eğrisi y = 1 ve y = 3 doğruları ve y
ekseni ile sınırlanan bölge y ekseni etrafında
360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3
tür?
ESEN YAYINLARI
1.
5.
x = secy eğrisi, y = 0 ve y =
r
doğrularının y
3
ekseni ile oluşturduğu bölgenin y ekseni etrafında 180° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi
kaç br3 tür?
3.
x = cosy eğrisi y = 0 ve y =
r
doğrularının y
2
ekseni ile oluşturduğu bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi
kaç br3 tür?
6.
x2 y2
+
= 1 elipsinin sınırladığı bölgenin y ek4
9
seni etrafında 180° döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
337
İntegral
Çözüm
Rehber Soru – 57
2
y = x eğrisi ile y = x doğrusu arasında kalan bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan
cismin hacmi kaç br3 tür?
1.
y=
4.
x ile y = x2 eğrileri arasında kalan bölge
y = x3 ile y = x2 eğrilerinin birinci bölgede oluş-
x ekseni etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan
turduğu bölgenin
cismin hacmi kaç br3 tür?
a. x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile
oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
b. y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile
2.
y = x2 eğrisi ile y = x doğrusunun arasında kalan
bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi
ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
ESEN YAYINLARI
oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
5.
3.
y = x2 ve y = –x2 + 2 eğrilerinin sınırladığı böl-
y = 2 x eğrisi ile y = x doğrusu arasında kalan
genin x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle
bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi
oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
3
ile oluşan cismin hacmi kaç br tür?
338
Belirsiz İntegral
TEST – 1
1.
# (2x – 1) dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden
5.
hangisidir?
x
A) x –
+c
2
x2
B)
–x+c
2
C) 2x2 – x + c
D) x2 – x + c
2
#
dx
x
4
B) x2 + x –
1
+c
x
C) x2 – x –
1
+c
x
D) x2 + x +
1
+c
x
34
x +c
4
E)
4 4
x x +c
3
6.
3
B) 4 x 3 + c
4
D)
# (e x – sin x) dx
integralinin eşiti aşağıdakiler-
den hangisidir?
A) ex + cosx + c
44
x +c
3
B) ex + sinx + c
x
C) e – cosx + c
D) lnx + cosx + c
E) lnx + sinx + c
ESEN YAYINLARI
C)
dx
integralinin eşiti nedir?
x+2
A) ln|x + 2| + c
C)
1
+c
(x + 2) 2
E) –
4.
1
+c
x
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangi-
4
A) 4 x 3 + c
3
#
A) x2 – x +
E) x2 + x + c
sidir?
3.
2x 3 + x 2 – 1
dx integralinin eşiti aşağıdakilerx2
den hangisidir?
x
E) 2x2 –
+c
2
2.
#
#x
B) ln|x| + c
D) –
7.
1
+c
x+2
B) cosx + c
D) sinx + c
x dx integralinin eşiti aşağıdakilerden han-
gisidir?
A)
2 2
x x +c
5
B)
2
x x +c
5
C)
2
5
D)
5
2
E)
5 2
x x +c
2
x2 + c
integralinin eşiti nedir?
A) cosx
1
+c
(x + 2) 2
5
# d (cos x)
5
x2 + c
8.
# sin 2x dx
C) sinx
E) – sinx + c
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2cos
x
+c
2
C) –2cos
x
+c
2
B) 2sin
x
+c
2
D) –2sin
x
+c
2
E) 2cosx + c
339
İntegral
# x 2 f(x) dx = x4 + 2x3 + c
9.
eşitliğini sağlayan f(x)
13.
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 3
D) x – 3
x+2
dx
x+1
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
2
B) 4x + 6
2
#
C) x + 1
E) 2x + 3
A) x + ln|x + 1| + c
B) x – ln|x + 1| + c
C) ln|x + 1| + c
D) x2 – ln|x + 1| + c
E) ln|x + 2| + c
10. f′(x) = cosx + sinx ve f b
r
r
l = 2 ise f b l kaç2
4
14. y = f(x) fonksiyonu için dy = (2x – 1)dx ve
f(2) = 4 ise f(1) kaçtır?
tır?
2
A)
B)
2 +1
A) –2
2 –1
C)
ESEN YAYINLARI
d
dx
# (x 2 + 2x) dx
A) x2 + 2x
# cot x . d (cos x)
15.
B) x2 + 2x + c
C) 2x + 2
2
E) x + c
integralinin eşiti aşağıdakiler-
16.
B) – sinx + c
D) – cosx + c
1. D
2. A
340
3. A
E) 2
# sin x .cos x.cos 2x dx
integralinin eşiti aşağı-
C) –
1
cos4x + c
4
E) –
1
cos4x + c
16
# d (sin x. cos x)
B)
1
cos4x + c
16
D) –
1
cos4x + c
8
integralinin eşiti aşağıdakiler-
den hangisidir?
den hangisidir?
A) sinx + c
D) 1
dakilerden hangisidir?
1
A) cos4x + c
8
ifadesinin eşiti nedir?
D) 2x + c
12.
C) 0
E) 2 2
D) 1
11.
B) –1
4. A
C) cosx + c
E) tanx + c
5. D
6. A
A) sinx.cosx
B) cosx + c
C) tanx + c
D) sinx + c
E) sinx.cosx + c
7. B
8. C
9. B
10. D
11. A
12. B
13. A
14. E
15. E
16. E
Belirsiz İntegral
TEST – 2
1.
3
x
dx integralinin eşiti aşağıdakilerden hanx
gisidir?
#
A) 3 3 x + c
B)
D) 2 x + c
2.
#
3
x +c
E)
C)
4
5.
C) 2x2 –
1
+c
x
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2.6x.ln6
x +c
B) 6x.ln6
D) 6x.log6e
x +c
4x 3 – x
dx integralinin eşiti nedir?
x2
A) 2x2 – x + c
# 3 x . 2 x + 1 dx
6.
# 2xy dx
C) 6x.log32
E) 2.6x.log6e
integralinin eşiti aşağıdakilerden han-
gisidir?
B) 2x2 + x + c
A) yx2 + c
D) 2x2 – ln|x| + c
B) xy2 + c
D) x2y2 + c
E)
x2 y2
+c
2
ESEN YAYINLARI
E) 2x – ln|x| + c
C) xy + c
3.
#
xy dx integralinin eşiti aşağıdakilerden han7.
gisidir?
A)
2
x xy + c
3
4.
#
2
3
integralinin eşiti aşağıdakilerden han-
gisidir?
xy + c
A) yx2 + c
2
D) y x + c
3
2
C)
x y +c
3
E)
B)
# 2xy dy
B) xy2 + c
D) x2y2 + c
E)
3
x xy + c
2
2 dx
cos 2 2x
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2tan2x + c
B) 2cot2x + c
C) tan2x + c
D) cot2x + c
E) ln|secx| + c
8.
#
C) xy + c
x2 y2
2
+c
(x – 1) 2
dx integralinin eşiti nedir?
x
A)
x2
–x+c
2
B) x2 – 2x + ln|x| + c
C)
x2
– 2x + ln|x| + c
2
D)
x2
– ln|x| + c
2
E) x2 – x + ln|x| + c
341
İntegral
# sin 2x.f(x) dx = sin4x + c
9.
eşitliğine göre f b
r
l
4
13.
kaçtır?
A) 2
B)
3
2
C) 1
D)
#
2x + 6x
dx
2x
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
1
2
E) 0
A) x +
3x
+c
ln 3
3x
+c
ln 3
B) 1 +
C) x + 3x + c
D) 1 + 3x + c
E) x + ln3.3x + c
10. f′′(x) = 6x – 12, f′(–1) = 16 ve f(1) = 0 ise f(0)
14.
kaçtır?
A) 2
C) 4
D) 5
E) 6
2x – 1
dx integralinin eşiti nedir?
x
A)
4
x – x x +c
3
B)
4
x x +c
3
C)
4
x x –2 x +c
3
D)
4
x x–
3
E)
4
x x +2 x +c
3
x +c
ESEN YAYINLARI
B) 3
#
#
11.
2 dx
integralinin eşiti nedir?
1 + x2
15.
A) 2arcsinx + c
B) 2arccosx + c
C) 2arctanx + c
D) 2arccotx + c
1
+c
1 + x2
E)
2
dx integralinin eşiti nedir?
x
#
2x + c
A)
B)
D) 2 2x + c
1. A
2. D
342
3. A
integralinin eşiti aşağıdakiler-
A) ln|sinx| + c
B) ln|cosx| + c
C) ln|cosecx| + c
D) ln|secx| + c
E) ln|tanx| + c
16.
12.
1 + cos 2x
dx
sin 2x
den hangisidir?
#
4. C
2x + c
dx
1 + sin x
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
C) 2 x + c
E) 2 2 x + c
5. E
#
6. A
A) tanx + secx + c
B) tanx – cosecx + c
C) cotx + secx + c
D) cotx – secx + c
E) tanx – secx + c
7. B
8. C
9. C
10. C
11. C
12. D
13. A
14. C
15. A
16. E
Belirsiz İntegral
TEST – 3
1.
# 2 x dx
integralinin eşiti nedir?
A) 2xlnx + c
5.
B) 2x + c
D) 2lnx + c
C) xln2 + c
2x
+c
E)
ln 2
#
2x 2 – x
dx integralinin eşiti nedir?
x –1
A) x2 + x + ln|x – 1| + c
B) x2 – x + ln|x – 1| + c
C) x2 – x – ln|x – 1| + c
D) x2 – ln|x – 1| + c
E) x2 + ln|x – 1| + c
2.
#
1
dx integralinin eşiti nedir?
cot 3x
A) ln 3 sec 3x + c
B) ln sec 3x + c
C) ln 3 sin 3x + c
D) ln cos 3x + c
6.
E) ln 3 cos 3x + c
#
x –1
dx integralinin eşiti nedir?
x+1
A) x – ln|x – 1| + c
B) ln|x + 1| + c
C) x + ln(x + 1)2 + c
D) x – ln(x + 1)2 + c
3.
# x (2 – 3x) dx
integralinin eşiti nedir?
A) x – x3 + c
B) x2 – x3 + c
C) x3 – 2x + c
D) x – x2 + c
2
ESEN YAYINLARI
E) x + ln|x – 1| + c
7.
# sin 4 x dx – # cos 4 x dx
A)
3
E) x – 3x + c
1
sin2x + c
2
C) –
1
cos2x + c
2
integralinin eşiti nedir?
B) –
1
sin2x + c
2
D) 2sin2x + c
E) 2cos2x + c
4.
# (x 2 – 1)
x dx integralinin eşiti aşağıdakiler-
den hangisidir?
2 3
2
x x – x x +c
A)
7
3
B)
C)
2 2
2
x x – x x +c
7
3
2
2
x x – x3 x + c
3
7
D)
2 3
2
x x – x x +c
5
3
E)
2
2
x x – x3 x + c
3
5
8.
#
(x – 2) 2
dx integralinin eşiti nedir?
x
A) x2 – 2x + lnx2 + c
B)
x2
– 4x + lnx2 + c
2
C)
x2
– 4x + lnx4 + c
2
D) x2 – 4x + lnx + c
E)
x2
– 4x + lnx3 + c
2
343
İntegral
# cos x . f (x) dx = tan x + c
9.
A) sec2x
ise f(x) nedir?
C) sec3x
B) secx
D) cosec2x
13.
#
dx
integralinin eşiti nedir?
1 + cos 2x
A) –
E) cosec3x
C)
1
cotx + c
2
B) –
1
tanx + c
2
1
tanx + c
2
D) 2cotx + c
E) 2tanx + c
10. f′′(x) = 24x2 – 12x + 2, f′(1) = 0 ve
f(–1) = 2 ise f(1) nedir?
A) –12 B) –11
C) –10
14.
D) –9
E) –8
#
x2 + 2
dx
x2 + 1
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x.arctanx + c
B) 1 + arctanx + c
C) x + arctanx + c
D) 1 – arctanx + c
# cot 2 x dx
11.
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x + tanx + c
B) x + cotx + c
C) x – tanx + c
D) –x – cotx + c
ESEN YAYINLARI
E) x – arctanx + c
15.
#
cos 2x
dx
cos 2 x .sin 2 x
integralinin eşiti aşağıdaki-
lerden hangisidir?
E) x – cotx + c
A) tanx + cotx + c
B) sin2x + c
C) – cotx – tanx + c
D) cos2x + c
E) tan2x + c
12. f′′(x) = 12x2 – 6 olmak üzere,
y = f(x) eğrisine x = 1 apsisli noktasından çizilen teğetin denklemi 2x – y + 1 = 0 olduğuna
16.
göre f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
4
2
4
2
4
2
A) x – 3x + 2x + 1
2
4
2
D) x + 3x – 4x + 1
2. A
344
3. B
4. A
A) tanx + c
B) tanx – cotx + c
C) x + cotx + c
D) tanx + cotx + c
E) x – tanx + c
E) x – 3x + 4x + 1
1. E
integralinin eşiti aşağıdaki-
lerden hangisidir?
4
B) x – 2x + 4x + 1
C) x + 3x – 2x + 1
# (tan x + cot x) 2 dx
5. A
6. D
7. B
8. C
9. C
10. C
11. D
12. E
13. C
14. C
15. C
16. B
Belirsiz İntegral
TEST – 9
1.
# x sin x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden
5.
hangisidir?
#
x
dx
cos 2 x
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A) sinx + xcosx + c
B) sinx – xcosx + c
C) cosx – xsinx + c
D) cosx + xcosx + c
A) x tanx – ln|cosx| + c
B) x tanx + ln|cosx| + c
E) sinx + xsinx + c
C) x tanx + ln|sinx| + c
D) x tanx – ln|sinx| + c
E) x tanx – ln|tanx| + c
2.
# 4x ln x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x2(lnx2 – 1) + c
B) x(lnx2 – 1) + c
C) x2(ln|x| – 1) + c
D) x2lnx2 + c
6.
E) x.lnx2 + c
# x 2 e x dx – # xe x dx
integralinin eşiti nedir?
A) ex(x2 – 2x – 1) + c
B) ex(x2 – 3x – 1) + c
C) ex(x2 – 3x + 3) + c
D) ex(x2 – 2x + 1) + c
3.
# arcsin x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
4.
A) x.arcsinx +
1– x 2 + c
B) x.arcsinx –
1– x 2 + c
C) arcsinx –
1– x 2 + c
D) arcsinx +
1– x 2 + c
E) arccosx –
x2
# x 2 e –x dx
1–
ESEN YAYINLARI
E) ex(x2 – 2x + 2) + c
7.
B) (x2 – 4)sinx – x + c
C) x2sinx – 2xcosx + c
D) x2cosx – 2xsinx + c
E) (x2 – 4)sinx + 2xcosx + c
8.
#
dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hanx2 – 1
hangisidir?
gisidir?
A) ex(x2 – 2x – 2) + c
A) ln
B) – e–x(x2 – 2x – 2) + c
C) – e–x(x2 – 2x + 2) + c
D) – e–x(x2 + 2x + 2) + c
–x
2
E) e (x – 2x + 2) + c
integralinin eşiti nedir?
A) x2 – 4sinx – 2cosx + c
+c
integralinin eşiti aşağıdakilerden
# (x 2 – 2) cos x dx
x –1
+c
x+1
C) ln
x+1
+c
x –1
E) ln c
x –1 2
m +c
x+1
B) ln
D) ln
x –1
+c
x+1
x+1
+c
x –1
355
İntegral
#
9.
4 dx
integralinin eşiti nedir?
4x – x 2
A) ln
x
+c
4–x
x
+c
4–x
C) ln
E) ln
B) ln
13.
x
+c
4+x
4–x
+c
x
D) ln
B) ln
x+1
+c
x–2
E) ln c
x+1 2
m +c
x–2
D) ln
x2
x+1
+c
C) ln|x + x| + c
E) ln
1. B
15.
x
B) ln
+c
x+1
2
#
x+1
+c
x–2
(x + 2) dx
integralinin eşiti nedir?
x2 + x
A) ln
12.
x–2
+c
x+1
ESEN YAYINLARI
x–2
+c
x+1
C) ln
#
B) arctanx + x + c
C) ln|x| – arctanx + c
D) x – arctanx + c
4–x
+c
x
A) ln
11.
A) ln|x| + arctanx + c
E) ln(x + 1) + arctanx + c
3 dx
ifadesinin eşiti nedir?
x2 – x – 2
#
x2 + x + 1
dx integralinin eşiti nedir?
x3 + x
2
14.
10.
#
D) ln
x2 + x
#
x+1
dx integralinin eşiti nedir?
(x – 2) 2
A) ln|x – 2| +
3
1
+ c B) ln|x – 2| –
+c
x–2
x–2
C) ln|x – 2| +
1
3
+ c D) ln|x – 2| –
+c
x–2
x–2
E) ln|x – 2| –
2
+c
x–2
#
sin x dx
integralinin eşiti nedir?
cos 2 x – cos x – 2
A) ln c
1 + cos x 3
m +c
2 – cos x
C) ln 3
1 + cos x
+c
–2 + cos x
E) ln 3
2 – cos x
+c
1 + cos x
+c
x
+c
x+1
dx
integralinin eşiti nedir?
4 – 9x 2
16.
#
B) ln 3
1 + cos x
+c
2 – cos x
D) ln
2 – cos x
+c
1 + cos x
dx
integralinin eşiti nedir?
x (x – 1) 2
A)
1
2 + 3x
ln
+c
6
2 – 3x
B)
1
2 – 3x
ln
+c
4
2 + 3x
A) ln
x
1
+ +c
x –1
x
C)
1
2 – 3x
ln
+c
6
2 + 3x
D)
1
2 + 3x
ln
+c
4
2 – 3x
C) ln
x
1
x –1
1
+ c D) ln
+c
–
–
x –1
x –1
x
x –1
E)
1
2 + 3x
ln
+c
12
2 – 3x
E) ln
x
1
– +c
x –1
x
2. A
356
3. A
4. D
5. B
6. C
7. E
8. A
9. A
10. B
11. A
12. E
B) ln
13. A
x
1
+c
+
x –1 x –1
14. D
15. C
16. C
Belirsiz İntegral
TEST – 10
1.
# e x + ln x dx
5.
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x.ex + c
# cos x. ln (sin x) dx
A) sinx.ln
sin x
+c
e
B) cosx.ln
sin x
+c
e
C) sinx.ln
cos x
+c
e
D) cosx.ln
cos x
+c
e
B) ex – x.ex + c
x
D) x.ex – ex + c
C) x + e + c
E) x.ex + ex + c
E) ln
2.
# x cos 2x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden
6.
hangisidir?
A)
3.
sin x
+c
e
# x 3 e x dx + # x 2 e x dx – # xe x dx
A) (x3 – 2x2 + 7)ex + c
x
1
B) cos2x – sin2x + c
2
4
B) (x3 – 2x2 – 5)ex + c
x
1
C) sin2x + sin2x + c
2
4
D) (x3 – 7x – 5)ex + c
x
1
sin2x + cos2x + c
2
4
E)
x
1
sin2x – cos2x + c
2
4
# 2xe 2x dx
C) (x3 – 2x2 + 3x – 3)ex + c
E) (x3 – 2x2 – 7x + 5)ex + c
ESEN YAYINLARI
D)
A) c x –
7.
integralinin eşiti aşağıdakilerden
# e x sin x dx
integralinin eşiti nedir?
A)
ex
(sinx + cosx) + c
2
B)
ex
(–sinx – cosx) + c
2
C) ex(sinx + cosx) + c
1 x
me + c
2
D) ex(sinx – cosx) + c
B) (x + 1)e2x + c
1
C) c x + m e 2x + c
2
E) c x –
integralinin
eşiti nedir?
x
1
cos2x + sin2x + c
2
4
hangisidir?
2x
D) (x – 1)e
E)
+c
ex
(sinx – cosx) + c
2
1 2x
me + c
2
8.
4.
integralinin eşiti nedir?
# x 2 ln x dx
integralinin eşiti nedir?
#
x ln x dx integralinin eşiti nedir?
A)
2
x x (ln|x3| + 2) + c
9
B)
2
x x (ln|x3| – 1) + c
9
A)
x3
1
ln|x| + x3 + c
3
9
B)
x3
1
ln|x| – x3 + c
3
9
C)
C)
x2
1
ln|x| – x3 + c
2
3
D)
x2
1
ln|x| + x3 + c
2
3
2
x x (ln|x3| – 1) + c
3
D)
2
x x (ln|x3| – 2) + c
3
E)
x3
1
ln|x| – x3 + c
9
3
E)
2
x x (ln|x3| – 2) + c
9
357
İntegral
#
9.
dx
integralinin eşiti nedir?
x2 + x
A) ln
x –1
+c
x +1
B) ln
x
+c
x +1
x +1
D) ln
+c
x
#
10.
13.
C) ln
x +1
+c
x –1
C) ln
(x + 2) 2
B) ln c
+c
(x + 2) 2
+c
x –1
E) ln c
D) ln
2
+c
x –1
1
2
+
+c
B) ln|x – 1| –
x –1
(x – 1) 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
x2
– ln(x2 – 16)8 + c
2
A)
x2
C)
2
#
1
e
–
+c
x –1
(x – 1) 2
E) ln|x – 1| +
1
2
+
+c
x –1
(x – 1) 2
B)
+ ln(x2 – 16)6 + c D)
2
3x 2 + x – 2
dx integralinin eşiti aşağıdaki(x – 1) (x 2 + 1)
lerden hangisidir?
A) ln|x – 1| + ln(x2 + 1) + 3arctanx + c
B) ln|x – 1| – ln(x2 + 1) + 3arctanx + c
C) ln|x – 1| + ln(x2 + 1) + arctanx + c
D) ln|x – 1| + ln(x2 + 1) + 2arctanx + c
x2
+ ln(x2 – 16)8 + c
2
x2
#
E) ln|x – 1| – ln(x2 + 1) + 2arctanx + c
– ln(x2 – 16)6 + c
x2
– ln(x2 – 4)8 + c
2
E)
12.
D) ln|x – 1| –
(x + 1) 2
+c
x+2
ESEN YAYINLARI
#
1
2
–
+c
x –1
(x – 1) 2
x+2 2
m +c
x+1
14.
11.
C) ln|x – 1| –
x+1 2
m +c
x+2
x3
dx
2
x – 16
integralinin eşiti aşağıdakilerden
A) ln|x – 1| +
x
E) ln
+c
x –1
den hangisidir?
x+1
(x 2 + 1) dx
(x – 1) 3
hangisidir?
x+3
dx integralinin eşiti aşağıdakilerx 2 + 3x + 2
A) ln
#
15.
x+2
dx integralinin eşiti aşağıdakilerden
x 2 (x + 1)
2
x+1
B) – – ln
+c
x
x
2
x+1
C)
– ln
+c
x
x
2
x+1
D) – + ln
+c
x
x
E)
1. D
358
2
x+1
+ ln
+c
x
x
2. D
3. E
4. B
5. A
6. C
7. E
e x dx
e 2x + 3e x + 2
integralinin eşiti aşağıdakiler-
den hangisidir?
hangisidir?
2
x
A) – + ln
+c
x
x+1
#
8. E
A) ln c
ex + 2
m+c
ex + 3
B) ln c
ex + 1
m+c
ex + 3
C) ln c
ex + 1
m+c
ex + 3
D) ln c
ex + 1
m+c
ex + 2
E) ln c
ex + 2
m+c
ex + 1
9. B
10. D
11. B
12. D
13. C
14. A
15. D
Belirli İntegral
TEST – 11
7
2
1.
e
5.
dx
integralinin eşiti nedir?
2x – 3
#
1
B) ln 2
A) 1
D) 2
1
#
1
3
A)
C) ln2
B)
2
3
C) 1
D)
3
2
E)
4
3
E)
5
2
E) ln7
r
4
2.
ln x
dx integralinin eşiti nedir?
x
#
1
tan x dx integralinin eşiti nedir?
B)
r
2
C)
x dx integralinin eşiti nedir?
–1
0
A) ln2
#
6.
A)
2
1
2
B) 1
3
2
C)
D) 2
E) ln 2
ESEN YAYINLARI
D) ln4
5
7.
ln 6
3.
#
#
( x – 3 – 1) dx integralinin eşiti aşağıdakiler-
1
e x dx integralinin eşiti nedir?
den hangisidir?
ln 2
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
A) –2
E) 6
B) –1
C) 0
13
10
4.
#
2
8.
x dx
integralinin eşiti nedir?
x2 – 1
A) ln2
B) 2
C) ln3
D) 3
#
D) 1
E) 2
4
f (x) dx = 12 ise
4
#
f (3x + 1) dx integralinin
1
eşiti nedir?
E) ln10
A) 4
B) 8
C) 12
D) 24
E) 36
359
İntegral
r
4
#
9.
cos 2 x
0
#
dx +
0
ln 3
sin 2 x
13.
dx ifadesinin eşiti aşağı-
e 2x
dx integralinin eşiti nedir?
4 – e 2x
#
0
r
4
A) ln 3
dakilerden hangisidir?
A) –1
B) –
1
2
B) ln 2
D) ln3
C) 0
D)
1
2
C) ln2
E) ln4
E) 1
ln (x 3 + 1) olmak üzere,
14. f(x) =
2
#
ef
2 (x)
f (x) .fl (x) dx integralinin eşiti nedir?
1
11
4
#
10.
#
f (3x – 1) dx = a ise
5
2
A)
f (x) dx ifadesinin a
B) 3
C)
7
2
D) 4
E)
9
2
2
1
türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) a + 3
B) a – 3
D) 3a
C)
E) a + 6
a
3
ESEN YAYINLARI
1
15.
#
x2
0
yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde
edilir?
r
2
#
A)
#
d (x 3 – 3x + 1) integralinin eşiti nedir?
#
C)
A) 25
B) 30
C) 40
D) 45
0
E) 50
r
2
#
E)
0
16.
r
2
#
sin 2 x dx integralinin eşiti nedir?
r
6
1. C
2. E
360
r
4
C)
3. C
4. C
B)
r
3
D)
5. B
sin 2 2t
dt
4
4
#
sin 2 2t
dt
2
1
sin 2 2t
dt
2
#
D)
0
sin 2 2t
dt
4
4x 3 dt integralinin eşiti aşağıdakilerden
2
hangisidir?
0
A)
d
dx
1
#
B)
0
r
2
2
12.
sin 2 2t dt
0
4
11.
1– x 2 dx integralinde x = sint dönüşümü
A) 24x
3r
2
r
2
E)
6. B
7. C
B) 24x2
D) 24
8. A
9. D
10. D
11. E
C) 12x
E) 0
12. B
13. A
14. C
15. E
16. B
Belirli İntegral
TEST – 12
e2
1.
#
e
2
dx
integralinin eşiti nedir?
x
A) 1
B) 2
C) e
5.
dx
integralinin eşiti nedir?
2–x
#
0
D) e2
E) ln2
2
A)
B)
3
D) 2 3
2
2.
#
C) 2 2
E) 3 2
e ln x dx integralinin eşiti nedir?
1
2
1
A)
2
B) 2
3
C)
2
D) 2
x
dx integralinin eşiti nedir?
x
#
6.
5
E)
2
–1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ESEN YAYINLARI
A) 1
r
3.
#
sin
0
x
dx integralinin eşiti nedir?
2
2
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
7.
#
x + 1 dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden
0
hangisidir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
r
6
4.
#
sec x dx integralinin eşiti nedir?
3r
2
0
A) ln 3
D) ln 3 3
B) ln3
C) ln9
E) ln 4 3
8.
#
cos x dx integralinin eşiti nedir?
0
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
361
İntegral
r
r
4
#
9.
13.
(sin 4 x – cos 4 x) dx integralinin eşiti aşağıda-
A) –2
kilerden hangisidir?
1
1
B) –
2
3
x cos x dx integralinin eşiti nedir?
0
0
A) –
#
C) 0
D) 1
E)
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
1
2
b
14.
#
( 2x – 3)dx = 12 ve b – a = 4 ise a + b kaçtır?
a
A) 3
1
y 2 dx = f
#
10.
0
1
#
B) 4
D) 7
E) 9
2
y dy p
eşitliğini sağlayan y nin
0
e
pozitif değeri nedir?
1
A)
2
B) 1
3
C)
2
15.
5
E)
2
D) 2
#
[(ln x) 2 – 1] dx integralinde lnx = t dönüşümü
1
uygulanırsa aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
2
A)
ESEN YAYINLARI
ln x
d
dx
11.
C) 6
#
#
ln 2
(t 2 – 1) e t dt
B)
1
#
1
(t 2 – 1) ln t dt
D)
1
#
(t 2 – 1) dt
0
1
E)
(t 2 – 1) dt
1
1
C)
#
#
(t 2 – 1) e t dt
0
t e t dt ifadesinin eşiti nedir?
2
A) lnx
B)
D)
1
x
ln x
x
C) x.lnx
16.
E) x + lnx
y
y = f(x)
4
2
–4
–2
x+1
dx integralinin eşiti aşağıdakilerx 2 + 2x + 2
#
0
x
8
ve x = 8 apsisli noktalardaki teğetleri çizilmiştir.
Buna göre,
8
den hangisidir?
A) ln
13
2
#
B) ln 13
2. C
362
3. E
4. A
5. C
C) ln13
6. A
A)
7. D
fl (x) . fll (x) dx integralinin eşiti nedir?
–2
E) ln 26
D) ln26
1. A
6
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile x = –2
4
12.
0
8. C
9. A
15
8
10. A
B)
11. A
9
2
C) 5
12. B
13. A
D) 6
14. C
E)
15. E
13
2
16. A
Alan ve Hacim Hesabı
TEST – 14
1.
y
Şekildeki
taralı bölgenin
alanı kaç
alanı kaç
br2 dir?
A) 2
0
8
C)
3
1
br2 dir?
x
2
D) 3
2.
y
Şekildeki
0
1
2
D)
1
3
E)
1
6
y
7.
0
B) 4
C)
15
4
D)
7
2
2
E)
C) ln 5
y
Şekildeki
alanı kaç
0
x
A) 4
B)
11
3
C)
10
3
D) 3
2
taralı bölgenin
alanı kaç
y = vx
br2 dir?
alanı kaç
2
br dir?
A) 3
x
0
8
B)
3
7
C)
3
D) 2
E)
y
Şekildeki
taralı bölgenin
y
Şekildeki
x
2
8
3
13
4
8.
4.
y = (x – 2) 2
taralı bölgenin
y = x3
–1
br2 dir?
x
2
E) 2
br2 dir?
alanı kaç
1
B) ln2
D) 1
ESEN YAYINLARI
C)
A) ln 2
taralı bölgenin
17
4
1
y = ––
2x
0
x
Şekildeki
A)
y
Şekildeki
br2 dir?
br dir?
3.
E) e2 + e
alanı kaç
2
2
3
x
2
C) e2 + 1
taralı bölgenin
y = x2 – x
alanı kaç
B)
1
B) e + 1
D) e2 – e
taralı bölgenin
5
6
0
A) e2 – 1
10
E)
3
6.
A)
y = ex
Şekildeki
taralı bölgenin
7
B)
3
y
5.
y = x2
5
E)
3
A)
1
+ ln 2
2
C) ln2 2
y = lnx
1
–
2
0
2
B) –
D)
1
+ ln 2 2
2
1
+ ln 2 2
2
E) 2ln2 2
365
x
İntegral
9.
y
Şekilde ifade
13.
y = x2 – 1
edilen S1 ve
alanı kaç
B)
S2
0
S1
kaçtır?
S2
3
4
x2
y = ––
2
taralı bölgenin
S2 alanları için
A)
y
Şekildeki
1
2
C)
10.
4
3
D) 2
br2 dir?
x
2
S1
y = 2x
32
3
A)
5
2
E)
y
B) 7
C)
20
3
D) 6
4
y=–
x
Şekildeki
S2
0
–3
1
S1
3
4
S3
E)
16
3
y
14.
y = f(x)
x
0
y=x
taralı bölgenin
x
alanı kaç
br2 dir?
Şekilde ifade edilen S1 = 6, S2 = 4, S3 = 2
0
x
4
4
#
alanları için
f (x) dx kaçtır?
A) – 4
B) –2
C) 0
D) 2
11.
E) 4
0
S2 alanları için
#
15.
S1
edilen S1 ve
a
S2
A) 1
x
A)
7r
2
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
366
C)
9r
2
D) 5π
E)
11r
2
E) 3
16.
4
B)
3
3. A
2
D)
3
C) 1
4. B
5. D
6. A
8 – x 2 dx integralinin eşiti nedir?
A) π + 1
1
E)
2
7. E
#
0
arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
2. E
B) 4π
y = x – x2
12. y = x3 – 2x + 1 eğrisi ile y = 1 – x doğruları
1. B
E) 2 + ln4
9 – x 2 dx integralinin eşiti nedir?
2
5
A)
3
C) 2 + ln8
–3
S1 = S2 ise
a kaçtır?
B) 1 + ln16
D) 1 + ln8
3
y
Şekilde ifade
A) 2 + ln16
ESEN YAYINLARI
–3
B) π + 2
D) 2π + 1
8. B
9. B
10. A
11. B
12. E
C) 2π – 1
E) π + 4
13. E
14. A
15. C
16. B
Alan ve Hacim Hesabı
TEST – 15
1.
f(x) = 4x – x2 eğrisi ile x ekseni arasında kalan
5.
bölgenin alanı kaç br2 dir?
A)
32
3
B) 11
C)
35
3
x = 4 – y2 eğrisi ile y ekseninin sınırladığı bölgenin alanı kaç br2 dir?
D) 12
E)
38
3
A)
6.
32
3
B) 11
C)
34
3
D) 12
f(x) = x2 eğrisi ile g(x) =
x
E)
38
3
eğrisi arasında
2
kalan bölgenin alanı kaç br dir?
2.
f(x) = x2 eğrisi, x = 3 doğrusu ve x ekseni
A)
arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
B) 7
C) 8
D) 9
B)
3
2
7.
1
2
D)
1
3
E)
1
4
y = x2 eğrisi ile y = ax doğrularının sınırladığı
bölgenin alanı
3.
C)
E) 10
ESEN YAYINLARI
A) 6
4
3
A) 3
y = x3 eğrisi x = –1, x = 2 doğruları ve x ek-
1 2
br ise a kaçtır?
6
B) 2
C) 1
D)
1
2
E)
1
3
seninin oluşturduğu bölgenin alanı kaç br2 dir?
A)
7
2
B)
15
4
C) 4
D)
17
4
E)
9
2
y
8.
3
0
–2 –1
1
2
x
–1
4.
f(x) = 1 – x3 eğrisi, x = 0 ve x = 3 doğruları
ve x ekseninin sınırladığı bölgenin alanı kaç br2
Şekilde y = x2 – 1 eğrisinin bir parçasının x ek-
dir?
seni ile oluşturduğu taralı bölgeler gösterilmiştir.
67
A)
4
34
B)
3
C) 18
37
D)
2
75
E)
4
Bu bölgelerin alanları toplamı kaç br2 dir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
367
İntegral
y = x2 + x eğrisi ile y + x = 0 doğrusunun ara-
9.
1
13.
sında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
4
3
A)
B)
5
3
C) 2
8
3
D)
#
1– x 2 dx integralinin eşiti nedir?
0
E) 3
A)
r
4
B)
r
2
C) r
D)
3r
2
E) 2r
y
10. Şekildeki
14. f(x) = ex eğrisi x = –1 ve x = 1 doğruları ve
1
y = –x2 + 4x – 3
eğrisi ile y = 1 doğ-
x ekseninin sınırladığı bölge x ekseni etrafında
x
0
360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3
rusunun oluşturduğu
tür?
bölgenin alanı kaç
br2 dir?
B) 1
C)
4
3
5
3
D)
D)
ladığı bölgenin alanı kaç br2 dir?
9
C)
2
B) 4
r 2 1
e – 2m
2c
e
E) 2
11. y = x2 + 1 eğrisi ile y – x = 3 doğrusunun sınır7
A)
2
A)
ESEN YAYINLARI
2
3
A)
y = –x 2 + 4x – 3
r 2 1
e + 2m
2c
e
E)
C)
r
2e 2
r 1
+1m
2 c e2
15. x = y2 + 1 parabolü ile y – x + 1 = 0 doğrusu
arasında kalan bölgenin x ekseni etrafında 360°
11
E)
2
D) 5
r 2
e
2
B)
döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç br3
tür?
A)
r
2
B)
r
3
C)
r
4
D)
r
6
E)
r
8
y
12.
y = lnx
y=2
0
x
e3
16. f(x) = ax2 eğrisi x = 1, x = 3 doğruları ve x
ekseninin oluşturduğu bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi
Şekildeki taralı alan kaç br2 dir?
A) e3 – e2
B) e2 – e
D) e2
1. A
2. D
368
3. D
242r 3
br ise a nın pozitif değeri kaçtır?
5
C) e3 – 1
A)
E) e3
4. E
5. A
6. D
7. C
8. C
9. A
10. C
5
B) 2
11. C
C)
12. D
3
13. A
D)
14. A
2
E) 1
15. D
16. E
TEST – 19
r
4
1.
#
5.
(1 – 2 sin 2 x) dx integralinin eşiti nedir?
0
1
B) –
2
A) –1
2.
d
dx
ln x
#
1
D)
2
C) 0
E) 1
A) cotx – sinx + c
B) tanx – sinx + c
C) cotx + cosx + c
D) tanx + sinx + c
E) tanx + cosx + c
r
2
e 2t dt ifadesinin eşiti nedir?
1
#
6.
A) ex
B) lnx
D) x2
C) x
1– cos 3 x
dx integralinin eşiti nedir?
cos 2 x
#
E) 1
–
sin x dx integralinin eşiti nedir?
r
2
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
E) 3
ESEN YAYINLARI
A) 1
3.
#
A)
1
x x dx ifadesinin eşiti nedir?
1
3x 3
+c
D)
5
4 4
x
5
B)
+c
2
3 3
x
2
+c
E)
7.
C)
7
4 4
x
3
4 4
x
3
#
(|x | – x ) dx integralinin eşiti nedir?
–2
+c
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
+c
7
8.
y
y = ex
4.
#
dx
integralinin eşiti nedir?
1– sin x
A) tanx + c
C) tanx –
1
+c
sin x
1
+c
E) tanx +
cos x
B) –
D)
0
1
+c
cos x
1
+c
sin x
x
2
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) e2 – 1
B) e2 + 1
D) 2e2 – 1
C) e2 + 2
E) 2e2 + 1
375
İntegral
y = x2 eğrisi ile y = x + 2 doğrusunun sınırladığı
9.
13.
bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) 5
B)
9
2
C) 4
D)
7
2
E) 3
# x 3 ln x dx
A)
x4
x4
lnx –
+c
4
16
B)
x4
x4
lnx +
+c
4
16
C)
x4
x4
lnx +
+c
4
8
D)
x4
x4
lnx –
+c
4
8
E) x4lnx –
x4
+c
4
1– x
dx integralinin eşiti aşağıdakilerden
1 – x2
#
10.
integralinin eşiti nedir?
hangisidir?
A) arcsinx +
1
1– x 2 + c
2
B) arccosx +
1– x 2 + c
C) arcsinx +
1– x 2 + c
D) arccosx +
14.
1
1– x 2 + c
2
integralinin eşiti nedir?
A)
tan 3 x
– tanx + x + c
3
B)
tan 3 x
+x+c
3
C)
tan 3 x
+ tanx – x + c
3
D)
tan 3 x
–x+c
3
tan 3 x
E)
3
1
ln
2
A)
ESEN YAYINLARI
# tan 4 x dx
11.
integralinin eşiti aşağıdakiler-
den hangisidir?
1– x 2 + c
E) arcsinx –
dx
(x – 2) x + 2
#
B) ln d
x+2 –2
n+c
x+2
C) ln
x+2 –2
+c
x+2 +2
D) ln
x+2 +2 +c
E) ln
x+2 –2 +c
2
15.
– tanx – x + c
x+2 –2
+c
x+2 +2
#
2
e (x )
e4
#
dx +
0
ln x dx ifadesinin eşiti nedir?
1
A) e4 – 2
D) 4e
# x . sec 2 x dx
12.
C) 2e4
B) 4e – 2
E) 2e
integralinin eşiti nedir?
A) x.tanx + ln|cosx| + c
B) x.tanx – ln|x| + c
16. >
C) x.tanx – ln|cosx| + c
A) –1
E) x.cotx + ln|sinx| + c
2. C
376
3. E
4. E
#
xa
dx H
–1
b
=
0
D) x.cotx – ln|x| + c
1. D
b
5. B
6. C
7. D
8. B
9. B
10. C
#
0
B) 0
11. A
dx
ise a2 + b2 kaçtır?
xa
C) 1
12. A
13. A
D) 2
14. A
E) 3
15. C
16. C
I.
II.
III.
Sol sütunda verilen integrallerin eşitini sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
a.
#
1
dx
cos 2 x
1.
ln|sinx| + c
b.
#
1
dx
sin 2 x
2.
– cotx + c
c.
# tan x dx
3.
tanx + c
d.
# cot x dx
4.
ln|secx| + c
Sol sütunda verilen integrallerin eşitini sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
a.
#
1
dx
1 + x2
1.
1
arctan(2x) + c
2
b.
#
2x
dx
1 + x2
2.
x
1
arctan + c
2
2
c.
#
1
dx
4 + x2
3.
ln(1 + x2) + c
d.
#
1
dx
1 + 4x 2
4.
arctanx + c
Sol sütunda verilen taralı alanların eşitini sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
y
y = x2
1.
16
3
x
2.
3
4
x
3.
8
3
4.
64
3
a.
0
y
b.
0
y = x2 – 4
2
y
y = vx
4
c.
0
y
1
d.
x
2
0
y = x3
x
383
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
SOLDAN SAĞA
1. Kanıtlanmış olan genel yargı
YUKARIDAN AŞAĞIYA
2. Belirli integral kavramını ortaya koyan matematikçi
5. Üç boyutlu gerçel uzayda bir geometrik şeklin
sınırı
3. Düzlemde açık ve bağlantılı bir küme ile bu
kümenin kenarının bir alt kümesinin birleşimi
6. Uzayda bir A sınırlı kümesi için A nın iç ölçümüyle dış ölçümü çakıştığında oluşan ortak
değer
7. Düzlemsel veya küresel üçgenlerin özelliklerini
inceleyen matematik dalı
9. Fonksiyonun türevi ile değişkenin sonsuz
küçük artımının çarpımı
14. Yüzölçümü
15. Bir f fonksiyonu için türevi f ye eşit olan
fonksiyonlar ailesi
b
4.
#
f (x) dx simgesi
a
8. Türevi alınmış fonksiyonun kendisini bulma
işlemi
10. Aksiyom
11. Bir denklemin veya bir denklemler sisteminin
tüm köklerinin veya bilinmeyenlerinin saptanan
değerleri
12. İspat
13. Bir sayma sisteminde, sayıları göstermek için
kullanılan simgeler
384
Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz.
1.
#
1
dx = ................................................
x+a
2.
#
1
dx = ..............................................
ax + b
3.
#
1
dx = ............................................
a2 + x2
4.
# f (x) .fl (x) dx = ..........................................
5.
#
6.
# ln x dx = ...................................................
7.
# a x dx = ....................................................
8.
# e x dx = ....................................................
9.
#
10.
#
fl (x)
dx = ................................................
f (x)
1
= .............................................
– x2
a2
1
dx = ...........................................
(x – a) n
385
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.
a
1.
#
f (x) dx = 0 dır.
a
b
2.
#
a
a
f (x) dx = –
#
f (x) dx
b
b
3.
#
b
(f (x) + g (x)) dx =
a
b
f (x) dx +
a
b
4.
#
#
a
#
g (x) dx
a
b
f (x) .g (x) dx =
#
b
f (x) dx.
a
#
g (x) dx
a
a
5.
f(x) tek fonksiyon ise
#
f (x) dx = 0
–a
a
6.
f(x) çift fonksiyon ise
#
–a
7.
# df (x) = f (x) + c
8.
d
dx
9.
# fl (x) dx = f (x) + c
10.
# u.dv = u.v – # v.du
386
# f (x) dx = f (x)
f (x) dx = 0
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
1.
1982 - ÖYS
5.
#
#
sin 32x.sin4x dx ifadesinin değeri nedir?
( 2x + 3)dx = 50 ve b – a = 5 olduğuna göre
a
0
a + b kaçtır?
1
A)
160
1
B)
60
9
C)
80
9
D)
160
1
E)
32
A) 11
6.
2.
1983 - ÖYS
b
r
12
1982 - ÖYS
1
0
x1
13
4
B)
D) ln
S2
0
x
2
D) 8
E) 7
(x 2 + 3) 2x
dx integralinin değeri nedir?
(x 2 + 3) 2 + 1
A) ln
S1
C) 9
1984 - ÖYS
#
y
B) 10
1 13
ln
2 10
15
4
E)
C)
1
2
1 17
ln
2 10
S2 alanları arasında 3S1 = S2 bağıntısı bulunduğuna göre x1 apsisi kaçtır?
A)
3
8
B)
3
6
C)
3
4
D)
3
3
E)
3
2
ESEN YAYINLARI
Şekilde y = x2 nin grafiği verilmiştir. Taralı S1 ve
7.
1984 - ÖYS
y
S2
0
3.
1982 - ÖYS
5
#
duğuna göre a nın değeri nedir?
C) 3
D) 4
f (x) dx = –
0
E) 5
25
32
ve S1 =
birim kare oldu3
3
ğuna göre, S2 kaç birim karedir?
A)
4.
x
5
bir fonksiyondur.
ve x = 2 doğrusu ile sınırlı alan 8 birim kare olB) 2
4
S1
f, grafiğinin bir parçası yukarıdaki şekilde verilen
a > 0 koşulu ile y = x3 + ax eğrisi, x ekseni
A) 1
y = f(x)
7
3
B)
13
3
C)
23
3
D)
47
3
E)
57
3
1983 - ÖYS
a > 0, b > –1 koşulu ile sonlu iki sayıdır.
1
#
0
x a dx.
1
#
x b dx =
0
1
#
8.
x a x b dx
y = lnx eğrisi, x ekseni ve x = b (b > 1) ile sı-
0
nırlı bölgenin alanı b + 1 birim olduğuna göre
olduğuna göre b nin değeri kaçtır?
3
A)
4
388
1
B)
2
C) 0
1
D) –
2
1985 - ÖYS
3
E) –
4
b kaçtır?
A)
e
2
B) 2
C) e
D)
e2
2
E) e2
İntegral
9.
14. 1987 - ÖYS
1985 - ÖYS
r
2
r
3
#
#
1 – cos 2x dx integralinin değeri nedir?
A) 0
( cosx – sinx)dx integralinin değeri nedir?
0
0
2
B) –
C) 2
1
2
D)
2
2
E)
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
10. 1986 - ÖYS
f′(x) = 3x2 + 2x ve f(1) = 3 olduğuna göre f(–1)
in değeri nedir?
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
15. 1988 - ÖYS
e–1
#
0
A) e – 2
11. 1986 - ÖYS
A) 0
1
olduğuna göre
x+1
1
6
B) –
C)
1
6
D) e + 1
2
#
C) e
E) e + 2
d (f –1(x)) kaçtır?
1
D)
1
2
E) –
1
2
16. 1988 - ÖYS
12. 1987 - ÖYS
# xf (x)dx = x2 + x + c
Denklemi y = x2 ve y2 = 8x olan eğrinin sınır-
olduğuna göre
ladığı bölgenin alanı kaç birim karedir?
f(x) aşağıdakilerden hangisidir? (c sabittir.)
A) 2
B) e – 1
ESEN YAYINLARI
f(x) =
x
dx integralinin değeri nedir?
x+1
B) x = lnx
D) x + 1
C)
E) 2 +
x3
3
+
x2
2
A)
8
3
B)
16
3
C) 2
D) 3
E) 4
+ cx
1
x
13. 1987 - ÖYS
# f (x).f′(x)dx
integrali alındığında aşağıdakiler-
17. 1989 - ÖYS
den hangisi elde edilir?
x
1
A)
[f(x) ]2 + c
2
B) ln|f(x)| + c
C) ef(x) + c
D)
E)
f (x) + c
1
+c
f (x)
#
f(x) =
0
t2
t3 + 4
dt olduğuna göre f′(1) değeri
kaçtır?
A) 0
B)
7
25
C)
4
51
D)
1
5
E)
1
4
389
İntegral
22. 1991 - ÖYS
18. 1989 - ÖYS
#
2
^ 4–
x2
– x h dx integralinin sonucu kaçtır?
r
2
B)
r
3
1
#
0
0
A)
C)
2r
3
D)
3r
4
A)
E) r
d (x 2)
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
x2 + 1
r
4
B)
r
2
C) ln2
D) ln3
E) 2
19. 1989 - ÖYS
y
23. 1991 - ÖYS
15
(–2, 0)
1
y = f(x)
(3, 0)
A
0
B
C
(5, 0)
4
#
x
( 2x – 3)(x2 – 3x + 2)4dx
0
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Yukarıdaki şekilde y = f(x) in grafiği verilmiştir.
x–ekseninin, AB yayı ile sınırladığı bölgenin
32
B) –3
5
A) –
2
alanı 15 br , BC yayı ile sınırladığı bölgenin ala-
C) 0
D) 3
E)
243
5
5
#
nı 4 br2 olduğuna göre
f (x)dx değeri kaçtır?
–2
B) 67
C) 60
D) 19
E) 11
ESEN YAYINLARI
A) 83
20. 1989 - ÖYS
y
24. 1991 - ÖYS
h
Şekildeki AB, O mer-
noktalarını
birleştiren doğru parçasıdır. Buna göre,
1
aşağıdaki integraller0
verir?
x + y = 1 olan
parabol verilmiştir. Şekildeki taralı bölgenin alanı
1
#
A)
2
1
C)
6
1
D)
5
B)
1
E)
4
#
;
0
1
C)
#
8 4 – x 2 + (2 + 2x) B dx
–1
8 16 – x 2 – (4 – x) B dx in değeri nedir?
#
D)
0
8 4 – x 2 – (2 + 2x) B dx
–2
A) 4(π – 2)
B) 4(π –
D) 3 2 (π – 2)
390
#
y–2
+ 4 – y 2 E dy
2
0
21. 1990 - ÖYS
4
8 4 – x 2 – (2 + 2x) B dx
–2
kaç birim karedir?
1
B)
8
A(–2, 0)
den hangisi taralı alanı
x
1
Yukarıdaki şekilde denklemi
1
A)
9
B(0, 2)
yayı, [BC ] de B(0, 2),
C(–1, 0)
vx + vy = 1
y
kezli dörtte bir çember
3)
C) 3(π –
E) 2 3 (π – 2)
2)
1
E)
#
0
y–2
dy +
2
2
#
0
4 – y 2 dy
C(–1, 0)
x
İntegral
29. 1993 - ÖYS
25. 1992 - ÖYS
# – cos(cos2x)sin2x dx
aşağıdakilerden hangi-
0<a<
sine eşittir?
a
r
,
3
#
( tan4x + tan2x)dx =
0
1
3
olduğuna göre a nın değeri aşağıdakilerden
A) sin(cosx) + c
B) cos(sinx) + c
2
hangisidir?
D) sin(cos2x) + c
C) cos(sin x) + c
A)
E) sin(cos2x) + cos(sin2x) + c
26. 1992 - ÖYS
d
f
dx
5
#
r
6
B)
r
4
C)
r
3
D)
E)
5r
6
30. 1993 - ÖYS
2
(x 3 + x 2) dx p aşağıdakilerden hangisine
#
2
4 – x 2 dx integralinde x = 2 sint dönüşümü
0
eşittir?
3
yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde
x3 x2
+
B)
3
2
2
A) x + x
D) 79
67
C)
3
edilir?
r
2
r
E) 0
#
A)
sin 2 t dt
B)
27. 1992 - ÖYS
ln 3
( e3x – ex)dx integralinde ex = t dönüşümü
0
yapılırsa, aşağıdaki integrallerden hangisi elde
ESEN YAYINLARI
–r
#
2r
3
r
4 (sin t – cos t) dt
D)
#
cos 2 t dt
–r
r
2
r
2
E)
4 sin 2 t dt
0
r
#
C)
#
#
4 cos 2 t dt
0
edilir?
3
#
A)
3
( t3 – t) dt
B)
1
( t2 – 1) dt
1
3
#
C)
#
1
( e3t – et)et dt
D)
#
( t3 – t) dt
31. 1993 - ÖYS
0
1
y
3
#
E)
y = 4e–x
( ln3t – lnt) dt
y = ex
0
28. 1993 - ÖYS
f
a
#
3
x dx p =
0
a
#
x
0
x 3 dx
olduğuna göre, pozitif a
0
Şekilde, y = ex, y = 4e–x fonksiyonlarının grafikleri ve y ekseniyle sınırlı olan taralı bölgenin
kaçtır?
alanı kaç birim karedir?
A)
2
2
3
B)
2
C)
2
D)
3
E) 2
A) 1
B) 2
C) 3
D) ln2
E) ln3
391
İntegral
32. 1994 - ÖYS
36. 1995 - ÖYS
1+ x
dx integralinde u =
1– x
#
x
2
2
dönüşümü
#
#
A)
1
2
C)
1+ u
du
1– u
#
E) 2 #
B)
1+u
du
1– u
nüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
1+u
du
1– u
#
D) 2 #
sin (arccosx)dx integralinde t = arccosx dö-
0
yapılırsa aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
r
4
1+ u
du
1– u
A)
#
0
u (1 + u)
du
1– u
r
4
#
C)
r
2
33. 1994 - ÖYS
a
#
– 2 (sin4x – cos4x)dx =
r
12
r
4
1
sin2t dt
2
B)
#
0
1
cos22t dt
2
r
4
1
cost dt
2
D)
#
– 2 cos2t dt
0
r
4
1
olduğuna göre
2
# – sin2t dt
E)
r
2
a nın değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B)
r
6
C)
r
4
D)
r
3
E)
37. 1995 - ÖYS
r
2
y
ESEN YAYINLARI
r
8
A)
34. 1995 - ÖYS
g(x)
6
f(x)
3
y = f(x) eğrisinin (–2, 3) noktasındaki teğeti x
0
x
4
1
ekseni ile 135° lik açı yapmaktadır.
f′′(x) = 16x olduğuna göre eğrinin y eksenini
Şekildeki f(x) doğrusu x = 1 noktasında
kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
y = g(x) eğrisine teğettir.
A) –3
B) –2
C) –1
D) –
69
123
E) –
5
3
1
#
0
gl (x)
a
dx = ln
olduğuna göre a kaçtır?
g (x)
8
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
35. 1995 - ÖYS
#
x+3
dx
x 2 – 9x + 14
integrali aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
A) ln|x – 2| + ln|x + 5| + c
38. 1996 - ÖYS
r
6
# > dtd f #
0
t
cos 3x dx p H dt değeri kaçtır?
0
B) 2ln|x – 2| + 2ln|x + 5| + c
C) 2ln|x – 7| – ln|x – 2| + c
D) ln|x – 1| – 2ln|x + 3| + c
E) 5ln|x – 7| + 3ln|x – 2| + c
392
A)
7 2
6
D)
B)
1
3
3
2
C)
E)
1
4
1
2
İntegral
39. 1996 - ÖYS
42. 1997 - ÖYS
5
2
2
y = 16 – x parabolünün koordinat sisteminin 1.
#
bölgesindeki (x ≥ 0, y ≥ 0) parçası ile x = 0 ve
( 25 – x 2 – x) dx integralinin değeri aşağı-
y = 0 doğrularıyla sınırlı olan bölgenin alanı kaç
0
birim karedir?
dakilerden hangisidir?
128
3
A)
B)
32
3
C)
64
3
D)
16
3
A)
E) 16
25r
4
B)
25r
8
D) 36
C) 16 r
E) 45
40. 1996 - ÖYS
y
43. 1997 - ÖYS
1
y = x2 eğrisi, x = 3 doğrusu ve x ekseni ile
3
y = ex
sınırlı bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
x
x=a
Şekildeki gibi y = ex eğirisi ile x = –1, x = a
ve y = 0 doğruları ile sınırlı bölgenin x ekseni
etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel cismin
r 10
(e – e–2) br3 olduğuna göre a nın
hacmi
2
değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
A)
13r
4
D)
ESEN YAYINLARI
0
x = –1
B)
17r
4
27r
5
C)
E)
19r
5
32r
5
44. 1998 - ÖYS
# 52x + 2 dx integralinin değeri aşağıdakilerden
x –4
hangisidir?
A) 3ln|x – 2| + 2ln|x + 2| + c
B) 5ln|x – 2| – 2ln|x + 2| + c
C) 2ln|x – 2| + ln|x + 2| + c
41. 1997 - ÖYS
#
5x 2
dx integralinin değeri aşağıdakilerx3 + 2
4
D) ln|x – 2| + 3ln|x + 2| + c
E) 5ln|x2 – 4| + c
den hangisidir?
A)
20
9
C)
4
3
E) –
4
(x 3 + 2) 3 + c
4
(x 3 + 2) 3 + c
20
9
4
(x 3 + 2) 3 + c
B)
5
3
D) –
4
5
3
(x 3 + 2) 3 + c
4
(x 3 + 2) 3 + c
45. 1998 - ÖYS
y2 = 4x ve y = 2x2 eğrisi ile sınırlanan bölgenin
alanı kaç br2 dir?
A)
5
6
B)
4
5
C)
3
4
D)
2
3
E)
1
2
393
İntegral
49. 2007 - ÖSS
46. 2006 - ÖSS
1
f : R → R fonksiyonu her noktada türevli ve
#
0
f′(x) = x + 1, f(2) = –1 olduğuna göre f(0) kaçtır?
x2
dx integralinin değeri kaçtır?
x+1
1
+ ln2
2
A) –
B) –4
A) –5
C) –2
D) –1
E) 0
B) –1 + ln2
D) 2ln2
C) ln2
E) 1 + 2ln2
47. 2006 - ÖSS
50. 2007 - ÖSS
r
#
( sinx + cosx)dx integralinde t = r – x
1
#
r
2
dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden
hangisi elde edilir?
A) 1 +
r
2
#
( sint + cost)dt
B)
0
#
r
3
C) 2 +
3
E) 8 – 3 3
( sint – cost)dt
r
( sint – cost)dt
#
D)
r
2
( cost – sint)dt
r
2
0
#
E)
B) 2 – 2 3
0
#
C)
3
D) 4 –
r
2
( sint – cost)dt
r
–
2
ESEN YAYINLARI
A)
3x 3 + x 2 dx integralinin değeri kaçtır?
0
51. 2007 - ÖSS
x2 = 2y ve y2 = 2x eğrileri ile sınırlanan bölgenin alanı kaç birim karedir?
A)
5
2
B)
1
3
C)
2
3
D)
4
3
E)
5
4
47. 2006 - ÖSS
Şekilde grafiği verilen
y
bire bir ve örten
f(x)
4
f : [1, 2 ] → [2, 4 ]
fonksiyonunun tersi
52. 2008 - ÖSS
2
f –1 dir.
2
#
b > 0 olduğuna göre,
4
f (x)dx +
1
#
f –1(x)dx
2
0
1
2
394
B) 4
#
(2x – x 2) dx
0
değeri nedir?
A) 2
b
x
integralinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
C) 6
D) 8
E) 10
A)
1
2
B)
3
2
C)
5
2
D)
1
3
E)
4
3
İntegral
53. 2008 - ÖSS
#
57. 2009 – ÖSS
y
r
2
1
dx integralinin değeri kaçtır?
2
sin x –
0
a
3–
A)
3–
C)
r
–1
12
B)
r
–1
4
D) 2 3 –
E) 2 3 –
3–
r
–1
6
c
4
O
7
b
x
9
f(x)
r 3
–
4 2
Yukarıda verilen taralı bölgelerin alanları sırasıyla a, b ve c birim karedir.
r
1
–
2
2
9
Buna göre,
#
7
#
f (x) dx –
0
A) 2a + b
f (x) dx değeri kaçtır?
0
B) 2a + c
D) 2c + b
C) 2b + c
E) 2a + 2b + c
54. 2008 - ÖSS
#
e
A)
dx
x (ln x) 2
integralinin değeri kaçtır?
1
2
3
2
B)
C) 1
D) 2
E) 4
58. 2010 – LYS
ESEN YAYINLARI
e2
55. 2009 - ÖSS
1
#
(x + 1) e x dx integralinin değeri kaçtır?
f′′(x) = 6x – 2 , f′(0) = 4 , f(0) = 1
koşullarını gerçekleyen f fonksiyonu için f(1)
değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
0
A) e
B) e – 1
D) 2e – 1
C) e – 2
E) 2e – 3
59. 2010 – LYS
r
3
#
56. 2009 – ÖSS
0
sin x
dx integralinin değeri kaçtır?
cos 2 x
y
A) 2
y= 4 2x
bölgenin alanı kaç birim karedir?
5
B)
2
4
C)
3
D) –1
E) –2
60. 2010 – LYS
Şekildeki parabol ile doğru arasında kalan taralı
3
A)
2
C) 0
x
O
2
y= 4 x
B) 1
7
D)
3
4
#
0
9
E)
4
6x
dx integralinin değeri kaçtır?
2x + 1
A) 12
B) 15
C) 18
D) 20
E) 24
395
İntegral
61. 2010 – LYS
3
65. 2011 – LYS
eğrisi ve y = x doğrusu ile sınırlı (sonlu)
y=x
Bir f fonksiyonunun grafiğinin x = a noktasında-
bölgenin alanı kaç birim karedir?
A)
1
2
B)
3
2
C) 1
D)
ki teğetinin eğimi 1, x = b noktasındaki teğetinin
1
3
E)
eğimi
2
3
3 tür. f′′(x) ikinci türev fonksiyonu [a, b]
aralığında sürekli olduğuna göre,
a
#
fl (x) .fll (x) dx integralinin değeri kaçtır?
b
A) –1
B) 1
C) 2
D)
62. 2010 – LYS
1
3
E)
2
3
y
4
1
O
1
3
x
f
66. 2011 – LYS
Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonu için
1
A)
eşit olacak şekilde y = k doğru verilmiştir.
x.fl (x) – f (x)
dx integralinin değeri kaçtır?
x2
7
2
B)
3
2
C)
2
3
D)
1
3
E)
5
4
y
ESEN YAYINLARI
3
#
Aşağıdaki grafikte, A ve B bölgelerinin alanları
y = x2 + 1
10
B
1
O
x
3
Buna göre, k nin değeri kaçtır?
63. 2010 – LYS
f′(x) = )
y=k
A
3 – x , x < 2 ise
2x – 3 , x ≥ 2 ise
A) 2
B) 3
C) 4
D)
9
4
E)
11
2
3
#
için
f (x + 1) dx integralinin değeri kaçtır?
1
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
67. 2011 – LYS
e
#
ln 3 x dx = 6 – 2e olduğuna göre,
1
e
#
64. 2011 – LYS
f′(x) = 3x2 + 4x + 3 ,
ln 4 x dx integralinin değeri kaçtır?
1
f(0) = 2
A) 7e – 16
olduğuna göre, f(–1) değeri kaçtır?
B) 8e – 18
D) 10e – 26
A) –2
396
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
C) 9e – 24
E) 11e – 28
İntegral
68. 2011 – LYS
#
ln x
dx
x
71. 2012 – LYS
integralinde u =
x
Birinci bölgede; koordinat eksenleri, x = 5, y = 5
dönüşümü
doğruları ve y = x2 + 1, x = y2 + 1 eğrileri
yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde
arasında kalan A bölgesi aşağıda verilmiştir.
edilir?
y
A)
# ln u du
B)
# 2 ln u du
C)
#
ln u
du
u
D)
#
(2, 5)
ln u
du
2u
A
(5, 2)
E)
# u ln u du
x
O
A bölgesinin alanı kaç birim karedir?
A)
27
2
B)
35
3
C)
43
3
D)
71
6
E)
77
6
69. 2012 – LYS
f l(x)
6f (x)@2
dx =
# 2 dx
eşitliği veriliyor.
1
olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır?
f(0) =
2
A)
–1
4
B)
3
4
C)
3
5
D) –2
E) –1
ESEN YAYINLARI
#
72. 2012 – LYS
y
3
1
O
x
1
Birinci bölgede; y ekseni, y = 1 doğrusu ve
9x2 + y2 = 9 elipsi arasında kalan bölge y ekseni
etrafında 360° döndürülüyor. Elde edilen dönel
cismin hacmi kaç birim küptür?
70. 2012 – LYS
A)
# (arcsin x) 2 dx
8r
9
B)
D)
integralinde u = arcsinx dönüşümü yapılırsa
25r
27
10r
9
C)
E)
19r
18
28r
27
aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
A)
# u.sin 2 u du
B)
# u.cos 2 u du
C)
# u 2 .sin u du
D)
# u 2 .cos u du
E)
# u 2 du
397
ESEN YAYINLARI
İntegral
1.A
2.E
3.B
4.C
5.E
6.E
7.A
8.E
9.E
10.D
11.E
12.E
13.A
14.C
15.A
16.A
17.D
18.A
19.E
20.C
21.A
22.C
23.A
24.B
25.D
26.E
27.B
28.C
29.B
30.E
31.A
32.E
33.C
34.E
35.C
36.E
37.D
38.D
39.A
40.D
41.A
42.B
43.D
44.A
45.D
46.A
47.B
48.C
49.A
50.E
51.D
52.E
53.A
54.A
55.A
56.C
57.C
58.B
59.B
60.D
61.A
62.D
63.C
64.C
65.A
66.C
67.C
68.B
69.A
70.D
71.C
72.E
398
ESEN ÜÇRENK
MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ
ESEN
ÜÇRENK
MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ
9. SINIF
10. SINIF
11. SINIF
12. SINIF
YGS - LYS
www.nevzatasma.com & www.halitbiyik.com