Untitled - Google Groups

Bu kitabın tü m bası m ve yayın hakları Ömer ALSAN’ a
aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. M etin ve sorular,
Ömer ALSAN’ ın önceden izni olmaksızı n elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğa ltılamaz, yayımlanamaz.
Copyright © By Ömer ALSAN
G Ö L ANADO L U Ö Ğ RETMEN L İSESİ M AT EMAT İK Ö Ğ RETM ENİ
Bu ki tab ı temi n etmek i çi n aşağ ı d aki t el efo n l ard an veya e mai l
ad re sl eri n d en si p a ri ş ver eb i l i rsi n i z.
Ömer ALSAN
0 532 462 71 04
0 366 215 61 91
omeralsan76@hot mail.com
matgeo37@gmail.com
Sevgili Öğrenciler,
Karşılaştığımız herhangi bir
duruma
verdiğimiz düşünsel tepkiler;
matematik dediğimiz şeyin ta kendisidir. Farkında olalım ya da olmayalım
yaşadığımız her an matematiksel ilişkilerle doludur. Bu sebepten, temel matematik
bilgisi her bireyin olmazsa olmaz gereksinimidir.
Matematiği oluşturan parçalar arasında sürekli bir etkileşim vardır.
Dolayısıyla; matematik derslerinde zirveyi hedefleyenler, kavramlar arasındaki
ilişkilerin analiz ve sentezini iyi yapacak şekilde kendilerini yetiştirmelidir.
Zirveyi Hedefleyenlere Matematik Kitapları Serisini, bu süreçte sizlere ışık
olur düşüncesiyle hazırlamaya karar verdim.
Problemleri çözerken; her problemin, çözümünün özeti
olduğunu sakın aklınızdan çıkarmayın
Hedeflerinize ve özlemlerinize kavuşmanız dileğiyle…
Ömer ALSAN
Ağustos 2008 – KASTAMONU
Değerli Eğitimciler,
Bu kitap, 9. sınıf matematik programındaki ilk üç bölümü içermektedir.
Kitaptaki konu anlatımları ve sorular, halen Orta Öğretim Kurumlarında
uygulanmakta olan MEB matematik programı ve ÖSYM’nin üniversiteye öğrenci
yerleştirme sınavlarında kullandığı matematik soruları baz alınarak özgün bir
biçimde oluşturulmuştur.
Kitaptaki bölümler, alt bölümler ve konu başlıkları tasarlanırken MEB
Matematik Programı ve Kazanımları kaynak alınmıştır. Konu açıklamaları,
örnekler ve çözümlü sorular kavramsal öğrenme sürecine uygun hazırlanmış ve
problem çözebilme becerisi kazandırmak amaçlanmıştır.
Kitapta, öğrenme sürecinin takibi için ölçme gücü yüksek 8 adet, 20 şer
soruluk 9. sınıf matematik deneme sınavı mevcuttur. Gene davranışların daha
etraflıca özümsenmesi amacıyla, her alt bölüm sonlarında, konunun genişliği
ölçüsünde, özgün sorulardan oluşan 10 ar soruluk toplam 30 adet mini konu testi
vardır.
Unutulmamalıdır ki matematik eğitiminin ana hedefi: Bireye,
karşılaşacağı herhangi bir problemde, değişik çözüm algoritmaları oluşturabilme
davranışını verebilmektir.
Ömer ALSAN
Ağustos 2008 - İSTANBUL
İ Ç İ N D E K İ L E R
SAYFA NO
MANTIK
9 - 36
ÖNERMELER
11 - 12
TEST 1
13 - 14
BİLEŞİK ÖNERMELER
15 - 20
TEST 2
21 - 22
TEST 3
23 - 24
AÇIK ÖNERMELER
25 - 26
TEST 4
27 - 28
İSPAT YÖNTEMLERİ
29 - 30
TEST 5
31 - 32
TEST 6
33 - 34
TEST 7
35 - 36
KÜMELER
37 - 76
TEMEL KAVRAMLAR
39 - 44
TEST 8
45 - 46
TEST 9
47 - 48
KÜMELERDE İŞLEMLER
49 - 62
TEST 10
63 - 64
TEST 11
65 - 66
TEST 12
67 - 68
TEST 13
69 - 70
TEST 14
71 - 72
DENEME SINAVI 1
73 - 76
BAĞINTI FONKSİYON İŞLEM
77 - 188
KARTEZYEN ÇARPIM
79 - 84
TEST 15
85 - 86
TEST 16
87 – 88
SAYFA NO
BAĞINTI
89 - 98
TEST 17
99 - 100
TEST 18
101 - 102
DENEME SINAVI 2
103 - 106
DENEME SINAVI 3
107 - 110
FONKSİYON
111 - 124
TEST 19
125 - 126
TEST 20
127 - 128
TEST 21
129 - 130
TEST 22
131 - 132
DENEME SINAVI 4
133 - 136
DENEME SINAVI 5
137 - 140
İŞLEM
141 - 146
TEST 23
147 - 148
TEST 24
149 - 150
TEST 25
151 - 152
DENEME SINAVI 6
153 - 156
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
157 - 170
TEST 26
171 - 172
TEST 27
173 - 174
TEST 28
175 - 176
TEST 29
177 - 178
TEST 30
179 - 180
DENEME SINAVI 7
181 - 184
DENEME SINAVI 8
185 - 188
CEVAP ANAHTARI
189 - 190
BÖLÜM 1
MANTIK
9.SINIF MATEMATİK
MANTIK
Önerme
1.1. ÖNERMELER
Doğru veya yanlış, kesin bir yargı bildiren ifadelere
önerme denir. Önermeler genellikle p, q, r, s, t gibi
küçük harflerle gösterilir.
Terim
Soru
Bir bilim, sanat veya meslek dalıyla ilgili özel bir anlamı olan kelimelerin her birine terim denir.
p
q
r
s
t
Örnek
Polinom, özdeşlik, orantı, fonksiyon, önerme, üçgen, nokta, düzlem, uzay,… sık kullandığımız matematik terimleridir.
Yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi doğru önermedir?
Tanımlı Terim, Tanımsız Terim
A) 5
Tanımı net olan terime tanımlı terim; tanımı net olmayan (hislerimizle algıladığımız) terime de tanımsız terim denir.
Örnek
Daire kelimesinin; matematik, yapı bilimi ve müzikolojide farklı terim anlamları vardır.
Ömer ALSAN ©
Yukarıdaki cümlelerin kaç tanesinde, küp kelimesi
matematik terimi olarak kullanılmıştır?
C) 3
D) 4
E) 1
Bir önermenin doğruluk değeri,önerme doğruysa 1
yanlışsa 0 dır. Önermelerin doğruluk değerleriyle işlem yapılırken genellikle doğruluk tabloları hazırlanır.
Örnekler
1. Tek önermenin doğruluk değeri için iki farklı durum vardır; önerme ya doğrudur ya da yanlıştır:
21  2
E) 5
p
1
0
Çözüm
Küp kelimesi, birinci cümlede; “Geniş karınlı dibi dar
toprak kap” anlamında kullanılmıştır. Dolayısıyla birinci cümlede matematik terim anlamı bulunmamaktadır. Diğer cümlelerin her birinde farklı matematik
terim anlamı vardır; İkincide geometrik cisim, üçüncüde ölçü birimi, dördüncü ve beşincide ise iki farklı
işlem anlamı vardır.
Cevap D
2. İki önerme için dört farklı durum vardır.
22  4
Uyarı
p
1
1
0
0
Bir kelime, farklı bilim dallarında, farklı terim anlamları üstlenebilir veya bir kelime aynı bilim dalında,
kullanıldığı yere göre farklı terim anlamları alabilir.
Bu nedenle kelimelerin terim anlamı (varsa) ait olduğu cümle içinde değerlendirilmelidir.
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
D) 2
Doğruluk Değeri, Doğruluk Tablosu
Soru
B) 2
C) 3
r ifadesi dilek bildirir, hüküm bildirmez. Bu yüzden
önerme değildir. Diğer ifadeler hüküm bildirdiğinden
önermedir.
p ve s önermeleri doğru, q ve t önermeler ise yanlış
hüküm bildirir.
Cevap D
Tanımlı terimler: fonksiyon, üçgen, parabol,…
Tanımsız terimler: nokta, düzlem, uzay,…
I. Kazı çalışmalarında tarihi değere sahip bir
küp buldular.
II. Tavla zarı küp biçimindedir.
III. Hacmi 1 metre küp olan küre şeklinde bir balon yaptırmışlar.
IV. Küp kökü 2 olan sayı 8 dir.
V. Küpü 1 olan üç varklı karmaşık sayı vardır.
B) 4
Çözüm
Örnek
A) 1
: “Dünyanın en kalabalık ülkesi Çin dir.”
: “Dünyanın en derin gölü Tanganika dır.”
: “Bütün dünya buna bir inansa”
: “1+2+3=1.2.3”
: “0!=0”
11
q
1
0
1
0
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
3.
MANTIK
Üç önerme için sekiz farklı durum vardır.
Bir önermenin Olumsuzu(değili)
Bir önermenin hükmünü değiştirdiğimizde, olumsuzunu almış oluruz. Dolayısıyla doğru hüküm bildiren
bir önermenin olumsuzu yanlış hüküm bildirmeli;
yanlış hüküm bildiren bir önermenin olumsuzu ise
doğru hüküm bildirmeli.
p önermesinin olumsuzu (değili) p ile gösterilir. p
önermesinin olumsuzunun tekrar olumsuzunu aldığımızda (değilinin değili) kendisini elde ederiz.
23  8
p
1
1
1
0
1
0
0
0
q
1
1
0
1
0
1
0
0
r
1
0
1
1
0
0
1
0
( p )  p
Uyarı
p
p
(p  )
1
0
1
0
1
0
Soru
p ve q önermeleri denk değil ise aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) p  q
B) q  p
n
n tane önermenin doğruluk değeri için 2 tane değişik durum vardır.
Soru
C)  p    q 
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Çözüm
1024  2 10
Ömer ALSAN ©
Kaç önermenin doğruluk değeri, 1024 tane değişik
durum oluşturur?
2 n  2 10
n  10
D)  p   
E)   p  

 q  

  q

Çözüm
p ve q önermeleri denk değil ise biri diğerinin tersidir.
Cevap D
Soru
Cevap E
Soru
p  r ve q  s olduğuna göre p,q,r ve s önermeleri
için kaç farklı doğruluk durumu vardır?
12 tane önerme, belirli 4 tanesinin doğruluk değeri
biliniyorsa kaç değişik durum oluşturur?
A) 1
A) 8
B) 12
C) 128
D) 256
B) 2
C) 4
D) 8
E) 16
Çözüm
E) 1020
p ve r önermeleri için iki farklı durum vardır; ya ikisi
de 0 ya da ikisi de 1 dir.
q ve s önermeleri için de iki farklı durum vardır; q0
ise s1 olur ya da q1 ise s0 olur.
Dolayısıyla 2x2=4 farklı durum oluşur.
Çözüm
belirli 4 tanesinin doğruluk değeri bilindiğinden
farklı
durumları
oluşturur.
12  4  8 tanesi
2 8  256
Cevap D
p
1
1
0
0
Denk Önermeler
Aynı doğruluk değerine sahip önermelere denk
önermeler denir. p ve q önermeleri denk ise
p  q şeklinde ifade edilir.
q
1
0
1
0
r
1
1
0
0
s
0
1
0
1
Cevap C
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
12
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
TEST – 1 –
4.
1. Aşağıdaki cümlelerin hangisinde “ doğru “
sözcüğü, geometri terimi olarak kullanılmıştır?
I.
3x  5  13 ise x  6 dır.
A) Doğru dürüst olmalı hayatta başarıyı yakalamak için…
II.
x 2  1  0 ise x  1 veya x  1 dir.
B) Dediğin çok doğru aslında !
III.
C) Bu önermenin doğru olduğunu ispatladım.
IV.
D) Doğrular eğimleri eşit olduğu için paraleldir.
V.
x  1  2 ise x  3 veya x  1 dir.
1 1 2
 
3 4 7
2  22
E) Bu ifadelerin kimisi doğru, kimisi yanlış hüküm bildirir.
Yukarıdaki matematiksel ifadelerden kaç tanesi
doğru hüküm bildirir?
A) 5
2.
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Aşağıdaki cümlelerden hangisi önermedir?
B) Hangisi daha doğru acaba?
C) Yarın, maçta yenebilirsek bu iş tamam.
D)
Ömer ALSAN ©
A) Sıcaklar adamı bunaltıyor.
5.
Eyvah yanlış düşmeye bastın!
p : “ 24  42 ”
E) Matematikçi ikna etmez ispat eder.
q : “ 2!  2 ”
r:
 1
“ 
4

1
2
2”
s : “ 1!  0!  0 ”
3.
Aşağıdaki cümlelerden hangisi doğru hüküm
bildiren bir önermedir?
t:
2
“ 0,4   0,2  ”
A) Karesi 15 ten küçük 5 farklı doğal sayı
vardır.
Yukarıdaki önermelerden hangisinin doğruluk
değeri 0 dır?
B) Her dikdörtgen aynı zamanda bir karedir.
C) Şubat ayı bazen 30 gün çeker.
A) t
B) s
C) r
D) q
E) p
D) İki asal sayının toplamı da asal sayıdır.
E) Herhangi bir sayının yarısı, çeyreğinin iki
katıdır.
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
13
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
TEST – 1 –
6.
8.
p : “ a 2  b 2   a  b  a  b  ”
5 önermeden belirli 3 tanesinin denk önermeler olduğu bilinmektedir. Buna göre, 5 önermenin doğruluk değeri için kaç farklı durum
oluşur?
2
q : “  a  b   a 2  b 2  ab ”
r:
A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
E) 64
2
“  a  b   a 2  b 2  ab ”
2
s : “ a 2  b 2   a  b   2ab ”
t:
2
“ a 2  b 2   a  b   2ab ”
9. p, q ve r önermeleri için
Yukarıdaki önermelerden hangisinin doğruluk
değeri 1dir?
A) p
B) q
C) r
D) s
 p    q   r
    


E) t
olduğuna göre, aşağıdaki denkliklerden hangisi doğrudur?
Ömer ALSAN ©
A) r   q
B) r  p
D) p  q
C) r  p
E) q  r
7.
p: “
1
 0,3 “
3
q: “
1 1 1 1
   ”
2 4 3 6
r:
 1
“ 
2
10.
1
2
1
1
 ”
2
“ Her ağaç ilkbaharda çiçek açar”
önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?
A) Her ağaç ilkbaharda çiçek açmaz.
Yukarıda verilen p,q ve r önermeleri için aşağıdaki denkliklerden hangisi doğrudur?
B) q  r
A) p  q
D) p  r
B) Bazı ağaçlar sonbaharda çiçek açmaz.
C) Bazı ağaçlar sonbaharda çiçek açar.
C) r   p
D) Bazı ağaçlar ilkbaharda çiçek açmaz.
E) p  q
E) Her ağaç sonbaharda çiçek açar.
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
14
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
MANTIK
Bütün mantıksal bağlaçların tek tabloda gösterimi:
1.2. BİLEŞİK Ö NER MELER
Bileşik Önerme
p
1
1
0
0
İki veya daha fazla önermenin mantıksal bağlaçlarla
bağlanmasından oluşan yeni önermeye bileşik
önerme denir.
Mantıksal Bağlaçlar
İki
1:
2:
3:
4:
önermeyi birleştirmek için kullanılır.
 (ve)
 (veya
 (ise)
 (ancak ve ancak)
q
1
0
1
0
pq
1
0
0
0
pq
1
1
1
0
pq
1
0
1
1
pq
1
0
0
1
Örnek
(p  q)  p  q ise p   q  p bileşik önermesinin
doğruluk değeri nedir?
Mantıksal Bağlaçların Doğruluk Tabloları
Çözüm
Ve bağlacının doğruluk tablosu:
Ortak tablo incelenirse (p  q)  p  q denkliğinin
sadece p0 ve q0 koşulunda gerçekleştiği görülür.
p   q  p 
q
1
0
1
0
pq
1
0
0
0
Veya bağlacının doğruluk tablosu:
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pq
1
1
1
0
 0   0  0 
 1 1
 1 b u lu n u r.
Örnek
Ömer ALSAN ©
p
1
1
0
0
p  qpq
ise
p  q  q  p bileşik
önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözüm
Ortak tablodan p  q  p  q denkliğinin sadece
p1 ve q1 koşulunda gerçekleştiği görülür.
p  q    q  p  
 1  1  1  1 
 1  1  0 
1  0
 0 b ulunu r.
İse bağlacının doğruluk tablosu:
Örnek
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pq
1
0
1
1
p  q bileşik önermesiyle p  q bileşik önermesinin doğruluk değerlerini tablo yardımıyla karşılaştırınız.
Çözüm
Ancak ve ancak bağlacının doğruluk tablosu:
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
pq
1
0
0
1
p
q
p
pq
p  q
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
Tablodan da görüleceği üzere p  q  p  q denkliği mevcuttur.
15
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
MANTIK
Örnek
Totoloji ve Çelişki
pq(pq)(qp) denkliğini tablo yardımıyla gösterin.
Bir bileşik önerme, bileşenlerinin bütün doğruluk
değerleri için daima doğru değer üretiyorsa bu bileşik önermeye totoloji (uyuşma) denir.Bir bileşik
önerme, bileşenlerinin bütün doğruluk değerleri için
daima yanlış değer üretiyorsa bu bileşik önermeye
çelişki (çelişme) denir.
Çözüm
p
1
q
1
pq
1
qp
1
(pq)(qp)
1
pq
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
Soru
Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi çelişkidir?
A) (p  p)  p
B) p   p  p 
B) p  q  1
C) p  q  p  q
E) p  p '   p  p 
pq(pq)(qp)
Soru
Çözüm
( p  p )  q bileşik önermesinin doğruluk değeri
aşağıdakilerden hangisine denktir?
 p  p  p  1  p  p
p  p  p  p  1  p
A) 1
p  q  1  1
B) 0
C) p
D) q
E) p
Çözüm
p  p  0
q nun her değeri için 0  q bileşik önermesinin doğruluk değeri 1 dir.
p  q  p  q
Ömer ALSAN ©
p nin her değeri için p  p bileşik önermesinin
doğruluk değeri 0 dır.
Soru
 p  0   q   p   p  bileşik önermesinin



 

doğruluk değeri aşağıdakilerden hangisine denktir?
C) p
Cevap E
Soru
p  q  r   0
Cevap A
B) 0
p  p  p  p olduğundan p  p  p  p  0
olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisinin doğruluk değeri 1dir?
0q1
A) 1
olduğundan p  q  p  q   1
D) q
A)  q  p   r
B) p   q  r 
C) p   q  r 
D) p '  q  r 
E) p   q  r 
Çözüm
E) p
p  q  r   0
ise p  0, q  1 ve r  0 olmalıdır. Bu değerler seçeneklerde yerine yazıldığında C seçeneğindeki bileşik önermenin doğru diğer seçeneklerin ise yanlış
olduğu görülür.
Cevap C
Çözüm
p nin her değeri için p  0  0 ve p  p  1 dir.
 p  0   q   p  p 
  



 0  q  1
Soru
 1  q  0
p   q  p    p  p   bileşik önermesi aşağıdaki-
1  0
lerden hangisine denktir?
 0 bulunur.
A) p
B) p
C) q
D) q
E) 1
Cevap B
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
16
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
MANTIK
Çözüm
p
1
1
0
0
p   q  p    p  p  
 p   q  p   0  p  0  p '
Cevap B
Mantıksal Bağlaçların Özellikleri
1.
6.
Tek kuvvet özelliği: ve, veya bağlaçlarında vardır.
pp  p
pp p
2.
7.
pq  qp
pqqp
Birleşme özelliği: ve, veya, ancak ve ancak
bağlaçlarında vardır.
p  (q  r)  (p  q)  r
p  (q  r)  (p  q)  r
5.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
q
0
0
1
1
0
1
0
1
pq
1
1
1
0
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
(p  q)
0
0
0
1
Ömer ALSAN ©
p   q
0
1
1
1
 p   q  p  q
b.
p  q  p  q   q  p
c.
p11
p0  p
p  p  1
d.
p 1  p
p0 0
p  p  0
p  1 1
p  0  p
p  p 1
1 p  p
p  q  p  q
p  0  p
f.
p  p 1
Örnek
p : " 4  4 : 4  5"
1
q: "
 0,6 "
1
2
2
p   q  0     p  1
önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
önermeleri
için;
bileşik
Çözüm
p ve q önermelerindeki eşitlikler doğru olduğundan
p  q  1 dir. p ve q yerine doğruluk değerlerini yazarak sonuca ulaşırız.
p   q  0   p  1
 p   q
p
0
1
0
1
(p  q)
0
1
1
1
p  1 p
p  p  0
De Morgan Denklikleri: ve, veya bağlaçlarının
kullanıldığı bileşik önermelerin, olumsuzunu
(değilini) alırken kullanılır. Bu denklikler, doğruluk tabloları yapılarak rahatlıkla görülebilir.
 p  q   p   q 
 p  q 
0
0
1
1
pq
1
0
0
0
Mantıksal bağlaçlara ait diğer özellikler:
a. p  q  p  q
e.
Dağılma özelliği:
a. ve nin veya üzerine dağılması:
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
b. veya nın ve üzerine dağılması:
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
c. ise nin veya üzerine dağılması:
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
d. ise nin ve üzerine dağılması:
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
e. veya nın ise üzerine dağılması: veya ise
üzerine dağılırken ve ye dönüşür.
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
f. ve nin ise üzerine dağılması: ve ise üzerine dağılırken veya ya dönüşür.
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
q
İse, ancak ve ancak bağlaçlarının kullanıldığı
bileşik önermelerin olumsuzu (Değili):
p  q   p   q   p  q
p  (q  r)  (p  q)  r
4.
p
p  q 
Değişme özelliği: ve, veya, ancak ve ancak
bağlaçlarında vardır.
p  q  q p
3.
q
1
0
1
0
p   q
 1  1  0   1  1
0
0
0
1
 1  0    0  1
 00
 0 bulunur.
17
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
MANTIK
Örnek
Örnek
p  q  r   0
p  q  r  r   1
göre, p   p  q  p  r  
önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
olduğuna
bileşik
olduğuna göre
r  r   p  q
bileşik önerme-
sinin doğruluk değeri nedir?
Çözüm
Çözüm
p  q  r  1
p    p  q   p  r  
r  r  0 olduğundan
 1    0  1   0  1
1 1
r  r  0  1 olur.
p  q  r  r 
 1 b u lu nu r
  p  q  1 dolayısıyla
p  q  1 olmalı.
Örnek
pq0
olduğuna
göre,
p  q  1 isep  q  0 dır.
p   q  p  bileşik
Buradan p  1 ve q  0 bulunur.
önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
Bulduğumuz değerleri sorulan ifadede kullanalım
r  r  p  q
 0   0  1
Çözüm
p  q  0 ifadesi sadece p  1ve q  0 için doğrudur.
 1 1
Ömer ALSAN ©
p   q  p
 0   0 1
 0 1
 0 bulunur.
 1 bulunur.
Soru
p   q  p  bileşik önermesi, aşağıdaki bileşik
önermelerden hangisine denktir?
Örnek
p  q  p  q
A) p  q
bileşik önermesini sadeleştirerek,
doğruluk değerini bulunuz.
E) p  q
Çözüm
Çözüm
Bu tür sorular, bazen tablo yardımıyla daha rahat
çözülür. Biz hem tablo yardımıyla hem de sadeleştirerek soruyu çözelim
Tablo yardımıyla:
(p  q)  p   q olduğundan,
 p  q   p  q 
C) p  q
B) p  q
D) p  q
 p  q   (p   q )
  p  p    q
 1  q
 q bulunur.
p
q
qp
p(qp)
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
Tabloda çıkan değerlerin pq bileşik önermesine ait
oduğu net görülüyor.
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
18
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
MANTIK
Uyarı
Sadeleştirerek:
p  q  p 
Olumsuz(Değil), karşıt, ters, karşıt ters kavramları
birbirinden farklı kavramlardır.
pq bileşik önermesinin;
Olumsuzu (değili)
: p  q
Tersi
: p  q
Karşıtı
: qp
Karşıt tersi
: q  p
 p   q  p      q  p   p 
 p   q  p      q  p   p 





 p   p  q      q  p   p 


   p  p   q     q  p   p 
İki Yönlü Koşullu Önerme
 1  q     q  p    p   p  
 1    q  p   1
Ancak ve ancak ile bağlanan bileşik önermelere, iki
yönlü koşullu önerme denir.
 1  q  p 
Çift Gerektirme
 q p
pq iki yönlü koşullu önermesi doğruysa çift gerektirme denir.
pq bileşik önermesi çift gerektirme ise; p için gerek ve yeter koşul q dur. denir.
 p  q bulunur.
Cevap A
Koşullu Önermeler ve Gerektirme
Soru
p  q koşullu önermesi gerektirme olduğuna göre
aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi yanlıştır?
A) q  p
Ömer ALSAN ©
İse bileşik önermesinin diğer bir ismi de koşullu
önermedir.
Doğruluk değeri 1 olan koşullu önermelere gerektirme denir.
pq koşullu önermesinde, p önermesine; q için yeter koşul ve q önermesine; p için gerek koşul deriz.
Dolayısıyla pq önermesi için aşağıdaki ifadelerden herhangi biri kullanılabilir.
p ise q dur.
p, q yu gerektirir.
q için, p yeterlidir.
p, q için gerektir.
B) p  q
C) q  p
E) p  q
D) p  q
Çözüm
p  q önermesi gerektirme ise p  q  1 olur.
p  q  0
p  q  0
Hipotez(Varsayım), Hüküm(Sonuç)
p  q  0 olur.
pq koşullu önermesinde p ye hipotez , q ya hüküm denir.
Cevap A
Soru
Teorem
q  p koşullu önermesinin karşıt tersi nedir?
Hipotezi doğru olan gerektirmelere teorem denir.
Yani bir koşullu önermenin hem hipotezi hem de
hükmü doğruysa bu koşullu önerme bir teoremdir.
A) p  q
D) q  p
Ters, Karşıt ve Karşıt Ters
C) q  p
E) p  q
Çözüm
p  q önermesine, pq önermesinin tersi denir.
q  p önermesine, pq önermesinin karşıtı denir.
q  p önermesine, pq önermesinin karşıt tersi
denir.
Bir koşullu önerme her zaman karşıt tersine denktir.
q  p nin karşıt tersi p   (q ) önerm esidir.
p   (q )
 p  q
 (p  )  q
 p  q bulunur.
Cevap A
p  q  q  p
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
B) p  q
19
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
MANTIK
Soru
Soru
p  q iki yönlü koşullu önermesinin çift gerektirme
olduğu bilindiğine göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangileri doğrudur?
p   q  r 
I. p  q
II. p  q
A) I ve II
III. p  q
IV. q  p
B) III ve IV
D) II ve IV
Koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) p   q  r 
B) p   q  r 
C)  q  r   p
D)  q  r   p
C) I ve III
E)  q  r   p
E) II ve III
Çözüm
   önerme sinin karşıt tersi   dir.
  q  r
Çözüm
  q  r   q  r 
p  q  1 ise p  q
p  q iken p  q  q  p  1
p
  p
Cevap B
    q  r   p
Soru
bulunur.
Cevap E
p: “ Esma düzenli çalışır”
q: “ Esma devamsızlık yapmaz”
s: “ Esma başarılı olur”
Soru
A) Esma düzenli ders çalışmaz ve devamsızlık
yaparsa başarılı olmaz.
B) Esma düzenli ders çalışmaz ve devamsızlık
yapmazsa başarılı olur.
C) Esma başarılı olursa düzenli ders çalışır ve devamsızlık yapmaz.
D) Esma başarılı olmazsa düzenli ders çalışmaz
veya devamsızlık yapar.
E) Esma düzenli çalışmaz veya devamsızlık yaparsa başarılı olmaz.
Ömer ALSAN ©
olmak üzere (pq)s koşullu önermesinin tersi
aşağıdakilerden hangisidir?
“ Kar yağmazsa yağmur yağar. ”
Koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
B)
C)
D)
E)
Kar yağarsa yağmur yağmaz.
Kar yağmazsa yağmur yağmaz.
Yağmur yağarsa kar yağmaz.
Yağmur yağmazsa kar yağar.
Yağmur yağmazsa kar yağmaz.
Çözüm
Öncelikle verilen koşullu önermeyi
çözümleyelim;
p : "kar yağmaz "
Çözüm
p ' : “ Esma düzenli ders çalışmaz”
q : “ Esma devamsızlık yapar”
s : “ Esma başarılı olmaz”
q : " yağmur yağar "
olmak üzere,
amacımız p  q nun karşıt tersin i yazmak
p  q nun karşıt tersi q  p dir.
p : "kar yağar "
q : " yağmur yağmaz "
q  p  " Yağmur yağmazsa kar yağar."
p  q  s nin tersi p  q  s  p  q  s
Esma düzenli ders çalışmaz veya devamsızlık yaparsa başarılı olmaz.
Cevap E
olur.
Cevap D
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
20
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
TEST – 2 –
1.
3.
I.
1  1  1
II.
0  1  0 
Bileşik önermesi p,q ve r nin hangi değerleri
için doğru olur?
p
q
r
III.
1 0   1  0 
A)
0
1
1
IV.
1 0  1  0 
B)
1
0
1
V.
1  0   1
C)
1
0
0
D)
0
1
0
E)
0
0
1
Yukarıdaki bileşik önermelerden kaç tanesinin
doğruluk değeri 1 dir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
4.
p  q   q  r 
pq
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?
Ömer ALSAN ©
2.
p  q   p  r 
A) p  q
B) p  q
D) p  q
C) p  q
E) p  q
Bileşik önermesi p,q ve r nin hangi değerleri
için doğru olur?
p
q
r
A)
1
1
1
B)
1
1
0
C)
0
1
1
D)
1
0
1
E)
0
0
0
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
5.
21
Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi yanlıştır?
A)
1  0    0  1
B)
 0  1  1   0  1  1
C)
1  0  
D)
1  0 
E)
1 
 1
  0  1 
0    1  1 
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 2 –
9.
p  q  p   q
olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisi doğrudur?
7.
A)
p  q   p
B)
p  q   p
C)
p  q  q
D)
q  p  q
E)
p  q   p
q  p  p  q
olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisi, kesinlikle yanlıştır?
B) p  q
A) p  q
D) p  q
C) p  q
E) p  q
pq
A)
p  q    q  p 
B)
p  q    q  p 
C)
 p  q   q  p 
D)
p  q   q  p
E)
p  q    q  p 
Ömer ALSAN ©
İki yönlü koşullu önermesi aşağıdakilerden
hangisine denktir?
10. Aşağıdaki denkliklerden hangisi her durumda
8.
doğru değildir?
p  q  pq
olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisi yanlıştır?
A)
p  q   q
B)
p  q   p
C)
p  q  
D)
p  q   p
E)
p  q   p
A)
p  q  q  p
B)
p  q  p  q
C)
p  q   p  q    q  p 
D)
 p  q  q  p  q
E)
p  q   p   q  p   q
q
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
22
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 3 –
4.
p  q   p
Bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine
denktir?
A) 0
2.
B) 1
 q  p  p   




C) p
D) q
Aşağıdakilerden hangisi çelişkidir?
A)
p  p   p  p 
B)
p  p  p  p 
C)
 p  p    p  p 
D)
p  p   p  p 
E)
p  p   p  p 
E) p
p  q  p  




Bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine
denktir?
B) 1
C) p
D) q
E) q
Ömer ALSAN ©
A) 0
3. Aşağıdakilerden hangisi totolojidir?
5.
p  q  r 
Bileşik önermesinin doğruluk değerinin 0 olduğu bilindiğine göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 1 dir?
A)
p  q   r
B)
p  r   q
A)
 p  q   q  p 
C)
p  q    p  r 
B)
p  q  p  q
D)
p  q  r
C)
p  q    q  p 
E)
p  q   p
D)
p  q   p
E)
p  q   q  p 
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
23
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 3 –
9.
p  p   p  q  1
olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisinin doğruluk değeri 0 olur?
A)
p   q  r    p  q   p  r 
B)
p   q  r    p  q   p  r 
C)
p   q  r    p  q   p  r 
A)
pq
B)
pq
C)
pq
D)
p   q  r    p  q   p  r 
D)
p  q  q
E)
p   q  r    p  q   p  r 
E)
p  q  p  q
 p  0    q  1    p  q 
Bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine
denktir?
A) 0
B) 1
C) p
D) q
Ömer ALSAN ©
7.
Aşağıdaki denkliklerden hangisi yanlıştır?
10. p  q
E) p
Koşullu önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?
8.
p  0   p  p   p  q
A)
p  q
B)
q  p
C)
pq
D)
p  q
E)
p  q
Bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine
denktir?
A) 0
B) 1
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) p
D) q
E) p
24
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
MANTIK
Soru
1.3. AÇIK Ö NER MELER




p(x) : " x 2  4 . x 3  1 . x 4  81  0 "
önermesinin
doğal sayılardaki çözüm kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
Açık Önerme ve Doğruluk(Çözüm) Kümesi
İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlerin aldığı değerlere göre doğru ya da yanlış olduğu
söylenebilen önermelere açık önerme denir.
p(x)
: x e bağlı p açık önermesi
q(x,y,z) : x,y ve z ye bağlı q açık önermesi
r(a,b) :a ve b ye bağlı r açık önermesi
p(x) açık önermesini doğru yapan x değerlerinin bulunduğu kümeye p(x) in doğruluk kümesi(çözüm
kümesi) denir.
A) 0
B) 2
C) 5
D) 11
E) 18
Çözüm
x

  x  4    x  1   x
2


 4 .  x  1 . x 2  81  0
2
2

 81
Z deki çözüm kümesi
9, 2, 1,2,9
Örnekler
1.
Ndekiçözüm kümesi
2,9  2  9  11
2
p(x) : " x  4 " açık önermesinin Z deki doğruluk kümesi
Cevap D
 2,  2 
2.
Varlıksal ve Evrensel Niceleyiciler
2
Varlıksal niceleyici: “Bazı” veya “En az bir” anlamı
taşır ve  sembolüyle gösterilir.
Evrensel niceleyici: “Her” veya “Bütün” anlamı taşır
ve  sembolüyle gösterilir.
2
q(a,b): “ a  1 ”  “ b  9 ” açık önermesinin
1,3  , 1, 3  ,  1,3  ,  1, 3 
2
N deki çözüm kümesi
Ömer ALSAN ©
Z 2 deki çözüm kümesi
1,3 
Varlıksal ve Evrensel Niceleyicili Önermeler
p(x) açık önermesi, A kümesindeki her(bütün) x değerini(değerlerini) kullanıyorsa; bu durum aşağıdaki
gibi ifade edilir:
 x  A,p  x  
NxZ deki çözüm kümesi
p(x) açık önermesi, A kümesindeki en az bir(bazı) x
değerini(değerlerini) kullanıyorsa; bu durum aşağıdaki gibi ifade edilir:
1,3  , 1, 3 
ZxN deki çözüm kümesi
 x  A,p  x  
1,3  ,  1,3 
Evrensel veya varlıksal niceleyicili önermelerin
olumsuzu(değili) şöyle alınır:
3.
r(y) : "  6  2y  10" açık önermesinin
 x  A ,p  x      x  A , p  x  
Z  deki çözüm kümesi
 x  A ,p  x      x  A , p  x  
2, 1
Z  daki çözüm kümesi
1,2,3, 4,5
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
25
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
MANTIK
Uyarı
Soru
Sık kullandığımız bazı sembollerin olumsuzları(değilleri) şöyledir:
x  R için x 2  x  0
Önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?
  
  
  
  
A)
x  R için x 2  x  0
B)
x  R için x 2  x  0
C)
x  R için x 2  x  0
D)
x  R için x 2  x  0
E)
x  R için x 2  x  0
  
Çözüm
  
 in olumsuzu 
 ün olumsuzu  tir.
dolayısıyla;
  
x  R için x 2  x  0
ifade sinin olumsuzu x  R için x 2  x  0
  
olur.
Örnekler
p(x) :" x  o " önermesi, bütün x reel sayıları
için doğru olduğundan, bu durum
 x  R, x  0  şeklinde ifade edilir.
2.
Soru
Ömer ALSAN ©
1.
Cevap C
2
q(x, y) :" x  y  6" önermesi bazı x,y tamsayıları için doğru olduğundan, bu durum
p(x) : " x 2  10 , x  N"
olmak üzere p(x) açık önermesinin doğruluk kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
   x, y   Z
2

, x  y  6 şeklinde ifade edilir.
C)
D)
E)
3.
  x  N, x  5     x  N, x  5 
4.
 x  Q,x  5  x  9   x  Q,x  5  x  9 
  3, 2, 1,0,1,2,3 
 1,2,3 
 1,2,3 4 
 0,1,2,3 
0,1,2,3,5,6,7,8,9 
Çözüm
x 2  10   10  x  10
x  N ve
5.
p : " x 1,2 ,x 2  5" ise p : " x  1,2,x 2  5"
6.
 x  y   x 3  y 3      x  y   x 3  y 3 

 


KONU ANLATIMLI SORU BANKASI


3  10  4 olduğundan
x ifadesi 0,1,2,3 değerlerini alabilir.

Cevap D
26
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
p  x  : " x  12  7, x  Z "
4.

x  R , x.a  0 
olduğuna göre, p(x) açık önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 19
A)

x  R , x.a  0 
B)

x  R , x.a  0 
C)

x  R , x.a  0 
D)

x  R , x.a  0 
E)

x  R , x.a  0 
B) 19,19
D) 5,19
2.
TEST – 4 –
C) 5,19
E) 7,12
p x : " x 8  1 "
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
Ömer ALSAN ©
olduğuna göre, p(x) açık önermesinin doğal
sayılardaki çözüm kümesinin eleman sayısı
kaçtır ?
5.
   x, y   R
2
,
 xy  0    x  y  0  
önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?
3.
A)
   x, y   R
2
,
 xy  0    x  y  0  
B)
   x, y   R
2
,
 xy  0    x  y  0  
p  x , y  : " 2x  3y  5 "
C)
   x, y   R
2
,
 xy  0    x  y  0  
olmak üzere, aşağıdaki sıralı ikililerden hangisi
D)
   x, y   R
2
,
 xy  0    x  y  0  
E)
   x, y   R
2
,
 xy  0    x  y  0  
p(x,y) açık önermesinin N 2 deki çözüm kümesinin bir elemanıdır?
A)  3,2 
B)  2, 1
D)  4,1
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C)  5,10 
E)  2, 3 
27
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 4 –
9.
p  q
koşullu önermesinin karşıtı aşağıdakilerden
hangisidir?
B) q  p 
A) p  q
gerektirmesi aşağıdakilerden hangisiyle ifade
edilemez?
A) p ise q dur.
C) q   p
B) p, q yu gerektirir.
E) p   q 
D) p  q
pq
C) q için p yeterlidir.
D) p, q için gerektir.
E) p, q için gerek ve yeterdir.
7.
p  q
koşullu önermesinin tersi aşağıdakilerden
hangisidir?
B) q   p
D) p   q 
C) p  q
E) q  p 
Ömer ALSAN ©
A) p   q
10.
p : “ Sinem planlıdır.
“
q : “ Sinem başarılıdır. ”
olmak üzere, p  q önermesinin karşıt tersi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) Sinem başarılı ise planlı değildir.
B) Sinem planlı ise başarılı değildir.
C) Sinem planlı değil ise başarılı değildir.
D) Sinem başarılı ise planlıdır.
E) Sinem başarılı değil ise planlı değildir.
8. Aşağıdaki
koşullu önermelerden
kesinlikle gerektirmedir?
A) p  p
B) p  0
D) p  p 
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
hangisi,
C) 1  p
E) p   p
28
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
MANTIK
Örnek
1.4. İSP AT YÖNT E MLER İ
“Bir doğal sayının karesi tek ise kendiside tektir” teoremini olmayana ergi yöntemiyle ispatlayınız.
Tanım, Aksiyom, Teorem ve İspat(Kanıt)
Olmayana ergi yönteminde önermenin kendisinin
değil de karşıt tersinin doğru olduğu gösterilir..
Matematiğin kaynağı(Ana Malzemesi) tanım ve aksiyomlardır.
p : " a 2 tek doğal sayıdır "
q : " a tek doğal sayıdır "
Bir kavramın niteliklerini eksiksiz olarak belirtmek
tanım, Doğru olduğu ispatsız olarak kabul edilen
önermeler aksiyom, Tanım ve aksiyomlar kullanılarak bulunan bütün sonuçlar teorem, Teoremin doğruluğunun ifade edilmesi ispattır.
amacımız; p  q  q  p denkliğinden yararlanarak p doğruyken q nun da doğru olacağını göstermek yerine, q doğruyken p nin doğru olacağını
göstermek:
Örnekler
1.
2.
3.
Mükemmel sayının tanımı: Kendisinden farklı
pozitif bölenlerinin toplamına eşit olan sayılara
mükemmel sayı denir.
p : " a 2 çift doğal sayıdır "
q : " a çift doğalsayıdır "
Matematikte çok kullanılan bir Aksiyom: a,b,c
sayıları için a=b ve b=c ise a=c olur.
a çift doğal sayıysa a=2k olacak k doğal sayısı vardır.
Euclid in ünlü bir teoremi: Sonsuz tane asal sayı vardır.
a 2   2k 
a 2  4k 2
dolayısıyla a2 çift tamsayıdır.
İspat(Kanıt) Yöntemleri
Örnek
Ömer ALSAN ©
1. Tümevarım
2. Tümdengelim
2.1. Doğrudan İspat
2.2. Dolaylı İspat
2.2.1. Olmayana Ergi
2.2.2. Çelişki
2.2.3. Deneme
2.2.4. Aksine Örnek Verme
“ A   0,1,2  olmak üzere x  A ise x 2  5 dir. ” teoremini deneme yöntemiyle ispatlayınız.
Deneme yönteminde değişkene farklı değerler vererek sonucun doğru olduğu görülür.
x  0 için 0 2  5
x  1 için 1 2  5
Örnek
x  2 için 2 2  5 olduğu görülür.
“İki tane çift tamsayının toplamı çift tamsayıdır.” teoremini doğrudan ispat yöntemiyle ispatlayınız.
Örnek
“Sonsuz tane asal sayı vardır.” teoremini çelişki
yöntemiyle ispatlayınız.
Doğrudan ispat yönteminde pq teoreminde p nin
doğruluğundan hareketle q nun doğru olduğu sonucuna ulaşılır.
Çelişki yönteminde pq teoreminde q nun yanlış
olduğunu kabul ederek p nin doğruluğuyla çelişen
bir durum yakalanır.
p: “a ve b çift tamsayı”
q: ”a+b toplamı çift tamsayı”
p(Hipotez)  q(Hüküm)
p önermesinin doğru olduğunu varsayarak q önermesinin doğru olduğu sonucuna ulaşacağız:
Asal sayıların sonlu tane olduğunu kabul edelim ve
en büyük asal sayımız x olsun, 2 den x e kadar olan
asal sayılarla bir A kümesi oluşturalım,
A  2,3,5,7,11,..., x kabulümüz gereği A kümesinin
a ve b çift tamsayı ise a=2k ve b=2r olacak şekilde k
ve r tamsayıları vardır.
a+b=2k+2r
a+b=2(k+r)
k ve r tamsayı olduklarından k+r de bir tamsayıdır.
Dolayısıyla 2(k+r) çift tamsayıdır.
Buradan a+b nin çift tamsayı olduğu sonucuna ulaşılır.
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
2
elemanı olmayan bir asal sayı bulunamaz(Çünkü
hepsini A kümesine yazdık !)
Şayet A kümesinin elemanı olmayan en az bir tane
asal sayının varlığını kanıtlayabilirsek, asal sayıların
sonlu tane olduğuna dair kabulümüzü çürütmüş, dolayısıyla sonsuz tane asal sayı olduğunu kanıtlamış
oluruz.
29
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
MANTIK
Soru
Şimdi, A kümesindeki elemanların çarpımının 1 fazlasına eşit olan bir y sayısı tanımlayalım.
p: ”x+a=15”
q: “2a – 1=5”
Olmak üzere, p önermesinin doğru olması, q önermesinin doğru olmasını gerektiriyorsa x kaçtır?
y=2.3.5.7.11….x+1
y>x olduğu açıktır. ve en büyük asal sayıyı x kabul
ettiğimizden y asal sayı olamaz. y asal sayı değilse
A kümesinin elemanlarından en az bir tanesi y nin
asal çarpanıdır. fakat y=2.3.5.7.11….x+1 eşitliğinden de rahatlıkla görülebileceği üzere 2,3,5,7,…x
asal sayılarından hiçbiri y yi tam bölemez. Dolayısıyla y sayısının, asal çarpanı ya da çarpanları A
kümesinin elemanı olmaz. Ulaştığımız bu sonuç bütün asal sayıların A kümesinde bulunduğu kabulüyle
çelişir.
A) 1
B) 3
C) 5
D) 12
E) 15
Çözüm
x+a=15 eşitliği için 2a – 1=5 eşitliği gerekliymiş.
2a – 1=5 ise a=3 olur.
x+a=15 eşitliğinde a=3 yazılırsa x=12 bulunur.
Cevap D
Soru
Soru
“Futbol oynarsa sağlığı bozulur” bileşik önermesinin
karşıtı aşağıdakilerden hangisidir?
p  q teoreminin ispatı, olmayana ergi yöntemiyle
yapılırken aşağıdaki önermelerden hangisi kullanılır?
A) p  q
C) p  q
B) q  p
D) q  p
A)
B)
C)
D)
E)
E) p  q
Futbol oynamazsa sağlığı bozulmaz.
Futbol oynarsa sağlığı bozulmaz.
Sağlığı bozulursa futbol oynar.
Sağlığı bozulursa futbol oynamaz.
Sağlığı bozulmazsa futbol oynar.
Çözüm
Olmayana ergi yöntemiyle ispat yapılırken teoremin
kendisi değil karşıt tersi kullanılır.
Cevap D
p: “Futbol oynar”
q: “Sağlığı bozulur”
pq bileşik önermesinin karşıtı qp bileşik önermesidir.
Cevap C
Soru
“Doğal sayılarda tanımlı teoremlerin, tüm doğal sayılar için doğru olduğunu ispatlamakta kullanılan oldukça pratik bir yöntemdir. Bu yöntemde, teoremin
önce 1 için doğru olduğu gösterilir, daha sonra n
doğal sayısı için doğru olduğu varsayılır ve n+1 doğal sayısı için doğru olduğu gösterilir, Böylece bütün
doğal sayılar için doğru olduğu gösterilmiş olur”
Ömer ALSAN ©
Çözüm
Soru
x
 1"
y
bileşik önermesinin çözüm kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
Tamsayılarda tanımlı p  x, y  : " x.y  36 "  "
Yukarıda açıklanan ispat yöntemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
A) Tümevarım
B) Doğrudan İspat
C) Olmayana ergi yöntemiyle ispat
D) Çelişki yöntemiyle ispat
E) Deneme yöntemiyle ispat
p  x, y  bileşik önermesinin doğru olması için, hem
Çözüm
x
 1 bileşik önermelerinin doğru
y
olması gerekir. Buna göre p(x,y) bileşik önermesinin
x.y  36 hem de
çözüm kümesi:
Çözüm
1,36 ,  1, 36 ,  2,18 ,  2, 18 , 3,12 ,  3, 12 , 4,9, 4, 9
Soruda açıklanan tümevarım yöntemidir. Doğal sayılarda tanımlı toplamsal eşitliklerin doğruluğunu
gösterilirken sık kullanılır.
n.(n  1)
Örneğin, 1  2  3  ...  n 
eşitliğinin varlığı
2
tümevarım yöntemiyle gösterilir.
şeklinde bulunur.
Cevap D
Cevap A
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
30
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 5 –
p  q   p  q 
4.
p  x  : " x  R için x 2  0 " olmak üzere
x  0 çin x 2  0 2  x 2  0 bulunur.
bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine
denktir?
0  R fakat p  0   0 olduğundan
p  x  açık önermesi yanlıştır.
B) p  q
A) p  q
D) p  q
C) p  q
Yukarıda, p(x) açık önermesinin yanlış olduğu gösterilirken kullanılan yöntem aşağıdakilerden hangisidir?
E) q  p
A) Tümevarım
B) Olmayana ergi
C) Çelişki
D) Deneme
2.
pq
E) Aksine örnek verme
koşullu önermesi için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
A) Olumsuzu, tersine denktir.
C) Olumsuzu, karşıt tersine denktir.
D) Tersi, karşıtına denktir.
Ömer ALSAN ©
B) Olumsuzu, karşıtına denktir.
E) Karşıt tersi, karşıtına denktir.
5.
Doğruluğu ispatsız kabul edilen önermelere
ne denir?
A) Gerektirme
B) Tanım
3.
Aşağıdaki ispat yöntemlerinin hangisinde
C) Çift gerektirme
p  q  q  p
D) Aksiyom
denkliği kullanılır?
E) Teorem
A) Tümevarım
B) Aksine örnek verme
C) Deneme
D) Çelişki
E) Olmayana ergi
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
31
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
x  R için
TEST – 5 –
9. p : “ Selim başarılı olur. “
x  x  x  0
q : “ Selim çok çalışır. “
önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x  R için
x  x  x  0
B)
x  R için
x  x  x  0
r:
“ Selim planlı olur. “
olmak üzere,
 qr   p
koşullu önermesi-
nin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Selim başarılı olmazsa çok çalışmaz veya
planlı olmaz.
C)
x  R için
x  x  x  0
D)
x  R için
x  x  x  0
B) Selim başarılı olmazsa çok çalışmaz ve
planlı olmaz.
E)
x  R için
x  x  x  0
C) Selim başarılı olmazsa çok çalışır ve planlı
olur.
D) Selim çok çalışmaz veya planlı olmazsa
başarılı olur.
7.
p  x : "
x5
0 , xZ "
x5
olmak üzere, p(x) açık önermesinin doğruluk
kümesinde kaç eleman vardır?
A) 11
B) 10
C) 9
D) 8
Ömer ALSAN ©
E) Selim çok çalışır veya planlı olursa başarılı
olmaz.
E) 7
10. p  q
bileşik önermesinin doğruluk değeri 1 ise aşağıdaki
bileşik
önermelerden
hangisi
kesinlikle doğrudur?
8.
p  x, y  : " x 2  y 2  13 ,
 x, y   Z 2
"
A) p  q
D) p  q
olmak üzere, p(x,y) açık önermesinin çözüm
kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 4
B) 5
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 6
D) 7
B) p  q
C) p  q
E) p  q
E) 8
32
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 6 –
4.
p  q koşullu önermesi gerektirme ve p  q
iki yönlü koşullu önermesi çift gerektirme olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisinin doğruluk değeri 1 olur?
A)
p  
B)
p
C)
p
D)
p
E)
p 
q 
p
p  q   p
bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine
denktir?
 q 
A)
q  p   p
 q  p 
B)
p  q  p
 q p 
C)
p  q  p
D)
p   q  p
E)
p  q   q
 q 
q  p  
 q   q 
2.
I.Tersi, karşıtına denktir.
III.Karşıtı, karşıt tersine denktir.
IV.Karşıt tersi kendisine denktir.
Koşullu önermeler için yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
A) I ve II
B) II ve III
D) II ve IV
3.
Ömer ALSAN ©
II.Tersi, karşıt tersine denktir.
C) III ve IV
E) I ve IV
5.
pq0
q
p
olduğuna göre, aşağıdaki koşullu önermelerden hangisi gerektirmedir?

0
1
0
1
1
1
0
1
Yukarıdaki tablo mantıksal bağlaçlarla oluşturulmuş  işlemine aittir.
A) p  q    p  q 
B) q   p 
Buna göre,  işlemi aşağıdakilerden hangisine denktir?
C) p  q   p  q 
A) p  q
D) q  p
B) p  q
D) p  q
C) p  q
E) p  q
E) p   p  q
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
33
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 6 –
9.
p  q  p  q
bileşik önermesi, aşağıdakilerden hangisine
denktir?
A) 1
7.
B) p
C) q
D) p 
E) q 
Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A)
p  p  0
B)
p0  p
C)
p  1  p
D)
p  0  p
E)
pp0
p  q    q  r 
A)
pqr 0
B)
p  qr 1
C)
p  q  r   0
D)
p  q  r  1
E)
p  q  r  0
Ömer ALSAN ©
bileşik önermesinin doğruluk değeri, aşağıdaki
denkliklerin hangisi için 0 olur?
10. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A)
p   q  r    p  q   q  r 
B)
p
C)
 p  q 
D)
p
E)
p  q  p  p
8. Aşağıdaki denkliklerden hangisi yanlıştır?
A)
p  q  p   q
B)
1 p  p
C)
p0p
D)
p 1 p
E)
p0  p
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
34
 q   p   q 
 p  q
 q   p  q 
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.

x  R ,
x x
TEST – 7 –
   x  R ,
xx  x
4. “Ahmet’in Sevgi’den büyük olması, Sevgi’nin

Mehmet’ten küçük olmasını gerektirir”
bileşik önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?

Yukarıdaki gerektirmenin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?
A)

x  R ,
x  x   x  R , x x  x

B)

x  R ,
x x
   x  R ,
xx  x

C)

x  R ,
x x
   x  R ,
xx  x

B) Sevgi’nin Ahmet’ten büyük olması, Mehmet’in Sevgiden küçük olmasını gerektirir.
D)

x  R ,
x  x   x  R , x x  x

C) Sevgi’nin Mehmet’ten büyük olması, Ahmet’in Sevgi’den küçük olmasını gerektirir.
E)

x  R ,
x x
   x  R ,

D) Ahmet’in Sevgi’den küçük olması, Sevgi’nin Mehmet’ten büyük olmasını gerektirir.

xx  x
A) Sevgi’nin Mehmet’ten küçük olmaması,
Ahmet’in Sevgi’den büyük olmamasını gerektirir.
E) Ahmet’in Sevgi’den büyük olmaması, Sevgi’nin Mehmet’ten küçük olmamasını gerektirir.
p   q    q   p 
bileşik önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?
A) p  q
B) p   q 
D) p   q
C) q  p
Ömer ALSAN ©
2.
E) q   p 
5. “ x  y  5 olması, x  2 olmasını gerektirir. “
Yukarıdaki gerektirmenin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x  2 olması, x  y  5 olmasını gerektirir.
B)
x  2 olması, x  y  5 olmasını gerektirir.
C)
x  y  5 olması, x  2 olmasını gerektirir.
B) Bazı sayılar mutlak değere sahiptir.
D)
x  2 olması, x  y  5 olmasını gerektirir.
C) Bazı sayılar birden fazla mutlak değere
sahiptir.
E)
x  y  5 olması, x  2 olmasını gerektirir.
3. “ Her sayı, mutlak değere sahiptir ”
Önermesinin
hangisidir?
olumsuzu
aşağıdakilerden
A) Bazı sayılar mutlak değere sahip değildir.
D) Her sayı mutlak değere sahip olmayabilir.
E) Her sayı mutlak değere sahip değildir.
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
35
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 7 –
9.
a



x
5
c
“ Kar yağar ise hava soğuk olur “
b
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?
15


7
A) Hava soğuk ise kar yağar.
B) Kar yağmaz ise hava soğuk olmaz.
Yukarıdaki işlem şemasına göre c nin değeri
nedir?
A) 5
B) 10
C) 12
D) 15
C) Havanın soğuk olması, kar yağmasını gerektirir.
E) 17
D) Kar yağması için havanın soğuk olması yeterlidir.
7.

p
p
0
1

p
p
0
1
p
1
p
p
1
p
1
0
p
p
p
p
1
1
1
p
0
1
p
p
0
1
1
1
1
0
p
p
1
0
1
p
p
0
1
1
p
p
0
1
E) Hava soğuk olmaz ise kar yağmaz.
Yukarıda, mantıksal bağlaçlarla oluşturulmuş 
ve  işlem tabloları verilmiştir. Buna göre,  ve
 yerine aşağıdaki mantıksal işleçlerden
hangisi getirilmelidir?
8.

A)


B)


C)


olmak üzere, p   q  r  önermesinin karşıt
D)


tersi aşağıdakilerden hangisidir?
E)


A) Alım gücü yüksek ve kargaşa yok ise ekonomi iyidir.
Ömer ALSAN ©

x 2x 4
B)
x  2 olması x 2  4 olmasını gerektirir.
C)
x  2 ise x 2  4 olur.
D)
x  2 olması için x 2  4 olması gerektir.
E)
x 2  4 olması x  2 olmasını gerektirir.
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
r:
“ Kargaşa yok “
C) Kargaşa var veya alım gücü az ise ekonomi kötüdür.
önermesini ifade etmek için aşağıdakilerden
hangisi kullanılmaz?
x 2  4 olması için x  2 olması yeter.
q : “ Alım gücü yüksek “
B) Ekonomi iyi değilse kargaşa vardır veya
alım gücü yüksek değildir.
2
A)
10. p : “ Ekonomi iyi ”
D) Kargaşa yok değil veya alım gücü yüksek
değil ise ekonomi iyi değildir.
E) Kargaşa yok değil ve alım gücü yüksek
değilse ekonomi iyi değildir.
36
Zirveyi hedefleyenlere…
BÖLÜM 2
KÜMELER
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
Eşit Küme, Denk Küme, Ayrık Küme
2.1. T EMEL K AV R AML AR
Aynı elemanlara sahip kümelere eşit kümeler, Eleman sayıları eşit kümelere denk kümeler, Ortak
elemanı bulunmayan kümelere de ayrık kümeler
denir.
Kümelerin Gösterilişi
Kümeler gösterilirken, liste, ortak özellik, venn şeması yöntemleri kullanılır.
Örnek
Örnek
A  x :x 2  20, x  N
2040682 sayısında kullanılan rakamların kümesi A
olsun, A kümesini liste, ortak özellik, venn şeması
yöntemleriyle ifade ediniz.
B   x :5  x  10, x  Z


C   x : x bir rakam ve x 4 tenbüyük değil
Kümelerinden eşit, denk ve ayrık olanları belirleyiniz.
Çözüm
Çözüm
Liste
: A  0,2,4,6,8
Ortak özellik
: A  x : x çiftrakam
A  0,1,2,3,4
Venn şeması
:
B  5,6,7,8,9
C  0,1,2,3,4
A
.2
.8
.0
.4 .6
Ömer ALSAN ©
Örnek
A  2,3,5,7
B  1,3,5,7,9
C  0,2,4,6,8
A ve C kümeleri aynı elemanlara sahip olduklarından eşit kümelerdir.
A=C
s(A)=s(B)=s(C) olduğundan üçü de birbirine denktir.
ABC
B ve C kümelerinde ortak eleman olmadığı için, B
ve C ayrık kümelerdir.
BC 
Benzer şekilde A ve B kümeleri de ayrıktır.
A B  
Sonlu, Sonsuz Kümeler
Sonsuz sayıda elemana sahip kümelere sonsuz
küme, Sonlu sayıda elemana sahip kümelere sonlu
küme denir.
Kümelerini ortak özellik ve venn şeması yöntemleriyle ifade ediniz.
Çözüm
Örnek
Ortak özellik:
A  x : x asal rakam
A  x : x  2n  1,n  N
B  x : x tek rakam
B  x : x rakam
C   x : x çift rakam
C  x : 1  x  2, x  R
Kümelerini inceleyelim:
A kümesi tek doğal sayıları ifade eder dolayısıyla
sonsuz kümedir.
B kümesi rakamların kümesidir. dolayısıyla sonlu
kümedir.
C kümesi 1 den büyük ve 2 den küçük reel sayıları
ifade eder dolayısıyla sonsuz kümedir.
Venn şeması:
A
B
.3
.7
.5
.1
Sayılabilir, Sayılamaz Kümeler
.9
Doğal sayılar kümesiyle bire bir eşleme yapabildiğimiz kümelere sayılabilir; yapamadığımız kümelere
sayılamaz kümeler denir.
.2
.6
.0
Örnek
.8
.4
Sayılabilir Kümeler: Doğal Sayılar, Tam Sayılar,
Rasyonel Sayılar... , Sayılamaz Kümeler: Reel Sayılar, Karmaşık Sayılar...
C
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
39
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
4.
Boş Küme
Elemanı olmayan kümelere boş küme denir. A boş
bir kümeyse A    veya A= yazılır. Boş kümelerin eleman sayısı 0 dır.
5.
Soru
A kümesi B kümesinin ve B kümesi de C kümesinin alt kümesi ise A kümesi C kümesinin
alt kümesidir.
(A  B)  (B  C)  A  C
Her kümenin sadece 1 tane öz olmayan alt
kümesi vardır o da kendisidir.
Örnek
Aşağıdakilerden hangisi boş küme değildir?
A  a,b,c kümesinin alt kümelerini yazınız.
B)
x : x  0, x  N
x :4  x  5, x  Z
Çözüm
C)
x : x
1) 
A)
2
 0, x  R

D)
x :
x 2  x, x  Z 
E)
x :
x  N, x  N


4) c
7) b,c
8) a,b,c
Soru
Sıfırda küçük doğal sayı olmadığından,
x : x  0, x  N =
Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A)
B)
C)
D)
4 ile 5 arasında tamsayı bulunmadığından,
x :4  x  5, x  Z =
Karesinin karekökü kendisine eşit olan negatif tamsayı olmadığından,

x 2  x, x  Z  =
Kendisi ve karekökü doğal sayı olan sonsuz tane
doğal sayı vardır.
Ömer ALSAN ©
Karesi negatif reel sayı olmadığından,
x : x 2  0, x  R  =
x :
5) a,b
6) a,c
Yukarıdaki alt kümelerden ilk 7 tanesi öz alt kümeler, 8. si (Kendisi) ise öz olmayan alt kümedir.
Çözüm
x :
2) a
3) b

x  N, x  N 
Her küme kendisinin alt kümesidir.
Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Her kümenin en az 1 tane öz alt kümesi vardır.
Bir kümenin 1 elemanlı alt küme sayısı, kümenin eleman sayısına eşittir.
E) Her kümenin sadece 1 tane öz olmayan alt
kümesi vardır.
Çözüm
Boş kümenin öz alt kümesi bulunmamaktadır.
Cevap C
Kuvvet Kümesi
Cevap E
Uyarı
Bir kümenin alt kümelerinden oluşan kümeye kuvvet
kümesi denir. Bir A kümesinin kuvvet kümesi P(A)
ile gösterilir.
Elemanı boş küme olan küme, boş küme değildir.
  
Örnek
A  x,y
Alt Küme, Öz Alt Küme
P(A)  ,x ,y ,x, y
x  A için x  B oluyorsa , A kümesi B kümesinin
alt kümesidir.
A kümesinin, B kümesinin alt kümesi olduğunu ifade
etmek için A  B yazılır.
A  B ve AB ise A kümesine B kümesinin öz alt
kümesi denir. Dolayısıyla, her küme kendisinin öz
olmayan alt kümesidir.
Alt Küme, Öz Alt Küme Sayısı
n elemanlı bir kümenin 2 n tane alt kümesi vardır; Bu
alt kümelerden 1 tanesi(Kendisi) öz olmayan alt
küme diğerleri de öz alt kümedir.
n elemanlı bir kümenin 2 n  1 tane öz alt kümesi
vardır.
Uyarılar
1.
Boş küme her kümenin alt kümesi kabul edilir.
2.
Her küme kendisinin alt kümesidir.
AA

Eşit iki kümeden biri diğerini her zaman kapsar.
A  B  (A  B)  (B  A)
Soru
Alt küme sayısı, eleman sayısının 4 katı olan kümenin, kaç tane öz alt kümesi vardır?
  A
3.
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
A) 3
40
B) 7
C) 15
D) 31
E) 63
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
Çözüm
Çözüm
Seçeneklerden hareketle cevaba ulaşalım;
Öz alt küme sayısı 15 olan bir kümenin, alt küme
sayısı 15+1=16 olur. 2 n  16 , eleman sayısı 4 olur.
Cevap C
21! 20! 21.20! 20!

20! 19! 20.19! 19!
20!  21  1

19!(20  1)
20.19!.20

19!.19
400

19
Soru
Alt küme sayısıyla öz alt küme sayısının toplamı
1023 olan kümenin 1 elemanlı kaç alt kümesi vardır.
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Cevap A
Çözüm
Soru
n elemanlı bir kümenin, n tane 1 elemanlı
alt kümesi vardır.
n elemanlı bir kümenin
(n  1)! n!
?
(n  1)!
alt küme sayısı  2 n
A) n!
n
öz alt küme sayısı  2  1
n
B) n 2
C) n.(n-1)
D) n.(n+1)
E) n
Çözüm
n
2  2  1  1023
(n  1)! n! (n  1).n! n!

(n  1)!
(n  1)!
2 n  2 n  1024
2.2 n  1024
2 n  512
Cevap C
Faktöriyelli Sayılar
n  N  olmak üzere 1 den n ye kadar olan doğal
sayıların çarpımı n! ile gösterilir.
0!=1 kabul edilir.
Ömer ALSAN ©
2n  29
n  9 bulunur.

n!(n  1  1)
(n  1)!

n!.n
(n  1)!

n.(n  1)!.n
(n  1)!

n.n
1
Örnek
5!=5.4.3.2.1=120
4!=4.3.2.1=24
3!=3.2.1=6
2!=2.1=2
1!=1
0!=0
5!=5.4!=5.4.3!=5.4.3.2!=5.4.3.2.1
 n 2 bulunur.
Cevap B
Soru
n 2  n! eşitsizliğini sağlayan kaç tane n doğal sayısı vardır?
n!=n.(n-1).(n-2)…1
n!=n.(n-1)!=n.(n-1).(n-2)!
(n  1)!
n! 
n 1
A) 1
D) 4
E) 5
0!=1 , 0 2  0 0 2  0! olur.
21! 20!
?
20! 19!
400
19
C) 3
Çözüm
Soru
A)
B) 2
B) 20
C) 19
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
D)
20
19
1!=1 ve 12  1 olduğundan 12  1!
2!=2 ve 2 2  4 olduğundan 2 2  2!
3!=6 ve 3 2  9 olduğundan 3 2  3!
E) 1
n>3 için n 2  n! olur.
Sonuçta n=2 ve n=3 için soruda verilen eşitsizliğin
sağlandığı görülür.
Cevap B
41
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
Kombinasyon
2.
n  r olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r
elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r
elemanlı kombinasyonu denir.
3.
Kombinasyon Sayısının Hesabı
n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonlarının (r elemanlı alt kümelerinin) sayısı,
n 
C(n,r) veya   şeklinde gösterilir.
r 
4.
n 
n!
   C n,r  
r
n

r  !.r !

 
5.
3.
5 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sa 5
5!
5!
5.4.3!
yısı:   


 10 tanedir.
 3 (5  3)!.3! 2!.3! 2!.3!
6 elemanlı bir kümenin 4 elemanlı alt küme sa6
6!
6!
6.5.4!
yısı:   


 15 tanedir.
 4  (6  4)!.4! 2!.4! 2!.4!
a+1 elemanlı bir kümenin a – 1 elemanlı alt
küme sayısı:
 a  1
 a  1 !


a

1


  a  1  a  1!. a  1!

 a  1 .(a).(a  1)!
2!.  a  1 !

a2  a
2
A) y
D) y+1
E) 2y+1
Cevap A
Soru
5 elemanlı bir kümenin 4 ten az elemanlı kaç alt
kümesi vardır?
A) 31
B) 26
C) 15
D) 10
E) 5
Çözüm
 5   5  
2 5         26
 5   4  
Cevap B
elemanlı alt kümelerinin taç tanesinde, A kümesindeki bütün sesli harfler bulunur?
C) 10
D) 15
Soru
E) 32
xy olmak üzere 13 elemanlı bir kümenin x, elemanlı alt küme sayısıyla y elemanlı alt küme sayısı eşit
ise x.y en çok kaç olur.
Çözüm
A kümesindeki sesli harfler a ve e dir. Dolayısıyla
soruda istenen 4 elemanlı alt kümelerin 2 elemanı
net olarak bellidir.
a e??
A) 49
C) 42
D) 36
E) 32
 13   13 
x  y iken      ise x  y  13 olur.
x y
Toplamları 13 olan iki sayma sayısının çarpımları en
çok 6.7= 42 olur.
Cevap C
C(n,r) nin özellikleri
Soru
n  n 
   1
n  0 
x elemanlı bir kümenin, x-1 elemanlı alt küme sayısı
3x – 16 ise x kaçtır?
A) 9
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
B) 48
Çözüm
Belli olmayan 2 elemanı A kümesindeki diğer 5 elemandan yani b, c, d, f içinden seçeriz. 5 elemandan
2 eleman C(5,2)=10 farlı şekilde seçilir.
Cevap C
1.
C) 2y – 1
 x   x  1  x  1
 


5  4   5 
A  a,b,c,d,e,f,g olmak üzere, A kümesinin 4
B) 5
B) 2y
Çözüm
Soru
A) 2
 n   n   n  1

   

 r  1  r   r 
x elemanlı bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin
sayısı y ise x – 1 elemanlı bir kümenin, 4 veya 5
elemanlı kaç alt kümesi vardır?
Ömer ALSAN ©
2.
n n
      a  b  n veya a  b
a b
n  n  n
n
2 n           ...   
 0   1  2 
n
Soru
Örnekler
1.
n   n 
 
n
 1   n  1
 n n
ab  n      
 a b 
42
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
Çözüm
Soru
 x 

  3x  16
 x  1
x  3x  16
x  8 bulunur.
A  a,b,c
B  a,b,c,d,e,f,g,h
olduğuna göre, B kümesinin öz alt kümelerinden
kaç tanesi A kümesini kapsar?
Cevap B
A) 32
Soru
C) 16
D) 15
E) 8
Çözüm
A  1,2,3,4,5,6,7 kümesinin, alt kümelerinin kaç
s(B) – s(A)=8 – 3
s(B) – s(A)=5
2 5  1  31
tanesinde 3 bulunur; ama 5 bulunmaz?
A) 64
B) 31
B) 32
C) 15
D) 10
E) 5
Cevap B
Çözüm
Soru
3 bulunacak, 5 bulunmayacak dolayısıyla geriye kalan 5 elemanla 2 5  32 farklı küme oluşturulur.
Cevap B
3 ten az elemanlı alt kümelerinin sayısı, 5 ten çok
elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir küme
kaç elemanlıdır?
Soru
A) 11
A  1,2,3,4,5,6,7 kümesinin 5 elemanlı alt küme-
B) 32
C) 15
D) 10
5 elemanının kullanılmasına soru müsaade etmediğinden; diğer 4 elemanı seçerken, 3 ve 5 dışındaki
5 tane eleman kullanılır.
5
5 tane elemandan 4 tanesi    5 farklı şekilde se4
çilir.
Cevap E
Ömer ALSAN ©
Çözüm
3 ? ? ? ?
A  1,2,3,4,5 kümesinin, 3 elemanlı alt kümelerin-
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
vardır. Diğer 3 elemanlı alt kümelerinin hepsinde en
az 1 tane çift sayı vardır.
5
  1
3
E) 4
Çözüm
 10  1
9
Bizden istenen kümeler, A kümesini kapsar ve aynı
zamanda B kümesi tarafından kapsanır.
B nin elemanlarından 4 tanesi A da bulunmamaktadır. Dolayısıyla bu 4 elemandan oluşturulan alt kümeler A kümesine ilave edilirse soruda istenen kümeler elde edilir. Bu da 2 4  16 farklı şekilde yapılır.
Cevap A
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
Soru
n tane tamsayının çarpımının çift olması için içlerinden en az 1 tanesinin çift olması yeterlidir. Dolayısıyla n tane tamsayının çarpımı tek ise bu sayıların hepsi tek sayıdır.
A kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinden, elemanlarının tamamı tek sayı olan sadece 1,3,5 kümesi
olduğuna göre, B kümesinin alt kümelerinden kaç
tanesinin, A alt kümesi olur?
D) 5
Cevap D
Çözüm
A  1,2,3
C) 8
 x  x  x  x  x  x
        
 0   1  2   6   7   8 
x8
A) 9
B  1,2,3,4,5,6,7
B) 15
E) 7
den kaç tanesinin, elemanlarının çarpımı çift sayıdır?
Soru
A) 16
D) 8
Aranankümenin eleman sayısı x olsun,
E) 5
Seçilecek 5 elemandan 1 tanesi belli.
C) 9
Çözüm
lerinin kaç tanesinde 3 bulunur; ama 5 bulunmaz?
A) 64
B) 10
Cevap A
43
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
Pascal Üçgeni, Alt Küme İlişkisi
Uyarı
Pascal üçgeninin n. satırı,
Pascal üçgeninden
 n  1  n  1
 n  1

,
 ,..., 

1
2

 

 n  1
 n   n   n  1

   

 r  1  r   r 
dizisindeki sayılardan oluşur.
özdeşliği rahatlıkla görülebilir.
 4   4   5   2   2   3   1  1  2 
      ,      ,     
 2   3   3   0   1   1   0  1  1 
0
 
0
2
 
0
3 
 
0 
4
 
0
5
 
0
2
 
 1
3
 
 1
4
 
 1
5
 
 1
 1
 
 1
2
 
2
3
 
2
4
 
2
5
 
2
......
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…
3
 
3
4
 
3
5 
 
3 
4
 
4
5
 
4
5
 
5
1.satır(1)
2.satır(2)
3.satır(4)
4.satır(8)
Ömer ALSAN ©
 1
 
0
5.satır(16)
6.satır(32)
Pascal üçgeninin n. satırındaki sayıları topladığımızda n – 1 elemanlı kümenin alt küme sayısını buluruz.
Pascal üçgeninde n.satırındaki soldan r.sayı,
n -1 elemanlı kümenin r – 1 elemanlı alt küme sayısını verir.
Soru
5 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı kaç alt kümesi
vardır?
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
Çözüm
5+1=6
3+1=4
Pascal üçgeninde 6. satırdaki soldan 4. sayı sorumuzun cevabıdır.
Cevap B
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
44
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
TEST – 8 –
A  0,2,6,12,20,30
3. SARIMSAK kelimesindeki harflerin kümesi A
1.
olduğuna göre, aşağıdaki kümelerden hangisi A kümesine eşit değildir?
olmak üzere, A kümesinin ortak özellik yöntemiyle ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) KARASIRMA kelimesindeki harflerin kümesi
 x : x  2n  1 , n  N 

A)
A
B)
A
B) SAKARIM kelimesindeki harflerin kümesi
 x : x  2n , n  N 
C) KIRIKASMA kelimesindeki harflerin kümesi
C)
A
 x: x n
2
n , nN
D)
A
 x: x n
2
n , n Z
E)
A
 x: x n
2
 n , n N

D) KISRAK kelimesindeki harflerin kümesi
E) MARKASI kelimesindeki harflerin kümesi


4.
A  x : x  3n  2 , 1  n  5 , n  Z
olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi A kümesine denktir?
A   1,2,3, 4 
Ömer ALSAN ©
2.
B   1,3 
C   4,5,6 
olduğuna göre, A, B ve C kümeleri için
en uygun ortak şema aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B) A
C
A
B
A)
 1,2,3,4,5 
B)
x : x  3n  2 , 1  n  5 , n  Q 
C)
x : x  n
2
1,  2  n  2 , n  Z

D) SARMASAR kelimesindeki harflerin kümesi
E) 0366 201 01 01 telefon numarasında kullanılan rakamların kümesi
B
C
B
C)
A
D) A
C
5. Aşağıdakilerden hangisi sonlu kümedir?
B
C
E) A
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
B
C
45
A)
 x : x  1200 , x  N 
B)
 x :1 x  2 , x R 
C)
 x : 0  x  1, x Q
D)
 x : x  3 , xZ
E)
 x : 324  x , x  N 
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
TEST – 8 –
6. Aşağıdaki sayı kümelerinden hangisi sayıla-
9.
maz sonsuz kümedir?
A ve B kümeleri için aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
A) Sayma Sayıları Kümesi
A)
AA
B) Doğal Sayılar Kümesi
B)

C) Tam Sayılar Kümesi
C)
A  B   A  B   B  A 
D)
A
E)
 A  B   B  C   A  C
D) Rasyonel Sayılar Kümesi
E) İrrasyonel Sayılar Kümesi
A)
 x : x!  1 , x  N 
B)
x: x
C)
 x : 2x  3x , x  N 
D)
x: x
E)
x:
2
2
 x 3 , x R
 0 , x R
Ömer ALSAN ©
7. Aşağıdakilerden hangisi boş küme değildir?

10. A   , 


olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi A kümesinin alt kümesi değildir?
x  0 , x R 
B) 
A) 
D) 
8.

A   , ,   , ,


C) 
E)  , 


olmak üzere, A kümesinin öz alt küme sayısı
kaçtır?
A) 3
B) 7
C) 15
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
D) 31
E) 63
46
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
TEST – 9 –
1. Bir kümenin kuvvet kümesinin alt küme sayısı
4.
 a,b,c ,d,e,f 
aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, a ve b
bulunur fakat c bulunmaz?
E) 256
A) 16
2.
B) 14
C) 12
D) 10
E) 8
5 elemanlı alt küme sayısı 7 elemanlı alt küme
sayısına eşit olan bir kümenin, 2 elemanlı alt
küme sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
B) 66
C) 60
D) 56
E) 48
Ömer ALSAN ©
A) 72
5.
A   x : x bir rakam 
olmak üzere, A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, en az bir tane asal rakam bulunur?
A) 175
B) 180
C) 185
D) 190
E) 195
3. 8 elemanlı bir kümenin, en çok 3 elemanlı
kaç alt kümesi vardır?
A) 56
B) 69
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 72
D) 93
E) 96
47
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 9 –
4 elemanlı alt küme sayısı 3 elemanlı alt küme
sayısından çok olan bir küme, en az kaç elemanlıdır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
9.
A   1,2 
B   1,2,3, 4,5 
E) 9
olmak üzere, A  C  B şartını sağlayan kaç
farklı C kümesi vardır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 16
7. 7 elemanlı bir kümenin, tek sayıda elemana
sahip kaç alt kümesi vardır?
A) 64
B) 72
C) 80
D) 88
E) 96
Ömer ALSAN ©
10. n tek sayı olmak üzere,
n  n  n
n
8
         ...     8
1
3
5
     
n
eşitliğini sağlayan, n sayısının değeri nedir?
A) 23
8.
B) 25
C) 27
D) 29
E) 31
 a,b,c ,d,e, f ,g,h 
kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a vardır fakat h yoktur?
A) 15
B) 17
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 18
D) 20
E) 22
48
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
s(E)=x+y+z+t=23
s(A)=x+y=17
s(B)=y+z=13
t=2
2.2. KÜMELERDE İŞLEMLER
Evrensel Küme
Bir işlemde, olayda, problemde,... geçen bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme E harfiyle gösterilir.
x+y+z=21
x+2y+z=30
y=9, x=8, ve z=4
Sadece futbol veya sadece basketbol oynayanların
sayısı x+z=12 bulunur.
Cevap C
Örnek
Aşağıdaki şemada, E evrensel kümesi ve A,B,C
kümeleri verilmiştir.
Tümleyen Küme
E evrensel kümesi içindeki bir A kümesi için, A kümesinde bulunmayan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyen kümesi denir.
A kümesinin tümleyenini gösterirken A kullanılır.
E
A
C
B
Evrensel Küme
E: Evrensel Küme
A kümesi
23 Kişilik bir sınıfta 17 kişi futbol 13 kişi basketbol
oynamaktadır.2 kişi her iki oyunu da oynamadığına
göre, kaç kişi sadece futbol veya sadece basketbol
oynamaktadır?
A) 7
B) 9
C) 12
D)14
Ömer ALSAN ©
Soru
E)15
A (Taralı Alan)
Örnek
Çözüm
E  a,b,c,d,e, f,g
23 kişiden 2 tanesi herhangi bir oyun oynamadığına
göre 23 – 2 = 21 tanesi futbol veya basketbol oynamaktadır. Futbol oynayanlarla basketbol oynayanların toplamı 17+13=30 olduğundan bazı öğrenciler hem futbol hem de basketbol oynamaktadır.
A  a,b,e
B  b,c,e,f,g
olduğuna göre A ve B kümelerini bulunuz.
Çözüm
E: Sınıftaki öğrenciler (Evrensel küme)
A: Futbol oynayanlar
B: Basketbol oynayanlar.
x: Sadece futbol oynayanların sayısı
y: Hem futbol hem de basketbol oynayanların sayısı
z: Sadece basketbol oynayanların sayısı
t: Futbol ve basketbol oynamayanların sayısı
E kümesinde olan fakat A kümesinde olmayan elemanlar A kümesini oluşturur.
A   c,d,f,g
E kümesinde olan fakat B kümesinde olmayan
elemanlar B kümesini oluşturur.
B  a,d
Uyarı
E
A
B
x
y
Bir kümenin, tümleyeninin tümleyeni kendisidir.
 A   A
2.
3.
4.
5.
A ve A kümeleri ayrık kümelerdir.
s(A)+s( A )=s(E)
E   ,   E
A  B  A   B
z
t
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
1.
49
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
Soru
Çözüm
A ve B, E evrensel kümesinin alt kümesidir.
Soruda verilenlerden A   B olduğu görülür.
dolayısıyla s(E)  s(A)  s(B) olur.
3.s(A)  2.s(B)  1
s(E) = 3.s(A)
3.s(E) = 4.s( B )
s( A ) – s(B) = 20
s(A)  s(B)  2
3. s(B)  2  2.s(B)  1
olduğuna göre s(E) kaçtır?
A) 38
B) 40
C) 44
3.s(B)  6  2.s(B)  1
D) 46
E) 48
s(B)  7 ve s(A)  5 bulunur.
s(E)  s(A)  s(B)
Çözüm
s(E)  7  5
s(E)  12 bulunur.
3.s(E)  9.s(A)  4.s(B)
s(E)  12x olsun,
s(A)  4x
s(A)  12x  4x  8x
s(B)  9x
Cevap D
Birleşim İşlemi (Veya)
s(B)  12x  9x  3x
s(A)  s(B)  8x  3x  5x
5x  20
x4
A ve B kümeleri için, A  B  x : (x  A)  (x  B)
kümesine, A ve B kümelerinin birleşim kümesi denir.
s(A)  12x  12.4  48 bulunur.
Cevap E
A
Ömer ALSAN ©
Soru
A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.
s(A)+s( B )=13
s( A )+s(B)=17
B
x
y
z
A  B (Taralı Alan)
olduğuna göre s(E) kaçtır.
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
s(A)=x+y
s(B)=y+z
s( A  B )=x+y+z
E) 19
Çözüm
Verilen eşitlikleri taraf tarafa toplayalım,
s(A)  s(A)  s(B)  s(B)  13  17
s(E)  s(E)  30
s(E)  15 bulunur.
Örnekler
1.
Cevap A
A  1,2,3, 4 , B  3,4,5,6,7
Soru
A  B  1,2,3,4,5,6,7
A ve B kümeleri E evrensel kümesinin ayrık iki alt
kümesidir.
s(A)=4
s(B)=5
s( A  B )=7
s( A  B )<s(A)+s(B)
s(A) 
2.s(B)  1
, s(A )  s(B)  2
3
2.
E kümesindeki bütün elemanlar, A veya B kümesinde olduğuna göre s(E) kaçtır?
A) 21
B) 17
C) 15
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
D) 12
A  a,b,c , B  a,b,c,d,e
A  B  a,b,c,d,e
A B
A B  B
s(A)=3
s(B)=5
s( A  B )=s(B)
E) 9
50
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
A= , ,  , B  , ,,
3.
A  a,b,c , B  a,b,c,d,e
2.
A  B  , , , , ,,
A  B  a,b,c
A ve B kümeleri ayrık kümeler.
s(A)=3
s(B)=4
s( A  B )=7
s( A  B )=s(A)+s(B)
A B
A B  A
s(A)=3
s(B)=5
s( A  B )=s(A)
A= , ,  , B  , ,,
3.
Soru
A B  
A ve B kümeleri ayrık kümeler.
s(A)=3
s(B)=4
s( A  B )=0
s(A)  19
s(B)  29
s(A  B)  33
olduğuna göre hem A hem de B kümesinde bulunan
kaç eleman vardır?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
Soru
E) 19
27 Kişilik bir izci grubunda, herkes İngilizce veya
almanca bilmektedir. İngilizce bilenlerin sayısı her
iki dili de bilenlerin 3 katı, sadece almanca bilenlerin
ise iki katıdır.
İzci grubunda, her iki dili de bilen kaç kişi vardır?
Çözüm
B
x
y
x+y=19 , y+z=29
x+y+z=33
y=(19+29) – 33
y=15 bulunur
z
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
Çözüm
.
Cevap A
Kesişim İşlemi (Ve)
Ömer ALSAN ©
A
Almanca
x
İngilizce
y
z
A ve B kümeleri için, A  B  x : (x  A)  (x  B)
kümesine, A ve B kümelerinin kesişim kümesi denir.
A
x+y+z=27
x+y=3y
 x=2y
x+y=2z
 3z=27
 z=9
3y=2z
 3y=18
 y=6
B
x
y
z
A  B (Taralı Alan)
s(A)=x+y
s(B)=y+z
s(A  B)  y
her iki dili de bilen 6 izci var.
Cevap B
Örnekler
1.
A  1,2,3, 4 , B  3,4,5,6,7
A  B  3,4
s(A)=4
s(B)=5
s( A  B )=2
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
51
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
Fark İşlemi
Çözüm
A ve B kümeleri için, A  B  x : (x  A)  (x  B)
s(A  B)  6x
s(B  A)  4x
s(A  B)  3x
s(A)  6x  3x  9x
s(B)  4x  3x  7x
kümesine, A nın B den farkı denir.
A
B
x
y
B–A
s(A)=x+y
s(B)=y+z
s(A  B)  x
s(B  A)  y
s(A)  5,s(B)  8 olduğuna göre, s(A  B) kaç farklı
değer alır?
A  1,2,3, 4 , B  3,4,5,6,7
A) 13
B) 8
C) 7
D) 6
E) 4
Çözüm
B  A  5,6,7
s(A)  4
A ve B kümelerini ayrık kabul ederek
s(B)  5
s(A  B)  2
s  A  B  nin en büyük değerini buluruz :
Ömer ALSAN ©
s(B  A)  3
A  a,b,c , B  a,b,c,d,e
A B
A B  
B  A  d,e
s(A)  3
s(B)  5
s(A  B)  0
s(B  A)  2
6.
4x
3x
Soru
A  B  1,2
5.
6x
Cevap C
Örnekler
4.
B
s(A  B)  6x  3x  4x  13x
s(A)  s(B)  9x  7x  2x
2x  8
x4
13x  13.4  52 bulunur.
z
A–B
A
s(A  B)  s(A)  s(B)
 5  8  13 (alabileceği en büyük değer)
s(A  B) nin en küçük olması için
A ve B kümelerinden biri diğerini kapsamalı :
A  B kabul edersek,
s(A  B)  s(B)  8 (alabileceği en küçük değer)
13 – 8 +1=6 farklı değer alır.
Cevap D
Soru
A  B ,s(A  B)   ,s(A)  5,s(B)  8 olduğuna göre, s(A  B) kaç farklı değer alır?
A= , ,  , B  , ,,
A) 13
A ve B ayrık kümeler
A B  A
BA B
s(A)  3
s(B)  4
s(A  B)  3
s(B  A)  4
B) 8
C) 7
D) 6
E) 4
Çözüm
Bu soru bir önceki sorunun koşulları biraz fazlalaşmış halidir.
s  A  B    olduğundan,
s(A  B)  s(A)  s(B)
olur. o zaman s(A  B) nin alabileceği en büyük değer 13 – 1 = 12 dir.
Soru
A  B olduğundan, s(A  B)  s(B) olur. o zaman
s(A  B) nin alabileceği en küçük değer 8+1=9 dur.
2.s(A  B)  3.s(B  A)  4.s(A  B)
s(A)  s(B)  8 olduğuna göre,
A  B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 60
B) 56
C) 52
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
D) 50
12 – 9 +1 = 4 farklı değer alır.
Cevap E
E) 40
52
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
y = (x+y+z+t) – (x+z+t)
y = 16 – 14
y=2
Soru
s(A)  5,s(B)  8 olduğuna göre, s(A  B) kaç farklı
değer alır?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
x = (x+y) – y
x=9–2
x = 7 bulunur.
E) 6
Çözüm
Cevap A
A ve B kümelerini ayrık kabul ederek
s  A  B  nin en küçük değerini buluruz :
s(A  B)  0(alabileceği en küçük değer)
Soru
s(A  B) nin en büyük olması için
A ve B kümelerinden biri diğerini kapsamalı :
A  B , A  B , B  A kümelerinin öz alt küme sayıları sırasıyla 7,1,15 olduğuna göre A  B nin 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
A  B kabul edersek,
s(A  B)  s(A)  5 (alabileceği en büyük değer)
5 – 0 +1=6 farklı değer alır.
Cevap E
A) 35
Soru
s(A  B)  x olsun , 2 x  1  7  2 x  8  x  3
A B
s(A  B)  s(A)  s(B)
s(A)  5,s(B)  8
olduğuna göre, s(A  B) kaç farklı değer alır?
s(A  B)  y olsun , 2 y  1  1  2 y  2  y  1
B) 8
C) 7
D) 6
C) 21
D) 16
E) 8
Çözüm
s(B  A)  z olsun , 2 z  1  15  2 z  16  z  4
A
B
x
E) 4
Çözüm
s(A  B)  s(A)  s(B) olduğundan  A  B   0 olur.
Ömer ALSAN ©
A) 13
B) 28
s(A  B) nin alabileceği en küçük değer 1 dir.
y
z
s(A  B)  s(A  B)  s(A  B)  s(B  A)

x
 y

z
8
8
8!
8.7. 6! 8.7


 28
 
2
6! .2!
 2  (8  2)!.2!
A  B olduğundan, s(A  B)  s(A) olur. o zaman
s(A  B) nin alabileceği en küçük değer 5 – 1 = 4
Cevap B
4 – 1 +1 = 4 farklı değer alır.
Cevap E
Soru
Soru
16 kişilik bir sınıfta, Fransızca bilenlerin sayısı 8,
Almanca bilmeyenlerin sayısı 9, en çok 1 dil bilenlerin sayısı 14 tür.
Bu sınıfta kaç kişi sadece Almanca bilmektedir.
A ve B iki kümedir.
s(A  B)  3x
s(A)  3.s(B)
s(A  B)  9y
A) 7
Çözüm
B) 6
C) 5
E
D) 4
E) 3
olduğuna göre B – A kümesinin eleman sayısını veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
F
A
Sınıf = E
Almanca bilenler = A
x
y
z
Fransızca bilenler = F
x+y+z+t=16
t
y+z=8 , x+y=9
x+z+t=14
Bizden istenen x değerine, verilen eşitliklerle ulaşalım.
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
A) x – 6y
B) x+3y
D) x+6y
53
C) x – 3y
E) x+9y
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
Soru
Çözüm
A
Boş kümeden ve birbirlerinden farklı A,B kümeleri
için, (A  B)  (A  B)  (B  A) ise aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
B
A B A  B B  A
B) A  B
A) A  B
D)  A  B   A  B
s(A)  s(A  B)  s(A  B)
s(A)  3x  9y
3.s(B)  3x  9y
s(B)  x  3y
s(B  A)  s(B)  s(A  B)
s(B  A)  x  3y  9y
s(B  A)  x  6y bulunur.
C) A  B  
E) A  B  B  A
Çözüm
A ,B boş kümeden ve birbirlerinden farklı
(A  B)  (A  B)  B
B  (B  A)  A  B  
Cevap C
Cevap A
Soru
Soru
A  x : 16  x  166, x  4k ,k  N kümesinin ele-
B  A  a,ab,abc,ba,bac
man sayısı kaçtır?
A  B  ab
A) 34
olduğuna göre, s(B) kaçtır?
A) 1
B) 2
B) 35
C) 3
D) 4
E) 5
E) 38
Verilen aralıkta 4 ün katı doğal sayıların
adedi isteniyor.
ilk terim  16
B  a,ba,abc,bac
s(B)  4 bulunur.
Cevap D
Ömer ALSAN ©
Şema çizerek aşağıdaki özdeşliği görünüz.
B  (B  A)   A  B 
son terim  164
artış miktarı  4
Terim Sayısı 
Soru
A,B,C farklı kümeler ve A  B  C dir.
s(B  A)  s(C  B)  s(A  B) ise s(C) aşağıdakilerden hangisi olamaz?
B) 12
D) 37
Çözüm
Çözüm
A) 3
C) 36
C) 16
D) 18

Son Terim  İlk Terim
1
ArtışMiktarı
164  16
148
1
 1  38 bulunur.
4
4
Cevap E
Soru
E) 21
Çözüm
A  x : 16  x  166, x  4k ,k  N
Kümeler birbirini kapsadığı için
s(A  B)  s(A)  x dersek
s(B  A)  s(C  B)  x olur.
B  x : 32  x  115,x  4k ,k  N
olmak üzere A – B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
s(C)  x  x  x
s(C)  3x yani 3 ün katı olmalı
Çözüm
A) 18
B) 19
C) 20
D) 21
E) 22
A  B  x : 16  x  32   115  x  166 , x  4k,x  N
C
B
 32  16   164  116 
s(A  B)  
 1  
 1
4
 4
 

x
A
x
x
 18
Cevap A
Cevap C
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
54
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
10. Birleşim kümesinin eleman sayısı, birleşime giren kümelerin eleman sayıları toplamından büyük değildir:
s(A  B)  s(A)  s(B)
s(A  B)  s(A)  s(B)  A  B  
s(A  B)  s(A)  B  A
Kümelerde İşlem Özellikleri
1.
Tek kuvvet özelliği:
AA  A
AA  A
2.
Değişme özelliği:
A B  B  A
A B  B  A
11. Kesişim kümesinin eleman sayısı, kesişime giren kümelerin herhangi birinin eleman sayısından büyük değildir:
s(A  B)  s(A) ve s(A  B)  s(B)
s(A  B)  s(A)  A  B
s(A  B)  0  s(A  B)  s(A)  s(B)
3.
Birleşme özelliği:
(A  B)  C  A  (B  C)
(A  B)  C  A  (B  C)
4.
Dağılma özelliği:
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
5.
Birim eleman özelliği:
Birleşme işleminin birim elemanı  dir.
A   A
6.
Yutan eleman özelliği:
Kesişim işleminin yutan elemanı  dir.
A   
13. Birleşim kümesinin kesişim kümesine eşit olmasının gerek ve yeter koşulu kümelerin eşit
olmasıdır:
A B  A B  A  B
7.
Birleşim kümesi, birleşime giren kümelerin
hepsini kapsar:
A  (A  B)
14. A nın B den farkı, A kümesiyle, B nin tümleyeninin kesişimine eşittir:
A  B  A  B
8.
 s(A  B)  s(A  C)  s(B  C)
 s(A  B  C)
Ömer ALSAN ©
Kesişim kümesi, kesişime giren bütün kümelerin alt kümesi olur:
(A  B)  A
12. Birleşim kümesinin eleman sayısı:
s(A  B)  s(A)  s(B)  s(A  B)
s(A  B  C)  s(A)  s(B)  s(C)
Birleşim kümesinin boş küme olmasının gerek
ve yeter koşulu, birleşime giren kümelerin tamamının boş küme olmasıdır:
A  B    (A   )  (B   )
16. Fark işleminin değişme özelliği yoktur.
A B  B  A
Aşağıdaki özel duruma dikkat edelim:
A B  B  A  A  B
Kesişim kümesinin boş küme olmasının gerek
ve yeter koşulu, kesişime giren kümelerin en az
iki tanesinin ayrık küme olmasıdır:
A  B    A ve B ayrık
9.
17. A kümesinin B kümesinden farkı, A nın alt kümesidir:
A B  A
Aşağıdaki özel durumlara dikkat edelim:
A B  A  A B  
A B    A  B
Birleşim kümesinin, birleşime giren kümelerden
birine eşit olmasının gerek ve yeter koşulu Birleşim kümelerinden birinin diğerlerini kapsamasıdır:
A B  A  B  A
18. Fark işlemini birleşim bulurken kullanmak:
A  B  (A  B)  (A  B)  (B  A)
s(A  B)  s(A  B)  s(A  B)  s(B  A)
Aşağıdaki özelliklere dikkat:
s(A  B)  s(A  B)  s(B  A)  A  B  
A  (A  B)  (A  B) , s(A)  s(A  B)  s(A  B)
Kesişim kümesinin, kesişime giren kümelerden
birine eşit olmasının gerek ve yeter koşulu kesişim kümelerinden birinin diğerlerinin alt kümesi olmasıdır:
A B  A  A  B
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
15. Fark işleminin tek kuvvet özelliği yoktur:
AA 
Aşağıdaki özel duruma dikkat edelim:
AA  A  A 
55
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
19. A  B  A   B
A  E  A
A  A  E
A E  A
A E  E
(A)  A
  E
4.
20. De Morgan eşitlikleri
 A  B   A  B
5.
C   A  B  olsun,
C   A  B 
 C  C
 E olur.
  A  B  E
  A  B
Örnek
Aşağıdaki küme ifadelerini kümelerdeki işlem özelliklerini kullanarak sadeleştirelim:
2.
 A   A  B     A   A  B  


3.
 A  B    A  B
 A  B    A  B 
A  B  A
4.
5.
6.
 A  B   B   B  A   A 



 

7.
 A B   A B  B
 



8.
 A  B  A   B
6.
  A  B   B  B  A   A 
  A  B   B  A   B  A
 (A  B)  (B  A)  B  A
(B  A)  B
(A  B)  A olduğundan,
7.
Çözümler
1.
(A  B)  (A  B)
 A  B  B 
 A B
 A B   A B  B
 





  A  B    A  B   B


  A  B    A  B    B
  A  B  B    B
  A     B
 A E
A
2.
 A  B   B   B  A   A 



 

  A  B   B  B  A    A 

 

  A  B   B  B  A   A 
Ömer ALSAN ©
(A  B)  (A  B)
A  B  A
  A  B    A  A 
 A  B   A  B
1.
 A  B    A  B 
  A  B    A  B 
 A  B
BA


 A   A  B     A   A  B  
8.
  A  A   B   A   A  B  
 E  B   A  A    A  B  
 A  B  A   B
  A  B   A   B
(A  B)  A olduğundan
 E  E   A  B  
  A   B
 A  B
3.
BA
 A  B    A  B
  A  B    A  B 
Soru
B  B   olduğundan
 A  A  B  B
 A
A ve B iki küme, A  B  A , s(A  B)  7  2x
s(A  B)  4x  3 ise s(A)  s(B) toplamı kaçtır?

A) 17
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
56
B) 14
C) 11
D) 9
E) 7
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
Çözüm
Soru
A  B  A  s(A  B)  0
7  2x  0
2x  7
s(A  B)  0  s(A  B)  s(A)  s(B)
4x  3
 2.7  3
 11 bulunur.
A  B, A  B,B  A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 2,1,4 ile orantılıdır. Buna göre s(B)  s(A)
farkı kaçtır?
A) 1
D) 12
E) 5
s(A  B)  y
s(B  A)  z
2 x  2k , 2 y  k , 2 z  4k
E evrensel kümesinin 2 farklı alt kümesi A ve B dir.
s(A  B)  9  k
s(B  A )  k  5
olduğuna göre, s(E) kaçtır?
C) 9
D) 4
s(A  B)  x
Soru
B) 7
C) 3
Çözüm
Cevap C
A) 5
B) 2
2 x 1  2 y  2 z  2
x 1 y  z  2  m
x  m  1, y  m,z  m  2
s(B)  s(A)  s(B  A)  s(A  B)
 m  2  (m  1)
E) 14
 1 bulunur.
Çözüm
Cevap A
Değişme özelliği ve De Morgan eşitliği kullanılarak,
B  A  A  B   A  B  bulunur.
Soru
A  B , B  A , s(A)  7 , s(B)  9
olduğuna göre, s(A  B) kaç farklı değer alır?
 A  B   (A  B)  E
Ömer ALSAN ©
s(E)  s(A  B)  s  A  B  


s(E)  9  k  k  5
s(E)  14 bulunur.
A) 8
B) 7
C) 6
Soru
Çözüm
1) A  B  A   B
2) A   E  A
3) A  A  E
s(A  B) nin alabileceği değerler :
1,2,3,4,5,6 olur.
4) A  E  A
5) A  E  A
6) (A )  A
7)   E
Soru
Cevap C
Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A)
B)
C)
D)
E)
E evrensel kümesinin boş kümeden farklı alt kümeleri A ve B olmak üzere yukarıdaki ifadelerden kaç
tanesi doğrudur?
B) 6
E) 4
A  B  s(A  B)  s(A)  s(A)  s(A  B)  0
 s(A  B)  0
B  A s(A  B)  0  s(A  B)  7
Cevap E
A) 7
D) 5
C) 5
D) 4
s(A  B)  s(A  B)  s(B  A)  A  B  
A B  A  A B  
A B    A  B
A B  B  A  A  B
AA  A  A 
E) 3
Çözüm
Çözüm
Yanlış olan ifadelerin doğru halleri aşağıda yazılmıştır.
A  B  A   B
A  A  
A  B    A  B dir.
Cevap C
A E  E
Cevap D
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
57
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
Soru
Soru
Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A B  A
eşitliği aşağıdakilerden hangisini gerektirir?
A)
B)
C)
D)
E)
s(A  B)  s(A)  B  A
s(A  B)  0  s(A  B)  s(A)
s(A  B)  s(A)  s(B)  A  B  
s(A  B)  s(A)  A  B
A B  A  A  B
A) A  B
E) B  A
D) s(A)  S(B)
Çözüm
Çözüm
s(A  B)  s(A)  A  B
s(A  B)  0  s(A  B)  s(A)  s(B)
s(A  B)  s(A)  s(B)  A  B  
s(A  B)  s(A)  B  A
A B  A  A B  
 B  A
Cevap E
Soru
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için
s(A  B)  s(A)  s(B) ifadesinin doğru olması için
aşağıdakilerden hangisi yeterlidir?
Cevap E
Soru
1) (A  B)  C  A  (B  C)
2) A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
3) A    A  
4) A  (A  B)
5) A  B    (A   )  (B   )
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm
Ömer ALSAN ©
B) 2
A) B  A '
B) A  B  A
C) B  A  B
D) A  B
E) (A  B)  (A  B)
Yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?
A) 1
C) A  B
B) B  A
2,3 ve 5. ifadeler yanlıştır.
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
A   A
A  B    (A   )  (B   )
Çözüm
A B  A  A B  
 s(A  B)  s(A)  s(B)
Cevap B
Soru
s(A  B)  s(A  B)  s(A)  s(B)  24
olduğuna göre s(B) kaçtır?
Cevap B
A) 6
Soru
A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere; A
kümesinin bütün elemanları, aynı zamanda B kümesinin de elemanı ise aşağıdaki kümelerden hangisi kesinlikle boş kümedir?
A) A  B
B) B  A
D) A  B
C) 10
D) 12
E) 14
Çözüm
s(A  B)  s(A)  s(B)  s(A  B)
s(A)  s(B)  s(A  B)  s(A  B)  s(A)  s(B)  24
2.s(B)  24
s(B)  12
Cevap D
C) A  B
E) A  B
Çözüm
Soru
Soruda ifadede edilen durum,
s(A  B  C)  37
A  B iken gerçekleşir.
A  B  A  B   olur.
s(A  B  C)  5
s(A  B)  s(A  C)  s(B  C)  13
olduğuna göre A,B ve C kümelerinin eleman sayıları
toplamı kaçtır?
Cevap A
A) 45
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
B) 8
58
B) 42
C) 40
D) 39
E) 37
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
Çözüm
Küme Problemleri
s(A B C)  s(A)  s(B)  s(C)  s(A B)  s(A  C)  s(B  C)  s(A B  C)
Genel olarak problemler çözülürken, önce problemde verilen bilgiler ayırt edilir, daha sonra istenen ile
verilenler arasında bir bağ kurulmaya çalışılarak
problem çözülür.
Küme problemlerinin çözümünde, problemde verilen bilgiler, problemde kullanılan kümelerin bulunduğu uygun şemaya aktarılır ve istenen bilgiye ulaşılır.
Aşağıdaki söz, problemlerle ilgili önemli bir gerçeği
yansıtmaktadır.
ifadesinde verilen değerler yazılırsa
37=s(A)+s(B)+s(C) – 13 + 5
s(A)+s(B)+s(C)=45 bulunur.
Cevap A
Soru
A
B
C
Her problem, çözümünün özetidir.
Şemadaki taralı alanı veren ifade aşağıdakilerden
hangisidir?
D)
 A  C  B
 A  B  C
B  A    C  B 
B  A   C
E)
A BC
A)
B)
C)
Sonuçta bize düşen, problemin içine gizlenmiş çözümü yakalamaktır.
Soru
Bir sınıfta İngilizce veya Almanca dillerinden en az
birini bilen 30 öğrenci vardır. İngilizce bilenlerin sayısı Almanca bilenlerden 12 fazla, her iki dili bilenlerden ise 17 fazladır.
Çözüm
Cevap D
Soru
Buna göre, sınıfta her iki dili de bile kaç öğrenci
vardır?
Ömer ALSAN ©
Şemadaki taralı alanı veren ifade bulunurken seçenekleri tek tek incelemek en doğru yaklaşımdır.
Çünkü taralı alanı veren birçok ifade yazılabilir.
A) 5
B) 6
n 2 
B) 2
2 n 
2n
C) 2  
D) 4
n 2 
İ
A
x
2n
E) 4  
D) 8
E) 9
Çözüm
n elemanlı bir kümenin, kuvvet kümesinin alt küme
sayısını veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
C) 7
y
z
x+y+z=30
(x+y) – (y+z) = 12
x – z = 12
(x+y) – y = 17
x = 17  z = 5
y = 30 – (x+z)
Çözüm
 y=30 – 22
n elemanlı bir kümenin kuvvet kümesi 2 n elemanlıdır. Dolaysıyla 2 n elemanlı bir kümenin 2
2 n  tane
 x=8 bulunur.
Cevap D
alt kümesi vardır.
Soru
Cevap B
35 kişilik bir gruptaki öğrenciler, İngilizce ve Çince
dillerinden en az birini bilmektedirler. İngilizce bilenlerin sayısı, Çince bilenlerin sayısının 4 katıdır.
Soru
A ve B kümeleri denk ve ayrık kümeler olmak üzere,
2.s(A  B)  3.s(B  A)  s(A  B)  35 ise A ve B
kümelerinin eleman sayıları toplamı kaçtır?
A) 7
B) 14
C) 21
D) 28
Grupta her iki dilide bilen öğrenciler olduğuna göre
sadece Çince bilen en çok kaç öğrenci vardır?
E) 35
A) 4
Çözüm
C) 6
D) 7
E) 8
Çözüm
s(A)  s(B) , s(A  B)  
İ
s(A  B)  s(B  A)  s(A)  s(B)  s(A)  s(B)  14
Cevap B
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
B) 5
Ç
x
59
y
z
x+y+z=35
x+y=4(y+z)  x=3y+4z
(3y+4z)+y+z=35
4y+5z=35
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
Soru
5z  35  4y
35  4y
z

5
Her iki dili bilen öğrenciler var .yani y  0
Bulduğumuz    eşitliğinde,
z yi tamsayı yapan en küçük y değeri 5 olur.
30 kişilik bir sınıfta herkes İngilizce, Almanca, Çince
dillerinden en az birini konuşabilmektedir. İngilizce
konuşabilenlerin tamamı Almanca da konuşabilmekte fakat Çince konuşamamaktadır.
Bu dillerden, en az ikisini konuşabilen 17 öğrenci
varsa sadece birini konuşabilen kaç öğrenci vardır?
Dolayısıyla z nin en büyük değeri
35  4.5
z
5
35  20
z
5
z  3 bulunur.
A) 17
B) 15
C) 13
D) 11
E) 9
Çözüm
Bu tür problemlerde en önemli adım doğru şemayı
oluşturabilmektir.
Ç
Soru
26 kişilik bir sınıftaki öğrencilerden İngiilizce bilenler
Almanca bilmemektedir. Almanca bilmeyenlerin sayısı, İngilizce bilmeyenlerin 2 katı, Almanca ve İngilizce bilmeyenlerin 5 katıdır.
t
z
x
Bu sınıfta İngilizce veya Almanca bilen kaç öğrenci
vardır?
A) 23
B) 22
C) 20
D) 18
y
E) 17
İ ve A kümelerinin ayrık olduğuna dikkat edin.
S
A
x
z
Ömer ALSAN ©
Çözüm
İ
A
İ
t:
z:
y:
x:
Sadece Çince konuşanlar
Çince ve Almanca konuşanlar
Sadece Almanca konuşanlar
İngilizce ve Almanca konuşanlar
Bize sorulan, t + y toplamı
x+y+z+t = 30
x+z = 17
t+y = (x+y+z+t) – (x+z)
t+y = 30 – 17
t+y = 13 bulunur.
y
x  y  z  26
x  y  2  y  z   5y
Cevap C
 x  4y ve 2z  3y bulunur.
Soru
y  2k olsun,
 x  8k ve z  3k olur.
x  y  z  26
X, Y, Z derslerinin okutulduğu 50 kursiyerli bir kursta, üç dersten de başarılı 5, X dersinden başarılı 23,
Y dersinden başarılı 21, Z dersinden başarılı 27
kursiyer bulunmaktadır.
8k  2k  3k  26
13k  26
k  2 bulunur.
x  z  8k  3k
Bu kursta sadece 2 dersten başarılı olan kaç kursiyer vardır?
A) 11
x  z  11k
x  y  11.2
x  y  22 olur.
B) 14
C) 18
D) 22
E) 26
Çözüm
Öncelikle s  X  Y   s(X  Z)  s(Y  Z) toplamını
Cevap B
hesaplayalım:
s(X  Y  Z)  50
s(X  Y  Z)  5
s(X)  s(Y)  s(Z)  23  21  27  71
s  X  Y   s(X  Z)  s(Y  Z)  a olsun
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
60
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
Çözüm
s(X  Y  Z)  s(X)  s(Y)  s(Z)  a  s(X  Y  Z)
50 = 71 – a + 5
a = 26
Sadece 2 dersten başarılı olanlar istendiğinden
26 – 3.5 = 11
Cevap A
Bu tür küme sorularında tablo çizilir.
Gözlüksüz kızların sayısına x dersek gözlüklü erkeklerin sayısı 2x olur. Benzer şekilde gözlüklü kızların sayısına y dersek gözlüksüz erkeklerin sayısı
2y olur. Bu değerler tabloya yansıtılınca kızların sayısının(x+y) erkeklerin sayısının(2x+2y) yarısı olduğu rahatlıkla görülür.
Soru
E: Sınıf
A:Futbol oynayanlar
B:Basketbol oynayanlar
C:Voleybol oynayanlar
Gözlükü
Gözlüksüz
E
A
Kız
y
x
Erkek
2x
2y
C
Cevap B
Soru
Bir sınıf öğretmeni, sınıfındaki öğrencilerin tamamını cinsiyet, gözlük kullanma ve spor yapma faktörlerine göre gruplandırıp oluşan öğrenci sayılarını
aşağıdaki tabloya yansıtmıştır.
B
Taralı alanı veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
B) Futbol ve basketbol oynayıp voleybol oynamayanlar.
C) Futbol ve basketbol oynayan fakat voleybol oynamayanlar veya sadece voleybol oynayanlar.
Ömer ALSAN ©
A) Sadece futbol veya basketbol oynayanlar ve
sadece voleybol oynayanlar.
D) Voleybol oynayıp futbol veya basketbol oynamayanlar veya basketbol ya da futbol oynayanlar.
E) Basketbol ve futbol oynayanlar veya sadece
voleybol oynayanlar.
Cinsiyet
Gözlük
Spor
Erkek: +
Kullanıyor: +
Yapıyor: +
Kız: -
Kullanmıyor: -
Yapmıyor: -
+
+
+
+
-
+
+
+
+
-
+
+
+
+
-
T
O
P
L
A
M
5
6
8
3
5
1
0
7
Çözüm
Taralı alanlar = (A  B)  C   C  A   B 
Cevap C
Soru
Buna göre, varılan sonuçlardan hangisi yanlıştır?
Bir sınıftaki gözlüklü erkeklerin sayısı, gözlüksüz
kızların iki katıdır. Gözlüksüz erkeklerin sayısı da
gözlüklü kızların iki katıdır.
A) Sınıf mevcudu 35 kişidir.
B) Kızların sayısı erkeklerden 13 eksiktir.
C) Gözlük kullananların sayısı spor yapanlardan
1 eksiktir.
D) Sınıfın yarısından fazlası spor yapmamaktadır.
E) Kızların gözlük kullanma oranı erkeklerin gözlük kullanma oranından fazladır.
Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle
doğrudur?
A)
B)
C)
D)
E)
Kızların sayısı erkeklerin sayısına eşittir.
Kızların sayısı erkeklerin sayısının yarısıdır.
Gözlüklülerin sayısı gözlüksüzlerinkine eşittir.
Gözlüksüzlerin sayısı gözlüklülerin yarısıdır.
Erkeklerin sayısı gözlüklülerin sayısına eşittir.
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
61
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
KÜMELER
Çözüm
Soru
Bu tür sorular çözülürken tablo dikkatlice incelenmelidir.
11
tür. Kızların
Erkeklerin gözlük kullanma oranı
24
4
gözlük kullanma oranı ise
dir.
11
11 4

olduğundan kızların gözlük kullanma oranı
24 11
erkeklerin gözlük kullanma oranından daha azdır.
sA  3
olmak üzere A nın kuvvet kümesinin 3 elemanlı kaç
alt kümesi vardır?
A) 1
B) 3
C) 12
D) 48
E) 56
Çözüm
sA  3
 s P  A    2 3  8
Cevap E
8 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı
Soru
alt küme sayısı  C  8,3 
A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak
üzere,
8
8!
 56
 
3
3!.5!
 
Cevap E
x :  x  A    x  B 
A)
 A  B    A  B 
B)
 A  B 
C)
A B
D)
 A  B   B  A 
E)
A   B
Ömer ALSAN ©
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
 bağlacıyla bağlanan
önermelerde her ikiside gerçekleşiyorsa
veya her ikisi de gerçekleşmiyorsa
durum doğru olur.
yani  x  A  iken  x  B 
veya
 x  A  iken  x  B  olmalı
E
A
B
Cevap A
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
62
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
TEST – 10 –
1. E evrensel kümesinin alt kümeleri A, B ve C
3. 70 kişilik bir toplulukta Bilgisayar bilen herkesin
olmak üzere,
bilgisayarı var fakat İnterneti yoktur. Bilgisayar
bilenlerin sayısı; Bilgisayarı olanların %20 si,
hem bilgisayarı hem de interneti olanların
%80 i, sadece interneti olanların da %40 ıdır.
A B
A C  
Bu toplulukta Bilgisayar ve İnterneti olmayan 10
kişi varsa Bilgisayarı olduğu halde bilgisayar
bilmeyen kaç kişi vardır?
şartlarını sağlayan E,A,B ve C kümelerine
en uygun ortak şema aşağıdakilerden hangisidir?
A) 18
A)
B) 22
C) 28
D) 30
E) 32
B)
E
E
B
A
C
A
C)
C
B
D)
E
E
A
B
B
A
C
4. Bir ülkede, arabası olanların %30’unun ehliyeti;
ehliyeti olanların da %60’ının arabası yoktur.
C
Bu ülkede, arabası olmayan ehliyet sahiplerinin sayısının, ehliyeti olmayan araba sahiplerinin sayısına oranı kaçtır?
E)
E
Ömer ALSAN ©
A B
C
A)
5
3
B)
7
2
C)
5
2
D)
7
3
E)
7
5
5. A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
E   1,2,3,4,5,6,7,8 
2. 28 kişilik bir sınıfta futbol oynamayan 16, Basketbol oynamayan 14 öğrenci vardır. 5 öğrenci
hem futbol hem de basketbol oynamaktadır.
A   1,2,5,7 
Buna göre sınıfta, Futbol ve Basketbol
oyunlarından her ikisini de oynamayan kaç
öğrenci vardır.
B   3, 4,5,6,7 
A) 5
olduğuna göre, A   B  kümesinin eleman
sayısı kaçtır?
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
A) 0
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
63
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
7.
TEST – 10 –
9.
A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğru değildir?
A)
 A  A
B)
A  A  
C)
E  
D)
A  B  A   B
E)
A  A
A   x : 70  x  122 , x  2k , k  N

B   x : 42  x  102 , x  3k , k  N

olmak üzere, AB birleşim kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
 x : 42  x  122 ,  x  2k    x  3k  , k N 
B)
 x : 42  x  122 ,  x  2k    x  3k  , k N 
C)
 x : 42  x  122 ,  x  2k    x  3k  , k N 
D)
 x : 42  x  122 ,  x  2k   x  3k , k N 
E)
 x : 70  x  102 ,  x  2k   x  3k , k N 
A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
3s B   2s  A    42
olduğuna göre, E evrensel kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
Ömer ALSAN ©
2s  A   3s B   13
E) 15
10. A   1,2,5,6 
A  B   1,2,3,5,6
olmak üzere, B kümesi aşağıdakilerden hangisi olamaz?
8. A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
A)
 1,2,3,5,6 
B)
 3,5,6 
C)
 3,5 
D)
 1,2,6 
E)
 1,3 
s  A  B   s B   3
olduğuna göre, AB kümesinin tümleyeninin
eleman sayısı nedir?
A) 3
B) 4
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 5
D) 6
E) 7
64
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 11 –
3.
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
A ve B kümeleri için,
s  A  B   s  A   s B 
A)
 A  B  B
B)
 A  B   A  B
C)
s  A  B   s  A   s B 
s  A  B  7
s  A  B   20
D)
s  A  B   s B 
E)
s  A  B   s  A  B   s  A   s B 
olduğuna göre, B – A fark kümesinin eleman
sayısının alabileceği en büyük değer nedir?
A) 10
4.
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
A B  A
2.
A  B   1,2,3, 4,5,6,7 
A  B   1,2,4 
Ömer ALSAN ©
s  A   3s B   5
olduğuna göre, B – A kümesi aşağıdakilerden
hangisi olamaz?
A)
 6,7 
B)
 3,5,6 
C)
 4,5,6,7 
D)
 3,5,6,7 
E)

3s  A   5s B   9
olduğuna göre, AB birleşim kümesinin eleman sayısı nedir?
A) 13
B) 15
C) 17
D) 19
E) 21
5. A ve B kümeleri için; sadece A kümesine ait 5,
sadece B kümesine ait 3, A veya B kümesine
ait 15 eleman olduğu bilinmektedir.
Buna göre, A ve B kümesine ait eleman sayısı nedir?
A) 1
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
65
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 11 –
9. A ve B kümeleri için,
A B , A B , A
s  A  B   s B  A   5  s  A  B   5
kümelerinin 1 elemanlı alt küme sayısı sırasıyla
1,16,4 olduğuna bilinmektedir.
olduğuna göre, AB birleşim kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Buna göre, B kümesinin 3 elemanlı alt küme
sayısı, 2 elemanlı alt küme sayısından ne
kadar fazladır?
A) 200
B) 208
C) 218
D) 228
A) 12
B) 15
C) 18
D) 21
E) 24
E) 248
10. A   x : 12  x  120 , x  3k , k  N 
 a,b,c ,d,e,f 
B   x : 52  x  160 , x  2k , k  N
kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b elemanı bulunur?
A) 14
8.
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
Ömer ALSAN ©
7.

olmak üzere, A – B , B – A , AB kümelerinin
eleman sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A–B
B–A
AB
A)
25
30
20
B)
41
25
12
C)
30
25
20
D)
37
42
11
E)
25
41
12
 1,2,3,4,5 
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4
elemanlarından sadece biri bulunur?
A) 8
B) 10
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 12
D) 14
E) 16
66
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 12 –
3. A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleri ol-
A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,
mak üzere,
A B  E
 x :  x  A    x  B 
s  A  B  s B  A  2
kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
s B  A  s  A B  1
A)
B)
E
A
E
B
A
B
A
B
s A B  s  A B  1
olduğuna göre, E evrensel kümesi en az kaç
elemanlıdır?
A) 14
B) 13
C) 12
D) 11
C)
D)
E
E) 10
A
E
B
E)
E
A
B
A
B
C
Ömer ALSAN ©
2.
4. A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,
 x :  x  A    x  B 
kümesinin tümleri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Şemadaki taralı alanı veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
E
A
A)
 A  B   C   C  A 
B)
 A  B  C     C  A 
C)
 A  B   B  C 
C)
D)
 A   A  B     C  A 
E)
 A  C   C  A 
D)
E
A
B
A
B
E
E
A
67
A
B
E)
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
E
B
B
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
5.
TEST – 12 –
A  B   x : 80  x  400 , x  24k , k  N
8. Bir kümeye x tane eleman ilave edince alt kü-

me sayısı 63 kat artıyor.
olmak üzere, A kümesi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)

x : 20  x  500 , x  5k , k  N

B)

x : 98  x  500 , x  8k , k  N

C)

x : 20  x  500 , x  8k , k  N

D)

x : 1  x  800 , x  16k , k  N

E)

x : 20  x  300 , x  3k , k  N

Buna göre, 2x elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı nedir?
A) 25
9.
B) 48
C) 55
D) 66
E) 78
A B  A
6.
4 elemanlı alt küme sayısı, 3 elemanlı alt küme
sayısının 2 katı olan bir kümenin eleman sayısı nedir?
A) 9
7.
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Ömer ALSAN ©
eşitliği için aşağıdakilerden hangisi yeterli
değildir?
A)
s  A   s B   s  A  B 
B)
A B  B
C)
A B  B
D)
BA 
E)
A B
A   1,2,3 
B   1,2,3, 4,5,6,7,8,9 
10.  1,2,3,4 
olmak üzere, A  C  B koşulunu sağlayan
ve çift sayıda elemana sahip kaç farklı C
kümesi vardır?
A) 16
B) 32
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 48
D) 56
kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları toplamı asal sayıdır?
E) 64
A) 2
68
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
TEST – 13 –
1. Evet, hayır seçenekli 3 sorunun yöneltildiği bir
3. Son sınıftaki bütün öğrencilerinin ÖSS’ye girdi-
ankette; ankete katılan 100 kişiden her biri yöneltilen her üç soruyu da yanıtlamış ve sonuçlar aşağıdaki tabloya yansıtılmıştır.
ği bir lisede, aşağıdaki küme istatistiği verilmiştir.
E: Son
sınıftaki
öğrencilerin
kümesi.
A: ÖSS’yi kazanan öğrencilerin kümesi.
B: Takdir belgesi alan öğrencilerin kümesi.
C: Teşekkür belgesi alan öğrencilerin kümesi.
Evet Hayır
sayısı sayısı
y
3x
Herhangibir işte çalışıyormusunuz ?
2x
42
Oturduğunuz ev kendinizinmi ?
5y
z
Ev limi sin iz ?
E
A
C
B
55
52
120
Şemadaki sayılar bulundukları bölgedeki öğrenci adedini verdiğine göre, son sınıftaki öğrencilerle ilgili aşağıdaki yorumlardan hangisi
yanlıştır?
A) Herhangi bir işte çalışanlardan en az 45
tanesi bekardır.
B) Oturduğu ev kendine ait olanlardan en az
7 tanesi herhangi bir işte çalışmamaktadır.
A) Takdir belgesi alan her öğrenci ÖSS’yi kazanmıştır.
C) Herhangi bir işte çalışmayanların en az 29
tanesi bekardır.
B) Teşekkür belgesi alan öğrencilerin yarısından fazlası ÖSS’yi kazanamamıştır.
Ömer ALSAN ©
D) Gruptan seçilen herhangi bir kişi ya bekardır ya da herhangi bir işte çalışmaz.
E) Herhangi bir işte çalışanların sayısı, oturduğu ev kendisine ait olanların sayısından
azdır.
25
48
Ankete katılanlarla ilgili, sadece bu tablodaki
verilerle aşağıdaki sonuçlardan hangisine
ulaşılamaz?
C) Son sınıf öğrencilerinin ÖSS’yi kazanma
oranı %45 den azdır.
D) Takdir ya da teşekkür belgesi alamayanların ÖSS’yi kazanma oranı %30 dan fazladır.
E) ÖSS’yi kazananların %48’i takdir belgesi
alan öğrencilerdendir.
2. Uluslar arası bir festivalde görevli 52 kişilik folklorcu grubuyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir.
I.
Yerli folklorculardan 12 tanesi erkektir.
II.
Yabancı folklorculardan 8 tanesi kızdır.
III.
Erkek folklorcuların sayısı kız folklorculardan 12 kişi fazladır.
4. Tekvando, judo ve aikido derslerinin verildiği bir
spor okulunda;her üç sporu da yapanların oranı
%12, tekvando yapanların oranı %25, judo yapanların oranı %48, aikido yapanların oranı da
%52 dir.
Buna göre, kurstaki sporculardan tekvando,
judo ve aikido sporlarından sadece iki tanesini yapanların oranı % kaçtır?
Buna göre, festivalde görevli folklor grubunda
kaç tane yabancı folklorcu vardır?
A) 24
B) 26
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 28
D) 30
E) 32
A) 1
69
B) 3
C) 8
D) 12
E) 37
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
TEST – 13 –
5. Bir sınıftaki öğrencilerin tamamı İngilizce veya
9. A,B ve C kümeleri, E evrensel kümesinin alt
Biyolojiden kalmıştır. İngilizceden geçen 21; Biyolojiden geçen 11 öğrenci bulunmaktadır.
kümeleridir.
E: Sınıftaki öğrenciler
Her iki dersten de kalan öğrencilerin oranı sınıfın %20’si olduğuna göre, sınıf mevcudu kaçtır?
A) 38
B) 40
C) 42
D) 44
A: Sarışın öğrenciler
B: Gözlük kullanan öğrenciler
E) 46
C: Erkek öğrenciler
olduğuna göre, B  C   A kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
6. 30 büyük baş hayvanın bulunduğu bir ahırda,
A) Sınıftaki gözlük kullanan kız öğrenciler
veya sarışın olmayan öğrenciler.
her hayvan saman veya küspeyle beslenmektedir. Samanla beslenenlerin sayısı küspeyle
beslenenlerin sayısının 7 katıdır.
B) Sınıftaki gözlük kullanmayan kız öğrenciler
veya sarışın olmayan öğrenciler.
Buna göre ahırda, hem yem hem de küspeyle
beslenen hayvan sayısı nedir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
C) Sınıftaki gözlük kullanmayan kız öğrenciler
veya sarışın öğrenciler.
E) 5
7. İngilizce bilen her öğrencinin gözlük kullandığı
24 kişilik bir sınıfta, İngilizce bilmeyenlerin sayısı gözlük kullananların 3 katıdır.
Ömer ALSAN ©
D) Sınıftaki sarışın öğrenciler veya kız öğrenciler.
E) Sınıftaki gözlük kullanan kız öğrenciler
veya esmer öğrenciler.
Buna göre, sınıfta gözlük kullanmayan öğrenci sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 11
B) 13
C) 15
D) 17
E) 19
10. A ve B iki küme olmak üzere,
8.
 x :  x  A    x  B 
İngilizce bilenlerin Fransızca bilmediği bir sınıfta, Almanca bilenler Fransızca da bilmektedir.
Almanca bilenlerin sayısı İngilizce bilenlerin sayısının iki katı; Fransızca bilenlerin sayısının
ise yarısıdır.
kümesinin tümleyeni aşağıdakilerden hangisidir?
A) A
Sınıftaki 3 öğrenci İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden hiç birini bilmediğine göre, sınıf mevcudu aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 20
B) 27
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 33
D) 37
C) A  B
B) B
D) B  A
E) A  B
E) 42
70
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
TEST – 14 –
1. A ve B kümeleri için
4.
A  B , 2s  A   5s B   27 , s  A  B   3
B   1,2,3, 4,5,6,7,8,9 
olduğuna göre, s(A – B) + s(B – A) toplamının
değeri nedir?
A) 10
B) 12
C) 15
A   1,2,3 
D) 17
olduğuna göre, A’yı kapsayan ve B
tarafından kapsanan kümelerden kaç
tanesinde 5 veya 6 eleman olarak bulunur?
E) 18
A) 48
2.
B) 50
C) 56
D) 64
E) 72
8 n 1 tane alt kümesi olan bir kümenin 4 n  4  1
tane öz alt kümesi olduğuna göre, bu kümenin
eleman sayısı nedir?
B) 6
C) 10
D) 15
E) 18
Ömer ALSAN ©
A) 5
5. 5 elemanlı alt küme sayısı 6 elemanlı alt küme
sayısından çok olan bir kümenin eleman sayısı
kaç farklı değer alır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
3. 2 elemanlı alt küme sayısı 21 olan bir kümenin
kuvvet kümesinin eleman sayısı nedir?
A) 32
B) 64
C) 128
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
D) 256
E) 512
71
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
TEST – 14 –
6. A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
9.
s E   10
2s  A   3s  A    27
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için
aşağıdaki koşullu önermelerden hangisi
gerektirmedir?
A)
A  B    s  A  B   s  A   s B 
B)
A  B  A B  B
C)
A  B  A B  B
D)
A B    B  A
E)
A  B    A B  A
2s  A   s B   8
olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı
nedir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
7. A ve B kümeleri için



 B   A   A  B   B 



ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) B
B) A  B
D) A
C) B  A
E) A  B
Ömer ALSAN ©

10. İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden en
az birinin, en çok ikisinin konuşulduğu bir
sınıfta, İngilizce bilmeyen 20, Almanca
bilmeyen 15, Fransızca bilmeyen 12 öğrenci
vardır.
A ve B dir.
Bu sınıfta 2 dil bilen 5 öğrenci olduğuna göre,
İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden
sadece birini bilen kaç öğrenci vardır?
s  A  B   17
A) 20
8. E evrensel kümesinin iki farklı alt kümesi
B) 21
C) 22
D) 43
E) 24
s  A  B  8
s  A  B   13
olduğuna göre, AB birleşim kümesinin
eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi
olamaz?
A) 20
B) 21
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 22
D) 23
E) 24
72
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
DENEME SINAVI – 1 –
4.
p  q  p
Bileşik önermesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
açık önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 1
A)
x  R için x  x  0
B)
x  R için x  x  0
C)
x  R için x  x  0
D)
x  R için x  x  0
E)
x  R için x  x  0
B) 0
C) p
D) q
E) p
2. Aşağıdakilerden hangisi bir çelişkidir?
A)
x 2  1   1  2x  1  3
B)
x 2  x 1 0  x  0
x x  x0
D)
1
0  x0
x
E)
1
 x  x 1
x
Ömer ALSAN ©
C)
3.
x  R için x  x  0
5. Dört sorudan oluşan bir ankette her soruya
A, B, C, D yanıtlarından birinin verilmesi gerekmektedir. 4 kişinin katıldığı bu ankette sorulara verilen bazı yanıtlar aşağıdaki gibidir.
1.kişi
1.
soru
A
2.
soru
1
3.
soru
B
4.
soru
2
2.kişi
3.kişi
4.kişi
3
B
7
A
5
B
4
A
8
B
6
A
Aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
A)
x  R için x 2  x  1  0
B)
x  R için x  x
C)
x  R için
D)
x  R için x  x
Yukarıdaki tabloda 1,2,3,4,5,6,7,8 rakamlarıyla
numaralanmış kutular da doldurulduğunda hiçbir satır yada hiçbir sütunda harf tekrarı bulunmayacaktır.
x
0
x 1
Buna göre, aşağıda numaraları verilen kutulardan hangisindeki yanıt diğerlerinden farklı olmak zorundadır?
A) 2
E)
2
y
  x, y   R için x  y
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
B) 3
C) 5
D) 7
E) 8
x
73
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
DENEME SINAVI – 1 –
8.
“ Ahmet ÖSS sınavını kazanamazsa yurt dışına gider ”
A ve B kümeleri için, aşağıdakilerden hangisi
AB kümesini ifade etmek için kullanılır?
Gerektirmesinin karşıt tersi aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
x : x  A 
A) Ahmet ÖSS sınavını kazanırsa yurt dışına
gitmez.
B)
x : x  A
C)
x : x  A  x  B
D)
x : x  A
 x  B
E)
x : x  A
 x  B
B) Ahmet yurt dışına giderse ÖSS sınavını
kazanamaz.
C) Ahmet yurt dışına gitmezse ÖSS sınavını
kazanır.
x  B
 x  B
D) Ahmet yurt dışına giderse ÖSS sınavını
kazanır.
E) Ahmet ÖSS sınavını kazanırsa yurt dışına
gider.
Ömer ALSAN ©
9. İngiliz ve Amerikanlardan oluşan x kişilik bir tu-
7.
1
1  x 1
x
B)
x 2  x  0  1 x  2
C)
x 2  2x  1  0  x  1
D)
E)
Amerikan erkeklerin sayısı, İngiliz kızların sayısından 15 fazla olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 27
Aşağıdakilerden hangisi totolojidir?
A)
rist kafilesinde, İngiliz erkeklerin sayısı, Amerikan kızların sayısına eşit; İngiliz kızların sayısının ise yarısıdır.
B) 33
C) 45
D) 65
E) 75
10. A  B
x x 0  x0
olmak üzere, A kümesinin alt kümelerinden 8
tanesi aynı zamanda B kümesinin de alt kümesidir.
x 1
 0  x 1
x 1
Buna göre, AB kümesinin eleman sayısı
aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 7
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
74
B) 15
C) 27
D) 48
E) 83
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
11.
DENEME SINAVI – 1 –
14. 36 kişilik bir sınıfta, İngilizce bilmeyenlerin sa-
C
yısı Japonca bilmeyenlerin iki katı; Japonca bilenlerin sayısı ise İngilizce bilenlerin iki katıdır.
B
A
Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi
doğrudur?
A) Sadece İngilizce bilenlerin sayısı sadece
Japonca bilenlerden 12 fazladır.
Şemada verilen A, B ve C kümeleri için, aşağıda verilen ifadelerden hangisi yanlıştır?
B)  C  A   B
A) B  A
D)  A  C   B
B) Sadece İngilizce bilenlerin sayısı sadece
Japonca bilenlerden 12 eksiktir.
C)  C  B   A
C) Sadece İngilizce bilenlerin sayısı sadece
Japonca bilenlerden 6 fazladır.
E) B  C    A  B 
D) Sadece İngilizce bilenlerin sayısı sadece
Japonca bilenlerden 6 eksiktir.
E) Sadece İngilizce bilenlerin sayısı sadece
Japonca bilenlerden 9 eksiktir..
kümesinden farklı 4; B kümesinin ise A kümesinden farklı 7 elemanı vardır. A kümesindeki 5
eleman aynı zamanda B kümesinin de elemanıdır.
Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi
yanlıştır?
A)
s  A  B   s  A  B   11
B)
sA  9
C)
s  B   12
D)
s  A  B   14
E)
s  A  B   s B  A   11
Ömer ALSAN ©
12. A ve B iki küme olmak üzere, A kümesinin B
15.
B
A
Şemada A, B ve C kümeleri verilmiştir. Buna
göre, taralı alanı veren ifade aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
B  C    A  B 
B)
A B C
C)
B  C    A  B  C 
kümenin 3 ten fazla elemanlı kaç alt kümesi
vardır?
D)
A  B  C
A) 36
E)
A  B  C 
13. Üçten az elemanlı alt küme sayısı 29 olan bir
B) 40
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C
C) 52
D) 58
E) 64
75
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 1 –
16. A ve B kümeleri için
18. Okul Kütüphanesindeki kitapların, Ayşe 290
tanesini; Merve ise 320 tane tanesini okumuştur. Okul Kütüphanesinde Ayşe’nin okumadığı
fakat Merve’nin okuduğu 55 kitap vardır.
A  B
olduğuna göre, aşağıdakilerden
kesinlikle doğrudur?
hangisi
Merve Okul Kütüphanesindeki kitapların
%80 ini okuduğuna göre, Okul Kütüphanesinde her ikisinin de okumadığı kaç kitap
vardır.
A) A  B  A
B) B  A
A) 35
B) 40
C) 45
D) 50
E) 55
C) B  A
D) B  A  A
E) A  B  B  A
17. A  x : 3  x  7
B   x : 5  x  11
Ömer ALSAN ©
19. A   1,2,3 
olmak üzere, A nın kuvvet kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesi ayrık kümelerden oluşur?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
olduğuna göre, AB kümesinin tümleyeni
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x : x  5 veya x  7
B)
x : x  5 veya x  7
C)
x : x  5 veya x  7
D)
x : x  5 veya x  7
20. Ayrık A ve B kümeleri için aşağıdaki bilgiler veriliyor.
E)
I.
A kümesinin 6 elemanlı alt küme sayısı, A
kümesinin eleman sayısına eşittir.
II.
B kümesinin 9 elemanlı alt küme sayısı, B
kümesinin eleman sayısından azdır.
x : x  3 veya x  11
Buna göre, AB birleşim kümesinin eleman
sayısı kaçtır?
A) 13
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
76
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
Zirveyi hedefleyenlere…
BÖLÜM 3
BAĞINTI
FONKSİYON
VE
İŞLEM
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Soru
3.1. K ART EZYE N Ç ARP IM
 a  2b, 3b  5    2b  3 a, a  1
olduğuna göre b kaçtır?
Sıralı İkili
A) 1
xA ve yB olmak üzere (x,y) ifadesine, A’ dan B’
ye tanımlı sıralı ikili denir.
x: sıralı ikilinin 1. elemanı (bileşeni)
y: sıralı ikilinin 2. elemanı (bileşeni)
b)
B’ den A’ ya tanımlı sıralı ikililer:
 a,1 ,  a,2 , b,1, b,2 
c)
A’ dan A’ ya tanımlı sıralı ikililer:
1,1 , 1,2 ,  2,1 ,  2,2 
d)
B’ den B’ ye tanımlı sıralı ikililer:
 a,a , a,b  , b,a  , b,b 
D) 4
E) 5
 a  2b  2b  3a   b  5  a  1
a  2b  2b  3a
4a  4b
ab
3b  5  a  1
3b  a  5  1
3b  a  4
a  b olduğundan 3b  b  4
2b  4
A  1, 2  , B  a, b  olmak üzere
A’ dan B’ ye tanımlı sıralı ikililer:
1,a , 1,b  , 2,a  ,  2,b 
C) 3
Çözüm
Örnek
a)
B) 2
b2
Cevap B
Kartezyen Çarpım Kümesi
Sıralı İkililerin Eşitliği
A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere,
A’ dan B’ ye tanımlı bütün sıralı ikililerin oluşturduğu
kümeye A ile B kümelerinin kartezyen çarpımı denir
ve AxB ile gösterilir.
Ömer ALSAN ©
 x, y    z,t    x  z    y  t 
 x, y    y, x   x  y
 x, y    y, x   x  y
Örnek
 x,3    5, y    x  5    3  y 
 a  b,1   3,a  b   a  b  3   a  b  1
 a,b,c    3,5,7   a  3   b  5   c  7 
AxB 
 x, y  : x  A, y  B 
Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısı
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kartezyen çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
s  AxB   s  A  .s B 
s  AxA   s  A  .s  A   s  A 
s  AxBxC   s  A  .s B  . s  C 
Soru
2
s  AxB   s BxA  fakat AxB  BxA
 x  3, 5    8, y  1
Örnek
olduğuna göre x.y kaçtır?
A) 14
B) 16
C) 18
A  a ,b ,B  1, 2, 3 olmak üzere
D) 20
AxB ,BxA , AxA ,BxB kümelerini
a) Liste
b) Şema
c) Grafik
yöntemleriyle gösterip, eleman sayılarını belirleyin.
E) 22
Çözüm
x3  8
 x  5
Çözüm
y1 5
a)
 y  4
AxB   a,1 ,  a,2  ,  a,3  , b,1 , b,2  , b,3 
BxA   1,a  , 1,b  ,  2,a  ,  2,b  , 3,a  , 3,b 
x.y  2 0
AxA    a,a  ,  a,b  , b,a  , b,b 
Cevap D
BxB  1,1 , 1,2  , 1,3  ,  2,1 ,  2,2  ,  2,3 
,  3,1 ,  3, 2  ,  3 ,3 
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
79
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
b)
A
FONKSİYONLAR
B
B
Kartezyen Çarpımın Özellikleri
A
1.
.1
.1
Kartezyen çarpımın değişme özelliği yoktur.
.a
.a
.b
.2
.2
.3
.3
2.
.b
Ax
B
n pozitif doğal sayı olmak üzere, bir kümenin n.
kuvveti aşağıdaki şekilde tanımlanır.
A1  A
Bx
A
A
A 2  AxA
A 3  AxAxA
B
A
.a
AxB  BxA
A n  AxAxAx...A



B
.1
.1
.2
.2
.3
.3
n tane
3.
.a
Kartezyen çarpımın birleşme özelliği vardır.
 AxB xC  Ax BxC
.b
.b
4.
Ax
A
Bx
B
Kartezyen çarpımın birleşim, kesişim ve fark
üzerine dağılma özelliği vardır.
Ax  B  C    AxB    AxC 
Ax  B  C    AxB    AxC 
Ax  B  C    AxB    AxC 
Kartezyen çarpımın grafiği çizilirken, çarpıma
giren 1. küme yatay eksene; 2. küme düşey
eksene yansıtılır.
A
b
a
B
3
2
1
  
  
1 2 3
 
 
 
s A  B   8
A
B
a b
BxA
 
 
a b
B) 6
C) 28
D) 48
E) 64
A  B  A  B
 CxA    CxB   Cx  A  B 
s Cx  A  B    s  C  .s  A  B 
  
  
  
A
AxA
man sayısı kaçtır?
Çözüm
B
3
2
1
s C   6
olduğuna göre,
 C xA   CxB  Kartezyen çarpım kümesinin ele-
A) 2
AxB
A
b
a
Soru
Ömer ALSAN ©
c)
1 2 3
 6.8
 48
B
Cevap D
BxB
Soru
s( A )  2 , s(B )  3
s  A  B  3
s(B x A )  s( A x B )  s( A ).s(B )
 A  B  x B  A    1, 2  , 1, 3  , 1, 4  , 1, 5  
s( A xB )  2 .3
s( A xB )  6
olduğuna göre  A  B  kartezyen çarpım kümesi-
s( A xA )  s( A ).s( A )
nin eleman sayısı kaçtır?
2
s( A xA )  2 .2
A) 2 4
s( A xA )  4
B) 2 6
C) 2 8
D) 2 10
E) 2 12
s(B x B )  s(B ).s(B )
s(B x B )  3 .3
s(B x B )  9
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
80
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Çözüm
a,b yarı açık aralığı
a,b   x : a  x  b, x  R
3.
A  B   1  s  A  B   1
B  A   2,3, 4,5   s B  A   4
s  A  B   s  A  B   s  A  B   s B  A 
R
s(A  B)  1  3  4  8
b
a
2
2
s  A  B     s  A  B   8 2  2 3


 
2
 26
Cevap B
a,b kapalı aralığı
a,b  x : a  x  b, x  R
4.
Soru
s  AxB   2.s  AxC ,s BxC   18
R
2
2
olduğuna göre, s(B )  s(C ) farkı kaçtır?
A) 16
B) 20
C) 24
b
a
D) 27
E) 32
Çözüm
Örnekler
s  A   x ,s B   y, s(C)  z olsun,
1.
1, 3     ,1   3 ,  
s  AxB   2.s  AxC   x.y  2.x.z  y  2z
R
s BxC   18  y.z  18
y  2z olduğundan
2z .z  18
R
3
1
3
1
1, 3 
  ,1   3 ,  
2z 2  18
2
   
s B 2  s C 2  s B    s C  
2
6 3
 36  9
 27
Ömer ALSAN ©
z2  9
z3
y  2z  y  2.3  y  6
2
1,3  2,5  1,5 
2.
2

3
1
2
Cevap D
1
5
1
6
5
1,5  2, 6   1, 6 
3.
Reel Sayı Aralıkları
1.
2
6
 4,6   5,9  5,6
4.
R
b
a
5
a,b yarı açık aralığı
 a,b  x : a  x  b, x  R

6
4
2.

5
1
a,b açık aralığı
 a,b  x : a  x  b, x  R
5
6
2
4
9
1, 4   2,5   2, 4
5.
R
a
b
4
1
2
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
81

5
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
6.
FONKSİYONLAR
Örnek
1,5   4,8   1, 4
A   x : 1  x  3, x  R ,B  y : 2  x  5, y  Z
5
1

4
Olmak üzere, AxB ,BxA , AxA ,BxB nin grafiklerini çiziniz.
4
1
8
Çözüm
A  1,3 ,B  3, 4,5
7.
3 5
3
1,2    ,   1, 
 2 2   2
1
3
2
AxB nin grafiği
(Re el aralık, x ekseni üzerinde
y

2
1
3
2
5
2
olduğundan, grafik x eksenine
paralel doğru parçaları olur.)
5
4
3
x
Reel Sayı Aralıklarıyla Kartezyen Çarpım
1 2 3
İki reel sayı aralığının Kartezyen çarpımının grafiği
bir bölgeyi verir.
Örnek
BxA nın grafiği
(Re el aralık, y ekseni üzerinde
olduğundan, grafik y eksenine
paralel doğru parçaları olur.)
y
A  x : 2  x  4, x  R
Çözüm
A   2,4 , B  1,5 
3
2
1
Ömer ALSAN ©
B  y : 1  y  5, y  R
Olmak üzere, AxB ,BxA , AxA ,BxB nin grafiklerini
çiziniz.
x
3 4 5
Aralığın uç noktası kapalıysa düz çizgi, açıksa kesikli çizgi kullanılır.
AxA nın grafiği
(Reel aralık, y ve x ekseni üzerinde
y
olduğundan, grafik, bölge olur )
3
y
y
5
AxA
1
4
AxB
1
BxA
1
x
2
5
1
BxB nin grafiği
y
y
y
4
AxA
BxB
x
2
(x ve y eksenleri üzerinde
tamsayı kümeleri olduğundan,
grafik sayılabilir noktalardan
oluşur.)
5
4
3
5
2
4
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
3
x
4
2
x
x
1
3 4 5
x
1
5
82
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
y
Soru
K ve L kümelerine ait KxL kartezyen çarpımının
grafiği aşağıda verilmiştir.
4
Alan
4  3  1br
y
5.1  5br 2
3
x
2
8
3
1
8  3  5 br
x
Cevap A
1
0
Soru
Grafiğe uygun K ve L kümeleri aşağıdakilerden
hangisidir?
K  x : 3  x  a, x  R,a  Z
L   y : b  x  2, x  R,b  Z
olmak üzere, KxL kartezyen çarpım grafiğinin koordinat düzleminde kapladığı alan 12 br 2 ise a.b çarpımının alabileceği kaç farklı değer vardır?
A)
K  x : 1  x  0, x  R , L  y : 1  y  2, y  Z
B)
K  x : 1  x  0,x  R , L  y : 1  y  2,y  Z
C)
K  x : 1  x  0,x  Z , L  y : 1  y  2, y  R
D)
K  x :1  x  0, x  Z , L  y : 1  y  2, y R
A) 2
E)
K  x :1  x  0, x  Z , L  y : 1  y  2, y R
Çözüm
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
K  3,a 
Çözüm
K  a3
Ömer ALSAN ©
Grafik y eksenine paralel doğru parçalarından oluştuğu için, x ekseninde tamsayı aralığı ve y ekseninde reel sayı aralığı olmalıdır. Yani K kümesi tamsayı
aralıklı, L kümesi reel sayı aralıklıdır.
x ekseninde 0 ve -1 noktaları kullanıldığından K
kümesi 1,0 ve y ekseninde 1 ile 2 arasında ka-
L  b, 2
L  2  b
lan bütün noktalar kullanıldığından L kümesi 1,2
olur.
Cevap C
 a  3  .  2  b   12
Soru
a  3 2  b
A  3, 5    4, 8
B   0, 4   3, 7 
olmak üzere, AxB kartezyen çarpımının grafiği, koordinat düzleminde kaç br 2 alan kaplar?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Çözüm
A  3 ,5    4,8   3,8 
a
b
a.b
1
2
3
12
6
4
4
5
6
 14  56
 8  40
 6  36
4
3
7
5
6
2
9
 4  36 
12
1
15
3
 35
 45
a.b nin 5 farklı değeri var .
A  8  3  5 br
B   0, 4   3,7   3 , 4 
Cevap C
B  4  3  1br
Alan  AxB   5.1  5 br 2
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
83
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Soru
Soru
A   1,2,3,4 
A   1,2,3 
olmak üzere A 2 kartezyen çarpım kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayacak en küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir?
A) 2
B) 2 2
C) 3
D) 2 3
B   a,b 
E) 5
olmak üzere, AxB kartezyen çarpım kümesinin 3
elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1,a  sıralı
Çözüm
ikilisi vardır, fakat 1,b  sıralı ikilisi yoktur?
A) 3
4
3
2
1
















1
2
3
4
C) 5
D) 6
E) 7
Çözüm
AxB kartezyen çarpım kümesinde,
s  AxB   s  A  .s B 
 3.2
 6 tane sıralı ikili vardır.
seçilecek 3 sıralı ikiliden biri belli
dolayısıyla 2 sıralı ikili seçilecek.
2 sıralı ikiliyi seçilirkende 6  2  4 sıralı ikili
4 2
4
B) 4
içinden seçilir. Çünkü,6 taneden 1,a  sıralı ikilisi

Çapı 4 2 birim ise yarıçapı 2 2 birim olur.
Cevap B
Ömer ALSAN ©
4
zaten kullanıldı ve 1,b  sıralı ikilisinide
soru kullanmamamızı söylüyor.
4
4!
6
 
 2  2!.2!
Soru
Cevap D
 2x  3,12    7,2x  y 
olduğuna göre, x.y çarpımının değeri nedir?
A) – 10
B) – 16
C) – 20
D) – 24
E) – 28
Çözüm
2x  3  7
2x  10
2x  y  12
y  2x  12
y  10  12
y  2
x.y  5.  2 
x.y  10
Cevap A
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
84
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 15 –
4.
A   1,2,3 
Sayma
Sayıları
Kümesinde
 a,3b ve  2b,2c  sıralı
B   2,3,4 
B)  2,2
D)  2,4 
2.
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
C) 1,1
E) 1,3
A   1,4,7 
olmak üzere, A’ da tanımlı sıralı ikililerin bileşenleri toplamı, aşağıdakilerden hangisi
olamaz?
B) 5
C) 8
D) 12
E) 14
5.
Ömer ALSAN ©
A) 2
s  AxB   48
olduğuna göre, AB birleşim kümesinin eleman sayısı en az kaçtır ?
A) 8
3.
ikilileri eşit olduğuna
göre, a  2b  3c toplamının değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
olmak üzere, aşağıdaki sıralı ikililerden hangisi
A’ dan B’ ye tanımlı değildir?
A)  3,3 
tanımlı
B) 12
C) 14
D) 16
E) 24
A   a,b,c,d 
B   b,d,e, f ,g 
olmak üzere, aşağıdaki sıralı ikililerden hangisi
hem A’ dan B’ ye hem de B’ den A’ ya tanımlı değildir?
A) b,b 
B) b,d
C)
 d,b
D)  d,d
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
E)  d,e 
85
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 15 –
s  A  B  14
9.
s  C  3
olmak üzere, A2 kartezyen çarpım kümesinden
seçilen herhangi bir sıralı ikilinin (a,a) biçiminde olma olasılığı % kaçtır?
olduğuna göre, (AxC) – (BxC) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı nedir?
A) 11
7.
B) 17
C) 35
D) 36
A   0,1,2,3,4 
E) 42
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 50
AxB   a,a  ,  a,b  ,  a,c  , b,a  , b,b  , b,c 
A) a,b
B) a,c
C)
b
D) c
Ömer ALSAN ©
olduğuna göre, B – A fark kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
10. A  3,x 
B   x,19
olmak üzere, AxB kartezyen çarpım kümesinin
koordinat düzlemindeki görüntüsü bir kare olduğuna göre, x in değeri nedir?
E) a
A) 7
8.
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
A    ,3    7,  
B    ,1   8,  
olmak üzere, (R – A)x(R – B) kartezyen çarpım kümesinin koordinat düzleminde taradığı alan kaç birim karedir?
A) 16
B) 24
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 28
D) 32
E) 36
86
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
2
x2
 
,3 6  8 3 ,9
y 2
TEST – 16 –
4.

y
4
olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği
en büyük değer nedir?
3
A) 12
1
B) 10
C) 8
D) 6
2
E) 4
x
1
2
3
4
Yukarıda BxA kartezyen çarpımının grafiği verilmiştir.
Buna göre, A kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
2.
s  A  B  4 , s  A  B  6
A)
1,4
B)
1,2,3,4
C)
1,4
kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı
nedir?
D)
1,4 
A) 60
E)
1,4
olduğuna göre,
 A 2   AxB    A 2   AxB  
C) 80
D) 90
E) 100
Ömer ALSAN ©
B) 70
3.
A  3,9 
5.
B   6,16 
olmak üzere,
 A  B  x B  A 
A  1,4    2,7 
kartezyen çar-
pım kümesinin koordinat düzleminde kapladığı alan kaç birim karedir?
A) 18
B) 21
C) 24
D) 27
A  1,4    2,7 
olmak üzere, AxB kartezyen çarpımının grafiğinin taradığı alanın çevresi kaç biridir?
E) 30
A) 12
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
87
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 16 –
s  A  B   2 , s B  A   3 , s  A  B   4
9.
A   1,2,3,4,5,6 
B   1,11
olduğuna göre,  AxA    AxB  kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı nedir?
A) 36
7.
B) 45
C) 54
D) 63
olmak üzere, BxA kartezyen çarpım grafiğinde bulunan noktaları dışarıda bırakmayacak
şekilde çizilen en küçük çemberin çapı kaç
birimdir?
E) 72
A  x : 2  x  7 , x  R
A) 9
B) 10
C) 12
D) 13
E) 15
B  y : 0  x  5 , y  R
olmak üzere  AxB   BxA  kartezyen çarpım
kümesinin grafiğinin taradığı alan kaç birim
karedir?
A) 4
8.
B) 6
C) 8
D) 9
E) 16
A  x : 1  x  3 , x  R
10. A   1,2 
olmak üzere, AxB kümesinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
Ömer ALSAN ©
B  y : 1  x  3 , x  R
B  1,2
olmak üzere, AxB kartezyen çarpımının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
y
B)
y
3
y
3
1
1
x
x
3
1
1
2
2
1
1
x
3
1
C)
C)
D)
y
3
y
1
x
1
2
1
2
y
2
2
1
1
x
3
1
1
D)
y
3
1
x
2
x
3
1
x
2
E)
y
E)
y
2
3
1
1
x
x
1
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
1
2
3
88
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Örnek
3.2. B AĞINT I
A  0,1, 2,3,4 olmak üzere, A 2 de tanımlı

Bağıntı Sayısı ve Grafiği
 x, y  : x
2

 y bağıntısını
a) Liste yöntemiyle,
b) Şema yöntemiyle,
c) Grafik yöntemiyle ifade ediniz.
AxB Kartezyen çarpım kümesinin herhangi bir alt
kümesi A’ dan B’ ye bir bağıntıdır.
Bağıntı genellikle  ile gösterilir. A’ dan B’ ye bir 
bağıntısı  : A  B ile ifade edilir.
Çözüm
AxA kartezyen çarpım kümesinden öyle sıralı ikililer
seçmeliyiz ki sıralı ikilinin 1. elemanının karesi, sıralı
ikilinin 2. elemanına eşit olsun.
0 2  0 ,12  1,2 2  4
A ‘dan B’ ye 2 s( AxB ) tane farklı bağıntı tanımlanabilir.
AxA Kartezyen çarpım kümesinde tanımlı bağıntılara; bazen “ A 2 de tanımlıdır.”, bazen de “A da tanımlıdır.” denir.
Örnek
a)
A  1,2 ,B  3 olmak üzere A dan B ye tanımlı
:A  A
   0,01,1 2,4 
bütün bağıntıları yazınız.
Çözüm
AxB  1,3  ,  2,3 
s  AxB   s(A).s(B)  2.1  2 olduğundan

b)
A ' danB ' ye 2 s(AxB )  2 2  4 tan e bağıntı yazılabilir.
1  
Ömer ALSAN ©
 2  1,3 
 3   2,3 
 4  1,3 ,  2,3 
Soru
A
A
.0
.0
.1
.1
.2
.2
.3
.3
.4
.4
A  1,2,3 ,B  0,1,2,4
olmak üzere aşağıdakilerden hangi hem A’ dan B’
ye hem de B’ den A’ ya tanımlı bir bağıntıdır?
A)
 1  1,1 ,  2,4
B)
 2  1,2 ,  2,2 , 1,1
C)
 3  1,2 ,  2,2 , 1,1 ,  2,0 
D)
 4   0,2 ,  2,2 ,  4,1
E)
 5   3,2 ,  2,2 , 1,1
c)
4
3
2
1
0
Çözüm
A  B de tanımlı bütün bağıntılar, Hem A’ dan B’ ye
hem de B’ den A’ ya tanımlıdır.
A  B  1,2
x
1 2 3 4
Soru
A   a,b,c olmak üzere A 2 de tanımlı 5 elemanlı
2
 A  B   1,1 , 1,2  ,  2,1 ,  2,2 
2
 2   A  B   ( 2 : A  B)  ( 2 : B  A)
bağıntıların kaç tanesinde
a,a sıralı
ikilisi vardır
fakat  c,c  sıralı ikilisi yoktur?
Cevap B
A) 42
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
A2
y
89
B) 35
C) 30
D) 28
E) 20
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Çözüm
Soru
A 2 küme si 3 2  9 elemanlıdır.
A   2, 4 olmak üzere, aşağıda grafikleri verilen
bağıntılardan hangisi A 2 ’de tanımlıdır?
5 elemanlı bağıntılar bu 9 elemandan
A)
B)
y
y
1
seçilir.Soruda verilen kriterlere göre,
5 elemadan biri  a,a  dır.
4
4
2
2
2
x
x
2
C)
dolayısıyla 5  1  4 eleman seçilmeli
 c ,c 
2
4
D)
y
y
4
4
seçme işle min de kullanılamaz.
4
4
2
2
3
Dolayısıyla 9  2  7 elemandan
2
x
x
2
4
4 tane seçilir.
E)
4
y
4
7 
7!
7.6.5

 35
 
4
4!.3!
6
 
5
2
x
2
4
Ömer ALSAN ©
Cevap B
Soru
s  A   n olmak üzere,


A 2 de tanımlı n 2  1 veya 1 elemanlı
Çözüm
İstenen bağıntı AxA kartezyen çarpımının alt kümesi
olduğundan, AxA kartezyen çarpım grafiğinin içinde
olmalı. (Dışına taşmamalı) Seçeneklerde bu durumu sağlayan sadece  4 bağıntısı var.
Cevap D
bağıntıların toplam sayısı
Soru
aşağıdakilerden hangisi olamaz ?
Z 2 de tanımlı
A) 2
B) 8
C) 12
D) 18
E) 32

 x, y  : x
2

 y 2  5 bağıntısının
eleman sayısı kaçtır?
A) 7
Çözüm
s A  n
B) 9
C) 11
D) 13
E) 15
Çözüm
Bağıntı tamsayılar üzerinde tanımlı olduğundan,
elemanlarını tek tek araştırırız.
x 2  y 2  5  x, y  2, 1,0,1,2
nN
 
s A 2  n2
x
 n 2  n 2 
2
2
2
 2      n  n  2n
 n  1  1 
12  2n 2
Cevap C
y
2

0
1

 1,0,1
0
  2, 1,0 ,1,2
1

 1,0 ,1
2

0
 2,0 
 1, 1 ,  1,0  ,  1,1
 0  2  , 0 , 1 , 0 0 
 0,1 ,  0,2
1 1 , 1,0 1,1
 2,0 
Cevap D
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
90
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Soru
Soru
x3
x 1
ise   4     2 farkı kaça eşittir?
 : N  R, (x) 

A
B
.0
.3
A)
.1
.2
.5
.11
Çözüm
.3
.21
B)
C)
D)
E)
2
3
C)
1
3
D)
E) 
2
3
43 1

4 1 3
23
1
 2  

 1
2 1
1
1
  4     2      1
3
1
 1
3
4

3
 x , y  : y  2x  3, x  A , y  B
   x , y  : x  2y  3, x  A , y  B
   x,y  : y  x  3,x  A,y  B
   x,y  : x  A,y  B
   x,y  : x  B, y  A

B) 1
 4 
Yukarıda şeması verilen bağıntı aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
4
3
2
2
Cevap A
Soru
  ZxZ, (x)  2x  7
 a,3  ,  3,b   
olduğuna göre a+b toplamı kaçtır?
Öncelikle şeması verilen bağıntıyı liste yöntemiyle
yazarak inceleyelim:
   0,3 , 1,5 ,  2,11 3,21
bağıntıyı oluşturan sıralı ikilerin 1. elemanıyla 2.
elemanı arasında, bağıntıdaki bütün sıralı ikililere
uyan bir genel kural araştırılmalıdır…
Aşağıdaki genel kuralı görmeye çalışın
“Birinci elemanların karesinin iki katının üç fazlası,
ikinci elemanları veriyor.”
Bu genel kuralın matematiksel ifadesi şöyledir:
Ömer ALSAN ©
Çözüm
y  2x 2  3
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm
 a   3
 3   b
2a  7  3
2a  3  7
2a  10
10
a
2
a5
2.3  7  b
67 b
1 b
b  1
a  b  5    1
Cevap A
a b  5 1
ab  4
Uyarı
Bir önceki örnekte incelediğimiz,
Cevap D
   0,3 , 1,5 ,  2,11 3,21
Örnek
bağıntısı aşağıdaki biçimlerde de ifade edilebilir.
N
2
x2

,   x   x  3
 2x  5

,x  5
,x  5
,x  5
a)
(0)  3 , (1)  5 , (2)  11, (3)  21
b)
 : A  B , (x)  2x 2  3
olmak üzere
c)

A  B , y  (x), y  2x 2  3
a)
  5 in alabileceği değerleri bulunuz.
b)
 m  9 eşitliğini sağlayan m değerlerini bulunuz.
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
91
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Çözüm
Bağıntının Tersi
Soruda verilen  bağıntısının genel kuralı, doğal
sayıların üç farklı alt kümesine parçalanmış şekilde
verilmiştir.
1.parça  x  5 için   x   x 2
 : A  B olmak üzere,  nın elemanı olan bütün
sıralı ikililerin, 1. bileşenleriyle 2. bileşenlerinin yerlerinin değiştirilmesiyle elde edilen yeni sıralı ikililerin kümesi de B den A ya bir bağıntı olur. Bu bağıntıya  nın ters bağıntısı denir.  nın ters bağıntısı
2.parça  x  5 için   x   x  3
 1 ile gösterilir.
3.parça  x  5 için   x   2x  5
a)
  5 değeri için her üç parçayı da kullanabiliriz.
 1   y, x  :  x ,y  
çünkü x=5 değeri her üç parçaya da uyuyor.
Dolayısıyla;
1. parçada   5  5 2  25
A
2
2. parçada   5  5  5  3  8
3. parçada   5  5 2  2.5  5  10  5  5
 x  y
B
y
x
  5 in alabileceği değerler 25, 8 ve 5 tir.
 1  y   x
25
Örnekler
8
5
1)
5
  1,3 ,  5,7 ,  9,11 , 13,15 
b)
 bağıntısında, her üç parça için de  m  9
eşitliğini incelemeliyiz.
1. parçada  m  9 eşitliği gerçekleşsin;
Ömer ALSAN ©
 1   3,1 ,  7,5 , 11,9  , 15,13 
2)
A  1, 2,3 , B  2, 4,6
:A B
   x, y  : y  2x , x  A , y  B
 1 : B  A
 m   9  m 2  9  m  3
y


 1   y, x  : x  , y  B , x  A 
2


3  5 olduğundan m  3 olabilir.
2. parçada  m  9 eşitliği gerçekleşsin;
 m  9  m  3  9  m  6
3)
6  5 olduğundan m  6 olamaz.
 : A  B,   x   3x
 1 : B  A , 1  x  
3. parçada  m  9 eşitliği gerçekleşsin;
  m   9  2m  5  9  m  7
4)
7  5 olduğundan m  7 olabilir.
x
3
 : A  B,   x   x  6
 1 : B  A, 1  x   x  6
 m  9 eşitliğini sağlayan m değerleri 3 ve 7
dir.
5)
3
7
 1
R  R , 1(x)  x  5

R  R,  (x)  x  5
9
6)
  R 2 ,y  (x), x 2  y 2  4
 1  R 2, x  1(y), x 2  y 2  4
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
92
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Çözüm
  x   2x  3
7)
 1  x  
8)
x3
2
x  6, x  5, x  4 ve x  3
değerleri için
 1  x  x3
(x) ve  1(x) değerleri var dır.
  x  3 x
fakat x  2 için  1(x) değeri yoktur.
dolayısıyla  1   2    2 olmasına karşın
Soru

re
  4  
1
4
  1  4 
A) 3
Cevap E
Örnek
ifadesinin değeri kaçtır?
B) 4
C) 5
D)
9
2

  1  2  ifade sin in değeri hesaplanamaz
  1,1 ,  2,4 ,  3,9  ,  4,16  , 5,25  olduğuna gö-
E)
y
19
3
3
2
Çözüm
x
1

4 3 2 1 0
 4,16       4   16
 2, 4      4, 2   1   1  4   2
 1  4   2    1  4     2  4
x
1
2
3
4
1
2
3
y
  1  4 

16  2 18 9


4
4 2
Cevap D
Uyarı
: A B
Yukarıda grafiği verilen bağıntının tersinin grafiğini
çiziniz.
Ömer ALSAN ©
  4    1  4 
olmak üzere,
1)   x  var   1   x   x
2) 
1
Çözüm
Herhangi bir (a , b) noktasının y = x doğrusuna göre
simetriği (b , a) noktasıdır. Bu sebepten: Grafiği verilen bir bağıntının, ters bağıntısının grafiği bulunurken, bağıntı grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriği alınır. bu işlem yapılırken öncelikle şekil üzerindeki kritik noktaların (kırılmaların olduğu noktalar)
y = x doğrusuna göre simetrikleri alınır.
 3,1
1
 1, 3 
kapalı
 1,1
1
 1, 1
açık
1
 x  var     x    x
3)   x  ve  1  x  var    1  x     1   x   x
 0,0 
Soru
1
: A  B
 0, 1
  0,0 
1
  1,3  ,  2, 4  ,  3,5  ,  4,6  , 5,7  ,  6,8 
 1, 2

açık
  1,0 
açık
1
  2, 1
kapalı
olmak üzere
 1  ( x )      1 ( x ) 
 2,0 
eşitliği x in hangi değeri için sağlanmaz?
 3,1
A) 6
B) 5
C) 4
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
D) 3
1
 3,2
E) 2
93
1
1
  0,2 
 1,3 
  2,3 
kapalı
açık
kapalı
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Soru
y
Aşağıda grafikleri verilen  bağıntılarının hangisinde  ve 
3
2
x

1
4 3 2 1
0
1
2
3
ayrık değildir?
y
A)
x
1
yx
x
x
4

1
2
3
y
y
B)
yx


y
C)
Soru
y
D)
yx
yx

   x,y  : 2x  3  3(y  2) ve x, y  N
x
x
olmak üzere aşağıdaki sıralı ikililerden hangisi

  1 kümesinin elemanıdır?
A)  3,5 
B)  5,3 
D)  5,5 
E)
C)  9,9 
y
yx
E)  5,9 
x
Çözüm
x  y için bağıntının genel ifade sini çözelim :
Ömer ALSAN ©

x  y ise  x, y      1 olur.
Çözüm
Bir bağıntı grafiği y=x doğrusuyla kesişirse bağıntının tersinin grafiği de y=x doğrusuyla kesişir. Dolayısıyla, y=x doğrusuyla ortak elemana sahip bir bağıntıyla bu bağıntının tersi ayrık olamaz.
2x  3  3  y  2 
2x  3  3  x  2 
Cevap C
2x  3  3x  6
Soru
x  9 bulunur.

 9,9      1
 x , y  : 5
1
olmak üzere 
 3

ifadesinin alabileceği en küçük
iki değerin çarpımı kaçtır?
Cevap C
A) 24
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
y  x ,x, y  N2
94
B) 30
C) 54
D) 96
E)104
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Çözüm
Örnek
Öncelikle bağıntıyı veren ifadeyi inceleyelim
a b nin anlamı : a sayısı, b sayısını tam böler.
A  1,2,3 ,  
2
olmak üzere  bağıntısında yansıma, simetri, ters
simetri ve geçişme özelliklerinin olup olmadığını inceleyiniz.
5 y  x  5 sayısı, y  x farkını tam böler.
 x , y    ise   x   y
 1  3   x  5 3  x
 x, y  : x  y ,  x, y   A 
veya  1  y   x yazılır.
Çözüm
Özellikleri daha rahat görmek için bağıntıyı liste
yöntemiyle yazalım
x  N olacağından
x en küçük iki değeri 3 ve 8 olur
  1,1 ,  2,2 ,  3,3 
3.8  24
1)Yansıma :
Cevap A
x  A için  x,x   olduğundan yansıyandır.
Bağıntının Özellikleri
2)Simetri :
Bağıntıların aşağıda açıklanan özellikleri, tek küme
üzerinde tanımlı bağıntılarda aranır, farklı iki küme
üzerinde tanımlı bağıntılarda aranmaz.
Örneğin; A ve B farklı kümeler olmak üzere
 : A  B bağıntısı için aşağıdaki özellikler aranamaz, fakat  : A  A bağıntısı için aşağıdaki özelliklerin varlığı araştırılabilir.
  x,y   için  y,x   olduğundan simetriktir.
3)Ters Simetri :
x  y olacak  x,y   olmadığı için ters simetri özelliği
aranamaz dolayısıyla ters simetriktir.

 x, x  türündeki elemanlar ters simetriyi bozmaz.
4)Geçişme :
1)
Yansıma özelliği:
  A 2 olmak üzere ,

x  A için  x , x    ise
Ömer ALSAN ©

 ya yansıyan bağıntı denir.
2)
Simetri özelliği:
  A 2 olmak üzere,
Bir bağıntının geçişken olmadığını söyleyebilmek için
 x,y  ve  y,z  bağıntıda var ken  x,z  olmamalıdır.
Dolayısıyla bağıntıda  x, y  ve  y,z  yoksa bağıntı
geçişken kabul edilir.
Sonuçta  bağıntısında  x, y  ve  y,z  türü elemanlar
olmadığından  geçişkendir.
  x , y    için  y , x    ise
 ya simetrik bağıntı denir.
3)
Örnek
A  a,b,c kümesinde tanımlı
Ters Simetri özelliği:
  A 2 ve x  y olmak üzere,
   a,a ,  b,a ,  b,b ,  c,a  ,  a,c 
  x , y    için  y , x    ise
bağıntısında yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerinin olup olmadığını inceleyiniz.
 ya ters simetrik bağıntı denir.
Çözüm
4)
Geçişme özelliği:
  A 2 olmak üzere ,
Bağıntı özelliklerinde genel ifadeler(  ) kullanıldığından, özelliğin olmadığını göstermek için aksi bir
örnek vermek yeterlidir.
  x , y  ,  y ,z    için  x ,z    ise
 ya geçişken bağıntı denir.
1)  c,c    olduğundan yansıyan değildir.
Uyarı
2) b,a    iken  a,b    olduğundan
s  A   n olmak üzere, A ' da tanımlı;
simetrik değildir.
3)  c,a  ,  a,c    olduğundan
Yansıyan bağıntı sayısı  2 n
2
 n
ters simetrik değildir.
4)  c,a  ,  a,c    iken c,c    olduğundan
2
Simetrik bağıntı sayısı  2
n n
2
Ters simetrik bağıntı sayısı  2.2
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
n2  n
2
geçişken değildir.
2
n
95
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Soru
B)
I. Yansıma
II. Simetri
III.Ters Simetri
IV.Geçişme
yansıyandır.
2)  x , y     2 x  y  x  y  k.2
 y  x  k.2  2 y  x   y , x   
simetriktir.
N de tanımlı    x,y  : x  y  12 bağıntısında yu-
3)  3, 5  ,  5,3    olduğundan
karıdaki özelliklerden kaç tanesi vardır.
A) 0
B) 1
C) 2
ters simetrik değildir.
D) 3
4)  x , y  ,  y, z    olsun
E) 4
 y  x  2k ve y  z  2m
 x  2y  z  2k  2m
 x  z  2k  2m  2y
Çözüm
I. 3  N fakat  3,3    olduğundan
 x  z  2 k  m  y 
yansıyan değildir.
II.  x, y     x  y  12
2 xz
 y  x  12
 x,z  
  y, x   
geçişkendir.
  x, y    için  y ,x    olduğunu
C)
göstermiş olduk. Dolayısıyla  simetriktir.
Sadece  x, x  sıralı ikililerinden oluşan
ters simetrik değildir.
bağıntılar yansıma, simetri, ters simetri, geçişme
özelliklerinin hep sini sağlar.
IV.  4,8  ,  8, 4    iken  4,4    olduğundan
Cevap B
Soru
N de tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisinde,
yansıma, simetri, ters simetri, geçişme özelliklerinden hiçbiri yoktur?
Ömer ALSAN ©
geçişken değildir.
D)
1) x  N için x  x  0   x,x   yansıyandır.
2)  2,3    fakat  3,2    olduğundan
simetrik değil.
3) x  y ve  x, y    olsun  x  y  0
 y  x  0   y, x   
A)
   x,y  : x y
B)
   x,y  : 2 x  y
C)
   x,y  : x  y
D)
   x,y  : x  y  0
E)
   x,y  :x!  y
ters simetrik.
4)  x , y  ,  y,z   

xy 0
 yz0
x  z  0   x, z    geçişken.
E)
Çözüm
1) 1!  1  1,1  yansıyan değil.
2) 1!  0  1,0    fakat 0!  1  0,1  
simetrik değil
1) 0  N , 0 l 0 olduğ undan  0, 0    yansıya n değ il
3) 3!  5   3,5    ve 5!  3  5,3   
2) 5 10   5,10    fakat 10 l 5  10, 5   
ters simetrik değil
sim etrik değil
3) x  y ve x y  y l x dolayısıyla
4)
x  y olduğundan bağıntı sadece  x, x 
sıralı ikililerindenoluşur.
III.  4,8  ,  8,4    olduğundan
A)
1) x  N için x  x  2x  2 2x   x,x  
4) 3!  4 ve 4!  6 fakat 3!  6 olduğundan
x  y için  x, y      y, x    olduğundan
 3,4  ,  4,6    iken 3,6    olur.
ters sim etriktir.
geçişken değil.
 x, y  , (y, z)  
olsun
Cevap E
y  k.x ve z  m.y olacak k, m  N var d ır.
z  m.y  m. k.x   m.k.x
z  m.k.x ise x z olur   x , z   
ge çişkendir.
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
96
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Soru
Çözüm
R de tanımlı    x , y  : 4x  ay  2b  7  0 bağın-
s A 2  9 olduğundan, bağıntıyı
 
tısı yansıyan ise x.y çarpımı kaçtır?
A) 2
B) 7
C) 9
9 elemandan seçerek kuracağız.
D) 14
Bağıntı yansıyan olduğundan
E) 28
1,1 ,  2,2 ,  3,3  olmak
zorunda
geriye  9  3  6 eleman kaldı
Çözüm
1,2 var  geriye 6  1  5 eleman kaldı.
 2,1 yok  geriye 5  1  4 eleman kaldı.
 x , x    olmalı
4x  ax  2b  7  0
x  4  a   7  2b
4 elemanla 2 4  16 farklı seçme işlemi yapılır.

Cevap E
 eşitliği,her x reel sayısı için gerçekleşmeli
bu da 4  a  0 ve 7  2b  0 ile olur.
4a  0  a  4
Soru
7
7  2b  0  2b  7  b 
2
7
a.b  4.
2
a.b  14

x
Cevap D
Ömer ALSAN ©
y
Soru
A  1,2,3 kümesinde tanımlı
A  x , y, z kümesinde tanımlı  bağıntısına ait
şema yukarıda verilmiştir. Buna göre  bağıntısında;
yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerinden hangileri vardır?
  1,3 , 1,1 ,  3,1 , 1,2 
bağıntısına, hangi sıralı ikili eklenirse bağıntı simetrik olur?
A)  3,2
B)  2,1
C )  2,2
D)  2,3
Yansıma
Simetri
Ters Simetri
Geçişme
–
+
+
–
+
–
+
–
–
–
–
–
+
+
–
+
+
–
–
–
A)
B)
C)
D)
E)
E)  3,3
z
Çözüm
Çözüm
Şemada verilen bağıntıyı liste yöntemiyle yazalım
1,2   iken  2,1   olmalı
   x, x  ,  y ,y  ,  z,z  ,  x , y  ,  y,z  x ,z 
Cevap B
1)  x, x  ,  y, y  ,  z,z     yansıyan.
Soru
2)  x,z    fakat  z, x     simetrik değil
A  1,2,3 kümesinde tanımlı yansıyan bağıntıların
kaç tanesinde, 1,2 sıralı ikilisi vardır fakat  2,1 sı-
3)  x, y  ,  y, x     ters simetrik değil
ralı ikilisi yoktur?
A) 6
B) 10
C) 12
D) 14
4)  y, x  ,  x, z    fakat  y,z     geçişken değil
E) 16
Cevap E
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
97
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Soru
Soru
Gerçel sayılar kümesi üzerinde a  b şartıyla tanımlı
 bağıntısı
3 elemanlı bir kümede tanımlı yansıyan bağıntılardan kaç tanesi aynı zamanda simetriktir?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
  2a,3  b  
E) 12
3a  b  1
a b
şeklinde tanımlanıyor. Buna göre,   4,m   6 eşit-
Çözüm
liğini sağlayan m değeri nedir?
Küme A  a,b,c olsun
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
yansıyan ise  a,a  ,  b,b  ,  c ,c  var .
Çözüm
2a  4
simetrik ise
a2
 a,b    a,c    b,c  

,
 ,

 b,a    c,a    c,b  
3a  b  1
 6 ve a  2 olduğundan
ab
3 çiftten(Çiftleri bozmadan)

seçip ilave yapabilirim.
6  b 1
6
2 b
Cevap C
Ömer ALSAN ©
 12  6b  6  b  1
23  8
 7b  7
b 1
Soru
m  3 b
Gerçel sayılar kümesi üzerinde  bağıntısı
 m  3  1  2 bulunur.
  a,b   a 2  b 2
olduğuna göre,
  2009,1991  ifadesinin değeri
Cevap B
nedir?
A) 36000
B) 40000
D) 48000
C)45000
E) 72000
Çözüm
a 2  b 2   a  b  a  b 
olduğundan
  a,b    a  b  a  b 
  2009,1991    2009  19912009  1991
 4000.18
 72000
Cevap E
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
98
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 17 –

4.
A  a,b,c , B  d,e
olmak üzere, aşağıdaki bağıntılardan hangisi
B’ den A’ ya tanımlıdır?
B
.0
.0
.1
.1
.2
.2
.3
.3
.4
.4
A)
 1   d,d ,  b,c 
B)
 2   d,a  ,  d,c 
C)
 3   d,a  ,  d,e 
Yukarıda şeması verilen  bağıntısı aşağıdakilerden hangisidir?
D)
 4   a,b  , b,c 
A)
 x , y : 2x  y ,  x, y   A 
E)
 5   a,e  ,  b,d
B)
 x , y : x  2y ,  x, y   A 
C)
 x , y  : x  y  2 ,  x, y   A 
D)
 x , y  : y  x  2 ,  x, y   A 
E)
 x , y  : x  y  2 ,  x, y   A 
A   1,2,3,4 
olmak üzere, A’ dan B’ ye tanımlı bağıntı sayısı
8 8 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı nedir?
A) 5
B) 6
C) 8
D) 12
2
2
2
2
2
Ömer ALSAN ©
2.
A
E) 16
5.
A  1,2,3,4
olmak üzere, A da tanımlı 6 elemanlı bağıntıların kaç tanesinde  a,a  şeklindeki sıralı
ikililerin hepsi vardır?
3.
A  0,1,2,3,4,5
A) 42
B) 56
C) 66
D) 72
E) 81
olmak üzere, aşağıdaki sıralı ikililerden hangisi

 x, y  : 2x  1  3y  1 ,  x, y   A 
2
bağıntısının elemanıdır?
A) 1,1
B) 1,2 
D)  2,2 
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C)  2,1
E)  3,2 
99
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
N de tanımlı  
TEST – 17 –
8.
  x, y  : x  y  4  bağıntı-
A  1,2,3
sının eleman sayısı nedir?
A) 1 2
7.
B) 11
C) 10
D) 9
olmak üzere, A da tanımlı aşağıdaki bağıntıların hangisinde yansıma özelliği vardır?
E) 8
A)
 1  1,2 ,  2,3  , 1,3  ,  3,2 
B)
 2  1,1 ,  2,2 , 1,3  ,  3,1
C)
 3  1,1 ,  3,3  ,  2,3 
D)
 4  1,3  ,  3,1 , 1,2  ,  2,1
E)
 5  1,1 ,  2,2 ,  3,3 
A  x : 1  x  3 , x  R
olmak üzere, A kümesinde tanımlı

  x, y  :  x  2 
2
2
  y  2  1

A)
Ömer ALSAN ©
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
B)
y
y
3
3
1
1
A  1,2,3
olmak üzere, A da tanımlı yansıyan bağıntı
sayısı kaçtır?
A) 64
x
1
9.
B) 32
C) 16
D) 8
E) 4
x
3
C)
1
3
1
3
D)
y
y
3
3
1
1
x
1
x
3
E)
10.  1  1,3  ,  3,5  , 1,7  , 3,9  , 5,9 
olmak üzere,   9    1  3 
y
toplamının alabi-
leceği en büyük değer nedir?
2
A) 11
1
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
x
1
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
2
100
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 18 –
4 elemanlı bir küme üzerinde tanımlı 6 elemanlı bağıntılardan kaç tanesi hem yansıyan
hem de simetriktir?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
4.
   x ,y  : x  y  2y  x
olmak üzere,  1   1 1 çarpımının değeri
E) 12
nedir?
A) 1
2.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A   1,2 
kümesinde tanımlı simetrik bağıntılardan kaç
tanesinde 1,1 sıralı ikilisi vardır?
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
5.
Ömer ALSAN ©
A) 4
3. Z de tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi
    x,y  : 2x  3y  1 
olduğuna göre,  1 bağıntısı aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
 1   x, y  : 3x  2y  1
B)
 1   x, y  : 2y  3x  1
C)
 1   y, x  : 3x  2y  1
D)
 1   y, x  : 2y  3x  1
E)
 1   y, x  : 2x  3y  1
geçişkendir?
  x, y  : x
y
 yx

A)
1 
B)
 2    x, y  : x  y  4 
C)
 3    x, y  : x  y 
D)
 4    x, y  : x!  y 
E)
5 
  x, y  : x
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
2
 y3

101
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
TEST – 18 –
6. Reel sayılarda tanımlı aşağıdaki bağıntılardan
9.
A   0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9 
hangisinin tersi kendisine eşittir?
A)
 1    x, y  : x  y  1
B)
 2    x, y  : x  y
kümesinde tanımlı
    x, y  : x!  y 

bağıntısının eleman sayısı kaçtır?
 3    x, y  : x  y 
D)
 4    x, y  : 2x  3y  0 
E)
 5    x, y  : 3  x  y  1 
A) 2
x 2  4

  x    1
3  5x

, x  0 ise
, x  0 ise
, x  0 ise

olduğuna göre,     2  
C) 4
D) 5
E) 6

10. A   1,2,3 
ifadesinin değeri
nedir?
A) 4
8.
B) 3
Z de tanımlı  bağıntısı
Ömer ALSAN ©
7.
C)
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
B   1,3, 4,5 
olmak üzere, aşağıdaki bağıntılardan hangisi
 A  B   B  A  kümesi üzerinde tanımlıdır?
A)
 1   1,2  ,  2,3  ,  3,4  ,  4,5  
B)
 2   1,1 ,  2,2  ,  3,3  
C)
 3    2,3  ,  3,3  ,  3,2  ,  2,2  
D)
 4    2,4  ,  4,4  ,  5,2  
E)
 5   1,2 , 1,5  ,  4,5  ,  4, 4  
Z de tanımlı  bağıntısı
    x,y  : x  2  y  2  şeklinde veriliyor.
 3,a  ,  a,b    olduğuna
göre, b kaç farklı
değer alır?
A) 1
B) 2
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 3
D) 4
E) 5
102
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
DENEME SINAVI – 2 –
 
4.
 9 x  81 x  9 x  3 x
B   1,2,3,4 
olduğuna göre, (4) ün değeri kaçtır?
A) 16
B) 18
C) 22
D) 26
A   0,1,2,3,4 
E) 28
olmak üzere, A x B kartezyen çarpım kümesinin noktalarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin çapı kaç birimdir?
A) 3
B) 4 2
C) 2 3
D) 5
E) 3 5
2. Bir sınıfta, hem basketbol hem voleybol oynayanların sayısı 5, voleybol ve basketboldan en
az birini oynayanların sayısı 16 dır.
Basketbol oynayanların sayısı, voleybol oynayanlardan 3 kişi eksik olduğuna göre, bu
sınıfta voleybol oynayan kaç kişi vardır?
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Ömer ALSAN ©
A) 11
5.
A   a,b,c 
B   b,c ,d,e 
C   c ,d,e,f ,g 
olduğuna göre, kartezyen çarpımların kesişimi
olan (AxB)(AxC) kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
A) 8
3.
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
A   1,2,3, 4,5,6 
kümesinin elemanları kullanılarak, a>b>c şartını sağlayan kaç farklı abc üç basamaklı
sayısı yazılabilir?
A) 14
B) 16
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 18
D) 20
E) 22
103
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 2 –
6. Bir turist kafilesinin %60’ı gözlüklü, %80’i sarı-
9.
A ve B kümeleri için
şın, sarışınların %60’ı erkektir.
s  A   12  s B  A 
Bu turist kafilesinde, sarışın erkeklerin en
az % kaçı gözlük kullanır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
olduğuna göre, AB kümesinin eleman sayısı kaçtır?
E) 12
A) 24
7.
B) 16
C) 12
D) 10
E) 8
A   a,c ,d,e 
10. İngilizce, Japonca ve Rusça dillerinden en az
B   a,b,c ,d,e,f ,g,h 
olmak üzere, B kümesinin tek sayıda elemana sahip alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Ömer ALSAN ©
birini bilenlerden oluşan 50 kişilik bir grupta,
I.
Her üç dili de bilenlerin sayısı 8 dir.
II.
Sadece İngilizce, sadece Japonca ve sadece Rusça bilenlerin sayıları birbirine eşittir.
III.
Bu dillerden herhangi ikisini bilenlerin yani;
İngilizce veya Japonca,
Rusça veya İngilizce,
Japonca veya Rusça,
bilenlerin sayıları eşit.
Sadece iki dil bilenlerin sayısı, her üç dili
de bilenlerin sayısından fazla olduğuna göre, İngilizce bilenlerin sayısı en az kaçtır?
A) 22
8. A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kü-
B) 23
C) 24
D) 25
E) 26
meleridir.
s E   15 , s B  A   5 , s  A   B   4
olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
A) 6
B) 5
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 4
D) 3
E) 2
104
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 2 –
11. Bir sınıftaki öğrencilerden 21 tanesi İngilizce,
14. Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için
23 tanesi Japonca kursuna gidiyor.
4s  A  B   3  5s  A  B   4  6s B  A   5
İngilizce ve Japonca kurslarından her ikisine de
giden 7 öğrenci varsa, bu sınıfta İngilizce veya Japonca kursuna giden toplam kaç öğrenci vardır?
A) 34
B) 35
C) 37
D) 40
olduğuna göre, AB kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?
A) 26
E) 42
B) 28
C) 30
D) 32
E) 34
12. A   1,2,3, 4 
olduğuna göre, (4) ün alabileceği değerler
toplamı nedir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Ömer ALSAN ©


x
  A 2 ,    x, y  :  A 
y


15. A  x : 11  x  1800 , x  4m , m  N
B  y : 320  y  2200 , y  6n , n  N
olduğuna göre, AB kümesinin eleman sayısı kaçtır ?
A) 119
B) 120
C) 121
D) 122
E) 123
13.  : R  R
  x   x  2x  ,   2  
1
4
olduğuna göre, (8) in değeri nedir?
A)
1
2
B)
1
8
C)
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
1
16
D)
1
32
E)
1
64
105
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 2 –
19.
16. Gerçel sayılar kümesi üzerinde a  b şartıyla
x
her a,b için
  a,b  
ab
ab
y
x
y
1 1
1 3
2
2 5
0
(tablo 1)
(tablo 2)
bağıntısı tanımlanmıştır.
Tablo 1 deki değerler y  ax  b bağıntısına,
Buna göre, (2,x) = (3,x) eşitliğini sağlayan
x değeri nedir?
A) 0
B) 1
C) – 1
D) 2
tablo 2 deki değerler ise y  mx  n bağıntısına
aittir.
E) – 2
mb
oranı aşağıdakilerden hanna
gisine eşittir?
Buna göre,
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
17. A ve B kümeleri, E evrensel kümesinin alt kü-
s E   17,s  A  B   13,s  A  B   5,s  A   7
olduğuna göre, E – B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
Ömer ALSAN ©
meleridir.
E) 4
20. a 2  x 2  41
bağıntısının doğru olması x = 5 eşitliğini gerektiriyorsa, a nın alabileceği pozitif değer
nedir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
18. A ve B kümeleri için AB kümesinin 2048 tane
alt kümesi bulunmaktadır.
s  A  B   2,s B  A   4
olduğuna göre, AB nin eleman sayısı kaçtır?
A) 4
B) 5
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 6
D) 7
E) 10
106
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
DENEME SINAVI – 3 –
4. Doğal sayılardan oluşan
3  x  m olması,
A   x : x  200 , x  3n , n  N
x  1  3 olmasını gerektiriyorsa, m nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
B   x : x  100 , x  4n , n  N
D) 4
E) 5
kümeleri veriliyor.
Buna göre, B – A kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
2.
x
y
1 1
a 3
1 b
3
Tabloda verilen x ve y değerleri arasında
y  mx  n şeklinde bir bağıntı vardır. Buna göre,
a.b çarpımı kaçtır?
A) 15
B) 12
C) 10
D) 8
Ömer ALSAN ©
0
E) 6
5.
A   1,2,3,4,5,6,7 
kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç
tanesinde 4 bulunur ama 2 bulunmaz?
A) 10
3.
B) 15
C) 20
D) 50
E) 70
s  A   9 , s  A  B  3
 A xC   BxC 
kartezyen çarpım kümesinin
eleman sayısı 24 olduğuna göre, C kümesinin
eleman sayısı kaçtır?
A) 3
B) 4
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 5
D) 6
E) 7
107
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
DENEME SINAVI – 3 –
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için
9.
4s  A  B   5s  A  B   3s  B  A 
A    2, 1,0,1,2 
kümesinin iki elemanlı alt kümelerinden kaç
tanesinin elemanları çarpımı pozitif tamsayıya eşit değildir?
olduğuna göre, AB kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 4
A) 31
7.
B) 35
C) 37
D) 44
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
E) 47
A, B ve C kümeleri için
s  A  B  C  4
10.
s  A  B   5 , s  A  C   6 , s B  C   7
s  A   17 , s B   19 , s  C   11
olduğuna göre, ABC kümesinin eleman
sayısı nedir?
A) 30
B) 31
C) 32
D) 33
Ömer ALSAN ©
A
E) 34
B
Şekildeki A bölgesinin sınırladığı alan 18 km 2 ,
B bölgesinin sınırladığı alan 17 km 2 , A ve B
bölgesinin sınırladığı toplam alan 23 km 2 olduğuna göre, her iki bölgeye de dahil olan alan
kaç kilometrekaredir?
A) 9
8.
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
A   1,2 
B   1,2,3,4,5,6 
olduğuna göre, B kümesinin çift sayıda elemana sahip alt kümelerinden kaç tanesi A
kümesini kapsar?
A) 4
B) 5
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 6
D) 7
E) 8
108
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 3 –
11.
14. A   1,2,3,4 
x
 : R  R ,   2x       x
2
A  B   1,2,3, 4,5,6 
 1
(1)=1 olduğuna göre,       4  toplamı 4
nın değeri nedir?
3
A)
2
12.   2
5
B)
2
x

7
C)
2
9
D)
2
A  B   1,3 
olduğuna göre, B – A kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
11
E)
2
A)
 4,5,6 
B)
 5,6 
C)
 3,4,5,6 
D)
 1,3,5,6 
E)
 2,4 
4 x 1  4
 x 1
2 2
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Ömer ALSAN ©
olduğuna göre, (2) ün değeri nedir?
15. A ve B birer küme olmak üzere, A – B nin eleman sayısı 3, B – A nın eleman sayısı 4 , A nın
eleman sayısı 5 tir. Buna göre, AB nin eleman sayısı kaçtır?
13. xy  x  y  0
bağıntısında, y nin x türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
x
x 1
x
y
1 x
A) y 
D) y 
B) y 
x 1
x
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
1 x
x
E) y 
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
C)
x
x 1
109
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 3 –
19.
16. M   1,11, 1,11 ,1 
x
N   11 , 11,11 ,111 
olduğuna göre, M – N fark kümesinin 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
y
z
4 1
2
3 2
3
Tabloda verilen değerler
E) 6
ax  by  cz
bağıntısına ait ise a+b+c toplamı kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
17. A   1,2,3,4,5 
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Ömer ALSAN ©
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde sadece bir tane tek sayı vardır?
20. 4 elemanlı bir küme üzerinde tanımlı, 6 elemanlı kaç tane yansıyan bağıntı vardır?
A) 64
B) 66
C) 68
D) 70
E) 72
18. Bir ülkedeki insanların %60 ‘ı erkek, %70’i
herhangi bir işte çalışmaktadır.Bu ülkede çalışan erkeklerin oranı toplam nüfusun en az
% kaçını oluşturur?
A) 15
B) 20
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 30
D) 35
E) 40
110
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
4)
3.3 FONKSİYO N
Fonksiyon, özel bir bağıntıdır.
 : A  B bağıntısı aşağıdaki iki kriteri sağlıyorsa,
 bağıntısına aynı zamanda fonksiyon denir.
A
B
.b
.c
.d
.a
.b
.c
.e
.e
6
A
A kümesindeki bütün elemanlar,  bağıntısında
kullanılmalı.
7
A
B
.b
.c
.d
.a
.b
.c
x  A için   x   y olacak y  B olmalı
.a
.b
.c
.e
A kümesindeki herhangi bir eleman  bağıntısıyla, B kümesindeki bir tek elemana bağlanmalı.
2)
5
B
.b
.c
.d
.a
.b
.c
Fonksiyon Kavramı
1)
4
A
B
.b
.c
.d
.e
Yukarıdaki  4 ,  5 ,  6 ,  7 bağıntıları aynı zamanda
birer fonksiyondur.
Soru
x, y  A için   x     y   x  y olmalı
A  1,2,3 kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi aynı zamanda bir fonksiyondur?
x, y  A için x  y    x     y  olmalı
Örnek
1)
1
A
B
.b
.c
.d
.a
.b
.c
.e
bağıntısı aşağıdaki iki engel
yüzünden fonksiyon değildir.
1. A kümesinde bağıntıda
kullanılmayan
eleman
vardır. (c kullanılmamış)
2. A kümesindeki b elemanı
B kümesinde birden fazla
elemanla eşleştirilmiştir.
yani  1 (b) nin birden faz-
Ömer ALSAN ©
Yandaki şemada verilen  1
A)
 1  1,1 , 1,2 ,  2,1
B)
 2  1,2 ,  2,1 , 1,3 ,  3,1
C)
 3  1,2 ,  2,2
D)
 4  1,1 ,  2,2 ,  3,1 , 1,3 
E)
 5  1,3 ,  2,3 ,  3,3
Çözüm
 1 bağıntısı iki engel yüzünden fonksiyon değildir.
 1 1 in iki farklı değeri var .
1(3) değeri yok.
la değeri var.
 2 bağıntısı bir engel yüzünden fonksiyon değildir.
2)
 2 1 in iki farklı değeri var .
2
A
B
.b
.c
.d
.a
.b
.c
.e
 4 bağıntısı bir engel yüzünden fonksiyon değildir.
3 (3) değeri yok.
 4 1 in iki farklı değeri var .
Cevap E
Yandaki şemada verilen  3
3
.a
.b
.c
 3 bağıntısı bir engel yüzünden fonksiyon değildir.
bağıntısı aşağıdaki bir engel
yüzünden fonksiyon değildir
1. A kümesinde bağıntıda
kullanılmayan
eleman
var.( b kullanılmamış)
Uyarı
3)
A
Yandaki şemada verilen  2
B
.b
.c
.d
.e
Fonksiyon olan bağıntılar genellikle f,g,h gibi harflerle gösterilirler.
bağıntısı aşağıdaki bir engel
yüzünden fonksiyon değildir.
1. A kümesindeki a elemanı
B kümesinde birden fazla
elemanla eşleşmiştir. Yani  3 (a) nın birden fazla
Soru
f, N de tanımlı bir fonksiyon ve f  x   2x  1 ise
f  3  f 1 11 toplamı kaçtır?
değeri vardır.
A) 9
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
111
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Çözüm
Soru
Benzer sorular bağıntı konusunda da çözülmüştü.
Tek fark bağıntıda genellikle  , fonksiyonda genellikle f kullanılır.
f  3   2.3  1
A  a,b,c,d,e kümesinde tanımlı
g   a,e ,  c,d ,  e,b , d,a  bağıntısına aşağıdaki
sıralı ikililerden hangisi eklenirse g fonksiyon olur?
7
 a,11  f
A)  a,c 
olsun,
B) b,a 
C)  c,c 
D)  d,c 
E)  e,a 
Çözüm
buradan f  a   11 veya f 1 11  a diyebiliriz.
g bağıntısının fonksiyon olmasını engelleyen durum
g b değerinin bulunmayışıdır. Dolayısıyla bağıntı-
f  a   11
2a  1  11
2a  11  1
ya b,a  sıralı ikilisi eklenerek g fonksiyon yapılır.
2a  10
a5
Cevap B
Soru
f 1 11  a olduğundan f 1 11  5

da tanımlı f ve g fonksiyonları,
f  2x   x 2 , g x 2  x  2 ise f 16   g 16
R
f  3   f 1 11  7  5  12
 
Cevap D
farkı
kaçtır?
Soru
A) 40
A  1,2,3,4,5 kümesinde tanımlı
D)  4,1
E) 58
E) 5,1
Çözüm

Ömer ALSAN ©
C)  3,2
D) 50
f  2x   x 2
bağıntısından aşağıdaki sıralı ikililerden hangisi çıkarılırsa f bağıntısı fonksiyon olur?
B)  2, 4 
C) 48
Çözüm
f  1,3  2, 4  3,2  4,1 ,  5,1 , 1,1
A) 1,3 
B) 44
f 16  değerini bulmam için
f  2x  fonksiyonunda 2x  16  x  8
x yerine 8 yazmalıyım.
f  2.8   82
f bağıntısının fonksiyon olmasına engel olan f 1 in
f 16   64
iki
farklı
değerinin
olmasıdır.Dolayısıyla
1,3 veya 1,1 sıralı ikililerinden herhangi birini ba-
   x2
g x
ğıntıdan çıkartırsak f fonksiyon olur.
2

Cevap A
g 16  feğerini bulmam için
Soru
 
g x 2 fnksiyonunda x 2  16  x  4
f ve g, N de tanımlı fonksiyonlar,
f  x   x 2 , g  x   2x olduğuna göre
x yerine 4 yazmalıyım (Dikkat R  da tanımlı)
 
g 42  4 2
f  g 1   g  f 1  toplamı kaçtır ?
g 16   6
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
f 16   g 16   64  6  58
Çözüm
Cevap E
f 1  1  1
Soru
g 1  2.1  2
R   1 kümesin de tanımlı f fonksiyonu için
f  g 1   f  2   2 2  4
x 2 .f  x   x  x.f  x  ise f  2  kaçtır ?
2
g  f 1   g 1  2
f  g 1   g  f 1   4  2  6
A)
Cevap B
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
112
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
E)
5
2
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Soru
Çözüm
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi Reel(Gerçel) Sayılarda tanımlı bir fonksiyondur.
1
A) f  x   x
B) f(x )  x !
C) f(x) 
x
x
3
D) f(x)  2
E) f  x   1  x
x 1
2
x .f  x   x  x.f  x 
x .f  x   x.f  x   x
2


f  x. x 2  x  x
x
x2  x
2
f  2  2
2 2
2
f  2 
42
2
f  2   1
2
f  x 
Çözüm
Bir fonksiyonun reel sayılarda tanımlı olması için
fonksiyonun tanım ve değer kümelerinin R olması
gerekir.
x  0 için x ifadesinin değeri reel sayı değildir.
dolayısıyla f  x   x fonksiyonu sadece, negatif
Cevap B
olmayan reel sayılarda tanımlıdır.
f(x)  x! fonksiyonu sadece x  N için tanımlıdır.
Tanım, Değer ve Görüntü Kümeleri
f : A  B , f(x)  y fonksiyonunda,
x  0 için
y
: Fonksiyonun tanım kümesi
: Fonksiyonun değer kümesi
: Fonksiyonun görüntü kümesi; B kümesinde,
fonksiyon tarafından kullanılan elemanların
kümesi.
: x in f altındaki görüntüsü
A
B
Görüntü
Kümesi f  A 
f A
f
x
y
1
fonksiyonu R  0 için tanımlıdır.
x
1
1
x  1 için 2
 tanımsız olduğundan
1 1 0
x
f(x)  2
fonksiyonu R  1, 1 için tanımlıdır.
x 1
x  R için 3 x ifadesi de reel sayı olduğundan
f(x) 
Ömer ALSAN ©
A
B
f(A)
1
ifadesi tanımsız olduğundan
0
f(x)  1  3 x ifadesi reel sayılarda tanımlıdır.
Cevap E
Soru
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyondur?
A)
f : N  Z  , f(x)  x  1
B)
f : N  Z , f(x) 
Soru
C)
f : R  R , f x 
A  2, 1,0,1, 2 , B  0,1,2,3, 4,5, 6
D)
f
T a n ım
Değer
Kümesi( A )
Kümesi(B)
f : A  B, f  x   x 2  1 olmak üzere
E)
B  f(A) küme sin in eleman sayısı kaçtır ?
 x, y  : y
f   x, y  : x
2
x 1
2
x2 4
 x ,  x, y   R 2
 y ,  x, y   R
2


Çözüm
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
A) x  N için x  1  Z  olduğundan fonksiyondur.
4 1 3
B) x  4 için

2
2
3
 Z olduğundan fonksiyon değil.
2
Çözüm
Fonksiyonun tanım kümesindeki bütün elemanların
görüntülerini bulalım
2
f  2  f  2    2   1  4  1  5
C) x  1 için 1 2  4  1  4  3
2
f 1  f  1   1  1  1  1  2
3  R olduğundan fonksiyon değil.
f 0  0 2  1  0  1  1
f  A   1,2,5  B  f  A   0,3,4,6
Cevap C
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
113
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Soru
D) x  1 için y 2  1  y  1 olur.
y
dolayısıyla 1,1 , 1, 1  f olur.
1 in f altında iki farklı görüntüsünün
olması da fonksiyon olma kriterlerine
aykırıdır.
b
c
x
E) x  1 için 1  y  y  1  y  1
1, 1 , 1,1  f  f
x  f(y)
a
d
donksiyon olamaz.
e
Cevap A
Dikme Yöntemi
Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için kullanılır.
Bağıntıya giren elemanların bulunduğu eksene, bağıntının tanım kümesinde bulunan herhangi bir noktadan çizdiğimiz her dikme, bağıntı grafiğini sürekli
tek noktada kesiyorsa, bağıntı bir fonksiyondur.
Yukarıda grafiği verilen reel sayılarda tanımlı
x  f  y  bağıntısının fonksiyon olmasını engelleyen
nokta aşağıdakilerden hangisidir?
A) a
Soru
B) b
C) c
D) d
E) e
Çözüm
Aşağıda grafiği verilen bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?
y
Bağıntıya giren değerler y ekseninde olduğu için, y
eksenine çizilen dikmelerle bağıntı grafiği sürekli tek
noktada kesişirse, bağıntı fonksiyon olur.
fakat e noktasından çizilen dikme bağıntı grafiğini iki
noktada kesmektedir.
Cevap E
y
A)
B)
x
f :R  R
y  f x
y
Ömer ALSAN ©
x
f :R  R
y  f x
y
C)
D)
Soru
f  x   2.f  x  1  1 , f 1  1 ise f 5  kaçtır ?
A) 1
x
D) 4
E) 5
f  x   2.f  x  1  1
f :R  R
y  f x
2f  x  1  f  x   1
y
f  x  1 
E)
f x 1
2
f 1  1
1 1

 1  f 2   1
2
2
f  2  1 1  1
x  2 için f  2  1 

 1  f 3   1
2
2
f 3   1 1 1
x  3 için f  3  1 

 1  f 4   1
2
2
f  4  1 1  1
x  4 için f  4  1 

 1  f 5   1
2
2
Cevap A
x  1 için f 1  1 
x
f :R  R
y  f x
Çözüm
Bağıntıların hepsi, R  da tanımlı ve tanım kümeleri
x ekseni üzerinde olduğundan, R  üzerindeki her
noktadan çizilen dikmeler bağıntıyı tek noktada keserse, bağıntı fonksiyon olur. Buna göre E seçeneğindeki bağıntı grafiği fonksiyon değil, çünkü x eksenine çizilen dikmelerin bazıları bağıntı grafiğini
birden fazla noktada kesiyor.
Cevap E
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 3
Çözüm
x
f :R  R
y  f x
B) 2
Soru
f  2
 1 x 
2
f
farkı kaçtır ?
  2.g x  3  5x ise g  9  
2
 x  1
 
A) 2
114
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Çözüm
Soru
x  3 için
 1 3 
2
f
  2.g 3  3  5.3
 3  1
 
f  2   2.g  9   12
g  9 
f  2
2
A) -2
B) -1
 2  kaçtır ?
C) 0
D) 1
E) 2
2
1
1
1
1

 u 2   x    u 2  x 2  2  2.x.
x
x
x
x


1
1
2
2
2
u  x  2 2 u 4  x2  2 2
x
x
ux
Değişken Değiştirme
Fonksiyonda kullanılan değişken yerine, fonksiyonun işlevini bozmamak şartıyla başka değişkenler
kullanılabilir.
Değişken değiştirme yapılırken ifadeyi tanımsız yapan değerlere dikkat edilmelidir.
2
1

u2  4  x  
x

f  u  u 2  4
 1  5x  11
f
olduğuna göre f  37  kaçtır ?

x 2
 x 2
A) -27
B) -30
C) -32
D) -35
2
2
 2  2  4
f  2   2  4  2
f
E) -40
Çözüm
Cevap A
5x  11
x2
Uyarı
Ömer ALSAN ©
 1 
f

 x 2
 1 
f

 x 2
 1 
f

 x 2
1
1

 2   x   olduğundan
x2
x


x2 
Soru
5x  10  1
x2
5x  10
1

x 2
x2
1) f  a   b  f 1  b   a
2) ifadeyi tanımsız yapmayan x değerleri için


f f 1  x   f 1  f  x    x
1
 1 
f
5

x2
 x 2
Soru
1
x  2 şartıyla u 
olsun
x 2
f  u   5  u bulunur.
f 1  x  3   2x  1 , g  x  3   1  x

olduğuna göre f  3   g1  3  toplamı kaçtır ?
u  37 için
A) 3
f  37   5  37
B) 2
C) 1
D) -1
E) -2
Çözüm
f  37   32
x  1 için f 1 1  3   2.1  1
Cevap C
Soru

1 
1
 x   ise f
x  
x
Çözüm
6
Cevap C
f 1  2   3  f(3)  2

2
2

fx

2
f 3x  4x  9x  12x  8 ise f  3  kaçtır ?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
x  0 için g  0  3   1  0
E) 4
Çözüm

g 3   1

2

2

f 3x  4x  3 3x  4x  8
f 1  3   g  3   2  1  1
2
u  3x  4x olsun f u   3u  8
Cevap D
f  3   3.3  8  f  3   1
Cevap B
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
115
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Bire-bir Fonksiyon
Uyarı
Tanım kümesindeki herhangi iki farklı elemanın
fonksiyondaki görüntüleri de farklı oluyorsa fonksiyon bire-bir (1 – 1 ) olur.
f : A B
s  A   n , s B   m olmak üzere,
A dan B ye tanımlı
1) m n tane fonksiyon vardır.
m!
2)
tane 1  1 fonksiyon vardır.
m  n!
f birebirdir.   x,y  A için x  y  f  x   f  y  
Soru
Soru
Reel sayılarda tanımlı, aşağıdaki fonksiyonlardan
hangisi birebirdir?
s  A   3 , s B   4 olmak üzere A dan B ye tanımlanan fonksiyonlardan kaç tanesi bire-bir değildir?
A)
f(x)  x  1
B)
f  x   x2  1
A) 24
C)
f  x   1  2x
Çözüm
D)
f  x   x 2  1  x2
A dan B ye tanımlı,
C) 32
D) 40
E) 64
fonksiyon sayısı  4 3  64
4!
4!
1  1 fonksiyon sayısı 

 24
 4  3  ! 1!
E) f f  x   x 4  x  1
Çözüm
1  1 olmayan fonksiyon sayısı  64  24  40 dır.
Cevap D
1, 1  R
A) f 1  1  1
B) 30
f  1  1  1
f 1  1  1
f  1  1  1
Uyarı
f 1  2
f  1  2
Grafiği bilinen bir fonksiyonun 1-1 olup olmadığını
anlamak için, görüntü kümesindeki her elemandan,
değer kümesinin bulunduğu eksene dikmeler çizilir,
Bu dikmelerin her biri fonksiyon grafiğini sadece 1
noktada kesiyorsa fonksiyon 1-1 dir.
Ömer ALSAN ©
1  1 fakat f 1  f  1 olduğundan
f fonksiyonu bire  bir değildir.
benzer şekilde değer vererek B,D,E
seçeneklerindeki fonksiyonların da
birebir olmadıkları anlaşılır.
C) a  b  R olsun

2a  2b
Soru
Reel sayılarda tanımlı, aşağıda grafiği verilen fonksiyonlardan hangisi bire-birdir?
A)
 1  2a  1  2b
y
B)
y
 f  a   f b 
a  b iken f  a   f  b  olduğundan
x
f bire  bir dir.
x
y  f x
Cevap C
C)
Soru
y  f x
y
D)
y
s  A   3,s B   5 olmak üzere tanım kümesi A ve
değer kümesi B olan kaç farklı 1-1 fonksiyon tanımlanabilir?
A) 5
B) 6
C) 10
D)60
x
x
y  f x
E) 120
Çözüm
y  f x
E)
y
A  a,b, c olsun s B   5 olduğundan,
a için 5, b için 4, c için 3 farklı eşleşme yapabilirim
bu ise 5.4.3  60 farklı 1  1 fonksiyon demektir.
Cevap D
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
x
y  f x
116
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Çözüm
D) y  N için x  1  y  x  y  1  x  y  1
Fonksiyonların değer kümesi y ekseni üzerinde olduğundan, y eksenine çizilen dikmelerin her biri
fonksiyonu sadece 1 noktada kesmeli. Bu koşulu
sadece E seçeneğindeki fonksiyon grafiği sağlıyor.
 
 x  N  f Z   N olduğundan f örtendir.
E) 6  Z , f  x   6  3x  5  6  3x  1  x 
1
Z
3
f Z  Z
Cevap E
f içine fonksiyondur.
Cevap D
Örten Fonksiyon
Tersinir Fonksiyon
Değer kümesi, görüntü kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
f : A B
Hem bire-bir hem de örten olan fonksiyonlara tersinir( Tersi alınabilir) fonksiyon denir.
f : A B
f örtendir.  x  B için f 1  x   A
f tersinirdir.   f birebirdir.  f örtendir.
f örtendir.  f  A   B
Soru
İçine Fonksiyon:
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tersinir değildir?
Örten olmayan fonksiyonlara içine fonksiyon denir.
f : A B
A)
f : R   R  , f x  x 2
B)
f : Z   Z  , f x  x
f içinedir  f  A   B
C)
f : R  1  R  2 , f  x  
Soru
D)
2x
x 1
f : N  N  0,1,2 , f  x   x  3
E)
f : R  2  R  1 , f  x  
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi örten fonksiyondur?
A)
f : Z  Z , f  x   2x  1
B)
f : R  R , f  x   x2  1
C)
f : R  2  R , f  x  
D)
x 1
x 2
f : Z   N , f x  x  1
E)
f : Z  Z , f  x   3x  5
Ömer ALSAN ©
f içinedir.  x  B için f 1  x   A
3x  1
x 2
Çözüm
Seçeneklerdeki fonksiyonların hepsi bire-bir dir. Değer kümesiyle görüntü kümesi farklı olan sadece E
seçeneğindeki fonksiyon vardır.
f  x   3 eşitliğini sağlayan x değeri bulunamaz fakat 3 değer kümesinin elemanıdır.
Dolayısıyla E seçeneğindeki fonksiyon içine olduğundan tersinir olamaz.
Cevap E
Çözüm
Sabit Fonksiyon
Seçenekleri teker teker inceleyelim;
3 3
, Z
2 2
4 değer kümesinin elemanı olmasına rağmen
Görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyonlara sabit fonksiyon denir.
f :A B
görüntü küme sinin elemanı değil f  Z   Z
f sabit fonksiyondur.  s f  A   1
f içine fonksiyondur.
c : sabit bir sayı
A) 4  Z , f  x   4  2x  1  4  x 
1
1
1
1
B)  R  , f  x    x 2  1   x 2    x  R
2
2
2
2
 f R   R 
x  A için f  x   c  f sabit fonksiyondur.
Soru
f içine fonksiyondur.
f  x  sabit fonksiyon,
x 1
C) 1 R , f  x   1 ,
 1 , eşitliğini sağlayan
x2
x değeri yoktur.  f R  2   R


f  x  y   2.f x 2  y 2  4 ise
f  x  y   3 ifadesinin değeri kaçtır?
f içine fonksiyondur.
A) 1
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
117
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Çözüm
Doğrusal Fonksiyon
Sabit fonksiyonlarda fonksiyona giren değer ne
olursa olsun çıkan değer aynıdır.
a,b  R ve a  0 olmak üzere

f  x   ax  b veya y  ax  b fonksiyonuna

f  x  y   f x 2  y 2  c olsun,
( grafiği bir doğru olduğu için )
doğrusal fonksiyon denir.
 c  2.c  4
c 4
Soru
 f x  y  c  4

f  x    a  3  x 3   a  b  2  x 2  a  b  x  a 2  b 2
 43 1
Cevap A
olmak üzere, f  x  doğrusal fonksiyon ise f  2 
Soru
değeri kaçtır?
f  x   m  5  x 3   n  2  x  m  n  2
A)  12
f  x  sabit fonksiyon ise f  2009  kaçtır?
A) 2009
B) – 2
C) – 9
D) – 20

B) 10
C) 8
D) 6
E) 4
Çözüm
Doğrusal fonksiyonlar f  x   mx  n şeklindedir. ya-
E) – 200
ni x 3 ve x 2 terimlerinin katsayısı 0 olmalı.
a3  0  a  3
a b 2  0  b  a  2  b  3  2  b 1
a b  3 1 a b  2
Çözüm
Sabit fonksiyon ifadesinde x li terim olmamalı dolayısıyla sabit fonksiyon ifadelerinde x li terimlerin
katsayısı 0 olmalı
m5  0  m  5
n  2  0  n  2
a 2  b 2  3 2  12  a 2  b 2  9  1  a 2  b 2  8


f  x   m  n  2
f  x    a  b  x 3  a  b  2  x 2  a  b  x  a 2  b 2





f  x   5   2   2
 f  x   2x  8
f  x   5  2  2
f  x   9
Cevap C
Ömer ALSAN ©
0
0
2
8
 f  2   2.  2   8
 f  2   4  8
 f  2   12
Cevap A
Birim (Özdeş-Etkisiz) Fonksiyon
Soru
Bir fonksiyonda her elemanın görüntüsü gene kendisi oluyorsa bu fonksiyona birim fonksiyon denir.
f :A B
f  x  doğrusal fonksiyon ve
na göre, f
1
1, 1 ,  2,3   f olduğu-
1 kaçtır?
f birim fonksiyondur.  x  A için f(x)  x
Birim fonksiyon özel olarak I  x  ile gösterilir.
A) 
Soru
C) 18
D) 20
E) 24
C)
1
2
D) 1
E)
3
2
 m  n  1
Çözüm
f  2   3  m.2  n  3  2m  n  3
Birim fonksiyonda x in katsayısı 1 diğer katsayılar 0
olmalı;
a2 0 a  2
b  a  1 b  a 1 b  3
cb  0  c  b  c  3
a.b.c  2.3.3  18
Cevap C
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
1
2
1, 1 ,  2,3   f  f 1  1 ve f  2   3
f doğrusal fonksiyon  f  x   mx  n
f 1  1  m.1  n  1  m  n  1
f  x  birim fonksiyon ise a.b.c çarpımı kaçtır?
B) 16
B) 
Çözüm
f  x    a  2  x 2  b  a  x  c  b olmak üzere
A) 12
5
2
2m  n  3
 mn  1
m 4
m  4 ve m  n  1  n  1  m  n  1  4
n  5 
118
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Çözüm
f  x   mx  n  f  x   4x  5
1
1  a olsun  f  a   1 olur.
f  a   4a  5  4a  5  1
 2f  x   3x  x  4
4a  6
 f x  x  2
f
3x  2f  x   x  4
3
a
2
f
1
x  0 için, y eksenini kestiği nokta bulunur.
x  0  f 0  0  2  2
3
1 
2
y eksenini  0,2  de kesiyor.
f  x   0 için x eksenini kestiği nokta bulunur.
Cevap E
f  x   0  x  2  0  x  2
Uyarı
x eksenini  2,0  da keser.
Doğrusal fonksiyonların grafikleri bir doğru şeklindedir.
f  x   mx  n doğrusal fonksiyonunda
Cevap D
x  0  f  0   m.0  n  f 0   n
Tek & Çift Fonksiyon
 f  x  grafiği, y eksenini
f : A B
 0,n  noktasında keser.
f çift fonksiyondur.  x  A için f(x)  f   x 
n
m
 f  x  grafiği, x eksenini
f tek fonksiyondur.  x  A için f(x)  f  x 
f  x   0  mx  n  0  x  
Soru
f çift fonksiyon, g tek fonksiyon olmak üzere,
f  2  3 , g  3  2 ise
Soru
3x  2f  x   x  4
olmak üzere f  x  fonksiyonunun grafiği aşağıdaki-
Ömer ALSAN ©
 n 
  ,0  noktasında keser.
 m 
lerden hangisidir?
3f  2  2g  3 ifadesinin değeri kaçtır?
A)0
B) 1
C) 2
D) 4
E) 5
Çözüm
f çift fonksiyon ise f  2   f  2   f 2   3
g tek fonksiyon ise g 3   g  3   g  3   2
A)
x
B)
y  f x
3f  2   2g  3   3.3  2.2
y  f x
x
 94
5
1
2
y
1
y
2
0
0
Cevap E
Uyarı
C)
x
D)
y  f x
Tek fonksiyon grafikleri orijine göre, çift fonksiyon
grafikleri ise y eksenine göre simetrik iki parçadan
oluşur.
y  f x
x
2
1
y
1
3
2
Bu durum, f  x   x tek fonksiyonu ile f  x   x çift
2
fonksiyonunun grafiklerinde çok net gözlemlenir.
0
0
y
E)
x
y  f x
x
a
0
4
0
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
( a, a 3 )
119
a 3
a
a,a  noktasının orijine göre
simetriği  a, a  noktasıdır.
3
(a,a 3 )
a3
2
f(x)  x 3
3
Dolayısıyla f tek fonksiyonu için,
(a,b)  f  (a, b)  f olur
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
y
2
2
a
0
Üstsel fonksiyonun ters fonksiyonuna, logaritmik
fonksiyon denir.
a  0 ve a  0 şartıyla
a,a  noktasının y eksenine göre
simetriği  a,a  noktasıdır.
(a,a 2 )
x
a
Logaritmik Fonksiyon
f(x)  x 2
a2
( a,a 2 )
FONKSİYONLAR
Dolayısıyla f çift fonksiyonu için,
f :R  R 
(a,b)  f  (a,b)  f olur.
f  x   a x üstsel fonksiyondur.
f
1
 x   log ax
Uyarı
Üstsel (Üslü) Fonksiyon


f f 1  x   f 1  f  x    x olduğundan
a  R  ve a  1 olmak üzere
f : R  R
1) a
f  x   a x fonksiyonuna üstsel fonksiyon denir.
Üstsel fonksiyonların değer kümeleri
R

f  x   ax
a
1
0
1
x
log a
2) log
x
ax
a
x
olduğun-
dan grafikleri x eksenini kesmez.
y
logaritm ik fonksiyondur.
Uyarı
Herhangi bir
a  1

f  0   1

f 1  a

a  1 olduğundan x arttıkça
x
 fonksiyonun değeri artar.

a,b noktasının
simetriği b,a  noktasıdır.
Dolayısıyla, bir fonksiyon grafiğinin y=x doğrusuna
göre simetriği alındığında, fonksiyonun tersinin grafiği oluşur.
1
a
0
1
0  a  1

f  0   1

f 1  a
f  x   ax 
0  a  1 olduğundan x arttıkça
x
 fonksiyonun değeri azalır.

Ömer ALSAN ©
y
y
f 2 3 
1 a
0
1
f : R  R  , f  x   3 2x 3 olduğuna göre
 
f  x   log ax
1
0 a
B) 3 5
C) 3 6
1
D) 3 7
g  f  81  ifadesin in değeri kaçtır ?
A) 1
f  3   3 2.3  3  f  3   3 3
Çözüm
 
 
2
 3
f
2
 3
3
  3
f 23
13
6

 3
f 23
13  6
C) 3
D) 4
E) 8
g  x   log 2x  g 1  x   2 x  b
b
2
2  4  2  2  b  2
g  4   b  g 1  b   4

g  4   2  g  f  81   2
f 2 3 
7
f 2  3
Cevap D
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
B) 2
f  x   log 3x  f 1  x   3 x  a
a
4
 3  81  3  3  a  4
f  81  a  f 1  a   81 
f  81  4  g  f  81  g  4 
 f 2 3   3 3.2
f 2 3   3 6
f 23
0  a  1

f 1  0

f  a  1

a  1 olduğundan x arttıkça
 fonksiyonun değeride azalır.

f  x   log 3x , g  x   log x2 olmak üzere
E) 3 8
f 2 3  f  8   f  8   3 2.8 3  f 8   3 13
2
a  1

f 1  0

f  a  1

a  1 olduğundan x arttıkça
 fonksiyonun değeride artar.

Soru
Çözüm
f 2  3    f  3    f 2  3   3 3
x
f  x   log ax
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 3 4
x
y
Soru
f 23
y=x doğrusuna göre
Cevap B
120
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Periyodik Fonksiyon
Trigonometrik Fonksiyon
Genellikle birim çember vasıtasıyla tanımlanan periyodik fonksiyonlardır.
Yarıçapı 1 birim ve merkezi orijin olan çembere birim çember denir.
f : A  B ve k : sabit sayı olmak üzere,
f periyodik fonksiyondur.

y
x  A için f  x   f  x  k  olacak k  R vardır.
1
f periyodik bir fonksiyon olmak üzere yukarıdaki koşullara uygun en küçük k sayısına fonksiyonun periyodu denir.
P a , b 
b
x

x
x
1
a
O
1
Soru
1
f, reel sayılarda tanımlı bir fonksiyon ve x  R için
f  x   f  x  3  eşitliği veriliyor. Buna göre f 1  7
y
ise f  5  f 13  toplamı kaçtır?
A) 8
B) 10
C) 14
(Birim Çember)
D) 16
E) 20
O : Orijin
Çözüm
P  a,b  : Birim çember üzerinde bir nokta
Soruda verilenlere göre f periyodik fonksiyondur.
f nin periyodu 3 tür.
x : OP  doğru parçasıyla x  ekseni arasındaki
f 1  7  a  Z için f 1  3.a   7 dir.
pozitif yönlü açının ölçüsü
13  1  3.  4   f 13   f 1  f 13   7
f  5   f 13   7  7
f  5   f 13   14
Cevap C
Ömer ALSAN ©
5  1  3.  2   f  5   f 1  f  5   7
Soru
1) Ko sinüs fonksiyonu : cos x  a
2) Sekant fonksiyonu : sec x 
1
a
3) S inüs fonksiyonu : sin x  b
y
4) Kosekant fonksiyonu : co secx 
x
5
7
5) Ko tan jant fonksiyonu : cot x 
6) Tanjant fonksiyonu : tan x 
Yukarıda f(x)=y periyodik fonksiyonunun [ - 7, 5 ]
aralığındaki görüntüsü verilmiştir.
Buna göre f fonksiyonunun periyodu kaçtır?
1
b
a
b
b
a
Uyarı
x  R için
A) 1
B) 2
C) 3
D) 6
E) 12
1) sin2 x  cos 2 x  1
Çözüm
2) cos2 x  sin2 x  cos 2x
Verilen aralıkta fonksiyon grafiği 6 kez tam tekrar
5   7 
yapmıştır. dolayısıyla periyot
 2 dir.
6
Cevap B
3) 2 sin x cos x  sin 2x
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
121
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Örnek
Çözüm
Koordinat düzlemi üzerindeki



 
f    cos2  sin2  3 tan
6
6
6
6
O  0,0  ,P  3, 4  ,L   5,0 
2
 3   12
1


 3.
 2   2 
3


3 1
  1
4 4
 1 1
noktaları veriliyor.
sin x  cos x  cot x
f x 
sec x  cosecx  tan x
   olmak üzere
m LOP


f    değerini hesaplayınız.
0
Parçalı Fonksiyon
Çözüm
y
Tanım kümesinin farklı alt kümeleri için farklı genel
kuralları olan fonksiyonlardır.
f:A B
A  C 1  C 2  C 3  ...
5
P
4
x

3 , 4 
O
f 1  x 

f  x 
f  x   2
f 3  x 

....
x

3 L 5 , 0

1
oranında küçültürsek birim çem5
bere geçiş yaparız.
Yukarıdaki şekli
1
 3 4 
P  , 
 5 5 
x

O
,x  C 3
f :R  R
4
5
x
,x  C 2
Örnek

3 L 1, 0
5
Ömer ALSAN ©
y
, x  C1
x  2

f  x   3
1  x

,x  2
,2  x  4
,4  x

olmak üzere f  x  in grafiğini çiziniz.
4
3
4
3
, Cos  , Tan  , Cot 
5
5
3
4
5
5
Sec  , Co sec  
3
4
Çözüm
Sin 
Tek koordinat düzleminde bütün parçaları göstermeliyiz. Fonksiyonun parçalandığı noktalardaki değerleri grafik üzerinde belli olmalıdır.
y
4 3 3 16  12  15
 
11 12 3
20
f   5 5 4 

.

5 5 4 20  15  16
20 11 5
 
3 4 3
12
4
3
x
2
Örnek
cos
4
3

3
 1

1

, sin  , tan 
6
2
6 2
6
3
y  f x
f  x   cos2 x  sin2 x  3 tan x
olmak üzere,
x2
2x4

f   değerini hesaplayınız.
6
için
için
f x  x  2
f x  3
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
122
4x
için
f  x   1 x
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Soru
Çözüm
a,b sıfırdan farklı birer reel sayı
f :R R
1 2 3 4 
1 2 3 4 
f 1  
,g

 2 4 1 3
3 1 4 2
f 1  2   4
ax  b
f x  
bx  a
, x5
, x5
g 3  4
a
olmak üzere 2.f  3   f  6  ise
oranı kaçtır ?
ab
8
3
A) 0
B)
C) 1
D)
E) 2
15
2
3.f 1  2  2.g  3   3.4  2.4  5.4  20
Cevap A
Çözüm
Bileşke Fonksiyon
f  3   3a  b
Birden fazla fonksiyonun yaptığı işi tek başına yapabilen fonksiyona bileşke fonksiyon denir.
f  6   6b  a
2.f  3   f  6   2  3a  b   6b  a
f :A B
g:B  C
 6a  2b  6b  a  7a  8b
a
8
8



a  b 8  7 15
h:CD
Cevap B
hgf : f,g ve h fonksiyonlarının
üstlendiği görevlerin hepsini tek
Permütasyon Fonksiyon
başına yapan fonksiyon yani
A : Sonlu ve sayılabilir bir küme
f : A  A olmak üzere
f bire  bir ve örten ise
f ye permütasyon fonksiyon denir.
Ömer ALSAN ©
f,g ve h nin bileşke fonksiyonu.
A  a1,a2,..,an
f:AA
hgf : A  D
h g f  x   t
A
a2
..a n 
 a1

f :
 f  a 1  f  a 2  ..f  a n  


x
B
f  x  y
y
D
C
g y  z
h  z  t
z
t
Örnek
1 2 3 4 
f 

 3 1 4 2
f 1  3 , f 1  3   1


h  g  f  x   h g  f  x    t
f  2   1 , f 1 1  2
f  3   4 , f 1  4   3
Soru
f  4   2 , f 1  2   4
f  x   x 2  1 , g  x   3  2x olduğuna göre
1 2 3 4 
f 1  

2 4 1 3
fg 1
gf 1
Soru
A) 1
A  1,2,3, 4 kümesi üzerinde tanımlı
Çözüm
1 2 3 4 
1 2 3 4 
1
f 
,g 

3
1
4
2


2 4 1 3
ise 3.f 1  2   2.g  3  kaçtır ?
fg 1  f  g 1   f  3  2.1  f 1  0
A) 20
B) 16
C) 12
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
D) 8

ff 1
gg 1
ifade sinin değeri kaçtır ?
B) 0
C) 1

D) 2
E) 3

g f 1  g  f 1   g 12  1  g  0   3

fog 1 0
 0
gof 1 3
E) 4
123
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK

FONKSİYONLAR
Soru

ff 1  f  f 1   f 12  1  f 0   1
gg 1  g  g 1   g  3  2.1  g 1  1



fof 1
gog 1

f x 
1
1
1
0   1  1
Cevap A

sgn 3x 2  2x  5

 3x  2 


 2  x   2x  3


olduğuna göre f 1 kaçtır ?
Soru
A) 2
fg  x   2x  1, f 1  5   7 ise g1 7  kaçtır ?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
B)1
E) 5


Cevap C
 3x  2 


 2  x 




 3.1  2  

 

 2 1 


 3  2   1
  ten küçük enbüyük tamsayı  0
 

 2  1  3


 1



 

 3



0


Fonksiyondan çıkan değerin işareti hakkında bilgi
verir.
Ömer ALSAN ©
f :A B
Sgn f : A  1,0,1
, f x  0


x  1 için
İşaret(Signum) Fonksiyonu:
,f  x   0
,f  x   0
Tam Değer Fonksiyonu:
Fonksiyonun değerini tamsayıya dönüştürür.
f :A B
f  : A  Z
x  1 için
2x  3 

 2.1  3 
  1 negatif olduğundanişaretidüşer.
 1


1

, f(x)  Z
,f  x   Z
f x 
Mutlak Değer Fonksiyonu
Fonksiyonun negatif işaretli değerini pozitif işaretli
yapar.
, f x  0
 f  x 
f x  
,f  x   0
 f  x 
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
E) – 2
x  1 için sgn 3x 2  2x  5 

 sgn 3.12  2.1  5 


 sgn  3  2  5 
  4  0  sgn  4   1

 sgn  4 


 1

f  g x   2x 1  g x  f 1  2x 1


 2x 1  5  x  3
 7  f 1  5 

g 3  7  g 1  7  3
f  x 


 f  x   " f(x) değerinden


küçük en büyük

 tamsayı."

D) – 1
Çözüm
Çözüm
 1

Sgn  f  x    0

1
C) 0

sgn 3x 2  2x  5

 3x  2 


 2  x   2x  3


 f 1 
1
0 1
f 1  1
Cevap B
124
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 19 –
A   1,2,3 
3.
kümesinde tanımlı aşağıdaki
hangisi fonksiyondur?
bağıntılardan
A)
B)
1
A
A
A
.1
.1
.1
.1
.2
.2
.2
.2
.3
.3
.3
.3
D)
3
A)
 1  1,2 , 1,3  , 1,1
B)
 2  1,3  , 1,2  ,  2,1
C)
 3  1,1 ,  2,3  ,  3,3 
D)
 4  1,2 ,  2,2  ,  3,2 
E)
 5  1,2 ,  2,3  ,  3,1
4
A
A
A
A
.1
.1
.1
.1
.2
.2
.2
.2
.3
.3
.3
.3
E)
kümesinde tanımlı, aşağıdaki bağıntılardan
hangisinin, hem kendisi hem de tersi fonksiyondur?
2
A
C)
A  1,2,3
5
A
A
.1
.1
.2
.3
4.
Ömer ALSAN ©
.2
.3
f   1,3  ,  2,5  ,  3,7  ,  4,9  
olduğuna göre, f  3   f 1  3  toplamının değeri nedir?
A) 4
2.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
A   a,b,c 
kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan
hangisi fonksiyondur?
A)
 1   a,b  ,  b,a  ,  c ,c 
B)
 2   a,b  ,  b,c  ,  a,c  ,  c ,c 
C)
 3   a,c  ,  b,a 
f  x    x  2  1
D)
 4   a,b  ,  c ,b  ,  c ,c 
şeklinde tanımlanıyor.
E)
 5   a,b  ,  a,c  , b,c  ,  c ,c 
5. Tamsayılarda tanımlı f fonksiyonu
2
 3,a  ,  a,b   f
olduğuna göre, a + b toplamının değeri nedir?
A) – 3
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
125
B) 3
C) – 1
D) 1
E) 2
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
TEST – 19 –
6. Gerçel sayılar kümesinde tanımlı f fonksiyonu
9.
f  x  2   3x  a
2
f  x    x  2  1
g  ax   x 2  b
olduğuna göre, f  f  a    0 eşitliğini sağlayan
şeklinde verilen f ve g fonksiyonları için
a değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
f 3  1
E) 5
olduğuna göre, g  6   4 eşitliğini sağlayan b
değeri kaçtır?
A) 5
7.
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
f  x   2x , g  2x   3x
olduğuna göre, f 1  4   g  4  toplamının de-
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
Ömer ALSAN ©
ğeri nedir?
10. f  x  1  f  x  2   x
olduğuna göre,
f 1  f  2   ..  f 100 
toplamının değeri nedir?
8.
A) 2250
f  x   x  x 2f  x 
B) 2350
D) 2550
C) 2450
E) 2650
olduğuna göre, f  2  değeri nedir?
A)
2
3
B)
1
3
C) 
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
1
3
D) 
2
3
E) 1
126
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 20 –
4. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon-
A   1,2,3 
dur?
f : A  B , f x 
A)
f : N  N , f  x  x 2  1
şeklinde verilen f fonksiyonunun görüntü kümesindeki elemanların toplamı kaçtır?
B)
f : N  N , f  x  x 2 1
A) 3
C)
f : R  R , f  x   x!
D)
f : R  R , f  x   x  2  x 1
E)
f : R  R , f x  x  x
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
f  A    1,2,3 
f : A  B , f x 
3x
4
5. Pozitif Gerçel sayılar kümesinde tanımlı, aşa-
olduğuna göre, A kümesindeki elemanların
çarpımının değeri kaçtır?
A) – 45
B) – 42
C) – 40
D) – 36
E) – 32
ğıda grafiği verilen bağıntılardan hangisi
fonksiyondur?
Ömer ALSAN ©
2.
2x  1
3
B)
A)
y
y
y  f(x)
x  f(y)
x
C)
x
D)
y
y
x  f(y)
3.
x  f(y)
A   0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9 
x
x
f : A  B , f x  x 2 1
E)
olduğuna göre, A  f  A  kümesinin eleman
y
sayısı kaçtır?
A) 8
B) 7
x  f(y)
C) 6
D) 5
E) 4
x
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
127
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 20 –
9.
xf  x    x  1 .f  x  1  1 , f 1  1
y
olduğuna göre, f  3  kaçtır?
A)
5
3
B)
4
3
C) 1
y  f x
6
D)
2
3
E)
4
1
3
2
1
x
1
2
4
6
Yukarıda f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Bunan göre,
f  f 1   f 1  f 1  6   toplamı kaçtır?
7.
xf  x  1   x  1 .g  x   1  x
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
olduğuna göre, 4g  3   3f  4  farkı kaçtır?
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Ömer ALSAN ©
A) 5
3
10. f    x  3 , g  2  x   2x
x
8.
2
1
 x 1
olduğuna göre,
f   x 
x
x

olduğuna göre, f  3   g  3  toplamı kaçtır?
A) 6
f  37   f  34  farkı kaçtır?
A) – 7
B) – 4
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 4
D) – 3
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
E) 3
128
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
TEST – 21 –
4.
1. 3 elemanlı bir kümede tanımlı bağıntılardan kaç
2.
tanesi fonksiyondur; fakat 1 – 1 değildir?
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1 – 1 ve örtendir?
A) 21
A)
f : R  R  , f(x)  x 2
B)
f : Z  Z , f(x)  3  x
C)
f : N  N , f(x)  x  2
D)
f : R  R , f(x)  x 3  x 2
E)
f : Z  Z , f(x)  2x  3
B) 20
C) 19
D) 18
E) 17
s  A   4 , s B   7
olmak üzere, A’ dan B’ ye tanımlanabilecek
1 – 1 fonksiyon sayısı kaçtır?
B) 7!
C)
7!
3!
D)
7!
4!
E) 3!
3. Pozitif Gerçel sayılarda tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi 1 – 1 fonksiyondur?
B)
A)
Ömer ALSAN ©
A) 4!
5. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tersinirdir?
A)
f : R  0  R  1 , f  x  
B)
f : R  R , f(x) 
C)
f : N  Z , f(x)  x 2  1
D)
f : R  3  R  1 , f(x) 
E)
f : N  N , f(x)  3x
y
y
y  f(x)
y  f(x)
x
x
C)
x 1
x
D)
y
y
x2
x
y  f(x)
y  f(x)
x
2x  1
x3
x
E)
y
y  f(x)
x
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
129
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 21 –
9. f(x) doğrusal fonksiyon
f(x) sabit fonksiyon
2f  a   f  2a   5
f 1  f  2   3
olduğuna göre, 2f b   f  2b  toplamı kaçtır?
olduğuna göre, f  5   f  1 farkı kaçtır?
A) 5
A) –21
B) 7
C) 10
D) 12
E)15
B) –18
C) –15
D) –12
E) –9
7. f(x) sabit fonksiyon
f  2x    a  3  x 2  b  1 x  2a  3b
olduğuna göre, f  a 2   f 2  a  toplamı kaçtır?
B) – 5
C) 6
D) 5
E) 8
Ömer ALSAN ©
A) – 6
10. f  x   ax  b
f 3  7
f 1  1
olduğuna göre, f  5  değeri kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
8. f(x) birim fonksiyon
f  2x  1   a  1 x 3   a  b  x  c  b 
olduğuna göre b a  c b toplamı kaçtır?
A)
1
3
B)
2
5
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C)
1
2
D)2
E)1
130
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 22 –
4.
y
y
y  f(x)
b
2
a
3
1
Yukarıdaki doğru grafiği y  f(x) fonksiyonuna
Yukarıdaki grafik
ait olduğuna göre, f 1  f  2  toplamı kaçtır?
na aittir.
A) 4
B)
13
3
C)
14
3
D) 5
E)
f(x)  3 x 1 üslü fonksiyonu-
Buna göre, a+b toplamı kaçtır?
16
3
A) 4
B) 6
C) 10
D) 12
E) 14
f(x) doğrusal fonksiyon
2 5
f  
3 2
 1
olduğuna göre, f    f 1 toplamı kaçtır?
3
A)
4
3
B) 5
C)
15
2
D) 7
E)
Ömer ALSAN ©
2.
x
x
5.
17
2
f  x   log 2 x
olduğuna göre, f 4  2   f  2 4  farkının değeri
kaçtır?
A) – 3
B) 0
C) 8
D) 10
E) 12
3. f(x) tek fonksiyon, g(x) çift fonksiyondur.
g f   4     7
olduğuna göre, g   f  4   ifadesinin değeri
kaçtır?
A) 7
B) 3
C) – 3
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
D) – 4
E) – 7
131
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 22 –
9.
f(x) periyodik fonksiyon
f  x  3   f  x  3  , f(9)  5 olduğuna göre,
A   1,2,3,4 
f ve g , A kümesinde tanımlı permutasyon fonksiyonlardır.
f  3   f 1  f  3   f  5 
 1 2 3 4
 1 2 3 4
f 
,f 

4
3
2
1


2 1 4 3
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
B) 5
C) 10
D) 15
E) 20
olduğuna göre,
f  f 1   f  g 1 
g  g 1   g  f 1 
A)
7.
1
3
B)
ifadesinin değeri kaçtır?
2
3
C) 1
D)
4
3
E)
5
3
f : R  R , f(x)  sin x
fonksiyonunun periyodu kaçtır?
B) 2
C)
44
7
D) 180
E) 360
Ömer ALSAN ©
A) 
10.
f(x) 
 x   sg n x
x
8. f(x) parçalı fonksiyon
olmak üzere,
x x
, x  0 ise

f  x   3
, x  0 ise
3  x , x  0 ise


A) 0
B) 
 1 
f 
 değeri kaçtır?
 3 
1
3
C) 1
D) 3
E) 6

olduğuna göre, f f  f  3   ifadesinin değeri
kaçtır?
A) 27
B) 24
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 12
D) 3
E) 0
132
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
DENEME SINAVI – 4 –
A   a,b,c ,d,e 
3.
kümesinin elemanlarıyla, en çok 4 basamaklı
rakamları farklı olmayan kaç doğal sayı yazılabilir?
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç
tanesinde sadece 1 sesli harf bulunur?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
A   1,2,3,4 
E) 8
A) 184
4.
s  A  B  17
D) 112
E) 101
x  2 , y  3 , x, y  R
kümesinin kapladığı alan kaç birim karedir?
A) 5
Ömer ALSAN ©
A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere
C) 121
Dik koordinat düzleminde
 x, y  :
2.
B) 176
B) 6
C) 12
D) 24
E) 30
s B  A   5 , s   A  B    8


olduğuna göre, A – B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
5.
A   1,2,3,4,5,6,7 
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2
bulunur; ama 4 bulunmaz?
A) 10
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
133
B) 15
C) 20
D) 32
E) 64
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
f x
DENEME SINAVI – 4 –
8.
y

x
1
y
1 3
2
1

1
x
2 1

1
2

Tabloda verilen x ve y değerleri
Grafikteki f(x) fonksiyonuna göre
f  x   ax  b
f 1  f 1 1
biçiminde bir fonksiyona aittir.
f  0   f 1  0 
Buna göre, f(x) fonksiyonunda görüntüsü
y=1 olan x değeri kaçtır?
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3
2
B) 2
C)
5
2
D) 3
E)
A) 3
Ömer ALSAN ©
2y  3  3x  5
1
2
B) y  1
D) y 
5
2
C) y 
E) y 
D) 6
E) 7
%90’ı erkeklerden oluşan bir sınıftaki öğrencilerin %70’i futbol oynamakta; futbol oynayanların da %20 si aynı zamanda basketbol oynamaktadır.
Buna göre, sınıftaki erkeklerin en az % kaçı
futbol ve basketbol oynamaktadır?
A) 9
bağıntısında x  5 koşulu, aşağıdakilerden
hangisini gerektirir?
A) y 
C) 5
7
2
9.
7.
B) 4
B) 8
C) 6
D) 4
E) 2
3
2
7
2
10. f : N   Q
x  f(x) 
120
x
olmak üzere, bir işi x işçi f  x  günde bitirmektedir.
Buna göre, kaç işçi çalışırsa bu iş 8 günde
biter?
A) 6
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
134
B) 12
C) 15
D) 20
E) 24
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 4 –
11. x  2y  4
13. f  x   x  1  x
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisi
gibi görünür?
olduğuna göre, f(5)+f( – 5) toplamı kaçtır?
A) 13
A)
y
B)
x
C)
y
B) 12
C) 11
D) 10
E) 9
y
x
y
D)
x
x
14.
y
f x
2
1
E)
x
y
Ömer ALSAN ©
x
Yukarıdaki grafik f  x  fonksiyonuna aittir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi 2f(1 – x)
fonksiyonunun grafiği olabilir?
A)
y
y
B)
x
x
12. A   a,b,c 
B   d,e,f ,g,h 
C)
kümeleri verilmiştir. Buna göre, A dan B ye tanımlı bire-bir fonksiyonların kaç tanesinde
(a,d) vardır fakat (b,e) yoktur?
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
y
y
D)
x
x
E) 8
E)
y
x
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
135
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 4 –
15. f  3x  2   2x  3
18. f : Z  5  Q
olduğuna göre, f(1) in değeri nedir?
A) 1
B) 1
C)
3
2
f  x   10 
D) 2
E)
5
2
20
5x
olmak üzere, f(x) in alabileceği kaç farklı
tamsayı değeri vardır?
A) 8
16. f  x   x 3  3x 2  3x  1
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
19. f : R   2   R   1 
olduğuna göre, f(11) in değeri nedir?
B) 729
C) 1000
f x 
D) 1331 E) 1441
Ömer ALSAN ©
A) 628
ax  1
2x  b
olmak üzere, f(x) fonksiyonunu bire-bir ve örten yapan (a,b) sıralı ikilisi aşağıdakilerden
hangisidir?
A)  2,2 
B)  4,4 
D)  4,2 
C) 1,2 
E)  2,4 
17. x  xy 2  y  3x
x  f y
bağıntısının
biçimindeki ifadesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) f  y  
C) f  y  
y
4 y2
B) f  y  
y2
4y
D) f  y  
20. f  x  doğrusal fonksiyon
4
y y2
f  x  2   f  x  2   12 , f 0   3
4 y
y2
olduğuna göre, f(3) ün değeri nedir?
A) 1
4 y2
E) f  y  
y
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
136
B) 3
C) 6
D) 9
E) 11
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 5 –
1. A ve B boş kümeden farklı birer küme
4. Hacmi 100 litre olan bir depoya bir dakikada
gelen su miktarı 3 litredir.
2s  A  B   3s B  A   s  A 
x  f  x
olduğuna göre, AB kümesinin eleman
sayısı en az kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
f  x  = (Depo boşken dolmaya başladıktan x
dakika sonra, boş kalan kısmı doldurmak için
gerekli su miktarı)
E) 10
şeklinde tanımlanmaktadır. Buna göre, f(x)
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
2.
 1,2,3  kümesinde
tanımlı
A) f  x   100  3x
B) f  x   3x  100
C) f  x   3  100x
D) f  x   100  x
aşağıdaki
E) f  x   100x  3
A)
 1,2  ,  2,1  ,  3,2 
B)
 1,3  ,  2,3  ,  3,1 
C)
 1,1  ,  2,1  ,  3,3 
D)
 1,2  ,  2,1  ,  3,3 
E)
 1,2  ,  2,2  ,  3,2 
Ömer ALSAN ©
fonksiyonlardan hangisinin ters fonksiyonu
vardır?
5. Pozitif tamsayılardan oluşan




A  x : x  150 , x  2n , n  Z 
B  x : x  102 , x  3n , n  Z 
kümeleri veriliyor.Buna göre, AB kümesinin
eleman sayısı kaçtır ?
3. Bir f fonksiyonu “Sıfırdan farklı her sayıyı,
çarpımsal tersiyle toplamsal tersinin toplamına
götürüyor” şeklinde tanımlanmıştır.
2
ün
3
aşağıdakilerden hangisidir?
Bu
A)
2
3
3
4
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C)
6
5
B) 93
C) 97
D) 102
E) 105
görüntüsü
fonksiyonda
B)
A) 91
D)
5
6
E) 1
137
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 5 –
6. Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için
9.
 A  B  B  A
olduğuna
göre,
hangisidir?
eşitliği gerçekleşiyorsa, aşağıdaki ifadelerden
hangisi doğrudur?
A) A  B
B) B  A
D) x 2  2x
C) x 2  1
E) x 2  2x
 a,b,c,d,e 
kümesinin 1 sesli 1 sessiz harften oluşan 2
elemanlı kaç alt kümesi vardır?
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
10. f : R  R
Ömer ALSAN ©
A) 8
f  x   2 2x
olduğuna
göre,
f(ab+1)
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) f 2  ab 
D) f  ab   2
8.
aşağıdakilerden
B) x 2  1
A) x 2
C) A  B  B
f(x)
E) A  B  A
D) A  B  
7.
f  x  1  x 2  1
B)
f  ab 
2
ifadesi
C) 2f  ab 
E) f  ab   2
f  x   x 3  3x 2  3x  1
olduğuna
f
göre,

3

x  1 ifadesi
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) x 3  1
D) x – 1
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
B) x 3
C) x
E) x + 1
138
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
11. f  x  
DENEME SINAVI – 5 –
14.
4x  3
ax  1
f(x)  y
y
B  0,2
fonksiyonunun tanım kümesi R  2 olduğuna
göre,
görüntü kümesi
hangisidir?
A) R  2
3 
D) R   
4 

C 1,4
x

A  x,0 
aşağıdakilerden
B) R  4

C) R  3
Şekilde f(x) doğrusal fonksiyonunun grafiği A, B
ve C noktalarından geçmektedir.Buna göre, A
noktasının apsisi x kaçtır?
E) R  8
A) – 1
B) – 2
C) – 3
D) – 4
E) – 5
12. x  f  x 
f  x   23  3x
şeklinde tanımlanmıştır. Bu cisim ısıtılmaya
başlandıktan kaç dakika sonra kaynar?
A) 13
B) 21
C) 33
D) 37
Ömer ALSAN ©
f( x ) = ”Kaynama noktası 122 derece olan bir
cismin ısıtılmaya başlandıktan x dakika sonraki
sıcaklık değeri(derece)”
15. f  x   3x  20
g  x   x  50
E) 41
olmak üzere, aynı anda dikilen F ve G
bitkilerinin dikildikten x yıl sonraki boyları
sırasıyla
f(x)
ve
g(x)
fonksiyonlarıyla
belirlenmektedir.
Buna göre, dikildikten kaç yıl sonra F
bitkisinin boyu G bitkisinin boyunun 2 katı
olur?
13. f  x  
f  x  2
2
A) 65
B) 70
C) 75
D) 80
E) 85
, f  7   16
olduğuna göre, f(1) in değeri nedir?
A) 2
B) 4
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 6
D) 8
E) 10
139
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 5 –
19. f  x   x  x
16. f  x  
x 1
x
fonksiyonunun
hangisidir?
olduğuna göre, f(x+1) in f(x) türünden ifadesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
2  f(x)
B)
1
f(x)  1
f(x)  1
f(x)
D)
C)
E)
grafiği
y
A)
aşağıdakilerden
y
B)
x
f(x)
f(x)  1
1
f(x)  1
y
C)
x
y
D)
x
x
17. f(x)  9 x  5
y
E)
gx  3  3
x
x
A) 8  g  2x 
B) 5  2g  2x 
C) g 2  2x   g  2x 
D) g  2x   7
Ömer ALSAN ©
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun g(2x)
fonksiyonu
türünden
ifadesi
aşağıdakilerden hangisidir?
E) g 2  2x   7
20.
18. f  x   3 2x 1
y
2
5
1 a
olduğuna göre, f(2x+1) fonksiyonunun f(x)
fonksiyonu
türünden
ifadesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3f 2  x 
B) 9f 2  x 
D)
x
f 2 x
9
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
Tabloda verilen değerler y  m x bağıntısına
ait olduğuna göre, a nın değeri nedir?
C) 27f 2  x 
E)
A) 
f 2 x
5
2
B)
5
2
C)
1
3
D) 
1
3
E)
1
2
3
140
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Çözüm
3.4 İŞLEM
Bizden 3   2  değeri isteniyor.
(1
 x)  (y
 1)  2x  3y
İkili İşlem
3
 2
A
f : AxA  A olmak üzere
f fonksiyonuna, A da ikili işlem denir.
1  x  3  x  2
y  1  2  y  3
Örnek
3   2   2.  2   3.  3 
3   2   4  9
f  x,y   x y  y x
3   2   5
fonksiyonu R de ikili işlemdir. Bu fonksiyonu
xy  xy  yx
şeklinde de ifade edebiliriz.
Soru
Örnek
x  y   y x   x
N de tanımlı  işlemi
x y  x 
Cevap B
ab  a.b  b  a olduğuna göre
yx
y
olduğuna göre 23 kaçtır ?
 23    32  ifade sinin değerini hesaplayınız.
Çözüm
2 3  2.3  3  2  6  3  2  5
1
2
3 2  3.2  2  3  6  2  3  7
Çözüm
A)
Ömer ALSAN ©
 23   32   5  7  2 dir.
Örnek
f  x  y, x  y   x.y ise f  7,3  kaçtır ?
Çözüm
B) 1
C)
3
2
D) 2
E)
5
2
32 
 23   3

3  23  2 
3
3  2   23   3 
23  2 
23  a olsun
a3
3
 3a  6  a  3
 2a  3
3
a
2
3
23 
2
a  2
xy 7
 xy 3
2x  10  x  5
x y  7  y  7x  y  75  y  2
f  7,3   5.2
f  7,3   10 dur.
Cevap C
Uyarı
Soru
İkili işlem fonksiyonların tanım kümesi sıralı ikililerden oluşur.
xy 
Soru
xy  x y  x.y
R de  işlemi
x   x  y  y
1  x    y  1  2x  3y olduğuna göre
 3, 2 sıralı ikilisinin  işlemindeki görüntüsü
olduğuna göre
1
 1 1 
     8  işleminin sonucu kaçtır ?
2
3
3

 

aşağıdakilerden hangisidir ?
A) 6
B) 5
x y

y x
C) 4
D) 3
E) 2
A) – 1
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
141
B) 1
C)
3
2
D) 2
E) 3
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Çözüm
İkili İşlem Tablosu
1
2
1
3
1 1
 
2 3


İkili işlemler sonlu ve sayılabilir küme üzerinde tanımlıysa tablo ile de ifade edilebilir.
1
3
1
2
Örnek
1 1 3 2
1 1 5
     
2 3 2 3
2 3 6
1
1
1
1
1
8
 8 3  8   8  2 3 3 
3
3
3
3
1
3
1
8
1
8
 8  2 3   8   2 
3
3
3
3
1
2
 8  
3
3
 
8
A
P
O
L
A
T
T
O
L
A
T
P
 işlemine ait
tablo yukarıda verilmiştir. Buna göre aşağıdakileri
hesaplayınız.
a) PL    TO  ?
2

3
b) P  LT   OX ise X nedir ?
5  2 5  2
5  2 5 2
            
6  3 6  3
6  3 6 3
5  2 3
   
6  3 2
c) P 2 L 3  ?
Soru
Ömer ALSAN ©
Çözüm
Cevap C
a) PL nin değerini tablodan bulalım
İşleme giren 2.
elemanın
seçildiği satır.
İşle min sonucu
,xy
,xy
,xy

işleme giren
1. elemanın
seçildiği sütun
olduğuna göre
4   4   4  1  işle minin sonucu kaçtır ?
A) 10
L
T
P
O
L
A
P,O,L, A,T kümesi üzerinde tanımlı
1 1
1
5  2
(  )  (8  )     
2 3
3
6  3


 x.y

x  y  x y
y  x

O
A
T
P
O
L
Birinci Köşegen
x   x y   y  x  y  x  y
5

6
P
L
A
T
P
O

P
O
L
A
T
B) 15
C) 25
D) 32
E) 60
Çözüm
En içteki parantezden hesaplamaya başlayalım
4  1  4  1  4.1
4 1  4
P
O
L
A
T
P
L
A
T
P
O
O
A
T
P
O
L
L
T
P
O
L
A
A
P
O
L
A
T
T
O
L
A
T
P
PL  T bulunur.
Diğer işlemlerin değerini de benzer şekilde tablodan
buluruz.
 4   4   4  1   4   4  4 
(P
L )( T
O )  T L  A


4  4  4  4  4 4  64
T
 4   4   4  1   4  64
L
b)
P(L
T)  OX  PA  OX  OX  P  X  L
4  64  4  64  64  4  60
A
 4   4   4  1   60
c)
P 2L3  (P
P)(L
L

L)

Cevap E
L
2
P
3
P L  LP
P 2L3  T
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
142
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Uyarı
Örnek
Toplama, çıkarma, çarpma, bölme, bileşke alma,
kesişim alma, … gibi işlemlere de ikili işlem gözüyle
bakabiliriz.
Doğal Sayılar Kümesi, toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalı fakat çıkarma ve bölme işlemlerine
göre kapalı değildir.
x, y  N için x  y  N
x, y  N için x.y  N
3,5  N fakat 3  5  2  N
1
1,2  N fakat  N
2
Soru
A  1,2,3,4 olmak üzere, A kümesinde tanımlı 
ve  işlemlerine ait tablolar aşağıda verilmiştir.
2)

1
2
3
4

1
2
3
4
1
3
4
1
2
1
1
2
3
4
2
4
1
2
3
2
2
3
4
1
3
1
2
3
4
3
3
4
1
2
4
2
3
4
1
4
4
1
2
3
x , y  A için x  y  y  x ise
 işlemi A kümesi üzerinde
değişme özelliğine sahiptir, denir.
Örnek
Doğal Sayılar Kümesinde, toplama ve çarpma işlemlerinin değişme özelliği vardır. Fakat, çıkarma
ve bölme işlemlerinin değişme özelliği yoktur.
Kümelerde, birleşim ve kesişim işlemlerinin değişme özelliği vardır. Fakat, fark alma işleminin değişme özeliği yoktur.
b
...
b
a n  a
 a  ...  a , b m  b

m tan e
n tan e
olduğuna göre,
4 3  3 4 toplamı aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
B) 4
Uyarı
C) 5
D) 6
E) 7
Çözüm
Ömer ALSAN ©
A) 3
Değişme Özelliği:
A da tanımlı  işle min de
Değişme özelliğine sahip işlemlerin tablosu, birinci
köşegene göre simetriktir.
3)
Birleşme Özelliği:
A da tanımlı  işlemin de
x, y,z  A için x   y  z    x  y   z ise
44
43  4

 işlemi A kümesi üzerinde
birleşme özelliğine sahiptir, denir.
1
4 3  1 4
43  2
4)
x, y,z  A için x   y  z    x  y    x  z 
34  3
3  3
3


1
1
ise  işlemin in  işlemi üzerine
soldan dağılma özelliği var dır,denir.
3 4  11
34 1
x, y,z  A için  y  z   x   y  x    z  x 
ise  işlemin in  işlemi üzerine
43 34  21
sağdan dağılma özelliği var dır,denir.
43 34  3
 işleminin  işlemi üzerine hem sağdan hem
de soldan dağılma özelliği varsa  işleminin 
işlemi üzerine dağılma özelliği vardır, denir.
Cevap A
İkili İşlemin Özellikleri
1)
5)
Kapalılık Özelliği:
A küme sin de tanımlı  işle minde
x,y  A için x  y  A oluyorsa
A küme si  işle min e göre kapalıdır, denir.
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
Dağılma Özelliği:
A da tanımlı  ve  işle min de
143
Birim (Etkisiz) Eleman:
A da tanımlı  işle min de x  A için
xe  ex  x
eşitliğini sağlayan e  A var sa
e ye  işle minin birim elemanıdır,denir.
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
6)
7)
FONKSİYONLAR
Ters Eleman:
A da tanımlı  işle minin
birim elemanı e olmak üzere
x  A için x  y  y  x  e
eşitliğini sağlayan y  A var sa
x in  işle min e göre tersi y dir, denir.
Çözüm
x 1  y yazılır.
 a  1
x  y   2a  3  x   4  a  y  2
  2a  3  x   a  4  y  2
 değişmeli  x  y  y  x
 2a  3  a  4
Cevap B
Yutan Eleman:
A da tanımlı  işle min de x  A için
xy  yx  y
eşitliğini sağlayan y  A var sa
y ye  işle minin yu tan elemanıdır,denir.
Soru
I.
II.
III.
IV.
Uyarı
Yutan elemanların tersi yoktur.
Birim elemanların tersi kendisidir.
Yukarıdaki işlemlerin kaç tanesi, reel sayılar üzerinde birleşme özelliğine sahiptir.
Soru
Reel sayılar kümesi, aşağıdaki işlemlerin hangisinde kapalılık özelliği taşımaz?
A)
xy  x2  y
B)
xy  x  y
Toplama
Çıkarma
Çarpma
Bölme
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Çözüm
2
xy 
D)
x  y  sgn  x  2y   x
E)
x  y   x.y  1  x  y
Ömer ALSAN ©
y 1
x 2 1
C)
Toplama ve çarpma işlemlerinin değişme ve birleşme özellikleri vardır.
Cevap C
Çözüm
Soru
Seçeneklerde
x  R için reel değer üretmeyen
A kümesi üzerindeki  ve  işlemlerinde,  işleminin  işlemine sağdan dağılma özelliğinin olduğunu ifade etmek için aşağıdakilerden hangisi kullanılır?
sadece B seçeneğindeki
x ifadesi var .
1, 3  R , x  y  x  y
  1   3   1  3
 1  3 bulunur.



A)
x  y  z   x y    x z 
B)
x  y z   x  y  x  z 
C)
 y z   x   y  x  z  x 
 y  z  x   y x   z x 
 yz   x   y x   z x 
D)
1  3  R olduğundan
E)
Re el sayılar kümesi x  y  x  y işle min e
Çözüm
göre kapalı değildir.
Cevap B
Dağılan işlem  olduğundan, dağılmadan önceki
ifadede parantez dışına , dağılmanın yapıldığı ifadede ise parantez içine yazılır.
y  z   x   y  x   z  x 

 


Soru
Reel sayılar üzerinde değişmeli  işlemi
x  y   2a  3  x   4  a  y  2 ise a kaçtır?
A) – 2
B) – 1
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 0
D) 1
Dağılmadan önce
Dağıldık tan sonra
Cevap C
E) 2
144
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Ters ve Yutan Elemanları İşlemle Bulma
 6 6
e.y    1     
 5 5
Örnek
Cevap D
R de xy  xy  x  y şeklinde tanımlanan işlemin
a) Birim elemanını
b) Yu tan elemanını
Ters ve Yutan Elemanları Tablodan Bulma
c) 5 ve  1 in tersini
araştırınız.
Örnek
Çözüm
E,S,M, A kümesi
a) x  R
tablosu aşağıda verilmiştir.
xe  ex  x
 xe  x  e  x

E
S
M
A
 e  x  1  0
 x in her değeri için e  x  1  0 eşitliğinin
gerçekleşmesi için e  0 olmalı.
 işle minin birim elemanı e  0 dır.
b) x  R
S
E
S
M
A
M
S
M
A
E
A
M
A
E
S
a) Birim elemanını belirleyiniz.
 x  y  1  0
b)
 x in her değeri için x  y  1  0 eşitliğinin
 E
 işle minin yu tan elemanı y  1 dir.
c) 5 in tersi a olsun  5 a  a5  e olmalı
e  0 olduğundan 5a  0
Ömer ALSAN ©
c) E
gerçekleşmesi için
y  1  0  y  1 olmalı.
1
2


 S  M 1  A ifadesinin değeri nedir?
A
3
ifadesinin değeri nedir?
Çözüm
a)
 5a  5  a  0
5
5
 a    5 1  
6
6
Yu tan elemanların tersi olmadığından
 1 in tersi yoktur.
1
E
A
E
S
M
Buna göre  işleminin
xy  yx  y
 xy  x  y  y
 1
üzerinde tanımlı  işleminin
1.bileşenlerin seçildiği sütuna eş
olanının tepesindeki hücrede birim eleman vardır.

E
S
M
A
E
A
E
S
M
S
E
S
M
A
M
S
M
A
E
A
M
A
E
S
 yok
Soru
 işleminin birim (etkisiz) elemanı S dir.
R de tanımlanan x y  6x  6y  5xy  6 işleminin
yutan elemanı y ve birim elemanı e ise e.y çarpımı
kaçtır?
A) 1
B)
1
2
C)
1
3
D)
6
5
E)
b)
2
3
E  E 1  S  E 1  M
 M 1  E
Çözüm
 E
x e  x  6x  6e  5xe  6  x
  M  S   E   A
 5x  6
 e  1
6  5x
x y  y  6x  6y  5xy  6  y
6x  6
6
 y  5  5x   6x  6  y 
y
5  5x
5
 e  6  5x    5x  6  e 
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
1


 S  M 1  A
 M  E   A  S  A  A
145
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Soru
c)
2
 
 A 
E  2  E 1
A 3
1
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
 M2  A
3
ab  a  b  2
 A3  A
işlemine göre a nın tersi a 1 olmak üzere
E  2  A 3  A  A
E  2  A 3  A
1
1
1
a n  a
 a
 ...  a
şeklinde tanımlanıyor.


n tane
Buna göre, 3 8 ifadesinin değeri nedir.
Soru

Ö
Z
L
E
M
Ö
E
M
Ö
Z
L
Z
M
O
Z
L
E
L
O
Z
L
E
M
Çözüm
E
Z
L
E
M
Ö
Öncelikle  işleminin birim elemanı bulunur.
M
L
E
M
Ö
Z

Ö
Ö
M
Z
O
Z
L
E
M
E
L
Z
Ö
M
E
L
Z
A) – 2
B) – 4
E) – 10
ae  a
Z
O
M
E
L
3  3 1  2
L
Z
O
M
E
3  3 1  2  2
M
E
L
Z
O
M
Ömer ALSAN ©
L
 Ö,Z,L,E,M 
D) – 8
 a e2  a
 e2  0
e2
E
Yukarıdaki tablolarda
C) – 6
kümesi üze-
3 1  1
 işle min in birleşme özelliği olduğundan
an m  an  am eşitliği vardır.
rinde tanımlı  ve  işlemleri verilmiştir. Buna göre
3  2  3 1  3 1  1  1  2  0
 Ö  Z   L  E 
3  4  3 2  3  2  0  0  0  0  2  2
işleminin sonucu nedir?
A) Ö
B) Z
C) L
3  8  3  4  3  4   2    2    2 
D) E
3  8  6
E) M
Cevap C
Çözüm
ÖZ  M
L E  E
  Ö  Z   L  E   ME
  Ö  Z   L  E   Ö
Cevap A
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
146
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
f  x  y, x  y  
TEST – 23 –
4.
x
y
 x  y , x.y  100 ise
xy  
 x  y , x.y  100 ise
olduğuna göre, f  9, 15 in değeri kaçtır?
olduğuna göre, 2   40  3  işleminin değeri
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
kaçtır?
E) 6
A) 37
2.
B) 38
C) 39
D) 40
E) 41
f  x,y   2x  3y  1
olduğuna göre, f  3,m   5 eşitliğini sağlayan
A)
1
3
B)
1
3
C)
2
3
D) 1
E)
4
3
Ömer ALSAN ©
m değeri kaçtır?
5. Değişme özelliği olmayan  işlemi
2  x  y    y  x   x.y  y
şeklinde veriliyor. Buna göre, 1 2 işleminin
değeri kaçtır?
A)
3.
3
2
B)
4
3
C) 3
D)
1
2
E)
1
3
xy   2x  y   2
3x  2y  x  y
olduğuna göre, 11 işleminin değeri kaçtır?
A)
3
2
B)
5
3
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C)
11
6
D) 2
E)
13
6
147
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 23 –
9.
Değişme özelliğine sahip  işlemi
Reel sayılar kümesinde tanımlı  işlemi
a  a  b   b  b  a   a.b
x  y  2x  2y  xy  2
şeklinde veriliyor. Buna göre, 2  3 işleminin
değeri kaçtır?
şeklinde tanımlanıyor. Buna göre,  işleminde
tersi kendisine eşit olan elemanların çarpımı
kaçtır?
A)
6
5
B)
5
6
C)
1
2
D)
1
6
E)
1
12
A) 1
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

S
İ
M
G
E
S
E
S
İ
M
G
İ
S
İ
M
G
E
M
İ
M
G
E
S
G
M
G
E
S
İ
E
G
E
S
İ
M
Yukarıda  işlem tablosu verilmiştir. Buna gö-
Ömer ALSAN ©
7.
re, S  2  E3 işleminin sonucu nedir?
A) E
B)G
C) İ
D) M
10. Reel sayılar kümesinde tanımlı  işlemi
x  y  3x  3y  2xy  3
şeklinde tanımlanıyor. Buna göre,  işleminin
yutan elemanı kaçtır?
E) S
A) 
8.
3
2
B) 0
C)
1
2
D) 1
E) 2
x  y  4x  4y  xy  12
işlemine göre, 1 in tersi kaçtır?
A) 
19
5
B) 
18
5
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 
17
5
D) 
16
5
E) 3
148
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 24 –
q
4.
x  y  x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3
olduğuna göre,
9  8  7  6   5  4
p

0
1
0
0
0
1
0
1
toplamının değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Yukarıdaki tablo, mantıksal işleçlerle oluşturulmuş  işlemine aittir.
Buna göre  işlemi aşağıdakilerden hangisine denktir?
p  q  p  q  p
B)
p  q  p  q  p
kümesinde tanımlı  işlemi
C)
p  q   q  p  p
x  y   x ve y nin en büyük ortak böleni
D)
p  q   q  p  p
şeklinde tanımlanıyor. Buna göre,  işleminin
yutan elemanı kaçtır?
E)
p  q   q  p  q
A  1,2,3,4,5
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Ömer ALSAN ©
2.
A)
5.
3. Değişme özelliğine sahip  işlemi
R  1 küme sin de tanımlı  işlemi
ab  a.b  2 ba 
xy  y  x 2
şeklinde tanımlanıyor. Buna göre,
şeklindedir. Buna göre, 3  2 ifadesinin değeri
kaçtır?
5  3  işleminin değeri kaçtır?
A) 0
A) 6
B) 5
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 5
D) 6
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
E) 12
149
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 24 –
9.
a  b   a ve b den büyük olmayanı
şeklinde tanımlanan  ve  işlemlerine göre
 3  2 6   5  7
A) 3
B) 4
ifadesinin değeri kaçtır?
C) 5
D) 6
A
A
B
C
A
E

A
B
C
D
E
ab   a ve b den küçük olmayanı
B
B
B
B
B
E
C
C
B
C
C
E
D
A
B
C
D
E
E
E
E
E
E
E
E) 7
Eleman sayıları farklı A,B,C,D ve E kümeleri
için
A,B,C,D,E
kümesinde
tanımlı
( Birleşim) işlemine ait tablo yukarıda verilmiştir.
Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi
yanlıştır?
A)  işleminin birim elemanı olan kümenin
eleman sayısı diğerlerinden küçüktür.
x  y  3x  3y  2xy  a
şeklinde verilen  işleminin yutan elemanı 
3
2
olduğuna göre, a nın değeri kaçtır?
A) 3
B) 2
C) 1
D) 1
B)  işleminin yutan elemanı olan küme aynı
zamanda en çok elemana sahiptir.
E) 2
Ömer ALSAN ©
7.
C) A kümesi C kümesini kapsar.
D) B kümesi E kümesinin alt kümesidir.
E) B kümesi A kümesini kapsar.
10. Doğal sayılar kümesinde  işlemi
8. Reel sayılarda tanımlı  bağıntısı
a , a b ise
ab  
b , a b ise
  x,y   x 2  xy  2y 2 şeklinde veriliyor.
Buna göre,   m,1  1 eşitliğini sağlayan m
şeklindedir.
değerleri toplamı kaçtır?
Buna göre,  3  5    4  12 işleminin sonucu
A) 3
B) 2
C) 1
D) 1
E) 2
kaçtır?
A) 3
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
150
B) 4
C) 5
D) 6
E) 12
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 25 –
4. Pozitif tamsayılar kümesinde tanımlı
 a  1   2b   a b  b a
 ve 
işlemleri
olduğuna göre,
 2  6   2 işleminin
sonucu
x  y  x  y  x y
kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
 2x    y  3   x  y
E) 4
şeklindedir. Buna göre,
1212    4 4 işle-
minin sonucu kaçtır?
A) 1
B) 1
C) 
1
2
D) 2
E)
1
2
2. Gerçel sayılar kümesinde tanımlı  işlemi
ab  a  b  2ab
şeklindedir. Buna göre,  işleminin etkisiz (birim) elemanı kaçtır?
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Ömer ALSAN ©
A) 0
5. Dik koordinat düzleminin noktaları üzerinde tanımlı  işlemi
 a,b    c ,d  ad  c ,bc  a 
şeklindedir. Buna göre, 1,2    3, 4  işleminin
sonucu kaçtır?
3. Pozitif tamsayılar kümesinde tanımlı  ve  işA)  7,5 
lemleri
x  y  y x , xy  x.y
B)  5,7 
D)  7,6 
C)  6,7 
E)  5,6 
şeklindedir.
Buna göre, 3  2  a   48 eşitliğini sağlayan
a değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 3
D) 4
E) 5
151
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
TEST – 25 –
6. Dik koordinat düzleminin noktaları üzerinde ta-
8.
a  b  2a  3b
nımlı  işlemi
olduğuna göre, k  5  5  k
yan k değeri kaçtır?
 a,b    c,d   2a  c,2b  d
şeklindedir. Buna göre,
A) 1
1, x    y ,2    4,4 
B) 2
C) 3
eşitliğini sağla-
D) 4
E) 5
eşitliğini sağlayan x ve y değerleri için
x + y toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
9.
A   1,2,3, 4,5 
kümesinde tanımlı  işlemi
x  y   x ve y den büyük olmayanı
şeklindedir. Buna göre,
elemanı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
 işleminin etkisiz
D) 4
E) 5
Ömer ALSAN ©
7. Gerçel sayılarda tanımlı  işlemi
 a  1   b  1  a  b  ab
şeklindedir.
Buna göre,
 a  1   b  1 işleminin
sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
10. Gerçel sayılarda tanımlı  işlemi
A)
ab  a  3b  4
B)
ab  3a  b  4
a.b , a  b ise
ab  
a  b , a  b ise
C)
ab  3a  b  4
şeklindedir. Buna göre, 15   5  4  işleminin
D)
ab  3a  b  4
E)
ab  a  3b  4
değeri kaçtır?
A) 24
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
152
B) 30
C) 35
D) 70
E) 300
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 6 –
1. 24 kişilik bir sınıfta herkes futbol veya basket-
4. Gerçel sayılar kümesi üzerinde  işlemi
bol oynamaktadır. Futbol oynayanların sayısı
basketbol oynayanların iki katıdır.
Buna göre, basketbol oynayanların sayısı
aşağıdakilerden hangisi olamaz?
a b
, a  b ise

a  b  ab  1 , a  b ise
a  b
, a  b ise

A) 12
şeklinde tanımlanmıştır. Buna göre,
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
3   24   5  5  
işleminin sonucu kaçtır?
A) 9
C) 18
D) 27
E) 54
A   1,2,3,4 
olmak üzere, A 2 kartezyen çarpım kümesinden seçilen herhangi bir ikilinin birinci elemanının ikinci elemanından büyük olma
olasılığı kaçtır?
A)
1
8
B)
1
4
C)
3
8
D)
1
2
E)
5
16
Ömer ALSAN ©
2.
B) 12
5.
K
L
M
Şemadaki taralı küme aşağıdakilerden hangisidir?
3. Gerçel sayılar kümesi üzerinde her a,b için
  a  b,a  b   a.b
A)
K  L   M
B)
 K  M   K  L  M 
C)
L  M   K
D)
 L   K  M   K  L  M 
E)
 K   L  M   K  L  M 
bağıntısı tanımlanmıştır.
Buna göre,   2,12  nin değeri kaçtır?
A) 24
B) 26
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 30
D) 32
E) 35
153
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 6 –
6.
8.
 a,b,c ,d,e 
kümesi üzerinde  işlemi, aşa-
ğıdaki tablo ile verilmiştir.
II.parça
5br
( 3gr )
x br
I.parça
( 5 gr )
3br
Şekildeki cisim aynı kalınlıkta ve homojen yapıda I ve II parçalarından oluşmaktadır. Bu
parçaların uzunlukları sırasıyla 3 ve 5 birim;
ağırlıkları ise 5 ve 3 gram dır.
f :  3,5  

a
b
c
d
e
a
c
b
a
e
d
b
d
c
b
a
e
c
e
d
c
b
a
d
a
e
d
c
b
e
b
a
e
d
c
 işleminin birleşme özelliği olduğu bilindiğine göre,
 5,8 
b 10  b
b
...
b
10 tane
x  f(x)  ( x br uzunluğundaki parçanın ağır-
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Buna göre, f(x) in ifadesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) a
A)
3x  16
5
B)
D)
3x  5
16
16x  3
5
C)
E)
5x  3
16
5x  16
3
Ömer ALSAN ©
lığı)
9.
B) b
C) c
D) d
E) e
f  x   x fonksiyonunun grafiği aşağıdaki
lerden hangisidir?
A)
y
y
B)
x
C)
y
x
y
D)
x
7.
 
x
2
f 3 x  3 x  3 2x  1
olduğuna göre, f(9) un değeri nedir?
A) 3
B) 1
C) – 1
D) – 3
E)
E) – 9
y
x
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
154
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
10.
DENEME SINAVI – 6 –
12. Gerçel sayılar kümesi üzerinde her a, b için
x
3
ab  a  b  2ab
2
işlemi tanımlanmıştır.
1
Buna göre, 3 ün  işlemine göre tersi aşağıdakilerden hangisidir?
y
1
A)
3
5
B)
4
5
C)
6
5
D)
7
5
E)
8
5
Grafikte verilen doğrusal bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
A)
2y  2x  1  0
B)
y  2x  1  0
C)
y  2x  1  0
D)
2y  x  1  0
E)
y  2x  1  0
13. f(x)  x  1  x  1
E x
A
F
B
D
Ömer ALSAN ©
11.
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun değeri
aşağıdaki aralıkların hangisinde x e bağlı
değildir?
A) R    1,1 
B) R    1,1 
D) R    1,1 
C) R    1,1 
E)   1,1 
H
x G
C
ABCD dikdörtgen, AB  10 cm , AD  14 cm ,
ED  BG  x cm , F ve H bulundukları kenar-
14. Gerçel sayılar kümesi üzerinde her a,b için
ların orta noktalarıdır.
a  b  ab  a  2b
x  f(x)
işlemi tanımlanmıştır.
f  x  = (EFGH dikdörtgeninin alanı)
Buna göre, 1  1  1 1   işleminin sonucu
şeklinde tanımlandığına göre, f(x) fonksiyonunun ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
kaçtır?
A) 1
A) 14 10  x 
B) 10  7  x 
D) 70
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
B) – 2
C) 2
D) – 1
E) 0
C) 28  20  x 
E) 35
155
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 6 –
18. Gerçel sayılar kümesi üzerinde  işlemi
15. A   1,2,3,4  , B  P  A  , s B   2
2a  3b  2a  3b  12ab
olmak üzere, elemanlarından herhangi biri
diğerini kapsamayacak şekilde kaç farklı B
kümesi yazılabilir?
A) 53
B)54
C)55
D) 56
biçiminde tanımlanmıştır. Bu işleme göre 2
nin tersi kaçtır?
E)57
A)
2
5
B)
3
5
C)
1
3
D)
2
3
E)
3
2
16. Gerçel sayılar kümesi üzerinde, a  b şartıyla
her a,b için
b
a
a  b , a  b ise
ab  
b
a
a  b , a  b ise
19. f  2 x  4 x   2 x 2  4 x 1
olduğuna göre, f(3) ün değeri nedir?
işlemi tanımlanmıştır.
A) 6
tır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
B) 9
C) 12
D) 18
E) 28
Ömer ALSAN ©
Buna göre,  2  3   2 işleminin sonucu kaç-
20.  işlemi
1
1 1
 
xy x y
17. f  x   4  x 2
olmak üzere, f(x) fonksiyonunun Gerçel Sayılardaki, en geniş tanım kümesi A dır.
şeklinde tanımlanmaktadır.
Buna göre, 2  3 işleminin sonucu nedir?
Buna göre, A – f(A) kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisine eşittir?
A) 5
A)   2,0 
B)   2,1 
D)   2,1 
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C)   1,0 
B) 6
C)
11
2
D)
5
6
E)
7
2
E)   2,0 
156
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Soru


f  x   mx  4 olmak üzere f 2  2f 1  0 ise
3.5 FONKSİYO NL AR D A İŞLE MLER
f  2  nin alabileceği değerler toplamı kaçtır ?
Fonksiyonlarda Dört İşlem
k.f  m.g x   k.f  x   m.g  x  

k.f  m.g x   k.f  x   m.g  x  
 f  g x   f  x   g  x 
f x
f
,g  x   0
  x 
g
g
x
 
n
f n  x    f  x  
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
Çözüm
k,m  R
f 1  m  4
f
2
2

 2f 1   f 1   2.f 1

2

 f 2  2f 1   m  4   2. m  4 
2
  m  4   2. m  4   0
 m 2  6m  8  0
Soru
  m  2  m  4   0
1
 1
f    x 2  x , g 1  x  
x
x

g2 
olduğuna göre  2f 
  2  ifadesinin değeri
3g  f 

 m  2 veya m  4
 f  x   2x  4 veya f  x   4x  4
 f  2   2.  2   4 veya f  2   4.  2   4
 f  2   8 veya f  2   12
kaçtır?
8  12  20
5
A) 
26
7
B) 
26
9
C) 
26
11
D) 
26
Soru
Ömer ALSAN ©
Çözüm


f  2  f 


Cevap E
1
E) 
2

  12 1
  
2
  2 

1 1
1
f  2     f  2  
4 2
4
1
 g  2   1
g  2   g 1   1  
1
1
1
2
f  x   2  x olmak üzere,
f
1

 f 2  3  ifade sinin değeri kaçtır ?
A) – 2
B) – 1
C) 0
D) 1
E) 2
Çözüm
f  3   2  3  1
f 2 3 
  f 3 
2
g  2  

g2 
 2f 
  2   2.f  2  
3g  f 
3.g  2   f  2 

   1
2
2
1
f x  2  x
2

 1
g2 
 1
 2f 
  2   2.    
3g

f
4
 1




3.  1    
 4
 f 1  2  x   x
 f 1  3 
 f 1  2   1   1


1
1

2  13
4
f 1  3   1
f

 f 2  3   f 1  3   f 2  3 
 1  1
4 1

13 2

1
 2
Cevap A
5
26
Cevap A
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
157
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Uyarı
Çözüm
f ve g fonksiyonlarının
Amacımız verilen ifadede x i yalnız bırakmak;
f  x  3  2x

1
x 1
orantısında içler çarpımını
dışlar çarpımına eşitleye lim
tanım kümeleri sırasıyla A ve B
f
ise f  g,f  g,f.g, fonksiyonlarının
g
tanım kümeleri A  B kümesidir.
1.  3  2x   f  x  .  x  1
Soru
3  2x  f  x  .x  f  x 
f  1,3  ,  2,10  ,  3,12 
3  f  x   f  x  .x  2x
g   3,9  ,  4,9 
3  f  x   x  f  x   2
olmak üzere 2f  3g fonksiyonu
aşağıdakilerden hangisidir ?
3  f x
A)
B)
C)
D)
E)
f x  2
x  x
f  x  3
f  x  2
olur.
Cevap B
1,3  , 2,47  3,51 4,9 
1,3 ,  2,103,51 4,9 
1,3  ,  2,47 3,51
3,51
 3,63 
Soru
x  f 2  x 
Çözüm
f : 1,2,3  3,10,12
Ömer ALSAN ©
g : 3,4  9
olduğundan
2f  3g fonksiyonunun
tanım kümesi 1,2,3  3, 4  3 olur.
f  3   12,g  3   9 olduğundan
1
1
 1 ise f  x  nedir?
f  x
A)
f 1  x   x 2 
B)
f 1  x  
C)
D)
E)
1
1
x
1
 x 1
x2
1
f 1  x    2  x  1
x
1
1
f  x  2  x  1
x
1
1
f  x   x 2   1
x
Çözüm
(2f  3g)  3   2.f  3   3.g  3   2.12  3.9
(2f  3g)  3   24  27
x in f  x  türünden ifadesi verildiği için zaten tersi
(2f  3g)  3   51
alınmış demektir. Tek yapmamız gereken yalnız kalan x yerine f 1  x  , f  x  yerine de x yazmaktır.
2f  3g   3,51
Cevap A
Cevap D
Soru
Fonksiyonun Tersini Almayla İlgili İşlemler
x.f  x   1  f 3  x   3x ise f 1  x  nedir?
Fonksiyonların tersi alınırken genel olarak f  x   y
ifadesinde x yalnız bırakılır.
A)
Soru
3  2x
ise x in f  x  türünden eşiti aşağıdakix 1
lerden hangisidir?
x 3 1
x3
D)
f x 
A)
3.f  x   1
B)
2.f  x   1
D)
f  x  3
f  x  2
f  x  2
f  x  3
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
E)
C)
B)
x 3
x 3 1
x 3 1
x3
C)
E)
x 3
x 3 1
x 3 1
x 1
Çözüm
f  x  2
f 1  x  sorulduğu için amacımız x i yalnız bırakmak
f  x  3
olmalı.
2f  x   1
f x   3
158
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
x.f  x   1  f 3  x   3x  x.f  x   3x  f 3  x   1
Soru
 x f  x  3  f
f  2x  
x
f
1
3
x 1
f 3  x  1
f x  3
A)
x3 1
x 
x 3
3x  9
9x  6
D)
Cevap B
Soru
xf
A)
1
B)
x9
x6
C)
x 3
3x  2
E)
x3
x2
3x  3
9x  2
Çözüm
1
 x   x.f  x   1  0 ise f  x  nedir ?
x 1
x 1
B)
D)
x 1
x 1
1 x
x 1
C)
E)
3  4x
x
 x yerine yazılarak f  x  bulunur.
6x  1
2
3  2x
 f  x 
3x  1
y  f  x  ifade sin de x ya lnız bırakılır.
f  2x  
x 1
1 x
x
x 1
3  2x
3x  1
 y  3x  1  3  2x
y
Çözüm
Bir fonksiyonun tersinin tersi kendisi olduğundan
x değişkeni f 1  x  türünden yazıldığında
 3xy  y  3  2x
 3xy  2x  y  3
f  x  bulunmuş olur.
 x  3y  2   y  3
x  f 1  x   x.f 1  x   1  0  x  x.f 1  x   f 1  x   1

Ömer ALSAN ©
f 1  x   1
1  f 1  x 
 f x 
y3
3y  2
x ya lnız kaldığında
x

 x 1  f 1  x   f 1  x   1
x
3  4x
ise f 1  3x  nedir ?
6x  1
x 1
1 x
Cevap C
Soru
x yerine f 1  x  , y yerine x yazılır
x3
3x  2
x yerine 3x yazılarak f 1  3x  bulunur.
 f 1  x  
 f 1  3x  
y  f  x  fonksiyonunda,
Cevap E
4x  3x.y  2y  1  0 ise
Uyarı
f 1 kaçtır ?
A) – 3
B) – 2
3x  3
9x  2
C) – 1
D) 0
Fonksiyonların tersi alınırken aşağıdaki kurallar sık
kullanılır.
E) 1
Çözüm
f  x   ax  f 1  x  
2)
f x  x  b 
3)
f  x   ax  b  f 1  x  
4)
f x 
5)
Birim fonksiyonun tersi kendisidir.
y  f  x  olduğundan, y ya lnız
bırakılarak f  x  bulunur.
x
a
1)
f 1  x   x  b
4x  3xy  2y  1  0
 3xy  2y  4x  1
 y  3x  2   4x  1
4x  1
3x  2
4x  1
4.1  1
 f x  
 f 1  
 1
3x  2
3.1  2
y
Cevap C
ax  b
cx  d
 f 1  x  
x b
a
dx  b
cx  a
I  x   x  I 1  x   x
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
159
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
6)
FONKSİYONLAR
Bir fonksiyonla tersinin bileşkesi birim fonksiyondur.
 1
f  x   log x4 ise f 1   kaçtır ?
2
1
A)
B) 1
C) 2
2
  x   x
1
 x  x
f 1f  x   x
ff
Soru
 f f
1
 f 1  f  x    x
7)
Sabit fonksiyonun tersi yoktur.
8)
f  x   a x  f 1  x   log ax
f  x   log x4  f 1  x   4 x
1
 1
 f 1    4 2
2
 1
 f 1    2 2
2
 
Soru
3
x
B) 3 
1
2
x
2
D) 6 
x
C) 2 
6
x
Cevap C
3
E) 1
x
Soru
1
x
f  g  x    x olduğuna göre g 1  1 kaçtır ?
f  x   1
Çözüm
1
yazarak f 1  x  bulunur.
x

1 
3
3
 f 1  x  

1 
1
2
1
 1  2.
x 
x
x
f





f 1  x  
Ömer ALSAN ©
x yerine
1
f
B) 0
C) 1
D) 2
E) 4
Çözüm
f  g  x    x  f 1  x   g  x   f  x   g 1  x 
1
 g 1  1  2
1
Cevap B
Soru
2
 3x  2 
1
f
  1  ise f  5  kaçtır ?
x
 6x  5 
 x  in tersin i hazır kuraldan bulalım
f 1  x  
A) – 1
 g 1  1  f  1  g 1  1  1
3x
x 2
f 1  x  in tersi alınarak f  x  bulunur.
1
1
2
2.
 1
 f 1    2 2
2
 
1  1 
 f    21  2
2
3
 1
f 1   
ise f  3  x  nedir ?
x
1

2x
 
A) 2 
E) – 4
Çözüm
f  x   y  f 1  y   x
9)
D) 4
A)
ax  b
dx  b
 f x 
cx  d
cx  a
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E) 1
Çözüm
f 1  x  
3x  0
2x
 f x 
x   2 
x3
2
2
3x  2
 3x  2 
1
f
  1   f (1  ) 
x
x
6x
5
 6x  5 

 5
 f 3  x  
2
2
1
1   5    6  x 
x
x
3
1
x  için f 1  5  değeri bulunur
3
1
3 2
1 2 1
1
3
 f  5  
 f 1   5  

1
2
5 3
6 5
3
Cevap B
2 3  x 
2x  6

x
3  x  3
 f 3  x   2 
6
x
Cevap C
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
160
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Doğal Tanım Kümesi
Soru
Bir fonksiyonu tanımlı yapan tüm reel sayıların bulunduğu kümeye, fonksiyonun doğal tanım kümesi
denir.
f  x   x 2  2x olmak üzere f nin görüntü kümesi
( f 1 in en geniş tanım kümesi ) aşağıdakilerden
hangisidir?
Soru
B)
C)
D)
E)
Çözüm
x : 1  x  5 , x  R
x : 1  x  5 , x  R
x : 1  x  5 , x  R
x : 1  x  5 , x  R
x : 1  x  5 , x  Z
2. dereceden fonksiyonlarda ters alma yapılırken
uygun sayılar eklenip çıkarılarak ifade tam kareye
tamamlanır.
f  x   x 2  2x ifade sin e 1 ekleyip 1 çıkaralım
2
 f  x   x

2x 1  1
 x 1 2
2
Çözüm
 f  x    x  1  1
Kareköklü ifadeler,
içi negatif olmadığında tanımlıdır.
 f  x   1   x  1
 x  1  0 ve 5  x  0 olmalı
 x  1 ve x  5
 f x  1 
x2
f x 
olmak üzere f ve f 1 in tanımlı olduğu
x3
en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
R  2
B)
R  3,1
C)
R  3, 1
D)
R  2
 x  1
2
 f x  1  x 1
Ömer ALSAN ©
Soru
A)
2
eşitliğin her iki tarafından karekök alalım
Cevap D
x  1  0  x  1 için x  1  x  1 olur.

f fonksiyonunda x  1,   için f 1 tanımlıdır.
 x  1 için x  1  f  x   1
 x  f  x  1  1
 f 1  x   x  1  1
x  1  0  x  1

f 1 in doğal tanım kümesi  1,   aralığıdır.
Cevap C
E) R
Bileşke İşleminin Özellikleri
Çözüm
1)
f fonksiyonu x  3 de tanımsızdır.
dolayısıyla f nin tanım kümesi R  3 olur.
f 1  x  
C)  1, 
E)  1,1
D)  1,1
nım kümesi (doğal tanım kümesi) aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
B) 1, 
A) 1, 
f  x   x  1  5  x fonksiyonunun en geniş ta-
Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
fg  x   gf  x 
Soru
3x  2
x 1
f  x   2x  1 , g  x   x 2  1 olmak üzere
 fg  gf  x  aşağıdakilerden hangisidir ?
f 1 fonksiyonu x  1 için tanımsızdır.
dolayısıyla f 1 in tanım kümesi R  1 olur.
A) x 2  x  1
1
Hem f nin hem de f in tanımlı olduğu en geniş
küme
R  3  R  1  R  3,1 olur.
B) 2x 2  4x  3
C) x 2  2x  2
D) 2x 2  2x  1
2
E) 2x  4 x  2
Cevap B
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
161
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Çözüm
2)
Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.
fg  x   f  g  x  


f  gh x    fg h  x 


 f x 2  1  2. x 2  1  1
Soru
 fg  x   2x 2  3
2x  1
1  4x
,g  x  
olmak üzere
3x  4
2  3x
 1
f  gh  x   x.h  x   1 ise h   nedir ?
x
f x 
gf  x   g  f  x  
2
 g  2x  1   2x  1  1
 gf  x   4x 2  4x
 fg  gf  x    2x 2  3   4x 2  4x 
 fg  gf  x   2x 2  4x  3
A)
1
x 1
B)
Cevap B
D)
Uyarı
Aşağıdaki üç özel durum için fg  x   gf  x  olur.
i.
f  x  g  x
ii.
f  x   g 1  x 
iii.
f veya g den en az biri birim fonksiyon.
x
x 1
C)
x 1
x
E)
1
1 x
x
1 x
Çözüm
Öncelikle f 1  x   g  x  eşitliği görülmelidir. Birleşme özelliği kullanılarak f  gh x    fg h  x  yazılır.
I  x   x birim fonksiyon olmak üzere
f 1  x   g  x   fg  x   I  x 
1
olmak üzere fg  x   gf  x  ise g 1
x
ifadesinin alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır?
f x  3 
Ömer ALSAN ©
  fg  h  x   Ih  x   h  x 
Soru
f  gh  x   x.h  x   1

h x 
 h  x   x.h  x   1
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
 xh  x   h  x   1
E) 5
Çözüm
 h  x  x  1  1
fg  x   gf  x  ise üç durum söz konusudur.
i.
 hx 
f x  gx
1
yazarak sonuca ulaşılır.
x
1
 1
 h  
1
x
1
x
x
 1
h  
 x  1 x
x yerine
1
 g 1  f 1  g 1  3 
1
 g 1  3  1  g 1  2
ii.
g  x   f 1  x 
1
3x
1
1
 g 1 
 g 1 
3 1
2
 gx 
Cevap E
3)
g  x  birim fonksiyondur.
iii.
 gx  x
Birleşme işleminin etkisiz elemanı birim fonksiyondur.
I  x  : Birim fonksiyon
 g 1  1
fI  x   If  x   f  x 
Cevap B
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
1
x 1
162
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Soru
x3
 f x  4
7
 2 
 f  x   2x  1
f  x  x
g  x    a  2 x 2   2  b  x  c  3 olmak üzere
x yerine 1  2x yazılarak sonuca ulaşılır.
 a b 
fg  x   gf  x   f  x  ise g 
 kaçtır ?
 c 
A) 1
B) 2
C) 3
 f 1  2x   2 1  2x   1
 f 1  2x   1  4x
D) 4
E) 5
Cevap A
Soru
Çözüm
f x 
fg  x   gf  x   f  x  ve f  x   x
olduğundan g  x   x olmalı
A)
 a 2  0 , 2b 1, c 3  0
2x  1 1
, f g  x   1  2x ise g 1  x  nedir ?
x 1
x
x4
 a  2 , b 1, c  3
B)
D)
ab
1
c
a b 
 g
  g 1  1
 c 

E)
x
x 1
1
2x
Öncelikle g ya lnız bırakılır.
f 1g  x   1  2x eşitliğinin
sol taraflarına f yi eklenirse
Tersi mevcut herhangi bir fonksiyonun, tersiyle
bileşkesi birim fonksiyonu verir.
ff 1  I olduğundan g ya lnız kalır.
 f
f 1 g  x   f 1  2x 
Ömer ALSAN ©
I  x  : Birim fonksiyon
ff 1  x   f 1f  x   I  x 
Soru
f  2x  3  4x  7 ise f 1  2x  nedir?
B) 2x  1
A) 1  4 x
1
4  2x
C)
Çözüm
Cevap A
4)
2x  1
x
D) 4  x
I
 2x  1 
 Ig  x   
  1  2x 
 x 1 
2 1  2x   1
 gx 
1  2x   1
1  4x
2x
4x  1
 gx 
2x
1
1
 g x 
4  2x
 gx 
C) x  2
E) 2x  1
Çözüm
f  2x  3   f  2x  3 
Cevap D
 f  2x  3   4x  7
Soru
Amacımız f yi ya lnız bırakmak
2x  3 yok edilirse f ya lnız kalır.
Eşitliğin sağ taraflarına 2x  3 ün
f 1g  x  
tersi eklenir.
 2x  3    2x  3 
1
 I  x  olduğundan
A)
böylece f ya lnız kalır.
1
 f  2x  3    2x  3    4x  7    2x  3 

 f  x    4x  7    2x  3 
gx  1
x 1
x
ise f  x  2  nedir ?
B)
1
D)
I x 
 fI  x    4x  7    2x  3 
1  2g  x 
x
x 1
x 1
x 2
C)
E)
x 1
x2
x 1
x 1
1
1
 x 3
 f  x    4x  7   

 2 
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
163
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Çözüm
Çözüm
f 1g  x  
1  2g  x 
f  2x  3   g  2  3x 
gx 1
 f 1  g  x   
 f  2x  3   g  2  3x 
1  2g  x 
eşitliğin sağ tarflarına 2x  3 ün tersini bileştire lim
gx  1
1
 f  2x  3    2x  3   g  2  3x   2x  3 

x yerine g  x  yazılır
1
I x 
1  2x
x 1
x 1
 f x 
x2
x yerine x  2 yazalım
 x3
 f  x   g   2  3x   

 2 
 3x  5 
 f  x   g 
2 

 3x  5 
 f  x  g 
2 

eşitliğin sol tarflarına g 1 bileştire lim
 f 1  x  
 f  x  2 
 x  2  1
 x  2  2
 f  x  2 
x 1
x
 3x  5 
1
 g 1f  x   g
g 

2 

I x
Cevap A
3x  5
2
x yerine  x yazılır
3x  5
 g 1f   x  
2
 g 1f  x  
Soru
f 1f 1  4   1 , f  4   3 ise fff 1 kaçtır ?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Cevap E
Çözüm
1
 f
f f
1
Ömer ALSAN ©
eşitliğin sağ taraflarına f eklenir
 4   f 1
I( x)
 If 1  4   f 1
Bileşke Fonksiyonların Tersi
Bileşke işleminin değişme özelliği olmadığı için, bileşke fonksiyonların tersi alınırken fonksiyonların sıralaması da ters çevrilir.
 f 1  4   f 1
1
 fg  x   g 1f 1  x 
1
 fgh  x   h 1g 1f 1  x 
eşitliğin sağ taraflarına f eklenir
 ff  4   ff 1



1
4
1
 f  f  ..  f  f   x   f
 f  x   f  x 
 ff 1  4
1
birleşme özelliğinden
2
n 1
n
1
n
 f 1n 1  ..  f 12  f 11  x 
1
1
 fff 1  f  ff 1


 fff 1  f  ff 1 

 4 
 fff 1  f  4 
Fonksiyonlarda ters alma işlemi yapılırken
tanım ve değer kümelerinin de değiştiğine
dikkat edilmelidir.
 fff 1  3
f :A B
Cevap C
Soru
g:B  C
olmak üzere
f  2x  3   g  2  3x  ise g 1f   x  nedir ?
f 1 : B  A
g f : A  C
A)
3x  2
5
B)
5x  2
3
5x  3
D)
2
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C)
2x  3
5
 g f 
1
 f 1g 1 : C  A
fg : B  B
3x  5
E)
2
 fg
164
1
 g 1f 1 : B  B
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Soru
Soru
f
1
g
fff  x   ff  x   1 ise ffff  x  nedir ?
1
  x   3  5x , g  x   3x  1 ise f  x  nedir ?
B) 9  14x
A) 8  15x
A) 4x  1
C) 10  13x
D) 11 12x
E) 12  11x
1
fff  x   f  ff  x 
1
  x  g  f   x 
g   x   g f  x 
 f 1g
1
1
1
1
fff  x   f  ff  x  
1
f  ff  x    ff  x   1
 g 1f  x   3  5x
ff  x  yerine x yazalım
Sağ taraflara g bileştirelim
f x  x 1
g
g 1 f  x   g  3  5x 



ffff  x   f  f  f  x  1  
ffff  x   f f f  f  x  
I
 f  x    3x  1   3  5x 
 f  x   3  3  5x   1  f  x   8  15x
 f  f  x  2 
Cevap A
 f x  3
Soru

C) 4x
E) 1  4x
Çözüm
Çözüm

 f
B) x  4
D) 4x  4
 x4
fg 1
1
  x   f 1  x   1 , ise g 11 kaçtır ?
Cevap B
Soru
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13

  fg
  fg
 gf
 fg
1
1
1
1
1
  x   g  f  x 
  x   gf  x 
  x   g  f  x 
 x   f  x   1
1
1
1
1
1
1
f  x   3x  2
Ömer ALSAN ©
Çözüm
f

f
..f
f  x   3 6 x  a ise a  n kaçtır ?
n tan e
A) 712
D)722
E)726

f  x   3 6 x  a olduğundan n  6 dır
f
f
..f
1
n tan e
ffffff  x    fff    fff  x 
 fofof  x   3  3  3x  2   2   2
 g  x   x  1  g 11  10
 3  9x  8   2
Cevap B
 27x  26
Soru
1
g 1
A) 2
1
 ffffff  x    fff    fff  x 
  x   g  x  , ise f  2x  nedir ?
2
C) 2x 2
B) 2x
D) 4x 2
  27x  26    27x  26 
 27  27x  26   26
E) x 2
 36 x  28.26
Çözüm
f
C) 718
Çözüm
1
f 1  x  yerine x yazalım
f
B)714
a  28.26  728
1
1
a  n  728  6  722
1
  x   g    f   x 
  f g   x   gf  x 
  f g   x   g  f  x  
 g  f  x  g  x   f x   x
1
 g 1
1
1
1
1
1
1
Cevap D
1
Soru
1
2
2
 f  2x    2x   f  2x   4x
f  x   f  2x   f  3x   x  1 ise f 1 kaçtır ?
2
A)
2
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E)
1
6
Cevap D
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
165
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Çözüm
Soru
f  x  doğrusal olmalı
 x  1
f
  1  x ise
 x  1
 1
f  x  1 in f   türünden eşiti nedir ?
x
 f  x   ax  b
 f  2x   2ax  b
 f  3x   3ax  b
 1
f  2
x

A)
 1
f  2
x

f  x   f  2x   f  3x   6ax  3b
 6ax  3b  x  1
 6a  1 ve 3b  1
1
1
a ,b
6
3
1
1
 f x  x 
6
3
1 1
 f 1  
6 3
1
 f 1 
2
sağ taraflara
C) 0
D) 1
E) 2
Çözüm
f  x  doğrusal olmalı
 f  x   ax  b
 ff  x   a  ax  b   b
 ff  x   a 2 x  ab  b
2
a
b  9x  8
 x  ab

9
8
a2  9  a  3
veya

ab  b  4b
4b  8
a  3
x 1
in ter sini bileştire lim
x 1
1
x  1
2x

 f  x   1 
  f x 
x  1
x 1

2  x  1
2x  2
f  x  1 
 f  x  1 
x
1
1
x2


 
()
2
1
2
2
 1
 1
x
x

f 
f  
1 x
 x  1 x
 x  1 1
x
x
 1
f 2
x
x  
()
 1
f 
x
() ifade sin deki x yerine () ifade sini yazdığımızda
 1
f  x  1 in f   türünden eşitini bulmuş oluruz.
x
 1
f 2
4
x
2  
2
 1
 1
f 
f 
4
x
x 
 f  x  1 

 1
 1
 1
f  2
 f    2 f    2
x
x
x
2
 1
 1
f 
f 
x
x

ab  b  2b
 2b  8
b  2
 f  x   3x  2
4
1
f  2
x
 x  1  x  1
 x  1
 f 

  1  x   

 x  1  x  1
 x  1
 x  1 
 x  1 
 f  x   1  x   
  f  x   1  x  1 
 x 1 


Ömer ALSAN ©

B) – 1
 1
f  4
 x
1
2  1 in alabileceği değerler toplamı kaçtır ?
A) – 2
2
C)
Çözüm
ff  x   9x  8 ise
3
E)
 1
f  2
 x
Soru

4
D)
Cevap A
f
 1
f  2
B)  x 
 1
f  2
x
b4
veya f  x   3x  4
f  x  in alabileceği değerler toplamı
 3x  2    3x  4   2 olur.
f  x  in alabileceği değerler toplamının
x ten bağımsız olduğuna dikkat edilmeli.
Dolayısıyla f  x  in alabileceği değerler
 f  x  1 
toplamı herzaman 2 olur.
Cevap E
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
4
 1
f 2
x
Cevap E
166
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Soru
Soru
f  x  1  2
2x 1
ise
 5 10 15 20 
f 1  

15 5 20 10 
f  2x  in f  x  türünden ifadesi nedir ?
A) 8f  x 
B) f  x   8
D) 8f
2
x
C) f 2  x 
E) f
2
 fg 
1
x  8
Çözüm
1
 5 10 15 20 


10 20 15 5 
ise g  5  f  5  toplamı kaçtır ?
f  x  1  2 2x 1
A) 15
x yerine x  1 yazarak f  x  bulunur.
 f x  2
C) 25
D) 30
E) 35
Çözüm
2  x 1 1
 5 10 15 20 
f 1  

15 5 20 10 
 f  x   2 2x 3
f  x   22x.2 3  f  x   22x.
1
8
f 1 değerlerine aşağıdan yukarıya doğru bakılarak
22x  8.f  x  ()
2(2x)  3
 f  2x   2
() ifade sin deki 2 2x
eşiti yazılır.
2
 5 10 15 20 
f 
 ()
10 20 5 15 
1
()
8
yerine () ifade sin deki
 
 f  2x   2 4x.2 3  f  2x   2 2x
 f  2x    8.f  x   .
f değerleri görülür.
4x  3
2
.
 5 10 15 20 
 gf 1  gf 1  

10 20 15 5 
sağ taraflara f bileştirilerek f 1 den kurtulunur.
 fg 
1
1
8
 f  2x   8f 2  x 
Cevap D
Ömer ALSAN ©
 f  2x   2
B) 20
Soru
f  x   x , gf  x   x 2  x ise fg  x  nedir ?
1
5
g
10
5
g
 20
10 15 20   5 10 15 20 
 

20 15 5   10 20 5 15 
10 15 20 
 ()
5 10 15 
 ve  permütasyonlarından
g  5   20 , f 5   10
A) x 1  x2
x3 x2
B)
 g  5   f  5  30
x 2 1
C)
Cevap D
E) x x 2  1
D) x 2  x
Soru
Çözüm
f,g : R 2  R 2
g f  x   x 2  x

fg 1,2  aşağıdakilerden hangisidir ?
x
 
 g x    x    x 
g
x  x2 x
4
A) 1,2
2

4
 fog  x   x  x
 fog  x   x
x
2

2

f  2,1  12,2 1

 1  fog  x   x x  1
2
D) 1,1
E)  2,0

f 1,2   1,2
Cevap E
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C)  2,2
R 2 deki fonksiyon işlemleri de R deki gibidir. Tek
fark fonksiyona giren ve fonksiyondan çıkan elemanlar sıralı ikilidir.
fg 1,2   f  g 1,2    f  2,1
fog  x   f  g  x  
 fog  x   f x 4  x 2
B)  2,1
Çözüm
x yerine x yazılır.  g  x   x 4  x 2
2

f  x,y   y x , x y , g  x, y    y, x  ise
 g(f  x )  x 2  x

Cevap A
167
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Grafik Üzerinde İşlemler
3)
Fonksiyon grafiği kullanarak soru çözerken, tanım
ve görüntü kümelerinin hangi eksenlerde olduğuna
dikkat edilmelidir.
f 1 , y=0 için birden çok görüntüye sahip olduğundan f 1 fonksiyon olamaz.
x:Tanım Kümesinin
(Fonksiyona giren değerlerin) bulunduğu eksen
4)
  5 
5
f f    f  f     f  3   5
2
  2

y:Görüntü kümesinin
(Fonksiyondan çıkan
değerlerin) bulunduğu
eksen
Örnek
5)
f  x   4 olacak x değeri yok  f 1  4  tanımsız.
6)
f  x  in minimum değeri  1 dir.
7)
x  1,2  için f  x   0
Soru
y  f x
y
5
2y  1  f  3x 
4
3y  g  2x  3 
3
3

x
1
2
5 3
2
Ömer ALSAN ©
2
1
2
0
1
nım kümesi x ekseni üzerinde , görüntü kümesi de y
ekseni üzerindedir. Grafiğe bakarak aşağıdaki sonuçlara ulaşılabilir.
1
x
3
1
II.
fg 1  9   5
III.
fg  3   1
IV.
f 1 
A) 0
B) 1
1
3
C) 2
D) 3
E) 4
Çözüm
biliriz.
Grafikte 4 noktanın koordinatları net olarak bellidir.Öncelikle fonksiyonlar bu noktalarda incelenmeli.
f :  0,     1,    4
5
5
f    3  f 1  3  
2
2
f  3   5  f 1  5   3
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI


x ekseninde 0 hariç bütün pozitif reel sayılar
için fonksiyon tanımlı görülüyor, o zaman fonksiyonun tanım kümesi  0,  aralığıdır.
y ekseninde – 1 den küçük olmayan reel sayıların tamamı fonksiyon tarafından kullanılmış görülüyor. Fakat dikkat edilirse y eksenindeki 4
noktası fonksiyon hiç kullanmamış, o zaman
fonksiyonun görüntü kümesi  1,    4 diye-
2)

Grafikte verilen f ve g fonksiyonlarına göre aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?
I.
g  f 1  5   6
Yukarıda grafiği verilen y  f  x  fonksiyonunun ta-
1)
5
2

f 1f 1  5   f 1 f 1  5   f 1  3  
y  f  x
y
f 1  f  2   0  f 1  0   1 veya f 1  0   2
168
Nokta
x
y


 0,0 


0
0
2y  1  f  3x 
f  0   1

f 1  1  0
3y  g  2x  3 
g 3   0 



g 1  0   3 
Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
Nokta
x
y
FONKSİYONLAR
2y  1  f  3x 
Soru
3y  g  2x  3 
y  gf 1  x  1


1,1


f 3  1
1
?

1
f
1
y





1  3
x  f 1  y 
1
x
1
3
2


1,2


1
g 5  6 



1
g  6   5 
?
2
f 9  5


 3,3 


3
f
1
A)
g 9  9 



g 1  9   9 

3
Grafikteki f ve g doğrusal fonksiyonları için
fg 1 kaçtır?
5   9
1
9
B)
2
9
C)
4
9
D)
5
9
E)
7
9
Çözüm
y  g f 1  x  1 doğrusu,
x eksenini 1 de y eksenini – 2 de kesiyor.
 1,0   0, 2  noktalarından
Soruda verilen ifadelerin doğruluğunu araştıralım
?
I.
gf 1  5   6
geçen doğru y  ax  b olsun
 1,0   x  1, y  0  a  b  0
Ömer ALSAN ©
 g(f 1  5 )  g  9   9 (yanlış)

9
II.
?
1
9  5
 f (g 1  9 )  f  9   5 (doğru)

fg
 gf 1  x  1  2x  2
 gf 1  x   2x  4  
?
fg  3   1
x  f 1  y   y  f  x  doğrusu,
x eksenini – 3 de y eksenini 1 de kesiyor.
  3,0   0,1 noktalarından
 f (g  3)  f  0   1 (doğru)

0
geçen doğru y  ax  b olsun
  3,0   x  3, y  0  3a  b  0
1
3
f nin grafiği bir doğru olduğundan f doğrusal
fonksiyondur.
f  x   ax  b olsun  f  0   1  b  1
?
IV.
 y  2x  2 ve y  gf 1  x  1 olduğundan
 gf 1  x    2x  2    x  1
9
III.
  0, 2   x  0, y  2  b  2  a  2
f 1 
 f  3   1  3a  b  1
 3a  1  1  a 
1
 f  x   a x  b  f  x  
2
3
 f 1  
1
  0,1  x  0, y  1  b  1  a 
1
x  1 ve y  f  x  olduğundan
3
1
 f  x   x  1   
3
 ve   eşitliklerinden
y
2
3
2
x 1
3
1

g  x   gf 1 f   2x  4    x  1
3

2
 gx  x  2
3
 4 5
fg 1  f  g 1   f    
 3 9
Cevap D

1
(yanlış)
3
Cevap C
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
1
3
169

Zirveyi hedefleyenlere…
9.SINIF MATEMATİK
FONKSİYONLAR
Grafikten yararlanılarak, Polat’ın ders çalışma ve
uyku ilişkisiyle ilgili hangi yargıya varılamaz.
Soru
Çalışır durumdaki bir otomobilin hızı ile ortalama
yakıt tüketimi arasında f fonksiyonu bulunmaktadır.
A) Günde, en az 3 en çok 6 saat ders çalışır.
B) Günde, en az 4 en çok 9 saat uyur.
C) En uzun süreli ders çalışmayı günde 6 saat
uyuduğunda yapar.
D) Ders çalışmasını, çok uyumak uykusuzluktan
daha fazla engeller.
E) Uyku süresi, ders çalışma süresinden az olamaz.
x : Otomobilin Hızı ( km / saat)
y : Yakıt Tüketimi Litre / saat 
y
y  f x
14
12
10
8
Çözüm
6
4
f :  4,9  3,6 olduğundan A , B ve C seçe

x
60
30
120 150 180 210
90
Uyku süresi
neğindeki yargılara varılabilir.
Grafikten yararlanılarak, çalışır durumdaki otomobille ilgili aşağıdaki yargılardan hangisine ulaşılamaz?
A)
B)
C)
D)
E)
Grafik incelendiğinde x   4,9 için x  f  x  olduğu
görülür. dolayısıyla E seçeneğindeki ifade de doğrudur.
En az, saatte 4 litre yakıt tüketir.
En fazla, saatte 14 litre yakıt tüketir.
Hareketsizken, saatte 8 litre yakıt tüketir.
20 litre benzinle en çok 450 km gider.
Hızı arttıkça yakıt tüketimi azalır.
x değeri 4 ten 6 ya giderken f  x  değerindeki değişim , x değeri 6 dan 9 a giderken f  x  değerindeki
yısıyla f  x  in en küçük değeri 4 en büyük değeri 14
tür.
Ömer ALSAN ©
Çözüm
Fonksiyonun görüntü kümesi  4,14 aralığıdır. dola-
Ders çalışma
süresi
değişimden daha büyüktür. Bundan dolayı uykusuzluk ders çalışmayı daha fazla engeller yargısına varabiliriz.
Cevap D
Soru
f    
f  0   8 olduğundan çalışır durumdaki araç hareketsizken saatte 8 litre yakıt tüketir.
f b ö lm e si
g    
g bölmesi
h    
h bölmesi
v    
v bölmesi
f  x  in en küçük değerini kullanırsak 90 km de 4 litre yakıt tüketiyor. Bu durumda 20 litre yakıtla 450
km gidebilir.
Yukarıda  hammaddesini 4 aşamada  maddesine dönüştüren bir makinenin fonksiyon modelleme
grafiği verilmiştir.
Hareketsiz araç 90 km hıza ulaşana kadar yakıt tüketimi azalır, fakat hızı 90 km yi geçtikten sonra yakıt tüketimi artar.
Cevap E
Buna göre, makinenin bileşke fonksiyonlu ifadesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
fghv    
Soru
B)
fghv   
Polat, bir ay boyunca her gün uyuduğu süreyle ders
çalıştığı süreyi not alarak aşağıda grafiği verilen f
fonksiyonunu oluşturmuştur.
C)
vhgf   
D)
vhgf    
E)
vhgf   
y : Ders çalışma süresi (saat / gün)
Çözüm
6
Hammadde =  , Ürün= 
Hammadde f bölmesine giriyor, ürün ise v bölmesinden çıkıyor.
Cevap D
5
y  f x 
4
3
x : Uyku süresi(saat / gün)
4
5
6
7
8
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
9
170
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 26 –
1
x
f  2x   x 2 , g    1 
2
x
 
4.
olduğuna göre, f 1  1 değeri kaçtır?
olduğuna göre,
f
2
2.
A) 1

 4g  2  ifadesinin değeri nedir?
A) 3
B) 2
fg 1  2x  1  7  2x , g  5   7
C) 
3
2
D) 1
E) 
C) 5
D) 7
E) 9
3
4
 1 x  x  2
f

 x 5 x 3
olduğuna göre, f 1  2 ifadesinin değeri kaç-
A) 3
B) 2
C) 1
D) 1
E) 2
5.
Ömer ALSAN ©
tır?
f  x  1  f  x   1 , f  0   1
olduğuna göre,
ffff 1 ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
3.
B) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
fg1  x   3x  2
olduğuna
göre,
g 1  3   f 1  2  m  eşitliğini
sağlayan m değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 3
D) 4
E) 5
171
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
f 1g  x  
TEST – 26 –
gx  2
9.
y  f  x  ve x  f 1  y 
1 g  x 
fonksiyonlarının grafiklerinin geçtiği ortak noktalar m,3  ve  7,n  olduğuna göre, m + n top-
olduğuna göre, f  3  değeri kaçtır?
lamı kaçtır?
5
A)
3
7.
5
C)
2
5
B)
4
D) 5
E) 10
A) 4
B) 10
C) 15
D) 20
E) 21
x,y  R için
xf  y   yf  x 
olduğuna göre, f  x  fonksiyonu aşağıdaki-
10.
lerden hangisi olabilir?
B) f  x   1
D) f  x   x 2
C) f(x) 
1 2 3 4 5 
f 

1 3 2 5 4 
x
3
E) f  x   2x  1
Ömer ALSAN ©
A) f  x   x  1
 1 2 3 4 5
, f 1g  

3 2 5 1 4
olduğuna göre,
g 1  2  f 1  4
toplamının değeri kaçtır?
A) 5
8.
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
y  f x
fonksiyonunun grafiği x eksenini A, B ve C noktalarında kesmektedir.
A, B ve C noktalarının apsisleri toplamı m ol x 2
duğuna göre, y  f 
 fonksiyonunun x
 3 
eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı
nedir?
A) m  2
D) 3m  6
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
B) m  6
C) 3m  2
E) 2m  3
172
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 27 –
4.
 x  2   x 1
f


 x 2  x 2
f : R  R , f  x   x  x 
fonksiyonu veriliyor. Buna göre x   4,5  olmak
olduğuna göre,
üzere
uygun koşullar altında f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
3x  1
A)
4x
D)
2.
3x  1
B)
4x
x 1
4x
f(x)  x  2 , g  x  
E)
f x
fonksiyonu
aşağıdakilerden
hangisidir?
2x  1
C)
3x  1
2x  1
4x  1
A)
f x  x  4
B)
f  x   x  4
C)
f x  x  5
D)
f  x   x  5
E)
f  x   4x  5
2x  1
x5
olduğuna göre, g 1f  x   4 eşitliğini sağla-
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Ömer ALSAN ©
yan x değeri kaçtır?
5. A, en az bir elemana sahip bir küme olmak
üzere;
f ,g,h  A 2
fonksiyonları için
fgh  x  bileşke fonksiyonunun birebir olduğu
biliniyor.
Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur.
A) f birebirdir.
3.
f  x   log7 x 1
B) g birebirdir.
olduğuna göre, f  7 5  değeri kaçtır?
C) h birebirdir.
D) f örtendir.
A) 5
1
B) 
5
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
1
C)
5
D) 5
E) 7
E) h örtendir.
173
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 27 –
Sıfırdan farklı a,b Gerçel Sayıları için
8.
f x 
ax  3
, f  x   f 1  x 
2x  5
a.f  a   b.f  b 
olduğuna göre, a sayısının değeri kaçtır?
eşitliği veriliyor. Buna göre, f  x  fonksiyonu
A) 3
B) 2
C) 2
D) 5
E) 5
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) f  x   x2
B) f  x  
D) f  x   x
x 1
x2
E) f  x  
C) f  x  
1
x2
1
2x
9.
f  x  1  f  x  
x
, f 1  2
olduğuna göre, f  5  değeri kaçtır?
7.
f x 
B) 2 18
C) 2 24
D) 2 32
E) 2 36
Ömer ALSAN ©
A) 2 12
1
1

x x 1
fonksiyonunun doğal tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) R   1,0
D)  0,1
B) R   1,0 
C) R
10. f  x  
E)  1,0 
x5
1  sgn  x  5 
fonksiyonunun doğal tanım kümesinde kaç tane tamsayı vardır?
A) 4
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
174
B) 5
C) 6
D) 9
E) 11
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 28 –
2
 x  1 x  x
f

2
 2 
4.
f : R  2  R  2
x
olduğuna göre, f  x  fonksiyonu aşağıdaki-
2f 1  x   1
f 1  x   2
lerden hangisidir?
B) x 2  2x
A) 2x 2  x
2
olduğuna göre, f  x  aşağıdakilerden hangi-
C) x 2  2x
sidir?
2
D) x  x
E) 2x  x
A)
1  2x
x2
B)
D)
2.
x2
x 1
x2
x 1
C)
E)
2x  1
x2
2x  1
x2
f  x   ax  b
f 1  5   m  1
f 1  9   m  1
5.
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
y
Ömer ALSAN ©
olduğuna göre, f m değeri kaçtır?
5
g x
5
3
x
2
3
f  x
3.
fg  x  
x2
x 1
Yukarıdaki
grafikte
y  g x
fonksiyonuyla
y  f  x  doğrusal fonksiyonu verilmiştir.
f  x  1  x
5
Bunan göre, f 1g  0   gf 1   çarpımının
3
değeri kaçtır?
olduğuna göre, g  x  fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x2 1
x 1
B)
D)
x 2  x 1
x 1
x2 x
x 1
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
E)
C)
x 2  x 1
x 1
A)
5
3
B)
5
2
C) 5
D) 7
E) 8
x2  x  1
x 1
175
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 28 –
9.
f  x  doğrusal fonksiyonu için,
y
f  4   3 , f  3  4 olduğuna göre, f 1 değeri
gx
kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
 3,3 
E) 8
x
4
f  x
Yukarıdaki grafikte, g  x   mx doğrusal fonksiyonuyla f  x   ax2  bx  c parabol fonksiyonu verilmiştir. f  x  ve g  x  fonksiyonları orijinde ve  3,3  noktasında kesiştiğine göre,
7. 125 litrelik boş bir depo, x saniyede f  x  litre
fg  2 
su akıtan bir muslukla doldurulacaktır.
gf  2 
ifadesinin değeri kaçtır?
f  x   4x 2  5x olduğuna göre, musluk açılA) 1
dıktan kaç saniye sonra depo dolar?
B) 4
C) 5
D) 6
D) 4
C) 3
E) 5
E) 7
Ömer ALSAN ©
A) 3
B) 2
10.
y ( %kar oranı )
f  x
x ( adet )
8. Ahmet kardeşi Mehmet’ten 5 yaş büyüktür.
Mehmet ise kardeşi Pınar’dan 7 yaş büyüktür.
Pınar doğduktan x yıl sonra Ahmet f  x  ;
Bir oto galerisi, satışlarda uygulanan kar oranının belirlenmesinde yukarıda grafiği verilen
Mehmet ise g  x  yaşında olacaktır.
Buna göre, f  x   g  x  toplamı aşağıdakiler-
f : N   adet   Q  %kar oranı
den hangisidir?
A) 2x  12
B) x  19
D) x  12
f x 
C) 2x  19
E) 2x  7
3x  40
x 1
fonksiyonunu kullanmaktadır.
Buna göre, %5 in altında kar oranıyla otomobil alan bir ilaç firması, en az kaç otomobil almıştır.
A) 14
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
176
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 29 –
4.
y
A
x
1
2
B

V1 km / saat

V1 km / saat
2
a
A kentinden saatte V1 ; B kentinden saatte V2
f x 
kilometre hızla aynı anda, şekildeki gibi harekete başlayan araçlar için
Yukarıda grafiği verilen f  x  fonksiyonu
x  f  x
f  x    x  2 .  x  1 . mx  8 
 Harekete başladık tan x saat 
f  x  

 sonra aralarındaki mesafe 
olduğuna göre, f  x  fonksiyonunun y eksenini
kestiği noktanın ordinatı a kaçtır?
A) 12
C) 16
D) 18
E) 20
Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi sadece bu verilerle bulunabilir?
f : R  2  R  1
x
3  2f  x 
f x  1
olduğuna göre, f 1  x 
aşağıdakilerden han-
gisidir?
A)
2  3x
x 1
D)
B)
x3
2x  1
3  2x
x 1
E)
C)
x 1
2  3x
Ömer ALSAN ©
2.
B) 14
f  x   1200  120x fonksiyonu veriliyor.
I.
A ve B kentleri arasındaki mesafe
II.
Araçların hızları toplamı
III.
Araçların hızları farkı
IV.
Harekete başladıktan karşılaşıncaya
kadar geçen süre
V.
Karşılaştıkları
uzaklığı
A) 1
B) 2
noktanın
A
D) 4
C) 3
kentine
E) 5
x2
3x  1
3. Bir banka x TL ana paraya yıllık f  x  TL faiz
5.
geliri vermektedir.
 x.0,16

f  x    x.0,125
 x.0,1

nini apsisi 3 olan noktada, y eksenini ise ordinatı -2 olan noktada kesmektedir
, 10000  x
, 5000  x  10000
, x  5000
Buna göre, f  x  fonksiyonunun grafiği aşağıda denklemleri verilen doğrulardan hangisinin grafiğiyle aynıdır?
olduğuna göre, yıllık 5000 TL faiz geliri elde
etmek için kaç TL ana para gerekir?
A) 30000
B) 35000
D) 45000
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
f  x  doğrusal fonksiyonunun grafiği; x ekse-
A) y 
C) 40000
E) 50000
2
x2
3
B) y 
D) y  2x  3
177
3
x2
2
E) y 
C) y  3x  2
2
x2
3
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 29 –
8. Bir f fonksiyonu “ Her sayıyı, kendisinin iki katı
y
f  x
8
ile karesinin toplamının bir fazlasına götürüyor.”
şeklinde tanımlanmıştır.
x
4
2
Buna göre, f fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
8
g x
A) f  x    x  1
2
B) f  x    x  1
C) f  x   x 2  1
Yukarıda, f  x   x 3 ve g  x  fonksiyonlarının
2
D) f(x)  2x 2  2x  1
grafikleri verilmiştir.
E) f  x   2x 2  2x  1
1
Buna göre, fggf g  0  ifadesinin değeri
kaçtır?
A) 2
B) 2
C) 4
D) 4
E) 0
9.
f : R  a  R  b
Ömer ALSAN ©
x
7.
f  x   log 1 x fonksiyonunun grafiği, aşağıda-
2f  x   5
f  x  3
olduğuna göre, a  b toplamı kaçtır?
A) 5
B) 1
C) 3
D) 6
E) 7
2
kilerden hangisi olabilir?
A)
y
y
B)
1
x
x
1
C)
y
10. f  x   x 2  2x , fg  x   x 2  6x  8
y
D)
x
x
olduğuna göre, g  x  fonksiyonu aşağıdaki-
1
lerden hangisidir?
1
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
A) x  2
y
E)
B) x  2
D) x  4
x
178
C) x  6
E) x  4
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
TEST – 30 –
x
f  x   10   
4
4.
f  x   log 3 x
gf  x   x  3
olduğuna göre, f 10  değeri kaçtır?
olduğuna
A) 9
B) 8
D) 6
C) 7
E) 5
göre,
g x
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 3 x
B) 3 x  1
C) 3 x  2
E) 3 x  3
D) 3 x  3
2.
fonksiyonu
f x  3  x  2
fonksiyonunun doğal tanım kümesinde kaç
tane tamsayı vardır?
B) 5
C) 6
E) 8
D) 7
Ömer ALSAN ©
A) 4
5.
x 2  2x
, g 1  x   x  1
x 2 1
fg  x  
olduğuna
göre,
f x
fonksiyonu
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x 2 1
x 2  2x
D)
3.
B)
x2
x  2x
2
x 2 1
x 2  2x
C)
E)
x2
x 2 1
x2 x
x 2 1
a,b  0 , f  x   ax  b
doğrusal
fonksiyonu
için,
f  b   f 1  a 
olduğuna göre, b nin a türünden eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
a 1
B)
D)
1
a2  a 1
a
a2  a 1
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
E)
C)
a
a2  2
a
a2  a
179
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
6.
TEST – 30 –
9.
f  3  2x   1  x 2
olduğuna
f x
göre,
f :   ,  4   17,  
f  x   x 2  8x  1
fonksiyonu
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
göre, f 1  x 
olduğuna
1
A)
 x 2  6x  5
4
1
 x 2  6x  5
C)
4




E)
a  Z , f x 
olmak


1 2
x  6x  5
4



B)
D)
A)
4  x  17
B)
4  x  17
C)
4  x  17
D)
4  x  17
E)
4  x  17
xa
x 1
üzere,
1
x
fonksiyonu

ff  x 
fonksiyonu
aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 
ters
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
3x  4
2x  3
3x  5
x3
C) 
E)
x4
2x  1
Ömer ALSAN ©
7.
1
B)
 x 2  6x  5
4
1 2
D)
x  6x  5
4
10.
2x  5
2x  1
y
3
g x
2
f  x
1
x
1
Yukarıda
f x
ve
2
g x
3
fonksiyonlarının
grafikleri verilmiştir.
8.
x 
f  x     1
3 
Buna göre, fgf 1 değeri kaçtır?
olmak üzere, f  a   3 eşitliğini sağlayan kaç
A) 0
B) 1
C) 2
D)
5
2
E) 5
farklı a tamsayısı vardır?
A) 2
B) 3
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 4
D) 5
E) 6
180
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
1.
DENEME SINAVI – 7 –
4. A ve B kümelerinin kesişim kümesinde en az
3  a  1
bir eleman vardır.
1  b  3
s  A  B   4s B  A 
olduğuna göre, a 2  b 3 ifadesinin en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A)  1,36 
B) 0,36 
D)  1,16 
2.
s  A  B   5s  A  B 
C)  1,27 
olduğuna göre, A kümesi en az kaç elemanlıdır?
E) 1,36 
A) 15
x2  4
B) 17
C) 19
D) 21
E) 23
5. A, B, C kümeleri için,
eşitsizliğinin doğru olması, aşağıdaki eşitsizliklerden hangisinin doğru olmasını gerektirir?
B) x  2
C) x  2
E) 2  x  2
D) 1  x  3
Ömer ALSAN ©
A) x  4
A  B  1,2
C  a,b,c
olduğuna
göre,
 C x A    C x B  kartezyen
çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
3. A ve B iki kümedir.
6.
A  B, A  B, A  B
kümelerinin öz alt küme
sayıları sırasıyla 127, 15, 1 olduğuna göre,
B  A kümesinin eleman sayısı nedir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
f x  x 3
olduğuna göre, f  x  1  f  x  1 farkının değeri nedir?
E) 5
A) 6x 2  2
D) 2x 3  2
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
181
B) 2x 3  6x
C) 6x 2  6x
E) 2x 3  6x 2
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 7 –
y
7.
9.
A
D
x
1

3
ABCD ve EBCF
dikdörtgen,

2
x

1
E
F
B
C
DF  x birim
AD  3 AB  5
EB  2 AE
f x
Yukarıda verilenlere göre f fonksiyonu,
Grafikte f  x  fonksiyonu verilmiştir.
x  f x
gx
f  x   " EBCD dikdirtgeninin alanı " biçiminde
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
tanımlanmıştır. Buna göre, f  x  aşağıdakiler-
gx  f x  f x
olduğuna
y
A)
göre,
y
B)
2

3
den hangisine eşittir?
1
x

1

2

3

2

1
x
A) 18x 2  10x
B) 10x 2  18x
C) x 2  18x
D) x 2  10x
E) 18x 2  x
y
y
D)

1
1

3
x

1

2

3

1
x
Ömer ALSAN ©
C)
y
E)
10.
K
1

3

1

2
L
M
x
Şemadaki taralı küme aşağıdakilerden hangisiyle ifade edilebilir?
8.


f 10 x 1  10 x 1  10 x  10
olduğuna göre, f  2  nin değeri nedir?
A) 150
B) 160
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 170
D) 180
E) 190
182
A)
 L  M    K  M
B)
 M  L   K  L 
C)
 K  L   L  M 
D)
 K  L   M  L 
E)
 K  L   M  L 
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 7 –
11. Bir sınıfta Rusça veya İspanyolca dillerinden en
14. t  f  t   60  4t
az birini bilen öğrenciler vardır. Rusça bilenlerin
sayısı; İspanyolca bilenlerin sayısının yarısı,
her iki dili bilenlerin sayısının ise 6 katıdır.
t  g  t   90t
Buna göre, sadece İspanyolca bilenlerin sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
olmak üzere, harekete geçtikten t saat sonra bir
otomobilin deposundaki yakıt miktarı f  t  litre;
A) 7
B) 10
C) 14
D) 18
aldığı mesafe de g  t  kilometredir.
E) 22
Otomobil harekete geçtikten sonra bir daha
durmadığına göre, yakıtı bitinceye kadar kaç
kilometre yol alır?
A) 1200 B) 1250 C) 1300 D) 1350 E) 1400
12. f : R  a  R  b
f x 
x2
3x  4
A) 
2
9
B)
1
9
C)
2
9
D)
4
9
E)
5
9
Ömer ALSAN ©
f fonksiyonu tersinir olduğuna göre, a.b
çarpımının değeri nedir?
15. f  x   x 2  x
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi
birim fonksiyona özdeştir?
A)
13. f  x   x  1  1
C)
gx  1
B) 3
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 4
D) 5
f x  f x 
B)
2
f  x   f  x 
2
E)
olmak üzere, f(x) ve g(x) in grafiklerinde bulunan ortak noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
A) 2
f x  f  x
2
D)
f  x   f  x 
f   x  .f  x 
E) 6
183
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 7 –
16. Bir sınıfta, İngilizce veya Çince dillerinden en
19. x y
az birini bilen 34 öğrenci vardır. İngilizce bilenlerin sayısı; Çince bilenlerin sayısının 3 katı,
her iki dili bilenlerin sayısının ise 5 katıdır.
m 2
3 n
Tabloda verilen x ve y değerleri
Buna göre, sınıfta İngilizce bilenlerin sayısı
kaçtır?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
y x 1
 
2 3 4
E) 32
bağıntısına ait olduğuna göre, m+n toplamı
kaça eşittir?
A)
19
4
B)
19
6
C)
19
8
D)
19
10
E)
19
12
17. A   1,2,3,4 
B   3,4,5 
A)
1
4
B)
1
6
C)
1
8
D)
1
12
E)
1
24
20. f  x  
Ömer ALSAN ©
kümeleri veriliyor. A x B kartezyen çarpım
kümesinden alınan bir elemanın ( a , a ) biçiminde olma olasılığı kaçtır?
18. Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde  işlemi,
1 1
ab
 
a b ab
2x  1
x2
fonksiyonunun reel sayılardaki görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
R
B)
R    1
C)
1
R 
2
D)
R  2
E)
 1
R  
 2
olduğuna göre, 2  3  1 m eşitliğindeki m
sayısı kaçtır?
A) 1
B) 2
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 3
D) 4
E) 5
184
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 8 –
4.
1. Ayrık olmayan A ve B kümeleri için,
s  A   2s B 
2s  A  B   5s B  A 
f  t
g t
olduğuna göre, AB kümesi en az kaç elemanlıdır?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 16
E) 18
t  f t 
t  gt 
f  t   30  3t
g  t   18  t
Yukarıdaki şekillerde verilen mumlar, aynı anda
yanmaya başladıktan t dakika sonra 1. mumun
boyunu f(t) fonksiyonu; 2. mumun boyunu ise
g(t) fonksiyonu göstermektedir.
2. Z tamsayılar kümesi üzerinde  işlemi,
ab  a  b  5
Buna göre, iki mum aynı anda yanmaya başladıktan kaç dakika sonra boyları eşit olur?
biçiminde tanımlanmıştır. Buna göre,  işleminde tersi kendisine eşit olan sayı aşağıdakilerden hangisidir?
B) 3
C) 4
D) 5
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
E) 6
Ömer ALSAN ©
A) 2
A) 4
3. Başlangıçta 256 bakterinin bulunduğu bir
kültürdeki bakteri sayısı, her bir saatlik süre
sonunda iki katına çıkmaktadır.
5. A ve B kümeleri için,
A B
t  f t
A B
f  t  =(Başlangıçtan t saat sonra kültürdeki bak-
teri sayısı)
s  A  B   10, s  A  B   3
olarak tanımlanıyor. Buna göre, f(t) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı
en çok kaç olur?
A)
f  t   256  2t
B)
f  t   256  t 2
C)
f  t   256  2 t
D)
f  t   2 t7
E)
f  t   2 t8
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
A) 5
185
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 8 –
6.
8.
 1
f x  
 1
, x  0 ise
 x
f x  
x
, x  1 ise
x
3
, x  0 ise

2
1

, x  1 ise
1
3
2
y

4
olduğuna göre, ( f + g ) (x) in grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
1
1
Grafiği verilen f  x  fonksiyonu için f  f  a   1
olduğuna göre, a nın alabileceği değerler
çarpımı kaçtır?
y
B)
1
1

1
x
1


x
A) 2

y
C)
C) 8
E) 12
1
1

1
x
1
x

Ömer ALSAN ©
9.
y
E)
1
1

x
f x   1 x
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
y
B)
1

1

7.
D) 10
y
D)
1
1
B) 4

y
C)
f : N  N
x
y
D)
1
1

f  xy   xf  y 
1

1
x
f 1  3 olduğuna göre, f(10) un değeri nedir?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
y
E)
E) 30
1

1
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
x
186
x
Zirveyi hedefleyenlere…
x
9. SINIF MATEMATİK
DENEME SINAVI – 8 –
10.  1,3  kapalı aralığında tanımlı
12. A   1, 2, 4 
f x  x 2
kümesinde tanımlı,
fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?
x  y   x ile y nin en küçük ortak katı
A) 1
B) 4
C) 9
D) 12
işleminin birim (etkisiz) elemanı kaçtır?
E) 15
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
13. f  x   x 2  x  1
11. A   Sınıftaki sarışın öğrenciler 
olduğuna göre, f  x  1  f  x  1 toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B   Sınıftaki gözlüklü öğrenciler 
A) 2x 2  2x
D   Sınıftaki erkek öğrenciler 
olduğuna göre,
 A  C   B  D  kümesinin
Ömer ALSAN ©
C   Sınıftaki kız öğrenciler
B) x 2  2x
D) 2x 2  x
C) x 2  x
E) 2x 2  2
elemanlarını aşağıdakilerden hangisi ifade
eder?
A) Sınıftaki gözlüklü olmayan sarışın erkek
öğrenciler.
14. f  x  : R  R
B) Sınıftaki sarışın olmayan gözlüklü erkek
öğrenciler.
f  x   f  x  1  x  1
C) Sınıftaki gözlüklü olmayan sarışın kız öğrenciler.
f 3   5
D) Sınıftaki sarışın erkekler.
olduğuna göre, f(5) in değeri nedir?
E) Sınıfta sarışın olmayan gözlüklü kız öğrenciler.
A) 3
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
187
B) 2
C) – 2
D) – 4
E) – 5
Zirveyi hedefleyenlere…
9. SINIF MATEMATİK
15.
DENEME SINAVI – 8 –
18.  x, y  R için
x
y
1
3
a
xy
2
b
6
olması için aşağıdakilerden hangisi yeterlidir?
A) xy  x 2
Tabloda verilen değerler x  m y bağıntısına
a
oranı aşağıdakilerden
b
ait olduğuna göre
B) x 2  y 2
D) x 3  y 3
C) x  y
E) x.y  y 2
hangisidir?
A) 3
B) 3
C)
1
3
D) 
1
3
E) 2
1
x
19. f  5 x   25  x   
5
 
16. x  f  x 
 1
olduğuna göre, f   nin değeri nedir?
 2
f  x   3x  120 olduğuna göre, bu mal 120 TL
ye satıldığına % kaç kar elde edilir?
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70
Ömer ALSAN ©
f  x   (maliyeti x TL olan bir malın satış fiyatı)
17. A ve B, E evrensen kümesinin iki alt kümesidir.
A)
1
2
B) 1
C) 2
D) 4
E)
9
2
20. f  x  doğrusal fonksiyonu için,
s  E   16
f a  2  b  7
s A   8
s  B   9
f a  2  9  b
s  A   B   14
olduğuna göre, f  a  nın değeri nedir?
olduğuna göre,
 A  B   B  A 
kümesinin
A) 6
eleman sayısı kaçtır?
A) 8
B) 9
KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
C) 10
D) 11
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
E) 12
188
Zirveyi hedefleyenlere…
KONU TESTLERİNİN CEVAPLARI
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
TEST
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
D
B
B
D
A
D
B
C
C
D
B
D
D
B
C
A
B
B
C
A
A
C
C
C
A
B
B
E
C
B
2
E
D
B
A
D
E
D
A
B
C
C
A
C
E
D
E
B
A
A
A
C
B
C
A
A
A
B
D
B
D
3
E
A
C
D
E
D
A
D
D
E
C
A
E
C
E
B
D
C
E
B
A
E
E
B
D
E
A
B
A
D
4
C
D
A
D
E
C
A
D
E
B
D
A
A
A
B
D
A
A
E
A
B
D
C
B
B
C
A
E
C
D
5
A
E
E
A
D
C
A
A
E
B
D
C
B
C
A
C
C
E
B
D
A
A
E
A
A
D
C
C
E
B
6
A
C
C
B
A
D
D
E
D
E
B
C
B
D
E
C
A
B
D
E
E
C
A
E
B
B
E
C
E
B
7
C
B
A
A
C
A
A
B
A
A
A
B
D
A
D
D
D
E
A
D
C
B
D
A
A
C
A
C
A
E
8
B
C
C
A
E
C
E
C
A
A
E
D
C
A
C
B
E
B
D
E
E
A
A
D
E
D
D
C
B
B
9
D
E
D
E
A
D
E
E
C
A
A
B
A
E
C
D
A
C
A
A
B
C
D
C
A
B
C
A
A
D
10
D
E
E
E
D
A
D
B
B
D
E
C
E
B
E
A
D
D
C
E
E
E
A
B
C
B
E
E
E
C
NOTLAR
DENEME SINAVLARININ CEVAPLARI
DENEME
DENEME
DENEME
DENEME
DENEME
DENEME
DENEME
DENEME
1
2
3
4
5
6
7
8
1
A
C
A
C
C
E
A
A
2
A
B
A
E
D
C
E
D
3
D
D
B
B
D
E
B
E
4
E
D
B
D
A
A
D
C
5
D
B
A
D
A
E
C
E
6
C
C
E
B
B
A
A
D
7
A
A
D
E
C
C
A
E
8
A
A
E
A
C
C
C
E
9
D
C
E
D
D
A
A
A
DOĞRU
YANLIŞ
BOŞ
SAYISI
SAYISI
SAYISI
DENEME 1
DENEME 2
DENEME 3
DENEME 4
DENEME 5
DENEME 6
DENEME 7
DENEME 8
ADI SO YADI
:
O KUL U
:
O KUL NO
:
SI NI FI
:
10
D
D
D
C
B
C
E
C
11
D
C
C
A
E
D
E
C
NET
12
D
C
E
D
C
A
D
A
13
E
D
A
B
A
C
B
A
14
B
E
B
B
A
B
D
D
15
C
E
C
A
D
C
A
A
16
C
A
E
C
A
A
D
C
17
A
C
E
A
A
A
B
D
18
E
B
C
C
A
D
D
D
NOTLAR
19
C
A
A
E
A
C
A
C
20
D
B
B
C
A
B
D
C