Analitik Geometri
advertisement
Analitik Geometri Prof. Dr. Salim YÜCE Prof. Dr. ANALİTİK GEOMETRİ ISBN 978-605-318-811-7 DOI 10.14527/9786053188117 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. © 2017, PEGEM AKADEMİ Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. Pegem Akademi Yayıncılık, 1998 yılından bugüne uluslararası düzeyde düzenli faaliyet yürüten uluslararası akademik bir yayınevidir. Yayımladığı kitaplar; Yükseköğretim Kurulunca tanınan yükseköğretim kurumlarının kataloglarında yer almaktadır. Dünyadaki en büyük çevrimiçi kamu erişim kataloğu olan WorldCat ve ayrıca Türkiye’de kurulan Turcademy.com ve Pegemindeks.net tarafından yayınları taranmaktadır, indekslenmektedir. Aynı alanda farklı yazarlara ait 1000’in üzerinde yayını bulunmaktadır. Pegem Akademi Yayınları ile ilgili detaylı bilgilere http://pegem.net adresinden ulaşılabilmektedir. 1. Baskı: Mart 2017, Ankara Yayın-Proje: Özlem Sağlam Dizgi-Grafik Tasarım: Ayşe Nur Yıldırım Kapak Tasarımı: Pegem Akademi Baskı: Ay-bay Kırtasiye İnşaat Gıda Pazarlama ve Ticaret Limited Şirketi Çetinemeç Bulvarı 1314.Cadde No:37A-B 0312 472 58 55 Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 33365 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net İçindekiler iii ÖN SÖZ Bana olan sevgi, güven ve yardımları ile her zaman yanımda olan başta sevgili annem, babam, eşim, çocuklarım ve kardeşlerim bu kitabın geçek yazarlarıdır. Bu nedenle hepsinin adına bu kitabı annem Ayşe YÜCE ve babam Muzaffer YÜCE’ye ithaf ediyorum. Ayrıca, başta 15 Temmuz şehitlerimiz olmak üzere vatan uğruna canlarını feda eden, bizler huzur içinde yaşayalım diye sevdiklerini yetim bırakan tüm şehitlerimize ve halen görev yapan güvenlik kuvvetlerimiz personeline selam olsun. Bu kitap, üniversitelerin Matematik, Matematik Mühendisliği, Matematik Bilgisayar, İstatistik, Matematik Öğretmenliği bölümlerinde ve bazı bölümlerin servis dersi olarak okutulan lisans düzeyinde “Analitik Geometri” derslerine yardımcı olması amacı ile hazırlanmıştır. Bu bağlamda, kitabın birinci bölümünde; Afin ve Öklid uzayları ve koordinat sistemleri tanıtılmış, ayrıca 3-4-7 boyutta vektörel ve karma çarpım ile bunların geometrik yorumları verilmiş, ikinci bölümde; Koordinat dönüşümleri ile ! 2 ve ! 3 de dönme verilmiş, üçüncü bölümde; 3-boyutlu uzayda doğru, dördüncü bölümde; uzayda düzlem incelenmiş, beşinci bölümde genel konikler ve altıncı ise 2 inci dereceden eğriler olan kuadrikler verilmiştir. Yedinci bölümde özel yüzeyler tanıtılarak bazıları için matlab çizimleri verilmiş, sekizinci ve son bölümde Projektif düzlem ve uzay tanıtılarak, Projektif düzlem ve uzayda Analitik Geometri bilgileri yeniden ele alınmıştır. Ayrıca, Analitik Geometrinin temeli olan Lineer Cebir bilgileri EK-A bölümünde, Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümlerinin dışında okutulan Analitik Geometri derslerinde verilen ! 2 de doğru Ek-B bölümünde ve merkezil Konikler (çember, elips, hiperbol, parabol) EK-C bölümünde temel kavramlar olarak verilmiştir. Böylece EK bölümleri, liselerde okutulan Analitik Geometri derslerine yardımcı olacaktır. Kitabın her bölümün içerisinde konuların daha iyi anlaşılması açısından örnekler çözülmüş ve gerekli bazı bölüm sonlarında alıştırmalar verilmiştir. Ayrıca bölüm dizinleri, bölümler arasında bağlantılar kurularak hazırlanmıştır. Örneğin, genel konik ve genel kuadriklerin merkezil hale getirilmesinde üçüncü bölümde anlatılan eksenlerin ötelenmesi ile döndürülmesi veya Ek-A kısmında anlatılan bir matrisin öz değer ve öz vektörleri kullanılmıştır. iii iv AnalitikGeometri Kitabın yazımını gerçeklemesinde emekleri için asistanlarım Mücahit AKBIYIK, Esra ERKAN, G. Yeliz ŞENTÜRK ve doktora öğrencim G. Kemal NALBANT nezdinde tüm geometri grubu asistanlarıma teşekkür ederim. Ayrıca, belki de tüm akademik hayatımın başlangıcı sayabileceğim Matematik sevdamın başlamasına vesile olan lise Matematik öğretmenim Sayın Şükrü ADIGÜZEL ile akademik hayatımın her noktasında yanımda olan Hocam Sayın Prof. Dr. Nuri KURUOĞLU’na emekleri içinde teşekkür ederim. İçindekiler v İÇİNDEKİLER Ön Söz ...................................................................................................................... iii 1. Bölüm Koordinat Sistemleri ve Vektörel Çarpımı 1.1. Afin Uzay ............................................................................................................2 1.2. Öklid Uzayı .........................................................................................................8 1.2.1. Öklid Çatısı .............................................................................................9 1.2.2. Öklid Koordinat Sistemi .................................................................... 10 1.3. E2 Öklid Uzayında Özel Koordinat Sistemleri ........................................... 10 1.3.1. Dik Koordinat Sistemi........................................................................ 10 1.3.2. Eğik Koordinat Sistemi ...................................................................... 11 1.4. E2 Öklid Uzayında Özel Koordinat Sistemleri ........................................... 19 1.4.1. Dik Koordinat Sistemi........................................................................ 19 1.4.2. Silindirik Koordinat Sistemi.............................................................. 20 1.4.3. Küresel Koordinat Sistemi................................................................. 25 1.5. R3 Uzayında Vektörel Çarpım ve Karma Çarpım ...................................... 29 1.5.1. Vektörel Çarpım .................................................................................. 29 1.5.2. Karma Çarpım ..................................................................................... 31 1.5.3. R3 de Üç Vektörün Vektörel Çarpımı .............................................. 32 1.5.4. Jacobi Özdeşliği .................................................................................. 33 1.5.5. Lagrange Özdeşliği ............................................................................. 33 1.5.6. Vektörel Çarpımın Geometrik Yorumu ........................................... 35 v vi AnalitikGeometri 1.5.7. Karma Çarpımın Geometrik Yorumu .............................................. 35 1.6. R4 4-Uzayında Vektörel Çarpım................................................................... 37 1.7. R7 7-Uzayında Vektörel Çarpım................................................................... 40 1.8. Alıştırmalar...................................................................................................... 45 2. Bölüm Koordinat Dönüşümleri 2.1. Öteleme ............................................................................................................ 48 2.1.1. Koordinat Sistemlerinin Ötelenmesi................................................ 48 2.1.2. Noktanın (Vektörün) Ötelenmesi .................................................... 52 2.2. Dönme ............................................................................................................. 53 2.2.1. Eksenlerin Dönmesi ........................................................................... 53 2.2.2. Dönmenin Kompleks İfadesi ............................................................ 55 2.2.3. Noktanın Dönmesi ............................................................................. 60 2.2.4. Hiperbolik ve Parabolik Dönme ....................................................... 62 2.3. Öteleme ve Dönmeler .................................................................................... 62 2.4. Bir Noktanın Dik Koordinat Sistemi İle Eğik Koordinat Sistemindeki Koordinatları Arasındaki Bağıntılar..................................... 64 2.5. Düzlemde Yansımalar.................................................................................... 68 2.5.1. Ox - Eksenine göre yansıma .............................................................. 70 2.5.2. Orijinden geçen ve eğimi t olan bir h doğrusuna göre yansıma... 71 2.5.3. Kesişen İki Doğruya Göre Yansıma ................................................. 73 2.5.4. Orijinden Geçmeyen Bir k Doğrusuna Göre Yansıma .................. 77 2.5.5. Hiperbolik ve Parabolik Yansıma ..................................................... 79 2.6. Düzlemin Diğer Dönüşümleri ...................................................................... 80 2.6.1. Hareket ve Benzerlik Dönüşümü...................................................... 80 2.6.2. Afin Dönüşümler ................................................................................ 82 İçindekiler vii 2.6.3. İzüşümler.............................................................................................. 84 2.6.4. Projektif Dönüşümler ......................................................................... 88 2.6.5. Projektif Düzlemler ............................................................................ 90 2.6.6. Topolojik Dönüşümler ...................................................................... 92 2.7. R3 de Dönme ................................................................................................... 93 2.7.1. Olin-Rodrigues formülünün bir diğer ispatı ................................... 98 2.8. Alıştırmalar.................................................................................................... 101 3. Bölüm Uzayda Doğru 3.1. İki Noktadan Geçen Doğru Denklemi ...................................................... 104 3.2. Bir Noktası ve Doğrultman Vektörü Verilen Doğrunun Denklemi ..... 106 3.3. Uzayda Bir Doğrunun Koordinat Eksenleri ile Yaptığı Açılar Cinsinden Denklemi .................................................................................... 107 3.4. Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı ................................................. 110 3.5. Uzayda İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ................................... 112 3.6. Kesişen İki Doğru Arasındaki Açı.............................................................. 114 3.7. Kesim Noktasının (, nın) Bulunması ....................................................... 115 3.8. Aykırı Doğrular ............................................................................................ 116 3.9. R3 de Plücker Doğru Koordinatları .......................................................... 120 3.10. Alıştırmalar ................................................................................................. 124 4. Bölüm Uzayda Düzlem 4.1. Doğrudaş Olmayan Üç Noktadan Geçen Düzlem Denklemi ................ 128 4.2. Bir Noktadan Geçen ve Verilen Bir Doğrultuya Dik Olan Düzlem Denklemi ......................................................................................... 129 viii AnalitikGeometri 4.3. Bir Düzlemin Koordinat Eksenlerinden Ayırdığı Parçalar Cinsinden İfadesi .......................................................................................... 132 4.4. Verilen Bir Noktadan Geçen ve İki Doğrultuya Paralel Olan Düzlem Denklemi ........................................................................................ 135 4.5. Bir Doğru ve Dışındaki Bir Noktadan Geçen Bir Düzlemin Denklemi ........................................................................................................ 136 4.6. Kesişen İki Doğrunun Belirttiği Düzlem Denklemi ................................ 137 4.7. Bir Düzlemin Hesse Normal Formu .......................................................... 138 4.8. Özel Düzlemler ............................................................................................. 140 4.9. Bir Noktanın Bir Düzlem Üzerindeki Dik İzdüşümü ............................. 143 4.10. Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı......................................................... 146 4.11. Bir Doğru İle Bir Düzlemin Birbirine Göre Durumları ........................ 148 4.12. Bir Düzlem ile Bir Doğrunun Kesim Noktasının Bulunması .............. 150 4.13. Uzayda Bir Doğru ile Bir Düzlem Arasındaki Açı ................................. 153 4.14. İki Düzlemin Birbirine Göre Durumu .................................................... 154 4.15. İki Düzlem Arasındaki Açı ....................................................................... 156 4.16. Kesişen İki Düzlemin Arakesit Doğrusunun Bulunması...................... 158 4.17. İki Düzlemin Açıortay Düzleminin Denklemi ....................................... 160 4.18. Üç Düzlemin Birbirine Göre Durumu .................................................... 162 4.19. Aykırı İki Doğrunun Ortak Dikmesi ve En Kısa Uzaklık ..................... 169 4.20. Bir Doğrudan Geçen Düzlem Demeti ..................................................... 178 4.21. İzdüşüm ....................................................................................................... 180 4.21.1. Bir Noktanın Düzlem Üzerine Dik İzdüşümü............................ 180 4.21.2. Bir Doğrunun Düzlem Üzerine Dik İzdüşümü .......................... 180 4.21.3. Bir Doğrunun Düzlem Üzerine Verilen Bir Doğruya Paralelel Olarak İzdüşümü ............................................................ 182 4.21.4. Bir Doğru Parçasının Bir Doğru Üzerindeki İzdüşümünün Uzunluğu ......................................................................................... 183 İçindekiler ix 4.21.5. Bir Doğru Parçasının Bir Düzlem Üzerindeki İzdüşümünün Uzunluğu ......................................................................................... 185 4.22. Uzayda Yansıma ......................................................................................... 186 4.22.1. Uzayda Bir Noktanın Bir Düzleme Göre Yansıması ................. 186 4.22.2. Uzayda Bir Noktanın Bir Doğruya Göre Yansıması .................. 191 4.23. Alıştırmalar ................................................................................................. 194 5. Bölüm Genel Konikler 5.1. Genel Konik Denklemi ................................................................................ 198 5.2. Koniklerin Standart Denklemi ................................................................... 199 5.3. Genel Konik Denkleminin Merkezil Hale Dönüştürülmesi................... 199 5.3.1. Eksenlerin Ötelenmesi ..................................................................... 200 5.3.2. Eksenlerin Döndürülmesi ................................................................ 204 5.4. Koniklerin Sınıflandırılması ....................................................................... 206 5.4.1. Koniklerin Bir Başka Sınıflandırılması .......................................... 207 5.5. Matris Formunda Genel Konik Denklemi ................................................ 208 5.5.1. Koniklerin Sınıflandırılması ............................................................ 209 5.5.2. Merkezil Hale Dönüştürme ............................................................. 209 5.6. Bir Konik ile Bir Doğrunun Konumu........................................................ 212 5.7. Bir Konik ile Bir Noktanın Konumu ......................................................... 214 5.8. Koniklerde Teğet .......................................................................................... 214 5.9. Koniklerin Elemanları ................................................................................. 219 5.9.1. Koniklerde Merkez ........................................................................... 220 5.9.2. Koniklerde Çap (Köşegen) .............................................................. 227 5.9.3. Koniklerde Eksen .............................................................................. 236 x AnalitikGeometri 5.9.4. Koniklerde Köşe (Tepe) Noktaları ................................................. 243 5.9.5. Koniklerde Asimptot ........................................................................ 248 5.9.6. Koniklerde Odak ve Doğrultman ................................................... 251 5.9.7. Koniklerde Kutup Noktası ve Kutup Doğrusu ............................. 274 5.10. Konik Aileleri .............................................................................................. 288 5.11. Koniklerin Parametrik ve Kutupsal Koordinatlarla Temsili ................ 300 5.11.1. Koniğin Parametrik Gösterimi ..................................................... 300 5.11.2. Koniğin Kutupsal Koordinatlarda Gösterimi ............................. 304 5.12. Alıştırmalar ................................................................................................. 307 6. Bölüm Kuadrikler (2. Dereceden Yüzeyler) 6.1. Küre ................................................................................................................ 312 6.2. Elipsoid .......................................................................................................... 313 6.3. Tek Kanatlı Hiperboloid.............................................................................. 314 6.4. Çift Kanatlı Hiperboloid .............................................................................. 315 6.5. Eliptik Koni ................................................................................................... 316 6.6. Eliptik Paraboloid ......................................................................................... 317 6.7. Hiperbolik Paraboloid ................................................................................. 319 6.8. Eliptik Silindir ............................................................................................... 320 6.9. Parabolik Silindir .......................................................................................... 321 6.10. Hiperbolik Silindir ..................................................................................... 322 6.11. Kesişen Bir Çift Düzlem ............................................................................ 323 6.12. Çakışık Bir Çift Düzlem............................................................................. 323 6.13. Genel Kuadrik Denklemi .......................................................................... 323 İçindekiler xi 6.14. Kuadriklerin Merkezil Hale Dönüştürülmesi ........................................ 324 6.14.1. Öteleme ............................................................................................ 325 6.14.2. Dönme .............................................................................................. 326 6.15. Matris Formu ile Merkezil Hale Getirilme ............................................. 327 6.15.1. Sınıflandırma ................................................................................... 327 6.15.2. Öteleme ............................................................................................ 328 6.15.3. Dönme .............................................................................................. 329 6.16. Kuadrik Çiziminde İzlenecek Yollar ....................................................... 337 6.17. Alıştırmalar ................................................................................................. 361 7. Bölüm Özel Yüzeyler 7.1. Silindir ............................................................................................................ 366 7.2. Koni ................................................................................................................ 371 7.2.1. Koninin Denklemi ............................................................................ 372 7.2.2. Koninin Vektörel Denklemi ............................................................ 374 7.3. Dönel Yüzeyler.............................................................................................. 375 7.4. Tor Yüzeyi (Dönme Toru) .......................................................................... 382 7.5. Paralel Hiperyüzeyler ................................................................................... 384 8. Bölüm Projektif Düzlem ve Projektif Uzay 8.1. Temel Kavramlar .......................................................................................... 392 8.1.1. Genişletilmiş Düzlem ....................................................................... 394 8.1.2. Projiktif Uzay ..................................................................................... 396 xii AnalitikGeometri 8.2. Düzlemde Homojen Koordinatlar ............................................................. 398 8.2.1. Düzlemin İdeal Noktaları ................................................................ 403 8.2.2. Düzlemde Bir Doğrunun Homojen Denklemi ............................. 405 8.3. Projektif Analitik Geometri ........................................................................ 412 8.3.1. Projektif Düzlemde Üç Projektif Noktanın Doğrudaşlığı ........... 412 8.3.2. Projektif Düzlemde Üç Projektif Doğrunun Noktadaşlığı.......... 413 8.3.3. İki Doğrunun Arakesit Noktasını Bulma ...................................... 414 8.3.4. Projektif Düzlemde İki Projektif Noktası Verilen Projektif Doğrunun Denklemi ........................................................................ 415 8.4. Projektif Düzlem Geometrileri ................................................................... 417 8.4.1. Projektif Düzlemin Hareket Dönüşümleri .................................... 423 8.4.2. Projektif Düzlemin Geometrileri .................................................... 424 8.5. Üç Boyutlu Uzayda Homojen Koordinatlar ............................................. 436 8.5.1. Genişletilmiş Düzlem Denklemi ..................................................... 438 8.5.2. Genişletilmiş Doğrunun İdeal Noktası .......................................... 439 Ek-A Lineer Cebir ................................................................................................ 443 Ek-B Düzlemde Doğru........................................................................................ 465 Ek-C Merkezil Konikler ...................................................................................... 489 Kaynaklar .............................................................................................................. 585 Dizin ...................................................................................................................... 587 1. BÖLÜM KOORDİNAT SİSTEMLERİ VE VEKTÖREL ÇARPIMI Bu bölümde, afin koordinat sistemi, Öklid koordinat sistemi başta olmak üzere kutupsal, silindirik ve küresel koordinat sistemleri tanıtıldı. Ayrıca 3boyutta, 4-boyutta ve 7-boyutta vektörel çarpım ve özellikleri ile geometrik yorumları verildi. 2 Analitik Geometri Afin Uzay Tanım 1.1 A bir küme, V de üzerinde n boyutlu bir vektör uzayı olsun. Eğer f : A A V P, Q f P, Q PQ fonksiyonu, A1. P, Q, R A için f P, Q f Q, R f P, R A2. P A, V için f P, Q olacak şekilde bir tek Q A noktası vardır. özelliklerini sağlıyorsa A ’ya V vektör uzayı ile birleşen n -boyutlu afin uzay denir. Burada A1 ve A2 özelliklerine afin aksiyomları denir. Ayrıca boyA boyV n dir. Vektör Uzayı ile Afin Uzayın Karşılaştırılması V vektör uzayı vektörlerin bir kümesi iken, A afin uzayı ise nokta i) kümesidir. ii) V vektör uzayında 0 0 olacak şekilde 0 V vektörü varken A afin uzayında bu özelliğe sahip bir nokta yoktur. Afin Aksiyomlardan Çıkan Sonuçlar i) A1 afin aksiyomu gereğince afin uzayda herhangi iki nokta bir vektör belirtir. Koordinat Sistemleri ve Vektörel Çarpım 3 ii) A2 afin aksiyomu gereğince afin uzayda bir nokta tesbit edilirse bu uzaydaki bütün noktalar bir vektör belirtir. Örnek 1.1 V n , n boyutlu standart reel vektör uzayı, A n sıralı n lilerin kümesi olsun. f: n n n P, Q f P, Q PQ Q P fonksiyonunu tanımlayalım. A1. Her P, Q, R A n için f P, Q f Q, R PQ QR Q P R Q R P = PR f P, R . A2. Her 1 , 2 ,..., n n V P, Q A n için f P, Q Q P olmak üzere q1 p1 , q2 p2 ,..., qn pn 1 ,2 ,...,n yazılabilir. Buradan q1 1 p1 q2 2 p2 qn n pn olmak üzere i , pi ler tek olduğundan qi ler tektir ve bir tek Q q1 , q2 ,..., qn n vardır. 4 Analitik Geometri Sonuç n kümesi, 1.1.1 n vektör uzayı ile birleşen n -boyutlu bir afin uzaydır. Afin Çatı Tanım 1.2 A , V vektör uzayı ile birleşen n -boyutlu afin uzay olsun. P0 , P1,..., Pn A noktaları için P P , P P ,..., P P 0 1 0 2 uzayının bir bazı (tabanı) ise 0 n vektör sistemi P0 , P1,..., Pn nokta P P V 0 i V vektör n 1 lisine A afin uzayında bir afin çatı denir. Burada P0 noktasına afin çatının başlangıç noktası, P0 , P1,..., Pn noktalarına da afin çatının uç noktaları denir. Teorem 1.1 A , V vektör uzayı ile birleşen n -boyutlu afin uzay olsun. A afin uzayında belli bir P0 A noktası tespit edildiğinde başlangıcı P0 A noktası olan bir afin çatı vardır. İspat V , n boyutlu bir vektör uzayı olduğundan 1 , 2 ,..., n sistemi V nin bir bazı olsun. P0 A noktası seçildiğinde A2 aksiyomu gereğince; 5 Koordinat Sistemleri ve Vektörel Çarpım 1 P0 P1 olacak şekilde bir tek P1 A , 2 P0 P2 olacak şekilde bir tek P2 A , n P0 Pn olacak şekilde bir tek Pn A nokası vardır. , ,..., sistemi 1 2 n V nin bir bazı olduğundan P0 P1 , P0 P2 ,..., P0 Pn sistemi de V nin bir bazıdır. O halde P0 , P1 ,..., Pn sistemi başlangıç noktası P0 A noktası olan A ’da bir afin çatıdır. 1.1.2 Afin Koordinat Sistemi Tanım 1.3 A , V vektör uzayı ile birleşen n - boyutlu afin uzay ve P0 , P1 ,..., Pn , A da bir afin çatı olsun. V nin bir bazı P0 P1 , P0 P2 ,..., P0 Pn ve P A noktası için P0 P V vektörü olduğundan ai için P0 P n a P P i 1 i 0 yazılabilir. Eğer 1 i n için xi : A P xi P ai tanımlanırsa P A noktası için sıralı n li karşılık gelir. x P , x P ,..., x P 1 2 n şeklinde bir 6 Analitik Geometri Tersine, a1 ,..., an reel sayıları verildiğinde koordinatları a1, a2 ..., an n olan bir tek P noktası bulunabilir: a P P V i 1 aksiyomu gereğince P0 P n a P P i 1 i 0 i i 0 i olacak şekilde bir tek P A noktası vardır. O halde bir afin uzayda P noktasına şeklinde sıralı n -li karşılık getiren xi koordinat fonksiyonları ve olduğundan A2 afin x P , x P ,..., x P 1 2 1 i n x1, x2 ,..., xn n fonksiyonlarına afin sistemine de afin koordinat Sistemi denir. Uyarı n P0 P p ai P0 Pi ifadesindeki i 1 a1, a2 ..., an sıralı n -lisine P A noktasının başlangıç noktası P0 olan afin çatıya göre afin koordinatları ve p vektörüne de P A noktasının P0 , P1 ,..., Pn çatısına göre konum (yer) vektörü denir. 1.1.3 Afin Koordinat Sistemi Değişimi A, V vektör uzayı ile birleşen n boyutlu bir afin uzay olsun. P0 , P1 ,..., Pn ile Q0 , Q1 ,..., Qn afin çatılar olsun. 7 Koordinat Sistemleri ve Vektörel Çarpım n P0 A için Q0 P0 V olduğunda Q0 P0 ai Q0Qi i 1 ve P0 Pi V için n P0 Pj aij Q0Qi yazılabilir. Benzer şekilde, i 1 n n P0Q0 bi P0 Pi Q0Q j bij P0 Pi ve yazılabilir. Buradan, i 1 i 1 B bij , A aij matrisleri için AB BA I n bulunur. Keyfi bir P A için Q0 P Q0 P0 P0 P yazılabilir. Q0 P n P0 P x j P0 Pj olmak üzere j 1 n n n y Q Q a Q Q x P P i 1 i 0 i i 1 i 0 i j 1 j 0 j n n n ai Q0Qi x j aij Q0Qi i 1 j 1 i 1 n n aij x j ai Q0Qi i 1 j 1 n yQQ i 1 i 0 i ve 8 Analitik Geometri elde edilir. Buradan Q0Qi sistemi baz olduğundan n yi aij x j ai yazılabilir. j 1 O halde Y AX C matris formu elde edilir. Burada A , bazlar arasındaki geçiş matrisi olup regülerdir ve koordinat sistemlerinin dönmesine, C matrisi ise ötelemeye karşılık gelir. Öklid Uzayı Tanım 1.4 A , V vektör uzayı ile birleşen n -boyutlu afin uzay olsun. Eğer A afin uzayının birleştiği V vektör uzayı bir iç-çarpım uzayı ise bu A afin uzayına Öklid uzayı denir. Her afin uzay bir Öklid uzayı değilken her Öklid uzayı bir afin uzaydır. Örnek 1.2 n A sıralı n lilerin kümesi, uzaydır. Ayrıca V , : n n n V vektör uzayı ile birleşen bir afin üzerinde, x xi , y yi x, y n n x , y xi yi i 1 n için Koordinat Sistemleri ve Vektörel Çarpım şeklinde bir iç-çarpım fonksiyonu tanımlı olduğunu biliyoruz. Yani V bir iç-çarpım uzayıdır. O halde A n afin uzayı V n 9 n iç-çarpım uzayı ile birleşen bir Öklid uzayıdır ve genellikle E n ile gösterilir. 1.2.1 Öklid Çatısı Tanım 1.5 En , n n iç çarpım uzayı ile birleşen bir Öklid uzayı ve E0 , E1 ,..., En E E E , E E ,..., E E vektör sistemi ortonormal bazı ise yani, E E , E E ,..., E E , olsun. Eğer 0 1 0 2 0 0 1 n n 0 2 0 n n uzayının bir nin bir bazı ve E0 Ei , E0 E j ij (Kronecker deltası) ise E0 , E1 ,..., En nokta kümesine E n de bir Öklid çatısı (dik çatı) denir. Uyarı Her Öklid uzayı bir afin uzayı olduğundan her Öklid çatısı da bir afin çatıdır. 10 1.2.2 Analitik Geometri Öklid Koordinat Sistemi Tanım 1.6 Her Öklid çatısı bir afin çatı olduğundan bir afin koordinat sistemi belirler. Bu afin koordinat sistemine bir Öklid koordinat sistemi veya dik koordinat sistemi veya kartezyen koordinat sistemi denir. E 2 Öklid Uzayında Özel Koordinat Sistemleri 1.3.1 Dik Koordinat Sistemi O; x1, x2 ve bu koordinat sistemini belirleyen bir dik çatı O P0 ; P1 , P2 olsun. Bu durumda P0 P1 , P0 P2 , 2 E 2 de bir dik koordinat sistemi de ortonormal bazdır. P0 P1 e1 i , P0 P2 e2 j için P0 P aP0 P1 bP0 P2 yazılabilir. Burada x1 ve x2 x1 : E 2 P x1 P a x2 : E 2 P x2 P b şeklinde Öklid koordinat fonksiyonlarıdır.
